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Teoría de errores yTeoría de errores y presentación de resultados
Campos Electromagnéticos2º Ingeniería Telecomunicación2 Ingeniería Telecomunicación
Curso 2009/2010Dpto. Física Aplicada III Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
11/45/45
ÍndiceÍndice Unidades Cifras significativas
E l did Error en la medida Expresión de una magnitud con su errorp g
Regla de redondeo
Cálculo de erroresCálculo de errores Medida directa Medida indirecta Medida indirecta
Rectas de mejor ajuste
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22/45/45
Unidades Se recomienda siempre el Sistema
Internacional (SI):Internacional (SI): m, s, kg, A, C, V, Ω, Hz, H, F, T...
Los prefijos pueden usarse con moderación en los resultados finalesmoderación en los resultados finales pF, mA, kHz,... SÍ
V/ A kΩ 1 NO mV/mA, kΩ·μs, μs-1,... NO
Todas las cantidades con dimensiones deben ir acompañadas de sus unidades
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de sus unidades33/45/45
Cifras significativasCifras significativas
ú Número de cifras de un dato
Ejemplos:
Cifras significativasDato
Ejemplos:
3318 kg412.45 V
423 30 J30.0321 A
Ambiguo45000 m423.30 J
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44/45/45
Error en la medidaError en la medidaMejor llamarlo incertidumbre
Tipos de error (según la causa)á l bl
j
Sistemático eliminable si se conoce Aleatorio bandas de error
Expresión del error: x ± Ex
Ej: V = 3 2±0 3 VEj: V0 3.2±0.3 VForma compacta: V0=3.2(3) V
El b l i id d El error absoluto tiene unidades Error relativo: εx= Ex/x (¡Adimensional!)Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III
Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla55/45/45
Expresión de la cantidadcon su error
La banda de error limita el número de cifras significativas:g
U = 2.32865±0.312689 JSi l lt d i i t i Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más
U = 2.3±0.312689 J Las primeras cifras del error nos dicen Las primeras cifras del error nos dicen
donde está la incertidumbre
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66/45/45
Reglas de redondeog1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:
2. Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25?
R R = 2.83256 = 2.83256 ±± 0.086210.08621ΩΩ
¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea
3. Se toman las cifras significativas que marca el R R = 2.83256 = 2.83256 ±± 0.09 0.09 ΩΩ
error y se redondeaR R = 2.83 = 2.83 ±± 0.09 0.09 ΩΩ
R d d f t l últi if t idRedondeo: afecta a la última cifra retenida• Si la siguiente cifra es <5: se mantiene• Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad
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Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad77/45/45
Reglas de redondeoReglas de redondeo1 Se escriben la cantidad y su error1. Se escriben la cantidad y su error
con todas sus cifras:
I = 2.30408415 ± 0.002156 AI 2 30408415 ± 0 03674 AI = 2.30408415 ± 0.03674 AI = 2.30408415 ± 0.2036 AI = 2.30408415 ± 2.87 AI = 2.30408415 ± 234 AI = 2.30408415 ± 0.00962 AI = 2.30408415 ± 0.257 A
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88/45/45
Reglas de redondeog2. Se examinan las dos primeras cifras
del error: ¿Son ≤25?del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea
N ti l i d d No: se retiene la primera y se redondea
I = 2.30408415 ± 0.002156 A 0.0022 A0.0022 A
I = 2.30408415 ± 0.2036 AI = 2.30408415 ± 0.03674 A 0.04 A0.04 A
0.20 A0.20 A
I = 2.30408415 ± 234 AI = 2.30408415 ± 2.87 A 3 A3 A
230 A230 AI = 2.30408415 ± 0.00962 AI = 2 30408415 ± 0 257 A
230 A230 A
0 3 A0 3 A0.010 A0.010 A
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I 2.30408415 ± 0.257 A 0.3 A0.3 A99/45/45
Reglas de redondeog
3. Se toman las cifras significativas gque marca el error y se redondea
I = 2.30 ± 0.04 AI = 2.3041 ± 0.0022 A
I = 2.30408415 ± 0.04 AI = 2.30408415 ± 0.0022 A
I = 2 ± 3 AI = 2.30 ± 0.20 A
I = 2.30408415 ± 3 AI = 2.30408415 ± 0.20 A
I = 2 304 ± 0 010 AI = 0 ± 230 A
I = 2 30408415 ± 0 010 AI = 002.30408415 ± 230 A
I 2.304 ± 0.010 AI = 2.3 ± 0.3 A
I 2.30408415 ± 0.010 AI = 2.30408415 ± 0.3 A
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1010/45/45
Reglas de redondeog
4. Resumiendo...4. Resumiendo...
I = 2.30408415 ± 0.002156A I = 2.3041(22)AI = 2.3041 ± 0.0022A
I = 2.30408415 ± 0.2036AI = 2.30408415 ± 0.03674A
I = 2.3(2)AI = 2.3 ± 0.2AI = 2.30(4)AI = 2.30 ± 0.04A
I = 2 30408415 ± 234AI = 2.30408415 ± 2.87AI 2.30408415 0.2036A
I = 0(230)AI = 0 ± 230AI = 2(3)AI = 2 ± 3AI 2.3(2)AI 2.3 0.2A
I = 2.30408415 ± 0.00962AI = 2.30408415 ± 234A
I = 2.304(10)AI = 2.304 ± 0.010AI = 0(230)AI = 0 ± 230A
I = 2.30408415 ± 0.257A I = 2.3(3)AI = 2.3 ± 0.3A
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Cálculo de erroresCálculo de errores
Estudiaremos diferentes casos: Medida directa Medida directa Una sola medida
V i did Varias medidas
Medida indirecta Función de una sola variable: z = f(x) Función de varias variables: z = f(x y ) Función de varias variables: z = f(x,y,…)
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1212/45/45
Error de una medida directaError de una medida directa El error depende de la precisión del p p
aparato (mínimo incremento entre medidas)medidas) Aparatos analógicos (respuesta continua):
se toma como error la mitad de la
Aparatos digitales (respuesta discreta): se
se toma como error la mitad de la precisión. Aparatos digitales (respuesta discreta): se
toma como error la propia precisión. Excepción en el redondeo: 0 1 en vez de 0 10 Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10
Si ha de enrasarse por dos extremos: doble error
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doble error1313/45/45
Ejemplos de medidas directasEjemplos de medidas directas Un amperímetro Cursor de un Un amperímetro
analógico Cursor de un
osciloscopio3 4 1
3.6±0.1
Lectura directa:
0.8±0.1V
Cursor de un Amplitud pico a pico
3.2±0.1 3.8±0.10
Cursor de un osciloscopio
Amplitud pico a pico con dos cursores
1Al mover el cursor
1 Directa:1 6±0 2Vel display indica
0.72, 0.76, 0.80:
0 76±0 04 V
1.6±0.2V
Display:1 52±0 08V
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0 0.76±0.04 V-1
1.52±0.08V1414/45/45
Error de varias medidas directasError de varias medidas directas Se realizan si existe una incertidumbre no
achacable al aparato de medida:
1 n
1 2 3, , ,..., nx x x x Medidas:
1
1i
ix x
n
1 2 3, , , , n Medidas: Resultado: media aritmética
Error: doble de la desviación cuadrática media de la media de los datos
Si Ex es menor que el errord l i t t d did
2( )iix x del instrumento de medida,
se escoge este último
( )2 2
( 1)ii
x xEn n
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1515/45/45
Error de varias medidas directasError de varias medidas directas
Error: cantidades relacionadas σn : desviación estándar 2( )n
de la población (xσn enlas calculadoras)
2( )iin
x xn
)
σn-1 : desviación estándarde la muestra (xσn 1 en
2
1
( )iin
x x de la muestra (xσn-1 en
las calculadoras)
2 2
1 1n n
12 21
n nxE
n n
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1n n1616/45/45
Error de una medida indirectaFunción de una variable
Suponemos: Resultado:
0 con ( )xx x E z f x ( )z f x z f(x)
Resultado:
fE E
0 0( )z f xz0 df/dx
Error:0
z xx
fE Ex
x
Ejemplo: sección de un cable:20
4DS
D
x0
4Error de la medida: 0
2s D DDSE E E
D
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02DD
1717/45/45
Error de una medida indirectaFunción de una variable
Algunos casos sencillos: Una variable proporcional a otra:
y Kx y x xyE E KEx
y x
Función exponencial:0xx
x E Logaritmo:
xy ae xy x xE ae E yE y xE
Logaritmo:
lny x xy
EEx
y xE Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III
Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
x1818/45/45
Error de una medida indirectaFunción de varias variables
Suponemos:
0 0 0 ; ; x y wx x E y y E w w E ( , , )z f x y w
0 0 0; ;x y wy y 0 0 0 0, ,z f x y w Resultado:
22 2f f f
Error:2 2
2 2 2z x y w
f f fE E E Ex y w
0 00x wyx y w
Válido si las variables son independientesCurso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III
Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
p1919/45/45
Ejemplos de erroresEjemplos de errores Suma o diferenciaSuma o diferencia
z x y 2 2z x yE E E z x y
Producto o cocientex yzu v
ln ln ln ln lnz x y u v
u v2 2 2 2
z x y u v Estimación: el error relativo de z es del orden del mayor de los errores relativos de sus argumentos
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mayor de los errores relativos de sus argumentos2020/45/45
Unidades y erroresUnidades y errores Todos los datos deben ir acompañados de
sus errores, si se conocen, y de susunidades.
Serie de medidas consecutivas17(1) mm – 15(1) mm – 12(1) mm – 8(1) mm
17 – 15 – 12 – 8 ( ±1mm) Tablas:
I(±0.1mA) V(±0.1V)
1.0 2.1
I(mA) V(V)
1.0(1) 2.1(1)
I V(V)
1.03(1) mA 2.1(1)
2.0 4.3
3.2 6.2
2.0(3) 4.3(1)
3.2(2) 6.2(2)
870(1) μA 1.8(1)
640(1) μA 1.3(2)
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2121/45/45
Rectas de mejor ajustej j Estudio de la dependencia (lineal) de una variable
con otra Permite:
Verificar relación lineal Determinar una magnitud de forma indirecta
con otra. Permite:
de forma indirectaV
VR
Ajustar una función noI
I
Interpolación o extrapolación
Ajustar una función no lineal en una región restringidag
V V
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I I 2222/45/45
Gráfica de los datosGráfica de los datos
áV(±0.1mV) I(±0.1mA)
Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación
1.0 2.8
2.0 6.2
2.9 9.1lineal.
Permite eliminar puntos ó
3.9 12.5
5.0 14.7
6 1 18 1 erróneos.6.1 18.1
7.0 21.0
8.2 24.2
9.0 26.5
10.2 30.0
11 1 33 511.1 33.5
11.9 35.9
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2323/45/45
Gráfica de los datosGráfica de los datosV(±0.1mV) I(±0.1mA)
V frente a I
14
1.0 2.8
2.0 6.2
2 9 9 1
8
10
122.9 9.1
3.9 12.5
5.0 14.7
4
6
8
V(m
V)6.1 18.1
7.0 21.0
8 2 24 2
0
28.2 24.2
9.0 26.5
10.2 30.00 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)11.1 33.5
11.9 35.9
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2424/45/45
Gráfica de los datosGráfica de los datos Marcar
V frente a I
14
Marcar claramente datos experimentales (aspas si se
8
10
12
)
(aspas si se representan a mano)
No señalar
4
6
8V(
mV) No señalar
datos experimentales en los ejes
0
2 Magnitudes y
unidades en los ejesD b 0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA) Debe ocupar
toda la página
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2525/45/45
Gráfica de los datosGráfica de los datos Marcar
V frente a I
14
V frente a I
1820
Marcar claramente datos experimentales (aspas si se
8
10
12
) 12141618
)
(aspas si se representan a mano)
No señalar
4
6
8
V(m
V)
68
1012
V(m
V) No señalar datos experimentales en los ejes
0
2
024
0 10 20 30 40 50
Magnitudes y unidades en los ejesD b 0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
0 10 20 30 40 50
I(mA) Debe ocupar
toda la página
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2626/45/45
Coeficiente de correlaciónCoeficiente de correlación Paso 2: Obtención del coeficiente de
correlación (r) Es una medida del grado de alineacióng r (-1,1)
r ≈ 0 r ≈ 1 r ≈ -1r > 0
Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9.
No tiene error No tiene unidades
Ejemplos r = 0.999678 r = 0.9996r 0 99128 r 0 991 r = 1 099678 ERRÓNEO
cifra distinta de 9.No tiene unidades
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r = -0.99128 r = -0.991 r = 1.099678 ERRÓNEO2727/45/45
Pendiente y ordenada en el origen
ó Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y = a+bx Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear
a y b lo dan lascalculadoras
22 12b
b rEr N
2 2
a b xE E x ( )x nx
r = 0.99934675 r = 0.9993
b = 0.3366870 Ω b = R = 0 337 ± 0 008 Ω
Ejemplo:
V=a+bIEb =0.00770058 Ωa = -0.05442597 mVE 0 17030002 V
b = R = 0.337 ± 0.008 Ω
a = -0.05 ± 0.17 mV
V a+bI
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Ea = 0.17030002 mV2828/45/45
Trazado de la rectaTrazado de la recta
Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráficaj g Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la
t d j j trecta de mejor ajuste
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2929/45/45
Trazado de la rectaTrazado de la rectaV frente a I
14
V frente a I
10
12
6
8
V(m
V)
0
2
4
00 10 20 30 40
I(mA)
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3030/45/45
Rectas exponenciales: cálculoRectas exponenciales: cálculo En muchas situaciones prácticas p
aparecen funciones de la formaebxz K
Se transforman en rectas tomando l i
ez K
logaritmos ln lny z K bx a bx
a y b se hallan de la forma usual y
El factor K se halla eaK K a a
KE E KE
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Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
K a aa3131/45/45
Rectas l
1
exponenciales: representación 0
0.5
p
Puede hacerse la gráfica de
-0.5
la gráfica de y=ln(z) frente a x -1.5
-1
ln(V
(V))
a x.-2
1.5l
-3
-2.5
-3.5
3
0 2 4 6 8 10
t(µs)
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3232/45/45
Rectas l
10
exponenciales: representaciónp
Empleando papel semi
1
papel semi-logarítmico pueden
V(V
)
pueden ponerse directamente
0.1
directamente las magnitudes
0.01
0 2 4 6 8 10
t(µs)
¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales
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3333/45/45
Rectas potenciales: cálculoRectas potenciales: cálculo En ocasiones se tiene una ley y
potencial de exponente desconocidonz Kt n: exponente
Se transforman en rectas tomando l i
z Kt n: exponente
logaritmos ln ln lny z K n t a bx ln lna K b n x t
a y b se hallan de la forma usual y
El factor K se halla:eaK
KKE E KE
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Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
K a aE E KEa
3434/45/45
Rectas l
3.5
potenciales: representación
3
p
Puede hacerse la gráfica de 2
2.5
T))la gráfica de
y=ln(z) frente a x ln(t)
1.5ln(B
(mT
a x=ln(t).1
0.5
0
-1 0 1 2
ln(x(cm))
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3535/45/45
Rectas l
100
potenciales: representaciónp
Empleando papel log log )papel log-log pueden ponerse
10
B(m
T)
ponerse directamente las magnitudeslas magnitudes
¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales
1
0.1 1 10
x(cm)
Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla
3636/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I¡Recta mal
12
14
¡calculada
o mal
8
10
mV)
trazada!
4
6V(m
La ordenada en el origen
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
en el origen es incorrecta
I(mA)
Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla
3737/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
12
14
8
10
mV)
2
4
6V(m
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
¡Punto erróneo!: debe eliminarse
I(mA)
Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla
¡Punto erróneo!: debe eliminarse3838/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
12
14
8
10
12
4
6
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 400 5 10 15 20 25 30 35 40
¡Faltan etiquetas en los ejes!Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III
Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla
¡Faltan etiquetas en los ejes!3939/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplos¡Recta mal V frente a I¡calculada
o mal 12
14
trazada!8
10
mV)
4
6V(m
La pendiente de la recta es incorrecta
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
incorrecta
I(mA)
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4040/39/39
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
12
14
8
10
V
2
4
6
V
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I
¡Faltan puntos experimentales y unidades!
I
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¡Faltan puntos experimentales y unidades!4141/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
12
14
8
10
mV)
2
4
6V(m
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
Para gráficas por ordenador: incluir tramas
I(mA)
Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla
Para gráficas por ordenador: incluir tramas4242/45/45
Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
12
14Datos caso 1R 1
8
10
mV)
Recta caso 1Datos caso 2Recta caso 2
4
6V(m
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Para varias curvas: distintos símbolos y colores
I(mA)
Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla
Para varias curvas: distintos símbolos y colores4343/45/45
Rectas de mejor ajusteRectas de mejor ajuste
Re men de p o eg iResumen de pasos a seguir:
Representar los datos experimentales
Obtener el coeficiente de correlación
C l l d l di t l d d Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error
Obtener información física
R t l t d j j t Representar la recta de mejor ajuste
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4444/45/45
Cosas que nunca hay que olvidarCosas que nunca hay que olvidar
Poner todas las unidades Poner todos los errores Poner todos los errores Redondear correctamente El error absoluto tiene unidades a y b tienen unidades a y b tienen unidades Poner los puntos en las gráficas Poner las unidades en las gráficas
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4545/45/45