Teor´ıa de juegos en forma normal (repaso)

Introduccion Representacion Solucion: dominancia Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash Estrategias mixtas

Teorıa de juegos en forma normal(repaso)

Microeconomıa III

Leandro Zipitrıa

Facultad de Ciencias Economicas y Administracion

Licenciatura en Economıa


Objetivos

1. Definir juegos

2. Presentar juegos en forma normal y las nociones de equilibrio

3. Determinar estrategias mixtas


Objetivos

1. Definir juegos




Objetivos

1. Definir juegos




Indice

IntroduccionRepresentacionSolucion: dominancia

Ejemplo

Estrategias dominantesEstrategias racionalizablesEquilibrio de NashEstrategias mixtas


Juegos

• Un juego es la representacion formal de una situacionestrategica

Interaccion estrategicael bienestar del agente depende de sus acciones y de la de los otrosjugadores

• Pueden representar rivalidad o problemas de coordinacion• Representacion: en forma normal (o estrategica) o extensiva• Etapas: representacion - solucion


Juegos





Juegos





Juegos





Juegos





Componentes

1. Jugadores: ¿quien esta involucrado?

2. Reglas: ¿como mueven?; ¿que saben cuando mueven?;¿que pueden hacer?

3. Resultados: para cada conjunto posible de acciones de losjugadores: ¿cuales son los resultados del juego?

4. Pagos: ¿cuales son las preferencias de los jugadores sobre losposibles resultados?


Componentes






Componentes






Componentes






Informacion

1. Informacion perfecta: cuando todos los jugadores tienen todala informacion relacionada con las acciones previas de losrestantes jugadores que afectan la decision de este sobre laaccion a tomar en un momento particular.

2. Informacion completa: cuando todos los jugadores conocen laestructura del juego y los pagos de los restantes jugadores,pero no necesariamente sus acciones.


Informacion

1. Informacion perfecta: cuando todos los jugadores tienen todala informacion relacionada con las acciones previas de losrestantes jugadores que afectan la decision de este sobre laaccion a tomar en un momento particular.

2. Informacion completa: cuando todos los jugadores conocen laestructura del juego y los pagos de los restantes jugadores,pero no necesariamente sus acciones.


Indice


Ejemplo



Presentacion

DefinicionUn juego en forma normal es una ternaG = {I; (Si )n

i=1 ; ui (si , s−i )}, donde:I es el conjunto de jugadores; I = 1, ...,nSi que es el espacio de acciones para cada jugador (si ∈ Si )ui es la funcion de utilidad asociada a cada resultado del juegopara cada jugador.


Ejemplo

• Ejemplo: Dilema del prisionero• Jugadores: prisionero 1, prisionero 2• Acciones (estrategias): Si = {c, c} , i = 1, 2, donde c es

confesar y c no confesar• Estructura: juegan sin saber lo que hace el otro• Pagos: a- si ambos confiesan tienen una pena de 5 anos; b- si

el prisionero 1 no confiesa pero el 2 si, el primero obtiene unapena de 10 anos y el segundo una pena de 1 ano por colaborarcon la justicia; c- si ninguno confiesa ambos son procesadospor un delito menor y obtienen una pena de 2 anos


Ejemplo





Ejemplo





Ejemplo





Ejemplo





Representacion

Prisionero 2c c

Prisionero 1c -5, -5 -1, -10c -10, -1 -2, -2


Indice


Ejemplo



Dominancia (I)

DefinicionDecimos que una estrategia s ′i esta estrictamente dominada siindependientemente de la accion que pueda tomar el otro jugador,la utilidad asociada a esta estrategia es estrictamente menor aalguna otra estrategia que pueda jugar el jugador i . Formalmente,si es una estrategia estrictamente dominada si existe s ′′i tal que∀s−i ∈ S−i se cumple que:

ui(s ′′i , s−i

)> ui

(s ′i , s−i

)


Dominancia (II)

• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategiaestrictamente dominada

• Si la racionalidad es conocimiento comun (o de dominiopublico), se puede proceder a la Eliminacion Iterativa deEstrategias Estrictamente Dominadas


Dominancia (II)

• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategiaestrictamente dominada

• Si la racionalidad es conocimiento comun (o de dominiopublico), se puede proceder a la Eliminacion Iterativa deEstrategias Estrictamente Dominadas


Indice


Ejemplo



Ejemplo

• ¿Cual serıa el equilibrio por eliminacion iterativa de estrategiasestrictamente dominadas?

Jugador 2Bueno Regular Malo

Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Ejemplo (cont.)

• J1: Medio esta estrictamente dominada


Jugador1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Ejemplo (cont.)

• J2: Regular esta estrictamente dominada


Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Ejemplo (cont.)

• J1: Alto esta estrictamente dominada


Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Ejemplo (cont.)

• J2: Bueno esta estrictamente dominada


Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Ejemplo (cont.)

• EEIEED = {bajo, malo}


Jugador 1Alto 1, 1 2, 0 1, 1

Medio 0, 0 0, 1 0, 0Bajo 2, 1 1, 0 2, 2


Indice


Ejemplo



Estrategias dominantes

DefinicionDecimos que una estrategia si es una estrategia estrictamentedominante para el jugador i en un juego en forma normal G si∀s ′i 6= si , se cumple que:

ui (si , s−i )> ui(s ′i , s−i

)∀s−i ∈ S−i

• Una estrategia dominante para el jugador i maximiza su pagopara cualquier estrategia que el rival pueda jugar.





)∀s−i ∈ S−i






)∀s−i ∈ S−i



Indice


Ejemplo



Mejor respuesta

DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si es una mejorrespuesta del jugador i a las estrategias s−i de sus rivales si secumple que:


), ∀s ′i ∈ Si

DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si no es nunca unamejor respuesta si no existe s−i para el cual si sea una mejorrespuesta.


Mejor respuesta

DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si es una mejorrespuesta del jugador i a las estrategias s−i de sus rivales si secumple que:


), ∀s ′i ∈ Si

DefinicionEn el juego en forma normal G , la estrategia si no es nunca unamejor respuesta si no existe s−i para el cual si sea una mejorrespuesta.


Estrategias racionalizables

• Un jugador racional no jugarıa nunca una estrategia que no esnunca una mejor respuesta

• Una estrategia estrictamente dominada no es nunca una mejorrespuesta (no se cumple recıproco)

• Si la racionalidad es de conocimiento comun ⇒• Se puede eliminar en forma iterativa las estrategias que no son

nunca una mejor respuesta (por lo anterior)




















Estrategias racionalizables (cont.)

DefinicionEn el juego G en forma normal, las estrategias en Si que sobrevivenla eliminacion de estrategias que no son nunca una mejor respuestason las estrategias del jugador i que son racionalizables

• El conjunto de estrategias racionalizables no puede ser mayorque el conjunto de estrategias que sobrevive la eliminacioniterativa de estrategias estrictamente dominadas

• Una estrategia racionalizable es aquella que el jugador i puedejustificar o racionalizar, en base a las acciones de sus rivales












Indice


Ejemplo



Equilibrio de Nash

DefinicionUn conjunto de estrategias (s∗1 , . . . , s∗n ) es un Equilibrio de Nash(EN) si ∀i = 1, . . . , n, se cumple que

ui(s∗i , s∗−i

)> ui

(si , s∗−i

), ∀si ∈ Si

• De otra forma: s∗i resuelve maxsi∈Si

ui(si , s∗−i

)• En un EN cada jugador esta jugando la mejor respuesta a las

mejor respuesta de sus rivales.


Equilibrio de Nash


ui(s∗i , s∗−i

)> ui

(si , s∗−i

), ∀si ∈ Si


ui(si , s∗−i




Equilibrio de Nash


ui(s∗i , s∗−i

)> ui

(si , s∗−i

), ∀si ∈ Si


ui(si , s∗−i




Equilibrio de Nash


ui(s∗i , s∗−i

)> ui

(si , s∗−i

), ∀si ∈ Si


ui(si , s∗−i




Ejemplo

• En el ejemplo: no confesar es una estrategia estrictamentedominada

• En el ejemplo: confesar es una estrategia estrictamentedominante

• {c, c} es un EN en el Dilema del prisionero.


Ejemplo





Ejemplo





Representacion

Prisionero 2�� c c

Prisionero 1�� c -5, -5 -1, -10c -10, -1 -2, -2


Problema: multiples equilibrios

• Juego de “Encontrarse en Montevideo”

Jugador 2P C

Jugador 1P 1, 1 0, 0C 0, 0 1, 1

• Hay dos EN !


Problema: multiples equilibrios

• Juego de “Encontrarse en Montevideo”

Jugador 2P C

Jugador 1P 1, 1 0, 0C 0, 0 1, 1

• Hay dos EN !


Indice


Ejemplo



Presentacion

• No todos los juegos tienen equilibrios en estrategias puras• Jugar una estrategia -pura- implica asignar probabilidad 1 a

esa accion y 0 al resto• Una alternativa es aleatorizar las acciones• Una estrategia mixta asigna una probabilidad a cada

estrategia pura


Presentacion



estrategia pura


Presentacion



estrategia pura


Presentacion



estrategia pura


Ejemplos

• Piedra, papel y tijera• “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Futbol, basquetbol• Caracterıstica: me conviene adivinar la jugada del otro, pero

que el no adivine la mıa ⇒ no existe EN en estrategias puras


Ejemplos




Ejemplos




Ejemplos




Definiciones

DefinicionSea Si = (si1, ..., siK ) el conjunto de K estrategias puras deljugador i . Definimos a Pi como el simplex de Si que es elconjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Si .

Definicionuna estrategia mixta es un elemento pi ∈ Pi tal quepi = (pi1, ..., piK ) en la que pik es la probabilidad de que el jugadori elija la estrategia sik para k = 1, ..., K . Se cumple que 0≤ pik ≤ 1y∑k=K

k=1 pik = 1.


Definiciones

DefinicionSea Si = (si1, ..., siK ) el conjunto de K estrategias puras deljugador i . Definimos a Pi como el simplex de Si que es elconjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Si .

Definicionuna estrategia mixta es un elemento pi ∈ Pi tal quepi = (pi1, ..., piK ) en la que pik es la probabilidad de que el jugadori elija la estrategia sik para k = 1, ..., K . Se cumple que 0≤ pik ≤ 1y∑k=K

k=1 pik = 1.


Definiciones (cont.)

DefinicionUna creencia o conjetura (belief) para el jugador i es unadistribucion de probabilidades πi ∈ P−i sobre las estrategias de suoponente. Escribimos πi (s−i ) a la probabilidad que el jugador iasigna a que su oponente juegue s−i ∈ S−i .

DefinicionLa utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar la estrategiapura si ∈ Si y su oponente elije la estrategia mixta p−i ∈ P−i es

vi (si , p−i ) = E [ui (si , p−i )] =∑

s−i∈S−i

p−i (s−i )ui (si , s−i )



DefinicionUna creencia o conjetura (belief) para el jugador i es unadistribucion de probabilidades πi ∈ P−i sobre las estrategias de suoponente. Escribimos πi (s−i ) a la probabilidad que el jugador iasigna a que su oponente juegue s−i ∈ S−i .

DefinicionLa utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar la estrategiapura si ∈ Si y su oponente elije la estrategia mixta p−i ∈ P−i es

vi (si , p−i ) = E [ui (si , p−i )] =∑

s−i∈S−i

p−i (s−i )ui (si , s−i )



• La utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar laestrategia mixta pi ∈ Pi y su oponente elije p−i ∈ P−i es

vi (pi , p−i ) =∑si∈Si

∑s−i∈S−i

pi (si )p−i (s−i )ui (si , s−i )

DefinicionEl perfil de estrategias p∗ = (p∗1 , ..., p∗n) es un equilibrio de Nashen estrategias mixtas si para cada jugador i , p∗i es la mejorrespuesta a p∗−i . Esto es, si para cada i ∈ I,

vi(p∗i , p∗−i

)≥ vi

(pi , p∗−i

), ∀pi ∈ Pi



• La utilidad esperada del jugador i cuando elije jugar laestrategia mixta pi ∈ Pi y su oponente elije p−i ∈ P−i es

vi (pi , p−i ) =∑si∈Si

∑s−i∈S−i

pi (si )p−i (s−i )ui (si , s−i )

DefinicionEl perfil de estrategias p∗ = (p∗1 , ..., p∗n) es un equilibrio de Nashen estrategias mixtas si para cada jugador i , p∗i es la mejorrespuesta a p∗−i . Esto es, si para cada i ∈ I,

vi(p∗i , p∗−i

)≥ vi

(pi , p∗−i

), ∀pi ∈ Pi


Ejemplo

• Juego: “Matching pennies” (monedas que se igualan)• Jugadores: {1, 2}• Estrategias: {cara, cruz} de una moneda• Si coinciden ⇒ gana J2 la moneda de J1; si se cruzan ⇒

gana J1 la moneda de J2


Ejemplo




Ejemplo




Ejemplo




Representacion

Jugador 2Cara Cruz

Jugador 1Cara -1, 1 1, -1Cruz 1, -1 -1, 1

• No hay EN en estrategias puras (verifiquen!)


Solucion: jugador 1

• Creencias: J1 cree que J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒J2 juega mixta (q, 1−q)

• v1 (cara, q) = p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)= q (−1) + (1−q)1 = 1−2q

• v1 (cruz , q) = p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)= q1 + (1−q)(−1) = 2q−1

• ⇒ elije cara si 1−2q > 2q−1 ⇐⇒ 4q < 2 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒elije cruz ⇐⇒ q > 1/2

• Si q = 1/2 es indiferente entre cara y cruz


Solucion: jugador 1







Solucion: jugador 1







Solucion: jugador 1







Solucion: jugador 1







Solucion: jugador 1 (cont.)

• Ahora el J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r ⇒ J1 juegamixta (r , 1− r)

• ⇒ Utilidad J1 juegue mixta (p1) = (r , 1− r) a mixta de J2(p2) = (q, 1−q)

• v1 (p1, p2) =p1 (cara) [p2 (cara)u (cara, cara) + p2 (cruz)u (cara, cruz)]+p1 (cruz) [p2 (cara)u (cruz , cara) + p2 (cruz)u (cruz , cruz)]

• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)






• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)






• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)






• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)






• = r [q (−1) + (1−q)1] + (1− r) [q1 + (1−q)(−1)]• = r [1−2q] + (1− r) [2q−1] = (2q−1) + r (2−4q)



• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒

∂v1 (p1, p2)∂r =

> 0 si 2−4q > 0

< 0 si 2−4q < 0

• ⇒ si 2−4q > 0 ⇐⇒ q < 1/2 ⇒ r = 1 (utilidad crece con r)⇒ J1 juega cara

• ⇒ si 2−4q < 0 ⇐⇒ q > 1/2 ⇒ r = 0 (utilidad cae con r)⇒ J1 juega cruz

• ⇒ si 2−4q = 0 ⇐⇒ q = 1/2 ⇒ r esta indeterminado ⇒ J1juega cualquier cosa

• Graficamente



• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒

∂v1 (p1, p2)∂r =

> 0 si 2−4q > 0

< 0 si 2−4q < 0




• Graficamente



• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒

∂v1 (p1, p2)∂r =

> 0 si 2−4q > 0

< 0 si 2−4q < 0




• Graficamente



• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒

∂v1 (p1, p2)∂r =

> 0 si 2−4q > 0

< 0 si 2−4q < 0




• Graficamente



• v1 (p1, p2) = (2q−1) + r (2−4q) ⇒

∂v1 (p1, p2)∂r =

> 0 si 2−4q > 0

< 0 si 2−4q < 0




• Graficamente


Solucion: jugador 1 (grafica)

r

q

1Cara

0Cruz

r*(q)

0Cruz

1Cara

1/ 2

Figura: Reaccion de J1.


Solucion: jugador 2

• Repetimos el mismo procedimiento para el J2• Creencias: el J2 cree que J1: p1 (cara) = r y p1 (cruz) = 1− r⇒ J1 juega mixta (r , 1− r)

• J2: p2 (cara) = q y p2 (cruz) = 1−q ⇒ J1 juega mixta(q, 1−q)

• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)

• ⇒ creciente en q ⇐⇒ r > 1/2; decreciente en q⇐⇒ r < 1/2

• Graficamente


Solucion: jugador 2



• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)


• Graficamente


Solucion: jugador 2



• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)


• Graficamente


Solucion: jugador 2



• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)


• Graficamente


Solucion: jugador 2



• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)


• Graficamente


Solucion: jugador 2



• v2 (p2,p1) = q [r1 + (1− r)(−1)] + (1−q) [r (−1) + (1− r)1]= (1−2r) + q (4r −2)


• Graficamente


Solucion: jugador 2 (grafica)

r

q

1Cara

0Cruz

q*(r )

0Cruz

1Cara

1/ 2

Figura: Reaccion de J2.


Solucion: EN

r

q

1Cara

0Cruz

q*(r )

0Cruz

1Cara

1/ 2

r*(q)

1/ 2

Figura: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas.


Solucion: EN

• El unico EN en estrategias mixtas es (p∗1 , p∗2) =(

12 ,

12

)• Notas:

• la estrategia mixta del jugador j es una representacion de laincertidumbre del jugador i respecto a la estrategia pura de j

• es como si j tuviera informacion privada que determina queestrategia pura elija, pero i no conoce esa informacion y, portanto, la estrategia mixta representa su incertidumbre (de i)

• Mas sobre el tema en “Juegos bayesianos”


Solucion: EN


12 ,

12

)• Notas:





Solucion: EN


12 ,

12

)• Notas:





Solucion: EN


12 ,

12

)• Notas:





Solucion: EN


12 ,

12

)• Notas:




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