Teoría de planos y Superficies (Matemáticas 2)

7/24/2019 Teora de planos y Superficies (Matemticas 2)

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MATEMATICAS I

para Ciencias

e

Ingenieria

Felix Carrillo Carrascal

30 de agosto de 2015


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Indice general

0.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.1.1. Ecuaciones del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.1.2. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.2. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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4 INDICE GENERAL

0.1. Planos

El plano es el lugar geometrico de puntos del espacio tridimensional con la siguiente

propiedad: la totalidad de vectores que se obtienen uniendo dos puntos cualesquiera de el

son ortogonales a un vectorn no nulo. Al vectorn se le denominavector normalal plano.

Cualquier otro vector paralelo a nes tambien un vector normal al plano.

0.1.1. Ecuaciones del Plano

Un plano esta completamente determinado si se conoce un punto por donde pasa (lla-

mado punto de paso) y un vector normal. Sea P0 el punto de paso de un plano sea n un

vector normal a dicho plano (ver Figura 1.31).

x

y

z

P0

P

n

Fig. 1.31

El punto P estara en el plano si y solo si el vectorP0P es ortogonal al vector n. Es decirsi:

(P P0) n= 0 (1)

A la ecuacion (1) se le denomina ecuacion normal del plano. Si P0 = (x0, y0, z0), n =

(a,b,c) yP = (x,y,z), entonces reemplazando se obtiene la ecuacion:

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0 (2)

denominada ecuacion canonica del plano. Desarrollando esta ecuacion toma la forma:

ax + by+ cz+ (ax0 ay0 cz0) = 0


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0.1. PLANOS 5

Lo que esta entre parentesis es un valor constante. Haciendo d =ax0by0cz0 laecuacion toma la forma:

ax + by+ cz+ d= 0 (3)

denominada ecuacion general del plano. A esta ecuacion, y en general, a toda ecua-

cion que este solamente en terminos de las variables x, y y z, se le denomina ecuacion

cartesianadel plano.

Los planos suelen representarse ubicando 4 puntos de el que formen un paralelogramo,

o por medio de triangulos ubicando solo 3 puntos. En esta segunda forma y cuando los

coeficientes a, b, c y d son todos diferentes de cero, se escogen los puntos en que el plano

intersecta a los ejes coordenados. La interseccion del plano con el eje x se halla haciendo

y = 0 yz= 0 en la ecuacion (3). Al hacer el reemplazo se obtiene la ecuacionax + d= 0 y

resolviendo, x = d/a. A este valor de x se le llama el intersepto con el eje x. En formaanaloga, los interseptos con los ejes y y z, sony =d/by z=d/c, respectivamente, y loscorrespondientes puntos de interseccion son A(d/a, 0, 0), B(0, d/b, 0) y C(0, 0, d/c).Uniendo estos tres puntos se forma el triangulo ABC, tal como muestra la Figura 1.32.

x

y

z

A(d/a, 0, 0)

B(0, d/b, 0)

C(0, 0, d/c)

O

Fig. 1.32

Notese que el plano forma con los tres planos coordenados un tetrahedro.

El volumen de un tetrahedro es igual al producto del area de su base por su altura. Si

tomamos como base el triangulo OAB, el area de la base y la altura seran:

A=1

2

dadb , h=

dc

As, el volumen del tetrahedro formado por el plano ax+by + cz+ d = 0 con los planoscoordenados es:

V =1

6

d3

abc

(4)


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6 INDICE GENERAL

Si hacemos:

m= da

, n= db

, p= dc

entonces se obtienen las ecuaciones:

a= dm

, b=dn

, c= dp

Reemplazando estos valores en la ecuacion (3), encontramos que la ecuacion del plano,

cuyas intersecciones con los ejes coordenados son los puntos (m, 0, 0), (0, n, 0) y (0, 0, p),

es:x

m+

y

n+

z

p= 1 (5)

denominada ecuacion simetrica del plano. Reemplazando esos mismos valores en la

ecuacion (4), encontramos que el volumen del tetrahedro que forma el plano definido por

la ecuacion (5), con los planos coordenados, es:

V = (1/6) |mnp| (6)

El plano tambien queda completamente determinado si se conoce un punto por donde

pasa y dos vectores, no nulos ni paralelos, contenidos en dicho plano. As, siaybson dichos

vectores y Pes un punto cualquiera del plano, entonces el vectorP0P puede expresarsecomo una combinacion lineal de los vectores a y b (ver Figura 1.33). Por lo tanto, existiran

escalares r y stales que:P0P =P P0=r a + s b

de donde despejando se obtiene la ecuacion:

P=P0+ r a+ s b , r R , s R (7)

x

y

z

P0

P

a r a

b

sb

Fig. 1.33


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0.1. PLANOS 7

denominada ecuacion vectorial del plano. Si en esta ecuacion: P0 = (x0, y0, z0), a =

(a1, a2, a3),b= (b1, b2, b3), entonces reemplazando en (7), se obtiene:

(x , y, z ) = (x0, y0, z0) + r(a1, a2, a3) + s(b1, b2, b3)

= (x0+ ra1+ sb1 , y0+ ra2+ sb2 , z0+ ra3+ sb3)

De esta ecuacion vectorial se obtienen las tres ecuaciones:

x = x0+ ra1+ sb1

y = y0+ ra2+ sb2

z = z0+ ra3+ sb3

(8)

denominadas ecuaciones parametricas del plano, siendo r ys los parametros.

Ejemplo 0.1.1 Hallar las ecuaciones normal y general del plano del plano que pasa por

el punto (3, 1, 0) y tiene como vector normal al vectorn= (2, 3, 4).

Solucion: Se tiene que P0 = (3, 1, 0). As, reemplazando los valores de P0 y n en laecuacion (1), encontramos que la ecuacion normal es:

((x , y, z ) (3, 1, 0)) (2, 3, 4) = 0

y desarrollando:

2(x + 3) 3(y 1) + 4(z 0) = 0 o bien, 2x 3y+ 4z+ 9 = 0

que es la ecuacion general del plano.

Ejemplo 0.1.2 Hallar las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano que contiene a lospuntosA= (2, 1, 1), B= (5, 3, 2) yC= (3, 7, 1)

Solucion: La Figura 1.34 muestra los tres puntos. Dos vectores del plano son:

a=AB =B A= (3, 4, 3) , b=AC=C A= (1, 6, 0)

Si tomamos como punto de paso el punto A = (2, 1, 1), entonces en la ecuacion (7), setiene:

P = (2, 1, 1) + r(3, 4, 3) + s(1, 6, 0) , r R , s R

que es la ecuacion vectorial del plano.


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8 INDICE GENERAL

x

y

z

A

B

Cb

a

a b

Fig. 1.34

Un vector normal al plano es el vector:

a b=

i j k

3 4 31 6 0

= (18, 3, 22) =(18, 3, 22)

Escogemos n = (18,

3,

22) . As, tomando el mismo punto A = (2, 1,

1) como punto

de paso y reemplazando valores en la ecuacion (2), encontramos que la ecuacion cartesiana

del plano es:

18(x 2) 3(y 1) 22(x + 1) = 0 o bien, 18x 3x 22z 55 = 0

Los planos son lugares geometricos de puntos que satisfacen una propiedad. Dicha pro-

piedad es expresada por una ecuacion a la que se denomina la ecuacion del plano. Las

coordenadas de un punto cualquiera en el plano xy es de la forma (x,y, 0); es decir, las

coordenadasx e y pueden tomar cualquier valor (sin restricciones), pero su coordenada z

sera siempre 0. As, puede considerarse al planoxy como el lugar geometrico de puntos del

espacio con la propiedad que la coordenada zes siempre cero. Por lo tanto, es razonable

considerar que la ecuacion z= 0 define completamente al plano xy. Analogamente, pode-

mos decir que las ecuaciones y= 0 yx = 0 definiran completamente a los planos xze y z,

respectivamente. Utilizando la ecuacion normal del plano verificamos que efectivamente

esas son las ecuaciones de dichos planos. Puesto que el origen pertenece a cada uno de

los planos coordenados, entonces P0 = (0, 0, 0) es punto de paso para cada uno de dichos

planos. As, en la ecuacion (1), (P P0) = (x,y,z).Para el plano xy ,n= k = (0, 0, 1). Reemplazando en la ecuacion (1), se tiene:

(x,y,z) (0, 0, 1) = 0 = z= 0


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0.1. PLANOS 9

As, verificamos que la ecuacion del plano xy es z= 0. Se deja al lector la verificacion de

que las ecuaciones de los planos xze yzson y= 0 y x= 0, respectivamente.

Cualquier plano paralelo al plano xy es denominado plano horizontal. En un planohorizontal la coordenadazsera constante. As, la ecuacionz=k define a un plano horizon-

tal. El valor dek sera igual a la coordenada zde uno de sus puntos de paso. Analogamente,

la ecuacion y = k corresponde a un plano paralelo al plano xz, y la ecuacion x= k a un

plano paralelo al plano yz. La Figura 1.35 muestra los tres tipos de planos paralelos a los

planos coordenados.

x

y

z

(0, 0, k)

Plano z= k

x

y

z

(k, 0, 0)

Plano x= k

Fig. 1.35

x

y

z

(0, k, 0)

Plano y= k

Rectas Paralelas y Perpendiculares a un Plano

Consideremos nuevamente la ecuacion general del plano:

ax + by+ cz+ d= 0 (9)

Notamos que si dos de los coeficientes a, b y c son nulos, entonces el plano sera paralelo

a uno de los planos coordenados. En forma mas simple, diremos: si la ecuacion cartesiana

del plano solo contiene una de las tres variables: x, y, z, entonces el plano es paralelo auno de los planos coordenados. Si solo contiene la variable x, es paralelo al plano yz; si

solo contiene la variable y , es paralelo al plano xz; si solo contiene la variable z, es paralelo

al plano xy. As, encontramos que los planos paralelos a los planos coordenados tiene una

cierta caracterstica comun que los permite identificar. Esto nos lleva a formularnos ciertas

preguntas: que caractersticas tendran las ecuaciones de los planos que son paralelos a uno

de los ejes coordenados? como seran los planos cuyas ecuaciones cartesianas solo contienen

dos de las tres variables x,y yz?. Las siguientes definiciones nos permitiran dar respuesta

a estas preguntas.

Definicion 0.1.1 Se dice que una recta y un plano son paralelos si y solo si el vector

direccional de la recta es ortogonal al vector normal del plano.


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10 INDICE GENERAL

Definicion 0.1.2 Se dice que una recta y un plano son perpendiculares si y solo si el vector

direccional de la recta es paralelo al vector normal al plano.

El vector direccional del ejezes k. Si el plano es paralelo al eje x, entonces el vector normal

del plano debe ser ortogonal al vector k. Es decir, debe verificarse:

n i= (a,b,c) (0, 0, 1) = 0 = c= 0 (10)

De este resultado concluimos que basta que la componentezdel vector normal al plano sea

nulo, para que el el plano sea paralelo al eje z. Las otras dos componentes pueden tomar

cualquier valor, pero no ambos nulos. Si reemplazamos c = 0 en la ecuaci on (9), dicha

ecuacion toma la forma:

ax + by+ d= 0 (11)

Puesto que uno de los coeficientes aob podra ser nulo, concluimos que una caracterstica

comun a los planos que son paralelos al eje zes la siguiente: sus ecuaciones cartesianas no

contienen a la variable z(componentezde la normal es nulo) . En forma analoga podemos

concluir: la ecuacion cartesiana de un plano paralelo al eje x no contiene la variable x

(la componente x de la normal es nulo). Igualmente, la ecuacion cartesiana de un plano

paralelo al eje y no contiene la variable y (la componente y de la normal es nulo). Notese

que la ecuacion z=k no contiene las variables x e y. Por lo tanto, el plano horizontal es

paralelo a los ejesxey. La Figura 1.36 muestra a los planos paralelos a los ejes coordenados

y la forma de sus ecuaciones correspondientes.

x

y

z

planoax +by+d= 0

paralelo al eje z

x

y

z

plano by +cz+d= 0

paralelo al ejex

Fig. 1.36

x

y

z

planoax +cz+d= 0

paralelo al eje y

Ejemplo 0.1.3 Hallar la ecuacion del plano que pasa por los puntos A = (3, 2, 1) yB = (2, 5, 0) y es paralela a la rectaL : P = (2, 1, 0) + t(3, 2, 1).


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0.1. PLANOS 11

Solucion: Cualquiera de los dos puntos A o B puede ser el punto de paso del plano. As,

solo falta conocer la normal al plano. Basta conocer dos vectores no paralelos entre si, pero

paralelos al plano, para calcular la normal al plano. Uno de estos vectores es el vector:AB= (2, 5, 0) (3, 2, 1) = (1, 3, 1)

Otro vector es el vector direccional de la recta a= (3, 2, 1). Por lo tanto, el vector:

AB a=

i j k

1 3 13 2 1

= (1, 2, 7)

As, n = (1, 2, 7) es una normal al plano. Tomando como punto de paso el punto A =(3, 2, 1), entonces la ecuacion cartesian del plano sera:

(x 3) 2(y 2) + 7(z+ 1) = 0 o bien, x 2y+ 7z+ 8 = 0.

Ejemplo 0.1.4 Sean las rectas:

L1={(t, 2t, t)| t R} , L2={(2 + 3t, 2 t, 3 + t)| t R}

y sePel plano que contiene a la rectaL1 y es perpendicular a la rectaL2. Hallar el puntoen que la rectaL2 intersecta al planoP.

Solucion: Las ecuaciones de las rectas pueden escribirse:

L1:P = (0, 0, 0) + t(1, 2, 1) L2: P = (2, 2, 3) + t(3, 1, 1)

ComoL1esta contenido en el planoP, entonces su vector direccional (1, 2, 1) es paraleloa dicho plano. Ademas, su punto de paso (0, 0, 0) es tambien punto de paso del plano.

Como la rectaL2 es perpendicular al planoP, entonces su vector direccional (3, 1, 1)es un vector normal al planoP. As, tomamos n = (3, 1, 1), P0 = (0, 0, 0). Entonces laecuacion cartesiana del planoP es:

3(x 0) (y 0) + (z 0) = 0 o bien, 3x y+ z= 0 (1)

Las coordenadas de un punto cualquiera de L2es (2+3t, 2t, 3+t) . Las coordenadasdel punto en que esta recta intersecta al planoPdebe verificar la ecuacion del plano .As,reemplazando en la ecuacion (1), x=2 + 3t, y = 2 t y z= 3 + t, se obtiene:

3(

2 + 3t)

(2

t) + (

3 + t) = 0

y resolviendo, t = 1. Con este valor se tiene: x = 1, y = 1, z =2. As, el punto deinterseccion deL2 con el planoPes (1,1,-2).


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12 INDICE GENERAL

Planos paralelos y perpendiculares

Definicion 0.1.3 Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son paralelos.

De acuerdo a esta definicion, puede demostrarse el siguiente teorema.

Teorema 0.1.1 Sean los planos:

P1: a1x + b1y+ c1z+ d1= 0 , P2: a2x + b2y+ c2z+ d2= 0

que verifican la relacion:a1a2

=b1b2

=c1c2

=k (12)

entonces:

i) Sik= d1d2

, los planos son paralelos.

ii) Sik=d1d2

, los planos son coincidentes (P1 es el mismo plano queP2).

Notese que si en la relacion (12), k = 1, entonces los dos planos tienen el mismo vector

normal. Esto implica que las dos ecuaciones:

ax + by+ cz+ d1= 0 , ax + by+ cz+ d2= 0 (13)

donde d1=d2, corresponden a dos planos paralelos.Puede demostrarse tambien que si no se verifica la relacion (12), entonces los planos no

son paralelos y se intersectan segun una lnea recta.

Ejemplo 0.1.5 Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (2, 5, 3) y es paraleloal plano 3x 4y z 5 = 0.

Solucion: La ecuacion general del plano buscado sera de la forma:

x 4y z+ d= 0 (1)

Como el punto (2, 5, 3) esta en el plano, entonces sus coordenadas deben verificar laecuacion (1). As, reemplazando dichas coordenadas en (1), se tiene:

3(2) 4(5) (3) + d= 0 = d= 23

Reemplazando este valor en (1), la ecuacion del plano buscado es x

4y

z

23 = 0.

Ejemplo 0.1.6 Si los planos 2x + 3y+ z 1 = 0 y 4x +by+cz 8 = 0 son paralelos,cuales deben ser los valores deb yc?


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0.1. PLANOS 13

Solucion: Los correspondientes coeficientes de x, y yzdeben verificar la relacion (12). Es

decir:2

4=

3

b =

1

c = b= 6 , c= 2Con estos valores la ecuacion del segundo plano es 4x+ 6y+ 2z 8 = 0. Simplificando,2x + 3y+ z 4 = 0 .

Definicion 0.1.4 Dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son

ortogonales.

En especial, nos interesa las caractersticas de los planos que son perpendiculares a los

planos coordenados. De la definicion 0.1.4, deducimos que para que un plano sea perpen-

dicular al plano xy, su normal n= (a,b,c) debe ser ortogonal al vector k. Es decir, debe

verificarse:

n k= (a,b,c) (0, 0, 1) = 0 = c= 0

Encontramos que es la misma condicion que se hallo cuando queriamos que el plano sea

paralelo al ejez. Esto significa que las afirmaciones: plano paralelo al ejezyplano perpen-

dicular al plano xy, son equivalentes. Igualmente, plano paralelo al ejex es equivalente a

plano perpendicular al plano yz;plano paralelo al ejey es equivalente aplano perpendicular

al plano xz. Seran ciertas tambien las siguientes afirmaciones sobre la ecuacion cartesiana

del plano: si no contiene la variablez, es perpendicular al plano xy; si no contiene la varia-

ble x, es perpendicular al plano yz; si no contiene la variable y, es perpendicular al plano

xz. La Figura 1.37 reproduce nuevamente los planos de la Figura 1.36 pero mostrando la

condicion de perpendicularidad.

x

y

z

plano ax +by+d= 0

perpendicular al planoxy

x

y

z

planoby +cz+d= 0

perpendicular al planoy z

Fig. 1.37

x

y

z

plano ax +cz+d= 0

perpendicular al planoxz


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14 INDICE GENERAL

Debido a que el plano tiene infinitos vectores normales, un plano tiene infinitas ecuaciones

generales. As, cuando en un problema se pide determinar un plano con ciertas caractersti-

cas, debemos hallar los valores de los parametros a, b, c y d que aparecen en la ecuaciongeneral del plano: ax + by+ cz+ d= 0. Para hallar dichos valores debemos obtener ecua-

ciones a partir de los datos. Con frecuencia encontraremos que el numero de ecuaciones

que se obtienen es menor al numero de incognitas. Aparentemente, faltan datos. Esto se

debe que al plantear que la ecuacion general del plano es: ax+by+ cz+ d = 0, estamos

considerando que la normal al plano buscado es n= (a,b,c) y esta expresion representa a

todas las normales. Sin embargo, como todas las normales son paralelas, bastara encontrar

una normal en particular, y con esto, reducir el numero de incognitas. Para encontrar una

normal particular, debemos tener en cuenta lo siguiente: si una de las componentes dela normal, por ejemplo la componente x, fuera nula, entonces todas las demas normales

tendran componente x nula; en cambio, si dicha componente no es nula, todas las demas

normales tendran dicha componente tambien no nula. As, solo existiran dos posibilidades:

a= 0 oa= 0 (otras alternativas son: b = 0 ob= 0,c = 0 oc= 0; sin embargo, estas otrasalternativas no lleva a nuevas soluciones, sino las mismas). En muchos problemas la posi-

bilidad a= 0 no proporciona ninguna solucion. Sin embargo, hay problemas en que dicha

posibilidad determina la solucion del problema. Mayormente el planteamiento a= 0 es laque proporciona la solucion. Podra recomendarse empezar por este segundo planteamien-to y solo recurrir al primero (a = 0) en caso que el segundo planteamiento no determine

solucion alguna. En este texto, con la finalidad de ser mas rigurosos, consideraremos ambas

posibilidades.

Si a= 0, entonces la expresion de la normal puede reescribirse:

n= a

1,

b

a,c

a

(14)

La ecuacion (14) nos dice que si la componente xde la normal no es nulo, entonces existeun vector normal al plano cuya componente x es la unidad. As, podemos tomar ese caso

particular y reformular la expresion de la normal a la forma n= (1, b , c). De esta manera

se habra reducido el numero de incognitas.

Ejemplo 0.1.7 Hallar el plano que es perpendicular al plano xy y contiene a los puntos

A= (3, 2, 3) yB = (2, 4, 5).

Solucion: La ecuacion cartesiana del plano buscado no debe contener a la variable z. Por

lo tanto, su ecuacion general sera de la forma:

ax + by+ d= 0 (1)


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0.1. PLANOS 15

Esta ecuacion tiene 3 incognitas y solo tenemos dos datos, los puntos A y B, que nos

proporcionara dos ecuaciones. De la ecuacion, se deduce que la normal es de la forma

n= (a,b, 0). Existiran dos casos:

i) Si a = 0. Entonces la ecuacion (1) se reduce a y =d/b. Es decir, la coordenaday de los puntos del plano seran todos iguales y no podra contener a los puntos

A= (3, 2, 3) y B (2, 4, 5). Por lo tanto, a= 0 no es solucion.

ii) Sia= 0, entonces existira un vector normal al plano cuya componentexes la unidad.As, un caso particular es cuando a = 1. Con este valor la ecuacion (1) toma la forma:

x + by+ d= 0 (2)

Como los puntos A= (3, 2, 3) yB = (2, 4, 5) pertenecen al plano, sus coordenadasdeben verificar la ecuacion (2). Reemplazando estas coordenadas se obtiene el sistema

de ecuaciones:

3 + 2b + d= 0 , 2 + 4b + d= 0cuya resolucion da:b = 5/2 , d= 8. Reemplazando estos valores en (2), la ecuaciondel plano es:

x +5

28 = 0

Multiplicando ambos miembros por 2, otra ecuacion general del plano es:

2x + 5y 16 = 0

Solo (ii) tiene solucion. Por lo tanto, el plano buscado es 2x + 5y 16 = 0. Notese que esteplano intersecta al eje x y al eje y en los puntos (8, 0, 0) y (0, 16/5, 0). No intersecta al eje

z. La Figura 1.38 muestra dicho plano y tambien a los puntosAy B.

x

y

z

plano 2x+ 5y 16 = 0perpendicular al planoxy

A

B

Fig. 1.38


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16 INDICE GENERAL

Ejemplo 0.1.8 Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (2, 3, 1)y es ortogonala los dos planos3x + 2y z= 1, y 2x 5y+ 4z= 1

Solucion: SeaPel plano buscado. Solo falta conocer su normal para determinar su ecua-cion. Sea n= (a,b,c) la normal. Existiran dos casos:

i) Sia= 0. Entonces existira un vector normal cuya componente x es la unidad. Dichovector sera de la forma:

n= (1, b , c)

Existen dos incognitas por lo que debemos encontrar de los datos, dos ecuaciones.

De las ecuaciones de los planos dados, encontramos que sus vectores normales son

n1

= (3, 2, 1) y n2= (2, 5, 4) , respectivamente. El vector ndebe ser ortogonal aambos vectores n1 y n2. Por lo tanto, debe verificarse:

(1, b , c) (3, 2, 1) = 0 = 3 + 2b c= 0 (1)

y tambien:

(1, b , c) (2, 5, 4) = 0 = 2 5b + 4c= 0 (2)

Resolviendo (1) y (2): b=14/3 y c= 19/3 . As,

n=

1, 143 , 193

= 13 (3, 14, 19)Tomando como normal al vector (3, 14, 19) y punto de paso (2, 3, 1), la ecuacion cartesiana del planoP es:

3(x + 2) 14(y 3) 19(z 1) = 0 o bien, 3x 14y 19z+ 67 = 0.Ya hemos encontrado una solucion. Si esto es suficiente, no sera necesario ver el

segundo caso. Pero si queremos hallar todas las soluciones, habra que considerarlo

ii) Si a= 0. Entonces el vector normal sera de la forma: n= (0, b , c). Por la condicionde ortogonalidad de este vector con los vectores n1 yn2, se tiene:

(0, b , c) (3, 2, 1) = 0 = 2b c= 0 (3)

y tambien:

(0, b , c) (2, 5, 4) = 0 = 5b + 4c= 0 (4)

Resolviendo (3) y (4), se obtiene: b= 0 , c= 0. Esto implica que nes el vector nulo.

Descartamos esta solucion pues el vector normal no puede ser el vector nulo.As, el plano 3x 14y 19z+ 67 = 0 pasa por el punto (2, 3, 1) y es perpendicular a losplanos 3x + 2y z= 1 y 2x 5y+ 4z= 1.


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0.1. PLANOS 17

Angulo de interseccion entre dos Planos

Consideremos dos planos

P1 y

P2 cuyas normales son n1 y n2. Geometricamente la

interseccion entre estos dos planos es una linea recta. Un tercer plano, que es perpendicular

a la interseccion entre los dos primeros, produce con estos, dos rectas que se intersectan tal

como muestra la Figura 1.39. Estas dos rectas forman dos angulos: y . Se consideraque estos son los angulos con que se intersectan los planosP1 yP2 . Generalmente, almenor de los dos angulos es al que se denomina el angulo de interseccion.

P1

P2

Fig. 1.39

n1

n2

P2P1

Notese que los vectores n1 yn2 formaran tambien uno de estos dos angulos. As, podemos

establecer la siguiente definicion del angulo con que se intersectan dos planos.

Definicion 0.1.5 El angulo con que se intersectan dos planos es el menor de los angulos

que pueden formar sus respectivos vectores normales.

Hay dos direcciones a escoger para los vectores normales. Por lo tanto, si n1 y n2 son las

normales escogidas, entonces el angulo que forman estos vectores, puede ser agudo, recto

u obtuso. Si llamamos al angulo agudo que forman los planos, entonces se verifica:

cos =

n1 n2||n1|| ||n2|| (15)

Si cos = 0, entonces =

2 e indica que los planos son perpendiculares. Si cos = 1,

entonces = 0 e indica que los planos son paralelos o coincidentes.

Ejemplo 0.1.9 Hallar una ecuacion del plano que pasa por el punto (0, 0, 1), es perpendi-

cular al planoxzy hace un angulo, cuyo coseno es igual a1/3, con el planox +2y +2z= 5.

Solucion: Sea n= (a,b,c) la normal del plano buscado. Existen dos casos a considerar:


18/78

18 INDICE GENERAL

i) Si a= 0. Entonces existe una normal cuya componente x es la unidad; es decir,n= (1, b , c). Si dicho plano es perpendicular al planoxz, cuya normal es el vector j ,

entonces debe verificarse:

n j = (1, b , c) (0, 1, 0) = 0 = b= 0 y n= (1, 0, c) (1)

Por otra parte, la normal al plano x+ 2y+ 2z = 5 es n1 = (1, 2, 2). Si el angulo

que forma este plano con el plano pedido tiene coseno igual a 1/3, significa que en

realidad se trata del menor angulo (coseno positivo) que forman estos planos. Si es

este menor angulo, entonces:

cos = n

n1||n|| ||n1||

=1

3 = |(1, 0, c)

(1, 2, 2)

|(1 + c2)(3) =1

3

= |1 + 2c| = 1 + c2

Elevando al cuadrado,

1 + 4c + 4c2 = 1 + c2 = 3c2 =4c= c= 0 o c= 4

3.

As, existen soluciones: n = (1, 0, 0) y n = (1, 0, 43

). Como el punto de paso es

P0= (0, 0, 1), entonces las ecuaciones de los planos son:

Para n= (1, 0, 0):

(x 0) + 0(y 0) + 0(z 1) = 0 o bien, x= 0

Para n= (1, 0, 43

):

(x 0) + 0(y 0) 43

(z 1) = 0 o bien, 3x 4z+ 4 = 0

ii) Si a = 0. Entonces n = (0, b , c). Por la perpendicularidad con el plano xz, debeverificarse:

n j = (0, b , c) (0, 1, 0) = 0 = b= 0 y n= (0, 0, c) (2)

Tambien, debe verificarse:

cos =

n n1||n|| ||n1||

=1

3 = |(0, 0, c) (1, 2, 2)|

(|c|)(3) =1

3

= |2c| = 3|c|La solucion de esta ultima ecuacion esc = 0. Esto implica que el vector normal sera

el vector nulo. Descartamos esta solucion.


19/78

0.1. PLANOS 19

De ambos casos, solo hay solucion de la parte (i). As, concluimos: los planos x = 0 y

3x 4z+ 4 = 0, que son perpendiculares al planoxz, forman con el plano x + 2y + 2z= 5

un angulo cuyo coseno es 1/3.

Ejemplo 0.1.10 Hallar la ecuacion del plano que pasa por los puntosA(1, 3, 0)yB(4, 0, 0)y forma un angulo de60 con el plano x + y+ z 1 = 0.Solucion: Denominemos porPal plano buscado y sea n = (a,b,c) su normal. Como la

normal al plano x + y+ z 1 = 0 es n1= (1, 1, 1), entonces debe verificarse:

cos60 = |n n1|||n|| ||n1|| =

1

2 = |(a,b,c) (1, 1, 1)|

a2 + b2 + c2 (

3)=

1

2

Haciendo operaciones esta ecuacion se transforma en:

2|a + b + c| = 3 a2 + b2 + c2 (1)Por otra parte, el vector

AB =B A= (4, 0, 0) (1, 3, 0) = (3, 3, 0) esta contenido en

el planoPy por lo tanto, debe verificarse:n AB= 0 = (a,b,c) (3, 3, 0) = 0

Haciendo operaciones, se obtiene:

3a+ 3b= 0 = b=a (2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

2|c| = 3 2a2 + c2 = c2 = 6a2 (3)Existen dos casos:

i) Si a = 0. Reemplazando en (2) y (3), se obtiene que el vector normal es el vector

nulo. Descartamos esta solucion.

ii) Si a= 0. Entonces tomamos a = 1 y reemplazando en (2), se obtiene: b = 1.Reemplazando en (3), se obtiene: c =

6 o c =

6. As, existen dos soluciones:

n = (1, 1, 6) o n =(1, 1, 6). Tomando como punto de paso el punto B =(4, 0, 0), la ecuacion del planoP:Paran = (1, 1,

6) es:

(x 4) + (y 0) +

6(z 0) = 0 o bien, x + y+

6z 4 = 0

Paran = (1, 1, 6) es:(x 4) + (y 0)

6(z 0) = 0 o bien, x + y

6z 4 = 0

As, concluimos: los planos x+y + 6z 4 = 0 y x+y 6z 4 = 0 contienen a lospuntos A= (1, 3, 0) y B = (4, 0, 0), y forman con el plano x +y+z 1 = 0 angulos de60o.


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20 INDICE GENERAL

Familia de Planos que pasan por la Recta de interseccion entre dos Planos

Sean

P1 y

P2 dos planos cuyas ecuaciones son:

P1: a1x + b1y+ c1z+ d1= 0 , P2: a2x + b2y+ c2z+ d2= 0

y seaL la recta de interseccion entre dichos planos. Puesto que cada punto (x , y, z ) deLsatisface simultaneamente las ecuaciones deP1yP1, entonces dicha recta esta definida porlas dos ecuaciones. Es decir,

L= {(x,y,z)| a1x + b1y+ c1z+ d1= 0 , a2x + b2y+ c2z+d2= 0} (16)

Si (x0, y0, z0) es cualquier puntoL, entonces debe verificarse:a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1= 0 y a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2= 0 (17)

Formemos ahora la siguiente ecuacion:

(a1x + b1y+ c1z+ d1) + k(a2x + b2y+ c2z+ d2) = 0 (18)

dondekes un numero real cualquiera. Cada valor particular de ken esta ecuacion determina

un plano diferente. Si reemplazamos las coordenadas del punto (x0

, y0

, z0

) en esta ecuacion,se obtiene:

(a1x0+ b1y0+ c1z0+ d1) + k(a2x0+ b2y0+ c2z0+ d2) = 0

Puesto que cada parentesis es igual a cero, esta ecuacio se reduce a: (0)+ k(0) = 0 , el cual,

es verdadero para cualquier valor de k . Esto prueba que todos los puntos deLverifican laecuacion (18) e implica queL esta contenido en cada uno de los planos que define dichaecuacion. Se dice entonces que la ecuacion (18), define a la familia de planos que pasan

por la recta de interseccion entre los planosP1 yP2.

Ejemplo 0.1.11 Hallar una ecuacion vectorial de la recta de interseccion de los planos

3x + y 2z= 5 yx + 2y+z= 3. Halle tambien la familia de planos que pasan por dicharecta.

Solucion: Los vectores normales a los planos 3x+ y2z = 5 y x+ 2y +z = 3 son:n1= (3, 1, 2) y n2= (1, 2, 1), respectivamente. La recta de interseccion debe ser ortogonala ambos vectores normales. Por lo tanto, un vector en la direccion de la recta sera el vector:

n1 n2=

i j k

3 1 21 2 1

= 5 i 5j + 5 k= 5(1, 1, 1)


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0.1. PLANOS 21

As, el vector a = (1, 1, 1) es un vector direccional de la recta. Falta solo el punto depaso. Un punto de paso de la recta debe verificar las ecuaciones de cada plano. Tomemos

el punto en que x = 0. Reemplazando este valor en la ecuacion de cada plano se obtiene elsistema:

y 2z= 5 , 2y+ z= 3

cuya solucion es: y= 11/5 , z=7/5 . As, el punto de paso es (0,115

, 75

y la ecuacion

vectorial de la recta de interseccion es:

P =

0,

11

5 , 7

5

+ t (1, 1, 1) , t R.

y la ecuacion de la familia de planos que pasan por dicha recta es:

(3x + y 2z 5) + k(x + 2y+ z 3) = 0.

Ejemplo 0.1.12 Dada la recta:

L ={(x,y,z)| 3x + 4y 2z+ 7 = 0 , x y 3z 3 = 0}

probar que dicha recta esta contenida en el plano x + 6y+ 4z+ 1 = 0.

Solucion: Deducimos que la rectaL es la interseccion de los planos 3x + 4y 2z+ 7 = 0yx y 3z 3 = 0. La familia de planos que pasan porL esta definido por la ecuacion:

(3x + 4y 2z+ 7) + k(x y 3z 3) (1)

As, bastara demostrar que el plano x+ 6y+ 4z+ 1 = 0 es un elemento de dicha familia.

La ecuacion (1) puede reescribirse como:

(3 + k)x + (4 k)y+ (2 3k)z+ (7 + 3k) = 0 (2)Si (2) define el mismo plano que la ecuacion x + 6y + 4z+ 1 = 0, entonces debe verificarse:

3 + k

1 =

4 k6

=2 3k

4 =

7 + 3k

1 (3)

Por simple inspeccion vemos que (3) se verifica para k =2. Por lo tanto, concluimos: elplano x + 6y + 4z+ 1 = 0, pertenece a la familia de planos definida por la ecuacion (1); es

decir, contiene a la rectaL.

Ejemplo 0.1.13 Hallar el plano que contiene a la recta de interseccion de los planos

x y + 2z 8 = 0 yx + 2y 3z+ 1 = 0 y es perpendicular al plano 3x + y + 3z 11 = 0.


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22 INDICE GENERAL

Solucion: La familia de planos que pasan por la recta de intersecci on entre los planos

x y+ 2z 8 = 0 yx + 2y 3z 20 = 0 estan definidos por la ecuacion:

(x y+ 2z 8) + k(x + 2y 3z+ 1) = 0Esta ecuacion puede reescribirse de la forma:

(1 + k)x + (1 + 2k)y+ (2 3k)z+ (8 + k) = 0 (1)de donde deducimos que los vectores normales a la familia de planos son de la forma:

n= (1 + k, 1 + 2k, 2 3k)La normal al plano 3x+ y + 3z11 = 0 es el vector (3, 1, 3). As, si el elemento de lafamilia debe ser perpendicular a este plano, entonces debe verificarse:

n (3, 1, 3) = 0 = (1 + k, 1 + 2k, 2 3k) (3, 1, 3) = 0Desarrollando, se obtiene:

3 + 3k 1 + 2k+ 6 9k= 0 = k= 2Reemplazando este valor en la ecuacion (1), encontramos que la ecuacion general del plano

buscado es 3x + 3y 4z 6 = 0.

0.1.2. Distancia de un punto a un planoConsideremos un planoP cuya ecuacion general es:

Ax + By + Cz+ D= 0

y sea P(x1, y1, z1), un punto cualquiera del espacio. La recta que pasa por Py es perpen-

dicular al planoP intersectara al plano en un punto R (ver Figura 1.40).

d

n

P0

R

P

P

Fig. 1.40


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0.1. PLANOS 23

La distancia del punto Pal planoPes definido como la distancia entre los puntos P yR.Si denominamos por d a esta distancia, notamos que es igual a la longitud del vector

RP,

el cual tiene la direccion de la normal n= (A,B,C).Tomemos un punto P0 = (x0, y0, z0) cualquiera del plano y tracemos el segmento P0R

y los vectoresP0P y

RP. Notamos que el vector

RPes la proyeccion ortogonal del vector

P0Pen la direccion del vector n. Entonces:

d=RP = Proy n P0P

= Comp n P0P (19)

donde

Comp n P0P = (P

P0)

n

||n||

= (x1 x0, y1 y0, z1 z0) (A,B,C)

A2 + B2 + C2

= Ax1+ By1+ Cz1 (Ax0+ By0+ Cz0)

A2 + B2 + C2(20)

Como P0= (x0, y0, z0) satisface la ecuacion del planoP, entonces:

Ax0+ By0+ Cz0+ D= 0 =

D=

(Ax0+ By0+ Cz0)

Reemplazando en la ecuacion (20), se tiene:

Comp nP0P =

Ax1+ By1+ Cz1+ DA2 + B2 + C2

As, la ecuacion (9) es equivalente a:

d=

Ax1+ By1+ Cz1+ DA2 + B2 + C2

(21)

Podemos generalizar y considerar que P no es punto particular, si no que es cualquier

punto (x,y,z) del espacio. El siguiente teorema hace esta generalizacion.

Teorema 0.1.2 SeaPel plano de ecuacion Ax +By+Cz+ D= 0 , y seaP(x,y,z) unpunto cualquiera deR3. Entonces la distanciad del punto P al planoP es:

d=|Ax + By + Cz+ D|

A2 + B2 + C2(22)

Ejemplo 0.1.14 Hallar la distancia del punto (3,

1, 1) al plano 2x + 6y

3z+ 17 = 0

Solucion: Por la ecuacion (22), la distancia de un punto (x,y,z) cualquiera de R3 al plano

2x + 6y 3z+ 17 = 0 es:


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24 INDICE GENERAL

d= |2x + 6y 3z+ 17|

(2)2 + (6)2 + (3)2 =|2x + 6y 3z+ 17|

7 (1)

Reemplazando x= 3, y=1 y z= 1 en (1), se tiene:d=

|2(3) + 6(1) + 3(1)| + 177

=|14|

7 =

14

7 = 2

As, concluimos: el punto (3, 1, 1) dista 2 unidades del plano 2x + 6y 3z+ 17 = 0.

Ejemplo 0.1.15 Hallar el valor dek para que la distancia del origen de coordenadas al

plano 3x 6y+ kz+ 14 = 0 sea igual a 2 unidades.

Solucion: La distancia de un punto (x , y, z ) cualquiera de R3 al plano 3x6y +kz+14 = 0

es:

d=|3x 6y+ kz+ 14|

45 + k2(1)

En el origen, x= y =z= 0. Reemplazando, en (1):

d=|3(0) 6(0) + k(0) + 14|

45 + k2= 2 = 7 = 45 + k2

= 49 = 45 + k2= k2 = 4

As, existen dos soluciones: k= 2 yk=2. Las ecuaciones de los planos son:3x 6y+ 2z+ 14 = 0 y 3x 6y 2z+ 14 = 0.

Consideremos ahora dos planos paralelosP1 yP2 cuyas ecuaciones son:

P1: Ax + By + Cz+ D1= 0 (23)

P2: Ax + By + Cz+ D2= 0 (24)Consideremos un punto P(x,y,z) cualquiera en el plano

P1. La distancia de este punto al

planoP2 esta dada por:d=

|Ax + By + Cz+ D2|A2 + B2 + C2

(25)

Como el punto Ppertece al planoP1, sus coordenadas verifican la ecuacion (23). Por lotanto, se verifica:Ax + By + Cz= D1. As, reemplazando en la ecuacion (25), se obtiene:

d= |D2 D1|

A2 + B2 + C2(26)

y como P(x,y,z) es cualquier punto deP1, concluimos que todos los puntos deP1 distanigual deP2. Esa distancia constante es definido como la distancia entre los dos planosparalelos. Por lo tanto, la ecuacion (26) es una formula para calcular la distancia entre dos

planos.


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0.1. PLANOS 25

Ejemplo 0.1.16 Hallar la ecuacion del plano que es paralelo al plano 2x y + 2z 9 = 0y dista 4 unidades de el.

Solucion: Un plano paralelo al plano 2x y + 2z9 sera de la forma: 2x y + 2z+ d= 0.Por la ecuacion (26) y la distancia d= 4, se tiene:

|d (9)|3

= 4 = |d + 9| = 12= d + 9 = 12 o d + 9 = 12= d= 3 o d=21

As, existen dos planos que son paralelos al plano 2x y + 2z9 y distan de el 4 unidades.Las ecuaciones de dichos planos son:

2x y+ 2z+ 3 = 0 y 2x y+ 2z 21 = 0.

En la seccion 1.3, ejemplo 1.3.9, se calculo la distancia entre dos rectas en el espacio,

L1 yL2, que no se intersectan. Para ello se hizo necesario determinar, previamente, unpunto enL1y otro enL2cuya distancia es la mnima. Ahora, analizaremos otras formas desolucion que hacen innecesario la determinacion de los puntos mas proximos.

Sea las rectas:

L1: P =P0+ t a , L2: P =Q0+ r bSi las rectasL1 yL2 no se intersectan, existiran dos planosP1 yP2, paralelos y quecontienen uno aL1 y otro aL2, tal como muestra la Figura 1.41.

a b

b

a

a

B

A

Q0

P0

R L2

L1

P1

P2

Fig. 1.41

Un vector normal a dichos planos es n= a b. La figura muestra tambien los puntos AenL1 y B enL2 que son los mas proximos. Puesto que todos los puntos del planoP1,


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26 INDICE GENERAL

distan igual del planoP2, entonces la distancia entre las rectas es igual a la distancia entrelos planos paralelos. As, bastara hallar las ecuaciones generales de los planos y calcular

la distancia entre los planos usando la ecuacion (26). O tambien, hallando la ecuacion desolo uno de los planos, por ejemplo deP2, para luego calcular la distancia del punto P0 deL1 a este plano, utilizando la ecuacion (22). El siguiente razonamiento nos permite hallaruna formula para el calculo inmediato de la distancia entre dos rectas.

Sea R la proyeccion en el planoP2 del punto de paso P0 de la rectaL1. Tracemoslos vectores

Q0P0,

RP0 y el segmento Q0R, tal como muestra tambien la Figura 1.22. Se

observa en la figura que el vectorRP0 es la proyeccion ortogonal del vector

Q0P0 en la

direccion del vector a b. Como el modulo del vectorRP0 es igual a la distancia d entre

las rectas, entonces:

d=RP0

= Proy ab Q0P0 = Comp abQ0P0

(27)donde

Comp abQ0P0=

Q0P0 (a b)

||a b||Reemplazando en la ecuacion (27), encontramos que una formula para calcular la distancia

entre las rectasL1 yL2, es:d=

Q0P0 (a b)

||a b|| (28)Ejemplo 0.1.17 Sean las rectas:

L1: P= (3, 2, 1) + t (15, 12, 1) , L2: P = (1, 2, 1/6) + r (3, 6, 2)

i) Halle dos planos paralelosP1 yP2 que contengan a las rectasL1 yL2, respectiva-mente.

ii) Halle la distancia entre las rectas de tres formas diferentes: usando cada una de las

ecuaciones:(26), (22) y(28).

Solucion: Los vectores direccionales deL1 yL2 son a= (15, 12, 1) yb= (3, 6, 2), respec-tivamente.

i) Un vector normal a los planosP1 yP2 pedidos es:

a b=

i j k

15 12 1

3 6 2

= 18 i 27j + 54 k= 9(2, 3, 6)

As, el vector n= (2, 3, 6) es un vector normal a dichos planos. Entonces:Si tomamos el puntoP0= (3, 2, 1) de L1como punto de paso del plano P1, entoncesL1 estara contenido en este plano. Por lo tanto, la ecuacion del planoP1 es:


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0.1. PLANOS 27

2(x 3) 3(y+ 2) + 6(z 1) = 0 o bien, 2x 3y+ 6z 18 = 0 (1)

Si tomamos el puntoQ0= (1, 2, 1/6) de L2como punto de paso del plano P2, entoncesL2 estara contenido en este plano. Por lo tanto, la ecuacion del planoP2 es:

2(x 1) 3(y 2) + 6(z 1/6) = 0 o bien, 2x 3y+ 6z+ 3 = 0 (2)

ii) La distancia entre las rectasL1 yL2 es la misma que hay entre los planosP1 yP2.Por lo tanto, por la ecuacion (26), la distancia dentre las rectas es:

d= |3 (18)|(2)2 + (3)2 + (6)2 =

217

= 3 (3)

Como la distancia entre las rectasL1 yL2 es tambien igual a la distancia del puntoP0= (3, 2, 1) al planoP2, entonces, por la ecuacion (22), esta distancia es:

d=|2(3) 3(2) + 6(1) + 3|

(2)2 + (3)2 + (6)2 =21

7 = 3 (4)

Por otra parte, el vectorQ0P0 es:

Q0P0= P0 Q0= (3, 2, 1) (1, 2, 1/6) = (2, 4, 5/6)

y el vector entonces, reemplazando valores en la ecuacion (28), encontramos que la

distancia entre las rectasL1 yL2, es:

d=Q0P0

(a

b)

||a b|| (4)En esta ecuacion, el vector a b puede reemplazarse por cualquier otro vector quesea paralelo a el. Podemos usar el vector normal que hemos escogido para los planos:

n= (2, 3, 6). As,

d=

Q0P0 n

||n||

=

(2, 4, 5/6) (2, 3, 6)

(2)2 + (3)2 + (6)2

=

21

7

= 3 (5)

De (2), (3) y (5), verificamos que en cada una de las tres formas, el resultado es el

mismo.


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28 INDICE GENERAL

Proyeccion Ortogonal de una Recta sobre un Plano

Sea L una recta y sea Pun plano, tal como muestra la Figura 1.2?. Si de cada punto de Lse trazan perpendiculares al plano P, entonces los pies de las perpendiculares determinaranuna recta sobre el planoP. A esta recta se le denomina: proyeccion ortogonal de larecta L sobre el planoP. Si la recta es paralela al plano, entonces la recta y su proyecci onortogonal son paralelas; si no lo es, entonces la recta y su proyecci on se intersectan formando

dos angulos, tal como se muestra tambien en la Figura 1.42. Notese tambien queL formacon su proyeccion un plano perpendicular al planoP.

LP

L

P

Fig. 1.42

Definicion 0.1.6 El angulo con que se intersectan una recta y un plano es el menor angulo

que forman dicha recta y su proyeccion ortogonal sobre dicho plano.

Ejemplo 0.1.18 SeaL la recta de ecuacion es P = (2, 11, 0) +t(5, 12, 1) y seaP elplano cuya ecuacion esx+ 5y+ z+ 1 = 0. Hallar la proyeccion ortogonal de la rectaLsobre el planoP. Hallar tambien el angulo con que se intersectan la recta y el plano.

Solucion: SeaLPla proyeccion de Len el planoP. Para hallar LPsera suficiente hallar laproyeccion de dos puntos deL. Uno de estos puntos puede ser el punto en queLintersectaal plano P; y otro, la proyeccion del punto de paso Q(2, 11, 0) sobre el plano P. La Figura1.43 ilustra el planteamiento de este problema.

Las ecuaciones parametricas deLson:

x= 2 + 5t , y = 11 12t , z= t

Sea R el punto en queL intersecta al planoP. Entonces las coordenadas de R satisfacenla ecuacion del plano. As,

2 + 5t+ 5(11 12t) + t+ 1 = 0 = t= 1


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0.1. PLANOS 29

Con este valor encontramos que R= (3, 1, 1).Tracemos la rectaL1que pasa por el punto Q = (2, 11, 0) de L y que es perpendicular

al planoP. Un vector direccional de esta recta es la normal al plano: n = (1, 5, 1). Suecuacion vectorial sera:L1: P = (2, 11, 0) + r(1, 5, 1) y sus ecuaciones parametricas:

x=2 + r , y = 11 + 5r , z=r

n

a

Q(2, 11, 0)

RS

L1

LP

L

P

Fig. 1.43

SeaSel punto en que

L1intersecta al plano

P. Entonces las coordenadas deSverifican

la ecuacion del plano. As,

2 + r+ 5(11 + 5r) + r+ 1 = 0 = r=2

Con estos valores encontramos que S= (4, 1, 2). As, la rectaLPes la recta que pasapor los puntos SyR.

Un vector en la direccion deLPes el vector:

a=SR = (3, 1, 1) (4, 1, 2) = (7, 2, 3)

Tomando como punto de paso el punto S(4, 1, 2), la ecuacion vectorial de la rectaLPes:

LP : P = (4, 1, 2) + s (7, 2, 3) , s R.El vector direccional deL es b= (5, 12, 1). Si es el menor angulo que formanL y

LP, entonces debe verificarse:

cos =

a b||a||||b||

=

(7, 2, 3) (5, 12, 1)62

170

=

31/85

As, por la definicion 0.1.6, el angulo con que se intersectan la rectaLy el planoP, es :

= arc cos

31/85.


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30 INDICE GENERAL

Ejemplo 0.1.19 Hallar la ecuacion vectorial de la rectaLcuya proyeccion sobre el planoxy es la rectaLxy, definida por las ecuaciones: z= 0, x 2y= 5, y cuya proyeccion sobre

el plano yzes la rectaLyz, definida por las ecuaciones: x= 0 , z=y + 2.Solucion: Consideremos el punto P(x,y,z) del espacio. Si este punto se proyecta en el

plano xy, las coordenadas de su proyeccion tienen las mismas coordenadas x e y que el

mismo punto P. Solo cambia su coordenada z el que se hace cero. Igualmente, si P se

proyecta en el plano yz, sus coordenadas y y zno cambian. Solo cambia su coordenada

x el cual se hace cero. Por lo tanto, si P(x,y,z) es un punto cualquiera de deL y ensu proyeccionLxy se verifica: x = 2y+ 5, e igualmente, en su proyeccionLyz se verifica:z= y + 2, entonces ambas relaciones se verifican en el punto P(x , y, z ) de

L. As, las dos

ecuaciones:

x= 2y+ 5 (1) z=y + 2 (2)

definen a la rectaL. La ecuacion (1) define en el espacio un plano perpendicular al planoxy(plano formado por las rectasL yLxy). La ecuacion (2) define a un plano perpendicularal plano yz(plano formado por las rectasLyLyz). La Figura 1.44 muestra las tres rectasy los planos que forman.

x

y

z

(x,y,z)

(0, y , z)

(x,y, 0)

Lyz

L

Lxy

Fig. 1.44

De las ecuaciones (1) y (2), puede despejarse y y obtenerse la relacion:

x 52

=y 0

1 =

z 21

que identificamos como la ecuacion simetrica de una recta que pasa por el punto (5,0,2), y

que tiene como vector direccional al vector a = (2, 1, 1). Por lo tanto, la ecuacion vectorial


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0.1. PLANOS 31

deLsera:L: P = (5, 0, 2) + t (2, 1, 1) , t R.

Teorema 0.1.3 (Teorema de las tres Perpendiculares) SeaPun plano y seaLunarecta cualquiera contenida en dicho plano. Si por el punto P del plano se trazan la recta

normal aPy la perpendicular a la rectaL, entonces la recta que pasa por el pie de dichaperpendicular y por un punto cualquiera de la recta normal, es perpendicular a la rectaL.

Demostracion: La Figura 1.45 ilustra las condiciones del teorema. En dicha figura, n es

el vector normal al plano, a el vector direccional deL, b el vector en la direccion de laperpendicularP Ry c el vector en la direccion del segmento RQ. Debemos demostrar que

los vectoresc ya son perpendiculares.

c

b

n

a

Q

P L

RP

Fig. 1.45

Los tres vectores n, b y c son coplanares. Por lo tanto, no son linealmente indepen-

dientes. Entonces existiran escalares r y s tales que:

c= rn + sb (29)

Puesto que n y bson perpendiculares e igualmente,by a son perpendiculares, entonces se

verifican:

n a= 0 , b a= 0 (30)As,

c a= (rn +sb) a= r(n a) + s(b a) = 0 (31)De la ecuacion 31, concluimos: los vectores c ya son perpendiculares.

Ejemplo 0.1.20 Una esfera metalica es soltada en el punto A= (1, 2, 10) y cae vertical-

mente hasta el plano 2x + y+ z= 12; luego resbala sobre el hasta chocar con el plano xy.

Hallar la distancia total recorrida por la esfera.


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32 INDICE GENERAL

Solucion: Considerando despreciable la resistencia del aire la unica fuerza que actua sobre

la esfera metalica sera la de la gravedad. Esta fuerza actua en la direccion en que la

coordenadaz disminuye. Por lo tanto, la trayectoria que seguira la esfera metalica es lasiguiente: Del punto A sigue una trayectoria paralela al eje z hasta intersectar al plano

2x+ y + z012 en el punto B; luego del punto B resbala por el plano dado siguiendo

una trayectoria rectilnea de modo que, con respecto al plano horizontal, tenga la mayor

pendiente. Esta trayectoria rectilnea tendra la mayor pendiente cuando sea perpendicular

a la recta de interseccion entre el plano 2x+y +z= 12 y el plano xy, tal como muestra

la Figura 1.46.

x

y

z

A

B

C

O

Fig. 1.46

De la figura, la distancia total recorrida sera:

d=AB + BC (1)

Como B = (1, 2, z0) esta en el plano 2x + y+ z= 12, entonces:

2(1) + 2 + z0= 12 =

z0= 8

As, AB =|10 z0|= |10 8| = 2 (2)En los puntos en que el plano 2x + y+ z= 12 se intersecta con el plano xy, z= 0. Por lo

tanto, las ecuaciones de la recta de interseccion son: 2x+y = 12, z= 0 . Puesto que la

pendiente de esta recta en el plano xy es m =2, entonces un vector en la direccion dedicha recta es el vector a= (1, m, 0) = (1,

2, 0).

Si consideramos que C= (x0, 12 x0, 0), entonces el vectorBC sera:

BC =C B = (x0 1 ,10 2x0 ,8)


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0.1. PLANOS 33

ComoBC ya son ortogonales, entonces:

BC a= 0 = (x0 1 ,10 2x0 ,8) (1, 2, 0) = 0= x0 1 20 + 4x0= 0

= x0= 215

Con este valor, se tiene:

BC= (16/5 ,8/5 8) ,

BC = 86/5 (3)Reemplazando (2) y (3) en (1), se tiene:

d= 2 + 8

6/5.

Ejemplo 0.1.21 Un rayo luminoso parte del punto A= (2, 8, 2) y sigue la direccion de la

rectaL: P = (3, 17, 1) +t(1, 9, 1); llega al espejo dado por el plano 2x+ 3y+z= 2 yluego se refleja. Hallar la ecuacion del rayo reflejado. Es la ecuacion deLla ecuacion delrayo incidente?

Solucion: Las ecuaciones parametricas de la rectaLson:

x= 3 + t , y = 17 + 9t , z= 1 t

Veamos si el puntoA esta sobre dicha recta. En efecto, si hacemos x = 2 se obtienet =1.Con este valor encontramos que y = 8 y z = 2. Por lo tanto, A = (2, 8, 2) esta sobre la

rectaL. La Figura 1.47 muestra los rayos incidente y reflejado, siendo R el punto en queincide el rayo luminoso en el espejo.

n

A

B

SR

L1L

Fig. 1.47


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34 INDICE GENERAL

Se sabe que el angulo de reflexion es igual al angulo de incidencia. Por lo tanto, si B

es el punto simetrico de Acon respecto al plano dado y Ses el punto medio del segmento

AB, entonces por igualdad entre los triangulos ARS y BRS, deducimos que la direcciondel rayo reflejado es la del vector

BR. As, debemos calcular los puntosB yR.

SeaL1 la recta que pasa por A y es ortogonal al plano. El punto B estara sobreesta recta. El vector direccional deL1 es la normal al plano dado: n = (2, 3, 1) por loque su ecuacion vectorial sera: P = (2, 8, 2) +r(2, 3, 1) y sus ecuaciones parametricas:

x= 2 + 2r , y= 8 + 3r , z= 2 +r . En el punto Sen que intersecta al plano, se verifica:

2(2 + 2r) + 3(8 + 3r) + 2 + r= 2 = r=2

y por lo tanto, S= (2, 2, 0). Como Ses el punto medio del segmento AB, entonces:

S=A + B

2 = B = 2S A= 2(2, 2, 0) (2, 8, 2) = B = (6, 4, 2)

En el punto R en que la rectaLintersecta al plno dado se verifica:

2(3 + t) + 3(17 + 9t) + 1 t= 2 = t= 2

y por lo tanto, R= (1,

1, 3). Luego,

BR = R B = (1, 1, 3) (6, 4, 2) = BR = (7, 3, 5)

As, la ecuacion del rayo reflejado es: P =R+ sBR , o bien:

P = (1, 1, 3) + s(7, 3, 5) , s0

donde se ha considerados0 ya que la reflexion empieza en el puntoRy el desplazamientode la onda luminosa es en el sentido de B a R.

Como en el punto A deL, t=1 y en el punto R, tambien deL, t=2, vemos queel parametro t ha disminuido. Esto significa que el vector

AR tiene sentido opuesto al del

vector direccional deL: a= (1, 9, 1) y por lo tanto, la ecuacion deL no es la ecuaciondel rayo incidente. Si en la ecuacion vectorial deLcambiamos t port, lo que equivale atomar como vector direccional al opuesto del vector a, entonces dicha ecuacion generara

a la rectaLen el sentido del rayo incidente. Por lo tanto, la ecuacion:

P = (3, 17, 1) + t(

1,

9, 1) , t

, 2]

es la ecuacion del rayo incidente. Notese que para t = 1 se tiene que P = (2, 8, 2) = A y

para t= 2, P= (1, 1, 3) =R. El rayo incidente termina en el punto R.


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0.2. SUPERFICIES 35

0.2. Superficies

En la Geometra Analtica Plana se hace el estudio de las ecuaciones en las dos variables

x e y. La representacion en el plano xy de todas las soluciones, denominada la grafica de

la ecuacion, es una curva. En esta seccion hacemos el estudio de las ecuaciones en las tres

variablesx, y yz.

Toda ecuacion en las variablesx, y y zpuede escribirse de la forma:

F(x,y,z) = 0 (32)

Al conjunto de ternas (x,y,z) que verifican dicha ecuacion, representados en el espacio R3,

se denomina el lugar geometrico o la grafica de dicha ecuacion y se le llama superficie.

As, si denominamos por Sa dicha superficie, entonces:

S= {(x , y, z ) R3 | F(x,y,z) = 0} (33)

Si ninguna terna de la forma (x , y, z ) verifica la ecuacion ***, se dice que dicha ecuacion

no es un lugar geometrico.

Vimos en la seccion anterior que la ecuacion de un plano es

Ax + By + Cz+ D= 0

y es una ecuacion lineal en las tres variables x, y yzy de la forma de la ecuacion ***. Elplano es la superficie mas simple que existe y es el analogo al de una recta en el plano xy .

Otra superficie simple es la superficie esferica y es el analogo al de una circunferencia

en el plano.

Definicion 0.2.1 Se denomina superficie esferica al lugar geometrico de puntos del

espacio que equidistan de un punto fijo. A la distancia constante se le denominaradio y

al punto fijo centro.

Si el centro tiene coordenadas (x0

, y0

, z0

) y el radio esr, entonces la ecuacion de la superficieesferica es:

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 =r2 (34)deducida a partir de la formula de distancia entre dos puntos. A la ecuaci on **** se le

denomina ecuacion canonica de la superficie esferica. Si el centro es el origen entonces

la ecuacion toma la forma mas simple:

x2 + y2 + z2 =r2 (35)

Desarrollando y ordenando los terminos de la ecuacion canonica, dicha ecuacion puedereescribirse de la forma:

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz+ D= 0 (36)


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36 INDICE GENERAL

y es denominada ecuacion general de la superficie esferica.

A la region encerrada por la superficie esferica, incluyendo los puntos en la superficie,

se denomina esfera. Como principalmente lo que nos interesa de la esfera es su superficie,

con frecuencia se usa la palabra esfera para referirse a la superficie esferica. As, cuando

se dice area de la esfera es claro que se refiere al area de la superficie esferica. En cambio,

cuando se dice volumen de la esfera es claro que se refiere al volumen encerrado por la

superficie esferica.

Por nuestros estudios previos de Geometra en el Espacio conocemos muchas propie-

dades de la superficie esferica. As, se sabe que las intersecciones de las superficies esferi-

cas con planos son circunferencias. Eso puede demostrarse analticamente intersectando

la superficie esferica centrada en el origen con un plano horizontal z = k, donde k < r.

Reemplazando este valor de z en la ecuacion (1.35), encontramos que en los puntos de

interseccion se verifica:

x2 + y2 =r2 k2 , z= k

Ambas ecuaciones definen una circunferencia con centro en el punto (0, 0, k) y radio

r2 k2 .

Ejemplo 0.2.1 Hallar el centro y radio de la superficie esferica de ecuacion:

x2 + y2 + z2 4x 6y+ 2z 2 = 0

Solucion: Completando cuadrados la ecuacion dada es equivalente a:

(x 2)2 + (y 3)2 + (z+ 1)2 = 16 = (4)2

Comparando con la ecuacion *** encontramos que el centro de la superficie esferica es el

punto (2, 3, 1) y su radio es r = 4. La Figura **** muestra la posicion de la superficieesferica en el espacio.


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0.2. SUPERFICIES 37

x

y

z

Fig. 1.48

Ejemplo 0.2.2 Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

C : x2 + y2 + z2 = 10y , x + 2y+ 2z 19 = 0

Solucion: Completando cuadrados en la primera ecuacion se obtiene:

x2 + (y

5)2 + z2 = 25

Esta ecuacion corresponde a una esfera con centro en (0, 5, 0) y radior = 5. As, considera-

mos que la circunferencia es la interseccion de dicha esfera con el plano x +2y +2z19 = 0.La normal al plano es el vector n = (1, 2, 2). La rectaLque pasa por el centro de la esferay el centro de la circunferencia tendra la direccion de este vector. Por lo tanto, la ecuacion

de esta recta sera:

L: P = (0, 5, 0) + t(1, 2, 2) , t

R

La Figura 1.49 muestra una circunferencia contenida en un plano e ilustra el planteamiento

del problema.


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38 INDICE GENERAL

(0, 5, 0)

C0

d r

R= 5

C

L

Fig. 1.49

El centro de la circunferencia sera la interseccion deL con el plano. Como en la recta:x= t,y = 2t + 5 yz= 2t, entonces reemplazando en la ecuacionx + 2y + 2z= 19, se tiene:

t + 2(2t + 5) + 2(2t) = 19 = t= 1

Con este valor, encontramos que el centro de la circunferencia es el punto C0 = (1, 7, 2).

La distancia de C0 al centro de la esfera es:

d=

(1 0)2 + (7 5)2 + (2 0)2 = 3

De la figura encontramos que el radio r de la circunferencia es:

r=

52 32 = 4

Ejemplo 0.2.3 Hallar la ecuacion de la esfera que pasa por el punto (a,a,a) y por la

circunferencia:

C : x2 + y2 + z2 =a2 , x + y+ z=a

Solucion: La circunferencia es la interseccion de la esfera x2 +y2 +z2 =a2 con el plano

x+y+z=a. Dicho plano intersecta a los ejes coordenados en los puntosA(a, 0, 0), B(0, a, 0)y C(0, 0, a). Las coordenadas de estos tres puntos verifican la ecuaci on x2 +y2 +z2 = a2

por lo que la circunferenciaC pasa por estos tres puntos. Puesto que el triangulo ABC esequilatero y esta inscrito en la circunferencia, se deduce que el centro de la circunferencia

coincide con el centro de dicho triangulo. Ademas, las coordenadas de dicho centro seran

iguales. Por lo tanto, la ecuacion vectorial de la rectaLque pasa por el centro de la esferax2 + y2 + z2 =a2 y por el centro de la circunferencia sera:

L : P = (t,t,t) , tR

El centro de la esfera que buscamos estara tambien sobre esta recta. Sea C0 = (h,h,h) el

centro de la esfera buscada y sea r su radio. Entonces su ecuacion sera:


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0.2. SUPERFICIES 39

(x h)2 + (y h)2 + (z h)2 =r2 (1)

Como esta esfera pasa por el punto A(a, 0, 0), entonces las coordenadas de este punto

verifican la ecuacion (1). Reemplazando valores se obtiene:

(a h)2 + 2h2 =r2 (2)

Por dato del problema, la esfera pasa por el punto (a,a,a), entonces reemplazando en (1),

se tiene:

3(a h)2 =r2 (3)

De (2) y (3),

(a h)2 + 2h2 = 3(a h)2 = h2 = (a h)2 = h= a2

As, el centro de la esfera es el punto C0 =a2

, a2

, a2

. El radio de la esfera sera igual a la

distancia del punto A(a, 0, 0) a C0:

r=

a a

2

2+

0 a2

2+

0 a2

2= r=

3a

2

La ecuacion de la esfera buscada sera:

x a

2

2

+

y a2

2

+

za2

2

=3a2

4

Para otros tipos de superficies, cuyas propiedades y graficas nos son desconocidas, podemos

determinar dichas propiedades y sus graficas, haciendo una discusion previa de su ecuacion.

Para ello se procede en forma parecida a la discusi on de las ecuaciones de una curva.

Discusion de la Ecuacion de una Superficie

Es importante discutir los siguientes temas:

1.- Extension.

2.- Intersecciones de la superficie con los ejes coordenados.

3.- Intersecciones de la superficie con los planos coordenados.

4.- Tipos de simetra.

5.- Secciones producidas por planos paralelos a los planos coordenados.


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40 INDICE GENERAL

El concepto de extension de la superficie consiste en determinar el conjunto de valores que

pueden tomar cada una de las tres variables x, y y z. De esta manera podra determinarse

la posicion que ocupa en el espacio tridimensional y, ademas, si es acotada (cerrada) oilimitada en su extension. Una forma de analisis consiste en procurar despejar una de las

tres variables en terminos de las otras dos. As, si es posible despejar la variable z en

terminos de xe y, se obtendra una ecuacion equivalente de la forma:

z=f(x, y) (37)

Considerando que las variables son numeros reales podra ser posible determinar, de esta

ecuacion, el conjunto de valores que pueden tomar las variables. A las intersecciones de

la superficie con los ejes coordenados son puntos denominados los interseptos con los ejes.

Para hallar el intersepto con e ejex se hacen y = 0 yz= 0 en la ecuacion de la superficie.

Igualmente, para hallar los interseptos con el eje y se hacen x= 0 y z= 0 y con el eje z,x= 0 e y= 0, en la ecuacion de la superficie.

Las intersecciones de la superficie con planos se denomina traza. Son importantes las

trazas con los planos coordenados. Para hallar la traza con el plano xy se hace z= 0 en la

ecuacion de la superficie. Igualmente, para hallar las trazas con los planosxzeyzse hacen

y= 0 yx= 0, respectivamente.

Son importantes las simetras respecto de los planos coordenados y el origen. En algunos

casos, pueden analizarse las simetras respecto de los ejes coordenados. Para cada caso

debemos considerar las definiciones de puntos simetricos respecto de un plano, respecto de

un punto y respecto de una recta, respectivamente.

Se sabe que si dos puntos A y B son simetricos respecto de un planoP, entonces elsegmento que une dichos puntos intersecta ortogonalmente al planoP, siendo el punto deinterseccion el punto medio de dicho segmento. De acuerdo a esto, los puntos (x , y, z ) y

(x,y, z) son simetricos respecto del plano xy. Notese que dichos puntos se diferenciansolo en su coordenada z, siendo uno de ellos el inverso aditivo del otro, tal como muestra

la Figura 1.50.


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0.2. SUPERFICIES 41

(x,y,z)

(x,y, z)

(x,y, 0)

x

z

y

Fig. 1.50

Se sabe tambien que si dos puntos A y B son simetricos respecto de un punto P,

entonces P es el punto medio del segmento AB. De acuerdo a esto, los puntos (x,y,z) y

(x, y, z) son simetricos respecto del origen de coordenadas.Se sabe tambien que si dos puntos A y B son simetricos respecto de una recta, entonces

el segmento que une dichos puntos intersecta ortogonalmente a la recta, siendo el punto

de interseccion el punto medio de dicho segmento. Como la perpendicular trazada desde

el punto (x , y, z ) al eje z intersectara a dicho eje en el punto (0, 0, z), entonces el puntosimetrico de (x,y,z) respecto del ejezsera el punto (x, y, z), tal como muestra la Figura1.51.

(x,y,z)

(0, 0, z)(x, y, z)

x

z

y

Fig. 1.51

Teniendo como fundamento todo lo lo anterior pueden establecerse criterios a tomar en

cuenta para determinar los tipos de simetra que pueden tener las superficies.

Teorema 0.2.1 (Criterios de Simetra) SeaS la superficie definida por una ecuacion

en las variablesx, y y z. Entonces:


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42 INDICE GENERAL

i) S es simetrica respecto del plano xy si y solo si su ecuacion no se altera al cambiarz

porz.

ii) S es simetrica respecto del plano xz si y solo si su ecuacion no se altera al cambiary

pory.

iii) S es simetrica respecto del plano yz si y solo si su ecuacion no se altera al cambiarx

porx.

iv) S es simetrica respecto del origen si y solo si su ecuacion no se altera al cambiarx

porx, y pory yzporz.

v) S es simetrica respecto del eje x si y solo si su ecuacion no se altera al cambiary por

y yzporz.

vi) S es simetrica respecto del eje y si y solo si su ecuacion no se altera al cambiarx por

x yzporz.

vii) S es simetrica respecto del eje z si y solo si su ecuacion no se altera al cambiarx por

x ey pory.Para la graficacion de las superficies son importantes las secciones planas que se obtienen

intersectando la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. As, si la ecuacionde una superficie Ses:

F(x , y, z ) = 0

entonces la curva de interseccion con el plano z= k esta definido por el par de ecuaciones:

F(x,y,k) = 0 , z= k (38)

Esta curva esta situada k unidades arriba del plano xy, si k es positivo, ok unidadesdebajo del planoxy , sik es negativo. La forma de dicha curva puede obternerse analizando

la ecuacion F(x,y,k) = 0 que, al ser una ecuaci on en las dos variables x e y, puede seranalizada usando conceptos de la geometra analtica plana.

Dando valores diferentes a ken la ecuacion (1.37) se obtienen las ecuaciones de diferentes

secciones planas paralelas al planoxy. Cuantas mas secciones planas se tenga, estas nos iran

proporcionando una idea de la forma de la superficie. Lo mismo sucedera si las secciones

planas son paralelas al plano xzo paralelas al plano yz. Las ecuaciones de las secciones

planas paralelas al plano xzson de la forma:

F(x,k,z) = 0 , y= k (39)

y de las correspondientes a las secciones planas paralelas al plano yz,

F(k, y, z ) = 0 , x= k (40)


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0.2. SUPERFICIES 43

Ejemplo 0.2.4 Discutir la superficie de ecuacion:

16x2 + 9y2 + 24z= 144 (1)

Luego, trazar su grafica

Solucion: Se tiene que:

1.- Extension. Despejando zde la ecuacion (1) se tiene:

z=144 16x2 9y2

24

De esta ecuacion se observa que no existen restricciones para las variablesx e y . Para

cualesquiera pareja de valores x e y, siempre habra un valor de zque verifica dicha

ecuacion. As, x e y pueden ser cualquier valor real. Por otra parte, la ecuacion (1)

puede reescribirse de la forma:

16x2 + 9y2 = 144 24z

Vemos que esta ecuacion establece una restriccion para la variable z. En efecto, la

ecuacion tiene solucion solo si se verifica que 144 24z0, o lo que es lo mismo, siz

6. Esto implica que ningun punto de la superficie esta arriba del plano z= 6.

2.- Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje xse halla haciendo y = 0 y z= 0 en la ecuacion (1). Encontramos que la

superficie intersecta al eje xen dos puntos: (3, 0, 0) y (3, 0, 0).Con el eje y se halla haciendo x= 0 y z= 0 en (1). Encontramos que la superficie

intersecta al eje y tambien en dos puntos: (0, 4, 0) y (0, 4, 0).Con el eje z se halla haciendo x = 0 e y = 0 en (1). Encontramos que la superficie

intersecta al eje zen un solo punto: (0, 0, 6).

3.- Intersecciones con los planos coordenados

Con el planoxy se halla haciendo z= 0 en la ecuacion (1). Encontramos que la traza

de la superficie con el plano xy es la elipse definida por las ecuaciones:

x2

9 +

y2

16= 1 , z= 0

Con el plano xz se halla haciendo y = 0 en (1). Encontramos que la traza de la

superficie con el plano xzes la parabola definida por las ecuaciones:

z= 6 2x2

3 , y= 0


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44 INDICE GENERAL

Con el plano yzse halla haciendo x= 0 en la ecuacion (1). Econtramos que la traza

de la superficie con el plano yzes la parabola definida por las ecuaciones:

z= 6 3y28

, x= 0

4.- Simetras

Para determinar si tiene simetra respecto del planoxy cambiamos en la ecuacion (1)

zporz. Entonces dicha ecuacion se transforma en:

16x2 + 9y2 24z= 144

que no coincide con la ecuacion (1). Por lo tanto, la superficie no tiene simetra

respecto del plano xy.

Analogamente, para determinar la simetra respecto del plano xzcambiamos en (1)

y pory. As,

16x2 + 9(y)2 + 24z= 144 que es equivalente a 16x2 + 9y2 + 24z= 144

que coincide con la ecuacion (1). Por lo tanto, la superficie tiene simetra respecto

del plano xz.

Igualmente, para determinar la simetra con el plano yzcambiamos en (1) x porx.As,

16(x)2 + 9y2 + 24z= 144 que es equivalente a 16x2 + 9y2 + 24z= 144

que coincide con la ecuacion (1). Por lo tanto, la superficie tiene simetra respecto

del plano yz.

Para determinar la simetra con respecto al origen de coordenadas cambiamos en la

ecuacion (1) xporx, y pory y zporz. As,

16(x)2+9(y)2+24(z) = 144 que es equivalente a 16x2+9y224z= 144


respecto del origen.

Para determinar la simetra respecto del eje x cambiamos en la ecuacion (1) y por

y y zporz. Entonces se obtiene:

16x2 + 9(y)2 + 24(z) = 144 que es equivalente a 16x2 + 9y2 24z= 144


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0.2. SUPERFICIES 45


respecto del eje x. Analogamente, para determinar la simetra respecto del eje y

cambiamos en (1) xporxy zporz. Entonces se obtiene:16(x)2 + 9y2 + 24(z) = 144 que es equivalente a 16x2 + 9y2 24z= 144

que no coincide con la ecuacion (1). Concluimos que la superficie tampoco tiene

simetra respecto del eje y.

Igualmente, para la simetra respecto del eje z cambiamos en (1) x porx e y pory. Entonces se obtiene:

16(x)2 + 9(y)2 + 24z= 144 que es equivalente a 16x2 + 9y2 + 24z= 144

que coincide con la ecuacion (1). Concluimos que la superficie tiene simetra respecto

del eje z.

5.- Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados

Para hallar las intersecciones con planos paralelos al plano xy hacemos z= k en la

ecuacion (1). Entonces se obtiene que las intersecciones con planos paralelos al plano

xy son curvas cuyas ecuaciones son de la forma:

16x2 + 9y2 = 144 24k , z=k

Esta ecuaciones determinan que para todok 6 no hay interseccion.

Analogamente, para hallar las intersecciones con planos paralelos al plano yzhacemos

x = k en la ecuacion (1). En este caso, las ecuaciones de las curvas de interseccion

son de la forma:z

6 2k

2

3

= 3

8y2 , x= k

Estas ecuaciones definen una familia de parabolas con vertices en los puntos de la

forma

k, 0, 6 2k23

y que se abren hacia abajo.

Igualmente, haciendo y = k en la ecuacion (1), encontramos que las intersecciones

con planos paralelos al plano xzson curvas cuyas ecuaciones son de la forma:

z

6

3k2

8=

2

3

x2 , y = k

Estas ecuaciones definen una familia de parabolas con vertices en los puntos de la

forma

0, k, 6 3k28

y que se abren hacia abajo.


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46 INDICE GENERAL

La Figura 1.52 muestra la porcion de la superficie que se encuentra arriba del planoxy. Sin

embargo, dicha superficie se extiende indefinidamente debajo de dicho plano. Las secciones

planas paralelas al plano xy son elipses cuyas dimensiones van creciendo a medida quedichas secciones se desplazan en la direccion del eje znegativo. Notese que en la region

en que z > 6 no hay puntos de la superficie. La superficie se denomina paraboloide

elpticoy es una de las denominadas superficies cuadricas las que trataremos, en forma

particular, mas adelante.

(0, 0, 6)

(3, 0, 0)

(0, 4, 0)

x

z

y

Fig. 1.52

Ejemplo 0.2.5 Discutir la superficie de ecuacion:

y2 x2 z= 0 (1)

Luego, trazar su grafica

Se tiene que:

1.- Extension: Despejando zse tiene:

z=y2 x2

Vemos de esta ecuacion que a las variables x e y se les pueden dar cualquier valor

real, encontrandose siempre un valor real para z, siendo este valor positivo, negativo

o cero. As, las tres variables x, y y zse extienden desdehasta +.


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0.2. SUPERFICIES 47

2.- Interseccion con los ejes coordenados:La superficie intersecta a cada uno de los

ejes x, y y zen el origen de coordenadas: (0, 0, 0).

3.- Interseccion con los planos coordenados: La interseccion de la superficie con el

plano xy son las rectas:

y=x e y =x , z= 0

Con el plano y zes la parabola de ecuacion:

z=y2 , x= 0

y con el plano xz la parabola de ecuacion:

z= x2 , y= 0

4.- Simetras:La superficie no tiene simetras respecto de los ejes x e y pero si respecto

del ejez. Tampoco tiene simetra respecto del origen de coordenadas. Tiene simetras

respecto de los planosxze yzpero no respecto al plano xy.

5.- Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados

La interseccion con el planoz=k es la curva:

y2 x2 =k , z= k (2)

De esta ecuacion se deduce que para k= 0 las intersecciones con planos paralelosal plano xy son hiperbolas equilateras. Si k > 0 el eje focal es paralelo al eje y. En

cambio, si k


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48 INDICE GENERAL

La Figura 1.53 muestra la grafica de la superficie y es tambien una de las superficies

cuadricas llamada paraboloide hiperbolico.

x

z

y

Fig. 1.53

Algunas superficies cuadricas estan incluidas dentro de cierta tipificacion especial de

algunas superficies por tener caractersticas similares. A continuacion definimos algunos de

estos tipos de superficies.

Definicion 0.2.2 (Superficie Cilndrica) SeaC una curva plana y seaLuna recta fijano paralela al plano de la curva. Si por cada punto deC se hace pasar una recta paralela ala recta fija se genera una superficie denominadasuperficie cilndrica o cilindro. A la

curvaC se le denominadirectrz del cilindro y a cualquiera de las rectas paralelas aL seles llamageneratrz del cilindro.

Si la curvaC es una circunferencia al cilindro se le denomina cilindro circular. Si es unaelipse, cilindro elptico. Tambien, si las generatrices son perpendiculares al plano que

contiene a la directrz se le denomina cilindro recto. As, si el cilindro es tanto circular

como recto, se le denominara cilindro circular recto. Sin embargo, estas clasificaciones son

relativas. En efecto, un mismo cilindro puede intersectarse con diversos planos obteniendose

diversas secciones planas. Cada una de estas secciones planas es una directrz del cilindro.

As, cada cilindro tiene infinitas directrices y estas pueden ser curvas de diferentes tipos.

El cilindro se dira que es recto solo en referencia a las directrices que estan en planos


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0.2. SUPERFICIES 49

perpendiculares a las generatrices. Tambien debe tener en cuenta que las secciones planas

producidas en el cilindro por planos paralelos seran curvas identicas en forma y dimensiones.

Al cilindro se le llamara circular solo si estas curvas identicas son circunferencias. Conrespecto a otras secciones planas paralelas el cilindro no sera circular.

La Figura 1.54 muestra un cilindro cualquiera, su directrzCy la recta fijaL. La figuramuestra tambien un punto P0 = (x0, y0, z0) cualquiera sobre la directrz y la correspon-

diente generatrz que pasa por dicho punto. Si P = (x,y,z) es un punto cualquiera en

dicha generatrz, entonces el vectorP0P sera paralela al vector direccional de la rectaL.

Esto implica que si a = (a1, a2, a3) es un vector direccional de la rectaL, entonces debeverificarse:

x

x0

a1 =

y

y0

a2 =

z

z0

a3 (41)

Las relaciones que muestran esta ecuacion son las que permiten determinar la ecuacion del

cilindro, tal como se ilustran en los siguientes ejemplos.

P(x,y,z)

P0(x0, y0, z0)

L

C

Fig. 1.54

Ejemplo 0.2.6 Hallar la ecuacion del cilindro cuya directrz es la parabola:

C: y=x2 + 3 , z= 0

y cuyas generatrices son paralelas al vectora= (2, 3, 5).

Solucion: La directrz es una curva en el plano xy tal como muestra la Figura 1.55. Sea

P0= (x0, y0, z0) un punto cualquiera en dicha directrz. Entonces se verifica:

y0= x2

0+ 3 , z0= 0 (1)


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50 INDICE GENERAL

x

y

z

a

C

Fig. 1.55

Sea P = (x , y, z ) un punto cualquiera en la generatrz que pasa por el punto P0. Como

las generatrices son paralelas al vector a = (2, 3, 5), entonces reemplazando valores en la

ecuacion (41), se obtiene:

x x02

=y y0

4 =

z 05

(2)

Despejando de estas ecuaciones x0 e y0 en terminos de x, y yz, se tiene:

x0=5x 2z

5 , y0=

5y 3z5

Reemplazando ahora en la primera ecuacion de (1), se tiene:

5y 3z5

=

5x 2z

5

2

+ 3

y desarrollando, esta ecuacion es equivalente a:

25x2 20xz+ 4z2 25y+ 15z+ 75 = 0 (3)Al ser P0 un punto generico de la directrz, entonces la ecuacion (3) es la ecuacion de

cualquiera de las generatrices. Por lo tanto, dicha ecuacion es la ecuacion del cilindro.

Ejemplo 0.2.7 Determinar la ecuacion cartesiana del cilindro con directrz la curva:

C : x2

16z

2

4 = 1 , y = 2

y generatrices paralelas a la recta:

L : x + 2y+ 3z= 0 , 3x 2y= 0


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0.2. SUPERFICIES 51

Solucion: La rectaLes la interseccion de los planosx + 2y + 3z= 0 y 3x 2y = 0, cuyosvectores normales son n1 = (1, 2, 3) y n2 = (3, 2, 0), respectivamente. As, un vector en

la direccion deLes:

a= n1 n2=

i j k

1 2 3

3 2 0

= 6 i + 9j 8 k= (6, 9, 8)

Si el punto P0= (x0, y0, z0) es un punto cualquiera en la directrz, entonces se verifica:

x20

16z

2

0

4 = 1 , y0= 2 (1)

Si el punto P = (x,y,z) esta en la generatrz que pasa por P0, entonces se verifica losiguiente:

x x06

=y 2

9 =

z z08 (2)

Despejando de estas ecuaciones x0 yz0 en terminos de x, y yz, se tiene:

x0=3x 2y+ 4

3 , z0=

8y+ 9z 169

Reemplazando ambas expresiones en la primera ecuacion de (1), se obtiene:

(3x 2y+ 4)2144

(8y+ 9z 16)2

324 = 1

que es la ecuacion del cilindro.

Ejemplo 0.2.8 Hallar la ecuacion del cilindro cuya directrz es la curva:

C : z=x2 + y2 , x + y+ z= 5

y sus generatrices son paralelos al vectora= (

1, 2, 4).

Solucion: Si P0= (x0, y0, z0) es un punto cualquiera en la directrz, entonces se verifica:

z0= x2

0+ y2

0 , x0+ y0+ z0= 5 (1)

Nuevamente consideramos que si (x,y,z) esta en la generatrz que pasa por P0, entonces:

x x01 =

y y02

=z z0

4

Para este caso despejamos y0 y z0 en terminos de x, y, zy x0. As, se obtienen:

y0= 2x + y 2x0 , z0= 4x + z 4x0 (2)

Reemplazando estas expresiones en la segunda ecuacion de (1) y despejando x0, se tiene:


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52 INDICE GENERAL

x0=6x + y+ z 5

5 (3)

Ahora, reemplazando esta expresion dex0en las ecuaciones (2), dichas ecuaciones se trans-

forman en:

y0=3y 2x 2z+ 10

5 , z0=

z 4x 4y+ 205

(4)

Finalmente, reemplazando (3) y (4) en la primera ecuacion de (1), se tiene:

z 4x 4y+ 205

=

6x + y+ z 5

5

2

+

3y 2x 2z+ 10

5

2

o bien,

5(z 4x 4y+ 20) = (6x + y+ z 5)2

+ (3y 2x 2z+ 10)2

que es la ecuacion del cilindro.

Ejemplo 0.2.9 En los siguientes cilindros halle direcciones para sus generadores.

a) (x + z)2 = 2(y 3z) b) x2 y2 2xz+ 2yz= 1

Solucion: Cualquier interseccion del cilindro con un plano es una directrz del cilindro.

As, para ambos casos consideraremos primero directrices en el plano xy.

a) Para hallar la directrz en el plano xy hacemosz= 0 en la ecuacion:

(x + z)2 = 2(y 3z) (1)

Entonces la directrz en el plano xy es la parabola:

x2 = 2y , z= 0

cuyo vertice esta en el origen de coordenadas. La interseccion del cilindro con cual-

quier plano paralelo al plano xy sera otra directriz identica a la directrz en el planoxy. As, haciendo z= k en la ecuacion (1) encontramos que las directrices en planos

paralelos al plano xy son parabolas cuyas ecuaciones son de la forma:

(x + k)2 = 2(y 3k) , z=k

cuyos vertices estan en los puntos de la forma (k, 3k, k) . Los vertices estaran sobreuna generatriz del cilindro. Como el vertice de la directrz en el planoxy es el punto

(0, 0, 0), entonces los vectores que unen los vertices son de la forma:

(k, 3k, k) =k(1, 3, 1)

As, las generatrices del cilindro tienen la direccion del vector (1, 3, 1) .


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0.2. SUPERFICIES 53

b) Haciendoz= 0 en la ecuacion:

x2

y2

2xz+ 2yz= 1 (1)

encontramos que la directrz en el plano xy es la hiperbola:

x2 y2 = 1 , z= 0 (2)

Haciendo z = k en la ecuacion (1) y completando cuadrados, encontramos que las

directrices en planos paralelos al plano xy son hiperbolas cuyas ecuaciones son de la

forma:

(x k)2 (y k)2 = 1 , z= k (3)

Notese que los centros de las hiperbolas estan en los puntos de la forma (k, k, k) . De

la ecuacion (2) el centro de la hiperbola en el plano xy es el origen. As, los vectores

que unen los centros son de la forma:

(k, k, k) =k(1, 1, 1)

es decir, paralelos al vector (1, 1, 1). Como todas las directrices son hiperbolas identi-

cas en forma y tamano, deducimos que las generatrices son tambien paralelas al vector

(1, 1, 1). As, el vector (1, 1, 1) da la direccion de las generatrices del cilindro.

Para futuras aplicaciones nos interesa principalmente los cilindros rectos cuyas directrices

estan contenidas en algunos de los planos coordenados. El siguiente ejemplo nos permi-

tira deducir caractersticas similares para dichos cilindros.

Ejemplo 0.2.10 La directriz de un cilindro es la circunferencia:

C : x2 + y2 = 9 , z= 0

y sus generatrices son paralelas al ejez. Hallar su ecuacion.

Solucion: Si P0 = (x0, y0, z0) es un punto cualquiera en la directrz, entonces debe verifi-

carse:

x20+ y2

0= 9 , z0= 0 (1)

La Figura 1.56 muestra la generatrz que pasa por P0y a un puntoP= (x,y,z) cualquiera

en dicha generatrz.


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54 INDICE GENERAL

P0

P

x

y

z

C

Fig. 1.56

Si la generatrz es paralela al eje z, entonces el vector de P0 a P es paralelo al vector

k= (0, 01). Es decir,P0P =tk = (x x0, y y0, z 0) =t(0, 0, 1) = (0, 0, t)

o bien,

x= x0 , y=y0 , z=t (2)

De las dos primeras ecuaciones de (2) se deduce que todos los puntos de la generatrz

que pasa por P0 tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y, siendo dichas

coordenadas las mismas que las de P0. En cambio, de la tercera ecuacion se deduce que la

coordenadazpuede tomar cualquier valor real. Despejando se tiene que x0 =x e y0=y.

Reemplazando estos valores en la primera ecuacion de (1), se obtiene:

x2 + y2 = 9 (3)

Puesto que P0 es un punto generico de la directrz, concluimos que la ecuacion (3) es la

ecuacion del cilndro circular recto generado. Notese que la ecuacion del cilindro coincide

con la ecuacion de su directrz. Esto era de esperarse puesto que sobre una recta paralela

al eje zno cambian las coordenadas x e y; solo cambia la coordenada z. Si denominamos

por Sal conjunto de puntos del

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Teoría de planos y Superficies (Matemáticas 2)