INDICE
CONTENIDOPAG.TEORA DE PROBABILIDAD - ESPACIO
MUESTRALSUCESOS..03CLCULO DE
PROBABILIDADES..04ESTADISTICA....05DEFINICIN DE CLASIFICACIN -
FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA - TIPOS DE FRECUENCIA06DISTRIBUCIN
DE FRECUENCIA - MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRAL: MODA.07LA MEDIA
ARITMTICA08DEFINICIN FORMAL PROPIEDADES.09MEDIANA...10CLCULO DE LA
MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS - CALCULEMOS LA
MEDIANA:.11BIBLIOGRAFIA.12
TEORA DE PROBABILIDAD
Espacio muestralUn espacio muestral S asociado a un experimento
aleatorio, es un conjunto tal que:a) Cada elemento de S representa
un resultado del experimentob) Cualquier forma de verificar el
experimento da un resultado que corresponde a un elemento de S y
slo uno.
Ejemplo: si lanzamos dos monedas, una de 1 Euro y otra de 50
cntimos, el espacio muestral ser siendo C la cara de una moneda y X
el reverso de la misma o cruz.
SUCESOS
Sea S un espacio muestral dado. Un suceso es un subconjunto de
S.As si en un experimento el espacio muestral es siendo n finito,
un suceso puede ser
1) Suceso imposible,, es el que no tiene ningn elemento.Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuacin igual a 7.2) Suceso seguro,
E,est formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral).Ejemplo: Tirando un dado obtener una puntuacin
que sea menor que 7.3) Suceso Independiente.- Dos sucesos, A y B,
son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve
afectada porque haya sucedido o no B.Ejemplo: Al lazar dos dados
los resultados son independientes.CLCULO DE PROBABILIDADES
1. Conceptos.Si tenemos una bolsa con una proporcin conocida de
bolas blancas y bolas negras, el clculo de probabilidades es la
parte de las matemticas que ensea a calcular la probabilidad de que
si extraemos, por ejemplo, una muestra de 10 bolas, 7 sean
blancas.Por otra parte, si tenemos una bolsa con una proporcin
desconocida de bolas blancas y bolas negras, la estadstica es la
parte de las matemticas que ensea a calcular la probabilidad de que
si extraemos, por ejemplo, una muestra de 10 bolas en que 7 sean
blancas, determinado intervalo numrico contenga la proporcin de
bolas blancas de la bolsa con una probabilidad alta. La estadstica
es la parte de las matemticas que trata de la recogida, el anlisis
y la sntesis de datos de observaciones para estudiar fenmenos
colectivos; la estadstica estudia numricamente los fenmenos
colectivos incompletamente conocidos. No hay que confundir la
estadstica (como ciencia) con una estadstica (que es un conjunto de
datos y hechos reunidos, clasificados y computados).Es decir, el
clculo de probabilidades estudia la probabilidad de que una causa
produzca determinado fenmeno, mientras que la estadstica estudia la
probabilidad de que un fenmeno sea debido a determinada causa. Por
tanto, se puede decir que el clculo de probabilidades es la ciencia
inversa de la estadstica.En la naturaleza hay fenmenos
deterministas y fenmenos aleatorios. Los primeros son aquellos en
que, conociendo las causas que los determinan, podemos prever con
certeza el resultado. Los segundos son aquellos que tienen muchas y
desconocidas causas que los determinan y no podemos prever con
certeza el resultado.La probabilidad de un suceso es la frecuencia
a la que tiende el resultado del suceso si se repite indefinidas
veces. La probabilidad es una medida de la incertidumbre de un
suceso futuro. La probabilidad de un suceso futuro est ntimamente
ligada con la frecuencia con la que el suceso se ha presentado en
el pasado. Si impulsando 37.000 veces una ruleta, su bola ha cado
unas 1.000 veces en el nmero 7, podemos creer que la ruleta est
bien equilibrada y que hay una probabilidad de 1/37 que, si la
impulsamos de nuevo, la bola caiga en el nmero 7. Adems, en esta
ruleta equilibrada, tanto si ha salido varias veces seguidas el
nmero 5 como si hace muchas veces que no ha salido el nmero 5, la
probabilidad de que en la prxima ocasin salga el nmero 5 es 1/37;
la ruleta no tiene memoria.La probabilidad de un suceso es el
cociente de la divisin del nmero de casos favorables al suceso por
el nmero de casos posibles, si se prev que, tomando un nmero grande
de los casos, se observar aproximadamente igual cantidad de cada
caso posible. Llamamos equiprobables los casos que creemos que se
daran con frecuencias muy iguales si repitisemos el suceso un gran
nmero de veces. Los matemticos presentan el concepto de
probabilidad con 3 axiomas (llamados tambin postulados), es decir,
que lo presentan con 3 proposiciones no demostradas pero que
parecen evidentes:Axioma 1: La probabilidad de un acontecimiento
vale entre 0 (si es imposible) y 1 (si es cierto).Axioma 2: La
probabilidad de un acontecimiento sumada a la probabilidad de que
no suceda el acontecimiento vale 1.Axioma 3: La probabilidad de un
acontecimiento compuesto de alternativas mutuamente excluyentes
vale la suma de las probabilidades de las alternativas.
ESTADSTICA
La estadstica es una ciencia formal y una herramienta que
estudia el uso y los anlisis provenientes de una muestra
representativa de datos, busca explicar las correlaciones y
dependencias de un fenmeno fsico o natural, de ocurrencia en forma
aleatoria o condicional.
DEFINICIN DE CLASIFICACIN
Clasificacin es un concepto vinculado con el verbo clasificar,
que se refiere a la accin de organizar o situar algo segn una
determinada directiva. El trmino tambin se utiliza para nombrar al
vnculo que se establece entre aquellos clasificados tras una
prueba.
FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA
Se denomina frecuencia a la cantidad de veces que se repite un
determinado valor de la variable.Se suelen representar con
histogramas y diagramas de Pareto.
TIPOS DE FRECUENCIA
Frecuencia absoluta: Es el promedio de una suma predeterminada y
adems consiste en saber cul es el nmero o smbolo de mayor
equivalencia. (ni) de una variable estadstica Xi, es el nmero de
veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamao de la
muestra aumentar el tamao de la frecuencia absoluta; es decir, la
suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de
la muestra estudiada (N).Frecuencia relativa (fi), es el cociente
entre la frecuencia absoluta y el tamao de la muestra (N). Es
decir,
Siendo el fi para todo el conjuntoi. Se presenta en una tabla o
nube de puntos en una distribucin de frecuencias.Si multiplicamos
la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto
por ciento (pi)
DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA
En estadstica, se le llama distribucin de frecuencias a la
agrupacin de datos en categoras mutuamente excluyentes que indican
el nmero de observaciones en cada categora. Esto proporciona un
valor aadido a la agrupacin de datos. La distribucin de frecuencias
presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el
nmero existente en cada clase.
MEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRAL: MODA
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es
conveniente resumir la informacin con un solo nmero. Este nmero
que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribucin
de datos se denomina medida o parmetro de tendencia central o de
centralizacin. Cuando se hace referencia nicamente a la posicin de
estos parmetros dentro de la distribucin, independientemente de que
sta est ms o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas
de posicin. En este caso se incluyen tambin los cuantiles entre
estas medidas.La moda es el dato ms repetido de la encuesta, el
valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto
sentido la definicin matemtica corresponde con la locucin "estar de
moda", esto es, ser lo que ms se lleva.Su clculo es extremadamente
sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas,
expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o,
en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la
variable, se recurre a la interpolacin.Por ejemplo, el nmero de
personas en distintos vehculos en una carretera:
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El nmero que ms se repite es 5, entonces la
moda es 5.Hablaremos de una distribucin bimodal de los datos,
cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la
misma frecuencia absoluta mxima. Cuando en una distribucin de datos
se encuentran tres o ms modas, entonces es multimodal. Por ltimo,
si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no
hay moda.Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes
de calcular la moda, se ha de definir el intervalo modal. El
intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.La moda, cuando
los datos estn agrupados, es un punto que divide el intervalo modal
en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del
intervalo, que verifiquen que:
Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal y y las
frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior,
respectivamente, al intervalo modal.
LA MEDIA ARITMTICA
La media aritmtica es el valor obtenido por la suma de todos sus
valores dividida entre el nmero de sumadores.Por ejemplo, las notas
de 5 alumnos en una prueba:nio nota 1 6,0 Primero, se suman las
notas: 2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6 3 3,1 Luego el total se
divide entre la cantidad de alumnos: 4 7,0 27,6/5=5,52 5 6,1 La
media aritmtica en este ejemplo es 5,52La media aritmtica es,
probablemente, uno de los parmetros estadsticos ms extendidos. Se
le llama tambin promedio o, simplemente, media.
DEFINICIN FORMAL
Dado un conjunto numrico de datos, x1, x2, ..., xn, se define su
media aritmtica como
Esta definicin vara, aunque no sustancialmente, cuando se trata
de variables continuas, esto es, tambin puede calcularse para
variables agrupadas enintervalos.
PROPIEDADESLas principales propiedades de la media aritmtica
son:Su clculo es muy sencillo y en l intervienen todos los datos.Su
valor es nico para una serie de datos dada.Se usa con frecuencia
para comparar poblaciones, aunque es ms apropiado acompaarla de una
medida de dispersin.Se interpreta como "punto de equilibrio" o
"centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad
de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio
valor:
Minimiza las desviaciones cuadrticas de los datos respecto de
cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mnimo cuando .
Este resultado se conoce como Teorema de Knig. Esta propiedad
permite interpretar uno de los parmetros de dispersin ms
importantes: la varianza.Se ve afectada por transformaciones afines
(cambios de origen y escala), esto es, si entonces , donde es la
media aritmtica de los , para i = 1, ..., n y a y b nmeros
reales.Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es
un parmetro muy til en inferencia estadstica.
Inconvenientes de su usoEste parmetro, an teniendo mltiples
propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene
tambin algunos inconvenientes, como son:Para datos agrupados en
intervalos (variables continuas) su valor oscila en funcin de la
cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.La estatura
media como resumen de una poblacin homognea (abajo) o heterognea
(arriba).Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la
dispersin, de modo que cuanto menos homogneos sean los datos, menos
informacin proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy
distintas en su composicin pueden tener la misma media. Por
ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual
estatura, 1,95 m, evidentemente, tendra una estatura media de 1,95
m, valor que representa fielmente a esta poblacin homognea. Sin
embargo, un equipo de jugadores de estaturas ms heterogneas, 2,20
m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendra tambin,
como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no
representa a casi ninguno de sus componentes.En el clculo de la
media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los
valores altos tienen ms peso que los valores cercanos a cero. Por
ejemplo, en el clculo del salario medio de un empresa, el salario
de un alto directivo que gane 1.000.000 de tiene tanto peso como el
de diez empleados "normales" que ganen 1.000 . En otras palabras,
se ve muy afectada por valores extremos.No se puede determinar si
en una distribucin de frecuencias hay intervalos de clase
abiertos.Media aritmtica ponderadaA veces puede ser til otorgar
pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para
determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media
ponderada.Sison nuestros datos yson sus "pesos" respectivos, la
media ponderada se define de la siguiente forma:
MEDIANA
La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de s a
la mitad de los datos, una vez que stos estn ordenados de menor a
mayor. Por ejemplo, la mediana del nmero de hijos de un conjunto de
trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1,
2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posicin
central es 2:
En caso de un nmero par de datos, la mediana no correspondera a
ningn valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como
mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por
ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:
Se toma como mediana Existen mtodos de clculo ms rpidos para
datos ms numerosos (vase el artculo principal dedicado a este
parmetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se
halla el "intervalo mediano" y, dentro de ste, se obtiene un valor
concreto por interpolacin.
CLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver
tabla del margen derecho).As, aplicando la frmula asociada a la
mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basndonos en la
frmula que hace referencia a las frecuencias absolutas:Ni-1< n/2
< i=N19 < 19.5 < N20Por tanto la mediana ser el valor de
la variable que ocupe el vigsimo lugar. En nuestro ejemplo, 21
(frecuencia absoluta acumulada para Xi= 5) > 19.5 con lo que Me=
5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como
estamos hablando de calificaciones, sern puntos)La mitad de la
clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o ms.
CALCULEMOS LA MEDIANA:
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver
tabla margen derecho).Si volvemos a utilizar la frmula asociada a
la mediana para n par, obtenemos X(38/2) =X19 y basndonos en la
frmula que hace referencia a las frecuencias absolutas
-->Ni-1
