Teoría de series y sucesiones de números reales

Captulo 2

Suesiones

21

22 CAPTULO 2. SUCESIONES

Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 23

2.1. Planteamiento del problema

Supongamos que nos interesa estudiar determinado fenmeno fsio: mquina eltria,

ampo magntio, rea

iones qumias que tienen lugar en un matraz, interior de una aldera,

superie de un lquido, et. Con el instrumental apropiado medimos la magnitud fsia que

nos interesa (ver la gura 2.1), por ejemplo:

Voltaje

Intensidad de orriente

Intensidad de un ampo

Temperatura

Presin

Altura del nivel de un lquido

.

.

.

Figura 2.1: Modelizain

Muhas vees es neesario disretizar la magnitud fsia bajo estudio, tomando una mues-

tra de sus valores, para, por ejemplo, ser almaenados/tratados en ordenador. (Ver la gura

2.2)

Figura 2.2: Disretizain

y = f(x) y1, y2, y3, . . . siendo yi = f(xi)

E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada


El ordenador tiene memoria nita, no puede almaenar todos los valores f(x) para adax [a, b] pues pueden ser innitos, pero s podemos tomar una muestra y1 = f(x1), y2 =f(x2), y3 = f(x3), , yn = f(xn)

Veamos unos ejemplos:

1. Calentamos una barra metlia, y queremos estudiar en ada instante t, la distribuinde temperatura en un punto jo x, para ello medimos la temperatura T ada intervalode tiempo t obteniendo la seuenia T1, T2, (ver la gura 2.3)

Figura 2.3: Ejemplo 1

2. Medimos la veloidad de un vehulo en los instantes t1, t2, t3, , obteniendo la se-

uenia v1, v2, v3, (ver la gura 2.4)


3. La variain de la magnitud fsia no siempre se mide respeto al tiempo. Por ejemplo

si estudiamos la deexin de una viga al oloar diversas masas: (ver la gura 2.5)


Vamos aumentando mKg ada vez, y estudiamos la suesin d1, d2, d3, , es deirun onjunto numerado de nmeros reales. Vamos a denir este onepto de forma

general:


2.2. DEFINICIN DE LA SUCESIN 25

Deniin 2.1 Una suesin es un onjunto numerado de nmeros reales:

{x1, x2, x3, x4, x5, } = {xn}nN

Ahora nos planteamos el siguiente problema: Estudiar las propiedades de {xn} a medidaque el ndie n N va aumentando.

Si determinamos el omportamiento de {xn} eso nos da informain sobre mo se

omporta el fenmeno fsio. Sin embargo, hay que ser uidadosos en el modo de muestrear

la funin, porque los resultados pueden ser equivoados:

Por ejemplo (ver la gura 2.6) supongamos que nos interesa medir la amplitud de una

seal A(t). Supongamos que muestreamos en los instantes

Figura 2.6: Seal A(t) = 3 sen(t)

t1 =pi

2, t2 =

pi

2+ 2pi, , tn = pi

2+ 2pin

Si la seal fuese A(t) = C sen t, las observaiones seran

A(t1) = A(t2) = = A(tn) = C

de modo que nuestra onlusin sera que A(t) = C para todo t, lo ual no es ierto. Poreso la etapa de muestreo es muy importante.

No vamos a entrar en ello, pero existen resultados matemtios que nos dien mo efe-

tuar el muestreo de una seal f(t) de modo que la suesin muestreada f(t1), f(t2), f(t3), se omporte de un modo pareido a f(t) (Proesamiento Digital de Seales).

Nosotros vamos a suponer que la suesin {xn} es representativa del fenmeno a estudiar.Reuerda el problema que hemos planteado: Estudiar las propiedades de {xn}.

2.2. Deniin de la suesin

A partir de sus valores numrios, por ejemplo podra tratarse de mediiones de labo-

ratorio:

{xn} = {x1 = 2. 5, x2 = 2. 51, x3 = 2. 513, x4 = 2. 5132, }



A partir del trmino general, es deir, la regla que nos die mo alular xn para adan N. Por ejemplo:

xn =1

n, yn =

lnnn, ym =

{m2 si m es par1

msi m es impar

Por reurrenia: el trmino yn se obtiene a partir de los anteriores.

2.3. Propiedades interesantes de las suesiones

Algunos tipos de suesiones pueden servirnos para analizar diferentes tipos de ompor-

tamientos. Veamos algunas suesiones:

{xn} = {3, 3. 1, 3. 14, 3. 141, 3. 1415, 3. 14159, 3. 141592, } (ver la gura 2.7)

Figura 2.7: Tiende a pi

Ejeriio 2.1 Explia on tus propias palabras, qu propiedades pueden servir para

desribir el onjunto. Piensa tambin de qu modo podras representar sus valores.

Por ejemplo, supongamos que vamos ehando anias a una bolsa. Ehamos dos anias

ada vez. La pregunta es untas anias habr en la bolsa en ada momento?. Si ynes el nmero de anias en el instante n, entones:

yn = yn1 + 2 n = 2, 3,

y2 = y1 + 2 y3 = y1 + 4 y4 = y1 + 6 Sin embargo, tendremos que espeiar el nmero de anias que iniialmente haba

en la bolsa, esto es, el valor de y1. Una vez onoido y1, ya podemos obtener todos lostrminos de la suesin (ver la gura 2.8):

y1 y2 = y1 + 2 y3 = y2 + 2


2.3. PROPIEDADES INTERESANTES DE LAS SUCESIONES 27

Figura 2.8: Nmero de anias

En general, la suesin denida en modo reurrente tendr la forma yn = F (yn1)n = 2, 3, , siendo y1 un valor onoido.No obstante, esta deniin se puede ampliar, omo por ejemplo en la suesin de

Fibona

i, denida de la forma:

y1 = 1, y2 = 1, yn = yn1 + yn2 n > 2

y3 = y1 + y2, y4 = y2 + y3, en la que es neesario onoer los dos primeros trminos.

{yn} ={1 + 1

n

}n1

=

{0,1 + 1

2,1 + 1

3,1 + 1

4,

}Es fil observar que yn

umple las tres propiedades siguientes:

yn 0 n N {yn} es dereiente {yn} est aotada: yn [1, 0] n N

De manera formal, se esribirn as:

Creiente: yn+1 > yn n NDereiente: yn+1 < yn n NAotada: p, q R | p yn q n N (Los nmeros p y q no sonnios y se llaman otas)

Para yn:

n < n+ 1 1n

>1

n+ 1 1 + 1

n> 1 + 1

n+ 1 yn+1 < yn (dereiente)

n N 1 yn 0 p = 1, q = 0 aotada superior e inferiormente

Ejeriio 2.2 Para ada una de las siguientes suesiones, estudiar si se veria alguna de

las tres propiedades anteriores:



un = n2

vn = 2n+ 1

zk = (1)k 1k

(Estudiarla on detenimiento)

wx =

x si x es par1

xsi x es impar

x N

yn = an a R

Ejeriio 2.3 Razonar las armaiones:

{xn} reiente/dereiente {a xn} a R reiente/dereiente

{xn} Aotada {a xn} a R Aotada

2.4. Convergenia de suesiones

Estudiando las suesiones:

un =1

n; yn =

2n

n+ 1; zn =

n2

2n2 + 3n + 1

Enontramos un omportamiento omn: ada una de ellas tiene un ierto valor ara-

terstio l: a medida que n aumenta, la distania entre el trmino n-simo de la suesin y les ada vez menor. (ver la gura 2.9)

Figura 2.9: Suesin {1/n}

En otras palabras, por muy pequea que sea la distania d que tomemos desde l, llegaun momento en que todos los trminos de la suesin estn an mas era de l

Por ejemplo: un =1

n(ver la gura 2.10)

Figura 2.10: Proximidad al lmite

Tomo d = 0. 4: A partir de n = 3, todos los siguientes trminos estn mas era de 0 que0. 4


2.4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 29

Y si ambio el valor de d, p. ej. d = 0. 05:1

n< 0. 05 n > 1

0. 05= 20.

A partir del trmino 21, todos los siguientes trminos estn mas era de 0 que d = 0. 05.

Veamos otro ejemplo: {xn} = {(1)n 1n} =

{1, 1

2,1

3,1

4,1

5,

}(ver la gura 2.11)

Figura 2.11: Otro ejemplo

Los trminos de xn se sitan a ambos lados de l = 0, pero el omportamiento es elmismo. Por muy pequea que sea la distania d que nos jemos desde l, llega un momentoen que todos los trminos siguientes de la suesin se enuentran a una distania menor que

d.

Estudiemos esta ondiin en ym =2m

m+ 1y l = 2 para algunas distanias: d =

0. 5, 0. 05, 0. 01, 0. 001

Dado d > 0, se trata de enontrar m tal que2m

m+ 1> 2 d (ver la gura 2.12)

Figura 2.12: Obtenin de m

Como

m

m+ 1< 1 ym < 2 m N

2 d < 2mm+ 1

2m+ 2 dm d < 2m 2 d < dm d>0 m > 2 dd

=2

d 1

Si d = 0. 5 entones m >2

0. 5 1 = 3

Si d = 0. 001 sera m >2

0. 001 1 = 1999

Ahora vamos a esribir formalmente el onepto de onvergenia de la suesin {xn} a l: > 0 n0 N | n N, n > n0 xn (l , l + )

A B C D

Donde ada bloque lo podemos leer de la forma siguiente:



A: por muy pequea que sea la distania que tomemos desde l . . .

B: llega un momento, es deir, existe un trmino de la suesin tal que . . .

C: todos los trminos a partir de l . . .

D: estn a una distania de l menor que , es deir, aen dentro del intervalo (l , l + )(ver la gura 2.13)

Figura 2.13: Deniin de lmite

Ejeriio 2.4 Qu nombre rees que podramos darle al nmero l?

Ejeriio 2.5 Dada yr =r2

r2 + 1, estudiar:

Creimiento

Aotain

Convergenia haia ierto valor l

Ejeriio 2.6 Estudiar todas las propiedades que hemos denido en los siguientes ejemplos

de suesiones. Representarlas gramente.

1. xn =

1 si n es par1

nsi n es impar

2. yn =

3 si n 1061

nsi n > 106

3. zn =

n2 si n 1061 +

1

nsi n > 106

4. un = rn r R

Ejeriio 2.7 Esribir formalmente la ondiin de que l no es lmite de la suesin {xn}.


2.5. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES 31

2.5. Propiedades de las suesiones onvergentes

2.5.1. Uniidad del lmite

Es posible que haya dos lmites distintos? (ver la gura 2.14):

lmn

xn = l1, lmn

xn = l2 l1 6= l2

Figura 2.14: El lmite es nio

Para demostrar que esto es falso, por el mtodo de redu

in al absurdo, la estrategia

es:

Tomar un lo bastante pequeo para que los intervalos (l1 , l1 + ) y (l2 , l2 + )no tengan puntos omunes

( |l1l2|

2

).

Enontrar n0 N | n n0, xn (l1 , l1 + ) y xn (l2 , l2 + ), lo ual esimposible (absurdo).

2.5.2. Convergenia de operaiones entre suesiones

Sean {xn} l1, {yn} l2. Paree que podemos esperar:

1. lmn

{xn + yn} = l1 + l2

2. lmn

{xn yn} = l1 l23. lm

n{kxn} = k l1

4. lmn

{xnyn

}=

l1l2

siendo yn 6= 0, n N y l2 6= 0

Las uatro siempre son iertas. Veamos los asos 1 y 3 :

1) (ver la gura 2.15)

Figura 2.15: Lmite de la suma de dos suesiones



Dado > 0, busamos n0 N tal que n > n0:

xn + yn (l1 + l2 , l1 + l2 + ) l1 + l2 < xn + yn < l1 + l2 + (2.1)

Dado d > 0:

n1 N | n > n1 l1 d < xn < l1 + dn2 N | n > n2 l2 d < xn < l2 + d

Tomando n0 = max{n1, n2} y sumando ambas ineuaiones:

n > n0 l1 + l2 2d < xn < l1 + l2 + 2d

y onseguimos (2.1) tomando d =

2

3) Dado > 0, busamos un n0 N tal que n > n0:

k l1 < k xn < k l1 + (2.2)

Dado d > 0:

n0 N | n > n1 l1 d < xn < l1 + d (2.3)

Debemos transformar (2.3) en (2.2):

Si k > 0: k l1 k d < k xn < k l1 + k d y onseguimos (2.2) tomando d = k

Si k < 0: k l1 k d > k xn > k l1 + k d k l1 + k d < k xn < k l1 k d y

onseguimos (2.2) tomando d =

k> 0

(ver la gura 2.16)

Figura 2.16: Cambio de esala

Ejeriio 2.8 Si {wn = xn + yn}, {zn = xnyn}, {un = kxn} son onvergentes, tambin loson {xn} e {yn}?


2.6. ESTIMACIN DEL LMITE DE UNA SUCESIN CONVERGENTE 33

2.5.3. Aotain

Estudiemos ahora ul es la relain entre aotain y onvergenia. En onreto

1. Si {xn} es aotada, es siempre onvergente?

2. Si {xn} es onvergente, es siempre aotada?

Ejeriio 2.9 Estudiar ambas propiedades en la suesin xn = (1)n. Qu onlusinobtenemos?

Ejeriio 2.10 Demostrar que la propiedad (2) es siempre ierta, empleando la siguiente

estrategia;

1. Aotar asi todos los trminos en (l , l + ), es deir, todos salvo un nmero nitode ellos.

2. Aotar el resto de los trminos, sabiendo que es un nmero nito.

Ejeriio 2.11 Aabamos de demostrar que

{xn} onvergente {xn} aotada

Pero, qu podemos asegurar si {xn} es NO aotada?En general, si hemos demostrado una impliain P Q, qu ourre si nos enontramos

on un ejemplo en el que Q no es ierta?

2.6. Estimain del lmite de una suesin onvergente

Si lmn xn = l, es de esperar que para un valor de n avanzado, l xn. Ahora bien,qu signia un valor de n avanzado?, Por ejemplo, n = 1000, 100000?. Se trata de una

uestin importante porque si estamos alulando de forma aproximada el lmite l de {xn}mediante un programa de ordenador, habr que indiar de algn modo el signiado de navanzado; habr que espeiar de algn modo qu ondiin debe umplirse para que el

programa se detenga, Esta ondiin se llama riterio de parada. Veamos tres riterios de

parada que podemos utilizar:

Criterio 1: Calular xk, siendo k un valor predeterminado (100, 1000, 100000, )Criterio 2: Fijado > 0, detener los lulos uando |xn xn1| <

Criterio 3: Fijado > 0, detener los lulos uando|xn xn1|

|xn| =1 xn1xn

< Pero uidado, el heho de que xn xn1 0 no asegura la onvergenia de {xn}.

Por ejemplo: {xn} ={1 +

1

2+

1

3+ + 1

n

}diverge y sin embargo xn xn1 0



Veamos que {xn} diverge a +:

xn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8+

1

9+

1

10+

1

11+

1

12+

1

13+

1

14+

1

15+

1

16+

1

17+ >

> 1 +1

2+

1

4+

1

4+

1

8+

1

8+

1

8+

1

8+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

32+ =

= 1 +1

2+

1

2+

1

2+

1

2+ , puedes demostrar que xn xn1 0 ?

2.7. Teorema de la onvergenia montona

Supongamos que {zn} es una suesin reiente. Esto no es una ondiin neesaria nisuiente para generalizar la onvergenia. Como demostrar que sto es ierto?

Para demostrar que una propiedad es ierta en general, No podemos emplear ejemplos

en los que esa propiedad se umple. Hay que haerlo de modo general, partiendo de

una suesin ualquiera.

Para demostrar que una propiedad no siempre es ierta, basta on enontrar un aso

en el que no es ierta: es un ontraejemplo.

Ejeriio 2.12 Demostrar que las siguientes propiedades no son iertas en general:

P1: Para que {xn} sea onvergente, es neesario que {xn} sea reiente.P2: Si {xn} es reiente, entones es onvergente.

As pues, si slo sabemos que xn es reiente no podemos deir nada de su onvergenia.Ahora nos preguntamos: Qu ondiin ADICIONAL nos permite asegurar la onvergen-

ia?.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

xn = 1 1n

Es reiente y onvergente

yn = 2n+ 1 Es reiente y no onverge.

Qu las diferenia?.

Es fil omprobar que {xn} est aotada superiormente, mientras que {yn} no.En general, se puede demostrar que las ondiiones reiente y aotada nos aseguran la

onvergenia. Ahora bien, ul ser el lmite? (ver la gura 2.17)

Por ejemplo (ver la gura 2.18):

xn = 1 1n

l = 1 es el lmite y adems la menor de las otas superiores (supremo). Cualquier otronmero 1 no puede ser ota superior, porque omo xn es reiente, llega un momento


2.7. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONTONA 35

Figura 2.17: Suesin reiente y aotada

en que xn > 1 , es deir supera la ota. Pues bien, este resultado es ierto tambin engeneral y se onoe on el nombre de Teorema de la onvergenia montona: (ver la gura

2.18)

Figura 2.18: El supremo es el lmite

Teorema 2.1 (De la onvergenia montona) Si {xn} es reiente y aotada superior-mente, entones {xn} es onvergente. Adems su lmite es el supremo de {xn}.Ejeriio 2.13 Enuniar el teorema para suesiones dereientes. Enontrar ejemplos de

apliain del teorema.

Ejemplo:

(1 +

1

n

)nSe puede demostrar que es reiente y aotada, por lo que es on-

vergente. Estimemos su lmite:

x1 = 2, x2 = 2. 25, x3 = 2. 37, x10 = 2. 59, x100 = 2. 704, x1000 = 2. 717,

(Como ves, onverge muy lentamente).

Veamos otra forma de alularlo:

En la expresin l = lmn

(1 +

1

n

)ntomamos logaritmos neperianos, (al ser ln(x)

funin ontinua y reiente para los valores que toma la suesin, el logaritmo y el lmite

son interambiables) y queda:

ln l = lmn

nln(1 +

1

n

)= lm

n

ln

(1 +

1

n

)1

n

tomamos n real

apliamos L'Hpital

= lmn

1

1 +1

n

(1n2

)

1n2

= 1

y tenemos: ln l = 1 l = e1 = e menor de las otas superiores supremo.



2.8. Divergenia haia de una suesinEjeriio 2.14 Considera las siguientes suesiones:

xn = n, yn = n2, zn = e

n, wn = n!, pn = lnn qn =

n3 si n es par1

nsi n es impar

Demuestra que se umple lo siguiente:

Para xn, , pn : M R,n0 N | n > n0 xn > MPara qn : esta ondiin no es ierta, slo podemos deir que es No aotada, (por lotanto no onverge)

Pues bien, ya podemos denir dos nuevos oneptos:

Deniin 2.2 Esribiremos

lmn

xn =

si se umple:

M R, n0 N | n n0 xn > M(ver la gura 2.19)

Figura 2.19: Suesin no aotada superiormente

Y de forma anloga

Deniin 2.3 Esribiremos

lmn

yn =

si se umple:

M R, n0 N | n n0 yn < M

(ver la gura 2.20)

Ejeriio 2.15 Disutir el siguiente ejemplo: xn =

{1 si n es par

n2 si n es impar


2.8. DIVERGENCIA HACIA DE UNA SUCESIN 37

Figura 2.20: Suesin no aotada inferiormente

2.8.1. Comparain de la veloidad de reimiento haia Hemos visto ejemplos de suesiones tales que su lmite es innito:

xn = n; yn = n2 + 1; un = e

n; vn = n3.

Aunque las uatro divergen, no lo haen on la misma veloidad. Por ejemplo, para n lobastante avanzado, el valor de xn es muho menor que el de yn, un y vn. Esta propiedad ladenotamos de este modo:

xn


Figura 2.21: Suesiones reurrentes

Ejemplo 2.1 Denimos la siguiente suesin reurrente: an+1 = 3 a2n siendo a1 > 0.

En este aso, f(x) = 3x2, de modo que si an es onvergente, su lmite l debe veriar laeuain:

x = 3x2 x = 0 x = 13

Por ejemplo, si

a1 =1

5 a2 = 3

25= 0. 12 a3 = 27

625= 0. 0432 a4 = 0. 0056 onverge haia 0

En ambio, si

a1 =1

2 a2 = 3

4= 0. 75 a3 = 27

16= 1. 69 a4 = 8. 54 diverge haia

Ahora nos preguntamos, por qu para un valor de arranque a1, la suesin onverge ypara otro no?

Observa la gura 2.22. Hemos representado las gras de y = 3x2 e y = x. Utilzalapara omprobar que la suesin an onverge haia 0 uando a1 [0, 1/3] pero diverge a si a1 > 1/3.

La expliain de por qu para algunos valores de a1 la suesin onverge y para otrosdiverge, la enontramos en un teorema que estudiaremos ms detenidamente en el tema 4, altratar del Teorema del punto jo, que nos da ondiiones suientes (aunque no neesarias)

para asegurar la onvergenia de an:

Teorema del punto jo: Si f(x) es ontinua en [a, b] y f(x) [a, b], entones existeun punto l [a, b] tal que l = f(l).



Figura 2.22: y = 3x2 e y = x

En nuestro aso, f(x) = 3x2, si x [0, 1/3], f(x) [0, 1/3] luego existe algn puntojo en [0, 1/3] y por tanto la suesin es siempre onvergente. El lmite slo puede ser 0 1/3, pero en este aso la onvergenia es siempre haia 0

2.8.3. Series numrias

Vamos a plantear un nuevo problema:

Existen numerosas situaiones en las que ierta magnitud A, se esribe mediante una sumade innitos trminos:

A = a1 + a2 + a3 + En el tema 1 (nmeros omplejos) utilizamos algunos resultados basados en series innitas:

cos x = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+x8

8! x

10

10!+ x R (1)

senx = x x3

3!+x5

5! x

7

7!+x9

9! x

11

11!+ x R (2)

ex = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!+ x R (3)

Estudiaremos en el tema 5 de dnde surgen estos desarrollos pero de (3) podemos deduir,sin ms que tomar x = 1:

e = 2 +1

2+

1

3!+

1

4!+

1

5!+

Ejeriio 2.17 Usar las expresiones anteriores para obtener las series de las siguientes

funiones:

ex, ex2

, cos 2x, sen 3x, x ex, senxx

(x 6= 0), sen(x), cos(x), senx cos x



Otro desarrollo interesante es el siguiente:

arc tg x =x

1 x

3

3+x5

5 x

7

7+x9

9+

Como ejeriio, elige un valor adeuado de x R para obtener pi de la forma:

pi = 4

(1 1

3+

1

5 1

7+

1

9+

)

En estas series de e y pi, si tomamos slo un nmero nito de sumandos, obtenemos unaaproximain que ser mas prxima al valor real uantos mas sumandos tomemos.

Ejeriio 2.18 Utilizar los anteriores desarrollos de pi y e para obtener aproximaionessuesivas a estos valores, hasta obtener:

e 2. 71828 pi 3. 14159

ompletando la siguiente tabla:

n de sumandos aproximain de e aproximain de pi

1

2

5

10

.

.

.

Sabemos qu signia ortar la serie y quedarnos slo on un nmero nito de suman-

dos:

S = a1 + a2 + a3 + Sn = a1 + a2 + a3 + + anPero Qu signia sumar toda la serie ?. Cmo se hae?. Este es el problema.

La uestin tiene sus diultades, por ejemplo,

Cunto vale S = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ?Podemos tratar de alular el valor de S, asoiando trminos de distintas formas:

S =

(1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + = 0

1 + (1 1) + (1 1) + (1 + 1) + = 1 Contradi

in !!

Este ejemplo muestra que no siempre se pueden utilizar las propiedades vlidas para sumas

nitas, en este aso la propiedad asoiativa:

(a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3)



Pero

(a1 + a2) + (a3 + a4) + (a5 + a6) + puede dar lugar a un valor diferente de

a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5) + Como denir la suma a1 + a2 + a3 + a4 + ?. La idea es tomar la suesin de sumaspariales:

S1 =a1

S2 =a1 + a2

S3 =a1 + a2 + a3.

.

.

Sn =

nk=1

ak = a1 + a2 + + an

.

.

.

Como Sn es una suesin, podemos estudiar su onvergenia:

Deniin 2.4 Diremos que la serie

an es onvergente si existe el lmite:

S = lmn

nk=1

ak

y el lmite es nito.

Lo denotamos

n=1

an

Ejemplo 2.2 Consideremos la serie geomtria

n=0

rn = 1 + r + r2 + r3 + r R

En este aso:

Sn =

nk=0

rk = 1 + r + r2 + r3 + + rn = 1 rn+1

1 r =1

1 r rn+1

1 r si r 6= 1

y alulando el lmite

lmn

Sn =

1

1 r si |r| < 1no onverge si |r| 1



Ejemplo 2.3 Cunto vale 0. 9999999 ?

0. 999999999 =0. 9 + 0. 09 + 0. 009 + 0. 0009 + = 9(

1

10+

1

102+

1

103+

1

104+

)=

=9

n=1

(1

10

)ngeomtria

= 9

1

1 110

1

= 1 0. 99999 = 1

Ejeriio 2.19 Calular

k=1

k rk,

k=1

k2 rk (Ayuda: derivar

k=0

rk =1

1 r respeto a r)

Ejeriio 2.20 Estudiar la onvergenia de la serie:

1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 =

n=1

(1)n

Ejeriio 2.21 Esribir on notain de sumatorios las series de las funiones:

ex, cos x, senx, ex2

, sen 2x


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Teoría de series y sucesiones de números reales