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Corso di Alta Formazione in Finanza Matematica Teoria della probabilit` a e calcolo stocastico applicati alla finanza. Docente: Andrea Pascucci Contenuti: il corso intende fornire gli strumenti matematico-probabilistici e le nozioni basilari per potere comprendere il settore della moderna finanza matematica che si occupa degli strumenti derivati. Indicazioni bibliografiche: per quanto riguarda una presentazione self-contained di teoria della misura e integrazione astratta, si veda l’appendice in [3]. Per quanto riguarda una presentazione degli elementi di teoria della probabilit`a si pu`o consultare, in ordine crescente di difficolt`a, [1], [7], [11], [5], [9], [10], [8]. Per quanto riguarda la valutazione di derivati si vedano [1] e [7], il secondo anche per l’implementazione di metodi numerici. 1

Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

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Page 1: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Corso di Alta Formazione in

Finanza Matematica

Teoria della probabilita e calcolo stocastico applicati

alla finanza.

Docente: Andrea Pascucci

Contenuti: il corso intende fornire gli strumenti matematico-probabilistici e le

nozioni basilari per potere comprendere il settore della moderna finanza matematica

che si occupa degli strumenti derivati.

Indicazioni bibliografiche: per quanto riguarda una presentazione self-contained

di teoria della misura e integrazione astratta, si veda l’appendice in [3]. Per quanto

riguarda una presentazione degli elementi di teoria della probabilita si puo consultare,

in ordine crescente di difficolta, [1], [7], [11], [5], [9], [10], [8]. Per quanto riguarda la

valutazione di derivati si vedano [1] e [7], il secondo anche per l’implementazione di

metodi numerici.

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Page 3: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Indice

1 Elementi di teoria della probabilita 5

1.1 Spazi di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Teorema di Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Attesa condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Il modello binomiale 21

2.1 Il modello di mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Misura martingala o neutrale al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Strategia adattata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Valutazione e copertura di derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Elementi di calcolo stocastico 33

3.1 Moto Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Moto Browniano ed equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Regolarita delle traiettorie di un MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Integrale stocastico di processi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Integrale di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.7 Processi e formula di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8 Metodo di Eulero per equazioni differenziali stocastiche . . . . . . . . . 53

3.9 Un’estensione della formula di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Modelli a tempo continuo per i derivati 57

4.1 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

Page 4: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

4 INDICE

4.2 Modello di Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Equazione di Black&Scholes ed equazione del calore . . . . . . . . . . . 61

4.4 Valutazione neutrale al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6 Put-Call parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.7 Formula di Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 Volatilita implicita e generalizzazioni del modello di Black&Scholes . . 65

4.9 Opzioni asiatiche e modelli con dipendenza dal passato . . . . . . . . . 65

Indice analitico 69

Page 5: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Capitolo 1

Elementi di teoria della probabilita

1.1 Spazi di probabilita

Nel seguito Ω indica un insieme non vuoto e P(Ω) l’insieme delle parti di Ω ossia la

famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω.

Definizione 1.1 (σ-algebra). Una famiglia F di sottinsiemi di Ω, F ⊆ P(Ω), si dice

σ-algebra se:

1. ∅ ∈ F ;

2. se A ∈ F allora Ac ≡ (Ω \ A) ∈ F ;

3. data una successione (An)n∈N di elementi di F si ha che∞⋃

n=1

An ∈ F .

Dato A ⊆ P, si pone

σ(A) =⋂F⊇A

F σ−algebra

F ,

ossia σ(A) e l’intersezione di tutte le σ-algebre contenenti A. Non e difficile verificare

(esercizio!) che l’intersezione di σ-algebre e ancora una σ-algebra. Si ha quindi che

σ(A) e la piu piccola σ-algebra contenente A ed e detta σ-algebra generata da A.

Esempio 1.2 (σ-algebra di Borel). Si indica con B(RN) la σ-algebra generata dalla

topologia euclidea di RN , ossia

B(RN) = σ(A | A aperto di RN).

5

Page 6: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

6 Elementi di teoria della probabilita

Ove non ci sara confusione scriveremo semplicemente B = B(RN). Si puo provare che

B(R) = σ( ]a, b[ | a, b ∈ Q, a < b),e un analogo risultato vale in dimensione maggiore di uno.

Definizione 1.3 (Misura di probabilita). Data una σ-algebra F su Ω, si dice misura

di probabilita un’applicazione P : F → [0, 1] tale che:

1. P (∅) = 0;

2. per ogni successione (An)n∈N di elementi di F a due a due disgiunti vale

P

( ⋃n≥1

An

)=

∑n≥1

P (An);

3. P (Ω) = 1.

Definizione 1.4 (Spazio di probabilita). Una terna (Ω,F , P ) con F σ-algebra su Ω e

P misura di probabilita su F , si dice spazio di probabilita.

L’insieme Ω e detto spazio campione o spazio dei risultati: si puo pensare ad

ogni elemento ω di Ω come al risultato di un esperimento o allo stato di un fenomeno,

per esempio la posizione di una particella nello spazio o il prezzo di un titolo. Nel

seguito, gli elementi B di F verranno chiamati eventi e P (B) sara chiamata probabilita

dell’evento B. In particolare, un evento E ∈ F si dice impossibile (rispettivamente,

certo) se P (E) = 0 (P (E) = 1).

Per esempio, se Ω = R+ e lo spazio campione che rappresenta l’insieme dei possibili

prezzi di una particolare azione, allora P (]a, b[) rappresenta la probabilita che il prezzo

sia maggiore di a e minore di b.

Definizione 1.5. Una misura di probabilita definita su (RN ,B) e detta distribuzione.

Il prossimo esempio mostra come sia relativamente facile costruire una distribuzione

a partire dalla misura di Lebesgue.

Esempio 1.6. Sia f : R→ R una funzione misurabile (ossia tale che f−1(H) ∈ B per

ogni H ∈ B), f ≥ 0 e tale che∫R f(x)dx = 1. Posto

P (H) =

H

f(x)dx, H ∈ B, (1.1)

si puo provare che, in base alle proprieta dell’integrale di Lebesgue, P e una distribu-

zione. In questo caso f si dice densita di P rispetto alla misura di Lebesgue.

Page 7: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.1 Spazi di probabilita 7

Esempio 1.7 (Distribuzione uniforme). Dati a, b ∈ R con a < b, si dice distribuzione

uniforme su [a, b] la distribuzione con densita

f(x) =1

b− aχ[a,b](x), x ∈ R. (1.2)

In (1.2), χA indica la funzione caratteristica dell’insieme A definita da

χA(x) =

1, x ∈ A,

0, x /∈ A.

In questo caso, per ogni H ∈ B, P (H) = 1b−a

m(H ∩ [a, b]), con m(H) misura di

Lebesgue di H. Intuitivamente, P distribuisce uniformemente su [a, b] la probabilita

che la “particella” (o il prezzo di un titolo) si trovi in [a, b]; e invece impossibile che la

particella sia fuori da [a, b].

Si noti che per una distribuzione P della forma (1.1), con densita f , vale necessa-

riamente che

m(H) = 0 =⇒ P (H) = 0. (1.3)

La (1.6) si esprime dicendo che P e assolutamente continua rispetto alla misura di

Lebesgue.

Non tutte le distribuzioni sono del tipo (1.1) ossia non tutte le distribuzioni hanno

densita rispetto alla misura di Lebesgue. Per esempio, dato x0 ∈ RN , si consideri la

distribuzione Delta di Dirac definita da

δx0(H) =

1, x0 ∈ H,

0, x0 /∈ H,

per H ∈ B. Intuitivamente, con tale distribuzione si rappresenta la certezza di trovare

la particella nella posizione x0. Chiaramente la distribuzione Delta di Dirac δx0 non ha

densita rispetto a m, giacche non si annulla se valutata nell’evento x0 che ha misura

di Lebesgue nulla, contraddicendo la (1.3).

Vediamo altri esempi di distribuzioni definite specificando la loro densita rispetto

alla misura di Lebesgue m.

Esempio 1.8 (Distribuzione esponenziale). Dato λ > 0, la distribuzione con densita

fλ(x) = λe−λxχR+

(x), x ∈ R,

Page 8: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

8 Elementi di teoria della probabilita

si dice distribuzione esponenziale (di parametro λ). In figura e rappresentato il grafico

di fλ corrispondente a λ = 1.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

exponential distribution

Esempio 1.9 (Distribuzione di Cauchy). La distribuzione con densita

f(x) =1

π

1

1 + x2, x ∈ R,

si dice distribuzione di Cauchy.

Esempio 1.10 (Distribuzione normale reale). Siano dati µ ∈ R e σ > 0. La distribu-

zione con densita f(x) = Γ(x− µ, σ2) dove

Γ(x, t) =1√2πt

exp

(−x2

2t

), x ∈ R, t > 0, (1.4)

si dice distribuzione normale o di Gauss in R. Ricordiamo che Γ e la soluzione

fondamentale dell’operatore del calore 12∂xx − ∂t in R2.

Notazione: denotiamo Nµ,σ2 la distribuzione normale:

Nµ,σ2(H) =

H

1

σ√

2πexp

(−(x− µ)2

2σ2

)dx

=

RχH(x)

1

σ√

2πexp

(−(x− µ)2

2σ2

)dx, H ∈ B.

Poniamo anche Nµ,σ2 = δµ per σ = 0.

Per esercizio, verificare che le funzioni degli esempi precedenti sono densita nel senso

che hanno integrale su R pari a 1.

1.2 Variabili aleatorie

Sia (Ω,F , P ) uno spazio di probabilita.

Page 9: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.2 Variabili aleatorie 9

Definizione 1.11 (Variabile aleatoria). Si dice variabile aleatoria (v.a.) una fun-

zione X, da Ω a valori in RN , misurabile ossia

X : Ω → RN t.c. X−1(H) ∈ F ∀H ∈ B.

Se N = 1 si parla di v.a. reale.

Data una v.a. X, si definisce PX : B → [0, 1] ponendo

PX(H) = P (X−1(H)), H ∈ B.

Si verifica (esercizio) che PX e una distribuzione detta distribuzione (o legge) di X.

Notazione: essendo X−1(H) = ω ∈ Ω | X(ω) ∈ H, si usa scrivere P (X ∈ H)

per indicare P (X−1(H)). Dunque

PX(H) = P (X ∈ H),

indica la “probabilita che la v.a. X appartenga ad H ∈ B”.

Notazione: per indicare che una v.a. X ha distribuzione PX scriveremo X ∼ PX .

Esempio 1.12. Consideriamo l’esempio classico del lancio di due dadi. In questo caso

Ω = (m,n) ∈ N × N | 1 ≤ m,n ≤ 6, F = P(Ω) e la misura P e definita da

P ((m,n)) = 136

per ogni (m,n) ∈ Ω. Definiamo su questo insieme la v.a. X(m,n) =

m + n. Allora

PX(7) = P (X = 7) = P (X−1(7)) =6

36,

poiche 6 sono le combinazioni di lanci con cui posso ottenere 7 rispetto ai 36 lanci

possibili. Analogamente abbiamo:

P (3 ≤ X < 6) = P(X−1 ([3, 6[)

)=

2 + 3 + 4

36=

1

4

Definizione 1.13 (Funzione di distribuzione). Sia X una v.a. reale su (Ω,F , P ). La

funzione ϕX : R→ [0, 1] definita da

ϕX(y) = P (X ≤ y) = P(X−1 ( ]−∞, y])

)

e detta funzione di distribuzione di X.

Page 10: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

10 Elementi di teoria della probabilita

Osserviamo che diverse v.a. (anche definite su spazi di probabilita distinti) possono

avere la stessa distribuzione. Un esempio banale e il seguente: per esercizio provare che

una v.a. X definita sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ) ha la stessa distribuzione PX

della v.a. identita id, id(y) = y, definita su (R,B, PX). Per esercizio provare anche che

se A,B ∈ F hanno la stessa probabilita P (A) = P (B), allora le v.a. χA e χB hanno la

stessa distribuzione.

Tuttavia, per le applicazioni che ci interesseranno, vedremo che ci sara sostanzial-

mente sufficiente conoscere la distribuzione di una v.a. X piuttosto che conoscere

esplicitamente X e lo spazio di probabilita su cui e definita.

Uno dei concetti fondamentali associati a una v.a. X e quello di valore atteso (o

media) definito come una media dei valori assunti da X. Per introdurre questa nozione,

occorre dare una definizione di integrale di X rispetto alla misura di probabilita P :

Ω

XdP. (1.5)

La costruzione dell’integrale in (1.5) e analoga a quella dell’integrale di Lebesgue su

RN e ne diamo un breve cenno in modo schematico:

[I passo] si comincia col definire l’integrale di v.a. reali semplici. Ricordiamo che

una v.a. X : Ω → R si dice semplice se la cardinalita di X(Ω) e finita, ossia

X(Ω) = α1, . . . , αn.

In tal caso, posto Ak = X−1(αk) ∈ F per k = 1, . . . , n, vale

X =n∑

k=1

αkχAk(1.6)

ossia X e una combinazione lineare di funzioni caratteristiche. Volendo che∫Ω

χAdP =

P (A) per A ∈ F e che l’integrale sia un funzionale lineare, e ragionevole definire per

X in (1.6) ∫

Ω

XdP =n∑

k=1

αkP (Ak). (1.7)

[II passo] consideriamo ora una v.a. reale non-negativa ossia tale che X(ω) ≥ 0 per

ogni ω ∈ Ω e poniamo

Ω

XdP = sup

Ω

Y dP | Y v.a. semplice, 0 ≤ Y ≤ X

.

Page 11: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.2 Variabili aleatorie 11

In generale sara∫Ω

XdP ≤ +∞ ossia non e detto che l’integrale di X converga. Questa

definizione puo ricordare quella di integrale di Riemann, se pensiamo che il concetto

v.a. semplice generalizza quello di funzione a scala o costante a tratti in R.

[III passo] consideriamo una v.a. reale X. Poniamo X+ = max0, X e X− =

max0,−X cosicche X+ e X− sono entrambe v.a. non-negative e vale X = X+−X−.

Se almeno uno fra∫Ω

X+dP e∫

ΩX−dP (definiti nel passo II) e finito, si dice che X e

P -integrabile e definiamo∫

Ω

XdP =

Ω

X+dP −∫

Ω

X−dP.

In generale∫Ω

XdP puo essere finito o infinito (±∞). Se entrambi∫Ω

X+dP e∫Ω

X−dP

sono finiti, si dice che X e P -sommabile e si scrive X ∈ L1(Ω, P ); in questo caso∫

Ω

|X|dP =

Ω

X+dP +

Ω

X−dP < ∞.

[IV passo] infine se X : Ω → RN e una v.a. e X = (X1, . . . , XN), poniamo∫

Ω

XdP =

(∫

Ω

X1dP, . . . ,

Ω

XNdP

).

Con questa definizione di integrale, si puo provare che tutti i risultati principali

della teoria dell’integrazione di Lebesgue su RN continuano a valere, in particolare

valgono i teoremi di passaggio al limite sotto al segno di integrale (di Beppo Levi e

della convergenza dominata di Lebesgue).

Notazione: nel seguito, se vorremo mettere in evidenza la variabile di integrazione,

useremo anche la notazione∫

Ω

XdP =

Ω

X(ω)P (dω).

Per esempio, nel caso della misura di Lebesgue m, scriveremo indifferentemente∫

RN

f(x)dx =

RN

f dm =

RN

f(x)m(dx).

Possiamo ora dare la seguente

Definizione 1.14. Data una v.a. X : Ω → RN sommabile, il vettore di RN

E(X) ≡∫

Ω

XdP

si dice valore atteso di X.

Page 12: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

12 Elementi di teoria della probabilita

Osserviamo che il valore atteso corrisponde alla media dei valori assunti da una

v.a., e non al valore piu probabile. Infatti se questi ad esempio coincidono nel caso

della distribuzione normale e invece evidente che per la distribuzione uniforme oppure

per la distribuzione bimodale questo non e vero:

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Bimodal distribution

Si pone immediatamente il problema di come in pratica calcolare il valore atteso

di una data v.a. X. Il seguente teorema da una soluzione e nel contempo chiarisce

anche il fatto che E(X) dipende solo dalla distribuzione di X.

Teorema 1.15. Siano X : Ω → RN una v.a sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ) e

g : RN → Rn una funzione misurabile. Allora

g X ∈ L1(Ω, P ) ⇐⇒ g ∈ L1(R, PX)

e in tal caso vale ∫

Ω

g(X)dP =

RN

g dPX . (1.8)

Dimostrazione. Anzitutto e sufficiente considerare il caso N = n = 1. La dimostrazione

e basata su un metodo standard che in pratica riconduce il problema a considerare solo

il caso in cui g sia una funzione caratteristica. In questo caso, essendo g = χH con

H ∈ B, si ha

Ω

χH(X)dP =

X−1(H)

dP = P (X ∈ H) = PX(H) =

H

dPX =

RχHdPX .

Avendo dimostrato la tesi per le funzioni caratteristiche, dalla linearita dell’integrale

si ha la tesi anche per g semplice e misurabile. Applicando il teorema di Beppo-Levi si

poi ha la tesi anche per g misurabile a valori non negativi. Infine in generale si utilizza

la scomposizione di g in parte positiva e parte negativa e si utilizza ancora una volta

la linearita dell’integrale per concludere la prova.

Page 13: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.2 Variabili aleatorie 13

Osservazione 1.16. Nel caso in cui la distribuzione di X sia assolutamente continua

rispetto alla misura di Lebesgue e quindi PX sia della forma (1.1) con densita f , allora

la (1.8) diventa ∫

Ω

g(X)dP =

RN

g(x)f(x)dx. (1.9)

Definizione 1.17 (Varianza). Data X v.a. su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ), si

definisce varianza di X

var(X) = E[(X − E(X))2]. (1.10)

La varianza fornisce una stima di quanto X si discosta in media dal valore atteso.

Utilizzando il Teorema 1.15, calcoliamo varianza e valore atteso di v.a. che abbiano

una delle distribuzioni introdotte precedentemente.

Esempio 1.18 (Distribuzione uniforme). Sia X una v.a. con distribuzione uniforme

su [a, b]:

X ∼ 1

b− aχ[a,b](y)dy.

Il valore atteso di X vale

E(X) =

Ω

XdP =

RyPX(dy) =

R

y

b− aχ[a,b](y)dy =

a + b

2.

Verificare per esercizio che

var(X) =

Ω

(X − E(X))2dP =

R

(y − a + b

2

)2

PX(dy) =(a− b)2

12.

Esempio 1.19 (Distribuzione di Dirac). Se X ∼ δx0 allora

E(X) =

Ryδx0(dy) =

x0yδx0(dy) = x0 δx0 (x0) = x0,

var(X) =

R(y − x0)

2δx0(dy) = 0.

Esempio 1.20 (Distribuzione esponenziale). Se X ∼ λe−λyχR+

(y)dy, allora

E(X) =

∫ +∞

0

yλe−λydy =1

λ, V ar(X) =

1

λ2.

Osservazione 1.21. Si noti che la funzione g(y) = y non e integrabile rispetto alla

distribuzione di Cauchy e dunque non possiamo parlare di valore atteso di una v.a. con

distribuzione di Cauchy.

Page 14: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

14 Elementi di teoria della probabilita

Esempio 1.22 (Distribuzione normale). Se X ∼ Nµ,σ2 allora

E(X) =

RyNµ,σ2(dy) =

R

y

σ√

2πexp

(−(y − µ)2

2σ2

)dy =

(col cambio di variabili z = y−µ

σ√

2)

=1√π

Rze−z2

dz +µ√π

Re−z2

dy = µ.

Inoltre

var(X) =

Ω

(X − µ)2dP =

R

(y − µ)2

σ√

2πexp

(−(y − µ)2

2σ2

)dy =

(col cambio di variabili z = y−µ

σ√

2)

= σ2

R

2z2

√π

e−z2

dz = σ2.

Verificare per esercizio l’ultima uguaglianza, integrando per parti.

Osservazione 1.23. Consideriamo una v.a. X ∼ Nµ,σ2 . Allora, dati α, β ∈ R, si ha

che (αX + β) ∼ Nαµ+β, α2σ2 . Infatti, per il Teorema 1.15, per ogni H ∈ B si ha

P ((αX + β) ∈ H) =

Ω

χH(αX + β)dP =

R

χH(αy + β)√2πσ

e−(y−µ)2/2σ2

dy =

(col cambio di variabili z = αy + β)

=

H

1√2πσα

e−(z−αµ−β)2/2α2σ2

dz = Nαµ+β, α2σ2(H).

In particolareX − µ

σ∼ N0,1

dove N0,1 e detta distribuzione normale standard, e vale

P (X ≤ y) = P

(X − µ

σ≤ y − µ

σ

)= Φ

(y − µ

σ

)(1.11)

dove Φ e la funzione di distribuzione normale standard.

Definizione 1.24. Data X v.a. definiamo σ(X), la σ-algebra generata da X, come la

σ-algebra generata dalle controimmagini mediante X dei Borelliani. Precisamente

σ(X) = σ(X−1(H) | H ∈ B) .

Page 15: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.3 Indipendenza 15

Ovviamente σ(X) ⊆ F e si puo provare per esercizio che σ(X) = X−1(H) | H ∈B. Nel seguito, specialmente per le applicazioni finanziarie, sara utile pensare ad una

σ-algebra come ad un insieme di informazioni. Per chiarire questa affermazione che

per ora risulta abbastanza incomprensibile facciamo un esempio elementare.

Esempio 1.25. Supponiamo di voler fare un modello per studiare la probabilita che

lanciando un dado il risultato sia un numero pari oppure dispari. Consideriamo Ω =

n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 6, F = P(Ω) e la misura P definita da P (n) = 16

per ogni

n ∈ Ω. Consideriamo poi la v.a.

X(n) =

1, se n e pari,

−1, se n e dispari.

Chiaramente

σ(X) = 2, 4, 6, 1, 3, 5, ∅, Ω.In questo caso σ(X) e strettamente contenuta in F . Gli eventi di σ(X) sono quelli di

cui e necessario conoscere la probabilita al fine di sapere il comportamento di X. In

questo senso σ(X) contiene le informazioni su X.

1.3 Indipendenza

Definizione 1.26. Sia dato uno spazio di probabilita (Ω,F , P ) e un evento B con

P (B) > 0. Si definisce misura di probabilita condizionata a B e si indica con P (· | B),

la misura di probabilita su (Ω,F) definita modo seguente

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B), A ∈ F .

Provare per esercizio che P (· | B) e una misura di probabilita su (Ω,F). La

probabilita condizionata P (A|B) rappresenta la probabilita dell’evento A ammesso che

sia “avvenuto” l’evento B.

Definizione 1.27. Si dice che due eventi A,B ∈ F sono indipendenti se:

P (A ∩B) = P (A)P (B). (1.12)

Osservazione 1.28. Nel caso in cui P (B) > 0, (1.12) equivale a P (A|B) = P (A) ossia

la probabilita dell’evento A e indipendente dal fatto che B sia accaduto o meno.

Page 16: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

16 Elementi di teoria della probabilita

Definizione 1.29. Due σ-algebre G, H su Ω si dicono indipendenti se:

P (A ∩B) = P (A)P (B), ∀A ∈ G, ∀B ∈ H.

Due v.a. X, Y su (Ω,F , P ) si dicono indipendenti se lo sono le corrispondenti σ-algebre

σ(X) e σ(Y ).

Per esercizio provare che, date X, Y v.a. indipendenti, vale:

i) se Z e una v.a. σ(Y )-misurabile, allora X e Z sono indipendenti;

ii) se f, g sono funzioni reali B-misurabili, allora le v.a. f(X) e g(Y ) sono indipen-

denti.

Talvolta e utile il seguente risultato (non banale): se X, Y sono v.a. e Y e σ(X)-

misurabile, allora Y = f(X) per una certa funzione f B-misurabile.

Dare un esempio di X, Y ∈ L1(Ω, P ) tali che XY /∈ L1(Ω, P ). Il seguente teorema

afferma che occorre che X,Y non siano indipendenti. Vale infatti:

Teorema 1.30. Se X, Y ∈ L1(Ω, P ) sono v.a. reali indipendenti, allora si ha

XY ∈ L1(Ω, P ), E(XY ) = E(X)E(Y ).

Dimostrazione. Con un procedimento analogo a quello utilizzato nella prova del Teore-

ma (1.15), e sufficiente dare la prova nel caso di v.a. caratteristiche: X = χE, Y = χF

con E,F ∈ F . Per ipotesi X,Y sono indipendenti e quindi (provarlo!) anche E, F

sono indipendenti. Allora si ha

Ω

XY dP =

E∩F

dP = P (E ∩ F ) = P (E)P (F ) = E(X)E(Y ).

1.4 Teorema di Radon-Nikodym

Date due misure (qualsiasi) P,Q su (Ω,F), si dice che Q e P -assolutamente continua

in F se per ogni A ∈ FP (A) = 0 =⇒ Q(A) = 0.

In tal caso si scrive Q ¿ P in F . Se P, Q sono misure di probabilita, Q ¿ P in Fsignifica che gli eventi di F impossibili per P lo sono anche per Q (ma non e detto il

viceversa).

Page 17: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.4 Teorema di Radon-Nikodym 17

Osservazione 1.31. L’assoluta continuita dipende dalla σ−algebra considerata. Se

G ⊆ F sono σ-algebre, allora Q ¿ P in G non implica che Q ¿ P in F .

Per esercizio provare che se Q ¿ P in F , allora per ogni A ∈ F si ha

P (A) = 1 =⇒ Q(A) = 1,

ossia gli eventi in F certi per P lo sono anche per Q (ma non e detto il viceversa).

Esempio 1.32. Abbiamo gia visto in (1.3) che, per σ > 0, Nµ,σ2 ¿ m in (R,B).

Inoltre e vero anche che m ¿ Nµ,σ2 (provarlo per esercizio): diremo in questo caso che

m e Nµ,σ2 sono equivalenti.

Esempio 1.33. La δx0 di Dirac non e m-assolutamente continua, infatti m(x0) = 0

ma δx0(x0) = 1.

Abbiamo gia osservato che se P e una distribuzione del tipo (1.1), ossia con densita

rispetto alla misura di Lebesgue m, allora P ¿ m. Ci si puo chiedere se tutte le misure

P tale che P ¿ m sono della forma (1.1). Il seguente importante risultato da una

risposta affermativa (vedi osservazione seguente).

Teorema 1.34. [Teorema di Radon-Nikodym] Sia (Ω,F , P ) uno spazio con misura

finita (ossia tale che P (Ω) < ∞). Se Q e una misura finita su (Ω,F) e Q ¿ P , allora

esiste una funzione non-negativa f : Ω → R tale che

i) f e F-misurabile;

ii) f ∈ L1(Ω, P );

iii) Q(A) =∫

AfdP , per ogni A ∈ F .

La funzione f e unica P -quasi sicuramente (ossia se g verifica le stesse proprieta di

f allora P (f = g) = 1) e si dice densita di Q rispetto a P in F o anche derivata di

Radon-Nikodym di Q rispetto a P in F e si scrive indifferentemente f = dQdP

oppure

dQ = fdP oppure Q(dω) = f(ω)P (dω)

Osservazione 1.35. Si dice che una misura P su (Ω,F) e σ-finita se esiste una

successione (Ωn)n∈N in F tale che

Ω =⋃

n∈NΩn e P (Ωn) < ∞, ∀n ∈ N.

Per esempio, la misura di Lebesgue su RN e σ-finita ma non finita (perche?). Il Teorema

1.34 si puo estendere al caso in cui P, Q siano σ-finite: in tal caso la tesi vale ancora

eccetto per il punto ii).

Page 18: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

18 Elementi di teoria della probabilita

Come conseguenza del Teorema di Radon-Nikodym si ha che le distribuzioni con

densita rispetto a m sono solo quelle che sono m-assolutamente continue.

1.5 Attesa condizionata

Nelle applicazioni finanziarie, pensando che una v.a. X descriva il prezzo di un titolo

e che una σ-algebra G descriva un insieme di informazioni, e comprensibile che sia

importante definire il valore atteso di X condizionato a G, indicato con

E(X | G).

Scopo di questo paragrafo e di introdurne gradualmente la definizione precisa. Chi e

gia familiare con questa nozione puo andare direttamente alla Definizione 1.37.

Data una v.a. reale sommabile X e un evento B ∈ F con probabilita positiva,

definiamo attesa condizionata di X all’evento B come l’attesa di X rispetto alla

misura P (· | B) (vedi Definizione 1.26):

E(X|B) =1

P (B)

B

XdP.

Indichiamo ora con G la σ-algebra generata da B:

G = σ(B) ≡ ∅, Ω, B, Bc.

Definiamo E(X | G), attesa di X condizionata a G, come la v.a. definita da

E(X|G)(ω) =

E(X|B), ω ∈ B,

E(X|Bc), ω ∈ Bc.(1.13)

Esercizio 1.36. Provare che

i) la v.a. E(X|G) e G-misurabile;

ii)∫

AXdP =

∫A

E(X| G)dP ∀A ∈ G.

Inoltre se Y e una v.a. che verifica le suddette proprieta, allora P (Y = E(X|G)) = 1,

ossia i), ii) caratterizzano E(X|G) con probabilita 1.

In particolare si noti che E(X|G) e G-misurabile anche se X non lo e. Intuitiva-

mente E(X|G) e il “valore atteso di X note le informazioni di G”, ossia la migliore

approssimazione di X in base alle informazioni di G.

La definizione precedente si puo generalizzare al caso di una generica σ-algebra nel

modo seguente.

Page 19: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

1.5 Attesa condizionata 19

Definizione 1.37. Sia X una v.a. reale sommabile sullo spazio di probabilita (Ω,F , P )

e sia G una σ-algebra contenuta in F . Se Y e una v.a. tale che

i) Y e G-misurabile,

ii)∫

AXdP =

∫A

Y dP ∀A ∈ G,

allora si dice che Y e l’attesa di X condizionata a G e si scrive Y = E(X | G).

Affinche la definizione precedente sia ben posta occorre provare esistenza e unicita

dell’attesa condizionata.

Teorema 1.38. Sia X una v.a. reale sommabile sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ) e

sia G una σ-algebra contenuta in F . Allora esiste una v.a. Y che soddisfa i),ii) della

Definizione 1.37, inoltre tali proprieta caratterizzano Y con probabilita 1.

Si noti che se Y = E(X|G) e Z e una v.a. diversa da Y ma tale che P (Z = Y ) = 1

allora anche Z = E(X|G): per questo motivo, volendo essere precisi, si dice che Y e Z

sono versioni dell’attesa condizionata di X a G.

Dimostrazione. Il teorema si puo provare come diretta conseguenza del Teorema di

Radon-Nikodym. E’ sufficiente provare la tesi nel caso in cui X sia una v.a. reale, non

negativa. Essendo X ∈ L1(Ω, P ), la misura Q definita da

Q(A) =

A

XdP, A ∈ G,

e finita su G. Inoltre Q ¿ P in G e quindi per il Teorema 1.34 esiste Y v.a. G-misurabile

tale che Q(A) =∫

AY dP per ogni A ∈ G. L’unicita e lasciata per esercizio.

Le seguenti proprieta sono conseguenze immediate della definizione:

(1) se X e G-misurabile allora E(X|G) = X quasi sicuramente (nel seguito, q.s.);

(2) se X e G sono indipendenti (ossia se lo sono σ(X) e G) allora E(X|G) = E(X)

q.s.;

(3) E(X) = E(E(X|G)).

Inoltre si puo provare la validita delle seguenti proprieta (si noti l’analogia con le

proprieta dell’integrale). Siano X, Y ∈ L1(Ω,F , P ), a, b ∈ R e G, H σ-algebre di Ω:

(4) [linearita] E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) q.s.;

(5) [monotonia] se X ≤ Y q.s. allora E(X|G) ≤ E(Y |G) q.s.;

(6) [Beppo-Levi] se (Xn)n∈N, Xn ≥ 0 e una successione monotona crescente che

converge puntualmente a X q.s., allora limn→+∞

E(Xn|G) = E(X|G) q.s.;

(7) se XY ∈ L1(Ω,F , P ) e Y e G-misurabile allora E(XY |G) = Y E(X|G) q.s.;

Page 20: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

20 Elementi di teoria della probabilita

(8) se H ⊆ G allora E(E(X|G)|H) = E(X|H) q.s.;

(9) se X,Y sono indipendenti allora E(XY |G) = E(X|G)E(Y |G) q.s.

Page 21: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Capitolo 2

Il modello binomiale

2.1 Il modello di mercato

Consideriamo il modello binomiale introdotto da Cox, Ross e Rubinstein in [4] per la

determinazione del prezzo di un derivato con scadenza al tempo T .

Il tempo t = 0 indica la data odierna e l’intervallo [0, T ] viene suddiviso in N

intervalli [tn−1, tn], n = 1, . . . , N , di uguale lunghezza. Il modello e a tempo discreto

nel senso che si considerano solo le date t0, t1, . . . , tN di contrattazione. Si suppone che

il mercato sia composto da:

1) un titolo non rischioso B (bond), corrispondente al deposito in banca;

2) un titolo rischioso S (stock), corrispondente, per esempio, ad un’azione quotata

in borsa;

3) un titolo H derivato su S, corrispondente, per esempio, ad un’opzione su S con

scadenza T .

Indichiamo con Bn = Btn , Sn = Stn e Hn = Htn rispettivamente il valore (prezzo)

del bond, dello stock e del derivato al tempo tn.

Se indichiamo con rn il tasso di interesse nell’intervallo temporale [tn, tn+1], allora

la “dinamica” del bond e data da

Bn+1 = Bn(1 + rn), n = 0, 1, . . . , N − 1.

Per semplicita supponiamo il tasso costante durante tutto il periodo [0, T ] dell’opera-

zione, rn = r per ogni n. Osserviamo che la dinamica del bond, una volta che sia noto

B0, e deterministica: Bn = B0(1 + r)n.

Per il titolo rischioso assumiamo una dinamica stocastica: in particolare assumiamo

che nel passaggio dal tempo tn al tempo tn+1 lo stock possa solo aumentare o diminuire

21

Page 22: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

22 Il modello binomiale

il suo valore con tassi di crescita e decrescita costanti. Precisamente

Sn+1 = ξn+1Sn, n = 0, 1, . . . , N − 1. (2.1)

In (2.1) ξ1, . . . , ξN sono v.a. indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) sullo spazio

di probabilita (Ω,F , P ), con distribuzione

ξn ∼ pδu + (1− p)δd, n = 1, . . . , N, (2.2)

dove p ∈]0, 1[ e u indica il tasso di crescita dello stock nel periodo [tn, tn+1] e d indica

il tasso di decrescita1. Assumiamo che

0 < d < u. (2.3)

Dunque vale

P (Sn+1 = uSn) = P (ξn+1 = u) = p, P (Sn+1 = dSn) = P (ξn+1 = d) = (1− p),

ossia

Sn+1 =

uSn, con probabilita p,

dSn, con probabilita 1− p.

Infine, per quanto riguarda il derivato H, supponiamo che ne sia noto il valore finale

alla scadenza T in dipendenza da ST , ossia

HT = F (ST ) (2.4)

dove F e una funzione data. In effetti i derivati presenti sui mercati reali non sono tutti

di questa forma, ma per semplicita ci limitiamo a questo caso. Un esempio significativo

e comunque il seguente.

Esempio 2.1 (Call europea). Per una call europea con strike K

F (x) = (x−K)+.

Osservazione 2.2. Il modello binomiale richiede come “input” i tre parametri u, d, p

che devono essere determinati a priori, osservando il comportamento del mercato, per

esempio in base ad analisi statistiche di dati storici dello stock. In questo senso, la

probabilita P viene a volte anche chiamata probabilita oggettiva o del mondo reale.

Vedremo che il modello permette di determinare, coerentemente ai parametri immessi

e ad altre ipotesi di tipo economico, il prezzo del derivato H.

1Lo stato u (up) corrisponde all’evento di crescita e lo stato d (down) all’evento di calo del valoredell’azione.

Page 23: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

2.2 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio 23

Osservazione 2.3. In base alle ipotesi su ξn, possiamo calcolare facilmente la proba-

bilita che S2 valga u2S0:

P (S2 = u2S0) = P ((ξ1 = u) ∩ (ξ2 = u)) = p2,

dove l’ultima uguaglianza e conseguenza dell’indipendenza di ξ1 e ξ2. Analogamente:

P (S2 = udS0) = P ((ξ1 = u) ∩ (ξ2 = d)) + P ((ξ2 = u) ∩ (ξ1 = d)) = 2p(1− p).

In generale, si ha per n = 1, . . . , N ,

P (Sn = ujdn−jS0) =

(n

j

)pj(1− p)n−j, j = 0, . . . , n. (2.5)

La (2.5) corrisponde alla ben nota distribuzione binomiale che rappresenta infatti la

probabilita di ottenere j successi (j up) avendo compiuto n prove (n steps temporali),

essendo p la probabilita di successo della prova singola.

2.2 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio

Definizione 2.4. Siano date le v.a. reali αn, βn, γn per n = 0, . . . , N . Posto

Vn = αnSn + βnBn + γnHn, n = 0, . . . , N,

chiamiamo V = (Vn)n=0,...,N portafoglio.

Dunque Vn e una v.a. che indica il valore del portafoglio al tempo tn, mentre

αn rappresenta il numero di titoli rischiosi posseduti all’istante tn, βn rappresenta il

numero di bonds posseduti e γn rappresenta il numero di derivati posseduti allo stesso

istante. E’ ammesso che αn, βn o γn assumano valori negativi: per esempio, sono

ammessi la vendita allo scoperto del titolo rischioso e il prestito di soldi dalla banca.

(αn, βn, γn)n=0,...,N e anche detta strategia ed individua univocamente il portafoglio.

Definizione 2.5. Un portafoglio V si dice autofinanziante se vale

Vn+1 = αnSn+1 + βnBn+1 + γnHn+1, ∀n = 0, . . . , N − 1. (2.6)

Se V e autofinanziante allora vale

Vn+1 − Vn = αn(Sn+1 − Sn) + βn(Bn+1 −Bn) + γn(Hn+1 −Hn), n = 0, . . . , N − 1.

Page 24: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

24 Il modello binomiale

Cio significa che la variazione del valore del portafoglio dal tempo tn a tn+1 e dovuto

solo alla variazione dei prezzi dei titoli e non al fatto che e stata introdotta o tolta

liquidita. Dunque per un portafoglio autofinanziante si stabilisce al tempo iniziale la

somma da investire e successivamente non si aggiunge o toglie liquidita2.

Ipotesi: in tutto il capitolo considereremo soltanto portafogli autofinanzianti.

Definizione 2.6. Si dice che un portafoglio autofinanziante V = (Vn)n=0,...,N e un

portafoglio di arbitraggio se

i) V0 = 0,

ed esiste n tale che

ii) P(Vn ≥ 0) = 1,

iii) P (Vn > 0) > 0.

Un portafoglio d’arbitraggio e tale che, pur richiedendo un investimento iniziale

nullo e (quasi) nessun rischio (P (Vn ≥ 0) = 1), ha la possibilita di assumere un valore

finale positivo.

Esempio 2.7. Supponiamo che u, d in (2.2) siano tali che d < 1 + r < u. Si intuisce

che l’idea di prendere in prestito soldi dalla banca per investirli nell’azione da una

probabilita positiva di guadagno, superiore al lasciare i soldi nel conto corrente, essendo

1 + r < u: cio corrisponde al punto iii) della Definizione 2.6. Tuttavia questa strategia

di investimento non corrisponde ad un (portafoglio di) arbitraggio, perche ci si espone

anche al rischio di perdita (essendo d < 1 + r, c’e una probabilita positiva che l’azione

renda meno rispetto al conto in banca) ossia e negata la proprieta ii).

Nel Paragrafo 2.5, dedicato alla valutazione del derivato H, assumeremo la seguente

fondamentale ipotesi di tipo economico:

Principio di Non Arbitraggio (PNA): non esistono portafogli di arbitraggio.

Vale il seguente risultato che dimostreremo alla fine del paragrafo.

2Per esempio, se supponiamo γn ≡ 0, la (2.6) e equivalente a

βn+1 = βn − (αn+1 − αn)Sn+1

Bn+1.

La formula precedente esprime come deve cambiare βn+1 se al tempo tn+1, essendo noti Sn+1 e Bn+1,vogliamo variare il numero di titoli rischiosi αn+1.

Page 25: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

2.2 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio 25

Proposizione 2.8. Il PNA implica che

d < 1 + r < u (2.7)

in (2.2).

In effetti, sotto ulteriori ipotesi, il PNA e la (2.7) sono equivalenti (si veda la

Proposizione 2.12).

Osservazione 2.9. Assumendo il PNA, se U,W sono portafogli autofinanzianti tali

che P (UN = WN) = 1 allora si ha anche P (Un = Wn) = 1 per ogni n = 0, . . . , N − 1.

E’ utile, prima di vedere la dimostrazione seguente, provare a dimostrare la tesi da

soli, per esercizio.

Supponiamo che per assurdo sia P (Uk > Wk) > 0 per un certo k < N . Consi-

deriamo k = 0 e costruiamo un portafoglio d’arbitraggio: poniamo α = U0 − W0 e

V = W − U + αB0

B. Essendo U,W autofinanzianti, anche V lo e (verificarlo!). Inoltre

si ha

V0 = W0 − U0 + α = 0,

VN = UN −WN +α

B0

BN = q.s.

= α(1 + r)N

e dunque P (VN > 0) = P (α > 0) > 0 per ipotesi. Il caso k ≥ 1 e analogo.

Dimostrazione. (della Proposizione 2.8) Per assurdo sia 1 + r ≤ d < u. Usiamo l’idea

dell’Esempio 2.7 per costruire un portafoglio d’arbitraggio. Il portafoglio V = B0

S0S−B

e ovviamente autofinanziante, vale V0 = 0 e

VN =B0

S0

SN −BN ≥

(poiche d ≥ 1 + r allora SN ≥ S0(1 + r)N)

≥ B0(1 + r)N −BN = 0.

Inoltre, poiche SN = uNS0 con probabilita pN , e chiaro che l’evento

VN = B0uN −B0(1 + r)N > 0

ha probabilita positiva. Dunque abbiamo costruito un arbitraggio. Allo stesso modo

si prova che se d < u ≤ 1 + r allora il PNA e violato.

Page 26: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

26 Il modello binomiale

2.3 Misura martingala o neutrale al rischio

Posto

q =1 + r − d

u− d, (2.8)

si ha

1 + r = qu + (1− q)d. (2.9)

Se supponiamo valida la (2.7) allora q ∈ ]0, 1[ e possiamo sostituire p con q in (2.2) e

definire una nuova misura di probabilita Q sullo spazio di probabilita (Ω,F) tale che3

Q(ξn = u) = q, Q(ξn = d) = 1− q. (2.10)

Osserviamo che la misura Q e equivalente a P .

Ricordando la (1.7) e indicando con EQ(S1) l’attesa della v.a. semplice S1 rispetto

alla misura Q, vale

1

1 + rEQ(S1) =

1

1 + r(uS0Q(S1 = uS0) + dS0Q(S1 = dS0))

=S0

1 + r(qu + (1− q)d) = S0.

Dunque Q l’unica misura di probabilita rispetto alla quale il valore attuale del titolo

rischioso e pari al valore scontato della corrispondente attesa al tempo successivo. Piu

in generale, e facile4 provare che

EQ(Sn) = (1 + r)nS0, n = 1, . . . , N. (2.11)

Economicamente, la (2.11) esprime la valutazione di Sn espressa da un investitore

neutrale al rischio in base al valore attuale del titolo.

Per questo motivo, Q e detta misura risk neutral o, piu frequentemente misura

martingala equivalente (a P ).

3Volendo essere precisi: possiamo supporre F = σ(ξ1, . . . , ξN ) e assumere la (2.10). Inoltre Q(A),per un generico A ∈ F , si definisce in modo ovvio assumendo che ξ1, . . . , ξN siano v.a. Q-indipendenti.

4

1(1 + r)n

EQ(Sn) =1

(1 + r)n

n∑

j=0

ujdn−jS0 Q(Sn = ujdn−jS0)

=S0

(1 + r)n

n∑

j=0

(n

j

)(uq)j(d(1− q))n−j = S0.

Page 27: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

2.4 Strategia adattata 27

Nell’Osservazione 2.2 avevamo chiamato P misura oggettiva, da determinare in

base ad osservazioni sul mercato. La misura martingala Q e invece una misura definita

a posteriori a partire da P : non ha alcun “legame col modo reale”, ma e utile per

semplificare i conti.

Riassumendo i risultati degli ultimi paragrafi, nel modello binomiale il PNA implica

l’esistenza di una (unica) misura martingala equivalente.

2.4 Strategia adattata

In questo paragrafo proviamo il viceversa della Proposizione 2.8 e approfondiamo il con-

cetto di misura martingala equivalente. Chi non e interessato puo passare direttamente

al paragrafo successivo.

In questo paragrafo assumiamo le seguenti ipotesi:

i) vale la (2.7) (e di conseguenza si puo definire la misura Q come in (2.10));

ii) consideriamo solo portafogli autofinanzianti con investimenti solo in azioni e

bonds (ossia γn ≡ 0).

Poniamo

Fn = σ(ξ1, . . . , ξn), n = 1, . . . , N. (2.12)

La σ-algebra Fn indica le informazioni sul mercato disponibili fino al tempo tn. E’ com-

prensibile che abbiano un particolare interesse le strategie in cui αn e βn dipendano solo

da Fn: precisamente una strategia (αn, βn)n=0,...,N tale che αn, βn sono Fn-misurabili

per ogni n = 1, . . . , N , si dice strategia adattata e il portafoglio corrispondente si dice

adattato.

Osservazione 2.10. Moltiplicando per Sn ambo i membri della (2.9), si ha

quSn + (1− q)dSn = (1 + r)Sn

ossia, ricordando la (1.13), per ogni stato possibile S di Sn, si ha

EQ(Sn+1 | Sn = S) = (1 + r)S,

o, in altri termini, ricordando che Bn+1 = (1 + r)Bn, si ha

EQ

(Sn+1

Bn+1

| Fn

)=

Sn

Bn

. (2.13)

Page 28: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

28 Il modello binomiale

La (2.13) si esprime dicendo che Sn

Bne una martingala5 (da cui il nome di Q). Nel

prossimo lemma mostriamo che un risultato analogo vale anche per i portafogli adattati.

Lemma 2.11. Per ogni portafoglio V adattato vale

EQ

(Vn+1

Bn+1

| Fn

)=

Vn

Bn

. (2.14)

In particolare vale

EQ (Vn) = (1 + r)nV0. (2.15)

Dimostrazione. Si ha

EQ

(Vn+1

Bn+1

| Fn

)=

(essendo V autofinanziante e per la linearita dell’attesa condizionata)

= EQ

(αn

Sn+1

Bn+1

| Fn

)+ EQ (βn | Fn) =

(per la proprieta (7) dell’attesa condizionata, essendo V adattato)

= αnEQ

(Sn+1

Bn+1

| Fn

)+ βn =

(per la (2.13))

= αnSn

Bn

+ βn =Vn

Bn

.

Proposizione 2.12. Se

d < 1 + r < u

allora non esistono portafogli d’arbitraggio adattati.

In altri termini, per fare un arbitraggio bisogna conoscere il futuro.

5Da (2.13) segue anche che

EQ

(Sn

Bn| Fk

)=

Sk

Bk, 0 ≤ k < n ≤ N.

Infatti, per esempio si ha, posto Zn = Sn

Bn,

E(Zn+1 | Fn−1) = E(E(Zn+1 | Fn) | Fn−1) = E(Zn | Fn−1) = Zn−1.

Page 29: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

2.5 Valutazione e copertura di derivati 29

Dimostrazione. Sia V un portafoglio d’arbitraggio adattato. Allora esiste n ≥ 1 tale

che P (Vn ≥ 0) = 1 e P (Vn > 0) > 0. D’altra parte per la (2.15) si ha

V0 =1

(1 + r)nEQ (Vn) > 0,

che e assurdo.

Riassumendo: considerando portafogli adattati, nel modello binomiale il PNA e

equivalente all’esistenza di un’unica misura martingala.

2.5 Valutazione e copertura di derivati

In questo paragrafo assumiamo il modello di mercato descritto nel Paragrafo 2.1,

consideriamo portafogli autofinanzianti (cfr. Definizione 2.5) e assumiamo il PNA.

Mostriamo come e possibile risolvere i due principali problemi legati al derivato H:

i) determinare H0;

ii) la copertura di H ossia costruire un portafoglio V , composto solo da bond e

stock, che replichi l’andamento del derivato, nel senso che

P (VN = HN) = 1.

Tale portafoglio e detto portafoglio di replica.

Per l’Osservazione 2.9, deve essere

P (Vn = Hn) = 1, ∀n = 0, . . . , N, (2.16)

altrimenti sarebbe possibile costruire un portafoglio d’arbitraggio utilizzando V e H.

Dunque risolvendo ii) si ottiene anche il prezzo del derivato.

Vediamo come costruire un portafoglio V di replica. Sia

Vn = αnSn + bn, n = 0, . . . , N.

Dunque nel seguito indichiamo con bn l’ammontare di capitale investito in bonds al

tempo tn. La condizione (2.6) diventa

Vn+1 = αnSn+1 + bn(1 + r), n = 0, . . . , N − 1. (2.17)

Page 30: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

30 Il modello binomiale

Combinando la (2.17) per n = N − 1 con la condizione di replica VN = HN q.s.,

otteniamo

αN−1SN + bN−1(1 + r) = VN = F (SN).

Esprimendo il prezzo del sottostante al tempo tN in funzione del prezzo al tempo tN−1,

abbiamo due eventualita

αN−1uSN−1 + bN−1(1 + r) = F (uSN−1),

αN−1dSN−1 + bN−1(1 + r) = F (dSN−1).

Poiche vogliamo che entrambe le equazioni siano soddisfatte, otteniamo un sistema

lineare di due equazioni nelle incognite αN−1 e bN−1. La soluzione e data da

αN−1 =F (uSN−1)− F (dSN−1)

uSN−1 − dSN−1

,

bN−1 =1

1 + r

uF (dSN−1)− dF (uSN−1)

u− d.

(2.18)

La (2.18) esprime αN−1 e bN−1 in funzione di SN−1 e mostra come si puo costruire

al tempo tN−1 un portafoglio che replica il derivato al tempo T qualunque sia l’anda-

mento dello stock. Si noti che αN−1 ha la forma di un rapporto incrementale (tecni-

camente detto Delta). Possiamo ora scrivere il valore del portafoglio al tempo tN−1 o

equivalentemente il valore del derivato allo stesso istante:

HN−1 = VN−1 = αN−1Sn−1 + bN−1 =

(facendo qualche conto, utilizzando la (2.18) e la definizione di q in (2.8))

=1

1 + r(qF (uSN−1) + (1− q)F (dSN−1)) . (2.19)

La (2.19) puo essere interpretata in due modi: il primo, se SN−1 e un prezzo noto allora

HN−1 e una funzione deterministica di SN−1:

HN−1(SN−1) =1

1 + rEQ(F (SN)). (2.20)

Il secondo, se SN−1 e una v.a. allora anche HN−1 e una v.a. e precisamente

HN−1 =1

1 + rEQ (HN | FN−1)

dove FN−1, definita in (2.12), indica le informazione note al tempo N − 1 o equivalen-

temente

HN−1 =1

1 + rEQ (HN | SN−1)

Page 31: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

2.5 Valutazione e copertura di derivati 31

ossia l’attesa di F (SN) condizionata alla conoscenza di SN−1.

Ripetendo il ragionamento possiamo calcolare αN−2 e bN−2. Per l’ipotesi di porta-

foglio autofinanziato:

αN−2SN−1 + bN−2(1 + r) = VN−1 = HN−1(SN−1);

da cui otteniamo

αN−2 =HN−1(uSN−2)−HN−1(dSN−2)

uSN−2 − dSN−2

,

bN−2 =uHN−1(uSN−2)− dHN−1(dSN−2)

(1 + r)(u− d).

Sostituendo poi l’espressione trovata in precedenza per HN−1 si trova:

HN−2 =1

(1 + r)2

(q2F (u2SN−2) + 2q(1− q)F (udSN−2) + (1− q)2F (d2S

N−2)

),

o in altri termini

HN−2(SN−2) =1

(1 + r)2EQ (HN | FN−2) .

Iterando il ragionamento precedente si ottiene

HN−n =1

(1 + r)nEQ(HN | FN−n) =

1

(1 + r)n

n∑

k=0

(N

k

)qk(1− q)n−kF (ukdn−kSN−n),

ed in particolare il valore attuale del derivato:

H0 =1

(1 + r)NEQ(HN) =

1

(1 + r)N

N∑

k=0

(N

k

)qk(1− q)N−kF (ukdN−kS0).

Tale espressione e calcolabile esplicitamente in funzione del valore attuale del sotto-

stante una volta data l’espressione di F .

Page 32: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

32 Il modello binomiale

Page 33: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Capitolo 3

Elementi di calcolo stocastico

3.1 Moto Browniano

Sia dato uno spazio di probabilita (Ω,F , P ).

Definizione 3.1. Un processo stocastico (nel seguito p.s.)) e una famiglia X =

(Xt)t∈[0,+∞[ di v.a.

Xt : Ω −→ RN , t ≥ 0.

Il concetto di p.s. estende quello di funzione f : [0, +∞[−→ RN : come f associa a

t la variabile f(t) in RN , cosı il p.s. X associa a t la v.a. Xt in RN . Un p.s. puo essere

utilizzato per descrivere un fenomeno aleatorio che si evolve nel tempo: per esempio si

puo pensare alla v.a. Xt in R come al prezzo di un titolo rischioso al tempo t, oppure

alla v.a. Xt in R3 come alla posizione di una particella nello spazio al tempo t.

Per aiutare ancora l’intuizione, e utile pensare ad una funzione

g : [0, +∞[−→ RN

come ad una curva o traiettoria in RN : il sostegno della curva g e definito da

γ ≡ g(t) | t ∈ [0, +∞[.

Dunque, al variare del parametro t, g(t) rappresenta un punto del sostegno γ. L’idea si

estende ai p.s. e in questo caso ad ogni ω ∈ Ω corrisponde una diversa curva (e quindi

un possibile andamento del prezzo di un titolo oppure una possibile traiettoria di una

particella nello spazio):

γω ≡ Xt(ω) | t ∈ [0, +∞[.

33

Page 34: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

34 Elementi di calcolo stocastico

Definizione 3.2. Una filtrazione F = (Ft)t≥0 in (Ω,F , P ) e una famiglia crescente di

sotto-σ-algebre di F . Dato un p.s. X = (Xt)t∈[0,+∞[ , poniamo

FXt = σ(Xs | 0 ≤ s ≤ t) = σ(X−1

s (H) | 0 ≤ s ≤ t, H ∈ B).

Chiaramente, se 0 ≤ s ≤ t, allora FXs ⊆ FX

t ⊆ F , e dunque FX = (FXt )t∈[0,+∞[ e una

filtrazione detta filtrazione associata a X.

Ricordando l’Esempio 1.25, si puo pensare a FXt come alle informazioni su X

disponibili fino al tempo t.

Definizione 3.3. Si dice Moto Browniano reale (nel seguito MB) di punto iniziale

x0 ∈ R, un qualsiasi p.s. W = (Wt)t∈[ 0,+∞[ tale che

i) P (W0 = 0) = 1;

ii) per ogni ω ∈ Ω, la funzione t 7→ Wt(ω) e continua;

iii) per ogni t, h ≥ 0, la v.a. Wt+h − Wt ha distribuzione normale N0,h ed e

indipendente da FWt .

Secondo la definizione precedente, un qualsiasi p.s. che verifichi i),ii) e iii) si dice

MB. In linea di principio, esistono dunque diversi MB definiti su diversi spazi di pro-

babilita. La definizione precedente si adatta facilmente anche al caso in cui t ∈ [a, b]

con a < b.

Notazione: nel seguito, salvo diversa ed esplicita indicazione, W denotera un MB

di punto iniziale l’origine.

Osservazione 3.4. Non e banale provare l’esistenza di un MB: chi e proprio interessato

veda per esempio [5], [9] o [8]. In particolare e possibile costruire un MB sullo spazio

Ω = C([0, +∞[,R), definendo (notare che in questo caso ω e una funzione reale)

Wt(ω) = ω(t), t ∈ [0, +∞[, ω ∈ Ω. (3.1)

Si definisce poi la seguente σ-algebra su Ω

F = σ(W−1t (H) | t ≥ 0, H ∈ B),

in modo tale che W e un p.s. A questo punto c’e la parte difficile: e possibile dimostrare

che, per ogni x0 ∈ R, esiste una misura di probabilita P x0 su (Ω,F) tale che W definito

in (3.1) e un MB di punto iniziale x0 sullo spazio di probabilita (Ω,F , P x0). Questo

particolare MB si dice moto Browniano standard.

Page 35: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.1 Moto Browniano 35

Osservazione 3.5. Per le proprieta i) e ii) della Definizione 3.3, le traiettorie di un MB

di punto iniziale x0 partono (per t = 0) da x0 q.s. e sono continue. Come conseguenza

delle i) e iii), per ogni t ∈ [0, +∞[, vale

Wt ∼ Nx0,t. (3.2)

Infatti si ha q.s.

Wt = (Wt −W0) + x0 ∼ Nx0,t,

ricordando l’Osservazione 1.23. Dalla iii) segue anche che un MB ha gli incrementi

indipendenti nel senso che Wt2 − Wt1 e Wt4 − Wt3 sono v.a. indipendenti per ogni

0 ≤ t1 < t2 ≤ t3 < t4.

Osservazione 3.6. [MB come moto caotico]

Il MB e un modello probabilistico di moto casuale di una particella. Le seguenti

proprieta del MB sono ovvie conseguenza della (3.2):

a) E(Wt) = x0 per ogni t ≥ 0, ossia in ogni istante la posizione piu probabile della

particella e quella iniziale;

b) ricordando l’espressione della densita della distribuzione normale Γ(·, t) in (1.4),

si ha che, per ogni fissato t > 0, la probabilita che Wt appartenga ad un Borelliano H

diminuisce traslando H lontano da x0. Intuitivamente la probabilita che la particella

raggiunga H diminuisce allontanando H dal punto di partenza;

c) per ogni fissato H ∈ B,

limt→0+

P (Wt ∈ H) = δx0(H).

Intuitivamente, diminuendo il tempo diminuisce anche la probabilita che la particella

si sia allontanata dalla posizione iniziale;

d) E(|Wt − x0|2) = var(Wt) = t, ossia ci si attende che la distanza dal punto di

partenza, percorsa da una particella in moto casuale in un tempo t, sia√

t: questo

fatto e meno intuitivo ma corrisponde, per esempio, alle prime osservazioni empiriche

di Einstein [6].

Esempio 3.7. [MB come modello di titolo rischioso]

Sia W un MB di punto iniziale l’origine. Un primo modello a tempo continuo per

il prezzo di un titolo rischioso S e il seguente:

St = S0(1 + µt) + σWt, t ≥ 0. (3.3)

Page 36: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

36 Elementi di calcolo stocastico

In (3.3), S0 indica il prezzo iniziale del titolo, µ indica il tasso di rendimento atteso e σ

indica la rischiosita del titolo o volatilita. Se σ = 0, la dinamica (3.3) e deterministica

e corrisponde ad una legge di capitalizzazione semplice con tasso privo di rischio pari

a µ. Se σ > 0, la dinamica (3.3) e stocastica e S = (St)t≥0 e un p.s. (a distribuzione)

normale nel senso che

St ∼ NS0(1+µt),σ2t, ∀ t ≥ 0. (3.4)

Da (3.4) segue che

E(St) = S0(1 + µt)

ossia l’andamento atteso di S corrisponde alla dinamica deterministica priva di rischio.

Inoltre σ e direttamente proporzionale alla varianza e quindi alla rischiosita del titolo.

Nella pratica questo modello non e utilizzato per due motivi: da una parte si

preferisce utilizzare la capitalizzazione composta; dall’altra (3.4) implica ovviamente

che P (St < 0) > 0 non appena t e positivo e questo e assurdo dal punto di vista

economico. Tuttavia (3.3) puo essere utilizzato come modello per i debiti/crediti di

un’azienda.

3.2 Moto Browniano ed equazione del calore

L’operatore differenziale del calore in due variabili e definito da

L =1

2∂xx − ∂t, (x, t) ∈ R2. (3.5)

In fisica l’operatore (3.5) e ben noto in quanto interviene nella modellizzazione del

processo di diffusione del calore: una soluzione u = u(x, t) dell’equazione del calore

Lu = 0 rappresenta la temperatura di un materiale al tempo t e alla posizione x.

Assegnata g ∈ C(R) e limitata, il classico problema di Cauchy per l’equazione del

calore consiste nel trovare una funzione u ∈ C2(R×]0, T [) ∩ C(R× [0, T [) tale che:

Lu(x, t) = 0, (x, t) ∈ R×]0, T [,

u(x, 0) = g(x) x ∈ R.(3.6)

La funzione g e solitamente detta dato iniziale del problema di Cauchy.

Si puo verificare direttamente che la funzione Γ in (1.4) risolve l’equazione del calore:

Γ ∈ C∞(R×]0, +∞[), LΓ = 0 in R×]0, +∞[.

Page 37: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.3 Martingale 37

La funzione Γ e una soluzione molto particolare di L, detta soluzione fondamentale

dell’equazione del calore per il seguente motivo: non e difficile mostrare che il problema

di Cauchy (3.6) ha un’unica soluzione limitata data da

u(x, t) =

RΓ(x− y, t)g(y)dy = (Γ(·, t) ∗ g)(x),

dove ∗ indica il simbolo di convoluzione di funzioni in R. Il risultato precedente vale

anche sotto ipotesi molto meno restrittive sulla funzione g.

Il legame fra MB ed equazione del calore dovrebbe essere ormai chiaro: consideriamo

un MB standard ed indichiamo con Ex il valore atteso nella misura P x. Allora, data

una funzione limitata g ∈ C(R), per il Teorema 1.15 si ha che

Ex(g(Wt)) =

RΓ(x− y, t)g(y)dy (3.7)

e soluzione del problema di Cauchy (3.6). La (3.7) da una rappresentazione probabili-

stica della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore.

Confrontando la (3.7) con l’espressione (2.20) del prezzo di un derivato nel modello

binomiale, ci si puo aspettare che, come vedremo nel modello di Black&Scholes, il

prezzo di un derivato si ottenga come soluzione di un problema di Cauchy del tipo

(3.6).

3.3 Martingale

Sia dato uno spazio di probabilita (Ω,F , P,F) dove F = (Ft)t∈[0,+∞[ indica una

filtrazione.

Definizione 3.8. Si dice che un p.s. M e una martingala (nel seguito, mg) se, per

ogni t ∈ [0, +∞[, si ha:

i) Mt e Ft-misurabile, e in tal caso si dice che il p.s. M e F-adattato;

ii) Mt ∈ L1(Ω, P );

iii) E(Mt | Fs) = Ms q.s. per ogni 0 ≤ s ≤ t.

La i) e ii) sono proprieta di tipo tecnico, mentre la proprieta essenziale che caratterizza

una mg e la iii). Questa in particolare implica che il valore atteso di una mg M e

costante nel tempo, infatti:

E(Mt) = E(E(Mt | F0)) = E(M0), ∀ t ≥ 0.

Page 38: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

38 Elementi di calcolo stocastico

Esempio 3.9. Un moto Browniano W di punto iniziale x0 e una mg rispetto alla

filtrazione Browniana FW . Infatti i) e ovviamente soddisfatta, inoltre si ha, per la

disuguaglianza di Holder1,

E(Wt)2 ≤ E(W 2

t ) = E((Wt − x0 + x0)2) = x2

0 + t,

che prova la ii). Infine per 0 ≤ s ≤ t si ha

E(Wt | FWs ) = E(Wt −Ws | FW

s ) + E(Ws | FWs ) =

(poiche Wt −Ws e indipendente da FWs e Ws e FW

s -misurabile)

= E(Wt −Ws) + Ws = Ws.

Esercizio 3.10. Data una v.a. Z sommabile in (Ω,F , P,F), provare che il p.s. definito

da

Mt = E(Z | Ft), t ≥ 0,

e una mg.

3.4 Regolarita delle traiettorie di un MB

Riprendiamo il modello di titolo rischioso dell’Esempio 3.7 in cui

St = S0(1 + µt) + σWt, t ∈ [0, T ].

Consideriamo una scomposizione s = t0, t1, . . . , tN di [0, T ]: per definizione 0 = t0 <

t1 < · · · < tN = T . Sia ora V = uS un portafoglio autofinanziante (cfr. Definizione

2.5) composto dal solo titolo S. Allora, per ogni k = 1, . . . , N , si ha

Vtk − Vtk−1= utk−1

(Stk − Stk−1) = µutk−1

(tk − tk−1) + σutk−1(Wtk −Wtk−1

).

1

∫|XY | ≤

(∫|X|p

) 1p

(∫|Y |q

) 1q

,

per ogni p, q ≥ 1 tali che1p

+1q

= 1

Page 39: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.4 Regolarita delle traiettorie di un MB 39

Sommando per k da 1 a N , otteniamo

VT = V0 + µ

N∑

k=1

utk−1(tk − tk−1) + σ

N∑

k=1

utk−1(Wtk −Wtk−1

)

≡ V0 + µI1,s + σI2,s.

(3.8)

Per passare a tempo continuo occorre verificare l’esistenza dei limiti di I1,s e I2,s al

tendere del parametro di finezza2 |s| a zero.

Il primo termine I1,s e una somma di Riemann e dunque supponendo che la funzione

t 7→ ut(ω) sia, per esempio, continua3 in [0, T ] per ogni ω ∈ Ω, si ha semplicemente

lim|s|→0+

I1,s(ω) =

∫ T

0

ut(ω)dt,

per ogni ω ∈ Ω. Come vedremo, l’esistenza del secondo limite non e banale: suppo-

nendo che esista finito

lim|s|→0+

I2,s = I, (3.9)

per analogia, potremmo usare la notazione

I =

∫ T

0

ut dWt.

Otteniamo dunque, almeno formalmente, la seguente formula

VT = V0 + µ

∫ T

0

utdt + σ

∫ T

0

ut dWt.

In realta il limite in (3.9) non esiste in generale, a meno che non si introducano ul-

teriori ipotesi sul p.s. u. La giustificazione di questa affermazione richiede una breve

digressione di carattere matematico che porta anche ad osservare che le traiettorie di

un MB sono quasi sicuramente “irregolari” in un senso che specificheremo nel seguito.

Il resto del paragrafo puo essere tranquillamente sorvolato ad una prima lettura; nel

prossimo paragrafo vedremo sotto quali ipotesi e in quale senso vale (3.9).

2Il parametro di finezza di una scomposizione s e definito da

|s| = max1≤k≤N

|tk − tk−1|.

3Ovviamente e sufficiente che sia integrabile secondo Riemann. In effetti, in un portafoglio auto-finanziante con un solo titolo, si ha necessariamente che t 7→ ut e costante. La situazione non e piubanale nel caso di un portafoglio con almeno due titoli.

Page 40: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

40 Elementi di calcolo stocastico

Consideriamo ω una traiettoria

t 7→ Wt(ω)

che sia di classe C1([0, T ]): in questo caso non ci sono problemi a dimostrare che esiste

lim|s|→0+

I2,s(ω) =

∫ T

0

ut(ω)W ′t(ω) dt, (3.10)

essendo l’integrale in (3.10) un normale integrale di Riemann e indicando con W ′t(ω)

la derivata ddt

Wt(ω). Infatti, per il Teorema del valor medio di Lagrange esistono

t∗k ∈ [tk−1, tk] tali che

I2,s(ω) =N∑

k=1

utk−1(ω)W ′

t∗k(ω)(tk − tk−1);

dunque I2,s(ω) e una somma di Riemann e la (3.10) segue facilmente.

Senza entrare nei dettagli, si puo procedere in maniera analoga per provare l’esisten-

za del limite in (3.9) sotto ipotesi molto piu deboli. Infatti e sufficiente assumere che

ut(ω) e Wt(ω) siano rispettivamente una funzione continua e una funzione a variazione

limitata4 della variabile t, per provare che esiste ed e finito il limite

lim|s|→0+

I2,s(ω) = l ∈ R.

Per definizione l =(∫ T

0ut dWt

)(ω) viene chiamato integrale di Riemann-Stieltjes di

ut(ω) rispetto a Wt(ω) su [0, T ].

4Date una funzione g : [0, T ] → Rn e una scomposizione s = t0, . . . , tN di [0, T ], si definisce lavariazione di g relativa a s nel modo seguente:

VT (g, s) =N∑

k=1

|g(tk)− g(tk−1)|.

Geometricamente la variazione VT (g, s) e la lunghezza della spezzata in Rn di estremi g(tk) conk = 0, . . . , N . La funzione g si dice a variazione limitata se l’estremo superiore di VT (g, s), al variaredi tutte le scomposizioni s di [0, T ], e finito:

VT (g) ≡ sups

VT (g, s) < +∞.

VT (g) e detta variazione (totale) di g su [0, T ]. Intuitivamente, raffinando la scomposizione s, VT (g, s)da un’approssimazione della lunghezza della curva g: in altre parole la curva g e a variazione limitata(o rettificabile) se ha lunghezza finita, approssimabile con spezzate. E facile provare (esercizio!) chele funzioni di classe C1([0, T ]) sono a variazione limitata.

Page 41: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.4 Regolarita delle traiettorie di un MB 41

Concludiamo il paragrafo mostrando che l’insieme degli ω ∈ Ω tale che t 7→ Wt(ω)

e a variazione limitata, ha P -misura nulla: in parole povere, un MB ha le traiettorie

irregolari (non rettificabili5) quasi sicuramente. Di conseguenza, per quasi tutte le

traiettorie di un MB, non e possibile definire l’integrale nel senso di Riemann-Stieltjes.

Date una funzione g : [0, T ] → Rn e una scomposizione s = t0, . . . , tN di [0, T ], si

definisce la variazione quadratica di g relativa a s nel modo seguente:

V(2)T (g, s) =

N∑

k=1

|g(tk)− g(tk−1)|2.

La variazione quadratica (totale) 〈g〉T di g su [0, T ] e definita dal seguente limite, se

esiste,

lim|s|→0+

V(2)T (g, s) = 〈g〉T .

Lemma 3.11. Se una funzione g e continua e a variazione limitata su [0, T ], allora

ha variazione quadratica nulla: 〈g〉T = 0.

Dimostrazione. La funzione g e continua sul compatto [0, T ], quindi anche uniforme-

mente continua: di conseguenza, per ogni ε > 0, esiste δε > 0 tale che

| g(tk)− g(tk−1)| ≤ ε

per ogni scomposizione s = t0, t1, . . . , tN di [0, T ] tale che |s| < δε. La tesi e

conseguenza del fatto che

0 ≤ V(2)T (g, s) =

N∑

k=1

|g(tk)− g(tk−1)|2 ≤ ε VT (g)

con VT (g) < ∞ per ipotesi.

Proposizione 3.12. Per ogni t > 0 si ha

〈W 〉t = t q.s. (3.11)

In particolare W non e a variazione limitata su [0, t] quasi sicuramente.

Dimostrazione. Per alleggerire le notazioni, fissata una scomposizione s = t0, . . . , tNdi [0, t], poniamo ∆kW = Wtk −Wtk−1

per k = 1, . . . , N . Ricordiamo che vale

E((∆kW )2

)= tk − tk−1.

5Per ogni t > 0, un MB percorre una traiettoria di lunghezza infinita.

Page 42: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

42 Elementi di calcolo stocastico

Inoltre si puo provare (esercizio6!) che vale

E((∆kW )4

)= 3(tk − tk−1)

2. (3.12)

Per provare la (3.11) e sufficiente7 dimostrare che

lim|s|→0+

V(2)t (W, s) = t in L2(Ω, P ),

ossia

lim|s|→0+

E((V

(2)t (W, s)− t)2

)= 0.

Ora si ha

E((V

(2)t (W, s)− t)2

)= E

(( ∑

k

(∆kW )2 − t)2

)

= E

(( ∑

k

((∆kW )2 − (tk − tk−1)

) )2)

=∑

k

E((

(∆kW )2 − (tk − tk−1))2

)

+ 2∑

h<k

E((

(∆kW )2 − (tk − tk−1)((∆hW )2 − (th − th−1)

))).

Osserviamo ora che

E((

(∆kW )2 − (tk − tk−1))2

)

= E((∆kW )4

)− 2(tk − tk−1)E((∆kW )2

)+ (tk − tk−1)

2 =

(per (3.12))

= 2(tk − tk−1)2.

D’altra parte

E((

(∆kW )2 − (tk − tk−1)) (

(∆hW )2 − (th − th−1)))

=

(per l’indipendenza degli incrementi del MB, se h < k)

E((∆kW )2 − (tk − tk−1)

)E

((∆hW )2 − (th − th−1)

)= 0.

6Si haE

((∆kW )4

)=

Ry4Γ(y, tk − tk−1)dy,

e poi si integra per parti. Si veda anche l’Esempio 3.30-(3).7E noto che la convergenza in L2 implica la convergenza puntuale q.s.

Page 43: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.5 Integrale stocastico di processi semplici 43

In definitiva si ha

E((V

(2)t (W, s)− t)2

)= 2

k

(tk − tk−1)2 ≤ 2|s|t

che tende a zero per |s| → 0+.

3.5 Integrale stocastico di processi semplici

Sia dato un moto Browniano W su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ). Nel seguito

indichiamo con F la filtrazione Browniana. In questo paragrafo e nel seguente diamo

una traccia della costruzione dell’integrale di Ito

∫ T

0

ut dWt.

Per garantire l’esistenza di tale integrale stocastico, e necessario imporre opportune

ipotesi sul processo u.

Definizione 3.13. Il p.s. u appartiene alla classe Λ2 se

i) u e F-adattato, ossia ut e Ft-misurabile per ogni t ≥ 0;

ii) per ogni T > 0, esiste ed e finitoT∫0

E(u2t )dt.

Mentre la ii) e una normale richiesta di sommabilita dell’integrando8, la i) e la

proprieta che gioca il ruolo cruciale nel seguito. La i) e anche legata alla nozione di

portafoglio adattato introdotta nel Capitolo 2.

Analogamente alla costruzione dell’integrale vista nel Capitolo 1, cominciamo col

definire l’integrale di Ito per una particolare classe di p.s. di Λ2.

Definizione 3.14. Un processo u ∈ Λ2 si dice semplice se e della forma

u =N∑

k=1

ekχ[tk−1,tk[, (3.13)

dove 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tN e ek sono v.a.9 su (Ω,F , P ).

8u ∈ L2(Ω× [0, T ]) per ogni T > 0.9Assumiamo anche

P (ek−1 = ek) = 0, ∀ k = 1, . . . , N,

in modo che la rappresentazione (3.13) di u sia unica q.s.

Page 44: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

44 Elementi di calcolo stocastico

Osservazione 3.15. E importante osservare che, essendo u adattato, allora ek in (3.13)

e Ftk−1-misurabile per ogni k = 1, . . . , N . Inoltre ek ∈ L2(Ω, P ) e si ha

T∫

0

E(u2t )dt =

N∑

k=1

T∫

0

E(e2k)χ[tk−1,tk[

(t)dt =N∑

k=1

E(e2k)(tk − tk−1) (3.14)

Se u ∈ Λ2 e un processo semplice della forma (3.13), allora il limite in (3.9) esiste

banalmente ed e naturale definire l’integrale di Ito nel modo seguente:

∫ut dWt =

N∑

k=1

ek(Wtk −Wtk−1) (3.15)

ed anche, per ogni 0 ≤ a < b,

∫ b

a

ut dWt =

∫utχ[a,b[

(t)dWt.

Esempio 3.16. Integrando il processo semplice u = χ[0,t[

, si ottiene10

Wt =

∫ t

0

dWs.

Riprendendo l’Esempio 3.7, si ha

St = S0 +

∫ t

0

µds +

∫ t

0

σdWs, t > 0.

Il seguente teorema contiene alcune importanti proprieta dell’integrale di Ito di processi

semplici.

Teorema 3.17. Per ogni u, v ∈ Λ2 semplici, α, β ∈ R e 0 ≤ a < b < c si ha:

(1) linearita:∫

(αut + βvt)dWt = α

∫ut dWt + β

∫vt dWt;

(2) additivita: ∫ c

a

ut dWt =

∫ b

a

ut dWt +

∫ c

b

ut dWt;

(3) media nulla:

E

(∫ut dWt

)= 0, (3.16)

10Al solito W0 = 0.

Page 45: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.5 Integrale stocastico di processi semplici 45

ed anche

E

(∫ b

a

ut dWt

∫ c

b

vt dWt

)= 0; (3.17)

(4) isometria di Ito:

E

(( ∫ b

a

ut dWt

)2)

= E

(∫ b

a

u2t dt

)(3.18)

(5) il processo stocastico

Xt =

∫ t

0

us dWs, t ≥ 0, (3.19)

e una martingala rispetto a F .

Dimostrazione. Le proprieta (1) e (2) sono immediate. Per la (3):

E

(∫ut dWt

)=

N∑

k=1

E(ek(Wtk −Wtk−1

))

=

(poiche, per l’Osservazione 1.3, ek e Ftk−1-misurabile e dunque indipendente da Wtk −

Wtk−1)

=N∑

k=1

E (ek) E(Wtk −Wtk−1

)= 0.

Proviamo poi la (3.17): se v e della forma

v =M∑

h=1

dhχ[th−1,th[,

allora E(∫ b

aut dWt

∫ c

bvt dWt

)e una somma di termini del tipo

E(ekdh(Wtk −Wtk−1

)(Wth −Wth−1)), con tk ≤ th−1,

che sono tutti nulli poiche ekdh(Wtk −Wtk−1) e Fth−1

-misurabile e quindi indipendente

dall’incremento Wth −Wth−1che ha media nulla.

Proviamo l’isometria di Ito: assumendo u della forma (3.13), si ha11

E

(( ∫ b

a

ut dWt

)2)

= E

(( N∑

k=1

∫ tk

tk−1

ek dWt

)2)

=N∑

k=1

E

(( ∫ tk

tk−1

ek dWt

)2)

+ 2∑

h<k

E

(∫ tk

tk−1

ek dWt

∫ th

th−1

eh dWt

)

11Non e restrittivo assumere anche t0 = a e tN = b.

Page 46: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

46 Elementi di calcolo stocastico

(per la (3.17) i termini della seconda somma sono nulli)

=N∑

k=1

E(e2

k(Wtk −Wtk−1)2

)

(per l’indipendenza di ek e Wtk −Wtk−1)

=N∑

k=1

E(e2

k

)E

((Wtk −Wtk−1

)2)

=N∑

k=1

E(e2

k

)(tk − tk−1)

e la tesi segue12 dalla (3.14).

Proviamo infine che il p.s. X in (3.19) e una F -martingala. Per la definizione (3.15)

e l’Osservazione 3.15, e ovvio che X sia adattato a F . Inoltre Xt e sommabile poiche

per la disuguaglianza di Holder si ha

E(Xt)2 ≤ E(X2

t ) =

(per l’isometria di Ito)

= E

(∫ t

0

u2sds

)< ∞

essendo u ∈ Λ2. Siano poi 0 ≤ s < t:

E(Xt | Fs) = E(Xs | Fs) + E( ∫ t

s

uτ dWτ | Fs

)= Xs

poiche Xs e Fs-misurabile, mentre

E( ∫ t

s

uτ dWτ | Fs

)=

k

E(ek(Wtk −Wtk−1

) | Fs

)=

(essendo ek e Wtk −Wtk−1indipendenti)

=∑

k

E (ek | Fs) E(Wtk −Wtk−1

| Fs

)

(essendo Wtk −Wtk−1indipendente da Fs poiche s ≤ tk−1)

=∑

k

E (ek | Fs) E(Wtk −Wtk−1

)= 0.

12Per il Teorema di Tonelli, vale

E

(∫ b

a

u2t dt

)=

∫ b

a

E(u2

t

)dt

Page 47: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.6 Integrale di Ito 47

3.6 Integrale di Ito

La (3.18) viene detta isometria di Ito perche si puo riscrivere in termini di uguaglianza

di norme in spazi L2: ∥∥∥∫ b

a

ut dWt

∥∥∥L2(Ω)

= ‖u‖L2(Ω×[a,b]) . (3.20)

L’isometria di Ito gioca un ruolo cruciale nella costruzione dell’integrale stocastico∫ T

0

ut dWt. (3.21)

Nel paragrafo precedente abbiamo definito l’integrale in (3.21) nel caso che u ∈ Λ2 sia

un p.s. semplice. Consideriamo ora un generico u ∈ Λ2: e possibile13 costruire una

successione (u(n)) di p.s. semplici di Λ2 che approssimi u nel senso che

limn→+∞

∫ T

0

E((ut − u

(n)t )2

)dt = lim

n→+∞

∥∥u− u(n)∥∥

L2(Ω×[0,T ])= 0.

Essendo convergente, (u(n)) e una successione di Cauchy14 in L2(Ω × [0, T ]). Allora,

per l’isometria di Ito, la successione degli integrali stocastici

In ≡∫ T

0

u(n)t dWt

e di Cauchy in L2(Ω) che e uno spazio metrico completo15. Di conseguenza la succes-

sione (In) e convergente in L2(Ω): per definizione, si pone∫ T

0

ut dWt = limn→+∞

In. (3.22)

E facile verificare (esercizio!) che la definizione e ben posta, nel senso che non dipende

dalla successione approssimante.

Osservazione 3.18. E possibile estendere la costruzione dell’integrale di Ito anche a

un processo adattato u che verifica la seguente debole condizione di sommabilita

P

(∫ b

a

|ut| dt < ∞)

= 1.

13Lo dimostriamo fra poco in un caso significativo (cfr. Proposizione 3.22 e Osservazione 3.23). Peril caso generale si veda, per esempio, [8].

14La successione (u(n)) si dice di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che∥∥u(n) − u(m)

∥∥L2(Ω×[0,T ])

< ε, ∀m,n ≥ nε.

15Uno spazio metrico e completo se ogni successione di Cauchy e convergente.

Page 48: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

48 Elementi di calcolo stocastico

Non dimostriamo il seguente teorema che estende al caso generale le proprieta

dell’integrale stocastico di processi semplici.

Teorema 3.19. Le proprieta (1–5) del Teorema 3.17 valgono per ogni u, v ∈ Λ2.

Vediamo ora che la definizione (3.22) estende la nozione di integrale di Riemann-

Stieltjes vista nel paragrafo precedente.

Definizione 3.20. Un processo u si dice L2-continuo in t0 se

limt→t0

E((ut − ut0)

2)

= 0.

Esempio 3.21. Poiche

E((Wt −Wt0)

2)

= |t− t0|,

ogni MB e L2-continuo. Inoltre, dato u ∈ Λ2, anche il processo

Xt =

∫ t

0

us dWs, t ≥ 0,

e L2-continuo in ogni punto. Infatti, se t > t0,

E((Xt −Xt0)

2)

= E

(( ∫ t

t0

us dWs

)2)

=

(per l’isometria di Ito)

=

∫ t

t0

E(u2

s

)ds −→ 0, per t → t0,

per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Il caso t < t0 e analogo.

Proposizione 3.22. Sia u ∈ Λ2 un processo L2-continuo su [0, T ]. Posto

u(s) =N∑

k=1

utk−1χ

[tk−1,tk[,

dove s = t0, t1, . . . , tN e una scomposizione di [0, T ], allora u(s) e un processo semplice

di Λ2 e vale

lim|s|→0+

u(s) = u, in L2(Ω× [0, T ]). (3.23)

Page 49: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.7 Processi e formula di Ito 49

Dimostrazione. Per ogni ε > 0, esiste16 δε > 0 tale che se |s| < δε allora si ha

∫ T

0

E((ut − u

(s)t )2

)dt =

N∑

k=1

∫ tk

tk−1

E((ut − utk−1

)2)dt ≤ εT.

Osservazione 3.23. La proposizione afferma che u(s) e un p.s. semplice in Λ2 che

approssima u in L2(Ω× [0, T ]) per |s| → 0+. Per la definizione (3.22) si ha allora

lim|s|→0+

∫ T

0

u(s)t dWt =

∫ T

0

ut dWt, in L2(Ω),

o equivalentemente, ricordando la (3.15),

lim|s|→0+

N∑

k=1

utk−1(Wtk −Wtk−1

) =

∫ T

0

ut dWt, in L2(Ω).

In questo senso l’integrale di Ito, essendo il limite delle somme (di Riemann-Stieltjes)

in (3.8), generalizza l’integrale di Riemann-Stieltjes.

Concludiamo il paragrafo enunciando un teorema di rappresentazione delle mg.

Abbiamo visto (cfr. (5) del Teorema 3.17) che il processo definito da un integrale

di Ito e una mg: il seguente risultato mostra che ogni mg rispetto alla filtrazione

Browniana F e rappresentabile in termini di un integrale stocastico.

Teorema 3.24. Sia M una F-mg di quadrato sommabile, Mt ∈ L2(Ω, P ). Allora

esiste ed e unico u ∈ Λ2 tale che

Mt = M0 +

∫ t

0

us dWs.

3.7 Processi e formula di Ito

Definizione 3.25. Un p.s. X della forma

Xt = X0 +

∫ t

0

usds +

∫ t

0

vs dWs, t > 0, (3.24)

con u, v ∈ Λ2, si dice un processo di Ito.

16Vale il Teorema di Heine-Cantor: se X e L2-continuo sul compatto [0, T ], allora e ancheuniformemente L2-continuo.

Page 50: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

50 Elementi di calcolo stocastico

Notazione: la (3.24) viene solitamente scritta nella seguente “forma differenziale”:

dXt = utdt + vtdWt. (3.25)

Da una parte la (3.25) e piu breve da scrivere rispetto alla (3.24) e quindi piu comoda

da utilizzare; dall’altra la (3.25) risulta piu intuitiva e familiare, in quanto (solo for-

malmente!) ricorda il calcolo differenziale usuale per le funzioni di una variabile reale.

Sottolineiamo il fatto che abbiamo definito ogni singolo termine che appare nella (3.24):

e stato il lavoro degli ultimi paragrafi. Invece la (3.25) va invece presa “tutta insieme”

ed equivale esattamente alla (3.24): per esempio, il termine dXt, benche a volte deno-

minato differenziale stocastico, non e stato definito e ha senso solo se e all’interno della

formula (3.25).

Riprendendo l’Esempio 3.16, scriviamo

dSt = µdt + σdWt

La (3.11) diventa

d〈W 〉t = dt. (3.26)

Piu in generale, dato un p.s. Y , si definisce il processo variazione quadratica di Y nel

modo seguente

〈Y 〉t = lim|s|→0+

N∑

k=1

(Ytk − Ytk−1)2, in L2(Ω, P )

ammesso che tale limite esista e dove, al solito, s indica una scomposizione di [0, t]. Si

puo procedere come nella dimostrazione della Proposizione 3.12, per provare il seguente

Lemma 3.26. Sia X un processo di Ito della forma (3.24). Allora

〈Y 〉t =

∫ t

0

v2sds

o, in termini differenziali,

d〈Y 〉t = v2t dt.

Esempio 3.27. Se dSt = µdt + σdWt allora 〈S〉t = σ2t. Dunque in questo caso si

ha proprio 〈S〉t = var(St), ossia il processo variazione quadratica e deterministico e

coincide con la varianza. Piu in generale, se

St = S0 +

∫ t

0

µ(s)ds +

∫ t

0

σ(s) dWs

Page 51: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.7 Processi e formula di Ito 51

con µ, σ funzioni deterministiche, allora, per la proprieta della media nulla, si ha

E(St) = S0 +

∫ t

0

µ(s)ds

e

var(St) = E

((St − S0 −

∫ t

0

µ(s)ds)2

)=

(per l’isometria di Ito)

=

∫ t

0

σ(s)2ds.

Possiamo ora enunciare (nel caso unidimensionale) il principale risultato della teoria

del calcolo stocastico.

Teorema 3.28. [Formula di Ito]

Siano X in (3.25) un processo di Ito e f = f(t, x) ∈ C2(R2). Allora il p.s. Y , definito

da Yt = f(t,Xt), e un processo di Ito e vale

dYt = ∂tf(t,Xt)dt + ∂xf(t,Xt)dXt +1

2∂xxf(t,Xt)d〈X〉t. (3.27)

Osservazione 3.29. In (3.27), ∂tf e ∂xf indicano le derivate parziali di f rispetto alle

variabili reali t e x. La formula di Ito e valida assumendo l’esistenza delle sole derivate

parziali ∂tf e ∂xxf continue. Le ipotesi di regolarita su f si possono ulteriormente

indebolire.

Esempio 3.30.

(1) Nel caso f(t, x) = tx e X = W MB, si ha

d(tWt) = Wtdt + tdWt.

Notare la somiglianza con la classica legge di derivazione di un prodotto di funzioni.

In forma integrale otteniamo:

tWt =

∫ t

0

Wsds +

∫ t

0

sdWs.

(2) se f(t, x) = x2 e X = W MB, si ha, per la (3.26),

d(W 2t ) = 2WtdWt + dt.

Dunque ricaviamo ∫ t

0

WsdWs =W 2

t − t

2;

Page 52: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

52 Elementi di calcolo stocastico

(3) calcoliamo E(W 4t ). Per la formula di Ito si ha

dW 4t = 4W 3

t dWt + 6W 2t dt,

ossia

W 4t =

∫ t

0

4W 3s dWs +

∫ t

0

6W 2s ds.

Per la proprieta della media nulla (3.16), si deduce

E(W 4t ) =

∫ t

0

6E(W 2s )ds =

∫ t

0

6sds = 3t2.

Esempio 3.31. [Moto Browniano geometrico]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

2

4

6

8

10

12

Figura 3.1: Grafico di una traiettoria St(ω) di un moto Browniano geometrico S e del

valore atteso E(St).

Dati S0, µ, σ ∈ R, il p.s.

St = S0 exp

((µ− σ2

2

)t + σWt

). (3.28)

e detto moto Browniano geometrico ed e il modello piu comune per i titoli rischiosi.

In particolare e il modello per il sottostante utilizzato nell’analisi di Black&Scholes.

Rispetto al modello di titolo rischioso dell’Esempio 3.7, essendo S un’esponenziale, se

S0 > 0 allora St > 0 per ogni t > 0. Inoltre se σ = 0, la dinamica di S e deterministica

St = S0eµt

Page 53: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.8 Metodo di Eulero per equazioni differenziali stocastiche 53

e corrisponde ad una legge di capitalizzazione composta con tasso µ. Il parametro σe

detto volatilita e µ e detto tasso di rendimento atteso . Non e difficile provare che

E(St) = S0eµt.

Poiche

log(St) = log(S0) +

(µ− σ2

2

)t + σWt,

si dice che S ha distribuzione log-normale, ed e dunque facile calcolare, per esempio,

P (St ∈ [a, b]).

Utilizzando la formula di Ito, si verifica (esercizio!) che

dSt = µStdt + σStdWt. (3.29)

3.8 Metodo di Eulero per equazioni differenziali sto-

castiche

La (3.29) e uno dei piu semplici esempi di equazione differenziale stocastica (SDE). Per

una SDE piu generale della forma

dSt = µ(t, St)Stdt + σ(t, St)StdWt, (3.30)

dove µ e σ sono funzioni deterministiche a valori reali, esiste una teoria dell’esistenza e

unicita delle soluzioni in cui molti risultati sono analoghi a quelli per le equazioni diffe-

renziali ordinarie. Non tratteremo questi argomenti benche SDE del tipo (3.30) inter-

vengano in molti modelli che generalizzano quello di Black&Scholes. Dal punto di vista

applicativo, mentre la (3.29) ha il vantaggio di avere la soluzione esplicita S in (3.28),

nel caso generale (3.30) e necessario ricorrere a metodi numerici per l’approssimazione

delle soluzioni.

Ricordando l’Osservazione 3.23, sotto opportune ipotesi di regolarita dei coefficienti

µ e σ, la SDE (3.30) puo essere discretizzata sull’intervallo [0, T ] nel modo seguente

Stk = Stk−1(1 + µ(tk−1, Stk−1

)(tk − tk−1) + σ(tk−1, Stk−1)(Wtk −Wtk−1

))

per k = 1, . . . , N , essendo t0, . . . , tN una scomposizione di [0, T ]. Ricordando che

Wtk −Wtk−1=

√tk − tk−1 Z

Page 54: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

54 Elementi di calcolo stocastico

dove Z ∼ N0,1, la precedente formula ricorsiva puo essere utilizzata per generare delle

approssimazioni delle traiettorie della soluzione di (3.30) che possono essere utilizzate,

come vedremo in seguito, nell’applicazione del metodo Monte Carlo.

A questo riguardo, riportiamo un semplice codice Matlab c©: i parametri richiesti

sono T , il numero di intervalli n della scomposizione, il prezzo iniziale del titolo S0, la

funzione di rendimento atteso mu e la funzione di volatilita sigma.

function Stock = Stock(T,S0,n)

dt = (T/n);

S(1)=S0;

for j=2:n

S(j) = S(j-1)(1+mu((j-1)dt,S(j-1))*dt

+sigma((j-1)dt,S(j-1))*sqrt(dt)*randn));

end

plot(S)

3.9 Un’estensione della formula di Ito

Dati due processi di Ito

dX it = ui

tdt + vitdWt, i = 1, 2 (3.31)

si definisce il processo variazione quadratica congiunta di X1 e X2 nel modo seguente

〈X1, X2〉t = lim|s|→0+

N∑

k=1

(X1tk−X1

tk−1)(X2

tk−X2

tk−1), in L2(Ω, P )

ammesso che tale limite esista e dove, al solito, s indica una scomposizione di [0, t].

Vale il seguente

Lemma 3.32. Siano X1, X2 processi di Ito della forma (3.31). Allora

〈X1, X2〉t =

∫ t

0

v1sv

2sds

o, in termini differenziali,

d〈X1, X2〉t = v1t v

2t dt.

Osservazione 3.33. Se v1 = 0 oppure v2 = 0 allora si ha 〈X1, X2〉t = 0.

Page 55: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

3.9 Un’estensione della formula di Ito 55

Enunciamo la seguente estensione del Teorema di Ito.

Teorema 3.34. Sia X = (X1, . . . , XN) un p.s. di Ito N-dimensionale, con X i processi

di Ito della forma (3.31) per i = 1, . . . , N . Sia f = f(t, x1, . . . , xN) ∈ C2(RN+1). Allora

il p.s. Y , definito da Yt = f(t,Xt), e un processo di Ito e vale

dYt = ∂tf(t, Xt)dt +N∑

i=1

∂xif(t,Xt)dX i

t +1

2

N∑i,j=1

∂xixjf(t,Xt)d〈X i, Xj〉t. (3.32)

Per esempio si ha

d(X1t X2

t ) = X1t dX2

t + X2t dX1

t + v1t v

2t dt. (3.33)

Page 56: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

56 Elementi di calcolo stocastico

Page 57: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Capitolo 4

Modelli a tempo continuo per i

derivati

In questo capitolo estendiamo al caso continuo alcuni concetti introdotti nel Capitolo

2, presentiamo l’analisi di Black&Scholes [2] per la determinazione del prezzo e la

copertura di un derivato e discutiamo qualche possibile generalizzazione. Nel seguito

(Ω,F , P ) indica uno spazio di probabilita su cui e definito un moto Browniano W di

punto iniziale l’origine e con filtrazione Browniana F .

4.1 Portafoglio autofinanziante e di arbitraggio

Consideriamo un mercato in cui ci siano N titoli (azioni, bonds) S1, . . . , SN e assumia-

mo che siano processi di Ito. Si definisce strategia un processo h = (h1, . . . , hN), con

hk processo di Ito; inoltre il processo

V =N∑

k=1

hkSk,

e detto portafoglio. Dunque Vt indica il valore del portafoglio e hkt il numero di titoli

k-esimi in portafoglio al tempo t (e ammesso che hkt sia negativo). Notiamo che, per

ipotesi, h e un processo adattato a F , ossia la strategia di investimento viene decisa

in base alle informazioni disponibili al momento. La seguente definizione estende in

modo naturale le nozioni di portafoglio autofinanziante e di arbitraggio date nel caso

discreto (cfr. Definizione 2.5 e 2.6).

57

Page 58: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

58 Modelli a tempo continuo per i derivati

Definizione 4.1. Un portafoglio V si dice autofinanziante se vale

dVt =N∑

k=1

hkt dV k

t . (4.1)

Si dice che un portafoglio autofinanziante V e un portafoglio di arbitraggio se

i) V0 = 0,

ed esiste t tale che

ii) P(Vt ≥ 0) = 1,

iii) P (Vt > 0) > 0.

4.2 Modello di Black&Scholes

Consideriamo un mercato in cui ci siano tre titoli:

- un titolo non rischioso (bond) con dinamica Bt = B0ert dove r e il tasso di interesse

privo di rischio;

- un titolo rischioso (stock) S modellizzato da un MB geometrico

dSt = µStdt + σStdWt, (4.2)

con tasso di rendimento atteso µ e volatilita σ;

- un derivato H con scadenza T e payoff ϕ(ST ).

Ipotesi 1: assumiamo che esista una funzione f = f(t, s) ∈ C2(R2) tale che Ht =

f(t, St) per t ∈ [0, T ].

Come nel modello binomiale, si e interessati alla valutazione del prezzo e alla co-

pertura del derivato: piu precisamente, il modello permette di determinare la funzione

f e un portafoglio autofinanziante

Vt = αtSt + βtBt,

che replichi il derivato, ossia tale che

P (VT = HT ) = 1. (4.3)

Ipotesi 2: Principio di Non Arbitraggio (PNA). Nel mercato (B,S, H) non

esistono portafogli di arbitraggio.

Come per l’Osservazione 2.9, vale il seguente risultato.

Page 59: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

4.2 Modello di Black&Scholes 59

Lemma 4.2. Assumendo il PNA, se U,W sono portafogli autofinanzianti tali che

P (UT = WT ) = 1 per un certo T > 0, allora si ha anche P (Ut = Wt) = 1 per ogni

t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. Per esercizio.

Come immediata conseguenza, per ogni portafoglio replicante V deve valere la

seguente condizione

Vt = Ht q.s. ∀t ∈ [0, T ]. (4.4)

Il portafoglio V e autofinanziante1 se vale

dVt = αtdSt + βtdBt. (4.5)

Ora, sostituendo l’espressione (4.2) di S in (4.5), si ha

dVt = (αtµSt + βtrBt)dt + αtσStdWt.

D’altra parte, per la formula di Ito e abbreviando f = f(T − t, St), si ha

dHt = ∂tfdt + ∂sfdSt +1

2∂ssfd〈S〉t

=

(∂tfdt + µSt∂sf +

σ2S2t

2∂ssf

)dt + σSt∂sfdWt.

Per ottenere un portafoglio replicante e sufficiente imporre che V abbia la stessa dina-

mica di H: in particolare e sufficiente2 imporre l’uguaglianza dei termini in dt e dWt

1Per la formula di Ito (si veda la (3.33)), si avrebbe

dVt = αtdSt + βtdBt + Stdαt + Btdβt + d〈α, S〉t,

e dunque l’ipotesi che V sia autofinanziante equivale anche alla condizione

Stdαt + Btdβt + d〈α, S〉t = 0.

2Chiaramente, imporre

dVt = utdt + vtdWt = dHt, P (VT = HT ) = 1,

equivale, in forma integrale a

Vt = VT −∫ T

t

usds−∫ T

t

vsdWs =q.s.

HT −∫ T

t

usds−∫ T

t

vsdWs = Ht

e quindi e soddisfatta la condizione (4.4) di replicazione.

Page 60: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

60 Modelli a tempo continuo per i derivati

di V e H. Uguagliando i termini in dWt, ricaviamo

αt = ∂sf(t, St). (4.6)

Uguagliando i termini in dt e utilizzando la (4.6), otteniamo

∂tf +σ2S2

t

2∂ssf − rβtBt = 0. (4.7)

Ora utilizziamo il PNA e osserviamo che, per la (4.4), si ha

βt =Vt − αtSt

Bt

=f(t, St)− St∂sf(t, St)

Bt

, q.s. (4.8)

e quindi, sostituendo la (4.8) nella (4.7), otteniamo

∂tf(t, St) + rSt∂sf(t, St) +σ2S2

t

2∂ssf(t, St)− rf(t, St) = 0, q.s. (4.9)

L’equazione (4.9) e risolta da f per ogni possibile valore di t e St. Dunque3 f e soluzione

della seguente equazione differenziale (deterministica)

∂tf(t, s) + rs∂sf(t, s) +σ2s2

2∂ssf(t, s)− rf(t, s) = 0, (4.10)

per (t, s) ∈ ]0, T [× ]0, +∞[, con condizione finale

f(T, s) = ϕ(s), s ∈ ]0, +∞[. (4.11)

La (4.10) e detta equazione di Black&Scholes. Il problema (4.10)-(4.11) ammette un’u-

nica4 soluzione f che puo essere determinata (nella maggior parte dei casi con metodi

numerici). Le formule (4.6)-(4.8) forniscono una strategia replicante (α, β) in termini

di f . Di conseguenza e possibile calcolare il valore V0 del portafoglio replicante e, dalla

(4.4), ricavare infine il prezzo del derivato H0.

Osservazione 4.3. I risultati precedenti si estendono al caso generale in cui il sotto-

stante verifica un SDE del tipo (3.30)

dSt = µ(t, St)Stdt + σ(t, St)StdWt,

supponendo ipotesi ragionevoli su µ, σ (che garantiscano, per esempio, che (3.30) ab-

bia soluzione). In questo caso f e soluzione dell’equazione differenziale a coefficienti

variabili

∂tf(t, s) + rs∂sf(t, s) +σ2(t, s)s2

2∂ssf(t, s)− rf(t, s) = 0, (4.12)

per (t, s) ∈ ]0, T [× ]0, +∞[, con condizione finale (4.11).

Esercizio 4.4. Verificare che la strategia (α, β) in (4.6)-(4.8) e autofinanziante.

3Poiche St ha distribuzione log-normale, la sua densita e strettamente positiva su ]0,+∞[.4Sotto alcune naturali ipotesi.

Page 61: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

4.3 Equazione di Black&Scholes ed equazione del calore 61

4.3 Equazione di Black&Scholes ed equazione del

calore

Come avevamo anticipato nel Paragrafo 3.2, l’equazione di Black&Scholes puo essere

trasformata in un’equazione alle derivate parziali di tipo parabolico (come l’equazione

del calore) tramite un semplice cambio di variabili. Poniamo

f(t, s) = e−r(T−t)u(log s + r(T − t), T − t), t, s > 0,

ovvero consideriamo il cambio di variabili x = log s + r(T − t), τ = T − t. Allora si ha

∂tf + rf = −e−r(T−t)∂xu− e−r(T−t)∂τu,

∂sf = −e−r(T−t)

s∂xu,

∂ssf = −e−r(T−t)

s2(∂xxu− ∂xu).

Dunque il problema (4.10)-(4.11) si trasforma5 nel problema di Cauchy per la funzione

u = u(x, τ)

σ2

2(∂xxu(x, τ)− ∂xu(x, τ))− ∂τu(x, τ) = 0, (x, τ) ∈ R×]0, T [,

u(x, 0) = ϕ(ex), x ∈ R.(4.13)

Per problemi di questo tipo e disponibile una teoria, ormai classica, dell’esistenza e

unicita delle soluzioni. Sono inoltre ben noti diversi metodi di risoluzione numerica per

l’approssimazione della soluzione e delle sue derivate.

Nel caso di un’opzione call europea con strike K, il payoff e ϕ(s) = (s−K)+ e puo

essere conveniente il seguente cambio di variabili, simile al precedente,

f(t, s) = Ke−r(T−t)u(log(s/K) + r(T − t), T − t), t, s > 0.

In questo caso, u risolve la stessa equazione differenziale in (4.13) ma con dato iniziale

u(x, 0) = (ex−1)+. Quindi risolvendo un’unico problema di Cauchy, e possibile valutare

tutte le opzioni call su S al variare dello strike e della scadenza (fino a T ).

5Con un po’ di pazienza in piu si puo ottenere esattamente l’equazione del calore. Basta considerarel’ulteriore cambio di variabili

u(x, τ) = ex2−σ2τ

8 v

(x√

, τ

).

Si ha allora che v = v(y, τ) risolve ∂yyv − ∂τv = 0 in R× ]0, T [.

Page 62: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

62 Modelli a tempo continuo per i derivati

4.4 Valutazione neutrale al rischio

Nell’ipotesi che il mercato sia privo di arbitraggi, nel modello di Black&Scholes il prezzo

di un derivato H e ottenuto determinando la funzione f che esprime in ogni istante Ht

in termini di t e St. Si noti che il problema (4.10)-(4.11), e quindi f , non dipende dal

rendimento atteso µ del sottostante. Questo fatto, contrario all’intuizione, si puo in

parte spiegare proprio osservando che f non e il prezzo del derivato in termini assoluti,

bensı la funzione che esprime tale prezzo in termini di t e St.

Per analogia con quanto abbiamo visto nel caso del modello binomiale (cfr. Osser-

vazione 2.2), chiamiamo P probabilita oggettiva (o del mondo reale) e assumiamo la

seguente dinamica per S nella6 probabilita P

dSt = µ(t, St)Stdt + σ(t, St)StdWt. (4.14)

Supponiamo ora che esista una misura di probabilita Q su (Ω,F) e un moto Browniano

W in (Ω,F , Q), e consideriamo un altro titolo S che soddisfi l’equazione

dSt = rStdt + σ(t, St)StdWt,

ossia una SDE analoga alla (4.14), con µ ≡ r. Per evitare confusione, indichiamo con

EQ l’attesa nella misura Q e con (Ft) la filtrazione associata al moto Browniano W .

Osserviamo che il prezzo scontato di S e una (Ft)-martingala, infatti, utilizzando la

formula di Ito, si ha

d(e−rtSt) = σ(t, St)e−rtStdWt,

e la tesi segue dalla (3.19).

Poiche l’equazione (4.12) non dipende dal rendimento atteso, due derivati H e H

rispettivamente su S e S con lo stesso payoff ϕ si esprimono in termini della stessa

funzione f :

Ht = f(t, St), Ht = f(t, St).

Consideriamo il prezzo scontato del derivato H: per la formula di Ito si ha

d(e−rtHt) = d(e−rtf(t, St)) = e−rt

(−rf + ∂tf + rSt∂sf +

σ2S2t

2∂ssf

)dt

+ e−rtσSt∂sfdWt =

6Ossia, assumendo che W sia un MB rispetto alla misura P sullo spazio (Ω,F).

Page 63: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

4.4 Valutazione neutrale al rischio 63

(poiche f e soluzione dell’equazione di Black&Scholes)

= e−rtσSt∂sfdWt.

Dunque otteniamo un risultato analogo a quello dei Paragrafi 2.4 e 2.5: il prezzo

scontato del derivato H e una (Ft)-martingala e quindi vale la seguente formula di

valutazione neutrale al rischio:

Ht = EQ(e−r(T−t)ϕ(ST ) | Ft) = E(e−r(T−t)HT | Ft), t ∈ [0, T ]. (4.15)

Per t = 0, essendo la σ-algebra F0 banale7, per la proprieta (2) della attesa condizionata

si ha

H0 = EQ(e−rT ϕ(ST )) = E(e−rT HT ). (4.16)

La formula (4.16), essendo noto il prezzo attuale del sottostante, fornisce il valore del

derivato come numero reale; la (4.15) fornisce il valore del derivato come variabile

aleatoria, in termini di attesa condizionata alle informazioni disponibili fino al tempo

t.

Torniamo ora al problema della determinazione del prezzo di un derivato su S. Con-

sideriamo il modello di Black&Scholes e assumiamo che µ e σ in (4.14) siano costanti.

Il risultato cruciale e la seguente prima formulazione del Teorema di Girsanov.

Teorema 4.5. Sia λ ∈ R. Esiste una misura di probabilita Q, equivalente a P , tale

che il p.s. W definito da

Wt = Wt + λt, t ≥ 0, (4.17)

e un MB su (Ω,F , Q).

Osserviamo che

dSt = µStdt + σStdWt = rStdt + σSt

(dWt +

µ− r

σdt

)= rStdt + σStdWt,

avendo posto

λ =µ− r

σ

ed essendo W il p.s. in (4.17). Il parametro λ e detto il prezzo di mercato del rischio in

quanto fornisce una misura della propensione al rischio degli investitori ovvero indica

il rapporto fra il premio sul rendimento atteso µ − r richiesto per assumersi il rischio

e la volatilita σ. Il caso λ = 0 ossia µ = r indica la neutralita al rischio.

7F0 contiene solo eventi impossibili o certi.

Page 64: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

64 Modelli a tempo continuo per i derivati

Analogamente al caso del modello binomiale (cfr. Osservazione 2.2), i parametri µ

e σ sono da determinare in base ad osservazioni sul mercato reale e la dinamica (4.14)

nella misura P descrive tali osservazioni. Il Teorema 4.5 garantisce l’esistenza di una

misura di probabilita Q, detta misura martingala equivalente, rispetto alla quale

S e un MB geometrico con rendimento atteso r. Dunque nella misura Q il sottostante

ha una dinamica che non descrive le osservazioni reali ma e tale che gli investitori sono

neutrali al rischio.

Possiamo allora riassumere i risultati precedenti nel seguente enunciato.

Teorema 4.6. Esiste una misura di probabilita Q, equivalente a P , tale che il sotto-

stante ha la seguente dinamica in Q:

dSt = rStdt + σStdWt.

Inoltre SB, H

Bsono mg e vale la seguente formula di valutazione neutrale al rischio

Ht = EQ(e−r(T−t)ϕ(ST ) | Ft), t ∈ [0, T ].

In particolare

H0 = EQ(e−rT ϕ(ST )).

Il risultato precedente puo essere esteso al caso (4.14) utilizzando una versione

generale del Teorema di Girsanov.

Teorema 4.7. [Teorema di Girsanov]

Sia W un moto Browniano sullo spazio (Ω,F , P ) con filtrazione Browniana (Ft). Sia

u un processo adattato tale che esista in [0, T ] la soluzione L di

dLt = utLtdWt,

L0 = 1.(4.18)

Se vale la condizione

E(LT ) = 1, (4.19)

definiamo la misura di probabilita Q su FT mediante

dQ

dP= LT in FT .

Allora il p.s. (Wt)t∈[0,T ] definito da

dWt = dWt − utdt, ossia Wt = Wt −∫ t

0

usds,

e un moto Browniano nello spazio (Ω,FT , Q).

Page 65: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

4.5 Metodo Monte Carlo 65

Provare per esercizio, utilizzando la formula di Ito, che una soluzione di (4.18) e

data, almeno formalmente, da

Lt = exp

(∫ t

0

usdWs − 1

2

∫ t

0

u2sds

).

L’ipotesi (4.19) del Teorema di Girsanov non e facile da verificare in generale. Il

risultato seguente da una condizione sufficiente.

Proposizione 4.8. [Condizione di Novikov] Supponiamo che

E(e

12

R t0 u2

sds)

< ∞,

allora il processo L definito da (4.18) e una martingala e vale la (4.19).

4.5 Metodo Monte Carlo

4.6 Put-Call parity

4.7 Formula di Black&Scholes

4.8 Volatilita implicita e generalizzazioni del mo-

dello di Black&Scholes

4.9 Opzioni asiatiche e modelli con dipendenza dal

passato

Page 66: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

66 Modelli a tempo continuo per i derivati

Page 67: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Bibliografia

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Political Economy, 81 (1973), pp. 637–654.

[3] H. Brezis, Analisi funzionale, Liguori Editore, Napoli, 1983. Teoria e

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[4] J. Cox, S. Ross, and M. Rubinstein, Option pricing: a simplified approach,

J. Financial Econ., 7 (1979).

[5] R. Durrett, Brownian motion and martingales in analysis, Ed. Wadsworth

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[6] A. Einstein, On the movement of small particles suspended in a stationary liquid

demanded by molecular kinetic theory of heat, Ann. Phys., 17 (1905).

[7] T. W. Epps, Pricing derivative securities, World Scientific, Singapore, 2000.

[8] I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus,

vol. 113 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, second ed.,

1991.

[9] L. C. G. Rogers and D. Williams, Diffusions, Markov processes, and mar-

tingales. Vol. 1, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press,

Cambridge, 2000. Foundations, Reprint of the second (1994) edition.

[10] , Diffusions, Markov processes, and martingales. Vol. 2, Cambridge Mathema-

tical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2000. Ito calculus, Reprint

of the second (1994) edition.

67

Page 68: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

68 BIBLIOGRAFIA

[11] D. Williams, Probability with martingales, Cambridge Mathematical Textbooks,

Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

Page 69: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

Indice analitico

E(X | G), 19

E(·,B)18

E(·), 11

L1, 11

L2, 42, 43

Nµ,σ2 , 8

P (· | B), 15

PX , 9

V(2)T (·, s), 41

VT (·, s), 40

X+, 11

FXt , 34

Γ(x, t), 8

Λ2, 43

Φ, 14

χ, 7

δx0 , 7dQdP

, 17

〈W 〉T , 41

〈X〉t, 50

〈X1, X2〉t, 54

¿, 16

B, 5

ϕX , 9

σ(X), 14

σ-algebra, 5

σ-algebra generata da una v.a., 14

∼, 9

var (·), 13

F , 34

m, 7

σ-algebra generata da, 5

Arbitraggio, 24, 58

Assoluta continuita, 16

Attesa di una v.a. condizionata a una σ-

algebra , 19

Attesa di una v.a. condizionata ad un even-

to, 18

Borelliani, 5

Curva rettificabile, 40

Delta, 30

Delta di Dirac, 7

Densita di una distribuzione, 6

Derivata di Radon-Nikodym, 17

Distribuzione, 6

Distribuzione di Cauchy, 8

Distribuzione di una v.a., 9

Distribuzione esponenziale, 7

Distribuzione normale, 8

Distribuzione normale standard, 14

Distribuzione uniforme, 7

Disuguaglianza di Holder, 38

Equazione del calore, 36

Equazione di Black&Scholes, 60

Equazione differenziale stocastica, 53

69

Page 70: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

70 INDICE ANALITICO

Eventi indipendenti, 15

Evento, 6

Evento certo, 6

Evento impossibile, 6

Filtrazione, 34

Formula di Ito, 51, 55

Funzione a variazione limitata, 40

Funzione caratteristica, 7

Funzione di distribuzione normale standard,

14

Funzione di distribuzione, 9

Funzione integrabile, 11

Funzione sommabile, 11

Holder, 38

Indipendenza, 16

Integrale, 10

Integrale di ItO, 47

Integrale di Ito, 43

Integrale di Riemann-Stieltjes, 40

Isometria di Ito, 45, 47

Martingala, 28, 37

MB, 34

mg, 37

Misura σ-finita, 17

Misura assolutamente continua, 16

Misura di Lebesgue, 7

Misura di probabilita, 6

Misura martingala equivalente, 26, 64

Misura risk neutral, 26

Misure equivalenti, 17

Modello binomiale, 21

Moto Browniano geometrico, 52

Moto Browniano reale, 34

Moto Browniano standard, 34

Operatore del calore, 36

p.s., 33

Parametro di finezza, 39

PNA, 24, 58

Portafoglio, 23, 57

Portafoglio adattato, 27

Portafoglio autofinanziante, 23, 58

Portafoglio di arbitraggio, 24, 58

Portafoglio di replica, 29

Prezzo di mercato del rischio, 63

Principio di Non Arbitraggio, 24, 58

Probabilita condizionata a un evento, 15

Probabilita oggettiva o del mondo reale,

22, 62

Problema di Cauchy, 36

Processo L2-continuo, 48

Processo adattato, 37

Processo di Ito, 49

Processo semplice, 43

Processo stocastico, 33

Processo variazione quadratica, 50

Processo variazione quadratica congiunta,

54

q.s., 19

Rendimento atteso, 36

Scomposizione, 38

SDE, 53

Soluzione fondamentale dell’equazione del

calore, 37

Spazio di probabilita, 6

Strategia, 23, 57

Page 71: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)

INDICE ANALITICO 71

Strategia adattata, 27

Tasso di rendimento atteso, 53

Teorema di Girsanov, 63, 64

Teorema di Ito, 51, 55

Teorema di Radon-Nikodym, 17

Teorema di rappresentazione delle martin-

gale, 49

v.a., 9

v.a. semplice, 10

Valore atteso, 11

Variabile aleatoria, 9

Varianza, 13

Variazione, 40

Variazione quadratica, 41

Volatilita, 36, 53

Page 72: Teoria Della Probabilita e Calcolo Stocastico Per La Finanza(Pascucci)