Teoria della relatività-4 16 gennaio 2013

Nuova definizione della quantità di moto

Teorema dell’energia cinetica

Espressione dell’energia cinetica

Energia relativistica, energia a riposo

Relazione tra energia e QM

Conservazione dell’energia relativistica

Relazione tra forza e accelerazione

Forza parallela alla velocità

Forza perpendicolare alla velocità

Quantità di moto

• Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre una nuove definizione di quantità di moto, affinche’ il principio di conservazione di questa grandezza continui a valere

• La definizione classica viene ora sostituita da

2

ump

uump

33

Energia cinetica

• Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica per una particella che viene accelerata da una forza F da velocità iniziale uA fino ad una velocità uB

3

F

u

44

Energia cinetica

• Partiamo dal lavoro elementare

• Esplicitiamo il differenziale della QM

• Il lavoro finito è

upddt

sdpdsd

dt

pdsdFdW

udmumduumdpd

W dWA

B

mdu md

u

A

B

u m

u u d

A

B

mu d

u

A

B

mu2dA

B

muduA

B

4

55

Energia cinetica

• Esprimiamo u in funzione di

• Otteniamo

• Il lavoro della forza esterna si ritrova come variazione di energia cinetica del corpo (th. dell’energia cinetica)

du c 2

u3d

u2 c 2 1 1

2

AB

B

A

B

A

B

A

mcdmcdc

mdmcW

22

2

2

2

2 11

AB KKW

5

66

Energia cinetica• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come

• Per determinare la costante poniamo uA=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue

• L’energia cinetica è dunque• Si introduce anche l’energia relativistica

• Il termine è la cosiddetta energia a riposo, cioè quella posseduta dal corpo fermo

• Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia

.2 constmcK

2. mcconst 12 mcK

22 mcmcKE 2mc

6

77

Relazione tra K e p in meccanica classica

• Possiamo esprimere K in funzione di p eliminando v dalle eqq. classiche

• Troviamo le relazioni

K 1

2mv 2 mvp

K p2

2m

p 2mK

7

88

Relazione tra E e p in relatività

• Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq.

• Dividendo membro a membro otteniamo

• Reintroducendo u in

• e sostituendo in E abbiamo

8

2cmE ump

u pc 2

E

222 cpE

E

42222 cmcpE

99

Casi limite di E e p in relatività

• Caso u<<c , diventa• QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u

• L’energia cinetica diventa

• Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K• Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia

diventano

9

22

2

22

2

1

2

11 mumc

c

umcE

mup

2

2

22 2

11

1

1

c

u

cu

m

pmumcEK

22

1 222

cmp pcE

Conservazione di E

• Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E di un sistema isolato si conserva

• Poiche’ E è somma di energia cinetica K e energia a riposo, ne segue che, in generale, ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si conservano separatamente

• Vediamo un esempio semplice

10

2mcKE

Conservazione di E

• Supponiamo di avere due particelle di massa m che si urtano centralmente con velocità uguali e contrarie

• Inizialmente abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a

11

222

222

2

1211

2

cmcmcmE

mcmcmcK

mmmM

i

i

i

Conservazione di E

• Supponiamo che l’urto sia totalmente anelastico, nello stato finale avremo un unico oggetto fermo di massa M

• Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a

12

2

0

McE

K

MM

f

f

f

Conservazione di E

• Applichiamo ora la conservazione di E:• Ne segue che cioè la massa

finale è maggiore della massa iniziale

• Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è perdita di energia cinetica

13

22 2mcMc if EE

120 2 mcKK if

1222 mmmMM if

Conservazione di E

• Per il primo principio della termodinamica ci dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla perdita di energia cinetica

• Dal punto di vista relativistico, a questo calore corrisponde l’aumento di massa del sistema

• Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed energia

14

12 2 mcKKQ if

02

c

QMM if

Conservazione di E

• In realtà il concetto di massa va pensato non come somma delle sole masse dei singoli costituenti il sistema, ma anche dell’energia interna del sistema

• In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è infatti un’altro modo di scrivere la conservazione dell’energia relativistica

15

fi Mm

c

mcm

c

KKmmM

212

22

2

2

21

fi EMccmE 222

161616

Relazione tra accelerazione e forza

• Partiamo dall’eq.

• Ricordando che• Abbiamo

• Sostituendo nell’espressione della forza e ricordando che

• otteniamo

F

dp

dt

d

dtmu m

ddt

u m

du

dt

K E mc 2 mc 2 mc 2

dK

dt

dE

dtm

ddt

c 2

a

du

dtuFu

dt

pd

dt

upd

dt

dW

dt

dK

amuFc

u

dt

udmu

dt

dmF

2

171717

Relazione tra accelerazione e forza

• Risolvendo per l’accelerazione

• Questa eq. ci dice che in generale l’accelerazione non è parallela alla forza

• Ci sono due casi in cui accelerazione e forza sono parallele– Quando la forza è parallela alla velocità– Quando è perpendicolare alla velocità

uFcm

u

m

Fa

2

181818

F parallela a u

• In questo caso particolare

• E l’accelerazione diviene

• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa longitudinale”

a

F

mF

mu2

c 2F

m1

u2

c 2

F

m3

2uFFuuuFu

m3

191919

F parallela a u (esempio)

• Consideriamo una particella di massa m e carica q, inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E diretto lungo x

• Passando alla proiezione lungo x

• E separando le variabili

• La soluzione è

a

F

m3

qE

m3

a dv

dt

qE

m3

v 3

v 3dv dt

v 3dv0

v

dt0

t

t

F

202020

F parallela a u (esempio)

• Per risolvere l’integrale cambiamo variabile

• Quindi

• Risolvendo per v

v

cv

v

wc

w

dwc

cv

dvdvv

w

w

vv

2

2230

23

2

20

3

1

1

21

w c

v

2

1

t

cv

vv

2

2

1

v t t

1 2t 2

c 2

qE

mt

1qEt

mc

2

212121

F parallela a u (esempio)

• Per la posizione moltiplichiamo per v l’eq. del moto

• Ricordando che vale la relazione

• otteniamo• e integrando

• Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo

v v 3dv vdt dx

ddv

v

c 23

dxdcdvvv 23

c 2d1

dx0

x

c 2 1 x

x t c 2

t

v 1

mc 2

qE1

qE

mct

2

1

222222

F parallela a u (esempio)

• Il limite per dà i risultati classici• Il limite per dà il limite relativistico

t 0t

232323

F perpendicolare a u

• In questo caso particolare

• E l’accelerazione diviene

• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa trasversale”

a

F

m

F u 0

m

242424

F perp. a u (esempio)

• Consideriamo una particella di massa m e carica q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel piano perpendicolare a z

• La forza agente sulla particella è

• ed è contenuta nel piano perpendicolare a z• Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in

tale piano

BuqF

B

u

F

252525

F perp. a u (esempio)

• Dette t e n le direzioni tangente e normale alla traiettoria, l’accelerazione diviene

• e l’eq. del moto

• Poiche’ la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità quest’ultima dev’essere costante in modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in meccanica classica

B

u

F

nR

ut

dt

duaaa nt

ˆˆ2

n

R

ut

dt

dumamnuBqF ˆˆˆ

2

262626

F perp. a u (esempio)

• L’eq. del moto diviene allora

• Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria

• Siccome u è costante, ne segue che, se B è uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è una circonferenza B

u

F

R

umuBq

2

uBq

mR

272727

F perp. a u (esempio)

• Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la velocità angolare come segue

Rm

Bqu

BRqp

m

Bq

R

u

282828

a caso generale

• L’accelerazione può essere espressa come

3

||

|| m

F

m

Faaa