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Teoria do potencial gravtico
(Physical Geodesy , B. Hofmann-Wellenhof & H. Moritz
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Potencial gravtico ?
Conhecimento da forma da Terra (pelasdiferenas observadas da
gravidade superfcie terrestre)
rbitas do satlites
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A fora de atraco gravitacional(newtoniana)
A fora de atraco gravitacional
21311
212
10)00067.067428.6( =
=
=
=
skgmGlmG
lmm
GFpm
p
Ref: CODATA (2006)http://physics.nist.gov/cuu/Constants/
Para saber sobre a controvrsia da eventual variao de G,
consultarhttp://www.npl.washington.edu/eotwash/experiments/bigG/bigG.html
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P, massaunitria
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As componentes da Fora F em funodos eixos cartesianos
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Chega o Potencial (V)
VZYXF
Fdll
GmV
==
==
],,[r
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No caso de um sistema(descontinuo) de pontos
Potencial criado por uma sistema de pontossobre um ponto P de
massa unitria
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E se tivemos um corpo (sistemacontnuo de pontos)
Definio de densidade de massa (dm; dvelementos de massa e
volume)
dvdm
= Assim, vem o integral de Newton
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Escrevendo em coordenadascartesianas o Potencial
Como ddddv =
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Escrevendo em coordenadascartesianas o Potencial
Como ddddv =
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Escrevendo em coordenadascartesianas a fora de atraco
lx
x
l =
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E aparecem as equaes de Poisson e Laplace
A equao de Poisson no maisdo que o gradiente da Fora !!!!
0=V
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Mas quais so as solues daequao da Laplace ?
Define-se funo harmnica, uma funo querespeita a equao de
Laplace
Demonstrar que 1/l harmnico (frmula 1-23)
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Equao de Laplace emcoordenadas esfricas
Com o objectivo de determinar os harmnicosesfricos, vamos
escrever emcoordenadas esfricas
0=V
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Determine-se as derivadas elementaresdx,dy,dz em funo de dr, d,
d
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Exerccio:
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Esfricos harmnicos Solues da equao de Laplace escrita
em coordenadas esfricas
Funo radialFuno angular
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Esfricos harmnicos
)1( += nn
=
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Esfricos harmnicos
Harmnicos esfricos slidos
Yn , Harmnicos esfricos de superfcie
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Solues gerais
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Harmnicos esfricos de superfcie
gh/sin 2
Substituindo na equao (1.40) e multiplicando por
2m=
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Resolvendo as equaes diferenciais
Pnm polinmios de Legendre (mais frente)
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Solues ?
Constantes
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Solues finais
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Polinmios de Legendre
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Polinmios de Legendre
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E aparecem as equaes de Poisson e Laplace
A equao de Poisson no maisdo que o gradiente da Fora !!!!
0=V
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Solues finais
n grau; m - ordem
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Polinmios de Legendre de grau zero (graficamente)
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Polinmios de Legendre de grau qualquer
Ver simplificao numrica (p17)
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Polinmios de Legendre e sua representao geomtrica
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Polinmios de Legendre e sua representao geomtrica
http://wpcontent.answers.com/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Spherical_harmonics.png/300px-
Spherical_harmonics.png
Utilizar MatLab para reproduzir estes diagramas
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Equao de Laplace para o elipsoide
= 90 -
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Elisoide de revoluo Brao de hiperboloide
Exerccio
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Harmnicos elipsoidais
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Gravidade e rotao da Terra A fora actuante resultante da fora
gravtica
e da fora centrfuga
222 yxf +=
)(21
21 22222 yxp +==
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Potencial de gravidade
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O vector de gravidade
??????
A intensidade da gravidade a norma do vector gravidade e a
direco a do fio de prumo.
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Superfcies equipotenciais As superfcies
equipotenciais definem-se como
O vector gravidade (cuja direco dada pelo fio de prumo)
ortogonal superfcie equipotencial
kdzjdyidxdrdrgdrWdW
dzz
WdyyWdx
x
WdW
zyxW
rrr++=
===
+
+
==
=
0..
0
constante),,(
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A figura matemtica da Terra
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss
O conceito de figura matemtica da Terra foi introduzida por
Johann Carl Friedrich Gauss (30 Abril 1777 23 Fevereiro 1855)
assumindo um valor constante do potencial de gravidade W = Wo,
definindo Wo o nvel mdio das guas do mar - GEOIDE
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H altitude ortomtrica
HWggdHdrgdW
=== .
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Curvatura das superfcies e vertical Defina-se raio de
curvatura
2/32
2
2
1
1
: temos),( curvatura de raio o e )( curvatura a com ),( curva
uma Seja
+
==
=
dxdydx
yd
rk
rkxfy
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Osculating_circle.svg
2
21dx
ydr
k ==
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A vertical e as superfcies equipotenciais
As superfcies equipotenciais no so concntricas
y= 0
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Diferenciando uma primeira e segunda vez !
Como no ponto P o eixo do xx tangente curva
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Diferenciando uma primeira e segunda vez !
Como no ponto P o eixo do xx tangente curva
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Se tivssemos raciocinado em termos do plano YOZ
Curvatura mdia de uma superfcie
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22
22
2
2
2
2
2
242
,
242
24
pi
pi
pi
+=
=
==
=
+=+
+=++=
+
+
=
GgJHg
EntoHg
z
gWgz
WW
SabendoGWgJ
assim
GWWWz
WyW
x
WW
zzz
zz
zzyyxx
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Curvatura da direco do fio de prumo
Raio de curvatura da projeco fio de prumo no plano XOZ
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Neste caso, em P, xxperpendicular a zz e portanto
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Como sabes que
Raios de curvatura das projeces do fio de prumo segundo XOZ e
segundo YOZ FUNDAMENTAIS PARA A REDUO DAS OBSERVAES
A geometria diferencial diz ainda que a curvatura total:
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Latitude e longitude astronmicas ( ~ coordenadas naturais)
- latitude astronmica (vertical fio de prumo) (definio do
equador ?)- longitude astronmica
H altitude ortomrica
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Nmero geopotencial - C = Wo - W
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Determinao das coordenadas em termos do potencial
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Potencial (final)
[ ]
+
+=
= =1 0),(),(1
n
n
m
nmnmnmnm
n
SSCCr
a
r
GMV
Para distncias inferiores distncia Terra-Lua
[ ] ...2cossin)(43)cos31(2/)(
21 22
3 +
+++= ABBACr
Gr
GMV
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Harmnicos elipsoidais
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linear dadeexcentrici ,
cos)(21)(sin),(
22
2222
0
baE
EuPA
EbiQEuiQ
uU nnn
n
n
=
++
=
=
Usando vrias simplificaes, em particular
=
xiix 1tan)(coth 11
-
( )
113-2 Equaes ),( ),(
cos21
31
sin21
tan),(
0
2222
2
0
221
EbqEuq
Eu
qq
au
EE
GMuU
++
+
+=
-
Gravidade normal ao elipsoide
= 90 -
dsu dsds
0=
=
=
=
s
Us
Us
Uu
u
-
+=
=
=
+
+
+=
dudq
EEbq
bE
e
GMba
m
qqem
mqqem
baaGM
o
22
22
2
0
02
0
02222
'
'
cos''
61sin''
31
cossin
-
2222
22
0
02
0
0
cossincossin
polos nos ,''3
1
equador no ,''6
1
baba
qqem
a
GM
qqem
mab
GM
ab
b
a
+
+=
+=
=
-
Para WGS 84 (m/s2)
9,77
9,78
9,79
9,8
9,81
9,82
9,83
9,84
-100 -50 0 50 100latitude
g
r
a
v
i
d
a
d
e
-
Variao da gravidade em funo da altitude elipsoidal
+++=
+
+=
22
2 3)sin21(21
....
ha
hfmfa
hh
h
h
2242 pi += GgJHg
