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8/11/2019 Teoria Estruturas 1
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MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL |3 ANO
EC0020|TEORIA DAS ESTRUTURAS 1|2013/2014 1 SEMESTRE
Prova com consulta de formulrio. Durao: 2h00m Parte prtica
Lus Macedo Exame Normal - 08/01/2014| PG.1 / 9
Resoluo P1
1. [5 Val.]Pretende-se analisar pelo Mtodo das Forasa estrutura representada na Figura 1
constituda pelas barras contnuas [AC], [CDE]e [BD]e pelas bielas [CF]e [DF]. A estrutura
encontra-se solicitada por uma carga distribuda de 10 kN/maplicada na barra [CDE], por
uma carga concentrada de 50 kNaplicada no n F, por um assentamento de apoio vertical
de 2 mmno apoio Ae pelas variaes de temperatura indicadas na figura a atuarem apenas
nas barras [AC]e [BD](a barra [CDE]e as bielas [CF]e [DF]esto termicamente isoladas).
Considere que as barras [AC], [CDE] e [BD] so indeformveis quando sujeitas a esforosaxiais e transversos.
Dados:
Barras [AC], [CDE] e[BD]
E = 25 GPa
A = 0,30x0,50 m2
= 1x10-5/C
Barras articuladas [CF]e [DF]
E = 200 GPa
A = 10 cm2
Figura 1
a) Indique qual o grau de hiperestaticidade da estrutura e efetue todas as simplificaes
possveis, ou seja elimine barras para as quais conhea partida os diagramas de
esforos finais e substitua essas barras pelos esforos que exercem sobre a restanteestrutura.
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Prova com consulta de formulrio. Durao: 2h00m Parte prtica
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R:
O grau de hiperestaticidade da estrutura 1. A estrutura pode ser simplificada retirando o arcode trs rtulas e a consola e colocando as foras resultantes.
Figura 2
b) Das 4 estruturas abaixo representadas indique quais podem ser utilizadas como
sistemas base isostticos para a resoluo da estrutura pelo mtodo das foras.
Justifique a sua resposta.
Estrutura 1 Estrutura 2
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R:
Das 4 estruturas representadas as Estruturas 1 e 4 podem ser utilizadas como sistemas base
isostticos. A Estrutura 2 no pode ser utilizada pois a biela [FC] fica hiposttica e a Estrutura 3
hiposttica.
c) Considerando um sistema base que inclua uma rtula no n C da barra [CDE],
determine:
i.
O valor das incgnitas hiperestticas;
R:
Sistema Base
A estrutura original pode ser decomposta na soma de 2 estruturas:
Estrutura 3 Estrutura 4
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+X1.
S0 S1
Equao de Compatibilidade de Deslocamentos
= + = 0
1representa a rotao relativa observada na estrutura hiperesttica na seco e direces daincgnita X1quando a estrutura est sujeita a todas as solicitaes.
10 representa a rotao relativa observada na seco e direco da incgnita X1, quando o
sistema base est sujeito a todas as solicitaes.
11 representa a rotao relativa observada na seco e direco da incgnita X1 quando osistema base est sujeito solicitao virtual unitria X1=1.
Clculo dos diagramas de esforos dos sistemas S0 e S1
Sistema S0
N [kN] V [kN]
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M [kN.m]
Sistema S1
N [kN] V [kN]
M [kN.m]
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Determinao dos deslocamentos ijpor aplicao do TTV.
= . + .
+ . + . .
+ . .
=+ 2 =
Barra t0(C) t (C)
AC 10 0
DB 0 20
As barras [AC], [CDE]e [BD]so indeformveis quando sujeitas a esforos axiais e transversos.
. 0 .
0
Clculo de :
= 1 12 3 7 5 (1) + 13 (45) 3 (1)+ 1 12 4.47250 23 (1)+ 12 4.472 (1) 1 10
20. 5= 2.712 10
= = 1.0 + 0 0.02 =
=
= 2.712 10Clculo de :
= 1 12 4 (1)
23 (1)+
1 [3 (1) (1)]+
12 4.472 (1)
23 (1)
= 7.45510
= 1.0 =
= 7.455 10
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Determinao da incgnita hiperesttica da estrutura para o sistema base indicado:
0 = + 2.71210+ 7.455 10= 0
= 36.38 . ii. O diagrama de momentos fletores da estrutura;
R: Aplicando o princpio da sobreposio dos efeitos:
= +
M [kN.m]
iii.
O deslocamento vertical do ponto F.
R: Uma vez que a barra [AC] indeformvel quando sujeita a esforos axiais o deslocamento do
ponto F igual a:
= () + = 50 3200000 1 10 10 4 + 0.002 = 2.35 10
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d) Imagine que o apoio B apresenta uma mola de rigidez kna direo horizontal. Nestas
novas condies indique justificando (sem recorrer a clculos) quais as alteraes queera necessrio considerar para analisar a estrutura pelo Mtodo das Foras.
R: Considerando que apoio B apresenta uma mola de rigidez k na direco horizontal:
Nova Estrutura
Com a introduo da mola no n B vai existir um trabalho interno de deformao da mola que
tem de ser contabilizado.
N [kN] V [kN]
As reaces no sistema base S0 e S1 vo ser iguais aos valores encontrados anteriormente uma
vez que a estrutura isosttica. Sendo o valor das reaes em B para o sistema S0 e S1 iguais a:
HB=0 kN e =1/4 kN e os correspondentes deslocamentos = e =
.
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Clculos dos Novos Valores de Deslocamento
Clculo de :
= )+
Clculo de :
= )+
Com o novo valor de deslocamentos aplicvamos a equao de compatibilidade e calculvamos
o valor da incgnita hiperesttica.
0 = +