RESISTENCIA DE MATERIALES

CLASES TEÓRICAS

CUERPO DOCENTE

• Titular: Ing. Álvaro M. Corró

• COMISIÓN Nº 1 • Alumnos de Ingeniería Electromecánica e Ing.

Industrial• Ing. Carmen R. Godoy• Ing. María C. Dekun

COMISIÓN Nº 2

• Alumnos de Ingeniería Civil

• Ing. Adrián Hippler• Ing. Francisco Stevenson

HORARIOS

TEORÍAS:Martes de 14.00 hs a 18 .00 hs

PRÁCTICAS

Comisión Nº 1: Jueves de 14.00 a 18.00

Comisión Nº 2: Viernes de 14.00 a 18.00

CLASES DE CONSULTA• Ordinarios: Martes, Jueves y Viernes:• de 18.00 a 20.00

Extraordinarios:• A definir

• BIBLIOGRAFÍA• AULA VIRTUAL

“ La teoría no es el conocimiento; permite el conocimiento. Una teoría no es una llegada, es la posibilidad de una partida. Una teoría no es una solución; es la posibilidad de tratar un problema. Dicho de otro modo, una teoría sólo cumple su papel cognitivo, solo adquiere vida, con el pleno empleo de la actividad mental del sujeto” .E. Morin (1984)

ENSEÑANDO A PENSAR

ENSEÑANDO A PENSAR

INTRODUCCIÓN

A LA

TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

• ESTADOS DE TENSION

1.1 CONCEPTOS GENERALES No existe el sólido indeformable, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor

medida bajo el efecto de las cargas exteriores o interiores. Si los cuerpos fueran indeformables, las ecuaciones de la estática no alcanzarían para

resolver, por ejemplo aquellos problemas que fueran hiperestáticos

1.2 DEFINICION DE CUERPOS DEFORMABLES• Definimos al cuerpo deformable, como aquel cuerpo que posee ciertas propiedades

y cumple con una serie de hipótesis respecto de dichas propiedades, todas ellas verificadas experimentalmente.

• 1.2.1 CONTINUIDAD: La masa del sólido es continua, quiere decir que analizamos un cuerpo en un entorno donde la masa es la misma

• 1.2.2. HOMOGENEIDAD: Las propiedades de un elemento infinitesimal dV son las mismas en todo el sólido.

• 1.2.3. ISOTROPÍA: El sólido presenta las mismas propiedades en todas las direcciones

• 1.2.4. ELASTICIDAD: Para ciertos materiales, si las fuerzas que lo deforman no exceden ciertos limites, la deformación desaparece cuando se suprimen las fuerzas que actúan.

1.3 FUERZAS1.3.1 Fuerzas de Masa: Son aquellas que se encuentran distribuidas a lo largo de todo

el volumen del sólido ( por ejemplo: inerciales, gravitatorias, térmicas, magnéticas, etc.)

1.3.2. Fuerzas de Superficie: Provienen de interacciones entre sistemas o de acciones exteriores, pueden ser:

1.3.2.1 Concentradas: son las fuerzas que actúan en un punto

1.3.2.2 Distribuidas: son las fuerzas que actúan a lo largo de una superficie ( por ejemplo: pesos, presiones hidrostáticas, viento, encamisados, etc.)

1.4 ESTUDIO DE TENSIONES EN UN SÓLIDO DEFORMABLE

1.4.1 Concepto de tensión en un punto: Se considera un sólido en equilibrio bajo la acción de las fuerzas pi

πpi

pi

pi

pi

pi

pi

pi

Ri

Rd

A

S

El sólido, obviamente, es continuo, homogéneo e isótropo.Se corta el sólido con un plano π y nos determina una sección “s” dentro de la cual se encuentra un punto A.Luego separamos la parte derecha delimitada por el plano π, con lo cual se rompe el equilibrio al cual estaba

sometido el sólido.Para restituir el equilibrio, debemos colocar en el baricentro de la sección del lado izquierdo, una resultante Rd

y un par Md, que reemplacen las acciones ejercidas por las Pi del lado derecho suprimidas.

G

Md Rd

A

pi

pi

pi

Tengamos en cuenta que las acciones no se ejercen de una parte del sólido a la otra como acciones concentradas, sino que los son punto a punto de la parte derecha hacia la parte izquierda.

Considerando ahora el punto “A”, y un en el, un entorno de superficie ΔF, sobre dicho elemento se transmite de un lado al otro, una fuerza ΔP. Si para el cociente ΔP/ ΔF hacemos tender ΔF→ 0, al

límite de dicho cociente, cuando ΔF→ 0, lo denominaremos TENSIÓN EN EL PUNTO A.

lim (ΔP/ ΔF) = dP / dF = ρ

ΔF→ 0

y se miden en unidades de fuerza por unidades de longitud kg/cm2, N/m2, MPa, etc.(1 Pa pascal = 1 N/m2).La tensión ρ es una magnitud vectorial, pues tiene dirección, sentido e intensidad, por lo que se la representa por

medio de vectores.1.4.2 Régimen de tensiones en un punto: Si por el punto A pasamos otros planos distintos del π,o sea con distintas

orientaciones, el valor de ρ cambiará, ya sea en intensidad, dirección o sentido. Por lo tanto por un punto interior de un sólido como pasan infinitos planos, y por lo tanto a dicho punto A,

corresponderán infinitas tensiones ρ, según el plano que se considere. A esto se lo conoce como “ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO” o “

R REGIMEN DE TENSIONES”

A

Existen al menos 3 estados posibles de tensión

1.4.2.1 Estado Espacial o Triple de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad., teniendo el vector tensión cualquier orientación en el espacio.

ρ

ρ’

ρ’’

1.4.2.2 Estado Plano o Doble de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad, pero el vector tensión se mantiene paralelo a un plano determinado

1.4.2.3 Estado Simple o Uniaxial: Si al considerar los infinitos planos que pasan por un punto, las correspondientes tensiones se mantienen todas paralelas a una dirección.

1.4.3. Tensiones Normales y Tangenciales: Surgen de las descomposición del vector ρ en dos componentes ortogonales, una perpendicular al plano, denominada Tensión Normal σ, y otra contenida en el plano de la sección denominada Tensión Tangencial ζ.

Por lo tanto dichas componentes tendrán como valores

analíticos las siguientes expresiones algebraicas:

σ = ρ cos φ

ζ = ρ sen φ

ρ = (σ2 + ζ 2 )1/2

A

σ

Φ ρ

ζ

A Ξ 0

z

x

y

e Ξ ρ

γ

αβ

•1.4.4. Convención de Signos

•Hacemos coincidir una terna de ejes coordenados por el punto A, y consideramos un plano π que pase por dicho punto.

•A los efectos de facilitar la interpretación del gráfico, el plano se dibuja desplazado. La dirección del plano π, queda definida en el espacio por la ubicación de su normal exterior “e” , que forma con los ejes coordenados los ángulos α β y γ , siendo sus cosenos directores

• l = cos α ; m = cos β y n = cos γ

•que por cuestiones de trigonometría cumplen con la relación l 2 + m 2 + n 2 = 1

• Consideramos ahora un cubo elemental de aristas unitarias, cuyas caras coinciden con los 3 planos coordenados, y definimos

a) Una cara es positiva cuando lo es su normal exterior. La normal exterior es positiva cuando lo es su proyección sobre el eje al que le es paralelo.

• • 0 ≡ C

Las tensiones normales σ se sub indican con el eje respecto al cual son paralelos.Las tensiones tangenciales en cambio, se sub. indican con 2 índices, el primero referido al eje normal a la cara

donde actúa la tensión, y el otro referido al eje al cual es paralelo la tensión.• La cara EFGH es positiva por serlo su normal exterior en la dirección x, y las tensiones son positivas por serlo

sus proyecciones sobre los ejes a los cuales son paralelos. Para caras negativas ABCD, las tensiones son positivas en este caso por ser negativas sus proyecciones a los ejes a los cuales son paralelos.

z

x

y

ζxz

σx

ζxy

ζxz

σx

ζxy

E

F

ζ

G

H

A

B

D

•CARAS POSITIVAS•EFGH•ABEF•BDFH

•CARAS NEGATIVAS•AECG•ABCD•DCGH

Signo de las tensiones:

• Las tensiones normales σ son positivas cuando son de tracción, y negativas cuando son de compresión.

• Las tensiones tangenciales ζ en cambio son mas , menos, como se verá más adelante.

• 1.4.5. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DEL ESTADO DE TENSIÓN

• Si tenemos un sistema de ejes cartesianos ortogonales y tres tensiones ti , asociadas, actuando en los planos cartesianos octogonales, cada tensión ti se puede descomponer en una tensión normal σ y dos tensiones tangenciales ζ según la dirección de los ejes.

• ť 1 = σx i + ζ xy j + ζxz k

• ť 2 = ζ xy i + σy j + ζyz k

• ť 3 = ζ zx i + ζ zy j + σz k

• donde i, j y k son versores.

También podemos expresar las ecuaciones anteriores en forma tensorial• ť 1 = t11 i + t 12 j + t13 k

• ť 2 = t21 i + t 22 j + t23 k

• ť 3 = t31 i + t 32 j + t33 k

z

x

y

t1

ζxz

σx

ζxz

t3

ζzxσx

ζxz

t2

σy

ζxy

ζyz

• 1.4.6. EQUILIBRIO DEL CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES

• Para analizar el equilibrio del cubo elemental, sujeto a tensiones, hacemos coincidir en el punto A una terna de ejes coordenados ortogonales y pasamos tres planos ortogonales por dicho punto.

• Luego a una distancia dx, dy, y dz, colocamos un punto B.

• Debemos hacer la salvedad que suponemos que las funciones que definen las variaciones de tensiones σ y ζ , son continuas y derivables para poder obtener una solución matemática

• En la cara dy; dz que pasa por A, actúa σx , ζ xy ; ζ xz .

• En la cara paralela que pasa por B actuarán

• σx + ( ∂σx / ∂ x ) dx ; ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ; ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ;

• o sea la función incrementada

• Idéntico razonamiento aplicamos en las otras dos caras.

• Pero además supondremos que el cubo elemental se encuentra sometido a Fuerzas de Masa, que se suponen aplicadas en el baricentro. Llamamos X, Y y Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen aplicadas en la dirección de los ejes.

• Para lograr el equilibrio del cubo elemental, plantearemos • a) 3 ecuaciones de proyección sobre los 3 ejes coordenados• b) 3 ecuaciones de nulidad de momento respecto de dichos ejes.

• CONCEPTO A RECORDAR: TENSIÓN X ÁREA = FUERZA

•Ecuaciones ded proyección sobre los efes coordenados•Sobre el eje “x”

•[ σx + ( ∂σx / ∂ x ) ] dy dz - σx dy dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂y ) dy ] dz dx] –

ζ xy dz dx +[ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂z ) dz] dx dy - ζ xz dx dy + X dx dy dz = 0

•Sobre el eje “y”

•[ σy + ( ∂σy / ∂ y ) ] dx dz - σy dx dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ] dz dy] –

ζ xy dy dz +[ ζ zy + ( ∂ ζ zy /∂z ) dz] dx dy - ζ zy dx dy + Y dx dy dz = 0

•Sobre el eje “z”

•[ σz + ( ∂σz / ∂ z ) ] dy dx - σz dy dx + [ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ] dz dy] - ζ xz

dz dy +[ ζ xz + ( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx dz - ζ yz dx dz + Z dx dy dz = 0

•Si simplificamos los términos iguales en cada una de las tres ecuaciones, y dividimos por dx, dy y dz llegamos a las Ecuaciones de Equilibrio, quedándonos un sistema de tres ecuaciones con nueve incógnitas, que en realidad se demuestran que son seis.

• ∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0

• ( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) +( ∂ ζ zy /∂z ) + Y = 0

• ( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0

Para resolver dichas seis incógnitas, planteamos 3 ecuaciones de momento respecto de tres ejes

ortogonales, paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental.• Por lo tanto de todos los momentos posibles, serán nulos los momentos correspondientes a aquellas

fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado quedándonos por lo tanto para el eje X:

• ζ yz (dy/2) dz dx + [ ζ yz +( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx (dy/2) dz - ζ yz dx (dz/2) dy - [ ζ zy +( ∂ ζ yz /∂z )dz] dx dy (dz/2) = 0

x

• Aplicando desarrollo y sumas llegamos a :

• ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ yz /∂y ) dx (dy2/2) dz - ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ zy /∂z ) dx (dz2/2) dy = 0

• Despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda

• ζ yz dz dy dx - ζ yz dz dy dx = 0

• Haciendo las mismas ecuaciones para los otros dos pares de ejes llegamos a:• ζ yz = ζ zy

• ζ xz = ζ zx

• ζ xy = ζ yx

• Que constituye la expresión matemática del Teorema de Cauchy, que se enuncia de la siguiente manera:

•Dados dos planos, que definen una arista en su intersección, las componentes normales a dicha arista, de las tensiones tangenciales ζ que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.

• El hecho de tener signos contrarios, aparte de una consideración matemática, se da en el hecho de que los momentos respecto de un mismo eje de las tensiones tangenciales de sub índices cambiados deben ser de sentido contrario, a los efectos de mantener el equilibrio del cubo elemental.

• Luego, para conocer el estado tensional de un punto de un sólido sometido a cualquier estado de cargas, debemos conocer el Tensor de Tensiones a partir de sus seis componentes.

• ∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0

( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) + ( ∂ ζ yz /∂z ) + Y = 0

( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0

• SOLUCIONES:• a) Teoría Matemática de la Elasticidad: Plantea 3 ecuaciones complementarias de

deformación• b) Resistencia de Materiales: Utiliza hipótesis suficientemente válidas, verificadas

experimentalmente.

. ESTADO TRIPLE O ESPACIAL

• 1.5.1. Se parte de analizar el equilibrio de tensiones en un punto material A, por el cual se hace coincidir una terna de ejes coordenados, que delimitan 3 planos ortogonales, más un cuarto plano oblicuo que pasa por A y que en el gráfico se lo dibuja desplazado a los efectos de una mejor interpretación

• Supondremos conocida la dirección del plano inclinado, a partir de conocer la ubicación en el espacio de su normal exterior.

• Esto es, que el plano queda definido por el conocimiento de los cosenos directores, l , m y n que la normal exterior al plano, forma con cada uno de los ejes coordenados ortogonales.

• Nos queda entonces un tetraedro elemental, cuyo equilibrio es el objeto de nuestro análisis.

• Admitiremos que el área inclinada, tiene una superficie unitaria.• Área BCD = 1• Por lo tanto, las caras ortogonales ACD, ABD Y ABC, tendrán como áreas, el valor

de los cosenos directores l , m y n .

• Nuestro estudio se basa en que conociendo las tensiones normales σx , σy , σz y tangenciales ζxy , ζxz , ζyz , en cada una de las caras elementales, hallemos el valor de la tensión resultante ρ y sus componentes σ y ζ en la cara inclinada.

• Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzasρx . 1 = σx l + ζxy m + ζxz n

ρy . 1 = ζxy l + σy m + ζyz n

ρz . 1 = ζxz l + ζyz m + σz n

• y teniendo en cuenta que ρ = ( ρx2 + ρy

2 +ρz2 )½

• Elevamos las ecuaciones A al cuadrado y reemplazamos en B y teniendo en cuenta que φ es el ángulo entre σ y ρ nos queda

• ρ = [ (σx2

+ ζxy2 + ζxz 2) l2 + (σy

2 + ζxy

2 + ζyz 2) m2 + (σz2

+ ζxz2 + ζyz 2) n2 +2 (σx

ζxy + σy ζxy + ζxz ζyz) l m + 2 (σx

ζxz + σz ζxz + ζxy ζyz) l n + 2 (σy ζzy + σz ζxz + ζxz

ζyz) m n] ½

• σ = ρ cos φ ; ζ = ρ sen φ donde el valor ρ ya lo obtuvimos

A

B

• Luego al ángulo ente ρ y los eje coordenados, los llamamos αρ , βρ y γρ

• Y como conocemos los cosenos directores de la normal exterior con el plano considerado, l, m. n

• Podemos entonces plantear :

• cos αρ = ρx / ρ

• cos βρ = ρy / ρ

• cos γρ = ρz / ρ

• como sabemos además que e Ξ σ forma con los ejes coordenados los cosenos directores l, m y n, y que por trigonometría se define

cos φ = l cos αρ + m cos βρ + n cos γρ = l (ρx / ρ) + m (ρy / ρ) + n (ρz / ρ)

• O sea que hallamos el cos φ y con él, los valores de σ y ζ que era el motivo de nuestro estudio

Supongamos ahora que deseamos expresar σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales. Para ello debemos recordar de Estática, el Teorema de Varignon, que nos decía que la sumatoria de los momentos de las componentes de un sistema, eran equivalentes al momento de la resultante.

Entonces, proyectamos ρ sobre la dirección de σ e igualamos la suma de proyecciones de ρx , ρy y ρz nos queda:

σ = ρ cos φ = ρx l + ρy m + ρz n

Que reemplazando con los valores de la ecuación A nos quedaσ = σx l2 + σY m2 + σZ n2 + 2 ( ζxy l m + ζxz l n + ζyz m n )

ζ = (ρ2 - σ2 )½.

De esta manera, hemos hallado σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales.

1.5.2 TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES

• Al cambiar la orientación de un plano, varían las tensiones aplicadas al mismo.

• La tensión σ máxima se alcanzará cuando ρ coincida con σ (y con e), siendo nulas en ese caso, las tensiones tangenciales ζ.

• El plano que contenga a ese valor de ρ se llama PLANO PRINCIPAL, y por el teorema de Cauchy, no es un solo plano, sino 2, ortogonales entre si, en los cuales las tensiones normales σ adquieren su valor máximo y mínimo respectivamente.

• Estos valores son importantes porque al ser los máximos, serán los valores que utilizaremos en los cálculos de dimensionamiento y/o verificación.

• Por lo tanto, en los planos principales, actuarán las tensiones principales, en las direcciones principales

Para el caso de las tensiones principales, las expresiones A, se convierten entonces en: ρx . 1 = σi l

ρy . 1 = σi m

ρz . 1 = σi n

Por ser nulas las tensiones tangenciales.

Si igualamos este sistema de ecuaciones, con la parte derecha de las ecuaciones A, que eran los datos del problema y que representaban las tensiones en las caras ortogonales, nos quedará:

σi l = σx l + ζxy m + ζxz n

σi m = ζxy l + σy m + ζyz n

σi n = ζxz l + ζyz m + σz n

Operando matemáticamente obtendremos (ecuaciones 1)(σx - σi ) l + ζxy m + ζxz n = 0

ζxy l + (σy -σi ) m + ζyz n = 0

ζxz l + ζyz m + (σz - σi ) n = 0

• O sea un sistema de 3 ecuaciones homogéneas entre las incógnitas l , m , n que definen la dirección del plano principal que corresponde a σi en función de las tensiones normales y tangenciales que ocurren en las tres cara ortogonales.

• Una solución, es la trivial, o sea l = m = n = 0.

• Para que ello no ocurra, es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo

• (σi - σx ) ζxy ζxz

• ζxy (σy -σi ) ζyz = 0

• ζxz ζyz (σz - σi )

Desarrollando el determinante, llegamos a una ecuación cúbica, llamada

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES.

σi 3

- σI 2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy

2 - ζxz2 - ζyz

2 ) –

(σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - - ζxz

2 . σy - ζzy2 . σx ) = 0

Esta ecuación posee 3 raíces que son σ1; σ2; σ3 , que son las tres tensiones principales que actúan en los tres planos principales y que existen si y solo si las 3 σi son reales.

Siempre supondremos σ1> σ2 > σ3

Que una raíz es siempre real, es obvio por predominar el término cúbico sobre el resto de la ecuación. A ese valor lo llamaremos σ3

• Para ver si σ1 y σ2 son reales, tomamos una terna de ejes x’, y’ y z’ , y

• hacemos coincidir el eje z’ con la dirección de σ3 .

• O sea que σ3 = σz’ de lo que resulta que ζz’y’ = ζz’x’ = 0

• Entonces las ecuaciones 1, se transforman en

• (σx’ - σi ) l + ζy’x’ m = 0

• ζx’y’ l + (σy’ -σi ) m = 0

• (σz’ - σi ) n = 0

• Para que la solución sea no nula, bastará que el determinante de los coeficientes sea nulo

• (σx’ - σi ) ζy’x’ 0

• ζ x’y’ (σy’ -σi ) 0 = 0

• 0 0 (σz’ - σi )

• Desarrollando el determinante, llegamos a

σi2

- σi (σx’ +σy’ )+ (σx’ σy’ - ζy’x’2) = 0

σ 1;2 = (σx + σy)/2 ± √[(σx - σy)/2 ]2 + ζxy2

CASOS POSIBLES DE LAS RAICES

• Las tres raíces son diferentes σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 Existen 3 raíces principales, ortogonales entre si, existiendo tensiones tangenciales en los demás planosb) Hay dos raíces iguales y una es diferente σ1 = σ2 ≠ σ3

Las tensiones correspondientes a planos normales al planodonde actúa σ3 , resultan iguales entre si e iguales a σ1 = σ2 siendo entonces la dirección de σ3 la dirección del haz de planos c) Las tres raíces son iguales σ1 = σ2 = σ3 Las tensiones en los infinitos planos que pasan por el punto, son iguales entre si, no

existiendo tensiones tangenciales en ningún plano. Se denomina estado hidrostático

y σ2

σ1

x

σ3

z

Eje del haz de planosz

σ2

σ1

y

x

σ 3

1.5.3. DETERMMINACION DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES

De la ecuación característica, obtuvimos σ1 ; σ2 ; σ3 .

Ahora hallaremos las direcciones en las que actúan dichas tensiones principales, o sea, las normales exteriores a los planos principales.

• Para ello necesitaremos conocer los valores de l, m y n para cada una de las 3 direcciones principales

• Partimos de la dirección principal 1, planteando el sistema de ecuaciones

• (σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0

• ζxy l1 + (σy – σ1 )m1 + ζyz n1 = 0

• ζxz l1 + ζyz m1 +(σz – σ1 ) n1 = 0

El determinante de este sistema de ecuaciones, esta dado por:(σx – σ1 ) ζxy ζxz

ζ xy (σy – σ1 ) ζyz = 0

ζ xz ζyz (σz – σ1 )

Si ahora llamamos Δ1 ; Δ 2 Δ 3 , a los 3 menores complementarios de la primera fila, tendremos σy – σ1 ζyz

Δ1

ζyz σz – σ1

ζyx ζyz

Δ2

ζxz σz – σ1

ζxy σy – σ1

Δ3

ζxz ζyz

Luego, desarrollamos el determinante por la primera fila

(σx – σ1) Δ 1 + ζ xy Δ 2 + + ζ xz Δ 3 = 0

dividiendo miembro a miembro, y comparando con

(σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0

que era la primera de las ecuaciones, llegamos a determinar K, una constante no nula cuyo valor vendrá determinado por l 1 m 1 n1

K = = = Δ 1 Δ 2 Δ 3

Entonces l 1= K Δ 1 ; m 1 = K Δ 2 ; n1 = K Δ 3

y como sabemos que l 1 2 + m 1 2 + n1 2 = 1

Nos quedará entonces(K Δ 1 ) 2 + (K Δ 2 ) 2 + ( K Δ 3 ) 2 = 1

• Finalmente podremos escribir que • 1• K = • ± [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½

• A partir de ahora, estamos en condiciones de hallar los cosenos directores • para la dirección principal 1

Δ1

l1 = ± [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½

Δ2

m1 = ± [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½

Δ3

n1 = ± [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½

Ahora repetimos todo el proceso matemático reemplazando alternativamente σ1 por σ2 y luego por σ3 para hallar los cosenos directores de las direcciones principales 2 y 3.

1.5.4. DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALESSi los ejes ortogonales coinciden con las tres direcciones principales, tendremos que:

σx = σ1

σy = σ2 ζ xy = ζ xz = ζ zy = 0

σz = σ3

La ecuación A, se convierte entonces enρx = σ1 l

ρy = σ2 m

ρz = σ3 n

por lo tanto: ρ = ±(σ12 l2 + σ2

2 m2 + σ32 n2 )½

y σ = ρ cos φ = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2 Ecuación de σ

ζ = (ρ2 - σ2 )½. Esta expresión, reemplazando por los valores de σ y ρ hallados anteriormente, y teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos es igual a la unidad, de puede escribir de la siguiente manera, expresando n en función de l y de m

ζ = (σ12– σ3

2 )l2 + (σ22– σ3

2 )m2 + σ32 - [(σ1– σ3 )l2 + (σ2– σ3 )m2 + σ3 ]½

Ecuación de ζ

1.5.5 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMASDerivando la expresión anterior de ζ en función de las variables independientes l y m,

obtenemos los valores máximos y mínimos de ζSe obtiene un sistema de ecuaciones, con tres soluciones posiblesa) Para el caso en que las tres tensiones principales son distintas, σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 las

soluciones posibles son l = m = 0 ; n = ± 1

Reemplazando estos valores en las ecuaciones de σ y ζ obtenemos que σ = σ3 y ζ = 0

• Es decir una cara principal.• Si en vez de poner n en función de l y m hubiéramos hecho cualquiera de las

otras 2 combinaciones posibles, llegaríamos a idénticos resultados. • Finalmente, cuando las tres tensiones principales son diferentes, las tensiones

tangenciales máximas actúan en planos a 45º de los planos que contienen las tensiones normales máximas y su valor está dado por

• ζ1 = ± ((σ2– σ3 )/2) ; ζ2 = ± ((σ3– σ1 )/2) ζ3 = ± ((σ1– σ2 )/2)• Ahora bien, en los planos de tensiones normales máximas, no existían

tensiones tangenciales. No ocurre lo mismo en los planos donde las tensiones tangenciales son máximas.

Para esos planos existe un valor de tensión normal asociada, llamada comúnmente σmy cuyo valor es:Para el plano donde actúa ζ1 ; σm = (σ2+ σ3 )/2;

Para el plano donde actúa ζ2 ; σm = (σ1+ σ3 )/2;

Para el plano donde actúa ζ3 ; σm = (σ2+ σ1 )/2;

b) Para el caso que dos tensiones principales sean iguales y una diferente σ3 = σ2 ≠ σ1

La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones principales y su valor viene dado porζmáx = ± (σ1– σ3 )/2 = (σ1– σ2 )/2

c) Para el caso de tres tensiones principales iguales σ3 = σ2 = σ1 ya habíamos dicho que las tensiones tangenciales son nulas

1.5.6. INVARIANTES DE TENSIÓNPartimos de la ecuación característica de tensionesσi

3 - σI

2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz

2 - ζyz2

) - (σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2

. σz - ζxz2 . σy - ζzy

2 . σx ) = 0

• El concepto es que no importa la terna de ejes coordenados que se adopte, las tensiones principales deben ser siempre las mismas.

• Lo que es lo mismo que decir que los coeficientes de la ecuación característica deben ser constantes de allí que

• J1 = σX+ σy + σz • J2 = σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy

2 - ζxz2 - ζyz

2

• J3 = σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - ζxz

2 . σy - ζzy2 . σx

• Que son los llamados Invariantes de Tensión.

• Si entre todas las posibles ternas de ejes existentes , adoptamos la que corresponde a las direcciones principales, los invariantes de tensión quedan de la siguiente manera:

• J1 = σ1+ σ2 + σ3 • J2 = σ1. σ2 + σ3 σ1+ σ3 σ2 • J3 = σ1. σ2 . σ3

• De ambas ecuaciones llegamos a la importante conclusión siguiente:• La suma de las tensiones principales es igual a la suma de las tensiones normales

correspondientes a tres caras• J1 = σX+ σy + σz = σ1+ σ2 + σ3

1.6 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO TRIPLE O ESPACIAL• Es una representación gráfica del estado espacial de tensiones. • Dicho de otro modo, representamos un estado espacial en un estado plano en el

papel.• Para su análisis partiremos de las expresiones obtenidas al inicio del estado triple

de tensiones

ρ2 = σ12 l2 + σ2

2 m2 + σ32 n2

• σ = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2

• 1 = l2 + m2 + n2

Nuestro objetivo es resolver la orientación del plano que contiene a σ y ζ, partiendo del conocimiento de las tensiones principales.

O sea que las incógnitas serán l2 , m2 y n2 .Si llamamos Δ al discriminante del sistema anterior tenemos

σ12 σ2

2 σ32

σ1 σ2 σ3 = σ12 ( σ2 - σ3) – σ2

2 ( σ1 - σ3) – σ32 ( σ1 – σ2)

1 1 1

Resolviendo los determinantes de las direcciones llegamos a obtener una familia de circunferencias en el plano σ ; ζ , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia igual a ½ (σ2 + σ3) y donde l es un parámetro que varia entre los extremos que puede tomar la función coseno, es decir 0 o 1

Idéntica situación se produce para los cosenos directores m y n obteniendo en total 6 circunferencias .

CIRCUNFERENCIA CORRESPONDIENTE AL PARAMETRO

Centro circunferencias l : ( σ2 + σ3) /2

l = 0 → radio ( σ2 - σ3) /2

l = 1 → radio σ1 - ( σ2 + σ3) /2

Centro circunferencias m : ( σ1 + σ3) /2

m = 0 → radio ( σ1 - σ3) /2m = 1 → radio σ2 - ( σ1 + σ3) /2

Centro circunferencias n : ( σ1 + σ2) /2n = 0 → radio ( σ1 – σ2) /2n = 1 → radio σ3 - ( σ1 + σ2) /2

• El punto representativo de las tensiones σ ; ζxy debe caer dentro del triángulo curvilíneo sombreado , dado que su contorno representa los valores límites para los distintos estados tensiónales.

• Sobre dicho punto, deben cortarse las tres circunferencias correspondientes al plano elegido. Las tres circunferencias se denominan CIRCUNFERENCIAS PRINCIPALES

• Con la construcción de Mohr, hallamos la ubicación que tiene un plano en el espacio para un valor de σ ; ζxy dado,

• o viceversa, si conocemos la ubicación de dicho plano, por conocer l,m y n, hallar σ ; ζxy

• Determinación analítica y gráfica del Punto “P”

• Conocemos α, β y γ. Y el valor de las tensiones principales

• O sea los ángulos que forma la normal exterior con los ejes coordenados ortogonales.

• Una forma de hallar analíticamente el punto “P” es a haciendo el cálculo de los radios de las tres circunferencias principales, a partir de los valores conocidos de l, m y n.

• R1;2 = { [(σ1- σ2 )/2 ]2 + n2 (σ3- σ1 ) (σ3- σ2 ) } ½ .

• R1;3 = { [(σ1- σ3 )/2 ]2 + m2 (σ2- σ3 ) (σ2- σ1 ) } ½ .

• R2;3 = { [(σ2- σ3 )/2 ]2 + l2 (σ1- σ2 ) (σ1- σ3 ) } ½ .

• Estas tres circunferencias se cortan sobre el punto “P”, quedando determinado un triángulo rectángulo, de hipotenusa ρ y catetos σ ; ζ .

• El procedimiento constructivo es el siguiente:

• a) dibujamos las tres circunferencias principales a partir del valor de las tensiones principales

• b) Con centro en C1, y radio R2;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C2, C3,

• c) Con centro en C2, y radio R1;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C1, C3,

• d) Con centro en C3, y radio R1;2 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C1, C2,

• Donde los tres arcos de circunferencia se cortan, queda determinado el punto “P”

Pero para no tener que calcular los radios R1;2 R1;3 R2;3, se realiza un procedimiento gráfico consistente en levantar en vertical los ejes x, y, z a partir de los puntos correspondientes s los valores de las tensiones principales. Como los datos son l, m y n, podemos entonces saber el valor de los ángulos α, β y γ.

Trazamos por el punto C una recta que forme con el eje x un ángulo α, hasta que corte a las circunferencias de centro C2 y C3 y determine los puntos E y E’.

Con centro en la otra circunferencia C1 y radio C1; E trazamos un arco de circunferencia entre E y E’.

• Luego repetimos el procedimiento con el ángulo γ a partir del eje z, hasta determinar los puntos F y F’. Como corta a las circunferencias de centro C1 y C2 con centro en la otra circunferencia C3 y radio C3; F trazamos un arco de circunferencia entre F y F’.

• La intersección de estos dos arcos de circunferencia, ya me determina el punto “P”.

Si ahora nos fijamos en las circunferencias fundamentales, vemos que para cada una de ellas existe una tensión tangencial máxima relativa de valores

ζ’ = (σ2- σ3 )/2;

ζ’’ = (σ1- σ2 )/2;

ζ’’’ = (σ1- σ3 )/2; esta es la mayor y se la llama ζMÁX , y es independiente de σ2 ,y ocurre en planos a 45º de los

planos principales

ζ

z x

p’’’

p’’

p’

γ α

O σ3 σ2 σ1 σ

• 1.6 EL ESTADO DOBLE O PLANO• 1.6.1 Definición: Es el estado para el cual al variar el plano considerado, la tensión resultante

se mantiene paralela a un plano determinado, convirtiéndose la dirección principal perpendicular al plano ortogonal, en el eje del haz de planos.

• Supongamos que ese plano sea el (x; y) • Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas• ρx . 1 = σx l + ζxy m

• ρy . 1 = ζxy l + σy m

• y recordando que ρ = ( ρx2 + ρy

2)½

• ζxz = ζzx = ζzy = ζyz = 0

• nos queda• σ = l ρx + m ρy

• Que reemplazando con los valores de la ecuación superior nos queda• σ = σx l2 + σy m2 + 2 ζxy l m

• y ζ = (ρ2 - σ2 )½.

• Para el análisis gráfico del equilibrio, en vez de un tetraedro elemental como habíamos visto para el estado triple, ahora trabajamos con un prisma triangular de espesor unitario.

• Por razones de comodidad, trabajamos con sen α en vez del cos β, ya que matemáticamente es lo mismo.

• Entonces podemos escribir

• σ = σx cos2 α + σy sen2 α + 2 ζxy sen α cos α = σx cos2 α + σy sen2 α + ζxy sen 2 α

Signo de las tensiones: Las normales si son de tracción son positivas y si son de compresión son negativas. Las tangenciales, consideramos positivas aquellas que produzcan un momento positivo con respecto a un punto ubicado en el interior del prisma, y negativas las contrarias. En nuestra figura, son positivas σ ; σx ; ;σy ; ζxy ; ζ ; en cambio ζyx negativas .

• Si consideramos que ζ es la proyección de ρ sobre el plano de la sección, y como la proyección de ρ se puede reemplazar por la proyección de sus componentes, nos quedará que

• ζ = (ρ2 - σ2 )½.; y además sabemos que ρ es la suma de sus componentes ρ x + ρ y .

• Entonces • ζ = (ρy cos α - ρx sen α )

• y como• ρx = σx l + ζxy m

• ρy = ζxy l + σy m

• ζ = ζxy cos2 α - ζxy sen2 α + σy sen α cos α - σx sen α cos α

• ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

• 2• Obtuvimos así, las expresiones de σ y ζ que ocurren en un plano que forma un ángulo

α con el plano donde actúa σx .

1.6.2.Tensiones y planos principales• Se obtienen derivando la expresión de σ respecto del ángulo α, e igualando la

expresión a 0.• d σ/dα = - 2 σx cos α sen α + 2 σy sen α cos α + 2 ζxy cos 2 α = 0

• Con está expresión, hallamos α1 que es el ángulo del plano que cumple con la condición de la derivada de arriba.

• Luego de trabajar algebraicamente, llegamos a la dirección de los planos principales

• tg 2 α 1 = 2 ζxy / σx - σy

• Al igual que en el estado triple, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y que se denominan, planos principales.

• También habríamos llegado al mismo par de valores de α si en la ecuación

ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α la igualáramos a 0 y despejáramos el valor de tg 2α

• 2• Valor de las tensiones principales ( cuando las tangenciales son nulas)• ρx = σi l

• ρy = σi m

• Reemplazando• σi l = σx l + ζxy m

• σi m = ζxy l + σy m

• (σx - σi ) l + ζxy m = 0

• ζxy l + (σy - σi ) m = 0

• Si el determinante tiene una solución nula, la solución pueda ser distinta de la trivial, o sea• (σx - σi ) ζxy = 0

• ζxy (σy - σi )

• (σx - σi ) (σy - σi ) l - ζxy2 = 0

• Ecuación de 2º grado que nos da los dos valores de las tensiones principales

• σ1; 2 = (σx + σy ) ± [(σx - σy )2 + ζxy2 ]½.

• 2 2

• 1.6.3 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS• Partimos de derivar la expresión de ζ respecto de α .• dζ / d α = - 2 ζxy sen 2 α - (σx - σy ) cos 2 α

• Nos da para un valor determinado de α 2 ,

• - 2 ζxy sen 2 α 2 = (σx - σy ) cos 2 α 2 .

• tg 2 α 2 = σx – σy / 2 ζxy

• Al igual que en el caso de las tensiones principales, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y en los cuale sse obtendrá el valor del esfuerzo de corte máximo.

• Si en la expresión de • ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

• 2• Reemplazamos α por α 2 , obtenemos el valor de la tensión tangencial máxima.

• ζMÁX = [(σx - σy )2 + ζxy2 ]½.

• 2

• Consideraciones• Comparando las expresiones de α 1 y α 2 vemos que tg α 1 .tg α 2 = -1

• Lo que nos dice que los planos que contienen a las tensiones tangenciales máximas, están a 45º de los planos que contienen a las tensiones principales

6.1.4 EXPRESION DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALESEs para el caso en que el par de planos cualquiera, los hacemos coincidir con los planos principales, con lo que

se anulan las tensiones tangenciales, y las ecuaciones iniciales nos quedan de la siguiente forma• σ = σ1 cos2 α + σ2 sen2 α

• ζ = σ2 - σ1 sen 2 α

2y la expresión de las tensiones tangenciales máximas ζMÁX = ± (σ1 - σ2 )/2

σX

σ1

σm

σm

σ2

σy

ζ1

ζ2

α2

α1 π/4

• 6.1.5 CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO.• Representamos los valores principales y el plano rotado 2 α

• OT’ = σα ; TT’ = ζα ; ON = σ2 ; OM = σ1 ;

ζ

ζ MÁX ≡ R

Q (σX; ζ )

R

0 σ2 C σ1

σy

σxζxy

P = POLO DE MOHR

2 θC

2 θp

σm = ( σx +σy ) / 2

2α

ζ α

σ α

T’

T

N M

TRAZA DEL PLANO QUE FORMA UN ANGULO α CON EL ESTADO INICIAL

α

θp

DIRECCIÓN PPAL 1

• Correlato de las ecuaciones de ejes girados para el estado plano• σ = σx cos2 α + σy sen2 α + 2 ζxy sen 2 α

ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

• 2

• Pero cos2 α = (1 + cos 2 α )/2 y sen2 α = (1 - cos 2 α )/2 entonces podemos escribir las ecuaciones de arriba, como

• σ = (σx + σy ) / 2 + [ (σx - σy ) / 2 ]cos 2 α + ζxy sen 2 α = OT’

• ζ = [ (σx - σy ) / 2 ] sen 2 α + ζxy cos 2 α = TT’

• Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones, y elevándolas al cuadrado, obtenemos

• [ σ - (σx + σy ) / 2 ] 2+ ζ 2 = [ (σx - σy ) / 2 ] 2 + ζ2

xy

• que es la ecuación de una circunferencia en función de los valores σx ; σy y ζxy , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia (σx + σy ) / 2 = σm y cuyo radio vale

• [ [ (σx - σy ) / 2 ] 2 + ζ2xy ]½ = R = CQ

• 7.ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTINUO• 7.1 CONCEPTOS GENERALES: Como no existen los sólidos indeformables, la distancia entre 2 puntos o la

orientación de dos planos varían. • El cuerpo se deforma, a través de tres procesos:• A) corrimiento• B) rotación• C) deformación propiamente dicha• Las 2 primeras no nos interesan por ser de incumbencia de la física, así que solamente nos ocuparemos de la

deformación.

• 7.2 DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTO• Se considera un punto arbitrario A, de coordenadas, XA ,YA ,ZA, que luego de la deformación, ocupa el lugar

A’ cuyas coordenadas son • X’A = XA + u• Y’A = YA ,+ v• Z’A = ZA, + w donde u, v y w son las funciones del corrimiento “a” en función de los 3 ejes x, y , z

• u = u (x, y, z)• v = v (x, y, z)• w = w (x, y, z)

• Para hallar relaciones matemáticas que nos vinculen las deformaciones, se considera un segundo punto B, infinitamente próximo a A, y a una distancia ds, cuyos componentes serán dx, dy, dz

• XB = XA + dx• YB = YA + dy• ZB = ZA + dz

• A su vez el punto B tendrá su corrimiento a partir de las funciones• u* = u + du = u (x + dx; y + dy; z +dz)• v* = v + dv = v (x + dx; y + dy; z +dz)• w* = w + dw = w (x + dx; y + dy; z +dz)

• Si suponemos que estas funciones son continuas y derivables, podemos desarrollarlas en serie de Taylor, limitando el desarrollo a los términos de primer orden.

• Luego del desarrollo matemático, llegamos a las siguientes conclusiones para todo entorno infinitésimo al punto A

• a) un plano se transforma en otro plano• b) la intersección de 2 planos forma una recta, por lo que toda recta se transformará en otra recta.• c) dos planos paralelos, o dos rectas paralelas, lo seguirán siendo despues de la deformación

• 7.3. DEFOMRACIONES LINEALES ESPECIFICAS Y DISTORSIONES• Como consecuencia de las tensiones que lo solicitan, un cubo de lados dx, dy , dz, se

desplaza y se deforma, es decir varían las longitudes de sus aristas y el ángulo relativo entre ellas

• ε = Deformación específica unitaria ( cambios de longitud)• γ = Distorsión angular ( variación de ángulos)• Se parte del análisis de las variaciones de una cara del cubo, y se extrapolan los resultados a

todo el cubo.

•

• Partimos de la proyección del cubo sobre el plano xy, haciendo coincidir el vértice A con el origen de coordenadas.

• Debido a que el cubo se encuentra sometido a tensiones normales y tangenciales, las aristas varían de longitud y se modifican los valores entre los ángulos originalmente rectos

• Para facilitar el estudio, se estudia la proyección del cubo en cada una de las caras.

• .

• VECTORES CORRIMIENTO• AA’, BB’, CC’ Y DD’• Proyectamos esos vectores sobre los ejes coordenados, recordando que las funciones que definen los

corrimientos son continuas y derivables.• AA’ → ( u ; v)

• BB’ → u* = u + (∂u / ∂x) dx• v* = v + (∂v / ∂x) dx

• DD’ → u** = u + (∂u / ∂y) dy• v** = v + (∂v / ∂y) dy

• Por definición, las deformaciones específicas son iguales a la relación entre el incremento de la longitud y la longitud inicial

• Para la dirección x:

• εX = u + (∂u / ∂x) dx - u = ∂u / ∂x entonces εy = ∂v / ∂y y εZ = ∂w / ∂z

• dx

• Respecto de las distorsiones, se sub indican por dos índices, respecto del plano en el cual actúan.• γXY = B’Ô’ B’’ +D’ Ô’ D’’ y como son ángulos infinitesimales

• tg B’Ô’ B’’ = v + (∂v / ∂x) dx - v = ∂v / ∂x• dx• tg D’Ô’ D’’ = u + (∂u / ∂y) dy - u = ∂u / ∂y• dy•

• luego tg B’Ô B’’ ≈ B’Ô B’’ = α1 = ∂v / ∂x

• tg D’Ô D’’ ≈ D’Ô D’’ = α2 = ∂u / ∂y

• Entonces la distorsión total será

• γXY = α1 + α2 = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y y por anlogía

• γXZ = = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z

• γZY = = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y

• DEFINICIÓN: las distorsiones se definen como la suma de las derivadas parciales cruzadas del corrimiento correspondiente a un eje con respecto al otro.

• Otra forma de analizar este punto, es considerar que:

• α1 = γXY / 2 + θZ y α2 = γXY / 2 - θZ

• • Esto es que los lados del cuadrado elemental giran en sentidos opuestos γXY /2 , o que todo el

cuadrado gira en un sentido θZ

= +

α2 γXY / 2 θZ

α1 γXY/2 θZ

Luego• α1- θZ = α2 + θZ sumando m. a m.• θZ = (α1 - α2 )/2 pero ya habíamos visto que

• α1 = ∂v / ∂x α2 = ∂u / ∂y• Entonces

• θZ = ½ (∂v / ∂x - ∂u / ∂y) y por extrapolación• θy = ½ (∂u / ∂z - ∂w / ∂x) θx = ½ (∂w / ∂y - ∂v / ∂z) Si ahora remplazamos los valores de εX ; εy ; εz y de θZ ; θY ; θx en la ecuación del desarrollo en

serie de Taylor enunciada precedentemente, llegamos a

du = (∂u / ∂x) dx + ( ∂u / ∂y) dy + ( ∂u / ∂z) dzdv = (∂v / ∂x) dx + ( ∂v / ∂y) dy + ( ∂v / ∂z) dzdw = (∂w / ∂x) dx + ( ∂w / ∂y) dy + ( ∂w / ∂z) dz

Que nos da la expresión del corrimiento en función de los ejes coordenados y expresado como tensor nos da el TENSOR DEFORMACIÒN.

(∂u / ∂x) ( ∂u / ∂y) ( ∂u / ∂z)

T = (∂v / ∂x) ( ∂v / ∂y) ( ∂v / ∂z)

(∂w / ∂x) ( ∂w / ∂y) ( ∂w / ∂z)

• Este Tensor deformación, se descompone en un tensor deformación propiamente dicho y en un tensor rotación, el cual no es de interés para nuestro curso

• εX γXY/2 γXz/2 0 - θZ θy Tdef γXY/2 εy γzY/2 + T rot θz 0 - θx

• γXY/2 γXY/2 εz - θY θx 0

• Existirán al menos 3 direcciones en las cuales las distorsiones angulares son nulas, • γXY = γZY = γXZ = 0 y que nos definen las direcciones principales, donde actúan

• ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 .

• en forma perpendicular a los planos principales.

• Se las denomina deformaciones principalesy el tensor queda de la siguiente manera

• ε1 0 0

• Tdef 0 ε2 0

• 0 0 ε3

• ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO• Partimos del análisis de un estado plano, lo cual implica que una deformación principal es nula, o sea un prisma

elemental de espesor unitario y lados dx, dy y diagonal ds que forma un ángulo α

α

y

x

N’

N

O

εy dy

dy

(1+ εy)dy

N’’ P’

γXY

ds

γXY

P

M M’ M’’

dx εx dx (1+εy ) γxy dy

( 1 + εx ) dx

ds’

• Los datos conocidos, son las deformaciones εx ; ε y y las distorsiones γxy ,y nos interesa hallar εα, en la dirección de α.

• (OP’)2 = ( P’M’’) 2 + (OM’’) 2 pero• (OP’)2 = (ds + εα ds) 2 = ( 1 + 2 εα )ds 2.

• despreciando los infinitésimos de orden superior

• Análogamente

• P’M’’ = ( 1 + εy )2 dy2 = ( 1 +2 εy ) dy2

• OM’’ = ( 1 + εx )2 dx2 + 2 ( 1 + εx ) ( 1 + εy ) γ xy

dx dy + ( 1 + εy )2 γ 2xy dy2

• Y también• OM’’ = ( 1 +2 εx )2 dx2 + 2 γ

xy dx dy

• Pero:• dx = ds cos α• dy = ds sen α

• Haciendo los reemplazos correspondientes

• εα = εx cos2α + εy sen2 α + γ xy

sen α cos α

• O lo que es lo mismo

• εα = εx cos2α + εy sen2 α + ½ γ xy

sen 2 α

• Expresión de la deformación específica unitaria en función de conocer los valores de las deformaciones específicas unitarias y las distorsiones angulares en cada una de las caras.

• Variación de la distorsión angular γα:

• Se trabaja con una distorsión pura, de valor

• γα’ = γxy cos2 α

• Que se superpone a uno de deformación lineal pura, de valor

• γα’’ = - ( εx - εy ) sen 2 α

• Entonces• γα = γα’ + γα’’ = γxy cos2 α - ( εx - εy ) sen 2 α

• γα = ( εy - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α

• Distorsión angular en un plano cualquiera

• Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas

• Se derivan las expresiones halladas respecto de α y se igualan a 0

• εα = εx cos2α + εy sen2 α + ½ γ xy

sen 2 α

• nos queda • tg 2 α 1 = γ

xy / (εx - εy )

• para• α 1 = ángulo entre las direcciones conocidas y las direcciones principales

• Reemplazando y sustituyendo obtenemos

• ε 1;2 = (ε x + ε y)/2 ± √[( ε x - ε y)/2 ]2 + γ xy2

• Ahora derivamos respecto de α e igualamos a 0 la otra expresión γα = ( εy - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α

Y hallamos

tg 2 α 2 = (εy - εx ) / γ xy

que nos conduce a

γ MÁX = ± √[( ε x - ε y)/2 ]2 + γ xy2

Circunferencia de deformaciones

• Se plantea igual que para el estado plano de tensiones, dada la similitud de las expresiones.

• La única diferencia está en que en la circunferencia de deformaciones representamos en ordenadas, en vez de llevar los valores de ζ xy se grafica

• γxy / 2.

• Respecto de los signos en el círculo de Mohr, se tomará como convención que las deformaciones específicas unitarias si aumentan la longitud del elemento son positivas y si lo acortan, son negativas.

• En cuanto a las distorsiones angulares, supondremos positivas las distorsiones que correspondan a una disminución del valor del ángulo de 90° que formen las dos caras orientadas según loe ejes x e y.

RELACION ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

• Se parte del análisis de los dos tensores vistos en los capítulos anteriores, El tensor de tensiones y el tensor de deformaciones, orientados en las direcciones principales

σ1 0 0

T 0 σ2 0

0 0 σ3

• ε1 0 0

• Tdef 0 ε2 0

• 0 0 ε3

• Las funciones que definen las coordenadas del tensor deformación, dependen del valor de las funciones expresadas por el tensor de tensiones

• T def = F ( T )

• Para F una función que vincula ambos estados a partir de

• ε1 = F1 ( σ1 , σ2 , σ3 )

• ε2 = F2 ( σ1 , σ2 , σ3 )

• ε3 = F3 ( σ1 , σ2 , σ3 )

• F1 , F2 , y F3 , representan las funciones para cada tipo de material e independientes de las direcciones de las tensiones principales.

• Se resuelven estas funciones con hipótesis simplificativas verificadas experimentalmente

Ley de HOOKE • Es la ecuación básica de la Resistencia de Materiales

• ε = α . σ

• α = coeficiente de proporcionalidad

• El coeficiente α corresponde a un valor de deformación específica unitaria, ε que se corresponde a un valor de tensión normal σ unitaria.

• Su valor depende de las características del material que se trabaje.

• Por ser muy pequeño su valor, se trabaja con la inversa α = 1 / E

• ε = σ E = Módulo de Young o

• E Módulo de elasticidad longitudinal

• Es la primera constante elástica y la más importante

• Para el caso de distorsiones puras, la ley de Hooke se transforma en

• γ = ζ G = Módulo de elasticidad transversal ( 2° constante elástica)

• G• La 3° constante elástica es μ coeficiente de Poisson, que relaciona las

deformaciones específicas unitarias longitudinales con las transversales.

• “Toda deformación específica en una dirección, produce otra de signo contrario, en planos normales, cualquiera sea el estado de tensión”.

• εt

• = μ

• εl

• La 4° constante elástica, es la Deformación Volumétrica

• Un cubo de aristas de longitud unitaria, se deforma en forma positiva en las tres direcciones, o sea que

ε = Δ L = εx ; εy ; ε z

L

z

εz

1

1 εx x

0

1

εy

y

• Vo = 1

• Vf = ( 1 + εx) ( 1 + εy) ( 1 + εz)

• ΔV = Vf - Vo = ( 1 + εx) ( 1 + εy) ( 1 + εz) - 1

• ΔV = 1 + εx + εy + εz + εx εy + εz εx + εy εz + εx εy εz – 1

• Despreciando infinitésimos de orden superior

• ΔV = εx + εy + εz

• Haciendo ΔV / V

• εV = εx + εy + εz = ε1 + ε2 + ε3

Por comparación con las ecuaciones de los invariantes de tensión

Las cuatro constantes elásticas dependen exclusivamente del material que se trate, y se relacionan entre si, no son independientes unas de otras,

• LEY DE HOOKE GENERALIZADA

• Partimos del cubo elemental de aristas unitarias

• Producto de las tensiones experimentará

• alargamientos específicos unitarios

• εx εy εz .

• Por acción del coeficiente de

• Poisson, las deformaciones

• en x no se deben solo a las

• tensiones σx ; sino también a

• las σy y σz

z σz

σx

x

σy

y

• εx = σx - μ (σy + σz )

• E E• εY = σY - μ (σX + σz )

• E E• εZ = σZ - μ (σy + σY )

• E E

• O sacando factor común 1/ E

εx = 1 [ σx - μ (σy + σz )]

E εY = 1 [ σY - μ (σX + σz )]

E εZ = 1 [ σZ - μ (σy + σY )]

E

RELACIÓN ENTRE ε G μSe analiza en un estado plano

+ y

σy

C’

ζ C εy ζ σx

- x σx B εX B’ A’ εX A + X

o

ζ D ζ

εy

D’

-y σy

Ampliando + y

C’

εy

C

B εX B’ A’ εX A

-x o + x

ζ

D

εy

D’

-y

π/4 - γ / 2

•γ/2

Estado inicial: σx = - σy

Las semi diagonales OA = OB = OC = OD = 1

y las caras a 45° de los ejes x e y

Sobre ellas actúan tensiones ζ = σx = σy

Luego de la deformación, el prisma pasa a A’ B’ C’ D’

Los corrimientos serán:

AA’ = BB’ = εx

CC’ = DD’ = εy

Las distorsiones vendrán dadas por

A’C’O = (π / 4 ) – ( γ / 2 )

Pero tg [ (π / 4 ) – ( γ / 2 )] = 1 + εx

1 + εy

• Luego

tg (π / 4 ) – tg( γ / 2 ) = 1 + εx

1 + tg (π / 4 ) tg( γ / 2 ) 1 + εy

Pero tg (π / 4 ) = 1 y tg( γ / 2 ) ~ ( γ / 2 )

Entonces

1 - ( γ / 2 ) = 1 + εx

1 + ( γ / 2 ) 1 + εy

y teniendo en cuenta de las ecuaciones generalesεx = 1 [ σx - μ σy ]

E εY = 1 [ σY - μ σX ]

E y como σx = - σy

Podemos escribir

εx = σx [ 1 + μ ]

E εY = σy [ 1 + μ ]

EComo se planteó σx < 0 y σy > 0 tendremos ε x < 0 y ε y > 0

Volviendo al desarrollo y analizando en1 - ( γ / 2 ) = 1 + ( - εx) → γ / 2 = εx

1 + ( γ / 2 ) 1 + εy

Obtenemos

εx = σx [ 1 + μ ] =γ / 2 y reemplazando en

E

ζ = σx = σy

ζ = ζ [ 1 + μ ] 2 G E

finalmente

EG = 2 ( 1 +μ )

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Objetivo:

Desarrollar ensayos que nos permitan determinar el comportamiento del material, a la vez que hallar los valores de las constantes elásticas.

Se somete el material a un estado de tensión simple, válido para todos sus puntos.

ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE:

a) Probeta circular de acero, de medidas normalizadas

b) Se mide la tracción que se ejerce

c) Se verifica el alargamiento producido

d) Se gráfica el ensayo de tensión deformación

e) Se determina E

TIPOS DE MATERIALES:

Dúctiles , Frágiles, Plásticos

• Material Dúctil

• Se distinguen 3 zonas:

• a) Elástica: Zona recta donde se verifica la validez de la ley de Hooke, y que sirve para su determinación. tg α = σ /ε = E hasta el valor σP

• Termina en un valor de elasticidad, σE donde a pesar de no verificarse la linealidad entre tensiones y deformaciones, se observa que al descargar el material, el mismo vuelve a su estado inicial, no existiendo deformaciones residuales. Es en general nuestra área de trabajo.

• b) Fluencia: Se caracteriza por un aumento de deformaciones en ausencia de un incremento de tensiones, y oscila entre un valor máximo / mínimo denominados σfl

• superior e inferior

• La velocidad de la aplicación de la carga, el tipo de cabeza de la probeta y las variaciones de sección por error en el maquinado, las condiciones superficiales, la existencia de rayaduras y picaduras, influyen sobre estos valores.

• c) Plástico : Zona de grandes deformaciones, hasta alcanzar la rotura mecánica σR primero y la física después.

• Al alcanzarse el valor, σR se produce la estricción del material, se reduce la sección del material ante el aumento de carga, aumentando entonces las tensiones

• Endurecimiento mecánico: Al descargar el material una vez superado el límite de fluencia, el material queda deformado, y al volver a cargarlo, desaparece el período de fluencia y se incrementa el valor de σp ( de 2200 a 4000 kg/cm2).

• El material se endurece y se transforma en un material frágil sin período de fluencia.

• Cuando descargamos el material, la deformación acumulada se reduce ante el retiro de la carga y al volver a cargarlo recorre la misma recta ya que el material es el mismo.

• En la práctica existen 2 procesos mediante le cual se consigue el endurecimiento mecánico:

• a) Laminación en frío, aplicable a planchuelas, flejes o perfiles

• b) Trafilado : para el endurecimiento de alambres y barras circulares

• Estos materiales, así como los aceros duros o de alto contenido de carbono se caracterizan por

• Limite de proporcionalidad y de elasticidad más elevados que para los aceros duros

• No poseen límite de fluencia

• La deformación de rotura, se reduce considerablemente.

4800 kg / cm2

σR

σP 4000 kg / cm2

12 a 15 %

Límites aparentes de fluencia

Existen dos métodos basados ambos en deformaciones

Limite Johnson:

Se define como el valor de la tensión normal σ para el cual en el punto correspondiente del diagrama , la pendiente de la tangente a la curva es un 50 % menor que la tangente al origen

• Límite 0,2 %: Se utiliza para determinar el límite de fluencia consistente en establecer el valor de la tensión para la cual la deformación específica permanente o residual que queda al descargar el material, tiene un valor determinado, que para los aceros se acepta universalmente en 0,2 %.

CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

• Rigidez: capacidad de los materiales para oponerse a las deformaciones.

• Se lo mide a partir del valor de su módulo de elasticidad. A mayor E menor deformable es el material

• Ductibilidad: Capacidad del material de deformarse en el período plástico. A mayor capacidad de deformarse antes de romperse, más dúctil es el material.

• Resiliencia: Capacidad de un material para restituir la energía almacenada durante la deformación elástica. Se mide en unidades de energía por unidad de volumen.

• Gráficamente queda representada por el área del triangulo encerrado por la recta de la ley de Hooke y el eje de abscisas.

• u = σ2e / 2 E

• Tenacidad: Capacidad de un material de almacenar energía en el período anelástico, hasta alcanzar la rotura.

• Su valor viene dado por el total del área encerrada por el diagrama tensión deformación y el eje de abscisas hasta la deformación de rotura.

• Dureza: Capacidad de un material para resistir acciones mecánicas del tipo abrasión, punzonado, incisión y corte. Se la determina experimentalmente a partir del ensayo de dureza de Brinell o el de Rockwell.

• Ejemplos:

• Las máquinas herramientas necesitan ser duras para evitar el desgaste prematuro, y rígidas, para evitar fallas de precisión en el maquinado

• La ductibilidad es necesaria para piezas sujetas a aumentos bruscos de tensión, piezas sujetas a tensiones secundarias no previstas o a piezas que presentan concentración de tensiones. }el material al estar en condiciones de deformarse ante la aparición de estas tensiones, evita la falla.

• La resiliencia es útil para aquellas partes mecánicas sujetas a cargas de impacto o dinámicas. Resortes, Pistones, Bielas etc.

• La tenacidad de un material es un índice de si una carga dinámica puede ser absorvida con seguridad, Se analiza en la fabricación de rieles, engranajes, ejes etc

COEFEICIENTE DE SEGURIDADDimensionar una estructura, es darle medidas a la sección transversal de modo tal que

las tensiones de cualquier índole no superen los valores máximos admisibles.

Estos valores admisibles nos garantizan que las tensiones y las deformaciones quedaran acotadas por debajo de ciertos valores límites.

Para materiales dúctiles, el límite de tensiones es el valor de fluencia o el de elasticidad, en función de la importancia del proyecto.

La utilización del coeficiente de seguridad , se da en base a los siguientes ítems:

- Materiales no absolutamente homogéneos

- Desconocimiento exacto de las propiedades mecánicas

- Exactitud en el cálculo de las cargas

- Procedimientos de cálculo con aproximaciones e idealizaciones

- Factores que afectan el coeficiente de seguridad:

- Se basan en la ignorancia y en la incertidumbre

- Ignorancia: de nuestro conocimiento, de los procedimientos de cálculo, hipótesis supuestas de reacción de las estructuras frente a un estado de cargas determinado, errores de cálculo

• Incertidumbre: se refiere a las variables imposibles de establecer con exactitud tales como la evaluación de las cargas actuantes, el conocimiento exacto de la calidad de los materiales, las suposiciones planteadas.

• El avance de ciencia de los materiales, y los modelos asistidos por computadora, han logrado realizar obras con mayor esbeltez y sin embargo con igual factor de seguridad.

• En los materiales dúctiles en régimen elástico

• ν = σfl / σADM

• Otro aspecto a tener en cuenta en un proyecto, es el destino y la permanencia de la obra, y los defectos propios en la ejecución de la obra.

DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES• Los esfuerzos característicos son cuatro

• ESFUERZO NORMAL O AXIL

• MOMENTO TORSOR

• MOMENTO FLEXOR

• ESFUERZO DE CORTE

• Todos surgen solos o combinados de considerar la reducción al baricentro de la mitad derecha de las fuerzas actuantes, representadas por una combinación de fuerza y/ o momento

• • 1

• Mf 2• • Q

• 2• 1

• EL EQUILIBRIO INTERNO EN UN SÓLIDO DE ALMA LLENA: • Se refiere al equilibrio entre las acciones exteriores o de masa y las reacciones en

el interior del sólido

• N Mt

ζxz dF σx

ζxy

G x

z

y

•Q• N

Mf

Mt

• Se plantea el equilibrio de fuerzas

• En el eje x = dN = σ dF

• En el eje y = dQy = ζxy dF

• En el eje z = dQz = ζxz dF

• O sea para todo el area

• N = ʃF σ dF

• Qy = ʃF ζxy dF

• Qz = ʃF ζxz dF

• y de momentos

• Mt = Mx = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF

• My = ʃF σ . z dF

• Mz = ʃF σ . y dF

ESTADOS DE TENSIÓN1) Defina las 4 características del sólido ideal

2) ¿Qué diferencia hay entre fuerzas de superficie y de masa? ejemplifique

3) Defina el concepto de tensión en un punto

4) ¿A qué se denomina régimen de tensión en un punto?

5) ¿Qué son las tensiones normales y tangenciales? Como se las sub indica y cual es la convención de signos para cada una de ellas.

6) Defina el teorema de Cauchy y demuéstrelo a partir del equilibrio del cubo elemental sujeto a tensiones

7) Estado triple de tensiones: planteo del equilibrio del tetraedro elemental, determinar las expresiones de ρ, σ y ζ.

8) Tensiones y planos principales. Planteo de la ecuación característica para el estado triple de tensiones.

9) Determinación de las tensiones y direcciones principales

10) Tensiones tangenciales máximas para el estado triple

11) Defina y plantee, el concepto de invariantes de tensión

12) Círculo de Mohr para el estado triple: justificación, construcción y resolución

ESTADOS DE DEFORMACIÓN13) Defina el concepto de deformación específica unitaria y de distorsión angular

14) Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas

15) Planteo y resolución de la circunferencia de deformaciones

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

16) Defina la ley de Hooke, justifique su validez y plantee el valor y significado de las 4 constantes elásticas.

17) Ley de Hooke Generalizada: enunciado y justificación

18) Relación entre E, G y μ: Demostración analítica

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

19) Diagrama tensión deformación: Gráfico, explicación, tipos de materiales y sus gráficos, límite Johnson, límite 0,2

20) Características mecánicas de los materiales : Enunciado, gráficos, ejemplos. Coeficiente de seguridad: definición, factores que lo afectan

21) Planteo de las ecuaciones de equilibrio, para un sólido de alma llena.

SOLICITACIÓN AXILTRACCIÓN Y COMPRESIÓN SIMPLE

• DEFINICIÓN: Cuando al reducir al baricentro de la sección de todas las fuerzas actuantes a un lado, obtenemos únicamente una fuerza normal al plano de la sección. Esta situación se repite para todas las secciones del sólido.

P N≡P P

S

PLANTEANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO, OBTENEMOS

1) N = ʃF σ dF

2) 0 = ʃF ζxy dF

3) 0 = ʃF ζxz dF

4) 0 = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF

5) 0 = ʃF σ . z dF

6) 0 = ʃF σ . y dF

• HIPÓTESIS:

a) Ley de Hooke

b) Principio de Saint Venant:

Si se reemplazan las fuerzas que actúan sobre una zona reducida de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente equivalente actuando en la misma zona, este cambio origina una modificación sustancial en el estado de tensión local, pero no influye en el estado de tensión en secciones ubicadas a una distancia que, en comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande.”

En la zona extrema solo hay tensiones en el baricentro, resultando los demás puntos libres de tensiones. A medida que nos alejamos, la distribución de tensiones se va modificando hasta una distancia equivalente a la máxima dimensión lineal del área extrema.

A partir de esa distancia, admitiremos que la distribución de tensiones no varía y por lo tanto se acepta que las secciones normales se mantienen planas y paralelas a si mismas luego de la deformación.

Luego: si las secciones se mantienen planas y paralelas existen dos posibilidades

a) Que las distorsiones angulares son nulas

γ = 0 implica que ζ es 0

Con lo cual se anularían las ecuaciones 2) 3) y 4)

b) Que las distorsiones angulares son constantes y del mismo signo

γ = cte implica que ζ es cte

Ello implicaría que

0 = ζxy ʃF dF

0 = ζxz ʃF dF

Como ζxy es constante y no puede ser 0, implica que

0 = ʃF dF o sea área = 0 lo cual es una incongruencia

• Por lo tanto se define que las ζxz = ζxy = 0 ya que la sección no puede ser nula.

• Nos falta demostrar la nulidad de las ecuaciones 5) y 6)

• Producto de la deformación la longitud L se incrementa un ΔL.

• FIBRA: sobre una superficie se considera un elemento dF, que al ir desplazándose la sección, genera un cilindro elemental de base dF y altura igual a la longitud del sólido.

• Para el caso la fibra a-a sufrirá una deformación específica de valor

• ε a = Δ L / L y para todas las fibras ε es constante

s s’ s’’

a a

P P

s s’ s’’

L ΔL

σ = ε E = cte

Entonces la 1)

N = σ ʃF dF → σ = N/ F ecuación fundamental de la solicitación axil

Por ser σ constante, al reemplazar en las ecuaciones 5 y 6 obtenemos

5) 0 = σ ʃF z dF

6) 0 = σ ʃF y dF

Que son los momentos estáticos del área de la sección con respecto a los ejes y y z.

Como estos ejes son baricéntricos, su momento estático es nulo, lo que satisface las ecuaciones anteriores.

De la ecuación fundamental observamos:

a) Que las tensiones son de valor constante para todos los puntos de la sección.

b) Permite realizar el dimensionamiento de una sección

Fnec ≥ N / σadm

c) Permite verificar una sección.

σadm ≥ N / F = σ

• DEFORMACIONES EN LA SOLICITACIÓN AXIL

• El alargamiento o acortamiento de una barra sometida a solicitación axil viene dado por

• ε = Δ L = σ .

• L E

• Pero σ = N / F

• Δ L = N

• L EF

• Δ L = N . L

• E . F

• La deformación específica unitaria longitudinal será entonces:

• εl = N . y la transversal εt = - μ N .

• E F E F

• REGIMEN DE TENSIONES PARA UN PUNTO DE UN SÓLIDO SOMETIDO A SOLICITACIÓN AXIAL

• σα = σX cos2 α

• ζ α = σX sen 2 α

• 2

• Por ser un estado uniaxial

• σα = σx

= σ1

• σ2 = 0

• ζ máx,mín = ± σX en planos a 45° y 135 ° respectivamente• 2

INFLUENCIA DEL PESO PROPIO EN SOLICITACIÓN AXIL• Se parte del análisis de una barra de sección constante F

• suspendida del extremo superior, de longitud l y sometida

• a la acción de una fuerza P. Se considera que γ es el peso

• específico del material.

• A una distancia “x”, la fuerza valdrá

• N = P + γ F x

• y la tensión correspondiente

• σx = N = P + γ x

• F F

• Para x = 0 ; σx = σo

• σo = P / F entonces

• σx = σo + γ x que será máxima para x = l

•

• σmáx = σo + γ l

• l

• N x

• P

• Dimensionamiento

• F = P .

• σMÁX - γ l

• y como σadm ≥ σMÁX

• F = P .

• σadm - γ l

• Nos dice que el límite máximo de la columna de sección constante es

• σadm = γ l → l máx = σadm / γ

• Por ejemplo, si la barra fuera de acero, σadm = 2400 kg/cm2 ; γ = 7850 kg/ m3

• l máx = 3057,32 m

DEFORMACIÓN DE UN SÓLIDO DE SECCCIÓN CONSTANTE TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO DEL PESO PROPIO• Analizamos la misma barra de sección constante

• La longitud inicial del elemento es dx, y esta a x

• de distancia del extremo libre. Actúa también

• una fuerza P.

• El alargamiento de ese elemento diferencial vendrá

• dado por

• dΔx = σ dx

• E

• de la expresión

• σX = P + γ F x

• F

•

• dΔx = (P + γ Fx) dx

• E F

• • dx

• x

•

• P

• Integrando entre 0 y l para toda la longitud de la barra

• Δ l = 1 ʃol (P + γ F x) dx

• EF

• Δ l = 1 (P l + ½ γ F l2)

• EF

• o sea

• Δ l = P l + l γ F l

• EF EF 2

• “ El efecto del peso propio en la deformación, equivale a colocar en el extremo libre, una carga puntual de valor la mitad del peso propio

TENSIONES EN TUBOS DE PARED DELGADA• PLANTEO: Un tubo de longitud indefinida

• por lo que se supone un estado plano de

• deformación. εl = 0

• Radio interior ri y espesor e

• Sujeto a una presión interior pi

• Tensiones radiales σr y circunferenciales σt

• Ambas tensiones varían a lo largo del espesor

• σr varía entre pi en el interior y 0 en el exterior

• σt también varía, pero por ser el espesor delgado

• consideramos que es constante.

• POSTULADO: por ser σt >>> σr despreciamos esta

• última.

• Se analiza partiendo de un tubo, cortado por dos planos normales

• separados una distancia unitaria

pi

ti

e

ri

σr

σt

Fuerzas actuantes

Y = σt e 1

Que se deben equilibrar

con la R resultante

de las acciones de

las pi

Para un área

ds . 1, actuará la

fuerza elemental

dP = pi ds 1

Las componentes según

los ejes serán:

dPz= dP senα = pi sen α ds

dPy= dP cosα = pi cos α ds

Y como ds = ri dα

R

- α + α

dP cosα

dP

dP senα

e ri

ds

α dα

pi

1 2 1 2

Y Y

y

z

dPz= dP senα = pi ri sen α dα

dPy= dP cosα = pi ri cos α dα

Para el equilibrio, debemos igualar al suma de proyecciones sobre ambos ejes a 0

π/2

ʃ pi ri sen α d α = 0 ( proyecciones sobre el eje z)

- π/2

Ecuación que matemáticamente se satisface por ser la integral nula

π/2

ʃ pi ri cos α d α = 2 Y ( proyecciones sobre el eje y)

- π/2

Como pi y ri son constantes

π/2

pi ri ʃ cos α d α = 2 Y

- π/2

Integrando y simplificando π/2

Y = pi ri sen α ]0 = pi ri

Y = σt e = pi ri

σt = pi ri

eSe verifica que el máximo valor de las σr era pi lo que las hace mucho más chicas que

las σt ya que el valor ri / e es un valor muy grande

Esta fórmula sirve para a) verificación y b) para dimensionamiento

a)

σt = pi ri << σadm

e

b) Dado el radio y la presión, calcular el espesor

e ≥ pi ri

σadm

Deformación radial y circunferencial en un conducto de pared delgadaPartiendo de la ley de Hooke

εt = σ / E = pi ri valor de la deformación específica circunferencial

E e

y el aumento de la longitud de la circunferencia

Δ s = 2 π ri εt

pero este aumento de la longitud de la circunferencia implica también un incremento en el radio de valor

Δ ri = Δ s = ri εt

2 π

y la correspondiente deformación específica radial

εr = Δ ri = εt

ri

Conclusión: Las deformaciones específicas radial y tangencial en un tubo de pared delgada son de igual valor y signo, ( a pesar σt >>> σr ) Se consideran positivoas cuando son originadas por una presión interior y negativas si son a causa de una presión exterior.

Tensiones en conductos cerrados

Planteo para un conducto cerrado sometido a presión interior.

Las fórmulas anteriores son válidas para secciones alejadas de las tapas, según el principio de Saint Venant.

En las zonas cercanas a las tapas, estas impiden las deformaciones específicas, por lo cual no se pueden aplicar las fórmulas deducidas.

También se producen momentos flectores que originan tensiones de flexión, que escapan al alcance de esta materia.

La existencia de tapas, origina la aparición de tensiones longitudinales σl pues la presión interna también actúa sobre la unión de las tapas con el tubo, en un plano perpendicular a dicha sección.

Si se analiza la fuerza sobre las tapas: R = pi π ri2

repartida sobre un área de valor: F = 2 π ri e

σl = pi π ri2

2π ri e

Simplificando: σl = pi ri = σt

2 e 2

CONCLUSIÓN: Los tubos de pared delgada, se dimensionan con los valores de las tensiones circunferenciales ( o tangenciales)

e s

pi

s

s

s

σl

σl

Un tubo cerrado esa en síntesis sometido a un estado triple de tensiones, todas ellas principales

σt ≥ σl ≥ σr

Aceptando que σr es despreciable se analizan las tensiones tangenciales máximas para el estado plano

ζMÁX = (σ1 - σ2 ) = (σt - σl )

2 2 Reemplazando los valores

ζMÁX= ± ½ [ pi ri - pi ri ]

e 2 e

ζMÁX= ± pi ri

4e

y el correspondiente valor de tensión σm = 3 pi ri

4eEn planos ubicados a 45° y 135° respecto de los planos donde actúan σ t y σl

SOLICITACIÓN AXIL22) Definición, planteo de las ecuaciones características, hipótesis, solución del

problema

23) Deformaciones en solicitación axil

24) Planteo y resolución del problema de la consideración del peso propio en solicitación axil.

25) Deformación de un sólido de sección constante teniendo en cuenta el efecto del peso propio.

26) Tubos de pared delgada: Planteo del problema, determinación de las tensiones circunferenciales, deformación radial y circunferencial, tensiones en conductos cerrados

SOLICITACIÓN POR TORSIÓN

DEFINICIÓN: Una sección está solicitada por torsión cuando al reducir al baricentro de la sección considerada, la resultante de los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido prismático, solo se obtiene un par momento, contenido en el plano de la sección, y cuyo vector representativo es perpendicular a esta

Mt

ECUACIONES CARACTERÍSTICAS

1) 0 = ʃF σ dF

2) 0 = ʃF ζxy dF

3) 0 = ʃF ζxz dF

4) Mt = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF

5) 0 = ʃF σ . z dF

6) 0 = ʃF σ . y dF

HIPÓTESIS:a) Ley de Hooke

b) Hipótesis de Coulomb : verificada experimentalmente dice que

1) Las secciones normales al eje e la pieza, permanecen planas y paralela a si mismas luego de la deformación por torsión.

2) Luego de la deformación las secciones mantienen su forma

VALIDO PARA

a) SECCIONES CIRCULARES MACIZAS

b) SECCIONES CIRCULARES HUECAS

c) SECCIONES TUBULARES DE PARED DELGADA SIMPLEMENTE CONEXA

d) SECCIONES TUBULARES DE PARED DELGADA MULTIPLEMENTE CONEXA

Análisis de las ecuaciones características.

a) Suponemos primero que por acción de la torsión existen tensiones normales σ

σx ǂ 0

Entonces estas tensiones normales σx deben ser de valor variable, ya que si fueran constantes, de la primera ecuación al sacarla de la integral, nos quedaría una integral de área nula, lo cual es imposible físicamente.

Si σx fueran variables tendría que ser simétrica respecto de la sección y tendría que tener cambio de signo, para que la integral resulte nula.

Pero si σx es variable, implica por Hooke que es también variable y no cumpliría con la primea de las ecuaciones de la hipótesis de Coulomb.

CONCLUSIÓN: σx = 0

Ecuaciones 1) 5) y 6) nulas

TORSIÓN EN SECCIÓN CIRCULAR LLENA

Solo existen tensiones tangenciales que deben

satisfacer las ecuaciones 2) 3) y 4).

Para que esto se verifique, en las

ecuaciones 2) y 3) es necesario que las

tensiones tangenciales sean de distribución

antimétrica a lo largo de un diámetro.

Si no fueran antimétricas, no se satisfarían las ecuaciones

2) y 3)

La segunda cuestión referida a las tensiones tangenciales

tiene que ver con su dirección.

La misma es normal al diámetro considerado

Si así no fuera, se incumpliría con la hipótesis de Coulomb

Referida al alabeo de la sección

z Mt

O

y ζxz

z

R

ζxy ζ

y

Por ejemplo si suponemos, razonando por el absurdo, que las tensiones no son normales al diámetro

En el punto B actúa una tensión que tiene cualquier dirección y por lo tanto lo descomponemos en una dirección perpendicular al radio ζxy y otra en la dirección de este.ζxz

Esta última originará tensiones de igual magnitud y sentido contrario en la cara exterior de la sección, por virtud del teorema de Cauchy.

Pero por hipótesis, esa cara esta libre de tensiones, de resulta de lo cual

ζxz = ζzxy = 0

Luego

ζxy debe ser normal al radio como única alternativa en el punto B, y en todos los demás puntos sucesivos considerados

Esto también se puede analizar teniendo en cuenta que si existiera ζxz diferente de 0, aparecerían distorsiones de valor

γxz = ζxz / G

La condición demostrada de antimetría, implicaría que las tensiones luego de pasar por 0 en el centro, deberían cambiar de signo produciendo entonces el alabeo de la sección,

lo que es contrario a la hipótesis de Coulomb

SINTESÍS:

a) Solo existen tensiones tangenciales

b) Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica.

c) Su dirección es normal al radio

RELACIÓN ENTRE MOMENTO TORSOR ( SOLICITACIÓN) Y LAS TENSIONES TANGENCIALES

El planteo es analizar dos secciones consecutivas de una sección circular maciza separadas por 1 metro de distancia, sobre las cuales actúan los Mt iguales y opuestos

Por acción de estas solicitaciones, las secciones giran entre sí manteniéndose planas y paralelas. Supondremos fija la inferior, y que la superior es la que gira, por lo que la rotación relativa entre ambas secciones, se transformará en la rotación absoluta θ que se designará ÁNGULO ESPECÍFICO DE TORISÓN.

Análisis:

El punto A ubicado a r del centro pasará a A’ lo mismo para el punto B a una distancia R que pasa a B’

Por otro lado, la fibra AAo pasa a la posición A’Ao generando el ángulo infinitesimal γr .

Idéntica situación ocurre con la fibra BBo que pasa a la posición B’Bo y genera el ángulo

γ denominado ÁNGULO DE DISTORICIÓN.

Luego por ser infinitésimos los giros y los corrimientos

AA’ = r θ ~ γr . 1 entonces θ = γr / r

Con igual razonamiento

BB’ = R θ ~ γr . 1 entonces θ = γ / R

Por lo tanto

γr / γ = r / R y como = γ = ζ / G

ζr / ζMÁX = r / R entonces

ζr = r ζMÁX

R

Físicamente representa la ecuación de una recta, por lo que ahora sabemos que la variación de las tensiones tangenciales a lo largo de un diámetro es lineal, formada por una recta de pendiente ζMÁX / R

• Ley de variación de tensiones en

• Solicitación por Torsión

Cuando la distancia considerada del centro es unitaria, la tensión que actúa es ζ*

Entonces

ζr = r ζ*

De las ecuaciones de equilibrio, nos había quedado

Mt = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF = ʃF ζr r dF = ζ* ʃF r2 dF

•n

ζ máx R

ζr Mt Mt

o o

ζr r

r

dF

ζMÁX

O también

Mt = ζ* Jp Momento de Inercia Polar del área respecto del centro

Mt = ζr Jp

r

ζr = Mt r

Jp

Máxima para r = R

ζMÁX = Mt R Ecuación fundamental de las tensiones tangenciales

Jp en solicitación por torsión

Si la sección es circular maciza Jp = π d4 / 32

ζMÁX = 32 Mt R = 16 Mt

π d4 π d3

Verificación de secciones:

ζADM ≥ 16 Mt

π d3

Dimensionamiento de secciones:

3

D ≥ √ 16 Mt

π ζADM

Deformaciones en Torsión: Se refiere a la rotación relativa entre secciones, o sea el valor del ángulo de torsión, cuya

definición viene dada por el producto entre la longitud y el ángulo de torsión específica.

Θ = θ l

Pero

θ = γmáx / R = ζ MÁX

R G

y

ζMÁX = Mt R

Jp

Entonces

Θ = 32 Mt l ÁNGULO DE TORSIÓN

π D4 G

θ = 32 Mt = Mt ÁNGULO ESPECÍFICO DE TORSIÓN

π D4 G G Jp

VALOR DE LA TENSIONES PRINCIPALES

Como solo existen tensiones tangenciales, existe un estado de resbalamiento puro.

σx = σz = 0

ζxz = ζ zx

Ls tensiones principales son iguales en valor absoluto y de signo contrario e iguales en valor a las tensiones tangenciales

ζxy = ζ yx = σ1 = - σ2 en planos a 45°

LA SECCIÓN ANULAR:

Valen las mismas fórmulas, solo cambia el valor de Jp por el de Jp anular

Jpo = π ( D4 – d4 )

32

Entonces

ζmáx = 32 Mt R

π ( D4 – d4 )

θ = 32 Mt

G π (D4 – d4)

Θ = 32 Mt l

G π (D4 – d4)

Comparación entre la sección circular maciza sujeta a torsión y la sección anular

Observando el centro de la sección, se observa que esta parte contribuye en poca medida a soportar las tensiones tangenciales producidas por la solicitación exterior, y además incrementa significativamente el peso de la pieza.

Los valores de comparación se visualizan en el siguiente ejemplo

Dos barras de igual longitud, material, que soportan un mismo Mt, siendo para ambas igual el valor de ζADM

Las tensiones para cada una valdrán

MACIZA ANULAR

ζMÁX = 16Mt ζMÁX = 16Mt .

π D3 π Do3( 1 – d4 )

Do4

D3 = Do3( 1 – d4 )

Do4

D macizo = Do 3√ ( 1 – d4 )

Do4

Conclusión: el diámetro exterior del eje hueco es mayor que el del macizo.

Valores de ejemplo:

Diámetro macizo : 2,78 cm

Diámetro exterior : 3 cm; Diámetro interior : 2 cm

Pero comparando los volúmenes de ambas barras observamos que:

macizo hueco

π . R2 L π . (R2 – r2) L

1,93 cm3 1,25 cm3

O sea el de sección anular es 54% más liviano, o sea más económico, menores apoyos.

Al comparar la rigidez torsional GJp de ambas secciones, con los valores del ejemplo, observamos que la sección hueca es 8,8 % más rígida, o sea: se deforma menos.

SECCIÓN TUBULAR DE PARED DELGADA SIMPLEMENTE CONEXA CONSIDERACIONES: Sección hueca de forma cualquiera, espesor reducidoHipótesis :a) Validez de la hipótesis de Coulomb.b) El espesor reducido, nos permite suponer que el valor de las tensiones tangenciales son todas paralelas a la tangente al desarrollo de la línea media y de igual valor. Aceptamos esta hipótesis pero en la realidad la tensión tangencial en A es menor que en B y conotraq dirección.

Sección tubular de forma arbitraria, de espesor delgado, sometida a un Mt.Tomamos un elemento diferencial, de espesor e y longitud ds, lo que nos dará un área de valor F = e dsSobre ese elemento actuará una fuerza elemental dT = ζ e ds tangente a la línea del contorno medio.Se toma un punto O a una distancia r de dT y planteamos momentos a los efectos de determinar que el producto ζ e es constante.Mt = ʃF r dT = ʃF ζ r e ds

A los efectos de integrar la expresión anterior, supongamos nuestra sección cortada por dos planos verticales 1-1 y 2-2, normales al contorno medio de la sección.

Si asumimos una separación unitaria de las secciones analizadas, podemos plantear que las tensiones rasantes sobre las caras superiores, producen tensiones en las caras verticales por el teorema de Cauchy, que producirán fuerzas elementales cuyo valor vendrá dado por

e1 ζ1 1 = e2 ζ2 1

Pero el elemento que estamos considerando, pertenece a una parte de un sólido que está en equilibrio, por lo que la sección que estamos analizando también debe estar en equilibrio.

Tomamos momentos respecto de un eje x paralelo al eje del tubo

e1 ζ1 - e2 ζ2 = 0

O sea

e1 ζ1 = e2 ζ2 = constante

Volviendo entonces a nuestra ecuación

Mt = ʃF ζ r e ds

Mt = ζ e ʃF r ds

En la figura se observa que r ds equivale al doble del área de un triángulo de base ds y altura r.

r ds = 2 dω

por lo tanto

Mt = 2 ζ e ʃF dω = 2 ζ e Ω

Ω= área encerrada por el contorno medio de la sección

ζ = Mt Expresión del valor de la tensión, que nos permite tanto dimensionar

2 Ω e como verificar una sección

Esta expresión nos dice que ζ es máxima para e mínimo

También se debe analizar el ángulo específico de torsión θ.

Se iguala el trabajo externo producido por el Mt, con el trabajo interno realizado por las tensiones tangenciales.

Trabajo externo:

du = Mt dθ

Para un Mt creciendo de 0 a Mt

u = ʃoθ Mt dθ

Que es el área encerrada por el diagrama ( Mt; θ) y que corresponde a un triángulo

ue = ½ Mt θ

Trabajo interno:

Partimos del concepto de resiliencia, que era la capacidad del material de restituir la energía almacenada durante la deformación en el período elástico

u = σ2e / 2 E = ζe

2

2G

ui = ½ ʃv ζ2 dV

G

Igualando ui = ue

Nos queda

½ Mt θ = ½ ʃv ζ2 dV pero dV = ds . e. 1

G

½ Mt θ = ½ ʃv ζ2 ds . e. 1

G

Reemplazamos ζ2 = Mt2

4Ω2e2

½ Mt θ = ½ ʃs ζ2 ds . e. Mt2

G 4Ω2e2

Simplificando

θ = Mt ʃs ds .

4GΩ2 e

Si asimilamos la integral a una sumatoria

θ = Mt Ʃ Δs .

4GΩ2 em

Dividiendo el perímetro en elementos Δs de espesor em . se puede calcular el valor de θ

Por último, si se considera Δs y el espesor em constantes

θ = Mt s .

4GΩ2 e

SECCIÓN TUBULAR DE PARED DELGADA MULTIPLEMENTE CONEXA

Secciones separadas por un tabique de reducido espesor.Se considera e1 ;e2 ;e3 = constantes

Actúan las tensiones ζ1 ; ζ2 ; ζ3 con los sentidos indicados en la figura.Se realiza un corte en N-N y se plantea el equilibrio por proyecciones sobre un eje normal a la sección

ζ1 e1 = ζ2 e2 + ζ3 e3

Longitudes medias de los recintos: A1B = s1; B2A= s2; B3A = s3; r = distancia a un punto cualquiera 0

Tomamos momento de las fuerzas elementales respecto de 0

Mt = ʃs1 r e1 ζ1 ds1 + ʃs2 r e2 ζ2 ds2 + ʃs3 r e3 ζ3 ds3 y como ζi ei es constante

Mt = ζ1 e1 ʃs1 r ds1 + ζ2 e2 ʃs2 r ds2 + ζ3 e3 ʃs3 r ds3

y como

ζ2 e2 = ζ1 e1 - ζ3 e3

Reemplazamos

Mt = ζ1 e1 ʃs1 r ds1 + ζ1 e1 ʃs2 r ds2 - ζ3 e3 ʃs2 r ds2 + ζ3 e3 ʃs3 r ds3

O también

Mt = ζ1 e1 ( ʃs1 r ds1 + ʃs2 r ds2 ) + ζ3 e3 ( ʃs3 r ds3 - ʃs2 r ds2)

De la expresión de pared simplemente conexa r dsi representa el doble del área del triángulo elemental, por lo que llamando Ω1 ; Ω2 , a las áreas encerradas por las líneas de los contornos medios ceRrados A1BA, B3AB

Mt = 2 Ω1 ζ1 e1 + 2 Ω2 ζ3 e3

es una de las dos ecuaciones que nos despejan ζ1 y ζ3

La otra expresión la obtenemos de las ecuaciones de sección simplemente conexa

e = Mt

2Ωζ

Reemplazando en

θ = Mt ʃs ds .

4GΩ2 e

θ = Mt ʃs ds . 2Ωζ

4GΩ2 Mt

θ = 1 ʃs ζ ds

2GΩ

ʃs ζ ds = 2GΩ θ

Relación valida para la sección simplemente conexa y para cada uno de los recintos de una sección múltiplemente conexa.

Aplicada a los recintos Ω1 ,Ω2 , obtenemos

ζ1 s1 + ζ2 s2 = 2 G Ω1 θ

ζ3 s3 - ζ2 s2 = 2 G Ω2 θ

Estas dos ecuaciones junto con

ζ1 e1 = ζ2 e2 + ζ3 e3

Mt = 2 Ω1 ζ1 e1 + 2 Ω2 ζ3 e3

Nos dan un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas ζ1 ; ζ2 ; ζ3 ; θ

LA SECCIÓN RECTANGULAR SOMETIDA A TORSIÓN

En la solicitación por torsión, aparecen tensiones tangenciales variable de punto a punto en dirección e intensidad.No es válida la hipótesis de Coulomb, sino en el vértice A tendría que existir una

tensión ζA normal al radio rA , que tendría dos componentes ζxy y ζxz normales a los lados a y b. Estas tensiones, por Cauchy, darían origen a tensiones sobre las caras laterales del sólido, lo cual es contrario a la hipótesis de solicitaciones planteada

Por lo tanto la única posibilidad es que ζ sea nula en las 4 esquinas.Para otro punto M existe una tensión tangencial dirigida según AB, por Cauchy.De resulta de esto, definimos que las tensiones en los lados, tienen el sentido de los mismos, creciendo desde 0 hasta un valor máximo en el centro, y luego disminuyendo de nuevo a 0Por ser nula la tensión en las esquinas y en el centro de la sección, la distorsión angular es nula en esos puntos, pero no en los demás valores, por lo que la consecuencia es que la sección se alabea

La solución se debe a Saint Venant, que plantea que las máximas tensiones se producen en la mitad del lado largo según:ζ MÁX = α Mt a b2

a y b lados de la secciónα = coeficiente de tabla en función de k para k = a/b

A su vez el ángulo específico de torsión, vendrá dado por

θ = β Mt G a b3

Representación gráfica de las tensiones en la sección rectangular:Sobre los lados, sobre los ejes principales de inercia y sobre las diagonales

Otra forma de hallar α y β es con las fórmulas de Saint Venant

Para el valor de las tensiones en el lado corto se aplica

Casos particulares de sección rectangulara) sección cuadradab) Sección rectangular muy alargada

SECCIÓN TRIANGULAR

La máxima tensión tangencial corresponde al punto medio del lado y su valor es

ζMÁX = 20 Mt / a3

y el ángulo específico de torsión

θ = 80 Mt √3 . G . a4

Torsión en secciones abiertas de pared delgada ( Perfiles laminados)

Se utiliza especialmente en aeronáutica para perfiles tipo

Se utilizan las fórmulas de sección rectangular alargada escritas de la siguiente manera

ζ = 3 Mt = θ G e

s e2

θ = 3 Mt

G s e3

Para e = espesor de la pared s = longitud del desarrollo de la línea media

Ejemplo:

S = 2 ( b – e/2) + ( h – e)

ζ = 3 Mt = θ G e s e2

ζ = 3 Mt = e2 [2 ( b – e/2) + ( h – e) ]

ζ = 3 Mt = e2 (2 b + h) – 2e3

COMPARACIÓN ENTRE PERFILES DE PARED DELGADA CERRADOS Y ABIERTOS:Los perfiles abiertos, son mucho menos resistentes y más deformables, que otros de iguales características y cerrados.Por ej:para la sección cerrada, tenemos

ζC = Mt = Mt = 2 Ω e 2 π R2

m e

para la abierta

ζA = 3 Mt = 2π Rm e2

o sea ζA = 3 Rm = k ζC e

o sea que si Rm /e = 5

Implica que la sección abierta latensión es 15 veces mayor que enla cerrada.

En cuanto a la deformación, el ángulo específico de torsión correspondiente a cada sección es:

θc = Mt s . s = 2 π Rm Ω = π R2m

4GΩ2 e

θA = 3 Mt

G s e3

θA = 3 [ Rm / e ]2 = k’

θc

Para la misma relación Rm / e = 5

Tenemos k’ = 75

O sea el ángulo específico de torsión en la sección abierta es 75 veces más grande que en la cerrada.

Para el caso de que la sección propuesta, se pueda asimilar a rectángulos de distinto espesor, las expresiones de tensiones y deformaciones, toman la siguiente forma:

θ = Mt G JT

ζmáx = Mt emáx Jt

donde JT = representa un momento de inercia ficticio de valor:

SOLICITACIÓN POR TORSIÓN27) Definición, planteo de las ecuaciones características, hipótesis, análisis del tipo de

tensiones actuantes y sus características

28) Relación entre Mt y las tensiones tangenciales. Ecuaciones

29) Determinación de las deformaciones en solicitación por torsión

30) Sección anular sometida a torsión. Su comparación con la sección circular maciza.

31) Sección tubular de pared simplemente conexa sometida a torsión: concepto, hipótesis, planteo y solución del problema.

32) Ángulo específico de torsión en sección tubular de pared simplemente conexa sometida a torsión, analizando los trabajos realizados.

33) Sección tubular de pared delgada, múltiplemente conexa.

34) Torsión en las secciones no circulares: rectangular, triangular y secciones abiertas de pared delgada.

FLEXIÓN SIMPLE• DEFINICIÓN: Una sección está solicitada por flexión simple cuando al

reducir al baricentro de la sección considerada, la resultante de los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido prismático, solo se obtienen dos pares momento, perpendiculares al plano de la sección, y cuyo vector representativo esta contenida en esta.

• La flexión simple puede ser con o sin corte, en el primer caso estamos ante flexión y corte, y en el segundo en flexión pura.

• A su vez la flexión puede ser simple normal o simple oblicua dependiendo de que el vector contenido en la sección, coincida o no con uno de los ejes principales de inercia.

• Plano de flexión: es el plano donde actúa el momento flector, y cuya intersección con la sección determina la “LÍNEA DE FUERZA”, o sea la traza del plano en la sección.

• Esto nos permite definir también a la flexión simple normal como aquella en la cual la línea de fuerza coincide con un eje principal de inercia, y la flexión simple oblicua, aquella donde la línea de fuerza no coincide con uno de los ejes principales de inercia

FLEXIÓN PURA NORMAL: La línea de fuerzas coincide con un eje principal de inercia ( en este caso y)

ECUACIONES DE EQUILIBRIO1) 0 = ʃF σX dF

2) 0 = ʃF ζxy dF

3) 0 = ʃF ζxz dF

4) 0 = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF

5) 0 = ʃF σX . z dF

6) M = ʃF σX . y dF

HIPÓTESIS1) Ley de Hooke

2) Hipótesis de Bernouilli – Navier: En la solicitación por flexión, se verifica que las secciones normales al eje de la pieza, se mantienen planas luego de la deformación, y rotan respecto de un eje denominado “ eje neutro” que pertenece a la sección.

Al mantenerse planas las secciones, no hay distorsiones y por lo tanto no hay tensiones tangenciales, por lo cual, las ecuaciones 2), 3) y 4) son nulas.

Se consideran dos secciones separadas una distancia unitaria, pertenecientes a una barra de eje rectilíneo, sobre la cual se aplica un momento flector. Por ser flexión pura normal, la línea de fuerzas coincide con el eje principal de inercia “ y “.

El eje neutro, coincide con el eje “z” y forma un ángulo β con la línea de fuerza.Suponemos fija. la sección 1 – 1 y que la sección 2 – 2 gira en torno al eje z.Una fibra como la s-s se alargará o acortará según su ubicación relativa y ese alargamiento será por ser la longitud considerada unitaria, directamente igual al valor de la deformación específica unitaria ε.Por mantenerse las secciones planas, los alargamientos de las fibras varían linealmente con la distancia al eje neutro

Si llamamos εx al alargamiento de la fibra ubicadas a una distancia unitaria del eje neutro, las fibras ubicadas a una distancia “y” valdrán

εx = y εx

y por la ley de Hooke

σx = E εx = E y εx

Entonces si

σx = E εx

σx = y σ

Estos valores los reemplazamos en las ecuaciones características

1) 0 = ʃF y σ dF

5) 0 = ʃF σ y z dF

6) M sen β = ʃF σ . y2 dF

7) 0 = σ ʃF y dF

5) 0 = σ ʃF y z dF

6) M sen β = σ ʃF . y2 dF

La 1) por ser σ distinta de 0, nos dice que es nulo el momento estático del eje z ( ubicado a una distancia y)

La 5) nos dice que el producto centrifugo entre la línea de fuerza y el eje neutro, son conjugados de inercia por ser nulo su valor. Pero el eje y coincide con la línea de fuerza y con un eje principal de inercia, el eje z coincide con el eje neutro y es conjugado de inercia de la línea de fuerza, por lo tanto en flexión pura normal, se cumple que:

EL EJE NEUTRO ES BARICÉNTRICO

EL EJE NEUTRO ES CONJUGADO DE INERCIA DE LA LÍNEA DE FUERZA Y COMO ESTA COINCIDE CON UN EJE PRINCIPAL DE INERCIA, AMBOS EJES SON ORTOGONALES Y β = 0

DIAGRAMA DE TENSIONES EN FLEXIÓN SIMPLE NORMAL Y DE

DEFORMACIONES ESPECÍFICAS

De la última ecuación, hallamos la relación entre el momento solicitante y las tensiones producidas

M sen β = σ ʃF . y2 dF β = 90°

M = σ Jn

M = σx Jn

y

σx = M y Valor de la tensión normal, para una

Jn fibra ubicada a una distancia “y”

Para nuestro caso, donde el sentido del Mf es positivo, las fibras superiores, respecto del eje neutro, se comprimen y las inferiores se traccionan.

Los valores máximos se producirán en las fibras más alejadas del eje neutro

Módulo resistente de la sección: se utiliza en perfiles normalizados y en figuras que presentan simetría respecto del eje considerado, y se define como

W = Jn

y

Luego σmáx;mín = ± M

W

DIMENSIONADO DE SECCIONES: Determinar una sección de manera tal que las tensiones no superen en ningún punto, el valor de una tensión de referencia o admisible.

Si el material es acero ( igual resistencia a la tracción que a la compresión) y presenta simetría respecto del eje neutro, se puede definir que

WNEC = Mf

σadm

SECCIONES MÁS USUALES:

Sección cuadrada

a) Con respecto a un eje baricéntrico paralelo a un lado

W = J = 2 a4 = a3

a/2 12 a 6

b) Con respecto a un eje baricéntrico coincidente con una diagonal

W = 2 J = 2 a4 = √2 a3

√2 a √2 12 a 12

c) Sección rectangular de base b y altura h para un eje paralelo a la base

W = J = 2 b h3 = b h2

h /2 12 h 6

Sección circular llena

W = J = π d3

d/2 32

Sección circular hueca

W = J = π D3 (1 - d4 )

D/2 32 D4

Una vez hallado el valor de Wnec. , los lados correspondientes, se determinan a partir de las ecuaciones correspondientes.

σx = M y

Jn

A mayor Jn las tensiones que se producen son menores, por eso se diseñaron los perfiles normalizados, que encima presentan la ventaja de un área menor, lo que equivale a menores costos y menores pesos

J x PNI 300 = 9800 cm4. F= 69 cm2

Jx Rectángulo de 30 cm x 2,3 cm = 5.175 cm4.

VERIFICACIÓN DE SECCIONES:Conocida las medidas de la sección y la forma, se debe verificar que las

tensiones máximas en los puntos más solicitados, no supere los valores máximos admisibles.

Otro aspecto a tener en cuenta es como ubicar la sección, por ejemplo comparando la sección cuadrada en distintas posiciones

Para ambos Jn = a4 / 12pero los módulos resistentes W son diferentes para cada caso:a) W = a3 / 6

b) W = a3 / 6 √2

Las tensiones máximas serán 41% mayores en la sección b) que en la a)

a) σMÁX = ± 6 Mf / a3

b) σMÁX = ± 6 √2 Mf / a3

O O sea que

DEFORMACIÓN EN FLEXIÓN PURA NORMAL

θ = giro relativo de una sección respecto de la otra ρ = radio de curvatura de la sección deformada

1/ρ = ε / y por ser la longitud entre secciones considerada unitaria

ε = σ = Mf y E Jn

1 = Mf ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DEFORMACIÓN

ρ E Jn EN FLEXIÓN SIMPLE (I) QUE RELACIONA LA

CURVATURA CON LA SOLICITACIÓN, EL MATERIAL Y LAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN

Nos da el valor de la curvatura de la deformada del eje de la pieza o sea laLÍNEA ELÁSTICA

Se plantea la relación que gobierna la deformación del eje de la pieza, a partir de los corrimientos verticales de los centros de gravedad de cada una de las secciones.

Partimos de una viga simplemente apoyada que por acción de las cargas se deforma con la notación de la figura

Una sección cualquiera ubicada a una abscisa “z” experimenta una rotación absoluta θ medida por el ángulo que forma la tangente a la elástica en correspondencia con el baricentro de la sección con el eje de la pieza antes de la deformación.

También se produce un corrimiento vertical “y” del baricentro de la sección.

Una sección ubicada a una distancia dz de la anterior, gira respecto de esta un dθ y teniendo en cuenta que el radio de curvatura de la barra es ρ, se obtiene

ds = ρ dθ

1 = dθ

ρ ds

Suponiendo ds ~ dz p or ser valores pequeños

1 = dθ como tg θ = dy / dz por ser infinitésimos podemos decir que

ρ dz θ = tg θ = dy / dz

1 = dθ = d2 y

ρ dz dz2

Para valores crecientes de z en el gráfico, obtenemos valores decrecientes de θ por lo que a la expresión anterior la debemos afectar de un signo negativo.

Ahora reemplazamos en la expresión (I)

1 = - d2 y

ρ dz2

1 = Mf = - d2 y Ecuación diferencial de la línea elástica

ρ E Jn dz2

Válida solo para pequeños corrimientos verticales “y”

Si se integra la expresión anterior, se obtiene la ley de variación del momento flector, que nos permite determinar la ecuación de la línea elástica, que a la vez nos permite hallar la flecha máxima de importancia transcendental en todo proyecto

ECUACIONES DE LA LÍNEA ELÁSTICA PARA DISTINTOS TIPOS DEELEMENTOS ESTRUCTURALES SOMETIDOS A DISTINTOS ESTADOS DECARGA

a) VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAEl valor de Mf a una distancia z vale

Mf = p/ 2 . [ lz - z2 ]

d2 y = - p . [ lz - z2 ] dz2 2 E Jn

y como E y Jn son constantes

d y = - p [ lz2 - z3 ] + C dz 2 E Jn 2 3

y = - p [ lz3 - z4 ] + C z + C1 2 E Jn 6 12

Las condiciones de contorno, nos definen el valor de las constantes

para z = 0 se tiene y = 0 ( no hay desplazamiento)

Entonces z = 0 → C1 = 0

para z = l se tiene y = 0 ( no hay desplazamiento)

0 = - p [ l4 - l4 ] + C l 2 E Jn 6 12

C = p l3 24 E Jn reemplazando

y = - p [ lz3 - z4 ] + pl3

2 E Jn 6 12 24 E Jn

y = pl4 [ z4 - 2 z3 + z ] 24 E Jn l4 l3 l

El cálculo de la flecha máxima “y” saldrá de suponer que la misma se produce para dy / dz = 0

reemplazando C por su valor a en la expresión correspondiente, nos queda

d y = - p [ lz2 - z3 ] + pl3

dz 2 E Jn 2 3 24 E Jn

e igualando a 0 obtenemos: z = l / 2

Reemplazando en la expresión general, nos queda:

ƒmáx= 5 p l4

384 EJn

Por ejemplo, una viga de 6 metros de largo, de sección perfil PNC 300 ( 8030 cm4), que soporta una carga distribuida p= 1000 kg/m y con E = 2,1 x 106 kg/ cm2 a lo largo de su longitud, experimentará una flecha máxima en su semi longitud de 1 cm.

CAMBIO DE FORMA EN LA SECCIÓN RECTANGULAR: Bernouilli – Navier se refiere a que las secciones se mantienen planas, pero no dice nada respecto del cambio de forma. Estas después de la flexión, cambian de forma. Una fibra ubicada a una distancia “y” de la fibra superior, estará solicitada por una tensión σx que producirá una deformación específica unitaria εx que por la ley de Hooke generalizada producirá una εz = - εx / μ

Como las deformaciones específicas unitarias son de signo contrario, la sección se ensancha transversalmente en la zona comprimida y se acorta en la traccionada.

El centro de curvatura de la sección deformada queda situado del lado opuesto al centro de curvatura de la línea elástica.

35) Solicitación por flexión simple:

Definición, planteo del problema, hipótesis válidas, ecuaciones de equilibrio.

Línea de fuerza y eje neutro: ubicación y propiedades

Resolución matemática y ecuaciones de tensiones en función de los momentos flectores actuantes.

36)Módulo resistente. Dimensionado y verificación de secciones. Módulo resistente para las secciones más conocidas.

37)Deformación en flexión. Planteo de la ecuación de la línea elástica. Cálculo de la flecha máxima. Cambio de forma en la deformación por flexión

FLEXIÓN PURA OBLICUA

Definición: Cuando la línea de fuerzas del momento flector actuante, no coincide con uno de los ejes principales de inercia.

Hipótesis: Ley de Hooke y Bernouilli – Navier

Equilibrio del Sólido elemental :

∫F y dF = 0

∫F z y dF = 0

σ ∫F y2 dF = M sen β

• Recordando que σ = σ / y

• Las dos primeras ecuaciones implican

• a) Eje neutro baricéntrico

• b) El eje neutro es conjugado de inercia de la línea de fuerzas

z e y son las distancias del elemento dF a los ejes línea de fuerza y eje neutro

Fórmula general de la Flexión Oblicua:Fórmula general de la Flexión Oblicua:

σ = ± M sen β y Jn

Esta fórmula nos obliga a conocer la ubicación del eje neutro, ( el ángulo β que forma con la línea de fuerzas) para poder calcular Jn

MLÍNEA DE FUERZA

EJE NEUTRO

β

1

1

2

2

dFy

z

Determinación del eje neutro

a) Forma gráfica

a11 ) Conociendo los ejes principales de inercia cuando la sección no tiene elementos de simetría

a12 ) cuando la sección tiene elementos de simetría al menos respecto de un eje

LF

1 1

2

A B

n

n

Tangente en B

Jn / sen β

JnB’

β

β

J1

J2

G

C

P

a2 ) No conociendo los ejes principales de inercia: Se parte de Jz, Jy y Jzy

G

P

z

y

L de F

EJE NEUTRO

β

A

B

Jz

Jy

Jzy tg en B

B’PB = Jn / sen β

PB’ = Jn

Jz > Jy

Jzy > 0

Los valores de Jn , se obtienen del gráfico, midiendo en la escala de la circunferencia.

O sino se puede hacer

σ = ± M sen β y = ± M y Jn Jn / sen β

Este término Jn / sen β se lee directamente del gráfico a partir del segmento PB

Ángulo AGB = Ángulo ABB’

PB’ = PB sen β PB = PB’ / sen β PB’ = Jn

PB = Jn / sen β (medido en la misma escala)

b ) Forma analítica : Se basa en la determinación del ángulo γ .Conocemos como dato, el ángulo α que forma la línea de fuerzas con uno delos ejes de la figura en función de la geometría de la sección

tg γ = Jz - tg α Jzy

Jzy - tg α Jy

ECUACIÓN DE LOS EJES CONJUGADOS

Si conocemos los ejes principales de Inercia

J z = J1 ; J y = J2 ; J zy = 0

tg γ = - J1 = ( - J1 / J2) cotg α

J2 tg α

FLEXIÓN OBLICUA EN FUNCIÓN DE 2 FLEXIONES NORMALESLas expresiones anteriores son útiles para verificación, pero incomodas para

diseño, ya que Jn, sen β e ymáx, dependen de sus dimensiones.

Por lo tanto para dimensionar se trabaja con 2 flexiones normales superpuestas.

LF

EN

z Ξ 1

y Ξ 2

γ

α

Mz

M

My

G

dFy

z

σ = ± Mz y ± My z

J1 J2

Mz = M sen α

My = M cos α

Los signos dependen del punto donde estemos considerando el valor de las tensiones.

Como el valor de las tensiones σ para los puntos coincidentes con el eje neutro son nulas hacemos

0 = - Mz y + My z

J1 J2

0 = M ( z cos α + y sen α )

J2 J1

z cos α = y sen α

J2 J1

y = z J1 cotg α Ecuación de una recta que pasa por el baricentro

J2

También podemos escribir

y = tg γ para γ el ángulo que forma el eje neutro con el eje z

z

Entonces

tg γ = J1 cotg α Expresión que ya habíamos hallado en el cálculo analítico

J2 del eje neutro

Verificación y dimensionado de secciones solicitadas a flexión oblicua:

Para verificación se utilizan indistintamente las expresiones

σ = ± M sen β o σ = ± Mz y ± My z

Jn J1 J2

Para el dimensionamiento, en cambio, conviene utilizar la expresión

σ = ± Mz y ± My z

J1 J2

TEORÍA GENERAL PARA LA FLEXIÓN OBLICUA

Cálculo de la flexión oblicua referida a cualquier par de ejes y nonecesariamente de los principales de inercia.

1

2

1

2 LFEN

z

y

dF

α

y z

γ

“z” e “y” ejes cualquiera

El Mz produce flexión en el plano “xy” y también en el “xz”. Lo mismo para el My.

Se parte de la ecuación del radio de curvatura de la viga deformada.

χ = 1/ ρ = ε / y = σ / E y

La tensión en el dF será

σx = - χy E y - χz E z (1)

La fuerza normal que actúa en toda la sección

∫ σx dF = - χy E ∫ y dF - χz E ∫ z dF

Mz

My M

Ecuación que se satisface por ser los ejes baricéntricos.

O sea que la suma de los momentos estáticos es nula

Para el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la dirección “x” se deben

equilibrar con el My ( y lo mismo para Mz).

My = ∫ σx z dF = - χy E ∫ y z dF - χz E ∫ z2 dF

My = - χy E Jzy - χz E J y

Por analogía

Mz = - χy E Jz - χz E J zy

Entonces

• χy = Mz Jy + My Jzy χz = My Jz + Mz Jzy

• E ( Jz Jy – J2zy) E ( Jz Jy – J2zy)

• Reemplazando en (1)

• σx = ( My Jz + Mz Jyz) z - ( Mz Jy + My Jzy ) y

• Jz Jy - J2zy • FÓRMULA GENERAL DE LA FLEXIÓN

Para hallar el eje neutro hacemos σx = 0

γ = ángulo entre n-n y la L de F

tg γ = y / z = My Jz + Mz Jzy

Mz Jy + My Jzy

Si ahora hacemos coincidir “z” e “y” con los principales nos quedaría

Mz = M1 ; Jz = J1

My = M2 ; Jy = J2

0 = ( My Jz) z - ( Mz Jy) y = M2 z - M1 y

Jz Jy J2 J1

38) Flexión pura oblicua: Definición, hipótesis, ecuaciones de equilibrio , ecuaciones características. Eje neutro, ubicación y propiedades.

39) Determinación gráfica del eje neutro, para secciones conocidas o no los ejes principales de inercia

40) Determinación analítica del eje neutro. Ecuación característica.

41) Resolución de la flexión oblicua, como suma de dos flexiones normales. Ecuaciones y gráficos. Determinación del eje neutro

42) Teoría general de la flexión oblicua. Planteo y solución de la ecuación representativa de las tensiones. Determinación del eje neutro

FLEXIÓN Y CORTEDefinición: Cuando al reducir al baricentro de la sección dada, las fuerzas que

actúan a uno u otro lado de la misma, se obtienen 2 pares opuestos normales a la

sección y 2 fuerzas opuestas contenidas en el plano de ella.

Equilibrio

∫F σx dF = 0

∫F ζxy dF = Qy

∫F ζxz dF = Qz

∫F (ζxy z + ζxz y )dF = 0

∫F σx y dF = Mz

∫F σy z dF = My

Hipótesis: Teoría de Jouravski: Se refiere a las tensiones de resbalamiento longitudinales, complementada por Collignon en cuanto a las tensiones

normales.

Corte puro: es aquel en el que en el plano de la sección solo existen dos fuerzas opuestas

ζ = Q / A

Casos comunes en los cuales se acepta la validez del corte puro, aunque no sea del todo exacto

Teoría de Jouravski generalizada : Se consideran 2 secciones sometidas a flexión y corte separadas dx

σ 1-1 = M y / Jn

σ 2-2 = (M + dM )y / Jn

En la sección 1-1

dN = σ dF

N = ∫F σ dF = ∫F (M y / Jn) dF

dx

M Q Q M + dM1 2

1 2

1 2

1 2

- -

+ +

y

dx

ζ

N + dNN

x

y

ζ

s

1 dx 2

En la sección 2-2

dN = = ∫F [(M + dM) / Jn] y dF

Como son colineales, la resultante valdrá

dN = = ∫F (dM / Jn) y dF

Suponemos que las tensiones longitudinales de resbalamiento, que se oponen a la fuerza anterior tienen una :

a) Dirección paralela al eje de la pieza

b) Variación continua a lo largo de la superficie curva

Si “s” es la longitud de la curva que intercepta la sección, la resultante de los esfuerzos tangenciales

dT = dx ∫s ζ ds Ecuación de las tensiones de resbalamiento

Por equilibrio

dN = dT

∫F (dM / Jn) y dF = dx ∫s ζ ds

(dM / Jn) ∫F y dF = dx ∫s ζ ds

∫F y dF = (Jn / dM) dx ∫s ζ ds pero dM / dx = Q

∫s ζ ds = Q Ssn / Jn

Pero ∫s ζ ds = ζm s donde ζm = valor medio de la tensión de resbalamiento

longitudinal

ζm = Q Ss

n / s Jn

Por Cauchy, las tensiones longitudinales de resbalamiento, dan origen en el plano de la sección a tensiones tangenciales, normales en cada punto a las tangentes a la curva s.

Aplicación a la sección cuadrada: la base es “b” y la altura “h”

ζxy = Q Ssn / s Jn

Jn = b x h3 /12

s = bSn= b [(h/2) – y] (1/2) [(h/2) + y]

ζxy = Q b [(h/2) – y] (1/2) [(h/2) + y]

[b x h3 /12]

ζxy = 3 Q [ 1 – (2y / h)2] y = 0 ; ζMÁX = 3 Q ; y = h/2 ; ζ = 0 2 b h 2 F

El momento estático, se toma por encima de la fibra considerada, respecto del eje neutro. (zona rayada)

Para los extremos de la sección: y = h / 2 o sea ζxy = 0 se verifica por Cauchy, ya que no puede haber tensiones en la otra cara)

ζxy MÁX = 3 Q En las fibras coincidentes con el eje neutro 2 F

50 % más grande que si suponemos corte puro

El Momento estático es nulo por encima o por debajo del eje neutro

Sn = Momento estático por encima de la fibra considerada

S’n = Momento estático por debajo de la fibra considerada

Sn + S’n = 0 o sea Sn = - S’n

Esto ocurre por el sentido contrario de las tensiones rasantes, que tienen distinto sentido lo que implica la aparición del signo menos

Tensiones tangenciales en sección circular llena

Se parte se una sección de radio R

by = 2 ( R2 – y2 )1/2

Jn = π R4 / 4

Sn = (2/3) ( R2 – y2 )3/2 .

ζ xy = 4 Q ( R2 – y2 )

π R4

y = R, ζ xy = 0

y = 0 ζ xy = 4 Q

3 F

TENSIONES TANGENCIALES EN LA SECCIÓN TRIANGULAREstán dirigidas según los lados,

Jn = b h3 / 36

by = b [ 2 h + y ]

h 3

Sny = 1 by [ 2 h + y] ( h - y )

3 3 3

ζ xy = 12 Q ( 2 + y) ( 1 - y)

bh 3 h 3 h

Esta expresión como es de esperar, se anula para y = - 2 h y para y = 1 h

3 3

O sea en el vértice y en la base del triángulo.

Si derivamos e igualamos a 0 esta expresión obtenemos que:

ζ máx = 3 Q a una distancia y = h / 6

2 F

Tensiones tangenciales en la sección doble T

ENCUESTA PNIEncuesta de carácter voluntario. Si el alumno lo desea puede responderen forma anónima, con la única salvedad que para ser contabilizada, debeindicarse la carrera que está cursando

CONSIGNA GENERAL: El propósito de esta encuesta, es reflejar un estado de situación a mitad delcuatrimestre, con el único objetivo de mejorar la situación áulica entredocentes y alumnos, para ello se les pide responder

I) ¿Qué circunstancias o actividades del dictado de la materia le parecen……..a) POSITIVASa1 ) En la Teoría

a2 ) En la Práctica

b) NEGATIVASb1 ) En la teoría

b2 ) En la Práctica

c) INTERESANTESa1 ) En la Teoría

a2 ) En la Práctica

II) ¿Qué recomendaciones, sugerencias o ideas propondría como parte de un proceso de mejoramiento continuo de la materia?

a ) En la Teoríab2) En la Práctica

SOLICITACIÓN POR FLEXIÓN COMPUESTA

DEFINICIÓN: Aquella solicitación para la cual, actúa sobre la sección, una fuerza normal

excéntrica. También se la puede definir como la solicitación producida por un par flector

y una fuerza normal.

Se la puede resolver por superposición de efectos, o por equilibrio entre fuerzas exteriores e interiores

El caso más general, es que la flexión sea oblicua

Estamos siempre en régimen elásticoEsta fuerza excéntrica, origina en su reducción al baricentro, un par flector y

una fuerza normal

C = centro de Presión

CG = excentricidad e

Recta CG = Línea de fuerza

Hipótesis: Bernouilli – Navier y Ley de Hooke

Distribución lineal de tensiones normales, nulas en el eje neutro, y máximas en las fibras más alejadas.

Por ser flexión oblicua, el centro de presión no coincide con ningún eje principal de inercia

Desarrollo:

El punto A perteneciente a un dF, sobre el que actúa σ

El equilibrio exige que las fuerzas exteriores producidas por N se igualen con las

interiores producidas por la integral de σ dF.

Se plantea :

a) Una ecuación de igualdad de proyecciones sobre un eje normal a la sección

b) Dos condiciones de igualdad de momentos respecto del eje neutro y la línea de fuerza

De las 6 ecuaciones de equilibrio, las 3 que contienen ζ son nulas por hipótesis.

a) ∫F σ dF = N

b) ∫F σ v dF = N ( e’ + s’)

c) ∫F σ u dF = 0

El eje baricéntrico g-g paralelo al eje neutro, tiene tensiones σ0 de valor

σ0 = σ lo que implica que σ = σ0 v Ec. 1

s’ v s’

Por ser σ0 y s’ valores constantes, la reemplazamos en la tercera ecuación y obtenemos

∫F σ u dF = 0 → σ0 ∫F v u dF = 0 → ∫F v u dF = 0

s’

Mº centrífugo de la sección, respecto del eje neutro y la línea de fuerza, lo que implica que ambas direcciones son conjugadas de inercia.

O sea que encontramos cual es la dirección del eje neutro (no conocemos todavía la dirección de g-g)

Reemplazando ahora en la primera de las ecuaciones, por la Ec. 1 tenemos

∫F σ dF = N → σ0 ∫F v dF = N

s’

La integral es el Mº estático de la sección respecto del eje neutro.

∫F v dF = F. s’

σ0 F = N → σ0 = N / F

Esta expresión nos dice que la tensión en las fibras ubicadas sobre el ejebaricéntrico, paralelo al eje neutro son constantes e independientes de laexcentricidad.

Por último, reemplazando la Ec 1 en la segunda ecuación

∫F σ v dF = N ( e’ + s’) → σ0 / s’ ∫F v2 dF = N ( e’ + s’) →

(σ0 / s’ ) Jn = N ( e’ + s’)

Por Steiner

Jn = Jg + F s’2 .

(σ0 / s’ ) Jg + F s’ σ0 = N e’ + N s’ pero σ0 = N / F

(σ0 / s’ ) Jg + N s’ = N e’ + N s’ simplificamos y como (σ0 / s’ ) = (σ / v )

(σ / v ) Jg = N e’ Ec. 2 pero v = v’ + s’

σ Jg = N e’ v’ + N e’ s’

σ = N e’ v’ + N e’ s’

Jg Jg

Reemplazando en Ec. 2

y teniendo en cuenta que el radio de giro,

F ig2 = Jg

(N / F s’) F ig2 = N e’

Simplificando

ig2 = s’ e’

Esa expresión nos dice que :

el radio de giro de la sección respecto de la paralela baricéntrica al eje

neutro, es media proporcional entre las distancias del centro de presión al

baricentro y de este al eje neutro.

Esta ecuación, nos permite hallar el eje neutro en forma gráfica o analítica.

σ = N e’ v’ + N e’ s’ =

Jg Jg

σ = N e’ v’ + N e’ s’

Jg F ig2

Pero s’ e’ / ig2 = 1

σ = N e’ v’ + N y como e’ = e sen β

Jg F

σ = - N ± N e sen β v’ F Jg

σ = - N ± M sen β v’ F Jg

Las tensiones máximas y mínimas se producen en las fibras mas alejadas

σ1 = - N - M sen β v’1

F Jg

σ2 = - N + M sen β v’2

F JgExpresiones que nos dan los valores de las dos tensiones que actúan debidasal esfuerzo normal y al Momento flector.

DETERMINACIÓN GRÁFICA DEL DIAGRAMA DE TENSIONES

NORMALES

2

2

1

1

g g

OP

A

B

B’

JgJ1

J2

C

nn

L

E

L’

e’

F

H

G

σ2

σ1

-

+

σo = N / F

C < 0

J1 > J2

ig

s’

Se determina el punto A, luego el B y uniendo B con el G tenemos la línea

baricéntrica.

Luego del gráfico obtenemos Jg, y calculamos ig. s’ es extrema proporcional entre ig y e’.

Así obtenemos la dirección de n-n. Luego graficamos σ0 sobre la línea g –g y

obtenemos el diagrama de tensiones.

FLEXIÓN COMPUESTA OBLICUA COMO SUMA DE DOS FLEXIONES

NORMALES

L de Fg

n

gn

αez

eyGΞ 01 Ξ z

2 Ξ y

y

C

β

e

s’

e’

1

M Ξ N.e

Mz

My

α

y

zG Ξ 0

C

e

Los ejes “z” e “y” coinciden con los principales de inercia y α es el ángulo entre la L. de F y el eje 1-1

Coordenadas del Centro de Presión:

ey = e sen α

ez = e cos α

multiplicando por N ambas expresiones

N ey = N e sen α = M sen α = Mz

N ey = N e cos α = M cos α = My

Como

σ = N ± Mz y ± My z F Jz Jy

Reemplazando

σ = N ± N ey y ± N ez z F Jz Jy

Pero Jz = F iz2

Jy = F iy2

σ = N ( 1 + ey y + ez z )

F iz2 iy

2

Esta expresión nos da la ecuación del eje neutro

Para un punto cualquiera N perteneciente al eje neutro, tendremos

0 = N ( 1 + ey yn + ez zn )

F iz2 iy

2

0 = ( 1 + ey yn + ez zn )

iz2 iy

2

Para yn = 0 → zn = - ( iz2 ) / ez

Para zn = 0 → yn = - ( iy2 ) / ey

Con lo que obtenemos dos puntos para graficar el eje n-n

Los signos negativos nos indican que zn y yn se miden en sentido contrario a ez

y ey .

n

z

y

G

Cez

ey

zn

yn

n

M

N

Para hallar gráficamente, el eje neutro con las expresiones anteriores,

calculamos los radios de giro, y utilizando la construcción por la media

proporcional iz ; iy.

RECIPROCIDAD ENTRE EL CENTRO DE PRESIÓN Y EL EJE NEUTRO

Partimos de

σ = N e’ v’ + N = N ( 1 + e’ v’ )

Jg F F ig2

Para el eje neutro σ = 0

v’ = s’

N ( 1 + e’ s’ ) = 0 → ( 1 + e’ s’ ) = 0

F ig2 ig

2

ig2 = - e’ s’ El signo menos nos indica que e’ y s’ son de distinto signo

El centro de presión está ubicado del lado contrario al eje neutro con respecto

al baricentro y sus distancias se encuentran a una relación constante.

Conclusión: Si para una línea de fuerzas dada, desplazamos sobre esta el centro de

presión C. el eje neutro también se desplaza paralelamente a si mismo de manera

tal de mantener los valores de la ecuación constantes.

Posiciones límites

e = ∞ implica s = 0 o sea que el eje neutro es baricéntrico, la recta de acción de la fuerza N es la impropia del plano y estamos en flexión oblicua simple

e = 0 implica s = ∞ Solicitación axil pura por ser la recta de acción de N baricéntrica

C1

C2

C3 C∞

g

g

n1 n2n3

NÚCLEO CENTRAL

Definición: Se denomina núcleo central, al área encerrada por los infinitos centros de presión que generan ejes neutros tangentes al contorno de la sección

Importancia: tenemos tensiones de un solo signo

n4

n3

n2

n1

De gran utilidad en mampostería y hormigón simple.

DETERMINACION DEL NÚCLEO CENTRAL

Se hace en forma gráfica y para las secciones más comunes

Utilizamos las expresiones de los radios nucleares

ig2 = - e’ s’

L de F

G

C

Co

C’

gg

n n

no n o

n’ n’

- - -

+

σo σ o σ o

llamamos

ko’ = e’ y s ’o = s’

ko’ = - ig2 / so’

Radio nuclear GM = ko = ko’ / sen β = - ig2 / so’ .sen β

y como so’ = so’ .sen β

• ko = - ig2 / so .sen β

• Gráficamente:

G

g

g

n

n

β

ig

g

Perpendicular a g-g

A’’

A

A’M’

1

1

M

L de F

so’

ko’

NÚCLEO CENTRAL DE LAS SECCIONES MAS COMUNES

A) Cuadrada y rectangular. Rectangular de base b y altura h

n n

b

hh/6

b/6

1 1

2

2

i1 2 = h 2 / 12

β = π /2

s = so’ = h /2

ko = - 2 h2 / 12 h = h /6

TEORÍAS DE ROTURACONSIDERACIONES GENERALES

¿Cuáles son las causas que condicionan el comienzo de la fluencia y por ende la rotura de un material?

A) Teorías basadas en tensiones

a1) Máxima tensión principal Positiva ( Galileo y Leibnitz)a2) Máxima tensión principal (positiva o negativa) (Rankine y Lamé)a3) Máxima tensión normal (Marin)a4)Máxima tensión principal combinada con la máxima tensión normal (Marin)

B) Teorías basadas en deformaciones

b1) Máxima deformación específica principal positiva (Poncelet y Saint Venant) b2) Máxima deformación específica positiva y negativa ( Grashof, Rèsal y Bach) b3) Máxima distorsión (Marin) b4) Máxima distorsión combinada con la máxima deformación específica

(Marin)

C) Teorías basada en tensiones tangenciales

c1 )Máxima tensión tangencial (Saint Venant – Güest)c2 ) Teoría Generalizada de Coulomb ( frotamiento interno proporcional)c3 ) Teoría de Mohr ( curva intrínseca)FRÁGILES

D) Teorías basadas en la energía de deformación

d1) Máxima energía total de deformación ( Beltrami – Haigh)d2) Máxima energía de distorsión ( Huber – Hencky – Von Mises) DÚCTILESd3) Teorías que combinan las energías de distorsión y deformación totald4) Máxima energía de deformación cúbica (Marin)d5) Teoría de la energía de distorsión como función de la tensión normal media

( Schleicher)

E) Teorías empíricas

e1) Teoría de Saudel

e2) Teoría de Wehage

e3) Teoría de la máxima deformación volumétrica ( Marin)

e4) Teoría de Becker

e5) Teoría de Noms para la madera de pino

e6) Teoría del comportamiento plástico de materiales no isótropos (Brandtzaeg)

e7) Teoría de Griffith de las fisuras diminutas

F) Teorías basadas en la estructura de la materia

f1 ) Grupo de teorías que parten de las consideraciones técnicas sobre las fuerzas atómicas o de energía superficial.

CONCLUSIÓN: No existe una única teoría aplicable a todos los materiales

pero para los materiales isótropos los dividiremos en dúctiles y frágiles

Concepto de rotura: Existen distintas interpretaciones:

- Cambio inadmisible de forma respecto al uso que se le va a dar

- Falla ( de cualquier índole)

- Cuando se alcanza un valor límite de tensión

- Cuando se alcanza un valor límite de deformación

- Cuando se alcanza el valor de una determinada energía interna

- Combinación de alguna de las anteriores

A la vez, si nos guiamos por el diagrama de tensión – deformación, según el autor que se trate, hemos llegado a la rotura cuando se alcanza <.

- El límite de proporcionalidad

- El límite de elasticidad

- El límite de fluencia

- El límite convencional de fluencia

- El límite de rotura

DEFINICIÓN:

Un material alcanza la rotura cuando llega

a un límite de solicitación tal que las

tensiones que se producen alcanzan un

valor para el cual el material ya nos es

más utilizable para el fin al cual se lo

destina.

Para materiales dúctiles: el límite de fluencia

Para materiales frágiles: la rotura física

Principales teorías de roturas

Están desarrolladas para estados múltiples de tensión.

Se parte de un ensayo de tracción simple y se compara los valores obtenidos

con los valores supuestos por las teorías de rotura para estados espaciales

La energía interna de deformación

O también llamada energía potencial elástica por unidad de volumen en un

punto, de un sólido sujeto a un estado cualquiera de tensión, es una función

tanto de la tensión en el punto como de la correspondiente deformación

específica

u = ƒ ( σ; ε)

Esta energía de distorsión, se compone de dos partes:

u = uv + ud , una energía de cambio de volumen y otra de cambio de forma o

distorsión

Estado simple se tensión:

Producto de una tensión σ1 el elemento se deforma ε1 cuyo diagrama

reproducimos

La energía total absorbida por unidad de volumen hasta alcanzar el valor σ1

u = ½ σ1 ε1

por ser régimen elástico ε1 = σ1 / E entonces

u = ( σ12)

2 E

Para el caso de Corte puro μ = ½ γ ζ pero γ = ζ / G

Entonces u = ½ ζ2

G

Para el caso de una combinación de σ1 y ζ pero

μ = ½ γ ζ

Entonces u = ½ [σ12 + ζ2 ]

E G

TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL

Formulada por Rankine:

La deformación plástica de un punto de un sólido solicitado por un estado

cualquiera de tensión, comienza sólo cuando la máxima tensión principal en el

punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de fluencia

en tracción o compresión simples, con total prescindencia de las tensiones

normales o tangenciales que puedan existir en otros planos.

Válida para materiales frágiles no para dúctiles

Materiales Dúctiles:

Según la teoría, la rotura ocurre para σ = σ1 = σfl

Esto se verifica si el estado solicitante es de tracción simple.

Pero para un estado plano, el de resbalamiento puro, donde

- σ 2 = σ1 = ζ = σfl

Entonces debería cumplirse que ζ fl = σfl lo que no se verifica en la práctica experimental, donde ζ fl <<<<<< σfl .

ζ

σ 2 σ1

Frágiles: Esta teoría conduce a buenos resultados por carecer el material de fluencia

Partimos de un estado doble, con σ1 ; σ2

Para σ1 > σ2 → σ1 = ±σfl → σ1 /σfl = ± 1

Para σ1 < σ2 → σ2 = ± σfl → σ2 /σfl = ± 1

Gráficamente: los resultados deberían caer

sobre las rectas en forma ideal +1

-1

-1 +1

σ2 / ±σfl

σ1 / σfl

TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE

Formulada por GUEST:

La rotura de un punto de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión, comienza sólo cuando la máxima tensión de corte en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión de corte que ocurre en un ensayo de tracción simple.

Para un estado triple

ζmáx = ± ½ (σ1 - σ2 )

ζmáx = ± ½ (σ2 – σ3 )

ζmáx = ± ½ (σ1 - σ3 )

y se compara con la tensión tangencial máxima de un ensayo de tracción simple

ζmáx = ± ½ ( σfl )

Por lo tanto la rotura se alcanza cuando(σ1 - σ2 ) = ± ( σfl )

(σ2 – σ3 ) = ± ( σfl )

(σ1 – σ3 ) = ± ( σfl )

Para un estado plano, con σ3 = 0

(σ1 - σ2 ) = ± ( σfl )

(σ1) = ± ( σfl )

(σ2) = ± ( σfl )

La rotura queda definida en función de los signos de (σ1 ; σ2 )

Si son de signos contrarios, la primera ecuación es la que rige la rotura.Si son de signos iguales, rige la de mayor valor de tensión principalPara graficar igualamos las expresiones a ±1(σ1 - σ2 )/ ( σfl ) = ± 1

(σ1)/ ( σfl ) = ± 1

(σ2) /( σfl ) = ± 1

Para ciertos materiales dúctiles, sobre todo aquello donde predominan lastensiones tangenciales, esta teoría es bastante acertada

TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓNFormulada por HUBER – HENCKY Y von MISSES: La rotura de un punto de un sólido solicitado por un estado cualquiera detensión, comienza sólo cuando la máxima energía de distorsión por unidad devolumen en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la energía dedistorsión en un ensayo de tracción simple, cuando se alcanza el límite defluencia.

Es la que mejor se adapta a los materiales dúctiles

Para un estado triple cualquiera, la energía de distorsión vale:μd = 1 + μ [(σ1 - σ2 )2 + (σ2 – σ3 ) 2 + (σ1 – σ3 ) 2 ]

6 E

Para el ensayo de tracción simpleμd = 1 + μ σfl 2

3 E

Igualando ambas expresiones y simplificando

[(σ1 - σ2 )2 + (σ2 – σ3 ) 2 + (σ1 – σ3 ) 2 ] = 2σfl 2

Para el estado plano σ3 = 0

[(σ1 - σ2 )2 + (σ2) 2 + (σ1) 2 ] = 2σfl 2

Desarrollando y simplificando

[(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl 2

Graficamente

(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) = 1

σfl 2 σfl 2 σfl 2

El caso de cuerpos sometidos a grandes presiones hidrostáticas que no serompen por no producirse principio de fluencia encuentra la justificación enesta teoría. En efecto si σ1 = σ2= σ3 la energía de distorsión es nula y toda la energía

absorbida es utilizada en cambiar de volumen.ud = ( 1 + μ ) [(σ1 -σ2) 2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2 ]

6 E

√2

√6 / 3

+1

-1

-1 +1

(σ2) /( σfl )

(σ1) /( σfl )

TEORÍA DE MOHR

Definición: Los límites de fluencia y de rotura de un material, quedan

definidos por las tensiones que se desarrollan en los planos de deslizamiento y

fractura.

Esto supone que las roturas no solo dependen de las tensiones tangenciales,

sino también de las normales.

Esta teoría, es tanto válida para los materiales dúctiles como para los frágiles.

Mohr planteo un valor de σ y otro de ζ en situación límite, en sus valores

máximos, justo antes de la fluencia o rotura. Si suponemos que σ se mantiene

constante , cualquier variación en ζ producirá el colapso.

Teoría de Mohr

La tensión tangencial en el plano de fractura alcanza para el estado

límite, un valor máximo, que es función de la correspondiente tensión

normal y de las características del material

Se supone un punto sujeto a un estado tensional cualquiera, y se hace crecer homotéticamente las tres tensiones principales σ1 ,σ2 y σ3 hasta alcanzar la rotura si se trata de un material frágil, o el comienzo de la fluencia si se trata de un material frágil.Alcanzada la rotura, se trata la circunferencia de radio O1 , que depende de las tensiones extremas σ1 ,σ3 y no de σ2.Se repite el proceso para distintos estados de tensión de rotura y se obtiene una familia de circunferencias.

La circunferencia de centro 02 corresponde a un estado de compresión pura.

La de centro 03 a una de tracción simple.

La de centro 0 es el estado de resbalamiento puro y la de centro 04 es un

estado doble de tracción.La curva envolvente de las circunferencias, se llama envolvente de Mohr ocurva de resistencia intrínseca del material, y es tangente a lascircunferencias, en los puntos M 1, M 2, M 3 ,M 4, M 5, ….

Para la circunferencia de centro 01 la rotura se produce según 2 planos, que

forman el mismo ángulo respecto de los planos principales, y en los cuales las

tensiones valen ( σ ; ζ) y ( σ ; -ζ )

Los puntos M y Mo son inalcanzables . El primero nos da el valor de ζ para corte puro y el otro es el de tracción triple

Una vez que tenemos la curva intrínseca de un material, se traza la circunferencia de Mohr, para cualquier estado tensional. Si dicha circunferencia es interior a la curva, no existe peligro de fractura o fluencia. Cuanto más alejada esta la circunferencia de la curva, mayor es el coeficiente de seguridad.Si la circunferencia es tangente a la curva, en dichos puntos se produce la rotura ( circunferencia I) rompe para valores de σ y ζ como se ve en el gráfico

Para realizar la curva intrínseca de Mohr, se realizan tres ensayos:

-Ensayo de tracción simple

-Ensayo de compresión Simple

-Ensayo de resbalamiento puro. ( se realiza un ensayo de torsión, sobre un tubo de pared delgada)

Con estos tres ensayos, se obtienen resultados como el de la figura.

Se observa que la curva corta al eje de las ζ en M que difiere muy poco de M’ que es la recta tangente a las circunferencias de tracción y compresión simples, por lo que se puede utilizar este procedimiento para trazar la curva envolvente.

EJEMPLOS DE TEORÍAS DE ROTURAa) Máxima Tensión Principal (σ1 = σfl)

Hallar R para un eje sometido a un Mt = 400 KN mSabiendo que σfl =200 MPa

Soluciónζ MÁX = (Mt . R) / Jp = 2 Mt / π R3

σ1 = - σ2 = ζ MÁX = 2 Mt / π R3

200 MPa = 2 Mt / π R3

R = 10.83 cmb) máxima tensión de corteCalcular el valor de σMÁX , utilizando la teoría de rotura, y sabiendo que σ1 > σ2 > 0

Del ensayo de tracción σfl = 16 Mpa;

Solución

σ2 σ1

ζ MÁX

σ3 σ2 σ1

ζ MÁX

σ1

σ2

σ3 = 0

ζMÁX ESP

• ζ MÁX a 45º de σ1 y σ 3 .

• ζ MÁX PLANO = ( σ1 - σ 2 ) / 2

• ζ MÁX ESPACIO= ( σ1 - σ 3 ) / 2 = σ1 / 2

• Para nuestro ejemplo

• ζ MÁX PLANO = R = ± √ (σx - σy / 2)2+ ζxy2

• ζ MÁX PLANO = R = ± √ (σx - 2 / 2)2+ 25

• ζ MÁX ESPACIO= σ1 / 2 = 16 / 2 = 8 MPa

• R = ± √ (σx - 2 / 2)2+ 25 = 8 Mpa → σx = 14.49 MPa ; σx = - 10.49 MPa ;

• Para nuestro caso , como supusimos tensiones de igual signo, adoptamos σx = 14.49 MPa

• Verificación de la teoría de Rotura: se calcula σ1;2

• σ1;2 = 14,49 + 2 ± √(12,49)2 + 25 = σ1;2 = 16.245

• 2 0.245

45º

σ3

σ1 VISTO DE ARRIBA

5 MPa

2 MPa

?2 5

ζ plano

• σ1 = 16.245

• σ1 = 0.245

• Dividimos por σfl = 16

• Y nos queda • σ1 / σfl = 1.01

• σ2 / σfl = 0.015

• Por lo tanto verifica. Si estos puntos cayeran fuera del gráfico, la pieza rompería según esta teoría de rotura.

• c) teoría de la máxima energía de distorsión• Un eje hueco, sometido a flexo torsión con los siguientes datos• Mf = 3, 5 KN m• Mt = 8 KN m• d = 60 mm• D = 80 mm• σfl = 250 MPa

• Verificar si rompe o no por Huber - von Misses• ζ A = Mt . R / Jp = 116.4 MPa

• σA = Mf y / Jx = 101.9 MPa

• σ1 = 76.2 MPa ; σ2 = - 178 MPa ;

• Luego [(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl 2

• Reemplazando• 76,22 + 1782 – [ (76,2) . ( -178) ] < 2502 verifica• 51100 < 62500

Aζ σ

-

+

Mf

σ2 σA σ1 ζ

• Otro ejemplo: σfl = 16 MPa; σx = 10 MPa; σy = - 2 MPa; ζxy = 8 Mpa

• Solución:

• σ1;2 = 10 - 2 ± √ 36 + 64 = σ1;2 = (14 ; - 6 ) MPa

• 2

• [(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl 2 • 196 + 36 +84 < 256• 316 < 256 no verifica

• Vemos en el gráfico

• 316/ 256 = 1.23 > 1 sale del gráfico

SOLICITACIÓN POR FLEXO TORSIÓN

Generalidades: Cuando al reducir al baricentro de la sección las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la sección, se producen dos pares opuestos, cuyos vectores momento tienen una dirección oblicua respecto de la mismaComo este tipo de solicitación aparece en ejes y árboles de transmisión, nos limitaremos al estudio de la sección circular maciza o hueca

El vector momento inclinado, se descompone en un vector contenido en el plano de la sección, que producirá en la misma un Momento flector, responsable de la aparición de tensiones normales σ y un vector normal a la sección que nos dará un Momento torsor, que generará tensiones tangenciales ζ.Este estado plano de tensiones, es el que se utiliza para dimensionar o verificar secciones.

SECCIÓN CIRCULAR MACIZA:

Para este tipo de secciones, se producen las siguientes solicitaciones:

Para el punto ubicado en la generatriz superior, las tensiones principales valdrán

σx = Mf y = 32 Mf Jg π d3

ζmáx = Mt R = 16 Mt Jp π d3

Lo que gráficamente se representa por

Para el punto ubicado en la generatriz superior, las tensiones principales valdrán

σ1,2 = σx /2 ± √ (σx / 2)2+ ζxz2

Entonces reemplazando por los valores correspondientes

σ1,2 = 16 Mf ± √ (16 Mf )2 + (16 Mt )2

π d3 π d3 π d3

σ1,2 = 16 [ Mf ± √ (Mf )2 + ( Mt )2] π d3

recordando que ζ máx = (σ1 - σ2) /2 =

ζ MAX = 16 [√ (Mf )2 + ( Mt )2] π d3

Para sección Circular Hueca: D= diámetro exterior, d = diámetro interiorn = d / D

σ1,2 = 16 [ Mf ± √ (Mf )2 + ( Mt )2] π D3 [ 1 – n 4]

ζ MAX = 16 √ (Mf )2 + ( Mt )2

π D3 [ 1 – n 4]

CASO DE LA FLEXO TORSIÓN CUANDO ADEMÁS EXISTE SOLICITACIÓN AXIL

Es el caso de los árboles de transmisión, donde las hélices generan un empuje axil.

O sea aparte de las tensiones originadas por el Mf y el Mt, aparece una tensión normal de valor

σ = N = 4 N

F π d2

σx = 32 Mf + 4 N

π d3 π d2

en consecuencia las fibras más solicitadas estarán sometidas a las tensiones

σ1,2 = 16 Mf + 2 N ± 1 32 Mf + 4 N 2 + 4 16 Mt 2

π d3 π d2 2 π d3 π d2 π d3

El eje de la figura está soportado por cojinetes lisos en A y B. Debido a la transmisión de potencia a y desde el eje, las bandas sobre las poleas están sometidas a las tensiones mostradas. Determine el diámetro más pequeño del eje usando la teoría del esfuerzo cortante máximo con ADM = 50 MPa. (Rta: 23.3 mm).Compare el diámetro obtenido, con el que obtendría utilizando la teoría de la máxima energía de distorisón

FLEXIÓN LATERAL O PANDEOSe aplica al estudio de columnas cargadas axialmente a la compresión, que

pueden fallar ya sea por compresión simple o por pandeo.

Cuando actúa P1, las dos barras, perfectamente alineadas soportan

compresión simple.

Al aplicar P2, mayor a P1 , el punto B, se desplazara lateralmente un

determinado valor.

Si suprimimos P2, la columna volverá elásticamente a su posición original.

Si volvemos a aplicar una fuerza P3 de valor mayor que P2, llegará esta a un

valor, para el cual la columna colapsa.

Al primer estado de cargas, por encima de P1 , y por debajo de P3 , se lo

llama equilibrio estable.

Al estado, que produce la salida del estado de equilibrio se lo llama equilibrio

inestable.

Carga crítica: la que ocurre cuando se pasa del equilibrio estable, al inestable. Pcr.

Planteo del Equilibrio

L / 2

L / 2

C

B

A

P P

C

B

A

Θ

MB

P

P < Pcr = equilibrio estable

Pcr = valor único de posición perturbada

P > Pcr = equilibrio instable

Columnas con extremos Articulados

Se coloca una carga P en el baricentro de la sección.

La columna es perfectamente recta, y el material responde a la ley de Hooke

El plano de flexión es el “xy”

Para valores pequeños de P, la columna permanece recta y soporta tensiones de compresión de valor σ = P / A

Cuando P = Pcr, la columna sufre pequeñas deformaciones laterales sin variar el

valor de P, por lo que la columna queda estática en la posición deformada y no

vuelve a su estado inicial.

Si P > Pcr se produce la falla por pandeo.

y

z

x

P

L

A

v

P

M

x

Ecuación Diferencial:

Se parte de la ecuación de la deflexión en Mº flector

E I v’’ = M para v’’ = d² v / d² x EI = Rigidez

A una distancia “x” del punto A, actúan la fuerza P y el momento M y se

plantea el equilibrio de momentos respecto de A.

M + P v = 0 → M = - P v

E I v’’ = - P v → E I v’’ + P v = 0

Ec. diferencial de 2º grado, homogénea, lineal y de coeficientes constantes que

nos darán el valor de Pcr y la forma de la columna pandeada

Solución de la Ec. Diferencial

Si k² = P / EI ; k = √ P / EI

k se toma siempre como una cantidad positiva y sus unidades son de longitud.

v’’ + k² v = 0 cuya solución es

v = C1 sen kx + C2 cos kx ( v es el desplazamiento lateral)

C1 ;C2 constantes de integración que se evalúan por las condiciones de borde

Para x = 0 (empotramiento) → v (0) = 0Para x = L → v (L) = 0O sea que la deflexión lateral en los extremos es nulaDe la primera condición obtenemos C2 = 0 pues es la única opción ya que

cos 0 = 1Entonces v = C1 sen kx (ec 1)

De la segunda condición obtenemos

C1 = 0 (caso 1)

C1 sen kl = 0

sen kl = 0 (caso 2)

Caso 1: si C1 = 0 implica que v = 0 o sea, no hay deflexión lateral y la columna

permanece recta.

Además si C1 = 0 la cantidad kl puede tomar cualquier valor porque “P “ podría

tomar cualquier valor sin que haya deflexión. O sea sería la solución trivial, no

importa, la carga, la columna no se pandea

Caso 2: Nos da la ecuación de pandeo

sen kl = 0 que se satisface para valores de kl = 0, π, 2π, 3π, 4π, …………..

De todos estos valores no nos interesa kl = 0 pues implicaría P = 0

Por lo tanto se analizan los demás valores

kl = π, 2π, 3π, 4π, …………..

kl = n π para n = 1, 2, 3, 4 ………..

k = n π / l

Como k2 = P / EI

P = k2 E I = n2 π2 E I / L2 para n = 1, 2, 3, …….. (ec 2)

y de la (ec 1)

v = C1 sen kx = C1 sen ( n π / l) x n = 1, 2, 3,

Cuando P toma valores de la ecuación (ec 2), que son los valores de P que

satisfacen la ecuación de pandeo, la columna puede tener una forma flexionada.

Para todos los demás valores de P, la columna solo esta en equilibrio si

permanece recta.

Como la menor carga crítica que va aparecer, es aquella para la cual n = 1, tenemos

P cr = π2 E I

L2

Y la correspondiente forma deformada es v = C1 sen (π x / L)

Donde

C1 = representa la deflexión en el punto medio de la comuna y puede ser positivo o negativo

Este caso, es el del Pandeo Fundamental, desarrollado por Euler.

Si n = 2, tendríamos P cr = 4 π2 E I

L2

Pero no reviste interés práctico, salvo restricciones laterales

C1

Si la columna esta soportada en sus extremos por vínculos indiferentes, el plano

de pandeo se produce respecto del eje baricéntrico de menor inercia.

Esfuerzo crítico

De: P cr = π2 E I entonces σ cr = π2 E I = π2 E

L2 L2 A (L/r)2

Para λ RELACIÓN DE ESBELTEZ = (L/r)2

que vincula la geometría de la columna con los momentos de inercia

CURVA DE EULER

El valor límite de esta curva es σpro pues admitimos la validez de la ley de Hooke

L /r

σcr

σpro

λ

Columnas con otra clase de soportes

a) Empotrado en la base y el extremo libre

L

P

B

A

v

δ

x

El Mf a una distancia x de la base, vale

M = P ( δ – v)

La ecuación diferencial será

E I v’’ = M = P ( δ – v)

y como k2 = P / EI

v’’ = k2 ( δ – v)

v’’ + k2 v = k2 δ

Ec. Diferencial de 2º grado con coeficientes constantes respecto de la columna .

La diferencia con la ec. diferencial anterior, es que el lado derecho, no es nulo

Se resuelve mediante

a) una solución homogénea que consiste en reemplazar el lado derecho por 0

b) una solución particular que es la solución de toda la ecuación que produce el término de la derecha

a) vH = C1 sen kx + C2 cos kx

b) vP = δ

La solución total, es la suma de las dos solucionesv = C1 sen kx + C2 cos kx + δ

Que tiene 3 incógnitas, C1 ;C2 ; δ

Por lo que planteamos 3 condiciones de frontera

En la base, la deflexión y la pendiente son 0 por ello

v = 0 y v’= 0

Que para nuestra ecuación

C2 = - δ

Derivando v

v’ = C1 k cos kx - C2 k sen kx → C1 = 0

Reemplazando C1 y C2 ;

v = δ ( 1 – cos kx)

Expresión de la forma de columna que no nos define la amplitud, por lo que esta

expresión puede tomar cualquier valor, mientras sea pequeño.

La 3º condición de frontera se halla del extremo superior donde la deflexión v vale

v (L) = δ

Que aplicada arriba, nos da

δ cos kL = 0

Como δ no puede ser 0 ( no habría deflexión)

cos kL = 0 que se satisface para kL = nπ /2 con n = 1, 3, 5, 7

Entonces

P cr = n2 π2 E I con n = 1, 3, 5, 7

4 L2

La menor carga crítica, será para n = 1

P cr = π2 E I que tendrá una forma pandeada de acuerdo con v = δ [ 1 – cos (π 4 L2 x/2L)]

LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNA

Se denomina así al valor de Le = k L dependiente de las condiciones de apoyo

a) ARTICULADA ARTICULADA

P cr = π2 E I Le = L k = 1

L2

b) EMPOTRADA LIBRE

P cr = π2 E I Le = 2L k = 2

4 L2

c) EMPOTRADA EMPOTRADA

P cr = 4 π2 E I Le = 0,5 L k = 0,5

L2

d) EMPOTRADA ARTICULADA

P cr = π2 E I Le = 0.7L k = 0,7

0,72 L2

pandeo video.flv

COMPORTAMIENTO ELÁSTICO E INELÁSTICO DE LAS COLUMNAS

¿ Que pasa cuando σ > σpr y no se cumple la ley de Hooke?

Columnas cortas

Columnas Intermedias Columnas largas

λ LÍM

σROT

σPR

A B LÍMITE DE RESISTENCIA

LÍMITE DE ESTABILIDAD ELÁSTICA

0 λ

σ

C

D

E

ECD CURVA DE EULER VÁLIDA SOLO EN EL TRAMO CD

Para hallar el valor límite de λ a partir del cual es válida la ec. de Euler, se iguala el esfuerzo crítico con el σpr.

Pcrít / A = σpr = π2 E A

(kL)2 A

σpr = √ ( π2 E / σpr ) = λlím

σrot = vlor último para el cual las columnas rompen por compresión, ese valor viene dado por la recta AB

En el sector de columnas intermedias, la falla se produce por pandeo inelástico,

con tensiones por encima de σpr

Del diagrama de tensión - deformación para el acero, vemos que cuando las

tensiones superan el valor de σpr implica que la pendiente de la curva ( σ;ε) Et es

menor que el valor de E, por lo tanto, la carga crítica para pandeo inelástico es

menor que la de Euler.

Pandeo Inelástico: Si una columna es de longitud intermedia, la misma alcanzará el σpr . antes que el pandeo. Se resuelve por formulas empíricas.

Teoría el Módulo Tangente:

Se considera una columna ideal, biarticulada, sometida a una cara P y con un λ < λLÍM .

Por lo tanto, σ llega al valor σ pr antes que se produzca el pandeo

σA = P / A

Si aumento P, aumenta σ.

La relación entre el incremento del esfuerzo y el incremento de la deformación es unitaria y vale ε. Esta dada por

la pendiente en A del diagrama (σ – ε) que es tangente en A y se denomina

Módulo Tangente εt = d σ / d ε.

εt = Por debajo de A es igual a E, por encima εt disminuye de valor al aumentar el esfuerzo

PENDIENTE EtA

PENDIENTE E

B

σPR

σA

Al alcanzar una columna el valor de la carga crítica inelástica, la columna

puede experimentar una pequeña

deflexión lateral. Los esfuerzos que aparecen de flexión se superponen a los

de compresión

La relación entre los esfuerzos de flexión y las deformaciones unitarias

resultantes vienen dadas por εt .

Y por analogía con el pandeo elástico obtenemos

Pt = π2 Et J

L2

El esfuerzo, será

σt = π2 Et

λ2

Que es el esfuerzo crítico para la teoría del módulo tangente.

Como Et varía de valor según sea el cociente P / A, se lo halla en forma

iterativa, comenzando con un valor de P1 = σpr A .

Con P1 calculamos σ1 = P1 / A y determinamos Et del diagrama.

FATIGA

Se produce solicitación por fatiga, debido a la acción dinámica de las fuerzas,

variables en el tiempo

Como ejemplo, el eje de un vehículo que transmite el peso a 2 ruedas

Para t = 0 , la solicitación del punto A es σMÁX= Mf y / Jx , con y = d/2

luego decrece hasta 0, pasa por σMÍN , y reinicia el ciclo

ω = velocidad angular de giro del eje

La forma de onda es senoidal, con una amplitud igual a σMÁX y responde a la ecuación:

σA’ = M [ (d/2) sen ( 90 – ωt)]

Jz

La rotura por fatiga, aún en materiales dúctiles, es una rotura frágil.

Violenta, sin indicios previos y se debe al desplazamiento de planos y la

progresión de fisuras .

Estas fisuras se deben a la concentración de tensiones, impurezas del material,

irregularidades superficiales, etc.

TIPOS DE TENSIONES:

I)PULSATORIAS → III) PULSATORIA INTERMITENTE

SOLICITACIONES

II) OSCILANTES → IV) OSCILANTE ALTERNADA

I ) PULSATORIAS = producen tensiones variablesde un solo signo

III) PULSATORIAS INTERMITENTES: uno de los valores extremos es nulo

II ) OSCILANTES = tensiones variables de signos contrarios

IV ) OSCILANTES ALTERNADA = las tensiones extremas son opuestas

Definiciones:

σMÁX = Máxima tensión superior con independencia del signo y en valores absolutos

σMÍN = Máxima tensión inferior con independencia del signo y en valores absolutos

σm = Tensión media = ½ (σMÁX + σMÍN )

σa = Tensión variable = ½ (σMÁX - σMÍN )

Si sumamos m.a m. σm + σa obtenemos

σMÁX = σm + σa y σMÏN = σm - σa

σa = Amplitud de la tensión dinámica , llamada también tensión variable

Para la carga tipo II,σmín = 0 ; σm = σmáx ; σa = σmáx

2 2

Para la carga tipo IV,σmáx = - σmín ; σm = 0 ; σa = σmáx = - σmín

La solicitación por fatiga, depende solo de la amplitud de la tensión dinámica yde la tensión media, y no de la ley de variación y muy poco de la frecuencia

Cualquier tipo de ciclo de tensión, se puede suponer, como una σm

superpuesta a una σa

Resistencia a la fatiga: Curva de Wöhler

Se define como resistencia a la fatiga, a la máxima amplitud de la tensión dinámica

(variable) σa que superpuesta en ambos sentidos a la tensión media σm ( estática)

puede actuar un número ilimitado de veces, sin provocar la rotura de la probeta, ni

una deformación plástica superior a la admisible.

Para el caso IV, oscilante alternada, la resistencia a la fatiga la denominaremos

σF = resistencia de oscilación

Para el caso II, pulsatoria intermitente, la resistencia a la fatiga la denominaremos

σU = resistencia de pulsación.

Estos valores se determinan por ensayo a la fatiga, de una probeta normalizada

Se conocen de entrada los valores de σa y σm y se le aplica una carga tipo 2 o 4, a

un material dado

Se ensaya la probeta y se obtiene N = numero de ciclos para el cual se produce la

rotura por fatiga .

Se repite el ensayo para distintos valores de σa y σm y se grafican en una escala

logarítmica

Para N = 0 el valor de la resistencia a la fatiga, coincide con el valor de la resistencia estáticaSegún norma DIN 50.100, para aceros se fija N con un valor de 107 ciclos, como valor límite.

En abscisas se grafica la cantidad de ciclos N en una escala logarítmica y en

ordenada los valores de σMÁX para cada caso. La curva asimptótica es la que

determina el valor de la tensión de fatiga

DIAGRAMA DE SMITH

Es el más usado, y resume en un solo gráfico los valores de resistencia de fatigaobtenidas por la curva de Wöhler.

Construcción:Sobre un par de ejes coordenados ortogonales, ubicamos en ordenadas los valoresde las tensiones superior σMÁX. e inferior σ MÍN. correspondientes a las respectivastensiones medias .

En abscisas, los valores de la tensión media σ m

Los valores en ordenadas, respecto de una recta a 45 º, que pasa por el origen, nosindican el valor de σ m. ( al igual que en abscisas).Dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud σa.

O sea que el valor entre las curvas límites y la recta a 45º es el valor de σa paralas distintas resistencias a la fatiga.

Representación Gráfica del Diagrama de Smith

Para un acero común de construcción St 37, con 3700 kg/cm2 de límite derotura estática, 2600 kg/cm2 de límite de fluencia y de una resistencia a la fatiga del tipo IV del orden de los 1200 kg/cm2 Solo se representa el 1º cuadrante , pues es simétrico en el 3º

CARGA OSCILANTE ALTERNADA A A1 CON σm = 0 y σF = σMÁX = σMÍN

CARGA PULSATORIA INTERMITENTE B B1 CON σU = σMÁX y

σMín = 0 ; σm = σMÁX / 2

CARGA OSCILANTE OB1 ZONA MÁS DESFAVORABLE POR EL CAMBIO DE SIGNO

CARGA PULSATORIA

B1 M1

Para un punto como el Do, tenemosD D’ = σMÁX D’ D1 = σMÍN Do D’ = OD’ = σm

DDo = σMÁX – σm = σa ; D’ Do - D1D’ = Do D1 = σm - σMÍN = σa

Esto demuestra que las curvas límites, superior e inferior, resultan simétrica

respecto de la recta a 45º.

En la práctica, la experiencia indica que no es conveniente que el valor de σMÁX

supere el valor de σfl por lo que en el diagrama, se recorta el mismo de la

siguiente manera,

Se traza la horizontal correspondiente a σfl y corta a

la curva superior en M y a la recta de 45º en N.

Se traza una vertical por M hasta la curva inferior

y se determina M’ que unida con N nos completa el

diagrama, siendo la zona útil la parte rayada

Como las curvas son de poca pendiente, y para trazarlas hay que hacer un montón

de ensayos de σm y σa se opta por realizar un diagrama simplificado, reemplazando

las curvas por rectas.

Se parte del concepto de que la tensión variable para carga pulsatoria intermitente es σU

a = 0,8 σF de la resistencia a las oscilaciones

Entonces conociendo σfl y σF que son el límite de fluencia y la resistencia de fatiga

para el caso 4 Carga oscilante alternada, se puede trazar el diagrama.

Se traza la recta a 45º, y en ordenadas se gráfica σF en tracción y compresión y el

límite de fluencia.

Luego trazamos OB1 = σm = 0,8 σF

Por B1 levantamos una perpendicular sobre la que llevamos el segmento

BB1 = 2 OB1 = 1,6 σF

Así hallamos B y la recta AB nos define C.

Su simétrico C1 respecto de la recta de 45º unido con D y con A1 nos completa el

diagrama.

DIMENSIONAMIENTO EN FATIGA

Se parte del criterio de Soderberg cuya expresión es:

σ MÁX = σF + ( 1 – q ) σm

ν

Expresión que relaciona la tensión superior con la resistencia a la fatiga para

cargas oscilantes alternadas y la constante “q” del material

Para

q = σF / σfl relación conocida para cualquier tipo de material

ν = coeficiente de seguridad

Dividiendo la expresión inicial por σadm y recordando que ν σadm = σfl

Entonces

σ MÁX = q + ( 1 – q ) σm CRITERIO DE SODERBERG PARA

σadm σadm DIMENSIONAMIENTO EN FATIGA

Aplicación en solicitación axil

Una pieza solicitada axialmente con una carga P variable entre P máx y P mín

Pm = ½ ( Pmáx + P mín)

Para F el área de la sección

σMÁX = Pmáx / F

σMÍN = PmÍn / F

Reemplazando en la formula de dimensionamiento

P MÁX = q + ( 1 – q ) σm

σadm F σadm

Despejando el área

F = P MÁX [ 1 - Pm ( 1 - 1 )]

σadm q PMÁX q

Analizamos 5 casos para acero St 37

q = σF = 1200 = 0,5

σfl 2400

F = P MÁX [ 2 - Pm ]

σadm Pmáx

PARA CARGA OSCILANTE ALTERNADA

Pmáx = - P mín

Pm = 0

Luego reemplazando en la ecuación básica

F1 = 2 Pmáx / σ adm

Por otra parte, para rotura estática

Pmáx = Pm = Pmín

F2 = Pmáx / σ adm

O sea que para carga oscilante alternada, debemos duplicar el área

Si la carga fuera pulsatoria intermitente

P mín = 0

Pm = Pmáx / 2

F3 = 1,5 Pmáx / σ adm

Para una carga oscilante de Pmáx = - 2 Pmín

Resulta Pm = 0.25 Pmáx

y F4 = 1.75 Pmáx / σ adm

Para una carga pulsatoria P máx = 2 P mín

Tenemos Pm = 0.75 Pmáx

F5 = 1.25 Pmáx / σ adm

O sea que la carga oscilante alternada es la más crítica

FATIGA POR FLEXIÓN

Suponemos una pieza de momento de inercia constante, solicitada por un par

flector variable entre Mmáx y Mmín.

El momento promedio, será M m =(Mmáx + Mmín) /2

Como w = módulo de la sección

σmáx = Mmáx / w

σmín = Mmín / w

σm = Mm / w

Introduciendo en la ecuación de Söderberg

Llegamos a la ecuación básica para flexión

W = Mmáx [ 1 - Mm ( 1 - 1)]

σadm q Mmáx q

Aplicando a un eje de sección circular, con q = 0.63

Tenemos entonces que

W = Mmáx [ 1,6 - 0.6 Mm ]

σadm Mmáx

Para carga oscilante alternada

Mmáx = - Mmín

Mm = 0

W = 1.6 Mmáx

σadm

O sea d1 = 2.52 ( Mmáx / σadm )1/3

Carga pulsatoria intermitenteMmín = 0Mm = 0,5 Mmáx

W = 1.3 Mmáx

σadm

O sea d2 = 2.46 ( Mmáx / σadm )1/3

Carga estáticaMmáx = - Mmín = Mm

W = Mmáx

σadm

O sea d3 = 2.16 ( Mmáx / σadm )1/3

Relacionando las tres áreas

F3 : F2 : F1 = 1 : 1,3 : 1,39

De modo que entre la solicitación más desfavorable y la solicitación estática,tenemos un incremento de la sección del 39%

CONCENTRACIÓN DE TENSIONES

GENERALIDADES

Se producen fundamentalmente por 3 efectos

a) Discontinuidades de la sección

b) Orificio

c) Entalladura

Estos efectos producen picos de tensión en las proximidades del lugar, originando

lo que se conoce como concentración de tensiones, donde se verifican grandes

deformaciones localizadas en zonas pequeñas de la sección en estudio.

Factor de concentración de tensiones: Se denomina así a la relación entre la

tensión máxima en una pieza que presenta una discontinuidad, en relación a la

misma pieza cuando la discontinuidad no existe.

Existen 2 posibilidades:

a) Factor teórico kt : Se obtiene de conceptos teóricos derivados de la teoría matemática de la elasticidad

b) Factor efectivo Ke: se obtiene a partir de la geometría de la discontinuidad, las características mecánicas del material y se lo determina experimentalmente.

CONCENTRACIÓN DE TENSIONES ORIGINADAS POR UN AGUJERO

CIRCULAR SOMETIDO A SOLICITACIÓN AXIL

Se parte de una chapa de espesor unitario, sujeta a un estado plano, definida por

σy = p; σz = 0 ; ζ zy = 0

El agujero es de radio R

Para un punto M de coordenadas θ ; r las tensiones valen:

En concordancia con el eje z:

σt = σy = 3 p; σr = 0 ; Para el punto A

σz máx = (3/8) p

z

y

RBA

M

σR

σT r

θ

σy

σz

Para un eje circular sujeto a torsión, atravesado por un agujero diametral, cuyo

radio es 4 veces menor que la cuarta parte del desarrollo del perímetro del eje.

En la solicitación por torsión, las tensiones tangenciales máximas ocurren en el

borde de la sección y originan tensiones principales iguales en valor absoluto entre

si y a la tensión tangencial pero de signo contrario e inclinadas 45º.

El valor de las tensiones en las proximidades del agujero son de valor cuatro veces

mayor que las previsibles.

El efecto del agujero, desaparece recién a una distancia igual o superior a 5 R.

Para una placa de ancho b = 5d solicitada por una fuerza axil N, que origina

tensiones

σ = N / F

Se verifica que el valor máximo de σy MÁX = 3 p

d

b = 5 d

Si la relación b/d < 5 se producen errores entre el factor teórico y el experimental.

El valor de K se determina en forma experimental y como ejemplo vemos un caso de b = 3.3 d cuya representación

vemos en la gráfica.

Efectos de entalladura y cambio de Sección

Se denomina efecto de entalladura, al incremento de tensión originado por la

existencia de una muesca, que puede

ser uni o bilateral.

Esta entalladura origina concentración de tensiones, que si es unilateral nos da un

pico de tensión y si es bilateral nos da dos.

Se determina el factor K a partir de ensayos experimentales de fotoelasticimetría.

El valor de K depende de la forma de la entalladura y de la relación ancho /

profundidad, respecto del ancho de la pieza.

DISTINTOS TIPOS DE ENTALLADURAS

También la forma de la solicitación, también influye en el valor del valor de K para una determinada geometría de la entalladura.

Caso a) axil, tiene un factor Kt diferente de los casos b) flexión pura y c) flexión compuesta

También es recomendable que la variación brusca de sección se realice en forma suave y no en ángulos rectos.

Para entalladuras simétricas semicirculares, los valores de K para piezas sometidas

a flexión se detallan en la tabla siguiente, al igual que su distribución de tensiones

que no es lineal.

DIAGRAMA DE NEUBER

Se utiliza para el estudio de concentración de tensiones en elementos

tridimensionales.

Nos da a partir de unos gráficos, el valor de Kt.

Los cuatro primeros casos, son las entalladuras, y los cuatro últimos, para

secciones huecas de revolución

Como ejemplo suponemos una entalladura simétrica en una pieza sujeta a flexión pura, y suponemos

√ ( t / ρ) = 2.45√ ( a / ρ) = 6.16

Con estos datos entramos en la tabla 18.31 con 2,45 en la escala b (Punto A)

Luego por la abscisa 6,16, hallamos el punto B en la curva 2

Trazamos por B una horizontal, hasta hallar C y unimos con A

La recta AC es tangente a un arco de circunferencia de centro 0 (punteado) que nos

da el valor de Kt = 4.28

Otro caso:Caso 5 , un eje de revolución, sometido a a flexión.Datos:√ ( t / ρ) = 3

√ ( a / ρ) = 1.8

√ ( r / ρ) = 2.50

De acuerdo a la tabla 18.30 usamos la escala b y hallamos A1 .Subimos por el valor de abscisa 1,8 una recta, hasta cortar la curva 5 y hallamos

B1

Luego hallamos C1 y obtenemos Kt = 3.60

Para los casos 5 a 8, hay que ajustar el valor de Kt con el gráfico 18.32Entramos en la abscisa con 3.6 (Punto A) y del toro lado con 2.5, hasta cortar la

curva 2Repitiendo el procedimiento, hallamos que el verdadero valor de Kt = 2.08

THE END