UNIDAD 6: TEORA GENERAL DEL INTERS.6.1. Teora General del Inters: El fenmeno de la capitalizacin. La tasa instantnea de inters. Frmula general de la capitalizacin. 6.2. Factor logartmico de capitalizacin: Hiptesis sobre la ley de variacin. Condicin General. Distintas hiptesis: a) Proporcional al tiempo; b) Proporcional al cuadrado del tiempo; c) De tipo logartmica. 6.3. La tasa instantnea en el inters simple y en el inters compuesto. 6.4. Aplicaciones en operaciones simples y complejas

OPERACIONES FINANCIERASO.F.: clculo variacin del C en el tiempo se realiza al final del plazo.El fenmeno pertenece al campo continuo.La variacin es siempre exponencial.Ecuaciones de valor que vinculan al capital con sus variaciones en el tiempo buscando una Frmula General del Monto en el campo continuo.

FUNCIONESy= 5x+8; y = f(x) x= variable independiente y = variable dependienteInters: y= 1000*0.02*tINCREMENTO DE LAS VARIABLES: Diferencia entre un valor inicial y otro valor de una variable.

Incremento de las variables:y= 1000*0.02*tt=0 y= f(t)= 0t=1 y+ y = f(t+1)= 20t=1 y= f(t)= 20y= f(t)=f(t+t)- f(t)Relacin entre incrementos:y/ t= f(t)/ t= Cociente incrementalPor cada unidad de t incrementada la funcinn crece 20 unidades

DERIVADA DE UNA FUNCION:Lmite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente t(= t) tiende a cero. y=f(x)=2x2 +3xy+ y=f(x+ x)=2(x+ x)2+3(x+ x)= 2(x2+2x x+ x2)+3x+3xy= f(x)= 2x2+4x x+2 x2+3x+3x- 2x2 -3x= 4x x+2 x2+ 3xy/ x= 4x x+2 x2+ 3x/ x= 4x +2 x+ 3La derivada ser el lmite anterior cuando el incremento de la variable independiente (x) tiende a cero.f(x)=lim 4x +2 x+ 3 = 4x+ 3 x tiende a 0

TEORIA GENERAL DEL INTERES:Las O.F. son discontinuas pero el devengamiento de los intereses continuos.

El capital es una funcin dependiente de la variable independiente tiempo.

Suponiendo que la funcin es continua se trata de hallar una expresin genrica para todos los regmenes de capitalizacin que permita formular hiptesis de crecimiento.

ANALISIS DE LA FUNCION MONTO Y DE LA TASA DE CRECIMIENTO DE LA MISMA El Monto es la suma de un Capital Inicial ms los Intereses que se generan en un determinado plazo. Dado un Capital y una Tasa de inters el monto es una funcin del tiempo (vara el tiempo y vara el monto).TASA DE INTERS: es el inters producido en una unidad de tiempo por una unidad de capital. TASA INSTANTNEA DE INTERS: es el inters producido en una unidad de tiempo por una unidad de capital, en funcin del inters producido en un instante, suponiendo que el inters para cada instante permanece constante en todo el perodo. Un instante equivale a decir que el incremento de la variable tiempo es tan pequeo que tiende a 0 y que la tasa de inters no es otra cosa que la relacin de crecimiento de la variable dependiente (Monto) respecto de la variable independiente (tiempo), todo lo cual nos lleva al concepto de derivada de la funcin monto.

DERIVADA DE LA FUNCION MONTO Para un tiempo genrico t el monto ser : f(t) (capital inicial del perodo)

Para un tiempo incrementado t+t, el monto ser : f(t+t) (monto al final del perodo)La diferencia entre ambos valores ser el inters producido en el intervalo t , o sea el incremento de la funcin monto : f(t)Incremento de la Funcin: f(t) = f(t+t) - f(t) Inters producido por el capital f(t), en el intervalo de amplitud t .

2) Cociente Incremental: Inters producido por el capital f(t) en una unidad de tiempo3) Si dividimos por el capital f(t) nos queda: Que es equivalente al Inters en una unidad de tiempo por una unidad de capital, o sea la tasa de inters.

TASA INSTANTANEA requiere llevar al lmite la expresin anterior, para el incremento t igual a un instante, es decir tendiendo a cero.

Llamando (t) a la tasa instantnea, y utilizando los smbolos indicados para expresar la derivada de una funcin, queda:

TASA INSTANTANEA:la derivada de la funcin dividida por la funcin, se puede expresar en forma equivalente como la derivada del logaritmo natural de la funcin.

EJEMPLOS:Monto a Inters Simple f(t) = f(0) (1+ it)Valor Nominal en el Descuento comercial f(t) = f(0)/(1- i t)Monto a Inters compuesto f(t) = f(0) (1+ i)^t

Tasa Instantnea en el Inters Simple:

La derivada de la funcin , donde f(0) es una constante y (1+ it) es una funcin suma. La derivada de una constante por una funcin es igual a la constante por la derivada de la funcin. La derivada de la funcin suma es igual a la suma de las derivadas de los sumandos.El primer sumando es la constante 1 y la derivada de una constante es igual a 0. El segundo sumando es el producto de la constante i por la variable t, e igual a i por la derivada de t. La derivada de una variable en este caso t , es igual a 1, resulta que la derivada de (1+it) = (0 + i.1) = i

Tasa Instantnea en el Inters Simple:La tasa instantnea hallada indica que con el mtodo del inters simple, el monto crece a tasa decreciente en relacin con el tiempo.

Tasa Instantnea en el Descuento Comercial:

Tasa Instantnea en el Inters Compuesto La derivada de - donde f(0) es una constante y (1+i)t es la funcin exponencial - es igual a f(0)(1+i)t por el logaritmo natural de (1+i)

Tasa Instantnea en el Inters Compuesto(t) no est en funcin del tiempo, lo cual indica que el monto, cuando se aplica el mtodo de inters compuesto, crece a una tasa constante en relacin con el tiempo.

FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO

FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO

Factor logartmico de capitalizacin: Hiptesis sobre la ley de variacin. Condicin General.Estableciendo leyes de variaciones para el factor logartmico de capitalizacin se pueden lograr expresiones particulares que correspondan a cada rgimen de capitalizacin o forma de crecimiento.Se excluyen las hiptesis que NO anulen en valor del factor para t=0.El capital inicial debe ser igual a si mismo.

APLICACIONES DE LA CAPITALIZACION CONTINUA EN OPERACIONES SIMPLESIgual resultado se obtiene hallando previamente la tasa efectiva=0,08244372 anual, con la frmula del Monto a Inters Compuesto.

b) En el campo discreto M=C(1+in)M=5000(1+0,08*90/365)=5.098,63

2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTOa) En el campo continuo

2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTOa) En el campo discreto

OPERACIONES FINANCIERAS COMPLEJAS EN EL CAMPO CONTINUO

1.- Valor Final de rentas vencidas en general

2.- Valor Final de rentas constantes vencidas a inters compuesto

3.- Valor Final de Rentas Variables en Progresin Aritmtica

4.- Valor Final de Rentas Variables en Progresin Geomtrica