Teoria geometrica della propagazione...Dipartimento di Elettronica Informatica e Sistemistica Marina Barbiroli – Propagazione M Teoria geometrica (o dei raggi) • Descrive la propagazione

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica

Marina Barbiroli – Propagazione M

Teoria geometrica della propagazione

Valeria Petrini - Propagazione M



Introduzione

• Le onde elettromagnetiche, una volta irradiate dall’antenna trasmittentepossono raggiungere l’antenna ricevente in quattro modi:1. Onda diretta2. Onda terrestre (superficiale)3. Onda spaziale4. Onda di cielo



Introduzione

• L’atmosfera terrestre è una miscela di diversi gas atmosferici che puòessere descritta come mezzo dielettrico non omogeneo ad indice dirifrazione variabile.

• Lo studio della propagazione in mezzi ad indice di rifrazione variabile(n(h)) è molto complesso se condotto in modo esatto a partire dalleequazioni di Maxwell.

• Risulta allora opportuno lo sviluppo di tecniche alternative, tra le qualil’ottica geometrica è una delle più potenti.



Teoria ondulatoria e Teoria geometrica

• Evoluzione pensiero scientifico:1. Teoria geometrica2. Teoria ondulatoria3. Teoria vettoriale

• TEORIA GEOMETRICA– Approccio che dà alla radiazione elettromagnetica le stesse proprietà dei

corpuscoli. La natura della luce ci permette quindi di analizzare alcunifenomeni tramite i raggi luminosi (segmenti di retta aventi la direzionedel fronte d’onda).

• TEORIA ONDULATORIA– Il campo elettromagnetico è descritto dalla cosiddetta funzione d’onda

che soddisfa l’equazione delle onde:

!

u r,t( )

!

"2u(r ,t) #

1

v2

$2u(r ,t)

$t2

= 0



Teoria geometrica (o dei raggi)

• Descrive la propagazione del campo in mezzi non omogenei senzaperdite a condizione che gli scostamenti dall’uniformità siano piccoli sulunghezze paragonabili alla lunghezza d’onda.

• Esamina, quindi, la propagazione nell’ipotesi di λ→0 (frequenzeottiche) trascurando quindi tutti i fenomeni connessi con la diffrazioneindividuando semplicemente dei raggi di propagazione dell’energia.

E’ utile anche alle frequenze radio se si vuole individuare il percorsodella normale del fronte d’onda in un mezzo indefinitamente esteso.

• Essendo una teoria scalare, non descrive quei fenomeni cherichiedono la conoscenza di tutte le componenti del campo come adesempio la polarizzazione.



Definizioni• Onda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una regione

limitata dello spazio, si dice che si ha un’onda quando tale perturbazionesi propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e modalità chedipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza perturbata.

• Superficie d’onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali lagrandezza perturbata varia “concordemente” nel tempo (punti in cui oscillain fase).

• Raggio: data un’onda che si propaga in un dato mezzo si definisce raggioogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d’ondapassante per quel punto.



Equazioni di Maxwell

• Consideriamo:– Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo– Mezzo omogeneo– Presenza di sorgenti di tipo elettrico

!

" # E = $ j%µH

" # H = j%& E + Ji

' ( )

* )

!

"# D = $

"# B = 0

% & '

( '

!

"# Ji = $ j%&

Equazioni di Maxwell Equazionidella

Divergenza

Legge diconservazione

della carica




• Per la risoluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di correntielettriche impresse facciamo riferimento alla determinazione deicosiddetti potenziali.

• Definisco : potenziale vettore magnetico

• L’equazione da risolvere per determinare è un’equazione diHelmholtz non omogenea

!

A

!

A

!

"2A +# 2µ$A = %µJ

i



Equazioni di Maxwell• Ricaviamo, quindi, le espressioni dei campi generati dalle correnti

elettriche impresse:

• La procedura per risolvere queste equazioni richiede l’uso delle funzioni diGreen.

• Consideriamo una regione illimitata.

!

H =1

µ" # A

E =" #" # A

j$µ%&

Ji

j$%

Q: punto potenzianteP: punto potenziato




• Considerando che la soluzione è unica se i campi soddisfano lecondizioni di radiazione di Sommerfeld:

• La soluzione risulta:

!

limr"r' #$

r " r' E r( ) = 0

limr"r' #$

r " r'H r( ) = 0

!

A r( ) =µ

4"Ji

V# r'( )

e$% r$r'

r $ r'dr'




• Consideriamo:– Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo– Mezzo omogeneo– Assenza di sorgenti

!

" # E = $ j%µH

" # H = j%& E

' ( )

* ) Equazioni di Maxwell

!

"# D = 0

"# B = 0

$ % &

' &

Equazionidella

Divergenza

!

"2E +# 2µ$E = 0

!

"2E #$ 2E = 0

"2H #$ 2H = 0

Equazioni diHelmholtzOmogeneecon

!

" 2 = #$ 2µ%



Equazioni di Maxwell• Facendo l’ipotesi di separazione delle variabili le soluzioni risultano:

vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione

• Dal punto di vista fisico, le onde piane uniformi rappresentano una soluzionesufficientemente approssimata se si è in presenza di una regione di spazioomogenea di dimensioni lineari molto maggiori della lunghezza d’onda.

!

E = E 0e"S#r

H = H 0e"S#r

Onda Piana

!

S = a + jk = " ˆ a + jk ˆ k = "ˆ a + j#0ˆ s con

!

S :

!

a :

!

k :

!

r :

!

E = E 0e" j#

0r$ ˆ s

H = H 0e" j#

0r$ ˆ s

!

a = 0per

Onda PianaUniforme

!

"0

= # µ0$0

!

Superfici equifase : piani "k # raggi rettilinei e paralleli



Equazioni di Maxwell• Consideriamo:

– Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo– Mezzo non omogeneo con–– Assenza di sorgenti

• Analogamente al classico passaggio dalle equazioni di Maxwell aquelle di Helmholtz, si può ottenere:

!

" r( ) = "0"rr( )

!

"0

=1

36#10

$9 Farad

m

%

& ' (

) *

!

µ = µ0

!

" # E r( ) = $ j%µH r( )" # H r( ) = j%& r( )E r( )

'

( )

* ) Equazioni di Maxwell

!

"2E r( ) +# 2µ$ r ( )E r( ) =" " % E r( )( )




• Poiché la soluzione in un mezzo omogeneo normale è data da un’ondapiana, se si ipotizza che nel mezzo non omogeneo, le variazioni sianopiccole su distanze confrontabili con la lunghezza d’onda, la soluzionepuò essere espressa da una funzione con ampiezza non più costante econ superfici equifase non più piane, del tipo:

con

• Generalizzazione dell’espressione precedente, considerando edipendenti dal punto.

!

E r( ) = E 0 r( )e" j# 0S r( )

H r( ) = H 0 r( )e" j# 0S r( )

!

E 0

!

H 0

!

"0

= # µ0$0



Ottica geometrica classica

• Riprendiamo:

• e

•

• Sapendo che:

• Da cui si ottiene:

!

"2E r( ) +# 2µ$ r ( )E r( ) =" " % E r( )( )

!

D r( ) = " r( )E r( )

!

"# D = 0

!

" #$ E r( ) = %#&

rr( )

&rr( )

E r( )

!

n = "rr( )

( )( )[ ] ( )( )xfxf

xf!

=lnD

!

" #$ E r( ) = %# ln n2r( )( )E r( )

!

"2E r( ) + #

0

2n r( )E r( ) = $2" " ln n r( )( )E r( )[ ]




• Cerchiamo per una

soluzione del tipo

• Attraverso il procedimento di Felsen-Marcuvitz [1] otteniamo:

N.B. Nell’espressione è stata trascurata la dipendenza da

!

"2E r( ) + #

0

2n r( )E r( ) = $2" " ln n r( )( )E r( )[ ]

!

E r( ) = E 0 r( )e" j# 0S r( )

!

r

!

E 0 n2 " #S

2[ ] +1

j$0

E 0#2S + 2#S E 0# ln n( )[ ] + 2#S#E 0{ } " 1

j$0( )2#2E 0 + 2# E 0# ln n( )[ ]{ } = 0




• Dividendo parte reale e parte immaginaria e volendo trovare soluzioniasintotiche per λ→0, otteniamo:

!

"S2

= n2

E 0"2S + 2"S E 0 # " ln n( )[ ] + 2 "S # "( )E 0 = 0

$

% &

' & !

Equazione iconale

Equazione deltrasposto



Equazione dei raggi

• Risolvendo l’equazione iconale si può calcolare

• Le superfici per cui = costante sono i fronti d’onda i quali definiscono latraiettoria del segnale in quanto permettono di individuare i raggi

• Detto il versore che indica la direzione locale di propagazione, siha:

• La direzione locale di determina le traiettorie dei raggi• Obiettivo: determinare le traiettorie dei raggi a partire dai termini noti, ovvero

dalla funzione dell’indice di rifrazione

!

S r( )

!

S r( )

),,(ˆ zyxs

!

ˆ s

!

ˆ s ="S r( )n r( )

Direzione del raggio



Equazione dei raggi

• Introduciamo la coordinata curvilinea s del raggio:

• Consideriamo il versore tangente al raggio in un punto generico:

Equazione parametrica della traiettoria

!

s P( ) = dx2 + dy

2 + dz2

P0

P

"

!

ˆ s (s) =dxˆ x + dyˆ y + dzˆ z

dx2 + dy

2 + dz2

=dr s( )

ds

!

r(s) :!

" n s( )dr(s)

ds= #S(s)

Equazione dei raggi



Equazione differenziale dei raggi

• Ciò che si è ricavato è che, sotto opportune ipotesi, la soluzione consistein un campo TEM locale, la cui direzione di propagazione è ricavabile apartire da S

• Derivando l’equazione dei raggi rispetto ad s si ottiene:

• Da cui si ottiene:

!

d

dsn(s)

dr(s)

ds

"

# $

%

& ' =

d

ds(S(s)( )

!

d

ds"S(s)( ) = "

d

dsS(s)

#

$ %

&

' ( = " "S(s) ) ˆ s ( ) = "n(s)

!

"d

dsn(s)

dr(s)

ds

#

$ %

&

' ( = )n(s) Equazione differenziale

dei raggi



Equazione differenziale dei raggi

• L’equazione differenziale dei raggi ha il grande vantaggio di poterdescrivere le traiettoria dei raggi sapendo solo l’andamento di

• Trattandosi di un’equazione differenziale del II ordine ha infinitesoluzioni; per individuare il raggio occorrono 2 condizioni al contorno:

• L’integrazione dell’equazione differenziale dei raggi può essere fattanumericamente con le tecniche di tracciamento dei raggi (RayTracing), molto più vantaggiose dell’integrazione diretta dell’equazionedell’iconale

!

n r( )

!"

!#

$

==

%=

=

0

0

0

ˆ)0(ˆ)(

)0(

ssds

srd

OPr

s



Traiettoria dei raggi

• In un generico punto della traiettoria è possibile definire il vettorecurvatura associato a r(s):

Indicando con R il raggio di curvatura locale si ha anche:

!

c =d

2r (s)

ds2

=dˆ s (s)

ds

cR

ccc ˆ1

ˆ == Il versore segue la tangente allatraiettoria, mentre è normale ad esso esono situati entrambi sul piano osculatore

s

c




• Ricordando l’equazione differenziale dei raggi:

• Dalla definizione di e otteniamo:

• Moltiplicando scalarmente per :

!

ˆ s

!

c

!

"n(s) =d

dsn(s)

dr(s)

ds

#

$ %

&

' (

!

d

dsn(s)

dr

ds

"

# $

%

& ' =

d

dsn(s)ˆ s (s)( ) =

dn(s)

sˆ s (s) +

dˆ s

dsn(s) =

dn(s)

dsˆ s (s) + cn(s)

!

ˆ c

!

"n(s) # ˆ c =dn(s)

dsˆ s # ˆ c

0

{ + n(s)c # ˆ c $ "n(s) ˆ c = n(s)c $ c ="n(s)

n(s)ˆ c

d




• Sapendo che:

• L’ultima relazione mostra che la direzione di è sempre concordecon quella di , ovvero che il raggio tende sempre a piegareverso la regione a indice di rifrazione maggiore (equivalente della leggedi Snell).

!

c =1

R

!

"1

R=#n(s)

n(s)$ ˆ c % 0

Equazione dellaCurvatura

c

!

"n



Esempio (1)

• ATMOSFERA OMOGENEA ⇒ mezzo ad indice di rifrazione costante

• Equazione differenziale dei raggi:

• Equazione della curvatura:

⇒ Le traiettorie sono rettilinee in un mezzo omogeneo, ciascuna condirezione a e passante per r=b

!

" n r( ) = costante

!

" nd2r

ds2

= 0 " r = as + b

!

"n =d

dsndr

ds

#

$ %

&

' (

!

1

R="n

n# ˆ c

!

"1

R= 0



• MEZZO A STRATIFICAZIONE SFERICA

• L’equazione differenziale dei raggi risulta:

• Moltiplicando vettorialmente per :

• Legge di Snell per mezzi a stratificazione sferica: è alla base dellapropagazione ionosferica e troposferica, che sfruttano la possibilità di avere ilrientro a terra dell’onda oltre l’orizzonte geometrico.

Esempio (2)

!

n = n r( ) " #n r( ) =dn r( )

drˆ r

!

d

dsn r( )0

1 2 3

dr(s)

ds+ n r( )

d

ds

dr(s)

ds

ˆ s

1 2 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= (n r( )

!

"d

dsˆ s (s) # n r( ) =

dn r( )dr

ˆ r

!

r

!

d

dsr " n r( )ˆ s (s)( ) = r "

dn r( )dr

ˆ r = 0

!

" r # n r( )ˆ s = costante

!

" n # r sin($) = costante



Principio di Fermat• Si considerino in un dato mezzo due punti P1 e P2 e un percorso che li

colleghi; si definisce cammino ottico il seguente funzionale:

• PRINCIPIO di FERMAT: la traiettoria di un raggio rappresenta un minimo delcammino ottico

Il principio di Fermat può essere un’alternativa alla risoluzione dell’equazionedifferenziale dei raggi; ad esempio in un mezzo omogeneo (n=cost) si ha:

!

L1,2

ˆ = n(s)dsP1

P2

"

lndsnndsLP

P

P

P

!=== ""#

2

1

2

1

2,1



Onda piana locale e intensità

• Riscriviamo:

• Sostituendo le soluzioni nelle equazioni di Maxwell e considerando:!

E = E 0e" j#

0S

H = H 0e" j#

0S

!

" # E = $ j%µ0H

" # H = j%&E

Equazioni di Maxwell Soluzione equazionidi Maxwell

!

" # f A( ) = "f # A + f" # A

!

"

#S $ E 0 % &0H 0 =1

j'0

# $ E 0

#S $ H 0 +( r&0

E 0 =1

j'0

# $ H 0

)

*

+ +

,

+ +



• Conformemente all’intenzione di determinare soluzioni asintotiche perλ→0(f→∞) possono essere trascurati i secondi membri delle precedentiespressioni

• Considerando l’equazione iconale:

• N.B. Nelle espressioni è stata trascurata la dipendenza da r

!

"S = nˆ s

!

"

H 0 =n

#0

ˆ s $ E 0 =ˆ s $ E 0

#

E 0 = %n

&r

#0ˆ s $ H 0 =

n

&r

#0H 0 $ ˆ s

'

(

) )

*

) )




• Il vettore di Poynting vale:

e quindi l’energia si propaga nella direzione dei raggi ottici

• In conclusione, per descrivere compiutamente la soluzione fornitaall’ottica geometrica è sufficiente risolvere l’equazione iconale esuccessivamente tutto è descrivibile attraverso un’unica funzionescalare, l’intensità, costituita dal modulo del vettore di Poynting

• Queste conclusioni giustificano il fatto che nell’ottica si sia effettuatauna teoria scalare, in quanto ci si basa solo sulle traiettorie dei raggi esulla loro intensità per descrivere la propagazione

sEHE

P ˆ22

2

0*

!=

"=

2

0

2

1EI

!=




Riepilogo

• Mezzo non omogeneo:

• Equazione da risolvere:

• Soluzione: generalizzazione onda piana

• Equazione iconale:

• Equazione dei raggi:

• Equazione della curvatura: i raggi tendono sempre a curvare verso la regionead indice di rifrazione maggiore;

• Mezzo omogeneo: traiettorie rettilinee• Mezzo a stratificazione sferica: propagazione ionosferica e troposferica

!

" r( ) = "0"rr( )

!

"2E r( ) +# 2µ$E r( ) = " "% E r( )( )

!

E r( ) = E 0 r( )e" j# 0S r( )

H r( ) = H 0 r( )e" j# 0S r( )

!

"S2

= n2

!

n s( )dr(s)

ds= "S(s)



• Il discorso fin qui fatto presenta tuttavia dei limiti; si consideri un tubo diflusso dell’energia (superficie costituita lateralmente da una famiglia diraggi e ortogonalmente da due porzioni di superficie equifase).

• Applicando il teorema di Poynting (conservazione dell’energia) ad untubo di flusso di sezioni sufficientemente piccole da poter consideraresu di esse S costante e supponendo mezzo privo di perdite:

Valeria Petrini - Propagazione MUniversità degli Studi di Bologna - DEIS

22112211

ˆˆˆˆ0

21

!"=!"#!"=!"#

#!"+!"+!"=!"= $$ $$!! !!

dIdIdPdP

dnPdnPdnPdnP

ddl

Legge di intensitàdell’ottica geometrica




• Si è ricavato che l’intensità è inversamente proporzionale allasuperficie di base del tubo di flusso

• Tale legge cade in difetto qualora si verifichi la convergenza di tutti iraggi in un punto, detto fuoco

SPREADING FACTOR: è un fattore che tiene conto dell’eventualeallargamento del fronte d’onda con la propagazione; la potenzatrasportata da un raggio può pertanto diminuire con la distanzaanche se il mezzo è privo di perdite

!

A =P 1

P 2

=E 1

E 2

= limd"1 ,d"2#0

d"1

d"2




• Se il mezzo è omogeneo (quindi la propagazione avviene per raggi rettilinei) e siha una generica onda (cioè una generica sorgente) si può dimostrare che:

• I casi tipici sono solitamente tre:

C3ρ

ρ

1

0

2

sdA

dA

C1

C4

C2

( )( )( )ss

sA++

!=

21

21

21,,

""

""""

in cui ρ1 e ρ2 sono i raggi di curvatura principalie C1C2 e C3C4 sono le caustiche dell’onda.

La superficie costituita dall’insieme dei punti in cui iraggi convergono si chiama caustica e nel casotale superficie si riduca ad un punto, i raggiconvergono su di esso, che viene detto fuoco.

!!!!

"

!!!!

#

$

=%&==

+=%=&=

+=%==

1 :piana Onda

, :cilindrica Onda

:sferica Onda

21

0

0021

0

0021

A

sA

sA

''

'

''''

'

''''


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