TeoríadeConjuntos - Dpto. Ciencias de la Computación … · Más importante, que el ejemplo anterior, para la consolidación de la Teoría de Conjuntos es la prueba del Teorema

Teoría de Conjuntos

Índice

I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2. La idea intuitiva de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.4. Extensionalidad, Vacío y Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.5. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . 18I.7. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II. Buenos órdenes. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2. Números ordinales [[Z−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.3. El teorema del buen orden [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.4. Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.5. Aritmética ordinal [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.6. Números naturales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III. Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.1. El número de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . 49III.2. Conjuntos �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Índice

III.3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.4. Números enteros y racionales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . 60III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.7. Números reales [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III.8. Aritmética cardinal in�nita [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV. El axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.1. La clase WF [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.2. El axioma de regularidad [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88IV.3. ∈�Inducción y ∈�recursión [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

V. El Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93V.1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93V.2. Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95V.3. Formas débiles del Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95V.4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . 96V.5. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98V.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

VI. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103VI.1. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103VI.2. Inmersiones entre Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108VI.3. Espacios Polacos no numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VI.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VII. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119VII.1. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119VII.2. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123VII.3. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127VII.4. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Capítulo I

La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel

I.1. Objetivos

Los objetivos básicos de la Teoría de Conjuntos son los siguientes:1. Fundamentar las Matemáticas: Desde el punto de vista de la Teoría de Conjun-tos todos los objetos matemáticos son conjuntos.(�) En Álgebra se estudia la estructura de grupo. Un grupo es un conjunto con una

operación entre sus elementos que satisface ciertas propiedades. En Álgebra esirrelevante la naturaleza conjuntista de los elementos de un grupo: dos gruposisomorfos son idénticos. Sin embargo, desde la fundamentación que proporcionala Teoría de Conjuntos, los elementos de un grupo también son conjuntos.

A lo largo del curso se describirán los objetos más importantes en Matemáticas:(�) Conjuntos básicos en Matemáticas: Números naturales (II.6), enteros, racio-

nales (III.3) y reales (III.7).(�) Conjuntos esenciales en Matemáticas: Aplicaciones y relaciones (I.7).Para obtener esta descripción se introduce la Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel. Para la Teoría de Conjuntos este objetivo es secundario. Por ejemplo, sede�ne el conjunto de los números reales, R, y las operaciones aritméticas habitua-les (suma y producto), la relación de orden y el valor absoluto. Sin embargo, seconsidera que a partir de estas de�niciones, con una formación básica en Matemá-ticas, se puede probar sin grandes di�cultades que: R es un cuerpo conmutativo,el orden es total y denso, y con respecto al valor absoluto es un espacio métricoseparable y completo.2. Conjuntos y clases: La idea intuitiva de que toda colección de objetos es un con-junto es inconsistente (ver I.2). Existen colecciones de objetos que no son conjuntosy las denominaremos clases propias. Es importante determinar que ciertas clasesson propias. La clase de todos los conjuntos y la clase de los números ordinalesson los ejemplos más importantes de clases propias.

6 I.1. Objetivos

3. Inducción y recursión: Las pruebas por inducción y las de�niciones por recur-sión son herramientas básicas en Matemáticas. Sin embargo, no es posible justi�cardeterminadas construcciones usando esta metodología (inducción y recursión) so-bre los números naturales, conjunto que se denota por ω. Para ello introduciremosla clase de los números Ordinales (ω es un ordinal) y demostramos que esta clasesatisface los teoremas de inducción y recursión. En el curso veremos numerosasaplicaciones del uso de inducción y recursión sobre la clase de los números ordina-les y sobre ordinales mayores que ω; por ejemplo, en el estudio sobre subconjuntosde R: conjuntos de Borel, analíticos, de Baire y medibles. Históricamente, el pri-mer resultado cuya prueba requiere una de�nición por recursión sobre un ordinalmayor que ω, trata sobre la existencia y estructura del mayor subconjunto sinpuntos aislados de un conjunto (cerrado) de números reales (para más detalles verVI.3.C).

Puntos aislados: En lo que sigue R es el conjunto de los números reales.(�) Sean a, b ∈ R tales que a < b. El intervalo abierto de extremos a y b, (a, b),

es(a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.

(�) Sea A ⊆ R.(�) Sea a ∈ A. Diremos que a es aislado en A si existen b1 < b2 ∈ R tales

que A ∩ (b1, b2) = {a}.(�) A′ = {a ∈ A : a no aislado en A}.(�) Por recursión sobre n ∈ ω de�nimos A(n).

A(n) ={

A, si n = 0;A(m)′, si n = m + 1.

Sea A ⊆ R. Diremos que A es n�Cantor si∀m < n [A(m) 6= ∅] ∧ A(n) = ∅.

Seguidamente describiremos conjuntos n�Cantor. Sea a ∈ R.Un conjunto 1�Cantor: Sea A1,a = {a}. Es evidente que A1,a es 1�Cantor.Un conjunto 2�Cantor: Para cada n ∈ ω sea an = a− 1

n+1 . SeaA2,a = {an : n ∈ ω} ∪ {a}.

Para todo n ∈ ω, an es aislado en A2,a. Por tanto, A′2,a = A1,a = {a}. Enconsecuencia, A2,a es 2�Cantor.Un conjunto 3�Cantor: Sea A3,a =

⋃n∈ω A2,an ∪ {a}. Entonces

A′3,a = (⋃

n∈ω A′2,an) ∪ {a} = (

⋃n∈ω A1,an) ∪ {a} = (

⋃n∈ω{an}) ∪ {a} = A2,a.

Por tanto, A3,a es 3�Cantor.Un conjunto 4�Cantor: Sea A4,a =

⋃n∈ω A3,an∪{a}. Entonces A′4,a = A3,a.

Por tanto, A4,a es 4�Cantor.

Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel 7

Un conjunto ω�Cantor: Sea A(ω) =⋂

n∈ω A(n). Diremos que un conjuntoes ω�Cantor si

∀n ∈ ω [A(n) 6= ∅] ∧ A(ω) = ∅.¾Existe un conjunto ω�Cantor? Sean b = {bk : k ∈ ω} una sucesión crecientede números reales, y Ab =

⋃k∈ω Ak+1,bk

. Entonces(�) A

(1)b =

⋃k∈ω A

(1)k+1,bk

=⋃

k≥1 Ak,bk;

(�) A(2)b =

⋃k∈ω A

(2)k+1,bk

=⋃

k≥2 Ak−1,bk.

Por tanto, ⋂n∈ω A(n) = ∅.

En consecuencia, Ab es ω�Cantor.Un conjunto (ω+1)�Cantor: Sea A(ω+1) = A(ω)′. Diremos que A es (ω+1)�Cantor si

A(ω) 6= ∅ ∧ A(ω+1) = ∅.¾Existe un conjunto (ω + 1)�Cantor? En el ejemplo anterior supongamos quela sucesión {bk : k ∈ ω} es convergente. Sean c = limk∈ω bk, y

Ab,c = Ab ∪ {c}.Entonces para todo n ∈ ω, c ∈ A

(n)b,c. En consecuencia, A(ω)

b,c = {c} y A(ω+1)b,c = ∅.

Por tanto, Ab,c es (ω + 1)�Cantor.

Más importante, que el ejemplo anterior, para la consolidación de la Teoría deConjuntos es la prueba del Teorema del Buen Orden: Todo conjunto puede serbien ordenado. En este caso es necesaria una de�nición por recursión sobre laclase de los ordinales.Las pruebas por inducción y las de�niciones por recursión sobre clases bien orde-nadas son la forma más común de estas metodologías. La propiedad fundamentalpara aplicar estas herramientas es que todo subconjunto no vacío tiene un elementominimal. Puesto que no es necesario que exista un único elemento minimal, pode-mos usar inducción y recursión sobre órdenes parciales que veri�quen la propiedadanterior.

4. Cardinales: El objetivo principal de la Teoría de Conjuntos es estudiar el con-cepto de cardinal (número de elementos) de un conjunto. En el Capítulo IIIestableceremos las propiedades básicas de las operaciones entre cardinales in�ni-tos. Mientras que la suma y el producto de cardinales (asociadas a la unión y alproducto cartesiano) tienen una solución elemental, la exponenciación (asociada alas partes de un conjunto) no es posible determinarla. En este sentido, uno de losproblemas más conocidos es la Hipótesis del Continuo, CH: para todo A ⊆ R, ¾esA numerable o tiene el cardinal de R? La Hipótesis del Continuo es independientede la Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel; es decir, en esta teoría no se puedeprobar la Hipótesis del Continuo ni su negación.

8 I.1. Objetivos

5. El Axioma de Elección, AC: El Axioma de Elección es el axioma de la Teoríade Conjuntos que ha suscitado más controversia. El Capítulo V está dedicadoal estudio del Axioma de Elección. Se probará la equivalencia del Axioma deElección con otras propiedades (lema de Zorn, . . . ) usadas en Matemáticas. Unode los objetivos es aprender a determinar cuando se usa el Axioma de Elección ysi es posible eliminar su uso. En algunos casos el Axioma de Elección sólo haceque la prueba sea más simple. En otros, la prueba del resultado en su forma másgeneral usa el Axioma de Elección; sin embargo, casos particulares de éste, de graninterés, no requieren el Axioma de Elección para su demostración. Por ejemplo:Lema. (AC). Si A es un conjunto in�nito, existe f : A −→ A2 biyectiva.La prueba de este resultado requiere el uso del Axioma de Elección. Sin embargo,se tiene que:Lema.(�) Si A es un conjunto numerable in�nito, existe f : A −→ A2 biyectiva.(�) Existe f : R −→ R2 biyectiva.Veamos otro ejemplo.Lema. Sean X un espacio topológico de Hausdor� y A ⊆ X.

A compacto =⇒ A cerrado.Demostración: Supongamos que A no es cerrado. Entonces existe a ∈ cl(A)−A(cl(A) denota la clausura topológica de A). Puesto que X es de Hausdor�, paracada x ∈ A existen Gx y Ux abiertos tales que(�) x ∈ Gx, a ∈ Ux,(�) Gx ∩ Ux = ∅.Es evidente que A ⊆ ⋃

x∈A Gx. Puesto que A es compacto, existen Gx1 , . . . , Gxn

tales que A ⊆ Gx1 ∪ · · · ∪Gxn . Entonces(�) a ∈ Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn .(�) A ∩ (Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn) = ∅.Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A).La prueba anterior usa el Axioma de Elección para elegir Gx y Ux. Para los si-guientes espacios es posible eliminar el uso del axioma de elección.Espacios segundo numerables: Sea B = {Vn : n ∈ ω} una base numerable de X.Para cada x ∈ X sean

Gx = Vn

Ux = Vm

}⇐⇒ (n,m) = (mı́n(k, k′))

{x ∈ Vk ∧ a ∈ Vk′

Vk ∩ Vk′ = ∅.(donde el mínimo, mı́n(k, k′), se toma, por ejemplo, respecto al orden inducido enω × ω por la función inyectiva H : ω × ω → ω, H(x, y) = 2x · 3y).


Espacios métricos: Para cada x ∈ X sean

r = d(x, a)Gx = B(x, r/2)Ux = B(a, r/2)

En ambos casos la prueba procede como anteriormente.Sin embargo, la prueba del lema no requiere el uso del Axioma de Elección.Nueva prueba: Supongamos que A no es cerrado, sea a ∈ cl(A)−A. Sea

GA = {G ∈ G(X) : ∃U ∈ G(X) (a ∈ U ∧G ∩ U = ∅)}.Se tiene que:

Aserto. Para todo x ∈ A existe G ∈ GA tal que x ∈ G.Prueba del aserto: Sea x ∈ A. Puesto que X es de Hausdor�, existen Gx yUx abiertos tales que x ∈ Gx, a ∈ Ux y Gx ∩ Ux = ∅. Lo que prueba el aserto.

2

Por el aserto, A ⊆ ⋃GA. Puesto que A es compacto, existen G1, . . . , Gn ∈ GA talesque A ⊆ G1 ∪ · · · ∪Gn. Sean U1, . . . , Un ∈ G(X) tales que para todo j, 1 ≤ j ≤ n,(�) a ∈ Uj ,(�) Gj ∩ Uj = ∅.Entonces(�) a ∈ U1 ∩ · · · ∩ Un.(�) A ∩ (U1 ∩ · · · ∩ Un) = ∅.Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A). ¥

Resumen de resultados:Resumimos a continuación los resultados más importantes que se presentan en elcurso.

Teorema 1.(a) La clase de los ordinales, Ord, es una clase propia.(b) La relación α < β es un buen orden sobre Ord.

Teorema 2. Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Teorema 3.(a) |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|.(b) |A| < |P(A)|.

Teorema 4. ℵ0 < |R| = |Rn| = 2ℵ0 .

10 I.2. La idea intuitiva de conjunto

Teorema 5.(a) ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα,ℵβ).(b) ℵα < 2ℵα = ℵℵα

α .(c) (AC). ℵα+1 ≤ 2ℵα . ℵα < cf(2ℵα).

Teorema 6. (AC). ℵα+1 es regular.

Teorema 7. (AC). Supongamos GCH(≡ ∀α (2ℵα = ℵα+1)). Para todo λ ≥ ℵ0,κ ≥ 2

κλ =

λ+, si κ ≤ λ;κ+, si cf(κ) ≤ λ < κ;κ, si λ < cf(κ).

I.2. La idea intuitiva de conjunto

En Matemáticas el procedimiento básico para describir los objetos de estudio escaracterizarlos mediante una de�nición. Por ejemplo, sea R el conjunto de losnúmeros reales

De�nición: Sea f una aplicación de R en R. Diremos que f es continua si∀x∀ε > 0∃δ > 0∀y [d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) < ε].

Por tanto, debemos proceder a de�nir lo que es un conjunto.�De�nición�: Un conjunto es cualquier colección de objetos que veri�can unadeterminada propiedad.

La de�nición de función continua se basa en otros conceptos de�nidos con ante-rioridad: aplicación, números reales, 0, relación de orden, distancia.La de�nición de conjunto se construye usando: colección, objetos, propiedad. Estade�nición es (en apariencia) circular pues �colección� y �objetos� son palabrassinónimas de conjunto. Más aún, en I.2.A y I.2.B veremos que la �de�nición� deconjunto dada anteriormente es �incorrecta�.

I.2.A. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos

Notas I.2.1 (Primera incorrección: La paradoja de Berry). Sea P (n) lapropiedad:

P (n) ≡ n es un número natural de�nible con menos de mil símbolos.Consideremos el conjunto:

C = {n : P (n)}.Sea m el menor número natural que no está en C. Se tiene que:


(a) Existe m. Basta observar que C es �nito.(b) m /∈ C. Se sigue de la de�nición de m.(c) m ∈ C. En efecto, m está de�nido por:

�el menor número natural no de�nible con menos de mil símbolos�.Lo anterior es una de�nición de m que usa menos de mil símbolos.

De (b) y (c) se sigue una contradicción.

El lenguaje de la Teoría de Conjuntos. La contradicción obtenida en I.2.1se debe a que la propiedad P (n) que considerabamos para de�nir al conjunto Cno tiene una formulación adecuada. Ahora precisaremos lo que entenderemos quees una propiedad.(�) El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consta de un único símbolo de predicado

binario, ∈ (pertenencia).Además, tiene los símbolos habituales:(�) variables: x, y, . . . ;(�) = (igualdad);(�) conectivas proposicionales: ∨ (disyunción), ∧ (conjunción), → (implica-

ción), ↔ (equivalencia), ¬ (negación); y(�) cuanti�cadores: ∃ (existencial) y ∀ (universal).

Las fórmulas del lenguaje de la Teoría son:(�) x = y (x es igual a y).(�) x ∈ y (x pertenece a y).(�) Si Φ y Ψ son fórmulas, entonces las siguientes expresiones son fórmulas:

(�) Φ ∨ Ψ , Φ ∧ Ψ , Φ → Ψ , Φ ↔ Ψ , ¬Φ.(�) Si Φ(x) es una fórmula, entonces son fórmulas:

(�) ∃x Φ(x) (existe x tal que Φ(x)).(�) ∀x Φ(x) (para todo x se tiene Φ(x)).

Usaremos(�) ∀x ∈ y Φ(x) para denotar a ∀x (x ∈ y → Φ(x)).(�) ∃x ∈ y Φ(x) para denotar a ∃x (x ∈ y ∧ Φ(x)).(�) ∃!xΦ(x) para denotar a ∃xΦ(x) ∧ ∀x∀y (Φ(x) ∧ Φ(y) → x = y).(�) x 6= y para denotar a ¬(x = y).(�) x /∈ y para denotar a ¬(x ∈ y).Ahora podemos precisar qué es una propiedad:(�) Una propiedad es una fórmula del lenguaje de la Teoría de Conjuntos.No se trata de realizar un desarrollo formal de la Teoría de Conjuntos. Por tanto,las propiedades sobre conjuntos se presentarán, analizarán y demostrarán de la

12 I.2. La idea intuitiva de conjunto

forma habitual en Matemáticas, con las notaciones especí�cas de la Teoría deConjuntos, ver I.2.3. Sin embargo, debemos tener presente que toda propiedadsobre conjuntos que consideremos debe transcribirse sin ambigüedad al lenguajede la Teoría de Conjuntos. Por ejemplo, la propiedad P (x) (considerada en I.2.1)

�x es un número natural de�nible con menos de mil símbolos�

sólo la aceptaríamos si la transcribimos al lenguaje de la Teoría de Conjuntos.Extensiones por de�nición. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos es muysimple, sólo tiene el símbolo ∈ (pertenencia). Describir en este lenguaje propiedadessobre conjuntos es, en general, muy laborioso. Por ello el lenguaje se extiendeañadiéndole nuevos símbolos que hacen más simple la descripción de propiedades.Este proceso de extensión del lenguaje se realiza en ciertas condiciones, descritasmás abajo en (a) y (b), de forma que no es posible:(�) describir nuevas propiedades en la extensión (es decir, toda fórmula de la

extensión es equivalente a una del lenguaje original);(�) probar más propiedades sobre conjuntos (la extensión es conservativa).Los métodos de extensión se dividen en los siguientes tipos:(a) Predicados: Sean Φ(x1, . . . , xn) una fórmula y p un nuevo símbolo predicado

n�ario. Se tiene que:Aserto. T + p + [p(x1, . . . , xn) ↔ Φ(x1, . . . , xn)] es conservativa sobre T.Ejemplos: Contención (x ⊆ y); x es una aplicación; x es un ordinal (Ord(x));x e y tienen el mismo cardinal (|x| = |y|).

(b) Funciones: Sean Φ(x1, . . . , xn, y) una fórmula y f un nuevo símbolo de funciónn�aria (si n = 0, se considera un nuevo símbolo de constante). Se tiene que:Aserto. Si T ` ∀x ∃!y Φ(x, y), entonces la teoría T + f + [f(x) = y ↔ Φ(x, y)]es conservativa sobre T.Ejemplos: El conjunto vacío (∅); la unión de x e y (x ∪ y); las partes de x(P(x)); el conjunto de los números naturales (ω); el conjunto de los númerosreales (R); el cardinal de un conjunto (card(x)); la función aleph (ℵα).

I.2.B. Clases y conjuntos

Sea Φ(x) una fórmula. La colección de los conjuntos que satisfacen Φ(x) diremosque es una clase, que notaremos por:

{x : Φ(x)}.Usaremos(�) las letras a, b, c, . . . , A, B,C, . . . para designar conjuntos.(�) las letras A,B,C, . . . (en negrita) para designar clases.Sea A la clase {x : Φ(x)}. Probar que


(�) A es una clase propia, es decir que no es un conjunto, consiste en establecerque:

¬∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].

(�) A es un conjunto consiste en establecer que:∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].

Teorema I.2.2 (Segunda incorrección: La paradoja de Russell). La clase{x : x /∈ x}

es una clase propia.

Demostración: Supongamos que R = {x : x /∈ x} es un conjunto. EntoncesR ∈ R ⇐⇒ R /∈ R.

Lo cual es una contradicción. ¥

Nota I.2.3 (Operaciones y relaciones entre clases). En lugar de usar di-rectamente fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos, para referirnos apropiedades sobre conjuntos, usaremos el concepto de clase.Sean A = {x : Φ(x)} y B = {x : Ψ(x)} clases. En primer lugar prestaremosatención a las relaciones básicas entre conjuntos: pertenencia, ∈, e igualdad, =.(�) Escribiremos x ∈ A y x /∈ A en lugar de Φ(x) y ¬Φ(x), respectivamente.

Nota: Observemos que si escribimos a ∈ A, entonces a es un conjunto. Si Bes una clase propia, no tiene ningún sentido escribir B ∈ A.

(�) A = B representará: ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B); es decir,∀x [Φ(x) ↔ Ψ(x)].

(�) A 6= B representará: ¬(A = B).Ahora describiremos sobre clases las relaciones y operaciones básicas sobre con-juntos.(�) A ⊆ B representará: ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B).(�) A ⊂ B representará: A 6= B ∧A ⊆ B.(�) Ac = {x : x /∈ A}.(�) A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.(�) A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.(�) A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.(�)

⋃A = {x : ∃y ∈ A (x ∈ y)}.

(�)⋂

A = {x : ∀y ∈ A (x ∈ y)}.(�) P(A) = {x : x ⊆ A}.(�) La clase vacía, ∅, es la clase de�nida por:

∅ = {x : x 6= x}.

14 I.3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel

(�) Par no ordenado de x e y, {x, y}, es la clase de�nida por:{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}.

(�) La clase universal, V, es la clase de�nida por:V = {x : x = x}.

I.3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel

Si los conjuntos son los objetos básicos de las Matemáticas, entonces no dispone-mos, como en el caso de las funciones continuas, de objetos más simples a partirde los cuáles podamos de�nir lo que es un conjunto. La solución consiste en ca-racterizar los conjuntos como los elementos de un sistema de objetos con unarelación binaria entre ellos (relación de pertenencia) que satisfacen determinadaspropiedades (fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos) que denominaremosaxiomas. Los conjuntos que existen son aquellos cuya existencia se puede probarusando estos axiomas. Los conjuntos satisfacen las propiedades que podamos de-ducir a través de los axiomas.La Teoría de Conjuntos apareció en la primeras décadas del siglo XX. Con anterio-ridad, durante más de dos milenios, se desarrollaron conceptos, métodos y resulta-dos matemáticos muy importantes. Los axiomas de la Teoría de Conjuntos sirvenpara fundamentar y uni�car toda esta metodología; en particular, el desarrolloque se había llevado a cabo en la segunda mitad del siglo XIX. Por tanto, la con-�guración del sistema axiomático es un acto convencional que está guiado por lanecesidad de clari�car ciertos conceptos y justi�car métodos y resultados sobreéstos.La primera axiomática de conjuntos apareció en 1908. E. Zermelo introdujo estosaxiomas para justi�car la prueba del Teorema del Buen Orden que había presen-tado en 1904. Los axiomas que presentamos son esencialmente los que consideróZermelo con ligeras modi�caciones. El Axioma de Reemplazamiento fue introduci-do por Fraenkel (1922), el Axioma de Regularidad por Hausdor� (e independiente-mente por otros) (1920). T. Skolem (1925) propuso que el concepto de propiedadse sustituyese por el de fórmula del lenguaje de primer orden de la Teoría deConjuntos.

Axiomas: Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel garantizanque los conjuntos satisfacen determinadas propiedades. Dividimos los axiomas encuatro grupos.Grupo I: Existencia de determinados conjuntos:(�) Axioma del Vacío, Ax0;(�) Axioma del In�nito, Ax8.Grupo II: Propiedades básicas de la relación de pertenencia:


(�) El carácter fundamental: Axioma de Extensionalidad, Ax1.Lo importante es la extensión de un conjunto no la intención (propiedadescon las se puede de�nir dicho conjunto).

(�) Descripción estructural: Axioma de Regularidad, Ax9.Es posible, sin usar este axioma, describir los objetos básicos de lasMatemáticas de tal forma que todos ellos lo satisfacen.Este axioma a�rma que la relación de pertenencia es bien fundamenta-da. Esto permite realizar pruebas por inducción sobre la relación de per-tenencia. Sin embargo, en Matemáticas la naturaleza conjuntista de loselementos de un conjunto es, en general, irrelevante; por tanto, es poco ha-bitual usar inducción y recursión sobre la relación de pertenencia entre loselementos de un conjunto para establecer propiedades de dicho conjunto.

Grupo III: Procesos para obtener conjuntos.

(�) Usando propiedades:{Axioma de Separación, Ax2;Axioma de Reemplazamiento, Ax7.

(�) Mediante operaciones:

Axioma del Par, Ax3;Axioma de la Unión, Ax4;Axioma de las Partes, Ax5;Axioma del Producto Cartesiano, Ax6.

Grupo IV: Axioma de Elección, AC, Ax10.Todo conjunto puede ser bien ordenado.Este axioma es puramente existencial: a�rma que existe un buen orden. Sinembargo, para conjuntos muy importantes (por ejemplo, los números reales)no existe una descripción explícita de un buen orden del conjunto. Por ello suuso ha generado muchas controversias.

Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel son los siguientes.Ax0. Axioma del Conjunto Vacío. Existe un conjunto que no tiene elementos.

∃y ∀x (x /∈ y).

Ax1. Axioma de Extensionalidad. Si dos conjuntos tienen los mismos elemen-tos, entonces son iguales.

A ⊆ B ∧B ⊆ A =⇒ A = B.

Ax2. Axioma de Separación (esquema). Sea C una clase. Para todo conjuntoA la clase

{x : x ∈ A ∧ x ∈ C} = {x ∈ A : x ∈ C} = C ∩A

es un conjunto.Ax3. Axioma del Par. Para cualesquiera conjuntos x, y, la clase

{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}

16 I.3. La Teoría de Conjuntos de Zermelo�Fraenkel

es un conjunto.Ax4. Axioma de la Unión. Para todo conjunto A, la clase⋃

A = {y : ∃x ∈ A (y ∈ x)}es un conjunto.Ax5. Axioma de las Partes. Para todo conjunto A, la clase

P(A) = {x : x ⊆ A}es un conjunto.Ax6. Axioma del Producto Cartesiano. Para cualesquiera conjuntos A y B,la clase

A×B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}es un conjunto.Ax7. Axioma de Reemplazamiento (esquema). Si F es una función, entoncespara todo conjunto A la clase

F[A] = {y : ∃x (x ∈ A ∧ F(x) = y)} = {F(x) : x ∈ A}es un conjuntoAx8. Axioma del In�nito.

∃x (∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x (y ∪ {y} ∈ x)).

Ax9. Axioma de Regularidad.x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (x ∩ y = ∅).

Ax10. Axioma de Elección, (AC). Para todo conjunto A existe f tal quef es una aplicación ∧ dom(f) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Diremos que f es una función de elección sobre A.En los capítulos que siguen usaremos las siguientes teorías.

Ext. Sep. Par Un. Partes Cart. Rp Inf. Reg. Elec.Z sí sí si sí sí no sí sí noZ− sí sí sí sí no sí no sí sí noZ−∗ sí sí sí sí no sí no sí no noZF sí sí sí sí sí sí sí sí noZFC sí sí sí sí sí sí sí sí síPA sí sí sí sí sí sí ¬Inf sí sí

Si T es una teoría, notaremos por(�) T∗ = T−Ax. Regularidad.(�) T− = T−Ax. Partes.(�) TF = T +Ax. Reemplazamiento.


(�) TC = T + AC.En las siguientes secciones de este capítulo describiremos las notaciones que vamosa usar a lo largo del curso (algunas de ellas se han empleado para formular losaxiomas) y estableceremos algunas propiedades elementales sobre conjuntos.No se trata de desarrollar de forma axiomática la Teoría de Conjuntos. No estamosinteresados en especi�car los axiomas usados en cada demostración. Sin embargo,(�) en cada capítulo al inicio de una sección o subsección indicaremos los axiomas

que usaremos en las pruebas de los resultados que allí aparecen;(�) el capítulo V está dedicado al estudio del Axioma de Elección.En los capítulos que siguen los resultados que se obtengan estarán probados enZFC. Sin embargo, debido a la posición particular que ocupa el Axioma de Elec-ción, escribiremos las siglas AC (Axiom of Choice) delante de todos los resultadoscuya prueba (o al menos la prueba que presentamos) dependa de este axioma. Porejemplo,

Lema. (AC). Si A es un conjunto in�nito, existe f : A −→ A2 biyectiva.

I.4. Extensionalidad, Vacío y Separación

Proposición I.4.1. Ax0 ∧ Ax1 =⇒ ∃!y ∀x (x /∈ y).

Definición I.4.2 (El Conjunto Vacío). A = ∅ ⇐⇒ ∀x (x /∈ A).

Lema I.4.3. Ax2 =⇒ Ax0.

Demostración: Sea A un conjunto. Por Ax2, la clase B = {x : x ∈ A ∧ x 6= x}es un conjunto. Además, ∀x (x /∈ B). ¥

Lema I.4.4 (Ax2). Sea A una clase. Si existe un conjunto B tal que A ⊆ B,entonces A es un conjunto.

Demostración: Sea B un conjunto tal que A ⊆ B. Entonces (por el axioma deseparación) C = {x : x ∈ B ∧ x ∈ A} es un conjunto. Es evidente que

∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ C),Por tanto, A es un conjunto. ¥

Teorema I.4.5. Ax2 =⇒ V es una clase propia.

Demostración: En caso contrario, por Ax2, la clase {x : x ∈ V ∧ x /∈ x} es unconjunto. Es decir, {x : x /∈ x} es un conjunto. Lo cual está en contradicción conel teorema I.2.2, paradoja de Russell. ¥

18 I.6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano

I.5. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes

Definición I.5.1.(a) {x, y} = {u : u = x ∨ u = y}.(b) {x} = {x, x}.

Definición I.5.2.(a) ⋃

A = {z : ∃u (u ∈ A ∧ z ∈ u)}.(b) A ∪B =

⋃{A,B} = {z : z ∈ A ∨ z ∈ B}.(c) ⋂

A = {z : ∀u (u ∈ A → z ∈ u)}.(d) A ∩B =

⋂{A,B} = {z : z ∈ A ∧ z ∈ B}.(e) A−B = {z : z ∈ A ∧ z /∈ B}.(f) A4B = (A−B) ∪ (B −A).

Lema I.5.3. [(Ax1, Ax2)](a) A 6= ∅ =⇒ ⋂

A es un conjunto.(b) ⋂ ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir, si consideramos

a ∅ como una familia de subconjuntos de A), de�nimos⋂ ∅ = A

(c) A ∩B es un conjunto.(d) A−B es un conjunto.

Definición I.5.4.(a) A ⊆ B ⇐⇒ ∀z (z ∈ A =⇒ z ∈ B). [[A es un subconjunto de B]].(b) A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧A 6= B. [[A es un subconjunto propio de B]].(c) P(A) = {z : z ⊆ A}.

Definición I.5.5.(a) Si A ∩B = ∅, diremos que A y B son disjuntos.(b) Diremos que A es una colección de conjuntos disjuntos dos a dos (o una co-

lección disjunta) si para cualesquiera B,C ∈ A tales que B 6= C, entoncesB ∩ C = ∅.

I.6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano

Definición I.6.1 (Par ordenado). 〈x, y〉 = {{x}, {x, y}}.

Teorema I.6.2. 〈x, y〉 = 〈z, u〉 =⇒ x = z ∧ y = u.


Demostración: Veamos primero que x = z.〈x, y〉 = 〈z, u〉 =⇒ {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, u}}

=⇒ {x} ∈ {{z}, {z, u}}=⇒ {x} = {z} ∨ {x} = {z, u}=⇒ z ∈ {x}=⇒ z = x.

Para concluir la prueba del teorema probaremos primero el siguiente resultado.Aserto I.6.2.1. {x1, x2} = {x1, x3} =⇒ x2 = x3.Prueba del aserto: Primero observemos que

x3 ∈ {x1, x3} =⇒ x3 ∈ {x1, x2} [[{x1, x2} = {x1, x3}]]=⇒ x3 = x1 ∨ x3 = x2.

Supongamos que x3 = x1. Entoncesx2 ∈ {x1, x2} =⇒ x2 ∈ {x1, x3} [[{x1, x2} = {x1, x3}]]

=⇒ x2 ∈ {x3} [[x1 = x3]]=⇒ x2 = x3.

Lo que prueba el aserto. 2

Veamos ahora que y = u.x = z

〈x, y〉 = 〈z, u〉}

=⇒ 〈x, y〉 = 〈x, u〉=⇒ {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, u}}=⇒ {x, y} = {x, u} [[I.6.2.1]]=⇒ y = u [[I.6.2.1]].

Lo que prueba el teorema. ¥

Lema I.6.3. [(Ax2, Ax5)](a) ∀x∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].(b) ∀x∀y, z ∈ x [〈y, z〉 es un conjunto].

Definición I.6.4 (Producto Cartesiano).A×B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Proposición I.6.5. Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5 =⇒ Ax6.

I.7. Relaciones y aplicaciones

Definición I.7.1.(a) x es un par ordenado ⇐⇒ ∃y ∃z (x = 〈y, z〉).

20 I.7. Relaciones y aplicaciones

(b){

Π1(x) = y ⇐⇒ ∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = 〈v, w〉 ∧ u ∈ v].

Π2(x) = y ⇐⇒ ∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = 〈w, v〉 ∧ u ∈ v].

Observemos que: Π1(x) ={

y, si ∃w (x = 〈y, w〉);∅, en cualquier otro caso.

(c) R es una relación ⇐⇒ ∀y (y ∈ R =⇒ y es un par ordenado).

(d){dom(R) = {y : ∃z (〈y, z〉 ∈ R)}rang(R) = {z : ∃y (〈y, z〉 ∈ R)}

(e) R|A = {〈z, u〉 ∈ R : z ∈ A ∧ u ∈ A} = R ∩ (A×A).(f) R es una relación sobre A ⇐⇒ R es una relación ∧ dom(R), rang(R) ⊆ A.(g) R−1 = {〈y, x〉 : 〈x, y〉 ∈ R}.

Proposición I.7.2.(a) dom(R) y rang(R) son conjuntos.(b) R|A es un conjunto.

Definición I.7.3.(a) R es una relación de equivalencia sobre A si:(a.1) R es una relación sobre A, y

(a.2)

∀y ∈ A (〈y, y〉 ∈ R)∀y, z ∈ A (〈y, z〉 ∈ R =⇒ 〈z, y〉 ∈ R)∀y, z, u ∈ A (〈y, z〉 ∈ R ∧ 〈z, u〉 ∈ R =⇒ 〈y, u〉 ∈ R).

(b) < es una relación de orden parcial sobre A si:(b.1) < es una relación sobre A, y

(b.2){∀y ∈ A (y 6< y)∀y, z, u ∈ A (y < z ∧ z < u =⇒ y < u)

(c) < es una relación de orden total sobre A si:(c.1) < es una relación de orden parcial sobre A, y(c.2) ∀y, z ∈ A (y < z ∨ z < y ∨ y = z).

(d) Sean < una relación de orden parcial sobre A, B ⊆ A (B 6= ∅), y z ∈ A.Diremos que:

(d.1) z es un elemento maximal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z 6< u).(d.2) z es un elemento minimal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u 6< z).(d.3) z es el mayor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u ≤ z).(d.4) z es el menor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z ≤ u).(d.5) z es una cota superior de B si: ∀u ∈ B (u ≤ z).(d.6) z es una cota inferior de B si: ∀u ∈ B (z ≤ u).(d.7) z es el supremo de B, z = sup(B), si: z es la menor cota superior de B.


(d.8) z es el ín�mo de B, z = inf(B), si: z es la mayor cota inferior de B.

Definición I.7.4.

(a) f es una aplicación ⇐⇒{

f es una relación ∧∀x∀y ∀z (〈x, y〉 ∈ f ∧ 〈x, z〉 ∈ f =⇒ y = z)

Si f es una aplicación y 〈x, y〉 ∈ f , escribiremos f(x) = y. Usaremos indistin-tamente los términos aplicación y función.

(b) f|A = {〈y, z〉 ∈ f : y ∈ A}.Observemos que f|A, considerando f como una aplicación, no coincide con f|A,considerando f como una relación.

(c) f : A −→ B ⇐⇒ f aplicación ∧ dom(f) = A ∧ rang(f) ⊆ B.Leeremos f : A −→ B como f es una aplicación de A en B.

(d) Si f : A −→ B y g : B −→ C, g ◦ f = {〈u, v〉 : ∃w (〈u,w〉 ∈ f ∧ 〈w, v〉 ∈ g)}(e) Sea f : A −→ B.(e.1) f es suprayectiva ⇐⇒ rang(f) = B.(e.2) f es inyectiva ⇐⇒ ∀z, u ∈ A (f(z) = f(u) =⇒ z = u).(e.3) f es biyectiva ⇐⇒ f es suprayectiva e inyectiva.

(f) AB = {f : f es una aplicación de A en B}.

(g){

f [C] = {y : ∃x (x ∈ C ∧ f(x) = y)},f−1[C] = {x : f(x) ∈ C}.

Proposición I.7.5.(a) AB es un conjunto.(b) Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B. Entonces f|C , , f [C] y f−1[D] son

conjuntos.(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C =⇒ g ◦ f : A −→ C. En particular, g ◦ f es

un conjunto.

Lema I.7.6. Sea f : A −→ B una aplicación inyectiva. Entonces(a) f−1 es una aplicación, y(b) dom(f−1) = rang(f) y rang(f−1) = A.

I.8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento

Definición I.8.1.(a) Sea R una clase. Diremos que R es una relación (binaria) si

∀x ∈ R (x es un par ordenado).

22 I.8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento

(b) Sea F una relación. Diremos que F es una función si∀x∀y ∀z (〈x, y〉, 〈x, z〉 ∈ F =⇒ y = z).

Notaremos(b.1) F(x) = y ⇐⇒ 〈x, y〉 ∈ F.(b.2) dom(F) = {x : ∃y (〈x, y〉 ∈ F)}.(b.3) rang(F) = {y : ∃x (〈x, y〉 ∈ F)}.

(c) F : A −→ V ⇐⇒ F función ∧ dom(F) = A.

Lema I.8.2. Ax3 ∧ Ax7 =⇒ Ax2.

Demostración: Sean C una clase y A un conjunto. Veamos que A∩C es un con-junto. Sea F : C −→ V la función: F(x) = x. Por el Axioma de Reemplazamiento

F[A] = {F(x) : x ∈ A}.es un conjunto. Por tanto,

{x ∈ A : x ∈ C}es un conjunto. Lo que prueba el resultado. ¥

Nota I.8.3. Denotaremos por Ax7' la siguiente formulación alternativa del es-quema de Reemplazamiento: Para cada fórmula Φ(x, y), si

∀u∀v ∀w (Φ(u, v) ∧ Φ(u,w) → v = w)

entonces, para cada conjunto A, la clase{v : ∃u ∈ A Φ(u, v)}

es un conjunto.

Lema I.8.4. Ax5 ∧ Ax7' =⇒ Ax3.

Demostración: Por el Axioma de las Partes, Ax5, existe P(∅). Usando otra vezel Axioma de las Partes, P(P(∅)) es un conjunto. Además, P(P(∅)) = {∅, {∅}}.Sean a y b conjuntos. Consideremos la fórmula Φ(x, y) dada por

(x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x 6= ∅ ∧ y = b).

Sea A = P(P(∅)) = {∅, {∅}}, entonces, por Ax7', la clase{y : ∃x ∈ AΦ(x, y)} = {a, b}

es un conjunto. Lo que prueba el resultado. ¥

Proposición I.8.5. Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7 =⇒ Ax6.

Definición I.8.6. Sea I un conjunto. Una familia de conjuntos sobre I, notada{Aj : j ∈ I}, es una aplicación H tal que


(a) dom(H) = I, y(b) para todo j ∈ I, H(j) = Aj .Puesto que {Aj : j ∈ I} = H[I], por el Axioma de Reemplazamiento, una familiade conjuntos sobre I es un conjunto.

Proposición I.8.7. Sean C una clase y A un conjunto.(a) Si existe F : A −→ C suprayectiva, entonces C es un conjunto.(b) Si existe F : C −→ A inyectiva, entonces C es un conjunto.

Demostración: ((a)): Sea F : A −→ C suprayectiva. Entonces C = F[A]. En-tonces, por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto.((b)): Sea D = F[C]. Puesto que D ⊆ A, D es un conjunto. Puesto que F esinyectiva, F−1 es una función. Además, F−1[D] = C. Puesto que D es un conjunto,por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto. ¥

I.9. Ejercicios

Ejercicio I.9.1 (I.4.1). Ax0 ∧ Ax1 =⇒ ∃!y ∀x (x /∈ y).

Ejercicio I.9.2 (I.5.3). [(Ax1), (Ax2)](a) A 6= ∅ → ∃!y ∀z (z ∈ y ↔ ∀u (u ∈ A → z ∈ u)).(b) ∀x∀y ∃!u∀z (z ∈ u ↔ z ∈ x ∧ z /∈ y).

Ejercicio I.9.3 (I.5.3).(a) Si A 6= ∅, entonces ⋂

A es un conjunto.(b) ⋂ ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir, si consideramos

a ∅ como una familia de subconjuntos de A), de�nimos⋂ ∅ = A

Ejercicio I.9.4 (I.6.3). [(Ax2, Ax4)](a) ∀x∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].(b) ∀x∀y, z ∈ x [〈y, z〉 es un conjunto].

Ejercicio I.9.5 (I.6.5). Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5 =⇒ Ax6.

Ejercicio I.9.6 (I.7.2).(a) dom(R) y rang(R) son conjuntos.(b) R|A es un conjunto.

24 I.9. Ejercicios

Ejercicio I.9.7 (I.7.5).(a) AB es un conjunto.(b) Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B. Entonces f|C , , f [C] y f−1[D] son

conjuntos.(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C =⇒ g ◦ f : A −→ C es un conjunto.

Ejercicio I.9.8 (I.7.6). Si f : A −→ B es una aplicación inyectiva, entonces(a) f−1 es una aplicación, y(b) dom(f−1) = rang(f) y rang(f−1) = A.

Ejercicio I.9.9 (I.8.5). Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7 =⇒ Ax6.

Ejercicio I.9.10.(a) Encontrar dos conjuntos A y B tales que A 6= B y

⋃A =

⋃B.

(b) Para todo B ∈ A, B ⊆ ⋃A.

(c) A ⊆ B =⇒ ⋃A ⊆ ⋃

B.(d) ∀C ∈ A (C ⊆ B) =⇒ ⋃

A ⊆ B.

Ejercicio I.9.11. De�nimos la diferencia simétrica de dos conjuntos como sigueA4B = (A−B) ∪ (B −A).

Probar que:(a) A4B es un conjunto.(b) A4B = B4A.(c) A4 (B4C) = (A4B)4C.(d) A ∩ (B4C) = (A ∩B)4 (A ∩ C).(e) A4B = C ⇐⇒ A4C = B.(f) A4∅ = A.(g) A4A = ∅.(h) A4B = C4B ⇐⇒ A = C.(i) A4B = ∅ ⇐⇒ A = B.(j) A4B = (A ∪B)− (A ∩B).(k) (A ∪ C)4 (B ∪ C) = (A4B)− C.(l) A ∪ C = B ∪ C ⇐⇒ A4B ⊆ C.

(m) ∀A,B ∃!C (A4C = B).(n) A, B disjuntos ⇐⇒ A ∪B = A4B.(ñ) A ∪B = A4B4 (A ∩B).

Ejercicio I.9.12. Sean A y B conjuntos y F una función. Probar que:


(a) F−1[⋃

A] =⋃{F−1[C] : C ∈ A}.

(b) A 6= ∅ =⇒ F−1[⋂

A] =⋂{F−1[C] : C ∈ A}.

(c) F−1[A−B] = F−1[A]− F−1[B].

Ejercicio I.9.13. Sean A y B conjuntos. Probar que las siguientes clases sonconjuntos:(a) {R : R relación sobre A}.(b) {{{x}} : x ∈ A ∪B}.(c) {A ∪ C : C ∈ B}.(d) {P(C) : C ∈ A}.(e) {C ∪D : C ∈ A,D ∈ B}.En cada caso especi�car los axiomas que se usan.

Ejercicio I.9.14. Sea A un conjunto. Probar que:(a) {x : x /∈ A} es una clase propia.(b) Si ∅ /∈ A, {f : f función de elección sobre A} es un conjunto. ¾Qué sucede si

∅ ∈ A?(c) ¾Es {f : f aplicación ∧ dom(f) = A} una clase propia?(d) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertene-

cen a algún elemento de A.(e) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertene-

cen a algún elemento de un elemento de A.

Ejercicio I.9.15. Sea f : A −→ B.(a) Sea g la aplicación de dominio P(A) de�nida por: g(C) = f [C]. Probar que

f inyectiva =⇒ g : P(A) −→ P(B) inyectiva(b) Sea g : B −→ P(A) de�nida por: g(c) = {x ∈ A : f(x) = c}. Probar que

f suprayectiva =⇒ g inyectiva¾Es cierto el recíproco?

Ejercicio I.9.16.(a) Demostrar que la siguiente de�nición sirve para de�nir el concepto de par

ordenado; es decir, 〈x, y〉 = 〈x′, y′〉 ↔ x = x′ ∧ y = y′.〈x, y〉 = {{{x}, ∅}, {{y}}}

(b) Determinar cuáles de las siguientes propuestas pueden servir como de�niciónde par ordenado.

(b.1) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, y}.(b.2) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, {y, ∅}}.

26 I.9. Ejercicios

(b.3) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, {y}}.

Ejercicio I.9.17. Usando el axioma de regularidad, Ax9, probar que:

∀x (x /∈ x).

Capítulo II

Buenos órdenes. Ordinales

II.1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]]

II.1.A. Introducción

Definición II.1.1. Sean A una clase y < una relación sobre A; es decir, < ⊆A×A. Sean x, y ∈ A. Notaremos(�) x < y si 〈x, y〉 ∈ <.(�) x ≤ y si x < y ∨ x = y.(�) x 6< y si 〈x, y〉 /∈ <.Diremos que < es un buen orden sobre A si(a) < es un orden total sobre A; es decir,(a.1) < es irre�exiva: ∀x ∈ A (x 6< x).(a.2) < es transitiva: ∀x, y, z ∈ A (x < y ∧ y < z =⇒ x < z).(a.3) ∀x, y ∈ A (x ≤ y ∨ y ≤ x).

(b) < es adecuada a izquierda: ∀x ∈ A ({y ∈ A : y < x} es un conjunto).(c) ∀B [B ⊆ A ∧B 6= ∅ =⇒ ∃x (x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (y 6< x))].

Nota II.1.2. Sea < un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A tal que B 6= ∅. PorII.1.1-(c) existe x ∈ A tal que(�) x ∈ B.(�) ∀y ∈ B (x ≤ y), [[el orden es total]].Diremos que x es un elemento <�minimal. Además, el elemento x es único. Nota-remos

x = infA,<(B), o bien x = (µy)A,<(y ∈ B).

Si la clase A y la relación de orden < están determinadas por el contexto, escribi-remos x = inf(B) ó x = (µy)(y ∈ B).

28 II.1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]]

Notas II.1.3. Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Diremos que B es unsegmento inicial de A si:

∀x, y ∈ A [x ∈ B ∧ y < x =⇒ y ∈ B].

Se tiene que

Aserto II.1.3.1. B y C segmentos iniciales =⇒{

B segmento inicial de C ∨C segmento inicial de B

Para todo x ∈ A seaAx = {y ∈ A : y < x}.

Por II.1.1-(b), Ax es un conjunto. Además, Ax es un segmento inicial de A.Puesto que el orden es total, se tiene que:

Aserto II.1.3.2. x 6= y =⇒ Ax 6= Ay. 2

II.1.B. Los teoremas de minimización, inducción y recursión

Teorema II.1.4 (Minimización). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A.Entonces

B 6= ∅ =⇒ ∃x [x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (x ≤ y)].

Notaremos x = inf(B) = (µz)(z ∈ B).

Demostración: Sea a ∈ A tal que a ∈ B. Entonces, por II.1.1-(b),(�) C = {z ∈ A : z ≤ a} es un conjunto.Por tanto, (axioma de separación)(�) D = {z ∈ C : z ∈ B} es un conjunto.Puesto que a ∈ D, D 6= ∅. Por tanto, de II.1.1-(c) se sigue que existe b ∈ A talque b = inf(D). Se tiene que:(�) b ∈ B. [[b ∈ D ⊆ B]].(�) ∀y ∈ B (b ≤ y). [[∀y ∈ D (b ≤ y), {y < b : y ∈ D} = {y < b : y ∈ B}]].Lo que prueba el teorema. ¥

Corolario II.1.5. Sea B un segmento inicial de A. EntoncesB = A ∨ ∃x (B = Ax).

Demostración: Supongamos que B 6= A. Entonces existe x = inf(A − B). Esevidente que B = Ax. ¥

Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales 29

Teorema II.1.6 (Inducción). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Entonces∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B] =⇒ A = B.

La parte ∀y < x (y ∈ B) se denomina hipótesis de inducción.

Demostración: Supongamos lo contrario; es decir,(1) ∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B].(2) ∃x ∈ A (x /∈ B).

(2) =⇒ A−B 6= ∅=⇒ ∃a ∈ A (a = inf(A−B)) [[II.1.4]]=⇒ ∀y < a (y ∈ B)=⇒ a ∈ B [[(1)]].

Lo cual está en contradicción con a ∈ A−B. ¥

Teorema II.1.7 (De�nición por recursión, ZF−∗ ). Sean < un buen orden so-bre A y G : V −→ V. Entonces existe una única función F : A −→ V talque:

∀x ∈ A [F(x) = G(F|Ax)].

Demostración: Existencia: Sea C la clase de�nida por:

f ∈ C ⇐⇒{

f aplicación ∧ dom(f) segmento inicial de A ∧∀y ∈ dom(f) [f(y) = G(f|Ay

)].

Sea F =⋃

C. Las siguientes propiedades son consecuencia inmediata de la de�ni-ción de F:(1) dom(F) =

⋃f∈C dom(f) =

⋃{dom(f) : f ∈ C}.(2) dom(F) es un segmento inicial de A.(3) f, g ∈ C =⇒ dom(f) ⊆ dom(g) ∨ dom(g) ⊆ dom(f).Se tiene que:

Aserto II.1.7.1.(i) f, g ∈ C ∧ dom(f) ⊆ dom(g) =⇒ f = g|dom(f).(ii) F es una función.(iii) f ∈ C ∧ x ∈ dom(f) =⇒ F|Ax

= f|Ax.

(iv) dom(F) = A.Prueba del aserto: ((i)): Observemos que

f = g|dom(f) ⇐⇒ ∀x ∈ dom(f) (f(x) = g(x)).Probaremos, por inducción, la parte derecha de la equivalencia anterior. Seaa ∈ dom(f) tal que ∀x < a [f(x) = g(x)]. Entonces

(∗) f|Aa= g|Aa

.


Por tanto,f(a) = G(f|Aa

) [[f ∈ C y de�nición de C]]= G(g|Aa

) [[(∗)]]= g(a) [[g ∈ C y de�nición de C]].

De lo anterior por II.1.6, ∀x ∈ dom(f) (f(x) = g(x)).((ii), (iii)): Se siguen de (i).((iv)): Supongamos lo contrario. Entonces A− dom(F) 6= ∅. Por tanto, existea = inf(A − dom(F)). Luego, dom(F) = Aa. En consecuencia, dom(F) es unconjunto. Por tanto, F es un conjunto.Sea y ∈ dom(F). Entonces existe f ∈ C tal que y ∈ dom(f). Se tiene que:

F(y) = f(y)= G(f|Ay

) [[f ∈ C]]= G(F|Ay

) [[f|Ay= F|Ay

, (iii)]].De lo anterior se sigue que F ∈ C. Por tanto, F ∪ {〈a,G(F)〉} ∈ C. Luego,a ∈ dom(

⋃C) = dom(F). Contradicción. 2

Como en la prueba de la parte (iv) del aserto anterior se obtiene que para todox ∈ A,

F(x) = G(F|Ax).

Lo que prueba la existencia.Unicidad: Sea F′ : A −→ V tal que para todo x ∈ A,

F′(x) = G(F′|Ax).

Veamos que F = F′. Sea a ∈ A tal que (hipótesis de inducción)∀x < a (F′(x) = F(x)).

EntoncesF(a) = G(F|Aa

)= G(F′|Aa

) [[Hip. Ind. F|Aa= F′|Aa

]]= F′(a).

Lo que prueba la unicidad. ¥

II.1.C. Isomor�smos entre clases bien ordenadas

Definición II.1.8. Sean < una relación de buen orden sobre A y <′ una relaciónde buen orden sobre B.(a) Diremos que una función F : A −→ B es:(a.1) creciente: si ∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ F(x) <′ F(y)).(a.2) un isomor�smo (F : A ∼= B): si F es biyectiva y creciente.


(b) Diremos que A y B son isomorfas, A ∼= B, si existe un isomor�smo de A enB.

En los resultados que siguen < es una relación de buen orden sobre A y <′ es unarelación de buen orden sobre B.

Proposición II.1.9. F : A −→ A creciente =⇒ ∀x ∈ A [x ≤ F(x)].

Demostración: Sea C = {y ∈ A : y ≤ F(y)}. Veamos que A = C. Supongamoslo contrario; es decir, A−C 6= ∅. Entonces por II.1.4 existe a = inf(A−C). Portanto,

a /∈ C =⇒ a 6≤ F(a)=⇒ F(a) < a=⇒ F(F(a)) < F(a) [[F creciente]]=⇒ F(a) ∈ A−C.

Puesto que F(a) < a, lo anterior está en contradicción con a = inf(A−C). ¥

Corolario II.1.10.(a) F : A ∼= A =⇒ F = idA.(b) F,G : A ∼= B =⇒ F = G.

Demostración: ((a)): Supongamos lo contrario; es decir,(�) ∃x ∈ A [x 6= F(x)].Entonces, por II.1.4, existe(�) a = (µx)(x 6= F(x)).En consecuencia, a 6= F(a); luego, por II.1.9, a < F(a). Además, se tiene que:

Aserto II.1.10.1. ∀b ∈ A (F(b) 6= a).Prueba del aserto: Sea b ∈ A. Entonces: b < a ∨ a ≤ b. Además,

b < a =⇒ F(b) = b a ≤ b =⇒ F(a) ≤ F(b)=⇒ F(b) 6= a [[b < a]] =⇒ F(b) 6= a [[a < F(a)]].


El aserto anterior está en contradicción con que F es suprayectiva.((b)): Sean F,G : A ∼= B. Entonces G−1 ◦ F : A ∼= A. Por (a), G−1 ◦ F = idA.Por tanto, F = G. ¥

Corolario II.1.11.(a) A no es isomorfa a una subclase suya estrictamente acotada. Es decir,

C ⊆ A ∧ ∃x ∈ A ∀y ∈ C [y < x] =⇒ A 6∼= C.


(b) A no es isomorfa a una sección inicial suya.(c) Ax

∼= Ay =⇒ x = y.

Demostración: Es evidente que (b) se sigue de (a) y que (c) se sigue de (b).Por tanto, es su�ciente probar (a). Sean C ⊆ A y a ∈ A tales que ∀y ∈ C (y < a).Supongamos que existe F : A ∼= C. Entonces(�) F : A −→ A es creciente, y(�) F(a) ∈ C.Por tanto, F(a) < a. Lo cual está en contradicción con II.1.9. ¥

Lema II.1.12. F : A ∼= B =⇒ ∀x ∈ A [F|Ax: Ax

∼= BF(x)].

Demostración: Sea a ∈ A. Puesto que F es creciente, lo único que es necesarioprobar es que F|Aa

: Aa −→ BF(a) es suprayectiva. Sea b ∈ B tal que b <′ F(a).Puesto que F es biyectiva, existe c ∈ A tal que F(c) = b. Entonces F(c) <′ F(a).Por tanto, c < a; es decir, c ∈ Aa. Luego, b = F(c) = F|Aa

(c). ¥

Teorema II.1.13. Se veri�ca una y sólo una de las condiciones siguientes:(a) A ∼= B.(b) ∃y ∈ B (A ∼= By).(c) ∃x ∈ A (Ax

∼= B).

Demostración: De II.1.11 se sigue que sólo puede darse una de estas condicio-nes. Sea

F = {〈x, y〉 ∈ A×B : Ax∼= By}.

De II.1.11-(c) y II.1.12 se sigue que(�) F : dom(F) ∼= rang(F),(�) dom(F) es un segmento inicial de A y(�) rang(F) es un segmento inicial de B.Se tiene que:

Aserto II.1.13.1. dom(F) = A ∨ rang(F) = B.Prueba del aserto: Supongamos que dom(F) 6= A y rang(F) 6= B. Sean(�) a = inf(A− dom(F)) y b = inf(B− rang(F)).Entonces F : Aa

∼= Bb. Por tanto, 〈a, b〉 ∈ F. Lo cual está en contradiccióncon la de�nición de a y b. 2

De lo anterior se sigue el resultado. ¥


II.2. Números ordinales [[Z−∗ ]]

II.2.A. La clase de los números ordinales

Definición II.2.1. Diremos que una clase A es transitiva, y notaremos Trans(A),si

∀y ∈ A (y ⊆ A).

Lema II.2.2.(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].(b) ∀y ∈ A (Trans(y)) =⇒ Trans(

⋂A) ∧ Trans(

⋃A).

Definición II.2.3 (Ordinales).Ord(x) ⇐⇒ Trans(x) ∧ (∈ relación de buen orden sobre x).

Usaremos α, β, δ, γ, . . . como variables sobre ordinales. Representaremos a la clasede los ordinales por:

Ord = {x : Ord(x)}.

Ejemplos II.2.4.(a) Conjuntos transitivos:(a.1) 0 = ∅, {0}, {0, {0}}. Son también ordinales.(a.2) {0, {0}, {{0}}}. No es ordinal.

(b) {{0}} no es transitivo.

Lema II.2.5.(a) 0 ∈ Ord.(b) α /∈ α.(c) a ∈ α =⇒ a ∈ Ord. Por tanto, Ord es una clase transitiva.(d) α ∪ {α} ∈ Ord.

Demostración: ((a)): Trivial.((b)): Puesto que ∈ es una relación de orden en α, no es re�exiva. Por tanto,α /∈ α.((c)): Puesto que α es transitivo si a ∈ α, a ⊆ α. Puesto que ∈ es un buen ordenen α, 〈a,∈〉 es un buen orden. Por tanto, es su�ciente probar el siguiente aserto.

Aserto II.2.5.1. a es transitivo.Prueba del aserto: Sea b ∈ a. Veamos que b ⊆ a. Sea c ∈ b. Puesto queα es transitivo, a, b, c ∈ α. Puesto que ∈ es una relación de orden en α (enparticular es una relación transitiva),

c ∈ b ∧ b ∈ a =⇒ c ∈ a.Lo que prueba que b ⊆ a. 2

34 II.2. Números ordinales [[Z−∗ ]]

Del aserto se sigue (c).((d)): Por II.2.2-(a), α∪{α} es transitivo. Además, por (b), ∈ es un orden totalsobre α ∪ {α}. Veamos que es un buen orden. Sea B ⊆ α ∪ {α} no vacio. SeaB′ = B ∩ α. Consideremos los siguientes casosCaso 1: B′ 6= ∅. Entonces b = inf(B′) = inf(B).Caso 2: B′ = ∅. Entonces B = {α}. Por tanto, B tiene elemento mininal.De lo anterior se sigue que ∈ bien ordena a α ∪ {α}. ¥

Definición II.2.6.(a) α + 1 = α ∪ {α}.(b) 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, . . . , n + 1 = {0, 1, . . . , n}, . . .

Lema II.2.7. α + 1 = β + 1 ⇐⇒ α = β.

Demostración: Supongamos que α 6= β. Entoncesα + 1 = β + 1 =⇒ α ∪ {α} = β ∪ {β}

=⇒ α ∈ β ∪ {β} ∧ β ∈ α ∪ {α}=⇒ α ∈ β ∧ β ∈ α [[α 6= β]]=⇒ α ∈ α [[α transitivo]].

Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). ¥

II.2.B. Ord como clase bien ordenada

Lema II.2.8. Sean α ∈ Ord y A ⊆ α. Si A es transitivo, entonces(a) A ∈ Ord.(b) A = α ∨A ∈ α.

Demostración: ((a)): Puesto que A ⊆ α, entonces ∈ bien ordena al conjunto A.Puesto que A es transitivo, de lo anterior se sigue que A ∈ Ord.((b)): Supongamos que A 6= α. Sea β = inf(α−A). Por de�nición, β /∈ A. Además,(β ⊆ A): De la de�nición de β se sigue que: ∀γ ∈ β (γ ∈ A).(A ⊆ β): Sea γ ∈ A. Puesto que γ, β ∈ α y ∈ es una relación de orden total sobreα

β = γ ∨ β ∈ γ ∨ γ ∈ β.

Veamos que no se dan los dos primeros casos:(�) Supongamos que β = γ. Entonces β ∈ A. Contradicción.(�) Supongamos que β ∈ γ. Puesto que A es transitivo, β ∈ A. Contradicción.Por tanto, γ ∈ β. Luego, A ⊆ β. ¥


Definición II.2.9. En la clase de los ordinales, Ord, de�nimos la relación < comosigue:

α < β ⇐⇒ α ∈ β.

Lema II.2.10.(a) α ∈ β ⇐⇒ α < β ⇐⇒ α ⊂ β.(b) α ≤ β ⇐⇒ α ⊆ β.

Demostración: (α ∈ β ⇐⇒ α < β): Se tiene por de�nición.(α ∈ β =⇒ α ⊂ β): En efecto,

α ∈ β =⇒{

α ⊆ β [[β transitivo]]α 6= β [[II.2.5-(b)]]

=⇒ α ⊂ β.

(α ⊂ β =⇒ α ∈ β): En efecto,

α ⊂ β =⇒{

α ⊆ βα 6= β

}=⇒ α ∈ β [[α transitivo y II.2.8]].

Lo que prueba el resultado. ¥

Teorema II.2.11. La relación < es un buen orden sobre Ord.

Demostración: El teorema se sigue de II.2.12, II.2.13 y II.2.14. ¥

Lema II.2.12. < es un orden total sobre Ord.

Demostración: (α 6< α): Se sigue de II.2.5-(b).(α < β ∧ β < γ =⇒ α < γ): En efecto,

α < β ∧ β < γ =⇒ α ∈ β ∧ β ∈ γ=⇒ α ∈ γ [[γ es transitivo]]=⇒ α < γ.

(α < β ∨ α = β ∨ β < α): Consideremos el conjunto α ∩ β.Puesto que α ∩ β ⊆ α y, por II.2.2-(b), α ∩ β es transitivo, entonces por II.2.8,α ∩ β es un ordinal. Sea δ = α ∩ β. Entonces(�) δ ⊆ α =⇒ δ ≤ α.(�) δ ⊆ β =⇒ δ ≤ β.Se tiene que:

Aserto II.2.12.1. δ = α ∨ δ = β.Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces δ < α y δ < β. Portanto, δ ∈ α y δ ∈ β. Luego, δ ∈ α ∩ β = δ. Lo cual está en contradicción conII.2.5-(b). 2


Supongamos que δ = α. Entonces α = δ = α ∩ β ⊆ β. Por tanto, α ≤ β. ¥

Lema II.2.13. α = {β : β < α}. Por tanto, ∀α ∈ Ord ((Ord)α es un conjunto).

Demostración: Es consecuencia de II.2.5-(c) y la de�nición de <. ¥

Lema II.2.14. Sea C ⊆ Ord tal que C 6= ∅. Entonces(a) ⋂

C ∈ Ord.(b) inf(C) =

⋂C. Por tanto, C tiene primer elemento.

Demostración: Puesto que C 6= ∅, ⋂C es un conjunto.

((a)): Sea α ∈ C. Entonces(�)

⋂C es un conjunto transitivo. [[II.2.2-(b)]].

(�)⋂

C ⊆ α.Por tanto, de II.2.8 se sigue que

⋂C ∈ Ord.

((b)): Sea β =⋂

C. Se tiene queAserto II.2.14.1. ∀δ ∈ C [β ≤ δ].Prueba del aserto: Sea δ ∈ C. Entonces

δ ∈ C =⇒ ⋂C ⊆ δ

=⇒ β ⊆ δ [[⋂

C = β]]=⇒ β ≤ δ [[II.2.10]].

Lo que prueba el resultado. 2

Aserto II.2.14.2. β ∈ C.Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces

β /∈ C =⇒ ∀δ ∈ C (δ 6= β)=⇒ ∀δ ∈ C (β < δ) [[II.2.14.1]]=⇒ ∀δ ∈ C (β ∈ δ) [[II.2.10]]=⇒ β ∈ ⋂

C = β.

Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). 2

De los asertos se sigue (b). ¥

Teorema II.2.15. Ord es una clase propia.

Demostración: En caso contrario, por II.2.5-(c) y II.2.11, Ord es un ordinal.Por tanto, Ord ∈ Ord. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b). ¥


Corolario II.2.16.(a) Sea A ⊆ Ord tal que Trans(A). Se tiene uno de los siguientes casos:(a.1) A = Ord. Por tanto, A es una clase propia.(a.2) A ∈ Ord. Por tanto, A es un conjunto.

(b) A ⊆ Ord =⇒ ⋃A ∈ Ord. Esto permite de�nir sup(A) =

⋃A.

(c) α + 1 = inf({β : α < β}).

Demostración: ((a)): Supongamos que A 6= Ord. Sea α = ı́nf(Ord−A). Puestoque A es transitiva, como en II.2.8 se obtiene que A = α.((b)): Por II.2.2-(b), ⋃

A es transitivo. Por tanto, el resultado se sigue de (a).((c)): Puesto que α < α + 1, α + 1 ∈ {β : α < β}. Además,

α < β =⇒ α ⊆ β ∧ α ∈ β =⇒ α ∪ {α} ⊆ β =⇒ α + 1 ≤ β.

Por tanto, α + 1 =⋂{β : α < β} = inf({β : α < β}). ¥

II.2.C. Ordinales límites

Definición II.2.17.(a) α sucesor: α ∈ Suc ⇐⇒ ∃β (α = β + 1).(b) α límite: α ∈ Lim ⇐⇒ α 6= 0 ∧ α /∈ Suc.(c) Sea A una clase.

A inductiva ⇐⇒ ∅ ∈ A ∧ ∀y ∈ A (y ∪ {y} ∈ A).

Lema II.2.18.(a) Axioma del In�nito ⇐⇒ ∃A (A conjunto inductivo).(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.

Lema II.2.19. Sea α 6= 0. Son equivalentes:(a) α ∈ Lim.(b) ∀β < α (β + 1 < α).(c) α =

⋃α.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sea β < α. Entonces β + 1 ≤ α. Puesto que α eslímite, α 6= β + 1. Por tanto, β + 1 < α.((b) =⇒ (c)): Por ser α transitivo,

⋃α ⊆ α. Veamos que α ⊆ ⋃

α.β ∈ α =⇒ β < α

=⇒ β + 1 < α [[(b)]]=⇒ β + 1 ∈ α=⇒ β ∈ ⋃

α [[β ∈ β + 1]].


((c) =⇒ (a)): Supongamos que α es sucesor. Sea β ∈ Ord tal que α = β + 1.Entonces ⋃

α =⋃

(β ∪ {β}) = (⋃

β) ∪ β = β 6= α.

Lo cual está en contradicción con (c). ¥

Definición II.2.20. La clase de los números naturales, ω, está de�nida porω = {α ∈ Ord : α /∈ Lim ∧ ∀β ∈ α (β /∈ Lim)}.

Lema II.2.21.(a) ω es transitiva (como clase).(b) ω es inductiva (como clase).(c) A inductiva =⇒ ω ⊆ A.

Demostración: ((a) y (b)): Ejercicios.((c)): Sea A una clase inductiva. Veamos que ω ⊆ A. Es decir, veamos que

∀α (α ∈ ω =⇒ α ∈ A).

Procedemos por inducción sobre Ord. Supongamos que, hipótesis de inducción,∀β < α (β ∈ ω =⇒ β ∈ A).

Veamos queα ∈ ω =⇒ α ∈ A.

Supongamos que α ∈ ω. Entonces α = 0 ∨ α ∈ Suc. Consideremos los siguientescasos:Caso 1: α = 0. Entonces de A inductiva se sigue que α ∈ A.Caso 2: α ∈ Suc. Entonces existe β ∈ Ord tal que α = β + 1. Por tanto,

α ∈ ω =⇒ β ∈ ω [[β < α y (a)]]=⇒ β ∈ A [[Hip. Ind. [[β < α]]]]=⇒ β + 1 ∈ A [[A inductiva]]=⇒ α ∈ A [[α = β + 1]].

Lo que prueba (c). ¥

Lema II.2.22 (Ax. In�nito).(a) ω es un conjunto.(b) ω =

⋂{A : A conjunto inductivo}(c) ω ∈ Ord.(d) ω ∈ Lim.(e) ω = inf({α : α ∈ Lim}).


Demostración: ((a)): Por el Axioma del In�nito y II.2.18-(a) existe un conjuntoinductivo, A. Por II.2.21-(c), ω ⊆ A. Por tanto, ω es un conjunto.((b)): Ejercicio.((c)): Puesto que ω ⊆ Ord y, por II.2.21-(a), es transitivo, entonces de II.2.16-(a) se sigue que ω ∈ Ord.((d)): Por II.2.21-(b), ω es inductivo. Por tanto, de (c) y II.2.18-(b) se sigueque ω ∈ Lim.((e)): Se tiene que:

α ∈ Lim =⇒ α inductivo [[II.2.18-(b)]]=⇒ ω ⊆ α [[(b)]]=⇒ ω ≤ α.

Por tanto, ω = inf({α : α ∈ Lim}). ¥

Lema II.2.23. Son equivalentes:(a) Axioma del In�nito.(b) ω es un conjunto.

Notas II.2.24 (ZF−∗ ). Lista de ordinales:0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2 = (ω + 1) + 1, ω + 3, . . .

Para obtener ω + ω necesitamos el Axioma de Reemplazamiemto, puesω + ω = sup({ω + n : n ∈ ω}).

II.2.D. Conjuntos bien ordenados y ordinales

Lema II.2.25. α ∼= β =⇒ α = β.

Demostración: Supongamos que α < β. Entonces α ∼= β está en contradiccióncon II.1.11-(a). ¥

Teorema II.2.26 (ZF−∗ ). Sea A una clase bien ordenada. Se tiene una y sólouna de las siguientes posibilidades:(a) A ∼= Ord. Por tanto, A es una clase propia.(b) ∃!α ∈ Ord [A ∼= α]. Por tanto, A es un conjunto.

Demostración: Se sigue de II.1.13. ¥

Definición II.2.27 (ZF−∗ ). Sea 〈A,<〉 un conjunto bien ordenado.OT(〈A,<〉) = α ⇐⇒ 〈A,<〉 ∼= α.

40 II.3. El teorema del buen orden [[ZF∗]]

II.2.E. Teoremas de inducción y recursión sobre Ord

Teorema II.2.28 (Inducción). Sea C ⊆ Ord una clase.(a) (1a forma): ∀α [∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C] =⇒ C = Ord.(b) (2a forma): Si(b.1) 0 ∈ C,(b.2) α ∈ C =⇒ α + 1 ∈ C, y(b.3) ∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C, si α es límite,

entonces C = Ord.

Teorema II.2.29 (Recursión, (ZF−∗ )).(a) Sea G : V −→ V una función. Existe una única función F : Ord −→ V tal

que:F(α) = G(F|α).

(b) Sean a un conjunto y G,H : V −→ V funciones. Existe una única funciónF : Ord −→ V tal que

(b.1) F(0) = a,(b.2) F(α + 1) = G(F(α)), y(b.3) F(α) = H({F(β) : β < α}); si α es límite.

II.3. El teorema del buen orden [[ZF∗]]

Definición II.3.1. Un conjunto A es bien ordenable (o puede ser bien ordenado)si existe un buen orden sobre A; es decir,

A bien ordenable ⇐⇒ ∃R (R buen orden sobre A).

Lema II.3.2. Sea A un conjunto.(a) Si existe f : A −→ Ord inyectiva, entonces A es bien ordenable.(b) Si existen δ ∈ Ord y f : δ −→ A biyectiva, entonces A es bien ordenable.

Demostración: La parte (b) se sigue de (a). Probemos (a). Sea f : A −→ Ordinyectiva. Consideremos la relación <′ sobre A de�nida como sigue:

x <′ y ⇐⇒ f(x) < f(y).Es evidente que <′ bien ordena al conjunto A. ¥

Teorema II.3.3. (Teorema del Buen Orden (Zermelo), (AC)) Todo con-junto puede ser bien ordenado.


Demostración: Sean A un conjunto y G una función de elección sobre P(A).Por recursión de�nimos F : Ord −→ A. Sea a ∈ A. [[Recordar que F[α] = {F(β) :β ∈ α}]].

F(α) ={

G(A− F[α]), si A 6= F[α];a, en caso contrario.

Se tiene que:Aserto II.3.3.1. ∃α ∈ Ord (A = F[α]).Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sean β1 < β2 ∈ Ord. Entonces

β1 < β2 =⇒ F(β1) ∈ F[β2];A 6= F[β2] =⇒ F(β2) = G(A− F[β2]) ∈ A− F[β2]

}=⇒ F(β2) 6= F(β1).

Por tanto, F es inyectiva. Luego, por I.8.7, Ord es un conjunto. Lo cual estáen contradicción con II.2.15. 2

Sean(�) δ = inf({α : A = F[α]}), y(�) H = F|δ.Entonces H es un conjunto. Además, puesto que H[δ] = F[δ] = A, H es suprayec-tiva. Como en el aserto se prueba que H es inyectiva. Por tanto, H : δ −→ A esbiyectiva. Luego, II.3.2, A es bien ordenable. ¥

Teorema II.3.4 (Zermelo). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Se sigue de II.3.3.((b) =⇒ (a)): Sea < un buen orden sobre

⋃A. Sea F : A −→ V la aplicación

de�nida por:

F (B) ={inf<(B), si B 6= ∅;∅, si B = ∅.

Sea B ∈ A tal que B 6= ∅. Puesto que B ⊆ ⋃A, entonces F (B) = inf(B) ∈ B. Por

tanto, F es un función de elección sobre A. ¥

II.4. Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]]

Definición II.4.1.(a) Una α�sucesión es una aplicación de dominio α.(b) Una sucesión es una función de dominio Ord. Una sucesión F es un sucesión

de ordinales si rang(F) ⊆ Ord.(c) Sea F una sucesión de ordinales.

42 II.4. Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]]

(c.1) F es continua si para todo α ∈ Limsup({F(β) : β < α}) = F(α).

(c.2) F es normal si: F es creciente y continua.

Lema II.4.2.(a) Sea F continua. Son equivalentes:(a.1) F es normal.(a.2) ∀α [F(α) < F(α + 1)].

(b) F normal ∧ α ∈ Lim =⇒ F(α) ∈ Lim.(c) F y G normales =⇒ F ◦G normal.

Lema II.4.3. ∀α ∃β > α [β ∈ Lim].

Demostración: Sea F : ω −→ Ord la función de�nida por recursión:(�) F (0) = α.(�) F (n + 1) = F (n) + 1.Sea β = sup({F (n) : n ∈ ω}). Entonces

α = F (0) < F (1) ≤ β.Veamos que β es límite. Sea γ < β. Entonces existe n ∈ ω tal que γ < F (n). Portanto,

γ + 1 ≤ F (n) < F (n) + 1 = F (n + 1) ≤ β.Lo que prueba el lema. ¥

Lema II.4.4. Sea F una función normal y β ∈ Ord tal que F(0) ≤ β. Entonces∃α [F(α) ≤ β ∧ ∀γ (α < γ =⇒ β < F(γ))].

Es decir, ∃α [F(α) ≤ β < F(α + 1)].

Demostración: Puesto que F es creciente, {γ : β < F(γ)} 6= ∅. Por tanto, existeδ = inf({γ : β < F(γ)}).

Puesto que F(0) ≤ β, δ 6= 0. Además, se tiene que:Aserto II.4.4.1. δ es sucesor.Prueba del aserto: De la de�nición de δ se sigue que(1) ∀γ < δ (F(γ) ≤ β).Supongamos que δ no es sucesor. Puesto que δ 6= 0, entonces δ es límite. Portanto,

F(δ) = sup({F(γ) : γ < δ}) [[F continua]]≤ β [[(1)]].

Lo cual está en contradicción con la de�nición de δ. 2


Por el aserto, existe α tal que δ = α+1. Puesto que F es creciente, de la de�niciónde δ se sigue que

F(α) ≤ β ∧ ∀γ [α < γ =⇒ β < F(γ)].Lo que prueba el resultado. ¥

Teorema II.4.5 (Punto �jo). F normal =⇒ ∀α ∃β ≥ α (F(β) = β).

Demostración: Sea G : ω −→ Ord de�nida por:(�) G(0) = α.(�) G(n + 1) = F(G(n)).Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Veamos que F(β) = β. Si F(α) = α, el resultado estrivial. Supongamos que α < F(α). Entonces

Aserto II.4.5.1. β es límite.

Se tiene que:F(β) = sup({F(γ) : γ < β}) [[Aserto, F continua]]

= sup({F(G(n)) : n ∈ ω}) [[Ejercicio]]= sup({G(n + 1) : n ∈ ω})= β.


Nota II.4.6. Sea β el ordinal obtenido en la prueba anterior. Se tiene que:(�) β = inf({γ : α ≤ γ ∧ F(γ) = γ}), y(�) F(α) 6= α =⇒ β ∈ Lim ∧ cf(β) = ω. [[Ver III.9.1]].

II.5. Aritmética ordinal [[ZF−∗ ]]

Definición II.5.1.(a) Suma.

(�) α + 0 = α,(�) α + (β + 1) = (α + β) + 1,(�) α + β = sup({α + γ : γ < β}), si β es límite.

(b) Producto.(�) α · 0 = 0,(�) α · (β + 1) = α · β + α,(�) α · β = sup({α · γ : γ < β}), si β es límite.

(c) Exponenciación.(�) α0 = 1,

44 II.5. Aritmética ordinal [[ZF−∗ ]]

(�) αβ+1 = αβ · α,(�) αβ = sup({αγ : 0 < γ < β}), si β es límite.

Proposición II.5.2.(a) (Propiedades de la Suma).(a.1) (Normal) Para todo α la función Fα : Ord −→ Ord, de�nida por:

Fα(β) = α + β

es normal.(a.2) (Asociativa) (α + β) + γ = α + (β + γ).(a.3) No es conmutativa. [[1 + ω 6= ω + 1]].

(b) (Propiedades del Producto).(b.1) (Normal) Para todo α ≥ 1 la función Fα : Ord −→ Ord de�nida por:

Fα(β) = α · βes normal.

(b.2) (Distributiva (por la izquierda)) α · (β + γ) = α · β + α · γ.(b.3) (Asociativa) α · (β · γ) = (α · β) · γ.(b.4) No es conmutativa. [[2 · ω 6= ω · 2]].(b.5) No es distributiva por la derecha. [[(1 + 1) · ω = 2 · ω 6= ω · 2 = ω + ω =

1 · ω + 1 · ω]].(c) (Propiedades de la Exponenciación).(c.1) (Normal) Para todo α ≥ 2 la función Fα : Ord −→ Ord de�nida por:

Fα(β) = αβ

es normal.(c.2) αβ · αγ = αβ+γ .(c.3) (αβ)γ = αβ·γ .

Nota II.5.3. Las operaciones anteriores permiten ampliar la lista de ordinales:0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . ,

ω · 2 = ω + ω, ω · 2 + 1, . . . , ω · 3, . . . , ω · 4, . . . , ω · ω = ω2, . . . , ω3, . . . ,

ωω, . . . , ωω · ω = ωω+1, . . . , ωω2, . . . , ωωω

, . . .

Se de�ne:ε0 = sup({F(n) : n ∈ ω})

donde F : ω −→ Ord es la función de�nida por: F(n) =

{ω, si n = 0;

ωF(m), si n = m + 1.

Lema II.5.4. β ≤ γ =⇒

β + α ≤ γ + α

β · α ≤ γ · αβα ≤ γα


Lema II.5.5. α ≤ γ =⇒ ∃!β (α + β = γ).

Lema II.5.6. ∀α ∀β > 0 ∃!σ, ρ (α = β · σ + ρ ∧ 0 ≤ ρ < β ∧ σ ≤ α).

Lema II.5.7. Para cualesquiera α > 0 y β > 1, existen γ, δ, ρ únicos tales que:0 < δ < β ∧ ρ < βγ ∧ α = βγ · δ + ρ.

Teorema II.5.8 (Forma Normal de Cantor). Sea β > 1. Para todo α > 0existen k ∈ ω, γ0, . . . , γk, δ0, . . . , δk únicos tales que:(a) γ0 > γ1 > . . . > γk.(b) ∀i ≤ k (0 < δi < β).(c) α = βγ0 · δ0 + βγ1 · δ1 + · · ·+ βγk · δk.

II.6. Números naturales [[ZF−∗ ]]

Definición II.6.1. Recordemos que (ver II.2.20) ω es el conjunto de los núme-ros naturales. De�nimos [[usaremos n,m, i, j, . . . como variables sobre númerosnaturales]]

x es un número natural ⇐⇒ x ∈ ω.

Teorema II.6.2. Sea A una clase.(a) Principio de Inducción.(a.1) (Primera versión): 0 ∈ A∧ ∀n ∈ ω (n ∈ A =⇒ n+1 ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.(a.2) (Segunda versión): ∀n ∈ ω (∀m < n (m ∈ A) =⇒ n ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.

(b) Teorema de Recursión. Para cualesquiera a ∈ A y G : A×ω −→ A, existeuna única F : ω −→ A tal que

F(0) = a,F(n + 1) = G(F(n), n).

Proposición II.6.3. Para todo n,m ∈ ω,(a) n + m = m + n.(b) n ·m = m · n.

Definición II.6.4 (La función de Cantor).(a) Sea J : ω2 −→ ω la función de�nida por

J(n,m) = (n + m) · (n + m + 1)2 + n.

(b) Sean K, L : ω −→ ω las funciones de�nidas porK(i) = inf({n ∈ ω : ∃m ∈ ω (J(n,m) = i)});L(i) = inf({m ∈ ω : ∃n ∈ ω (J(n,m) = i)}).

46 II.7. Ejercicios

Lema II.6.5.(a) J es biyectiva.(b) Para todo i ∈ ω, J(K(i), L(i)) = i.

II.7. Ejercicios

Ejercicio II.7.1 (II.1.3).(a) x 6= y =⇒ Ax 6= Ay.

(b) B y C segmentos iniciales =⇒{

B segmento inicial de C ∨C segmento inicial de B

Ejercicio II.7.2 (II.2.2).(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].(b) Si ∀y ∈ A (Trans(y)), entonces Trans(

⋂A) y Trans(

⋃A).

Ejercicio II.7.3.(a) Trans(A) ⇐⇒ ⋃

A ⊆ A ⇐⇒ A ⊆ P(A).(b) Trans(A) =⇒ Trans(

⋃A).

Ejercicio II.7.4 (II.2.18).(a) Axioma del In�nito ⇐⇒ ∃A (A conjunto inductivo).(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.

Ejercicio II.7.5 (Ax. In�nito, (II.2.22)). ω =⋂{A : A inductivo}.

Ejercicio II.7.6 (II.2.23). Son equivalentes:(a) El Axioma del In�nito.(b) ω es un conjunto.

Ejercicio II.7.7 (II.4.5.1). Sea F una función normal. Sea G : ω −→ Ord laaplicación de�nida por:

G(0) = α, G(n + 1) = F(G(n)).

Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Probar que si α < F(α), entonces β es límite.

Ejercicio II.7.8 (II.6.3). Para todo n, m ∈ ω,(a) n + m = m + n.(b) n ·m = m · n.

Ejercicio II.7.9 (II.6.5).(a) J es biyectiva.


(b) Para todo i ∈ ω, J(K(i), L(i)) = i.

Ejercicio II.7.10. Sean A una clase, F : A −→ A y B ⊆ A. Probar que existeC ⊆ A tal que(a) B ⊆ C.(b) ∀x (x ∈ C =⇒ F(x) ∈ C).(c) Para toda clase C′ ⊆ A

B ⊆ C′ ∧ ∀x ∈ C′(F(x) ∈ C′) =⇒ C ⊆ C′.

Ejercicio II.7.11. Sean α, β ∈ Ord.(a) Sean

(�) Conjunto: A = α× {0} ∪ β × {1}.(�) Relación: 〈〈γ1, δ1〉, 〈γ2, δ2〉〉 ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2).Se tiene que: α + β ∼= 〈A,R〉

(b) Sean(�) Conjunto: A = α× β.(�) Relación: 〈〈γ1, δ1〉, 〈γ2, δ2〉〉 ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2).Se tiene que: α · β ∼= 〈A,R〉.

(c) Sean(�) Conjunto: Ex(α, β) = {f : f : β −→ α ∧ {δ ∈ β : f(δ) 6= 0} es �nito }.(�) Relación: 〈f, g〉 ∈ R ⇐⇒ (γ = sup({δ ∈ β : f(δ) 6= g(δ)} → f(γ) < g(γ)).Se tiene que: αβ ∼= 〈Ex(α, β), R〉.

Ejercicio II.7.12. De�nir sobre ω dos buenos órdenes <1, <2 tales que:〈ω,<1〉 ∼= ω + ω 〈ω, <2〉 ∼= ω · 3.

Ejercicio II.7.13. Sea F : Ord −→ Ord la función de�nida porF(α) = (ωω + ω) · α.

(a) ¾Es F normal?(b) Sea A = {α : F(α) = α}. Demostrar que existe un único isomor�smo, G, de

Ord en A.(c) Calcular G(0), G(1), G(2) y G(ω).

Ejercicio II.7.14. Si f, g ∈ 2ω seanf,g = inf({m ∈ ω : f(m) 6= g(m)}.

En el conjunto 2ω (= {f : f : ω −→ 2}) de�nimos la relación C como sigue:f C g ⇐⇒ f(nf,g) < g(nf,g).

¾Es C una relación de orden total? ¾Es C una relación de buen orden?

48 II.7. Ejercicios

Ejercicio II.7.15. Probar que el conjunto {A ⊆ ω : ∃n (A ∼ n)} es bien orde-nable. (Sin usar el axioma de elección).

Ejercicio II.7.16.(a) Probar que Ord<ω = {f : f aplicación ∧ dom(f) ∈ ω ∧ rang(f) ⊂ Ord} es

una clase propia.(b) Sobre Ord<ω de�nimos la siguiente relación, C,. Sea, f, g ∈ Ord<ω

f C g ⇐⇒

sup(rang(f)) < sup(rang(g)) ∨[sup(rang(f)) = sup(rang(g)) ∧ dom(f) < dom(g)] ∨{

[sup(rang(f)) = sup(rang(g)) ∧ dom(f) = dom(g)] ∧∃k ∈ dom(f) (f|k = g|k ∧ f(k) < g(k)).

Probar que(b.1) ∀g ∈ Ord<ω ({f ∈ Ord<ω : f C g} es un conjunto).(b.2) C es un buen orden sobre Ord<ω.(b.3) Existe un isomor�smo F : Ord −→ Ord<ω. Calcular F(0), F(ω), F(ω+ω).

Ejercicio II.7.17.(a) Sean k ∈ ω, 0 < ni, 0 ≤ i ≤ k, y γ0 > γ1 > . . . > γk. Probar que(a.1) Si 0 < m, entonces

(ωγ0 · n0 + · · ·+ ωγk · nk) ·m = ωγ0 · n0 ·m + ωγ1 · n1 + · · ·+ ωγk · nk.(a.2) (ωγ0 · n0 + · · ·+ ωγk · nk) · ω = ωγ0+1.(a.3) (ωγ0 · n0 + · · ·+ ωγk · nk) · ωγ = ωγ0+γ .

(b) Sean α < β. Probar que:(b.1) ωα + ωβ = ωβ .(b.2) ∀n, m > 0 (ωα · n + ωβ ·m = ωβ ·m).

Ejercicio II.7.18. Encontrar el menor ordinal α tal que(a) ω + α = α.(b) ω < α y ∀β < α (β + α = α).(c) 0 < α y ω · α = α.(d) ω < α y ∀β < α (β · α = α).(e) ωα = α.(f) ω < α y (∀β)1<β<α (βα = α).

Ejercicio II.7.19. Encontrar A ⊆ Q tal que 〈A,<Q〉 ∼= α donde(a) α = ω + 1.(b) α = ω · 2.(c) α = ω · 3.(d) α = ω2.

Capítulo III

Cardinales

III.1. El número de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]]

Definición III.1.1. Sean A y B dos conjuntos.(a) Diremos que A y B son equipotentes, y notaremos A ∼ B o |A| = |B|, si existe

una biyección de A en B; esto es,A ∼ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B biyectiva).

Si |A| = |B|, diremos que A y B tienen el mismo cardinal.(b) A ¹ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B inyectiva). También escribiremos |A| ≤ |B|.(c) A ≺ B ⇐⇒ A ¹ B ∧ A 6∼ B. También escribiremos |A| < |B|.

Notas III.1.2.(a) La relación ∼ es de equivalencia.(b) Observemos que |A| = |B| es tan sólo una notación. En la de�nición anterior

no se ha asignado al conjunto A un conjunto |A|. Por tanto, el símbolo = enla expresión |A| = |B| no tiene sentido de igualdad conjuntista.

Teorema III.1.3 (Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor).|A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|.

Demostración: Sean F : A −→ B y G : B −→ A inyectivas. Por recursión sobren ∈ ω de�nimos la siguiente sucesión, {An : n ∈ ω}:(�) A0 = A−G[B].(�) An+1 = G[F [An]].Sea A∗ =

⋃{An : n ∈ ω}. Sea H : A −→ G[B] la aplicación de�nida por:

H(a) ={

G(F (a)), si a ∈ A∗;a, en caso contrario.

Se tiene que:

50 III.1. El número de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]]

Aserto III.1.3.1.(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1.(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗.

(iii) n 6= m =⇒{

An ∩Am = ∅.F [An] ∩ F [Am] = ∅.

(iv) H es biyectiva.

Del aserto, se sigue que |A| = |G[B]|. Por tanto, |A| = |G[B]| = |B|. En conse-cuencia, |A| = |B|. Lo que prueba el resultado. ¥

Corolario III.1.4. A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C| =⇒ |B| = |C|.

Definición III.1.5.(a) Sea A un conjunto bien ordenable. De�nimos el cardinal de A como sigue

card(A) = inf({α ∈ Ord : A ∼ α}).(b) Sea α ∈ Ord. Diremos que α es un cardinal, y notaremos α ∈ Card, si

card(α) = α, es decir,Card = {α ∈ Ord : ∀β < α [α 6∼ β]}

= {α ∈ Ord : ∀β < α (|α| 6≤ |β|)}.Usaremos κ, λ, . . . como variables sobre ordinales que son cardinales.

Lema III.1.6.(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 /∈ Card.(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.

Lema III.1.7.(a) card(α) = (µβ)(α ∼ β).(b) card(α) ∈ Card.(c) card(α) ≤ α.(d) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).(e) card(card(α)) = card(α).

Lema III.1.8. C ⊆ Card =⇒ ⋃C ∈ Card.

Demostración: Sea β =⋃

C. Supongamos que β no es un cardinal. Entoncesexisten α < β y F : β −→ α inyectiva. Puesto que α < β, existe λ ∈ C tal queα < λ. Además, λ ≤ β. Por tanto, F|λ : λ −→ α inyectiva. Contradicción con λcardinal. ¥

Capítulo III. Cardinales 51

III.2. Conjuntos �nitos

III.2.A. Álgebra de conjuntos �nitos [[Z−∗ ]]

Definición III.2.1.(a) A �nito ⇐⇒ ∃n ∈ ω (n ∼ A).(b) Diremos que A es in�nito si no es �nito.Notaremos por Fin a la clase de los conjuntos �nitos; es decir,

Fin = {A : A conjunto �nito}.

Lema III.2.2.(a) ∀n ∈ ω (n ∈ Fin).(b) A ∈ Fin =⇒ A ∪ {a} ∈ Fin.

Demostración: ((a)): Trivial, para todo n ∈ ω, n ∼ n.((b)): Podemos suponer que a /∈ A. Por hipótesis, existen n ∈ ω y f : n −→ Abiyectiva. Sea g : n + 1 −→ A ∪ {a} la aplicación de�nida por:

g(k) ={

f(k), si k < n;a, si k = n.

Es decir, g = f ∪ {〈n, a〉}: Por tanto, g es un conjunto. Además, g es biyectiva.Por tanto, A ∪ {a} es �nito. ¥

Teorema III.2.3 (Inducción sobre conjuntos �nitos). Sea C una clase.∅ ∈ C ∧ ∀A∀y /∈ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C] =⇒ Fin ⊆ C.

Demostración: Sea C una clase tal que:(i) ∅ ∈ C, y(ii) ∀A∀y /∈ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C].Veamos que Fin ⊆ C. Para ello es su�ciente probar que:

Aserto III.2.3.1. ∀n ∈ ω ∀A (n ∼ A =⇒ A ∈ C).Prueba del aserto: Por indución sobre n ∈ ω.(n = 0): Si 0 ∼ A, entonces A = ∅. Por tanto, de (i) se sigue que A ∈ C.(n =⇒ n + 1): Sea A un conjunto tal que n + 1 ∼ A. Sea f : n + 1 −→ Abiyectiva. Puesto que n ∼ f [n], por hipótesis de inducción, f [n] ∈ C. Portanto, de (ii) se sigue que f [n] ∪ {f(n)} ∈ C. Puesto que f [n] ∪ {f(n)} = A,entonces A ∈ C. 2

Del aserto se sigue el teorema. ¥

52 III.2. Conjuntos �nitos

Proposición III.2.4. Sea F una función.A ∈ Fin =⇒ F[A] es un conjunto ∧ F[A] ∈ Fin.

Demostración: Por inducción sobre conjuntos �nitos usando la claseC = {A : F[A] es un conjunto �nito}.

(∅): F[∅] = ∅ y ∅ es un conjunto �nito.(A =⇒ A ∪ {x}): En efecto,

F[A ∪ {x}] = F[A] ∪ {F(x)}.Por hipótesis de inducción, F[A] es un conjunto �nito. Por tanto, de III.2.2-(b)se sigue que F[A ∪ {x}] es un conjunto �nito. ¥

Proposición III.2.5. A, B ∈ Fin =⇒ A ∪B ∈ Fin.

Demostración: Sea B un conjunto �nito. Veamos que para todo A

A ∈ Fin =⇒ A ∪B ∈ Fin.

Por inducción sobre conjuntos �nitos usando la claseC = {A : A ∪B ∈ Fin}.

(∅): Pues ∅ ∪B = B y B es �nito.(A =⇒ A ∪ {x}): Entonces

(A ∪ {x}) ∪B = (A ∪B) ∪ {x}.Por hipótesis de inducción A ∪B es �nito. Por tanto, de III.2.2-(b) se sigue queel conjunto (A ∪B) ∪ {x} es �nito. En consecuencia, (A ∪ {x}) ∪B es �nito. ¥

Proposición III.2.6.(a) |A| = |B| =⇒ (A ∈ Fin ⇐⇒ B ∈ Fin).(b) B ⊆ A ∧ A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒ ⋃

A ∈ Fin.(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.(e) A,B ∈ Fin =⇒ A×B ∈ Fin.(f) B /∈ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].(g) A ∈ Fin ∧ y /∈ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.(h) A ∈ Fin ∧ B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.

Teorema III.2.7. A ∈ Fin =⇒ ∃f{

f aplicación ∧ dom(f) = A ∧∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Demostración: Por inducción sobre conjuntos �nitos usando la clase


C = {A : ∃f [dom(f) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y)]}.(∅): Trivial. ∅ es una función de elección sobre ∅.(A =⇒ A∪{a}): Supongamos que a /∈ A y a 6= ∅. Por hipótesis de inducción existef tal que f es una función de elección sobre A. Sean b ∈ a y g = f ∪ {〈a, b〉}. Esevidente que g es una función de elección sobre A ∪ {a}. ¥

Proposición III.2.8.(a) ∀n,m ∈ ω (n ∼ m ⇐⇒ n = m).(b) ∀n ∈ ω [n ∈ Card].(c) (Ax. Inf.) ω ∈ Card ∧ ω /∈ Fin.

Demostración: ((a)): Por inducción sobre n ∈ ω probaremos que∀m (n ∼ m =⇒ n = m).

(n = 0): Sea m ∈ ω tal que 0 ∼ m. Entonces m = 0.(n =⇒ n + 1): Sea m ∈ ω tal que n + 1 ∼ m. Puesto que n + 1 6= ∅, m 6= ∅. Portanto, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Sea f : n + 1 −→ k + 1 biyectiva. De�nimosg : n −→ k como sigue

g(a) ={

f(a), si f(a) 6= k;f(n), si f(a) = k.

Es evidente que g es biyectiva. Entonces, por hipótesis de inducción, n = k. Portanto, n + 1 = k + 1 = m.((b)): Se sigue de (a).((c)): Puesto que ω =

⋃{n : n ∈ ω}, de (b) y III.1.8 se sigue que ω ∈ Card.Por tanto, para todo α < ω, α 6∼ ω. En consecuencia, ω /∈ Fin. ¥

III.2.B. Conjuntos D��nitos [[ZF−∗ ]]

Definición III.2.9 (Dedekind�in�nito).A es D�in�nito ⇐⇒ ∃B ⊆ A (B ∼ ω) ⇐⇒ ω ≤ |A|.

Proposición III.2.10.(a) A D�in�nito =⇒ A in�nito.(b) (AC) A in�nito =⇒ A D�in�nito.

Demostración: ((a)): Sea B ⊆ A tal que B ∼ ω. Entonces B es in�nito. Portanto, A es in�nito.((b)): Nota: La prueba que presentamos usa el axioma de las partes.

54 III.3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

Por el teorema del buen orden, A es bien ordenable. Por tanto, existe α ∈ Ord talque A ∼ α. Puesto que A es in�nito, ω ≤ α. Sea G : α −→ A biyectiva. EntoncesG[ω] ⊆ A y G[ω] ∼ ω. Por tanto, A es D�in�nito. ¥

Proposición III.2.11. A D�in�nito ⇐⇒ ∃B (B ⊂ A ∧ |A| = |B|).

Demostración: (=⇒): Sea F : ω −→ A inyectiva. Sean B = A− {F (0)} (luego,B ⊂ A) y G : A −→ B la aplicación de�nida por:

G(a) ={

F (n + 1), si a = F (n);a, en caso contrario.

Es evidente que G es biyectiva; luego, |A| = |B|.(⇐=): Sean F : A −→ B biyectiva y a ∈ A−B. De�nimos G : ω −→ A

(�) G(0) = a.(�) G(n + 1) = F (G(n)).Es decir, G(n) = Fn(a). Es evidente que G es inyectiva. Luego ω ∼ G[ω] ⊆ A. ¥

III.3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

Definición III.3.1. A numerable ⇐⇒ A �nito ∨ A ∼ ω.

Proposición III.3.2. Sea A ⊆ ω. Son equivalentes.(a) card(A) = ω.(b) A es in�nito.(c) A es no acotado.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Se sigue de ω in�nito.((b) =⇒ (c)): Supongamos que A es acotado. Entonces existe n ∈ ω tal que paratodo m ∈ A, m < n. Entonces A ⊆ n. Por tanto, A es �nito. Contradicción.((c) =⇒ (a)): De�nimos F : ω −→ A como sigue(�) F (0) = inf(A).(�) F (n + 1) = inf(A− {F (k) : k ≤ n}) = inf(A− F [n + 1]).Entonces F es biyectiva. Por tanto, card(A) = ω. ¥

Proposición III.3.3. A numerable ⇐⇒ ∃f (f : A −→ ω inyectiva) ⇐⇒ |A| ≤ ω.

Corolario III.3.4. Sea A un conjunto numerable.(a) B ⊆ A =⇒ B numerable.


(b) A in�nito ⇐⇒ card(A) = ω.

Demostración: ((a)): Sea f : A −→ ω. inyectiva. Entonces f|B : B −→ ωinyectiva. Por tanto, B es numerable.((b)): (=⇒): Puesto que A no es �nito, entonces A ∼ ω. Por tanto, card(A) = ω.(⇐=): Trivial, ω es in�nito. ¥

Proposición III.3.5. dom(f) = ω =⇒ rang(f) numerable.

Demostración: De�nimos G : rang(f) −→ ω porG(a) = inf({n ∈ ω : f(n) = a}).

Puesto que G es inyectiva, rang(G) es numerable. ¥

Proposición III.3.6. card(A) = card(B) = ω =⇒{card(A ∪B) = ω;card(A×B) = ω.

Demostración: (A ∪B): Se tiene queAserto III.3.6.1. ω ¹ A ∪B.

Aserto III.3.6.2. A ∪B ¹ ω.Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. De�nimosH : A ∪B −→ ω como sigue

H(x) ={

2 · F (x), si x ∈ A;2 ·G(x) + 1, si x ∈ B −A.

Es evidente que H es inyectiva. 2

De los asertos y III.1.3 se sigue que ω = card(A ∪ B). Por tanto, A ∪ B esnumerable.(A×B): En efecto,

Aserto III.3.6.3. ω ¹ A×B.Prueba del aserto: Sean b ∈ B y F : ω −→ A inyectiva. De�nimos la funciónG : ω −→ A×B como sigue:

G(n) = 〈F (n), b〉.Es evidente que G es inyectiva. 2

Aserto III.3.6.4. A×B ¹ ω.Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. De�nimosH : A×B −→ ω como sigue:

H(x, y) = 2F (x) · 3G(y).Es evidente que H es inyectiva. 2

56 III.3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

Por los asertos y III.1.3, ω = card(A×B). Por tanto, A×B es numerable. ¥

Proposición III.3.7 (AC). Sea {An : n ∈ ω} una familia de conjuntos numera-bles. Entonces

⋃n∈ω An es numerable.

Demostración: Para cada n ∈ ω seaA′n = An −

⋃m<n Am.

Es evidente que⋃

n∈ω An =⋃

n∈ω A′n y que la familia {A′n : n ∈ ω} es disjunta.Además, para cada n ∈ ω, |A′n| ≤ ω. Por tanto, existe Fn : A′n −→ ω inyectiva.Sea H :

⋃n∈ω An −→ ω × ω la aplicación de�nida por:

H(a) = 〈Fn(a), n〉 ⇐⇒ a ∈ A′n.

Puesto que H[⋃

n∈ω An] ⊆ ω×ω y H es inyectiva, entonces⋃

n∈ω An es numerable.¾Sobre qué conjunto se usa el Axioma de Elección en la prueba anterior? ¾Se usael Axioma de las partes? ¥

Definición III.3.8.(a) Sea n ∈ ω. An = {g : g : n −→ A}.(b) A<ω =

⋃{An : n ∈ ω}.

Proposición III.3.9.(a) Para todo n ∈ ω, An es un conjunto.(b) A<ω es un conjunto.

Proposición III.3.10. Si card(A) = ω, entonces(a) ∀n > 0 (card(An) = ω).(b) card(A<ω) = ω.(c) Sea P<ω(A) = {B ⊆ A : B �nito}. card(P<ω(A)) = ω.

Demostración: ((a)): Por inducción sobre n ∈ ω.(n = 1): Puesto que |A| = |A1| y card(A) = ω, entonces card(A1) = ω; por tanto,es numerable.(n =⇒ n + 1): Por hipótesis de inducción, card(An) = ω. Entonces por III.3.6,card(An × A) = ω. Ahora bien, |An+1| = |An × A|, [[g 7→ 〈g|n, g(n)〉]]. Por tanto,card(An+1) = ω.((b)): Sea F : A −→ ω inyectiva. Sea {pn : n ∈ ω} una enumeración de losnúmeros primos. De�nimos G : A<ω −→ ω como sigue(�) si dom(g) = 0, G(g) = 0.(�) si dom(g) = n + 1, G(g) = p

F (g(0))+10 · pF (g(1))+1

1 · · · · · pF (g(n))+1n .


Es evidente que G es inyectiva. Por tanto, card(A<ω) = ω.((c)): Sea F : ω −→ A biyectiva. Entonces G : P<ω(ω) −→ P<ω(A) de�nida por

G(C) = {F (n) : n ∈ C} = F [C]

es biyectiva. Por tanto, es su�ciente probar que card(P<ω(ω)) = ω. Sea C ⊆ ω�nito. Puesto que < bien ordena a C, existe gC : OT(C) ∼= C. Además, de C �nitose sigue que OT(C) ∈ ω. Por tanto, gC ∈ ω<ω. La aplicación G : P<ω(ω) −→ ω<ω

de�nida por: G(C) = gC ; es inyectiva. Por tanto, card(P<ω(ω)) = ω; luego, esnumerable. ¥

Proposición III.3.11. Sea A numerable y R una relación de equivalencia sobreA. Entonces(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).

III.4. Números enteros y racionales [[ZF−∗ ]]

III.4.A. Números enteros

Proposición III.4.1. La relación R de�nida sobre ω × ω por:〈〈n1, n2〉, 〈m1, m2〉〉 ∈ R ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2

es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par 〈n,m〉 la notaremos por[n, m].

Definición III.4.2 (Conjunto de los números enteros). Z = ω × ω/R.

Lema III.4.3. ∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).

Teorema III.4.4. Z es numerable.

Definición III.4.5.(a) [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].(b) [a, b] · [c, d] = [a · c + b · d, b · c + a · d].(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a + d < b + c.(d) 0 = [0, 0], 1 = [1, 0],

Lema III.4.6. Las de�niciones anteriores no dependen de los representantes declase elegidos.

Teorema III.4.7.(a) 〈Z, +.·, 1, 0〉 es un dominio de integridad.(b) 〈Z, <〉 es un orden total, pero no es un buen orden.

58 III.4. Números enteros y racionales [[ZF−∗ ]]

III.4.B. Números racionales

Proposición III.4.8. La relación R de�nida sobre Z× (Z− {0}) por:〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 ∈ R ⇐⇒ a · d = b · c

es de equivalencia. La clase del par 〈a, b〉 la notaremos por [a, b].

Definición III.4.9 (Conjunto de los números racionales).Q = Z× (Z− {0})/R

Proposición III.4.10. Q es numerable.

Definición III.4.11.(a) [a, b] + [c, d] = [a · d + b · c, b · d].(b) [a, b] · [c, d] = [a · c, b · d].(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a · d < b · c.(d) 0 = [0, 1], 1 = [1, 1].

Teorema III.4.12. 〈Q, +, ·, 1, 0〉 es un cuerpo.

III.4.C. Órdenes totales densos

Definición III.4.13. Sea 〈A,<〉 un orden total. Diremos que:(a) es denso si: ∀z, y ∈ A (z < y =⇒ ∃u (z < u < y)).(b) no tiene puntos �nales si: ∀y ∈ A ∃z, u ∈ A (z < y ∧ y < u).

Teorema III.4.14. 〈Q, <〉 es un orden total denso sin puntos �nales.

Teorema III.4.15 (Cantor). Cualesquiera dos órdenes totales, densos, sin pun-tos �nales y numerables son isomorfos.

Demostración: Sean A y B conjuntos numerables y < y <′ órdenes totalesdensos sin puntos �nales sobre A y B, respectivamente. Sean(�) {an : n ∈ ω} una enumeración de los elementos de A.(�) {bn : n ∈ ω} una enumeración de los elementos de B.Por recursión sobre n ∈ ω de�nimos una sucesión {Fn : n ∈ ω} tal que:(1) dom(Fn) ⊆ A, rang(Fn) ⊆ B,(2) ∀n [Fn ⊆ Fn+1].(3) ∀i < n [ai ∈ dom(Fn)],


(4) ∀i < n [bi ∈ rang(Fn)],(5) Fn : dom(Fn) ∼= rang(Fn).Supongamos que la sucesión {Fn : n ∈ ω} ha sido de�nida veri�cando (1)�(5).Sea F =

⋃Fn. Se tiene que:

Aserto III.4.15.1. F : A ∼= B.Prueba del aserto: Por (2), F es una función. Por (3), dom(F ) = A. Por(4), rang(F ) = B. Por tanto, F : A −→ B suprayectiva. Sean a, a′ ∈ A talesque a < a′. Sean i, j ∈ ω tales que ai = a y aj = a′. Sea n = max(i, j) + 1.Entonces, por (3), ai, aj ∈ dom(Fn). Por tanto,

a < a′ ⇐⇒ ai < aj

⇐⇒ Fn(ai) <′ Fn(aj) [[(5)]]⇐⇒ Fn(a) <′ Fn(a′).

Por tanto, F : A ∼= B. 2

Por el aserto, para completar la prueba del teorema es su�ciente de�nir una suce-sión {Fn : n ∈ ω} veri�cando (1)�(5). Para cada n ∈ ω escribiremos(�) dom(Fn) = {cn,0 < . . . < cn,rn

}, y(�) rang(Fn) = {dn,0 <′ . . . <′ dn,rn}.Por (5), ∀j ≤ rn [Fn(cn,j) = dn,j ].(n = 0): F0 = ∅.(n =⇒ n + 1): Supongamos de�nidas Fj , j ≤ n, veri�cando (1)�(5). La de�niciónde Fn+1 la realizaremos en dos pasos. De�niremos F ′n+1 (paso hacia delante) talque Fn ⊆ F ′n+1; y Fn+1 (paso hacía atrás) tal que F ′n+1 ⊆ Fn+1.Paso hacia adelante: (El objetivo es asegurar que an ∈ dom(Fn+1)). Consideremoslos siguientes casos:Caso 1.1: an ∈ dom(Fn). Entonces F ′n+1 = Fn.Caso 1.2: an /∈ dom(Fn). Se tiene que

Aserto III.4.15.2. Existe b ∈ B tal que∀j ≤ rn [an < cn,j ⇐⇒ b <′ dn,j ].

Prueba del aserto: Se sigue de que <′ es un orden total denso sobre B sinpuntos �nales. 2

Sea b ∈ B veri�cando III.4.15.2. De�nimos F ′n+1(an) = b.Paso hacia atrás: (El objetivo es asegurar que bn ∈ rang(Fn+1)). Consideremos lossiguientes casos:Caso 2.1: bn ∈ rang(F ′n+1). Entonces Fn+1 = F ′n+1.Caso 2.2: bn /∈ rang(F ′n+1). Se tiene que

60 III.5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗]]

Aserto III.4.15.3. Existe a ∈ A tal que∀j ≤ r′n+1 [a < cn,j ⇐⇒ bn <′ dn,j ].

Prueba del aserto: Se sigue de que < es un orden total denso sobre A sinpuntos �nales. 2

Sea a ∈ A veri�cando III.4.15.3. De�nimos Fn+1(a) = bn.De la de�nición de la sucesión {Fn : n ∈ ω} se sigue que se veri�ca (1)�(5). Estoconcluye la prueba del teorema. ¥

Corolario III.4.16. Sean 〈A, <〉, 〈B,<〉 órdenes totales numerables densos sinpuntos �nales. Para cualesquiera n ∈ ω, a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . <bn ∈ B existe F : 〈A,<〉 ∼= 〈B, <〉 tal que para todo i, 1 ≤ i ≤ n, F (ai) = bi.

Teorema III.4.17. Sea 〈A,<〉 un orden total con A �nito o numerable. Entonces〈A,<〉 ⊂̃ 〈Q, <〉.

Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b).

III.5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗]]

Teorema III.5.1 (Cantor). |A| < |P(A)|.

Demostración: Veamos que |A| ≤ |P(A)|. En efecto, la aplicación F : A −→P(A) dada por F (a) = {a} es inyectiva.Sean G : A −→ P(A) y B = {x ∈ A : x /∈ G(x)}. Se tiene que:

Aserto III.5.1.1. B /∈ rang(G).Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sea a ∈ A tal que G(a) = B.Entonces

a /∈ G(a) ⇐⇒ a ∈ B [[De�nición de B]]⇐⇒ a ∈ G(a) [[B = G(a)]].

Contradicción. 2

Del aserto se sigue que no existe ninguna aplicación biyectiva de A en P(A). ¥

Corolario III.5.2. P(ω) no es numerable. ¥

Corolario III.5.3 (AC). (Ver III.5.7).(a) Card es una clase propia.(b) Card− ω es una clase propia.


Demostración: ((a)): Sean α ∈ Ord y λ = card(P(α)). Entonces por III.5.1,α < λ; luego, por II.2.16�(b), Card es una clase propia.((b)): Puesto que ω es un conjunto el resultado se sigue de (a). ¥

Teorema III.5.4 (Hartogs). Sea A un conjunto. Existe α ∈ Ord tal que(a) |α| 6≤ |A|.(b) α ∈ Card.(c) ∀λ (|λ| 6≤ |A| =⇒ α ≤ λ).(d) |α| ≤ |P(P(A×A))|.

Demostración: A lo largo de la prueba se considera que las relaciones de ordenson re�exivas. Sea

B = {R : R es un buen orden sobre un subconjunto de A}.Es evidente que B ⊆ P(A×A). Sea F : B −→ Ord la aplicación

F(R) = γ ⇐⇒ 〈dom(R), R〉 ∼= γ.

Puesto que B es un conjunto, F[B] es un conjunto. Por tanto, ∃β (β 6∈ F[B]). Seaα = (µβ)(β 6∈ F[B]).

Es evidente que α = (µβ)(|β| 6≤ |A|). De aquí se sigue (a), (b) y (c). Para probar(d) consideremos la aplicación G : α −→ P(P(A×A)) de�nida por

G(γ) = {R ∈ B : 〈A, R〉 ∼= γ}.Es evidente que G es inyectiva. ¥

Definición III.5.5. A+ = inf({α : |α| 6≤ |A|}).

Corolario III.5.6 (Hartogs).(a) A+ ∈ Card.(b) |λ| 6≤ |A| =⇒ A+ ≤ λ.(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).(d) ∀α ∃β (|β| 6≤ |α|).

Corolario III.5.7. (Ver III.5.3).(a) Card es una clase propia.(b) Card− ω es una clase propia.

Demostración: Sea C ⊆ Card. Por III.1.8, κ =⋃

C ∈ Card. Además, paratodo λ ∈ C, λ < κ+. Por tanto, κ+ /∈ C. En consecuencia, Card es una clasepropia. ¥

62 III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗]]

Definición III.5.8 (La función Aleph, ℵ). Puesto que < bien ordena a Card−ω, de III.5.7 y II.2.26 se sigue que

Ord ∼= Card− ω.

Además, por II.1.10, el isomor�smo es único. Notaremos a este isomor�smo por:ℵ : Ord −→ Card− ω.

Escribiremos ℵα ó ωα en lugar de ℵ(α).

Proposición III.5.9.(a) ℵ0 = ω

(b) ℵ+α = ℵα+1.

(c) ∀α (ωα es un ordinal límite).(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ .(e) ℵ es normal. Por tanto, II.4.5, ∀β ∃α ≥ β (α = ℵα).

III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗]]

Definición III.6.1. Sean A, B y C conjuntos.(a) |C| = |A|+ |B| ⇐⇒ |C| = |A ]B|.

Donde (Unión disjunta), A ]B = (A× {0}) ∪ (B × {1}).(b) |C| = |A| · |B| ⇐⇒ |C| = |A×B|.(c) |C| = |A||B| ⇐⇒ |C| = |{f : f : B −→ A}| = |BA|.

Lema III.6.2. Si |A| = |A1| y |B| = |B1|, entonces|A|+ |B| = |A1|+ |B1|, |A| · |B| = |A1| · |B1|, |A||B| = |A1||B1|.

III.6.A. Suma y producto

Lema III.6.3. Si A y B son bien ordenables, entonces A ] B y A × B son bienordenables.

Definición III.6.4. Sean κ, λ ∈ Card.(a) κ + λ = card((κ× {0}) ∪ (λ× {1})).(b) κ · λ = card(κ× λ).

Lema III.6.5. ℵα · ℵα = ℵα.


Demostración: Sobre Ord×Ord de�nimos la relación <max como sigue: Sean〈γ1, γ2〉, 〈δ1, δ2〉 ∈ Ord×Ord

〈γ1, γ2〉 <max 〈δ1, δ2〉 ⇐⇒

max(γ1, γ2) < max(δ1, δ2) ∨{max(γ1, γ2) = max(δ1, δ2) ∧γ1 < δ1 ∨ (γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2).

Se tiene queAserto III.6.5.1. <max bien ordena a Ord×Ord.

Puesto que Ord es una clase propia, por II.1.13, para cada α ∈ Ord existenδα,1, δα,2 ∈ Ord tales que

Fα : ωα∼= 〈(Ord×Ord)〈δα,1,δα,2〉, <max〉.

Puesto queδ × δ = {〈γ1, γ2〉 : 〈γ1, γ2〉 <max 〈0, δ〉} = (Ord×Ord)〈0,δ〉,

entonces (Ord×Ord)〈0,ωα〉 = ωα × ωα.Por tanto,

〈δα,1, δα,2〉 = 〈0, ωα〉 =⇒ Fα : ωα −→ ωα × ωα biyectiva=⇒ ℵα = ℵα · ℵα.

En consecuencia, es su�ciente probar el siguiente aserto.Aserto III.6.5.2. 〈δα,1, δα,2〉 = 〈0, ωα〉.Prueba del aserto: Puesto que {〈γ, 0〉 : γ < ωα} ⊆ ωα × ωα y su tipo deorden, con respecto a <max, es ωα, entonces, por II.1.11�(a), 〈δα,1, δα,2〉 ≤max〈0, ωα〉.Probaremos el aserto por inducción sobre α.(< α =⇒ α): Por hipótesis de inducción, para todo β < α, 〈δβ,1, δβ,2〉 =〈0, ωβ〉. Por tanto,(∗) para todo β < α, ℵβ = ℵβ · ℵβ .Si el aserto no se veri�ca para α, entonces 〈δα,1, δα,2〉 <max 〈0, ωα〉. Sea δα =max(δα,1, δα,2). Entonces δα < ωα. Además,

Fα : ωα −→ (δα + 1)× (δα + 1)

es inyectiva. Por tanto, δα ≥ ω; luego, existe β < α tal que card(δα + 1) = ℵβ .En consecuencia,

ℵα ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ .Donde la última igualdad se sigue de (∗). Lo anterior está en contradicción conℵβ < ℵα. Lo que prueba el aserto. 2

El aserto completa la prueba del lema. ¥

Teorema III.6.6. ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα,ℵβ).

64 III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗]]

Demostración: Supongamos que α ≤ β; es decir, ℵβ = max(ℵα,ℵβ). Entoncesℵβ ≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ .


Corolario III.6.7. Para todo n > 0, n · ℵα = ℵα.

Demostración: En efecto, ℵα ≤ n · ℵα ≤ ℵα · ℵα = ℵα. ¥

III.6.B. Exponenciación

Definición III.6.8. |A| = κλ ⇐⇒ |A| = |λκ|.

Corolario III.6.9. Para todo n > 0, ℵnα = ℵα.

Demostración: Por inducción sobre n ∈ ω usando III.6.6. ¥

Lema III.6.10. |A| < 2|A| = |P(A)|.

Proposición III.6.11. |P(ω)| = 2ℵ0 .

Demostración: Sea G : ω2 −→ P(ω) la aplicación de�nida por:G(f) = {n ∈ ω : f(n) = 1},

para cada f ∈ ω2. Es evidente que G es biyectiva. ¥

Corolario III.6.12. ℵα < 2ℵα < 22ℵα .

Proposición III.6.13.(a) 2 ≤ n =⇒ nℵα = 2ℵα .(b) β ≤ α =⇒ ℵβ

ℵα = 2ℵα .(c) ℵβ ≤ 2ℵα =⇒ ℵβ

ℵα = 2ℵα .

Demostración: Puesto que(�) n ∈ ω =⇒ n ≤ 2ℵα y(�) β ≤ α =⇒ ℵβ ≤ ℵα < 2ℵα ,sólo es necesario probar (c). En efecto,

2ℵα ≤ ℵβℵα [[2 ≤ ℵβ ]]

≤ (2ℵα)ℵα [[ℵβ ≤ 2ℵα ]]= 2ℵα·ℵα

= 2ℵα .



Proposición III.6.14.(a) ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .(b) 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .

Demostración: En efecto,2ℵ0 ≤ ℵ0 · 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2ℵ0 .


III.7. Números reales [[ZF∗]]

III.7.A. Completación

Definición III.7.1. Sea 〈P,<〉 un orden total denso. Diremos que:(a) P es completo si

∀A ⊆ P (A 6= ∅ ∧ A tiene cota superior =⇒ A tiene supremo).

(b) A ⊆ P es una cortadura ⇐⇒{

z ∈ A ∧ y < z =⇒ y ∈ A ∧∃x ∈ P ∀y ∈ A [y < x].

(c) Una cortadura A es una cortadura de Dedekind si A no tiene elemento maxi-mal.

Definición III.7.2. Sea 〈A, <〉 un orden total. Diremos que B ⊆ A es denso enA si:

∀a, b ∈ A (a < b =⇒ ∃c ∈ B (a < c < b)).

Teorema III.7.3. Sea 〈P, <〉 un orden total denso sin puntos �nales. Entoncesexiste un orden total denso y completo 〈C, <′〉 tal que:(a) P ⊆ C.(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <′ y).(c) P es denso en C.(d) C no tiene puntos �nales.Más aún, 〈C,<′〉 es único salvo isomor�smos. Esto es, si 〈C∗, <∗〉 es un orden totaldenso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : 〈C, <′〉 ∼= 〈C∗, <∗〉 talque

∀x ∈ P (H(x) = x).

A 〈C, <′〉 lo denominaremos completación de 〈P, <〉.

Demostración: Basta tomar

66 III.7. Números reales [[ZF∗]]

(�) C = {A : A cortadura de Dedekind en P}, y(�) para A1, A2 ∈ C: A1 <′ A2 ⇐⇒ A1 ⊂ A2.Identi�cando cada x ∈ P con la cortadura de Dedekind, {y ∈ P : y < x} seprueba que 〈C,<′〉 satisface las propiedades del teorema. ¥

Definición III.7.4 (Números reales). 〈R, <〉 es la completación de 〈Q, <〉. Esdecir,

R = {A ⊆ Q : A cortadura de Dedekind en 〈Q, <〉}.Identi�cando cada q ∈ Q con la cortadura Aq = {q′ ∈ Q : q′ < q} se obtiene queQ ⊆ R. La relación de orden está de�nida por: para cada r, t ∈ R,

r < t ⇐⇒ r ⊂ t.

Proposición III.7.5. Q es denso en R. ¥

Nota III.7.6 (Operaciones sobre R). Sean r ∈ R y q, q′ ∈ Q. Observemos que(�) r <R q ⇐⇒ ∃q1 ∈ Q [q1 /∈ r ∧ q1 <Q q].(�) q <Q q′ ⇐⇒ q <R q′.De�nimos las operaciones sobre números reales.(�) r + t = {q + q′ : q ∈ r ∧ q′ ∈ t}.

(�) −r ={{−q : q ∈ Q ∧ r < q}, si r ≥ 0;{q ∈ Q : ∃q′ ∈ Q [r < q′ < 0 ∧ q < −q′]}, si r < 0.

(�) r · t =

0, si r = 0 ∨ t = 0{q ∈ Q : ∃q1 ∈ r ∃q2 ∈ t [0 < q1, q2 ∧ q < q1 · q2]}, si 0 < r, t;−((−r) · t), si r < 0 ∧ 0 < t;−(r · (−t)), si 0 < r ∧ t < 0;((−r) · (−t)), si r < 0 ∧ t < 0.

(�) r−1 ={ {q ∈ Q : ∃q1 /∈ r [q < q−1

1 ]}, si 0 < r;−((−r)−1), si r < 0.

(�) |r| ={

r, si 0 ≤ r;−r, si r < 0.

Proposición III.7.7. 〈R, +, ·, <, 0, 1〉 es un cuerpo ordenado.

III.7.B. Topología de la recta real

Definición III.7.8. Sean a < b ∈ R.(a) d(a, b) = |a− b|.


(b) Intervalo abierto: (a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.(c) Intervalo cerrado: [a, b] = {c ∈ R : a ≤ c ≤ b}.(d) A ⊆ R es acotado: ∃a, b ∈ R∀x ∈ A [a ≤ x ≤ b].

Lema III.7.9.(a) d es una métrica sobre R.(b) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topología inducida por d

en R.(c) (R, d) es un espacio métrico completo.

Proposición III.7.10. Toda colección disjunta de intervalos abiertos es �nita onumerable.

Demostración: Todo intervalo contiene a un número racional. Para cada I ∈ Ssea qI ∈ Q ∩ I. Sea H : S −→ Q la aplicación de�nida por:

H(I) = qI .

Puesto que S es una colección de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, H esinyectiva. Por tanto, |S| ≤ |Q| = ℵ0.¾Usa la prueba anterior el Axioma de Elección? ¥

Proposición III.7.11. Todo conjunto abierto es la unión de una familia de inter-valos abiertos con puntos �nales racionales.

Demostración: Sea G abierto. Entonces por III.7.5,G =

⋃ {(a, b) : a, b ∈ Q, (a, b) ⊆ G}.¥

Definición III.7.12. Sea 〈A,<〉 un orden total denso.(a) Diremos que A es separable si existe B ⊆ A numerable y denso en A.(b) Diremos que A satisface la condición de cadenas numerables, c.c.c., si toda

colección disjunta de intervalos abiertos es numerable.

Lema III.7.13. Sea 〈A,<〉 un orden total denso(a) Si A es separable, entonces A veri�ca c.c.c.(b) Si A no tiene puntos �nales, es completo y separable, entonces 〈A,<〉 ∼= R.

III.7.C. El cardinal de R. La Hipótesis del Continuo, CH

Teorema III.7.14. |R| = 2ℵ0 .

68 III.7. Números reales [[ZF∗]]

Demostración: (|R| ≤ 2ℵ0): De la de�nición de R se sigue que R ⊆ P(Q). Portanto,

|R| ≤ |P(Q)|= |P(ω)| [[Q numerable]]= 2ℵ0 .

Lo que prueba el resultado.(2ℵ0 ≤ |R|): Para cada f : ω −→ 2 sea f ′ : ω −→ 2 la función de�nida por

f ′(n) ={

0, si n es impar;f(k), si n = 2 · k.

Es decir, f ′ = 〈f(0), 0, f(1), 0, f(2), . . .〉. Sea G : ω2 −→ R la aplicación de�nidapor

G(f) = {q ∈ Q : ∃m ∈ ω (q <∑

n≤m f ′(n) · 2−(n+1))}=

∑n∈ω f ′(n) · 2−(n+1).

Es evidente que para toda f ∈ ω2, G(f) ∈ R. Además,Aserto III.7.14.1. f 6= g =⇒ G(f) 6= G(g).Prueba del aserto: Sea m = inf({n : f(n) 6= g(n)}). Supongamos quef(m) = 1 y g(m) = 0. Entonces

∀k < 2 ·m (f ′(k) = g′(k)) ∧f ′(2 ·m) = f(m) = 1 6= 0 = g(m) = g′(2 ·m) ∧∃k > 2 ·m (g′(k) 6= 1).

Por tanto, G(g) < G(f). 2

Del aserto se sigue que G es inyectiva; luego, 2ℵ0 ≤ |R|. ¥

Corolario III.7.15.(a) ∀n > 0 (|Rn| = 2ℵ0).(b) |Rω| = 2ℵ0 .

Demostración: En efecto,2ℵ0 = |R| ≤ |Rn| ≤ |Rω| = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .


Proposición III.7.16. A ⊆ R numerable =⇒ |R−A| = 2ℵ0 .

Demostración: Es su�ciente probar que |R−A| = |R| = 2ℵ0 .(|R−A| ≤ |R|): Trivial, R−A ⊆ R.(|R| ≤ |R − A|): Sea G : R −→ R × R biyectiva. Puesto que A es numerable,G(A) = {G(x) : x ∈ A} es numerable. Se tiene que


Aserto III.7.16.1. Existe r ∈ R tal que G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.Prueba del aserto: Sea F : ω −→ A biyectiva. Sean

B = {x ∈ R : ∃y ((x, y) ∈ G(A))}y H : B −→ ω, la aplicación de�nida por:

H(x) = (µn)[∃y ((x, y) = G(F (n)))].Puesto que H es inyectiva, B es �nito ó numerable; por tanto, existe r ∈ R−B.Es evidente que

G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.Lo que prueba el aserto. 2

Por el aserto, G−1({r}×R) ⊆ R−A. Por tanto, |G−1({r}×R)| ≤ |R−A|. Por otraparte, de G biyectiva se sigue que |G−1({r}×R)| = |R|. Por tanto, |R| ≤ |R−A|.Lo que prueba el resultado. ¥

Lema III.7.17 (AC). A ⊆ R ∧ |A| < |R| =⇒ |R−A| = 2ℵ0 .

Demostración: Puesto que A y R−A son disjuntos(�) card(R) = card(R−A) + card(A).Puesto que al menos uno de los cardinales card(R− A) y card(A) es in�nito, porIII.6.6 se tiene que(�) card(R−A) + card(A) = max(card(R−A), card(A)).Puesto que card(A) < card(R), de lo anterior se sigue que card(R) = card(R−A).Lo que prueba el resultado. ¥

Nota III.7.18 (Hipótesis del Continuo (CH)).¬∃A ⊆ R (ℵ0 < |A| < |R|).

Aserto III.7.18.1. (AC). CH ⇐⇒ ℵ1 = 2ℵ0 .

Se tiene que ZFC 0 CH, ZFC 0 ¬CH.

Proposición III.7.19.(a) I intervalo abierto =⇒ |I| = 2ℵ0 .(b) A abierto no vacío =⇒ |A| = 2ℵ0 .(c) |{A ⊆ R : A abierto}| = 2ℵ0 .(d) |{A ⊆ R : A cerrado}| = |{A ⊆ R : A cerrado ∧ ℵ0 < |A|}| = 2ℵ0 .

Demostración: ((a)): Consideremos la aplicación f : (0, 1) −→ R de�nida por:f(x) = x

1− x .

Es evidente que f es inyectiva. Sea g : (−1, 1) −→ R la aplicación de�nida por

70 III.8. Aritmética cardinal in�nita [[ZF∗]]

g(x) =

f(x), si 0 < x < 1;0, si x = 0;−f(−x), si −1 < x < 0.

Es evidente que g es biyectiva. Sea I = (a, b) un intervalo abierto. Consideremosla aplicación h : (a, b) −→ (−1, 1) de�nida por:

h(x) = 2b− a

· (x− a)− 1.

Es evidente que h es biyectiva. Por tanto,|(a, b)| = |(−1, 1)| = |R| = 2ℵ0 .

Lo que prueba (a).((b)): (|A| ≤ 2ℵ0): Puesto que A ⊆ R, |A| ≤ |R| = 2ℵ0 .(2ℵ0 ≤ |A|): Puesto que A es abierto, existe I, intervalo abierto, tal que I ⊆ A.Por tanto, 2ℵ0 = |I| ≤ |A|.((c)): El resultado se sigue de los siguientes asertos:

Aserto III.7.19.1. |{A ⊆ R : A abierto}| ≤ 2ℵ0 .Prueba del aserto: Consideremos la aplicación.

f : {A ⊆ R : A abierto} −→ P(Q×Q)

de�nida porf(A) = {〈a, b〉 ∈ Q×Q : (a, b) ⊆ A}.

Puesto que A =⋃ {(a, b) : 〈a, b〉 ∈ f(A)}, f es inyectiva. Por tanto,

|{A ⊆ R : A abierto}| ≤ |P(Q×Q)| [[f inyectiva]]= |P(Q)| [[|Q| = |Q×Q|]]= 2ℵ0 .


Aserto III.7.19.2. 2ℵ0 ≤ |{A ⊆ R : A abierto}|.Prueba del aserto: En efecto, {(r, r + 1) : r ∈ R} ⊆ {A ⊆ R : A abierto}.

2

Lo que prueba (c).((d)): Se sigue de (c). ¥

III.8. Aritmética cardinal in�nita [[ZF∗]]

Definición III.8.1. Sean {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos y B un conjunto.(a) |B| = Σi∈I |Ai| ⇐⇒ |B| = |]i∈I Ai|.(b) |B| = Πi∈I |Ai| ⇐⇒ |B| = |×i∈I Ai|.


Donde(�) Unión disjunta: ]i∈I Ai = {〈a, i〉 : a ∈ Ai ∧ i ∈ I} =

⋃i∈I (Ai × {i}).

(�) Producto cartesiano:×i∈I Ai = {f : f : I −→ ⋃i∈I Ai ∧ ∀i ∈ I (f(i) ∈ Ai)}.

Si para todo i ∈ I, Ai = A, entonces ]i∈IAi = A× I,×i∈IAi = AI .

Lema III.8.2 ((AC)). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familias de conjuntos.

∀i ∈ I (|Ai| = |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| = Σi∈I |Bi|;Πi∈I |Ai| = Πi∈I |Bi|.

∀i ∈ I (|Ai| ≤ |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| ≤ Σi∈I |Bi|;Πi∈I |Ai| ≤ Πi∈I |Bi|.

Definición III.8.3. Sean A un conjunto y {κi : i ∈ I} familia de cardinales bienordenables; es decir, una función de I en Card.(a) |A| = Σi∈I κi ⇐⇒ |A| = |]i∈I κi|.(b) |A| = Πi∈I κi ⇐⇒ |A| = |×i∈I κi|.

Lema III.8.4. Sean {κi : i ∈ I}, {κ′i : i ∈ I} ⊆ Card tales que ∀i ∈ I (κi ≤ κ′i).Entonces(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ′i.(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ′i.

Lema III.8.5. Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales tales que para todoi ∈ I, 2 ≤ κi. Entonces

Σi∈Iκi ≤ Πi∈Iκi.

Proposición III.8.6.(a) Πi∈I κi

λ = (Πi∈I κi)λ.

(b) Πi∈I κλi = κ(Σi∈I λi).(c) Asociativa: Si {Aj : j ∈ J} es una partición de I, entonces

Πi∈I κi = Πj∈J

(Πi∈Aj κi

).

Demostración: ((a)): De�nimos F : Πi∈I κλi −→ (Πi∈I κi)

λ. Sea f ∈ Πi∈I κλi .

F (f)(α)(i) = f(i)(α).

Es evidente que F es biyectiva.((b)): De�nimos F : Πi∈I κλi −→ κ(Σi∈I λi). Sean f ∈ Πi∈I , (α, i) ∈ Σi∈I λi,

F (f)(α, i) = f(i)(α).

Es evidente que F es biyectiva.

72 III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗]]

((c)): De�nimos F : Πi∈I κi −→ Πj∈J (Πi∈Aj κi). Sean j ∈ J y f : I −→ ⋃i∈I κi

tales que ∀i ∈ I [f(i) ∈ κi]F (f)(j)(i) = f(i).

Es evidente que F es biyectiva. ¥

Lema III.8.7. Sea {κα : α < λ} ⊆ Card, donde λ es un cardinal in�nito, tal quepara todo α < λ, κα ≥ 1, y κ = sup({κα : α < λ}).(a) Σα<λ κα = κ · λ.(b) Si {κα : α < λ} es no decreciente, Πα<λ κα = κλ.

Demostración: ((a)): (Σα<λ κα ≤ κ · λ): Trivial.(κ · λ ≤ Σα<λ κα): Se tiene que

Aserto III.8.7.1.(i) κ ≤ Σα<λ κα, y(ii) λ ≤ Σα<λ κα.

Por tanto, κ · λ = max(κ, λ) ≤ Σα<λ κα.((b)): (Πα<λ κα ≤ κλ): Trivial, Πα<λ κα ≤ Πα<λ κ = κλ.(κλ ≤ Πα<λ κα): Sean F : λ × λ −→ λ biyectiva y para cada β < λ, Aβ =F [λ× {β}]. Entonces {Aβ : β < λ} es una partición de λ. Por tanto,

Πα<λ κα = Πβ<λ (Πα∈Aβκα).

Puesto que la sucesión {κα : α < λ} es no decreciente, para todo β < λ,∀β ∈ λ [κ = sup({κα : α ∈ Aβ})].

Se tiene queAserto III.8.7.2. κ ≤ Πα∈Aβ

κα.

Por tanto,κλ = Πα<λ κ ≤ Πβ<λ (Πα∈Aβ

κα) = Πα<λ κα.Lo que prueba el resultado. ¥

III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗]]

III.9.A. Co�nalidad

Definición III.9.1.(a) Sea f : β −→ α. Diremos que f es co�nal en α si

∀δ < α ∃γ < β [δ ≤ f(γ)].


(b) Sea α ∈ Ord. De�nimos la co�nalidad de α, cf(α), por:cf(α) = inf({β : ∃f (f : β −→ α co�nal en α)}).

Lema III.9.2.(a) cf(α) ≤ α.(b) cf(0) = 0.(c) cf(α + 1) = 1.(d) cf(α) es un cardinal.

Proposición III.9.3.(a) α límite =⇒ cf(α) límite.(b) cf(ω) = ω.(c) cf(ω + ω) = ω.

Demostración: ((a)): Puesto que α es límite, 1 < cf(α). Sea f : β + 1 −→ αco�nal, donde 0 < β. De�nimos g : β −→ α

(�) g(0) = max(f(0), f(β)).(�) g(γ) = f(γ), si γ 6= 0.Entonces g es co�nal. Por tanto, cf(α) ≤ β. Por tanto, cf(α) no es sucesor.((b)): Se sigue de (a), pues ω es el menor ordinal límite.((c)): Por (a), ω ≤ cf(ω + ω). Consideremos la aplicación f : ω −→ ω + ω,f(n) = ω + n. Es evidente que f es co�nal en ω + ω. ¥

Lema III.9.4. Sean f : γ −→ α y g : α −→ β co�nales.g no decreciente =⇒ g ◦ f co�nal.

Demostración: Sea δ < β. Existen σ < α y ρ < γ tales que δ ≤ g(σ) y σ ≤ f(ρ).Entonces

δ ≤ g(σ) ≤ g(f(ρ)).

Donde la última desigualdad se sigue de g no decreciente. ¥

Lema III.9.5. Existe g : cf(α) −→ α tal que g es creciente y co�nal.

Demostración: Sin perdida de generalidad podemos suponer que α es límite.Sea h : cf(α) −→ α co�nal. De�nimos g : cf(α) −→ α

(�) g(0) = h(0).(�) g(β) = max(sup({g(γ) : γ < β}), h(β)) + 1.


Tengamos en cuenta en la de�nición anterior que si β < cf(α), entonces∃δ < α ∀γ < β (g(γ) ≤ δ).

Es evidente que g es creciente y co�nal en α. ¥

Lema III.9.6. β límite ∧ g : α −→ β no decreciente y co�nal =⇒ cf(α) =cf(β).

Demostración: (cf(β) ≤ cf(α)): Sea f : cf(α) −→ α co�nal. Entonces de III.9.4se sigue que g ◦ f : cf(α) −→ β es co�nal. Por tanto, cf(β) ≤ cf(α).(cf(α) ≤ cf(β)): Sea f : cf(β) −→ β co�nal. De�nimos h : cf(β) −→ α

h(γ) = inf({δ < α : f(γ) < g(δ)}) = (µδ)<α[f(γ) < g(δ)].

Sean ρ < α y γ < cf(β) tales que g(ρ) < f(γ) [[β es límite]]. Puesto que g esno decreciente, ∀η ≤ ρ [g(η) < f(γ)]. Por tanto, ρ < h(γ). En consecuencia, h esco�nal en α; luego, cf(α) ≤ cf(β). ¥

Proposición III.9.7.(a) cf(cf(β)) = cf(β).(b) α límite =⇒ cf(ωα) = cf(α).

Demostración: ((a)): Si β es sucesor, el resultado es trivial. Supongamos que βes límite. Entonces el resultado se sigue de III.9.5 y III.9.6 tomando α = cf(β).((b)): Sea g : α −→ ωα, g(γ) = ωγ . Si α es límite, entonces g es creciente y co�nal.Por tanto, el resultado se sigue de III.9.6. ¥

III.9.B. Cardinales regulares

Definición III.9.8. α es regular ⇐⇒ α límite ∧ cf(α) = α.En caso contrario diremos que α es singular.

Lema III.9.9. α límite =⇒ cf(α) regular.

Demostración: Se sigue de III.9.7-(a) y III.9.3-(a). ¥

Lema III.9.10 (AC). Sea κ un cardinal in�nito. Son equivalentes:(a) κ es singular.(b) Existen λ < κ y {κδ : δ ∈ λ} tales que(b.1) ∀δ < λ (κδ < κ).(b.2) κ =

∑δ<λ κδ.


Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sean λ = cf(κ) y f : λ −→ κ co�nal. Sea κδ =card(f(δ) + 1). Entonces

κ ≤ |]δ<λ(f(δ) + 1)| [[f co�nal]]= Σδ<λ card(f(δ) + 1)= Σδ<λ κδ

= sup({κδ : δ < λ}) · λ≤ κ · λ= κ.

Por tanto, κ = Σδ<λ κδ.((b) =⇒ (a)): Sea f : λ −→ κ la aplicación f(δ) = κδ. Es evidente que f esco�nal. ¥

Teorema III.9.11 (Hausdor� (AC)). ℵα+1 es regular.

Demostración: Supongamos que ℵα+1 es singular. Entonces por III.9.10 existenλ < ℵα+1 y {κδ : δ < λ} tales que(�) ∀δ < λ (κδ < ℵα+1).(�) ℵα+1 = Σδ<λ κδ.Por tanto,(1) ∀δ < λ (κδ ≤ ℵα); luego, sup({κδ : δ < λ}) ≤ ℵα.(2) λ ≤ ℵα. [[λ < ℵα+1]].En consecuencia,

ℵα+1 = Σδ<λ κδ

= sup({κδ : δ < λ}) · λ [[III.8.7]]≤ ℵα · ℵα [[(1), (2)]]= ℵα.

Por tanto, ℵα+1 ≤ ℵα. Contradicción. ¥

III.9.C. El lema de König

Teorema III.9.12 (Lema de König). Sea κ un cardinal in�nito. Se tiene que:(a) κ < κcf(κ).(b) (AC) κ < cf(2κ).

Demostración: ((a)): Sea G : κ −→ κcf(κ). Veamos que G no es suprayectiva.Sea h : cf(κ) −→ κ co�nal. De�nimos f : cf(κ) −→ κ por

f(β) = inf(κ− {G(γ)(β) : γ < h(β)}).Veamos que


(�) ∀α < κ [G(α) 6= f ].Sea α < κ. Entonces existe β < cf(κ) tal que α < h(β). Por tanto,

f(β) = inf(κ− {G(γ)(β) : γ < h(β)})6= G(α)(β) [[α < h(β)]].

Por tanto, G(α) 6= f .((b)): Supongamos que cf(2κ) ≤ κ. Entonces

(2κ)cf(2κ) ≤ (2κ)κ = 2κ.

Lo cual está en contradicción con (a). ¥

Nota III.9.13.(�) 2ℵ0 6= ℵω.

(�) (AC){ℵ1 ≤ 2ℵ0

ω < cf(2ℵ0)

(�) Sea κ tal que ω < cf(κ).ZFC consistente =⇒ ZFC + 2ℵ0 = κ consistente.

III.9.D. Las funciones Continuo y Gimel

Definición III.9.14.(a) La función Continuo: κ 7−→ 2κ.(b) La función Gimel: (κ)ג = κcf(κ).

Teorema III.9.15 (AC).

ℵαℵβ =

2ℵβ , si α ≤ β;

ℵγℵβ , si β < α ∧ ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγ

ℵβ );

ℵα, si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα) ∧ ℵβ < cf(ℵα);

,(ℵα)ג si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα) ∧ ℵβ ≥ cf(ℵα).

Demostración: Dividiremos la prueba en los siguientes casos:Caso 1: α ≤ β: Entonces ℵα

ℵβ = 2ℵβ .Caso 2: β < α: Consideraremos los siguientes casos:

Caso 2.1: ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγℵβ ). Entonces

ℵγℵβ ≤ ℵα

ℵβ ≤ (ℵγℵβ )

ℵβ = ℵγℵβ .

Caso 2.2: ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα): Consideramos los siguientes casos:


Caso 2.2.1: ℵβ < cf(ℵα). Entonces las aplicaciones de ℵβ en ℵα estánacotadas. Por tanto,

ℵα ≤ ℵαℵβ = Σγ<ℵα

card(γ)ℵβ ≤ Σγ<ℵαℵα = ℵα · ℵα = ℵα.

Caso 2.2.2: cf(ℵα) ≤ ℵβ . Entonces ℵα es singular. Por tanto, existe unafamilia {κδ : δ < cf(ℵα)} tal que ℵα =

∑δ<cf(ℵα) κδ y κδ < ℵα, para todo

δ < cf(ℵα). En consecuencia,(ℵα)ג ≤ ℵℵβ

α

= (∑

δ<cf(ℵα) κδ)ℵβ

≤ (∏

δ<cf(ℵα) κδ)ℵβ

≤ ∏δ<cf(ℵα) κ

ℵβ

δ

≤ ∏δ<cf(ℵα) ℵα

= ℵcf(ℵα)α

= .(ℵα)ג


III.9.E. La Hipótesis Generalizada del Continuo, GCH

Nota III.9.16.(a) La hipótesis del continuo (CH): 2ℵ0 = ℵ1.(b) La hipótesis generalizada del continuo (GCH): ∀α [2ℵα = ℵα+1].

Teorema III.9.17 (AC). Supongamos GCH. Si κ ≥ 2, λ ≥ 1 y al menos unode ellos es in�nito, entonces

κλ =

λ+, si κ ≤ λ;κ+, si cf(κ) ≤ λ < κ;κ, si λ < cf(κ).

Demostración: Dividimos la prueba en los siguientes casos.Caso 1: κ ≤ λ: Entonces

λ+ = 2λ ≤ κλ ≤ λλ = 2λ = λ+.

Caso 2: λ < κ: Consideremos los siguientes casos.Caso 2.1: cf(κ) ≤ λ: Puesto que κ < κcf(κ), entonces

κ+ ≤ κcf(κ) ≤ κλ ≤ κκ = 2κ = κ+.Caso 2.2: λ < cf(κ): Entonces como en III.9.15, κλ = Σα<κ card(α)λ. Setiene que:(�) card(α) ≤ λ =⇒ card(α)λ ≤ 2λ = λ+ ≤ κ.(�) λ < card(α) =⇒ card(α)λ ≤ card(α)card(α) = card(α)+ ≤ κ.

78 III.10. Ejercicios

Por tanto,κ ≤ κλ = Σα<κ card(α)λ ≤ Σα<κ κ = κ · κ = κ.


Corolario III.9.18 (AC).(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ),κ+) ≤ .(κ)ג(b) GCH =⇒ (κ)ג = κ+. ¥

III.10. Ejercicios

Ejercicio III.10.1 (III.1.3.1). Sean F : A ¹ B y G : B ¹ A. Por recursiónsobre n ∈ ω de�nimos la siguiente sucesión, {An : n ∈ ω}:(�) A0 = A−G[B].(�) An+1 = G[F [An]].Sean A∗ =

⋃{An : n ∈ ω} y H : A −→ G[B] la aplicación de�nida por:

H(a) ={

G(F (a)), si a ∈ A∗;a, en caso contrario.

Entonces(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1.(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗.(iii) n 6= m =⇒ An ∩Am = ∅ ∧ F [An] ∩ F [Am] = ∅.(iv) H es biyectiva.

Ejercicio III.10.2 (III.1.4). A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C| =⇒ |B| = |C|.

Ejercicio III.10.3 (III.1.6, III.1.7).(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 /∈ Card.(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.(f) card(α) ∈ Card.(g) card(α) ≤ α.(h) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).(i) card(card(α)) = card(α).

Ejercicio III.10.4 (III.2.6).


(a) |A| = |B| =⇒ (A �nito ⇐⇒ B �nito).(b) B ⊆ A ∧A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒ ⋃

A ∈ Fin.(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.(e) A,B ∈ Fin =⇒ A×B ∈ Fin.(f) B /∈ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].(g) A ∈ Fin ∧ y /∈ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.(h) A ∈ Fin ∧B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.

Ejercicio III.10.5 (ZF−∗ , (III.3.9)).(a) Para todo n ∈ ω, An es un conjunto.(b) A<ω es un conjunto.(c) P<ω(A) = {B ⊆ A : B �nito} es un conjunto.

Ejercicio III.10.6 (III.3.11). Sea A numerable y R una relación de equivalenciasobre A. Entonces:(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).

Ejercicio III.10.7.(a) (III.4.1) La relación R de�nida sobre ω × ω por:

〈〈n1, n2〉, 〈m1, m2〉〉 ∈ R ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2

es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par 〈n,m〉 la notaremos por[n,m].

(b) (III.4.3) ∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).(c) (III.4.4) Z es numerable.(d) (III.4.7)(d.1) 〈Z, +.·, 1, 0〉 es un dominio de integridad.(d.2) 〈Z, <〉 es un orden total, pero no es un buen orden.

(e) (III.4.8) La relación R de�nida sobre Z× (Z− {0}) por:〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 ∈ R ⇐⇒ a · d = b · c

es de equivalencia. La clase del par 〈a, b〉 la notaremos por [a, b].(f) (III.4.10) Q es numerable.(g) (III.4.12) 〈Q,+, ·, 1, 0〉 es un cuerpo.(h) (III.4.14) 〈Q, <〉 es un orden total denso sin puntos �nales.

Ejercicio III.10.8.(a) (III.4.16) Sean 〈A,<〉, 〈B, <〉 órdenes totales numerables densos sin puntos

�nales. Para cualesquiera n ∈ ω, a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . < bn ∈B existe F : 〈A,<〉 ∼= 〈B, <〉 tal que

F (ai) = bi, i = 1, . . . , n.


(b) (III.4.17) Sea 〈A,<〉 un orden total con A �nito o numerable. Entonces〈A,<〉 ⊂̃ 〈Q, <〉.

Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b).

Ejercicio III.10.9 (Hartogs, (III.5.6)).(a) A+ ∈ Card.(b) λ 6¹ A =⇒ A+ ≤ λ.(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).(d) ∀α ∃β (β 6¹ α).

Ejercicio III.10.10 (III.5.9).(a) ℵ0 = ω

(b) ℵ+α = ℵα+1.

(c) ∀α (ωα es un ordinal límite).(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ .(e) ℵ es normal. Por tanto, dado β, ∃α ≥ β (α = ℵα).

Ejercicio III.10.11 (III.6.2). Si |A| = |A1| y |B| = |B1|, entonces|A|+ |B| = |A1|+ |B1|, |A| · |B| = |A1| · |B1|, |A||B| = |A1||B1|

Ejercicio III.10.12 (III.6.10). |A| < 2|A| = |P(A)|.

Ejercicio III.10.13 (III.6.3). Si A y B son bien ordenables, entonces A ] B yA×B son bien ordenables.

Ejercicio III.10.14 (III.6.5.1). Sobre ωβ×ωβ consideremos la siguiente relaciónde orden:

〈γ1, γ2〉 < 〈δ1, δ2〉 ⇐⇒

max(γ1, γ2) < max(δ1, δ2) ∨max(γ1, γ2) = max(δ1, δ2) ∧

{γ1 < δ1 ∨γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2

Entonces < bien ordena a ωβ × ωβ .

Ejercicio III.10.15 (III.6.12). ℵα < 2ℵα < 22ℵα .

Ejercicio III.10.16 (III.7.3). Sea 〈P, <〉 un orden total denso sin puntos �nales.Entonces existe un orden total denso completo 〈C,<′〉 tal que:(a) P ⊆ C.(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <′ y).(c) P es denso en C.(d) C no tiene puntos �nales.


Más aún, 〈C,<′〉 es único salvo isomor�smos. Esto es, si 〈C∗, <∗〉 es un orden totaldenso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : 〈C, <′〉 ∼= 〈C∗, <∗〉 talque

∀x ∈ P (H(x) = x).

A 〈C, <′〉 lo denominaremos completación de 〈P, <〉.

Ejercicio III.10.17.(a) (III.7.5) Q es denso en R.(b) (III.7.7) 〈R,+, ·, <, 0, 1〉 es un cuerpo ordenado.(c) (III.7.9)(c.1) d es una métrica sobre R.(c.2) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topología inducida

por d en R.(c.3) (R, d) es un espacio métrico completo.

(d) (III.7.13) Sea 〈A,<〉 un orden total denso(d.1) Si A es separable, entonces A veri�ca c.c.c.(d.2) Si A no tiene puntos �nales, es completo y separable, entonces 〈A, <〉 ∼= R.

Ejercicio III.10.18 ((AC), III.8.2). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familiasde conjuntos.

∀i ∈ I (|Ai| = |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| = Σi∈I |Bi|Πi∈I |Ai| = Πi∈I |Bi|

∀i ∈ I (|Ai| ≤ |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| ≤ Σi∈I |Bi|Πi∈I |Ai| ≤ Πi∈I |Bi|

Ejercicio III.10.19 (III.8.4). Sean {κi : i ∈ I}, {κ′i : i ∈ I} ⊆ Card tales que∀i ∈ I (κi ≤ κ′i). Entonces(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ′i.(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ′i.

Ejercicio III.10.20 (III.8.5). Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales talesque para todo i ∈ I, 2 ≤ κi. Entonces∑

i∈I κi ≤∏

i∈I κi.

Ejercicio III.10.21.(a) (III.8.7.1)

(i) κ ≤ Σα<λ κα, y(ii) λ ≤ Σα<λ κα.

(b) (III.8.7.2) κ ≤ Πα∈Aβκα.


Ejercicio III.10.22 (III.9.2).(a) cf(α) ≤ α.(b) cf(0) = 0.(c) cf(α + 1) = 1.(d) cf(α) es un cardinal.

Ejercicio III.10.23 (III.9.12). ¾Dónde se usa el axioma de elección en la pruebade III.9.12-(b)?

Ejercicio III.10.24 (AC, III.9.18).(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ),κ+) ≤ .(κ)ג(b) GCH =⇒ (κ)ג = κ+.

Ejercicio III.10.25 (ZF−∗ + Inf). Son equivalentes:(a) Ax. del in�nito(b) ∃x [x in�nito].

Ejercicio III.10.26. Determinar cuáles de las siguientes colecciones son conjun-tos y cuáles clases propias.(a) {α ∈ Ord : α ∼ ω}.(b) {A : A ∼ ω}.(c) (AC) {κ ∈ Card : κ = κℵ0}.

Ejercicio III.10.27.(a) ℵ0 ≤ |A| =⇒ |A|+ n = |A|.(b) |A|+ 1 = |A| ⇐⇒ ℵ0 ≤ |A|.

Ejercicio III.10.28. Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:(a) {f : f : ω −→ R}.(b) {f : f : R −→ R}.

Ejercicio III.10.29. Sea f : R −→ R.(a) Supongamos que f es creciente. Determinar el cardinal del siguiente conjunto:

{a ∈ R : f no es continua en a}.(b) Diremos que a ∈ R es un máximo para f si existe un intervalo abierto I tal

que:a ∈ I y ∀x ∈ I (x 6= a =⇒ f(x) < f(a)).

Determinar el cardinal del siguiente conjunto:{a : a es un máximo para f}.

Ejercicio III.10.30. Probar que no existe una aplicación f : ω1 −→ R creciente.


Ejercicio III.10.31 (AC). Sea {An : n ∈ ω} una partición de R. Probar queexiste n ∈ ω tal que card(An) = card(R).

Ejercicio III.10.32. Sean I 6= ∅ y {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos tal quepara todo i ∈ I, Ai 6= ∅. Sea

B = (⋃

i∈I Ai)ω.

Probar que para todo i ∈ ω, |B ×Ai| = |B|.

Ejercicio III.10.33. Sean α = ω4 + ω3 y κ = ℵα. Usando la hipótesis generali-zada del continuo calcular κλ en los siguientes casos:(a) λ = ℵ5.(b) λ = ℵω2 .(c) λ = ℵω5 .

Ejercicio III.10.34. Probar que para cada ordinal α:(a) Existe un cardinal singular κ > α.(b) Existe un cardinal κ > α tal que cf(κ) = ω.

Ejercicio III.10.35. Si existe f : ωα −→ A suprayectiva, entonces A ¹ ωα.

Ejercicio III.10.36 (AC). Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:(a) ωα − ωβ , β < α.(b) {A ⊆ ωα : card(A) < ℵ0}.(c) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ0}.(d) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ1}.(e) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵ0}, donde ℵβ ≤ 2ℵ0 .(f) 2× ωβ .(g) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵβ}.

Ejercicio III.10.37 (AC). Probar que existe κ > ℵ0 tal que ∀λ < κ (2λ < κ).

Ejercicio III.10.38. Para cada conjunto A de�nimos el factorial de A, A! comosigue

A! = {f ∈ AA : f biyectiva}Probar que:(a) |A| = |B| =⇒ |A!| = |B!|.(b) (AC) κ in�nito =⇒ κ! = 2κ.

Ejercicio III.10.39 ((AC)). Probar que las condiciones siguientes son equiva-lentes:(a) CH.


(b) ℵℵ01 = ℵ1.

(c) ℵℵ01 < ℵℵ0

2 .

Ejercicio III.10.40 (AC). ℵα+1ℵβ = ℵα

ℵβ · ℵα+1.

Capítulo IV

El axioma de regularidad

IV.1. La clase WF [[ZF∗]]

Nota IV.1.1. (Axioma de Regularidad)x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (y ∩ x = ∅).

Definición IV.1.2 (ZF∗).(a) De�nimos V : Ord −→ V como sigue:

(�) V(0) = ∅.(�) V(α + 1) = P(V(α)).(�) V(α) =

⋃β<α V(β), si α es límite.

(b) WF =⋃

α∈Ord V(α).

Nota IV.1.3. Sea A una clase.(a) ∀x ∈ A (Trans(x)) =⇒ ⋃

A transitiva.(b) A transitiva =⇒ P(A) transitiva.

Lema IV.1.4. x ∈ WF ∧ α = inf[{β : x ∈ V(β)}] =⇒ α sucesor. ¥

Lema IV.1.5 (ZF). A transitivo ∧A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.

Demostración: Ejercicio. ¥

Definición IV.1.6. Sea x ∈ WF, de�nimosrank(x) = inf[{β : x ∈ V(β + 1)}] = (µβ)[x ∈ V(β + 1)] = (µβ)[x ⊆ V(β)].

86 IV.1. La clase WF [[ZF∗]]

Proposición IV.1.7.(a) ∀α ∈ Ord(a.1) V(α) es transitivo.(a.2) β ≤ α =⇒ V(β) ⊆ V(α)

(b) WF es transitiva.(c) ∀α ∈ Ord [V(α) = {x ∈ WF : rank(x) < α}].(d) Si y ∈ WF, entonces(d.1) x ∈ y =⇒ rank(x) < rank(y)(d.2) rank(y) = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y})

(e) x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x)∃y ∈ x [rank(y) = β].(f) ∀x [x ∈ WF ⇐⇒ x ⊆ WF].

Demostración: ((a)): Por inducción sobre α ∈ Ord. (a.1) se sigue de IV.1.3.((b)): Se sigue de (a.1) y IV.1.3.((c)): De la de�nición de rank se sigue que

V(α) ⊆ {x ∈ WF : rank(x) < α}.Por inducción sobre α ∈ Ord probaremos la otra inclusión.(α = 0): V(0) = ∅, {x ∈ WF : rank(x) < 0} = ∅.(α =⇒ α + 1): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α + 1. Entonces rank(x) ≤ α.(�) Si rank(x) < α, por hipótesis de inducción x ∈ V(α). Por tanto, x ∈ V(α+1).(�) Si rank(x) = α, entonces, por de�nición de rank, x ∈ V(α + 1).(α límite): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α. Entonces existe β < α tal querank(x) = β < β + 1 < α. Por hipótesis de inducción, x ∈ V(β + 1) ⊆ V(α).((d)): Sean y ∈ WF, α = rank(y), β = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y}).((d.1)): Sea x ∈ y. Puesto que y ∈ V(α + 1), y ⊆ V(α). Luego, x ∈ V(α), de (c)se sigue que rank(x) < α.((d.2)): Veamos que α = β.(β ≤ α): Se sigue de (d.1).(α ≤ β): De la de�nición de β y (c) se sigue que y ⊆ V(β). Por tanto, y ∈ V(β+1).Luego, α ≤ β.((e)): Ejercicio.((f)): (=⇒): Se sigue de (b).(⇐=): Sea α = sup({rank(y) + 1 : y ∈ x}). Entonces x ⊆ V(α). Por tanto,x ∈ P(V(α)) = V(α + 1). Luego, x ∈ WF. ¥

Capítulo IV. El axioma de regularidad 87

Proposición IV.1.8.(a) ∀α ∈ Ord [α ∈ WF ∧ rank(α) = α ∧V(α) ∩Ord = α](b) Sea x ∈ WF tal que rank(x) = α. Entonces(b.1) ⋃

x, P(x), {x} ∈ WF.(b.2) rank(⋃ x) ≤ α, rank(P(x)) = α + 1 = rank({x}).

(c) Sean x, y ∈ WF y α = max(rank(x), rank(y)). Entonces(c.1) {x, y}, x ∪ y, x ∩ y, 〈x, y〉, x× y, xy ∈ WF.

(c.2){rank({x, y}) = α + 1, rank(x ∪ y) = α, rank(x ∩ y) ≤ αrank(〈x, y〉) = α + 2, rank(x× y) ≤ α + 2, rank(xy) ≤ α + 3

Demostración: ((a)): Es su�ciente probar que ∀α (rank(α) = α). Por inducciónsobre α.(α = 0). Entonces rank(0) = 0.(α =⇒ α + 1): Puesto que α ∈ V(α + 1), α + 1 = α ∪ {α} ⊆ V(α + 1). Luego,α + 1 ∈ V(α + 2). Además, rank(α + 1) ≤ α + 1. Se tiene que:

rank(α + 1) = sup({rank(β) : β < α + 1}) [[IV.1.7-(d.2)]]= sup({β + 1 : β < α + 1}) [[Hip. ind.]]= α + 1.

(α límite): β < α =⇒ β ∈ V(β + 1) ⊆ V(α). Por tanto, α ⊆ V(α). Luego,α ∈ V(α + 1). Además, rank(α) = sup({rank(β) + 1 : β < α}) = α.((b)): (⋃ x): Puesto que x ⊆ V(α), entonces

⋃x ⊆ V(α). Por tanto, rank(

⋃x) ≤

α.(P(x)): Puesto que x ⊆ V(α), entonces P(x) ⊆ P(V(α)) = V(α + 1). Por tanto,rank(P(x)) ≤ α + 1. La otra desigualdad es trivial.({x}): rank({x}) = sup({rank(x) + 1}) = α + 1.((c)): ({x, y}): rank({x, y}) = sup({rank(x) + 1, rank(y) + 1}) = α + 1.(x∪y): Puesto que x, y ⊆ V(α), entonces x∪y ⊆ V(α). Por tanto, rank(x∪y) ≤ α.La otra desigualdad es trivial.(〈x, y〉): Por de�nición 〈x, y〉 = {{x}, {x, y}}. Por tanto, como(�) rank({x}) ≤ rank({x, y}) = α + 1,se tiene que rank(〈x, y〉) = α + 2.(x× y): Consideremos los siguientes casos:Caso 1: α límite: Entonces rank(x× y) = α

Caso 2: α sucesor: Entonces rank(x× y) = α + 2.(xy): Se tiene que xy ⊆ P(x× y). Por tanto, rank(xy) ≤ α + 3. ¥

88 IV.2. El axioma de regularidad [[ZF∗]]

Definición IV.1.9 (AC). De�nimos i : Ord −→ Card por:

iα =

ℵ0, si α = 0;

2iβ , si α = β + 1;

sup({iβ : β < α}), si α es límite.

Proposición IV.1.10.(a) ∀n ∈ ω |V(n)| < ℵ0.(b) |V(ω)| = ℵ0.(c) (AC) |V(ω + α)| = iα. ¥

IV.2. El axioma de regularidad [[ZF∗]]

Definición IV.2.1. Sea A una clase y R una relación sobre A. Diremos que Restá bien fundamentada sobre A si:

∀B ⊆ A [B 6= 0 → ∃y ∈ B (∀z ∈ B (〈z, y〉 /∈ R))].

Si y ∈ B y ∀z ∈ B(〈z, y〉 /∈ R), diremos que y es un elemento R�minimal de B enA.

Nota IV.2.2. Si R es la relación de pertenencia, ∈, entonces �∈ está bien funda-mentada sobre A� es la propiedad

∀B ⊆ A [B 6= ∅ → ∃y ∈ B (y ∩B = ∅)].Es fácil comprobar que:(�) Ax Reg ⇐⇒ ∈ está bien fundamentada sobre V.

Lema IV.2.3.(a) A ∈ WF =⇒ ∈ está bien fundamentada sobre A.(b) A transitivo ∧ ∈ bien fundamentada sobre A =⇒ A ∈ WF.

Demostración: ((a)): Ejercicio.((b)): Sea B = A−WF. Supongamos que B 6= ∅.Puesto que ∈ está bien fundamentada sobre A, existe C ∈ B tal que B ∩ C = ∅.Puesto que A es transitivo, C ⊆ A.De lo anterior se sigue que C ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), C ∈ WF. Lo cual esuna contradicción. Por tanto, A ⊆ WF; en consecuencia, A ∈ WF. Lo que pruebael resultado. ¥


Definición IV.2.4 (ZF−∗ ).

(a){⋃0(x) = x;∪n+1(x) =

⋃⋃n(x).

(b) TC(x) =⋃{⋃n(x) : n ∈ ω}. TC(x) es la clausura transitiva de x.

Lema IV.2.5.(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,(a.1) x ⊆ TC(x).(a.2) TC(x) es transitivo.(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y.

(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).(d) TC(x) = x ∪⋃{TC(y) : y ∈ x}. ¥

Proposición IV.2.6. Son equivalentes:(a) x ∈ WF.(b) TC(x) ∈ WF.(c) ∈ está bien fundamentada sobre TC(x).

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Por inducción sobre n ∈ ω se obtiene que⋃n(x) ∈

WF. Por tanto, TC(x) ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), TC(x) ∈ WF.((b) =⇒ (c)): Se sigue de IV.2.3-(a).((c) =⇒ (a)): Puesto que TC(x) es transitivo, de IV.2.3-(b) se sigue que TC(x) ∈WF; por tanto, como x ⊆ TC(x), x ∈ WF. ¥

Teorema IV.2.7. Son equivalentes:(a) Axioma de regularidad.(b) ∀A (∈ está bien fundamentada sobre A).(c) V = WF.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Trivial.((b) =⇒ (c)): Por hipótesis, ∈ está bien fundamentada sobre TC(A); luego porIV.2.6, A ∈ WF.((c) =⇒ (a)): Sean A 6= ∅ y α = inf[{rank(x) : x ∈ A}].Sea B ∈ A tal que rank(B) = α. Entonces A ∩B = ∅. ¥

Teorema IV.2.8 (ZF). Son equivalentes:(a) x ∈ Ord.

90 IV.3. ∈�Inducción y ∈�recursión [[ZF−∗ ]]

(b) Trans(x) ∧ 〈x,∈〉 orden total.(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).

IV.3. ∈�Inducción y ∈�recursión [[ZF−∗ ]]

IV.3.A. Relaciones adecuadas

Definición IV.3.1. Sean A una clase y R una relación sobre A.(a) Diremos que R es adecuada sobre A si:

∀x ∈ A ({y ∈ A : 〈y, x〉 ∈ R} es un conjunto).(b) Si R es adecuada sobre A, de�nimos(b.1) ExtR(x) = {y ∈ A : 〈y, x〉 ∈ R}.

(b.2){Ext0R(x) = ExtR(x)

Extn+1R (x) =

⋃{ExtR(y) : y ∈ ExtnR(x)}(b.3) ClR(x) =

⋃{ExtnR(x) : n ∈ ω}.

Proposición IV.3.2. Si R es adecuada sobre A y x ∈ A, entonces(a) ∀y ∈ ClR(x) (ExtR(y) ⊆ ClR(x)).(b) ClR(x) = ExtR(x) ∪⋃{ClR(y) : y ∈ ExtR(x)}.

IV.3.B. Teoremas de inducción y recursión sobre relaciones bienfundamentadas y adecuadas

Teorema IV.3.3 (Teorema de inducción). Sea R una relación bien fundamen-tada y adecuada sobre A y B ⊆ A. Entonces(a) B 6= ∅ → B tiene un elemento R�minimal en A.(b) ∀x ∈ A (ExtR(x) ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.

Lema IV.3.4 (ZF). En el teorema anterior la condición de que R es adecuadasobre A puede omitirse.

Teorema IV.3.5 (Teorema de ∈-inducción (ZF∗)).(a) B 6= ∅ =⇒ ∃x ∈ B (x ∩B = ∅).(b) Sean A transitiva y B ⊆ A.

∀x ∈ A (x ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.


(c) Sean A y B clases transitivas y F : A −→ B una función biyectiva tal que∀x, y ∈ A (x ∈ y ↔ F(x) ∈ F(y)).

Entonces A = B y F es la identidad.

Teorema IV.3.6 (Teorema de recursión). Sean R una relación bien funda-mentada y adecuada sobre A y G : V ×V −→ V una función. Entonces existeuna única F : A −→ V tal que:

∀x ∈ A (F(x) = G(x,F|ExtR(x)).

Demostración: Esquema de la prueba. Considerar la clase C

f ∈ C ⇐⇒{

f aplicación ∧ ∃z ∈ A (dom(f) = ClR(z) ∪ {z}) ∧∀x ∈ dom(f) (f(x) = G(x, f|ExtR(x))).

Probar que:Aserto IV.3.6.1.(�) ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x)).(�) ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f) = ClR(x) ∪ {x}).

Tomar F =⋃

C. ¥

Corolario IV.3.7 (Teorema de ∈�recursión (ZF∗)). Sean A una clase tran-sitiva y G : V ×V −→ V. Entonces existe una única F : A −→ V tal que paratodo x ∈ A, F(x) = G(x,F|x).

Definición IV.3.8. Sean R una relación bien fundamentada y adecuada sobre Ay x ∈ A. De�nimos rankR(x) = sup({rankR(y) + 1 : 〈y, x〉 ∈ R}).

Lema IV.3.9. Si A es transitiva y ∈ está bien fundamentada sobre A, entonces(a) A ⊆ WF.(b) ∀x ∈ A (rank∈(x) = rank(x)).

IV.4. Ejercicios

Ejercicio IV.4.1 (ZF, IV.1.5). A transitivo ∧A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.

Ejercicio IV.4.2 (IV.1.7-(e)).x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x)∃y ∈ x [rank(y) = β].

Ejercicio IV.4.3 (IV.2.3-(a)). Si A ∈ WF, entonces ∈ está bien fundamentadasobre A.

92 IV.4. Ejercicios

Ejercicio IV.4.4 (IV.2.5).(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,(a.1) x ⊆ TC(x).(a.2) TC(x) es transitivo.(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y.

(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).(d) TC(x) = x ∪⋃{TC(y) : y ∈ x}. ¥

Ejercicio IV.4.5 (ZF, IV.2.8). Son equivalentes:(a) x ∈ Ord.(b) Trans(x) ∧ 〈x,∈〉 orden total.(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).

Ejercicio IV.4.6 (ZF, IV.3.4). En el teorema anterior la condición de que Res adecuada sobre A puede omitirse.

Ejercicio IV.4.7 (IV.3.6.1).(�) ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x)).(�) ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f) = ClR(x) ∪ {x}).

Capítulo V

El Axioma de Elección

V.1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC

V.1.A. El Axioma de Elección

Definición V.1.1 (El Axioma de Elección).(AC) ∀A∃f FE(f, A).

Donde

FE(f, A) ⇐⇒

f aplicación ∧A = dom(f) ∧∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Teorema V.1.2 (Russell). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) Para todo I 6= ∅ y toda familia {Aj : j ∈ I}

∀j ∈ I (Aj 6= ∅) =⇒ ×j∈I Aj 6= ∅.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sea g una función de elección sobre {Aj : j ∈ I}.Sea f : I −→ ⋃

j∈I Aj la función de�nida porf(j) = g(Aj).

Entonces para todo j ∈ I, f(j) ∈ Aj . Por tanto, f ∈×j∈I Aj .((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Sin pérdida de generalidad, podemos supo-ner que ∅ /∈ A. El conjunto A es una familia de conjuntos sobre A. Para ellobasta considerar la aplicación identidad: IdA : A −→ A, IdA(B) = B. Por (b),×B∈A B 6= ∅. Sea f ∈ ×B∈A B. Entonces f : A −→ ⋃

B∈A B(=⋃

A) y paratodo B ∈ A, f(B) ∈ B. Por tanto, f es una función de elección sobre A. ¥

94 V.1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC

Teorema V.1.3 (del Buen Orden (Zermelo)). (Ver II.3.4). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Demostración: Ver II.3.4. ¥

V.1.B. Principios maximales

Teorema V.1.4 (Hausdor�-Zorn). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) Lema de Zorn. Para todo orden parcial 〈A,<〉, si

(∗) ∀B ⊆ A [〈B, <〉 totalmente ordenado =⇒ B tiene cota superior],entonces A tiene un elemento maximal.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sea < un orden parcial sobre A veri�cando (∗).Veamos que A tiene elementos maximales. Probaremos algo más:(�) ∀y ∈ A∃z ∈ A [y ≤ z ∧ z es maximal].Sea <′ un buen orden sobre A. Sea a ∈ A. Supongamos que ∃x ∈ A (a < x). Porrecursión de�nimos F : Ord −→ A como sigue:

F(α) ={inf<′({x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)}), si {x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)} 6= ∅;a, en caso contrario.

Observemos que para todo α, < es un orden total sobre F[α]. Se tiene queAserto V.1.4.1. ∃α > 0 (F(α) = a).Prueba del aserto: En caso contrario, F : Ord −→ A es inyectiva. Lo cualestá en contradicción con Ord clase propia. 2

Sea β = inf({α > 0 : F(α) = a}). Es evidente que F(β) = a. Además,Aserto V.1.4.2. β es sucesor.Prueba del aserto: Si β es límite, entonces F[β] es una cadena en A sin cotasuperior. Lo cual está en contradicción con (∗). 2

Sea δ tal que β = δ + 1. Entonces F(δ) es un elemento maximal de A.((b) =⇒ (a)): Sea X un conjunto. Sin pérdida de generalidad, podemos suponerque ∅ /∈ X. Sea

A = {f : ∃Y ⊆ X [FE(f, Y )]}.Entonces ⊆ es un orden parcial sobre A. Sea B ⊆ A tal que ⊆ es un orden totalsobre B. Entonces

⋃B ∈ A y es una cota superior de B. Por tanto, de (b) se

sigue que existe f ∈ A maximal. Se tiene que

Capítulo V. El Axioma de Elección 95

Aserto V.1.4.3. FE(f, X).Prueba del aserto: De la de�nición de A lo único que hay que probar esque dom(f) = X. Supongamos lo contrario. Sea B ∈ X − dom(f). Puesto queB 6= ∅, existe b ∈ B. Sea

g = f ∪ {〈B, b〉}.Entonces g ∈ A y f ⊂ g. Lo cual está en contradicción con que f es maximal(respecto de ⊆). 2

Del aserto se sigue (a). ¥

Definición V.1.5. Diremos que un conjunto A tiene carácter �nito si∀B [B ∈ A ⇐⇒ ∀C ⊆ B (C �nito =⇒ C ∈ A)].

Teorema V.1.6 (Takeuti). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A [A tiene carácter �nito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆�maximal)].

V.2. Cardinales

Teorema V.2.1 (Hartogs). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).

Lema V.2.2. ∀A∀κ ∈ Card [|A× κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].

Teorema V.2.3 (Tarski). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A (A in�nito =⇒ |A2| = |A|).

V.3. Formas débiles del Axioma de Elección

Definición V.3.1.(a) (ACω (Axioma de Elección Numerable)):

∀A [A numerable =⇒ ∃f [dom(f) = A ∧ ∀x ∈ A (x 6= ∅ =⇒ f(x) ∈ x)]

(b) (DC (Principio de Elecciones Dependientes)): Para todo A y R ⊆ A×A

∀x ∈ A∃y ∈ A (〈y, x〉 ∈ R) =⇒ ∃f ∈ Aω ∀n ∈ ω (〈f(n + 1), f(n)〉 ∈ R)

96 V.4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad

Nota V.3.2. Veamos una versión alternativa del Principio de Elecciones Depen-dientes. Sea (DC)′ la siguiente propiedad: Para todo A y R ⊆ A×A

∀x ∈ A∃y ∈ A (〈y, x〉 ∈ R) =⇒ ∀x ∈ A∃f ∈ Aω

{f(0) = x ∧∀n ∈ ω (〈f(n + 1), f(n)〉 ∈ R)

Aserto V.3.2.1. (DC) ⇐⇒ (DC)′.

Lema V.3.3. AC =⇒ DC =⇒ ACω.

Lema V.3.4 (ACω).(a) Si para todo n ∈ ω, An es numerable, entonces


(b) ω1 es regular.(c) Si A es in�nito, entonces A es D�in�nito.

Lema V.3.5 (DC). Sean A un conjunto y < un orden total sobre A. Son equiva-lentes:(a) Existe f : ω −→ A tal que ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).(b) < no es una relación de buen orden sobre A.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): No necesita DC. Sea f : ω −→ A tal que(�) ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).Sea B = {f(n) : n ∈ ω} ⊆ A. Entonces B 6= ∅ y no tiene ín�mo. Por tanto, < noes un buen orden.((b) =⇒ (a)): Supongamos que < no es un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A novacío tal que B no tiene ín�mo; es decir,(�) ∀x ∈ B ∃y ∈ B (y < x).Consideremos la restricción de < a B,(�) <|B = B2 ∩ < = {〈x, y〉 ∈ B2 : x < y}.Por (DC), existe f : ω −→ B tal que(�) ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).Puesto que f : ω −→ A, de lo anterior se sigue el resultado. ¥

V.4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad

Lema V.4.1 (ZF). Son equivalentes:


(a) Axioma de elección.(b) Para todo α ∈ Ord, V(α) es bien ordenable.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Se sigue del teorema del buen orden.((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que A es bien ordenable. Por el axiomade Regularidad, existe α ∈ Ord tal que A ⊆ V(α). Por (b) existe < buen ordensobre V(α). Es evidente que <|A es un buen orden sobre A. ¥

Lema V.4.2. Supongamos que existe f : α −→ V tal que para todo β < α,f(β) = <β es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}. Entonces V(α) es bienordenable.

Demostración: Consideremos la relación <f sobre V(α) de�nida como sigue(recordemos que V(α) = {x ∈ WF : rank(x) < α}). Sean x, y ∈ V(α)

x <f y ⇐⇒{rank(x) < rank(y) ∨(rank(x) = rank(y) = β < α ∧ x <β y).

Es evidente que <f es un buen orden sobre V(α). ¥

Teorema V.4.3 (ZF). Son equivalentes:(a) El axioma de elección.(b) Para todo conjunto A, P(A) es bien ordenable.(c) Para todo conjunto A, si A es bien ordenable, entonces P(A) es bien ordenable.(d) ∀α ∈ Ord (P(α) bien ordenable).

Demostración: ((a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d)): Trivial.((d) =⇒ (c)): Sea A un conjunto bien ordenable. Entonces existe α ∈ Ord talque |α| = |A|. Entonces |P(α)| = |P(A)|. Por hipótesis, P(α) es bien ordenable.Por tanto, también lo es P(A).((d) =⇒ (a)): Esta parte de la prueba usa el axioma de regularidad.Por V.4.1 es su�ciente probar que para todo α, V(α) es bien ordenable.Para ello, por V.4.2, es su�ciente demostrar que existe f : α −→ V tal que paratodo β < α, f(β) = <β es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}.La de�nición de f es por recursión sobre β. Supongamos que f ha sido de�nidapara todo δ < β de tal forma que f(δ) = <δ es un buen orden de Rδ. Entonces,ver V.4.2, V(β) es bien ordenable. Un buen orden, <f|β , viene dado como sigue:Sean x, y ∈ V(β).

x <f|β y ⇐⇒{rank(x) < rank(y) ∨(rank(x) = rank(y) = γ < β ∧ x <γ y).

Sea λ = V(α)+ (el cardinal de Hartogs de V(α); es decir, el menor cardinal bienordenable tal que no existe ninguna aplicación inyectiva de λ en V(α)). Por (d),P(λ) es bien ordenable. Sea <∗ un buen orden sobre P(λ).

98 V.5. Espacios compactos

Puesto que card(V(β)) < λ, existen ρβ < λ y gβ únicos tales quegβ : 〈V(β), <f|β 〉 ∼= ρβ .

Ahora de�nimos f(β) = <β , buen orden sobre Rβ , como sigue: Sean x, y ∈ Rβ .x <β y ⇐⇒ gβ [x] <∗ gβ [y].

Es evidente que <β bien ordena al conjunto Rβ .Puesto que <∗ es un buen orden de P(λ), <β es un buen orden de Rβ .Esto completa la prueba del teorema. ¥

V.5. Espacios compactos

Definición V.5.1. Sea X un conjunto.(a) Diremos que F ⊆ P(X) es un �ltro sobre X si(a.1) X ∈ F , ∅ /∈ F .(a.2) A,B ∈ F =⇒ A ∩B ∈ F .(a.3) A ∈ F ∧ A ⊆ B =⇒ B ∈ F .

(b) Diremos que U ⊆ P(X) es un ultra�ltro sobre X si(b.1) U es un �ltro sobre X.(b.2) Para todo A ⊆ X, A ∈ U ó Ac ∈ U .

(c) Diremos que A ⊆ P(X) tiene la propiedad de la intersección �nita si paracualesquiera A1, . . . , An ∈ A, A1 ∩ · · · ∩An 6= ∅.

Lema V.5.2. Sea A ⊆ P(X) con la propiedad de la intersección �nita. Entoncesexiste un �ltro sobre X, F , tal que A ⊆ F .

Lema V.5.3. Sea U un �ltro sobre X. Son equivalentes.(a) U es un ultra�ltro.(b) U es un �ltro maximal.

Lema V.5.4 (AC). Sea F un �ltro sobre X. Existe un ultra�ltro U sobre X talque F ⊆ U .


Teorema V.5.5. Son equivalentes:(a) El axioma de elección.(b) Para toda familia {Xi : i ∈ I} de espacios topológicos compactos,

∏i∈I Xi es

un espacio compacto.1

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sean {Xi : i ∈ I} una familia de espacios topo-lógicos compactos y X =

∏Xi. Sea A ⊆ F(X) una familia de conjuntos cerrados

con la propiedad de la intersección �nita. Veamos que(∗) ∩A 6= ∅.Por V.5.2 y V.5.4 existe un ultra�ltro, U , sobre X tal que A ⊆ U .Para cada i ∈ I sea Di = {cl(Πi(A)) : A ∈ U}.

Aserto V.5.5.1. Di tiene la propiedad de la intersección �nita.Prueba del aserto: Sean E1, . . . , En ∈ Di. Entonces existen A1, . . . , An ∈ Utales que Ej = cl(Πi(Aj)), 1 ≤ j ≤ n. Puesto que U es un ultra�ltro, entoncesA1 ∩ · · · ∩An 6= ∅. Sea x ∈ A1 ∩ · · · ∩An. Se tiene que para todo j, 1 ≤ j ≤ n,

x ∈ Aj =⇒ Πi(x) ∈ Πi(Aj) =⇒ Πi(x) ∈ cl(Πi(Aj)) = Ej .Por tanto, Πi(x) ∈ E1 ∩ · · · ∩ En. 2

Puesto que Xi es compacto, del aserto se sigue que⋂Di 6= ∅. Por el axioma de

elección, para cada i ∈ I existe xi ∈⋂Di. Sea x ∈ X tal que para todo i ∈ I,

Πi(x) = xi.Aserto V.5.5.2. x ∈ ⋂A.Prueba del aserto: Supongamos que x /∈ ⋂A. Entonces existe F ∈ A talque x /∈ F . Puesto que F es cerrado, existe G ∈ G(X) tal que(�) Existe J = {j1, . . . , jm} ⊆ I �nito tal que G =

∏i∈I Gi, donde Gi ∈ G(Xi)

y para todo i /∈ J , Gi = Xi.(�) x ∈ G y G ∩ F = ∅.Entonces(�) Para todo i ∈ I, Πi(x) ∈ Πi(G).(�) G ∩ F = Π−1

j1(Gj1) ∩ · · · ∩Π−1

jm(Gjm) ∩ F = ∅.

Puesto que F ∈ U , de lo anterior se sigue queΠ−1

j1(Gj1) ∩ · · · ∩Π−1

jm(Gjm) /∈ U .

Por tanto, existe k ∈ {j1, . . . , jm}, tal que Π−1k (Gk) /∈ U . Puesto que

U es un ultra�ltro, (Π−1k (Gk))c ∈ U . Luego, Π−1

k (Gck) ∈ U . Por tanto,

cl(Πk(Π−1k (Gc

k))) ∈ Dk. Puesto que Gk ∈ G(Xk) y Πk(Π−1k (Gc

k)) = Gck,

Gck ∈ Dk. Además, xk ∈ Gk; luego, xk /∈ ⋂Dk. Lo cual está en contradicción

con la elección de x. 2

1Las nociones y resultados de topología utilizados pueden consultarse en el capítuloVII.

100 V.5. Espacios compactos

Del aserto se sigue (∗). Por tanto, X es compacto.((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que existe una función de elección sobreA. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ∅ /∈ A. Sea a /∈ ⋃

A. Paracada B ∈ A sea OB una topología sobre B ∪ {a} tal que(�) OB es compacto,(�) B es cerrado en OB .Por ejemplo, podemos tomar OB = {∅, {a}, B, B ∪ {a}}. Consideremos el espaciotopológico producto X =×B∈A(B ∪ {a}). Por hipótesis, X es compacto.

Aserto V.5.5.3. ⋂B∈A Π−1

B (B) 6= ∅.Prueba del aserto: Supongamos lo contrario; es decir,

⋂B∈A Π−1

B (B) = ∅.Entonces

X =⋃

B∈A(Π−1B (B))c.

Puesto que B es cerrado en OB , entonces Π−1B (B) es cerrado en X; por tanto,

Π−1B (B)c es abierto en X. Puesto que X es compacto, existen B1, . . . , Bn ∈ A

tales queX = Π−1

B1(B1)c ∪ · · · ∪Π−1

Bn(Bn)c.

Por tanto,f ∈ X ⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f ∈ Π−1

Bi(Bi)c)

⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f /∈ Π−1Bi

(Bi))⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (ΠBi(f) /∈ Bi)⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f(Bi) = a).

Sean b1 ∈ B1, . . . , bn ∈ Bn y g ∈ X la aplicación de�nida por:

g(B) =

{a, si (∀i)1≤i≤n (B 6= Bi);bi, si B = Bi.

De lo anterior se sigue que: g /∈ X. Contradicción. 2

Por el aserto, existe f ∈ ⋂B∈A Π−1

B (B). Puesto que⋂

B∈A Π−1B (B) = ×B∈AB,

entonces f es una función de elección sobre A. ¥

Notas V.5.6. Esta nota contiene comentarios sobre el uso del Axioma de Elecciónen la prueba del teorema anterior. Primero veamos que no es necesario el uso delAxioma de Elección para productos �nitos.

Aserto V.5.6.1. Sean X1 y X2 espacios topológicos compactos, entonces el espa-cio producto X1 ×X2 es compacto.

Prueba del aserto: Sea Q un recubrimiento abierto de X1 ×X2. SeaP = {H ∈ G(X1) : existen G1, . . . , Gk ∈ Q tales que H ×X2 ⊆

⋃1≤j≤k Gj}.

Se tiene que:


(i) X1 =⋃P.

Prueba de (i): Para cada x ∈ X1, seaQx = {G ∈ Q : x ∈ Π1(G)}.

Es evidente que: {x} ×X2 ⊆⋃Qx. Sea R2 = {Π2(G) : G ∈ Qx}. Entonces

X2 =⋃R2 =

⋃G∈Qx

Π2(G).Puesto que X2 es compacto, de lo anterior se sigue que existeR′2 ⊆ R2 �nito talque X2 =

⋃R′2. Sean G1, . . . , Gn ∈ Qx tales queR′2 = {Π2(G1), . . . ,Π2(Gn)}.Sea

Hx = Π1(G1) ∩ · · · ∩Π1(Gn).Entonces(�) Hx ∈ G(X1),(�) Hx ×X2 ⊆ G1 ∪ · · · ∪Gn.Por tanto, Hx ∈ P. Puesto que x ∈ Hx, entonces x ∈ ⋃P. Lo que prueba (i).

Puesto que X1 es compacto, por (i), existen H1, . . . ,Hm ∈ P tales queX1 = H1 ∪ · · · ∪Hm.

Para cada j, 1 ≤ j ≤ m, sean Gj,1, . . . , Gj,rj ∈ Q tales queHj ×X2 ⊆ Gj,1 ∪ · · · ∪Gj,rj .

EntoncesX1 ×X2 = (H1 ∪ · · · ∪Hk)×X2

= (H1 ×X2) ∪ · · · ∪ (Hk ×X2)= (G1,1 ∪ · · · ∪G1,r1) ∪ · · · ∪ (Gk,1 ∪ · · · ∪Gk,rk

).

Por tanto, {Gi,j : 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ ri} ⊆ Q es un recubrimiento �nito delespacio X1 ×X2. 2

En la prueba del teorema V.5.5 usamos dos veces el Axioma de Elección:(�) Para obtener un ultra�ltro U tal que A ⊆ U . Para ello es su�ciente usar V.5.4.

Esta propiedad no es equivalente al Axioma de Elección.(�) Para obtener x ∈ X tal que para todo i ∈ I, Πi(x) = xi.Ahora veremos que el segundo uso del Axioma de Elección no es necesario paraespacios de Hausdor�.Supongamos que para todo i ∈ I, Xi es de Hausdor�. Como en la prueba deV.5.5,para cada i ∈ I, sea Di = {cl(Πi(A)) : A ∈ U}. Recordemos que(�) para todo i ∈ I,

⋂Di 6= ∅.Se tiene que

Aserto V.5.6.2. ⋂Di es unitario.

Ahora de�nimos x ∈ X como sigue: para todo i ∈ I,

102 V.6. Ejercicios

xi = z ⇐⇒ z ∈ ⋂Di.Tampoco es necesario usar el axioma de elección para probar que el espacio deCantor, C = 2ω, es compacto.

V.6. Ejercicios

Ejercicio V.6.1 (Takeuti, V.1.6). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A [A tiene carácter �nito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆�maximal)].

Ejercicio V.6.2 (Hartogs, V.2.1). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).

Ejercicio V.6.3 (V.2.2).∀A∀κ ∈ Card [|A× κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].

Ejercicio V.6.4 (Tarski, V.2.3). Son equivalentes:(a) El Axioma de Elección.(b) ∀A (A in�nito =⇒ |A2| = |A|).

Ejercicio V.6.5 (V.3.2.1). (DC) ⇐⇒ (DC)′.

Ejercicio V.6.6 (V.3.3). AC =⇒ DC =⇒ ACω.

Ejercicio V.6.7 ((ACω), V.3.4).(a) Si para todo n ∈ ω, An es numerable, entonces


(b) ω1 es regular.(c) Si A es in�nito, entonces A es D�in�nito.

Ejercicio V.6.8. Sea ERC la siguiente propiedad:(�) Para todo conjunto A y toda relación de equivalencia R sobre A, existe una

aplicación f : A −→ A tal que:(ERC1) ∀a ∈ A [(a, f(a)) ∈ R],(ERC2) ∀a, b ∈ A [(a, b) ∈ R → f(a) = f(b)].

Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:(a) El axioma de elección.(b) ERC.

Ejercicio V.6.9 (V.5.6.2). ⋂Di es unitario.

Ejercicio V.6.10. C es compacto.

Capítulo VI

Espacios Polacos

VI.1. Espacios Polacos

Definición VI.1.1. Sea X un espacio topológico. Diremos que X es un espacioPolaco si X es separable y completamente metrizable.2

Nota VI.1.2. Presentamos algunos procedimientos para obtener espacios Polacos.(a) Sea X un espacio métrico separable. Entonces la completación de X, X̂, es un

espacio Polaco.(b) Sea {Xn : n ∈ ω} una sucesión de espacios Polacos. Entonces el espacio

producto,∏

n∈ω Xn, y el espacio suma,⊕

n∈ω Xn, son espacios Polacos.(c) Sea A un conjunto no vacío equipado con la topología discreta. Son equi-

valentes:(i) Aω es un espacio Polaco.(ii) A es numerable.

Ejemplos de espacios Polacos:(�) ω con la topología discreta.(�) S0 = {1/n : 1 ≤ n} ∪ {0} con la topología inducida por R.(�) R, Rn, I = [0, 1] = {r ∈ R : 0 ≤ r ≤ 1}.(�) H = Iω (cubo de Hilbert), Rω.(�) C = 2ω (espacio de Cantor) y N = ωω (espacio de Baire).La siguiente tabla resume las propiedades topológicas y de numerabilidad de estosespacios:

2En este capítulo se hace un uso intensivo de resultados básicos sobre espacios to-pológicos y métricos. Las notaciones empleadas, así como las de�niciones y resultadosutilizados, se recogen en el capítulo VII, junto con algunos resultados de carácter com-plementario (sección VII.4).

104 VI.1. Espacios Polacos

Numerables No numerablesCompactos S0 I, H, CNo compactos ω R, Rn, Rω, N0�dimensionales ω, S0 C, N

VI.1.A. Conjuntos Gδ

Teorema VI.1.3. Sean X un espacio Polaco y F ∈ F(X). Entonces F es unespacio Polaco.

Demostración: Sea {xn : n ∈ ω} ⊆ F una sucesión de Cauchy (en F ). Entonces{xn : n ∈ ω} es de Cauchy en X. Puesto que X es completo, {xn : n ∈ ω} esconvergente. Entonces, puesto que F es cerrado, limn∈ω xn ∈ F . ¥

Definición VI.1.4. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X.(a) A ∈ Gδ(X) si existe una sucesión {Gn : n ∈ ω} ⊆ G(X) tal que A =

⋂n∈ω Gn.

(b) A ∈ Fσ(X) si existe una sucesión {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A =⋃

n∈ω Fn.

Puesto que Q =⋃

q∈Q {q}, Q ∈ Fσ(R). Sin embargo, Q /∈ Gδ(R), ver VI.3.6. SeaJ = R−Q. De lo anterior se sigue que J ∈ Gδ(R).

Lema VI.1.5. Sea X un espacio topológico. Entonces(a) G(X) ⊆ Gδ(X), F(X) ⊆ Fσ(X).(b) A ∈ Gδ(X) ⇐⇒ Ac ∈ Fσ(X).(c) ((AC)ω). Gδ(X) es cerrado bajo intersecciones numerables y uniones �nitas.(d) Sean A ⊆ Y y f : X −→ Y continua. Si A ∈ Gδ(Y ), entonces f−1(A) ∈ Gδ(X).

Proposición VI.1.6. Sea X un espacio métrico.(a) F(X) ⊆ Gδ(X).(b) G(X) ⊆ Fσ(X).

Demostración: Para cada q > 0, sea B(F, q) = {x ∈ X : d(x, F ) < q}. Esevidente que B(F, q) ∈ G(X) y, puesto que F es cerrado, F =

⋂q∈QB(F, q). ¥

Teorema VI.1.7. Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X.A ∈ Gδ(X) ⇐⇒ A es un espacio Polaco.

Demostración: Es evidente que A es separable. Por tanto, el resultado se siguede VII.4.1 y VII.4.2. ¥

Corolario VI.1.8.

Capítulo VI. Espacios Polacos 105

(a) Sean a < b ∈ R. Entonces (a, b) es completamente metrizable. [[Sin embargo,la métrica usual no es completa]].

(b) J = R−Q es completamente metrizable.(c) Q no es completamente metrizable.

Demostración: Observemos que: (a, b) ∈ Gδ(R); J ∈ Gδ(R) y Q /∈ Gδ(R), verVI.3.6. Por tanto, todos los resultados se siguen de VI.1.7. ¥

VI.1.B. Árboles [[ZF∗]]

Definición VI.1.9. Sea A un conjunto no vacío.(a) An es el conjunto de las sucesiones de elementos de A de longitud n; es decir,

la colección de las aplicaciones de n en A. Si s ∈ An, escribiremos(�) s = 〈s(0), . . . , s(n− 1)〉 = 〈s0, . . . , sn−1〉, y(�) lg(s) = n.

(b) A<ω =⋃

n∈ω An.(c) Sean s, t ∈ A<ω.(c.1) La concatenación de las sucesiones s y t la notaremos por s ∗ t. Es decir,

si s ∈ An y t ∈ Am, entonces s ∗ t ∈ An+m es la sucesión de�nida por

(s ∗ t)(j) ={

s(j), si j < n;t(j − n), si n ≤ j < n + m.

(c.2) Diremos que s, t son compatibles si s ⊆ t ∨ t ⊆ s; es decir, si s ∪ t ∈ A<ω.En caso contrario diremos que son incompatibles y lo notaremos s ⊥ t. Esdecir, existe i < lg(s), lg(t) tal que s(i) 6= t(i).

(c.3) Sea k < lg(s). Denotaremos por s|k a la restricción de s a k; es decir,s|k = 〈s0, . . . , sk−1〉.

(d) Aω es la colección de las aplicaciones de ω en A. Usaremos σ, τ para denotarelementos de Aω. Si σ ∈ Aω, denotaremos por σ|n a la restricción de σ a n.

Definición VI.1.10. Sea T ⊆ A<ω.(a) Diremos que T es un árbol sobre A, T ∈ Tr(A), si es cerrado bajo restricciones;

es decir, si para todo s ∈ T y para todo n ∈ ω, s|n ∈ T .(b) Diremos que σ ∈ Aω es una rama (in�nita) de T si para todo n < lg(s),

σ|n ∈ T . Notaremos [T ] = {σ ∈ Aω : σ rama in�nita de T}.(c) T es un árbol podado sobre A, T ∈ PTr(A), si ∀s ∈ T ∃t ∈ T [s ⊂ t].(d) Diremos que T es de rami�cación �nita si para todo s ∈ T ,

{t ∈ T : s ⊆ t ∧ lg(t) = lg(s) + 1} es �nito.

Lema VI.1.11 (König). Si T ∈ Tr(A) es in�nito y de rami�cación �nita, entonces[T ] 6= ∅.

106 VI.1. Espacios Polacos

Demostración: Por recursión sobre n ∈ ω de�nimos {sn : n ∈ ω} ⊆ T tal quepara todo n ∈ ω, lg(sn) = n y {t ∈ T : sn ⊂ t} es in�nito.(n = 0): Sea s0 = ∅.(n =⇒ n + 1): Sea sn+1 ∈ T tal que sn ⊂ sn+1, lg(sn+1) = n + 1 y

{t ∈ T : sn+1 ⊂ t} es in�nito.

Un tal elemento existe, ya que T es de rami�cación �nita y, por construcción,{t ∈ T : sn ⊂ t} es in�nito.Es evidente que σ =

⋃n∈ω sn es rama de T in�nita. ¥

VI.1.C. El espacio métrico Aω

Notas VI.1.12. Sea A un conjunto. Sobre A consideremos la topología discreta.Puesto que A es metrizable, Aω es un espacio métrico. Por ejemplo, la siguienteaplicación es una métrica sobre Aω. Sean σ, τ ∈ Aω tales que σ 6= τ , sea

n = inf({k ∈ ω : σ(k) 6= τ(k)}).De�nimos d(σ, τ) = 2−(n+1).Para cada s ∈ A<ω, sea Ns = {σ ∈ Aω : s ⊆ σ}. Se veri�can las siguientespropiedades:(a) La familia {Ns : s ∈ A<ω} es una base de Aω.(b) s ⊆ t ⇐⇒ Ns ⊇ Nt.(c) s ⊥ t ⇐⇒ Ns ∩Nt = ∅.(d) G ⊆ Aω abierto =⇒ ∃S ⊆ A<ω [(s, t ∈ S =⇒ s ⊥ t) ∧G =

⋃s∈S Ns].

Prueba: Sea G ⊆ Aω abierto. Entonces existe S1 ⊆ A<ω tal que G =⋃s∈S1

Ns. Sea S = {s ∈ S1 : ∀t ∈ S1 (t 6⊂ s)}. Es fácil comprobar que Sveri�ca las propiedades de (d). 2

(e) ∀s ∈ A<ω [Ns cerrado].Prueba: Sea S = {t ∈ A<ω : s ⊥ t}. Entonces N c

s =⋃

t∈S Nt. 2

(f) Aω es completo y 0�dimensional.Prueba: Puesto que la topología discreta sobre A es completa, Aω es completo.Por (e), Aω es 0�dimensional. 2

(g) Si A es numerable, entonces Aω es segundo numerable; y por tanto, separable.(h) Aω ∼= (Aω)ω y para todo n ≥ 1, Aω ∼= (Aω)n.

Definición VI.1.13.(a) C = 2ω es el espacio de Cantor.(b) N = ωω es el espacio de Baire.

Nota VI.1.14.


(a) Si 2 ≤ |A| < ω, Aω ∼= C. Si |A| = ω, Aω ∼= N .(b) C ⊂̃N . La inclusión es una inmersión de C en N .(c) N ⊂̃C. Sea f : N −→ C la función de�nida por

f(σ) = {J(n,m) : σ(n) = m} = Gr(σ)

(donde J es la función de Cantor e identi�camos Gr(σ) con su función carac-terística). Es evidente que f : N ⊂̃C.

Lema VI.1.15. Sea R : PTr(A) −→ {F ⊆ Aω : F cerrado} la aplicación de�nidapor

R(T ) = [T ].Entonces R es biyectiva. Por tanto, F(Aω) = {[T ] : T ∈ PTr(A)}.

Demostración: Se tienen los siguientes resultados:Aserto VI.1.15.1. Sea T un árbol sobre A. Entonces [T ] es cerrado en Aω.Prueba del aserto: Veamos que [T ]c es abierto. Sea σ ∈ [T ]c. Entonces existen ∈ ω tal que σ|n /∈ T . Puesto que T es cerrado bajo restriciones, Nσ|n ⊆ [T ]c.

2

Aserto VI.1.15.2. Sean T, T ′ ∈ PTr(A). EntoncesT = T ′ ⇐⇒ [T ] = [T ′].

Prueba del aserto: (=⇒): Trivial.(⇐=): Supongamos que existe s ∈ T − T ′. Puesto que T ∈ PTr(A), existeσ ∈ [T ] tal que s ⊆ σ. Además, de s /∈ T ′ se sigue que σ /∈ [T ′]. Por tanto,[T ] 6= [T ′]. 2

Aserto VI.1.15.3. Sea F ⊆ Aω cerrado. De�nimosTF = {s ∈ A<ω : ∃σ ∈ F (s ⊆ σ)}.

(i) TF ∈ PTr(A).(ii) [TF ] = F .Prueba del aserto: ((i)): Trivial.((ii)): (F ⊆ [TF ]): Trivial.([TF ] ⊆ F ): Sea σ /∈ F . Puesto que F c es abierto, existe s ∈ A<ω tal que s ⊆ σy Ns ∩ F = ∅. Por tanto, ∀τ ∈ F (s 6⊆ τ). En consecuencia, σ|lg(s) = s /∈ TF .Luego, σ /∈ [TF ]. 2

De los asertos se sigue el lema. ¥

108 VI.2. Inmersiones entre Espacios Polacos

VI.2. Inmersiones entre Espacios Polacos

VI.2.A. El Conjunto de Cantor

Definición VI.2.1 (El conjunto de Cantor). Por recursión sobre s ∈ 2<ω,de�nimos {Fs : s ∈ 2<ω} como sigue:(�) F∅ = [0, 1].

(�) Fs = [a, b] =⇒{

Fs∗〈0〉 = [a, a + b−a3 ];

Fs∗〈1〉 = [a + 2(b−a)3 , b].

Para cada n ∈ ω, seaFn =

⋃ {Fs : s ∈ 2<ω, lg(s) = n}.El conjunto de Cantor, C, se de�ne como C =

⋂n∈ω Fn.

Lema VI.2.2. C es cerrado. Puesto que el intervalo [0, 1] es compacto y C ⊆ [0, 1],entonces C es compacto.

Demostración: Es su�ciente probar que para todo n ∈ ω, Fn es cerrado. Paratodo s ∈ 2<ω, Fs es cerrado. Por tanto, Fn es la unión de un número �nito deconjuntos cerrados. En consecuencia, Fn es cerrado. ¥

Lema VI.2.3.(a) H : C ∼= C. Por tanto, C es perfecto (ver VI.3.A).(b) |C| = 2ℵ0 .

Demostración: ((a)): Ejercicio.((b)): Puesto que |C| = 2ℵ0 , el resultado se sigue de (a). ¥

VI.2.B. Esquemas de Lusin

Proposición VI.2.4. Sean (X, d) un espacio métrico completo y {Fn : n ∈ ω}una sucesión de cerrados decreciente (respecto de ⊆) tal que

(�) Para todo n ∈ ω, Fn 6= ∅.(�) limn∈ω dtr(Fn) = 0.

Entonces⋂

Fn es un conjunto unitario.[[Esta propiedad es equivalente a que X sea completo]]

Definición VI.2.5. Sean X un espacio métrico (suponemos que d(x, y) < 1) yJ un conjunto. Un J�esquema sobre X es una familia de subconjuntos de X,{As : s ∈ J<ω}, tal que para todo s ∈ J<ω:


(i) ∀i ∈ J [cl(As∗〈i〉) ⊆ As].(ii) Para todo σ ∈ Jω, limn∈ω dtr(Aσ|n) = 0.Si J = ω, diremos que es un esquema de Lusin. Si J = {0, 1} = 2, diremos que esun esquema de Cantor. También consideraremos las siguientes propiedades:(iii) ∀i, j ∈ J [i 6= j =⇒ As∗〈i〉 ∩As∗〈j〉 = ∅].(iv) J �nito ∨ ∀s ∈ J<ω (As ∈ G(X)).(v) ∀σ ∈ Jω ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅).(vi) A∅ = X ∧ ∀s ∈ J<ω (As =

⋃i∈J As∗〈i〉).

Nota VI.2.6. En los resultados que siguen X un espacio métrico completo y {As :s ∈ J<ω} un J�esquema sobre X. Sobre J consideremos la topología discretay sobre Jω la topología producto. Una base de esta topología está dada por:{Ns : s ∈ J<ω}, donde Ns = {σ ∈ Jω : s ⊆ σ}. Sea

D = {σ ∈ Jω :⋂

n∈ω Aσ|n 6= ∅}.De VI.2.5-(ii) se sigue que para todo σ ∈ D,(�)

⋂n∈ω Aσ|n es unitario.

Esto permite de�nir la función fD : D −→ X, que denominaremos función asociadaal esquema {As : s ∈ J<ω}, como sigue:

fD(σ) = x ⇐⇒ x ∈ ⋂n∈ω Aσ|n .

Lema VI.2.7. Se tiene que:(a) D = {σ ∈ Jω : ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅)}.(b) D es cerrado.(c) fD es continua.

Demostración: ((a)): (⊆): Trivial.(⊇): Por VI.2.5-(i), para todo σ ∈ Jω y n ∈ ω, Aσ|n+1 ⊆ cl(Aσ|n+1) ⊆ Aσ|n . Portanto, para todo σ ∈ Jω,(1)

⋂n∈ω Aσ|n =

⋂n∈ω cl(Aσ|n).

Supongamos que para todo n ∈ ω, Aσ|n 6= ∅. Entonces de (1),VI.2.5-(ii) yVI.2.4se sigue que

⋂n∈ω Aσ|n 6= ∅. Lo que prueba (a).

((b)): Sea σ ∈ Dc. Entonces, por (a), existe n ∈ ω tal que Aσ|n = ∅. Por tanto,σ ∈ Nσ|n ⊆ Dc. Luego, Dc es abierto.((c)): Sean σ ∈ D y ε > 0. Por VI.2.5-(ii), existe n ∈ ω tal que dtr(Aσ|n) < ε.Entonces fD(D ∩Nσ|n) ⊆ B(fD(σ), ε). Por tanto, fD es continua. ¥

Lema VI.2.8.(a) Si se tiene (iii), entonces fD es inyectiva.

110 VI.3. Espacios Polacos no numerables

(b) Si tienen (iii) y (iv), entonces fD es una inmersión.

Demostración: ((a)): Trivial.((b)): Consideremos los siguientes casos:Caso 1: J es �nito. Entonces Jω es compacto; luego, por VI.2.7, D es compacto.Por tanto, el resultado se sigue deVII.3.9. Además, en este caso fD(D) es cerrado.Caso 2: Para todo s ∈ J<ω, As ∈ G(X). Observemos que {D ∩Ns : s ∈ J<ω} esuna base de la topología inducida por Jω en D. Además, fD(D∩Ns) = fD(D)∩As.Puesto que As es abierto, entonces fD(D ∩Ns) es abierto en fD(D). ¥

Lema VI.2.9. Sea X un espacio métrico completo. Supongamos que se veri�can(iii), (iv) y (v), entonces D = Jω y fD : Jω ⊂̃X.

Demostración: Por (v) y VI.2.7, D = Jω. En consecuencia, por VI.2.8-(b),fD : Jω ⊂̃X. ¥

Lema VI.2.10. Sea X un espacio métrico completo. Supongamos que se veri�can(iii), (iv), (v) y (vi). Entonces fD : Jω ∼= X.

Demostración: Es fácil comprobar que fD es suprayectiva. Por tanto, el resul-tado se sigue de VI.2.9. ¥

VI.3. Espacios Polacos no numerables

Teorema VI.3.1. Sea X un espacio métrico separable. Entonces |X| ≤ 2ℵ0 .

Demostración: Sea B una base numerable de X. Sea f : X −→ P(B) la funciónde�nida por:

f(x) = {G ∈ B : x ∈ G}.Puesto que X es de Hausdor�, f es inyectiva. Por tanto, |X| ≤ |P(B)| = 2ℵ0 . ¥

VI.3.A. Espacios Polacos perfectos

Definición VI.3.2. Sea X un espacio topológico.(a) Diremos que X es perfecto si no tiene puntos aislados.(b) Sea A ⊆ X. Diremos que A es perfecto en X si(b.1) A 6= ∅,(b.2) A ∈ F(X), y


(b.3) A no tiene puntos aislados; es decir,∀x ∈ A∀G ∈ G(X) [A ∩G 6= {x}].

Teorema VI.3.3. Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces existe f : C ⊂̃X.Más aún, puesto que C es compacto, f(C) ∈ F(X).

Demostración: Por recursión sobre s ∈ 2<ω de�niremos un esquema de Cantor,{As : s ∈ 2<ω}, tal que para todo s ∈ 2<ω:(i) cl(As∗〈0〉), cl(As∗〈1〉) ⊆ As.(ii) dtr(As) ≤ 2−lg(s). Por tanto, para todo σ ∈ C, limn∈ω dtr(Aσ|n) = 0.(iii) As∗〈0〉 ∩As∗〈1〉 = ∅.(iv) As abierto.(v) ∀s (As 6= ∅).De�nición de la sucesión {As : s ∈ 2<ω}.(s = ∅): Sea A∅ cualquier abierto tal que dtr(A∅) ≤ 1. Por ejemplo, sea x ∈ Xbasta tomar A∅ = B(x, 1/2).(s =⇒ s ∗ 〈0〉, s ∗ 〈1〉): Como X es perfecto, existen x0, x1 ∈ As tales que x0 6= x1.Sean(�) r0 = d(Ac

s, x0), r1 = d(Acs, x1), [[puesto que Ac

s es cerrado, 0 < r0, r1]],(�) 0 < r < min(2−(lg(s)+1),d(x0, x1)/2, r0, r1).De�nimos: As∗〈0〉 = B(x0, r) y As∗〈1〉 = B(x1, r). Estos conjuntos veri�can laspropiedades deseadas. Por ejemplo, de r0, r1 < r se sigue (i).Ahora de�nimos f : C −→ X continua e inyectiva. Sea σ ∈ C. Consideremos lafamilia {Aσ|n : n ∈ ω}. Puesto que

⋂n∈ω Aσ|n es unitario, de�nimos

f(σ) = x ⇐⇒ x ∈ ⋂n∈ω Aσ|n .

Por VI.2.9, f : C ⊂̃X. ¥

Teorema VI.3.4. Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces(a) |X| = 2ℵ0 .(b) A es perfecto en X =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Demostración: ((a)): (2ℵ0 ≤ |X|): Por VI.3.3, C ⊂̃X. Por tanto,2ℵ0 = |C| ≤ |X|.

(|X| ≤ 2ℵ0): Puesto que X es separable, el resultado se sigue de VI.3.1.((b)): En efecto,

A ∈ F(X) =⇒ A es un espacio Polaco [[VI.1.3]]=⇒ A es un espacio Polaco perfecto [[A es perfecto]]=⇒ |A| = 2ℵ0 [[(a)]].


Lo que prueba (b). ¥

Corolario VI.3.5. Sean X un espacio Polaco perfecto y D ⊆ X denso y nume-rable. Entonces(a) D ∈ Fσ(X).(b) D /∈ Gδ(X).

Demostración: ((a)): Sea D = {an : n ∈ ω}. Para todo n ∈ ω, {an} es cerrado.Por tanto, D =

⋃n∈ω {an} ∈ Fσ(X).

((b)): Supongamos que D ∈ Gδ(X). Entonces porVI.1.7, D es un espacio Polaco.Además, se tiene que:

Aserto VI.3.5.1. D es un espacio perfecto.Prueba del aserto: Sean x ∈ D y G ∈ G(X) tales que x ∈ G. Puesto queX es perfecto, x no es aislado en X; por tanto, existe y ∈ X tal que y ∈ G yx 6= y. Sea G1 = G ∩ B(y, d(x, y)/2). Entonces y ∈ G1 y x /∈ G1. Puesto queD es denso, existe z ∈ D ∩ G1. Por tanto, x 6= z y z ∈ G ∩D; luego, x no esaislado en D. 2

De VI.3.4 y el aserto se sigue que |D| = 2ℵ0 . Contradicción, D es numerable. ¥

Corolario VI.3.6.(a) Q /∈ Gδ(R).(b) Q no es completamente metrizable.

Demostración: La parte (a) se sigue de VI.3.5. (b) se sigue de (a) y VI.1.7.¥

VI.3.B. El teorema de Cantor�Bendixson [[ZF∗ + ACω]]

Teorema VI.3.7 (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces exis-ten P, C ⊆ X únicos tales que(a) X = P ∪ C, P ∩ C = ∅.(b) P es perfecto en X. (Diremos que P es el núcleo perfecto de X).(c) C ∈ G(X) y numerable.

Demostración: Sea B = {Gn : n ∈ ω} una base de X. Sean(�) C =

⋃{G ∈ B : G es numerable}.(�) P = X − C.De la de�nición se sigue (a). Además, C ∈ G(X), y por (AC)ω, es numerable. Portanto, se veri�ca (c).


Probemos (b). Es evidente que P ∈ F(X). Además, puesto que X no es numerabley C es numerable, P 6= ∅. En consecuencia, es su�ciente probar que P no tienepuntos aislados.

Aserto VI.3.7.1. Sea G ∈ G(X) numerable. Entonces G ⊆ C.Prueba del aserto: Sea x ∈ G. Entonces existe Gn ∈ B tal que x ∈ Gn ⊆ G.Puesto que G es numerable, de Gn ⊆ G se sigue que Gn es numerable; portanto, Gn ⊆ C. Luego, x ∈ C. 2

Aserto VI.3.7.2. P no tiene puntos aislados.Prueba del aserto: Supongamos que existen x ∈ P y G ∈ G(X) tales queP ∩G = {x}. Entonces G−{x} ⊆ C; luego, G−{x} es numerable. Por tanto,G es numerable. En consecuencia, por VI.3.7.1, G ⊆ C. Luego, x ∈ C. Portanto, x ∈ P ∩ C. Lo cual está en contradicción con P ∩ C = ∅. 2

Una vez probada la existencia de P y C, veamos la unicidad. Sean P1 y C1 talesque:(�) X = P1 ∪ C1, P1 ∩ C1 = ∅.(�) P1 es perfecto en X.(�) C1 ∈ G(X) y numerable.Se tiene que

Aserto VI.3.7.3.(i) C1 ⊆ C.(ii) P1 ⊆ P .

Del aserto se sigue que C = C1 y P = P1. ¥

Teorema VI.3.8 (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces(a) C ⊂̃X.(b) |X| = 2ℵ0 .

Demostración: Sean P y C como en VI.3.7.((a)): Se sigue de:

P ∈ F(X) =⇒ P espacio Polaco [[VI.1.3]]=⇒ P espacio Polaco perfecto [[P perfecto]]=⇒ C ⊂̃P [[VI.3.3]]=⇒ C ⊂̃X.

((b)): Por (a), 2ℵ0 ≤ |X|. Por VI.3.1, |X| ≤ 2ℵ0 . ¥

Teorema VI.3.9 (ACω). Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X no numerable.(a) A ∈ Gδ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .


(b) A ∈ Fσ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Demostración: ((a)): Si A ∈ Gδ(X), entonces, por VI.1.7, A es un espacioPolaco. Por tanto, el resultado se sigue de VI.3.8.((b)): Sea {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A =

⋃Fn. Puesto que A no es numerable,

existe n ∈ ω tal que Fn no es numerable. Por VI.1.3, Fn es un espacio Polaco;luego, de (a) se sigue que |Fn| = 2ℵ0 . Por tanto, |A| = 2ℵ0 . ¥

Corolario VI.3.10 (ACω). Sean X un espacio Polaco y A ∈ Gδ(X) no nume-rable. Entonces existe F ∈ F(X) no numerable tal que F ⊆ A.

Demostración: PorVI.1.7, A es un espacio Polaco. PorVI.3.8, existe f : C ⊂̃A.Entonces f : C ⊂̃X. Se tiene que:(�) f(C) ∈ F(X). [[C es compacto]].(�) f(C) es no numerable. [[f es inyectiva]].Lo que prueba el resultado. ¥

Lema VI.3.11.(a) |G(C)| = 2ℵ0 . |F(C)| = 2ℵ0

(b) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

Corolario VI.3.12 (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces(a) |G(X)| = 2ℵ0 . |F(X)| = 2ℵ0 .(b) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

VI.3.C. La derivada de Cantor�Bendixson [[ZF∗]]

Lema VI.3.13. Sean X un espacio topológico segundo numerable y{Fα : α < β} ⊆ F(X)

una sucesión estrictamente decreciente de conjuntos cerrados. Entonces β es nu-merable.

Demostración: Sea {Gn : n ∈ ω} una base de X. Sea H : β −→ P(ω) laaplicación de�nida por

H(α) = {n ∈ ω : Gn ∩ Fα = ∅}.Puesto que Fα ∈ F(X), X −Fα =

⋃ {Gn : n ∈ H(α)}. Por tanto, H es inyectiva.Además, puesto que {Fα : α < β} es estrictamente decreciente

α < α′ =⇒ Fα′ ⊂ Fα =⇒ H(α) ⊂ H(α′).

En consecuencia, {H(α) : α < β} es una sucesión estrictamente creciente desubconjuntos de ω. Por tanto, β es numerable. ¥


Nota VI.3.14. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. Recordemos que a ∈ Xes un punto de acumulación de A si

∀G ∈ G(X) [a ∈ G =⇒ (G ∩A)− {a} 6= ∅].El conjunto derivado de A, A′, se de�ne como sigue

A′ = {x ∈ X : x punto de acumulación de A}.Si A ∈ F(X), entonces A′ ∈ F(X) y A′ = {x ∈ A : x no aislado en A}.

Definición VI.3.15. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. Por recursión sobreα ∈ Ord de�nimos Aα, la derivada de Cantor�Bendixson de A de orden α, comosigue:(a) A0 = A,(b) Aα+1 = (Aα)′,(c) Aα =

⋂β<α Aβ .

Lema VI.3.16. Sean X un espacio topológico y A ∈ F(X). Entonces(a) A es perfecto ⇐⇒ A′ = A.(b) ∀α ∈ Ord [Aα ∈ F(X)].(c) Aα+1 ⊆ Aα.(d) Aα+1 = Aα =⇒ ∀β ≥ α (Aβ = Aα).(e) {Aα : α ∈ Ord} es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados.

Demostración: Se sigue de VI.3.14. ¥

Teorema VI.3.17. Sea X un espacio topológico segundo numerable. Entonces,para cada A ∈ F(X), existe α < ω1 tal que(a) ∀β ≥ α [Aα = Aβ ].(b) A−Aα es numerable.Además, si A no es numerable, Aα es perfecto en X.[[Si X es un espacio Polaco no numerable y Xα = Xα+1, entonces Xα es el núcleoperfecto de X]].

Demostración: La parte (a) se sigue de VI.3.13 y VI.3.16. Veamos que setiene (b). Puesto que A − Aα =

⋃β<α (Aβ − Aβ+1), es su�ciente probar que⋃

β<α (Aβ −Aβ+1) es numerable.Sean {Gn : n ∈ ω} una base de X y

f :⋃

β<α (Aβ −Aβ+1) −→ α× ω

la función de�nida como siguef(x) = (β, k) ⇐⇒

{x ∈ Aβ −Aβ+1

k = (µn)[Gn ∩Aβ = {x}].

116 VI.4. Ejercicios

Aserto VI.3.17.1. f es inyectiva.Prueba del aserto: Sean x, y ∈ ⋃

β<α (Aβ − Aβ+1) tales que x 6= y. Supon-gamos que f(x) = (β1, k1), f(y) = (β2, k2) y β1 = β2. Entonces

{x} = Gk1 ∩Aβ1

y ∈ Gk2 ∩Aβ1

}=⇒ k1 6= k2 [[x 6= y]].

Por tanto, f(x) 6= f(y). Lo que prueba el aserto. 2

Puesto que α es numerable, α×ω es numerable. Por tanto, del aserto se sigue queA−Aα =

⋃β<α (Aβ −Aβ+1) es numerable.

Además,(1) Aα ∈ F(X), y(2) Aα no tiene puntos aislados. [[Aα = Aα+1 = (Aα)′]].Supongamos que A no es numerable. Entonces Aα 6= ∅; luego, de (1) y (2) se sigueque Aα es perfecto. ¥

VI.4. Ejercicios

Ejercicio VI.4.1. Sea T ∈ PTr(A). Son equivalentes:(a) T es de rami�cación �nita.(b) [T ] es compacto en Aω.

Ejercicio VI.4.2 (VI.2.3-(a)). H : C ∼= C. Por tanto, C es perfecto.

Ejercicio VI.4.3 (VI.3.7.3).(i) C1 ⊆ C.(ii) P1 ⊆ P .

Ejercicio VI.4.4 (VI.3.11).(a) |G(C)| = 2ℵ0 .(b) |F(C)| = 2ℵ0

(c) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .(d) |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

Ejercicio VI.4.5 (ACω, VI.3.12). Sea X un espacio Polaco no numerable. En-tonces:(a) |G(X)| = 2ℵ0 .(b) |F(X)| = 2ℵ0 .(c) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .(d) |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .


Ejercicio VI.4.6. Sea X un espacio métrico. Probar que si |X| < 2ℵ0 , entoncesX es 0�dimensional.

Ejercicio VI.4.7. Sea X un espacio Polaco no numerable.(a) Existen P,C ⊆ X únicos tales que(a.1) X = P ∪ C, P ∩ C = ∅.(a.2) P es perfecto en X.(a.3) C ∈ G(X) y numerable.

(b) C ⊂̃X. Por tanto, |X| = 2ℵ0 .(c) Sea A ⊆ X no numerable.(c.1) A ∈ Gδ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .(c.2) A ∈ Fσ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Ejercicio VI.4.8 (ACω). Sean X un espacio topológico segundo numerable, A ⊆X y

D = {x ∈ X : x punto de condensación de A}.[[Donde x ∈ X es un punto de condensación de A si para todo G ∈ G(X) tal quex ∈ G, A ∩G no es numerable]].Entonces:(a) D ⊆ cl(A).(b) D ∈ F(X).(c) A−D es numerable. Por tanto, si A no es numerable, A∩D no es numerable.(d) A ∩D no tiene puntos aislados.

Capítulo VII

Apéndice

VII.1. Espacios topológicos

Definición VII.1.1. Sea X un conjunto. Una familia G(X) ⊆ P(X) diremos quees una topología sobre X si:(a) ∅, X ∈ G(X).(b) A ⊆ G(X) =⇒ ⋃A ∈ G(X).(c) A1, . . . , An ∈ G(X) =⇒ A1 ∩ · · · ∩An ∈ (X).Los elementos de G(X) se denominan abiertos de la topología. A veces diremosque X es un espacio topológico sin mencionar explícitamente la topología.El complementario de un conjunto abierto se denomina cerrado. Notaremos porF(X) a la colección de los conjuntos cerrados.

Nota VII.1.2.(a) ⋃ ∅ = ∅.(b) ⋂ ∅ = X. [[Si estamos considerando ∅ ⊆ P(X)]]

Nota VII.1.3. Sean A ⊆ P(X) e Y ⊆ X. La restricción de A a Y se de�ne porA|Y = {A ∩ Y : A ∈ A}.

Definición VII.1.4. Sean X un espacio topológico e Y ⊆ X. La topología relativaen Y es G(X)|Y .

Definición VII.1.5. Sea X un espacio topológico. Sea A ⊆ X.(a) El interior de A, int(A), es el mayor conjunto abierto contenido en A. Es decir,

int(A) =⋃{G ∈ G(X) : G ⊆ A}.

120 VII.1. Espacios topológicos

(b) El cierre de A, cl(A), es el menor conjunto cerrado que contiene a A. Es decir,cl(A) =

⋂{F ∈ F(X) : A ⊆ F}.

Definición VII.1.6. Sean X un espacio topológico, x ∈ X y A ⊆ X.(a) Diremos que x es un punto de acumulación de A

∀G ∈ G(X) [x ∈ G =⇒ (A ∩G)− {x} 6= ∅].Notaremos por A′ al conjunto de los puntos de acumulación de A.

(b) Diremos que x es aislado en A si existe G ∈ G(X) tal que A ∩G = {x}.

Lema VII.1.7. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. Son equivalentes:(a) A es cerrado.(b) A′ ⊆ A.

Demostración: ((a) =⇒ (b)): Supongamos que A es cerrado. Entonces Ac esabierto. Sea a ∈ Ac. Puesto que A ∩Ac = ∅, entonces a /∈ A′.

((b) =⇒ (a)): Sea a ∈ Ac. Por (b), a /∈ A′. Por tanto, existe Ga abierto tal que(�) a ∈ Ga,(�) A ∩Ga = ∅.Por tanto,(�) Ac =

⋃a∈Ac Ga.

En consecuencia, Ac es abierto. Por tanto, A es cerrado. ¥

Definición VII.1.8. Sea X un espacio topológico. Diremos que X es un espaciode Hausdor� si para cualesquiera x, y ∈ X tales que x 6= y existen G1, G2 ∈ G(X)tales que(a) x ∈ G1, y ∈ G2.(b) G1 ∩G2 = ∅.

Lema VII.1.9. Sea X un espacio de Hausdor�. Entonces para todo A ⊆ X, A′ escerrado.

Demostración: Por VII.1.7 es su�ciente probar que A′′ ⊆ A′. Supongamos locontrario. Entonces existe a ∈ X tal que(1) a ∈ A′′, y(2) a /∈ A′.De (2) se sigue que existe G ∈ G(X) tal que a ∈ G y(3) (G ∩A)− {a} = ∅.

Capítulo VII. Apéndice 121

De (1) se sigue que (A′ ∩G)− {a} 6= ∅. Sea b ∈ A′ ∩G tal que b 6= a. Entoncesb ∈ A′ ∩G =⇒ (A ∩G)− {b} 6= ∅

=⇒ A ∩G 6= ∅=⇒ A ∩G = {a} [[(3)]].

Puesto que X es de Hausdor� existen G1, G2 ∈ G(X) tales que(�) a ∈ G1, b ∈ G2, y(�) G1 ∩G2 = ∅.Puesto que b ∈ G∩G2 y b ∈ A′, (G∩G2)∩A 6= ∅. Sea c ∈ (G∩G2)∩A. Se tieneque

c ∈ G ∩A =⇒ c = ac ∈ G2 =⇒ c 6= a.

Contradicción. ¥

Lema VII.1.10. Sean X espacio topológico y A ∈ F(X). Entonces:(a) A′ ∈ F(X).(b) A′ = {x ∈ A : x no aislado en A}.

Demostración: ((a)): Observemos que si B, C ⊆ X, entonces(1) B ⊆ C =⇒ B′ ⊆ C ′.Por tanto,

A cerrado =⇒ A′ ⊆ A [[VII.1.7]]=⇒ A′′ ⊆ A′ [[(1)]]=⇒ A′ cerrado [[VII.1.7]].

Lo que prueba el resultado.

((b)): Sea x ∈ A−A′. Entonces existe G ∈ G(X) tal que x ∈ G y (A∩G)−{x} = ∅.Por tanto, A ∩G = {x}. Es decir, x es aislado en A. ¥

Definición VII.1.11. Sea X un espacio topológico. Diremos que:(a) B ⊆ G(X) es una base de G(X) si todo abierto es la unión de elementos de B;

es decir,∀G ∈ G(X)∃A ⊆ B [G =

⋃A].(b) S ⊆ G(X) es una subbase de G(X) si

{⋂A : A ⊆ S, A �nito}.es una base de G(X).

Definición VII.1.12. Sea X un espacio topológico.(a) Diremos que X es segundo numerable si tiene una base numerable.

122 VII.1. Espacios topológicos

(b) Diremos que X es 0�dimensional si(b.1) X es de Hausdor�, y(b.2) tiene una base de conjuntos abiertos y cerrados.

Lema VII.1.13. Sea B ⊆ P(X) tal que⋃B = X. Son equivalentes:

(a) B es una base de una topología sobre X.(b) ∀A,B ∈ B ∃A ⊆ B [A ∩B =

⋃A].

Lema VII.1.14. Sean S ⊆ P(X). Existe una topología sobre X, τ(S) (que deno-minaremos topología generada por S), tal que(a) S ⊆ τ(S) y S es una subbase de τ(S).(b) O topología sobre X ∧ S ⊆ O =⇒ τ(S) ⊆ O.

Definición VII.1.15. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Un entorno abiertode x es un abierto G tal que x ∈ G.

Definición VII.1.16. Sean X, Y espacios topológicos y f : X −→ Y .(a) Diremos que f es continua si: ∀G ∈ G(Y ) (f−1(G) ∈ G(X)).(b) Diremos que f es abierta si: ∀G ∈ G(X) (f(G) ∈ G(Y )).(c) Diremos que f es cerrada si: ∀F ∈ F(X) (f(F ) ∈ F(Y )).(d) Diremos que f es un homeomor�smo, f : X ∼= Y , si(d.1) f es biyectiva.(d.2) f es continua.(d.3) f es abierta.

Es decir, f y f−1 son continuas.(e) Diremos que f es una inmersión, f : X ⊂̃Y , si f es un homeomor�smo de X

en f(X), [[en f(X) se considera la topología relativa inducida por G(Y )]](f) Diremos que f es continua en x ∈ X si para todo entorno abierto de f(x), V ,

existe U entorno abierto de x tal que U ⊆ f−1(V ).

Lema VII.1.17. Sean X, Y espacios topológicos, A ⊆ Y y f : X −→ Y tal querang(f) ⊆ A. Son equivalentes(a) f : X ⊂̃Y .(b) f : X ⊂̃A. [[En A se considera la topología relativa]].

Lema VII.1.18. Sean X, Y espacios topológicos y f : X −→ Y . Son equivalentes:(a) f es continua.(b) ∀x ∈ X (f es continua en x).


Lema VII.1.19. Sean {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos y, paratodo j ∈ I, fj : X −→ Yj . Entonces existe una topología sobre X, τ({fj : j ∈ I})(que denominaremos topología generada por {fj : j ∈ I}), tal que(a) ∀j ∈ I (fj continua).(b) Para toda topología O sobre X, si para todo j ∈ I, fj es continua respecto de

O, entonces τ({fj : j ∈ I}) ⊆ O.

Demostración: Tomar como subbase(�) S =

⋃j∈I {f−1

j (G) : G ∈ G(Yj)}.La topología generada por S, como subbase, veri�ca las condiciones del lema. ¥

Definición VII.1.20. Sea {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos. Latopología producto sobre Πj∈I Yj es la topología generada por las proyecciones,Πi :

∏j∈I Yj −→ Yi, donde

Πi(a) = a(i).

Es fácil comprobar que una base de esta topología está dada por los conjuntos dela forma(�)

∏j∈I Gj ,

donde(�) ∀j ∈ I [Gj ∈ G(Yj)].(�) {j : Gj 6= Yj} es �nito.

Definición VII.1.21. Sea {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos dis-juntos. La suma,

⊕j∈I G(Yj), es el espacio topológico sobre Y =

⋃j∈I Yj cuyos

abiertos son los subconjuntos G de Y tales que∀j ∈ I [G ∩ Yj ∈ G(Yj)].

Lema VII.1.22. Sea {Xi : i ∈ I} una familia de espacios topológicos 0�dimensionales. Entonces Πi∈I Xi es 0�dimensional.

VII.2. Espacios métricos

Definición VII.2.1. Diremos que (X, d) es un espacio métrico, y d : X2 −→ R+

[[donde R+ = {r ∈ R : 0 ≤ r}]] se denomina métrica, si(a) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.(b) d(x, y) = d(y, x).(c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

124 VII.2. Espacios métricos

Si Y ⊆ X, entonces la restricción de d a Y , d|Y , es también una métrica.

Definición VII.2.2. Sea (X, d) un espacio métrico.(a) (Bolas abiertas) La bola abierta de centro x y radio r está de�nida por

B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}.(b) (Bolas cerradas) La bola cerrada de centro x y radio r está de�nida por

B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.(c) Sean A ⊆ X y x ∈ X.(c.1) El diametro de A, dtr(A), se de�ne como sigue

dtr(A) = sup({d(y, z) : y, z ∈ A}).(c.2) La distancia de x a A, d(x,A), se de�ne como sigue

d(x,A) = inf({d(x, y) : y ∈ A}).

Lema VII.2.3. Sea (X, d) un espacio métrico.(a) La colección de las bolas abiertas de X forman una base de una topología

sobre X que se denomina la topología del espacio métrico y notaremos G(d).(b) Si Y ⊆ X, la topología de (Y, d|Y ) es la topología inducida en Y por la topología

de (X, d).(c) Para cada F ∈ F(X), sea dF : X −→ R la función de�nida por

dF (x) = d(x, F ).Entonces dF es continua.

Definición VII.2.4. Un espacio topológico X se dice que es metrizable si existeuna métrica sobre X, d, tal que G(X) es la topología del espacio (X, d). En estecaso diremos que d es compatible con X.

Nota VII.2.5. Si X es metrizable y d es una métrica compatible con G(X), en-tonces G(X) es también compatible con la métrica d′ : X2 −→ R+ dada por

d′(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y) .

Además, d′ < 1.

Lema VII.2.6. X metrizable =⇒ X Hausdor�.

Demostración: Sea d una métrica compatible con X. Sean x, y ∈ X tales quex 6= y. Sea r = d(x, y). Entonces(�) x ∈ B(x, r/2).(�) y ∈ B(y, r/2).


(�) B(x, r/2) ∩B(y, r/2) = ∅.Por tanto, X es de Hausdor�. ¥

Definición VII.2.7. Sean X un espacio topológico y D ⊆ X.(a) Diremos que D es denso en X si para todo G, abierto en X, no vacío, G∩D 6= ∅.(b) Diremos que X es separable si tiene un conjunto denso numerable.

Lema VII.2.8. Sea X un espacio topológico.(a) X segundo numerable =⇒ X separable.(b) Si X es metrizable, entonces son equivalentes:(b.1) X es segundo numerable.(b.2) X es separable.

(c) Sea Y ⊆ X.(c.1) X segundo numerable =⇒ Y segundo numerable.(c.2) Si X es metrizable,

X separable =⇒ Y separable.

Definición VII.2.9. Sea {(Xn, dn) : n ∈ ω} una sucesión de espacios métricos.El espacio producto es el espacio métrico (

∏n∈ω Xn, d), donde d es la métrica dada

pord(x, y) =

∑n∈ω 2−(n+1) · d′n(xn, yn).

Donde(�) x = {xn : n ∈ ω}, y = {yn : n ∈ ω}.

(�) d′n(xn, yn) = dn(xn, yn)1 + dn(xn, yn) .

Nota VII.2.10. Se tiene que:(a) La topología asociada al espacio métrico producto es la topología producto.(b) El producto de una sucesión de espacios metrizables es un espacio metrizable.

Definición VII.2.11. Sea {(Xj , dj) : j ∈ I} una familia de espacios métricosdisjuntos. El espacio suma es el espacio métrico sobre X =

⋃j∈I Xj con la métrica,

d : X2 −→ R+ dada por

d(x, y) ={

d′j(x, y), si x, y ∈ Xj ;1, si x ∈ Xj , y ∈ Xk donde j 6= k.

Nota VII.2.12. Se tiene que:(a) La topología asociada al espacio métrico suma es la topología suma.

126 VII.2. Espacios métricos

(b) La suma de una familia de espacios metrizables es un espacio metrizable.

Definición VII.2.13. Sea (X, d) un espacio métrico.(a) Sea {xn : n ∈ ω} una sucesión de elementos de X.(a.1) Diremos que {xn : n ∈ ω} es de Cauchy si

∀ε > 0∃k ∈ ω ∀n,m ≥ k (d(xn, xm) < ε).(a.2) Diremos que x ∈ X es un límite de {xn : n ∈ ω}, limn∈ω xn = x, si

∀ε > 0∃k ∈ ω ∀n ≥ k (d(xn, x) < ε).Es decir,

∀G ∈ G(X) [x ∈ G =⇒ ∃k ∈ ω ∀n ≥ k (xn ∈ G)].(a.3) Diremos que {xn : n ∈ ω} es convergente si tiene un límite.

(b) Diremos que (X, d) es un espacio completo si toda sucesión de Cauchy tienelímite.

Lema VII.2.14. Sean X un espacio métrico y {xn : n ∈ ω} ⊆ X una sucesión.Entonces

{xn : n ∈ ω} convergente =⇒ ∃!x [x = limn∈ω xn].

Definición VII.2.15. Sean (X1, d1) y (X2, d2) espacios métricos y f : X1 −→ X2

(a) Diremos que f es una isometría si(a.1) f es biyectiva.(a.2) Para todo x, y ∈ X1, d1(x, y) = d2(f(x), f(y)).

(b) Diremos que f es una inmersión isométrica si f es una isometría de X1 enf(X1).

Teorema VII.2.16. Sea (X, d) un espacio métrico. Existe un espacio métrico(X̂, d̂), que denominaremos la completación de (X, d), tal que(a) (X̂, d̂) es un espacio métrico completo.(b) (X, d) es un subespacio de (X̂, d̂).(c) X es denso en X̂.(d) Para todo espacio métrico, (Y, d1), veri�cando (a)�(c), (X̂, d̂) y (Y, d1) son

isométricos.

Demostración: Sea S el conjunto de las sucesiones de Cauchy de X. Sobre S de�-nimos la siguiente relación de equivalencia. Sean {xn : n ∈ ω}, {yn : n ∈ ω} ∈ S

{xn : n ∈ ω} ≡ {yn : n ∈ ω} ⇐⇒ limn∈ω d(xn, yn) = 0.

Sea X̂ el conjunto cociente S/≡. Para obtener que X ⊆ X̂, identi�camos x ∈ Xcon la clase de equivalencia de la sucesión constante igual a x. Sobre X̂ se considerala métrica


d̂({xn : n ∈ ω}/≡, {yn : n ∈ ω}/≡) = limn∈ω d(xn, yn).

Usando las propiedades de completitud de R se comprueba que (X̂, d̂) satisface laspropiedades deseadas. ¥

Definición VII.2.17. Un espacio topológico X es completamente metrizable siexiste una métrica compatible, d, tal que (X, d) es completo.

Lema VII.2.18.(a) {Xn : n ∈ ω} espacios métricos completos =⇒ ∏

n∈ω Xn esp. métrico completo.(b) {Xi : i ∈ I} espacios métricos completos =⇒ ⊕

i∈I Xi esp. métrico completo.

VII.3. Espacios compactos

Definición VII.3.1. Sea X un espacio topológico.(a) Diremos que X es compacto si para todo G ⊆ G(X) tal que X =

⋃G (re-cubrimiento abierto) existe G′ ⊆ G �nito tal que X =

⋃G′. Es decir, todorecubrimiento abierto de X tiene un subrecubrimiento �nito.

(b) Diremos que A ⊆ X es compacto (en X) si∀G ⊆ G(X) [A ⊆ ⋃G =⇒ ∃G′ ⊆ G (G′ �nito ∧A ⊆ ⋃G′)].

Es decir, si (A,G(X)|A) es un espacio topológico compacto.

Definición VII.3.2. Sea A ⊆ P(X). Diremos que A tiene la propiedad de laintersección �nita si para toda A′ ⊆ A con A′ �nito, ⋂A′ 6= ∅.

Lema VII.3.3. Sea X un espacio topológico. Son equivalentes(a) X es compacto.(b) Toda familia de conjuntos cerrados con la propiedad de la intersección �nita

tiene intersección no vacía.

Proposición VII.3.4. Sean X de Hausdor� y A ⊆ X.A compacto =⇒ A cerrado.

Demostración: Supongamos que A no es cerrado, sea a ∈ cl(A)−A. Para cadax ∈ A sean Gx y Ux abiertos tales que(�) x ∈ Gx, a ∈ Ux,(�) Gx ∩ Ux = ∅.Es evidente que A ⊆ ⋃

x∈A Gx. Puesto que A es compacto, existen Gx1 , . . . , Gxn

tales que

128 VII.3. Espacios compactos

(�) A ⊆ Gx1 ∪ · · · ∪Gxn .Entonces(�) a ∈ Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn

.(�) A ∩ (Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn) = ∅.Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A). ¥

Lema VII.3.5. Sean X un espacio compacto y A ⊆ X.A cerrado =⇒ A compacto.

Demostración: Sea G un recubrimiento abierto de A. Entonces G ∪ {Ac} es unrecubrimiento abierto de X. Puesto que X es compacto, existe G′ ⊆ G �nito talque G′ ∪ {Ac} un recubrimiento de X. Entonces G′ es un recubrimiento �nito deA; por tanto, A es compacto. ¥

Lema VII.3.6. Sean A1, . . . , An ⊆ X.A1, . . . , An compactos =⇒ A1 ∪ · · · ∪An compacto.

Lema VII.3.7. Sean f : X −→ Y continua y A ⊆ X.A compacto =⇒ f(A) compacto.

Demostración: Sea G un recubrimiento abierto de f(A). Sea(�) Gf−1 = {f−1(G) : G ∈ G}.Se tiene que(�) A ⊆ f−1(f(A)) ⊆ ⋃Gf−1 . [[f(A) ⊆ ⋃G]].(�) Gf−1 es un recubrimiento abierto. [[f continua]].Puesto que A es compacto, de la anterior se sigue que existe {G1, . . . , Gn} ⊆ G talque(�) A ⊆ f−1(G1) ∪ · · · ∪ f−1(Gn) = f−1(G1 ∪ · · · ∪Gn).Por tanto, f(A) ⊆ G1 ∪ · · · ∪Gn. Lo que prueba que f(A) es compacto. ¥

Teorema VII.3.8 (AC). Sea {Xj : j ∈ I} una familia de espacios compactos.Entonces

∏j∈I Xj es compacto.

Demostración: Ver V.5.5. ¥

Proposición VII.3.9. Sean X compacto, Y de Hausdor� y f : X −→ Y continua.(a) F ∈ F(X) =⇒ f(F ) ∈ F(Y ).


(b){

f inyectiva =⇒ f inmersión de X en Yf biyectiva =⇒ f homeomor�smo de X en Y

Demostración: ((a)): En efecto,F ∈ F(X) =⇒ F es compacto [[VII.3.5]]

=⇒ f(F ) compacto [[VII.3.7]]=⇒ f(F ) ∈ F(Y ) [[VII.3.4]].

((b)): Se sigue de (a). ¥

Corolario VII.3.10. Sean X un espacio compacto, Y un espacio métrico y f :X −→ Y continua y biyectiva. Entonces f es una homeomeor�smo de X en Y .

Demostración: Por VII.2.6, Y es de Hausdor�. Por tanto, el resultado se siguede VII.3.9-(b). ¥

Corolario VII.3.11. Sean X un conjunto y O1,O2 ⊆ P(X) tales que(i) O1 ⊆ O2.(ii) (X,O2) es un espacio compacto.(iii) (X,O1) es metrizable.Entonces O1 = O2.

Demostración: Sea f : X −→ X la aplicación identidad, f(x) = x. Es evidenteque f es biyectiva. De (i) se sigue que f : (X,O2) −→ (X,O1) es continua.Por tanto, de (ii), (iii) y VII.3.10 se sigue que f es un homeomor�smo. Luego,O1 = O2. ¥

VII.4. Espacios Polacos

VII.4.A. Conjuntos Gδ

Lema VII.4.1. Sean X un espacio métrico separable y A ⊆ X. Si A es completa-mente metrizable, entonces A ∈ Gδ(X).

Demostración: Sean d una métrica sobre X compatible con la topología deX y d′ una métrica completa sobre A compatible con la topología de A . SeaB = {Un : n ∈ ω} una base de X. Sea

B =⋂

m>0

⋃{U ∈ B : A ∩ U 6= ∅ ∧ dtrd(U),dtrd′(U ∩A) < m−1}.Es evidente que B ∈ Gδ. Se tiene que:

130 VII.4. Espacios Polacos

(1) A ⊆ B. Sea x ∈ A. Sea m > 0. Puesto que B es una base, existe U ∈ Btal que x ∈ U y dtrd(U) < m−1. Puesto que U ∩ A es abierto en A, existek > 2m tal que Bd′(x, k−1) ⊆ U ∩ A. Sea U ′ ∈ B tal que x ∈ U ′ ⊆ U yU ′ ∩A ⊆ Bd′(x, k−1). Entonces dtrd(U ′) ≤ dtrd(U) < m−1 y

dtrd′(U ′ ∩A) ≤ 2 · k−1 < m−1.Por tanto, x ∈ B.

(2) A es denso en B. Sea x ∈ B. Veamos que x ∈ cl(A). De la de�nición deB se sigue que, para todo m > 0, existe U tal que x ∈ U , A ∩ U 6= ∅ ydtrd(U) < m−1. Entonces x ∈ cl(A).

(3) B ⊆ A. Sea x ∈ B. Para cada k > 0, sea Unk∈ B tal que x ∈ Unk

ydtrd(Unk

), dtrd′(Unk∩A) < k−1. Puesto que Un1 ∩ · · · ∩Unk

6= ∅ y, por (2), Aes denso en B, entonces A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk

) 6= ∅. Por tanto, para cada k > 0existe yk ∈ A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk

). Consideremos la sucesión {yk : k > 0}. Estasuceción es de Cauchy con respecto a las métricas d y d′. Por tanto, como d′

es una métrica completa existe y ∈ A tal que limk>0 yk = y. Con respecto a lamétrica d, limk>0 yk = x. Por tanto, x = y. En consecuencia, x ∈ A.

De (1) y (3) se sigue que A = B. Puesto que B es Gδ, entonces A ∈ Gδ. ¥

Lema VII.4.2. Sea X un espacio métrico completo. Si A ∈ Gδ(X), entonces A escompletamente metrizable.

Demostración: Sea d una métrica completa sobre X. Consideremos los siguientescasos.Caso 1: A abierto. Entonces Ac es cerrado; por tanto, para todo x ∈ A, 0 <d(x, Ac). Sea f : A −→ X × R la función de�nida por f(x) = (x, 1/d(x,Ac)).Es evidente que f es inyectiva. Además,

Aserto VII.4.2.1.(i) f y f−1 son continuas.(ii) A y f(A) son homeomorfos.(iii) f(A) ∈ F(X × R).Prueba del aserto: Las partes (i) y (ii) se siguen de la de�nición. Probaremos(iii).Sea {(xn, rn) : n ∈ ω} ⊆ f(A) convergente en X × R. Sea (x, r) ∈ X × Rtal que limn∈ω (xn, rn) = (x, r). Veamos que (x, r) ∈ f(A). Observemos quepara todo n ∈ ω: rn = 1/d(xn, Ac), limn∈ω xn = x y limn∈ω rn = r. Por tanto,r = 1/d(x,Ac). Luego, f(x) = (x, r). Además, d(x, Ac) 6= 0; en consecuencia,x ∈ A. Por tanto, limn∈ω (xn, rn) = (x, r) = f(x) ∈ f(A). Luego, f(A) escerrado. 2

Por VII.4.2.1-(iii), f(A) es completamente metrizable. Por tanto, de VII.4.2.1-(ii) se sigue que A es completamente metrizable.


Caso 2: A ∈ Gδ. Sea {Gn : n ∈ ω} una sucesión de abiertos tales que A =⋂n∈ω Gn. Sea f : A −→ X × Rω la aplicación de�nida por

f(x) = (x, 1/d(x,Gc0), 1/d(x,Gc

1), . . . ).Como en el caso 1 se tiene que f : A ∼= f(A) y f(A) es cerrado en X × Rω.Por tanto, A es completamente metrizable. ¥

VII.4.B. Teoremas de Transferencia

Proposición VII.4.3. Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces(a) C ⊂̃X.(b) N ⊂̃X.

Demostración: ((a)): Se sigue de VI.3.8.((b)): Sea f : N −→ C la función de�nida por

f(σ) = {〈n, m〉 : σ(n) = m} = Gr(σ).Es evidente que f : N ⊂̃C. Por tanto, el resultado se sigue de (a). ¥

Proposición VII.4.4. Sea X un espacio métrico separable. Son equivalentes:(a) X es 0�dimensional.(b) X ⊂̃ C.(c) X ⊂̃N .

Demostración: ((b), (c) =⇒ (a)): Trivial. Los espacios C y N son 0�dimensio-nales y todo subespacio de un espacio 0�dimensional también lo es.((b) =⇒ (c)): Trivial. La inclusión es una inmersión de C en N .((a) =⇒ (b)): Sea E = {Un : n ∈ ω} base numerable de X formada por conjuntosabiertos y cerrados.Para cada n ∈ ω, sea gn : X −→ {0, 1} la función característica de Un. SeaGE : X −→ C la función de�nida por

GE(x)(n) = gn(x).Puesto que E es una base y X es de Hausdor�, GE es inyectiva. Además, para cadas ∈ 2<ω (donde A(0) = Ac y A(1) = A)

x ∈ G−1E (Ns) ⇐⇒ ∀i < lg(s) (x ∈ U

((s)i)i ).

Luego, G−1E (Ns) =

⋂i<lg(s) U

((s)i)i . Puesto que los conjuntos Ui son abiertos y

cerrados, GE es continua. Por otra parte, para todo n ∈ ω

GE(Un) = {σ ∈ C : σ(n) = 1} ∩GE(X).Puesto que {σ ∈ C : σ(n) = 1} es abierto en C, GE(Ui) es abierto en GE(X). Enconsecuencia, GE : X ⊂̃ C. ¥

132 VII.4. Espacios Polacos

Lema VII.4.5. Sea X un espacio Polaco.(a) Sean C, D ∈ F(X) y ε > 0. Entonces existe una sucesión {Bn : n ∈ ω} tal que(a.1) Bn ∈ Fσ(X).(a.2) n 6= m =⇒ Bn ∩Bm = ∅.(a.3) C −D =

⋃n∈ω Bn.

(a.4) dtr(Bn) < ε.(b) Sea F ∈ Fσ(X) y ε > 0. Entonces existe {Fn : n ∈ ω} ⊆ Fσ(X) tal que(b.1) F =

⋃n∈ω Fn.

(b.2) n 6= m =⇒ Fn ∩ Fm = ∅.(b.3) cl(Fn) ⊆ F .(b.4) dtr(Fn) < ε.

Demostración: ((a)): Puesto que C − D es separable, existe {xn : n ∈ ω} ⊆C −D tal que C −D ⊆ ⋃

n∈ω B(xn, ε). De�nimos {Bn : n ∈ ω} como sigue.Bn = [B(xn, ε) ∩ (C −D)]− (

⋃j<n B(xj , ε)).

Es evidente que se satisfacen (a.2), (a.3) y (a.4). Para probar (a.1) hay que tenerpresente que por VI.1.6, G(X) ⊆ Fσ(X). Por tanto,(�) C −D = C ∩Dc ∈ Fσ(X).(�) B(xn, ε) ∩ (C −D) ∈ Fσ(X).Luego, Bn = [B(xn, ε)∩(C−D)]∩(

⋃j<n B(xj , ε)) ∈ Fσ(X). Lo que prueba (a.1).

((b)): Puesto que F ∈ Fσ(X) existe {Cn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que para todon ∈ ω, Cn ⊆ Cn+1 y F =

⋃n∈ω Cn. Entonces F =

⋃n∈ω (Cn+1 − Cn). Por (a),

para cada n ∈ ω existe {Bn,m : m ∈ ω} ⊆ Fσ(X) tal que(�) Cn+1 − Cn =

⋃m∈ω Bn,m.

(�) m 6= m′ =⇒ Bn,m ∩Bn,m′ = ∅.(�) dtr(Bn,m) < ε.Entonces F =

⋃n,m Bn,m y cl(Bn,m) ⊆ cl(Cn+1 − Cn) ⊆ Cn+1 ⊆ F . Lo que

prueba el resultado. ¥

Lema VII.4.6 ((AC)ω). Sea F ∈ F(Aω) no vacío. Existe f : Aω −→ F continuatal que para todo σ ∈ F , f(σ) = σ.

Demostración: Para cada s ∈ A<ω tal que F ∩Ns 6= ∅ sea τs ∈ F ∩Ns.De�nimos f : Aω −→ F como sigue. Sea σ ∈ Aω.Caso 1: σ ∈ F . Entonces f(σ) = σ.Caso 2: σ /∈ F . Puesto que F es cerrado, existe k ∈ ω tal que F ∩Nσ|k = ∅. Sea

m = sup({n ∈ ω : F ∩Nσ|n 6= ∅}).


Entonces de�nimos: f(σ) = τσ|m .Veamos que f es continua. Para ello es su�ciente probar que para cualesquieras ∈ A<ω y σ ∈ f−1(Ns ∩ F ) existe t ∈ A<ω tal que σ ∈ Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ).Para ello consideremos los siguientes casos:Caso 1: σ /∈ F . Sean m = sup({n ∈ ω : Nσ|n ∩ F 6= ∅}) y t = σ|m+1. Es evidenteque σ ∈ Nt. Además, Nt ∩ F = ∅ y para todo δ ∈ Nt

sup({n ∈ ω : Nδ|n ∩ F 6= ∅}) = m.

Sea δ ∈ Nt. Entonces δ|m = σ|m; por tanto, f(δ) = τδ|m = τσ|m = f(σ) ∈ Ns.Luego, Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ).Caso 2: σ ∈ F . Entonces f(σ) = σ. Por tanto, σ ∈ Ns. Sea t = s. Entonces σ ∈ Nt.Además, f(Nt) ⊆ Nt = Ns. Luego, Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ). ¥

Teorema VII.4.7. Sea X un espacio Polaco.(a) Existen F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva.(b) Existe g : N −→ X continua y suprayectiva.

Demostración: ((a)): Sea d una métrica completa sobre X tal que d ≤ 1. Usandoel lema VII.4.5, por recursión sobre s ∈ ω<ω, se obtiene un esquema de Lusin{As : s ∈ ω<ω} tal que:(1) A∅ = X.(2) ∀s ∈ ω<ω [As ∈ Fσ(X)].(3) ∀s ∈ ω<ω [As =

⋃i∈ω As∗〈i〉 =

⋃i∈ω cl(As∗〈i〉)].

(4) ∀s ∈ ω<ω [dtr(As) ≤ 2−lg(s)].Consideremos el conjunto, D, y la función, fD, asociadas a dicho esquema (verVI.2.6). Por (3), As∗〈i〉 ⊆ cl(As∗〈i〉) ⊆ As. Por tanto, fD(D) = X. En consecuen-cia, de VI.2.8-(a) se sigue que f es una aplicación continua y biyectiva de D enX. Además, por VI.2.7-(b), D es cerrado. Lo que prueba (a).((b)): Sean F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva. Por VII.4.6 existeh : N −→ F continua tal que para todo σ ∈ F , h(σ) = σ.Sea g = f ◦h. Entonces g : N −→ X es continua. Veamos que es suprayectiva. Seax ∈ X. Entonces existe σ ∈ F tal que f(σ) = x. Por tanto, (en la tercera identidadh(σ) = σ, σ ∈ F )

g(σ) = f ◦ h(σ) = f(h(σ)) = f(σ) = x.Lo que prueba el resultado. ¥

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