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TEORIA DAS FILAS

Disciplina: Modelagem e Simulao

Teoria de Filas 2

FILA EM UM PRONTO SOCORRO

Pessoa precisa de cuidados mdicos

Paciente espera por ser atendida por um mdico em um pronto

socorro

Ingressa na sala de atendimento

Sai da sala de atendimento

Mdico(a)


Teoria de Filas 3

FILA NO BANCOEsperando atendimento

Sendo atendida pelo caixa do

bancoTrmino do atendimento


Teoria de Filas 4

FILA NO SUPERMERCADOEsperando na frente do

Sendo atendida pelo Caixa

Vo para casa


Teoria de Filas 5

FILA NO RESTAURANTEEsperando que seu pedido

seja atendidoTomando sorvete Vo embora


Teoria de Filas 6

FILA CENTRO AUTOMOTRIZEsperando troca de

pneuSendo realizado a

troca de pneu Trmino do servio


Teoria de Filas 7

FILA NO AEROPORTOEsperando liberar a sada

do avio Avio voando rota de destinoChegando a seu

destino


Teoria de Filas 8

FILA NO TRANSPORTE DE MERCADORIA

Esperando mercadoria ser transportada

Mercadorias na Empilhadeira

Mercadorias no Continer


Teoria de Filas 9

FILA DESEMBARQUE DE PRODUTOS NO PORTO

Esperando ser liberado para desembarque

Desembarque Continer

Continua sua travessia


Teoria de Filas 10

FILA NO SALO DE BELEZAEsperando ser

atendida Corte de cabelo Trmino do Corte de cabelo

Taxi


Teoria de Filas 11

FILA NO PA DE ACAREsperando para

subir ao Bondinho

Subida e descida - Po de Acar

Continuar o passeio


Teoria de Filas 12

FILA NO TRNSITOEsperando ser liberado pelo guarda de trnsito Continua seu

percurso


Teoria de Filas 13

TEORIA DAS FILASEsperar em uma fila uma das ocorrncias

mais comuns no nosso dia a dia. Ns esperamos na fila para fazer matrcula,

para pagar em um supermercado, para pagar uma conta no banco, para comer um hamburguer, para colocar gasolina, etc...

O pioneiro no estudo das filas de espera foi A.K.Erlang, um engenheiro dinamarqus, que publicou, na dcada 1910-1920, vrios trabalhos sobre o assunto quando da implantao do servio telefnico em Copenhague.


Teoria de Filas 14

TEORIA DAS FILASFilas podem existir na forma de pessoas ou

objetos esperando por algum tipo de servio ou podem existir em um sentido abstrato, ou seja no to visvel, como por exemplo uma fila de navios esperando para atracar em um porto.

As filas so estudadas porque em toda fila, embora nem sempre se perceba, existe embutido um problema econmico.

Este problema econmico surge porque em qualquer fila (mesmo a da padaria da esquina!) existem 2 custos envolvidos:

O Custo da Fila e o Custo do Servio.


Teoria de Filas 15

TEORIA DAS FILASExemplo clssico de fila: a

atracao de navios em um porto.Em qualquer porto, o do Rio de

Janeiro por exemplo, existem os locais onde os navios podem atracar. Estes locais so chamados de beros.

O nmero de beros d o nmero mximo de navios que podem estar atracados em um porto.


Teoria de Filas 16

TEORIA DAS FILAS A legislao internacional que regulamenta o

trfego martimo determina que se ao chegar a um porto (obviamente na data certa) no houver bero para atracar, a administrao do porto tem que indenizar a companhia, dona do navio, pelo tempo que ele ficar ao largo esperando bero livre para atracar.

Quando, por qualquer motivo, todos os beros de um porto esto ocupados, os navios que chegam formam uma fila (lgica) aguardando a sua vez.

Pode-se agora definir os custos da fila e do servio envolvidos no caso de um porto


Teoria de Filas 17

CUSTOS ENVOLVIDOS O Custo do Servio o custo de construir e manter

em funcionamento os beros de atracao. Quanto mais beros oferecidos (servio oferecido) ,

maior este custo. O Custo da Fila o custo que a administrao do

porto tem pelo pagamento das indenizaes aos navios que esperam na fila.Este custo inversamente proporcional ao custo do servio (nmero de beros). Se tem-se poucos beros, o custo do servio ser pequeno

mas como a fila ser grande, o custo da fila ser grande. Se tem-se muitos beros, o custo do servio ser grande

mas em compensao, como a fila ser pequena, o custo da fila ser pequeno.


Teoria de Filas 18

CUSTOS ENVOLVIDOSGenericamente podemos definir:Custo do Servio: o custo de construir e

manter em funcionamento as estaes que prestam determinado servio.

Custo da Fila: o custo que se incorre devido ao fato de usurios de um sistema de fila terem que esperar na fila propriamente dita.

Custo Total: a soma do Custo da Fila mais o Custo do Servio.


Teoria de Filas 19

CUSTOS ENVOLVIDOS O objetivo em qualquer sistema de filas achar o

ponto timo que minimiza a funo do custo total, ou seja, achar o nvel de servio que minimiza o custo total.

Achar o custo do servio, trabalhoso, mais simples. Achar o custo da fila bem mais complexo. Qual o custo da fila, por exemplo, em uma agncia

bancria ? Tem-se pessoas na fila, o custo da fila o equivalente

monetrio do tempo que as pessoas ficam na fila. A quantificao disto no simples at porque na fila de

uma agncia bancria, podem-se ter pessoas com valor-hora bastante diferentes.


Teoria de Filas 20

COMPONENTES BSICOS DE UM PROCESSO DE FILA


Teoria de Filas 21

POPULAO o conjunto de elementos pertencentes ao mundo externo,

que potencialmente, podem entrar no sistema de fila. Estatisticamente, a populao, em um sistema de filas,

pode ser classificada como infinita ou finitainfinita ou finita. Ela considerada ser infinita quando o nmero de infinita quando o nmero de

elementos tal que a presena de um ou mais elementos tal que a presena de um ou mais elementos na fila no influi no comportamento do elementos na fila no influi no comportamento do sistema como um todo.sistema como um todo.

Quando a presena no sistema de elementos da Quando a presena no sistema de elementos da populao potencial influi no comportamento do populao potencial influi no comportamento do sistemasistema, a fila dita ser finitaa fila dita ser finita.

Um exemplo de fila finita o caso da fila para conserto de mquinas (poucas) existentes em uma indstria.


Teoria de Filas 22

PROCESSO DE CHEGADAO processo de chegada descreve como

os elementos da populao chegam para o sistema de filas.

Na grande maioria dos sistemas de filas, as chegadas so aleatrias, ou seja, as chegadas so aleatrias, ou seja, no ocorrem de maneira ordenadano ocorrem de maneira ordenada.

Para descrever um processo de chegada, precisamos defin-lo atravs de uma distribuio probabilstica.


Teoria de Filas 23

DISCIPLINA DA FILA A chamada disciplina da filadisciplina da fila trata das questes relativas a

fila propriamente dita. a) Quantas filas existem no sistema ?a) Quantas filas existem no sistema ? b) Como os usurios so escolhidos da(s) fila(s) para receber b) Como os usurios so escolhidos da(s) fila(s) para receber

servio?servio?Podemos ter um esquema FIFO (first in, first out) , ou seja, o FIFO (first in, first out) , ou seja, o primeiro que entra o primeiro que saiprimeiro que entra o primeiro que sai. Podemos ter LIFO (last LIFO (last in, first out), ou seja, o ltimo a entrar o primeiro a sairin, first out), ou seja, o ltimo a entrar o primeiro a sair. Podemos ter uma fila com esquema de prioridadefila com esquema de prioridade, ou seja, a chamada para receber servio obedece a um esquema de prioridade, etc.

c) H limite para o tamanho da fila ?c) H limite para o tamanho da fila ?O tamanho da fila pode ser considerado como infinitoO tamanho da fila pode ser considerado como infinito, ou seja, ou seja, quando a fila pode ter qualquer tamanhoquando a fila pode ter qualquer tamanho ou limitado limitado quando a quando a fila s pode acomodar um no determinado de usuriosfila s pode acomodar um no determinado de usurios. Neste Neste ltimo caso quando a fila est cheia, os usurios que chegam ltimo caso quando a fila est cheia, os usurios que chegam vo embora, sem entrar no sistema.vo embora, sem entrar no sistema.


Teoria de Filas 24

MECANISMO DE SERVIO


Teoria de Filas 25

MECANISMO DE SERVIOUm sistema de fila pode ser,

genericamente, catalogado em 4 estruturas bsicas conforme o seu esquema de prestao de servio.(A) canal nico, fase nica;(B) canais mltiplos, fase nica;(C) canal nico, fases mltiplas;(D) canais mltiplos, fases mltiplas.


Teoria de Filas 26

MODELO DE FILA: M/M/1

Este o modelo mais simples de fila, tamanho populao infinito, tamanho permitido para a fila infinito, M chegadas seguindo a distribuio de Poisson, M durao do servio seguindo a distribuio Exponencial, fila nica com seleo FIFO e 1 estao de servio.

PARMETROS do modelo.PARMETROS do modelo. = taxa de chegada = taxa de serviot = unidade de tempo muito pequena

t = probabilidade de ocorrer 1 chegada durante t t probabilidade de ocorrer fim de 1 servio durante t


Teoria de Filas 27

MODELO DE FILA: M/M/1A condio bsica para que um sistema de fila

seja estvel que a taxa de chegada seja menor do que a taxa de servio , ou seja, / tem que ser menor do que 1.

Caso isto no acontea a fila tende ao infinito. Existem 3 eventos possveis durante t :

a entrada de 1 unidade no sistema,a sada de 1 unidade do sistema ou nenhuma alterao, ou seja, nenhuma chegada ou

nenhum trmino de servio.


Teoria de Filas 28

SUMRIO DAS FRMULAS DO MODELO M/M/1

= taxa mdia de chegada (1/ = intervalo mdio entre chegadas) = taxa de servio mdia (1/ = durao mdia do servio) n = nmero de unidades no sistema (inclui as da fila

e a sendo servida). Nmero mdio (esperado) de unidades no sistema: L = / ( - ) Nmero mdio (esperado) de unidades na fila: Lq = 2 / [ ( - ) ]


Teoria de Filas 29


Tempo mdio (esperado) que cada unidade permanece no sistema:

W = 1/ ( - )

Tempo mdio (esperado) que cada unidade permanece na fila:

Wq = / [ ( - ) ]

Fator de utilizao da estao de servio: = /


Teoria de Filas 30


Podemos ter ainda as seguintes relaes entre as medidas bsicas:

Lq = L - ( / ) = WqL = Lq + ( / ) = WWq = W - (1 / ) = Lq / W = Wq + (1 / ) = L /


Teoria de Filas 31


Probabilidade de zero unidades no sistema, ou seja, a probabilidade do sistema estar vazio:

P0 = 1- / Probabilidade de existirem n unidades no sistema:

Pn = P0 ( / )n Probabilidade de existirem mais de k unidades no

sistema:P(n > k) = ( / ) k+1

Probabilidade de 1 unidade demorar mais de t unidades de tempo no sistema:

P(T > t) = e - (1 - )t


Teoria de Filas 32

EXEMPLO 1EXEMPLO 1 Clientes chegam a uma barbearia, de um nico

barbeiro, com uma durao mdia entre chegadas de durao mdia entre chegadas de 20 minutos20 minutos. O barbeiro gasta em mdia 15 minutos barbeiro gasta em mdia 15 minutos com cada clientecom cada cliente..

a) Qual aQual a probabilidade de um cliente no ter que esperar para probabilidade de um cliente no ter que esperar para ser servidoser servido ??

b) b) Qual o no esperado de clientes no salo de barbeiro? na Qual o no esperado de clientes no salo de barbeiro? na fila?fila?

c) Quanto tempo, em mdia, um cliente permanece no salo?c) Quanto tempo, em mdia, um cliente permanece no salo?d) Quanto tempo, em mdia, um cliente espera na fila?d) Quanto tempo, em mdia, um cliente espera na fila?e) O barbeiro e) O barbeiro est estudando a possibilidade de colocar outro est estudando a possibilidade de colocar outro

barbeirobarbeiro desde que o tempo de permanncia mdio de cada desde que o tempo de permanncia mdio de cada cliente no salo passe a 1,25 horascliente no salo passe a 1,25 horas. . Para quanto deve Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo barbeiro fique justificadobarbeiro fique justificado ?


Teoria de Filas 33

SOLUOSOLUO: Em uma hora:Em uma hora:Durao mdia entre chegadas 20 minDurao mdia entre chegadas 20 min. Chegam 3 clientes/hChegam 3 clientes/hTempo de servio 15 minutosTempo de servio 15 minutos, atende em mdia 4 clientes/hatende em mdia 4 clientes/hEnto:Ento: = 3clientes/h (taxa de chegada) = 4clientes/h (taxa de servio)a) a) Qual aQual a probabilidade de um cliente no ter que esperar para ser servido?probabilidade de um cliente no ter que esperar para ser servido?

PP0 0 = 1- (= 1- ( / / ) = 1 (3/4) = 1 0,75 = 0,25 = 25% ) = 1 (3/4) = 1 0,75 = 0,25 = 25%b) b) Qual oQual o no esperado de clientes no salo de barbeiro (no esperado de clientes no salo de barbeiro (LL)?)?

Qual oQual o no esperado de clientes na fila (no esperado de clientes na fila (LLq)?q)?L L = = / ( / ( - - ) = 3 / (4 -3) = 3 clientes) = 3 / (4 -3) = 3 clientesLq Lq = = 22 / / [[ ( ( - - ) ) ] = 3] = 322 / [ 4 ( 4 3)] = 9/ [4] = 2,25 clientes / [ 4 ( 4 3)] = 9/ [4] = 2,25 clientes

c) c) Quanto tempo, em mdia, um cliente permanece no salo?Quanto tempo, em mdia, um cliente permanece no salo?W W = 1 / ( = 1 / ( - - ) = 1 / ( 4- 3) = 1 hora) = 1 / ( 4- 3) = 1 hora

d) d) Quanto tempo, em mdia, um cliente espera na fila?Quanto tempo, em mdia, um cliente espera na fila?Wq Wq = = / / [[ ( ( - - ) ) ] = 3 / [4 ( 4- 3)] = 3 / 4 = 0,75 horas.] = 3 / [4 ( 4- 3)] = 3 / 4 = 0,75 horas.

e) e) O barbeiro est estudando a possibilidade de O barbeiro est estudando a possibilidade de colocar outro barbeiro colocar outro barbeiro desde que o tempo de permanncia mdio de cada cliente no salo desde que o tempo de permanncia mdio de cada cliente no salo passe a 1,25 horaspasse a 1,25 horas. . Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo barbeiro fique justificadomodo que este segundo barbeiro fique justificado ? ?W W = 1 / ( = 1 / ( - - ) = 1,25 ) = 1,25 1,25 = 1/ (4 - 1,25 = 1/ (4 - ) ) = 3,2 clientes/hora= 3,2 clientes/hora


Teoria de Filas 34

EXEMPLO 2EXEMPLO 2 Fregueses Fregueses chegamchegam aleatoriamente a uma padaria aleatoriamente a uma padaria

taxa mdia de 12/horataxa mdia de 12/hora. O nico empregado da . O nico empregado da padaria pode servir fregueses padaria pode servir fregueses taxa mdia de taxa mdia de 20/hora20/hora. O . O empregado recebe R$3/horaempregado recebe R$3/hora enquanto enquanto que o que o tempo que os fregueses perdem na padaria tempo que os fregueses perdem na padaria est estimado em R$8/horaest estimado em R$8/hora. .

O dono da padaria est considerando a instalao O dono da padaria est considerando a instalao de um equipamento de auto-servio que far com de um equipamento de auto-servio que far com que a que a taxa de atendimento aos fregueses passe para taxa de atendimento aos fregueses passe para 42 fregueses/hora42 fregueses/hora. .

O O custo do equipamento de auto-servio de custo do equipamento de auto-servio de R$30/diaR$30/dia..

Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, justifique economicamente se o equipamento de justifique economicamente se o equipamento de auto-servio deve ou no ser comprado ?auto-servio deve ou no ser comprado ?


Teoria de Filas 35

SOLUO = 12 fregueses/= 12 fregueses/hora (taxa de chegada)hora (taxa de chegada)Situao AtualSituao Atual = 20 fregueses/hora (taxa de servio)= 20 fregueses/hora (taxa de servio)Custo do empregadoCusto do empregado = R$3/hr x 12 hr/dia = = R$3/hr x 12 hr/dia = R$36/diaR$36/dia Custo do servioCusto do servioW W = tempo mdio que um fregus permanece na padaria.= tempo mdio que um fregus permanece na padaria.

W W = 1 / (= 1 / ( - - ) = 1 / (20 -12) = 1/8 = 0,125 horas) = 1 / (20 -12) = 1/8 = 0,125 horasCusto de um fregus = 0,125 horas x $8/hr = R$1Custo de um fregus = 0,125 horas x $8/hr = R$1Custo da fila = Custo da fila = R$1 R$1 xx 12 fregueses/hr x12 fregueses/hr x 12 hr/dia = R$14412 hr/dia = R$144Custo totalCusto total = = Custo de servio (custo do empregado)Custo de servio (custo do empregado) + custo da fila (freg.) + custo da fila (freg.)

= = R$36R$36 + R$144 = + R$144 = R$180/dia R$180/diaSituao PropostaSituao Proposta = 42/hora= 42/horaW W = 1 / (= 1 / ( - - ) = 1 / (42 -12) = 1 /30= 0,) = 1 / (42 -12) = 1 /30= 0, 0333 horas0333 horasCusto de um fregus = 0,0333 horas x R$8/hr = R$0,266Custo de um fregus = 0,0333 horas x R$8/hr = R$0,266Custo da fila = Custo da fila = R$0,266R$0,266 x 12 fregueses/hr x 12 hr/dia = R$38,40/dia x 12 fregueses/hr x 12 hr/dia = R$38,40/diaCusto do servio = Custo do empregado + custo da mquinaCusto do servio = Custo do empregado + custo da mquina

= R$36 + R$30 = $66/dia= R$36 + R$30 = $66/diaCusto total = Custo total = R$66R$66 + R$38,40+ R$38,40 = R$104, 40/dia = R$104, 40/diaResp: A situao proposta melhor.Resp: A situao proposta melhor.

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