Teorías de Colas Investigacion de Operaciones ll

7/24/2019 Teoras de Colas Investigacion de Operaciones ll

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UNIVERSIDAD DR. JOS MATASDELGADO

FACULTAD DE INGENIERA

INVESTIGACIN DE OPERACIONES II

ING. RENE HERNN LINARES SILVA

SECCIN 2-2 CICLO 01-2016

INVESTIGACIN BIBLIOGRFICA

SISTEMAS DE COLAS

Integrantes de grupo:

Escalante Membreo Jaime Rolando

Grijalva Barrientos Andrs ArmandoMachuca Flores Edgar Rolando

2012-02821

2009-015572006-02453

Fecha de Entrega jueves 11 de Febrero de 2016


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I N V E S T I G A C I O N D E O P E R A C I O N E S I I

1

INTRODUCCIN

La teora de colas es el estudio matemtico de las colas o lneas de espera. La formacinde colas es, por supuesto, un fenmeno comn que ocurre siempre que la demandaefectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de serviciosque debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposiblepredecir con exactitud cundo llegarn los clientes que demandan el servicio y/o cuantotiempo ser necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican

dilemas que hay que resolver con informacin escasa. Estar preparados para ofrecer todoservicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursosociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de serviciosuficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientestienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, estn pagando un coste,en tiempo, ms alto del que esperaban. Las lneas de espera largas tambin son costosaspor tanto para la empresa ya que producen prdida de prestigio y prdida de clientes.

La teora de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la

informacin vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendoalgunas caractersticas sobre la lnea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempode espera promedio.

Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organizacin de la empresa,asocindolo a la teora de colas, nos estaremos aproximando al modelo de organizacinempresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidadde recursos en la cadena productiva.

.


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2

NDICE

Pgs.

INTRODUCCIN 1

OBJETIVOS 3

SISTEMAS DE COLAS 4

NOTACIN GENERAL DE LA SITUACIN GENERAL DE COLAS 5

MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE EJEMPLOS

78

MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR 10 MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD//)

EJEMPLOS1112

MODELO DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/N/) EJEMPLOS

1516

MODELOS DE SERVIDORES MULTIPLES 19

MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD//) EJEMPLOS

1920

MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD/N/) EJEMPLOS

24

25 MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/) : (GD//)

EJEMPLOS2829

MODELO DE SERVICIO DE MAQUINAS (M/M/R) : (GD/K/K) EJEMPLOS

3233

FORMULA POLLACZEEK-KHINTCHINE (P-K) (M/G/1) : (GD//) EJEMPLOS

3637

CONCLUSIONES 39

BIBLIOGRAFA 40

ANEXOS 41


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OBJETIVOS

General:

Realizar una investigacin bibliogrfica sobre Teora de colas y

determinar cmo ayuda este sistema a mejorar el rendimiento en

diferentes campos de operaciones industriales.

Especifico:

Identificar los diferentes modelos empleados al estudio de colas.

Establecer criterios bsicos sobre el sistema de colas.

Conocer los mtodos matemticos utilizados en la resolucin de

problemas de sistemas de colas.

Evaluar cada modelo con el fin de resolver diferentes tipos de

problemas.


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SISTEMAS DE COLAS

Una cola o lnea de espera es el efecto resultante en un sistema, cuando la demanda deun servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. La teora de colas es unconjunto de modelos matemticos que describen sistemas particulares de lneas deespera.

Tanto el ritmo de llegadas al sistema por unidad de tiempo, como el tiempo de servicio,son variables con un patrn aleatorio, de tal forma que se hace necesaria la utilizacinde modelos estocsticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.

La teora de colas es la rama de la investigacin operativa que estudia las listas de

espera (retardo/congestin).

Un sistema de colas est formado por un origen de usuario, una cola de espera yposibilidades de servicio con uno o varios servidores paralelos idnticos.La red de colas es un conjunto de sistemas de colas conectados entre s.

Parmetros bsicos de un sistema de colas: Tasa de demanda Capacidad (tasa de servicio) Tiempos de demanda entre llegadas Tiempos de servicio capacidad Disciplina de la cola

Estos modelos se usarn para responder preguntas como las siguientes: Cunto tiempo est ocioso cada servidor? Cul es el nmero esperado de clientes presentes en la cola? Cul es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola? Cul es la distribucin de probabilidad del tiempo de espera de un cliente? Cul es la distribucin de probabilidad de la cantidad de clientes presentes en la

cola?


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NOTACIN GENERAL DE LA SITUACIN GENERAL

DE COLAS

La cantidad de clientes en el sistema se define para incluir los que estn en el servicio ylos que estn en la cola.En cuanto a terminologa, el estndar en la Teora de Colas es el siguiente.

Estado del sistema = Nmero de clientes en el sistema

Longitud de la cola = Nmero de clientes que esperan servicio

N(t) = nmero de clientes en el sistema de colas en el tiempo t

Pn(t) =probabilidad de que exactamente n clientes estn en el sistema en eltiempo

c s = servidores paralelosn =

tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en elsistema por unidad de tiempo

n =tasa media de clientes en todo el sistema cuando hay n clientes en elsistema por unidad de tiempo (tasa combinada de todos los servidores)

Cuando estas tasas medias son constantes para toda n, pasan a denominarse y

n = *c para n c

= tiempo esperado entre llegadas

= tiempo esperado de servicio = Factor de utilizacin de la instalacin del servicioRepresentacin esquemtica de un sistema de colas con c servidores paralelos:


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La figura ilustra la situacin de colas de Poisson especializadas con c servidoresparalelos. Se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidordisponible. La tasa de llegadas al sistema es de clientes por unidad de tiempo.Todos los servidores paralelos son idnticos, es decir que la tasa de servicio de cualquierservidor es de m clientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema sedefine para incluir los que estn en el servicio y los que estn en la cola.

Una notacin conveniente para resumir las caractersticas de la situacin de colas de lafigura se da mediante el siguiente formato:

(a/b/c) : (d/e/f)

Notacin de Kendall

Donde:

a = Distribucin de las llegadasb = Distribucin de las salidas (tiempo de servicio)

c = Cantidad de servidores paralelos (= 1,2,,)

d = Disciplina en las colas

e =Nmero mximo (finito o infinito) permitido en el sistema (haciendo colao en servicio)

f = Tamao de la fuente solicitante (finita o infinita)

La notacin estndar para representar las distribuciones de las llegadas y salidas(smbolos a y b) es:

M =Distribucin markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de formaequivalente distribucin exponencial del tiempo entre llegadas y deservicio)

D = Tiempo constante (determinstico)

Ek =Distribucin Erlang o gama del tiempo (o de forma equivalente, la sumade distribuciones exponenciales independientes)

GI = Distribucin general (genrica) del tiempo entre llegadas

G = Distribucin general (genrica) del tiempo de servicio

La notacin para la disciplina en colas (smbolo d) incluye

FCFS = Primero en llegar, primero en ser servidoLCFS = ltimo en llegar, primero en ser servido

SIRO = Servicio en orden aleatorio

GD = Disciplina general (es decir, cualquier tipo de disciplina)Para ilustrar el uso de la notacin, el modelo (M/D/10): (GD/20/) utiliza llegadas Poisson(o tiempo entre llegadas exponencial), tiempo de servicio constante, y 10 servidoresparalelos. La disciplina en colas es GD, y hay un lmite de 20 clientes en todo el sistema.El tamao de la fuente de donde llegan los clientes es infinito.


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MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE

Las medidas de desempeo ms comnmente utilizadas en una situacin de colas son:

Ls = Cantidad esperada de clientes en un sistema

ss effecWL

effecLL qs

Lq = Cantidad esperada de clientes en una cola

qq effecWL

Wq = Tiempo de espera anticipado en la cola

Ws = Tiempo de espera en el sistema

1 qs

WW

c = Cantidad esperada de servidores ocupadosLa diferencia entre la cantidad promedio en el sistema, Ls, y la cantidad promedio en lacola, Lqdebe ser igual al promedio de servidores ocupados. Por lo tanto:

effecLLc

qs

Se deduce que

Uso de la instalacinc

c

= Factor de utilizacin de la instalacin del servicio

; < ; < , n = 0, 1, 2,


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EJEMPLO 01

Suponga una estacin de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora.Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora.Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.

Solucin:La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto

La tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41

13

1

min3

El factor de utilizacin del sistema si se mantuviera un servidor es= /= 0.75/1 = 0.75 = 75%

Con dos servidores (s = 2):= /s= 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37.5%

EJEMPLO 02

Suponga un restaurante de comidas rpidas al cual llegan en promedio 100 clientes porhora.Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora.Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola.Calcule las medidas de desempeo del sistema.

Solucin:La tasa media de llegadas es 100 clientes por hora o 100/60 = 1.67 clientes por min

La tasa media de servicio es 150 clientes por hora o 150/60 = 2.5 cliente por minuto

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

34.3267.1

185.95.567.1

min5.55.2

12

1

min2


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9

El factor de utilizacin del sistema si se mantuviera un servidor es= /= 1.67/2.5 = 0.668 = 66.8%

Con dos servidores (s = 2):= /s= 1.67/(2*2.5) = 0.334 = 33.4%

EJEMPLO 03

Suponga un Call Center el cual atiende en promedio 79 llamadas por minutoSe tiene capacidad para atender en promedio a 125 llamadas por minutoSe sabe que los clientes esperan en promedio 7 segundos en la cola.Calcule las medidas de desempeo del sistema.

Solucin:La tasa media de llegadas es 79 llamadas por minuto o 79/60 = 1.32 llamadas por seg

La tasa media de servicio es 125 llamadas por minuto o 125/60 = 2.08 llamadas porseg

llamadasWL

llamadasWL

segWW

segW

qq

ss

qs

q

24.9732.1

87.948.732.1

48.708.2

17

1

7

El factor de utilizacin del sistema si se mantuviera un servidor es= /= 1.32/2.08 = 0.635 = 63.5%

Con dos servidores (s = 2):= /s= 1.32/(2*2.08) = 0.317 = 31.7%


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MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR

Este modelo se trata solo de un servidor es decir c=1. Se hablaran de dos casos posibles:

El primer caso no limita el nmero mximo en el sistema (M/M/1) : (GD//) El segundo caso supone un numero finito en el sistema (M/M/1) : (GD/N/)

Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente es decir que siempre serabundante. En ambos las llegadas ocurren a razn de clientes por unidad de tiempo y

con una tasa de servicio de clientes por unidad de tiempo.

Los resultados de los dos modelos (y de hecho de todos los modelos restantes en la sederivan como casos especiales de los resultados del modelo generalizado.Se utilizar la notacin ampliada de Kendall para caracterizar cada situacin.


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MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD//)

Partiendo del modelo general, se tiene:

Como el nmero mximo permitido en el sistema es finito Las medidas de desempeo ms comnmente utilizadas en una situacin de colas son:


1sL

Lq = Cantidad esperada de clientes en una cola

1

2

qq WL

Wq = Tiempo de espera anticipado en la cola

)1(

1

Sq WW

Ws = Tiempo de espera en el sistema

1sW

c = Cantidad esperada de servidores ocupados

qs LLc

= Factor de utilizacin de la instalacin del servicio

=/

; < ^ ; < , , , ,


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EJEMPLO 01

Un restaurante de comida rpida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autosllegan segn una distribucin de Poisson a razn de 2 cada 5 minutos. El espacio enfrentede la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluso el que se est atendiendo.Los dems autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de

servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente:

Solucin: (M/M/1) : (GD//) . autos/min .

autos/minutos . autos/min .. . (cumple la condicin < 1 por lo tanto el sistema puede operar encondiciones de estado estable)

a) La probabilidad de que la ventanilla este ociosa.Po= 1

Po= 10.60Po= 0.4 40%

b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidosLq = Cantidad esperada de clientes en una cola

=

= 0.9 autos

c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedidoWq = Tiempo de espera anticipado en la cola .

d) La probabilidad de que la lnea de espera exceda la capacidad de 10 espacios

n Probabilidad PnProbabilidadAcumulada

n Probabilidad PnProbabilidadAcumulada

0 0.4000 0.4000 6 0.0186 0.97201 0.2400 0.6400 7 0.0112 0.9832

2 0.1440 0.7840 8 0.0067 0.98993 0.0864 0.8704 9 0.0040 0.99394 0.0518 0.9222 10 0.0024 0.99635 0.0311 0.9533

P11 = 1 - P10= 1 - 0.9963 = 0.0036 para que la lnea exceda de espacio

c Lmite del sistema Lmite de la fuente

0.4 0.666 1 Infinito Infinito


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EJEMPLO 02

John Macko estudia en la U de Ozark. Realiza trabajos peculiares para complementarsus ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 das, pero el tiempoentre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo tambin esexponencial con media de 4 das.

Solucin: (M/M/1) : (GD//)La tasa media de llegadas =1/5 trabajos/daLa tasa media de servicio =1/4 trabajos/da

=/ = (1/5)/(1/4) = 0.8

a) Cul es la probabilidad de que John se quede sin trabajos?Tomando en cuenta que si:


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EJEMPLO 03

Durante aos, el detective Columbo, del Departamento de Polica de Fayetteville, hatenido un xito fenomenal al resolver todos los casos criminales. Es slo cuestin detiempo antes de que cualquier caso se resuelva. Columbo admite que el tiempo por casoes totalmente aleatorio, pero, en promedio, cada investigacin le lleva

aproximadamente una semana y media. Los crmenes en el tranquilo Fayetteville no sonmuy comunes. Ocurren al azar a razn de un crimen por mes (4 semanas). El detectiveColumbo est solicitando que un asistente comparta la pesada carga de trabajo. Analicela peticin de Columbo, en particular desde la perspectiva de los siguientes puntos:

Solucin: (M/M/1) : (GD//)La tasa media de llegadas =1/4 crimen/semanaLa tasa media de servicio =1/1.5 crimen/semana

=/ = (1/4)/(1/1.5) = 0.38

a) El promedio de casos en espera de ser investigadosLq = Cantidad esperada de trabajos en cola = = 0.23 casos en espera de ser investigados

b) El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado Po = 0.62

Pn = 1Po

Pn = 0.38 38% de 1 semana

c) El tiempo promedio necesario para resolver un caso

qS WWT 1

)1(

11

T

)38.01(5.1

1

38.0

4

1

5.1

1

11

T =1.5

Solucin 1 caso en 1.5 semanas


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MODELO DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/N/)

Este modelo difiere de (M/M/1):(GD//) en que hay un lmite N en el nmero en elsistema (longitud mxima de la cola = N - 1). Algunos ejemplos incluyen situaciones demanufactura en las que una mquina puede tener un espacio intermedio limitado y unaventanilla de servicio en su coche en un restaurante de comida rpida. No se permitennuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N. Por lo tanto:No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N.Por lo tanto ; n = 0, 1,., N-1 ; n = N, N+1 ; n = 0, 1, 2,Utilizando el modelo generalizado: + ; + ; ; ; >

+ El valor de no tiene que ser menor que 1 en este modelo, porque el limite N controlalas llegadas al sistema. Esto significa que es la tasa que importa en este caso. se dice entonces <


[++] siempre que p sea distinto de 1


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EJEMPLO 01

Los pacientes llegan a la clnica de un mdico de acuerdo con una distribucin de Poissona razn de 20 pacientes por hora. La sala de espera no puede acomodar ms de 14pacientes. El tiempo de consulta por paciente es exponencial, con una media de 8minutos

Solucin: (M/M/1):(GD/15/) 20

pacientes/hora 7.5

pacientes/hora . 2.666 , N=14+1=15 0.6249 12.498

1 7.5

[++] 14.3997 1.9199 1.7866 7.51.7866 13.3997n Probabilidad n

ProbabilidadAcumulada

n Probabilidad nProbabilidadAcumulada

0 0 0 8 0.00065 0.001031 0 0 9 0.00174 0.00277

2 0 0 10 0.00463 0.0074

3 0 0.00001 11 0.01236 0.01976

4 0.00001 0.00002 12 0.03296 0.05272

5 0.00003 0.00005 13 0.08789 0.14061

6 0.00009 0.00014 14 0.23438 0.37499

7 0.00024 0.00038 15 0.625 0.99999

a) Cul es la probabilidad de que un paciente que llegue no espere? que un paciente que llegue no espere.b) Cul es la probabilidad de que un paciente que llegue encuentre un asiento en la

sala? = . que un paciente que llegue encuentreasiento.


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c) Cul es el tiempo total esperado que un paciente pasa en la clnica? . horas que pasa un paciente esperando en la clnica.

EJEMPLO 02

En una peluquera hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegadatienen distribucin exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Losque llegan cuando la peluquera est llena no entran. El peluquero tarda un promedio de12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribucinexponencial.

Solucin: (M/M/1):(GD/10/)

a) En promedio Cuntos cortes de pelo har el peluquero?Una fraccin de P10de las llegas encuentra que la peluquera est llena. Por lo tanto,entrar a ella un promedio de(1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se lescorte el cabello, y por lo tanto, el peluquero har un promedio de(1-P10) cortes por hora.

N = 10 , = 20 clientes por hora y = 5 clientes/hora.Entonces = 20/5 = 4 1 1 +

donde n = 1,2,....m

Sustituyendo datos P10 = 0.75As, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75) = 5 cortes/hora.

b) En promedio Cunto tiempo pasar un cliente en la peluquera, cuando entra?Para calcular W = Ls/((1-Pn))

1 1 + 1 1 +

41 1 0 14

104+

14110+ 9.67

W = 9.67 / (20(1-0.75)) = 1.93 horas


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EJEMPLO 03

Una instalacin de servicio consiste de una persona que puede atender un promedio de2 clientes/h. Los tiempos de servicio son exponenciales. Llega un promedio de 3 clientespor hora, y se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales. La capacidaddel sistema es de 3 clientes.

Solucin: (M/M/1):(GD/3/)=3clientes/hora=2clientes/hora

N=3p=3/2=1.5

a) En promedio, Cuntos clientes potenciales entran al sistema cada hora?

1 1 +

1 1 . 51 1 . 5+ 1.5 0.4154=(1-Pm) =(1-P3) = 3(1-0.4154) = 1.75 clientes por hora.

b) Cul es la probabilidad de quien atiende est ocupado?La probabilidad que este ocupado es Pocupado = 1-Po 1 1 +

1 1.51 1 . 5 0.123Por lo tanto que este ocupado es 1-0.123 = 0.876Estar ocupado el 87.6% del tiempo


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MODELOS DE SERVIDORES MULTIPLES

Esta seccin considera tres modelos de colas con varios servidores paralelos. Losprimeros dos modelos son las versiones de varios servidores. El tercer modelo trata el

caso del autoservicio, el cual equivale a tener una cantidad infinita de servidoresparalelos.

MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES

(M/M/c) : (GD//)

Este modelo se ocupa de cservidores paralelos idnticos. La tasa de llegadas es y la

tasa de servicio por servidor es . En esta situacin efec= porque no hay lmite en elnmero presente en el sistema.

El efecto de utilizar c servidores idnticos paralelos es un incremento proporcional detasa de servicio de la instalacin. En trminos del modelo generalizadonynse definenpor lo tanto como:

As que:

Si y suponiendo que el valor de Po se determina a partir de = lacual da:


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La expresin para Lq se determina como sigue:

Como , entonces: Los valores de y se pueden determinar dividiendo y entre

EJEMPLO 01

Una pequea oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes llegansiguiendo una distribucin de Poisson con la frecuencia de 1 cada 3 minutos. Sinembargo, solo el 80% de ellos deben ser atendidos en las ventanillas. El tiempo deservicio por cliente es exponencial, con 5 minutos de promedio. As, ese 80% de losclientes que llegan se forman en una cola y llegan a las ventanillas disponibles endisciplina PLPS.

Solucin: (M/M/2):(GD//)

. , , . a) Cul es la probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la fila ()?

! = ! (

)

.

! . . . .La probabilidad es de 53.3%

b) Cul es la probabilidad de que las dos ventanillas estn vacas? . La probabilidad es de 20%


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c) Cul es la longitud promedio de la cola?

!

. . 1 cliente

d) Sera posible ofrecer un servicio razonable solo con una ventanilla? Explique porqu.

No, porque es mayor que . Por lo tanto el mnimo de ventanas que puede haber en laoficina de correos debe ser mayor o igual a . , es decir que el nmerode ventanas actuales es el correcto.

EJEMPLO 02

Determine el mnimo de servidores paralelos necesarios en cada una de las siguientessituaciones (llegadas/salidas Poisson) que garantice que la operacin de la situacin decolas ser estable (es decir, que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida):

a) Los clientes llegan cada 5 minutos y son atendidos a razn de 10 clientes por hora.=0.2 clientes / min=10 clientes / hora 0.17 clientes / minp=0.2/0.17=1.18

Si y suponiendo que . Se necesita de 1 servidor

b) El tiempo entre llegadas promedio es de 2 minutos, y el tiempo de serviciopromedio es de 6 minutos.

=0.5 clientes / min=0.17 clientes / minp=0.5/0.17=2.97

Si y suponiendo que . Se necesita de 3 servidores

c) La tasa de llegadas es de 30 clientes por hora, y la tasa de servicios por servidores de 40 clientes por hora.


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=30 clientes / hora=40 clientes / horap=30/40=0.75

Si y suponiendo que

. Se necesita de 1 servidorEJEMPLO 03

Un banco tiene dos cajeros. Llegan al banco con un promedio de 80 clientes por hora yesperan en una sola cola para que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita paraatender a un cliente es 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los deservicio son exponenciales. Calcular.

Solucin: (M/M/2):(GD//)k: nmero de servidores

k = 2 cajeros = 80 clientes / hora

= 1/1.2 cliente / minutosAl realizar la conversin

= 50 clientes / hora

a) Nmero esperado de clientes en el banco.

El nmero esperado de clientes en el sistema es Ls

1! para encontrar Ls hay tener primero

1 != !


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esta ecuacin puede ser dividida en dos partes 1

!= 8050

0! 8050

1! 11 1.61 2.6

!

80502! 5 0 25 0 2 80 6.4 1

1

2.66.41

9 0.1111

teniendo Po buscar Ls

8050 80502 1! 2 5 0 8 0 0.111 8050 4.4416Ls= 4.44 clientes. Esta cantidad de clientes se encuentran en el banco en promedio.

b) Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco

El tiempo esperado que pasa el cliente en el banco seria Ws 4.4480 0.055 Un cliente pasa en el banco un promedio de Ws = 3.33 minutos.

c) La fraccin del tiempo que determinado cajero est desocupado.

El tiempo que el cajero est desocupado se define como la probabilidad de 0.Po = 0.1111 = 11.11% del tiempo estar desocupado.


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(M/M/c) : (GD/N/)

Este modelo difiere del (M/M/c):(DG//) en que el lmite del sistema es finito, igual a N.Eso quiere decir que el tamao mximo de la cola es N-c.

Las tasas de llegada y de servicio son y . La frecuencia efectiva de llegadas esmenor que, a causa del lmite N del sistema.

En trminos del modelo generalizado y para el modelo actual se define comosigue:

, 0 < 0, , 0 < ,

Sustituyendo y en la ecuacin general del modelo de colas de Poissongeneralizado, y observando que , se obtiene:

!, 0 <

! , En donde:

!= 1 +!1

, 1

!

=

! 1 ,

1

A continuacin se calcula Lq para el caso en que 1como sigue: + 1! 1 + 1 1 Se puede demostrar que para

1, se reduce a


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12! , 1Para determinar , y en consecuencia y , se calcula el valor de como sigue:

1

EJEMPLO 01

En un pequeo taller de ajuste de motores ocupa a tres mecnicos. Cuando los clientesque llegan ven que el piso del taller est cubierto de trabajos en espera, van a otra parte.El piso del taller puede dar cabida cuando mucho a 15 segadoras o podadoras, ademsde las que reciben el servicio. Los clientes llegan al taller cada 15 minutos en promedio,y un mecnico tarda un promedio de 30 minutos en terminar cada trabajo. El tiempo entrellegadas y el tiempo de servicio tienen distribucin exponencial.

Solucin: (M/M/3):(GD/18/)C=3 N=18

a) Cantidad promedio de mecnicos sin trabajo

Numero de mecnicos que no estn trabajando = c(Ls- Lq)

! +!

=

.

! . . . . ! + . . . . .

# de mecnicos no trabajando = 3 - (1.8771-0.8774) = 2.0003


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b) Porcin del trabajo que va a la competencia en un da de 10 horas, por lacapacidad limitada del taller. . .

En un da de 10 horas se pierden: 10x0.0014=0.014 trabajos.

c) La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue reciba servicio. !. = != . 0.9998La probabilidad es de 99.98%

d) La probabilidad de que al menos un mecnico este sin trabajo.

!. = . La probabilidad es de 55.60%

e) La cantidad promedio de segadoras o podadoras que esperan servicio. . Esperan servicio 0.8774segadoras o podadoras

f) Productividad del taller= .. .

La productividad es de 33.32%

EJEMPLO 02

Eat y Gas es una gasolinera con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabidacuando muchos a 5 automviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegancuando el carril est lleno van a otra parte. La distribucin de los vehculos que llegan esde Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llegar y pagar las compras esexponencial, con 6 min de promedio. Determine lo siguiente:

Solucin: (M/M/2):(GD/5/)C=2 N=5 = 20 v/h = 10v/h p=2 p/c = 1

a) La utilizacin porcentual de las dos bombas.

% utilizacin =100( )= (.. )x 100% = 81.8%

b) La probabilidad de que un automvil que llegue no reciba servicio de inmediato,sino que se forme encola. 0.54546 54.54%


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EJEMPLO 03

Los alumnos de primer ingreso en la U de A se caracterizan porque tratan de llegar aclase en automvil. Durante el primer par de semanas del semestre de otoo, en elcampus prevalece una confusin de trfico porque los alumnos tratan desesperadamenteencontrar estacionamiento. Con una dedicacin extraordinaria esperan pacientemente enlos carriles del estacionamiento a que alguien salga, para poder estacionarse.Imaginmonos el siguiente escenario especfico: el estacionamiento tiene 30 cajones,pero tambin pueden estacionar en forma permanente en los carriles. Esos 10automviles adicionales no se pueden estacionar en forma permanente en los carriles, ydeben esperar que haya disponible uno de los 30 estacionamientos. Los alumnos deingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribucin de Poisson, con 20por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automvil es de 60 minutos enpromedio, con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automvil esde 60 minutos en promedio, pero en realidad tiene una distribucin exponencial.

a) Cul es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en elestacionamiento? 0.00014

b) Cul es la probabilidad de que un automvil que llegue ocupe el nico cajn vacioen el estacionamiento? 0.01248

c) Calcule la cantidad promedio de estacionamientos ocupados

20.043 0.46 20


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(M/M/): (GD//)

En este modelo, la cantidad de servidores es ilimitada, porque el cliente tambin es unservidor.

Un ejemplo caracterstico es hacer la parte escrita de la prueba de manejo para obtenerlicencia.

Las gasolineras de autoservicio y los cajeros automticos no caen en la descripcin deeste modelo, porque en esos casos los servidores son las bombas de gasolina y loscajeros

En el modelo se supone una llegada continua, con las tasas de servi cio y ,respectivamente.

Y se tiene que:

! , 0, 1, 2, Que es de Poisson con promedio .

Como era de esperar, 0, porque es un modelo de autoservicio.


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EJEMPLO 01

A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer laspruebas de manejo. Los exmenes escritos suelen hacerse en el departamento de policade la ciudad. Los registros de la ciudad de Springdale indican que la cantidad promediode exmenes escritos es de 100 por da de 8 horas. El tiempo necesario para contestarel examen es de 30 minutos, ms o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantesy el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios.

Solucin: (M/M/):(GD//) . a) La cantidad promedio de asientos que debe tener el departamento de polica en el

saln de exmenes.

. . .b) La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos

que hay en el saln de exmenes.

. . != . c) La probabilidad de que un da no se haga examen alguno.

=. . ! .

EJEMPLO 02

Un inversionista invierte $1000 al mes, en promedio, en el mercado de valores. Debido aque el inversionista debe esperar una buena oportunidad para comprar, el tiempo real

de compra es aleatorio. El inversionista suele conservar los valores durante unos 3 aosen promedio pero los vende al azar cuando se le presenta una buena oportunidad paravender. Aunque al inversionista se le suele reconocer como un astuto corredor delmercado de valores, la experiencia pasada indica que alrededor de 25% de los valoresdeclinan a 20% al ao, aproximadamente. El 75% restante aumenta de valor a razn de12% al ao. Estime el capital accionario del inversionista (a largo plazo) promedio en elmercado de valores.Esta situacin se puede tratar como un modelo (M/M/c):(GD/N//) porque, para todoslos propsitos prcticos, el inversionista no tiene que esperar en lnea para comprar o


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vender sus valores. El tiempo promedio entre colocaciones de pedidos es de 1 mes, loque da =12 valores por ao. La tasa de venta de los valores es valor por ao. Puedeobtener los resultados del modelo con los siguientes datos de entrada:= 1/3 valor por ao. Puede obtener los resultados del modelo con los siguientes datosde entrada:

Solucin: (M/M/):(GD//)

EJEMPLO 03

Un inversionista coloca $1000 mensuales en ciertos ttulos en el mercado de valores.Como debe esperar una buena oportunidad de compra, el tiempo real de la compra es

totalmente independiente. El inversionista suele conservar los ttulos durante un promediode 3 aos, pero los vende al azar cuando se presenta la oportunidad de vender,. Aunqueen general se reconoce al inversionista como hbil en el manejo de valores, la experienciaindica que 25% de los ttulos bajan ms o menos el 20% anual. El 75% restante se apreciacon una rapidez aproximada de 12% por ao. Calcule lo siguiente:Solucin: (M/M/):(GD//)


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a) La probabilidad de que el inversionista venda todo 2.3110P0= 0

b) La probabilidad de que el inversionista sea propietario de ms de 10 ttulos.369! 0.999993Pn 10 = 1 Pn 9 = 1

c) La probabilidad de que el inversionista posea entre 10 y 40 ttulos, inclusive.Pn 40 Pn 10 = 0.77710.13787

Pn 40 Pn 10 = 0.63923


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MODELO DE SERVICIO DE MAQUINAS

(M/M/R) : (GD/K/K)

El entorno para este modelo es de un taller con K maquinas. Cuando se descomponeuna mquina, se llama a un mecnico para hacer la reparacin. La frecuencia es Lafrecuencia es descomposturas por mquina y por unidad de tiempo, y un mecnico lasrepara a una tasa de maquinas por unidad de tiempo. Se supone que todas lasdescomposturas y los servicios siguen una distribucin de Poisson.

Este modelo se diferencia de todos los anteriores por tener una fuente finita de clientes.Eso se puede visualizar si se considera que cuando todas las maquinas del taller estndescompuestas, no se pueden generar ms llamadas o solicitudes de servicio. Enesencia, solo las maquinas que estn funcionando se pueden descomponer, por lo quetienen el potencial de generar llamadas de servicio.

Dado que la frecuencia de descomposturas por maquina es , la frecuencia de

descomposturas en todo el taller es proporcional a la cantidad de mquinas que estnfuncionando. Tambin, si se tienen n maquinas en el sistema quiere decir que n mquinasestn descompuestas (el sistema es las maquinas descompuestas, no el taller).Entonces, la frecuencia de descomposturas en todo el taller es:

, 0 En trminos del modelo generalizado de colas de poisson

, 0 < 0 , , 0 < ,

Entonces, para el modelo generalizado se puede obtener

, 0

!

! , = !

! =+


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En este modelo es difcil obtener una forma cerrada de Ls, y en consecuencia se debecalcular a partir de la siguiente definicin bsica:

= 1

EJEMPLO 01

Un operador atiende a 5 mquinas automticas. Cuando una maquina termina un lote, eloperador la debe restablecer para iniciar el siguiente lote. El tiempo para terminar unprocesamiento de lote es exponencial, con 45 min de promedio. El tiempo de preparacinde la maquina tambin es exponencial con un promedio de 8 min.

= 60/45 = 1.33 maquinas/hr = 60/8 = 7.5 maquinas/hr R=1 K=5

(M/M/1) : (GD/5/5) 1.33333 7.5 4.99945 0.17778n

Probabilidad Prob.acumulada 0 0.33341 0.33341

1 0.29637 0.62978

2 0.21075 0.84053

3 0.11240 0.95293

4 0.03996 0.99290

5 0.00710 1.00000


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a) Determine el promedio de mquinas en espera de ser preparadas o que se estnpreparando.

=

00.33341 10.29637 20.21075 30.11240 40.03996 50.00710 1.25041 b) Calcule la probabilidad de que todas las mquinas estn funcionando.

0.33341c) Determine el tiempo promedio que una mquina est detenida.

1.333351.25041 4.99945

1.250414.99945 0.25

EJEMPLO 02

Kleen All es una compaa de servicios que realiza varios trabajos peculiares, como

jardinera, poda de rboles y pintura de casas. Los 4 empleados de la compaa salen dela oficina con la primera asignacin del da. Despus de completar una asignacin, elempleado llama a la oficina para pedir instrucciones para el siguiente trabajo que se va arealizar. El tiempo para completar una asignacin es exponencial con una media de 45minutos. El tiempo de viaje entre los trabajos tambin es exponencial con una media de20 minutos.

= 60/45 = 1.33 maquinas/hr = 60/20 = 3 /hr R = 4 K = 4(M/M/4) : (GD/4/4)

1.33333

3.0

nProbabilidad Prob.acumulada

0 0.22972 0.229721 0.40839 0.638112 0.27226 0.910373 0.08067 0.991044 0.00896 1.00000


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a) Determine el promedio de empleados que viajan entre los trabajos.

=

00.22972 10.40839 20.27226 30.08067 40.00896 1.23076 b) Calcule la probabilidad de que ningn empleado ande en camino. 0.22922

EJEMPLO 03

Toolco tiene un taller con 22 mquinas en total. Se sabe que cada mquina sedescompone con una frecuencia promedio de una vez cada dos horas. Se necesita unpromedio de 12 minutos para terminar una reparacin. Tanto el tiempo entredescomposturas como el tiempo de reparacin sigue una distribucin exponencial. AToolco le interesa determinar la cantidad de mecnicos necesarios para mantener el tallerfuncionando uniformemente. Calcular lo siguiente:

a) Calcule la cantidad esperada de clientes sin trabajo si R=4b) Calcule la probabilidad de que todos los mecnicos estn sin trabajo para R=3c) Calcule la probabilidad de que la mayora (ms de la mitad) de los mecnicos estn

sin trabajo para R=3

a) N de mecnicos sin trabajo=4(LsLq)=4(2.10.11) = 2.01

b) P0 = 0.10779

c) R = 3P(2 o 3 sin trabajo) = P0 + P1 = 0.34492


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FORMULA POLLACZEEK-KHINTCHINE (P-K)

(M/G/1) : (GD//)

Los modelos de cola en que las llegadas y las salidas no siguen la distribucin de poissonson complicados. En general, en esos casos se aconseja usar la simulacin como mtodoalternativo para analizarlos

Esta es una de las pocas colas que no son de poisson, para la cual se dispone deresultados. Es para el caso en el que el tiempo de servicio t se representa por unadistribucin de probabilidades con media E(t) y varianza var(t). Entre los resultados delmodelo estn las medidas bsicas de desempeo , , . El modelo noproporciona una ecuacin cerrada para debido a que no se puede manejar en formaanaltica.

Sea la frecuencia de llegadas a la instalacin con un servidor. Dada E(t) y var(t) de la

distribucin del tiempo de servicio, y como E(t)


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EJEMPLO 01

Layson Roofing Inc. instala techos de tejas en casas nuevas y viejas en Arkansas. Losclientes potenciales solicitan el servicio al azar a razn de nueve trabajos por mes de 30das y se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS.Los tamaos de las casas varan, pero es bastante razonable suponer que las reas deltecho estn uniformemente distribuidas entre 150 y 300 metros cuadrados. Por lo comn,la cuadrilla de trabajo puede completar 75 cuadrados al da. Determine lo siguiente:

a) Los trabajos de techado pendientes promedio de Layson. 9 30 0.3 /1 3.333 3 var 4

12 0.333

21 , < 10.33.333 0.33.333 0.33321 0.33.333 5.14

b) El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo detechado.

5.140.3 17.16 17 EJEMPLO 02

Un auto lavado puede atender un auto cada 12 minutos y la tasa media de llegadas es

de 9 autos/hora, = 2 min.Obtener las medidas de desempeo de acuerdo al modelo M/G/1, adems la probabilidadde tener cero clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tena que esperarpor el servicio. 912 0.75

260 0.033 21 90.033 0.75210.75 1.31


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1.31 0.75 2.06 0.145 8.7 1 0.228 13.7 1 0.25

0.75EJEMPLO 03

BDI Inc. Instala cmaras de seguridad en residenciales nuevas en Buenos Aires. Losclientes potenciales solicitan el servicio al azar a razn de 15 trabajos por mes de 30 dasy se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS. Los

tamaos de las casas varan, pero es bastante razonable suponer que en el permetrodonde habra que ubicar las cmaras uniformemente distribuidas estara entre 150 y 300metros cuadrados. Por lo comn, el equipo tcnico de instalacin puede completar 75cuadrados al da. Determine lo siguiente:

a) Los trabajos de instalacin pendientes promedio de BDI.

7 30 0.23 /

1 4.2863 4

var 412 0.333 21 , < 10.234 0.234 0.33321 0.234 6.32

b) El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo deinstalacin.

6.320.23 27.48 17


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CONCLUSIONES

Los modelos de colas implican siempre aproximaciones a la realidad y una

simplificacin de sta.

Los resultados permiten apreciar el orden de importancia, los cambios con

relacin a un punto de referencia y las tendencias ms probables.

Resultados "cerrados" limitados casi siempre a situaciones de estado

estacionario" y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para su

aplicacin a sistemas de nacimiento y muerte y de fase.

Proporciona algunas cotas tiles para sistemas ms generales en estado

estacionario.


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BIBLIOGRAFA

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Hamdy A. Taha _ INVESTIGACIN DE OPERACIONES_ 9edicin _ Hamdy A. Taha _Mxico _ Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. _ 2012

Eppen G.D._ INVESTIGACIN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA_ 5edicin _ Mxico _ PRENTICE-HALL _ 2000

Frederick S. Hillier _ MTODOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACIN _ 3edicin _ Mxico _ McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. _ 2008

http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020151198/1020151198.PDF

https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/5-teoria-de-colas.pdf

https://reader009.{domain}/reader009/html5/0322/5ab29186533a6/5ab291b72da5b.arcia/Lin


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ANEXOS

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