TEORIJA LINIJSKIH NOSA^A II · 2017. 8. 11. · Title: TEORIJA LINIJSKIH NOSA^A II Author: MICROSOFT Created Date: 10/19/2006 1:19:39 PM

Teorija linijskih nosa~a II 1. Uvod

1. UVOD

1.1. Predmet izu~avanja

Savremena analiza konstruktivnih sistema podrazumijeva upotrebu ra~unara i odgovaraju}ih softvera za prora~un i dimenzioniranje konstrukcija. Zadatak inìnjera konstruktera sastoji se u tome da napravi analizu optere}enja, osmisli model konstrukcije (sve ~e{}e trodimenzionalni) i unese ga u memoriju ra~unara. Nakon toga, dobivaju se rezultati prora~una na kompletnom modelu: presje~ne sile, pomjeranja, deformacije naponi, a ukoliko to èlimo i dimenzije popre~nih presjeka, odnosno koli~ine i raspored armature. Obzirom da su moderni softverski paketi za analizu konstrukcija opremljeni modulima pomo}u kojih se unos podataka obavlja grafi~ki na prili~no jednostavan na~in, ~ini se da je cijeli proces analize konstrukcije prili~no jednostavan i nije zahtijevan sa aspekta poznavanja teorije na kojoj se zasniva analiza konstrukcija.

Me|utim, u opisanom procesu analize konstrukcije mogu se dobiti pogre{ni rezultati, koji mogu biti posljedica gre{ke u analizi optere}enja, gre{ke u modeliranju (naj~e{}e) ili gre{ke u prora~unu. Obzirom da je za ta~nost rezultata prora~una uvijek odgovoran isklju~ivo projektant, pred projektanta se postavlja jako zahtijevan zadatak da provjeri ta~nost prora~una. Uz upotrebu ra~unara ovaj zadatak postaje jo{ teì, jer je sam prora~un van kontrole projektanta. To zna~i da projektant mora biti sposoban procijeniti ta~nost rezultata koji su dati na kompletnom (~esto i vrlo sloènom) modelu, a samo na osnovu ulaznih podataka. Jasno je da je za ovakav zadatak potrebno bolje razumijevanje pona{anja konstrukcije u odnosu na tradicionalni pristup gdje se sloèna konstrukcija rastavljala na niz jednostavnijih sistema koji su se ra~unali odvojeno.

Dakle, konstrukcije projektuju i analiziraju projektanti - konstrukteri, a ra~unari su sredstvo da se analiza sprovede kvalitetnije, jer je omogu}ena analiza vi{e varijanti konstruktivnih rje{enja i analiza uticaja pojedinih korekcija konstruktivnog sistema na rezultate prora~una. Pri tome, ovakva kvalitetna analiza podrazumijeva da projektant u potpunosti razumije pona{anje konstrukcije pod raznim uticajima i da u potpunosti vlada metodama koje se koriste u svim fazama analize.

U okviru predmeta Teorija linijskih nosa~a II prou~avaju se teoretske osnove i metode analize linijskih nosa~a kao deformabilnih sistema. Naime, za prora~un presje~nih sila i napona stati~ki odre|enih linijskih nosa~a, koji su izu~avani u okviru predmeta Teorija linijskih nosa~a I, uvjeti ravnoteè su bili dovoljni, tako da nije bilo potrebe uzimati deformabilnost nosa~a u obzir. Drugim rije~ima, takvi linijski sistemi su tretirani kao skup krutih tijela me|usobno povezanih krutim ili zglobnim vezama.

Naravno, ukoliko èlimo izra~unati pomjeranja stati~ki odre|enih nosa~a potrebno je {tapove takvog sistema tretirati kao deformabilna tijela. Dakle, prvi zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje pomjeranja i deformacija stati~ki odre|enih nosa~a.

Za razliku od stati~ki odre|enih nosa~a, raspodjela presje~nih sila stati~ki neodre|enih nosa~a ovisi o veli~ini deformacija, tako da je nemogu}e prora~unati presje~ne sile i napone nezavisno od deformacija. Stoga se pri prora~unu presje~nih sila moraju osim uvjeta ravnoteè koristiti i jedna~ine kojima je definirana veza izme|u napona i deformacija (konstitutivne jedna~ine), te jedna~ine kojima je definirana veza izme|u pomjeranja i deformacija (geometrijske ili kinematske jedna~ine). Postoji vi{e

1


metoda za rje{avanje stati~ki neodre|enih nosa~a, koje se u su{tini razlikuju prema na~inu rje{avanja pomenutih jedna~ina. U okviru ovog predmeta pokaza}e se metoda sila i metoda deformacija za rje{avanje stati~ki neodre|enih nosa~a podvrgnutih djelovanju optere}enja, slijeganju oslonaca, ravnomjernoj i neravnomjernoj promjeni temperature i prednaprezanju.

Ukratko cilj ovog predmeta je da studenti ovladaju teoretskim osnovama na kojima se baziraju metode za prora~un linijskih konstruktivnih elemenata, te da su u stanju primjenom ovih metoda rije{iti bilo kakav linijski sistem bez obzira na vrstu uticaja ili na zadate rubne uvjete.

Teoretske osnove i izvo|enja }e se pokazivati na {tapovima koji se nalaze u ravni radi jednostavnosti, a poslije }e se pro{iriti na linijske nosa~e koji se moraju analizirati trodimenzionalno.

1.2. Osnovne jedna~ine mehanike

Osnovni zadatak u mehanici jeste da se izra~unaju pomjeranja nekog deformabilnog sistema uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Vanjski uticaji mogu biti: optere}enja, zadata pomjeranja pojedinih ta~aka ili temperaturne promjene. Svi ovi uticaji su mjerljivi i smatraju se poznatim prije po~etka prora~una. Pomjeranja sistema su nepoznate veli~ine i zadatak je da se za date rubne uvjete izra~unaju pomjeranja. Direktna veza izme|u vanjskih uticaja i rezultiraju}ih pomjeranja ne postoji, pa se uspostavlja posredna veza uvo|enjem novih nepoznatih veli~ina: napona i deformacija. Svaki mehani~ki problem se matematski moè opisati pomo}u tri seta diferencijalnih jedna~ina kojima se uspostavlja veza izme|u poznatih vanjskih uticaja i nepoznatih napona, deformacija i pomjeranja. U ovom dijelu }e se pokazati oblik tih jedna~ina za op{ti problem u mehanici, bez izvo|enja. Sve ove jedna~ine kao i kori{teni pojmovi su detaljno obja{njeni u predmetu Otpornost materijala [ ]4 .

Jasno, da bi se diferencijalne jedna~ine rije{ile, potrebno je zadati i rubne uvjete. Pod rubnim uvjetima se podrazumijevaju unaprijed zadate vrijednosti pomjeranja ili napona u pojedinim ta~kama sistema. Stoga se ~esto u literaturi mehani~ki problemi nazivaju i problemi rubnih vrijednosti u mehanici.

JEDNAÎNE RAVNOTE@E

Diferencijalne jedna~ine ravnoteè se dobivaju iz uvjeta da je vektorski zbir svih sila koje djeluju na infinitezimalni segment (kvadar) nekog tijela jednak nuli.

∇⋅ + =σ b 0 (1.1)

ili u razvijenom obliku:

0

0

0

xyx xzx

xy xy yzy

yzxz zz

bx y z

bx y z

bx y z

τσ τ

τ σ τ

ττ σ

∂∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

2


gdje je b vektor zapreminskih sila koje djeluju na infinitezimalni kvadar.

Uvjet ravnoteè se moè postaviti i u integralnom obliku, pomo}u principa virtualnih radova (Mehanika II) ili na osnovu razmatranja energetskih uvjeta ravnoteè, {to }e, za {tapne elemente, biti pokazano kasnije.

KONSTITUTIVNE JEDNAÎNE

Konstitutivnim jedna~inama se uspostavlja veza izme|u napona i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u napona i deformacija se predstavlja jedna~inom:

( )o= ⋅ −σ C ε ε (1.2)

U gornjoj jedna~ini σ je tenzor napona, je ukupni tenzor deformacija, je tenzor tzv. po~etnih deformacija i C je konstitutivni tenzor. Konstitutivnim tenzorom se definiraju fizi~ke osobine materijala. U najop{tijem slu~aju, ovo je tenzor ~etvrtog reda, definiran 81 parametrom, jer tenzori napona i deformacija imaju po 9 parametara. Me|utim, uvo|enjem pretpostavke da je materijal homogen, izotropan i linearno elasti~an, broj potrebnih parametara za definiranje ovog tenzora se definira na dva. Po{to su tenzori napona i deformacija simetri~ni, mogu se prikazati kao vektori sa {est ~lanova a, u skladu s tim, konstitutivni tenzor kao matrica dimenzija 6x6. Parametri kojima se definira tenzor mogu biti:

ε oε

E i ν - Young-ov modul elasti~nosti i Poisson-ov koeficijent

K i G - zapreminski i smi~u}i modul

λ i µ - Lame-ovi koeficijenti

Me|usobne veze izme|u ovih koeficijenata su date u Tabeli 1.1.

K,G E,ν λ,µ

K= K ( )3 1 2E

ν− 23λ µ+

G= G ( )2 1E

ν+ µ

E= 93

KGK G+ E ( )3 2µ λ µ

λ µ+

+

ν= ( )33 22 K G

K G+

− ν ( )2 λ µλ+

λ= 23K G− ( )( )1 1 2

Eνν ν+ − λ

µ= G ( )2 1E

ν+ µ

Tabela 1.1. - Zavisnost uobi~ajenih parametara elasti~nosti

Prema tome veza izme|u napona i deformacija za linearno elasti~no pona{anje, ukoliko nema po~etnih deformacija, se moè napisati kao:

3


( )( ) 1

21212

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 0 0 1 2 0 01 1 20 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

E

σ εν ν νσ εν ν νσ εν ν ντ γνν ντ γντ γν

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(1.3)

Pojam po~etnih deformacija je vezan za one deformacija koje se javljaju bez pojave napona. Tipi~an uzrok pojave ovakvih deformacija jeste promjena temperature, gdje se naponi javljaju jedino ako je deformacija sprije~ena. Na slici 1.1a) uslijed ravnomjernog zagrijavanja ta~ka B }e se pomjeriti udesno i svaka ta~ka {tapa }e imati aksijalnu deformaciju, a naponi }e, prema jedna~ini (1.2) biti jednaki nuli. Ukoliko se pomjeranje ta~ke B sprije~i, uslijed ravnomjernog zagrijavanja }e se pojaviti aksijalni naponi pritiska, a deformacija }e biti jednaka nuli.

a) ∆t>0, ε=εo, σ=0

b) ∆t>0, ε=0, σ=-Eεo

Slika 1.1. Deformacije i naponi uslijed ravnomjerne promjene temperature

GEOMETRIJSKE JEDNAÎNE

Geometrijske jedna~ine predstavljaju vezu izme|u pomjeranja i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u pomjeranja i deformacija je data slijede}om jedna~inom:

(12

T= ∇ + ∇ε u u ) (1.4)

gdje je:

u u ux y z

v v vx y z

w w wx y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎢ ⎥

∇ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

u ;

u, v i w su komponente pomjeranja u pravcu osovina x, y i z, respektivno

Iz jedna~ine (1.3) dobivamo:

;

;

;

x xy yx

y yz zy

z xz zx

u u vx y xv vy zw uz z

ε γ γ

ε γ γ

ε γ γ

∂ ∂= = = +

∂ ∂∂ ∂

= = = +∂ ∂∂ ∂

= = = +∂ ∂

wywx

∂∂∂∂∂∂

4


Napominje se da ovako definirana veza izme|u deformacija i pomjeranja zna~i da je svaka deformacija uzrokovana nekim pomjeranjem, ali svako pomjeranje ne mora uzrokovati deformaciju. Pomjeranja koja ne uzrokuju nikakvu deformaciju (niti napone) nazivaju se kinematska pomjeranja ili pomjeranja krutog tijela (rotacija i/ili translacija). Na slici 1.2. dio A-C se pomjera i deformi{e, a dio C-B se samo pomjera - translatira. Jasno, na dijelu AC postoje aksijalni naponi, a na dijelu C-B ne.

C BA

Slika 1.2. Pomjeranje sa deformacijom i kinematsko pomjeranje

Dakle, veze izme|u pojedinih veli~ina koje se koriste u analizi problema mehanike mogu se {ematski prikazati kao na slici 1.3.

ravnoteža

Zproces uticaja.elemenmehanikomple

Mkoje omlinearna

Vanjskiuticaji

Slika 1.3. [em

a najve}i broj problema u i na}i eksplicitno rje{enje, Razvojem ra~unara i nuata, stvorena je mogu}nost ci. Jedini ograni~avaju}i fakksne probleme moè biti jako

e|utim, za razli~ite tipove pogu}uju analiti~ko rje{avan analiza linijskih konstruktivn

naponi

a rje{avanja

mehanici ntj. direktnu meri~kih mnumeri~kog tor jeste odre zahtijevan za

roblema, moje tih probleih elemenata

konstitutivne jednačine

problema mehanik

ije mogu}e analitivezu izme|u pometoda, posebno mrje{avanja gotovo |ivanje ulaznih pdatak.

gu}e je uvesti odrema. Jedan od takv.

deformacije

e

~j

|

pomjeranja

ki sprovesti ovaj eranja i vanjskih etode kona~nih

svih problema u arametara, {to za

ene pretpostavke ih problema jeste

5

Teorija linijskih nosa~a II 2. Teorija {tapa

2. TEORIJA [TAPA

2.1. Definicija {tapa

Svaka realna konstrukcija zauzima neku zapreminu u prostoru i strogo govore}i svaki konstruktivni element je trodimenzionalan. Savremena nau~na dostignu}a omogu}avaju da se svaki konstruktivni element i kompletna konstrukcija modelira pomo}u trodimenzionalnih elemenata. Me|utim, radi niza tehni~kih pote{ko}a, a ponajprije radi jako oteàne kontrole i pra}enja rezultata, ovakvi modeli se ne koriste pri analizi konstrukcija. U cilju dobivanja {to jednostavnijeg1 matematskog modela za analizu, za razne elemente se uvode razli~ite pretpostavke na osnovu kojih se razvijaju metode rje{avanja tih elemenata. Osnovna podjela vezana je za dimenzije konstruktivnih elemenata. Elementi kod kojih na pona{anje uti~u sve tri dimenzije se koriste pri prora~unu brana, nasutih objekata, za modeliranje tla pri analizi temeljnih plo~a itd. Ukoliko je jedna dimenzija zanemarljiva u odnosu na druge dvije, tada se radi o povr{inskim elementima: plo~e, ljuske, zidovi itd. Analiza ovakvih elemenata se prou~ava u predmetu Teorije povr{inskih nosa~a.

Materijalno tijelo ~ije su dvije dimenzije zanemarljivo male u odnosu na tre}u naziva se {tap. Ovakvim elementima modeliramo stubove, grede, zatege, spregove itd. [tapovima se mogu modelirati i plo~e ili zidovi kod kojih jedna dimenzija nema uticaja na rezultate. Na slici 2.1. prikazana je plo~a oslonjena na dva zida i model proste grede kojim se dobivaju uticaju po metru du`nom {irine plo~e.

Slika 2.1. P o~a i linijski model plo~e l

[tap je ograni~en omota~em Γ i bo~nim plohama Aj i Ak. Prema definiciji {tapa,

veli~ina bo~nih ploha je zanemarljiva u odnosu na povr{inu omota~a. Pri analizi konstrukcija {tapovi se zamjenjuju linijama koje predstavljaju osovinu {tapa. Osovina {tapa je linija koja povezuje teì{ta j i k ploha Aj i Ak i prolazi kroz teì{te svakog popre~nog presjeka - Slika 2.2. Ta~ke j i k nazivaju se ~vorovi {tapa.

Pri analizi konstruktivnih sistema, uticaji na {tapu se prikazuju u lokalnom koordinatnom sistemu {tapa. Lokalni koordinatni sistem {tapa je ustvari prirodni koordinatni sistem, gdje je osovina x uvijek u pravcu tangente na {tap, a druge dvije 1 Osnovni princip modeliranja konstrukcija jeste da se sa~ini najjednostavniji model koji daje dovoljno dobre rezultate za dimenzioniranje konstrukcije.

6


osovine su u pravcu glavnih osa inercije popre~nog presjeka u posmatranoj ta~ci. Ukoliko se radi o pravom {tapu tada se za kompletan {tap definira jedan lokalni koordinatni sistem, a za krivi {tap definira se lokalni sistem u svakoj ta~ci {tapa.

omotač Γ

osovina {tapa

Aj j

Ak

k

Slika 2.2. Elementi {tapa

Osovina {tapa moè biti prava i kriva. Jasno analiza pravolinijskih {tapova je jednostavnija. Pretpostavlja se da svako optere}enje djeluje u osovini {tapa. [tap moè imati ili konstantan ili promjenljiv popre~ni presjek. Osim toga, osovina {tapa moè leàti u jednoj ravni (ravan {tapa). U daljem tekstu razmatra}e se isklju~ivo ovakvi {tapovi.

2.2. Osnovne pretpostavke Osim pretpostavki koje proizilaze iz definicije {tapa, u razvoju linearne teorije

{tapa, koja je predmet ovog kursa, uvode se slijede}e pretpostavke: a. Materijal od kojeg su napravljeni {tapovi se pona{a po Hook-ovom zakonu,

odnosno idealno elasti~no, {to zna~i da je veza izme|u napona i deformacija definirana jedna~inom (1.4)

b. Pomjeranja su mala, tako da se uvjeti ravnoteè postavljaju pod pretpostavkom da optere}enje djeluje na nedeformisanom {tapu

c. Na {tapove djeluje stati~ko optere}enje, tj. optere}enje se nanosi tako sporo da se ne mogu javiti inercijalne sile

d. Deformacije su male, {to za posljedicu ima linearnu vezu izme|u deformacija i pomjeranja

e. Bernoulli-jeva hipoteza: ravni presjeci okomiti na osovinu grede ostaju ravni i okomiti na osovinu i nakon deformacije

Jasno je da nijedna od ovih pretpostavki kod realnih gra|evinskih konstrukcija

nije zadovoljena, ali se smatra da gre{ke koje nastaju njihovim uvo|enjem zanemarljive. S druge strane, uvo|enje ovih pretpostavki omogu}ava da se naponi, deformacije i pomjeranja jednozna~no analiti~ki sra~unaju na osnovu zadatih vanjskih uticaja, karakteristika materijala i popre~nih presjeka, te geometrije konstruktivnog sistema.

U narednim poglavljima }e se pokazati izvo|enje osnovnih jedna~ina mehanike uzimaju}i u obzir gornje pretpostavke. Treba naglasiti da uvedene pretpostavke obezbje|uju linearnost prora~una {to za posljedicu ima da vaì zakon superpozicije, tj. uticaji od vi{e optere}enja na konstrukciju su jednaki zbiru uticaja od svakog optere}enja koje djeluju pojedina~no na istu konstrukciju.

7


2.3. Vanjske i unutra{nje sile

Osnovna svrha konstrukcija jeste da prenesu vanjsko optere}enje na tlo. Vanjske sile uvijek djeluju ili na nekoj povr{ini (snijeg, vjetar, korisna optere}enja itd.) ili kao zapreminske (sopstvena teìna). Jasno, kada analiziramo linijski model potrebno je u okviru analize optere}enja svesti realna optere}enja na modelirana optere}enja koja se mogu aplicirati na linijske sisteme — linijska raspodjeljena optere}enja i koncentrisane sile i momente. Ponegdje u literaturi se moè na}i i raspodjeljeni momenti, ali takvo optere}enje se realno ne moè pojaviti, te ga ovdje ne}emo razmatrati.

Analiza optere}enja je po~etni korak pri svakoj analizi konstrukcija, koji po~inje tako da se identificiraju svi slu~ajevi optere}enja. Pod pojmom slu~aj optere}enja podrazumijeva se sistem vanjskih sila ili uticaja koji na konstrukciju djeluju istovremeno. Ukoliko se modelira kompletna konstrukcija sa povr{inskim elementima koji primaju optere}enje, tada je analiza optere}enja relativno jednostavna, jer se raspodjela optere}enja na linijske nosa~e ra~una softverski prema deformacijama metodom kona~nih elemenata. U tabeli 2.1. je pokazan primjer analize optere}enja za krovnu plo~u, ~ija je dispozicija pokazana na slici 2.3. Plo~a je oslonjena na ramove koji se prostiru u oba pravca, s tim da je na jednoj strani plo~a konzolno prepu{tena.

A B

2

1

Lk Lx

Ly

Slika 2.3. Dispozicija k ovne plo~e sa {emom raspodjele optere}enja r opis slojeva debljina γ g m kN/m3 kN/m2

A)STALNO OPTERE]ENJE 1 asfalt 0.035 22 0.77 2 estrih 0.085 22 1.87 3 hidroizolacija 0.01 10 0.10 4 stiropor 0.055 1 0.06 5 hidroizolacija 0.004 10 0.04 6 nagibni beton 0.0925 24 2.22 7 armiranobetonska plo~a 0.20 25 5.0

STALNO OPTERE]ENJE p= 12.56 B)KORISNO OPTERE]ENJE

korisno optere}enje za garaè i parkirne povr{ine, prema JUS U.C7.121 2.50

KORISNO OPTERE]ENJE pk= 2.50 Tabela 2.1. - Primjer analize optere}enja

8


Ukoliko se konstrukcija modelira i ra~una tako da se posebno ra~una plo~a, a posebno ramovi, tada je za prora~un ramova potrebno izvr{iti dodatnu analizu optere}enja kojom bi se odredilo optere}enje koje djeluje na ram kao linijski model. Ukoliko plo~a ima oslonce u oba pravca, pretpostavlja se da ne jednu gredu otpada optere}enje sa povr{ine ome|ene pravcima koji se pod uglom od 45o povla~e iz uglova plo~e. Konkretno za primjer pokazan na slici 2.3. prora~unski modeli sa odgovaraju}im optere}enjem su po azani na slici 2.4.

RAM A: RAM B: / 2yl= ⋅q p

1 / 2yq p l= ⋅

RAMOVI 1 i

Slika 2.4. St

Ramovi A i kompletno optere}e

Pojedina opseizmi~ka optere}eposebnim analizam

2.4. Jedna~in

O~igledno jeTo zna~i da bi za napadne ta~ke vekkonfiguraciju, jer jpomjeranja mala u

k

2 Kq p l= ⋅

2 / 2Yq p l= ⋅

ati~ke {eme i optere}enja li

B se me|usobno razlikuju nje od konzolnog dijela pl

tere}enja zahtijevaju sloènja i optere}enja vjetroma, ~ije su osnove i potrebni

e ravnoteè

da optere}enje uvijek djeta~no postavljanje jedna~itora vanjskog optere}enja pe do{lo do njihovog pom odnosu na duìnu {tapa ({

nijskih modela za primjer sa slike 6.

po optere}enju, jer se na ram B prenosi i o~e.

niju analizu. Ovo se posebno odnosi na , gdje se vrijednost vanjskih sila dobiva ulazni podaci dati posebnim propisama.

luje na deformisanu konfiguraciju {tapa. na ravnoteè trebalo uzeti u obzir da su romijenile poloàj u odnosu na po~etnu jeranja. Me|utim, u slu~aju kada su

to naj~e{}e jeste slu~aj kod gra|evinskih

9


konstrukcija) ovi uticaji se mogu zanemariti. Za neke tipove konstrukcija, a posebno za neke konstruktivne elemente, ovi uticaji se ne mogu zanemariti i potrebno je uvjete ravnoteè postaviti na deformisanoj konstrukciji. Teorija bazirana na ovakvim uvjetima ravnoteè naziva se Teorija II reda i ona }e se pokazati u predmetu Teorija stabilnosti.

Pri postavljanju uvjeta ravnoteè koristi se jedna~ina (1.1), uzimaju}i u obzir definiciju {tapa. Dakle, ravnoteà se postavlja na osovini nedeformisanog {tapa infinitezimalne duìne (jedna~ina (1.1) vaì za kvadar), a naponi koji djeluju u popre~nim presjecima (presjeci okomiti na os {tapa) na krajevima posmatranog segmenta se zamjenjuju silama koje se dobivaju redukcijom napona na teì{te tih popre~nih presjeka, odnosno osovinu {tapa. Ovako dobivene sile nazivaju se presje~ne ili unutra{nje sile i u op{tem slu~aju ih ima {est:

1. Normalna sila jednaka sumi normalnih napona koje djeluju na presjek

xA

N σ= dA∫ (2.1)

2. Transverzalna sila u ravni {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku u ravni {tapa

y xyA

T τ= dA∫ (2.2)

3. Transverzalna sila okomito na ravan {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku okomito na ravan {tapa

z xzA

T τ= dA∫ (2.3)

4. Momenat torzije jednak momentu kojeg smi~u}i naponi prave oko osovine x prirodnog koordinatnog sistema

( )x xz xyA

M y z dτ τ= +∫ A (2.4)

5. Momenat savijanja oko osovine koja je u ravni {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine y (osovina u ravni {tapa okomita na osovinu x) prirodnog koordinatnog sistema

y xA

M z dAσ= ∫ (2.5)

6. Momenat savijanja oko osovine koja je okomita na ravan {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine z (osovina okomita na ravan {tapa) prirodnog koordinatnog sistema

zA

xM y dAσ= −∫ (2.6)

Bitno je napomenuti da tenzor napona na popre~nom presjeku {tapa ima samo tri komponente razli~ite od nule: , ,x xy xzσ τ τ . Ukoliko se {tap presije~e nekom ravni koja

nije okomita na osovinu {tapa tenzor napona moè imati sve komponente razli~ite od nule. Jasno, pri rje{avanju linijskih sistema koriste se samo popre~ni presjeci.

Ukoliko je {tap optere}en optere}enjem koje djeluje samo u ravni {tapa, tada nema smi~u}ih napona xzτ , a normalni naponi xσ i smi~u}i naponi xyτ su simetri~ni u

10


odnosu na osovinu y, tako da su integrali u jedna~inama (2.3) - (2.5) jednaki nuli. Tada postoje samo dvije presje~ne sile u ravni {tapa i jedan momenat savijanja okomit na ravan {tapa. Radi jednostavnosti izvo|enje uvjeta ravnoteè je pokazano za {tap koji je optere}en u svojoj ravni. Na slici 2.5. je prikazan beskona~no mali segment duìne ds, sa radijusom zakrivljenosti R, optere}en u ravni rezultantama pripadaju}eg okomitog i uzdu`nog optere}enja. Lokalni koordinatni sistem }emo postaviti na lijevi kraj segmenta, tako da je osa x tangenta na segment u ta~ci j.

pyds

y

Ty+dTy

pxds k

j

Mz+dMz

dα

Mz

RNx

Ty

x

Nx+dNx

Slika 2.5. Ravnoteà infinitezimalnog segmenta {tapa u ravni

Jedna~ine ravnoteè se jednostavno dobivaju postavljanjem tri uvjeta ravnoteè. Pri tome treba uzeti u obzir da se radi o infinitezimalnom segmentu, odnosno da:

0 sin cosd d d i d 1α α α α→ ⇒ = = .

( )0 : 0x x x y y x yx N N dN T d dT d p ds p dsdα α α= − + + + + + + =∑

Zanemarivanjem infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda dobiva se:

0x y xdN T d p dsα− + = , a dijeljenjem sa ds i uzimaju}i ds Rdα= dobivamo:

0yxx

TdN pds R

+ + = (2.7)

( )0 : 0y y y x x y xy T T dT N d dN d p ds p dsdα α α= − + + − − − + =∑

Odnosno koriste}i isti postupak:

0y xy

dT N pds R

− − = (2.8)

11


( ) 20 : / 2 0k y z z z x yM T ds M M dM N dsd p dsα= − + − + − − =∑

0zy

dM Tds

+ = (2.9)

Ukoliko se radi o pravom {tapu, gornji izrazi postaju jo{ jednostavniji:

0

;

0

xx

yy

zy

dN pdx

dTR ds dx p

dxdM Tdx

⎧

0

+ =⎪⎪⎪→ ∞ = ⇒ − =⎨⎪⎪ + =⎪⎩

(2.10)

Koriste}i iste principe, mogu se izvesti i diferencijalne jedna~ine ravnoteè za {tap u ravni, koji je optere}en i optere}enjem koje je okomito na ravan {tapa. U tom slu~aju javljaju se i transverzalne sile okomite na ravan {tapa i momenat u ravni {tapa okomit na os {tapa.

0zz

dT pds

− = (2.11)

0yz

dMT

ds+ = (2.12)

Gornjim izrazima date su diferencijalne veze za sve presje~ne sile {tapa u ravni osim momenta torzije. Moment torzije se jedino moè javiti uslijed vanjskog momenta torzije, koji moè djelovati kontinuirano du` {tapa (npr. ispust sa jedne strane du` grede). Teoretski i ostala dva momenta se mogu zadati kao kontinuirano optere}enje {to bi pro{irilo jedna~ine (2.9) i (2.12) dodatnim ~lanom. Me|utim, u praksi se takvo optere}enje ne moè javiti. Dakle za moment torzije se moè napisati:

0xx

dM mds

− = (2.13)

gdje je mx raspodijeljeni moment torzije koji djeluje po duìni {tapa.

Jedna~ine ravnoteè se mogu postaviti i u globalnom - fiksnom koordinatnom sistemu, ~ime se dobivaju veze izme|u vertikalnih i horizontalnih sila u {tapu bez obzira na geometriju i poloàj {tapa. Ove veze se u principu ne koriste pri analizi konstrukcija, jer se dimenzioniranje popre~nih presjeka {tapova vr{i uvijek na osnovu sila dobivenih u prirodnom koordinatnom sistemu. Posmatrajmo isti segment osi krivog {tapa postavljaju}i optere}enje i presje~ne sile u pravcu osovina globalnog koordinatnog sistema.

12


VH

RM

dα

M+dM

H+dH

V+dV

PYdX

PXdY

X

Y

k j

dY

dX

Slika 2.6. Ravnoteà infinitezimalnog segmenta u globalnom koordinatnom sistemu

( )0 : 0XX H H dH P dY= − + + + =∑

0XdH PdY

+ = (2.14)

( )0 : 0YY V V dV P dX= − + − =∑

0YdV PdX

− = (2.15)

( ) 2 20 : / 2 / 2 0K XM M M dM HdY VdX P dY P dX= − + − − + + =∑ Y

0dM HdY VdX+ + = (2.16)

Jasno, ako je {tap prav i horizontalan tada je V ; ; ;y x 0T H N dX ds dY= = = =

pa jedna~ine (2.14)-(2.16) i (2.7)-(2.9) postaju identi~ne.

Ukoliko neki elasti~ni linijski sistem ima dovoljno rubnih uvjeta2 koji su izraèni preko sila, tada se gornje diferencijalne jedna~ine ravnoteè mogu rije{iti neovisno od ostalih jedna~ina i tada govorimo o stati~ki odre|enim sistemima. Naravno, poznato je da se sile i naponi na stati~ki odre|enim nosa~ima ne ra~unaju rje{avanjem diferencijalnih jedna~ina. Me|utim, treba primijetiti da se u principu koriste isti uvjeti ravnoteè, a jedina je razlika {to se oni postavljaju na segmentima {tapa ili segmentima konstrukcije kona~ne veli~ine, umjesto na beskona~no malim segmentima, kako je ovdje pokazano. Rubni uvjeti za sile ustvari su uvjeti ravnoteè iz kojih nalazimo reakcije stati~ki odre|enih nosa~a.

2 Rubni uvjeti izraèni preko sila su ustvari ta~ke gdje unaprijed znamo kolika }e biti sila bez obzira na optere}enje (slobodni kraj, zglob, nulto polje za transverzalnu silu itd.). Rubni uvjeti za pomjeranja su ta~ke gdje unaprijed znamo veli~inu pomjeranja (oslonci).

13


2.5. Geometrijske ili kinematske jedna~ine

Ovim jedna~inama se uspostavlja geometrijska veza izme|u pomjeranja i deformacija i one ne zavise niti od optere}enja niti od vrste materijala od kojeg je {tap napravljen. Drugim rije~ima, ove jedna~ine se dobivaju samo geometrijskim razmatranjima.

Zahvaljuju}i Bernoulli-jevoj hipotezi o ravnim presjecima, pomjeranja svih ta~aka u bilo kojem popre~nom presjeku se mogu definirati preko pomjeranja i uglova zaokreta osovine {tapa. Ukoliko se {tap i optere}enje nalaze u ravni, pomjeranje bilo koje ta~ke {tapa se moè definirati preko dva pomjeranja i ugla zaokreta oko osovine koja je okomita na ravan {tapa. U slu~aju da je {tap optere}en optere}enjem izvan ravni {tapa, tada se, u op}em slu~aju, za definiranje pomjeranja svih ta~aka koriste tri pomjeranja i tri ugla zaokreta oko tri osovine koordinatnog sistema. Iz Otpornosti materijala je poznato da je ova hipoteza ta~na samo za prizmati~ne {tapove optere}ene ~istim savijanjem. Ukoliko postoje i transverzalne sile dolazi do vitoperenja presjeka i presjeci vi{e nisu ravni, ali ovaj uticaj na deformaciju {tapa je mali i moè se zanemariti.

GLOBALNI I LOKALNI KOORDINATNI SISTEM

Pri analizi nekog linijskog konstruktivnog sistema potrebno je odrediti pomjeranja i napone u svim ta~kama sistema. Da bi se pojednostavio prora~un, svaka metoda podrazumijeva da se sistem diskretizira na kona~an broj {tapova, koji se me|usobno povezani u ~vorovima. Na jednom sistemu se moè definirati proizvoljan broj ~vorova i {tapova, ali se obi~no ~vorovi definiraju na mjestima gdje se o~ekuje diskontinuitet funkcije pomjeranja ili unutra{njih sila. Jasno je da se poloàj ~vorova, a time i {tapova, u prostoru mora definirati u jedinstvenom koordinatnom sistemu, koji se naziva globalni koordinatni sistem. Pomjeranja ~vorova konstrukcije se, tako|er, ra~unaju u globalnom koordinatnom sistemu. S druge strane, vidjeli smo da se deformacije, sile i naponi u {tapovima ra~unaju se u lokalnom koordinatnom sistemu svakog {tapa. Lokalni koordinatni sistem je ustvari prirodni koordinatni sistem, ~ije je ishodi{te uvijek u promatranoj ta~ci, a jedna osovina u pravcu tangente na {tap. To zna~i da zakrivljeni {tapovi imaju druga~iji (zarotiran) koordinatni sistem u svakoj ta~ci {tapa. Da bi se sprovela kompletna opisana procedura prora~una, potrebno je uspostaviti vezu izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema. Obzirom da se radi o dva pravougla koordinatna sistema, koji su zarotirani jedan u odnosu na drugi, problem se svodi na to da se vektor pomjeranja (ili bilo koji drugi vektor) dat u globalnom koordinatnom sistemu prikaè u lokalnom i obrnuto.

Posmatrajmo neki vektor u ravni prikazan na slici 2.7. Ozna~imo ga sa , a sa i njegove projekcije u globalnom koordinatnom sistemu. Sa u , odnosno i

}emo ozna~iti vektor u lokalnom koordinatnom sistemu. Neka je lokalni koordinatni sistem zarotiran za ugao α u odnosu na globalni, od ose X prema osi Y, tj. u pravcu kazaljke na satu.

uXu Yu e

xu yu

14


Y

u

α uX

uY

ux

uy

x

X

y

Slika 2.7. Veza izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema

Sa slike 2.7. je vidljivo da je:

sin cos cos sincos sin sin cos

X y x xX

yYY y x

u u u uuuuu u u

α α α αα α α α

= − + ⎫ − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= + ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎭

eu T u (2.17)

Iz jedna~ine (2.17) lako se moè dobiti obrnuta veza :

1cos sin cos sincos sin sin cos

x X Y x X

yy Y X Y

u u u u uuu u u u

α α α αα α α α

−= + ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎭

eu T u (2.18)

Iz jedna~ina (2.17) i (2.18) vidljivo je da se komponente vektora u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu povezane preko tzv. matrice transformacija, koja je ortogonalna (inverzna matrica je jednaka transponovanoj), tj.

1 T− =T T (2.19)

DEFORMACIJE I POMJERANJA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

dX+duX

ds*

ds

uX+duX

uY+duY

M'

N'

N

dY uY uX

dY+duY

X dX

M

Slika 2.8. Deformacija osovine {tapa

15


Na slici 2.8. je prikazan infinitezimalni dio deformirane osi {tapa MN ~ija je prvobitna duìna iznosila ds. Po{to se radi o infinitezimalnoj duìni luka, ova duìna se smatra jednakom duìni tetive MN , koja sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema zaklapa ugao α . Projekcije tetive na osi globalnog koordinatnog sistema su dX i dY. Uslijed djelovanja vanjskih uticaja, osovina {tapa se deformirala i pomjerila u poloàj ' 'M N . Vektor pomjeranja ta~ke M ozna~imo sa , a ta~ke N sa , pri ~emu }emo oba vektora prikazati u globalnom koordinatnom sistemu:

.

u +u du

X X

Y Y

X

Y

dui

du+⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎩ ⎭ ⎩ ⎭u u du

u uu u

Deformirana duìna posmatranog luka sada iznosi:

( )*' ' 1M N ds ds ds ds ds dε ε= = + ∆ = + = + s

gdje je ε podu`na deformacija ili dilatacija, odnosno promjena duìne luka.

Recimo da novi poloàj tetive zaklapa ugao α ϕ+ u odnosu na X osovinu globalnog koordinatnog sistema. Sa slike 2.8. vidljivo je da moèmo napisati slijede}u vektorsku jedna~inu:

( ) *+ + = +ds u du u ds (2.20)

Projektuju}i ovu jedna~inu na X i Y osu dobivamo:

( ) ( )( ) ( )

1 cos

1 sinX X X

Y Y Y

dX u du u ds

dY u du u ds

ε α ϕ

ε α ϕ

+ + = + + +

+ + = + + + (2.21)

odnosno:

( ) ( )( ) ( )

1 cos

1 sinX

Y

dX du ds

dY du ds

ε α ϕ

ε α ϕ

+ = + +

+ = + + (2.22)

U jedna~ini (2.22) i su pomjeranja, a Xu Yu ε je ~isto deformaciona veli~ina. Ugao ϕ nije ~isto deformaciona veli~ina, jer se moè pojaviti i tamo gdje se element ne deformi{e. Uvo|enjem pretpostavke o malim deformacijama, koja je opravdana za mnoge probleme u teoriji konstrukcija, jedna~ina (2.22) se moè pojednostaviti. Naime, ukoliko pretpostavimo: 0; 0 cos 1; sinε ϕ ϕ ϕ ϕ→ → ⇒ = = , imamo:

( )( )

cos cos sin

sin sin cos

α ϕ α ϕ α

α ϕ α ϕ

+ = −

+ = + α

Ubacivanjem ovih jedna~ina u jedna~inu (2.22) dobivamo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 cos sin sin cos sin

1 sin cos cos sin cosX

Y

dX du ds dX ds ds

dY du ds dY ds ds

ε α ϕ α ϕ α ε α ϕ α

ε α ϕ α ϕ α ε α ϕ α

+ = + + = − + −

+ = + + = + + +

16


Zanemaruju}i proizvode infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda ( ) , iz

gornje jedna~ine dobivamo:

0dsεϕ →

cos sinsin cos

X

Y

du ds dsdu ds ds

ε α ϕ αε α ϕ α

= −= +

(2.23)

odnosno:

cos sinsin cos

X

Y

du dsds

du dsα α ε εα α ϕ ϕ

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭du T

⎧ ⎫=

⎩ ⎭ (2.24)

Uvode}i da je cosdX ds α= i sindY ds α= jedna~ina (2.23) se moè napisati kao:

X

Y

du dX dYdu dY dX

ε ϕε ϕ

= −= +

(2.25)

Jedna~inom (2.24) je data veza izme|u pomjeranja i deformacija osovine {tapa. Ova veza je predstavljena linearnim diferencijalnim jedna~inama. Podsje}amo da bi ove jedna~ine bile nelinearne da se nije koristila pretpostavka o malim deformacijama. Ukoliko se radi o pravom {tapu ~ija se osovina poklapa sa osom X ( ili 0dY = 0α = ) jedna~ine (2.25) postaju:

XX

YY

dudu dXdXdudu dXdY

ε ε

ϕ ϕ

= ⇒ =

= ⇒ = (2.26)

DEFORMACIJE I POMJERANJA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

Veza izme|u deformacija i pomjeranja se moè prikazati i u lokalnom koordinatnom sistemu. Ukoliko se radi o pravom {tapu uspostavljanje ove veze je jednostavno, jer se pomjeranja i po~etne i krajnje ta~ke infinitezimalnog luka prikazuju u istom lokalnom koordinatnom sistemu, koji je zarotiran za ugao α , gdje je α ugao koji {tap zaklapa sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema. U tom slu~aju }emo iskoristiti jedna~ine (2.17) i (2.24):

dsds⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==ϕε

ϕε ee duTTdudu

odnosno: dsdudsdu yx ϕε == ; (2.27)

Ukoliko se radi o zakrivljenom {tapu izvo|enje ove veze je utoliko komplikovanije, jer je kod zakrivljene osovine {tapa lokalni koordinatni sistem na kraju elementarnog luka zarotiran u odnosu na koordinatni sistem u po~etnoj ta~ci. Problem je u tome {to se pomjeranja u po~etnoj i krajnjoj ta~ci daju u razli~itim koordinatnim sistemima. Na slici 2.9. je prikazan isti elementarni luk kao na slici 2.8, s tim da su pomjeranja prikazana u prirodnom koordinatnom sistemu. Po{to je {tap zakrivljen koordinatni sistem u krajnjoj ta~ci je zarotiran za ugao dα u odnosu na onaj u po~etnoj

17


ta~ci M. Dakle, pomjeranje ta~ke M je dato u koordinatnom sistemu xMy i ozna~it }emo ga sa , a pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu xNy : e

x x

y

dudu

u

;N

x

y y

u uu u

+⎧ ⎫ ⎧= = + =

⎫⎨ ⎬ ⎨ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

e e eu u u du ⎬

d

(2.28)

U skladu sa jedna~inom (2.17), uzimaju}i u obzir da je sistem xNy zarotiran za α u odnosu na xMy, moèmo izraziti pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu

xMy.

cos sinsin cos

Mx x x x

y y y y

u du u dud du du u dud d

α αα α

+ +−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤= ⋅⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎬+ (2.29)

M

N

M'

uy

ds

ds*

x

ux ux+dux

y

dα

u

u+du

dα/2 ϕ+dα/2

dα+dϕ

uy+duy

N'

Slika 2.9. Deformacija osovine {tapa u prirodnom koordinatnom sistemu

18


Ponovo }emo napisati vektorsku jedna~inu (2.20):

( ) *+ + = +ds u du u ds (2.30)

ali }emo je ovaj put projektovati na osovine koordinatnog sistem xMy. Sa slike 2.9. je vidljivo da se vektori u tom sistemu mogu prikazati kao:

cos2

sin2

d

dsd

α

α

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ds ; ( )( ) ( )

cos 2* 1

sin 2d

dsd

ϕ αε

ϕ α+⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

ds

Vektori pomjeranja krajeva elementarnog luka su dati jedna~inama (2.28) i (2.29). Sada vektorsku jedna~inu (2.30) moèmo napisati u obliku:

( )( ) ( )

cos cos / 2cos sin2 1sin / 2sin cossin

2

x x x

y y y

du du u dd d

ds dsu du u dd d d

αϕ αα α

εϕ αα α α

⎧ ⎫⎪ ⎪ + +⎧ ⎫− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ + +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+

Po{to je luk infinitezimalne duìne ds, moèmo uvesti slijede}e pretpostavke:

0; cos 1; sin ; cos 12

dd d d d αα α α α→ ≅ ≅ ≅

y

te uz zanemarivanje proizvoda vi{eg reda: ; ;xd ds du d du dα α α dobivamo:

( )cos

1sin

x y

y x

ds du u dds

du u dα ϕ

εα ϕ

+ −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ ⎩ ⎭⎩ ⎭

(2.31)

Iz pretpostavke o malim deformacijama imamo: 0; cos 1; sinϕ ϕ ϕ→ = ϕ= , pa jedna~ina (2.32) postaje:

( )1

1x y

y x

ds du u dds

du u dα ε

α ε ϕ+ − +⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨+ +⎩ ⎭⎩ ⎭⎬ (2.32)

nakon dijeljenja sa ds, jedna~inu (2.33) }emo napisati kao dvije algebarske:

1 1 x

y

yx

du duds ds

du duds ds

αε

αϕ εϕ

+ = + −

+ = + (2.33)

Sre|ivanjem gornjih jedna~ina uz 0εϕ ≅ i ds Rdα= , gdje je R radijus zakrivljenosti nedeformirane osi {tapa, dobivamo kona~no:

19


yx

y x

ududs Rdu uds R

ε

ϕ

= −

= + (2.34)

Naravno, jedna~ine (2.34) postaju identi~ne jedna~inama (2.27) ukoliko se radi o pravom {tapu . ( )R → ∞

DEFORMACIJA SAVIJANJA

Jedna~inama (2.26), (2.27) i (2.34) data je veza izme|u pomjeranja i veli~ina ε i ϕ . Ranije je re~eno da je ε ~isto deformaciona veli~ina, dok ugao ϕ ne mora biti deformaciona veli~ina, jer se moè javiti kao kinematska rotacija. Me|utim, pomo}u ugla ϕ se moè izraziti deformaciona veli~ina koja karakteri{e savijanje {tapa. U Otpornosti materijala izveden je izraz za zakrivljenost osovine pravog {tapa pod pretpostavkom o malim deformacijama:

2

2yd u

dxκ = (2.35)

U slu~aju da je os {tapa zakrivljena (slika 2.9.), nakon deformacije se moè napisati izraz za duìnu deformisanog elementarnog luka:

( ) ( )* 1ds d d dsρ α ϕ ε= + = + (2.36)

gdje je ρ - polupre~nik zakrivljenosti deformirane osi {tapa. Promjena zakrivljenosti {tapa, kao deformaciona veli~ina koja odgovara momentu savijanja, moè se lako dobiti iz jedna~ine (2.36) uz pretpostavku o malim deformacijama (1 1ε+ ≅ ):

1 1 1 1 1d d d dR ds ds R R ds R ds

α ϕ ϕκρ

⎛ ⎞= − = + − = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ (2.37)

Mogu}e je na}i u literaturi da je predznak zakrivljenosti negativan, jer je analiza ra|ena u lijevom lokalnom koordinatnom sistemu (y osa prema dolje). Ukoliko u jedna~inu (2.37) ubacimo jedna~ine (2.34) dobivamo kona~nu relaciju izme|u deformacija i pomjeranja:

2 2 2

2 2 2

xy

y yx xx x

du Rudsd u d udu dudR d du R uds ds ds ds ds ds ds

ε

α ακ

= −

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2.38)

Odnosno za prav {tap:

2

2; yx d ududs ds

ε κ= = (2.39)

20


DEFORMACIJE TAÂKA POPRE^NOG PRESJEKA

Gornje jedna~ine su izvedene za osovinu {tapa uz pretpostavku da su dimenzije popre~nog presjeka zanemarljive u odnosu na duìnu {tapa i da vrijedi Bernoulli-jeva hipoteza o ravnim presjecima. Koriste}i ovu hipotezu mogu}e je izra~unati pomjeranja i deformacije svih ta~aka popre~nog presjeka.

Na slici 2.10 je prikazan nedeformisani i deformisani elementarni luk sa jednim vlaknom koje }emo posmatrati i koje se nalazi na proizvoljnoj udaljenosti y od neutralne osi.

( ) ( ) ( )* 1ds y y ds yε= +⎡ ⎤⎣ ⎦

y

dα

h

ds

ds(y)

R

y

dα+dϕ

h (1+ε)ds

ds*(y)

ρ

Slika 2.10. Deformacija {tapa

Na nedeformisanom elementu vrijedi: ( ) ( ); 1 yds Rd ds y R y d dsR

α α ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Na elementu nakon deformacije imamo:

( ) (1 ds d d )ε ρ α ϕ+ = +

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1

1

1 1

y ds y y d d ds yd yd

yy ds y y ds ds ydR

d yy yy ydsR R

ε ρ α ϕ ε α

ε ε ε ϕ

ϕ ε κε ε

+ = − + = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎛ ⎞= − = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠− −

ϕ ⇒

(2.40)

Za prav {tap: ( ); dR yds

y ϕε ε→ ∞ = − (2.41)

21


2.6. Konstitutivne jedna~ine

Naprijed je re~eno da konstitutivne jedna~ine u problemima mehanike predstavljaju vezu izme|u napona i deformacija. Uzimaju}i u obzir definiciju {tapa, u teoriji {tapa se uspostavlja veza izme|u presje~nih sila i deformacija.

Polazimo od jedna~ine (1.2) uz pretpostavku da su po~etne deformacije posljedica temperaturnih promjena. Iz Otpornost materijala je poznato da se jedna~ina (1.2) u slu~aju monoaksijalnog naprezanja svodi na izraz za napon:

( )0Eσ ε ε= − (2.42)

Pretpostavimo da se gornja vlakna {tapa zagrijavaju za temperaturu tg, a donja za temperaturu td (vidi sliku 2.11). Promjenu temperature u osi {tapa }emo ozna~iti sa t0. Za {tapove male visine h pretpostavlja se da je promjena temperature linearna po visini presjeka. Trapezni dijagram promjene temperature moèmo rastaviti na konstantni dijagram i promjenljivi dijagram ~ija je vrijednost u osi {tapa jednaka nuli.

∆t/2tg t0

= +

t(y)

td

yos {tapa

∆t/2

Slika 2.11. Promjena temperature

Sa slike 2.11. je vidljivo da se promjena temperature za neko vlakno koje je udaljeno od osi {tapa za y, moè izraziti kao:

( ) 0tt y t y

h∆

= + (2.43)

gdje je h visina {tapa, a ∆t=tg-td. Uzimaju}i u obzir da je deformacija od temperaturnih promjena direktno proporcionalna promjeni temperature:

( ) ( )0 ty tε α= y (2.44)

i uvr{tavaju}i to u jedna~inu (2.42), dobivamo:

( ) ( ) ( )ty E y E t yσ ε α= − (2.45)

Uvr{tavaju}i jedna~ine (2.40) i (2.43) u (2.45) dobiva se:

( ) ( )0tdy E t Eyds hϕσ ε α α t

t∆⎛= − − +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (2.46)

22


Ukoliko jedna~inu (2.46) uvrstimo u jedna~ine (2.1) i (2.4), dobivamo konstitutivne jedna~ine za {tap, kojima su povezane presje~ne sile i deformacije:

( ) ( )

( )

0

0

x tA A A

x t tA A

d tN y dA E t dA E y dAds h

d tN E t dA E ydAds h

ϕσ ε α α

ϕε α α

∆⎛ ⎞= = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∆⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫

t

( ) ( )

( )

20

20

z tA A A

z t tA A

d ttM y y dA E t ydA E y dA

ds h

d tM E t ydA E y dAds h

σ ε α α

ϕε α α

⎛ ⎞= − = − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∆⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫

ϕ ∆

A

Integrali u gornjim jedna~inama predstavljaju geometrijske karakteristike popre~nog presjeka:

A

A d= ∫ - povr{ina popre~nog presjeka

0A

S ydA= =∫ - stati~ki moment povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z

2

A

I y dA= ∫ - moment inercije povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z

( 0xN EA tε α= − )t (2.47)

zd tM EIds hϕ αt

∆⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (2.48)

Odnosno:

0tdu N tds EA

ε α= = + (2.49)

tM tEI h

κ α ∆= − (2.50)

Osim aksijalnih deformacija i deformacija savijanja, moè se definirati veza izme|u smi~u}ih deformacija i smi~u}ih sila. Poznato je da je veza izme|u smi~u}e deformacije i transverzalne sile data jedna~inom:

TSG bGIτγ = = (2.51)

Dijagram napona po visini popre~nog presjeka je krivolinijski sa maksimalnom vrijedno{}u u osi {tapa i nulama u krajnjim vlaknima. Prisustvo smi~u}ih deformacija zna~i da popre~ni presjek vi{e nije okomit na deformisanu os {tapa, a promjena deformacija po visini zna~i da se presjek i vitoperi (vidi sliku 2.12a), {to zna~i da obje

23


pretpostavke Bernoulli-jeve hipoteze ne vaè. Da bi se uspostavila pribli`na veza izme|u smi~u}ih napona i deformacija uvodi se pribli`na teorija smicanja, kojom se pretpostavlja da su smi~u}i naponi konstantni po visini popre~nog presjeka. To zna~i da presjeci ostaju ravni, ali ne i okomiti na os {tapa (vidi sliku 2.12b).

b)

ds

γ

ds

a)

Slika 2.12. Smi~u}a deformacija {tapa

Ozna~imo ugao smicanja popre~nog presjeka sa γ. Jasno, ovaj ugao se moè odrediti iz vi{e razli~itih uvjeta, ali je uobi~ajeno koristiti uvjet da je rad napona smicanja na elementu {tapa na stvarnim deformacijama jednak radu na konstantnim deformacijama. Rad smi~u}ih napona na stvarnim deformacijama je prema jedna~Ini (2.51) jednak:

2 2 2

2 2

1 1 1 12 2 2 2V L A L A L

T A S TdAds ds dA ds dA k dsG GA I bττγ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫A

2

GA (2.52)

gdje je k koeficijent koji zavisi isklju~ivo od oblika popre~nog presjeka: 2

2 2A

A Sk dI b

= ∫ A .

Rad napona smicanja na konstantnim deformacijama je:

1 1 12 2 2V L A L

dAds ds dA Tdsτγ γτ γ= = =∫ ∫ ∫ ∫A (2.53)

Izjedna~avaju}i izraze sa desnih strana jedna~ina (2.52) i (2.53) dobiva se:

kTGA

γ = (2.54)

Time su kompletirane konstitutivne jedna~ine za {tap.

2.7. Jedna~ine teorije {tapa i rubni uvjeti

Na osnovu prikazanih razmatranja iz op{tih jedna~ina mehanike, izvedene su jedna~ine teorije {tapa, ~ime je dobiven sistem linearnih diferencijalnih jedna~ina ~ijim rje{avanjem se mogu izra~unati nepoznate veli~ine relevantne za analizu linijskih modela. Ukupno ima 9 nepoznatih:

unutra{nje sile - Mz, Ty i Nx u prirodnom ili M, V i H u globalnom sistemu

deformacije - , ,ε κ γ

24


pomjeranja - , ,x yu u ϕ u prirodnom ili , ,X Yu u ϕ u globalnom sistemu

Jedna~ine teorije {tapa u lokalnom prirodnom koordinatnom sistemu su:

yx

yx

ududs R

duuR dsdds

ε

ϕ

ϕκ

⎫= − ⎪

⎪⎪

= + ⎬⎪⎪= ⎪⎭

geometrijske ili kinematske jedna~ine

0

0

0

yxx

y xy

zy

TdN pds R

dT N pds R

dM Tds

⎫+ + = ⎪

⎪⎪

− − = ⎬⎪⎪+ = ⎪⎭

jedna~ine ravnoteè

0x

t

zt

y

N tEAMEI hkTGA

ε α

κ α

γ

⎫= +

t

⎪⎪

∆ ⎪= − ⎬⎪⎪

= ⎪⎭

konstitutivne jedna~ine

Jedna~ine teorije {tapa u globalnom koordinatnom sistemu:

X

Y

du dX dYdu dX dYd ds

ε ϕϕ ε

ϕ κ

= − ⎫⎪= + ⎬⎪= ⎭

geometrijske ili kinematske jedna~ine

00

0

X

Y

dH p dYdV p dXdM HdY VdX

+ = ⎫⎪+ = ⎬⎪+ − = ⎭

jedna~ine ravnoteè

( )

( )

01 cos sin

sin cos

t

t

H VEAM tEI hk H V

GA

ε α α

κ α

γ α α

⎫= + + tα ⎪⎪

∆ ⎪= − ⎬⎪⎪= − + ⎪⎭

konstitutivne jedna~ine

Obzirom da su konstitutivne jedna~ine algebarske, mogu}e je jednostavno eliminirati deformacije ubacivanjem konstitutivnih jedna~ina u kinematske. Time se dobivaju tri diferencijalne jedna~ine, koje povezuju nepoznate presje~ne sile i nepoznata pomjeranja. Ove jedna~ine zajedno sa jedna~inama ravnoteè ~ine sistem

25


od {est diferencijalnih jedna~ina sa tri nepoznata pomjeranja i tri nepoznate unutra{nje sile. Gledano matemati~ki, po{to su sve jedna~ine linearne kao rezultat se javlja {est konstanti integracije, za koje je potrebno zadati {est rubnih uvjeta. Kako je naprijed re~eno rubni uvjeti se mogu davati po pomjeranjima ili po silama. Da bi se {tapu u ravni onemogu}ilo kinematsko kretanje potrebno je zadati najmanje tri rubna uvjeta po pomjeranjima, {to zna~i da rubnih uvjeta po silama moè biti maksimalno tri. Ako na jednom {tapu postoje po tri rubna uvjeta po silama i pomjeranjima, tada je sistem stati~ki odre|en. U tom slu~aju tri diferencijalne jedna~ine ravnoteè imaju svoja tri rubna uvjeta po silama i tada je mogu}e ove diferencijalne jedna~ine rije{iti neovisno od preostalih jedna~ina. Ukoliko je rubnih uvjeta po pomjeranjima vi{e, tada se gornjih {est diferencijalnih jedna~ina moraju rje{avati kao sistem i tada govorimo o stati~ki neodre|enim nosa~ima.

26

Teorija linijskih nosa~a II Literatura

27

Documents

TEORIJA LINIJSKIH NOSA^A II · 2017. 8. 11. · Title: TEORIJA LINIJSKIH NOSA^A II Author: MICROSOFT Created Date: 10/19/2006 1:19:39 PM