Zadatak 1: Za sistem opisan grafom na slici:

а) Naći prenosnu funkcijub) Naći odziv na pobudu u(t)=h(t) za nulte početne uslovec) Nacrtati odziv sistemad) Ispitati stabilnost sistema od prvog ulaza do drugog izlaza

Rešenje : a) Prenosnu funkciju nalazimo pomoću obrasca definisanog Mejsonovim pravilom :

G(s) =

gde je Δ determinanta grafa (karakteristična funkcija grafa)

Δ =

pri čemu je Gj1 pojačanje zatvorenih putanja grafa,G j2 proizvod pojačanja kombinacija od po dve zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju itd...G k predstavlja pojačanje k-te direktne putanje (putanje u kojoj se svaki čvor pojavljuje samo jednom) od ulaznog do izlaznog čvora,a N je broj direktnih putanja.Sistem dat grafom ima dva izlaza (y1,y2),što znači da ima dve prenosne funkcije G1(s) i G2(s) .Prvo određujemo G1(s) :

Na grafu se uočavaju tri zatvorene putanje sa pojačanjima:

G11=

G21=

1

G31=

Sve zatvorene putanje se međusobno dodiruju (imaju zajednički čvor) pa je :

Gj2,Gj3,....=0

Δ =

Za izlaz y1 imamo dve direktne putanje sa pojačanjima G1 i G2 :

G1 =

G2 =

Ne postoji deo grafa koji ne dodiruje k-tu direktnu putanju pa je Δ1 = Δ2 = 1 .Sada prenosnu funkciju računamo preko Mejsonovog pravila :

G1(s) =

G1(s) =

2

Sada je potrebno naći prenosnu funkciju G2(s) :

Zatvorene putanje su iste kao za G1(s) pa važi

Kao i za G1(s) važi : Gj2,Gj3,....=0

Δ =

Za izlaz y2 imamo takođe dve direktne putanje :

G1 =

G2 =

I ovde važi da je Δ1 = Δ2 = 1

G2(s) =

G2(s) =

b) Odziv na pobudu u(t)=h(t) za nulte početne uslove : y(t) .

3

y(t) = £-1{Y(s)}= £-1{ G(s)U(s) }

Shodno tome da imamo dve prenosne funkcije imaćemo i dva odziva : y1(t) i y2(t) .

Y1(s) = G1(s) U(s)

U(s) = £{u(t)} = £{h(t)}=

G1(s) =

y1(s) = G1(s) U(s) =

=

A+B+C = 0 A = , B = , C =

5A+3B+2C = 0 6A =1

= =

y1(t) = £-1{ G1(s) U(s) } =

£-1{ } = £-1{ } - £-1{ }+ £-1{ } =

=

y1(t) =

Na isti načim određujemo i drugi odziv sistema y2(t) :

4

Y2(s) = G2(s) U(s) = =

=

=

A+B+C+D = 0 A = , B = , C = 1 , D =

6A+5B+4C+3D = 0 11A+6B+3C+2D = 1 6A = 4

Y2(s) = G2(s) U(s) = =

=

y2(t) = £-1{ G2(s) U(s)} = £-1{ } £-1{ }+£-1{ } £-1{ }

y2(t) =

d ) Stabilnost sistema proverava se ispitivanjem znaka polova.Posmatramo prenosnu funkciju G2(s) pošto se ispituje stabilnost sistema od prvog ulaza do drugog izlaza.

5

G2(s) =

= 0Polovi su :

, ,

Sistem je stabilan.

Zadatak 2 :

Za nelinearni sistem

a) odrediti ravnotežna stanjab) nacrtati odgovarajući fazni portretc) ispitati stabilnost ravnotežnih stanja i graničnost kruga

Resenje:

a) Ravnotežna stanja određuju se iz uslova , pa imamo:

-

b) Fazni portret:

6

Za dati nelinearni sistem

znamo da granični krug ne postoji u oblasti D fazne ravni ako nije

nula i ne menja znak (Teorema).

Kako je i , dobijamo zbir

koji je različit od nule i ne menja znak u oblasti D, čija je granica

tj. dati sistem nema granični krug.

Za je linearizovani model (Jakobijan)

a sopstvene vrednosti su

7

te je (0,0) spiralni izvor (nestabilna žiža).

Za linearizovani model je

, a sopstvene vrednosti su

Kako je , kazemo da je tačka (0,1) sedlasta tačka.

Za linearizovani model je , a sopstvene vrednosti su

,

pa kao za prethodnu tačku imamo da je i , tj. , odakle je tačka (0,-1) takođe sedlasta.

c) Stabilnost ravnotežnih stanja i graničnog kruga: Dati sistem je “slabo” nelinearan sistem

koji se malo razlikuje od svog linearizovanog modela.

Kako je

a) izolovana nula funkcije

b) za malo x, tj. brže teži nuli nego što

8

c) to su osobine stabilnosti polaznog nelinearnog sistema u y(0,0) iste kao kod njegovog linearizovanog modela .

Već smo videli da je (0,0) (nestabilna žiža) spiralni izvor.

Sistem je opisan relacijom ulaz-izlaz:

a) Proveriti da li su i dva linearno nezavisna resenja odgovarajuce

homogene skalarne diferencijalne jednacine.b) Usvajajuci za promenjljive stanja ( )=(y, )odrediti model u prostoru stanja i

proveriti da li je matrica njegova fundamentalna matrica.

c) Proveriti upravljivost i osmotrivost modela.d)

Posle zamene u polaznu jednacinu dobijamo:

Dakle,ovo jesu linarno nezavisna resenja

b)

9

Ukoliko je (t)=F(t)W(t) onda je W(t) fundamentalna matrica sistema gde je :

Usvajamo da je :

Odavde sledi :

Dobijeni rezultat je jednak ) sto znaci da matrica W(t) jeste fundamentalan matrica sistema

c) Prvo nalazimo matricu prelaza stanja koja je po definiciji :

-Upravljivost :

10

,

Ukoliko su ispunjeni ovi uslovi sistem je upravljiv-Osmotrivost:

Ukoliko su uslovi 1) , 2) , 3) ispunjeni sistem je osmotriv.

Zadatak 3 :

Sistem je opisan relacijom ulaz-izlaz:

a) Proveriti da li su i dva linearno nezavisna rešenja odgovarajuċe

homogene skalarne diferencijalne jednačine.

11

b) Usvajajuċi za promenljive stanja odrediti model u prostoru stanja i

proveriti da li je matrica njegova fundamentalna matrica.

c) Proveriti upravljivost i osmotrivost modela.

Rešenje:

a) (1)

odgovarajuċa homogena jednačina je:

(2)

A ovo su rešenja za koja proveravamo linearnost. Njihove prve i druge izvode ubacujemo u homogenu jednačinu.

Ako su i rešenja homogene skalarne diferencijalne jednačine tada je:

Teorema: Ako su i rešenja homogene linearne diferencijalne jednačine (2) , tada je i svaka njihova linearna kombinacija tj. rešenje jednačine.Definicija: Ako je ( ili različito od nule) tada su i dva linearno nezavisna rešenja.

Množimo prvu jednačinu sa i drugu sa i sabiramo ih na sledeċi način:

tako da su i dva linearna nezavisna rešenja homogene skalarne diferencijalne jednačine.

b) iz uslova zadatka dobijamo vrednosti promenljivih stanja(■)

12

kada uradimo izvode dobijamo(●)

kada ove vrednosti zamenimo u početnu jednačinu dobijamo:

(▬).

(●) i (▬) su jednačine prelaza stanja

.

Iz ove dve jednačine prvo vadimo matricu F koja predstavlja koeficijente uz i .

I matricu G koja predstavlja koeficijente uz u.

Na kraju iz jednačine (■) dobijamo matricu H koja predstavlja koeficijente uz i .

Dobijamo sistem u matričnom obliku:

Da bi matrica W(t) bila fundamentalna matrica za treba dokazati jednakost

13

ovim smo dokazali da je fundamentalna matrica.c) Matrica prelaza stanja je:

jer smo dokazali da je fundamentalna matrica.

Matricu dobijamo kada u matrici , zamenimo sa .

potrebno je da nadjemo inverznu matricu

14

Sada je jednako:

=

Upravljivost za neprekidne sisteme

1)

2)

15

3)

Ako je ispunjeno 1,2 i 3 sistem je upravljiv.

Osmotrivost za neprekidne sisteme:

1)

2)

3)

Ako je ispunjeno 1,2 i 3 sistem je osmotriv.

Поставка задатка

Задатак: Систем је представљен моделом у простору стања:

а) Испитати управљивост и осмотривост у зависности од вредности параметра а.б) Испитати асимптотску стабилност система у зависности од вредности параметра а.в) Испитати ОУОИ стабилност система у зависности од вредности параметра а.

Аналитичко решење

16

а) Карактеристичне матрице система су:

001H

Матрица управљивости L је:

Из овога следи да ће систем бити управљив за све вредности параметра а различите од 0, 1/4 и 2/9.Осмотривост испитујемо коришћењем матрице осмотривости О која је:

17

Посто је det(О) различита од нуле и испуњен је услов rang(О)=rang(F) следи да је систем осмотрив.

б) Функција прелаза стања је:

Матрица sI-F је регуларна ако је њена детерминанта различита од нуле,тј. ако је

Одавде следи да ће матрица sI-F бити регуларна за вредности s различите од -1,-2,-3.

18

Вредност функције прелаза стања је:

19

Полови функције прелаза стања су ,тј. сви се налазе у левој полуравни одакле следи да је систем(F,G,H) ОУОИ стабилан. Да би систем(F,G,H) био асимптотски стабилан потребно је да буде управљив,осмотрив и ОУОИ стабилан, а то је у нашем случају испуњено. Међутим, потребно је и да у функцији прелаза стања не дође до скрацивања нула и полова.

Нуле ф-је прелаза стања су:

За .

За .

За .

Уколико параметар а има вредности 0,1/4 или 2/9 доћи ће до скраћивања нула и полова, тј. за ове вредности параметра а систем постаје неуправљив, а из тога следи да за те вредности неће бити ни асимптотски стабилан. Дакле систем (F,G,H) је асимптотски стабилан за све вредности параметра а различите од 0,1/4,2/9.

20

в) Под б) је показано да је . Њени полови се налазе у левој

полуравни и не зависе од вредности параметра а одакле следи да је систем (F,G,H) ОУОИ стабилан за било које вредности параметра а.

Zadatak 4 : Sistem je opisan grafom toka signala na slici:

a) Odrediti prenosnu f-ju sistema.b) Da li je sistem asimptotski i OUOI stabilan.c) Odredite kanoničnu upravljivu realizaciju sistema.d) Naći odziv sistema na jediničnu odskočnu pobudu ,za nulte početne

uslove.RAD

a) Prenosnu funkciju dobijamo primenom Mejsonovog pravila:

Ukupno pojačanje od ulaza u do izlaza y je:

-determinanta grafa (karekteristična funkcija grafa)

gde je

zbir pojačanja svih zatvorenih putanja

U nasem slucaju postoje tri zatvorene putanje sa pojačanjima:

21

zbir proizvoda pojačanja svih mogućih kombinacija od po dve zatvorene

putanje koje se međusobnono ne dodiruju.

zbir proizvoda pojačanja svih mogućih kombinacija od po tri

zatvorene putanje koje se međusobnono ne dodiruju.

Kod nas su , zato što se sve zatvorene putanje dodiruju u jednoj tački.Prema tome

pojačanje na k-tom direktnom putu. U našem zadatku postoje tri direktne putanje, sa pojačanjima:

-dobija se kao i ali samo za deo grafa koji ne dodiruje k-tu direktnu putanju.Ovde je

Sada možemo da izračunamo prenosnu funkciju :

Posto dolazi do skraćivanja u prenosnoj f-ji, zaključujemo da sistem nije osmotriv i upravljiv.

U Z domenu sistem je OUOI stabilan ako su mu polovi po apsolutnim vrednostima manji od 1. Pošto su ovde polovi -2 i -1 po apsolutnoj vrenosti veći ili jednaki od 1, zaključujemo da sistem nije stabilan u smislu OUOI.

Sada ispitujemo asimtotsku stabilnost preko Rausovog kriterijumu.Prvo je potrebno prevesti prenosnu f-ju G(z) iz z domena u s domen uvođenjem smene:

22

Prema tome Rausova matrica izgleda ovako:

Posmatramo drugu kolonu, ako njeni elementi ne menjaju znak sistem je asimptotski upravljiv, ovde koeficijenti menjaju znak tako da ovaj sistem nije ni asimptotski upravljiv.

b) Na osnovu grafa toka signala možemo da nacrtamo blok dijagram:

A na osnovu blok dijagrama možemo da nađemo jednačine stanja:

i jednačinu izlaza:

Sada možemo da nađemo matrice F, G i H.

23

Sledi,

c) y(n)-odziv sistema

( si –singulariteti s1 = -1, s2 = -2)

=

=

24

=

Zadatak 5 : Систем је описан у простору стања:

а) одредити б) испитати управљивост и осмотривоств) испитати ОУОИ (ограничен улаз ограничен излаз) стабилност

РЕШЕЊЕ:

а) -основна функција прелаза стања у општем облику

,

па је у нашем случају

-функција излаза система у општем облику

-функција одзива система у општем облику

25

Kao што се види да бисмо одредили функцију излаза и функцију одзива система,потребно је да знамо .Како је, ,а знамо да је

.

Потребно је одредити (матрицу прелаза стања).

Акко су матрице и комутативне, тада је ,па је потребно да

испитамо комутативност.

=

, ,

.

С'обзиром да је комутативност испуњена можемо одредити матрицу :

=

26

=

…..

Одавде следи да је

Како је

= ,

= добијамо

27

Када смо добили матрицу можемо да израчунамо према напријед наведеној формули.

Одавде видимо да је

Па су функција излаза система и функција одзива система:

б) Да би испитали да ли је систем управљив потребно је пре свега израчунати :

28

Систем је управљив акко су врсте матрице линеарно независне функције и сви чланови матрице морају бити различити од 0,па треба да су испуњени следећи услови:

1. и односно

и ,

2. ,тј. ,

Очигледно је да систем није управљив за , јер је .

Да би испитали осмотривост потребно је да израчунамо матрицу :

Aналогно управљивости потребно је да колоне матрице буду линеарно независне и сви чланови различити од 0:

1. и односно

и ,

2. ,тј. ,

29

в) Систем ће бити ОУОИ стабилан акко

,за

Да би систем био ОУОИ стабилан мора да буде

ограничен.Како је збир беконачно много коначних величина бесконачна величина добијамо да

тежи бесконачности тј. не конвергира, па самим тим систем није стабилан.

Zadatak 6 :

Систем је описан графом тока на слици 1.

Слика 1а) Одредити преносну функцију система.б) Да ли је систем ОУОИ стабилан?в) Одредити управљиву каноничку форму система.г) Наћи одзив система на побуду са слике 2 и графички је приказати.

30

слика 2НАПОМЕНА.Задатак ћемо решити на два начина. Прво аналитички „ручно“, докле то буде могло, а затим ћемо цео задатак решити и применом програма MATLAB.

а)Уведимо у систем променљиве стања .Сa слике се уочава:

(1)

(2)

(3)

. (4)

Комбиновањем (1)-(4) добија се веза улаза U и излаза Y :

, (5)

oдакле је преносна функција улаз-излаз једнака:

. (6)

б)

Стабилност ОУОИ зависи од полова преносне функције тј. од корена полинома у имениоцу израза (6).

За системе нижег реда као што је задати пример чији је ред једнак 3, ово се може урадити решавањем једначине трећег реда чиме се добијају полови:

31

, . (7)

С обзиром да функција преноса има двe једнакe нуле вредности +1, неће доћи до скраћивања нула и полова.

Како су сви полови (7) у негативној полуравни, систем ОУОИ је стабилан.

За системе вишег реда, стабилност се не проверава израчунавањем полова, већ применом, на пример, Раус-Хурвицовог критеријума. Ово ће бити показано у другом делу рада када буде показано решење задатка применом MATLAB функција.

Асимптотска стабилност система биће анализирана у одељку в).

в)

Са слике 2 уочавамо да се у временском домену може написати:

(8)

и , (9)

одакле се добија матрични канонички облик:

,

(10)

,

где су матрице система:

. (11)

Сада можемо испитати и асимптотску стабилност система.

Начин 1

32

На основу Тереме 1 (на страни 365 уџбеника: Б.Петровић, Теорија Система, Факултет организационих наука, 2006.) систем је асимптотски стабилан “ако и само ако су сви реални делови својствених вредности матрице F негативни”.

Провера својствених вредности урађена је аналитички, израчунаванјем решења једначине: . (12)

Својствене вредности су:, . (13)

Будући да су израчунате вредности у негативној полуравни, систем је асимптотски стабилан.

Начин 2

На основу Теореме 1 (на страни 343 Уџбеника) систем трећег реда је потпуно управљив ако и само ако је: . (14)У датом задатку, полазећи од (11), ово се своди на:

, (15)

што је испуњено (проверено је ), а тиме је и управљивост доказана.На основу Теореме 6 (на страни 358 Уџбеника) систем трећег реда је осмотрив, ако и само ако је

. (16)

У датом задатку ово се своди на:

, (17)

што је испуњено и тиме је осмотривост доказана.

На основу Теореме 5 (на страни 374 Уџбеника), “ако је систем ОУОИ стабилан, управљив и осмотриљив, тада је он и асимптотски стабилан”. Будући да смо све три претпоставке већ доказали, то је и асимптотска стабилност доказана.

г)Побуда система у комплексном домену добија се трансформацијом:

, (18)

33

где је на интервалу интеграције:

. (19)

Трансформација даје:

(20)

што даље даје:

(21)

Одзив система у комплексном домену је: , (22)

што за преносну функцију (6) постаје:

а) Наћи одзив система који је описан графом на слици 1. ако на њега делује побуда:

Слика 1.

приказана на слици 2. :

34

Слика 2.

б) Испитати асимптотску стабилност и ОУОИ стабилност.

Решење :

а) Потребно је наћи одзив система , који уствари представља инверзну Лапласову трансформацију , тј.

можемо одредити из једнакости

Одавде следи да је потребно одредити преносну функцију и побуду .

Преносну функцију система G(s) одређујемо помоћу Мејсоновог правила ( Mason ), које гласи: Укупно појачање од улаза u до излаза y је

где је Δ детерминанта графа ( карактеристична функција графа )

при чему је:

- збир појачања свих затворених путања графа,

35

-збир производа појачања свих могућих комбинација од по две затворене

путање које се међусобно не додирују,

- збир производа појачања свих могућих комбинација од по три затворене

путање које се међусобно не додирују,... итд.

- је појачање k-те директне путањеод улазног до излазног чвора, а N је број директних путања.

- се добија као и Δ али само за део графа који не додирује k-ту директну путању.

Кажемо да се две петље ( затворене путање ) не додирују ако немају заједнички чвор.

У овом задатку примена Мејсоновог правила би изгледала овако:

Систем има две затворене путање, приказане на слици, са следећим појачањима:

=0 ,јер не постоје две две затворене путање које се не додирују. ( Исти је случај и са , итд. )

На основу тога детерминанта графа Δ је:

36

Постоји само један директни пут од u до y, приказан на слици, са појачањем

те је N =1 и

Ако избришемо затворене путање које не додирују тај директни пут, не постоји ни једна затворена путања, те је

Сада је преносна функција, према Мејсоновом правилу :

На овај начин је одређена преносна функција.

Побуду ћемо одредити користећи једнакост

где је Т периода.

Са графика (слика 2.) можемо видети да је периода у нашем случају = 2Т, као и то да функција има један облик на интервалима [2kT,(2k+1)T] за k=0,1,2,…а други облик на интервалима [(2k+1)T,2kT] k=0,1,2,…У првом случају, посматрајући тачке (0,0) и (Т,1) и на основу једначине праве кроз две дате тачке, можемо одредити функцију , те је

.

На исти начин,узимајући тачке (Т,1) и (2Т,0), имамо да је функција облика

37

На основу тога, укупна побуда система је:

При решавању интеграла користимо методу парцијалне интеграције, где је ,

, ,

и добијамо да је:

, решење првог ,

, решење другог и

, решење трећег интеграла.

Уврштавајући добијена решења интеграла, добијамо

Када смо одредили и , уврстимо добијене вредности у једнакост , и добијамо

.

Напомена 1:

И на крају да би одредили укупни одзив система потребно је израчунати инверзну Лапласову трансформацију претходног израза, тј.

38

Напомена 2:

Из , тако да уместо израза , можемо

записати израз .

Користећи бесконачни ред :

,

израз

, уводећи смену : ,можемо записати као:

Уврштавањем ових израза у ,имамо да је:

б) Потребно је испитати ОУОИ стабилност и асимптотску стабилност.

39

Систем је ОУОИ стабилан акко је преносна ф-ја G(s) има све полове у отвореној левој полуравни s – равни.

Преносна ф-ја је :

Пошто је очигледно да су полови у отвореној левој полуравни s – равни () систем је ОУОИ стабилан.

Систем је асимптотски стабилан акко је ОУОИ стабилан, управљив и осмотрив. ОУОИ стабилност смо већ доказали. Управљивост и осмотривост се такође може испитати на основу преносне ф-је G(s). Уколико дође до скраћивања полова у преносној ф-ји (што код нас јесте случај) систем није осмотрив, самим тим није ни асимптотски стабилан.

FAZNI PORTRET

Za nelinearni sistem

a) odrediti ravnotežna stanjab) nacrtati odgovarajući fazni portretc) ispitati stabilnost ravnotežnih stanja i graničnost kruga

REŠENJE:

a) Ravnotežna stanja određuju se iz uslova , pa imamo:

-

b) Fazni portret:

40

Za dati nelinearni sistem

znamo da granični krug ne postoji u oblasti D fazne ravni ako nije

nula i ne menja znak (Teorema).

Kako je i , dobijamo zbir

koji je različit od nule i ne menja znak u oblasti D, čija je granica

tj. dati sistem nema granični krug.

-5

0

5

-5

0

5

-200

-150

-100

-50

0

50

x1

2-2 x2 x

1-x

12-3 x

22

x2

Za je linearizovani model (Jakobijan)

41

, , ,

a sopstvene vrednosti su

te je (0,0) spiralni izvor (nestabilna žiža).

Za linearizovani model je

, a sopstvene vrednosti su

Kako je , kazemo da je tačka (0,1) sedlasta tačka.

Za linearizovani model je , a sopstvene vrednosti su

,

pa kao za prethodnu tačku imamo da je i , tj. ,

odakle je tačka (0,-1) takođe sedlasta.

Fazni portret je prikazan na sledećoj slici:

42

c) Stabilnost ravnotežnih stanja i graničnog kruga: Dati sistem je “slabo” nelinearan sistem

koji se malo razlikuje od svog linearizovanog modela.Kako je

a) izolovana nula funkcije

b) za malo x, tj. brže teži nuli nego što

c) to su osobine stabilnosti polaznog nelinearnog sistema u y(0,0) iste kao kod njegovog linearizovanog modela .

Već smo videli da je (0,0) (nestabilna žiža) spiralni izvor.

Zadatak:

Sistem je pretstavljen grafom toka signala na slici:

43

x1 ' = x1 + x2 (1 - x12 - x22) x2 ' = - x1 + x2 (1 - x12 - x22)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x2

a) odrediti prenosnu funkciju sistema.b) da li je sistem stabilan?c) odrediti upravljivu kanoničku realizaciju sistema.d) naći odzive sistema na odskočnu hevisajdovu pobudu i jediničnu dirakovu impulsnu pobudu za nulte početne uslove.e) nacrtati oba odziva i uporediti ih.

RESENJE:

a) Prenosna funkciju sistema

Zatvorene putanje:

- determinanta grafa

- zbir pojacanja svih zatvorenih putanja grafa

- zbir proizvoda pojacanja svih mogucih kombinacija od po dve zatvoreneputanje koje se medjusobno ne dodiruju

- zbir proizvoda pojacanja svih mogucih kombinacija od po tri zatvoreneputanje koje se medjusobno ne dodiruju

44

Direktne putanje:

N=3 –broj direktnih putanja

Imamo jednu nulu f-je (1) i tri pola f-je (-3, -2, -2)

b) Stabilnost

45

c) Upravljiva kanonicka realizacija sistema

d) Odziv na hevisajdovu (jediničnu odskočnu) funkciju

46

Odziv na Dirakovu funkciju:

47

Задатак 29.Наћи одзив система који је описан графиком са слике:

ако на њега делује побуда , t R

48

Побуда је периодична функција приказана на слици:

Решење:Преносну функцију рачунамо помоћу Мејсоновог правила:

где је: N - број директних путања

– Збир појачања свих затворених путања.

- Збир производа појачања свих могућих комбинација од по две затворене путање

које се не додирују.

– Појачање k-те директне путање од улазног до излазног чвора, а N је број директних

путања

– добија се као и △ али само за део графа који не додирује k-ту директну путању.

Постоје две затворене путање:

Сума појачања тих затворених путања је:

Не постоје две,три или више затворених путања које се не додирују па је:

49

Постоји само један директан пут од U до Y:

Не постоји затворена путања које не додирује директан пут па је:

Коначно добијамо преносну функцију G(s):

Одзив система y(t) одређујемо помоћу инверзне Лапласове трансформације:

,

где је

Дата побуда је периодична функција u(t)=u(t+2π) са периодом T = 2π, па је њена Лапласова трансформација:

50

Из последње једначине закључујемо да Y(s) има два коначна пола (s=0, s=-3) и бесконачно много

полова који су решења једначине , па је лакше не користити непосредно рачун

остатка већ ову једначину развити у ред.

Kako je:

Oнда за n добијамо да је:

a kako коначно добијамо:

Сада ако ставимо да је ће бити:

51

Уводимо смену t = k+1

Након враћања смене добијамо:

На крају имамо да је:

Пре инверзне Лапласове трансформације треба извршити раздвајање:

На крају добијамо да је:

52

Сада ћемо урадити Лапласову трансформацију добијеног израза како би се добио тражени одзив за дату побуду, при чему ћемо користити особину Лапласове трансформације за

временски померену функцију .

53