TEORIJSKE DISTRIBUCIJE VJEROVATNOĆA

Teorijske distribucije- Distribucije koje su formirane grupisanjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju, zovu se originalne, empirijske ili opažene distribucije.

- Nasuprot empirijskim distribucijama postoje distribucije koje se mogu očekivati u skladu s našim iskustvom ili na temelju nekih teorijskih postavki. Te se distribucije zovu teorijske distribucije.

Teorijske distribucije- Teorijske distribucije su one distribucije koje se mogu očekivati na temelju nekih iskustvenih pretpostavki.- Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon vjerovatnoće po kojem su distribuirane tekuće vrijednosti slučajne varijable X.

Binomna distribucijaKarakteristike:- opis eksperimenta koji imaju dva moguća ishoda (npr. uspjeh i neuspjeh),- eksperimenti su međusobno nezavisni,- vjerovatnoća događaja se kod ponavljanja ne mijenja.

Binomna distribucija

nx

qpCp xnxxnx

,...,2,1,0

binomni koeficijentxnC

p – prosta vjerovatnoća ostvarenja očekivanog događajaq– suprotna vjerovatnoćan – broj eksperimenata; x – broj povoljnih ishoda u n eksperimenata; n – x - broj nepovoljnih ishoda u n eksperimenata.

Ako je vjerovatnoća da se ostvari neki dogadaj poznata, unaprijed utvrđena i konstantna tijekom cijelog istraživanja (iznosi p), kaže se da se diskontinuirana slučajna varijabla X ravna prema tzv. binomnoj distribuciji.Vjerovatnoća da se neki događaj X u n eksperimenata (ponavljanja) realizira x puta prema binomnom zakonu vjerovatnoće je:

Binomna distribucijaVarijabla X ravna se po zakonu binomne distribucije B(5; 0.4).

Kolika je vjerovatnoća da slucajna varijabla poprimi vrijednosti:a) X=0, b) X3, c) X>3, d) 2X5, e) X5?

Binomna distribucija

Binomna distribucija

Binomna distribucija

Poissonova distribucijaTemelji se na promatranju u nekom vremenskom periodu ili geografskom području.Ako je vjerovatnoća da se dogodi neki događaj poznata, unaprijed utvrđena, konstantna i jako mala tijekom cijelog istraživanja, te broj eksperimenata teži u beskonačnost koristi se Poissonova distribucija.

Poissonova vjerovatnoća

pn

nxx

epx

x

...,,2,1,0!

n – broj eksperimenatap – vjerovatnoća realizacije slučajnog događaja; x – broj povoljnih ishoda u n eksperimenatae – baza prirodnog logaritma 2.71828.

Poissonova vjerovatnoća

Očekivana vrijednost Poissonove distribucije iznosi 4.Odredite vjerovatnoću P(x3).

Poissonova vjerovatnoća

Hipergeometrijska distribucija

• proizlazi iz dvoslojnog skupa - složene kombinacije – skup od N elemenata sadrži podskup elemenata sa svojstvom A i podskup elemenata sa svojstvom Ā

n

x el A (n-x) el Ā

UZORAK

N

M (A) N-M (Ā)

SKUP

n

N

n-x

MN

x

M

P(x)parametri: M, N i n

- n – veličina uzorka

NM

MNxn

Mx

1 Nn, M, N

..., N

21

Hipergeometrijska vjerovatnoća

• Binomna distribucija

Primjer: Svaki izuzeti uzorak vode ima vjerovatnoću da je kontaminiran otpadnom tvari u iznosu od 10% . Pretpostavimo da se uzroci uzimaju nezavisno s obzirom na prisustvo otpadnih tvari. Potrebno je pronaći:

a) Vjerovatnoću da će u 18 izuzetih uzoraka biti tačno 2 uzorka kontaminirana?

284,0)2(

9,01,02

18)2(

18

1,0

162

xP

xP

n

p

Vjerovatnoća da će biti tačno 2 kontaminirana uzorka

b) Vjerovatnoća da će od 18 uzoraka biti barem 4 kontaminirana?

0,1 ; 18

( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

( 4) 1 [ ( 3)] 0,098

p n

P x P x P x P x P x

P x P x

Normalna distribucija

• prvi definirao Abraham de Moivre • upotrijebio Gauss (Gauss-ova raspodjela)• najčešće korištena raspodjela – čak 33% procesa u prirodi

slijedi zakon normalne distribucije

2

2

1

2

1)(

x

exfP(x) funkcija gustoće vjerovatnoće normalne r.

Slučajna varijabla X normalno je distribuirana s očekivanjem 15 i standardnom devijacijom 3.

Odredite:a) P(12 x 17)b) P(x 20)c) P(x 13).

Studentova t-raspodjela• definirao ju W. S. Gosset kao razdiobu varijable t• proizašla iz raspodjele aritmetičkih sredina• za k>30, varijabla t se

aproksimira varijablom z

12

2

11 2

( ) (1 ) ; ( 1)!

2

n

nt

f t n nn nn

• tablica Studentove ras.- za određenu vrijednost površine (vjerojatnosti) i stupnja slobode daje vrijednosti parametra tPrimjer: Za a=0,01 u uzorku

veličine 10 elemenata (k=10-1=9 stupnjeva slobode) t=2,821

• treba s oprezom primjenjivati tablice zbog različitog korištenja termina a – površina samo jednog ‘repa’ ili oba?!

Primjer 1.Vjerovatnoća da će se pri 1 porođaju roditi muško dijete je 0,5 ili 50%. Izračunati vjerovatnoću da će od 10 rođene djece biti 6 muške djece?p=0,5q=1-0,5=0,5n=10x=6

205078,02460937,0*6/56 P

Primjer 2:U prethodnom primjeru mogla bi se postaviti razna pitanja evo nekih:1. kolika je vjerovatnoća da će biti rođeno najviše 4 muške djece?2. kolika je vjerovatnoća da će biti rođeno bar 2 muške djece?3. kolika je vjerovatnoća da će biti rođeno najmanje 2, a najviše 4 muške djece?

Primjer 3:Vjerovatnoću da neko lice može imati negativnu reakciju na primljenu vakcinu protiv određene bolesti je 0,1% (p=0,001). Izračunati vjerovatnoće da od 5000 vakcinisanih lica:a) ni jedno lice neće imati negativnu reakcijub) da će 1 imati negativnu reakcijuc) da će 2 lice imati negativnu reakcijud) da će najviše 2 lica imati negativnu rakciju ie) da će najmanje 2 lica imati negativnu reakciju

ex

Px

x !

9595,0)(1

1247,0

0842,0

0334,0!1

5

0067,0!0

5

10

210

2

51

1

50

0

PPP

PPPP

P

eP

eP

n= 5000p= 0,001= np=5

a)

b)

c)

d)

e)

Primjer 4:Poznato je da od 20 automobila 5 ima određene nedostatke. Kolike su vjerovatnoće da će od 4 prodata automobila u pojedinačnoj prodaji biti: 0,1,2,3,4 automobila sa određnim nedostatkom? N= 20K= 5M= 15n= 4k= 0,1,2,3,4 => m=4,3,2,1,0

4695561,0

2817337,04845

365,1*1

4

20

4

15*

0

5

1

P

Po

001032,0

0309597,0

2167181,0

4

3

2

P

P

P

ZADACI ZA VJEŽBU

1. U kutiji imamo 20 kuglica i to: 8 zelenih, 10 bijelih i 2 crne. Kolika je vjerovatnoća da će se izvući:a) zelena b) bijela c) crna

2. Ako se istovremeno bace 2 kocke, čije su stranice numerisane brojevima od 1 do 6 kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na gornjim stranicama biti 5 ili 7?

3. Od 200 studenata prve godine ekonomskog fakulteta 150 je sa završenom ekonomskom školom, 30 sa završenom gimnazijom i 20 sa završenim ostalim školama. Kolike su vjerovatnoće da će u slučajnom izboru 1 studenta biti izabran student:a) sa završenom ekonomskom školom b) sa završenom gimanazijom prije studenata sa završenom nekom od ostalih srednjih škola

4. U jednoj fabrici konfekcije ustanovljeno je da se u proizvodnji muških odijela javljaju greške u krojenju kod 5% odijela, a greške u materijalu kod 3% odijela. Kolika je vjerovatnoća da će jedno slučajno izabrano odijelo:a) biti sa greškom u krojenju i sa greškom u materijalub) biti samo sa greškom u krojenju ili samo sa greškom u materijaluc) biti bez greške?

5. Uzet je slučajan uzorak od 80 advokata i postavljeno im je pitanje da li su za ili protiv smrtne kazne. U sljedećoj tabeli su date dvije klasifikacije njihovih odgovora.

Ako je jedan advokat slučajno izabran iz ove grupe, odredite vjerovatnoću da je taj advokata) za smrtnu kaznub) ženskoc) protiv smrtne kazne pod uslovom da je ženskod) muško pod uslovom da je za smrtnu kaznue) žensko i za smrtnu kaznuf) protiv smrtne kazne ili je muško.

  Za smrtnu kaznu

Protiv smrtne kazne

Muško 32 24Žensko 13 11

6. Opća stopa aktivnosti stanovništva (broj aktivnih podijeljen br. uk stanovništva X 100) je 40%. Kolike su vjerovatnoće da će u jednom slučajnom tročlanom domaćinstvu biti:a) 0,1,2,3 aktivnih članovab) Najviše dva aktivna članac) Najmanje jedan aktivan čland) Najmanje jedan, a najviše dva člana?

7. Od 600 radnika preduzeća 150 ih je sa završenim fakultetom. Kolika je vjerovatnoća da će od 60 slučajno izabranih radnika 20 biti sa fakultetom?

8. U jednoj kutiji nalazi se 5 kuglica istih dimenzija od kojih su 3 plave a 2 zelene. Izračunati vjerovatnoću da će se u 7 izvlačenja plava kuglica izvući 4 puta.(izvučene kuglice se ne vraćaju u kutiju)

9. Od ukupno proizvedene robe 5% je oštećeno. Kolika je vjerovatnoća da će u 10 slučajeva odabrani proizvod biti u 3 slučaja oštećen?

10. Od 3000 proizvedenih računara vjerovatnoća da je neki od njih neispravan je 0,003%. Kolika je vjerovatnoća da će od ukupnog broja proizvedenih računara:a) 4 biti neispravnab) najviše 3 neispravna.

11. U prodavnici se nalazi 20 TV aparata, od kojih su 4 sa nedostatkom. Kolika je vjerovatnoća da će od 6 prodanih TV aparata u pojedinačnoj prodaji 2 biti sa nedostatkom?

12. Fabrika automobilskih motora proizvela je u toku jedne godine 10000 motora. Vjerovatnoća da je neki motor neispravan je 0,001. Kolika je vjerovatnoća da će od ukupnog broja motora biti najmanje 3 neispravna?

13. Od 15 radnika jednog odjeljenja 5 je ženskih i 10 muških. Slučajnom izborom treba izabrati 5 radnika radi anketiranja. Nakon izbora svakog radnika pojedinačno on se isključuje sa spiska. Izračunati vjerovatnoće da će među izabranim radnicima biti najviše 2 žene?