TEORM BAKI

8/10/2019 TEORM BAKI

1/28

UNIT PELAJARAN 2

TEOREM BAKI, TEOREM FAKTOR,

PERSAMAAN DAN KETAKSAMAAN KUADRATIK

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Mengenal Teorem Baki dan Teorem Faktor.

2. Menyelesaikan masalah polinomial menggunakan Teorem Baki dan

Teorem Faktor.

3. Mengenal persamaan kuadratik dan cara penyelesaiannya.

4. Mengenal ketaksamaan kuadratik dan cara penyelesaiannya.

PENGENALAN

Dalam unit pelajaran yang lepas, kita telah mempelajari tentang

apa itu polinomial, operasi-operasi asas terhadap polinomial serta

pemfaktoran polinomial, Dalam unit pelajaran ini, beberapa kon-

sep berkaitan dengan polinomial akan dibincangkan seperti Teorem Baki,

Teorem Faktor, penyelesaian persamaan kuadratik dan ketaksamaan kuad-

ratik.

31


2/28

UNIT PELAJARAN 2. Polinomial 2 | 32

2.1 Teorem Baki

Apabila57 dibahagikan dengan9, hasil bahaginya adalah6dengan bakinya

3iaitu seperti berikut:

6

9 57

54

3 Baki

Pernyataan di atas boleh ditulis sebagai57 = (6 9) + 3

Begitu juga apabila satu polinomialx2 + 3x 8dibahagikan dengan poli-nomial x 2hasil bahaginya adalah(x+ 5) dengan bakinya2:

x+ 5

x 2 x2 + 3x 8x2 2x

5x

8

5x 102

Pernyataan di atas boleh ditulis sebagai x2 + 3x 8 = (x 2)(x+ 5) + 2iaitu

Polinomial= (Pembahagi)(Hasilbahagi) +Baki (2.1)

Secara umumnya, katakan polinomial diwakili oleh P(x), pembahagi di-

wakili oleh x a, hasil bahagi diwakili oleh Q(x) dan baki diwakili oleh R.Maka,

P(x) = (x a)Q(x) +R (2.2)

Teorem 2.1 (Teorem Baki) DiberiP(x) = (xa)Q(x)+ R:Jikax= a, makaP(a) =R:


3/28


Contoh 2.1 Cari baki apabila polinomialx2 5x+ 12 dibahagikan denganx 4:

Selesaian: KatakanP(x) =x2 5x+ 12:Gantikan denganx = 4ke dalamP(x);kita peroleh,

P(4) = 42 5(4) + 12

= 16 20 + 12

= 8

Jadi, bakinya adalah8:

Contoh 2.2 Cari baki apabila polinomial3x3 + 2x 7 dibahagikan dengan(x+ 1) :

Selesaian: KatakanP(x) = 3x3 + 2x7:Gantikan denganx= 1(a = 1

sebabx+ 1 =x (1)atau anggapx+ 1 = 0, oleh itux = 1).

P(1) = 3(1)3 + 2(1) 7

= 3 2 7

= 12

Jadi, bakinya adalah

12:

Contoh 2.3 Cari baki apabila polinomial 8x4 6x2 + 2x+ 5 dibahagikandengan(2x 1) :

Selesaian: KatakanP(x) = 8x4 6x2 + 2x+ 5: Gantikan denganx = 12


4/28


(anggap2x 1 = 0, oleh itux = 12).

P1

2

= 81

2

4 61

2

2 + 21

2

+ 5

= 8

1

16

6

1

4

+ 1 + 5

= 5

Jadi bakinya adalah5.

Contoh 2.4 Cari baki apabila polinomial5 +x

4x3 dibahagikan dengan

(2x+ 3).

Selesaian: KatakanP(x) = 5 + x 4x3. Gantikan denganx = 32

(anggap

2x+ 3 = 0, oleh itux = 32).

P(32

) = 5 +

3

2

4

3

2

3

= 5 3

2+27

2

= 17

Jadi bakinya adalah17:

Cuba ini!! Berapa baki apabila x2 + x 12

dibahagikan dengan x 3?

Contoh 2.5 Polinomial2x3 +ax2 24x+ 9 memberi baki9 apabila diba-hagikan dengan(x+ 4). Carikan nilaia.

Selesaian: KatakanP(x) = 2x3 +ax2 24x+ 9. Diberix =4 (anggap


5/28


x+ 4 = 0, oleh itux = 4), dan diberiP(4) = 9, maka,

P(

4) = 2(

4)3 +a(

4)2

24(

4) + 9 = 9

128 + 16a+ 96 + 9 = 9

16a = 9 + 128 96 9

16a = 32

a = 2

Cuba ini!! Apa nilai a jika baki bagi soalan 5 di

atas adalah 25 bila dibahagikan dengan x + 4?

Latihan Formatif 2.1

1. Cari baki apabila:

(a) x3 + 2x 5dibahagikan dengan(x+ 3) :

(b) 4x3 2x2 5x+ 6 dibahagikan dengan(2x+ 3) :

(c) 4x4 6x2 + 2x+ 5 dibahagikan dengan(2x 1) :

2. Gunakan Teorem Baki untuk mencari baki apabila:

(a) x5 +x3 dibahagikan dengan(x 1) :

(b) x3 + 2ax2 a2x+ 3a3 dibahagikan dengan(x+a) :

(c) 9x3 3x2 5x+ 4 dibahagikan dengan(3x+ 2) :


6/28


3. Cari nilaik dalam setiap kes berikut:

(a) Apabila polinomial x2+kx+5 dibahagikan dengan (x 1), bakinya

adalah10.

(b) Apabila polinomialx33x2 + 8kx + 5dibahagikan dengan(x 3),bakinya adalah17.

(c) Apabila polinomial5x4 + (k 2)x2 + 7kx 4dibahagikan dengan(x 1), bakinya adalah23:

4. Polinomial 2x3 +ax2

6x

b memberi baki 19 apabila dibahagikan

dengan (x+ 2) dan memberi baki 51

4 apabila dibahagikan dengan

(2x 1). Cari nilaia dan nilaib.

2.2 Teorem Faktor

Takrifan 2.1 Apabila satu polinomial P(x) boleh dibahagikan tepat oleh

(x a)tanpa menghasilkan baki (baki= 0), maka(x a)dinamakanfaktorbagiP(x).

P(x) = (x a)Q(x) +Rseperti yang terdapat dalam Teorem Baki bolehdigunakan untuk mencari faktor bagiP(x):

Katakan(x a) adalah satu faktor bagiP(x); makaR = 0 (sebab tidakada baki). Oleh itu,

P(a) = (a a)Q(a) + 0

= 0

Teorem 2.2 (Teorem Faktor) (x a) adalah satu faktor bagi polinomialP(x)jika dan hanya jikaP(a) = 0:

Ini bermaksud, jika x a adalah satu faktor bagi P(x), makaP(a) = 0.Sebaliknya, jikaP(a) = 0, makax aadalah satu faktor bagiP(x):


7/28


Contoh 2.6 Tunjukkan(x 3)adalah satu faktor bagi polinomialx3 2x2 4x+ 3:

Selesaian: KatakanP(x) = x3 2x2 4x+ 3: Oleh keranax 3 adalahsatu faktor, gantix = 3, maka diperoleh

P(3) = 33 2(3)2 4(3) + 3

= 27 18 12 + 3

= 0

Oleh itu,(x 3)adalah satu faktor bagix3 2x2 4x+ 3.

Contoh 2.7 Tunjukkan bahawa(x+ 1) adalah satu faktor bagi3x2 + 8x + 5:

Selesaian: KatakanP(x) = 3x2 + 8x+ 5: Oleh kerana(x+ 1) adalah satu

faktor, gantix = 1, maka diperoleh

P(1) = 3(1)2 + 8(1) + 5

= 3 8 + 5

= 0

Oleh itu,(x+ 1) adalah satu faktor bagi3x2 + 8x+ 5:

Bolehkah anda

mencari satu lagi

faktor bagi 3x2 + 8x +


8/28


Contoh 2.8 Buktikan bahawa (2x 1) adalah satu faktor bagi polinomial2x3 +x2 13x+ 6:

Selesaian: KatakanP(x) = 2x3 + x2 13x + 6:Oleh kerana(2x 1)adalahsatu faktor, gantikanx =

1

2;maka diperoleh

P(1

2) = 2

1

2

3 +

1

2

2 13

1

2

+ 6

= 2

8+

1

413

2 + 6

= 0

Oleh itu,(2x 1)adalah satu faktor bagi2x3 +x2 13x+ 6.

Contoh 2.9 Cari nilaik jika(x+ 2) adalah satu faktor bagix3 + 2x2 + kx 2:

Selesaian: KatakanP(x) =x3 + 2x2 +kx 2.Oleh kerana(x+ 2) adalahsatu faktor, gantikanx = 2, maka diperoleh

P(2) = (2)3 + 2(2)2 +k(2) 2 = 0

8 + 8 2k 2 = 0

2k = 2

k = 1

Contoh 2.10 Cari faktor-faktor bagi polinomialx3 4x2 +x+ 6

Selesaian KatakanP(x) = x3 4x2 +x + 6. Oleh keranaP(x) berkuasatiga dalamx, maka ia mempunyai maksimum tiga faktor iaitu dalam

bentuk (x+a) ; (x+b) dan(x+c). Jadi, P(x) = (x+ a)(x+ b)(x+

c). Hasildarab bagi sebutan akhir setiap faktor adalah abc dan ini

mesti bersamaan denganabc = 6. Jadi, nilai-nilaia, bdanc mungkin

1; 2; 3 dan6 dan faktor-faktor yang mungkin adalah x 1;


9/28


x 2; x 3 danx 6. Dengan menggunakan kaedah cuba jaya,diperoleh:

P(1) = 13 4(1)2 + 1 + 6

= 1 4 + 1 + 6

= 4 6= 0

Jadi,(x 1)bukan faktor bagiP(x).

P(1) = (1)3 4(1)2 + (1) + 6

= 1 4 1 + 6 = 0

Jadi, (x+ 1) adalah faktor bagi P(x). Oleh itu, dengan melakukan

pembahagian dengan(x+ 1) sebagai pembahagi, diperoleh:

x2

5x+ 6

x+ 1 x3 4x2 +x+ 6x3 +x2

5x2 +x5x2 5x

6x+ 6

6x+ 6

Jadi,x3 4x2 +x+ 6 = (x+ 1)(x2 5x+ 6). Seterusnya,x2 5x+ 6boleh difaktorkan menjadi(x 2)(x 3). Oleh itu, x3 4x2 +x+ 6 =(x+ 1)(x 2)(x 3):


10/28



1. Tunjukkan(x 5)adalah satu faktor bagix3

5x2

x+ 5:

2. Tunjukkan(x+ 1) adalah satu faktor bagi 2x6 x4 + 4x2 5:

3. Jika(x+ 1) adalah satu faktor bagi 2x3 + 3x2 kx+ 3, cari nilaik.

4. Jika(2x+ 3) adalah satu faktor bagi2x3 kx2 x+ 30, cari nilaik.

5. Ungkapanax2 +bx 40 boleh dibahagikan dengan tepat oleh faktor-faktor(x 5)dan(x+ 2). Cari nilaia dan nilaib.

6. Dengan menggunakan Teorem Faktor, tentukan yang manakah antara

ungkapan-ungkapan (x+ 1) ; (x 1) ; (x+ 2) ; dan (x 2) adalah fak-tor atau faktor-faktor bagi polinomial berikut:

(a) x3 x2 4x+ 4

(b) 2x3 +x2 5x+ 2

(c) 4x3 +x2 27x+ 18

7. Diberix2adalah satu faktor bagi2x3+x222x+24. Cari faktor-faktoryang lain.

8. Polinomial2x3 3ax2 bx+ 2aboleh dibahagikan dengan tepat olehx2 5x+ 6. Cari nilaia dan nilaib.

2.3 Persamaan Kuadratik

Sebelum ini, kita telah berjumpa dengan ungkapan-ungkapan seperti x2 +

3x+ 2; 3x2 + 8x 3dan6x2 7x 3di mana ungkapan-ungkapan tersebut

berdarjah dua dengan satu pembolehubah sahaja. Ungkapan-ungkapan


11/28


ini dipanggil ungkapan kuadratik. Sekiranya ada persamaan-persamaan

seperti

x2 + 3x+ 2 = 0; 3x2 + 8x 3 = 0dan6x2 7x 3 = 0

persamaan-persamaan ini dipanggilpersamaan kuadratik.

Takrifan 2.2 (Persamaan Kuadratik) Secara umumnya,persamaan kuad-

ratikadalah satu persamaan yang dalam bentuk

ax2 +bx+c= 0 (2.3)

dengana 6= 0sertaa,b danc adalah pemalar-pemalar.

Contoh 2.11 Tukarkan persamaan-persamaan berikut ke dalam bentuk per-

samaan kuadratikax2 +bx+c= 0.

(a) 2x2 + 5x

1 =x2 + 6x+ 1

Selesaian:

2x2 + 5x 1 = x2 + 6x+ 1

2x2 + 5x 1 (x2 + 6x+ 1) = x2 + 6x+ 1 (x2 + 6x+ 1)

2x2 + 5x 1 x2 6x 1 = 0

x

2

x 2 = 0

(b) x2 + 10x 3 = 3x 15

Selesaian:

x2 + 10x 3 (3x 15) = 3x 15 (3x 15)

x2

+ 10x 3 3x+ 15 = 0x2 + 7x+ 12 = 0


12/28


(c) x2 4x 1 = 2(x 5)

Selesaian:

x2 4x 1 = 2x 10

x2 4x 1 (2x 10) = 2x 10 (2x 10)

x2 4x 1 2x+ 10 = 0

x2 6x+ 9 = 0

2.3.1 Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Dengan Kaedah Pemfak-

toran

Untuk mencari penyelesaian bagi persamaan kuadratik dengan menggu-

nakan kaedah pemfaktoran, kita perlu menggunakan satu petua yang baru

yang dipanggilPrinsip Hasil darab Sifar.

Takrifan 2.3 (Prinsip Hasil darab Sifar) Satu persamaanA

B= 0adalah

benar jika dan hanya jikaA = 0atauB = 0atau kedua-duanya sifar.

Untuk mencari penyelesaian bagi persamaan kuadratik dengan meng-

gunakan Prinsip Hasil darab Sifar, persamaan kuadratik itu mesti difak-

torkan terlebih dahulu.

Sebagai contoh, selesaikanx2 +x 6 = 0:

x2 +x 6 = 0

(x+ 3)(x 2) = 0

Mengikut Prinsip Hasil darab Sifar, ini bermaknax +3 = 0ataux2 = 0:Jadi,

x+ 3 = 0 ) x= 3x 2 = 0 ) x= 2


13/28


Oleh itu,(x+ 3)(x 2) = 0ada dua penyelesaian iaitu 3atau2.

Contoh 2.12 Selesaikan2x2 9x= 0:

Selesaian:

2x2 9x = 0

x(2x 9) = 0

x = 0atau2x 9 = 0

x = 0ataux =

9

2

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah0 atau9

2:

Contoh 2.13 Selesaikanx2 x 2 = 0:

Selesaian:

x2 x 2 = 0

(x 2)(x+ 1) = 0

x 2 = 0ataux+ 1 = 0

x = 2ataux =

1

Cuba semak jawapan ini

dengan memasukkan semula

nilai-nilai ini ke dalam

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah2 atau1.


14/28


Contoh 2.14 Selesaikan5x2 34x 7 = 0:

Selesaian:

5x2 34x 7 = 0

(5x+ 1)(x 7) = 0

5x+ 1 = 0ataux 7 = 0

x = 15

ataux = 7


Contoh 2.15 Selesaikan4x2 = 25:

Selesaian:

4x2 = 25

4x2

25 = 0(2x)2 52 = 0

(2x 5)(2x+ 5) = 0

2x 5 = 0atau2x+ 5 = 0

x = 5

2ataux = 5

2

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah52 atau52 :


15/28


Contoh 2.16 Selesaikanx2 = 8x 15:

Selesaian:

x2 = 8x 15

x2 8x+ 15 = 0

(x 5)(x 3) = 0

x 5 = 0ataux 3 = 0

x = 5ataux = 3


Contoh 2.17 Selesaikan(2x 1)(x+ 3) = 9:

Selesaian: Berhati-hati dengan persamaan seperti ini. Walau pun sebelah

kiri persamaan telah difaktorkan, tetapi sebelah kanan bukan 0. Oleh

itu, kita perlu kembangkan sebelah kiri terlebih dahulu.

(2x 1)(x+ 3) = 9

2x2 + 6x x 3 = 9

2x2 + 6x x 3 9 = 0

2x2 + 5x 12 = 0

(2x 3)(x+ 4) = 0

2x 3 = 0ataux+ 4 = 0

x = 3

2ataux = 4

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah3

2atau4.


16/28


2.3.2 Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Dengan Menggunakan Ru-

mus Kuadratik

Kita telah mempelajari bagaimana mencari persamaan kuadratik dengan

kaedah pemfaktoran dan Prinsip Hasil darab Sifar. Namun demikian tidak

semua persamaan kuadratik boleh difaktorkan. Sebagai contoh, x2 5x+2 = 0 tidak boleh diselesaikan dengan kaedah pemfaktoran. Oleh itu, kita

perlu menggunakan cara lain. Salah satu cara itu adalah menggunakan

rumus kuadratik seperti berikut;

Takrifan 2.4 (Rumus Kuadratik) Penyelesaian-penyelesaian bagi suatu

persamaan kuadratikax2 +bx+ c = 0 (di manaa6= 0) adalah diberi olehrumus kuadratik

x=b pb2 4ac

2a(2.4)

Contoh 2.18 Selesaikan x2 5x + 4 = 0 dengan menggunakan rumuskuadratik

:

Selesaian: Bagix2 5x+ 4 = 0; a= 1; b= 5danc = 4:Oleh itu,

x = (5)

q(5)2 4(1)(4)2(1)

= 5 p25 16

2

=

5

p9

2

= 5 + 3

2 atau

5 32

= 4atau1

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah4 atau1:


17/28


Contoh 2.19 Selesaikan4x2 + 9x+ 2 = 0 dengan menggunakan rumus

kuadratik:

Selesaian: a= 4; b= 9danc = 2:Oleh itu,

x = 9

p92 4(4)(2)2(4)

= 9 p49

8

= 9 7

8

=

1

4atau

2

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah14

atau2.

Contoh 2.20 Selesaikan x2 3x + 1 = 0 dengan menggunakan rumuskuadratik.


x = (3)

q(3)2 4(1)(1)2(1)

= 3 p9 4

2

= 3 p5

2

= 3 +

p5

2 atau

3 p52

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah3 +

p5

2 atau

3 p52

:


18/28


Contoh 2.21 Selesaikan x2 2x + 3 = 0 dengan menggunakan rumuskuadratik.


x = (2)

q(2)2 4(1)(3)2(1)

= 2 p4 12

2

= 2 p8

2

Tiada penyelesaian sebabp8tidak wujud iaitu bukan nombor nyata.

2.3.3 Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Dengan Melengkapkan Kua-

sa Dua

Bagi menulis persamaan kuadratik dalam bentuk melengkapkan kuasa dua,

langkah-langkah berikut perlu kita ikut;

Tentukan pekali bagix2 adalah positif dan bernilai1

ax2 +bx+c = 0

a

x2 +

b

ax+

c

a

= 0

Seterusnya,a"

x+ b2a

2

b2a

2+ c

a

#= 0


19/28


Contoh 2.22 Selesaikanx2 + 6x+ 8 = 0 dengan menggunakan kaedah

melengkapkan kuasa dua.

Selesaian: a= 1; b= 6danc = 8:Sekarangx2 + 6x+ 8 = 0:

1[x2 + 6x+ 8] = 0x+

6

2

2

6

2

2

+ 8 = 0

(x+ 3)2 9 + 8 = 0

(x+ 3)2 1 = 0

(x+ 3)2 = 1

x+ 3 = 1

x = 3 1

x = 2atau 4

Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah2atau4.

Contoh 2.23 Selesaikanx2 x 12 = 0 dengan menggunakan kaedahmelengkapkan kuasa dua.

Selesaian: a= 1; b= 1danc = 12:Sekarangx2 x 12 = 0:

x 1

2

2

12

2

12 = 0

x 12

2 1

4 12 = 0

x 12

2

494

= 0x 1

2

2

= 49

4

x 12

= 72

x = 1

27

2x = 4ataux = 3


20/28


Oleh itu, penyelesaian-penyelesaiannya adalah4 atau3:


1. Selesaikan berikut dengan menggunakan Prinsip Hasil darab Sifar:

(a) (x+ 9)(x 3) = 0

(b) t(t 8) = 0

(c) 7x(2x+ 9) = 0

(d) ( 19 3x)(1

5+ 2x) = 0

(e) (x+ 3)(2x 5)(x 6) = 0

2. Selesaikan berikut dengan kaedah pemfaktoran dan menggunakan

Prinsip Hasil darab Sifar.

(a) x2 + 9x+ 14 = 0

(b) x2 4x 21 = 0

(c) 4x2 9 = 0

(d) x2 9x= 0

(e) 3x2 7x= 20

(f) 12y2 = 2 + 5y

(g) 1 +x2 = 2x

(h) (x+ 3)(3x+ 5) = 7

(i) 36m2 9 = 40

(j) (2a+ 1)(4a 1) = 14.

3. Hasildarab bagi dua integer positif yang berturutan adalah156. Cari

integer-integer itu.


21/28


4. Selesaikan berikut dengan menggunakan sama ada(1)keadah rumus

kuadratik,atau,(2) kaedah melengkapkan kuasa dua:

(a) x2 + 9x+ 14 = 0

(b) x2 4x 21 = 0

(c) 3x2 7x= 20

(d) 12y2 = 2 + 5y

(e) 1 = 2x x2

(f) (3 +m)(3m+ 5) = 7

(g) (4t 1)(2t+ 1) = 14.

2.4 Ketaksamaan Kuadratik

Sebelum ini, kita telah mempelajari mengenai persamaan kuadratik ax2 +

bx+c= 0. Ketaksamaan kuadratik pula adalah ungkapan kuadratik bersamadengan simbol ketaksamaan (; ; ) iaitu seperti:

ax2 +bx+c < 0

ax2 +bx+c > 0

ax2 +bx+c 0

ax

2

+bx+c 0

Untuk mencari penyelesaian-penyelesaian bagi ketaksamaan kuadratik,

biasanya kita gunakan kaedah pemfaktoran untuk mencari faktor-faktor dan

seterusnya menggunakankaedah analisis tanda.

Dalam analisis tanda, mula-mula kita cari nilai x di mana sesuatu faktor

itu bernilai sifar. Nilaix ini dipanggiltitik genting. Bagiax2 + bx + c >0 dan

ax2 +bx+c 0, kita mahu kedua-dua faktor mempunyai tanda yang sama


22/28


(iaitu positif-positif atau negatif-negatif) manakala bagi ax2 +bx+c 0:

Selesaian: Mula-mula faktorkan: (x 2)(x+ 3) > 0: Jadi titik-titik gentingadalah dix = 2danx = 3:Analisis tanda adalah seperti berikut:

Tanda untuk(x 2) + + +

Tanda untuk(x+ 3) + + + + + +

Perhatikan jika x2 + x 6 > 0, penyelesaiannya

adalah x < -3 atau x > 2

Jadi, kita memerlukan kedua-dua faktor memberikan tanda-tanda yang

sama. Ini berlaku apabilax < 3ataux >2:

Contoh 2.25 Cari penyelesaian bagi ketaksamaan:3x2 + 16x 12 0

Selesaian: Melalui pemfaktoran diperoleh:(3x2)(x+6) 0:Jadi, titik-titikgenting adalah dix =

2

3dan dix =6: Analisis tanda adalah seperti


23/28


berikut:

Tanda untuk(3x 2) + + +Tanda untuk(x+ 6) + + + + + +

......... .........62

3

Oleh kerana ketaksamaan melibatkan, maka kita mahu faktor-faktor(3x 2)dan(x + 6)mempunyai tanda yang berbeza. Ini berlaku di an-tara nilai-nilai

6dan

2

3

(termasuk). Oleh itu penyelesaiannya adalah

6 x 23

:

Contoh 2.26 Selesaikan5y2 + 8y 0:

Selesaian: Melalui pemfaktoran diperoleh: y(5y + 8) 0: Maka, titik-titikgenting adalah diy = 0 dany =8

5: Analisis tanda adalah seperti

berikut:

Tanda untuky + + +Tanda untuk(5y+ 8) + + + + + +

......... .........

Oleh kerana ketaksamaan melibatkan

, maka kita mahu faktor-faktor

kita mempunyai tanda yang sama. Jadi penyelesaian yang dikehen-

daki adalahy 85

atauy 0.


24/28



Tentukan penyelesaian bagi setiap ketaksamaan kuadratik berikut:

1. x2 + 3x 10< 0

2. 15y2 y 2 0

3. 4m2 25> 0

4. 6x2 + 5x 4 0

5. (3 +m)(3m+ 5) 7

RUMUSAN

Dalam Unit 2 ini kita telah mempelajari mengenai teorem baki, teorem faktor

dan kaedah-kaedah penyelesaian persamaan dan ketaksamaan kuadratik.

KATA KUNCI

Teorem baki, teorem faktor, rumus kuadratik, melengkapkan kuasadua, per-

samaan dan ketaksamaan kuadratik.

LATIHAN SUMATIF 2

1. Polinomial 2x3 +ax2 24x+ 9 memberi baki 9 apabila dibahagikandengan(x+ 4). Cari nilaia.

2. Apabila polinomialx3 +px2 2p2x + 8p3 dibahagikan dengan(x 2p),baki yang diperoleh adalah128. Cari nilai-nilai yang mungkin bagip.

3. Diberi bahawa polinomialax3

+x227x+2bboleh dibahagikan dengan

tepat oleh(x2 x 12). Carikan nilai-nilaia danb.


25/28


4. Cari nilai bagin jikaxn 12x2 16 mempunyai(x 2) sebagai salahsatu faktornya.

5. Selesaikan dengan menggunakan kaedah pemfaktoran.

(a) 4x2 + 5x 6 = 0

(b) 3x2 + 4x= 1

6. Selesaikan dengan menggunakan kaedah melengkapkan kuasa dua.

(a) 3x2 + 4x

1 = 0

(b) x2 + 102 = 23x

7. Selesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik.

(a) 5m2 = 11m+ 3

(b) x2 +x= 1

8. Sisi hipotenus bagi satu segitiga bersudut tegak adalah6 meter pan-

jangnya. Sisi kedua segtiga itu adalah1 meter lebih panjang daripada

sisi ketiga. Cari panjang bagi setiap sisi itu.

9. Panjang bagi satu segiempat tepat adalah dua kali lebarnya. Luas

segi empat tepat itu adalah 16 meter2. Cari panjang dan lebar segi

empat tepat itu.

10. Selesaikan ketaksamaan berikut.

(a) 3x2 + 14x 5 0

(b) 10y2 39y+ 27 0


26/28


RUJUKAN

1. Aufmann, R.N., Barker, V.C., Lockwood, J.S. (2000). Intermediate Al-

gebra with Application, 5th Ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Com-

pany.

2. Dugopolski, M. (2009). Elementary and Intermediate Algebra, 3rd ed.

IL: McGraw-Hill.

3. Gustafson, R.D., Frisk, P.D., (1999).Algebra for College Students, 5th

Ed. CA: Brooks/Cole Publishing Company.

4. Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., Heyd, D.E. (1997). Col-

lege Algebra: A Graphing Approach, 2nd Ed. Boston, MA: Houghton

Mifflin Company.

5. Spiegel, M.R. & Moyer, R.E. (2006). Schaums Outlines: College Al-

gebra, 3rd ed. NY: McGraw-Hill.

JAWAPAN


1. (a) 38 (b) 9=2 (c)194

2. (a) 2 (b) 5a3

(c)

10

3

3. (a) 4 (b) 2 (c) 3

4. a=28

5 b= 3

5


3.

4

4. 11


27/28


5. a= 4; b= 12

6. (a) x 1; x+ 2; x 2 (b) x 1; x+ 2 (c) x 2

7. 2x 3; x+ 4

8. a= 3; b= 7


1. (a) 9; 3 (b) 0; 8 (c) 0; 9=2 (d) 127

; 52

(e) 3;52

; 6

2. (a)2; 7 (b)3; 7 (c)32

;32

(d) 0; 9 (e)53

; 4 (f)1

4;2

3 (g) 1 (h) 2

3; 4 (i) 7

6;7

6 (j) 3

2;5

4

3. 12; 13

4. (a)2; 7 (b)3; 7 (c) 53

; 4 (d) 14

;2

3 (e) 1 (f)

2

3; 4

(g) 32

;54


1.5< x 52

4.43 x 1

2

5. m 4ataum 23


28/28


LATIHAN SUMATIF 2

1. a= 2

2. p= 2

3. a= 2; b= 18

4. n= 6

5. (a) 2;34

(b) 13

; 1

6. (a) 1:55; 0:22 (b) 6; 17

7. (a) 0:245; 2:445 (b)tiada penyelesaian

8. 3:71meter,4:71meter

9. 2:83meter,5:66meter

10. (a) x

5ataux

1

3

(b) 9

10y

3

Documents

TEORM BAKI