Embed Size (px)
Citation preview
TERMÉSZETES SZÁMOK
OSZTHATÓSÁGA
7 A MATEMATIKA A TITKOK SZOBÁJÁBAN
Természetes számokat fogsz azonosítani különböző kontextusokban:
természetes számokat fogsz azonosítani egy diagramban, egy grafikonban vagy egy táblázatban, amelyek egy gyakorlati helyzet adatait tartalmazzák; azonosítani fogsz egy természetes számot, a számjegyei által teljesített feltételek alapján.
Műveleteket fogsz végezni természetes számokkal, használva a számtani műveleteket és ezek tulajdonságait:
Számtani műveleteket fogsz végezni természetes számokkal.
81
A természetes számokkal végzett műveletekre és az oszthatóságra számítási szabályokat fogsz alkalmazni:
bizonyos kijelentések logikai értékének meghatározása érdekében alkalmazni fogod a 2, 5, 10n, 3 vagy 9 számokkal való oszthatósági szabályokat (kritériumokat); természetes számok meghatározására alkalmazni fogod a 2, 5, 10n, 3 vagy 9 számokkal való oszthatósági szabályokat (kritériumokat); természetes számot fogsz meghatározni, a számjegyei által teljesített feltételek alapján.
Összehasonlítás, megközelítés, becslés és természetes számokkal való műveletek egyes tulajdonságait fogod kifejezni matematikai nyelvezetben:
kétjegyű természetes számokat, törzstényezők szorzataként fogsz kifejezni.
Természetes számokat tartalmazó adott helyzeteket fogsz elemezni, a számítási eredmény becslése vagy igazolása érdekében
adott feltételeket teljesítő természetes számokat fogsz meghatározni; a természetes számok oszthatósági szabályait alkalmazni fogod mindennapi helyzetekre.
Természetes számokat használva adott helyzetekre matematikai mintát fogsz alkotni, megoldod a kapott feladatot aritmetikai módszerekkel és értelmezed az eredményt:
gyakorlati feladatokat fogsz megoldani az osztó és a többszörös fogalmak használatával.
Figyeld meg és fedezd fel!
Az 1. képen 12 nyuszi látható. A 2. képen a nyuszikról állítjuk, hogy kettesével csoportosítottuk 6 sorba vagy hatosával csoportosítottuk 2 oszlopba.
1) Figyeld meg a 3. képet és mond meg, hogy hány sorban vannak csoportosítva a nyuszik. És hány oszlopba?
2) Ha 15 nyuszi lenne, akkor csoportosíthatnád őket kettesével? Hát hármasával?
3) Hányasával csoportosíthatnád még a 15 nyuszit?
Figyeld meg az 1. ábrát. Az első négyzetet összekötöttük a 2-es számmal, mivel a 8 golyó kettesével csoportosítható.
1) Kösd össze a négyzeteket a megfelelő számokkal, a fenti szabály szerint. 2) A második sorba milyen számokat írhatunk volna még, hogy a 12 golyót tartalmazó négyzettel
összeköthetőek legyenek? 3) A 2. ábrán látható négyzetbe hány golyót kellene még behelyezni, hogy az összeköthető legyen 9-cel?
Fontos
82 TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
• Egy a természetes szám osztható egy b természetes számmal, ha létezik egy c természetes szám úgy, hogy a = b ∙ c. Így írom Így olvasom a b • „Az a szám osztható a b számmal”.
Példa: 8 2 . 8 osztható 2-vel, mivel létezik a 4 természetes szám úgy, hogy 8 2 4 b | a • „A b szám osztja az a számot”.
Példa: 3 |15 . 3 osztja a 15-öt, mivel létezik az 5 természetes szám úgy, hogy 15 3 5 a b • „Az a szám nem osztható a b számmal”.
Példa: 8 3 . 8 nem osztható 3-mal, mivel nem létezik c természetes szám úgy, hogy 8 3 c b | a • „A b szám nem osztja az a számot”.
Példa: 3 | 22 . 3 nem osztja a 22-öt, mivel nem létezik c természetes szám úgy, hogy 22 3 c
1. ábra 2. ábra 3. ábra 4. ábra 5. ábra
A
3 5 13 7 9
V. osztályos tankönyv
7
a többszöröse b-nek
a b
b osztója a-nak
Példa: 8 2
8 a 2 többszöröse
2 a 8 osztója
a többszöröse b-nek
b│a
b osztója a-nak
Példa: 3│15
15 a 3 többszöröse
3 a 15 osztója
Általában, úgy állapítjuk meg, hogy az a szám osztható-e b számmal, hogy elosztjuk az a számot a b számmal. Ha a maradék 0 akkor a b , ellenkező esetben a b .
Példa:
144 : 12 = 12 12 =24
24 ==
144 12? IGEN
104 : 6 = 17 6 =44
42 =2
104 6?
NEM
• Bármely a természetes szám osztható 1-gyel. Leírás: 1a (vagy 1│a), bármely a természetes szám esetén.
• Bármely a természetes szám osztható önmagával. Leírás: a a (vagy a│a), bármely a természetes szám esetén.
• Az 1 és az a számok az a szám nem valódi osztói. A többi osztót valódi osztóknak nevezzük.
• A 0 szám osztható bármely természetes számmal. 0 a (vagy a│0), bármely a természetes szám esetén.
Kösd össze nyilakkal, a négyzetben levő számokat azzal a körrel, amelyben az illető szám osztója van. Egy négyzet több körrel is összeköthető!
A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és a H betűt, ha a kijelentés hamis:
a) 12 2 ;
b) 3 | 21 ;
c) 15 5 ;
d) 3 |13 ;
e) 14 4 ;
f) 38 2 ;
g) 9 | 45 ;
h) 3 |19 ;
i) 10 2
j) 27 3
k) 3 l 51;
l) 5 20l .
Az alábbi példa szerint, írd le az adott számok összes osztóját! Példa: 35 → 1, 5, 7, 35 a) 25; b) 19; c) 42; d) 36; e) 23; f) 24; g) 56.
Írd le a következő számok valódi osztóit: 14, 32, 29, 44 és 45.
Írd le a 45 és 36 számok osztóit, majd azonosítsd a két szám közös osztóit!
Az alábbi példa szerint, írd le az adott számok első öt többszörösét!
Példa: 3 → 3, 6, 9, 12, 15 a) 5; b) 9; c) 2; d) 7; e) 11; f) 4; g) 6.
Írd le a 6 és 8 számok első hat-hat többszörösét, majd azonosítsd a két szám közös többszöröseit. 83
Osztó. Többszörös. Közös osztók, közös töbször
Gyakorolj!
11 13 16 18 20 21 24 30 35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 16
3
6
7
4
5
Figyeld meg az alábbi ábrát, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve.
A B C D E F G H
Az a kör, amelynek a belsejébe írt számjegyekkel, 2-vel osztható kétjegyű számot képezhetünk.
A 2-vel osztható kétjegyű számok, amelyeket
képezhetünk.
A 2-vel nem osztható kétjegyű számok, amelyeket
képezhetünk. A 16 61
Figyeld meg az fenti ábrát, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve.
Az a kör, amelynek a belsejébe írt számjegyekkel, 5-tel osztható kétjegyű számot képezhetünk.
Az 5-tel osztható kétjegyű számok, amelyeket
képezhetünk.
Az 5-tel nem osztható kétjegyű számok, amelyeket
képezhetünk. B 70
Az 1. feladatban szereplő körök közül melyek azok, amelynek számjegyeivel 10-zel osztható kétjegyű számot képezhetünk?
84
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
1 6
0 7
2 5
4 3
9 1
1 3
8 4
5 0
3
Fontos
Ha egy természetes szám utolsó számjegye (az egyesek számjegye) 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor a szám osztható 2-vel. Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8. A 2-vel osztható természetes számokat páros számoknak nevezzük. A 2-vel nem osztható természetes számokat páratlan számoknak nevezzük. Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0 vagy 5, akkor a szám osztható 5-vel. Ha egy természetes szám osztható 5-tel, akkor az utolsó számjegye 0 vagy 5.
V. osztályos tankönyv
7
• Ha egy természetes szám utolsó n darab számjegye 0, akkor a szám osztható n10 számmal, ahol n ≥ 1.
• Ha egy természetes szám osztható n10 hatvánnyal, akkor az utolsó n darab számjegye egyenlő 0, ahol n ≥ 1.
• Ha n = 1, akkor megkapjuk a 10-zel való oszthatósági szabályt.
Adottak a következő számok: 60, 748, 902, 570, 83, 38, 6 000, 735, 634, 461, 527, 375 916. Sorold fel:
a) a 2-vel osztható számok:………………………………………………. .
b) az 5-tel osztható számok: ………………………………………………… .
c) a 10-zel osztható számok: ………………………………………………… .
Ahhoz, hogy konyítsd a Titkok szobájának lakatját, meg kell határozd azokat az x
számjegyeket, amelyekre az 135x alakú szám osztható 2-vel. Hány lehetőséget kell kipróbálj ahhoz, hogy kijussál? Melyek ezek a lehetőségek?
Melyek azok az x számjegyek, amelyekre az 135x alakú szám osztható 5-tel?
A 0, 2 és 5 számjegyeket használva írd le az összes különböző számjegyű, háromjegyű természetes számot, amelyek: a) oszthatóak 2-vel; b) oszthatóak 5-tel; c) oszthatóak 10-zel.
Az x számjegy mely értékeire lesz az 71x x alakú szám a 2 többszöröse?
Az x számjegy mely értékeire lesz az 71x x alakú szám az 5 többszöröse?
Határozd meg az x számjegy azon értékeit, amelyre a 473x alakú szám osztható 2-vel is, meg 5-tel is.
Adott az abc alakú háromjegyű természetes szám, a + b + c osztható 10-zel és a = 3. Határozd meg a b és c számjegyek összes lehetséges értékét.
Igazold, hogy nem létezik olyan n természetes szám, amelyre 2 103 n n
a) Igazold, hogy 102 1 szám osztható 5-tel. b) Igazold, hogy 3216 1 szám osztható 5-tel.
Igazold, hogy a 1 2 3 .... 10 szám osztható 210 -nel.
Mennyi az n természetes szám legnagyobb értéke, amelyre a 25-nél kisebb vagy egyenlő természetes
számok szorzata osztható legyen n10 hatvánnyal?
2-vel való oszthatósági szabály. 5-tel való oszthatósági szabály. 10n-nal való oszthatósági szabály.
Gyakorolj!
Igazold, hogy két egymásutáni természetes szám szorzata mindig osztható 2-vel.
n = 2 ∙ k. Ezért n ∙ (n + 1) = 2 ∙ k ∙ (2 ∙ k + 1) = 2 ∙ [k ∙ (2 ∙ k + 1)], n ∙ (n + 1)
osztható 2-vel.
Ha n páratlan szám, akkor n + 1 páros szám, ezért osztható n + 1 = 2 ∙ k, ahonnan n = 2 ∙ k – 1.
Ezért n ∙ (n + 1) = (2 ∙ k – 1) ∙ 2 ∙ k = 2 ∙ [k ∙ (2 ∙ k – 1)], n ∙ (n + 1) osztható 2-vel.
7
5
6
8
9
10
11
12
13
14
15
Figyeld meg és fedezzd fel!
Mindenik számlapon 2 vagy 3 számjegy van. Az A, B, C, D, E és F számlapokon levő számjegyekkel kétjegyű, különböző számjegyű számokat alkotunk, a G és H számlapokon levő számjegyekkel pedig háromjegyű, különböző számjegyű számokat képezhetünk.
• Figyeld meg a fenti számlapokat, majd egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve.
Azon számlapok, amelynek számjegyeivel 3-mal osztható
számokat képezhetünk
A 3-mal osztható számok, amelyeket képezhetünk
Az alkotott számok számjegyeinek összege
A 54, 45 5 + 4 = 9
Az 1. feladatban szereplő számlapokat használva egészítsd ki az alábbi táblázatot.
Azon számlapok, amelynek számjegyeivel 9-cel osztható
számokat képezhetünk
A 9-cel osztható számok, amelyeket képezhetünk
Az alkotott számok számjegyeinek összege
A 54, 45 5 + 4 = 9
Adottak a következő természetes számok: 603, 738, 209, 570, 83, 138, 6 030, 735, 346, 261, 527, 375 915. a) A 3-mal osztható számok: ............................................................................................... b) A 9-cel osztható számok: ................................................................................................
86
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
Fontos Ha egy természetes szám számjegyeinek összege osztható 3-mal (vagy 9-cel),akkor a szám is osztható 3-mal (vagy 9-cel). Ha egy a szám osztható 3-mal (vagy 9-cel), akkor számjegyeinek összege is osztható 3-mal (vagy 9-cel).
Gyakorolj!
3
V. osztályos tankönyv
7
Határozd meg az x számjegyet úgy, hogy a 2x5 alakú szám osztható legyen 3-mal. A meghatározott számok közül hány osztható 9-cel?
Írd le az összes 7xx1 alakú természetes számot, amelyek oszthatóak 3-mal, de nem oszthatóak 9-cel.
A 3,6,2 és 5 számjegyekkel képezhetünk-e négyjegyű, különböző számjegyű, 9-cel osztható számot? Indokold meg válaszod!
Írd le a legkisebb, majd a legnagyobb, 3-mal osztható természetes számot, amely: a) egyjegyű; b) különböző számjegyű és kétjegyű; c) különböző számjegyű és háromjegyű; d) különböző számjegyű és négyjegyű.
Igazold, hogy 2010 1 szám osztható 9-cel. Igazold, hogy 5 62 5 13 szám osztható 3-mal.
Igazold, hogy az S abc bca cab szám osztható 3-mal, az a, b, c számjegyek bármely értékére.
A Titkok szobájában Anna és Robi talált egy, a melléket ábrához hasonló, papírlapot. A papírlap hátán a következő útmutatás volt írva: Hány különböző szín található Románia zászlóján? Segíts nekik kinyitni a széfet, a papírlapon található hozzáférési kóddal.
Miután Anna és Robi kiderítette a hozzáférési kódot, a széf belsejében találták egy új papírlapot, a következő útmutatással: A szobában több kulcs található, de kiszabadulni csak az egyikkel tudsz. Nem mondjuk meg, hogy hol találod a kulcsokat, de addig nem keresheted meg őket ameddig nem határozod meg a kulcsok számát. A számnak a következő tulajdonságai vannak:
osztható 5-tel;
kétjegyű, különböző számjegyű;
számjegyeinek összege 6;
kisebb 50-nél. Hány kulcs található a szobában?
Miután átkutatták a szobát, Anna és Robi megtalálta az összes kulcsot. Abban a pillanatban kinyílt egy titkos fiók, amelyben egy kétkarú mérleg volt és egy újabb papírlap a következő útmutatással: Mindenik kulcs azonos tömegű, csak a szabadulásotok kulcsa nehezebb 1 grammal, mint a többi. A mérleggel viszont legfeljebb három mérés engedélyezett. Miután megtaláltad a megfelelő kulcsot, a szabaduláshoz még egy hozzáférési kódot kell meghatározzatok. A kód a legnagyobb négyjegyű természetes szám, amely osztható 3-mal, de 9-cel nem. • Hogy tudja meghatározni Anna és Robi a megfelelő kulcsot a mérleg segítségével? • Melyik az utolsó kód? Indokold!
Igazold, hogy három egymásutáni természetes szám szorzata osztható 3-mal.
Adj példát olyan négyjegyű, különböző számjegyű, természetes számra tudva, hogy osztható 3-mal és számjegyeinek összege 15. Létezik olyan négyjegyű természetes szám, amely osztható 3-mal és számjegyeinek összege 39? De olyan, amely 9-cel osztható? Ha egy négyjegyű szám számjegyei különbözőek és a szám osztható 3-mal, mennyivel egyenlő a számjegyek összegének, a lehető legkisebb értéke? Oldd meg ugyanazt a feladatot, ha a szám osztható 9-cel. Hány olyan kétjegyű, különböző számjegyű, természetes szám létezik, amelyek oszthatóak 3-mal, de 9-cel nem?
Hány abba alakú, 3-mal osztható, 9-cel nem osztható természetes szám létezik?
Melyik a legnagyobb különböző számjegyű, 9-
cel osztható természetes szám? 87
3-mal való oszthatósági szabály. 9-cel való oszthatósági szabály
4
11
13
15
14
16
17 18
7
10
5
8 9
6
A hozzáférési kód az alábbi
számok egyike!
4 378 1 479
2 579
7 583 1 423
88
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
A mellékelt táblázatba beírtuk az összes természetes számot 1-től 100-ig, hat oszlopba.
A második oszlopban áthúztuk az összes számot, a 2 kivételével. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál?
Hasonlóan jártunk el a 3-at tartalmazó oszlopban is. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál?
Az 5-ös esetében átlóson húztuk át a számokat, jobbról balra, fentről le. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál?
Az 7-es esetében átlóson húztuk át a számokat, balról jobbra, fentről le. Mit veszel észre? Mi a közös a kihúzott számoknál?
Húzd ki az összes számot , a 4 és 6 számokat tartalmazó oszlopokban, a 4 és 6 számokat is beleértve.
Az utolsó oszlopban keresd meg az 5-tel osztható számokat és járj el az 5-nél leírtakhoz hasonlóan, kihúzva az 5 többi többszöröseit is.
Az első oszlopban keresd meg az 7 többszöröseit és járj el az 7-nél leírtakhoz hasonlóan, kihúzva az 7 többi többszöröseit is.
Hagyd figyelmen kívül az 1-gyet. Válassz ki találomra három számot a nem kihúzottak közül és írd le az osztóikat.
Válassz ki találomra három számot a kihúzottak közül és írd le az osztóikat.
Miután megoldottad d) és e) pontokat, fogalmazz meg egy következményt az észrevételeidről.
1 2 3 4 5 6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Tudtad-e, hogy....?
A Titkok szobája koncepció számítógépes játékként kezdődött, ahol a feladatok virtuálisak voltak. Japán volt az első ország, amely a Titkok első igazi helyiségét hozta létre. Később a koncepció a világ minden országában elterjedt (Escape room).
V. osztályos tankönyv
7
Fontos • Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azt az 1-nél nagyobb természetes számot, amely csak 1-gyel
és önmagával osztható. • Összetett számnak nevezzük azt a természetes számot, amelynek az 1 és önmagán kívül más osztója is van. • A 0 és 1 számok nem prímszámok, nem összetett számok. • A 2 természetes szám az egyetlen páros prímszám. A többi prímszám mindenike páratlan. • Nem létezik egy legnagyobb prímszám vagy egy legnagyobb összetett szám.
Írd le az összes, 50-nél kisebb és 20-nál nagyobb, prímszámot.
Írd két prímszám szorzataként a következő számokat: 6, 14, 15, 21, 55.
Írd három prímszám szorzataként a következő számokat: 30, 70, 42, 165.
Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy 39 a b .
Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy 19a+b .
Igazold, hogy nem létezik olyan a és b prímszám, amelyekre
107a+b .
Igazold, hogy a 10 112 5 1 szám összetett szám.
Adj példát öt egymásutáni összetett számra.
Határozd meg az a és b prímszámokat, tudva, hogy 7 3 42 a b .
Határozd meg azt a p rímszámot, amelyre p + 3, p + 5, p + 9 és p + 11 is egyidejűleg prímszámok.
Határozd meg az a, b és c prímszámokat, tudva, hogy 3 10 14 146 a b+ c .
Határozd meg az a, b , c és d prímszámokat, tudva, hogy 5 8 30 42 454 a b+ c+ d .
Legyen p az első 100, nem nulla, természetes szám összege és n egy természetes szám, amely 2-nél nagyobb vagy egyenlő, de 100-nál kisebb vagy egyenlő. A p + n szám összetett szám-e?
Az előző feladat gondolatmenetét használva, le tudsz írni 999 egymásutáni összetett számot?
Figyeld meg a felsorolást és húzd ki a nem oda illő számokat: 31, 41, 51, 61, 71.
Figyeld meg a felsorolást és húzd ki a nem oda illő számokat: 91, 14, 19, 48, 32.
Számos kulcs van a Titkok szobájának falán. Ezek egyike, a hozzáférési kóddal együtt, megnyitja a kijárati kaput. Az útmutatás szerint, ha a kulcs számát összeadjuk a hozzáférési kódhoz, akkor az összeg 1.033 lesz és a két szám prímszám. Melyik kulcs és milyen kód segít kijutni?
Prímszámok. Összetett számok
Határozd meg az az a és b prímszámokat, tudva, hogy . Megoldás: Mivel és 46 páros számok, következik, hogy is páros szám. De 3 nem páros szám,
így a páros szám. Mivel a prímszám is és mivel az egyetlen páros prímszám a 2, következik, hogy a = 2. Tehát , innen , így b = 5.
2
3
6
7
10
8
11
4
5
12
13
9
14
18
15
16 17
A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis.
a) 42 7 ;
b 255 17 ; c) 4 | 28 ;
d) 132 11 ;
e) 0 0 ; f) 3 |132 ;
g) 73 10 ;
h) 0 7 ;
i) 5 | 135 ;
j) 135 27 ;
k) 48 7 ;
l) 9 | 149
A négyzetekbe írd az „egy többszöröse” vagy „egy osztója” mondatrészeket úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj:
a) 2 a 12-nek
b) 0 a 11-nek
c) 19 a 19 -nek
d) 1 a 24 -nek
e) 13 ∙ 5 a 13-nek
f)
f) 48 a 8-nak
g) 75 az 5-nek
h) 6 a 6 ∙ 7-nek
i) 36 a 18-nak
j) 23 a 22-nek
Írd le a következő számok mindenikének a valódi osztóit: a) 10; b) 14; c) 16; d) 28; e) 30; f) 36. Írd le a következő számok mindenikének az összes osztóját: a) 9; b) 13; c) 15; d) 18; e) 21; f) 27. Szorzatként írd le a következő számok kétjegyű többszöröseit: a) 17; b) 23; c) 35; d) 37; e) 48; f) 50. Példa: 17 ∙ 1, 17 ∙ 2, 17 ∙ 3, 17 ∙ 4 és 17 ∙ 5. Mivel 17 ∙ 6 = 102, tehát háromjegyű, ezért 17 ∙ 5 az utolsó. Adottak a következő számok: 402, 301, 204, 105, 360, 170, 150, 207, 138, 234, 345, 456, 567, 678, 789. Egészítsd ki a táblázatot. Az első sor mintaként van kitöltve.
2-vel osztható számok 3-mal osztható számok 5-tel osztható számok 9-cel osztható számok 10-zel osztható számok
402 402
A következő számok közül húzd alá a 3 többszöröseit: 4, 6, 33, 35, 39, 45, 48, 65, 113, 111, xxx , 3 ∙ 107, 3 ∙ 49 + 3 ∙ 50, 3 ∙ n és 3 ∙ n + 2, tudva, hogy x nullával nem egyenlő számjegy, n pedig egy tetszőleges természetes szám.
Igazold, hogy a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 szám osztható 3-mal.
90 9 Igazold, hogy a 2 3 4 5 6 96 97 98 991 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 szám osztható 15-tel.
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
Megoldott feladat
Igazold, hogy az szám osztható 3-mal. Megoldás: Észrevesszük, hogy 1 + 2 = 3, tehát osztható 3-mal.
Csoportosítjuk:
.
A második zárójellel kezdődően, mindenik zárójelből kiemelhetjük 2 valamely hatványát,
közös tényezőként.:
Tehát a szám osztható 3-mal.
4
5
7
8
3
V. osztályos tankönyv
7
Írd le az alábbi párokban szereplő számok mindenikének az első néhány többszöröseit, az első közös többszörösig: a) 3 és 4; b) 6 és 8; c) 5 és 7; d) 12 és 6; e) 7 és 11; f) 143 és 1 001.
A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis:
a) 312 2 ;
b) 3 | 261 ;
c) 135 5 ;
d) 3 |143 ;
e) 214 4 ;
f) 308 2 ;
g) 9 | 495 ;
h) 3 |119 ;
i) 210 2 ;
j) 327 3 ;
k) 3 | 531 ;
l) 5 | 205 .
Írd le az összes 3a alakú természetes számot, ahol a egy számjegy, úgy, hogy a szám osztható legyen: a) 2-vel; b) 3-mal; c) 4-gyel; d) 5-tel; e) 6-tal; f) 7-tel.
Írd le az összes aa alakú természetes számot, ahol a egy nullától különböző számjegy, úgy, hogy a szám az alábbi számok többszöröse legyen: a) 2-nek; b) 3-nak; c) 4-nek; d) 5-nek.
Adottak a következő természetes számok: 250, 3 324, 675, 9 460, 4 500 és 6 000. Ezek közül melyek oszthatóak: a) 2-vel; b) 3-mal; c) 5-tel; d) 9-cel; e) 10-zel.
Írd le az összes 57x alakú természetes számot, ahol a egy számjegy, úgy, hogy a szám osztható legyen:
a) 2-vel; b) 3-mal; c) 5-tel; d) 10-zel; e) 9-cel.
Írd le a 2 összes háromjegyű, különböző számjegyű, többszöröseit, amelyeket az alábbi számjegyekkel alkothatunk: a) 3, 4 és 5; b) 7, 6 és 0.
Írd le az 5 összes háromjegyű, különböző számjegyű, többszöröseit, amelyeket az alábbi számjegyekkel alkothatunk: a) 5, 7 és 8; b) 0, 3 és 5.
A 80, 45, 0, 234, 8 950, 13 453, 645, 7 000 és 5 642 számok közül melyek oszthatóak 2-vel, de 5-tel nem?
Írd le az összes kétjegyű prímszámot, amelyek kisebbek, mint: a) 30; b) 39; c) 75; d) 64.
Írd a következő számokat prímszámok szorzataként: 26, 35, 42, 51, 34, 66, 78, 91.
Ha x páros természetes szám, akkor igazold, hogy 3 10x is páros természetes szám.
Igazold, hogy három egymásutáni természetes szám szorzata osztható 3-mal.
Léteznek olyan természetes számok, amelyeknek 8-cal való osztási maradéka 6, és 4-gyel való osztási maradéka 3?
Dolgozzatok párban. Számítsd ki a lehető legkisebb számú tárgyat, amelyet egy üzemben kell legyártsanak egy nap alatt úgy, hogy ezeket 6, 8 vagy 10 darabos dobozokba csomagolhassák!
Az A gyár 78 vezetéknélküli (wireless) hangfalat gyárt egy nap alatt, a B gyár pedig 102, ugyanolyan méretű, vezetéknélküli hangfalat gyárt egy nap alatt. A csomagoláshoz szükséges dobozokat a C gyártól rendelik. Legfeljebb hány hangfalat tartalmazhat egy teli doboz, ahhoz, hogy mindkét gyár ugyanolyan típusú dobozt használhasson a napi gyártás becsomagolásához?
Adott a 9-cel osztható abcdef alakú természetes szám. Igazold, hogy ab+cd +ef szám is osztható 9-cel.
Határozd meg az a számjegyet tudva, hogy az A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a a a a a a a a a szám osztható 9-cel. 91
Határozd meg az a és b számjegyeket, a>b, tudva, hogy a 14 41b a alakú szám osztható 9-cel és a b prímszám. Ismétlés
12
14
15
16
17
18
19
20
26
27
28
24
25
10
11
21
22
23
13
10p Hivatalból
5p 1.a. Társítsd a négyzetben levő számokat valamely körben szereplő többszörösével, összekötve őket egy nyíllal.
2 3 5 7 11
27 103 49 16 25 143
5p 1.b. Társítsd a körben levő számokat valamely négyzetben szereplő osztójával, összekötve őket egy nyíllal.
14 33 30 26 54
4 5 7 9 11 13
10p 2. A négyzetekbe írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis:
221 17 11|132
3. Adottak a következő számok: 405, 172, 140, 135, 201, 101, 531, 450, 207, 702. Egészítsd ki a táblázatot a követelménynek megfelelően.
10p 4. Írd le az összes, 80-nál nagyobb, kétjegyű prímszámot.
10p 5. Írd a 78-at prímszámok szorzataként.
10p 6. Határozd meg az összes 37a alakú,2-vel osztható és 3-mal nem osztható, természetes számokat.
5p 7. Igazold, hogy nem létezik aaa alakú prímszám.
5p 8. Határozd meg az x és y prímszámokat, tudva, hogy 5x+2y = 35 .
10p 9. Határozd meg egy gyerekcsoport létszámának lehetséges legkisebb értékét úgy, hogy csoportosíthatóak legyenek 4-es, 5-ös vagy 6-os létszámú csoportokba.
92
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
2-vel osztható számok
3-mal osztható számok
5-tel osztható számok
9-vel osztható számok
10-zel osztható számok
A kijelentések mellé, a négyzetekbe, írd az I betűt, ha a kijelentés igaz és H betűt, ha a kijelentés hamis:
Egészítsd ki a négyzeteket úgy, hogy igaz kijelentést kapj.
a) 15-nek egy valódi osztója a
b) 44 –nek egy kétjegyű osztója a
c) 4-nek egy, 10-nél kisebb, többszöröse a
d) 9-nek egy háromjegyű többszöröse a
Írd le a következő számok valódi osztóit: a) 42; b) 39; c) 68.
Írd le a következő számok öt többszörösét: a) 8; b) 6; c) 11.
A Titkok szobájában a gyerekek a következő útmutatásra leltek: Anna meglátogatta Románia összes olyan térségét, amelyek az 54 szám osztóival vannak jelölve. Robi pedig azon térségeket, amelyek a 45 szám osztóival vannak jelölve.
Maramureș 5 6 Bucovina
Moldova
Segíts nekik megoldani a Titkot, válaszolva a kérdésekre. a) Milyen térségeket látogatott meg Anna? Hát Robi? b) Mely térségeket látogatták meg mindketten?
7
Banat
8
4 3 Transilvania
2
Határozd meg a 75 és 57 számok közös többszöröseit.
9 Oltenia
Muntenia
1
Írd le a 15 és 12 számok mindenikének az első néhány többszöröseit, az első közös többszörösig.
Adottak a következő számok: 72, 357, 284, 405, 504, 1 428, 133, 321, 720, 3 114. Egészítsd ki a táblázatot a követelménynek megfelelően:
2-vel osztható számok 3-mal osztható számok 5-tel osztható számok 9-vel osztható számok 10-zel osztható számok
Az x számjegy mely értékeire lesz a 37x alakú szám osztható 2-vel?
Írd le az összes 3 2x x alakú, 2-vel osztható természetes számokat.
Hány 5-tel osztható 4xy alakú természetes szám
létezik?
Írd le az összes 25 4x alakú, 3-mal osztható számokat.
Írd le az összes 2 3x y alakú, 6-tal osztható számokat.
Igazold, hogy a három egymásutáni számjegyekkel alkotott szám mindig a 3 szám többszöröse.
Határozd meg azokat a 2 5x alakú természetes számokat, amelyek számjegyeinek összege osztható 2-vel. Határozd meg azt a két prímszámot, amelyek összege: a) 39; b) 49; c) 63. Igazold, hogy találomra kiválasztott 6 természetes szám közül mindig van kettő, amelynek különbsége osztható 5-tel.
93
Gyakorolva haladsz!
a) 24 6 e) 237 3 i) 7 |196
b) 8 | 48 f) 7 | 64 j) 207 5
c) 4 | 136 g) 169 13
d) 28 7 h) 12 | 134
17
14
15
16
10
12
11
13
3
4
6
7
9
7 Matematika
Megoldott feladat!
Igazold, hogy ha n természetes szám osztja az a és b természetes számokat, akkor n osztja az a+b összeget is. Bizonyítás: Ha n szám osztja az a számot, akkor létezik x természetes szám úgy, hogy a = n x . Ha n szám osztja a b számot, akkor létezik x természetes szám úgy, hogy b= n x .
Így a+b= n x+n y = n x y , ami igazolja, hogy n osztja az a+b összeget.
Ha 5 osztja az a+2b számot és 5 osztja a 2a+b számot, ahol a és b nullától különböző természetes számok, akkor igazold, hogy 5 osztja a 3a+3b számot is.
Tudva, hogy 3 osztja az a+2b számot, igazold, hogy 3 osztja a 7a+8b számot, ahol a és b természetes számok.
Igazold, hogy 341 6212 3 szám osztható 5-tel.
Adottak az n2 4 a és n3 9 b számok, ahol n természetes szám. a) Vizsgáld meg, hogy ha n = 4 akkor az a és b számok oszthatóak-e egyidejűleg 10-zel? Hát n = 5 esetben? Hát n = 8 esetben? b) Milyen alakú kell legyen az n természetes szám ahhoz, hogy az a és b számok egyidejűleg oszthatóak legyenek 10-zel?
Milyen alakú kell legyen az n természetes szám ahhoz, hogy a n n7 8 szám osztható legyen 5-tel?
Határozd meg azt a legkisebb n természetes számot úgy, hogy n10 szám osztja a 1 2 3 .... 35 számot.
Határozd meg a p prímszámokat, amelyekre p + 3, p + 5, p + 11 és p + 17 számok egyidejűleg prímszámok. Határozd meg az x és y prímszámokat, amelyekre 5x+3y = 30 .
Határozd meg az x és y prímszámokat, amelyekre 6x+9y = 57 .
Igazold, hogy nem léteznek olyan a és b prímszámok amelyekre 5a+b= 2017 .
Adott az n, nullától különböző, természetes szám és legyen x az n számnál kisebb vagy egyenlő, de nem nulla, természetes számok szorzatának rákövetkezője. Adj példát olyan n számra, amelyre az x szám: a) legyen prímszám; b) legyen 5-tel osztható; c) legyen négyzetszám.
Adj példát olyan n, nullától különböző, természetes számra, amelyre az n számnál kisebb vagy egyenlő természetes számok összege legyen: a) páros szám; b) 5-tel osztható szám; c) 3-mal osztható, de 9-cel nem osztható, szám; d) prímszám.
Írd a következő számokat olyan hatványokként, amelynek alapja is, kitevője is prímszám: 8, 9, 25, 27, 32, 49, 121 és 169.
Mennyi azon p szám értéke, amelyre p, p + 14 és p + 16 számok egyidejűleg prímszámok? Válaszodat indokold.
94
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
18
21
29
30
20
19
22
23
24
25 26
27
28 31
CODUL
256720
Írj egy papírlapra matematikai kijelentéseket, amelyek segítségével egy- vagy kétjegyű számokat hatátozhatok meg, a mellékelt példához hasonlóan. Határozd meg a kódot a számok sorrendjének megadásával. Kérd meg a társad, hogy oldja meg, meghatározva a számokat és ezzel a kódot is. A társad más számokra is gondolhat, így mindig ellenőrizd le a kódot. Fordítsátok meg a szerepeket és fedezzd fel a társad kódját
egy,5-tel osztható, természetes szám 25 egy,3-mal osztható, természetes szám 6 egy prímszám 7 egy, 10-zel osztható, összetett szám 20
A számok ebben a sorrendben: a), b), c), d)
