TESE MESTRADO ALEXANDRE [3] versaocapaduraobjdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/AlexandreViannaSantana.pdf · estudo do comportamento dinÂmico aplicÁvel À veÍculos de localizaÇÃo,

COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO APLICÁVEL À VEÍCULOS DE

LOCALIZAÇÃO, INVESTIGAÇÃO E RESGATE SUBMARINO

Alexandre Vianna Santana

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Max Suell Dutra

Rio de Janeiro

Agosto de 2010




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Max Suell Dutra, Dr -Ing.

________________________________________________

Prof. Jules Ghislain Slama, D. Sc.

________________________________________________

Prof. Felipe Maia Galvão França, Ph.D

________________________________________________

Dr. Alexandre Alves Santiago, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

AGOSTO DE 2010

iii

Santana, Alexandre Vianna

Estudo do Comportamento Dinâmico Aplicável à

Veículos de Localização, Investigação e Resgate

Submarino/ Alexandre Vianna Santana. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2010.

XV, 140 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Max Suell Dutra

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2010.

Referencias Bibliográficas: p. 138-140.

1. Robótica submarina. 2. Cinemática. 3. Dinâmica. I.

Dutra, Max Suell II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Titulo.

iv

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, não só agradeço como dedico esse trabalho aos meus pais, minha

esposa e minha filha. Eles constituem parte integrante das vitórias da minha vida e são

fontes de estímulo e amor, fundamentais para a conclusão dos projetos de vida.

Também agradeço à minha irmã pelo amor e compreensão.

Ao professor, orientador e amigo Max Suell Dutra, pela inestimável orientação

que em muito transcendeu os limites da pesquisa estudada.

Aos amigos que fiz no Laboratório de Robótica da COPPE ao longo de quase 3

anos de freqüência, em especial Ivanovich, Ricardo, Camilla, Omar, Magda e Fausto

Hirata , que tantas vezes expuseram a mim suas visões valiosas e apoio constante.

Ao Prof. Alexandre Santiago pela colaboração desde a concepção até a revisão e

fechamento deste trabalho.

Aos Chefes da Marinha do Brasil, em especial CA Alan, CA Deiana, CMG

Nigri e CF Neves pela oportunidade e ETM Maffei e ETM Sislei, por sempre estarem

solícitos a me ajudar, seja com uma palavra de apoio e de amizade ou com revisões,

correções e opiniões sempre pertinentes.

Agradeço também ao suporte oferecido pela Marinha do Brasil para a realização

deste trabalho.

Finalmente, agradeço a Deus, por ter me agraciado com mais esta realização.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Agosto/2010

Orientador: Max Suell Dutra.

Programa: Engenharia Mecânica

Em geral, sistemas baseados em veículos remotamente operados têm crescido de

importância em várias atividades de inspeção e intervenção submarina, dentre elas,

destaca-se a localização e o resgate de submarinos sinistrados em locais que o uso de

mergulhadores é inviável.

Esta dissertação propõe um modelo genérico para a cinemática e dinâmica de

um veículo genérico utilizado em operações com submarinos sinistrados e investiga

mecanismos para controlar a atitude do mesmo. A abordagem adotada é inspirada na

modelagem dinâmica de Veículos Operados Remotamente (ROVs) e Veículos

Subaquáticos Autônomos (AUVs), incluindo o efeito das correntes marinhas. Além

disso, apresenta o desenvolvimento conceitual de um controlador robusto de posição.

Este tipo de controle é importante, uma vez que em muitas situações deseja-se levar o

veículo para determinada posição para a realização de alguma tarefa. Após um

desenvolvimento teórico, um exemplo é apresentado, tendo-se como referência veículos

submarino cujos parâmetros do modelo são conhecidos. Apesar da complexidade e da

não-linearidade da dinâmica do veículo, os resultados das simulações atestam que o

sistema de controle desenvolvido apresenta um desempenho aceitável em condições

normais de operação.

vi

.

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

STUDY OF DYNAMIC BEHAVIOUR APPLICABLE TO SEARCH AND RESCUE

UNDERWATER VEHICLES


August /2010

Advisor: Max Suell Dutra

Department: Mechanical Engineering

In general, systems based on remotely operated vehicles have grown in

importance in various activities of underwater inspection and intervention, among them

stands out the search and rescue submarine operations. Mainly, in places that the use of

divers is not feasible.

This dissertation proposes a generic model for the kinematics and dynamics of a

generic vehicle used in operations with submarine disaster victims and investigates

mechanisms to control the attitude of it. The approach is inspired by the dynamic

modeling of Remotely Operated Vehicles (ROVs) and Autonomous Underwater

Vehicles (AUVs), including the effect of ocean currents. Moreover, it presents the

conceptual development of a robust controller position. This type of control is

important, since in many situations one wishes to take the vehicle for a particular

position to perform some task. After a theoretical development, an example is

presented, taking as reference undersea vehicles whose model parameters are known.

Despite the complexity and non-linearity of vehicle dynamics, the results of simulations

show that the control system has developed an acceptable performance in normal

operation.

vii

SUMÁRIO

ÍNDICE DE FIGURAS .......................................................................................XI

ÍNDICE DE TABELAS ................................................................................... XIV

ABREVIATURAS............................................................................................ XV

1 INTRODUÇÃO............................................................................................ 1

1.1 Motivação ................................................................................................... 1

1.2 Estado da Técnica...................................................................................... 3

1.3 Objetivos desta Dissertação ...................................................................... 9

1.4 Revisão Bibliográfica............................................................................... 10

1.5 Modelos Matemáticos de Veículos Marinhos........................................ 11

1.6 Dinâmica de Cabos Umbilicais............................................................... 17

1.7 Modelo das Solicitações Ambientais ...................................................... 19

1.7.1 Espectro de Pierson-Moskowitz ................................................................. 20

1.7.2 Espectro de JONSWAP............................................................................... 21

1.8 Esforços Hidrodinâmicos........................................................................ 22

1.8.1 Massa Adicionada ...................................................................................... 23

1.8.2 Arrasto ou dissipação hidrodinâmica ........................................................ 24

1.9 Estratégias de Controle Aplicáveis ........................................................ 25

1.10 Organização da Dissertação ................................................................... 25

1.11 Resumo das principais hipóteses simplificadoras................................. 27

2 MODELAGEM DE VEÍCULOS SUBMARINOS........................................ 28

viii

2.1 Modelo Cinemático.................................................................................. 29

2.1.1 Sistemas de Coordenadas ........................................................................... 29

2.1.2 Sistema de Coordenadas – Fundamentos Teóricos.................................... 30

2.1.3 Ângulos de Euler ........................................................................................ 33

2.1.4 Conversão das Velocidades de Translação do Sistema Móvel Para o

Sistema Inercial ......................................................................................... 34

2.1.5 Conversão das Velocidades de Rotação Para o Sistema Inercial ............. 36

2.2 Modelo Dinâmico..................................................................................... 37

2.2.1 Influências sobre o comportamento dinâmico do veículo. ......................... 37

2.2.2 Forças restaurativas................................................................................... 38

2.2.3 Esforços Inerciais ....................................................................................... 40

2.2.4 Esforços hidrodinâmicos ............................................................................ 41

2.3 Dinâmica................................................................................................... 44

2.3.1 Corpo rígido e os sistemas de referência ................................................... 46

3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ............................................................... 48

3.1 Introdução ................................................................................................ 48

3.2 Metodologias Usuais em Análise de Cabos ........................................... 49

3.2.1 Análise dinâmica de cabos ......................................................................... 52

3.3 Objetivo .................................................................................................... 55

3.4 Implementação Computacional ............................................................. 55

3.4.1 Metodologia adotada - 1ª abordagem ....................................................... 56

3.4.2 Metodologia adotada - 2ª abordagem ....................................................... 61

4 MODELAGEM COMPUTACIONAL DO VEÍCULO SUBMARINO

GENÉRICO ...................................................................................................... 69

4.1 Introdução ................................................................................................ 69

4.2 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos.................................... 70

4.2.1 Características dos sistemas ...................................................................... 70

ix

4.2.2 Função de transferência ............................................................................. 72

4.2.3 Diagrama de Blocos ................................................................................... 73

4.2.4 Modelagem no espaço de Estados.............................................................. 74

4.2.5 Linearização de modelos matemáticos não-lineares ................................. 76

4.2.6 Aspectos da codificação computacional..................................................... 77

4.3 Contextualizando a modelagem do Veículo de Resgate ....................... 78

4.3.1 Simulação do sistema dinâmico do veículo usando Simulink® ................ 78

4.3.2 Aspectos cinemáticos – posições e velocidades ......................................... 81

4.4 Codificação das Funções da Cinemática ............................................... 86

4.5 Codificação da Notação para Veículos Marinhos de 6 GDL. .............. 87

4.6 Codificações de Funções.......................................................................... 89

4.7 Sistema de Coordenadas para a Corrente Marinha............................. 89

4.8 Dinâmica do Corpo Rígido ..................................................................... 90

5 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS ........................................................ 94

5.1 Considerações sobre a estrutura do veículo de resgate........................ 94

5.2 Aspectos sobre massa, massa adicional e inércia do veículo. .............. 95

5.3 Forças de Coriolis .................................................................................... 97

5.4 Forças de Amortecimento ....................................................................... 97

5.5 Forças Restauradoras ........................................................................... 109

5.6 Modelo completo.................................................................................... 109

5.7 Simulações e resultados em malha aberta. .......................................... 110

6 CONSIDERAÇÕES SOBRE TEORIAS DE CONTROLE APLICÁVEIS. 116

6.1 Introdução .............................................................................................. 116

x

6.2 Necessidade de modelagem................................................................... 116

6.3 Controle não-linear ............................................................................... 117

6.4 Representação de sistemas dinâmicos lineares ................................... 117

6.5 Formulação do espaço de estados ........................................................ 117

6.6 Controlador PID.................................................................................... 118

6.7 Sintonia Heurística ................................................................................ 121

6.8 Controle Ótimo ...................................................................................... 121

6.9 Controle Fuzzy....................................................................................... 124

6.10 Comentários Adicionais ........................................................................ 125

6.11 Modelo Linear para aplicação do controle de atitude do veículo ..... 126

6.12 Controlador Linear de Atitude ............................................................ 129

7 CONCLUSÕES....................................................................................... 135

7.1 Resultados Alcançados.......................................................................... 135

7.2 Aspectos relevantes observados e considerados.................................. 135

8 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..................................... 137

9 LISTA DE REFERÊNCIAS ..................................................................... 138

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Estado da Técnica - Técnicas de resgate......................................................... 2

Figura 1.2 Estado da Técnica - DSRV-2 AVALON. ....................................................... 4

Figura 1.3 Estado da Técnica - Veículo de Operação Remota Super Scorpio. ................ 5

Figura 1.4 Estado da Técnica - Conceito de sino de resgate utilizado no Brasil –

McCann Bell................................................................................................... 7

Figura 1.5 Estado da Técnica - Veículo de resgate - REMORA..................................... 8

Figura 1.6 Estado da Técnica - Conceito do Módulo de salvamento PRMS da US e

Royal Navy..................................................................................................... 8

Figura 1.7 Situação em estudo (fonte: SANTANA, DUTRA E SANTIAGO,2009)..... 11

Figura 1.8 Sistemas de referência – sítio www.oceanica.ufrj.br .................................... 12

Figura 1.9 Rotações entre sistemas de referência........................................................... 13

Figura 1.10 Diagrama de equilíbrio de elemento do cabo.............................................. 17

Figura 1.11 Discretização do cabo em elementos cilíndricos ........................................ 19

Figura 1.12 Espectro de Pierson-Moskowitz.................................................................. 21

Figura 1.13 Comparação dos espectros PM X JONSWAP............................................ 21

Figura 2.1 Sistemas de coordenadas referenciais ........................................................... 31

Figura 2.2 Sistemas de Coordenadas Móvel e Inercial .................................................. 33

Figura 2.3 Movimentos de Balanço, Caturro e Guinada (roll, pitch e yaw) .................. 35

Figura 2.4 Efeitos do empuxo e do peso em um corpo submerso. ................................. 38

Figura 2.5 Instabilidade do corpo submerso até o alinhamento dos centros de gravidade

e de carena. ................................................................................................... 39

Figura 2.6 Cilindro sob ação das forças de inércia e arrasto .......................................... 42

Figura 3.1 Diagrama de equilíbrio de elemento do cabo............................................... 49

Figura 3.2 Sistemas de Coordenadas Móvel e Inercial .................................................. 51

Figura 3.3 Diagrama de Forças ...................................................................................... 59

Figura 3.4 Tela inicial da simulação do perfil do cabo umbilical ................................. 60

Figura 3.5 Resultado da simulação do perfil do cabo umbilical ................................... 60

Figura 3.6 Método de massas concentradas .................................................................. 61

Figura 3.7 Modelagem dos elementos discretos do cabo umbilical segundo o modelo

massa-mola-amortecedor.............................................................................. 62

Figura 3.8 Definição dos ângulos iα e iβ com a orientação do cabo no espaço......... 66

xii

Figura 3.9 Esforços no cabo umbilical segundo dados apresentados na tabela anterior 67

Figura 3.10 Perfil do cabo umbilical segundo dados apresentados na tabela anterior para

300s de simulação......................................................................................... 68

Figura 4.1 Linearização por partes ................................................................................. 70

Figura 4.2 Definição da propriedade da homogeneidade de sistemas lineares. ............ 71

Figura 4.3 Definição da propriedade da aditividade de sistemas lineares...................... 71

Figura 4.4 Exemplo de diagrama de blocos. ................................................................. 73

Figura 4.5 Exemplo de diagrama de blocos de sistema em malha fechada.................... 74

Figura 4.6 Espaço de estados n-dimensional.................................................................. 75

Figura 4.7 Diagrama de bloco do veículo de resgate em estudo .................................... 79

Figura 4.8 Diagrama de bloco do veículo de resgate em estudo .................................... 80

Figura 5.1 Projeto conceitual testado ............................................................................. 94

Figura 5.2 Projeto conceitual dos lemes direcionais ...................................................... 95

Figura 5.3 Ponto considerado para a aplicação das forças sobre o leme...................... 100

Figura 5.4 Forças aplicadas no ponto ........................................................................... 100

Figura 5.5 Codificação do modelo – função Vxdot...................................................... 110

Figura 5.6 Template da simulação do comportamento do veículo sem nenhum esforço

de cabo ou corrente atuando sobre o veículo de resgate com propulsão de

10N . ........................................................................................................... 113

Figura 5.7 Gráfico da evolução da posição do ponto P do modelo .............................. 113

Figura 5.8 Template da simulação com esforços de cabo e corrente atuando sobre o

veículo de resgate . ..................................................................................... 114

Figura 5.9 Gráfico da simulação referente a posição do ponto P do modelo com o

template da figura 5.8 ................................................................................. 114

Figura 5.10 Simulação comparativa da posição do ponto P do modelo com e sem

esforços de cabo e de corrente marinha atuante. ........................................ 115

Figura 6.1 Diagrama de blocos da formulação no espaço de estados. ........................ 118

Figura 6.2 Exemplo de controle PID. .......................................................................... 119

Figura 6.3 Exemplo de controle P ............................................................................... 120

Figura 6.4 Exemplo de controle I ................................................................................. 120

Figura 6.5 Exemplo de controle D................................................................................ 120

Figura 6.6 – Modelo linearizado................................................................................... 126

Figura 6.7 Movimentação do veículo em roll.............................................................. 128

Figura 6.8 Movimentação do veículo em Pitch........................................................... 128

xiii

Figura 6.9 Modelo de sensores .................................................................................... 131

Figura 6.10 Modelo de Atuadores ............................................................................... 131

Figura 6.11 Modelo do sistema em malha fechada usando um Regulador Quadrático

Linear ( LQR) ............................................................................................. 132

Figura 6.12 Resultado da simulação proposta do veículo sujeito a ruídos e perturbações

ambientais................................................................................................... 133


ambientais e a tensão no cabo umbilical calculada no capítulo 3 ............. 133


ambientais com propulsão reduzida (10 N)............................................... 134

xiv

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 Notação [SNAME/1950] de movimentos, forças e momentos relativos...... 30

Tabela 3.1 Tabela de entradas para a simulação de esforços e posicionamento do cabo

com a 1º metodologia ................................................................................... 59

Tabela 3.2 resultados para a simulação – 2º abordagem ................................................ 67

Tabela 5.1 – Dados utilizados....................................................................................... 111

Tabela 5.2 Resumo das variáveis utilizadas na simulação 6 ....................................... 112

Tabela 6.1 Exemplos de controle retroalimentado ...................................................... 116

Tabela 6.2 Método de Ziegler-Nichols....................................................................... 121

xv

ABREVIATURAS

ROV Remotely Operated Vehicle

ROTV Remotely Operated Towed Vehicle

UUV Unmanned Underwater Vehicle

AUV Autonomous Underwater Vehicle

DOF Degree of Freedom

PID Proporcional, Integral e Derivativo

SISO Single-input-single-output

MIMO Multiple-input-multiple-output

LQR Linear Quadratic Regulator

LQG Linear Quadratic Gaussian

LTR Loop Transfer Recovery

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação

Até pouco tempo, os navios somente navegavam sobre a superfície das

águas, mas o advento do submarino permitiu que o fundo do mar também se tornasse

um universo a ser explorado. Esta invenção permitiu lutar, com algumas vantagens, em

batalhas militares, além de permitir a execução de explorações submarinas civis com os

mais variados objetivos.

A sobrevivência durante meses, ou até mesmo anos, abaixo da superfície do mar

é considerada uma das maiores vitórias da ciência marítima e naval.

Porém, quando um submarino sofre um acidente e vai de encontro ao leito

marinho em conseqüência de uma colisão ou devido a uma explosão a bordo, uma

operação de localização e resgate do submarino acidentado ou sinistrado é iniciada.

Missões de localização, em uso atualmente podem ser, as chamadas “localização

em alcatéia”, com o uso de diversos veículos comunicando-se entre si, ou missões que

utilizam veículos singelos, com sensores (sonares, câmeras) que permitam a localização

do sinistro.

Em geral, a operação de resgate consiste em enviar algum veículo de resgate

tripulado, ou operado remotamente para a retirada da tripulação ou prender algum tipo

de dispositivo para içar o submarino do fundo do mar.

Outross veículos são utilizados, ainda, para fins acadêmicos e científicos, uma

vez que podem ser instrumentos de estudos ecológicos de habitats do mar profundo e

obter fotografias e filmagens, de alta qualidade, de locais anteriormente inacessíveis.

A indústria de petróleo e gás é a maior usuária de veículos submarinos. Estes

ajudam na perfuração, instalação e construção de estruturas submersas. Eles são

primordiais em reservas que estão situadas a profundidades de 2000m ou mais, logo

inacessíveis para mergulhadores.

Na lista de veículos importantes em operações submarinas, incluem mini-

submarinos chamados veículos de resgate de submersão profunda (DSRV), sinos de

mergulho (SRC) rebocados por uma embarcação de apoio ou veículos submarinos

teleoperados ou independentes.

2

O resgate é efetuado após a localização do submarino e pode ser feito utilizando

uma dentre as diversas técnicas de resgate existentes. Cada técnica apresentada na

Figura 1.1 tem vantagens e desvantagens que, dependendo das condições ambientais

reinantes e das circunstâncias do acidente, devem ser levadas em conta.

Figura 1.1 Estado da Técnica - Técnicas de resgate.

Quando o acidente ocorre, por exemplo, em área com condições ambientais

adversas (ondas, ventos e correntes), em cotas onde não é possível o emprego de

mergulhadores ou quando o submarino sinistrado está em uma posição ou ângulo que

dificulta o acoplamento do veículo de resgate, estudos prévios contribuiriam para o

sucesso desta missão de resgate.

Estes estudos poderiam incluir, por exemplo, a previsão de comportamento do

aparato de resgate disponível e a sua aplicabilidade a uma determinada missão de

resgate.

3

A previsão do comportamento de veículos submarinos rebocados, teleoperados

ou independentes submetidos às solicitações ambientais externas é seguramente uma

área de pesquisa das mais importantes hoje em dia. Especialmente, se a antecipação de

determinada situação adversa e a conseqüente correção da atitude do veículo for

possível de ser obtida.

O resgate de tripulantes de submarinos sinistrados utilizando-se destes veículos é

abordado na literatura técnica em diversos níveis de abrangência, porém nota-se que

este problema não está totalmente resolvido ou esgotado.

Dezenas de novas e antigas técnicas de resgate continuam sendo simuladas,

testadas e executadas mundo afora, por isto, entende-se que a revisitação teórica deste

problema no contexto nacional mostra-se extremamente pertinente.

O projeto conceitual de sistemas de resgate e salvamento de submarinos, capazes

de suportar determinadas condições operacionais de maneira eficiente ainda tem se

constituído em um desafio estimulante aos engenheiros e aos departamentos técnicos

das marinhas de todo o mundo.

Condições ambientais adversas, solicitações da embarcação de apoio e o

posicionamento do submarino sinistrado após o acidente, mesmo com todo avanço no

campo da exploração marinha, continuam sendo obstáculos ao sucesso deste tipo de

missão.

1.2 Estado da Técnica

Quando o submarino americano Squalus afundou a uma profundidade de 75

metros nas águas costeiras da Nova Inglaterra (EUA), não existiam métodos

estabelecidos de resgate ou equipamentos especializados. A solução para a época (1939)

foi a utilização de um batiscafo. O batiscafo é uma pesada plataforma recoberta por um

revestimento em forma de sino. O aparelho é estabilizado de forma a não adernar, e cria

um bolsão de ar em seu interior.

Porém, após o naufrágio de dois submarinos nucleares dos EUA,

respectivamente em 1963 e 1968, a marinha americana decidiu reforçar seu esforço de

resgate submarino. Em 1964, o programa naval de engenharia oceânica criou o Projeto

de Sistemas de Submersão Profunda (DSSP), para desenvolver veículos de resgate

4

profundo (DSRV) capazes de mergulhar e de se fixar aos cascos de submarinos

naufragados, permitindo que os marinheiros escapassem em segurança.

Os primeiros DSRV estavam prontos para testes em 1970. Depois da conclusão

de exercícios bem-sucedidos de resgate, os DSRV foram entregues à marinha e

entraram em serviço em 1971, portando os nomes Mystic e Avalon.

Figura 1.2 Estado da Técnica - DSRV-2 AVALON.

O Mystic e o Avalon (Figura 1.2) têm quase 15 metros de comprimento e pesam

aproximadamente 50 toneladas. A capacidade máxima de mergulho é de 1,5 mil metros,

e eles são equipados com um radar Doppler e três tipos de sonar, bem como uma

câmera fotográfica de 35 milímetros para enviar informações à superfície. Os DSRV

requerem tripulação de quatro marinheiros e cada um deles pode transportar, no

máximo, 24 passageiros [fonte: http:ciência.hsw.uol.com.br].

Os Veículos de operação remota são parte crucial dos esforços de resgate

profundo. Usualmente são acopladas a outro submarino ou navio. Conhecidos pela sua

sigla em inglês ROVs (Remote Operated Vehicles), estes veículos compreendem uma

estrutura submersível, cuja massa é equilibrada por flutuadores fixos ao veículo. Em

caso de anomalia no controle, estes flutuadores permitem uma flutuabilidade positiva do

conjunto possibilitando assim o resgate do sistema, ou então uma flutuabilidade

5

negativa, quando a emersão do equipamento pode causar acidente com alguma

embarcação. Normalmente estes veículos são compostos dos seguintes componentes:

Figura 1.3 Estado da Técnica - Veículo de Operação Remota Super Scorpio.

• Propulsores para o seu deslocamento submerso;

• Equipamentos de foto e vídeo;

• Equipamentos eletrônicos e hidráulicos;

• Braço manipulador com sete graus de liberdade; e

• Braço manipulador com cinco graus de liberdade.

Os veículos podem ser elétricos ou eletro-hidráulicos. Os elétricos são menores e

mais leves e possuem todos os seus componentes acionados eletricamente através de um

cabo umbilical, que fornece os sinais de controle e a energia da superfície. Já os eletro-

hidráulicos têm seus equipamentos mecânicos acionados por uma unidade hidráulica

localizada no próprio veículo, que por sua vez recebe força elétrica igualmente da

superfície. Um exemplo de ROV especializado em operações de apoio ao resgate é

apresentado na Figura 1.3.

6

As Câmaras de Resgate Submarino (SRCs) ou sinos de resgate são casulos de

metal que podem ser fixadas ou presas a um submarino sinistrado. As câmaras se

mantêm pressurizadas e permitem a extração segura da tripulação. Assim que os

homens estiverem a bordo, a SRC sobe à superfície em ritmo seguro. Existe uma

unidade semelhante chamada Sistema Transportável de Câmera de Compressão

(TCRS), usado para evacuar e normalizar a compressão de tripulantes de veículos de

mergulho profundo. Uma escotilha de transferência forma uma conexão firme entre o

submarino e a TRCS, e isso permite que pessoal médico entre no submarino em

ambiente de pressurização equilibrada. Como a SRC, a TRCS é puxada à superfície por

um cabo e a tripulação passa por compressão gradativa.

No Brasil, o Aparato de resgate disponível adotado pela Marinha do Brasil é do

tipo, Submarine Rescue Chamber (SRC) / McCann Bell, ou sino de resgate de

especificação norte-americana.

O sino de resgate McCann Bell, Figura 1.4, sofre severas limitações quando

exposto às correntes muito fortes, quando necessita acoplar em um submarino

pressurizado ou quando o submarino sinistrado está posicionado em ângulos extremos.

Ainda hoje, a Marinha Americana, possui 2 (dois) sinos que podem ser

rapidamente transportados para um navio de suporte ou socorro a serem utilizados no

local do acidente. Os sinos (SRC) são capazes de atuar em resgates em profundidades

até 260 metros em um ângulo máximo de 30º e podem ser acoplados ao submarino

sinistrado através de um cabo-guia que é fixado em um conector especial no escotilhão

de escape do submarino de resgate.

O sino de resgate consiste em uma câmara de aço em forma de sino, tanques de

lastro, engrenagem ou polia de içamento e é dividido em compartimento superior e

inferior por uma antepara com um escotilhão estanque à água em seu centro. O sino

McCann bell pesa 9797 Kg (seco) e mantém 453Kg de reserva de flutuabilidade

(especificação 9594-AE-GTP-010/DISABLE SUB – Naval Sea Systems Command).

O compartimento superior é mantido à pressão atmosférica. O compartimento

inferior é aberto para o mar e a água é drenada na operação de acoplamento. Os tanques

7

de lastro são normalmente secos, mas, podem ser usados para alterar o ângulo de

acoplamento para no máximo 30º.

Mergulhadores ou um veículo (Remotely Operated Vehicle - ROV) deverão

fixar o cabo-guia no escotilhão de resgate do submarino sinistrado. O sino (SRC)

utilizará o cabo-guia para direcioná-lo até o submarino. Logo após, o SRC acopla-se ao

submarino. Um selo é formado pela diferença de pressão gerada após a remoção de

água do compartimeno inferior. Quando a pressão é equalizada entre o submarino e o

SRC, o escotilhão pode ser aberto e os náufragos transferidos para o SRC.

Figura 1.4 Estado da Técnica - Conceito de sino de resgate utilizado no Brasil – McCann Bell

O veículo de resgate submarino australiano REMORA, Figura 1.5, é um ROV

(veículo de operação remota) de 16,5 toneladas construído sobre um sino de resgate.

Possui compartimento para 7 (sete) pessoas, podendo ser um tripulante e seis náufragos.

É capaz de operar na cota de 500m, com correntes marinhas de cerca de 3 nós e

com o dispositivo de acoplamento do submarino sinistrado a cerca de 60º da vertical

8

O veículo é energizado e controlado através de um umbilical de 914m que provê

energia para as unidade hidráulicas.

Figura 1.5 Estado da Técnica - Veículo de resgate - REMORA

O REMORA e sua câmara (sino associado) ainda representam o estado da

técnica na tecnologia de resgate de submarinos, como também é o único sistema

considerado “portátil” de resgate capaz de resgatar e transferir sobre pressão, extremos

ângulos e profundidades significativas.

Figura 1.6 Estado da Técnica - Conceito do Módulo de salvamento PRMS da US e Royal Navy

A US Navy mantêm, atualmente, o PRMS (Pressurised, Rescue Module System

- Figura 1.6) substituto dos atuais submarinos tripulados destinados a esta função na

US-Navy e Royal Navy. Denominou-se este programa de HADES, ou simplesmente

Submarino não Tripulado de Resgate.

9

Diferentemente dos sinos de resgate cuja escotilha fixa dificulta o contato, este

semi-esférico basculante auxilia o acoplamento, a diferentes ângulos, permitindo o

ajuste deste em quaisquer condições e ângulos de inclinação.

1.3 Objetivos desta Dissertação

Unmanned Underwater Vehicles (UUV) ou veículos remotos não-tripuladados

são intensamente pesquisados mundialmente para diversas aplicações. Os benefícios

operacionais e operativos de veículos submarinos baseados em tecnologia UUV podem

ser extremamente valiosos ainda que os desafios de uma integração sejam significativos.

O termo UUV normalmente inclui: Remotely Operated Vehicles (ROVs) –

veículos remotamente operados, Autonomous Underwater Vehicles (AUVs) – veículos

submarinos autônomos e Remotely Operated Towed Vehicles (ROTVs) – veículos

rebocados remotamente operados.

Sabe-se que Veículos autônomos submarinos, ou AUVs (Autonomous

Underwater Vehicles), tem aplicação limitada atualmente, mas são objeto de intensa

pesquisa em laboratórios ao redor do mundo. Futuramente, estes veículos realizarão

rotineiramente missões de inspeção de equipamentos, tubulações e cabos, mapeamento

de regiões submarinas, atendendo às demandas militares, da indústria petrolífera e de

telecomunicações.

Devido ao fato de não estarem fisicamente ligados ao navio de apoio, a operação

eficiente dos AUVs, diferentemente dos ROV e RTOV, encontra problemas adicionais

referentes a armazenamento de energia e transmissão de dados. Em função da rápida

atenuação de ondas eletromagnéticas na água, a comunicação acústica se torna a única

alternativa viável. No entanto, ela ainda impõe sérias limitações. Esta forma de

comunicação é principalmente limitada pela velocidade de propagação do som na água,

por volta de 1500m/s, e pelo aumento da atenuação com a frequência do som. Assim, a

comunicação acústica sempre sofre um atraso, devido à velocidade de propagação, e sua

banda decresce em função do alcance.

Outro desafio para o projeto de AUVs está em sua navegação e controle. Estes

necessitam de informações confiáveis sobre a localização e atitude do veículo, o que é

obtido através de complexos sistemas de fusão sensorial. O controle de alto-nível,

10

permitindo a programação de combinações de tarefas como navegação, seguimento de

fundo ou retorno à base, ainda constitui objeto de intensa pesquisa.

Para as operações envolvendo submarinos sinistrados o Brasil dispõe de uma

embarcação de apoio com posicionamento dinâmico, veículos remotamente operados

(ROV) e um aparato para resgate por sino de mergulho (SRC). Estes fatos são

considerados para o estudo em tela e o base das proposições para novos equipamentos e

expansão dos limites operacionais do conceito projeto atualmente em uso no pais.

Assim, esta dissertação almeja os seguintes objetivos:

• Apresentar o Estado da Técnica dos veículos ou aparatos mecânicos

utilizados para operações de localização, investigação, salvamento e

resgate de submarinos sinistrados.

• Desenvolver um modelo matemático para avaliar e simular o

comportamento dinâmico de um veículo genérico, além de observar

como algumas perturbações (cabos umbilicais e corrente marinha)

influenciam o comportamento dinâmico de todo o aparato, constituído

pelo Navio de apoio, o cabo umbilical e o veículo propriamente dito.

• Apresentar um modelo computacional em ambiente

MATLAB/SIMULINK que permita a manipulação deste problema tanto

para sistemas de apoio à decisão como para sistemas de controle do

posicionamento e atitude do veículo para futuras utilizações em

problemas de resgate de submarinos sinistrados.

1.4 Revisão Bibliográfica

Esta seção apresenta uma breve revisão das fontes bibliográficas pesquisadas

organizadas por temas.

A dissertação abordará um sistema dinâmico composto pelo Navio ou

embarcação de apoio, cabo umbilical e veículo de resgate submarino sujeito às

condições ambientais reinantes, conforme ilustrado na Figura 1.7.

Neste contexto, a utilização de cabos umbilicais mesmo para veículos de

localização encontra sustentação. Porém, o uso de cabo umbilical conectado a

embarcação de apoio na superfície, implica na sujeição deste sistema dinâmico à ação

de ondas, correntes e ventos. Estes efeitos ambientais, adicionados do posicionamento

11

dinâmico da embarcação, representam distúrbios ao posicionamento do veículo

submarino genérico (localização ou resgate) tendo seus efeitos acoplados até a

determinação do esforço resultante na outra extremidade do cabo, conectada ao veículo.

Este cenário, em que o cabo umbilical se encontra totalmente estendido e tensionado,

exemplificam uma das principais fontes de distúrbios ao posicionamento do veículo

submarino genérico, que serão exploradas neste trabalho.

Desta forma, no sentido de prover subsídios para projetos que certamente serão

necessários nesta área da engenharia nos próximos anos; tópicos sobre modelagem

dinâmica de navios, umbilicais, e veículos submarinos; solicitações ambientais

reinantes, esforços hidrodinâmicos, técnicas para o controle de posição do veículo e

acoplamento do veículo com o submarino sinistrado, serão tratados e alguns simulados.

Figura 1.7 Situação em estudo (fonte: SANTANA, DUTRA E SANTIAGO,2009)

1.5 Modelos Matemáticos de Veículos Marinhos

FOSSEN (1994) discutiu um modelo clássico baseado na analogia com a

robótica, no qual a dinâmica do casco é tradicionalmente determinada a partir dos

princípios das leis de Newton de movimento aplicadas a um corpo rígido que se move

em um fluido. O modelo dinâmico é composto de dois sistemas de coordenadas (Figura

1.8): um deles fixa a um ponto do casco (xB, yB, zB), e outro fixo a terra (xE, yE, zE), e seis

graus de liberdade: três translacionais e três rotacionais: translacionais (avanço ou

12

surge, deriva ou sway, afundamento ou heave) e rotacionais (jogo ou roll, caturro ou

picth, guinada ou yaw).

Na modelagem de veículos submarinos também é conveniente trabalhar com

estes dois sistemas de referência. Com isso, a dinâmica é modelada no referencial do

corpo. Durante as simulações, em cada passo de integração das equações diferenciais,

efetuam-se transformações para o referencial inercial. D’SOUZA E GARG (1984)

apontam, como uma vantagem desse procedimento, o fato dos momentos de inércia do

veículo permanecerem constantes em relação ao referencial do corpo para qualquer

orientação do veículo. Além disso, a redução de ordem necessária para a solução

numérica das equações diferenciais representativas da dinâmica do veículo já é feita

automaticamente durante a modelagem. Assim, a dinâmica do veículo com seis graus de

liberdade não é modelada por seis equações diferenciais de segunda ordem, mas por

doze equações diferenciais de primeira ordem.

Figura 1.8 Sistemas de referência – sítio www.oceanica.ufrj.br

As relações cinemáticas são obtidas através de três transformações lineares

sucessivas, que representam as rotações necessárias para coincidir as direções dos eixos

do sistema de referência fixo com as do sistema móvel. Como as matrizes finais são

obtidas por operações que envolvem o produto das matrizes de rotação (que é uma

13

operação não necessariamente comutativa), a ordem escolhida para as rotações

influencia o resultado final.

Figura 1.9 Rotações entre sistemas de referência

Trabalhando-se com ângulos de Euler, a transformação é obtida a partir de uma

seqüência de rotações em torno de cada um dos eixos coordenados (Figura 1.9). Com

isso, gera-se uma matriz de transformação cujos elementos são funções trigonométricas

dos ângulos de orientação do corpo rígido. Multiplicando a matriz de transformação

pelo vetor expresso num referencial, obtém-se a representação desse vetor em outro

referencial.

FOSSEN (1994) orienta que na obtenção das equações de movimento de Navios

e veículos submarinos, o trabalho é simplificado observando as seguintes premissas:

a) O veículo é rígido; e

b) O sistema de coordenadas fixado na terra é inercial.

Assim, equação geral de corpos rígidos com 6 (seis graus de liberdade) de

acordo com a notação SNAME (1950) pode ser estabelecida.

A dinâmica do navio pode ser escrita, de forma simplificada, como (1.1):

( ) ( ) ( ) RBM C D gυ υ υ υ υ η τ+ + + =� (1.1)

14

Onde:

υ é o vetor velocidade do Navio ou veículo;

υ� é o vetor aceleração do Navio ou veículo;

η representa a posição e a atitude do Navio ou veículo;

τ representa o somatório dos esforços externos;

M quantifica a inércia do Navio ou veículo no ar adicionada das inércias da

massa adicionada ;

( )C υ υ corresponde aos esforços relacionados com a aceleração centrípeta e de

Coriólis;

( )D υ υ corresponde aos esforços de dissipação hidrodinâmica; e

( )g η corresponde aos esforços gravitacionais e de empuxo.

[ , , , , , ]

[ , , , , , ]

T

TRB

u v w p q r

X Y Z K M N

υ

τ

=

=

(1.2)

São os vetores velocidade angular e linear do sistema de coordenadas fixos no

corpo e o vetor generalizado das forças e momentos externos respectivamente.

As componentes dos vetores velocidade linear dos sistemas de referência móvel

1υ e inercial 1η� relacionam-se através do operador de transformação não linear J1

definido como:

1 1 2 1( )Jη η υ=� (1.3)

15

Analogamente, as componentes dos vetores velocidade angular dos sistemas de

referência móvel e inercial relacionam-se através do operador de transformação não

linear 2J definido como:

2 2 2 2( )Jη η υ=�

(1.4)

A matriz de inércia M é formada pela massa (m), momentos de inércia (Ix, Iy,

Iz), produtos de inércia (Ixy , Iyz , Ixz ) e coordenadas do centro de gravidade no

referencial do corpo ( XG , YG ,ZG ).

Note que nos esforços em (1.1) os operadores ( )C υ υ e são funções da

velocidade do veículo e caracterizam esforços não-lineares. Adicionalmente, estes

sistemas estão sujeitos à variação paramétrica com as condições de operação, ou seja, é

possível que ocorram variações dos coeficientes de arrasto hidrodinâmico em função da

velocidade ou de massa adicionada em função da aceleração e da inércia com a variação

da posição, velocidade e aceleração.

As dinâmicas das velocidades nos diferentes graus de liberdade são acopladas,

ou seja, a velocidade em uma direção ou grau de liberdade contribui para a dinâmica ou

movimento do veículo em um grau de liberdade diferente.

A correnteza marítima e a dinâmica do cabo umbilical são dinâmicas externas ao

veículo. Estas dinâmicas não modeladas e externas ao sistema correspondem aos

distúrbios em um sistema de controle. Outras dinâmicas não modeladas do sistema

correspondem às perturbações no sistema de controle. Estas perturbações, ao contrário

da variação paramétrica, correspondem a fenômenos não considerados no modelo e, por

isso, são também chamados de incerteza não-estruturada.

As principais referências para o tipo de veículo em estudo neste trabalho são os

modelos matemáticos que descrevem o comportamento dinâmico de ROVs, ROTVs e

AUVs.

A temática do controle de posição de veículos marinhos ganhou força pelo

invento de Elmer Sperry (1911) chamado de agulha giroscópica, que permitiu o

( )D υ υ

16

primeiro controle em malha fechada que compensava os estados de mar usando controle

retroalimentado e ajuste automáticos de ganho.

Em 1922, Nicholas Minorsky apresentou uma análise detalhada do controle de

posição retroalimentado onde ele formulou o controle a três termos, hoje mundialmente

conhecido como controle PID.

NOMOTO & HATTORI (1986) abordaram as características hidrodinâmicas de

um veículo (ROV – DOLPHIN 3K) específico e analisaram a manobrabilidade do

veículo através de simulações em computador. ISHIDERA ET AL. (1986) avaliaram o

veículo MURS 300 Mark II, e elaboraram para 6 (seis) graus de liberdade o modelo

matemático do mesmo. onde, com o auxílio de um tanque de provas, os esforços

hidrodinâmicos foram determinados ( em função das velocidades de translação e

rotação do veículo).

DOMINGUEZ (1989) comparou diversas modelagens, existentes até então.

Onde realizou comparações dos equacionamentos propostos por NOMOTO &

HATTORI (1986) e ISHIDERA, TSUSAKA, ITO, OISHI, CHIBA & MAKI (1986).

Além disto, desenvolveu um programa de simulaçãoo de veículos remotamente

operados onde avaliou técnicas de controle do tipo Proporcional e Derivativo (PD -

Proportional and Derivative) e Proporcional + Proporcional e Integral (P-PI -

Proportional + Proportional and Integral) para o guinada e a profundidade.

SOARES (2002) apresentou uma comparação entre os sistemas constitutivos de

veículos submarinos não tripulados, ROVs e AUVs (Autonomous Underwater Vehicles

- Veículos Submarinos Autônomos), e propôs um projeto de plataforma de testes de

baixo custo para o desenvolvimento desse tipo de veículo submarino.

SOUZA (2003) discutiu um modelo do veículo nos seis graus de liberdade onde,

o sistema atuador, foi dimensionado para que o sistema seja totalmente controlável e

modelado com a consideração dos efeitos eletro-mecânico do motor elétrico e

hidrodinâmicos, Adicionalmente, desenvolveu um algoritmo para o mapeamento dos

esforços de controle no sistema propulsor. O cabo umbilical foi considerado no modelo

com o objetivo de reproduzir os distúrbios presentes quando operado sob condições

reais. Seu estudo mostrou que apesar da incerteza com relação à dinâmica do veículo

17

submarino, sujeita a distúrbios de naturezas diversas, um controlador linear que

considera os graus de liberdade independentes pode ser capaz de garantir estabilidade de

maneira robusta e até desempenho robusto. No entanto, pode ser alcançado com a

limitação das condições de operação a baixas velocidades.

ANTONELLI, CACCAVALE, CHIAVERINI & FUSCO (2003) utilizaram

Quaternions para representar a orientação do ROV de maneira que este pudesse

rotacionar em todos os eixos sem atingir nenhuma singularidade. Esta abordagem é

desnecessária neste trabalho uma vez, considera-se, para todos os efeitos, que a

distância entre os centros de gravidade e flutuação é suficiente para que o veículo de

resgate não opere próximo às singularidades.

1.6 Dinâmica de Cabos Umbilicais

Verificou-se na literatura que os métodos de modelagem geralmente empregados

para a modelagem dinâmica de cabos pertencem a três categorias principais: Métodos

de elementos finitos, métodos diferenciais e o de massas concentradas (lumped masses).

YOUNG (1971) apresenta a dinâmica do sistema navio/cabo/veículo rebocado.

Acrescenta que este sistema não está apenas sujeito às solicitações devidas às ondas,

ventos e correntes marinhas, mas, também à excitação vibratória devida ao fluxo ao

redor do cabo de reboque e do veículo rebocado. YOUNG (1971) discute o diagrama de

equilíbrio de um cabo de reboque exposto a um fluxo de velocidade constante.

Figura 1.10 Diagrama de equilíbrio de elemento do cabo

Ele faz sua abordagem pelo método diferencial, onde as equações

diferenciais originadas levam em consideração à coordenada S que representa o

18

comprimento de arco do formato curvado do cabo. No centro deste comprimento de

arco, a linha tangente faz um ângulo φ com horizontal de acordo com a Figura 1.10.

Neste momento assume-se que o cabo é inextensível. A tensão e a pressão

hidrostática irão alongar o cabo, mas o efeito pode ser desprezado em função do

comprimento.

O diagrama de corpo livre apresenta as seguintes componentes:

• Wn: Peso na água do cabo por unidade de comprimento.

• Rn(s): força externa normal, por unidade de comprimento.

• Rt(s): força externa tangencial, por unidade de comprimento.

• T(s):Tensão local.

• φ (s): ângulo de inclinação local

O balanço das forças no sistema de coordenadas tangencial e normal gera duas

equações acopladas (1.5) e (1.6) para T e φ :

T

d

dS

φ= Rn + Wn cosφ

(1.5)

cost n

dTR w

dSφ= − +

(1.6)

NOMOTO E HATTORI (1986), KOTERAYAMA, YAMAGUCHI E

NAKAMURA (2000) E DRISCOLL, LUECK E NAHON ( 2000) utilizam o modelo

de massas concentradas ou lumped mass para modelar o cabo umbilical , no qual a

estrutura do cabo é aproximado por um modelo discreto composto de pequenos

elementos cilíndricos extensíveis. Neste procedimento as massas são consideradas

localizadas nos nós, que correspondem à interface entre os vários cilindros, como

ilustrado na Figura 1.11.

Os esforços do elemento superior são determinados e seus efeitos

“propagados” de elemento em elemento até a determinação do esforço resultante no

elemento da “ponta”.

19

Figura 1.11 Discretização do cabo em elementos cilíndricos

BEHBAHANI-NEJAD e PERKINS (1996) afirmam que os principais esforços

externos que atuam sobre o cabo são o arrasto hidrodinâmico e as forças restaurativas.

As forças de arrasto hidrodinâmico são o resultado da composição das

componentes tangencial e normal.

A tensão e o amortecimento axiais constituem os principais esforços que

independem do ambiente de operação e são considerados como internos. Os efeitos dos

esforços flexionais são comparativamente menos importantes em relação aos efeitos dos

esforços acima, podendo-se considerá-los ausentes.

1.7 Modelo das Solicitações Ambientais

A melhor compreensão das solicitações à que o aparato está exposto se fará

definindo as formulações usadas na análise e processamento dos dados de ondas (para o

Navio-mãe) que não será modelada neste trabalho, de correntes marinhas (para o

veículo) e dos esforços hidrodinâmicos envolvidos.

O mar não se comporta de forma contínua ou facilmente descrita. Para se avaliar

este fenômeno utiliza-se um espectro de onda equivalente à área onde a embarcação

operará. O espectro pode ser comparado a um histograma que oferece previsão das

maiores ocorrências de ondas significativas durante um período considerável de

medições. Em algumas regiões do planeta, alguns espectros são reavaliados

sistematicamente de forma a apresentar quais são as condições do estado de mar. Isto é

20

uma importante ferramenta para se avaliar se o Navio ou embarcação terá uma resposta

satisfatória aquele carregamento de ondas. Este espectro de onda se remete a uma

análise probabilística que nos permite estimar o comportamento no mar

Em geral, a forma do espectro de ondas varia consideravelmente de acordo com

a velocidade do vento, período de tempo que o vento sopra (duração), comprimento da

pista, sabendo que pista é a região do espelho d’água onde a velocidade e a direção do

vento podem ser consideradas constantes.

Com a intenção de se obter um espectro de ondas esperado para as diversas

condições de mar, diversos autores vêm propondo formulações baseando-se em analises

teóricas juntamente com ajustes empíricos (JONSWAP, Bretschneider, Pierson-

Moskowitz, DNV e outros).

1.7.1 Espectro de Pierson-Moskowitz

Para mares totalmente desenvolvidos no oceano, Pierson e Moskowitz (1964)

propuseram uma formulação para o espectro de potência (espectro PM), que é função

apenas da velocidade do vento (independente da pista).

(1.7)

Onde α e β são constantes (8,1 × 10-3 e 0,74, respectivamente), w é a

frequência e Vv representa a velocidade do vento para uma altura determinada,

geralmente é tomada para uma altura de aproximadamente 19,5m sobre a superfície.

21

Figura 1.12 Espectro de Pierson-Moskowitz

1.7.2 Espectro de JONSWAP A formulação de JONSWAP (Figura 1.13) baseia-se em uma extensiva coleta de

dados de ondas do programa Joint North Sea Wave Project, realizado por

HASSELMAN ET AL (1968). O espectro representa mares com limitação de pista, e os

dados de entrada são a velocidade do vento e o comprimento da pista.

Figura 1.13 Comparação dos espectros PM X JONSWAP

22

Já para um veículo submarino, o efeito ambiental relevante é a corrente

marítima. A corrente é formada a partir de três princípios distintos. O primeiro deles é o

vento, que gera correnteza na camada mais próxima da superfície. Em seguida, a troca

de calor por convecção entre as camadas, lâminas d’água, do ambiente marinho e na

superfície entre os fluidos ar-água, assim como nas alterações de salinidade (mudanças

de concentração e conseqüentemente, do peso específico). Por fim, o efeito da maré

provocado pela lua também influi no aparecimento da corrente marítima.

Segundo LEWIS, LIPSCOMBE E THOMASSON, (1984) e KALSKE E

HAPPONEN, (1991), a caracterização da correnteza marítima é realizada segundo a

especificação da sua velocidade, em geral definida por coordenadas dadas no sistema

inercial. Nestes casos, deve-se obter suas coordenadas no sistema referencial móvel

quando for necessária a sua incorporação na dinâmica do veículo.

Assim, a transformação de velocidade de corrente marítima do referencial fixo

para o móvel pode ser escrita como (1.8):

11 1 2 1( )c cJν η η−= �

(1.8)

E a velocidade relativa do Veículo de resgate ( rν ) no fluido pode ser escrita

como:

r cν ν ν= −

(1.9)

Fossen (1994) demonstra que para levar em consideração a corrente marinha,

basta trabalhar, na equação(1.1), com a velocidade do veículo em relação à água νr ,

dada por (1.9).

1.8 Esforços Hidrodinâmicos

CLAYTON E BISHOP (1982) afirmaram que o conjunto dos esforços

hidrodinâmicos ao qual um dispositivo totalmente submerso está sujeito quando este

sofre deslocamento pelo fluido são:

23

• Esforços devido à massa adicionada;

• Arrasto ou dissipação hidrodinâmica (Amortecimento hidrodinâmico); e

• Esforços de sustentação.

Segundo NEWMAN (1977), no início da aceleração de um dispositivo

submerso, os esforços devidos a massa adicionada correspondem ao efeito

hidrodinâmico mais importante. Neste intervalo os fenômenos viscosos podem ser

desprezados, pois o gradiente de velocidade relativa entre o corpo submerso e o fluido é

pequeno. À medida que o corpo eleva sua velocidade os esforços devem-se cada vez

mais aos efeitos de viscosidade, com o aparecimento de vórtices na superfície posterior

do corpo, isto é à jusante do corpo. Na condição de velocidade constante existe a

eliminação de vórtices (vortex shedding) de maneira oscilatória, o que corresponde ao

mecanismo responsável pelo arrasto em regime.

1.8.1 Massa Adicionada

Os esforços devido à massa adicionada estão relacionados com a movimentação

forçada de partículas do fluido que envolve o corpo do veículo quando tem aceleração.

YUH (1990) apresenta as forças Aτ correspondentes a massa adicional de

acordo com a seguinte expressão (1.10):

A A

dM

dtτ ν= −

(1.10)

Onde MA corresponde à matriz de inércia devido à massa adicionada.

FOSSEN (1994) utiliza as equações de Kirchhoff, que relacionam a energia

cinética do fluido com as forças e momentos atuantes no veículo, para chegar a

expressões que descrevem os esforços de massa adicionada. A expressão do esforço

24

devido à massa adicionada Aτ , em função das matrizes de inércia MA e de Coriolis CA,

pode ser escrita da seguinte forma (1.9):

( )A A AM Cν ν ν τ+ = −� (1.11)

1.8.2 Arrasto ou dissipação hidrodinâmica

CLAYTON E BISHOP (1982) correlacionaram o esforço hidrodinâmico devido

ao arrasto com dois fenômenos, denominados fricção de superfície e arrasto devido à

pressão. Simplificadamente, o arrasto de fricção de superfície deve-se às tensões

tangenciais entre o fluido e a rugosidade da superfície do corpo o que resulta em um

regime turbulento para números de Reynolds menores. Este componente do arrasto é

dominante na dissipação hidrodinâmica em baixas velocidades. O outro fenômeno deve-

se à diferença de pressões normais à superfície do corpo e portanto dependem

diretamente da forma do corpo.

Por isso, o arrasto devido à pressão também é conhecido como arrasto de forma.

O aparecimento da força de arrasto surge, então, com a diferença de pressões à

montante e à jusante com o movimento do veículo em relação ao fluido.

Segundo FOSSEN (1994), O esforço de dissipação hidrodinâmica ( )D υ υ pode

tem como principal componente o esforço de arrasto FD (equação 1.12), sendo que este

pode ser quantificado de acordo com a seguinte expressão:

0.5D dF C Sρ ν ν= − (1.12)

Nesta expressão, ρ é a massa específica do fluido e Cd é uma matriz de

coeficientes de arrasto hidrodinâmico e S é a área molhada.

25

1.9 Estratégias de Controle Aplicáveis

As técnicas de controle aplicadas ao posicionamento de veículos submarinos são

das mais variadas possíveis. A seleção de uma é função do sistema e das condições de

operação. Dentre as estratégias de controle empregadas em veículos submarinos pode-se

destacar:

• Controle linear PID,

Muito embora, possua validade apenas local (como os demais métodos lineares),

em torno de um ponto de operação, técnicas adicionais como o gain scheduling podem

ser empregados para elevar o domínio da aplicação.

• Técnicas adaptativas,

As mudanças das condições de operação do veículo e, conseqüentemente, dos

seus parâmetros justificam a utilização deste modelo. Porém, o algoritmo de estimação

pode, sofrer influência do ruído introduzido no processo de estimação de estados pelos

sensores (FOSSEN, 1994).

• Controle ótimo

A aplicação do controle ótimo em veículos submarinos pode ser encontrada em

(KAJIWARA, KOTERAYAMA, NAKAMURA, TERADA E MORITA, 1993;

NAKAMURA, KAJIWARA AND KOTERAYAMA, 2000).

O controle robusto é indicado quando o sistema está sujeito a distúrbios de

naturezas diversas, à variação paramétrica e a ruídos nas medições dos estados de

posição e velocidade. Como técnicas robustas aplicáveis ao controle de veículos

submarinos tem-se : H∞, LQR, LQG/LTR (observada em (JUUL ET AL., 1994), ) e

sliding mode.

1.10 Organização da Dissertação

Com o presente trabalho pretende-se apresentar contribuições para projetos

futuros que possam ser utilizados nos trabalhos na área de localização, resgate e

salvamento de submarinos que operem em cotas superiores à atual e em condições

ambientais adversas.

Com este propósito, foi admitido que o problema dinâmico a ser investigado

envolve a dinâmica do sistema Navio, veículo e do cabo, sobretudo para controlar a

atitude do veículo na aproximação do veículo sinistrado.

26

No Capítulo 1 foi apresentada a motivação e uma revisão do estado da técnica,

dando ênfase à veículos autônomos e de localização e resgate, e os objetivos desta

dissertação. Em seguida, foi realizada uma breve revisão bibliográfica que visou

apresentar o que é abordado sobre o assunto pela comunidade técnico-científica.

O Capítulo 2 é dedicado ao detalhamento dos modelos matemáticos que

descrevem o comportamento de um veículo submarino.

O Capítulo 3 é dedicado a uma discussão introdutória sobre dinâmica de cabos,

aos modelos matemáticos adotados comumente, para tratar este problema e simulações

computacionais para definir os esforços oriundos do cabo umbilical atuantes no

veículo.

No Capítulo 4 são apresentadas as convenções e os modelos computacionais

elaborados em ambiente MATLAB/SIMULINK para o tratamento do modelo de

veículo submarino genérico.

No Capítulo 5 são apresentadas as especificidades e atribuídos valores

numéricos para um veículo específico e as simulações elaboradas

No Capítulo 6 são apresentados alguns sistemas de controle aplicáveis ao

problema e apresentado um controlador linear de atitude com simulações.

No Capítulo 7 são apresentados os resultados alcançados e as conclusões desta

dissertação.

Finalmente, no Capítulo 8 são apresentadas as sugestões para trabalhos futuros.

27

1.11 Resumo das principais hipóteses simplificadoras

No Capítulo 3 que é sobre dinâmica de cabos, as principais hipóteses

simplificadoras são a fixação da ponta superior do cabo com relação ao referencial

inercial, a desconsideração dos esforços torcionais, flexionais, oriundos ou induzidos

por vórtices (VIV).

No Capítulo 4 são as expressões da dinâmica de corpo rígido para o veículo

submarino e as expressões matriciais apresentadas abaixo que seguem com as seguintes

hipóteses:

• A massa está distribuída uniformemente;

• A massa é constante e a posição do centro de massa é considerada

invariante;

• A origem do sistema de coordenadas móvel não coincide com o centro de

• gravidade do veículo, para o caso mais geral.

No Capítulo 5, são introduzidas simplificações para a aplicação da força de

arrasto, que é aplicada em apenas um ponto de cada leme.

28

2 MODELAGEM DE VEÍCULOS SUBMARINOS

O modelo matemático descreve em termos matemáticos o comportamento

dinâmico do veículo submarino. A mecânica Newtoniana é geralmente utilizada para a

referida modelagem, onde a principal dificuldade consiste na determinação de diversos

coeficientes que permitirão conhecer os esforços que atuam sobre os corpos. A

modelagem matemática é complexa e pode ser dividida em vários modelos tais como: o

modelo cinemático; o modelo dinâmico; modelos dos sistemas de controle (atuadores,

propulsores e sensores); e modelos de perturbações que atuam sobre o veículo. O

modelo matemático de um veículo submarino é importante visto que a maioria dos

métodos para previsão de comportamento precisa do conhecimento deste. Por outro

lado, existem alguns métodos de controle, como a lógica Fuzzy, que não dependem do

modelo matemático.

Os modelos matemáticos são usualmente desenvolvidos na fase de projeto do

veículo. Posteriormente, após resultados dos testes em protótipos, o modelo matemático

é ajustado. Quando este é construído, diferentes testes e provas são aplicados para

comprovar todas as especificações do projeto e melhorar o modelo matemático da

dinâmica do veículo.

De forma a permitir futuros desenvolvimentos de sistemas de controle e de

previsão de comportamento, os seguintes modelos matemáticos são necessários:

• Modelo da cinemática do veículo;

• Modelo da dinâmica do veículo;

• Modelo de geração do vetor de controle; e

• Modelo de perturbações.

29

2.1 Modelo Cinemático

As equações de movimentação destes veículos demandam estudos em campos

fundamentais da mecânica: estática e dinâmica. A Estática manipula as forças que

produzem o equilíbrio nos corpos em estudo, tais como empuxo e gravidade, enquanto a

dinâmica tem como objetivo a análise de esforços no contexto da movimentação

produzida no corpo.

O estudo da dinâmica pode ser dividido em duas partes: cinemática a qual se refere só a

os aspectos geométricos de movimentação, sem considerar massa ou forças; e a cinética,

que analisa as forças que causam os movimentos.

Para desenvolver sistemas de controle e orientação de um veículo submarino, é

necessário descrever matematicamente todas as movimentações deste. O

comportamento dinâmico destes veículos é determinada usando os princípios das leis de

Newton de movimentação aplicadas a um corpo rígido num fluido.

2.1.1 Sistemas de Coordenadas

A definição adequada das referências é essencial para especificar o comportamento

dinâmico de um veículo no espaço.

A determinação da posição e orientação de um corpo rígido no espaço submarino prevê

a utilização de seis coordenadas independentes ou graus de liberdade (6GDL): três

translacionais e três rotacionais convencionados como: Avanço, Deriva, Arfagem,

Balanço, Caturro e Guinada.

A tabela abaixo organiza a notação das forças e momentos, posicionamento e

velocidades nos seis graus de liberdade nos dois sistemas de referência (fixo e móvel).

30

Tabela 2.1 Notação [SNAME/1950] de movimentos, forças e momentos relativos

Ref. Inercial ou

Global

Ref. Móvel ou do

Corpo GDL Nome Forças e

Momentos Pos./atit. Velocidade Pos./atit. Velocidade

1 Avanço

(surge) X x x� mx u

2 Deriva

(sway) Y y y� my v

3 Arfagem

(heave) Z z z� mz w

4 Balanço

(roll) K φ φ� mφ p

5 Caturro

(pitch) M θ θ� mθ q

6 Guinada

(yaw) N ψ ψ� mψ r

As primeiras três coordenadas e suas derivadas temporais correspondem à

posição e movimentação de translação ao longo dos eixos x, y, e z; enquanto que as

últimas três coordenadas e suas derivadas temporais são usadas para descrever a

orientação e o movimento rotacional (Figura 1.8).

2.1.2 Sistema de Coordenadas – Fundamentos Teóricos As velocidades e acelerações de um veículo são, em geral, descritas em diferentes

referenciais.

Para o caso de veículos cujos movimentos estudados são aqueles em relação ao planeta

Terra, podem-se classificar os sistemas de coordenadas em :

a. Referenciais vinculados à Terra;

b. Referenciais vinculados ao corpo do veículo.

31

Figura 2.1 Sistemas de coordenadas referenciais

ECI – (Earth Centered Inertial frame)

Este sistema tem origem no centro do planeta. Eixo z coincide com o eixo de rotação da

terra. Move-se com a terra em seu movimento de translação, mas mantém sua

orientação fixa em relação às estrelas.

NED – (North, East and Down Frame)

Este sistema tem origem no ponto de interseção entre a linha que liga o centro do

planeta ao C.G. do veículo e a superfície terrestre (ou do oceano). Para problemas

relacionados a veículos marítimos pode-se considerar o mesmo como um Referencial

inercial

BODY FRAME – (Sistema de Coordenadas fixo no corpo): fixo no corpo do

veículo. Os três eixos são (Figura 2.1):

• Longitudinal: direção de avanço do veículo.

• Lateral: direção lateral-direita do veículo.

• Descendente: direção inferior do veículo.

Em geral, o centro do sistema de referência móvel está localizado no ponto médio do

eixo longitudinal. Este ponto é tipicamente o centro de gravidade do veículo. O centro

de gravidade de um corpo rígido é o ponto no qual é assumido que as forças e

momentos são aplicados.

32

O sistema de referência é definido de tal forma que seus eixos coincidam com os eixos

principais de inércia. Desta forma, tira-se vantagem da simetria do veículo conduzindo a

modelos mais simples.

Um veículo movimenta-se se alguma força externa ou torque está atuando sobre seu

casco. Estas forças e torques são provenientes de atuadores ou forças motrizes (as

hélices, os propulsores, o leme, etc.) ou podem ser resultado de forças ambientais como

ondas, ventos, correntes marítimas, etc. As forças e momentos desejados são

controlados e formam o vetor de controle, enquanto isso, as outras são denominadas

perturbações externas (ambientais).

A movimentação das coordenadas de referência fixa no corpo (móvel) é descrita em

relação às coordenadas de referência fixas na terra (inercial). Para veículos submarinos

é, usualmente, assumido que as acelerações num ponto na superfície da terra podem ser

ignoradas. Como resultado desta aproximação o eixo de referencia fixo na terra pode ser

considerado inercial. Isto sugere que a posição e orientação do veículo devem ser

descritas relativas ao sistema de referência inercial enquanto as velocidades angular e

linear devem ser expressas no sistema de referência móvel. Baseado na notação

SNAME, a movimentação geral de um veículo submarino em 6GDL, pode ser descrita

pelos seguintes vetores:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]TTTT

TTTT

TTTT

NMKZYX

rqpwvu

zyx

,,,,,

,,,,,

,,,,,

2121

2121

2121

==→=

==→=

==→=

τττττ

υυυυυ

ψθφηηηηη

(2.1)

Onde η denota a posição e orientação em relação ao sistema de referência inercial; υ

denota o vetor de velocidade linear e angular em relação ao sistema de referência

móvel; e τ é usado para descrever as forças e momentos atuando no veículo no sistema

de referência móvel.

33

Figura 2.2 Sistemas de Coordenadas Móvel e Inercial

2.1.3 Ângulos de Euler

O modelo cinemático é uma descrição do movimento e da geometria do veículo, o

modelo é baseado em rotações progressivas ao redor dos diferentes eixos. Esta

progressão é usada para construir a matriz de rotação, que permite a conversão de

vetores entre os sistemas de referência. Esta matriz de rotação J pode ser obtida

mediante diferentes métodos, cada um com vantagens e desvantagens. O método

comumente empregado para construir esta matriz utiliza três rotações consecutivas sob

uma progressão dos eixos, este método é chamado de Ângulos de Euler, “Euler Angles”.

A ordem em que as rotações acontecem, determina a localização final do corpo no

espaço tridimensional. Os ângulos de Euler proporcionam uma descrição física da

atitude do veículo para pequenos ângulos.

Estas definições dos ângulos de Euler são consistentes com as definições da arquitetura

naval . Esta é uma importante propriedade dado que doze diferentes e únicos sistemas

de coordenadas (de ângulos de Euler) são possíveis, enquanto que unicamente uma

34

convenção dos ângulos de Euler é correspondente com as convenções da arquitetura

naval.

A referência inercial requer que as definições de orientação dos ângulos de Euler de

balanço, caturro e guinada, sejam efetuadas em ordem.

A consistência dos resultados usando ambos os métodos pode ser demonstrada

examinando a ordem matemática das matrizes de rotação resultantes, as quais são

idênticas em cada caso. Naturalmente, quando a ordem das rotações é inversa, a

conversão está ocorrendo da referência móvel à coordenada de referência inercial.

Normalmente, os ângulos de Euler devem restringir a orientação vertical do veículo de

forma a evitar singularidades matemáticas. Adicionalmente, na maioria dos veículos

deve prevenir-se a inversão horizontal e o apontamento vertical para evitar danos

internos no veículo e condições de instabilidade de difícil controle. Estas restrições

adicionam limitações no ângulo de balanço para condições normais de operação.

As restrições aplicadas aos ângulos de Euler são as seguintes:

πφπ ≤<−

22

πθ

π<<−

πψ 20 <≤

(2.2)

2.1.4 Conversão das Velocidades de Translação do Sistema Móvel Para o Sistema Inercial

A velocidade de trajetória de um corpo em relação ao sistema de coordenadas inercial é

dada pela transformação de velocidade. Sendo:

35

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1 1 2 1

1 2

0

0

0 0 1

0

0 1 0

0

1 0 0

0

0

T T Tz y x

z

y

x

J

J J J J

c s

J s c

c s

J

s c

J c s

s c

η η υ

η ψ θ φ

ψ ψ

ψ ψ ψ

θ θ

θ

θ θ

φ φ φ

φ φ

=

=

= −

− =

= −

�

Tem-se ,

1 2( )

c c s c c s s s s c s c

J s c c c s s s c s s s c

s c s c c

ψ θ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ

η ψ θ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ

θ θ φ θ φ

− + + = + − + −

(2.3)

Onde a ( )1 2J η é a matriz de transformação (2.3) (sistema móvel ao sistema inercial), a

qual é comumente descrita por três rotações, obtidas mediante as funções dos ângulos

de Euler: balanço ( )φ , caturro ( )θ e guinada ( )ψ .

Sabendo que :

cos

tan

c

t

sen s

θ θ

θ θ

θ θ

=

=

=

1Z0Z

0Y

1Yφ

φ

1v

vq

1w

w

r

p

2X

2Z

1X

1Z

θ

θ

2u1u

2w1w

θ�φ�

ψ�θ�

ψ

ψ

2v

3v 3Y

2Y

2u

3u

2X3X

Figura 2.3 Movimentos de Balanço, Caturro e Guinada (roll, pitch e yaw)

36

A transformação inversa da velocidade pode ser determinada de uma forma similar:

( )1

1 1 2 1Jυ η η−= � (2.4)

Dado que a matriz de rotação 1J e a matriz inversa ( )11 2J η− cumprem com a condição

de ortogonalidade:

( ) ( )1

1 2 1 2TJ Jη η− = (2.5)

Resumindo, ( )2 1J η representa as rotações sofridas pelo veículo nos eixos x, y e z e é

descrita como:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

T T Tz y xJ J J Jη ψ θ φ= (2.6)

2.1.5 Conversão das Velocidades de Rotação Para o Sistema Inercial

As velocidades angulares expressas de acordo com o sistema de coordenadas inercial

podem ser interpretadas como as derivadas dos ângulos de orientação do veículo: ψ , θ

e φ . Então, as velocidades de rotação em relação ao sistema de coordenadas fixos no

veículo são dadas por:

12 2 2 2

0 0

0 ( ) ( ) ( ) 0 ( )

0 0x x yJ J J J

φ

ν φ θ φ θ η η

ψ

−

= + + =

�

� �

�

(2.7)

(2.8)

37

2 2

1

( ) 0

0

s t c t

J c s

s c

c c

φ θ φ θ

η φ φ

φ φ

θ θ

= −

Note que:

12 2 2 2( ) ( )TJ Jη η− ≠ (2.9)

É interessante observar que, para φ = 0◦ e θ = 0◦, a relação entre as velocidades de

rotação nos dois sistemas de coordenadas é dada por uma identidade. Além disso, a

matriz de transformação de coordenadas mostrada acima é singular para θ = ±90◦.

Nestas condições, seria necessária a utilização de Quatérnions para representar a

orientação do veículo no sistema inercial de maneira a evitar tal singularidade

(ANTONELLI ET AL. 2003). Entretanto, para este tipo de veículo em particular, os

centros de gravidade e de flutuação estão suficientemente afastados, evitando a

singularidade e suas complicações conforme observado em CUNHA (1995). Pode-se

escrever as transformações de coordenadas para os seis graus de liberdade do sistema,

como:

3 31 2

3 32 2

( )

( ) 0( )

0 ( )

J

JJ

J

η η υ

ηη

η

×

×

=

=

�

(2.10)

2.2 Modelo Dinâmico

2.2.1 Influências sobre o comportamento dinâmico do veículo. A dinâmica submarina introduz um grande número de esforços que afetam o

comportamento dinâmico do veículo. Entre os esforços a serem considerados no

processo incluem-se as forças restaurativas, inerciais e as forças hidrodinâmicas.

38

2.2.2 Forças restaurativas • Empuxo e gravidade.

De acordo com a relação entre as forças de gravidade e de empuxo, a flutuabilidade do

veículo pode ser definida como:

• negativa,

• positiva,

• neutra.

Para um veículo remotamente operado - ROV, por exemplo, o sistema é dimensionado

para que a flutuabilidade seja ligeiramente positiva, ou seja, |W| < |B|, de modo que o

veículo suba à superfície naturalmente, visando facilitar o seu resgate,em caso de falha

do equipamento.

Para o caso dos veículos autônomos (AUVs), prefere-se a a flutuabilidade neutra, por

apresentar força vertical resultante nula, e o menor esforço de deslocamento otimiza a

reserva de energia.

Figura 2.4 Efeitos do empuxo e do peso em um corpo submerso.

• Estabilidade.

Conforme observado na Figura 2.4, a força de gravidade é descrita por um vetor

paralelo ao eixo vertical do sistema estacionário (z) que atua sobre o centro de

gravidade do veículo (G) e a força de empuxo é um vetor, paralelo ao mesmo eixo, que

39

atua sobre o centro de flutuação (B). Como estes dois pontos geralmente não coincidem,

o efeito de restauração irá introduzir forças e momentos, respectivamente, ao longo e

em torno dos três eixos referenciados ao veiculo no sentido de alinhar tais centros ao

eixo z .

Quanto maior for a distância metacêntrica entre esses dois pontos, maior será a atuação

do momento restaurador (RM) buscando estabilizar o sistema na condição de

alinhamento dos mesmos com o eixo z.

Figura 2.5 Instabilidade do corpo submerso até o alinhamento dos centros de gravidade e de carena.

Como pode se ver na Figura 2.5, a configuração instável produz um momento, RM ,

este esforço é diretamente proporcional a distância entre o centro de gravidade G e o

centro de carena (B) Este momento pode ser descrito como:

( )WBdRM +=

2

1

(2.11)

Onde d é a distância perpendicular entre as forças atuantes B e W em que são

aplicadas em G e B respectivamente.

Pelo fato dessas forças (B e W) estarem descritas no sistema inercial (fixo), devem ser

primeiramente transformadas para o sistema de referência do veículo (móvel) para

serem adicionadas ao modelo dinâmico. Isto é feito com a pré-multiplicação de tais

forças pela inversa da matriz de transformação de coordenadas conforme descrito

abaixo

40

11 2

0

( ) ( ) 0G J

W

τ η η−

=

(2.12)

11 2

0

( ) ( ) 0B J

B

τ η η−

= −

(2.13)

W mg= (2.14)

B gρ= ∇ (2.15)

A simbologia ∇ na expressão (2.15) representa o volume de fluido deslocado pelo veículo e g, na expressão (2.14), a aceleração da gravidade. A expressão para forças e momentos restaurativos é representada por:

( ) ( )( )

( ) ( )G B

G G B B

Gr r

τ η τ ηη

τ η τ η

+ = − × + ×

(2.16)

2.2.3 Esforços Inerciais

Segundo FOSSEN (1994), os efeitos devidos à dinâmica de corpo rígido e os efeitos

devidos à dinâmica de corpo submerso são reescritos separadamente. A matriz CCR, ao

contrário da matriz de Inércia, pode ser parametrizada de várias maneiras, veja

(FOSSEN, 1994). Então, as forças centrípetas e de Coriolis do corpo rígido são dadas

por :

41

3 3 10( )

1 2x

CR T

CC

C Cυ

= −

(2.17)

2.2.4 Esforços hidrodinâmicos

Lembrando que o conjunto dos esforços hidrodinâmicos ao qual um dispositivo

totalmente submerso está sujeito quando este sofre deslocamento pelo fluido são:

• Esforços devido à massa adicionada;

• Arrasto ou dissipação hidrodinâmica; e

• Esforços de sustentação.

Os esforços devido à massa adicionada estão relacionados com a movimentação

forçada de partículas do fluido que envolve o corpo do veículo quando tem aceleração.

Sendo representado pela expressão abaixo:

A A

dM

dtτ ν= −

(2.18)

Onde MA corresponde à matriz de inércia devido à massa adicionada.

A determinação das forças de arrasto e dissipação hidrodinâmicas em uma estrutura

submersa é uma das principais tarefas em um projeto desse tipo. Essa também é uma

das tarefas mais difíceis devido à complexidade envolvida na interação fluido-estrutura.

Além disso, há a dificuldade de se descrever analiticamente a natureza aleatória das

ondas e determinar o carregamento provocado por elas na estrutura. No entanto, nos

dias de hoje, algumas teorias estão disponíveis. Estas teorias envolvem o entendimento

dos fenômenos de interação, testes em laboratório e no próprio mar, e são

razoavelmente precisas nos cálculos de carregamento de onda nas mais diversas

aplicações submersas.

42

Com base nas dimensões da estrutura, podem ser utilizadas diferentes formulações para

se determinar a força aplicada pelo fluido em movimento. Basicamente há duas

formas de se calcular esta força:

a) Equação de Morison

b) Teoria de Difração

A Equação de Morison assume que a força sobre a estrutura é composta por duas

parcelas de força, uma devido ao arraste e outra devida à inércia, agindo

simultaneamente. Os coeficientes de arrasto e inércia necessários para se determinar a

força são obtidos experimentalmente.

Quando as dimensões da estrutura possam alterar o campo de corrente, assim como o

campo de onda nas proximidades, a difração pela superfície da estrutura deve ser levada

em conta no cálculo da força. Essa formulação é conhecida como Teoria de Difração.

A Equação de Morison foi desenvolvida por Morison, O´Brien, Johnson, e Shaaf (1950)

para descrever a força horizontal de onda que age sobre um cilindro vertical que se

estende desde o fundo até a superfície livre, conforme pode ilustrado abaixo.

Figura 2.6 Cilindro sob ação das forças de inércia e arrasto

43

O princípio da força de inércia está na quantidade de movimento que uma partícula de

água carrega consigo. Quando a partícula passa pelo cilindro ela é acelerada e em

seguida desacelerada, o que requer uma força para alterar este movimento. A

força incremental em um pequeno segmento de cilindro induzido pela aceleração da

partícula de água

21 4M

udf C D s

t

πρ

∂= ∂

∂

(2.19)

Onde df1 é a força de inércia sobre um segmento ds do cilindro vertical, D é o

diâmetro do cilindro, u

t

∂

∂ é a aceleração da partícula de água em relação a linha

de centro do cilindro representado na Figura e CM é o coeficiente de inércia. Pela

Equação (2.19) nota-se que a força de inércia é proporcional a aceleração local da

partícula de água. Essa força é linear se, para a determinação da aceleração, for

usada a Teoria Linear de Onda. Por outro lado, o termo de inércia será não linear

se a aceleração horizontal considerar os termos convectivos.

A causa principal da força de arrasto em um cilindro é a diferença de pressão

criada pela passagem do fluxo ao redor deste cilindro, essa diferença de pressão

promove o fenômeno de separação da camada limite. Em um fluxo oscilatório, é

utilizado o valor absoluto da velocidade da partícula de água na Equação de Morison

para garantir que a força de arrasto esteja na mesma direção da velocidade, dessa forma,

a força pode ser escrita como:

1

2D Ddf C D u udsρ= (2.20)

onde dfD é a força de arrasto no segmento de cilindro, u é a velocidade instantânea da

partícula de água e CD é o coeficiente de arrasto. Combinando as componentes de

inércia e arrasto, a Equação de Morison para um cilindro fixo na presença de ondas é

escrita como:

44

2 1

4 2M D

uf C D s C D u uds

t

πρ ρ

∂= ∂ +

∂

(2.21)

onde f é a força por unidade de comprimento de um cilindro vertical, deve-se notar

que a Equação de Morison não prevê forças oscilatórias devido ao

desprendimento de vórtices na direção transversal, isso é, perpendicular à direção de

propagação das ondas. Várias tentativas tem sido feitas para melhorar a Equação

de Morison ou para desenvolver uma nova formulação. SARPKAYA E

ISAACSON (1981) descreveram métodos para melhorar a Equação de Morison,

comparando os resultados obtidos analiticamente com resultados medidos

experimentalmente e introduzindo novos termos na equação original que não serão

abordados neste trabalho.

2.3 Dinâmica

A avaliação do comportamento dinâmico consiste em estabelecer relações entre causa e

efeito para o movimento de um corpo material. Um corpo material pode ser interpretado

como ponto material ou como corpo rígido, dependendo das dimensões e da sua

distribuição de massa. A dinâmica de um ponto material de massa m descrevendo um

movimento no espaço é regida pela seguinte expressão:

1 1mη τ=��

(2.22)

Considerando que a aceleração 1η�� é resultado direto da atuação da resultante dos

esforços externos 1τ .

Porém, o veículo de resgate submarino deve ser tratado como corpo rígido. A

representação da dinâmica para um corpo rígido possui termos adicionais em relação à

dinâmica do ponto material que estão relacionados com o movimento de rotação do

corpo em torno dos seus eixos. Estes termos adicionais correspondem à força centrípeta

e à força de Coriolis.

45

Ressalta-se a conveniência de escrever as equações da dinâmica do movimento do corpo

rígido parametrizados no sistema de coordenadas móvel, visto que ação dos agentes

externos e a inércia do veículo são constantes em relação a este referencial.

Sendo assim, as expressões da dinâmica de um corpo rígido, para translação e rotação

podem ser escritas como abaixo (Fossen, 1994):

[ ]1 2 1 2 2 2 1( )G Gm r rν ν ν ν ν ν τ+ × + × + × × =� �

(2.23)

( )0 2 1 2 1 2( )G

dI mr

dtν ν ν ν τ+ × + × =�

(2.24)

Nas expressões acima o operador × representa o produto vetorial, o vetor Gr

corresponde à distância do centro de massa do veículo com relação ao sistema de

coordenadas móvel e a matriz 0I contém os momentos e produtos de inércia do veículo

com relação ao centro do sistema de coordenadas móvel.

Reescrevendo as expressões acima na forma matricial tem-se:

( )CR CRM Cν ν ν τ+ =�

(2.25)

A matriz CRM refere-se à matriz de Inércia, contendo a massa m e os momentos e

produtos de inércia do tensor 0I , já a matriz CRC é denominada matriz de centrípeta e

de Coriolis, contendo os termos das forças centrípetas e de Coriolis.

46

2.3.1 Corpo rígido e os sistemas de referência

Segundo Fossen, a matriz de inércia do corpo rígido ( CRM ) é definida por:

11 21

21 22

T

CR

M MM

M M

=

(2.26)

Sendo,

11

0 0

0 0

0 0

m

M m

m

=

, 21

0

0

0

G G

G G

G G

mz my

M mz mx

my mx

− = − −

e 22

x xy xz

yx y yz

zx zy z

I I I

M I I I

I I I

− −

= − − − −

logo,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

G G

G G

G G

CRG G x xy xz

G G yx y yz

G G zx zy z

m mz my

m mz mx

m my mxM

mz my I I I

mz mx I I I

my mx I I I

− − −

= − − −

− − − − − −

(2.27)

Ressalta-se que no caso de submersão do corpo rígido, incorporam-se massas adicionais

a seu comportamento. A partir deste ponto, a matriz de inércia do corpo é expressa por:

CR AM M M+�

(2.28)

onde:

M . . . Matriz de inércias resultante do veículo submerso;

47

AM . . .Matriz de massas adicionais. Representa o armazenamento de energia cinética

no fluido deslocado pelo veículo. (Filho 1996).

Assim, a matriz completa de massas adicionais é dada por:

u v w p q r

u v w p q r

u v w p q r

Au v w p q r

u v w p q r

u v w p q r

X X X X X X

Y Y Y Y Y Y

Z Z Z Z Z ZM

K K K K K K

M M M M M M

N N N N N N

= −

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

(2.29)

Onde, de acordo com Fossen (1994), cada elemento corresponde à massa adicional em

um eixo para deslocamentos no próprio eixo ou em outro adjacente.

Porém, por questões de simetria do veículo, a matriz pode ser reescrita de várias

maneiras, tal com a exemplificada abaixo utilizada para veículos com simetria no plano

xz e no plano yz (simetria bombordo/boreste e proa/popa), tal como o veículo de resgate

em estudo:

11 51

22 42

33

42 44

51 55

66

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

m m

m m

mM

m m

m m

m

=

(2.30)

Para Fossen (1994), os efeitos devidos à dinâmica de corpo rígido e os efeitos devidos à

dinâmica de corpo submerso são reescritos separadamente. Então, a matriz dos termos

das forças centrípetas e de Coriolis do corpo rígido são:

3 3 10( )

1 2x

CR T

CC

C Cυ

= −

(2.31)

48

3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

3.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentadas algumas abordagens matemáticas para a

modelagem do cabo, objetivando mensurar a influência desta força no veículo de

resgate.

Mais detalhes sobre estas formulações podem ser encontrados na literatura de

análise dinâmica e elementos finitos.

O cabo submarino “umbilical” é um sistema caracterizado por uma dinâmica

“Não-Linear” complexa, o problema completo pode ser submetido a condições de “snap

loading”, vibrações induzidas por vórtices e vários outros problemas operacionais

relacionados ao problema no cabo submerso no oceano.

Modelos confiáveis são capazes de prever a resposta do cabo submerso e

calcular com acurácia os deslocamentos e esforços aplicados no cabo para diversas

condições de operação possíveis. Dois modelos são típicos para prever a resposta

dinâmica do cabos: contínuos e discretos.

Modelos contínuos são poderosas ferramentas que podem ser usados para

calcular várias características hidrodinâmicas de sistemas rebocados por cabos mas com

certas limitações. Estes modelos, em geral, não são utilizados para condições

transientes, porque a força de arrasto “quadrática” real precisa ser linearizada em torno

das posições de equilíbrio.

Este tipo de modelo não é adequado para modelagens onde os cabos não estejam

permanentemente tensionados, tecnicamente chamados de “cables in slack conditions”

porque o mesmo pode não determinar adequadamente a configuração do cabo.

Finalmente, é extremamente complicado resolver as equações de movimento do cabo

quando os esforços hidrodinâmicos e as propriedades do cabo tais como massa,

elasticidade, rigidez à flexão se modificam ao longo do comprimento do cabo.

Modelos discretos não estão sujeitos às limitações impostas aos modelos

contínuos e são válidos para uma razoável gama de condições de operação. Eles podem

resolver equações de governo não-lineares sem aplicar nenhuma técnica de linearização.

Eles estão aptos a prever a resposta dinâmica quando o cabo está na transição entre as

49

condições tensionada e não-tensionada (frouxa) – mesmo quando ocorre mudança na

dinâmica fundamental e o sistema se comporta de forma não-linear.

As equações de movimento discretas são tipicamente obtidas a partir dos

modelos contínuos utilizando o método de parâmetros concentrados, o método de

diferenças finitas ou métodos de elementos finitos.

Particularmente, métodos de elementos finitos tendem a demandar maior esforço

computacional que os métodos anteriores, porém garante grande flexibilidade

geométrica e tratamento simplificado para condições de contorno.

3.2 Metodologias Usuais em Análise de Cabos

YOUNG (1971) apresentou a dinâmica do sistema navio/cabo/veículo

rebocado. Acrescenta que este sistema não está apenas sujeito às solicitações devidas às

ondas, ventos e correntes marinhas, mas, também à excitação vibratória devida ao fluxo

ao redor do cabo de reboque e do veículo rebocado.

YOUNG (1971) discutiu o diagrama de equilíbrio de um cabo de reboque

exposto a um fluxo de velocidade constante.

Figura 3.1 Diagrama de equilíbrio de elemento do cabo

Ele faz sua abordagem pelo método diferencial, onde as equações

diferenciais originadas levam em consideração à coordenada S, que representa o

comprimento de arco do formato curvado do cabo. No centro deste comprimento de

arco, a linha tangente faz um ângulo φ com horizontal de acordo com a figura 3.1

50

Neste momento assume-se que o cabo é inextensível. A tensão e a pressão

hidrostática irão alongar o cabo, mas o efeito pode ser desprezado em função do

comprimento.

O diagrama de corpo livre apresenta as seguintes componentes:

• Wn: Peso na água do cabo por unidade de comprimento.

• Rn(s): força externa normal, por unidade de comprimento.

• Rt(s): força externa tangencial, por unidade de comprimento.

• T(s):Tensão local.

• φ (s): ângulo de inclinação local

• S, comprimento de arco do formato curvado do cabo

O balanço das forças no sistema de coordenadas tangencial e normal gera duas

equações acopladas (3.1) e (3.2) para T e φ :

cosn n

dT R w

dS

φφ= +

(3.1)

cost n

dTR w

dSφ= − +

(3.2)

NOMOTO E HATTORI (1986), KOTERAYAMA, YAMAGUCHI E

NAKAMURA (2000) E DRISCOLL, LUECK E NAHON ( 2000) utilizam o modelo

de massas concentradas ou lumped mass para modelar o cabo umbilical , no qual a

estrutura do cabo é aproximado por um modelo discreto composto de pequenos

elementos cilíndricos extensíveis. Neste procedimento as massas são consideradas

localizadas nos nós, que correspondem à interface entre os vários cilindros, como

ilustrado na figura 3.2.

51

Figura 3.2 Sistemas de Coordenadas Móvel e Inercial

BEHBAHANI-NEJAD AND PERKINS (1996) afirmam que os principais

esforços externos que atuam sobre o cabo são o arrasto hidrodinâmico e as forças

restaurativas. As forças de arrasto hidrodinâmico são resultado da composição das

componentes tangencial e normal.

A tensão e o amortecimento axiais constituem os principais esforços que

independem do ambiente de operação e são considerados como internos. Os efeitos dos

esforços flexionais são comparativamente menos importantes em relação aos efeitos dos

esforços acima, podendo-se considerá-los ausentes.

As massas são localizadas nas interfaces (nós) entre os vários cilindros, como

ilustrado na figura 3.2.

Os esforços do elemento superior são determinados e seus efeitos transmitidos

até a determinação do esforço resultante no elemento final do cabo, conectado ao

veículo submarino, e então transformado para o sistema de coordenadas de referência

móvel, obtendo-se, assim, o esforço do cabo umbilical .

Normalmente, o local onde o cabo umbilical liga-se ao veículo submarino é

próximo ao centro do sistema de coordenadas móvel. Desta maneira são evitados

momentos que surgiriam devido ao braço do ponto de conexão cabo-veículo e o centro

do sistema de coordenadas móvel.

52

Uma outra metodologia de resolução seria o emprego de análises usuais para

estruturas treliçadas conforme citado na bibliografia especializada (Labegalini et al.,

2005), ou seja, o emprego análise estática, ou seja, as ações dinâmicas (variáveis no

tempo) são consideradas através de “ações estáticas equivalentes”.

No entanto, sabe-se que para obter valores mais precisos dos esforços e dos

deslocamentos que surgem nestas estruturas, quando submetidas às ações dinâmicas,

uma análise que forneça tais resultados ao longo do tempo (análise dinâmica) é de

considerável importância.

Um método de integração temporal direta (explícito) das equações do

movimento, que apresenta uma formulação que pode ser empregada para obter a

resposta ao longo do tempo nos elementos dos cabos, permitindo inclusive tratar não-

linearidades físicas e geométricas, além da vantagem de não requerer a montagem da

matriz de rigidez global, já que a integração é realizada em nível de elemento (Menezes

et al.). Este tipo de análise aplica-se a estruturas, que podem ser discretizadas como

elementos de barra.

3.2.1 Análise dinâmica de cabos

Para a análise de cabos e outros tipos de estruturas expostas a solicitações dinâmicas é

comum o uso de Métodos explícitos de integração direta das equações de movimento .

De forma a contextualizar o problema, supõe-se que a equação governante de equilíbrio

de resposta dinâmica de um sistema de elementos finitos seja representada por:

( ) ( ) ( ) ( )MU t CU t KU t R t+ + =��

(3.3)

53

Onde M, C, e K são matrizes de massa, amortecimento e rigidez respectivamente, R é o

vetor de carregamento ( )U t�� , ( )U t� e, ( )U t e representam, nessa ordem, a aceleração,

velocidade e deslocamento do sistema no instante de tempo t.

Para solucionar numericamente este problema dinâmico, ou seja, dependente do tempo

é importante verificar o método de integração ideal. A integração numérica direta se

baseia em dois pontos principais. Primeiro, invés de tentar satisfazer a equação (3.3) em

qualquer instante t, a idéia é satisfazer a equação (3.3) apenas em intervalos de tempo

discreto t∆ . A segunda premissa na qual a integração direta se baseia é que a cada

intervalo de tempo t∆ existe uma variação de deslocamento, velocidade e aceleração do

sistema.

Diversos métodos de integração poderiam ser citados, cada um com suas vantagens e

desvantagens quanto a custo e eficiência computacional, precisão, convergência,

estabilidade entre outros, mas serão apresentados o método de diferenças finitas e o

método de Newmark.

O método de Diferença Central, também conhecido com método de diferenças finitas,

é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de

derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor

da função derivada. O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a

partir da série de Taylor para a função:

portanto a derivada pode ser escrita como uma diferença mais um termo de erro :

Ignorando-se o termo de erro tem-se o operador de diferenças finitas para a primeira

derivada (forward) de f definido como:

Para a equação de equilíbrio (3.3) temos:

54

2

1( ) ( ( ) 2 ( ) ( )U t U t t U t U t t

t= − ∆ − + + ∆

∆��

(3.4)

1( ) ( ( ) ( ))

2U t U t t U t t

t= − − ∆ + + ∆

∆�

(3.5)

Substituindo (3.5) e (3.4) em (3.3) tem-se:

2 2 2

1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2M C U t t R t K U t M C U t t

t t t t t

+ + ∆ = − − − − − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

(3.6)

De onde pode-se extrair )( ttU ∆+ . É importante ressaltar que a solução )( ttU ∆+ é

baseada nas condições de equilíbrio no instante t , isto é, )( ttU ∆+ é calculado pela

equação (3.3). Por isso é chamada de integração é explicita. A estabilidade de um

método explícito por diferenças finitas depende do passo de integração t∆ ser menor

que um passo crítico que está relacionado com a maior freqüência natural do sistema.

O método de Newmark é basicamente uma extensão do método de aceleração linear,

no qual é adotada uma variação linear da aceleração entre t e tt ∆+ . As seguintes

premissas são utilizadas:

( ) ( ) [(1 ) ( ) ( )]U t t U t U t U t t tδ δ+ ∆ = + + + + ∆ ∆� � ��

(3.7)

2( ) ( ) ( ) [(0.5 ) ( ) ( )]U t t U t U t t U t U t t tα α+ ∆ = + ∆ + − + + ∆ ∆��

(3.8)

onde α e δ são parâmetros que podem ser determinados para obter precisão e

estabilidade da integração. Originalmente Newmark propôs o uma solução

55

incondicionalmente estável quando 4/1=α e 2/1=δ em (3.7) e (3.8) , também

chamada de regra do trapézio.

Em conjunto com as equações (3.7) e (3.8), para solução de deslocamento, velocidade e

aceleração no instante tt ∆+ , a equação de equilíbrio (3.3) no instante tt ∆+ pode ser

reescrita como:

( ) ( ) ( ) ( )MU t t CU t t KU t t R t t+ ∆ + + ∆ + + ∆ = + ∆��

(3.9)

Solucionando por (3.8) )( ttU ∆+�� em termo de )( ttU ∆+ e substituindo em (3.7),

obtém-se as equações de )( ttU ∆+�� e )( ttU ∆+� em termos de )( ttU ∆+ . Essas duas

relações de )( ttU ∆+�� e )( ttU ∆+� substituídas em (3.9) retornam a solução de

)( ttU ∆+ . Com o resultado as equações (3.7) e (3.8) podem ser solucionada para esse

instante de tempo. Diferente do Método de Diferença Central, a regra do trapézio trata-

se de um método implícito sempre estável independente do passo escolhido.

3.3 Objetivo

O principal objetivo deste capítulo consiste em desenvolver uma rotina computacional

para permitir:

- uma análise preliminar do comportamento dinâmico do cabo submetida a ação da

correntes marítimas,

- a visualização dos resultados, isto é, os esforços nos elementos selecionados dos cabos

e os deslocamentos ao longo do tempo da análise.

3.4 Implementação Computacional

De modo a alcançar os objetivos citados acima foi elaborada uma rotina que

através de processos iterativos, encontra o novo posicionamento dos nós dos elementos

cilíndricos discretizados do cabo.

56

Como primeira aproximação e solução, temos o cabo posicionado verticalmente

em relação à coluna d’água com um determinado peso rebocado (veículo de resgate) e

submetido à ação de um determinado perfil de velocidade de corrente marítima e a uma

determinada velocidade do Navio-rebocador, até que a primeira estimativa de inclinação

do elemento será feita e novas posições dos nós dos elementos discretizados serão

calculadas considerando a força de arrasto local, a inclinação dos elementos e as áreas

expostas ao perfil de corrente.

De forma a minimizar o custo computacional a inércia foi desprezada reduzindo

a equação de morison a apenas um termo, vibrações induzidas por vórtices (VIV) e

efeitos de torção e flexão também foram ignorados.

3.4.1 Metodologia adotada - 1ª abordagem

Após a avaliação das técnicas citadas acima para abordar o problema, foi adotada uma

implementação computacional com o objetivo de encontrar o posicionamento dos nós

do cabo através de um processo iterativo e as forças no último nó para utilização futura

no modelo do veículo.

Como primeira solução, adotou-se o cabo posicionado verticalmente em relação à

coluna de água, até que a primeira estimativa de inclinação do mesmo é feita e novas

posições são calculadas considerando a força de arrasto local, os elementos inclinados e

a área exposta. a partir deste ponto o cabo encontra-se sob tensão e poderá alongar-se.

A solução final assume que cada elemento possui um equilíbrio de forças estáticas do

vetor (x,y e z) e tempo suficiente para alcançar a posição de equilíbrio.

As forças atuando na direção vertical são empuxo, tensão superior ao nó, tensão inferior

ao nó e arrasto de possíveis correntes verticais.

De modo a simplificar o cálculo, o modelo do cabo não considera esforços de

sustentação, variações inerciais, vibrações ou “snap loading”. As soluções, mesmo para

simulações dependentes do tempo, são todas analisadas como localmente “estáticas”.

57

O modelo considera somente cilindros e esferas. Superfícies mais complexas são

“aproximadas” para um correto ajuste do coeficiente de arrasto e área da superfície

exposta ao fluxo.. Esferas caracterizam dispositivos isotrópicos, enquanto cilindros são

anisotrópicos em relação as direções verticais e horizontais. A força de arrasto é

determinada de acordo com a forma do elemento, a área exposta ao fluxo e ao

coeficiente hidrodinâmico de arrasto. Para cada elemento apresentam-se três equações e

seis incógnitas, sendo a tensão superior e inferior ao nó e duas coordenadas esféricas de

cada elemento em relação ao eixo vertical Z e ao plano X-Y.

O elemento do topo do cabo não tem tensão superior ao nó. Então, possui três

incógnitas e três equações.

A tração e os ângulos entre forças de tração de dois elementos são iguais e atuam em

direções opostas. Logo, as forças de tração acima do elemento são iguais as que estão

abaixo.

O método de solução visa estimar as forças de tração e ângulos do elemento superior e

só então, estimar as forças e ângulos dos elementos inferiores. O resultado é um

conjunto de ângulos ( , )z zψ θ e o comprimento dos elementos que determinam a exata

posição de cada elemento (x,y,z).

No instante que a solução converge, um gráfico tridimensional é gerado e a posição

final dos elementos, tensão no cabo e comprimentos e ângulos finais são apresentados.

Mais especificamente, a solução é obtida da seguinte forma: a velocidade da corrente

marinha e as seções do cabo (pode-se adicionar a variação da densidade da água do

mar) são interpoladas para aproximadamente 1 metro de resolução usando interpolação

linear. A força de arrasto em cada direção é calculada de acordo com uma simplificação

da equação de Morrison apresentada no capítulo 2.

1

2j v d i jQ C AUUρ=

(3.10)

Onde:

58

jQ é a força de arrasto em [N] atuante no elemento “i” na água de densidade wρ na

direção j. jU é a componente da velocidade do elemento localizada na profundidade na

qual o coeficiente hidrodinâmico de arrasto de arrasto DC é apropriado a forma do

elemento, com a superfície jA perpendicular a j .

U é vetor resultante da velocidade,

2 2 2U U V W= + +

(3.11)

na profundidade do elemento. A força de arrasto em todas as três direções é estimada

[j=1(x), 2(y), 3(z)], incluindo a componente vertical, que de acordo com a literatura

(Dewey,1999) é desprezível.

Uma vez que cada força de arrasto atuante em cada elemento tenha sido calculada, a

tensão e os ângulos necessários para o elemento no espaço podem ser estimados. As três

[x,y,z] equações componentes a serem resolvidas para cada elemento são:

1 cosi i i i iX X L senθ ψ+= +

1i i i i iY Y L sen senθ ψ+= +

1 cosi i i iZ Z L ψ+= +

(3.12)

Quando finalizado o cálculo, a posição de cada elemento é apresentada, enquanto as

tensões e ângulos desde o topo até o final do cabo são listados.

A inclinação de cada elemento é considerada quando estima-se a força e arrasto e a área

da superfície exposta ao fluxo(2).

Particularmente observa-se que para elementos cilíndricos inclinados, várias

modificações nestes esforços são observadas. Primeiro, a área exposta ao fluxo nas

direções horizontal e vertical muda. Além disto, O arrasto é dividido em componentes

tangencial e normal para cada direção de corrente atuante no elemento cilíndrico.

59

Figura 3.3 Diagrama de Forças

Tabela 3.1 Tabela de entradas para a simulação de esforços e posicionamento do cabo com a 1º metodologia

MASSA DO VEÍCULO

(KG)

VELOCIDADE DA

CORRENTE(M/S)

MATERIALDO CABO DO

UMBILICAL

NÚMERO DE ELEMENTOS

DO CABO

DENSIDADE DA ÁGUA DO MAR

1400 [0,1,0] KEVLAR 4 1024 COEFICIENTE DE ARRASTO

DO CORPO REBOCADO

POSIÇÃO INICIAL DO

CORPO REBOCADO

VELOCIDADE DO NAVIO

1,2 [0,0,0] [0,0,0]

60

Figura 3.4 Tela inicial da simulação do perfil do cabo umbilical

Figura 3.5 Resultado da simulação do perfil do cabo umbilical

61

3.4.2 Metodologia adotada - 2ª abordagem

Figura 3.6 Método de massas concentradas

• Esforços de natureza externa ao cabo Os esforços de natureza externa que atuam sobre o cabo são o arrasto hidrodinâmico FF e as forças restaurativas FG. As forças de arrasto hidrodinâmico são a composição das componentes tangencial Ft e normal Fn, como mostrado na Figura (3.5). A tensão T e o amortecimento P axiais são considerados internos. Os efeitos dos esforços flexionais e torsionais são desconsiderados (TRIANTAFYLLOU, 1984; BEHBAHANI-NEJAD AND PERKINS, 1996). A dinâmica de cada elemento discreto do cabo obedece a seguinte equação:

1 1[ ] ( ) ( )i Ai cabo cabo i i cabo i i cabo iM M T P T P Fη − −+ = + − + +��

(3.13)

onde icaboη�� é a aceleração do i-ésimo nó e iM , 3 3x

AiM ∈� são as matrizes de massa e

de massa adicionada do i-ésimo elemento cilíndrico, Na expressão acima tem-se, ainda, tem-se que Ncabo é o número de nós utilizados e 1.. 1caboi N= − .

• Esforços de natureza interna ao cabo A Figura 3.7 apresenta cada elemento discreto como um sistema massa mola amortecedor, onde as ações de amortecimento e a ação da tensão normal são modeladas. A tensão normal

icaboT atuando sobre o i-ésimo nó, é expressa como:

62

0

0

[1 ]icabo i

EAT R L

l= −

(3.14)

Figura 3.7 Modelagem dos elementos discretos do cabo umbilical segundo o modelo massa-mola-

amortecedor.

Na expressão acima, E é o módulo de Young do cabo, Acaboi é a seção transversal do cabo com diâmetro di e l0i é o comprimento natural de cada elemento do cabo. A grandeza Ri é dada por:

1

1

( )

( )i i

i i

i cabo cabo

i cabo S S

R

P C

η η

η η+

−

= −

= −

(3.15)

Onde

icaboη é a posição do i-ésimo nó.

Os internos do cabo produzem um efeito de amortecimento do movimento relativo de dois pontos pertencentes ao cabo. Este amortecimento é modelado como proporcional a diferença de velocidades de dois nós consecutivos (BUCKHAM, NAHON e SETO, 1999) e é linear.

1( )

i ii cabo S SP C η η −= −

(3.16)

iSη refere-se à velocidade do i-ésimo na direção s. Assim, é possível observar que a

dissipação possui componente não nula apenas na direção tangente aos dois nós. Para

63

transformar as componentes desta força de amortecimento interno para o sistema de coordenadas inercial, procede-se primeiramente com a projeção das velocidades dos nós na direção tangente do cabo:

icabo

i

Rprojeção

Rη= �

(3.17)

Onde Ri, mencionado acima, possui direção tangente ao cabo pois é dado pela diferença da posição de dois nós consecutivos. Em seguida, multiplica-se o número escalar projeção pelo versor tangente, obtendo, desta maneira a componente de velocidade na direção tangente ao cabo de cada nó, ou seja:

1i i

i ii cabo cabo cabo

i i

R RP C

R Rη η

−

= −

� �

(3.18)

A resultante externa F é resultado da força restaurativa FG e do esforço de arrasto hidrodinâmico FF , sendo:

1

1( )

2i i i iF F GF F F F−= + +

(3.19)

A força hidrodinâmica FF possui componentes normal e tangencial conforme a expressão:

1( )

2i i i i i i iF n t i n n n t t n iF F F d C U U C U U Rρ= + = +

(3.20)

A constante ρ é a massa especifica da água, Cn e Ct são os coeficientes de arrasto

normal e tangencial, geralmente adotados constantes. Os termos restantes, inU e

itU ,

equivalem às componentes normal e tangencial da velocidade de escoamento do fluido para cada elemento do cabo e expressas como:

64

2

[( ) ]i

i

c cabo i it

i

R RU

R

η η−=� �

(3.21)

i i in c cabo tU Uη η= − −� �

(3.22)

onde cη� corresponde à velocidade de correnteza, já abordada na seção anterior.Os

esforços de sustentação são aqui desconsiderados. Um exemplo em que estes esforços são levados em consideração pode ser encontrado em (Yamaguchi et al.,2001). O método de discretização lumped mass possui limitações numéricas quanto à convergência dos esforços internos aos nós. Verificou-se que o método numérico exige uma redução do comprimento dos elementos cilíndricos quando o cabo possui uma curvatura muito acentuada (Mullarkey, McNamara and O’Sullivan, 1999), caso contrário o modelo deixa de reproduzir a realidade. Além disso, o tempo de convergência é sensível à configuração ou condição inicial do cabo, sendo, à princípio, tanto maior quanto mais distante for a condição inicial do cabo da configuração em regime. Os esforços em regime obtidos segundo o modelo lumped mass foram comparados com os resultados teóricos (esperados) dos esforços necessários para manter o cabo umbilical em uma configuração de equilíbrio. Estes resultados teóricos foram determinados através de expressões analíticas para o caso bidimensional (ver (Pode, 1951)), ou seja, na condição do cabo umbilical estar contido no plano vertical do sistema inercial. Matrizes de Inércia do Cabo Umbilical As matrizes de massa e de massa adicionada para cada elemento cilíndrico discretizado conforme discussão acima são abordadas, respectivamente, por (Nakamura et al., 2000; Yokobiki et al., 2000):

0 0

0 0

0 0cabo

m

M m

m

=

(3.23)

onde m é a massa de cada elemento discretizado e :

65

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Acabo

m m m

M m m m

m m m

=

(3.24)

Onde,

2 2 2 211

2 2 2 212 21

2 2 2 222

23 32

cos cos (1 cos cos )

cos cos (1 cos cos )

cos (1 cos )

( ) cos

t n

t n

t n

t n

m A A

m m A A

m sen A sen A

m m A A sen sen

α β α β

α β α β

α β α β

α β β

= + −

= = + −

= + −

= = − − −

2 233 cost nm sen A Aβ β= +

(3.25)

Nas expressões acima At e An são os coeficientes de massa adicionada nas direções tangencial e normal ao fluxo do fluido, respectivamente. O ângulo α corresponde ao ângulo de inclinação do cabo no plano xz e , ao ângulo de inclinação β do cabo no plano xy, como mostra a Figura 3.6. O ânguloα é determinado tomando-se uma média aritmética dos ângulos iα e 1iα − de dois elementos consecutivos, através da relação:

1

1( )

2 i iα α α −= +

(3.26)

O ângulo β é determinado de forma análoga, ou seja:

1

1( )

2 i iβ β β −= +

(3.27)

66

Figura 3.8 Definição dos ângulos iα e iβ com a orientação do cabo no espaço.

Note que na Figura 3.8, o cabo umbilical é parametrizado no sistema de coordenadas

inercial.

No trabalho de MULLARKEY, MCNAMARA AND O’SULLIVAN, (1999) foi concluído que o método numérico de discretização (lumped mass) exige uma redução do comprimento dos elementos cilíndricos, esta necessidade é clara quando o cabo apresenta uma curvatura muito elevada, caso contrário o modelo deixa de reproduzir a realidade. Além disso, o tempo de convergência é afetado pela configuração ou condição inicial do cabo, é maior quando a condição inicial do cabo é considerada distante da configuração em regime. Santana, Dutra e Santiago (2009), demonstraram através desta abordagem e com estes dados iniciais:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

1

50;50;30

0;0;1.3

0.5 / ;0.5 / ;0.3 / ;0;0;0.013 /

0.5; 0.4; 0.1 /

final

final

c

m

rad

m s m s m s rad s

m s

η

η

η

η

=

=

=

= − − −

�

�

67

Que os esforços obtidos segundo o modelo lumped mass podem ser comparados com os resultados teóricos dos esforços necessários para manter o cabo umbilical em uma configuração de equilíbrio. Estes resultados teóricos foram determinados através de expressões analíticas para o caso bidimensional apresentados no trabalho de Pode, (1951), ou seja, na condição do cabo umbilical estar contido no plano vertical do sistema inercial. Os resultados são apresentados na Figura 3.9 e na Tabela 3.2. E os mesmos serão adotados como entradas no modelo completo adotado no próximo capítulo.

Tabela 3.2 resultados para a simulação – 2º abordagem

Nome das variáveis Resultados obtidos da simulação

Profundidade de operação (m) 187,40 Posição horizontal da operação -100

Esforço vertical (N) 460 Esforço horizontal (N) 120

Comprimento do cabo (m) 220

Figura 3.9 Esforços no cabo umbilical segundo dados apresentados na tabela anterior

68

Figura 3.10 Perfil do cabo umbilical segundo dados apresentados na tabela anterior para 300s de

simulação

69

4 MODELAGEM COMPUTACIONAL DO VEÍCULO

SUBMARINO GENÉRICO

4.1 Introdução

Neste capítulo, será apresentado o desenvolvimento de um modelo matemático

de um veículo submarino genérico e sua respectiva codificação computacional,

inspirada em modelagens citadas nas referências. Objetiva-se aliar o arcabouço teórico

da modelagem de veículos submarinos com a implementação do seu modelo

computacional.

A aproximação utilizada pode adaptar-se a outros modelos de veículo

submarino, facilitando decisões de projeto posteriores. O código pode ser utilizado para

as especificações de diferentes veículos e eventualmente pode ser compilado em

sistemas de tomada de decisão ou de controle.

No caso de modelos voltados para a tarefa de controle, sabe-se que o controle de

veículos submarinos pode visar tanto a estabilização do movimento diante das

perturbações como a realização de manobras.

Esta estabilização ou manobra sofre influência da forma geométrica do veículo.

Sendo que em geral, veículos de resgate apresentam-se nas formas “OPENFRAME” –

muito comum em ROV e veículos de investigação e localização têm algum perfil

hidrodinâmico – AUV ou ROTV do tipo Torpedo.

ASADA, H. e SLOTINE, J.J. E. (1986) apresenta a utilização de um controlador

de modo deslizante para um ROV efetuar manobras em torno de grandes objetos em

velocidade muito lenta.

Apesar da formulação do problema ser genérica, para apresentar os efeitos das

simulações realizadas nesta dissertação é apresentado um veículo de forma geométrica

com fins de localização, semelhante à de um AUV ou ROTV do tipo torpedo ou a de

DSRV mencionado no capítulo 1.

70

4.2 Modelagem matemática de sistemas dinâmicos

A necessidade de controlar ou predizer comportamentos de sistemas dinâmicos

envolve:

• Modelagem de sistemas dinâmicos

• Análise de características dinâmicas

Um modelo matemático é o conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema

no grau de aproximação adequado. Sendo que suas representações típicas são:

• Equações diferenciais

• Representação no espaço de estados

• Funções de transferência

4.2.1 Características dos sistemas Um aspecto importante a ser considerado na modelagem é a caracterização do sistema

como linear ou não-linear, um sistema não-linear é aquele que não atende aos princípios

de prpoporcionalidade e de superposição de efeitos. Com isso, sistemas não-lineares

criam novas freqüências em regime permanente, ou seja, o sinal de saída pode

apresentar freqüências que não estão presentes no sinal de entrada. Já no sistema linear,

a resposta do sistema frente a uma dada entrada não é afetada pela presença simultânea

de outras entradas.

A aproximação linear por partes de sistemas não-lineares permite a aplicação de

técnicas de análise e projeto desenvolvidas para sistemas lineares: linearização em

torno de pontos de operação supondo-se pequenas perturbações.

Figura 4.1 Linearização por partes

71

Formalmente, um sistema é chamado linear se possui duas propriedades matemáticas:

homogeneidade e aditividade.

Se for possível demonstrar que um sistema possui ambas as propriedades, então estará

provado que o sistema é linear.

Outra característica relevante é a invariância no tempo, que pode ser resumida pela

manutenção das características do sistema ao longo do tempo.

Um sistema é dito homogêneo se uma mudança na amplitude da entrada resulta em

uma mudança idêntica na saída. Isto é, se X[n] resulta em Y[n] , então K*X[n]

resulta em K*Y[n] para qualquer sinal , X[n], e qualquer constante k , como mostra a

figura 4.2.

Figura 4.2 Definição da propriedade da homogeneidade de sistemas lineares.

Um sistema é denominado aditivo se a soma de sinais aplicados à entrada do mesmo

resultam em saídas compostas apenas pelas somas das respostas individuais .

A figura 4.3 ilustra esta definição.

Figura 4.3 Definição da propriedade da aditividade de sistemas lineares.

72

4.2.2 Função de transferência A função de transferência pode ser definida para sistemas lineares, invariantes no

tempo, descritos por equações diferenciais, como a razão entre a Transformada de

Laplace da saída pela Transformada de Laplace da entrada assumindo-se todas as

condições iniciais nulas.

De forma a exemplificar, considere um sistema descrito por :

( ) ( 1) (1) ( ) ( 1) (1)0 1 1 0 1 1... ...n n m m

n n m ma y a y a y a y b x b x b x b x− −

− −+ + + + = + + + +

(4.1)

Onde x é a entrada e y é a saída. Então:

1 10 1 1

1 10 1 1

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

b s b s b s bY sG s

X s a s a s a s a

−

−

−

−

+ + + += =

+ + + +

(4.2)

será a função de transferência do sistema.

A função de transferência de um sistema pode ser experimentalmente obtida

aplicando-se uma entrada conhecida e estudando-se a saída obtida.

Se

( )( )

( )

( ) ( ). ( )

Y sG s

X s

Y s G s X s

=

=

(4.3)

Então

0

( ) ( ) ( )t

y t x g t dτ τ τ= −∫

(4.4)

que é a definição de integral de convolução, com g(t)=0 e x(t)=0 e t <0.

Uma vez que,

( ) ( ) ( ) 1x t t X sδ= ↔ =

73

então

( ) ( )Y s G s=

(4.5)

ou seja, a função de Transferência do sistema é igual à Função de Transferência da saída

para uma entrada impulso unitário. Desta forma

( ) ( )y t g t=

(4.6)

Onde ( )g t é chamada a resposta ao impulso do sistema, que é a resposta do

sistema a uma entrada impulso unitário quando todas as condições iniciais são nulas.

Se ( )G s é a função de transferência do sistema, é possível então caracterizar

completamente um sistema linear, invariante no tempo, excitando-o com uma entrada

impulso unitário e medindo-se sua resposta.

4.2.3 Diagrama de Blocos Trata-se de uma representação gráfica das funções de cada componente de um sistema

dinâmico e dos fluxos de sinais entre eles.

As vantagens são: a facilidade de observação do comportamento global do sistema e a

contribuição de cada componente com o todo.

Figura 4.4 Exemplo de diagrama de blocos.

Ao ser observado um sistema em malha fechada com sensor na saída:

74

Figura 4.5 Exemplo de diagrama de blocos de sistema em malha fechada.

Pelo diagrama de blocos, tem-se que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y s G s E s

E s R s B s

B s H s Y s

=

= −

=

Logo:

( )( ) ( )

1 ( ) ( )

G sY s R s

G s H s=

+

(4.7)

Ou seja, a saída do sistema depende da função de transferência de malha fechada e da

entrada.

4.2.4 Teoria de controle convencional versus Teoria de controle moderno

A teoria do controle convencional é somente aplicável a sistemas com entradas e saídas

únicas, lineares e invariantes no tempo, predominantemente aplicada no domínio da

frequência.

Já a teoria moderna não possui as limitações anteriores e é essencialmente abordada no

domínio do tempo.

4.2.4 Modelagem no espaço de Estados O estado de um sistema é o menor conjunto de valores de variáveis, em t=t0 (variáveis

de estado) que em conjunto dos valores de entrada determinam o comportamento do

sistema em qualquer instante 0t ≥

A modelagem no espaço de estados envolve três tipos de variáveis:

• Variáveis de entrada

• Variáveis de saída

75

• Variáveis de estado

Aplicável a sistemas lineares ou não-lineares, SISO (Single Input, Single Output)

ou MIMO (Multiple Input, Multiple Output), invariantes ou variantes no tempo

Abordagem normalmente no domínio do tempo

As variáveis de estado podem ser mensuráveis, observáveis ou calculadas, e

podem ser arranjadas em um vetor de estados.

O Espaço de Estados é o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são os estados

1 2, ,..., nx x x , e onde os vetores de estados são pontos.

Figura 4.6 Espaço de estados n-dimensional.

Equações no espaço de estados envolvem não apenas as entradas e saídas, mas também

os estados.

O sistema dinâmico deve envolver elementos que “memorizem” o valor das entradas

tais como os integradores. As saídas destes podem ser consideradas variáveis de estado

que definem o estado interno do sistema.

Neste caso, o número de variáveis de estado que descrevem completamente a

dinâmica do sistema é igual ao número de integradores do sistema.

76

Seja:

( ) ( , , )

( ) ( , , )

x t f x u t

y t g x u t

=

=

�

(4.8)

Sendo (4.8) a representação das equações de estado e de saída do sistema dinâmico.

Se este for linearizado e considerado invariante no tempo, pode-se considerar:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

= +

= +

�

(4.9)

Onde A é a matriz de estado, B é a matriz de entrada, C é a matriz de saída e D é a

matriz de transmissão direta.

4.2.5 Linearização de modelos matemáticos não-lineares A linearização permite aplicar para sistemas não-lineares as técnicas de análise e

projeto desenvolvidas para sistemas lineares.

Pode-se realizar uma Expansão em Série de Taylor e truncar a série no primeiro termo.

A expansão em torno de um ponto de operação implica que o modelo

linearizado é válido apenas na vizinhança deste ponto.

A aproximação será razoável se os termos desprezados forem suficientemente

pequenos.

A dinâmica modelagem cinemática e de veículos submarinos apresentada acima,

assim como para a maioria dos sistemas físicos, possui limitações com relação à

representatividade da dinâmica da planta real, sendo válida para a região de baixas

freqüências de velocidade. Até mesmo a definição do intervalo de freqüências em que

o modelo é válido constitui uma tarefa complexa pois à medida que o sistema físico

é excitado a operar com freqüências mais altas aumenta a dificuldade da avaliação

do acompanhamento do sinal de entrada. Isto se deve por causa dos problemas

relacionados com o tempo de resposta da instrumentação necessária ou mesmo quando

uma relação sinal-ruído adequada não é possível.

77

Como mencionado anteriormente, o veículo submarino constitui numa planta

caracterizada por uma dinâmica não linear, onde a dinâmica dos seis graus de liberdade

estão acoplados e sujeitos à variação paramétrica, dos coeficientes das matrizes MA

e CA e FD, com a velocidade e a aceleração do veículo. Adicionalmente à variação

paramétrica, um veículo submarino pode sofrer variação da sua geometria e/ou de

massa. Neste caso, ocorre uma variação dos parâmetros das matrizes do modelo de

corpo rígido MCR e CCR.

Visto o modelo geral de um veículo submarino ser caracterizado por uma dinâmica

não linear e multivariável, conforme exposto acima, em muitos casos recorre-se à

modelos simplificados para aplicação de controle, especialmente quando da utilização

destes sobre uma ampla faixa de operação, isto é, velocidades. Quando do emprego

de técnicas lineares de controle, PID por exemplo, utilizam-se modelos lineares do

veículo para o projeto. O processo de linearização utilizando série de Taylor,

considerando até termos de baixa ordem, necessita levar em conta vários pontos em

torno dos quais esta é realizada, pois devido à natureza não linear do movimento de um

veículo submarino, somente um conjunto de modelos lineares (um para cada região

de operação) é representativo do caso real.

4.2.6 Aspectos da codificação computacional O Matlab® é um software comercial, criado pela empresa MathWorks, caracterizado

por ser um ambiente de computação numérica e uma linguagem de programação. Este

software permite fácil manipulação de matrizes, plotagem de funções e dados,

implementação de algoritmos, criação de interfaces com o usuário e comunicação com

programas desenvolvidos em outras linguagens. Além disso, possui uma ferramenta

chamada Simulink®. O Simulink® é uma ferramenta para modelagem,que se utiliza da

técnica de diagrama de blocos para a simulação e análise de sistemas dinâmicos,

adicionado a uma série de toolboxes que facilitam o desenvolvimento de experimentos.

Este software será o utilizado para a codificação computacional do modelo de veículo

de veículo de resgate em estudo.

78

4.3 Contextualizando a modelagem do Veículo de Resgate

A modelagem de veículos submarinos baseia-se no movimento de um corpo rígido no

espaço, sem restrições. Os esforços oriundos da interação com o fluido, sejam eles

propulsores, estabilizadores ou perturbadores são freqüentemente controláveis .

Conforme abordado anteriormente, as equações de movimento para a modelagem de

veículos são desenvolvidas usando um sistema de coordenadas fixo no corpo e um

sistema de referencia global ou fixo na terra. O sistema de coordenadas fixo no corpo

tem seis componentes de velocidade, que representam o vetor velocidade:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Ttrtqtptwtvtutx ,,,,,' =

(4.10)

Enquanto que os seis componentes de posição no sistema de referência global são:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]TttttZtYtXtz ψθφ ,,,,,=

(4.11)

Os ângulos ( )tφ , ( )tθ , ( )tψ , (azimut, elevação e spin), são relativos às transformações

de Euler relacionadas aos movimentos de yaw, pitch e roll. As entradas de controle, as

superfícies de controle (se existentes), forças dos propulsores e o ajuste da estabilidade,

em geral, são consideradas como o vetor de entradas, ( )tu :

4.3.1 Simulação do sistema dinâmico do veículo usando Simulink® Relembrando o mencionado em (4.8), para sistemas dinâmicos de tempo contínuo tem-

se:

( ) ( , , )

( ) ( , , )

x t f x u t

y t g x u t

=

=

�

Onde t é o tempo, x é o vetor de estados, u é o vetor de entradas (input), y é o vetor de

saídas.

A atribuição de valores para as condições iniciais do vetor de estados, e para o vetor de

entradas dependentes do tempo permite conhecer a evolução da saída (output) e dos

vetores de estado pela resolução das equações.

79

O Simulink® manipula os sistemas dinâmicos através de um mecanismo chamado “S-

function mechanism”, especificamente, cada objeto do programa (blocos, composição

de blocos, esquemas) representa um sistema dinâmico; logo, cada objeto (incluindo

todo o esquema de simulação) é internamente representado pela “S-function”.

Tipicamente, a construção em blocos pode ser realizadas com blocos pré-compilados ou

diretamente escritas na linguagens Matlab, C, C++, Ada ou Fortran.

Neste trabalho, a dinâmica do veículo será codificada em Matlab, e será estruturada em

um bloco do Simulink “MatlabFunction”. Este bloco receberá os valores de entrada e

os processará através da Matlab function. A função retornará um vetor singular que

será a saída do bloco.

Esta sistemática apresenta a limitação de aceitar apenas uma entrada e uma saída, para

contornar este revés, foi incluída a variável “veh” ao programa.

A variável “veh” contém toda a informação relativa à estrutura do veículo,e esta pode

ser adicionada ao bloco “Matlab Function” através do mecanismo de compartilhamento

do Matlab (workspace).

Isto significa que, antes de começar a simulação, a variável global “veh” deve ser

definida e carregada (usando a função veh) com a estrutura do veículo.

Segue abaixo o diagrama de blocos referente ao comportamento dinâmico do veículo de

resgate quando submetido aos diversos esforços citados sem implementação de

controle.

Figura 4.7 Diagrama de bloco do veículo de resgate em estudo

80

Abaixo é apresentado o mesmo diagrama de blocos codificado no software simulink®

para representar o comportamento dinâmico do veículo de resgate genérico em estudo.

Figura 4.8 Diagrama de bloco do veículo de resgate em estudo

A figura 4.8 apresenta o diagrama de blocos do Simulink® que representa o veículo de

resgate em estudo sem controle implementado. Onde:

• As entradas representam respectivamente:

- O sistema de estados inicial do veículo (posição e velocidade generalizada)

- o vetor dos ângulos dos lemes direcionais (se existentes);

- Os esforços em relação ao sistema de coordenadas fixas no corpo

(propulsores);

- Os esforços em relação ao sistema de coordenadas inerciais (cabo umbilical); e

- Velocidade e aceleração das correntes marinhas com relação ao sistema de

coordenadas inerciais.

• A MATLAB Function descrita na figura 4.8 como Vxdot é a codificação

equivalente da equação de governo a ser resolvida.

• As saídas representam a evolução temporal do sistema de estados do veículo

(posições e velocidades) .

81

4.3.2 Aspectos cinemáticos – posições e velocidades

4.3.2.1 Convenções para os Sistemas de Coordenadas

De forma a estabelecer a notação básica ou convenção tratada nesta dissertação,

será adotado, por exemplo “ eυ ” para referenciar um vetor 3D “υ ” descrito no

referencial fixo.

4.3.2.2 Sistemas de Coordenadas Fixos na Terra e no Corpo – Definição das

posições generalizadas.

No capítulo 2 foi apresentada a conveniência de se definir dois sistemas de

coordenadas como exemplificado na figura 2.2.

O sistema móvel é fixado no corpo do veículo e é chamado sistema fixo no corpo.

A origem do sistema de referência fixo no corpo é freqüentemente escolhida para ser o

plano principal de simetria do corpo, e os eixos do corpo são escolhidos para coincidir

com os eixos principais de inércia e serão definidos como:

• X: eixo longitudinal;

• Y: eixo transversal;

• Z: eixo Normal.

O movimento do sistema de referência móvel é descrito relativo ao sistema de

referência inercial.

Para veículos submarinos, um eixo fixado na terra é assumido como inercial,

tendo em vista as baixas velocidades envolvidas.

A orientação do sistema de coordenadas em relação ao outro pode ser expressa

pela matriz de rotação ebR tal que eυ = e

bR * bυ . Se forem denotados como ia, ja e ka; os

vetores unitários dos eixos x, y e z de um sistema de coordenadas de “A”, então:

82

b

b e

b

e T

ee e e e T b Tb b b b

e T

ì

R i j k j R

k

= = =

(4.12)

Onde é possível provar que para cada mudança de operação do sistema “b”(fixo

no corpo) em relação ao sistema “E”(fixo na terra) pode ser produzido ser produzido

através de uma simples rotação de “b” em relação a “e”.

Definindo a matriz Sυ como o produto vetorial entre υ e w , tem-se:

3 2

3 1

2 1

0

( ) 0

0

S

υ υ

υ υ υ

υ υ

− = − −

(4.13)

Tem-se que:

( ) cos( ) ((1 cos )) ( ) ( )e S TbR e I sen Sα υ α α υυ α υ= = + − +

(4.14)

Onde I é uma matriz-identidade 3x3, α é o ângulo de “b” em relação a “e”.

A convenção indica que a matriz de rotação é descrita por uma ordem predefinida,

tornando X3Y3Z3 o sistema de coordenadas obtido pela translação do sistema de

coordenadas fixo na terra XeYeZe paralelo a ele mesmo até que sua origem coincida

com a origem fixa no corpo. Então, o sistema de coordenadas X3Y3Z3 é rotacionado de

um ângulo yaw (ψ ) sobre Z3 , gerando um sistema X2Y2Z2. Este último é rotacionado

de um ângulo pitch (θ ) sobre Y2,obtendo-se então o sistema X1Y1Z1, sendo que este é

rotacionado de um ângulo roll (ϕ ) sobre X1 produzindo o sistema de coordenadas fixo

ao corpo.

A matriz de rotação ebR pode ser resumida como o produto de três matrizes de

rotação.

83

1 0 0

0 1 0

0 0 1* *S S S

ebR e e e

ψ θ ϕ

=

(4.15)

4.3.2.3 Codificações de Funções

Ao traduzir, para o código em uso, a matriz ( )S υ definida em (2), tem-se:

function z=vp(x,y)

% z=vp(x,y); z = produto vetorial de x e y

% vp(x) e a matriz do produto vetorial : vp(x)*y=vp(x,y).

z=[ 0 -x(3) x(2);

x(3) 0 -x(1);

-x(2) x(1) 0 ];

if nargin>1, z=z*y; end

Como a maioria das simulações será desenvolvida no sistema fixo ao corpo, a

matriz beR será utilizada com mais freqüência do que a sua transposta e

bR . A função

descrita abaixo foi elaborada de forma a produzir uma rotação, dados como entrada um

vetor de orientação contendo os ângulos de roll, pitch e yaw.

function R_eb=rpy2R_eb(rpy) % R_eb=rpy2R_eb(rpy), calcula a matriz de rotação do sistema “e” em relação ao sistema “b”, % tendo como input um vetor contendo os ângulos roll, pitch and yaw. sf = sin(rpy(1)); cf = cos(rpy(1)); st = sin(rpy(2)); ct = cos(rpy(2)); sp = sin(rpy(3)); cp = cos(rpy(3)); R_eb = [ +ct*cp +ct*sp -st +sf*st*cp-cf*sp +sf*st*sp+cf*cp +sf*ct +cf*st*cp+sf*sp +cf*st*sp-sf*cp +cf*ct ];

84

4.3.2.4 Sistemas de Coordenadas Auxiliares

O sistema definido como “sistema-W” é um sistema de coordenadas fixo no

corpo (localizado em um dado ponto do veículo submerso) em um dado ponto do

veículo de resgate (ou qualquer outro) com seu eixo “x” orientado de acordo com a

velocidade do corpo em relação ao fluido neste ponto específico, e o seu eixo Z

localizado no plano XZ em relação ao “Sistema - b”.

O “sistema-W” pode ser obtido a partir do “Sistema-B” através de duas rotações.

Primeiramente girando sobre o eixo Y de um ângulo α , no sentido horário do “sistema-

B”, depois girando sobre o eixo Z segundo um ângulo β :

0 0

1 0

0 1

cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )

* ( ) cos( ) 0

( )cos( ) ( ) ( ) cos( )

s s

bw

sen sen

R e e sen

sen sen sen

β α β α β α

β β

α β α β α

−

− = = −

(4.16)

A velocidade do corpo em relação ao fluido pode, então ser expressa no

“sistema-W” pelo vetor [ 0 0]TV

4.3.2.5 Definição das velocidades generalizadas.

a) Velocidade linear

Sabe-se que o vetor ebO é variável no tempo, então a velocidade linear de “b”

em relação a “e”, expressa no sistema de referência fixo na terra “Sistema-E”, é a

derivada temporal do vetor ebO :

/

e eb e bV O= �

(4.17)

85

Normalmente, a velocidade linear é expressa no sistema de referência fixo no corpo

(sistema-B), logo:

/ /* *b b e b e

b e e b e e bV R V R O= = �

(4.18)

b) Velocidade angular

Se a orientação de “b” com relação a “e’ varia no tempo, então a matriz de rotação é

variável no tempo. A velocidade angular de “b” com relação a “e” expressa no

“Sistema-E”, é o vetor /e

b eW representado por :

/( )e e e

b b e bR S W R=

(4.19)

A velocidade angular não poderá ser integrada diretamente para a obtenção das

coordenadas angulares devido ao fato desta integral não possuir interpretação física

imediata. Entretanto, a velocidade angular pode ser relacionada com as derivadas dos

ângulos de roll, pitch e yaw , de fato se for observada a definição destes ângulos, nota-

se que /e

b eW é a soma de três componentes, conforme expresso abaixo:

/ 3 2 1 1 2 3( ) ( , ) ( , ) ( )e e e e e e e

b eW K J I I J K

φ

ψ ψ θ θ ψ φ θ ψ ψ θ

ψ

= + + =

�

� � ��

�

(4.20)

Mas para obter /b

b eW deve-se multiplicar à esquerda por beR , logo:

86

/ / 1 2 3

/

/

* ( , ) ( )

1 0

0 cos cos

0 cos cos

1 tan cos tan

0 cos

0 / cos cos / cos

b b b b e e eb e e b e e

bb e

bb e

W R W R I J K

sen

W sen

sen

sen

sen W

sen

φ

θ ψ ψ θ

ψ

θ φ

φ θ φ θ

φ θ φ ψ

φ φ θ φ θ

θ φ φ

ψ φ θ φ θ

= =

− = −

= −

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2

πθ = ±

(4.21)

Assim, para obter as derivadas dos ângulos de roll, pitch e yaw a partir de /b

b eW

e os ângulos de roll, pitch e yaw, a relação é expressa por :

/

1 tan cos tan

0 cos

0 / cos cos / cos

bb e

sen

sen W

sen

φ φ θ φ θ

θ φ φ

ψ φ θ φ θ

= −

�

�

�

(4.22)

Note-se que esta matriz não tem solução para 2

πθ = ±

4.4 Codificação das Funções da Cinemática

Para esta etapa, será convencionada a notação abaixo a ser utilizada na

codificação das funções cinemáticas:

• Para vetores, a letra minúscula após o sublinhado (underscore) representa o

sistema de coordenadas no qual o vetor está expresso, por exemplo “P_”

significa o vetor P expresso no sistema de coordenadas fixo na terra “e”,

definido como eP .

• Para matrizes de rotação, as duas letras minúsculas após o sublinhado

representam os sistemas de coordenadas relacionados pela matriz. Por

exemplo,R_be significa a matriz ebR .

87

• Para velocidade, três letras minúsculas após o sublinhado terão o seguinte

significado: V_abc será o equivalente a velocidade de um sistema de

coordenadas “a”em relação a um sistema “b” expresso no sistema de

coordenadas “c”.

4.5 Codificação da Notação para Veículos Marinhos de 6 GDL.

Segundo FOSSEN(1994) e CAMPA, INNOCENTI E NASUTI(1998), os

vetores abaixo são usados para descrever o movimento de um veículo submerso em 6

GDL.

1

2

1

2

1

2

1 /

2 /

( )

( )

eb

bb e

bb e

x

O y

z

v

v

u

v v v

w

p

v w q

r

J

J

ηη

η

η

φ

η θ

ψ

υ

η

η η υ

=

= =

=

=

= =

= =

=�

(4.23)

η é o vetor de coordenadas generalizadas do “Sistema-B” em relação ao “Sistema-E”,

especificamente, x,y,z são as posições de Ob ao longo dos eixos e φ ,θ e ψ são os

88

ângulos de roll, pitch e yaw do “Sistema-B” em relação ao “Sistema-E” como descrito

em (2).

1

2

v

vυ

=

; 1 /b

b e

u

v v v

w

= =

;

2 /b

b e

p

v w q

r

= =

(4.24)

υ é o vetor de velocidades generalizadas do “Sistema-B” em relação ao “Sistema-E”,

com coordenadas fixadas no corpo (Sistema-B), mais detalhadamente υ é a velocidade

angular no “Sistema-B” com relação ao “Sistema-E” com coordenadas no “Sistema-B”,

como descrito no tópico anterior.

Então, υ representará a velocidade do sistema de coordenadas do corpo

“Sistema-B” em relação ao “Sistema-E”.

O vetor υ é relacionado com a derivada de η pela matriz ( )J η :

( )Jη η υ=� ;

1 2 3

3 2 2

( ) 0( )

0 ( )

JJ

J

ηη

η

=

(4.25)

Onde 30 é uma matriz de zeros 3x3, 1 2( )J η é ebR (a transposta de b

eR ) e 2 2( )J η é a

matriz em (12).

11 2

2

; ;

X K

Y M

Z N

ττ τ τ

τ

= = =

(4.26)

τ é o vetor de forças e momentos atuando sobre o veículo.

89

4.6 Codificações de Funções

Ao traduzir, para o código em uso, a matriz jacobiana definida em (79), tem-se:

Matlab function rpy2J function J=rpy2J(rpy) % J=rpy2J(rpy); codifica a matriz jacobiana generalizada que % transforma as derivadas de ni em derivada de eta , dados como entrada os % ângulos roll pitch and yaw. sf = sin(rpy(1)); cf = cos(rpy(1)); tt = tan(rpy(2));

ct = cos(rpy(2));

J = [ rpy2R_eb(rpy)' zeros(3,3)

zeros(3,3) [1 sf*tt cf*tt; 0 cf -sf; 0 sf/ct cf/ct] ];

4.7 Sistema de Coordenadas para a Corrente Marinha

Este sistema, chamado deste ponto em diante de “sistema-C”, é utilizado para

expressar a velocidade da corrente ao redor do veículo de resgate, este possui a

orientação do “sistema-E” e uma velocidade linear que corresponde a velocidade de

corrente em relação ao “sistema-E”

11 / / 2 / /

2

0

; * ; * 0

0

cc b b e b b e

c c e e c e c c e e c ec

c

u

c V R V v c W R W

w

ϑϑ ϑ ϑ

ϑ

= = = = = = =

1

2

cc

c

ϑϑ

ϑ

=

(4.27)

Logo,

11 / / / /

0b b b ec

c c e b e c e c eV W V Vϑ

ν ϑ

= = = = − × +

��

(4.28)

90

Adicionalmente, a velocidade relativa é definida como a velocidade do corpo em

relação à corrente:

/ / /

/ / /

b b bb e c e b c

r b b bb e c e b c

V V VV V Vc

W W W

−= − =

−

(4.29)

4.8 Dinâmica do Corpo Rígido

Conforme comentado no capítulo 2 a equação de movimento de um veículo em um

espaço tridimensional pode ser expressa como:

( )CR CRM Cν ν ν τ+ =�

(4.30)

Onde pode-se ampliar a matriz de inércia para :

3 ( )

( )

b

CR b bb

mI mS GM

mS G IO

−=

(4.31)

Onde I3 é uma matriz identidade 3X3, m é a massa do veículo, bG é a posição do centro

de massa em relação ao sistema de referência fixo ao corpo (Sistema-B) e bbIO é o

tensor de inércia em relação à bO expresso no Sistema- B.

Se ρ é a densidade do corpo no ponto P, e V é o volume, então as propriedades m, bG

e bbIO podem ser reescritas da seguinte forma :

( )b

volm P dpρ= ∫

(4.32)

91

1( )b b b

vol

G P P dpm

ρ= ∫

(4.33)

2 ( ) ( )b b bb

vol

IO S P P dpρ= − ∫

(4.34)

A matriz CRC , diferentemente da matriz de inércia, pode apresentar diversas

parametrizações, uma das mais comuns na literatura (FOSSEN, 1994) é a representada

abaixo:

( )

11 12

11 12 21 22

0 ( )

( ) ( )

CR CR

CR

CR CR CR CR

S M MC

S M M S M Mν

− = − −

(4.35)

O vetor de forças e momentos é a soma de diversos esforços:

rest amort adic FK extτ τ τ τ τ τ= + + + +

(4.36)

Com relação às forças de restauração (devido às forças peso e empuxo), restauτ é uma

função de posição e orientação do veículo, e pode ser representada por ( )g η− :

g( ) ( ) ( )

( ) g( )

bbm

rest g b b bb bm

Volm gg

S B VolS G m g

ρτ η τ η τ η

ρ

= − = + = −

(4.37)

92

Onde b g é a aceleração gravitacional expressa no sistema fixo no corpo (sistema-B),

mρ é a densidade da água do mar, b B é o centro de flutuação, que é definido como b G ,

mas com a densidade da água do mar no lugar da densidade do corpo. ( )Pρ .

amortτ representa o conjunto de esforços relacionados aos diferentes tipos de

amortecimento, o potencial que é relativo às ondas produzidas pelo veículo, o relativo a

resistência adicionada pela fricção do casco, e o devido à formação de vórtices.

Este vetor é dependente da velocidade relativa do veículo R Cυ υ υ= − (onde Cυ é a

velocidade do fluido) e da posição da deflexão dos lemes direcionais (quando

existentes), e é expresso como:

( , )amort R RDτ υ δ υ= −

(4.38)

adτ representa o conjunto de forças e momentos devido a massa adicionada, ou seja,

devido a inércia do fluido circundante ao veículo, que dependem da aceleração do

corpo em relação ao fluido e são freqüentemente expressos como:

( )adic A r A r rM Cτ υ υ υ= − −�

(4.39)

Onde AM e AC equivalem a CRM e CRC conforme descrito no capítulo 2.

FKτ representa as forças de Froude-Kriloff , que derivam da matriz de inércia de fluido

deslocado, ou seja:

93

FK FK cMτ υ= �

(4.40)

FKM é definida usando a densidade do fluido ρf(P) ao invés da densidade do veículo.

ρ(P)

extτ representa todas as forças externas genéricas, como por exemplo, a força

desenvolvida pelos propulsores ou a força de um cabo de reboque ou umbilical.

corτ , geralmente, é definida como:

( ) ( )cor CR A r rC Cτ υ υ υ υ= − −

(4.41)

Repetindo as premissas usadas por Fossen(1994), onde FKM = CRM , ou seja, o

corpo tem flutuabilidade neutra e distribuição homogênea de massa, obtêm-se:

[ ]CR A restau ext corM M ν τ τ τ+ = + +�

(4.42)

Para a facilitar a implementação computacional, a equação (4.42) pode ser

reescrita no formato abaixo:

[ ]CR A cor amort ext restM M υ τ τ τ τ+ = + + +�

(4.43)

Finalmente, pode-se escrever a versão das equações da cinemática e dinâmica que serão

manipuladas pelo software através da função (matlab function) vxdot, que são:

1

( )

[ ] ( ( , ) ( , ) ( ))c CR A cor c amort c ext rest

J

M M

η η υ

υ υ τ υ υ υ τ υ υ δ τ τ η−

=

= + + − + − + +

�

� �

(4.44)

94

5 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS

5.1 Considerações sobre a estrutura do veículo de resgate

Para as simulações, será avaliada uma estrutura cilíndrica com lemes direcionais,

conforme desenho abaixo:

Figura 5.1 Projeto conceitual testado

Cada leme terá um dispositivo capaz de girar no sentido anti-horário de seu eixo y, e

este ângulo de rotação é representado pela letra δ.

O eixo X da parte fixa de cada leme é considerado como coincidente com eixo X do

corpo quando δ=0, o eixo z é obtido diretamente ( k = S(i)j ).

serão utilizados 8 lemes direcionais posicionados em dois conjuntos.

95

Figura 5.2 Projeto conceitual dos lemes direcionais

5.2 Aspectos sobre massa, massa adicional e inércia do veículo.

a) Massa e massa adicional

De forma a contextualizar a simulação seguem algumas premissas para o veículo

simulado neste trabalho.

O centro de gravidade bG será localizado a uma distância d/2 abaixo do centro de

carena, para permitir a estabilidade do movimento de roll.

Os momentos de inércia da estrutura foram processados usando as fórmulas gerais do

cilindro, meia-esfera e placas retangulares (lemes direcionais).

Finalmente, a matriz de corpo rígido é obtida.

Os termos de massa adicional seguem descritos abaixo:

3

11

22

( / )2x f

y yc yla ylp

dA ma l d

A ma ma ma ma

ρ π= =

= = + +

(5.1)

Sendo que c corresponde ao corpo do cilindro, la aos lemes direcionais

anteriores(próximos à proa) e lp aos lemes direcionais posteriores.

Mais especificamente, ylama e ylpma podem ser representados como:

96

2

1( / )4yla f

dma k l dρ π=

(5.2)

2

2 ( / )4ylp f

c bma lk b cρ π=

(5.3)

Sendo que, d e l são o diâmetro do cilindro e o comprimento do cilindro

respectivamente e b e c representam o comprimento e a largura dos lemes direcionais.

Lembrando-se que é comum a utilização da simetria como ferramenta, o veículo testado

é simétrico em relação ao eixo X do sistema de coordenadas fixo no corpo (sistema B),

logo tem-se que 33 22A A= , e, fixando-se o centro de massa adicionada neste mesmo eixo

( 0ay = , 0az = ).

Dito isto, o centro de massa adicionada ao longo do eixo x pode ser calculado da forma

explicitada abaixo:

yc c yla la ylp lpa

yc yla ylp

ma x ma x ma xx

ma ma ma

+ +=

+ +

(5.4)

Para a montagem da matriz de momentos de inércia adicionais, devem ser utilizadas as

mesmas expressões clássicas utilizadas para massas de corpos rígidos, substituindo a

massa do veículo pelas adicionais.Em resumo, as matrizes de massas adicionais são

descritas como:

11 22 33 11 22 33

11 22 33

( , , ) ( ) ( , , )

( , , ) ( )b

bA

A b bA O

diag A A A S G diag A A AM

diag A A A S G A

−=

(5.5)

97

11 12

11 12 21 22

0 ([ ])( )

([ ]) ([ ])

A A r

A rA A r A A r

S M MC

S M M S M M

υυ

υ υ

− =

− −

(5.6)

5.3 Forças de Coriolis

Conforme observado na equação (4.44), pode-se implementar computacionalmente o

termo correspondente aos esforços de coriolis da seguinte forma.

O vetor de esforços de Coriolis depende da velocidade e dos vetores de velocidade

relativa e de parâmetros fixos como massa, centro de massa, tensor de inércia de massas

adicionadas.

Function tau_cor

function tc=tau_cor(veh,v,vr)

% tc=tau_cor(veh,v,vr) calcula as forces de coriolis oriundas

% das variáveis do veículo e das velocidades generalizadas v e vr

Crb=[ zeros(3,3), -vp(veh.Mrb(1:3,:)*v);

-vp(veh.Mrb(1:3,:)*v), -vp(veh.Mrb(4:6,:)*v)];

Ca= [ zeros(3,3), -vp(veh.Ma(1:3,:)*vr);

-vp(veh.Ma(1:3,:)*vr), -vp(veh.Ma(4:6,:)*vr)];

tc=Crb*v+Ca*vr;

5.4 Forças de Amortecimento

Ainda de acordo com a equação (4.44), pode-se implementar computacionalmente o

termo correspondente aos esforços de amortecimento usando a teoria abordada no

capítulo 2, onde a força hidrodinâmica atuante sobre a superfície submersa é usualmente

expressa na coordenadas auxiliares, da seguinte forma:

98

1

2

d

w b T bx f c c c

l

C

F S C V V

C

ρ

= −

(5.7)

onde fρ é a densidade do fluido, e S a superfície submersa.

Os coeficientes hidrodinâmicos ( dC , CC , LC ) ,bem como o ponto de aplicação da força

dependem da forma geométrica da superfície, da velocidade da corrente do Número de

Reynolds

Nesta dissertação, devido a simetria do veículo proposto, a ausência de dados

experimentais, e o fato de se visar simular diferentes configurações, com lemes

direcionais variando de posição e número é utilizada uma aproximação

diferenciada.Cada esforço (força ou momento) de cada leme e de todo o corpo cilíndrico

do veículo são considerados separadamente e os coeficientes hidrodinâmicos

( dC , CC , LC )) são funções da orientação e posição da superfície que são obtidas nas

referências relacionadas com a hidrodinâmica.

Todos estes esforços calculados em separado são adicionados a posteriori, ignorando-se

as interações entre todas estas superfícies avaliadas.

a) Forças nos lemes direcionais

Dado um ponto do leme nº 1 em relação ao sistema fixo no corpo 1bP , sua velocidade

em relação à corrente, expressa no sistema de coordenadas 1 pode ser expressa:

1 1 11/ 1/ / / 1( )b b b b

c b c b b c b cV R V R V Pω= = + ×

(5.8)

Neste trabalho, a componente da velocidade da corrente marinha ao longo do eixo 1Y

dos lemes direcionais é ignorada, logo 11/cV repousa inteiramente sobre o plano 1 1X Z− .

Dada esta simplificação pode-se fazer:

99

1 11 1/ 1/tan 2( (3), (1))c ca V Vα =

(5.9)

Este é o ângulo de ataque entre o sistema de referência auxiliar W e o leme fixado no

sistema de referência fixado neste leme 1, (atan2 é definida para corrigir erros no

cálculo do arco tangente em ângulos fora do primeiro quadrante e é uma função interna

do Matlab).

A matriz de rotação é representada por:

1

0

( 1 ) 1 101

1 1

cos( ) 0 ( )

0 1 0

( ) 0 cos( )

S

W

sen

R e

sen

α α α

α α

−

− = =

(5.10)

Para pequenos valores 1α α= , os coeficientes hidrodinâmicos dC e LC são obtidos a

partir das relações abaixo:

2

min

L L

d d

C C

C C KC

αα=

= +

(5.11)

100

Figura 5.3 Ponto considerado para a aplicação das forças sobre o leme.

Figura 5.4 Forças aplicadas no ponto

Quando α apresentar valores superiores a 45 graus, a força sobre os lemes direcionais

resultante será assumida como sendo constante e normal à superfície do mesmo

conforme a figura 5.4 acima, ou seja:

cosL T

D T

C C

C C sen

α

α

=

=

(5.12)

De posse destes coeficientes LC e DC , a força exercida sobre cada leme pode ser

expressa, conforme a expressão 5.13. Porém, como cada uma destas forças está descrita

no sistema de coordenadas fixos no leme se faz necessário descrevê-las nas

coordenadas fixas no corpo (sistema-B), através das seguintes relações :

101

11 1 1

b b wwF R R F=

22 2 2

b b wwF R R F=

88 8 8

b b wwF R R F=

(5.13)

Obviamente o mesmo raciocínio é feito com relação aos momentos em relação à origem

do sistema de coordenadas fixo no corpo:

1/ 1 1b b b

bM P F= ×

2/ 2 2b b b

bM P F= ×

.

.

8/ 8 8

b b bbM P F= ×

(5.14)

Onde 1bP , 2

bP ,..., 8bP são as posições do ponto de aplicação da força nos lemes

direcionais descritos no sistema referencial fixo no corpo.

a.1) Codificações das Funções

Nesta codificação foram omitidos os valores numéricos a serem inseridos por ocasião da

simulação.

102

function [Cl,Cd,xcp]=a2clcdxc(alfa)

% [Cl,Cd,xcp]=a2clcdxc(alfa) processa os coeficientes hidrodinâmicos

% Cl e Cd para o corpo, e a distância entre a proa e o ponto de aplicação da força xcp

% Costantes consideradas

CD0 =;

CD90 =;

ALFA1 =;

ALFA2 =;

C1 =; % coeficientes de interpolação

C2 =;

C3 =;

C4 =;

C5 =;

C6 =;

K1 =;

K2 =;

% correção de sinal

mod_alfa=abs(alfa-sign(alfa)*(abs(alfa)>pi/2)*pi);

Cd = CD0 + (CD90 - CD0) * sin(mod_alfa)^3;

xcp = K1*mod_alfa + K2*mod_alfa^0.5;

if mod_alfa < ALFA1 Cl = C1*mod_alfa +C2*mod_alfa^2;

elseif mod_alfa < ALFA2 Cl = C3*mod_alfa +C4;

else Cl = C5*mod_alfa +C6;

end


Cl = Cl*sign(sin(2*alfa));

xcp = xcp*sign(cos(alfa)) + (abs(alfa)>pi/2);

Foi necessária a introdução de correções de sinais para que a consistência da resposta

fosse mantida em toda faixa de trabalho.

b) Forças no corpo do veículo

103

Para as forças hidrodinâmicas atuantes no corpo do veículo, a velocidade do centro de

flutuação (B) do mesmo será considerada como a velocidade do corpo, assim uma vez

fornecido o centro de flutuação é possível calcular a velocidade de todo o corpo em

relação a corrente marinha descrita no sistema referencial fixo no corpo.

/ / /

b b b bB c b c B cV V W B= + ×

(5.15)

Sabendo que o corpo do veículo é simétrico em relação aos planos X-Y e X-Z, é

razoável a introdução de outro sistema de referência fixo no corpo, o sistema f, centrado

em B, de tal forma que o sistema de coordenadas auxiliar W é obtido pela simples

rotação do sistema f ao redor do seu eixo y de um ângulo positivo de ataque α .

Resumindo, o sistema de coordenadas f é estruturado de forma /f

B cV deve estar

totalmente contido no plano Xf-Zf.

O eixo Xf é escolhido para ser coincidente com o eixo Xb, o que implica que if = ib .

if e ib são os vetores unitários relacionados aos eixos X correspondentes.

O eixo Zf foi escolhido de modo que sua parte positiva contenha a componente de /b

B cV

que não está sobre o eixo Xb,isto significa que o vetor kf deve ser escolhido da

seguinte forma:

22 22 3

3

01

fK VV V V

=

+

(5.16)

Onde: [ ]/ 1 2 3

TbB cV V V V=

Logo, a matriz de rotação de f com relação ao sistema – B é descrita da seguinte forma :

104

b b b bf f f fR i j k = (5.17)

A velocidade do centro de flutuação descrito em f é igual:

/ /f b b

B c f B cV R V= (5.18)

Sabendo que /f

B cV está inserida no plano Xf-Zf, tem-se que:

[/ /tan 2( (3), (1)) 0, )f ff B c B ca V Vα π= ∈ (5.19)

que é o ângulo de ataque entre o sistema de referência auxiliar W e o sistema- f. Esta

matriz de rotação é expressa por:

cos( ) 0 ( )

0 1 0

( ) 0 cos( )

f f

fw

f f

sen

R

sen

α α

α α

−

=

(5.20)

O coeficiente hidrodinâmico de arrasto Cd é ,então, processado com a seguinte fórmula

sendo ( fα α= ):

30 90 0( ) ( )d d d dC C C C senα α= + − (5.21)

Com relação ao coeficiente hidrodinâmico de sustentação,tem-se que:

105

2 1

3 4

5 6

( ) ( ( ) )( )

( ) ( )

( ) ( )

l

l

l

C C C

C C C

C C C

α α α

α α

α α

= +

= +

= +

para 1

2

α α

α α

≤

≥

3 4( ) ( )lC C Cα α= + para [ ]1 2,α α α∈

5 6

1 6

( ) ( )

..lC C C

C C

α α= + (5.22)

para 2α α≥

Onde os valores de 1 6..C C e de 1 6..α α são obtidos em CAMPA, G., INNOCENTI, M. e

NASUTI, F. (1998).

Saliente-se que se 2 3 0V V= = e α =0, não há coeficiente de sustentação, então os

sistemas de referência f, w e b se igualam sendo f w b= = .

Com relação ao ponto de aplicação da força, é admitido que:

( )*

0

0

p

bB

xc l

P

α =

(5.23)

Onde l é o comprimento do veículo e pxc é representado por:

1 2( )Xcp K Kα α= + (5.24)

As constantes 1K e 2K são escolhidas de acordo com CAMPA, G., INNOCENTI, M. e

NASUTI, F. (1998) e os resultados são apresentados no próximo capítulo.

Uma vez obtidos os coeficientes hidrodinâmicos dC e lC e o ponto de aplicação da

força, a força agindo sobre o casco do veículo pode ser expressa como afirmado em

106

(5.25), onde a superfície de referência escolhida será 2

4

dπ. Porém como esta força está

expressa no sistema de referência F, é necessário a utilização dos operadores de rotação

já mencionados para obter a mesma expressa no referencial do corpo (5.25):

b b f wB f w BF R R F= (5.25)

Esta força proporciona o seguinte momento em relação à origem do sistema fixo no

corpo do veículo:

/b b b

B b B BM P F= × (5.26)

b.1) Codificação dos coeficientes hidrodinâmicos

function [Cl,Cd,xcp]=a2clcdxc(alfa)

% [Cl,Cd,xcp]=a2clcdxc(alfa) processa os coeficientes hidrodinâmicos

% Cl e Cd para o casco, e a distância entre a proa e o ponto de aplicação da força xcp

% Costants

CD0 =;

CD90 =;

ALFA1 =;

ALFA2 =;

C1 =; % coeficientes de interpolação

C2 = ;

C3 =;

C4 =;

C5 =;

C6 =;

K1 =;

K2 =;


mod_alfa=abs(alfa-sign(alfa)*(abs(alfa)>pi/2)*pi);

Cd = CD0 + (CD90 - CD0) * sin(mod_alfa)^3;

xcp = K1*mod_alfa + K2*mod_alfa^0.5;

107

if mod_alfa < ALFA1 Cl = C1*mod_alfa +C2*mod_alfa^2;

elseif mod_alfa < ALFA2 Cl = C3*mod_alfa +C4;

else Cl = C5*mod_alfa +C6;

end


Cl = Cl*sign(sin(2*alfa));

xcp = xcp*sign(cos(alfa)) + (abs(alfa)>pi/2);

b.2) Codificação dos esforços de amortecimento

function td=tau_damp(veh,vr,de)

% td=tau_damp(veh,vr,de); Calcula as forças de amortecimento a partir das variáveis do

veículo, velocidades generalizadas e ângulos de inclinação dos lemes direcionais%

%Alexandre Vianna

% --------------------------------------------------------------

% forças no casco

% superfície de referência do casco

sf=pi/4*veh.d^2;

% velocidade relativa de B_b em relação a c descrito em b

v_Bcb=vr(1:3)+vp(vr(4:6),veh.B_b);

% matriz de rotação do casco do veículo

i_fb=[1; 0; 0];

if norm([0; v_Bcb(2); v_Bcb(3)])<1e-12, k_fb=[0; 0; 1];

else k_fb=[0; v_Bcb(2); v_Bcb(3)]/norm([0; v_Bcb(2); v_Bcb(3)]);end

R_fb=[i_fb, vp(k_fb,i_fb), k_fb];

% velocidade relativa de B_b com relação à c descrito em f

v_Bcf=R_fb'*v_Bcb;

% angulo de ataque

af=atan2(v_Bcf(3),v_Bcf(1));

% matriz de rotação do sistema de coordenadas auxiliar

R_wf=[cos(af) 0 -sin(af); 0 1 0; sin(af) 0 cos(af)];

% cl cd xcp processamento

[cl,cd,xcp]=a2clcdxc(af);

% forças de amortecimento em B com relação a w

F_Bw=-0.5*veh.rho*sf*v_Bcf'*v_Bcf*[cd; 0; cl];

108

% forces em B com relação a b

F_Bb=R_fb*R_wf*F_Bw;

% ponto de aplicação da força

Pf_b=[-xcp*veh.l; 0; 0];

% moments on B with pole in b wrt b

M_Bbb=vp(Pf_b,F_Bb);

tf=[F_Bb;M_Bbb];

% forças no Leme direcional 1

% Matriz de rotação do leme 1

R_1b=[cos(de(1)) 0 sin(de(1)); 0 1 0; -sin(de(1)) 0 cos(de(1))];

% Velocidade relativa do ponto intermediário do leme 1 com relação a c descrito em b

v_1cb=vr(1:3)+vp(vr(4:6),veh.P1_b);

% velocidade relativa do ponto médio do leme 1 com relação a c descrito em 1

v_1c1=R_1b'*v_1cb;

% ângulo de ataque

a1=atan2(v_1c1(3),v_1c1(1));

% matriz de rotação do sistema de coordenadas auxiliares do leme 1

R_w1=[cos(a1) 0 -sin(a1); 0 1 0; sin(a1) 0 cos(a1)];

% cl e cd processamento

[cl,cd]=a2clcd(a1);

% forças de amortecimento em 1 com relação a w

F_1w=-0.5*veh.rho*veh.sw*(v_1c1(1)^2+v_1c1(3)^2)*[cd; 0; cl];

% forças de amortecimento em 1 com relação a b

F_1b=R_1b*R_w1*F_1w;

% momentos atuantes em 1 descritos em b

M_1bb=vp(veh.P1_b,F_1b);

t1=[F_1b;M_1bb];

% --------------------------------------------------------------

% --------------------------------------------------------------

% Esforços resultantes forças e momentos descritos em b

td=tf+t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8;

109

5.5 Forças Restauradoras

O vetor das forças restauradoras possui forças e momentos devido ao peso e ao empuxo.

Considerando que o centro de massa está localizado abaixo do centro de

flutuação,conforme abordado no capítulo 2, um torque restaurador aparece no momento

que os ângulos de roll e pitch são diferentes de zero.

Como conseqüência, os movimentos dos planos X-Z e X-Y são diferentes.

a.1) Codificação das Forças Restauradoras

function tr=tau_rest(veh,p)

% tr=tau_rest(veh,p); calcula forces de restauração a partir

% das variaveis do veículo e posições generalizadas p

% Força e momento hidrostático

FB_e=-veh.vol*veh.rho*veh.g_e;

FB_b=rpy2R_eb(p(4:6))*FB_e;

MB_b=vp(veh.B_b,FB_b);

tb=[FB_b;MB_b];

% Força e momento gravitacional

FG_e=veh.m*veh.g_e;

FG_b=rpy2R_eb(p(4:6))*FG_e;

MG_b=vp(veh.G_b,FG_b);

tg=[FG_b;MG_b];

tr=tb+tg;

5.6 Modelo completo

Após a abordagem detalhada de todos os componentes da equação de governo, é

possível reescrever o modelo não-linear descrito pela equação (5.30):

1

( )

[ ] ( ( , ) ( , ) ( )c CR A cor c amor c rest ext

J

M M

η η ν

ν ν τ υ υ υ τ υ υ δ τ η τ−

=

= + + − + − + +

�

� � (5.27)

110

Estas equações descrevem até 12 estados do sistema que podem ser simulados nos

ambientes Matlab® e Simulink®.

Figura 5.5 Codificação do modelo – função Vxdot.

As equações apresentadas acima são codificadas de modo a receber como entrada um

vetor de 38 dimensões contendo:

1) Os 12 estados iniciais (posição e velocidade).

2) Vetor de ângulos dos lemes direcionais, contendo 8 elementos.

3) Forças e momentos externos descritos nas coordenadas do corpo, (neste exemplo :

Propulsores), 6 elementos.

4) Forças e momentos externos descritos em coordenadas fixas na terra, (Nesta

dissertação um cabo umbilical, porém poderia ser qualquer força de contato com

objetos externos), 6 elementos.

5) aceleração e velocidade da corrente marinha descrita em coordenadas fixas na terra.

Esta função,então, processa estas entradas e a informação das variáveis relacionada ao

veículo (armazenadas na função veh) para processar as derivadas dos sistemas de

estado conforme descrito nas equações (5.29). Estas derivadas podem então ser

integradas através de um processo numérico para apresentar a evolução temporal do

sistema de estados.

5.7 Simulações e resultados em malha aberta.

Neste capítulo, será apresentada a série de resultados e avaliações referentes ao

comportamento cinemático e dinâmico do veículo em malha aberta.

111

5.6.1 Dados relacionados ao tipo de veículo utilizado na simulação

Tabela 5.1 – Dados utilizados Código da variável Descrição Valor unidade

g_e Gravidade descrita

em coordenadas

fixas na terra(e)

[0; 0; 9.81] m/s2

Rho densidade da água

do mar

1033 Kg/m3

M Massa 1444.0 Kg

Matriz de corpo rígido (Kg Kg*m; Kg*m Kg*m^2)

1444 0 0 0 252,7 0

0 1444 0 252,7 0 2527

0 0 1444 0 2527 0

0 252,7 0 142,8 0 0

252,7 0 2527 0 2796 0

0 2527 0 0 0 2778

CRM

− −

= −

−

(5.28)

Matriz de massas adicionadas (Kg Kg*m; Kg*m Kg*m^2)

57,6 0 0 0 0 0

0 1460 0 0 0 102

0 0 1460 0 102 0

0 0 0 83, 4 0 0

0 0 102 0 3401 0

0 102 0 0 0 3401

aM

−

=

−

(5.29)

112

Tabela 5.2 Resumo das variáveis utilizadas na simulação 3

113

Figura 5.6 Template da simulação do comportamento do veículo sem nenhum esforço de cabo ou corrente

atuando sobre o veículo de resgate com propulsão de 10N .

Figura 5.7 Gráfico da evolução da posição do ponto P do modelo

114

Figura 5.8 Template da simulação com esforços de cabo e corrente atuando sobre o veículo de resgate .

Figura 5.9 Gráfico da simulação referente a posição do ponto P do modelo com o template da figura 5.8

115

Figura 5.10 Simulação comparativa da posição do ponto P do modelo com e sem esforços de cabo e de

corrente marinha atuante.

116

6 CONSIDERAÇÕES SOBRE TEORIAS DE CONTROLE

APLICÁVEIS.

6.1 Introdução

No projeto de controladores em geral é abordada a criação de sistemas dinâmicos que

operam de forma adequada a determinado propósito. Muitos sistemas avaliados são

físicos; como máquinas do leme de Navios, atuadores hidráulicos diversos, e processos

químicos. Controladores também podem ser aplicados em sistemas não-físicos; como na

economia. O conceito fundamental é que um conjunto de variáveis de entrada atua

através de uma planta e cria um conjunto de saídas. Controles com retroalimentação

utilizam sensores para monitorar as saídas e corrigir as entradas:

Tabela 6.1 Exemplos de controle retroalimentado Planta Entradas Saídas Sensores

Navios Ângulo do leme aproamento giroscópio

Reator Nuclear resfriamento, fluxo de

nêutrons

Nível de

energia

termômetro,

manômetro

6.2 Necessidade de modelagem

Um controle efetivo é beneficiado quando é elaborado a partir de um modelo

matemático preciso. Porém, muitos controladores industriais podem ser sintonizados

satisfatoriamente sem o conhecimento da planta tais como: o método de Ziegler e

Nichols, o relé de aström (ASTRÖM, K. J. AND HÄGGLUND, T. (1988)) e o controle

fuzzy. Em nenhum caso, porém os modelos representam a totalidade de um sistema

real; apenas os componentes essenciais na forma de equações diferenciais ou integrais-

diferenciais.

Assim, quando não é possível a modelagem do comportamento de sistemas dinâmicos

baseando-se na física, é possível a geração de um modelo gerado a partir de dados

experimentais. Este processo chamado de “identificação de sistemas” apresenta reveses

117

relacionados a ruídos oriundos do sensor ou perturbações que podem gerar

comportamentos imprevisíveis.

6.3 Controle não-linear

Devido à elevada dificuldade relacionada ao projeto de controles não-lineares,

geralmente este são tratados sob os auspícios da teoria linear. Existe um conjunto de

ferramentas disponíveis para este fim. Maiores detalhes da teoria de controle não-linear

são expostos em ASADA, H. e SLOTINE, J.-J. E. (1986) .

6.4 Representação de sistemas dinâmicos lineares

Exceto para a maioria das heurísticas que se utilizam da sintonia de sistemas dinâmicos

simplificados e das que utilizam inteligência computacional (lógica difusa, redes

neuronais ou similares), o projeto de um sistema de controle depende de uma

modelagem adequada do sistema dinâmico, maiores detalhes em CHIANG, R. Y. AND

SAFONOV, M. G. (2001).

6.5 Formulação do espaço de estados

Ao escrever um sistema linear no espaço de estados tem-se:

x Ax Bu Gw

y Cx Du v

= + +

= + +

�

(6.1)

Onde, x é um vetor de estados, com tantos elementos quanto os estipulados pelas

equações diferenciais de governo

A é a matriz que mapea x até a sua derivada; A captura a dinâmica natural do sistema

sem a presença das entradas externas.

B é uma matriz de ganho de entrada para a entrada de controle u.

G é uma matriz de ganho para w perturbação desconhecida; w unidades no estado assim

como o controle u.

118

y é o vetor de observação, majoritariamente composto por uma combinação linear de

estados Cx (onde C é uma matriz).

Du é um mapa direto da entrada para a saída (normalmente zero para sistemas físicos).

V é um sensor de ruído desconhecido que corrompe a medição.

Figura 6.1 Diagrama de blocos da formulação no espaço de estados.

6.6 Controlador PID

O controle PID mantem uma variável de processo (PV) em um valor de

referência (SP) desejado, a partir da manipulação da variável de controle (CV).

A definição básica do método aborda três parâmetros que devem ser definidos de

acordo com o processo que se está sintonizando (método de adequação das constantes

ao processo). Estes parâmetros são chamados Kp (constante proporcional), Ki

(constante integral) e Kd (constante derivativa).

Onde, uma das expressões simplificadas mais utilizadas é a mostrada a seguir:

0

1 ( )[( ) ( ) * ]

t d PVSaída Kc E E dt Td bias

Ti dt= + + +∫

(6.2)

Sendo que o erro é igual a: E = SP – PV ou E = PV - SP

119

Figura 6.2 Exemplo de controle PID.

Na figura acima podemos notar um diagrama esquemático, baseado nos seguintes

parâmetros:

� Setpoint (SP): Valor de referência introduzido. � Variável de Processo (PV): Valor da variável observado por um sensor. � Variável de Controle (CV): Valor controlado pelo controle PID. � Erro (E): é a diferença entre o SP e a PV ou vice-versa. � Bias: Perturbações. Kp, Ki e Kd devem ser sintonizados de acordo com o processo.

6.6.1 Controle Proporcional

Uma das ações de controle é a proporcional que faz com que tenhamos uma

aproximação rápida da Variável de Processo (em relação ao setpoint), sem sobretudo

atingi-la. Uma das desvantagens deste controle quando aplicado é que ele gera um offset

(erro estacionário) que pode ser visto com mais detalhes no gráfico a seguir.

120

Figura 6.3 Exemplo de controle P

6.6.2 Controle Integral

A ação integral permite alcançar o set point, porém causa o overshoot (sobresinal).

Assim pode-se perder o controle ou causar danos dependendo da intensidade do mesmo.

Figura 6.4 Exemplo de controle I

6.6.3 Controle Derivativo

Há um último controle a ser feito que é o derivativo, este é extremamente

necessário quando queremos controlar malhas lentas. Como sempre temos aqui também

um inconveniente que são as oscilações ocorridas logo depois da variável de processo

atingir o setpoint.

Figura 6.5 Exemplo de controle D

121

6.7 Sintonia Heurística

Para muitos sistemas práticos, o ajuste de um controlador PID pode ser executado sem

qualquer modelo matemático do sistema. Uma abordagem útil é devido a Ziegler e

Nichols (B'elanger, 1995), através do método da resposta ao degrau, ou método do

domínio do tempo, que requer o conhecimento de duas grandezas que caracterizam a

resposta ao salto de um processo:

( )1

TsKeG s

sτ

−

+�

(6.3)

Sendo T o tempo de retardo, τ a constante de tempo. O método de Ziegler-

Nichols é aplicável a sistemas cuja função de transferência não possui pólos na origem

ou pólos complexos conjugados dominantes. A resposta ao degrau deste tipo de

sistemas é do tipo sobreamortecido ou seja a forma de um S distorcido. Se a resposta

não tem a forma de uma curva em S este método não é aplicável. d é o máximo valor

da variação de saída e Td é o instante de tempo que este valor é observado.

Tabela 6.2 Método de Ziegler-Nichols

6.8 Controle Ótimo

No caso da teoria do controle ótimo, o controle é obtido através da escolha de uma

função de custo e um índice de desempenho para minimização. A formulação do

controle ótimo também permite uma consideração mais natural das restrições sobre

122

as variáveis de estado como também considerações para redução do tempo necessário

para o controle trazer a resposta a um nível desejado como visto em DA CRUZ,

J.J(1996).

A formulação do controle ótimo também permite uma consideração mais

natural das restrições sobre as variáveis de estado como também consideração

para redução de muito tempo, ou tempo final, requerido para o controle trazer a

resposta a um nível desejado.

De forma a exemplificar, considere-se um sistema controle e o modelo estrutural dado

pelas equações :

2 f

f f

Mq A q Kq f f

f B u

+ + = +

=

�� (6.4)

Assim, o objetivo do controle ótimo é calcular o controle u(t) que minimiza o índice de

desempenho especificado, denominado pôr ( , , , )J J q q t u= � , dadas as condições iniciais

0( )q t , 0( )q t� e sujeito as restrições que:

2( ) fM q A q kq B u+ + =��

(6.5)

é satisfeito com as condições iniciais apropriadas.

Esta última expressão é chamada de uma restrição diferencial e é usualmente escrita na

forma de espaço de estado. A função custo é geralmente dada em termos de uma

integral. O processo do projeto do controle ótimo consiste da escolha de uma

função J. A função J deve ser expressa de forma a refletir o desempenho desejado.

A melhor opção para u, ou seja o “u ótimo”, denotado u *, deve ter a seguinte

propriedade:

J(u*) < J(u)

Um exemplo de escolha para a função de custo J pode ser o problema de tempo mínimo:

0

ft

f o

t

J t t dt= − = ∫

(6.6)

Sendo, ot igual o tempo inicial, ft o tempo final.

123

Outro exemplo de problema do controle ótimo é chamado de problema do

regulador linear.

O controle ótimo quadrático tem como base o 2º método de Lyapunov, onde um

índice de desempenho quadrático é minimizado. Em conseqüência, a principal

vantagem deste tipo de controle é que, em sendo o sistema controlável, ele será

estável e ótimo.

6.8.1 Controlabilidade e Observabilidade

A obtenção de um sistema de controle linear ótimo está vinculada às propriedades de

controlabilidade e de observabilidade do sistema. Sendo que, estas propriedades

estabelecem condições para uma equivalência completa entre as representações sob

a forma de variáveis de estado e de função de transferência.

Um sistema é dito completamente estado-controlável se, qualquer que seja to,

todo estado inicial x(to) pode ser transferido para qualquer estado final x(tf) num

tempo finito, tf > to, por intermédio de um vetor excitação u(t) não sujeito a

restrições, isto é, que não apresente limitações quanto aos valores de u(t). Esta

definição indica que u(t) é capaz de influenciar cada uma das variáveis de estado na

expressão.

Um conceito similar ao de controlabilidade é a idéia que toda variável de estado

do sistema tem algum efeito sobre a saída do sistema (resposta). Isto é chamado

observabilidade.

Um sistema é dito completamente observável se todo estado inicial x(to) pode ser

determinado exatamente a partir de medidas da resposta y(t), durante um intervalo

de tempo finito to ≤ t ≤ tf. Esta definição indica que todas as variáveis de x(t)

influenciam a resposta y(t).

6.8.2 Regulador linear

A teoria do controle ótimo lida com a operação de um sistema dinâmico com um custo

mínimo. A situação onde a dinâmica do sistema é descrita por um conjunto de equações

diferenciais lineares e o custo é descrito por uma função quadrática, é denominada

problema QL. Um dos principais resultados na teoria é que a solução é provida pelo

regulador quadrático linear (RQL), um controlador de retroalimentação criado pelo

matemático Rudolf Kalman em 1960, cujas equações são descritas abaixo.

124

O regulador linear tem aplicação particular em controle de posição de aeronaves e

veículos aéreos e espaciais. Em particular, o objetivo é o retorno da resposta do valor

de estado inicial x(t) de posições de equilíbrio do sistema.

O índice de desempenho para o problema do regulador linear é definido por:

0

1( )

2

ft

T T

t

J x Qx u Ru dt= +∫

(6.7)

Onde Q e R são matrizes de peso simétricas positivas definidas. Onde a matriz peso Q, é

denominada de matriz custo de estado, e a matriz peso R, é chamada de matriz custo de

controle. A determinação da lei de controle ótimo possui um significado prático de

que o sistema resultante estabelece um compromisso entre a minimização do erro

integral e a minimização da energia de controle. A função objetivo previne-se contra

as grandes oscilações das variáveis de estado, ao mesmo tempo em que busca limitar as

grandes e repetidas oscilações do acionamento dos atuadores, controlando desta forma

as instabilidades geradas pelas perturbações internas ou externas presentes no sistema.

A dificuldade no controle de modelos de veículos remotamente operados é que o

sistema inclui não-linearidades na sua dinâmica. As propriedades dinâmicas do

sistema não são invariantes no tempo, tendo variações durante o ciclo de vida do

veículo. Além disso, o propósito de um sistema de compensação é satisfazer as

exigências de desempenho em diferentes situações. Exemplos de sistemas de

compensação podem ser diversificados como por exemplo os vários métodos para

resolver o problema da suspensão ativa. A maior parte destas contribuições de

pesquisa é baseada em modelos lineares invariantes no tempo (BUCKNER&

SCHUETZE, 2000). Um possível modo de controle é pela utilização do método

de linearização "feedback" para obtenção de um controlador não-linear

(RAFIKOV & BALTHAZAR, 2004).

6.9 Controle Fuzzy

Os Sistemas de controle baseados em lógica fuzzy desenvolvidos por Lotfi Zadeh na

década de 60, são utilizadas com sucesso em varias áreas, inclusive na área de

veículos remotamente operados (JAIN & JAIN, 1997). No entanto, na medida em que a

complexidade dos processos aumenta, fica difícil estabelecer uma configuração ideal

para um sistema de controle fuzzy, sendo necessárias muitas vezes ferramentas de

125

auxílio ao controle fuzzy, entre elas pode-se citar o algoritmo genético e as redes

neurais (RUAN, 1997).

Geralmente, na forma mais usual, utiliza-se o modelo clássico de Mamdani, onde a

escolha das funções de pertinência dos conjuntos Fuzzy, tem forma simétrica e são

igualmente espaçadas com o objetivo de suavizar eventuais descontinuidades e

minimizar problemas de ruídos. Pode-se alterar o numero de funções de pertinência, o

de modo a concatenar precisão com demanda computacional.

6.10 Comentários Adicionais

Em certos casos, no entanto, o controle linear PID não é adequado para aplicações em

controle de veículos submarinos. Devido à natureza não linear do movimento

deveículos submarinos um controlador linear não permite um desempenho satisfatório

para condições de operação muito diferentes das quais foi projetado. Nestes casos é

necessário o projeto de vários controladores, um para cada região de operação, ou

intervalo de velocidade. Considerando uma combinação de movimentos e magnitudes

de velocidade, utilizando os seis cada grau de liberdade, fica evidente o aumento de

complexidade de projeto, exigindo considerável quantidade de tempo para projeto e

simulações. Mesmo considerando um veículo submarino atuando em apenas um grau de

liberdade, muitas vezes a utilização de um controlador PID não é adequada pois a

operação do UUV pode não se limitar a uma pequena extensão ou intervalo de

velocidades. Adicionalmente, uma estimativa próxima dos parâmetros da dinâmica do

veículo seria indispensável para a determinação dos ganhos do controlador.

Um procedimento freqüentemente utilizado no controle de veículos submarinos, e de

sistemas multivariáveis em geral, é considerar que o sistema possui uma dinâmica

desacoplada. Feita esta hipótese, decompõe-se a equação matricial da dinâmica do

sistema, conforme exposto neste trabalho em seis equações diferenciais desacopladas

(Cunha, Lizarralde, Costa, Hsu, Smith Jr., Wollmann Jr. and Sant’Anna, 1994) (Fossen,

1994; Caccia and Veruggio, 2000) (Caccia, Bruzzone and Veruggio, 2001)

126

6.11 Modelo Linear para aplicação do controle de atitude do

veículo

Neste tópico, abordar-se-á a criação do modelo não-linear linearizado a um certo ponto

de operação usando a rotina de linearização residente no Matlab “linmod”, onde os

valores das entradas, estados e saídas mais relevantes são selecionados e finalmente a

auto-estrutura e valores singulares resultantes do modelo linear podem ser analisados.

6.11.1 Linearização

Primeiramente, é necessário a criação de um bloco no simulink, a partir de agora

chamado de modo controlado ou “xtrlmod”:

Figura 6.6 – Modelo linearizado

A função “Vxdot” deste sistema é exatamente que descreve a dinâmica do veículo em

estudo (com 26 entradas, 12 estados, e 12 saídas), e é, portanto, a que é tratada pela

rotina de linearização "linmod".

>> u0=[zeros(8,1);350;zeros(17,1)];

>> x0=[zeros(6,1);2;zeros(5,1)];

A aposição de condições iniciais x0 e u0 , exemplificadas acima, estabelece-se o ponto

de operação do sistema quanto ao espaço x-u, sendo x o eixo longitudinal fixo no corpo

e u os vetores de atuação.

Neste ponto, tem-se, os ângulos dos lemes zerados, a força de impulsão igual a 350 N,

não há corrente, não há força externa e o veículo segue positivamente em relação ao

eixo x fixado no corpo com velocidade igual a 2 m/s.

>> [A,B,C,D]=linmod('xtrlmod',x0,u0);

127

O uso do comando nativo “linmod” para o sistema no modo controlado “xtrlmod” no

ponto de operação x0-u0 apresentado, resulta nas matrizes A B C D do modelo

linearizado.

Finalmente para teste de um controle exclusivo de atitude, pode-se selecionar as

variáveis de interesse:

>> [a,b,c,d]=ssselect(A,B,C,D,1:8,4:6,[4:12]);

Neste caso, demontra-se que selecionamos apenas os ângulos do lemes como entradas e

os ângulos de roll, pitch e yaw como saídas, ignorando as posições x, y e z referenciadas

na terra, resultandoem um vetor de estado de 9 dimensões como se segue.

[ ], , , , , , , ,T

u v w p q rϕ θ ψ

Somente oito das vinte entradas (posição dos lemes) e [ ], ,ϕ θ ψ serão observadas como

saídas.

A matriz A tem autovalor nulo correspondente a ψ , enquanto ϕ e θ não apresentam

este efeito integrador. Esta diferença de comportamento pode ser atribuída ao fato do

torque restaurador que é gerado pela combinação dos esforços gravitacionais e de

empuxo (o centro de gravidade é localizado abaixo do ponto de aplicação da força de

empuxo). Assim, existem 3 (três) modos fortemente relacionados com θ ,ψ , ,v w e

fracamente com q e r. Estes são relacionados com a geometria do veículo, a qual tende

a movimentar o veículo para cima e para baixo quando o mesmo movimenta-se para a

frente, não há uma simetria exata entre a dinâmica das superfícies de controle e a

dinâmica de mergulho, em função da combinação das forças de empuxo e peso.

128

Figura 6.7 Movimentação do veículo em roll

Figura 6.8 Movimentação do veículo em Pitch

129

6.12 Controlador Linear de Atitude

Neste tópico final, um controlador linear de atitude será apresentado para o modelo linearizado obtido nos tópicos anteriores. Este mesmo controlador será testado no modelo não-linear. a) LQR Reconhecido por bom desempenho e robustez. O Regulador Linear Quadrático foi o escolhido neste trabalho para testar o comportamento em malha fechada do sistema não-linear em estudo. Considerando no espaço de trabalho (“workspace”), as matrizes a,b,c e d. do modelo considerado nos capítulos anteriores, para a aplicação deste controle retroalimentado requer apenas o seguinte par de linhas de comandos: >> Q=diag([20 20 20 ones(1,6)]); >> R=eye(size(b,2));

Os comandos acima selecionam as matrizes de ponderação Q e R, este fato designa um peso maior nos estados que controlam a atitude do veículo. Onde, neste trabalho, foi designado o valor de ponderação igual a “20” que será comparado com o valor “1”correspondente aos outros estados e entradas, refletindo assim os comamdos pré-ajustados de controle de atitude “TRACKING” do veículo. >> K=lqr(a,b,Q,R);

Adicionalmente, a linha de comandos acima processa a matriz de ganho K. Considerações sobre a determinação dos estados iniciais do veículo submarino. b) Considerações sobre a determinação dos estados iniciais do veículo submarino Existem unidades de medição inercial (IMU) que usam fusão sensorial para apresentar referências para prover estabilização e controle de atitude de câmeras, veículos e sistemas autônomos. Dispositivos para determinação da atitude são caracterizados pelos três ângulos de orientação do veículo em relação a um sistema de coordenadas tridimensional conhecido, encontram aplicação em diversas áreas, desde realidade virtual até as engenharias aeroespacial (Kuipers, 1998) e submarina. Nos casos de maior complexidade, em que o objeto de interesse não está fixo a uma plataforma, sensores de diversas naturezas são empregados, desde câmeras a conjuntos de sonares. Dentre as abordagens para estimação da atitude mais utilizadas. Tem-se a baseada na medição das velocidades de rotação do veículo, proporcionada por girômetros. A partir da integração numérica de tais medidas e do conhecimento da atitude inicial em relação ao sistema de referência, é possível obter uma estimativa da atitude, como descrito em Titterton and Weston (1997). A outra abordagem é baseada na medição de vetores locais dos campos gravitacional e magnético. A partir do conhecimento dos valores desses vetores no sistema de referência, também é possível determinar uma estimativa da atitude, conforme exposto em Rogers (2003).

130

i) Girômetros

Os girômetros são sensores que medem a velocidade de rotação de um corpo em relação

a um sistema de coordenadas inercial, ou Sistema. Neste sentido, caso o sensor opere

em um sistema de coordenadas rotativo, como a Terra, tal rotação será medida pelo

sensor. Entretanto, devido ao tempo de operação do sistema e à reduzida magnitude da

rotação da Terra, ωe ≈ 15 o/hora, quando comparada aos ruídos apresentados pelos

girômetros deste trabalho, tal efeito ´e desconsiderado. Assim, considera-se que ωb nb =

ωbib.

ii) Acelerômetros e magnetômetros

Acelerômetros são sensores com os quais pode ser obtida estimativa da aceleração a

partir da medição da força incidente em um corpo de prova localizado no interior do

dispositivo, fb

Assim, um acelerômetro de três eixos mede não apenas a aceleração inercial

representada em componentes do Sistema B empreendida pelo veículo, ab, mas também

a aceleração gravitacional local, gb.

Já um magnetômetro, por sua vez, é um sensor capaz de medir a intensidade do campo

magnético incidente no dispositivo, mb

Tais sensores são utilizados, de maneira conjunta (fusão), para uma estimativa completa

da atitude em relação a um sistema de coordenadas conhecido. Utiliza-se os dados de

dois sensores porque, a partir da medição de apenas um vetor cujos componentes são

conhecidos em um sistema de coordenadas de interesse, pode - se determinar apenas de

forma incompleta a atitude relativa a tal referência. Por exemplo, caso seja conhecido

gb , é possível determinar a inclinação do sistema em relação ao plano perpendicular à

aceleração da gravidade. Não será possível determinar, entretanto, a orientação em torno

do eixo paralelo à gravidade.

Entretanto, caso dois vetores não paralelos estejam disponíveis, é possível determinar

por completo a atitude do veículo.

131

6.10.1 Simulação do sistema em malha fechada De forma a retroalimentar os atuadores do veículo, os sensores são simulados de forma

a quantizar o sinal, subtrair as condições iniciais e somente disponibilizar as medições

selecionadas.

Figura 6.9 Modelo de sensores

Como neste trabalho o objetivo é estabelecer uma simulação com maior realismo para

propiciar ao projetista ou ao tomador de decisões, a melhor estimativa de

comportamento dinâmico do veículo de resgate.

Os atuadores serão simulados com atrasos, limitadores de posição e limitador de taxa

de variação de posição.

Figura 6.10 Modelo de Atuadores

132

Figura 6.11 Modelo do sistema em malha fechada usando um Regulador Quadrático Linear ( LQR)

Um filtro discreto de segunda ordem (IIR) será utilizado para remover o ruído simulado. O sistema foi elaborado de forma a buscar posicionamento submetido a perturbações ambientais através de três rampas independentes, onde é possível a taxa de velocidade de atuação em rad/s e a amplitude máxima de variação em rad. Nas simulações apresentadas abaixo variar-se-á, primeiramente, o canal yaw e depois os canais pitch e roll Nas simulações específicas, apresentadas abaixo e baseadas no modelo acima, são apresentadas 3 rampas independentes com taxa de variação de 0.1 rad/s e amplitude máxima de 0.3 rad, onde, as variações nos canais yaw, pitch e roll são solicitadas a 5, 10 e 15 s respectivamente. O comando no espaço de saída corresponde ao espaço de estados simplesmente alterado pela utilização de comandos que tornaram nulos os outros 6(seis) estados. A diferença entre os comandos de posicionamento da trajetória no espaço de estados e a medição filtrada é então multiplicada pela Matriz de ganho LQR amplificando a retroalimentação para as entradas dos atuadores. A matriz “feedforward” é simplesmente a pseudo-inversa da função de transferência: (D-C*A-1*B)+ funcionando como um “set-point”.

A seguir são apresentados os resultados da simulação em malha fechada:

133

Figura 6.12 Resultado da simulação proposta do veículo sujeito a ruídos e perturbações ambientais

Figura 6.13 Resultado da simulação proposta do veículo sujeito a ruídos e perturbações ambientais e a tensão no cabo umbilical calculada no capítulo 3

134

Figura 6.14 Resultado da simulação proposta do veículo sujeito a ruídos e perturbações ambientais com propulsão reduzida (10 N)

Os resultados obtidos demonstram que o sistema de posicionamento de atitude (tracking control), utilizando o Regulador Linear Quadrático, tem potencial para estabilizar o sistema não linear proposto e obter um seguimento de trajetória mesmo na presença de ruídos , perturbações ambientais (correntes) e esforços externos de cabos umbilicais. Apenas no exemplo, da Figura 6.14 devido a baixa velocidade e e consequentemente baixa sustentação, o controle de atitude não obteve bom desempenho.

135

7 CONCLUSÕES

7.1 Resultados Alcançados

Foi apresentado um modelo matemático e um simulador que objetiva facilitar decisões de projetos conceituais de veículos aplicáveis às operações de localização, investigação e resgate de submarino com o incremento de controle para rejeição de perturbações ambientais e esforços externos e tomadas de decisão para planejamento de operações envolvendo veículos submarinos não tripulados (UUV) . Este simulador baseou-se em um modelo orientado por estudos dos sistemas de coordenadas, cinemática, dinâmica e hidrodinâmica elementar envolvendo a modelagem em seis graus de liberdade (6 DOF vehicles problems) O conceito explorado foi a análise das forças atuantes no veículo e conseqüente introdução das equações que regem o movimento. Objetivou-se demonstrar a relação entre o modelo matemático e o código computacional ao longo do trabalho para facilitar sua evolução em trabalhos subseqüentes. Ressalta-se que foi priorizada, a estruturação de um modelo teórico genérico, que pode ser aprimorado, de acordo com as especificidades do UUV que será simulado, por isto maiores detalhes quanto a sensores necessários ao modelo não foram explorados neste trabalho. Finalmente, foram avaliados alguns exemplos onde o simulador demonstrou seu potencial em tratar o problema de controle de atitude de veículos de localização tanto na monitoração em malha aberta quanto na possibilidade de implementar controles, neste caso em particular o LQR. Verificou-se que o controlador de atitude linear, utilizando o LQR, demonstrou sucesso no controle de atitude do modelo não linear apresentado.

7.2 Aspectos relevantes observados e considerados

Verificou-se que para a comparação de resultados do sistema controlado com diferentes estratégias era necessário explorar o compromisso “estabilidade- desempenho”. Tendo em vista esta perspectiva, depara-se com um necessário processo para sintonizar os controladores. Porém, conforme discutiu-se no capítulo 6, várias técnicas e metodologias não apresentam um arcabouço analítico e em diversas aplicações são usadas experimentações e simulações, para a obtenção ou convergências de valores finais para os coeficientes e ganhos. (Cunha et al., 1994; Slotine and Li, 1991). Salienta-se que os resultados apresentados na 2ª metodologia do estudo de cabo umbilical, e metodologia adotada neste trabalho consideraram a ponta superior do cabo

136

fixa com relação ao referencial inercial. Entretando, o Navio de apoio apresenta uma movimentação induzida fundamentalmente pelas ondas, onde poderia ser tratada pela teoria descrita no capítulo 1 e assim, estudar o comportamento do sistema de controle frente ao distúrbio introduzido pela oscilação da embarcação na superfície. Dos resultados obtidos na dissertação, observa-se que foi possível um acompanhamento, ou rastreamento, do sinal de referência de modo satisfatório. Observa-se que é possível a obtenção de desempenho robusto com a estratégia adotada incluindo na condição de baixa velocidade. Faz-se importante salientar que o desempenho robusto aqui mencionado diz respeito ao acompanhamento do sinal de referência, à rejeição de perturbações (e distúrbios) e à insensibilidade da variação paramétrica do veículo submarino. O sistema de controle possui um integrador natural entre velocidade e posição. Sabe-se que a adição de integradores no sistema de controle contribui para aumentar as margens de fase (Levine, ed., 1996), o que auxilia na atenuação de distúrbios e incertezas do modelo do veículo. As simulações do veículo considerou principalmente a utilização dos elementos da diagonal principal, devido à dificuldade de sensibilidade do acoplamento físico da dinâmica do UUV. O projeto de controle da estratégia LQR envolve um compromisso entre modelagem, e conseqüentemente a determinação das incertezas e/ou dinâmicas não modeladas, e o desempenho robusto tal que o erro de acompanhamento seja menor que a precisão necessária, isto foi observado com as simulações apresentadas. Tanto no problema de controle de atitude como, possivelmente no de posicionamento, deve-se evitar que as superfícies de controle ou o sistema propulsor saturem a atitude desejada ou a posição do veículo que pode sofrer oscilações até encontrar um ponto de equilíbrio, em que os distúrbios do cabo umbilical serão compensados pelo sistema propulsor. No pior caso, entretanto, o sistema pode não encontrar um ponto de equilíbrio mas apresentar oscilações permanentes (instabilidade), com deslocamento máximo limitado à extensão do cabo umbilical. Verificou-se que cabos umbilicais mais pesados atenuam os efeitos da correnteza marítima sobre o veículo submarino e reduzem a carga do sistema propulsor. Cabos com muita massa contribuem para o atraso de fase do sistema veículo controlado-cabo umbilical. cabos com seção transversal relativamente maiores contribuem para maior arrasto do sistema, sendo mais sensível à correnteza marítima e, conseqüentemente, exigindo mais do atuador (sistema propulsor/ superfície de controle). Revelando a importância do levantamento de um modelo analítico com o qual o controlador é projetado.

137

8 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

A seguir são apresentadas algumas sugestões para trabalhos futuros que complementariam o trabalho executado nesta dissertação ou que podem vir a incrementar o desempenho destes simuladores para tomada de decisão.

• Avaliar e simular os esforços externos ao veículo provocados pelo cabo umbilical sobre a ótica das outras metodologias.

• Implementar o movimento oscilatório do Navio nas simulações de esforços do cabo umbilical.

• Avaliar e simular a utilização de um maior número de propulsores para atuar nos demais graus de liberdade do veículo de modo a avaliar a

• Explorar a influência dos propulsores nos esforços externos ao veículo utilizando tecnologia CFD .

• Avaliar o índice de robustez de diversas metodologias de controle linear e não linear e apresentar as vantagens e desvantagens da aplicação.

• Desenvolver protótipo para validar e incrementar o simulador preliminar apresentado visando sua melhoria contínua

138

9 LISTA DE REFERÊNCIAS

ASADA, H. e SLOTINE, J.-J. E. (1986). Robot Analysis and Control, John Wiley

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TESE MESTRADO ALEXANDRE [3] versaocapaduraobjdig.ufrj.br/60/teses/coppe_m/AlexandreViannaSantana.pdf · estudo do comportamento dinÂmico aplicÁvel À veÍculos de localizaÇÃo,