Estabilidade assinttica para alguns modelos dissipativos de equaes de placas

Marcio Antonio Jorge da Silva

Estabilidade assinttica para alguns modelos dissipativos de equaes de placas1

Marcio Antonio Jorge da Silva

Orientador: Prof. Dr. Ma To Fu

Tese apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e de Computao - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Doutor em Cincias - Cincias de Computao e Matemtica Computacional. VERSO REVISADA.

USP So Carlos

Abril de 2012

1 Este trabalho teve apoio financeiro da FAPESP sob o processo 2008/00123-7 de 01/06/2008 31/05/2010

SERVIO DE PS-GRADUAO DO ICMC-USP

Data de Depsito: Assinatura:______________________________

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seo Tcnica de Informtica, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

J82eJorge da Silva, Marcio Antonio Estabilidade assinttica para alguns modelosdissipativos de equaes de placas / Marcio AntonioJorge da Silva; orientador Ma To Fu. -- So Carlos,2012. i a xii, 1 a 138 p.

Tese (Doutorado - Programa de Ps-Graduao emMatemtica) -- Instituto de Cincias Matemticas ede Computao, Universidade de So Paulo, 2012.

1. Equaes Diferenciais Parciais. 2. Equaes dePlacas. 3. Estabilidade Assinttica. 4. PseudoLaplaciano. 5. Memria. I. To Fu, Ma, orient. II.Ttulo.

Agradecimentos

Primeiramente agradeo a Deus pela oportunidade de concluir este trabalho em mais uma etapade minha vida.

toda minha famlia, em especial, minha me que me deu condies para iniciar meus estudosacadmicos sem que tivesse outros compromissos.

minha esposa Naiara, pelo companheirismo, compreenso e cumplicidade. Tambm, porsempre me apoiar e entender os momentos de minha ausncia perante aos estudos.

todos os meus amigos de ex-repblica de Maring e de So Carlos. Tambm, aos companheirosde estudos universitrios de todos os tempos, em especial, aos colegas com tive o prazer de crescerpessoalmente e profissionalmente desde o incio do doutorado em 2008.

todos os professores do departamento de Matemtica da UEM e do ICMC-USP quecontribuiram na minha formao acadmica desde a graduao at o doutorado.

Ao professor Dr. Doherty Andrade por me receber na UEM em 2009 em prol de minha ascensoprofissional cientfica e pessoal. Ao professor Dr. Jaime E. Muoz Rivera por me receber no LNCCem 2010 e coorientar em uma parte deste trabalho. Tambm, professora Dra. Luci H. Fatori da UELperante seus essenciais comentrios com repeito a uma parte deste trabalho.

Aos professores Drs. Vittorino Pata, Roger Temam e Igor Chueshov, que mesmo no meconhecendo pessoalmente, enviaram-me alguns de seus trabalhos na rea de pesquisa, o quecontribuiu positivamente no desenvolvimento desta tese.

Ao meu orientador, e hoje um grande amigo, prof. Dr. Ma To Fu, pela orientao, pacinciae pelos incontveis conselhos. Tambm agradeo por sempre apoiar e querer o melhor para minhacarreira acadmica.

Por fim, agradeo a CAPES e, em especial, FAPESP pelo apoio financeiro para realizao destetrabalho.

i

Resumo

Neste trabalho estudamos questes relativas a existncia, unicidade,dependncia contnua, continuidade, taxas de decaimento e comportamentoassinttico de solues para uma classe de equaes de placas lineares e nolineares. No primeiro captulo revisamos alguns contedos e colecionamosuma srie de resultados provenientes da teoria geral de anlise funcional,semigrupos lineares e atratores, os quais sero aplicados ao longo destatese. Nos dois prximos captulos abordamos uma equao da placade quarta ordem dissipativa com perturbaes no lineares do tipo p-Laplaciano e localmente Lipschitz e com memria. No segundo captuloprovamos a estabilidade exponencial de energia correspondente ao problemahomogneo com memria de segunda ordem. Em seguida, no terceiro captuloestabelecemos resultados que comprovam a existncia de um atrator globalcom dimenso fractal finita para o sistema dinmico associado ao problemacom histria de deslocamento relativo que equivale ao problema original.Finalmente, no quarto captulo tratamos um modelo viscoelstico de placasde Mindlin-Timoshenko de segunda ordem. Nesta ocasio, consideramosessecialmente dois casos, o primeiro quando o sistema totalmente dissipativoe, em seguida, quando o sistema parcialmente dissipativo. No primeirocaso, determinamos que o semigrupo linear associado ao problema analticoe, como consequncia, exponencialmente estvel. No segundo caso,mostramos que o semigrupo perde decaimento exponencial e analiticidade, noentanto, provamos que as solues possuem decaimento do tipo polinomial.

Palavras-chave: Equao da placa, modelo de Mindlin-Timoskenko, p-Laplaciano, memria, estabilidade assinttica, decaimento de energia,analiticidade, exponencialmente estvel, estabilidade polinomial, conjuntoabsorvente, sistema dinmico dissipativo, atrator global.

iii

Abstract

In this work we study some questions concerning with existence,uniqueness, continuous dependence, continuity, rates of decay and asymptoticbehavior of solutions for a class of linear and nonlinear plate equations. In thefirst chapter we review some concepts and collect a series of results providedfrom general theory of functional analysis, linear semigroups and attractorswhich will be applied throughout this thesis. In the next two chapters wediscuss a damped plate equation of fourth order with nonlinear perturbationsof the lower order of p-Laplacian type and locally Lipschitz, and a memoryterm. In the second chapter we prove the exponential stability of energycorresponding to the homogeneous problem with memory of second order.Then in the third chapter we establish some results that allow us to provethe existence of a global attractor with finite fractal dimension for dynamicalsystem associated to the problem with relative displacement history whichis equivalent to the original problem. Finally, in the fourth chapter we dealwith a viscoelastic Mindlin-Timoshenko plate model of second order. At thismoment we consider essentially two cases. The first one when the systemis fully damped, then when the system is partially damped. In the first casewe show that the semigroup associated to the Mindlin-Timoskenko system isanalytic, which in particular implies exponential decay. In the second casewe show that such semigroup loses exponential decay, also loses analyticity.However, we prove in this last case that the solutions have decay of polynomialtype.

Keywords: Plate equation, Mindlin-Timoskenko model, p-Laplacian,memory, asymptotic behavior, energy decay, analyticity, exponentially stable,polynomial stability, absorbing set, dissipative dynamical systems, globalattractor.

v

ndice de Notaes

Geral

|| := medida de Lebesgue de RN ;

|| = 1 + 2 + + N e ! = 1!2! N ! para todo = (1, . . . , N ) NN ;

p =p

p 1expoente conjugado de p ;

x = x11 x22 x

NN para todo x = (x1, . . . , xN ) RN ;

supp(u) = {x ; u(x) = 0};

incluso contnua;

incluso compacta;

, dualidade;

(X, || ||X) espao de Banach.

Operadores de derivao

Du =

||u

x11 x22 . . . x

NN

se = (0, . . . , 0);

u se = (0, . . . , 0);

u =

Nj=1

2u

x2j;

2u = (u);

pu = div(|u|p2u

).

vii

viii

Espaos de funes

C() ={u : R

u contnua};Ck() =

{u : R

u k-vezes continuamente diferencivel};C() =

{u : R

u infinitamente diferencivel};Ck0 () =

{u Ck()

supp(u) compacto} , k N ou k = ;Ck,() =

{u Ck()

Dku -Hlder contnua};D() := espao das funes teste;

Lp() ={u : R

u mensurvel e |u(x)|p dx

ix

D() = L(D(),R);

D(0, T ;X) = L(D(0, T ), X).

Convergncias

convergncia forte;

convergncia fraca;

convergncia fraca estrela.

Memria

(g u)(t) = t0 g(t s)u(x, s) ds;

(gu)(t) = t0 g(t s)

|u(x, t) u(x, s)|

2 dxds.

Normas

||u||p =(

|u(x)|p dx

)1/p, ||u|| = sup

xess |u(x)|;

||u||m,p =(

||m ||Du||pp

)1/p, ||u||m, = max

||m||Du||;

||u||W 1,p0

= ||u||p;

||||,X =(

0 (s)||(s)||2X ds

)1/2;||u||Lp(0,T ;X) =

( T0 ||u(t)||

pX dt

)1/p, ||u||L(0,T ;X) = sup

t(0,T )ess ||u(t)||X ;

||u||Ck([0,T ],X) =k

j=0 maxt[0,T ]

dju(t)dtj X ;||||X = sup

xX,||x||X1|, x|;

||T || = supxX, ||x||X=1

||Tx||Y = supxX,x =0

||Tx||Y||x||X

.

Sumrio

Agradecimentos i

Resumo iii

Abstract v

ndice de Notaes vii

Introduo 1

1 Preliminares 91.1 Espaos de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Um breve repasso ao conceito de topologia fraca e fraca estrela . . . . . . . 14

1.2 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 O operador p-Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Uma desigualdade interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Operadores lineares no limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Operador A associado uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 Potncias fracionrias do operador A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Uma breve reviso sobre semigrupos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.1 C0-semigrupos de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.2 Caracterizao dos geradores infinitesimais de C0-semigrupos . . . . . . . . 25

1.5.3 Analiticidade e estabilidade assinttica de C0-semigrupos . . . . . . . . . . 26

1.5.4 Problema de Cauchy abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Uma breve reviso sobre atratores globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6.1 Condies suficientes para existncia de atratores globais . . . . . . . . . . . 30

1.6.2 Dimenso fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

xi

xii SUMRIO

2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria 332.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Hipteses e notaes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Uma identidade para a memria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Existncia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Estimativa a priori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.3 Passagem ao limite e soluo fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4 Estimativa a priori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.5 Passagem ao limite e soluo fraca mais regular . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.6 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Decaimento exponencial de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria com histria 533.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Hipteses e notaes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Existncia, unicidade e dependncia contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.2 Estimativa a priori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3 Passagem ao limite e soluo fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.4 Estimativa a priori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.5 Passagem ao limite e soluo fraca mais regular . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.6 Dependncia contnua e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 O sistema dinmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.1 Existncia de conjunto absorvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5 Um resultado de estabilizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6 Atrator Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6.1 Dimenso fractal finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Um modelo de placas de Mindlin-Timoshenko 1054.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2 Existncia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Analiticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.1 Estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4 Falta de estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 Decaimento polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5.1 Otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Referncias Bibliogrficas 129

ndice Remissivo 137

Introduo

Nos ltimos anos muitos estudos sobre a equao da onda (de segunda ordem) e equao daplaca (de quarta ordem), e tambm perturbaes no lineares destas, tem sido desenvolvidos porpesquisadores dentro do contexto de equaes de evoluo (de segunda ordem com respeito aotempo t > 0). Analisar questes relacionadas a existncia, unicidade e dependncia contnua deProblemas de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF) constitui um primeiro passo na abordagem dosproblemas dentro linha de pesquisa de equaes diferenciais parciais. Num segundo momento, faz-senecessrio estudar tambm as propriedades (qualitativas) das solues globais obtidas a priori, comopor exemplo, o comportamento assinttico de solues que consiste, basicamente, em decaimentoexponencial ou polinomial de solues, ou ainda, a existncia de atratores globais (e suas "medidas"finito-dimensionais) para o sistema dinmico gerado por tais solues do PVIF, alm de outrasabordagens. Por outro lado, quando a soluo de um problema local, ento alguns autores estudamtambm a taxa com que essa soluo explode em tempo finito. Este ltimo caso no ser tratado nestetrabalho.

Para ser um pouco mais especfico, equaes de placas com perturbao no linear do tipo -Laplaciano

utt +2xu divx ((xu)) = F(x, u, ut), (1)

onde (z) |z|(p2)z, p 2, e F(x, u, ut) representa, adicionalmente, uma fora externa e/ouuma dissipao linear(es) ou no linear(es), tm atraido ateno de vrios autores com respeito aexistncia e comportamento assinttico de solues. Neste caso, podemos dizer que o operadordivx ((xu)) surge como uma perturbao no linear de menor ordem do operador biharmnico2x = x(x) na equao (1).

No caso de equaes da onda regida pelo operador -Laplaciano com dissipao viscosaxut, h alguns trabalhos pioneiros como os de Greenberg et al [53, 54] em dimenso 1. Emdimenses maiores, podemos citar os trabalhos de Tsutsumi [92] e Clements [28]. Depois disso,surgiram vrios outros autores que abordaram problemas correlatos, como por exemplo, nos trabalhos[7, 12, 13, 32, 34, 44, 72, 73, 77, 84, 87].

1

2 Introduo

Retornando equao (1), vemos que esta um prottipo de diversos modelos importantes quese aplicam no mundo real no que diz respeito a perturbaes da equao da placa. Para exemplificaristo, vejamos os seguintes casos:

No caso bidimensional, a seguinte equao da placa no linear referente um modelo de Kirchhoff-Boussinesq

utt + kut +2u = div

{|u|2u

}+ {f1(u)} f2(u),

definida sobre um domnio limitado R2, considerando trs condies de fronteira, a saber, livre, fixadae apoiada (free, clamped ou simply supported boundary conditions), foi abordada por Chueshov &Lasiecka em [23, 27]. Nesta ocasio, os autores apresentaram um estudo sobre a boa colocao doproblema segundo Hadamard e o comportamento assinttico de solues fracas e fortes (existnciade atrator global), considerando apenas uma dissipao fraca (weak damping) do tipo friccional kut.Convm observar ainda, como notado pelos autores em [23, 27] e justificado com mais detalhes em[25, Captulo 7], que o modelo acima surge naturalmente como um caso limite das equaes deMindlin-Timoshenko que descrevem a dinmica de uma placa submetida a efeitos de cisalhamentotransversal, ver Lagnese et al [64, 65] para maiores detalhes. Com respeito ao modelo de placas deMindlin-Timoshenko faremos uma abordagem diferenciada mais adiante.

No caso N -dimensional, Yang et al [96, 97] trataram uma classe de modelos de Kirchhoff pormeio da equao

utt +2u div

{|u|m1u

}ut = h(x, u, ut),

definida sobre um domnio limitado de RN , com N 1 natural e m 1 delimitado por umaconstante que depende de N em dimenses maiores, considerando condies de fronteira fixadas ouapoiadas (clamped ou simply supported boundary conditions). Os principais resultados apresentadosnesta ocasio consistem em determinar existncia global e o comportamento assinttico de soluesfracas e mais regulares (existncia de atrator global), considerando uma dissipao forte (strongdamping) do tipo viscosa ut. Mais recentemente, Yang [98, 99] estudou questes relativas adimensionalidade de tais atratores, como por exemplo, as dimenses de Hausdorff e fractal.

Para completar o raciocnio, lembramos que um modelo correspondente ao fluxo demicroestruturas elastoplsticas da forma

utt + uxxxx + a(|ux|2)x = 0,

foi introduzido por An & Peirce [2, 3] no caso unidimensional, onde a > 0. Assim sendo, ao enxergaro termo a(|ux|2)x como um operador do tipo p-Laplaciano, notamos que este ltimo modelo diferedos dois anteriores pelo sinal da perturbao proveniente do operador p-Laplaciano.

Pelos trabalhos acima mencionados podemos imaginar que em dimenses maiores (N 3) adissipao forte, ut, constitui um importante papel no modelo de placa com perturbao de menorordem do tipo p-Laplaciano

utt + 2upu = F(x, u, ut), (2)

ondepu = div

(|u|p2u

), p 2,

Introduo 3

e > 0 uma constante. De fato, para = 1 a existncia global e unicidade de solues podemser verificadas adicionando uma dissipao forte ut, assim como Yang et al [96, 97]. Contudo,se considerarmos apenas uma dissipao fraca ut, ento parece ser difcil de obter unicidade e acontinuidade de solues globais no caso N -dimensional, para N 3. Ao contrrio disto, paradimenses menores, N = 1 ou N = 2, a boa colocao do problema (2) implementando apenas umadissipao fraca j bem conhecido, como exposto por Chueshov & Lasiecka [23] e Yang [95].

Motivados pelas obras citadas acima, o presente trabalho procura fornecer resultados relacionadosa existncia global de solues para a equao (2) sob o efeito de um termo de memria. Em seguida,buscaremos as propriedades qualitativas das solues com respeito a estabilidade assinttica ao longodo tempo. A relevncia de nosso trabalho se deve ao fato de que, alm de tomar um certo cuidadocom as ferramentas ao se trabalhar com o problema viscoelstico no caso N -dimensional, devemosavaliar a interao do termo de memria com os operadores p-Laplaciano e biharmnico. Pensamosque estas consideraes, alm de outras que citaremos a seguir, no foram consideradas anteriormentepor outros autores.

De um modo mais conciso, estudaremos num primeiro momento a existncia de solues edecaimento de energia para equao (2) em um domnio limitado de RN , considerando

F(x, u, ut) := (g u)(t) + ut f(u), (3)

onde a convoluo em (3), representando um termo de memria no local (que eventualmentechamaremos neste trabalho de memria sem histria), dada por

(g y)(t) = t0g(t s)y(s) ds, t > 0,

e a funo g chamada de ncleo da memria. Assim sendo, combinando (2) e (3), estudamos noCaptulo 2 um problema de valor inicial e de fronteira para a seguinte equao da placa no linearcom memria

utt +2upu+

t0g(t s)u(s) dsut + f(u) = 0 (4)

em (0,+), onde = 1 e RN um domnio limitado.A existncia de solues para (4) garantida pelo Teorema 2.3.1, usando o mtodo de Faedo-

Galerkin, ver por exemplo Yang et al [96, 97], Cavalcanti et al [19], ou ainda, os clssicos Lions[66] e Lions & Magenes [67]. O decaimento exponencial de energia assegurado pelo Teorema2.4.1, onde usamos o mtodo de energia perturbada, ver por exemplo Cavalcanti et al [18, 19] eZuazua et al [56, 100]. importante ressaltar que o procedimento utilizado para estudar (4) gerou,numa primeira circunstncia, uma certa dificuldade tcnica ao considerarmos um termo de memriado tipo

t0 g(t s)

2u(s)ds. Contudo, com um pouco mais de investigao, tambm podemosconcluir a veracidade dos resultados de existncia e comportamento assinttico substituindo o termode memria de segunda ordem

t0 g(t s)u(s) ds por um termo de memria de quarta ordem t

0 g(t s)2u(s) ds, a menos do sinal. Os resultados referentes ao Captulo 2 (Teoremas 2.3.1

e 2.4.1) foram publicados na revista Mathematical Methods in the Applied Sciences, conforme areferncia [5].

4 Introduo

Existe hoje uma ampla literatura que aborda questes relativas ao conceito de estabilidade emviscoelasticidade para equaes da onda e da placa. A ttulo de exemplo, citamos os seguintestrabalhos [6, 20, 30, 31, 71, 78, 80] e suas referncias.

Prosseguindo, nosso objetivo num segundo momento foi de estender os conceitos estabelecidos(anteriormente) em [5], acoplando equao (2) uma memria com histria para t < 0, de ondeteremos de introduzir a histria com deslocamento relativo. O motivo para tal preteno que aequao (4) no corresponde a um sistema autnomo, justamente pela convoluo (g u)(t) = t0 g(ts)u(s) ds, que depende de t > 0, e de segunda ordem. Com isto, no poderiamos estudar

a dinmica assinttica para as solues do problema por meio da teoria estabelecida para problemasautnomos. No entanto, para contornar essa situao, estudamos a existncia de solues para aequao (2) em um domnio limitado de RN , definindo F(x, u, ut) como

F(x, u, ut) := t

(t s)2u(s) ds+ut f(u) + h(x). (5)

O comportamento assinttico de solues tambm foi estudado quando a fora externa h identicamente nula, ou seja, quando h 0. Note ainda que o termo integral (memria original)que surge em (5) pode ser reescrito formalmente como t

(t s)2u(s) ds =

0

(s)2u(t s) ds. (6)

Logo, combinando a equao (2) com as identidades (5)-(6), chegamos a seguinte classe de equaesda placa no linear com memria (num contexto com histria para t < 0)

utt + 2upu

0

(s)2u(t s)dsut + f(u) = h (7)

em (0,+), com condies iniciais e de fronteira estabelecidas no Captulo 3, onde agora = (0) > 0 uma constante interligada ao ncleo da memria e RN um domniolimitado.

Mais ainda, usando um argumento introduzido por Dafermos [30], podemos transformar oproblema com histria em um problema autnomo equivalente e, assim, estudar a existncia deatratores globais para as solues de tal problema equivalente. Outros autores tambm j se utilizaramdeste argumento, como por exemplo nos trabalhos de Giorgi et al [47, 48, 49, 50, 51], ou ainda, nointeressante e bem apresentado artigo de Grasselli & Pata [52], onde os autores estabeleram de formapadro o papel da equao suplementar e o retorno equao original. Ver tambm Pata & Zucchi[83]. De um modo mais preciso, definimos uma nova varivel ao sistema por

= t(x, s) = u(x, t) u(x, t s), x , s > 0, t 0, (8)

tambm conhecida como histria de deslocamento relativo. Ento, depois de alguns ajustes comoveremos no Captulo 3, podemos converter a equao (7) no seguinte sistema equivalente

utt +2upu+

0

(s)2t(s) dsut + f(u) = h, (9)

t = s + ut, (10)

Introduo 5

com condies iniciais e de fronteira correspondentes. Com isto, nosso prximo objetivo foi deapresentar resultados que complementam queles determinados em [5], estudando o problema (9)-(10) sob aspctos de existncia e comportamento assinttico.

O Teorema 3.3.1 do Captulo 3 garante que o problema (9)-(10) bem posto, onde tambmusamos o mtodo de Faedo-Galerkin. Quando h 0, a estabilidade assinttica tambm asseguradausando o mtodo de energia perturbada, conforme Proposio 3.4.1 e Observao 3.4.1. Vale ressaltarque neste caso usa-se somente as hipteses atribuidas para o ncleo da memria (ver Captulo 3) eno mais a identidade envolvendo a memria do problema (4) (ver Captulo 2). Estes resultados(Teorema 3.3.1 e a Proposio 3.4.1 em conjunto com a Observao 3.4.1) foram aceitos parapublicao na revista IMA Journal of Applied Mathematics, conforme a referncia [58]. Almdisso, quando h = 0 independente da varivel t, ento as Proposies 3.4.1 e 3.5.1 garantem aexistncia de um conjunto absorvente e uma estabilizao para as solues do problema (9)-(10),respectivamente. Mais ainda, os Teoremas 3.6.1 e 3.6.2 determinam a existncia de um atrator globalcom dimenso fractal finita para as solues de (9)-(10), por meio de uma aplicao da teoria abstratapara atratores, com base nos trabalhos de Ceron & Lopes [21], Chueshov & Lasiecka [22, 25] e Hale[55]. Ver tambm os clssicos Babin & Vishiki [8] e Temam [91]. Os ltimos resultados acimacitados, referente ao Captulo 3, sero submetidos para publicao segundo a referncia [59].

Neste momento, vale a pena notar que a nossa abordagem para a equao de placas perturbadapelo operador no linear p-Laplaciano e pela no linearidade localmente Lipschitz f(u) e com umtermo de memria (ver a equao (4) e o sistema (9)-(10)) diferenciada das expostas em Giorgiet al [50], Pata & Zucchi [83] e Yang [98, 99], devido ao fato de que em alguns deles requeridoregularidade de classe C1 para o semigrupo de evoluo associado ao problema, alguns impemcondies sobre a derivada f da funo f e outros pelos resultados utilizados aos espaos de faseenvolvidos no problema. Com isto, podemos dizer que nossos estudos amplia a classe de problemasabordados pelos autores acima, com respeito a existncia e comportamento assinttico para umproblema com memria. Para saltar as dificuldades encontradas, forneceremos um resultado deestabilizao que segue ideias recentes devido aos trabalhos de Chueshov & Lasiecka [22, 25] ePata & Zelik [82]. Ver tambm Hale [55]. Contudo, devido ao termo de memria tratada em nossosproblemas, nosso trabalho difere destes ltimos citados, contribuindo tambm em ampliar a classe deproblemas que possuem aplicaes da teoria geral de atratores.

Conforme podemos ver, existem hoje uma ampla gama de resultados abstratos que dizemrespeito existncia de atratores globais. A ttulo de exemplo, citamos os seguintes trabalhos[8, 21, 22, 25, 35, 55, 74, 82, 91, 94] e suas referncias. Alm disso, muitos desses resultados tm semostrado eficientes quando aplicados dentro do contexto de equaes diferenciais parciais.

Caminhando por outro lado, nos deparamos com uma forma de modelar a equao da placano caso bidimensional (N = 2) por meio de um sistema de equaes de segunda ordem (do tipo"equaes de ondas"), a saber, o modelo de placas finas de Mindlin-Timoshenko como tratado (comdissipao na fronteira) em Lagnese [64]. Ver tambm Lagnese & Lions [65]. Mais precisamente,

6 Introduo

consideremos o seguinte modelo de placas de Mindlin-Timoshenko

hwtt K[

x

( +

w

x

)+

y

(+

w

y

)]= 0 (11)

h3

12tt D

(2

x2+

1 2

2

y2+

1 +

2

2

xy

)+K

( +

w

x

)= 0 (12)

h3

12tt D

(2

y2+

1 2

2

x2+

1 +

2

2

xy

)+K

(+

w

y

)= 0 (13)

em (0,), onde um domnio limitado de R2. As constantes positivas simboliza amassa por unidade de volume, h representa a espessura uniforme da placa, K exprime o mdulode cisalhamento, D denota o mdulo de rigidez flexo e a constante 0 < < 1/2 chamadacoeficiente de Poisson, sendo proveniente de consideraes fsicas sobre a placa, ver Lagnese et al[64, 65]. J as funes = (x, y, t) e = (x, y, t) representam os ngulos de rotao de umfilamento da placa e a funo w = w(x, y, t) denota o deslocamento transversal da superfcie mdiada placa, para (x, y) e t 0.

Note que o sistema linear (11)-(13) conservativo, ento para obter resultados de estabilidadepara solues deste alguns autores introduziram dissipaes na fronteira do conjunto . Por exemplo,em Lagnese [64] foi considerado uma condio de estabilizao na fronteira por meio de umcontrole "feedback" e condies geomtricas na fronteira. Isto permitiu o autor obter comportamentoassinttico de energia. Neste mesmo sentido, Muoz Rivera & Oquendo [80] consideraram o sistema(11)-(13) com dissipaes viscoelsticas na fronteira (memria). Com isto, os autores mostraram quea energia associada ao problema estvel com estabilidade assinttica sendo da mesma forma que ataxa de decaimento imposta ao ncleo da memria.

Mais recentemente, Fernndez Sare [41] estudou o sistema (11)-(13) sob dissipaes do tipofriccionais d1t e d2t nas equaes (12) e (13), e somente usando condies de fronteira deDirichlet. Nesta ocasio, o autor somente deduziu a falta de estabilidade exponencial para soluesdo sistema parcialmente dissipativo e, fazendo uso de tcnicas multiplicativas juntamente com umresultado abstrato devido a Btkai et al [11], obteve estabilidade polinomial de energia, onde a taxade decaimento pode ser melhorada de acordo com a regularidade dos dados inciciais.

Tendo as referncias acima citadas como motivao, apresentamos no Captulo 4, sob acoorientao do Professor Dr. Jaime E. Muoz Rivera, resultados que lidam com taxas de decaimentode solues para uma verso dissipativa do sistema (11)-(13) de um modo independente aos trabalhosanteriores com respeito s taxas de decaimento. Tais resultados so baseados no fato de considerarmosum sistema totalmente e parcialmente dissipativo. A contribuio neste caso se deve ao fato deque abordar o conceito de analiticidade para o sistema (dissipativo) bem como estabelecer taxasde estabilidade, usando somente a teoria abstrata para semigrupos lineares, no foram consideradasanteriormente por outros autores no caso apresentado nesta tese.

Introduo 7

De um modo mais sucinto, denotando por L1,L2 e L3 os seguintes operadores lineares elpticosde segunda ordem

L1(,,w) =

x

( +

w

x

)+

y

(+

w

y

),

L2(,) =2

x2+

1 2

2

y2+

1 +

2

2

xy,

L3(,) =2

y2+

1 2

2

x2+

1 +

2

2

xy,

estudamos o comportamento assinttico de solues para o seguinte sistema de placas de Mindlin-Timoshenko com dissipao viscosa

hwtt KL1(,,w)D0wt = 0 (14)

h3

12tt DL2(,) +K

( +

w

x

)D1L2(t, t) = 0 (15)

h3

12tt DL3(,) +K

(+

w

y

)D1L3(t, t) = 0 (16)

em (0,), com condies iniciais e de fronteira estabelecidas no Captulo 4.O Teorema 4.2.2 assegura a existncia de solues para (14)-(16) baseando-se no mtodo

de semigrupos lineares, de forma inteiramente anloga ao trabalho de Lagnese [64, Captulo 3].Ver tambm vrios outros exemplos em Liu & Zheng [70] e Muoz Rivera [79]. Em seguida,usando resultados abstratos ([70, Captulo 1]) mostraremos que o semigrupo associado ao sistema analtico e possui estabilidade exponencial quando o sistema totalmente dissipativo (D0, D1 > 0),conforme o Teorema 4.3.1 e Corolrio 4.3.2. Alm disso, mostramos por meio do Teorema 4.4.1que o semigrupo correspondente ao sistema parcialmente dissipativo (D0 = 0 e D1 > 0) no exponencialmente estvel. Contudo, usando um resultado recente devido a Borichev & Tomilov [14],determinamos neste ltimo caso que as solues possuem decaimento do tipo polinomial com taxade decaimento podendo ser melhorada de acordo com a regularidade dos dados iniciais. No entanto,veremos ainda que se fixarmos os dados iniciais, ento a taxa de decaimento polinomial no pode sermelhorada, o que nos d otimalidade de decaimento polinomial (ver os Teoremas 4.5.6 e 4.5.7).

Vale pena notar que todos os resultados apresentados nesta parte so verdadeirosindependentemente das relaes entres as constantes do sistema, o que no comum no casounidimensional (N = 1) em problemas correlatos, ver por exemplo Muoz Rivera & Racke [81] paraum modelo de Timoshenko e, tambm, Fatori & Muoz Rivera [40] para um sistema termoelsticode Bresse. Alm disso, os resultados de estabilidade assinttica determinados no Captulo 4 comrespeito ao sistema (14)-(16) diferem dos, at ento, estabelecidos para verses (dissipativas) dosistema de Mindlin-Timoshenko, como citado acima. Todos os resultados referente a este captulotiveram a superviso do professor Dr. Jaime E. Muoz Rivera e, em breve, sero enviados parapublicao segundo a referncia [60]. Essa ltima abordagem, que consiste em obter taxas dedecaimento para um sistema como aplicao da teria espectral de geradores infinitesimais, vem sendomais considerada por alguns autores nestes ltimos anos. Como exemplo, podemos citar os trabalhos[11, 39, 40, 41, 68, 69, 70, 81, 86] e suas referncias.

CAPTULO

1Preliminares

Este captulo inicial tem um carter introdutrio e o leitor mais experiente pode omitir a leiturado mesmo, passando aos captulos seguintes. Aqui vamos introduzir as notaes que sero utilizadasem toda a tese bem como apresentar alguns dos resultados mais clssicos da teoria geral de anliseno linear, anlise funcional, espaos de Sobolev, semigrupos lineares, semigrupos no linearese atratores. Faremos uso de tais resultados nos captulos seguintes para facilitar a compreensodo contedo abordado e, tambm, com o objetivo de tornar este trabalho o mais autossuficientepossvel. Os resultados (Teoremas, Proposies, Lemas, etc...) sero apresentados sem uma provaformal, porm forneceremos em cada seo as referncias clssicas dentro da literatura para osconceitos citados. Tambm mencionaremos algumas referncias em portugus que contribuiram parao desenvolvimento deste trabalho.

1.1 Espaos de Banach e de Hilbert

Iniciaremos com alguns conceitos bsicos da teoria dos espaos de Sobolev e anlise funcional,seguindo as referncias Adams & Fournier [1], Brzis [15], Folland [43], Lions [66] e Medeiros [75].

Seja RN um aberto. Para 1 p < denotamos por Lp() o conjunto (das classes)de funes Lebesgue mensurveis u, tais que |u|p uma funo integrvel sobre . Em termos deconjuntos,

Lp() =

{u : R

u mensurvel, |u(x)|p dx

10 Captulo 1 Preliminares

Em Lp() podemos definir a norma usual como segue

||u||p =(

|u(x)|p dx

)1/p, 1 p

1.1 Espaos de Banach e de Hilbert 11

Definio 1.1.1. Diremos que uma sequncia (ou sucesso) de funes {n} C0 () converge uma funo C0 () se, e somente se, existe um subconjunto compacto K tal que

(i) supp() K e supp(n) K, n N.

(ii) DnD uniformemente sobre K, NN .

Com esta noo de convergncia nos espaos C0 (), o denotaremos tambm por D() e ochamaremos de espao das funes teste. Alm disso, denotando por L(X,R) o espao vetorialdos funcionais lineares e contnuos de X em R, definimos o espao das distribuies sobre comvalores em R por

D() := L(D(),R),

onde a continuidade entendida no sentido da convergncia em D().Com relao derivada de uma distribuio a valores reais, lembramos que para f D(), sua

derivada de ordem NN dada por

Df, = (1)|| f,D , D().

A seguir vamos relembrar a definio dos espaos de Sobolev, os quais constituiro fundamentalimportncia em nossas consideraes futuras. Para m N e 1 p , denotamos por Wm,p()o conjunto (das classes) de funes u em Lp(), tais que suas derivadas Du, 0 || m, aindapertenam a Lp(), onde a derivada se d no sentido das distribuies. Em termos de conjuntos,

Wm,p() ={u Lp()

Du Lp(), 0 || m} .Em Wm,p() tem-se bem definida uma norma dada por

||u||m,p =

0||m

||Du||pp

1/p , 1 p

12 Captulo 1 Preliminares

No problema que iremos estudar no Captulo 3 deste trabalho faz-se necessrio o uso de espaoscom peso L2. Por este motivo, vamos introduzi-los neste momento para clarear as ideias. Dada umafuno "peso"

C1(R+) L1(R+),

definimos o seguinte espao de Hilbert.

L2(R+;H

)=

{ : R+ H

0

(s)||(s)||2H ds 0 um nmero real positivo fixado ouT = .

Para 1 p < , representaremos por Lp(0, T ;X) o conjunto (das classes) de funes vetoriaismensurveis u : (0, T ) X, tais que ||u(t)||X pertence a Lp(0, T ). Em termos de conjunto,

Lp(0, T ;X) =

{u : (0, T ) X

u mensurvel, T0

||u(t)||pX dt

1.1 Espaos de Banach e de Hilbert 13

a) Se X Y, ento Lp(0, T ;X) Lp(0, T ;Y ), 1 p .

b) L(0, T ;X)T

14 Captulo 1 Preliminares

1.1.1 Um breve repasso ao conceito de topologia fraca e fraca estrela

Vamos estabelecer a seguir os conceitos de convergncia fraca e fraca estrela num espao deBanach X com norma || ||X . Consideremos inicialmente o dual topolgico X = L(X,R), que tambm um espao de Banach quando munido da norma

||f ||X = supxX,||x||X1

|f, x| .

Alm disso, podemos considerar o espao de Banach BidualX = L(X ,R) deX,munido da norma

||||X = supfX,||f ||X1

|, f| .

Como bem sabido da teoria de anlise funcional (ver por exemplo Brzis [15]), a aplicao

J : X X

x 7 Jx : X R (1.2)

f 7 Jx(f) = f, x,

um isomorfismo de X sobre J(X). Isto nos permite identificar X com J(X) X .Agora, para cada f X consideremos o funcional

f : X R

x 7 f (x) = f, x,

Assim, percorrendo f em X obteremos uma famlia de aplicaes {f}fX . Sob estasconsideraes dizemos que:

(i) A topologia fraca (X,X ) em X a topologia mais grossa (menos fina) em X no qual socontnuas todas funes f , f X .

(ii) A topologia fraca estrela (X , X) em X a topologia mais grossa (menos fina) em X noqual so contnuas todas funes Jx, x X .

Agora estamos aptos a definir os conceitos de convergncia mencionados acima.

Definio 1.1.2. Diremos que uma sequncia {xn}nN X converge fraco para x X, quando{xn} converge a x na topologia fraca (X,X ), isto , para todo funcional f X temos

f, xn f, x.

Denotaremos a convergncia fraca de {xn} a x por xn x.

Definio 1.1.3. Diremos que uma sequncia {fn}nN X converge fraco estrela para f X ,quando {fn} converge a f na topologia fraca estrela (X , X), isto , para todo x X temos

fn, x f, x.

Denotaremos a convergncia fraca estrela de {fn} a f por fn f.

1.2 Alguns resultados importantes 15

Observao 1.1.2. Como usual a convergncia forte (em norma) de {xn} a x X ser denotadapor xn x.

Aproveitando as consideraes anteriores vamos apresentar os importantes conceitos dereflexividade e separabilidade.

Definio 1.1.4. Um espao de BanachX chamado reflexivo quando J(X) = X , onde a aplicaoJ dada em (1.2). O espao X chamado separvel quando existe um subconjunto enumervel edenso Y X.

Observao 1.1.3. Com relao aos espaos mencionados na seo 1.1, valem as seguintesidentificaes para 1 p

16 Captulo 1 Preliminares

(ii) Se mp = N , ento a seguinte incluso contnua e compacta

Wm,p() Lq(), para todo 1 q m Np > k, k N, ento escrevendo m Np = k + , com 0 < < 1, temos

que a seguinte incluso contnua

Wm,p() Ck,(),

onde Ck,()

representa o espao das funes em Ck()

cujas derivadas de ordem k so

-Hlder contnuas. Alm disso, se N = m k 1, = 1 e p = 1, ento a incluso valetambm para = 1, e a incluso Wm,p() Ck,

()

compacta para todo 0 < .

Observao 1.2.1. Para uma verso que estabelece imerses compactas no caso N -dimensional vejatambm o Teorema de Rellich-Kondrachov em Adams & Furnier [1, Captulo 6].

Teorema 1.2.4 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). Seja RN um domnio limitado comfronteira de classe Cm e u Wm,r() Lq() onde 1 r, q . Para qualquer inteiro j com0 j < m e qualquer com j/m 1, temos

||Dju||p C||u||m,r||u||1q , (1.3)

desde que1

p=

j

N+

(1

r mN

)+ (1 )1

q

e m j N/r no um inteiro no negativo. Se m j N/r um inteiro no negativo, (1.3) valecom = j/m.

Observao 1.2.2. Em Zheng [94, Captulo 1] o autor tambm relembra a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg de uma forma mais completa (ver Teorema 1.3.4 nesta referncia). Uma outra versoclssica da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg tambm pode ser encontrada em Henry [57,Captulo 1], sob uma forma levemente mais geral. Alm disso, usando a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg pode-se estabelecer tambm resultados de imerses contnuas envolvendo domnio deoperadores com potncias fracionrias, ver por exemplo o Teorema 1.6.1 em Henry [57, Captulo1] ou Teorema 4.3 em Pazy [85, Captulo 8].

Teorema 1.2.5 (Teorema de Interpolao). Seja RN um domnio limitado com fronteira suave.Suponhamos que

p q se mp > N,

p q < se mp = N,

p q NpN mp

se mp < N.

1.2 Alguns resultados importantes 17

Ento existe uma constante K = K(N,m, p, q,) > 0 tal que para toda u Wm,p(),

||u||q K||u||m,p||u||1p ,

onde = (N/mp) (N/mq).

Teorema 1.2.6 (Desigualdade de Poincar). Seja RN um domnio limitado e 1 p 0 tal que

||u||p C ||u||p, u W 1,p0 ().

Teorema 1.2.7 (Frmula de Green). Seja RN um aberto limitado com fronteira suave. Seu, v H2(), ento

(u) v dx =

u v dx

u

v dS,

onde representa o vetor normal unitrio exterior a e u := u a derivada normal de u.

Teorema 1.2.8 (Desigualdade de Hlder). Sejam 1 p, q com 1p +1q = 1 e R

N . Se

u Lp() e v Lq(), ento uv L1() e|u(x)v(x)| dx ||u||p||v||q.

Teorema 1.2.9 (Desigualdade de Hlder Generalizada). Sejam 1 p1, p2, . . . , pn tais que1p1

+ 1p2 + +1pn

= 1r 1. Se fi Lpi() para i = 1, . . . , n, ento f :=

ni=1

fi Lr() e

fr n

i=1

fipi .

Lema 1.2.10 (Desigualdade de Gronwall). Sejam 0 uma constante e L(a, b), L1(a, b) tais que > 0, 0. Se

(t) + ba(s)(s) ds, a t b,

ento

(t) e ba (s) ds, a t b.

Lema 1.2.11 (Desigualdade de Young). Seja 1 < p, q

18 Captulo 1 Preliminares

Observao 1.2.3. No caso particular em que p = q = 2, a desigualdade de Young com > 0 seresume em

ab a2 + 14b2, a, b 0,

sendo tambm conhecida como desigualdade de Cauchy com . Esta desigualdade ser extremamenteutilizada em todos os captulos seguintes desta tese.

O prximo resultado tambm de fundamental importncia em nossos problemas futuros.

Teorema 1.2.13 (Aubin-Lions). Sejam X0, X,X1 trs espaos de Banach com X0 e X1 reflexivos.Suponhamos que X0 X X1, e para quaisquer p0, p1 com 1 < p0, p1

1.3 O operador p-Laplaciano 19

1.3 O operador p-Laplaciano

O operador pseudo Laplaciano, que neste trabalho ser chamado simplesmente de operador p-Laplaciano, e denotado por p, definido sob duas formas:

pu = div(|u|p2u

), u W 1,p0 (),

ou

pu =Nj=1

xj

( uxjp2 uxj

), u W 1,p0 (),

onde RN e p > 1. Estas duas formas assumidas pelo operador p-Laplaciano correspondem sderivadas de Frchet em W 1,p0 () dos funcionais

1

p

|u|p dx e 1

p

Nj=1

uxjp dx,

respectivamente. Cabe ressaltar que pu um operador de segunda ordem no linear, sendo queno caso particular p = 2 o mesmo se reduz ao operador (linear) Laplaciano u =

Nj=1

2ux2j

. Porquestes tcnicas vamos utilizar, por todo esse trabalho, a primeira das formas estipuladas para ooperador p-Laplaciano.

interessante lembrar tambm que o operador p-Laplaciano aplica W 1,p0 () no espao

W1,p() =

[W 1,p0 ()

], onde 2 p

20 Captulo 1 Preliminares

Lema 1.3.1. Existe uma constante M =M(p,N) > 0 tal que|x|p2x |y|p2y M (|x|p2 + |y|p2) |x y|, x, y RN ,onde o smbolo | | denota a norma euclidiana em RN e p 2.

Prova. Definamos inicialmente a seguinte aplicao

F : RN RN

x 7 F (x) = |x|p2x, x = (x1, . . . , xN ).

Note que as funes componentes de F, dadas por

Fj(x) = |x|p2xj , j = 1, . . . , N,

so diferenciveis em RN . De fato, simples clculos implicam que

xiFj(x) = (p 2)|x|p4xixj se i = j,

xjFj(x) = (p 2)|x|p4x2j + |x|p2 se i = j,

para i, j = 1, . . . , N. Assim claro que

xiFj(x) so contnuas em RN {0} e tambm simples

verificar pela definio que

xiFj(0) = 0 = lim

x0

xiFj(x), 0 = (0, . . . , 0),

para i, j = 1, . . . , N. Isto implica que as derivadas parciais das funes componentes Fj existeme so contnuas em RN , ou seja, as funes Fj so diferenciveis em RN e, consequentemente, aaplicao F tambm diferencivel em RN . Logo, fica bem definida a aplicao derivada (operadorlinear)

F : RN L(RN ,RN

)x 7 F (x) : RN RN .

Alm disso, temos

||F (x)|| N2(p 1)|x|p2, x RN , (1.4)

onde || || menciona a norma no espao L(RN ,RN

). Com efeito, note que

||F (x)|| = supvRN ,|v|1

F (x) v = supvRN ,|v|1

Fv (x) = sup

vRN ,|v|1

(F1v (x), . . . , FNv (x)) ,

o que implica em

||F (x)|| N sup|v|1

max1jN

Fjv (x) . (1.5)

1.4 Operadores lineares no limitados 21

Agora, tomando v = (1, . . . , N ) e observando que as funes Fj so diferenciveis em RN segueque

Fjv

(x) =

Ni=1

Fj(x)

xii, j = 1, . . . , N.

Logo,

Fjv (x) N

i=1

Fj(x)xi |i|

(Ni=1

Fj(x)xi2) 1

2(

Ni=1

|i|2) 1

2

N max1iN

Fjxi (x) |v|,

de onde segue que

max1jN

Fjv (x) N max1i,jN

Fjxi (x) |v| N(p 1)|x|p2|v|,

ou ainda,

sup|v|1

max1jN

Fjv (x) N(p 1)|x|p2. (1.6)

Substituindo (1.6) em (1.5), obtemos (1.4) como desejado.Dados x, y RN considere o segmento [y, x] RN . Para todo [y, x] segue de (1.4) que

||F ()|| N2(p 1)||p2.

Mais ainda, para [y, x], existe uma constante = (x, y) [0, 1] tal que = (1 )y + x =y + (x y). Logo,

||p2 (|y|+ |x y|)p2 2p2 (|y|+ |x|)p2 22(p2)(|y|p2 + |x|p2

).

Assim,||F ()||

(2p2N

)2(p 1)

(|y|p2 + |x|p2

), [y, x]. (1.7)

Como F diferencivel no segmento aberto (y, x), contnua no segmento fechado [y, x] e vale aestimativa (1.7), ento a Desigualdade do Valor Mdio para aplicaes implica que

|F (x) F (y)| M(|x|p2 + |y|p2

)|x y|,

onde M =(2p2N

)2(p 1). Isto conclui a prova do Lema 1.3.1.

1.4 Operadores lineares no limitados

Iniciaremos esta seo fazendo um breve resumo sobre a construo de operadores linearesno limitados associados a uma forma bilinear. Em seguida, relembraremos alguns fatos sobre osoperadores com potncia fracionria, os quais tero certa relevncia em nossas consideraes futuras.Para maiores detalhes sobre o assunto recomendamos os trabalhos de Kreyszig [63], Medeiros &Milla Miranda [76], Temam [90, 91], Yosida [93] e Zheng [94].

22 Captulo 1 Preliminares

1.4.1 Operador A associado uma forma bilinear

Sejam (V, || ||V , (, )V ) e (H, || ||H , (, )H) dois espaos de Hilbert tais que V denso em H,com incluso V H contnua e compacta. Denotaremos por V o dual de V e por , a dualidadeentre V e V. Identificando H com seu dual, por meio do Teorema da representao de Riez, obtemosa seguinte cadeia de incluses

V H = H V .

Considerando uma forma bilinear e contnua a(, ) : V V R, podemos definir um operadorlinear A : V V dado por

Au, v = a(u, v), u, v V.

Mais ainda, o domnio do operador A definido como

D(A) ={u V

Au H} ,e dizemos ainda que o operador linear A definido pela terna {V,H, a(, )} .

Relembrando, temos da teoria de anlise funcional (ver Temam [91, Captulo 2]) que se a(, )for uma forma bilinear contnua, coerciva e simtrica, ento o operador linear A : D(A) H H fechado, no limitado, positivo definido, autoadjunto e uma bijeo (isomorfismo). Alm disso,dotando o domnio D(A) com a norma ||u||D(A) = ||Au||H (que equivalente a norma do grfico||u||2G = ||u||2H + ||Au||2H ) obtemos que D(A) um espao de Hilbert denso em H.

Observao 1.4.1. Um exemplo clssico de uma forma bilinear satisfazendo as condies acima dada pelo produto interno (, )V em V. Neste caso, considerando o operador A dado pela terna{V,H, (, )V } , ento A : D(A) H H tal que

(Au, v)H = (u, v)V , u D(A), v V.

Mediante s condies satisfeitas pelo operador A acima e usando tambm que a inclusoV H compacta, segue da teoria espectral (ver por exemplo Yosida [93]) que existe uma baseortonormal completa {wj}jN de H e uma sequncia de nmeros reais {j}jN tais que

0 < 1 2 com j quando j ,

wj D(A) e Awj = jwj , j N.

Note que vale ainda as seguintes relaes

(wi, wj)H = ij e a(wi, wj) = iij , i, j N,

onde ij denota o delta de Kronecker.

1.5 Uma breve reviso sobre semigrupos lineares 23

1.4.2 Potncias fracionrias do operador A

Sob as hipteses da subseo anterior, alm da base acima mencionada, podemos definir tambmos operadores com potncias fracionrias As, s R, do operador A. Mais ainda, os operadores As

podem ser caracterizados em termos da base {wj}jN.Iniciamos notando que para s > 0 o operador As : D(As) H H um operador linear no

limitado, positivo definido, autoadjunto e injetivo, cujo domnio D(As) denso em H. Alm disso,munindo D(As) com o produto interno e norma

(u, v)D(As) = (Asu,Asv)H e ||u||D(As) = ||Asu||H ,

obtemos que D(As) um espao de Hilbert. Mais ainda, D(As) definido como sendo o dual deD(As) e com isto o operador As pode ser estendido como um isomorfismo de H em D(As). EmD(As) consideramos o produto interno e norma como acima substituindo s por s.

Usando novamente que a incluso V H compacta, pode-se definir As, para s > 0, emtermos da base {wj}jN por

Asu =

j=1

sj(u,wj)Hwj , u D(As),

onde

D(As) =

u H j=1

2sj |(u,wj)H |2 0, ento D(A+) D(A).

1.5 Uma breve reviso sobre semigrupos lineares

Nesta seo relembraremos alguns conceitos e resultados provenientes da teoria geral desemigrupos lineares. Iniciaremos com vrias definies gerais e, em seguida, daremos os resultadosque nos interessam ao longo desta tese, os quais sero utilizados com certa frequncia no Captulo 4.Tais resultados sero esboados conforme os trabalhos de Brzis [15], Liu & Zheng [70], Pazy [85] eZheng [94]. Para uma referncia em portugus, ver tambm Muoz Rivera [79].

24 Captulo 1 Preliminares

1.5.1 C0-semigrupos de operadores lineares

Nesta seo (X, || ||X) sempre mencionar um espao de Banach, (H, || ||H , (, )H) um espaode Hilbert e (L(X,X), || ||) o espao dos operadores lineares e contnuos em X.

Definio 1.5.1. Uma famlia {T (t)}t0 de operadores lineares e limitados definida sobre um espaode BanachX chamada de semigrupo de operadores lineares limitados (ou simplesmente semigrupo)quando

(i) T (0) = I : X X (Operador Identidade em X).

(ii) T (t+ s) = T (t)T (s), para cada t, s 0.

Ademais, dizemos que {T (t)}t0 um semigrupo de classe C0 (ou simplesmente C0-semigrupo) sealm dos itens acima tivermos que

(iii) limt0

T (t)x = x, para todo x X.

Definio 1.5.2. Um operador A chamado de gerador infinitesimal de um semigrupo {T (t)}t0quando A definido como

D(A) =

{x X

limt0+

T (t)x xt

existe}

e para cada x D(A) temos

Ax = limt0+

T (t)x xt

.

As vezes diz-se tambm que o semigrupo T (t) gerado por A . Usaremos com frequncia a seguintenotao T (t) = eAt. Note tambm que o domnio D(A) do operador A pode ser reescrito como

D(A) ={x X

Ax X} .Definio 1.5.3. Um semigrupo {T (t)}t0 chamado de uniformemente limitado se existe umaconstante M 1 tal que

||T (t)|| M, t 0.

Quando M = 1, diremos tambm que {T (t)}t0 um semigrupo de contraes .

Definio 1.5.4. Um semigrupo {T (t)}t0 chamado exponencialmente estvel se existemconstantes > 0 e M 1 tais que

||T (t)|| Met, t 0.

Definio 1.5.5. SejaR ={z := rei C

1 < < 2, 1 < 0 < 2} . Um famlia de operadoreslineares limitados {T (z)}zR definida em R chamada de semigrupo analtico sobre R quando

(i) z 7 T (z) analtica em R.

1.5 Uma breve reviso sobre semigrupos lineares 25

(ii) T (0) = I e limzR,z0

T (z)x = x, para todo x R.

(iii) T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), para todos z1, z2 R.

Definio 1.5.6. Um C0-semigrupo (real) T (t) := eAt chamado de analtico se ele possui umaextenso analtica T (z) em algum setor R que contm o eixo real no negativo.

Observao 1.5.1. Pelas definies acima, podemos ver que a restrio de um semigrupo analticoao eixo real , em particular, um C0-semigrupo. O contrrio mais delicado, no entanto, veremosum resultado mais adiante (ver Liu & Zheng [70] ou Pazy [85]) que nos permitir estender um C0-semigrupo um semigrupo analtico em algum setor R em torno do eixo real no negativo.

Definio 1.5.7. SejaA um operador linear (no necessariamente limitado) definido sobre um espaode Banach X. O conjunto resolvente, denotado por (A), definido como

(A) ={ C

I A invertvel e (I A)1 L(X,X)} .O conjunto (A) = C\(A) chamado de espectro de A.

Definio 1.5.8. Seja A um operador linear definido sobre um espao de Hilbert H com domnioD(A) H. Dizemos que A um operador dissipativo quando

Re(Ax, x)H 0, x D(A).

1.5.2 Caracterizao dos geradores infinitesimais de C0-semigrupos

Agora vamos apresentar os resultados relacionados um gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) = eAt definido sobre espaos de Banach ou Hilbert.

Teorema 1.5.1 (Hille-Yosida). Um operador linear (no limitado) A gerador infinitesimal de umC0-semigrupo de contraes {T (t)}t0 se, e somente se,

(a) A fechado e D(A) = X.

(b) O conjunto resolvente (A) de A contm R+ e para cada > 0

||(I A)1|| 1.

A seguir veremos o Teorema de Lumer-Phillips que nos fornece a caracterizao dos geradoresinfinitesimais de C0-semigrupos de contraes sobre espaos de Hilbert. O mesmo resultado vale emespaos de Banach, porm neste trabalho precisaremos apenas do resultado sobre espaos de Hilbert.

Teorema 1.5.2 (Lumer-Phillips). SejaA um operador linear com domnioD(A) denso em um espaode Hilbert H. Temos:

(a) Se A dissipativo e existe um nmero > 0 tal que Im(I A) = H, ento A um geradorinfinitesimal de um C0-semigrupo de contraes em H.

26 Captulo 1 Preliminares

(b) SeA o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contraes emH, ento Im(IA) =H para todo > 0 e A dissipativo.

Uma fundamental consequncia do Teorema de Lumer-Phillips que usaremos mais adiante aseguinte:

Corolrio 1.5.3. Seja A um operador linear dissipativo com domnio D(A) denso em um espao deHilbert H. Se 0 (A), ento A um gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contraes emH.

1.5.3 Analiticidade e estabilidade assinttica de C0-semigrupos

Nesta subseo vamos apresentar alguns resultados que lidam com analiticidade, estabilidadeexponencial e que geram decaimento do tipo polinomial de C0-semigrupos definidos sobre espaosde Hilbert.

O primeiro resultado estabelece uma condio necessria e suficiente para se obter analiticidade.Tal resultado pode ser encontrado de um modo geral para C0-semigrupos uniformemente limitados,como proposto pelo Teorema 5.2 em Pazy [85, Captulo 2]. Contudo, usaremos uma verso devidoa Liu & Young [69], o qual tambm pode ser encontrado em Liu & Zheng [70] (ver Teorema 1.3.3neste ltimo).

Teorema 1.5.4. Seja T (t) = eAt um C0-semigrupo de contraes em um espao de Hilbert H talque

iR := {i; R} (A). (1.8)

Ento, T (t) analtico se, e somente se,

lim||

||(iId A)1||

1.5 Uma breve reviso sobre semigrupos lineares 27

Estamos interessados em aplicar esses resultados gerais em problemas de evoluo dissipativos,enxergando a soluo do sistema por meio de um semigrupo. Contudo, tal semigrupo nem sempre exponencialmente estvel (por exemplo, quando a condio (1.11) do Teorema 1.5.5 no se verifica).Neste caso, devemos procurar outra forma de estabilizar o sistema, como por exemplo determinardecaimento polinomial de solues. Nos ltimos anos vrios autores desenvolveram resultados sobredecaimento polinomial de semigrupos. Alguns deles podem ser encontrados em Liu & Rao [68,Teorema 2.1], Btkai et al [11] e em Fatori & Rivera [40, Teorema 5.3].

Neste trabalho usaremos uma verso mais recente devido a Borichev & Tomilov [14] que nosfornece condies equivalentes para obter decaimento do tipo polinomial para solues em nossosproblemas futuros.

Teorema 1.5.6. Seja {T (t)}t0 um C0-semigrupo limitado em um espao de Hilbert H com geradorinfinitesimal A tal que iR (A). Ento, para alguma constante fixada > 0 as seguintesafirmaes so equivalentes:

(B1) ||(iId A)1|| = O(||), .

(B2) ||T (t)(A)|| = O(t1), t .

(B3) ||T (t)(A)u||H = o(t1), t , u H.

(B4) ||T (t)A1|| = O(t1/), t .

(B5) ||T (t)A1u||H = o(t1/), t , u H.

Nas sentenas acima, relembramos que a notao || || menciona norma no espao L(H,H).

1.5.4 Problema de Cauchy abstrato

Como bem conhecido, a teoria geral de semigrupos nos permite estudar problemas de valorinicial para equaes de evoluo abstratas do tipo{

ddtU(t) = AU(t), t > 0,

U(0) = U0,(1.12)

onde A um operador linear com domnio D(A) X, sendo X um espao de Banach (ou Hilbert).

Definio 1.5.9. Uma soluo do problema de Cauchy (1.12) uma funo U : [0,+) X talque U(t) contnua para t 0, continuamente diferencivel com U(t) D(A) para t > 0 e satisfaz(1.12) em [0,+) quase sempre.

O resultado a seguir um clssico da literatura e pode ser encontrado em Brzis [15, Captulo 7],Pazy [85, Captulo 4] ou Zheng [94, Captulo 2]. Observamos ainda que em [15, 94] os autores usamuma linguagem de operadores m-acretivos com respeito ao operador A.

28 Captulo 1 Preliminares

Teorema 1.5.7. Seja A um gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contraes T (t) := eAt

em X. Se U0 D(A), ento o problema de Cauchy abstrato (1.12) possui uma nica soluo U emD(A) dada por

U(t) = T (t)U0 := eAtU0, t 0,

tal que

U C ([0,+), D(A)) C1 ([0,+), X) .

Para obter solues mais regulares introduzimos o seguinte espao de Banach (ou Hilbert)

D(Ak) ={U D(Ak1)

AU D(A)k1} , k N,munido da norma ||U ||2

D(Ak)=

kj=0

||U ||2D(Aj). Com isto, temos o

Teorema 1.5.8. Sob as hipteses do Teorema 1.5.7, se U0 D(Ak) com k N, ento a soluo Udo problema (1.12) satisfaz a seguinte condio

U k

j=0

Ckj([0,+), D(Aj)

).

1.6 Uma breve reviso sobre atratores globais

Nesta seo vamos introduzir alguns conceitos e resultados bsicos da teoria de atratores globaispara semigrupos de operadores no lineares definidos sobre espaos mtricos (completos) em geral.Em particular, tais conceitos tambm so vlidos para espaos de Banach e Hilbert, os quaisconstituem objetos de nosso interesse. As definies e resultados a seguir se baseiam nos trabalhos deBabin & Vishiki [8], Ceron & Lopes [21], Chueshov & Lasiecka [22, 25], Eden et al [35], Hale [55],Khanmamedov [61], Mlek & Prak [74], Pata & Zelik [82] e Temam [91]. Para uma referncia emportugus, recomendamos a apostila do professor Alexandre N. Carvalho [16].

Denotaremos por (X, d) um espao mtrico completo e por C(X) o conjunto das aplicaescontnuas de X em X. Porm, cabe ressaltar que os conceitos iniciais apresentados a seguir socabveis apenas para espaos mtricos.

Definio 1.6.1. Uma famlia de operadores no necessariamente lineares {S(t)}t0 C(X) chamada de C0-semigrupo no linear (ou simplesmente de C0-semigrupo), se as seguintes condiesforem satisfeitas:

(i) S(0) = I : X X o operador identidade.

(ii) S(t+ s) = S(t)S(s) para cada t, s 0.

(iii) A aplicao [0,)X (t, x) 7 S(t)(x) X contnua para cada x X fixado.

1.6 Uma breve reviso sobre atratores globais 29

As vezes o par (X,S(t)) tambm chamado de sistema dinmico e S(t) um semigrupo de evoluo.

Definio 1.6.2. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo. Diremos que um subconjuntoA X invariante (ou positivamente invariante ) pelo semigrupo S(t), quando S(t)A = A paratodo t 0 (ou S(t)A A).

Definio 1.6.3. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo. Um conjunto fechado e limitadoA X chamado de atrator global para S(t) quando as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(i) A um conjunto invariante por S(t).

(ii) A atrai (uniformemente) qualquer subconjunto limitado de X sob a ao de S(t), ou seja, paraqualquer limitado B X,

distH (S(t)B,A) := supxS(t)B

infyA

d(x, y) 0 quando t +.

onde distH(A,B) chamada de semi-distncia de Hausdorff entre os subconjuntosA, B X .

Para determinar a existncia de atratores globais as seguintes noes constituem fundamentalimportncia.

Definio 1.6.4. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo. Um conjunto B X chamado deconjunto absorvente para S(t) se para qualquer subconjunto limitadoB X , existe T0 = T0(B) 0tal que

S(t)B B, t T0.

Quando S(t) possui um conjunto absorvente limitado, diremos tambm que o par (X,S(t)) constituium sistema dinmico dissipativo.

Definio 1.6.5. Um semigrupo S(t) : X X, t 0, chamado assintoticamente suave separa qualquer conjunto limitado e positivamente invariante B X , existe um conjunto compactoK BX tal que

distH (S(t)B,K) 0 quando t +.

Uma abordagem baseada nos trabalhos [8, 25, 55, 91] nos fornece um rpido resultado envolvendoos conceitos acima citados para espaos de Banach.

Proposio 1.6.1. Seja (X,S(t)) um sistema dinmico dissipativo definido sobre um espao deBanach X . Ento, S(t) possui um atrator global compacto A X se, e somente se, S(t) assintoticamente suave.

Com este resultado, que fornece uma condio necessria e suficiente para existncia de atratoresglobais compactos, vemos que indispensvel buscar critrios para que um C0-semigrupo sejaassintoticamente suave. o que faremos a seguir, seguindo as ideias como em [21, 22, 25, 55].

30 Captulo 1 Preliminares

Definio 1.6.6. Uma pseudomtrica m : X X R definida sobre um espao de Banach X chamada de pr-compacta (com respeito a norma de X) se toda sequncia limitada em X possui umasubsequncia que de Cauchy com respeito a m.

Proposio 1.6.2. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo definido sobre um espao deBanach X . Suponhamos que para qualquer conjunto limitado e positivamente invariante B X ,existam funes KB(t) 0 e QB(t) 0 tais que limtQB(t) = 0, um tempo TB 0 e umapseudomtrica pr-compacta m : X X R tais que

||S(t)x S(t)y||X QB(t)||x y||X +KB(t)m(x, y); t TB, x, y B.

Ento, S(t) assintoticamente suave.

1.6.1 Condies suficientes para existncia de atratores globais

A ttulo de exemplo, enfatizaremos mais alguns resultados que nos do condies suficientespara determinar a existncia de atratores globais. Nossa abordagem agora seguir os clssicos[8, 61, 91, 94]. No que segue denotaremos por (X, || ||X) um espao de Banach e {S(t)}t0 umC0-semigrupo definido o espao X.

Definio 1.6.7. Um semigrupo S(t) : X X, t 0, chamado assintoticamente compactose para qualquer sequncia limitada {xn} X e uma sequncia numrica tn , existe umasubsequncia {S(tnk)(xnk)} de {S(tn)(xn)} convergente em X.

Teorema 1.6.3. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo. Suponhamos que

(i) S(t) possui um conjunto absorvente limitado B X.

(ii) S(t) assintoticamente compacto.

Ento, S(t) possui um atrator global A X, que dado por

A = (B) :=s0

ts

S(t)BX

,

onde (B) chamado de conjunto -limite de um subconjunto B de X.

A propriedade de compacidade assinttica requerida pelo Teorema 1.6.3 pode ser verificada pormeio de resultados (mais recentes) como veremos a seguir.

Definio 1.6.8. Seja B um subconjunto limitado de X. Uma funo (, ) definida sobre X X chamada de funo contrativa sobre B B, se para qualquer sequncia {xn} B, existe umasubsequncia {xnk} de {xn} tal que

limk

liml

(xnk , xnl) = 0.

O conjunto das funes contrativas sobre B B ser denotado por Ct(B).

1.6 Uma breve reviso sobre atratores globais 31

Teorema 1.6.4. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo que possui um conjunto absorventelimitado B. Se para qualquer 0 existem um nmero T0 = T0(B, ) 0 e uma funoT (, ) Ct(B0) tais que

||S(T )x S(T )y||X + T (x, y), x, y B,

ento S(t) assintoticamente compacto. Consequentemente, S(t) possui um atrator global A X.

A seguir veremos mais uma alternativa para determinar a existncia de atratores globais.

Teorema 1.6.5. Seja S(t) : X X, t 0, um C0-semigrupo que possui um conjunto absorventelimitado B. Suponhamos que S(t) pode ser decomposto como uma soma S(t) = P (t) + T (t), comP (t) e T (t) satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) Para cada conjunto limitado B X, temos

supxB

||P (t)x||X 0 quando t +.

(ii) Para cada conjunto limitado B X, existe T0 = T0(B) 0 tal que T (t)B relativamentecompacto para todo t T0.

Ento, S(t) assintoticamente compacto. Em particular, o conjunto A = (B) um atrator globalpara S(t) em X.

1.6.2 Dimenso fractal

Buscar uma forma de avaliar a "dimensionalidade" de atratores globais dentro do contexto desistemas dinmicos com dimenso infinita constitui uma importante propriedade dos mesmos. Nestetrabalho abordaremos uma "medida" comum para atratores globais, sendo conhecida como dimensofractal. Seguiremos as noes introduzidas por Chueshov & Lasiecka [25], Hale [55] e Temam [91].Alm disso, algumas ilustraes e aplicaes significativas da dimenso fractal podem ser encontradasnos trabalhos de Falconer [37] e Foias & Olson [42].

Definio 1.6.9. Seja A um subconjunto compacto de um espao mtrico X . A dimenso fractal deA, denotada por dimfA, definida por

dimfA = lim0

supln(nA())

ln(1/),

onde nA() o nmero mnimo de bolas fechadas de raio que necessrio para cobrir A.

Definio 1.6.10. Uma seminorma n : X [0,) definida sobre um espao de Banach X chamada de compacta se para qualquer limitado B X , existe uma sequncia {xn} B tal quen(xm xn) 0 quando m,n .

Nossa abordagem para estudar dimenso fractal finita de atratores baseada em um resultadorecente devido a Chueshov & Lasiecka [22, 25], a qual no requer trabalhar com o semigrupo deevoluo de classe C1 (com respeito a derivada de Frchet).

32 Captulo 1 Preliminares

Proposio 1.6.6. Sejam (X, || ||X) um espao de Banach e A X um subconjunto fechado elimitado. Suponhamos que existe uma aplicao T : A X satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) A T (A).

(ii) T Lipschitz sobre A, isto , existe uma constante L > 0 tal que

||T y1 T y2||X L||y1 y2||X , y1, y2 A.

(iii) Existem seminormas compactas n1, n2 : X [0,) tais que

||T y1 T y2||X q||y1 y2||X +K [n1(y1 y2) + n2(T y1 T y2)] ,

para todos y1, y2 A, onde 0 < q < 1 e K > 0 so constantes.

Ento, A compacto em X e possui dimenso fractal finita. Alm disso, vale a seguinte estimativa

dimfA [ln

2

1 + q

]1lnm0

(4K(1 + L2)1/2

1 q

), (1.13)

onde m0(R) o nmero mximo de pares (xi, yi) X X com a propriedade

||xi||2X + ||yi||2X R2, n1(xi xj) + n2(yi yj) > 1, i = j.

Outro resultado interessante envolvendo funes -Hlder contnuas e dimenso fractal dadopelo Lema 1.2 em Mlek & Prak [74], o qual expomos a seguir.

Lema 1.6.7. Sejam X e Y espaos mtricos e K X um subconjunto compacto. Se F : X Y uma funo -Hlder contnua, ento

dimYf F(K) 1

dimXf K.

Em particular, a dimenso fractal no aumenta sob a ao de uma aplicao Lipschitz contnua.

CAPTULO

2Um modelo de placas com

p-Laplaciano e memria

2.1 Introduo

Neste captulo estudamos um problema relativamente mais simples para fixar as ideias deexistncia e decaimento exponencial de solues. Entretanto, este caso ilustra uma boa maneirade obter as estimativas envolvendo o operador p-Laplaciano e o termo de memria e, por isto, oabordamos em um primeiro momento. Um caso mais geral e com mais detalhes ser abordado noCaptulo 3.

Seja N 1 natural e considere um domnio limitado de RN com fronteira suave = eR+ = (0,). Neste captulo estudaremos a existncia e o comportamento assinttico (decaimentoexponencial de energia) de solues globais para a seguinte equao de placas no linear commemria

utt +2upu+

t0g(t s)u(s)dsut + f(u) = 0 em R+, (2.1)

u = u = 0 sobre R+, (2.2)

u(x, 0) = u0(x) e ut(x, 0) = u1(x) em , (2.3)

onde pu denota o operador no linear p-Laplaciano introduzido na seo 1.3 do Captulo 1, g usualmente chamada de ncleo da memria e f(u) uma no linearidade do tipo Lipschitz local. Ashipteses sobre tais termos sero atribuidas na seo seguinte.

33

34 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

Observao 2.1.1. O termo de memria de segunda ordem que aparece na equao (2.1) representacomplicaes no decaimento de solues. Contudo, existe uma indentidade para este termo que vriosautores abordaram em seus trabalhos, como por exemplo em [4, 6, 9, 10, 18, 19, 20, 38, 78, 88], entreoutros. Na seo seguinte exibiremos tal resultado sobre o termo de memria que, alm de facilitar anotao, ser bem til no decorrer deste problema. J no prximo captulo abordaremos o problema(2.1)-(2.3) substituindo a memria (sem histria para t < 0) por uma memria de quarta ordem (comhistria para t < 0).

Este captulo est organizado da seguinte maneira. Na seo 2.2 fixaremos as notaespreliminares e as hipteses sobre os devidos termos do problema (2.1)-(2.3). Na seo 2.3apresentaremos o resultado de existncia via mtodo de Faedo-Galerkin, separarando a demonstraoem subsees para uma melhor leitura do texto. Por fim, na seo 2.4 determinaremos um resultadode estabilidade exponencial para o sistema (2.1)-(2.3), ou melhor, que a energia associada a esteproblema possui decaimento exponencial ao longo do tempo.

2.2 Hipteses e notaes iniciais

Iniciaremos com as hipteses precisas sobre o parmetro p do operador p-Laplaciano e sobre asfunes g e f presentes em (2.1)-(2.3).

Para N N assumiremos que

2 p 2N 2N 2

se N 3 e p 2 se N = 1, 2. (2.4)

Assumiremos tambm que o ncleo da memria g : [0,+) R+ uma funo limitada declasse C1 satisfazendo as propriedades:

g(0) > 0 e l := 1 1 0

g(s)ds > 0, (2.5)

onde 1 > 0 a constante de imerso para u22 1u22, e existe uma constante k1 > 0 talque

g(t) k1g(t), t 0. (2.6)

Consideremos ainda que o termo forante f : R R satisfaz:

f(0) = 0, |f(u) f(v)| k2(1 + |u| + |v|)|u v|, u, v R, (2.7)

onde k2 > 0 uma constante e

0 < 4N 4

se N 5 e > 0 se 1 N 4. (2.8)

Alm disso, suponhamos que

0 f(u) f(u)u, u R, (2.9)

onde f(z) = z0 f(s) ds.

2.2 Hipteses e notaes iniciais 35

Observao 2.2.1. Com a condio (2.4) segue do Teorema de Imerses de Sobolev (ver Teorema1.2.3 na seo 1.2 do Captulo 1) que vale a seguinte cadeia de imerses:

H2() H10 () W1,2(p1)0 () H

10 () L2().

Mais ainda, a condio (2.8) garante que

H2() H10 () L2(+1)().

J as condies (2.7) e (2.9) incluem funes da forma

f(u) |u|u+ |u|u, 0 < < .

Como j padro nesta tese, denotaremos por (, ) o produto interno em L2() e por || ||p anorma em Lp(). Alm disso, introduzimos os seguintes espaos de Hilbert

H = (H2() H10 ()) L2() e H1 = H3()H10 (),

equipados com as normas

||(u, v)||2H = ||u||22 + ||v||22 e ||(u, v)||2H1 = ||u||22 + ||v||22,

que so provenientes dos respectivos produtos internos em H e H1, onde

H3() = {u H3() u = u = 0 sobre }.

2.2.1 Uma identidade para a memria

Agora vamos estabelecer uma identidade relativa ao termo de memria dada pela convoluo

(g u)(t) := t0g(t s)u(s) ds.

Para facilitar a notao em consideraes futuras, definamos:

(gu)(t) = t0g(t s)u(t) u(s)22 ds.

Com isto em mente, temos o

Lema 2.2.1. Sejam g C1(R+) e u C1([0, T ],H2()

). Ento, as seguintes identidades se

verificam t0g(t s) (u(s),ut(t)) ds =

1

2

d

dt

{(gu) (t)

( t0g(s)ds

)u(t)22

}+

1

2

(gu

)(t) 1

2g(t)u(t)22, t

0g(t s) (u(s),ut(t)) ds =

1

2

d

dt

{(gu) (t)

( t0g(s)ds

)u(t)22

}+

1

2

(gu

)(t) 1

2g(t)u(t)22.

Prova. A prova obtida diferenciando o termo gy para y = u (e y = u), como determinado emMuoz Rivera et al [9, 10].

36 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

2.3 Existncia e unicidade

Iniciaremos esta seo exibindo o conceito de soluo fraca para o problema (2.1)-(2.3) queabordaremos neste captulo.

Definio 2.3.1. Seja I = [0, T ] com T > 0. Diremos que uma funo z := (u, ut) C(I,H) uma soluo fraca para o problema (2.1)-(2.3) no intervalo I, se z(0) := (u0, u1) H e

d

dt(ut, ) + (u,) +

|u|p2u,

+

t0g(t s) (u(s), ) ds+ (ut,) + (f(u), ) = 0, (2.10)

quase sempre em I, para todo H2() H10 ().

Observao 2.3.1. Pelas hipteses (2.7)-(2.8) simples verificar que, para u H2() H10 (),temos f(u) L2(). Assim, na definio acima faz sentido escrever (f(u), ) como um produtointerno em L2().

Agora estamos aptos a enunciar o principal resultado desta seo, o qual assegura que o problema(2.1)-(2.3) bem posto de acordo com a Definio 2.3.1.

Teorema 2.3.1. Sob as condies (2.4)-(2.9), temos:

(i) Se (u0, u1) H, ento o problema (2.1)-(2.3) possui uma nica soluo fraca

(u, ut) C([0, T ];H), T > 0,

satisfazendo

u L(0, T ;H2() H10 ()

)e ut L

(0, T ;L2()

) L2

(0, T ;H10 ()

). (2.11)

(ii) Se (u0, u1) H1, ento a soluo fraca do problema (2.1)-(2.3) possui maior regularidade

u L(0, T ;H3()

)e ut L

(0, T ;H10 ()

) L2

(0, T ;H2() H10 ()

). (2.12)

Prova. A existncia de solues ser feita utilizando o mtodo de Faedo-Galerkin. A prova a seguir baseada em argumentos exibidos por Lions et al [66, 67] e Yang et al [96, 97]. Com respeito aotermo de memria seguiremos ideias anlogas s introduzidas por Muoz Rivera et al [6, 9, 10] epor Cavalcanti et al [18, 19]. Na verdade, o que faremos a seguir um esboo da demonstrao,deixando os detalhes mais intrnsecos deste problema para ser analisado no problema mais geral queser abordado no captulo seguinte.

2.3 Existncia e unicidade 37

2.3.1 Problema aproximado

Denotemos por (j)jN a base ortonormal bem regular de L2(), que tambm ortogonal emH10 () e H

2() H10 (), constituida por autofunes do operador biharmnico 2 com condiesde fronteira u = u = 0 sobre . Param N consideremos tambm o subespao de dimenso finitadado por

Vm := Span{1, . . . , m} = [1, . . . , m].

Dado (u0, u1) H, queremos determinar solues da forma

um(t) =mj=1

ymj(t)j , (2.13)

para o seguinte problema aproximado

(umtt (t), j) + (um(t),j) +

|um(t)|p2um(t),j

+

t0g(t s) (um(s), j) ds+ (umt (t),j) + (f(um(t)), j) = 0, (2.14)

com condies iniciais

um(0) = um0 , umt (0) = u

m1 , (2.15)

onde um0 e um1 so escolhidos de forma que

um0 u0 em H2() H10 () e um1 u1 em L2(). (2.16)

Contudo, note que o problema aproximado (2.14)-(2.15) equivalente a um sistema de equaesdiferenciais ordinrias, cuja existncia de soluo local assegurada pelo Teorema de Carathodory(ver Coddington & Levinson [29]). Logo, o problema aproximado (2.14)-(2.15) possui uma soluolocal um(t) da forma (2.13) em algum intervalo [0, Tm) com 0 < Tm T.

Observao 2.3.2. A passagem acima ser feita com mais detalhes no prximo captulo, onde oproblema abordado mais abrangente do que neste caso.

A seguir apresentaremos estimativas a priori que nos permitiro estender as solues locaisum(t) ao intervalo [0, T ], para qualquer T > 0 dado, bem como extrair subsequncias de soluesconvenientemente convergentes para a soluo fraca procurada.

2.3.2 Estimativa a priori 1

Multiplicando a equao aproximada (2.14) por umt (t) e integrando sobre , obtemos

d

dt

{1

2umt (t)22 +

1

2um(t)22 +

1

pum(t)pp +

f(um(t)) dx

}+ umt (t)22

=

t0g(t s) (um(s),umt (t)) ds.

38 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

Da identidade para memria fornecida pelo Lema 2.2.1 vem que t0g(t s) (um(s),umt (t)) ds =

1

2

d

dt

{(gum) (t)

( t0g(s) ds

)um(t)22

}+

1

2

(gum

)(t) 1

2g(t)um(t)22.

Logo, substituindo esta ltima expresso na anterior, temos

1

2

d

dtEm(t) + umt (t)22 =

1

2

(gum

)(t) 1

2g(t)um(t)22, (2.17)

onde

Em(t) = umt (t)22 + um(t)22 ( t

0g(s) ds

)um(t)22 +

2

pum(t)pp

+2

f(um(t)) dx+ (gum) (t)

Das condies (2.5) e (2.9) e como (gum)(t) 0, vem que

umt (t)22 + lum(t)22 Em(t). (2.18)

Alm disso, da hiptese (2.6),(gum

)(t) k1 (gum) (t) 0.

Com isto, o lado direito da igualdade em (2.17) no positivo. Assim, integrando (2.17) de 0 a t eusando (2.18) chegamos a seguinte estimativa

umt (t)22 + lum(t)22 + 2 t0umt (s)22 ds Em(0).

Usando agora as hipteses (2.7) e (2.9) em conjunto com as convergncias em (2.16), concluimos

umt (t)22 + um(t)22 + t0umt (s)22 ds M1, (2.19)

para todos t [0, Tm) [0, T ] e m N, onde M1 =M1 (||u1||2, ||u0||2) > 0 independente det e m. Isto nos permite estender as solues um(t) ao intervalo [0, T ] e, em particular, notamos que

(um) limitada em L(0, T ;H2() H10 ()

), (2.20)

(umt ) limitada em L (0, T ;L2()) L2 (0, T ;H10 ()) . (2.21)

2.3.3 Passagem ao limite e soluo fraca

Das limitaes em (2.20)-(2.21) e aplicando os Teoremas 1.2.18 e 1.2.19, existe uma subsequnciade (um), que ainda denotaremos por (um), tal que

um u em L

(0, T ;H2() H10 ()

),

umt ut em L

(0, T ;L2()

), (2.22)

umt ut em L2(0, T ;H10 ()

).

2.3 Existncia e unicidade 39

Alm disso, afirmamos que

um u em C([0, T ],H10 ()

). (2.23)

De fato, da estimativa (2.19) segue que (um) tambm limitada no espao

W :={u L2

(0, T ;H2() H10 ()

); ut L2

(0, T ;L2()

)},

munido da norma ||u||W = ||u||L2(0,T ;H2()H10 ()) + ||ut||L2(0,T ;L2()). Logo, existe umasubsequncia de (um), que ainda denotaremos por (um), tal que

um u em W.

Como(H2() H10 ()

)H10 () L2(), ento pelo Teorema de Aubin-Lions (ver Teorema

1.2.13 ne seo 1.2 do Captulo 1) segue que WL2(0, T ;H10 ()

). Logo,

um u em L2(0, T ;H10 ()

), (2.24)

de onde segue que||um(t)u(t)||2 0 q.s. em [0, T ]. (2.25)

Agora note que de (2.22) vem que um, u, umt , ut L2(0, T ;H10 ()

)e pelo Lema 1.2.14 resulta que

um, u C([0, T ];H10 ()

). Disto e de (2.25) concluimos que (2.23) vale.

Observao 2.3.3. Uma outra maneira de concluir (2.23) seguindo a ideia esboada por Yang[96, 97]). Com efeito, note que dos limites em (2.22), obtemos

d

dtum(t)u(t)22 2(um(t) u(t))2umt (t) ut(t)2 CT , t [0, T ],

para alguma constante CT > 0. Isto mostra que

um()u()22 H1[0, T ] C([0, T ]).

Logo (2.23) segue, uma vez que um(t)u(t)2 0 q.s. em [0, T ], como em (2.25).

Com estas convergncias podemos passar limite no problema aproximado (2.14) e obter a soluofraca para o problema (2.1)-(2.3). De fato, em primeiro lugar consideremos uma funo teste D(0, T ) e m, j N com m j. Multiplicando (2.14) por e integrando sobre (0, T ) resulta que T

0

{(umtt (t), j) + (u

m(t),j) +|um(t)|p2um(t),j

+

t0g(t s) (um(s), j) ds+ (umt (t),j) + (f(um(t)), j)

}(t) dt = 0.

Integrando por partes,

T0

(umt (t), j)(t) dt+

T0

{(um(t),j) +

|um(t)|p2um(t),j

(2.26)

+

t0g(t s) (um(s), j) ds+ (umt (t),j) + (f(um(t)), j)

}(t) dt = 0.

40 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

Neste captulo daremos ateno somente s convergncias dos termos que envolvem o operadorp-Laplaciano e termo no linear f.Os limites dos outros termos em (2.26) segue diretamente de (2.22)e tambm sero apresentados com mais detalhes no prximo captulo.

Com respeito ao termo que envole o p-Laplaciano, devemos mostrar que T0

|um(t)|p2um(t),j

(t)dt

m T0

|u(t)|p2u(t),j

(t)dt.

ou seja,

T0

p(um(t)), j(t) dtm

T0

p(u(t)), j(t) dt, (2.27)

De fato, em primeiro lugar notamos que pelo Lema 1.3.1, existe uma constante M = M(p,N) > 0tal que |x|p2x |y|p2y M (|x|p2 + |y|p2) |x y|, x, y RN .Em particular, para x = um e y = u, segue que |um|p2um |u|p2u M (|um|p2 + |u|p2) um u.Disto e usando a Desigualdade generalizada de Hlder com p22(p1)+

12(p1)+

12 = 1, a hiptese (2.4),

a estimativa (2.19) e a convergncia (2.22), ento T0

p(um(t)) + p(u(t)), j (t) dt

=

T0

|um(t)|p2um(t) |u(t)|p2u(t),j

(t) dt

T0

|um(t)|p2um(t) |u(t)|p2u(t),j |(t)| dt ||||

T0

|um(t)|p2um(t) |u(t)|p2u(t) |j | dxdt Cp

T0

(|um(t)|p2 + |u(t)|p2

)|um(t)u(t)||j | dxdt

Cp T0

(um(t)p22(p1) + u(t)

p22(p1)

)um(t)u(t)2j2(p1) dt

Cp T0

(um(t)p22 + u(t)

p22

)um(t)u(t)2j2 dt

Cp T0

um(t)u(t)2 dt,

para alguma constante Cp > 0, isto , existe uma constante C > 0 tal que T0

p(um(t)) + p(u(t)), j (t) dt C T

0um(t)u(t)2 dt. (2.28)

Agora utilizando a convergncia (2.23) em (2.28), ento o limite (2.27) segue.

2.3 Existncia e unicidade 41

Por outro lado, com respeito ao termo no linear f, devemos mostrar T0

(f(um(t)), j)(t) dtm

T0

(f(u(t)), j)(t) dt. (2.29)

Primeiramente, usando a desigualdade de Hlder generalizada com 2(+1) +1

2(+1) +12 = 1,

as condies (2.7)-(2.8), a estimativa (2.19) e a convergncia (2.22), ento para qualquer H2() H10 () L2(+1)(), obtemos(f(um(t)) f(u(t)), )

|f(um(t)) f(u(t))| || dx

k2(1 + |um(t)| + |u(t)|) |um(t) u(t)||| dx

k2(||

2(+1) + ||um(t)||2(+1) + ||u(t)||

2(+1)

)um(t) u(t)22(+1)

C(||

2(+1) + ||um(t)||2 + ||u(t)||

2

)um(t) u(t)22

Cum(t) u(t)22,

para alguma constante C > 0. Assim, existe uma constante C > 0 tal que

||f(um(t)) f(u(t))||[H2()H10 ()] C||um(t) u(t)||2.

Disto e aplicando a convergncia (2.23) vem que T0

(f(um(t)) f(u(t)), j

)(t) dt

T0

(f(um(t)) f(u(t)), j) |(t)| dt C

T0

||f(um(t)) f(u(t))||[H2()H10 ()] ||j ||2 dt

C T0

||um(t) u(t)||2 dt

C T0

||um(t)u(t)||2 dtm 0.

Isto prova o limite (2.29). Como j comentamos, os outros termos em (2.26) convergem de modopadro usando os limites obtidos em (2.22). Assim sendo, passando o limite quando m em(2.26) resulta que

T0

(ut(t), j)(t) dt+

T0

{(u(t),j) +

|u(t)|p2u(t),j

+

t0g(t s) (u(s), j) ds+ (ut(t),j) + (f(u(t)), j)

}(t) dt = 0,

ou seja, T0

d

dt(ut(t), j)(t) dt+

T0

{(u(t),j) +

|u(t)|p2u(t),j

+

t0g(t s) (u(s), j) ds+ (ut(t),j) + (f(u(t)), j)

}(t) dt = 0,

42 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

para todo j N e D(0, T ).Como (j)jN constitui uma base para H2() H10 (), ento T

0

{d

dt(ut(t), ) + (u(t),) pu(t), (2.30)

+

t0g(t s) (u(s), ) ds+ (ut(t),) + (f(u(t)), )

}(t) dt = 0,

para todo H2() H10 () e D(0, T ). Logo, de (2.30) inferimos que

d

dt(ut, ) + (u,) pu, +

t0g(t s) (u(s), ) ds

+(ut,) + (f(u), ) = 0 em D(0, T ),

para todo H2() H10 (). Isto mostra a funo u satisfaz (2.10) com

u L(0, T ;H2() H10 ()

), (2.31)

ut L(0, T ;L2()

) L2

(0, T ;H10 ()

), (2.32)

de onde segue tambm a condio (2.11). Resta verificar que (u, ut) C ([0, T ],H) e que valem ascondies iniciais u(0) = u0 e ut(0) = u1. Contudo, a continuidade de u e ut em [0, T ] segue demodo anlogo a Yang & Jin [97] e ser feita com mais detalhes no prximo captulo. As condiesiniciais tambm sero verificadas posteriormente. Isto conclui que a funo z = (u, ut) uma soluofraca para o problema (2.1)-(2.3)

Por outro lado, identificando L2 := L2() com seu dual, por meio do Teorema de Representaode Riesz-Frchet, temos a seguinte cadeia de incluses contnuas

H2 H10 W1,p0 H

10 L2 H1 W1,p

[H2 H10

]. (2.33)

Com isto podemos reescrever a expresso em (2.30), depois de integrar por partes, como

T

0ut(t)

(t) dt,

+

T0

2u(t)(t) dt,

T

0pu(t)(t) dt,

+

T0

(g u)(t)(t) dt, T

0ut(t)(t) dt,

+

T0f(u(t))(t) dt,

= 0,

onde relembramos que (g u)(t) = t0 g(ts)u(s) ds. Novamente usando integrao por partes, T

0utt(t)(t) dt,

+

T0

2u(t)(t) dt,

T

0pu(t)(t) dt,

+

T0

(g u)(t)(t) dt, T

0ut(t)(t) dt,

+

T0f(u(t))(t) dt,

= 0,

para todo H2() H10 (), onde nesta ltima igualdade a notao ,

significa a dualidade , [H2()H10 ()],H2()H10 ()

.

2.3 Existncia e unicidade 43

Portanto, concluimos que

utt +2upu+ (g u)ut + f(u) = 0 em D

(0, T ; [H2() H10 ()]

). (2.34)

Mais ainda, usando (2.31)-(2.32) e as incluses em (2.33) deduzimos facilmente que

2u L(0, T ; [H2() H10 ()]

),

ut L2(0, T ; [H10 ()]

) L2 (0, T ; [H2() H10 ()]) , (2.35)(g u), f(u) L

(0, T ;L2()

) L

(0, T ; [H2() H10 ()]

).

Resta verificar que

pu L(0, T ; [H2() H10 ()]

). (2.36)

De fato, para H2() H10 () W1,2(p1)0 (), temos

|pu(t), | = |u(t)|p2u(t),

|u(t)|p1|| dx

[

|u(t)|2(p1) dx

]1/2 [||2 dx

]1/2= ||u(t)||p12(p1)||||2

Cp||u(t)||p12 ||||2,

para alguma constante Cp > 0. Assim, de (2.31) existe uma constante C > 0 tal que

||pu(t)||[H2()H10 ()] C q.s. em [0, T ].

Finalmente, combinando (2.34) com (2.35)-(2.36) concluimos

utt +2upu+ (g u)ut + f(u) = 0 in L2

(0, T ; [H2() H10 ()]

).

Isto encerra a prova do item (i) do Teorema 2.3.1.

2.3.4 Estimativa a priori 2

Agora consideramos (u0, u1) H1 e seja um(t) da forma (2.13) uma soluo do problemaaproximado (2.14)-(2.15), onde agora

um0 u0 em H3() e um1 u1 em H10 (). (2.37)

Pela escolha da base (j), podemos multiplicar o problema aproximado (2.14) por umt eintegrando por partes, obtemos

1

2

d

dt

{umt (t)22 + um(t)22

}+ pum(t),umt (t)+ umt (t)22

=(f(um(t)),umt (t)

)+

t0g(t s) (um(s),umt (t)) ds.

44 Captulo 2 Um modelo de placas com p-Laplaciano e memria

Notando que

pum,umt =d

dtpum,um J1,

onde

J1 =

{(p 2)|um|p4(um umt )um + |um|p2umt

} um dx,

derivamos a seguinte igualdade

1

2

d

dt

{umt (t)22 + um(t)22 + 2pum(t),um(t)

}+ umt (t)22 = J1 + J2 + J3, (2.38)

onde

J2 =(f(um(t)),umt (t)

)=

f(um(t))umt (t) dx,

J3 =

t0g(t s) (um(s),umt (t)) ds.

No que segue vamos estimar o lado direito de (2.38). Para facilitar a notao o mesmo smboloC denotar diferentes constantes positivas que aparecero no texto.

Da estimativa (2.19) e usando a desi