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POLITECNICO DI TORINO
Corso di laurea in Ingegneria Aerospaziale
Tesi di Laurea di primo livello
Analisi dinamica delle vibrazioni indotte
dall'elica in velivoli multirotore
Relatori: Candidato:
Prof. Ing. Maggiore Paolo Umberto Morelli
Dott. Ing. Grassi Roberto
A.A. 2013/2014
Sommario
L'oggetto della presente tesi è uno studio, prima analitico e successivamente
tramite simulazioni, delle vibrazioni presenti sul braccio di un multirotore
ottocottero la cui struttura è già stata definita in fase di avanprogetto.
A un riassunto del lungo lavoro di ricerca bibliografica svolto segue il corpo
centrale della tesi contenente gli studi vibrazionali effettuati. In questa parte gli
effetti delle varie cause di vibrazione vengono studiati separatamente, essi sono:
il flusso aerodinamico causato dalla rotazione del rotore, la rotazione stessa del
rotore e un presunto sbilanciamento di massa sullo stesso.
Vengono quindi presentate le conclusioni ottenute da ogni singola analisi e i
risultati delle simulazioni numeriche effettuate.
Indice INTRODUZIONE ______________________________________________ 1
I multirotori _______________________________________________ 1
Il multirotore oggetto dello studio _____________________________ 3
1 RICHIAMI TEORICI ____________________________________________ 11
1.1 Il modello massa-molla-smorzatore ___________________________ 11
2 RICERCA BIBLIOGRAFICA ______________________________________ 17
2.1 Il confronto eolico _________________________________________ 17
2.2 Studi su UAV ____________________________________________ 20
3 ANALISI SUL MODELLO DI RIFERIMENTO __________________________ 21
3.1 Calcolo del punto di funzionamento ___________________________ 21
3.2 Stima degli effetti aerodinamici ______________________________ 23
3.3 Analisi relative al pericolo di risonanza ________________________ 28
3.3.1 Calcolo della frequenza propria del sistema _________________ 28
3.3.2 Analisi numerica ______________________________________ 35
3.4 Eccentricità di massa sul rotore ______________________________ 39
4 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI ________________________________ 44
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Introduzione
I multirotori
Il multirotore oggetto di questo lavoro di Tesi è un velivolo ad ala rotante sul
quale vengono per di più utilizzati rotori a pala fissa nei quali il pitch del
rotore non varia durante la rotazione della pala. Il controllo del moto del
velivolo viene effettuato variando la velocità di rotazione dei singoli rotori.
I multirotori rientrano, in generale, nella categoria di velivoli che non
necessitano di un controllo diretto da parte dell'uomo a bordo del velivolo
cioè negli UAV (Unmanned Aerial Vehicle) e, al pari degli elicotteri,
permettono il decollo e l'atterraggio verticale e il volo a punto fisso. Questa
caratteristica, unita ad una eccellente manovrabilità, permette il loro utilizzo
in ambienti in cui gli spazi di manovra sono ristretti e in zone impervie; il
comando in remoto inoltre permette a questi velivoli di effettuare missioni ad
altro rischio evitando l'esposizione allo stesso da parte del pilota. Queste
caratteristiche li rendono perfetti per missioni di sorveglianza e monitoraggio.
Sono infine anche utilizzati per la realizzazione del volo autonomo cioè senza
l’intervento diretto del pilota.
La tipologia di multirotore più diffusa è certamente il quadrirotore il quale è
oramai oggetto comune alla vista data soprattutto la sua utilità nell'effettuare
Figura 0.1 Esempio di quadrirotore: un DJI NAZA F450
Figura 0.0.2. Esempio di quadrirotore: un DJI NAZA F450
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riprese e fotografie che, in assenza di questo mezzo, sarebbero fattibili
esclusivamente mobilitando un elicottero, cosa che creerebbe notevoli e ovvie
complicazioni non solo economiche.
L'argomento in questione è particolarmente attuale, infatti nel dicembre 2013
l'ENAC ha approvato un nuova normativa che regola l'esercizio degli UAV al
di sotto dei 25 kg. I velivoli con peso superiore erano già regolamentati e
prevedono l'obbligo di licenza di volo civile o sportivo e approvazione da
parte dell’ENAC, quelli di peso inferiore sono ora soggetti ad obbligo di
licenza e se si effettuano operazioni critiche, ossia in vicinanza di persone,
anche ad approvazione ENAC. Sono esentati da quest'ultima a patto che
conducano operazioni non critiche ed è sufficiente l'autocertificazione
dell'operatore. Il velivolo in oggetto è stimato avere un peso massimo al
decollo di 28 kg superiore quindi ai 25 kg indicati dall'ENAC, però è stato
leggermente sovrastimato il peso per poter avere un surplus di spinta per
decollo e salita [1, 2].
L'obbiettivo di questo studio è di andare a effettuare un'analisi delle
vibrazioni che hanno luogo su un singolo braccio del multirotore quando
questo è in una situazione di hovering, cioè di volo a punto fisso, in aria
calma; si suppongono quindi nulli gli effetti dovuti a fenomeni giroscopici, a
manovre e a raffiche.
A seguito di una lunga ricerca si sono studiate nello specifico le vibrazioni
dovute al flusso d'aria generato dal rotore, alla rotazione del rotore e, infine, a
uno squilibrio di massa presente sul rotore. A ognuno di questi casi è dedicata
una sezione della presente Tesi.
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Il multirotore oggetto dello studio
Nello specifico l'oggetto sul quale si è svolta la presente tesi è un ottocottero
la cui struttura è stata già studiata in fase di avanprogetto da G. Cerqua [3] il
quale ha valutato e ottimizzato due tipologie di ottocottero attraverso l'analisi
ad elementi finiti (FEM), utilizzando un'estensione del software Solidworks®
per la simulazione: SimulationXpress (in Figura 0.2 un esempio).
Figura 0.2 Una delle analisi della sollecitazione nodale effettuate sulla struttura
Figura 0.3 Le due strutture prese in esame originariamente
La scelta effettuata di progettare un velivolo con otto rotori è dovuta al fatto
che per questi velivoli una situazione tragica è quella in cui a causa di un
guasto si perde la spinta di uno dei rotori; in questa situazione su un
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quadricottero, ad esempio, si ha una coppia impossibile da contrastare dovuta
alla risultante della spinta complessiva dei tre rotori ancora in funzione che
porta inevitabilmente all'incontrollabilità del velivolo. Si è quindi pensato di
utilizzare otto rotori di modo che in caso di avaria di un motore si possa
tramite il controllo togliere spinta dal rotore opposto di modo da bilanciare la
trazione e permettere quanto meno l'atterraggio in sicurezza del velivolo.
Per quanto riguarda la struttura sono state valutate varie alternative sia dal
punto di vista geometrico, è stata studiata una struttura radiale ma anche una
reticolata (Figura 0.3), sia per quanto riguarda i materiali dove la scelta è
stata tra carbonio e lega di alluminio. In seguito al processo di ottimizzazione
l'alternativa più performante è risultata essere quella della struttura radiale
costruita in fibra di carbonio che, pur pesando di più, offre maggiori
sicurezze, per cui nella presente tesi è stata utilizzata questa struttura.
A causa di esigenze di reperibilità, di costi e di lavorabilità dei componenti la
composizione finale (Figura 0.4) risulta essere costituita non interamente in
carbonio ma come segue:
8 tubi in fibra di carbonio vetronite G11 di lunghezza 62,5 cm;
diametro esterno 18 mm e diametro interno 14 mm; peso 101 grammi
l'uno.
8 attacchi di base in lega d'alluminio 6061; peso 35 grammi.
8 giunture di collegamento braccio-struttura in lega d'alluminio 6061;
peso 89 grammi.
8 basi per il gruppo propulsivo in lega d'alluminio 6061; peso 68
grammi.
1 base ottagonale inferiore in lega d'alluminio 6061; peso 222 grammi.
1 base ottagonale superiore in lega d'alluminio 6061; peso 862
grammi.
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Complessivamente lo scheletro siffatto arriva a pesare circa 3,4 kg.
Figura 0.4 Viste della struttura scelta
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Figura 0.5 Vista con quote del braccio di sostegno con elica e motore
Le proprietà meccaniche dei materiali sono riportate in Tabella 0.1 e sono
basate sulle indicazioni fornite nella tesi sopracitata [3].
Un'elica adatta al multicottero in esame deve avere un dimensione di 18 o 19
pollici, si è scelta un'elica del noto produttore americano APC da 19x11 [4] di
cui si riportano le caratteristiche generiche fornite in Tabella 0.2.
Tabella 0.1 Proprietà meccaniche dei materiali utilizzati
Lega di alluminio 6061 Fibra di carbonio
Proprietà Valore Valore Unità di misura
Modulo elastico 69 70 GPa
Rapporto di Poisson
0.33 0.1 N/A
Modulo di taglio 26 5 GPa
Resistenza alla trazione
124 600 MPa
Snervamento 55,2 510 MPa
Densità 2700 1600 Kg/m3
Inoltre, di ogni elica viene fornito uno specifico tabellario di prestazioni al
variare del numero di giri e della velocità di traslazione, che unitamente ai
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dati generici sopra riportati verranno utilizzati per la determinazione del punto
di funzionamento, delle forze centrifughe e per la simulazione su software.
Tabella 0.2 Proprietà dell'elica APC LP19011
Product
code
Product
name
Hub
diameter
Hub
thickness
Through
hole
diameter
Material Weight Color Description
LP19011 19x11 1,25 in. 0,80 in. 5/16 in Glass
Fiber
Composite
4,66
oz.
GREY 170 Pattern
Infine il motore: è stato consigliato un dispositivo dell'azienda tedesca
Aerolab. Poiché il tipo di applicazione richiede alimentazione a batterie,
quindi a corrente continua, lo standard più consolidato porta all'adozione di
un motore brushless DC. La casa tedesca indicata offre un’ampia gamma di
prodotti che soddisfa anche le necessità del presente ottocottero, infatti si è
potuto trovare un motore che garantisce 6000-5800 RPM a massima potenza
equipaggiando eliche 18x6 e 20x6 rispettivamente.
Oltretutto, come si mostrerà in seguito, adottando eliche da 19” la frequenza
di rotazione necessaria nella condizione di hovering si attesta sui 4300 RPM,
questa si stima di poterla ottenere con un valore di manetta pari all'incirca al
65% permettendo quindi buoni margini per la manovrabilità del velivolo.
Figura 0.6 Elica APC LP19011
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Il motore scelto è quindi un T-Motor U8 KV170 [5] del quale sono fornite le
caratteristiche generiche geometriche e di funzionamento in Figura 0.8 e in
Tabella 0.3.
Tabella 0.3 Prestazioni del motore
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Figura 0.7 Motore T-Motor U8 KV170
Figura 0.8 Geometrie del T-Motor U8 KV170
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Software utilizzati
E’ stata usata l'applicazione SolidWorks® sviluppata dall'azienda francese
Dassault Systèmes è un software di genere Computer Aided Design, pensato
per le applicazioni meccaniche e basato sull'interfaccia utente grafica di
Microsoft Windows®.
E' uno strumento semplice da usare, in grado di facilitare il compito dei
progettisti; inoltre consente di compiere delle operazioni come l'abbozzo di
idee, la sperimentazione con le funzioni e le quote e la generazione di modelli
e disegni di dettaglio.
SolidWorks® integra tra le sue funzioni una sezione dedicata alla
simulazione e quindi analisi meccaniche e termiche di vario genere. E'
possibile calcolare gli spostamenti, le deformazioni e le sollecitazioni di un
modello sulla base del materiale di cui è composto e dei vincoli e carichi che
vi sono applicati. Questo programma utilizza l'analisi lineare statica per
calcolare la sollecitazione, basandosi sul metodo degli elementi finiti (FEM)
che prevede il comportamento del modello abbinando le informazioni
ottenute da tutti gli elementi che lo compongono.
L'analisi agli elementi finiti (FEA) è una tecnica numerica affidabile per
analizzare progetti di natura tecnica e rappresenta uno standard ormai
consolidato.
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1 Richiami teorici
Nella presente sezione vengono illustrate le basi teoriche utilizzate nello
svolgimento della tesi.
1.1 Il modello massa-molla-smorzatore
Si richiamano ora in breve alcuni concetti chiave nello studio delle
vibrazioni.
Figura 1.1.1 Oscillatore armonico
Per lo studio analitico delle vibrazioni presenti nel nostro sistema si è
deciso di considerarlo un sistema ad un grado di libertà, quello flessionale.
Lo studio di un sistema di questo tipo è sempre riconducibile a quello del
modello composto dal trittico massa-molla-smorzatore (CMK) [6], nel
quale ognuno di questi componenti quando sulla massa agisce una forza
reagisce con una forza resistente proporzionale rispettivamente
all'accelerazione, allo spostamento e alla velocità della massa.
Se si considera nullo l'effetto dello smorzatore, questo è il caso che si
prende in considerazione per il calcolo della frequenza di risonanza di un
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sistema in quanto il valore di questa frequenza non è condizionato dalla
presenza dello smorzamento, si ottiene un sistema come in Figura 1.1.1
nella quale l’allungamento Δ della molla lineare è dato da
cioè l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza F applicata. In
questo caso al sistema è applicata la forza peso mg, perciò l’allungamento
in condizioni statiche è
La linea tratteggiata in Figura 1.1.1 indica la posizione di equilibrio
statico del sistema, in tale posizione il sistema permane indefinitamente se
non è perturbato. Se si perturba la massa m spostandola di una quantità x, il
sistema sarà soggetto, oltre all’azione della molla:
,
anche alle forze di inerzia:
.
L’equazione del moto diventa:
Considerato che Δ=mg/k, l'equazione del moto diviene:
questa è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine. Per
definire il problema di Cauchy, cioè poter ottenere la soluzione, il problema
va completato con opportune condizioni iniziali:
cioè devono essere note la posizione e la velocità iniziali.
Δ=F
k
Δ=mgk
F k=−k x
F i=−m x
−m x−k (x+Δ)+mg=0
m x+kx=0
x(0)=x0 , x(0)=x0
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L'equazione del moto può essere riscritta come:
dove
è detta pulsazione naturale del sistema.
La soluzione generale è quindi:
con
Questa legge oraria è armonica con periodo: T=2π/ωn=1/ fn dove fn [Hz] è
la frequenza naturale del sistema.
La legge oraria è anche riscrivibile come segue:
Dove X è l'ampiezza di oscillazione e φ è la fase.
Se viene invece considerato uno smorzamento non nullo la
schematizzazione di tale sistema come modello matematico porta
all'espressione della condizione di equilibrio dinamico nella seguente
forma:
dove M è la massa, c il coefficiente di smorzamento e K la costante elastica.
Si è soliti riscrivere l’equilibrio in una forma standard dividendo per la
massa, così si ottiene
con
x+ωn2 x=0
ωn=√k /m [rad / s ]
x=Asinωnt+Bcosωn t
A= x0/ωn , B=x0
x=X cos(ωnt+ϕ)
F (t)=M y(t)+c y(t)+Ky(t)
y (t)+2ζωn y ( t)+ωn
2y(t )=
F (t )
M
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che indicano rispettivamente la pulsazione naturale e lo smorzamento.
Una volta che il sistema viene sollecitato da una forzante armonica nel
tempo, la risposta è fortemente influenzata non solo dal modulo di
quest'ultima ma anche dalla sua frequenza. Di conseguenza è possibile
individuare tre comportamenti differenti:
Quasi statico
Risonanza
Inerziale
Laddove la frequenza di eccitamento sia ben al di sotto della frequenza
propria, ovvero di risonanza, il comportamento del sistema sarà quasi
statico (Figura 1.1.2) ossia la posizione della massa seguirà in modo
pressoché istantaneo l'andamento della forzante esterna con un piccolo
ritardo di fase.
Figura 1.1.2 Risposta quasi-statica
ωn=√K
M; ζ=
c
2√K M
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In prossimità della frequenza di risonanza invece le forze di inerzia ed
elastiche si compensano e l'unica componente in grado di equilibrare la
forzante esterna è lo smorzamento, producendo una risposta del sistema
svariate volte maggiore di quella statica e potenzialmente distruttiva.
Figura 1.1.3 Risonanza
Infine per frequenze superiori la componente dominante è quella inerziale
per cui lo spostamento del sistema si riduce in ampiezza e tende a non
seguire l'andamento della forza esterna bensì ad essere in opposizione di
fase.
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Figura 1.1.4 Risposta inerziale
Da questo richiamo di meccanica delle vibrazioni si può subito
evidenziare come lo smorzamento giochi un ruolo determinante, infatti,
essendo il fattore di fondo che determina l'ampiezza di picco del sistema
studiato, può essere controllato in modo da contrastare gli effetti negativi
per la struttura che potrebbero aver luogo in prossimità della frequenza
propria [7].
La risonanza può indurre effetti critici sia nel breve periodo sia nel lungo,
deteriorando gravemente le prestazioni del sistema e la sua vita a fatica, per
cui, nelle applicazioni in cui la dinamica è significativa, è basilare lo studio
delle frequenze di esercizio e naturali.
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2 Ricerca bibliografica
Lo scopo di questa sezione è illustrare le cause che possono dar vita a
fenomeni di vibrazioni e fornire anche alcuni esempi di tecniche di analisi che
sono state trovate nel corso della fase di ricerca.
Nello specifico la ricerca bibliografica ha seguito due strade distinte: una è
stata quella di trovare un paragone tra le vibrazioni presenti nel nostro sistema
e quelle caratteristiche, invece, di generatori eolici ad asse orizzontale
(HAWT), l'altra è stata quella di cercare studi effettuati su velivoli UAV.
2.1 Il confronto eolico
Figura 2.1.1 Esempio di turbina eolica, visualizzazione dei principali componenti
Nelle fasi iniziali della nostra analisi si è proceduto ad una ricerca
bibliografica di pubblicazioni che potessero fornirci utili spunti per
impostare il lavoro, la prima analogia che è stata esplorata è stata quella
relativa alle turbine eoliche. Difatti il modello più diffuso, quello ad asse
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orizzontale (HAWT), presenta notevoli somiglianze con il sistema il
oggetto: entrambe le strutture presentano, infatti, un lungo supporto sottile
all'estremità del quale si trova il gruppo motore, nel caso dei velivoli
multirotore, o la navicella contenente generatore e riduttore, nelle turbine
eoliche, e l'elica. La principale differenza consiste invece nel fatto che
l'elica svolge la funzione di propulsore in una configurazione e di motore
nell'altra, questo, oltre a imporre differenze di progettazione, implica anche
una dinamica di interferenza di diverso tipo fra l'elica e il braccio.
Nelle turbine eoliche la prima fonte di eccitamento è il rotore ovviamente,
considerando la velocità di rotazione costante la prima frequenza di
eccitazione corrisponde alla velocità di rotazione mentre la successiva è
calcolabile come multiplo intero della prima, dove il fattore moltiplicativo
corrisponde al numero di pale [7]. Questo approccio permette di individuare
tre bande di frequenze divise dalle due frequenze sopracitate nelle quali si
può far ricadere la frequenza propria dell’intera struttura. Si individuano
così tre possibili fasce di rigidezza per le torri di sostegno: morbida, semi-
rigida e rigida. La scelta più logica per evitare un eccesso di materiale e
quindi un aumento dei costi è quella di scegliere una struttura morbida,
questa scelta risulta però rischiosa nella realizzazione di generatori eolici
offshore. Infatti gli impianti offshore sono eccitati sia dalla rotazione del
rotore che dall’impatto delle onde sulla struttura; le onde coprono un
intervallo di frequenze molto ampio e variabile durante le stagioni e una
turbina eolica progettata con una frequenza naturale inferiore alla frequenza
di rotazione per evitare risonanza ne potrebbe soffrire comunque a causa del
moto ondoso.
Altre cause di vibrazioni che possiamo ritrovare nelle turbine eoliche
sono la trasmissione meccanica del moto e il generatore stesso, difatti la
presenza di organi rotanti quali alberi e ruote dentate è fonte anch'essa di
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disturbi; ogni organo avrà la propria frequenza di lavoro ma la principale è
lecito supporre essere quella dovuta al riduttore e calcolabile come:
dove Z è il numero di denti dell'ingranaggio e Ngear la velocità di rotazione
in Hz.
Un metodo differente da quello analitico, sul quale ci concentreremo,
viene esposto da Abouhnik e Albarbar dell'università di Manchester [8]; la
loro proposta si basa su simulazione agli elementi finiti in ANSYS e
permette di scomporre la vibrazione nelle sue componenti fondamentali da
cui il nome “empirically decomposed feature intensity level” (EDFIL).
Il procedimento prevede appunto la scomposizione di un segnale non
stazionario in un numero finito di IMF (Intrinsic Mode Functions) ognuno
dei quali rappresenta una diversa fonte di vibrazioni a seconda della
posizione dei picchi lungo l'asse delle frequenze, è così possibile analizzare
quali componenti creano le maggiori problematiche ed effettuare anche
valutazioni di decadimento delle prestazioni in caso di fallimento
strutturale, ad esempio per cricche nelle pale.
Un'analisi più approfondita riguarda esclusivamente il moto vibrazionale
delle pale [9] la cui trattazione si differenzia da quelle precedentemente
illustrate perché la frequenza propria della pale diventa funzione della
velocità di rotazione dell'elica, infatti la pala è assimilabile ad una trave
incastrata e sottoposta a forza centrifuga la cui rigidezza varia a causa dello
stiramento che questa causa e di conseguenza anche la frequenza propria
cambia.
f =Z⋅N gear
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2.2 Studi sugli UAV
Gli studi riguardanti gli UAV sono in grande aumento sia per quanto
riguarda quelli ad ala fissa, G. Kontogiannis [10] ne dà un esempio di
progetto, che per quelli ad ala rotante tra i quali sono molto diffusi sono i
multicotteri, su questi si concentra il presente paragrafo.
I multirotori vengono catalogati solitamente in base al numero di rotori,
esistono infatti svariate soluzioni. Nella storia sono stati realizzati multicotteri
con un numero di rotori che va da tre finanche a dieci ma la configurazione
più gettonata risulta essere quella del quadrirotore che ha avuto anche un
ampia diffusione commerciale e per la quale esistono svariati esempi.
I motivi di interesse nei confronti dei multicotteri sono la loro ampia capacità
di manovra, il costo contenuto e la possibilità di effettuare il decollo verticale
e il volo a punto fisso, per questo sono stati preda di coloro che cercano di
realizzare il volo autonomo [11] cioè del volo non direttamente comandato da
un pilota il quale si deve limitare ad affidare un obbiettivo al velivolo e questo
lo completerà autonomamente. Tale aspetto è di grande interesse anche per lo
studio, ad esempio, del volo in formazione degli uccelli quando si crea uno
stormo di droni capaci di volo autonomo e si fanno cooperare.
Molto interessanti sono anche i vari studi che vanno alla ricerca di un
modello matematico per la dinamica del quadrirotore [12] utili per
migliorarne la controllabilità, infatti il controllo di velivoli multirotore, data la
loro meccanica di volo, è molto complesso [13].
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3 Analisi sul modello di riferimento
La presente sezione è dedicata alla descrizione di tutti gli studi svolti e alle
conclusioni da questi tratte.
3.1 Punto di funzionamento dell’elica
Vengono ora illustrate le prestazioni delle eliche scelte al fine di individuare
la loro condizione di lavoro nella situazione di hovering, questa analisi viene
fatta attraverso stime derivanti dall'avanprogetto del già citato G. Cerqua [3].
Per valutare la trazione dell'elica scelta ci si è avvalsi della Tabella 3.1.1
fornita dal produttore delle stesse. In tale tabella vengono forniti i valori di
spinta, rapporto di funzionamento, efficienza, coefficienti di spinta e di
potenza al variare della velocità, parallela all'asse di rotazione del rotore, del
velivolo a numero di giri costante partendo da 1000 RPM e crescendo a salti
di 1000 RPM.
Avendo preso in considerazione un multirotore ottocottero, la spinta
complessiva fornita dai propulsori deve essere pari, per il volo a punto fisso,
al peso totale del velivolo che, in condizioni di massimo carico, viene
supposto essere di 28 kg. Quindi si avrà che ogni rotore dovrà fornire una
spinta pari a 3,5 kgf equivalenti a 7,72 lbf, dalla Tabella 4.1.1 è facile
riscontrare che per velocità del modello nulla questo valore è compreso fra
6.635 e 10.555 lbf che sono i valori di spinta corrispondenti rispettivamente a
4000 e 5000 RPM.
Si procede ora a cercare il numero di giri del rotore corrispondente alla
spinta richiesta. Il numero di giri è calcolabile come:
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Poiché la spinta richiesta ricade fra 6.635 e 10.555 lbf, il Ct sarà anch'esso
compreso fra i valori 0.0999 e 0,01017. Effettuando una rapida proporzione
si approssima un valore di 0,1004. Si ha, quindi
e, proseguendo con il calcolo,
Noto ora il punto di funzionamento dell'elica è possibile procedere con lo
studio delle vibrazioni che essa induce sulla struttura.
n=√T
ρC t D4
n=√34,335
1,225⋅0,1004⋅0,48264=71,74
giri
s≃4300 RPM
ω=2π
604300=450,29rad / s
====== PERFORMANCE DATA (versus advance ratio and MPH) ======
DEFINITIONS:
J=V/nD (advance ratio)
Ct=T/(rho * n**2 * D**4) (thrust coef.)
Cp=P/(rho * n**3 * D**5) (power coef.)
Pe=Ct*J/Cp (efficiency)
V (model speed in MPH)
PROP RPM= 1000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.0973 0.0567 0.011 0.711 0.404
0.5 0.03 0.0490 0.0916 0.0542 0.011 0.681 0.380
1.0 0.06 0.0965 0.0861 0.0517 0.010 0.650 0.357
1.6 0.09 0.1423 0.0805 0.0492 0.010 0.618 0.334
2.1 0.12 0.1865 0.0751 0.0467 0.009 0.586 0.312
2.6 0.15 0.2289 0.0697 0.0441 0.009 0.554 0.289
PROP RPM=2000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.0973 0.0557 0.089 2.797 1.616
1.0 0.03 0.0498 0.0917 0.0533 0.085 2.678 1.523
2.1 0.06 0.0981 0.0861 0.0509 0.081 2.556 1.430
3.1 0.09 0.1447 0.0806 0.0484 0.077 2.433 1.339
4.2 0.12 0.1896 0.0752 0.0459 0.073 2.307 1.248
5.2 0.14 0.2329 0.0698 0.0434 0.069 2.180 1.159
Tabella 3.1.1 Prestazioni per l'elica APC 19x11
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3.2 Stima degli effetti aerodinamici
Lo scopo di questa sezione è effettuare un'analisi preliminare in modo da
valutare l'ordine di grandezza dell'interferenza che si verifica tra il flusso
d'aria e il braccio che regge il gruppo propulsore.
Difatti la rotazione dell'elica induce un flusso che investe il braccio
provocando una forza aerodinamica in direzione trasversale a questo.
PROP RPM= 3000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.0980 0.0565 0.304 6.389 3.661
1.6 0.03 0.0497 0.0923 0.0538 0.289 6.080 3.448
3.1 0.06 0.0983 0.0866 0.0511 0.275 5.772 3.237
4.7 0.09 0.1457 0.0810 0.0484 0.260 5.463 3.028
6.3 0.12 0.1918 0.0755 0.0456 0.245 5.154 2.821
7.8 0.14 0.2367 0.0700 0.0429 0.231 4.846 2.617
PROP RPM= 4000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.0999 0.0614 0.783 12.341 6.635
2.1 0.03 0.0471 0.0940 0.0577 0.736 11.591 6.242
4.2 0.06 0.0942 0.0881 0.0541 0.690 10.866 5.852
6.2 0.09 0.1411 0.0823 0.0506 0.645 10.167 5.467
8.3 0.12 0.1875 0.0766 0.0473 0.602 9.491 5.087
10.4 0.14 0.2332 0.0709 0.0440 0.561 8.837 4.713
PROP RPM= 5000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.1017 0.0657 1.636 20.627 10.555
2.6 0.03 0.0452 0.0956 0.0611 1.522 19.191 9.921
5.2 0.06 0.0912 0.0895 0.0568 1.415 17.830 9.293
7.8 0.09 0.1376 0.0836 0.0527 1.312 16.538 8.673
10.4 0.12 0.1841 0.0777 0.0488 1.215 15.316 8.060
13.0 0.14 0.2304 0.0719 0.0451 1.123 14.155 7.458
PROP RPM=6000
V J Pe Ct Cp PWR Torque Thrust
(mph) (Adv Ratio) (Hp) (In-Lbf) (Lbf)
0.0 0.00 0.0000 0.1018 0.0633 2.724 28.619 15.211
3.1 0.03 0.0468 0.0957 0.0593 2.552 26.807 14.307
6.3 0.06 0.0937 0.0897 0.0555 2.386 25.064 13.410
9.4 0.09 0.1407 0.0838 0.0518 2.227 23.391 12.524
12.5 0.12 0.1874 0.0779 0.0482 2.074 21.784 11.649
15.6 0.14 0.2335 0.0722 0.0448 1.927 20.240 10.788
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Si segnala che la procedura qui presentata è semplificata perché così come
l'elica influisce sul braccio viceversa il braccio modifica il campo di velocità,
e conseguentemente di pressioni, prodotto dall'elica esercitando una forza
sulla stessa. La situazione descritta richiederebbe analisi più approfondite,
tralasciamo questi aspetti limitandoci all'approccio elementare che prevede
l’azione sul braccio sollecitato della resistenza aerodinamica D e la rotazione
indisturbata del rotore.
La configurazione può essere schematizzata come segue:
Figura 3.2.1 Schematizzazione della dinamica di interferenza aerodinamica elica-braccio
Valutiamo la forza sul braccio come resistenza aerodinamica:
dove:
ρ è la densità dell'aria;
V la velocità del flusso;
S la superficie investita;
CD il coefficiente di resistenza.
Per il calcolo della velocità incidente sul braccio si è deciso di utilizzare la
Teoria del Disco Attuatore in cui il rotore è ridotto ad un disco che fornisce
D=1
2ρV
2S C D
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energia all'aria ricevendone per reazione una forza netta. Come si vedrà in
seguito questa teoria si avvale di numerose ipotesi semplificative, ma è stata
ugualmente utilizzata data la sua semplicità e il carattere qualitativo di questo
studio il cui obiettivo, infatti, è valutare l'ordine di grandezza della forza
agente sul braccio di sostegno dovuta al flusso aerodinamico generato dal
rotore.
Figura 3.2.2 Modello rappresentativo della Teoria del Disco Attuatore
Le ipotesi fondamentali di questa teoria sono le seguenti:
Si identifica un tubo di flusso costituito dal solo fluido che attraversa il
disco, separato dal fluido esterno.
Il rotore è composto da un numero infinito di pale
Il disco rotore ha spessore infinitesimo (si trascura la resistenza del
profilo)
La velocità verticale è continua attraverso il disco.
Il fluido è perfetto e incomprimibile.
Si trascurano vorticosità e perdite al disco.
La velocità indotta verso il basso a valle del disco è costante.
Da queste ipotesi risulta che:
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dove V∞ è la velocità a monte dell'elica che è nulla in caso di volo a punto
fisso, ρ è la densità dell'aria, A la superficie del disco d'elica e T(n) la spinta in
funzione del numero di giri.
Quindi otteniamo:
Il passo successivo richiede la valutazione del coefficiente di resistenza il
quale però è sua volta funzione del numero di Reynolds che distingue i casi di
flusso laminare da quello turbolento. Il numero di Reynolds è così definito:
con:
ν viscosità cinematica [m2/s];
u0 velocità del flusso all'impatto con la superficie;
d lunghezza di riferimento, in questo caso il diametro del braccio di
supporto.
Essendo la spinta pari a 3,5 kgf , abbiamo:
T= 3,5 kgf x 9,81 m/s2 = 34, 335 N e r = 19”/2 x 2,54 cm= 24,13 cm
si ottiene quindi
E' possibile ora calcolare il numero di Reynolds come segue
u0=−V
∞
2+√
V∞
2
4+
T (n)
(2ρ A)
D=1
2ρS C D
T (n)
2 Aρ=
1
4
S
AC D T (n)
R e=u0 dν
u0=√T
2ρπ r2=√
34,335
2⋅1,225⋅π⋅0,24132=8,75m /s
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Quest'ultimo passaggio implica la supposizione che la velocità all'altezza
dell'asta di supporto abbia lo stesso valore di quella calcolata tramite il disco
attuatore all'altezza dell'elica, a rigore le due velocità sono diverse ma visti i
pochi centimetri di separazione fra le due superfici si tratta di
un'approssimazione legittima e per di più conservativa perché induce una
leggera sovrastima della velocità.
L'indicazione fornita dal numero di Reynolds ci conferma che operiamo in
campo laminare sub-critico (Re inferiore a 2∙105) e perciò il coefficiente di
resistenza può essere considerato pari a 1,2 come trovato sperimentalmente
[14].
La forza agente sul braccio vale:
Anche qui è necessaria una precisazione: la superficie S sulla quale agisce la
forza viene espressa come d diametro del braccio moltiplicato per il raggio r
dell’elica.
Da questo risultato, viste le forze in gioco, si può concludere che la forza
generata nel braccio di sostegno dal flusso del rotore è, ai fini di questa tesi,
trascurabile. Nell'ambito di studi più approfonditi su questo particolare
fenomeno è suggeribile per ottenere risultati più accurati un approccio non
analitico ma o sperimentale, come fatto da S. Chkir [15] attraverso il metodo
PIV (Particle Image Velocimetry) applicato alla valutazione del flusso a valle
di una turbina eolica ad asse orizzontale utilizzando poi un metodo FEM per
l'analisi strutturale, o numerico [16] con l'utilizzo di software CFD
(Computational Fluid Dynamics) per l'analisi del campo di moto.
R e=8,75⋅0,018
1,5⋅10−5
=10500
D=1
4
S
AC D T=
1
4
d r
π r2CD T =
1
4
d
π rC D T=
1
4
0,018
π⋅0,2413⋅1,2⋅34,335=0,245 N=0,0250 kg f
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3.3 Analisi relative al pericolo di risonanza
Nello studio delle vibrazioni di un sistema meccanico il fenomeno della
risonanza è certamente un problema fondamentale da considerare; ad esso
sono infatti imputabili vibrazioni con ampiezze molto maggiori rispetto a
quelle riscontrabili a frequenze lontane da quelle proprie di risonanza del
sistema che portano un notevole incremento degli sforzi nella struttura fin
anche la rottura. Il fenomeno della risonanza, inoltre, in un velivolo come
un multicottero, che richiede un preciso sistema di controllo, porterebbe
degli intollerabili disturbi nei sensori di misurazione con conseguente
ingovernabilità del velivolo.
La risonanza si verifica quando la frequenza eccitatrice è uguale alla
frequenza naturale (o frequenza propria) fn che è la frequenza con cui vibra
un sistema che ha soltanto caratteristiche elastiche e non è soggetto a forze
esterne attive variabili nel tempo.
Per quanto detto, ci si è dedicati nella presente sezione al calcolo della
frequenza naturale del sistema ed in seguito alla valutazione della
possibilità che in questo si possa verificare il fenomeno della risonanza a
causa della rotazione del rotore alle varie velocità angolari caratteristiche
dell'esercizio del multicottero.
3.3.1 Calcolo della frequenza propria del
sistema
Viene ora effettuata la ricerca della frequenza di risonanza della struttura.
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Per il calcolo della frequenza naturale del sistema ci si è avvalsi di un
modello semplificato: la struttura composta dal braccio, dal rotore e dal
motore è studiata come una trave sottile incastrata ad una estremità e con una
massa m concentrata sull'estremità libera di massa pari a quella del rotore più
quella del motore (Figura 3.3.1), la massa di estremità viene supposta molto
maggiore di quella della trave in modo che siano trascurabili le azioni di
inerzia distribuite sulla trave.
Figura 3.3.1 Modello per il calcolo della frequenza di risonanza
Il tutto si presenta quindi come un sistema ad un unico grado di libertà e si
riduce nello specifico in un oscillatore armonico cioè ad un sistema massa-
molla, come già illustrato precedentemente, avendo supposto nullo lo
smorzamento poiché lo scopo di questa sezione è esclusivamente il calcolo
della frequenza propria del sistema il cui valore non è influenzato dallo
smorzamento.
L'estremo libero oscillerà come una molla di rigidezza k, pari alla rigidezza
equivalente della trave, a cui è attaccata una massa m, la massa equivalente
ottenuta tramite la riduzione delle masse del sistema all'estremo libero della
trave. Le masse prese in considerazione sono: quella del motore (240 g),
dell'elica (132 g), del supporto del motore (68 g) e quella del braccio
concentrata nel suo baricentro geometrico e pari a
m s=ρ Al=π
d2−(d−2t)
2
4ρ l=76,8 g
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dove ρ=1600 kg/m3 è la densità del carbonio costituente il braccio, d il suo
diametro e l la sua lunghezza libera pari a 0,478 m.
La riduzione delle masse all'estremo libero si effettua sostituendo le stesse
con un’unica massa tale da non variare l'energia cinetica del sistema T
nell'intorno della configurazione considerata. Partendo dalla configurazione in
Figura 3.3.1.1 si ha
dove x1 e x2 sono gli spostamenti verticali rispettivamente del baricentro e
dell'estremità del braccio.
Si è quindi ottenuta la massa equivalente pari a
Ora per il calcolo della frequenza propria fn, data da
non resta che trovare l'espressione di k per il nostro sistema. Questo è
possibile utilizzando il modello di Timoshenko per la trave applicato allo
schema in Figura 3.3.2.
Figura 3.3.2 Modello per il calcolo della rigidezza equivalente della trave
Prendendo l’origine dell’asse x della trave in corrispondenza dell’incastro,
l’equazione di equilibrio in forma debole risulta essere
T=1
2ms x1
2+
1
2M x2
2=
1
2ms
˙(l
2sin θ)
2
+1
2M ˙
( l sin θ)2≃
1
2m s
˙(l
2θ)
2
+1
2M ˙
(l θ)2=
1
2(ms
4+M )( l θ)
2
m=ms
4+M =459,2 g
f n=ωn
2π=
1
2π √k
m
∫0
l
δ w(x)EI w(x )dx=∫0
l
δw (x )P δ(x−l)dx
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dove δ(x-l) è la delta di Dirac valutata in x=l e w(x) è lo spostamento
dell'estremo libero della trave.
Integrando per parti:
Dall’arbitrarietà della variazione virtuale δw(x) si ha l’equazione
differenziale di equilibrio:
detta equazione della linea elastica.
Le condizioni al contorno sono
Integrando più volte si ottiene:
e imponendo le condizioni al contorno si ricavano le costanti di integrazione.
Dalla prima si trova d=0, dalla seconda c=0, dalla terza a∙l=-b, dalla quarta
a=-P e quindi b=P∙l. Sostituendo si ottiene:
Valutando l'espressione appena ricavata in x=l si ottiene che la rigidezza
equivalente è:
[δ w( x)EI w( x)]0l+[δw (x)EI w (x)]0
l+∫0
l
δw (x)EI ˙w (x )dx=δw (l)P
EJ ˙w (x)=0
{w (0)=0
w (0)=0
EI w (l)=0
EI w (l)=−P
EI w (x)=ax
3
6+
bx2
2+cx+d
w (x )=Px
2
6EI(3l− x)
k=3EI
l3
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Nel caso della struttura da noi considerata si ha il modulo elastico E è pari a
70 GPa mentre il momento d'inerzia I, poiché i bracci hanno sezione come in
Figura 3.3.3, è dato da:
Dove:
d=18 mm
t=2 mm
Figura 3.3.3 Sezione dei bracci
Si ottiene quindi:
E' quindi ora possibile calcolare la frequenza naturale del sistema data da:
Si procede ora a comparare le possibili frequenze di rotazione del rotore
durante il volo con la frequenza naturale del sistema per determinare la
possibilità o meno che questo entri in risonanza.
Poiché la trave ha un'estremità libera e una incastrata i vari modi di
risonanza si presentano a frequenze che sono multipli dispari della
frequenza naturale [17] (Figura 3.3.4).
Per poter confrontare la frequenza fn [Hz] con la velocità di rotazione del
rotore [RPM] si pone:
I=π
64[d
4−(d−2t)
4]=3,267⋅10
−9m
4
k=6281,8N
m
f n=ωn
2π=
1
2π √k
m=18,61 Hz
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Figura 3.3.4 Raffigurazione del primi tre modi di risonanza della trave
Si può quindi ora redigere la Tabella 3.3.1.
In Tabella 3.3.1 nell'ultima colonna è calcolato il Fattore di sicurezza come
la differenza tra la velocità di rotazione del rotore e la frequenza di risonanza
più prossima. Sono stati inoltre evidenziate le condizioni per le quali il Fattore
di sicurezza presenta i valori più bassi, cioè quando è più probabile che si
verifichi la risonanza. Si può notare che questa situazione si presenta per il
rotore che gira a 1200 RPM, a 3400 RPM e a 5600 RPM.
Dall'analisi sopra svolta si ottiene che in fase di progetto va effettuato un
opportuno filtraggio in corrispondenza delle frequenze di rotazione del rotore
per le quali si hanno valori del Fattore di sicurezza relativamente bassi, cioè
per quelle frequenze per le quali è possibile che si verifichi risonanza nelle
struttura, soprattutto nella condizione di hovering o in condizioni, come quella
di volo rettilineo uniforme, che possono perdurare per lunghi periodi.
Rn= f n⋅60=1116 RPM
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Figura 3.3.5 Andamento del fattore di sicurezza al variare della velocità di rotazione del rotore
Per effettuare il filtraggio sopracitato si suggerisce, essendo il velivolo in
oggetto simmetrico, di far sì che se il multirotore perdura in una determinata
R1 R2 R3 R41000 1116 3348 5580 7812 -116
1200 1116 3348 5580 7812 84
1400 1116 3348 5580 7812 284
1600 1116 3348 5580 7812 484
1800 1116 3348 5580 7812 684
2000 1116 3348 5580 7812 884
2200 1116 3348 5580 7812 1084
2400 1116 3348 5580 7812 -948
2600 1116 3348 5580 7812 -748
2800 1116 3348 5580 7812 -548
3000 1116 3348 5580 7812 -348
3200 1116 3348 5580 7812 -148
3400 1116 3348 5580 7812 52
3600 1116 3348 5580 7812 252
3800 1116 3348 5580 7812 452
4000 1116 3348 5580 7812 652
4200 1116 3348 5580 7812 852
4400 1116 3348 5580 7812 -1180
4600 1116 3348 5580 7812 -980
4800 1116 3348 5580 7812 -780
5000 1116 3348 5580 7812 -580
5200 1116 3348 5580 7812 -380
5400 1116 3348 5580 7812 -180
5600 1116 3348 5580 7812 20
Tabella 3.3.1 Possibilità che si verifichi la risonanza al variare della velocità di rotazione del rotore
Rotore (RPM) Fattore di sicurezza
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Velocità di rotazione del rotore [RPM]
Fa
tto
re d
i ri
sch
io [R
PM
]
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fase di volo per un intervallo di tempo eccessivo su una frequenza a rischio
per quanto riguarda la risonanza, dovendo gli otto rotori complessivamente
dare una spinta verticale totale tale da compensare il peso del velivolo e
quindi costante in un moto non accelerato, si abbassi la velocità di rotazione
di quattro rotori a due a due geometricamente opposti rispetto al centro della
struttura, supposte coincidente col baricentro, e si alzi quella dei quattro
restanti di modo che complessivamente la risultante della spinta non cambi
ma su ogni braccio venga scongiurato il rischio di risonanza.
Affinché si possa effettuare quanto detto è necessario dotare il sistema di
controllo del velivolo della capacità di prevedere l'insorgenza della risonanza.
Questo può essere effettuato o fornendo un certo numero di bracci di un
accelerometro in modo che quando il sensore misura un livello di vibrazioni
superiore ad un valore limite, da stabilire, che indica l'approssimarsi della
risonanza il controllo procede all'azione precedentemente illustrata oppure
inserendo nel controllo un modello che fornisca in funzione della corrente
inviata al motore il numero di giri del rotore corrispondente così che quando
questo valore si avvicina a quelli a rischio di sopra calcolati il controllo
effettui autonomamente il bypass di queste frequenza nella maniera prima
consigliata.
3.3.2 Analisi numerica
Tramite l'utilizzo del software dedicato SolidWorks® abbiamo confrontato i
risultati ottenuti analiticamente nel paragrafo precedente, infatti la sezione
Simulation permette di eseguire una vasta serie di studi strutturali che
spaziano dall'analisi statica a quella dinamica, di caduta ma anche termica e di
altri generi.
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Per il nostro studio la tipologia più adatta ovviamente è quella denominata
semplicemente “Frequenza” la quale permette di individuare i modi propri di
oscillazione fornendone una descrizione grafica sulla geometria fornita e di
individuare le frequenze di eccitamento alla quale corrispondono.
Una volta realizzato in ambiente CAD il modello 3D da studiare gli step da
seguire sono i seguenti, pressoché standardizzati per tutte le analisi strutturali
e per tutti i software:
Definizione del materiale nel caso in cui non sia già stato inserito, è
fondamentale in tal senso la densità per calcolare massa e momento d'inerzia
nonché il modulo elastico.
Determinazione dei vincoli ovviamente il modo in cui la struttura è
vincolata influenzerà gli spostamenti possibili e quindi i modi propri.
Determinazione dei carichi agenti sulla struttura, questo step in particolare
non è obbligatorio perché è possibile calcolare i modi propri a prescindere
dalle forze applicate, qualora esse siano presenti però possono indurre piccole
variazioni nei risultati perché, come regola generale, i carichi a compressione
riducono le frequenze di risonanza mentre a trazione li aumentano.
Definizione della mesh, come per tutti i software basati sul FEM l'oggetto in
analisi viene scomposto in parti elementari 3D, di forma variabile a seconda
del solutore, delle quali si calcoleranno gli spostamenti dei singoli nodi per
giungere alla soluzione complessiva; è possibile scegliere il grado di finitura
della mesh ed altre caratteristiche.
Risoluzione, facendo partire l'analisi il software andrà a risolvere la matrice
di rigidezza del sistema e fornirà una soluzione grafica, discretizzando tramite
colorazione variabile le zone soggette agli spostamenti maggiori per ogni
frequenza di risonanza.
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Utilizzando come punto di partenza il prototipo Solidworks della struttura
modellato da G. Cerqua è stato completato e adattato isolando il braccio in
fibra di carbonio dal corpo centrale e aggiungendo, dopo averli modellati,
l'elica e il motore. Per quanto riguarda il motore è stato necessario per la sua
modellazione eseguire delle semplificazioni poiché non si era in possesso di
numerose informazioni, è stato quindi riprodotto come un semplice disco
forato di peso pari a quello indicato sul sito del produttore. Infine è stato
inserito un perno di supporto fra motore ed elica.
La definizione dei materiali in realtà non è stata veramente necessaria in
quanto conoscendo il peso delle singole componenti, elica e motore
(rispettivamente 132 e 240 grammi), si è potuta dedurre la densità.
I vincoli sono composti da un semplice incastro nella parte di braccio
bloccata dagli elementi di attacco alla base centrale come indicato nel
modello 3D di partenza.
Per quanto riguarda i carichi si è scelto di effettuare un'analisi in assenza di
qualsiasi tipo di sollecitazione ed una con tutti i carichi presenti, ossia
imponendo la spinta pari a 34,335 N sulla superficie superiore delle pale, la
velocità angolare dell'elica (450,29 rad/sec) e l’accelerazione di gravità per
valutare la differenza fra le due configurazioni.
Per la mesh si è scelta una qualità piuttosto alta che garantisca affidabilità nei
risultati vista anche la relativa semplicità del pezzo che ha permesso tempi di
calcolo sufficientemente brevi.
Come ci si aspettava le frequenze di risonanza subiscono un incremento che
risulta sempre più sostanzioso al crescere del modo (Tabella 3.3.2).
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Tabella 3.3.2 Modi di risonanza del sistema ottenuti tramite simulazione simulazione
Configurazione scarica Configurazione sollecitata
Num. di
modalità
Frequenza(Rad/sec) Frequenza(Hertz) Frequenza(Rad/sec) Frequenza(Hertz)
1 115,77 18,43 119,95 19,09
2 119,26 18,98 123,57 19,67
3 183,47 29,2 501,78 79,86
4 229,78 36,57 530,07 84,36
5 294,31 46,84 600,02 95,49
Figura 3.3.6 Secondo modo della configurazione carica: si notano le forze come vettori viola, velocità angolare e
accelerazione di gravità in rosso e il movimento traslativo orizzontale caratteristico di questo modo
I primi due modi sono quelli rilevanti ai fini dell'analisi, infatti, si tratta dei
modi traslativi dell'estremità del complesso rispetto alla base vincolata lungo
il piano verticale di simmetria per il modo 1 e lungo il piano orizzontale per il
modo 2.
In Figura 3.3.6 si mostra lo spostamento massimo del sistema rispetto alla
posizione neutra visibile in trasparenza relativo al secondo modo di risonanza
nella configurazione coi carichi applicati, i colori infatti simulano lo
spostamento reale dei vari elementi che viene però amplificato per essere
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apprezzabile visivamente, mentre in Figura 3.3.7 è mostrato quello relativo al
primo modo nella configurazione scarica.
Figura 3.3.7 Primo modo di vibrazione in configurazione scarica
I modi successivi sono inerenti alla vibrazione simmetrica o antisimmetrica
delle pale dell'elica, una sorta di “sfarfallio”, e alla vibrazione delle stesse nel
disco rotorico, questi non sono stati evidenziati perché non sono oggetto del
presente studio.
I risultati ottenuti sono in linea con quelli ottenuti analiticamente per cui si
può affermare che convalidino la procedura precedentemente seguita.
3.4 Eccentricità di massa sul rotore
Una ulteriore fonte di vibrazione può essere il bilanciamento non perfetto
della massa distribuita lungo le pale, ad entrare in gioco in questo caso è la
forza centrifuga risultante non nulla originata dalla mancata simmetria delle
masse.
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Gli effetti possono non essere trascurabili a livello strutturale ed è quindi
necessario valutarne l'effetto, per di più possono anche essere causa di
disturbi nei sensori di controllo tali da negare la controllabilità o addirittura
causare il ribaltamento del velivolo [18].
L'eccentricità di massa di un'elica è facilmente individuabile e risolvibile
ponendo l'elica libera di ruotare su un albero orizzontale di modo che
l'estremità più pesante ruoti verso il basso, a quel punto si può limare la massa
eccedente o aggiungerne dal lato leggero, nel concreto esistono mezzi più
raffinati per valutare lo sbilanciamento ma il principio è quello descritto.
La Figura 3.4.1 mostra la visualizzazione grafica della problematica.
Figura 3.4.1 Schematizzazione della configurazione sbilanciata
Dato il numero di giri n al quale ruota il rotore se ne ricava la velocità
angolare:
e la forza centrifuga:
ω=2π⋅n
60
F=m⋅r⋅ω2
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dove m è la massa sbilanciata e r è la distanza rispetto all'asse alla quale è
posta.
L'intento è quello di verificare in via teorica l'effetto di una problematica di
questo tipo sul nostro modello, provando a ipotizzare valori verosimili e
calcolando gli effetti risultanti.
Inizialmente svolgiamo i ragionamenti nella condizione di hovering come
fatto finora considerato finora e alla quale conosciamo la spinta e il numero di
giri.
Avendo scelto l'elica possiamo supporre la massa di sbilanciamento pari al
1‰ della massa del rotore
e la sua distanza dall'asse di rotazione dell'elica pari a metà del raggio della
pala:
La velocità angolare del rotore è già stata calcolata nel Paragrafo 3.1 e vale
ω=450,29 rad/s.
E' ora possibile calcolare la forza centrifuga agente sulla massa di
sbilanciamento
La forza risultante, pur avendo imposto uno sbilanciamento molto piccolo,
risulta non trascurabile infatti ammonta al 10 % circa della spinta erogata da
ogni rotore.
La componente di tale forza centrifuga ortogonale all'asse del braccio di
sostegno e responsabile di una sua vibrazione flessionale, avrà andamento
sinusoidale raggiungendo il massimo quando l'elica sarà orientata
M E=4,66⋅28,3495=132,11 g ; m=M E
1000=0,132 g
r=D
4=
19⋅2,54
4=12,07cm
F=0,000132⋅0,1207⋅450,292=3,23 N
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perpendicolarmente al braccio, ossia la configurazione mostrata in Figura
3.4.2.
Figura 3.4.2 Braccio di sostegno con elica e motore
Considerando la configurazione di partenza con l'estremità sbilanciata
sovrapposta al braccio l'andamento della componente della forza ortogonale
all'asse del braccio sarà:
Questa forza può raggiungere valori elevati a causa della alta velocità di
rotazione del rotore può quindi risultare che su una determinata elica il valore
del prodotto tra massa di sbilanciamento e distanza di questa dall'asse rotorico
non sia accettabile poiché andrebbe a sollecitare a fatica la struttura, in questo
caso si può riequilibrare il rotore, essendo questo simmetrico, in due modi:
eliminando, utilizzando panni o carte, materiale dalla pala sulla quale è
presente l'eccesso di massa o aggiungendo all'estremità della pala opposta una
quantità di materiale di massa tale che il rapporto massa raggio della pala sia
pari al rapporto tra la massa di sbilanciamento e la distanza di questa dall'asse
rotorico come si effettua per l’equilibratura degli pneumatici.
F y=F sin(ωt )
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Tra le due opzioni è caldamente consigliata la prima perché evita il rischio
che si verifichi il distacco del materiale aggiunto, l’asportazione deve
comunque essere effettuata meticolosamente per non degradare
eccessivamente il profilo delle pale.
Per avvalorare quanto appena assunto si calcola la sollecitazione massima
che può produrre sulla struttura lo sbilanciamento supposto, questo si
otterrebbe alla massima velocità di rotazione.
Per ottenere la massima velocità di rotazione ammissibile ci si basa
nuovamente sulle specifiche del produttore dei rotori che stabilisce i limiti di
utilizzo [4]. Nel caso in esame si ha:
La forza centrifuga massima risulterebbe, quindi, essere
La quale è estremamente elevata a sottolineare quanto sia fondamentale
procedere all’eliminazione della massa di sbilanciamento prima del
montaggio del rotore e del suo conseguente utilizzo.
RPM MAX =105,000
propeller diameter (inches)=
105000
19≃5500
F MAX =0,000132⋅0,1207⋅(5500⋅2 π
60)
2
=5,29 N
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4 Conclusioni e sviluppi futuri
Lo studio eseguito ha permesso l'analisi delle vibrazioni di un braccio di un
multirotore, nello specifico un ottocottero, utilizzando la struttura ideata da G.
Cerqua [3] in fase di avanprogetto, della quale egli ha studiato la
conformazione ottimale.
Dopo aver identificato i motori e le eliche consone al velivolo, è stata stimata
l'entità della forza indotta sul braccio di sostegno dal flusso d'aria generato dal
rotore; da questa stima si è potuto evincere che questo effetto è, in prima
approssimazione, trascurabile.
Sono state in seguito individuate analiticamente le frequenze di risonanza e i
corrispondenti valori di velocità di rotazione dell'elica in RPM,
successivamente i risultati ottenuti sono stati confermati tramite simulazioni
numeriche. Dai risultati ottenuti è stato possibile concludere che quando il
velivolo è in una situazione di volo a punto fisso, hovering, la frequenza alla
quale girano i rotori è sufficientemente distante da quelle proprie di risonanza
quindi in questa condizione non si presenta il rischio che si verifichi
risonanza.
Nel seguito viene consigliato un sistema di controllo per evitare che in tutte
le situazioni in cui sia richiesto per esigenze operative di stazionare per un
tempo non breve in prossimità delle velocità a rischio, ad esempio in volo
rettilineo uniforme, non insorga risonanza nei bracci dell'ottocottero. Questo
sistema si avvale della simmetria del velivolo ottenendo la trazione necessaria
nella condizione critica tramite spinte, e quindi velocità di rotazione dei
rotori, differenti a quattro a quattro, così facendo la risultante della trazione
complessiva non cambia, ma in ogni braccio è scongiurata la possibilità che si
verifichi risonanza. Lo studio di questo sistema e la sua implementazione
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possono essere oggetto di studi che dovranno essere effettuati
successivamente.
In merito alle analisi FEM sui modi di vibrazione della struttura, esse si sono
rivelate affidabili e hanno fornito risultati in linea con le valutazioni
precedenti pur avendo dovuto imporre delle semplificazioni per mancanza di
dati soprattutto per quanto riguarda il motore, in tal senso è possibile
sicuramente identificare dei margini di miglioramento nella modellazione
completa del motore e nella revisione dell'elica per adeguarla alla versione
reale.
Infine è stato valutato l'effetto di un ipotetico sbilanciamento sul rotore e si è
constatato che, seppur la massa di bilanciamento fosse piccola, è
fondamentale prima del montaggio del rotore procedere ad un suo
bilanciamento nelle modalità descritte nel paragrafo a questo dedicato.
Gli sviluppi futuri possono riguardare l'analisi fluidodinamica per lo studio
del campo di moto a valle dell'elica come già indicato nel Paragrafo 5.2
attraverso l'utilizzo di metodi sperimentali o numerici (CFD).
Infine sarebbe senza dubbio consigliabile la valutazione in merito
all'autonomia, ottimizzando la scelta e la distribuzione delle batterie, e alla
ripartizione tra le riserve di energia e il cosiddetto “carico pagante”, che può
essere rappresentato da strumenti di ripresa fotografici o video. In tal senso si
consiglia quindi l'elaborazione di un diagramma di utilizzo che mostri
l'andamento del momento di trasporto in funzione dello spazio percorso.
Bibliografia [1] http://www.wired.it/gadget/accessori/2014/04/30/anche-droni-hanno-
il-loro-regolamento/
[2] http://www.quadricottero.com/2013/12/regolamento-enac-sui-droni-
esempio-di.html
[3] Cerqua G., Avanprogetto di multirotori avanzati ad elevato carico
utile, Tesi di laurea in Ingegneria Aerospaziale, Politecnico di Torino,
2014
[4] http://www.apcprop.com/
[5] https://www.aerolab.de/brushless-motoren/t-motor-u-serie/t-motor-
u8-kv170/a-502428/
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coupling system, in Engineering Structures, v. 56, pp. 954-
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[11] DiCesare A., Gustafson K., Lindenfelzer P., Design Optimization
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Ingegneria Aerospaziale e Meccanica, Worcester Polytechnic Institute,
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sorveglianza e il monitoraggio ambientale, Tesi di Laurea Magistrale
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on Sensors in Small–scale Unmanned Aerial Vehicle, in IOSR Journal
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