ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSIT DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLT DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA CIVILE DISTART Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, dei Trasporti, delle Acque, del Rilevamento, del Territorio TESI DI LAUREA IN TEORIA DELLE STRUTTURE LS ANALISI NUMERICA DI STRUTTURE AD ARCO SOLLECITATE NEL PIANO DA FORZANTI DINAMICHE Tesi di Laurea di: Luca Fini Relatore: Chiar.mo Prof. Erasmo Viola Correlatore: Dott. Ing. Francesco Tornabene Anno Accademico 2006-2007Indice Prefazione...................................................................................................................... VII 1METODO GENERALIZZATO DI QUADRATURA DIFFERENZIALE......................1 1.1Introduzione ...........................................................................................................1 1.1.1Metodi numerici e quadratura differenziale .....................................................1 1.1.2Genesi del G.D.Q. Method..............................................................................4 1.1.3Origine del Metodo di Quadratura Differenziale..............................................9 1.1.3.1Quadratura Integrale...............................................................................9 1.1.3.2Quadratura Differenziale....................................................................... 10 1.1.4Analisi di uno spazio vettoriale polinomiale .................................................. 12 1.1.4.1Definizione di uno spazio vettoriale lineare ........................................... 12 1.1.4.2Propriet di uno spazio vettoriale lineare .............................................. 15 1.1.5Approssimazione funzionale ......................................................................... 18 1.1.5.1Approssimazione polinomiale ................................................................ 18 1.2Formulazione matematica del G.D.Q. Method ...................................................... 26 1.2.1Introduzione.................................................................................................. 26 1.2.2Calcolo dei coefficienti per le derivate del primo ordine................................ 28 1.2.2.1Approcci di Bellman .............................................................................. 28 1.2.2.1.1Primo approccio di Bellman........................................................... 28 1.2.2.1.2Secondo approccio di Bellman ....................................................... 30 1.2.2.2Approccio di Quan e Chang................................................................... 31 1.2.2.3Approccio generale di Shu..................................................................... 32 1.2.3Calcolo dei coefficienti per le derivate di ordine superiore al primo............... 40 1.2.3.1Coefficienti di ponderazione per le derivate di secondo ordine .............. 40 1.2.3.1.1Approccio di Quan e Chang ........................................................... 41 1.2.3.1.2Approccio generale di Shu.............................................................. 41 1.2.3.2Coefficienti per le derivate di ordine superiore: formule ricorsive di Shu......................................................................... 43 1.2.3.3Approccio mediante la moltiplicazione matriciale.................................. 48 IV 1.2.4Estensione al caso multidimensionale............................................................ 51 1.2.5Tipologie di discretizzazione......................................................................... 60 1.2.5.1Tecnica dei -Sampling Points......................................................... 65 1.2.5.2Esempio di discretizzazione di un dominio lineare ................................. 68 2FORMULAZIONE DINAMICA DI ARCHI PIANI .................................................... 73 2.1Introduzione ......................................................................................................... 73 2.1.1Definizioni .................................................................................................... 73 2.1.2Teoria di Timoshenko: ipotesi fondamentali.................................................. 77 2.2Analisi della deformazione ................................................................................... 78 2.2.1Modello cinematica....................................................................................... 78 2.2.2Equazioni di congruenza ............................................................................... 79 2.3Legame costitutivo e caratteristiche di sollecitazione interna ................................ 83 2.4Equazioni indefinite di equilibrio.......................................................................... 85 2.4.1Vettore delle forze esterne............................................................................. 85 2.4.2Determinazione delle equazioni indefinite di equilibrio mediante il principio di Hamilton.................................................................. 86 2.4.2.1Calcolo dei termini energetici e di lavoro .............................................. 88 2.4.2.2Variazioni dei termini energetici e di lavoro .......................................... 89 2.4.3Determinazione delle equazioni indefinite di equilibrio mediante il metodo diretto............................................................................. 96 2.4.3.1Applicazione del principio dei lavori virtuali ....................................... 100 2.5Equazioni fondamentali e schema delle teorie fisiche.......................................... 105 2.5.1Introduzione................................................................................................ 105 2.5.2Equazioni fondamentali............................................................................... 106 2.5.3Schema delle teorie fisiche.......................................................................... 108 2.5.3.1Notazioni matriciali ............................................................................. 108 2.5.3.2Schema delle teorie fisiche................................................................... 111 2.6Principali tipologie di arco.................................................................................. 112 2.6.1Arco parabolico........................................................................................... 113 2.6.2Arco cicloidale............................................................................................ 116 2.6.3Arco ellittico e circolare .............................................................................. 117 2.6.4Arco a forma di catenaria ............................................................................ 122 V 3SOLUZIONE NUMERICA MEDIANTE G.D.Q. METHOD E DIFFERENZE FINITE........................................................................................... 125 3.1Introduzione ....................................................................................................... 125 3.2Definizione e risoluzione del sistema di equazioni .............................................. 127 3.2.1Equazioni di campo e condizioni al contorno............................................... 127 3.2.2Determinazione delle condizioni iniziali...................................................... 129 3.2.3Soluzione del problema in regime dinamico mediante lalgoritmo di Fung ...................................................................... 132 3.2.3.1Algoritmo di Fung ............................................................................... 133 3.2.4Calcolo della soluzione nei punti bounded del dominio spaziale.................. 135 3.3Risoluzione del problema mediante il metodo di Newmark................................. 136 3.3.1Metodo di Newmark.................................................................................... 136 3.3.2Applicazione dellalgoritmo di Newmark.................................................... 140 3.4Algoritmo di calcolo........................................................................................... 142 3.4.1Definizione del modello geometrico-meccanico .......................................... 142 3.4.1.1Definizione della geometria dellasse di riferimento ............................ 142 3.4.1.2Caratteristiche della sezione trasversale.............................................. 146 3.4.1.3Parametri dei materiali........................................................................ 150 3.4.2Definizione delle condizioni al contorno ..................................................... 151 3.4.2.1Condizioni di vincolo........................................................................... 151 3.4.2.2Condizioni di continuit....................................................................... 153 3.4.3Carichi agenti sulla struttura........................................................................ 160 3.4.3.1Azioni distribuite ................................................................................. 160 3.4.3.2Forze e momenti concentrati................................................................ 167 3.4.3.3Cedimenti vincolari anelastici.............................................................. 169 3.4.4Discretizzazione del modello....................................................................... 172 3.4.5Analisi statica e determinazione delle condizioni iniziali di spostamento..... 175 3.4.6Analisi dinamica ......................................................................................... 176 3.4.6.1Introduzione dei dati ............................................................................ 176 3.4.6.2Risoluzione del sistema........................................................................ 183 4APPLICAZIONI DELLALGORITMO DI CALCOLO............................................. 185 4.1Introduzione ....................................................................................................... 185 VI 4.2Parametri geometrici e dei materiali.................................................................... 186 4.2.1Parametri geometrici ................................................................................... 186 4.2.2 Parametri dei materiali ................................................................................. 188 4.3Risultati delle applicazioni.................................................................................. 189 4.3.1Arco parabolico........................................................................................... 189 4.3.2Arco ellittico ............................................................................................... 195 4.3.2.1Continuit materiale............................................................................ 197 4.3.2.2Cerniera .............................................................................................. 201 4.3.2.3Fessura................................................................................................ 205 4.3.3Arco circolare ............................................................................................. 209 4.3.3.1Doppio incastro................................................................................... 211 4.3.3.2Estremit sinistra incastrata ed estremit destra vincolata con un incastro scorrevole orizzontale.................................. 215 4.3.4Arco cicloidale............................................................................................ 219 4.3.4.1Doppio incastro................................................................................... 221 4.3.4.2Estremit sinistra incastrata ed estremit destra vincolata con un incastro scorrevole radiale........................................ 225 4.3.5Arco a forma di catenaria ............................................................................ 229 4.3.5.1Doppio incastro................................................................................... 231 4.3.5.2Doppio appoggio................................................................................. 235 4.3.6Analisi sismica............................................................................................ 239 4.3.6.1Arco parabolico................................................................................... 241 4.3.6.2Arco ellittico........................................................................................ 245 4.3.6.3Arco circolare...................................................................................... 249 4.3.6.4Arco cicloidale .................................................................................... 253 4.3.6.5Arco a forma di catenaria.................................................................... 257 4.3.7Archi a sezione variabile ............................................................................. 261 4.3.7.1Arco circolare a sezione linearmente variabile .................................... 261 4.3.7.2Arco parabolico a sezione variabile in maniera quadratica ................. 267 4.3.8Analisi del moto libero................................................................................ 273 Bibliografia.................................................................................................................... 279 Ringraziamenti............................................................................................................... 283Prefazione LapresentetesinascedallinteresseneiconfrontidellaTeoriaeMeccanicadelle Strutture,insegnamentichehannorappresentatoicardinidelmiopercorsoformativo universitario. Lobiettivo di questa trattazione quello di analizzare il comportamento dinamico delle principali tipologie di strutture ad arco tramite lapplicazione del Metodo Generalizzato di QuadraturaDifferenzialeedivalutarelavaliditditaletecnicaconriferimentoaduna tecnica numerica classica quale il Metodo di Newmark. Sebbeneleapplicazionididinamicastrutturaleneivaricampidellingegneriasiano molteplici,questesonosempregovernatedarelazionidifferenzialicuisonoassociate adeguatecondizionialcontornoeiniziali.Ingenerenonrisultapossibiledeterminarela soluzioneanaliticadelfenomenoindagato,cispessodovutoallageometriadel problemaoallacomplessitdellecondizionialcontornocheaffiancanoleequazioni governanti. Per questo motivo in ambito ingegneristico vengono ampiamente sfruttate delle tecnichenumeriche,checonsentonoditrasformareilproblemadifferenzialeinun problema algebrico e di ottenere una soluzione approssimata, ma comunque accettabile. Lelaboratostrutturatoinquattrocapitoli,neiqualisifornisceunesaurientebase teorica per affrontare compiutamente lanalisi dinamica delle strutture ad arco ed in seguito vengono illustrati i risultati dellapplicazione del G.D.Q. Method e del metodo di Newmark per la risoluzione dei problemi dinamici inerenti tali strutture. Il primo capitolo si propone di esporre in maniera esaustiva i fondamenti matematici su cuisibasailG.D.Q.Methodconparticolareattenzioneaidueaspettifondamentalidel metodo:lemodalitdicalcolodeicoefficientidiponderazioneinbaseallaQuadratura DifferenzialePolinomialeeletipologiedidiscretizzazionemaggiormenteimpiegate nellapplicazione di tale tecnica. NelsecondocapitoloriportatalaFormulazioneDinamicadiArchiPiani;in particolaresisonodapprimaricavateleequazionidicongruenzamedianteilmetodo diretto,sisonodefiniteleequazionidilegamecostitutivoelasticoesonostatededottele equazioniindefinitediequilibriomediantelapplicazionedelprincipiodiHamilton. Successivamentestatoseguitoilpercorsoinverso,ovverosisonoricavateleequazioni Applicazioni dellAlgoritmo di Calcolo VIII indefinitediequilibrioinambitodinamicomedianteilmetododirettoesonopoistate determinateleequazionidicongruenzatramitelapplicazionedelprincipiodelleforze virtualieconsiderandoleequazionidilegamecostitutivoelasticodefiniteinprecedenza. Unavoltanoteleequazioniindefinitediequilibrio,leequazionidilegamecostitutivo elasticoeleequazionidicongruenza,statopossibiledefinireleequazionifondamentali chegovernanoilproblemadelmoto.Lapartefinaledelsecondocapitolodedicataalla descrizione della geometria delle principali tipologie di arco. Ilterzocapitolocostituisceilnucleoprincipaledellatrattazione;infatti,dopoaver fornitolenecessariebasiteoricheneicapitoliprecedenti,inquestocapitolosiprocede allapplicazionedellatecnicadiquadraturadifferenzialealleequazionifondamentaliche governanoladinamicadellarcopianoedalleequazionichedefinisconolecondizionial contornoelecondizioniiniziali.Inquestomodosiottieneunsistemaalgebricochepu esserefacilmenterisoltomediantelausiliodiuncalcolatore.Nelcapitoloinquestione vieneinseguitoillustratalateoriaallabasedelmetododiNewmarkesiprocedeanche allapplicazioneditaletecnicaalproblemadifferenzialedelmotoforzatoperottenereun ulterioresistema algebrico.Leoperazioni finora descrittepossono essere implementatein uncodicedicalcolocheprovvedeallasoluzionedeisistemialgebriciottenuti,il funzionamento di tale algoritmo viene illustrato nella parte finale del terzo capitolo. Nel quarto capitolo sono riportati i risultati di numerose applicazioni svolte mediante il codicedicalcolodescrittonelcapitoloprecedente.Inparticolaresisonoeseguiteanalisi dellarispostadinamicastrutturalesottolazionedivarieforzanti,compresalazione sismica,eanalisidelmotolibero,iltuttopermolteplicitipologiediarcoeperdiversi andamentidellasezionetrasversale.Pertutteleapplicazioni,sonoriportatelesoluzioni determinate con entrambe le tecniche descritte in precedenza, al fine di operare il confronto trairisultatievalutarelavaliditdelG.D.Q.Methodnelrisolvereilproblemadelmoto forzato per le strutture in esame. Capitolo 1 Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 1.1INTRODUZIONE 1.1.1Metodi numerici e quadratura differenziale IlMetododiQuadraturaDifferenzialeGeneralizzato,oG.D.Q.Method,unatecnica numericadioriginepiuttostorecentecheconsentedirisolvere,inmanieraapprossimata, sialeequazionidifferenzialiallederivatetotalisiaquelleallederivateparziali.Tale metodohaunagrossavalenzadalpuntodivistaingegneristicodalmomentochemolti problemi di questo tipo sono governati da simili relazioni affiancate ad adeguate condizioni alcontorno.Peresempio,lanalisideiflussideifluidiNewtonianimodellatatramitele equazionidiNavier-Stokes;leanalisistaticaedinamicadistrutturemonodimensionali, pianeespazialisonogovernatedadiversitipidiequazionidifferenzialiallederivate parzialiototali;iproblemiriguardantileondeacusticheelemicroondesonosimulati tramitelequazionediHelmholtz.Ilfattochelasoluzioneinformachiusadiqueste equazionirisultaalquantodifficilehaindottoiricercatoriasvilupparediversimetodi approssimati tra cui il G.D.Q. Method. Inmolticasi,lasoluzioneapprossimatarappresentataattraversolusodivalori funzionaliindeterminatipuntideldominio(puntidigrigliaomeshpoints).Inunprimo Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 2 momento, lecito dubitare della relazione esistente tra essi e le derivate presenti allinterno dellequazionedifferenziale.Leincertezze,per,vengonoimmediatamentechiaritedal fattocheesisteunpontecolleganteidueaspetti;inparticolare,talecollegamento definitodallatecnicadidiscretizzazionenumericaelasoluzioneapprossimatachene consegue viene definita come la soluzione numerica del problema. Come tecnica numerica, il G.D.Q. Method unevoluzione delloriginale D.Q. Method ed appartiene alla classe dei metodi spettrali. Lo sviluppo di questa procedura, allo stesso mododituttiicriterididiscretizzazionenumerica,statofavoritodalrapidosviluppo tecnologicodelcalcolatoregrazieacuisiriesconoadarerispostealquantoceleriaivari quesitipropostidallingegneriamoderna.Ilvantaggioditalemetodo,rispettoalleusuali tecnichenumerichedidiscretizzazioneusatefinoallasuaintroduzione, che consentedi raggiungere precisioni pi elevate con un minor sforzo computazionale. Per tale motivo, il G.D.Q.Methoddiventatounavalidaalternativaaquesteproceduretra cuispiccanoper importanzailMetododelleDifferenzeFinite,oF.D.Method,ilMetodoagliElementi Finiti,oF.EMethod,edilMetododeiVolumiFiniti,oF.VMethod.Questiultimi rientranosottolacategoriadeimetodidiordineinferiorementreimetodispettralie pseudospettralifannopartedeicosiddettimetodiglobali.Letecnichenumeriche maggiormente utilizzate nella meccanica strutturale sono il metodo alle differenze finite ed il metodo agli elementi finiti. Il primo metodo si sviluppato attorno agli anni '50, mentre il secondo nato agli inizi degli anni '60. Neglianni70statointrodottoilMetododiQuadraturaDifferenziale.Detto procedimentoappartieneaimetodispettraliepseudospettraliecostituisceunatecnica numericaapprossimataperlarisoluzionedisistemidiequazionidifferenziali,siaalle derivate totali che alle derivate parziali.Isuddettitreprocedimentinumerici,chesonoapplicaticonsuccessoancheinvari settori della fisica e dellingegneria non strutturale, hanno la capacit di ricavare soluzioni accurate in dipendenza dello sforzo computazionale richiesto. Perottenererisultatiprecisi,ingenerale,sirichiedeunnumeroelevatodigradidi libert.Ciprovocalaumentoesponenzialedelleoperazioninumericheedeltempodi calcolo. Il D.Q. Method ha destato notevole interesse per la sua estrema semplicit applicativa e perilbassocostocomputazionale.Essohafornitorisultatiampiamentesoddisfacentied interessanti, analoghi a quelli ottenuti mediante metodologie numeriche pi consolidate. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 3 Il metodo degli Elementi Finiti la pi diffusa e sviluppata tecnica numerica, che viene applicatanellamaggiorpartedeiproblemidiinteressescientifico.Permettediottenere risultati molto buoni attraverso lutilizzo di un elevato numero di punti nodali, in cui viene discretizzato il dominio da analizzare mediante unopportuna meshatura. I metodi spettrali e pseudospettrali, invece, forniscono risultati interessanti anche facendo uso di pochi punti nodali.IlmetododiQuadraturaDifferenzialestatosviluppatopercalcolaresoluzionidi sistemi di equazioni alle derivate parziali, utilizzando solo pochi punti nodali nel rispettivo dominiodisoluzione.Inorigine,dettometodonatocomesolutoredirettodisistemi, lineari e non lineari, di equazioni differenziali a coefficienti variabili.Il cuore della tecnica numerica in parola consiste nellapprossimazione della derivata di ordinegenerico,diunaqualsiasifunzionesufficientementeregolare,valutatainunpunto del dominio di definizione. Tale approssimazione si esprime attraverso una combinazione lineare dei valori assunti dalla funzione medesima nei vari punti in cui stato discretizzato il suo dominio. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 4 1.1.2Genesi del G.D.Q. Method Comeaccennatonelparagrafoprecedente,lasoluzioneanaliticainformachiusadi molti problemi ingegneristici risulta assai onerosa tanto che si reso necessario procedere attraversometodichefornisserodellesoluzioniapprossimate.Leprimetecnichedi discretizzazione numerica effettivamente valide vennero sviluppate a partire dagli anni 50. Inparticolare,ataliannirisalelosviluppodelMetododelleDifferenzeFinite(F.D.M.), mentrerelativaaglianni60laffermazionedelMetodoagliElementiFiniti(F.E.M.)e delMetododeiVolumiFiniti(F.V.M.).Traquestetreprocedure,quellapidiffusae sviluppata risulta sicuramente il F.E.M.; un metodo basato su principi variazionali, mentre ilF.D.M.eilF.V.M.sonofondatirispettivamentesullespansioneinseriediTaylore sullapplicazionedirettadellaleggediconservazionefisicaallecellefinite.Apartireda questeprocedure,variricercatorihannopoisviluppatoaltretecnichechesipossono inserire allinterno della cosiddetta classe dei metodi spettrali tanto da poter apparire come unulterioresviluppodeglischemididiscretizzazionenoticolnomedi metodideiresidui pesati.Glielementichiavediquestenuoveproceduresonolefunzionibaseelefunzioni peso; un aspetto che fa notare la relazione esistente tra il F.E.M. ed i metodi spettrali stessi. Infattientrambiutilizzanodellefunzionibase(ofunzionitest)perapprossimarela soluzioneancheselasceltadi esseamostrare unadelledifferenzecaratteristichetrale dueclassi.Perlaprecisione,mentrelefunzionibasedeimetodispettralihannopropriet globali,quelledausarenelF.E.M.sonodaspecificareperognielementoincuiviene discretizzatoildominioessendoquestultimosuddivisoinpiccoleporzioni.Inquesto modo,lefunzionibasehannocaratterelocaletantodaessereutiliperlanalisidelle geometriepicomplesse.Atalpropositosipuaffermarecheimetodispettrali,pur essendounestensionedelF.E.M.,sipresentano,atuttiglieffetti,comeunatecnicadi approssimazione sullintero dominio. Quantodettononsignificacheicosiddettimetodidiordineinferioredebbanoessere accantonati anche perch esistono molte simulazioni numeriche di problemi ingegneristici che possono venire tranquillamente eseguite con essi. Difatti, esistono alcune applicazioni pratiche in cui viene richiesta la soluzione delle equazioni differenziali solo in alcuni punti deldominiofisico.Ilproblemache,perottenereunaccettabilegradodiprecisionenei puntispecificati,talimetodirichiedonounnumeroassaielevatodipuntidigriglia.Un esempiodiquantodettoriscontrabilenellanalisidellevibrazioni.Attraversola Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 5 discretizzazionenumericadelle equazionigovernanti,sipervieneadunsistemarisultante di equazioni algebriche che fornisce come autovalori le pulsazioni del problema dinamico in esame. La dimensione di questo sistema solitamente uguale al numero di punti interni concuisidiscretizzatoildominioinmododaottenereancheilmedesimonumerodi autovalori. Traessi,soloquellirelativiaiprimimodidivibraresonosignificativipercui,per ottenerli, sembrerebbe sufficiente una discretizzazione minima. In realt non cos perch, perotteneredeivaloriaccuratiperlepulsazionipibasse,necessariousareunelevato numerodipuntinodalianchesequestosignificadoverricavarealcunivalorichenon interessano. La soluzione delproblema fatta in questi termini porta, quindi, ad un elevato immagazzinamentodidatieadunnotevolesforzocomputazionale.Tuttavia,tali inconvenienti possono essere superati se si passa a considerare i metodi di ordine superiore equelliglobali.Infatti,conessisiriesceadottenerelostessogradodiprecisione utilizzando una mesh maggiormente diradata rispetto a quella usata con i metodi di ordine inferiore. Ci significa che i metodi di ordine superiore sono capaci di concedere soluzioni numericheottimaliusandounnumeromoltolimitatodipuntinodaliconladiretta conseguenzadifarcaderelascelta,inmododeltuttonaturale,suimetodispettraliper raggiungere i propri scopi. Al giorno doggi, il loro utilizzo ha avuto un grosso successo in diversi campi quali la modellazione delle turbolenze, le previsioni meteorologiche, lanalisi non lineare delle onde, la modellazione sismica, ecc. Daltraparte,nelcercareunefficientetecnicadidiscretizzazionechepermettessedi otteneredellesoluzioninumerichepreciseusandounameshridotta,alcuniricercatori svilupparono il cosiddetto D.Q. Method. Tale tecnica venne introdotta da Bellman e i suoi collaboratori allinizio degli anni 70 estendendo il concetto di quadratura integrale alla definizionediunaderivataparzialeototalediunafunzionefattarispettoadunasua variabile.Perlaprecisione, essiproposerodiapprossimareladerivataparzialeototaledi una qualsiasi funzione regolare, nellintorno di un generico punto del suo dominio, con una sommatorialinearepesatadeivaloriassuntidallafunzionestessaintuttiipuntiincui statodiscretizzatoildominiolungoladirezionediderivazione.Efacileintuirecomela chiave di questo metodo non sia tanto la discretizzazione del dominio quanto la definizione deicoefficientidiponderazioneperogniordinediderivazione.Bellmaneisuoi collaboratorisuggerironoduevieperdeterminaretalicoefficientirelativialprimoordine di derivazione: la prima consiste nel risolvere un sistema di equazioni algebriche mentre la secondausaunasempliceformulazionealgebricaconlobbligo,per,discegliereipunti Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 6 dellameshcomeradicideipolinomishiftatidiLegendre.Leprimeapplicazionidel D.Q.M.usaronoproprioquesti criteripercalcolarei coefficientidiponderazione conuso prevalente del primo vista la possibilit di scegliere arbitrariamente le coordinate dei punti digriglia(ilsecondoapprocciorisultavatropporestrittivodaquestopuntodivista). Sfortunatamente, anche se i primi risultati mostrarono segni di grande potenzialit, pure il primo approccio present degli inconvenienti. Quando lordine del sistema delle equazioni algebricheeraelevato,lamatrice adessoassociatarisultavamalcondizionata.Daquesto fattoderivladifficoltdiottenereicoefficientidiponderazionenelcasosivolesse utilizzare un ampio numero dipunti nodali. Questa probabilmente la ragione del perch leprimeapplicazionicolD.Q.M.vennerosvolteusandosolamenteunnumerodipunti inferiore,oalmassimouguale,a13.Persuperareentrambegliostacolirelativialla valutazioneditalicoefficientivennerofattidiversisforzi.Civan(1989)dimostrchela difficoltcomputazionaledelprimoapprocciodiBellmaneradovutaalcaratteredella matricediVandermonde(matriceassociataalsistemadiequazionialgebriche);una matricecheapparecomunementeinmoltiproblemiingegneristici.Lanotorietdiessae delrelativosistemadiequazioniavevagipermessolosviluppodialcunialgoritmi speciali per la sua soluzione tra cui da ricordare quello di Bjrck e Pereyra (1970). Tale algoritmo si dimostr assai efficiente dal momento che permise di calcolare accuratamente icoefficientidiponderazioneconlusodipidi31puntidigriglia.Matuttocinon consentiva ancora di valutare tali coefficienti per ordini di derivazione superiore al primo. Un ulteriore miglioramento nel calcolo dei coefficienti di ponderazione venne proposto daQuaneChangnel1989attraversolusodeipolinomiinterpolantidiLagrangequali funzionitest.Inquestomodosiottenneunaformulazioneesplicitapercalcolarei coefficientirelativialladiscretizzazionedelprimoedelsecondoordinediderivazione. Unasoluzioneancoramigliorediquestoproblemavennepoipropostada Shunel1991e daShueRichardsnel1992;unarisoluzionebasatasullapprossimazionepolinomialedi ordine superiore e sullanalisi di uno spazio vettoriale lineare. Con questultimo approccio, icoefficientidiponderazionerelativialprimoordinediderivazionesonodeterminabili attraversounasempliceformulazionealgebricasenzaalcunarestrizionesullasceltadei puntidigriglia,mentrequellirelativialsecondoedagliordinisuperiorisonodefinibili medianteunarelazionericorsiva.Praticamente,intalmodosipropostauna generalizzazionedelcalcolodiquesticoefficientiche,asuavolta,haportatoatradurre loriginaleD.Q.M.nellattualeMetodoGeneralizzatodiQuadraturaDifferenziale,o G.D.Q.Method.Chiaramente,tuttoillavorodescrittofondatosullapprossimazione Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 7 polinomialepercui,comeconseguenzadiquestofatto,ilnominatoG.D.Q.M.puessere consideratounmetododiquadraturadifferenzialebasatosuaspettipolinomiali (P.D.Q.M.).Recentemente,ShueChew(1997)eShueXue(1997)hannoulteriormente sviluppatoalcunesempliciformulazionialgebrichepercalcolareicoefficientidi ponderazione relativi al primo ed al secondo ordine di derivazione qualora la funzione o la soluzionedelleequazionidifferenzialisiaapprossimatatramiteespansioneinseriedi Fourier.QuesteformulazionidelD.Q.M.sonodiversedaquelleclassichepolinomialie taleapprocciopuesseredenominatometododiquadraturadifferenzialebasato sullespansioneinseriediFourier(F.D.Q.M.).Dallanalisidelleconsiderazionisopra esposteevidentecomeifondamentimatematicidelG.D.Q.M.sianodaricercare nellanalisi di uno spazio vettoriale lineare e nella approssimazione funzionale. Pur non disdegnando qualche cenno sulluso delle serie di Fourier, la tecnica numerica cheverrutilizzatafarriferimentoallaquadraturadifferenzialebasata sullapprossimazionepolinomiale;unaprocedurache,comestatoillustratoin precedenza,hasubitounevoluzionenelcorsodegliannipartendodalloriginaleD.Q. MethodfinoadarrivareallattualeG.D.Q.Method.Nellaletteraturatecnicasono disponibiliunavastaseriedirisultatichemostranocome,gidalleprimeesperienze,il G.D.Q.M.sipropostocomeunmetodoadelevatapotenzialitnelcampodellanalisi strutturalegrazieallasuaprecisione,efficienza,semplicitdusoe,soprattutto,alsuo basso costo computazionale. Il D.Q. Method venne esteso a problemi di ingegneria da Civan nel 1978 e da Civan e Sliepcevichnel1983-84.Losviluppodelmetodosiebbeallorchessovenneintrodotto nella risoluzione di problemi di meccanica strutturale (Jang, 1987; Bert, 1988; Jang, 1989), riguardantiprincipalmentelanalisiflessionaleditraviepiastre,incampostaticoe dinamico.Nelleapplicazioniprecedentileequazionidifferenzialinonsuperavanoilsecondo ordine;inoltreessenonavevanopidiunacondizionealcontornoperognibordodel dominiodidefinizione.Nelcasoditravisnelleepiastresottili,adesempio,lequazione differenzialerisultaesseredelquartoordineelecondizionidivincolosonodueperogni bordo.Sidiceanchechelecondizionidivincolosonoridondanti,inquantolequazione del problema una, mentre le condizioni al contorno sono due. Limplementazione di dette condizionirichiedepertantounaparticolareattenzione(Striz,1988;Loo,1991;Fenge Bert,1992;Shu,1991).Leproblematicheconnesseallameccanicastrutturale contribuirono al perfezionamento della metodologia in parola. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 8 Il metodo di quadratura differenziale riconosciuto come unodei metodi numerici per la soluzione delle equazioni differenziali. La generalit e la versatilit di detto metodo sono evidenziate dal notevole numero di pubblicazioni degli ultimi anni. La tecnica in discorso risulta precisa, efficiente e facile da usare. Essa presenta un'elevata potenzialit nel campo dell'analisi strutturale, ove stata applicata anche allinstabilit di travi, piastre, allanalisi dinamicadigusciadoppiacurvatura,archi,impiegandonelcontempodifferentitipidi vincolamentoedicarico.Ilmetododiquadraturatuttoraoggettodinumerosistudidi ampio respiro. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 9 1.1.3Origine del Metodo di Quadratura Differenziale Findalliniziodeglianni70,ilterminequadraturavenivaordinariamenteassociato allavalutazioneapprossimatadiunintegrale.Bellman,assiemeaisuoicollaboratori, mostr come lidea convenzionale della quadratura integrale potesse essere utilizzata in modo semplice e sistematico anche per la soluzione computazionaledi equazioni integro-differenzialiditipolineareenon.Perillustrarnelaportataoccorreinnanzituttoosservare cosasiintendeperquadraturaintegraleperpoiintrodurreilconcettodiquadratura differenziale. 1.1.3.1Quadratura Integrale Unproblemaassaifrequenteinambitoscientificoedingegneristicoriguardala valutazionedellintegralediunafunzione( ) x f nellintervallofinito[a,b].Seesisteuna funzioneintegrale( ) x F taleche( ) ( ) x f dx x dF = ,allorailvalorediquestointegrale fornitoda( ) ( ) a F b F .Sfortunatamente,nellasoluzionediproblemipratici estremamentedifficile,senonimpossibile,ottenereunespressioneesplicitaperla funzioneintegrale( ) x F dalmomentocheivaloridi( ) x f possonoesserenotisoloin determinati punti del dominio. Quindi, in una situazione del genere essenziale luso di un approccio numerico per risolvere il problema. Figura 1.1. Integrale di f(x) in un intervallo finito [a,b]. f(x) x = ax = b x y Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 10 N12i Daltraparte,risaputochelintegralesuddettorappresentalareasottesadalla funzione integranda( ) x fnellintervallo di interesse, come mostra la figura 1.1. In base a questoconcetto,lavalutazionedellintegralepuessereipotizzatacomeequivalentealla definizioneapprossimataditalearea.Estatoseguendoquestastradachesisono sviluppatemoltetecnichenumericheperlequali,ingenerale,lintegralepuessere approssimato nel seguente modo: ( ) ( )1 1 2 21bNN N i iiaf x dx w f w f w f w f x= + + + = (1.1.1) dove iwsono i coefficienti peso e( )if xrappresentano i valori funzionali nei punti ixincuistatosuddivisoildominio.Inaltreparole,sidiscretizzatoildominiodi definizione di( ) f xin Npunti nodali ix ,1, 2, , i N = , che costituiscono il reticolo della discretizzazione. Taleequazioneprendeilnomediquadraturaintegraleesolitamentevieneeseguita selezionando i punti nodali in modo da fornire una distribuzione uniforme degli stessi nel relativo dominio. La forma di questa relazione importante dal momento che rappresenta la scrittura con cui si possono identificare tutte le regole di quadratura convenzionale. 1.1.3.2Quadratura Differenziale Si consideri ora il seguente problema monodimensionale in cui si ha a che fare con una funzione( ) x fsufficientemente regolare definita nellintervallo chiuso [a,b] e si supponga che esso sia discretizzato in N punti di coordinate 1 2 1, , , ,N Na x x x x b= = (figura 1.2): Figura 1.2. Rappresentazione del problema monodimensionale. Seguendoilconcettodiquadraturaintegraleespostoinprecedenza,BellmaneCasti nel1971estesero,peranalogia,laleggediquadraturaintegrale(1.1.1)alcalcolodelle derivatediunafunzione( ) f x .Essisuggerironocheladerivatadelprimoordinedella Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 11 funzione( ) x f fattarispettoadxnelgenericopuntonodale ix puessereapprossimata attraverso una sommatoria lineare pesata di tutti i valori che la funzione stessa assume nei punti di discretizzazione del dominio: ( ) ( )( )( )(1) (1)1,= 1, 2, , iNi i ij jjx xdf xf x f x f x i Ndx== = = (1.1.2) dove i (1)ijsono i coefficienti di ponderazione della sommatoria,( )jx frappresentano i valori funzionali nei punti jxin cui stato suddiviso il dominio e( )ix f ' , oppure( )ix f) 1 (, indica la derivata del primo ordine di( ) x fin ix . I coefficienti (1)ijsono contraddistinti dai pediciiej.Ilpediceiindicailpuntodeldominioincuisivuolecalcolareladerivata generica.Lequazione(1.1.2)prendeilnomediquadraturadifferenziale(D.Q.)e definisce,contestualmente,unoperatorelineare.Sipugiintuiredaquestasemplice applicazione come le fasi fondamentali di questa tecnica numerica siano la discretizzazione del dominio in N punti nodali (definizionedella mesh) e lavalutazione dei coefficienti di ponderazionedellasommatoria.Traledue fasi descritte,ilpunto chiave sicuramentela definizione dei coefficienti di ponderazione che, come si pu notare dallequazione (1.1.2), sonodiversineivaripunti ix deldominio.Infatti,unavoltanoti,lacorrelazionetrale derivatepresentinelleequazionigovernantiilproblemaedivaloridella( ) x f neipunti della mesh stabilita definitivamente. In altre parole, tramite i coefficienti di ponderazione sipossonofacilmenteusareivalorifunzionalipercalcolarelederivatedellafunzione stessa. Successivamente verr mostrato in modo dettagliato come vengono determinati tali coefficientiattraversolanalisidiunospaziovettorialelineareelanalisi dellapprossimazionefunzionale.Primadifarecinecessariospecificareiconcettiele propriet che stanno alle base di tali aspetti. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 12 1.1.4Analisi di uno spazio vettoriale polinomiale Inquestoparagrafo,verrannorichiamateunaseriediconcettieproprietrelativiallo spaziovettorialelinearechesarannoutilizzatenellesezioniseguentiperilcalcolodei coefficienti di ponderazione per lapprossimazione delle derivate mediante il G.D.Q.M. 1.1.4.1Definizione di uno spazio vettoriale lineare UnospaziovettorialelinearerisultadefinitoinuncampoFformatodaunaseriedi elementichiamatiscalariedadueoperazioniqualiladdizione+elamoltiplicazione (o ). Tali operazioni sono definite per soddisfare le seguenti condizioni: 1)AdognicoppiadielementiscalariaebassuntinelcampoF,corrispondonodue elementib a +eb a (oab ) detti rispettivamente somma e prodotto di a e b. 2)Laddizioneelamoltiplicazionesonooperazionichegodonoentrambedella propriet commutativa; infatti, per ogni coppia di scalari a, b assunta nel campo F: , a b b a ab ba + = + = 3)Laddizioneelamoltiplicazionesonooperazionichegodonoentrambedella propriet associativa; infatti, per ogni terna di scalari a, b, c assunta nel campo F: ( ) ( ) ( ) ( ) , a b c a b c ab c a bc + + = + + = 4)Lamoltiplicazioneunoperazionechegodedellaproprietdistributivarispetto alladdizione; infatti, per ogni terna di scalari a, b, c assunta nel campo F: ( ) ( ) ( ) a b c ab ac + = + 5)Il campo F contiene due elementi, rispettivamente 0 e 1, tali che, per ogni scalare a appartenente ad F: 0 , 1 a a a a + = = 6)Per ogni elemento aappartenente ad F, esiste uno scalare b di F tale che: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 13 0 = + b a 7)Per ogni elemento a di F che non sia lo 0, esiste uno scalare c di F tale che: 1 ac = Inbaseallecaratteristicheappenaelencate,sipuosservarechelaseriedioggetti componentiilcampopuessereunqualunqueelencodielementi;unelencoestesonella misura incui le due operazioni riescono ad essere ancora definiteper tali scalari. I campi cheverrannotrattatisonoipifamiliariovveroquellodeinumerirealiequellodelle funzioni razionali a coefficienti reali. Laddizione e la moltiplicazione allinterno di questi due campi sono definite nella maniera usuale. Primadiintrodurreilconcettodispaziovettoriale,siconsideriunpianogeometrico bidimensionale.Unavoltasceltalasuaorigine,ognipuntoappartenentealpianostesso puessererappresentatoattraversounvettoreposizione.Questultimopossiederuna direzione,unintensiteunverso.Seallinternodelpianosiprendonoinesamedue vettori,essipossonoesseresommati,mailloroprodottononrisultadefinito.Usandola terminologiamatematica,unpianochepresentatalicaratteristichevienechiamatospazio lineare,ospaziovettoriale,ospaziovettorialelineareedindicatoconlaletteraV. Quindi, esso formato da unaserie di elementi chiamati vettori,da un campo F e da due operazionidetteaddizionevettorialeemoltiplicazionescalare.Talioperazionisono definite in modo da soddisfare le seguenti condizioni: 1)Adognicoppiadivettori e assuntinellospazioV,corrispondeunvettore + chiamato somma di e . 2)Laddizioneunoperazionechegodedellaproprietcommutativa;infatti,per ogni coppia di vettori e assunti in V: + = + 3)Laddizione unoperazione che gode della propriet associativa; infatti, per ogni terna di vettori , e assunti in V: ( ) ( ) + + = + + Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 14 4)LospazioVcontieneunvettoreindicatocon0,chiamatovettorenullo(oppure origine), tale che, per ogni vettore appartenente a V: + = 0 5)Per ogni vettore assunto in V, esiste un vettore di Vtale che: + = 0 6)Per ogni elemento c appartenente a F e per ogni vettore appartenente a V, esiste un corrispondente vettorec di V chiamato prodotto scalare di c ed . 7)Lamoltiplicazionescalareunoperazionechegodedellaproprietassociativa; infatti, per ogni coppia a, b di F e per ogni vettore di V: ( ) ( ) ab a b = 8)Lamoltiplicazionescalareunoperazionechegodedellaproprietdistributiva rispettoalladdizionevettoriale;infatti,perognielementoaappartenenteadFe per ogni coppia di vettori e assunti in V: ( ) a a a + = + 9)Lamoltiplicazionescalareunoperazionechegodedellaproprietdistributiva rispetto laddizione scalare; infatti, per ogni coppia di elementi a e b appartenenti ad F e per ogni vettore assunto in V: ( ) a b a b + = + 10)Per ogni vettore appartenente a V ed essendo 1 un elemento di F: 1 = Inbaseallecaratteristicheappenaelencate,notocheilcampoVformaunospazio vettoriale lineare con addizione vettoriale e moltiplicazione scalare. Si consideri ora il set( ) x PN di tutti i polinomi di grado inferiore a N con fattori reali ic : Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 15 11( )NiN iiP x c x==(1.1.3) Eseguendoladdizionevettorialeelamoltiplicazionescalareriferiteadellequantit come la sommatoria appena definita, tali operazioni risultano definite come: ( ) ( )1 1 1 1 11 1 1 1 1,N N N N Ni i i i ii i i i i ii i i i ic x d x c d x a c x ac x = = = = =| |+ = + = |\ (1.1.4) Daquantostatodetto,facileverificareche( ) x PNrisultaunospaziovettoriale lineare. 1.1.4.2Propriet di uno spazio vettoriale lineare Leproprietdiunospaziovettorialelinearechestannoallabasedellosviluppodella quadratura differenziale polinomiale sono le seguenti: LineareIndipendenza:datounsetdivettori 1 2, ,...,N inunospaziovettoriale lineareVdefinitoinuncampoF,essodettolinearmenteindipendentequalora risulti soddisfatta la relazione seguente: 1 1 2 20N Nc c c + + + = (1.1.5) se e solo se verificata la condizione 1 20Nc c c = = = = , dove 1 2, , ,Nc c c sono elementi appartenenti ad F. In base a tale definizione si pu notare che la lineare indipendenza frutto non solo deivettorisceltimaanchedelcampoF.Inoltre,daquestarelazionerisultaanche chiaro che se i vettori 1 2, , ,N sono linearmente dipendenti allora almeno uno di loro pu essere scritto come combinazione lineare dei restanti. Dimensionediunospaziovettorialelineare:ilnumeromassimodivettori linearmenteindipendentiallinternodiunospaziovettorialelineareVdefiniscela dimensione dello spazio vettoriale lineare stesso. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 16 Base o vettori base: un set di vettori linearmente indipendenti assunti in uno spazio vettorialelineareVdettabasediVseunqualsiasivettoreappartenenteaVpu essere espresso comecombinazione lineare dei suddetti vettori di base. SeladimensionedellospaziovettorialelinearepariadN,taleproprietsipu enunciare come segue: in uno spazio vettoriale lineare N-dimensionale (NV ),ogni set di vettori linearmente indipendenti definisceuna base (composta da N vettori). Taleproprietfacilmentedimostrabileedallasuadimostrazionesipudedurre unaspettomoltoimportanteecioche,unavoltasceltalabasediunospazio vettorialelineareN-dimensionale(NV ),ognivettoredi NV puessere rappresentato in modo univoco con una serie di scalari Nd d d ,..., ,2 1 nel campo F. Cambiodibase:inunospaziovettorialelineareN-dimensionale(NV )esistono molti set di vettori di base ed ognuno di essi pu essere univocamente espresso in funzionediunaltrosetdivettoribase.Adesempio,sesiconsideranoduesetdi vettoribase quali 1 2, ,...,N e 1 2, ,...,N appartenenti a NV , tale propriet ci indica che: 1 1,N Ni ij j i ij jj ja b= == = (1.1.6) peri = 1, 2, , Ne dove ijae ijbsono elementi scalari del campo F. Questaproprietovviaepuesserefacilmentederivatadallapropriet precedente. Operatore lineare: una funzione L viene definita un operatore lineare se e solo se: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2L a a a L a L + = + (1.1.7) per qualunque 1 2, dello spazio NVe per qualsiasi 1 2, a adel campo F. Inbaseataleproprietfaciledimostrarechelequazione(1.1.2)unoperatore lineare poich: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 17 ( )( ) ( )1 1 2 2 (1) (1)1 1 2 21 1iN Nij j ij jj jx xa f a fa c f x a c f xx= == + + (1.1.8) dove( ) x f1ed( ) x f2rappresentano duefunzioni monodimensionalidefinitenello stesso dominio. Operatorelineareesetdivettoridibaseinunospaziovettorialelineare:inuno spazio vettoriale lineare N-dimensionale NV , si definiscano 1 2, ,...,N come un setdivettoridibase.Setuttiquestivettorisoddisfanolaproprietdelloperatore lineare,allostessomodoessasarverificatadaognivettoredellospazio NV . Infatti, se tale set di vettori di base soddisfa lequazione lineare: ( ) 0, 1, 2, ,iL i N = = (1.1.9) econsideriamo comeunvettorearbitrariodellospaziovettorialelineare NV , allora avremo che, in base allequazione (1.1.7) ed al fatto di poter interpretare ogni vettore come una combinazione lineare della base: ( ) ( ) ( )1 1 10N N Ni i i i i ii i iL L a L a a L= = =| |= = = = |\ (1.1.10) Operatore lineare e differenti set di vettori di base in uno spazio vettoriale lineare: inunospaziovettorialelineareN-dimensionale NV ,seunsetdivettoribase soddisfa la propriet delloperatore lineare, allo stesso modo essa sar verificata da unaltrosetdiversodalprimo.Infatti,siconsiderino 1 2, ,...,N e 1 2, ,...,N comeduesetdivettoridibasedi NV esisupponga,inoltre,cheilprimodeidue soddisfi lequazione (1.1.9). Se si sfrutta lequazioni (1.1.6) e (1.1.7) si ottiene: ( ) ( ) ( )1 1 10N N Ni ij j ij j ij jj j jL L a L a a L= = =| |= = = = |\ (1.1.11) Essa indica che anche il secondo set di vettori base soddisfa lequazione lineare. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 18 1.1.5Approssimazione funzionale Inrelazioneaquantoaffermatoneiprimiparagrafi,ingeneraledifficile,senon impossibile, esprimere in forma chiusa la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali(P.D.E.).Comunque,ancheselasoluzioneesattanondefinibile,leteorie matematicheassicuranocheunasoluzionepertaliequazioniesisteepuesserestabilita, approssimativamente, mediante tecniche numeriche quali ad esempio il D.Q.M. SipunotarecomelasoluzionedelleP.D.E.siaesprimibile,inmodoesattood approssimato,omedianteunafunzionepolinomialeoppureattraversounafunzione armonica.Sebbenequestenonsianoleunicheformepossibili,esserisultanoledue tipologiebaseconcuipuesserefornitalasoluzionedelleP.D.E.Cisignificache, quando si ricerca una loro soluzione con tecniche numeriche, lapprossimazione funzionale daadottarepuessereunapprossimazionepolinomialediordinesuperioreoppure unespansione in serie di Fourier (funzione armonica). Inoltre si pu osservare che esiste uno stretto legame tra la soluzione e la funzione approssimante adottata. 1.1.5.1 Approssimazione polinomiale Ladescrizionediquestaapprossimazionepolinomialesibasasulprimoteoremadi Weierstrassperilqualese( ) x f unafunzionecontinuaavalorirealidefinita nellintervallochiuso[a,b],alloraesisteunasequenzadipolinomi( ) x PNcheconverge uniformementea( ) x f altenderediNallinfinito.Taleteoremapuessereanche formulatonelseguentemodo:se( ) x f unafunzionecontinuaavalorirealidefinita nellintervallochiuso[a,b]allora,perogni maggioredizero,esisteunpolinomiodi grado( ) N N=tale per cuisia valida la seguente disuguaglianza: ( ) ( )Nf x P x (1.1.12) Nelle applicazioni pratiche, questo teorema consente di dire che, se( ) x frappresenta la soluzione di una P.D.E., allora tale soluzione pu essere approssimata da un polinomio di grado inferiore ad N. La forma convenzionale per esprimere questa approssimazione : Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 19 ( ) ( )11NkN kkf x P x c x= =(1.1.13) dove kcrappresentano delle costanti. Ricordando quanto stato detto precedentemente, ( ) x PNcostituisceunospaziovettorialelineareN-dimensionale NV vistocherispettale operazionidiaddizionevettorialeedimoltiplicazioneperunoscalare.Ovviamente, allinternodiquestospaziovettorialelineare NV ,unsetdivettori(polinomiinforma monomia) 1 2,......, , , 1 Nx x x linearmente indipendente e definisce una base di NV : ( )1, 1, 2, ,kkp x x k N= = (1.1.14) PerottenereunasoluzionenumericadiunaP.D.E.necessarioscoprirequalisonoi valori funzionali in determinati punti del dominio. Dal momento che si sta considerando un intervallo chiuso [a,b] e che ci sono N puntinodali di coordinateb x x x aN i= = ,..., ,...,1, i valori funzionali ricercati sono i vari( )ix f . Ci significa che le costanti kcdellequazione (1.1.13)possonoessereottenuteinbaseallasoluzionedelseguentesistemadiequazioni algebriche: ( )( )( )2 11 2 1 3 1 1 12 11 2 2 3 2 2 22 11 2 3NNNNNN N N N Nc c x c x c x f xc c x c x c x f xc c x c x c x f x + + + + =+ + + + =+ + + + =

(1.1.15) LamatriceassociataatalesistemalamatricediVandermonde.Essarisultanon singolare, quindi invertibile, garantendo che il sistema stesso abbia ununica soluzione per lecostanti 1 2, , ,Nc c c .Solounavoltadefinitetalicostantilecitoaffermarediaver ottenuto lapprossimazione polinomiale desiderata. Daltra parte, per, quando N elevato la matrice di cui sopra altamente mal condizionata e la sua inversione difficoltosa. In tal caso non risulta facile ricavare le costanti attraverso il sistema (1.1.15). Ladifficoltneldefiniretalicostanti,equindiilpolinomioapprossimante dellequazione(1.1.13),puesseresuperataattraversolusodeipolinomiinterpolantidi Lagrange: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 20 ( ) ( ) ( )1NN k kkP x l x f x==(1.1.16) dove:( )( )( ) ( )(1) kk kxl xx x x=L LL LL LL L ( ) ( )( ) ( )1 21( )NN jjx x x x x x x x x== = L LL L( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(1)1 1 11,Nk k k k k k k N k jj j kx x x x x x x x x x x += = = L LL L dove( )(1)x L LL L rappresentaladerivatadelprimoordinedelpolinomio( ) x L LL L .Dallanalisi diquestaequazioneappare chiaroche,unavoltafornitiivalorifunzionali( )kx f negliN puntidelladiscretizzazione,lapprossimazionepolinomialerisultadefinita.Inoltre,tale polinomio presenta un grado inferiore ad N e soddisfa le operazioni di addizione vettoriale edimoltiplicazioneperunoscalareequindipuessereconsideratocomeunpolinomio appartenente allo spazio vettoriale polinomiale NV . Per quel che riguarda i termini( )kl x , con1, 2,..., k N = , essi sono delle funzioni per cui vale la seguente propriet: ( )10k ik il xk i = =(1.1.17) Tali termini sono funzioni polinomiali e quindi possono essere considerati vettori dello spazio vettoriale NV . E possibile notare come essi siano linearmente indipendenti e quindi lecito considerarli come unulteriore base dello spazio vettoriale NV . Sullafalsarigadiquantostatoappenadetto,ilpolinomioapprossimante( ) x PNpu anche essere determinato in altro modo attraverso linterpolazione polinomiale di Newton: ( ) ( )( ) ( )1 1 2 12NN k kkP x a a x x x x x x== + (1.1.18) Apparechiarochetalepolinomiosoddisfaleoperazionidiaddizionevettorialeedi moltiplicazioneperunoscalareoltreadesseredigradoinferioreadN.Questesonole Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 21 condizioninecessarieaffinchessoappartengaallospaziovettorialepolinomiale NV .E inoltreevidentechesipossonoindividuaredeifattoriallinternodellaprecedente espressione; in particolare, tali fattori sono delle funzioni e in quanto tali rappresentano un set di vettori (polinomi) di NV : ( ) ( ) ( )( )1 1 11, , 2, 3, ,k k kn x n x n x x x k N = = = (1.1.19) Essendofacilmentedimostrabilechequestosetdivettorilinearmenteindipendente, esso pu essere anche considerato come base di NV . Si osservi che nellequazione (1.1.18) vi sono anche delle costanti kache possono essere espresse in termini dei valori funzionali neipuntinodali.Dallanalisidiquesti ka sipunotarecome Na siaidenticoalfattore relativo alla potenza pi elevata del polinomio( ) x PN dellequazione (1.1.16) e che: ( )( ) ( )1 1 2 12mk kka a x x x x x x=+ unpolinomiodigradom-1chesoddisfaivalorifunzionalineipunti mx x x ,..., ,2 1. Dallequazione (1.1.16) si ricava direttamente: ( )( )(1)1, 1, 2, ,mkmk m kf xa m Nx== =L LL L (1.1.20) dove: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(1)1 1 11,mm k k k k k k k N k jj j kx x x x x x x x x x x += = = L LL L(1.1.21) Naturalmente, se lapprossimazione polinomiale viene espressa usando altre forme, i set divettoridibasechenederivanopossonoesseredifferentidaquelliconsiderati precedentemente. Peresempio, quando il polinomio approssimante viene definito attraverso lespansione di Legendre: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 22 ( ) ( )11NN k kkP x c L x==(1.1.22) dove kcsono costanti,( )1 kL x il polinomio di Legendre di grado1 k . Anche in questo caso i diversi polinomi di Legendre rappresentano un set di vettori di base. Dalmomento che i polinomi stessi sono le autofunzioni di un problema singolare di Sturm-Liouville, essi possonoveniredefinitirisolvendoquestultimo.Inparticolare,taleproblemaassumela seguente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 (2) (1)1 2 1 0i i ix L x xL x i i L x + + = (1.1.23) dove( )(1)iL xe( )(2)iL xrappresentano, rispettivamente, le derivate del primo e del secondo ordinedelpolinomio( )iL x .Dallasuasoluzionesipunotarecomeivaripolinomidi Legendre soddisfino la seguente relazione ricorsiva essendo( ) 10= x Le( ) x x L =1: ( ) ( ) ( )1 12 11 1i i ii iL x xL x L xi i+ += + +(1.1.24) Di seguito sono rappresentati i primi sette polinomi di Legendre: ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0122334 245 356 4 26113 1215 32135 30 38163 70 1581231 315 105 516L xL x xL x xL x x xL x x xL x x x xL x x x x=== = = += += + (1.1.25) Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 23 I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo [-1,1] rispetto al "peso" ( ) 1 x =e la condizione di ortogonalit espressa tramite la relazione: ( ) ( )110 se2se2 1m nm nL x L x dxm nn+ = =+(1.1.26) PerladeterminazionedeipolinomidiLegendre( )*iL x shiftatinell'intervallo[ ] , a b , occorre fare riferimento alla seguente trasformazione di variabili: ( ) ( )12x b a x b a = + +( (1.1.27) che fa corrispondere all'intervallo [-1,1] l'intervallo[ ] , a b . Ponendo1 x = ,1 x =e0 x = , risultax a = ,x b =e 2b ax+= , rispettivamente. In simboli si ha:[ ] [ ] 1,1 , x x a b . Nel caso0 a =e1 b = , dalla (1.1.27) si ha: [ ]11 2 12x x x x = + = (1.1.28) UngenericopolinomiodiLegendre( )*iL x shiftatonellintervallo[0,1]puessere ottenuto dal corrispondente polinomio di Legendre di pari grado con la seguente relazione: [ ] [ ] [ ]*2 1i i iL x L x L x = = (1.1.29) AttraversoilcambiodicoordinateiprimiquattropolinomishiftatidiLegendresi possono scrivere a partire dai polinomi di Legendre: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 24 ( )( )( )( )*0*1* 22* 3 2312 16 6 120 30 12 1L xL x xL x x xL x x x x== = += + (1.1.30) Vengono mostrate in tabella 1.1 le radici ixdi( )*NL x , polinomio shiftato di Legendre di grado N, per7 N=e9 N= . Inmodoanalogo,quandoilpolinomiovienedefinitomediantelespansionedi Chebyshev: ( ) ( )11NN k kkP x c T x==(1.1.31) dove kc sonocostanti,( )1 kT xilpolinomiodiChebyshevdigrado1 k .Anchei polinomi di Chebyshev sono polinomi ortogonali e costituiscono un set di vettoridi base. Essi rappresentano le autofunzioni di un problema singolare di Sturm-Liouville che assume la seguente espressione: ( )( )( )2 (1)22101iix T xiT xxx + = (1.1.32) dove( )(1)iT x rappresentaladerivataprimadelpolinomio( )iT x .Dallasuasoluzionesi pu notare come i vari polinomi di Chebyshev soddisfino la seguente relazione ricorsiva: ( ) ( ) ( )1 12i i iT x xT x T x+ = (1.1.33) essendo( ) 10= x T e( ) x x T =1.Epossibilescrivereilpolinomio( )iT x inunforma diversa senza ricorrere a relazioni ricorsive: ( ) ( ) cos , arccoskT x k x = = (1.1.34) Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 25 Tabella 1.1. Radici dei polinomi shiftati di Legendre( )*NL x . x 7 N= 9 N=1x 0.025446040.01591988 2x 0.129234400.08198445 3x 0.297077420.19331428 4x 0.500.33787329 5x 0.702922570.50 6x 0.800765590.66212671 7x 0.974553950.80668572 8x -0.91801555 9x -0.98408012 In base alle precedenti considerazioni si evince che in uno spazio vettoriale polinomiale NV , ci possono essere diversi set di vettori di base. Quelli considerati come set tipici sono: ( )1, 1, 2, ,kkp x x k N= = (1.1.35) ( )( )( ) ( )(1), 1, 2, ,kk kxp x k Nx x x= =L LL LL LL L (1.1.36) ( ) ( ) ( )( )1 1 11, , 2, 3, ,k k kp x p x r x x x k N = = = (1.1.37) Perconcluderesipuosservaredallequazione(1.1.36)cheilsetdivettoridibase espresso da tale relazione dipende anche dalla distribuzione dei punti nodali, ovvero dalle coordinatedelladiscretizzazione.Cisignificache,nelcasoincuitalicoordinatesiano assuntequaliradicidelpolinomiodiLegendre( )NL x digradoNnellintervallo[-1,1], lequazione (1.1.36) si particolarizza nella forma seguente: ( )( )( ) ( )(1), 1, 2, ,Nkk N kL xp x k Nx x L x= =(1.1.38) Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 26 1.2FORMULAZIONE MATEMATICA DEL G.D.Q. METHOD 1.2.1Introduzione Il metodo di quadratura differenziale proposto mirava a superare le difficolt, connesse conlastabilitnumericaelelevatocostocomputazionale,incontratenellutilizzodella procedura alle differenze finite. Nello sviluppo del metodo, una delle maggiori difficolt ha riguardatoladeterminazionedeicoefficientidiponderazioneimpiegatiper lapprossimazione delle derivate. UnavoltaillustratiifondamentidelD.Q.M.,ovverolanalisidellospaziovettoriale lineare e lapprossimazione funzionale, possibile mostrare in dettaglio il modo con cui si determinano i coefficienti di ponderazione. Si suppone che la soluzione delle P.D.E. venga approssimatamedianteunpolinomiodiordinesuperiore.Poich,inquestasituazione, lapprossimazionefattasecondoilD.Q.M.strettamentelegataaltipodipolinomio approssimante adottato, la tecnica numerica viene anche definita Quadratura Differenziale di tipo Polinomiale (P.D.Q.). Comedescrittoinprecedenza,latecnicadiquadraturadifferenzialeinnarrativa approssima le derivate ordinarie o parziali di una funzione rispetto a una variabile spaziale, attraverso una somma lineare pesata dei valori della funzione in tutti i punti in cui stato discretizzato il dominio. Il punto chiave della tecnica la determinazione dei coefficienti di ponderazione, per le derivate di qualunque ordine. Il calcolo dei coefficienti di ponderazione nel P.D.Q.M. venne eseguito inizialmente da Bellman e i suoi collaboratori. Nel 1971 essi suggerirono due vie per definire i coefficienti diponderazionerelativialprimoordinediderivazione.Ilprimomodocomportala soluzionediunsistemadiequazionialgebriche.Sfortunatamente,quandoilnumerodi punti nodali e lordine di derivazione risultano elevati, la matrice del sistema di equazioni algebricherisultamalcondizionatael'inversionedellamatricestessadifficoltosa.Il secondoproponeunasempliceformulazionealgebrica,maconlinconvenientedidover scegliereipuntinodalicomeradicidelpolinomiodiLegendre( )*NL x shiftato nellintervallo[0,1].Nellamaggiorpartedellepionieristicheapplicazionidelmetododi quadratura differenziale si utilizz il primo tra i due approcci, poich esso permetteva una scelta arbitraria dei punti della discretizzazione. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 27 Inconclusione,gliinconvenientiincontratisonodue.Ilprimometodoportaadun sistemamalcondizionato,allaumentaredelnumerodipuntinodalieallaumentare dellordine di derivazione. Il secondo, vincola la discretizzazione, in quanto i punti nodali devono coincidere con le radici dei polinomi shiftati di Legendre. Persuperarequestedifficoltvennerofattinumerositentativichesfociaronoinun nuovo criterio di calcolo dei suddetti coefficienti. Tale approccio venne introdotto nel 1989 da Quan e Chang, i quali adottarono i polinomi interpolanti di Lagrange come funzioni test ottenendocosdelleformulazionialgebrichenonsolopericoefficientirelativialprimo ordinediderivazione,maancheperquellirelativialsecondo.Limpiegodeipolinomidi Lagrangerendeliberalasceltadeipuntidelladiscretizzazionedeldominio.Cisignifica che non si pi vincolati ad assumere come punti di valutazione delle derivate le radici dei polinomi shiftati di Legendre. Aquestopunto,per,sisollevaronoleseguentiduequestioni:laprimarelativaal perchdovesseroesisterediversimodipercalcolareicoefficientidiponderazione;la seconda relativa al fatto che i coefficienti definiti attraverso due modalit differenti fossero effettivamenteimedesimi.Rispondereaquesteduedomandefusemplicemediante lanalisi dello spazio vettoriale lineare. Sfruttando le propriet di tale spazio, Shu trov che tuttiimetodidicalcolodeicoefficientinelP.D.Q.M.possonoesseregeneralizzati attraverso unadeguata scelta dei vettori di base nello spazio vettoriale lineare. Nel1992venneintrodottadaShueRichardsunavariantedelmetododiquadratura originale.Comecasogenerale,Shupresentunasempliceformulazionealgebricaper calcolare i coefficienti di ponderazione relativi al primo ordine di derivazione senza alcuna restrizioneinmeritoallasceltadeipuntinodalioltreadunarelazionericorsivaperil calcolodeicoefficientirelativialsecondoedagliordinisuperiorididerivazione.La varianteinparolaimpiegasemplicirelazioniricorsiveperladeterminazionedei coefficientidiponderazionedellederivatediqualsiasiordineefausodeipolinomidi Lagrange.Lageneralizzazionedelmetododiquadratura,cheeliminaledifficolt precedentementemenzionate,qualiilmalcondizionamentodellamatricerisolventeil sistemaalgebricoelasceltanonarbitrariadeipuntinodali,costituisceilmetodo generalizzatodiquadraturadifferenziale(GeneralizedDifferentialQuadratureMethod oppure G.D.Q. Method). Inquestaparteverrmostrato,inmododettagliato,tuttoliterdescrittonelcasodi problemimonodimensionaliconlestensionedeldiscorsoallasoluzionediproblemi multidimensionali. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 28 1.2.2Calcolo dei coefficienti per le derivate del primo ordine E gi stato descritto precedentemente come lapprossimazione delle derivate mediante ilD.Q.M.siastatapropostadaBellmaneisuoicollaboratoriestendendoilconcettodi quadratura integrale. In tale contesto stata mostrata anche lespressione mediante cui possibileapprossimareladerivatadelprimoordinediunafunzionemonodimensionale regolare definita in un intervallo chiuso; tale espressione riportata di seguito: ( ) ( )( )( )(1) (1)1,= 1, 2, , iNi i ij jjx xdf xf x f x f x i Ndx== = = (1.2.1) Osservandolasievincecheessanonancorastataesplicitatainmodoesaustivoin quanto, al momento, non stato ancora chiarito il procedimento con cui vengono definiti i relativicoefficientidiponderazione (1)ij .Diseguitosimostracometalicoefficienti possono essere calcolati in modo efficiente adottando alcune formulazioni esplicite. 1.2.2.1Approcci di Bellman Iprimimetodidivalutazionedeicoefficientidiponderazionevennerosviluppatida Bellman e Casti (1971), i quali proposero due diversi modi per calcolare i vari (1)ijpresenti nellequazione(1.2.1).Essenzialmente,questidueapprocci sidifferenzianoacausadiun aspetto fondamentale, ossia la scelta delle funzioni test o polinomi di base. 1.2.2.1.1Primo approccio di Bellman In questo primo criterio, le funzioni di base scelte da Bellman sono del tipo seguente: ( )1, 1, 2, ,kkp x x k N= = (1.2.2) Ovviamente,talescritturadefinisceNpolinomidibaseinrelazionealparametrok.A questo punto, se si osserva lequazione (1.2.1),si pu notare che i coefficienti (1)ij hanno entrambegliindicichevarianotra1edN,percuisideveottenereunnumerototaledi coefficienti pari a NN. Per determinare i coefficienti (1)ijnellapprossimazione (1.2.1), si Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 29 puprocedereinanalogiaconil classico casodiquadratura,richiedendo chelequazione (1.2.1)inparolasiaverificataperlaclassedifunzioniconsiderate.Ricordandocheil dominiostatopreventivamentediscretizzatoinNpuntinodali,perilcalcolodei coefficientisar,quindi,necessarioapplicarelaleggediquadraturaalleNfunzionitest negli N punti del dominio discreto in modo da ottenere NN equazioni algebriche. Per la (1.2.1), i polinomi in forma monomia (1.2.2) conducono ad un sistema lineare di N equazioni algebriche nelle N incognite (1) (1) (1)1 2, ,.....,i i iN , pervalori ixdistinti ed arbitrari ( 1, 2,..., i N = ): ( )(1) 1 21( 1) , 1, 2, ,iNk k kij j ijxdp xx k x k Ndx == = =(1.2.3) Dalla soluzione del sistema algebrico lineare (1.2.3) si determinano in maniera esplicita i coefficienti (1)ij , una volta definiti i punti ixdel dominio. In altre parole, pretendendo che lequazione(1.2.1)siaverificatapertuttiipolinomi(1.2.2)digradominoreeugualea 1 N , si ottiene: (1) (1) (1) (1)1 21(1) (1) (1) (1)1 1 2 21(1) 2 (1) 2 (1) 2 (1) 21 1 2 21(1) 1 (1) 1 (1) 1 (1) 11 1 2 211 02 13 2Nij i i iNjNij j i i iN NjNij j i i iN N ijNN N N Nij j i i iN Njkk x x x xk x x x x xk N x x x x === == = + + + == = + + + == = + + + == = + + +

( )21NiN x= (1.2.4) Il sistema algebrico (1.2.4) assume la seguente forma matriciale: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 30 ( )( )(1)1(1)2(1)31 2 32(1)1 1 1 1 11 2 32(1)011 1 1 1 1211iiiij Nji N N N N N ijj NNiiNxx x x x xj xx x x x xN x (( (( (( ((( ((( (= (( ((( ((( ( (( ((

(1.2.5) dove la matrice dei coefficienti la matrice di Vandermonde: 1 2 31 1 1 1 11 2 31 1 1 1 1j NN N N N Nj Nx x x x xVx x x x x ( ( (= = ( ( (

V (1.2.6) Ilsistemadiequazioniappenamostratopresentaununicasoluzionepoichlamatrice adessoassociatalaclassicamatricediVandermonde.Talematricerisultamal condizionata se il numero N elevato. Questo fenomeno comporta delle difficolt nella sua inversionee,diconseguenza,nellasoluzionedelsistemastesso.Ilfenomenodel malcondizionamento peggiora aumentando il numerodi punti nodali utilizzati, come pure l'ordine delle derivate. E stato a causa di tale inconveniente che luso di questo approccio ha permesso delle applicazioni numeriche solo per13 N . 1.2.2.1.2Secondo approccio di Bellman Adifferenzadelcasoprecedenteedanalogamenteallaformuladinterpolazionedi Lagrange, in questo approccio le funzioni test scelte sono i polinomi di seguito riportati: ( )( )( ) ( )**(1)Nkk N kL xp xx x L x=(1.2.7) dove( )*NL xrappresenta il polinomio shiftato di Legendre di grado N ed( )*(1)NL xindica la derivata del primo ordine del polinomio medesimo. In funzione di questa scelta, Bellman, KashefeCasti(1972)dimostraronoche,conunadiscretizzazioneottenutascegliendoi Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 31 vari kxcome le radici del polinomi shiftati di Legendre ed applicando lequazione (1.2.1) inquestiNpuntinodali,icoefficienti (1)ij possonoessereottenuticonunasemplice formulazione algebrica: ( )( ) ( )(1)(1)(1),N iiji j N jL xi jx x L x = (1.2.8) ( )(1)1 2,2 1iiii ixi jx x= = (1.2.9) Questoprocedimentosiriveldaunaparteefficaceperchconsentedicalcolare direttamente i coefficienti (1)ijsenza risolvere alcun sistema algebrico, ma daltra alquanto restrittivo per quanto riguarda la scelta del tipo di discretizzazione del dominio. Usando tali relazioni, si pu notare come il calcolo dei coefficienti di ponderazione diventi un compito assai semplice. Ad ogni modo, questo approccio non flessibile come il precedente poich, in questo caso, le N coordinate dei punti nodali non possono essere scelte arbitrariamente. Infatti,ipunti kx devonoessereleradicidelgenericopolinomiodiLegendre( )*NL x di grado N shiftato nellintervallo [0,1]. A causa di questultimo aspetto associato alla scelta dei punti nodali, tale criterio non ha trovato lo stesso grado di applicazione del primo. 1.2.2.2Approccio di Quan e Chang ConlintentodimigliorareirisultatiottenutidaBellman,vennerofattimoltialtri tentatividapartedeiricercatoriperdefiniredeicriterialternativinellavalutazionedei coefficienti di ponderazione. Uno degli approcci che si dimostr veramente utile fu quello introdottonel1992daQuaneChang.Inbaseadesso,lefunzionitestdaadottaresono individuate dai seguenti polinomi interpolanti di Lagrange: ( )( )( ) ( )(1), 1, 2, ,kk kxp x k Nx x x= =L LL LL LL L (1.2.10) dove: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 32 ( ) ( )( ) ( )1 21( )NN jjx x x x x x x x x== = L LL L(1.2.11) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(1)1 1 11,Nk k k k k k k N k jj j kx x x x x x x x x x x += = = L LL L(1.2.12) In funzione di questa scelta, essi dimostrarono che, applicando lequazione (1.2.1) negli Npuntinodaliincuistatodiscretizzatoildominio,icoefficientidiponderazione (1)ijpossono essere ottenuti attraverso le seguenti formulazioni algebriche: (1)1, ,1,Ni kijk k i j j i j kx xi jx x x x= = (1.2.13) (1)1,1,Nijk k i i ki jx x= = = (1.2.14) Come per il secondo approccio di Bellman, il calcolo dei coefficienti di ponderazione abbastanzasempliceconrelazionidiquestotipoma,adifferenzadiesso,leformule trovate possono essere applicate senza nessuna restrizione sulla scelta dei punti nodali. 1.2.2.3Approccio generale di Shu IspiratodagliapproccisviluppatidaBellman,Shunel1991riuscadefinireuna modalitdicalcolodeicoefficientidiponderazionechepuesserevistacomeun approccio generale. Infatti, mediante esso si riescono a riunire, sotto ununica forma, tutti i criteri sviluppati precedentemente. Partendo dai due approcci di Bellman, Shu sollev due questioni: la prima riguardava il perchesistevalapossibilitdiutilizzaredueapproccipercalcolareicoefficientidi ponderazione;laseconda,invece,mettevainevidenzaildubbiochequestidueapprocci fornisseroglistessirisultati.Perdareunarispostadefinitivaaquestiquesitirisultato fondamentale introdurre i concetti di approssimazione polinomiale ed analisi di uno spazio vettoriale lineare. Entrambe queste nozioni sono state gi descritte precedentemente; ora si citeranno solamente gli aspetti pi rilevanti. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 33 Secondoilteoremadell'approssimazionepolinomialediWeierstrass,unafunzione ( ) f xcontinua nel suo dominio di definizione pu essere approssimata uniformemente con unasuccessioneinfinita dipolinomi.Inpratica, puessereutilizzataunasomma finitadi polinomi di grado elevato. Alcunimetodi,comeadesempioquellospettrale,hannoapplicatoconsuccessoil concettodell'approssimazionepolinomialediordinesuperiore,perlasoluzionedelle equazioniallederivateparziali.EpossibilemostrarecomelasoluzionediunaP.D.E. possaessereapprossimataaccuratamentetramiteunpolinomiodiordinesuperiore. Seguendo tale approccio, si suppone che una funzione continua in un dominio possa essere approssimata con un polinomio di ordine1 N perNabbastanza grande. In base a quanto detto, il polinomio in questione definisce uno spazio vettoriale lineare N-dimensionale NV , poichrisultachiusorispettoallasommaeallamoltiplicazioneperunoscalare,oltread essereesprimibileindiversimodi.Se( ), 1, 2,...,kp x k N = ,unabasedellospazio vettoriale NV ,inbasealteoremadellapprossimazionepolinomiale,( ) f x puessere approssimata con un polinomio di grado1 N , che combinazione lineare degli elementi della base: ( ) ( ) ( )1NN k kkf x P x d p x= =(1.2.15) dove kdrappresentano delle costanti che dipendono dalla tipologia di vettori di base scelti. Utilizzandocomebasedellospaziovettoriale NV ,ipolinomiinformamonomia, ( )1, 1, 2,...,kkp x x k N= = ,larelazioneprecedentepuessereriscrittanellaseguente forma: ( ) ( )11NkN kkf x P x c x= =(1.2.16) dove kc rappresentanodelleopportunecostanti.Comemostratoprecedentemente, esistonodiversisetdivettoridibasenellospazio NV .Ilfattocheivettoridelsuddetto spazio siano, a tutti gli effetti, dei polinomi porta a sostenere che i vettori di base possono Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 34 anche essere chiamati polinomi dibase. Nello spazio vettoriale lineare NV , ogni base pu essereespressainmanieraunivocacomecombinazionelinearediunaltrabase.Quattro tipici set di polinomi base di NVsono elencati di seguito: ( )1, 1, 2, ,kkp x x k N= = (1.2.17) ( )( )( ) ( )**(1), 1, 2, ,Nkk N kL xp x k Nx x L x= = (1.2.18) ( )( )( ) ( )(1), 1, 2, ,kk kxp x k Nx x x= =L LL LL LL L (1.2.19) ( ) ( ) ( )( )1 1 11, , 2, 3, ,k k kp x p x r x x x k N = = = (1.2.20) dove( )*NL xrappresenta il polinomio shiftato di Legendre di grado N ed( ) x L LL L definito dallequazione(1.2.11).Fraiquattrosetevidenziati,ilsecondoedilterzoderivano entrambi dal concetto di polinomio interpolante di Lagrange, ma sono diversi per via della distribuzionedeipuntinodali(ilsecondosetimplicaunadiscretizzazioneeseguita utilizzandoleradicidelpolinomioshiftatodiLegendredigradoN,percuidescrivibile comeuncasoparticolaredelterzo).Adifferenzaloro,ilquartolosiottiene,invece, partendo dal concetto di polinomio interpolante di Newton.Si pu anche notare come la prima relazione rispecchi la scrittura delle funzioni test del primoapprocciodiBellman,mentrelasecondariflettaquelledelsecondoapproccio.In altre parole, si pu osservare che le funzioni test dei due approcci di Bellman sono proprio due set di polinomi di base per lo spazio NV . A questo punto, ricordando che lequazione (1.2.1)definisce un operatorelineare, per le proprietdello spazio vettoriale lineare se un set di polinomi di base soddisfa loperatore lineare dellequazione (1.2.1), lo stesso si pu dire per gli altri polinomi di base. Ci significa che ogni set di polinomi base deve fornire glistessicoefficientidiponderazionepercuiilvalorediessiindipendentedallascelta dellefunzionitest.Daltraparte,ladifferenzatraidueapproccidiBellmandovuta solamente alluso di diverse funzioni test che, come si gi affermato, sono dei polinomi dibase.Inbaseaquestosipu,quindi,dedurrechelusodidiversisetdipolinomibase Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 35 indicher,conseguentemente,lusodidifferentiapprocciper il calcolodeicoefficientidi ponderazione e che, poich ci sono diversi set di polinomi base in spazio vettoriale lineare NV , esistono molti criteri per calcolare questultimi. Appuratotuttoci,icoefficientidicuisopradovrannoessereutilizzatiperla discretizzazionediunaP.D.E.inquantoleproprietdiunospaziovettorialelineare forniscono anche questa capacit. A tal proposito si ricordi sempre che la soluzione di tale equazione approssimabile mediante un polinomio di grado1 N (costituente uno spazio vettorialelineare NV );polinomiolacuiespressioneancorasconosciuta.Ineffetti,sesi osservalequazione(1.2.15)siintuiscecomelasuascritturasardefinitainparticolare solo quando saranno determinate le costanti kdanche perch il set di polinomi di base pu essere scelto indipendentemente dalla soluzione nello spazio NV . Inoltre, dalla propriet di unospaziovettorialelinearesievinceancheche,seunsetdipolinomibasesoddisfa loperatorelinearedellequazione(1.2.1),allostessomodosicomportaognipolinomio basedellospazio NV .QuestoindicachelasoluzionedellaP.D.E.scrittasecondo lequazione(1.2.15)soddisfaanchessalequazione(1.2.1)ecio,inaltreparole,chei coefficientidiponderazioneottenutidaipolinomibasepossonoessereutilizzatiper discretizzare le derivate di una P.D.E. Aquestopuntosinotiche,quandoilsetdipolinomibasedatodallequazione (1.2.17), possibile ottenere lo stesso sistema di equazioni (1.2.4) del primo approccio di Bellman per definire i coefficienti di ponderazione. Allo stesso modo si osservi che se il set di polinomi base quello fornito dallequazione (1.2.18), si ritrova la stessa formulazione algebrica del secondo approccio di Bellman (1.2.7) per calcolare i suddetti coefficienti. Seguendo lapproccio di Shu si definiscono tali coefficienti usando due differenti set di polinomidibase(ofunzionitest).Inparticolare,ilprimosetacuisifarriferimento quellodeipolinomiinterpolantidiLagrangenellaloroscritturapigenerale(1.2.10), mentre il secondo quello dei polinomi in forma monomia (1.2.17). Per semplicit si pone: ( ) ( )( ) , , 1, 2, ,k kx N x x x x k N = = L LL L (1.2.21) Come conseguenza delle (1.2.11), (1.2.12) e (1.2.21), si pu verificare che: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 36 ( ) ( )(1),i j i ijN x x x = L LL L (1.2.22) dove ij loperatore di Kronecker: 01iji ji j = = Perviadellespressionedi( ) x L LL L ,lequazione(1.2.19)puesseresemplificatanella seguente forma: ( )( )( )(1),, 1, 2, ,kkkN x xp x k Nx= = L LL L (1.2.23) Essa rappresenta la nuova scrittura per il set di polinomi di base adottato. Se si applica a questultima relazione (1.2.23) la legge di quadratura differenziale (1.2.1), si pu scrivere: ( ) ( )( )( )( )( )(1)(1) (1)(1) (1)1 1,,hN Nj kk h khj k j ijj jk kx xN x xdp x N x xp xdx x x = === = = L L L L L L L L (1.2.24) Moltiplicandoentrambiimembriper( )(1)kx L LL L ,ricordandolarelazione(1.2.22)ed eliminando i termini nulli, si ottiene: ( ) ( ) ( )(1) (1) (1) (1) (1)1,Nh k hj j jk hk kjN x x x x == =L L L L L L L L(1.2.25) Da cui operando il cambiamento di indici, i h j k = = , si ricava: ( )( )(1)(1)(1),i jijjN x xx =L LL L(1.2.26) Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 37 In essa compaiono i termini ( )(1)jx L LL Led( )j ix x N ,) 1 ( che devono essere opportunamente valutati;;inparticolare,ilprimopuesserefacilmentecalcolatoinbaseallequazione (1.2.12),mentreperdefinireilsecondooccorrederivarelequazione(1.2.21)rispettola variabile x. La generica derivata di ordine n-esimo del polinomio( ) x L LL Lrisulta esprimibile con la formulazione ricorsiva: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( 1), ,n n nk k kx N x x x x nN x x= + L LL L (1.2.27) incui1, 2,......, k N = ,1, 2,......, 1 n N = edove( )( ) nx L LL L ed( )( ),nkN x x indicanole derivatediordinen,rispettivamente,di( ) x L LL L ed( )kx x N , .Dallosservazionediquesta relazione possibile notare come( )j ix x N ,) 1 ( sia esprimibile nel modo seguente: ( )( )(1)(1), ,ii ji jM xN x x i jx x= (1.2.28) ( )( )(2)(1), ,2ii iM xN x x i j = = (1.2.29) Orachesononotiitermini( )j ix x N ,) 1 (,attraversolalorosostituzionenellequazione (1.2.26)siriesconoadottenereicoefficientidiponderazioneperladerivatadiprimo ordine introdotta da Quan e Chang (1989): ( )( ) ( )(1)(1)(1),iiji j jxi jx x x = L LL LL LL L (1.2.30) ( )( )(2)(1)(1),2iiiixi jx = =L LL LL LL L(1.2.31) Dallanalisidiquesteespressionisipuosservareche,unavoltadefinitoiltipodi discretizzazione ix ,lavalutazionedei (1)ij risultaelementarevistalasemplicitdi Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 38 definizionedi( )(1)ix L LL L .Lequazione(1.2.30)permettedicalcolarei (1)ij , j i ,senza alcunarestrizionesullasceltadeipuntinodali ix .Alcontrario,ilcalcolodeicoefficienti (1)ii sibasasulladeterminazionedelladerivataseconda( )(2)ix L LL L ,chenonfacile ottenere. Questa difficolt pu essere superata qualora si passi ad utilizzare il secondo set di polinomi base a cui si accennava in precedenza. Infatti, se si rammenta la propriet per cui tutti i set di polinomi base di NVsoddisfano loperatore lineare dellequazione (1.2.1), comeconseguenzadiquestofattosihacheilsistemadiequazioniperilcalcolodei coefficienti (1)ij dedottodaipolinomiinterpolantidiLagrangeequivalenteaquello derivato da un altro set di polinomi di base come, ad esempio,( )1 kkp x x= ,1, 2,..., k N = . Ragionandoinquestomodo,possibiledefinirealtrerelazioniperilcalcolodei (1)ii . Pertanto,perladeterminazionedeicoefficienti (1)ij ,ilsistemadiequazioniderivato utilizzandoipolinomidiLagrangeequivale aquello chesiricavaimpiegandolaseconda base( )1 kkp x x= ,1, 2,..., k N = .Prendendoinconsiderazioneilpolinomiodibase ( )1 kkp x x= per1 k= (ossia( )011 p x x = = )eapplicandolaleggediquadratura differenziale (1.2.1) a tale polinomio, i coefficienti (1)ijcsoddisfano la seguente relazione: ( )1 (1) (1) (1)1 1,1 0iN Nij ii ijj j j ixdp xdx = = = = = (1.2.32) Leequazioni(1.2.30),(1.2.31)e(1.2.32)rappresentano,quindi,duediverse formulazioniperilcalcolodeicoefficientidiponderazione (1)ij ;formulazionichesono statesviluppateutilizzandoduediversisetdipolinomidibaseappartenentiallospazio vettorialelineare NV .Inparticolare,applicandolapprocciogeneralediShusihachei coefficienti (1)ijvanno calcolati in base allequazione (1.2.30) nel caso dii j, mentre i coefficienti (1)ii sonodavalutareinunsecondotempoattraversole(1.2.32).Inoltre, risultaevidentechenelleequazioniprecedentiicoefficientidiponderazionedipendono solo dai punti nodali. Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 39 Aquestopuntopossibilefareunulteriorededuzione.Icoefficientidiponderazione possono essere dedotti attraverso linterpolazione polinomiale di Lagrange. Si consideri la legge di interpolazione polinomiale di Lagrange (1.1.16) riscritta per semplicit: ( ) ( ) ( ) ( )1Nj jjf x p x f x R x== + (1.2.33) dovecon( ) ( )j jp x l x = siindicanoinquestocasoipolinomidiLagrange(1.2.19)e con( ) R xlerrore di troncamento. Trascurando lerrore di troncamento e rimandando agli studidiShuperlanalisidellerrorestesso,siesplicitiladerivataprimadellequazione (1.2.33) nel generico punto ix : ( ) ( ) ( ) ( )(1) (1) (1)1 1N Ni j i j ij jj jf x p x f x f x = = = (1.2.34) RicordandoladefinizionedeipolinomidiLagrange(1.2.19)escrivendoneladerivata prima, si ottiene: ( )( )( ) ( )(1)(1) (1)(1)ij i iji j jxp xx x x = =L LL LL LL L (1.2.35) Talerelazionefornisceunulterioreinterpretazionepericoefficientidiponderazione. Essipossonoessereottenutidirettamenteattraversolinterpolazionepolinomialedi Lagrange e rappresentano le derivate dei polinomi di Lagrange calcolate nei punti in cui si discretizzato il dominio. In questa maniera risulta facile intuire lanello di congiunzione trala funzionedi cuisi vuoledeterminareladerivatainunpunto,ilrispettivopolinomio approssimante e i coefficienti di ponderazione. Inoltre facile intuire dalle considerazioni precedentiche la legge diquadratura differenziale risulta una formulazione esatta qualora la funzione di cui si vuole calcolare le derivate sia un polinomio, visto che tale polinomio pu essere espresso esattamente come combinazione lineare di una base polinomiale della spazio vettoriale lineare NV . Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 40 1.2.3Calcolo dei coefficienti per le derivate di ordine superiore al primo Finoadorasisemprepuntatolattenzionesullapprossimazionedellederivatedel primoordinediunafunzioneregolaremonodimensionale.Ilfattochenelleequazioni governantiilproblemacompaianospessodellederivateparzialidiordinesuperioreal primo (come, ad esempio, nellanalisi statica o dinamica delle travi), fa si che anche queste debbanoessereapprossimateattraversounespressioneanalogaallequazione(1.2.1). Ancheinquestasituazione,ilproblemarimanesemprelostesso,ossiaquellodella definizionedeicoefficientidiponderazionecheservonoperapprossimarelederivatedi ordinesuperiorealprimo.Simostrercometalicoefficientipossanoesseredeterminati agevolmenteattraversodellerelazioniricorsive;inparticolare,sonomostrateprimale formuleperilcalcolodeicoefficientiperlapprossimazionedellederivatedelsecondo ordine,perpoidefinireleformulericorsivemediantecuisiingradodicalcolarei coefficienti di ponderazione per le derivate di ordine superiore al primo. 1.2.3.1Coefficienti di ponderazione per le derivate del secondo ordine Inbaseaquantostatoappenaaccennato,sullabasedelladefinizionediquadratura differenzialepossibileesprimereladerivatadelsecondoordinediunafunzione( ) f xregolare e monodimensionale definita in un intervallo chiuso attraverso la relazione: ( ) ( )( )( )2(2) (2)21, 1, 2, ,iNi i ij jjx xd f xf x f x f x i Ndx== = = =(1.2.36) dove( )ix f) 2 (laderivatasecondadi( ) x f nelpuntonodale ix , (2)ij rappresentanoi coefficienti di ponderazione relativi a tale derivata e( )jx fdefiniscono i valori funzionali nei punti jxin cui stato discretizzato il dominio. Ovviamente, visto che tale espressione formalmente analoga allequazione (1.2.1), anchessa definisce un operatore lineare. La sola differenza apprezzabile tra lequazione (1.2.36) e lequazione (1.2.1) consiste nelluso didiversicoefficientidiponderazioneche,comeinprecedenza,sonoalmomento incogniti. Di seguito si mostrano diverse modalit di calcolo dei suddetti coefficienti (2)ij . Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 41 1.2.3.1.1Approccio di Quan e Chang Nel1989QuaneChangdefinironodellerelazioniperilcalcolodeicoefficienti (2)ijusandoipolinomiinterpolantidiLagrangecomefunzionitest.Talirelazionivengono riportate di seguito: (2)1, , 1, ,2 1,N Ni kijl l i j k k i j j i j k i lx xi jx x x x x x= = | || | = | | | \ \ (1.2.37) 1(2)1, 1,1 12 ,N Niik k i l k l ii k i li jx x x x= = + ( | |= = (| \ (1.2.38) 1.2.3.1.2Approccio generale di Shu Analogamenteaquantofattoperlederivatedelprimoordine,lapprocciogeneraledi Shuperilcalcolodeicoefficientidiponderazionesibasasuiconcettifondamentali dellapprossimazionepolinomialeedellanalisidiunospaziovettorialelineare.Anchein questasituazione,Shudefintalicoefficientiusandoiduesetdipolinomibasedescritti dallequazioni(1.2.17)e(1.2.19).Inparticolare,facendoriferimentoalsetdeipolinomi interpolanti di Lagrange( ) x L LL Lnella loro scrittura pi generale (1.2.10), (1.2.11) e (1.2.12), egli riusc a definire i vari (2)ijsostituendo lequazione (1.2.23) allinterno dellequazione (1.2.19). Inmanieraanalogaaquantofattoperdeterminareicoefficientiperladerivataprima, applicando alla relazione (1.2.23) la legge di quadratura differenziale (1.2.36), si ottiene: ( ) ( )( )( )( )( )2 (2)(2) (2)2 (1) (1)1 1,,hN Nj kk h khj k j ijj jk kx xN x xd p x N x xp xdx x x = === = = L L L L L L L L (1.2.39) Moltiplicandoentrambiimembriper( )(1)kx L LL L ,ricordandolarelazione(1.2.22)ed eliminando i termini nulli, si ottiene: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 42 ( ) ( ) ( )(2) (2) (1) (2) (1)1,Nh k hj j jk hk kjN x x x x == =L L L L L L L L(1.2.40) Da cui operando il cambiamento di indici, i h j k = = , si ricava: ( )( )(2)(2)(1),i jijjN x xx =L LL L(1.2.41) Comeinprecedenza,iltermine ( )(1)jx L LL L puesserefacilmentecalcolatoattraverso lequazione(1.2.12),mentreiltermine (2)( , )i jN x x puesserevalutatosfruttando lequazione (1.2.27). Da tale relazione si evince: ( )( ) ( )(2) (1)(2)2 ,, ,i i ji ji jx N x xN x x i jx x= L LL L(1.2.42) ( )( )(3)(2), ,3ii ixN x x i j = =L LL L(1.2.43) Orachesononotiitermini (2)( , )i jN x x ,lalorosostituzionenellequazione(1.2.41) porta a definire le seguenti espressioni per i coefficienti di ponderazione: ( ) ( )( ) ( )(2) (1)(2)(1)2 ,,i i jiji j jx N x xi jx x x= L LL LL LL L(1.2.44) ( )( )(3)(2)(1),3iiiixi jx = =L LL LL LL L(1.2.45) Dallanalisidiquesteespressionisipuosservarecomelequazione(1.2.44)possa essere ulteriormente semplificata se si sostituiscono in essa le equazioni (1.2.30) e (1.2.31). Infatti, eseguendo tale operazione si ottiene: Metodo Generalizzato di Quadratura Differenziale 43 (2) (1) (1)12 ,ij ij iii ji jx x | |= | |\ (1.2.46) Daquantoillustratorisultaevidentecheicoefficienti (2)ij sianofacilmente determinabiliunavoltanotiivaloridi (1)ij e (1)ii oltrealladisposizionedeipuntinodali. Ci che, invece, non si presenta facile il calcolo di (2)iidal momento che ci richiede la valutazione di una derivata di terzo ordine( )(3)ix L LL L . Questa difficolt pu essere superata qualora si tenga conto della propriet dello spazio vettoriale lineare NVper la quale tutti i setdipolinomidibasesoddisfanoloperatorelinearedellequazione(1.2.36).Infatti, analogamenteallanalisieffettuatanelcasodiderivatedelprimoordine,ilsistemadi equazioniperilcalcolodeicoefficienti (2)ij dedottodallusodeipolinomiinterpolantidi Lagrange (set di polinomi di base adottato) del tutto equivalente a quello derivato da un altrosetdipolinomidibasecome( )1 kkp x x= ,1, 2,..., k N = .Inbasealleprecedenti affermazioni,icoefficienti (2)ij devonoanchesoddisfarelaseguenterelazioneottenuta utilizzando il polinomio di base( )1 kkp x x=per1 k=(ossia( )011 p x x = = ): ( )21 (2) (2) (2)21 1,1 0iN Nij ii ijj j j ixd p xdx = = = = = (1.2.47) Contaleapproccioicoefficienti (2)ij possonoesserecalcolatiinbaseallequazione (1.2.46)per i j , mentre i coefficienti (2)iivengonovalutati successivamente attraverso lequazione (1.2.47). 1.2.3.2Coefficienti per le derivate di ordine superiore: formule ricorsive di Shu Si visto come determinare i coefficienti di ponderazione per le de