Laboratorio tenuto dalla professoressa D. Romagnoli

Tesina di combinatorica

Sezione aurea di Federica Scoffone anno accademico 2007/2008

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Indice: Definizione……………………………………………….3 Percorso storico matematico……………………………..3 In matematica…………………………………………….8 Relazione con Fibonacci…………………………………10 Potenze di Phi……………………………………………11 In geometria……………………………………………...12 Costruzione geometrica………………………………….13 Nell’ arte e nel corpo umano…………………………….15 Bibliografia……………………………………………...17 Sitografia………………………………………………...18

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Sezione aurea Con sezione aurea si indica, il rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma ((a+b) : a = a : b). Tale rapporto vale approssimativamente 1.618 (0.618). Il numero esatto può essere espresso con la formula:

Si tratta di un numero irrazionale; esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è intrinsecamente legato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

Percorso storico matematico

Il periodo greco

La civiltà ellenica definì il rapporto aureo così come lo conosciamo oggi. Possiamo infatti far risalire la scoperta attorno al VI sec. a.C., presso la scuola pitagorica, nell’Italia meridionale, dove, presumibilmente Ippaso da Metaponto ne scoprì l’esistenza. La sezione aurea risulta connessa con la geometria pentagonale: la possiamo trovare nel rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche fra AB e BD’ (o AC’) e fra AD e AC’, e a sua volta AD e DC’, e in un’infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella o pentagramma, la quale produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via.

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Fu Euclide, intorno al 300 a.C., a lasciarne la più antica testimonianza scritta oggi disponibile sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi, a proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce infatti la definizione di divisione di un segmento in "media e ultima ragione"(gr. ����� ��� ����� ���):

Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento AB è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento AC' ha con AB lo stesso rapporto che C'B ha con esso, ossia se:

La divisione di un segmento AB in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo un pentagono regolare del quale AB rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un triangolo aureo, ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati uguali alle diagonali congiungenti quest ultimo al vertice opposto; ( i triangoli adiacenti vengono detti gnomoni aurei). L’ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di 108°, ciò significa che gli angoli alla base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36°, e, per differenza, quelli alla base del triangolo aureo 72°. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36°, 72°, 72°. Tracciando la bisettrice di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo DCB, con l'angolo in D di 36°, ovvero 72½, come il precedente; il terzo angolo in C sarà sua volta di 72°. DCB è dunque un altro triangolo aureo . Per il primo criterio di similitudine sui triangoli, ABD e DCB sono triangolo simili; è quindi AB/DB = DB/BC; d'altra parte, essendo ACD uno gnomone aureo con l'angolo al vertice pari a 108°, risulta che AC = DC = DB; otteniamo così la relazione voluta AB / AC = AC / CB.

In natura la figura del pentagono si ritrova spesso, soprattutto in alcune piante grasse, per esempio

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Astrophitum myriostgma

Da Fibonacci al Rinascimento

Dal declino del periodo ellenico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici. È il 1202, l'anno in cui Leonardo Fibonacci pubblica il suo “Liber abaci”, il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe, semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.

Rinominando il segmento AC come a, e quello minore CB come b, possiamo reimpostare la proporzione di Euclide nei seguenti termini algebrici:

ponendo , e sostituendo, si ha:

si arriva alla formulazione finale: �2 − � − 1 = 0; un'equazione di secondo grado la cui soluzione è:

Nel medesimo libro Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente , il concetto di successione ricorsiva, con la successione: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8..., in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la successione di Fibonacci:

0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; ... ; Fn-2 + Fn-1 = Fn

Ad insaputa dello scopritore, anche la successione che porta il suo nome è legata alla sezione aurea; il rapporto tra i due argomenti fu tuttavia scoperto solo qualche secolo più tardi da un altro matematico in un periodo di fervente rinascita culturale, che ne rinverdì l'interesse non solo nella matematica ma anche nell'arte, il Rinascimento. Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De Divina Proporzione di Luca Pacioli, pubblicato a Venezia nel 1509, nel quale, corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo Da Vinci, si divulgava tra gli intellettuali l'esistenza del

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numero e delle sue innumerevoli proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una ben più ristretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro scalzava inoltre, dopo secoli di monopolio, anche la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero veniva chiamato, reinventandone una completamente nuova di proporzione divina; dove l'aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimebile per mezzo di una frazione, e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana.

La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero, come rilevano i seguenti passi di una sua lettera:

« ... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitivamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto. Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3; aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così, approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21. »

Keplero aveva praticamente scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssimava via via, sempre più precisamente, il numero aureo; infatti:

ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo, che lui invece osserva, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello eliocentrico in cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazione fu fornita, invece, un secolo più tardi dal matematico Robert Simson; e se vogliamo ulteriormente sancita dalla scoperta della formula generatrice della serie di Fibonacci ad opera di Jacques Binet :

Gli ultimi due secoli

Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di proporzione media ed estrema, per poi assumere l'aggettivo divina dopo l'uscita dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "aurea". Nonostante la diffusa ed errata opinione che tale denominazione fosse in auge fin dall'antica Grecia,

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studiosi di storia della matematica la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI sec.. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra, però, risalire solo al 1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"», specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse largamente nei primi anni del 1800, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in lingua inglese, facilitando così l'internazionalizzazione della formula ed entrando a pieno titolo nell'ambito culturale accademico, anche inizialmente solo come termine legato ancora alla sfera estetica, prima di essere acquisito a pieno titolo nell'ambito matematico ufficiale, come testimonia un articolo di E. Ackermann intitolato The Golden Section.

La sezione aurea si diffonde nell'800 anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di un imprecisato numero di artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura che studi recenti avevano certificato, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva. Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti con esiti marcatamente più ambigui ed incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come quelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari, con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Elliot, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor (scala di proporzioni basate sulle misure dell'uomo inventata dall'architetto svizzero Le Corbusier come linea guida di un'architettura a misura d'uomo).

Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M.Berg con un IBM 1401 calcolandolo fino alla 4599^ cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla diecimilionesima. Di seguito � fino al 1000° decimale:

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362.

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Matematica Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'equazione quadratica x2 − x − 1 = 0, le cui radici sono:

L'unico valore in grado di mantenere coerentemente un senso pure a livello geometrico èsoltanto la radice positiva, che viene quindi convenzionalmente considerata quale "vero" valore numerico della sezione aurea pari a 1,618.... In matematica questo valore veniva indicato fino al XX sec. con la lettera greca � (tau), fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso, oggi consolidato, della � (phi), dall'iniziale dello scultore greco Fidia (� �����), il quale avrebbe usato il rapporto aureo nelle sue sculture del partendone. L’impossibilità di considerare valido un solo valore, spinge a prendere in considerazione anche la radice negativa dell'equazione, che viene presa però in valore assoluto, uguale a 0.618...; anche questo valore viene contrassegnato con una lettera greca � (Phi), in maiuscolo, ed è talvolta detto, sezione argentea. La sezione argentea �, è il reciproco della sezione aurea �, legato nelle seguenti relazioni:

Dimostrazione: basta prendere l'equazione originaria e modificarla

emerge così che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, mentre per il quadrato questa va aggiunta. In pratica togliendo e aggiungendo 1 a �, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria che rimane inalterata.

E’ l’unico numero non naturale il cui reciproco e quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale.

• •

•

Se invece prendessimo � avremmo similmente che:

ma, diversamente da �, � non conserva inalterata la propria parte decimale

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questa volta emerge un'altra interessante coincidenza, la parte decimale di �2 più � da esattamente 0.99..., che si approssima a 1. Si possono sintetizzare le due particolarità come segue

ma grazie alla relazione che lega � a � si può riscrivere la seconda equazione

In pratica si ha che:

generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:

�n + 1 = �n + �n − 1

capace di spiegare congiuntamente tutte le precedenti proprietà del numero, ma si evince anche che � è una delle possibile radici di ogni equazione riconducibile a :xn − xn − 1 − xn − 2 = 0. Spostandosi invece sulle potenze elevate di �n, si ha che dà sempre numeri quasi interi,molto prossimi a un numero naturale, a potenze pari per difetto a potenze dispari per eccesso, esempi:

�20 = 15126,999933 �21 = 24476,000040 �22 = 39602,9999748

e questa è tra l'altro una caratteristica fondamentale dei Numeri di Pisot, di cui la sezione aurea rappresenta un caso speciale.

Rappresentazioni notevoli

Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, aventi diverse caratteristiche in comune: sono ottenute entrambe per mezzo di operazione ricorrenti, l'unico numero che compare è 1, e si dimostrano entrambe con lo stesso procedimento per l'evidente affinità:

Phi può essere ottenuto mediante una successione infinita di radici quadrate sommando ogni volta 1 al risultato, e poi estraendo nuovamente la radice

poniamo

si nota subito che essendo un processo infinito la parte

Phi può essere il risultato di una frazione continua illimitata avente tutti i termini uguali a 1 come denominatore

poniamo

Trattandosi di una frazione infinita si

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sotto radice è ancora uguale a x2, per cui

nota che il numeratore è uguale a x, per cui

con opportuni passaggi, si ottengono in entrambi i casi la già nota equazione x2 - x - 1, il cui risultato altro non è che il numero aureo �, verificando le identità iniziali.

Altre rappresentazioni

•

•

Relazione con la successione di Fibonacci

È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci, questo approssimava sempre meglio il numero aureo, man mano che si procedeva nella successione, provare questo equivale a provare che il limite della successione fra numeri di Fibonacci consecutivi è �, ovvero

La relazione può essere dimostrata per induzione, supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito 'x. La serie di Fibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:

F(n + 1) = F(n) + F(n − 1)

possiamo quindi riscrivere il limite come cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, possiamo riscrivere come segue.

che risolvendo darà �.

Le relazioni con la serie di Fibonacci non finiscono qui; com'è già stato detto la funzione generatrice della serie si basa proprio su phi:

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la relazione può agevolmente essere riscritta con

Essendo quindi � minore di 1 per n che diventa sempre più grande significa che diventa una quantità così prossima a zero da risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per n grande i numeri della successione di Fibonacci possono essere agevolmente approssimati con

proprietà simile a quella già vista precedentemente soltanto che in questo caso i numeri quasi interi sono ottenuti dopo la divisione di un altro numero irrazionale �5.

Una relazione interessante si ritrova nella seguente sommatoria infinita e ricorsiva da cui emerge ulteriormente l'intrinseco legame.

Potenze di Phi

Alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze:

•

• • •

Elementi di regolarità nelle potenze di � si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio se invece del rapporto tra due elementi successivi si prende un passo maggiore il limite di questo convergerà sicuramente verso un �p, per la precisione

una relazione precisa invece è quest'altra

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Geometria

La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale. Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per questo, come già detto, venne scoperto dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;

ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del lato e il suo apotema (raggio della circonferenza inscritta corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati ), o ancora,nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro, entrambi solidi platonici.

Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico è senz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo :

Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base e i lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure simili sempre più piccole con fattore � di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non raggiungerà mai, denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio, probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.

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Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa con la spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre sovrapponendosi ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio di Dio».

Sempre in ambito geometrico, la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione di alcuni frattali(oggetti geometrici che si ripetono nella loro struttura su scale diverse),dove adottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Ci sono dei frattali che riescono a simulare forme naturali, come per esempio un albero, che rappresentano il grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; per questo motivo prende proprio il nome di albero aureo, una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a �.

Costruzione geometrica La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasi segmento AB, ed è possibile agire in due modi:

1. dividere il segmento dato le proporzioni media ed estrema 2. creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema

Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla Prop. 30, libro VI, tuttavia esiste un modo molto più semplice:

dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.

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Dimostrazione: per il teorema delle tangenti e delle secanti, si ha che AB è medio proporzionale rispetto ad AE e AD: AD:AB =AB:AE . Per le proprietà delle proporzioni:

(AD-AB):AB=(AB-AE):AE da cui si ha che AE=AE’

AE’:AB=E’B:AE’

AB:AE’=AE’:E’B

Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo.

’ Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo punto, quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD'.

Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1;

Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale:

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sommando i due si ricava:

che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.

La sezione aurea in arte e nel corpo umano

Nella rappresentazione di Leonardo dell’uomo di Virtruvio, in cui un uomo (AB) è inscritto in un quadrato e in un cerchio si ripresentano rapporti aurei. Nel quadrato, l’altezza dell’uomo è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani con le braccia tese. La retta x-y passanante per l’ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. L’ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e le gambe divaricate.

Anche nella Venere di Botticelli si possono individuare proporzioni auree tra l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva, tra la distanza del collo del femore al

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ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba, il rapporto tra il gomito e la punta delle dito medio e la lunghezza all’interno del braccio.

Nel nostro corpo se misuriamo le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei, così come il rapporto tra a lunghezza del braccio e l’avanbraccio, tra la gamba e la sua parte inferiore.

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Bibliografia Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli, 2003 Cornelis Jacobus Snijders, La sezione aurea : arte, natura, matematica, architettura e musica 2^ ed. Padova , Muzio, 1985 Ugo Adriano Graziotti, "Hermetica Geometria" Roma, Simmetria 2005

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Sitografia http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm

http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea