CINVESTAVCentro de Investigacin y de Estudios Avanzados del I.P.N. Unidad Guadalajara Unidad

Simulacin de la Evolucin Dinmica de Armnicos y suTCAD para en Tiempo Real Metodologas Estimacin disear diodos Utilizando un Filtro de Kalman epitaxiales de recuperacin rpida de silicio

usando una estructura con contacto tipo + + mosaico P /NTesis que presenta: Hector Eduardo Aldrete Decanini Dayan Giovanni HernndezVidrio para obtener el grado de: Maestro en Ciencias en la especialidad de: Ingeniera Elctrica Directores de Tesis Dr. Juan Israel Ramrez Corte Dr. Amner Martn SantanaVzquez Dr. Juan Luis del Valle Padilla Dr. Jos Alberto Gutirrez RoblesGuadalajara, Jal., Junio de 2002. Guadalajara, Jalisco, Septiembre del 2005.

Metodologas la Evolucin Dinmica de Simulacin deTCAD para disear diodos epitaxiales de recuperacin en Tiempo Real Armnicos y su Estimacin rpida de silicio usando una estructura con contacto tipo Utilizando un Filtro de Kalman mosaico P+/N+Tesis de Maestra en Ciencias Ingeniera ElctricaPor:

Hector Eduardo Aldrete Decanini Dayan Giovanni HernndezVidrio Ingeniero en Ingeniero Eltrico Electrnica Comunicaciones y Universidad de Guadalajara 1992-1996 Instituto Tecnolgico de Chihuahua 1997-2002 Becario del CONACyT, expediente no. 143876 Becario de Conacyt, expediente no. 182253

Directores de Tesis Dr. Juan Israel Ramrez Corte Dr. Amner Martn SantanaVzquez Dr. Juan Luis del Valle Padilla Dr. Jos Alberto Gutirrez Robles

CINVESTAV del IPN Unidad Guadalajara, Junio de 2002. CINVESTAV del IPN Unidad Guadalajara, Septiembre del 2005.

A mis padres, mi esposa Karla y mis hijos, Heidy e Isaac

AgradecimientosA DIOS todo poderoso, por darme la fuerza para dar cada paso de mi vida. A mis hijos Heidy e Isaac, por ser mi fuente de inspiracin, y por llenar mi vida de amor infinito y de felicidad inmensa. A mi esposa Karla (quien ha sido siempre mi gran fuerza) y toda su familia, por su confianza y constante nimo y apoyo para seguir adelante. A mis hermanos, por su incondicional amor, amistad y apoyo. A mi Madre, que es mi gua, por todo su amor y su entrega para dar a mis hermanos y a m una maravillosa familia. Dios la llene de bendiciones. En Especial a alguien, a quien le debo todo lo que soy y ha sido para m ms que un maestro, ms que un amigo y ms que un ejemplo de vida, mi Padre. A mi ta Tencha, por su total apoyo en mis primeros das de esta etapa y su constate motivacin en el resto de ella. A mi asesor, el Dr. Amner Ramrez Vzquez, por su inters, su tica, sus consejos y todo el tiempo invertido para la culminacin de esta tesis, pero sobretodo por su amistad. A mis profesores en el CINVESTAV, principalmente a los doctores Jos Lus Naredo y Pablo Moreno, por transmitirme parte de sus conocimientos y experiencias durante sus clases, adems, por su especial ayuda y sugerencias en la elaboracin de esta tesis. A mi coasesor, el Dr. Jos Alberto Gutirrez Robles, de la Universidad de Guadalajara. Finalmente al CONACYT, por el soporte econmico para obtener este grado de estudios.

Giovanni Hernndez

ii

Resumen

En esta tesis se presenta un anlisis de la evolucin dinmica de los armnicos utilizando una tcnica matemtica conocida como el Dominio Armnico Extendido (EHD). Esta metodologa, basada en matrices operacionales y en las propiedades de las series ortogonales, es adecuada para calcular el comportamiento de los armnicos en condiciones transitorias y extender el anlisis de los ndices de calidad de energa al rgimen transitorio. Se describe la teora general del dominio armnico (HD) y la representacin de los dispositivos elctricos lineales y no lineales es ste dominio. Asimismo, se propone la utilizacin de mtodos iterativos en el HD para encontrar la solucin de estado estable de circuitos elctricos que presentan interaccin harmnica. El HD se extiende para analizar el comportamiento dinmico de los armnicos. Para tal anlisis, se desarrollan dos metodologas en el EHD. La primera involucra un proceso de linealizacin de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que describen el sistema no lineal en el dominio del tiempo. La segunda, se basa en la aplicacin directa del EHD al conjunto de EDOs, cuya solucin involucra tcnicas iterativas. Adems, se propone la estimacin de dicha evolucin a travs de un sistema de medicin en tiempo real basado en el algoritmo del filtro de Kalman, el cual es implementado en un Procesador Digital de Seales. Se muestran las ventajas de ste algoritmo: su facilidad de implementacin, buena capacidad para seguir la evolucin armnica ante transitorios lentos y aceptable ante transitorios rpidos. Tales caractersticas lo hacen sobresalir en comparacin a las tcnicas tradicionales para extraer y detectar armnicos en forma instantnea. Se lleva a cabo, mediante un ejemplo, una comparacin entre los valores calculados y estimados del comportamiento dinmico de los armnicos.

iii

ndicePgina i ii iii iv vi viii

Dedicatoria Agradecimientos Resumen ndice Lista de Figuras PRLOGO Captulo I INTRODUCCIN 1.1 Antecedentes 1.2 Tcnicas y Herramientas para Anlisis Armnico 1.2.1 Mtodos y Herramientas de Software 1.2.2 Herramientas de Hardware Captulo II DOMINIO ARMNICO 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Introduccin Evaluacin Armnica de Funciones No Lineales Representacin de la Saturacin Magntica Linealizacin en el Dominio Armnico 2.4.1 Proceso de Linealizacin 2.4.2 Equivalente de Norton Componentes Lineales en el Dominio Armnico Mtodos de Solucin en Circuitos de Potencia con Componentes No Lineales 2.6.1 Solucin Directa 2.6.2 Solucin Iterativa usando el Mtodo de Gauss 2.6.3 Solucin Iterativa usando el Mtodo de Newton-Raphson Ejemplo 2.1 Conclusiones

1 1 1 2

4 4 6 7 7 9 9 10 10 11 13 15 18

2.7 2.8 Captulo III

EVOLUCIN DINMICA DE ARMNICOS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Introduccin Dominio Armnico Extendido y Linealizacin ndices de Calidad de Energa en Estado Transitorio Casos de Estudio Conclusiones 19 19 22 24 29 iv

Captulo IV

MEDICIN DE ARMNICOS VARIANTES EN TIEMPO 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Introduccin Medicin de Armnicos Variantes en Tiempo Filtro de Kalman Discreto Representacin en Variable de Estado de una Seal Discreta con Componentes Armnicos Variantes en Tiempo Algoritmo de la STFT Ejemplo 4.1 Implementacin del Filtro de Kalman en un DSP para la Estimacin en Tiempo Real de la Dinmica de los Armnicos 4.7.1 Descripcin del Software y el Hardware 4.7.2 Implementacin (Ejemplo 4.2) 4.7.3 Eficiencia del Esquema de Medicin Discusin 30 30 31 33 35 35 38 38 40 42 44

4.8 Captulo V

CONCLUSIONES 5.1 Comentarios Finales 5.2 Trabajos Futuros 45 46 47

Referencias

v

Lista de Figuras

Captulo II 2.1 2.2 2.3a 2.3b 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8a 2.8b Aproximacin polinomial de una funcin no lineal Representacin del equivalente de Norton armnico Diagrama unifilar del sistema de transmisin Circuito equivalente del sistema de transmisin Circuito equivalente del sistema de transmisin considerando una fuente de corriente constante Equivalente de Thevenin Fuente dependiente en serie con equivalente de Thevenin para la solucin de punto fijo Equivalente del sistema transmisin en el dominio armnico Formas de onda de voltaje y corriente en la rama magntica Contenido armnico del voltaje y corriente en la rama magntica

Captulo III 3.1a 3.1b 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 37 3.8 3.9 Disturbio en la fuente de voltaje, caso I Disturbio en la fuente de voltaje, caso II Evolucin armnica en la corriente de la rama magntica, caso I Corriente en la rama magntica usando EHD, caso I Corriente en la rama magntica usando el dominio del tiempo, caso I Cantidades elctricas en terminales de la rama magntica, caso I Evolucin armnica en la corriente de la rama magntica, caso II Corriente en la rama magntica usando EHD, caso II Corriente en la rama magntica usando el dominio del tiempo, caso II Cantidades elctricas en terminales de la rama magntica, caso II

vi

Captulo IV 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 Completa operacin del filtro de Kalman Diagrama del filtro de Kalman en Simulink Diagrama de la STFT en Simulink Forma de onda de la seal s(n) del Ejemplo 4.1 Comparacin de la magnitud de la componente fundamental. Comparacin de las magnitudes de las componentes armnicas Diagrama Funcional de Bloques del TMS320C6713 Proceso para implementar el filtro de Kalman en el DSP Forma de onda de la seal s(n) del Ejemplo 4.2 Magnitud estimada para la fundamental y 3 componente Magnitud estimada para el resto de las componentes armnicas Magnitud estimada del THD Comparacin entre el filtro de Kalman y el EHD de la dinmica de los armnicos Herramienta de Anlisis de Tiempo Real (RTA) en el CCS Reporte estadstico usando MATLAB

vii

PRLOGOEn la actualidad el amplio uso de electrnica de potencia en los sistemas elctricos plantea gran cantidad de problemas en su operacin, diseo y planeacin. Uno de estos problemas es el de la calidad de energa. Este problema concierne a la perturbacin de las fuentes de energa y conlleva a una operacin no ptima de las cargas y en general del sistema. Uno de los fenmenos principales en el rea de la calidad de energa es el de la distorsin de las formas de onda de corriente y voltaje. Este fenmeno, es conocido como Distorsin Armnica y es ocasionado por dispositivos electrnicos, dispositivos ferromagnticos y dispositivos productores de arcos elctricos. La distorsin armnica produce efectos adversos tales como: sobrecarga de capacitores, efectos de resonancia, disparo de protecciones y fusibles sin causa aparente y sobrecalentamiento en conductores y equipo elctrico, entre otros. El estudio, anlisis y caracterizacin de armnicos en sistemas operando en estado estable ha sido tratado desde hace muchos aos y se puede decir que es un problema totalmente cubierto; sin embargo, los aspectos relacionados con seales de amplitud o frecuencias variantes en tiempo no han sido cubiertos del todo, y, en esencia, es el tema central de esta tesis. Para analizar el estado estable y transitorio de circuitos elctricos incluyendo armnicos, se propone utilizar el dominio armnico extendido (EHD, por sus siglas en Ingls). Este mtodo, adems de conducir a un estudio dinmico de la evolucin de los armnicos, provee las bases para extender los ndices de calidad de energa de estado estable al rango transitorio. Por otro lado, la distorsin armnica requiere medios precisos para su caracterizacin. La mayora de los analizadores actuales son basados en Procesadores Digitales de Seales (DSPs) y durante muchos aos han sido programados para llevar a cabo el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT) y/o el de la Transformada Rpida de Fourier (FFT). Sin embargo, aunque la FFT sigue siendo atractiva por su estructura simple y eficiencia en condiciones estacionarias, su sensibilidad al ruido y la naturaleza variante en tiempo de los armnicos sobre lneas de potencia, la hacen perder exactitud y eficiencia conduciendo a resultados incorrectos en la deteccin y extraccin de armnicos. Esto es debido principalmente a los efectos de aliasing, leakage y picketfence. Un nmero de algoritmos considerable han sido propuestos para detectar y extraer armnicos variantes en tiempo: tcnicas de mnimos cuadrados, circuitos neuronales artificiales, relacin de Parseval y conceptos de energa, PLL (phase-locked loop), y Filtrado de Kalman. Aunque cada uno exhibe ventajas y desventajas especficas, el esquema basado en la teora del filtrado de Kalman es propuesto en esta tesis para obtener la estimacin ptima de los parmetros armnicos variantes en tiempo. El algoritmo, como se demuestra aqu, al ser implementando sobre un DSP satisface los requerimientos de tiempo real de un sistema de medicin.

viii

I INTRODUCCIN1.1 Antecedentes El fenmeno de los armnicos en sistemas de potencia no es un problema nuevo, a finales del siglo XIX, los transformadores y mquinas rotatorias fueron identificados como las principales fuentes de distorsin armnica, y fue en esos tiempos cuando se reportaron los primeros estudios sobre el tema. Aproximadamente de 1910 a 1960, las principales cargas no lineales eran unas cuantas industrias electrometalrgicas y electroqumicas. Para tratar de reducir la distorsin armnica, una serie de prcticas tales como: mejoras en el diseo de transformadores, mejores mtodos de aterrizamiento y adecuadas conexiones de transformadores trifsicos, se implementaron. Sin embargo, a lo largo de esas dcadas no fue considerado como un problema importante y el fenmeno era generalmente ignorado; adems, el anlisis armnico era considerado como una complejidad terica, ms que una herramienta prctica de ingeniera. Actualmente los dispositivos electrnicos, a pesar de inyectar armnicos, son parte fundamental en los sistemas elctricos de potencia. Estos dispositivos, acoplados con las fuentes tradicionales de armnicos, tales como: transformadores saturados, generadores sncronos, y hornos de arco, hacen hoy en da que el contexto del problema armnico crezca en complejidad y plantee nuevos retos. Afortunadamente en estos tiempos, se est mejor preparado para controlar este problema y en general mejorar la calidad de energa, con mtodos avanzados de software y hardware, nueva instrumentacin y nuevo equipo que, paradjicamente, esta diseado a base de electrnica de potencia. 1.2 Tcnicas y Herramientas para Anlisis Armnico Una buena prediccin de armnicos requiere un entendimiento claro de dos tpicos diferentes pero estrechamente relacionados. El primero, es la caracterstica no lineal de algunos componentes de los sistemas de potencia y sus efectos relacionados. El segundo, es el desarrollo de un modelo armnico adecuado de los componentes del circuito y del flujo de armnicos resultante de su interconexin. Este trabajo no es fcil, pues existe un gran nmero de factores que hay que tomar en cuenta, por ejemplo la variacin en el tiempo de los armnicos debido a disturbios continuos en la red elctrica. 1.2.1 Mtodos y Herramientas de Software Sin duda alguna, en el anlisis dinmico de sistemas de potencia el software para simulacin juega un papel muy importante. Programas como el EMTP, PSCAD/EMTDC, Pspice, SABER y NETOMAC son ejemplos tpicos de software de simulacin. En estos programas, las ecuaciones diferenciales que representa al sistema de potencia (que generalmente incluye elementos no lineales), son resueltas simultneamente en el dominio del tiempo usando integracin numrica. El anlisis armnico, a partir de la informacin derivada de dichos programas, involucra tpicamente

1

encontrar la solucin de estado estable y despus aplicar transformadas de Fourier. Esto puede requerir considerable esfuerzo computacional, sobre todo cuando el circuito de potencia est dbilmente amortiguado. Para el anlisis armnico de sistemas en estado estable se pueden emplear otros mtodos. Por ejemplo, se puede obtener una solucin directa representando la no linealidad como una inyeccin de corriente armnica constante. Sin embargo, est solucin slo provee los efectos individuales de inyecciones especficas de armnicos, sin considerar la interaccin armnica entre el circuito y los componentes no lineales. Bajo esta perspectiva, y puesto que cada una de las fuentes de inyeccin de armnicos va a ser en general funcin de otras fuentes y de los estados del sistema, pueden ser obtenidos buenos resultados resolviendo iterativamente las ecuaciones no lineales en el dominio armnico (HD). En ste dominio, han sobresalido dos metodologas: una donde la componente no lineal es representada por una fuente de corriente armnica dependiente de la fuente de voltaje y otra en donde es representada por un equivalente de Norton armnico [2]. El mtodo convencional del HD, que est restringido a problemas de estado estable, ha sido extendido para permitir el clculo directo tanto de la respuesta transitoria como de la respuesta de estado estable. Este nuevo mtodo es conocido como el Dominio Armnico Extendido (EHD). Investigaciones preeliminares muestran que, durante el periodo transitorio, el EHD proporciona informacin armnica ms clara y confiable que la obtenida combinando el dominio del tiempo y transformadas rpidas de Fourier o de tcnicas tradicionales para analizar seales variantes en tiempo como la Transformada de Fourier con ventanas (STFT) [6]. En esta tesis se evala la caracterstica natural del EHD para anlisis de la evolucin de los armnicos en circuitos que contienen no linealidades. Cabe mencionar que el mtodo permite la inclusin de dispositivos electrnicos de potencia; sin embargo, tal tema est fuera del alcance de esta tesis, concentrndose en modelos de no linealidades originadas por saturacin magntica. 1.2.2 Herramientas de Hardware Hoy en da, existe instrumentacin muy avanzada que puede monitorear un gran nmero de eventos de calidad de energa con gran eficiencia y en tiempo real [10]. La mayora de los fenmenos que afectan la calidad de energa son de naturaleza transitoria, tales como: fluctuaciones de voltaje, variaciones de frecuencia, cadas de voltaje y descargas electroestticas [7]. Estos fenmenos pueden suceder en un amplio rango de tiempo que va desde microsegundos hasta el orden de segundos, lo que impone requerimientos especiales para monitorear el equipo y crea la necesidad de utilizar software sofisticado para analizar la informacin obtenida. En algunos casos, por ejemplo en la presencia de fluctuacin armnica, el proceso de medicin debe ser suficientemente rpido para medir el espectro instantneamente, de tal modo que el contenido frecuencial sea calculado en forma dinmica. Tal proceso es importante durante la ocurrencia de un transitorio, para controlar filtros activos de supresin de armnicos o para monitorear la fluctuacin de corriente armnica sobre variadores de velocidad. Los sistemas de monitoreo convencionales estn enfocados a voltajes y corrientes en estado estable. De aqu la necesidad inminente de sistemas de monitoreo que puedan ser usados para llevar a cabo una rpida y confiable observacin.

2

Las tcnicas de procesamiento digital de seales han venido a revolucionar el mundo de la instrumentacin. Estas consisten bsicamente en operaciones matemticas sobre seales fsicas del mundo real representadas como muestras digitales. Muchos algoritmos de medicin, como la DFT, filtros digitales y procesamiento adaptivo de seales, requieren el uso repetitivo de operaciones de sumas y multiplicaciones. Un procesador adecuado para esas aplicaciones es el Procesador Digital de Seales (DSP, por sus siglas en Ingls), su arquitectura especial y alta eficiencia lo hacen ideal para implementar estos algoritmos de medicin, pues son capaces de ejecutar de forma ms rpida esas operaciones de sumar y multiplicar conocidas como MAC (Multiply, Add y Accumulate). Las operaciones MAC pueden llevarse a cabo sobre un DSP en un solo ciclo de reloj, mientras que un procesador de propsito general requiere diez ciclos de reloj para una multiplicacin [11, 12]. La instrumentacin para medicin y control de sistemas de potencia ya ha adoptado el uso de sa tecnologa. Sin embargo, aparte de la incapacidad de varios algoritmos de trabajar eficientemente ante cualquier situacin o evento, existen limitaciones de hardware que han restringido sus aplicaciones. Por ejemplo, la que presentan los convertidores Analgico/Digital que no son diseados para muestrear seales con frecuencias de potencia.

3

II DOMINIO ARMNICO2.1 Introduccin El dominio armnico (HD) es un marco de referencia para el anlisis de sistemas de potencia en estado estable, el cual es capaz de modelar el acoplamiento entre fases y entre armnicos y procesa simultneamente la presencia de fuentes de voltajes y corrientes de diferentes frecuencias [1]. El modelado en el HD es acompaado por mtodos de solucin iterativos tipo Gauss-Seidel o Newton-Raphson, donde el dispositivo no lineal es remplazado en cada iteracin por un equivalente de Norton, y es resuelto con el resto del sistema [5]. 2.2 Evaluacin Armnica de Funciones No Lineales El fenmeno de la saturacin es una clase importante de no linealidad exhibida por muchos componentes electromagnticos operando por encima de sus valores de diseo. La caracterstica no lineal de dichos elementos puede ser representada por ecuaciones polinomiales del tipo [9]

u = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + ... + a n x n

(2.1)

La expresin (2.1) puede ser evaluada de dos formas; la primera es mediante sustitucin directa, (adecuada slo para casos simples); la segunda consiste en utilizar el dominio de la frecuencia va convolucin discreta. Por ejemplo, considere la siguiente relacin no lineal:

u = x + x3 .Evaluando (2.2) alrededor del punto de operacin

(2.2)

x0 = sen 0 t ,donde 0 = 2f 0 , resulta en

(2.3)

u 0 = sen 0 t + sen 3 0 t . Utilizando la identidad e j 0 t e j 0 t sen 0 t = 2j se puede obtener la siguiente serie compleja: ,

(2.4)

(2.5)

e j 0 t e j 0 t u0 = 2j

e j 0 t e j 0 t + 2j

1 7 7 1 = j e j 30t j e j0t e + j e j0t j e j 30t . 8 8 8 8

3

(2.6)

4

De (2.6) se pueden obtener fcilmente los coeficientes de la serie de Fourier compleja, dada por

f (t ) =

n =

X

n

e jn0t .

(2.7)

Ntese la cantidad de operaciones requeridas para este simple caso. Obviamente el nmero de operaciones crecer rpidamente con el grado del polinomio y el orden armnico de la excitacin, lo cual puede resultar tedioso y poco prctico. La convolucin discreta tambin puede resolver el caso presentado, pero con la ventaja de ser adecuada para una eficiente implementacin computacional [2]. Por ejemplo, de (2.3) y (2.5) notamos que x slo contiene a la componente fundamental, por lo tanto, a partir de sus coeficientes armnicos tenemos 1 1 , X 1 = , X 0 = 0, y X 1 = j2 j2entonces se puede calcular x2 en el dominio armnico como sigue: 0 X 1 2 2 x (t ) X = X X = X 0 X1 0 X 1 X 1 1 / 4 0 0 X X 1 X 0 + X 0 X 1 1 X 0 = X 1 X 1 + X 0 X 0 + X 1 X 1 = 1 / 2 , X1X 0 + X 0 X1 0 X1 1 / 4 0 X1X1

(2.8)

donde X2 representa la convolucin de X por s misma. Si factorizamos la matriz en (2.8) se obtieneX 0 X 1 X2 = X 1 X0 X1 0 X 1 X 0 . X1 X1 X 0 0

X 1 X0 X1 X 1 X0 X1

(2.9)

Es importante notar que la matriz de (2.9) es hermitiana con estructura Toeplitz. Adems, de acuerdo a (2.9) se puede ahora calcular fcilmente el trmino cbico de (2.2) como

X 0 X 1 3 2 X = X X =

X 1 X0 X1 X 1 X 0 X 1 X1 X0 X1 X 1 X 0 X 1 X 1 X0 X1

0 j /8 0 X 1 X 1 X 1 X 0 + X 0 X 1 j3 / 8 X1 X 1 + X 0 X 0 + X 1 X1 = 0 . j3 / 8 X1 X 0 + X 0 X1 X 1 X1 X1 0 j /8 X0 0

(2.10)

5

Finalmente, la evaluacin de la ecuacin polinomial (2.2) en el HD resulta en

U 3 U 2 U 1 U 0 = U1 U 2 U 3

0 j /8 j /8 0 0 0 j / 2 j3 / 8 j7 / 8 0 + 0 = 0 . j / 2 j 3 / 8 j 7 / 8 0 0 0 0 j /8 j /8

(2.11)

Ntese en (2.11) que se ha obtenido el mismo resultado que en (2.6). Cuando se implementa este mtodo en un programa de computadora provee de un algoritmo eficiente para evaluar cualquier funcin polinomial general de la forma p( x) = bi xij .i =0 n

(2.12)

2.3 Representacin de la Saturacin Magntica

La saturacin magntica es un fenmeno importante para propsitos de anlisis de armnicos. Aunque la curva de magnetizacin puede ser almacenada como un conjunto de puntos, tal que cada uno de los valores del flujo conduzca a un valor correspondiente de corriente, es requerido un nmero de puntos significante para una solucin aceptable, aumentando el tiempo de clculo. Alternativamente, la curva de magnetizacin puede ser aproximada analticamente. Una cuantiosa variedad de mtodos han sido utilizados para este propsito: aproximacin piezo-lineal, aproximacin por fracciones racionales, aproximacin hiperblica, interpolacin con trazadores cbicos, aproximacin polinomial simple, etc. [2]. Sin embargo, por simplicidad aqu emplearemos ste ltimo. Considere la aproximacin polinomial de la curva mostrada en la Figura 2.1: i = a + b n .(2.13)

max nom IPunto de rodilla Pendiente lineal = I / iI

iI inom

imax

Figura 2.1 Aproximacin polinomial de una funcin no lineal

6

Los coeficientes a, b y n en (2.13) se derivan de informacin propia de la misma curva. Estos coeficientes son obtenidos bsicamente de las coordenadas del valor nominal (nom, inom) y las del punto mximo a considerar, (max, imax), adems de la pendiente M de la parte lineal. Es decir, inicialmente con a = 1/M y la sustitucin de (max, imax) en (2.13) obtenemos bb= imax a maxn max

.

(2.14)

Enseguida se inicia un proceso iterativo usando (2.14). Finalmente la aproximacin que mejor acople al par b, n y satisfaga (2.14) para (nom, inom) es seleccionada.2.4 Linealizacin en el Dominio Armnico

En esta seccin se considera el proceso de linealizacin en el HD de un elemento no lineal magntico caracterizado pori = f ( ) , d v= . dt 2.4.1 Proceso de Linealizacin Considere en (2.15) que i y son variables peridicas con series de Fourier dadas por(2.15) (2.16)

(t ) =i (t ) =

m =

m

e jm0t ,

(2.17) (2.18)

k =

I

m

e jk0t ,

donde m e I m son los coeficientes armnicos de (t ) e i (t ) respectivamente. Linealizando alrededor del punto de operacin (ib,b) la siguiente relacin es vlida:

i =donde: i (t ) = (t ) =

df ( b ) , d

(2.19)

k =

I

K

e jk0t ,m

(2.20) (2.21) (2.22)

df ( b ) = i e ji0t . d i =

m =

e jm0t ,

7

Usando las propiedades de la convolucin descritas en la Seccin 2.2 la forma linealizada de (2.15) es I = F , (2.23) o en forma extendida:

M O I 2 I 1 I 0 = I 1 I 2 M

0 1 2 3 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 3 2 1 0

M 2 1 0 . 1 2 O M

(2.24)

Ntese que la matriz F tiene estructura Toeplitz y es hermitiana. Similarmente, considere ahora la relacin dinmica (2.16) donde

v(t ) =Entonces se puede reescribir a (2.16) como

n =

V

m

e jn0t .

(2.25)

n =

Vn e jn0t =

d dt

m =

m e jm0t =

m =

jm 0

m

e jm0t ,

(2.26)

que para pequeos incrementos de y v alrededor del punto de operacin (b, vb), y en trminos de coeficientes armnicos resulta en

M O V j2 0 2 V1 j0 0 V0 = V1 j0 V2 M o en forma compacta

j20

M 2 1 0 , 1 2 O M

(2.27)

V = D( jm 0 ) ,

(2.28)

donde a la matriz D se le denomina la matriz de diferenciacin [2]. Combinando (2.23) y (2.28) resulta en I = FD 1 ( jm 0 )V = HVV, (2.29) donde HV = FD-1(jm0) es una matriz de admitancias armnicas: V y I son los vectores armnicos de incrementos de voltaje y corriente, respectivamente.8

2.4.2 Equivalente de NortonPara propsitos de implementacin, un equivalente de Norton puede ser obtenido utilizando el voltaje como la variable de interfaz con el circuito bajo las siguientes ecuaciones incrementales: I = I Ib , V = V Vb , La sustitucin de (2.30) y (2.31) dentro de (2.29) produce donde:(2.30) (2.31)

I = HVV + IN , IN = Ib - HVVb .

(2.32) (2.33)

La ecuacin linealizada (2.32) puede ser interpretada como un equivalente de Norton armnico como se muestra en la Figura 2.2. I

IN

HV

V

Figura 2.2 Representacin del equivalente de Norton armnico

2.5 Componentes Lineales en el HDLas relaciones voltaje/corriente del capacitor, inductor y resistor lineales estn dadas por:

iC = C

dv , dt di v=L L , dt 1 iR = v . R

(2.34) (2.35) (2.36)

Comparando (2.34) y (2.35) con (2.17), y (2.36) con (2.16), resultan las siguientes expresiones en el HD: I C = CD( jm 0 )V = YC V , (2.37) 1 I L = D 1 ( jm 0 )V = YL V , (2.38) L 1 I R = UV = YR V , (2.39) Rdonde YC y YL y YR son matrices de admitancias en el dominio armnico y U es la matriz identidad.

9

2.6 Mtodos de Solucin en Circuitos de Potencia con Componentes No LinealesConsidere el sistema de transmisin mostrado en la Figura 2.3a. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que rigen su comportamiento en el dominio del tiempo pueden ser descritas en base al circuito equivalente mostrado en la Figura 2.3b. Considere R0 = R g + Rtr y L0 = L g + Ltr , donde las impedancias Z g del generador y Z tr transformador son

Z g = R g + jX g ,Z tr = Rtr + jX tr .

(2.40a) (2.40b)

En (2.40a) Rg es el valor de la resistencia de los devanados y Xg es la reactancia subtransitoria de eje directo [4]. La lnea elctrica es representada por un elemento de parmetros concentrados mediante un equivalente y el transformador se modela a partir de su impedancia serie (de corto circuito). Considerando que la corriente i3 en la rama no lineal est relacionada con el flujo pori3 = imag = + n ,(2.41)

el conjunto de EDOs correspondientes a este circuito sonv g = R 0 i1 + L 0 i1 = C di1 + v2 , dt(2.42a) (2.42b) (2.42c) (2.42d) (2.42e)

dv 2 + i2 , dt di v 2 = R1 i 2 + L1 2 + v1 , dt dv i 2 = C 1 + + n , dt d . v1 = dt

La respuesta peridica del circuito no lineal puede ser determinada integrando las ecuaciones diferenciales que lo describen hasta que la respuesta transitoria desaparezca. Sin embargo, esto podra representar un largo tiempo de cmputo. 2.6.1 Solucin Directa Normalmente el anlisis de armnicos a travs de un circuito de potencia que incluye uno o ms componentes no lineales, se lleva a cabo usando anlisis nodal.Transformador Lnea de Transmisin R0 X0 i1 + XC v2 (a) (b) Figura 2.3 Sistema de transmisin: (a) diagrama unifilar, (b) circuito equivalente R1 i2 X1 + XC v1 i3

Generador

Carga no lineal

vg

10

En ste anlisis, la matriz nodal de admitancias se obtiene a partir de las impedancias a distintas frecuencias de los elementos presentes en el sistema y cada uno de los componentes no lineales es representado por una fuente constante de corriente armnica [3]. Considere que en el sistema de transmisin considerado en la Figura 2.3 la carga no lineal es representada por una fuente de inyeccin de corriente constante. Desde el punto de vista de la carga no lineal la fuente de voltaje es vista como un corto circuito (puesto que la generacin a frecuencias armnicas es despreciable). Entonces, el sistema puede ser representado por el circuito de la Figura 2.4. De esta forma, se puede obtener la solucin del sistema por superposicin de los efectos de las fuentes.X0 R0 XC R1 X1 XC if

Figura 2.4 Circuito equivalente considerando una fuente de corriente constante

2.6.2 Solucin Iterativa usando el Mtodo de Gauss La representacin descrita anteriormente es demasiado simplificada. Esto se debe a que, generalmente, cuando una carga no lineal es conectada, absorbe corrientes que dependen de todas las componentes armnicas presentes en el voltaje en terminales como se expresa en (2.43). Adems, el voltaje no est definido sino que es una consecuencia de la interaccin armnica que se produce en la carga no lineal y la red [4]. I K = I K (V1 ,..., VK ,..., Vh ) Esta interaccin se puede ilustrar con ayuda de la Figura 2.5 donde la red lineal es representada por un equivalente de Thevenin. La carga absorbe una corriente armnica IK que inyectada a la red provoca una cada de voltaje en la impedancia ZTHk. Esto origina una variacin del voltaje armnico VK que modifica a su vez, segn se desprende de (2.43) todas las componentes armnicas de corriente. Este fenmeno de interaccin armnica requiere para su solucin la aplicacin de algoritmos iterativos [3, 5].IK ZTHk + ETHk VK Carga No Lineal

(2.43)

IK

ZTHk

ETHk

imag

Figura 2.5 Equivalente de Thevenin

Figura 2.6 Fuente dependiente en serie con equivalente de Thevenin para la solucin de punto fijo

El esquema iterativo ms simple usado para simular interacciones armnicas se basa en el algoritmo de Gauss o de punto fijo. En este caso, la componente no lineal se modela con una fuente de corriente dependiente de voltaje que se considera fija en cada iteracin.

11

Con referencia al circuito de la Figura 2.3b, obtenemos su equivalente de Thevenin y lo colocamos en serie con la fuente de corriente dependiente usada para modelar la no linealidad como se muestra en la Figura 2.6. De sta forma, al sustituir ETH por V1 en las ecuaciones diferenciales descritas en (2.42), y con i3 = 0 (fuente de corriente dependiente en circuito abierto) se puede encontrar el voltaje de Thevenin de la forma siguiente. Las ecuaciones (2.42a) y (2.42c) en el HD son Vg = ( R0 U + L0 D)I 1 + V2 , (2.44)

V2 = ( R1 U + L1 D)I 2 + E TH .

(2.45)

Ahora, sustituyendo (2.42d) en (2.42b) y despus la ecuacin resultante en el HD en (2.44), se obtiene Vg = ( R0 U + L0 D)(CDV2 + CDE TH ) + V2 . (2.46) De igual modo, (2.42d) en el HD puede ser sustituida en (2.45), resultando en

V2 = ( R1 U + L1 D)(CDE TH ) + E TH . Entonces, (2.47) se sustituye en (2.46), resultando en

(2.47)

Vg = L1C 2 (R0 U + L0 D)D3 + R1C 2 (R0 U + L0 D)D2 + C((R1 + 2R0 )U + (L1 + 2L0 )D) + U ETH .Finalmente, al despejar ETH de (2.48) resulta

[

]

(2.48)

TH = L1C 2 (R0 U + L0 D)D3 + R1C 2 (R0 U + L0 D)D2 + C((R1 + 2R0 )U + (L1 + 2L0 )D) + U Vg .

[

]

1

(2.49)

La impedancia de Thevenin desde el punto de vista de la carga no lineal la podemos encontrar a partir del circuito equivalente de la Figura 2.4, con X 0 = L0 D, X1 = L1 D, X C = (1 / C )D 1 , R 0 = R0 U y R 1 = R1 U Z TH = (Z1 X C )(Z1 + X C ) 1 , donde:(2.50) (2.51)

Z1 = [( X 0 + R 0 )( X C )][(X 0 + R 0 ) + X C ] 1 + R 1 + X1 .Finalmente, podemos escribir que

TH = Z TH I mag + V1 .

(2.52)

El proceso iterativo (mtodo de Gauss) es ilustrado por (2.53) - (2.55) en donde es requerido como dato inicial un estimado del voltaje V1k . El proceso termina una vez que los cambios en la corriente o la diferencia existente entre voltajes de dos iteraciones consecutivas sean menores que una tolerancia fijada previamente. k = D 1 V1k , (2.53) k k k n I mag = + ( ) , (2.54)k k V1k +1 = E TH Z TH I k . mag

(2.55)

12

Este mtodo, aunque requiere un nmero de operaciones relativamente bajo en cada iteracin, slo es adecuado para circuitos con poco contenido armnico, pues para circuitos con alta distorsin armnica converge lentamente y puede incluso no converger.2.6.3 Solucin Iterativa usando el Mtodo de Newton-Raphson

Otra alternativa se obtiene si usamos en lugar de una fuente de corriente dependiente, un equivalente de Norton y un procedimiento tipo Newton para llevar a acabo la actualizacin del equivalente Norton en cada iteracin. Como ilustracin de este mtodo considere de nuevo el sistema de la Figura 2.3a. Segn lo establecido en la seccin 2.4 el circuito equivalente de ste sistema sera como se muestra en la Figura 2.7 y su descripcin matemtica en base a un anlisis nodal es

I N YC + Y1 + H V Y1 0 = Ig 0 donde:

Y1 YC + Y1 + Y0 YC

0 V1 Y0 V2 , Y0 V3

(2.56)

Y0 = D 1 (R 0 + jhX 0 ), Y1 = D (R 1 + jhX 1 ), YC = D( jhX C ).1

(2.57) (2.58) (2.59)

La carga no lineal es representada por medio del equivalente de Norton armnico incorporando los puntos base de operacin I(0), V(0), con lo que

Imag = HVV1 + IN,donde IN = I(0) HVV(0} es la fuente de corriente del equivalente.

(2.60)

Una solucin de la ecuacin (2.60) puede ser producida cada paso de iteracin va NewtonRaphson, donde la sub-matriz de admitancias HV juega el papel de un Jacobiano y contiene las derivadas parciales en el dominio armnico de la funcin no lineal imag= +n con respecto a . Tomando en cuenta que Vg es una fuente de voltaje constante, la reduccin de Kron puede ser usada para encontrar las variables desconocidas Ig, V2 y V1. En general, una representacin nodal se puede particionar como sigue: YUU Y KU YUK VU I U , = YKK VK I K (2.61)

donde los subndices U y K representan conexiones a nodos con voltajes desconocidos y conocidos respectivamente. Usando reduccin de Kron los voltajes desconocidos se pueden obtener deVU = (YUU )1

(I U YUK VK ) ,

(2.62)

13

y la corriente en la fuente puede ser calculada conI K = YKU VU + YKK VK .V3 Ig Vg YC YC Hv V2 V1 Imag (2.63)

Y0

Y1

IN

Figura 2.7 Equivalente del sistema transmisin en el dominio armnico

Los valores iniciales para evaluar el equivalente de Norton armnico se obtienen analizando el circuito sin la rama magntica. Usando esas condiciones iniciales (en este caso V10 ) el procedimiento iterativo sera k = D 1 V1kk I mag = k + ( k ) n

a) Evaluar polinomio va convolucin b) Vector armnico obtenido de di mag / dk c) Calcular matriz Hermitiana con estructura Toeplitz a partir de FV

F = + n ( )k Vk

k

n 1

F

H k = F k D 1 VI =Ik N k mag

d) Actualizar Equivalente de Nortonk V k 1

H V

La matriz nodal en (2.56) es ensamblada en cada iteracin y la reduccin de Kron descrita anteriormente es usada para obtener V1k +1 , el cual es usado como nueva entrada, el proceso termina una vez que el valor absoluto de la diferencia entre las normas del vector armnico de dos iteraciones sea ms pequeo que cierta tolerancia dada k +1 k . En general para la representacin armnica de circuitos completos los componentes lineales y linealizados son ensamblados juntos (para la solucin completa del sistema) siguiendo las reglas del anlisis nodal y el proceso de linealizacin descrito anteriormente, donde la matriz de admitancias hace la funcin de una matriz Jacobiana global [1, 5]. La ecuacin en el dominio armnico para la representacin total del circuito se expresa comoY = J X,(2.64)

donde X = X X(0) y Y = Y Y(0). Entonces (2.56) resulta enY = JX + YE,(2.65)

14

donde YE = Y(0) JX(0), X(0) es una entrada dada y X es la nueva salida determinada. La nueva salida se usa como el vector de entrada para obtener otra nueva solucin, este patrn iterativo es repetido hasta que la diferencia absoluta de dos iteraciones consecutivas sea ms pequea que una tolerancia especificada.2.7 Ejemplo 2.1

Considere el sistema representado en la Figura 2.3b con valores dados en por unidad: 0 = 1 , R0 = 0.05, L0 = 0.0326, R1 = 0.0265, L1 = 0.0626, C = 0.2373. La curva de saturacin se represent con un polinomio de noveno orden con = 0.2 y = 0.9 . El algoritmo de Newton-Raphson se us para resolver (2.56). Con V0 = 0.5671+ j0.0039 y 1 V10 = 0.5671 j 0.0039 como valores iniciales obtenidos analizando el circuito sin la rama magntica, considerando 15 armnicos, vg = 1.1 p.u. y una tolerancia de 10-5. Los siguientes vectores se obtuvieron al final de la primera iteracin utilizando esas condiciones:

M M M 0 0.0079 j 0.0618 0.0081 j 0.0277 0 0 0 0 0.0303 j 0.0170 0.0109 j 0.0089 0 0 0 0 0.0557 + j 0.0118 0.0201 + j 0.0094 0 0 0 0.55 0.5284 j 0.0117 0.5450 j 0.0059 1 1 V11 = ; V2 = ; Vg = 0 0 0 0.55 0.5287 + j 0.0128 0.5453 + j 0.0064 0 0 0 0 0.0568 j 0.0122 0.0205 j 0.0097 0 0 0 0 0.0229 + j 0.0171 0.080 + j 0.0084 0 0 0 0 0.0007 + j 0.1065 0.0080 + j 0.0488 M M M

Cabe mencionar, que los resultados numricos mostrados presentan solo los resultados ms relevantes, y por cuestiones de espacio los vectores muestran los primeros 7 de los 15 armnicos considerados.15

M M M 0.1234 j 0.0083 j 0.1418 0 0 0 .2835 0.0312 + j 0.0767 j 0.6350 0 0 0 1.1113 0.0070 j 0.2020 j1.6596 0 0 0 2.4894 0.0154 + j 0.1289 j 2.7881 0 1 1 Ig = , ; FV = 3.6841 ; I 1 = 0 0 N 0 0.0073 j 0.1326 j 3.1226 3.1226 0 0 0 0.0065 + j 0.2061 j 2.3316 1.7487 0 0 0 0.0334 j 0.0592 j1.1196 0.5596 0.2113 0 j 0.0112 j 00 .3134 0 M M M donde FV es el vector armnico obtenido de dimag / d . Los vectores convergen a los siguientes resultados al final de la octava iteracin. M M M 0.0137 j 0.0568 0.1443 j 0.0205 0.0104 j 0.0251 0 0 0 0.0329 j 0.0098 0.0132 + j 0.0805 0.0125 j 0.0062 0 0 0 0.0586 + j 0.0107 0.0132 j 0.2110 0.0213 + j 0.0093 0 0 0 0.5276 j 0.0127 0.0137 + j 0.1392 0.5448 j 0.0065 V18 = ; V28 = ; ; I8 = 0 0 0 g 0.5276 + j 0.0127 0.0137 j 0.1392 0.5448 + j 0.0065 0 0 0 0.0586 j 0.0107 0.0132 + j 0.2110 0.0213 j 0.0093 0 0 0 0.0329 + j 0.0098 0.0132 j 0.0805 0.0125 + j 0.0062 0 0 0.0137 + j 0.0568 0.1443 0 j 0.0205 0.0104 + j 0.0251 + M M M

16

M M M 0.0217 + j 0.0196 0.1606 j 0.1534 0 0.0953 j 0.0856 0 0 0.0424 j 0.2242 0.0057 + j 0.0267 0 0 0 0.7033 j 0.1632 0.0274 j 0.1541 0.2138 + j1.2640 0 2.1238 + j 0.2308 0 0 0 0.1254 j 2.3053 0.0182 + j 0.3937 8 8 ; I8 = FV = 3.0882 . ; I mag = 0 0 N 0 0.1254 + j 2.3053 0.0182 j 0.3937 2.1238 j 0.2308 0 0 0 0.2138 j1.2640 0.0274 + j 0.1541 0.7033 + j 0.1632 0 0 0 0.0057 j 0.0267 0.0424 + j 0.2242 0.0953 + j 0.0856 0 0 0.1606 + j 0.1534 0.0217 j 0.0196 0 M M M Las formas de onda de imag y v1 son mostradas en la Figura 2.8a; su contenido armnico se puede observar en la Figura 2.8b.

1.5 Corriente Voltaje

1

0.5magnitud [pu]

0

0.5

1

1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05 tiempo [s]

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

(a)

17

100 90 80 70% de la fundamental

Corriente Voltaje

60 50 40 30 20 10 0 0

1

3

5

7 Armonico

9

11

13

15

(b) Figura 2.8 Voltaje y corriente en la rama magntica: (a) formas de onda (b) contenido armnico

2.8 Conclusiones En este captulo se ha ilustrado el proceso de linealizacin en el HD. Este ha sido usado para modelar los efectos de componentes no lineales caracterizados por saturacin magntica. Adems, se mostr la necesidad de soluciones iterativas para obtener el efecto total de los componentes no lineales en un circuito elctrico. Se han utilizado dos mtodos, Gauss-Seidel y Newton-Raphson, en el HD, donde las componentes no lineales se modelan dentro de una solucin iterativa. Se ha mostrado que, en general, ambos mtodos conducen a los mismos resultados; sin embargo difieren en rapidez de convergencia. Por ejemplo, para llegar a los resultados mostrados en las Figuras 2.8a y 2.8b de la Seccin 2.6, el mtodo de Gauss-Seidel requiere 25 iteraciones, en cambio con el mtodo de Newton-Raphson se necesitan solamente 5 iteraciones. Cabe mencionar, que otras simplificaciones son posibles usando Newton-Raphson, como mantener el Jacobiano constante despus de la primera o segunda iteracin para ahorrar clculos por iteracin; sin embargo, seran requeridas ms iteraciones.

III EVOLUCIN DINMICA18

DE ARMNICOS3.1 Introduccin Para calcular la evolucin dinmica de los armnicos debida a disturbios ocasionados por fenmenos electromagnticos y/o por cambios continuos en la configuracin del sistema y condiciones de carga, se propone la utilizacin de un mtodo directo basado en matrices operacionales y en las propiedades de las series ortogonales de Fourier. Estas herramientas matemticas proporcionan los medios para transformar un sistema peridico variante en tiempo en uno invariante. Este mtodo es conocido como el Dominio Armnico Extendido (EHD) y est formulado en espacio de estados donde los coeficientes de Fourier son las variables de estado. El EHD, adems de permitir el clculo de la evolucin de los coeficientes armnicos, conduce convenientemente al clculo de los ndices de calidad de energa en estado transitorio. 3.2 Dominio Armnico Extendido y Linealizacin Considere la funcin x() dada por x( ) =n =

X

n

(t )e jn0 ,

(3.1)

donde 0 = 2 / T , [t , t + T ] , T es el periodo de x() en estado estable y los coeficientes X n (t ) son calculados con 1 t +T (3.2) X n (t ) = x( )e j0 d . T t La evolucin en el tiempo de los armnicos se obtiene de (3.2) a medida que la ventana de longitud T se desliza sobre la x(). La funcin en (3.1) puede ser expresada por

x( ) = G ( ) X ,dondeG ( ) = [e jh 0L e j 0

(3.3)

1 e j 0

L e jh 0 ] ,T

(3.4) (3.5)

X = [X h (t ) L X 1 (t ) 1 X 1 K X h (t )] .

Ntese que debido al truncamiento, (3.3) es una aproximacin de (3.1). La derivada de (3.3) con respecto a est dada por & & & x( ) = G ( ) X + G ( ) X , (3.6)& donde G ( ) est relacionada con la matriz de diferenciacin D como sigue: & G ( ) = G ( )D .

(3.7)

Tomando en cuenta (2.9) y (3.3), el producto de dos funciones se define como(3.8)

19

a ( ) x ( ) = G ( ) A T X ,

donde AT es una matriz con estructura Toeplitz y est formada con el contenido armnico de a ( ) . Considere las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el circuito de la Figura 2.3:

(v g R0 i1 v 2 ) L0 i1 i1 i2 v 1 C d i 2 = (v 2 R1i2 v1 ) . dt L1 V1 (i 2 n ) C v1

(3.9)

Para analizar la evolucin dinmica de los armnicos del sistema descrito por (3.9) ante pequeos disturbios, se puede linealizar alrededor de un punto de operacin y aplicar la metodologa del EHD. En general, si la ecuacin & x = f (x, u) , (3.10) representa un sistema conteniendo tanto elementos lineales como no lineales con parmetros constantes o variantes en tiempo [9], y si x0 y u0 son los estados iniciales, se debe satisfacer que& x = f (x 0 , u 0 ) = 0 .(3.11)

Considerando un disturbio pequeo en (3.11), tenemos quex = x 0 + x

y u = u 0 + u .

El nuevo estado debe satisfacer (3.10), por lo tanto

& & & x = x 0 + x = f [(x 0 + x ), (u 0 + u )] .

(3.11)

Expandiendo la i-sima funcin no lineal de f(x, u) en series de Taylor y despreciando los trminos de segundo y ms alto orden obtenemos& & & xi = xi 0 + xi = f i (x 0 , u 0 ) +

f i f f f x1 + L + i x n + i u1 + L + i u n x1 x n u1 u n

(3.12)

con i = 1, 2, , n. Por lo tanto, la forma linealizada de (3.10) se puede escribir como:& x = Ax + Bu ,(3.13)

donde:

20

f 1 x 1 A= M f n x 1

L

M , f n L x n

f1 x n

f 1 u 1 B= M f n u 1

L

M . f n L u n

f1 u n

Por ejemplo, la linealizacin de (3.9) proporciona las siguientes matrices R0 L 0 1 C A= 0 0 0

1 L0 0

0 1 C R1 L1 1 C 0

0 0

0 0 0n 1

1 L1 0 0

1 L1 0 1

( + n )C 0

,

1 L 0 0 B = . 0 0 0

(3.14)

A partir del sistema linealizado, la teora del EHD se emplea para obtener un sistema invariante en tiempo [6]. Aplicando el EHD a la primera ecuacin de la versin linealizada del sistema (3.9) se obtiene R 1 1 & & G (t )I 1 + G (t )I 1 = 0 G (t )I 1 G (t )V + G (t )Vg , (3.15) L0 L0 L0que al simplificar resulta en .(3.16)

1 (Vg R0 I1 V2 ) . L0 Siguiendo un proceso similar para el resto de las ecuaciones, se obtiene la siguiente representacin:& I 1 = DI 1 + R0 1 U 0 0 0 U + D L L0 I & I 1 0 Vg 1 1 1 & D U U 0 0 V2 V2 1 0 C C I + I 2 = 0 . (3.17) R1 1 1 2 L0 U + D U & 0 U 0 V1 L1 L1 V1 0 L1 & 0 1 1 D AT 0 0 U C C 0 U D 0 0 Ntese que AT en (3.17) es una sub-matriz con estructura Toeplitz formada a partir de los valores del punto de operacin (estado estable) de + n n 1 de acuerdo a (3.8). La forma compacta de (3.17) omitiendo la notacin es (3.18) & X = AX + BU S .

21

El sistema linealizado (3.18) se puede resolver usando mtodos tradicionales de integracin, donde las matrices A y B y el vector de entradas US son constantes en cada paso de integracin, y el vector de solucin X es complejo y evoluciona con el tiempo. Como segunda alternativa, el comportamiento dinmico de los armnicos del sistema descrito por (3.9) tambin puede ser analizado aplicando directamente el EHD, donde el siguiente sistema no lineal debe ser resuelto:

R0 1 U 0 0 0 U + D L0 & I1 I L0 Vg 1 1 1 & D U U 0 0 V2 V2 1 0 C C I + I = 0 . R1 1 1 2 &2 0 U U + D U 0 L0 L V1 L1 L1 V1 0 1 & 0 1 1 D AT 0 0 U C C 0 U D 0 0

(3.19)

Cabe notar que, aunque podemos obtener una matriz toeplitz AT con los coeficientes armnicos de ( + n 1 ) el sistema sigue siendo no lineal. La solucin generalmente se obtiene usando mtodos iterativos en donde la matriz AT necesita ser actualizada en cada iteracin. No obstante, aunque el caso no lineal implica un alto esfuerzo computacional y tiempo de computo en relacin al caso linealizado, no involucra el error generado por la linealizacin alrededor de un punto de operacin. 3.3 ndices de Calidad de Energa en Estado Transitorio Las definiciones de potencia instantnea, potencia activa, valores RMS, potencia aparente y factor de potencia usadas en circuitos elctricos operando en condiciones sinusoidales puras, se pueden extender en trminos de coeficientes complejos de Fourier para tomar en cuenta formas de onda de voltaje y corriente peridicas no sinusoidales. La potencia instantnea est dada por la siguiente relacin peridica:

p(t ) =

m = n =

V

m n

I e j ( m + n )0 t ,

(3.20)

donde Vm e I n son los coeficientes de Fourier de v(t ) e i (t ) , respectivamente. La potencia activa est definida como la potencia instantnea consumida en un periodo, pero, como la operacin de integracin nicamente proporciona un valor diferente de cero cuando m = n, la siguiente ecuacin es vlida: P= 1 T0

T0 / 2

T0 / 2

p (t )dt =

m =

V

m m

I

.

(3.21)

El valor RMS de voltaje y corriente est dado por la integral de v(t ) 2 e i (t ) 2 , respectivamente. Entonces, usando coeficientes armnicos se obtiene22

Vrms = I rms =

m =

V I

2 m

, .

(3.22)

2 n

(3.23)

n =

La definicin de potencia aparente est dada por S = Vrms I rms , por lo que al usar (3.21) y (3.22) resulta

S=

m = n =

V

2 m

In

2

.

(3.24)

Adicionalmente a la potencia activa, otras dos componentes ortogonales de la potencia aparente pueden ser derivadas usando los cuadrados de (3.20) y (3.23) con la siguiente relacin [2]:

S 2 = S 2 P2 + P2 .

(3.25)

La primeara componente es conocida como potencia reactiva Q H y est dada por la multiplicacin de voltajes y corrientes de la misma frecuencia2 QH =

m =

(V

2 m

I m Vm I mVm I m .

2

)

(3.26)

La segunda es conocida como potencia de distorsin DH y est dada por la multiplicacin de voltajes y corrientes de diferentes frecuencias.2 DH =

m = n = , n m

(V

2 m

I n Vm I mVn I n .

2

)

(3.27)

Por lo tanto, la siguiente igualdad de potencia debe ser cumplida en cualquier momento dado:2 2 S 2 = P 2 + QH + DH ,

(3.28)

donde S, P, QH, y DH tienen unidades de VA, W, VAR y volt amperes de distorsin (VAD), respectivamente. El factor de potencia no difiere del conocido para circuitos con formas de onda puramente sinusoidales dado por FP = P S .

La distorsin armnica total (THD) para el voltaje y corriente est dada por

23

THDV =

m=2

VV1

2 m 2

100%,(3.29)2

THD I =

In=2

n 2

I1

100% .

(3.30)

Puesto que la FFT se aplica nicamente a formas de onda peridicas, los ndices de calidad de energa han sido usados con poca frecuencia bajo condiciones dinmicas. De hecho, algunas variaciones de la FFT se han empleado para derivar informacin armnica bajo estas condiciones, sin proporcionar informacin muy precisa, lo que dificulta el clculo confiable de dichos parmetros [6]. El clculo correcto de la evolucin dinmica de los armnicos llevado a cabo por el EHD, permite que tales definiciones puedan ser aplicadas bajo condiciones transitorias en forma natural. Dicho anlisis de ndices armnicos transitorios puede ser aplicado por ejemplo, para mejorar el diseo de esquemas de proteccin y control basados en los parmetros de frecuencia fundamental.

3.4 Casos de EstudioLos algoritmos de solucin para los sistemas de ecuaciones lineales (3.17) y no lineales (3.19), fueron implementados en Matlab. La simulacin fue llevada a cabo considerando quince armnicos, usando el HD para inicializar la solucin y asumiendo los mismos parmetros de la Seccin 2.6 en el Captulo II. Se aplicaron Dos tipos de disturbios para observar el comportamiento dinmico de los armnicos. En el caso I, el voltaje de la fuente es reducido un 10% durante 8.3 ms despus de 29.2 ms como se muestra en la Figura 3.1a.1.5

2.5

1

2

1.5

0.51voltaje [pu] voltaje [pu]

0

0.5

0

0.50.5

11

1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05 tiempo [s]

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05 tiempo [s]

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

(a) Caso I Figura 3.1 Disturbios en la fuente de voltaje

(b) Caso II

La Figura 3.2 muestra la magnitud en el tiempo de los coeficientes armnicos de la corriente en la rama magntica ante el disturbio del caso I, en donde una comparacin entre la solucin del EHD

24

usando linealizacin y el EHD no lineal se llevo a cabo. La representacin en el tiempo de la corriente a partir de ambos mtodos se presenta en la Figura 3.3.

EHD No Lineal EHD Linealizado 1.2

1

magnitud de armnicos

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06 tiempo [s]

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura 3.2 Evolucin armnica de la corriente en la rama magntica, caso I.

1.5 EHD Linealizado EHD No Lineal Estado Estable

1

0.5

corriente [pu]

0

0.5

1

1.5

2 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06 tiempo [s]

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura 3.3 Corriente en la rama magntica usando EHD, caso I

De estos resultados se puede observar que ambos mtodos muestran una clara variacin armnica cuando el sistema es perturbado as como el instante exacto del inicio del disturbio. Sin embargo, como se aprecia en las Figuras 3.2 y 3.3, el modelo linealizado presenta errores notables ante disturbios moderadamente grandes, en relacin al no lineal. Cabe mencionar que la solucin en el dominio del tiempo, sistema 3.9, se utiliz como referencia para validar el EHD. Dicha solucin se muestra en la Figura 3.4.

25

2 Solucion en Dominio del Tiempo HD Estado Estable 1.5

1

0.5

corriente [pu]

0

0.5

1

1.5

2

0

0.02

0.04

0.06

0.08 tiempo [s]

0.1

0.12

0.14

0.16

Figura 3.4 Corriente en la rama magntica usando el dominio del tiempo, caso I

El comportamiento dinmico de los ndices elctricos en terminales de la rama magntica para el caso I se muestra en las Figura 3.5-3.6. En stas figuras se observa que los ndices son constantes en la operacin de estado estable, pero sufren cambios significantes durante condiciones transitorias. En el caso II, el disturbio corresponde a un impulso de voltaje de dos veces la magnitud del voltaje fuente con duracin de 0.81 ms y aplicado despus de 33.3 ms como se muestra en la Figura 3.1b. Los resultados obtenidos se muestran en las Figuras 3.7-3.11 donde se nota que disturbios pequeos pueden ser fcilmente detectados usando el modelo linealizado.

Potencia Aparente 0.8 0.7 0.6 0.1 0.15

Potencia Activa

magnitud

0.5 0.05 0.4 0.3 0.2 0.1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.05 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0

Potencia Distorsin 0.6 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.02

Potencia Reactiva

magnitud

0.4 0.3 0.2 0.1 0.02

0.04

0.06 tiempo [s]

0.08

0.1

0.04

(a)

0.06 tiempo [s]

0.08

0.1

26

Voltaje RMS 0.85 EHD No Lineal EHD Linealizado 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.02 1

Corriente RMS EHD No Lineal EHD Linealizado

magnitud

0.75 0.7 0.65

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.04

0.06

0.08

0.1

THDv 45 40 35 EHD No Lineal EHD Linealizado 120 140

THDi EHD No Lineal EHD Linealizado

magnitud

30 25 20

100 80 60

15 10 0.02 0.04 0.06 tiempo [s] 0.08 0.1 40 0.02 0.04 0.06 tiempo [s] 0.08 0.1

(b)

Figura 3.5 Cantidades elctricas en terminales de la rama magntica, caso I.1.5 EHD No Lineal EHD Linealizado

1

magnitud de armnicos

h=1

0.5 h=3

h=5, 7 0 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06 tiempo [s]

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura 3.6 Evolucin armnica de la corriente en la rama magntica, caso II2.5 EHD Linealizado EHD NO Lineal Estado Estable

2

1.5

1

corriente [pu]

0.5

0

0.5

1

1.5 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06 tiempo [s]

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura 3.7 Corriente en la rama magntica usando EHD, caso II

27

2.5 Solucin en Dominio del Tiempo 2 HD Estado Estable

1.5

1

corriente [pu]

0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.02

0.04

0.06

0.08 tiempo [s]

0.1

0.12

0.14

0.16

Figura 3.8 Corriente en la rama magntica usando el dominio del tiempo, caso II

Potencia Aparente 1.2 EHD No Lineal EHD Linealizado 1 0.2magnitud

Potencia Activa 0.4 0.3 EHD No Lineal EHD Linealizado

0.8 0.6 0.4

0.1 0 0.1 0.2

0.2 0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.3 0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Potencia Distorsin 1 0.9 0.8magnitud

Potencia Reactiva 0.8 EHD No Lineal EHD Linealizado 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 EHD No Lineal EHD Linealizado

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.02 0.04 0.06 tiempo [s] 0.08 0.1

0 0.02

0.04

0.06 tiempo [s]

0.08

0.1

(a)

28

Voltaje RMS 1.4 EHD No Lineal EHD Linealizado 1.2 1.4 1.2 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.02 0.4 0.2 0.02

Corriente RMS EHD No Lineal EHD Linealizado

magnitud

1

0.04

0.06

0.08

0.1

0.04

0.06

0.08

0.1

THDv 90 80 70 EHD No Lineal EHD Linealizado 90 85 80 75 70 65 60 0.04 0.06 tiempo [s] 0.08 0.1 55 0.02 0.04

THDi EHD No Lineal EHD Linealizado

magnitud

60 50 40 30 20 0.02

(b)

0.06 tiempo [s]

0.08

0.1

Figura 3.9 Cantidades elctricas en terminales de la rama magntica. Caso II.

3.5 ConclusionesEn este Captulo, la metodologa del EHD se ha aplicado para obtener el comportamiento de la dinmica de los armnicos en sistemas elctricos que incluyen componentes no lineales. Esta metodologa fue utilizada bajo dos diferentes esquemas. En el primero, un proceso de linealizacin se llevo a cabo antes de aplicar el EHD, conduciendo a la obtencin de un sistema lineal e invariante en tiempo que puede ser resuelto fcil y eficientemente. El segundo, es una aplicacin directa del EHD, que conlleva a una implementacin no lineal difcil e ineficiente, pero presenta mejores resultados. En el ejemplo de aplicacin, se han analizado dos casos usando ambos mtodos. En el primero, el voltaje de alimentacin fue reducido durante medio ciclo; en el segundo, el disturbio consisti en un impulso. Los resultados obtenidos muestran que el uso del modelo linealizado puede conducir a resultados inexactos cuando el sistema es afectado por disturbios relativamente grandes. Sin embargo, cuando es afectado por disturbios pequeos presenta resultados satisfactorios, tanto en la dinmica de los armnicos como en el clculo de los parmetros de calidad de energa en condiciones transitorias. La exactitud de las soluciones en ambos casos depende del nmero de armnicos considerados y del paso de integracin. Es por esto que, en el anlisis de disturbios pequeos el mtodo linealizado muestra ventajas sobre el no lineal, pues un anlisis ms completo puede ser implementado eficientemente con un tiempo de cmputo mucho menor.

29

IV MEDICIN DE ARMNICOSVARIANTES EN TIEMPO4.1 IntroduccinLa medicin de armnicos es un tpico importante dentro del rea de calidad de la energa. Aunque en las ltimas dcadas se ha incrementado el inters por generar mejores algoritmos para su deteccin y extraccin, su naturaleza variante en tiempo dificulta este trabajo. Los dispositivos de medicin convencionales operan basados en la suposicin de condiciones estacionarias y, generalmente hacen uso de la FFT. Sin embargo, la variedad de disturbios presentes en un sistema elctrico puede afectar la variacin de la amplitud y/o la frecuencia de las formas de onda de voltaje y corriente. Como consecuencia, bajo estas condiciones el uso de la FFT se ve limitada. Actualmente, para mejorar la medicin de armnicos variantes en tiempo, se emplean varios mtodos que provienen principalmente del rea de procesamiento digital de seales. Todos ellos presentan ventajas y desventajas [14]. En este captulo se discute un esquema basado en la teora del filtrado de Kalman; tambin se prueba su viabilidad de implementacin en tiempo real usando un procesador digital de seales (DSP). Este esquema no requiere un nmero entero de muestras en un nmero entero de ciclos, ni de condiciones estacionarias para llevar a cabo una estimacin ptima de los armnicos variantes en tiempo. Adems, la implementacin del filtro de Kalman lineal es un trabajo relativamente simple y su eficiencia depende de que las ecuaciones de estado, las ecuaciones de medicin y las matrices de covariancia sean definidas correctamente [15, 16].

4.2 Medicin de Armnicos Variantes en TiempoCuando la tcnica de la FFT se usa para calcular armnicos, slo se obtienen resultados correctos bajo las siguientes condiciones: (i) la seal es estacionaria (constante en magnitud) y peridica, (ii) la frecuencia de muestreo es ms grande que dos veces la frecuencia ms alta contenida en la seal, (iii) el nmero de periodos muestreados es un entero, y (iv) las formas de onda no contienen frecuencias que no son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental [15]. En situaciones prcticas donde las componentes fundamentales y los niveles de distorsin de las seales estn constantemente cambiando en tiempo, se ha hecho uso de la transformada de Fourier con ventanas (STFT) para calcular la variacin en el tiempo de armnicos individuales [17]. La aplicacin directa de la STFT introduce errores principalmente debidos a aliasing, leakage, y picketfence [18, 19]. El fenmeno Aliasing se debe a una frecuencia baja de muestreo, y puede ser mitigado por filtros anti-aliasing o satisfaciendo el teorema de muestro de Nyquist (la frecuencia de muestreo debe satisfacer la suposicin (ii)). Leakage se refiere a una aparente propagacin de energa de una frecuencia hacia las adyacentes, y va a ocurrir si el intrvalo de truncamiento no es un mltiplo entero del periodo de la fundamental. El uso de diferentes ventanas (Hanning, Blackman, etc.) y/o tcnicas de interpolacin pueden ser empleadas para reducir este fenmeno [20,

30

21]. No obstante, esto requiere ms esfuerzo y complejidad computacional. Instrumentos actuales hacen uso de un PLL hardware para variar el rango de muestreo y asegurarse que siempre se obtiene un nmero entero de ciclos en el intrvalo de truncamiento. El fenmeno de Picket-fence ocurre si la forma de onda analizada incluye frecuencias que no son mltiplos enteros de la fundamental. Ya que la FFT es discreta, slo las amplitudes de frecuencias que caen exactamente en esos puntos discretos en el dominio de la frecuencia son calculadas exactamente. Este efecto puede ser reducido usando ventanas o con manipulaciones de la FFT basadas en la Relacin de Parseval y conceptos de energa [22]. En algunos casos, las tcnicas empleadas para reducir los efectos anteriores no funcionan adecuadamente. De aqu la necesidad de desarrollar tcnicas alternativas para la estimacin ptima de armnicos con magnitudes variantes en tiempo.

4.3 Filtro de Kalman DiscretoEl filtro de Kalman es un conjunto de ecuaciones matemticas que proveen un medio computacional eficiente (recursivo) para estimar los estados de un proceso de una forma que minimiza el error medio cuadrtico. La derivacin completa de las ecuaciones del filtro de Kalman se puede encontrar en [23]. En esta tesis se describen solo las ecuaciones bsicas que permitan establecer un modelo de estados lineal para la estimacin ptima de armnicos con magnitudes variantes en tiempo. El problema general a resolver es el de estimar el estado x n de un sistema discreto en espacio de estados, gobernado por la siguiente ecuacin en diferencias lineal estocstica: x k +1 = k x k + wk , con una medicin z m en puntos discretos en el tiempo de la forma z k = H k xk + vk .(4.2) (4.1)

En (4.1) y (4.2) nn es la matriz de transicin de estado y H mn es una matriz que permite la conexin entre las mediciones y el vector de estados; wk y v k son variables aleatorias y representan el ruido del proceso y de la medicin, respectivamente. En estos ltimos dos parmetros se asume una distribucin normal y media cero, esto es: E{wk } = E{v k } = 0 ;(4.3)

adems, si se asume que no presentan correlacin en el tiempo, es decir que son ruido blanco, pueden ser descritas por matrices de covariancia o de niveles de ruido dadas porQ , i = k , E wk wiT = k ik 0,

[

]

(4.4)

R , i = k , E v k viT = k ik 0,

[

]

(4.5)

31

donde las matrices de covariancia Q y R son simtricas y positivas semidefinidas. Para iniciar el proceso recursivo del filtro de Kalman, definimos a x k n como un estimado a priori del estado en el paso k, y a la matriz de covariancia asociada con el error estimado a priori como Pk = E ek ek

[

T

] = E[(x

k

xk xk xk

)(

)

T

].

(4.6)

Si suponemos que ya tenemos un estimado para x k al momento de la medicin y su matriz decovariancia asociada, Pk , podemos mejorar ptimamente el estimado usando una combinacin lineal del mismo y una diferencia ponderada entre la medicin actual z k y la prediccin H k x k [23, 24] como lo muestra la siguiente relacin: xk = xk + K k z k H k xk ,

(

)

(4.7)

donde x k es el estimado actualizado y la diferencia z k H k x k es llamada la medicin de innovacin. K es una matriz de m n y es llamada la ganancia de Kalman. La idea es encontrar una Kk que minimice los elementos de la matriz de covariancia asociada con los estimados actualizados, dada porPk = E[ek ek ] = E[( x k x k )( x k x k ) T ] . T

(

)

(4.8)

Esta minimizacin puede ser realizada sustituyendo (4.7) en (4.8), llevando a acabo las expectaciones indicadas, tomando la derivada del resultado con respecto a K, igualando a cero y despejando K [23]. Una forma de la K resultante esT T K k = Pk H k H k Pk H k + Rk

(

)

1

.

(4.9)

La matriz de covariancia asociada con los estimados ptimos puede ser calculada por

Pk = (I K k H k )Pk1 . En el siguiente paso x k se utiliza para obtener x k +1 , por lo tanto x k +1 = k x k .

(4.10)

(4.11)

La matriz de covariancia asociada con x k +1 se obtiene entonces formando la expresin para el error a priori ek +1 = x k +1 x k +1 = k ek + wk , (4.12) por lo tanto, Pk+1 = E[ek +1ek +1 ] = k Pk kT + Qk .T

(4.13)

32

El proceso de estimacin del filtro de Kalman tiene una forma de control retroalimentado: el filtro estima los estados del proceso en algn tiempo y despus es retroalimentado en forma de mediciones. De tal manera que las ecuaciones del filtro de Kalman se dividen en dos grupos: ecuaciones de actualizacin en tiempo y las de actualizacin por la medicin. El algoritmo de estimacin final del filtro asemeja al algoritmo de un predictor-corrector para resolver problemas numricos, donde las ecuaciones de actualizacin en tiempo pueden ser vistas como un predictor y las de actualizacin por la medicin como un corrector. En base a lo anterior, la operacin completa del filtro puede ser descrita como se muestra en la Figura 4.1.

Actualizacin en Tiempo (Predictor)(1) Proyectar el estado futuro

Actualizacin por la Medicin (Corrector)(1) Calcular la ganancia de KalmanT T K k = Pk H k H K PK H K + Rk

x k +1 = k x k(2) Proyectar la covariancia del error

(

)

1

Pk+1 = k Pk kT + Qk

(2) Actualizar estimados con medicin zk

xk = xk + K k z k H k xk

(

)

(3) Actualizar la covariancia del error

PK = (I K k H k )Pk1

Estimados Iniciales para x k y PkFigura 4.1 Operacin completa del filtro de Kalman

4.4 Representacin en Variable de Estado de una Seal Discreta con Componentes Armnicos Variantes en TiempoConsidere la siguiente seal discreta que incluye M armnicos, libre de ruido y considerando una referencia rotacional y k = Am (t k )cos(m 0 k + m ) ,m =1 M

(4.14)

donde: yk m M Am (t k ) valor de la seal en la k-sima muestra, orden del armnico, componente de ms alta frecuencia de la seal, amplitud de la m-sima armnica en el tiempo t k , frecuencia angular normalizada dada por 2f 0 = 2f / f s ,

0

33

m

fs k

frecuencia de muestreo, instante de muestreo, fase de la m-sima armnica relativa a la referencia rotacional.

La seal (4.14) puede ser expresada comoy k = A1 (t k )cos(1 )cos ( 0 k ) A1 (t k )sen (1 )sen ( 0 k ) + A2 (t K )cos( 2 )cos(2 0 k ) A2 (t k )sen (1 )sen (2 0 k ) + ... + AM (t k )cos( M )cos( M 0 k ) AM (t k )sen ( M )sen ( M 0 k ).(4.15)

Observamos de (4.14) que, de cada componente de frecuencia podemos tomar dos variables de estado definidas comox1 ( t k ) = A1 ( t ) cos 1 , x 2 ( t k ) = A1 ( t k ) sen 1 , x 3 ( t ) = A 2 ( t k ) cos 2 , x 4 = A 2 ( t k ) sen 2 , ..., x 2 M 1 = A m ( t k ) cos M , x 2 M = A M ( t k ) sen M .(4.16)

Cada par de variables de estado representa las componentes en fase y en cuadratura con respecto a la referencia de rotacin [22], y su modelo en variable de estado puede ser expresado como x1 1 0 x 0 1 2 M = 0 0 x 2 M 1 0 0 xM k +1 0 0

K 0 0 x1 1 x O 0 0 2 2 O 0 0 M + M wk , O 1 0 x 2 M 1 2 M 1 L 0 1 x 2 M k 2 M

(4.17)

donde el factor wk permite la variacin aleatoria de las variables de estado (variacin en el tiempo). Las ecuaciones de medicin incluyen a la seal y al ruido y pueden ser expresadas por x1 x 2 z k = H k x k + v k = [cos( 0 k ) sen ( 0 k ) L cos( M 0 k ) sen ( M 0 k )] M + v k , x 2 M 1 x2 M k

(4.18)

donde vk representa ruido de alta frecuencia. Ntese, que las ecuaciones descritas anteriormente son adecuadas para implementarse en el algoritmo del filtro de Kalman, y que Hk es un vector variante en tiempo, pero puede ser constante si utilizamos una referencia estacionaria en la representacin de variables de estado [15].

34

4.5 Algoritmo de la STFTEl algoritmo de la SFTF, que utiliza como base la FFT, se puede resumir en los siguientes cuatro pasos [17]: 1. Leer M muestras de la seal de entrada s, y almacenarlos en un buffer de longitud N M el cual est inicialmente con ceros ~ (n) = s (n + mR ), sm donde: ~ = m-simo bloque de la seal de entrada, sm M = 2 M h + 1 = longitud del bloque (impar por simplicidad), R = tamao de paso (en muestras) de un bloque al siguiente. 2. Multiplicar el bloque por una ventana w de longitud M ~ w (n) = ~ (n) w(n), sm sm 3. Rellenar con ceros para ajustar y aplicar la FFT n = M h ,K, M h n = M h ,K , M h

~ w,c (n) = sm

n Mh N 0, M h < n 1 , 2 N 0, n < M h 2

~ w (n), sm

donde N es una potencia de dos ms grande que M. 4. Tomar la FFT de longitud N, de ~m ,c para obtener la STFT en un tiempo m sw ~w S m ,c (e jk ) = s ~n= N 2 N 1 2

w,c m

(n)e jk nt

4.6 Ejemplo 4.1Se considera un filtro de Kalman de 18 estados con la referencia rotacional descrita en las ecuaciones (4.14) - (4.18) para estimar el contenido armnico dinmico de una seal. Los resultados son comparados con los obtenidos usando el mtodo de la STFT con una ventana rectangular. Ambos algoritmos fueron diseados en Simulink usando la librera del Signal Processing Blockset. Los modelos se muestran en las Figuras 4.2 y 4.3.

35

La seal de prueba, adems de la componente fundamental contiene las componentes 5, 7, y 11, con una amplitud variante en tiempo; la forma de onda de esta seal se muestra en la Figura 4.4 y es descrita por la siguiente ecuacin discreta: s (n) = (1 0.5e 20 tn )(cos 0 n + 0.3cos(5 0 n + 20) + 0.1cos(7 0 n + 30) + 0.05cos(11 0 n + 40) ) . En los dos mtodos se asumi una frecuencia fundamental de 60 Hz y una frecuencia de muestreo de 3.840 kHz (64 muestras por ciclo). Para el filtro de Kalman los elementos de la diagonal de la matriz de covariancia inicial ( P0 ) fueron seleccionados con un valor de 1.0 p.u.2 y la covariancia del ruido de la seal ( Rk ) se asumi con un valor de 5 10 5 p.u.2; la matriz Q fue seleccionada con valores de 1.0 p.u.2.

Figura 4.2 Diagrama del filtro de Kalman en Simulink

Figura 4.3 Diagrama de la STFT en Simulink

Las Figuras 4.5 y 4.6 muestran los resultados obtenidos para las magnitudes de cada una de las componentes, donde los estimados iniciales se han tomado igual a cero. Se puede observar que el

36

filtro de Kalman es capaz de ajustarse a la dinmica de las magnitudes despus de medio ciclo (aproximadamente 10 ms), mientras que la STFT necesita un tiempo mayor.1.5

1

0.5

Amplitud [p.u]

0

0.5

1

1.5

0

0.02

0.04

0.06

0.08 Tiempo [s]

0.1

0.12

0.14

0.16

Figura 4.4 Forma de onda de la seal s(n) del Ejemplo 4.11 0.8 0.6 0.4 componente fundamental 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Magnitud [p.u]

Filtro de Kalman 0 0.02 0.04

STFT 0.06

Variacion Real 0.08 Tiempo [s] 0.1 0.12 0.14 0.16

Figura 4.5 Comparacin de la magnitud de la componente fundamental0.35 Filtro de Kalman 0.3 STFT Variacion Real h=5

0.25

Magnitud [p.u]

0.2

0.15 h=7 0.1 h=11 0.05

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08 Tiempo [s]

0.1

0.12

0.14

0.16

Figura 4.6 Comparacin de las magnitudes de las componentes armnicas

37

Es importante notar que en el ejemplo 4.1, por cuestiones de comparacin, las condiciones descritas en la seccin 4.2 fueron satisfechas, y en este caso los dos algoritmos proporcionan resultados correctos y similares. Sin embargo, para poder usar la FFT en el algoritmo de la STFT el nmero de muestras en un ciclo necesita ser una potencia de 2, de otra forma el uso de la DFT es necesario (lo cual implica ms esfuerzo computacional). No obstante, si el nmero de muestras en un ciclo no es un entero el uso de la DFT tambin se vera limitada. El filtro de Kalman resulta ser ms exacto y no est sujeto a una frecuencia de muestreo, lo que le da aun ms superioridad puesto que, en un sistema de potencia, siempre existe incertidumbre en la determinacin de la frecuencia de la componente fundamental.

4.7 Implementacin del Filtro de Kalman en un DSP para la Estimacin en Tiempo Real de la Dinmica de los Armnicos.Las caractersticas del DSP y sus innumerables ventajas en aplicaciones de tiempo real, lo hacen adecuado para implementar una amplia variedad de algoritmos de medicin. La metodologa del Filtro de Kalman descrita previamente ha sido implementada sobre un DSP para el anlisis en tiempo real de la dinmica de los armnicos. El filtro es el mismo que se diseo en la seccin 4.4 usando Simulink, y es implementado en el DSP va Embedded target for TI DSP toolbox, las seales de entrada fueron creadas en MATLAB, y las seales de salida fueron intercambiadas en tiempo real entre la PC y el DSP usando MATLAB link for CCS (RTDX). 4.7.1 Descripcin del Software y el Hardware El DSP es un TMS320C6713 de punto flotante y 32 bit de Texas Instrument, con arquitectura de palabra de instruccin muy larga (VLIW, por sus siglas en Ingls) y con frecuencia de operacin de 225 Mhz. El DSP consiste de tres principales partes: el CPU, perifricos, y memoria. El CPU contiene ocho unidades funcionales operando en paralelo. Estas son divididas en dos secciones, A y B. Cada seccin contiene una de las siguientes unidades: a. Unidad M (usada para operaciones de multiplicacin) b. Unidad L (usada para operaciones lgicas y aritmticas) c. Unidad S (usada para operaciones aritmticas y manipulacin de bits) d. Unidad D (usada para cargar y almacenar) La Figura 4.7 muestra un diagrama funcional de bloques del TMS320C6713. La memoria de programa interna esta estructurada en espacios separados para instrucciones y para datos, lo que permite accesos mltiples a memoria en un solo ciclo de instruccin. Los principales perifricos incluyen un controlador de acceso directo a memoria (DMA), una interfase de memoria externa de 32-bit (EMIF), timers, un puerto de interfase al host (HPI), un puerto serial multicanal bi-direccional (McBSP). La descripcin detallada de estos perifricos y los dems mostrados en la Figura 4.1 puede ser encontrada en [25] y en general una revisin completa de la arquitectura del TMS320C6713 se da en [24]. Cabe destacar que el DSP, con estas caractersticas y operando a una frecuencia de 225 MHz, puede idealmente llevar a cabo dos multiplicaciones y acumulaciones por ciclo. Esto significa un 38

total de 450 millones de multiplicaciones y acumulaciones (MACs) por segundo, y con seis de las ocho unidades capaces de manejar operaciones de punto flotante (excluyendo D en la Figura 4.1) es posible realizar 1350 millones de operaciones de punto flotante por segundo (MFLOPS). Esto se traslada a 1800 millones de instrucciones por segundo (MIPS) con un tiempo por ciclo de 4.4 ns (8 instrucciones de 32 bits por ciclo).

Figura 4.7 Diagrama funcional de bloques del TMS320C6713

El desarrollo del algoritmo fue programado en lenguaje C, por medio de MATLAB RTW toolbox. La Figura 4.8 muestra el esquema de implementacin del filtro y enseguida se describen brevemente las aportaciones de cada uno de los componentes all mostrados. Code Composer Studio (CCS). Provee de un ambiente de desarrollo integral (IDE) para incorporar las herramientas de software. Incluye herramientas para generacin de cdigo tales como un compilador de C, un ensamblador y un linker. Tiene capacidades grficas y soporta debugging en tiempo real. Adems, contiene herramientas de software para construccin y debugging de programas. Simulink. Provee el uso de una interfaz grfica para construir modelos como diagramas de bloques y de libreras como el DSP blockset, que ha sido diseado especficamente para procesamiento digital de seales Este ltimo incluye operaciones tales como manipulacin de matrices, lgebra Lineal, Estadstica, filtrado adaptivo, transformadas, entre otras. MATLAB link for CCS. Provee las herramientas que usa MATLAB para comunicarse con el CCS y con la informacin almacenada en memoria y/o registros del DSP.

39

Embedded Target for TIC6000 DSP. Permite utilizar Real-Time Workshop para generar cdigo C a DSPs de TI o al CCS desde algoritmos modelados en simulink a travs de bloques del DSP blockset. Esta herramienta toma el cdigo generado en C y usa herramientas de TI para construir cdigo de mquina especfico dependiendo del procesador utilizado. El proceso de construir consiste en descargar el cdigo mquina y correr el ejecutable sobre el DSP. Adems para aplicaciones de tiempo real, Texas Instrument provee junto con el DSP un sistema operativo de tiempo real (RTOS) llamado DSP/BIOS. Las ventajas ms importantes del uso del DSP/BIOS son: Provee de herramientas para configurar memoria, mecanismos de comunicacin, establecer prioridades, y manejar interrupciones. Esto permite enfocarse en la aplicacin y no en el hardware. El cdigo puede fcilmente implementarse en otros DSPs con simples modificaciones del cdigo fuente. El mdulo de anlisis de tiempo real (RTA) permite ver informacin detallada en tiempo real del programa que est corriendo. El mdulo de intercambio de informacin en tiempo real (RTDX), permite transferir informacin en tiempo real entre el DSP y la PC. Una lista completa de las caractersticas y ventajas del uso del DSP/BIOS se encuentra en [26].MATLAB(anlisis y diseo) MATLAB link for CCS

s(n) Hk, K Simulink(modelado y Simulacion) DSP blockset Embedded Target for TIC6000 DSP Real-Time Workshop

RTDX Generar Cdigo Code Composer Studio(construir, debug) DSP/BIOS

DSP TMS320C671

PC HOSTFigura 4.8 Proceso para implementar el filtro de Kalman en el DSP

4.7.2 Implementacin (Ejemplo 4.2) De la Figura 4.1 se observa que la ganancia de Kalman K y el vector de coeficientes Hk son independientes de la medicin, y por lo tanto, pueden ser calculados fuera de lnea y almacenados en memoria para reducir el tiempo de clculo tomado por el filtro. K y Hk son calculados peridicamente, por lo que el nmero de valores que deben ser almacenados en memoria es igual al producto del nmero de muestras por ciclo y el nmero de variables de estado consideradas en el modelo. 40

Se analizaron algunas seales con diferente contenido armnico, estacionarias o variables en tiempo, y con diferentes niveles de ruido. Como ejemplo, se considera la respuesta del filtro de Kalman a una variacin repentina en la magnitud y la fase de uno de los armnicos presente en una seal s(n) que incluye a la 3, 5, 9, 11 y 13 armnica de 60 Hz, expresada por s (n) = 1.0 cos( 0 n + 30) + 0.1 cos(3 0 n + 210) + 0.06 cos(5 0 n + 180) + 0.009 cos(9 0 n 145)+ 0.005 cos(11 0 + 30) + 0.003 cos(13 0 n) .

La variacin consiste en cambiar la magnitud a 0.1 y la fase a +90 de la 5 armnica despus del segundo ciclo. La forma de onda de la seal resultante se muestra en la Figura 4.9.1.5

1

1 h=1

0.5Magnitud [p.u]Amplitud [p.u]

0.8

0

0.6

0.5

0.4

1

0.2

h=3

1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04 Tiempo [s]

0.05

0.06

0.07

0.08

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04 Tiempo [s]

0.05

0.06

0.07

0.08

Figura 4.9 Forma de onda de la seal s(n) del Ejemplo 4.2

Figura 4.10 Magnitud estimada para la fundamental y 3 componente

Las Figuras 4.10-4.12 muestran las magnitudes de las componentes armnicas y un estimado del THD al aplicar el filtro de Kalman con valores de 1 p.u2 para los elementos de la matriz de covariancia inicial y con una covariancia del ruido igual a 0.0005 p.u2. Se aprecia en las figuras que el tiempo que toma el filtro en responder a un cambio repentino tambin es menor de medio ciclo de la fundamental. El cambio en magnitud de la 5 armnica es detectado efectivamente como se aprecia en la Figura 4.11.120

0.2 100

0.15Magnitud [p.u]

80

THD %

h=5 0.1

60

40

0.05 h=9 h=11 h=13 0 20

0

0.01

0.02

0.03

0.04 Tiempo [s]

0.05

0.06

0.07

0.08

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04 Tiempo [s]

0.05

0.06

0.07

0.08

Figura 4.11 Magnitud estimada para el resto de las componentes armnicas

Figura 4.12 Magnitud estimada del THD

41

Con el objeto de probar las capacidades del filtro ante un caso ms real, se considero la corriente a travs de una carga no lineal obtenida de los resultados en Caso I de la Seccin 3.4. La forma de onda de esta corriente es mostrada en la Figura 3.3 usando EHD con el modelo no lineal. La Figura 4.13 muestra la comparacin entre los resultados obtenidos con el filtro de Kalman y los obtenidos con el EHD.1.4 EHD 1.2 Filtro de Kalman

1

Magnitud [p.u]

h=1 0.8

0.6

0.4

h=3 h=7 h=9 h=11 h=13 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Tiempo [s] 0.1 0.12 0.14 0.16

0.2

0

Figura 4.13 Comparacin entre el Filtro de Kalman y el EHD de la dinmica de los armnicos.

4.7.3 Eficiencia del Esquema de Medicin La eficiencia del esquema de medicin puede ser medida por medio de mecanismos que indiquen por ejemplo el uso del CPU o la cantidad de memoria utilizada. El uso del CPU puede ser estimado en trminos de la carga del CPU, donde sta es definida como el porcentaje de instruccin-ciclos que el CPU emplea haciendo trabajo de aplicacin [26]. Esto puede ser medido usando la herramienta de Anlisis de Tiempo Real (RTA) en el CCS. La parte inferior de la Figura 4.14 muestra stas herramientas dentro del CCS. Otra opcin es usar Embedded Target for TIC6000 DSP, donde la eficiencia puede ser evaluada desde MATLAB configurando Real-Time Workshop para que inserte objetos de instrumentacin estadsticos (STS) al principio y al final del cdigo para cada subsistema del modelo en Simulink. As, despus de correr el cdigo durante algunos segundos, un reporte en formato HTML que analiza y despliega resultados estadsticos puede ser obtenido a travs del Embedded Target for TIC6000 DSP. La Figura 4.15 muestra un reporte generado para esta aplicacin. Este reporte muestra la cantidad de tiempo de clculo empleado por cada subsistema. Se puede observar de las Figuras 4.14 y 4.15, que en este caso la carga del CPU al ejecutar el algoritmo del filtro de Kalman es del 20.88% y que el algoritmo puede ejecutarse en aproximadamente 30 s . Los resultados obtenidos del DSP son almacenados en un buffer de 2304 bytes; una vez que el buffer est lleno, la informacin es transferida a la PC usando funciones RTDX en modo no continuo sin interferir con la aplicacin. Esta informacin puede ser almacenada en un archivo sobre la PC y puede ser leda desde un software de aplicacin como MATLAB o LabVIEW.

42

La velocidad de transferencia de RTDX, idealmente es de 39.06 kbytes/s, tomando en cuenta estos resultados y que t es igual a 260.416 s , 0.6498282 kbytes (tambin idealmente) pueden ser transferidos en modo continuo del DSP a la PC. No obstante, su visualizacin en tiempo real depende de las caractersticas de la PC y el software de aplicacin.

Figura 4.14 Herramienta de Anlisis de Tiempo Real (RTA) en el CCS.

Figura 4.15 Reporte estadstico usando MATLAB

43

4.8 DiscusinEn este Captulo se ha analizado la capacidad del filtro de Kalman para estimar continuamente los armnicos despus de un periodo de inicializacin. Los resultados ilustraron que su respuesta a cambios repentinos en la magnitud y fase de los armnicos es menor de 10 ms. El algoritmo fue comparado con el de la STFT, presentando una clara superioridad, y aunque modificaciones en el uso de la SFTF pueden conducir a resultados ms exactos que los mostrados aqu, implican grandes dificultades, las cuales han sido documentadas en [27]. Las ventajas que el filtro de Kalman presenta, lo hacen adecuado para estimar en tiempo real el contenido armnico de seales variantes en tiempo. Sin embargo, la eficiencia del algoritmo estndar de Kalman depende enormemente de informacin a priori del ruido del proceso y en la medicin, tal informacin en situaciones prcticas es generalmente desconocida o aproximada. De sta forma, el filtro de Kalman puede perder habilidad para ajustarse a la dinmica de las componentes armnicas ante cambios bruscos de los parmetros. Este problema ya ha sido detectado desde hace tiempo, y en [16, 28, 29] se pueden encontrar algunas tcnicas propuestas para ayudar a mitigar este problema.

44

V CONCLUSIONES5.1 Comentarios FinalesEn esta tesis, la metodologa del Dominio Armnico Extendido (EHD) se ha utilizado para analizar la dinmica de los armnicos en sistemas que contienen no linealidades magnticas. Es importante remarcar que el EHD es una extensin del mtodo del dominio armnico (HD) usado en el anlisis armnico de estado estable en sistemas de potencia. Por lo tanto, el anlisis transitorio de modelos en el HD puede ser llevado a cabo con algunas modificaciones simples, adems otra ventaja es que el HD puede ser usado para inicializar el EHD. Dos posibles opciones de solucin utilizando el EHD se presentaron y compararon. La primera consiste en utilizar la linealizacin del conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento dinmico del sistema en el dominio del tiempo aplicando despus el EHD para obtener un sistema lineal e invariante en tiempo. Como segunda opcin, se propone la aplicacin directa del EHD a di