TESIS DE MAESTR´IA EN CIENCIAS - CENIDET...realizan para todas las etapas de la columna, por lo que el observador disen˜ado es de orden completo. El observador continuo-discreto

Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo TecnologicoDepartamento de Ingenierıa Electronica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

“Observador Continuo-Discreto para la Estimacion deConcentraciones en una Columna de Destilacion, para la

Mezcla Etanol-Agua”

Presentada por:

ADRIANA AGUILERA GONZALEZIng. Electronica y Telecomunicaciones por la Universidad Cooperativa de Colombia.

Como requisito para la obtencion del grado de:Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica

Directores de tesis:Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Dr. David Juarez Romero

Cuernavaca, Morelos, Mexico.Agosto de 2008

Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo TecnologicoDepartamento de Ingenierıa Electronica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

“Observador Continuo-Discreto para la Estimacion deConcentraciones en una Columna de Destilacion, para la

Mezcla Etanol-Agua”

Presentada por:

ADRIANA AGUILERA GONZALEZIng. Electronica y Telecomunicaciones por la Universidad Cooperativa de Colombia.

Como requisito para la obtencion del grado de:Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica

Directores de tesis:Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Dr. David Juarez Romero

Jurado:Dra. Guadalupe Lopez Lopez

Dr. Enrique Quintero-Marmol Marquez

Cuernavaca, Morelos, Mexico.Agosto de 2008

Resumen

Esta tesis presenta el diseno e implementacion de un observador de estados continuo-discreto en una columna de destilacion, para estimar las fracciones molares del com-ponente ligero de un sistema binario a partir de la medicion de las temperaturasdisponibles en el hervidor y en el condensador unicamente. Dichas estimaciones serealizan para todas las etapas de la columna, por lo que el observador disenado es deorden completo.

El observador continuo-discreto utiliza un modelo matematico que representa unacolumna de destilacion, ajustado a las caracterısticas fısicas de la planta piloto delCENIDET y a su vez, usa un modelo termodinamico que establece el equilibriolıquido-vapor de los componentes de la mezcla etanol-agua, considerada como unamezcla no ideal. Por la dinamica propia del sistema, el modelo se presenta en unaestructura triangular de observabilidad comprobada, lo que permite que pueda serutilizado en tareas de estimacion de variables a su vez, que no es requerida una trans-formacion de coordenadas debido a la dependencia de los estados con respecto a losanteriores.

La respuesta del modelo es validada con respecto a mediciones adquiridas de laplanta en tiempo real. Dichas mediciones son temperaturas dadas por sensores tipoRTD ubicados en algunos platos de la columna de destilacion. A partir del modelomatematico aquı formulado se plantea una estructura para el observador.

Una de las principales ventajas de este observador es su ganancia constante, porlo que sintonizarlo depende unicamente de la eleccion de parametros constantes quedeben satisfacer algunas desigualdades algebraicas. El desempeno del observador esvalidado en lazo abierto con el desarrollo de experimentos llevados a cabo en unaplanta piloto de destilacion, operada en configuracion por lotes (tipo batch).

Finalmente, en simulaciones numericas se evalua que las concentraciones estimadaspor el observador son aptas para su uso en tareas de control con un esquema en lazocerrado.

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Abstract

This work presents the design and the implementation of a continuous-discreteobserver on a distillation column, to estimate molar fractions of the light componentin a binary mixture ethanol-water through the measurement of the temperatures inthe condenser and boiler only. This estimations are made in every stage of the disti-llation column, then the observer is full order.

The continuous-discrete observer uses a mathematical model which represents adistillation column adapted to the CENIDET bench-scale distillation column and ituses a thermodynamic model that establishes the phase equilibria of the mixture ofethanol-water, considered as a non-ideal mixture. For the dynamic system, the pro-posed model presents a triangular structure of proven observability, allowing to beused in tasks of variables estimation, at the same time it doesnt’t require a coordinatetransformation because the system structure is a sufficient condition which guaranteesthe uniform observability.

The model is validated with respect to the measurements acquired from the plantin real time. These measurements are given by RTD temperatures sensor located insome stages of the bench-scale distillation column. Using the mathematical modeldeveloped here, is formulated a structure to the observer.

One of the main advantages of this observer is its constant gain; tuning it dependsonly on the selection of the constant parameters that must satisfy some simple al-gebraic inequalities. The performance of this observer was experimentally validatedin the CENIDET bench-scale distillation column. The performance of the observeris validated in open loop with the development of experiments in a batch distillationcolumn.

Finally, through simulations it was assessed that the concentrations estimated bythe observer are suitable for use in control tasks with a scheme in closed loop.

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Dedicatoria

A Dios y a mi madre.

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Agradecimientos

A Dios por acompanarme lejos de casa y por permitirme conocer su grandeza atraves de los angeles que dıa a dıa pone en mi camino.

A ti madre y a ti hermana, gracias por ser mi principal apoyo y por ser un motivocada dıa para seguir adelante.

A tıo Pedro, tıo Marcos y tıo Jose, por ser mis tres papas favoritos, por su granayuda y por las palabras de aliento en los momentos difıciles.

A toda mi familia que desde Colombia siempre estuvo conmigo, gracias por suamor y por ser mi fuente de fortaleza... los llevo en mi corazon. A mi primito Waldo,siempre creıste en mı.

A ti Javit y a Edgar por apoyarme en la aventura de salir de mi paıs.

A ti Bicho por tu amistad, por tu apoyo y por brindarme una familia en Mexico.

A mis grandes amigos: Alonso, Diego y Pato... desde cualquier lugar del mundodonde se encuentren, siempre han estado conmigo de corazon.

A mis asesores el Dr. Carlos M. Astorga y el Dr. David Juarez R. gracias porsu apoyo moral, academico y por confiar en mı. Gracias por sus comentarios, por suenorme paciencia y por ayudarme a afianzar mi vocacion.

A mis revisores la Dra. Guadalupe Lopez L. y el Dr. Enrique Quintero-Marmol M.,gracias por sus acertadas correcciones y consejos durante el desarrollo de este trabajo.

A todos los docentes que contribuyeron en mi formacion academica y personal du-rante esta etapa: Dr. Alejandro Rodrıguez, Dr. Hugo Calleja, Dr. Marco Oliver, Dr.Gerardo Vela, Dr. Juan Reyes Reyes, Dr. Vicente Gerrero, Dr. Carlos Daniel Garcıay al Dr. Vıctor Alvarado. Y a los docentes que hicieron que mi estancia en CENIDET

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V

fuera muy agradable: Dr. Carlos Aguilar, Dr. Mario Ponce, Dr. Abraham Claudio,Dr. Jesus Aguayo y al Dr. Manuel Adam.

A todo el personal administrativo del CENIDET, agradezco especialmente a laLic. Marina Rodrıguez por su companıa y grandes consejos, al Ing. David Chavez,Anita y al Mc. Alfredo Gonzalez.

A mis grandes companeros de generacion: Flor, Aldo, Fabian, Carlitos, Joaquın,Gabo, Ivan, Hiram, Efraın, Vilchis, el Puma, Jose, Dante y Hector, gracias por suamistad y su carino.

A mis grandes amigos Mario, Marvin y Adriana, por brindarme siempre su apoyoincondicional. A quienes me brindaron su amistad: Marco, Efren, Fabio, Angelito,Hector G., Jose Manuel, Isaura, Nacho, Omar, Gisela, Richard, Memo, Juanito.

A Letty, Lore y Julio, los amigos que Dios cruzo en mi camino.

A todos aquellos que en Mexico me han acompanado en algun momento de estecamino, y a quienes desde Colombia me han apoyado siempre.

Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologi-co por brindarme las herramientas que permitieron que hoy cumpla con esta meta.

Tabla de Contenido

Resumen I

Abstract II

Dedicatoria III

Agradecimientos IV

Tabla de Contenido VI

1. Introduccion 11.1. Ubicacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Problematica en la tecnica de destilacion . . . . . . . . . . . 41.1.2. Problematica en la estimacion de estados . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. Aportacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1. Modelado de columnas de destilacion . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2. Observadores para destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.3. Observadores no lineales de tiempo discreto . . . . . . . . . . 16

1.7. Organizacion del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Observadores y observabilidad 182.1. Observabilidad en los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Observabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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CONTENIDO VII

2.1.2. Tipos de observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3. Generalidades acerca de la observabilidad de sistemas . . . . . 21

2.2. Observadores para sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2. Observadores Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Observadores para sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Observador de Luenberger Extendido . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2. Filtro de Kalman Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Observadores discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Observadores continuo-discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6. Observadores para columnas de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . 382.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Modelo de una Columna de Destilacion Binaria 433.1. Descripcion fısica de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2. Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1. Simplificaciones generales sobre el modelo . . . . . . . . . . . 493.2.2. Modelo termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.4. Descripcion de las entradas del modelo matematico . . . . . . 633.2.5. Estructura triangular del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. Validacion experimental del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.1. Especificaciones generales de la planta . . . . . . . . . . . . . 703.3.2. Condiciones iniciales de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.3. Diseno de los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.4. Resultados de la validacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4. Observador de alta ganancia continuo-discreto 834.1. Diseno del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2. Aplicacion a una columna de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3. Observador de alta ganancia continuo-discreto . . . . . . . . . . . . . 924.4. Validacion del observador propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1. Experimento No. 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.2. Experimento No. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5. Evaluacion del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5. Conclusiones generales 1125.1. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VIII CONTENIDO

Bibliografıa 117Anexo A. Condiciones de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Anexo B. Descripcion de los programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Anexo B.1. El modelo de la columna de destilacion . . . . . . . . . . 123Anexo B.2. El observador de alta ganancia constante . . . . . . . . . 124

Anexo C. Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Anexo C.1. Controladores de accion proporcional . . . . . . . . . . . 126Anexo C.2. Controladores de accion integral . . . . . . . . . . . . . . 127Anexo C.3. Controlador proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 127Anexo C.4.Controlador PI para la columna de destilacion . . . . . . . . . 128

Indice de figuras

1.1. Diagrama de flujo del proceso Melle-Boinot . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Esquema de un observador de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Persistencia regular de las senales del Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . 282.3. Ejemplo de proceso continuo-discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1. Esquema general de una columna de destilacion . . . . . . . . . . . . 453.2. Condensador y hervidor de la planta piloto de destilacion . . . . . . . 463.3. Plato perforado de la planta piloto de destilacion . . . . . . . . . . . 473.4. Esquema del modelo propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5. Equilibrio de fases para la mezcla etanol-agua a diferentes presiones . 513.6. Equilibrio lıquido-vapor para la mezcla etanol-agua usando V an−Laar1 523.7. Diagrama de flujo para el calculo del punto de burbuja . . . . . . . . 533.8. Diagrama de flujo para el calculo del punto de rocıo . . . . . . . . . . 563.9. Temperatura vs concentraciones molares x, y a presion atmosferica. . 583.10. Temperatura vs concentraciones molares x, y a presion=637.4 mmHg. 593.11. Dinamica en el condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.12. Dinamica de un plato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.13. Plato de alimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.14. Dinamica en el plato de alimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.15. Esquema de una columna de destilacion que puede ser descrita por un

modelo triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.16. Planta Piloto de Destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.17. Entradas controladas del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.18. Tablero de control de la planta piloto de destilacion . . . . . . . . . . 753.19. Temperaturas en la seccion de rectificacion . . . . . . . . . . . . . . . 773.20. Temperaturas en la seccion de agotamiento . . . . . . . . . . . . . . . 783.21. Concentraciones molares en la seccion de rectificacion . . . . . . . . . 803.22. Concentraciones molares en la seccion de agotamiento . . . . . . . . . 81

4.1. Esquema de la columna de destilacion utilizado por el observador. . . 88

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X INDICE DE FIGURAS

4.2. Entradas experimento No. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3. Estimaciones en el condensador y plato 3 con diferentes valores de θ . 984.4. Estimaciones en los platos 6 y 7 con diferentes valores de θ . . . . . . 994.5. Estimaciones en el plato 10 y el hervidor con diferentes valores de θ . 1004.6. Entradas experimento No. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.7. Estimaciones en el condensador y plato 3 con diferentes valores de θ . 1054.8. Estimaciones en los platos 7 y 9 con diferentes valores de θ . . . . . . 1064.9. Estimaciones en el plato 10 y el hervidor con diferentes valores de θ . 107

5.1. Diagrama de flujo del modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2. Concentracion en el hervidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3. Variacion de Qb por accion del controlador PI . . . . . . . . . . . . . 1305.4. Concentracion en el destilado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5. Variacion de R por accion del controlador ON-OFF . . . . . . . . . . 131

Indice de tablas

2.1. Observadores para columnas de destilacion . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Ganancias y parametros de sintonizacion . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Evaluacion del error en el modelo termodinamico propuesto a 760mmHg 543.2. Varianza y desviacion tıpica en el modelo termodinamico propuesto a

760mmHg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. Constantes de Antoine para cada componente . . . . . . . . . . . . . 573.4. Valores de la concentracion de vapor para el etanol y el agua . . . . . 573.5. Factor de calidad de la alimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6. Condiciones en estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7. Entradas del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8. Error de estimacion de temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.9. Error de estimacion de concentraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1. Parametros constantes del observador para el Experimento No. 1 . . . 954.2. Entradas del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3. Evaluacion de la norma del error ‖ε‖ para diferentes valores de θ . . . 1014.4. Parametros constantes del observador para el Experimento No. 2 . . . 1024.5. Entradas del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.6. Evaluacion de la norma del error ‖ε‖ para diferentes valores de θ . . . 1084.7. Parametros del observador para la evaluacion del error . . . . . . . . 1094.8. Evaluacion del error en el Experimento No. 1 . . . . . . . . . . . . . . 1104.9. Evaluacion del error en el Experimento No. 2 . . . . . . . . . . . . . . 110

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XII INDICE DE TABLAS

Notacion

Letras mayusculas

Ai Constante de Van Laar.Bi Constante de Van Laar.Ci Constante de Van Laar.B Producto de fondo.D Producto destilado.C Concentracion ( %).F Flujo molar de la alimentacion (moles/min).Fv Flujo volumetrico de la alimentacion (ml/min).Ki Constante de equilibrio.L Flujo molar lıquido (moles/min).LR Flujo lıquido en la seccion de rectificacion (moles/min).LS Flujo lıquido en la seccion de agotamiento (moles/min).Mi Masa molar retenida en cada estado (moles).N Numero total de platos.Wi Peso molecular (g).P Presion total (kPa).P sat

i Presion parcial (de saturacion) del componente i (kPa).P v

i Presion de vapor del componente i (kPa).Qb Potencia calefactora anadida al hervidor (watts).R Reflujo (0-1).Te Tiempo de muestreo, en el observador continuo-discreto.Texp Temperatura medida experimentalmente (oC).Tmodel Temperatura estimada por el modelo (oC).Tp Temperatura en cada estado (oC).TF Temperatura de la alimentacion (oC).Tbi Temperatura de ebullicion (oC).V Flujo molar de vapor (moles/min).VR Flujo de vapor en la seccion de rectificacion (moles/min).VS Flujo de vapor en la seccion de agotamiento (moles/min).

INDICE DE TABLAS XIII

Letras minusculas

f Plato de alimentacion.p Numero de plato.qF Calidad de la alimentacion (adimensional).zF Concentracion lıquida en la alimentacion ( % mol).xp Concentraciones molares lıquidas ( % mol).yp Concentraciones molares de vapor ( % mol).xi Fraccion molar lıquida del componente i en equilibrio ( % mol).yi Fraccion molar de vapor del componente i en equilibrio ( % mol).fL Fugacidad del lıquido en un estado de referencia.

Letras griegas

ρi Densidad de cada componente (g/cm3).ω Porcentaje en peso de un componente.γi Coeficiente de actividad.φi Coeficiente de fugacidad.

Subındices

i Componente.p Plato.j Seccion superior o inferior.H Componente pesado de la mezcla.L Componente ligero de la mezcla.R Seccion de rectificacion.S Seccion de agotamiento.0 Condicion inicial.1 Seccion superior de la columna.2 Seccion inferior de la columna.

Capıtulo 1

Introduccion

La destilacion es una de las tecnicas de separacion mas importantes en la indus-tria quımica y petrolera. Puede definirse como una tecnica para separar sustanciasmezcladas en el estado lıquido, considerando la diferencia entre sus puntos de ebulli-cion. Este proceso consiste en: la evaporacion, la condensacion y la recoleccion de lasfracciones de los compuestos.

En numerosas aplicaciones de control para columnas de destilacion, se requiere lainformacion continua de las fracciones molares de los componentes. La medicion fueralınea de las composiciones puede hacerse a traves de un analizador directo, como puedeser el cromatografo de gases o un detector de ındice de refraccion. Aunque actualmentehay un gran desarrollo en este tipo de tecnologıa los costos que se generan son altosen cuanto a inversion, a la implementacion de la tecnica en sı y al mantenimiento delos instrumentos.

La alternativa mas popular a los controladores de composicion que utilizan estetipo de analizadores, son los reguladores estandares por realimentacion de la tempera-tura. Sin embargo, las temperaturas no son indicadores exactos de las composicionescuando existen mezclas con varios componentes, por lo que se presentan los sistemasque incorporan observadores de estado que utilizan las mediciones de las temperatu-ras para realizar la estimacion de los componentes, estos son llamados sistemas decontrol deductivos (Bahar et al., 2006).

El objetivo principal de este trabajo es implementar un observador de estadoscontinuo-discreto en una columna de destilacion, que estime las composiciones delcomponente ligero para un sistema binario etanol-agua a partir de la medicion de lastemperaturas disponibles en el hervidor y en el condensador. Dicho observador utilizaun modelo matematico de una columna de destilacion, ajustado a las caracterısticasfısicas de la planta piloto del CENIDET y un modelo termodinamico que establece elequilibrio de fases los componentes de la mezcla.

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2 Introduccion

Una de las motivaciones de este trabajo es, precısamente, que en la actualidad elconsumo masivo de combustibles genera grandes cantidades de gases contaminantesque se liberan cada minuto a la atmosfera. Este tipo de contaminacion es la queviene produciendo grandes cambios en el clima del planeta. Esta problematica espreocupante y ha obligado a los encargados de la ciencia y la tecnologıa, a la busquedade nuevas fuentes de energıa que se presenten como opciones economicas y ecologicas.

La forma mas adecuada y viable que se ha encontrado hoy en dıa para enfrentaresta situacion, es a traves de los recursos energeticos renovables que ofrecen la oportu-nidad de obtener energıa util para diversas aplicaciones, a partir del aprovechamientode los recursos naturales. A su vez, producen menores impactos ambientales queaquellos provenientes de las fuentes convencionales y ademas poseen el potencial parasatisfacer todas las necesidades de energıa presentes y futuras.

Actualmente la produccion de etanol con fines carburantes es uno de los proce-sos mas utilizados en el mundo. Las razones por las cuales se ha convertido en elcompuesto oxigenado de mayor demanda se encuentran en sus propiedades fısico-quımicas y en que, por ser proveniente de materia prima biologica renovable, prometesostenibilidad ambiental y economica en el proceso (Usayan et al., 2006).

El proceso tıpico de obtencion de etanol a partir de los jugos de cana o melazasprovenientes del proceso de produccion de azucar (denominado proceso Melle-Boinot),cuenta basicamente con tres etapas: la fermentacion, la destilacion y deshidratacion(Sanchez y Cardona, 2005a), como se muestran en el diagrama de la Fig. (1.1):

Fig. 1.1: Diagrama de flujo del proceso Melle-Boinot

El etanol se obtiene principalmente del procesamiento de fermentacion de azucaresobtenidos de diferentes productos agrıcolas como la cana de azucar, el betabel y elmaız, que contienen altos contenidos de sacarosa, almidon y celulosa. A partir de

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estos, se obtiene una mezcla de etanol y agua que debe ser separada en una columnade destilacion.

En esta ultima etapa del proceso, en la destilacion, se aprovecha que el alcoholhierve a una temperatura mas baja que el agua, lo cual permite separar primero losvapores de alcohol que salen por la parte superior de la columna, mientras que por elfondo sale vinaza, residuo compuesto por agua con impurezas.

Hoy en dıa, las columnas de destilacion constituyen un porcentaje significativo dela inversion que realizan las plantas de produccion de etanol en todo el mundo. Por ello,el disponer de tecnicas para modelar columnas de destilacion lo mas cercano posiblea la realidad, y ademas disenar, desarrollar e implementar sistemas de monitoreo y decontrol eficaces es importante, a fin de conseguir un funcionamiento seguro y optimode los sistemas de destilacion industriales.

Uno de los principales objetivos de aplicar control automatico en columnas dedestilacion, es que los productos deben de ser obtenidos con la mayor pureza, en elmenor tiempo posible, y con la menor inversion en energıa aplicada al sistema. Poresta razon, y debido a la importancia que tiene la generacion de biocombustibles hoyen dıa, el proceso de destilacion Etanol-Agua es uno de los temas de interes en elcampo de la ingenierıa de control y en la produccion de energıas no convencionales.

En una columna de destilacion no es posible medir todas las variables que in-tervienen en el proceso. Cuando esto sucede, se recurre a estimarlos mediante unobservador de estados, que reconstruye los estados x a partir de mediciones de lassalidas y y de las entradas u del sistema.

Por lo tanto, disenar un observador es igual a disenar un sistema que se ve guiadosolamente por algunas mediciones del sistema original y produce entonces una salidapara realizar el seguimiento del estado de dicho sistema original. Esto se explicaracon mayor detalle en el Capıtulo 2.

El observador disenado en este trabajo de tesis, corresponde a un Observador deAlta Ganancia Constante propuesto en la literatura (Hammouri et al., 2002), exten-dido a su version continuo-discreta. Busca como objetivo de observacion construirun sistema dinamico a partir de las mediciones disponibles en lınea del proceso dedestilacion (temperaturas), es decir, la reconstruccion de los estados (concentracionesmolares) de forma asintotica.

Este observador se establece de orden completo ya que estima todos los estados (lasconcentraciones molares de los doce platos), a partir unicamente de las temperaturasdel condensador (estado p=1 ) y del hervidor (estado p=N=12 ). La evaluacion del

4 Introduccion

desempeno del observador propuesto se realiza en simulaciones y su validacion serealiza experimentalmente en la planta piloto del CENIDET con pruebas donde lacolumna es operada por lotes.

1.1. Ubicacion del problema

Para realizar el planteamiento del problema que trata este trabajo, se tienen encuenta dos topicos. El primero tiene que ver con la naturaleza del proceso en el cualse interviene, es decir, la columna de destilacion; el segundo topico trata acerca laproblematica de la tecnica que se pretende aplicar, es decir, lo referente a la estimacionde parametros. De esta manera se procede a describir el problema como sigue:

1.1.1. Problematica en la tecnica de destilacion

Anteriormente podıa considerarse como unico objetivo de control, el manteneruna operacion estable del proceso. En la actualidad las industrias se enfrentan a unambiente cambiante y difıcil de predecir, lo que les obliga a mantener procesos pro-ductivos de acuerdo a la evolucion del mercado, para poder mantenerse competitivasy rentables. Las diversas metodologıas actuales de control de procesos se enfrentan alcumplimiento de este objetivo.

El etanol se obtiene principalmente del procesamiento de fermentacion de azu-cares obtenidos de diferentes productos agrıcolas, que contengan altos contenidos desacarosa, almidon o celulosa. Luego de la fermentacion, viene la destilacion donde sesepara el agua del etanol.

Las columnas de destilacion constituyen un porcentaje significativo de la inver-sion que realizan las plantas de produccion de etanol en todo el mundo. Por ello, eldisponer de tecnicas para modelar columnas de destilacion lo mas cercano posible ala realidad, y ademas disenar, desarrollar e implementar sistemas de monitoreo y decontrol eficaces es importante, a fin de conseguir un funcionamiento seguro y optimode los sistemas de destilacion industriales.

La dificultad de la destilacion depende de la volatilidad relativa de los compo-nentes, por lo cual, las mezclas con puntos de ebullicion proximos son mas difıciles deseparar por destilacion. Para llevar a cabo la operacion de destilacion o cualquier otraoperacion de separacion, es necesario disponer de datos del equilibrio lıquido-vapor ode correlaciones para poder estimarlos adecuadamente.

1.1 Ubicacion del problema 5

Como ya fue mencionado en la introduccion, existen algunas aplicaciones de in-genierıa hoy en dıa, que cuentan con variables fısicas que no pueden medirse direc-tamente. Este problema fue abordado por Luenberger (1971) y su desarrollo hoy seconoce como Observador de Luenberger.

Los observadores de estado, tambien conocidos como sensores virtuales, repre-sentan una alternativa de solucion viable para resolver este tipo de problemas. Losobservadores son herramientas que permiten estimar las variables o estados de unsistema en base a mediciones de las senales de entrada y de salida. Estos sensorespermiten enviar la informacion estimada acerca del valor que toman dichos estados,permitiendo conocer un valor aproximado del valor real.

Para el caso de estudio, en una columna de destilacion no es posible medir todaslas variables que intervienen en el proceso. Lo que se busca es obtener las fraccionesmolares de los componentes de la mezcla Etanol-Agua, en las diferentes etapas de lacolumna, a traves del uso de las mediciones de temperatura en dichos puntos.

1.1.2. Problematica en la estimacion de estados

En algunos procesos las mediciones fısicas de algunas variables no estan disponibles,bien sea por razones economicas o tecnologicas. Las tecnicas modernas de control paracolumnas de destilacion frecuentemente requieren que ciertas variables se encuentrendisponibles para su medicion. Esto no se cumple en la practica debido a que no existeninstrumentos de medicion adecuados para medir en lınea ciertas variables de proceso.

Dado que las areas de aplicacion de los sensores son muy diversas, existen sensoresde muchos tipos, que se eligen dependiendo de la naturaleza de la variable a medir yde las condiciones de la aplicacion. En las columnas de destilacion existen distintostipos de sensores que miden diferentes variables que son relevantes en el desarrollodel proceso, tales como: temperaturas, flujos, etc., pero tambien existen variables queno se pueden determinar en lınea, como es el caso de las concentraciones molares quesolo pueden medirse fuera de lınea a traves de instrumentos como cromatografos degases o detectores de ındice de refraccion (Tronci et al., 2005).

La falta de mediciones confiables en lınea de esta variable en especial, ha moti-vado considerables esfuerzos en el desarrollo de sensores virtuales capaces de estimarlas concentraciones a partir de las mediciones de temperatura disponibles en la plan-ta, (Quintero-Marmol et al., 1991; Deza et al., 1991; Targui et al., 2001; Bahar etal., 2006).

6 Introduccion

Por otro lado, las mediciones fısicas de las variables utilizadas para dicha esti-macion estan solamente disponibles periodicamente, a lo que se les llama ”medicionesen tiempo discreto”. Cuando el periodo de muestreo de dichas mediciones correspondecon la dinamica del sistema, un metodo para construir un observador consiste en dis-cretizar el sistema con el mismo periodo de muestreo que el de las mediciones. En estecontexto se han alcanzado resultados satisfactorios utilizando las tecnicas del filtro deKalman o la aplicacion de observadores no lineales en tiempo discreto basados en elalgoritmo Newton-Raphson (Hammouri et al., 2006).

Sin embargo, cuando estas mediciones no estan disponibles de forma continua ocuando el tiempo de muestreo de las mediciones de las salidas es muy grande paraser utilizado en la discretizacion de las ecuaciones diferenciales del modelo dinamico,el filtro de Kalman no muestra un buen desempeno.

El metodo propuesto por (Deza et al., 1991), es una contribucion a la solucionde este problema, ya que su algoritmo se basa en dos pasos: el primero llamadode prediccion y el segundo llamado de correccion. Dicho algoritmo de estimacion esllamado observador continuo-discreto.

1.2. Objetivos

El Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico cuenta con una Plan-ta Piloto de Destilacion (PPD), que posee la instrumentacion necesaria para poneren practica conceptos de la teorıa de control.

Este trabajo busca abordar temas como modelado de columnas de destilacionteniendo en cuenta caracterısticas propias de una mezcla especıfica y el diseno eimplementacion de observadores no lineales en una planta real, donde los objetivos,tanto general como especıficos, se presentan a continuacion:

1.2.1. Objetivo general

Disenar, aplicar y validar un observador no lineal continuo-discreto para la esti-macion en lınea de las concentraciones molares en una columna de destilacion, parala mezcla binaria etanol-agua.

1.2.2. Objetivos especıficos

1. Formular un modelo que describa el comportamiento de la planta piloto dedestilacion del CENIDET para la mezcla binaria etanol-agua.

1.3 Hipotesis 7

2. Disenar un observador continuo-discreto para estimar concentraciones molaresde la mezcla binaria etanol-agua, en el proceso de destilacion.

3. Aplicar el algoritmo de observacion continuo-discreto para estimar las concen-traciones molares en cada plato de la planta piloto de destilacion.

4. Acoplar el observador con el modelo computacional SPPD (Software de la Plan-ta Piloto de Destilacion (Rivas, 2006)), (Tellez et al., 2007), con el fin de pre-sentar la estimacion de las concentraciones molares.

5. Realizar experimentos de un proceso de destilacion para obtener mediciones yası validar el observador disenado.

1.3. Hipotesis

La hipotesis planteada en este trabajo:

La aplicacion un observador continuo-discreto no lineal, para la columna de des-tilacion, permitira la estimacion de las fracciones molares lıquidas de todos los platosde la columna de destilacion, a partir de las mediciones de temperatura disponiblesen la PPD del CENIDET. Este observador permitira utilizar perıodos de muestreomayores a los que utilizan los observadores puramente discretos.

1.4. Justificacion

Los combustibles se emplean principalmente en los automoviles, por lo que eltransporte se convierte en el primer sector consumidor, lo que hace que los paıses sevuelvan dependientes del petroleo. Razon por la que el uso de etanol como combustiblese ha intensificado, ademas, de la considerable disminucion de contaminante emitidos(CONAE, 2005).

La importancia que tienen los temas de fuentes alternas de energıa y en especial laconsecucion de biocombustibles, ha generado mayor apoyo a la produccion de etanol apartir de cultivos agrıcolas, que a su vez brinda a los paıses subdesarrollados una granalternativa de generacion de empleo y el aprovechamiento de los recursos naturalesnacionales.

Por lo anterior es importante plantear soluciones a las diferentes problematicaspresentadas en el proceso de obtencion de etanol. Con este fin, el trabajo que sedesarrolla aquı busca contribuir en esta importante area, a traves de la aplicacion ydesarrollo de conocimientos referentes a las tecnicas actuales de control de procesos.

8 Introduccion

El uso de observadores continuos-discretos para sistemas dinamicos continuos conmediciones de salida en tiempo discreto es una alternativa de solucion para la esti-macion de estados y/o parametros (variantes e invariantes en el tiempo), a pesar delas incertidumbres de modelado en este tipo de sistemas. Ademas una de las ventajasmas importantes de este tipo de observadores es que permiten utilizar un periodo demuestreo mas grande en relacion a los observadores puramente discretos (Astorga etal., 2002b)

Los sensores virtuales son utilizados de manera amplia en diferentes areas decontrol, ejemplo de ello es: el diagnostico de fallas (Shields et al., 2001), monitoreo(Astorga et al., 2007), idenficacion de sistemas (Busvelle y Gauthier, 2004), entreotras.

1.4.1. Aportacion

Establecer un metodo alternativo para la estimacion de estados y parametros encolumnas de destilacion mediante el diseno de un sensor virtual basado en obser-vadores continuos-discretos, a partir de un modelo aproximado del sistema.

1.4.2. Alcance

Modelado de una columna de destilacion para la mezcla binaria Etanol-Agua.El modelo matematico que se obtendra sera un modelo para aplicaciones decontrol (no un modelo riguroso).

Diseno e implementacion en tiempo real de un observador de estado continuo-discreto en la PPD del CENIDET.

1.5. Metodologıa

La metodologıa llevada a cabo para la realizacion de este trabajo se enumera acontinuacion:

1. Estudio y teorıa de observadores para sistemas no lineales.

Se realizo una revision y estudio de la literatura correspondiente a la teorıade observadores para sistemas no lineales, tipos de observadores y aplicacionesen columnas de destilacion.

1.5 Metodologıa 9

2. Estudio de la mezcla Etanol-Agua.

Se realizo un estudio de las condiciones y tecnicas de separacion de mezclasno ideales y en especial, se estudiaron las caracterısticas fısico-quımicas y ter-modinamicas de la mezcla Etanol-Agua para que fueran incluidas en el modelode la PPD.

3. Estudio y modelado de columnas de destilacion.

Esta etapa se realizo una revision bibliografica y estudio de las columnas dedestilacion. Se formulo e implemento un modelo matematico de acuerdo a lascaracterısticas fısicas de la PPD del CENIDET y a la mezcla utilizada para estetrabajo.

4. Validacion experimental del modelo.

Se validaron los modelos termodinamico y matematico de la PPD del CENIDETdesarrollado en este trabajo, a partir de la comparacion de estos con datosobtenidos de experimentos realizados en la planta de destilacion.

5. Estudio y diseno observadores no lineales.

Se procedio al estudio de observadores no lineales para columnas de destilaciony a las aplicaciones de cada uno. De este analisis se eligio un observador nolineal para extenderlo a su version continuo-discreta.

6. Simulacion del observador continuo-discreto seleccionado.

A partir del modelo obtenido para la PPD, del observador selecccionado y delos datos obtenidos directamente de experimentos de destilacion realizados, serealizan simulaciones del observador continuo-discreto disenado.

7. Definicion de un metodo experimental.

A partir del modelo se plantea un metodo para desarrollar experimentos dedestilacion en la PPD para mezclas binarias, obteniendo ası las concentracionesestimadas a partir del uso del observador disenado en este trabajo.

8. Validacion experimental del observador continuo-discreto.

Se valido el observador no lineal continuo-discreto disenado en este trabajo,a partir de datos experimentales obtenidos de la PPD.

10 Introduccion

1.6. Estado del arte

En esta seccion se presenta un estudio de la literatura cientıfica, lo que proporcionaun panorama de como ha sido tratado el tema de modelado y estimacion en columnasde destilacion en los ultimos anos.

Se presenta este marco referencial con el fin de establecer estrategias de diseno quecolaboren con el objetivo de este trabajo de tesis: presentar el diseno de un observadorno lineal continuo-discreto para la estimacion de las composiciones en los platos de unacolumna de destilacion a partir de las mediciones de las temperaturas en el hervidory en el condensador.

Para llevar esta tarea a cabo, el observador se basa en un modelo no lineal deun proceso de destilacion binaria etanol-agua. Para poder desarrollar este diseno esnecesario obtener un modelo matematico y termodinamico de la planta piloto dedestilacion del CENIDET, donde se realizan los experimentos de validacion.

1.6.1. Modelado de columnas de destilacion

Para tareas de control los procesos son conocidos en funcion de modelos, por lo queel primer problema es conocer y entender su comportamiento. Los procesos quımicosen especial, cuentan con caracterısticas indeseables tales como grandes dimensiones,interacciones entre variables y no linealidades que dificultan las tareas de modeladopor lo que deben tomarse algunas consideraciones que simplifiquen el proceso.

Una de las maneras para modelar el proceso de la destilacion facilmente, es la quese desarrolla en dos etapas: en la primera se analizan los parametros estaticos y enla segunda todo el comportamiento dinamico. Este camino ha sido aplicado como elresultado de un mejor entendimiento del proceso, a saber, el modelo de la columnaes resuelto por medio de un metodo llamado de McCabe-Thiele que es un procesoiteractivo y el resultado es la relacion entre numero de platos de la columna usadospara la separacion de una mezcla dada (Cingara et al., 1990).

En el trabajo de Cingara et. al., (1990) fueron consideradas algunas simplifica-ciones para el planteamiento del modelo matematico de una columna de destilacionbinaria. Dichas simplificaciones son principalmente: volatilidad relativa constante, laalimentacion ingresada a la columna esta como lıquido saturado (en el punto deebullicion), el condensador es total, la retencion de masa en cada plato es constan-te, la mezcla es ideal. Luego, y usando las consideraciones anteriores, los autores eneste trabajo formulan una serie de ecuaciones algebraicas que describen el equilibrio

1.6 Estado del arte 11

lıquido-vapor de la mezla y un grupo de ecuaciones diferenciales que describen el ba-lance global de materia.

Otro trabajo importante en el tema de modelado de columnas de destilacion esel realizado por Skogestad (1997), en este trabajo se presenta una forma simple paraentender algunas consideraciones inportantes de la dinamica, la operacion y el controldel proceso, incluye tambien algunas herramientas de analisis de controlabilidad en eldominio de la frecuencia.

Skogestad (1997) en su trabajo aconseja que una manera de entender mejor estadinamica es teniendo una buena apreciacion del comportamiento en estado-establedel proceso. Para establecer este estado estable se debe formular primero un modelotermodinamico que determina el equilibrio lıquido-vapor de la mezcla a separar, lo quese considera como un factor crıtico del modelado. En este artıculo se presentan dossimplificaciones principalmente: en la primera se establece una constante de volatili-dad relativa independiende de la composicion (y usualmente tambien de la presion),la segunda considera los flujos molares de lıquido y de vapor constantes a lo largo dela columna.

De igual forma que en el trabajo de Cingara et. al., (1990), Skogestad (1997)formula conjuntos de ecuaciones algebraicas y diferenciales, teniendo en cuenta susrespectivas simplificaciones, que establecen un modelo matematico completo. Final-mente, presenta un ejemplo de un modelo simple para una columna de destilacionbinaria de tres etapas (condensador, plato de alimentacion y hervidor).

Un trabajo mas reciente es el de Han (2006), donde presenta un modelo no linealpara una columna de destilacion binaria reactiva. Una de las principales diferenciascon los trabajos anteriores es precısamente que mantiene el modelo no lineal del pro-ceso, ademas de la naturaleza reactiva de la iteraccion de los elementos de la mezcla.

Dentro de las simplificaciones que se toman en cuenta en este trabajo, la prin-cipal es que el equilibrio lıquido-vapor de la mezcla es considerado ideal, la presionde trabajo de la columna es constante a lo largo del proceso y los flujos equimolaresson asumidos tales que las tasas de flujo molares de lıquido y vapor son constantesa traves de las secciones de rectificacion y agotamiento. Sin embargo, estas tasas deflujo cambian de un plato a otro en la zona reactiva debido a que el calor de reaccionvaporiza parte del lıquido en cada plato.

Una columna de destilacion reactiva consiste en: una seccion reactiva en mediode las secciones de rectificacion y agotamiento. La tarea de la seccion de rectificacion

12 Introduccion

es recuperar el reactivo (B) del vapor producido (C). En la seccion de agotamientose recupera el otro reactivo (A) del vapor producido (D). En la seccion reactiva, losproductos son separados in situ, conduciendo el equilibrio y previniendo reaccionesindeseables entre los reactantes A y B con los productos C o D (Han, 2006).

Otro ejemplo de modelado de columnas de destilacion es dado en el trabajo deZou et. al., (2006) donde se presenta un modelo discreto lineal para una columnade destilacion binaria que pretende separar la mezcla de etanol-metanol, consideradacomo mezcla ideal. Este modelo presenta el desarrollo de un analisis teorico del ba-lance dinamico de masa y el balance del equilibrio de fases de la mezcla, a su vez, elmodelo es usado para proponer una estrategia de control predictivo (Zou et al., 2006).

Uno de los trabajos mas completos en cuanto al modelado de columnas de desti-lacion, es el trabajo de tesis de Murray (2003). Este trabajo presenta la formulacionde un modelo matematico con resultados en simulacion y validacion experimental. Elmodelo creado esta limitado a un proceso de destilacion continua para la separacionde una mezcla binaria de metanol-agua. Los parametros de entrada del modelo inclui-dos por el autor fueron: el porcentaje de reflujo, el calor agregado al hervidor, la tasade flujo de alimentacion y la composicion molar en la alimentacion. Los resultadosdiscutidos fueron obtenidos de experimentos realizados en una planta de destilacionde trece etapas.

Este modelo reproduce las temperaturas en cada plato de la columna de desti-lacion, incluyendo el hervidor y el condensador. Ademas fueron simulados tambienlos cambios transitorios de las temperaturas que se producıan al realizar cambios enlos parametros de entrada, de igual forma se presenta un analisis del modelo del sis-tema en estado estable (Murray, 2003).

Ahora, haciendo enfasis en la planta piloto de destilacion del CENIDET, en tesisanteriores se han desarrollado modelos que consideran las caracterısticas fısicas de es-ta columna. Uno de estos trabajos es el realizado por Torres (2005) donde se dedica uncapıtulo al modelo matematico para la planta. El modelo presenta en su planteamientoy resultados, sencillez y precision, caracterısticas deseables para el diseno de obser-vadores y controladores. Este trabajo presenta un modelo termodinamico sencillo parala prediccion del equilibrio lıquido-vapor de una mezcla binaria metanol-etanol.

Aquı el autor supone que los flujos molares son constantes en cada seccion de lacolumna, de igual forma supone que la masa molar lıquida con respecto al componenteligero se considera constante y esta en funcion de la cantidad volumetrica retenidaen cada etapa y del porcentaje en peso del componente ligero. Las masas molares


lıquidas retenidas en cada plato de la columna tambien se consideran constantes. Apartir de estas simplificaciones, plantea entonces un conjunto de ecuaciones diferen-ciales que representan el balance global de materia y energıa en el proceso. Finalmentese presenta una validacion experimental del modelo propuesto (Torres, 2005).

Otro modelo desarrollado para la planta del CENIDET es el trabajo de tesis deLopez (2008). En este trabajo se desarrolla un modelo que considera la geometrıa yconfiguracion del hervidor, los platos y el condensador vertical.

Las propiedades termodinamicas son evaluadas mediante la ecuacion de estadoPeng-Robinson-Stryjek-Vera (PRSV) con dos parametros de interaccion. Se formulanlos balances de masa, composicion y energıa donde la mayorıa de los parametros de-sconocidos estan relacionados con las ecuaciones hidrodinamicas y los parametros detransferencia de calor. La estrategia para aproximar estos parametros es aislar tantocomo sea posible los efectos de cada uno. Los parametros desconocidos son: la cons-tante de valvula para vapor, el coeficiente de transferencia de calor del condensador,la eficiencia de Murphre y las perdidas de calor al medio ambiente.

En este trabajo, los resultados en simulacion del modelo matematico se validancon datos experimentales de temperatura obtenidos fuera de lınea de la columnade destilacion. Finalmente, se realiza un analisis de sensitividad en los platos paradeterminar cual es el plato idoneo para aplicar estrategias de control (Lopez, 2008).

1.6.2. Observadores para destilacion

La aplicacion de observadores en columnas de destilacion, tienen como objetivocomun el predecir las concentraciones en una columna de destilacion, a partir del usode las mediciones disponibles (usualmente son usadas las mediciones de las tempera-turas y presion) en las diferentes etapas de la columna de destilacion, aprovechandolas correlaciones de equilibrio.

Para establecer una comparacion de algunos de los observadores presentados enla literatura se tienen en cuenta su aplicacion, el tipo de sistema considerado enel modelo, los metodos de sintonizacion de la ganancia y el analisis del error. Acontinuacion se listan algunos estimadores:

☞ Observador Luenberger Extendido, (Quintero-Marmol et al., 1991).

☞ Filtro de Kalman Extendido de Alta Ganancia, (Viel et al., 1992).

☞ Observador de Alta Ganancia, (Deza y Gauthier, 1991).

14 Introduccion

☞ Observador de Alta Ganancia Constante, (Hammouri et al., 2002).

☞ Observador Geometrico, (Tronci et al., 2005).

El primer observador es expuesto en (Quintero-Marmol et al., 1991), donde los au-tores proponen un Observador Luenberger Extendido, para predecir las composicionesen una columna de destilacion multicomponente operada por lotes y ası conocer lacomposicion instantanea del producto destilado con el fin de aplicar polıticas optimaspara obtener un destilado de calidad.

Los resultados son mostrados en simulacion y demuestran la factibilidad de aplicarobservadores extendidos de Luenberger al proceso de destilacion. Se desarrolla unametodologıa de diseno que indica el numero del planto donde deben ubicarse lossensores de temperatura, el lugar de los polos del observador en lazo cerrado y lasensibilidai de las condiciones iniciales estimadas.

El modelo propuesto en este trabajo es considerado para una clase de sistemas nolineales. La ganancia K del observador es obtenida precısamente por ubicacion de lospolos del observador en lazo cerrado, a fin de que el error tienda exponencialmente acero. Los autores plantean primero la linealizacion del sistema para obtener la ganan-cia del observador que proporciona los valores deseados de los eigenvalores del sistemaen lazo cerrado para posteriormente usar dicha ganancia en el modelo no lineal a lolargo de la estimacion del error para predecir los estados no medibles o no disponibles.

Otro observador propuesto es descrito en (Deza y Gauthier, 1991), este trabajodescribe la sıntesis de un observador conocido como Observador de Alta Ganancia. Elobservador desarrollado es aplicado a una columna de destilacion binaria, el modeloutilizado en este trabajo es el tıpico modelo matematico L-V (lıquido,vapor), con-siderando constantes los flujos molares y basados en el balance global de materia delproceso.

Este trabajo busca mostrar un observador que reconstruya los estados x del pro-ceso a partir del estudio de seis casos diferentes, en cada caso se muestra la convergen-cia del observador y en todos ellos, los flujos molares L, V y F se suponen medibles.Este observador es propuesto para un tipo de sistemas no lineales y su ganancia esK = S−1CT . Donde S es una matriz simetrica definida positiva (SDP) que debe sat-isfacer la ecuacion dinamica de Riccati. La calibracion de este observador se realizamediante el ajuste de un parametro (θ) y la estabilidad se asegura mediante la solu-cion unica de una ecuacion de Lyapunov (Deza y Gauthier, 1991).


Otro observador para columnas de destilacion es el Filtro de Kalman Extendido(EFK) propuesto por (Viel et al., 1992). En este trabajo se demuestra la convergen-cia exponencial del observador, basado en una estrategia de diseno que representa laspropiedades estructurales de la planta y el estudio de observabilidad del sistema, deacuerdo al modelo matematico usado. Tambien se presenta el sistema en una nuevaforma canonica que permite su uso en tareas suplementarias donde las mediciones detemperatura de los platos mas sensibles son tenidas en cuenta.

La metodologıa de diseno del Filtro de Kalman Extendido consiste en elegir unaganancia lo suficientemente alta, que es aplicada al modelo obtenido despues de uncambio de coordenadas. La robustez de este observador es facilmente comprobableaplicando perturbaciones acotadas al modelo, de esta forma se dice que el error de es-timacion tambien esta acotado y es proporcional al tamano de dichas perturbaciones.

Se presenta tambien la estrategia de diseno de un Observador de Alta GananciaConstante (OAGC) propuesto por (Hammouri et al., 2002), para una columna dedestilacion que se asume representa una clase de sistemas no lineales multi-salida queno necesitan necesariamente ser afines al control. La principal caracterıstica de esteobservador, radica en la facilidad con la cual se implementa y calibra, de hecho, laganancia de este observador es constante y su obtencion no requiere la resolucion deun sistema dinamico.

El algoritmo de observacion propuesto permite calcular la ganancia del obser-vador a partir del cumplimiento de algunas desigualdades algebraicas sencillas y suconstruccion esta basada en una matriz simetrica definida positiva (SDP) que debesatisfacer la ecuacion dinamica de Riccati y que tiene una estructura simple, entonces,esta matriz juega un papel importante en la prueba de convergencia del observador.Tanto el diseno del observador, como las pruebas de desempeno son desarrolladas ensimulacion (Hammouri et al., 2002).

Otro observador encontrado en la literatura, aplicado a columnas de destilacion esel presentado en (Tronci et al., 2005). Este trabajo presenta un observador basado enla teorıa de geometrıa diferencial y tiene como fin la estimacion de las composicionesde los productos destilado y de fondo en un proceso de destilacion de una mezcla bi-naria (etanol-agua). Los autores usan un modelo no lineal de la planta, considerandolas no linealidades de la mezcla y del comportamiento del sistema. Se propone tam-bien dentro de la estrategia de diseno, que la estructura del estimador sea un gradode libertad con el fin de mejorar su robustez sin afectar la capacidad para reconstruirlos estados (composiciones).

16 Introduccion

Este trabajo tambien proporciona una guıa para la seleccion de la estructura yla localizacion de los sensores usados las mediciones. Este observador es disenado yprobado experimentalmente en una planta piloto de 30 platos. En el modelo utilizadose desprecia el balance de energıa y se considera que la operacion de separacion serealiza a presion atmosferica (Tronci et al., 2005).

1.6.3. Observadores no lineales de tiempo discreto

El diseno de observadores de tiempo discreto ha generado grandes cambios par-ticularmente en la implementacion en sistemas computarizados de leyes de controlbasadas en modelos de estado o monitorizacion de esquemas de procesos, (Kazantzisy Kravaris, 2001).

Una importante contribucion en el diseno de observadores no lineales de tiem-po discreto, es la tecnica basada en el uso del algoritmo de Newton-Raphson parala solucion simultanea de las multiples ecuaciones no lineales del sistema (Mooral yGrizzle, 1995). Este metodo consiste en una interpretacion geometrica de la funcion nolineal, donde la solucion empieza inicializando la funcion con un valor razonablementecercano al cero (denominado punto de arranque), la funcion es reemplazada por larecta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja. Este cero sera generalmenteuna aproximacion mejor a la raız de la funcion. Esto se logra facilmente ya que laaproximacion se convierte en una ecuacion lineal. Bajo esta interpretacion se desarro-lla un observador discreto propuesto por (Targui et al., 2001) llamado observador dealta ganancia constante.

Este estimador esta basado en el modelo del sistema y su termino de correcciontiene como referencia las mediciones inmediatamente anteriores de cada estado, esdecir, el termino de correccion es proporcional a la desviacion de la salida del obser-vador con respecto a la salida del sistema en el instante anterior. Esto permite que elerror converja a cero en cada instante de medicion.

1.7. Organizacion del documento

El documento de tesis esta organizado de la manera siguiente: En el Capıtulo 2 sepresentan generalidades de observabilidad en los sistemas, los tipos de observadoresy sus aplicaciones, ademas se explica brevemente el diseno de observadores linealesy no lineales, se presenta un breve estudio de observadores no lineales aplicados acolumnas de destilacion y finalmente se profundiza en la sıntesis de observadorescontinuo-discretos.

1.7 Organizacion del documento 17

Capıtulo 3 se presenta una descripcion de las columnas de destilacion a nivelindustrial. Ası mismo se presentan las caracterısticas fısico-quımicas y termodinamicasde la mezcla Etanol-Agua y el proceso de destilacion de la mezcla.

En este mismo capıtulo se proporcionan las caracterısticas fısicas de la planta pi-loto de destilacion empleada para la realizacion de pruebas experimentales, tambiense muestra la descripcion de un modelo dinamico para la columna de destilacion delCENIDET y su integracion en un simulador, incluyendo un modelo termodinamicoque establece el equilibrio de fases de los componentes de la mezcla etanol-agua uti-lizada en este estudio. Ademas, se realiza una comparacion de los resultados obtenidosde los experimentos en la planta con la respuesta dinamica del modelo disenado.

En el Capıtulo 4 se desarrolla un observador de alta ganancia constante en suversion continuo-discreta y se evalua su desempeno por medio de un estudio compa-rativo de este con datos reales obtenidos de varios procesos de destilacion operando lacolumna por lotes. Se muestra el procedimiento de diseno de un observador continuo-discreto con el objetivo de estimar las fracciones molares lıquidas del componenteligero en la planta piloto de destilacion del CENIDET.

Finalmente, en el Capıtulo 5 se dan las conclusiones generales, los aportes de estetrabajo de tesis, ası como tambien los trabajos futuros que de este documento sepuedan derivar.

Capıtulo 2

Observadores y observabilidad

El objetivo de este capıtulo es tratar de manera general los tipos de observadorespara sistemas lineales y no lineales, profundizando en la sıntesis de un observador dealta ganancia constante propuesto por Hammouri et. al., (2002). Lo anterior en basea ciertas propiedades de observabilidad de la estructura triangular que plantean losautores en este trabajo y su aplicacion para una clase de sistemas MISO.

Se establece tambien la teorıa de los observadores continuo-discretos, en espe-cial el desarrollo del algoritmo de observacion planteado por los autores en (Deza etal., 1991) para la estimacion de estados en sistemas no lineales; con base en este es-tudio posteriormente en este trabajo de tesis, se disena un estimador de estados parauna columna de destilacion binaria.

Los observadores para sistemas dinamicos pueden clasificarse como: (a) obser-vadores lineales y (b) observadores no lineales. Dentro de la primera categorıa sepueden mencionar el Filtro de Kalman (Kalman, 1960) y los observadores de Luen-berger (Luenberger, 1971). Estos observadores utilizan la tecnica de posicionamientode polos para solucionar el problema de estabilizacion de sistemas lineales.

Sin embargo, para el caso de sistemas no lineales no existe una solucion general. Apartir de que no existe un metodo sistematico para desarrollar observadores de estadodesde el punto de vista no lineal, resulta interesante estudiar su diseno con el fin deexplorar la eficiencia de los estados estimados.

Este capıtulo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la Seccion 2.1 sedefinen de manera formal algunos conceptos basicos de observabilidad en los sistemas.En la Seccion 2.2 se explican brevemente los observadores para sistemas lineales,en particular, el Filtro de Kalman y el observador de Luenberguer. En la Seccion2.3 se trata la sıntesis de observadores para sistemas no lineales afines al control,

18

2.1 Observabilidad en los sistemas 19

especialmente aquellos desarrollados por (Gauthier y Bornard, 1981) de donde sederivan los observadores de alta ganancia propuestos en (Bornard y Hammouri, 1991)y en (Gauthier et al., 1992).

La Seccion 2.4 presenta la version en tiempo discreto de algunos observadores quese encuentran en la literatura y en la Seccion 2.5 se dan algunos conceptos acerca de losobservadores continuo-discretos. En la Seccion 2.6 se muestran algunos observadoresaplicados directamente a columnas de destilacion y finalmente en la Seccion 2.7 sepresentan las conclusiones de este capıtulo.

2.1. Observabilidad en los sistemas

En los procesos industriales es esencial el control de variables como presion, tem-peratura, humedad, viscosidad, flujo, etc. Por ello el control automatico es una parteimportante e integral que aporta los medios para obtener un adecuado desempenode la operacion de los procesos. Todo esto con el fin de mejorar la productividad,aligerar la carga de operaciones manuales repetitivas y rutinarias, realizar tareas desupervision y diagnostico de fallas, entre otras.

Algunos procesos cuentan con variables fısicas como las concentraciones que nopueden medirse directamente, en ocasiones, porque el costo de los sensores es muyalto o en otras, los sensores tecnicamente no han sido disenados. Los observadoresde estado, tambien conocidos como sensores virtuales representan una alternativade solucion viable para resolver este tipo de problemas. De aquı se desprenden lassiguientes definiciones:

Definicion 2.1. Observador de estados: Es un dispositivo (o un programa decomputador) que es capaz de reconstruir o estimar los estados y variables de interesde un proceso, a partir de las mediciones fısicas de las entradas y las salidas de estemismo, ver la Fig. 2.1, (Dorf, 1989).

Entonces, si el observador de estado recibe todas las variables de estado del sis-tema, sin importar si algunas estan disponibles para una medicion directa, se deno-mina observador de estado de orden completo.

Un observador que estima menos de n (donde n es la dimension del vector deestados) variables de estado se denomina observador de estado de orden reducido. Sidicho observador tiene el orden mınimo posible, se denomina observador de ordenmınimo.

20 Observadores y observabilidad

Fig. 2.1: Esquema de un observador de estados

2.1.1. Observabilidad de los sistemas

El concepto de observabilidad es util al resolver el problema de reconstruir varia-bles de estado no medibles, a partir de variables que sı lo son, en el tiempo mınimoposible.

Se dice que el sistema es completamente observable si x(t0), se determina a partirde la observacion de la salida y(t) durante un intervalo de tiempo finito, t0 ≤ t ≤ t1.

Por tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones de losestados afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida.

2.1.2. Tipos de observadores

En la literatura actual se conocen diferentes tipos de observadores que se clasificandependiendo del tipo de sistema al que son aplicados. Existen los observadores parasistemas lineales como el Filtro de Kalman (1960) y el observador de Luenberger(1971), o los observadores para sistemas no lineales, como el observador de LuenbergerExtendido (Quintero-Marmol et al., 1991), el Filtro de Kalman Extendido (Dochain,2003) o el observador de Alta Ganancia propuesto por (Gauthier et al., 1992). Esteultimo tipo de observadores tienen ciertas ventajas, entre ellas: evitar el trabajo delinealizacion del modelo del sistema y eliminar el uso de condiciones extremadamenterestrictivas llamadas condiciones de involutibilidad, (Kazantzis y Kravaris, 2001).

Otra forma de clasificar a los observadores depende de si estan estimando todoslos estados del sistema, en este caso son llamados observadores de orden completo, o si


estiman solo algunos estados o un numero mınimo de ellos, son llamados observadoresde orden reducido o de orden mınimo.

2.1.3. Generalidades acerca de la observabilidad de sistemas

En este apartado se definen algunos sistemas para el diseno de observadores yla notacion utilizada para definir los conceptos de observabilidad extraidos de lostrabajos desarrollados por Bornard et. al. (1988) y Besancon (1999).

A continuacion considerense los sistemas con los vectores x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rp.Las matrices A, B, C y D tienen dimensiones apropiadas. Supondremos que f(·) yg(·) son funciones suficientemente suaves y que la salida h(0) = 0. La senal de controles u(t) ∈ U, donde U es un conjunto de funciones medibles, acotadas y tal que lasolucion del sistema esta definida en R+. Ademas, f : Rn → Rn, g : Rn → Rn, yh : Rn → Rp, entonces se tienen los siguientes sistemas:

- Sistema no lineal general {x(t) = f(x(t),u(t))y(t) = h(x(t))

(2.1.1)

- Sistema afın en el control x(t) = f(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)gi(x(t))

y(t) = h(x(t))

(2.1.2)

- Sistema afın en los estados{x(t) = A(u(t))x(t) + B(u(t))y(t) = C(u(t))x(t)

(2.1.3)

- Sistema bilineal x(t) = Ax(t) +m∑

i=1

ui(t)Dix(t) + B(u(t))

y(t) = Cx(t)

(2.1.4)

- Sistema lineal con parametros variantes en el tiempo{x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t)

(2.1.5)


- Sistema lineal estacionario{x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)

(2.1.6)

Se utilizara la notacion siguiente:

χu(t,x0) representa la solucion del sistema descrito en la Ec. (2.1.1) al tiempot originada por la entrada u y el estado inicial x0 en t = 0.

Φ(t, t0) es la matriz de transicion de estados de la parte autonoma del sistemarepresentado en la Ec. (2.1.5). Es decir:

d

dtΦ(t, t0) = A(t)Φ(t, t0)

Φ(t, t) = In donde In es la matriz identidad

(2.1.7)

El gramian de observabilidad es una herramienta de control para determinarcuando un sistema es o no observable. Entonces el sistema representado por laEc. (2.1.3) se define como:

Γu(t, t0) =

∫ t

t0

ΦTu(τ, t)CT (u(τ))C(u(τ))Φu(τ, t)dτ ≥ αIn (2.1.8)

El ındice de universalidad γu(t, t0) es el eigenvalor mas pequeno de Γu(t, t0)

y(χu(t,x0)); representa la salida y cuando el estado x es χu(t,x0)

De este ultimo punto se aclara que:

y(χu(t,x0)) ≡ h(χu(t,x0))

Como un observador tiene por objeto estimar los estados, esto supone el conocimien-to de funciones de entrada y salida sobre un intervalo de tiempo, con t > 0, quepermita distinguir todo par de estados iniciales. La observabilidad del sistema estavinculada entonces a la existencia de una entrada que permita la separacion de cadapar de estados iniciales.

La observabilidad se puede entender en terminos de la nocion de indistinguibilidadcomo se describe en las siguientes definiciones:


Definicion 2.2. Indistinguibilidad : Un par de estados (x10,x

20, ) es indistinguible

para u si ∀t > 0

h(χu(t,x10)) ≡ h(χu(t,x2

0)) (2.1.9)

Definicion 2.3. Observabilidad : El sistema no lineal descrito por la Ec. (2.1.1)es observable, si no tiene algun par de estados indistinguibles.

Para dar claridad a estas definiciones se presenta el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1: Observabilidad

Considere el siguiente sistema:

x = u

[0 1−1 0

]x, u ∈ {0, 1}

y = x1 (2.1.10)

Para comprobar la observabilidad del sistema se considera que se aplica la entradau = 1, entonces el sistema es observable. Sin embargo si se aplica la entrada u = 0, dosvalores diferentes de x2 son indistinguibles por lo que el sistema lineal generado noes observable. De esta manera, se concluye que no es posible construir un observadorque funcione con u = 0, ni incluso con entradas vecinas porque seguramente podrıanpresentarse problemas de indistinguibilidad.

La definicion anterior de observabilidad aplica a sistemas lineales y no lineales queno tienen variacion en sus parametros. La observabilidad para el caso de los sistemaslineales con parametros variantes en el tiempo se define en forma particular comosigue.

Definicion 2.4. Observabilidad completamente uniforme Considere los sis-temas lineales con parametros variantes en el tiempo como el representado en la Ec.(2.1.5). El par [A(t),C(t)] del sistema es completamente uniformemente observablesi existe un T > 0, α > 0 y t0 > 0 tal que, para toda t ≥ t0 se tiene:

Γ(t, t + T ) =

∫ t+T

t

ΦT (τ, t)CT (τ)C(τ)Φ(τ, t)dτ ≥ αIn


Observacion 2.1. La matriz Γ(t, t + T ) se llama el gramiano de observabilidad (altiempo t) del sistema representado en la Ec. (2.1.5).

Observacion 2.2. La definicion del gramiano de observabilidad esta relacionada a laidea de energıa de salida del sistema. Por ejemplo, si se conocen las matrices A,B yC de la clase de sistemas lineales estacionarios como aquellos dados en la Ec.(2.1.6),entonces la respuesta de salida del sistema y(t) para una entrada u(t) = 0, ocasionadapor alguna condicion inicial especıfica x(0), se obtiene como:

y(t) = CeAtx(0) (2.1.11)

La energıa de salida E0, para cada estado inicial x(0), se define como la integral deuna funcion escalar, real y no negativa v(t) de y(t), por ejemplo v(t) ≥ 0 ∀ t ∈ [0,∞):

E0 =

∫ ∞

0

v(t)dt (2.1.12)

puesto que v(t) es una funcion real y no negativa para todo t, la energıa de salida E0

para cualquier condicion inicial x(0) debe satisfacer:

{E0 ≥ 0 para todo x(0)E0 = 0 solamente si v(t) = 0 para t ≥ 0

(2.1.13)

una funcion v(t) que cumpla con la propiedad dada en la Ec. (2.1.13) se puede elegircomo v(t) = yT (t)y(t) donde y(t) es un vector real de salida. Entonces la expresionde la Ec. (2.1.12) queda como:

E0 =

∫ ∞

0

yT (t)y(t)dt (2.1.14)

y sustituyendo la Ec. (2.1.11) en la Ec. (2.1.14) se obtiene que:

E0 = xT (0)

(∫ ∞

0

eAT tCTCeAtdt

)x(0) = xT (0)Wox(0) (2.1.15)


donde Wo es una matriz de n× n y es el gramiano de observabilidad para sistemaslineales estacionarios. El calculo del gramiano de observabilidad implica resolver lamatriz exponencial eAt que se conoce como la matriz de transicion del sistema dela Ec. (2.1.6) y se denota por Φ(t, t0). Para sistemas lineales estacionarios existendiversos metodos analıticos y numericos para encontrar dicha matriz de transicion(Dorf, 1989).

El siguiente ejemplo ilustra la forma de obtener el gramiano de observabilidad:

Ejemplo 2: Gramiano de observabilidad

Considere el sistema lineal estacionario:

x =

[−λ1 00 −λ2

]x

y =[

1 1]x

(2.1.16)

donde λ1 y λ2 son los eigenvalores del sistema, la solucion del sistema esta deter-minada de manera directa por:

x =

[e−λ1t 0

0 e−λ2t

]x(0) (2.1.17)

de esta ultima ecuacion, la matriz de transicion del sistema es:

Φ(t, t0) =

[e−λ1t 0

0 e−λ2t

](2.1.18)

de la Ec. (2.1.15), se calcula el gramiano de observabilidad y resolviendo la integralse obtiene:


Wo =

∫ ∞

0

eAT tCTCeAtdt

=

∫ ∞

0

[e−λ1t 0

0 e−λ2t

] [11

] [1 1

] [ e−λ1t 00 e−λ2t

]dt

=

∫ ∞

0

[e−2λ1t 0

0 e−2λ2t

]dt =

[−2e−2λ1t 0

0 −2e−2λ2t

]∞0

=

[2 00 2

]≥ αIn = 2

[1 00 1

]Con la Definicion 2.4 se tiene que la matriz del gramiano de observabilidad esta

definida positiva y el sistema de la Ec. (2.1.16) es observable completamente uniforme.

Para sistemas lineales y no lineales que dependen de la entrada se aplican lasdefiniciones que siguen a continuacion:

Definicion 2.5. Entradas universales: Una entrada es universal en [0,t], si paracada par de estados distintos (x1

0 6= x20), existe un τ ∈ [0, t] tal que:

h(χu(τ,x10)) 6= h(χu(τ,x2

0)).

Definicion 2.6. Entradas singulares: Una entrada que no es universal se llamasingular.

Ejemplo 3: Entradas universales

Considerese nuevamente el sistema dado en la Ec. (2.1.10) del Ejemplo 1. La entradau = 1 es universal. Al contrario, la entrada u = 0 es singular. Entonces la siguientefuncion:

u1(t) =

{1 para t0 < 00 para t0 ≥ 0

(2.1.19)

es tambien una entrada universal. Supongamos que se dispone de un observador paraeste sistema, y aplicamos las entradas. Si una perturbacion se produce sobre x2 en


un tiempo t1 > t0, esta no influira en la salida. Por lo tanto, el observador no puedereaccionar a dicha perturbacion.

Las entradas universales no bastan para garantizar que un observador tenga buenaspropiedades en presencia de perturbaciones. Esto lleva a introducir el concepto masfuerte de persistencia regular, utilizado particularmente para los sistemas afines enlos estados.

Definicion 2.7. Entradas regularmente persistentes: Una funcion de entradau se llama regularmente persistente para el sistema afın en los estados como el de laEc. (2.1.3), si existe un T > 0, α > 0 y un t0 > 0, tal que el ındice de universalidadγu, satisface γu(t + T, t) ≥ α para todo t > t0.

Observacion 2.3. Una entrada u regularmente persistente es universal. No solo sutranslacion uδ(t) = u(t + δ) sigue siendo universal para un δ arbitrariamente grande(persistencia), sino que permanece con una calidad garantizada (regularidad).

Para ilustrar la idea anterior se considera el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4: Entradas regularmente persistentes

La siguiente entrada u1:

u1(t) =

0 si 2kT ≤ t < 2(k + 1)T

1 si (2k + 1)T < t ≤ 2(k + 2)Tk ∈ N (2.1.20)

es regularmente persistente y se muestra en la Fig. 2.2(a).

Esta entrada es singular, a lo sumo, sobre intervalos de tiempo uniformementelimitados lo que es necesario segun la definicion. Se podrıa pensar que esta propiedades suficiente para garantizar la persistencia regular. No es el caso, como lo muestra laentrada u2 definida por:

u2(t) =

0 si 2kT ≤ t < 2

(k +

1

k + 1

)T

1 si

(k +

1

k + 1

)T < t ≤ 2(k + 2)T

k ∈ N (2.1.21)


(a) Senal regularmente persis-tente

(b) Senal no persistente

Fig. 2.2: Persistencia regular de las senales del Ejemplo 4

que es universal y ademas posee una propiedad de persistencia, pero no es regular-mente persistente. Esto es porque los intervalos donde la entrada es singular estanacotados pero no son uniformes como se muestra en la Fig. 2.2(b).

Para la clase de sistemas representados por la Ec. (2.1.3), la observabilidad gene-ralmente depende de la entrada (debido a la dependencia de la entrada es un casode observacion no uniforme) y bajo condiciones de excitacion apropiada existe unobservador con una ganancia dependiente de la entrada y que se enuncia formalmenteen el siguiente teorema:

Teorema 2.1. Sea el sistema afın en los estados de la Ec. (2.1.3), en el que A(u),B(u) y C(u) estan acotadas uniformemente sobre el dominio de entradas admisibles,(Bornard et al., 1988), (Besancon, 1999). Entonces, para toda entrada regularmentepersistente para el sistema de la Ec. (2.1.3), se tiene que:

˙x = A(u)x + B(u)− S−1CT (u)Q(C(u)x− y)

S = −θS−A(u)T − SA(u) + CT (u)QC(u)(2.1.22)

es un observador, donde la norma del error de estimacion esta acotada y decreceexponencialmente. Entonces, el observador propuesto es exponencialmente estable conuna convergencia que puede hacerse de forma arbitraria rapida, ademas este resultadose obtiene sin ningun tipo de requisito en la entrada, (Bornard y Hammouri, 1991).

2.2 Observadores para sistemas lineales 29

Estos resultados se pueden extender al caso de sistemas en la forma:

x = A(s)x + B(s)u

para alguna senal medida s la cual es regularmente persistente para:

x = A(s)

por ejemplo s = (u,y).

2.2. Observadores para sistemas lineales

Para sistemas lineales de la forma:

{x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.2.1)

la observabilidad no depende de las entradas u. Por lo que si el sistema es observablepara una entrada nula u(t) = 0, ∀t ≥ 0, entonces el sistema es uniformemente obser-vable. En este caso, la solucion es dada por los estimadores de tipo Filtro de Kalman(Kalman, 1960) o tipo observador de Luenberger (Luenberger, 1971).

2.2.1. Filtro de Kalman

El problema de la estimacion en presencia de ruido gaussiano blanco fue resuel-to completamente en el trabajo de Kalman (1960). Desde entonces, numerosos au-tores hacen referencia a este observador llamado Filtro de Kalman para extenderlo asituaciones mas generales. Este filtro existe en una version determinıstica aplicada asistemas variantes en el tiempo (Bornard y Hammouri, 1991).

Para ilustrar de una forma simple el principio de los filtros de Kalman, se considerael sistema de la Ec. (2.1.5). Para implementar este estimador, se llevan a cabo lassiguientes etapas:

- Inicializacion de una matriz S, tal que:

S(0) = S0, donde S0 es una matriz definida positiva (SDP).

- Estimacion de los estados:

x(t) = A(t)x(t) + K[y(t)−Cx(t)], x(0) = x0

- Eleccion de la ganancia K:


K(t) = −S(t)−1CT (t)Q

- Calculo de la matriz S por una adaptacion de la ecuacion de Riccati:

S(t) = −θS(t)−AT (t)S(t)− S(t)A(t) + CT (t)QC(t)− S(t)RS(t)

donde θ > 0 es un valor real arbitrario positivo.

A diferencia del observador de Luenberger el modelo puede contener parametrosvariables en el tiempo. Otra diferencia reside en el calculo de la ganancia K que eneste caso, es obtenida por la solucion de la ecuacion de Riccati.

El problema principal de la implantacion de los filtros de Kalman es la sin-tonizacion de las matrices Q y R que frecuentemente no son bien conocidas y consi-deradas constantes. Otro problema es la inicializacion de la matriz S(t).

2.2.2. Observadores Luenberger

El estudio de los observadores de tipo Luenberger (Luenberger, 1971), recurre alas tecnicas establecidas para los sistemas lineales como se explica a continuacion.

Si se considera el sistema dado en la Ec. (2.1.6), el observador de Luenbergerconsiste en construir en paralelo un modelo de estados de la forma:

{˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + K[y(t)−Cx(t)]y(t) = Cx(t)

(2.2.2)

donde K es la ganancia del observador y denota el valor estimado de la variable encuestion, por ejemplo, x(t) representa el valor estimado por el observador de x(t).

Si se considera que el error del observador esta dado por ε(t) = x(t)−x(t) entoncessu derivada es:

ε(t) = [A−KC]ε

Para sistemas SISO, este tipo de observador es facil de implementar. La eleccionde la ganancia K no es unica, es suficiente con cumplir que [A−KC] sea estable (i.e.la parte real de los valores propios de [A−KC] sea negativa). Ası, la dinamica delerror de estimacion, es decir, la convergencia asintotica del observador depende de laseleccion de K.

Sin embargo, la seleccion de K puede resultar complicada en el caso de sistemasmultivariables. La generalizacion de esta sıntesis de observadores con sistemas bili-neales o incluso no lineales no es sistematica, y aun en ocasiones imposible ya que laobservabilidad de sistemas bilineales y no lineales depende de las entradas u.

2.3 Observadores para sistemas no lineales 31

2.3. Observadores para sistemas no lineales

Considerese el sistema no lineal de la Ec. (2.1.1), para este sistema existe unobservador de la forma:

{˙x(t) = f(x(t),u) + K[y(t)− y(t)]y = hx

(2.3.1)

donde x y y son las estimaciones en lınea de x y y dadas por el observador deestados y K es la ganancia del observador. El diseno de un observador de estadospara este tipo de sistemas no lineales, al igual que en la subseccion anterior, consisteen escoger una ganancia apropiada K.

Ası pues, para el caso de sistemas no lineales, el diseno de la matriz de gananciaK se basa en una version linealizada de la dinamica del error de observacion (que secalcula a partir de una expansion de la serie de Taylor de un modelo en espacio deestados alrededor de algun punto de equilibrio). Si se define al error de observacioncomo:

ε = ‖x− x‖ (2.3.2)

donde la dinamica del error de observacion es:

ε = f(x + ε,u)− f(x,u)−K(x)[h(x + ε)− h(x)]

Si se considera una linealizacion de la ecuacion anterior alrededor del error deobservacion ε = 0, se obtiene:

ε = [A(x)−K(x)C(x)]ε (2.3.3)

donde A(x) y C(x) son respectivamente:

A(x(t)) =∂f(x(t))

∂x

C(x(t)) =∂h(x(t))

∂x

Esto constituye la base para el diseno de dos algoritmos de observacion parasistemas no lineales: el observador de Luenberger Extendido y el Filtro de KalmanExtendido.


2.3.1. Observador de Luenberger Extendido

En el observador de Luenberger Extendido, el objetivo es seleccionar K(x) tal quela dinamica del error linealizada sea asintoticamente estable, entonces:

1. La matriz A(x)−K(x)C(x) y su derivada estan limitadas por:

‖A(x)−K(x)C(x)‖ ≤ C1, ∀x∥∥∥∥ d

dt(A(x)−K(x)C(x))

∥∥∥∥ ≤ C2, ∀x

2. Los eigenvalores de A(x) −K(x)C(x) tienen estrictamente partes reales nega-tivas:

Re(λi[A(x)−K(x)C(x)]) ≤ C3 < 0, ∀x i = 1, ..., n

donde n es el orden del sistema, (Dochain, 2003).

La importancia de la exigencia de la observabilidad de la linealizacion del sistemase entiende claramente, porque si dicha linealizacion no es observable, no es posibleasignar libremente la dinamica del error de observacion; en otras palabras, no esposible tener perfecta estimacion despues de algun tiempo definido, matematicamenteesta representado por el hecho de seleccionar arbitrariamente los eigenvalores λi.

Entonces el Observador de Luenberguer Extendido, es un observador determinıs-tico que linealiza las ecuaciones en cada periodo de muestreo (Messaoudi et al., 2007).

El proposito de este observador es intentar construir un sistema dinamico que,impulsado por la medicion de las salidas y, es capaz de reconstruir un funcion nolineal invertible T (x) del vector de estados x, (Kazantzis y Kravaris, 2001).

Una aplicacion de este tipo de observadores para la estimacion de concentraciones,es posible encontrarla en (Quintero-Marmol et al., 1991), donde se aplica un Obser-vador de Luenberger Extendido en una columna de destilacion multicomponente enmodo de operacion por lotes (batch).

2.4 Observadores discretos 33

2.3.2. Filtro de Kalman Extendido

A pesar de que el Filtro de Kalman ha sido introducido inicialmente en un marcoestocastico, tambien puede interpretarse como la solucion de optimizacion (determi-nista) (Dochain, 2003).

De hecho el diseno del Filtro de Kalman Extendido consiste en la busqueda de lamatriz de ganancia K(x) que minimice el error cuadratico medio de observacion:

E =

∫ t

0

eTWedτ

donde W es una matriz de ponderacion que permite las diferentes ponderaciones delos distintos terminos de error e con miras a estandarizar la norma del error, porejemplo, cuando los diferentes componentes de e no son de la misma dimension.

La ganancia de la matriz R(x) puede mostrarse como:

K(x) = R(x)CT

donde la matriz simetrica R de dimension n× n es solucion de la siguiente ecuaciondinamica de Riccati:

R = −RCTWCR + RAT (x) + A(x)R

donde R = RT , R(0) = R0 = R0T .

Un incoveniente con el Filtro de Kalman Extendido es que no garantiza conver-gencia global en el error estimado. Sin embargo la estabilidad local puede ser probadaasumiendo algunas cotas en las no-linealidades.

2.4. Observadores discretos

Los sistemas dinamicos que representan las plantas industriales pueden ser mode-lados por sistemas de ecuaciones diferenciales. Si x es el vector de estados del sistemadinamico, su evolucion temporal queda descrita por un sistema de ecuaciones dife-renciales. La dinamica del sistema hace variar dichos estados en funcion del tiempo(de forma continua), dentro de un espacio euclideano n-dimensional que constituye elespacio de estados del sistema, se tiene entonces un sistema dinamico continuo.

Otra forma de estudiar sistemas dinamicos es mediante la iteracion de funcionesdonde se consideran las variaciones de los estados en pequenos saltos o lapsos de


tiempo (de forma discreta), entonces tenemos un sistema dinamico discreto.

Como los observadores se basan en los modelos de los sistemas dinamicos, elconsiderarlos dentro de una clasificacion como observadores continuos, discretos ycontinuos-discretos, corresponde basicamente a una forma de implementar el algorit-mo de solucion del sistema de ecuaciones o de las funciones diferenciales.

Los observadores descritos en la Seccion 2.3 se basan en una solucion tiempocontinuo. Como en la practica este caso es poco comun, se presenta en esta seccionla version discreta del observador de alta ganancia para sistemas no lineales.

Se tiene el sistema de la forma:

{z = Az + φ(z,u)y(t) = Cz

(2.4.1)

donde z ∈ Rn y u ∈ Rm, y las matrices A, φ y C estan dadas por:

A =

0 1 0 0... 1

0. . . 1

0 . . . 0 0

φ(z, u) =

φ1(z1, u)

φ2(z1, z2, u)...

φn(z, u)

C =[

1, 0, . . . , 0]

La discretizacion de este sistema por el metodo de Euler, esta dada por:

{z(k + 1) = z(k) + Ts[Az(k) + φ(z(k), u(k))]y(k) = Cz(k)

(2.4.2)

donde Ts es el periodo de muestreo del sistema. Utilizando la notacion de x(k) pararepresentar el valor de una variable x en un instante de tiempo kTs.

Asumiendo que la matriz φ(z, u) es globalmente Lipschitz, se puede establecer lasiguiente hipotesis (Ben, 1997):

Hipotesis 2.1. Sea U un conjunto simple de Rm, entonces existe una constante c > 0tal que ∀{z, z} ∈ Rn, se tiene:

‖φ(z, u)− φ(z, u)‖ ≤ c‖z − z‖

2.5 Observadores continuo-discretos 35

Si la Hipotesis 2.1 se mantiene (esto puede omitirse cuando los lımites son estric-tos), es posible disenar un observador para el sistema de la Ec. (2.4.2), que tiene laforma:

{˙z(k + 1) = z(k) + Ts[Az(k) + φ(z(k), u(k))] + ∆−1

θ K[Cz(k)− y(k)]y(k) = Cz(k)

(2.4.3)

donde ∆θ = diag(1, θ, ..., θn−1) y K = [k1, ..., kn]T , sean elegidos tal que el espectroSp(I+Tsθ

−1A+KC) ⊂ D(0, 1) = λ ∈ C; |λ| < 1; θ es una funcion θ : [0, T ] → Rn, T >0. Ver (Assoudi et al., 2005) para la demostracion.

Es valido senalar que para el observador discreto dado en la Ec. (2.4.3), los pa-rametros de ajuste (cuyos valores dependen del periodo de muestreo) no pueden serelegidos arbitrariamente como en el caso continuo. Si se muestra que la trayectoria delerror de estimacion es ‖z(k)−zc(k)‖ (Assoudi et al., 2005), siendo zc la trayectoria delsistema continuo de la Ec. (2.4.1), se senala exponencialmente para una bola B(0, ρ)y ρ depende del periodo de muestreo Ts y del gradiente del sistema representado porla Ec. (2.4.1).

2.5. Observadores continuo-discretos

Cuando el periodo de muestreo de las mediciones corresponde con la dinamica delsistema, un metodo para construir un observador consiste en discretizar el sistemacon el mismo periodo de muestreo que el de las mediciones.

Sin embargo, existen procesos en los que el periodo de muestreo de estas medicioneses grande, para este caso una alternativa de solucion es el diseno de ObservadoresContinuos-Discretos (OCD) (Deza et al., 1992).

Para comprender completamente el funcionamiento de estos observadores, se pre-senta un ejemplo que parece simple, pero es util desde el punto de vista didactico.Como es posible ver en la Fig. 2.3, un individuo camina por la lınea central de unaavenida. a) En la primera etapa: el individuo avanza cinco pasos con los ojos cerradospretendiento seguir la trayectoria de la lınea central; b) en la segunda etapa: el indi-viduo abre sus ojos por un instante de tiempo relativamente corto para identificar suposicion relativa a la lınea central y corregir su trayectoria.

Entonces, a partir de este ejemplo se dice que los observadores continuo-discretosrealizan su trabajo de estimacion en dos etapas:

1. Prediccion:(con los ojos cerrados) se trata de reproducir la trayectoria deseada.


Fig. 2.3: Ejemplo de proceso continuo-discreto

2. Correccion:(se efectua una medicion visual en un instante de tiempo corto) secorrige la posicion actual por comparacion con la trayectoria seguida.

Esta claro que en el proceso continuo-discreto, la trayectoria seguida por individuoes continua y las mediciones que realiza para recuperar su trayectoria deseada, sondiscretas. Es posible comparar cada paso que da el individuo en su trayectoria seguida,con el paso de integracion para resolver el sistema durante la etapa continua.

En (Deza et al., 1992), se propone un observador continuo discreto para la esti-macion de estados en sistemas no lineales observables para todas sus entradas, de laforma:

{x = f(x) + g(x)uy = h(x)

(2.5.1)

donde x ∈ Rn, u = (u1, ..., un) ∈ Rm, son entradas medibles y y ∈ R es una salidamedible.

Usando el modelo conocido del sistema con las mediciones en linea de u(t) y y(t)es posible estimar en lınea el estado x(t) del sistema de la Ec. (2.5.1). Esta tarea esrealizada por un algoritmo recursivo que tendrıa la siguiente estructura:

Una etapa de prediccion en el intervalo de tiempo t ∈ [tk, tk+1]:

{˙x = f(x(t)) + g(x(t))u(t)

S = −θS(t)−ATS(t)− S(t)A(2.5.2)

2.5 Observadores continuo-discretos 37

Una etapa de correccion en el instante de tiempo t = tk+1:

{S(tk+1) = S(t−k+1) + TeC

TCx(tk+1) = x(t−k+1)− ωo(x(tk+1))(h(x(t−k+1))− y(tk+1))

(2.5.3)

donde ωo esta dada por:

ωo(x(tk+1)) =

(∂φ(x)

∂x

∣∣∣x=x(t−k+1)

)−1

S−1(tk+1)CT (2.5.4)

S(tk+1) es una matriz simetrica definida positiva (SDP) variante en el tiempo. Laexpresion t−k+1 representa el valor lımite de una variable en el instante tk+1, en otraspalabras:

S(t−k+1) = lımt→tk+1

S(t)

Para este observador el error de estimacion ε = x(t)− x(t), debe converger asin-totica y preferiblemente, exponencialmente a cero.

Los autores en (Nadri et al., 2004) demuestran que el observador converge expo-nencialmente cuando Te es lo suficientemente pequeno ∀θ ∈ [θ0, θ1], donde θ0 y θ1 sondos constantes positivas.

Entonces, el algoritmo del observador continuo-discreto es muy sencillo: en la eta-pa de prediccion el observador realiza la estimacion basado unicamente en el modeloque usa del sistema y en la etapa de correccion, la expresion correspondiente al ter-mino se da explıcitamente.

En la literatura es posible encontrar este algoritmo de observacion con aplicacionen procesos. Un ejemplo de esto es el caso del trabajo de Astorga et.al. (2002b) dondese presenta un observador de estados continuo-discreto para el monitoreo de parame-tros en un reactor de copolimerizacion, la salida de este observador es posteriormenteusada en el control de la composicion del copolımero.

Otro trabajo que utiliza este algoritmo de observacion, es el presesentado por losautores en (Nadri y Hammouri, 2003) donde se desarrolla un observador continuo-discreto con una estructura similar a la del Filtro de Kalman y con aplicacion asistemas afines en los estados.


2.6. Observadores para columnas de destilacion

La aplicacion de observadores en columnas de destilacion, tienen como objetivocomun el predecir las concentraciones en una columna de destilacion, a partir del usode las mediciones disponibles de las temperaturas y presion en las diferentes etapasde la columna de destilacion, aprovechando las correlaciones de equilibrio.

Para establecer una comparacion de los observadores presentados en esta seccionse tienen en cuenta el tipo de sistema, los metodos de sintonizacion de la ganancia yel analisis del error, tomado este ultimo como la diferencia entre las mediciones de lasalida del proceso y las mediciones dadas por el observador.

Aquı se presentan algunos tipos de estimadores presentado en la literatura, quehan sido disenados con el fin de predecir las concentraciones molares, a partir del usode las mediciones de las temperaturas disponibles en las columnas de destilacion:

1. Observador Luenberger Extendido (ELO), (Quintero-Marmol et al., 1991).

2. Filtro de Kalman Extendido de Alta Ganancia (FKE-AG), (Viel et al., 1992).

3. Observador de Alta Ganancia (OAG), (Deza y Gauthier, 1991).

4. Observador de Alta Ganancia Constante (OAGC), (Hammouri et al., 2002).

El primer observador que es expuesto en (Quintero-Marmol et al., 1991), dondelos autores proponen un Observador Luenberger Extendido, para lo cual se suponeque el modelo de la columna de destilacion, corresponde a la clase de sistemas nolineales de la forma:

{x(t) = f(x(t),u(t))y(t) = h(x(t))

(2.6.1)

El observador propuesto tiene la siguiente estructura:

{˙x = f(x(t),u(t))−K(Cx− y)y(t) = h(x(t)) (2.6.2)

Sintonizacion: La ganancia K es obtenida por ubicacion de los polos del obser-vador en lazo cerrado, a fin de que el error, tienda exponencialmente a cero.

2.6 Observadores para columnas de destilacion 39

Los autores en este trabajo, plantean primero la linealizacion del sistema paraobtener la ganancia del observador que proporciona los valores deseados de los eigen-valores del sistema en lazo cerrado. Entonces, la ganancia es usada en el modelo nolineal a lo largo de la estimacion del error para predecir los estados no medibles o nodisponibles.

Otro observador propuesto es descrito en (Deza y Gauthier, 1991), este trabajodescribe la sıntesis de un observador conocido como Observador de Alta Ganancia.Se supone que la columna de destilacion presenta el esquema general de un sistemano lineal de la forma:

{x = f1(x) + f2(x)uy = x1 = h(x)

(2.6.3)

El observador propuesto tiene la siguiente estructura:

{˙x = f1(x)A(x) + f2(x)u−K(CT x− y)y = Cx

(2.6.4)

donde la ganancia K = S−1CT . Aquı, S es una matriz simetrica definida positiva(SDP) que debe satisfacer la siguiente ecuacion de Riccati:

S = −θS−ATS− SA + CTC (2.6.5)

donde la constante θ > 0 y A es una matriz de cambio de coordenadas definida porAx = (x2, x3, ..., xn, 0). La sintonizacion o calibracion de este observador se realizamediante el ajuste del parametro θ y la estabilidad se asegura mediante la solucionunica de una ecuacion de Lyapunov.

Otro observador para columnas de destilacion es un Filtro de Kalman Extendido(EFK) propuesto por (Viel et al., 1992) donde se asume que la columna de destilacionbinaria tiene el modelo de un sistema no lineal de la forma:

{x = f(x, u)y = Cx

(2.6.6)

El observador EFK tiene la forma:

{˙x = f(x,u)−K(Cx− y)y = Cx

(2.6.7)


donde K = SθCT r−1, r > 0 θ > 0 y Sθ es una matriz simetrica definida positiva

que debe satisfacer con la siguiente extension de la ecuacion de Riccati:

S = θ + Sf(x,u)T + f(x,u)S− SCT r−1CS (2.6.8)

Sintonizacion: La metodologıa de diseno del EKF consiste en elegir una ganan-cia lo suficientemente alta al modelo obtenido despues de un cambio de coordenadasno lineales. La robustez de este observador es facilmente probable aplicando pertur-baciones limitadas al modelo, de esta forma se dice que el error de este observador eslimitado y proporcional al lımite de dichas perturbaciones.

Se presenta tambien una estrategia de diseno de un Observador de Alta GananciaConstante (OAGC) propuesto por (Hammouri et al., 2002), para una columna dedestilacion que se asume representa una clase de sistemas no lineales multi-salidade la forma:

x(t) = f(x(t),u(t)) = f0(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)fi(x(t))

y(t) = h(x(t))

(2.6.9)

Para este caso, el observador propuesto es de la forma:

˙x(t) = f(x(t),u(t)) = f0(x(t)) +

m∑i=1

ui(t)fi(x(t))−K(h(x(t))− y(t))

y(t) = h(x(t))

(2.6.10)

donde la ganancia esta dada por K = r∆θSθ−1CT . Los parametros r y θ son

constantes tales que r > 0 y θ > 0 y ∆θ es una matriz diagonal de dimension (n×n)con la siguiente estructura:

∆θ = diag(θ, θ2, ..., θn) (2.6.11)

Sθ es una matriz simetrica definida positiva que debe satisfacer la ecuacion deRiccati dada por la expresion de la Ec. (4.1.9). La principal caracterıstica de esteobservador, radica en la facilidad con la cual se implementa y calibra, de hecho, laganancia de este observador es constante y su obtencion no requiere la resolucion deun sistema dinamico.

Para comprender mejor las diferencias y similitudes de estos observadores, se pre-sentan las Tablas 2.1 y 2.2:

2.7 Conclusiones 41

Tabla 2.1: Observadores para columnas de destilacion

Nombre Sistema no lineal Observador propuesto

OLE (1991) x(t) = f(x(t),u(t)) ˙x(t) = f(x(t),u(t))−K(Cx(t)− y(t))

FKE-AG (1992) x(t) = f(x(t),u(t)) ˙x(t) = f(x(t),u(t))−K(Cx(t)− y(t))

OAG (1992) x = f(x) + g(x)u ˙x = f(x)A(x) + g(x)u−K(Cx− y)

OAGC (2002) x(t) = f0(x(t)) ˙x(t) = f0(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)fi(x(t))

+m∑

i=1

ui(t)fi(x(t)) −K(Cx(t)− y(t))

Tabla 2.2: Ganancias y parametros de sintonizacion

Nombre Ganancia Parametros de Sintonizacion

OLE K KFKE-AG K = S−1

θ CT r−1 r > 0 y θ > 0OAG K = S−1

θ CT θ > 0OAGC K = r∆θS

−1θ CT r > 0, θ > 0 y ∆θ = diag(θ, θ2, ..., θn)

Las tablas anteriores representan un comparativo de la estructura de los obser-vadores propuestos por diferentes autores, aplicados a la estimacion de concentra-ciones molares en columnas de destilacion.

La Tabla 2.2 muestra la estructura de la ganancia y los parametros de sintonizacionen cada observador. Se puede apreciar en el caso del observador de alta gananciaconstante que dicha sintonizacion se hace una unica vez (porque que es constante)y es posible realizar ajustes finos en cada uno de los estados estimados a partir dela eleccion de θ, ya que este parametro los afecta directamente dentro de la matrizdiagonal ∆θ.

2.7. Conclusiones

En este capıtulo se presentaron primero los conceptos basicos de observadores yde observabilidad de los sistemas, ası como tambien fueron presentadas las diferentes


alternativas para la estimacion de estados tanto en sistemas lineales como en sistemasno lineales.

Se presento una cronologıa desde observadores para sistemas lineales y no linealespasando por los observadores discretos hasta llegar finalmente los continuo-discretos.Se presentaron algunas ventajas de utilizar estos ultimos en sistemas no lineales enlos que el tiempo de muestreo es importante y usualmente, diferente al tiempo usadoen las mediciones.

Tambien fueron presentadas algunas metodologıas para diseno de observadores ysu estructura, dependiendo del modelo del sistema al cual son aplicados. Finalmentese muestro una sıntesis de observadores disenados para estimar estados en columnasde destilacion y sus caracterısticas en con respecto a la estructura de la ganancia ylos parametros de sintonizacion en cada uno de ellos.

Capıtulo 3

Modelo de una Columna deDestilacion Binaria

En este capıtulo se presenta un modelo matematico de una columna de destilacionde doce (12) etapas, localizada en el Centro Nacional de Investigacion y DesarrolloTecnologico, CENIDET, tambien se desarrolla un modelo termodinamico para es-tablecer el equilibrio de la mezcla binaria etanol-agua. El modelo creado correspondea una columna de destilacion que puede ser operada de forma continua o por lotes.

Un experimento de destilacion usualmente tarda varias horas dependiendo de lascondiciones de las entradas y el tipo de operacion. Se consideran como entradas con-troladas del sistema: el porcentaje de reflujo, la potencia calefactora agregada alhervidor, el flujo de la alimentacion y la composicion de dicha alimentacion.

El modelo propuesto aquı pretende reproducir los resultados obtenidos de un pro-ceso de destilacion real considerando los mismos parametros de entrada. La dinamicadel modelo debera simular la temperatura y las fracciones molares en cada plato, asıcomo en el condensador y en el hervidor a lo largo de todo el experimento.

El modelo debe tener en cuenta la transicion de la respuesta de la temperatura yde las fracciones molares en cada etapa de la columna ante cambios en las condicionesde entrada, ası como tambien las condiciones del estado estable en cada etapa.

De aquı que es requerido que el modelo matematico pueda reproducir el com-portamiento real del proceso, pues debe darse un compromiso entre la exactitud delplanteamiento y la similitud entre la respuesta del modelo y del proceso.

43

44 Modelo de una Columna de Destilacion Binaria

La simulacion de los procesos es una herramienta que permite estudiar el compor-tamiento dinamico desde el momento del arranque de la planta hasta que el estadoestacionario es alcanzado. Esta tarea presenta una serie de ventajas entre las quedestacan:

La posibilidad de analizar el comportamiento de los procesos reales imponiendounas condiciones de operacion que en campo serıan imposibles de llevar a cabopor motivos economicos o de seguridad.

El estudio de procesos existentes de manera mas rapida ante la variacion decualquier variable de entrada o alguna perturbacion que se presente en el sis-tema.

La capacidad de evaluar distintas configuraciones del sistema sin modificar laplanta real y, en funcion de los resultados obtenidos, tomar una decision.

En la Seccion 3.1 se hace la descripcion fısica de cada una de las etapas de la plantapiloto del CENIDET. En la Seccion 3.2 se desarrolla el modelo termodinpamico y elmodelo matematico de la planta, en la Seccion 3.2.1 se presentan las simplificacionesque se tienen en cuenta en el desarrollo del modelo. En la Seccion 3.2.2 se describe larelacion de equilibrio que existe entre las fases lıquida y de vapor correspondiente ala mezcla binaria, esta relacion es esencial ya que lleva a un modelo termodinamicode los componentes usados en la destilacion, en cada etapa de la columna.

En las Secciones 3.2.3 y 3.2.4 se realiza el calculo de las variables implicadas enel proceso como son: los flujos molares, masas molares y los parametros fısicos de lamezcla en la etapa de alimentacion, se describen tambien los balances de materia yenergıa mediante ecuaciones diferenciales. La Seccion 3.2.5 se presenta la organizaciondel modelo matematico en una estructura triangular que facilita su uso en tareas deobservacion.

La Seccion 3.3 contiene la descripcion de la planta piloto donde se realizan pruebasexperimentales, las condiciones iniciales de operacion del sistema, el diseno de losexperimentos y los resultados de la validacion; en esta seccion tambien se comparanmediciones reales tomadas de la planta piloto con la respuesta dinamica del modelo.Finalmente, en la Seccion 3.4 se muestra un resumen del capıtulo y conclusiones enbase a lo desarrollado.

3.1. Descripcion fısica de la planta

Una columna de destilacion consiste de N-2 platos, un condensador y un hervi-dor. Se etiqueta al condensador con el numero 1, al hervidor con el numero N, y los

3.1 Descripcion fısica de la planta 45

platos intermedios son numerados ascendentemente del condensador al hervidor. Laalimentacion es depositada en el plato numero f, conocido como plato de alimentacion(Luyben, 1992).

Fig. 3.1: Esquema general de una columna de destilacion

La energıa para que la columna funcione es proporcionada por el calor que seaplica en el hervidor, lo que causa la evaporacion de parte del lıquido que se encuen-tra en el. La corriente de vapor, conforme asciende por la torre, se enriquece en elcomponente mas volatil. Esta corriente de vapor se condensa en el condensador, unaparte de ese lıquido condensado se regresa hacia la columna (por accion del reflujo)y otra parte se extrae del acumulador como producto destilado.

La corriente del lıquido que ingresa por el reflujo desciende por gravedad y se vaenriqueciendo con el componente mas pesado (que asciende en forma de vapor). Esteproceso de enriquecimiento y empobrecimiento se lleva a cabo en etapas sucesivas dela torre.

A la zona superior al plato de alimentacion se le conoce como zona de enrique-cimiento o rectificacion (ver la Fig. 3.1). En dicha zona, la pureza de la fraccionmolar lıquida del componente ligero se incrementa. La zona de empobrecimiento oagotamiento se encuentra debajo del plato de alimentacion (ver la Fig. 3.1), y es endonde se realiza la transferencia a un gas (componente ligero) de los componentesvolatiles de una mezcla lıquida (etanol-agua).


A cada etapa de la columna le corresponde un grado de pureza de los elementosy la variable que mide esta propiedad fısica se le conoce como fraccion molar.

Las expresiones matematicas que describen los procesos de destilacion son deriva-dos del balance de materia y de energıa alrededor del plato p del modelo (ver Fig. 3.1).

El condensador (ver Fig. 3.2(a)) esta localizado en la parte superior de la columnade destilacion, su funcion es enfriar el vapor que le llega del cuerpo de la columna,condensandolo hasta llegar a fase lıquida. En esta parte de la columna se estableceel reflujo, donde todo o parte del lıquido condensado se regresa a la columna parapermitir el equilibrio de fases.

El hervidor (ver Fig. 3.2(b)), esta localizado en la parte inferior de la colum-na, y para la planta piloto de destilacion se puede ver como dos tanques separadosinterconectados entre sı. En el tanque pequeno se calienta la mezcla mediante unaresistencia calefactora.

(a) Condensador (b) Hervidor

Fig. 3.2: Condensador y hervidor de la planta piloto de destilacion

En el tanque grande se almacena la mezcla a destilar. Al finalizar la destilacionel producto de fondo puede extraerse manipulando una valvula manual ubicada enla parte inferior del tanque grande. Para efectos de simplificacion, en este trabajo se

3.2 Modelado 47

considera el modelo del hervidor como un unico tanque, esto es aclarado en la Seccion3.2.1.

El cuerpo principal de la planta piloto de destilacion esta compuesto por diez (10)platos perforados (ver Fig. 3.3), donde es posible el paso de los flujos de lıquido yvapor en cada uno de ellos. Para alimentar mezcla a la columna se puede elegir entrelos platos 7 y 9 que cuentan con un arreglo de valvulas de entrada.

Fig. 3.3: Plato perforado de la planta piloto de destilacion

Durante el proceso de destilacion se ponen en contacto el vapor con el lıquido. Elvapor es generado al calentar el residuo o fondo (B) que se encuentra en el tanquedel hervidor y el lıquido se genera con el retorno a la columna de parte del productodestilado (D), estas son las mezclas mas pobres y mas ricas respectivamente, delcomponente mas volatil.

3.2. Modelado

El modelo termodinamico del proceso de destilacion por lo general se especificaen terminos de ecuaciones que definen el equilibrio lıquido-vapor de los componentesde la mezcla. Un modelo matematico se establece en terminos del balance global demateria y del balance de componente para un determinado conjunto de variables deestado, propiedades fısicas y restricciones (de equilibrio y lımites de validez de lascorrelaciones).

Para llevar a cabo la operacion de destilacion, es necesario disponer de datos delequilibrio lıquido-vapor o de correlaciones para poder estimarlos adecuadamente, en


Fig. 3.4: Esquema del modelo propuesto.

la mayorıa de los casos estas relaciones son funciones no lineales de la temperatura,la presion y la composicion.

Es importante disponer de tecnicas para modelar columnas de destilacion lo mascercano posible a la realidad y ademas disenar, desarrollar e implementar sistemas demonitoreo y de control eficaces, a fin de conseguir un funcionamiento seguro y optimode los sistemas de destilacion industriales.

El modelo matematico de una columna de destilacion consiste en un conjunto deecuaciones diferenciales derivadas de balances de materia y componente para cadaplato de la columna y un conjunto de ecuaciones algebraicas utilizadas para evaluarlas variables auxiliares.

El modelo propuesto tiene el esquema mostrado en la Fig. 3.4, donde se toman lastres etapas principales de la columna de destilacion (condensador, plato y hervidor)y se realiza para cada una de ellas el analisis respectivo del comportamiento dinami-co usando los balances de materia y de componente, de igual manera se realiza larepresentacion del equilibrio lıquido-vapor.

Estos balances (materia y componente) para cada una de las zonas contempladasen la figura, se despliegan en la Seccion 3.2.3.

3.2 Modelado 49

3.2.1. Simplificaciones generales sobre el modelo

El modelo matematico desarrollado debe representar el comportamiento dinamicodel proceso real. Debe llegarse a un compromiso entre la exactitud en el planteamientodel modelo y la similitud entre la respuesta del mismo y del proceso, en funcion delos medios disponibles para la resolucion del modelo.

Se establecen simplificaciones en cada una de las tres etapas de la columna, comosigue: a). El condensador, b). El cuerpo de la columna (dado por un plato cualquiera,bien sea de la zona de rectificacion o de agotamiento) y c). El hervidor. En este ordense tiene entonces:

a. Condensador

- Se considera el condensador total, es decir, que todo el vapor que llega al conden-sador se condensa. Esto en terminos de la composicion significa que la composi-cion del vapor que abandona la columna por el condensador sera la misma quela de la corriente de reflujo y destilado.

b. Cuerpo de la columna

- Se considera que no existen perdidas de calor, se asume que la columna es adiabatica.

- La fase lıquida y vapor que abandonan el plato se encuentran en equilibrio termo-dinamico.

- El cambio de presion en la columna es despreciable, es decir, la presion de referenciaes igual a la presion atmosferica para el punto donde se encuentra el equipo.

- No se considera acumulacion de vapor a lo largo del sistema.

- No se considera alimentacion del sistema, es decir, las pruebas se desarrollan porlotes.

c. Hervidor

- Se considera que no hay perdidas de calor al ambiente.

- La ebullicion ocurre en un solo tanque.

- Se considera que en todo momento el hervidor es capaz de suministrar el calorrequerido para la destilacion.


3.2.2. Modelo termodinamico

Equilibrio lıquido-vapor

Definicion 3.1. Equilibrio Lıquido-Vapor : Si un vapor y un lıquido estan enıntimo contacto por un largo periodo de tiempo, se alcanza el equilibrio entre las dosfases. Esto significa que no existe ningun flujo de calor, ni de masa ni de momentumentre las dos fases.

El equilibrio lıquido-vapor es clave en la etapa de la construccion del modelo dela columna de destilacion, ademas es una importante herramienta para la correlaciony prediccion de las propiedades termodinamicas y del comportamiento de fases de lamezcla. A traves de la informacion experimental de dicho comportamiento es posibleseleccionar y validar el metodo de prediccion de las propiedades termodinamicas, queposteriormente se utilizaran en la construccion de los mapas de curvas de equilibrio.

La ventaja de la purificacion de substancias por destilacion depende de una medidanumerica que es conocida como el factor de separacion entre los componentes de unamezcla, tambien llamada volatilidad relativa, por lo cual, las mezclas con puntos deebullicion proximos son mas difıciles de separar por destilacion. Por lo tanto, es pre-ciso conocer las propiedades termodinamicas de la mezcla para calcular la constantede equilibrio. Las mezclas se clasifican, de acuerdo a sus propiedades termodinami-cas en: ideales y no ideales. Una mezcla es ideal cuando cumple con las siguientes leyes:

Ley de Raoult: establece que la presion de vapor de un componente de una mezclaes proporcional a la fraccion molar lıquida de dicho componente y a la presion devapor del componente puro.

P sati = PT xi (3.2.1)

Ley de Dalton: establece que la presion parcial de un componente en una mezclade gases es proporcional a la fraccion molar de dicho componente y a la presion totaldel sistema.

P sati = PT yi (3.2.2)

La no idealidad de una mezcla binaria se presenta por diversas causas, la masfrecuente es la no idealidad de la fase lıquida, es decir, cuando no se cumple la Leyde Roult dada por la Ec. (3.2.1). En consecuencia, se deberan usar modelos especial-mente disenados para representar sistemas estas no ideales.

Para la mezcla etanol-agua, la fase lıquida es no ideal, es decir, los dos materialesforman una mezcla que hierve constante y se recogen a veces juntos aunque tengan

3.2 Modelado 51

diferentes puntos de ebullicion, debido a que los componentes de la mezcla conside-rada forman un azeotropo.

Fig. 3.5: Equilibrio de fases para la mezcla etanol-agua a diferentes presiones

Un azeotropo, no es mas que es una mezcla lıquida cuyo vapor tiene exactamentela misma composicion que el lıquido, y que hierve por eso a una temperatura y presionconstantes. La mezcla azeotropica formada por el etanol y el agua tiene un punto deebullicion de 78.2oC, inferior al punto de ebullicion del agua (100oC) y al del alcohol(78.3oC), de ahı que se llame mezcla de punto de ebullicion mınimo.

En la Fig. 3.5 es posible ver zonas donde las composiciones de equilibrio del vapory del lıquido son iguales a presiones y temperaturas dadas, dichas zonas representanel azeotropo de la mezcla.

Para efectos de las no linealidades de sistemas quımicos a baja presion y a traves dela Ley de Raoult para la fase lıquida ideal, la ecuacion que representa la composicionmolar de vapor en funcion del componente ligero es:

ypPT = P sati xpγi (3.2.3)

El coeficiente de actividad γi es un factor de correccion altamente dependiente dela concentracion. Uno de los metodos para determinar este coeficiente en cada uno delos componentes de la mezcla, es con el uso de la ecuacion de Van Laar:


Fig. 3.6: Equilibrio lıquido-vapor para la mezcla etanol-agua usando V an− Laar1

lnγ1 = A12

(A21x2

A12x1 + A21x2

)2

lnγ2 = A21

(A12x1

A12x1 + A21x2

)2 (3.2.4)

donde A12 = 1.6798 y A21 = 0.9227 son parametros de interaccion constantesestablecidos para la mezcla binaria etanol-agua. El valor de estos parametros de lamezcla en estudio se encuentran en (Perry, 1999). Este modelo asume el vapor idealpero el lıquido no, con esta informacion es entonces posible encontrar la relacionlıquido-vapor de la mezcla etanol-agua, que se analiza en la Fig. 3.6 1.

Para sistemas de mezclas lineales, el coeficiente de actividad lıquida es la unidad,γi = 1, lo que se reduce a la ley de Raoult descrita en la Ec. (3.2.1). Por el contrario,para mezclas no ideales se muestran desviaciones negativas de la Ley de Raoult siγi < 1 e inversamente, positivas si γi > 1.

La literatura presenta modelos que han demostrado factibilidad para describir elcomportamiento de las mezclas no ideales basados en la correlacion del coeficientede actividad en la fase lıquida. La seleccion del modelo para evaluar las propiedadesfısicas depende de la exactitud, la eficiencia y el tipo de propiedades secundariasrequeridas ası como la complejidad en la implementacion y las variables disponiblesen la ecuacion.

1Los datos considerados para establecer esta relacion de equilibrio fueron tomados de Gmehling(1988) a presion atmosferica.

3.2 Modelado 53

Validacion del modelo termodinamico

Este trabajo utiliza las Ecs. (3.2.3) y (3.2.4) para calcular el punto de burbuja yası determinar equilibrio lıquido-vapor de la mezcla etanol-agua. La desempeno delmodelo termodinamico utilizado en este trabajo fue validado en comparacion condatos experimentales reportados en (Gmehling, 1988).

Fig. 3.7: Diagrama de flujo para el calculo del punto de burbuja

El calculo del punto de burbuja es un algoritmo que determina el equilibrio lıquido-vapor de las N etapas de la columna de destilacion (platos), utilizando las fraccionesmolares de vapor y la temperatura respectiva de cada componente a una presion cons-tante (760mmHg). Dicho algoritmo que itera sobre la temperatura hasta que la sumade las fracciones molares de vapor calculadas sea igual a la unidad. En la Fig. 3.7 semuestra el diagrama de flujo de este algoritmo.

El error del modelo propuesto se determina mediante la aplicacion de la siguiente


formula:

ε =

(N∑

j=1

∣∣∣∣Texp − Tmodel

Texp

∣∣∣∣ /N)∗ 100 (3.2.5)

donde N, representa el numero total de mediciones consideradas en el experimentoa presion atmosferica.

La Tabla 3.1 muestra los datos obtenidos de la evaluacion del error en el calcu-lo de las temperaturas a partir de la implementacion del algoritmo para calcular elpunto de burbuja, en comparacion con datos experimentales encontrados en la lite-ratura (Gmehling, 1988), considerando las mismas condiciones de operacion (presionconstante).

Tabla 3.1: Evaluacion del error en el modelo termodinamico propuesto a 760mmHg

x(% mol) yexp(% mol) ymod(% mol) Error(%) Texp(oC) Tmod(oC) Error(%)

0 0 0 0 100 99.997 0.00300.0102 0.1133 0.1115 0.79 97 96.998 0.00250.0404 0.3029 0.3014 0.69 91.16 91.226 0.02580.1704 0.5221 0.5220 0.53 83.49 83.418 0.04090.5802 0.6894 0.6895 0.42 79.22 79.244 0.03880.7003 0.7531 0.7531 0.35 78.60 78.622 0.03700.9099 0.9090 0.9092 0.31 78.18 78.165 0.03451 1 1 0.27 78.32 78.298 0.0337

De igual forma se evaluo la varianza (S2), como una forma estadıstica de evaluarla dispersion de los datos con respecto a la media. La varianza se define entonces comola media de las diferencias cuadraticas de N mediciones consideradas con respecto asu media aritmetica, es decir:

S2 =

(N∑

j=1

∣∣Tmodel − Tmodel

∣∣ /N) (3.2.6)

La varianza no tiene la misma magnitud que las variables estimadas por el modelopropuesto (T en oC y y en % mol), sino que estas unidades se encuentran elevadasal cuadrado por lo que se evalua la raız cuadrada de la Ec. (3.2.6) para obtener lamedida de dispersion y que esta sea de la misma dimensionalidad que las variablesconsideradas. De esta manera se define la desviacion tıpica, como:

S =√

S2 (3.2.7)

3.2 Modelado 55

Se presenta entonces la Tabla 3.2 donde se presentan los datos correspondientesal calculo de la varianza y la desviacion tıpica de los datos calculados por el modelotermodinamico propuesto. La media aritmetica de la Temperatura calculada por elmodelo es Tmod = 85.746oC y para la concentracion de vapor del componente ligeroes y =0.5362 % mol.

Tabla 3.2: Varianza y desviacion tıpica en el modelo termodinamico propuesto a760mmHg

ymod(% mol) S2ymod

(%mol2) S(% mol) Tmod(oC) S2

Tmod(oC2) S(oC)

0 0.2875 0.5362 99.997 203.091 14.2510.1115 0.2339 0.4836 96.998 164.893 12.8390.3014 0.1743 0.4175 91.226 119.909 10.9500.5220 0.1308 0.3617 83.418 91.2871 9.5540.6895 0.1093 0.3306 79.244 81.4849 9.0290.7531 0.0990 0.3146 78.622 76.3626 8.7380.9092 0.1047 0.3236 78.165 73.6639 8.5821 0.1185 0.3442 78.298 71.3901 8.449

El calculo del punto de rocıo (condensacion), es el calculo de la temperatura a laque se empieza a condensar un componente. A partir de este punto, es posible en-tonces calcular la composicion de un lıquido en equilibrio a una presion PT conocida(ver Fig. 3.8).

Para el caso de estudio, las no linealidades se consideran en la fase lıquida por loque es posible calcular la composicion de lıquido a partir de la siguiente ecuacion:

xp =ypPT

P sati γi

(3.2.8)

donde xp es la concentracion lıquida del componente en el plato p, PT es la presiontotal del proceso, P sat

i es la presion de saturacion del etanol o del agua calculadas conel uso de la Ec. (3.2.9). Dicho algoritmo itera sobre la temperatura hasta que la sumade las fracciones molares lıquidas calculadas sea igual a la unidad, como se muestraen el diagrama de flujo de la Fig. 3.8.

Calculo de las presiones y temperaturas

La presion de vapor de cada uno de los componentes (i = 1 para etanol y i = 2para el agua), que esta en funcion de la temperatura es modelada por la Ecuacion de


Fig. 3.8: Diagrama de flujo para el calculo del punto de rocıo

Antoine (Perry, 1999):

ln(P sati ) = Ai +

(Bi

T + Ci

)(3.2.9)

donde Ai, Bi, Ci son los coeficientes de Antoine dados para cada componente(Perry, 1999). El valor de estos coeficientes son constantes y se citan en la Tabla 3.3.

Las constantes Van Laar de interaccion binaria de la mezcla etanol-agua son A12 =1.6798 y A21 = 0.9227, validos en el rango de temperaturas de 20-93oC para el Etanoly de 1-100oC para el agua (Perry, 1999).

La temperatura en cada plato no se obtiene a partir del balance de energıa, sinoque se calcula a partir de la temperatura del punto de burbuja. La temperatura deburbuja es aquella temperatura que esta en equilibrio con una composicion del lıquido

3.2 Modelado 57

Tabla 3.3: Constantes de Antoine para cada componente

Constante Etanol Agua

Ai 8.1120 8.07131Bi 1592.864 1730.630Ci 226.184 233.426

conocida a una determinada presion tambien conocida.

En la Tabla 3.4 se relacionan los valores de yi tanto del etanol como del agua,calculados a partir del modelo termodinamico propuesto.

Tabla 3.4: Valores de la concentracion de vapor para el etanol y el agua

yetoh(% mol) yh2o(% mol)

0 10.1133 0.88670.3029 0.69690.5221 0.47770.6894 0.31040.7531 0.24670.9090 0.0909

1 0

Entonces a partir del calculo de los puntos de burbuja y rocıo, es posible construirel diagrama de equilibrio lıquido-vapor de la mezcla etanol-agua que se muestra en laFig. 3.9 muestra la variacion de las concentraciones lıquidas y de vapor de la mezclaetanol-agua, en funcion de la temperatura a presion atmosferica (760 mmHg).

Como es posible apreciar, el azeotropo se ubica cuando la concentracion de lıquidoy la de vapor son de x = y=0.9010 % mol y la temperatura es de 78.16 oC, cuandola presion es P=760mmHg.

En la literatura (King y Costa, 1980), se encuentra que el valor del azeotropo parala mezcla etanol-agua es de x = y=0.890 % mol a 78.2 oC, cuando la presion esP=760mmHg por lo que podemos ver que el modelo termodinamico aquı propuestopredice este valor de una forma muy adecuada, esto equivale a un error de 1.23 % enla concentracion y un error de 0.05 % en la temperatura.

Para la planta piloto de destilacion del CENIDET, estas mismas relaciones sonestablecidas, la diferencia radica en la presion de operacion del proceso, que aunque


Fig. 3.9: Temperatura vs concentraciones molares x, y a presion atmosferica.

se considera constante es diferente a la atmosferica que se ha venido utilizando eneste trabajo.

En la Fig. 3.10 se presenta el diagrama de equilibrio de fases (lıquido y vapor) dela mezcla en estudio, considerando las constantes de Antoine y de Van Laar que seencuentran en la literatura y que se utilizan en el modelo termodinamico propuesto.En esta grafica la presion de operacion del proceso es de 637.4 mmHg, calculada parala ciudad de Cuernavaca, Morelos, Mexico, ya que es donde esta ubicada la plantadonde se realizan las pruebas experimentales.

En la Fig. 3.10 se observa que las temperaturas de ebullicion y de la mezcla cam-bian cuando la presion de operacion del proceso es diferente. Ası mismo, el valor de latemperatura y del azeotropo tambien se modifica, se ubica cuando la concentracionde lıquido y la de vapor son de x = y=0.9070 % mol y la temperatura es de 73.79oC cuando la presion es P=637.4mmHg.

3.2.3. Modelo matematico

El modelo de la columna se ha subdivido en cuatro modelos basicos, que repre-sentan: el condensador, un plato cualquiera, el plato de alimentacion y el hervidor.Repitiendo el modelo del plato tantas veces sea necesario y conectandolos a los mo-delos del condensador y el hervidor de forma conveniente, se obtiene el modelo decolumna que se desee.

3.2 Modelado 59

Fig. 3.10: Temperatura vs concentraciones molares x, y a presion=637.4 mmHg.

Aplicando tambien el concepto de estado en equilibrio y el principio de conser-vacion de la materia, se calcula el balance global de materia en cada etapa de lacolumna, colocando cada etapa (plato) en cascada. Las entalpıas del proceso son con-sideradas constantes, por lo tanto, el balance de energıa no es tomado en cuenta enel desarrollo de este modelo.

Ası tambien debe ser aplicado a cada estado de la columna, el balance del compo-nente, que debe cumplir que: la rapidez a la que se forman moles de un componente,es igual a la cantidad de moles de dicho componente que entran al sistema, menosla cantidad de moles que salen, mas la cantidad de moles producidos por reaccionesquımicas dentro del proceso. Este balance es necesario, ya que permite determinar deforma analıtica el grado de pureza del producto destilado y esta dado por ecuacionesde continuidad del componente ligero.

Modelo del condensador (plato p=1)

En la parte superior de la columna, el vapor que sale del plato 2 entra en unintercambiador de calor donde se condensa totalmente (Cingara et al., 1990; Skoges-tad, 1997). Se trata de un condensador vertical con un tubo helicoidal por donde fluyeel vapor a condensar en contracorriente con el lıquido refrigerante (agua) que circulapor la carcasa, (ver Fig. 3.2(a)).


Balance global de materia

dM1

dt= V2 − L1 −D (3.2.10)

Balance por componente

dM1x1

dt= V2y2 − L1x1 −Dx1 (3.2.11)

Fig. 3.11: Dinamica en el condensador

La Fig. 3.11 muestra el balance por componente que se desarrolla en el conden-sador. Como es posible apreciar, el condensador recibe un flujo de vapor (V2) del platop=2 y al cual va un flujo lıquido (L1), de igual forma sale de el producto destilado(D), completando de esta forma el balance total de materia.

Modelo de un plato cualquiera (p)

Cada uno de los platos de la columna (ver Fig. 3.3) recibe una corriente de lıquidodel plato localizado sobre el y un flujo de vapor del plato inmediatamente inferior(como se muestra en la Fig. 3.12). En el caso del plato de alimentacion, este recibeademas una entrada de lıquido y/o de vapor con la composicion original de la mezclaque se desea destilar.

Este modelo representa las ecuaciones de un plato que son las que describen losbalances de un plato tıpico (cualquier plato de la columna, a excepcion del plato dealimentacion) de la columna de la zona de agotamiento (desde p = 2 a p = f − 1) ode la zona de rectificacion desde (p = f + 1 hasta p = N − 1).

3.2 Modelado 61

Fig. 3.12: Dinamica de un plato

Balance global de materia: Permite conocer la cantidad de materia contenida encada plato de la columna.

dMp

dt= Vp+1 − Vp + Lp−1 − Lp (3.2.12)

Balance por componente: Permite conocer la fraccion molar de materia de cadacomponente contenida en la mezcla.

dMpxp

dt= VR(yp+1 − yp) + LR(xp−1 − xp) (3.2.13)

Modelo del plato de alimentacion (plato p=7 o p=2)

Este submodelo es un caso particular del submodelo anterior. Para describirlo senecesitan las mismas ecuaciones que en el submodelo plato, pero particularizadas paraesta etapa concreta.

La diferencia fundamental se encuentra en las ecuaciones que describen el com-portamiento dinamico de la etapa, dado que ahora deben incluir un termino referentea la alimentacion que llega a la columna a traves de esta etapa.

Balance global de materia

dMf

dt= Vp+1 − Vp + Lp−1 − Lp + F (3.2.14)

Balance por componente

dMf (xf )

dt= Vr(yf+1 − yf ) + Lr(xf−1 − xf ) + F (zF ) (3.2.15)


Fig. 3.13: Plato de alimentacion

La Fig. 3.13 muestra los platos de alimentacion de la planta piloto de destilaciondel CENIDET. Es posible alimentar mezcla a la columna a traves de los platos p=2(abajo del condensador) y p=7. La Fig. 3.14 muestra el balance global de materia quese lleva a cabo en el plato de alimentacion, considerando se ingresa mezcla en el.

Para efectos de este trabajo de tesis, la validacion experimental es realizada en lacolumna de destilacion operada por lotes, por lo que no se considera flujo de alimenta-cion. Es decir, F=0, y por lo tanto el modelo que describe el balance por componentedel plato de alimentacion se reduce al modelo dado en la Ec. (3.2.13).

Modelo del hervidor (p=N=12)

El hervidor (ver Fig. 3.2(b)) proporciona calor a la columna de destilacion, di-cho calor es utilizado para hacer ebullir la mezcla. Particularmente en este estudio,una termo-resistencia electrica es la que proporciona calor a la mezcla almacenadaen el hervidor (con capacidad de 6 L), que al calentarse produce un flujo de vapor (V ).

Balance global de materia: La variacion de la cantidad de lıquido contenido en

3.2 Modelado 63

Fig. 3.14: Dinamica en el plato de alimentacion

el hervidor, como consecuencia de los cambios sufridos en las corrientes de entraday salida del mismo, se calcula mediante el balance global de materia dado por lasiguiente ecuacion:

dMN

dt= LN−1 − VN −B (3.2.16)

Balance por componente: La fraccion molar de cada uno de los componentes de lamezcla lıquida contenida en el hervidor, se obtiene mediante el siguiente balance porcomponente:

dMNxN

dt= LsxN−1 − VsyN −BxN (3.2.17)

3.2.4. Descripcion de las entradas del modelo matematico

Fraccion molar de Etanol en la alimentacion

La fraccion molar de etanol (componente ligero) en la alimentacion, puede serdeterminada de forma simple a partir de la siguiente ecuacion (Murray, 2003):

zF =(

vf1ρ1

ω1)

(vf1ρ1

ω1) + (

vf2ρ2

ω2)

(3.2.18)


donde:

- vfi es el volumen de un componente i en la alimentacion (ml).

- ρi es la densidad de cada componente (g/cm3).

- ωi es el peso molecular de cada componente (g).

Aquı debe tenerse en cuenta que el subındice i indica el componente al que hacereferencia cada variable (i=1 para etanol, i=2 para agua).

Calidad del lıquido de alimentacion

La calidad del flujo de alimentacion qF , tambien llamado grado de vaporizacion,indica en que fase se encuentra un componente en la etapa de alimentacion:

qF = 1 +[(zF × Cp1) + ((1− zF )× Cp2)](Tb − Tf )

HvapEtOHzF + Hvap

H2O(1− zF )(3.2.19)

Para calcular este factor de calidad, deben considerarse la temperatura (Tf ) a lacual la alimentacion ingresa a la columna y la temperatura de ebullicion de la mezcla(Tb). Tambien se tiene que:

- Cpi es calor especıfico de un componente en la fase lıquida (kJ/moloC).

- HvapEtOH es entalpıa de vaporizacion del componente ligero (kJ/mol).

- HvapH2O es entalpıa de vaporizacion del componente pesado (kJ/mol).

Los valores de estas constantes son listados en la Tabla A.2 donde se dan laspropiedades termidinamicas de cada uno de los componentes de la mezcla etanol-agua.

En relacion a las condiciones termicas de la alimentacion, el grado de vaporizacionpuede asumir los siguientes valores:

Tasas de flujos molares

En la columna de destilacion fluyen principalmente seis tasas molares de lıquido yvapor internas y provenientes del exterior. Llevando a cabo las suposiciones anteriores,los flujos molares con respecto al componente ligero se obtienen mediante las siguentesexpresiones matematicas.

El calor que se agrega al hervidor genera energıa que causa un flujo de vaporque viaja a lo largo del cuerpo de la columna desde el hervidor, pasando a traves

3.2 Modelado 65

Tabla 3.5: Factor de calidad de la alimentacion

Valor Grado de vaporizacion

qF < 0 vapor sobrecalentadoqF = 0 alimentacion en el punto de ebullicion0 < qF < 1 alimentacion de lıquido y vaporqF > 1 alimentacion subenfriadaqF = 1 alimentacion en el punto de rocıo

de los platos hasta llegar al condensador. Este flujo de vapor es dividido en dos: VS

y VR, dependiendo si se hace referencia a la zona de agotamiento o de rectificacionrespectivamente. Las ecuaciones que son utilizadas para calcular este parametro son:

VS =60×QB

HvapEtOHxB + Hvap

H2O(1− xB)VR = VS + (1− qF )F

(3.2.20)

donde:

- Qb es el calor aplicado al hervidor (watts).

- HvapEtOH es entalpıa de vaporizacion del componente ligero (kJ/mol).

- HvapH2O es entalpıa de vaporizacion del componente pesado (kJ/mol).

- qF La calidad del flujo de alimentacion (adimensional), calculado a partir de laexpresion dada en la Ec. (3.2.19).

Este flujo molar de vapor se encuentra en unidades de moles/minuto, por lo que60 representa la cantidad de segundos por minuto, para ajustar las unidades de laecuacion.

El flujo molar lıquido se calcula de forma similar para cada zona, entonces, LR

en la zona de rectificacion es calculada alrededor del porcentaje de reflujo y LS en lazona de agotamiento es calculada a partir de la alimentacion, como sigue:

{LR = (1−R)VR

LS = LR + qF F(3.2.21)


El de flujo del destilado D se calcula a partir del balance de materia en el conden-sador y la tasa de flujo del producto de fondo B es calculada apartir del balance demateria en el hervidor:

{D = VR − LR

B = (F −D)(3.2.22)

Retencion de masas molares

La retencion de masa en el hervidor, en cada plato y en el condensador para estemodelo no es considerada constante, debido a que a la base de la columna llega ellıquido procedente del plato superior y el vapor de agua del plato inferior (como semuestra en la Fig. 3.12).

Esta retencion es determinada a partir del analisis del principio de conservacionde la masa dado por el balance global de materia. Para cada etapa de la columna,este balance es descrito por las Ecs. (3.2.10, 3.2.12,3.2.16).

Se deben considerar unas condiciones iniciales de masa retenida en cada etapa.Estas cantidades molares son especıficas de la columna de destilacion modelada yde la mezcla etanol-agua referida en este trabajo. Dichas condiciones iniciales soncalculadas para cada etapa de la columna como sigue:

La masa molar retenida en el hervidor, MB es calculada a partir del volumende mezcla que se encuentra en el tanque del hervidor (3.6 L, una vez es alcanzadoel estado estable) y el peso molecular del componente pesado (se asume agua puraen el hervidor). Entonces esta retencion esta determinada por la siguiente ecuacion(Murray, 2003):

MB = 3.6L

(1000cm3

1L

)(1g

cm3

)(0.95mol

18.016g

)= 189.83moles (3.2.23)

Para el calculo de la masa molar retenida en los platos, es necesario considerarla geometrıa de los mismos. La retencion en cada uno de los platos es calculadaa partir del volumen de mezcla que permanece en ellos (16.5 ml aprox.), cuando elsistema alcanza su estado de operacion estable. Se asume que se mantiene constante unporcentaje de etanol en cada plato (22 %) 2. Estos valores se consideran aproximadosya que no es posible medirlos en la practica.

2Valores aproximados, los datos de referencia son tomados de (Murray, 2003)

3.2 Modelado 67

Mp = 0.0165L

(1000cm3

1L

)(0.81g

cm3

)[0.78

(1mol

18.016g

)+ 0.22

(1mol

46.07g

)]Mp = 0.64moles

(3.2.24)

La masa molar retenida en el condensador, MD tambien es calculada a partir delvolumen de lıquido que permanece en el. Sin embargo, este volumen no puede sermedido experimentalmente en la columna de destilacion del CENIDET por lo que seasume es de 10 mL 3. Tambien se asume hay etanol puro en el condensador:

MD = 0.01L×(

1000cm3

1L

)×(

0.78g

cm3

)[0.85×

(1mol

46.07g

)]= 0.135moles (3.2.25)

3.2.5. Estructura triangular del modelo

El modelo de la columna de destilacion binaria que se considera es el modeloclasico LV (lıquido-vapor) descrito por diferentes autores como (Cingara et al., 1990)y (Skogestad, 1997). Teniendo en cuenta las ecuaciones que describen el balance porcomponente en cada una de las etapas de la columna y que fueron descritas en laSeccion 3.2.3, el modelo LV queda descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:

d(M1x1)

dt= V (y2 − x1)

d(Mpxp)

dt= V (yp+1 − yp) + L(xp−1 − xp) (p = 2, ..., f − 1)

d(Mfxf )

dt= V (yf+1 − yf ) + L(xf−1 − xf ) + F (zF − xf ) (p = f)

d(Mpxp)

dt= (F + L)(xp−1 − xp) + V (yp+1 − yp) (p = f + 1, ..., N − 1)

d(MNxN)

dt= (F + L)(xN−1 − xN)− V yN −BxN

(3.2.26)

En cada plato las composiciones de lıquido y vapor (xi, yi) estan vinculados a lasleyes de equilibrio citadas en la Seccion 3.2.2. Los estados del modelo son las com-posiciones molares con respecto al componente mas ligero, para este caso el Etanol.

En este orden, para la columna de destilacion, el sistema es dividido en dossecciones como se muestra en la Fig. 3.15 y se propone un modelo de forma triangularpara la columna de destilacion:

3Valores aproximados, los datos de referencia son tomados de (Murray, 2003)


x1 = f1(u, x1, x2)x2 = f2(u, x1, x2, x3)...xp−1 = fp−1(u, x1, . . . , xp)xp = fp(u, x1, . . . , xp)y = x1

(3.2.27)

Como se aprecia en la Ec. (3.2.27), la estructura triangular se forma de la depen-dencia de un estado, con respecto a los estados anteriores. Este modelo planteadopor (Hammouri et al., 2002) es muy util en el proceso columna de destilacion bi-naria ya que es factible considerar las no linealidades del sistema a traves de unatransformacion de coordenadas que permite llevarlo a una forma canonica observable.

Fig. 3.15: Esquema de una columna de destilacion que puede ser descrita por unmodelo triangular.

El modelo de estructura triangular en forma compacta queda:

3.2 Modelado 69

x1(t) = f1(x(t),u(t))

x2(t) = f2(x(t),u(t)) + d2(t)y(t) = (x1

1(t), x21(t))

T = (x1(t),xn(t))T

(3.2.28)

donde u = (u1, ...,um) corresponde a las entradas del sistema. Los autores en(Gauthier y Bornard, 1981), determinan que el sistema de la Ec. (3.2.28) es uniforme-mente observable cuando:

(z1, ..., zn) = (h(x), Lf0(h(x)), ..., Ln−1f0

(h(x))) (3.2.29)

donde Lf0 denota las derivadas de Lie del campo vectorial f0. De esta manera selleva al sistema representado por la Ec. (3.2.28) a uno con la siguiente forma canonica:

z(t) = Az(t) + F0(z(t))m∑

i=1

ui(t)Fi(z(t))

y(t) = C(z(t))

(3.2.30)

donde A y C son matrices dadas por:

A =

0 1 0 0... 1

0. . . 1

0 . . . 0 0

C =[

1, 0, . . . , 0]

y los vectores de funciones F estan dados por:

F0 =[

0, . . . , 0, F0n

]T; para 1 ≤ i ≤ m, Fi =

[Fi1, . . . , Fin

]Ty Fij = Fij(zi, ..., zj).

Para sistemas no lineales de una sola salida no afines al control, los autores en(Gauthier y Bornard, 1981) muestran que si dicho sistema es uniformemente obser-vable, entonces una transformacion similar a la anterior, transforma al sistema en lasiguiente estructura:

z1(t) = F1(z1(t), z2(t), u(t))z2(t) = F2(z1(t), z2(t), z3(t), u(t))...

˙zn−1(t) = Fn−1(z1(t), ..., zn(t), u(t))zn(t) = Fn(z1(t), ..., zn(t), u(t))y(t) = Cz(t) = z1(t)

(3.2.31)


Una vez comprobada la observabilidad del sistema, es posible regresar a las coor-denadas originales y con un sistema de la Ec. (3.2.27) es posible disenar un observadorde estados.

3.3. Validacion experimental del modelo

En la Fig. 3.16 se muestra una fotografıa de la columna de destilacion utilizadapara realizar las pruebas experimentales. La planta es de doce etapas y las medicionesde temperatura estan disponibles en las etapas 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 12, mediante el usode sensores de tipo RTD de platino Pt-100. Utilizando estas mediciones y considerandola relacion de equilibrio establecida en la Seccion 3.2.2, se obtienen las composicioneslıquidas del componente ligero.

La mezcla utilizada en este estudio es etanol-agua, considerada como una mezclano ideal. La validacion experimental del modelo dado por la Ec. (3.2.26) es realizadacon los parametros iniciales dados en la Tabla A-3 (del Anexo A), las entradas delproceso son dadas en la Tabla 3.7.

3.3.1. Especificaciones generales de la planta

Para llevar a cabo las pruebas de simulacion del modelo propuesto en este tra-bajo, se consideran las siguientes caracterısticas de la planta de destilacion y de loscomponentes de la mezcla:

Condiciones de diseno de la columna de destilacion:

Numero de platos perforados: 10Area total del plato: 68.07 cm2

Area de retencion del plato: 59 cm2

Altura del plato: 10 cmAltura considerada para el area de retencion en los platos: 1 cmCondensador total: 1Hervidor: 1Numero de componentes: 2Presion de operacion: 637.4 mmHg

3.3 Validacion experimental del modelo 71

Fig. 3.16: Planta Piloto de Destilacion

3.3.2. Condiciones iniciales de operacion

Las pruebas realizadas al modelo se efectuaron tomando en cuenta las condicionesen estado estable que se muestran en la Tabla 3.6 como condiciones iniciales de ope-racion.

El valor de las variables de entrada del sistema se relacionan en la Tabla 3.7 .La Fig. 3.17 muestra el comportamiento de las entradas controladas del proceso, lapotencia calefactora y el reflujo respectivamente. Estos valores son tomados directa-mente de la planta piloto, como entradas de un proceso experimental de destilacionde la mezcla etanol-agua.


(a) Potencia calefactora

(b) Reflujo

Fig. 3.17: Entradas controladas del proceso


Tabla 3.6: Condiciones en estado estable

Etapa x (%mol) y (%mol) Temperatura (oC)

Condensador 0.8714 0.1286 73.76Plato 2 0.8672 0.1328 73.78Plato 3 0.8614 0.1386 73.80Plato 4 0.8533 0.1467 73.84Plato 5 0.8417 0.1583 73.88Plato 6 0.8253 0.1747 73.95Plato 7 0.8017 0.1983 74.03Plato 8 0.7677 0.2323 74.14Plato 9 0.7180 0.2820 74.26Plato 10 0.6386 0.3614 74.47Plato 11 0.4542 0.5458 75.77Hervidor 0.1115 0.8885 81.25

Tabla 3.7: Entradas del proceso

Entrada Senal Tiempo de ejecucion

Qb Escalon 0− 1000 Watts 0 minReflujo Total 0 minQb Escalon 1000− 1250 Watts 18 minReflujo Pulso(ton = 6s, toff = 6s) 38 minReflujo Total 69 min

El proceso de destilacion considerado para la validacion del modelo, correspondea la operacion por lotes de la planta. La presion considerada en este experimento esla presion a la cual se encuentra la planta del CENIDET (637.4 mmHg).

Para este experimento fueron colocados en el hervidor de la columna 4 litros demezcla, correspondientes a 2 litros de etanol y 2 litros de agua, cuyo porcentaje deconcentracion molar es calculado a partir de las caracterısticas termodinamicas de loscomponentes usados en los experimentos.

Para las pruebas en la planta piloto de destilacion se usa etanol al 96 % y agua des-tilada. A estos productos experimentalmente le fueron medidas las densidades a tem-peratura ambiente (25oC), se obtuvo que la densidad del etanol es ρetoh= 0.81g/cm3 yla densidad del agua es ρh2o= 0.995g/cm3. De la literatura (Perry, 1999), se conoce queel peso molecular del etanol es Wetoh= 46.07g/mol y del agua es Wh2o= 18.016g/mol.

Para calcular la concentracion molar de cada componente en la mezcla que esingresada al hervidor, el primer paso es determinar la masa (en gramos) de cada


componente contenida en la mezcla. Las ecuaciones algebraicas para esta operacionson las siguientes:

Masaetoh =0.81g

cm3× 2000cm3 = 1620g (3.3.1)

Masah2o =0.995g

cm3× 2000cm3 = 1990g (3.3.2)

Posteriormente se calcula la cantidad de moles de cada componente presentes esascantidades de masa, como sigue:

µetoh = 1620g × 1mol

46.07g= 35.1639moles (3.3.3)

µh2o = 1990g × 1mol

18.016g= 110.4574moles (3.3.4)

Con el uso de las Ecs. (3.3.1-3.3.4) se calcula la fraccion molar de cada componenteen el hervidor:

xetoh =µetoh

µetoh + µh2o

=35.1639moles

35.1639moles + 110.4574moles= 0.2415 (3.3.5)

xh2o =µh2o

µetoh + µh2o

=110.4574moles

35.1639moles + 110.4574moles= 0.7585 (3.3.6)

El valor de los flujos molares de vapor en la seccion de rectificacion y agotamientoen estado estable del peroceso VS = VR = 1.485 mol/min. Y como el modelo delsistema cumple con el balance global de materia, LS = LR = 1.485 mol/min en elestado inicial de la prueba.

3.3.3. Diseno de los experimentos

Se introduce una mezcla binaria compuesta por 2000 ml de etanol y 2000ml deagua en el hervidor de la columna que se muestra en la Fig. 3.2(b). Se inicia agregan-do calor al hervidor hasta llegar al 40 % de la potencia total (el 40 % equivale a 1000watts). La destilacion se realiza de tal manera que los vapores ascienden lentamente,esto se logra precisamente aplicando la calefaccion gradualmente. De otro lado se tieneuna operacion de la columna en reflujo total, es decir, todo lo que se destila se regresapor completo a la columna con el fin de enriquecer la mezcla con el componente ligero.


La columna de destilacion se mantiene operando en estas condiciones hasta al-canzar el estado estable. Es posible determinar este hecho cuando no hayan cambiosen los indicadores de temperatura del tablero de control de la planta piloto de desti-lacion, ver Fig. 3.18.

Fig. 3.18: Tablero de control de la planta piloto de destilacion

Una vez que se ha llegado al estado estable se procede a determinar el tiempo enel que el sistema trabajara en estas condiciones sin realizar cambios en las entradasni considerar perturbaciones. Para la validacion del modelo se considero un tiempode 18 minutos a partir del momento en el que se determina que ya llego al estadoestable hasta que se introduce el primer cambio en una de las entradas.


Se detiene la destilacion cuando se han recogido por lo menos dos tercios delvolumen de lıquido contenido en el deposito del producto destilado. Dicho destiladodebe ser completamente incoloro.

3.3.4. Resultados de la validacion

Las Fig. 3.19(a) - 3.20(b) muestran los resultados obtenidos en relacion a cuatroplatos unicamente, correspondientes al condensador (plato 1), un plato en la seccionde rectificacion, el plato de alimentacion y finalmente el plato 12 que es el hervidor.

Las simulaciones representan un experimento real que tarda aproximadamente 95minutos, una vez es alcanzado el estado estable. En el minuto 18 es aplicado un es-calon en la entrada Qb, es decir, se aumento la potencia calefactora de 1000 a 1250watts, pero el cambio es casi imperceptible en la temperatura, lo que se logra con elcambio de esta entrada, es un aumento en el producto destilado.

En el minuto 38, se considera un cambio en el reflujo, pasando de reflujo totala reflujo intermitente, representado como una serie de pulsos on-off de 6 segundosabierto y 6 segundos cerrado, durante 31 minutos. Las Fig. 3.19(a) - 3.20(b), mues-tran la comparacion entre el modelo termodinamico propuesto en este trabajo y lasmediciones experimentales dadas por la planta.

Se puede observar por comparacion de las graficas mostradas, que el modelo re-presenta el comportamiento dinamico de la planta de una manera adecuada, con unadiferencia maxima de 1.2oC y una diferencia mınima entre los 0.02oC entre los datoscalculados y los datos experimentales.

Por lo tanto, podemos asumir que este modelo es util para desarrollar un obser-vador que estime las fracciones molares del componente ligero en la mezcla binaria deetanol-agua.

Otro aspecto importante que se marca en este estudio es que la composicion cam-bia significativamente ante cualquier cambio en la temperatura y se confirma con larelacion de equilibrio de la mezcla, sin embargo, esto implica que un pequeno error(o ruido) en la temperatura de salida puede dar lugar a un error apreciable en laestimacion de la composicion (Tronci et al., 2005).

El error del modelo propuesto se determina mediante la aplicacion de la siguiente


(a) Temperatura en el condensador

(b) Temperatura en el plato 4

Fig. 3.19: Temperaturas en la seccion de rectificacion


(a) Temperatura en el plato de alimentacion

(b) Temperatura en el hervidor

Fig. 3.20: Temperaturas en la seccion de agotamiento


formula:

ε =

(N∑

j=1


Texp

∣∣∣∣ /N)∗ 100 (3.3.7)

donde N, representa el numero total de mediciones consideradas en el experimentoa presion atmosferica.

A continuacion se presenta la Tabla 3.8 que relaciona los errores obtenidos en cadauna de las etapas aquı mostradas para el modelo propuesto:

Tabla 3.8: Error de estimacion de temperaturas

Etapa Error (%)Condensador 0.406Plato 4 0.193Plato de alimentacion 0.176Hervidor 0.129

Las Figs. 3.21 y 3.22 presentan el comportamiento de las concentraciones esti-madas a partir del modelo termodinamico propuesto, en comparacion con las esti-madas a partir de la lectura de las temperaturas reales de la planta.

Como es posible apreciar en la Fig. 3.21(a), la mayor diferencia se presenta enla estimacion de la concentracion molar lıquida en el condensador, debido a que lalectura de la temperatura en este punto no es precisa ya que fısicamente el sensor seencuentra ubicado por debajo del condensador, ademas el modelo del condensador quese presenta en este trabajo de tesis no considera todas caracterısticas fısicas propias deesta etapa de la columna. Sin embargo se espera, este error de estimacion en el modelopueda ser compensado por el observador que se disena en el Capıtulo 4 de este trabajo.

La Tabla 3.9 muestra el valor porcentual del error de estimacion de las concen-traciones del modelo con respecto a la estimacion de las concentraciones a partir dela lectura de las temperaturas reales del proceso. Dicho error fue evaluado con la Ec.(3.3.7). La tabla entonces muestra que el error mayor se produce en el condensador,de la misma forma en la que se aprecia en la Fig. 3.21(a).


(a) Concentracion molar en el condensador

(b) Concentracion molar en el plato 4

Fig. 3.21: Concentraciones molares en la seccion de rectificacion


(a) Concentracion molar en el plato de alimentacion

(b) Concentracion molar en el hervidor

Fig. 3.22: Concentraciones molares en la seccion de agotamiento


Tabla 3.9: Error de estimacion de concentraciones

Etapa Error (%)Condensador 3.121Plato 4 1.204Plato de alimentacion 0.662Hervidor 0.133

3.4. Conclusiones

En este capıtulo se describieron las caracterısticas fısicas de una planta de des-tilacion y se estudio el comportamiento del sistema; a partir de esta informacion seestablecieron las simplificaciones generales en cada una de las etapas de la columnay que fueron consideradas en el proceso de modelado del sistema.

Se desarrollaron dos algoritmos para el calculo del punto de burbuja y de rocıo,dichos algoritmos cuentan con un conjunto de ecuaciones algebraicas que iteran conel fin establecer un modelo termodinamico que determinan el equilibrio lıquido-vaporde la mezcla etanol-agua.

Posteriormente se presento un modelo matematico que contiene un conjunto deecuaciones diferenciales que establecen el balance global de materia y el balance decomponente en cada etapa de la columna. El resolver el sistema en esta forma de-sacoplada permitio involucrar un menor porcentaje de error al momento de validarexperimentalmente el modelo.

Por la dinamica propia del sistema, el modelo propuesto se presento en una estruc-tura triangular (Hammouri et al., 2002), lo que facilita su uso en tareas de estimacionde variables, puesto que se comprueba su observabilidad.

El modelo fue validado experimentalmente en la planta piloto del CENIDET yrespondio adecuadamente a los diversos tipos de perturbaciones a los que se viosometido. En todas las etapas de la columna, la respuesta cualitativa y cuantativadel sistema fue evaluada cumpliendo satisfactoriamente con los balances de materia yde componente. Por lo tanto, es posible asumir que el modelo propuesto es util paradesarrollar un observador que estime las fracciones molares del componente ligero enla mezcla binaria de etanol-agua.

Capıtulo 4

Observador de alta gananciacontinuo-discreto

En este capıtulo se presenta el diseno de un observador de alta ganancia propuestopor Targui et. al., (2002) y su extension al caso continuo-discreto para estimar lascomposiciones molares en una columna de destilacion.

Este trabajo busca aportar en la sıntesis de los observadores aplicados a procesosreales como aquellos ya conocidos en la literatura, donde se pueden encontrar algunosejemplos como el trabajo de Gauthier et. al., (1992), donde se presenta un observadorsencillo aplicado a bioreactores.

En la referencia (Astorga et al., 2002a) se muestran resultados importantes enla estimacion de parametros en reactores de polimerizacion con el uso de un obser-vador continuo-discreto. Otra aplicacion es posible verse en el trabajo de (Astorga etal., 2007), donde se presenta un observador adaptable para el monitoreo de variablesy parametros en intercambiadores de calor.

Ası mismo, en este capıtulo se ven aplicados algunos conceptos de observabilidadpara una clase de sistemas no lineales estudiados en el Capıtulo 2, del presente docu-mento.

El diseno del observador de alta ganancia continuo-discreto, esta basado en unmodelo matematico y termodinamico que es validado experimentalmente y presen-tado previamente en el Capıtulo 2 de esta tesis. Una de las principales ventajas deeste observador es su ganancia constante, por lo que sintonizarlo depende unicamentede la eleccion de parametros constantes que deben satisfacer algunas desigualdadesalgebraicas simples.

83

84 Observador de alta ganancia continuo-discreto

Se tiene en cuenta tambien que en este observador no se tiene ninguna influenciadel sistema original y tampoco se tiene control sobre el mismo. Como el problema noes la estabilizacion del sistema, cuyo objetivo es conducir todos los estados del origen,ni tampoco el problema de seguimiento cuyo objetivo es conducir la salida a partirde una senal de referencia, este trabajo presenta como objetivo del observador: cons-truir un sistema dinamico a partir de las mediciones de un sistema en observacion,es decir, la reconstruccion de los estados de forma asintotica.

Como se ha expresado anteriormente, el observador aquı disenado es aplicado a lacolumna de destilacion (Planta Piloto de Destilacion del CENIDET) para una mezclabinaria de etanol-agua.

Se presenta tambien la validacion del observador disenado con el fin de verificar sudesempeno en lazo abierto, para estimar concentraciones del componente ligero a par-tir de las mediciones de temperatura disponibles en algunas etapas de la columna dedestilacion. Los experimentos aquı reportados corresponden a procesos de destilacionpor lotes (batch) de la mezcla etanol-agua en la planta piloto del CENIDET.

4.1. Diseno del observador

Se considera el siguiente sistema no lineal:

x(t) = f(x(t), u(t)) = f0(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)fi(x(t))

y(t) = h(x(t))

(4.1.1)

donde u representa un conjunto de entradas para el sistema, esto es, u = (u1, ..., um).Los autores en (Gauthier y Bornard, 1981), determinan que el sistema representadoen la Ec. (4.1.1) es uniformemente observable cuando:

(z1, ..., zn) = (h(x),Lf0(h(x)), ...,Lf0n−1(h(x))) (4.1.2)

entonces, el sistema de la Ec. (4.1.1) se convierte en un sistema local que toma lasiguiente forma canonica observable:

z(t) = Az(t) + F0(z(t))m∑

i=1

ui(t)Fi(z(t))

y(t) = C(z(t))

(4.1.3)

4.1 Diseno del observador 85

donde Lf0 denota las derivadas de Lie del campo vectortial f0. Y las matrices Ay C estan dadas por las expresiones:

A =

0 1 0 0... 1

0. . . 1

0 . . . 0 0

C =

[1, 0, . . . , 0

]y los vectores de funciones F estan dados por:

F0 =[

0, . . . , 0, F0n

]TFi =

[Fi1, . . . , Fin

]T(1 ≤ i ≤ m)

Fij = Fij(zi, ..., zj)

(4.1.4)

Se plantea entonces la siguiente hipotesis:

Hipotesis 4.1. i) F es una funcion globalmente Lipschitz con respecto a su jacobianoy esta uniformemente acotada: ∥∥∥∥∂F (u, z)

∂z(u, z)

∥∥∥∥ii) ∃α > 0 tal que, ∀(u, z) ∈ (U ×Rn) se tiene que:

∂F (u, z)

∂z≥ α

donde α es llamada constante de Lipschitz.

Entonces, si las funciones Fi son globalmente Lipschitz (es decir, se cumple laHipotesis 4.1), es posible disenar un observador exponencial para el sistema dado enla Ec. (4.1.3), dicho observador es de la forma:

{˙z(t) = Az(t) + F0(z(t))

m∑i=1

ui(t)Fi(z(t))− S−1θ CT (Cz(t)− y(t)) (4.1.5)

Con base en los conceptos anteriores, se presenta el diseno de un Observador deAlta Ganancia Constante (Hammouri et al., 2002), para una clase de sistemas no


lineales como los representados por la Ec. 4.1.1. En este caso, el observador propuestoes de la forma:

˙x(t) = f(x(t),u(t)) = f0(x(t)) +m∑

i=1

ui(t)fi(x(t))−K(h(x(t))− y(t))

y(t) = h(x(t))

(4.1.6)

donde la ganancia esta dada por

K = r∆θSθ−1CT (4.1.7)

En esta expresion, los parametros r y θ son constantes tales que r > 0 y θ > 0 y∆θ es una matriz diagonal de dimension (n× n) con la siguiente estructura:

∆θ = diag(θ, θ2, ..., θn) (4.1.8)

Sθ es una matriz simetrica definida positiva que debe satisfacer la ecuacion deRiccati dada por la expresion:

Sθ = −θSθ −AkTSθ − SθAk + CTC (4.1.9)

aquı, Ak es una matriz de dimension (k × k),

Ak(t) =

0 a1(t) 0 0... a2(t)

0. . . ak−1(t)

0 . . . 0 0

(4.1.10)

donde los terminos ai(t) pueden ser asumidos de tal manera que se satisfaga lasiguiente hipotesis:

Hipotesis 4.2. ∀t ≥ 0 existen terminos ai(t) tales que α1 ≤ ai(t) ≤ α2, para algunasconstantes α1, α2 > 0

De igual forma se denota a C como un vector de k elementos:

C =[

1, 0, . . . , 0]

Entonces que Sθ sea una matriz de la forma:

Sθ =

s11 s12 0 0

s12 s22. . .

...

0. . . . . . 0

.... . . sk−1k

0 . . . 0 sk−1k skk

(4.1.11)

4.2 Aplicacion a una columna de destilacion 87

4.2. Aplicacion a una columna de destilacion

Para llevar a cabo el diseno del observador propuesto se requiere un modelo delsistema; en la columna de destilacion binaria el modelo matematico que se consideraes el modelo clasico LV representado por un grupo de ecuaciones derivadas del balan-ce global de materia y del balance de componente, establecidos en el capıtulo anterior.

Dicho conjunto de ecuaciones representan el sistema no lineal como sigue:

d(M1x1)

dt= V (y2 − x1)

d(Mpxp)

dt= V (yp+1 − yp) + L(xp−1 − xp) (p = 2, ..., f − 1)

d(Mfxf )

dt= V (yf+1 − yf ) + L(xf−1 − xf ) + F (zF − xf ) (p = f)

d(Mpxp)

dt= (F + L)(xp−1 − xp) + V (yp+1 − yp) (p = f + 1, ..., N − 1)

d(MNxN)

dt= (F + L)(xN−1 − xN)− V yN −BxN

(4.2.1)

Para el modelo del observador tambipen son requeridas las composiciones de lıqui-do y vapor (xp, yp) en cada plato, que estan vinculados a las ecuaciones que determinanel equilibrio de fases para la mezcla etanol agua. Para llevar a cabo esta tarea, se pre-sentan las ecuaciones para el calculo de las temperaturas de burbuja y de rocıo comosigue:

ypPT = P sati xpγi (4.2.2)

xp =ypPT

P sati γi

(4.2.3)

donde xp, yp, son la concentraciones de lıquido y de vapor de un componente en elplato p, PT es la presion total del proceso, P sat

i es la presion de saturacion del etanolo del agua calculadas con el uso de la siguiente Ecuacion de Antoine:

ln(P sati ) = Ai +

(Bi

T + Ci

)(4.2.4)

donde Ai, Bi, Ci son los coeficientes constantes de Antoine dados para cada com-ponente (Perry, 1999).

Ası mismo, el coeficiente de actividad γi es un factor de correccion usado paradeterminar el equilibrio lıquido-vapor de una mmezcla binaria a baja presion. Elcalculo de este factor es posible con el uso de la ecuacion de Van Laar:


lnγ1 = A12

(A21x2

A12x1 + A21x2

)2

lnγ2 = A21

(A12x1

A12x1 + A21x2

)2 (4.2.5)

donde A12 = 1.6798 y A21 = 0.9227 son parametros de interaccion constantesestablecidos para la mezcla binaria etanol-agua (Perry, 1999).

Los estados del modelo corresponden a dichas composiciones de lıquido con re-specto al componente mas ligero, para este caso el etanol.

Fig. 4.1: Esquema de la columna de destilacion utilizado por el observador.

Por consiguiente y de ahora en adelante, para plantear el modelo de la columnase usara la siguiente notacion:

xi = ζ1

i ; 1 ≤ i ≤ f − 1xN−i+1 = ζ2

i ; 1 ≤ i ≤ N − f + 1xF = ζ2

N−f+2

(4.2.6)


Como se observa en la Fig. 4.1, el sistema es dividido en dos secciones por lo quese establecen los dos vectores que representan a cada una. Por esta razon, los estadosdel sistema quedan organizados como sigue:

ζ1 =

ζ11...

ζ1n1

=

ζ1...

ζf−1

; ζ2 =

ζ21...

ζ2n2

=

ζN...ζf

zf

donde, ζ representa los estados del proceso (las composiciones lıquidas del com-ponente ligero). Los subındices n1 y n2 corresponden a la numeracion de las etapas(platos) de la columna de destilacion (aquı n1 = f−1, n2 = n−f +2 y f correspondeal plato de alimentacion, para este trabajo se considera f = 7).

La dinamica de la composicion del lıquido de la alimentacion zF esta dada laexpresion:

zF = ε(t) (4.2.7)

Entonces, ε(t) representa una variacion (que es representada por una senal cuadra-da no uniforme) e interviene en el modelo del sistema como una perturbacion no de-seada (Hammouri et al., 2002). Sin embargo, para efectos del diseno del observador eneste trabajo de tesis esta perturbacion no es considerada, por lo que los vectores querepresentan cada una de las secciones de la columna quedan de la misma dimensioncomo sigue:

ζ1 =

ζ11...

ζ1n1

=

ζ1...

ζf−1

; ζ2 =

ζ21...

ζ2n2

=

ζN...ζf

Siguiendo esta notacion, se considera el siguiente sistema con estructura triangular:


ζ11 = f 1

1 (ζ11 , ζ

12 ,u)

ζ12 = f 1

2 (ζ11 , ζ

12 , ζ

13 ,u)

...

ζ1n1−1 = f 1

n1−1(ζ1,u)

ζ1n1

= f 1n1

(ζ,u)

ζ21 = f 2

1 (ζ21 , ζ

22 ,u)

ζ22 = f 2

2 (ζ21 , ζ

22 , ζ

23 ,u,d)

...

ζ2n2−2 = f 2

n2−2(ζ21 , . . . , ζ

2n2−1,u,d)

ζ2n2−1 = f 2

n2−1(ζ,u,d)

ζ2n2

= ε(t)% = (%1, %2)

T = (ζ11 , ζ

21 )T

(4.2.8)

Entonces el sistema (4.2.8) puede ser escrito de forma compacta como sigue:

ζ1 = f1(ζ(t),u(t))ζ2 = f2(ζ(t),u(t)) + d2(t)%(t) = (%1(t), %2(t))

T = (Cn1ζ1(t),Cn2ζ

2(t))T(4.2.9)

donde d2(t) = ε(t), y los estados ζ(t) = [ζ1(t), ζ2(t)]T ∈ Rn y n = n1 + n2;

ζj =[ζj1 , ζ

j2 , . . . , ζ

jnj

]T∈ Rnj para j = 1, 2.

La salida yj = Cnjζj = ζj

1 es el primer componente de ζj; el vector Cnjesta dado

como Cnj= [1, 0, . . . , 0]; la entrada u ∈ Rm, y ε(t) es una funcion desconocida y aco-

tada. Como se habıa comentado anteriormente, para efectos del diseno del observadoren esta tesis ε(t) no se considera ya que experimentalmente la validacion es realizadapor lotes.

En este orden, para aplicar el observador disenado en la seccion anterior, se deberevisar la siguiente hipotesis:

Hipotesis 4.3. Es posible obtener un modelo extendido con dinamica no lineal apartir de su propiedad de ser globalmente Lipschitz.

i) Los estados del sistema estan en el intervalo [ε, 1], donde ε > 0 es la concen-tracion mas pequena, es decir, esta funcion representa el valor mınimo que puedetener la concentracion del componente ligero en la alimentacion.


ii)Para los platos: 1 ≤ p ≤ n1 − 1 (donde n1 − 1 = f − 2)

f 11 =

V

M1

(y2 − x11)

f 1p =

V

Mp

(yp+1 − yp) +L

M p

(x1p−1 − x1

p)

yp = γpxpKp

(4.2.10)

De igual forma para los platos 1 ≤ p ≤ n2− 1 (donde n2− 1 = n− f + 1, se tieneque:

f 21 =

1

MN

[(F + L)(x22 − x2

1) + V (x21 − yN)]

f 2p =

1

Mp

[(F + L)(x2p−1 − x2

p) + V (yp+1 − yp)

f 2n2−1 =

1

Mp

[F (zF − xf ) + L(x2n2−2 − x2

n2−1) + V (yf+1 − yf )]

(4.2.11)

Asumiendo que el sistema dado en la Ec. (4.2.9) satisface la Hipotesis 4.3, se puededisenar un observador de la forma:

{˙ζ1 = f1(ζ,u)− r1∆θδ1S

−1n1

CTn1

(Cn1 ζ1 − %1)

˙ζ2 = f2(ζ,u,d)− r2∆θδ2S

−1n2

CTn2

(Cn2 ζ2 − %2)

(4.2.12)

donde r1 > 0, r2 > 0; θ > 0; ∆θδj = diag(θδj , θ2δj , ..., θnjδj); δ1 > 0, δ2 > 0.

A partir de la Hipotesis 4.3 siguiente teorema es dado:

Teorema 4.1. Denotando como ε el lımite inferior de |ε(t)| i.e. ε = supt≥0|ε(t)|,entonces para r1 > 0, r2 > 0, θ > 0 suficientemente grande y ∀δ1 > 0, δ2 > 0 tal que:

2n1 − 1

2n2 + 1δ1 < δ2 <

2n1 + 1

2n2 − 1δ1; (4.2.13)

‖x(t)− x(t)‖ ≤ λe−µt + λ′ε; (4.2.14)

para algunas constantes λ > 0, µ > 0 y λ′ > 0. Ademas, µ → +∞ como θ → 0.

Observacion 4.1. Si ε = 0, el sistema dado en la Ec. (4.2.12) puede convertirse en unobservador exponencial para el sistema dado en la Ec. (4.2.9). Una prueba de esteresultado es dada en el trabajo de (Hammouri et al., 2002).


4.3. Observador de alta ganancia continuo-discreto

De los observadores encontrados en la literatura y presentados en la Seccion 2.6,en este trabajo se elige el observador de alta ganancia constante propuesto por Targuiet. al., (2002), para aplicarlo a la columna de destilacion del CENIDET.

El modelo con estructura triangular que representa de una manera muy aproxi-mada un sistema de destilacion binaria facilita el diseno del observador.

De otro lado, la dinamica del proceso es adecuada para la aplicacion de obser-vadores continuo-discretos, pues una vez que el sistema alcanza el estado estable loscambios que se presentan en las variables medibles (temperaturas) son lentos, por loque tomar un numero infinito de mediciones en instantes de tiempo cortos perjudi-carıa el desempeno del algoritmo del observador, convirtiendolo en un proceso lentocon el procesamiento de datos redundantes.

Por esta razon, la aplicacion de un observador continuo-discreto en la columna dedestilacion es viable y se presenta como una alternativa a la estimacion de estados deuna manera mas rapida y tan confiable como en el caso de los observadores puramentediscretos.

Los observadores estudiados en el Capıtulo 2 de esta tesis, asumen un tiempo deobservacion continuo, sin embargo en la practica esto no siempre es posible, es en-tonces cuando los autores en (Deza et al., 1992) proponen un algoritmo de diseno deobservadores con una parte discreta.

Para realizar la extension de este observador al caso continuo-discreto, se suponeque las observaciones son hechas en el tiempo k∆t, donde k corresponde al instantede tiempo en el que se realiza el muestreo discreto y ∆t corresponde al instante en elque se realizan las mediciones; para el caso de la columna de destilacion, representaen instante en que se toman datos de los sensores de temperatura.

En este caso, no se considera el cambio de coordenadas, como el presentado porla Ec. (4.1.3), ya que se utiliza la estructura triangular del modelo estudiada en laSeccion 3.2.5.

De esta forma se tiene un sistema no lineal observable para todas sus entradas, dela forma:

4.3 Observador de alta ganancia continuo-discreto 93

{x = f(x) + g(x)uy = h(x)

(4.3.1)

donde x ∈ Rn, u = (u1, ..., un) ∈ Rm, son entradas medibles y y ∈ R es una salidamedible.

Usando el modelo conocido del sistema y junto con las mediciones de las entradasu(t) y las salidas y(t), es posible estimar en lınea el estado x(t) del sistema representa-do por la Ec.(4.3.1), esta tarea es realizada por un algoritmo de estimacion recursivocontinuo-discreto que tiene la siguiente estructura:

i. Una etapa de prediccion en el intervalo de tiempo t ∈ [tk, tk+1]:

{˙xk(t) = f(xk(t), u(t))0 = θSθ + ATSθ − SθA−CTC

(4.3.2)

ii. Una etapa de correccion en el instante de tiempo t = tk+1:

xk+1(t) = xk+1(−)− r∆θS−1θ CT (Cxk+1(−)− yk+1) (4.3.3)

Como se observa en el paso de estimacion, la ecuacion estatica que debe cumplirsees una extension de la ecuacion de Riccati debido a la naturaleza constante de laganancia del observador propuesto. Teniendo en cuenta esta afirmacion, se cumpleque:

∀t > 0, ATk (t)Sk + SkAk(t)− ρCT

k Ck ≤ −ηIk

donde Sk es una matriz simetrica definida positiva con la siguiente estructura:

Sk =

s11 s12 0 0

s12 s22. . .

...

0. . . . . . 0

.... . . sk−1k

0 . . . 0 sk−1k skk

(4.3.4)

se denota a Ck como un vector de k elementos:

Ck =[

1, 0, . . . , 0]


y Ak esta dada por:

Ak(t) =

0 a1(t) 0 0... a2(t)

0. . . ak−1(t)

0 . . . 0 0

(4.3.5)

donde los terminos ak pueden ser desconocidos y satisfacer la Hipotesis 4.2.

Los parametros son elegidos dependiendo del comportamiendo deseado de la es-timacion. El termino r afecta la convergencia de todos los estados, mientras que laeleccion de θ afecta la matriz diagonal ∆θ permitiendo realizar ajustes en cada estado.

4.4. Validacion del observador propuesto

Para realizar la validacion del observador fueron realizados multiples experimen-tos tipo batch en la planta piloto de destilacion. En dichas pruebas se consideraroniguales los parametros iniciales citados en la Tabla A.3 del Anexo A, pero fueroncambiadas las variaciones aplicadas en las entradas; es decir, en cada una de las prue-bas presentadas, el nivel de las entradas es diferente y en algunos casos estos nivelesfueron cambiados mas de una vez.

A continuacion se presentan los resultados obtenidos en los experimentos:

4.4.1. Experimento No. 1:

El objetivo de este experimento es determinar el comportamiento del observadordisenado para alcanzar al modelo a partir de las condiciones iniciales de los estados enel modelo (x(0)) y en el observador (x(0)), cuando se inducen cambios en los nivelesde la potencia calefactora Qb aplicada al hervidor y en la duracion del reflujo R aplica-do a la columna. En este experimento, el comportamiento del reflujo fue consideradocomo una entrada regularmente persistente (ver Definicion 2.7).

Se introduce una mezcla binaria compuesta por 2000 ml de etanol equivalente a0.2415 % mol y 2000ml equivalente a 0.7585 % mol de agua en el hervidor de lacolumna que se muestra en la Fig. 3.2(b).

Con el uso de esta prueba, se da al parametro θ diferentes valores, con el fin deestablecer su valor optimo para una adecuada estimacion de los estados.

4.4 Validacion del observador propuesto 95

Parametros del observador

Las condiciones iniciales en estado estable se consideran cuando en la columnade destilacion, la mezcla que esta en el hervidor se encuentra ebullendo y ademases posible apreciar que existe masa retenida en todos los platos perforados. Para elmodelo en el Experimento No. 1, estas condiciones iniciales son las siguientes:

x(0) =

[0.8114 0.8102 0.8095 0.8073 0.8014 0.7981 . . .. . . 0.7826 0.7613 0.7314 0.6439 0.4542 0.1306

]T

y para el observador las condiciones iniciales son:

x(0) =

[0.83 0.83 0.82 0.82 0.82 0.81

0.8 0.71 0.75 0.4 0.3 0.07

]T

(4.4.1)

Las ganancias del observador son elegidas a partir de las condiciones de disenoplanteadas en (Hammouri et al., 2002) y estudiadas previamente en este capıtulo enla Seccion 4.1. Para este experimento fueron elegidas las constantes que se listan enla Tabla 4.1:

Tabla 4.1: Parametros constantes del observador para el Experimento No. 1

Parametro Valor

tmuest 1.5 minθ variosδ1 0.91δ2 0.71r1 12r2 12

Las matrices Sθ1= Sθ2 dadas en la Ec. (4.3.4) quedan de la siguiente manera:

Sθ1 = Sθ2 =

θ −1/θ2 1/θ3 −1/θ4 1/θ5 −1/θ6

−1/θ2 2/θ3 −3/θ4 4/θ5 −5/θ6 6/θ7

1/θ3 −3/θ4 6/θ5 −10/θ6 15/θ7 −21/θ8

−1/θ4 4/θ5 −10/θ6 20/θ7 −35/θ8 56/θ9

1/θ5 −5/θ6 15/θ7 −35/θ8 70/θ10 −126/θ10

−1/θ6 6/θ7 −21/θ8 56/θ9 −126/θ11 252/θ11

(4.4.2)


y la matriz ∆θ1 queda:

∆θ1 =

0.3343 0 0 0 0 0

0 0.1118 0 0 0 00 0 0.0374 0 0 00 0 0 0.0125 0 00 0 0 0 0.0042 00 0 0 0 0 0.0014

(4.4.3)

y ∆θ2 queda:

∆θ2 =

0.4254 0 0 0 0 0

0 0.1809 0 0 0 00 0 0.0770 0 0 00 0 0 0.0327 0 00 0 0 0 0.0139 00 0 0 0 0 0.0059

(4.4.4)

De esta manera, las ganancias del observador K1 = [r1∆1Sn1C1] y K2 = [r2∆2Sn2C2]quedan de la siguiente manera:

K1=[

15.6574 3.8934 0.5688 0.0540 0.0057 0.0005]T

K2=[

19.9202 6.3021 1.1714 0.1414 0.0191 0.0021]T

Descripcion de las entradas

El valor de las variables de entrada del sistema utilizadas en el Experimento No.1 se relacionan en la Tabla 4.2 y se muestran en la Fig. 4.2:

Tabla 4.2: Entradas del proceso

Entrada Senal Tiempo de ejecucion

Qb Escalon 0− 1250 Watts 0 minReflujo Total 0 minQb Escalon 1250− 1750 Watts 12.5 minReflujo Pulso(ton = 6s, toff = 6s) 24 minReflujo Total 37 minQb Escalon 1750− 1250 Watts 43.5 min


Fig. 4.2: Entradas experimento No. 1

Estimacion del observador:

A partir de la lectura de las temperaturas del consensador y del hervidor, sonestimadas las concentraciones en todas las etapas de la columna. Se presentan acontinuacion las Figs. 4.3 - 4.5 que corresponden a las estimaciones del observadorpropuesto para el condensador y los platos 3, 6 que representan dos etapas de laseccion de enriquecimiento, el plato 10 en la seccion de empobrecimiento, el plato dealimentacion y el hervidor.

En este experimento se realizaron pruebas con diferentes valores de θ y diferentestiempos de muestreo con el fin de evaluar la convergencia del observador. Para estaevaluacion se utilizo la norma euclidiana del error presentada la Ec.(4.4.5); esta normaindica la distancia entre la estimacion dada a partir de los datos experimentalesobtenidos de la planta de destilacion y la estimacion dada por el observador.

‖ε‖ =

√√√√( N∑j=1

(x− x)/N

)(4.4.5)

donde N, representa el numero total de mediciones consideradas en el experimento.A continuacion se presenta una tabla que relaciona la norma del error obtenida en losdiferentes platos, considerando los diferentes valores de θ.

Como se observa la Tabla 4.3, el menor valor de la norma del error se obtiene conel valor de θ =0.3, por lo que se considera este valor como el optimo valor para la


(a) Estimacion en el condensador

(b) Estimacion en el plato 3

Fig. 4.3: Estimaciones en el condensador y plato 3 con diferentes valores de θ


(a) Estimacion en el plato 6


Fig. 4.4: Estimaciones en los platos 6 y 7 con diferentes valores de θ



(b) Estimacion en el hervidor

Fig. 4.5: Estimaciones en el plato 10 y el hervidor con diferentes valores de θ


Tabla 4.3: Evaluacion de la norma del error ‖ε‖ para diferentes valores de θ

Etapa θ =0.3 θ =0.5 θ =0.7Condensador 0.0005 0.0004 0.0002Plato 2 0.0004 0.0006 0.0003Plato 3 0.0005 0.0007 0.0005Plato 4 0.0007 0.0007 0.0006Plato 5 0.0007 0.0007 0.0007Plato 6 0.0005 0.0009 0.0009Plato 7 0.0006 0.0012 0.0013Plato 8 0.0007 0.0012 0.0013Plato 9 0.0001 0.0015 0.0015Plato 10 0.0012 0.0019 0.0019Plato 11 0.0009 0.0014 0.0014Hervidor 0.0002 0.0002 0.0004

sintonizacion de este observador.

En la Fig. 4.5(b) es posible apreciar mas claramente la labor del observadorcontinuo-discreto, se observa que el tiempo de muestreo considerado en esta prue-ba fue de tmuest=1.25 min, es decir, cada 1.25 min el algoritmo de estimacion ingresaen el paso de correccion realizando un ajuste de la senal hasta alcanzar la referencia(las mediciones experimentales de la planta).

4.4.2. Experimento No. 2

El objetivo de estos experimento es determinar el comportamiento del observadordisenado. A diferencia del experimento anterior, el Experimento No. 2 considera masde un cambio en el nivel de la potencia calefactora Qb aplicada al hervidor y un mayortiempo de reflujo R, como se aprecia en la Fig. 4.6.

En este experimento fueron evaluados diferentes tiempos de muestreo k∆t, con elfin de determinar el valor optimo de k que represente un buen desempeno del obser-vador.

Se introdujo una mezcla binaria compuesta por 2000 ml de etanol equivalente a0.2415 % mol y 2000ml equivalente a 0.7585 % mol de agua en el hervidor de lacolumna que se muestra en la Fig. 3.2(b).


Parametros del observador:

Las condiciones iniciales en estado estable se consideran cuando en la columnade destilacion, la mezcla que esta en el hervidor se encuentra ebullendo y ademases posible apreciar que existe masa retenida en todos los platos perforados. Para elmodelo en el Experimento No. 2 son las siguientes:

x(0) =

[0.85 0.85 0.84 0.83 0.83 0.82 . . .. . . 0.81 0.78 0.73 0.63 0.44 0.13

]T

y para el observador:

x(0) =

[0.83 0.83 0.82 0.82 0.82 0.81

0.8 0.71 0.5 0.4 0.3 0.07

]T

(4.4.6)

Las ganancias del observador son elegidas a partir de las condiciones de disenoplanteadas en (Hammouri et al., 2002) y estudiado previamente en este trabajo en laSeccion 2.6. Para este experimento fueron elegidas las constantes que se listan en laTabla 4.4:

Tabla 4.4: Parametros constantes del observador para el Experimento No. 2

Parametro Valor

tmuest variosθ 0.6δ1 0.1δ2 0.71r1 10r2 30

Las matrices Sθ1= Sθ2 quedan de la siguiente manera:

Sθ1 = Sθ2 =

θ −1/θ2 1/θ3 −1/θ4 1/θ5 −1/θ6

−1/θ2 2/θ3 −3/θ4 4/θ5 −5/θ6 6/θ7

1/θ3 −3/θ4 6/θ5 −10/θ6 15/θ7 −21/θ8

−1/θ4 4/θ5 −10/θ6 20/θ7 −35/θ8 56/θ9

1/θ5 −5/θ6 15/θ7 −35/θ8 70/θ10 −126/θ10

−1/θ6 6/θ7 −21/θ8 56/θ9 −126/θ11 252/θ11

(4.4.7)


y la matriz ∆θ1 queda:

∆θ1 =

0.5994 0 0 0 0 0

0 0.3593 0 0 0 00 0 0.2153 0 0 00 0 0 0.1291 0 00 0 0 0 0.0794 00 0 0 0 0 0.0464

(4.4.8)

y ∆θ2 queda:

∆θ2 =

0.6287 0 0 0 0 0

0 0.3952 0 0 0 00 0 0.2485 0 0 00 0 0 0.1562 0 00 0 0 0 0.0982 00 0 0 0 0 0.0617

(4.4.9)

De esta manera, las ganancias del observador K1 = [r1∆1Sn1C1] y K2 = [r2∆2Sn2C2]quedan de la siguiente manera:

K1=[

28.0702 12.5137 3.2777 0.5574 0.1059 0.0164]T

K2=[

29.4419 13.7667 3.7821 0.6746 0.1344 0.0128]T

Descripcion de las entradas

El valor de las variables de entrada del sistema, a lo largo del experimento No. 2se relacionan en la Tabla 4.5 y se muestran en la Fig. 4.6:

Tabla 4.5: Entradas del procesoEntrada Senal Tiempo de ejecucion

Qb Escalon 0− 1500 Watts 0 minReflujo Total 0 minQb Escalon 1500− 1750 Watts 3 minReflujo Pulso(ton = 12sec, toff = 6sec) 13.5 minReflujo Total 27 minQb Escalon 1750− 1250 Watts 39.5 min


Fig. 4.6: Entradas experimento No. 2

Estimacion del observador:

A partir de la lectura de las temperaturas del consensador y del hervidor, son es-timadas las concentraciones en todas las etapas de la columna. Las Figs. 4.7 - 4.9 quese presentan a continuacion corresponden a las estimaciones del observador propuestopara el condensador y el platos 3 en la seccion de rectificacion y para los platos 7, 9y 10 ademas del hervidor en la seccion de empobrecimiento.

Se realizaron pruebas con diferentes tiempos de muestreo, con el fin de evaluar laconvergencia del observador a partir de los valores de la norma del error obtenidos.A continuacion se presenta la Tabla 4.6 que relaciona la norma del error obtenida enlos doce platos de la columna considerando los diferentes k∆t.

Como se observa en la Tabla 4.6, la norma del error evaluada con los diferentestiempos de muestreo son muy similares, por lo que es posible elegir como valor optimoel mayor k∆t = 2.5 min lo que representarıa una menor carga computacional, puesla labor de correccion la hace menos veces y el desempeno del observador no se vedegradado.

Entonces, es posible afirmar que para implementar el algoritmo de observacionde alta ganancia constante propuesto en el trabajo de Hammouri et. al., (2002) y suextension al caso continuo-discreto, el tiempo de muestreo de la senal k∆t puede sermodificado de acuerdo al objetivo de observacion.


(a) Estimacion en el condensador


Fig. 4.7: Estimaciones en el condensador y plato 3 con diferentes valores de θ




Fig. 4.8: Estimaciones en los platos 7 y 9 con diferentes valores de θ



(b) Estimacion en el hervidor

Fig. 4.9: Estimaciones en el plato 10 y el hervidor con diferentes valores de θ


Tabla 4.6: Evaluacion de la norma del error ‖ε‖ para diferentes valores de θ

Etapa k∆t =0.5 min k∆t =1.5min k∆t =2.5minCondensador 0.0003 0.0004 0.0004Plato 2 0.0003 0.0004 0.0004Plato 3 0.0004 0.0005 0.0005Plato 4 0.0006 0.0007 0.0006Plato 5 0.0008 0.0008 0.0007Plato 6 0.0011 0.0012 0.0014Plato 7 0.0018 0.0019 0.0014Plato 8 0.0019 0.0018 0.0016Plato 9 0.0014 0.0013 0.0013Plato 10 0.0014 0.0012 0.0013Plato 11 0.0018 0.0018 0.0017Hervidor 0.0002 0.0002 0.0002

En en este caso k corresponde al instante de tiempo en el que se tomo la muestra(dato de temperatura), es decir, 2.5 min y ∆t corresponde a los periodos en los quese realizan las mediciones en la planta,estas mediciones estan disponibles cada 3s yrepresenta el intervalo de tiempo en el que el software de operacion del sistema alma-cena los datos de los sensores de temperatura.

El objetivo de observacion en este trabajo de tesis, es la reconstruccion asintoticade los estados, por lo que un tiempo de muestreo mayor no representa un incrementoen el valor de la norma del error que deba ser considerado. Con la eleccion del tiempode muestreo en 2.5 min la estimacion de las fracciones molares en cada uno de losplatos de la columna de destilacion se lleva a cabo de una manera adecuada.

4.5. Evaluacion del error

El error del observador continuo discreto propuesto fue evaluado para los experi-mentos descritos anteriormente. Este error se determino mediante la aplicacion de laformula:

ε =

(N∑

j=1


Texp

∣∣∣∣ /N)∗ 100 (4.5.1)

4.5 Evaluacion del error 109

Para la evaluacion del desempeno del observador a traves del calculo del errorpromedio (dado por la Ec. (4.5.1), se tomaron en cuenta los parametros obtenidos dela evaluacion de θ y del tiempo de muestreo k∆t en las secciones anteriores.

Tanto para el experimento No. 1 como el experimento No. 2, los parametros delobservador se describen en la siguiente tabla:

Tabla 4.7: Parametros del observador para la evaluacion del error

Parametro Valor

tmuest 2.5 minθ 0.3δ1 0.1δ2 0.71r1 10r2 30

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales y las entradas respectivas de cadaexperimento, se presenta a continuacion la Tabla 4.8 que relaciona el error promediode cada una de las etapas de la columna de destilacion.

Para el Experimento No. 1 se consideraron tres epocas para la evaluacion del error;la primer epoca (ε1 %) corresponde a la evaluacion del error en el estado estable delsistema, es decir, antes de aplicar el cambio en la entrada del reflujo al minuto 24. Laseguna epoca (ε2 %) se considera desde el instante en que se presenta el cambio enel reflujo en el minuto 24 y va hasta el momento en que se considera el sistema salede este transitorio, como se aprecia en las Figs. 4.3 - 4.5, es aproximadamente en elminuto 43. La tercer epoca (εtotal %) se considera desde este instante (43 min.) y vahasta el final de la prueba.

Como se aprecia en la Tabla No. 4.8, el menor error se presenta en el hervidordespues de que el sistema ha salido del transitorio (al haber aplicado el cambio enel reflujo). En general para esta prueba, el error durante el periodo en el que lasconcentraciones se ven afectadas por este cambio (del minuto 24 al minuto 42 aproxi-madamente) es bajo, lo que representa que el observador propuesto estima de unaforma adecuada a pesar de las perturbaciones que puedan ser aplicadas al sistema.

De igual forma para el Experimento No. 2 se consideraron tres epocas para laevaluacion del error; la primer epoca (ε1 %) corresponde a la evaluacion del error en


Tabla 4.8: Evaluacion del error en el Experimento No. 1

Etapa εtotal % ε1 % ε2 % ε3 %Condensador 4.8976 4.9113 2.5799 0.4203Plato 2 3.3113 3.2941 1.7773 0.2655Plato 3 2.7368 2.3469 1.6892 0.1806Plato 4 2.9203 2.8194 1.6184 0.2246Plato 5 3.0627 3.4238 1.4283 0.2794Plato 6 2.8999 3.3593 1.3090 0.2534Plato 7 3.3000 3.4890 1.6862 0.2531Plato 8 4.0534 4.1147 2.1554 0.3078Plato 9 5.1386 5.8690 2.3054 0.4981Plato 10 3.7023 5.2039 1.9341 0.3051Plato 11 3.1352 3.9842 2.0174 0.1391Hervidor 2.2613 6.7603 0.1815 0.0450

el estado estable del sistema, es decir, antes de aplicar el cambio en la entrada delreflujo al minuto 13.5, la seguna epoca (ε2 %) se considera desde el instante en que sepresenta el cambio en el reflujo en el minuto 13.5 y va hasta el momento en que seconsidera el sistema sale de este transitorio, como se aprecia en las Figs. 4.7 - 4.9, esaproximadamente en el minuto 38. La tercer epoca (εtotal %) se considera desde esteinstante (38 min.) y va hasta el final de la prueba.

Tabla 4.9: Evaluacion del error en el Experimento No. 2

Etapa εtotal % ε1 % ε2 % ε3 %Condensador 1.3378 0.5660 1.3142 0.1343Plato 2 1.2158 0.5701 1.2156 0.0931Plato 3 2.0643 0.7421 2.3049 0.0658Plato 4 3.3384 1.0002 3.8943 0.0486Plato 5 4.9421 1.4857 5.8103 0.0640Plato 6 5.3336 1.3815 8.5785 0.1288Plato 7 6.3572 1.2320 7.2938 0.0803Plato 8 7.2540 1.4559 7.2110 0.1307Plato 9 5.9265 2.3656 6.6735 0.2107Plato 10 6.3971 3.2879 6.4006 1.2554Plato 11 7.3060 3.5616 5.4788 3.1476Hervidor 2.9248 2.7770 0.1743 0.0197

Como se aprecia en la Tabla No. 4.9 para el experimento No. 2, el error duranteel periodo en el que las concentraciones se ven afectadas por el cambio en el reflujo esun poco mas alto que en la prueba anterior y es precısamente a que el observador noalcanza al sistema sino hasta que va saliendo del transitorio provocado por el cambioen una de las entradas, (como se aprecia en las Figs.4.7 - 4.9). Sin embargo, el error

4.6 Conclusiones 111

evaluado al final de la prueba es muy pequeno en comparacion con las primeras dosepocas consideradas.

4.6. Conclusiones

En este capıtulo se presento un observador continuo-discreto para una clase desistemas no lineales MISO. Con el uso de un modelo apropiado desarrollado y valida-do experimentalmente en una planta piloto de destilacion para una mezcla binaria selogra el diseno del observador deseado.

Se desarrollo la extension de un observador de alta ganancia constante al casocontinuo-discreto, para estimar las concentraciones molares del componente ligero enuna columna de destilacion. Se comprueba experimentalmente que su desempeno esmejor que el del caso puramente discreto.

Se realizo la validacion del observador propuesto con experimentos en tiempo realpara un proceso de destilacion por lotes (sin alimentacion). En este caso el sistemadifıcilmente alcanza el estado estable, a pesar de esto, el desempeno del observadorpropuesto es bueno ya que sigue el comportamiento de las variables (concentraciones)a lo largo de toda la prueba incluso cuando se presentan los cambios en las entradas.

Una de las principales ventajas del modelo y del observador es que se basan uni-camente en las mediciones de temperatura. Un aspecto importante en el observadorpropuesto, es su ganancia, que por ser constante no necesita resolver un sistemadinamico para la sintonizacion de sus parametros, lo que permite implementarlo fa-cilmente en un proceso en tiempo real.

Se realizaron pruebas experimentales que permitieron evaluar el desempeno delobservador con diferentes tiempos de muestreo, de esta manera se comprueba que elobservador continuo-discreto es una alternativa para procesos en los que la dinamicaes lenta, como es el caso de la columna de destilacion.

Capıtulo 5

Conclusiones generales

En esta tesis se diseno un observador de alta ganancia constante continuo-discretoque fue implementado en una columna de destilacion para estimar las fracciones mo-lares del componente ligero de la mezcla binaria etanol-agua (considerada una mezclano ideal), a partir de la medicion de las temperaturas disponibles en la planta.

El objetivo de observacion es construir un sistema dinamico a partir de las medi-ciones disponibles en lınea del proceso de destilacion (temperaturas), es decir, lareconstruccion de los estados (concentraciones molares) de forma asintotica. Para es-ta estimacion de variables no es necesaria una transformacion de coordenadas debidoa la dependencia de los estados con respecto a los anteriores, es decir, la dinamicapropia del sistema hace que el modelo que utiliza el observador, pueda presentarse enuna estructura triangular de observabilidad comprobada (Hammouri et al., 2002).

Dicho observador utiliza un modelo termodinamico que establece el equilibrio defases los componentes de la mezcla, y un modelo matematico del sistema no lineal,ajustado a las caracterısticas fısicas de la planta piloto del CENIDET.

En las columnas de destilacion, es necesario disponer de datos del equilibriolıquido-vapor o de correlaciones para poder estimarlos adecuadamente, para el ca-so de estudio dado en este trabajo, estas relaciones son funciones no lineales (debidoa la no idealidad de la mezcla) entre la temperatura, la presion y la composicion; poresta razon, para la formulacion del modelo termodinamico se desarrollo un algoritmobasado en las ecuaciones de Antoine y Van Laar que relacionan dichas funciones ypermiten determinar el equilibrio de fases de la mezcla etanol-agua.

Para solucionar el problema de equilibrio lıquido-vapor fueron calculadas algunasvariables del conjunto T, P, x, y, mientras que otras fueron consideradas conocidas.

112

113

Para la mezcla dada (etanol-agua), el numero de variables fue fijado para que el sis-tema quedara completamente definido. En este caso, se consideraron la temperaturay la presion iguales en ambas fases (lıquido y vapor), y las fracciones molares (x, y)fueron calculadas por algoritmos que calculan los puntos de burbuja y rocıo, conoci-das como las relaciones fundamentales para establecer el equilibrio entre fases.

De esta forma, se concluye que el modelo de Van Laar describe adecuadamenteel comportamiento del equilibrio lıquido-vapor del sistema etanol-agua, aun en elazeotropo. Igualmente hay que senalar que los resultados arrojados por el algoritmoaquı desarrollado, son muy cercanos a los datos experimentales registrados en la lite-ratura (Gmehling, 1988).

La evaluacion del modelo descrito se llevo a cabo en una planta piloto mediante ladestilacion de una mezcla binaria no ideal (etanol-agua). La verificacion de la proxi-midad del modelo con el proceso real se realizo mediante la comparacion de las medi-ciones de temperatura disponibles en algunas etapas de una columna de destilacion,a traves de sensores RTD instalados en los platos 1,2,4,6,7,9,11 y 12. Posteriormenteestos datos fueron utilizados para el calculo de las fracciones molares lıquidas delcomponente ligero. La precision del modelo fue evaluada cuantitativamente medianteun parametro de error que depende de las restricciones dadas en las suposiciones demodelado.

En la validacion experimental del modelo, fue evaluada su respuesta ante cambiosaplicados en las entradas. Los resultados de esta evaluacion permiten concluir que entodas las etapas de la columna de destilacion la respuesta cualitativa y cuantativadel sistema fue correcta, cumpliendo satisfactoriamente el balance global de materiay el balance de componente en experimentos reales. Estos resultados obtenidos sonsuficientes para determinar que el modelo puede ser utilizado tareas de observacion.

A partir del modelo propuesto se realizo el diseno de un observador continuo-discreto, para una clase de sistemas no lineales MISO. Con este fin, se realizo elestudio de diferentes observadores no lineales disenados para columnas de destilacion,se evaluo su desempeno de acuerdo a descrito por los autores y la facilidad de imple-mentacion en lınea con el proceso. De acuerdo a este estudio se eligio el observador dealta ganancia constante presentado en el trabado de (Hammouri et al., 2002), comoel mas adecuado para ser llevado a su version continuo-discreta e implementado enuna columna de destilacion.

114 Conclusiones generales

En el proceso experimental, las temperaturas disponibles en la planta fueron re-gistradas y despues empleadas en la validacion del modelo y del observador. La esti-macion de las concentraciones se realizo para todas las etapas de la columna, por loque el observador disenado es de orden completo.

Una de las principales ventajas del observador aquı disenado, es su ganancia cons-tante, por lo que sintonizarlo es una tarea sencilla que depende unicamente de laeleccion de parametros constantes que satisfacen algunas desigualdades algebraicaspreviamente establecidas.

El desempeno del observador fue evaluado mediante pruebas experimentales endestilacion por lotes (tipo batch), donde se demostro que con una adecuada eleccionde los parametros de calibracion y un tiempo de muestreo, se logran mejores estima-ciones en cuanto a los tiempos de convergencia y robustez ante posibles cambios enlas entradas.

Como se dijo anteriormente, el modelo que utiliza el observador puede ser pre-sentado en una estructura triangular que se forma de la dependencia de un estadocon respecto a los estados anteriores. La estructura planteada por Hammouri et. al.,(2002), es muy util en el proceso de la columna de destilacion binaria, ya que seconsideran las no linealidades del sistema sin necesidad de una transformacion decoordenadas.

Esta estructura de forma triangular permite que el sistema pueda ser dividido endos partes (superior e inferior) y la tarea de estimacion en cada una de ellas corres-ponda a una medicion disponible; esto es, en la seccion superior de la columna elalgoritmo de observacion utiliza la medicion disponible del condensador y a su vez,en la seccion inferior la estimacion se realiza con base en la medicion disponible en elhervidor.

Debido a esto, es posible entonces incluir otra medicion (puede ser en el platomas sensible) y en ese caso, la columna se dividirıa en tres partes manteniendo ladependencia de los estados y la estructura triangular que garantiza la observabilidaddel sistema y que a su vez, el observador siga siendo de orden completo.

A traves de la evaluacion del desempeno del estimador en simulacion y experimen-talmente, es posible implementar un observador de alta ganancia continuo-discretopara estimar concentraciones en una columna de destilacion. Para este caso, resultamuy sencilla la sintonizacion del observador debido a que su ganancia es constante ylos parametros de ajuste para calcularla se encuentran acotados; lo anterior permite

115

que el observador propuesto en este trabajo pueda ser utilizado en lınea con el proceso.

Para implementar el algoritmo de observacion de alta ganancia constante pro-puesto en el trabajo de Hammouri et. al., (2002) y realizar su extension al casocontinuo-discreto, el muestreo de la senal fue hecho en el tiempo k∆t, donde k co-rresponde al instante de tiempo en el que se tomo la muestra (dato de temperatura)y ∆t corresponde a los periodos en los que se realizan las mediciones; para el casode la planta piloto de destilacion del CENIDET, ∆t = 3s y representa el intervalo detiempo en el que se toman datos de los sensores de temperatura.

En la version puramente discreta del observador k y ∆t tienen el mismo valor,es decir, el instante de muestreo es el mismo que el de la medicion. Se compruebaentonces, que el observador de alta ganancia continuo-discreto mantiene el mınimoerror en comparacion con su version discreta a pesar de usar menos datos en la im-plementacion del algoritmo.

Ası mismo y a partir de varias pruebas experimentales en la columna de desti-lacion, fueron evaluados diferentes valores para los parametros de la ganancia delobservador, con el fin de encontrar los datos que le permitieran un mejor desempeno.Principalmente se considero el valor de θ que interviene directamente en el tiempode convergencia del observador y en el maximo tiempo de muestreo k posible; estaevaluacion se realizo con en fin de obtener una ganancia K que no afectara el errorde estimacion (en comparacion con el observador puramente discreto) y que a su vezdisminuyera la carga computacional requerida para el desarrollo del algoritmo de ob-servacion propuesto.

Se concluye entonces que la hipotesis planteada en en Capıtulo 1 de esta tesis secumple, ya que el observador continuo discreto mantiene un mınimo error a pesar deusar menos datos en la implementacion del algoritmo que el caso puramente discreto,ademas presenta un mejor seguimiento de la dinamica del proceso en lazo abierto(destilacion por lotes).

En las pruebas experimentales, la estimacion de la concentracion en el estado 1 (elcondensador) es crıtica debido a que en el modelo propuesto no se consideraron lascaracterısticas fısicas de esta etapa de la columna y adicionalmente, las temperaturasdisponibles para la implementacion del observador, no se encuentran precısamente enel condensador sino que el sensor (fısicamente en la planta) esta abajo de el. Desde lavalidacion del modelo propuesto en el Capıtulo 2 de esta tesis es posible apreciar estacondicion, y aunque el observador disenado intenta disminuir el error, no lo logra acabalidad.

116 Conclusiones generales

Dentro de los aportes principales de este trabajo, es que el observador esta apli-cado a una clase de sistemas no lineales MISO y a mezclas binarias no ideales, loque representa un mejor desempeno y una mejor representacion del comportamientodinamico de la planta real. El buen acercamiento entre los estados estimados y losvalores proporcionados por el modelo (a partir de las mediciones de temperatura dela planta), permite concluir que el observador continuo-discreto presentado puede serutilizado para futuros trabajos sobre estrategias de control avanzadas para columnasde destilacion.

5.1. Trabajos futuros

Diferentes tematicas pueden seguirse investigando a partir de este trabajo, prin-cipalmente se consideran los siguientes topicos:

☞ El modelo de la columna de destilacion presentado en el Capıtulo 3 es no linealy bastante aproximado para la planta piloto del CENIDET, sin embargo es unmodelo simplificado apto para estrategias de observacion. Es factible entonces,realizar un modelo mas complejo que considere otros aspectos como pueden serlas caracterısticas fısicas del hervidor y del condensador principalmente, y deesta forma mejorar la estimacion de las fracciones molares en estos puntos.

☞ Otros aspectos que pueden tenerse en cuenta en el modelo son: las perdidasde calor al medio ambiente, el establecimiento de un balance de energıa con-siderando parametros en los que se tiene incertidumbre, como la eficiencia deMurphree y calcular los que no se conocen, como el coefciente de burbujeo enlos platos, entre otros.

☞ Es posible tambien considerar el diseno de un estimador donde se incluya otramedicion, se plantea realizar un estudio de sensitividad donde se determine cuales el plato mas sensible de la columna de destilacion y, usando esta medicionjunto con las temperaturas del condensador y el hervidor, plantear un modelocon estructura triangular que conlleve al diseno de un observador que siga siendode orden completo.

☞ El observador aquı disenado y probado, puede ser utilizado en tareas de controlde procesos, diagnostico y aislamiento de fallas, supervision y ayuda al operarioentre otras, por lo que se recomienda su uso en el desarrollo de alguna de estastecnicas.

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122 BIBLIOGRAFIA

Anexo A. Condiciones de operacion

Este apendice muestra los parametros utilizados en los experimentos realizadospara la validacion de este trabajo de tesis. La Tabla A.1 muestra las caracterısticasfısicas de la planta piloto de destilacion en la cual fueron realizadas las pruebas.La Tabla A.2 muestra las propiedades termodinamicas de la mezcla binaria no idealEtanol-Agua y finalmente la Tabla A.3 muestra las condiciones iniciales utilizadas enlos experimentos.

Tabla A.1: Caracterısticas fısicas de la planta piloto de destilacion

Descripcion Valor Unidades

Etapas (N) 12 –Platos perforados 10 –Plato de alimentacion (f) 7 –Diametro de los platos 10 cmAltura de los platos 10 cmDiametro del vertedero 0.5 cmCapacidad del hervidor 6 LCapacidad del tanque recolector de destilado 1 LPotencia termiresistencia de calentamiento 0-2500 watts

Tabla A.2: Propiedades termidinamicas de los componentes de la mezcla etanol-agua

Parametro Etanol Agua Unidades

Densidad (ρi) 0.789 1 g/cm3

Peso molecular (Wi) 46.069 18.01528 gTemperatura de ebullicion (Tbi

) 78.4 100 oCCalor especıfico (Cpj

) 0.1124 0.192 kJ/mol oCConstante Antoine Ai 8.1120 8.07131 –Constante Antoine Bi 1592.864 1730.630 –Constante Antoine Ci 226.184 233.426 –

Tabla A.3: Parametros iniciales de las pruebas

Parametro Valor Unidades

Volumen de EtOH en el hervidor 2000 mlVolumen de H2O en el hervidor 2000 mlPotencia suministrada al hervidor 1000 wattsFlujo del lıquido de enfriamiento 250 L/hora

Anexo B Descripcion de los programas 123

Anexo B. Descripcion de los programas

En este apendice se hace una breve descripcion de los programas utilizados paralas simulaciones y la reproduccion de las graficas de este trabajo.

Anexo B.1. El modelo de la columna de destilacion

La programacion del algoritmo que reproduce el modelo no lineal de la columnade destilacion del CENIDET, se realizo con el software Matlabr v. 7.2.

La Fig.5.1, presenta el algoritmo que se desarrolla a traves de funciones progra-madas en archivos .m. Dicho procedimiento consiste en cargar una funcion Parame-tros.m que contiene las constantes que representan caracterısticas fısicas de la planta,las condiciones termodinamicas de los componentes, las condiciones de operacion yaquellas variables y vectores que deben ser declaradas para el desarrollo del algoritmo.

Fig. 5.1: Diagrama de flujo del modelo no lineal

124 BIBLIOGRAFIA

Luego son cargadas las entradas fısicas reales de la planta, que se importan directa-mente del Software de la Planta Piloto de Destilacion (SPPD) modificado por (Tellezet al., 2007). Dichas entradas son guardadas en un archivo llamado Entradas.m, yse ejecuta en el programa principal.

Posteriormente son establecidas las condiciones iniciales correspondientes a lasmasas retenidas en estado estable previamente calculadas como se indico en el Capı-tulo 3 de este trabajo, y las condiciones iniciales de las concentraciones iniciales quese obtienen del algoritmo de calculo de punto de burbuja, calculadas fuera de lınea auna presion establecida.

Como sigue, se realiza el calculo iteractivo de las temperaturas a partir del algo-ritmo del calculo de burbuja que es incluido en un ciclo que actua tantas veces comodatos se tengan. Con el uso de estas temperaturas y con los parametros constantesson calculadas las fracciones molares de vapor.

Si es el caso, se cargan entonces las condiciones de alimentacion. Es decir, estafuncion solo ingresa al algoritmo si la destilacion es continua, en ese caso seran inclui-das en las ecuaciones posteriores, el flujo y la calidad de la alimentacion.

Se calculan entonces las seis tasas molares de lıquido y vapor, las cuales varıan encada estado. Teniendo en cuenta la informacion de los calculos anteriores, los flujosmolares con respecto al componente ligero se obtienen en esta instancia del algoritmo.

Para cada una de las etapas de la columna (condensador, 10 platos y hervidor),son calculados los balances de materia y componente que hacen parte del grupo deecuaciones diferenciales del modelo, que fueron descritas en el Capıtulo 3.

Finalmente y aplicando el metodo de integracion de Euler, son determinadas lasconcentraciones molares a partir de las temperaturas dadas en el algoritmo del calculode burbuja. Para el observador disenado en esta tesis, este modelo fue usado con elfin de determinar las fracciones molares del componente ligero y ser comparadas asıcon aquellas determinadas a partir de las temperaturas reales suministradas por laplanta.

Anexo B.2. El observador de alta ganancia constante

De la misma forma en la que el modelo de la columna de destilacion es planteado,se desarrollo el algoritmo para el observador de alta ganancia disenado en este trabajo.

Anexo B Descripcion de los programas 125

Previamente al desarrollo de este algoritmo, son establecidos los parametros cons-tantes del observador con el fin de determinar las ganancias para cada una de lasetapas. Y bien, como el observador es llamado de alta ganancia constane, este calculose realiza una unica vez al principio del algoritmo.

Adicionalmente al modelo de la columna y en el bloque en el que se establece elcalculo de las concentraciones molares a partir del balance de componente, posteriora el, es agregado un modulo en el cual se establece la interaccion de la ganancia delobservador (factor de correccion), dado por la diferencia de las concentraciones sumi-nistradas por el modelo y aquellas calculadas por el observador.

A diferencia que los observadores puramente discretos, este factor de correccion noentra en el algoritmo en cada iteraccion de los datos sino que lo hace ocasionalmente,es decir, se establece un periodo de muestreo para el observador, diferente al tiem-po que se usa para la integracion de las ecuaciones diferenciales. De esta manera, selogra que el observador continuo-discreto tenga las dos etapas: de prediccion, guiadounicamente por el modelo y la de correccion.

Finalmente y usando los datos de las concentraciones molares dadas por el mo-delo (alimentado por las temperaturas reales suministradas por la planta) y por elobservador (que usa el algoritmo del calculo del punto de burbuja), se establece laevaluacion de la norma euclidiana del error como se explico en el Capıtulo 4 de estetrabajo.

Una vez es encendida la planta de destilacion tarda aproximadamente 15 minutospara alcanzar su estado estable, se debe tener en cuenta que los datos utilizados eneste trabajo, desprecian esta dinamica previa.

126 BIBLIOGRAFIA

Anexo C. Controlador PI

Como la mayorıa de los procesos quımicos, una columna de destilacion tiene uncomportamiento no lineal, cuyo modelo a menudo es linealizado alrededor de un pun-to de operacion. Esta practica requiere que el sistema opere en una region que puedeno ser la opcion mas economica o segura.

Ademas de la no linealidad inherente, una columna de destilacion cuenta conmultiples entradas, multiples salidas y la presencia de perturbaciones. Estas carac-terısticas hacen que el proceso requiera estrategias de control avanzadas, algunas delas cuales estan basadas en conceptos de geometrıa diferencial (Isidori, 1996).

Dentro de estos conceptos, encontramos los sistemas de control realimentados tam-bien llamados sistemas de control en lazo cerrado. En un sistema de control en lazocerrado, se alimenta al controlador la senal de error de actuacion, que es la diferenciaentre la senal de entrada y la senal de realimentacion (que puede ser la senal de salidamisma o una funcion de la senal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin dereducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente.

El termino control en lazo cerrado siempre implica el uso de una accion de controlrealimentado para reducir el error del sistema (Ogata, 1998).

Entonces el trabajo del controlador es comparar la senal del proceso con aquellasenal deseada a la salida y a partir del error dado, aplicar un factor de correccion,que a su vez actuara sobre un elemento (actuador) que hara variar algun parametroque ira disminuyendo dicho error.

Existen tres tipos basicos de controladores comunmente usados para sistemas decontrol realimentados, en este estudio se desarrolla un controlador PI, por lo que solose hara referencia al control proporcional e integral.

Anexo C.1. Controladores de accion proporcional

Un controlador realimentado de accion proporcional unicamente, cambia sus senalesde salida (CO) proporcionalmente y en la direccion de la senal de error (ε), que esla diferencia entre la salida medida (PM) proporcionada por el sistema y la salidadeseada (SP).

CO = bias±Kc(SP − PM) (Anexo C.1)

El bias es una senal constante y es el valor de la salida del controlador cuando no

Anexo C Controlador PI 127

existe error. Kc es llamada ganancia del controlador, entre mayor sea, la salida delcontrolador debera cambiar mas rapido con respecto al error dado.

La ganancia puede ser elegida positiva o negativa, de acuerdo al elemento sobre elcual va a actuar el controlador. Una ganancia positiva da como resultado un decre-mento en la salida del controlador cuando las mediciones del proceso incrementan, enel caso contrario, una ganancia negativa incrementa la salida del controlador cuandolas mediciones del proceso incrementan, por este hecho, este controlador es llamadode accion directa (Luyben, 1992).

Anexo C.2. Controladores de accion integral

La accion proporcional mueve el controlador directamente en proporcion a la mag-nitud del error. La accion integral mueve el controlador de acuerdo al tiempo integraldel error:

CO = bias +1

τi

∫E(t)dt (Anexo C.2)

donde τi es el tiempo integral o el tiempo de reset con unidades en minutos. Comoen este caso el error puede ser positivo o negativo, la integral del error conduce lasalida del controlador hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de la accion del con-trolador (inversa o directa).

El proposito basico de la accion integral el conducir el proceso hacia la salida de-seada, aun cuando el sistema ha sido sometido a perturbaciones.

Anexo C.3. Controlador proporcional-integral

La combinacion de estos dos tipos de control da como resultado un controladorproporcional-integral (PI), que en procesos es muy comun. En este tipo de contro-ladores la accion integral elimina el error en estado estable. Un pequeno tiempo inte-gral hara que el error sea rapidamente reducido.

Para el caso de la columna de destilacion se disena un controlador PI, sabado en lasmediciones de las concentraciones suministradas por el observador de alta ganancia ylas concentraciones molares deseadas en el producto de fondo (x12) y en el productodestilado (x1).

128 BIBLIOGRAFIA

Dicho controlador estara actuando directamente sobre la potencia calefactora quesuministra energıa al hervidor, puesto que de esta variable depende el flujo molar devapor en la seccion de empobrecimiento (Vs). De esta manera es posible obtener laconcentracion deseada en el hervidor.

Por otro lado, se desarrolla un sistema ON-OFF que controla la valvula de reflujo,de la que depende el flujo molar lıquido en la seccion en enriquecimiento (LR), ası esposible controlar la pureza (concentracion molar) del producto destilado.

El controlador PI disenado en el primer caso es de la forma:

Qb = bias + KPI

(1 +

1

τi

)(Anexo C.3)

Los controladores aquı disenados son probados unicamente en simulacion como semuestra a continuacion.

Anexo C.4. Controlador PI para la columna de destilacion

En una columna de destilacion es requerido controlar al menos las siguientes va-riables:

- La presion.

- Los flujos de lıquido y vapor.

- La temperatura.

- El nivel de los lıquidos (producto de fondo, de alimentacion y destilado).

Lo anterior con el fin de obtener un producto destilado de mayor pureza, un pro-ducto de fondo con un mınimo de producto destilado, evitar gastos innecesarios deenergıa, mantener un control de reflujo adecuado y mejorar la operacion del proceso.

Sin embargo, no todas las variables son independientes lo que dificulta su control.Es por eso que solo a algunas de ellas es posible especificar su valor, lo que hace quelas demas queden fijas.

La ley de control utilizada es del tipo proporcional-integral donde se controla di-rectamente la potencia que es suministrada al hervidor (Qb), de esta forma se logramanipular la tasa de flujo de vapor en la seccion de empobrecimiento de la columna.Se establecen entonces un grupo de ecuaciones que modelan el algoritmo de control.


La senal de control proporcional al error es:

Scp = Kpe(t) (Anexo C.4)

La parte integral del algoritmo esta definida como:

Sci(t) =Kp

Ki

∫e(t)dt (Anexo C.5)

Derivando se obtiene que:

dSci(t)

dt=

Kp

Ki

e(t) (Anexo C.6)

Y sustituyendo la Ec.(Anexo C.4) en la Ec. (Anexo C.6) se tiene la expresion dela derivada de la senal de control integral:

dSci(t)

dt=

Scp

Ki

(Anexo C.7)

La senal de control total Sc, es por lo tanto, la suma de la parte proporcional yde la parte integral del error:

Sc(t) = Scp(t) + Sci(t) (Anexo C.8)

Para transformar la senal de control en el cambio de las variables manipuladas,se considera que estas pasan a traves de un actuador de primer orden, el cual defineuna respuesta dinamica para las mismas de la siguiente manera:

dy

dt=

Sc − y

τ(Anexo C.9)

De esta forma se logra controlar la potencia dada al hervidor a partir de la accionde control sobre la variable Qb. La Fig.5.2 muestra la dinamica de la concentracion enel hervidor bajo la accion de la ley de control y cuando es agregada la alimentacional minuto 70.

Para probar el desempeno del controlador sobre la variable manipulada Qb, seaplica un cambio en el reflujo (lo que afecta las temperaturas en todos los platos dela columna), de esta manera el controlador intenta compensar este cambio para man-tener la concentracion molar del hervidor (variable controlada) en el valor deseado.

En este caso dicho valor deseado es de x12 = 0.13, sin embargo difıcilmente esalcanzado este valor a pesar de la accion del controlador, debido a que la variablecontrolada Qb afecta muy poco dicha concentracion, lo que sugiere que la gananciadel controlador debe ser muy grande (del orden de 10000), haciendo lenta la labor de

130 BIBLIOGRAFIA

Fig. 5.2: Concentracion en el hervidor

correccion. La Fig. 5.3, muestra la variacion de Qb por la accion del controlador.

Fig. 5.3: Variacion de Qb por accion del controlador PI

Para el caso del control sobre la concentracion del producto destilado, el valordeseado es x1 = 0.87. Esta concentracion es afectada directamente por la tasa de flujolıquido de la zona de rectificacion (LR), la variable que debe ser manipulada es elreflujo. Fısicamente el reflujo es una valvula ON-OFF, por lo que se disena un controlde este tipo que permite la apertura o cierre segun se requiera.

Cuando se aumenta la potencia calefactora Qb se acelera el proceso de evaporacionde la mezcla que hay en el hervidor, de esta manera, si la valvula de reflujo se encuen-tra en operacion (no hay reflujo total); esto significa una mayor cantidad de productodestilado en un tiempo menor, a la vez, la pureza del destilado disminuye ya que elvapor que asciende hacia el condensador arrastra una mayor cantidad de vapor de


Fig. 5.4: Concentracion en el destilado

agua. Aprovechando este comportamiento, una forma de afectar la concentracion enel condensador es precısamente aumentanto la potencia calefactora.

La Fig. 5.4 muestra que la concentracion del producto destilado se mantiene osci-lando sobre el valor deseado, dicha oscilacion se presenta porque la variable medidausada como referencia es la que proporciona el observador, que por ser continuo-discreto en el momento en que este realiza el muestreo sobre la planta, presenta dichaoscilacion. Ademas tambien influye en este caso, el hecho de que precısamente lavalvula sea ON-OFF. La respuesta de esta valvula ante el controlador se presenta enla Fig. 5.5:

Fig. 5.5: Variacion de R por accion del controlador ON-OFF

Con lo anterior es posible concluir que las concentraciones estimadas por el obser-vador son aptas para su uso en tareas de control en lazo cerrado, de la columna de

132 BIBLIOGRAFIA

destilacion. La evaluacion del desempeno del controlador PI y del controlador ON-OFF fue realizada mediante simulaciones numericas donde el proceso a controlar fuerepresentado por el modelo no lineal obtenido para una columna de destilacion. Losestados requeridos por la ley de control fueron los estimados por un observador dealta ganancia continuo-discreto.

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TESIS DE MAESTR´IA EN CIENCIAS - CENIDET...realizan para todas las etapas de la columna, por lo que el observador disen˜ado es de orden completo. El observador continuo-discreto