Tesis Master Luis Handal Rivera

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Grupo de Hormigón Estructural

MÉTODO PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE PILAS

ESBELTAS EN PUENTES

TRABAJO FIN DE MÁSTER

Autor: Luis Carlos Handal Rivera

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Tutor: Hugo Corres Peiretti

Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Año Académico 2013/2014

RESUMEN

En la actualidad los métodos simplificados para el dimensionamiento de pilas esbeltas en puentes

propuestos por la normativa, EHE-08[3], Eurocódigo [7] y el Model Code[8], dan a lugar dimensionamientos

muy por del lado de la seguridad, produciendo esto un desperdicio de acero y muchas veces dificultades

constructivas al tener cuantías muy elevadas en las secciones de las pilas. Estos métodos proponen de una

manera simplificada adoptar la pila como un elemento aislado, y mediante métodos de magnificación de

momentos estimar los esfuerzos de segundo orden.

El presente trabajo analiza la importancia de considerar la aportación que tiene la vinculación de las pilas

con el resto de la estructura, los efectos que produce son muy importantes y es recomendable que no

queden desapercibidos.

Se aborda también la importancia de un buen entendimiento del funcionamiento del puente para

proyectar, ya que muchas veces se cuenta con información importante que no es aprovechada por el

proyectista para que, en lugar de solucionar problemas, se logre evitarlos mediante un desarrollo del

proyecto que los tome en cuenta.

El método propuesto se desarrolla teniendo en cuenta de una manera simplificada la no linealidad mecánica

y la no linealidad geométrica además de tener en cuenta la vinculación con el tablero y los efectos que este

produce sobre el comportamiento de las pilas.

Al partir de un análisis global de la estructura se elimina la necesidad de asemejar el soporte a un soporte

biarticulado equivalente y la comprobación de la esbeltez límite del elemento ya que esto se está tomando

en consideración al incluir todas las variables que afectan el comportamiento de las pilas.

Los problemas de inestabilidad presente en las pilas esbeltas supone tener en cuenta la no linealidad

geométrica, el efecto de las deformaciones en el equilibrio, y la no linealidad mecánica, la cual considera

una pérdida de rigidez por el comportamiento no lineal de los materiales involucrados en las pilas y tablero.

Se parte de un análisis lineal de la estructura para lograr un buen entendimiento del comportamiento global

de la misma, con estos resultados se hace una estimación de una rigidez equivalente desarrollada en el

apartado 5.3 del presente documento, la no linealidad geométrica que afecta a las pilas se considera a través

de la incorporación de la matriz geométrica a la matriz de rigidez global de la estructura.

Mediante una serie de ejemplos se da a conocer los resultados de la aplicación del método que con su

aplicación reduce significativamente las cuantías de armadura en las pilas conservando siempre un factor

de seguridad adecuado para el proyecto.

Con este trabajo se consigue demostrar que la interacción entre las pilas y el resto de elementos presentes

en el puente tiene una gran importancia, demostrando también la dificultad de representar

simplificadamente esta interacción.

El procedimiento que se aporta es ingenieril y requiere sobre todo el buen entendimiento de un modelo

elástico lineal para analizar el comportamiento y proyectar en consecuencia.

AGRADECIMIENTOS

Primeramente Gracias a Dios por ser guía y sustento en mi vida y a Jesús por habernos hecho más grande

demostración de amor, por eso y mucho más es mi ejemplo a seguir.

A mis padres y abuelos, sin su dedicación, amor, paciencia y determinación ningún logro en mi vida se pudo

haber llevado a cabo.

A todos los que de una forma u otra contribuyeron con esta investigación, haciendo muy especial mención

a mi tutor de trabajo Hugo Corres, que gracias a su apoyo, interés, horas de dedicación y aportación de ideas

se pudo llevar a cabo esta investigación. Con agradecimientos especiales también a Freddy Ariñez,

compañero del laboratorio por su apoyo y ayuda a lo largo del desarrollo del trabajo.

I

ÍNDICE

1 INTRODUCCIÓN _______________________________________________________ 1

2 OBJETIVOS ____________________________________________________________ 2

3 SÍMBOLOS ____________________________________________________________ 2

4 INTRODUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO DE PILAS ESBELTAS DE PUENTES __ 2

4.1 Pandeo Euleriano __________________________________________________________ 2

4.2 Comportamiento de Soportes Esbeltos de Hormigón __________________________ 4

4.3 Dimensionamiento de Soportes Esbeltos de Hormigón __________________________ 5 4.3.1 Determinación de la Longitud de Pandeo ______________________________________________ 5 4.3.2 Límites de Esbeltez ______________________________________________________________ 6 4.3.3 Fórmulas Simplificadas de la EHE-08 __________________________________________________ 7 4.3.4 Fórmulas Simplificadas de Dimensionamiento del Eurocódigo ______________________________ 7 4.3.5 Columna Modelo _______________________________________________________________ 9

4.4 Métodos de Análisis Global de la Estructura __________________________________ 10 4.4.1 Análisis Global de la No Linealidad Geométrica. Método de la Matriz Geométrica ______________ 10 4.4.2 Análisis Global No Lineal Geométrico y Mecánico de la Estructura __________________________ 16

5 PROCEDIMIENTO PROPUESTO _________________________________________ 20

5.1 Diagrama de Flujo del Procedimiento Propuesto ______________________________ 21

5.2 Principios Generales del Análisis No Lineal Geométrico y Mecánico Propuesto ____ 22

5.3 Definición de la Rigidez Equivalente _________________________________________ 23

6 APLICACIÓN DEL MÉTODO ____________________________________________ 29

6.1 Ejemplo 1 _______________________________________________________________ 32

6.2 Ejemplo 2 ______________________________________________________________ 69

6.3 Ejemplo 3 ______________________________________________________________ 87

6.4 Ejemplo 4 ______________________________________________________________ 108

6.5 Ejemplo 5 ______________________________________________________________ 139

7 CONCLUSIONES _____________________________________________________ 167

8 PROPUESTAS DE TRABAJO FUTUROS __________________________________ 168

9 BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 169

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 4-1 Formas de Pandeo ___________________________________________________________________ 3 Figura 4-2 Hipérbola de Euler __________________________________________________________________ 4 Figura 4-3 Soporte Biarticulado _________________________________________________________________ 5 Figura 4-4 Longitud Equivalente _________________________________________________________________ 5

II

Figura 4-5 Directriz geométrica_________________________________________________________________ 10 Figura 4-6 Acción sobre pieza deformada _________________________________________________________ 11 Figura 4-7 Esquema de carga __________________________________________________________________ 11 Figura 4-8 Ecuación Constitutiva del Hormigón _____________________________________________________ 17 Figura 4-9 Ecuación Constitutiva del Acero ________________________________________________________ 18 Figura 4-10 Pilar Aislado _____________________________________________________________________ 18 Figura 4-11 Comparación Columna Modelo ________________________________________________________ 19 Figura 5-1 Diagrama de Flujo del procedimiento propuesto _____________________________________________ 21 Figura 5-2 Diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más débil, con distintos axiles ____ 24 Figura 5-3 Diagrama momento curvatura de una sección circular con distintos axiles __________________________ 25 Figura 5-4 Definición de las deformaciones máximas de rotura de los materiales constitutivos de una sección de hormigón

armado. Diagrama de pivotes. _________________________________________________________________ 26 Figura 5-5 Ecuación constitutiva del hormigón en compresión ___________________________________________ 26 Figura 5-6 Ecuación constitutiva del acero. _________________________________________________________ 26 Figura 5-7 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Circular ________ 28 Figura 5-8 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Rectangular _____ 29 Figura 6-1 Ecuación constitutiva del hormigón empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico. _____ 31 Figura 6-2 Ecuación constitutiva del acero empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico. ________ 32 Figura 6-3 Planta y Alzado del puente del ejemplo 1 __________________________________________________ 33 Figura 6-4 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 1 ___________________________________________________ 34 Figura 6-5 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 1 ______________________________________________________ 34 Figura 6-6 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1

de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ___________________________________________________ 38 Figura 6-7 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el

dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta

por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ______________________________ 39 Figura 6-8 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y

no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________________ 42 Figura 6-9 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no

líneal y no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________ 43 Figura 6-10 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y

diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 44 Figura 6-11 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de

minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos

realizados: lineal , pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 45 Figura 6-12 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de


realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 45 Figura 6-13 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la

combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 47 Figura 6-14 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la

combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 48 Figura 6-15 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el

método no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________49 Figura 6-16 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el

método no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________ 50 Figura 6-17 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ______________________ 51 Figura 6-18 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, con distintas

rigideces a torsión del tablero consideradas. ________________________________________________________ 52 Figura 6-19 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía

preliminar de dimensionamiento, para las distintas rigideces a torsión consideradas. __________________________ 53 Figura 6-20 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para las distintas rigideces a torsión

consideradas. ______________________________________________________________________________ 54

III

Figura 6-21 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de interacción de

dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión consideradas. _______ 56 Figura 6-22 Momentos horizontales y torsores en el tablero para los distintos tipos de cálculos realizados y rigideces a

torsión estudiadas. a) calculo lineal. b) pseudo no lineal. c) no lineal mecánico y geométrico. _____________________ 58 Figura 6-23 Diagrama de interacción de la sección de la pila 2 de 8,00 m con las ecuaciones constitutivas con y sin

coeficientes de minoración. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos

realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y para las distintas rigideces a torsión estudiadas. _ 60 Figura 6-24 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión

estudiadas. _______________________________________________________________________________ 61 Figura 6-25 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, para el tablero

apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ______________________________________ 62 Figura 6-26 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía

preliminar de dimensionamiento, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. __ 63 Figura 6-27 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para el tablero apoyado sobre neoprenos con

y sin coacción horizontal en el estribo. ____________________________________________________________ 64 Figura 6-28 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo elástico y pesudo no lineal y los diagramas de

interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y

sin coacción horizontal en el estribo ______________________________________________________________ 65 Figura 6-29 Momentos horizontales, cortantes y torsores en el tablero para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin

coacción horizontal en el estribo. ________________________________________________________________ 67 Figura 6-30 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último con y sin coeficientes de


realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin

coacción horizontal en el estribo. ________________________________________________________________ 68 Figura 6-31 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos

con y sin coacción horizontal en el estribo. _________________________________________________________ 68 Figura 6-32 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 2. ____________________________________________ 70 Figura 6-33 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 2 __________________________________________________ 70 Figura 6-34 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 2 _____________________________________________________ 70 Figura 6-35 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1

de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ___________________________________________________ 74 Figura 6-36 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el


por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ______________________________ 75 Figura 6-37 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y

no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________________ 77 Figura 6-38 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo

no línea y no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________ 79 Figura 6-39 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y

diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. _______________________________________80 Figura 6-40 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de

minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:

lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________________________ 81 Figura 6-41 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de


lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________________________ 81 Figura 6-42 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la



método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 85

IV

Figura 6-45 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el

método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 86 Figura 6-46 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. _____________________ 87 Figura 6-47 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 3. ____________________________________________ 88 Figura 6-48 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 3 _________________________________________________ 89 Figura 6-49 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 3 ____________________________________________________ 89 Figura 6-50 Esfuerzos solicitantes, para las tres pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura

adoptada, armadura mínima. _________________________________________________________________ 93 Figura 6-51 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el


por el Eurocódigo [7].a) Pila1 de 10,00 m de altura. b) Pila 2 de 12,00 m de altura. c) Pila 3 de 8,00 m de altura. ________ 95 Figura 6-52 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo

no línea y no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________ 98 Figura 6-53 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y

diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. _______________________________________ 99 Figura 6-54 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 10,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de


lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 100 Figura 6-55 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 12,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de


lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 101 Figura 6-56 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de


lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 101 Figura 6-57 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la




método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 105 Figura 6-61 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el

método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 106 Figura 6-62 . Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el

método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 107 Figura 6-63 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 108 Figura 6-64 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 4.___________________________________________ 109 Figura 6-65 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 4 ________________________________________________ 109 Figura 6-66 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 4 ____________________________________________________ 110 Figura 6-67 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 113 Figura 6-68 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para

la armadura adoptada. ______________________________________________________________________ 115 Figura 6-69 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el


por el Eurocódigo [7]. ________________________________________________________________________ 117 Figura 6-70 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.

______________________________________________________________________________________ 118 Figura 6-71 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de

análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________ 119 Figura 6-72 Momentos, cortantes y torsores en el tablero de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con

cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud. __________ 121

V

Figura 6-73 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo

no línea y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________________________________ 123 Figura 6-74 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y

diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 125 Figura 6-75 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de

materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,

pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 126 Figura 6-76 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de








pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 128 Figura 6-80 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la










método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 138 Figura 6-90 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 139 Figura 6-91 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 5 ____________________________________________ 140 Figura 6-92 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la

armadura adoptada. _______________________________________________________________________ 143 Figura 6-93 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el


por el Eurocódigo [7]. _______________________________________________________________________ 146 Figura 6-94 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de

análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________ 147 Figura 6-95 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo

no línea y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________________________________ 150 Figura 6-96 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y

diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 152

VI

Figura 6-97 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de






pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 154 Figura 6-100 Diagrama de interacción de la sección de la pila P4 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración

de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados:

lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 154 Figura 6-101 Diagrama de interacción de la sección de la pila P5 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de


pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 155 Figura 6-102 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la










método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 165 Figura 6-112 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 166

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 4-1 Valores de a según distribución de la curvatura ______________________________________________ 10 Tabla 6-1 Ejemplos Estudiados _________________________________________________________________ 30 Tabla 6-2 Acciones consideradas Ejemplo 1 ________________________________________________________ 35 Tabla 6-3 Combinación de acciones ______________________________________________________________ 35 Tabla 6-4 Hipótesis de Carga Ejemplo 1 ___________________________________________________________ 36 Tabla 6-5 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. ___ 37 Tabla 6-6 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. ________________ 40 Tabla 6-7 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación de hipótesis III para distintos tipos de

análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________ 41 Tabla 6-8 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión

del tablero consideradas. _____________________________________________________________________ 52

VII

Tabla 6-9 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y

P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas. ____________________________________________ 55 Tabla 6-10 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y

para las distintas rigideces a torsión utilizadas. _____________________________________________________ 56 Tabla 6-11 Coeficientes de seguridad globales para los distintos casos estudiados. _____________________________ 60 Tabla 6-12 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre

neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. _________________________________________________ 62 Tabla 6-13 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y

P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ________________________ 65 Tabla 6-14 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y

para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ___________________________ 66 Tabla 6-15 Acciones consideradas Ejemplo 2 ________________________________________________________ 71 Tabla 6-16 Combinación de acciones Ejemplo 2 _____________________________________________________ 71 Tabla 6-17 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ____________ 72 Tabla 6-18 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 73 Tabla 6-19 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. ________________ 76 Tabla 6-20 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis:

lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 77 Tabla 6-21 Acciones consideradas ejemplo 3 ________________________________________________________90 Tabla 6-22 Combinación de acciones ejemplo 3 _____________________________________________________90 Tabla 6-23 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ___________ 91 Tabla 6-24 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 93 Tabla 6-25 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. a) Combinación I. b)

Combinación II. ____________________________________________________________________________ 96 Tabla 6-26 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación I para distintos tipos de análisis: lineal,

pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________ 97 Tabla 6-27 Acciones Utilizadas en Ejemplo 5 ______________________________________________________ 110 Tabla 6-28 Combinación de acciones del ejemplo 5 ___________________________________________________ 111 Tabla 6-29 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ___________ 112 Tabla 6-30 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis:

lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ____________________________________ 119 Tabla 6-31 Momentos en las pilas de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el

viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud. _________________________ 120 Tabla 6-32 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. __________ 141 Tabla 6-33 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. _ 142 Tabla 6-34 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.

______________________________________________________________________________________ 146 Tabla 6-35 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal,

pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________ 148

1

1 INTRODUCCIÓN

El comportamiento de pilas esbeltas de puentes está fuertemente condicionado por muchos factores. No

solo el comportamiento no lineal geométrico y mecánico de las pilas esbeltas propiamente dicha, sino por

la interacción entre las pilas esbeltas y el resto de la estructura del puente.

Esta interacción afecta a las cargas y esfuerzos que tienen las pilas, en general, y las pilas esbeltas, en

particular. Normalmente se realiza un análisis simplificado o elástico de primer orden del puente completo

para estimar el reparto de cargas y esfuerzos en las pilas.

Con estos esfuerzos se aísla la pila para proceder a considerar la pila como un soporte biarticulado y poder

utilizar los distintos métodos disponibles, método de la columna modelo [8], método de las curvaturas de

referencia [5], formulas simplificadas de la normativa EHE-08 [3], Eurocódigo [7], etc.

Para proceder a aislar el soporte se puede suponer, del lado de la seguridad, que el soporte esta empotrado

en la cimentación y libre en cabeza. Genéricamente este es el procedimiento simplificado que proponen

las normativas [3], [7].

Esta hipótesis suele ser muy del lado de la seguridad porque ignora el efecto positivo que puede ejercer el

resto de las pilas menos esbeltas para estabilizar las pilas más esbeltas, en el caso de que el tablero sea

continuo.

Existen distintas propuestas de este tipo que permiten valorar más o menos adecuadamente este efecto de

interacción en la determinación de la longitud equivalente de pandeo del soporte esbelto biarticulado

equivalente [10]. Estas propuestas mejoran la estimación pero normalmente conducen a resultados

igualmente del lado de la seguridad.

El comportamiento de las pilas esbeltas está influenciado por muchos efectos que se pueden identificar en

el análisis elástico. Normalmente el comportamiento no lineal en un puente solo magnifica los efectos de

primero orden aumentando el efecto de interacción.

En este trabajo se ha estudiado la posibilidad de proceder al dimensionamiento de soportes esbeltos de

puentes teniendo en cuenta el comportamiento global de la estructura y los efectos favorables de la

interacción entre las pilas esbeltas y la estructura en su conjunto.

Se propone el uso de un método general no lineal geométrico y mecánico, conocido y propuesto por la

normativa existente [7], pero poco utilizado.

Este método permite entender el comportamiento del puente, antes del dimensionamiento de las pilas

esbeltas, en una aproximación elástica y de primer orden y poder proceder a tomar medidas de proyecto

que permiten la optimización del comportamiento. Lamentablemente la tendencia actual es la de no utilizar

los recursos proyectuales posibles para minimizar los efectos desfavorables. La tendencia actual es a seguir

tradiciones de proyecto y calcular los problemas en lugar de minimizarlos. La gestión del comportamiento

estructural es una de las más interesantes etapas del proyecto y permite, con el conocimiento adecuado y

la tradición del diseño conceptual [16] obtener las optimizaciones más notables.

Después de decidida la estructura más adecuada, se propone un método de dimensionamiento simplificado

a partir del análisis global no lineal, a nivel de material y de geometría, de la estructura.

2

2 OBJETIVOS

El objeto de este trabajo es:

Entender el comportamiento de puentes con pilas esbeltas para poder realizar un diseño

conceptual [16] que conduzca a una solución optimizada a nivel de propuesta general.

Definir un método de dimensionamiento que permita optimizar el dimensionamiento de pilas

esbeltas.

3 SÍMBOLOS

𝑁𝑐𝑟 Carga crítica.

𝑙𝑜 Longitud equivalente del soporte.

𝜆 Esbeltez del elemento.

𝜆𝑙𝑖𝑚 Esbeltez límite.

𝑒𝑎 Excentricidad ficticia.

𝑒 Excentricidad de primer orden.

𝑓 Excentricidad de segundo orden.

𝜈 Axil reducido.

4 INTRODUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO DE PILAS

ESBELTAS DE PUENTES

4.1 PANDEO EULERIANO

Si se aplica una carga de compresión a un soporte esbelto biarticulado perfectamente alineado; este llegará

a un punto que, pandeará antes de llegar a su resistencia por compresión elástica, como lo demuestra Euler

[17].

Bajo la premisa en la cual se admite la simplificación de pequeñas deformaciones (1.1) se obtiene la ecuación

de equilibrio (1.2).

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

1

𝑟 (1.1)

3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝐸𝐼 = 𝑀 = 𝑁𝑦

(1.2)

Resolviendo la ecuación diferencial del equilibrio se obtiene la ecuación de carga crítica clásica (1.3).

𝑁𝑐𝑟 = 𝑛𝜋2𝐸𝐼

𝐿2 (1.3)

Siendo n el autovalor asignado para obtener la forma de pandeo, siendo el más crítico en n=1 ya que le

corresponde a la carga crítica menor.

Figura 4-1 Formas de Pandeo

Esto indica que una pieza determinada sometida al axil de compresión dicho anteriormente no siempre se

podrá someter a su axil de compresión elástico sino que, ahora dependerá de la longitud del elemento

como lo demuestra la figura 4-2. Se ha utilizado una barra de 4 mm de diámetro y de acero B 500 S. La

resistencia a compresión elástica de la pieza ideal es cercano a 3000 N, pero con suficiente longitud el axil

crítico de pandeo se hace menor que el elástico, limitando la resistencia de la pieza debido al pandeo.

A

A

A

A

A

A

4

Figura 4-2 Hipérbola de Euler

4.2 COMPORTAMIENTO DE SOPORTES ESBELTOS DE HORMIGÓN

En los soportes esbeltos de hormigón armado sometidos a axiles de compresión influyen factores que

hacen que su comportamiento no sea tan evidente como otros elementos estructurales. Factores como la

no linealidad geométrica, la esbeltez del elemento, las condiciones de contorno del soporte, la no linealidad

mecánica del hormigón y por último la magnitud de las cargas que se traduce en una excentricidad. Todas

estas variables hace muchas veces poco predecible el comportamiento de los soportes esbeltos en las

estructuras.

En el caso de soportes esbeltos, en general, no se acerca a la realidad utilizar un análisis lineal del mismo.

Las cargas en el soporte produce deformaciones transversales en la pieza, estas a su vez producen esfuerzos

extra que son tenidos en cuenta con la teoría de segundo orden.

Si analizamos el soporte biarticulado sometido a una excentricidad, como lo indica la figura 4-3, el

momento de primer orden debido a esta sería contante a lo largo del soporte y su magnitud el producto

del axil aplicado y la excentricidad de primer orden. Debido a este estado de carga el soporte tendrá una

flecha, que en el centro será f, esta distorsión en la geometría aumenta los esfuerzos ya que ahora se cuenta

con un aumento de excentricidad que comúnmente se le denomina excentricidad de segundo orden. En

este caso se puede decir que el momento total será el producto del axil de compresión y la excentricidad

total a lo largo del elemento.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Car

ga

Crí

tica

[N

]

Altura de la Barra (m)

ø = 4 mm

5

Figura 4-3 Soporte Biarticulado

Otra particularidad adjudicada a los soportes de hormigón armado es la no linealidad debida al material

comprendido por la no linealidad de la ecuación constitutiva del hormigón y por la poca resistencia a

tracción del material, lo que provoca que a determinados estados tensionales la pieza fisure, provocando

un cambio en la inercia de la sección.

4.3 DIMENSIONAMIENTO DE SOPORTES ESBELTOS DE HORMIGÓN

4.3.1 Determinación de la Longitud de Pandeo

Los métodos simplificados propuestos en la actualidad se basan en asimilar los soportes al bien conocido

soporte biarticulado, esto lo hacen mediante la asignación de una longitud de pandeo que, dependiendo de

las condiciones de contorno ideales toma valores desde 0.5 para un soporte con condiciones de apoyo

empotrado en base y en cabeza hasta 2 para un soporte empotrado en base y libre en cabeza como se

muestra en la figura 4-4, generalmente esta es la condición que se considera en el caso de los puentes

dentro de las premisas de los métodos simplificados.

Esta consideración suprime por completo cualquier tipo de efecto que el resto de las pilas y el propio

tablero ejerce sobre las pilas, lo que conlleva a análisis muy conservadores que la mayoría de las veces están

muy por del lado de la seguridad y llevan a dimensionamientos alejados de la realidad.

Figura 4-4 Longitud Equivalente

6

4.3.2 Límites de Esbeltez

La esbeltez juega un papel fundamental en el estudio del fenómeno del segundo orden y del

comportamiento en general de los soportes. Se han establecido límites de esbeltez por las normativas

actuales y diversos autores, esto acota el rango de aplicación de los métodos simplificados que se utilizan

en la actualidad.

El concepto de esbeltez límite se centra en la determinación de un valor de esbeltez del soporte para la cual

los efectos de segundo orden serían despreciables y se admita no tomarlos en cuenta en el estudio del

soporte. La esbeltez es un parámetro determinante para los efectos de segundo orden, por lo que tiene

base limitar la consideración de los efectos de segundo orden bajo este parámetro.

Generalmente se acepta no tomar en consideración los efectos de segundo orden si estos son menores que

el 10% de los efectos de primer orden.

Corres y Alsaadi [4 ] proponen criterios para definir los límites de la esbeltez según el Método de las Curvas

de Curvaturas de Referencia en los cuales proponen considerar la hipótesis de rotura pésima, inestabilidad

o agotamiento, según el método de las curvas de curvaturas de referencia; otro criterio definido es un ajuste

lineal por mínimos cuadrados para cada axil de las curvas de curvaturas de referencia en la hipótesis pésima

y el tercero utilizando una única curvatura para cada axil y considerar la hipótesis pésima siempre la rotura

por inestabilidad. El método propuesto es el último ya que conduce a errores pequeños comparados con

el método de la columna modelo y es el más sencillo.

El Eurocódigo [7] propone la siguiente expresión para la determinación de la esbeltez límite:

𝜆𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶/√𝑛

Donde:

A 1

1+0.2𝜑𝑒𝑓𝑓

B √1 + 2𝜔

C 1.7 − 𝑟𝑚

𝜑𝑒𝑓𝑓 Coeficiente efectivo de fluencia

𝜔 Cuantía mecánica

n Axil reducido

𝑟𝑚 Relación de momentos de primer orden. Mo1/Mo2

Esta formulación toma en consideración los efectos de la fluencia, la cuantía de armado de la pieza, el axil

reducido y la excentricidad de primer orden.

7

4.3.3 Fórmulas Simplificadas de la EHE-08

El método propuesto por la EHE-08 [3]es aplicable para un rango de esbelteces, que va desde la esbeltez

límite a una esbeltez de 100, para esbelteces mayores a 100 y menores a 200 propone utilizar el método

general de comprobación.

El método se basa en una mayoración de momentos que se hace a través de una excentricidad ficticia, que

pretende tomar en cuenta los efectos del segundo orden. La expresión viene dada por:

𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑎 ≥ 𝑒2

𝑒𝑎 = (1 + 0.12𝛽)(𝜀𝑦 + 0.0035)ℎ + 20𝑒𝑒

ℎ + 10𝑒𝑒∗

𝑙02

50𝑖𝑐

Donde:

𝑒𝑎 Excentricidad ficticia utilizada para representar los efectos de segundo orden.

𝑒𝑒 Excentricidad de cálculo de primer orden equivalente

𝑒𝑒 = 0.6𝑒2 + 0.4𝑒1 ≥ 0.4𝑒2 para soportes intraslacionales

𝑒𝑒 = 𝑒2 para soportes traslacionales

𝑙0 Longitud de Pandeo

𝑖𝑐 Radio de giro de la sección de hormigón en la dirección considerada.

ℎ Canto total de la sección de hormigón

𝜀𝑦 Deformación del acero para la tensión de cálculo

𝛽 Factor de armado, dado por

𝛽 =(𝑑 − 𝑑′)2

4𝑖𝑠2

4.3.4 Fórmulas Simplificadas de Dimensionamiento del Eurocódigo

El método de la rigidez nominal del Eurocódigo [7] se basa en incluir en el análisis los efectos de la no

linealidad mecánica en conjunto con la no linealidad geométrica mediante una reducción en la rigidez

homogenizada de la sección llamada rigidez nominal, con esto se toma en cuenta de una forma simplificada

la no linealidad mecánica del elemento. Para el caso de la no linealidad geométrica se aumenta el momento

con un factor de mayoración propuesto a partir de la rigidez nominal calculada y el momento de primer

orden del elemento.

El modelo propuesto para la estimación de la rigidez nominal de elementos esbeltos comprimidos es la

siguiente:

𝐸𝐼 = 𝐾𝑐𝐸𝑐𝑑𝐼𝑐 + 𝐾𝑠𝐸𝑠𝐼𝑠

Donde:

8

𝐸𝑐𝑑 Es el valor de diseño del módulo de elasticidad el hormigón.

𝐸𝑐𝑑 =𝐸𝑐𝑚

𝛾𝐶𝐸

𝐼𝑐 Es el momento de inercia de la sección de hormigón.

𝐸𝑠 Es el valor de diseño del módulo de elasticidad del refuerzo.

𝐼𝑠 Es el segundo momento de inercia del área del refuerzo, referido al centro de gravedad del hormigón.

𝐾𝑐 Es el factor por efectos de la fisuración.

𝐾𝑠 Es el factor de contribución del refuerzo.

Los siguientes factores pueden utilizarse siempre y cuando 𝜌 ≥ 0.002

𝐾𝑐 = 𝑘1𝑘2

Donde:

𝜌 Es la cuantía geométrica del refuerzo 𝐴𝑠/𝐴𝑐 .

𝐴𝑠 Es el área total del refuerzo.

𝐴𝑐 Es el área de la sección de hormigón.

𝑘1 Es un factor que depende de la resistencia del hormigón.

𝑘1 = √𝑓𝑐𝑘/20 (𝑀𝑃𝑎)

𝑘2 Es un factor que depende de la esbeltez y la fuerza axil.

𝑘2 = 𝑛𝜆

170≤ 0.20

Donde:

n Es el axil reducido, 𝑁𝐸𝑑/(𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑).

𝜆 Es la esbeltez mecánica del elemento.

𝜆 =𝑙𝑜𝑖

Donde:

𝑙𝑜 Es la longitud efectiva del elemento.

𝑖 Es el radio de giro de la sección no fisurada de hormigón.

La rigidez nominal se ve afectada por la resistencia del hormigón utilizado, la esbeltez de la pieza y el axil

solicitante. El valor de 𝑘2 se ve limitado ya que a axiles grandes, esbelteces grandes o una combinación de

9

ellos relativamente grande la pieza falla antes por inestabilidad y no por agotamiento mecánico, por lo que

se limita este valor a 0.2 por la formulación propuesta actualmente.

El momento total de diseño, incluyendo el efecto de segundo orden, puede ser expresado como un

aumento de los momentos flectores lineales:

𝑀𝐸𝑑 = 𝑀0𝐸𝑑 [1 +𝛽

𝑁𝐵𝑁𝐸𝑑

− 1]

Donde:

𝑀0𝐸𝑑 es el momento de primer orden

𝛽 es un factor que depende de la distribución de los momentos de primer y segundo orden

𝑁𝐸𝑑 es el valor de diseño de la carga axial

𝑁𝐵 es la carga crítica de pandeo basada en la rigidez nominal

4.3.5 Columna Modelo

El método de la columna modelo comprueba el elemento mediante la comprobación de un soporte

equivalente biarticulado, en el cual su longitud es la longitud de pandeo del soporte real. El soporte está

sometido a flexión simple con una excentricidad ficticia que depende de las excentricidades en ambos

extremos del soporte real analizado. En principio el método considera solo un soporte biarticulado en el

cual las excentricidades en los extremos son iguales, pero se ha propuesto una formulación para extrapolar

el método a soportes en los cuales las excentricidades sean distintas en ambos extremos. La formulación

es la siguiente:

𝑒𝑒 = 0.6𝑒2 + 0.4𝑒1 ≥ 0.4𝑒2 Para soportes intraslacionales

𝑒𝑒 = 𝑒2 Para soportes traslacionales

Siendo e2 la mayor excentricidad a la que está sometido el soporte.

La comprobación se lleva a cabo al comprobar el equilibrio superponiendo la directriz mecánica y la directriz

geométrica.

10

Figura 4-5 Directriz geométrica

Siendo e la excentricidad de primer orden y f la excentricidad de segundo orden que puede definirse como:

𝑓 =𝑙2

𝑎∗ 𝜒

El parámetro a puede tomar varios valores dependiendo de la distribución de curvaturas que se adopte, se

especifican algunos valores en la tabla 4-1. El método de la columna modelo adopta la distribución de

curvaturas senoidal por lo que la directriz geométrica del método tiene la siguiente forma 𝑓 =𝑙2

10∗ 𝜒

Tabla 4-1 Valores de a según distribución de la curvatura

4.4 MÉTODOS DE ANÁLISIS GLOBAL DE LA ESTRUCTURA

4.4.1 Análisis Global de la No Linealidad Geométrica. Método de la Matriz Geométrica

Cuando las deformaciones en la estructura resultan en una magnitud en donde los efectos de segundo

orden no sean despreciables, un análisis lineal elástico deja de tener precisión y no representa el

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

M

χ

N*(e+f)

11

comportamiento verdadero de la estructura. En un análisis matricial elástico se toma en consideración la

energía debida a los efectos de la deformación en flexión, axil y cortante.

Se sabe que para un elemento esbelto sometido a una carga de compresión grande la rigidez elástica se ve

reducida en gran manera, tanto que una carga lateral pequeña puede ocasionar que el elemento pandee,

este comportamiento está causado por un cambio en la matriz geométrica de la estructura.

Esto cobra importancia en elementos esbeltos que están sometidos a esfuerzos axiles importantes, como

es el caso de los soportes en puentes, que estos, cuando son muy esbeltos experimentan de forma más

marcada el fenómeno de aumento de esfuerzos por efectos de segundo orden. Este esfuerzo adicional

depende principalmente del axil.

Figura 4-6 Acción sobre pieza deformada

𝑻

𝟑𝟎𝑳[

36 3𝐿3𝐿 4𝐿2

−36 3𝐿−3𝐿 −𝐿2

−36 −3𝐿3𝐿 −𝐿2

36 −3𝐿−3𝐿 4𝐿2

]

En el caso de que la fuerza de compresión sea grande, la matriz de rigidez total del elemento puede llegar a

ser singular para demostrar esta inestabilidad se considera el siguiente ejemplo.

Figura 4-7 Esquema de carga

De la rigidez elástica y la geométrica para este caso se obtiene

[𝟎𝟎] = [

12𝐸𝐼

𝐿3+

36𝑇

30𝐿

6𝐸𝐼

𝐿2+

3𝑇

306𝐸𝐼

𝐿2+

3𝑇

30

4𝐸𝐼

𝐿+

4𝑇𝐿

30

] ∗ [𝜹𝒊

𝝓𝒊]

[𝟎𝟎] = [

12 + 36𝜆 6𝐿 + 3𝐿𝜆6𝐿 + 3𝐿𝜆 4𝐿2 + 4𝐿2𝜆

] ∗ [𝜹𝒊

𝝓𝒊]

Donde 𝜆 = −𝑃𝑇

30𝐸𝐼

Este se convierte en un problema de auto valores que puede ser resuelto como

12

𝒅𝒆𝒕 [12 + 36𝜆 6𝐿 + 3𝐿𝜆6𝐿 + 3𝐿𝜆 4𝐿2 + 4𝐿2𝜆

] = 𝟎

𝟏𝟑𝟓𝟎𝟎 ∗ (𝝀𝟐 + 𝟏. 𝟏𝟓𝟓𝝀 + 𝟎. 𝟎𝟖𝟗) = 𝟎

Se resuelve para la menor raíz que es 𝜆 = −0.082865

Siendo 𝑃𝑐𝑟 = 2.4860 ∗𝐸𝐼

𝐿2

Siendo la carga crítica de Euler para un soporte en ménsula

𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼

4𝐿2 = 2.4674 ∗

𝐸𝐼

𝐿2

Se observa que la aproximación es bastante buena, arrojando un error del 1%.

4.4.1.1 Ejemplo

Los programas de elementos finitos cuando incorporan los efectos de segundo orden lo hacen

generalmente a través de la incorporación de la matriz geométrica a la matriz de rigidez de la pieza, se ha

realizado un ejemplo simple de un pilar empotrado en base libre en cabeza incorporando la matriz

geométrica en un cálculo manual y el mismo ejemplo con un programa de cálculo de elementos finitos

incorporando un análisis de segundo orden.

Datos de sección

13

Material: Hormigón HA-30

Axil de cálculo: 13300 kN

Fuerza Horizontal: 443 kN

Módulo de Elasticidad: 33.57MPa

Diámetro: 1m

Inercia: 0.049 m4

Área: 0.0785 m2

Longitud del Pilar: 11 m

Rigidez Elástica

𝑭𝑬 = 𝒌𝑬𝜹

[ 𝑵𝒊

𝑭𝒊

𝑴𝒊

𝑵𝒋

𝑭𝒋

𝑴𝒋]

=

[ 𝑬𝑨

𝑳𝟎

𝟎𝟏𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟑

𝟎 −𝑬𝑨

𝑳𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐𝟎

𝟎 𝟎

−𝟏𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟑

𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

𝟎𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

−𝑬𝑨

𝑳𝟎

𝟒𝑬𝑰

𝑳𝟎

𝟎𝑬𝑨

𝑳

−𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟎 𝟎

𝟎 −𝟏𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟑

𝟎𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

−𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐𝟎

𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟎

𝟏𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟑−

𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

−𝟔𝑬𝑰

𝑳𝟐

𝟒𝑬𝑰

𝑳 ]

∗

[ 𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

𝝊𝒋

𝜹𝒋

𝝓𝒋]

[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎

𝟒𝟒𝟑𝟎𝑵𝒋

𝑭𝒋

𝑴𝒋 ]

=

[

𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎

𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑

𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟎 𝟎

−𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏

−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓 𝟎

𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐

𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏

−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐 𝟎

𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 −𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓]

∗

[ 𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

𝟎𝟎𝟎 ]

[−13300

4430

] = [2397463 0 0

0 14860 817310 81731 599365

] ∗ [

𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

]

[

𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

] = [−0.00550.11924

−0.01626]

14

[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎

𝟒𝟒𝟑𝟎

𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟑𝟒𝟖𝟕𝟑 ]

=

[

𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎

𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑

𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟎 𝟎

−𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏

−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓 𝟎

𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐

𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏

−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐 𝟎

𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 −𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓]

∗

[ −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎. 𝟏𝟏𝟗𝟐𝟒

−𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 ]

MEF Lineal

Desplazamientos en Y

Rotaciones

Momentos

Rigidez Geométrica

𝑭𝑮 = 𝒌𝑮𝜹

[ 𝑵𝒊

𝑭𝒊

𝑴𝒊

𝑵𝒋

𝑭𝒋

𝑴𝒋]

=𝑻

𝑳

[

𝟎 𝟎

𝟎𝟔

𝟓

𝟎 𝟎𝑳

𝟏𝟎𝟎

𝟎 𝟎

−𝟔

𝟓

𝑳

𝟏𝟎

𝟎𝑳

𝟏𝟎𝟎 𝟎

𝟐𝑳𝟐

𝟏𝟓𝟎

𝟎 𝟎

−𝑳

𝟏𝟎−

𝑳𝟐

𝟑𝟎𝟎 𝟎

𝟎 −𝟔

𝟓

𝟎𝑳

𝟏𝟎

−𝑳

𝟏𝟎𝟎

−𝑳𝟐

𝟑𝟎𝟎

𝟔

𝟓−

𝑳

𝟏𝟎

−𝑳

𝟏𝟎

𝟐𝑳𝟐

𝟏𝟓 ]

∗

[ 𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

𝝊𝒋

𝜹𝒋

𝝓𝒋]

15

[ 𝑵𝒊

𝑭𝒊

𝑴𝒊

𝑵𝒋

𝑭𝒋

𝑴𝒋]

=

[ 𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟓𝟎

𝟎 𝟎−𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟎

𝟎 𝟎𝟏𝟒𝟓𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎

𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟎

−𝟏𝟗𝟓𝟎𝟔 𝟎𝟎 𝟎

𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟒𝟖𝟕𝟔𝟎 𝟎

𝟎 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎

𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟎𝟒𝟖𝟕𝟔 𝟎

−𝟏𝟒𝟓𝟎 𝟏𝟑𝟑𝟎𝟏𝟑𝟑𝟎 −𝟏𝟗𝟓𝟎𝟔]

∗

[ 𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

𝝊𝒋

𝜹𝒋

𝝓𝒋]

Matriz Acoplada

FT FE FG [kE kG ]v kTv

[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎

𝟒𝟒𝟑𝟎𝑵𝒋

𝑭𝒋

𝑴𝒋 ]

=

[

𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗

𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑

𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟎 𝟎

−𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏

−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 𝟎

𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 −𝟐𝟗𝟒𝟖𝟎𝟔

𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏

−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎−𝟐𝟗𝟒𝟖𝟎𝟔 𝟎

𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 −𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 ]

∗

[ 𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

𝟎𝟎𝟎 ]

[−13300

4430

] = [2397463 0 0

0 13409 804010 80401 579859

] ∗ [

𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

]

[

𝝊𝒊

𝜹𝒊

𝝓𝒊

] = [−0.00550.1959

−0.02716]

[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎

𝟒𝟒𝟑𝟎

𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟑𝟕𝟒𝟕𝟖 ]

=

[

𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗

𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑

𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟎 𝟎

−𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏

−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 𝟎

𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟑𝟎𝟒𝟓𝟓𝟗

𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏

−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟑𝟎𝟒𝟓𝟓𝟗 𝟎

𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 −𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗]

∗

[ −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟗

−𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 ]

16

MEF Segundo Orden

Desplazamientos en Y

Rotaciones

Diagrama de Momentos

4.4.2 Análisis Global No Lineal Geométrico y Mecánico de la Estructura

La no linealidad mecánica en los soportes de hormigón armado es producida por una pérdida de rigidez en

la pieza, debida a una pérdida de inercia de la sección bruta de hormigón ya que este material aguanta

pobremente los esfuerzos de tracción, generando una fisuración generalmente no uniforma a lo largo del

soporte, a esta pérdida de inercia se le suma la no linealidad debida a las ecuaciones constitutivas de los

materiales, las cuales cambian no linealmente y dependen del nivel de deformación al que esta solicitado el

soporte.

La pérdida de rigidez en el soporte depende de muchos factores y es variable en la longitud del elemento,

lo que provoca que se cuente con una rigidez variable a lo largo de la pieza, invalidando el principio de

superposición que tan útil resulta.

Generalmente para resolver este problema se recurre a métodos iterativos que resuelvan el equilibrio para

determinado nivel de cargas, cuanto mayor sea la discretización del elemento mejores resultados se

obtendrán ya que la variación de rigidez en el elemento se podrá representar de una manera más cerca de

la realidad, con la desventaja que estos cálculos con elementos tan discretizados aumentan mucho el

tiempo de cálculo.

Por otra parte en un análisis no lineal mecánico se tiene que tener como punto de partida las características

de la sección, entre las cuales es necesario definir la cuantía de armadura presente en los elementos. Esta es

una de las razones por las que los cálculos incluyendo la no linealidad mecánica se utilizan para la

comprobación de los elementos pero no para el dimensionamiento de los mismos.

17

Se ha analizado el caso de un soporte aislado de sección circular de hormigón armado, empotrado en base

y libre en cabeza. La comparativa se realiza entre un análisis lineal, un análisis según la teoría de segundo

orden y un análisis no lineal geométrico y mecánico del soporte.

El estudio consiste en realizar unas pruebas de carga al pilar, consistiendo en un axil de compresión y una

fuerza horizontal aplicadas simultáneamente. Las cargas se van incrementando conservando la

excentricidad hasta llegar a la rotura del pilar, ya sea por inestabilidad o por agotamiento mecánico de la

sección.

Los resultados de la prueba de carga se colocan sobre los diagramas de interacción Momento-Axil de la

sección.

Como se observa en el gráfico podemos estudiar el comportamiento del pilar bajo los distintos análisis. La

diferencia entre la curva lineal y la de segundo orden se debe al aumento de momento debido a la

deformación que presenta el soporte en cabeza, esta deformación produce que el axil ya no actúe

excéntrico, por lo que un momento de magnitud aproximable a Nx∆ se suma al momento ya producido

por la carga horizontal.

Al añadirle a este efecto la no linealidad mecánica de la sección ya no se cuenta con una rigidez lineal, sino

que esta tiene un comportamiento no lineal, por lo que el desplazamiento en cabeza será distinto (mayor)

provocando un aumento en la deformación lo que produce mayores momentos.

Se incluye el análisis con el método de la rigidez nominal propuesta en el Eurocódigo 2[7] y el método de

magnificación de momentos propuesto en la EHE-08[3].

Figura 4-8 Ecuación Constitutiva del Hormigón

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-4-3-2-10

HA-30

18

Figura 4-9 Ecuación Constitutiva del Acero

Figura 4-10 Pilar Aislado

COMPARACIÓN CON EL MÉTODO DE LA COLUMNA MODELO

El análisis realizado por el programa de elementos finitos demuestra un fallo del soporte por inestabilidad

utilizando la no linealidad geométrica más la no linealidad mecánica (No linealidad mecánica y geométrica).

Para comprobar la precisión de este resultado se ha comparado con el método de la columna modelo.

Los parámetros utilizados son:

𝜆 = 22 , al ser un soporte empotrado libre de 11m de longitud, lo que le corresponde un 𝛽 = 2 y el

diámetro correspondiente es de 1m.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-20 -10 0 10 20

B 500 S

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

M-N Lineal Mecánico No Lineal Mecánico

Segundo Orden (Lineal Mecánico) Segundo Orden (No Lineal Mecánico)

EC2 (M. Rigidez Nominal) EHE-08

θ=1 mρ=3%

19

La excentricidad correspondiente a la combinación de cargas aplicadas en cada momento corresponde a

una 𝑒 = 0.366𝑚.

El axil aplicado al momento de la rotura por inestabilidad corresponde a 8196 kN.

Figura 4-11 Comparación Columna Modelo

La rotura por inestabilidad obtenida con el método de la Columna Modelo es de 4880 kNm, mientras que

el obtenido con el programa de elementos finitos es de 4763 kNm, por lo que se comprueba el fallo por

inestabilidad de la pieza.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

M (

kN

m)

1/r (m-1)

M-1/r ( N = 8196 kN)

20

5 PROCEDIMIENTO PROPUESTO

El procedimiento que se propone, y que luego se desarrolla en el capítulo siguiente con diversos ejemplos,

parte de un análisis elástico con que se realiza un primer dimensionamiento de las pilas esbeltas sin tener

en cuenta los efectos debidos a la no linealidad geométrica y mecánica.

Un primer análisis de este tipo permite entender el comportamiento de la propuesta de proyecto, que no

siempre es evidente. Este análisis permite entender, de modo general, la interacción entre las pilas esbeltas

y el resto de la estructura.

Normalmente en puentes con fustes únicos y de gran esbeltez en la dirección transversal, como fustes

únicos circulares por ejemplo, la combinación condicionante es la que incluye como sobrecarga principal la

del viento transversal.

Para puentes pilas rectangulares, con esbeltez mayor en la dirección longitudinal, la combinación más

condicionante es la que produce esfuerzos en la dirección longitudinal como frenado, viento longitudinal,

etc.

El estudio de los esfuerzos de las hipótesis individuales es muy útil para comprender el comportamiento

del puente para cada tipo de carga. Es también útil para poder identificar la contribución de cada carga a las

combinaciones de acciones consideradas.

Aunque este tipo de cálculo es el que se hace normalmente para el proyecto de un puente

lamentablemente normalmente no se miran los resultados y no existe la costumbre de entender el

comportamiento.

Por otra parte, los efectos debidos a las no linealidades geométricas y mecánicas, no cambian el

comportamiento solo lo aumentan.

Este análisis es fundamental para poder mejorar las condiciones de proyecto inicialmente adoptadas.

A partir de los esfuerzos obtenidos se pueden dimensionar las pilas en Estado Límite Último, de acuerdo

con los criterios clásicos establecidos por la normativa vigente [3], [7].

Este dimensionamiento, que está hecho sin tener en cuenta las no linealidades involucradas en los procesos

derivados de la esbeltez, da una cuantía que se modifica al alza al final de este proceso.

Con esta primera estimación de la cuantía se procede a estimar una rigidez equivalente para tener en cuenta

la no linealidad mecánica debida al comportamiento no lineal de los materiales, hormigón y acero, y la

fisuración del hormigón.

En el apartado 5.3 se explica detalladamente la determinación de la rigidez equivalente.

Posteriormente se procede a realizar un cálculo lineal con una rigidez en las pilas equivalente y utilizando la

matriz geométrica, para tener en cuenta la no linealidad geométrica. La rigidez del tablero, en general,

puede considerarse lineal.

Con estos resultados de esfuerzos se procede al dimensionamiento final de las pilas. Los esfuerzos de

dimensionamiento tienen en cuenta los efectos de segundo orden y la no linealidad geométrica.

No es necesario estudiar simplificaciones que permitan transformar una pila esbelta real en una ideal

biarticulada. Las pilas tienen sus condiciones reales.

21

No es necesario establecer criterios adicionales de interacción entre las pilas esbeltas y el resto de la

estructura, pilas cortas, estribos y tablero.

No es necesario estudiar límites de esbeltez. El método tiene en cuenta los efectos de segundo orden en

régimen no lineal automáticamente.

5.1 DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROCEDIMIENTO PROPUESTO

Figura 5-1 Diagrama de Flujo del procedimiento propuesto

1

Análisis elástico del puente completo. Estudio de los esfuerzos debidosa las hipótesis individuales. Estudio de los esfuerzos debidos a las distintascombinaciones de acciones. Entendimiento del comportamiento delpuente. Comprensión del comportamiento del puente frente a lasdistintas cargas y comprobaciones. Mejora, si es posible, de lapropuesta de proyecto para optimizar el comportamiento de las pilasesbeltas.

2

Identificación de las combinaciones más desfavorables para laspilas esbeltas.

3

Dimensionamiento preliminar de las pilas del puente.

4

Determinación de rigidez equivalente para representar,simplificadamente, el comportamiento no lineal mecánico.

5

Análisis elástico con rigidez equivalente para las pilas y matrizgeométrica.

6

Dimensionamiento definitivo de las pilas con los esfuerzos obtenidosen el cálculo anterior.

22

5.2 PRINCIPIOS GENERALES DEL ANÁLISIS NO LINEAL GEOMÉTRICO Y MECÁNICO

PROPUESTO

El estudio de los problemas de inestabilidad supone tener en cuenta la no linealidad geométrica, el efecto

de las deformaciones en el equilibrio, y los efectos de la no linealidad mecánica, que consideran la pérdida

de rigidez por el comportamiento no lineal de los materiales que constituyen la sección transversal del

tablero y de las pilas.

Este tipo de comportamiento no lineal impide la utilización del principio de superposición, tan útil, que solo

es aplicable cuando se supone un comportamiento lineal.

Para el análisis de los efectos de la deformación, los efectos de segundo orden, en los esfuerzos de la

estructura es necesario plantear el equilibrio teniendo en cuenta la estructura deformada.

Una posibilidad es plantear un cálculo con actualización de coordenadas, según el cual, se realizan distintos

cálculos y para cada uno de ellos se tiene en cuenta el estado de deformación de la etapa anterior. Este

proceso se realiza con distintas estrategias numéricas.

Otra posibilidad es utilizar la matriz geométrica. En este caso, tal como se explica en el apartado 4.4.1, se

acopla la matriz de rigidez geométrica a la elástica modificando la rigidez global del elemento esta vez

incluyendo los efectos en la pieza deformada, tomando en cuenta de esta forma los efectos de segundo

orden.

Si las deformaciones son pequeñas este método da resultados adecuados.

Por otra parte, muchos de los programas de elementos finitos de barras disponibles en el mercado tienen

la posibilidad de hacer un cálculo de este tipo. Este tipo de cálculos son además muy rápidos.

En relación con la no linealidad mecánica normalmente se puede tener en cuenta la variación de las

condiciones de rigidez de las barras de acuerdo con unas ecuaciones constitutivas dadas.

Un cálculo no lineal mecánico general, tal como se indica en el apartado 4.4.2, supone la definición de un

modelo suficientemente discretizado, para tener en cuenta las variaciones de rigidez a lo largo de los

distintos elementos estructurales. Cuanto mayor es la discretización mejor se representaran las

condiciones de equilibrio en más secciones. Contrariamente cuanto mayor es la discretización mayor es el

tiempo de cálculo.

Además es necesario definir las ecuaciones constitutivas para cada uno de los materiales existentes en las

distintas secciones.

Se opera con distintas estrategias numéricas para encontrar una solución equilibrada y compatible, de

acuerdo con las condiciones de comportamiento no lineal de las secciones de los elementos estructurales.

Una simplificación posible es suponer una rigidez equivalente para los distintos elementos estructurales.

De esta forma, se puede hacer un cálculo lineal con una rigidez de los elementos estructurales que tenga en

cuenta, del lado de la seguridad, la rigidez que se produciría en las condiciones de equilibrio para el estado

de cargas estudiado.

Como se pueden identificar cuáles son las combinaciones más desfavorables para las pilas esbeltas es

necesario, a partir de este estudio, identificar cuáles son rigideces que hay que utilizar.

23

En este trabajo se propone que se utilicen para las pilas la rigidez equivalente que se propone en el apartado

anterior. Si la pila es rectangular pueden utilizarse las rigideces equivalente en ambas direcciones.

Normalmente esto no es necesario porque las combinaciones más importantes para el dimensionamiento

de las pilas esbeltas son en flexo compresión recta, en una de las dos direcciones.

Si el tablero es pretensado normalmente no es necesario utilizar otra rigidez distinta de la bruta. En general

las combinaciones que condicionan el dimensionamiento de las pilas no son las que son pésimas para el

tablero y por lo tanto el tablero esta poco afectado por el comportamiento no lineal.

Cuando el tablero contribuye con su capacidad resistente a torsión, tal como se expone en algunos

ejemplos en el próximo capítulo, es necesario controlar la integridad de la rigidez a torsión.

En la propuesta de dimensionamiento que se propone para las pilas esbeltas se plantea tener en cuenta la

no linealidad mecánica y geométrica de forma simplificada y del lado de la seguridad, teniendo en cuenta

los medios normalmente disponibles para el proyecto, es decir, programas de calculo que se disponen de

forma general en las oficinas de proyecto.

5.3 DEFINICIÓN DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE

En un cálculo no lineal mecánico de una estructura se varía la rigidez de las distintas secciones de las distintas

barras hasta conseguir que las rigideces utilizadas sean compatibles y equilibradas con los esfuerzos finales.

Si se pudiera saber a priori el valor de las rigideces finales, para la solución equilibrada y compatible,

haciendo un análisis elástico de rigidez variable se obtendría el resultado de un cálculo no lineal mecánico.

Conceptualmente el uso de una rigidez equivalente responde al principio anteriormente explicado.

Encontrar una rigidez que sea representativa de la rigidez de equilibrio que se produce en la situación de

equilibrio.

En pilas esbeltas que fallan por instabilidad, normalmente la sección crítica, con mayores efectos de

segundo orden, falla cuando se alcanza una pérdida de rigidez importante en la sección, que ocurre cuando

plastifica el acero traccionado, si el axial de la pila es moderado, o el acero comprimido, para axil mayores.

Esta situación es más frecuente en pilas de puentes.

Esta rigidez, normalmente supone una rigidez menor que la que realmente se obtendría para las pilas en un

cálculo no lineal mecánico, es una rigidez del lado de la seguridad, por distintas razones.

En primer lugar, se obtiene a partir de la armadura de las pilas que resulta de un dimensionamiento inicial,

preliminar, a partir de un cálculo elástico lineal. Esta armadura, normalmente, será inferior a la definitiva que

se obtiene al final del proceso, en el que se tienen en cuenta los efectos de segundo orden y la no linealidad

mecánica con este sistema.

En segundo lugar, porque la rigidez que se propone se obtiene con unas ecuaciones constitutivas, para el

hormigón y para el acero, que son las utilizadas normalmente en el cálculo de la capacidad resistente en

Estado Límite Último, que son desfavorables desde el punto de vista de un cálculo de segundo orden

porque suponen menor rigidez y conducen a estimaciones con mayor flexibilidad y mayores efectos de

segundo orden.

Por último, en un cálculo no lineal mecánico, las barras que discretizan una pila son muchas para aumentar

la precisión. En el caso de un análisis como el que se propone en este procedimiento, normalmente se asigna

a toda la pila la misma rigidez equivalente lo que asimismo está del lado de la seguridad.

24

En un diagrama momento curvatura la rigidez varia de la máxima, para valores pequeños de la curvatura

cuando la sección aún no está descomprimida o fisurada, a valores cada vez más pequeños que se producen

debido a la activación de las no linealidades de los materiales que constituyen la sección transversal. Primero

se pierde rigidez debido a la fisuración, luego al comportamiento no lineal del hormigón comprimido y

luego a la plastificación de las armaduras.

En la figura 5-1 se muestra el diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más

débil, con distintos axiles. En la figura 5-2 se muestra el diagrama momento curvatura de una sección circular

con distintos axiles.

Figura 5-2 Diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más débil, con distintos axiles

1

11

1

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

e (m

)

1/r (km-1)

Pilar Rectangular

0.2 0.4 0.6 0.8 1

25

Figura 5-3 Diagrama momento curvatura de una sección circular con distintos axiles

Como puede verse, los diagramas momentos curvaturas muestran distintos momentos, dependiendo del

axil, en los que se pierde rigidez.

El punto indicado con 1 representa la descompresión de la sección cuando empieza a traccionarse y si se

desprecia la resistencia a compresión del hormigón en este caso coincide con la descompresión del

hormigón.

Los puntos indicados con 2 y 3 indican la plastificación de las armaduras, mas traccionada o más comprimida.

El punto 4 representa la rotura de la sección. La rotura se produce cuando el hormigón o el acero alcanzan

las deformaciones máximas correspondientes, definidas en el diagrama de pivotes.

11 1

1

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

e (m

)

1/r (km-1)

Pilar Circular

0.2 0.4 0.6 0.8 1

26

Figura 5-4 Definición de las deformaciones máximas de rotura de los materiales constitutivos de una sección de hormigón armado. Diagrama de pivote[3].

Las ecuaciones constitutivas para la elaboración de los diagramas momentos curvaturas son las que se

indican en las figuras 5-5 y 5-6.

Figura 5-5 Ecuación constitutiva del hormigón en compresión

Figura 5-6 Ecuación constitutiva del acero.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-4-3-2-10

HA-30

-600

-400

-200

0

200

400

600

-20 -10 0 10 20

B 500 S

27

Ambas ecuaciones constitutivas son las que propone el Eurocódigo [7]. Las ecuaciones constitutivas son las

de proyecto y, por lo tanto menos rígidas que las reales de los materiales correspondientes.

En general las pilas de puentes dejan apoyar el tablero con apoyos de neopreno o teflón. Esta circunstancia

hace que para cargas permanentes las pilas estén esencialmente sometidas a esfuerzos axiles, no

momentos. Por esta razón, las cargas permanentes solo producen efectos de deformaciones longitudinales,

no curvaturas, y esto hace que los efectos de segundo orden no se vean afectados por los efectos diferidos.

Hay distintas propuestas de expresiones para definir la rigidez equivalente en elementos esbeltos [12], [1].

En este trabajo se propone como rigidez equivalente la que corresponde al punto 2 o 3 de los diagramas

momento curvatura, indicados en las figuras 5-7 y 5-8. Es decir, para axiles moderados, la relación entre el

momento y la curvatura para la que se produce la plastificación del acero traccionado. Para axiles mayores,

que probablemente sean más frecuente en pilas de puentes, la relación entre el momento y la curvatura

para la que se produce la plastificación del acero comprimido. El en la referencia [5] se pone de manifiesto

como estos puntos representan situaciones en las que se produce la mayor pérdida de rigidez y que

representa un estado de esfuerzos y rigidez para el que se produce el equilibrio en situaciones de

inestabilidad.

El diagrama momento curvatura es una información que producen muchos programas. Las decisiones de

proyecto, en cuanto a dimensiones y calidades de los materiales, y el predimensionamiento que se obtiene

con el cálculo lineal inicial, permiten fácilmente determinar la rigidez definida, sin necesidad de

formulaciones simplificadas.

En las figuras siguientes se muestran los diagramas momentos curvaturas de las mismas secciones antes

estudiadas, en donde se representan las rigideces equivalentes propuestas, las rigideces brutas y las

rigideces equivalentes propuestas por el Eurocódigo [7].

28

Figura 5-7 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Circular

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

e (m

)

1/r (km-1)

Pilar Circular

EI P EI b EI EC2

29

Figura 5-8 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Rectangular

Como se puede ver la rigidez propuesta es normalmente intermedia entre la bruta y la propuesta por el

Eurocódigo [7].

6 APLICACIÓN DEL MÉTODO

En este capítulo se muestran una serie de ejemplos en los que se aplica el método propuesto , se discute el

comportamiento de distintas tipologías de puentes frecuentes, se valora, comparándolo con otros

procedimientos, el grado de optimización al que conduce y, finamente, se comprueba con un análisis global

no lineal geométrico y mecánico.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

e (m

)

1/r (km-1)

Pilar Rectangular

EI P EI b EI EC2

30

Se pone de manifiesto como el conocimiento del comportamiento estructural podría conducir a grandes

optimizaciones en el comportamiento de los puentes, si al nivel más conceptual, cuando se define la

propuesta, se tienen en cuenta adecuadamente los fenómenos que se ponen en juego.

Se han estudiado los ejemplos que se indican en la tabla 6-1. Para cada ejemplo se describe el puente,

tipológicamente.

Ejemplo 1 Tres Vanos 28,00-35,00-28,00 m

Pilas 11,00-8,00 m Tablero continuo

Dos neoprenos en cabeza de pila

Pilas de sección circular

Ejemplo 2 Tres Vanos 28,00-35,00-28,00 m

Pilas 11,00-8,00 m Tablero continuo

Un neopreno en cabeza de pila


Ejemplo 3

Cuatro Vanos 30,00-40,00-40,00-30,00 m Pilas 10,00-12,00-8,00 m

Tablero continuo


Pilas de sección

rectangular

Ejemplo 4

Diez Vanos 28,00-35,00…35,00-28,00 m Pilas 11,00 m

Tablero continuo



Ejemplo 5 Diez Vanos 28,00-35,00…35,00-28,00 m

Pilas 11,00 m Tablero con juntas



Tabla 6-1 Ejemplos Estudiados

Seguidamente se describen y discuten los resultados de un primer cálculo elástico lineal de primer orden,

que es el punto de partida.

Para entender bien los resultados y la contribución de cada una de las cargas se presentan los resultados,

primero, de las hipótesis individuales. Estos resultados permiten identificar la contribución de cada una de

las cargas a la combinación pésima.

Después se presentan los resultados de las combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. Estos

resultados permiten conocer las combinaciones que serán más importantes, en relación con los efectos

31

debidos a la esbeltez de las pilas. Como el método propuesto es un análisis no lineal donde no es posible

utilizar el principio de superposición, es imprescindible identificar la combinación más desfavorable.

Se dimensionan las pilas para poder estimar las rigideces fisuradas. Para el dimensionamiento de las

secciones se utilizan las típicas hipótesis establecidas en la normativa vigente [3], [7].

Seguidamente se determinan los esfuerzos realizando un análisis no lineal simplificado geométrico,

utilizando la matriz geométrica, y considerando la no linealidad mecánica de las pilas, con una rigidez media

fisurada.

Con estos resultados se realiza el dimensionamiento definitivo de las pilas. También en este caso se utilizan

las hipótesis clásicas de dimensionamiento en Estado Limite Ultimo indicadas en la normativa [3], [13].

Se discuten los resultados y la influencia de las no linealidades del fenómeno. En cada ejemplo, también, se

ha hecho una comparación entre los resultados obtenidos, a nivel de cuantía, y los que se obtendrían

teniendo en cuenta los criterios simplificados de la EHE-08 [3] y del método propuesto por García [10].

Finalmente con el resultado de cuantías obtenidas se realiza una comprobación haciendo un cálculo global,

teniendo en cuenta la no linealidad geométrica y mecánica, lo que permite estimar el grado seguridad al

que conduce el método propuesto.

Para la realización de este análisis se han seguido los siguientes criterios:

El cálculo se ha realizado con el programa sofistik, que permite tener en cuenta la no linealidad

geométrica y mecánica de las secciones de hormigón armado. Este programa se ha comprobado

con los ejemplos que se muestran en el apartado 4.4.2.

A los efectos de representar el comportamiento no lineal mecánico se han considerado las

siguientes ecuaciones constitutivas, para el hormigón y el acero. Se ha despreciado el efecto del

tensión-stiffening. El comportamiento no lineal de los materiales se ha considerado solo para las

pilas. El tablero se ha considerado, en general, para este estudio con un comportamiento lineal no

fisurado.

Figura 6-1 Ecuación constitutiva del hormigón empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-4-3-2-10

HA-30

32

Figura 6-2 Ecuación constitutiva del acero empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico.

Estas ecuaciones constitutivas son conservadoras porque en un análisis no lineal mecánico sería posible

incluso utilizar resistencias medias.

Se ha hecho un cálculo incremental en el que se han incrementado las cargas proporcionalmente a

sus coeficientes de mayoración, para mantener la relación de cargas en todas las etapas de cálculo.

El puente se considera que ha llegado a la máxima capacidad resistente cuando alguno de los

elementos estructurales que lo constituyen llega a la rotura de alguna de las secciones de sus pilas.

6.1 EJEMPLO 1

Paso superior con tablero continuo pretensado de tres vanos y pilas de 11,00 y 8,00 m de altura. En este caso

las pilas tienen un travesaño transversal en la parte superior en donde el tablero apoya en dos neoprenos

con cierta capacidad de empotramiento transversal mientras que longitudinalmente el giro de la parte

superior de la pila es libre.

En este primer ejemplo se estudia un paso superior con pilas esbeltas. Las pilas están constituidas por fustes

cilíndricos de gran esbeltez. Tienen un diámetro de 1,00 m y una altura de 11,00 y 8,00 m respectivamente.

En la dirección transversal los fustes tienen sendas ménsulas donde se apoya el tablero.

El tablero tiene tres vanos de 28,00 + 35,00 + 28,00 m. El tablero es pretensado con armadura postesa. La

sección transversal es aligerada.

El tablero está apoyado sobre dos neoprenos por pila de dimensiones de 600x600x70 mm3, separados a

3,00 m. En los estribos el tablero se apoya sobre dos neoprenos de 450x450x90 mm3, separados 3,6 m. Esta

configuración de apoyos en pilas permite una rotación según el eje transversal y un empotramiento elástico

según el eje longitudinal, fuertemente dependiente de la rigidez a torsión y de la vinculación del tablero al

estribo.

En la figura6-3 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.

En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-20 -10 0 10 20

B 500 S

33

Figura 6-3 Planta y Alzado del puente del ejemplo 1

El hormigón que se ha escogido para el dimensionamiento de los fustes es un HA-30.

34

Figura 6-4 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 1

Para la armadura pasiva se ha considerado un acero B-500-S. La ecuación constitutiva empleada es bilineal

sin considerar la pendiente positiva de la segunda rama, y tomando como módulo de deformación

longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.

Figura 6-5 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 1

Se han utilizado las cargas y combinaciones establecidas en la Instrucción sobre Acciones a Considerar en

el Proyecto de Puentes de Carretera (1998). Se utiliza esta versión ya que este trabajo parte del trabajo de

García[10] y se consideró utilizar las mismas condiciones en los ejemplos para comparar con sus resultados,

pero los resultados presentados en este trabajo son extrapolables a las cargas propuestas por las versiones

más recientes de la normativa.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4

𝜎

ε

HA-30 FS 0.85/1.5

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-15 -10 -5 0 5 10 15

𝜎

Título del eje

B 500 S FS 1/1.15

35

ACCIONES

PERMANENTES (G)

Peso Propio del Tablero 158 kN/m

Peso Propio de las pilas 19.6 kN/m

Pavimento, imposta y barreras de seguridad 48.8 kN/m

ACCIONES VARIABLES (Q)

Tráfico (Q1)

Vertical

Carga Uniforme 4 kN/m2

Carro 600 kN

Horizontal

Frenado 1.9 kN/m

ACCIONES AMBIENTALES

Viento Transversal Tablero (Q2) 10.5 kN/m

Viento Transversal Pilas (Q2) 1.5 kN/m

Viento Longitudinal Pilas (Q2) 1.5 kN/m

Temperatura del Tablero (Q3) 35 ºC

Tabla 6-2 Acciones consideradas Ejemplo 1

Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3

Tabla 6-3 Combinación de acciones

En la tabla6-4 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas consideradas

en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y temperatura

longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el dimensionamiento de

las pilas.

36

Tabla 6-4 Hipótesis de Carga Ejemplo 1

Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.

El viento transversal, tanto en el tablero como localmente en las pilas, produce momentos de eje

longitudinal en las pilas. Es importante ver que estos momentos son prácticamente de la misma magnitud

y distinto signo en cabeza y empotramiento. Esto es debido a que la pila tiene un sistema de apoyo del

tablero que le produce una coacción. La capacidad resistente a torsión del tablero, empotrado a torsión en

los estribos, produce un grado importante de empotramiento de la parte superior de las pilas.

La variación longitudinal de temperatura produce en las pilas momentos de eje transversal. Estos

momentos son nulos en cabeza y máximos en el empotramiento de las pilas. Estos momentos son

asimismo, opuestos en ambas pilas y ligeramente mayores en la pila más corta, más rígida.

De este análisis se puede ver que las pilas tienen esfuerzos de flexión debidos a las hipótesis de viento

transversal y de temperatura longitudinal. Por lo tanto las combinaciones condicionantes para el proyecto

de las pilas esbeltas son las que incluyan estas hipótesis.

Otro aspecto muy importante de este análisis es la importancia que tiene el empotramiento que produce

el tablero en la pilas, en la dirección transversal. Este efecto, importante para las pilas en este caso, permite

mejorar de forma fundamental el comportamiento de las pilas esbeltas.

En la tabla 6-5 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite

Último, obtenidas a partir del análisis lineal.

sup inf sup inf sup inf




0.00.00.0-7442.5

N

0.0

0.00.0

0.00.0

0.00.0

0.00.0

N

-1419.31227.5

-1467.31304.4

0.0

Tem

per

atu

ra (

Q3)

Pila 1

231.30.0

-220.30.0

Pila 2

My Mz

0.0

0.00.0

0.0

0.00.0

My Mz

0.0

-982.5-982.5

-978.6-978.6

0.00.0

-7413.5-7256.7Pila 2

N

-7226.9Pila 1 0.0

SCU

(Q

1)

Pila 1

Pila 2 0.0

0.00.0

N My Mz

My Mz

Car

ga P

erm

anen

te (

G)

0.00.00.00.0

Vie

nto

(Q

2)

Pila 1

Pila 2

0.0

0.0

37

Tabla 6-5 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.

En la figura 6-6, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de

hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. La armadura se

dispone uniforme a lo largo de toda la longitud. Como puede verse la combinación III es la que resulta

condicionante y corresponde a la situación con máxima carga transversal de viento y temperatura

longitudinal concomitante.

sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf






0.0

0.0 227.8 1675.0 2282.4 40.2 96.5

-224.5 1853.0 2344.8 56.3 104.6

1005.0 1414.8 32.2 32.2

CO

MB

VI

N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)

Pila 2 7256.0 7413.0 1675.0 -2271.0

As (cm2)

Pila 1 7228.0 7444.0 1853.0 -2334.0

-1363.0 0.0

Pila 1 8109.0 8325.0 1112.0 -1401.0 0.0 -374.0

379.5

502.5 -681.3 0.0 227.9 502.5 32.2 32.2

CO

MB

V

N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)

CO

MB

IV

1112.0 1450.1 32.2 32.2

Pila 2 8141.0 8297.0 1005.0

As (cm2)

Pila 1 8696.0 8912.0 556.0 -700.3 0.0


-224.6 556.0 735.4

718.4

32.2 32.2

Pila 2 8730.0 8887.0

0.0

0.0 227.8 1675.0 2282.4 72.4 129.0

-224.5 1853.0 2344.8 88.5 137.0

1005.0 1414.8 32.2 64.4

CO

MB

III


Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0

As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0

1005.0 -1363.0 0.0

379.5

Pila 1 10641.0 10932.0 1112.0 -1401.0 0.0 -374.0

379.5

11484.0 502.5 -681.3 0.0 227.9 502.5 32.2 32.2

CO

MB

II


CO

MB

I

1112.0 1450.1 32.2 64.4

Pila 2 10683.0 10895.0

As (cm2)

Pila 1 11230.0 11520.0 556.0 -700.3 0.0


-224.6 556.0 735.4

718.4

32.2 32.2

Pila 2 11273.0

38

Figura 6-6 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.

En las figura6-7 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la

combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez

bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del

hormigón (Ec 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el

apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)a)

Dimensionamiento Lineal Pila 1 (17 Φ 32)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)b)

Dimensionamiento Lineal Pila 2 (16 Φ 32)

39

Figura 6-7 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de

11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.

En la tabla 6-6 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo

no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica.

13

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)a)

Pila 1

EI Pseudo No Lineal EI EC2 EI bruta

13

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)b)

Pila 2

EI Pseudo No Lineal EI EC2 EI bruta

40

Tabla 6-6 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas.

De los resultados que se muestran en la tabla se pueden deducir distintas cuestiones:

i. Las pilas tienen menores esfuerzos. Esto es debido a la redistribución de esfuerzos que se

produce debido al comportamiento no lineal y al efecto de la esbeltez, que supone

esencialmente una mayor flexibilidad del sistema. Como puede verse en los resultados que se

muestran en la tabla 6-7, donde se muestra el reparto de las cargas horizontales entre los

estribos y pilas, al perder rigidez las pilas los esfuerzos se transfieren hacia los estribos. Este

efecto debe tenerse en cuenta para el dimensionamiento de apoyos en los estribos y de los

estribos propiamente dichos. También puede tenerse en cuenta este efecto para mejorar el

diseño del puente, respecto comportamiento de las pilas, imponiendo una coacción mayor en

los estribos y rigidizando, de esta forma, más el tablero.



LIN

EAL


-2344.77 88.50Pila 1 9760.00 10051.00 1853.00 -2334.00 0.00 224.50 1853.00 137.00

227.80 1675.00 -2282.40 72.40 129.00

-1905.97 72.40 96.50

Md (kNm) As (cm2)

PSEU

DO

NO

LIN

EAL

PRO

PUES

TO N (kN) My (kNm) Mz (kNm)

Pila 2 9799.00 10010.00 1675.00 -2271.00 0.00

Pila 1 9760.00 10051.00 1712.00 -1903.00

Pila 2 9799.00 10010.00 1889.00 -2131.00 0.00

0.00 106.40 1712.00

131.00 1889.00 -2135.02 88.50 121.00

α

V (kN)

Estribo 1

Pila 1

Pila 2

Estribo 2 1.00268.1

1.00484.3

1.00368.3

1.00312.6

LIN

EAL

Relación de Fuerzas

α

Pila 1

Pila 2

Estribo 2 1.23

0.92

0.70

1.28

PSEU

DO

NO

LIN

EAL

PRO

PUES

TO Relación de Fuerzas

328.7

445.1

259.2

400.2

V (kN)

Estribo 1

41

Tabla 6-7 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación de hipótesis III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

ii. Se puede ver también, que los esfuerzos debidos a la variación uniforme de temperatura del

tablero disminuyen. Esto es lógico también, porque al disminuir las rigideces disminuye la

coacción debida a las pilas y disminuyen los esfuerzos debidos a las deformaciones impuestas,

como es la temperatura en el tablero.

iii. Los momentos en el tablero aumentan, tal como se muestra en la figura 6-8. Esto también es

lógico porque al flexibilizarse las pilas su coacción disminuye y el flector del tablero aumenta.

Este es otro aspecto que hay que tener en cuenta en el proyecto, para comprobar si la hipótesis

de comportamiento con rigidez bruta del tablero es adecuada y si es necesario algún refuerzo

adicional para esta situación. Esta última comprobación no es normal pero necesaria, sobre

todo en la línea de que no se estudia toda la información que se tiene disponible de todos los

cálculos que realizan.

α

NO

LIN

EAL

G+

M

V (kN)

Estribo 1 401.7 1.29

Pila 1 252.9 0.69

Pila 2 454.2 0.94

Estribo 2 324.5 1.21


-8000

-6000

-4000

-2000

0

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L (m)a)

Ley de Momentos en Tablero

Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal

42

Figura 6-8 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

iv. Los esfuerzos torsores en el tablero no sufren grandes cambios porque el tablero se conserva

con una rigidez lineal en todos los cálculos realizados, solo cambia la capacidad de

empotramiento debido a la disminución de la rigidez de las pilas. Este aspecto también debe

ser comprobado para ver la idoneidad de las hipótesis adoptadas en el cálculo pseudo no lineal.

Hay que comprobar si los esfuerzos de torsión son suficientes para disminuir la rigidez

torsional del tablero, de forma notable, para reconsiderar las hipótesis de rigidez no fisurada

adoptada.

v. En la figura 6-9 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos

cálculos realizados. En estas figuras se puede ver que para las cargas finales las excentricidades

están prácticamente en la dirección transversal. Además se puede ver que están contenidas en

un plano. En general cuando hay esfuerzos de flexión biaxial puede que las excentricidades no

estén en el mismo plano. Este comportamiento en pilas de puente es debido a que las

combinaciones pésimas para las pilas son normalmente, fundamentalmente en una dirección.

-2000

-1000

0

1000

2000

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (

kNm

)

L (m)b)

Ley de Momentos Torsores en Tablero


-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 1


43

Figura 6-9 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no líneal y no lineal mecánico y geométrico.

Con los esfuerzos obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final

de las pilas. En la figura 6-10 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas según el comportamiento

pseudo no lineal propuesto y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura final obtenida.

Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido, según los

esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, aun cuando los esfuerzos utilizados para el

dimensionamiento final tienen en cuenta el comportamiento no lineal geométrico y mecánico, aunque de

forma simplificada, debido a redistribuciones de esfuerzos y activación de mecanismos que normalmente

se desprecian, efecto de la rigidez a flexión horizontal del tablero o del empotramiento de las pilas por la

rigidez y empotramiento a torsión del tablero, el dimensionamiento puede ser menor que el determinado

inicialmente con un cálculo elástico, sin tener en cuenta el segundo orden. En estos casos, se propone

mantener el dimensionamiento obtenido inicialmente con los esfuerzos elásticos, porque es el que es

compatible con la estimación de rigidez realizada para el pseudo cálculo no lineal propuesto.

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 2

No Lineal G+M lineal Pseudo No Lineal

44

Figura 6-10 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.

Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad

geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en

cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.

En las figura 6-11 se muestran los diagramas de interacción de la pila P1, de 11,00 m de altura. En ella se

muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite Último utilizado para el

dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de interacción correspondiente a la

sección de esta pila y con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón y del acero que para el diagrama

de interacción anterior pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se

representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado esta

evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y

geométrico.

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

Pseudo No Lineal Lineal

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


45

Figura 6-11 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no

lineal y no lineal mecánico y geométrico.

En la figura 6-12 se muestran los mismos diagramas y esfuerzos para la pila P2 de 8,00 m de altura.

Figura 6-12 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no

lineal y no lineal mecánico y geométrico.

Como puede verse en la figura 6-12, la estructura falla porque se alcanza la rotura definida por el diagrama

de interacción sin coeficientes de minoración del material para la sección inferior de la pila P2. Para esta

situación el coeficiente global de seguridad es de 2,27, y por lo tanto se puede decir que confirma la validez

del método.

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1Inf No Lineal Inf Lineal Sup No Lineal

Sup Lineal Pseudo No lineal inf

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal

Inf No Lineal Psedo No Lineal Sup

46

Puede verse que los esfuerzos de la sección inferior de la pila P1 evolucionan más lentamente que los

previstos en el análisis lineal, por todas las razones antes expuestas. Por el contrario los esfuerzos en la

sección superior son mayores que los previstos según el cálculo lineal. Esto mismo ocurre en la pila P2.

Debido a la pérdida de rigidez de las pilas, por el comportamiento no lineal y por los efectos de segundo

orden, y a que la rigidez a torsión se mantiene aumenta la capacidad de coacción del tablero en el extremo

superior de la pila respecto al comportamiento elástico. Por otra parte los esfuerzos debidos a las cargas de

viento se redistribuyen y disminuyen respecto a los elásticos. Por último, y aun cuando aparecen esfuerzos

de segundo orden debido a la no linealidad geométrica, los esfuerzos finales son menores que los elásticos.

En las figuras 6-13 y 6-14 se muestran los momentos, debidos a distintos efectos, que componen los

momentos finales de las pilas P1 y P2, respectivamente, para el estado la combinación III y para los tres

métodos utilizados.

1853.00 kNm -4048.00 kNm -136.13 kNm -2331.13 kNm 33.61 mm

a) b) c) f)

Lineal Comb III Pila 1

+ + =

1953.00 kNm -136.00 kNm -3729.00 kNm -413.40 kNm -2325.40 kNm 41.13 mm

a) b) c) d) f)

No Lineal G+M Comb III Pila 1

+ + + =

47

Figura 6-13 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.


a) b) c) d) f)

Pseudo No Lineal Comb III Pila 1

+ + + =

1675.00 kNm -3872.00 kNm -72.00 kNm -2269.00 kNm 18.31 mm

a) b) c) f)

+ + =



a) b) c) d) f)


+ + + =

48


Como puede verse los momentos según el cálculo lineal no tienen en cuenta los efectos de segundo orden.

Como puede verse el efecto de la coacción del tablero a torsión, produce un momento constante (a) en las

pilas que es de distinto signo que todos los demás momentos que se generan: debidos al cortante actuando

en el extremo de la pila producido por el viento transversal actuando sobre el tablero (b), debido al viento

transversal actuando directamente en la pila (c).

Los momentos según el pseudo cálculo no lineal si tiene en cuenta los efectos de segundo orden (d), de

acuerdo con las deformaciones de las pilas (f), pero los efectos de primer orden son menores que los

estimados con el cálculo lineal. Para el mismo estado de cargas el cálculo no lineal mecánico y geométrico,

da resultados similares, lo que pone de manifiesto que la simplificación propuesta resulta adecuada.

Esta misma situación se produce en relación al reparto de cortantes entre las pilas y los estribos, que se

muestran en la figura 6-7.

En las figuras 6-15 y 6-16 se muestra para las dos pilas los momentos y su composición, para el estado de

carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, se mantiene el

comportamiento explicado solo que las cargas y, lógicamente, las deformaciones de las pilas crecen, no

linealmente.


a) b) c) d) f)


+ + + =

2595.00 kNm -205.55 kNm -5671.60 kNm -3282.15 kNm 50.75 mm

a) b) c) f)

Lineal Rotura Pila 1

+ + =

49

Figura 6-15 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método no lineal mecánico y geométrico.


a) b) c) d) f)

No Lineal G+M Rotura Pila 1

+ + + =


a) b) c) d) f)

Pseudo No Lineal Rotura Pila 1

+ + + =

2345.00 kNm -108.72 kNm -5423.20 kNm -3186.92 kNm 27.60 mm

a) b) c) d) f)


+ + =

50

Figura 6-16 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método no lineal mecánico y geométrico.

Finalmente se han dimensionado las pilas con otros métodos, para compararlos con el método propuesto.

Los métodos utilizados son los que se describen sucintamente a continuación:

i. Método propuesto por la EHE-08 [3]. En este caso se han supuesto que las pilas tiene una

longitud de pandeo igual al doble de la altura. Es lo mismo que suponer que se trata de una pila

empotrada en la cimentación y libre en el extremo superior. Se han utilizado los momentos

máximos obtenidos en un cálculo lineal y se han supuesto actuando con valor constante en

toda la longitud. El dimensionamiento se hace con el momento de primer orden obtenido y el

de segundo orden que se obtiene con la formulación simplificada de la EHE-08 [3].

ii. Método de la Rigidez nominal propuesto por el Eurocódigo [7]. Se dimensiona la sección con

los mismos momentos obtenidos que en el caso anterior y con la formulación simplificada

propuesta por el Eurocódigo [7].

iii. Método propuesto por el Model Code [8].Se dimensiona la sección con los mismos

momentos obtenidos en el caso anterior y con la formulación simplificada propuesta por el

Model Code [8]

iv. Método propuesto por García [10]. En este caso se determina la longitud de pandeo, con un

método simplificado, teniendo en cuenta el efecto la interacción del resto de las pilas.

Determinada la longitud de pandeo se puede dimensionar la pila utilizando el método de la

columna modelo, iterativamente.


a) b) c) d) f)


+ + + =


a) b) c) d) f)


+ + + =

51

En la figura 6-17 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para las

dos pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.

La razón es porque se tiene en cuenta el efecto de la interacción de la estructura y las pilas esbeltas en todas

sus manifestaciones.

Figura 6-17 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.

Debido a la importancia que tiene la rigidez a torsión del tablero se ha hecho un estudio de sensibilidad para

ver su influencia. Se ha estudiado el mismo ejemplo anterior con una rigidez a torsión del tablero que es el

50 % y el 10 % de la rigidez bruta que se ha considerado inicialmente. Se ha aplicado el procedimiento

propuesto.

Las hipótesis independientes según un cálculo elástico da los mismos resultados que para el caso anterior

excepto para el viento transversal, tal como se muestra en la figura6-18 para la hipótesis del viento

transversal, que es la única afectada por la variación de rigidez a torsión. A medida que disminuye la rigidez

a torsión disminuye la capacidad de empotramiento del tablero y, por lo tanto, disminuye también el

momento superior de los soportes. Esta situación es poco importante para una disminución del 50 % de la

rigidez mientras que puede ser importante para una disminución de la rigidez a torsión de hasta el 10 %.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

Pila 11m Pila 8m

ρ(%

)

Dimensionamiento con los Distintos Métodos

M. Code EC-2 (R.N.) EHE-08 JG M.P.

52

Figura 6-18 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.

La combinación condicionante es la III. En la tabla 6-8 se muestran los esfuerzos de la combinación III de las

pilas para los tres casos estudiados. Como puede verse los momentos disminuyen en la parte superior de

las pilas y aumentan en la parte inferior con la disminución de la rigidez y, consecuentemente, también

aumentan las cuantías.

Tabla 6-8 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.

En la figura 6-19 se muestran los esfuerzos de la combinación III para las distintas situaciones de rigidez

estudiadas y los diagramas de interacción correspondientes a las cuantías de dimensionamiento preliminar.

0

2

4

6

8

10

-4000 -2000 0 2000

L (m

)

M (kNm)

Pila 1

G=100% G=50% G=10%

0

2

4

6

8

10

-3000 -1000 1000 3000L

(m)

M (kNm)

Pila 2

G=100% G=50% G=10%




874.7 2859.1 32.2 185.0

1525.0 2389.9 56.3 144.8

Md (kNm) As (cm2)

Md (kNm) As (cm2)

1853.0 2344.8 88.5 137.0

1675.0 2282.4 72.4 129.0

Md (kNm) As (cm2)

1701.0 2389.6 72.4 144.8

1023.0 2590.7 32.2 160.9

Co

mb

III G

=10

%

N (kN) My (kNm) Mz (kNm)

Pila 1 10051.0 1023.0 -2581.0 0.0 224.5

227.8Pila 2 9799.0 10010.0 874.7 -2850.0 0.0

9760.0

227.8

0.0

Pila 2 9799.0 10010.0 1525.0 -2379.0 0.0

9760.0 10051.0 1701.0 -2379.0 0.0 224.5

227.8

Co

mb

III G

=50

%


Pila 1

Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0Co

mb

III G

=10

0%

N My Mz

Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0 0.0 224.5

53

Figura 6-19 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía preliminar de dimensionamiento, para las distintas rigideces a torsión consideradas.

En la figura 6-20 se muestran las rigideces equivalentes calculadas, según el procedimiento descrito en 5.3.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

DimensionamientoLineal Pila 1

0.1G 0.5G 1G

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)


0.1G 0.5G 1G

54

Figura 6-20 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para las distintas rigideces a torsión consideradas.

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)a)

Pila 1 G=100%

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)b)

Pila 2 G=100%

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)c)

Pila 1 G=50%

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)d)

Pila 2 G=50%

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)e)

Pila 1 G=10%

1

3

4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 2 4 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)f)

Pila 2 G=10%

55

En la tabla 6-9 se muestran los distintos resultados obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto, para

las distintas rigideces a torsión consideradas.

Tabla 6-9 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.

En la figura 6-21 se muestran los esfuerzos elásticos y los obtenidos según el comportamiento pseudo no

lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las

distintas rigideces a torsión consideradas.




1161.0 -2274.0 0.0 143.0 1161.0 2278.5 32.2 128.7

107.0 1640.0 1923.0 64.3 96.5

80.4 121.0

1889.0

As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 1033.0 -1791.0 0.0 113.0 1033.0 1794.6 32.2 88.5

Pila 2 9799.0 10010.0

9799.0 10010.0 1816.0 -2198.0 0.0 140.0 1816.0 2202.5

Pseu

do

No

Lin

eal G

=10

% N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)

0.0 131.0 1889.0 2135.0 88.5 121.0

Pseu

do

No

Lin

eal G

=50

% N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 1640.0 -1920.0 0.0

Pseu

do

No

Lin

eal G

=10

0%

Pila 2

N My Mz Md (kNm) As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 1712.0 -1903.0 0.0 106.4 1712.0 1906.0 72.4 96.5

Pila 2 9799.0 10010.0 -2131.0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

0.1G 1G y 0.5G

56

Figura 6-21 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión consideradas.

Como puede verse con la disminución de rigidez las cuantías aumentan pero se mantiene el

comportamiento que se evidenció en el caso anteriormente estudiado, las redistribuciones debidas al

comportamiento no lineal y las desrigidización que comporta el efecto de la no linealidad geométrica

transfiere los esfuerzos a los estribos y disminuye los esfuerzos en las pilas.

Tabla 6-10 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y para las distintas rigideces a torsión utilizadas.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

0.1G 1G y 0.5G

R. a Tor. 1.0 0.5 0.1

Estribo 1

Pila 1

Pila 2

Estribo 2

Lin

eal

V (kN)

303.6

456.6

315.2

357.8

274.8

478.9

358.6

320.9

268.1

484.3

368.3

312.6

R. a Tor. 1.0 0.5 0.1

Estribo 1

Pila 1

Pila 2

Estribo 2

Pseu

do

No

Lin

eal

350.7332.8328.7

420.1442.5445.1

244.3252.4259.2

418.1405.6400.2

V (kN)

R. a Tor. 1.0 0.5 0.1

V (kN)

Estribo 2

Pila 2

Pila 1

Estribo 1

No

Lin

eal G

+M 465.700410.9401.7

380.900333.5324.5

403.900445.4454.2

182.800243.5252.9

57

En la figura 6-22 se muestran los momentos horizontales y los torsores, en el tablero, para los distintos tipos

de cálculos realizados y para los distintos tipos de rigidez a torsión estudiados.

-6000

-4000

-2000

0

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L(m)

Ley Lineal de Momentos en Tablero

1G 0.5G 0.1G

-3000

2000

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L (m)a)

Ley Lineal de Momentos Torsores en Tablero

1G 0.1G 0.5G

-8000.000

-3000.000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L (m)

Ley Pseudo No Lineal de Momentos en Tablero

1G 0.5G 0.1G

-2000

3000

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (

kNm

)

L (m)b)

Ley Pseudo No Lineal de Momentos Torsores en Tablero

1G 0.1G 0.5G

58

Figura 6-22 Momentos horizontales y torsores en el tablero para los distintos tipos de cálculos realizados y rigideces a torsión estudiadas. a) calculo lineal. b) pseudo no lineal. c) no lineal mecánico y geométrico.

Como se puede ver los momentos horizontales aumentan a medida que disminuye la rigidez a torsión

porque la eficiencia de las pilas disminuye. También aumenta con el tipo de cálculo. Cuanto mas no

linealidades se tienen en cuenta menos rígido es el sistema.

También se confirma que el método pseudo no lineal propuesto da resultados similares al no lineal

mecánico y geométrico.

En todos los casos se ha realizado asimismo un cálculo no lineal mecánico y geométrico para comprobar el

método propuesto. En la figura 6-23 se muestran los resultados para el pilar que condiciona el

comportamiento del puente. En ella se muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite

Último utilizado para el dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de

interacción correspondiente a la sección de esta pila obtenido con las mismas ecuaciones constitutivas del

hormigón y del acero con coeficiente y sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura

se representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado

esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y

geométrico y las distintas rigideces a torsión estudiadas.

-9000.000

-4000.000

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L (m)

Ley No Lineal de Momentos en Tablero

1G 0.5G 0.1G

-2000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M

(kN

m)

L (m)c)

Ley No Lineal de Momentos Torsores en Tablero

1G 0.1G 0.5G

59

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2 G=100%

Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal

Inf No Lineal Pseudo No Lineal Inf

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2 G=50%

Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal

60

Figura 6-23 Diagrama de interacción de la sección de la pila 2 de 8,00 m con las ecuaciones constitutivas con y sin coeficientes de minoración. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no

lineal y no lineal mecánico y geométrico y para las distintas rigideces a torsión estudiadas.

Como puede verse los cálculos realizados confirman que la seguridad de las pilas, dimensionadas con el

método propuesto es adecuada. En la tabla 6-11 se muestran los valores de los coeficientes de seguridad

global obtenidos.

CASO C.S.

G=100% 2.27

G=50% 2.21

G=10% 2.01

Tabla 6-11 Coeficientes de seguridad globales para los distintos casos estudiados.

En la figura 6-24 se muestra una comparación de las cuantías obtenidas con el procedimiento propuesto,

para las distintas rigideces estudiadas. Como puede verse para que la pérdida de rigidez a torsión tenga una

influencia significativa en las cuantías esta debe ser muy importante.

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2 G=10%

Inf. (No Lineal) Inf. (Lineal) Sup. (No Lineal) Sup. (Lineal) Pseudo NL sup

61

Figura 6-24 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión estudiadas.

También se ha dicho que la información generada por el método propuesto, desde el propio análisis lineal,

permite tomar medidas para mejorar el proyecto propuesto.

En este sentido se ve claro que una posibilidad de mejorar conceptualmente la propuesta es fijar el tablero

horizontalmente en los estribos. Esta coacción del tablero en los estribos y la capacidad del mismo a trabajar

eficientemente como viga horizontal, puede mejorar comportamiento de las pilas esbeltas,

sustancialmente.

Normalmente los estribos tienen una capacidad resistente superabundante, por su configuración, a fuerzas

horizontales. No obstante, si se apoya el tablero en los estribos debe comprobarse para los momentos de

eje vertical que se generan.

El tablero para ser eficiente en esta función tiene que tener una rigidez y resistencia horizontal adecuada.

La rigidez dependerá de la longitud entre estribos y anchura. También hay que tener en cuenta la rigidez

real en estado límite último. Debe pensarse que puede fisurarse y puede perder rigidez. Para tableros con

esbelteces horizontales, relación entre la longitud total del tablero dividido por su ancho, del orden de 20 o

menores la coacción en las pilas puede ser muy eficiente.

Normalmente los tableros tienen una capacidad resístete a esfuerzos horizontales importante,

especialmente si se tiene en cuenta que cuando actúan fuerzas horizontales como preponderantes no hay

concomitancia, al 100 %, de otro tipo de fuerzas. Estas capacidades deben ser valoradas y utilizadas

adecuadamente.

Para mostrar esta posibilidad se ha realizado el ejemplo primero pero, esta vez, fijando horizontalmente el

tablero en los estribos. Esta hipótesis es muy fácil de materializar en el estribo. En este caso la esbeltez

horizontal del tablero es de 9,1, es decir, el tablero tiene una rigidez horizontal importante. Además es un

tablero pretensado y por lo tanto con una capacidad resistente horizontal muy importante y con una rigidez

para en Estado Límite Último, también importante.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Pila 1 Pila 2

ρ (

%)

Comparación de Cuantías

G=100% G=50% G=10%

62

Se ha aplicado el procedimiento propuesto.

Las hipótesis independientes dan los mismos resultados excepto para el viento transversal, tal como se ha

nuestra en la figura 6-25 y la tabla 6-12.

Figura 6-25 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En este caso se mantiene el empotramiento a torsión dado por el tablero pero mejora el reparto de las

fuerzas horizontales entre pilas y estribo por lo que los esfuerzos son menores en las pilas.

La combinación condicionante es la III. En la tabla 6-12 se muestran los esfuerzos de las pilas para los dos

casos estudiados.

Tabla 6-12 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En la figura 6-26 se muestran los esfuerzos de la combinación III para las los dos casos estudiados y los

diagramas de interacción correspondientes a las cuantías de dimensionamiento preliminar.

0

2

4

6

8

10

-2000 -1000 0 1000 2000

L (m

)

M (kNm)a)

Pila 1

Sin Coacción Con Coacción

0

2

4

6

8

10

-2000 -1000 0 1000 2000L

(m)

M (kNm)b)

Pila 2



0.0

0.0 227.8 1675.0 2282.4 72.4 129.0

-224.5 1853.0 2344.8 88.5 137.0

CO

MB

III


Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0

As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0


281.8 -413.3 0.0 227.8 281.8 471.9 32.2 32.2

CO

MB

III C

on

Co

acci

ón N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)

Pila 1 9760.0 10051.0 293.8 -418.8 0.0 224.5 293.8 475.2 32.2 32.2

Pila 2 9799.0 10010.0

63

Figura 6-26 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía preliminar de dimensionamiento, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En la figura 6-27 se muestran las rigideces equivalentes calculadas, según el procedimiento descrito en 5.3.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

Con Coacción Sin Coacción

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


64

Figura 6-27 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En la tabla 6-13 se muestran los distintos resultados obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto, para

los distintos casos considerados.

1 34

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 1

EI Pseudo No Lineal Con Coacción EI Pseudo No Lineal Sin Coacción

1 34

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 2

EI Pseudo No Lineal Con Coacción EI Pseudo No lineal Sin Coacción


1889.0 2131.0 0.0 131.0 1889.0 2135.0 88.5 121.0Pseu

do

No

Lin

eal


Pila 1 9760.0 10051.0 1712.0 1903.0 0.0 106.4 1712.0 1906.0 72.4 96.5

Pila 2 9799.0 10010.0


-65.2 169.5 232.6 32.2 32.2

Pila 2 9799.0 10010.0 237.6 -274.7 0.0 96.8 237.6 291.3 32.2 32.2Pseu

do

No

Lin

eal


Pila 1 9760.0 10051.0 169.5 -223.3 0.0

65

Tabla 6-13 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En la figura 6-28 se muestran los esfuerzos obtenidos según el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de

interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre

neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

Figura 6-28 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo elástico y pesudo no lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el

estribo

Como puede verse fijar el tablero horizontalmente en el estribo tiene un efecto muy favorable para el

comportamiento de las pilas.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

Con Coacción

66

Tabla 6-14 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

En la figura 6-29 se muestran los momentos horizontales, cortantes y los torsores, en el tablero, para los

distintos tipos de cálculos realizados, para los dos caos estudiados. Todos los cálculos muestran la misma

tendencia.

Tipo Sin C. Con C.

LIN

EAL

V (kN)

Estribo 1 312.6 656.40

Pila 1 368.3 52.40

Pila 2 484.3 77.89

Estribo 2 268.1 646.58

Tipo Sin C. Con C.

PSEU

DO

NO

LIN

EAL

PRO

PUES

TO

V (kN)

Estribo 1 400.2 692.74

Pila 1 259.2 14.19

Pila 2 445.1 46.28

Estribo 2 328.7 680.04

Tipo Sin C. Con C.

NO

LIN

EAL

G+

M

V (kN)

Estribo 1 401.7 665.86

Pila 1 252.9 41.58

Pila 2 454.2 71.43

Estribo 2 324.5 654.38

-20000

0

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M (

kNm

)

L (m)

Ley Lineal de Momentos en Tablero

Sin Coaccion Con Coacción

67

Figura 6-29 Momentos horizontales, cortantes y torsores en el tablero para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

Como se puede ver los momentos horizontales aumentan cuando se fija el tablero en los estribos. A pesar

de todo, estos momentos son perfectamente resistidos por el tablero, posiblemente sin tener que

aumentar la armadura que existe por otras razones.

De la ley de cortante y de los datos de la tabla 6-14, se deduce que la fuerza horizontal el paramento superior

del estribo aumenta considerablemente. No obstante son también esfuerzos gestionables para el estribo y

su cimentación.

En todos los casos se ha realizado asimismo un cálculo no lineal mecánico y geométrico para comprobar el

método propuesto. En la figura 6-30 se muestran los resultados para el pilar que condiciona el

comportamiento del puente. En ella se muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite

Último utilizado para el dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de

interacción correspondiente a la sección de esta pila con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón

y del acero pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se representa la

evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado esta evolución para

los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y los

distintos casos de apoyo del tablero en el estribo estudiados.

-2000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M

(kN

m)

L (m)

Ley Lineal de Momentos Torsores en Tablero

sin Coacción Con Coacción

-700

-200

300

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90V (

kN)

L (m)

Cortante Lineal en Tablero

Cortante scon Coacción Cortante sin Coaccion

68

Figura 6-30 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último con y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no

lineal y no lineal mecánico y geométrico y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

El coeficiente de seguridad en este caso es mayor de 3,45, para el cual se ha detenido el cálculo. Esto

confirma la mejora de comportamiento que tienen las pilas con esta disposición.

Como puede verse el comportamiento de las pilas mejora muy considerablemente pero los esfuerzos en

el tablero, frente al momento horizontal, y en los estribos, para la carga horizontal que se produce,

aumentan considerablemente y tienen que ser adecuadamente comprobados.

En la figura 6-31 se muestra una comparación de las cuantías obtenidas con el procedimiento propuesto,

para los dos casos estudiados. Como puede verse cuando se fija el estribo las pilas funcionan mejor y por lo

tanto requieren menor cuantía.

Figura 6-31 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

Pila 11m Pila 8m

ρ(%

)

Dimensionamiento con los distintas configuraciones


69

En cualquier caso es muy importante que para que sea efectivo de la sujeción del tablero en el estribo sea

efectivo que se compruebe el comportamiento del tablero, a flexión horizontal, y del estribo, que tendrá

que resistir unas reacciones horizontales mayores.

6.2 EJEMPLO 2 Paso superior de tres vanos con tablero continuo pretensado y pilas de 11,00 y 8,00 m de altura. Las pilas

son circulares con un diámetro de 1m.

Se trata de un paso superior de tres vanos de 28,00 + 35,00 + 28,00. El tablero es pretensado de sección tipo

losa aligerada de 10,00 m de anchura y 1,60 m de canto.

El tablero está apoyado sobre cada pila a través de un solo neopreno, lo que permite en giro en cualquier

dirección en cabeza de pilas no transmitiendo ningún tipo de coacción del tablero hacia las pilas. En los

estribos se han dispuesto dos neoprenos de 450x450x90 mm3 y separados a 3,60 m.

En la figura 6-32 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.


70

Figura 6-32 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 2.








el Proyecto de Puentes de Carretera (1998).

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

𝜎

𝜀

HA-30 FS 0.85/1.5

-600

-400

-200

0

200

400

600

-15 -10 -5 0 5 10 15

𝜎

𝜀

B 500 S FS 1/1.15

71

ACCIONES

PERMANENTES (G)





Tráfico (Q1)

Vertical


Carro 600 kN

Horizontal

Frenado 1.9 kN/m






Tabla 6-15 Acciones consideradas Ejemplo 2

Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3

II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3

VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3

Tabla 6-16 Combinación de acciones Ejemplo 2

72

En la tabla 6-17 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas

consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y

temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el

dimensionamiento de las pilas.

Tabla 6-17 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal.


El viento transversal, tanto en el tablero como localmente en las pilas, produce momentos de eje

longitudinal en las pilas. Los momentos en las pilas, en este caso, son los que corresponden a una ménsula

empotrada en la cimentación.

La variación longitudinal de temperatura produce en las pilas momentos de eje transversal. Estos

momentos son nulos en cabeza y máximos en el empotramiento de las pilas. Estos momentos son

asimismo, opuestos en ambas pilas y ligeramente mayores en la pila más corta, más rígidas.

Como en el caso anterior, las pilas tienen esfuerzos de flexión solo debidos a las hipótesis de viento

transversal y de temperatura longitudinal. Por lo tanto las combinaciones condicionantes para el proyecto

de las pilas esbeltas son las que incluyan estas hipótesis.







Sob

reca

rga

de

Uso

(Q

1) N (kN) My (kNm) Mz (kNm)

Pila 1 977.7 977.7 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 981.4 981.4 0.0 0.0 0.0 0.0

Tem

per

atu

ra (

Q3)


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -249.1

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 252.7

Vie

nto

(Q

2)


Pila 1 0.0 0.0 0.0 1799.0 0.0 0.0

Pila 2 0.0 0.0 0.0 2317.0 0.0 0.0

Sob

reca

rga

Perm

anen

te

(G)


Pila 1 7221.0 7437.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 7249.0 7405.0 0.0 0.0 0.0 0.0

73



hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. La armadura se

dispone uniforme a lo largo de toda la longitud. Como puede verse la combinación III es la que resulta

condicionante y corresponde a la situación con máxima carga transversal de viento y temperatura

longitudinal concomitante.







0.0 2845.9 32.2 137.0

Md (kNm) As (cm2)

228.0 0.0 3492.5 32.2 209.10.0 3485.0 0.0

CO

MB

VI


Pila 2 8141.0 8297.0 0.0 2085.0 0.0

Pila 1 7228.0 7444.0 0.0 2837.0

380.0

0.0 -225.0

Pila 2 7256.0 7413.0

0.0 -374.0 0.0 1661.6 32.2 48.3

Md (kNm) As (cm2)

104.50.0 2119.3 32.2

32.2

CO

MB

V


Pila 2 8730.0 8887.0 0.0 1042.0 0.0

Pila 1 8109.0 8325.0 0.0 1619.0

228.0 0.0 1066.7 32.2

0.0 3492.5 32.2

0.0 -225.0 0.0 840.1 32.2 32.2

Md (kNm) As (cm2)

185.0

As (cm2)

241.3

CO

MB

IV


Pila 2 9799.0 #### 0.0 3485.0 0.0

Pila 1 8696.0 8912.0 0.0 809.4

228.0

10051.0 0.0 2837.0 0.0

0.0 2119.3 32.2

-225.0 0.0 2845.9 32.2

CO

MB

III


0.0 1661.6 32.2

Pila 2 10683.0 10895.0 0.0 2085.0 0.0

379.5

Pila 1 10641.0 10932.0 0.0 1619.0

Pila 1 9760.0

CO

MB

II


CO

MB

I

128.7

88.5

0.0 1042.0 0.0 228.0 0.0

0.0 -374.0

380.0

32.2

As (cm2)Md (kNm)

-225.0 0.0 840.1

1066.7

32.2 32.2

Pila 2 11273.0 11484.0

Pila 1 11230.0 11520.0 0.0 809.4 0.0


48.3

74

Figura 6-35 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.

En las figura 6-36 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la



hormigón (Ec = 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)a)

Pila 1 (21 Φ32)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)b)

Pila 2 (30Φ32)

75

Figura 6-36 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de

11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.

1

34

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)a)

Pila 1 (ν=0.64) 23Φ32

EI Pseudo No Lineal EI b EI EC2

1

34

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)b)

Pila 2 (ν=0.64) 30Φ32


76


no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica.

Tabla 6-19 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas.

De los resultados que se muestran en la tabla se pueden deducir distintas cuestiones:

i. Las pilas tienen menores esfuerzos. Esto es debido a la redistribución de esfuerzos que se

produce debido al comportamiento no lineal y al efecto de la esbeltez, que supone

esencialmente una mayor flexibilidad del sistema. Como puede verse en los resultados que se

muestran en la tabla 6-20, donde se muestra el reparto de las cargas horizontales entre los

estribos y pilas, al perder rigidez las pilas los esfuerzos se transfieren hacia los estribos. Este

efecto debe tenerse en cuenta para el dimensionamiento de apoyos en los estribos. También,

como en el caso anterior, se podría mejorar el comportamiento de las pilas si se coacciona más

el tablero en los estribos.



As (cm2)

0.0 2837.0 0.0 224.5


9760.0 10051.0 0.0 2845.9 32.2 185.0

Md (kNm) As (cm2)

0.0 2231.9

227.8 0.0 3492.4 32.2 241.3

32.2 128.7

Pseu

do

No

Lin

eal


Pila 2 9799.0 10010.0 0.0 3485.0 0.0

Lin

eal

Pila 1

Pila 2 9799.0 10010.0 0.0 3469.0 0.0 150.0 0.0

Pila 1 9760.0 10051.0 0.0 2229.0 0.0 113.0

3472.2 32.2 241.3

1.0

1.0

1.0

1.0382.0

423.5

232.2

395.6

Lin

eal

V (kN)

Estribo 1

Pila 1

Pila 2

Estribo 2

1.37

0.25

0.72

1.38525.7

305.2

59.2

543.2

Pseu

do

No

Lin

eal

V (kN)

Estribo 1

Pila 1

Pila 2

Estribo 2

77

Tabla 6-20 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

ii. Se puede ver también, que los esfuerzos debidos a la variación uniforme de temperatura del

tablero disminuyen. Esto es lógico también, como en el caso anterior, porque al disminuir las

rigideces disminuye la coacción debida a las pilas y disminuyen los esfuerzos debidos a las

deformaciones impuestas, como es la temperatura en el tablero.

iii. Los momentos en el tablero aumentan, tal como se muestra en la figura 6-37. Esto también es

lógico porque al flexibilizarse las pilas su coacción disminuye y el flector aumenta. Este es otro

aspecto que hay que tener en cuenta en el proyecto. Hay que comprobar si la hipótesis de

comportamiento con rigidez bruta del tablero es adecuada y si es necesario algún refuerzo

adicional para esta situación. Esta última comprobación no es práctica habitual pero necesaria,

sobre todo en la actualidad que existe la tendencia a no estudiar toda la información que se

tiene dispone de todos los cálculos que realizan.

Figura 6-37 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

α

No

Lin

eal G

+M

V (kN)


Estribo 1 548.0 1.39

Pila 1 38.2 0.16

Pila 2 319.8 0.76

Estribo 2 527.2 1.38

-20000

-10000

0

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

M K

Nm

)

L (m)



-150

50

-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (

kNm

)

L (m)



78

iv. Los esfuerzos torsores en el tablero no sufren grandes cambios porque el tablero, al que se

supone una rigidez lineal en todos estos cálculos, no ve prácticamente afectado su

comportamiento a torsión en este caso.

v. En la figura 6-38 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos

cálculos realizados. En estas figuras se puede ver que para las cargas finales las excentricidades

son prácticamente en la dirección transversal. Además se puede ver que están contenidas en

un plano. En general cuando hay esfuerzos de flexión biaxial puede que las excentricidades no

estén en el mismo plano. Este comportamiento en pilas de puente es debido a que las

combinaciones pésimas para las pilas son normalmente, fundamentalmente en una dirección.

79

Figura 6-38 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no línea y no lineal mecánico y geométrico.

Con los esfuerzos obtenidos del cálculo psuedo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final

de las pilas. En la figura 6-39 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas, según el

comportamiento pseudo no lineal propuesto, y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura

final obtenida. Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido,

según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, aun cuando los esfuerzos utilizados para el

dimensionamiento final tienen en cuenta el comportamiento no lineal geométrico y mecánico, aunque de

forma simplificada, debido a redistribuciones de esfuerzos el dimensionamiento puede ser menor que el

determinado inicialmente con un cálculo elástico sin tener en cuenta el segundo orden. En estos casos, se

propone mantener el dimensionamiento obtenido inicialmente, porque es el que es compatible con la

estimación de rigidez realizada para el pseudo cálculo no lineal propuesto.

80






muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite Último utilizado para el

dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de interacción correspondiente a la

sección de esta pila, con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón y del acero que para el diagrama

de interacción anterior pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se

representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se ha representado esta

evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y

geométrico.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

Pesudo No Lineal Lineal

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

Lineal Pseudo No Lineal

81

Figura 6-40 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico.

En la figura 6-41 se muestran los mismos diagramas y esfuerzos para la pila P2 de 8,00 m de altura.

Figura 6-41 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no

lineal mecánico y geométrico.

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

No Lineal g+M Lineal Pseudo No Lineal

82

Como puede verse en la figura6-41, la estructura falla porque se alcanza la rotura definida por el diagrama

de interacción sin coeficientes de minoración del material para la sección inferior de la pila P2. El coeficiente

de seguridad global de la estructura obtenido en este caso es de 1.84

Puede verse los esfuerzos de la sección inferior de la pila P2 son mayores que los elásticos, debido al

comportamiento no lineal geométrico y mecánico. A pesar de la redistribución de esfuerzos que existe

entre pilas y estribos, y que se trata de una pila menos esbelta que la P1, hay efecto de segundo orden. La

pila más esbelta no rompe porque, aun teniendo efectos de segundo orden los esfuerzos de primer orden

son mucho menores que los previstos en el cálculo elástico.

En las figuras 6-42 y 6-43 se muestran los momentos, debidos a distintos efectos, que componen la

distribución de momentos finales de las pilas P1 y P2, respectivamente, para el estado de cargas de la

combinación III. Se representan los mismos esquemas para el cálculo lineal, en el que no hay efecto de

segundo orden, para el pseudo cálculo no lineal propuesto y para el cálculo no lineal mecánico y geométrico.

2692.8 kNm 136.1 kNm 2828.9 kNm 68.7 mm

a) b) c) f)


+ =

1594.0 kNm 136.1 kNm 954.8 kNm 2685.0 kNm 96.8 mm

b) c) d) f)


+ =+

83


1048.5 kNm 136.1 kNm 1051.7 kNm 2236.3 kNm 113.0 mm

b) c) d) f)


+ + =

3398.4 kNm 72.0 kNm 3470.4 kNm 45.0 mm

a) b) c) f)


+ =

3082.4 kNm 72.0 kNm 650.7 kNm 3805.050 kNm 65.1 mm

b) c) d) f)


=+ +

84


Como puede verse los momentos según el cálculo lineal no tienen en cuenta los efectos de segundo orden.

No existe en este caso el efecto de coacción por torsión del tablero. Los momentos se generan debido al

cortante actuando en el extremo de la pila, producido por el viento transversal actuando sobre el tablero

(b), debido al viento transversal actuando directamente en la pila (c).

Los momentos según el pseudo cálculo no lineal si tiene en cuenta los efectos de segundo orden (d), de

acuerdo con las deformaciones de las pilas (f), pero los efectos de primer orden son menores que los

estimados con el cálculo lineal. Para el mismo estado de cargas el cálculo no lineal mecánico y geométrico,

da resultados similares, lo que pone de manifiesto que la simplificación propuesta resulta adecuada.

Esta misma situación se produce en relación reparto de cortantes entre las pilas y los estribos, que se

muestran en la figura 6-20.

En las figuras 6-44 y 6-45 se muestra el para las dos pilas los momentos su composición, para el estado de

carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, se mantiene el

comportamiento explicado solo que las cargas y, lógicamente, las deformaciones de las pilas crecen, no

linealmente.

2712.2 kNm 72.0 kNm 686.0 kNm 3470.110 kNm 80.7 mm

b) c) d) f)


+ + =

168.8 kNm 3338.5 kNm 3507.3 kNm 85.2 mm

a) b) c) f)


+ =

85

Figura 6-44 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.

1391.5 kNm 168.8 kNm 1686.4 kNm 3246.7 kNm 136.0 mm

b) c) d) f)


+ + =

1540.0 kNm 168.8 kNm 1417.2 kNm 3126.0 kNm 141.0 mm

b) c) d) f)


+ + =

89.3 kNm 4213.6 kNm 4302.9 kNm 55.8 mm

a) b) c) f)


+ =

86


Finalmente tal como se ha hecho en el ejemplo anterior se han dimensionado las pilas con otros métodos,

para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos del ejemplo anterior.

En la figura 6-46 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para las

dos pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.

La razón es porque se tiene en cuenta el efecto de la interacción de la estructura y las pilas esbeltas en todas

sus dimensiones.

3567.0 kNm 89.3 kNm 1171.7 kNm 4827.976 kNm 93.8 mm

b) c) d) f)


+ + =

3610.1 kNm 89.3 kNm 1001.0 kNm 4700.360 kNm 99.5 mm

b) c) d) f)


+ + =

87


6.3 EJEMPLO 3

Ejemplo de un paso superior con tablero continuo pretensado y con tres pilas rectangulares de 10,00, 12,00

y 8,00 m de altura. En este caso la pila está vinculada al tablero con dos neoprenos por pila y por lo tanto

con un cierto grado de empotramiento transversal.

En este ejemplo se estudia un paso superior con pilas rectangulares, una solución muy frecuente. Este tipo

de pilas tiene de rigidez y capacidad resistente diferente en las dos direcciones. Además en este caso la

altura de las pilas es diferente, no simétrica, y esto condiciona también los esfuerzos a los que están

expuestos, el dimensionamiento que resultara y el comportamiento debido a los efectos de la esbeltez.

El tablero tiene cuatro vanos de 30,00 + 40,00 + 40,00 + 30,00 m de luz. El tablero es también pretensado

de sección similar a la de los ejemplos anteriores.

El tablero está apoyado sobre cada pila a través de dos neoprenos de dimensiones de 700x800x70 mm3 y

separados 3,75 m en la dirección transversal. Debido a la longitud, se han previsto apoyos de teflón en los

estribos, que no suponen prácticamente impedimento al movimiento longitudinal.

Con esta configuración de apoyos transversalmente el tablero queda empotrado a torsión en los estribos y

parcialmente en las pilas intermedias. Longitudinalmente el tablero esta coaccionado longitudinalmente

solo por las pilas.



0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Pila 11m Pila 8m

ρ(%

)


M. Code EC2 EHE-08 M.P.

88



89







el Proyecto de Puentes de Carretera.

0

5

10

15

0 1 2 3 4

𝜎

𝜀

HA-25 FS 0.85/1.5

-600

-400

-200

0

200

400

600

-15 -10 -5 0 5 10 15

𝜎

𝜀

B 500 S FS 1/1.15

90

ACCIONES

PERMANENTES (G)


Peso Propio de las pilas 50 kN/m



Tráfico (Q1)

Vertical


Carro 600 kN

Horizontal

Frenado 2.2 kN/m




Viento Longitudinal Pilas (Q2) 7 kN/m

Temperatura del Tablero (Q3) 35 C

Tabla 6-21 Acciones consideradas ejemplo 3

Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3

II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3

VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3

Tabla 6-22 Combinación de acciones ejemplo 3


consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico y frenado, viento

longitudinal y temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para

el dimensionamiento de las pilas. En este caso la esbeltez principal está en la dirección longitudinal y el

viento transversal pierde protagonismo.

91



El frenado, viento longitudinal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en

la dirección longitudinal.

Los momentos generados por la temperatura son de signo contrario en las pilas extremas y pequeño en la

pila central.

F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2

11505.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 1124.0 -1124.0

1082.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 1056.0 1056.0

0.0 0.0 0.0 324.0 -324.0

Sob

re C

arga

s Pe

rman

ente

s (G

)N (kN) My (kNm) Mz (kNm)

Pila 1 11599.0 11599.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 12348.0 12348.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 11505.0

Sob

re C

arga

de

Uso

(Q

1)


Pila 1 1081.0 1081.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 1144.0 1144.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 1082.0

Fren

ado

(Q

1)


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 994.0 -994.0

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 830.4 -830.4

Pila 3 0.0

Vie

nto

Lo

ngi

tud

inal

(Q

2)


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 345.6 -345.6

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 359.5 -359.5

Pila 3 0.0

Tem

per

atu

ra (

Q3)


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 -1219.0 -1219.0

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 -119.4 -119.4

Pila 3 0.0

92

Los momentos generados por el frenado y el viento longitudinal, que actúan en la misma dirección, tienen

siempre el mismo signo. Normalmente las pilas más rígidas se llevan mayor carga horizontal y las menos

rígidas, más esbeltas, menos.


Último, obtenidas a partir del análisis lineal. En este caso, dependiendo de la dirección de las distintas cargas

las pilas pueden tener esfuerzos pésimos en distintas combinaciones. Por esta razón en la tabla se indican

los valores de momentos para las dos direcciones, F1 y F2.

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

As (cm2)

Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0 548.3


-2745.0 548.3 2745.0

CO

MB

II


80.4 80.4

CO

MB

I

1300.00.00.018368.018368.0Pila 2 80.480.41515.01300.0-1515.0

17171.0Pila 3

As (cm2)

Pila 1 15675.0 15675.0 0.0 0.0 579.7


80.4 80.4

1437.0 465.2 80.4 80.4

13220.0 0.0 0.0

CO

MB

IV


431.6

1437.0

CO

MB

III

Pila 3 15548.0 15548.0 0.0 0.0 -465.2

Pila 2 14064.0 14064.0 0.0 0.0 1300.0

548.3

891.7

2888.0

624.0 -3035.0Pila 1 12572.0 12572.0 0.0 0.0

CO

MB

V


Pila 2 13377.0

Pila 2 17681.0 17681.0 0.0 0.0

80.480.4881.32784.0-881.32784.0

624.0 3035.0 80.4 80.4Pila 1 16648.0 16648.0 0.0 0.0

891.7 -1250.0 891.7 1250.0 80.4 80.4

0.00.017171.0

624.0 -3035.0

-281.0 2888.0 281.0 80.4 80.4

Pila 2 16653.0 16653.0 0.0 0.0

Pila 3 16522.0 16522.0 0.0 0.0 2888.0

-1617.0 579.7 1617.0 80.4 80.4

-646.7 431.6 646.7

-2745.0 548.3 2745.0 80.4 80.4

Md (kNm) As (cm2)

624.0 3035.0 80.4 80.4

Md (kNm) As (cm2)

Pila 1 13220.0

-1515.0 1300.0 1515.0 80.4 80.4

Pila 3 13027.0 13027.0 0.0 0.0 2784.0 -881.3 2784.0 881.3 80.4 80.4

-1250.0 891.7 1250.0 80.4 80.4

Pila 3 12478.0 12478.0 0.0 0.0

13377.0 0.0 0.0

-281.0 2888.0 281.0 80.4 80.4

93



hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. Como puede verse la

armadura resultante, para las tres pilas, es la armadura mínima. Los esfuerzos solicitantes no agotan la

sección. La armadura se dispone uniforme a lo largo de toda la longitud.

Figura 6-50 Esfuerzos solicitantes, para las tres pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada, armadura mínima.

Del estudio de la tabla 6-24, se puede ver que las combinaciones I y II tienen esfuerzos muy parecidos en

magnitud pero no en signo. En la combinación I los esfuerzos predominantes son los de frenado. Debido a

esta acción todos los momentos actúan en la misma dirección y, por lo tanto, respecto al segundo orden

no hay posibilidad de compensación con lo hay en la combinación II. En la combinación II la carga

predominante es la temperatura. La temperatura produce momentos de signo contrario y deformaciones

opuestas en las pilas opuestas. De esta forma cuando se producen efectos de segundo orden, se activa una

interacción longitudinal del tablero por la que el tablero comprimido coarta la deformación de segundo

orden de las pilas esbeltas. Por esta razón se ha elegido la combinación I, como combinación condicionante

del dimensionamiento de las pilas.

Esta situación pone de manifiesto como la información del cálculo lineal y la interpretación cualitativa de

los fenómenos tiene una gran importancia.




F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

CO

MB

VI


Pila 1 11599.0 11599.0 0.0 0.0

-465.2 1437.0 465.2 80.4

Pila 2 12348.0 12348.0 0.0 0.0 431.6

579.7 -1617.0 579.7 1617.0 80.4

1437.0Pila 3 11505.0 11505.0

As (cm2)

80.4

80.4

Md (kNm)

-646.7 431.6 646.7 80.4 80.4

0.0 0.0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Dimensionamiento Lineal Pila 1,2 y 3

(10Φ32)

94

hormigón (Ec = 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el


Como la cuantía es la misma para todas las pilas y la única variación en los diagramas momento-curvatura

es el axil, que varía muy poco, todas la rigideces medias son muy parecidas.

13 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 1 2 3 4 5 6 7

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 1


13 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 1 2 3 4 5 6 7

M (

kNm

)

1/r (km-1)b)

Pila 2

95

Figura 6-51 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila1 de

10,00 m de altura. b) Pila 2 de 12,00 m de altura. c) Pila 3 de 8,00 m de altura.


no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica, para la

combinación I y II.

Comparando estos resultados se confirma que la combinación I es más desfavorable que la combinación II,

tal como se puede imaginar de los datos del cálculo no lineal y la predicción cualitativa del fenómeno.

a)

13 4

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 1 2 3 4 5 6 7

M (

kNm

)

1/r (km-1)c)

Pila 3


F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

Mz (kNm) Md (kNm)

548.3 2745.0 548.3 -2745.0 80.4 80.4

As (cm2)

2784.0 -881.3 80.4 80.4

1515.0 1300.0 -1515.0 80.4 80.4

80.4 80.4

As (cm2)Md (kNm)

17171.0 17171.0 0.0 0.0 4453.0 -5031.0 160.8 193.0

2586.0 -2315.0

4037.0 -2848.0 128.7 80.4

17171.0 17171.0 0.0 0.0 2784.0 881.3

Lin

eal

Pila 3

Pila 2 18368.0 18368.0 0.0 0.0 1300.0

Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0

N (kN) My (kNm)

Pila 2 18368.0 18368.0 0.0 0.0 2586.0

Pseu

do

No

Lin

eal


2315.0

Pila 3

2848.0Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0 4037.0

4453.0 5031.0

96

b)

Tabla 6-25 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. a) Combinación I. b) Combinación II.

De los resultados del cálculo pseudo no lineal de la combinación I se pueden deducir distintas cuestiones:

i. Las pilas, en la dirección longitudinal, tiene esfuerzos mucho mayores que los deducidos en el

cálculo elástico. La pérdida de rigidez debida al comportamiento no lineal mecánico y

geométrico, aumenta los esfuerzos de segundo orden significativamente. A diferencia de los

ejemplos anteriores las pilas no pueden transferir acciones a los estribos, por el tipo de apoyos

que se han dispuesto.

Lógicamente los esfuerzos cortantes en las cabezas de las pilas varían porque hay un reparto

entre pilas. Se lleva más las que más rigidez tienen. Ver en la tabla 6-26.

Esto pone de manifiesto que es muy negativo perder el efecto positivo de la coacción del

estribo. Si es necesario tener neoprenos en los apoyos, puede darse al tablero una capacidad

de movimiento longitudinal compatible con los movimientos reologicos y térmicos pero luego

impedir que este movimiento aumente. Es como delimitar de antemano, en el proyecto, el

máximo desplazamiento de la cabeza de las pilas, el máximo efecto de segundo orden. Este es

el concepto del diseño del viaducto sobre el rio Sil y el viaducto de Alberche [6].

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2

Lin

eal


624.0 3035.0

16505.0 16505.0 0.0 0.0

Pila 2 17699.0 17699.0 0.0 0.0

2888.0 281.0 2888.0 -281.0 80.4

Pila 1 16631.0 16631.0 0.0 0.0 624.0 -3035.0 80.4 80.4

Pila 3 80.4

1250.0 891.7 -1250.0 80.4 80.4891.7

Pseu

do

No

Lin

eal


3258.0 1356.0 -3258.0

-1909.0

As (cm2)

Pila 1 16631.0 16631.0 0.0 0.0 1356.0 80.4 80.4

Pila 2 17699.0 17699.0 0.0 0.0 1495.0 1909.0 1495.0

Pila 3 16505.0 16505.0 0.0 0.0 3656.0 2634.0

80.4 80.4

3656.0 -2634.0 80.4 80.4

97

Tabla 6-26 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación I para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

ii. En la figura 6-52 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos

cálculos realizados. En estas figuras se puede ver las excentricidades solo están en la dirección

longitudinal y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.

Pila 3Li

nea

l

V (kN)

Pila 1

Pila 2

97.2

107.0

257.8

334.0

89.2

39.0

V (kN)

Pseu

do

No

Lin

eal

Pila 1

Pila 2

Pila 3

92.2

76.5

293.3 338.6

7.9

145.1

V (kN)

No

Lin

eal G

+M

Pila 1 103.0 161.8

Pila 2 31.0 34.6

Pila 3 328.2 265.6

98






según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, en este caso el dimensionamiento elástico es

menor que el finalmente adoptado. Además puede verse que debido al efecto de las cargas, los esfuerzos

pésimos de las distintas pilas corresponden a distintas situaciones de la carga, que puede actuar en las dos

direcciones. Esto supone una hiper resistencia que mejora el comportamiento global del puente.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Pila 1


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Pila 2


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Pila 3


99


-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1


-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

Pseudo No Lineal y Lineal

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3


100





representa el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción

obtenido con ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de

materiales. En la misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior. La

sección superior no tiene momentos. Se ha representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo

realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico.

Se han realizado dos análisis, uno en cada dirección. Se han representado las dos situaciones en las mismas

figuras.

En las figuras 6-55 y 6-56 se muestran los mismos diagramas para las pilas P2 y P3.



-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

F1 No Lineal G+M F1 Lineal F2 No Lineal G+M

F2 Lineal Pseudo No Lineal

101





Como puede verse en la figura 6-56, la estructura falla porque se alcanza la rotura, definida por el diagrama

de interacción sin coeficientes de minoración del material, en la sección inferior de la pila P3, la pila más

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

F2 No Lineal G+M F2 Lineal F1 Lineal

F1 No Lineal G+M Pseudo No Lineal

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3

F2 No Lineal G+M F1 No Lineal G+M F2 Lineal

F1 Lineal Pseudo No Lineal

102

rígida. La rotura se produce por inestabilidad de esta pila. En las dos direcciones la rotura se produce de la

misma forma. Los coeficientes de seguridad global que se obtienen son de 2,42, para la dirección F1, y 2,4,

para la dirección F2.


2578.4 kNm 157.5 kNm 2735.9 kNm 25.220 mm

b) c) f)

Lineal Comb III Pila 1 f1

+ =

2240.6 kNm 157.5 kNm 622.4 kNm 3020.455 kNm 37.5 mm

b) c) d) f)

No Lineal G+M Comb III Pila 1 f1

+ + =

2067.0 kNm 157.5 kNm 840.5 kNm 3065.045 kNm 50.6 mm

a) b) c) d) e)

Pseudo No Lineal Comb III Pila 1 f1

+ + =

103


1287.6 kNm 226.8 kNm 1514.4 kNm 19.570 mm

b) c) f)

+ =


920.9 kNm 226.8 kNm 555.1 kNm 1702.730 kNm 31.6 mm

b) c) d) f)

+ + =

No Lineal G+M Comb III Pila 2 f1

676.9 kNm 226.8 kNm 808.5 kNm 1712.216 kNm 45.0 mm

b) c) d) f)

+ + =


104


Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica. En este caso aunque

la redistribución por cambio de rigidez de las pilas existe, haciendo participar la pila baja más, lo más

importante es que no hay mecanismo que contenga el segundo orden. Véase por ejemplo la magnitud de

las deformaciones y, consecuentemente, la magnitud de los efectos de segundo orden.

En las figuras 6-57, 6-58 y 6-59 se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de

carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, es válida la

explicación para el estado anterior solo que los esfuerzos de segundo orden aquí son mayores, lógicamente,

las deformaciones de las pilas crecen, no linealmente.

2671.3 kNm 100.8 kNm 2772.1 kNm 16.470 mm

b) c) f)


+ =

2711.0 kNm 100.8 kNm 667.0 kNm 3478.800 kNm 24.0 mm

b) c) d) f)

No LinealG+M Comb III Pila 3 f2

+ + =

2807.7 kNm 100.8 kNm 498.0 kNm 3406.439 kNm 29.6 mm

b) c) d) f)


+ + =

105

A la luz de estos resultados puede concluirse que es muy importante, desde el punto de vista del proyecto

tomar medidas para garantizar reservas y contención de los efectos de segundo orden, como coartar el

movimiento longitudinal del tablero [6].


4125.4 kNm 252.0 kNm 4377.4 kNm 40.350 mm

b) c) f)

Lineal Rotura Pila 1 f1

+ =

2039.1 kNm 252.0 kNm 3947.2 kNm 6238.254 kNm 141.2 mm

b) c) d) f)

No Lineal G+M Rotura Pila 1 f1

+ + =

3388.0 kNm 252.0 kNm 2024.5 kNm 5664.526 kNm 72.3 mm

b) c) d) f)

Pseudo No Lineal Rotura Pila 1 f1

+ + =

106


2055.0 kNm 362.9 kNm 2417.9 kNm 31.300 mm

b) c) f)

Lineal Rotura Pila 2 f1

+ =

256.1 kNm 362.9 kNm 3825.9 kNm 4444.843 kNm 128.5 mm

b) c) d) f)

No Lineal G+M Rotura Pila 2 f1

+ + =

1021.6 kNm 362.9 kNm 1906.2 kNm 3290.680 kNm 64.0 mm

b) c) d) f)

Pseudo No Linea Rotura Pila 2 f1

+ + =

107

Figura 6-62 . Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.

Finalmente tal como se ha hecho en el ejemplo anterior se han dimensionado las pilas con otros métodos,

para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos del ejemplo anterior.

En la figura 6-63 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para todas

pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.

En este caso podría pensarse que las cuantías deberían ser similares, si se piensa que la longitud de pandeo

que utilizan los métodos simplificados, empotrado en un extremo y libre en el otro, son más similares al

comportamiento real. Sin embargo esto no es así porque los métodos simplificados, excepto el de García

[10], no tienen en cuenta la redistribución de esfuerzos, que es muy importante.

4274.0 kNm 161.3 kNm 4435.3 kNm 26.340 mm

b) c) f)

Lineal rotura Pila 3 f2

+ =

4271.7 kNm 161.3 kNm 2417.7 kNm 6850.690 kNm 87.0 mm

b) c) d) f)

=

No LinealG+M Rotura Pila 3 f2

+ +

4597.7 kNm 161.3 kNm 1222.8 kNm 5981.720 kNm 44.0 mm

b) c) d) f)

=

Pseudo No Linea Rotura Pila 3 f2

+ +

108

Para los métodos simplificados la cuantía de la pila más esbelta la central es mayor porque es la que tiene

más esbeltez y estos métodos penalizan los elementos más esbeltos. Sin embargo no estiman

adecuadamente los menores esfuerzos en la pila esbelta debido a la redistribución.

En las pilas cortas, subestiman las cuantías porque no tienen en cuenta la redistribución y por lo tanto no

tienen en cuenta el aumento de esfuerzos.


6.4 EJEMPLO 4

Viaducto con tablero continuo pretensado de 10 vanos y con pilas de fuste circular con ménsula de 11,00 m

de altura.

En este ejemplo se estudia un viaducto de 10 vanos con tablero continuo de hormigón pretensado. El

tablero es similar al del ejemplo 1. Las pilas son asimismo similares a las del ejemplo 1. Aunque en este caso

las pilas son muy esbeltas, y quizás de este punto de vista un poco exagerado para un puente real, se han

mantenido las mismas del ejemplo 1, para poder compararlas.

El tablero se apoya en las pilas con sendos neoprenos de 600x600x70 mm3, separados 3,00 m. en los apoyos

también se prevén neoprenos. Debido a la longitud del puente los neoprenos de los vanos finales y de los

estribos son altos. Hay otras soluciones de proyecto que pueden mejorar esta decisión. En cualquier caso

se ha mantenido este criterio por motivos de comparación.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Pila 10m Pila 12m Pila 8m

ρ(%

)


M. Code EC-2 (R.N.) EHE-08 JG M.P.

109

En la figura 6-64 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y

pilas. En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.




0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

𝜎

Título del eje

HA-30 FS 0.85/1.5

110



longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.ε



el Proyecto de Puentes de Carretera (1998).

ACCIONES

PERMANENTES (G)





Tráfico (Q1)

Vertical


Carro 600 kN

Horizontal

Frenado 1.9 kN/m






Tabla 6-27 Acciones Utilizadas en Ejemplo 5

-600

-400

-200

0

200

400

600

-15 -10 -5 0 5 10 15

𝜎

ε

B 500 S FS 1/1.15

111

Combinación Descripción

I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3

Tabla 6-28 Combinación de acciones del ejemplo 4






Pila 1 7175.0 7391.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 7296.0 7511.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 7224.0 7440.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 4 7241.5 7457.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 5 7236.4 7452.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 7241.5 7457.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 7 7224.0 7440.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 8 7296.0 7511.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 9 7175.0 7391.0 0.0 0.0 0.0 0.0


Pila 1 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0

Pila 2 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0

Pila 3 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0

Pila 4 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0

Pila 5 0.0 0.0 975.6 -3336.5 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0

Pila 7 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0

Pila 8 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0

Pila 9 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1386.0

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1038.7

Pila 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -692.3

Pila 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -346.1

Pila 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 346.1

Pila 7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 692.3

Pila 8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1038.7

Pila 9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1386.0

Vie

nto

(Q

2)


Sob

reca

rga

Perm

anen

te (

G)


Tem

per

atu

ra (

Q3)


112



El viento transversal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en la las pilas.

Los momentos generados por la temperatura son de signo contrario, pequeños las pilas extremas y

mayores en la pila central.

Los momentos generados por el viento trasversal, tienen siempre el mismo signo. Aquí se ve como, debido

a la longitud del tablero, el efecto de empotramiento a torsión sobre la pila disminuye respecto a lo que

ocurría en el ejemplo 1.




Pila 1 971.6 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 987.8 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 978.1 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 4 980.5 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 5 979.8 979.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 980.5 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 7 978.1 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 8 987.8 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 9 971.6 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0

Sob

reca

rga

de

Uso

(Q

1)


sup inf sup inf sup inf sup inf

Pila 1 11143.3 11434.4 436.5 -874.7 0.0 -1247.2 436.5 1523.3

Pila 2 11331.1 11622.2 441.4 -1153.6 0.0 -934.8 441.4 1484.8

Pila 3 11219.3 11510.4 443.1 -1350.5 0.0 -623.1 443.1 1487.3

Pila 4 11246.7 11537.8 440.7 -1464.5 0.0 -311.5 440.7 1497.3

Pila 5 11238.8 11529.9 439.0 -1501.4 0.0 0.0 439.0 1501.4

Pila 6 11246.7 11537.8 440.7 -1464.5 0.0 311.5 440.7 1497.3

Pila 7 11219.3 11510.4 443.1 -1350.5 0.0 623.1 443.1 1487.3

Pila 8 11331.1 11622.2 441.4 -1153.6 0.0 934.8 441.4 1484.8

Pila 9 11143.3 11434.4 436.5 -874.7 0.0 1247.2 436.5 1523.3


Pila 1 10560.0 10851.1 873.0 -1749.3 0.0 -2078.4 873.0 2716.6

Pila 2 10738.5 11029.5 882.7 -2307.1 0.0 -1558.0 882.7 2783.9

Pila 3 10632.4 10923.5 886.1 -2701.0 0.0 -1038.5 886.1 2893.8

Pila 4 10658.4 10949.5 881.3 -2928.9 0.0 -519.2 881.3 2974.6

Pila 5 10650.9 10942.0 878.0 -3002.9 0.0 0.0 878.0 3002.9

Pila 6 10658.4 10949.5 881.3 -2928.9 0.0 519.2 881.3 2974.6

Pila 7 10632.4 10923.5 886.1 -2701.0 0.0 1038.5 886.1 2893.8

Pila 8 10738.5 11029.5 882.7 -2307.1 0.0 1558.0 882.7 2783.9

Pila 9 10560.0 10851.1 873.0 -1749.3 0.0 2078.4 873.0 2716.6


Pila 1 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1

Pila 2 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2

Pila 3 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6

Pila 4 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4

Pila 5 9769.2 10060.2 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8

Pila 6 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4

Pila 7 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6

Pila 8 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2

Pila 9 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1

193.0

209.0

176.9

As (cm2)N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)

185.0

193.0

201.0

209.0

209.0

0.0

Dim

88.5

80.5

80.5

80.5

80.5

80.5

80.5

CO

MB

IC

OM

B II

217.2

217.2


Dim

As (cm2)

CO

MB

III


Dim

289.6

88.5

185.0

337.8

370.0

402.0

370.0

337.8

289.6

113

Figura 6-67 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.


hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada, para cada pila. Las

armaduras varían de 217,2 cm2 a 402,0 cm2. La armadura se dispone uniforme a lo largo de toda la longitud

del soporte.


Pila 1 8632.0 8847.0 436.5 -874.7 0.0 -1247.2 436.5 1523.3

Pila 2 8777.6 8993.2 441.4 -1153.6 0.0 -934.8 441.4 1484.8

Pila 3 8691.0 8906.6 443.1 -1350.5 0.0 -623.1 443.1 1487.3

Pila 4 8712.2 8927.8 440.7 -1464.5 0.0 -311.5 440.7 1497.3

Pila 5 8706.0 8921.7 439.0 -1501.4 0.0 0.0 439.0 1501.4

Pila 6 8712.2 8927.8 440.7 -1464.5 0.0 311.5 440.7 1497.3

Pila 7 8691.0 8906.6 443.1 -1350.5 0.0 623.1 443.1 1487.3

Pila 8 8777.6 8993.2 441.4 -1153.6 0.0 934.8 441.4 1484.8

Pila 9 8632.0 8847.0 436.5 -874.7 0.0 1247.2 436.5 1523.3


Pila 1 8047.8 8264.0 873.0 -1749.3 0.0 -2078.4 873.0 2716.6

Pila 2 8185.0 8400.5 882.7 -2307.1 0.0 -1558.0 882.7 2783.9

Pila 3 8104.0 8320.0 886.1 -2701.0 0.0 -1038.5 886.1 2893.8

Pila 4 8124.0 8339.5 881.3 -2928.9 0.0 -519.2 881.3 2974.6

Pila 5 8118.2 8333.8 878.0 -3002.9 0.0 0.0 878.0 3002.9

Pila 6 8124.0 8339.5 881.3 -2928.9 0.0 519.2 881.3 2974.6

Pila 7 8104.0 8320.0 886.1 -2701.0 0.0 1038.5 886.1 2893.8

Pila 8 8185.0 8400.5 882.7 -2307.1 0.0 1558.0 882.7 2783.9

Pila 9 8047.8 8264.0 873.0 -1749.3 0.0 2078.4 873.0 2716.6


Pila 1 7174.7 7390.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1

Pila 2 7296.0 7511.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2

Pila 3 7223.8 7439.4 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6

Pila 4 7241.5 7457.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4

Pila 5 7236.4 7452.0 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8

Pila 6 7241.5 7457.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4

Pila 7 7223.8 7439.4 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6

Pila 8 7296.0 7511.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2

Pila 9 7174.7 7390.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1

As (cm2)

40.2

CO

MB

V


CO

MB

IVN (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)

Md (kNm) As (cm2)

40.2

40.2

40.2

40.2


As (cm2)

249.3

305.6

329.7

345.8

329.7

305.6

Dim

145.0

152.8

160.9

168.9

176.9

Dim

40.2

40.2

40.2

40.2

168.9

160.9

152.8

145.0

Dim

176.9

249.3

176.9

CO

MB

VI

114

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

Dimensionamiento Lineal Pila 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)


115

Figura 6-68 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada.




hormigón (Ec = 28.500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)


116

1

34

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 1 (υ=0.64)

Pseudo No Lineal EI b EI EC2

1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 2 (υ=0.64)


1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 3 (υ=0.64)


117

Figura 6-69 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].



combinación III.

1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 4 (υ=0.64)


1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 5 (υ=0.64)


118

Figura 6-70 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.


i. Debido a la gran longitud del tablero, su esbeltez horizontal, 33, y, en menor medida las

condiciones de conexión al estribo, la influencia de la coacción del tablero es muy moderada

y, consecuentemente, las pilas tienen un efecto de segundo orden más fuerte, similar al que se

podría esperar de una pila empotrada libre.

Al ser en este caso todas las pilas de igual altura, por lo tanto igual esbeltez y rigidez, no se

puede sacar partido de la ayuda de las pilas menos solicitadas para ayudar a las más solicitadas.

En la figura 6-71 se muestran los momentos del tablero según el cálculo elástico y pseudo no

lineal, donde se ve que las diferencias son pequeñas y que las deformaciones son grandes por

lo que no es de esperar grandes contribuciones debidas al tablero. Este efecto también se

puede ver en la tabla de cortantes obtenidas con los dos métodos, que tienen pocas

diferencias.


Pila 1 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1

Pila 2 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2

Pila 3 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6

Pila 4 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4

Pila 5 9769.2 10060.2 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8

Pila 6 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4

Pila 7 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6

Pila 8 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2

Pila 9 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1


Pila 1 9686.0 9977.0 1900.3 -2850.0 0.0 -838.0 1900.3 2970.6

Pila 2 9849.0 10140.5 2222.3 -4069.0 0.0 -705.0 2222.3 4129.6

Pila 3 9752.2 10043.2 2377.0 -5010.4 0.0 -502.0 2377.0 5035.5

Pila 4 9776.0 10067.1 2434.3 -5618.0 0.0 -261.5 2434.3 5624.1

Pila 5 9769.2 10060.2 2436.4 -5865.0 0.0 0.0 2436.4 5865.0

Pila 6 9776.0 10067.1 2434.3 -5618.0 0.0 261.5 2434.3 5624.1

Pila 7 9752.2 10043.2 2377.0 -5010.4 0.0 502.0 2377.0 5035.5

Pila 8 9849.0 10140.5 2222.3 -4069.0 0.0 705.0 2222.3 4129.6

Pila 9 9686.0 9977.0 1900.3 -2850.0 0.0 838.0 1900.3 2970.6 193.0

442.4

386.0

297.6

442.4


289.6

217.2

297.6

My (kNm) Mz (kNm)

386.0

466.5

370.0

402.0

370.0

Md (kNm) As (cm2)

Dim

217.2

289.6

337.8

337.8

Dim

193.0

Pseu

do

No

Lin

eal

N (kN)

Lin

eal

-15000

-10000

-5000

0

-14 36 86 136 186 236 286 336

M (

kNm

)

L (m)



119

Figura 6-71 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.


Este efecto, con el que aquí no se puede contar, es seguramente un efecto muy importante cuando las pilas

tienen distintas alturas y, sobre todo, hay pilas muy cortas y por lo tanto, más rígidas con las que se puede

contar.

-15000

-5000

5000

15000

-14 36 86 136 186 236 286 336M (

kNm

)

L (m)



-1000

-500

0

500

1000

-14 36 86 136 186 236 286 336V (

kN)

L (m)

Cortantes en Tablero


Estribo 1 406.2

Pila 1 384.9

Pila 2 471.6

Pila 3 531.1

Pila 4 564.9

Pila 5 575.6

Pila 6 564.9

Pila 7 531.1

Pila 8 471.6

Pila 9 384.9

Estribo 2 406.2

LIN

EAL

V (kN)

αEstribo 1 442.1 1.09

Pila 1 363.3 0.94

Pila 2 454.5 0.96

Pila 3 525.8 0.99

Pila 4 568.4 1.01

Pila 5 583.7 1.01

Pila 6 568.4 1.01

Pila 7 525.8 0.99

Pila 8 454.5 0.96

Pila 9 363.3 0.94

Estribo 2 442.1 1.09

V (kN)

No

Lin

eal G

+M

Coef. Redistribución

αEstribo 1 504.9 1.24

Pila 1 337.3 0.88

Pila 2 437.8 0.93

Pila 3 515.4 0.97

Pila 4 560.8 0.99

Pila 5 579.3 1.01

Pila 6 560.8 0.99

Pila 7 515.4 0.97

Pila 8 437.8 0.93

Pila 9 337.3 0.88

Estribo 2 504.9 1.24

Pseu

do

No

Lin

eal

V (kN)


120

En la tabla 6-31 se muestra una comparación de los momentos en las pilas debido a la hipótesis de viento

transversal, obtenida con un cálculo elástico, para el mismo viaducto del ejemplo y otro con pilas cortas en

la zona central, la pila P5 de 5,00 m y las pilas P6 y P7, con 8,00 m. como se puede ver los esfuerzos de primer

orden disminuyen de forma importante y consecuentemente el comportamiento será más eficiente.

En la figura 6-72 se muestra una comparación entre los momentos de eje vertical que se producen en el

tablero, siempre para la hipótesis de viento transversal, con un cálculo elástico y para los dos viaductos de

la figura anterior. La ley de momento en el tablero es completamente distinta. En el viaducto con pilas cortas

el tablero prácticamente esta fijo en el centro de la longitud y eso disminuye las deformaciones en los

cuartos de longitud coaccionando mejor las cabezas de las pilas.

Tabla 6-31 Momentos en las pilas de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud.


Pila 1 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0

Pila 2 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0

Pila 3 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0

Pila 4 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0

Pila 5 0.0 0.0 975.6 -3336.5 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0

Pila 7 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0

Pila 8 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0

Pila 9 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0


Pila 1 0.0 0.0 1008.0 -1822.0 0.0 0.0

Pila 2 0.0 0.0 979.1 -2236.0 0.0 0.0

Pila 3 0.0 0.0 945.5 -2466.0 0.0 0.0

Pila 4 0.0 0.0 572.2 -2713.0 0.0 0.0

Pila 5 0.0 0.0 -346.0 -2813.0 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 572.2 -2713.0 0.0 0.0

Pila 7 0.0 0.0 945.5 -2466.0 0.0 0.0

Pila 8 0.0 0.0 979.1 -2236.0 0.0 0.0

Pila 9 0.0 0.0 1008.0 -1822.0 0.0 0.0

Vie

nto

Tra

nsv

ersa

l Pila

s d

e 11

.00

m


Vie

nto

Tra

nsv

ersa

l co

n P

ilas

Dis

t. N (kN) My (kNm) Mz (kNm)

-10000

-5000

0

5000

-14 36 86 136 186 236 286 336

M (

kNm

)

L (m)


Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas

121

Figura 6-72 Momentos, cortantes y torsores en el tablero de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud.

ii. En la figura 6-73 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos

cálculos realizados y para la combinación III. En estas figuras se puede ver las excentricidades

solo están en una dirección y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.

-5000

0

5000

-14 36 86 136 186 236 286 336M (

kNm

)

L (m)


Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas

-500

0

500

-14 36 86 136 186 236 286 336V (

kN)

L (m)


Con Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 1


122

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 2

No Lineal G+M lineal Pseudo No Lineal

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 3


123






-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 4


-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 5


124


menor que el finalmente adoptado.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1Lineal Pseudo No Lineal

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3


125





En las figura 6-75 a x6-79 se muestran los diagramas de interacción de las pilas P1 a P5. En ella se representa

el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción obtenido con

ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de materiales. En la

misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior y superior. Se ha

representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 4


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 5


126

Figura 6-75 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal




-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

Inf No Lineal Inf Lineal Sup No Lineal

Sup Lineal Pseudo No Lineal

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


127





-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3


-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 4


128



Como puede verse prácticamente todas las pilas fallan, prácticamente a la vez, con una gran influencia de la

no linealidad geométrica que produce un fuerte aumento de los momentos. La rotura se produce con un

coeficiente de seguridad global de 1,9.

En las figuras siguientes se muestra la forma en la que se descomponen los esfuerzos en las cinco primeras

pilas para la combinación III con los tres métodos estudiados.

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 5


1443.0 kNm -166.1 kNm -4235.0 kNm -2958.1 kNm 53.3 mm


+ + =

129




+ + + =


Pseudo No Lineal Comb III Rotura Pila 1

+ + + =

1447.0 kNm -166.1 kNm -5170.0 kNm -3889.1 kNm 76.2 mm

+ + =


130




+ + + =



+ + + =

1442.0 kNm -166.1 kNm -5838.8 kNm -4562.9 kNm 92.4 mm


+ + =

131




+ + + =



+ + + =

1425.0 kNm -166.1 kNm -6204.0 kNm -4945.1 kNm 102.0 mm


+ + =

132




+ + + =



+ + + =

1418.0 kNm -166.1 kNm -6325.0 kNm -5073.1 kNm 105.0 mm

+ + =


133


Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica.

En las figuras siguientes se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de carga

máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. En esta situación se producen,

amplificados, los mismos fenómenos que para el estado de carga anterior.

A la luz de estos resultados, también en este ejemplo, puede concluirse que es muy importante, desde el

punto de vista del proyecto tomar medidas para garantizar reservas y contención de los efectos de segundo

orden, como aprovechar, si existen, las pilas cortas que se cargaran más y disminuirán de forma importante

las condiciones de solicitación y el efecto de segundo orden en las pilas más esbeltas.



+ + + =



+ + + =

134


1761.0 kNm -166.1 kNm -5172.0 kNm -3577.1 kNm 65.0 mm

=


+ +



=+ + +



+ + + =

135


1765.3 kNm -166.1 kNm -6320.7 kNm -4721.5 kNm 92.9 mm

+ + =




+ + + =



+ + + =

136


1759.4 kNm -166.1 kNm -7122.8 kNm -5529.5 kNm 112.7 mm


+ + =



+ + + =



+ + + =

137


1738.8 kNm -166.1 kNm -7567.8 kNm -5995.1 kNm 124.4 mm


+ + =



+ + + =



+ + + =

138


Finalmente tal como se ha hecho en los ejemplos anteriores se han dimensionado las pilas con otros

métodos, para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos de los

ejemplos anteriores.

En la figura 6-90 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para

todas pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los

métodos.

En este caso las cuantías son más parecidas a la de los métodos simplificados porque el comportamiento es

más próximo al de una pila con una longitud de pandeo similar a la que proponen los métodos simplificados.

1730.5 kNm -166.1 kNm -7712.3 kNm -6147.9 kNm 128.5 mm


+ + =



+ + + =



+ + + =

139


6.5 EJEMPLO 5

Viaducto con tablero discontinuo, con juntas en cada vano, de 10 vanos y con pilas de fuste circular con

ménsula de 11,00 m de altura.

En este ejemplo se estudia el mismo viaducto de 10 vanos del ejemplo anterior solo que en este caso se

prevé una junta de dilatación en cada vano.



0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Pila 1 Pila 2 Pila 3 Pila 4 Pila 5 Pila 6 Pila 7 Pila 8 Pila 9

ρ(%

)


M. Code EC2 EHE-08 MP

140

Figura 6-91 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 5

Las ecuaciones constitutivas, acciones y combinación de cargas son las mismas que para el ejemplo anterior.






Pila 1 6514.0 6730.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 4 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 5 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 7 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 8 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 9 6514.0 6730.0 0.0 0.0 0.0 0.0


Pila 1 0.0 0.0 1284.5 -2436.8 0.0 0.0

Pila 2 0.0 0.0 1005.8 -3125.9 0.0 0.0

Pila 3 0.0 0.0 712.9 -3419.5 0.0 0.0

Pila 4 0.0 0.0 556.2 -3576.3 0.0 0.0

Pila 5 0.0 0.0 507.0 -3625.6 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 556.2 -3576.3 0.0 0.0

Pila 7 0.0 0.0 712.9 -3419.5 0.0 0.0

Pila 8 0.0 0.0 1005.8 -3125.9 0.0 0.0

Pila 9 0.0 0.0 1284.5 -2436.8 0.0 0.0


Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -49.7

Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -16.0

Pila 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -5.9

Pila 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.5

Pila 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.5

Pila 7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 5.9

Pila 8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 16.0

Pila 9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 49.7


Pila 1 882.0 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 2 980.0 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 3 980.0 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 4 980.0 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 5 980.0 979.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 6 980.0 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 7 980.0 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 8 980.0 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0

Pila 9 882.0 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0

Sob

reca

rga

de

Uso

(Q

1)


Tem

per

atu

ra (

Q3)


Sob

reca

rga

Perm

anen

te (

G)


Vie

nto

(Q

2)


141



El viento transversal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en la las pilas.

Los momentos generados la temperatura son despreciables.

Los momentos generados por el viento trasversal, tienen siempre el mismo signo. Son mayores que en el

caso anterior porque aquí no hay ninguna influencia en la coacción del tablero, porque no tiene continuidad.




Pila 1 10117.2 10408.2 578.0 -1096.5 0.0 -48.7 578.0 1097.6

Pila 2 11241.3 11532.4 452.6 -1406.7 0.0 -15.6 452.6 1406.7

Pila 3 11241.3 11532.4 320.8 -1538.8 0.0 -5.0 320.8 1538.8

Pila 4 11241.3 11532.4 250.3 -1609.4 0.0 -1.5 250.3 1609.4

Pila 5 11241.3 11532.4 228.2 -1631.5 0.0 0.0 228.2 1631.5

Pila 6 11241.3 11532.4 250.3 -1609.4 0.0 1.5 250.3 1609.4

Pila 7 11241.3 11532.4 320.8 -1538.8 0.0 5.0 320.8 1538.8

Pila 8 11241.3 11532.4 452.6 -1406.7 0.0 15.6 452.6 1406.7

Pila 9 10117.2 10408.2 578.0 -1096.5 0.0 48.7 578.0 1097.6


Pila 1 9588.0 9879.0 1156.0 -2193.0 0.0 -78.4 1156.0 2194.4

Pila 2 10653.3 10944.4 905.3 -2813.3 0.0 -25.2 905.3 2813.4

Pila 3 10653.3 10944.4 641.6 -3077.5 0.0 -8.0 641.6 3077.5

Pila 4 10653.3 10944.4 500.6 -3218.7 0.0 -2.3 500.6 3218.7

Pila 5 10653.3 10944.4 456.3 3263.0 0.0 0.0 456.3 3263.0

Pila 6 10653.3 10944.4 500.6 -3218.7 0.0 2.3 500.6 3218.7

Pila 7 10653.3 10944.4 641.6 -3077.5 0.0 8.0 641.6 3077.5

Pila 8 10653.3 10944.4 905.3 -2813.3 0.0 25.2 905.3 2813.4

Pila 9 9588.0 9879.0 1156.0 -2193.0 0.0 78.4 1156.0 2194.4


Pila 1 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3

Pila 2 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8

Pila 3 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3

Pila 4 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5

Pila 5 9771.3 10062.4 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4

Pila 6 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5

Pila 7 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3

Pila 8 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8

Pila 9 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3


Pila 1 7837.2 8052.8 578.0 -1096.5 0.0 -48.7 578.0 1097.6

Pila 2 8708.0 8923.6 452.6 -1406.7 0.0 -15.6 452.6 1406.7

Pila 3 8708.0 8923.6 320.8 -1538.8 0.0 -5.0 320.8 1538.8

Pila 4 8708.0 8923.6 250.3 -1609.4 0.0 -1.5 250.3 1609.4

Pila 5 8708.0 8923.6 228.2 -1631.5 0.0 0.0 228.2 1631.5

Pila 6 8708.0 8923.6 250.3 -1609.4 0.0 1.5 250.3 1609.4

Pila 7 8708.0 8923.6 320.8 -1538.8 0.0 5.0 320.8 1538.8

Pila 8 8708.0 8923.6 452.6 -1406.7 0.0 15.6 452.6 1406.7

Pila 9 7837.2 8052.8 578.0 -1096.5 0.0 48.7 578.0 1097.6


Pila 1 7308.0 7523.6 1156.0 -2193.0 0.0 -78.4 1156.0 2194.4

Pila 2 8120.0 8335.6 905.3 -2813.3 0.0 -25.2 905.3 2813.4

Pila 3 8120.0 8335.6 641.6 -3077.5 0.0 -8.0 641.6 3077.5

Pila 4 8120.0 8335.6 500.6 -3218.7 0.0 -2.3 500.6 3218.7

Pila 5 8120.0 8335.6 456.3 3263.0 0.0 0.0 456.3 3263.0

Pila 6 8120.0 8335.6 500.6 -3218.7 0.0 2.3 500.6 3218.7

Pila 7 8120.0 8335.6 641.6 -3077.5 0.0 8.0 641.6 3077.5

Pila 8 8120.0 8335.6 905.3 -2813.3 0.0 25.2 905.3 2813.4

Pila 9 7308.0 7523.6 1156.0 -2193.0 0.0 78.4 1156.0 2194.4


72.4

225.2

48.2

32.2

32.2

48.2

64.3

72.4

72.4CO

MB

I

As (cm2)

Dim

136.7

193.0

217.2

233.2

233.2

233.2

0.0

As (cm2)

Dim


193.0

136.7

CO

MB

III


Dim

241.3

353.9

394.1

410.2

418.2

410.2

394.1

353.9

241.3

CO

MB

IIC

OM

B IV


Dim

32.2

32.2

40.2

48.3

56.3

48.3

0.0

32.2

32.2

CO

MB

V


Dim

104.5

16.9

185.0

193.0

201.0

193.0

185.0

16.9

104.5

142



hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada, para cada pila. Las

armaduras son similares a las del ejemplo anterior, un poco mayores, lo que pone de manifiesto que el

tablero del ejemplo anterior coacciona muy poco, casi tan poco como el del tablero con juntas que

realmente no coacciona al movimiento horizontal.


Pila 1 6514.2 6730.0 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3

Pila 2 7238.0 7454.0 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8

Pila 3 7238.0 7454.0 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3

Pila 4 7238.0 7454.0 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5

Pila 5 7238.0 7454.0 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4

Pila 6 7238.0 7454.0 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5

Pila 7 7238.0 7454.0 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3

Pila 8 7238.0 7454.0 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8

Pila 9 6514.2 6730.0 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3

CO

MB

VI


Dim

225.2

313.7

353.8

378.0

386.0

378.0

0.0

313.7

225.2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 5000 10000 15000 20000 25000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2

143

Figura 6-92 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 5

144




hormigón (Ec = 28.500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el


1

34

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 1 (υ=0.58)


1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 2 (υ=0.64)


145

1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 3 (υ=0.64)


1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

EI Pila 4 (υ=0.64)


146

Figura 6-93 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].



combinación III.

Tabla 6-34 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.


i. En este caso el tablero no coacciona nada por la presencia de las juntas. En el caso anterior,

como se ve, el comportamiento es parecido por la poca coacción que ejerce el tablero, a pesar

de su continuidad.

1

3

4

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6

M (

kNm

)

1/r (km-1)

Pila 5 (υ=0.64)



Pila 1 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3

Pila 2 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8

Pila 3 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3

Pila 4 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5

Pila 5 9771.3 10062.4 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4

Pila 6 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5

Pila 7 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3

Pila 8 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8

Pila 9 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3


Pila 1 8794.2 9085.2 2769.0 -3971.0 0.0 -37.4 2769.0 3971.2

Pila 2 9771.3 10062.4 2457.0 -5381.0 0.0 -23.8 2457.0 5381.1

Pila 3 9771.3 10062.4 2012.2 -6042.0 0.0 -11.6 2012.2 6042.0

Pila 4 9771.3 10062.4 1156.2 -6864.0 0.0 -5.2 1156.2 6864.0

Pila 5 9771.3 10062.4 1005.2 -7034.0 0.0 0.0 1005.2 7034.0

Pila 6 9771.3 10062.4 1156.2 -6864.0 0.0 5.2 1156.2 6864.0

Pila 7 9771.3 10062.4 2012.2 -6042.0 0.0 11.6 2012.2 6042.0

Pila 8 9771.3 10062.4 2457.0 -5381.0 0.0 23.8 2457.0 5381.1

Pila 9 8794.2 9085.2 2769.0 -3971.0 0.0 37.4 2769.0 3971.2

410.2

555.0

475.0

547.0

Pseu

do

No

Lin

eal


Dim

273.5

410.2

547.0

273.5

475.0

241.3

353.9

LIN

EAL


Dim

394.1

410.2

418.2

410.2

394.1

353.9

241.3

147

Figura 6-94 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.

050000

-14 36 86 136 186 236 286 336

M (

kNm

)

L (m)



-10000

10000

-14 36 86 136 186 236 286 336

M (

kNm

)

L (m)



-500

500

-14 36 86 136 186 236 286 336V (

kN)

L (m)



Estribo 1 222.0

Pila 1 495.1

Pila 2 551.1

Pila 3 551.1

Pila 4 551.1

Pila 5 551.2

Pila 6 551.1

Pila 7 551.1

Pila 8 551.1

Pila 9 495.1

Estribo 2 222.0

Lin

eal

V (kN)

148


iii. En la figura 6-95 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos

cálculos realizados y para la combinación III. En estas figuras se puede ver las excentricidades

solo están en una dirección y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.

αEstribo 1 222.0 1.00

Pila 1 495.1 1.00

Pila 2 551.1 1.00

Pila 3 551.1 1.00

Pila 4 551.1 1.00

Pila 5 551.2 1.00

Pila 6 551.1 1.00

Pila 7 551.1 1.00

Pila 8 551.1 1.00

Pila 9 495.1 1.00

Estribo 2 222.0 1.00N

o L

inea

l G+

M y

Pse

ud

o N

o L

inea

l

V (kN)


-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 1


149

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600

Pila 2

No Lineal G+M lineal

-0.800

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

-0.800 -0.300 0.200 0.700

Pila 3


150






-0.800

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

-0.800 -0.300 0.200 0.700

Pila 4


-0.800

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

-0.800 -0.300 0.200 0.700

Pila 5


151


menor que el finalmente adoptado.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1Lineal Pseudo No Lineal

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3


152





En las figura 6-97 a 6-101 se muestran los diagramas de interacción de las pilas P1 a P5. En ella se representa

el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción obtenido con

ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de materiales. En la

misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior y superior. Se ha

representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 4


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

M (

kNm

)

N (kN)

Pila 5


153





-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 1Inf No Lineal Inf Lineal Sup No LinealSup Lineal Pseudo No Lineal

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 2


154





-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 3


-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 4


155



Como puede verse prácticamente todas las pilas fallan, prácticamente a la vez, con una gran influencia de la

no linealidad geométrica que produce un fuerte aumento de los momentos. La rotura se produce con un

coeficiente de seguridad global de 1,8.

En las figuras siguientes se muestra la forma en la que se descomponen los esfuerzos en las cinco primeras

pilas para la combinación III con los tres métodos estudiados.

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000M (

kNm

)

N (kN)

Pila 5


1919.0 kNm -164.7 kNm -5445.0 kNm -3690.7 kNm 65.30 mm


+ + =

156




+ + + =



+ + + =

1493.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -4732.7 kNm 96.00 mm

+ + =


157




+ + + =



+ + + =

1049.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5176.7 kNm 112.30 mm


+ + =

158




+ + + =



+ + + =

811.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5414.7 kNm 121.00 mm


+ + =

159




+ + + =



+ + + =

736.6 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5489.1 kNm 123.80 mm

+ + =


160


Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica.

En las figuras siguientes se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de carga

máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. En esta situación se producen,

amplificados, los mismos fenómenos que para el estado de carga anterior.

A la luz de estos resultados, también en este ejemplo, se puede ver como la continuidad del tablero puede

jugar un papel en el comportamiento de las pilas que las juntas no permiten que se produzca.



+ + + =



+ + + =

2322.5 kNm -164.7 kNm -6600.0 kNm -4442.2 kNm 79.10 mm


+ + =

161



+ + =


+



+ + + =

1806.9 kNm -164.7 kNm -7334.3 kNm -5692.1 kNm 116.17 mm


+ + =

162



+ + =


+



+ + + =

1269.2 kNm -164.7 kNm -7335.4 kNm -6230.9 kNm 135.90 mm


+ + =

163




+ + + =



+ + + =

981.6 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -6519.0 kNm 146.50 mm


+ + =

164

16




+ + + =



+ + + =

891.3 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -6609.4 kNm 149.80 mm


+ + =

165


Finalmente tal como se ha hecho en los ejemplos anteriores se han dimensionado las pilas con otros

métodos, para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos de los

ejemplos anteriores.

En la figura 6-112 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para

todas pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los

métodos. En este caso las cuantías son más parecidas a la de los métodos simplificados porque el

comportamiento es más próximo al de una pila con una longitud de pandeo similar a la que proponen los

métodos simplificados.


+ + + =




+ + + =

166


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Pila 1 Pila 2 Pila 3 Pila 4 Pila 5 Pila 6 Pila 7 Pila 8 Pila 9

ρ(%

)Dimensionamiento con los Distintos Métodos

M. Code Ec2 EHE-08 MP

167

7 CONCLUSIONES

En este trabajo se han conseguido las siguientes aportaciones:

Mayor entendimiento del comportamiento de los puentes con pilas esbeltas.

Se ha podido demostrar que la interacción entre las pilas y el resto de los elementos del puente es

importante, en general. Se ha podido demostrar que es difícil representar simplificadamente la

complejidad de esta interacción.

Se ha podido demostrar que el análisis lineal da mucha información que debe ser usada en el diseño

conceptual [16] para decidir la propuesta elegida y se han podido explicar algunos

comportamientos no evidentes en cierto tipo de puentes, en relación a las pilas esbeltas de

puentes.

Se aporta un método de análisis y dimensionamiento de pilas esbeltas de puentes que da

resultados muy adecuados, contrastados numéricamente con métodos globales no lineales

mecánicos y geométricos.

El método propuesto permite tener en cuenta la no linealidad geométrica y mecánica de los

elementos esbeltos, permite representar completamente la complejidad de la interacción entre

pilas esbeltas y estructuras y da un dimensionamiento óptimo mucho más ajustado que el que

predicen los métodos normalmente utilizados.

No requiere determinar una incierta representación del comportamiento real a través de un

soporte biarticulado equivalente. Esta metodología era la única simplificación posible hace años

pero ahora puede hacerse fácilmente con métodos como el propuesto.

No requiere tener en cuenta el concepto de esbeltez límite, porque automáticamente se tiene en

cuenta el fenómeno de la esbeltez con el procedimiento propuesto.

Es un procedimiento ingenieril que requiere sobre todo el entendimiento de un modelo elástico

lineal, para ver el comportamiento y proyectar en consecuencia. A un segundo nivel, para el

dimensionamiento, momento en el que se tiene en cuenta la no linealidad mecánica y geométrica,

requiere el uso de programas comerciales normales, que tengan en cuenta la matriz geométrica, ya

que el comportamiento no lineal geométrico se considera con un análisis con matriz geométrica, y

el comportamiento no lineal mecánico se considera con un análisis lineal con una rigidez

suficientemente ajustada.

168

8 PROPUESTAS DE TRABAJO FUTUROS

Como trabajos futuros se plantean los siguientes:

Estudio de la influencia de los efectos diferidos en aquellos en donde sea necesaria su

consideración.

Como se ha dicho, en muchos puentes el efecto del segundo orden en pilas de esbeltas no es

trascendente porque las pilas están cargadas de forma centrada para cargas permanentes, y solo se

producen deformaciones diferidas axiales, que no aumentan la excentricidad.

En otros casos, pasos superiores integrales o puentes de grandes luces construidos por voladizos

en donde la pila esta empotrada al tablero, etc, los momentos en las pilas pueden aumentar las

deformaciones de primer orden y, lógicamente, tener influencia en el comportamiento de las pilas

esbeltas.

Efecto de las imperfecciones.

En este trabajo no se han tenido en cuenta las imperfecciones. Este es un aspecto que tiene que ser

valorado adecuadamente porque empeora el comportamiento de los soportes esbeltos.

Las tolerancias de construcción no siempre están adaptadas al proceso de construcción de acuerdo

con la tecnología actual. Las tolerancias genéricas son muy altas. Las tolerancias no se definen en

los pliegos de acuerdo con las tecnologías constructivas previstas en el proyecto.

Por otro lado, el efecto de las imperfecciones no siempre genera efectos de segundo orden. Puede

generar solo fuerzas horizontales.

Es necesario abordar este tema de forma detallada y profunda.

Con el uso de este procedimiento deben estudiarse y definirse las acciones proyectuales que

optimizan el comportamiento de los puentes.

Este trabajo, más conceptual y de criterios de diseño, debe ser abordado puesto que es

imprescindible crear criterios para utilizar el conocimiento del comportamiento de puentes con

pilas esbeltas para mejora su diseño.

Uno de los criterios que han sido discutidos en este trabajo, por ejemplo, es la eficiencia del tablero

en la coacción del movimiento de las pilas. Es necesario identificar las proporciones que hacen que

este efecto positivo es eficiente.

Es necesario estudiar cual es las condiciones de seguridad global adecuadas para la validación de

un método de este tipo. Este es un aspecto importante para poder definir adecuadamente la

idoneidad del procedimiento que se propone.

169

9 BIBLIOGRAFÍA

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Slender Columns.

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de Hormigón armado y Pretensado. E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.

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de Hormigón Armado en Estado Límite Último de Agotamiento o Inestabilidad. Método de las

Curvaturas de Referencia. Madrid, Comunidad de Madrid, España.

[6] Corres, H. (s.f.). Comportamiento, análisis y proyecto de pilas esbeltas. El viaducto de Alberche.

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de servicio, sometidos a acciones exteriores y deformaciones impuestas. E.T.S. de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos. Universidad Politécnica de Madrid.

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en teoría de segundo orden. E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Universidad

Politécnica de Madrid.

[11] Gavin, H. (2012). Geometric Stiffness Effects in 2D and 3D Frames. Durham.

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[13] Ministerio de Fomento. (1998). Instrucción Sobre las Acciones a Considerar en Puentes de Carretera

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[15] Thimoshenko, S. (s.f.). Resistencia de Materiales Universidad de Stanford.

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solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Lausanne, Geneva: Marc-Michel

Bousquet & Co.

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Tesis Master Luis Handal Rivera