Tesis Ransés Alfonso Rodríguez

Facultad de Matemtica y ComputacinUniversidad de La Habana

Homogeneizacin y Clculo de Coeficientes Efectivos enCompuestos Piezoelctricos Fibrosos

Autor:

Ranss Alfonso Rodrguez

Tutores:

Dr. Julin Bravo Castillero

Dr. Ral Guinovart Daz

Dr. Reinaldo Rodrguez RamosMSc. Lzaro Maikel Sixto Camacho

Junio 2013

Trabajo de Diploma en opcin al ttulo deLicenciado en Matemtica

A mi familia,

especialmente a aquellos que ya no estn.

AgradecimientosDe sobra es sabido que estas lneas nunca sern suficientes, pero hay siempre personas a las que

queremos agradecer, y siempre hay personas a las que vamos a pasar por alto; es por eso que esta

investigacin la dedico a ti, donde quiera que ests.

A mis padres, y al resto de mi familia, sin cuya confianza y apoyo emocional no hubiese podido.

A los profesores del Grupo de Mecnica de Slidos de la Facultad de Matemtica y Computacin

de la Universidad de La Habana, por su apoyo. Sepan que estoy feliz de haber podido compartir

estos aos con ustedes y espero continuar mi trabajo a su lado.

A mis amigos, por saber comprender cuando no pude acompaarlos, y por ayudarme cuando les

fue posible.

Especialmente a mi gua en este camino, mi profesor y amigo, el Dr. Julin Bravo Castillero;

porque cuando flaquearon las fuerzas estuvo ah para sostenerme.

Por ltimo, a todos aquellos que de una forma u otra ayudaron a conseguir este resultado.

Resumen

Se investiga el comportamiento electromecnico global de un compuesto piezoelctrico bifsico

peridico con fibras unidireccionales, por medio del Mtodo de Homogeneizacin Asinttica (MHA).

El compuesto est hecho con materiales homogneos y transversalmente isotrpicos que pertenecen

a la clase de cristales 622. Las secciones transversales de la fibra son circulares y estn centradas

en un arreglo peridico de celdas rectangulares. El compuesto se encuentra en un estado acoplado

de cizalladura piezoelctrica fuera del plano y campo elctrico en el plano. Los problemas locales

que surgen del anlisis a dos escalas usando el MHA son resueltos usando elementos de la teora de

funciones variable compleja, conduciendo a sistemas infinitos de ecuaciones algebraicas lineales. Estos

sistemas se resuelven aqu utilizando diferentes rdenes de truncamiento que permiten un estudio

numrico de las propiedades efectivas. Se implement un programa en MATLAB para la solucin de

los sistemas infinitos que fue validado mediante comparaciones con resultados obtenidos por otros

autores.

Abstract

Based on the Asymptotic Homogenization Method (AHM), the electromechanical global behavior

of a two-phase piezoelectric unidirectional periodic fibrous composite is investigated. The composite

is made of homogeneous and linear transversely isotropic piezoelectric materials that belong to the

symmetry crystal class 622. The cross-sections of the fibers are circular and are centered in a periodic

array of rectangular cells. The composite state is antiplane shear piezoelectric, that is, a coupled

state of out-of-plane shear deformation and in-plane electric field. Local problems that arise from the

two-scale analysis using the AHM are solved using elements of the theory of functions of complex

variables, leading to an infinite system of algebraic linear equations. This infinite system is solved

here using different truncation orders allowing a numerical study of the effective properties. It was

implemented a program in MATLAB for the solution of the infinite systems that was validated

through comparisons with results obtained by other authors.

ndice general

1. Introduccin 1

1.1. Qu es un Material Compuesto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Objetivos y Estructuracin del Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Homogeneizacin Asinttica de Medios Peridicos Piezoelctricos Heterogneos 6

2.1. Problemas de Valores de Frontera para Medios Peridicos con Coeficientes Rpida-

mente Oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Homogeneizacin, Problemas Locales y Coeficientes Efectivos . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Resultados Derivados de los Problemas Correspondientes a 2 . . . . . . . . . 9



2.2.4. Forma Explcita del Problema Homogeneizado, los Coeficientes Efectivos y los

Problemas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Una Justificacin del MHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Planteamiento del Problema 15

3.1. Presentacin del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Mtodo de Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Expansin de las Ecuaciones para los Problemas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . 19

i

4. Solucin de los Problemas Locales Antiplanos 24

4.1. Solucin de 23L y 1L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1. Planteamientos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2. Solucin del Sistema Resultante para el Problema 23L . . . . . . . . . . . . . . 33


4.2. Solucin de 13L y 2L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1. Planteamientos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



4.3. Deduccin de las Frmulas Finales para los Coeficientes Efectivos . . . . . . . . . . . 40

4.4. Resultados Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Ejemplo Numrico 44

5.1. Frmulas Analticas para 3a1, 3b1, a1 y b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2. Resultados para el Caso a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1. Caso a = 1 con Huecos Cilndricos Unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.2. Caso a = 1 con Fibras Cilndricas Unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3. Resultados para el Caso a 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Conclusiones y Recomendaciones 51

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A. Grficas 54

A.1. Caso a = 1 con Huecos Cilndricos Unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2. Caso a = 1 con Fibras Cilndricas Unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.3. Caso a = 1,25 con Fibras Cilndricas Unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B. Aplicacin del Teorema 1, pg. 346 de [4] 65

ii

C. Comentarios Sobre la Funcin Zeta de Weierstrass 67

D. Sumas de Lattices Rectangulares 70

D.1. Convergencia de la Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

D.2. Pertenencia de S al Cuerpo de los Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

D.3. Valores de para que S 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75D.4. Clculo de S para Diferentes Valores de a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

E. Ideas Bsicas Sobre los Cambios de Notacin Utilizados 79

Referencias 81

iii

Captulo 1

Introduccin

1.1. Qu es un Material Compuesto?

El objetivo de esta seccin es establecer un marco de referencia mnimo para las posteriores

discusiones. La mayora de estas definiciones pueden encontrarse en diferentes textos relacionados

con el tema; por ejemplo, en [32].

Definimos aqu un material compuesto como un material heterogneo compuesto constituido por

volmenes alternados de algunos materiales homogneos en la escala supermolecular. La clasifica-

cin por formas de estos materiales puede ser presentada como sigue

medios estratificados (laminados) constituidos de capas finas homogneas alternantes (peridica-

mente);

materiales reforzados por fibras: un sistema peridico de fibras paralelas unidireccionales de un

compuesto (o la unin de varios sistemas de diferentes direcciones), separadas por un material

soporte llamado matriz, que llena el espacio entre las fibras;

compuesto granulado: la estructura peridica de un sistema peridico tridimensional de granos y

un material que llena el espacio entre los granos (la matriz).

Esta lista se puede continuar.

1

Se asume que las dimensiones de la celda peridica son mucho ms pequeas que el tamao

del problema espacial macroscpico caracterstico. Si tomamos este tamao macroscpico como una

unidad de dimensin del espacio, entonces el perodo de la estructura se transforma en parmetro

pequeo denotado .

Por propiedad efectiva de un material compuesto se entender aquella propiedad intensiva que es

producto de: (1) Las propiedades de las fases que constituyen el compuesto; (2) de la distribucin

espacial de las mismas fases; y (3) de las propiedades que resulten de las interacciones posibles entre

estas fases.

Al valor numrico de esta propiedad efectiva tambin se le conoce como coeficiente efectivo.

1.2. Antecedentes

Aunque pasaron alrededor de treinta aos desde el descubrimiento del efecto piezoelctrico por los

hermanos Pierre y Jacques Curie, hasta que viera sus primeras aplicaciones prcticas, el desarrollo

de la humanidad se ha visto afectado por la aplicacin que tuvo este resultado en varios campos de

la ciencia.

Si bien algunas de las relaciones entre la piezoelectricidad y la estructura de los cristales fueron

establecidas por los hermanos Curie, estas fueron ms rigurosamente determinadas por Woldemar

Voight en 1894. Combinando los elementos de la simetra de tensores elsticos y vectores elctricos

con los elementos de la simetra geomtrica de cristales. Voight dej claro en cules de las 32 clases

de cristales podan existir efectos piezoelctricos, y para cada clase mostr cuales de los posibles 18

coeficientes piezoelctricos podan tener valores diferentes de cero. (Ver [26])

Los materiales compuestos fueron ampliamente utilizados durante el siglo XX en la construccin

de aviones, naves espaciales y la industria del deporte. Estos materiales permiten la combinacin de

propiedades tales como alta elasticidad, baja densidad, alta resistencia a fallas, baja conductividad

de calor, etc.

En la actualidad los estudios acerca de los fenmenos piezoelctricos han variado sustancialmente,

la prediccin de las propiedades efectivas en materiales compuestos ([4], [5], entre otros) ha pasado a

2

tomar un rol determinante. El Mtodo de Homogeneizacin Asinttica (MHA), ha sido utilizado en

mltiples ocasiones con este fin ([1], [24], [11], [10], [30], entre otros) consiguiendo buenos resultados.

En general, al aplicar el MHA a un medio peridico, lleva necesariamente a la solucin de varios

problemas, llamados problemas locales (o cannicos), que tienen lugar en la celda peridica. Estos

son resueltos usualmente por medio de mtodos numricos (por ejemplo [15], [2]). Sin embargo, en el

caso de algunos materiales anisotrpicos y arreglos de cilindros circulares para un compuesto bifsico,

se pueden hallar expresiones analticas ([34], [35], [17], [11]) que aproximan estas soluciones.

Los materiales piezoelctricos de la clase cristalina 622 son de inters en aplicaciones a la me-

cnica de huesos ([13], [22]). Resultados experimentales indican no solo que el efecto piezoelctrico

es responsable del crecimiento y remodelacin de los huesos, por lo que es de gran utilidad en la

consolidacin de fracturas; sino que existe evidencia experimental de que el material seo se fija a la

clase cristalina 622 ([13]).

En nuestro caso estudiamos un compuesto binario, donde los componentes pertenecen a la mencio-

nada clase cristalina. Consideramos un arreglo rectangular de largos cilindros circulares continuos. El

compuesto est en un estado acoplado de desplazamiento mecnico fuera del plano y campo elctrico

en el plano; caracterizado por tres parmetros electroelsticos.

Nuestro inters aqu yace en la determinacin de las propiedades efectivas de este compuesto. Estas

se derivan por medio del mtodo de dos escalas espaciales. Se resuelven los problemas antiplanos 1L,

2L, 13L y 23L, de modo que son obtenidas las tres propiedades. Los problemas locales son resueltos

usando mtodos potenciales de la variable compleja.

En esta investigacin se extienden los resultados de [1] y [24], donde un arreglo cuadrado es

considerado, al caso en que el arreglo es rectangular de base 1 y altura a. Esta extensin involucra

el clculo de sumas de lattices rectangulares dependientes de a, as como la necesidad de resolver

nuevos sistemas de infinitas ecuaciones lineales debido al rompimiento de las propiedades de simetra,

lo que aporta nuevos coeficientes efectivos que no aparecen en los casos de distribucin cuadrada.

Al igual que en estos trabajos, se utilizan desarrollos en series de potencias de funciones elpticas, y

se resuelven sistemas infinitos para el clculo de los coeficientes efectivos. Se solucionan los problemas

3

locales mediante sucesivos truncamientos y se elabor un programa (en Matlab) que permite la

solucin del sistema infinito para cualquier orden de truncamiento.

A partir de los resultados de este programa para el caso a = 1 y un compuesto bifsico se

reproducen los resultados de [24], y para fibras huecas se obtienen los reportados por [1].

1.3. Objetivos y Estructuracin del Trabajo

Para lograr los resultados comentados al final de la seccin anterior, nos propusimos los siguientes

objetivos:

1. Describir las etapas fundamentales del Mtodo de Homogeneizacin Asinttica aplicado a me-

dios piezoelctricos heterogneos ms generales provistos de una estructura peridica.

2. Deducir los modelos matemticos para los problemas locales y las propiedades efectivas co-

rrespondientes a compuestos bifsicos peridicos reforzados con fibras cilndricas para el caso

particular en que los constituyentes son materiales piezoelctricos homogneos con simetra

cristalina de la clase 622.

3. Aplicar el mtodo de coeficientes indeterminados combinado con desarrollos en series de po-

tencia de funciones elpticas para resolver los llamados problemas locales antiplanos para el

caso de distribucin peridica de las fibras segn un arreglo rectangular.

4. Implementar computacionalmente la solucin de los sistemas de infinitas ecuaciones lineales

que permiten calcular los coeficientes indeterminados mencionados en el objetivo anterior, as

como las correspondientes validaciones de los resultados numricos mediante comparaciones

con resultados reportados por otros autores.

Este trabajo est dividido en 6 Captulos y 5 Apndices, cada uno de los cuales tiene objetivos

propios que tributan al objetivo principal de esta investigacin, que es extender al caso de la geometra

rectangular en un compuesto piezoelctrico los resultados obtenidos para compuestos piezoelctricos

con estructura cuadrada.

4

En el Captulo 1 se introducen las ideas y definiciones principales, se realiza un breve bosque-

jo de la actualidad de los temas tratados y se presentan los objetivos generales del trabajo. Con

el Captulo 2 se describen las ideas bsicas del proceso de homogeneizacin asinttica de medios

peridicos piezoelctricos heterogneos, haciendo hincapi en la justificacin terica de cada paso y

en el proceso de obtencin de los problemas locales y las propiedades efectivas. En el Captulo 3 se

presenta el problema particular a considerar y se aplican los procedimientos del Captulo anterior,

conducindonos hasta las puertas de la solucin de los ya mencionados problemas cannicos.

El Captulo 4 se intenta presentar de forma pormenorizada la solucin de los problemas locales

antiplanos 13L, 23L, 1L y 2L y la determinacin de las propiedades efectivas, que es siempre el hilo

conductor del trabajo. Con el Captulo 5 se persigue obtener los resultados relativos a las propie-

dades efectivas: las expresiones analticas que aproximan las soluciones de los problemas cannicos

y resultados numricos que permitan validar las frmulas derivadas y sus implementacin mediante

comparaciones con resultados ya reportados en artculos recientes. Finalmente, en el Captulo 6 se

presentan las conclusiones y recomendaciones del trabajo, dando idea de los principales resultados

alcanzados y de lo que nos proponemos conseguir en un futuro.

Los Apndices tienen el objetivo de presentar un trabajo lo ms autocontenido posible y de

explicar aquellos detalles que pueden causar ms dudas durante la lectura de este documento.

5

Captulo 2

Homogeneizacin Asinttica de Medios

Peridicos Piezoelctricos Heterogneos

2.1. Problemas de Valores de Frontera para Medios Peridicos

con Coeficientes Rpidamente Oscilantes

Sea R3 un abierto tridimensional, conexo y acotado con frontera infinitamente suave .Las propiedades materiales de un cuerpo tridimensional piezoelctrico ocupando son descritas por

coeficientes elsticos (Cijkl), piezoelctricos (eijk) y dielctricos (ij).

Primero las funciones materiales se suponen suficientemente suaves, rpidamente oscilantes y Y -

peridicas en la variable local y = x, donde > 0 es el parmetro geomtrico pequeo y Y es la

llamada celda peridica. Para cada x = (x1, x2, x3) las funciones materiales se definen como lassiguientes -familias:

Cijkl (x) = Cijkl

(x

), eijk (x) = eijk

(x

), ij (x) = ij

(x

).

Los ndices toman valores 1, 2 y 3.

Las funciones materiales satisfacen las condiciones de simetra

Cijkl = Cjikl = C

ijlk = C

klij, e

ijk = e

ikj,

ij =

ji. (2.1)

6

Adems, suponemos tambin que existe una constante > 0 tal que, para cualquier vector

a = (a1, a2, a3), y cualquier matriz simtrica de tercer orden m = (mij)

Cijkl (x)mijmkl mijmij, (2.2)

ij (x) aiaj aiai. (2.3)La regla de la suma sobre los ndices repetidos ser utilizada a lo largo de este trabajo.

Para > 0 (fijo), el comportamiento piezoelctrico de este cuerpo heterogneo est dado por el

campo de desplazamiento elctrico u = (ui ) y el potencial elctrico , que satisfacen las ecuaciones

de equilibrio:

ij,j = fi, x , (2.4a)Di,i = 0, x , (2.4b)

donde ij es el tensor de tensiones, Di el desplazamiento elctrico, y fi las fuerzas msicas, que son

funciones infinitamente diferenciables. La notacin de la coma , indica derivacin parcial.

La ecuacin (2.4a) es la ecuacin de equilibrio de los cuerpos slidos, mientras (2.4b) es la apro-

ximacin quasi-esttica de la ecuacin de Maxwell (Ver [3]).

Las ecuaciones constitutivas vienen dadas por

ij = Cijklskl (u

) + emij,m, (2.5a)

Di = eiklskl (u

) im,m, (2.5b)

donde skl (u) = 12(ul,k + u

k,l

)es la deformacin linealizada, y se ha utilizado la siguiente relacin

geomtrica

Em = ,m, (2.6)donde Em son las componentes del campo irrotacional elctrico.

Convenientemente introducimos aqu la siguiente notacin unificada para matrices de cuarto orden

Ajl (aikjl

)i,k=1,...,4, donde

aikjl = Cijkl, ai4jl = elij, a

4kjl = ejkl, para 1 i, k 3,

a44jl = jl,

7

donde 1 j, l 3Sustituyendo (2.5a)-(2.5b) en las ecuaciones de equilibrio (2.4a)-(2.4b) obtenemos

(Ajl (x)U

|l(x)

)|j = F, x . (2.7)

Aqu U = (uk, )Tk=1,2,3 y F = (fi, 0)

Ti=1,2,3 son funciones vectoriales de orden 41. El suprandice

T significa vector transpuesto. La ecuacin (2.7) representa un sistema de ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales con las incgnitas uk y .

Para completar el problema de valores de frontera, se puede asumir la siguiente condicin de

frontera homognea

U (x) = 0, (2.8)

para x , donde 0 es el vector nulo de R4.Para cada > 0 fijo existe una nica solucin del problema (2.7)-(2.8). La prueba de este resultado

puede hacerse siguiendo cualquiera de las vas descritas en [14, Nota 3.1, pg. 276], donde un problema

termo-elstico fue estudiado.

2.2. Homogeneizacin, Problemas Locales y Coeficientes Efec-

tivos

En esta seccin el MHA ([4], [5], [36], [33], entre otros) se aplica al problema (2.7)-(2.8). Ms

especficamente, se extiende la metodologa utilizada en [4, Captulos 2 y 4]. El proceso de homo-

geneizacin es formal pero muy extenso, por ello en lo siguiente solo mostraremos las principales

etapas. Una presentacin detallada est reportada en [12].

Para obtener el problema homogeneizado la solucin de (2.7)-(2.8) se busca en la forma

U (x) = U (0)(x, y) + U (1)(x, y) + 2U (2) (x, y) + ..., (2.9)

donde

U (i) =(u

(i)k ,

(i))Tk=1,2,3

, i = 0, 1, 2, . . . ,

8

con u(0)k (x, y), u(1)k (x, y),. . .,

(0)(x, y), (1)(x, y),. . ., infinitamente diferenciables y Y -peridicas res-

pecto a la variable rpida y.

Sustituyendo (2.9) en (2.7), aplicando la regla de la cadena

xla(x, y) =

a

xl(x, y) + 1

a

yl(x, y),

e igualando a cero los trminos correspondientes a potencias iguales de (2, 1, 0, . . . ) se obtiene

una familia recurrente de ecuaciones diferenciales parciales. En las siguientes subsecciones conside-

raremos los momentos relevantes para obtener el problema homogeneizado, los problemas locales y

los coeficientes efectivos.

2.2.1. Resultados Derivados de los Problemas Correspondientes a 2

De (2.7), el trmino correspondiente a 2 puede ser escrito como(Ajl (y)U

(0)|l (x, y)

)|j

= 0, (2.10)

donde U (0)(x, y) =(u

(0)k (x, y),

(0)(x, y))Tk=1,2,3

, y |j denota derivada parcial respecto a yj. As (2.10)

es un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales parciales con cuatro incgnitas. La matriz Ajl es

simtrica pero no satisface la condicin de positividad aikjl (y)ij

kl ij ij , para cualesquiera

vectores reales j = (ij ). De cualquier modo, multiplicando por 1 la ltima ecuacin de (2.10) se

obtiene el siguiente sistema equivalente de ecuaciones diferenciales parciales(Bjl (y)U

(0)|l (x, y)

)|j

= 0, (2.11)

donde

Bjl =

cijkl elijejkl jl

i,k=1,2,3

. (2.12)

Ahora es posible aplicar el Teorema 1 de la pgina 346 de [4] (ver Apndice B) para mostrar que

los trminos no perturbados de la expansin asinttica (2.9) son independientes de la variable rpida,

esto es U (0) = U (0)(x) con

U (0)(x) =(u

(0)k (x) ,

(0) (x))Tk=1,2,3

. (2.13)

9


De (2.7) y usando (2.13), el sistema correspondiente a 1 puede ser expresado como(Ajl (y)U

(1)|l (x, y)

)|j

= (Ajl (y)U

(0),l (x)

)|j, (2.14)

donde U (1)(x, y) =(u

(1)k (x, y),

(1)(x, y))Tk=1,2,3

.

Como en la Subseccin anterior, de (2.14) es posible pasar a un sistema equivalente de tipo

elptico, que admite solucin U (1)(x, y) en la clase de las funciones Y -peridicas con respecto a y. Tal

solucin puede ser expresada como sigue

U (1)(x, y) = Ni1 (y)U(0),i1

(x), (2.15)

con

Ni1(y) =

wi1nk (y) gi1k (y) i1n(y) pii1(y)

k,n=1,2,3

, (i1 = 1, 2, 3) ,

donde la matriz de 4 4, Ni1(y), es solucin Yperidica de(Ajl (y)Ni1|l(y)

)|j + Aji1|j (y) = 0. (2.16)

Basndonos en la periodicidad y elipticidad de los coeficientes materiales es posible aplicar el

Teorema del Apndice para probar que la ecuacin (2.16) tiene una solucin Yperidica salvo unaconstante aditiva. Los problemas que involucran este sistema son los llamados Problemas Locales o

Problemas sobre la Celda. Las soluciones de estos problemas juegan un rol importante para el clculo

de los coeficientes efectivos. Usualmente la condicin de promedio nulo de las funciones locales (i.e.,

Np (y) = 0) sobre la celda peridica se impone para garantizar la unicidad. Los parntesis angularesdenotan el promedio por unidad de volumen sobre la celda peridica (i.e.

g(y)

= 1|Y |

Yg(y)dy).


De (2.7), usando (2.13) y (2.15), y siguiendo un procedimiento similar al anterior, el sistema

correspondiente a 0 se puede expresar como(Ajl(y)U

(2)|l (x, y)

)|j

= (

(Ajp(y)Nq(y))|j + Apl(y)Nq|l(y) + Apq(y))U (0),pq (x) F.

10

La condicin necesaria y suficiente (ver Teorema en el Apndice) para la solubilidad del sistema

anterior en la clase de las funciones Yperidicas en y, y la periodicidad de Ajp(y)Nq(y) permiteobtener el sistema homogeneizado

ApqU(0),pq (x) = F, x , (2.17)

y los coeficientes efectivos Apq, que estn dados por

Apq =Apq(y) + Apl(y)Nq|l(y)

, (2.18)

La condicin de frontera homogeneizada es

U (0) (x) = 0, x . (2.19)

2.2.4. Forma Explcita del Problema Homogeneizado, los Coeficientes Efec-

tivos y los Problemas Locales

De (2.17)-(2.19), es posible obtener la forma explcita del problema homogeneizado

cijklu(0)k,lj + emij

(0),mj = fi, x , (2.20a)

eiklu(0)k,li im(0),mi = 0, x , (2.20b)

u(0)k (x) = 0,

(0) (x) = 0, x , (2.20c)

y los coeficientes efectivos

cipnq =Cipnq + Cipklw

qnk|l + elip

qn|l, (2.21)

epnq =epnq + epklw

qnk|l plqn|l

, (2.22)

eqip =eqip + Cipklg

qk|l + elippi

q|l, (2.23)

pq =pq epklgqk|l + plpiq|l

. (2.24)

Los coeficientes efectivos (2.21)-(2.24) fueron reportados en [9]. En [12] se demuestra la conserva-

cin de la simetra y las condiciones de positividad de los coeficientes efectivos. Estas pruebas estn

basadas en las tcnicas explicadas en [4, Captulos 4 y 6].

11

Las funciones locales wqnk , qn, gqk y pi

q son las soluciones Yperidicas de los siguientes problemassobre la celda Y :

Problema Lqn1 : Encontrar las funciones Y -peridicas wqnk ,

qn tales que:(Cijnq + Cijklw

qnk|l + elij

qn|l)|j

= 0 en Y(ejnq + ejklw

qnk|l jlqn|l

)|j

= 0 en Y. (2.25)

Problema Lq2: Hallar las funciones Yperidicas gqk, piq tales que:(eqij + Cijklg

qk|l + elijpi

q|l)|j

= 0 en Y(jq ejklgqk|l + jlpiq|l

)|j

= 0 en Y. (2.26)

2.3. Una Justificacin del MHA

El MHA es una tcnica formal que requiere ser justificada; es con esta idea que incluimos la

presente seccin.

De la serie asinttica (2.9) se construye una solucin asinttica formal (s.a.f.) de la familia de

problemas (2.7)-(2.8). Despus de esto, aplicando principios establecidos es posible probar que tal

s.a.f. es una expansin asinttica (e.a.) de la solucin exacta de (2.7)-(2.8) cuando tiende a cero.

Continuando las ideas de la seccin previa, una s.a.f. del problema original (2.9) se sustituye en

(2.7) y la siguiente cadena recurrente de ecuaciones diferenciales parciales puede ser obtenida(Ajl (y)U

(0)|l)|j

= 0, (2.27)

(Ajl (y)U

(k)|l)|j

+ P(k2)1 (x, y) = p

(k2)1 (x), k 1, (2.28)

con p(1)1 = 0,

P(1)1 (x, y) =

(Ajl (y)U

(0),l

)|j,

12

P(k2)1 (x, y) =

(Ajl (y)U

(k1),l

)|j

+(Ajl (y)U

(k1)|l

),j

+(Ajl (y)U

(k2),l

),j, k 2.

Ahora el proceso requiere que los trminos de rdenes 2 y 1 sean iguales a cero, y que

asumamos independientes de y los trminos restantes.

Con el objetivo de obtener una solucin Yperidica de (2.28) es necesario y suficiente escogerlas funciones p(k2)i (x) (i = 1, 2) , k > 1, imponiendo las condiciones p

(k2)i (x) =

P

(k2)i (x, y)

.

La solucin U (k), puede ser expresada como

U (k) (x, y) = Ni (y)DiU (0) (x) , (2.29)

donde i = (i1, . . . , ik), ij = 1, 2, 3, es un multi-ndice, |i| = k es el nmero de componentes o longitudde i ( i 1 = (i1, . . . , ik1)) y Di = kxi1 ...xik .

La induccin comienza por |i| = 0, con U (0) (x) = N0U (0) (x), donde N0 = I, I representa laidentidad. Consecuentemente, para i 1, las funciones Ni (y), se obtienen en la siguiente formarecurrente:

Para |i| = 1 (AjlNi1|l

)|j + Aji1|j = 0, (2.30)

Para |i| = k con k > 1(AjlNi1...ik|l

)|j + (Aji1Ni2...ik)|j + Ai1lNi2...ik|l + Ai1i2Ni3...ik = h

(k2), (2.31)

donde

h(k2)1 =

Ai1i2Ni3...ik + Ai1lNi2...ik|l

,

son los coeficientes efectivos de ksimo orden. En particular, cuando k = 2 la frmula (2.18) serecupera.

Resumiendo, con base en |i| = 0, el ciclo comienza por |i| = 1, resolviendo los problemas corres-pondientes a Ni1 para (i1 = 1, 2, 3). Luego, el proceso se repite para |i| = 2 y entonces los problemasse resuelven para Ni1i2 , i1, i2, etc.

Debido al teorema del Apndice, la solucin Yperidica de estas ecuaciones existe salvo unaconstante aditiva. As, para garantizar la unicidad, imponemos la condicin Ni = 0.

13

Por otro lado, sustituyendo (2.9) en la condicin de frontera (2.8), tomando en cuenta (2.29), las

siguientes condiciones pueden ser impuestas

Ni

(x

)= 0, para |i| 1,

y, consecuentemente, las condiciones de frontera homogneas (2.19) pueden ser obtenidas.

As la s.a.f. del problema original (2.7)-(2.8) est dada por

U (x) =k=0

k|i|=k

(Ni

(x

)DiU (0) (x)

), parax . (2.32)

Concluyendo, mediante el uso de resultados similares a aquellos relacionados, por ejemplo, en [4,

Teorema 2, pg. 122], y el principio del mximo para las ecuaciones elpticas ([4, Teorema 1, pg.

6]) es posible probar que (2.32) es una e.a. de la solucin exacta de (2.7)-(2.8). En [12], el algoritmo

anterior fue extendido al caso de coeficientes suaves a pedazos con condiciones de contacto perfecto

sobre las interfaces entre las superficies de contacto.

Algunos resultados importantes va la convergencia en dos escalas pueden ser encontrados en [28].

14

Captulo 3

Planteamiento del Problema

3.1. Presentacin del Problema

Consideramos un compuesto bifsico consistente en un arreglo rectangular de cilindros circulares

idnticos introducidos en un medio homogneo. Los cilindros son infinitamente largos -Ver Figura 3.1-

y las propiedades electro-elsticas de cada fase pertenecen a la clase 622, donde los ejes de simetra

material y geomtrica son paralelos a la tercera direccin. Las ecuaciones gobernantes para esta clase

de materiales son las ecuaciones quasi-estticas de Maxwell (ver [3]) para el desplazamiento mecnico

u = (u, v, w) y el campo elctrico E = (E1, E2, E3), y las ecuaciones de Navier de elasticidad lineal.

Estas se relacionan a travs de las ecuaciones constitutivas del medio. De [31] y [6] podemos deducir

que las ecuaciones electro-elsticas se separan en dos problemas. Uno de ellos involucra a u, que

es un estado de deformacin mecnica plana. El otro estado se caracteriza por un desplazamiento

elstico anti-plano w. Pretendemos determinar las propiedades efectivas utilizando el Mtodo de

Homogeneizacin Asinttica (MHA), como en [11], pero analizando solo el segundo problema aqu

planteado.

Las dos fases se asumen en contacto perfecto sobre la interfaz de cada cilindro y satisfacen

las condiciones de continuidad del desplazamiento, potencial, traccin y la componente normal del

15

desplazamiento elctrico, as

w = 0, = 0, 13n1 + 23n2 = 0, D1n1 +D2n2 = 0, sobre , (3.1)

donde n = (n1, n2) es el vector normal a , y denota el salto alrededor de tomado de la matriza la fibra ( es la consideracin de la generalidad de las ).

Fase 1

Fase 2

Figura 3.1: Compuesto binario: seccin transversal de un arreglo de cilindros circulares de radio R.

En la esquina inferior derecha, sin las lneas transversales, el sistema de coordenadas usado se muestra

en la celda peridica S(= S1S2); donde se denota la interfaz comn por .

3.2. Mtodo de Solucin

Siguiendo el procedimiento de homogeneizacin asinttica descrito en el Captulo 2, surgen dos

grupos de problemas locales, denotados por pqL y pL (ver [8]).

El problema local pqL consiste en encontrar el vector de desplazamiento Yperidico pqM(y) y

16

el potencial Yperidico pqN(y) que satisfacen las condiciones siguientes:

pq()i, = 0 en S(), (3.2a)

pqD(), = 0 en S(), (3.2b)

pqM ()i = 0 sobre , (3.2c)pqN () = 0 sobre , (3.2d)pqin = Cipqn sobre , (3.2e)pqDn = epqn sobre , (3.2f)pqMi = 0, (3.2g)pqN = 0, (3.2h)

donde las relaciones constitutivas piezoelctricas lineales estn dadas por

pq()i = C

()ik pqM ()k, + e()i pqN (), ,

pqD() = e

()k pqM ()k, () pqN (), ,

(3.3)

y los subndices Latinos corren de 1 a 3 y los griegos de 1 a 2. Adems, para cada par pq, la suma se

realiza por lo subndices repetidos.

El tensor de tensiones de segundo orden pqi y el desplazamiento elctrico pqD estn linealmente

relacionados con la funcin de deformacin local de segundo orden pqMk, y el campo potencial

elctrico local pqN,. Los coeficientes materiales tienen las propiedades de simetra clsicas dadas en

(2.1), una prueba de esto puede ser hallada en [12] o en [28].

Por otro lado el problema local pL se plantea de manera similar, buscamos el vector de des-

plazamiento Yperidico pM(y) y el potencial pN(y) que satisfacen las ecuaciones (3.2a)-(3.2d),las condiciones (3.2g)-(3.2h), las condiciones constitutivas (3.3), y las condiciones anlogas a las

condiciones (3.2e)-(3.2f), que estn dadas por

pin = epin sobre , (3.4a)pDn = pn sobre , (3.4b)

17

Las constantes homogeneizadas (efectivas) se calculan a partir de las soluciones de los problemas

locales y estn dadas por

Cijpq = Cijpq + CijklpqMk,l + ekijpqN,k,eipq = eipq + eiklpqMk,l ikpqN,k,

(3.5)

donde pqMk,l y pqN,k son las soluciones del problema pqL, y por

epij = epij + CijklpMk,l + ekijpN,k,ip = ip eiklpMk,l + ikpN,k,

(3.6)

donde pMk,l y pN,k son las soluciones del problema pL. La barra refiere una propiedad efectiva.

11L 22L 33L 23L 13L 12L 1L 2L 3L

C1111 C1122 C1133 C1123 C1113 C1112 e111 e211 e311

C2211 C2222 C2233 C2223 C2213 C2212 e122 e222 e322

C3311 C3322 C3333 C3323 C3313 C3312 e133 e233 e333

C2311 C2322 C2333 C2323 C2313 C2312 e123 e223 e323

C1311 C1322 C1333 C1323 C1313 C1312 e113 e213 e313

C1211 C1222 C1233 C1223 C1213 C1212 e112 e212 e312

e111 e122 e133 e123 e113 e112 11 12 13

e211 e222 e233 e223 e213 e212 21 22 23

e311 e322 e333 e323 e313 e312 31 32 33

Cuadro 3.1: Coeficientes para un compuesto piezoelctrico

De modo que es posible presentar todas estas propiedades efectivas, y los problemas locales de

los cuales podemos extraerlas, para un compuesto piezoelctrico, en una matriz, como lo hacemos en

el Cuadro 3.1, donde adems se hace referencia a los problemas planos 11L, 22L y 33L, as como a los

problemas anti-planos 1L, 2L, 13L y 23L.

18

3.3. Expansin de las Ecuaciones para los Problemas Locales

Si ahora decidimos expandir las expresiones (3.2a)-(3.3) y dejamos a un lado el prendice pq y el

suprandice () obtenemos:

11,1 + 12,2 =0 en S, (3.7a)

21,1 + 22,2 =0 en S, (3.7b)

31,1 + 32,2 =0 en S, (3.7c)

D1,1 +D2,2 =0 en S, (3.7d)

M1 =0 sobre , (3.7e)M2 =0 sobre , (3.7f)M3 =0 sobre , (3.7g)N =0 sobre , (3.7h)

11n1 + 12n2 = C11pqn1 C12pqn2 sobre , (3.7i)21n1 + 22n2 = C21pqn1 C22pqn2 sobre , (3.7j)31n1 + 32n2 = C31pqn1 C32pqn2 sobre , (3.7k)D1n1 +D2n2 = e1pqn1 e2pqn2 sobre , (3.7l)

M1 = M2 = M3 = 0, (3.7m)N = 0, (3.7n)

19

y11 = C1111M1,1 + C1112M1,2 + C1121M2,1 + C1122M2,2 + C1131M3,1 + C1132M3,2 + e111N,1 + e211N,2,

12 = C1211M1,1 + C1212M1,2 + C1221M2,1 + C1222M2,2 + C1231M3,1 + C1232M3,2 + e112N,1 + e212N,2,





D1 = e111M1,1 + e112M1,2 + e121M2,1 + e122M2,2 + e131M3,1 + e132M3,2 11N,1 12N,2,D2 = e211M1,1 + e212M1,2 + e221M2,1 + e222M2,2 + e231M3,1 + e232M3,2 21N,1 22N,2,D3 = e311M1,1 + e312M1,2 + e321M2,1 + e322M2,2 + e331M3,1 + e332M3,2 31N,1 32N,2.

(3.8)

Aqu utilizamos el hecho de que para la clase de cristales 622 sabemos cules de estos coeficientes

son cero (Ver [7], [3] o Figura 3.2) para simplificar las expresiones. As arribamos a:

11 = C1111M1,1 + C1122M2,2, (3.9a)

12 = C1212(M1,2 +M2,1), (3.9b)

22 = C2211M1,1 + C2222M2,2, (3.9c)

33 = C3311M1,1 + C3322M2,2, (3.9d)

13 = C1331M3,1 + e213N,2, (3.9e)

23 = C2323M3,2 + e123N,1, (3.9f)

D1 = e132M3,2 11N,1, (3.9g)D2 = e231M3,1 22N,2, (3.9h)D3 = e311(M1,1 +M2,2). (3.9i)

Es por esto que cada problema pqL se desacopla en dos sistemas, el de deformacin plana (3.10)

20

y el de deformacin elstica anti-plana acoplada con potencial (3.11):

11 = C1111M1,1 + C1122M2,2,

12 = C1212(M1,2 +M2,1),

22 = C2211M1,1 + C2222M2,2,

33 = C3311M1,1 + C3322M2,2,

D3 = e311(M1,1 +M2,2).

(3.10)

13 = C1331M3,1 + e213N,2,

23 = C2323M3,2 + e123N,1,

D1 = e132M3,2 11N,1,D2 = e231M3,1 22N,2.

(3.11)

Figura 3.2: Se muestran los coeficientes diferentes de cero para la clase cristalina 622. Las lneas de

unin indican igualdad debido a la simetra, crculos abiertos indican igualdad en valor absoluto y la

cruz indica 12(C1111 C1122).

En cada una de las ecuaciones (3.12) presentamos el problema pqL, las incgnitas del sistema de

21

deformacin plana y las del sistema de deformacin elstica anti-plana:

11L 11M1, 11M2 11M3 = 0, 11N = 0, (3.12a)

22L 22M1, 22M2 22M3 = 0, 22N = 0, (3.12b)

33L 33M1, 33M2 33M3 = 0, 33N = 0, (3.12c)

23L 23M1 = 23M2 = 0 23M3, 23N, (3.12d)

13L 13M1 = 13M2 = 0 13M3, 13N, (3.12e)

12L 12M1 = 12M2 = 0 12M3, 12N. (3.12f)

En la ecuacin (3.12) se igualan algunas de las incgnitas a cero, veamos porqu:

Si consideramos el lado derecho de (3.7k),(3.7l) entonces de (3.12a) y (3.7k),(3.7l) tenemos:

C3111 = 0 = C3211,e311 = 0 = e211,

(3.13)

entonces (3.7c),(3.7d), (3.7g),(3.7h), (3.7k),(3.7l) son homogneas y lineales, por tanto, para garan-

tizar la unicidad de la solucin, debe cumplirse que:

11M3 = 11N = 0. (3.14)

Anlogamente de (3.12b) y (3.7k),(3.7l) tenemos:

C3122 = 0 = C3222,e322 = 0 = e222 22M3 = 0, 22N = 0.

(3.15)

De (3.12c) y (3.7k),(3.7l) tenemos:

C3133 = 0 = C3233,e333 = 0 = e233 33M3 = 0, 33N = 0.

(3.16)

De (3.12f) y (3.7k),(3.7l) tenemos:

C3112 = 0 = C3212,e312 = 0 = e212 12M3 = 0, 12N = 0.

(3.17)

22

Consideremos ahora el lado derecho de (3.7i),(3.7j), que est relacionado con el problema de

deformacin plana. Entonces en (3.12d) tenemos:

C3123 = 0 = C3223,e323 = 0 = e223 23M1 = 23M2 = 0.

(3.18)

Y tomando (3.12e) y (3.7i),(3.7j) arribamos a:

C3113 = 0 = C3213,e313 = 0 = e213 13M1 = 13M2 = 0.

(3.19)

Luego solo es necesario resolver 6 problemas en lugar de 12.

Este es ya un buen momento para pasar a resolver los problemas locales que estn asociados

a las propiedades efectivas p, s y t (ver el Apndice E), que son las que nos proponemos obtener

en este trabajo. En el siguiente Captulo exponemos detalladamente el proceso de solucin de estos

problemas, partiendo de las ideas generales a las particularidades de cada uno.

23

Captulo 4

Solucin de los Problemas Locales

Antiplanos

Nuestro verdadero objetivo en este Captulo, al plantearnos la solucin de los problemas locales,

es poder calcular el valor de los coeficientes efectivos relacionados con dichos problemas, es por

ello que, guindonos por las deducciones que presentamos en la Seccin 4.3, llegado el momento de

resolver el sistema infinito, solo nos interesa obtener los valores de pqa1, pa1 y pqb1, pb1. No obstante, la

metodologa mostrada sirve para obtener los coeficientes pqak, pak, pqbk, pbk para k 1, con cualquierorden de aproximacin deseado (Ver [20]).

4.1. Solucin de 23L y 1L

Hemos decidido solucionar de manera conjunta estos problemas por las analogas existentes a

partir de las ecuaciones (3.2e)-(3.2f) y (3.4a)-(3.4b), sin ms, veamos como proceder.

24

4.1.1. Planteamientos Generales

Estamos partiendo del sistema

M () = 0 en S(), (4.1a)

N () = 0 en S(), (4.1b)

M = 0 sobre , (4.1c)N = 0 sobre , (4.1d)

(p()M

(),1 s()N (),2

)n1 +

(p()M

(),2 + s

()N

(),1

)n2 = An2 sobre , (4.1e)

(s()M

(),2 t()N (),1

)n1

(s()M

(),1 + t()N

(),2

)n2 = Bn1 sobre , (4.1f)

M = 0, (4.1g)N = 0, (4.1h)

donde A, B son ciertas constantes conocidas.

Proponemos funciones solucin peridicas, de perodos 1 y 2, por esto tomamos:

M (1)(z) = ={a0z +

ok=1

ak(k1)(z)(k 1)!

}, (4.2a)

N (1)(z) = 0

(Am,n + Am,n) +

m=0,n>0

A0,n +

m>0,n=0

Am,0

].

(D.9)

Ahora es posible darse cuenta de que si es impar, entonces(1 + (1)) = 0, mientras que si

es par, entonces(1 + (1)) = 2. Luego, S 6= 0 si y solo si = 2(n+ 1), con n N.

75

D.4. Clculo de S para Diferentes Valores de a y

En esta seccin presentamos, en el Cuadro D.1, los resultados que se obtienen mediante la funcin

que mostramos en la Figura D.2, utilizando para el lado del rectngulo los valores a = 1; 1,25; 1,5; 2,

con 4 20. En este caso estamos tomando 100 paralelogramos de perodos, o sea, los primeros10200 perodos alrededor del origen. Ntese que en las filas correspondientes a k = 6; 10; 14; 18, cuando

a = 1, aparece tambin el valor cero. Esto se debe a que en este caso particular es demostrable que

en realidad estos valores tambin sern cero.

Destacamos que utilizando la funcin mostrada en la Figura D.2 fuimos capaces de reproducir

los resultados de [18], a partir de s = 50, y presentamos en el Cuadro D.1 los resultados obtenidos

para s = 100.

76

k a = 1 a = 1,25 a = 1,5 a = 2

4 3,151179 2,367009289 2,206589049 2,166452971

5 0 0 0 0

6 0 1,631476256 1,95170972 2,031109506

7 0 0 0 0

8 4,255773035 2,401212062 2,086753023 2,011517724

9 0 0 0 0

10 0 1,755341932 1,957566221 2,000142704

11 0 0 0 0

12 3,938849013 2,134684822 2,018348486 2,001158397

13 0 0 0 0

14 0 1,91766736 1,99364707 1,999950307

15 0 0 0 0

16 4,015695033 2,055896244 2,002753086 2,000065637

17 0 0 0 0

18 0 1,963211706 1,998694052 2,000000972

19 0 0 0 0

20 3,996096753 2,02325668 2,000624467 2,000003407

Cuadro D.1: Valores de Sk para 1 k 20 y a = 1; 1,25; 1,5; 2

77

function [S]=S(a,k,l,s) % Con esta funcin calculamos la suma de los lattices hasta el % paralelogramo s para el valor a del lado del rectngulo y k+l la

% potencia del denominador. %

% Inicializando el valor S=0;

%Caso a=1 if a==1 if mod(k+l,4)==0 for m=1:s for n=-s:s S=S+(1/(m+1i*a*n)^(k+l)); end end

for n=1:s S=S+(1/((1i*a*n)^(k+l))); end

S=2*real(S); else S=0; end else %Caso a no = 1 for m=1:s for n=-s:s S=S+(1/(m+1i*a*n)^(k+l)); end end

for n=1:s S=S+(1/((1i*a*n)^(k+l))); end

S=(1+(-1)^(k+l))*real(S); end

Figura D.2: Funcin que utilizamos para calcular la suma de S

78

Apndice E

Ideas Bsicas Sobre los Cambios de

Notacin Utilizados

En esta investigacin se utilizaron dos notaciones alternativas a la que se define inicialmente, la

primera de ellas se utiliza principalmente para disminuir el tamao de los subndices, y por tanto

constituye solo un cambio en la numeracin, veamos el Cuadro E.1.

11 12 13 1 6 5

22 23 2 4

33 3

Cuadro E.1: Abreviaturas numricas

De modo que ahora podemos cambiar la numeracin dentro del Cuadro 3.1 y este se convierte en

el Cuadro E.2.

La segunda es la llamada notacin generalizada de Hill y lo que hace es asignar letras del alfabeto

Latino a los coeficientes y elimina por tanto todo tipo de subndices, como se muestra en la ecuacin

E.1

79

11L 22L 33L 23L 13L 12L 1L 2L 3L

C11 C12 C13 C14 C15 C16 e11 e21 e31

C21 C22 C23 C24 C25 C26 e12 e22 e32

C31 C32 C33 C34 C35 C36 e13 e23 e33

C41 C42 C43 C44 C45 C46 e14 e24 e34

C51 C52 C53 C54 C55 C56 e15 e25 e35

C61 C62 C63 C64 C65 C66 e16 e26 e36

e11 e12 e13 e14 e15 e16 11 12 13

e21 e22 e23 e24 e25 e26 21 22 23

e31 e32 e33 e34 e35 e36 31 32 33

Cuadro E.2: Coeficientes para un compuesto piezoelctrico

C11 = C22 = k +m,

C33 = n,

C23 = C13 = l,

C12 = k m,C44 = C55 = p,

C66 = m,

e31 = e32 = q,

e33 = r,

e14 = e25 = s,e24 = e15 = s,

11 = 22 = t,

33 = u,

(E.1)

80

Bibliografa

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IntroduccinQu es un Material Compuesto?AntecedentesObjetivos y Estructuracin del Trabajo

Homogeneizacin Asinttica de Medios Peridicos Piezoelctricos HeterogneosProblemas de Valores de Frontera para Medios Peridicos con Coeficientes Rpidamente OscilantesHomogeneizacin, Problemas Locales y Coeficientes EfectivosResultados Derivados de los Problemas Correspondientes a -2Resultados Derivados de los Problemas Correspondientes a -1Resultados Derivados de los Problemas Correspondientes a 0Forma Explcita del Problema Homogeneizado, los Coeficientes Efectivos y los Problemas Locales

Una Justificacin del MHA

Planteamiento del ProblemaPresentacin del ProblemaMtodo de SolucinExpansin de las Ecuaciones para los Problemas Locales

Solucin de los Problemas Locales AntiplanosSolucin de 23L y 1LPlanteamientos GeneralesSolucin del Sistema Resultante para el Problema 23LSolucin del Sistema Resultante para el Problema 1L

Solucin de 13L y 2LPlanteamientos GeneralesSolucin del Sistema Resultante para el Problema 13LSolucin del Sistema Resultante para el Problema 2L

Deduccin de las Frmulas Finales para los Coeficientes EfectivosResultados Parciales

Ejemplo NumricoFrmulas Analticas para 3a1, 3b1, a1 y b1Resultados para el Caso a=1Caso a=1 con Huecos Cilndricos UnidireccionalesCaso a=1 con Fibras Cilndricas Unidireccionales

Resultados para el Caso a=1

Conclusiones y RecomendacionesConclusionesRecomendaciones

GrficasCaso a=1 con Huecos Cilndricos UnidireccionalesCaso a=1 con Fibras Cilndricas UnidireccionalesCaso a=1.25 con Fibras Cilndricas Unidireccionales

Aplicacin del Teorema 1, pg. 346 de BakhvalovComentarios Sobre la Funcin Zeta de WeierstrassSumas de Lattices RectangularesConvergencia de la SeriePertenencia de S al Cuerpo de los RealesValores de para que S=0Clculo de S para Diferentes Valores de a y

Ideas Bsicas Sobre los Cambios de Notacin UtilizadosReferencias

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Tesis Ransés Alfonso Rodríguez