UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES

LICENCIATURA EN

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE FORMACION DOCENTE

UNICEN

TESIS

“Replicación y Análisis de una Secuencia de Situaciones Sobre Funciones

Exponenciales en la Escuela Secundaria”

ROLANDO CORTOPASSO

Tandil, Febrero de 2015

LICENCIATURA EN

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN DOCENTE

UNICEN

TESIS

“Replicación y Análisis de una Secuencia de Situaciones Sobre

Funciones Exponenciales en la Escuela Secundaria”

Tesis realizada por Rolando

Cortopasso para optar por

el título de Licenciado en

Educación Matemática por

la Universidad Nacional del

Centro de la Provincia de

Buenos Aires, bajo la

dirección de la Dra. Diana

Patricia Sureda Figueroa.

Tandil, Febrero de 2015

INDICE

CAPÍTULO 1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………………..9 Objetivos generales……………………………………………………………………...11 Objetivos particulares…………………………………………………………………..11 Preguntas de la investigación……………………………………………………….11 Organización de la presentación…………………………………………………..12

CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO…………………………………………………………………………13

CAPÍTULO 3 SECUENCIA DE LAS SITUACIONES………………………………………………..17 La organización matemática a estudiar: la función exponencial….....18 Organización matemática a estudiar……………………………………………..19 Situación 1…………………………………………………………………………………...20 Situación 2…………………………………………………………………………………...20 Situación 3…………………………………………………………………………………...21 Tarea de ejercitación 1……………………………………………………………………..24

Situación 4…………………………………………………………………………………...24 Situación 5……………………………………………………………………………………25 Situación 6……………………………………………………………………………………25 Situación 7……………………………………………………………………………………26 Situación 8……………………………………………………………………………………26 Situación 9……………………………………………………………………………………27 Situación 9b………………………………………………………………………………….27 Tarea de ejercitación 2…………………………………………………………………......27

Situación 10………………………………………………………………………………….30 Logaritmos……………………………………………………………………………………….31

Tarea de ejercitación 3……………………………………………………….…………….33

Situación 11………………………………………………………………………………...35 Situación 12………………………………………………………………………………….36

CAPÍTULO 4 METODOLOGÍA……………………………………………………………………………..39

CAPÍTULO 5 DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS……………………………………………………….43 Situación 2……………………………………………………………………………………44 Situación 3……………………………………………………………………………………53 Resultados parciales a las situaciones 2 y 3………………………………………64

Situación 4…………………………………………………………………………………….64 Situación 5…………………………………………………………………………………….72 Resultados parciales a las situaciones 4 y 5………………………………………78 Situación 7…………………………………………………………………………………….79 Situación 8…………………………………………………………………………………….82 Resultados parciales a las situaciones 7 y 8………………………………………90

CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES……………………………………………………………………………..92

CAPÍTULO 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………………100 Bibliografía……………………………………………………………………………………102

A Paula y Stefanie

Agradezco a la Dra. Patricia Sureda por su dirección, comprensión, y

ayuda a lo largo de esta investigación.

Agradezco a la institución y especialmente a la directora del nivel

secundario Prof.: Paula Duhalde por dejarme llevar a cabo la

implementación de este trabajo.

Agradezco a mi Sra. Paula por tenerme paciencia, comprender mis

ausencias y animarme a continuar.

Agradezco a mis compañeras de estudio Patricia y Nadia.

Resumen

Esta tesis se realizó para analizar la conceptualización del campo conceptual de las funciones exponenciales de un grupo de alumnos de quinto año la escuela secundaria. Particularmente se centra en estudiar la construcción de este conocimiento y la dinámica del grupo al enfrentarse a una nueva forma de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

Se enmarca en la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud que permite describir las respuestas de los alumnos a las distintas situaciones a las que son enfrentados.

En el trabajo se muestra la descripción y el análisis de los protocolos de los estudiantes en relación a los sistemas de representación usados y los invariantes operatorios encontrados en la situación, además de presentar los obstáculos al trabajar en los distintos sistemas de representación.

Capítulo 1

Formulación del problema

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Capítulo 1

Formulación del problema

La matemática es una construcción de la cultura humana y como tal, todas las personas pueden comprenderla y utilizar su manera de proceder. Pero el imaginario popular asigna a la matemática significados discutibles que la colocan en un lugar casi inalcanzable para el común de las personas. Estas concepciones tienen su origen, en gran parte, en los aprendizajes que se produjeron durante la escolaridad. Pues por lo general la matemática escolar ha estado caracterizada por una abundancia de definiciones abstractas, procedimientos mecánicos, desarrollos unívocos y acabados, y demostraciones formales junto con un uso apresurado de la simbología. Esto ha contribuido a la creencia de que las personas que no son capaces de asimilarlos sistemáticamente, en el orden y la cantidad en la que son presentados, fracasan por “falta de capacidad” para la matemática. Pero esta concepción determinista y elitista de la Matemática se contrapone con la propuesta por el Diseño Curricular de la Educación Secundaria de la Provincia de Buenos Aires quien la coloca como parte de la cultura y ubica a nuestros alumnos como hacedores de la misma.

Si bien la Matemática es un quehacer posible para todos, el modo en la que se la enseña no siempre resulta adecuado para todos. Al respecto, Vergnaud (1990) sostiene que no se puede reducir un concepto a su definición pues es a través de las situaciones que le permite resolver cómo éste adquiere sentido para el niño. Pues hacer matemática, es básicamente resolver problemas (ya sea que provengan del interior o del exterior de la matemática), y por lo tanto debería ocupar un lugar central en la enseñanza. Así, el problema, representaría un punto de partida que posibilita a los alumnos/as poner en juego conocimientos que poseen en una situación nueva.

Por otra parte, la enseñanza de la función exponencial en la escuela secundaria es cada día más relevante debido a su vinculación con situaciones cada vez más cercanas a cualquier ciudadano actual. Por ejemplo: la forma en que aumenta la deuda que genera el interés de una tarjeta de crédito cuando se paga el mínimo, o cuando no se la paga; la forma en que aumenta la cantidad de dinero puesto a interés compuesto en un plazo fijo, el avance de las epidemias en una población; o la durabilidad de los efectos de la radiación en el medio ambiente; requieren de la comprensión de funciones exponenciales más o menos complejas. Pero enseñar función exponencial mediante este tipo de situaciones se obstaculiza debido a que los alumnos solo disponen de esquemas mentales lineales (Sureda y Otero, 2013; Villareal et al., 2005; Ramírez et al. 2010). Sin embargo, resulta relevante poder analizar cómo resuelven los alumnos las situaciones relativas a la función exponencial, cuando se les enseña a partir de ellas.

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Así, en este trabajo se les presenta a los alumnos situaciones relacionadas a la construcción del concepto de la función exponencial, como por ejemplo crecimiento de dinero a interés compuesto, crecimiento de poblaciones, etc., y se analiza el proceso de conceptualización de los estudiantes cuando estudian las funciones exponenciales mediante situaciones.

En síntesis los aspectos que se abordaran en este trabajo son los siguientes:

1. Relevar las investigaciones sobre la temática.

2. Analizar y re-diseñar una secuencia diseñada para la enseñanza de las funciones exponenciales vinculadas al interés compuesto.

3. Implementar la nueva secuencia diseñada.

4. Identificar los Teoremas en Acto que dirigen las acciones de los estudiantes cuando estudian las funciones exponenciales mediante situaciones vinculadas al interés compuesto.

5. Describir el proceso de conceptualización a partir de los teoremas en acto identificados.

OBJETIVOS GENERALES

• Modificar, implementar y evaluar una secuencia de situaciones diseñada por la Dra. Patricia Sureda en el marco de su tesis doctoral realizada bajo la dirección de la Dra. Rita Otero, para la enseñanza de funciones exponenciales en la escuela secundaria.

• Estudiar la conceptualización de los estudiantes relativa al campo de las

funciones exponenciales con la secuencia de situaciones modificada.

• Analizar si los estudiantes transitan por las etapas diseñadas por Sureda y Otero (2012) en la tesis doctoral.

OBJETIVOS PARTICULARES

• Presentar a los estudiantes una nueva propuesta de enseñanza de la matemática.

• Observar el proceso de los estudiantes en la implementación de la propuesta de investigación.

PREGUNTAS DE LA INVESTIGACIÓN

1. ¿Qué fases de la conceptualización se reconocen en los estudiantes al realizar la actividad?

2. ¿Las situaciones estudiadas favorecieron u obstaculizaron la conceptualización de las funciones exponenciales?

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3. ¿La implementación de la investigación favoreció la mirada de los estudiantes sobre enseñanza de la matemática y contribuyó al aprendizaje de las funciones exponenciales?

ORGANIZACIÓN DE LA PRESENTACIÓN

En el Capítulo 1 hemos presentado el problema a tratar, los objetivos, las preguntas y los lineamientos teóricos de manera general. En el Capítulo 2 se desarrolla el marco teórico de esta investigación. En el Capítulo 3 se presenta la secuencia de situaciones. En el Capítulo 4 se presenta la metodología de esta investigación. En el Capítulo 5 se realiza la descripción de los datos obtenidos en la investigación. En el capítulo 6 se presentan las conclusiones finales. En el Capítulo 7 se presenta la referencia Bibliográfica.

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Capítulo 2

Marco Teórico

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Capítulo 2

Marco Teórico

Si estamos interesados en estudiar cómo el alumno aprende, la teoría de los campos conceptuales (Vergnaud; 1990, 1994, 1996, 2005, 2007a, 2007b, 2008, 2010) proporciona un marco coherente, debido a que sienta algunos principios de base para el estudio del desarrollo y del aprendizaje de competencias complejas, especialmente las que se refieren a las ciencias y las técnicas. Esta teoría permite analizar la relación entre conceptos en tanto que conocimientos explícitos y los invariantes operatorios implícitos en las conductas del sujeto en situación; la teoría explicita también las relaciones entre significados y significantes.

El análisis de la conceptualización, que es a partir de los esquemas pasa

inevitablemente por el análisis de la actividad, de la cual las conductas observables son una parte muy pequeña. Pero el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales no puede llevarse a cabo, si no es a partir del análisis de las conductas observables, y en particular de las resoluciones escritas de los alumnos cuando enfrentan un problema. Pues no es posible tener acceso a la parte no observable de la actividad. Sin embargo, el esquema aunque no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en situación.

El esquema es juntamente con el concepto de situación uno de los más

importantes de la teoría de los campos conceptuales debido a que son los esquemas

quienes se adaptan a las situaciones.

Los esquemas se acomodan a las situaciones pues se relacionan con las

características de las situaciones a las cuales se aplican y son funcionales a estas. Las definiciones que Vergnaud propone de esquema son las siguientes: 1. Un esquema es una totalidad dinámica funcional. 2. Un esquema es una organización invariante de la actividad para una clase definida de situaciones. 3. Un esquema comprende necesariamente cuatro categorías de componentes: -una meta (o varias), sub-metas y anticipaciones. -reglas de acción, de toma de información y de control. -invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto) -posibilidades de inferencia. 4. Un esquema es una función que toma sus valores de entrada en un espacio temporalizado de n dimensiones, y sus valores de salida en un espacio igualmente temporalizado a n´ dimensiones (n y n´ muy grandes). Es entonces una función de conceptualización y de inferencia.

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Los invariantes operatorios forman la parte más epistémica del esquema, la que tiene la función de identificar y reconocer los objetos, sus propiedades, sus relaciones, y sus transformaciones. La función principal de los invariantes operatorios es tomar y seleccionar la información pertinente, e inferir luego, las consecuencias útiles para la acción, el control y la toma de información. Por definición, un concepto en acto es una categoría pertinente, y como tal no es susceptible de verdad o falsedad, sino solamente de la pertinencia o de la no pertinencia. En cambio, un teorema en acto es una proposición tenida por verdadera en la actividad. La relación entre teoremas y conceptos es dialéctica, en el sentido que no hay teorema sin conceptos y no hay concepto sin teorema. Estos invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en

acto), son en particular, la base conceptual implícita (o explícita) de los esquemas

debido a que permiten seleccionar la información pertinente y, a partir de ella y de la meta a atender, inferir las reglas de acción más adecuadas para abordar una situación

(Vergnaud, 1990). En consecuencia, las decisiones que tome un alumno ante una determinada situación van a depender del esquema activado, pero más específicamente de los conceptos en acto y teoremas en acto de los que disponga el sujeto para enfrentar la situación.

Por otra parte, debido a que estamos interesados en el aprendizaje del concepto

de función exponencial daremos la definición de concepto que nos brinda la TCC: Vergnaud (1983a; 1988; 1990; 1993; 1997) define concepto como un triplete de tres conjuntos, C = (S, I, R) donde:

� S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto; � I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las

cuales reposa la operacionalidad del concepto, un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto;

� R es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y los procedimientos para lidiar con ellas.

El primer conjunto – de situaciones – es el referente del concepto, el segundo –de

invariantes operatorios – es el significado del concepto, en cuanto al tercero – de representaciones simbólicas – es el significante. Eso implica que para estudiar el desarrollo y el uso de un concepto, a lo largo del aprendizaje o de su utilización, es necesario considerar esos tres conjuntos simultáneamente. No hay en general, correspondencia biunívoca, entre significantes y significados, ni entre invariantes y situaciones; no se puede, por lo tanto, reducir el significado ni a los significantes ni a las situaciones (1990, p. 146). Así, si se está interesado en su enseñanza y aprendizaje, no se debe reducir el concepto a su definición, pues es través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto. Por otra parte, establece que el conocimiento racional es necesariamente operatorio. De modo que conceptos no toman su significación de una sola clase de situaciones, ni una situación se analiza con la ayuda de un solo concepto. El concepto de función exponencial se comprende a través de una diversidad de problemas prácticos (interés compuesto, decaimiento radiactivo, propagación de virus, evolución de poblaciones, etc.) y teóricos (análisis variacional, control de variables, etc.), que comportan relaciones y propiedades, cuya pertinencia es variable según las situaciones a tratar. Debido a que un concepto no se forma aislado

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sino en conjunto con otros, es posible afirmar que los conceptos se construyen en un largo período de escolaridad, al interior de una gran variedad de situaciones, y en relación con numerosos otros conceptos.

Finalmente, en primera instancia la TCC considera un campo conceptual como

un conjunto de situaciones, conceptos y teoremas. Así, el campo conceptual de las funciones exponenciales es a la vez, el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o más funciones exponenciales, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas. El campo conceptual de las funciones exponenciales está así compuesto por situaciones de interés compuesto, crecimiento de poblaciones, resolución de ecuaciones; y por conceptos como números reales, potenciación, logaritmación, función, etc. Y sobre esto es que vamos a trabajar.

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Capítulo 3

Secuencia de las situaciones

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Capítulo 3

Secuencia de las situaciones

En este capítulo se presenta primero un esquema de la organización matemática a estudiar y las cuestiones derivadas de la misma. Luego se describen las situaciones que componen la tesis, el propósito de cada tarea y la gestión de la situación en la clase.

La organización matemática a estudiar: la función exponencial

En el Esquema 1 se presenta la organización matemática a estudiar, en la que se resalta en el recuadro violeta las cuestiones que fueron estudiadas, a partir de la cuestión inicial Q0.

Dentro del recuadro azul se planteo la cuestión generatriz Q0: ¿Cuál es el mejor plan de

ahorro para generar la mayor cantidad de ingresos usando plazo fijo? Esta cuestión fue formulada por una inquietud de los alumnos para ahorrar dinero para su viaje de egresados. Las cuestiones derivadas de la misma nombradas Q0,1 , Q0,2, etc. ; surgieron a partir de las incertidumbres de los alumnos generadas a partir de Q0.

En el recuadro bordeado en violeta se nombraron las organizaciones matemáticas financieras, relacionadas con nuestra Q0.

En los recuadros bordeados con verde se encuentran las situaciones y como indican las flechas, las organizaciones matemáticas (OM1, OM2, etc.), vinculadas con la función exponencial en el recuadro violeta, y las cuestiones derivadas en el recuadro naranja a partir de estas.

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Esquema 1: organización matemática estudiada

Q,0 : ¿Cuál es el mejor plan de ahorro para generar la mayor cantidad de ingresos usando plazo fijo ?

Q0,1 : ¿Qué es un plazo fijo? Q0,2 : ¿ Cuánto es el mínimo de dinero que se puede guardar? Q0,3 : ¿Cuáles son los requisitos para abrir un plazo fijo? Q0,4 : ¿ Qué otros tipos de planes de ahorro hay? Q0,5 : ¿ Qué banco nos da mayor interés ? Q0,6 : ¿ Qué beneficios te da el plazo fijo ?

OMF OMF1 Tasa, tasa nominal anual (TNA) OMF2 Tasa nominal mensual (TNM) OMF3 Interés OMF4 Capitalización

SITUACION 2

SITUACION 3

Expresión algebraica Representación gráfica

INTERÉS COMPUESTO

PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON MODELOS EXPONENCIALES

OM2: Análisis de dominio e imagen del modelo funcional

establecido

SITUACION 9 OM3: Función exponencial bakxf x

+⋅=)( Gráficos,

asíntotas

SITUACION 10 OM4: Ecuaciones exponenciales

OM5: Logaritmos

Concepto, propiedades SITUACION 11

Variaciones de parámetros a, b, k

SITUACIÓN 12: actividad de síntesis

SITUACION 1

SITUACION 7

SITUACION 8

SITUACION 4

SITUACION 5

SITUACION 6 OM1: Función exponencial xakxf ⋅=)(

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Luego de haber conversado con los alumnos, como iban a juntar dinero para su viaje de egresados, se plantea la situación 1 con la cuestión Qo.

Se propone a los alumnos redactar preguntas que ayuden a entender la cuestión. Para responder dichas preguntas deben buscar información a través de recursos bibliográficos o tecnológicos en sus hogares.

Situación 1

Dada la pregunta Qo:

Qo: ¿Cuál es el mejor plan de ahorros para generar la mayor cantidad de ingresos,

usando plazo fijo?

a) Redacta algunas preguntas que te ayuden a comprenderla.

b) Trae para la clase acordada información que te ayude a conocer, comprender y comenzar a resolver Qo.

Para que la enseñanza de la función exponencial tenga sentido, se procura que esté ligado a cuestiones sociales relevantes y como aborda el Diseño Curricular de nivel secundario debe aportar niveles de formalización y modelización con otras ciencias.

Por lo expuesto en el párrafo anterior, se propone empezar a estudiar las funciones exponenciales a través de un problema de interés compuesto.

En la situación 2 (tomada de Sureda 2012, y modificada), se propone a los alumnos una situación centrada en el SRN.

En la tarea a) se solicita a los alumnos trabajar en el sistema numérico con la intención de calcular el aumento de dinero puesto a interés compuesto Teniendo la tasa nominal anual (TNA) de distintos bancos y el monto inicial, deben calcular cómo hicieron los bancos para obtener ese valor.

En la tarea b) se refiere a cómo graficar en los ejes coordenados, el aumento de dinero puesto a interés compuesto. Esta tarea se centra en el sistema de representación gráfico (SRG).

En la tarea c) a partir de la representación gráfica aproximada de la variación del dinero puesto a interés compuesto se pretendía analizar si las gráficas construidas eran rectas o no.

Situación2

Un grupo de chicos tiene $1000 para su viaje de egresados y los quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 20 meses, que es el momento de viajar. Se averiguaron las tasas nominales anuales (TNA) en pizarra, de algunos bancos, a 30 días en pesos y se sabe que:

La TNA del Banco 1 es de 23,75% y les permite tener $1019,79 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 2 es de 23%y les permite tener $1019,16 cumplido el primer mes.

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La TNA del Banco 3 es de 22,8%y les permite tener $1019 cumplido el primer mes.

a) ¿Cómo calcularon los bancos ese primer mes? b) Realiza un gráfico aproximado de la variación del dinero en cada banco; calculando al menos tres valores.

c) ¿A qué función corresponde la representación gráfica que dibujaste?

Recordá que es muy importante dejar todas las cuentas que haces en la hoja, y no borrar nada de lo que escribas.

La situación 3 (tomada de Sureda 2012, y modificada), que se muestra a continuación, se diseño con el propósito de construir el modelo del interés compuesto.

Se les entrega a los alumnos una tabla con algunos valores en donde se escriben el monto inicial, el monto final obtenido, el interés de cada período y la tasa de interés.

Se les pide que realicen una representación grafica con los montos obtenidos y realicen una comparación con la de la situación 2.

La intención de la misma es que los alumnos completen la tabla, y puedan afianzar estrategias de cálculo numérico para el cálculo del interés compuesto de manera recursiva.

Tanto en la situación 2 como en la 3, es esperable que los alumnos construyan esquemas lineales y no exponenciales, ya que para el cálculo de interés compuesto se toma el monto final obtenido para calcular el siguiente y no el monto original.

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Situación 3

Un grupo de chicos tiene $1000 para su viaje de egresados y lo quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 20 meses, que es el momento del viaje. Se averiguaron las tasas nominales anuales (TNA) en pizarra, de algunos bancos, a 30 días en pesos y se sabe que: La TNA del Banco 1 es de 23,75% y les permite tener $1019,79 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 2 es de 23% y les permite tener $1019,16 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 3 es de 22,8%y les permite tener $1019 cumplido el primer mes.

También se ha conseguido el siguiente resumen del Banco 1, donde se muestra como varía el dinero para algunos meses.

Mes (t) Monto final del periodo C (t)

Monto al inicio del periodo C (t - 1)

Interés en cada periodo I ((t-1); t)

Tasa

i = R/100

0 C(0) = 1000 ______ ______ 0,01979

1 C(1) = 1019,79 C(0) = 1000 I (0; 1) = 19,79 0,01979

2 C(2) = 1039,97 C(1) = 1019,79 I (1; 2) = 20,18 0,01979

3 C(3) = 1060,55 C(2) = 1039,97 I (2; 3) = 20,58 0,01979

4 C(4) = 1081,53 C(3) = 1060,55 I (3; 4) = 20,98 0,01979

5

6

7

8

9 C(9) = 1192,87 C(8) = 1169,73 I(8;9) = 23,14 0,01979

10 C(10) = 1216,48 C(9) = 1192,87 I(9;10) = 23,61 0,01979

11 C(11) = 1240,56 C(10) = 1216,48 I(10;11) = 24,08 0,01979

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20 C(20) = 1479,84 C(19) = 1451,12 I (19; 20) = 28,72 0,01979

a) Calcula los valores que faltan; y escribe la expresión que utilizó el Banco 1 para calcular los montos C(t). ¿Y los otros dos bancos?

b) Construye una tabla similar para cada uno de los bancos.

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Concluidas las situaciones 2 y 3, se institucionaliza la fórmula del monto de dinero puesto a interés compuesto y la representación grafica del modelo exponencial.

Antes de continuar con la demás situaciones, es necesario darle los alumnos algunas tareas de ejercitación, donde ellos puedan utilizar los conocimientos construidos. Pues si se desestabiliza al alumno continuamente, este no aprenderá (Vergnaud; 1991).

El grupo de tareas que se muestran a continuación consta de dos problemas similares a los que ya realizaron en las situaciones 2 y 3. Los alumnos comienzan a resolver en clase y por una cuestión de tiempo las terminan en sus casas. El primer problema refiere a dinero puesto a plazo fijo, a interés simple en el banco, con una tasa anual. Mientras el que el segundo, es similar a los estudiados en las situaciones 2 y 3.

c) Cuál es el banco que paga mayor interés?

d) Representa gráficamente cómo varía el dinero en cada banco.

¿A qué función corresponde la representación grafica que dibujaste?

e) ¿Cuál es la diferencia entre este modelo y el que vos habías planteado en la situación anterior?

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Dado que es a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver, como un concepto adquiere sentido para el sujeto (Vergnaud, 1990), una vez construido el modelo de interés compuesto se extiende ahora la aplicación de los modelos exponenciales a otros tipos de problemas.

Ya no se les presentan a los alumnos tablas o ejes cartesianos sino que se les pide que ellos puedan diseñarlo según se sientan más cómodos en un sistema de representación o en otro.

En situación 4, se les pide a los alumnos que construyan una tabla de valores, y a partir de allí creando un cálculo recursivo, generar la expresión general del modelo exponencial. Se les pide también escribir el dominio y la imagen de la función en el contexto del problema. Luego con los valores tabulados deben graficar la función obtenida.

Se espera que los alumnos no presenten mayores dificultades, ya que al construir la tabla se generan valores enteros lo cual facilitaría escribir la expresión del modelo.

Situación 4

En un laboratorio se desarrolla un experimento con cierto cultivo de amebas. Cuando se inicia el ensayo se contabilizan 50 amebas que se duplican por bipartición cada día.

a) Construye una tabla en la que se pueda observar la cantidad de amebas cada día, para los primeros 15 días.

b) ¿Podrías dar una expresión que te permita calcular la cantidad de amebas en cierto día cualquiera? Analiza también el dominio de validez y la imagen para que sea función.

c) Representa la función gráficamente. ¿Qué función es?

Tareas de Ejercitación 1 1. Una persona realiza un plazo fijo en un banco depositando la suma de $1500

durante tres años a una tasa anual de 16%.

a. ¿A cuánto asciende el monto de la operación?

b. Si decide renovar el plazo fijo por otros tres meses y así sucesivamente hasta completar el año. ¿Cuánto dinero tendrá al final de la operación?

2. Tres grupos de chicos recaudaron dinero para su viaje de egresados y lo quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 36 meses, con una tasa del 1,3%. Los montos que van a depositar cada grupo son los siguientes:

Grupo 1: $ 6525 Grupo 2: $13050 Grupo 3: $15124

a. Determinen para cada grupo, la función que les permite conocer la cantidad de dinero en cada momento.

b. Con el uso de un graficador, realicen una representación gráfica de la capitalización del dinero de cada grupo. Y determinen de qué numero asociado a la función, depende el punto de intersección entre el eje vertical y la curva de cada función.

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La situación 5 es muy similar a la anterior. Hay una masa inicial de bacterias y un aumento de población, aunque ahora se presenta en forma porcentual por hora, por lo cual podría presentar alguna dificultad a los alumnos, ya que inicialmente hay 50 gr. bacterias y una hora después habrá una masa de 57,5 gr. de bacterias.

Situación 5

En un laboratorio, están experimentando con una población de bacterias. Se observa que, al reproducirse, la masa de la población aumenta 15% cada hora. En un principio el cultivo de bacterias tiene una masa de 50g.

a) Construye una tabla en la que se pueda observar la variación del cultivo cada hora, para las primeras 20 horas.

b) ¿Podrías dar una expresión que te permita calcular que masa tendrá el cultivo en una hora cualquiera? Analiza también el dominio de validez y la imagen para que sea función.

c) Representa la función gráficamente. ¿Qué función es?

En la situación siguiente, la número 6, los alumnos deben generalizar tanto la expresión algebraica de la función exponencial; como el dominio y la imagen de la misma; a partir de las situaciones ya estudiadas.

La situación invita a los alumnos a reflexionar sobre el trabajo recorrido utilizando la función exponencial, y analizar y justificar las condiciones de las variables que intervienen en la expresión con la ayuda de recursos escritos y tecnológicos.

Esta situación tiene una complejidad mayor porque es un Sistema de Representación Algebraico de segundo Orden [SRA2].

Situación 6

Cada una de las expresiones matemáticas de las situaciones 2, 3, 4, y 5 responden a un mismo modelo matemático.

a) Escribe una expresión matemática general del modelo. b) Con la ayuda de recursos como libros de texto, internet, apuntes, etc., define la

forma general de la función exponencial, y analiza y justifica cada una de las condiciones.

En la siguiente situación, la número 7, se pretende extender el modelo exponencial a la expresión más general bakxf x

+= .)(

En esta situación se coloca una cantidad de dinero a interés compuesto y una parte que fue donada y no colocada a interés; con la intención de que los alumnos puedan a través de una tabla calcular la variación del dinero con el interés y agregar luego la parte donada.

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También se solicita a los alumnos escribir la expresión general del modelo aprovechando que conocen la expresión de la función exponencial xakxf .)( = .

La siguiente tarea es graficar las funciones obtenidas para el caso con interés compuesto y para el caso donado, luego determinar el dominio e imagen de cada una.

Situación 7

Un grupo que ha puesto $2440 en un plazo fijo a interés compuesto con una tasa nominal mensual (TNM) del 1,3% recibe al día siguiente de dicha transacción, $800 que ha donado un padre bajo la condición de que el dinero donado no sea colocado a plazo a fijo.

a) Construye una tabla que te permita describir la variación total del dinero para los próximos 6 meses. ¿Cómo modifican los $800 el monto total cada mes?

b) Escribe una expresión que te permita calcular la cantidad de dinero para cualquier mes, considerando también la donación. ¿Cómo sería la expresión si el dinero donado hubiera sido de $1300?

c) Realiza una representación gráfica aproximada de la variación del dinero total del grupo, para cada uno de estos casos. Y para el caso en que no hubiera donación. ¿Qué funciones graficaste?

d) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de cada una de las funciones, que pueden establecerse como modelos de cada situación?

En la situación 8, la intención era construir el concepto de asíntota de una función.

Se les daba a los alumnos las expresiones construidas en la situación 7 y se les solicitaba que analicen en forma numérica y grafica que le sucedía a la variable independiente a medida que toma valores cada vez grandes o más chicos. Para ello podían usar graficadores u otro medio tecnológico.

Situación 8

Analiza numérica, analítica y gráficamente las funciones: f1(x) = 1300. 1,013t + 800,

f2(x) = 2440. 1,013t

+ 800 y f3(x) = 2440. 1,013t, definidas de y las

graficadas en la situación anterior. Utiliza para ello los recursos (graficadores, planillas de cálculo) que consideres necesarios.

a) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… grandes?

b) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… chicos?

En la situación 9 al igual que en la 6, se pretende que los alumnos puedan generalizar la expresión algebraica de la función exponencial, en particular que escriban la expresión general del modelo bakxf x

+= .)( ; y que expresen las diferencias entre este modelo y el utilizado en la situación 2. Para ello podían contar con la ayuda de recursos escritos y tecnológicos.

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Esta situación, se diseñó para ser resuelta en el Sistema de Representación Algebraico de Segundo Orden, con el propósito que los alumnos formalicen los saberes utilizados al resolver las tareas.

Luego de la situación 9 se plantea otra similar, la 9 bis. Se solicita a los alumnos analizar las restricciones de los parámetros de la función exponencial.

Situación 9b

Dada la expresión algebraica: f(x)= k. ax + b y sabiendo que a > 0 y a ≠ 1; k ≠ 0 y b є

R; analiza para cada caso, por qué los parámetros a, k y b tienen dichas restricciones.

Luego de formalizar la función exponencial, conocer su representación grafica y sus características, es necesario proponer a los alumnos una serie de tareas de ejercitación, la número 2, que deberán entregarse en forma grupal, donde puedan utilizar todos los conocimientos hasta aquí aprendidos.

Se solicita a los alumnos que comiencen a resolver las tareas en clase y las terminen en sus casas debido a la dilatación del tiempo didáctico en clase.

La primera tarea es un problema similar a los ya estudiados, sin embargo como la función exponencial tiene base negativa, puede presentar alguna dificultad al momento de la representación gráfica ya que resulta decreciente.

En la segunda tarea se introduce el número e, que los alumnos conocían cuando estudiaron números irracionales el año anterior. Se les da a los alumnos la expresión algebraica y a partir de ella deben construir una tabla de valores y realizar un gráfico aproximado.

La tercera tarea, es inversa a las situaciones anteriores, donde los alumnos deben decidir buscando alguna técnica o estrategia adecuada, cuál de tres gráficas corresponde al modelo enunciado.

Situación 9

Cada una de las expresiones matemáticas de las situaciones 7 y 8, responden a un mismo modelo matemático.

a) Escribe una expresión matemática general del modelo. b) Con la ayuda de recursos como libros de texto, internet, apuntes, etc., define la

forma general de la función exponencial, y analiza y justifica cada una de las condiciones

c) ¿Cuál es la diferencia entre las funciones de la situaciones 2, 3,4 y 5, y éstas?

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TARE AS DE EJERCITACIÓ N 2 El trabajo se realizará y evaluará en forma grupal. Para su evaluación todas las consignas deben estar contestadas. Las correcciones de cada tarea serán entregadas juntamente con la calificación. Fecha Integrantes: Tarea 1 Con el objetivo de combatir una enfermedad, un médico ha indicado a su paciente una medicación que deberá ser inyectada durante 15 días de la siguiente forma: el primer día se aplica la dosis máxima de 100 ml, cada día subsiguiente se aplicará (4/5) de la dosis correspondiente al día anterior.

a. ¿Cuál es la expresión que describe la cantidad de medicamento inyectado por día? b. ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de la función, que puede establecerse como modelo de la situación? c. Representa gráficamente cómo varía la cantidad de medicamento inyectado a medida que pasan los días. d. Determina la asíntota de la expresión.

Tarea 2

Se pone un recipiente de agua a hervir y luego se retira del fuego, se lo coloca a temperatura ambiente (20° C). El agua se va enfriando conforme pasa el tiempo. La expresión que describe este fenómeno es la siguiente:

T(t)= 20 + 80. e-0,41 t

Donde T es la temperatura del agua en °C, y t es el tiempo que transcurren en minutos. a. ¿Cuál es la temperatura del agua en el instante inicial? b. Construye una tabla que describa cómo varía la temperatura a medida que pasan los minutos. c. ¿Habrá un momento en que la temperatura del agua sea de 20° C? ¿Por qué? d. Realiza una representación gráfica aproximada de la función.

Tarea 3

Una empresa dona a entidades de bien público, al inicio de 1980, una cantidad de $1.000.000. Al año siguiente dona la mitad de esa suma, y así sucesivamente cada año dona la mitad del dinero que entregó el año anterior.

a. Decide cuál de las siguientes tres figuras permite describir la variación de dinero que la empresa dona, a medida que pasa el tiempo. Justifica la elección.

b. ¿Cuál es la expresión, que permite calcular la cantidad de dinero que la empresa dona cada año?

c. ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de la función, que puede establecerse como modelo de la situación?

d. ¿Cuánto dinero donó la empresa en 1990? e. Escribe la asíntota de la expresión.

f. ¿De qué numero asociado a la expresión, depende el punto de intersección entre el eje vertical y la curva de la expresión?

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Figura 1

Figura 2

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Figura 3

En la situación 10 se pretende estudiar ecuaciones exponenciales.

La primera pregunta y la tercera de esta situación, todavía se está estudiando funciones exponenciales. Para resolver la pregunta b) los alumnos deben plantear una ecuación. Para resolverla debemos salir del tema funciones exponenciales y estudiar logaritmos, particularmente el concepto y sus propiedades, para luego reingresar al tema. En la última tarea se solicita a los alumnos que piensen cómo resolver una ecuación en forma gráfica. Sabiendo que el resultado de una ecuación es el punto de intersección de dos funciones, hay que encontrar esas funciones que se intersecan en el punto anterior. La finalidad de esta tarea es que los alumnos puedan resolver la ecuación en el sistema de representación gráfico. Situación 10

Si una persona compra hoy una moto 0 Km y la quiere vender pasado un año, la moto no valdrá lo mismo. Es decir, a medida que el tiempo pasa el valor de la moto se deprecia. Si se sabe que la depreciación anual de una moto, está indicada por la siguiente expresión:

F(t) = 4600 . (0,9)t

a) ¿Cuánto valía la moto el día que la compraron? b) ¿En qué momento la moto valdrá $2000?

c) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de la función, que puede establecerse como modelo de la situación?

d) Gráficamente, el resultado de una ecuación es el punto de intersección entre dos funciones. ¿Cuáles son las dos funciones que se intersecan en el inciso anterior? ¿Cómo usarías un graficador para responder la pregunta del inciso c), gráficamente?

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Logaritmos

En palabras: El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base

para obtener dicho número. Así el loga x = y si y solo si ay = x.

Así, partir de la definición se obtiene:

Log3 9 = 2 pues 32 = 9 log2 1 = 0 pues 20 = 1

Descripción de tareas

En la tarea 1 se calculan logaritmos a partir de su definición.

En la tarea 2 se solicita a los alumnos que analicen porqué los logaritmos de argumento negativo no existen.

Tarea 1: Calcular el valor del logaritmo para los siguientes casos

Log4 2 = ½ pues 41/2 =2 log1/3 9 = -2 pues (1/3)-2 = 9

Tarea 2: Analizar por qué los logaritmos de Log 4 (-16); y Log 3 0; no existen.

Observación: el resultado de un logaritmo puede ser un número positivo, negativo o cero y también puede no haber resultado

La principal característica de los logaritmos consiste en convertir los productos en sumas y las divisiones en restas.

Aquí sus propiedades:

1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

loga (x . y) = loga x + loga y

2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base

loga (x)y = y . loga x

3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo

del

denominador.

Loga (x/y) = loga x – loga y

4.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

de la raíz.

loga y

x = y

1 loga x

Observar que loga y

x = loga (x1/y

)

5- Cambio de base

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Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra a anotarlos de la siguiente manera:

log10 x = log x

Se omite la base. El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e ≅ 2,7182 y se acostumbra a anotarlos de la siguiente manera:

loge x = ln x

Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base. Ejemplo: Calcular log2 3 Llamemos x = log2 3, entonces 2x

= 3, aplicando logaritmo decimal a ambos miembros

obtenemos x log 2 = log 3, finalmente, x = 2log

3log= 1,5849.

El procedimiento general es: y = loga x

ya = x

a

xy

xay

b

b

bb

log

log

loglog.

=

=

Descripción de tareas

En la tarea 3 se pide resolver logaritmos a partir de trasformar las sumas y restas en productos y divisiones de logaritmos, es decir, aplicar propiedades, y luego su definición.

En la tarea 4, a partir de un logaritmo dado, se pide que calculen otro, trasformando el argumento a partir de las propiedades enunciadas y luego resuelvan.

En la tarea 5 se solicita que calculen logaritmos a partir de la propiedad de cambio de base.

Tarea 3: Resolver aplicando la definición de logaritmo.

a) Log5 25 + log2 ¼ b) Log 1000 – 1/3 log1/2 1 c) Log7 49 – log2 16

d) Log2 2 + log3 4

3 3 - log 0,001

e) Log3 27 + log1/2 4 – 2 log1/3 1/9

Tarea 4: Sabiendo que log2 5 = 2,3, calcular usando las propiedades

Log2 10 Log2 2,5

Log2 5 Log2 25 Tarea 5: Calcular usando cambio de base

Log2 10 Log5 2 Log1/2 20 Log4 0,1

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Luego de finalizar este estudio, se retoma la situación 10 y se propone a los alumnos resolver la ecuación 2000 = 4600. (0,9)

t, usando logaritmos.

Antes de continuar, con la situación 11, se proponen a los alumnos, el tercer conjunto de tareas, cuya prioridad es resolver ecuaciones exponenciales tanto grafica como analíticamente.

Descripción de las tareas

En la tarea 1 se solicita analizar distintas funciones exponenciales, calculando su dominio, imagen, raíces y realizar sus representaciones gráficas.

En la tarea 2 se pide diferenciar cuáles de las ecuaciones resueltas pueden ser analíticamente y cuales gráficamente, a su vez se pide usar un graficador para hallar la solución gráfica de cada una.

En la tarea 3 a partir de una expresión exponencial dada, se pide realizar reemplazos numéricos de cada variable, analizar dominio e imagen de cada función, escoger una gráfica adecuada para esa expresión.

En la tarea 4, a partir de una función exponencial de dominio e imagen prefijada, se pide analizar cuestiones relativas al concepto esta función.

En la tarea 5, se pide a los alumnos enunciar un problema que pueda que pueda ser resuelto con funciones exponenciales.

En la tarea 6, a partir de un problema de interés compuesto se pide resolver una ecuación exponencial, para dar respuesta al mismo.

Tarea de ejercitación 3 El trabajo se realizará en el hogar en forma grupal, y será entregado al docente para su calificación. Para su calificación todas las consignas deben estar contestadas, y se tendrá en cuenta su abordaje y propuesta. Las correcciones de cada tarea serán entregadas juntamente con la calificación, y analizadas en clase.

Fecha: integrantes:

Tarea 1 Dadas las siguientes funciones exponenciales de la forma �(�)=� .��+� con dominio e imagen definido por �:ℝ→� ∁ ℝ. Función 1| �1(�)=5 .2�+3 Función 2| �2(�)=−1 .2�+3 Función 3| �3(�)=7 .2�−3 a) Determina para cada una, la imagen y la ordenada. b) ¿Para qué valores de � dichas funciones cumplen con la ecuación �(�)=0? c) Realiza una representación gráfica de cada. Tarea 2 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: i) 5�+2+3.5�+1−8=0 ii) 32�+9�=162 iii) 5�+2+3�−2�=0 iv) 5�+2=3� v) 10�+1+10�=22 vi) 5�+3.7�=2�+1

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vii) 32�+9�−162=0 a) ¿Cuáles de las ecuaciones anteriores no se pueden resolver analíticamente? b) Utiliza el graficador habitual para hallar una solución gráfica de cada ecuación. ¿Cuáles no se pueden resolver gráficamente? c) Compara las resoluciones analíticas y gráficas de las ecuaciones ii) y vii) y escribe una conclusión. d) El graficador Winfun tiene una herramienta que indica en el gráfico los puntos de corte entre dos funciones. Utiliza dicha herramienta para resolver las ecuaciones anteriores. Tarea 3 La variación de la masa de cierta cantidad de carbono-14 a través del tiempo puede calcularse, aproximadamente, mediante la expresión: (�) = 0. (0,886)� Donde 0 es la masa inicial, � es el tiempo transcurrido (en miles de años, es decir para 1000 años �=1), y la masa de carbono que queda como consecuencia de la desintegración radiactiva. Grafica 1

a) ¿Cuál es la expresión que permite calcular la masa del carbono-14 a través del tiempo de un organismo que, en vida, contenía 250 gramos? ¿Cuál es el dominio y la imagen para que la expresión sea función? b) ¿En qué momento la masa del carbono-14 será de 62 gramos? c) Determina cuál de las curvas de la Gráfica 1 representa la variación de la masa de carbono-14 a medida que pasan los años y justifica tu elección. d) ¿Para qué valores del Dominio, la curva elegida representa la variación de la masa de carbono-14 a medida que pasan los años? Tarea 4 Confecciona una tabla que te permita mostrar cuánto aumenta la variable dependiente de la función �1(�)= 5 . 2� + 3, de � �(�)=ℝ e imagen ��(�)=(3; ∞); a medida que aumenta la variable independiente. a) ¿Es posible determinar un valor constante de aumento para la variable dependiente?

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b) ¿Es la variación exponencial, una variación proporcional? ¿Por qué? Mostrarlo mediante una representación gráfica. c) ¿Por qué se dice que las variables independiente y dependiente están relacionadas exponencialmente? Tarea 5 Realiza un enunciado que se resuelva utilizando una función exponencial. Es decir, tienes que describir una situación que pueda ser representada por dicho tipo de funciones. Tarea 6 Una persona colocó $3640 a interés compuesto por 16 meses. La expresión que le permite conocer como varía su dinero mes a mes es: (�)=3640 (1,03)�

a) ¿A qué tasa de interés ha puesto el dinero? b) Hallar de la forma más exacta posible el momento en el cual la persona tendrá $ 4346,350359. Luego de haber estudiado los diferentes aspectos de la función exponencial, se presentan dos actividades de síntesis. La situación 11 y la 12.

En la situación 11, se realiza un estudio de los parámetros de la función exponencial, para lo cual se utilizará un graficador.

Situación 11 a) Dada la siguiente expresión �(�)=� .��+�, que representa una familia de funciones, definida: �:ℝ→� ∁ ℝ, analiza por qué a las letras � y �(�)=� se las denomina variables; y a las letras �,� y � se las denomina parámetros. Los parámetros de las funciones, permiten analizar las características que tendrá su representación gráfica. Por lo tanto, para estudiar dichas características; se debe analizar cómo varia la gráfica según los valores que toma cada parámetro. Pero de la misma manera, que una persona no puede saber qué remedio le está haciendo efecto si toma diez juntos, no se puede saber cómo influye cada parámetro en la gráfica si se los cambia todos a la vez. Por esta razón se debe variar el parámetro que se quiere analizar y fijar los restantes. b) Analiza las características de la gráfica, cuando se varía el parámetro �.

a k b Función Gráfico

a = 3

k = 5

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k = -2

c) Utilizando una técnica similar, realiza el análisis de los parámetros � y �.

En la última situación, la número 12, se les pedía a los alumnos que de forma individual realicen una síntesis con los conceptos relevantes que fueron estudiados, que les sirviera para estudiar para la evaluación integradora al finalizar el año.

Esta síntesis sería revisada por el docente, y luego puesta a consideración de los alumnos para que puedan completarla o quitar conceptos.

Situación 12

Realiza una síntesis escrita y personal de las funciones exponenciales, que te sirva para estudiar. ¿Qué estudiamos en todo este tiempo?

Para concluir el estudio del campo se propone a los alumnos una evaluación grupal para resolver en clase, con situaciones similares a los problemas estudiados.

Descripción de tareas

Tarea 1

La primera tarea es similar a los problemas estudiados pero con una base negativa, donde los alumnos deben construir una tabla de valores para un primer valor inicial y luego generar una recurrencia a partir del valor anterior.

Tarea 2

Este problema de interés compuesto es similar a los anteriores, donde a partir de la expresión exponencial invita a pensar porque las variables se relacionan de forma exponencial y luego a resolver una ecuación exponencial.

Tarea 3

Esta tarea es continuación de la tarea 2, donde se presentan tres gráficos y se pide determinar cual corresponde al modelo.

Tarea 4

Se solicita a los alumnos escribir una función exponencial y realizar su representación grafica y describir su asíntota.

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Tarea 5

En el inciso a) se pregunta por qué las tareas 1 y 2 son exponenciales; y en el inciso b) los alumnos deben escribir una función que no sea exponencial.

EVALUACIÓN GRUPAL FINAL Fecha: integrantes: 1. Con el objetivo de combatir una enfermedad, un médico ha indicado a su paciente una medicación que deberá ser inyectada durante 21 días de la siguiente forma: el primer día (día cero) se aplica la dosis máxima de 160 ml, cada día subsiguiente se aplicará (4/5) de la dosis correspondiente al día anterior. a) Construye una tabla que describa como varía la dosis de la medicación a medida que pasan los días. b) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de la función, que puede establecerse como modelo de la situación? 2. Una persona colocó $2100 a interés compuesto por 23 meses. La expresión que le permite conocer como varía su dinero mes a mes es: (�)=2100 (1,03)�. a) ¿A qué tasa de interés ha puesto el dinero? b) ¿Es posible determinar cuánto dinero aumentará por mes? ¿Por qué? c) ¿La forma en que aumenta el dinero con la expresión (�), es exponencial? ¿Por qué? d) Hallar de la forma más exacta posible el momento en qué la persona tendrá $2822,2244. 3. Dado el siguiente gráfico: a) Determinar cuál de las curvas representa la variación del dinero puesto a interés compuesto, del caso anterior, y justifica tu elección. b) ¿Para qué valores de la variable independiente, la curva elegida representa la variación del dinero puesto a interés compuesto?

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4. Escribe una función exponencial y construye su gráfica (indicando la ecuación de la asíntota).

5. Tanto en el ítem 1 cómo en el 2, la variable dependiente se relaciona exponencialmente con la variable independiente.

a) ¿Por qué se dice que las variables (dependiente e independiente) están relacionadas exponencialmente?

b) Propone una variación que no sean exponencial

En el próximo capítulo se describirá la metodología utilizada en el presente trabajo.

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Capítulo 4

Metodología

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Capítulo 4

Metodología

En este trabajo se retoma una secuencia de doce situaciones diseñada, implementadas y analizadas por Sureda y Otero (2012), en el marco de la Teoría de los Campos Conceptuales, para la enseñanza de las funciones exponenciales en la escuela secundaria. El nuevo diseño intenta profundizar en el estudio de cuestiones vinculadas a las transacciones financieras, a fin de ampliar la tarea escolar hacia cuestiones sociales reales.

Así, en el marco de la teoría, se rediseñaron algunas de las situaciones, y junto con cuatro conjuntos de ejercicios, una síntesis y una evaluación, se implementaron en un quinto año de la escuela secundaria. Las tareas involucradas en las situaciones, estaban diseñadas en torno a los siguientes sistemas de representación (Sureda y Otero ,2013):

� Sistema de representación numérico (SRN): refiere tanto a las tablas como a los cálculos con números.

� Sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1): involucra aquellos procedimientos algebraicos en los que los parámetros están inicializados. Por ejemplo, 35.2 =

x . � Sistema de representación algebraico de segundo orden (SRA2): refiere

únicamente a los procedimientos algebraicos en los que los parámetros no están inicializados. Por ejemplo, cba x

=. . � Sistema analítico-gráfico (SRG): refiere a la construcción gráfica en ejes

cartesianos. � Sistema verbal escrito (SRVE): son las formas lingüísticas escritas, afirmaciones,

conclusiones, etc. La implementación del conjunto de situaciones se realizó en un curso de 42 alumnos de 5 año de una escuela secundaria semiprivada de la ciudad de Mar del Plata. El grupo de alumnos estaban acostumbrados a trabajar con una dinámica de la clase donde el docente tomaba la iniciativa explicando los conceptos, y ellos se limitaban a registrarlo en sus carpetas para luego realizar la ejercitación correspondiente al contenido dado. Antes de comenzar la implementación se consensuó con los alumnos una nueva forma de trabajo en clase. Los alumnos trabajarían en forma grupal, por grupos compuestos de 4 integrantes, lo cual permitirá el intercambio de opiniones y la validación de una solución común. El docente le entregaba a cada alumno una situación para ser resuelta y ellos debían realizar la actividad en forma individual, a su vez podrían apoyarse en sus compañeros, discutir y consensuar con ellos una posible solución a la tarea, luego un integrante de

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cada grupo expondría lo resuelto y se analizaría la mejor solución a la situación planteada. Al terminar cada clase el docente recogía los protocolos de los estudiantes, y una vez escaneados eran devueltos a los mismos. A partir de los protocolos, se realiza el análisis de los datos. Terminada la implementación y con el propósito de describir las características de la conceptualización, se analizaron las respuestas escritas de los alumnos. Pues para analizar la conceptualización, debemos analizar la actividad de los alumnos en situación, observando las conductas en la situación ya que mediante el análisis de las conductas, en particular por medio de las resoluciones escritas de los alumnos cuando enfrentan un problema. De las trece situaciones propuestas, se consideran para este análisis las respuestas de las situaciones 2, 3, 4, 5, 7 y 8, por tratarse de las situaciones que refieren a la conceptualización de la función exponencial en los sistemas de representación algebraica, numérica, gráfico y verbal escrito. Por otra parte, se descartó el análisis de las situaciones, de aquellos alumnos que faltaron a más de dos situaciones, debido a que se dificultaba analizar el proceso de conceptualización. Así, de los 42 alumnos del curso sólo se consideraron las respuestas de 22 de ellos. Las respuestas de los alumnos fueron analizadas protocolo por protocolo y clasificadas según la tabla 1 diseñado por Sureda y Otero (2013) durante el análisis de la secuencia de situaciones. Y dado que la comprensión de conceptos matemáticos complejos, como el de función exponencial, requiere el empleo y juego combinado de más de un sistema de representación, la caracterización de las etapas que forman parte del proceso de conceptualización se construyó a partir de la explicitación que los alumnos realizaban en cada sistema de representación.

Etapa Indicador

Lineal Respuesta lineal en todos los sistemas de representación.

Parcialmente no lineal Respuesta no lineal en por lo menos un sistema de

representación.

No lineal Respuesta no lineal en todos los sistemas de representación.

Parcialmente exponencial

Respuesta exponencial en por lo menos un sistema de representación.

Exponencial Respuesta exponencial en todos los sistemas de

representación.

Tabla 1: Descripción de las Etapas presentes en la conceptualización de la función exponencial.

Así, el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales se realiza a partir de las mencionadas seis situaciones, y utilizando como herramienta de análisis la tabla arriba descrita.

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Una vez terminada la implementación de todas las situaciones se les entregó a los alumnos un cuestionario (tomado de Sureda, 2012 y modificado) de autoevaluación que constaba de 24 ítems referidos al contenido estudiado, que debía ser respondido en forma individual y anónima. Los alumnos podían manifestar su grado de acuerdo o desacuerdo de cada afirmación al elegir entre una opción del 1 al 5, donde el 1 significa nada de acuerdo y el 5 totalmente de acuerdo. Además había un ítem donde los alumnos manifestaban su respuesta acerca de lo sucedido en las clases de matemática.

El cuestionario que se les dio a los alumnos se presenta a continuación:

En el capítulo 5 se realizará un análisis de las situaciones que componen la investigación.

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Capítulo 5

Descripción de los datos

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Capítulo 5

Descripción de los datos

El desarrollo de este capítulo se centra en el análisis de las situaciones que componen las actividades de la secuencia.

Como se describió en el capítulo 4, de las trece situaciones sólo se considerarán las respuestas de las situaciones 2, 3, 4, 5, 7 y 8 debido a que las mismas permiten el análisis de la conceptualización de la función exponencial en los cuatro mismos sistemas de representación.

La implementación se llevó a cabo en quinto año, luego de realizar actividades de diagnóstico referidas a funciones lineales, estudiar el análisis de funciones y las características de las mismas; realizar tablas y construcción de funciones polinómicas de grado 2 y 3, y calcular porcentajes.

Cómo primera tarea se les dio la situación 1, con la siguiente pregunta Q0: ¿Cuál es el mejor plan de ahorros para generar la mayor cantidad de ingresos, usando plazo fijo? En esta situación les solicitaba a los alumnos que redactaran algunas preguntas que les ayudaran a comprenderla, y que para la clase acordada llevaran información que les ayudara a conocer, comprender y comenzar a resolver Q0

Luego de haber conversado sobre ella la clase acordó qué significaba colocar el dinero en un plazo fijo. Al finalizar esta conversación, donde también se discutieron términos cómo TNA, TNM, TEA, etc., se decidió continuar con la situación 2.

Situación 2 Situación 2

Un grupo de chicos tiene $1000 para su viaje de egresados y los quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 20 meses, que es el momento de viajar. Se averiguaron las tasas nominales anuales (TNA) en pizarra, de algunos bancos, a 30 días en pesos y se sabe que:

La TNA del Banco 1 es de 23,75% y les permite tener $1019,79 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 2 es de 23%y les permite tener $1019,16 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 3 es de 22,8%y les permite tener $1019 cumplido el primer mes.

a) ¿Cómo calcularon los bancos ese primer mes?

b) Realiza un gráfico aproximado de la variación del dinero en cada banco; calculando al menos tres valores.

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De los 22 alumnos, 8 resolvieron en forma parcialmente no lineal, 9 de forma lineal y 5 estuvieron ausentes el día de la resolución de la actividad.

En esta situación se advierten dos tipos de resoluciones, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), una que es lineal (alumno A5) y otra que es parcialmente no lineal (alumno A18).

A continuación se muestran y describen las resoluciones de los alumnos A5 y A18, por ser características de ese tipo de resoluciones.

RESPUESTA LINEAL

El alumno A5 (ver figura 1) resuelve linealmente en los tres sistemas de representación: numérico (SRN), gráfico (SRG), y verbal escrito (SRVE). En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas. La figura 1 muestra también que los alumnos utilizan la regla de tres simple para calcular la tarea presentada. El alumno A5 calcula para los bancos 2 y 3 la tasa de interés mensual utilizando regla de tres simple.

c) ¿A qué función corresponde la representación gráfica que dibujaste?

Recordá que es muy importante dejar todas las cuentas que haces en la hoja, y no borrar nada de lo que escribas.

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Figura 1: resolución lineal del alumno A5

En la figura 2, que se muestra a continuación, el alumno A5 calcula el primer valor del banco 1, 1019,79 sumando el valor de la tasa de interés (19.79) cada vez. De esta forma obtiene como primer valor 1039,58 y reitera el proceso para los demás valores del banco 1. Esta resolución esta descripta por un proceso lineal.

Para los banco 2 y 3 repite los procedimientos anteriores.

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Figura 2: resolución lineal del alumno A5

. En la figura 3, el alumno A5 con los valores obtenidos en la figura 2, dibuja para cada uno de los bancos una recta y luego en el Sistema de Representación Verbal Escrito (SRVE) (ver figura 4) responde que corresponde a una función lineal creciente.

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Figura 3: resolución lineal del alumno A5

Figura 4: resolución lineal del alumno A5

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En la tabla 2 que se muestra a continuación, se describen en cada columna los teoremas en acto y el sistema de representación al que pertenece dicho teorema del alumno A5.

Por ejemplo, se observa que la resolución en el sistema de representación numérico (SRN), está guiada por un teorema en acto numérico (T.A.N) relativo al interés simple, en el sistema de representación gráfico (SRG) parece guiado por teoremas en acto gráficos (T.A.G) lineales; mientras que las resoluciones en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) parece estar guiado por un teorema en acto gráfico (T.A.G) relativo a la función lineal

Los teoremas en acto identificados en esta resolución del alumno A5 se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013) para el caso de las respuestas lineales.

Tabla 2: invariantes operatorios vinculados a las respuestas lineales

RESPUESTA PARCIALMENTE NO LINEAL

El alumno A18 resolvió en forma lineal en los sistemas de representación numérica (SRN) y verbal escrito (SRVE) y en forma no lineal en el (SRG).

A continuación se muestra y describe la resolución del alumno A18.

En esta resolución (ver figura 5 y 6) se advierte que A18 suma para el primer valor del banco 1, 1019,79, la tasa de interés mensual (19.79), obteniendo el valor del mes dos 1039,58. Para los demás valores del banco 1 reitera el proceso anterior.

Nótese que para los banco 2 y 3 repite los procedimientos anteriores.

Como obtiene un valor constante para cada mes, parece describir un proceso lineal.

SRN SRG SRVE T.A.N: Aumenta lo mismo cada mes

T.A.G: Es posible unir dos puntos mediante una recta T.A.G: La representación gráfica del crecimiento del dinero puesto a interés compuesto es una recta

T.A.G: Es una función lineal porque la gráfica es una recta

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Figura 5: Resolución lineal del alumno A18 a la situación 2 SRN : LINEAL

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Figura 6: resolución lineal del alumno A18 SRVE : LINEAL

En la figura 7, que se muestra a continuación, el alumno A18 grafica y une los tres primeros valores que calculó. Esto indicaría que no está seguro como crece el dinero, aunque luego al responder qué tipo de función graficó, contesta que es una función lineal (figura 6).

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Figura 7: resolución lineal del alumno A18

En este protocolo, al igual que el anterior se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas, aunque utiliza también regla de tres simple para calcular la tarea presentada

Los teoremas en acto identificados en esta resolución del alumno A18 se corresponden con los descriptos por Sureda (2012), para el caso de las respuestas parcialmente no lineales.

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Tabla 3: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente no lineales

Situación 3 La situación 3 también vinculada a calcular el dinero puesto al interés compuesto, a realizar una representación gráfica e identificar qué tipo de función es.

Situación 3

Un grupo de chicos tiene $1000 para su viaje de egresados y lo quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 20 meses, que es el momento del viaje. Se averiguaron las tasas nominales anuales (TNA) en pizarra, de algunos bancos, a 30 días en pesos y se sabe que: La TNA del Banco 1 es de 23,75% y les permite tener $1019,79 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 2 es de 23% y les permite tener $1019,16 cumplido el primer mes.

La TNA del Banco 3 es de 22,8%y les permite tener $1019 cumplido el primer mes.

También se ha conseguido el siguiente resumen del Banco 1, donde se muestra como varía el dinero para algunos meses.

SRN SRG SRVE T.A.N: Aumenta lo mismo cada mes

T.A.G: Es posible dibujar puntos y unirlos mediante segmentos no rectos T. A.G: La representación gráfica del crecimiento del dinero puesto a IC parece no ser una recta.

T.A.G: Es una función lineal porque la gráfica se corresponde con una recta.

Mes (t) Monto final del periodo C (t)

Monto al inicio del periodo C (t - 1)

Interés en cada periodo I ((t-1); t)

Tasa

i = R/100

0 C(0) = 1000 ______ ______ 0,01979

1 C(1) = 1019,79 C(0) = 1000 I (0; 1) = 19,79 0,01979

2 C(2) = 1039,97 C(1) = 1019,79 I (1; 2) = 20,18 0,01979

3 C(3) = 1060,55 C(2) = 1039,97 I (2; 3) = 20,58 0,01979

4 C(4) = 1081,53 C(3) = 1060,55 I (3; 4) = 20,98 0,01979

5

6

7

8

9 C(9) = 1192,87 C(8) = 1169,73 I(8;9) = 23,14 0,01979

10 C(10) = 1216,48 C(9) = 1192,87 I(9;10) = 23,61 0,01979

11 C(11) = 1240,56 C(10) = 1216,48 I(10;11) = 24,08 0,01979

12

13

14

15

16

17

18

19

20 C(20) = 1479,84 C(19) = 1451,12 I (19; 20) = 28,72 0,01979

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De los 22 alumnos, 15 resolvieron en forma parcialmente no lineal y 7 de forma no lineal.

A continuación se muestran y describen las resoluciones de los alumnos A4 y A11.

RESPUESTA PARCIALMENTE NO LINEAL

El alumno A4 resolvió en forma no lineal en los sistemas de representación numérico (SRN), y grafico (SRG).

Es posible advertir que los cálculos realizados para completar la tabla (ver figura 8) corresponden al aumento de dinero puesto a interés compuesto. El alumno A4 resuelve también en forma no lineal en el sistema representación gráfico, indicando que se trata de funciones aparentemente no lineales crecientes, sin embargo, en el sistema de representación verbal escrito (SRVE), al preguntar qué tipo de funciones son las graficadas escribe que las mismas son lineales crecientes.

a. Calcula los valores que faltan; y escribe la expresión que utilizó el Banco 1 para calcular los montos C (t). ¿Y los otros dos bancos? b. Construye una tabla similar para cada uno de los bancos. c. Cuál es el banco que paga mayor interés? d. Representa gráficamente cómo varía el dinero en cada banco. ¿A qué función corresponde la representación grafica que dibujaste? e. ¿Cuál es la diferencia entre este modelo y el que vos habías planteado en la situación anterior?

55

A continuación se muestra y describe la resolución del alumno A4

Figura 8 : resolución no lineal del alumno A4 En la resolución (ver figura 9) se muestra que A4 para el banco 1 calcula el interés correspondiente a cada mes multiplicando la tasa mensual por el valor mensual anterior, y luego suma ese valor para obtener el valor final de ese mes, por ejemplo para el mes 6 hace: 1102,93 correspondiente al mes 5 y le suma el interés obtenido de (1102,93. 0,01979) para obtener el monto final. Y de esta forma recursiva calcula los montos finales para los demás meses.

56

57

Figura 9: resolución no lineal del alumno A4 SRN: NO LINEAL

En la resolución de la figura 10, el alumno A4 grafica funciones no lineales, y luego en el SRVE escribe que corresponde a funciones lineales.

58

Figura 10: resolución no lineal del alumno A4

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los descritos por Sureda y Otero (2013).

59

SRN SRG SRVE

T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad

inmediata anterior.

T.A.G: La representación gráfica no es una recta.

T.A.G: Si el aumento varía cada vez, no es una

función lineal.

Tabla 4: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente lineales

RESPUESTA NO LINEAL

El alumno A11 resolvió en forma no lineal en los sistemas de representación numérico (SRN), y grafico (SRG).

Es posible advertir que los cálculos realizados para completar la tabla corresponden al aumento de dinero puesto a interés compuesto.

A11 resuelve también en forma no lineal en el sistema representación gráfico, indicando que se trata de funciones aparentemente no lineales crecientes y que crecen más que las de la situación 2.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A11.

En la resolución de la figura 11 y 12 que se muestra a continuación, el alumno A11 calcula para el banco 1 el interés correspondiente a ese mes, y luego se lo suma al monto final del mes anterior, para obtener el valor final de ese mes, por ejemplo para el mes 5 resuelve así:

1081,53 es monto correspondiente al mes 4, calcula el interés multiplicando ese monto por la tasa de interés (1081,53. 0,01979) = 21,40; luego para obtener el monto final del mes 5 lo suma así 1081,53+21,40 = 1102,93. De la misma forma resuelve para los demás meses.

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Figura 11: resolución no lineal del alumno A11

61

Figura 12: resolución no lineal de A11 SRN: NO LINEAL

Luego de resolver la situación tres, se les solicitó a los alumnos que buscaran en libros o mediante algún recurso tecnológico, la fórmula que permite calcular un monto de dinero puesto a interés compuesto. Así y luego de acordar con el grupo de clase la fórmula se les pidió que la usaran para verificar algunos montos obtenidos en resolución anterior.

62

En este protocolo (figura 13) se muestra que el alumno A11, luego de acordar con el grupo de clase que la fórmula para colocar dinero a interés compuesto (IC) es

( )niCiCf += 1. , verifica para dos valores.

Figura 13: verificación con la fórmula de IC de A11

En el SRG que se muestra a continuación, el alumno A11 grafica para cada banco tres funciones que aparentemente no son lineales.

63

Figura 14: resolución no lineal de A11

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los de (Sureda y Otero, 2013)

SRN SRG SRVE

T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad

inmediata anterior.

T.A.G: La representación gráfica no es una recta.

T.A.N: El aumento del dinero puesto a IC no corresponde a una FL porque varía cada vez.

Tabla 5: invariantes operatorios vinculados a las respuestas no lineales

64

Resultados de las situaciones 2 y 3

Estas primeras dos situaciones estaban destinadas a construir el concepto de interés compuesto.

En la situación 2 todos los alumnos resolvieron el problema de interés compuesto mediante esquemas lineales, en un sistema de representación o en otro. Se distinguen dos estrategias de resolución diferentes: nueve totalmente lineales; ocho parcialmente no lineales: dos no lineales en el sistema de representación numérico (SRN), seis en el sistema de representación grafico (SRG), y todas las respuestas lineales en el sistema de representación verbal escrito (SRVE). Luego de dialogar con los alumnos sobre la resolución 2, acordando que el crecimiento del dinero no era lineal; y que el aumento de dinero puesto a interés compuesto se calcula sobre el monto del mes anterior y no del original; se pusieron a resolver la situación 3. Esta situación se diseñó con el propósito de construir a partir de ella el modelo del interés compuesto. Aquí ya no hay esquemas totalmente lineales. Se advierten dos estrategias de resolución: quince no lineales y siete parcialmente lineales. Solo un alumno resolvió en forma lineal en el sistema de representación numérico (SRN), y el resto en forma no lineal. En el sistema de representación grafico (SRG) hay dos respuestas lineales y once no lineales, mientras en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) hay seis resoluciones lineales y cuatro no lineales. Al terminar estas situaciones, se realizó una puesta en común y se acordó con los alumnos cual era la expresión que se utilizaba para calcular el dinero a interés compuesto; además de que la representación gráfica del dinero puesto a interés compuesto no era una recta; comenzaron a resolver situaciones de aplicación donde se utilizan funciones exponenciales. En las situaciones 4 y 5, es donde se estudian situaciones en donde se aplica el modelo exponencial.

En estas situaciones a partir de una masa inicial y de un porcentaje de incremento dado, los alumnos deben: construir una tabla para algunos valores, dar la expresión general del modelo, establecer el dominio y la imagen de la función y realizar un gráfico a partir de los valores obtenidos.

Situación 4

Situación 4

En un laboratorio se desarrolla un experimento con cierto cultivo de amebas. Cuando se inicia el ensayo se contabilizan 50 amebas que se duplican por bipartición cada día.

a) Construye una tabla en la que se pueda observar la cantidad de amebas cada día, para los primeros 15 días.

b) ¿Podrías dar una expresión que te permita calcular la cantidad de amebas en cierto día cualquiera? Analiza también el dominio de validez y la imagen para que sea función.

c) Representa la función gráficamente. ¿Qué función es?

65

En esta situación 3 alumnos resuelven en forma exponencial, 17 parcialmente exponencial y 2 estuvieron ausentes.

Aquí se advierten dos tipos de resoluciones, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), una que es parcialmente exponencial (alumno A14) y otra que es exponencial (alumno A2).

A continuación se describen y analizan las resoluciones de los alumnos A14 y A2

RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL

El alumno A14 resuelve de forma exponencial en el sistema de representación numérico (SRN) y en el sistema de sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1).

En el sistema de representación grafico (SRG) representa gráficamente una función exponencial, y al no conocer todavía su representación grafica responde que es no lineal (ver figura 16).

En el sistema de representación algebraico (SRA1) expresa adecuadamente la expresión general del modelo; pero no logra responder el dominio y la imagen que corresponde al modelo planteado.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A14.

En la figura 15, calcula para cada mes la cantidad de amebas duplicando al mes anterior. Por ejemplo: para el segundo mes: toma la cantidad del mes 1, 100 amebas y las duplica para obtener 200, y repite el mismo paso para los siguientes valores, correspondiéndose con el teorema en acto de la tabla 6.

66

Figura 15: resolución parcialmente exponencial de A14

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Figura 16: resolución parcialmente exponencial de A14

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación del alumno A14 son similares a los identificados por Sureda y Otero (2013).

En la tabla 6 que se muestra a continuación, se describen en cada columna los teoremas en acto y el sistema de representación al que pertenece dicho teorema.

Los invariantes operatorios que parecen guiar la acción del alumno A14 en el SRN y SRA1 son exponenciales, mientras que en el SRG y SRVE son no lineales.

La resolución en el sistema de representación numérico (SRN), está guiada por un teorema en acto numérico (T.A.N) relativo al interés compuesto, en el sistema de representación gráfico (SRG) y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) parecen guiados por teoremas en acto gráficos (T.A.G) no lineales; mientras en el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1) no logra establecer el dominio y la imagen (T.A.A1) , y formula adecuadamente la expresión del modelo correspondiéndose con teoremas en acto exponenciales (T.A.A2).

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Tabla 6: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente no exponenciales.

RESOLUCIÓN EXPONENCIAL

El alumno A2 resuelve en forma exponencial en todos los sistemas de representación: numérico (SRN), grafico (SRG), algebraico de primer orden (SRA1), y verbal escrito (SRVE).

En el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), formula adecuadamente la expresión general del modelo, pero no logra establecer adecuadamente el dominio y la imagen de la función ya que escribe un extremo del intervalo infinito y no lo ajusta al problema.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A2

En la figura 17, se muestra que el alumno A2, en el SRN calcula para cada mes la cantidad de amebas duplicando al mes anterior, por ejemplo: para el mes 5 toma la cantidad del mes 4, 800 amebas y las duplica para obtener 1600, y repite el mismo paso para los siguientes valores, correspondiéndose con el teorema en acto de la tabla 7.

En el SRA1 fórmula adecuadamente la expresión del modelo.

SRN SRG SRVE SRA1 T.A.N:El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata

anterior

T.A.G:La

representación gráfica es una curva creciente o decreciente

T.A.G: El aumento del dinero puesto a

IC se grafica mediante una curva

no recta.

T.A.A2: La expresión algebraica que permite calcular la cantidad de amebas por día es f (t)= tak. , donde k es la cantidad inicial, a es la tasa de crecimiento y t es el tiempo. T.A.A1: El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema.

69

Figura 17: resolución exponencial de A2 En el sistema de representación gráfico une los puntos obtenidos en la tabla obteniendo una curva que luego reconoce como una función exponencial y creciente (ver figura 18).

Los invariantes operatorios que parecen guiar la acción de este alumno se corresponden con los identificados en la tabla 7 para el SRG y SRVE.

70

Figura 18: resolución exponencial de A2

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los identificados por Sureda y Otero (2013).

71

Tabla 7: invariantes operatorios vinculados a las respuestas exponenciales

Situación 5

Esta situación es similar a la anterior, con la diferencia de que la población aumenta un porcentaje fijo por hora con una masa inicial de 50g. Se les pide construir una tabla a medida que pasan las horas, dar una expresión general del modelo, escribir el dominio y la imagen, además de representar la función.

SRN SRG SRVE SRA1

T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata

anterior

T.A.G: La representación gráfica es una

curva creciente o decreciente

T.A.N:La función

es exponencial porque la variable independiente está en el exponente.

T.A.A2: La expresión algebraica que permite calcular la cantidad de amebas por día es f (t)=

tak. , donde t es el

tiempo en días, a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas.” T.A.A1:El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema.

72

Situación 5

En un laboratorio, están experimentando con una población de bacterias. Se observa que, al reproducirse, la masa de la población aumenta 15% cada hora. En un principio el cultivo de bacterias tiene una masa de 50g.

a) Construye una tabla en la que se pueda observar la variación del cultivo cada hora, para las primeras 20 horas.

b) ¿Podrías dar una expresión que te permita calcular que masa tendrá el cultivo en una hora cualquiera? Analiza también el dominio de validez y la imagen para que sea función.

c) Representa la función gráficamente. ¿Qué función es?

En esta situación uno alumno resuelve en forma lineal, 15 en forma parcialmente exponencial, 2 en forma parcialmente no lineal, 2 en forma exponencial y 2 estuvieron ausentes.

Aquí se advierten dos tipos de resoluciones, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), una que es parcialmente exponencial (alumno A8) y otra que es lineal (alumno A1).

A continuación se describen y analizan las resoluciones de los alumnos A1 y A18 por ser representativas de las demás.

RESOLUCIÓN LINEAL

El alumno A1 resuelve en forma lineal en todos los sistemas de representación.

A continuación se muestra y se describe la resolución de alumno A1.

En la figura 19, en el sistema de representación numérico (SRN), el alumno A1, suma al valor inicial (50 gr.) 7,5 gr. que es el porcentaje de aumento para la primera hora, y luego repite el procedimiento con el valor inicial, usando estrategias lineales.

En el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), escribe la expresión de una función lineal y no logra establecer adecuadamente el dominio y la imagen de la función ya que escribe un extremo del intervalo infinito y no lo ajusta al problema.

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Figura 19: resolución lineal del alumno A1

En la figura 20, que se muestra a continuación, en el sistema de representación gráfico (SRG), representa una función lineal. Y el sistema de representación verbal escrito (SRVE), argumenta que es una función lineal.(ver figura 21)

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Figura 20: resolución lineal del alumno A1

Figura 21: resolución lineal del alumno A1

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los descriptos por Sureda y Otero (2013).

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Tabla 8: invariantes operatorios vinculados a las respuestas lineales

RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL

El alumno A8 resuelve en forma no lineal en el sistema de representación numérico (SRN), formula adecuadamente la expresión algebraica exponencial en el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), y resuelve en forma lineal tanto en el sistema de representación grafico (SRG) como en el sistema de representación verbal escrito (SRVE).

En el SRN, calcula el porcentaje de aumento para la primer hora 7,5, y lo va suma a la cantidad de bacterias iniciales. Por ejemplo: para el mes 1 obtiene 50+7,5=57,5, para el mes 2 calcula (57,5. 0,15)=8,62 y lo suma al valor anterior 57,5+8,62= 66,12 bacterias. Repite el proceso para las primeras 20 horas. (Ver figura 22).

SRN SRG SRVE SRA1

T.A.N: Aumenta lo

mismo cada mes

T.A.G: Es posible

unir dos puntos mediante una recta.

T.A.G: La representación

gráfica del crecimiento de las

población de bacterias es una recta

T.A.G: Es una función lineal porque

la gráfica es una recta

T.A.G: La representación

gráfica del crecimiento de

bacterias es una recta creciente.

T.A.A1: La expresión algebraica que permite calcular la cantidad de bacterias por hora es f (t)= bta +. , donde t es el tiempo en horas, a es el valor fijo, y b es la cantidad inicial. T.A.A1: El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema.

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Figura 22: resolución parcialmente exponencial de A8

En el SRA1 formula adecuadamente la expresión del modelo, pero no escribe el dominio y la imagen de la función. (Ver figura 23)

En el SRG, representa una función lineal, y luego argumenta que efectivamente lo es (ver figura 23).

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Figura 23: resolución parcialmente exponencial de A8

En esta resolución los teoremas en acto que dirigen la acción de A18 en cada sistema de representación son contradictorios entre sí. El análisis de las respuestas muestra que existen ideas exponenciales y lineales. Este alumno resuelve adecuadamente en un sistema de representación, pero eso no implica que pueda hacerlo en otro.

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación son similares a los descriptos por Sureda y Otero (2013).

Tabla 9: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente exponenciales

SRN SRG SRVE SRA1 T.A.N: El aumento de la cantidad de bacterias se calcula sobre la cantidad inmediata anterior

T.A.G: Es posible unir dos puntos mediante una recta” T.A.G:“La representación gráfica del crecimiento de las población de bacterias es una recta

T.A.G: Es una función lineal porque la gráfica es una recta” T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de las bacterias es una recta creciente.

T.A.A1: La expresión algebraica que permite calcular la cantidad de bacterias por hora es f (t)= tak. , donde k es la cantidad inicial, a es la tasa de crecimiento y t es el tiempo.

78

Resultados de las situaciones 4 y 5

En estas situaciones la finalidad era construir la expresión general del modelo exponencial, además de realizar la representación gráfica.

En la situación 4 se distinguen dos estrategias de resolución, una parcialmente exponencial y otra exponencial. En el sistema de representación numérico todas las respuestas son exponenciales (SRN), en el sistema de representación grafico (SRG), solo hay tres respuestas exponenciales, dos no lineales y el resto son lineales; lo cual permite inferir que hay dificultades para pasar de un sistema de representación a otro; en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) hay cinco respuestas exponenciales, dos no lineales y el resto lineal. De las cinco respuestas exponenciales hay dos que respondieron en forma lineal en el SRG y luego al verbalizar escribieron que eran exponenciales, manifestando la dificultad que tienen los alumnos para pasar de un sistema de representación a otro, además de que al encontrarse con una nueva situación plantean estrategias que ellos conocen y dominan con las lineales. Y en el sistema de representación algebraico de orden 1 (SRA1) la totalidad de los alumnos formuló adecuadamente la expresión general del modelo.

En la situación 5, todavía se observan alumnos que plantean esquemas lineales en todos los sistemas de representación. En esta situación se distinguen cinco estrategias de resolución diferentes: una lineal, dos parcialmente lineal, quince parcialmente exponenciales y dos exponenciales. Se observa en la mayoría de los alumnos aunque hayan resuelto en un sistema de representación resuelven de manera distinta en otro. Por ejemplo, la mayoría de los alumnos resuelven en forma exponencial en el SRN y en el SRA1 y de forma lineal en el SRG y en el SRVE. Las situaciones 7 y 8 están diseñadas con el propósito de ampliar el modelo exponencial a la forma más general f(x) = bak x

+. . En la situación 7, los alumnos deben construir una tabla de valores a partir de un monto puesto a plazo fijo con una tasa de interés mensual prefijada, y un monto fijo que no se colocó a plazo fijo, además de escribir la expresión general del modelo para cada caso, representar gráficamente e indicar el dominio y la imagen de las funciones obtenidas.

En la situación 8 debían analizar numérica, analítica y gráficamente la funciones obtenidas en la situación anterior, para luego investigar que sucede con la dependencia de las variables a medida que los valores aumentan o disminuyan.

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Situación 7 Situación 7

Un grupo que ha puesto $2440 en un plazo fijo a interés compuesto con una tasa nominal mensual (TNM) del 1,3% recibe al día siguiente de dicha transacción, $800 que ha donado un padre bajo la condición de que el dinero donado no sea colocado a plazo a fijo.

e) Construye una tabla que te permita describir la variación total del dinero para los próximos 6 meses. ¿Cómo modifican los $800 el monto total cada mes?

f) Escribe una expresión que te permita calcular la cantidad de dinero para cualquier mes, considerando también la donación. ¿Cómo sería la expresión si el dinero donado hubiera sido de $1300?

g) Realiza una representación gráfica aproximada de la variación del dinero total del grupo, para cada uno de estos casos. Y para el caso en que no hubiera donación. ¿Qué funciones graficaste?

h) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de cada una de las funciones, que pueden establecerse como modelos de cada situación?

En esta situación sólo un alumno resolvió en forma lineal, once lo hicieron en forma parcialmente exponencial, 6 en forma exponencial y 4 no resolvieron la situación por estar ausentes.

En esta situación se advierte un tipo de resolución, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), que es parcialmente exponencial (alumno A18), y que es representativa de las demás.

A continuación se describe y analiza la resolución del alumno A18.

RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL

El alumno A18 resuelve en forma exponencial en el sistema de representación numérico (SRN) y en el sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1), y en forma lineal en los sistemas de representación grafico (SRG) y verbal escrito (SRVE).

En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas, y utiliza también regla de tres simple para calcular la tarea presentada. También invariantes operatorios referidos al interés compuesto.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A18.

El alumno A18 calcula el interés para el primer mes y se lo suma al monto inicial 2440, para el valor obtenido calcula el interés y se lo suma para obtener el valor siguiente; y de esta forma recursiva obtiene los demás montos finales. (Ver figura 24).

Por ejemplo: para el mes 1 tiene un monto final de 2471,72, calcula el interés para este mes 32,13 y lo suma, obteniendo el monto del mes siguiente que es 2503,85.

80

Figura 24: resolución parcialmente exponencial de A18

En este protocolo se observa que A18 expresa adecuadamente la expresión sumando el monto indicado sin donación y con ella.

No formula adecuadamente la imagen de la función ni el dominio de la función, ya que escribe un extremo del intervalo infinito.

81

En el SRG une los puntos y grafica funciones que parecen lineales y luego en el SRVE dice que efectivamente son funciones lineales (ver figura 25).

Figura 25: resolución parcialmente exponencial de A18

Los teoremas en acto identificados para cada sistema de representación se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).

82

Tabla 10: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente exponenciales

Situación 8 Situación 8

Analiza numérica, analítica y gráficamente las funciones: f1(x) = 1300. 1,013t + 800,

f2(x) = 2440. 1,013t

+ 800 y f3(x) = 2440. 1,013t, definidas de y las

graficadas en la situación anterior. Utiliza para ello los recursos (graficadores, planillas de cálculo) que consideres necesarios.

a) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… grandes?

b) ¿Qué sucede con la función a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… chicos?

SRN SRG SRVE SRA1

T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior.

T.A.G: La representación gráfica parece ser una recta creciente.

T.A.N: La función es lineal porque la representación grafica es una recta.

T.A.A1: El dominio de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema. T.A.A1: La imagen de una función es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable dependiente en el contexto del problema. T.A.A1:La expresión algebraica es: f(x)=

bak x+. , donde x es

la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b

es la asíntota horizontal.

83

En esta situación 2 alumnos resolvieron en forma parcialmente exponencial y 16 totalmente exponencial.

En esta situación se advierten dos tipos de resoluciones, de acuerdo a la categorización realizada por Sureda y Otero (2013), una que es parcialmente exponencial (alumno A17) y otra que es exponencial (alumno A18).

A continuación se muestran y describen las resoluciones de los alumnos A17 y A18, por ser característicos de ese tipo de resoluciones.

RESPUESTA PARCIALMENTE EXPONENCIAL

El alumno A17 resuelve en forma exponencial en dos sistemas de representación: sistema de representación numérico (SRN) y sistema de representación grafico (SRG); y de forma lineal en el sistema de representación verbal escrito (SRVE). En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos a las funciones lineales y a las rectas, como así también al concepto de variación.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A17.

En esta resolución el alumno A17, en el SRN, le da valores a la variable independiente t, reemplaza en la función f1 (t) y obtiene valores cada vez mayores.(ver figura 26).

84

Figura 26: Resolución parcialmente exponencial realizada por el alumno A17

En el sistema de representación gráfico el alumno A17, representa funciones exponenciales para cada una de las funciones dadas. Toma valores puntuales para la variable t y realiza dos representaciones para una misma función f (t), una para valores positivos y otra para valores negativos de la variable t. (Figura 27).

85

Figura 27: resolución parcialmente exponencial de A17

En el sistema de representación verbal escrito el alumno A17 escribe una relación entre las variables que da una idea de variación lineal. (Figura 28).

86

Figura 28: resolución parcialmente exponencial de A5

Los teoremas en acto identificados en esta resolución, se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).

Tabla 11: invariantes operatorios vinculados a las respuestas parcialmente exponenciales

RESOLUCIÓN EXPONENCIAL

El alumno A18 resuelve en forma exponencial en los tres sistemas de representación: sistema de representación numérico (SRN), sistema de representación verbal escrito (SRVE), y en el sistema de representación grafico (SRG). En este tipo de resolución se advierten invariantes operatorios referidos al interés compuesto, como así también al concepto de variación.

A continuación se describe y muestra la resolución del alumno A18

En la resolución que se muestra a continuación, en el SRN, el alumno le da valores a la variable independiente t, reemplaza en la función f1(t) y obtiene valores cada vez mayores, y da una idea de variación entre la variable t y f1(t).

Al darle valores negativos a t, cada vez más grandes f(t) disminuye, y se aproxima a la asíntota (f(x)=800), donde A18 lo expresa en forma verbal escrito (ver figuras 29,30 y 31).

SRG SRVE SRA1

T.A.G: La representación gráfica es una función exponencial.

T.A.N: A medida que la variable independiente t aumenta f(t) aumenta también. T.A.N: A medida que la variable independiente t disminuye f(t) también lo hace. T.A.N: La variación de una cantidad depende de la variación de otra.

T.A.A1: La expresión algebraica es: f(x)= bak x

+. Donde x es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b es la asíntota horizontal.

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Figura 29 : resolución exponencial de A18

88

Figura 30: resolución exponencial de A18

89

Figura 31: resolución exponencial de A18

Los teoremas en acto identificados en esta resolución del alumno A18 se corresponden con los descriptos por Sureda y Otero (2013).

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SRG SRVE SRA1

T.A.G: La representación gráfica es una curva creciente que posee una asíntota

horizontal

T.A.N: La función es exponencial porque la variable está en el exponente ” T.A.N: A medida que la variable independiente t aumenta f(t) aumenta también. T.A.N: A medida que la variable independiente t disminuye f(t) también lo hace. T.A.N: La variación de una cantidad depende de la variación de otra.

T.A.A1: La expresión algebraica es: f(x)= bak x

+. . Donde x es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k es la cantidad inicial y b es la asíntota horizontal. T.A.A1:La expresión algebraica f(x)=b. Donde b es la asíntota horizontal de la función.

Tabla 12: invariantes operatorios vinculados a las respuestas exponenciales

Resultados de las situaciones 7 y 8

En la situación 7, los alumnos debían formular la expresión algebraica que les permitía calcular el dinero puesto a interés compuesto, con una donación que no se colocaba a interés. Casi la totalidad de los alumnos logra formular adecuadamente en el sistema de representación algebraico 1 (SRA1), la expresión algebraica ampliada f(x)= xak. + b, excepto uno que uso esquemas lineales en todos los sistemas de representación. Sin embargo en el sistema de representación gráfico y verbal escrito todas las respuestas fueron lineales o parcialmente lineales. Que la totalidad de los alumnos haya representado rectas permite inferir que no reconocen que la expresión algebraica de la forma f(x)= xak. + b, se corresponde con una representación gráfica curva. Por otra parte que la totalidad de los alumnos resolvió en forma no lineal, permite inferir que cuando los alumnos se enfrentan a una situación desconocida usan estrategias fuertemente arraigados como los lineales. En la situación 8, se quería construir el concepto de asíntota desde el sistema de representación numérico (SRN). Los alumnos debían describir el comportamiento de la variable independiente a medida que la variable dependiente tomaba valores cada vez más grande o más chicos. Al no contar con graficadores u otro medio para representar las funciones, los alumnos armaron tablas de valores dando a la variable independiente valores cada vez mayores, y observaban que le sucedía a la otra variable. Las respuestas más frecuentes fueron las que afirmaban que cuando la variable independiente aumenta, la variable dependiente también, dando una idea de dependencia lineal entre ellas. Sólo dos alumnos respondieron que si la variable independiente disminuye, la variable dependiente también lo hace hasta llegar a aproximarse a f(x) = 800, que era el valor de la asíntota.

91

En los registros analizados en los distintos sistemas de representación, se observa que la conceptualización de la función exponencial es una tarea compleja que necesita de varios años. La forma de mostrar al alumno la construcción del campo conceptual y el lugar central que se le otorga al alumno en la escuela secundaria, colabora con el proceso de enseñanza y aprendizaje en la clase de matemática.

En el capítulo siguiente se presentan las conclusiones finales de esta investigación.

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Capítulo 6

Conclusiones

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Capítulo 6

Conclusiones

Con el propósito de analizar la conceptualización en el aprendizaje de funciones exponenciales este trabajo se apoya en el referencial cognitivo de la Teoría de los Campos Conceptuales. Los objetivos han sido los siguientes:

• Modificar, implementar y evaluar una secuencia de situaciones diseñada por la Dra. Patricia Sureda en el marco de su tesis doctoral realizada bajo la dirección de la Dra. Rita Otero, para la enseñanza de funciones exponenciales en la escuela secundaria.

• Estudiar la conceptualización de los estudiantes relativa al campo de las

funciones exponenciales con la secuencia de situaciones modificada.

• Analizar si los estudiantes transitan por las etapas diseñadas por Sureda y Otero (2012) en la tesis doctoral.

A continuación se presentan las conclusiones vinculadas al análisis de conceptualización para cada una de las preguntas que se han planteado.

1- ¿Qué fases de la conceptualización se reconocen en los estudiantes al

realizar la actividad?

El objetivo de esta pregunta es describir y analizar los procesos que los estudiantes realizan al conceptualizar la función exponencial.

La descripción del proceso de conceptualización se llevo a cabo a partir de las respuestas de los alumnos al resolver las distintas situaciones en los sistemas de representación. Los sistemas de representación (Sureda y Otero ,2013) de esta investigación son los siguientes:

� Sistema de representación numérico (SRN): refiere tanto a las tablas como a los cálculos con números.

� Sistema de representación algebraico de primer orden (SRA1): involucra aquellos procedimientos algebraicos en los que los parámetros están inicializados. Por ejemplo, 35.2 =

x .

� Sistema de representación algebraico de segundo orden (SRA2): refiere únicamente a los procedimientos algebraicos en los que los parámetros no están inicializados. Por ejemplo, cba x

=. .

� Sistema analítico-gráfico (SRG): refiere a la construcción gráfica en ejes cartesianos.

� Sistema verbal escrito (SRVE): son las formas lingüísticas escritas, afirmaciones, conclusiones, etc.

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A partir del estudio de las respuestas de los alumnos en los diferentes sistemas de representación se reconocen cinco etapas que conforman el proceso de conceptualización de la función exponencial. Las cinco etapas son las siguientes:

Etapa Indicador

Lineal Respuesta lineal en todos los sistemas de

representación.

Parcialmente no lineal Respuesta no lineal en por lo menos un sistema de

representación.

No lineal Respuesta no lineal en todos los sistemas de

representación.

Parcialmente exponencial Respuesta exponencial en por lo menos un sistema de

representación.

Exponencial Respuesta exponencial en todos los sistemas de

representación.

Tabla 13: Descripción de las Etapas presentes en la conceptualización de la función exponencial.

En la primera situación, la número dos, la mayoría de los alumnos resolvieron el problema de interés compuesto mediante estrategias lineales en un sistema de representación o en otro. En el sistema de representación numérico (SRN) los alumnos calculan el interés compuesto de cada banco, para el mes elegido multiplicando por la tasa de interés. En el sistema de representación gráfico (SRG) unen los valores obtenidos mediante una recta; y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) explicitan que graficaron funciones lineales. Luego de dialogar con los alumnos sobre la situación y acordar que el crecimiento del dinero no era lineal; y que el aumento de dinero puesto a interés compuesto se calcula sobre el monto del mes anterior y no del original; se pusieron a resolver la situación 3. En la situación tres ya no hay etapas lineales, sólo etapas parcialmente no lineales o no lineales, en un sistema de representación o en otro. En el sistema de representación numérico (SRN) todos los alumnos calculan en interés compuesto de cada banco, multiplicando el valor del mes elegido y sumándolo al valor elegido por la tasa de interés. Logrando así un crecimiento exponencial del dinero. Sin embargo en el sistema de representación gráfico (SRG) los alumnos unen los valores obtenidos mediante una recta o uniendo puntos mediante segmentos no rectos; y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) escriben que graficaron funciones lineales. En las situaciones cuatro y cinco en donde se estudian problemas de aplicación de las funciones exponenciales, sólo hay tres alumnos cuyas etapas son lineales o parcialmente lineales en los diferentes sistemas de representación, y el resto de las resoluciones son parcialmente exponenciales o totalmente exponenciales.

95

En el sistema de representación numérico (SRN), al igual que en el sistema de representación algebraico de orden 1(SRA1) casi la totalidad de los alumnos formuló respuestas exponenciales, en el sistema de representación gráfico dibujaron curvas, y en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) explicitaron que eran funciones no lineales. Este tipo de respuestas apareció por primera vez en estas dos situaciones aunque sin ser estables; ya que en el resto de las situaciones los alumnos no lograban formular respuestas totalmente exponenciales en los diferentes sistemas de representación y volvían a esbozos lineales fuertemente arraigados. En las situaciones siete y ocho todas las etapas eran parcialmente o totalmente exponenciales, excepto una que era totalmente lineal. En esta situación en el sistema de representación numérico (SRN) las acciones de los alumnos fueron guiados por invariantes operatorios relativos al campo exponencial, mientras que en el sistema de representación gráfico (SRG) dibujaron segmentos de rectas, y verbal escrito (SRVE) concluyeron que eran funciones lineales. Esto muestra que la conceptualización de la función exponencial es una tarea compleja que demanda más tiempo de investigación si se pretende que los alumnos expliciten invariantes operatorios relativos al campo exponencial. Las respuestas de los alumnos en una misma situación y dependiendo del sistema de representación estaban guiados por invariantes operatorios diferentes, es decir, a veces esquemas lineales o a veces exponenciales. Esto muestra que cuando el campo conceptual se está construyendo coexisten esquemas contradictorios para el mismo concepto. A continuación en la tabla 14, se clasificaron las respuestas de todos los alumnos que participaron de la investigación según las etapas de la tabla 13.

En la primera columna se ubicaron las situaciones analizadas, en la última el total de alumnos, en las columnas dos a la sexta los niveles descriptos en la tabla 13, y en la anteúltima la cantidad de alumnos ausentes el día que se implementó la situación.

Tabla Tabla 14: Desarrollo de la conceptualización

La tabla muestra el progreso de la conceptualización en cada sistema de representación que va desde los totalmente lineales a los exponenciales.

En las dos primeras situaciones el hecho de que se observen esquemas lineales o parcialmente lineales en la totalidad de los alumnos, sugiere el arraigo de los alumnos por esquemas que ellos conocen y dominan como es el lineal. Recién en la situación cuatro a ocho aparecen la mayoría de los esquemas parcialmente o totalmente exponenciales, que evidencia las dificultades de los alumnos para

S L PNL NL PE E A T 2 9 8 ---------- ---------- ---------- 5 22 3 ---------- 7 15 ---------- ---------- ---------- 22 4 ---------- ---------- ---------- 17 3 2 22 5 1 2 ---------- 15 2 2 22 7 1 ---------- ---------- 11 6 4 22 8 ---------- --------- ---------- 2 16 4 22

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estabilizarse en ese nivel, aún cuando dudaban de alguna respuesta en un sistema de representación, retomaban estrategias no exponenciales en ese sistema de representación.

Resultados relativos a los sistemas de representación

Los alumnos resolvieron la situación dos como si el dinero hubiese estado colocado a interés simple, pues se presentan estrategias lineales en todos los sistemas de representación. Luego de consensuar que el dinero no aumentaba lo mismo cada mes, modificaron sus estrategias en una dirección no lineal y calcularon correctamente en el sistema de representación numérico (SRN) el aumento del dinero. A la vez en el sistema de representación gráfico (SRG) los alumnos resuelven en forma lineal. La mayoría de los alumnos que en el sistema de representación gráfico (SRG) representaron líneas no rectas, en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) las identificaron como funciones lineales. Parecería que el sistema de representación numérico es el que menos dificultades presentan a los alumnos, quizá por tratarse de un sistema de representación más conocido y que ellos dominan fácilmente. Como era de esperar las primeras respuestas a las situaciones se formularon a partir de esquemas lineales. En las resoluciones en los que los alumnos entendieron que el dinero estaba puesto a interés compuesto, en la misma situación utilizan invariantes operatorios lineales en un sistema de representación, y no lineales en otro. En las situaciones dos y tres los alumnos concluyeron que la expresión algebraica que corresponde a colocar el dinero a interés compuesto es

( )niCiCf += 1. , además de acordar que la representación gráfica no era una

función lineal. En las situaciones cuatro y cinco los alumnos presentan estrategias exponenciales o parcialmente exponenciales. Los invariantes operatorios que guían la acción de los estudiantes en los distintos sistemas de representación, son exponenciales. Casi la totalidad de los alumnos formula correctamente la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico 1 (SRA1). Las situaciones no presentaron dificultades en el sistema de representación numérico para los alumnos. Los invariantes operatorios son guiados por teoremas en acto numéricos relativos al interés compuesto. En tanto que en el sistema de representación gráfico (SRG) en el sistema de representación verbal escrito (SRVE) se advierten estrategias exponenciales.

En estas situaciones los alumnos construyeron la expresión algebraica de la función exponencial f(x) = xak. , además de la representación gráfica de la misma.

En las situaciones 7 y 8 los alumnos presentan estrategias exponenciales o parcialmente exponenciales. En el sistema de representación numérico (SRN) y en el sistema de representación algebraico 1 (SRA1) los alumnos no presentan dificultades al estudiar la función f(x) = bak x

+. . En cambio en el sistema de representación gráfico (SRG) la poca cantidad de resoluciones que evidencian la presencia de invariantes operatorios exponenciales parece confirmar que este sistema de representación es complejo para los alumnos.

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En estas situaciones los alumnos construyeron la función exponencial más general f(x) = bak x

+. . 2- ¿Las situaciones estudiadas favorecieron u obstaculizaron la

conceptualización de las funciones exponenciales?

De las trece situaciones que componen la investigación hay seis (situaciones 2, 3, 4, 5, 7, 8) que estaban destinadas a la modelización de la función exponencial, tres destinadas a la generalización (situaciones 6,9 y 9 bis), y dos de síntesis (situaciones 11 y 12).

Las situaciones 2, 3, 4 y 5 colaboraron con la conceptualización de la función exponencial en los distintos sistemas de representación.

Tanto la situación 2, como la situación 3 (tomadas de Sureda 2012, y modificadas), referidas al interés compuesto, permitieron que los alumnos investigaran su fórmula, así como también las distintas tasas de interés que dan los bancos para depositar dinero.

Las situaciones cuatro (diseñada para esta investigación) y cinco (tomada de Sureda 2012) permitieron la construcción de la expresión algebraica asociada al modelo estudiado y colaboraron con los sistemas de representación algebraico, gráfico y numérico.

Las situaciones siete y ocho (tomadas de Sureda 2012, y modificadas) que tienen un gran análisis numérico y gráfico, obstaculizaron la conceptualización, ya que los alumnos no contaban con netbooks para poder realizar un análisis tabular de las situaciones ni tampoco las representaciones gráficas. Sería conveniente reformular estas situaciones que permitan la mejor integración de los distintos sistemas de representación numérico y gráfico.

Las situaciones 6,9 (tomadas de Sureda 2012) y 9 bis (diseñada para esta investigación) estaban destinadas a generalizar y formalizar los conocimientos matemáticos. Estas situaciones permitieron que los alumnos se familiaricen con los libros de texto de matemática y comiencen a introducir la simbología adecuada. Además, permitió que construyan un resumen de los conceptos estudiados, con la colaboración del docente. Estas situaciones colaboraron relativamente con la conceptualización, pues era la primera vez que los alumnos lograban construir y simbolizar un conocimiento matemático. Las situaciones de síntesis 11 y 12 (tomadas de Sureda 2012, y modificadas) colaboraron con la conceptualización de la función exponencial especialmente en los sistemas de representación gráfico (SRG), algebraico de primer orden (SRA1) y verbal escrito (SRVE). En la situación once donde se realizaba un análisis de los parámetros de la función exponencial, los alumnos mediante el uso de la netbooks del docente y reunidos en grupos facilitaron el estudio gráfico de las funciones. La situación doce colaboró en la realización de una síntesis de lo estudiado, poniendo énfasis en las relaciones construidas, en las conclusiones acordadas y en la vinculación de los sistemas de representación.

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3- ¿La implementación de la investigación favoreció la mirada de los

estudiantes sobre enseñanza de la matemática y contribuyó al aprendizaje

de las funciones exponenciales?

Para llevar a cabo esta investigación en la escuela secundaria fue necesario cambiar la pedagogía en la clase de matemática. De esta forma el alumno pasa a ocupar un lugar central en la enseñanza, que le requiere tomar decisiones, asumir la responsabilidad de su propio aprendizaje y hacerse cargo del problema. Los alumnos que estaban acostumbrados a trabajar de forma individual y a recibir del docente la explicación y la ejercitación; ahora debían formar grupos, producir y consensuar una respuesta a la situación planteada. Mientras el docente antes centrado en la trasferencia de conocimiento, ahora debe convertirse en un director del proceso de estudio, pues debe institucionalizar el conocimiento construido por los alumnos.

Al principio de la investigación la forma de gestionar el estudio en la clase genero malestar a los alumnos, ya que ellos necesitaban el aval del docente ante las respuestas que iban construyendo. Sin embargo con el transcurso de las situaciones fueron aceptando que debían hacerse cargo de las respuestas que habían formulado.

A continuación se muestra la opinión de tres alumnos en referencia a lo que sucedió en la clase de matemática.

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Los alumnos resaltan en estos protocolos que les parecieron convenientes realizar las actividades propuestas de manera grupal, además de que la clase se desarrollaba de manera dinámica ya que permitía entender la materia.

En referencia a lo estudiado en esta investigación es posible advertir que el estudio de la conceptualización de la función exponencial es una tarea difícil que lleva varios años construir. Así como otros campos conceptuales propios del área. En cuanto a la gestión de la clase ha contribuido a acercar a los alumnos hacia un sentido más racional de la matemática.

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Capítulo 7

Referencias bibliográficas

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Capítulo 7

Referencias bibliográficas D.G.C. y E. (2011). Diseño Curricular para la Educación Secundaria 5º año: Matemática-Ciclo Superior, D.G.C. y E., Pcia. de Buenos Aires. Ramírez, G., Chavarría, J., Borbón, A. & Alpizar, G. (2010). Análisis de las conceptualizaciones erróneas en conceptos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas: un estudio con estudiantes universitarios de primer ingreso. Actas del sexto CIEMAC. Disponible en: www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/6toCIEMAC/Ponencias/A_Alpizar.pdf

Sureda, P., & Otero, M. R. (2013). Estudio sobre el proceso de conceptualización de la función exponencial. Educación Matemática, 25(2). Sureda, P (2012). “Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela

secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos”. (Tesis de doctorado).Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Tandil. Vergnaud, G. (1983a). Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en Didactique de la

Physique. La Londe les Maures, Francia, 26 de junio a 13 de julio. Vergnaud, G. (1983b). Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.). Acquisition

of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research

Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161. Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des

Mathématiques, 10 (23): 133-170. Vergnaud, G. (1993). Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. p. 1-26. Vergnaud, G. (1994). Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the

learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41-59. Vergnaud, (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. En Revista Perspectivas, Vol. XXVI, Nº 1. Vergnaud, G. (1998). A comprehensive theory of representation for mathematics education. Journal of Mathematical Behavior, 17(2): 167-181. Vergnaud (2007a). Forma operatoria y forma predicativa del conocimiento. Actas

Primer Encuentro Nacional sobre Enseñanza de la Matemática. ISBN 978-950-658-183-1. Tandil.

102

Vergnaud, G (2007b): ¿En qué sentido la Teoría de los Campos Conceptuales puede

ayudarnos para facilitar Aprendizaje Significativo? (In what sense the conceptual fields

theory might help us to facilitate meaningful learning?). Investigações em Ensino de Ciências. V12(2), pp.285-302. Vergnaud, G. (2008): Comunicación personal a la Dra. Rita Otero. Functions, concepts

and schemes. A reply to Rita Otero. February 29. Vergnaud G, (2010): Communicación personal a la Dra. Rita Otero en el seminario « Sujet capable et pouvoir d’agir » Prof. Pierre Rabardel. Université Paris 8, 5 du janvier. Le tableau serait publié par Vergnaud dans le livre Principes de psychologie pour

l’étude des compétences complexes. Vergnaud, G (2013). Pourquoi la théorie des champs conceptuels?. Infancia y Aprendizaje volumen 36.2, 131-161. Villareal, Esteley y Alagia, (2005): As produções matemáticas de estudantes universitários ao

estender modelos lineares a contextos não-lineares. BOLEMA - Boletim de Educação Matemática. Año 18, n. 23, p. 23-40.

Bibliografía Artigue, M. (2004).Problemas y desafíos en educación matemática: ¿Qué nos ofrece hoy la Didáctica de las Matemáticas para afrontarlos? México D.F.: Santillana, vol. 16, pp.5-28. Ferrari, M. (2001). Una visión socio epistemológica. Estudio de la función logaritmo. Tesis de Maestría no publicada, Área de educación superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav. IPN, México. Dominici, J. R. T. (2010). Propuesta didáctica para la enseñanza del tema funciones a través de la utilización de estrategias meta cognitivas y el uso del Derive. Unión: revista iberoamericana de educación matemática, (22), 91-107. Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial. Tesis de Maestría no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav.IPN, México. Disponible en: http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/doctorado/lezama_2003.pdf Rico, L. (2009). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en Educación Matemática APNA, 4 (1), 1-14, España. Rico, L., Castro E. y Romero I. (2000). Sistemas de representación y aprendizaje de estructuras numéricas, Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, España. Zeballos, J, y de Estofán M.R. (2001). Claves matemáticas para interpretar el universo financiero. Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Tucumán. Argentina. Disponible en: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/48/Articulo04.pdf

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