Tesis s2

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN

DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Oleh

SAPRIDA MONTARIA

077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN

DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana

Universitas Sumatera Utara

Oleh

SAPRIDA MONTARIA

077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANAUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009


Judul Tesis : ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAK-PASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

Nama Mahasiswa : Saprida MontariaNomor Pokok : 077021073Program Studi : Matematika

Menyetujui,

Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc)Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Direktur,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 29 Mei 2009


Telah diuji pada

Tanggal 29 Mei 2009

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc

2. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si

3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng


ABSTRAK

Program Linier (PL) merupakan salah satu alat analisis dalam operasi riset danmenajemen.Secara praktis model program selalu didasarkan pada data numerikyang merepresentasikan pendekatan kasar dari kuantitas yang sulit diestimasi.Oleh karena itu, kebanyakan kajian yang berbasis PL mengikutsertakan pemerik-saan post-optimalitas tentang bagaimana perubahan data dapat mengubah penye-lesaian optimal yang telah diperoleh. Banyak para peneliti yang membahas ten-tang analisis sensitivitas dan telah banyak pula paket sofware yang dapat menye-lesaikan PL mencakup hasil analisa yang demikian merupakan bagian dari laporanoutput baku. Analisis sensitivitas mempunyai kelemahan yang bertolak belakangdengan kebijaksanaan konvensional.tesis ini mengajukan model alternatif menga-tasi kelemahan ini.

Kata kunci : Philosofi Model; Programming; Stokhastik

i


ABSTRACT

Linear programming (LP) is one of the great successes to emerge from opera-tions research and management science. It is well developed and widely used.LP problems in practice are often based on numerical data that represent roughapproximations of quantities that are inherently difficult to estimate. Because ofthis, most LP-based studies include a postoptimality investigation of how a changein the data changes the solution. Researchers routinely undertake this type of sen-sitivity analysis (SA), and most commercial packages for solving linear programsinclude the results of such an analysis as part of the standard output report. SAhas shortcoming that run contrary to conventional wisdom. Alternate models ad-dress these shortcomings.

Keywords : Philosophy of modeling; Programming; Stochastic

ii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas anugerahNya dan berkat-

Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini, yang berjudul ”ANALI-

SIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER”.

Tesis Ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Ma-

gister Matematika, Universitas Sumatera Utara.

Dalam menyelesaikan pendidikan di Sekolah Pascasarjana Universitas Su-

matera Utara ini, penulis banyak mendapatkan dukungan dari berbagai pihak,

maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan

yang sebesar-besarnya kepada:

Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan

beasiswa kepada penulis.

Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perku-

liahan Sekolah Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara.

Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp, A(K), selaku Rektor Universitas

Sumatera Utara.

Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana

Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan kesempatan

kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah

Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

iii


Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matema-

tika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai Ketua

Komisi Pembimbing pada penulisan tesis ini dan berkat dorongan dan bantuan

beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika

yang telah memberikan bantuan dan motivasinya selama perkuliahan sehingga

penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, MIKom, selaku Anggota Komisi Pembimb-

ing II yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk sehingga tesis ini dapat

terselesaikan dengan baik.

Prof. Dr. Iryanto, M.Si, selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk ke-

sempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.

Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku pembanding atas saran dan bantuan-

nya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan

berlangsung.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pas-

casarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmu pengetahuan

kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.

Seluruh Staf Administrasi SPs USU dan Ibu Misiani, S.Si yang telah mem-

berikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis.

iv


Seluruh rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan ketiga tahun 2007

Program Educator yang telah bersama selama perkuliahan atas kerjasama, keber-

samaan dan saling pengertiannya selama ini dalam mengatasi berbagai masalah

yang dihadapai selama perkuliahan tanpa mengenal lelah sehingga tugas-tugas

bersama dapat diselesaikan dengan baik.

Drs. H. Paimin, selaku Kepala Sekolah SMA Negeri 19 Medan yang telah mem-

berikan kesempatan dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai

tepat waktu.

Drs. B. Sukatendel selaku Kepala Sekolah SMA Dharma Bakti Medan yang telah

banyak memberikan bantuan serta dorongan kepada penulis.

Penulis menyampaikan terima kasih yang tak terhingga kepada Ayahanda

tercinta (Alm) S. Barus dan Ibunda (Alm) K br. Depari ; mertua f (Alm) T.

Ginting Suka dan R. Br. Sitepu. Abang S. Tarigan dan kakak R br. Barus dan

semua kakak-kakak dan abang-abang penulis atas semua dorongan dan doanya.

Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih kepada suami tercinta

Saturnus Gura Ginting, SE yang telah memberikan motivasi dan doa selama

penulis mengikuti perkuliahan serta dalam penyelesaian tesis ini dan kepada

Ananda tersayang Sansa Desmonius Gura Ginting, semoga dapat bertumbuh dan

berkembang dengan sehat dan sempurna serta diberkati Tuhan dan kelak menjadi

anak yang berguna.

v


Kepada semua pihak yang telah turut membantu penulisan tesis ini baik

langsung maupun tidak langsung yang penulis dapatkan selama ini. Semoga tesis

ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang membutuhkannya.

Medan, Juni 2009

Penulis,

Saprida Montaria

vi


RIWAYAT HIDUP

Saprida Montaria dilahirkan di Selangge-langge pada tanggal 1 Maret 1971 dan

merupakan anak ketujuh dari delapan bersaudara dari Ayah (Alm) S Barus dan

Ibu (Alm) K. Br. Depari. Menamatkan Sekolah Dasar Negeri 060971 Keme-

nangan Tani Medan pada tahun 1983, Sekolah Menengah Pertama pada SMP

Negeri 1 Pancur Batu pada tahun 1986, Sekolah Menengah Atas pada SMA Negeri

Pancur Batu pada tahun 1989. Pada tahun 1989 memasuki Perguruan Tinggi

FMIPA Matematika USU Medan dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 1998.

Pada tahun 2000 mengikuti perkuliahan Akta IV di Unimed Medan. Pada tahun

2006 diangkat sebagai Calon Pegawai Negeri Sipil di SMA Negeri 19 Medan. Pada

tahun 2008 menikah dan dikanurnia seorang putra. Pada tahun 2007 mengikuti

program studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Suma-

tera Utara.

vi


DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Kontribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Program Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Formulasi Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3 Dualitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

vii


3.2.4 Metode Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Analisis Sensitivitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost dan Penentuan Ke-layakan Penambahan Produk Baru . . . . . . . . . . 25

3.3.2 Analisis Sensitivitas: Rentang Perubahan Koefisien FungsiTujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAMPROGRAM LINIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Contoh Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan . . 40

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii


DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota . . . . 28

4.2 Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota . . 33

4.3 Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal 33

4.4 Perbedaan Solusi Optimal dari (P.1), (P.2) dan (P.3) . . . . . 41

4.5 Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada SkenarioPermintaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ix


DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan . . 30

4.2 Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan WaktuInformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari TigaModel Deterministik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Permintaan Diketahui Setelah Akuisisi dan Produksi . . . . . 37

4.5 Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi Se-belum Tingkat Produksi Ditentukan . . . . . . . . . . . . . 39

x


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program Linier (PL) adalah salah satu alat analisis dalam menyelesaikan

problem operasional riset. Para peneliti mengatasi berbagai problema penting

melalui PL. PL telah diterima dan digunakan secara luas karena beberapa alasan:

Pertama, diajarkan di banyak lingkungan pendidikan. Mahasiswa dalam bidang

studi teknik, bisnis dan matematika mempelajari mata kuliah ini sampai tingkat

tertentu. Selain itu, software bermutu tinggi telah tersedia untuk membantu

peneliti dalam melaksanakan penelitian berbasis PL dalam membangun model,

memecahkan masalah dan menganalisis output (Higle dan Wallace, 2003).

Dalam menganalisis output, peneliti menggunakan analisis sensitivitas un-

tuk mengkaji bagaimana perubahan data mungkin mengubah penyelesaian PL,

misalnya bagaimana perubahan biaya produksi atau permintaan bisa mempen-

garuhi jadwal produksi. Karena perencanaan dalam skala yang besar, kerapkali

mengandalkan pada jumlah data yang banyak dan mewakili estimasi yang terbaik,

kemampuan untuk melaksanakan analisis sensitivitas. Dengan demikian, elemen

data yang tidak pasti sering dianalisis menggunakan analisis sensitivitas untuk

menyelesaikan kembali pengaruh ketidakpastian. Penggunaan analisis sensitivi-

tas untuk menghilangkan kekhawatiran tentang ketidakpastian menarik perhatian

pada isu yang jarang muncul pada perkembangan model PL (Winston, 1995).

1


2

Walaupun model PL kerapkali mencakup periode waktu, biasanya periode

tersebut adalah waktu saat keputusan berlaku (misalnya, tingkat produksi di bu-

lan tertentu). Model PL umumnya tidak mencerminkan waktu pada saat keputu-

san diambil. Model PL juga tidak membedakan antara apa yang akan diketahui,

dan apa yang akan tetap pasti saat keputusan tersebut diambil. Ketiadaan pem-

bedaan ini bersumber dari sejarah penggunaan PL yang pada pokoknya untuk

pemecahan masalah deterministik. Akan tetapi, dalam perencanaan ketidakpas-

tian, penting merefleksikan dengan tepat cara keputusan dan informasi. Biasanya,

model PL tidak menawarkan refleksi demikian. Akibatnya, hasil-hasil analisis sen-

sitivitas bisa menyesatkan.

Adapun pengertian analisis sensitivitas merupakan analisa yang berkaitan

dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan da-

pat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu

perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi,

dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Se-

baliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap

solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut. Analisa

yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan

Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan

kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Peruba-

han struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas.

Sementara itu, analisis sensitivitas selain digunakan untuk pengujian/ penge-

cekan, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulangan perhitungan

dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahan pada masalah PL Simplex. Pe-


3

rubahan yang dimaksud misalnya:

a. Perubahan nilai koefisien dalam fungsi tujuan, misalkan karena tuntutan

keadaan keuntungan yang diharapkan dari sepatu karet tidak lagi Rp 300.000,-

tapi menjadi Rp 500.000,-/unit, dst.

b. Perubahan pada kapasitas maksimal mesin, misalkan karena mesin kedua

diperbaiki, diganti oli-nya, dan disetup ulang, maka bila sebelumnya hanya

bisa menyala 15 jam, saat ini mampu menyala hingga 16 jam.

Jika hal tersebut terjadi, fungsi tujuan dan batasan akan berubah, dan apabila

dilakukan perhitungan lagi dari awal tentunya akan memakan waktu yang cukup

lama, disamping risiko kesalahan hitung yang mungkin muncul. Oleh karena itu

analisis sensitivitas diperlukan untuk segera mungkin mendapatkan hasil optimal

yang baru dari perubahan-perubahan tersebut.

Data yang dipergunakan dalam PL di asumsikan tetap, walaupun sebe-

narnya beberapa data adalah berubah-ubah sifatnya. Untuk itu perlu diketahui

seberapa sensitif solusi optimal terhadap perubahan data. Analisis sensitivitas

dilakukan dengan asumsi bahwa semua data yang digunakan adalah tetap kecuali

satu data tertentu. Biasanya kasus yang menarik perhatian adalah:

a. Bagaimana sensitif solusi optimal terhadap perubahan data.

b. Bagaimana sensitif nilai dari fungsi tujuan terhadap perubahan data pada

kendala.


4

1.2 Perumusan Masalah

Namun persoalan PL tidak selesai sampai di sini. Pada kebanyakan kasus

pemodelan matematika, mendapatkan solusi optimal hanyalah merupakan titik

awal. Karena suatu model adalah suatu abstraksi dari situasi dunia nyata, ten-

tunya masih banyak hal-hal yang perlu dianalisis. Sebagai contoh, dalam suatu

pemodelan disadari adanya ketidakpastian dari beberapa data yang digunakan.

Namun di dalam model PL diasumsikan datanya pasti. Sehingga perlu diketahui

bagaimana sensitipnya solusi optimal terhadap perubahan data. Akankah nilai

dari fungsi tujuan berubah secara drastis atau kurang atau lebih tetap sama? Un-

tuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dilakukan analisis pasca optimal yang

juga disebut sebagai analisis sensitivitas.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk melihat sensitipnya so-

lusi optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca opti-

mal/analisis sensitivitas, sehingga fungsi tujuan tidak berubah secara drastis atau

kurang lebih tetap sama.

1.4 Kontribusi

Adapun kontribusi dalam penelitian ini adalah dapat membantu peneliti

atau pembuat keputusan untuk melihat sensitivnya solusi optimal terhadap pe-

rubahan data dengan melakukan analisis pasca optimal/analisis sensitivitas.


5

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan in-

formasi dari referensi beberapa buku dan jurnal. Adapun langkah-langkah yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Menjelaskan tentang program stokastik

b. Menjelaskan tentang program linier

c. Selanjutnya menjelaskan analisis sensitivitas dengan ketidakpastian data

dalam program linier

d. Memberikan satu contoh kasus dan penyelesaiannya

e. Dan pengambilan kesimpulan.


BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Wang (2008) menguji ketidakpastian diasosiasikan dengan pembangunan

ulang simulasi transportasi untuk studi epidemiologi di Amerika. Untuk mem-

bangun analisis ketidakpastian yang efesien, analisis sensitivitas diperkenalkan

untuk mengidentifikasi variabel kritis yang tidak pasti dan diadopsi dalam anali-

sis ketidakpastian menggunakan Simulasi Monte Carlo yang dikembangkan.

Eriksson (2007) menyatakan bahwa metode untuk analisis sensitivitas dan

analisis ketidakpastian tidak dapat diharapkan untuk menjadi persis sama untuk

semua model. Ditentukan analisis sensitivitas yang cocok dan metode analisis

ketidakpastian untuk model emisi lalu lintas jalan, metode yang juga dapat dite-

rapkan untuk model lain yang memiliki struktur serupa. Diperiksa bagian sumber

emisi dan menyarankan model yang ampuh menghasilkan alat-data. Dengan data

yang dihasilkan, dapat diperiksa properti di model, dan menyarankan metode

analisis sensitivitas dan ketidakpastian dan mendiskusikan properti metode ini.

Direpresentasikan hasil dari aplikasi metode untuk data yang dihasilkan.

Higle (2005) menyatakan bahwa Program Stokastik (PS) merupakan pen-

dekatan untuk model keputusan skala besar berdasarkan ketidakpastian. Dalam

makalah ini, diperkenalkan model program stokastik dan metodologi pada tingkat

yang dimaksudkan untuk dapat diakses lebar.

Higle dan Wallace (2003) menyatakan bahwa Program Linier (PL) adalah

salah satu alat analisis dalam menyelesaikan problema operasional riset. Para

6


7

peneliti mengalamatkan berbagai problema penting melalui PL. Problema PL se-

cara praktek didasarkan pada data numerik yang direpresentasikan melalui perki-

raan jumlah yang sulit untuk diestimasi. Oleh sebab itu PL menggunakan analisis

pasca optimal yang juga disebut sebagai analisis sensitivitas.

Wallace (1998) menyatakan bahwa analisis sensitivitas, dikombinasikan de-

ngan parametris optimasi, sering disajikan sebagai cara untuk memeriksa jika

solusi program linier deterministik dapat diandalkan bahkan jika beberapa pa-

rameter tidak sepenuhnya diketahui tetapi diganti dengan dugaan yang terbaik,

sering disebut rata-rata sampel. Merupakan kebiasaan untuk mengklaim jika

lebih dari wilayah tertentu yang merupakan dasar yang optimal adalah besar,

satu cukup aman dengan menggunakan solusi dari PL. Jika tidak, yang anali-

sis parametris akan memberikan alternatif solusi yang dapat diuji. Dengan cara

ini, analisis sensitivitas digunakan untuk memudahkan pengambilan keputusan

berdasarkan ketidakpastian dengan rata-rata alat deterministik, disebut program

linier parametris. Ide dasar dari stabilitas dengan sedikit optimalitas dari masalah

optimisasi dimana parameter tidak pasti.

Analisis sensitivitas telah diaplikasikan untuk mengidentifikasi titik kontrol

yang kritis, input parameter yang penting validitas model simulasi (Frey dan Patil,

2002). Pada jangkaun pengertiannya, analisis sensitivitas berada pada lokal dan

global. Objektif analisis sensitivitas lokal digunakan untuk menganalisis sistem

respon disekitar titik yang dipilih. Sedangkan objektif analisis sensitivitas global

digunakan untuk menemukan semua titik kritis sistem (Ionescu-Bujor dan Cacuci,

2004).


8

Terdapat beberapa metode analisis sensitivitas yang terkenal yang dapat

diaplikasikan pada problema teknik, diantaranya adalah metode Brute-Force dan

prosedur adjoin analisis sensitivitas. Berdasarkan kasus yang berbeda, ketidak-

pastian dapat diletakkan pada dua kategori yaitu stokastik yang tak pasti dan

subjek yang tak pasti. Stokastik yang tak pasti disebut juga intrinsik yang tak

pasti yaitu properti dari sistem yang disebabkan oleh pola tingkah laku sistem

yang beraneka ragam, sedangkan subjek yang tak pasti (informasi yang tak pasti)

disebabkan oleh ketidakmampuan untuk menyediakan input data yang tepat (Hel-

ton dan Davis, 2002; Ionescu Bujor dan Cacuci, 2004).

Banyak metode analisis ketidakpastian yang berhubungan dengan fungsi

kepadatan peluang dan atau momen statistika dapat diturunkan secara analitik

berdasarkan propertis statistika dari input parameter dan hubungan antara in-

put dan output parameter. Sayangnya, aplikasi metode analitik mengedepankan

masalah dunia nyata karena tingkat kebutuhan seperti hubungan fungsional yang

sederhana dan kebebasan variabel stokastik (Tung dan Yen, 2005). Pada umum-

nya dua metode secara luas diaplikasikan untuk menaksir ketidakpastian yaitu

simulasi monte carlo dan metode momen pertama dan kedua.


BAB 3

LANDASAN TEORI

3.1 Program Stokastik

Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan

program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum.

Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh

sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan

oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala

adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan

data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.

Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, . . . , xn). Sebagai con-

toh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program mate-

matikanya adalah:

min f(x1, x2, x3, . . . , xn)

kendala g1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

g2(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

...

gm(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

x1, x2, x3, . . . , xn ∈ X

(3.1)

dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.

Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program ma-

tematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi de-

9


10

ngan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan

bahwa:

a. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-

bilangan yang diketahui (tertentu).

b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak

diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengan-

dung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matema-

tika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung

ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada pa-

rameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prak-

teknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik

dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digam-

barkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan

nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu:

1. Recourse Models (Model Rekursif)

2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)

Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah kepu-

tusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan)

sebagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model Re-

course. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah


11

sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi dari x.

Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin

dari w. Formulasi dua tahapnya adalah

min f1(x) + nilai harapan [f2(y(w), w)]

kendala g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0

h1(x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W

...

hk(x, y(w)) ≤ 0, untuk setiapw ∈ W

x ∈ X, y(w) ∈ Y

(3.2)

Himpunan kendala h1, h2, . . . , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan

tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Di catat bahwa dipersyaratkan

(diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap

w ∈ W yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari

persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-

ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang

terbaik.

Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan

tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa keti-

dakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan kepu-

tusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk me-

minimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.

Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk

mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin

oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model


12

umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained

models yang dirumuskan sebagai berikut:

min f(x1, x2, x3, . . . , xn)

kendala Pr[g1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

gm(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0 ≥ α

h1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

h2(x1, x2, x3, . . . , xn) ≤ 0

x1, x2, x3, . . . , xn ∈ X

(3.3)

3.2 Program Linier

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti

memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan

dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan de-

ngan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik

yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier

Adapun karakteristik Pemograman Linier adalah sebagai berikut (Siringo-

ringo, 2005):

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan bebe-

rapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik

(diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas di-


13

tunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepas-

tian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tu-

juan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level

nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jum-

lah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika

pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak

dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang

diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang

diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian

silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun

pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan pe-

nambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi

kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan

masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merep-

resentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah

satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang

sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.

Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang

level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa kons-

tanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu

nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.


14

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi.

Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier

diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

3.2.2 Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan

mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas.

Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sum-

ber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau

aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang

dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam

formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi

anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan

dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan

optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konven-

sional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik

yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan

ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tu-

juan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model

matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama me-

modelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk


15

persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan so-

lusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu.

Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan.

Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya

akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sum-

ber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau

pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain.

Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas

maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika

mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan

secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adalah model matematik

menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat

struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu meng-

ungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang

berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan

semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik memben-

tuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi

untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karak-

teristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik.

Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyele-

saiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.


16

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn

Sumber daya yang membatasi:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = / ≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = / ≤ / ≥ b2

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = / ≤ / ≥ bm

x1, x2, · · · , xn ≥ 0

Simbol x1, x2, . . . , xn menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang

dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1, c2, . . . , cn merupakan kontribusi

masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi

tujuan pada model matematiknya. Simbol a11, . . . , a1n, . . . , amn merupakan peng-

gunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau

disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol

b1, b2, . . . , bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah

fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, . . . , xn ≥ 0) menunjukkan batasan non

negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya me-

nuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggu-

nakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang

penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya.


17

Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk mak-

simisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan peker-

jaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain.

Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan

koefisien pada fungsi pembatas.

Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, de-

ngan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan.

Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan

laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala

(contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan

lain-lain), menggunakan model matematika linier.

Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk

kanonik:

max imize cTx

subject to Ax ≤ b

where x ≥ 0

x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah

koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut

fungsi objektif (cT x). Persamaan Ax ≤ b adalah fungsi kendala yang khususnya

polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.

Program linier dapat diaplikasikan utnuk bermacam-macam field. Lebih

diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi da-

pat juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri meng-

gunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan


18

manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jad-

wal, tugas dan desain.

Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah elim-

inasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang

dibangun selama Perang dunia Ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pen-

dapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari

musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. setelah perang berakhir

banyak industri menemukan dan menggunkannya dalam perencanaan mereka.

Penemu dari program linier adalah George B. Dantzig yang memperkenalkan

metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas

dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama

pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel

tahun 1975 dalam bidang ekonomi. Problema program linier pertama kali da-

pat dipecahkan pada polynomial oleh Leonid Khachiyan pada tahun 1979 tetapi

teori dan praktis yang paling luas pada field muncul tahun 1984 ketika Narendra

Karmarkar memperkenalkan metode titik interior yang baru untuk menyelesaikan

problema program linier.

Contoh Dantzig dalam menemukan tugas terbaik dari 70 orang pada 70

pekerjaan menunjukkan kegunaan dari program linier. Kekuatan perhitung meng-

haruskan pengujian semua permutasi untuk memilih tugas yang terbaik; jumlah

konfigurasi yang mungkin melebihi jumlah partikel diseluruh bidang; kemudian

menemukan solusi optimum dengan mengajukan problem ini dan pengaplikasian

algoritma simplex.


19

Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan

paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti

aliran jaringan (network flow) dan aliran multicomodity dianggap cukup pent-

ing untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Ter-

dapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian pro-

gram linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, convexity dan generalisas-

inya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam mi-

croekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau me-

minimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen persediaan,

portfolio, manajemen keuangan, sumberdaya manusia, dan merencanakan iklan

perusahaan.

3.2.3 Dualitas

Setiap program linier disukai sebagai problema primial, dapat dikonversi ke

dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema

primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut:

maximize cT x

subject to Ax ≤ b, x ≥ 0

problema dual yang tepat adalah:

minimize bTx

subject to ATy ≥ c, y ≥ 0

dimana y digunakan sebagai pengganti variabel vektor.

Terdapat dua ide mendasar untuk teori dualitas. Salah satunya adalah dual

dari program linier dual semula adalah program linier primal. Penambahannya


20

adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai

optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai

fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai

fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat

pada saat primal mempunyai solusi optimal x∗ maka dual juga mempunyai solusi

optimal y∗ sehingga

cTx∗ − bTy∗

Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas

mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian

juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga

untuk keduanya dual dan primal tidak layak.

3.2.4 Metode Simplex

Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak maka penyele-

saian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi

tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi

yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Al-

goritma Simplex yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program

linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dua variabel.

Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simplex ini melalui

perhitungan ulang (iteration) dimana langkah langkah perhitungan yang sama di-

ulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.


21

Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan

bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode sim-

plex didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut

sebagai solusi awal).

2. Bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan,

pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (me-

ningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi).

Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simplex dengan sendirinya

akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik.

3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak

dapat ditemukan. Proses simplex kemudian berhenti dan solusi optimum

diperoleh.

Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memu-

dahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algo-

ritma simplex adalah:

1. Berdasar pada bentuk baku, tentukan solusi awal, dengan menetapkan (n-

m) variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m

banyaknya kendala.

2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel non-

basis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan.


22

Jika tak ada, berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak dilanjutkan

ke langkah 1.

3. Pilih sebuah leaving variabel diantara yang sedang menjadi variabel basis

yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variabel

menjadi variabel basis.

4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variabel dan leaving

variabel menjadi nonbasis. Kembali ke langkah 2.

3.3 Analisis Sensitivitas

Seorang analis jarang dapat menentukan parameter model Program Linier

seperti (m,n,Cj, aij, bi) dengan pasti karena nilai parameter ini adalah fungsi

dari beberapa uncontrolable variable. Sementara itu solusi optimal model Pro-

gram Linier didasarkan pada parameter tersebut. Akibatnya analis perlu menga-

mati pengaruh perubahan parameter tersebut terhadap solusi optimal. Analisa

perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut

analisis pasca optimal. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini

terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai

parameter yang digunakan dalam model atau analisis pasca optimal (disebut juga

analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam

suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari

peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu

atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan

pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.


23

Dapat diketahui bahwa dunia nyata yang diabstraksikan dan disimplifikasi-

kan ke dalam model PL, tidak sederhana seperti rumusan PL sederhana tersebut.

Oleh karena itu dalam dunia pengelolaan dan kehidupan dunia nyata, selalu di-

hadapkan pada pertanyaanpertanyaan keragu-raguaan seperti apa yang akan ter-

jadi, jika ini dan itu berubah? Persoalan peluang dan ketidakpastiaan pertanyaan-

pertanyaan tersebut harus dapat dijawab dalam rangka meyakinkan pendirian

terhadap sesuatu yang akan diputuskan kelak. Dengan demikian hasil yang diha-

rapkan tersebut adalah hasil yang memang paling mungkin dan paling mendekati,

atau perkiraan yang paling tepat. Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut

saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap

persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan

erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Anali-

sis Parametrisasi.

Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya

dipelajari melalui analisis pasca optimal dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok

umum, yaitu:

1. Analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk meli-

hat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai

kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisis Sensitivitas. Jika suatu

perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam

solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parame-

ter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh

besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai para-

meter tersebut.


24

2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul

bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan

atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi

model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa

sensitivitas.

3. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menen-

tukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah

lebih jauh, ini dinamakan program Parametric.

Diketahui Model Matematika Persoalan Program Linier adalah sebagai berikut:

Menentukan nilai dari X1,X2, . . . ,Xn sedemikian rupa sehingga:

Z = C1X1 + C2X2 + · · · + CjXj + · · · + CnXn =n∑

j=1

CjXj

(Optimal [maksimum/minimum])

Yang kemudian disebut sebagai Fungsi Tujuan (Objective Function)

dengan pembatasan (Funsi Kendala/Syarat Ikatan) :

a11X1 + a12X2 + · · · + a1nXn ≤ atau ≥ b1

a21X1 + a22X2 + · · · + a2nXn ≤ atau ≥ b2

...

am1X1 + am2X2 + · · · + amnXn ≤ atau ≥ bm

ataun∑

j=1

aijXj ≤ atau ≥ untuk bi untuk i = 1, 2, . . . , n dan X1 ≥ 0,X2 ≥

0, ...,Xn ≥ 0atauXj ≥ 0, dimana j = 1, 2, . . . , n (syarat non-negatif).

Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier di atas analisis

sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter:


25

a. Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),

b. Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien inpu-output),

c. Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala) (bi),

d. Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m),

e. Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj) (pe-

rubahan nilai n).

Analisis sensitivitas berkaitan dengan perubahan koefisien fungsi tujuan ter-

hadap solusi optimal. Analisis ini terbagi dua yaitu pertama reduced cost dan

kelayakan penambahan produk baru, yang kedua menjelaskan tentang perubahan

koefisien fungsi tujuan agar solusi masih tetap optimal.

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost dan Penentuan KelayakanPenambahan Produk Baru

Reduced cost adalah besarnya perubahan nilai optimal fungsi tujuan jika

produk yang mestinya tidak diproduksi (T ) tetap diproduksi. Variabel yang tidak

berada pada kolom product mix pada tabel optimal, disebut non-basic variabel.

Dengan demikian, T merupakan non-basic variable.

Reduce cost adalah perubahan dalam nilai optimal fungsi tujuan karena pe-

nambahan 1 unit non-basic variabel. Reduced cost ini dapat dilihat pada baris

Cj − Zj kolom non-basic variabel. Dalam memutuskan apakah akan menambah

produk baru ataukah tidak, perusahaan harus mempertimbangkan faktor biaya

dan keuntungan dari adanya penambahan produk baru tersebut. Jika keuntungan


26

> biaya, sebaiknnya rencana penambahan produk baru diteruskan, dan apabila

keuntungan < biaya sebaiknya dibatalkan.

Untuk penentuan kelayakan penambahan produk baru, jika perusahaan me-

rencanakan untuk meluncurkan produk baru yang diproses dengan menggunakan

mesin yang sudah ada, apakah produk tersebut layak untuk diproduksi? Untuk

menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengevaluasi kelayakan produk tersebut de-

ngan mempertimbangkan cost and benefit dengan adanya penambahan produk

baru tersebut. Apabila benefit lebih besar daripada cost yang dikeluarkan, maka

produk layak untuk diproduksi. Demikian jika terjadi sebaliknya, maka produk

baru tidak diproduksi.

3.3.2 Analisis Sensitivitas: Rentang Perubahan Koefisien Fungsi Tu-juan

Koefisien fungsi tujuan mungkin saja berubah terlebih untuk kasus mak-

simisasi profit, dimana koefisien fungsi tujuan mencerminkan besarnya keuntungan

per unit produk. Sehingga jika terjadi kenaikan biaya, sementara tingkat harga

tetap akan mengakibatkan keuntungan per unit turun. Dengan kata lain, koefisien

fungsi tujuan turun. Sebaliknya apabila terjadi kenaikan harga, sementara biaya

tetap, maka akan mengakibatkan keuntungan per unit naik. Ini berarti koefisien

fungsi tujuan naik.

Dalam analisis sensitivitas, perlakuan antara basic variabel dan non basic

variabel berbeda. Untuk non-basic variabel batas maksimum yang diperkenankan

agar solusi masih tetap optimal tercermin pada baris Zj kolom non-basic variabel

pada tabel optimal.


27

Sedangkan untuk mengetahui rentang perubahan koefisien fungsi tujuan un-

tuk basic variabel kita bagi angka-angka pada baris Cj − Zj dengan angka-angka

pada baris basic variabel yang sedang kita analisa. Hasil bagi positif terkecil

menunjukkankan besarnya keuntungan per unit yang boleh dinaikkan dan hasil

bagi negatif terkecil menunjukkan besarnya keuntungan per unit yang boleh di-

turunkan tanpa merubah solusi optimal.


BAB 4

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAMPROGRAM LINIER

4.1 Contoh Data

Contoh berikut mengacu pada Winston (1995) sebagai berikut:

Perusahaan furniture Dakota memproduksi meja tulis, meja dan kursi. Meja

tulis dijual dengan harga $60, meja dijual dengan harga $40 dan kursi dijual se-

harga $10. Produksi masing-masing jenis perabotan membutuhkan kayu dan dua

jenis tenaga kerja ahli yaitu pekerja kayu dan pekerja akhir (Tabel 4.1) sebagai

berikut:

Tabel 4.1 Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota

Dapat ditentukan berapa jumlah masing-masing barang yang diproduksi

dengan sejumlah cara. Metode yang paling mudah adalah analisis laba per-item.

Meja tulis diproduksi dengan biaya $42,40 dan dijual seharga $60, untuk laba

bersih $17,60. Meja diproduksi dengan biaya $27,80 dan dijual seharga $40, untuk

laba bersih $12,20, sehingga meja tulis dan meja yang menguntungkan. Tanpa

adanya kehadiran kendala untuk ketersediaan sumberdaya supaya memaksimalkan

28


29

laba Dakota harus memproduksi item ini sebanyak yang bisa dijual (150 meja tulis

dan 125 kursi). Dilain pihak, kursi diproduksi dengan biaya $10,60 dan dijual

seharga $10,00, untuk laba bersih $0,60. Berdasarkan informasi yang diberikan,

untuk memaksimalkan laba Dakota harus berhenti memproduksi kursi.

Untuk memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, Dakota membutuhkan:

a. 1.950 kaki papan kayu,

b. 487,5 jam tenaga kerja untuk pekerja kayu,

c. 850 jam tenaga kerja untuk pekerja akhir, dan diantisipasi laba $4.165 dari

penjualan 150 meja tulis dan 125 meja.

Pada tahap ini, harus ditinjau metode analisis. Dalam kenyataannya Dakota

harus mengatasi tiga isu yaitu:

a. Berapa banyak masing-masing sumberdaya yang dibutuhkan?

b. Berapa banyak masing-masing item diproduksi?

c. Berapa banyak masing-masing item dijual?

Model dibalik analisis ini tidak mempertimbangkan isu-isu ini secara ter-

pisah. Diberikan data dalam Tabel 4.1, ditarik korespondensi antara ketiga isu

ini dan memastikan bahwa hanya diproduksi item yang bisa dijual dan hanya

dibutuhkan sumberdaya untuk memproduksinya (Gambar 4.1) sebagai berikut:


30

Gambar 4.1 Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan

Model dan analisis mengeksploitasi kelebihan-kelebihan struktural yang me-

manfaatkan data deterministik dan menghindari kesalahan. Dalam kenyataannya,

keputusan-keputusan terjadi secara berangkai seiring waktu.

yd = jumlah meja tulis yang diproduksi

yt = jumlah meja yang diproduksi

yc = jumlah kursi yang diproduksi

xl = jumlah kaki papan kayu

xf = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja akhir

xc = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja kayu

sd = jumlah meja tulis yang dijual

st = jumlah meja yang dijual

sc = jumlah kursi yang dijual

Dengan variabel-variabel, bisa dirumuskan persoalan Dakota dengan PL

berikut:


31

Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf + 60sd + 40st+10sc

Kendala − xl + 8yd + 6yt + yc ≤ 0,

−xc + 2yd + 1.5yt + 0.5yc ≤ 0,

−xf + 4yd + 2yt + 1.5yc ≤ 0,

sd ≤ 150,

sd − yd ≤ 0,

st ≤ 125,

st − yt ≤ 0,

sc ≤ 300,

sc − yc ≤ 0,

xl, xf , xc, yd, yt, yc, sd, st, sc ≥ 0

(P.0)

Jika dalam Tabel 4.1 berubah, maka struktur model tetap sama. Sebagai

contoh, jika Dakota menaikkan harga jual kursi dari $10 menjadi $11, disini hanya

perlu mengubah koefisien yang bersesuaian dalam fungsi tujuan. Pengamatan

ini mendorong penyelidikan tentang penyesuaian yang diketahui sebagai analisis

sensitivitas. Dengan mengetahui bahwa struktur masalah tidak berubah, dapat

diselidiki bagaimana perubahan dalam masing-masing data yang dapat mengubah

penyelesaian optimal. Jika tidak ada perubahan lain dalam kenaikan harga kursi

dari $10 menjadi $11, tentu saja memproduksi kursi menjadi menguntungkan,

dan sifat penyelesaian berubah secara berarti. Di lain pihak, jika harga kursi

tetap $10, dan permintaan akan kursi turun dari 300 menjadi 200, tidak akan ada

dampaknya pada penyelesaian, dan Dakota akan tetap tidak memproduksi kursi.


32

Peneliti menggunakan analisis sensitivitas untuk mengkaji kekuatan penye-

lesaian untuk model PL. Yaitu, jika dikhawatirkan akurasi data, maka dilakukan

analisis sensitivitas untuk mengetahui bagaimana penyelesaian bisa berubah jika

data berbeda. Perubahan dalam penyelesaian atau strukturnya akan mengindikasikan

perlunya penyelidikan lebih lanjut. Bila tidak ada yang berubah, dianggap penye-

lesaian yang diajukan tepat untuk mengambil keputusan. Akan tetapi, rasa

aman yang didapatkan dari analisis sensitivitas tidak mempunyai dasar yang je-

las. Sekalipun penyelesaian dan strukturnya tampak stabil, namun penyelesaian

yang diajukan mungkin tidak tepat dalam menghadapi ketidakpastian.

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL

Permintaan akan produk bisa tidak pasti, tetapi nilai rendah yang paling

mungkin, dan nilai tinggi mungkin ada tersedia. Diasumsikan bahwa nilai rendah

permintaan akan meja tulis, meja dan kursi (50, 20 dan 200) terjadi dengan

probabilitas p1 = 0, 3, nilai paling mungkin (150, 110 dan 225) terjadi dengan

probabilitas pm = 0, 4, dan nilai tinggi (250, 250 dan 500) akan terjadi dengan

probabilitas ph = 0, 3. Skenario permintaan yang mungkin dan probabilitas yang

bersesuaian membentuk distribusi yang dapat digunakan untuk memperkirakan

permintaan masa mendatang. Skenario permintaan yang dipresentasikan dalam

Tabel 4.1 adalah perkiraan nilai yag terkait dengan distribusi dalam Tabel 4.2

sebagai berikut:


33

Tabel 4.2 Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota

Analisis sensitivitas atas penyelesaian untuk (P.0) menunjukkan bahwa penye-

lesaian dengan memproduksi meja tulis dan meja sebanyak yang bisa dijual, tetapi

tidak memproduksi kursi akan tetap sah untuk setiap himpunan permintaan (non-

negatif). Tabel 4.3 memperlihatkan respon optimal terhadap masing-masing ske-

nario permintaan, sebagai berikut:

Tabel 4.3 Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal

Pada semua kasus, hanya diproduksi meja tulis dan meja, bukan kursi. Dibu-

tuhkan sumberdaya untuk memenuhi jadwal produksi. Kauntitas produksi dan

sumberdaya dalam kolom perkiraan nilai adalah perkiraan nilai kuantitas yang

bersesuaian dalam kolom-kolom lainnya. (Ini merupakan sifat kesederhanaan, se-

bagai contoh: pada umumnya perkiraan nilai data tidak bersesuaian dengan perki-


34

raan nilai penyelesaian). Dengan stabilitas struktur penyelesaian dan hubungan

antara berbagai penyelesaian, dapat dianggap bahwa penyelesaian dengan perki-

raan permintaan adalah jawaban yang tepat untuk masalah Dakota.

Akan tetapi, jika Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, untuk

memenuhi penyelesaian permintaan rata-rata, perusahaan ini mempunyai 30%

kesempatan memproduksi terlalu banyak meja tulis dan 70% kesempatan mem-

produksi terlalu banyak meja. Jika perusahaan ini memproduksi 150 meja tulis

dan 125 meja dan skenario permintaan rendah (50 meja tulis dan 20 kursi) terjadi,

laba Dakota akan jauh lebih rendah daripada $4.165. Biaya untuk sumberdaya

pada level ini adalah $9.835. Dengan menjual 50 meja tulis dan 20 kursi akan

menghasilkan pendapatan yang hanya $3.800 untuk kerugian bersih $6.035. Jika

Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja dan mengalami permintaan

paling mungkin, maka laba bersihnya akan mencapai $3.565. Walaupun tidak

rugi, nilai ini berada di bawah laba yang diproyeksikan $4.165 yang diajukan

penyelesaian PL awal.

Jika perusahaan mendasarkan produksinya pada data yang tidak pasti, se-

berapa besarkah kesalahan potensial yang dihadapi? Analisis sensitivitas di-

maksud dapat menjawab. Dalam kenyataannya, kebingungan perspektif bekerja.

Model PL memasukkan semacam visi yaitu untuk data tertentu, hal ini menya-

takan apa yang harus dilakukan. Analisis kesalahan membutuhkan pandangan

yang lebih luas, perbandingan cara dengan output mana yang terkait dalam satu

kumpulan data akan tampil jika dihadapkan dengan sesuatu yang berbeda. Ana-

lisis sensitivitas tidak mengatasi isu ini.


35

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian

Bila dihadapkan dengan ketidakpastian dalam permintaan akan produk,

dibutuhkan pendekatan yang lebih cermat terhadap pengembangan model. Dalam

kasus ini, perlu ditangkap hubungan antara waktu saat mengambil keputusan

dengan waktu saat mengetahui permintaan. Sehingga dapat disesuaikan kepu-

tusan yang diambil setelah permintaan diketahui dengan skenario permintaan

spesifik, sesuatu yang tidak bisa dilakukan untuk keputusan sebelum mengetahui

permintaan. Untuk menyediakan forum yang tepat dalam menilai perimbangan

antara berbagai alternatif, dibutuhkan model yang menangkap fleksibilitas yang

diupayakan. Logikanya ada tiga ketepatan waktu informasi yang mungkin perlu

diperhatikan. (Gambar 4.2) berikut:

Gambar 4.2 Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan Waktu Infor-masi

Sehingga akan ditentukan titik selama rangkaian keputusan permintaan dike-

tahui. Dimungkinkan memperoleh informasi lengkap tentang permintaan sebelum

mengambil keputusan. Pada ekstrim lainnya, dimungkinkan tidak mengetahui

permintaan sampai setelah diperoleh sumberdaya dan produksi barang. Per-

mintaan menentukan kuantitas penjualan aktual dan akibatnya menentukan pen-

dapatan. Kemungkinannya adalah diperoleh sumberdaya walaupun tidak menge-


36

tahui permintaan dengan pasti, tetapi ditetapkan jadwal produksi hanya setelah

diketahui permintaan dengan demikian harus disesuaikan produksi dengan per-

mintaan tersebut.

Kemungkinan-kemungkinan ini menghasilkan tiga jenis model yang berbeda.

Pada kasus pertama, diketahui permintaan sejak awal dan bisa mendasarkan kepu-

tusan tentang mendapatkan sumberdaya, produksi dan penjualan pada apakah

permintaan rendah, paling mungkin atau tinggi (Gambar 4.3) sebagai berikut:

Gambar 4.3 Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari Tiga ModelDeterministik

Jika permintaan diketahui sejak awal, keputusan tidak terpapar pada keti-

dakpastian, dan tidak membutuhkan evaluasi skenario silang. Karena seluruh

ketidakpastian diselesaikan sebelum diambil keputusan, disesuaikan setiap kepu-

tusan dengan skenario spesifik yang terealisasikan dan masalah jatuh ke dalam

koleksi masalah-masalah deterministik, hanya asal yang tetap tidak pasti. Untuk

merumuskan persoalan ini, dibutuhkan tiga himpunan variabel terpisah, satu un-

tuk masing-masing skenario permintaan yang mungkin (rendah, paling mungkin,

tinggi). Model PL untuk masalah ini akan dapat dipisahkan menurut skenario.

Bekerja dari (P.0) dan dengan memisalkan Dds menyatakan permintaan akan meja

tulis dengan skenario s (dengan Dts dan Dcs didefinisikan dengan cara serupa),


37

diperoleh:

Maksimum∑

{s∈{l,m,h}}

(−2xls − 5.2xcs − 4xfs + 60sts + 10scs)ps

Kendala − xls + 8yds + 6yts + ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

−xcs + 2yds + 1.5yts + 0.5ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

−xfs + 4yds + 2yts + 1.5ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

sds ≤ Dds, s ∈ {l,m, h}

sds − yds ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

sts ≤ Dts, s ∈ {l,m, h}

sts − yts ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

scs ≤ Dcs, s ∈ {l,m, h}

scs − ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

xls, xfs, xcs, yds, yts, ycs, sds, sts, scs ≥ 0, s ∈ {l,m, h}

(P.1)

Seperti yang telah diinddikasikan, (P.1) dapat dipisahkan menurut skenario.

Dapat dipertimbangkan masing-masing skenario permintaan secara terpisah, dan

bisa diperoleh penyelesaian spesifik skenario secara terpisah. Hanya dalam menghi-

tung nilai fungsi tujuan yang digabungkan. Pada ekstrim lainnya, ditentukan

akuisisi maupun produksi sebelum diketahui permintaan (2 dalam Gambar 4.2)

(Gambar 4.4) sebagai berikut:

Gambar 4.4 Permintaan Diketahui Setelah Akuisisi dan Produksi


38

Begitu diambil, keputusan tentang akuisisi dan produksi dimasukkan ke

dalam ketidakpastian permintaan. Hanya tingkat pernjualan yang bereaksi ter-

hadap tingkat akuisisi dan produksi serta cara ketidakpastian permintaan yang

diselesaikan. Setiap model PL harus menangkap fakta bahwa keputusan awal

haruslah dipertimbangkan bobotnya terhadap semua skenario permintaan yang

mungkin. Untuk mewujudkannya, digunakan tiga himpunan variabel penjualan

terpisah, dan hanya satu himpunan variabel akuisisi dan produksi. Seperti se-

belumnya, bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model. Untuk menghubung-

kan Gambar 4.4 dan model PL, digunakan huruf tebal untuk mengidentifikasi

keputusan yang diambil sebelum permintaan diketahui.

Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf+∑

{s∈{l,m,h}}

(60sds + 40sts + 10scs)ps

Kendala − xl + 8yd + 6yt + yc ≤ 0

−xc + 2yd + 1.5yt + 0.5yc ≤ 0

−xf + 4yd + 2yt + 1.5yc ≤ 0

sds ≤ Dds, s ∈ {l,m, h},

−yd sds ≤ 0, s ∈ {l,m, h},


yt sts ≤ 0, s ∈ {l,m, h}


−yc ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

xl, xf , xc, yd, yt, yc, sds, sts, scs ≥ 0

(P.2)


39

Berbeda dengan (P.1) dan (P.2) tidak dapat dipisahkan menurut skenario.

Akuisisi dan produksi yang dinyatakan oleh x dan y, ditentukan sebelum per-

mintaan diketahui dan tetap konstan atas semua skenario. Himpunan kedua dari

kendala model dengan cara penjualan tergantung pada kombinasi produksi dan

permintaan. Ketiadaan kemungkinan pemisahan timbul karena interaksi kedua

jenis variabel dalam kendala ini.

Terakhir, dalam kasus lainnya (3 dalam Gambar 4.2), ditentukan akuisisi se-

belum diketahui permintaan dan produksi setelah ditentukan penjualan (Gambar

4.5) berikut:

Gambar 4.5 Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi SebelumTingkat Produksi Ditentukan

Karena bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model PL untuk persoalan

ini, tentunya mempunyai himpunan tunggal variabel-variabel akuisisi, dan tiga

himpunan variabel produksi dan penjualan:


40

Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf+∑

{s∈{l,m,h}}

(60sd + 40st + 10sc)ps

Kendala − xl + 8yds + 6yts + ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h},

−xc + 2yds + 1.5yts + 0.5ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h},

−xf + 4yds + 2yts + 1.5ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h},

sds ≤ Dds, s ∈ {l,m, h},

sds − yds ≤ 0, s ∈ {l,m, h},


sts − yts ≤ 0, s ∈ {l,m, h}


scs − ycs ≤ 0, s ∈ {l,m, h}

xl, xf , xc, yds, yts, ycs, sds, sts, scs ≥ 0

(P.3)

Sama halnya dengan (P.2) dan (P.3) tidak memiliki kemungkinan yang dapat dip-

isahkan. Pada umumnya, kemungkinan dapat dipisahkan tidak terjadi bila model

PL mencakup ketidakpastian di tengah-tengah rangkaian keputusan.

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan

Ketiga model PL, (P.1) sampai (P.3) bisa ditelusuri kembali sampai ke model

awal (P.0), tetapi model-model tersebut berbeda. Model tersebut merupakan tiga

model yang berbeda untuk persoalan, sedikit membutuhkan model seperti (P.1).

Karena diketahui permintaan sebelum mengambil keputusan, tidak perlu menye-

lesaikan (P.1) yaitu bisa menunggu sampai diketahui permintaan dan menyele-

saikan persoalan skenario yang tepat. Seperti yang dipresentasikan, output (P.1)


41

memberikan penyelesaian optimal dan nilai fungsi tujuan optimal untuk semua

skenario permintaan yang mungkin. Untuk perencanaan, informasi ini mungkin

membantu.

Model kedua (P.2), memberikan mekanisme yang tepat untuk menentukan

pendapatan yang diperkirakan bila harus ditentukan produksi sebelum diketahui

permintaan. Model ini memperhitungkan kemungkinan bahwa produksi mungkin

melebihi permintaan. Khususnya, bila tingkat produksi (yang pada gilirannya

menentukan tingkat sumberdaya yang dibutuhkan), didasarkan pada model pen-

dapatan yang bisa diharapkan dari menjualnya.

Model ketiga (P.3), memisahkan akuisisi dari produksi. Bila disusun ren-

cana produksi alternatif yang tergantung pada permintaan yang terwujud dari

akuisisi tertentu, yaitu memodelkan kasus dimana perusahaan bisa menggunakan

sumberdaya dengan berbagai cara untuk menciptakan produk untuk permintaan.

Untuk melihat perbedaan antara ketiga model, dapat dibandingkan outputnya

pada Tabel 4.4 berikut:

Tabel 4.4 Perbedaan Solusi Optimal dari (P.1), (P.2) dan (P.3)


42

Walaupun output untuk (P.2) serupa secara struktural dengan output masing-

masing persoalan skenario dalam (P.1), namun nilainya berbeda. Dalam (P.2) pe-

rusahaan memproduksi barang sebelum mengetahui permintaan. Berbeda dengan

(P.1), tingkat produksi yang diajukan (P.2) tidak sesuai dengan salah satu skenario

permintaan. Dalam (P.2), tingkat produksi ditetapkan dengan cara yang menye-

imbangkan biaya total yang mungkin dari memproduksi barang yang tidak bisa

dijual terhadap epndapatan nasional yang tersedia dari menjual barang dalam

jumlah lebih besar. Tindakan penyeimbangan ini menggeser tingkat produksi

menjauh dari setiap skenario. Tidak bisa diakui perlunya keseimbangan ini dengan

analisis sensitivitas sederhana atas penyelesaian untuk (P.0). Yang lebih penting,

struktur penyelesaian untuk (P.3), dimana keputusan produksi terlambat sama-

pai setelah permintaan diketahui, berbeda nyata dari struktur penyelesaian untuk

model lainnya. Inilah satu-satunya model yang mencakup produksi kursi dalam

penyelesaian optimal dam kemudian hanya dalam skenario permintaan yang ren-

dah. Penafsiran penyelesaian ini jelas. Walaupun kursi dengan sendirinya tidak

menguntungkan, namun produksinya pada sebagian kasus menguntungkan.

Penyelesaian untuk (P.3) mencakup akuisisi sumberdaya dalam junlah yang

lebih besar daripada penyelesaian untuk (P.2). Bila permintaan cukup tinggi,

semua sumberdaya ini mengalir ke produksi meja tulis dan kursi (barang yang

menguntungkan). Akan tetapi bila permintaan rendah, produksi kursi memberi

peluang kepada perusahaan untuk menutupi banyak biaya sumberdaya yang dibu-

tuhkan. Kursi memberikan kepada perusahaan posisi jatuh kembali yang memu-

ngkinkan rencana akuisisi sumberdaya yang agresif. Dan hal ini tidak bisa mere-

alisasikan keuntungan penyesuaian ini dengan analisis sensitivitas sederhana atas

penyelesaian untuk (P.0).


43

Berbagai nilai fungsi tujuan juga berbeda. Telah diketahui dengan jelas

bahwa dengan menyelesaikan PL dimana variabel-variabel acak di ruas kanan

kendala diganti dengan perkiraan nilainya akan menghasilkan nilai fungsi tujuan

optimistik, sebagaimana diindikasikan dalam (P.0) dibandingkan dengan yang

lainnya. Tentu saja, dalam kasus ini (P.0) sama optimistiknya dengan (P.1),

dimana pengambil keputusan mengetahui seluruh informasi sebelum mengambil

keputusan (walaupun tidak selalu sedemikian halnya pada umumnya) bahwa nilai

fungsi tujuan untuk (P.3) lebih besar dari nilai fungsi tujuan (P.2) tidak aneh;

dengan memperlambat keputusan sampai diperoleh informasi biasanya meng-

hasilkan keuntungan ekonomis. Untuk menentukan model yang tepat, harus di-

identifikasikan titik dimana informasi tentang permintaan akan ada tersedia.

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif

Model PL mempunyai fungsi tujuan yang memaksimalkan perkiraan laba.

Karena perkiraan nilai adalah fungsi linier, maka laba dan rugi bisa saling menghi-

langkan, andaikan dipunyai tiga alternatif yang menghasilkan distribusi laba se-

bagai fungsi dari permintaan. (Tabel 4.5) berikut:

Dengan diketahuinya tujuan memaksimalkan perkiraan laba, tidak akan

membedakan antara ketiga alternatif ini. Ketiadaan perbedaan ini tidak sesuai

dengan sikap kebanyakan orang terhadap risiko, sebagian besar orang memi-

liki preferensi yang jelas diantara ketiga alternatif ini. Ahli ekonomi mengatasi

masalah ini melalui teori utilitas. Dengan menggunakan fungsi utilitas yang me-

lingkupi perimbangan antara perkiraan laba dan resiko untuk menuntun proses

pengambilan keputusan. Pada umumnya, optimisasi perkiraan utilitas membu-


44

Tabel 4.5 Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada Skenario Per-mintaan

tuhkan fungsi tujuan nonlinier, walaupun aproksimasi linier bertahap kerapkali

bisa dikembangkan. Selain perubahan dalam kendala, ketidakpastian juga bisa

menimbulkan perubahan dalam fungsi tujuan.


BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Analisis sensitivitas paling tepat digunakan bila struktur dasar model tidak

berubah oleh keberadaan ketidakpastian, misalnya bila semua ketidakpastian akan

diselesaikan sebelum keputusan diambil. Saat keputusan hendak diambil, model

deterministiklah yang kiranya tepat. Tetapi sepanjang data tidak pasti, tidak

diketahui model deterministik mana yang akan tepat. Dalam situasi ini, analisis

sensitivitas dapat membantu dalam memahami dampak ketidakpastian. Pada se-

mua kasus lainnya kita tidak bisa mengandalkan analisis sensitivitas untuk mema-

hami dampak ketidakpastian.

Analisis sensitivitas gagal sebagai alat untuk mengukur dampak ketidak-

pastian karena tidak bisa menangkap kemungkinan respon terhadap informasi.

Bila diperoleh informasi selama rangkaian keputusan, diperoleh kesempatan un-

tuk beradaptasi terhadapnya. Adaptasi menyebabkan perubahan dalam model

PL. Matriks kendala berubah secara berarti, yang mempengaruhi jumlah kendala

maupun jumlah variabel. Karena analisis sensitivitas tergantung pada struktur

kuat model PL. Analisis sensitivitas bukan alat yang tepat untuk mengidentifikasi

dampak ketidakpastian dalam kasus ini.

45


46

5.2 Saran

Diharapkan bagi pembuat keputusan yang ingin melihat sensitifnya solusi

optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca optimal /

analisis sensitivitas dalam PL.


DAFTAR PUSTAKA

Eriksson, O., 2007, Sensitivity and Uncertainty Analysis Methods, with Applica-tions to a Road Traffic Emission Model, Thesis, Linkoping University Facultyof art and sciences.

Frey, H.C., and Patil S.R., 2002, Identification and Review of Sensitivity AnalysisMethods, Risk Anal., 22(3), 553-578.

Helton, J.C., and Davis F.J., 2002, Illustration of Sampling-Based Methods forUncertainty and Sensitivity Analysis, Risk Anal., 22(3), 591-622.

Higle, J. L., 2005, Stochastic Programming: Optimization When Uncertainty Mat-ters, INFORMS . New Orleans.

Higle, J. L. and Wallace, S.W., 2003, Sensitivity Analysis and Uncertainty in LinearProgramming, INFORMS, Vol. 33, No. 4, pp. 5360

Ionescu-Bujor, M., and Cacuci D.G., 2004, A Comparative Review of Sensitivityand Uncertainty Analysis of Large-Scale Systems-I: Deterministic Methods,Nucl. Sci. Eng., 147(3), 189-203.

Land, A. H. and Doig, A. G., 1960, ”An Automated Method for Solving DiscreteProgramming Problems”, Econometrics 28: 497-520.

Siringoringo, Hotniar., 2005, Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear.Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta.

Tung, Y.K., and Yen B.C., 2005, Hydrosystems Engineering Uncertainty Analysis,pp., McGraw-Hill, New York.

Wallace, S. W., 1998, Decision Making Under Uncertainty: Is Sensitivity Analysisof any Use?, Operations Research, 48: 20-25.

Wang, J., 2008, Sensitivity and Uncertainty Aalyses of Contaminant Fate andTransport in a Field-Scale Subsurface System, AThesis Presented to TheAcademic Faculty, Georgia Institute of Technology.

Winston, W. L., 1995, Introduction to Mathematical Programming: Applicationsand Algorithms, 2nd ed. Duxbury Press, Belmont, CA.

47


Documents

Tesis s2