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Capítulo 1. Incremento de esfuerzo 1 Capítulo uno Incremento de esfuerzo Contenido 1 Incremento de esfuerzo ............................................................................................................................................................................ 1 1.1 Introducción ........................................................................................................................................................................................... 3 1.2 Fundaciones por debajo el nivel del terreno natural .......................................................................................................... 7 1.3 Métodos aproximados ....................................................................................................................................................................... 9 1.3.1 Método 2:1 ................................................................................................................................................................................... 9 Ejemplo 1.1…………………………………………………………………………………………………………………………….10 1.3.2 Gráficas de bulbo de presiones de Boussinesq ........................................................................................................ 11 1.4 Método de Boussinesq (1883) .................................................................................................................................................... 13 1.4.1 General ........................................................................................................................................................................................ 13 1.4.2 Incremento de esfuerzos debido a una carga puntual.......................................................................................... 14 1.4.3 Incremento de esfuerzos debido a una carga lineal .............................................................................................. 16 1.4.4 Incremento de esfuerzos debido a una carga continua (ancho finito y longitud infinita) ................... 18 1.4.5 Incremento de esfuerzos debido a un área circular uniformemente cargada........................................... 21 1.4.6 Incremento de esfuerzos debido a un área rectangular uniformemente cargada .................................. 25 1.4.7 Incremento de esfuerzo vertical debido a un área uniformemente cargada de cualquier forma .... 29 1.4.8 Casos especiales de carga para la solución de Boussinesq (1883) ................................................................. 30 Ejemplo 1.2…………………………………………………………………………………………………………………………….36 1.5 Método de Harr (1977) .................................................................................................................................................................. 46 1.5.1 Carga puntual .......................................................................................................................................................................... 46 1.5.2 Carga lineal ............................................................................................................................................................................... 47 1.5.3 Carga continua ........................................................................................................................................................................ 47 1.5.4 Carga vertical uniforme sobre un área rectangular............................................................................................... 49 1.5.5 Carga vertical uniforme sobre un área circular ....................................................................................................... 49 1.5.6 Determinación del incremento de esfuerzos en medios estratificados a través del método probabilístico ....................................................................................................................................................................... 50 1.6 Método de Westergaard (1983)................................................................................................................................................. 50 1.6.1 Carga puntual .......................................................................................................................................................................... 50 1.6.2 Carga circular........................................................................................................................................................................... 52 1.6.3 Carga rectangular .................................................................................................................................................................. 53 Ejemplo 1.3…………………………………………………………………………………………………………………………….53 1.7 Método Numérico (Milovic, 1992) ............................................................................................................................................ 58 1.7.1 General ........................................................................................................................................................................................ 58 1.7.2 Carga de franja continua..................................................................................................................................................... 59 1.7.2.1 Incremento de esfuerzos debido a una carga de franja continúa (E1>E2) ................................... 59 1.7.2.2 Incremento de esfuerzos en medios finitos debido a una carga de franja continúa ............... 72

Texto Guia Mecanica Suelos II UMSS

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  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    1

    Captulouno

    Incrementodeesfuerzo

    Contenido1Incrementodeesfuerzo............................................................................................................................................................................11.1Introduccin...........................................................................................................................................................................................31.2Fundacionespordebajoelniveldelterrenonatural..........................................................................................................71.3Mtodosaproximados.......................................................................................................................................................................9

    1.3.1Mtodo2:1...................................................................................................................................................................................9Ejemplo1.1.10

    1.3.2GrficasdebulbodepresionesdeBoussinesq........................................................................................................111.4MtododeBoussinesq(1883)....................................................................................................................................................13

    1.4.1General........................................................................................................................................................................................131.4.2Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargapuntual..........................................................................................141.4.3Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargalineal..............................................................................................161.4.4Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargacontinua(anchofinitoylongitudinfinita)...................181.4.5Incrementodeesfuerzosdebidoaunreacircularuniformementecargada...........................................211.4.6Incrementodeesfuerzosdebidoaunrearectangularuniformementecargada..................................251.4.7Incrementodeesfuerzoverticaldebidoaunreauniformementecargadadecualquierforma....291.4.8CasosespecialesdecargaparalasolucindeBoussinesq(1883).................................................................30

    Ejemplo1.2.361.5MtododeHarr(1977)..................................................................................................................................................................46

    1.5.1Cargapuntual..........................................................................................................................................................................461.5.2Cargalineal...............................................................................................................................................................................471.5.3Cargacontinua........................................................................................................................................................................471.5.4Cargaverticaluniformesobreunrearectangular...............................................................................................491.5.5Cargaverticaluniformesobreunreacircular.......................................................................................................491.5.6 Determinacin del incremento de esfuerzos en medios estratificados a travs del mtodo

    probabilstico.......................................................................................................................................................................501.6MtododeWestergaard(1983).................................................................................................................................................50

    1.6.1Cargapuntual..........................................................................................................................................................................501.6.2Cargacircular...........................................................................................................................................................................521.6.3Cargarectangular..................................................................................................................................................................53

    Ejemplo1.3.531.7MtodoNumrico(Milovic,1992)............................................................................................................................................58

    1.7.1General........................................................................................................................................................................................581.7.2Cargadefranjacontinua.....................................................................................................................................................59

    1.7.2.1Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargadefranjacontina(E1>E2)...................................591.7.2.2Incrementodeesfuerzosenmediosfinitosdebidoaunacargadefranjacontina...............72

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    2

    1.7.3Superficiecargadaenformacircular............................................................................................................................751.7.3.1Incrementodeesfuerzosdebidoaunasuperficiecargadaenformacircular(E1>E2)..........751.7.3.2Incrementodeesfuerzosenmediosfinitosdebidoaunacargadadeformacircular............77

    1.7.4Incrementodeesfuerzosenmediosfinitosdebidoaunacargadadeformarectangular...................77Ejemplo1.4.84Ejemplo1.5.87

    1.8MtododeTomlinson(cargadefundacinrgida)...........................................................................................................951.9Comparacindemtodos.............................................................................................................................................................96

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    3

    1.1Introduccin

    Todaslasobrasdeingenieracivilimpartencargasenelsuelodondesonemplazadas,talescargasproducen

    compresin,corteyenalgunoscasosesfuerzosdetraccin.Porejemplo,cuandoseconstruyeuntanquede

    almacenamientodepetrleo,steimponeunacargauniformeycircularsobrelasuperficie;lacualproduce

    deformacionesyenalgunasocasionesplanosdefallaalcorte.Estapresindisminuyeamedidaqueaumenta

    laprofundidad.

    Lasfundacionesproducenasentamientosdeformacinverticaldebidosauncambioenlaformadela

    masadesuelo,esdecir,debidoauncambioenelvolumen.Estecambiodevolumensedebeaunincremento

    deesfuerzosefectivosenlamasadesuelo.

    Laformadelperfildesuelodeformadodependededosfactoresfundamentales:

    Estructuradelsuelo(cohesivoogranular). Larigidezdelafundacin.Se define como presin de contacto a la intensidad de carga transmitida por la cara inferior de la

    fundacin al suelo. La figura 1.1 muestra las diferentes posibilidades de respuesta del suelo cuando se

    imponencargassobrelasuperficieatravsdefundacionesrgidasoflexibles.

    Figura1.1(a)Distribucindelapresindecontactodebidoalaaplicacindecargasparafundacionesrgidas(b)

    Distribucindelperfildeasentamientoparafundacionesflexibles(Holtz,1991).

    Apartirdelafigura1.1desarrolladaporHoltz(1991),sepuedeobservarqueenelcasodefundaciones

    rgidas,Fig.1.1(a),losasentamientosproducidossonuniformesmientrasqueladistribucindelapresinde

    contactodebajodelafundacinnoesuniforme.

    Cuando se tiene una fundacin rgida emplazada sobre un suelo cohesivo perfectamente elstico, el

    esfuerzoproducidoenlosbordesexterioresseconsiderainfinito;aunqueenrealidadstesehallalimitado

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    por la resistencia al corte del suelo. En el caso de fundaciones rgidas emplazadas en suelos granulares,

    debido a que el confinamiento esmenor en los bordes exteriores, el esfuerzo en tales bordes es tambin

    menor.Paraelcasode fundacionesmuyanchas(ejemplo: losargidade fundacin), tantoelasentamiento

    comolapresindecontactosonmedianamenteuniformes.

    La figura1.1 (b)muestraquemientras ladistribucinde lapresindecontactodebajoelreadeuna

    fundacinflexiblecargadaesuniforme,losperfilesdeasentamientosonbastantediferentes,enfuncinasi

    elsueloescohesivoogranular.

    Enelcasodesueloscohesivos, lasuperficiesedeformaenformacncavaascendente;mientrasqueen

    suelos granulares, la forma del perfil de asentamiento es exactamente la opuesta, cncava descendente,

    debido a que el esfuerzo de confinamiento es mayor en el centro que en los bordes. Al estar la arena

    confinadaenelcentro,tieneunmdulodedeformacinmsaltoqueenlosbordes,loqueimplicaqueexiste

    menorasentamientoenelcentroqueenlosbordes.Porotrolado,sielreacargadaflexibleesmuygrande,

    losasentamientoscercadelcentrosonrelativamenteuniformesymenoresqueenlosbordes.

    Paraeldiseoestructuraldefundaciones, ladistribucindelapresindecontactoes intermediaentre

    fundacin rgida y flexible, y por razones prcticas se asume a menudo una distribucin uniforme de la

    presindecontactodebajodelreacargada;apesarquedesde elpuntodevistade lamecnicadesuelos

    estahiptesisesobviamenteincorrecta.

    Unaadecuadaseleccindeltipodefundacindebeserhechaenfuncinalamagnitudyaladireccinde

    lascargasestructurales,ademsdelascondicionesdelasuperficiedeemplazamiento,elsubsueloydeotros

    factores.Losdostiposdefundacionesmsimportantesson:

    Fundacionessuperficiales.Sonaquellasenlasquelascargasestructuralessontransmitidasalsuelodefundacinqueseencuentracercanoalasuperficie.SegnBudhu(2000)unafundacinesconsiderada

    superficialcuandolarelacinentreelnivelde fundacin,yelanchode la fundacin,B; 2,5;

    por otro lado Bowles (1996) indica que una fundacin es superficial cuando 1, pudiendo

    aceptarseenalgunoscasosunvalormayor.Existentrestiposdefundacionessuperficiales,Fig.1.2.

    Zapatasaisladas. Sonuna ampliacinde la seccin inferiorde la columna, stasactan comounmuro

    portante que expande la carga estructural sobre una determinada rea de suelo. En su mayora son

    fabricadasdeconcretoreforzado,dependiendoeltamaorequerido,delamagnituddelacargaydelas

    propiedadesgeotcnicasdelsuelodondesonemplazadas.

    Vigasdefundacin.Sonaquelladondeseapoyanlascolumnasenunahilera,dichafundacinpuedeestar

    formada porms de dos columnas, este tipo de fundacin se utiliza cuando se precisamayor rea de

    soporte.

    Losas de fundacin. Son fundaciones aisladas grandes cuyo tamao abarca a toda o gran parte de la

    estructura. Debido a su tamao, stas reparten el peso de la estructura en un rea grande,

    disminuyndoseas tanto losesfuerzos inducidoscomo losconsiguientesasentamientosenel suelode

    fundacin. Son aconsejables para estructuras que resultan muy pesadas para el uso de fundaciones

    aisladasperoquenosonlosuficientementepesadasparaelusodefundacionesprofundas.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    5

    Figura1.2Fundacionessuperficiales(Coduto,1999).

    Fundacionesprofundas.Sonaquellasquetransmitenunaotodaslascargasdelaestructuraasuelosprofundosoarocas,Fig.1.3.

    Estasfundacionessonusadascuandosetrabajaconestructurasgrandesocuandoelsuelodefundacin

    esdbil.Sedividenentrestiposprincipales:

    Pilotes. Sonmiembrosestructuralesdemadera, concretosy/oaceroque sonutilizadospara transmitir

    cargassuperficialesanivelesmsbajosdelamasadesuelo.Estatransferenciapuedeserrealizadapor

    distribucinverticalde la cargaa lo largodel fustedelpiloteoporaplicacindirectade la cargaaun

    estratomsbajoatravsdeunpuntoenelpilote.

    Pilas perforadas. Son construidas perforando agujeros cilndricos en el terreno, insertando luego el

    refuerzodeaceroyrellenandoposteriormenteelagujeroconconcreto.

    Otrostipos.Cuyaconstruccinincluyevariosmtodoshbridosademsdeotrastcnicas.

    Figura1.3Fundacionesprofundasa)Pilotesacompresinb)Pilotesatensin.AdaptadadeDelgado,2001.

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    6

    Uno de los objetivos fundamentales de la ingeniera geotcnica es el de determinar los esfuerzos y

    deformaciones que se producen en el suelo. Para evaluar los esfuerzos en un punto del suelo se necesita

    conocerlalocalizacin,lamagnitudyladireccindelasfuerzasqueloscausan.

    Los esfuerzos producidos en el suelo pueden ser de dos tipos, dependiendo la manera en que se

    producen:

    Esfuerzosgeoestticos.Sonaquellosqueocurrendebidoalpesodelsueloqueseencuentrasobreelpuntoqueest siendoevaluado.Losesfuerzosgeoestticos sepresentannaturalmenteenel suelo; sin

    embargo estos esfuerzos pueden tambin ser causados; debido a actividades humanas, tales como el

    emplazamientodeterraplenesolarealizacindeexcavaciones.

    Esfuerzos inducidos. Son aquellos causados por cargas externas, tales como fundaciones deestructuras, presas, muros de contencin, etc. Los esfuerzos inducidos pueden ser tanto verticales

    (debido a cargas transmitidas por fundaciones) comohorizontales o laterales (es el casodemuros de

    contencin).

    En este captulo se desarrollan ntegramente las maneras de determinar los valores de esfuerzos

    inducidos, los cuales se deben adicionar a los esfuerzos ya existentes debidos al peso del propio suelo

    (geoestticos).Por tantoel clculodeesfuerzos inducidosse consideracomoel clculodel incrementode

    esfuerzosenlamasadesuelo.

    Mediante experimentos realizados se hamostrado que al aplicar una carga a la superficie del terreno

    sobre un rea bien definida, a una cierta profundidad, los incrementos de esfuerzos no se limitan a la

    proyeccin del rea cargada, debido a que en los alrededores de sta ocurre tambin un aumento de

    esfuerzos.

    Como la sumatoria de incrementos de los esfuerzos verticales en planos horizontales es siempre

    constanteacualquierprofundidad,el incrementodeesfuerzosinmediatamentedebajodelreacargadava

    disminuyendo a medida que aumenta la profundidad, debido a que el rea de influencia comprendida

    aumentatambinconlaprofundidad(DeSousaPinto,2000).

    La figura 1.4 indica cualitativamente como se presenta la distribucin de incremento de esfuerzos en

    planos horizontales a diferentes profundidades y la figura 1.5 representa la variacin del incremento de

    esfuerzosverticales,,alolargodeunalneaverticalquepasaporelejedesimetradelreacargada.

    Figura1.4Distribucindelincrementodeesfuerzosenplanoshorizontales.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    7

    Para la determinacin del incremento de esfuerzos (verticales y horizontales) existen una serie de

    mtodosdesarrollados,basndosetodosellosenlateoradelaelasticidad.Apesardequeelsuelonoesun

    material que cumple cabalmente con esta teora, De Sousa Pinto (2000) afirma que la aplicacin de esta

    teoraesjustificablecuandosetrabajaenelanlisisdeincrementodeesfuerzos,debidoaquehastauncierto

    nivel de esfuerzos existe cierta proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones. Sin embargo, la

    mayorjustificacinparalautilizacindeestateoraesladenodisponerdeunamejoralternativa,ascomo

    queelusodestatiendeapresentarunaevaluacinsatisfactoriadelosesfuerzosactuantesenelsuelo.

    Figura1.5Distribucindelincrementodeesfuerzosenunplanovertical.

    Losmtodosparadeterminarelincrementodeesfuerzobasadoenlateoradelaelasticidad,msusados

    enlaactualidadson:

    Mtodosaproximados. MtododeBoussinesq. MtododeHarr. MtododeWestergaard. Mtodosnumricos.(Milovic).Losmtodosaproximados,sondemuchautilidadparadeterminarelincrementodeesfuerzoenelsuelo

    cuandoserequiereunasolucinrpidaocuandonosedisponedeunacomputadoraocalculadoraparala

    determinacindelincrementodeesfuerzos.Losmtodosaproximadosson:

    Mtodo2:1 GraficasdebulbodepresionesdeBoussinesqPor ltimo se realizar el anlisis de incremento de esfuerzo considerando la aplicacin de una carga

    rgida.ElmtododeanlisisutilizadosereldeTomlinson.

    1.2 Fundaciones por debajo el nivel del terrenonatural

    Previo a la explicacinde los diferentesmtodospara la determinacindel incrementode esfuerzo en el

    suelo. Se analiza el caso cuando la carga no es aplicada en la superficie del terreno, se hace necesario el

    realizarlassiguientesdefiniciones:

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    8

    Niveldefundacin,,eslaprofundidadalacualseemplazalafundacin.

    Carga inicialtotalosobrecarga, ,eslapresinexistenteantesdelaconstruccinquesedebealpeso

    del suelo sobre el nivel de fundacin. Segn la figura 1.6, esta carga es determinada en la primera etapa,

    donde la sobrecargaes igual a ,Fig. 1.6 (a). Si se considera,quepara esta etapael nivel fretico se

    encuentraenlasuperficie;entonces .

    Cargabruta,q,eslapresintotalimpartidaalterrenodespusdelaconstruccinqueincluye:

    Elpesodelafundacin, . El peso del suelo sobre el nivel de fundacin. Este peso es igual al peso de la porcin de sueloachuradaenlafigura1.6(b), .

    Lacargaimpartidaporlacolumnaalafundacin,P,queesdeterminadaenelclculoestructuralypuedeserestimadamultiplicandounapresinaproximadade10kN/m2porelreadecadaplantaypor

    elnmerototaldeplantasdeledificioydividiendoentreelreadecontactototal.

    Todaslascargasanterioressondeterminadasdespusdelaconstruccin,esdecir,enlasegundaetapa,

    Fig.1.6(b).Luego, lacargatotalsoportadaporlacolumnaesiguala lasumatoriadelascargasanteriores,

    divididaporelreadelazapata,obtenindosedeestemodolapresincorrespondientealacargabruta,q.Si

    seconsideraqueenlasegundaetapaelnivelfreticohadescendidohastaunaalturaporencimadelnivel

    defundacin;entonceselvalorfinaldelapresindeporoses: .

    Figura1.6.Tiposdecargasimpartidasenelterreno.

    Carganeta,,eselincrementonetoenesfuerzosefectivosalniveldefundacin,esdecir,esladiferencia

    entrelaspresionesefectivasantesydespusdelaconstruccin.

    , , Ec. 1.1

    De la ecuacin (1.1) se puede observar que tanto q como se refieren a esfuerzos efectivos, siendo

    estos,deacuerdoalprincipiodeesfuerzosefectivosigualesa:

    , Ec. 1.2

    , Ec. 1.3

    Deaquenadelante,deberecordarsequelacarganeta,eslapresinqueproducelosasentamientos.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    9

    1.3Mtodosaproximados

    1.3.1Mtodo2:1

    Elmtodo2:1permitehallarelincrementodeesfuerzosverticalesaunaciertaprofundidadsituadadebajoel

    centro de un rea uniformemente cargada. Este mtodo consiste en dibujar superficies inclinadas

    descendentesapartirdelbordedelreacargada,comosemuestraenlafigura1.7.Talessuperficiestienen

    unapendientede1horizontala2vertical.

    Paracalcularel incrementodeesfuerzos,aunaprofundidadzdebajoelreacargada,simplemente

    basta con dibujar una superficie horizontal plana a esa profundidad y calcular el rea del plano ubicado

    dentrodeestas superficies inclinadas,dividindose luego la carga total aplicada porel rea

    calculada.

    Figura1.7Mtodo2:1paraelclculodeincrementodeesfuerzos.

    Cuandoelreauniformementecargadaesunrearectangulardedimensiones ;Fig.1.7,elmtodo

    2:1presentalasiguienteecuacinparaelclculodelincrementodeesfuerzoverticalaunaprofundidadz:

    Ec. 1.4

    Donde:

    Incrementodeesfuerzovertical.

    Cargaaplicadaporunidadderea.

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    10

    Anchodelrearectangular.

    Largodelrearectangular.

    Cuando el rea uniformemente cargada es un rea circular de dimetro D, elmtodo 2:1 presenta la

    siguienteecuacinparaelclculodelincrementodeesfuerzoverticalaunaprofundidadz:

    Ec. 1.5

    Donde:

    Incrementodeesfuerzovertical.

    Cargaaplicadaporunidadderea.

    Dimetrodelreacircular.

    Ejemplo1.1

    Una superficie circular de dimetro 2,5 m (D) en planta, soporta una carga de 95 kPa (q). Determine el

    incrementodeesfuerzoverticaldebidoalacarga,aunaprofundidadde4m(z)debajodelcentrodela

    superficiecircular.Utilizarelmtodoaproximado2:1.

    Solucin: Refirasealafigura1.8.Paraestecaso.

    Figura1.8Mtodo2:1paraelclculodeincrementodeesfuerzos.

    Delaecuacin(1.5):

    Donde:

    2,5; 95; 4

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    11

    Reemplazandolosvaloresenlaecuacin(1.5),setiene:

    95 2,5

    2,5 4 ,

    1.3.2GrficasdebulbodepresionesdeBoussinesq

    Ladistribucindeesfuerzospuedetambinserobtenidadegrficasadimensionalescomolasmostradasen

    lasfiguras1.9(a),1.9(b)y1.9(c).Elvalordexydezparaestasfigurasesobtenidodelmismomodoqueen

    la figura1.4. Las curvasde estas grficas sedenominanbulbosdepresino bulbosde esfuerzos y son el

    resultado de la unin de los puntos que presentan igual incremento de esfuerzos, que es expresado en

    funcindelacargaqaplicadauniformementesobreelreacargada .

    Figura1.9(a)Bulbodepresinparaunafundacincuadrada(Coduto,1999)

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    12

    Estasgrficassonfcilesdeusaryayudanaidentificarenformavisuallamaneraenquelosesfuerzosse

    distribuyen al interior de la masa de suelo. Sin embargo, estas grficas no cuentan con la aproximacin

    proporcionadaporelusodemtodosnumricos.

    Figura1.9(b)Bulbodepresinparaunafundacindecargalineal(Coduto,1999).

    Elmtodo2:1consideraquelacargaesaplicadasobreunafundacinflexible,mientrasquelasgrficas

    delosbulbosdepresinnosonmsqueunarepresentacingrficadelmtododeBoussinesq(1883).Tanto

    elmtododeBoussinesq(1883)comosusrespectivashiptesissondesarrolladosenelapartadosiguiente.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    13

    Figura1.9(c)Bulbodepresinparaunafundacindecargacircular(Coduto,1999).

    1.4MtododeBoussinesq(1883)

    1.4.1General

    Existen varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo. Para saber de qu manera se

    distribuyenlosesfuerzosaplicadosenlasuperficiealinteriordelamasadesuelosedebeaplicarlasolucin

    de Boussinesq (1883) quin desarroll unmtodo para el clculo de incremento de esfuerzos (esfuerzos

    inducidos)encualquierpuntosituadoalinteriordeunamasadesuelo.LasolucindeBoussinesq(1883)determinaelincrementodeesfuerzoscomoresultadodelaaplicacin

    deunacargapuntualsobrelasuperficiedeunsemiespacioinfinitamentegrande;considerandoqueelpunto

    en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogneo, elstico e isotrpico. A

    continuacinsedetallael significadode lashiptesis realizadasporBoussinesq (1883).Estasdefiniciones

    son realizadas para el contexto especfico de incremento de esfuerzos. Todas las determinaciones de

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    14

    incremento de esfuerzos a partir de la solucin de Boussinesq (1883) consideran la aplicacin de cargas

    flexibles.

    Semiespacioinfinitamentegrande.Significaquelamasadesueloestlimitadaenunodesusladosmientras que se extiende infinitamente en las otras direcciones. Para el caso de suelos, la superficie

    horizontaleselladolimitante.

    Unmaterialseconsiderahomogneocuandopresentalasmismaspropiedadesalolargodetodoelespacio.Cuandosetrabajaconsuelos,estahiptesisserefieresolamenteaqueelmdulodeelasticidad,

    elmdulocortanteyel coeficientedePoissondebenserconstantes; loque implica lanoexistenciade

    lugaresdurosylugaresblandosqueafectenconsiderablementeladistribucindeesfuerzos.Sinembargo,

    esposibleadmitirlavariacindelpesounitariodeunlugaraotro.

    Materialisotrpico.Significaqueparaunsitiodadoelmdulodeelasticidad,elmdulocortanteyelcoeficientedePoissonsonlosmismosentodaslasdirecciones.

    Material con propiedades elsticas lineales de esfuerzodeformacin. Significa que a cadaincremento de esfuerzos est asociado un incremento correspondiente de deformacin. Esta hiptesis

    implicaquelacurvaesfuerzodeformacinesunalnearectaquenohaalcanzadoelpuntodefluencia.

    1.4.2Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargapuntual

    LasolucinoriginaldeBoussinesq(1883)paraladeterminacindelincrementodeesfuerzosenelpuntoA

    de la figura1.10,debidoaunacargapuntualPaplicadaen lasuperficie, fuerealizada inicialmenteparael

    sistemadecoordenadaspolares(r,,z).

    Figura1.10.SolucindeBoussinesq(1883)paraelsistemadecoordenadaspolares.

    Paraestesistema,elincrementodeesfuerzosenelpuntoAes:

    3

    2 Ec. 1.6

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    15

    23

    1 2,

    Ec. 1.7

    22, 1

    Ec. 1.8

    Donde: CoeficientedePoissonencondicindrenada.

    Posteriormente, estas ecuaciones fueron transformadas al sistema de coordenadas rectangulares, Fig.

    1.11,dondeelvalordezesmedidoenformadescendenteyes iguala laprofundidaddelplanohorizontal

    quecontienealpuntodondesecalculanlosesfuerzos,siendoxyylasdimensioneslaterales.Lasecuaciones

    presentadasporBoussinesq(1883)paraelclculodeesfuerzossepresentanacontinuacin:

    2

    3

    1 2,

    Ec. 1.9

    2

    2

    1 2,

    Ec. 1.10

    3

    2

    3

    2 /Ec. 1.11

    Donde:

    CoeficientedePoissonencondicindrenada.

    Figura1.11SolucindeBoussinesq(1883)paraelsistemadecoordenadasrectangulares.

    Lasecuaciones(1.9)y(1.10)sirvenparadeterminarel incrementodeesfuerzosnormaleshorizontales

    (esfuerzoslaterales)ydependendelcoeficientedePoissondelmedio;mientrasquelaecuacin(1.11)dada

    paraelincrementodeesfuerzonormalvertical,,esindependientedetalcoeficiente.

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    16

    Laecuacin(1.11)puederescribirsedelasiguienteforma:

    3

    2 1

    /

    Ec. 1.11.a

    Donde:

    3

    2 1

    /

    Ec. 1.12

    Lavariacindeparavariosvaloresder/zestdadaenlatabla1.1.

    Tabla1.1Variacinde1paravariosvaloresder/z.

    Latabla1.2muestravalorestpicosparaelcoeficientedePoissondevariostiposdesuelo.

    Tabla1.2ValoresdelcoeficientedePoissonparadiferentestiposdesuelo(Bowles,1996)

    aValorcomnmenteusado0,30,4bEsdependientedeltipoderoca

    1.4.3Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargalineal

    Apartir de la solucindesarrolladaporBoussinesq (1883), se handesarrolladomuchas otras ecuaciones

    para diferentes tipos de carga. La extensin ms simple de la ecuacin de Boussinesq (1883) es la

    desarrollada para una carga lineal flexible que est verticalmente distribuida a lo largo de una lnea

    horizontal. Esta es una carga de longitud infinita, que no tiene anchura y que tiene una intensidad q por

    longitudunitaria,aplicadasobrelasuperficiedeunamasadesuelosemiinfinita,Fig.1.12.

    Luego,elincrementodeesfuerzosenelpuntoAes:

    r/z r/z

    0,000,100,200,300,400,500,600,700,80

    0,47750,46570,43290,38490,32950,27330,22140,17620,1386

    0,901,001,501,752,002,503,004,005,00

    0,10830,08440,02510,01440,00850,00340,00150,00040,00014

    Tipodesuelo CoeficientedePoisson,

    ArcillasaturadaArcillanosaturadaArcillaarenosaLimoArena,arenagravosaRocaLoessHieloConcreto

    0,40,50,10,30,20,30,30,350,101,0a

    0,10,4b

    0,10,30,360,15

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    17

    2

    2

    Ec. 1.13

    Ec.1.14

    Figura1.12Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargalineal.

    Laecuacin(1.14)puedereescribirsedetalformaqueseconviertaenunarelacinadimensional:

    2

    1

    Ec. 1.15

    Lavariacinde conx/zsepresentaenlatabla1.3.

    Tabla1.3Variacinde/(q/z)conx/z.x/z /(q/z) x/z /(q/z)0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,90

    0,6370,6240,5890,5360,4730,4070,3440,2870,2370,194

    1,001,502,003,004,005,006,007,008,009,00

    0,1590,060,0250,0060,00220,00090,00050,000250,000150,0001

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    18

    1.4.4 Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargacontinua (anchofinitoylongitudinfinita)

    Unacargacontinuaeslacargatransmitidaporunaestructuradeanchofinitoylargoinfinitoalasuperficie

    delsuelo.Elcriterioparaconsideraraunacargacontinuavariasegnlosautores,porejemploMcCarron

    (1991)dicequeunacargaescontinuacuandolarelacinL/B5;mientrasqueHoltz(1991)afirmaqueesta

    relacindebesermayora10(L/B>10).

    Existendostiposdecargascontinuas:elprimertipoeselquetransmitealsuelounesfuerzouniforme,y

    el segundo tipoeseldebidoaunacarga inducidaporunadistribucindeesfuerzos triangularessobreun

    readeanchoB.

    Laecuacinparaelclculodelincrementodeesfuerzoscausadoporlaaplicacindeunacargacontinua

    flexible que transmite un esfuerzo uniforme es deducida a partir de la ecuacin (1.14) y de acuerdo a la

    figura1.13,considerandoqueqeslacargaunitariaporunidadderea.

    Figura1.13Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargacontinua.

    Seconsideraunafranjaelementaldeanchodr,siendolacargaporlongitudunitariadeestafranjaiguala

    .Estafranjaelementalestratadacomounacargalineal.

    Laecuacin(1.16)representaelincrementodeesfuerzoverticalcausadoporlafranjaelementalenelpuntoA.Paracalcularesteincrementosedebesustituirenlaecuacin(1.14) porqy por.Luego:

    2

    Ec. 1.16

    Elincrementototalenelesfuerzovertical, ,causadoporlacargacontinuacompletadeanchoBqueseproduceenelpuntoAseobtieneintegrandolaecuacin(1.16)conlmitesderdeB/2a+B/2,entoncessetiene:

    2

    /

    /

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    19

    2

    2

    4

    4

    Ec. 1.17

    Simplificandolaecuacin(1.17)

    2 Ec. 1.18

    El esfuerzo horizontal (esfuerzo lateral) producido por una carga continua que transmite un esfuerzo

    uniformeseobtienemediantelasiguienteecuacin:

    2 Ec. 1.19

    Losngulosyestndefinidosenlafigura1.13.Enlasecuaciones(1.18)y(1.19)elvalordeydebeserintroducidoenradianes.

    Latabla1.4(a)seusaparacalcularelesfuerzoverticalenunpuntodebidoalaaplicacindeunacarga

    continuaflexible.Estatablamuestralavariacinde con2z/By2x/B.

    Cuando se pretende calcular los esfuerzos causados por la aplicacin de una carga continua flexible

    inducida por una distribucin de esfuerzos triangulares (carga que vara linealmente), es decir cuando la

    presindecontactovaralinealmenteatravsdelanchoBde0hastaalcanzarsuvalormximo;setienenlas

    siguientesecuacionesquesondeducidasdelamismamaneraquelasecuaciones(1.18)y(1.19).

    Figura1.14Incrementodeesfuerzosdebidoaunacargaquevaralinealmente.

    Luego,elincrementoenelesfuerzovertical,,queseproduceenelpuntoA,Fig.1.14,seobtienedela

    siguienteecuacin:

    12 2 Ec. 1.20

    Elincrementodeesfuerzohorizontal(esfuerzolateral)paraestecasoes:

    12 2 Ec. 1.21

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    20

    Tabla

    1.4

    (a)Variacinde

    ,paradistintosvaloresde22.

    7,0

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,001

    0,001

    0,001

    0,002

    0,003

    0,004

    0,007

    0,011

    0,015

    0,020

    0,025

    0,030

    0,035

    0,039

    0,046

    0,052

    0,055

    0,058

    6,0

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,001

    0,001

    0,002

    0,003

    0,004

    0,005

    0,007

    0,012

    0,018

    0,025

    0,031

    0,038

    0,044

    0,049

    0,054

    0,061

    0,066

    0,068

    0,069

    5,5

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,001

    0,001

    0,002

    0,004

    0,005

    0,007

    0,009

    0,016

    0,024

    0,032

    0,040

    0,047

    0,054

    0,059

    0,064

    0,070

    0,074

    0,075

    0,075

    5,0

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,001

    0,002

    0,004

    0,005

    0,008

    0,010

    0,013

    0,022

    0,032

    0,042

    0,051

    0,059

    0,065

    0,071

    0,075

    0,080

    0,083

    0,083

    0,082

    4,5

    0,000

    0,000

    0,000

    0,000

    0,002

    0,003

    0,005

    0,008

    0,011

    0,015

    0,019

    0,031

    0,043

    0,055

    0,065

    0,073

    0,080

    0,085

    0,088

    0,092

    0,092

    0,091

    0,088

    4,0

    0,000

    0,000

    0,000

    0,001

    0,003

    0,005

    0,009

    0,013

    0,018

    0,023

    0,029

    0,044

    0,059

    0,072

    0,083

    0,091

    0,097

    0,101

    0,103

    0,104

    0,102

    0,099

    0,095

    3,5

    0,000

    0,000

    0,001

    0,002

    0,005

    0,009

    0,015

    0,021

    0,028

    0,036

    0,045

    0,065

    0,082

    0,096

    0,106

    0,113

    0,117

    0,119

    0,119

    0,117

    0,112

    0,107

    0,101

    3,0

    0,000

    0,000

    0,011

    0,004

    0,010

    0,017

    0,026

    0,037

    0,048

    0,060

    0,071

    0,095

    0,114

    0,127

    0,134

    0,138

    0,139

    0,138

    0,136

    0,130

    0,122

    0,114

    0,107

    2,5

    0,000

    0,000

    0,003

    0,010

    0,021

    0,036

    0,052

    0,069

    0,085

    0,101

    0,114

    0,141

    0,157

    0,165

    0,168

    0,167

    0,164

    0,159

    0,154

    0,142

    0,132

    0,121

    0,112

    2,0

    0,000

    0,002

    0,011

    0,030

    0,056

    0,084

    0,111

    0,135

    0,155

    0,172

    0,185

    0,205

    0,211

    0,210

    0,205

    0,197

    0,188

    0,179

    0,171

    0,154

    0,140

    0,128

    0,117

    1,8

    0,000

    0,003

    0,020

    0,050

    0,086

    0,122

    0,152

    0,177

    0,197

    0,212

    0,222

    0,235

    0,236

    0,229

    0,220

    0,209

    0,198

    0,187

    0,177

    0,159

    0,143

    0,130

    0,119

    1,6

    0,000

    0,007

    0,040

    0,088

    0,137

    0,177

    0,209

    0,232

    0,248

    0,258

    0,265

    0,268

    0,261

    0,249

    0,235

    0,221

    0,207

    0,195

    0,183

    0,163

    0,146

    0,132

    0,120

    1,4

    0,000

    0,020

    0,090

    0,163

    0,218

    0,256

    0,282

    0,298

    0,307

    0,311

    0,311

    0,302

    0,286

    0,268

    0,249

    0,232

    0,216

    0,202

    0,189

    0,166

    0,149

    0,134

    0,122

    1,2

    0,000

    0,091

    0,224

    0,298

    0,338

    0,360

    0,371

    0,374

    0,373

    0,368

    0,360

    0,337

    0,311

    0,286

    0,263

    0,242

    0,224

    0,208

    0,194

    0,170

    0,151

    0,136

    0,123

    1,0

    0,000

    0,500

    0,498

    0,495

    0,489

    0,480

    0,468

    0,455

    0,440

    0,425

    0,409

    0,370

    0,334

    0,302

    0,275

    0,251

    0,231

    0,213

    0,198

    0,173

    0,153

    0,137

    0,124

    0,8

    1,000

    0,831

    0,773

    0,691

    0,638

    0,598

    0,564

    0,534

    0,506

    0,479

    0,455

    0,400

    0,355

    0,317

    0,285

    0,259

    0,237

    0,218

    0,202

    0,175

    0,155

    0,138

    0,125

    0,6

    1,000

    0,921

    0,906

    0,825

    0,755

    0,696

    0,646

    0,602

    0,562

    0,526

    0,494

    0,426

    0,372

    0,329

    0,294

    0,266

    0,242

    0,222

    0,205

    0,177

    0,156

    0,139

    0,126

    0,4

    1,000

    0,954

    0,955

    0,896

    0,829

    0,766

    0,707

    0,653

    0,605

    0,563

    0,524

    0,445

    0,385

    0,338

    0,301

    0,270

    0,245

    0,224

    0,207

    0,178

    0,157

    0,140

    0,126

    0,2

    1,000

    0,976

    0,973

    0,928

    0,869

    0,805

    0,743

    0,685

    0,633

    0,585

    0,543

    0,458

    0,393

    0,343

    0,304

    0,273

    0,247

    0,226

    0,208

    0,179

    0,157

    0,140

    0,126

    0,0

    1,000

    0,997

    0,977

    0,937

    0,881

    0,818

    0,755

    0,696

    0,642

    0,593

    0,550

    0,462

    0,396

    0,345

    0,306

    0,274

    0,248

    0,227

    0,208

    0,179

    0,158

    0,140

    0,126

    0 0,20

    0,40

    0,60

    0,80

    1,00

    1,20

    1,40

    1,60

    1,80

    2,00

    2,50

    3,00

    3,50

    4,00

    4,50

    5,00

    5,50

    6,00

    7,00

    8,00

    9,00

    10

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    21

    Latabla1.4(b)presentalosvaloresde paradistintosvaloresde2z/By2x/B.

    Tabla1.4(b)Variacindev/qparadistintosvaloresde2z/By2x/B(Das,1998).

    1.4.5Incrementodeesfuerzosdebidoaunreacircularuniformementecargada

    Unasuperficiecircularuniformementecargadaquetransmiteesfuerzosalamasadesueloes,porejemplo,la

    fundacincirculardeuntanquedealmacenamientodepetrleo.

    ParaelcasodelincrementodeesfuerzoverticaldebajoelcentrodeunreacircularflexiblederadioR

    uniformementecargadaconcargaq,Fig.1.15(a);lacargaqueseproduceenundiferencialdereaes:

    Figura1.15(a)Incrementodeesfuerzosdebajoelcentrodeunreacircularuniformementecargada.

    Entonces, haciendo uso de la ecuacin bsica propuesta por Boussinesq (1883), ecuacin (1.6), para

    cargapuntualeintegrandostasobreelreacircularsetiene:

    32

    1

    1 //

    Luego,el incremento totaldeesfuerzoverticalenelpuntoAsituadodebajoel centrodelreacircular

    cargadaes:

    2x/B

    2z/B 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0

    3,02,01,00,01,02,03,04,05,0

    0,00,00,00,00,500,500,00,00,0

    0,00030,00080,00410,07480,47970,42200,01520,00190,0005

    0,00180,00530,02120,12730,40920,32540,06220,01190,0035

    0,000540,01400,04470,15280,33410,29520,10100,02850,0097

    0,01070,02490,06430,15920,27490,25000,12060,04570,0182

    0,01700,03560,07770,15530,23090,21480,12680,05960,0274

    0,02350,04480,08540,14690,19790,18720,12580,06910,0358

    0,03470,05670,08940,12730,17350,14760,11540,07750,0482

    0,04220,06160,85800,10980,12410,12110,10260,07760,0546

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    22

    1

    1

    1

    /

    Ec. 1.22

    Elincrementodeesfuerzoradial(horizontal)es:

    21 2

    21 1

    1

    1 Ec. 1.23

    Latabla1.5(a)muestralavariacin conz/R.

    Tabla1.5(a)Variacinde conz/R.

    Sinembargo,sisedeseacalcularel incrementodeesfuerzosencualquierpuntosituadodebajodeuna

    superficie circular uniformemente cargada, puede utilizarse la tabla dada porAhlvin yUlery (1962). Esta

    tablaproporcionalosvaloresdeAyBqueunavezdeterminadosdebenserreemplazadosenlasiguiente

    ecuacin:

    Ec. 1.22.a

    Lastablas1.5(b)y1.5(c)sontablaspropuestasporAhlvinyUlery(1962).EnestatablalosvaloresdeA

    yBseencuentranenfuncindelosvaloresdez/Ryr/R;dondezyrsonlaprofundidadyladistanciadel

    puntoalcentrodelreacircularcargada,Fig.1.15(b).

    Figura1.15(b).Incrementodeesfuerzosdebajodecualquierpuntodeunasuperficiecircularuniformementecargada.

    z/R z/R

    0,000,020,050,100,200,400,500,801,001,50

    1,000,99990,99980,99900,99250,94880,91060,75620,64650,4240

    2,002,503,004,005,006,007,008,009,0010,00

    0,28450,19960,14360,08690,05710,04030,02990,02300,01820,0148

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    23

    Tabla

    1.5

    (b)Variacindecon

    (Das,1988).

    14

    0,0

    0,00009

    0,00018

    0,00027

    0,00036

    0,00043

    0,00051

    0,00065

    0,00075

    0,00084

    0,00091

    0,00094

    0,00096

    12

    0,0

    0,0001

    0,0003

    0,0004

    0,0006

    0,0007

    0,0008

    0,0009

    0,0011

    0,0012

    0,0013

    0,0013

    0,001

    10

    0,0

    0,0002

    0,0005

    0,0007

    0,0009

    0,0011

    0,0013

    0,0016

    0,0018

    0,0019

    0,0019

    0,0019

    0,0018

    8,0

    0,0

    0,0002

    0,0005

    0,0009

    0,0011

    0,0014

    0,0018

    0,0021

    0,0024

    0,0028

    0,0030

    0,0030

    0,0030

    0,0027

    0,0025

    0,0024

    7,0

    0,0

    0,0003

    0,0007

    0,0014

    0,0017

    0,0021

    0,0026

    0,0031

    0,0035

    0,0038

    0,0040

    0,0038

    0,0036

    0,0033

    0,0030

    0,0027

    6,0

    0,0

    0,0005

    0,0012

    0,0023

    0,0027

    0,032

    0,0040

    0,0046

    0,0051

    0,0054

    0,0053

    0,0050

    0,0044

    0,0040

    0,0035

    0,0033

    5,0

    0,0

    0,0004

    0,0008

    0,0021

    0,0039

    0,0046

    0,0055

    0,0066

    0,0073

    0,0077

    0,0077

    0,0071

    0,0063

    0,0055

    0,0047

    0,0041

    0,0035

    4,0

    0,0

    0,0008

    0,0017

    0,0025

    0,0041

    0,0076

    0,0087

    0,0101

    0,0116

    0,0122

    0,0122

    0,0111

    0,0095

    0,0079

    0,0066

    0,0055

    0,0046

    0,0040

    3,0

    0,0

    0,0021

    0,0042

    0,0062

    0,0101

    0,0174

    0,0193

    0,0214

    0,0222

    0,0214

    0,0198

    0,0159

    0,0125

    0,0098

    0,0078

    0,0063

    0,0052

    0,0044

    2,0

    0,0

    0,0086

    0,0168

    0,0244

    0,0312

    0,0370

    0,0456

    0,0518

    0,0526

    0,0512

    0,0449

    0,0379

    0,0315

    0,0219

    0,0157

    0,0117

    0,0089

    0,0070

    0,0056

    0,0046

    1,5

    0,0

    0,0279

    0,0525

    0,0720

    0,0860

    0,0950

    0,1001

    0,1023

    0,1024

    0,1009

    0,0982

    0,9019

    0,0802

    0,0627

    0,0488

    0,0384

    0,0249

    0,0047

    1,2

    0,0

    0,0964

    0,1543

    0,1796

    0,1871

    0,1855

    0,1795

    0,1712

    0,1621

    0,1525

    0,1433

    0,1257

    0,1030

    0,0747

    0,0555

    0,0424

    0,0265

    1,0

    0,5

    0,4301

    0,3827

    0,3437

    0,3105

    0,2815

    0,2559

    0,2173

    0,2130

    0,1947

    0,1787

    0,1510

    0,1189

    0,0827

    0,5097

    0,0449

    0,0275

    0,0183

    0,0131

    0,0098

    0,0075

    0,0060

    0,8

    1,0

    0,7880

    0,6301

    0,5208

    0,4433

    0,3839

    0,3368

    0,2983

    0,2658

    0,2383

    0,2147

    0,1763

    0,1344

    0,0901

    0,0637

    0,0471

    0,0283

    0,6

    1,0

    0,8613

    0,7384

    0,6269

    0,5377

    0,4645

    0,4043

    0,3543

    0,3124

    0,2771

    0,2470

    0,1989

    0,1480

    0,0965

    0,0670

    0,0488

    0,0280

    0,4

    1,0

    0,8868

    0,7789

    0,6832

    0,5924

    0,5162

    0,4508

    0,3949

    0,3173

    0,3067

    0,2700

    0,2166

    0,1588

    0,1014

    0,0695

    0,0502

    0,0291

    0,2

    1,0

    0,8975

    0,7982

    0,7052

    0,6201

    0,5440

    0,4769

    0,4187

    0,3683

    0,3249

    0,2876

    0,2279

    0,1655

    0,1045

    0,0710

    0,0510

    0,0298

    0,0194

    0,0

    1,0

    0,9005

    0,8039

    0,7126

    0,6286

    0,5528

    0,4855

    0,4265

    0,3753

    0,3310

    0,2929

    0,2318

    0,1679

    0,1056

    0,0715

    0,0513

    0,0298

    0,0194

    0,0136

    0,0100

    0,0077

    0,0077

    0 0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,2

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    4,0

    5,0

    6,0

    7,0

    8,0

    9,0

    10

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    24

    Tabla

    1.5

    (c)Variacinde,con

    .

    14

    0,0

    0,00009

    0,00018

    0,00026

    0,00033

    0,00030

    0,00046

    0,00050

    0,00049

    0,00045

    0,00037

    0,00025

    0,00012

    12

    0,0

    0,001

    0,0003

    0,0004

    0,0005

    0,0006

    0,0006

    0,0007

    0,0006

    0,0004

    0,0003

    0,0001

    0,0001

    10

    0,0

    0,0002

    0,0005

    0,0007

    0,0008

    0,0009

    0,0009

    0,0009

    0,0007

    0,0003

    0,0002

    0,0003

    0,0006

    8,0

    0,0

    0,0001

    0,0005

    0,0009

    0,0011

    0,0012

    0,0015

    0,0015

    0,0015

    0,0011

    0,0004

    0,0002

    0,0009

    0,0014

    0,0017

    0,0020

    7,0

    0,0

    0,0001

    0,0007

    0,0013

    0,0015

    0,0018

    0,0020

    0,0020

    0,0018

    0,0009

    0,0013

    0,0011

    0,0018

    0,0023

    0,0026

    0,0028

    6,0

    0,0

    0,0002

    0,0011

    0,0021

    0,0023

    0,0026

    0,0028

    0,0025

    0,0019

    0,0003

    0,0013

    0,0025

    0,0033

    0,0037

    0,0038

    0,0038

    5,0

    0,0

    0,0004

    0,008

    0,0020

    0,0034

    0,0038

    0,0040

    0,0037

    0,0027

    0,0013

    0,0015

    0,0037

    0,0050

    0,0054

    0,0055

    0,0053

    0,0050

    4,0

    0,0

    0,0008

    0,0017

    0,0024

    0,0039

    0,0061

    0,0063

    0,0060

    0,0041

    0,0013

    0,0015

    0,0060

    0,0081

    0,0087

    0,0084

    0,0078

    0,0070

    0,0063

    3,0

    0,0

    0,0021

    0,0041

    0,0060

    0,0099

    0,0111

    0,0099

    0,0067

    0,0003

    0,0066

    0,0111

    0,0151

    0,0152

    0,0138

    0,0120

    0,0103

    0,0088

    0,0076

    2,0

    0,0

    0,0084

    0,0159

    0,0217

    0,0252

    0,0265

    0,0233

    0,0100

    0,0002

    0,0138

    0,0284

    0,0343

    0,0351

    0,0366

    0,0247

    0,0197

    0,0157

    0,0128

    0,0105

    0,0088

    1,5

    0,0

    0,0267

    0,0445

    0,0500

    0,0453

    0,0345

    0,0210

    0,0070

    0,0061

    0,0179

    0,0281

    0,0438

    0,0574

    0,0637

    0,0602

    0,0535

    0,0399

    1,2

    0,0

    0,0790

    0,0776

    0,0431

    0,076

    0,0216

    0,0446

    0,0620

    0,0753

    0,0851

    0,0921

    0,1000

    0,1019

    0,0925

    0,0787

    0,0655

    0,0453

    1,0

    0,0

    0,0539

    0,0851

    0,1076

    0,1240

    0,1360

    0,1444

    0,1498

    0,1529

    0,1540

    0,1535

    0,1491

    0,1373

    0,1133

    0,0913

    0,0732

    0,0477

    0,0338

    0,0247

    0,0187

    0,0146

    0,0117

    0,8

    0,0

    0,1879

    0,2598

    0,2753

    0,2692

    0,2623

    0,2541

    0,2464

    0,2377

    0,2289

    0,2198

    0,2011

    0,1737

    0,1337

    0,1030

    0,0803

    0,0514

    0,6

    0,0

    0,1342

    0,2352

    0,2948

    0,3227

    0,3311

    0,3282

    0,3193

    0,3070

    0,2930

    0,2782

    0,2484

    0,2070

    0,1520

    0,1133

    0,0863

    0,0538

    0,4

    0,0

    0,1114

    0,2077

    0,2802

    0,3275

    0,3532

    0,3631

    0,3607

    0,3513

    0,3373

    0,3207

    0,2848

    0,2334

    0,1661

    0,1212

    0,0910

    0,0556

    0,2

    0,0

    0,1014

    0,1931

    0,2668

    0,3236

    0,3575

    0,3753

    0,3796

    0,3741

    0,3627

    0,3455

    0,3073

    0,2502

    0,1814

    0,1263

    0,0939

    0,0566

    0,0376

    0,0

    0,0

    0,0985

    0,1886

    0,0264

    0,0320

    0,0358

    0,3783

    0,3849

    0,3809

    0,3696

    0,3535

    0,3148

    0,2560

    0,1789

    0,1281

    0,0949

    0,0571

    0,0377

    0,0266

    0,0198

    0,0152

    0,0121

    0 0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,2

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    4,0

    5,0

    6,0

    7,0

    8,0

    9,0

    10

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    25

    1.4.6Incrementodeesfuerzosdebidoaunrearectangularuniformementecargada

    Esteeselcasoquesepresentamsamenudocuandosecalcula incrementodeesfuerzos,debidoaque la

    mayoradelasfundacionestienenformarectangularounaformamuyparecidaasta.

    La solucin deBoussinesq (1883) es tambin utilizada para este caso, en el que se considera un rea

    flexible rectangular de anchoB y de largo L en la que la carga q es uniformemente distribuida por rea

    unitaria.

    ParadeterminarelincrementodeesfuerzosenelpuntoAsituadoaunaprofundidadzdebajodela

    esquina del rea rectangular, se considera una pequea rea elemental del rectngulo dxdy,Fig. 1.16. La

    cargasobreestareadiferenciales:

    Figura1.16Incrementodeesfuerzosdebidoaunrearectangularuniformementecargada.

    El incrementodeesfuerzosenelpuntoA causadopordq sedeterminamedianteelusode laecuacin

    (1.6),entoncessetiene:

    3

    2 /

    El incremento total de esfuerzo vertical se obtiene integrando la ecuacin anterior sobre el rea

    rectangularuniformementecargada:

    d 3

    2

    0

    (Ec.1.24)

    Donde,elfactordeinfluencia,,segnNewmark(1935),es:

    14

    2 1 1

    2 1

    2 1 1

    Ec. 1.25

    Para:

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    26

    ;

    Cuando 1 ,elargumentodeesnegativo.Enesecaso.

    14

    2 1 1

    2 1

    2 1 1

    Ec. 1.25.a

    Nota: Sedebedeaclararque lasunidadesdel trminoenparntesis son radianes ,por tanto , unavezque seha

    realizadolaverificacinylarespectivasumadeencasodesernecesario,sedebetransformarelvalorobtenidodelparntesisa

    gradossexagesimalesyluegoprocederrecinacalcular.

    Elvalordelfactorinfluenciasehayatabuladoenfuncindelosvaloresdemyn.Latabla1.6presenta

    lavariacindeconmyn.

    Por otro lado, el valor de puede tambin ser obtenido a travs de la grfica realizada por Fadum

    (1948),quiengraficunconjuntodecurvasquemuestranlavariacindeconmyn,Fig.1.17(a).

    Figura1.17(a)bacodeFadum(1948).

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    27

    Tabla

    1.6

    Variacinde con.

    6,0

    0,0316

    0,0620

    0,0902

    0,1154

    0,1374

    0,1562

    0,1719

    0,185

    0,1957

    0,2045

    0,2176

    0,2264

    0,2325

    0,2367

    0,2397

    0,2441

    0,2463

    0,2481

    0,2489

    0,2492

    5,0

    0,0316

    0,0620

    0,0901

    0,1154

    0,1374

    0,1561

    0,1719

    0,1849

    0,1956

    0,2044

    0,2175

    0,2263

    0,2323

    0,2366

    0,2395

    0,2439

    0,2461

    0,2479

    0,2486

    0,2489

    4,0

    0,0316

    0,0619

    0,0904

    0,1153

    0,1372

    0,156

    0,1717

    0,1847

    0,1954

    0,2042

    0,2172

    0,226

    0,232

    0,2362

    0,2391

    0,2434

    0,2455

    0,2472

    0,2479

    0,2482

    3,0

    0,0315

    0,0618

    0,0895

    0,1145

    0,1363

    0,1548

    0,1704

    0,1832

    0,1938

    0,2024

    0,2152

    0,2236

    0,2294

    0,2333

    0,2364

    0,2401

    0,242

    0,2434

    0,2439

    0,2441

    2,0

    0,0311

    0,0610

    0,0887

    0,1134

    0,135

    0,1533

    0,1686

    0,1812

    0,1915

    0,1999

    0,2124

    0,2206

    0,2261

    0,2299

    0,2325

    0,2361

    0,2378

    0,2391

    0,2395

    0,2397

    1,8

    0,0309

    0,0606

    0,088

    0,1126

    0,134

    0,1521

    0,1672

    0,1797

    0,1899

    0,1981

    0,2103

    0,2184

    0,2237

    0,2274

    0,2299

    0,2333

    0,235

    0,2362

    0,2366

    0,2367

    1,6

    0,0306

    0,0599

    0,0871

    0,1114

    0,1324

    0,1503

    0,1652

    0,1774

    0,1874

    0,1955

    0,2073

    0,2151

    0,2203

    0,2237

    0,2261

    0,2294

    0,2309

    0,232

    0,2324

    0,2325

    1,4

    0,0301

    0,0589

    0,0856

    0,1094

    0,13

    0,1475

    0,162

    0,1739

    0,1836

    0,1914

    0,2028

    0,2102

    0,2151

    0,2183

    0,2206

    0,2236

    0,225

    0,226

    0,2263

    0,2264

    1,2

    0,0293

    0,0573

    0,832

    0,01063

    0,1263

    0,1431

    0,157

    0,1684

    0,1777

    0,1851

    0,1958

    0,2028

    0,2073

    0,2103

    0,2124

    0,2151

    0,2163

    0,2172

    0,2175

    0,2176

    1,0

    0,0279

    0,0547

    0,0794

    0,1013

    0,1202

    0,1361

    0,1491

    0,1598

    0,1684

    0,1752

    0,1851

    0,1914

    0,1955

    0,1981

    0,1999

    0,2024

    0,2034

    0,2042

    0,2044

    0,2045

    0,9

    0,0270

    0,0528

    0,0766

    0,0977

    0,1158

    0,1314

    0,1436

    0,1537

    0,1619

    0,1684

    0,1777

    0,1836

    0,1874

    0,1899

    0,1915

    0,1938

    0,1947

    0,1954

    0,1956

    0,1957

    0,8

    0,0258

    0,0504

    0,0731

    0,0931

    0,1104

    0,1247

    0,1365

    0,1461

    0,1537

    0,1598

    0,1684

    0,1739

    0,1774

    0,1707

    0,1812

    0,1832

    0,1841

    0,1847

    0,1849

    0,185

    0,7

    0,0242

    0,0473

    0,0786

    0,0873

    0,1034

    0,1168

    0,1277

    0,1365

    0,1436

    0,1491

    0,157

    0,162

    0,1652

    0,1672

    0,1686

    0,1704

    0,1711

    0,1717

    0,1719

    0,1719

    0,6

    0,0222

    0,0435

    0,0629

    0,0801

    0,0947

    0,1069

    0,1169

    0,1247

    0,1311

    0,1361

    0,1431

    0,1475

    0,1503

    0,1521

    0,1533

    0,1548

    0,1555

    0,156

    0,1561

    0,1562

    0,5

    0,0198

    0,0387

    0,0559

    0,0711

    0,084

    0,0947

    0,1034

    0,1104

    0,1158

    0,1202

    0,1263

    0,13

    0,1324

    0,124

    0,135

    0,1363

    0,1368

    0,1372

    0,1374

    0,1374

    0,4

    0,0168

    0,0328

    0,0474

    0,0602

    0,0711

    0,0801

    0,0873

    0,0931

    0,0977

    0,1013

    0,1063

    0,1094

    0,1114

    0,1126

    0,1134

    0,1145

    0,115

    0,1153

    0,1154

    0,1154

    0,3

    0,0132

    0,0259

    0,374

    0,0474

    0,0559

    0,0629

    0,0686

    0,073

    0,0766

    0,0794

    0,0832

    0,0856

    0,0871

    0,088

    0,0887

    0,0895

    0,0898

    0,0901

    0,0901

    0,0902

    0,2

    0,0092

    0,0179

    0,0259

    0,0328

    0,0387

    0,0435

    0,0474

    0,0504

    0,0528

    0,0547

    0,0573

    0,0589

    0,0599

    0,0606

    0,061

    0,0616

    0,0618

    0,0619

    0,0602

    0,062

    0,1

    0,0047

    0,0092

    0,0132

    0,0168

    0,0,198

    0,0222

    0,0242

    0,0258

    0,027

    0,0279

    0,0293

    0,0301

    0,0306

    0,0309

    0,0311

    0,0314

    0,0315

    0,0316

    0,0316

    0,0316

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,2

    1,4

    1,6

    1,8

    2,0

    2,5

    3,0

    4,0

    5,0

    6,0

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    28

    ElbacodeFadum(1948)esutilizadoparaladeterminacindelvalordelfactordeinfluencia,conel

    objetodedeterminarelincrementodeesfuerzosdebajodeunadelasesquinasdeunasuperficierectangular

    cargada. En caso de que se quiera determinar el incremento de esfuerzos en un punto situado debajo el

    centrodeunrea rectangular cargada,elvalordel factorde influencia debeserobtenidoapartirde la

    figura1.17(b).Estafiguraproporcionatambinelvalordeparafundacionescircularesycuadradas.

    Cuandoelobjetivoconsisteendeterminarelincrementodeesfuerzosenunpuntocualquierasituadoauna

    cierta profundidad debajo de la superficie cargada (no necesariamente debajo el centro o una de las

    esquinas),talcomoelpuntoPdelcaso(a)delafigura1.17(c);elincrementodeesfuerzoscalculadoserel

    causado por la accin de la carga del rea ABDC sobre el punto P. Este incremento es la suma de los

    incrementosproducidosporlascargasdelosrectngulosAJPM,BKPJ,DLPK,CMPL,quedebensercalculados

    separadamenteenelpuntoPqueeslaesquinacomndeloscuatrorectngulos.

    Porotro ladosielobjetivoesdeterminarel incrementodeesfuerzosenunpuntoexterno, tal comoel

    puntoPdelcaso(b)delafigura1.17(c),sedebeconsiderarlaaccindelacargasobreelpuntoPcausada

    porelrectnguloPKDM,restndoselosincrementosproducidosporlacargadelosrectngulosPKBLyPJCM

    ysumandoelincrementoproducidoporelreacargadaPJAL,debidoaqueestereafuerestadadosvecesen

    elclculodelosincrementosrealizadoapartirdelasreasdelosrectngulosanteriores.

    Figura1.17(b).Determinacindelincrementodeesfuerzoverticaldebajodeunasuperficierectangularflexibleuniformementecargada(Janbu,BjerrumyKjaernsli,1956).

    Figura1.17(c).Incrementodeesfuerzosenunrearectangular.(a)Enunpuntodentroelrea.(b)Enunpuntofueradelrea.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    29

    Finalmente,parasaberelvalordelincrementodelosesfuerzoshorizontalesqueseproducen

    enelpuntoA,Fig.1.16,setienenlassiguientesecuaciones:

    2

    Ec. 1.26

    2

    Ec. 1.27

    Donde:

    /

    /

    /

    1.4.7Incrementodeesfuerzoverticaldebidoaunreauniformementecargadadecualquierforma

    Newmark (1942) desarroll una carta de influencia (grfica) para determinar el incremento de esfuerzo

    verticalencualquierpuntosituadodebajodeunreaflexibledecualquierformauniformementecargada.La

    grficaobservadaenlafigura1.18estcompuestadecrculosconcntricosdivididosporlneasradiales.Esta

    fuedibujadaapartirdelaecuacin(1.22)quefuerescritadelasiguienteforma:

    1

    /

    1 Ec. 1.28

    En laecuacin(1.28),R/zy soncantidadesadimensionales.La tabla1.7muestravaloresdeR/z

    paravariosvaloresde enbasealaecuacin(1.28).

    Tabla1.7ValoresdeR/zparavariasrazonesdecarga .

    Luego, los radios de los crculos de la grfica de la figura 1.18 son iguales a valores de R/z

    correspondientesa 0;0,05;0,1;0,15;0,2;..;1.Pero,cuando 1,R/z=,raznporlacual

    semuestransolamentenuevecrculos.Lalongitudunitariaparadibujarloscrculoses.

    Loscrculosestndivididosporvariaslneasradialesigualmenteespaciadas.Elvalordeinfluenciadela

    carta est dadopor1/N, dondeN es igual al nmerode elementos de la carta. En la figura 1.18 hay200

    elementos,porconsiguienteelvalordeinfluenciaesde0,005.

    Elprocedimientoparadeterminarelincrementodeesfuerzoverticalencualquierpuntodebajounrea

    cargadaeselsiguiente:

    . R/z R/z R/z

    0,000,050,100,150,200,250,30

    0,000,18650,26980,33830,40050,45980,5181

    0,350,400,450,500,550,600,65

    0,57680,63700,69970,76640,83840,91761,0067

    0,700,750,800,850,900,951,00

    1,10971,23281,38711,59431,90842,5232

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    30

    1. Determinar la profundidad z debajo del rea uniformemente cargada en la que se requiere elincrementodeesfuerzo.

    2. Dibujarlaplantadelreacargadaconunaescaladezigualalalongitudunitariadelacarta.3. Colocarlaplantadibujadasobrelacartadeinfluenciademaneraqueelpuntoenelcualelesfuerzo

    serdeterminadoestelocalizadoenelcentrodelacarta.

    4. ContarelnmerodeelementosMdelacartaencerradosporelreacargada.

    Luego,elincrementodeesfuerzoverticalenelpuntodeseadoestdadopor:

    Ec. 1.29

    Donde:

    Valordeinfluencia.

    Presinsobreelreacargada.

    Nmerodeelementosdelacartaencerradosporelreacargada.

    Figura1.18CartadeinfluenciadeNewmarkparahallarelincrementodeesfuerzosaunaciertaprofundidad.

    1.4.8 Casos especiales de carga para la solucin de Boussinesq(1883)

    Muchoscasosespecialesdesuperficiescargadaspuedenserresueltosmediante integracinde laecuacin

    deBoussinesq(1883)sobreelreacargada.Enesteapartadosepresentandoscasosdesuperficiescargadas

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    31

    con distribucin de esfuerzos triangulares. En el caso (a) mostrado en la figura 1.19 se presenta una

    distribucindeesfuerzostriangularesverticalesqueaumentadesde0hastasuvalormximoq;mientrasque

    paraelcaso(b)delamismafigura,setieneunadistribucindeesfuerzostriangularesverticalesylateralesa

    lavezqueaumentaverticalmentedesde0hastasuvalormximoqyaumentalateralmentedesdeqhastasu

    valormximoq.(a)Variacindecargalinealenunadireccin (b)Variacindecargalinealendosdireccin.

    intensidad=q intensidad=q;q=q/2

    Figura1.19CasosespecialesdecargaparalasolucindeBoussinesq(1883).ByLsiempreseorientancomosemuestra.

    BpuedesermayoromenoraL.

    Las ecuacionesparadeterminar el incrementode esfuerzovertical debajodeuna esquina (puntoA) y

    debajodelaesquinaenlaquesepresentalaintensidaddecargamxima(puntoC)delreacargadafueron

    desarrolladasporVitoneyValsangkar(1986)apartirdeunaintegracincuidadosadelaecuacin(1.6)yse

    presentanacontinuacin:

    Paraelcaso(a),delafigura1.19,elincrementodeesfuerzos:

    EnelpuntoAes:

    2

    Ec. 1.30

    EnelpuntoCes:

    2

    / Ec. 1.31

    Paraelcaso(b)delafigura1.19,elincrementodeesfuerzos:

    EnelpuntoAes:

    ,

    4

    Ec. 1.32

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    32

    Tabla

    1.8

    (a).Variacinde

    con

    paraelpuntoapartirdelaecuacindeVitoneyValsangkar(1986),Fig.1.20(a).

    3,5

    0,0018

    0,0036

    0,0054

    0,0072

    0,0089

    0,0106

    0,0122

    0,0137

    0,0152

    0,0166

    0,0223

    0,0260

    0,0278

    0,0283

    0,0280

    3,0

    0,0024

    0,0048

    0,0072

    0,0095

    0,0118

    0,0139

    0,0160

    0,0179

    0,0197

    0,0214

    0,0279

    0,0313

    0,0324

    0,0321

    0,0309

    2,5

    0,0034

    0,0067

    0,0072

    0,0131

    0,0161

    0,0190

    0,0216

    0,0241

    0,0263

    0,0284

    0,0352

    0,0377

    0,0375

    0,0358

    0,0335

    2,0

    0,00050

    0,0098

    0,0100

    0,0190

    0,0232

    0,0270

    0,0305

    0,0335

    0,0361

    0,0384

    0,0445

    0,0447

    0,0421

    0,0387

    0,0353

    1,5

    0,0079

    0,0155

    0,0146

    0,0293

    0,0352

    0,0402

    0,0444

    0,0477

    0,0503

    0,0523

    0,0544

    0,0503

    0,0448

    0,0396

    0,0351

    1,0

    0,0139

    0,0270

    0,0227

    0,0480

    0,0553

    0,0606

    0,0641

    0,0660

    0,0668

    0,0666

    0,0592

    0,0498

    0,0420

    0,0359

    0,0312

    0,9

    0,0159

    0,0306

    0,0385

    0,0531

    0,0604

    0,0653

    0,0680

    0,0692

    0,0691

    0,0682

    0,0584

    0,0482

    0,0403

    0,0343

    0,0297

    0,8

    0,0183

    0,0348

    0,0431

    0,0588

    0,0656

    0,0697

    0,0714

    0,0716

    0,0706

    0,0688

    0,0568

    0,0460

    0,0381

    0,0323

    0,0279

    0,7

    0,0212

    0,0400

    0,0546

    0,0647

    0,0707

    0,0734

    0,0738

    0,0727

    0,0706

    0,0681

    0,0540

    0,0430

    0,0353

    0,0298

    0,0257

    0,6

    0,0250

    0,0462

    0,0615

    0,0707

    0,0749

    0,0758

    0,0745

    0,0720

    0,0688

    0,0654

    0,0500

    0,0392

    0,0320

    0,0269

    0,0232

    0,5

    0,0301

    0,0539

    0,0688

    0,0758

    0,0774

    0,0758

    0,0726

    0,0686

    0,0646

    0,0606

    0,0446

    0,0346

    0,0280

    0,0235

    0,0202

    0,4

    0,0372

    0,0631

    0,0756

    0,0785

    0,0764

    0,0720

    0,0670

    0,0620

    0,0574

    0,0531

    0,0379

    0,0290

    0,0234

    0,0196

    0,0168

    0,3

    0,0476

    0,0732

    0,0792

    0,0759

    0,0696

    0,0630

    0,0569

    0,0516

    0,0470

    0,0430

    0,0298

    0,0226

    0,0182

    0,0152

    0,0130

    0,2

    0,0636

    0,0795

    0,0733

    0,0635

    0,0547

    0,0475

    0,0418

    0,0372

    0,0335

    0,0304

    0,0206

    0,0155

    0,0125

    0,0104

    0,0089

    0,1

    0,0796

    0,0637

    0,0477

    0,0374

    0,0306

    0,0258

    0,0223

    0,0196

    0,0174

    0,0157

    0,0105

    0,0079

    0,0063

    0,0053

    0,0045

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    33

    Tabla

    1.8

    (b).Variacinde

    con

    paraelpuntoapartirdelaecuacindeVitoneyValsangkar(1986),fFg.1.20(a).

    3,5

    0,0256

    0,0261

    0,0266

    0,0271

    0,0276

    0,0281

    0,0285

    0,0289

    0,0293

    0,0297

    0,0313

    0,0325

    0,0335

    0,0342

    0,0347

    3,0

    0,0343

    0,0350

    0,0357

    0,0363

    0,0369

    0,0374

    0,0379

    0,0384

    0,0388

    0,0393

    0,0409

    0,0419

    0,0425

    0,0430

    0,0432

    2,5

    0,0483

    0,0492

    0,0500

    0,0508

    0,0515

    0,0521

    0,0526

    0,0531

    0,0535

    0,0539

    0,0551

    0,0554

    0,0554

    0,0552

    0,0549

    2,0

    0,0725

    0,0737

    0,0747

    0,0755

    0,0762

    0,0768

    0,0772

    0,0774

    0,0776

    0,0777

    0,0770

    0,0755

    0,0739

    0,0724

    0,0711

    1,5

    0,1195

    0,1208

    0,1217

    0,1222

    0,1222

    0,1220

    0,1214

    0,1206

    0,1197

    0,1186

    0,1121

    0,1059

    0,1007

    0,0966

    0,0934

    1,0

    0,2270

    0,2270

    0,2254

    0,2225

    0,2185

    0,2137

    0,2085

    0,2030

    0,1974

    0,1920

    0,1678

    0,1502

    0,1376

    0,1285

    0,1217

    0,9

    0,2645

    0,2636

    0,2605

    0,2556

    0,2493

    0,2423

    0,2348

    0,2273

    0,2198

    0,2125

    0,1820

    0,1607

    0,1459

    0,1353

    0,1274

    0,8

    0,3118

    0,3093

    0,3037

    0,2957

    0,2863

    0,2760

    0,2654

    0,2550

    0,2450

    0,2355

    0,1971

    0,1716

    0,1542

    0,1420

    0,1330

    0,7

    0,3727

    0,3674

    0,3577

    0,3450

    0,3307

    0,3157

    0,3009

    0,2866

    0,2733

    0,2609

    0,2131

    0,1826

    0,1624

    0,1483

    0,1379

    0,6

    0,4532

    0,4430

    0,4265

    0,4062

    0,3844

    0,3626

    0,3418

    0,3226

    0,3049

    0,2889

    0,2298

    0,1937

    0,1703

    0,1540

    0,1422

    0,5

    0,5641

    0,5446

    0,5158

    0,4828

    0,4495

    0,4179

    0,3890

    0,3630

    0,3399

    0,3195

    0,2470

    0,2046

    0,1775

    0,1589

    0,1454

    0,4

    0,7255

    0,6865

    0,6344

    0,5798

    0,5285

    0,4826

    0,4426

    0,4081

    0,3782

    0,3524

    0,2644

    0,2149

    0,1838

    0,1626

    0,1473

    0,3

    0,9816

    0,8957

    0,7956

    0,7028

    0,6235

    0,5575

    0,5029

    0,4575

    0,4195

    0,3873

    0,2819

    0,2246

    0,1892

    0,1652

    0,1479

    0,2

    1,4465

    1,2224

    1,0169

    0,8570

    0,7356

    0,6424

    0,5693

    0,5209

    0,4633

    0,4239

    0,2992

    0,2336

    0,1935

    0,1665

    0,1471

    0,1

    2,4850

    1,7480

    1,3121

    1,0429

    0,8631

    0,7355

    0,6405

    0,5672

    0,5090

    0,4617

    0,3163

    0,2420

    0,1970

    0,1669

    0,1453

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    34

    Tabla

    1.8

    (c).Variacinde

    con

    paraelpuntoapartirdelaecuacindeVitoneyValsangkar(1986),Fig.1.20(b).

    3,5

    0,0018

    0,0036

    0,0054

    0,0071

    0,0088

    0,0105

    0,0121

    0,0137

    0,0152

    0,0166

    0,0228

    0,0272

    0,0300

    0,0316

    0,0325

    3,0

    0,0024

    0,0047

    0,0071

    0,0094

    0,0116

    0,0137

    0,0158

    0,0178

    0,0197

    0,0214

    0,0286

    0,0332

    0,0358

    0,0370

    0,0373

    2,5

    0,0033

    0,0065

    0,0097

    0,0128

    0,0158

    0,0186

    0,0213

    0,0238

    0,0262

    0,0284

    0,0365

    0,0409

    0,0427

    0,0431

    0,0427

    2,0

    0,0047

    0,0094

    0,0140

    0,0183

    0,0224

    0,0262

    0,0298

    0,0330

    0,0358

    0,0384

    0,0468

    0,0500

    0,0504

    0,0497

    0,0485

    1,5

    0,0073

    0,0144

    0,0212

    0,0275

    0,0332

    0,0383

    0,0427

    0,0465

    0,0497

    0,0523

    0,0587

    0,0592

    0,0577

    0,0557

    0,0538

    1,0

    0,0121

    0,0235

    0,0338

    0,0427

    0,0500

    0,0557

    0,0600

    0,0631

    0,0653

    0,0666

    0,0669

    0,0636

    0,0602

    0,0575

    0,0552

    0,9

    0,0135

    0,0261

    0,0372

    0,0465

    0,0538

    0,0593

    0,0632

    0,0658

    0,0674

    0,0682

    0,0668

    0,0628

    0,0593

    0,0565

    0,0543

    0,8

    0,0151

    0,0290

    0,0409

    0,0504

    0,0575

    0,0625

    0,0657

    0,0676

    0,0686

    0,0688

    0,0657

    0,0612

    0,0576

    0,0548

    0,0527

    0,7

    0,0170

    0,0323

    0,0449

    0,0543

    0,0608

    0,0649

    0,0672

    0,0682

    0,0684

    0,0681

    0,0633

    0,0585

    0,0549

    0,0522

    0,0502

    0,6

    0,0193

    0,0361

    0,0489

    0,0577

    0,0631

    0,0659

    0,0670

    0,0670

    0,0664

    0,0654

    0,0593

    0,0544

    0,0510

    0,0485

    0,0467

    0,5

    0,0221

    0,0403

    0,0528

    0,0601

    0,0636

    0,0647

    0,0644

    0,0634

    0,0621

    0,0606

    0,0537

    0,0489

    0,0458

    0,0435

    0,0419

    0,4

    0,0259

    0,0450

    0,0557

    0,0602

    0,0612

    0,0604

    0,0588

    0,0569

    0,0550

    0,0531

    0,0461

    0,0419

    0,0391

    0,0372

    0,0358

    0,3

    0,0312

    0,0495

    0,0559

    0,0563

    0,0544

    0,0519

    0,0493

    0,0469

    0,0448

    0,0430

    0,0367

    0,0332

    0,0310

    0,0295

    0,0284

    0,2

    0,0389

    0,0509

    0,0497

    0,0458

    0,0419

    0,0386

    0,0359

    0,0337

    0,0319

    0,0304

    0,0256

    0,0231

    0,0215

    0,0205

    0,0198

    0,1

    0,0454

    0,0389

    0,0314

    0,0264

    0,0231

    0,0207

    0,0190

    0,0176

    0,0166

    0,0157

    0,0131

    0,0188

    0,0110

    0,0105

    0,0101

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    35

    Tabla

    1.8

    (d).Variacinde

    con

    paraelpuntoapartirdelaecuacindeVitoneyValsangkar(1986),Fig.1.20(b).

    3,5

    0,0019

    0,0037

    0,0055

    0,0074

    0,0092

    0,0109

    0,0127

    0,0144

    0,0161

    0,0177

    0,0251

    0,0313

    0,0364

    0,0404

    0,0436

    3,0

    0,0025

    0,0050

    0,0074

    0,0098

    0,0122

    0,0146

    0,0168

    0,0191

    0,0212

    0,0233

    0,0326

    0,0400

    0,0457

    0,0500

    0,0534

    2,5

    0,0035

    0,0069

    0,0104

    0,0137

    0,0170

    0,0202

    0,0233

    0,0263

    0,0292

    0,0319

    0,0436

    0,0523

    0,0586

    0,0632

    0,0667

    2,0

    0,0052

    0,0104

    0,0154

    0,0204

    0,0251

    0,0297

    0,0340

    0,0381

    0,0420

    0,0456

    0,0603

    0,0702

    0,0769

    0,0817

    0,0851

    1,5

    0,0085

    0,0168

    0,0249

    0,0327

    0,0400

    0,0468

    0,0531

    0,0588

    0,0640

    0,0688

    0,0863

    0,0969

    0,1035

    0,1080

    0,1113

    1,0

    0,0159

    0,0312

    0,0455

    0,0586

    0,0702

    0,0803

    0,0891

    0,0967

    0,1031

    0,1086

    0,1268

    0,1364

    0,1421

    0,1459

    0,1487

    0,9

    0,0184

    0,0361

    0,0524

    0,0669

    0,0796

    0,0904

    0,0996

    0,1073

    0,1139

    0,1194

    0,1370

    0,1461

    0,1515

    0,1551

    0,1577

    0,8

    0,0216

    0,0422

    0,0607

    0,0769

    0,0906

    0,1021

    0,1115

    0,1193

    0,1257

    0,1311

    0,1479

    0,1564

    0,1615

    0,1648

    0,1672

    0,7

    0,0258

    0,0499

    0,0711

    0,0890

    0,1036

    0,1154

    0,1249

    0,1325

    0,1387

    0,1438

    0,1594

    0,1672

    0,1719

    0,1749

    0,1771

    0,6

    0,0313

    0,0598

    0,0841

    0,1035

    0,1188

    0,1306

    0,1398

    0,1470

    0,1528

    0,1575

    0,1716

    0,1785

    0,1827

    0,1854

    0,1874

    0,5

    0,0389

    0,0731

    0,1005

    0,1211

    0,1364

    0,1477

    0,1561

    0,1627

    0,1678

    0,1719

    0,1841

    0,1902

    0,1938

    0,1962

    0,1979

    0,4

    0,0500

    0,0913

    0,1214

    0,1421

    0,1564

    0,1664

    0,1738

    0,1793

    0,1836

    0,1870

    0,1971

    0,2021

    0,2050

    0,2070

    0,2084

    0,3

    0,0675

    0,1170

    0,1478

    0,1666

    0,1785

    0,1866

    0,1923

    0,1966

    0,1998

    0,2025

    0,2102

    0,2141

    0,2164

    0,2179

    0,2190

    0,2

    0,0985

    0,1535

    0,1799

    0,1938

    0,2021

    0,2075

    0,2114

    0,2142

    0,2165

    0,2182

    0,2235

    0,2261

    0,2276

    0,2287

    0,2294

    0,1

    0,1592

    0,2009

    0,2151

    0,2220

    0,2261

    0,2288

    0,2307

    0,2321

    0,2332

    0,2341

    0,2367

    0,2381

    0,2388

    0,2394

    0,2398

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    3,0

    3,5

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    36

    EnelpuntoCes:

    ,

    4

    2

    /

    Ec. 1.33

    Donde:

    Las tablas 1.8 (a) a 1.8 (d) presentan la variacin de respectivamente, para distintos

    valoresdez/LyB/L.

    Ejemplo1.2

    Enlafigura1.20semuestraelterrenodondeseconstruyerondiferentesobrasciviles.

    Figura.1.20Vistaenplantadediferentesobrasciviles.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    37

    Sepidedeterminar:

    1) Elincrementodeesfuerzoenelcentroybordedecadaunadelasobrascivilesaunaprofundidadde6m.

    2) Lagraficadevariacindeincrementodeesfuerzovsprofundidadencentrodelosacircular.3) Elincrementodeesfuerzodelalosarectangulartomandoencuentalainfluenciadelalosacircular,

    aunaprofundidadde6m.

    Solucin: Refirasealafigura1.20.

    Paso 1. Determinacin de la a la profundidad de fundacin 1,5, en cada uno de las obras

    civiles.

    Casoa)Losarectangular.

    Lacarganetaaniveldefundacines:

    , , ; , ;

    ,

    Donde:

    , 18

    1,5 27

    120

    9,8

    1,5 14,7;

    Porlotantolacarganetaes:

    , , 120 27 93

    Casob)Losacircular.

    Lacarganetaaniveldefundacines:

    , , ; , ;

    ,

    Donde:

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    38

    , 18

    1,5 27

    150

    9,8

    1,5 14,7; 9,8

    0,5 4,9

    Porlotantolacarganetaes:

    , , 150 4,9 27 14,7 132,8

    Casoc)Zapatacuadrada.

    Lacarganetaaniveldefundacines:

    , , ; , ;

    ,

    Donde:

    , 18

    1,5 27

    3002 2

    75

    9,8

    1,5 14,7

    Porlotantolacarganetaes:

    , , 75 27 48

    Casod)Losairregular.

    Lacarganetaaniveldefundacines:

    , , ; , ;

    ,

    Donde:

    , 18

    1,5 27

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    39

    250

    9,8

    1,5 14,7

    Porlotantolacarganetaes:

    , , 250 27 223

    Paso2.Determinacindelincrementodeesfuerzoenelcentroyenelbordedelaestructura.

    Casoa)Losarectangular.

    Enelcentrodelalosarectangulardefundacin.

    ElincrementodeesfuerzoenelpuntoPes:

    Empleamoslaecuacin(1.24).

    Donde:

    93

    1.6; ;

    ; 26 0,333;

    3,56

    0,583

    1.6: 0,33 0,583 0,0705

    93 0,0705 6,556

    4 4 6,556 ,

    Enelbordedelalosarectangulardefundacin.

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    40

    ElincrementodeesfuerzoenelpuntoR.

    ;

    Empleamoslaecuacin(1.24).

    Donde:

    93

    1.6; ;

    ; 26 0,333;

    76 1,167

    1.6: 0.33 1,167 0,0958

    93 0,0958 8,909

    2 2 8,909 ,

    Casob)Losacircular.

    Enelcentrodelalosacirculardefundacin.

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    41

    Utilizamoslaecuacin(1.22).

    1

    1

    1

    /

    Donde:

    132,8

    5

    Remplazamoslosvaloresde, , ,enlaecuacin(1.22).

    132,8

    1

    1

    1 56

    /

    ,

    Delamismamanerapodemosresolverutilizandolastablas1.5(a)

    65 1,2 1.5;

    0,557

    0,557 132,8 ,

    Enelbordedelalosacirculardefundacin.

    Utilizamoslaecuacin(1.22.a)

    , ,

    Donde:

    132.8

    , 1.5.

    , 1.5.

    65 1,2;

    55 1

    Delatabla1.5(b) , 0,23178

    Delatabla1.5(c) , 0,14915

    Reemplazando,, ,1.22. .

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    42

    , , 132,80,23178 0,14915 , .

    Casoc)Zapatacuadrada.

    Enelcentrodelazapatacuadradadefundacin.

    Utilizamoslafigura1.17.b.paraladeterminacinde.

    62 2; ; 1.17 0,12

    48 0,12 , .

    Enelbordededelazapatacuadradadefundacin.

    ElincrementodeesfuerzoenelpuntoR

    ;

    Empleamoslaecuacin(1.24).

    Donde:

    48

    1.6; ;

    ; 16 0,1667;

    26 0,333

    1.6: 0,1667 0,333 0,0235

    48 0,0235 1,128

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    43

    6mR 2z6 2 1,128 , .

    Casod)Losairregular

    Enelbordedelalosairregulardefundacin.

    d.1.Paraladeterminacindelincrementodeesfuerzoserealizaraelsiguienteartificiomatemtico:

    Se puede observar que el incremento de esfuerzo en el punto P puede ser calculado aplicando la

    superposicindelosefectosdelalosaA1,A2yA3.

    ElincrementodeesfuerzoocasionadoporlalosaA1es:

    Empleamoslaecuacin(1.24).

    Donde:

    48

    1.6; ;

    ; 56 0,833;

    76 1,167

    1.6: 0,833 1,167 0,170

    223 0,170 37,91

    ElincrementodeesfuerzoocasionadoporlalosaA2es:

    ; 46 0,667;

    76 1,167

    1.6: 0,833 1,167 0,1511

    223 0,1511 33,70

    ElincrementodeesfuerzoocasionadoporlalosaA3es:

    ; 36 0,5;

    56 0,833

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    44

    1.6: 0,5 0,833 0,1121

    223 0,1121 25,01

    Finalmente,elincrementodeesfuerzoenelpuntoPser:

    37,91 33,70 25,01 ,

    d.2.TambiensepuedecalcularelincrementodeesfuerzoenelpuntoPmedianteelgraficodeNewmark.

    Sedebedeseguirlossiguientespasos:

    1. Determinacindelaprofundidadalaqueserequiereelincrementodeesfuerzo;z=6m.

    2. Dibujarenplantaelreacargadaconunaescaladez;z=AB=6m.

    3. Colocarlaplantadibujadasobrelacartadeinfluenciademaneraqueelpuntoenelcualelesfuerzoserdeterminadoestelocalizadoenelcentrodelacarta.

    4. ContarelnmerodeelementosMdelacartaencerradosporelreacargada;M=40,2LuegoelincrementodeesfuerzoverticalenelpuntoP:

    0,005 223 40,2 ,

    Paso3.Determinacindelagraficadevariacindeincrementodeesfuerzovsprofundidadencentrode

    losacircular.

    Utilizamoslaecuacin(1.22).

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    45

    1

    1

    1

    /

    Donde:

    132,8 5 010

    Delaecuacinsellegaaobtenerlasiguientegrafica.

    Paso4.Determinacindelincrementodeesfuerzodelalosarectangulartomandoencuentalainfluencia

    delalosacircular,aunaprofundidadde6m.

    ElincrementodeesfuerzoenelpuntoR

    178,8182

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    46

    Empleamoslaecuacin(1.22.a).

    , ,

    65 1,2;

    105 2

    Delatabla1.5.b. , 0,05260

    Delatabla1.5.c. , 0,00023

    132,80,05260 0,00023 7,01

    FinalmenteelincrementodeesfuerzoenelpuntoRser:

    178,818 7,01 , .

    1.5MtododeHarr(1977)

    Harr (1977) haciendo uso de la teora de probabilidades, desarroll procedimientos para el clculo

    aproximadode ladistribucindeesfuerzoscon laprofundidadenunciertopuntoquesehallasometidoa

    cargas distribuidas aplicadas en la superficie del suelo. Para este mtodo se asume que el medio es

    homogneo,quelascargassonflexibles,yqueladistribucindeesfuerzosnormalesverticalesenunpunto

    dependeslodelaporosidaddelmedioydelesfuerzoverticalnormalesperadoenelpunto.

    1.5.1Cargapuntual

    La ecuacin determinada por Harr (1977) para la determinacin del valor esperado del incremento de

    esfuerzoverticaldebido a la aplicacindeuna cargapuntualP que acta en el origendel sistemade

    coordenadas,Fig.1.21(a),es:

    2

    2

    Ec. 1.34

    Donde:

    Coeficientedepresinlateraldelterreno.

    Baselogaritmoneperiano.

    Figura1.21(a)Determinacindelincrementodeesfuerzosdebidoaunacargapuntualaplicadaenelorigendelsistemadecoordenadas(Harr,1977).

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    47

    La figura1.21 (b)muestra lavariacinde paraunrangodevalores .Porejemplo

    para un valor de 1/5 0,67; buscar el eje horizontal correspondiente al valor de K=1/5 a

    continuacinubicarelvalorder/z=0,67dadosobreeseeje.Finalmentetrazarunaverticalhastainterceptar

    alacurva.Laordenadacorrespondientealpuntodeinterseccineselvalorde buscado.

    Figura1.21(b)Solucindelaecuacin(1.30),(Harr,1977).

    1.5.2Cargalineal

    Harr (1977) tambindeterminecuacionesparael clculodelvaloresperadodel incrementodeesfuerzo

    vertical debido a una carga lineal de intensidad q por unidad de longitud que acta perpendicular a la

    superficieenelorigendecoordenadas.LaecuacindeterminadaporHarr(1977)es:

    2

    Ec. 1.35

    Donde: Coeficientedepresinlateraldelterreno. Baselogaritmoneperiano.

    1.5.3Cargacontinua

    Paraunacargauniformenormalqporunidaddereaactuandoenunafranjadeancho2Bylargoinfinito,el

    valoresperadodelincrementodeesfuerzonormalverticaldebajodelcentrodegravedaddelafranja(x=0),

    es:

    2

    Ec. 1.36

    Engeneral,estevalores:

    Ec. 1.37

  • MecnicadeSuelos.L.M.Salinas,H.J.Yapari,A.Canelas,A.Aranibar

    48

    Losvaloresdelafuncin()sepresentanenlatabla1.9;quecorrespondeavalorestabuladosdeunacurvadedistribucinnormalestandarizadaparaunavariablealeatoriadistribuidanormalmente.

    Tabla1.9.Valoresdelafuncin(Harr,1977).

    1

    2

    2,2; 12122

    z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    0 0 0,003969 0,007978 0,011966 0,015953 0,019939 0,023922 0,027903 0,031881 0,0035856

    0,1 0,03928 0,043795 0,047758 0,051717 0,05567 0,059618 0,063559 0,067495 0,071424 0,075345

    0,2 0,07926 0,083166 0,087064 0,090954 0,094835 0,098706 0,102568 0,10642 0,110251 0,114092

    0,3 0,11791 0,12172 0,125516 0,1293 0,133072 0,136831 0,140576 0,144309 0,148027 0,151732

    0,4 0,155422 0,159097 0,162757 0,166402 0,170031 0,173645 0,177242 0,180822 0,184386 0,187933

    0,5 0,191462 0,194974 0,198466 0,201944 0,205401 0,20884 0,21226 0,215661 0,219043 0,222405

    0,6 0,225747 0,229069 0,232371 0,235653 0,234914 0,242154 0,245373 0,248571 0,251748 0,254903

    0,7 0,258036 0,261148 0,264238 0,257305 0,27035 0,273373 0,276373 0,27935 0,282305 0,285236

    0,8 0,288145 0,29103 0,293892 0,296731 0,299546 0,302337 0,305105 0,30785 0,31057 0,313267

    0,9 0,31594 0,318589 0,321214 0,323814 0,326391 0,328944 0,331472 0,333977 0,336457 0,338913

    1,0 0,341345 0,343752 0,346136 0,348495 0,35083 0,353141 0,355428 0,35769 0,359929 0,362143

    1,1 0,364334 0,3665 0,368643 0,370762 0,372857 0,374928 0,376976 0,379 0,381 0,382977

    1,2 0,38493 0,386861 0,388768 0,390651 0,392512 0,39435 0,396165 0,397958 0,399727 0,401475

    1,3 0,4032 0,404902 0,406582 0,408241 0,409877 0,411492 0,413085 0,414657 0,416207 0,417736

    1,4 0,419243 0,42073 0,422196 0,423641 0,425066 0,426471 0,427855 0,429219 0,430563 0,431888

    1,5 0,433193 0,434476 0,435745 0,436992 0,43822 0,439429 0,44062 0,441792 0,442947 0,444083

    1,6 0,445201 0,446301 0,447384 0,448449 0,449497 0,450529 0,451543 0,45254 0,453521 0,454486

    1,7 0,455435 0,456367 0,457284 0,458485 0,45907 0,459941 0,460796 0,461636 0,462462 0,463273

    1,8 0,6407 0,464852 0,46562 0,466375 0,467116 0,467843 0,468557 0,469258 0,469946 0,470621

    1,9 0,471283 0,471933 0,472571 0,473197 0,47361 0,474412 0,475002 0,475581 0,476148 0,476705

    2,0 0,47725 0,477784 0,478308 0,478822 0,479325 0,479818 0,480301 0,480774 0,481237 0,481691

    2,1 0,482136 0,482571 0,482997 0,483414 0,483823 0,484222 0,484614 0,484997 0,485371 0,485738

    2,2 0,486097 0,486447 0,486791 0,487126 0,487455 0,487776 0,488089 0,488396 0,488696 0,488989

    2,3 0,489276 0,489556 0,48983 0,490097 0,490358 0,490613 0,490863 0,491106 0,491344 0,491576

    2,4 0,491802 0,492024 0,49224 0,492451 0,492656 0,492857 0,493053 0,493244 0,493431 0,493613

    2,5 0,49379 0,493963 0,494132 0,494297 0,494457 0,494614 0,494766 0,494915 0,49506 0,495201

    2,6 0,495339 0,495473 0,495604 0,495731 0,495855 0,495975 0,496063 0,496207 0,496319 0,496427

    2,7 0,496533 0,496636 0,496736 0,496833 0,496928 0,49702 0,49711 0,497197 0,497282 0,497365

    2,8 0,497445 0,497523 0,497599 0,497673 0,497744 0,497814 0,497882 0,497948 0,498012 0,498074

    2,9 0,498134 0,498193 0,49825 0,498305 0,498359 0,498411 0,498462 0,498511 0,498559 0,498605

    3,0 0,49865 0,498694 0,498736 0,498777 0,498817 0,498856 0,498893 0,49893 0,498965 0,498999

    3,1 0,499032 0,499065 0,499096 0,499126 0,499155 0,499184 0,499211 0,499238 0,499264 0,499289

    3,2 0,499313 0,499336 0,499359 0,499381 0,499402 0,499423 0,499443 0,499462 0,499481 0,499499

    3,3 0,499517 0,499534 0,49955 0,499566 0,499581 0,499596 0,49961 0,499624 0,499638 0,499651

    3,4 0,499663 0,499675 0,499687 0,499698 0,499709 0,49972 0,49973 0,49974 0,499749 0,499758

    3,5 0,499767 0,499776 0,499784 0,499792 0,4998 0,499807 0,499815 0,499822 0,499828 0,499835

    3,6 0,499841 0,499847 0,499853 0,499858 0,499864 0,499869 0,499874 0,499879 0,499883 0,499888

    3,7 0,499892 0,499896 0,49999 0,499904 0,49908 0,499912 0,49915 0,499918 0,499922 0,499925

    3,8 0,499928 0,499931 0,499933 0,499936 0,499938 0,499941 0,499943 0,499946 0,499948 0,49995

    3,9 0,499952 0,499954 0,499956 0,499958 0,499959 0,499961 0,499963 0,499964 0,499966 0,499967

  • Captulo1.Incrementodeesfuerzo

    49

    1.5.4Cargaverticaluniformesobreunrearectangu