TECSUP - PFR Matemática II

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1. INTRODUCCIÓN

Consideremos la ecuación )x(fy en donde f es una función. En muchas

aplicaciones la variable independiente x puede cambiar ligeramente y esnecesario encontrar el cambio correspondiente de la variable dependiente y. Uncambio en x se denota frecuentemente por el símbolo x (que se lee “delta x”).

Por ejemplo, si x varía de x1 a x2, entonces: 12 xxx .

El número x es el incremento de x. Nótese que xxx 12 , es decir, el

nuevo valor de x2 es igual al valor inicial x1 más el incremento x . El símbolo y

se usa para denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde ax .

Entonces: )x(f)xx(f)x(f)x(fy 1112

En ocasiones se utiliza x para representar el valor inicial de la variabledependiente. En ese caso, para indicar un cambio (pequeño) de esta variable, sedice que x tiene un incremento x

Ejemplo:

Sea: 53 2 xy . Calcular y cuando x cambia de 2 a 2,1.

Solución

Deseamos calcular y cuando x = 2 y 10,x .

)(f),(f)x(f)xx(fy 212

2315235123 22 ,)(),(

La notación de incremento puede usarse para definir la derivada de una función.

Así:x

ylim)x('fx

0

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De dicha relación se advierte que si )x('f existe, entonces )x('fx

y

cuando

0x .

O bien:

... (1)

Ejemplo:

Sea: 53 2 xy . Utilizar x).x('f para estimar y cuando x cambia de 2 a 2,1.

Solución

Sea 53 2 x)x(f , en el ejemplo anterior se vio que 231,y

En este ejemplo, x = 2 y 10,x y

211026 ,),)((y

Obsérvese que el valor 1,2 coincide con el valor exacto hasta la primera cifradesconocida.

DEFINICIÓN

Se llama diferencial dx de la variable independiente x a xdx

Se llama diferencial dy de la variable dependiente y a x).x('fdy

Ejemplo:

El radio de un globo esférico mide 30cm y el error máximo en la medición es de0,15cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de laesfera.

Solución

Consideremos primero la fórmula general que relaciona el radio con el volumen.

Definimos:

x = valor medido del radio.

x = error máximo en x

x).x('fy cuando 0x

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Si se calcula el volumen V del cilindro usando el valor medido x, entonces:

3

3

4xV .

Sea V el cambio en V correspondiente a x . Podemos interpretar V como elerror en el volumen calculado debido al error x .

Podemos estimar V como sigue: x.xx).x('VV 24

Finalmente, sustituimos los valores de x = 30 y x = 150, cm

Obtenemos:

1696540150304 2 ),.()(V

Por lo tanto, el error máximo posible en el volumen calculado debido al error demedición del radio es, aproximadamente, 1696 cm3.

DEFINICIÓN

Ejemplo:

El radio de un globo esférico mide 30cm con un error máximo en la medición de0,15cm. Estimar el error medio y el error porcentual para el valor calculado delvolumen.

Solución

Tenemos que: 31696cmV el volumen calculado es 33 36000303

4cm)(V

ERROR MEDIO 015036000

540,

V

V

ERROR PORCENTUAL %,%))(,( 511000150

Podemos calcular también los errores respectivos en la medición del radio:

ERROR MEDIO 005030

150,

,

x

x

ERROR PORCENTUAL %,%))(,( 501000050

Nótese que esto da un error porcentual del 1,5% para el volumen.

Sea x una medida con un error máximo x .

Por definición, (I) ERROR MEDIOx

x

(II) ERROR PORCENTUAL = (ERROR MEDIO) X (100%)

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BLOQUE II

1. El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40cmaproximadamente, con un error en la medición de 0,15cm. Utilizandodiferenciales, estime el error máximo en el cálculo del área de un lado de la tapa.Calcule el error medio y el error porcentual.

2. El lado de una baldosa cuadrada mide 30cm con un error en medición de 0,15cm.Use diferenciales para estimar el error máximo en el cálculo del área. Calcule elerror medio y el error porcentual.

3. Emplee diferenciales para estimar el incremento de en volumen de un cubocuando sus lados cambian de 10 a 10,1cm. ¿Cuál es el incremento exacto delvolumen?

4. Un globo esférico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incrementodel área de la superficie del globo cuando el diámetro varía de 60cm a 60,6cm.

5. Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un triánguloequilátero. La base mide 48pie con un error máximo en la medición de 1pulg.Calcule el área del lado y use diferenciales para estimar el error máximo cometidoen el cálculo. Evalúe el error medio y el error porcentual.

6. La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuyaaltura es siempre igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento delradio correspondiente a un aumento de 2cm3 en el volumen del montículo, cuandoel radio mide 10cm.