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TECSUP - PFR Matemtica II
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UUNNIIDDAADD IIVV
MMXXIIMMOOSS YY MMNNIIMMOOSS
1. INTRODUCCIN
El concepto de derivada es el instrumento fundamental para
minimizar omaximizar un fenmeno fsico, es decir, para obtener un
resultado ptimo de unconjunto de posibilidades.
Si se hace rebotar una bola de caucho, observamos que en el
primer rebotealcanza su altura mxima y sta disminuye en el segundo
y as sucesivamentehasta detenerse. Los distintos mximos as
obtenidos se suelen llamar mximoslocales. Si en el conjunto de
mximos locales existe uno que sea mayor quetodos los dems, llamamos
a este mximo mximo global. Cosa anlogapodemos decir para los
mnimos.
Definicin: por punto crtico se entiende a un punto estacionario,
es decir, dederivada cero, un punto donde no existe la derivada o
un punto extremo deldominio.
Observacin: los puntos crticos son los candidatos a ser puntos
donde ocurranmximos y/o mnimos de la funcin.
Teorema:
Si 0)( xf en el intervalo ba ; entonces f(x) es creciente en ba
; .
O
X
YMximo global
Mximo local
Mnimo local
Mnimo global
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Si 0)( xf en el intervalo ba ; entonces f(x) es decreciente en
ba ; .
Ejemplo:
Para las siguientes funciones halle los extremos locales de f
aplicando la primeraderivada. Determine los valores de x en los
cuales ocurren extremos locales,tambin los intervalos en los cuales
f es creciente y en los que es decreciente.Haga un dibujo del
grafo.
1.- 116)( 2 xxxf
Derivamos: f(x) 2x 6
Factorizamos: f(x) 2(x
Identificamos los puntos
Sobre una recta estudiam
En consecuencia: f(x )0
Atencin: podemos afirm
Grfica:
2.- 196)(23
xxxxf
Derivamos:2f(x) 3x 1
Factorizamos: f(x) 3(x
Identificamos los puntosSobre una recta estudiam
y
230
3)
crticos: x0 = 3
os los signos de la derivada:
f(3) 2 , es un mnimo local.
ar tambin que es un mnimo global.
2x 9
1)(x 3)
crticos: x0 = 1 x1 = 3os los signos de la derivada:
x
x0= 3
- +
3
x0=1 x1=3
- ++
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6m
8m
h
x
Luego: f(x ) f(1) 50 es un mximo local.
f(x ) f(3) 11 es un mnimo local.
Grfica:
3.- 54)(2
xxxf , cuando 4;1x .
4.-3 232)( xxxf
5.-1
10)( 2
x
xf , cuando 1;2x
6.- En la pared triangular de un tico de un chalet, un
carpintero tiene queconstruir una estantera rectangular, apoyada en
el suelo y cuyas esquinassuperiores alcancen las paredes
inclinadas. Qu dimensiones tendr quedar a la estantera, si quiere
que la superficie de sta sea la mayor posible?
Resolucin
Siendo el objetivo la mximasuperficie, desarrollamos unaexpresin
para la superficie:
S = hx
Si queremos que S slo dependa dela variable x, buscamos una
relacinentre x y h a partir de la figura ynotamos que:
8h (6 x)6
x
y
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Reemplazando:
8S (6 x)x6
; x 0;6
Proceder a maximizar la funcin S.
2. RESUMEN DE LAS TCNICAS PARA HALLAR MXIMOS Y MNIMOS
1. Trate de expresar la cantidad que se va a maximizar o
minimizar comofuncin de alguna cantidad que se presente en el
problema, como unadistancia, un tiempo, un ngulo, etc.
2. Si al comienzo necesita dos variables, digamos x y y, para
expresar lacantidad que se va a maximizar o minimizar, halle una
segunda relacinentre x y y y emplela para eliminar una de las
variables.
3. Determine qu valores de la variable son admisibles en el
problema. En otraspalabras, halle el conjunto de valores sobre el
cual se considera la funcin.
4. Para ver donde existen mximos o mnimos, localice los puntos
crticos.
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BLOQUE III
1.- Halle los extremos locales de: 58)( 2 xxxf .
2.- Halle los extremos locales de: 193)( 23 xxxxf , sobre 2;3
.
3.- Halle los extremos locales de: 5243)( 23 xxxxf ,
a) sobre 2;4 .b) sobre ;3 .c) sobre 5;3
4.- Halle los extremos locales de: 1553)( 35 xxxf .
5.- Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 cntimos la
unidad, vende unamedia de 200 helados diarios. Por cada 5 cntimos
que aumenta el precio, vendecinco helados menos cada da. Si el
costo por unidad es de 40 cntimos, A quprecio de venta es el mximo
el beneficio total que obtiene el heladero?
6.- De todos los rectngulos de 20cm2 de superficie, cul es el
que tiene menorpermetro?
7.- Entre todos los conos de revolucin de generatriz a=10
determina el de volumenmximo.
8.- De todos los tringulos issceles cuyos lados miden 12cm, cul
es el que tienerea mxima?
9.- Determine el tringulo issceles de rea mxima y permetro
30cm.
20 cm2 b
a
h
r
1010
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10.- De los trapecios que tienen una base de longitud 6cm. y los
lados de longitud10cm, determine el de rea mxima.
11.- Un jardinero ha de construir un sector circular con un
permetro de 20m. Culser el radio asociado al rea mxima?, Cul ser la
amplitud del sector enradianes?
12.- De todos los rectngulos inscritos en una
semicircunferencia, de radio 25cm.,cul es el de mayor rea?, y el de
mayor permetro?
13.- Hallar dos nmeros que sumen 30 y cuyo producto sea
mximo.
14.- Hallar dos nmeros cuyo producto sea 225 y cuya suma sea
mnima.
15.- Si dos nmeros positivos suman 20, 20 yx , cul es el mnimo
valor que
puede tomar la expresin22 yx ?, y el mximo?
16.- La suma de tres nmeros en progresin geomtrica es 12, cul es
le mximode su producto?, y el mnimo?
17.- Se quiere construir un depsito en forma de prisma recto de
base cuadradaabierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de
8m3, qu dimensioneshay que darle para que el material necesario
para construir sea mnimo?
18.- De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera
de radio 4m, halla elde volumen mximo y el de rea total mxima.
19.- Unos paquetes de cartn para envasar leche tienen forma de
prisma cuadradode 1000cm3 de capacidad, con doble espesor de
material en la tapa y en labase, para qu dimensiones la cantidad de
cartn ser mnima?
20.- Repetir el clculo del ejercicio anterior, para un prisma de
base triangularequiltera.
21.- Repetirlo igualmente, si la base del prisma es un hexgono
regular.
22.- A la vista del resultado de los apartados previos, qu tipo
de envase necesitamenos cartn?
25
x
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23.- Se quiere construir una caja de hoja de cartn de 12cm de
lado, cortandocuadrados iguales en las esquinas y doblando los
lados. Halle la longitud dellado del cuadrado que se debe cortar
para que el volumen sea mximo.
24.- Una isla est a 6km de una playa B recta, sobre la playa a
7km de B seencuentra una tienda C. Si un hombre rema a 4km/h y
camina a 5km/h, enqu punto debe desembarcar para emplear el tiempo
mnimo para ir de A a C?
3. MISCELNEA
1. Un avin que vuela a velocidad constante de 300 km/h pasa
sobre unaestacin terrestre de radar a una altura de 1 km y se eleva
con un ngulo de30. A qu velocidad aumenta la distancia del avin
respecto de la estacinde radar un minuto ms tarde?
2. Un embudo en forma cnica tiene un dimetro de 16 pulg en su
partesuperior y 12 pulg de altura. El agua entra al embudo a una
tasa de 12pulg3/seg y sale de l a una tasa de 4 pulg3/seg. Qu tan
rpido se eleva lasuperficie del agua cuando sta tiene una
profundidad de 5 pulg?
3. Un automvil se desplaza a una tasa de 30 pies/seg y se
aproxima a uncruce. Cuando el automvil est a 120 pies del cruce, un
camin que viaja a40 pies/seg. pasa por el cruce. El automvil y el
camin se encuentran sobrecarreteras perpendiculares. Qu tan rpido
se separan el automvil y elcamin 2 seg. despus de que el camin deja
el cruce?
4. Un depsito colocado horizontalmente tiene la forma de un
prisma de 16mde largo, las caras de sus extremos son trapecios
issceles de 4 m de alturay bases de 4 m y 7 m, respectivamente. Se
vierte agua sobre el depsito a
A
B P C
7 km6
km
x
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razn de 10 m3/min. Con qu rapidez se elevar el nivel del agua
cuandoste tenga una altura de 2 m?
5. Una persona est en el punto A, en la orilla de un ro recto de
3 km deancho y desea llegar al punto B, a 8 km corriente abajo, en
la orilla opuesta,tan rpido como sea posible. Podra remar cruzando
directamente hasta elpunto C y a continuacin correr hasta B, remar
directamente a B o hacerlohasta un punto D entre B y C, para despus
correr a hacia B. Rema a 6 km/hy corre a 8 km/h. Dnde debe
desembarcar para llegar a B lo ms prontoposible?
6. Calcula las dimensiones de un rectngulo de permetro constante
40 cm talque la suma de los cuadrados de dichas dimensiones sea
mnima.
7. Una ventana tiene la forma de un rectngulo coronada (en la
parte superior)por un tringulo equiltero. Si el permetro de dicha
ventana es de 16 m,halle las dimensiones y el rea de dicha ventana,
de manera que permitamxima iluminacin.
8. Determine el tringulo issceles de rea mxima y permetro 30
cm.
9. El permetro de un tringulo issceles es 14 m. Cunto deben
medir suslados para que el volumen del cuerpo generado por la
rotacin del tringuloen torno a su base sea la mayor posible?
10. Una ventana Norman tiene la forma de un rectngulo rematado
por unsemicrculo. Si el permetro de la ventana tiene 30 pies,
calcula lasdimensiones de esa ventana, con el fin de admitir la
cantidad mxima de luzposible.
11. Un jardinero ha de construir un sector circular con un
permetro de 20 m.Cul ser el radio asociado al rea mxima?, Cul ser
la amplitud delsector en radianes?
12. Se quiere construir un depsito en forma de prisma recto de
base cuadradaabierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de
8 m3, qudimensiones hay que darle para que el material necesario
para construir seamnimo?
13. Unos paquetes de cartn para envasar leche tienen forma de
prismacuadrado de 1000 cm3 de capacidad, con doble espesor de
material en latapa y en la base, para qu dimensiones la cantidad de
cartn ser mnima?
14. La esquina superior izquierda de una hoja de papel de 8
pulgadas de anchopor 12 de longitud se dobla hasta llegar a la
orilla derecha. Cmo ladoblaras para minimizar la longitud del
doblez?
15. Un globo y un tren se encuentran en un mismo punto, en un
instante dadoel tren da marcha a 50 km/hora y una hora despus el
globo se eleva a una
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Tecsup
1m
1,5m
3m
velocidad de 10k m/hora. A qu velocidad se separan luego de 4
horas dehaber partido el tren?
16. Un tren marcha a 50 km/hora, en un instante dado pasa bajo
un globo quese encuentra a 40 km de la superficie terrestre. A qu
velocidad se separanluego de 2 horas de dicho instante, si el globo
est descendiendo a 10km/hora?
(Suponga vertical el descenso del globo).
17. Un depsito apoyado sobre una pared es llenado a razn de 0,2
litros/seg.,siendo el borde superior un rectngulo de 3 m de largo
por 1 m de ancho, yla altura del depsito igual a 1,5 m. Se pide
calcular la rapidez con que subeel nivel de agua en el instante que
el agua alcanza una altura de 75 cm.
40
kmANTES
DESPUS
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ANOTACIONES:
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