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147
Unidad VI
DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS
CCOONNTTIINNUUAASS
1. LA DISTRIBUCIN NORMAL
La distribucin normal es la distribucin mas importante de
probabilidades, no
solo en la teora estadstica, sino tambin en sus aplicaciones a
problemas
industriales. Es una distribucin continua y simtrica conocida
tambin como la
distribucin de Gauss o de Laplace. La distribucin normal
representa el
resultado de la actuacin conjunta de causas aleatorias, y por
ello resulta
fundamental en el control estadstico de calidad, particularmente
en la teora de
los grficos del control de fabricacin.
La funcin de probabilidades es:
- 2
1),;(
22 2/)(2 xexf x
Donde:
Es la media de la distribucin
Es la desviacin estndar
X
f(x)
Figura 1. Grfica de densidad de Probabilidad Normal.
El diagrama es simtrico y el rea bajo la curva es la unidad.
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148
1.1. ESTANDARIZACIN DE LA VARIABLE ALEATORIA
Si en lugar de x tomamos:
)x(z
Lo cual significa adoptar como origen de las z el punto en que x
y
como unidad de escala de las z la desviacin estndar ; la que
designaremos como distribucin Normal Estndar:
2z2
e2
1)z(f
Esta distribucin tiene parmetros: 0)z( y 1)z(2 ; por
conveniencia se acostumbra nombrar esta distribucin como la
)1;0(N .
Los valores del rea desde z... son iguales a la probabilidad
acumulada de los valores correspondientes a f(z). Estos valores
se
encuentran tabulados en la tabla 3 al final de esta informacin.
Esta tabla
corresponde a la distribucin normal estndar, es decir, la
distribucin
normal con 0 y 1
La funcin acumulada es:
dte2
1)z(F
z2/t2
z
0
F(z)
dte2
1)z(F
z2/t2
z
Figura 2. Grfica de densidad de Probabilidad Normal Estndar.
Para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria
con la
distribucin normal estndar adopte un valor entre a y b, usamos
la
ecuacin:
)a(F)b(F)bza(P
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149
y si a o b es negativa, hacemos uso de la identidad
)z(F1)z(F .
EJEMPLO 1
Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con
la
distribucin normal estndar adopte un valor
Entre 0,87 y 1,28 = p(0,87
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150
z
0
F(z)
0,62-0,34
Fig. 4.
Mayor que 0,85 = p(z>0,85) 8023.01)85.0(F1
1977.0
z
0
F(z)
0,85
Fig. 5.
Mayor que -0,65 = p(z>-0,65)
)65.0(F11)65.0(F1 )65.0(F 7422.0
z
0
F(z)
0,85
Fig. 6.
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151
EJEMPLO 2
Si el monto de radiacin csmica a la que se expone una persona al
volar
en avin por los Estados Unidos es una variable aleatoria con
la
distribucin normal con mrem, 0.59 y mrem 35.4 determine las
probabilidades de que el monto de radiacin csmica a la que
se
expondr una persona en un viaje as sea de:
Entre 4.00 y 5.00 mrem; El menos 5.50 mrem.
SOLUCIN
Primero estandarizamos los valores:
59.0
35.400.4F
59.0
35.400.5F = )59.0(F)10.1(F
= )7224,01(8643,0
= 0,5867
59.0
35.450.5F1 = )95.1(F1
= 9744.01 0256.0
EJEMPLO 3
El monto real de caf instantneo que una mquina de relleno
deposita
en frascos de 4 onzas puede considerarse una variable aleatoria
con
una distribucin normal con 04.0 onzas. Si slo 2% de los
frascos
contienen menos de 4 onzas, Cul debera ser el relleno medio de
esos
frascos?
Solucin
Para determinar de tal manera que 02.004.0
4F
y, por lo tanto,
98.004.0
4F
buscamos en la tabla 3 la entrada ms cercana a
0.98 y obtenemos 0.9798, que corresponde a .05.2z As:
05.204.0
4
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152
Y al resolver , determinamos que 082.4 onzas
EJEMPLO 4
En cierta ciudad, el nmero de interrupciones del suministro
elctrico por
mes es una variable aleatoria con una distribucin con 6,11 y
3,3 . Si esta distribucin puede aproximarse cercanamente con
una
distribucin normal, cul es la probabilidad de que haya al menos
ocho
interrupciones en un mes cualquiera?
Solucin
El nmero de interrupciones de servicio es una variable aleatoria
discreta,
y si deseamos aproximar su distribucin con una distribucin
normal,
debemos dispersar sus valores en una escala continua.
Lo hacemos representando cada nmero entero k con el intervalo
de
2
1k a .
2
1k Por ejemplo:
3 es representado con el intervalo de 2,5 a 3,5;
10 es representado con el intervalo de 9,5 a 10,5.
y al menos 8 es representado con el intervalo a la derecha de
7,5 tal
como se muestra en la figura:
X
6,117,5
3,3
Nmero de
Interrupciones
Fig. 7.
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153
As, la probabilidad deseada es aproximada por:
)24,1(F13,3
6,115,7F1
)24,1(F
8925,0
1.2. APLICACIONES: LIMITES DE CONTROL
La distribucin normal puede aplicarse en el control de calidad
para
aceptar un producto o rechazar un producto.
Para ello se establece una franja cuyo ancho ser el rango de
aceptacin.
Este rango se establece alrededor de la media la que definir la
Lnea
Media LM.
El rango R quedara definido en funcin del valor
establecindose
diversos criterios.
Un criterio bastante comn es tomar:
LICLSCR
ALSC
ALIC
Donde n
3A ; n = tamao de la muestra.
Los lmites de este rango sern el Lmite Superior de Control LSC y
el
Lmite Inferior de Control LIC
MU E S TR A
n3
n3
LM
LSC
LIC
Fig. 8.
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154
EJEMPLO 5
Construir para muestras de n = 5 artculos el grfico de control
de la
media de un proceso de fabricacin de ejes de acero con media
60,5 mm y desviacin estndar 05,0 mm.
Verificar si el proceso de fabricacin de ejes se mantiene BAJO
CONTROL,
si se han extrado 10 muestras con n = 5 de hora en hora y los
valores
se encuentran en la tabla siguiente:
MUESTRA ARTICULO 1 ARTICULO 2 ARTICULO 1 ARTICULO 1 ARTICULO
1
MEDIA x 1 5,67 5,50 5,58 5,48 5,70 5,586
2 5,90 5,58 5,61 5,59 5,44 5,624
3 5,52 5,66 5,68 5,59 5,38 5,566
4 5,60 5,76 5,55 5,58 5,57 5,612
5 5,55 5,68 5,65 5,45 5,68 5,602
6 5,39 5,65 5,63 5,57 5,61 5,570
7 5,79 5,61 5,59 5,70 5,51 5,640
8 5,67 5,59 5,59 5,75 5,48 5,616
9 5,51 5,51 5,65 5,55 5,63 5,570
10 5,66 5,64 5,61 5,66 5,56 5,626
Solucin
La lnea media:
LM = = 5,60
Los lmites de control sern:
667,505,0)5
3(60,5ALSC
533,505,0)5
3(60,5ALIC
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155
60,5
MUESTRA
LM
LSC
LIC
5,62
5,64
5,66
5,685,667
5,52
5,54
5,56
5,58
5,533n
3
n3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fig. 9.
Mediante el grfico recomprueba que todos los puntos se
encuentran en
el rango en torno a la LM, de ello se concluye que el PROCESO
DE
FABRICACION SE ENCUENTRA BAJO CONTROL.
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.1
1. Una troqueladora produce tapas de lata cuyos dimetros se
distribuyen normalmente con una desviacin estndar de 0,01
pulgadas. En que dimetro nominal debera fijarse la mquina
para que no mas del 5% de las tapas producidas tengan
dimetros
que excedan de 3 pulgadas?
Sol:
984,2
2. Se corta automticamente varillas de plstico moldeadas por
inyeccin en longitudes nominales de 6 pulgadas. Las
longitudes
reales estn normalmente distribuidas en torno a una media de
6
pulgadas y su desviacin estndar es de 0,06 pulgadas.
Qu proporcin de las varillas excede los lmites de tolerancia de
5,9 a 6,1 pulgadas.
A qu valor es necesario reducir la desviacin estndar si el 99%
de las varillas den hallarse dentro de la tolerancia. Sol:
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156
3. Si una variable aleatoria tiene la distribucin binomial con
n=30 y
p=0,60; use la aproximacin normal para determinar la
probabilidad
de que adopte:
El valor de 14 Un valor menor que 12
Sol:
0,049 0,008
4. Un fabricante sabe que, en promedio, 2% de las tostadoras
elctricas
que produce requerirn reparaciones en un trmino de 90 das
posteriores a su venta. Use la aproximacin normal a la
distribucin
binomial para determinar la probabilidad de que entre 1200
tostadoras al menos 30 requerirn reparaciones en los primeros
90
das de su venta.
Sol:
5. La probabilidad de que un componente electrnico falle en
menos de
1000 horas de uso continuo es de 0,25. Use la aproximacin
normal
para determinar la probabilidad de que entre 200 de esos
componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso
continuo.
Sol:
0,1841
6. Un ingeniero de seguridad supone que el 30% de los
accidentes
industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen
las
instrucciones. Si esa cifra es correcta, determine
aproximadamente la
probabilidad de que entre 84 accidentes industriales en esa
planta
cualquier nmero entre 20 a 30 inclusive se deban a la
negligencia de
los empleados de no seguir las instrucciones.
Sol:
7. Una variable aleatoria tiene una distribucin normal con 4,62
.
Determine su desviacin estndar si la probabilidad de que adopte
un
valor mayor que 79,2 es de 0,20.
Sol:
88,19
8. Una variable aleatoria tiene una distribucin normal con 10 .
Si la
probabilidad de que adopte un valor menor que 82,5 es de
0,8212.
Cul es la probabilidad de que adopte un valor mayor que
58,3?
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157
Sol:
9. Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores
con un
dimetro interior de 0,300 0,005 pulgadas. Si los dimetros
interiores de los limpiadores provistos por cierto fabricante
pueden
considerarse una variable aleatoria con la distribucin normal
con
302,0 pulgadas y 003,0 pulgadas, Qu porcentaje de estos
limpiadores cumplir las especificaciones?
Sol:
83.15%
10. Se sabe que la vida til de un componente elctrico sigue
una
distribucin normal con media 2000 hr y una desviacin estndar
200 hr.
Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente
seleccionado dure entre 2000 y 2400 horas.
Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente
seleccionado dure mas de 2200 horas. Sol:
0,4772 0,1587
2. DISTRIBUCIN GAMMA
Varias densidades de probabilidad importantes que utilizan
frecuentemente son
casos especiales de la distribucin Gamma. Esta distribucin tiene
la densidad
de probabilidad.
parte otra en 0
0 0, 0, xpara ex)(
1
f(x)
x/-1-
Donde )( es un valor de la funcin Gamma, definida por
0
xl dxex)(
La integracin por partes muestra que
11 Luego: ! 1 (Para entero y positivo)
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158
Representaciones grficas de la funcin gamma para valores
diversos de y
se muestran en la figura 10; ponen de relieve el hecho de que
estas
distribuciones estn positivamente sesgadas. En efecto, la
sesgadura decrece a
medida que se incrementan para cualquier valor fijo de .
Figura 10.
2.1. MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIN GAMMA
Para determinar la media de la distribucin Gamma:
dxexx
1 /x1
0
Haciendo el cambio de variable /xy
1(
dyey y
0
Haciendo uso de la identidad ,)1( llegamos al resultado de la
Media:
La Varianza de la distribucin gamma esta dada por:
22
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159
3. DISTRIBUCIN EXPONENCIAL
En la distribucin Gamma, si el valor de 1 obtenemos la
distribucin
exponencial cuya densidad de probabilidad es:
parte otra en 0
0 0, xpara e
1f(x)
x
3.1. GRFICO DE LA FUNCIN EXPONENCIAL
Para graficar la funcin exponencial tabularemos valores de x
para un
valor de determinado
1
x
e1
)x(f
x f(x)
0.1
0.9048374
2
0.5
0.6065306
6
0.8
0.4493289
6
1
0.3678794
4
2
0.1353352
8
3
0.0497870
7
4
0.0183156
4
5
0.0067379
5
6
0.0024787
5
7
0.0009118
8
8
0.0003354
6
9
0.0001234
1
10 4.54E-05
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
(Beta = 1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10 12
VARIABLE ALEATORIA
PR
OB
AB
ILID
AD
(X
=x)
Figura 11. Representacin grfica de la funcin exponencial para 1
.
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160
Igualmente podemos graficar la funcin exponencial para 1,0 ; 1
;
5 . en la Fig. 6.12
3.2. MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL
La Media de la distribucin Gamma esta dada por:
La Varianza de la distribucin Gamma esta dada por:
22
La Desviacin tpica o estndar de la distribucin Gamma esta dada
por:
FUNCION EXPONENCIAL
(Beta = 1; Beta = 0.1; Beta = 5)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 5 10 15
VARIABLE ALEATORIA x
PR
OB
AB
ILID
AD
(X
= X
)
Serie1
Serie2
Serie3
1,0
1
5
Figura 12.
EJEMPLO 1
En promedio llegan tres camiones por hora para ser descargados
en una
bodega, Cules son las probabilidades de que el tiempo entre el
arribo
de sucesivos camiones sea:
Menor que 5 minutos De al menos 45 minutos
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161
Solucin
Suponiendo que los arribos siguen un proceso con 3 ,
entonces
3
1 . Adems 5 minutos es 1/12 hora.
221.1e1dxe3 4/1x312/1
0
En la misma relacin anterior y con 45 minutos como 4/312/9
hora
105.0edxe3 4/9
4/3
x3
4. LA DISTRIBUCIN BETA
La distribucin beta tiene una densidad de probabilidad es
parte otra en 0
0 0, 1,x0 para X)-(1X)().(
)(
f(x)
1-1-
4.1. MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIN BETA
La media y la varianza de esta distribucin beta estn dadas
por
)1(22
EJEMPLO 1
En cierto distrito, la proporcin de tramos de carretera que
requieren de
reparaciones en un ao dado es una variable aleatoria con la
distribucin
beta con 3 y 2 (Fig. 6.11). Determine:
Qu porcentaje, en promedio, de tramos de carretera requieren de
reparaciones en un ao dado.
La probabilidad de que cuando ms la mitad de los tramos de
carretera requieran de reparaciones en un ao dado.
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Matemtica Aplicada TECSUP PFR
162
Figura 13.
Solucin
60,023
3
lo que significa que, en promedio, el 60% de los
tramos de carretera requieren reparaciones en un ao dado.
Sustituyendo 3 y 2 en la frmula de la distribucin beta y
partiendo del hecho de que 24!4)5(
2!2)3(
1!1)2(
Luego reemplazando estos valores en la funcin Beta
obtenemos:
)x1(x12)x(f 2 para 1x0
0 en otra parte
As, la probabilidad deseada est dada por
16
5dx)x1(x12 2
2/1
0
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163
5. LA DISTRIBUCIN DE WEIBULL
Estrechamente relacionada con la distribucin exponencial est la
distribucin de
Weibull, cuya densidad de probabilidad est dada por
parte otra en 0
0 0, 0,parax exf(x)
x1
Para demostrar esta relacin, evaluamos la probabilidad de que
una variable
aleatoria con la distribucin de Weibull adopte un valor menor
que , es decir,
la integral
dxex x1a
0
Efectuando el cambio de variable ,xy obtenemos
ay
a
0
e1dye
Y, como puede verse, y es un valor de una variable aleatoria con
una distribucin
exponencial. Las representaciones grficas de varias
distribuciones de Weibull
con 1 y 2 1; ;2
1 se muestran en la figura 14.
Figura 14.
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Matemtica Aplicada TECSUP PFR
164
5.1. MEDIA Y VARIANZA DE LA FUNCIN WEIBULL
La medida de la distribucin de Weibull con los parmetros y
puede
obtenerse evaluando la integral
dxexx x1
0
Efectuando el cambio de variable ,xu obtenemos.
dueu u/1
0
/1
Y reconociendo la integral como ,1
1
es decir, como un valor de la
funcin gamma, encontramos que la media de la distribucin de
wibull
est dada por
11/1
La varianza de esta distribucin est dada por:
2/22 1121
EJEMPLO 1
Supongamos que el ciclo de vida de cierto tipo de batera de
respaldo de
emergencias (en horas) es una variable aleatoria X con la
distribucin de
Weibull con 1.0 y 5,0
Determine
El ciclo de vida medio de estas bateras;
La probabilidad de que una batera de este tipo dure ms de 300
horas.
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165
Solucin
La sustitucin en la frmula de la media da como resultado.
200)3()1.0( 2
Integrando, obtenemos
5.05.0 )300(1.0
300
x1.05.0 edxex)05.0(
177.0
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.2
1. En ciertos experimentos, el error cometido en la determinacin
de la
solubilidad de una sustancia es una variable aleatoria con la
densidad
uniforme con 025,0 y 025,0 . Cules son las
probabilidades de que ese error sea:
De entre 0,010 y 0,015 De entre -0,012 y 0,012
Sol:
2. En cierta ciudad el consumo diario de energa elctrica puede
tratarse
como una variable aleatoria con una distribucin gamma con 3
,
y 2 . Si la planta de energa de esa ciudad tiene una
capacidad
diaria de 12 millones de kilowatt-hora. Cul es la probabilidad
de
que ese suministro de energa sea inadecuado en un da dado.
Sol:
3. La cantidad de tiempo durante el que funciona una cmara
de
vigilancia sin que se le reponga es una variable aleatoria
con
distribucin exponencial, con 50 das. Determine las
probabilidades de que una cmara as:
Tenga que ser repuesta en menos de 20 das No tenga que ser
repuesta en al menos 60 das.
Sol:
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Matemtica Aplicada TECSUP PFR
166
4. Si la proporcin anual de declaraciones de impuestos sobre
ingresos
errneos, presentadas al fisco, puede considerarse como una
variable
aleatoria con una distribucin beta con 2 y 9 . Cul es la
probabilidad de que en un ao dado haya menos de 10 % de
declaraciones errneas?
Sol:
5. Supongamos que la proporcin de unidades defectuosas
embarcadas
por un distribuidor, que varia un tanto de embarque a
embarque,
puede considerarse una variable aleatoria con la distribucin
beta con
1 y 4 .
Determine la media de esta distribucin beta. Determine la
probabilidad de que un embarque de este distribuidor
contenga 25% o mas de unidades defectuosas. Sol:
a) 2,0
b) 0,3164
6. Supongamos que el tiempo de falla (en minutos) de ciertos
componentes electrnicos sujetos a vibraciones continuas
puede
considerarse una variable aleatoria con una distribucin de
Weibull
con 5
1 y 3
1 .
Cunto puede esperarse que dure un componente de ese tipo. Qu
probabilidad existe de que un componente de ese tipo falle en
menos de 5 horas? Sol:
7. Supongamos que el ciclo de vida de servicio (en horas) de
un
semiconductor es una variable aleatoria con una distribucin
de
Weibull con 025,0 y 500,0 . Cul es la probabilidad de que
un semiconductor de ese tipo siga en condiciones de operacin
despus de 4000 horas?
Sol:
0,2057
