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resistencia
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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
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UNIDAD VI
CCOOLLUUMMNNAASS
1. INTRODUCCIÓN
“Una columna es un miembro relativamente largo, cargado a compresión.”
El análisis de columnas es diferente porque el modo de falla es diferente, cuando
se analizó el esfuerzo de compresión, se supuso que el miembro fallaba por
fluencia del material cuando se aplicaba un esfuerzo mayor que la resistencia a la
fluencia del material. Esto es cierto en el caso de miembros cortos.
Una columna alta esbelta falla por pandeo, nombre común que recibe la
inestabilidad elástica. En lugar de aplastar o desmembrar el material, la columna
se deflexiona de manera drástica a una cierta carga crítica y luego se desploma
repentinamente. Se puede usar cualquier miembro delgado para ilustrar el
fenómeno de pandeo; inténtelo con una regla de madera o plástico, una barra o
solera delgada de metal. Al irse incrementando la fuerza de manera gradual,
aplicada directamente hacia abajo, se alcanza la carga crítica cuando la columna
comienza a flexionarse. Normalmente, se puede retirar la carga sin que provoque
un daño permanente puesto que no hay fluencia. Así pues, una columna falla por
pandeo a un esfuerzo menor que la resistencia a la fluencia del material en la
columna. El objetivo de los métodos de análisis de columnas es predecir la carga
o el nivel de esfuerzo al cual una columna se volvería inestable y se pandearía.
2. RAZÓN DE ESBELTEZ
Hemos definido a la columna como un miembro esbelto relativamente largo
cargado a compresión. Esta descripción se plantea en términos relativos y no es
muy útil para el análisis.
La medida de la esbeltez de una columna ha de tener en cuenta la longitud, el
perfil de la sección transversal, las dimensiones de la misma y la manera de
sujetar sus extremos en las estructuras que generan las cargas y las reacciones.
La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la razón de esbeltez, definida
como:
Donde:
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L = longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral.
K = factor de fijación de los extremos.
Le= longitud efectiva, teniendo en cuenta la manera de fijar los extremos
(observe que Le = KL)
r = radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna.
A continuación se analiza cada uno de estos términos.
2.1. LONGITUD REAL, L
En una columna simple con la carga aplicada en un extremo y la reacción
creada en el otro, la longitud real es, obviamente, la longitud entre sus
extremos. Pero en componentes de estructuras cargados a compresión
que disponen de medios de sujeción laterales que impiden que se
pandee, la longitud real se considera entre los puntos de restricción. Cada
una de las partes, entonces, se considera como una columna aparte.
2.2. FACTOR DE FIJACIÓN DE LOS EXTREMOS, K
El factor de fijación de los extremos mide el grado de limitación contra
rotación de cada extremo. Por lo general, se consideran tres tipos clásicos
de conexiones de extremos: el extremo de pasador, el extremo fijo y el
extremo libre. La figura 1 muestra varias combinaciones de tipos de
extremos con los valores correspondientes de K. Obsérvese que se dan
dos valores de K. Uno es el valor teórico y el otro es el que por lo general
se usa en situaciones prácticas, aunque se debe reconocer que es difícil
lograr el extremo verdaderamente fijo.
Figura 1 Valores de K para diferentes conexiones de los extremos.
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Los extremos de pasador están imposibilitados contra rotación. Cuando
una columna con sus dos extremos de pasador se pandea, adopta la
forma de una curva uniforme entre sus extremos. Éste es el caso básico
de pandeo de columna y el valor de K = 1.0 se aplica a columnas con dos
extremos de pasador. Un tipo ideal de extremo de pasador es la
articulación de rótula que permite el giro de la columna en cualquier
dirección con respecto a cualquier eje. Una junta de pasador cilíndrico,
permite la libre rotación con respecto al eje del pasador, aunque crea algo
de restricción en el plano perpendicular a su eje. Por esta razón se debe
tener cuidado al aplicar factores de fijación a pasadores cilíndricos. Se
supone que el extremo de pasador está guiado de tal modo que la línea
de acción de la carga axial no cambia.
En teoría, los extremos fijos impiden perfectamente la rotación de
columna en sus extremos. A medida que la columna tiende a pandearse,
la curva de deflexión del eje de la columna debe aproximarse al extremo
fijo con una pendiente cero, como se ilustra en la figura 1-b. La figura
pandeada se arquea hacia afuera a la mitad pero exhibe dos puntos de
inf1exión donde se invierte la dirección de la curvatura cerca de los
extremos. El valor teórico del factor de fijación de los extremos es K =
0.5, el cual indica que la columna actúa como si fuera sólo la mitad de
larga de lo que realmente es. Las columnas con extremos fijos son mucho
más rígidas que las columnas con extremos de pasador y, por
consiguiente, son capaces de soportar cargas mayores antes de
pandearse. Se debe entender que es muy difícil fijar los extremos de una
columna a la perfección. Se requiere que la conexión a la columna sea
rígida y firme y que la estructura a la que se transfieren las cargas
también sea rígida y firme. Por ello, en la práctica se recomienda el valor
mayor de K=0.65.
El extremo libre de una columna puede girar y también trasladarse. Pero
como puede moverse en cualquier dirección, éste es el peor caso de
fijación de los extremos de una columna. El único modo práctico de usar
una columna con un extremo libre es tener el extremo opuesto fijo, como
se ilustra en la figura 1c. Una columna como ésa en ocasiones se conoce
como el caso del asta bandera porque el extremo fijo se comporta como
un asta bandera insertada profundamente en un orificio de ajuste
apretado, mientras el otro extremo libre puede moverse en cualquier
dirección. Conocida como la condición de extremo libre, el valor teórico de
K es 2.0. Un valor práctico es K = 2.10.
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En la figura 1d se muestra la combinación de un extremo fijo y un
extremo de pasador. Nótese que la curva de deflexión se aproxima al
extremo fijo con una pendiente cero mientras que el extremo de pasador
gira libremente. El valor teórico de K = 0.7 se aplica a esa condición de
fijación mientras que en la práctica se recomienda K = 0.80.
2.3. LONGITUD EFECTIVA, LE.
La longitud efectiva combina la longitud real con el factor de fijación de
extremos; Le = KL. Para calcular la longitud efectiva se usarán los valores
prácticos recomendados del factor de fijación de extremos, quedando las
siguientes relaciones:
Columnas con extremos de pasador: Le = KL = 1.0 (L) = L
Columnas con extremos fijos: Le = KL = 0.65 (L)
Columnas con un extremo fijo y el otro libre: Le = KL = 2.10 (L)
Columnas con un extremo fijo y el otro de pasador: Le = KL = 0.80 (L)
2.4. RADIO DE GIRO, R
La medida de esbeltez de la sección transversal de la columna es su radio
de giro, r, definida como:
En donde:
I = momento de inercia de la sección transversal de la columna
con respecto a uno de los ejes principales.
A = área de la sección transversal.
Tanto I como A son propiedades geométricas de la sección transversal, el
radio de giro r también lo es. En el apéndice A-1 se dan fórmulas para
calcular r de varios perfiles comunes. Además de r se dan otras
propiedades de algunos de los perfiles estándares.
Para los que no se da r, con los valores disponibles de I y A y la ecuación
anterior se puede calcular r de manera muy simple.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
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Nótese que el valor del radio de giro r, depende del eje con respecto al
cual se va a calcular. En la mayoría de los casos, se tiene que determinar
el eje con respecto al cual el radio de giro es mínimo, porque ése es el eje
con respecto al cual la columna probablemente se pandeará. Considérese,
por ejemplo, una columna de sección rectangular cuyo ancho sea mucho
mayor que su espesor, como se ilustra en la figura 02. Se puede usar una
regla graduada simple para demostrar que cuando se carga a compresión
axial con poca o ninguna restricción en los extremos, la columna siempre
se pandeará con respecto al eje que pasa por la dimensión mínima. En el
caso del rectángulo mostrado en las figuras 2-b y 2-c:
En donde t es el espesor del rectángulo. Nótese que: rx=0.289h; en
donde h es la altura del rectángulo, y que h > t por tanto: rx > ry. Por ello
ry es el radio mínimo de giro en la sección.
Figura 2 Apariencia general de la columna pandeada, radio de giro con
respecto al eje Y-Y, radio de giro con respecto al eje X-X.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
174
Para las vigas de patín ancho (Apéndice A-7) y para las vigas American
Standard (Apéndice A-8), el valor mínimo de r es el calculado con
respecto al eje Y-Y; es decir:
Asimismo, para tubería estructural rectangular (Apéndice A-9), el radio
mínimo de giro es el calculado con respecto al eje Y-Y. En la tabla se dan
valores de r.
Para ángulos estructurales de acero, llamados perfiles L, ni el eje X-X ni el
eje Y-Y proporcionan el radio de giro mínimo. Tal como se ilustra en el
apéndice A-5, el rmin es el calculado con respecto al eje Z-Z, con los
valores dados en la tabla.
Para secciones simétricas, el valor de r es el mismo con respecto a
cualquier eje principal. Tales perfiles son las secciones circulares sólidas o
huecas y las secciones cuadradas huecas.
3. RESUMEN DEL MÉTODO PARA CALCULAR LA RAZÓN DE ESBELTEZ
1. Determine la longitud real de la columna L, entre los puntos extremos o
entre los puntos de restricción lateral.
2. Determine el factor de fijación de extremos con base en el tipo de apoyo de
los extremos y la figura 01.
3. Calcule la longitud efectiva, Le = KL.
4. Calcule el radio mínimo de giro de la sección transversal de la columna.
5. Calcule la razón de esbeltez por medio de:
4. RAZÓN DE ESBELTEZ DE TRANSICIÓN
4.1. ¿CUÁNDO SE CONSIDERA LARGA UNA COLUMNA?
La respuesta a esta pregunta requiere la determinación de la razón de
esbeltez de transición, o de la constante de columna Cc.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
175
Las reglas siguientes tienen que ver con el valor de Cc:
Si la razón de esbeltez efectiva real Le/r es mayor que Cc, entonces la
columna es larga, y al analizar la columna se debe usar la fórmula de
Euler.
Si la razón real, Le/r es menor que Cc, entonces la columna es corta. En
este caso, se debe usar la fórmula de J. B. Johnson, los reglamentos
especiales o la fórmula del esfuerzo de compresión directo, como se verá
en secciones posteriores.
Cuando se va a analizar una columna dada para determinar la carga que
soportará, en primer lugar habrá que calcular el valor de Cc y la razón real
Le/r para decidir qué método de análisis se debe usar. Nótese que Cc
depende de la resistencia a la fluencia, Sy y del módulo de elasticidad E
del material. Cuando se trabaja con acero, por lo general se considera E
= 207 GPa (30 x l06 lb/pulg2). Con este valor y suponiendo un intervalo
de valores de resistencia a la fluencia, se obtienen los valores de Cc
mostrados en la figura 3.
Figura 3 Constante de columna vs. Resistencia a la fluencia del acero.
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Figura 4 Constante de columna vs. resistencia a la fluencia del aluminio.
Para aluminio, E es aproximadamente de 69 GPa (10 x 106 lb/pulg2). En la
figura 4 se muestran los valores correspondientes de Cc.
4.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS
Para columnas largas cuya razón de esbeltez es mayor que el valor de
transición Cc, se puede usar la fórmula de Euler para predecir la carga
crítica con la que la columna comenzaría a pandearse. La fórmula es:
en donde A es el área de la sección transversal de la columna. Otra forma
de expresar esta fórmula sería en función del momento de inercia, puesto
que r2 = l/A. Entonces, la fórmula se transforma en:
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4.3. FÓRMULA DE J. B. JOHNSON PARA COLUMNAS CORTAS
Si la razón de esbeltez efectiva real de una columna, Le/r, es menor que
el valor de transición Cc, la fórmula de Euler predice una carga crítica
exorbitante. Una fórmula recomendada para el diseño de máquinas en el
intervalo de Le/r menor que Cc es la fórmula de J. B. Johnson.
Ésta es una forma de un conjunto de ecuaciones llamadas ecuaciones
parabólicas, y concuerda perfectamente bien con el comportamiento de
columnas de acero de maquinaria típica.
La fórmula de Johnson da el mismo resultado que la fórmula de Euler de
la carga crítica a la razón de esbeltez de transición Cc. Entonces, en el
caso de columnas muy cortas, la carga crítica se aproxima a la
pronosticada por la ecuación del esfuerzo de compresión directo, σ = P/A.
Por consiguiente, se puede decir que la fórmula de Johnson se aplica
mejor a columnas de longitud intermedia.
4.4. FACTORES DE DISEÑO PARA COLUMNAS Y CARGA PERMISIBLE
Debido a que una columna falla por pandeo y por falla última o fluencia
del material, los métodos antes utilizados para calcular el esfuerzo de
diseño no se aplican a columnas.
Así que, la carga permisible se calcula dividiendo la carga de pandeo
crítica con la fórmula de Euler o la fórmula de Johnson por un factor de
diseño N. Es decir:
En donde:
Pa = carga segura permisible.
Pcr = carga de pandeo crítica.
N = factor de diseño.
La selección del factor de diseño es la responsabilidad del diseñador a
menos que el proyecto figure en un reglamento. Los factores a considerar
en la selección de un factor de diseño son similares a los utilizados para
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
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determinar factores de diseño aplicados a esfuerzos. Un factor común
utilizado en el diseño mecánico es N= 3.0, y la razón por la que se
seleccionó este valor es la incertidumbre con respecto a las propiedades
del material, la fijación de los extremos, lo recto de la columna o la
posibilidad de que la carga se aplique con algo de excentricidad y no a lo
largo del eje de la columna.
En ocasiones se usan factores mayores en situaciones críticas y para
columnas muy largas.
En la construcción de edificios, donde el diseño está regido por las
especificaciones del American Institute of Steel Construction, AISC, se
recomienda un factor de 1.92 para columnas largas. La Aluminum
Association requiere N = 1.95 para columnas largas.
4.5. RESUMEN-MÉTODO DE ANÁLISIS DE COLUMNAS
El objetivo de esta sección es resumir los conceptos presentados en las
secciones anteriores en un procedimiento que se pueda usar para analizar
columnas. Se puede aplicar a columnas rectas de sección transversal
uniforme a lo largo de ellas, en las que la carga de compresión se aplica
alineada con el eje centroidal de la columna. A fin de cuentas, se supone
que se conocen los factores siguientes:
1. La longitud real L.
2. La manera de conectar la columna a sus apoyos.
3. La forma de la sección transversal de la columna y sus dimensiones.
4. El material del cual está hecha la columna.
Entonces, el procedimiento es:
1. Determine el factor de fijación de extremos, el tipo de conexión entre
la columna y sus apoyos con la información dada en la figura 1.
2. Calcule la longitud efectiva, Le = KL.
3. Calcule el valor mínimo del radio de giro de la sección transversal por
medio de:
4. AIr /minmin rmin ; o determine rmin con tablas de datos.
5. Calcule la máxima razón de esbeltez con:
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6. Con el módulo de elasticidad E, y la resistencia a la fluencia SY del
material, calcule la constante de columna:
7. Compare el valor de SR con Cc,
Si SR > Cc, la columna es larga. Use la fórmula de Euler para calcular la carga crítica de pandeo:
Si SR> Cc, la columna es corta. Use la fórmula de Johnson para calcu-lar la carga crítica de pandeo:
8. Especifique el factor de diseño N.
9. Calcule la carga permisible, Pa,
EJEMPLO 01
Se tiene que usar un miembro circular sometido a compresión con ambos
extremos de pasador de acero AISI 1020 estirado en frío en una máquina.
Su diámetro es de 25 mm y su altura de 950 mm. ¿Cuál es la carga
máxima que el miembro puede soportar antes de pandearse? También
calcule la carga permisible sobre la columna para un factor de diseño de
N = 3.
Solución
Objetivo: Calcular la carga crítica de pandeo para la columna y la carga
permisible para un factor de diseño de N = 3.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
180
Datos: L = 950 mm. Sección transversal circular D = 25 mm. Extremos
de pasador. La columna es de acero; AISI 1020 estirado en frío.
Del anexo A-13: Sy = 441 MPa; E = 207 GPa = 207x 109N/m2
Análisis: Use las instrucciones para analizar columnas centralmente
cargadas.
Resultados:
Paso 1: Determine el factor de fijación de los extremos. Para la columna
con extremos de pasador, K = 1.0
Paso 2: Calcule la longitud efectiva.
Le = KL = 1.0 (L) = 950 mm
Paso 3: Calcule el valor mínimo del radio de giro. En el anexo A-1, para
cualquier eje de una sección circular transversal, r = D/4. Entonces:
Paso 4: Calcule la razón de esbeltez, SR = Le/r.
Paso 5: Calcule la constante de columna Cc.
Paso 6: Compare Cc con Le/r y decida si la columna es larga o corta. En
seguida, use la fórmula apropiada para calcular la carga crítica de
pandeo. Como Le/r es mayor que Cc, se aplica la fórmula de Euler.
mmmmD
r 25.64
25
4
15225.6
950
mm
mm
r
Le
2.96
/10441
/102072226
2922
mNx
mNx
S
EC
y
c
22
/ rL
EAP
e
cr
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El área es:
Por tanto:
Paso 7: Se especifica un factor de diseño de N = 3.
Paso 8: La carga permisible Pa es:
EJEMPLO 02
Determine la carga crítica sobre una columna de acero de sección
transversal cuadrada de 12 mm por lado y 300 mm de longitud. La
columna tiene que ser de acero AISI1040 laminado en caliente. Uno de
sus extremos se soldará rígidamente a un apoyo firme y el otro se
conectará con una junta de pasador. También calcule la carga permisible
sobre la columna para un factor de diseño de N = 3.
Solución
Objetivo: Calcular la carga crítica de pandeo para la columna y la carga
permisible para un factor de diseño de N = 3.
Datos: L = 300 mm. La sección transversal es cuadrada; cada lado es b
= 12 mm. Un extremo de pasador; un extremo fijo. La columna es de
acero; AISI 1040 laminado en caliente.
Del anexo A-13: Sy = 414 MPa; E = 207 GPa = 207x 109N/m2
Análisis: Use las instrucciones para analizar columnas centralmente
cargadas.
2
22
4914
25
4mm
mmDA
kNmm
mx
mmmNxPcr 4.43
10
1
152
491/1020723
2
2
2292
kNkN
N
PP cr
a 5.143
4.43
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
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Resultados:
Paso 1: Determine el factor de fijación de los extremos. Para la columna
con extremo fijo y el otro de pasador, K = 0.80 es el valor práctico.
Paso 2: Calcule la longitud efectiva.
Le = KL = 0.80 (300) = 240 mm
Paso 3: Calcule el valor mínimo del radio de giro. En el anexo A-1, para
una sección transversal cuadrada, r = b/ 12 . Entonces:
Paso 4: Calcule la razón de esbeltez, SR = Le/r.
Paso 5: Normalmente, se calcularía el valor de la constante de columna,
Cc. Pero, en este caso, se utiliza la figura 3. Para un acero con una
resistencia a la fluencia de 414 MPa, Cc = 96, aproximadamente.
Paso 6: Compare Cc con Le/r y decida si la columna es larga o corta. En
seguida, use la fórmula apropiada para calcular la carga crítica de
pandeo. Como Le/r es menor que Cc, se aplica la fórmula de Johnson.
El área de la sección transversal cuadrada es:
Entonces:
Paso 7: Se especifica un factor de diseño de N = 3.
Paso 8: La carga permisible Pa es:
mmmmb
r 46.312
12
12
4.6946.3
)300)(8.0(
mm
mm
r
KL
r
Le
E
rLSySyAP e
cr 2
2
4
/1
222 14412 mmmmbA
kNmNx
mNx
mm
NmmPcr 1.45
)/10207(4
)4.69)(/10414(1
414)144(
292
226
2
2
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
183
5. PERFILES EFICIENTES PARA SECCIONES TRANSVERSALES DE COLUMNA
Cuando se diseña una columna que va a soportar una carga especificada, el
diseñador tiene la responsabilidad de seleccionar la forma general de su sección
transversal y determinar las dimensiones requeridas. Los principios siguientes
pueden ayudar en la selección inicial del perfil.
Un perfil eficiente es aquel que utiliza una pequeña cantidad de material para
realizar una función dada. Para columnas, el objetivo es incrementar al máximo
el radio de giro con el objeto de reducir la razón de esbeltez. Nótese también que
como r = AI , maximizando el momento de inercia para un área dada tiene el
mismo efecto.
Cuando se analiza el momento de inercia, se observa que es deseable disponer
toda el área posible de la sección transversal tan lejos del centroide como sea
posible. En las vigas, por lo general sólo un eje era el importante, el eje con
respecto al cual ocurría la flexión. En columnas, el pandeo en general puede
ocurrir en cualquier dirección. Por consiguiente, es deseable que las propiedades
sean uniformes con respecto a cualquier eje. La sección circular hueca,
comúnmente llamada tubo, es un perfil muy eficiente para usarse como columna.
Le sigue de cerca el tubo cuadrado hueco. También se pueden usar secciones
compuestas de secciones estructurales estándar, como se muestra en la figura 5.
Las columnas de edificios con frecuencia se arman con perfiles especiales de
patín ancho llamadas secciones para columna. Cuentan con patines
relativamente anchos y gruesos en comparación con los perfiles por lo general
seleccionados para vigas. Esto hace que el momento de inercia con respecto al
eje Y-Y sea más similar a aquél con respecto al eje X-X. El resultado es que los
radios de giro con respecto a los dos ejes también son casi iguales.
La figura 6 muestra una comparación de dos perfiles de patín ancho de 12 plg;
uno es una sección de columna y el otro es un perfil de viga típico. Nótese que el
radio de giro mínimo se debe utilizar al calcular la razón de esbeltez.
kNkN
N
PP cr
a 0.153
1.45
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
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Figura 5. Ejemplos de perfiles de columna eficientes.
(a) Tubo de sección circular hueco. (b) Tubo cuadrado hueco. (c) Sección tubular
hecha de vigas de madera. (d) Ángulos de patas iguales con placas. (e)
Canales de aluminio con placas. (f) Dos ángulos de patas iguales.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
185
Figura 6 Comparación de un perfil de viga de patín ancho con una sección de columna.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1
Una columna se compone de 4 ángulos, como se muestra en la figura. Los
ángulos se mantienen unidos con barras de enlace, las cuales se pueden ignorar
en el análisis de las propiedades geométricas.
Utilizando las ecuaciones estándar de Euler o Johnson con Le = L y un factor de
diseño de 3.0, calcule la carga permisible sobre la columna si es de 18.4 pies de
largo. Los ángulos son de acero ASTM A36.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
186
Rpta.- Pa = 65300 lb
PROBLEMA 2
La figura muestra una viga con sus extremos soportados por juntas de pasador.
La barra inclinada soporta el extremo derecho de la viga, pero también la somete
a una fuerza de compresión axial.
¿Sería satisfactoria una viga S6x12.5 si soporta 1320 kg en su extremo?
La viga es de acero ASTM A36.
Rpta.- Fuerza axial = 31.1 kN
Pcr = 260 kN
N = 8.37 (OK)
Figura 7
Figura 8
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
187
PROBLEMA 3
Se va a diseñar una estructura para que soporte una tolva sobre una máquina de
extrudir plástico, como se muestra en la figura. La tolva debe ser soportada por 4
columnas que comparten la carga por igual.
La estructura se refuerza con riostras cruzadas.
Se supone que las columnas sean de tubo cédula 40 estándar de 2pulg. y se
empotrarán en el suelo.
Debido al arriostramiento transversal, el extremo superior de las columnas está
guiado de modo que se comporte como si estuviera redondeado o marrado con
pasador.
El tubo es de acero AISI 1020 laminado en caliente. La tolva está diseñada para
soportar 20000 lb de plástico molido. ¿Son adecuadas las columnas propuestas
para esta carga?
Rpta.- Carga crítica = 10914 lb.
Carga real = 5000 lb
N = 2.18 (bajo)
Analice cómo se vería afectado el diseño del caso anterior si el descuidado
conductor de un montacargas embistiera las riostras cruzadas y las rompiera.
Figura 9
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
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ANOTACIONES:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
