StartStart

Tartalom

Thalész életeThalész élete

Thalész tételeThalész tétele

FeladatokFeladatok

Kilépés

Thalész élete(kb. i.e. 624-546)

A milétoszi iskola képviselője, a vizet tartotta őselemnek, a mindenség alapjának.

Matematikával és csillagászattal is foglalkozott. Egyiptomban egy geometriai módszerrel kiszámította egy piramis magasságát, és előre jelzett egy napfogyatkozást. Konkrét írásos emlékek, idézetek nem maradtak tőle, nem biztos, hogy feljegyezte gondolatait.

A "hét görög bölcs" egyikének tartják.

Az "Ismerd meg önmagad!" mondást neki tulajdonítják.

Thalész tétel

Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója.

Bizonyítás:A kör átmérője AB, a körvonal két tetszőleges A-tól és B-től különböző pontja

C.Rajzoljuk be az OC sugarat.

Az AOC háromszögnek az alapon fekvőkét szögét jelöljük α-val.A BOC háromszögnek az alapon fekvő két szögét β -val.

Az ABC háromszög belső szögeinek összege:α + β =90°

Ezzel a tételt bebizonyítottuk.Az ABC háromszög C csúcsánál lévő szöge derékszög.

ββ

αα

αα

ββ

Tétel: Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját Tétel: Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója.derékszögű háromszög átfogója.

Az AOC háromszögAz AOC háromszögés a BOC háromszög egyenlőszárúés a BOC háromszög egyenlőszárú

αα + + ββ +( +(αα + + ββ )=180 )=180°°

°°

A Thalész tétel megfordítása

Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felező pontja, az átfogó a kör átmérője.

A Thalész tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felező pontja, az átfogó a kör átmérője.

Bizonyítás: Azt kell megmutatunk, hogy az átfogó felezőpontja egyenlő távolságra van aháromszögcsúcsaitól.

Tükrözzük az ABC háromszöget az átfogó F felezőpontjára.

A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt egy olyan paralelogrammát kapunk, melynek a két szemközti szöge derékszög.

A paralelogramma tehát téglalap . A téglalap átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást.

Tehát AF = FB = FC; épp a háromszög köré írható sugarával egyenlők.

Ezzel az állítást igazoltuk.

°°

°°

ββββ

αα

αα

Feladatok

Thalész problémaThalész probléma

TesztTeszt

Az öreg aranyásó halála előtt elárulja fiának, hová rejtette az aranyát. Sajnos csak annyit tudott mondani, hogy a két nyárfa közelébe, oda, ahonnan a két nyárfa derékszögben látszik. Hol lehet a kincs?

Lássuk a megoldást!Lássuk a megoldást!

MegoldásA fiúnak olyan kör

menténkell ásnia, melynek

egyikátmérőjét a két nyárfajelöli ki. (Szerencsére a fák

gyökereinél nem kell

ásnia.)

Szeretnéd megoldani a feladathoz kapcsolódó tesztet?Igen

Teszt a feladathozHa a két fát 90 foknál kisebb szög alatt látjuk,

akkora) a Thalész-körön belül állunk.b) a Thalész-körön állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.

Ha a két fát 90 foknál nagyobb szög alatt látjuk, akkor

a) a Thalész-körön belül állunk.b) a Thalész-körön állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.

Hány helyen kellett volna ásnia az aranyásó fiának, ha azt is tudja, hogy az egyik fától milyen távolságra van az arany? (Azt nem tudja, melyik fától, csak a távolságot ismeri.)

a)1b)2c)4

Megoldás

Teszt a feladathozTeszt a feladathoz Ha a két fát 90 foknál kisebb szög alatt látjuk, Ha a két fát 90 foknál kisebb szög alatt látjuk,

akkorakkora) a Thalész-körön belül állunk.a) a Thalész-körön belül állunk.b) a Thalész-körön állunk.b) a Thalész-körön állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.

Ha a két fát 90 foknál nagyobb szög alatt látjuk, Ha a két fát 90 foknál nagyobb szög alatt látjuk, akkorakkor

a) a Thalész-körön belül állunk.a) a Thalész-körön belül állunk.b) a Thalész-körön állunk.b) a Thalész-körön állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.c) a Thalész-körön kívül állunk.

Legfeljebb hány helyen kell ásnia az aranyásó Legfeljebb hány helyen kell ásnia az aranyásó fiának, ha azt is tudja, hogy az egyik fától milyen fiának, ha azt is tudja, hogy az egyik fától milyen távolságra van az arany? (Azt nem tudja, melyik távolságra van az arany? (Azt nem tudja, melyik fától, csak a távolságot ismeri.)fától, csak a távolságot ismeri.)

a)1a)1b)2b)2c)4c)4

TesztMekkora a Thalész-körbe rajzolt háromszög egyik

szöge, ha a másik 45 fokos? a) 45 fokb) 90 fokc) 135 fok

Egy körben egy olyan háromszög látható, melynek egy szöge derékszög. Biztosak lehetünk abban, hogy

a) A háromszög egyik oldala egyenlő a kör sugarával.

b) A háromszög derékszöggel szemközti oldala a kör egyik átmérője.

c) A háromszög egyenlő szárú. Megoldás

TesztMekkora a Thalész-körbe rajzolt háromszög egyik

szöge, ha a másik 45 fokos? a) 45 fokb) 90 fokc) 135 fok

Egy körben egy olyan háromszög látható, melynek egy szöge derékszög. Biztosak lehetünk abban, hogy

a) A háromszög egyik oldala egyenlő a kör sugarával.

b) A háromszög derékszöggel szemközti oldala a kör egyik átmérője.

c) A háromszög egyenlő szárú.

TesztMiért nem érvényes Thalész tétele az átmérő két

végpontjára? a) Mert a két végpontban nincs háromszög: a háromszög oldalai egy egyenesre kerülnek.b) Mert nagyon kicsik lesznek a háromszög szögei.c) Mert az átmérő két végpontja nem tartozik a körhöz.

Ha egy szakaszra Thalész-kört rajzolunk, hány olyan egyenlőszárú háromszög írható a körbe, melynek egyik oldala az adott szakasz ? a) Igen, akármennyit.b) Igen, egyet.c ) Nem.

Megoldás

TesztMiért nem érvényes Thalész tétele az átmérő két

végpontjára? a) Mert a két végpontban nincs háromszög: a háromszög oldalai egy egyenesre kerülnek.b) Mert nagyon kicsik lesznek a háromszög szögei.c) Mert az átmérő két végpontja nem tartozik a körhöz.

Tudunk-e olyan derékszögű háromszöget rajzolni egy körbe, amelynek átfogója nem lesz a kör egyik átmérője?a) Igen, akármennyit.b) Igen, egyet.c ) Nem.