The Four Pillars of Geometry

Bab III : Koordinat

3.1 Baris bilangan dan Bidang Bilangan

Himpunan R untuk bilangan real didapat dengan mengisi celah dalam himpunan Q 

untuk bilangan rasional dengan bilangan irasional, seperti  √2. Perkembangan ini

memungkinkan kita untuk mempertimbangkan R sebagai garis, karena tidak memiliki

kesenjangan (celah) dan angka  di dalamnya tersusun seperti titik pada garis yang kita

bayangkan. Kita dapat mengatakan bahwa R, bersama-sama dengan susunannya

adalah sebuah model garis. Salah satu tujuan kita dalam bab ini  adalah dengan

menggunakan R untuk membangun sebuah model untuk semua bidang geometri

Euclidean: Struktur yang terdiri dari "garis", "lingkaran", "segmen garis," dan

seterusnya, dengan semua sifat yang dibutuhkan oleh Euclid atau aksioma Hilbert.

Langkah pertama adalah untuk membangun "bidang," dan dalam hal ini kita

dipandu oleh sifat paralel dalam geometri Euclid. Kita membayangkan sepasang garis

tegak lurus, yang disebut sumbu-x dan sumbu-y, berpotongan pada titik O disebut asal

(Gambar 3.1). Kita menafsirkan sumbu sebagai garis nomor, dengan O nomor 0 pada

masing-masing, dan kita asumsikan bahwa arah positif pada sumbu x adalah ke kanan

dan bahwa arah positif pada sumbu y adalah ke atas.

Melalui titik P, ada (oleh aksioma paralel) garis unik  sejajar dengan sumbu y dan

garis unik sejajar dengan sumbu x. Kedua  baris memenuhi sumbu-x dan sumbu-y pada

bilangan a dan b sebut x dan y masing-masing adalah koordinat dari P. Hal ini penting

untuk diingat bilangan mana yang  terletak pada sumbu x dan yang mana yang terletak

pada sumbu y, karena jelas titik  dengan koordinat x = 3 dan y = 4, berbeda dari titik

dengan koordinat x = 4 dan y = 3

Untuk menjaga a koordinat-x dan b koordinat-y tetap di tempatnya, kita

menggunakan  urutan pasangan (a, b). Sebagai contoh, (3,4) artinya adalah titik

dengan koordinat-x = 3 dan koordinat-y = 4, sedangkan (4,3) artinya adalah titik dengan

koordinat-x = 4 dan koordinat-y = 3. Urutan pasangan (a, b) mendefinisikan P dengan

unik karena titik lain setidaknya akan memiliki satu garis paralel yang berbeda

melewatinya dan karenanya akan berbeda dari P baik koordinat-x nya atau koordinat-y

nya.

Dengan demikian, mengingat adanya sejumlah garis R yang titiknya adalah

bilangan real, kita juga memiliki sejumlah bidang yang titiknya tersusun dari

pasangan bilangan real. Kita biasa menulis bidang bilangan ini sebagai R × R atau R2.

3.2 Garis dan Persamaannya

Seperti disebutkan dalam Bab 2, salah satu konsekuensi paling penting dari aksioma

paralel adalah teorema Thales dan proporsionalitas  segitiga yang sama. Ketika

koordinat diperkenalkan, ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan sifat garis lurus

yang dikenal sebagai kemiringan. Kau tahu saat sekolah tinggi  kemiringan dalam

matematika adalah hasil bagi "kenaikan terhadap pertambahan" dan, yang lebih

penting,  bahwa nilai dari kemiringan tidak tergantung di mana dua titik garis

menentukan kenaikan dan pertambahan. Gambar 3.2 menunjukkan mengapa.

Dalam gambar ini, kita memiliki dua segmen garis yang sama: 

1. AB, yang naik adalah |BC| dan bertambah adalah |AC|, dan

2. A’B’, yang naik adalah |B’C’| Dan yang bertambah adalah |A’C’|.

Sudut yang ditandai dengan α adalah sama karena AC dan A’C’ adalah paralel,

dan sudut yang ditandai β adalah sama karena BC dan B’C’  adalah

paralel. Juga, sudut di C dan C’ keduanya adalah sudut siku-siku. 

Jadi, segitiga ABC dan A’B’C’ sama, dan sisi-sisinya yang saling berhubungan memiliki

perbandingan yang proporsional. Secara khusus, 

¿ BC∨ ¿|AC|

=¿B'C'∨ ¿¿ A 'C '∨¿¿

¿¿

Itulah sebabnya, kemiringan = konstan.

Sekarang anggaplah kita diberi garis miring yang melintasi sumbu y di titik Q di mana

y = c (Gambar 3.3). Jika P = (x, y) adalah sembarang titik pada garis ini, maka kenaikan

dari Q ke P adalah y – c dan pertambahannya adalah x.Karenanya

kemiringan=a= y−cx

dan dengan mengalikan kedua sisi dengan x, maka y – c = ax, sehingga

y = ax+c.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik yang terletak pada garis, dan hanya oleh

mereka, jadi kita menyebutnya persamaan garis.

Hampir semua garis memiliki persamaan berbentuk seperti ini, satu-satunya

pengecualian adalah baris yang tidak melewati sumbu y. Ini adalah garis vertikal, yang

juga tidak memiliki kemiringan seperti yang telah kita definisikan, meskipun kita bisa

mengatakan mereka memiliki kemiringan yang tak terbatas. Seperti garis yang memiliki

persamaan bentuk

x = c, untuk beberapa konstanta c.

Dengan demikian, semua garis memiliki persamaan bentuk 

ax + by + c = 0, untuk beberapa konstanta a, b, dan c,

disebut persamaan linear dalam variabel x dan y.

Sampai titik ini kita telah mengikuti langkah-langkah dari Descartes, yang melihat

persamaan garis sebagai informasi yang disimpulkan dari aksioma Euclid (Khususnya,

dari aksioma paralel). Memang benar bahwa aksioma Euclid meminta kita untuk

menggambarkan garis dengan persamaan linear, tetapi kita juga bisa melihat sudut

pandang kebalikannya: Persamaan mendefinisikan apa itu garis dan kurva, dan mereka

menyediakan model aksioma Euclid – menunjukan bahwa geometri mengikuti dari

sifat bilangan real.

Secara khusus, jika garis didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (x, y) pada bidang

bilangan yang memenuhi persamaan garis maka kita dapat membuktikan pernyataan

berikut yang Euclid ambil sebagai aksioma:

1. ada garis yang unik yang melalui dua titik yang berbeda,

2. untuk setiap baris L dan titik P di luar L, ada garis yang unik melalui P tidak

melalui L.

3.3 Jarak

Kita memperkenalkan konsep jarak atau panjang ke dalam bidang bilangan R2 seperti

kita memperkenalkan garis. Pertama kita lihat apa yang geometri Euclid tunjukkan

tentang apa itu jarak, maka kita gunakan kembali hal yang disarankan tersebut sebagai

definisi.

Misalkan bahwa P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2) adalah dua titik di R2. 

Kemudian mengikuti makna dari koordinat bahwa ada segitiga siku-siku seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 3.4, dan bahwa | P1P2 | adalah panjang sisi miring nya.

Sisi vertikal segitiga memiliki panjang y2 – y1, dan sisi horisontal  memiliki panjang x2

– x1

kemudian berdasarkan teorema Pythagoras bahwa

Oleh karena itu, masuk akal bila untuk menentukan jarak |P1P2| antara dua titik P1 dan

P2 dengan rumus (*). Jika kita melakukan ini, teorema Pythagoras adalah hampir "benar

menurut definisi." Memang benar ketika siku-siku segitiga memiliki sisi vertikal dan sisi

horisontal, seperti pada Gambar 3.4. Dan kita akan lihat nanti bagaimana untuk

memutar setiap segitiga siku-siku untuk posisi tersebut (Tanpa mengubah panjang sisi-

sisinya).

Persamaan Lingkaran

Rumus jarak (*) mengarah langsung ke persamaan lingkaran, seperti berikut. Misalkan

kita memiliki lingkaran dengan jari-jari r dan pusat pada titik  P = (a,

b). Kemudian setiap titik Q = (x, y) pada lingkaran berada pada jarak r dari P, dan

karenanya rumus (*) memberikan:

Dengan mengkuadratkan kedua sisi kita dapat :

( x−a )2+ ( y−b )2=r2

Kita menyebutnya persamaan lingkaran karena dipenuhi oleh setiap titik (x, y) pada

lingkaran, dan hanya dengan titik-titik tersebut.

Garis Yang Berjarak Sama Dari Dua Titik

Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik berjarak sama dari titik pusatnya. Hal ini

wajar untuk bertanya: Apakah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik

adalah R2? Jawaban: himpunan dari titik – titik yang berjarak sama dari dua titik adalah

garis.

Untuk melihat mengapa, misalkan dua titik yaitu P1 = (a1, b1) dan P 2

= (a2, b2). Kemudian titik P = (x, y) berjarak sama dari P1 dan P2 jika |PP1| = |PP2|, yaitu,

jika x dan y memenuhi persamaan

Yang penting adalah bahwa variabel x2 dan y2 sekarang di cancel, yang meninggalkan 

persamaan linear

3.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran

Sekarang garis dan lingkaran telah didefinisikan oleh persamaan, kita dapat

memberikan bahwa exact aljabar setara dengan operasi pada straightedge dan jangka:

1. Melukis garis titik koresponden yang diberikan untuk menemukan persamaan

dari titik (x1,y1) dan (x2,y2). Kemiringan antara dua titik ini adalah y2−¿ y1

x2−x1¿, yang

harus sama dengan kemiringan y❑− y1x❑−x1

antara titik umum (x,y) dan titik khusus

(x1,y1), sehingga persamaannya adalah

y❑− y1x−x1

=y2− y1x2−x1

Mengalikan kedua sisi oleh (x – x1)(x2 – x1), kita mendapatkan persamaan yang

equivalen

( y− y1 ) (x2−x1 )=(x−x1 ) ( y2− y1 ) ,

Atau

( y2− y1) x−(x2−x1 ) y−x1 y2+ y1 x2

2. Melukis sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari yang berkoresponden untuk

menemukan persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari – jari r,

sehingga

( x−a )2+ ( y−b )2=r2

3. Mencari titik baru sebagai perpotongan dari garis yang ditarik sebelumnya

dan lingkaran yang bersesuaian untuk menemukan titik penyelesaian

- Sepasang persamaan garis, 

- Sepasang persamaan lingkaran, 

- Persamaan garis dan persamaan lingkaran.

Sebagai contoh untuk menemukan perpotongan dari dua buah lingkaran

(x−a1 )2+( y−b1 )2=r12

Dan

(x−a2 )2+( y−b2 )2=r22,

Kita menjabarkan persamaan kedua lingkaran sebagai berikut

x2−2a1 x+a12+ y2−2b1 y+b1

2−r12=0 (1)

x2−2a2 x+a22+ y2−2b2 y+b2

2−r22=0 (2)

Dan mengurangkan persamaan (2)dari persamaan (1). x2 dan y2 di cancel, dan hasilnya

adalah persamaan garis dalam x dan y :

2 (a2−a1 ) x+2 (b2−b1) y+r 22−r11=0 (3)

Kita dapat menyelesaikan Persamaan (3) untuk x atau y. Kemudian

menggantikan penyelesaian (3) dalam (1) memberikan persamaan kuadrat baik untuk y

atau x. Jika persamaan adalah bentuk Ax2 + Bx + C = 0, maka kita tahu

bahwa penyelesaiannya adalah

Untuk Memecahkan persamaan linear hanya memerlukan operasi +, -, ×, dan ÷, dan

rumus kuadrat menunjukkan bahwa √ adalah satu-satunya tambahan operasi yang

dibutuhkan untuk memecahkan persamaan kuadrat. Dengan demikian, semua titik

perpotongan yang terlibat dalam konstruksi straightedge dan jangka dapat ditemukan

dengan operasi +, -, ×, ÷, dan √.

Sekarang ingat dari Bab 1 dan 2 bahwa operasi +, -, ×, ÷, dan dapat dilakukan

oleh straightedge dan kompas. Oleh karena itu, kita mendapatkan Hasilnya sebagai

berikut:

Kriteria aljabar untuk constructibility. Titik A adalah constructible (mulai dari titik 0

dan 1) jika dan hanya jika koordinat yang diperoleh dari nomor 1 dengan operasi +, -, ×,

÷, dan √

3.5 Sudut dan Kemiringan

Konsep jarak mudah untuk menangani dalam geometri koordinat karena jarak antara

titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah fungsi aljabar dari koordinat mereka, yaitu

√ (x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2

ini bukan kasus untuk konsep sudut.  Sudut θ antara baris y = tx dan sumbu x adalah

tan-1t, dan fungsi tan-1t bukan aljabar fungsi. Juga bukan fungsi inversnya t = tanθ atau

fungsi yang terkait sinθ (Sinus) dan cosθ (cosinus).

Untuk tetap dalam dunia aljabar, kita harus bekerja dengan kemiringan t 

daripada sudut θ. Garis membuat sudut yang sama dengan sumbu x jika

mereka memiliki kemiringan yang sama, tetapi untuk menguji kesetaraan sudut pada

umumnya kita membutuhkan konsep relatif kemiringan: Jika garis L1 memiliki

kemiringan t1 dan garis L2 memiliki kemiringan t2, maka kemiringan relatif L1 terhadap L2

didefinisikan sebagai

±t 1−t21+t 1t 2

Definisi canggung ini berasal dari rumus yang Anda mungkin telah melihat 

dalam trigonometri,

tan (θ1−θ2 )=tanθ1−tan θ21+ tan θ1 tan θ2

dengan mengambil t1 = tanθ1 dan t2 = tanθ2. Alasan untuk tanda ± dan nilai absolut

adalah bahwa kemiringan t1, t2 sendiri tidak menentukan sudut-mereka hanya

menentukan sepasang garis dan karenanya sepasang sudut yang menambah sudut

pelurus. (Untuk lebih lanjut tentang menggunakan kemiringan relatif untuk membahas

kesetaraan sudut, lihat Hartshorne Geometri: Euclid dan luar, terutama hlm 141-155).

3.6 Isometri

Kemungkinan kelemahan contoh dari bidang kita adalah bahwa tampaknya

tunggal untuk sebuah titik tertentu (titik asal O) dan garis tertentu (x dan y-

sumbu). Dalam bidang Euclid, setiap titik adalah seperti titik lain dan setiap garis

seperti setiap garis lain. Kita dapat mengatasi bias R2 dengan

mempertimbangkan transformasi yang memungkinkan setiap titik menjadi asal dan

setiap garis untuk menjadi sumbu x.  Sebagai bonus, ide ini memberi makna pada

gagasan 

"Gerakan" yang Euclid mencoba menggunakan dalam usahanya untuk membuktikan

SAS.

Sebuah transformasi dari bidang hanyalah sebuah fungsi f: R2 → R2, di lain kata, fungsi

yang memetakan dari titik ke titik.

Sebuah transformasi f disebut isometri (dari bahasa Yunani untuk "yang sama panjang

") jika memetakan dua titik, P1 dan P2, untuk titik f(P1) dan f(P2) yang terpisah jarak yang

sama. Dengan demikian, suatu isometri adalah fungsi f dengan sifat

|f (P1 ) f (P2 )|=|P1P2|

untuk setiap dua titik P1,P2. Secara Intuisi mengatakan, suatu isometri "menggerakan

bidang secara kaku ”karena mempertahankan jarak antara titik. Ada  banyak isometries

dari bidang, tetapi mereka dapat dibagi menjadi beberapa type yang jelas dan

sederhana. Kita menunjukkan contoh-contoh dari setiap jenis di bawah ini, dan di sesi

selanjutnya, kita akan menjelaskan mengapa hanya ada jenis.

Anda akan melihat bahwa isometries tertentu (terjemahan dan rotasi)

membuat mungkin untuk memindahkan asal ke titik manapun dalam pesawat dan

sumbu x untuk setiap garis. Dengan demikian, R2 adalah benar-benar seperti bidang

Euclid, dalam arti bahwa setiap titik adalah seperti titik lain dan setiap garis adalah

seperti garis lain. Sifat ini hak kita untuk memilih sumbu mana pun akan lebih mudah.

Translasi

Sebuah translasi memindahkan setiap titik dari bidang pada jarak yang sama dan pada

arah yang sama arah. Tiap terjemahan tergantung pada dua konstanta a dan b, jadi kita

menunjukkan dengan ta,b. Ia memetakan setiap titik (x, y) ke titik (x + a, y + b). Hal ini

jelas bahwa translasi menjaga jarak antara dua titik, tetapi senilai check ini secara

formal-sehingga tahu apa yang harus dilakukan dalam waktu kasus yang jelas kasus.

Jadi misalkan P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2). Ini mengikuti bahwa

ta,b (P1) = (x1+a, y1+b), ta,b (P2) = (x2+a, y2+b)

dan oleh karena itu

|t a , b (P1 ) t a ,b (P2 )|=√( x2+a−x1−a )2+ ( y2+b− y1−b )2

¿√ (x2−x1 )2+( y2− y1 )2

¿|P1 P2|, seperti yang dipersyaratkan

Rotasi

Kita pikir rotasi sebagai sesuatu yang melibatkan sudut θ, tapi, seperti yang

disebutkan pada bagian sebelumnya, akan lebih mudah untuk bekerja dengan

aljabar cosθ dan sinθ. Ini hanya dua angka c dan s sehingga c2 + s2 = 1, jadi kita akan

menunjukkan rotasi dari bidang tentang asal oleh rc,s.

Rotasi rc,s memetakan titik (x, y) ke titik (cx - sy, sx + cy). Hal ini tidak jelas mengapa

transformasi ini harus disebut rotasi, tetapi menjadi lebih jelas setelah kita memeriksa

bahwa rc,s mempertahankan panjang.

Jika kita misalkan P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2) lagi, hal ini mengikuti bahwa

rc,s(P1) = (cx1−sy1, sx1+cy1), rc,s(P2) = (cx2−sy2, sx2+cy2)

dan oleh sebab itu,

Dengan demikian, rc,s mempertahankan panjang. Juga, rc,s memetakan (0,0) untuk

dirinya sendiri, dan bergerak (1,0) ke (c, s) dan (0,1) ke (-s, c), yang persis seperti rotasi

O melalui sudut θ (lihat Gambar 3.5). Kita akan melihat di bagian berikutnya

yang hanya satu isometri dari pesawat bergerak tiga poin dengan cara ini.

Refleksi

Refleksi termudah untuk digambarkan adalah refleksi di sumbu x, yang mengirimkan

P = (x, y) ke P = (x, y-). Sekali lagi itu adalah jelas bahwa ini adalah isometri, tapi kita

dapat memeriksa dengan menghitung jarak titik refleksi P1 dan P2 (Latihan 3.6.1).

Kita dapat mencerminkan bidang di setiap baris, dan kita dapat melakukan ini dengan

menggabungkan refleksi di sumbu x dengan translasi dan rotasi. Sebagai contoh,

refleksi di garis y = 1 (yang sejajar dengan sumbu x) adalah hasil dari tiga isometries

berikut ini:

4. T0,-1, sebuah translasi yang menggerakan garis y = 1 ke sumbu x,

5. refleksi di sumbu x, 

6. t0,1, translasi yang menggerakan sumbu x kembali ke garis y = 1.

Secara umum, kita dapat melakukan refleksi dalam setiap baris L dengan

memindahkan L ke sumbu x oleh beberapa kombinasi dari translasi dan rotasi,

mencerminkan dalam sumbu x, dan kemudian mentranslasikan sumbu x kembali ke L.

Refleksi adalah isometries paling mendasar, karena setiap isometri adalah

kombinasi dari mereka, seperti yang akan kita lihat pada bagian berikutnya. Secara

khusus, translasi apapun adalah kombinasi dari dua refleksi, dan rotasi

adalah kombinasi dari dua refleksi (lihat Latihan 3.6.2-3.6.4).

Glide Refleksi

Sebuah glide refleksi adalah hasil dari refleksi diikuti dengan translasi dalam arah garis

refleksi. Sebagai contoh, jika kita merenungkan dalam sumbu x, pemetaan (x, y) ke

(x, -y), dan mengikuti ini dengan translasi t1,0 sepanjang 1 dalam arah x, maka (x, y)

berakhir pada (x +1,-y).

Sebuah glide refleksi dengan panjang translasi bukan nol berbeda dari tiga jenis

isometri yang dijelaskan sebelumnya .

1. Ini bukan translasi, karena translasi memetakan setiap baris dalam arah translasi

ke dalam dirinya, sedangkan peta glide refleksi hanya satu baris ke dalam dirinya

sendiri (yaitu, garis refleksi). 

2. Ini bukan rotasi, karena rotasi memiliki titik tetap dan glide refleksi tidak. 

3. Ini bukan refleksi, karena refleksi juga memiliki titik tetap (semua titik pada garis

refleksi).

3.7 Tiga Teorema Refleksi

Kita melihat dalam Bagian 3.3 bahwa titik-titik berjarak sama dari dua titik A dan B

membentuk garis, yang menyiratkan bahwa isometries dari bidang yang sangat

sederhana: 

Sebuah isometri f dari R2 ditentukan oleh gambar f(A), f(B), f(C) dari tiga titik A, B, C

tidak dalam baris.

Buktinya mengikuti dari tiga pengamatan sederhana: 

1. Setiap titik P di R2 ditentukan oleh jarak yang dari A, B, C.Karena  jika Q adalah

titik lain dengan jarak yang sama dari A, B, C  sebagai P, maka A, B, C terletak

pada garis berjarak sama dari P dan Q, bertentangan dengan 

asumsi bahwa A, B, C tidak berada dalam garis.

2. isometri f mempertahankan jarak (dengan definisi isometri), sehingga f (P)

terletak pada jarak yang sama dari masing-masing f (A), f (B), f (C) sebagai P

tidak dari A, B, C. 

3. Hanya ada satu titik di diberikan jarak dari f (A), f (B), f (C) karena  tiga poin tidak

berada dalam garis-bahkan mereka membentuk segitiga kongruen dengan

segitiga ABC, karena f menjaga jarak.

Dengan demikian, gambar f (P) dari setiap titik P-dan karenanya seluruh isometri f-

adalah ditentukan oleh gambar tiga titik A, B, C tidak dalam baris.

"tiga teorema penentuan titik" ini memberi kita:

Tiga teorema refleksi. Setiap isometri dari R2 adalah kombinasi dari satu, dua, atau

tiga refleksi.

Mengingat isometri f, kita memilih tiga titik A, B, C tidak dalam satu baris, dan kita

mencari kombinasi refleksi yang mengirim A ke f (A), B ke f (B), dan

C ke f (C). Kombinasi seperti ini tentu sama dengan f. Kita bisa tentu memetakan A

ke f (A) oleh refleksi di garis berjarak sama dari A dan f (A). Hubungi refleksi ini rA.

Sekarang rA memetakan B ke rA (B), jadi jika rA (B) = f (B) kita tidak perlu melakukan

apa-apa lagi untuk B. 

Jika rA(B) ≠ f(B), kita dapat memetakan rA(B) ke f(B) oleh refleksi rB dalam 

garis berjarak sama dari rA(B) dan f(B). Untungnya, f (A) = rA(A) terletak pada garis ini,

karena jarak dari f(A) ke f(B) sama dengan jarak dari rA(A) ke rA (B) (karena f dan rA

adalah isometries). Dengan demikian, rB tidak menggerakan f (A), dan kombinasi rA

diikuti oleh rB memetakan A ke f (A) dan B ke f (B).

Alasan yang serupa untuk C. Jika C telah dipetakan ke f (C), maka selesai. Jika tidak,

kita merenungkan dalam garis berjarak sama dari f (C) dan titik di mana C telah dikirim

sejauh ini. Ternyata (dengan cek dari jarak yang sama seperti itu dibuat untuk f (A) di

atas) bahwa f (A) dan f (B) sudah terletak pada baris ini, sehingga mereka tidak

bergerak. Jadi, akhirnya kita memiliki kombinasi tidak lebih dari tiga refleksi yang

menggerakan A ke f (A), B ke f (B), dan C ke f (C), seperti yang diperlukan.

Sekarang tentu saja, satu refleksi adalah refleksi, dan kita menemukan pada

latihan sebelumnya, kombinasi dari dua refleksi translasi dan rotasi, dan bahwa

kombinasi dari tiga glide refleksi (Yang mencakup refleksi). Dengan demikian, suatu

isometri dari R2 adalah salah translasi, rotasi, atau glide refleksi.