The Fourier Transform

อ.สมชาย อรุณรุงรัศมี

8/27/2004 2

ปญหาของ CTFS

• CTFS เปนเครื่องมือสําหรับการวิเคราะหสัญญาณซ้ําคาบที่ดี แต CTFS นั้นไมสามารถวิเคราะหสัญญาณที่ไมซ้ําคาบได

• อยางไรก็ตามถาเรามีการปรับเปลี่ยน CTFS เปน continuous-time Fourier transform (CTFT) ก็จะทําใหเราสามารถวิเคราะหสัญญาณไมซ้ําคาบได

8/27/2004 3

การเปลี่ยน CTFS เปน CTF

จากที่เรียนมาเราจะได CTFS ของสัญญาณ X k[ ]=AwT0

sinckwT0

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

ลองพิจารณา periodic pulse-train signal, x(t), ทีม่ี duty cycle = wT0

ถาใหคาบเวลา เพิ่มขึน้โดยให w คงทีไ่ว จะทําให duty cycle ลดลงเมื่อคาบเวลามีคามากขึ้นจนเขาใกลอนันต (ซึง่จะทําให duty cycle กลายเปนศูนย)ดังนัน้สญัญาณ x(t) ก็จะไมเปนสญัญาณซ้ําคาบอกีตอไป

T0

8/27/2004 4

การเปลี่ยน CTFS เปน CTF

w =T0

2 w =T0

10

เพื่อความเขาใจถึงพฤติกรรมของ CTFS เมื่อ duty cycle ลดลง(คาบเวลามากขึ้น) รูปดานลางแสดงใหเห็นถึง magnitude spectrum ของ X[k] เมื่อ duty เปลี่ยนจาก 50% เปน 10% ซึง่เราจะเห็นไดวาเมื่อคาบเวลาสงูขึ้นจะทาํให sinc function กวางมากขึ้นและขนาดของ spectrum ลดลง ถาคาบเวลามีคาจนเขาสูอนันตจะทาํให harmonic function ของ CTFS กวางขึน้อยางไมมีที่สิน้สุด สวนขนาดก็จะลดลงจนกลายเปนศนูย

8/27/2004 5

การเปลี่ยน CTFS เปน CTFปญหาของการที่คาบเวลามีคาเขาสูอนนัตแลวทาํให ขนาดของ harmonics ลดลงจนเปนศูนยนั้นสามารถแกไขไดดวยการ normalizing ใหกับ CTFS harmonic functionโดยเราจะนิยาม harmonic function ตัวใหมวา modified CTFS

T0 X k[ ]= Awsinc w kf0( )( )สวนแกน x ปกติเราจะเปนคาของ k ก็เปลี่ยนเปน แทนkf0

8/27/2004 6

การเปลี่ยน CTFS เปน CTFเมื่อ limit ของการอินทริเกทเขาสูอนันตจะทาํให modified CTFS กลายเปนฟงกชั่นตอเนื่อง ซึง่หมายถึงวาความถี่กลายเปนฟงกชั่นตอเนื่อง (continuous frequency)f ( ). และเราจะเรียก modified CTFS วา CT Fourier Transformkf0

8/27/2004 7

นิยามของ CTFT

x t( ) F← → ⎯ X f( ) x t( ) F← → ⎯ X jω( )or

สญัลักษณที่ใชกันทั่วไป:

Forward Inverse

X f( )= F x t( )( )= x t( )e− j2πftdt

−∞

∞

∫ x t( )= F -1 X f( )( )= X f( )e+ j 2πftdf

−∞

∞

∫

f form

X jω( )= F x t( )( )= x t( )e− jωtdt

−∞

∞

∫ x t( )= F -1 X jω( )( )=

12π

X jω( )e+ jωtdω−∞

∞

∫

ω formForward Inverse

8/27/2004 8

นัยที่นาสนใจของ Fourier Transform

The CTFT expresses a finite-amplitude, real-valued, aperiodic signal which can also, in general, be time-limited, as a summation (an integral) of an infinite continuum of weighted, infinitesimal-amplitude, complex sinusoids, each of which is unlimited intime. (Time limited means “having non-zero values only for afinite time.”)

8/27/2004 9

องคประกอบความถี่

Lowpass Highpass

Bandpass

8/27/2004 10

การลูเขาและ Generalized Fourier Transform

ให ดังนั้น CTFT ของสัญญาณคือx t( )= A

X f( )= Ae− j 2πftdt−∞

∞

∫ = A e− j 2πftdt−∞

∞

∫

จะเห็นไดวา X(f) นั้นไมลูเขา ซึง่ทําใหเราไมสามารถหาคา CTFT ได

8/27/2004 11

xσ t( )= Ae−σ t , σ > 0

ดังนัน้ CTFT integral คือ

ซึง่จะเห็นไดวาเราสามารถหาคา CTFT ของสญัญาณได

Xσ f( )= Ae−σ t e− j2πftdt−∞

∞

∫

จากสไลดหนาที่แลวเราพบวาเราไมสามารถหาคาCTFT ของคาคงที่ A ได แตถาเราคูณคาคงที่ Aดวย e-σ|t| จะทําใหเราสามารหาคา CTFT ได

การลูเขาและ Generalized Fourier Transform

8/27/2004 12

ผลของ CTFT หลังทําการอินทิเกรทจะได, .Xσ f( )= A2σ

σ 2 + 2πf( )2

ถา ดังนัน้ และเราจะเห็นไดวาพืน้ทีข่องมันคือf ≠ 0 limσ→0

A2σ

σ 2 + 2πf( )2 = 0

Area = A2σ

σ 2 + 2πf( )2 df−∞

∞

∫และผลที่ไดคือ A ซึง่แสดงใหเห็นวามันอิสระกับคาของ σ ดังนั้นเมื่อ σ เขาสูศูนย CTFTจะมีพื้นทีใ่ตกราฟเทากับ A และจะเปนศนูยเมื่อ และถา f≠0 เราจะไดพื้นที่ใตกราฟเปนศูนยซึง่จะเห็นไดวามันเปนกรณีเดียวกับสญัญาณ impulse ดังนัน้จงึนิยามผลลัพธของ CTFTของคาคงที่ A ดังนี้

f = 0

AF← → ⎯ Aδ f( )

เมื่อทําการให σ มีคาเปนศูนย

การลูเขาและ Generalized Fourier Transform

8/27/2004 13

จากกระบวนการหาคา CTFT ของคาคงที ่A เราจะกลาวไดวา

cos 2πf0t( ) F← → ⎯

12

δ f − f0( )+ δ f + f0( )[ ]และ

sin 2πf0t( ) F← → ⎯

j2

δ f + f0( )− δ f − f0( )[ ]

จะเห็นวาผลของ CTFT ที่ไดเกี่ยวของกับสญัญาณ impulses เราจึงขอเรียกCTFT ที่มีผลลัพธทีเ่กี่ยวของกบั impulse วา generalized Fourier transforms

การลูเขาและ Generalized Fourier Transform

8/27/2004 14

การลูเขาและ Generalized Fourier Transform

8/27/2004 15

ความถี่ทีเ่ปนลบสญัญาณดานลางนี้คือสญัญาณที่อยูในรูปของ Sinusoid

ซึง่เราสามารถบรรยายไดดวยสมการ

x t( )= Acos2πtT0

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = A cos 2πf0t( )

หรือเขียนในรูปของความถี่ที่ติดลบได

x t( )= Acos 2π − f0( )t( )

8/27/2004 16

ความถี่ทีเ่ปนลบดังนนั x(t) สามารถบรรยายไดดวยสมการ

x t( )= A1 cos 2πf0t( )+ A2 cos 2π − f0( )t( ) , A1 + A2 = A

x t( )= Aej 2πf0t + e− j2πf0t

2

ดังจะเห็นไดวาความถี่ที่เปนลบและบวกนั้นไมไดสําคญัตอการอธิบายสัญญาณแตอยางใด

หรือ

8/27/2004 17

คุณสมบัตขิอง CTFTถาดังนัน้คณุสมบัติของ CTFT จะเปนดงันี้

Linearity α x t( )+ β y t( ) F← → ⎯ α X f( )+ β Y f( )

α x t( )+ β y t( ) F← → ⎯ α X jω( )+ β Y jω( )

F x t( )( )= X f( ) หรือX jω( ) และ F y t( )( )= Y f( ) หรือY jω( )

8/27/2004 18

Time Shifting

x t − t0( ) F← → ⎯ X f( )e− j 2πft0

x t − t0( ) F← → ⎯ X jω( )e− jωt0

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 19

x t( )e+ j2πf0t F← → ⎯ X f − f0( )

Frequency Shifting

x t( )e+ jω0t F← → ⎯ X ω − ω0( )

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 20

Time Scaling x at( ) F← → ⎯

1a

Xfa

⎛ ⎝

⎞ ⎠

x at( ) F← → ⎯

1a

X jωa

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Frequency Scaling

1a

xta

⎛ ⎝

⎞ ⎠

F← → ⎯ X af( )

1a

xta

⎛ ⎝

⎞ ⎠

F← → ⎯ X jaω( )

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 21

The “Uncertainty” PrincipleThe time and frequency scaling properties indicate that if a signal is expanded in one domain it is compressed in the other domain.This is called the “uncertainty principle” of Fourier analysis.

e−π t

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

F← → ⎯ 2e−π 2 f( )2

e−πt2 F← → ⎯ e−πf 2

8/27/2004 22

Transform of a Conjugate x* t( ) F← → ⎯ X* − f( )

x* t( ) F← → ⎯ X* − jω( )

Multiplication-ConvolutionDuality

x t( )∗y t( ) F← → ⎯ X f( )Y f( )

x t( )∗y t( ) F← → ⎯ X jω( )Y jω( )

x t( )y t( ) F← → ⎯ X f( )∗ Y f( )

x t( )y t( ) F← → ⎯

12π

X jω( )∗Y jω( )

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 23

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 24

An important consequence of multiplication-convolutionduality is the concept of the transfer function.

In the frequency domain, the cascade connection multipliesthe transfer functions instead of convolving the impulseresponses.

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 25

Time Differentiation

ddt

x t( )( ) F← → ⎯ j2πf X f( )

ddt

x t( )( ) F← → ⎯ jω X jω( )

Modulation x t( )cos 2πf0t( ) F← → ⎯

12

X f − f0( )+ X f + f0( )[ ]

x t( )cos ω 0t( ) F← → ⎯

12

X j ω − ω0( )( )+ X j ω +ω 0( )( )[ ]

Transforms ofPeriodic Signals

x t( )= X k[ ]e− j 2π kfF( )t

k =−∞

∞

∑ F← → ⎯ X f( )= X k[ ]δ f − kf0( )k =−∞

∞

∑

x t( )= X k[ ]e− j kωF( )t

k =−∞

∞

∑ F← → ⎯ X jω( )= 2π X k[ ]δ ω − kω0( )k =−∞

∞

∑

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 26

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 27

Parseval’s Theorem

x t( )2 dt−∞

∞

∫ = X f( )2 df−∞

∞

∫

x t( )2 dt−∞

∞

∫ =1

2πX jω( )2 df

−∞

∞

∫

Integral Definitionof an Impulse

e− j2πxy

−∞

∞

∫ dy = δ x( )

Duality X t( ) F← → ⎯ x − f( ) and X −t( ) F← → ⎯ x f( )

X jt( ) F← → ⎯ 2π x −ω( ) and X − jt( ) F← → ⎯ 2π x ω( )

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 28

Total-AreaIntegral

X 0( )= x t( )e− j2πftdt−∞

∞

∫⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

f →0

= x t( )dt−∞

∞

∫

x 0( )= X f( )e+ j 2πftdf−∞

∞

∫⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

t→0

= X f( )df−∞

∞

∫

X 0( )= x t( )e− jωtdt−∞

∞

∫⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

ω→0

= x t( )dt−∞

∞

∫

x 0( )=1

2πX jω( )e+ jωtdω

−∞

∞

∫⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

t→0

=1

2πX jω( )dω

−∞

∞

∫

Integration x λ( )dλ

−∞

t

∫ F← → ⎯ X f( )j2πf

+12

X 0( )δ f( )

x λ( )dλ

−∞

t

∫ F← → ⎯ X jω( )

jω+ π X 0( )δ ω( )

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 29

x 0( )= X f( )df−∞

∞

∫

X 0( )= x t( )dt−∞

∞

∫

คุณสมบัตขิอง CTFT

8/27/2004 30

คุณสมบัตขิอง CTFT