Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2013
The International Mathematics Contest
„THE CLOCK – TOWER SCHOOL” 16th Edition
Juniors I Competition
SUBIECTUL 1
Câştigă al doilea jucător. 2p
După prima mişcare rămâne un număr care nu se divide la 3, 1p
deci la fiecare mişcare al doilea jucător alege un număr de chibrituri
astfel încât numărul rămas să fie divizibil cu 3. 2p
Cum 0 este divizibil cu 3, rezultă că această strategie ne asigură victoria. 2p
SUBIECTUL 2
Vom arăta că numărul căutat este 31n = 1p Dacă, prin absurd, 32n ≥ , atunci fie 2 A∈ . Din2 2 4 4 B⋅ = ⇒ ∈ . Din4 4 16 16 A⋅ = ⇒ ∈ . Din2 8 16 8 B⋅ = ⇒ ∈ . Din2 16 32 32 B⋅ = ⇒ ∈ 2p Cum 4, 8 B∈ şi4 8 32 32 A⋅ = ⇒ ∈ , contradicţie 1p Deci 31n ≤ . 1p Pentru 31n = un exemplu de partiţie a mulţimii{ }2;3;...;31 este
{ }2;3;5;7;11;13;16;17;19;23;24;27;28;29;31A = şi 1p
{ }4;6;8;9;10;12;14;15;18;20;21;22;25;26;30B = ( 15card A card B= = ) 1p
SUBIECTUL 3 Soluții date de domnul prof. univ. Andrei Eckstein
Vom arăta că dacă 1 2 2 1
...
n n na x x x x x
− −
= , atunci suma cifrelor numărului 5a este
1
52
n
k
k
xN
=
+
∑ (*),
unde N reprezintă numărul de cifre impare din scrierea zecimală a lui a. De aici rezultă în mod evident că această sumă nu depinde de ordinea cifrelor numărului a, de unde concluzia. 2p
Calculând 1 2 1... 010
52 2
n nx x x xa
a−
= = , constatăm că 5a are prima cifră 2
nx
, 1p
următoarele calculându-se împărţind numărul 1 2 1... 0
nx x x
−
la 2, dacă nx este par, caz în
care următoarea cifră a lui 5a este 1
2
nx
−
, 1p
2013
fie numărul 1 2 1
1 ... 0nx x x
−
la 2, dacănx este impar, cazîn care eaeste 1 1
105
2 2
n nx x
− −
+ = +
. 1p Continuăm acest procedeu (algoritmul împărţirii) până când ajungem la determinarea
ultimei cifre a lui10
2
a
.Aceasta va fi fie 0, dacă1x a fost par, 1p
fie 5, dacă1x a fost impar. 1p
Am demonstrat astfel relaţia (*). Altfel:
Relaţia (*) poate fi demonstrată şi scriind pentru fiecare { }1;2;3;...;k n∈k k kx y z= + ,
unde 22
k
k
xy
=
, iar 0
kz = dacă
kx este par şi 1
kz = , dacă
kx este impar. Aşadar N dintre
cifrelekz sunt egale cu 1, celelalte 0.
Atunci 1 2 2 1 1 2 2 1... 0 ... 010
52 2 2
n n n n n ny y y y y z z z z za
a− − − −
= = + (**)
Deoarece 1 2 2 1
... 0n n ny y y y y
− −
are toate cifrele pare, este uşor de văzut că 1 2 2 1... 0
2
n n ny y y y y
− −
are suma cifrelor 1 2
n
k
k
x
=
∑ . Numărul 1 2 2 1
1 2 2 1
... 05 ...
2
n n n
n n n
z z z z z
z z z z z− −
− −= ⋅ are toate
cifrele 0 sau 5, deci suma cifrelor sale va fi 5N.
Mai rămâne să remarcăm că numărul 1 2 2 1... 0
2
n n ny y y y y
− − are toate cifrele mai mici decât
5, deci la efectuarea sumei (**) nu există trecere peste ordin, ceea ce implicăfaptulcăsuma cifrelor lui5a este suma dintre suma cifrelor celor doi termeni ai
sumei, adică1
52
n
k
k
xN
=
+
∑ .
SUBIECTUL 4
Deoarece CK este bisectoarea unghiului ACB∢ , K este mijlocul arcului �AB . 1p
Avem 2 2 2
A A CIAK IAB BAK BCK AIK= + = + = + =
∢ ∢ ∢∢ ∢ ∢ ∢ ∢ , 1p
deci AK IK OK= = ,adică triunghiul AOK∆ este echilateral. 1p În mod analog se arată că BOK∆ este echilateral. 1p Atunci ( ) ( )120 60 .
o o
m AOB m C= ⇒ =∢ ∢ 1p
2013
Deoarece P este mijlocul lui [ ]AB , în triunghiurile dreptunghice ADB∆ şi AEB∆ avem
2
ABPD PE= = şi 1p
( ) 180 ( ) ( ) 180 2 ( ) 2 ( )o o
m EPD m APE m DPB m ABE m DAB= − − = − − =∢ ∢ ∢ ∢ ∢
( ) ( ) ( )180 2 90 ( ) 2 90 ( ) 2 180o o o o
m A m B A B= − − − − = + − =∢ ∢ ∢ ∢
( )2 180 60 180 60o o o o
= − − =
Prin urmare DEP∆ este echilateral. 1p