26

the residue theorem • Trig and indefinite integrals

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

������������ ������������������� �!�"�$#%��&'��()�+*,#�-/.102�� 3.�04�5�"6,()&�#7&��8"��9���:;-<>= ��#�():1?,��#�@,���,�A9���#�(B:,?,�C���,���"9���D< ��9%()EF�+*,:G()*1:,��HI*1(B���C(B*�����E+9��+JB#<LK *,:,��H,*,(B����(B*�����E+9��+JB#K *�����E"9��M��()�+*���9��"?,*1:N�O#�(B*,E"?,J)�+9�(2�QP<>R �'�7SUTWV�XY� �Z�C[\?,*,&���()�"*F]^(B���$�+*_()#%�"J`�M����:_#�(B*,E"?,J)�+9�(2�QPO���aVcbd!�+*,:eJ)�'�/f��g�Z�#�()D_6,JB�h&�JB�"#���:i�+*���(2 Q&�J)�!&j��]^()#��7&��"*����"?19a��9��"?,*1:iVcb�]^�,()&j�_&��+*k���+()*1#/*1�l�+���,��9#�()*1E"?,J`��9�(B��()��#�0 K *m���,�n6I�+#%�Y]a�7�I�c8"�7?1#���:F���1�^oh�+?,&j��PO(B*k����E"9��+Jk[\�"9�Dm?1J`�p�+*1:(B��#78��+9%(`�+*���#^���_&��+De6,?����rqcstStTuV�XZvkV1@g�,�]n�'8"��9w���,(B#x[\�+9�Dm?,J)�O()#^*,�+�w�+JB]n�cP!#�+6,6,JB()&c���,J)��0tyI�"97()*1#%�j��*,&���d,]n��&c�+*1*,�+�^]n�+9��$�"?��z;{ |�{ } ~!� ~W��| v!V?,#�(B*,El���,�poh��?,&j��Pi���1���"9%��D_#�d!� ��&c�+?,#%�Z���,�w#%()*,E"?1J`�+9%(B�QPF���n�l:1����#a*,���n#%����D���F� �A�+[5���1�A[\�+9�D ��� |��� |��!|��3�2� 0<>� �]n�'8"��9�d�]n�a&c�+*l]n�"9%�l�+?1�U���,�n(B*k����E"9��+Jk?,#�(B*,E R �+?,9%��*��t#%��9%()��#�0����h�'��6I��*,:� ~W��|h� �a� �V � �����V+� � �1��V+� ���c���()*�����E"9�����()*,Em���,()#h����9%D���P$����9�DGd,]n�AE"�'�z { |�{ } ~�� ~W��| vkV � z { |'{ } ~ v!VZ� z { |�{ } ~�vkVV

� z { |'{ } ~�vkV�!�4V+� � z { |�{ } ~�vkV1��V+� ���c����p��#�61(B���_J)�!�"�k()*1E�&��"D_6,J)(B&c������:;d�D_�"#%���+[n���,��#��i(B*�����E+9��+JB#l��9��_����9%�,0 = ��&��+J)J���I���e]^�,��*1��8"��9�S��I�+#���*��+*���(� Q:,��9�(B8�����(B8+���"*���&�JB�"#���:�&��"*����+?,9ef5d7���,��*

Page 2: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

� s StTuV�XZvkV � ��0^� (2���G���,�l�'��&���61��(B�"* �+[ ~| d �+J)J;���,�r(B*k����E"9��+*,:,#Z�I�c8"�O��*k��(2 :,��9%(B8�����(28"��#�Tu�+0 E,0 ~��� | � �,�+#x�+*N��*k��(2 �:,��9%(B8�����(28"�p��[�� ~

� | X'dI#��F���1��P��+JBJ 8��+*,(B#��;0�7�!?1#x]a�l�,�8+� z { |�{ } ~�� ~W��| vkV � z { |�{ } ~ v!VV� ����

�kP�oh�+?,&j��P��#Z()*�����E"9��+J [\�"9�Dm?1J`�10< ���"9��AE"��*,��9��+J)J2P"d�(B[tStTWV�Xh�I��#Z� R �+?,9%��*��x�'��6I�+*1#�()�+*��+[StTWV�X � � � } � ��� � TWV�� Vcb'X �

�+*,:Nf�()#w�i#�(BDe61J)��&�J)�+#���: �+*���(2 �&�JB��&j��]^()#%�r&��"*����"?,9Z]^�,()&j� &��"*��j�+(B*,#CVcbA�+*1:*,�F�+���,��9^#�()*1E"?,J`��9�(B��()��#n�+[tS�d1���,��*� s StTWV"X^vkV� � s � �I~V���Vcb vkV

� ����� � �I~� ��&c�+?,#%�/�+J)JM���,�Y�+���,��9;����9%De#;(B*p���,� R �+?19���*��5�'��6I��*,#�(B�"*A�I�c8"�/�+*���(� Q:,��9�(B8�����(B8+��#�0<�� ��&��+?,#��l���,� � �I~ &��� ����_&�(B��*��p(B#x���,�r�+*,JBP$���,()*1EiJ)�'[ �Z��[ ����9w()*�����E"9�����(B�"*;d,]a�&c�+JBJ/(2�l���,������� �"!$#%���+[xS ���mVcbdY�+*,:�:,��*,�����$(2�'& �)( T�S5@jVcb'X'0G���e&c�+*����!?1#9���61�,9��+#%�����,���+�g� 8+�A9���#%?,JB�x��#� s StTuV�X7vkV

� �)���*& �)( T�S5@jVcb�X'�y �+97()*,#��j�+*,&��+d,]a�A�I�c8"�+& �)( T � ~W��|), ��X � �+0

K *�����E"9��M��()�+*���9��"?,*1:�Dm?1JB��(B6,J)�Z#�(B*,E"?,J)�+9�(2��()��#<�- �]�#%?,6,6g�"#��^���I�M�Yf�()#��A#�(BDe6,JB�h&�JB�"#���:i��*k��(2 �&�J)�!&j��]^()#%�h&��"*����"?,9�]^�,()&j�_��*� &�J)�+#���#UDe�"9%�/���I�+*O�"*1�n#�(B*,E"?,J)�+9�(2�QPA�+[ S�@"JB���.�#t#��cPr(2�U��*,&�JB�"#���#0/i#�(B*,E"?,J)�+9�(2��(B��#V ~ , V �

, �c��� , V � 0Y�7�,��*G]n���I�c8"�� s StTWV�X7vkV� �����1& �)( TWS�@jV ~ X �>�����1& �)( TWS�@jV � X� �c�c�c� �����1& �)( T�S�@jV � X'��

Page 3: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< �7�,�A6,9��!�+[�()#7��P�:,��&��"D_6 �"#%()*,Em���,�A&��"*����"?,9x�+6,6,9%�"6,9%(`������JBP Tu#%���A6,()&'��?,9%�X�0

������

������

����������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������

������������������������������������������������

γ

z1

z2

z3

- �"*� Q#%()D_6,J)�w�"97&�JB��&j��]^()#%�A&��"*����+?,9�#<�- �] #%?,6,6g�"#��_���I���Cf�()#��GD_�"9%�O&��"D_6,J)(B&c������: &�J)�"#%��:�&��"*����+?,9�d�]^�,()&j����*� &�J)�+#���#^�"*1���+97De�"9%�C#�(B*,E"?,J)�+9�(2��()��#hV ~ , V �

, �c�c� , V � 0

Page 4: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

��

������

γ

z1

z2

z3

<LK *G���,���+� �8+��#%(B��?I����(B�"*;d!]n���I�c8"�� s StTWV"X^vkV� ������T �w�$& �)( T�S�@�V ~ X � & �)( T�S�@jV � X ��& �)( T�S�@�V � X�X

�kP$:,��&��"De6g�"#%()*,EO���1��&��"*����"?19x(B*����F6,()��&���#�0< ���"9�� E"��*,��9��+J)J2P"d^]n��*,����:���� :,��HI*1�����,� *,�+��(B�"* �+[r���0��!$��� %#���� � ��0K *1[\�"9�De�+JBJBP"d����,�x]^()*,:,(B*,E�*!?1Dm� ��9a��[��l&��"*����"?,9�f��+9��+?,*,:$��6 �+()*��aVcbh()#Y���1�*!?1Dm� ��9n�+[ ��()D_��#�f�]^()*1:,#h�+*���(2 Q&�J)�!&j��]^()#��Z�+9%�"?,*,:�VcbCT\���1()#n*k?,Dr� ��9n&c��*$� �*,��E��M��(B8+�e(2[af E+����#�&�J)�!&j��]^()#��cX'0�� D_�"9��F6,9%��&�(B#��_:,��H,*,(B��()�"*�()#��+#A[\�"J)JB�]^#�0�U�+���O�+*�P�6I����� #��j�+9���(B*,E$���pVcbA�+*,: �,���+:,(B*,Ei�"?��p���]n�+9�: (B*1HI*,(2�QP"0��Z#w�"*1�

Page 5: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

[\�"J)JB� ]^#Z���,(B#p6I�����;d �j�+���F���,�O*k?,Dm�g��9A�+[���(BDe��#pf��,(2��#p���,()#p6,����� [\9��+D ���1�9�()E+�k��dkDe(B*!?1#/���,�w*k?,Dm�g��9a�+[;��()D_��#�f��,(B��#/���,()#/6I�����i[\9��"D ���,�wJB��[ ��0t�7�,()#/()#���,��]^()*,:,(B*,E_*!?1Dm� ��9w�+[�f��+9��"?1*,: Vcb@g(B�^��?19�*,#Z�"?1�w���I���Z*,�iDe���%����97]^�I�M�6I������P+�"?N&j�,�!�"#%�+d,���1�A]^(B*,:,(B*,EF*!?1Dm� ��9^()#^�+J2]h�cP!#7���,�A#���De��0< �7�,�7]^()*,:,(B*,EC*k?,Dm�g��9��+[gf��+9%�"?,*,:eVcb/()#Y#��+De�'��()D_��#U:,��*,������:�� �1/;vgT f�@�Vcb�X'0�7�,�ADe�"#��^E"��*1��9���J 9���#%?,JB�Z�+�g�"?1�^(B*�����E+9�����()�"*��"*�&�J)�"#%��:G&��"*����+?,9�#x()#<���������� ����� �����������CR ����� �g�r�_#�(BDe6,J2P�&��+*,*,��&'����: :,�"De�+()*;d ��*,:NJB���pS� �w��[\?,*,&'��(B�"*i�"*�� ]^�,(B&j�$()#n�+*I�+J2P!��()&^�"*�� �'��&���61�^���n�lHI*1(B���x*k?,Dm�g��9a�+[()#��+J`������:�#�(B*,E"?,J)�+9�(2��(B��#hV ~ , V �

, �c�c� , V � 0/�7�1��*�]n���I�c8"�� s SUTWV�X7vkV� ����� �

} ~ & �)( T�S5@jV � X�� �1/;vgT f�@�V � X[\�"9^�+J)J &�JB�"#���:�&��"*����"?,9%#xfN()*��N0

< �7�,�C6,9��!�+[��+[ ���,()#a���,���"9���D ()#a� �'P"�"*1:����,�C#�&��"6g�p�+[����,(B#n&��"?,9�#%�+dI9%� �k?,()9%()*,E�e&���9%���+()*N�+De�+?,*��w�+[U���"6g�"J)�+E+P"dI�,?��p��P���9%P!(B*,Ei���,��De6,JB��#x#�?,&j� ��#Z���1�l�"*1��+� �8+���+*,�A&c�+*G� �A&��"*�8�(B*,&���:���[t(B��#h8��+J)(B:,(B�QP+0< � (B���C���,()#;���,���"9%��DGd��+*,�Y&c�+*�&��+De6,?����Y���,��(B*k����E"9��+J"�+[,SO�"*A&�J)�+#���:�&��+*k���"?,9%#�'�!��9%��D_��JBP��!?1()&j�kJBP+dI6,9��8!():,��:G���I���^�"*1���k*,�]^#Z�+J)J ���,�A9���#�(B:,?,��#^�+[tS�0on�"D_6,?1������(B�"*��+[�9���#�():1?,��#<LK *�J)()E+�k�n�+[����,�C9%��#%():,?,�p���,���+9���DGd1(2�7()#a&�JB�c�+9%JBPe�+[5()*�����9���#��7���mHI*1:��r]h�cP$���&��"D_6,?1���i9���#�(B:,?,��#!�k?,(B&j�kJBP"0N�7�,�$D_�����1��:���� &��+De6,?����$9%��#�(B:,?,��#m:,��6g��*1:,#�"*����,�A*I����?,9��A�+[5���1��#%()*,E+?,J`�+9%(B�QP+0<>R �'� #ZHI9%#%�Z#�?,616 �"#%�l���I���pS��I�+#Z�e9%��D_�8+���,J)�A#�(B*,E"?,J)�+9�(2�QP����wVcb0h�7�,��*N���1�R ��?,9���*k�p�'��6I�+*,#%()�"* ��[aS��+9��+?,*,: VcbC�I�+#w*,�$*,��E�����(28"�m6g�]n��9�#C�+[ZTuV+�>Vcb'X'0K *�6I��9%��(B&�?,J)�+9�d!���,��9���()#7*,� ~|��!|�� ����9�DGd �+*,:G#��F���,�A9���#�(B:,?,�����Z�_9%��D_�8+���,J)�#�()*1E"?,J`��9�(B�QPe()#7����9%�,0<�- �] #�?,616 �"#%�CS��I�+#h��#�(BDe6,JB�76 �+J)�x���nVcbd�#%�l���1� R �+?,9%��*��h���16,�+*,#�(B�"*iJB���+�!#J)()��� StTuV�X � � �I~V�� Vcb � � bU� � ~ TWV�� Vcb�X ���c���

"

Page 6: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�7�,��9%��#%():,?,�G()# � �I~ 0L��� HI*,:>(B��d/]a��Dr?,JB��()6,J2P����,�G�+� �8+�����16,�+*,#�(B�"* ��PV�� Vcb- StTWV�X�TWV�� Vcb'X � � �I~ � � b TWV�� Vcb�X�� � ~ TuV�� Vcb�X � � �c�c��j�+�k()*1EF���,�AJ)(BDe(2�h�+#^V � Vcbd�]n��E"���JB()D|�

|�� StTuV�X�TuV�� VcbjX � � �I~ ��7�!?1#x]a�l&��+*�&��"D_6,?1���C���,�A9���#�(B:,?,�����^#�(BDe61J)�p6g�"J)��#^�kP& �)( TWS�@jVcb�X � J)(BD|�

|W� StTWV�X�TWV�� Vcb'X'�< y �+97()*,#��j�+*,&��+dI]a�l&��+*�&��"D_6,?1���C���,�A9���#%():,?1�l�+[ ~

����� � |�� ���^���1��#%()D_6,J)�C6g�"JB�A��kP & �)( T �#%()*�TuV�X @j��X� JB()D|

�b V#%()*�TuV�X

� JB()D|�b �&��"# TWV"X

� �"�<�- �]Ad�#�?,616 �"#%�xSi�I�+#��p:,�+?,�,J)�n6 �"JB�h���YVcbd"#��p���,� R �+?,9���*����'��6I�+*,#%()�"*OJB���+�!#J)()��� StTWV"X � � � �TWV�� Vcb'X�� � � �I~TuV�� Vcb'X � � bt� �c�c�

- �] ���,�C6,9��'8!()�"?,#7��9�()&j�_���F�'�!��9��+&'�x���,�A9���#�():1?,� � �I~ ]a�"* �^]n�"9%� dI� ��&c�+?,#%�StTWV�X�TWV �OVcb�X5:,�!��#U*,�+�t&��"*�8"��9�E"�^�+#tV � Vcbc0 � � ]a��8+��9�d��"*1�n&c��*O#%��(BJ)Jk9���&��8"��9���,�A9���#�(B:,?,�C]^(B�����O�,(2�^De�+9��p]a�"9�� 0Y���ADm?1JB��(B6,JBP$StTuV�Xn��P�TWV�� Vcb'X � -StTuV�X�TuV�� Vcb'X � � � � � � � �I~ TuV�� Vcb'X � � b TWV�� Vcb'X � �����c����FE"�'�Z9%():��+[ � � � d,]n��:,(�� ��9���*���(`�����C� �+����#�():1��#7]^(B���G9%��#%6 ��&��x���_V1-vvkV T�StTuV�X�TuV�� Vcb'X � X � � �I~ � � � bMTWV � Vcb'X � �c�c�*,�] �"*,�A&��+*G���+�+�AJB()D_(B��#/���F�"�1���+()* � �I~ -& �)( T�StTuV�X'@�Vcb'X � J)(BD|

| � vvkV T�StTuV�X�TuV�� Vcb'X � X.

Page 7: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< � *1�7&c�+*_:,�C���,�7#��+D_�h�QP�6g�^�+[g��9�(B&j�l[\�"9Y�1()E"�,��9Y�"9�:1��9Y6g�"J)��#�@�(B[ S$�I�+#/�C6g�"J)��+[U�+9�:,��9������xVcbx���,��*& �)( T�SUTWV�X�@jVcb'X � JB()D|

|�� �T��'��� X�� v��vkV � T�StTuV�X�TuV�� Vcb'X � X��� �]n�'8"��9�dI���,(B#n[\�"9%Dm?,J`�l()# �k?,(2���C&�?1Dm� ��9�#%�"De�p���O?,#���0��x#�?I��J)JBP_(2�7()#h�g���%����9����#������ �$:1( � ��9���*��C]h�cPN����&��"D_6,?1��� � �I~ T\�+0 E,0��kP &��"D_6,?1��()*,Ei���,�O��*���()9��R ��?,9���*k�x#%��9�(B��#�X'0< � �,��*NS �I�+#^�+*���#%#���*k��(`�+J�#%()*,E"?1J`�+9%(B�QP"dk���1��9��A(B#7*,� �!?1()&j�i[\�"9%Dm?,J)�l���F&��+DF 6,?1�������1�N9���#�(B:,?,�+0 � [ ����* ���,���"*,JBP�]h�cPL()#F��� HI9�#��i&��"D_6,?1�������1�N��*���()9��R ��?,9���*k�x#%��9�(B��#x�+*,:����1��*G�'�!��9��+&��^���1�_��,TWV�� Vcb'Xh&��� ����_&�(B��*��c0

<�- �]Ad1]a�$ J)J #%�,�] �1� ]�9%��#�(B:,?,�C&��+J)&�?,J)?,#a&c�+*���J)#��r� �p?1#���:����m&��"D_6,?1���'���� �:,��HI*1(B����(B*�����E+9��+JB#m�+#m]a��JBJ7�+#m&��"De61J)�'��&��+*k���"?,9O(B*k����E"9��+J)#�0�yI�"9l()*,#��j�+*1&��+d]n� �JBJ � �A�+�1J)�p���_&��+De6,?����C#�?1&j�N()*�����E"9��+J)#^�+#���b v���^�L&��"#T��"X� �b v��

���Y� �� �b &��"# T�� Xhv��

���Y� �� ��� � � �� � ����� v��

� � ���

� � � � � �b v��

! �UT"�O� � X�'�1�+&���JBPg@h��J)J/�+[7���,��#���()*�����E"9��+J)#r�+9��$���!��9���De��JBP�:,( �_&�?,JB�m��� #��+JB8"����P�&��"*� 8"��*���()�"*I��J5����&j�,*,( �k?,��#��Z�7�k?,#p&��"*����"?19w()*�����E"9�����(B�"*�(B#w�_6 �]a��9�[\?,J�*1��] ���!�"J���_��8��+J)?,�����A9����+J ()*�����E"9��+J)#�d �+JB���,�"?,E"��(2�^()#^*,�+�Z�FDi�+E+()&p]n�+*,: ��*,:N&��+*,*,�+��I�+*,:,JB�C��8+��9%PG#%()*,E"JB�p()*�����E"9��+J;()*����1(B#%����*,&��+0<LK #%�,�"?,JB:i]n�+9�*$P+�"?�()*��+:�8+��*,&��w���I���h���,()#a()#n�m9������,��9a:,( �_&�?1JB�h#%��&'��()�+*;d1�,?���+J)#%�$�"*,�m��[Y���,�OD_�"#%�w()D_6 �+9%�j��*k�Z()*����,�m&��"?,9%#��+0$#/�"? #%�,�"?,JB: E"�$���19��"?,E+����,�A*,�+����#^&c��9���[\?1J)JBP$��[ ����9h���,�AJB��&���?,9���0

%

Page 8: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�p�'HI*,(B���p��9%()E"�"*1�"De�'��9%()&w(B*�����E+9��+JB#< �7�,�ZHI9%#%�/�QP!6 �Z�+[;(B*k����E"9��+J,]a�Z]^()JBJ,&��+*,#�(B:,��9a()#/�A��9�(BE"�"*,�"D_����9�(B&7()*�����E"9��+JI�+*�+*�()*�����9%8��+J �+[�J)��*,E+�������t@1���I�M�^()#�d ��*G(B*�����E+9��+J;��[����,�C[\�"9�D� ��� � �

�SUTu&��+# �

, #%()* �"Xhv��

]^�,��9%�mStT\&��"# �, #%()* �"Xn(B#7#��"D_�A&��"Dm�1()*I����()�"*i�+[U&��"# T��"X7�+*,:�#�(B*�T �+X'0

< ���F()JBJ)?,#���9������w���,�ADe�'���,�!:;d1]a�A�j�+���l��#Z��*G���1�+De61J)�� � �b v���x� &��"#T �"X v��!�< ���x&��"D_6,?1���Y���,(B#5(B*�����E+9��+J"?1#�()*1EZ9%��#�(B:,?,��&c��J)&�?1J)?,# ����&j�,*,( �!?1��#�d����,�YHI9%#%��#%����6()#����m9%��6,J)�+&��x���,�Z#�()*1��#7�+*1:$&��"#%()*,��#n]^(B���i&��"De61J)�'�e���16g�"*,��*���(`��J)#n?1#�()*1El���1�[\�"9�Dm?1J`�+�FT\#����A���������X

&��"#cT �"X � � ��� � � � ����, #�(B*�T �+X � � ��� � � � ���� � �

�7�,���+� �8+�l(B*k����E"9��+J ���,��*G� ��&��"D_��#� � �b v���^� ~� � ��� � ~

� ��

��� �<�- �] ]n�mDe�+���l���1�m&��"D_6,JB�'�G#�?1�,#%��(B��?���()�+* V � � ��� d #���vkV � � � ��� v���0���(B*,&��

�G9��+*,E"��#l[\9��+D �G��� ���Yd����1�e8��+9�()�+�,JB�FVN&�JB�c�+9%JBP ��9��c8"��9�#���#r���1�i&�?19%8"�iV �� ���

, �� �� �)�YdU]^�,(B&j� ()#A���,�$?1*,(B�r&�()9%&�JB�� V� � �i��9��c8"��9%#���:L�+*,&�����*k��(2 &�J)�!&j��]^()#%�+0��7�,�A()*�����E"9���J ���,��*��g��&��"D_��#z { |�{ } ~ vkV��,T"� � ��� X�^� ~� � ��� � ~

� ��

���

]^�,()&j��]n��&c��*�]^9%(B����(B*$����9�D_#x��[tV � ����� �+#z { |�{ } ~ v!V��,T"��V�X�^� ~� Vx�

~�~| �

Page 9: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�7�,()#^#�(BDe61J)(BH,��#a��� z { |�{ } ~ �+vkV� ��VZ� ��V+�t� �

,�"9 � � z { |�{ } ~ vkVV+�U� � VZ��� �

< ��� #�?1DeDe�+9�(B����#%��[u�+9�dY]n�G�I�c8"�G&��"*�8+��9%����:�� :,�'HI*,(2����()*�����E"9���Jh�+[w��9%�c�+J��9�(BE"�"*,�+De�'��9�(B&��'��6,9���#�#%()�"*O(B*k���C�w&��"*����"?,9U()*�����E"9��+J!�+[ �p9�����(B�"*I�+J�����6,9���#�#�(B�"*�"*�� &�J)�"#%��: &��+*k���"?,9�0 - �] ]a��?,#�� 9���#�(B:,?,� &c��J)&�?1J)?,#$���L&��"D_6,?1��� ���,()#()*�����E"9��+JW0< �7�,�CHI9�#��Z#�����6N()#h���O[u�+&����"9�(B���p���1��:1��*,�"D_()*,�����"9V � � � Vx��� � TWVx� � � ! �X�TuVZ�>�^� ! "X#��_�"?,97()*�����E"9��+J;�g��&��+De��# � � z { |�{ } ~ SUTWV�X7vkV]^�,��9%� StTuV�X � �TWVZ� � � ! �X�TuVw�>�x� ! +X �< �h�e���,()#F6g�"()*��F]n�G&��+?,J):>?,#��G6I�+9���(`��Jh[\9��+&'��()�+*,#O(B[w:,��#%()9���:;dh�,?��e]a�$ J)J^?,#%�9���#%():,?1�_&��+J)&�?,J)?1#C()*,#����c��:;0F�7�,�O[\?,*,&���()�"*�StTuV�Xp�I�+#A#�(B*,E"?,J)�+9�(2��()��#p��� �w�C�! ��+*,: �p� � ! 1d��,?1�A���,�F&��"*����+?,9 V� � �e�"*1JBP E+����#l��9��"?,*1:����,�OHI9�#��#�()*1E"?,J`��9�(B�QP+0 ��(B*,&�� �+?,9�&��"*����"?,9�()#�#%()D_6,J)�N�+*,:��+*���(2 �&�JB��&j��]^()#%�+d^]n� &��+*&��"D_6,?1���p���,�A()*�����E"9��+J;?,#%()*,EF���,�A9%��#�(B:,?,�C���1���"9%��D �+#� � �)���*& �)( T�S5@ �p�^� ! �X��

< ���p&��"D_6,?1���a���,�h9%��#%():,?,�a]n�h�,�8+�h���p#%���h]^�I�M�Y�k()*,:m��[ #�()*1E"?,J`��9�(B�QPlS_�I�+#Y����p�^� ! 10Y�7�,��:,��*1�"De(B*I�����"9h�+[tS &�J)���+9�J2P$�I��#^�_#%()D_6,J)�p����9%�i�����w�^� ! Tu�"*,�G&c��* �"*,J2P :,(B8!(B:,���"?1�e�"*,�G6 �]a��9i��[AVO� � � ! ��g��[\�+9��G� ��&��"D_()*,E:,()#%&��"*���(B*k?,�"?,#�X'dx#��LS (B��#���JB[A�I�+#���#%()D_6,J)�G6g�"J)��0 �7�k?,#$]a� &c�+*�?1#�� ���1�[\�"9�Dm?1J`� & �)( T�S�@�Vcb'X � J)(BD|�

|W� StTWV"X�TWV�� Vcb�X�

Page 10: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

#��F���I���^�+?,97()*�����E"9���J;()#7� �!?,�+J ���� � ����� J)(BD|�

� � � � � StTWV�X�TWVZ� � � ! �X�� � J)(BD|

� � � � � �VZ� �^� ! � �)�! ��7�!?1#x]a�l�,�8+�A&��"D_6,?1����: � � �b v���^�L&��+# �

� �)�! �

<�- �+���r���I�M�A��8"��*����,�"?,E+� &��"D_6,J)��� *k?,Dr� ��9�#CDe�+:,�O�+* ��6,6 ���+9���*,&��O:,?19�()*1E���,�CD_():,:1J)�w��[��+?,97&��"D_6,?1������(B�"*;d!���,�'P�:,()#��+6,6g�c�+9%��:G���h���,�C��*1:;0��7�,()#7�I��#���G�I�+6,6g��*;d��+[7&��"?,9�#%�+d�#�()*1&��i(2[n�+*,�e(B*�����E+9�������#l��9����+JY[\?,*,&'��()�+*��"*���9%�c�+J()*�����9%8��+Jh�"*1��&c�+*L�"*,J2P�E"�'�e� 9��c��J7*!?1Dm� ��9�� K [Z�"?,9O&��"De61?1�j����()�"*��+[Z���,()#()*�����E"9��+Jg��*1:,��:�?,6$]^(2�����+* ��#��"D_��]^�1��9��p���,��*$]a�C�k*,�]����I���a]n� 8+��De�+:,��FD_()#��j�+���+0< �7�,()#h����&j�,*,( �k?,�A�"*,JBPe]n�+9��k#7]^�,��*�P"�"?G()*�����E"9������p�+*���*G(B*�����9�8��+J;�+[5J)��*,E+������Yd �+9w�+[�#%�"De�rDm?,JB��()6,JB�A�+[a���Y0AyI�"9Z()*,#��j�+*,&��+d (B�p&��+*,*,���C:,()9%��&'��JBPG�I��*,:,J)����,�A()*�����E"9��+J � �b v���^� &��"# �� ��&c�+?,#%��]^�,��* �"*,��De�+�+��#����1��&j�I��*,E"����[r8��+9�()�+�,JB��#GV � � ��� �"*1���"*1JBP��*,:,#O?16�]^(B��� ��#���D_(2 �&�(B9�&�JB�e(B*,#%���c�+: ��[w��&�()9%&�JB�_ A*,���O� &�JB�"#���: &��"*����"?,9��T � *,��&c�+*G��9%P����,��&j�I�+*,E"���+[t8��+9%(`�+�1J)��#^V � � � ��� ()*1#%�����+:;d �,?1�x���,���x�I�+#x(B��#� ]^*_6,9%�"�,J)��De#U� ��&c�+?,#%�^�"*,�^#%���+9%��#Y��*,&��"?,*�����9�()*1El���1619���#%#�(B�"*,#/J)()��� � � � �4V ~W� � d]^�,()&j�G�I�c8"��*,�"*� �()#%�"J`������:�#%()*,E"?1J`�+9%(B��(B��#�X'0<>� �]n�'8"��9�d�#��"D_����()D_��#Z�"*,�m&��+* �I�+*,:1J)�r���,��#%�O�'��6,9���#�#%()�"*,#A��P �$#�P!DeD_����9%P�+9�E"?1De��*k��0�yI�"9n(B*,#%���+*,&���d1���1�p[\?,*,&���()�"*�&��"# �r()#n#%P!DeD_����9�(B&C�+9��+?,*,: �� �Yd#��l���,�p��� �8"�Z()*�����E"9���JI()#/� �k?I�+J �����I�+J2[;�+[;���,�x()*�����E"9��+JI[\9%�"D �A���O���t0t�7�k?,#���b v���^� &��"# �

� �! �

�c�

Page 11: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< on�I�+J)JB��*,E+�+-^#����m(B[YP+�"? &c�+* &��"D_6,?1�������,��#��O(B*k����E"9��+J)#x]^(B���,�"?1�w?,#�(B*,E$&��+DF 6,J)����D_�����1��:,#lTu�+*,:�]^(B���1�"?1�^?,#%()*,Ee�N�+61J)�X�0K *�����E"9��M��()*1E_9�����(B�"*I�+Jg[\?,*,&'��()�+*,#^�"*����,�A9����+J J)(B*,�<�- �]�]a�A&��"*1#�():1��9x� �k?,(B����:1( � ��9���*��7�QP�6g�A�+[5()*�����E"9���J�d1*,�+De��JBP_���,�C(B*�����E+9��+J�+[t�O9�����(B�"*I�+Jg[\?,*,&���()�"*��eT�� X ���iT"� Xh�"*����,�A��*���()9��A9%�c�+J JB()*,��-� �� � �eT�� X

�iT"� X v�����w*G�'�1�+D_6,J)�C(B# � �� � v��

���t��� v����T - ���������I�M�O���,(B#_(B*�����E+9��+Jh&��"*�8"��9�E"��#�-�[\�+9 ��� �G�"9 ��� �G�"*,��&c�+*L?,#%����,�O&��"De6,�+9�(B#��"* ����#%�A?,#%()*,E � � � � d��+*,: [\�"9 ��� � � � �F�"*,�F&��+* ?,#��O���1�&��"D_6I�+9%()#��+*$����#��x?,#�(B*,E��X'0

< ���O�I��*,:,J)�Z���,�C(B*,:,��H,*,(B���p()*�����E"9���J�dk]n�p]^9%(B���w(B�7��#7�mJ)(BDe(2�a��[�:1��HI*,(2���p(B*����' E"9��+JB#�- J)(BD� �

� � ���

v��� � � � ����A&c��*G]^9%(B���p���,()#^��# JB()D

� �

� � s� StTWV�X7vkV]^�,��9%��f � (B#^���,�A#%��9��+(BE"���7J)(B*,�p[\9��"D � & ��� & ��*,: SUTWV�X � ~| �~ 0

< �7�,�p[\?,*,&'��()�+*GSN()#n#%�"D_��]^�I���^J)�+9�E+�w*,���+9h���,�w�"9�(BE"()* T\[\�"9h(B*,#%���+*,&��+d StTu��X �� X��1?1�n:1��&�9%�c�+#%��# �k?,(2��� �!?1()&j�kJBPe�+#a�"*,�xDe�8"��#7�c]h�cPF[\9��+D ���,�x�"9�(BE"()*;0hTWyI�"9()*,#��j�+*,&��+d�SUT����X�d StT �l�c��X'd�SUT���$��X'd �+*,:�StT ����$��Xw�+9%�O�+J)J59��+?,E"�,J2P�� �k?I�+JU����1�4�+�"�1�"04X'0< ���O*,�] ?,#��e�$8"��9�P 8"��9�#�����(BJ)�m����&j�,*,( �!?1�e�k*,�]^*���# ��� � �� �������%����� �����# ��@���,�p(B:,�c�m(B#a���m��9%P_���O61?,#������1�p()*�����E"9���J �c]n�Pi[\9��"D ���1�C�"9�(BE"()*;d�]^�,��9��C(2�h()#J`�+9%E"�+dk�"?1�/���]n�+9�:e()*1H,*,(B�QP+d!]^�,��9��x���,�Z()*�����E"9��+JI(B#a#%Di��J)J�0 K *i�+?,9a6,�+9%��()&�?1J`�+9&c�+#%�F]a�_#��I�+JBJt#��1(B[ �A���,�F&��"*����"?,9A�"*����N��J`��9�E"�O#%��D_(2 Q&�()9%&�J)��@;���,(B#C()#C�k*,�]^*�+#7���,�AD_�����1��:��+[��'��6I�+*1:,()*,EF#%��D_(2 Q&�()9%&�?,J)�+9n&��"*����"?,9%#�0

�+�

Page 12: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

<>R �'� � �� :,��*,�����A���,��#���De(� Q&�(B9�&�J)�AV � & ��� � � � � � -�� ��� � ��[\9��"D � & ��� &m@���,(B#7&��"*����+?,9^�I�+#7���,�A#��+De�C��*,:,6g�"()*���#Z��#^f � 0

γ-R R

C R+

R

<LK [ZSL�I�+: *1� #�(B*,E"?,J)�+9�(2��()��#�d ���1��*�]a�$&��"?1J):�?1#���oh�+?1&j�kP� ��A�"?19�#��M�O���N#%�,(B[ ����,�A&��+*k���"?,9x�+*,:�&��"*,&�JB?,:,�A���I�M�� s� SUTWV�X7vkV� �

���� SUTWV�X7vkV1�

� �]n�'8"��9�d����,��9%�w��9��x#��"D_�^#�()*1E"?,J`��9�(B��()��#�d��+*1:e#%�l���1��9��Z�+9%�x#%�"D_�x&��"9�9%��&'��()�+*����9%De#7&��"D_()*,Em[\9%�"D�9���#�(B:,?,��#�0��

Page 13: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

<>R �'� #7HI9�#��x]a�"9%���"?1�7]^�,��9��A���,�A#�(B*,E"?,J)�+9�(2��(B��#n��[YStTuV�X'0��7�,�'P���&�&�?,97]^�,��*V � ��� � �V �� �l�V �

� � � � � � � � �

V � � � � � � � � � ��B�

�V � � � ���, � � � �

��, � � � �

��, ��� � �

�� ��7�,()#l�+9��_���,�F[\�"?,9�&�9%�"#�#%��#m�+*����1�$�+�g�8"�i:1(`�+E"9��+D T ]n�$&��+*���#�#�?1De�_���I���& ()#x#��$J)�+9�E+�����I���x���,�l#���D_(2 �&�(B9�&�JB�C&��"*����+()*,#x���,�l?,6,6g��9x�Q]n�$#%()*,E+?,J`�+9%(B��()��#�d#�()*1&��C]n� �9%�l�'8"��*k��?I�+JBJBP�E"�+()*,Em���_JB��� & � � X�0<�- �] ]a�l?1#��A9���#�():1?,�A&c�+JB&�?,JB?,#h���_&��"D_6,?1���p���,�A(B*k����E"9��+J� s� � � ���� StTWV�X�vkV1��7�,()#x&��"*����"?,9^]^()*,:,#w�+9��+?,*,:����,��#�()*1E"?,J`��9�(B��()��# � � ��� �+*,: � � � �

�� �"*1&��m��*k��(2 &�J)�!&j��]^()#%�+dI�,?1�x:,�!��#^*,���7]^()*,:��+9��+?,*,:����,�A�+���,��97�Q]a�e#%()*,E+?,J`�+9%(B��()��#n���Z�+J)JW0�7�!?1# � s� � � ���� StTuV�XhvkV

� �����*& �)( TWS�@ � � ��� X � �����1& �)( T�S�@ � � � �

�� X

< ���e&��"D_6,?1���l���1��#��l9���#�():1?,��#�d ]a�m*,����:N���eHI9�#��ZHI*1: �"?1�Z���,�l*I����?19����+[t���1�#�()*1E"?,J`��9�(B��()��#h��� � � ��� ��*,: � � � �

�� 0< �7�,��[\?1*,&���()�"*�V � ���l(B#7����9��$�M� � � �

�� ��*,: � � � �

�� dI�,?1�Z(B��#7:,��9%(B8�����(B8"� � V � ()#*,�"*� �����9%�r�M��� �+���e��[ ���,��#%�Z6,J)�+&���#�0t�7�k?,#nV � ���x�,�+#/�A#%()D_6,J)�7����9%�r���Y���,��#%�6 �"(B*���#�d�#%� StTuV�X � � �,TuV � � � Xp�I�+#l�G#%()D_6,J)�O6g�"J)��0O���_&c�+*����k?,#�?,#��F���1�#�()D_6,JB�p6 �+J)�w[\�"9%Dm?,J)�r[\�"979���#�():1?,��#�-

& �)( T�S5@ � � ��� X � J)(BD|

������� V�� � � �

��V � ��� �

� �+�������,� *!?1De��9������"9��+*,: :,��*,�"D_()*I�����"9i����*,: ��� ����9��,dZ#�� ]a��De�cP�?,#%�R �,�"61(B�j��J1 #h9�?,JB�+- & �)( TWS�@ � � ��� X � J)(BD|

��� ��� �� V+�

�c

Page 14: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

� ��

� � � � ���� � �

� ! � � �� ! � �

� #�()D_()J)�+9n&��"D_6,?1�j�M��()�+*�E"(B8+��#& �)( TWS�@ � � �

�� X � J)(BD|

��� � ��� �� V �� �

� �� � ���� �� ! � � �

� ! � �< on�"Dm�,(B*,()*,EF��J)J ���,��#%�l&��+J)&�?,J`�M��()�+*,#�d!]n�AE"�'�� s � � � ���� StTuV�X7v!V� ����jT � �� ! �

� �! � �

< ���A&c��*G���!?1#x&��"D_6I�+9��p���,�Cf � ()*�����E"9��+J;�+*,: � �� ()*�����E"9��+J �+#� s� StTWV�X7vkV� �

! � � ����� StTuV�X7vkV1�

< �U�+�k(B*,EFJ)()D_(B��#�dk]n�AE"�'�� �� � v��� � � �

� �! � � JB()D

� �

� �����

vkVV � � � �< ���m#%?,D_Di�+9%()���Z#%�m[u�+9�dk]n� 8+�ADi�+*,�+E"��:_���m#%�,(B[ �a���,�w&��"*����+?,9n[\9��+D ���,�p9%�c�+JJ)()*1�h���m�A�,(BEl#%��D_()&�(B9�&�J)� � �� dk]^�1()J)�^6,(B&j�k()*,E�?,6$#%�"De�^9%��#�(B:,?,��#a�����j�+JB()*,E �

� � 0�7�,�m*,�����p#%����6 ()#^���$#%�,�] ���,�l()*�����E"9��+J5�"*N���,()#x#���De(� Q&�()9�&�J)���+&'��?I�+JBJBP�E"�!��#���i����9%���+# & � � 0Z�7�I�M� #p� ��&c�+?1#��OV$(B#x8+��9%PNJ`�+9%E"���"* � �� d;��*,:~| �~ ()#8"��9�P�#�De�+J)JW0

< ���"9��A6,9%��&�()#���JBP+d,]^�,��*�Ve(B#7�"* � �� d V�� &md �+*1:G#%�� V �

� & � d,#%�& � ��� � V � ��� � & � ���#�� �&��t� � � �V �t��� � �&�� ��� �� �

Page 15: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�7�,�A&��"*����+?,9 � �� �I�+#^J)��*,E+��� ��&md,#��F]n���I�c8"� �� ��

vkVV �Y� � � � &&�� ��� ��7�,��9�(BE"���% Q�,�+*,: #�(B:,�$E"�!��#m��� ����9����+# & � � d/�+*,: #%� �kP����,��#��k?,����������,���"9���D ���,�AJB��[ �% ��I�+*,:�#%():,�CDm?1#%�Z�+J)#%�FE"�O���F����9��,0��7�k?,#^]n���I�c8"�� �� � v��� � ���

� �! � �

�wE��+(B*;d1*1�+���C���,���^���,�CHI*I��J �+*,#�]n��9Z(B#^�_9%�c�+J;*k?,Dr� ��9�d �+#^(B�^�+?,E"���7���_� ��0<�� P�#%P!D_De�'��9�P"d,]a��&��+*��+J)#%�_(B*�����E+9������p���,(B#h[\?,*,&���()�"*��"*G�I�+J2[` QJB()*,��#�-� �

b v�����t���

� �� ! � �< �7�,()#x�I�+#%()&�#%��9�������E+P�]a�"9��k#Z]^�1��*,�'8"��9C�+*,�l(B#^()*�����E"9�����()*,Ee�F9�����()�"*I��J;[\?,*,&' ��()�+* �iT"� X����eT�� X�d/]^�,��9�� � �+*1: � �+9%��6 �+JBP!*,�"D_(`�+JB#�dU[\9%�"D � � ��� � 6,9��8!():,��: ���I��� � �I�+#A�$#��+De�']^�I���AJ`��9�E"��9p:,��E+9����O���I�+* �_0 � PN9���6g�c�M��()*1E���,���+�g�8"���+9�E+?,De��*��^�"*,�A&c�+*G#��1� ]< � ��� ��� �hK [ � �+*,:�� �+9%�C6 �+JBP!*,�"D_(`�+JB#�#�?,&j�G���I���7v � � T �rX�� v � � T �lX �L��d���,��* �

������ � |��� � |�� vkV � �e��# & � � 0

< �7�,()#^J)��DeDe�r(B#^�+J)#%�F8��+JB():i[\�+9h���,�AJ)�]a��9^#���De(� Q&�()9�&�J)� � �� 0<LK [pv � � T �lX�� v � � T �lXY� ��d����,��* � � |��� � |%� ()#O*,�+�_(B*k����E"9��+�,JB�$�"* ���,��9%�c�+J7JB()*,�Tu(B�r:,��&��cP�#m�����N#�J)�]^J2P,X�0 yI�"9r(B*,#%���+*,&���d � �� � � � �� � � ~ :,�!��#m*1�+�O&��+*k8+��9%E"��TW���()*1HI*1(B�QP"d1(B� #7J)(B�+�C(B*k����E"9�����(B*,Em���1�A[\?1*,&���()�"* � X�0K *�����E"9��M��()*1EF��9�(BE"�"*,�"D_����9�(B&' Q9�����(B�"*I�+J,[\?1*,&���()�"*,#<�- �] JB��� #h��9�P$���1��#��+D_�A����&j�,*1( �k?,�A���F()*�����E"9��M���� �� � � � � �

� � ��� v����� "

Page 16: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< ���A&c��*G]^9%(B���p���,()#�dI�+#^�g��[\�"9%�+d �+#J)(BD� �

� � s � � � �|

V+�t��� vkV< ���A&c��*�&��"De61?1��� � s � � � � ��

� � �|

V+�Y� � vkV?,#�(B*,Ew9%��#�(B:,?,�/&c�+JB&�?,JB?,#�@+()*A���,(B#�&��+#���d"(B����?19�*,#��"?1�5���w� �k?I�+J � � 0 ���x���x[\�"J)JB� ]���,�F6,9%��8!()�"?1#l6I�M������9�*;d�]a�e*,�] � ?1#%���I�c8"�_���G#��,�] ���I���A���,� � �� (B*�����E+9��+JE"����#h���_����9��,0< �Z*1[\�"9���?,*,������JBP"d����,��9��A()#7*,�] �O#%*I�+E,dI�g��&��+?,#���

����� � �

| vkVV � ���:,����#i*,���$E"����������9�� ��# & � � 0��7�,� 6,9%�"�,JB��D ()#F���I�M� � � �| &��+*�E"����'�!��9%��D_��JBPGJ)�+9�E"���"* � �� 0wy �+9Z(B*,#%���+*,&���d;(B[tV

� �*&mdg]^�,()&j� (B#Z�"* � �� dg���,��*� � �| � � � d1]^�,(B&j�N�g��&��"De��#78"��9�P�J`�+9%E"�C�+# & � � 0< ����E"���r�+9��+?,*,:����,()#�6,9%�"�,J)��D ]n�e*,����:�����?,#��_���,� � � ��� �'� � � ���� � � � � � � ��[\9��"D � & ����& 9������1��9A���I�+*����,�_?,6,6g��9�#���De(� Q&�()9�&�J)��0e�5�NDe�+�+�F#%?,9��_���I������,(B#h]^()J)Jg]n�+9�� d J)���^?1#^H,9�#%�x&j�,��&j�����I����

����� � �

| v!VV+�U��� � �e�+# & � � �<LK [tV_()#7�"* � �� d,���,��* V� � &mdI#%�� V � � & � dI#%�& � ����� V � � � � & � ���"�� �I�����+�g�"?1� � � �

|� ��� ?1#���oh�+9%����#%(`�+*�&��� Q�"9%:,()*,������#$V �

� � ���gdw�+*1:&��"D_6,?1��� � � �

|� � � � � � � ��

�� � � ��� � � � � � �� �]n�'8"��9�d�#�(B*,&��m]a�F�+9��r�"* ���,� � � ��� �^#%��D_(2 Q&�()9%&�J)��d�� � �1d;�+*,: #�� �� � �"0�7�!?1#m���,��*k?,D_��9������"9r�I�+#mDe�+E"*,(2��?,:1�$���OD_�"#��$�"d/�+*,:����,�$:,��*,�"D_()*I�M���"9�I�+#^Di��E"*,(B��?,:,�C�M�^J)�c��#%� & � ���"d,#��

� � �

|V��t� � � �&p� ��� ��c.

Page 17: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

��()*,&�� � �� �I�+#^JB��*,E+��� � &md,]n�C���!?1#Z�I�c8+� �����

� � �| vkVV � � � � � && � ��� ��7�!?1#x���,�A()*�����E"9��+J �"*����,�AJ)�'[ �% ��I�+*,:�#�(B:,�AE"�!��#h���F����9��e�+# & � � 0

R

CR

-

-R

< ���A*,�] &��"D_6,?1���C���,�A&�J)�+#���:�&��"*����"?,9^(B*k����E"9��+Jz s � � � � ��� � �

| vkVV � ��� �R �'�CSUTWV�X � � � � �

| � � ~ 07�7�,��[\?,*,&���()�"* S��I��#Z#%()*,E"?1J`�+9%(B��(B��#^���wV � � �%d �,?��w�"*1JBP���,�Z#�()*1E"?,J`��9�(B�QPO��� � �t()#/9���J)�'8+��*k��0 ��()*1&��Zf � � � � �� ]^(B*,:,#h�+*,&�� � � � ��� �0� � �� %

Page 18: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�+9��"?1*,: � �%d ]a�A�I�c8"�z s� � � ����� � �

| vkVV+�U���� �p����*& �)( T�S�@.� ��X'�

< �7�,�x[\?1*,&���()�"*eV � ���x�I�+#a��#%()D_6,J)�7����9��r��� � �%d1�+*1: � � �| ()#�*,�"*� �����9��m�M� � ��d#��iStTWV�Xn�,�+#x�_#%()D_6,J)�p6g�"JB�+d1#%�& �)( TWS�@ � �QX � J)(BD|

��� � �

| TWVZ� ��XV+�U���� JB()D|�

��� � �

|V�� �

� � �I~�p� �� ���� � � ��7�!?1#x]a�l�,�8+� z s � � � � ��

� � �| vkVV � ���

� � � �<�- �] ]a�_���+�+�_J)(BDe(2��#Z�+#�& � � 0O���$ 8"�e�+J)9%�c�+:1P �"�,#���9%8+��:����I���A���1� � �()*�����E"9��+J E"����#h���_����9��,dI#%�F]a�$ 9���J)�'[ �7]^(B���� �� � � � � � v��

� � ���� � � �

<LK *�E"��*,��9��+J�d�]^�,��*�()*�����E"9�����()*,Em�+*�����6,9���#�#�(B�"*N#%?,&j� ��#� �� � � ��

� �iT"� X�iT"� X v��

,]^�,��9%� ���+*,: � �+9%�76 �+JBP!*,�"D_(`�+JB#U��*,:�� (B#Y�C*,�"*� �����9%�A&��"*,#��j�+*���dk���,��*F�"*1�#��,�"?1J):G?,#��A���,�A?,616 ��9Z#%��D_(2 Q&�()9%&�?,J)�+9n&��"*����"?,9^]^�,��*�� ���_�+*,:����1�lJB� ]a��9#���D_(2 �&�(B9�&�?1J`�+9^&��+*k���"?,9x]^�,��*�� � �10FT � �+#%()&c��J)JBP+dI���,�m(B:,�c�_()#x���$6,?1#�� ���1�&��"*����+?,9a���l]^�,��9���8+��9h���,�w(B*k����E"9��+*,:e()#/#�De�+J)J`X'05�7�,��9%�p()#a�lE"��*,��9��+JgJ)��D_De�1-<�� ��� ��� ��� ��� ���� �R ��� � �+*,: � � �O6g�"JBP!*,�+De()�+J)#^#�?1&j�����I����v � � T �lX �v � � T �rX ���"d �+*1:�JB����� � ���O*,�"*� �����9��_*!?1Dm� ��9�0 K [�� ���1d����,��*�

� ������

|�iTuV�X

�eTWV�X vkV � �e��# & � � @�+*,:�(B[�� � �1d,���,��* �

� ������

|�iTuV�X

�iTuV�X v!V � �_��# & � � @�c�

Page 19: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< �7�,�O6,9��!�+[��+[����,()#x[u�+&��C(B#C�$�,(2�w����:,()�+?,#�d ��*,: ]^()JBJ��g�m�"D_(B�%����: 0_T � *,�m�I��#��� :,(B8!(B:,�$���,��&��"*����"?,9F(B*k��� �Q]n��6,()��&���#�dh�"*1�$]^�,��*�� ��TuV�XO()#O#�De�+JBJ�dY#��cP � ��TWV�X � ! &md ��*,:����,�l�����,��9^]^�1��*�� ��TWV"X^(B#xJ)�+9�E+�X'0 - �����C���I�M� � �"*1JBP*,����:,#a���l�I�c8+�p�A:,��E"9%���x�"*,�x�,()E+�,��9Y���,�+* �Fdk�+#/�"6,6g�"#���:e���A�Q]a�r�,(BE"�,��9Y[\�"9���,�A6,9%��8!()�"?1#ZJB��D_Di�10U�7�I��� #x� ��&c�+?,#%�����,� ���

| [u�+&����"97�,��J)6,#^���FDe�+�+�C���1�()*�����E"9��+*1:�#�De�+J)JB��9�0hT K [ � �,�+#^�m:,��E+9����C� �k?I�+J ���O�"9hJ)��#�#n���I�+*��Fd!���,��*����1�()*�����E"9��+J ()#7*,�+�^&��"*�8"��9�E"��*k�jX'0< � *1��&��+*��+J)#%�O�I�+*,:,JB�C��9�(BE"�"*,�+De�'��9�(B&' �9�����()�"*I��JI�'��6,9���#�#%()�"*,#x#�?1&j� �+#� �� � &��"# T�� X� �U��� v��

()*����,(B#7Di��*,*,��9�0 � *,�C]h�cP����F:,�F���1()#7()#h���F?,#��A���,�C[\�"9%Dm?,J)�&��"#cT�� X � ����� � � � � �����F#�6,JB(B�h���,()#^(B*k����E"9��+J;(B*k���m�Q]n�e6,()��&���#�d�� � �� � �����

� �t� � v��m� �� � �� � � � ���� �t� � v��

�+*,:�]n�+9��$�"*����+&j�G6,()��&��A#���6I�+9��M����J2P T ���,�pHI9%#%�^�"*1��?1#�()*1Em���,�A?,6,6g��97#%��D_(2 &�()9%&�JB�+d����,�w#���&��"*,:��"*1�w?,#%()*,E����,�ZJ)�]n��9n#%��D_(2 Q&�()9%&�J)�cX'0 � ?1�a���,(B#a�j���+��# �!?1(B�����]^�,(BJ)��0 � �k?,()&j����9�]h�cP"d�()* ���1()#A&c�+#%�+d�()# � ?,#%�����G�"�,#%��9�8"�e���I����&��+# T�� Xp()#���,�A9����+J;6I��9%�x�+[ � � ��� Tu�"9 ����� X�d,#������ � � � �� � � ~ ()#h���1��9%�c�+J 6I�+9%�x�+[ � � ���� � � ~ 0��7�k?,#� �� � &��+#T�� X� � ��� v��

� & � � �� � � � ���� � � � v��

� � � ���()D_()J)�+9�J2Pm]n���I�c8"�� �� � #%()*�T"� X

� �t� � v��� �� � � �� � � � ���

� �U��� v��� �1@

�+JB���,�"?,E"� ���,()#C(B#CDe�+9��O�c��#�()J2P 6,9%�8"��*���P �"�,#%��9%8!(B*,EG���I��� � ��� � � �� � � ~ (B#A�+* ��:1:[\?,*,&���()�"* 0 � P�#%P!D_De�'��9�P$]n���+JB#��F�I�c8"�� �b &��"#T"� X

� �t� � v��� �� � �

� �

Page 20: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

<>� �]n�'8"��9�d/�"*,�i�,�+#r���N� �����,(B�r&c�+9%��[\?,J/]^�,��* :,���+J)(B*,E�]^(2����&��"D_6,J)�������k 6,9���#�#�(B�"*,#^#�?1&j� �+# � �� � &��"#cT�� X�F� � v����

�Y8+��* ���1�"?,E"� &��"# T"� Xx()#x���,�r9��c��JU6I�+9��p�+[ ��� � � d ���,�m()*�����E"9��+*,: ��� � � � �� � � (B# � ����,�A9����+J;6I��9%�x�+[ ��� ���� � � dI�g��&��+?,#%� �m� �Y(2��#���JB[��I�+#79%�c�+J��+*1:�(BDi�+E+()*I�+9�PF6I�+9���#�0Tu�7�,�p9%�c�+Jg6I�+9��h�+[ � � �� � � ()#n#%�"D_�����1()*,ElDm?,&j��D_��#�#%()��9�d1*,�+De��JBP ���� � � � � � � ��� � � �� � � ~ X'0K * ���,()#w&c�+#%�m���,�O�g��#��C���,(B*,E$����:,��(B#p?,#��m���,�F�+J2����9%*I�����O�+6,6,9%���+&j���+�g�8"�+d*I�+D_��JBPe#�61J)(B�%��(B*,Em&��+#T�� X � ~

� ��� � � ~� ��

��� �+*,:�]a�"9��k(B*,EF�"*�� �+�������,�C?,616 ��9�+*,:�J)�]a��9^#���De(� Q&�(B9�&�J)��#�0�Y9�(B*,&�(B6I�+J 8��+JB?,�C()*�����E"9��+J)#<�- �] ]a�l��?19�*����e(B*�����E+9��+JB#^]^�1()&j� ��9���*,�+�cdI#���9%()&���JBP�#%6 ���+�k()*,E1dg&��"*�8"��9�E"��*k��d�,?1�m]^�,(B&j� &c�+* #���()JBJa�g�$�'8+��J)?I������: (B*�]^�I���.�#O&��+J)JB��: ���%619�()*1&�()6,�+J/8��+JB?,��#���*1#��+0/�7�,��#���()*�����E"9��+JB#h&�9%�"6�?,6���8+��9%P�*1� ] �+*,:����1��*;d,[\�"97(B*,#%���+*,&��C()*$���1�� �"?1*,:I�+9�P�� ���I�c8!()�"?,97��[�����70< �w#x�+*��'�1�+D_6,J)��dI&��"*1#�():1��9h���1��9%�c�+J (B*�����E+9��+J� ��I~ v��

� �<�- �+(28"��J2P"d,�+*,�C]n�"?1J):��'��6g��&��x���1()#7()*�����E"9��+J ���_� �k?I��JJB* � � �I~ � J)*;T��"X � JB* T��X � J)*;T��"X��<>� �]n�'8"��9�dY#%��9�(B&���J2P #�6g�c���!(B*,E,d ~� ()#A*,���r(B*k����E"9��+�,JB�_�+*����1�e(B*k����9�8+��J � ��� , ���� ��&c�+?,#%�l��[����,�l#%()*,E+?,J`�+9%(B�QPi���x�10wTu�7�,�C[\?,*1:I�+D_��*��j�+J;���,���+9���D ��[U&��+J)&�?,J)?,#:,����#F*,�+�_�+6,61JBP��+*�� ��� , ���h[\�+9m���,��#���De��9%�c�+#%�"* X'0 �7�1��9��G()#m�+*>(B*1HI*,(2����+De�+?,*��l��[7�+9%�c��(B*����,�FHI9�#��O�+*,:�[\�"?,9���� �!?,�+:,9���*k��#�dY��*,:����,�e����6,9���#�#�(B�"*

� � � (B#n()*1:,��HI*1(B����0 � ��&��+?,#%����[ ���,�C#%()*,E"?1J`�+9%(B�QP"dk���1()#n�QP!6g�C�+[5()*�����E"9��+Jg()##��"D_����()D_��#h&��+J)JB��:G� � ���$# � $� ��� � �$� � 0< �p��#�61(B���C#%()*,E+?,J`�+97(B*�����E+9��+JB#h� ��()*,EF*,�+*� Q&��"*�8"��9%E"��*���dg���,��9%��(B#7#%��()J)J;�F&���9��j�+(B*#���*1#��O()*�]^�,()&j� ���,�r(B*k����E"9��+J5�+[ ~� [\9��"D ���m�����_� �k?I�+JB#pJ)*;T��"X�0w���r:,��HI*1����,����� � � ��� ��� � # �Z�+[a�i#%()*,E+?,J`�+9Z()*�����E"9���J5����� �k?I�+JU���,�OJ)(BDe(2�cd �+#�� � �1d

���

Page 21: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

�+[����,�p(B*�����E+9��+Jg]^�,��9%�l��*�()*�����9%8��+J ��[�9��+:,(B?,# �r�+9��"?1*,:$���,�C#%()*,E+?,J`�+9%(B�QPF�I��#� ����*G9���D_�8"��:;0 K *����,()#^&c��#��+d,]a���I�c8"�� ��� � � ��I~ v��

� JB()D� �b �

���I~ v��

� � � ��

v��� �

< ��()*,&��n]a�h�I�c8"�7&�?1�Y�"?1�U���,�h#%()*,E+?,J`�+9%(B�QP+dM���,�h9�(BE"���% ��I�+*,:m#%():,�a()#t&��"D_6,?1�j���,J)��+# JB()D� �b JB* �

��

�I~ �LJB* � ��

� J)(BD� �b JB* � � JB*C�n� J)*x� � JB* � � JB*x���

�7�!?1#x���,�A6,9�(B*,&�(B6I�+J 8��+JB?,�C�+[ � ��I~ �� � J)*x��0< �7�,()#76,9%()*,&�()6I��J 8��+J)?1�C:,��HI*1(B��(B�"*�()#nDe�"9%�C#�?,����J)�p���I�+*�(B�hDi�cPiH,9�#%�Z�+616 ���+9�0K �^()#^()D_6 �+9%�j��*k�a���I�M�x���,�A()*�����9%8��+J;�+*,�A9���D_�8"��#w�+9%�"?,*,:����,�A#�()*1E"?,J`��9�(B�QPe()##%P!DeD_����9�(B&+0���?16,6 �+#��m]a�O9���D_�8"��: ���,�m(B*k����9�8+��JhT � � , ���+X7[\9��"D ���,�r�"9�(BE"()*()*,#����c��:G��[7T � � , �+X'd,�+*,:����,��*�JB��� � � �10t���A]a�"?,JB:G���,��*GE"�'�JB()D

� �b J)* �

��

�I~ �LJB* � �� �� J)(BD

� �b JB* � ��JB*C�a�LJ)*x� � JB*x��� � �1�

<LK [ ���,��9%�^�+9��7Dm?1JB��(B6,J)�/#�(B*,E"?,J)�+9�(2��(B��#�dM]n�^9%��D_� 8+�^�+*F��6,#%()JB�"*O()*�����9%8��+JI��9��"?,*1:�+J)J �+[����,��D #%()Dm?1JB�j��*,���"?1#�JBP+d,�+*1:G���,��*GJ)�'�^��6,#%()J)�+*�E"�O���_����9%�,0on�"D_6,?1��()*,EF6,9%()*,&�()6I��J 8��+J)?1�C()*�����E"9��+JB#7?,#�(B*,EF9���#�():1?,��#< ���_*,�] #%�,�] �,�] ���G&��"D_6,?1���F6,9�(B*,&�(B6I�+JU8��+JB?,�F()*�����E"9��+JB#C?,#�(B*,EG9���#%():,?1�&c�+JB&�?,JB?,#�dg?,#�(B*,Ei]^�I�M� #w�k*,�]^*��+#Z���,�rD_�����,��:N�+[Y()*1:,��*�����: &��"*����"?,9�#�0��Z#�+*��'�1�+D_6,J)��d1]n��:,��De�"*1#%��9������C���,�A&��"D_6,?1������(B�"*��+[

� � � � � �� � ����� v��� � � � �- �+���w���I�M�n���1()#n(B#7�r#%()*,E"?1J`�+9/()*�����E"9���J �g��&��+?,#��p���,�C()*�����E"9��+*,:$�I��#7�m#�(B*,E"?� J`�+9%(B�QPi��� �

� ��0�!�

Page 22: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

<LK [h]n�e:,():1* �l�I�c8"�e���,�e#�()*1E"?,J`��9�(B�QP+d ]n� �: � ?,#��r9%��6,J)�+&��_���,�e:,�"De�+()* �+[h()*� ����E+9�����()�"* [\9��"D T � �

,� Xp����T � & , &AXl��*,:����1��* J)�'�'& � � �+#r�g��[\�"9%�+0���e&c�+* #���()JBJY:,�N���I���cdU�,?1�O*,�] ]a�$Dm?,#��F�+JB#��N9%��D_�8"���+* �G�+9��"?1*,:����1�#�()*1E"?,J`��9�(B�QP �+*,:�JB��� � � �10 K *��+���,��9l]a�"9�:1#�dU]a�i&��+*�9��']^9�(2���F���,�i�+� �8+�()*�����E"9��+J;�+# J)(BD� �

� JB()D� �b �

����

����� v��� �U��� � � �

����� v��� �U��� ����A&c��*�9%��]^9�(2���p���,()#^�+#

JB()D� �

� J)()D� �b � s

��� ���

SUTWV�XhvkVZ� � s� �

� StTWV"X^vkV]^�,��9%�AStTWV"X � � � �

|� �| d!f � �

��

()#/���,�p#���9��+()E"���nJ)()*1�x[\9%�"D � & ��� � �!d,��*,:if���()#h���1��#���9��+()E"���^JB()*,�w[\9%�"D �r��� &m0

�+�

Page 23: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

-R R

C

ε

R+

γRε,γ

-R, −ε

−ε ε

C+

< ���p?1#��a���,�n9%��#%():,?,�a���,���"9���D ]a�h*,����:m���ZHI*,:m�w&�JB�"#���:r&��+*k���"?,9t#%�"D_��]^�,��9��+0� P �+:1:,()*,Ee���,�O�,(BE�#���De(� Q&�(B9�&�J)� � �� �"*,�r&c�+* 6I�+9���()�+J)J2P�&�J)�+#��r���,�O&��"*����"?,9�d�,?1�7���FDe�+�+���OE"��*!?1()*,��JBP$&�J)�"#%��:G&��"*����"?,97�"*,���+JB#��O*,����:,#^���1��#%Di��J)J #%��D_(2 &�()9%&�JB� � ��

0xT � *,�C&��"?,J):���J)#��r?,#��p���,�CJ)�]a��9h#%��D_(2 Q&�()9%&�J)� � ��

(B*,#%���c�+:���[ � ��

d�,?1�p�+*,�m�I�+#Z���$?,#%� � �� �+*,: *,��� � �� � ��&c�+?,#%�m�+���,��9�]^()#�� ���| ]^()J)J��g��&��"De�[u�+9h���!�FJ`�+9%E"�+0

< ���A&c��*�&��"De61?1���p���,�A&�J)�+#���:G&��+*k���"?,9^()*�����E"9��+Jz s��� � � � ���� �

s� �

� ������ StTWV"X^vkV

��

Page 24: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

?,#�(B*,EF9���#%():,?1��&��+J)&�?,J)?1#�0�y �+&����"9�(B*,E_S �+#StTWV"X � � �

|VITWVZ� ��X�TWV�� �QX]n��#��������I���$S��,�+#i#%()D_6,J)��6g�"J)��#i�M�$�1d � �%d^�+*,: �%0 � [p���,��#%�+d7�"*1JBP ���1�#�()*1E"?,J`��9�(B�QPw��� � ()# (B*,#�(B:,�U���,��&��"*����+?,9�0 ��()*,&��Y���,�Y&��"*����"?,9�(B#��+*���(2 �&�JB��&j��]^()#%�+d]n�A#��������I���7���,���+� �8+�l(B*k����E"9��+J;(B#7� �k?I�+J;���

����*& �)( T�S�@��QX � �����J)()D|�

����| TuV�� �QXVITuVw� �QX�TWV+� �QX� �)��� � �I~��T"� � ��X

� � ��� ��7�!?1#� s��� � �

StTuV�X7v!VZ� �����

StTuV�XhvkVw� � s� �

� SUTWV�X7vkV � ����� StTuV�X7vkV

� � ���� �- �] ]a�m�j���+�OJ)(BDe(2��#Z�+# & � � ��*,: � � �10A�7�,�OHI9�#����+*,: ���,()9%: ����9%De#�+9��m]^�I�M�C]n�O]n�+*��c0O�7�,�O[\�"?,9���� ����9�D E"����#p��������9�����P��+�"9%:I�+* #AJ)��D_De�10�7�!?1#x]a�l�,�8+�

� � �g� � �� � ��� � v��� � ��� � J)(BD

� �b �����

StTWV"X^vkV � � ���� �< ���OHI*,(B#��G�"?,9^&��+De6,?��j����()�"*$]a�A*,����:����OHIE+?,9��A�"?1�7]^�,��� �

����

StTWV"X^vkV10<LK [h]n�e]n��9��$(B*k����E"9�����(B*,EG� 8+��9r���,�i��*���()9%�i&�J)�!&j�k]^(B#��e&�()9%&�JB� ��

�+[79��+:,(B?,# �!d()*,#����c��:l�+[ � ?,#��t�7&�JB��&j��]^(B#��/#���D_(2 �&�(B9�&�JB� � ��

d ���,��*l���1()#�()*�����E"9���J+]n�+?,J):�� �k?I�+J�����*& �)( TWS�@j��XC��P����,�$9���#�(B:,?,�i���,���"9%��DG0 ��(B*,&��_]n�i�"*,JBP��I�c8+���I�+JB[h�+[h���1�&��"*����+?,9�d��"*,�wD_()E+�k�aE"?,��#�#n���I���a���,�p(B*�����E+9��+J �"*i���,�p#%��D_(2 Q&�()9%&�J)�^#%�,�"?,JB:$� ��+6,6,9%���(BDi������J2P ���1& �)( T�S�@j�"X'0Y�7�,(B#x(B#7()*,:1����:����1��&��+#���-< � ��� ��� ��R �'�UStTWV�X �g���n[\?,*,&'��(B�"*C]^(B���A�7#%()D_6,J)��6 �"JB�Y����VcbdM�+*1:�JB��� �~� � �� �A�+*1E"J)��#�0YyI�"9h���+&j� �!d,J)�'�hf

:,��*,�+���A���,�A�+*���(� Q&�J)�!&j�k]^(B#��wVIT �%X � Vcb5� � � ��� d�~� � � � � 0��7�,��*J)()D

� �b � s

StTWV"X^vkV � T � � ���~ X �*& �)( T�S�@�Vcb'X'�

� �

Page 25: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

< � ��� ��� �!()*,&��7StTuV�X��,�+#t�x#�()D_6,JB�/6g�"JB�n���UVcbcd+]a�n&��+*r]^9%(B���nStTuV�X � � TWV�X �,TWV�Vcb'X'd ]^�,��9�� � ()#p�i[\?,*,&���()�"*�]^�,()&j� ()#w*,�"*� �����9%���+*,: �+*,�+JBPk��(B&m���pVcb0�y 9%�"D�U�cP!J)�"9��#7[\�"9%Dm?,J)�� TWV"X � � TWVcb�X � ��� TWVcb'X�TWV � Vcb'X ���c���]n�A�I�c8"�A���1� R �+?19���*��x�'��6I��*,#�(B�"*

StTuV�X � � TWV�XV�� Vcb�� TWVcb�XV�� Vcb � � � TuVcb�X �����c�

�+*,:�#�� & �)( T�S�@jVcb'X � � TuVcb�X'0 �!�_]a�A�I�c8"�A���F#��,�] ���I���J)(BD

� �b � s

� TWV�XV�� Vcb vkV� T � � ���

~ X � � TWVcb�X�����l:,�����,()#�d!]a�wDe�+���x���,�Z&j�,�+*,E"�Z�+[ 8��+9%(`�+�,JB��#/V � Vcb � � � ��� d�vkV � ��� � ��� v���d���O��?,9%*G���,�AJ)�'[ �% Q�,�+*,:�#�(B:,�A()*����

J)()D� �b � � ����

� TuVcbt� � ����� X� � ��� ��� � ��� v��

]^�,()&j�G#�(BDe6,JB(BHI��#n����kJ)()D

� �b � � ���� � TuVcbt� � � ��� Xhv����

��()*,&�� � ()#w�+*I�+J2P!��()&l���AVcbd (B�p(B#w&��"*���()*k?,�+?,#�d��+*1: #�� � TWVcbt� � ����� X � � TWVcb�X�+# � � �10p���+�k()*1E$J)(BDe(2��#lTu&'[30w���,�r6,9��!�+[��+[aoh�+?1&j�kP� ��A�"?19�#��M�A()*�������� " X���,�AJ)�'[ �% ��I�+*,:�#%():,�A�g��&��+De��#� � � ���� � TuVcb�Xhv��

]^�,()&j�G� �k?I�+JB#7���,�A9�(BE"���% ��I�+*,:�#%():,��0<LK *L�+?,9m&c��#��+d�]a�G�,�8+�G� &�J)�!&j��]^()#%�G#%��D_(2 �&�()9%&�JB�_[\9%�"D �+*1E"J)��# �������1dY�,?��]n�p&��+* � ?,#���I()6e���,�p#%()E"*$�+*,:�&��+*,#�(B:,��9n���,�p9%��8"��9�#%��:��+*���(2 �&�JB��&j��]^()#%�w&�()9�&�J)�� � ��

d,]^�,(B&j��E"�!��#7[\9%�"D��+*1E"J)��#^�O��� �t0 � P$���1��JB��D_Di��dJ)()D� �b � �

� ��

SUTWV�X7vkV � ���*& �)( TWS�@j��X� "

Page 26: the residue theorem • Trig and indefinite integrals

� ��1J)(BD|�b V ���

|V � �>V� �����

��?�����(B*,EO���,(B#7�I�+&j��(B*k���O�"?,9^6,9%��8!()�"?1#x&��+J)&�?,J`�M��()�+*,#�d!]n�AE"�'�� ��� � � �� � ��� � v��

� �U��� � ��� � � ���� ,���k?,#

� � � � � �� � ����� v��� �t� �

� ��T�� � �� X �%�< �w#x�+JB]n�cP!#�dI�"*,�A&��+*G���+�+�A9%�c�+J��+*1:�(BDi�+E+()*I�+9�P_6I�+9%��#h���_&��"*1&�J)?1:,�

� ��� � � �� � &��+#T�� X7v��� �U���

� �� ��� � � �� � ( �1/tT�� X7v��

� �U���

� �/T3� � �� X'@#�()*1&��C���,�AJ)��������9h(B*k����E"9��+J;(B#7��8"��*;d ]n�A�I�c8"�

� � � � � �b ( �1/tT�� X^v��

� � ���

� �� ��T�� � �� X��

��.