Theoretische Physik IVborghini/Teaching/Theorie-IV_13/... · N.BORGHINI Hydrodynamik TheoretischePhysikIV I.GrundbegriﬀeüberkontinuierlicheMedien I.1SystemeinlokalemthermodynamischemGleichgewicht

Theoretische Physik IV

Nicolas BORGHINI

Fakultät für PhysikUniversität Bielefeld

18. Juli 2013

N.BORGHINI Theoretische Physik IV

Inhaltsverzeichnis

A Hydrodynamik 1

I Grundbegriffe über kontinuierliche Medien 3I.1 Systeme in lokalem thermodynamischem Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Kontinuierliche Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.1 Mechanische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2.2 Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.3 Klassifizierungen der Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.3.1 Flüssigkeit und Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.3.2 Viskoses Fluid, ideales Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3.3 Newtonsches Fluid, nicht-Newtonsches Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Geschwindigkeitsfelder in einem kontinuierlichen Medium 8II.1 Lagrangesche Betrachtungsweise, Eulersche Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . 8II.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.3 Beschleunigung eines Fluidteilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.4 Lokale Verteilung der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.4.1 Wirbelvektor, Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.4.2 Bedeutung der Koeffizienten des Verzerrungstensors . . . . . . . . . . . . . . 10

II.5 Klassifizierung der Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.5.1 Geometrische Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.5.2 Physikalische Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.5.3 Kinematische Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Grundgleichungen der nicht-relativistischen Hydrodynamik 14III.1 Reynolds’scher Transportsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III.1.1 Geschlossenes System, offenes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III.1.2 Substantielle Ableitung einer extensiven Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.2 Massen- bzw. Teilchenzahlerhaltung: Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 16III.2.1 Integrale Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2.2 Lokale Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III.3 Impulssatz: Euler-Gleichung, Navier–Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 17III.3.1 Substantielle Ableitung des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17III.3.2 Ideales Fluid: Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.3.3 Nicht-ideales Fluid: Navier–Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.4 Energieerhaltung und Entropiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III.4.1 Energiebilanz in idealen Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III.4.2 Energiebilanz in Newtonschen Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III.4.3 Entropiebilanz in Newtonschen Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

IV Strömungen eines idealen Fluids 28IV.1 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV.1.1 Inkompressibles Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28IV.1.2 Fluid in thermischem Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28IV.1.3 Isentropische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28IV.1.4 Archimedisches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV.2 Stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30IV.2.1 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ii


IV.2.2 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31IV.3 Erhaltung der Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.4 Potentialströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

IV.4.1 Geschwindigkeitspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.4.2 Inkompressible Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

IV.5 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IV.5.1 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IV.5.2 Stoßwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37IV.5.3 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V Strömungen eines Newtonschen Fluids 43V.1 Statik und stationäre Strömungen eines dissipativen Fluids . . . . . . . . . . . . . . . 43

V.1.1 Statisches viskoses Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43V.1.2 Ebene Couette-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43V.1.3 Strömung zwischen zwei ruhenden Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44V.1.4 Strömung in einem Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

V.2 Ähnlichkeitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46V.3 Strömungen mit kleiner Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

V.3.1 Relevanz. Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47V.3.2 Eigenschaften der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48V.3.3 Strömung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

VI Hydrodynamik des relativistischen Fluids 52VI.1 Grundgleichungen der relativistischen Fluiddynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

VI.1.1 Teilchenzahlerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52VI.1.2 Energieimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52VI.1.3 Vierergeschwindigkeit einer Strömung. Lokales Ruhesystem . . . . . . . . . . 53VI.1.4 Ideales relativistisches Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54VI.1.5 Dissipatives relativistisches Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

VI.2 Nicht-relativistischer Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58VI.2.1 Teilchenzahlerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59VI.2.2 Energieimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59VI.2.3 Entropieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VI.3 Beispiel einer relativistischen Strömung: Bjorken flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Literaturverzeichnis 61

B Elektrodynamik einer Punktladung 63

VII Wiederholung zum Elektromagnetismus 65VII.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

VII.1.1 Dynamische Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65VII.1.2 Maxwell–Lorentz-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65VII.1.3 Potentiale. Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66VII.1.4 Energieimpulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67VII.1.5 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

VII.2 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68VII.2.1 Viererstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68VII.2.2 Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68VII.2.3 Viererpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

iii


VII.2.4 Eichtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70VII.2.5 Energieimpulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VIII Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik 72VIII.1 Freie Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VIII.2 Punktladung in einem elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VIII.3 Elektromagnetisches Feld mit Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VIII.3.1 Klassische Feldtheorie. Hamilton’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 74VIII.3.2 Standard Lagrange-Dichte des freien elektromagnetischen Felds . . . . . . . 75VIII.3.3 Energieimpulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IX Klassische Theorie der Strahlung 79IX.1 Green’sche Funktion der vierdimensionalen Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 79IX.2 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IX.3 Potentiale und Felder einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IX.3.1 Liénard–Wiechert-Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82IX.3.2 Elektrisches und magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83IX.3.3 Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


C Elektrodynamik in Materie 91

X Elektrostatik und Magnetostatik in Materie 94X.1 Elektrostatik von elektrischen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

X.1.1 Konstitutive Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94X.1.2 Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94X.1.3 Elektrisches Feld außerhalb eines Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96X.1.4 Elektrostatische Energie eines Systems von elektrischen Leitern . . . . . . . . 97

X.2 Elektrostatik von Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99X.2.1 Elektrische Kraft auf einen Körper. Polarisationsvektor . . . . . . . . . . . . . 99X.2.2 Makroskopische elektrostatische Gleichungen. Elektrische Flussdichte . . . . . 100X.2.3 Felder an der Oberfläche eines Dielektrikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101X.2.4 Modelle für die dielektrische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

X.3 Magnetostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103X.3.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103X.3.2 Makroskopische magnetostatische Gleichungen. Magnetische Feldstärke . . . . 104X.3.3 Randbedingungen an der Oberfläche eines magnetischen Materials . . . . . . 104X.3.4 Modelle für die Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

X.4 Energie von elektrisierter bzw. magnetisierter Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . 106X.4.1 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106X.4.2 Energie magnetisierter Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

XI Maxwell-Gleichungen in Materie 109XI.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109XI.2 Poynting-Vektor. Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

iv


XII Elektromagnetische Wellen in Materie 112XII.1 Elektromagnetische Wellen im quasistationären Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . 112

XII.1.1 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112XII.1.2 Ebene elektromagnetische Wellen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113XII.1.3 Reflexions- und Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

XII.2 Elektromagnetische Wellen beliebiger Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114XII.2.1 Dielektrischer Tensor, dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115XII.2.2 Mathematische Eigenschaften der elektrischen Suszeptibilität . . . . . . . . . 116XII.2.3 Beispiel: elektrischer Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119XII.2.4 Dispersion und Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119XII.2.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

XII.A Einfache Modelle für konstitutive Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127XII.A.1 Drude-Modell für die elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127XII.A.2 Lorentz–Drude-Modell für die elektrische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . 128

XIII Elektrodynamik eines Plasmas 129XIII.1 Klassifikation von Plasmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

XIII.1.1 Klassisches gegen Quantenplasma, relativistisch gegen nichtrelativistisch . . 129XIII.1.2 Schwach gegen stark wechselwirkendes Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

XIII.2 Elektrostatik eines Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131XIII.3 Plasmaschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

XIII.3.1 Plasmafrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133XIII.3.2 Longitudinale und tranversale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

XIII.AAlternative Herleitung des abgeschirmten Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

XIV Makroskopische Aspekte der Supraleitung 138XIV.1 Phänomene der Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

XIV.1.1 Einige experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138XIV.1.2 Supraleitung in Anwesenheit eines äußeren magnetischen Feld . . . . . . . . 138

XIV.2 Erste Beschreibungen: London- & Pippard-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140XIV.2.1 London-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140XIV.2.2 Pippard-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

XIV.3 Ginzburg–Laudau-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142XIV.3.1 Landau-Theorie der Phasenübergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142XIV.3.2 Ginzburg–Landau-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143XIV.3.3 Folgerungen der Ginzburg–Landau-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 146


v


vi

Teil A

Hydrodynamik

Version vom 18. Juli 2013, 9:54

1

N.BORGHINI Hydrodynamik Theoretische Physik IV

I. Grundbegriffe über kontinuierliche Medien

I.1 Systeme in lokalem thermodynamischem Gleichgewicht

Die Fluiddynamik befasst sich mit der Bewegung von Systemen bestehend aus vielen Teilchen,die sich somit durch die makroskopischen Größen der statistischen Physik bzw. der Thermody-namik beschreiben lassen, und zwar extensive (Entropie, innere Energie, Volumen, Teilchenzahl,Gesamtimpuls1. . . ) und intensive (Dichten der extensiven Größen, Temperatur, Druck, chemischesPotential, mittlere Geschwindigkeit1. . . ) Variablen. Im Allgemeinen können verschiedene Teile desSystems sich relativ zueinander bewegen, so dass das System nicht in mechanischem und dadurchauch nicht in thermodynamischem Gleichgewicht ist. Streng genommen sind die oben genanntenthermodynamischen Zustandsvariablen nicht mehr definiert für das System.

Unter vielen Umständen kann aber noch das System (in Gedanken) in kleine „Zellen“ geteiltwerden, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(i) einerseits ist jede Zelle groß genug, damit sie als ein thermodynamisches System behandeltwird — d.h. die relative Schwankung jeder gewöhnlichen thermodynamischen Variable sollvernachlässigbar sein;

(ii) andererseits variieren die (extensiven) thermodynamischen Variablen nur wenig über die Skalaeiner Zelle — d.h. sie dürfen nicht zu groß sein —, damit jede Zelle annähernd homogen ist.

Unter diesen Annahmen können lokale thermodynamische Variablen definiert werden, entsprechendden jeweiligen Werten in jeder Zelle der extensiven Zustandsgrößen.2 Dabei werden diese lokalenVariablen durch den Ortsvektor ~r des Schwerpunkts der zugehörigen Zelle gekennzeichnet: S(~r),U(~r), N(~r), ~P (~r). . .

Diese lokalen thermodynamischen Variablen sind in jeder Zelle proportional zum Volumen derZelle. Da das Letztere keine physikalisch Bedeutung hat, ist es sinnvoller, die Dichten der lokalenGrößen zu verwenden: Entropiedichte s(~r), (innere) Energiedichte e(~r), Teilchendichte n(~r) bzw.Massendichte ρ(~r), usw. Anstatt der Impulsdichte benutzt man eher das Geschwindigkeitsfeld (auchStrömungsgeschwindigkeit genannt) ~v(~r), das gleich dem Mittelwert der Geschwindigkeiten ~vk derN(~r) Teilchen (Atome oder Molekülen) in der Zelle ist:

~v(~r) =1

N(~r)

N(~r)∑k=1

~vk, (I.1)

Die Impulsdichte ist dann einfach ρ(~r)~v(~r).

Bemerkung:Während die Geschwindigkeiten vk im thermischen Gleichgewicht durch die Maxwell-Verteilung gegeben sind, und deshalb bei T = 300 K der Ordnung 102 − 103 m·s−1 sind, kann diemittlere Geschwindigkeit v(~r) viel kleiner sein.

1In der Thermodynamik wird der Gesamtimpuls ~P eines Systems oft nicht erwähnt, denn das System wird implizitin seinem Ruhesystem (~P = ~0) beschrieben. Geht man in ein inertiales Bezugssystem über, wo der Gesamtimpuls~P ist, so ändert sich die Entropie des (hier als nicht-relativistisch angenommenen) Systems nicht, während dessenEnergie E = U + ~P 2/2M wird, mit M dessen Gesamtmasse bzw. U dessen inneren Energie:

S

(U +

~P 2

2M, ~P

)= S(U,~0).

Leitet man diese Gleichung nach einer der Komponenten Pi des Impulses ab, so findet man, dass die dazu konjugierteVariable gleich −vi/T ist, mit vi = Pi/M der i-ten Komponente der mittleren Geschwindigkeiten des Systems und Tder Temperatur.

2... mit der Ausnahme des Volumens, weil das Volumen einer bestimmten Zelle beliebig und damit physikalischirrelevant ist.

I. Grundbegriffe über kontinuierliche Medien 3


Eine wichtige Annahme — die hiernach immer gemacht wird — ist, dass das makroskopischeSystem sich im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Dies gilt, wenn die „Fundamen-talgleichung“ zwischen der Entropiedichte und den anderen lokalen Dichten die gleiche Form hat,wie die Beziehung zwischen der Entropie und den extensiven Parametern in einem System im (“glo-balen“) thermodynamischen Gleichgewicht. Dann kann man die zu den (Dichten der) extensivenGrößen konjugierten intensiven Größen auch lokal definieren: T (~r), P (~r), µ(~r), . . . , mit der üblichenphysikalischen Deutung. Dazu sind in jeder Zelle die Zustandsgleichungen die gleichen wie in einemSystem im globalen thermodynamischen Gleichgewicht.

Drückt man die zwei obigen Bedingungen anders aus, so soll nach (ii) die charakteristischeLängenskala einer Zelle viel kleiner als die typische Skala L für die Variationen der physikalischenEigenschaften des Systems sein. Infolgedessen kann man eine „coarse-grained“ Beschreibung verwen-den, indem die Zellen als punktförmig bzw. der Ortsvektor ~r als ein stetiger Parameter betrachtetwerden. Die lokalen Größen werden dann Felder . Im Allgemeinen hängen die Letzteren auch, nebendem Ortsvektor, von der Zeit t ab: s(t, ~r), e(t, ~r), n(t, ~r), ρ(t, ~r), ~v(t, ~r), T (t, ~r), P (t, ~r), µ(t, ~r), . . .Das System wird somit als ein kontinuierliches Medium beschrieben, dessen diskrete mikroskopischeStruktur ignoriert wird.

Umgekehrt darf man in einer solchen kontinuierlichen Modellierung Phänomene bei der atomarenbzw. molekularen Skala prinzipiell nicht betrachten.

Bemerkungen:∗ Die oben eingeführte „makroskopische“ Skala L kann eine charakteristische Dimension eines Ge-fäßes bzw. eines Rohrs sein, in dem das Medium eingeschlossen ist bzw. fließt. Im Fall von Schwin-gungen im Medium kann L auch einer Wellenlänge entsprechen:

L ∼=

[∣∣~∇X (t, ~r)∣∣

|X (t, ~r)|

]−1

,

mit X (t, ~r) einer physikalischen Größe. Dann gilt die Beschreibung als ein kontinuierliches Mediumnur bei „großen“ Wellenlängen.

∗ Bedingung (i) besagt insbesondere, dass die typische Längenskala der Zellen viel größer als diemittlere freie Weglänge3 `mfp der Teilchen sein soll, damit thermodynamisches Gleichgewicht injeder Zelle erreicht wird. Wiederum soll `mfp viel kleiner als die Längenskala L sein, d.h. es mussfür die dimensionslose Knudsen-Zahl

Kn ≡`mfp

L 1 (I.2)

gelten, damit man sinnvoll von einem kontinuierlichen Medium sprechen kann.

Beispielsweise ist die mittlere freie Weglänge `mfp ≈ 0, 1 µm für Luft bei P = 105 Pa, T = 300 K.Für eine typische Dimension des Systems L ≈ 10 cm ist dann Kn ≈ 10−6, so dass die Luft alskontinuierlich betrachtet werden kann.

Der Gegenfall Kn > 1 ist der der verdünnten Medien, z.B. des sogennannten Knudsen-Gases,worin die Stöße zwischen Molekülen vernachlässigbar sind. Die Strömung solcher Medien wirdnicht durch die Kontinuumsmechanik beschrieben, sondern erfordert andere Beschreibungen wiez.B. eine freie Molekularströmung oder Molekulardynamik

I.2 Kontinuierliche Medien

Grob betrachtet können kontinuierliche Medien in zwei Klassen ausgeteilt werden, und zwareinerseits die Festkörper, die Gegenstände der Elastizitätstheorie sind, und andererseits die Fluide,

3Hier steht mfp für mean free path.



die durch die Fluiddynamik beschrieben werden. Der Unterschied zwischen Festkörpern und Fluidenberuht auf dem hiernach diskutierten Begriff der mechanischen Spannung .

I.2.1 Mechanische Spannung

Es sei ein durch eine abgeschlossene Fläche S abgegrenzter Bereich mit dem Volumen V in einemkontinuierlichen Medium.

V

S

d2S ~en

d2 ~Fs

Auf diesen Bereich wirken zwei Arten von Kräften:

• Volumenkräfte, die in jedem Punkt des Volumens wirken: z.B. die Schwerkraft oder Schein-kräfte (Coriolis-Kraft, Zentrifugalkraft) in nichtinertialen Bezugssystemen;

• Oberflächenkräfte, die auf die Oberfläche wirken.

Wenn d2 ~Fs die Oberflächenkraft auf ein infinitesimal kleines Oberflächenelement d2S um den PunktM bezeichnet, dann heißt der Vektor

~τs ≡d2 ~Fsd2S

(I.3)

mechanische Spannung im Punkt M . Die SI-Einheit der mechanischen Spannung ist das Pascal.~τs kann in die Summe zweier Komponenten zerlegt werden: einen Vektor senkrecht zu d2S, die

Normalspannung , und einen Vektor der im PunktM Tangentialebene, die Tangentialspannung (auchScher- oder Schubspannung genannt). Eine nach innen bzw. außen gerichtete Normalspannung wirdals Druck- bzw. Zugsspannung bezeichnet.

Sei ~en der nach außen gerichtete Normaleinheitsvektor im PunktM und ~r der Ortsvektor diesemPunkt in einem gegebenen Bezugssystem. Dann ist der Zusammenhang zwischen ~en und ~τs linear:

~τs = ~~σ(~r) ·~en, (I.4)

mit ~~σ(~r) einem Tensor zweiter Stufe, dem (Cauchy’schen) Spannungstensor . Komponentenweiselautet diese Gleichung τs,i = σij en,j für i = 1, 2, 3, mit τs,i bzw. en,j den Komponenten von ~τsbzw. ~en und σij den Komponenten des Spannungstensors, wobei die Summe über den doppeltauftretenden Index j = 1, 2, 3 nicht geschrieben wird.

I.2.2 Fluide

Mithilfe des Begriffs der mechanischen Spannung kann die Definition eines Fluids klargestelltwerden:

Ein Fluid ist ein kontinuierliches Medium, das sich deformiert, solange Tangentialspannungenangewandt werden.

Anders gesagt sind in einem ruhenden Fluid die mechanischen Spannungen definitionsgemäßunbedingt normal, d.h. der Spannungstensor ist in jedem Punkt diagonal, und im Fall eines isotropenFluids proportional zum Einheitstensor: ~~σ(t, ~r) = −P (t, ~r)~~1, mit P (t, ~r) dem hydrostatischen Druckim Punkt ~r zur Zeit t— in einem ruhenden Fluid sind aber Druck und Spannungstensor tatsächlichzeitunabhängig, da Ruhe ein stationäres Regime ist.



Bemerkungen:∗ Unter der Wirkung von Tangentialspannungen deformiert sich ein Festkörper ebenfalls. Für einegegebene Tangentialspannung wird dennoch nach einer Weile eine Gleichgewichtslage erreicht (sonsthandelt sich nicht um einen Festkörper, sondern um ein Fluid!). Wenn die entsprechende Verformungvöllig verschwindet, nachdem die Spannung nicht mehr angewandt wird, wird der Festkörper alselastisch bezeichnet. Im Gegenfall spricht man von einem plastischen Festkörper.

∗ Die vorige Bemerkung ist tatsächlich eine Vereinfachung, entsprechend den Zeitskalen des menschlichenAlltags. Somit können sich Festkörper unseres Alltags — wie z.B. Gesteine des Erdmantels — langfristig —in diesem Fall über geologische Zeitskalen — wie Flüssigkeiten verhalten. Ob eine gegebene Substanz sichwie ein Fluid oder ein Festkörper wird manchmal durch eine dimensionslose Zahl, die Deborah-Zahl [1],charakterisiert, die die typische Zeit für die Response der Substanz zu einer mechanischen Spannung mit derBeobachtungszeit vergleicht.

I.3 Klassifizierungen der Fluide

I.3.1 Flüssigkeit und Gas

Die alltägliche Erfahrung lehrt, dass es schon zwei unterschiedliche Arten von Fluiden gibt, undzwar Flüssigkeiten und Gase.

Unter dem thermodynamischen Gesichtspunkt ist der Unterschied zwischen Flüssigkeiten —die „ein bestimmtes Volumen, aber keine bestimmte Gestalt haben“ — und Gasen — die „denganzen zur Verfügung stehenden Raum nehmen“ — nicht immer so klar, insbesondere in der Nähedes kritischen Punkts am Ende der Dampfdruckkurve. Weit vom kritischen Punkt gibt es aberausgeprägte Unterschiede.

• In Flüssigkeiten und Gasen bewegen sich die Moleküle aufgrund der Wärmebewegung ständig.In einer Flüssigkeit bleibt aber der Abstand zwischen Nachbarmolekülen derselben Ordnungwie die Größe der Moleküle, während in einem Gas der intermolekulare Abstand groß bezüglichder Größe der Moleküle ist.

Infolgedessen ist die Teilchendichte bzw. die Massendichte eines Gases deutlich kleiner als dieeiner Flüssigkeit.Beispielsweise gilt für ein ideales Gas n ≈ 1025 − 1026 m−3 (vgl. die Loschmidt-KonstanteNL = NA/(22, 4·10−3 m3) = 2, 69·1025 m−3), während für eine Flüssigkeit n ≈ 1028−1029 m−3.Ähnlicherweise ist ρLuft = 1, 293 kg·m−3 etwa tausendmal kleiner als ρH2O = 103 kg·m−3.

• Flüssigkeiten und Gase unterscheiden sich erheblich in Bezug auf ihre isothermen Kompressi-bilitäten

χT = − 1

V

(∂V∂P

)T,N

=1

ρ

(∂ρ

∂P

)T,N

. (I.5)

Für flüssiges Wasser bei T = 20oC gilt χT = 4, 4 · 10−10 Pa−1: ein Druck von 108 Pa (d.h.was man im Marianengraben findet) ist also nötig, um eine Variation ∆ρ/ρ von um 4, 4% zuerhalten.

Für ein ideales Gas ist χT = 1/P , entsprechend 10−5 Pa−1 bei atmosphärischem Druck, sodass eine Variation ∆ρ/ρ = 4, 4% eine Druckvariation von nur ∆P = 4000 Pa = 40 mbarerfordert.

Bemerkung: Als Folge des letzteren Unterschieds klingt es verlockend, eine Flüssigkeit meistensals ein inkompressibles Fluid bzw. ein Gas als kompressibel zu betrachten. In der Praxis ist es abernicht so einfach, und die Eigenschaft „kompressibel“ bezieht sich mehr auf die Strömung als auf dasströmende Fluid, s. Abschn. II.5 unten.



I.3.2 Viskoses Fluid, ideales Fluid

In einem realen Fluid in Bewegung existieren Tangentialspannungen, so dass die unterschiedli-chen Schichten des Fluids nicht „reibungslos“ aufeinander rutschen können, und die Strömung vonder Umwandlung kinetischer Energie in Wärme begleitet ist.

Das Modell eines Fluids, in dem die mechanischen Spannungen immer normal sind, entspre-chend der Abwesenheit von inneren Reibungskräften, wird ideales Fluid genannt, im Gegensatzzum viskosen Fluid .4

Bemerkungen:∗ Ein ideales Gas ist kein ideales Fluid, sondern ein viskoses Fluid! Es kann aber passieren, dass ingegebenen Umständen diese Viskosität keine Rolle spielt: dann kann das ideale Gas als ein idealesFluid modelliert werden.

∗ Die Näherung eines idealen Fluids kann oft die Eigenschaften einiger Bereiche einer realen Strö-mung gut darstellen, aber nicht die ganze Struktur der Strömung.

I.3.3 Newtonsches Fluid, nicht-Newtonsches Fluid

Im Allgemeinen hängt der Spannungstensor ~~σ(t, ~r) in einem Punkt eines Fluids von dessen Massendichteρ(t, ~r) und Temperatur T (t, ~r) ab, sowie vom Tensor ~∇~v(t, ~r) der partiellen Ableitungen ∂vi(t, ~r)/∂xj derStrömungsgeschwindigkeit.

Ein Fluid weist ein sogenanntes Newtonsches Verhalten, wenn das Fluid isotrop ist, und wenn ~~σ einelineare Funktion von ~∇~v ist. Für übliche Fluide entsprechen diese Bedingungen dem „normalen“ Verhalten.Sonst spricht man von nicht-Newtonschen Fluiden: beispielsweise Flüssigkeiten mit einer hohen Viskosität(dann hängt ~~σ nicht linear von ~∇~v ab bzw. die Viskosität hängt von ~v ab) oder anisotrope Fluide.

Literatur

• Feynman [2, 3] Kapitel 39–1;

• Guyon et al. [4] Kapitel 1.1

• Faber [5] Kapitel 1.1–1.3

• zur Elastizitätstheorie: Feynman [2, 3] Kapitel 38, 39; Landau–Lifshitz, Band VII [6].

4In seinen Vorlesungen [2, 3] bezeichnet Feynman das ideale Fluid als „trockenes Wasser“ (dry water), und dasviskose Fluid als „nasses Wasser“ (wet water).



II. Geschwindigkeitsfelder in einem kontinuierlichen Medium

Dieses Kapitel befasst sich mit der Kinematik der Bewegung — der Strömung — eines Fluids.Hiernach bezeichnen xi, vi, . . . die kartesischen Koordinaten des Ortsvektors ~r, der Strömungs-geschwindigkeit ~v, . . . in einem gegebenen orthonormalen Bezugssystem.

II.1 Lagrangesche Betrachtungsweise, Eulersche Betrachtungsweise

Die Mechanik des Punktteilchens verwendet gewöhnlich implizit die Lagrangesche Betrachtungs-weise, in der man der individuellen Bewegung jedes Teilchens eines Systems (zumindest in Gedan-ken) folgt. In einem gegebenen Bezugssystem erhält man dann die Position ~r jedes Teilchens inAbhängigkeit von der Zeit, d.h. die Bahnkurve ~r(t).

In diesem Kapitel wird diese Betrachtungsweise mehrmals benutzt, indem die Bewegung derTeilchen eines kleinen Fluidelements — das als Fluidteilchen bezeichnet wird — betrachtet wird.

In der Fluiddynamik benutzt man aber meistens eher die Eulersche Betrachtungsweise. Dabeiwird in jedem Punkt ~r die Zeitentwicklung der lokalen makroskopischen Größen, welche die Freiheits-graden der Theorie darstellen, betrachtet. Die Eulersche Betrachtungsweise ist also die natürlicheBeschreibung für eine Feldtheorie.

Bemerkungen:∗ Beide Betrachtungsweisen sind wesentlich unterschiedlich:

• in der Lagrangeschen Beschreibung stellt d~r/dt bzw. d2~r/dt2 die Geschwindigkeit bzw. dieBeschleunigung eines Teilchens, dessen Bewegung gefolgt wird;• in der Eulerschen Betrachtungsweise haben d~r/dt und d2~r/dt2 keine physikalische Bedeutung,da ~r nur ein Parameter ist, wie die Zeit t, aber keine dynamische Variable.

∗ Die Eulersche Betrachtungsweise wird auch „Raumbeschreibung“ genannt: die Teilchen, die sichzu sukzessiven Zeitpunkten in einem gegebenen Punkt befinden, sind im Allgemeinen unterschied-lich; der Ort bleibt unverändert. Im Gegensatz wird die Lagrangesche Betrachtungsweise manchmalals „Materialbeschreibung“ bezeichnet, denn sie folgt den Änderungen der Position eines bestimmtenStücks Materie.

II.2 Definitionen

Es sei ein Geschwindigkeitsfeld ~v(t, ~r).

• Eine Stromlinie zur gegebenen Zeit t ist eine Feldlinie der Strömungsgeschwindigkeit, d.h. eineKurve, die in jedem Punkt ~r tangential zur Geschwindigkeit ~v(t, ~r) im selben Punkt verläuft.Eine durch λ parametrisierte Stromlinie ~x(λ) ist also eine Lösung von

d~x(λ)

dλ= α(λ)~v(t, ~x(λ)) ∀λ, (II.1a)

mit α(λ) einer skalaren Funktion, oder äquivalent

dx1

v1(t, ~r)=

dx2

v2(t, ~r)=

dx3

v3(t, ~r). (II.1b)

• Es sei dann eine abgeschlossene Kurve. Die Stromlinien, die diese Kurve berühren, bilden eineschlauchartige Oberfläche, die Stromröhre, die einen Stromfaden einschließt.

• Die sukzessiven Positionen eines (infinitesimal kleinen) Fluidteilchens, das sich ursprünglichin einem gegebenen Punkt befand, bilden eine Streichlinie.

II. Geschwindigkeitsfelder in einem kontinuierlichen Medium 8


• Das Geschwindigkeitsfeld wird als gleichförmig in einem Bereich bezeichnet, wenn~v(t, ~r) den-selben Wert in jedem Punkt ~r des Bereichs zur Zeit t annimmt.In diesem Fall sind die Stromlinien im Bereich parallele Linien.

• Das Geschwindigkeitsfeld bzw. die Strömung wird stationär genannt, wenn ~v(t, ~r) nur vomOrt aber nicht von der Zeit abhängt.Die Stromlinien einer stationären Strömung stimmen mit den Strichlinien überein.

II.3 Beschleunigung eines Fluidteilchens

Ein Fluidteilchen sei zur Zeit t im Punkt ~r, wo die Strömungsgeschwindigkeit ~v(t, ~r) beträgt,und um t+ dt im Punkt ~r + d~r, wo die Fluidgeschwindigkeit ~v(t+ dt, ~r + d~r) ≡~v(t, ~r) + d~v ist.

Unter der Annahme, dass ~v(t, ~r) differenzierbar ist, gilt zur niedrigsten Ordnung

d~v =∂~v(t, ~r)

∂tdt+

∂~v(t, ~r)

∂xdx1 +

∂~v(t, ~r)

∂ydx2 +

∂~v(t, ~r)

∂zdx3,

d.h.d~v =

∂~v(t, ~r)

∂tdt+ (d~r · ~∇)~v(t, ~r), (II.2)

wobei der Operator d~r · ~∇ = dx1∂

∂x1+ dx2

∂

∂x2+ dx3

∂

∂x3eingeführt wurde.

Gemäß der Definition der Strömungsgeschwindigkeit im Punkt ~r zur Zeit t bewegt sich dasFluidteilchen zwischen t und t+ dt — hier verwendet man die Lagrangesche Betrachtungsweise —d~r = ~v(t, ~r) dt. Dementsprechend stellt das aus Gl. (II.2) resultierende Verhältnis d~v/dt genaudie Beschleunigung ~a(t) des Fluidteilchens dar. In der Fluiddynamik wird dieser Quotient oft alsD~v(t, ~r)/Dt bezeichnet:

~a(t) =∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r) ≡ D~v(t, ~r)

Dt. (II.3)

• Die lokale Beschleunigung∂~v

∂tfolgt aus der Nichtstationarität des Geschwindigkeitsfelds.

• Der Term (~v · ~∇)~v kommt aus der Nichtgleichförmigkeit der Strömung, und wird konvektiveBeschleunigung (oder manchmal Transportbeschleunigung) genannt.

Der OperatorD

Dt≡ ∂

∂t+~v(t, ~r) · ~∇ (II.4)

spielt in der Fluiddynamik eine wesentliche Rolle, denn er drückt die Zeitableitung in der Lagrange-schen Betrachtungsweise durch die Felder der Eulerschen Beschreibung aus. D/Dt wird substantielleAbleitung oder auch konvektive Ableitung genannt, um darauf hinzudeuten, dass man der Bewegungeiner „Substanz“ (eines Fluidteilchens) folgt.

II.4 Lokale Verteilung der Geschwindigkeiten

Es sei~v(t, ~r) bzw.~v(t, ~r) + d~v die Fluidgeschwindigkeit im Punkt ~r bzw. ~r+ d~r zur selben Zeit t.

II.4.1 Wirbelvektor, Verzerrungstensor

Die Taylor-Entwicklung der Komponente i des Geschwindigkeitsfeldes zur ersten Ordnung lautet

dvi =3∑j=1

∂vi(t, ~r)

∂xjdxj ,



d.h.d~v =

~~M(t, ~r) · d~r,

wobei ~~M(t, ~r) den Tensor der Mij(t, ~r) ≡∂vi(t, ~r)

∂xjbezeichnet.5

Dieser Tensor kann als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Tensors zerlegtwerden:

~~M(t, ~r) =~~D(t, ~r) +

~~R(t, ~r),

mit den Komponenten

Dij(t, ~r) =1

2

[∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi

], Rij(t, ~r) =

1

2

[∂vi(t, ~r)

∂xj− ∂vj(t, ~r)

∂xi

]. (II.5)

Die drei Zahlen Ω1(t, ~r) ≡ −R23(t, ~r), Ω2(t, ~r) ≡ −R31(t, ~r) und Ω3(t, ~r) ≡ −R12(t, ~r) bilden dieKomponenten eines Vektors ~Ω(t, ~r), und zwar

~Ω(t, ~r) =1

2~∇×~v(t, ~r). (II.6)

~Ω(t, ~r) wird Wirbelvektor genannt. Mithilfe des Wirbelvektors kann der Zusammenhang zwischend~r und der Variation der Geschwindigkeitsfeld zwischen zwei benachbarten Punkten geschriebenwerden als

d~v =~~D(t, ~r) · d~r + ~Ω(t, ~r)× d~r. (II.7)

Die Bedeutung des zweiten Terms auf der rechten Seite ist klar: bei verschwindendem ~~D(t, r)kommt

~v(t, ~r + d~r) =~v(t, ~r) + ~Ω(t, ~r)× d~r,

d.h. genau die Beziehung für die Verteilung der Geschwindigkeiten eines starren Körpers mit demmomentanen Rotationsvektor ~Ω(t, ~r). Somit characterisiert der Tensor ~~D(t, r) die lokale Abweichungder Struktur der Strömungsgeschwindigkeit von derjenigen des Geschwindigkeitsfelds für einen star-ren Festkörper mit dem Rotationsvektor ~Ω(t, ~r). Deswegen wird ~~D(t, r) Verzerrungstensor (oderauch Dehnungs- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor) genannt.

Bemerkungen:∗ Man definiert noch die Wirbligkeit als ~ω(t, ~r) ≡ 2~Ω(t, ~r) = ~∇×~v(t, ~r).

∗ Der Wirbelvektor ~Ω(t, ~r) bzw. die Wirbligkeit ~ω(t, ~r) stellt ein divergenzloses [~∇ · (~∇×~v) = 0!](Pseudo-)Vektorfeld dar, dessen Feldlinien die sogenannten Wirbellinien sind. Die letzteren sindgegeben durch [vgl. Gl. (II.1b)]

dx1

Ω1(t, ~r)=

dx2

Ω2(t, ~r)=

dx3

Ω3(t, ~r). (II.8)

II.4.2 Bedeutung der Koeffizienten des Verzerrungstensors

Der Einfachheit halber wird in diesem Abschnitt ~Ω(t, ~r) = ~0 angenommen.

:::::::II.4.2 a

:::::::::::::::::::::Diagonalkoeffizenten

Es seien dx1, dx2 die Längen zur Zeit t der Seiten eines Elementarrechtecks im Fluid, wie inAbb. II.1 dargestellt wird. Zunächst wird Dij(t, ~r) = 0 für i 6= j angenommen.

5Dieser Tensor zweiter Stufe wird auch als ~∇~v(t, ~r) bezeichnet. Dann lauten die Tensoren ~~D(t, r) und ~~R(t, r) jeweils~~D(t, ~r) =

1

2

[~∇~v(t, ~r) +

(~∇~v(t, ~r)

)T],

~~R(t, ~r) =1

2

[~∇~v(t, ~r)−

(~∇~v(t, ~r)

)T],

mit(~∇~v(t, ~r)

)T dem transponierten Tensor von ~∇~v(t, ~r).



x1

x2

dx1

dx2

(a)

x1

x2

v1 dt (v1+dv1)dt

v2 dt

(v2+dv2)dt

δ(dx1)= dv1 dt

δ(dx2)= dv2 dt

(b)

Abbildung II.1: Zeitentwicklung eines Elementarrechtecks in der wirbelfreien Strömung eines Fluids.(a) zur Zeit t; (b) zur Zeit t+ dt, im Fall Dij = 0 für i 6= j.

Zur Zeit t + dt besetzt das Fluidelement ein anderes Rechteck, dessen Seitenlängen gewachsensind um

δ(dxi) = dvi dt =∂vi(t, ~r)

∂xidxi dt = Dii(t, ~r) dxi dt,

so dass die relative Dehnung der Seite i in der Zeit dt durch

δ(dxi)

dxi= Dii(t, ~r) dt (II.9)

gegeben ist. Der Diagonalkoeffizient Dii(t, ~r) stellt also die lokale Geschwindigkeit der linearenDehnung in der Richtung i dar.

::::::::II.4.2 b

::::::::::::::::::::Volumenänderungen

Das relative Wachstum in dt eines Elementarquaders mit dem Volumen dV = dx1 dx2 dx3 zurZeit t ist laut Gl. (II.9) gegeben durch

δ(dV)

dV=δ(dx1)

dx1+δ(dx2)

dx2+δ(dx3)

dx3=[D11(t, ~r) +D22(t, ~r) +D33(t, ~r)

]dt.

Die Spur von ~~D(t, r), die gerade gleich der Divergenz der Geschwindigkeit ist:

D11(t, ~r) +D22(t, ~r) +D33(t, ~r) =∂v1(t, ~r)

∂x1+∂v2(t, ~r)

∂x2+∂v3(t, ~r)

∂x3= ~∇ · ~v(t, ~r),

stellt also die lokale Geschwindigkeit der Volumendilatation des Fluids dar. Deswegen wird eineStrömung in einem Bereich als inkompressibel bezeichnet, wenn das Geschwindigkeitsfeld in diesemBereich divergenzlos ist:

inkompressible Strömung ⇔ ~∇ · ~v(t, ~r) = 0. (II.10)

:::::::II.4.2 c

:::::::::::::::Nichtdiagonale

:::::::::::::Koeffizenten

Jetzt wird angenommen, dass D12(t, ~r) der einzige nicht-verschwindende Koeffizient des Verzer-rungstensors ist. Unter dieser Annahme kann die Zeitentwicklung in dt des Elementarrechtecks derAbb. II.1(a) untersucht werden.

Mitdv1 =

∂v1(t, ~r)

∂x2dx2, dv2 =

∂v2(t, ~r)

∂x1dx1

zeigt Abb. II.2, dass ein zur Zeit t gerader Winkel den Wert π/2− δα zur Zeit t+ dt annimmt, mit

δα = δα1 + δα2, δα1 =dv2 dt

dx1=∂v2(t, ~r)

∂x1dt, δα2 =

dv1 dt

dx2=∂v1(t, ~r)

∂x2dt.



x1

x2

v1 dt

(v1+dv1) dt

v2 dt

(v2+dv2) dtδα1

δα2

Abbildung II.2: Verformung eines Elementarrechtecks in einer Strömung.

Damit stellt der nichtdiagonale Koeffizient

D12(t, ~r) =1

2

δα

dt(II.11)

die halbe lokale Geschwindigkeit der Winkelverformung um die Richtung x3 dar.

II.5 Klassifizierung der Strömungen

II.5.1 Geometrische Kriterien

Im allgemeinen Fall hängen die charakteristischen Eigenschaften einer Strömung von der Zeitsowie von den drei Raumkoordinaten ab.

In mehr oder weniger idealisierten Modellierungen ist es aber möglich, dass nur zwei Koordi-naten eine Rolle spielen: dann spricht man von einer zweidimensionalen Strömung. Beispielsweisekann die Strömung von Luft um einen Flugzeugflügel in erster Näherung als zweidimensional be-trachtet werden; dann werden in einem zweiten Schritt die Randeffekte bei den Enden des Flügelsberücksichtigt.

Für einige Strömungen, z.B. in Röhren, kann man annehmen, dass die Eigenschaften nur voneiner Koordinate abhängen: dabei handelt es sich um eindimensionale Strömungen. In dieser Nähe-rung werden tatsächlich die Größen durch ihren Mittelwert über den Querschnitt des Rohrs ersetzt.

Andererseits wird zwischen inneren und äußeren Strömungen unterschieden, je nachdem, ob dasFluid innerhalb fester Wände — z.B. in einer Röhre — oder um einen Körper — z.B. um einenFlugzeugflügel — strömt.

II.5.2 Physikalische Kriterien

Je nachdem, ob die Kompressibilität des Fluids berücksichtigt werden soll oder nicht, ist dieStrömung kompressibel (~∇ ·~v 6= 0) oder inkompressibel (~∇ ·~v = 0). Unter gewissen Bedingungenkann auch die Strömung eines eigentlich kompressiblen Fluids als inkompressibel betrachtet werden!

In der Praxis spielt die Kompressibilität nur eine Rolle in Bereichen, wo das Fluid „schnell“strömt, und zwar wo die Mach-Zahl (II.12) nicht sehr klein gegen 1 ist, d.h. (grob gesagt)Ma & 0.2.

Analog spricht man von viskosen bzw. nicht-viskosen Strömungen.

Andere thermodynamische Kriterien werden auch benutzt: isotherme Strömungen, isentropischeStrömungen, usw.



II.5.3 Kinematische Kriterien

In Abschnitt II.2 wurde schon der Unterschied zwischen gleichförmigen — die Eigenschaftender Strömung hängen nicht von dem Ort ab — und ungleichförmigen bzw. stationären — d.h.zeitunabhängigen — und nichtstationären Strömungen eingeführt.

Wenn der Wirbelvektor ~Ω(t, ~r) in jedem Punkt der Strömung null ist, dann wird diese alswirbelfreie Strömung (oder Potentialströmung, s. Abschn. IV.4) bezeichnet. Sonst spricht man voneiner Wirbelströmung .

Je nachdem, ob die Strömungsgeschwindigkeit kleiner oder größer als die (lokale) Schallgeschwin-digkeit cs ist, spricht man von Unterschall- oder Überschallströmung , entsprechend einer Mach-Zahl

Ma ≡ v

cs(II.12)

kleiner oder größer als 1.

Wenn das Fluid in Schichten strömt, die sich nicht vermischen, so dass die Stromlinien parallelzueinander bleiben, wird die Strömung laminar genannt. Im Gegenfall ist die Strömung turbulent .

Literatur

• Feynman [2, 3] Kapitel 39–1

• Guyon et al. [4] Kapitel 3.1, 3.2

• Faber [5] Kapitel 2.4.



III. Grundgleichungen der nicht-relativistischen Hydrodynamik

Wie in Kap. I schon diskutiert wurde, sind die Freiheitsgrade zur Charakterisierung einer Strömungin der Eulerschen Betrachtungsweise Felder . Im Allgemeinen sind fünf Felder nötig: die skalareMassen- bzw. Teilchendichte, die vektorielle Strömungsgeschwindigkeit, und eine skalare thermo-dynamische Größe, die mit den restlichen thermodynamischen Größen durch eine Zustandsgleichungzusammenhängt.

Um die Zeitentwicklungen dieser fünf Felder zu bestimmen, braucht man fünf Gleichungen, diedurch allgemeine Erhaltungssätze geliefert werden. Diese Sätze gelten aber für geschlossene Syste-me. Dahingegen stellt ein typischer Bereich in einem strömenden Fluids — abgegrenzt gemäß derEulerschen Betrachtungsweise durch eine feste virtuelle Oberfläche — meistens ein offenes Systemdar. Um solche offene Systeme systematisch zu behandeln, wird eine durch Reynolds entwickeltegeeignete Formulierung in Abschnitt III.1 dargelegt. Dann wird diese Formulierung zur Massener-haltung (Abschn. III.2), zum Grundgesetz der Dynamik (Abschn. III.3) und zur Energieerhaltung(Abschn. III.4) angewendet.

III.1 Reynolds’scher Transportsatz

In diesem Abschnitt wird eine Formel für die substantielle Ableitung einer extensiven Größeherleitet. Diese Ableitung stellt das geeignete Objekt dar, um die Zeitentwicklung eines sich bewe-genden Systems in der Eulerschen Darstellung zu beschreiben.

III.1.1 Geschlossenes System, offenes System

Sei eine beliebige abgeschlossene Oberfläche S, die im Bezugssystem fest bleibt. Eine solcheOberfläche bzw. das darin eingeschlossene Volumen V wird als „Kontrollfläche“ bzw. „Kontroll-volumen“ bezeichnet.

Das zu den sukzessiven Zeiten t in einer gleichen Kontrollfläche S enthaltene Fluid bildet wegendes Transports von Materie durch S ein offenes System. Sei Σ das geschlossene System bestehendaus dem Fluid, das zur Zeit t in V enthalten ist. Zur Zeit t+ dt besetzt Σ eine andere Position imBezugssystem. In Abb. III.1 kann man drei Gebiete im Raum unterscheiden:

1

2-

2+-Oberfläche vonΣ zur Zeit t

Oberfläche von Σ

zur Zeit t+ dt

Stromlinien

Abbildung III.1: Zeitentwicklung eines geschlossenen Systems in einer Strömung.

• (1), das gemeinsam zu den Positionen von Σ um t und t+ dt ist;

• (2−), das zwischen t und t+ dt durch Σ verlassen wurde;

• (2+), das zwischen t und t+ dt neu besetzt wird.

III. Grundgleichungen der nicht-relativistischen Hydrodynamik 14


III.1.2 Substantielle Ableitung einer extensiven Größe

Sei G(t) eine für das geschlossene System Σ charakteristische extensive Größe. Dieser Größe wirdin jedem Punkt ~r des Raums eine auf die Masseneinheit bezogene intensive Größe g(t, ~r) = d3G/d3Massoziiert. Befindet sich das System zur Zeit t im durch die feste Kontrollfläche S abgegrenztenVolumen V , so gilt

G(t) =

∫V

g(t, ~r) d3M =

∫V

g(t, ~r) ρ(t, ~r) d3V , (III.1)

mit ρ(t, ~r) =d3M

d3Vder Massendichte.

Beispielsweise wird der Impuls bzw. die kinetische Energie einer Masse d3M von Fluid mit derGeschwindigkeit ~v durch d3 ~P = ~v d3M bzw. d3K = v2 d3M/2 gegeben, so dass die entsprechendeintensive Größe d3 ~P/d3M =~v bzw. d3K/d3M = v2/2 ist.

Bemerkung: Diese Beispiele zeigen, dass die Größe G skalar, vektoriell, oder gar ein Tensor belie-biger Stufe sein kann.

Um die substantielle Ableitung DG(t)/Dt von G(t) zu berechnen, muss man die Variation dGfür Σ zwischen t und t + dt bestimmen. Mithilfe der in Abb. III.1 definierten Bereiche (1), (2−),(2+) ergibt sich

dG =(G1 + G2+

)t+dt−(G1 + G2−

)t

= dG1 + dG2,

wobei die Indizes sich auf die jeweiligen Bereiche beziehen, mit

dG1 =(G1

)t+dt−(G1

)t, dG2 =

(G2+

)t+dt−(G2−

)t.

• dG1 stellt die durch die Nichtstationarität der Strömung verursachte Änderung von G imGebiet (1) dar. Im Limes dt→ 0 stimmt der Bereich (1) mit dem Kontrollvolumen V überein:zur führenden Ordnung gilt also

dG1 =dG(t)

dtdt =

d

dt

[ ∫V

g(t, ~r) ρ(t, ~r) d3V]

dt =∂

∂t

[ ∫V

g(t, ~r) ρ(t, ~r) d3V]

dt, (III.2)

wobei die letzte Gleichung aus der Zeitunabhängigkeit des Kontrollvolumens folgt.

• dG2 entspricht zum einen dem aus S ausströmenden Fluid (Bereich 2+) und zum anderen derin S einströmenden Materie (Bereich 2−), d.h. algebraisch dem Fluss von G durch die nachaußen orientierte Oberfläche S.

:d2S

-~v

-|~v|dt

Die Menge an der Größe G , die durch ein Oberflächenelementd2S in der Zeit dt fließt, gleicht der Menge innerhalb einesElementarzylinders der Basis d2S und der Länge |~v| dt, d.h.d3G = gρ d3V , mit d3V = |d2 ~S ·~v|dt, wobei der Vektor d2 ~Snormal zum Oberflächenelement ist.

Der Fluss durch die Oberfläche S lautet also

dG2 =

∮S

d3G =

∮S

[g(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]· d2 ~S dt. (III.3)

Insgesamt geben Gl. (III.2)–(III.3) nach Division durch dt den Reynolds’schen Transportsatz :

DG(t)

Dt=

∂

∂t

[ ∫V

g(t, ~r) ρ(t, ~r) d3V]

+

∮S

[g(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]· d2 ~S. (III.4)

Das Interessante an diesem Satz ist folgendes. Die Gesetze der Dynamik gelten für geschlosseneSysteme Σ, und beruhen deshalb auf substantiellen Ableitungen DG/Dt. Der Transportsatz von



Reynolds drückt die letzteren durch Größen aus, die sich auf feste Bereiche im Raum beziehen, inwelchen die Materie ein offenes System bildet.

Der erste Term auf der rechten Seite von der Gl. (III.4) stellt eine lokale Ableitung ∂G/∂t dar,während der zweite Term konvektiver Natur ist, und dem Fluss von G entspricht.

Bemerkungen:∗ Im Reynolds’schen Transportsatz (III.4) bezieht sich die Strömungsgeschwindigkeit ~v(t, ~r) aufein Bezugssystem, in dem die Kontrollfläche S fest ist.

∗ In der obigen Herleitung wurden die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der intensiven Größe g(t, ~r)und des Geschwindigkeitsfeldes~v(t, ~r) stillschweigend angenommen. In einigen Strömungen könnenBereiche mit starken Gradienten auftreten, wo die Eigenschaften des Fluids sich über kurze Längenrasch ändern. Beispiele sind Stoßwellen in Überschallströmungen, oder die Grenzfläche zwischenzwei unmischbaren Fluiden.Solche Bereiche werden oft durch Oberflächen modelliert, an denen einige physikalischen Größenunstetig sein können. Dann müssen diese Unstetigkeiten in der Herleitung eines entsprechendenTransportsatzes berücksichtigt werden.

III.2 Massen- bzw. Teilchenzahlerhaltung: Kontinuitätsgleichung

Die Masse M bzw. die Teilchenzahl N eines geschlossenen nicht-relativistischen Systems sinderhalten in der Bewegung des Systems: DM/Dt = 0 bzw. DN/Dt = 0. Dieser Erhaltungssatzführt mit dem Reynolds’schen Transportsatz zu einer ersten Differentialgleichung für die für eineStrömung charakteristischen Felder.

III.2.1 Integrale Formulierungen

Der Reynolds’sche Transportsatz mit G = M , entsprechend g(t, ~r) = 1, lautet für eine beliebigeKontrollfläche S:

DM(t)

Dt=

∂

∂t

[ ∫Vρ(t, ~r) d3V

]+

∮S

[ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]· d2 ~S = 0, (III.5)

d.h. die Summe der Zeitableitung von der in V enthaltenen Masse und des Massenstroms durch Sverschwindet. Dabei ist ρ(t, ~r)~v(t, ~r) die Massenstromdichte.

Für G = N , d.h. g(t, ~r) = N/M , ergibt sich gleichfalls

DN(t)

Dt=

∂

∂t

[ ∫V

n(t, ~r) d3V]

+

∮S

[n(t, ~r)~v(t, ~r)

]· d2 ~S = 0, (III.6)

wobei ρ(t, ~r) =M

Nn(t, ~r) benutzt wurde. n(t, ~r)~v(t, ~r) ist die Teilchenstromdichte.

Gleichung (III.5) bzw. (III.6) stellt die integrale Formulierung der Massen- bzw. Teilchenzahl-erhaltung dar.

Bemerkung: Im Fall einer stationären Strömung zeigt Gl. (III.5), dass der Massenstrom durcheine beliebige Kontrollfläche S null ist, d.h. der in ein Kontrollvolumen einströmende Massenstrommuss dem aus dem Kontrollvolumen ausströmenden Massenstrom gleich sein.

III.2.2 Lokale Formulierungen

Das Kontrollvolumen V in Gl. (III.5) bzw. (III.6) ist fest, so dass die Zeitableitung in das Integraleingezogen werden kann. Außerdem kann das Oberflächenintegral mit dem Gaußschen Satz in einVolumenintegral umgewandelt werden, was führt zu∫

V

∂ρ(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]d3V = 0,



bzw. ∫V

∂n(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[n(t, ~r)~v(t, ~r)

]d3V = 0.

Da diese Integrale für ein beliebig kleines Volumen V gelten, lassen sich die folgenden entspre-chenden Kontinuitätsgleichungen herleiten:

∂ρ(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]= 0 (III.7)

bzw.∂n(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[n(t, ~r)~v(t, ~r)

]= 0. (III.8)

Gleichung (III.7) bzw. (III.8) stellt die erste der 5 nötigen (partiellen Differential-)Gleichungenzur Beschreibung der Zeitentwicklung einer Strömung dar.

Bemerkungen:∗ Die Form der Kontinuitätsgleichung (III.7) ist unabhängig davon, ob das strömende Fluid idealoder dissipativ ist.

∗ In einer stationären Strömung lautet Gl. (III.7) ~∇ ·[ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]= 0, d.h.

ρ(t, ~r) ~∇ · ~v(t, ~r) +~v(t, ~r) · ~∇ρ(t, ~r) = 0,

so dass ein homogenes Fluid [~∇ρ(t, ~r) = ~0] sich wie ein inkompressibles Fluid [~∇ ·~v(t, ~r) = 0, vgl.Gl. (II.10)] benimmt.

∗ Ähnlich der obigen Herleitung kann man den Reynolds’schen Satz (III.4) für eine skalare extensiveGröße G allgemein als

DG(t)

Dt=

∫V

∂g(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[g(t, ~r)~v(t, ~r)

]d3V

umschreiben. Wenn die Größe G in der Bewegung erhalten bleibt, DG/Dt = 0, dann führt dies zurlokalen Formulierung des Erhaltungssatzes

∂g(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[g(t, ~r)~v(t, ~r)

]= 0, (III.9)

wobei g(t, ~r)~v(t, ~r) die Stromdichte der Größe G ist. Gleichung (III.9) stellt die allgemeine lokaleForm eines Erhaltungssatzes dar.

III.3 Impulssatz: Euler-Gleichung, Navier–Stokes-Gleichung

Für ein geschlossenes System mit dem Gesamtimpuls ~P lautet das Grundgesetz der Dynamik

D~P (t)

Dt= ~F (t), (III.10)

mit ~F der Summe der äußeren Kräfte, die auf das System wirken. Hiernach wird zunächst das linkeGlied dieses Gesetzes mithilfe des Reynolds’schen Transportsatzes umgeschrieben (Abschn. III.3.1).Dann werden verschiedene Forme für die äußeren Kräfte betrachtet, entsprechend den Modellen desidealen Fluids (Abschn. III.3.2) und des Newtonschen Fluids (Abschn. III.3.3).

III.3.1 Substantielle Ableitung des Impulses

Nach dem Reynolds’schen Satz (III.4) lautet die linke Seite der Gl. (III.10):

D~P (t)

Dt=

∂

∂t

[ ∫V~v(t, ~r) ρ(t, ~r) d3V

]+

∮S~v(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r) · d2 ~S. (III.11)



Das Kontrollvolumen V ist fest im Bezugssystem, so dass die Zeitableitung des ersten Terms indas Integral eingezogen werden kann; dann ist die Zeitableitung des Produkts ρ(t, ~r)~v(t, ~r) durchdie übliche Formel gegeben. Außerdem kann man zeigen, dass der zweite Term der rechten Seite inGl. (III.11) als∮

S~v(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r) · d2 ~S =

∫V

dV−~v(t, ~r)

∂ρ(t, ~r)

∂t+ ρ(t, ~r)

[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

(III.12)

umgeschrieben werden kann. Insgesamt gilt also

D~P (t)

Dt=

∫Vρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

d3V =

∫Vρ(t, ~r)

D~v(t, ~r)

Dtd3V . (III.13)

Beweis von Gl. (III.12): es sei ~J(t) ≡∮S~v(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r) ·d2 ~S. Für die Komponente i gibt der

Divergenzsatz

Ji(t) =

∮S

[vi(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]· d2 ~S =

∫V

~∇ ·[vi(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]d3V .

Der Nabla-Operator gibt vi(t, ~r) ~∇·[ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]+ρ(t, ~r)~v(t, ~r) · ~∇vi(t, ~r), worin die Divergenz

im ersten Term mithilfe der Kontinuitätsgleichung (III.7) durch minus der Zeitableitung derMassendichte ersetzt werden kann:

~∇ ·[vi(t, ~r) ρ(t, ~r)~v(t, ~r)

]= −vi(t, ~r)

∂ρ(t, ~r)

∂t+ ρ(t, ~r)

[~v(t, ~r) · ~∇

]vi(t, ~r).

Diese Gleichung gilt für die drei Komponenten von ~J , was zu Gl. (III.12) führt.

Bemerkung: Die Herleitung der Gl. (III.13) ist rein kinematisch, und beruht deshalb nicht auf denEigenschaften des Fluids oder der Strömung. Insbesondere spielt es keine Rolle, ob das Fluid idealoder viskos ist.

III.3.2 Ideales Fluid: Euler-Gleichung

In diesem Paragraph werden zunächst die äußeren Kräfte auf ein Fluidelement im Modell desidealen Fluids betrachtet. Daraus wird eine lokale Formulierung des Impulssatzes abgeleitet

::::::::III.3.2 a

::::::::Äußere

:::::::Kräfte

::in

:::::::einem

:::::::idealen

::::::Fluid

Die auf der rechten Seite der Gl. (III.10) auftretenden äußeren Kräfte bestehen aus Volumen-und Oberflächenkräfte:

~F (t) =

∫V

~fV (t, ~r) d3V +

∮S~τs(t, ~r) d2S, (III.14)

mit ~fV der Kraftdichte und ~τs der in Gl. (I.3) eingeführten mechanischen Spannung. Für ein idealesFluid ist die letztere definitionsgemäß in jedem Punkt normal zum Oberflächenelement, auf welchesdie Oberflächenkraft wirkt, auch wenn das Fluid strömt. Somit gilt

~τs(t, ~r) = −P (t, ~r)~en(~r), (III.15)

mit P (t, ~r) dem Druck und ~en(~r) dem auswärts gerichteten normalen Einheitsvektor zur Oberflächeim Punkt ~r. Dementsprechend lautet der Spannungstensor

~~σ(t, ~r) = −P (t, ~r)~~1, (III.16)

bzw. σij(t, ~r) = −P (t, ~r) δij , wie in einem ruhenden Fluid.Der Beitrag der Oberflächenkräfte in Gl. (III.14) läßt sich dann mithilfe des Divergenzsatzes

berechnen:∮S~τs(t, ~r) d2S = −

∮S

P (t, ~r)~en(~r) d2S = −∮S

P (t, ~r) d2 ~S = −∫

V

~∇P (t, ~r) d3V . (III.17)



Bemerkung: In Gl. (III.16) wurde stillschweigend angenommen, dass die mikroskopischen Eigen-schaften des Fluids in jedem Punkt isotrop sind, d.h. keine bevorzugte Richtung aufweisen. ImRest dieser Vorlesung wird diese Annahme immer gemacht. Für einige Fluide, insbesondere fürFlüssigkristalle in unterschiedlichen Phasen, kann diese Annahme nicht gerechtfertigt sein.

:::::::::III.3.2 b

::::::::::::::::Euler-Gleichung

Insgesamt geben die Gl. (III.10), (III.13), (III.14) und (III.17) den Impulssatz∫Vρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

d3V =

∫V

[−~∇P (t, ~r) + ~fV (t, ~r)

]d3V .

Diese Gleichung muss für ein beliebig kleines Volumen V gelten, was zur Identität der Integrandenauf den beiden Seiten führt, d.h. zur Euler-Gleichung

ρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

= −~∇P (t, ~r) + ~fV (t, ~r). (III.18)

Bemerkungen:

∗ Der Term in geschweiften Klammern auf der linken Seite der Euler-Gleichung ist genau dieBeschleunigung (II.3), wie im zweiten Newtonschen Gesetz.

∗ Wegen des konvektiven Terms (~v ·~∇)~v ist die Euler-Gleichung eine nichtlineare partielle Differen-tialgleichung, die dreien Gleichungen zwischen Strömungsgeschwindigkeit, Massendichte und Druckentspricht.

∗ Neben dem Grundgesetz der Dynamik (III.10) gilt auch der Drehimpulssatz . In Abwesenheitvon „Volumendrehmomenten“ führt die Drehimpulserhaltung zur Symmetrie des Spannungstensors~~σ = ~~σT, d.h.

σij = σji, ∀i, j = 1, 2, 3. (III.19)

Diese Bedingung wird im Spannungstensor (III.16) automatisch erfüllt, und wird hiernach im Aus-druck (III.28a) des Spannungstensors in einem Newtonschen Fluid ebenfalls berücksichtigt.

::::::::III.3.2 c

::::::::::::::::::Randbedingungen

Um das mathematische Problem völlig zu formulieren, muss man auch Randbedingungen festle-gen. Diese werden durch die Geometrie des Problems bestimmt.

• Weit von einem Hindernis wird der Strömungsgeschwindigkeit eine gegebene Struktur zuge-ordnet, wie beispielsweise eine gleichförmige Strömung (vgl. die Strömung weit vom Zylinderin Abb. IV.3 zum Magnus-Effekt).

• Bei einem Hindernis bzw. bei Wänden muss die normale Komponente der (relativen, falls dasHindernis sich bewegt) Strömungsgeschwindigkeit verschwinden — d.h. das Fluid kann nichtin das Hindernis bzw. in die Wände einströmen!

Für die tangentielle Komponente gibt es im Gegenteil im Modell des idealen Fluids keinephysikalisch bedingte Randbedingung. Dies entspricht der Reibungslosigkeit des „trockenen“idealen Fluids.

:::::::::III.3.2 d

:::::::::::Alternative

::::::::Formen

::::der


Die Volumenkräfte sind oft proportional zur Masse, z.B. die Schwerkraft oder die Coriolis- oderZentrifugalkraft, was zur Einführung einer Kraftdichte pro Masseneinheit führt:

~g(t, ~r) ≡ d3 ~FV (t)

d3M=

~fV (t, ~r)

ρ(t, ~r).



Dann kann die Euler-Gleichung (III.18) umgeschrieben werden als

D~v(t, ~r)

Dt= − 1

ρ(t, ~r)~∇P (t, ~r) + ~g(t, ~r). (III.20)

Eine andere Formulierung der Euler-Gleichung ergibt sich unter Verwendung der Identität (derKürze halber wird die Zeit- und Ortsabhängigkeit des Geschwindigkeitsfeldes nicht geschrieben)

~v ×(~∇×~v

)= ~∇

(~v2

2

)−(~v · ~∇

)~v,

die sich entweder aus der üblichen Formel für das doppelte Kreuzprodukt oder komponentenweiseeinfach beweisen läßt. Dann gibt Gl. (III.20)

∂~v(t, ~r)

∂t+ ~∇

[~v(t, ~r)2

2

]− 2~v(t, ~r)× ~Ω(t, ~r) = − 1

ρ(t, ~r)~∇P (t, ~r) + ~g(t, ~r), (III.21)

wobei der Wirbelvektor (II.6) benutzt wurde. Man erkennt im zweiten Term auf der linken Seitedie kinetische Energie pro Masseneinheit d3K/d3M .

Später wird gezeigt (Abschn. VI.1.4 b), dass die Entropie eines strömenden idealen Fluids er-halten ist, was zur Erhaltung der Entropie pro Teilchen führt. Aus der Letzteren folgt dann (s.Abschn. IV.1.3) die Identität

d

[w(t, ~r)

ρ(t, ~r)

]=

1

ρ(t, ~r)dP (t, ~r),

mit w der Enthalpiedichte des Fluids. Deshalb kann der Druckterm auf der rechten Seite derGl. (III.21) durch den Gradienten des Verhältnisses w/ρ ersetzt werden:

∂~v(t, ~r)

∂t+ ~∇

[~v(t, ~r)2

2

]− 2~v(t, ~r)× ~Ω(t, ~r) = −~∇

[w(t, ~r)

ρ(t, ~r)

]+ ~g(t, ~r). (III.22)

::::::::III.3.2 e

::::Die


::::als

:::::::::::::::Bilanzgleichung

Die Euler-Gleichung kann als eine Bilanzgleichung für die Impulsdichte umgeschrieben werden,ähnlich der allgemeinen Form (III.9), mit einem rechten Glied entsprechend einer „Impulsquelle“.

Definitionen: Der Komponente i des Impulses werden

• die Impulsdichte ρ(t, ~r) vi(t, ~r) und (III.23a)

• die Impulsstromdichte (in die Richtung j) πij(t, ~r) ≡ P (t, ~r) δij + ρ(t, ~r) vi(t, ~r) vj(t, ~r) (III.23b)

zugeordnet. Dabei stellt der erste Term in πij den Transport in die Richtung j von Impuls durchdie thermische Bewegung der Moleküle des Fluids dar, während der zweite Term dem konvektivenTransport durch die makroskopische Strömung entspricht.

Die Euler-Gleichung (III.18) ist äquivalent zu den Bilanzgleichungen (i = 1, 2, 3)

∂

∂t

[ρ(t, ~r) vi(t, ~r)

]+

3∑j=1

∂πij(t, ~r)

∂xj= ~fV (t, ~r). (III.24)

Beweis: Der Kürze halber wird die (t, ~r)-Abhängigkeit nicht geschrieben. Dann kommt

∂(ρvi)

∂t+

3∑j=1

∂πij∂xj

=∂ρ

∂tvi + ρ

∂vi∂t

+∂P∂xi

+

3∑j=1

vi∂(ρvj)

∂xj+

3∑j=1

ρvj∂vi∂xj

= vi

[∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~v)

]+ ρ

[∂vi∂t

+ (~v · ~∇)vi

]+∂P∂xi

.

Der erste Term in eckigen Klammern verschwindet dank der Kontinuitätsgleichung (III.7), wäh-rend der zweite Term gerade die Komponente i der linken Seite der Euler-Gleichung (III.18)darstellt, d.h. gleich ~fV minus dem dritten Term ist.



Bemerkungen:∗ Da die thermische Bewegung eine „ungerichtete“ Bewegung ist, trägt sie nicht zur Impulsdichteρ(t, ~r)~v(t, ~r) bei, sondern nur zur Impulsstromdichte.

∗ In tensorieller Schreibweise lautet die Impulsstromdichte (III.23b)~~π(t, ~r) = P (t, ~r)~~1+ ρ(t, ~r)~v(t, ~r)⊗~v(t, ~r) = ρ(t, ~r)~v(t, ~r)⊗~v(t, ~r)−~~σ(t, ~r), (III.25)

mit ~~σ(t, ~r) dem Spannungstensor (III.16).

III.3.3 Nicht-ideales Fluid: Navier–Stokes-Gleichung

In einem bewegten realen Fluid gibt es Reibungskräfte, die zum Transport von Impuls zwischenbenachbarten Fluidschichten beitragen, wenn diese Schichten unterschiedliche Geschwindigkeitenhaben. Dementsprechend ist die Impulsstromdichte nicht mehr durch Gl. (III.23b) oder Gl. (III.25)gegeben, sondern enthält zusätzliche Terme. Somit soll die Euler-Gleichung ersetzt werden.

::::::::III.3.3 a

:::::::::::::::::::Impulsstromdichte

:::::eines

:::::::::::::Newtonschen

:::::::Fluids

Die Impulsstromdichte (III.23b) des idealen Fluids — mit einem Term proportional zu δij undeinem anderen proportional zu vi(t, ~r) vj(t, ~r) — stellt die allgemeinste mögliche Form eines sym-metrischen isotropen Tensors zweiter Stufe dar, der mit der Strömungsgeschwindigkeit konstruiertwerden kann. Erlaubt man noch Terme, die von den räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeits-feldes abhängen, so kann die Impulsstromdichte der folgenden Form sein (der Kurze halber sind diet und ~r Variablen nicht geschrieben)

πij = P δij + ρvi vj − η(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ ·~v

)− ζδij~∇ ·~v − ζ ′

(∂vj∂xi− ∂vi∂xj

)+O

(∂2 vi

∂xj ∂xk,

(∂vi∂xj

)2)

+ · · · , (III.26)

wobei η, ζ und ζ ′ Eigenschaften des Fluids sind. Dabei stellt der ζ ′-Term einen antisymmetrischenBeitrag zu πij dar, der verschwindet, wenn kein äußeres Volumendrehmoment auf das Fluid wirkt,entsprechend der Erhaltung des Drehimpulses.

Gemäß der Diskussion in Abschn. I.1 beruht die Beschreibung eines Fluids als ein kontinuierlichesMedium im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht auf der Annahme, dass die für das Mediumcharakteristische makroskopischen Größen nur langsam im Raum variieren. Dementsprechend sollenGradienten klein sein: der dritte und der vierte Term in Gl. (III.26) sollen einerseits viel kleinerals die zwei ersten, andererseits viel größer als die Terme mit zwei oder mehr Ableitungen sein.Vernachlässigt man die Letzteren, so erhält man die „dissipative Fluiddynamik erster Ordnung“, diedefinitionsgemäß die Strömung von Newtonschen Fluiden beschreibt, mit der Impulsstromdichte

πij(t, ~r) = P (t, ~r) δij + ρ(t, ~r)vi(t, ~r)vj(t, ~r)

− η(t, ~r)

[∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi− 2

3δij~∇ ·~v(t, ~r)

]− ζ(t, ~r)δij~∇ ·~v(t, ~r),

(III.27a)

oder, in tensorieller Schreibweise

~~π(t, ~r) = P (t, ~r)~~1+ ρ(t, ~r)~v(t, ~r)⊗~v(t, ~r)− 2η(t, ~r)

[~~D(t, ~r)− 1

3

[~∇ ·~v(t, ~r)

]~~1]− ζ(t, ~r)[~∇ ·~v(t, ~r)

]~~1,(III.27b)

mit ~~D(t, ~r) dem Verzerrungstensor [Gl. (II.5)].Dabei treten zwei neue Transportkoeffizienten auf:

• die (dynamische) Scherviskosität η, multipliziert mit einem spurlosen symmetrischen Tensor;



• die Dehnviskosität (auch Volumenviskosität oder zweite Viskosität genannt) ζ, multipliziertmit einem Tensor proportional zur Identität.

Die zugehörigen Terme in der zweiten Zeile von Gl. (III.27a) stellen einen diffusiven Transport vomImpuls dar.

Bemerkungen:∗ Im Fall eines Newtonschen Fluids sind die Viskositätskoeffizienten η und ζ unabhängig von derStrömungsgeschwindigkeit; dennoch hängen sie von der Temperatur und dem Druck ab, so dass sienicht unbedingt konstant im strömenden Fluid sind.

∗ In einer inkompressiblen Strömung, ~∇ ·~v(t, ~r) = 0, verschwindet der letzte Beitrag zur Impuls-stromdichte (III.27). Somit spielt die Dehnviskosität ζ nur für kompressible Strömungen eine Rolle,wie deren Bezeichnung suggeriert.5

∗ Der Ausdruck (III.27) der Impulsstromdichte setzt implizit die Isotropie des Fluids voraus, dadie Koeffizienten η, ζ unabhängig von den Richtungen i, j sind.

:::::::::III.3.3 b

:::::::::::::::::Oberflächenkräfte

:::in

::::::einem

:::::::::::::Newtonschen

::::::Fluid

Die Impulsstromdichte (III.27b) für ein nicht-ideales Newtonsches Fluid liefert den Spannungs-tensor [vgl. (III.25)]

~~σ(t, ~r) = ρ(t, ~r)~v(t, ~r)⊗~v(t, ~r)−~~π(t, ~r)

= −P (t, ~r)~~1+ 2η(t, ~r)

[~~D(t, ~r)− 1

3

[~∇ ·~v(t, ~r)

]~~1]+ ζ(t, ~r)[~∇ ·~v(t, ~r)

]~~1, (III.28a)

oder komponentenweise

σij(t, ~r) =

−P (t, ~r) +

[ζ(t, ~r)− 2

3η(t, ~r)

]~∇ ·~v(t, ~r)

δij + η(t, ~r)

[∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi

]. (III.28b)

Dementsprechend lautet die mechanische Spannung auf ein ruhendes infinitesimal kleines Flächen-element, das senkrecht auf den Einheitsvektor ~en(~r) in einem Punkt ~r liegt

~τs(t, ~r) = ~~σ(t, ~r) ·~en(~r) =3∑

i,j=1

[−P (t, ~r) +

(ζ(t, ~r)− 2

3η(t, ~r)

)~∇ ·~v(t, ~r)

]δij

+ η(t, ~r)

(∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi

)nj(~r)~ei, (III.29)

mit nj(~r) ≡ ~en(~r) ·~ej der Komponente von ~en(~r) in Richtung j. Dabei erkennt man zwei Teile:

• der Term proportional zu∑δijnj~ei = ~en ist die Normalspannung auf das Flächenelement,

die aus dem üblichen Druckterm −P ~en und einem Term proportional zu ~∇ ·~v besteht: in derkompressiblen Strömung eines viskosen Fluids ist die Normalspannung also nicht durch −P ~engegeben, sondern enthält einen zusätzlichen Term, der für ein ruhendes Fluid verschwindet.Deshalb wird P oft hydrostatischer Druck genannt.

• der Restterm ist die Tangentialspannung , die proportional zur Scherviskosität η ist. Daher lie-fert die Messung der Tangentialkraft auf ein Oberflächenelement den Wert der Scherviskosität,s. Abschnitt V.1.2.

Der Spannungstensor (III.28a) lautet noch ~~σ(t, ~r) = −P (t, ~r)~~1+~~τ(t, ~r), wobei

~~τ(t, ~r) ≡ 2η(t, ~r)~~D(t, ~r) +

[ζ(t, ~r)− 2

3η(t, ~r)

]~∇ ·~v(t, ~r)~~1 (III.30)

als viskoser Spannungstensor bezeichnet wird.5Infolgedessen ist die Dehnviskosität oft schwierig zu messen, und daher für viele Substanzen nicht gut bekannt [7].



Ähnlich wie in Abschn. III.3.2 a können jetzt die äußeren Oberflächenkräfte auf ein durch dieOberfläche S abgegrenztes Fluidelement berechnet werden. Somit liefert der Stokes’sche Integralsatz∮S~τs(t, ~r) d2S = −

∮S

P (t, ~r)~en(~r) d2S +

∮S~~τ(t, ~r) ·~en(~r) d2S = −

∫V

~∇P (t, ~r) d3V +

∫V

~∇ ·~~τ(t, ~r) d3V

= −∫

V

~∇P (t, ~r) d3V +

∫V

~fViskosität(t, ~r) d3V , (III.31a)

mit der lokalen Reibungskraft

~fViskosität(t, ~r) =3∑

i,j=1

∂

∂xi

η(t, ~r)

[∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi

]~ej + ~∇

[ζ(t, ~r)− 2

3η(t, ~r)

]~∇ ·~v(t, ~r)

.

(III.31b)

::::::::III.3.3 c

:::::::::::::::::::::::::Navier–Stokes-Gleichung

Kombiniert man die oben hergeleitete viskose Kraft (III.31b) kann mit Gl. (III.10), (III.13) und(III.14), so gibt der Impulssatz für ein Volumen V von Fluid eine Identität zwischen Summen vonVolumenintegralen. Da diese Gleichung für beliebiges V gelten soll, gilt die entsprechende Identitätder Integranden

ρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

= −~∇P (t, ~r) + ~fViskosität(t, ~r) + ~fV (t, ~r) (III.32a)

oder Komponentenweise

ρ(t, ~r)

∂vi(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]vi(t, ~r)

=− ∂P (t, ~r)

∂xi+

∂

∂xi

[ζ(t, ~r)− 2

3η(t, ~r)

]~∇ ·~v(t, ~r)

+

3∑j=1

∂

∂xj

η(t, ~r)

[∂vi(t, ~r)

∂xj+∂vj(t, ~r)

∂xi

]+[~fV (t, ~r)

]i

(III.32b)

für i = 1, 2, 3.Sind die (impliziten) Zeit- und Ortsabhängigkeit der Viskositätskoeffizienten venachlässigbar, so

können η und ζ aus den Ableitungen herausgezogen werden. Damit ergibt sich die (kompressible)Navier–Stokes-Gleichung

ρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r)

= −~∇P (t, ~r) + η4~v(t, ~r) +

(ζ +

η

3

)~∇[~∇ ·~v(t, ~r)

]+ ~fV (t, ~r).

(III.33)Es handelt sich dabei um eine nicht-lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, währenddie Euler-Gleichung (III.18) erster Ordnung ist.

Im Fall einer inkompressiblen Strömung vereinfacht sich Gl. (III.33) zur inkompressiblen Navier–Stokes-Gleichung

∂~v(t, ~r)

∂t+[~v(t, ~r) · ~∇

]~v(t, ~r) = −1

ρ~∇P (t, ~r) + ν4~v(t, ~r), (III.34)

mit ν ≡ η/ρ der kinematischen Scherviskosität .6

Bemerkung: Nimmt man als Anfangspunkt einen Spannungstensor mit Termen zweiter Ordnung inden Raumableitungen, entsprechend dem Term der zweiten Zeile in der Impulsstromdichte (III.26),anstatt des Spannungstensors (III.28), so erhält man statt der Navier–Stokes-Gleichung eine parti-elle Differentialgleichung höherer Ordnung, die Burnett-Gleichung [8]. Der Gültigkeitsbereich jener

6Während die Dimension der dynamischen Viskosität ML−1T−1 ist — entsprechend im SI-Einheitensystem demPoiseuille (Pa·s) —, ist die Dimension der kinematischen Viskosität L2T−1, die also nur von Ort und Zeit abhängt,woraus die Bezeichnung folgt.



„dissipativen Fluiddynamik zweiter Ordnung“ ist zwar theoretisch größer, da sie prinzipiell stärkereGradienten berücksichtigen kann, doch die numerische Implementierung kann ziemlich involviertsein, so dass eine rein makroskopische Beschreibung nicht unbedingt den besten Ansatz darstellt.

:::::::::III.3.3 d

::::::::::::::::::Randbedingungen

An der Grenzoberfläche zwischen einem viskosen Fluid und einem anderen Körper — sei esein Hindernis in der Strömung, eine Wand des Behälters, in dem das Fluid strömt, oder gar einanderes viskoses Fluid, das mit dem ersten nicht mischbar ist — muss die Relativgeschwindigkeitdes Fluids bezüglich des Körpers verschwinden. Dies gilt sowohl für die Normal- als auch für dieTangentialkomponente der Relativgeschwindigkeit, nicht nur für die Normalkomponente wie im Falleines idealen Fluids.

III.4 Energieerhaltung und Entropiebilanz

Als fünfte Gleichung, um ein geschlossenes System von Gleichungen für die gekoppelten Entwick-lungen von ρ(t, ~r),~v(t, ~r) und P (t, ~r) zu erhalten, gibt es in der nicht-relativistischen Fluiddynamikverschiedene Möglichkeiten.

Eine erste mögliche Gleichung ist eine Beziehung zwischen Druck und Massen- bzw. Teilchendich-te im Fluid, d.h. eine sogennante „adiabatische Zustandsgleichung“, die zusammen mit der „ther-mischen“ Zustandsgleichung P = f(e, ρ) eine zweite Relation zwischen den thermodynamischenGrößen bildet, wobei e die inneren Energiedichte bezeichnet.Beispielsweise gilt für die adiabatischen Zustandsänderungen eines idealen Gases neben der thermi-schen Zustandsgleichung PV = NkBT auch die Beziehung PV γ = Konstante, mit γ dem Verhältnisder Wärmekapazitäten bei konstantem Druck (CP ) und konstantem Volumen (CV ) des Gases.

Eine zweite Möglichkeit ist, die aus der Energieerhaltung resultierende Gleichung zu benutzen.Dabei setzt die Energiebilanz die Zeitableitung der Gesamtenergie — bestehend aus innerer undkinetischer Energie — in einem Volumen mit minus dem Energiefluss durch die Oberfläche, die dasVolumen abgrenzt, gleich.

III.4.1 Energiebilanz in idealen Fluiden

In idealen Fluiden trägt nur konvektiver Energietransport zum Energiefluss bei, d.h. der Trans-port einer bewegten Fluidmasse durch die Oberfläche. Dies führt zu7

∂

∂t

[1

2ρ(t, ~r)~v(t, ~r)2 + e(t, ~r)

]+ ~∇ ·

[1

2ρ(t, ~r)~v(t, ~r)2 + e(t, ~r) + P (t, ~r)

]~v(t, ~r)

= 0, (III.35)

mit e der inneren Energiedichte; e+ P im zweiten Term ist die Enthalpiedichte w.

Bemerkung: Diese lokale Form der Energieerhaltung ist deutlich der allgemeinen Form (III.9),wobei die thermische Bewegung zur Energiestromdichte, nicht aber zur Energiedichte, durch denDruck beiträgt, ähnlich wie bei der Impulsbilanz.

Man kann zeigen — dies wird in Abschn. VI.1.4 b über relativistische Fluiddynamik sowie alsbesonderer Fall in Abschn. III.4.3 bewiesen —, dass in einem idealen, nicht-dissipativen Fluid, dielokale Energiebilanz (III.35) zur lokalen Erhaltung der Entropie führt, die sich als

∂s(t, ~r)

∂t+ ~∇ ·

[s(t, ~r)~v(t, ~r)

]= 0, (III.36)

ausdrücken lässt, mit s(t, ~r) der Entropiedichte und s(t, ~r)~v(t, ~r) der Entropiestromdichte. In diesemFall ist die Strömung isentropisch. Als letzte Gleichung zur Beschreibung der Strömung eines idealenFluids ist diese Gleichung manchmal günstiger zu verwenden, als die Energiebilanz (III.35).

7Diese Gleichung wird später in Abschn. VI.2 über den nichtrelativistischen Limes von relativistischer Fluiddyna-mik hergeleitet.



III.4.2 Energiebilanz in Newtonschen Fluiden

In einem realen Fluid kann Energie nicht nur konvektiv transportiert werden, sondern es gibtweitere Transportarten:

• Die Viskosität des Fluids, die zum Impulstransport beiträgt, führt auch zu einem diffusivenTransport von Energie zwischen Fluidschichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Dieswird durch einen Beitrag−

∑j τij vj zum Strom in Richtung i der Energiedichte berücksichtigt,

mit τij dem viskosen Spannungstensor (III.30).

• In realen Fluiden wird auch Energie aus Bereichen mit höherer Temperatur nach denen mitniedrigerer Temperatur transportiert, entsprechend Wärmeleitung . Die Letztere lässt sichdurch einen Wärmestromvektor ~Q(t, ~r) = −κ(t, ~r)~∇T (t, ~r) (laut der lokalen Formulierungvom Fourier-Gesetz 8) beschreiben, der zur Energiestromdichte beiträgt, mit κ der Wärme-leitfähigkeit des Fluids.

Unter Berücksichtigung dieser weiteren Beiträge lautet die lokale Formulierung der Energieerhaltungin einem Newtonschen Fluid in Abwesenheit äußerer Volumenkräfte

∂

∂t

[1

2ρ(t, ~r)~v(t, ~r)2 + e(t, ~r)

]+ ~∇ ·

[1

2ρ(t, ~r)~v(t, ~r)2 + e(t, ~r) + P (t, ~r)

]~v(t, ~r)

− η(t, ~r)

[(~v(t, ~r) · ~∇

)~v(t, ~r) + ~∇

(~v(t, ~r)2

2

)]−[ζ(t, ~r)− 2η(t, ~r)

3

][~∇ · ~v(t, ~r)

]~v(t, ~r)− κ(t, ~r)~∇T (t, ~r)

= 0.

(III.37)

Sind die drei Transportkoeffizienten η, ζ und κ Null, so vereinfacht sich diese Energiebilanz zuGl. (III.35)

III.4.3 Entropiebilanz in Newtonschen Fluiden

In einem realen Fluid mit nicht-verschwindenden Viskosität und Wärmeleitfähigkeit kann manerwarten, dass die Umwandlung mechanischer Energie in Wärme zu einer Zunahme der Entropieführt, vorausgesetzt, dass das Fluid ein geschlossenes System bildet.

Sei ein durch die Oberfläche S abgegrenztes Volumen V von strömendem Fluid mit den Rand-bedingungen~v(t, ~r) ·~en(~r) = 0 und ~Q(t, ~r) ·~en(~r) = 0 in jedem Punkt ~r der Oberfläche, wobei ~en(~r)den Normaleinheitsvektor zu S in ~r bezeichnet. Diese Randbedingungen bedeuten, dass keine Ma-terie bzw. keine Wärme durch die Oberfläche S strömt, d.h. das System innerhalb S ist geschlossenund isoliert.

Der Kürze halber werden die Variablen t, ~r in der folgenden Herleitung nicht geschrieben.

In den zwei ersten Zeilen der Gl. (III.37) können die Termen∂

∂t

(1

2ρ~v2

)+~∇·

[(1

2ρ~v2

)~v

]durch

ρ~v · ∂~v

∂t+

1

2

∂ρ

∂t~v2 +

1

2

[~∇ ·(ρ~v)]~v2 +

3∑i=1

ρvi(~v · ~∇

)vi =

3∑i=1

ρvi

[∂vi∂t

+(~v · ~∇

)vi

](III.38a)

ersetzt werden, wobei die Kontinuitätsgleichung (III.7) benutzt wurde.Die thermodynamische Beziehung U = TS − PV + µN gibt einerseits e+ P = Ts+ µn , woraus

~∇ ·[(e+ P )~v

]= T~∇ ·

(s~v)

+ µ~∇ ·(n~v)

+~v ·(s~∇T + n~∇µ

)= T~∇ ·

(s~v)

+ µ~∇ ·(n~v)

+~v · ~∇P (III.38b)

8Vgl. z.B. Kapitel 4.12 in [9] oder Kapitel 1.2.1 in [4].



folgt, wobei in der zweiten Zeile die Gibbs–Duhem-Relation dP = s dT + n dµ benutzt wurde, undführt andererseits zu

de = T ds+ µdn .

Die letztere Gleichung folgt aus

de = d

(U

V

)=

1

VdU − U

V 2dV

=T

VdS − P

VdV +

µ

VdN − TS

V 2dV +

PV

dV − µN

V 2dV = T d

(S

V

)+ µd

(N

V

),

wobei die Relation dU = T dS − P dV + µdN benutzt wurde.

Mithilfe der Kontinuitätsgleichung für die Teilchenzahl ergibt sich dann

∂e

∂t= T

∂s

∂t+ µ

∂n∂t

= T∂s

∂t− µ~∇ ·

(n~v). (III.38c)

Unter Nutzung der Gl. (III.38a)–(III.38c) lässt sich die Energiebilanz (III.37) umschreiben als3∑i=1

ρvi

[∂vi∂t

+(~v · ~∇

)vi

]+ T

∂s

∂t+ T~∇ ·

(s~v)

+~v · ~∇P =

3∑i,j=1

∂

∂xj

[η

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ ·~v

)vi

]+

3∑i=1

∂

∂xi

[ζ(~∇ ·~v

)vi]

+ ~∇ ·(κ~∇T

). (III.38d)

Die Multiplikation der Komponente i der Gleichung (III.32b) mit vi gibt

ρvi

[∂vi∂t

+(~v · ~∇

)vi

]+ vi

∂P∂xi

=3∑j=1

vi∂

∂xj

[η

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ · ~v

)]+ vi

∂

∂xi

(ζ~∇ · ~v

).

Zieht man diese Gleichung summiert über i = 1, 2, 3 von Gl. (III.38d) ab, so ergibt sich

T∂s

∂t+ T~∇ ·

(s~v)

= η3∑

i,j=1

∂vj∂xi

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ · ~v

)+ ζ(~∇ ·~v

)2+ ~∇ ·

(κ~∇T

). (III.39)

Im rechten Glied dieser Gleichung kann man zunächst die Identität

1

2

3∑i,j=1

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ · ~v

)2

=3∑

i,j=1

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ · ~v

)∂vj∂xi

(III.40a)

einsetzen, da in dem Ausmultiplizieren des Quadrats die symmetrischen Terme∂vi∂xj

und∂vj∂xi

dengleichen Beitrag geben, während der Term in δij null gibt.9

Dann gilt~∇ ·(κ~∇T

)= T~∇ ·

(κ~∇TT

)+κ

T

(~∇T)2. (III.40b)

Schließlich führen die Gl. (III.40) und die Energiebilanz (III.39) zu

∂s

∂t+ ~∇ ·

(s~v)− ~∇ ·

(κ~∇TT

)=

η

2T

3∑i,j=1

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2

3δij~∇ ·~v

)2

+ζ

T

(~∇ ·~v

)2+ κ

(~∇T)2

T 2. (III.41)

Diese Gleichung kann über das Volumen V integriert werden:

• berechnet man die Integrale der Divergenzen auf der linken Seite mit dem Satz von Stokes, soverschwinden sie wegen der Randbedingungen an der Oberfläche S;

9Letzteres folgt aus der „Spurlosigkeit“ des Terms in Klammern.



• der Restterm auf der linken Seite ist die ZeitableitungdS

dtder Entropie des geschlossenen

Systems;

• wenn die Transportkoeffizienten η, ζ, κ positiv sind, dann sind die drei Terme auf der rechtenSeite ebenfalls positiv.

Somit findet mandS

dt≥ 0, in Übereinstimmung mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

Bemerkungen:∗ Man kann die obige Herleitung als einen Beweis betrachten, dass die Transportkoeffizientenunbedingt positiv sein müssen, damit der zweite Hauptsatz gilt.

∗ Wenn die drei Transportkoeffizienten η, ζ, κ null sind, entsprechend dem Fall eines nicht-dissipativen Fluids, vereinfacht sich Gl. (III.41) auf die Entropiebilanz (III.36).

Literatur

• Feynman [2, 3] Kapitel 40–2

• Guyon et al. [4] Kapitel 3.3, 5.1, 5.2

• Landau–Lifschitz [10] Kapitel I, § 1,2 und § 6,7

• Fließbach [11] Kapitel 42.



IV. Strömungen eines idealen Fluids

Dieses Kapitel befasst sich mit einigen Lösungen des Systems von Gleichungen (III.8), (III.18)und (III.35) für die Bewegung eines idealen Fluids. Dabei wird angenommen, dass die Dichte deräußeren Volumenkräfte sich als ~fV (t, ~r) = −ρ(t, ~r)~∇Φ(~r) schreiben läßt, wobei Φ insbesonderedas Gravitationspotential sein kann. Im ganzen Kapitel werden kartesische Koordinaten in einemgegebenen Bezugssystem benutzt.

IV.1 Hydrostatik

Der einfachste Fall ist jener der statischen Lösungen: ∂/∂t = 0, ~v(~r) = ~0, d.h. es gibt keineStrömung. Dann geht es um die Hydrostatik , dessen einzige nicht-triviale Grundgleichung ist [vgl.Gl. (III.18)]

1

ρ(~r)~∇P (~r) = −~∇Φ(~r). (IV.1)

In den folgenden Beispielen wird der Fall eines homogenen Schwerefeldes Φ(~r) = gz angenom-men, mit g = 9, 8 m· s−2.

IV.1.1 Inkompressibles Fluid

Sei zunächst ein inkompressibles Fluid10 mit der konstanten, gleichförmigen Massendichte ρ.Dann lautet Gl. (IV.1)

∂P (~r)

∂x=∂P (~r)

∂y= 0,

∂P (~r)

∂z= −ρg,

d.h.P (~r) = P (z) = P 0 − ρgz, (IV.2)

mit P 0 dem Druck des Referenzpunkts z = 0.Bekannterweise gilt z.B. in der Tiefe von 10 m unter Wasser (ρ = 103 kg·m−3)

P (−10 m) = P (0) + 103 × g × 10 ≈ 2 · 105 Pa.

IV.1.2 Fluid in thermischem Gleichgewicht

Es sei jetzt ein Fluid im thermischen Gleichgewicht, d.h. mit gleichförmiger Temperatur T ,beispielsweise ein ideales Gas, mit der (thermischen) Zustandsgleichung PV = NkBT . Bezeichnetm die Masse eines Moleküls des Gases, so gilt ρ = mP/kBT , so dass Gl. (IV.1) gibt

∂P (~r)

∂x=∂P (~r)

∂y= 0,

∂P (~r)

∂z= − mg

kBTp(~r),

d.h.P (~r) = P (z) = P 0 exp

(−mgzkBT

),

und eine ähnliche Exponentialbeziehung für die Teilchendichte n(~r): für die letztere erkennt manalso die statistische Maxwell-Verteilung.

Beispielsweise gilt für Luft (fiktives ideales Gas mit der molaren Masse NAmLuft = 29 g ·mol−1)kBT/mLuftg = 8, 8 · 103 m für T = 300 K. Auf einer solchen Skala bleibt die Temperatur derAtmosphäre aber nicht konstant, s. nächsten Paragraf!

10Genauer gesagt, ein Fluid, das als inkompressibel betrachtet werden kann.

IV. Strömungen eines idealen Fluids 28


IV.1.3 Isentropische Verteilung

Die Entropie pro Teilchen s/n eines strömenden idealen Fluids ist erhalten. Hier wird angenom-men, dass s/n auch in einem ruhenden idealen Fluid konstant ist.

Für die Enthalpie H = U + PV des Fluids folgt aus der üblichen thermodynamischen RelationdU = T dS−P dV +µdN das Differenzial dH = T dS+ V dP +µdN . Bei konstanter TeilchenzahlN ergibt sich also

d

(H

N

)= Td

(S

N

)+

VN

dP ,

d.h. nach Division durch die Masse eines Moleküls des Fluids

d

(w

ρ

)=

1

ρdP , (IV.3)

mit w der Enthalpiedichte.Zusammen mit Gl. (IV.1) gibt diese Beziehung

~∇[w(~r)

ρ(~r)+ Φ(~r)

]= ~0 (IV.4)

d.h.w(z)

ρ(z)+ gz = Konstante.

Für ein ideales diatomares Gas gilt U = 52NkBT , so dass die Enthalpiedichte durch

w = e+ P =5

2nkBT + nkBT =

7

2nkBT

gegeben ist. Dann istw

ρ=

7

2

kBT

m, mit m der Masse eines Gasmoleküls. Mit Gl. (IV.4) ergibt sich

dT (z)

dz= − mg7

2kB.

Im Beispiel der Luft beträgt der Term in der rechten Seite 9, 77 · 10−3 K·m−1 = 9, 77 K·km−1.

Bemerkung: Im Modell der International Standard Atmosphere (ISA) wird ebenfalls eine lineareAbnahme der Temperatur mit der Höhe angenommen, aber mit einem niedrigeren Temperaturgra-dienten von 6, 5 K·km−1 in der Troposphäre, um die mögliche Kondensation von Wasserdampf zuberücksichtigen.

IV.1.4 Archimedisches Prinzip

Sei ein ruhendes Fluid bzw. System mehrerer Fluide F und eine Kontrollfläche S innerhalb F ,wie in Abb. IV.1 dargestellt wird. Das System von Fluiden innerhalb bzw. außerhalb S sei als Σ bzw.

Fluid 1

Fluid 2 S

G

Fluid 1

Fluid 2 Festkörper

~F

Abbildung IV.1: Gedankenexperiment zur Berechnung des Archimedischen Prinzips.



F ′ bezeichnet. Σ befindet sich im mechanischen Gleichgewicht, d.h. die volumischen Schwerkräftenauf jedes infinitesimal kleine Element von Σ und die Druckkräften, die durch die Fluide von F ′geübt werden, gleichen sich aus:

• Die volumischen Schwerkräfte resultieren in eine einzige Kraft ~FG, die auf den Gravitations-schwerpunkt G von Σ angewandt wird, und deren Richtung und Stärke gleich denen derGewichtskraft des Systems Σ sind.

• Laut der Gleichgewichtsbedingung ist die Resultante der Druckkräfte gleich −~FG:∮S

P (~r) d ~S = −~FG.

Wird das System Σ durch einen Festkörper ersetzt, während die Fluide F ′ außerhalb S unver-ändert im selben Gleichgewichtszustand bleiben, so ändern sich die Druckkräfte in F ′ nicht. DieResultante der durch F ′ auf den Festkörper geübten Kräfte ist dann immer noch ~F = −~FG undwird auf den Gravitationsschwerpunkt G des Systems Σ von Fluiden angewendet — auch wenn Gnicht mit dem Schwerpunkt des Festkörpers übereinstimmt. Dies bildet das Archimedische Prinzip.

IV.2 Stationäre Lösungen

In diesem Abschnitt werden stationäre Lösungen der Bewegungsgleichungen für ein ideales Fluiduntersucht: alle partiellen Zeitableitungen verschwinden, die Strömungsgeschwindigkeit ~v(~r) kannaber nicht Null sein.

IV.2.1 Bernoulli-Gleichung

Sei zunächst eine inkompressible Strömung, d.h. mit konstanter ρ. Die Euler-Gleichung (III.21)lässt sich dann umschreiben als

~∇[~v(~r)2

2+

P (~r)

ρ+ Φ(~r)

]= 2~v(~r)× ~Ω(~r). (IV.5)

Sei jetzt d~(~r) ein Vektor tangential zur Stromlinie im Punkt ~r. Bildet man das Skalarproduktvon d~(~r) mit Gl. (IV.5), so verschwindet die rechte Seite d~(~r) · [2~v(~r) × ~Ω(~r)], denn d~(~r) istdefinitionsgemäß kollinear zur Strömungsgeschwindigkeit ~v(~r). Dazu stellt d~(~r) · ~∇ die Ableitungentlang der Richtung von d~ dar. Folglich ist die Ableitung des Terms in eckigen Klammern inGl. (IV.5) entlang der Richtung einer Stromlinie null, d.h. dieser Term bleibt konstant entlang einerStromlinie

~v(~r)2

2+

P (~r)

ρ+ Φ(~r) = Konstante entlang einer Stromlinie, (IV.6)

wobei die Konstante von der Stromlinie abhängt. Gleichung (IV.6) wird als Bernoulli-Gleichungbezeichnet.

Physikalisch kann man die Bernoulli-Gleichung als eine Formulierung der Erhaltung der Energiedes Fluids entlang einer Stromlinie betrachten: ~v(~r)2/2 ist die spezifische (d.h. pro Masseneinheit)kinetische Energie des Fluids, Φ(~r) dessen spezifische potentielle Energie, während P (~r)/ρ der spe-zifischen Arbeit der Druckkräfte in der Bewegung entspricht. Vgl. auch die letzte Bemerkung unten.

Bemerkungen:

∗ In einer wirbelfreien Strömung ~Ω(~r) = ~0 ist die Konstante die gleiche für alle Stromlinien.

∗ Im Fall ~v(~r) = ~0 gibt Gl. (IV.5) ~∇[P (~r)/ρ + Φ(~r)

]= 0, d.h. gerade die Grundgleichung (IV.1)

der Hydrostatik eines inkompressiblen Fluids.



∗ Für ein viskoses Fluid nimmt~v(~r)2/2 + P (~r)/ρ+ Φ(~r) entlang einer Stromlinie ab, entsprechendder von der Reibung verursachten Umwandlung von kinetischer Energie in Wärme.

∗ Falls die Strömung kompressibel ist, das Fluid aber noch ideal, kann in der obigen HerleitungGl. (IV.3) benutzt werden, um

[~∇P (~r)

]/ρ(~r) als einen Gradienten umzuschreiben. Damit findet

man die alternative Form der Bernoulli-Gleichung

~v(~r)2

2+w(~r)

ρ(~r)+ Φ(~r) = Konstante entlang einer Stromlinie, (IV.7)

mit w(~r) der Enthalpiedichte.

Diese Form der Bernoulli-Gleichung folt auch aus dem Skalarprodukt des oben eingeführten Vektorsd~(~r) mit der Energieerhaltung (III.35), wenn man im Energieterm die potentielle Energiedichte imGravitationsfeld ρ(~r)Φ(~r) berücksichtigt. Folglich bringt die Energieerhaltung nichts Neues.

IV.2.2 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung

::::::::IV.2.2 a

::::::::::::::::::::::::Ausflussgeschwindigkeit

::::aus

::::::einem

:::::::Gefäß.

::::::::::Torricelllis

::::::::::Theorem

Eine Flüssigkeit sei in einem Gefäß mit einem kleinen Loch an dessen unteren Ende, durchwelches die Flüssigkeit ausströmen kann.

A

B

6

?

h

In den Punkten A und B, die auf der gleichen Stromlinie liegen, istder Druck gleich dem atmosphärischen Druck10 PA = PB = P 0.Dann gibt die Bernoulli-Gleichung (bei konstantem Druck)

v2A

2+ gzA =

v2B

2+ gzB,

mit zA bzw. zB der Höhe des Punkts A bzw. B, d.h.

v2B = v2

A + 2gh.

Wenn die Geschwindigkeit zum Punkt A verschwindet, ergibt sich Torricellis Theorem

vB =√

2gh,

was genau gleich der Geschwindigkeit eines Körpers ist, der von einer Höhe h im Gravitationsfeldfrei fällt.

Bemerkung: Um die Bernoulli-Gleichung anwenden zu dürfen muss man zeigen, dass die Strömungstationär ist. Tatsächlich ist das in guter Näherung der Fall.

:::::::::IV.2.2 b

::::::::::::::Venturi-Effekt

Es sei die folgende Anordnung für die eindimensionale Strömung eines inkompressiblen Fluids:

S@@

s-v1 -v2

Die Erhaltung des Massenstroms durch den Rohr, gegeben durch die integrale Formulierung derKontinuitätsgleichung (III.7), gibt ρSv1 = ρsv2, d.h. v2 = (S/s)v1 > v1.

Andererseits gibt die Bernoulli-Gleichung bei konstanter Höhev2

1

2+

P 1

ρ=

v22

2+

P 2

ρ.

Insgesamt ist P 1 > P 2 und der Massenstrom lautet ρS[2

P 1 − P 2

ρ

/(S2

s2− 1

)]1/2

.

10Man kann zeigen, dass der Druck im Fluid im Punkt B gleich dem atmosphärischen Druck ist, wenn die Strom-linien lokal parallel zueinander sind (laminare Strömung).



::::::::IV.2.2 c

:::::::::::Pitot-Rohr

Abbildung IV.2 stellt schematisch die Strömung um einen Pitot-Rohr dar, der zur Messung ei-ner Strömungsgeschwindigkeit über eine Druckmessung dient. Dabei werden drei Stromlinien derStrömung gezeigt: weit vom Pitot-Rohr ist die Strömung gleichförmig mit der zu messenden Ge-schwindigkeit ~v. Dazu wird angenommen, dass die Strömung inkompressibel ist.

O• •I•

O′•A

•B

-Manometer

--

-•A′

-

--~v

Abbildung IV.2: Strömung um einen Pitot-Rohr.

Der Pitot-Rohr besteht aus zwei langen dünnen konzentrischen Rohren:

• trotz dem Loch im Endpunkt I dringt die Strömung nicht in den inneren Rohr ein, ~vI = ~0;

• im äußeren Rohr gibt es ein anderes Loch in einem Punkt A, der entfernt genug vom EndpunktI ist, damit die Strömung in der Nähe von A nicht mehr durch den Endpunkt beeinflusst ist:~vA = ~vA′ ' ~v, wobei die zweite Gleichung aus der Dünnheit des Rohrs — der damit dieEigenschaften der Strömung fast nicht stört — folgt. Dazu ist der Druck im äußeren Rohrgleichförmig, so dass PA = PB.

Unter Vernachlässigung der Höhenunterschiede liefert die Bernoulli-Gleichung erstens

PO + ρ~v2

2= P I

entlang der Stromlinie OI, sowie

PO′ + ρ~v2

2= PA′ + ρ

~v2A′

2

entlang der Stromlinie O′A′. Unter Verwendung von PO′ ' PO, PA′ ' PA und ~vA′ ' ~v liefert dieletztere Gleichung PO ' PA = PB. Somit gilt

P I − PB = ρ~v2

2,

so dass die Messung von P I − PB eine Messung von |~v| liefert.

Bemerkung: Eine Strömung mit der Geschwindigkeit ~v um einen ruhenden Pitot-Rohr ist äqui-valent zur Bewegung eines mit der Geschwindigkeit −~v bewegten Pitot-Rohrs in einem ruhendenFluid. Somit werden Pitot-Rohre zur Messung der Geschwindigkeit von Flugzeugen benutzt.

:::::::::IV.2.2 d

::::::::::::::Magnus-Effekt

In eine anfangs gleichförmige stationäre Strömung mit der Geschwindigkeit~v0 wird ein Zylindereingeführt, der sich um seine Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ~ω dreht (Abb. IV.3).

Intuitiv kann man erwarten, dass der Zylinder in seiner Rotation die benachbarten Schichtendes Fluids mitreißt.11 Unter diesem Ansatz wird die durch die Rotation bedingte Geschwindigkeitzu der anfänglichen Strömungsgeschwindigkeit im unteren bzw. oberen Bereich der in Abb. IV.3dargestellten Strömung addiert bzw. abgezogen.

11Dies gilt streng genommen für ein ideales Fluid nicht, sondern nur für ein viskoses Fluid! Hier wird also ange-nommen, dass die durch die Viskosität ermöglichten Tangentialspannungen schwach genug sind, damit die Bernoulli-Gleichung legitim verwendet werden kann.



~v0~ω

Abbildung IV.3: Strömung um einen sich drehenden Zylinder.

Dann ist laut der Bernoulli-Gleichung der Druck höher im oberen Bereich als unter dem Zylinder,so dass der Zylinder einer nach unten gerichteten resultierenden Kraft unterliegt, entsprechend demMagnus-Effekt . (Genauer ist diese Kraft proportional zu ~v0 × ~ω).

IV.3 Erhaltung der Zirkulation

Sei jetzt wieder eine beliebige Strömung~v(t, ~r) eines idealen Fluids. Da das Fluid ideal ist, bleibtin dessen Bewegung die Entropie pro Teilchen s/n erhalten, was zur Gl. (IV.3) führt.Definition: Sei ~γ(t, λ) eine durch λ ∈ [0, 1] parametrisierte geschlossene Kurve, die sich mit demFluid mitbewegt. Das Integral

Γ~γ(t) ≡∮~γ

~v(t, ~γ(t, λ)) · d~ (IV.8)

heißt Zirkulation der Geschwindigkeit entlang dieser Kurve.

Bemerkung: Nach dem Integralsatz von Stokes ist Γ~γ(t) gleich dem Fluss der Wirbligkeit durchjede durch ~γ abgegrenzte Fläche S~γ(t):

Γ~γ(t) =

∫S~γ

[~∇×~v(t, ~r)

]· d2 ~S =

∫S~γ~ω(t, ~r) · d2 ~S. (IV.9)

Thomsonscher Satz: Wenn die Volumenkräfte ~fV (t, ~r)/ρ(t, ~r) sich als Gradienten von Potentialeschreiben lassen, dann bleibt die Zirkulation in der Bewegung erhalten.12

Thomsonscher Satz:DΓ~γ(t)

Dt= 0. (IV.10)

Beweis: Der Kürze halber wird die Zeit- bzw. λ-Abhängigkeit nicht geschrieben falls es unnötigist. Außerdem wird ~fV = −ρ~∇Φ angenommen. Dann gilt

DΓ~γDt

=D

Dt

∫ 1

0

∂~γ(t, λ)

∂λ·~v(t, ~γ(t, λ)) dλ =

∫ 1

0

[∂2~γ

∂λ ∂t·~v +

∂~γ

∂λ·(∂~v

∂t+∑j

∂~v

∂γi

∂γi∂t

)]dλ.

Die Kurve ~γ(t, λ) bewegt sich mit der Flüssigkeit, so dass∂~γ(t, λ)

∂t=~v(t, ~γ(t, λ)). Damit gilt

DΓ~γDt

=

∫ 1

0

∂~v

∂λ· ~v +

∂~γ

∂λ·[∂~v

∂t+(~v · ~∇

)~v

]dλ =

∫ 1

0

[∂

∂λ

(~v2

2

)− ∂~γ

∂λ· ~∇(w

ρ+ Φ

)]dλ

=

[~v2

2

]1

0

−∮~γ

~∇(w

ρ+ Φ

)· d~= 0,

wobei die Gleichung in der ersten Zeile aus der Euler-Gleichung (III.22) folgt, während in derzweiten Zeile der zweite Term — die Zirkulation eines Gradienten längs einer geschlossenenKurve — dank dem Stokes’schen Satz verschwindet.

12Dieser Satz wird auch manchmal Satz von Kelvin genannt.



Bemerkung: Laut diesem Satz bleibt eine Strömung, wenn sie irgendwann überall wirbelfrei ist[~ω(t, ~r) = ~0], in der Zukunft ebenfalls wirbelfrei, vgl. Gl. (IV.9).

IV.4 Potentialströmung

IV.4.1 Geschwindigkeitspotential

Gemäß einem bekannten Ergebnis der Vektoranalysis kann ein Vektorfeld ~V (~r), dessen Rotationüberall13 null ist, als der Gradient eines Skalarfeldes geschrieben werden. Im Fall einer wirbelfreienStrömung ~∇×~v(t, ~r) = ~0 kann deshalb die Strömungsgeschwindigkeit als

~v(t, ~r) = −~∇ϕ(t, ~r) (IV.11)

geschrieben werden, mit ϕ(t, ~r) dem Geschwindigkeitspotential .Folglich wird eine wirbelfreie Strömung auch Potentialströmung genannt.

Bemerkung: Das Vorzeichen in Gl. (IV.11) entspricht keiner allgemeinen Konvention, sondernermöglicht die Verwendung von Analogien mit der Elektrostatik ( ~E = −~∇V ) oder der Gravitati-onstheorie (~FGravitation = −~∇Φ).

Mit dem Geschwindigkeitspotential lautet die Kontinuitätsgleichung (III.7) bzw. die Euler-Gleichung (III.22)

∂ρ(t, ~r)

∂t− ~∇ ·

[ρ(t, ~r) ~∇ϕ(t, ~r)

]= 0 (IV.12a)

bzw.

− ∂~∇ϕ(t, ~r)

∂t+ ~∇

[~∇ϕ(t, ~r)

]22

+w(t, ~r)

ρ(t, ~r)+ Φ(t, ~r)

= 0. (IV.12b)

Aus der letzteren Gleichung folgt

− ∂ϕ(t, ~r)

∂t+

[~∇ϕ(t, ~r)

]22

+w(t, ~r)

ρ(t, ~r)+ Φ(t, ~r) = Konstante, (IV.13)

wobei die Konstante den gleichen Wert in der ganzen Strömung annimmt. Falls die Strömung sta-tionär ist, so dass die Zeitableitung verschwindet, wird Gl. (IV.13) zur Bernoulli-Gleichung für einewirbelfreie Strömung.

IV.4.2 Inkompressible Potentialströmungen

Falls die Strömung inkompressibel ist, vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung (IV.12a) zu

4ϕ(t, ~r) = 0, (IV.14)

d.h. zur Laplace-Gleichung .Um die letztere lösen zu können, muss man auch Randbedingungen festlegen, in Übereinstimmung

mit dem in Abschn. III.3.2 c diskutierten Verhalten der Strömungsgeschwindigkeit eines idealenFluids.

:::::::Beispiel

::::::einer

::::::::::::::::inkompressiblen

::::::::::::::::::Potentialsträmung

Sei die im Bereich x1 > 0, x2 > 0 definierte zweidimensionale stationäre Strömung mit dem Ge-schwindigkeitsfeld

~v(t, ~r) = k(− x1~e1 + x2~e2

), (IV.15)

mit k einer positiven Konstante.Man prüft einfach nach, dass diese Strömung inkompressibel ist: ~∇ ·~v = −k + k = 0, und

wirbelfrei: ~∇×~v = ~0; das zugehörige Geschwindigkeitspotential ist ϕ(t, ~r) = k2 (x2

1−x22)+Konstante.

13... in einem einfach zusammenhängenden Bereich.



Die Äquipotentiallinien sind die Hyperbeln x21 − x2

2 = const. mit der Asymptote x2 = x1. DieseÄquipotentiallinien sind orthogonal zu den Stromlinien, d.h. den Hyperbeln x1x2 = Konstante, wiein Abb. IV.4 dargestellt wird.

Abbildung IV.4: Stromlinien (durchgezogene Linien) und Äquipotentiallinien (Strichlinien) für diePotentialströmung (IV.15).

IV.5 Wellen

Eine wichtige Art von Lösungen der Gleichungen (III.7), (III.18) und (III.35) sind die fortschrei-tenden Wellen in einem Fluid. Schall- (Abschn. IV.5.1) und Schwerewellen (Abschn. IV.5.3) könnenin erster Näherung als kleine Störungen betrachtet werden, und lassen sich somit durch Linearisie-rung der Bewegungsgleichungen herleiten. Andererseits führt die Nichtlinearität der Euler-Gleichungzum Phänomen der Stoßwellen (Abschn. IV.5.2).

IV.5.1 Schallwellen

Schallwellen sind kleine adiabatische Dichtestörungen um eine „ungestörte“ Strömung, d.h. sieberuhen auf die Kompressibilität des Fluids. Der Einfachheit halber werden im Folgenden Störungeneines gleichförmigen ruhenden idealen Fluids betrachtet.

Die ruhende Hintergrundsströmung löst die Bewegungsgleichungen mit gleichförmigen Feldernρ0, P 0,~v0 = ~0, sowie einer Entropie S0 und einer Teilchenzahl N0. Die Schallwellen werden beschrie-ben durch Felder

ρ(t, ~r) = ρ0 + ρ′(t, ~r), (IV.16a)

P (t, ~r) = P 0 + P ′(t, ~r), (IV.16b)

~v(t, ~r) = ~0 +~v ′(t, ~r), (IV.16c)mit |ρ′(t, ~r)| ρ0, |P ′(t, ~r)| P 0, entsprechend der erforderten Kleinheit der Störungen. Für dieGeschwindigkeit wird diese Bedingung der Kleinheit durch |~v ′(t, ~r)| cs mit cs der Schallgeschwin-digkeit gegeben, wie unten gezeigt wird.

Werden die Felder (IV.16) in die Gleichungen (III.7), (III.18) eingesetzt, so verschwinden dieTeile der Gleichungen, den die Felder ρ0, P 0, ~v0 genügen. Es bleibt dann

∂ρ′(t, ~r)

∂t+ ρ0

~∇ ·~v ′(t, ~r) + ~∇ ·[ρ′(t, ~r)~v ′(t, ~r)

]= 0, (IV.17a)



[ρ0 + ρ′(t, ~r)

]∂~v ′(t, ~r)∂t

+[~v ′(t, ~r) · ~∇

]~v ′(t, ~r)

+ ~∇P ′(t, ~r) = 0. (IV.17b)

In der Kontinuitätsgleichung kann der dritte Term in erster Näherung vernachlässigt werden, denner ist mutmaßlich viel kleiner als die zwei anderen. Ebenfalls können in Gl. (IV.17b) ρ′(t, ~r) undder konvektive Term in den geschweiften Klammern weggelassen werden. Anders gesagt werdenρ′(t, ~r), P ′(t, ~r) und ~v ′(t, ~r) als kleine Größen erster Ordnung betrachtet, und Produkte davon alskleine Größen höherer Ordnung, die zunächst vernachlässigt werden können. Damit werden dieGleichungen für die gekoppelten Entwicklungen von ρ′(t, ~r), P ′(t, ~r), ~v ′(t, ~r) linearisiert :

∂ρ′(t, ~r)

∂t+ ρ0

~∇ ·~v ′(t, ~r) = 0, (IV.18a)

ρ0∂~v ′(t, ~r)

∂t+ ~∇P ′(t, ~r) = 0. (IV.18b)

Betrachtet man den Druck P als Funktion von ρ, S und N , so lautet dessen Taylor-Entwicklungum den Punkt P 0 = P (ρ0, S0, N0), unter Berücksichtigung der Adiabatizität dS = 0 und der Teil-chenzahlerhaltung dN = 0

P ′ =(∂P∂ρ

)S,N

ρ′ +

(∂P∂S

)ρ,N

dS +

(∂P∂N

)S,ρ

dN =

(∂P∂ρ

)S,N

ρ′ ≡ c2sρ′,

wobei

c2s =

(∂P∂ρ

)S,N

(IV.19)

implizit von ρ0, S0 und N0 abhängt. Damit wird P ′ durch ρ′ ausgedrückt, und ~∇P ′(t, ~r) kann durchc2s~∇ρ′(t, ~r) in Gl. (IV.18b) ersetzt werden.Die darauffolgenden Gleichungen für ρ′(t, ~r),~v ′(t, ~r) sind lineare partielle Differentialgleichungen,

die mithilfe der komplexen Fourier-Darstellung gelöst werden können:

ρ′(t, ~r) = Re[ρ′(ω,~k) e−iωt+i~k·~r

], ~v ′(t, ~r) = Re

[~v ′(ω,~k) e−iωt+i~k·~r

], (IV.20)

mit komplexen ρ′(ω,~k), ~v ′(ω,~k), und wobei ω von ~k abhängen kann. Mit diesen Ansätzen geben dieGleichungen für ρ′(t, ~r) und ~v ′(t, ~r)

−iωρ′(ω,~k) + iρ0~k · ~v ′(ω,~k) = 0

−iωρ0~v′(ω,~k) + ic2

s~k ρ′(ω,~k) = 0.

Nach Multiplikation der zweiten Gleichung links mit ~k kann dieses System als(−ω ρ0

c2s~k 2 −ωρ0

)(ρ′(ω,~k)

~k ·~v ′(ω,~k)

)=

(0

0

)umgeschrieben werden.Neben der trivialen Lösung ρ′(ω,~k) = 0,~v ′(ω,~k) = ~0 — d.h. die Abwesenheit von Störung — existie-ren nicht-trivialen Lösungen dieser Matrixgleichung nur dann, wenn die Determinante verschwindet,d.h. wenn (ω2 − c2

s~k 2)ρ0 = 0. Dies liefert die Dispersionsrelation

ω = ±cs|~k|. (IV.21)

ρ′(t, ~r) [und folglich P ′(t, ~r)] und ~v ′(t, ~r) sind dann Funktionen von cst ± ~r · ~e~k, mit ~e~k dem Ein-heitsvektor in der Richtung von ~k, statt Funktionen von unabhängigen t und ~r. Es handelt sich alsoum fortschreitende Wellen, die sich mit der Phasengeschwindigkeit cs ausbreiten. Somit ist cs dieSchallgeschwindigkeit .



Bemerkungen:

∗ Wenn die Strömung wirbelfrei ist,~v(t, ~r) = −~∇ϕ(t, ~r), dann ist das Geschwindigkeitspotential ϕLösung der Wellengleichung

∂2ϕ(t, ~r)

∂t2− c2

s4ϕ(t, ~r) = 0,

die aus den Gl. (IV.18) folgt.

∗ Im Allgemeinen ist ~k ·~v ′(ω,~k) 6= 0, im Gegensatz zum Fall einer elektromagnetischen Welle imVakuum (~k · ~E = 0, entsprechend der Maxwell–Gauß-Gleichung in Abwesenheit von Ladungen, und~k · ~B = 0, entsprechend der Maxwell–Thomson-Gleichung): während die elektromagnetischen Wellenim Vakuum transversal sind, besitzen die Schallwellen auch eine longitudinale Komponente.

Beispiel: Für Luft bei T = 300 K ist cs = 347 m·s−1.

Luft ist ein diatomares ideales Gas mit dem Druck P = NkBT/V und der inneren EnergieU = 5

2NkBT .

Dann ist c2s =

(∂P∂ρ

)S,N

= − V 2

mN

(∂P∂V

)S,N

= − V 2

mN

[−NkBT

V 2+NkB

V

(∂T

∂V

)S,N

].

Aus der thermodynamischen Gleichung dU = T dS−P dV +µ dN folgt bei konstanten Entropieund Teilchenzahl

P = −(∂E

∂V

)S,N

= −5

2NkB

(∂T

∂V

)S,N

d.h. NkB

(∂T

∂V

)S,N

= −2P5

= −2

5

NkBT

V.

woraus c2s =7

5

kBT

mLuftfolgt, mit mLuft = 29/NA g·mol−1.

Auf dem Term in geschweiften Klammern in Gl. (IV.17b) sieht man die jeweiligen Größen-ordnungen des führenden und des vernachlässigten Terms: ω|~v ′| bzw. |~k||~v ′|2. Damit der Letzterewirklich viel kleiner als der Erstere ist, muss gemäß Gl. (IV.21) |~v ′| cs gelten.

IV.5.2 Stoßwellen

Wenn die Amplitude der in Abschnitt IV.5.1 betrachteten Schallwelle groß wird, so dass |~v ′| csnicht mehr gilt, spielen die nicht-linearen Terme in den Bewegungsgleichungen auch eine Rolle. DerEinfachheit halber wird dies hiernach für den Fall eines eindimensionalen Problems untersucht.

Die Bewegungsgleichungen (IV.17) lauten

∂ρ(t, x)

∂t+ ρ(t, x)

∂v′(t, x)

∂x+ v′(t, x)

∂ρ(t, x)

∂x= 0, (IV.22a)

ρ(t, x)

[∂v′(t, x)

∂t+ v′(t, x)

∂v′(t, x)

∂x

]+∂P ′(t, x)

∂x= 0. (IV.22b)

Wie in Abschnitt IV.5.1 lässt sich die Variation des Drucks durch die Variation der Massendichteausdrücken. Dann kann P ′(t, x) durch cs(ρ)2ρ′(t, x) in der zweiten Gleichung ersetzt werden.14 DieAbleitung von ρ′(t, x) nach x stellt auch die Ableitung nach x von ρ(t, x) dar, so dass man zweiGleichungen für die zwei unbekannten Funktionen ρ(t, x) und v′(t, x) = v(t, x) erhält:

∂ρ(t, x)

∂t+ ρ(t, x)

∂v(t, x)

∂x+ v(t, x)

∂ρ(t, x)

∂x= 0, (IV.23a)

ρ(t, x)

[∂v(t, x)

∂t+ v(t, x)

∂v(t, x)

∂x

]+ cs(ρ)2∂ρ(t, x)

∂x= 0. (IV.23b)

14Hier wird stillschweigend cs(ρ0) in der Taylor-Entwicklung oberhalb Gl. (IV.19) durch cs(ρ) ersetzt.



Um diese Gleichungen zu lösen, kann man annehmen, dass die Massendichte und die Strömungs-geschwindigkeit sich parallel zueinander mit der Zeit und dem Ort ändern, denn dies gilt für dieLösungen der linearisierten Gleichungen — die Schallwellen, in denen ρ(t, ~r) und ~v(t, ~r) die gleichePhase (cs|~k|t+~k ·~r) haben. Die Abhängigkeit von v nach t und x kann dann durch eine Abhängigkeitv(ρ(t, x)) ersetzt werden, mit v(ρ0) = 0. Somit lassen sich die partiellen Ableitungen nach t bzw. xdes Geschwindigkeitsfeldes als

∂v(t, x)

∂t=

dv(ρ)

dρ

∂ρ(t, x)

∂tbzw.

∂v(t, x)

∂x=

dv(ρ)

dρ

∂ρ(t, x)

∂x

umschreiben und in Gl. (IV.23) einsetzen. Multipliziert man Gl. (IV.23a) mit ρ(t, x)dv(ρ)

dρund zieht

man dann Gl. (IV.23b) von dem Resultat ab, so ergibt sichρ2

[dv(ρ)

dρ

]2

− cs(ρ)2

∂ρ(t, x)

∂x= 0,

d.h.dv(ρ)

dρ= ±cs(ρ)

ρ. (IV.24)

Die simultane Substitution v → −v, x → −x, cs → −cs lässt die Gleichungen (IV.23)-(IV.24)invariant. Somit kann man nur den Fall des + Vorzeichens in Gl. (IV.24) betrachten. Die Geschwin-digkeit ist dann gegeben durch

v(ρ) =

∫ ρ

ρ0

cs(ρ′)

ρ′dρ′,

während Gl. (IV.23a) sich umschreiben lässt als

∂ρ(t, x)

∂t+[v(ρ(t, x)

)+ cs

(ρ(t, x)

)]∂ρ(t, x)

∂x= 0. (IV.25)

Schreibt man die Massendichte als eine fortschreitende Welle f(x − cwt), so ist deren Phasen-geschwindigkeit cw = cs(ρ) + v. Da dv(ρ)/dρ > 0 ist [Gl. (IV.24)], nimmt cw mit wachsenderMassendichte zu: die dichten Bereiche holen die verdünnten ein, wie in Abb. IV.5 dargestellt wird.Insbesondere kann es einigen Fällen für eine endliche Zeit zu einer Unstetigkeit in einem Punkt x0

der Funktion ρ(t, x) kommen, entsprechend (der Front) einer Stoßwelle.Um die Eigenschaften der Strömung im Bereich der Stoßwelle weiter zu diskutieren, müssen

zunächst die Verhalten der verschiedenen Größen am Unstetigkeitspunkt präzisiert werden. DerKürze halber werden im nächsten Paragraph die t- und ~r-Abhängigkeit der Strömungsfelder nichtgeschrieben.

::::::::::::::::::Sprunggleichungen

:::an

::::::::::::::::::::Unstetigkeitsflächen

Oben wurde ein Beispiel für die Unstetigkeit einer makroskopischen Eigenschaft des Fluidsan einem Punkt einer eindimensionalen Strömung gefunden. In einer dreidimensionalen Strömungwürde eine Unstetigkeitsfläche, anstatt eines einzigen Punkts, stattfinden.

Sei ein sich mit der Unstetigkeitsfläche mitbewegendes Koordinatensystem, mit ~e1 dem Ein-heitsvektor senkrecht zur Fläche. Der Bereich vor bzw. hinter der Fläche wird durch (+) bzw. (−)bezeichnet, d.h. das Fluid, in dem die Stoßwelle propagiert, bewegt sich von dem (+)- nach dem(−)-Gebiet. Der Sprung einer lokalen Größe g(~r) an der Unstetigkeitsfläche wird definiert als[[

g]]≡ g

+− g−, (IV.26)

wobei g+bzw. g− den Grenzwert von g im Limes x1 → 0+ bzw. x1 → 0− bezeichnet. Ist eine solche

Größe an der Unstetigkeitsfläche stetig, so verschwindet natürlich ihr Sprung.



6ρ

-x

t4 > t3

-x

t3 > t2

-x

t2 > t1

-x

t1 > t0

-x

t0

Abbildung IV.5: Schematische Darstellung einer Stoßwelle.

Ganz allgemein müssen an einer Unstetigkeitsfläche die Massen- (oder Teilchen-), Energie- undImpulsströme durch die Fläche — d.h. in die x1-Richtung — stetig bleiben, entsprechend der lokalenErhaltung von Masse (oder Teilchenzahl), Energie und Impuls:[[

ρv1

]]= 0,[[

πi1]]

= 0 ∀i = 1, 2, 3, (IV.27)[[(1

2ρ~v2 + e+ P

)v1

]]= 0.

Die Stetigkeit des Massenstroms durch die Fläche lautet auch (ρv1)−= (ρv1)+ ≡ j1. Setzt mandiese Identität in die Sprunggleichungen für die Komponenten π21 = ρv2v1 bzw. π31 = ρv3v1 derImpulsstromdichte, entsprechend dem Strom durch die Unstetigkeitsfläche der Komponenten ρv2

und ρv3 des Impulses parallel zur Fläche, so ergibt sich (v2)− = (v2)+ bzw. (v3)− = (v3)+, d.h.[[v2

]]= 0 bzw.

[[v3

]]= 0.15

Wenn man jetzt j1 in die Sprunggleichung für π11 = P + ρv21 einsetzt, ergibt sich

P−− P + = j1[(v1)+− (v1)−

]= j2

1

(1

ρ+− 1

ρ−

). (IV.28)

Mit j1 > 0, entsprechend der Bewegung des Fluids von dem (+)- nach dem (−)-Gebiet, findetman für P− > P + die Ungleichungen ρ− > ρ+ (Verdichtung des Fluids hinter der Stoßfront) und(v1)+> (v1)−.

Falls die Sprünge der Größen klein sind, ist die Strömungsgeschwindigkeit vor der Stoßfrontgrößer als die lokale Schallgeschwindigkeit. Dies folgt aus

(v1)2+ =

j21

ρ2+

=P−− P +

ρ−− ρ+

ρ−ρ+

ρ2+

'(∂P∂ρ

)S,N

ρ−ρ+

> c2s.

15Hier wurde stillschweigend j1 6= 0 angenommen! Falls dies nicht gilt, heißt es, dass es keinen makroskopischenStrom von Materie durch die Unstetigkeitsfläche gibt. Dann ist die Sprunggleichung für den Energiestrom automatischerfüllt, während [[π11]] = 0 die Bedingung [[P ]] = 0 gibt, d.h. der Druck muss kontinuierlich sein. Alle anderen Größen(ρ, v2, v3...) können einen beliebig großen Sprung haben.



Umgekehrt gilt hinter der Stoßfront (v1)−< cs.Dank der Kontinuität der Komponenten v2, v3 parallel zur Unstetigkeitsfläche vereinfacht sich

die Sprunggleichung für den Energiestrom zu[[1

2v2

1 +e+ p

ρ

]]=j21

2

(1

ρ2+

− 1

ρ2−

)+e+ + P +

ρ+− e− + P−

ρ−= 0.

Ersetzt man j21 mithilfe von Gl. (IV.28), so erhält man nach einigen Berechnungen

P + + P−2

(1

ρ+− 1

ρ−

)+e+

ρ+− e−ρ−

= 0

oder auchP + − P−

2

(1

ρ++

1

ρ−

)=w+

ρ+− w−ρ−

,

mit w = e+ P der Enthalpiedichte. Diese äquivalenten Gleichungen stellen eine Beziehung zwischenthermodynamischen Größen auf den beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche dar, die als dynamischeAdiabate oder Rankine–Hugoniot-Adiabate bezeichnet wird.

IV.5.3 Schwerewellen

Dieser Abschnitt befasst sich mit den Wellen an der oberen Oberfläche einer ursprünglich ru-henden Flüssigkeit, bei denen die Gravitation für die Rückkehr zum Gleichgewicht verantwortlichist: dabei handelt es sich um Schwerewellen.

Das Problem wird als eine wirbelfreie inkompressible zweidimensionale Strömung modelliert, mitϕ(t, x, z) dem zugehörigen Geschwindigkeitspotential, wobei die x- bzw. z-Achse entlang der Propa-gationsrichtung der Wellen bzw. entlang der vertikalen Richtung ist, mit z = 0 am (der Einfachheithalber flachen) Boden der Flüssigkeit. Dabei entspricht die Schwerewelle einer kleinen Änderungder Höhe der oberen Oberfläche, die sich um h′(t, x) aus der gleichförmigen Gleichgewichtshöhe h0

verschiebt, mit |h′(t, x)| h0.Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die durch die Welle verursachte Krümmung der

Flüssigkeitsoberfläche in jedem Punkt klein genug bleibt, damit die Effekte der Oberflächenspannungvernachlässigbar seien. Somit lauten die Bewegungsgleichungen [Gl. (IV.13) und (IV.14)]

−∂ϕ(t, x, z)

∂t+

[~∇ϕ(t, x, z)

]22

+P (t, x, z)

ρ+ gz = Konstante, (IV.29a)

4ϕ(t, x, z) = 0, (IV.29b)

mit gz dem Gravitationspotential.Hiernach werden Lösungen für das Geschwindigkeitspotential ϕ(t, x, z) und die Gestalt h′(t, x)

der Oberfläche gesucht. Um das Problem völlig festzulegen, müssen auch die Randbedingungenpräzisiert werden:

• Am Boden kann die Flüssigkeit keine vertikale Bewegung haben:

vz(z = 0) = −∂ϕ∂z

∣∣∣∣z=0

= 0. (IV.30a)

• An der Flüssigkeitsoberfläche bleibt der Druck fest: P(t, x, z = h0 + h′(t, x)

)= P 0 (wobei P 0

z.B. der atmosphärische Druck sein kann).16 Daraus folgt [Gl. (IV.29a)][− ∂ϕ(t, x, z)

∂t+

(~∇ϕ(t, x, z)

)22

]z=h0+h′(t,x)

+ gh′(t, x) = −P 0

ρ− gh0 + Konstante, (IV.30b)

wobei die ganze rechte Seite der Gleichung wiederum eine Konstante darstellt.16Hier hängt die Bedingung von der angenommenen Vernachlässigbarkeit der Oberflächenspannung ab.



• An der Flüssigkeitsoberfläche ist die vertikale Komponente vz der Strömungsgeschwindigkeitgleich der Geschwindigkeit der Oberfläche

−∂ϕ(t, x, z)

∂z

∣∣∣∣z=h0+h′(t,x)

=Dh′(t, x)

Dt,

d.h., unter Nutzung vonD

Dt=∂

∂t+ vx

∂

∂x=∂

∂t− ∂ϕ

∂x

∂

∂x[∂ϕ(t, x, z)

∂z+∂h′(t, x)

∂t− ∂h′(t, x)

∂x

∂ϕ(t, x, z)

∂x

]z=h0+h′(t,x)

= 0. (IV.30c)

Setzt man den Ansatz ϕ(t, x, z) = f(z) cos(kx−ωt), entsprechend einer fortschreitenden ebenenWelle mit Amplitude f(z), in Gl. (IV.29b) ein, so ergibt sich die lineare gewöhnliche Differential-gleichung

d2f(z)

dz2− k2f(z) = 0,

deren Lösung f(z) = a1ekz + a2e−kz ist, mit a1 und a2 zwei Integrationskonstanten. Unter Berück-sichtigung der Randbedingung (IV.30a) bei z = 0 ergibt sich a1 = a2, d.h.

ϕ(t, x, z) = C cosh(kz) cos(kx− ωt), (IV.31)

mit C einer Konstante.

Um weitere Ergebnisse analytisch zu erhalten, insbesondere die Gestalt der Oberfläche, ist esnötig, die Bewegungsgleichungen zu vereinfachen. Daher wird angenommen, dass die Welle einekleine Störung darstellt, damit die Gleichungen linearisiert werden können. Somit nimmt man an,dass (~∇ϕ)2 ∂ϕ/∂t gilt. Dann wird einerseits Gl. (IV.29a) durch

− ∂ϕ(t, x, z)

∂t+

P (t, x, z)

ρ+ gz =

P 0

ρ+ gh0 (IV.32)

ersetzt. Dazu lassen sich die Randbedingungen (IV.30b)–(IV.30c) an der Flüssigkeitsoberfläche als

− ∂ϕ(t, x, z)

∂t

∣∣∣∣z=h0

+ gh′(t, x) = Konstante, (IV.33a)

∂ϕ(t, x, z)

∂z

∣∣∣∣z=h0

+∂h′(t, x)

∂t= 0 (IV.33b)

umschreiben, wobei die Bedingung |h′(t, x)| h0 benutzt wurde.Diese Randbedingungen liefern sofort[

∂2ϕ(t, x, z)

∂t2+ g

∂ϕ(t, x, z)

∂z

]z=h0

= 0,

was mit Gl. (IV.31) zu −ω2C cosh(kh0) cos(kx − ωt) + gkC sinh(kh0) cos(kx − ωt) = 0 führt, d.h.zur Dispersionsrelation

ω2 = gk tanh(kh0). (IV.34)

Diese Dispersionsrelation vereinfacht sich in zwei Grenzfällen:

• Für kh0 1, d.h. h0 λ, wobei λ = 2π/k die Wellenlänge bezeichnet, entsprechend demFall von Scherewellen auf der Oberfläche tiefes Wassers, gilt tanh(kh0) ' 1. Dann ist ω2 = gk:die Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit der Wellen ist

cϕ =ω

k=

√g

k, bzw. cg =

dω

dk=

1

2

√g

k,

unabhängig von der Tiefe h0.



• Für kh0 1, d.h. flaches Wasser mit h0 λ, führt tanh(kh0) ' kh0 zu ω2 = gh0k2, d.h.

vϕ = vg =√gh0,

unabhängig von der Wellenlänge λ, d.h. es gibt keine Dispersion.

Diese Phasengeschwindigkeit sinkt mit abnehmender Tiefe h0. Folglich kann ein Stau entste-hen, ähnlich wie im Fall der Stoßwelle (s. Abschn. IV.5.2), der aber unter Berücksichtigungder nichtlinearen Terme beschrieben werden kann. Im Gegenteil wurde in der obigen Berech-nung insbesondere |h′(t, x)| h0 angenommen, so dass der Grenzfall h0 → 0 nicht geradeausbetrachtet werden kann.

Aus Gl. (IV.33a) ergibt sich die Gestalt der Flüssigkeitsoberfläche

h′(t, x) =1

g

∂ϕ(t, x, z)

∂t

∣∣∣∣z=h0

=ωC

gcosh(kh0) sin(kx− ωt) ≡ h′0 sin(kx− ωt),

mit h′0 ≡ωC

gcosh(kh0) der Amplitude der Welle, die viel kleiner als h0 sein muss.

Bildet man den Gradienten des Potentials (IV.31), so erhält man die Strömungsgeschwindigkeit

vx(t, x, z) =kg

ω

cosh(kz)

cosh(kh0)h′0 sin(kx− ωt),

vz(t, x, z) = −kgω

sinh(kz)

cosh(kh0)h′0 cos(kx− ωt).

Die Integration nach der Zeit dieser Funktionen liefert

x(t) = x0 +kgh′0ω2

cosh(kz)

cosh(kh0)cos(kx− ωt), z(t) = z0 +

kgh′0ω2

cosh(kz)

cosh(kh0)sin(kx− ωt),

mit x0, z0 zwei Integrationskonstanten. Wenn x0 ' x und z0 ' z sind, dann stellen x(t) und z(t)die Komponenten der Bahnkurve eines Fluidteilchens dar, das sich zur Zeit t in der Nähe desPunkts mit Koordinaten (x, z) befindet, und dessen Geschwindigkeit zur Zeit t somit ungefähr dieStrömungsgeschwindigkeit ~v(t, x, z) ist. Dabei gilt

[x(t)− x0]2

cosh2(kz)+

[z(t)− z0]2

sinh2(kz)=

[kgh′0

ω2 cosh(kh0)

]2

,

entsprechend der Gleichung einer Ellipse, deren große und kleine Halbachsen mit wachsender Tiefeh0 − z abnehmen. Im Fall tiefes Wassers gelten für 1 kz . kh0 die Näherungen sinh(kz) 'cosh(kz) ' ekz/2 und die Bahnkurven der Fluidteilchen nah an der Oberfläche sind Kreise.

Schließlich liefert Eq. (IV.32) unter Verwendung des Potentials (IV.31) den Druck

P (t, x, z) = P 0 + ρg(h0 − z) + ρ∂ϕ(t, x, z)

∂t= P 0 + ρg

[h0 − z + h′0

cosh(kz)

cosh(kh0)sin(kx− ωt)

].

Literatur

• Feynman [2, 3] Kapitel 40–1, 40–3 & 40–4 und [12, 13] Kapitel 47

• Guyon et al. [4] Kapitel 6

• Faber [5] Kapitel 2.8, 2.14, 3.6, 4

• Landau–Lifschitz [10] Kapitel I § 3, 5, 8–10, 12, Kapitel VIII § 64 & Kapitel IX § 84.



V. Strömungen eines Newtonschen Fluids

Dieses Kapitel stellt einige einfache Strömungen dissipativer Fluide dar. Im ganzen Kapitel, bis aufAbschnitt V.1.1, werden äußere Volumenkräfte der Einfachheit halber nicht berücksichtigt.

V.1 Statik und stationäre Strömungen eines dissipativen Fluids

In diesem Abschnitt werden zunächst die Hydrostatik des Newtonschen Fluids, dann ein paarstationäre inkompressible Strömungen untersucht.

V.1.1 Statisches viskoses Fluid

Ein statisches [~v(t, ~r) = ~0] viskoses Fluid sei im Gravitationspotential Φ(~r). Die gekoppeltenGleichungen (III.7), (III.33) und (III.37) lauten jeweils

∂ρ(t, ~r)

∂t= 0, (V.1a)

entsprechend der Zeitunabhängigkeit der Massendichte ρ(t, ~r),~∇P (t, ~r) = −ρ(t, ~r)~∇Φ(t, ~r), (V.1b)

analog der Grundgleichung (IV.1) der Hydrostatik eines idealen Fluids, und∂e(t, ~r)

∂t= ~∇ ·

[κ(t, ~r)~∇T (t, ~r)

], (V.1c)

die einen Energietransport ohne Bewegung, d.h. nicht-konvektiv, durch Wärmeleitung beschreibt.

V.1.2 Ebene Couette-Strömung

Der Einfachheit halber werden im Rest dieses Abschnitts nur inkompressible stationäre laminareStrömungen betrachtet. Da die Massendichte ρ bekannt ist, braucht man nur vier Gleichungen, um~v(~r) und P (~r) zu bestimmen, z.B. die Kontinuitäts- und Navier–Stokes-Gleichungen

~∇ ·~v(~r) = 0 (V.2a)[~v(~r) · ~∇

]~v(~r) = −1

ρ~∇P (~r) + ν4~v(~r), (V.2b)

mit ν der als konstant angenommenen kinematischen Viskosität.

Ein viskoses Fluid ströme zwischen zwei unendlich ausgedehnten ebenen Platten, wie in Abb. V.1dargestellt wird, wobei die untere Platte ruht, während die obere sich mit der konstanten Geschwin-digkeit ~u in ihrer Ebene bewegt.

-~u6

?

h

-x

6y

----

~v(y)

Abbildung V.1: Anordnung der ebenen Couette-Strömung.

Die Invarianz der Geometrie des Problems unter beliebigen Translationen in der (x, z)-Ebenebegründet einen Ansatz ~v(~r) = v(y)~ex für die Strömungsgeschwindigkeit. Setzt man diesen Ansatzin Gl. (V.2) ein, so kommen

∂v(y)

∂x= 0, (V.3a)

v(y)∂v(y)

∂x~ex = −1

ρ~∇P (~r) + ν

d2v(y)

dy2~ex. (V.3b)

V. Strömungen eines Newtonschen Fluids 43


Dank dem Ansatz ist die erste Gleichung trivial erfüllt, während der Term auf der linken Seite derzweiten Gleichung null ist. Die Letztere gibt also ∂P (~r)/∂y = 0 — entsprechend dem Vernachlässigender Schwerkraft —, ∂P (~r)/∂z = 0 — weil das Problem unabhängig von der z-Richtung ist —, und

∂P (~r)

∂x= η

d2v(y)

dy2. (V.4)

Die rechte Seite dieser Gleichung ist unabhängig von x und z. Somit liefert eine einfache IntegrationP (~r) = α(y)x+ β(y), wobei α, β nur von y abhängen.

Diese Funktionen folgen aus den Randbedingungen: wenn P (x=−∞) = P (x=∞) = P∞ gilt,dann ist α(y) = 0, β(y) = P∞ und Gl. (V.4) vereinfacht sich zu d2v(y)/dy2 = 0, was zu v(y) = γy+δführt, mit γ und δ zwei Konstanten.

Bei jeder Platte verschwindet die Geschwindigkeit der Strömung relativ zur jeweiligen Platte:v(y=0) = 0, v(y=h) = |~u|,

woraus δ = 0 und γ = |~u|/h folgen. Insgesamt gilt also die lineare Abhängigkeit

~v(~r) =y

h~u für 0 ≤ y ≤ h.

Die Kraft d2 ~Fs auf ein Flächenelement d2S folgt aus dem Spannungstensor [vgl. Gl. (III.28b)]

σij(~r) = −P (~r)δij + η

[∂vi(~r)

∂xj+∂vj(~r)

∂xi

]=

−P∞ η |~u|h 0

η |~u|h −P∞ 0

0 0 −P∞

.

Die Kraft pro Flächenelement auf die ruhende Ebene y = 0 mit Normaleinheitsvektor ~en(~r) = ~ey ist

d2 ~Fs(~r)

d2S= ~τs(~r) =

3∑i,j=1

σij(~r)(~ej ·~ey

)~ei =

η |~u|h

−P∞0

.

Wegen der Reibung wird die Platte durch die Strömung in die x-Richtung mitgezogen.

Bemerkung: Die Tangentialspannung ist η~u/h, proportional zur Scherviskosität: durch eine Mes-sung der Tangentialspannung bei bekannten |~u| und h erhält man also η. In der Praxis wird eherdas zylindrische Analogon dieser Strömung, die Couette–Taylor-Strömung , angewandt.

V.1.3 Strömung zwischen zwei ruhenden Platten

Ein Newtonsches Fluid ströme jetzt in der Anordnung der Abb. V.2, wobei die Platten in diex-Richtung endlich ausgedehnt sind und ruhen. Außerdem wird ein Druckgradient in die x-Richtungangewandt.

6

?

h

-L

-x

6yP 1 P 2

-----

--

Abbildung V.2: Strömung zwischen zwei ruhenden Platten für P 1 > P 2, d.h. ∆P > 0.

Die Differentialgleichungen zur Bestimmung von ~v(~r) und P (~r) sind dieselben wie im vorigenAbschnitt V.1.2, Gl. (V.3)–(V.4); jetzt sind aber die Randbedingungen unterschiedlich. Aus P 1 6= P 2

folgt die Existenz eines nicht-verschwindenden Druckgradienten α = ∂P (~r)/∂x ≡ −∆P/L 6= 0, mit∆P ≡ P 1 − P 2 dem Druckgefälle. Dann folgt aus Gl. (V.4) die Abhängigkeit

v(y) = − 1

2η

∆PLy2 + γy + δ,

mit γ und δ zwei neuen Konstanten.



Die Randbedingungen für die Geschwindigkeit bei den Platten lauten

v(y=0) = 0, v(y=h) = 0,

was zu δ = 0 und γ =1

2η

∆PLh führt. Die Strömungsgeschwindigkeit ist also gegeben durch

v(y) =1

2η

∆PL

[y(h− y)

]für 0 ≤ y ≤ h,

und ist in die Richtung des Druckgradienten gerichtet.

V.1.4 Strömung in einem Rohr

Bei der sog. Hagen–Poiseuille-Strömung handelt es sich um die Strömung in einem zylindrischenRohr mit endlicher Länge L und Radius a in Anwesenheit eines Druckgradienten (Abb. V.3)

a

-L

P 1 P 2-z

Abbildung V.3: Anordnung der Hagen–Poiseuille-Strömung.

Der Ansatz~v(~r) = v(r)~ez mit r =√x2 + y2 genügt der Kontinuitätsgleichung ~∇ · ~v(~r) = 0 und

liefert für die inkompressiblen Navier–Stokes-Gleichungen

~∇P (~r) = η4~v(~r) ⇔

∂P (~r)

∂x=∂P (~r)

∂y= 0

∂P (~r)

∂z= η

[∂2v(r)

∂x2+∂2v(r))

∂y2

]= η

[d2v(r)

dr2+

1

r

dv(r)

dr

].

(V.5)

Der Term auf der rechten Seite der zweiten Zeile hängt nicht von z ab, so dass der Druckgradientin die z-Richtung gleich einer Konstante ist:

∂P (~r)

∂z= −∆P

L,

mit ∆P ≡ P 1 − P 2. Somit lautet die z-Komponente der Navier–Stokes-Gleichung (V.5)d2v(r)

dr2+

1

r

dv

dr= −∆P

ηL. (V.6)

Um die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen linearen Differentialgleichung zu fin-den, kann man zunächst χ(r) ≡ dv(r)/dr einführen. Dann genügt χ der Gleichung

dχ(r)

dr+χ(r)

r= 0,

was zu lnχ(r) = − ln r+Konstante führt, d.h. χ(r) = A/r mit A einer Konstante. Nach Integrationergibt sich dann v(r) = A ln r +B mit B einer zusätzlichen Konstante.

Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist v(r) = Cr2 mit C = −∆P4ηL

, sodass die allgemeine Lösung der Gl. (V.6) gegeben ist durch

v(r) = A ln r +B − ∆P4ηL

r2.

Damit die Strömungsgeschwindigkeit bei r = 0 endlich bleibt, muss A = 0 gelten. Außerdem lie-fert die Randbedingung bei der Rohrwand v(r=a) = 0 die Konstante B = (∆P/4ηL)a2. Insgesamtgilt also

v(r) =∆P4ηL

(a2 − r2

)für r ≤ a. (V.7)

Wie erwartet ist ~v in die gleiche Richtung wie das Druckgefälle gerichtet.



Eine einfache Integration liefert den Massenstrom durch das Rohr:

Q =

∫ a

0ρv(r) 2πr dr = 2πρ

∆P4ηL

∫ a

0

(a2r − r3

)dr = 2πρ

∆P4ηL

a4

4=πρa4

8η

∆PL. (V.8)

Dieses Resultat wird Hagen–Poiseuille-Gleichung genannt und bedeutet, dass der Massenstromproportional zum Druckgefälle pro Längeneinheit ist.

Bemerkungen:∗ Die Hagen–Poiseuille-Gleichung gilt nur unter der Annahme, dass die Strömungsgeschwindigkeitan der Rohrwand verschwindet. Deshalb ist die experimentelle Bestätigung der Formel — die durchHagen (1839) und Poiseuille (1840) experimentell gefunden wurde — ein Beweis der Gültigkeit desAnsatzes für die Randbedingungen.

∗ Der Massenstrom durch den Querschnitt des Rohrs lässt sich mithilfe der mittleren Strömungs-geschwindigkeit

〈v〉 ≡ 1

πa2

∫ a

0v(r) 2πr dr =

1

2v(r=0)

alsQ = πa2ρ 〈v〉 umschreiben. Dann bedeutet die Hagen–Poiseuille-Gleichung, dass das Druckgefällepro Längeneinheit in einer laminaren Strömung proportional zu 〈v〉 ist.Die Beziehung ist ziemlich unterschiedlich in einer turbulenten Strömung: z.B. lieferten Messungendurch Reynolds [14] die Abhängigkeit ∆P/L ∝ 〈v〉1,722.

V.2 Ähnlichkeitsgesetz

Die inkompressible Strömung eines Fluids genügt der Kontinuitätsgleichung ~∇ ·~v(t, ~r) = 0 undder Navier–Stokes-Gleichung (III.34). Um den Einfluss der Eigenschaften des Fluids ρ und η bzw.ν auf die Strömung zu bestimmen, ist es günstig, eine dimensionslose Form der Navier–Stokes-Gleichung zu betrachten.

Sei Lc bzw. vc eine charakteristische Länge bzw. Geschwindigkeit für eine gegebene Strömung.Damit kann man die physikalischen Größen skalieren, um dimensionslose Größen zu erhalten, diehiernach mit ∗ bezeichnet werden:

~r ∗ ≡ ~r

Lc, ~v∗ ≡

~v

vc, t∗ ≡ t

Lc/vc, P ∗ ≡ P − P 0

ρv2c

,

wobei P 0 irgendeinen charakterischen Wert des Drucks bezeichnet. Somit lässt sich die inkompres-sible Navier–Stokes-Gleichung umschreiben als

∂~v∗(t∗, ~r ∗)

∂t∗+[~v∗(t∗, ~r ∗) · ~∇∗

]~v∗(t∗, ~r ∗) = −~∇∗P ∗(t∗, ~r ∗) +

η

ρvcLc4∗~v∗(t∗, ~r ∗), (V.9)

mit ~∇∗ bzw. 4∗ dem Gradienten bzw. Laplace-Operator bezüglich der reduzierten Ortsvariable ~r ∗.Diese Gleichung enthält einen einzigen dimensionslosen Parameter, die Reynolds-Zahl

Re ≡ ρvcLcη

=vcLcν

. (V.10)

Diese Zahl bildet ein Maß für die relative Wichtigkeit der Trägheits- und Reibungskräfte auf einFluidelement oder einen im Fluid untergetauchten Körper: bei großer bzw. kleiner Re sind viskoseEffekte vernachlässigbar bzw. vorherrschend.

Die Lösungen für die Felder ~v∗, P ∗ bei gegebenen Randbedingungen werden durch die un-abhängigen Variablen t∗, ~r ∗, die Reynolds-Zahl und die Geometrie des Problems (entsprechenddimensionslosen Verhältnissen von geometrischen Längen) festgelegt:

~v∗(t∗, ~r ∗) = ~f(t∗, ~r ∗,Re), P ∗(t∗, ~r ∗) = g(t∗, ~r ∗,Re), (V.11)



mit ~f bzw. g einer vektoriellen bzw. skalaren Funktion. Dann sind Strömungsgeschwindigkeit undDruck gegeben durch

~v(t, ~r) = vc ~f

(vct

Lc,~r

Lc,Re

), P (t, ~r) = P 0 + ρv2

cg

(vct

Lc,~r

Lc,Re

).

Die letzteren Gleichungen liegen der Modellierung in der Fluiddynamik mithilfe Versuchsmodellein reduziertem Maßstab zugrunde: Es seien Lc, vc bzw. LM, vM die charakteristischen Länge undGeschwindigkeit für die Strömung in realer Größe bzw. im entsprechenden Versuchsmodell, wobeidas gleiche Fluid benutzt wird. Für vM/vc = LM/Lc ist die Reynolds-Zahl für die Modellströmunggleich der Zahl für die Strömung in realer Größe und beide Strömungen sind ähnlich, d.h. besitzendie gleichen ~v∗ und P ∗.

Bemerkungen:∗ Die Navier–Stokes-Gleichung enthält keinen Parameter mit der Dimension entweder einer Längeoder einer Geschwindigkeit. Deshalb spiegeln Lc und vc die Randbedingungen wider.

Folglich ist die Reynolds-Zahl ist keine Eigenschaft eines Fluids, sondern eine Eigenschaft einergegebenen Strömung dieses Fluids.

∗ Wenn die Strömungsgeschwindigkeit durch die Schwerkraft beeinflusst wird, muss deren Kräf-tedichte −~g im rechten Glied der inkompressiblen Navier–Stokes-Gleichung (III.34) berücksichtigtwerden. Dementsprechend tritt auf der rechten Seite der dimensionslosen Gleichung (V.9) ein zu-sätzlicher Term proportional zu 1/Fr2 auf, mit Fr ≡ vc/

√gLc der Froude-Zahl , die ein Maß für das

Verhältnis von Trägheitseffekten zu Schwereeffekten darstellt. Dann sind~v∗, P ∗ Funktionen von t∗,~r ∗ und von den Parametern Re und Fr.

∗ Die oben diskutierte Abhängigkeit einer „abhängigen Variable“ (~v, P ) von „unabhängigen Varia-blen“ (t, ~r) und einem dimensionslosen Parameter (Re) stellt ein einfaches Beispiel für das allgemeineπ-Theorem von (Vaschy–)Buckingham [15] in der Dimensionsanalyse dar, vgl. z.B. [16], Kapitel 7.

V.3 Strömungen mit kleiner Reynolds-Zahl

In diesem Abschnitt werden Strömungen bei kleiner Reynolds-Zahl Re studiert, entsprechendder Vorherrschaft der viskosen Effekte über die Effekte der Trägheit. Solche Strömungen werdenauch Stokes- oder schleichende Strömungen genannt.

V.3.1 Relevanz. Bewegungsgleichung

Die Strömungen mit kleiner Reynolds-Zahl können sehr unterschiedlicher Natur sein, da dieseZahl drei17 physikalische Größen zusammenbindet, deren Größenordnung um viele Zehnerpotenzenvariieren kann:

• Bewegung mikroskopischer Objekte; dann spiegelt der kleine Wert der Reynolds-Zahl die kleineLängenskala Lc wider.

– Für die Bewegung in Wasser (η ≈ 10−3 Pa·s) einer Bakterie der Größe Lc ≈ 5 µm mit derGeschwindigkeit vc ≈ 10 µm·s−1 ist Re ≈ 5 · 10−5: wenn die Bakterie ihre Propulsions-bewegung stoppt, wird sie sofort durch die Zähigkeit des Wassers(!) abgebremst.18 Ähn-licherweise dienen schleichende Strömungen auch der Beschreibung der Bewegung vonReptilien in Sand [18].

– Dynamik einer Suspension von Teilchen kleiner Größe.

17Die Massendichte erhält bei Fluiden etwa immer die gleiche Größenordnung.18Eine längere Diskussion der Bewegung einer Bakterie durch einen Nobelpreisträger ist in Ref. [17] zu finden.



• Bewegung geologisches Materials mit kleiner Geschwindigkeit: die kleine vc und die hohe Scher-viskosität kompensieren in diesem Fall den möglich großen Wert von Lc.

Beispielsweise entspricht der Bewegung des Erdmantels19 (Lc ≈ 100 km, vc ≈ 10−5 m·s−1,ρ ≈ 5 · 103 kg·m−3 und η ≈ 1022 Pa·s) eine Reynolds-Zahl Re ≈ 10−18.

Alle diese Beispiele stellen inkompressible Strömungen dar, so dass im Folgenden die Inkompressi-bilität der Strömung angenommen wird. Der Einfachheit halber werden nur stationäre Strömungenbetrachtet.

Physikalisch bedeutet eine kleine Reynolds-Zahl, dass die Effekte der Trägheit venachlässigbargegenüber denjenigen der Viskosität sind. Dementsprechend ist der konvektive Term

(~v · ~∇

)~v klein

gegen den viskosen Term. Unter den weiteren Annahmen der Stationarität und Inkompressibilitätder Strömung vereinfacht sich dann die Navier–Stokes-Gleichung (III.33) zur Stokes-Gleichung

~∇P (~r) = η4~v(~r). (V.12)

Die Navier–Stokes-Gleichung wird also linearisiert.

Unter Verwendung der Relation

~∇×[~∇× ~a(~r)

]= ~∇

[~∇ · ~a(~r)

]−4~a(~r) (V.13)

und der Definition der Wirbligkeit lässt sich die Stokes-Gleichung als

~∇P (~r) = −η~∇× ~ω(~r) (V.14)

umschreiben, wobei die Inkompressibilität der Strömung benutzt wurde. Daraus folgt dann20

4P (~r) = 0. (V.15)

Bildet man die Rotation der Gl. (V.14), so verschwindet die linke Seite, während für den rechtenGlied die Gl. (V.13) und die Inkompressibilität zu

4~ω(~r) = ~0 (V.16)

führen, d.h. die Wirbligkeit genügt der Poisson-Gleichung.

V.3.2 Eigenschaften der Lösungen

Aus der Linearität der Stokes-Gleichung folgen verschiedene Eigenschaften deren Lösungen:21

• Einzigartigkeit der Lösung bei gegebenen Randbedingungen.

• Überlagerbarkeit der Lösungen: wenn ~v1, ~v2 die Gl. (V.12) lösen, dann ist λ1~v1 + λ2~v2 mitλ1, λ2 ∈ R ebenfalls eine Lösung, vorausgesetzt die Randbedingungen werden entsprechendgeändert. Die Reynolds-Zahl der neuen Strömung muss aber klein bleiben!

Physikalisch bedeutet die Multiplikation eines Geschwindigkeitsfeld ~v(~r) mit einer Konstante λ dieÄnderung des Materienstroms, während die Stromlinien (II.1b) unverändert bleiben.

19Mithilfe der Massendichte, der Scherviskosität und der typischen Schallgeschwindigkeit cs ≈ 5000 m·s−1 für dieTransversalwellen lässt sich eine charakteristische Zeitskala tMantel = η/ρc2s ≈ 3000 Jahre bilden. Für Bewegungenmit einer Zeitskala tc tMantel verhält sich der Mantel wie ein Festkörper — z.B. für die Ausbreitung von Wellennach einem Erdbeben —, während der Mantel für Bewegungen mit einer „geologischen“ Skala tc tMantel als eineFlüssigkeit betrachtet werden kann.

20Trotz ihrer Einfachheit ist Gl. (V.15) in der Praxis nicht die nützlichste, da die Randbedingungen für eineStrömung sich in den meisten Fällen auf die Geschwindigkeit beziehen, nicht auf den Druck.

21Beweise können in Ref. [4], Kapitel 8.2.3 gefunden werden.



Den Lösungen ~v(~r) und λ~v(~r) entspricht das gleiche dimensionlose Geschwindigkeitsfeld ~v∗ mitunterschiedlichen charakteristischen Geschwindigkeiten vc bzw. λvc, die wiederum zu unterschied-lichen Reynolds-Zahlen führen. Für diese Lösungen hängt also ~v∗ [Gl. (V.11)] — und dadurch P ∗,Gl. (V.12) — nicht von der Reynolds-Zahl ab, sondern nur von der Variable ~r ∗: ~v = vc ~f

(~r/Lc

).

Die Tangentialspannung ist dann aus dimensionalen Gründen η∂vi/∂xj ∼ ηvc/Lc, so dass dieinduzierte (Reibungs-)Kraft auf ein Objekt der Größe22 Lc proportional zu ηvcLc ist, wie hiernachauf ein Beispiel illustriert wird [vgl. Gl. (V.21)].

V.3.3 Strömung um eine Kugel

Eine Kugel mit dem Radius R wird in eine Flüssigkeit (Massendichte ρ, Scherviskosität η)eingetaucht, die weit von der Kugel mit der gleichförmigen Geschwindigkeit ~v∞ strömt [Abb. V.4].Es wird angenommen, dass Re = ρ|~v∞|R/η klein ist, so dass die Strömung im Bereich der Kugelals schleichend betrachtet werden kann.

~v∞ ~er~eϕ

ϕ

Abbildung V.4: Stokes-Strömung um eine Kugel.

Man sucht für die Strömungsgeschwindigkeit eine Lösung der Form ~v(~r) = ~v∞ +~u(~r), mit derRandbedingung ~u(~r) = ~0 für |~r| → ∞. Im Folgenden wird ein Kugelkoordinatensystem mit demUrsprungspunkt im Zentrum der Kugel benutzt.

Dank der Linearität der Gleichung (V.16) muss ~u Lösung von

4[~∇×~u(~r)

]= ~0 (V.17a)

sein, sowie von~∇ ·~u(~r) = 0, (V.17b)

entsprechend der Inkompressibilität der Strömung.Um der letzteren Gleichung automatisch zu genügen, wird~u(~r) als die Rotation eines Vektorfeldes

~V (~r) gesucht. Dimensionale Betrachtungen deuten auf die Proportionalität dieses Vektorfeldes mit~v∞ hin. Man macht also den Ansatz23

~V (~r) = ~∇×[f(r)~v∞

]= ~∇f(r)×~v∞,

mit f(r) einer Funktion von r = |~r|, d.h. f hängt nur vom Abstand zur Kugel ab: außer der Richtungvon~v∞, die im Ansatz schon berücksichtigt wird, gibt es keine weitere bevorzugte Richtung, so dassf kugelsymmetrisch ist.

Somit gilt dank der Relation (V.13) und der Identität ~∇ · [f(r)~v∞] = ~∇f(r) ·~v∞~u(~r) = ~∇× ~V (~r) = ~∇

[~∇f(r) ·~v∞

]−4f(r)~v∞. (V.18)

Die Rotation des ersten Terms im rechten Glied ist null, trägt also nicht beim Einsetzen von ~u(~r)in Gleichung (V.17a) bei:

~∇×~u(~r) = −~∇×[4f(r)~v∞

]= −~∇

[4f(r)

]×~v∞,

22Wie in Abschnitt V.2 bemerkt wurde, sind die charakteristischen Skalen durch die Randbedingungen bestimmt.23Mit dem anscheinend einfacheren Ansatz ~u(~r) = ~∇×

[f(r)~v∞

]wäre ~u(~r) immer senkrecht auf ~v∞, so dass ~v(~r)

bei der Kugeloberfläche nicht verschwinden könnte.



so dass4(~∇[4f(r)

])×~v∞ = ~0.

Da f(r) unabhängig von den Azimutal- und Polarwinkeln ist, hat 4(~∇[4f(r)

])nur eine Kom-

ponente entlang der radialen Richtung mit Einheitsvektor~er, und kann somit nicht immer parallel zu~v∞ sein. Deshalb muss 4

(~∇[4f(r)

])selbst verschwinden. Außerdem prüft man komponentenweise

die Identität 4(~∇[4f(r)

])= ~∇

(4[4f(r)]

)nach, so dass die obige Gleichung sich als

4[4f(r)] = Konstante

umschreiben lässt. Die Konstante muss Null sein, da es sich um die vierten Ableitungen von f(r) han-delt, während die Geschwindigkeit ~u(~r), die nur von den zweiten Ableitungen abhängt [Gl. (V.18)],bei r →∞ verschwindet. Es gilt also 4[4f(r)] = 0.

In Kugelkoordinaten lautet der Laplace-Operator

4 =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r− `(`+ 1)

r2,

mit ` einer ganzen Zahl, die vomWinkelanteil abhängt. Wegen der Kugelsymmetrie des Problems fürf soll hier ` = 0 genommen werden. Macht man den Ansatz 4f(r) = C/rα, so wird 4[4f(r)] = 0nur für α = 0 or 1 erfüllt; mit Gl. (V.18) und der Bedingung ~u(~r) → ~0 für r → ∞ ist nur α = 1möglich.

Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung

4f(r) =d2f(r)

dr2+

2

r

df(r)

dr=C

r(V.19a)

ist dann durchf(r) = A+

B

r+C

2r (V.19b)

gegeben, wobei die zwei ersten Terme im rechten Glied die allgemeine Lösung der assoziiertenhomogenen Differentialgleichung darstellen, während der dritte Term eine spezielle Lösung der in-homogenen Gleichung ist.

Gleichungen (V.18) und (V.19) führen zum Geschwindigkeitsfeld

~u(~r) = ~∇[(−B ~r

r3+C

2

~r

r

)·~v∞

]− C

r~v∞ = −B

~v∞ − 3(~er ·~v∞

)~er

r3+C

2

~v∞ −(~er ·~v∞

)~er

r− C

r~v∞

= −B~v∞ − 3

(~er ·~v∞

)~er

r3− C

2

~v∞ +(~er ·~v∞

)~er

r.

Die Randbedingungen für die Strömungsgeschwindigkeit~v(~r) =~v∞+~u(~r) bei der Kugeloberflä-che lauten ~v(|~r|=R) = ~0, d.h.(

1− B

R3− C

2R

)~v∞ +

(3B

R3− C

2R

)(~er ·~v∞

)~er = ~0.

Dies gilt für jeden ~er vorausgesetzt B =R3

4und C =

6B

R2=

3R

2, was führt zu

~v(~r) =~v∞ −3R

4r

[~v∞ +

(~er ·~v∞

)~er]− R3

4r3

[~v∞ − 3

(~er ·~v∞

)~er]. (V.20)

Das Einsetzen dieser Strömungsgeschwindigkeit in die Stokes-Gleichung (V.12) liefert den Druck

P (~r) =3

2ηR

~er ·~v∞r2

+ Konstante.

Somit erhält man die mechanische Spannung (III.29) in einem Punkt der Oberfläche der Kugel.Nach Integration ergibt sich die durch die Strömung geübte Kraft auf die Kugel

~F = 6πRη~v∞. (V.21)

Dieses Resultat wird als Stokes-Gesetz bekannt.



Bemerkungen:∗ Das Geschwindigkeitsfeld für die Potentialströmung eines idealen Fluids um eine Kugel mit demRadius R ist24

~v(~r) =~v∞ +R3

2r3

[~v∞ − 3

(~er ·~v∞

)~er].

Die zugehörige Abnahme der Geschwindigkeit ist viel steiler als für eine Stokes-Strömung (V.20),entsprechend dem Transport von Impuls durch die Viskosität in der Letzteren.

∗ Die Näherung einer durch die Stokes-Gleichung beschriebenen Strömung mit kleiner Reynolds-Zahl gilt nur in der Nähe der Kugel.

∗ Im Limes η → 0, d.h. eines idealen Fluids, verschwindet die Kraft auf die Kugel (V.21): diesstellt ein Beispiel vom d’Alembertschen Paradoxon dar.

∗ Der Proportionalitätsfaktor zwischen Geschwindigkeit und Kraft wird als Beweglichkeit bzw.Mobilität µ bezeichnet. Laut Gl. (V.21) gilt für eine Kugel in einer Stokes-Strömung µ = 1/(6πRη).In seinem berühmten Artikel über die Brownsche Bewegung [19] hat Einstein diese Beweglichkeitmit dem Diffusionskoeffizienten D suspendierter Kugeln in einer ruhenden Flüssigkeit verknüpft:

D = µkBT =kBT

6πRη.

Perrin konnte diese Formel (Stokes–Einstein-Gleichung) experimentell bestätigen und dadurch dieAvogadro-Konstante bestimmen und die „diskontinuierliche Struktur der Materie“ nachweisen [20].

Literatur

• Feynman [2, 3] Kapitel 41

• Guyon et al. [4] Kapitel 4 & 8

• Landau–Lifschitz [10] Kapitel II § 15–20 & Kapitel V § 49–50

• Faber [5] Kapitel 6.

24Dies wird z.B. in Landau–Lifschitz [10] § 10 Problem 2 gezeigt.



VI. Hydrodynamik des relativistischen Fluids

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Dynamik eines relativistischen Fluids in einem fla-chen Minkowski-Raum mit dem metrischen Tensor ηµν = diag(1,−1,−1,−1) dargelegt. Hiernachbezeichnet x einen Punkt der Raumzeit mit den kontravarianten Koordinaten (x0 = ct, x1, x2, x3)bezüglich eines festen Bezugssystems B.

VI.1 Grundgleichungen der relativistischen Fluiddynamik

Wie in der nicht-relativistischen Hydrodynamik sind die Grundgleichungen der Dynamik einesrelativistischen Fluids Bilanzgleichungen (Abschn. VI.1.1 und VI.1.2). Um die Größen, die in denGrundgleichungen auftreten, durch die üblichen thermodynamischen Variablen auszudrücken, istdie Einführung einer Strömungsgeschwindigkeit nötig (Abschn. VI.1.3). Je nachdem, ob die Erhal-tungsgrößen nur vom Geschwindigkeitsfeld abhängen, oder auch von dessen Gradienten, beschreibendie Grundgleichungen ideale bzw. dissipative Fluide (Abschn. VI.1.4 und VI.1.5).

VI.1.1 Teilchenzahlerhaltung

Streng genommen ist in einer relativistischen Quanten(feld)theorie die Teilchenzahl nicht erhal-ten, weil die hohe kinetische Energie der Teilchen die Erzeugung von Teilchen-Antiteilchen-Paarenständig erlaubt, die dann wieder miteinander vernichten können. Die Differenz zwischen den Zahlenvon Teilchen und Antiteilchen kann aber konstant bleiben, wenn die Teilchen irgendeine erhalteneadditive Quantenzahl – wie z.B. eine elektrische Ladung oder eine Baryonenzahl — tragen, washiernach angenommen wird. Somit steht “Teilchenzahl“ in diesem Kapitel tatsächlich für Netto-Teilchenzahl. Dies gilt auch für die Teilchendichte und -stromdichte.

Der Einfachheit halber befasst sich dieses Kapitel mit relativistischen Fluiden bestehend auseiner einzigen Art von Teilchen, mit der Masse m, zusammen mit deren Antiteilchen.

Die lokale Teilchendichte n(t, ~r) im Fluid ist so definiert, dass n(t, ~r) d3~r die Anzahl von Teilchenim Volumen d3~r um den Punkt ~r zur Zeit t ist. Da das Volumenelement d3~r vom Bezugssystemabhängt, muss es auch der Fall für die Teilchendichte n(t, ~r) sein, damit die Teilchenzahl im Volu-menelement bezugssystemunabhängig sei. Statt n(t, ~r) wird hiernach auch n(x) geschrieben.Auf die gleiche Weise wird die Teilchenstromdichte ~(t, ~r) definiert. Zusammen bilden die beideneinen Viererstrom N(x) mit kontravarianten Koordinaten

Nµ(x) =(c n(t, ~r),~(t, ~r)

). (VI.1)

Die Erhaltung der Teilchenzahl in der Bewegung des Systems lautet dann einfach

∂µNµ(x) = 0, (VI.2)

mit ∂µ ≡∂

∂xµdem Vierergradienten.

Hier und im Folgenden wird die Einsteinsche Summenkonvention über doppelt auftretende Lorentz-Indizes benutzt.

Bemerkung: Allgemeiner wird jeder unabhängigen erhaltenen Ladung ein Viererstrom Jµ(x) zu-geordnet, der einer ähnlichen Gleichung ∂µJµ(x) = 0 genügt.

VI.1.2 Energieimpulserhaltung

In der Relativitätstheorie bilden Energie und Impuls die Zeit- bzw. Raumkomponenten einesVierervektors. Um die lokale Bilanz des Letzteren auszudrücken, müssen die Dichten und Strom-dichten der Energie und des Impulses in jedem Punkt x der Raumzeit in einen Vierertensor zweiterStufe zusammengesetzt werden, den Energieimpulstensor T(x).

VI. Hydrodynamik des relativistischen Fluids 52


Dieser Energieimpulstensor wird durch seine 16 kontravarianten Komponenten Tµν(x) definiert:

• T 00(x) ist die Energiedichte;• cT 0j(x) ist die j-Komponente der Energiestromdichte, mit j = 1, 2, 3;

• 1

cT i0(x) ist die Dichte des i-Komponente des Impulses, mit i = 1, 2, 3;

• T ij(x) für i, j = 1, 2, 3 ist der Impulsstromdichtetensor.

(VI.3)

Die Erhaltung des Energieimpulstensors in Abwesenheit von äußeren Kräften lautet dann

∂µTµν(x) = 0. (VI.4)

Dabei entspricht die Gleichung ∂µTµ0(x) = 0 der Energieerhaltung, während die Gleichungen∂µT

µj(x) = 0 für j = 1, 2, 3 die Komponenten der Impulserhaltung darstellen.

Bemerkung:Man kann zeigen, ausgehend aus einer mikroskopischen Beschreibung des Fluids, dassder Energieimpulstensor symmetrisch ist.

VI.1.3 Vierergeschwindigkeit einer Strömung. Lokales Ruhesystem

Allgemein wird die Vierergeschwindigkeit einer Strömung als ein zeitartiges Vierervektorfeld u(x)mit dem Betrag c in jedem Punkt x definiert, d.h.

[u(x)]2 = uµ(x)uµ(x) = c2, ∀x, (VI.5)

mit uµ(x) den kontravarianten Komponenten von u(x).In jedem Punkt x der Strömung kann man dann ein Eigenbezugssystem definieren, das lokale

Ruhesystem, in dem die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit verschwinden

uµ(x)∣∣LR(x)

= (c, 0, 0, 0). (VI.6)

Das lokale Ruhesystem stellt das Bezugssystem dar, in dem die thermodynamischen Variablen —Teilchendichte n(x), Energiedichte ε(x) — definiert sind:

n(x) ≡ n(x)∣∣LR(x)

, ε(x) ≡ T 00(x)∣∣LR(x)

. (VI.7)

Für die anderen lokalen thermodynamischen Größen wird angenommen, dass sie den gleichen Bezie-hungen zu n(x) und ε(x) genügen, als wenn das Fluid im thermodynamischen Gleichgewicht ist: derDruck P (x) wird durch die mechanische Zustandsgleichung P (x) = P (ε(x), n(x)) gegeben, die Tem-peratur T (x) durch die thermische Zustandsgleichung, die Entropiedichte s(x) durch die Gibbs’scheFundamentalgleichung, usw.

Bemerkungen:∗ Die relativistische Energiedichte ε weicht von der nicht-relativistischen inneren Energiedichtee ab, denn sie beinhaltet auch die Massenenergien der Teilchen und Antiteilchen, die im nicht-relativistischen Fall nicht berücksichtigt werden.

∗ Um zwischen die bezugssystemabhängigen Größen — z.B. Teilchendichte n(x) oder EnergiedichteT 00(x) — und den entsprechenden Größen im lokalen Ruhesystem — n(x), ε(x) — zu unterscheiden,werden die Letzteren als mitbewegt bezeichnet.

Schreibt man

n(x) ≡ n(x)∣∣LR(x)

=1

cN0(x)

∣∣LR(x)

=1

c2Nµ(x)uµ(x)

∣∣LR(x)

=1

c2Nµ(x)uµ(x), (VI.8)

so findet man, dass n(x) ein Lorentz-Skalarfeld ist. In ähnlicher Weise gilt

ε(x) ≡ T 00(x)∣∣LR(x)

=1

c2uµ(x)Tµν(x)uν(x)

∣∣LR(x)

=1

c2uµ(x)Tµν(x)uν(x), (VI.9)

unabhängig vom Bezugssystem.



Sei ~v(x) die Geschwindigkeit relativ zum Bezugssystem B des lokalen Ruhesystems assoziiertmit dem Fluidelement im Punkt x. Im Bezugssystem B lauten die kontravarianten Koordinaten derVierergeschwindigkeit der Strömung

uµ(x) =(γ(x)c, γ(x)~v(x)

), (VI.10)

mit γ(x) = 1/√

1−~v(x)2/c2 dem zugehörigen Lorentz-Faktor.

Jetzt werden Modelle gebraucht, um die erhaltenen Größen — Vierer-Teilchenstrom N(x) undEnergieimpulstensor T(x) — durch die Vierergeschwindigkeit u(x) und die mitbewegten thermo-dynamischen Größen auszudrücken.

VI.1.4 Ideales relativistisches Fluid

In einem idealen Fluid gibt es definitionsgemäß keinen dissipativen Strom. Somit kann man fürjeden Punkt x des Fluids ein Bezugssystem finden, in dem die Eigenschaften des Fluids in der Umge-bung von x isotrop sind, entsprechend der Annahme des lokalen thermodynamischen Gleichgewicht.Dieses Bezugssystem stellt dann die natürliche Wahl für das lokale Ruhesystem im Punkt x dar.

::::::::VI.1.4 a

:::::::::::::::::::::Vierer-Teilchenstrom

::::und

::::::::::::::::::::Energieimpulstensor

::::::eines

:::::::idealen

:::::::Fluids

Im lokalen Ruhesystem assoziiert mit dem Punkt x im Fluid sind die lokalen Eigenschaften desFluid isotrop. Daher sollen der Teilchenstrom ~(x), die Energiestromdichte cT 0j(x) in Richtung j,und die Dichte c−1T i0(x) des i-Komponenten des Impulses im lokalen Ruhesystem verschwinden.Dazu soll der Impulsstromdichtetensor T ij(x) in diesem System diagonal sein. Somit gelten

N0(x)∣∣LR(x)

= cn(x), ~(x)∣∣LR(x)

= ~0, (VI.11a)

und

T 00(x)∣∣LR(x)

= ε(x),

T ij(x)∣∣LR(x)

= P (x)δij , ∀i, j = 1, 2, 3 (VI.11b)

T i0(x)∣∣LR(x)

= T 0j(x)∣∣LR(x)

= 0, ∀i, j = 1, 2, 3

wobei die Definitionen (VI.7) berücksichtigt wurden, während P (x) den Druck bezeichnet. In Ma-trixform lautet der Energieimpulstensor (VI.11b)

Tµν(x) =

ε(x) 0 0 0

0 P (x) 0 00 0 P (x) 00 0 0 P (x)

. (VI.11c)

In einem allgemeinen Bezugssystem lauten die Komponenten des Vierer-Teilchenstroms bzw.des Energieimpulstensors eines idealen Fluids

Nµ(x) = n(x)uµ(x), (VI.12a)

bzw.

Tµν(x) = −P (x)ηµν +[ε(x) + P (x)

]uµ(x)uν(x)

c2. (VI.12b)

Gleichung (VI.12a) bzw. (VI.12b) stellt eine Identität zwischen zwei kontravarianten Vierervek-toren bzw. kontravarianten Tensoren zweiter Stufe dar, die sich unter Lorentz-Transformationenidentisch transformieren. Da diese Vierervektoren bzw. Tensoren in einem Bezugssystem — demlokalen Ruhesystem — übereinstimmen, sind sie gleich in allen Bezugssystemen.

Bemerkungen:∗ Der Energieimpulstensor (VI.12b) ist offenbar symmetrisch. Beispielsweise bedeutet die Gleich-heit T i0 = T 0i, dass 1/c mal die Energiestromdichte in Richtung i gleich c mal der i-Komponente



der Impulsdichte ist. Das ist in der Relativitätstheorie möglich, weil die relativistische Energiedichtedie Massenenergie einschließt.

∗ Der Energieimpulstensor (VI.12b) lässt sich noch trivial als

Tµν(x) = ε(x)uµ(x)uν(x)

c2− P (x)∆µν(x) (VI.13a)

umschreiben, wobei der Tensor

∆µν(x) ≡ ηµν − uµ(x)uν(x)

c2(VI.13b)

eine Projektion auf den dreidimensionalen Vektorraum orthogonal auf uµ(x) bezeichnet.

Man prüft einfach die Identitäten ∆µν(x)∆νρ(x) = ∆µρ(x) und ∆µν(x)uν(x) = 0 nach.

∗ Gleichung (VI.12b) bzw. (VI.13a) stellt den allgemeinsten symmetrischen Tensor zweiter Stufedar, der mit nur der Vierergeschwindigkeit uµ(x) konstruiert werden kann.

:::::::::VI.1.4 b

::::::::::::::Entropiebilanz

:::in

::::::einem

:::::::idealen

::::::Fluid

Sei jetzt s(x) die im lokalen Ruhesystem definierte Entropiedichte des Fluids.

EntropieerhaltungDie Grundgleichungen (VI.2) und (VI.4) führen für ein ideales Fluid automatisch zur Entropie-

erhaltung∂µ[s(x)uµ(x)

]= 0, (VI.14)

mit s(x)uµ(x) dem Vierer-Entropiestrom.

Beweis: Die Beziehung U = TS − PV + µN mit U bzw. µ der inneren Energie bzw. demchemischen Potential gibt für die lokalen thermodynamischen Größen ε = Ts − P + µn . Dannkann diese Energiedichte in den Ausdruck (VI.12b) des Energieimpulstensors eingesetzt werden(der Kürze halber wird die Abhängigkeit nach x nicht geschrieben):

Tµν = −Pηµν + (Ts+ µn)uµuν

c2= −Pηµν +

[T (suµ) + µ(nuµ)

]uνc2.

Der Vierergradient ∂µ dieser Identität lautet

∂µTµν = −∂νP +

[T (suµ) +µ(nuµ)

]∂µuνc2

+[s∂µT + n∂µµ

]uµuνc2

+[T∂µ(suµ) +µ∂µ(nuµ)

]uνc2.

Die linke Seite dieser Gleichung verschwindet dank der Energieimpulserhaltung (VI.4). Dannlässt sich der zweite Term in eckigen Klammern auf der rechten Seite mithilfe der Gibbs–Duhem-Gleichung s∂µT + n∂µµ = ∂µP umschreiben. Schließlich kann die Kontinuitätsgleichung (VI.2)im allerletzten Term benutzt werden. Nach Multiplikation mit uν ergibt sich

0 = −uν∂νP +[T (suµ) + µ(nuµ)

]uν∂µuνc2

+ (∂µP )uµuνuνc2

+[T∂µ(suµ)

]uνuνc2

.

Die konstante Normierung uνuν = c2 des Betragsquadrats der Vierergeschwindigkeit führt zuuν∂µu

ν = 0 für µ = 0, . . . , 3. Somit gibt die obige Gleichung0 = −uν∂νP + (∂µP )uµ + T∂µ(suµ),

so dass ∂µ(suµ) = 0 kommt.

Isentropische VerteilungAus der Entropieerhaltung (VI.14) folgt die Erhaltung der Entropie pro Teilchen s(x)/n(x), mit

n(x) der mitbewegten Teilchendichte.

Beweis: Die totale Ableitung der Entropie pro Teilchen nach der Zeit lautetd

dt

(s

n

)=

∂

∂t

(s

n

)+ ~v · ~∇

(s

n

)=

1

γuµ∂µ

(s

n

),

mit γ dem Lorentz-Faktor. Dann lässt sich der Term auf der rechten Seite einfach berechnen:

uµ∂µ

(s

n

)=

1

n uµ∂µs−

s

n2uµ∂µn =

1

n

(uµ∂µs−

s

n uµ∂µn

).



Aus der Kontinuitätsgleichung ∂µ(nuµ) = 0 folgt uµ∂µn = −n∂µuµ, so dass

d

dt

(s

n

)=

1

γuµ∂µ

(s

n

)=

1

γn(uµ∂µs+ s∂µu

µ)

=1

γn ∂µ(suµ) = 0,

wobei die Entropieerhaltung benutzt wurde.

VI.1.5 Dissipatives relativistisches Fluid

In einem dissipativen Fluid gibt es zusätzliche Transportarten für die Teilchenzahl und denViererimpuls, verursacht durch die räumlichen Gradienten der Strömungsgeschwindigkeit, der Tem-peratur oder des chemischen Potentials. Diese neuen Transportarten lassen sich durch zusätzlicheTerme berücksichtigen, und zwar in der Form

Nµ(x) = n(x)uµ(x) + nµ(x) (VI.15a)

und

Tµν(x) = ε(x)uµ(x)uν(x)

c2− P (x)∆µν(x) + τµν(x). (VI.15b)

Dabei sind die nµ(x) bzw. τµν(x) die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors n(x) bzw.zweimal kontravarianten Tensors τ(x).

::::::::VI.1.5 a

::::::::::::::Tensoralgebra

Damit n(x) noch die mitbewegte Teilchendichte darstellt, darf n(x) im lokalen Ruhesystem keine0-Komponente haben, vgl. Definition (VI.7). In diesem Bezugssystem gilt daher uµ(x)nµ(x) = 0,was in allen Bezugssystemen gültig bleibt. Somit lässt sich Gl. (VI.15a) als die Zerlegung einesVierervektors in einen Anteil proportional zur Vierergeschwindigkeit der Strömung und einen Anteilorthogonal dazu interpretieren. Infolgedessen gilt unter Verwendung des Projektions (VI.13b)

nµ(x) = ∆µν(x)Nν(x). (VI.16)

Physikalisch ist n(x) der Diffusionsstrom, entsprechend dem nicht-konvektiven Strom von Teilchen.

Auf die gleiche Weise darf τ(x) keine 00-Komponente im lokalen Ruhesystem haben, damit T 00(x)in diesem System noch gleich der Energiedichte ε(x) sei. Dies hat zur Folge, dass die Komponentenτµν(x) nicht proportional zum Produkt uµ(x)uν(x) sein dürfen. Schreibt man den allgemeinstensymmetrischen Tensor zweiter Stufe, der diese Bedingung erfüllt, so ist er der Form

τµν(x) = qµ(x)uν(x) + qν(x)uµ(x) + Πµν(x), (VI.17a)

mit uµ(x)qµ(x) = 0, und uµ(x)Πµν(x)uν(x) = 0. Die qµ(x) sind also die Komponenten eines auf u(x)orthogonalen Vierervektors q(x), der physikalisch die Wärmestromdichte darstellt.

Der symmetrische Tensor zweiter Stufe mit komponenten Πµν(x) lässt sich als Summe einesspurlosen Tensors25 und einem Tensor proportional zum Projektor (VI.13b) schreiben

Πµν(x) = $µν(x)−Π(x)∆µν(x). (VI.17b)

Die folgenden Identitäten können dann einfach nachgeprüft werden

qµ(x) = ∆µν(x)Tνρ(x)uρ(x); (VI.18a)

$µν(x) =

[1

2

(∆µ

ρ(x)∆νσ(x) + ∆ν

ρ(x)∆µσ(x)

)− 1

3∆µν(x)∆ρσ(x)

]T ρσ(x); (VI.18b)

P (x) + Π(x) = −1

3∆µν(x)Tµν(x). (VI.18c)

25In der Literatur wird dieser spurlose Anteil oft als πµν(x) bezeichnet. Hier wurde auf diese Notation verzichtet,um Verwechslung mit dem nicht-relativistischen Impulsstromdichtetensor πij eines idealen Fluids, Gl. (III.23b), zuvermeiden.



Der letzteren Gleichung nach spielt Π(x) eine ähnliche Rolle in der Dynamik wie der thermodyna-mische Druck P (x). Daher wird Π als viskoser Druck bezeichnet.

Wiederum wird$µν viskoser Schertensor gennant, denn er beschreibt den dissipativen Transportvon Energie und Impuls verursacht durch Scherdeformationen.

Bemerkung: Es seien aµν die kontravarianten Koordinaten eines beliebigen Tensors zweiter Stufe.In der Literatur findet man die Notationen

a(µν) ≡ 1

2

(aµν + aνµ

),

entsprechend dem symmetrischen Anteil des Tensors, und

a<µν> ≡(

∆ρ(µ∆ν)

σ −1

3∆µν∆ρσ

)aρσ,

entsprechend der symmetrisierten, spurlosen Projektion auf den Raum orthogonal zur Viererge-schwindigkeit. Unter Verwendung dieser Notationen lautet der dissipative Anteil (VI.17a)

τµν(x) = q(µ(x)uν)(x) +$µν(x)−Π(x)∆µν(x),

während Gl. (VI.18b) zu $µν(x) = T<µν>(x) wird.

:::::::::VI.1.5 b

::::::::::::::Bezugssysteme

In einem Punkt eines dissipativen relativistischen Fluids können Netto-Teilchenzahl und Energiein unterschiedliche Richtungen strömen, insbesondere weil Teilchen-Antiteilchen-Paare, die nicht zurNetto-Teilchenstrom beitragen, teil der Energie transportieren können. Dementsprechend kann manim Allgemeinen kein bevorzugtes Bezugssystem finden, in dem die lokalen Eigenschaften des Fluidsisotrop sind.

Dies hat zur Folge, dass es keine eindeutige, „natürliche“ Wahl für die Vierergeschwindigkeit u(x)der Strömung gibt. Im Gegensatz dazu sind verschiedene Definitionen des Geschwindigkeitsfeldesmöglich, entsprechend unterschiedlichen Zusammenhängen zu den transportierten Größen:

• Eine erste Möglichkeit besteht, nach Eckart [21] die Vierergeschwindigkeit proportional zumVierer-Teilchenstrom anzunehmen:26

uµEckart(x) ≡Nµ(x)√

Nν(x)Nν(x), (VI.19)

so dass der Diffusionsstrom n(x) automatisch verschwindet: mit dieser Wahl ist die Teilche-nerhaltung einfacher.

Ein Nachteil dieser Definition ist, dass der Netto-Teilchenzahl in einigen Bereichen einer Strö-mung verschwinden kann (vgl. die Diskussion in Abschn. VI.3 unten), so dass uEckart(x) dortnicht eindeutig definiert ist.

• Hiernach wird eher die Definition nach Landau und Lifschitz benutzt, deren zufolge die Vierer-geschwindigkeit mit der Energiestromdichte verknüpft ist. Ausgehend aus einer beliebigenVierergeschwindigkeit u(x) gilt26

uµLandau(x) ≡ Tµν(x)uν(x)√uλ(x)T λρ(x)T ρσ(x)uσ(x)

. (VI.20)

Mit dieser Definition ist die Wärmestromdichte q(x) Null, so dass der Tensor τµν(x) sich aufden viskosen Tensor Πµν(x) reduziert.

Dagegen wird jetzt die Wärmeleitfähigkeit eine Rolle in die Teilchenstromdichte spielen, imGegensatz zum nicht-relativistischen Fall.

26In der englischsprachigen Literatur wird das lokale Ruhesystem entsprechend der Vierergeschwindigkeit (VI.19)bzw. (VI.20) als Eckart frame bzw. Landau frame bezeichnet.



• Schließlich darf man natürlich mit einer allgemeinen Vierergeschwindigkeit u(x) arbeiten, unddie Felder (VI.15a)–(VI.15b) mit Diffusionsstrom und Wärmestromdichte betrachten.

::::::::VI.1.5 c

:::::::::::Dissipative

::::::::::::::relativistische

::::::::::::::Fluiddynamik

::1.

::::::::::Ordnung

Es bleibt nur noch, Modelle — sog. konstitutive Gleichungen — für den Diffusionsstrom N(x),die Wärmestromdichte q(x) und den viskosen Spannungstensor τ(x) zu finden. Um deren jeweiligentensoriellen Strukturen zu erhalten, kann man die Vierergradienten der Vierergeschwindigkeit, derTemperatur und des chemischen Potentials, sowie den Projektor ∆µν verwenden. Dabei wird derVierergradient tatsächlich durch dessen Projektion auf den Raum orthogonal zu u(x) ersetzt,

∇µ(x) ≡ ∆µν(x)∂ν , (VI.21)

was im lokalen Ruhesystem im Punkt x den üblichen räumlichen Gradienten darstellt.Im Folgenden werden nur die konstitutiven Gleichungen für den Fall dissipativer relativistischer

Fluidynamik erster Ordnung eingeführt, wobei nur Ableitungen vom Grad 1 in den dissipativen Grö-ßen auftreten, entsprechend der relativistischen Verallgemeinerung der Dynamik von NewtonschenFluiden.

Bezeichnet u(x) die Vierergeschwindigkeit der Strömung nach Landau, so lauten der viskoseDruck und der viskose Tensor jeweils

Π(x) = −ζ∇µ(x)uµ(x) (VI.22a)

und27

$µν(x) = η

[∇µ(x)uν(x) +∇ν(x)uµ(x)− 2

3∆µν(x)

(∇ρ(x)uρ(x)

)]. (VI.22b)

Dabei sind ζ und η die Dehn- und Scherviskosität, wie im nicht-relativistischen Fall. Wiederum istder Diffusionsstrom gegeben durch

nµ(x) = κn(x)2kBT (x)2[ε(x) + P (x)

]2∇µ(x)

[µ(x)

kBT (x)

], (VI.22c)

mit κ der Wärmeleitfähigkeit.

Ein Vorteil der dissipativen relativistischen Fluidynamik erster Ordnung ist, dass sie die Navier–Stokes-Gleichung und die zugehörige Energiebilanz ganz natürlich verallgemeinern, so dass nur dreiTransportkoeffizienten auftreten. Es wurde aber gezeigt, dass viele Lösungen der relativistischenNavier–Stokes-Gleichungen tatsächlich instabil sind [22]: eine kleine Störung einer solchen Lösungwächst exponentiell mit der Zeit, was zur Entstehung starker Gradienten führt, die im Rahmen derdissipativen Fluiddynamik 1. Ordnung nicht beschrieben werden dürfen.

Folglich muss man im relativistischen Fall dissipative Fluiddynamik zweiter Ordnung — die vielmehr Transportkoeffizienten enthält — herleiten bzw. verwenden, um das Stabilitätsproblem zuvermeiden.

Bemerkung: Prinzipiell ist Stabilität kein Problem, auch in dissipativer relativistischer Fluid-dynamik 1. Ordnung, wenn man mit einer analytischen Lösung der Bewegungsgleichungen arbeitet.Nur sehr wenige solche analytische Lösungen sind aber bekannt, und bei numerischen Lösungen istdas Problem fast unvermeidbar.

VI.2 Nicht-relativistischer Limes

Dieser Abschnitt befasst sich mit dem nicht-relativistischen Limes |~v| c der Grundgleichun-gen (VI.2), (VI.4) und (VI.14) für ein ideales Fluid. In diesem Limes stimmt die Netto-Teilchendichte

27Mit der in der Bemerkung am Ende des Paragraphs VI.1.5 a eingeführten Notation gilt$µν(x) = 2η∂<µ(x)uν>(x).



n(x) mit der Teilchendichte überein, weil Teilchen-Antiteilchen-Paarerzeugung vernachlässigbarwird, so dass es praktisch keine Antiteilchen im Fluid geben kann. Dementsprechend kann maneinfach die Energiedichte ε als Summe eines Massenanteils — proportional zur Teilchendichte —und eines kinetischen Anteils schreiben, wobei der Letztere definitionsgemäß die innere Energiedichtee des Fluids ist:

ε(x) = e(x) + n(x)mc2 = e(x) + ρ(x)c2, (VI.23)

mit ρ(x) der Massendichte. Schließlich gilt für den Lorentzfaktor

γ(x) ≈ 1 +1

2

~v(x)2

c2+O

(~v(x)4

c4

). (VI.24)

Der Kürze halber wird die x- bzw. (t, ~r)-Abhängigkeit der Felder hiernach nicht geschrieben.

VI.2.1 Teilchenzahlerhaltung

Zur führenden Ordnung in~v2/c2 lautet die Vierergeschwindigkeit der Strömung uµ ≈ (c,~v), wasfür den erhaltenen Teilchenstrom (VI.12a) zu Nµ ≈ (n c, n~v) führt.

Daher lautet die Teilchenzahlerhaltung (VI.2)

0 = ∂µNµ ≈ 1

c

∂(n c)∂t

+3∑i=1

∂(nvi)∂xi

=∂n∂t

+ ~∇ · (n~v), (VI.25)

d.h. man findet die Kontinuitätsgleichung (III.8) wieder.

VI.2.2 Energieimpulserhaltung

Die Taylor-Entwicklung der Komponenten des Energieimpulstensors (VI.12b) bis zur OrdnungO(|~v|/c) gibt unter Berücksichtigung der Gl. (VI.23)

T 00 = −P + γ2(ρc2 + e+ P ) = ρc2 + e+ ρ~v2 +O(~v2

c2

)(VI.26a)

T 0j = T j0 = γ2(ρc2 + e+ P )vj

c= ρcvj +

(e+ P + ρ~v2

)vjc

+O(|~v|3

c3

)(VI.26b)

T ij = P δij + γ2(ρc2 + e+ P )vivj

c2= P δij + ρ vivj +O

(~v2

c2

)= πij +O

(~v2

c2

), (VI.26c)

wobei in der letzten Zeile der dreidimensionale Impulsstromdichtetensor πij eines idealen Fluids,Gl. (III.23b), eingeführt wurde.

Die Impulserhaltung ∂µTµj = 0 lässt sich mithilfe der Gl. (VI.26b), (VI.26c) als

0 =1

c

∂(ρcvj)

∂t+

3∑i=1

∂πij∂xi

+O(|~v|c

)=∂(ρvj)

∂t+

3∑i=1

∂πij∂xi

+O(|~v|c

)(VI.27)

umschreiben, was genau die Gl. (III.24) darstellt, die äquivalent zur Euler-Gleichung in Abwesenheitäußerer Kräfte ist.

Wiederum entspricht die Energiebilanz der Komponente ν = 0 der Gl. (VI.4), ∂µTµ0 = 0. Dierelativistische Energie enthält aber, neben der nicht-relativistischen inneren Energie, die Massen-energie, vgl. Gl. (VI.23). Um den nicht-relativistischen Limes der Energieerhaltung zu erhalten,soll man also nmc2 = ρc2 von ε abziehen. Diese Subtraktion lässt sich Lorentz-invariant durchfüh-ren, indem man bemerkt, dass ε− ρc2 die 0-Komponente im lokalen Ruhesystem des VierervektorsTµ0 − ρcuµ darstellt. Statt ∂µTµ0 = 0 muss die Gleichung ∂µ(Tµ0 − ρcuµ) = ∂µT

µ0 −mc∂µNµ = 0als Anfangspunkt genommen werden. Unter Nutzung der Taylor-Entwicklungen

ρcu0 = γρc2 = ρc2 +1

2ρ~v2 +O

(~v2

c2

)VI. Hydrodynamik des relativistischen Fluids 59


und

ρcuj = γρcvj = ρcvj +

(1

2ρ~v2

)vj

c+O

(|~v|5

c3

)findet man

0 = ∂µ(Tµ0 − ρcuµ) =1

c

∂

∂t

(1

2ρ~v2 + e

)+

3∑j=1

∂

∂xj

[(1

2ρ~v2 + e+ P

)vj

c

]+O

(~v2

c2

),

d.h.∂

∂t

(1

2ρ~v2 + e

)+ ~∇ ·

[(1

2ρ~v2 + e+ P

)~v

]+O

(~v2

c

)= 0. (VI.28)

Damit wird also die Gl. (III.35) bewiesen.

VI.2.3 Entropieerhaltung

Mit der Näherung uµ ≈ (c,~v) lautet die Entropieerhaltung (VI.14)

0 = ∂µ(suµ) ≈ 1

c

∂(sc)

∂t+

3∑i=1

∂(svi)

∂xi=∂s

∂t+ ~∇ · (s~v), (VI.29)

d.h. man findet genau die nichtrelativistische Gleichung (III.36).

VI.3 Beispiel einer relativistischen Strömung: Bjorken flow

kommt später[23]

Literatur

• Landau–Lifschitz [10], Kapitel XV, § 133,134 (ideales Fluid) und § 136 (viskoses Fluid)

• Weinberg [24], Kapitel 2, § 10 (ideales Fluid) und § 11 (viskoses Fluid)

• Andersson & Comer [25]

• Für die Anwendung der relativistischen Fluiddynamik zur Beschreibung von Schwerionen-kollisionen s. Ollitrault [26] oder Romatschke [27] (mit einer Einführung in die Fluiddynamikeines dissipativen Fluids).



Literaturverzeichnis

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[2] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Volume II :Mainly Electromagnetism and Matter , definitive Aufl. (Addison Wesley, Reading, 2005).

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[9] P. Hertel, Theoretische Physik (Springer, Berlin & Heidelberg, 2007).

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[13] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynman-Vorlesungen über Physik. Band 1 : Mecha-nik, Strahlung, Wärme, 5. Aufl. (Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, 2007).

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http://dx.doi.org/10.1063/1.1397256

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[25] N. Andersson, G. L. Comer, Living Rev. Rel. 10 (2005) 1–87 [arXiv:gr-qc/0605010].

[26] J.-Y. Ollitrault, Eur. J. Phys. 29 (2008) 275–302 [arXiv:0708.2433].

[27] P. Romatschke, Int. J. Mod. Phys. E 19 (2010) 1–53 [arXiv:0902.3663].

62

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2007-1

http://arXiv.org/abs/arXiv:gr-qc/0605010

http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/29/2/010


http://dx.doi.org/10.1142/S0218301310014613


Teil B

Elektrodynamik einer Punktladung


63

N.BORGHINI Elektrodynamik einer Punktladung Theoretische Physik IV

VII. Wiederholung zum Elektromagnetismus

Dieses Kapitel beginnt mit einem Überblick über die Grundlagen des Elektromagnetismus. Dannwird die relativistische Formulierung der Elektrodynamik dargelegt.

VII.1 Grundlagen der klassischen Elektrodynamik

Hiernach werden die Grundlagen der klassischen Elektrodynamik im Ortsraum dargelegt.28

VII.1.1 Dynamische Variablen

Bewegte elektrisch geladene Teilchen erzeugen ein elektromagnetisches Feld, das wiederum dieBahnkurven der Teilchen beeinflusst. Zur Beschreibung eines solchen Systems sind die dynamischenVariablen

• Ladungsdichte ρ(t, ~r) =∑i

qini(t, ~r) mit n i der Dichte der Teilchen der Spezies i mit derelektrischen Ladung qi;

• Stromdichte ~(t, ~r) =∑i

qin i(t, ~r)~vi(t, ~r) mit ~vi der mittleren Geschwindigkeit der Teilchender Spezies i;

• Elektrisches Feld ~E(t, ~r);

• Magnetisches Feld (bzw. magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte) ~B(t, ~r).

Bemerkung: Hier ist ~r keine dynamische Variable, sondern nur ein kontinuierlicher Parameter, derdie Feldvariablen parametrisiert, genauso wie i die Teilchenvariablen kennzeichnet.

VII.1.2 Maxwell–Lorentz-Gleichungen

Die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld ( ~E, ~B) in Anwesenheit der durch dieLadungs- bzw. Stromdichte ρ bzw. ~ beschriebenen Quellen lauten

~∇ · ~E(t, ~r) =1

ε0ρ(t, ~r) (VII.1a)

~∇ · ~B(t, ~r) = 0 (VII.1b)

~∇× ~E(t, ~r) +∂ ~B(t, ~r)

∂t= ~0 (VII.1c)

~∇× ~B(t, ~r)− 1

c2

∂ ~E(t, ~r)

∂t=

1

ε0c2~(t, ~r). (VII.1d)

Kombiniert man die Gl. (VII.1a) und (VII.1d) zusammen, so erkennt man, dass die Ladungs-und Stromdichte der Kontinuitätsgleichung

∂ρ(t, ~r)

∂t+ ~∇ · ~(t, ~r) = 0, (VII.2)

genügen, welche die lokale Formulierung der Erhaltung der elektrischen Ladung darstellt.

Schließlich lautet die Lorentz-Kraftdichte auf die Teilchen der Spezies i

~fi(t, ~r) = qin i(t, ~r)[~E(t, ~r) +~vi(t)× ~B(t, ~r)

]. (VII.3)

28Für die Formulierung der klassischen Elektrodynamik im Fourier-Raum der Wellenvektoren, die sich für dieQuantisierung der Theorie besonders eignet, s. z.B. Ref. [1].

VII. Wiederholung zum Elektromagnetismus 65


Besteht das System von Teilchen aus einer einzigen Punktladung, so wird die Teilchendichtedurch n i(t, ~r) = δ(3)(~r − ~xi(t)) gegeben, mit ~xi(t) der Position zur Zeit t der Ladung, so dass

ρ(t, ~r) = qiδ(3)(~r − ~xi(t)), (VII.4a)

~(t, ~r) = qi~vi(t) δ(3)(~r − ~xi(t)) (VII.4b)

mit ~vi(t) der Geschwindigkeit der Punktladung, während die Lorentz-Kraft durch

~Fi(t) =

∫d3~r ~fi(t, ~r) = qi

[~E(t, ~xi(t)) + ~vi(t)× ~B(t, ~xi(t))

](VII.5)

gegeben ist.Die Gleichungen (VII.1), (VII.4) und (VII.5) bilden einen Satz gekoppelter Gleichungen für

die dynamischen Variablen ~E(t, ~r), ~B(t, ~r), ~xi(t), ~vi(t), die den Zustand zur Zeit t des SystemsPunktladung + elektromagnetisches Feld bestimmen.

Bemerkungen:∗ Die Maxwell-Gleichungen (VII.1) sind partielle Differentialgleichungen, d.h. die Zeitableitungender Felder im Punkt ~r hängen nicht nur von den Feldern in diesem Punkt ab, sondern auch vonderen räumlichen Ableitungen.

∗ Um die Felder in einem Bereich festzulegen, sind auch Randbedingungen nötig.

VII.1.3 Potentiale. Eichungen

Die Felder ~E(t, ~r) und ~B(t, ~r) können durch ein skalares Potential φ(t, ~r) und ein Vektorpotential~A(t, ~r) ausgedrückt werden:

~E(t, ~r) = −~∇φ(t, ~r)− ∂ ~A(t, ~r)

∂t, (VII.6a)

~B(t, ~r) = ~∇× ~A(t, ~r). (VII.6b)

Dies deutet darauf hin, dass die 6 Komponenten des elektromagnetischen Felds in jedem Punkt ~rredundant sind, da die Potentialen φ(t, ~r) und ~A(t, ~r) nur 4 reelle Skalare darstellen.

Setzt man diese Identitäten in die Maxwell–Gauß- und Maxwell–Ampère-Gleichungen (VII.1a)bzw. (VII.1d) ein, so erhält man die folgenden Bewegungsgleichungen für die Potentiale

4φ(t, ~r) = − 1

ε0ρ(t, ~r)− ∂

∂t~∇ · ~A(t, ~r), (VII.7a)

~A(t, ~r) =1

ε0c2~(t, ~r)− ~∇

[1

c2

∂φ(t, ~r)

∂t+ ~∇ · ~A(t, ~r)

], (VII.7b)

mit ≡ 1

c2

∂2

∂t2−4 dem d’Alembert-Operator.

Diese Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, während die Maxwell-Gleichungen erster Ordnung sind.

:::::::::::::EichinvarianzDie Maxwell-Felder ( ~E, ~B) und dadurch die Elektrodynamik bleiben invariant unter der Eichtrans-formation

φ(t, ~r) → φ′(t, ~r) = φ(t, ~r) +∂χ(t, ~r)

∂t, (VII.8a)

~A(t, ~r) → ~A′(t, ~r) = ~A(t, ~r)− ~∇χ(t, ~r) (VII.8b)

mit χ(t, ~r) einer beliebigen skalaren Funktion von Ort und Zeit. Somit kann man χ(t, ~r) so wählen,dass die Gleichungen für die Potentiale irgendeine Symmetrie besitzen oder einfacher werden.



Zwei oft benutzte Eichungen sind die (Lorentz-invariante) Lorenz-Eichung

~∇ · ~A(t, ~r) +1

c2

∂φ(t, ~r)

∂t= 0, (VII.9)

und die Coulomb-Eichung~∇ · ~A(t, ~r) = 0, (VII.10)

die unter einer Lorentz-Transformation nicht erhalten ist.In der Lorenz-Eichung lässt sich Gl. (VII.7a) als φ(t, ~r) = ρ(t, ~r)/ε0 umschreiben, während der

zweite Glied auf der rechten Seite von Gl. (VII.7b) verschwindet. Dann nehmen die zwei Gleichungeneine symmetrische Form an.In der Coulomb-Eichung vereinfacht sich Gl. (VII.7a) zur Poisson-Gleichung 4φ(t, ~r) = −ρ(t, ~r)

ε0der Elektrostatik.

Bemerkung: Die Lorenz-Eichung ist „unvollständig“, indem die Potentiale durch die Bedingungnicht völlig festgelegt werden. Wenn Potentiale (φ, ~A) der Bedingung (VII.9) genügen, dann erfüllendie nach Gl. (VII.8) eichtransformierten Potentiale (φ′, ~A′) ebenfalls die Bedingung, wenn χ eineharmonische Funktion [χ(t, ~r) = 0] ist.

VII.1.4 Energieimpulstensor

Die Dichte und Stromdichte der Energie bzw. des Impulses des elektromagnetischen Felds sindgegeben durch

• Energiedichte des Felds: eem(t, ~r) =ε02

[~E(t, ~r)2 + c2 ~B(t, ~r)2

](VII.11a)

• Energiestromdichte (Poynting-Vektor): ~S(t, ~r) =1

µ0

~E(t, ~r)× ~B(t, ~r) (VII.11b)

• Impulsdichte: ~gem(t, ~r) = ε0 ~E(t, ~r)× ~B(t, ~r) (VII.11c)

• Impulsstromdichte: T ijem(t, ~r) = ε0

[Ei(t, ~r)Ej(t, ~r) + c2Bi(t, ~r)Bj(t, ~r)

− 1

2δij

(~E2(t, ~r) + c2 ~B(t, ~r)2

)]. (VII.11d)

Bemerkung: T ijem wird auch als Spannungstensor des elektromagnetischen Felds bezeichnet. Diehier benutzte Vorzeichenkonvention für diesen Tensor ist nicht universell.

VII.1.5 Einheiten

In dieser Vorlesung werden die Einheiten des SI-Systems benutzt. Dann gelten

• Lichtgeschwindigkeit c = 299792458 m·s−1

• Permittivität des Vakuums ε0 =1

µ0c2≈ 8, 854 · 10−12 F·m−1 (VII.12)

• Vakuumpermeabilität µ0 = 4π × 10−7 N·A−2

µ0 wird auch magnetische Feldkonstante genannt.

Im Gauß’schen Einheitensystem wird die Einheit der elektrischen Ladung so definiert, dassdie Coulomb-Kraft durch qq′/r2 gegeben wird. Damit erhalten elektrisches und magnetischesFeld identische Einheiten und die Maxwell-Gleichungen lauten [der Kürze halber wird die (t, ~r)-Abhängigkeit der Felder nicht geschrieben]

~∇ · ~E = 4πρ,

~∇ · ~B = 0,



~∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0,

~∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c~.

Die Kontinuitätsgleichung bleibt der Form (VII.2) und die Lorentz-Kraft auf eine Punktladungqi ist gegeben durch

~Fi = qi

(~E +

~vic× ~B

).

Eine Formulierung der Maxwell-Gleichungen unabhängig vom Einheitensystem wird in Ref. [2]dargelegt.

VII.2 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik

Hiernach bezeichnet x einen Punkt der Raumzeit mit kontravarianten Koordinaten xµ. DieEinsteinsche Summenkonvention über doppelt auftretende Lorentz-Indizes wird benutzt.

VII.2.1 Viererstrom

Die Ladungs- und Stromdichte bilden einen Viererstrom mit kontravarianten Koordinaten

jµ(x) =(cρ(x),~(x)

). (VII.13)

Damit lässt sich die Kontinuitätsgleichung (VII.2) umschreiben als

∂µjµ(x) = 0. (VII.14)

Bemerkung: In Gl. (VII.13) bezeichnen ρ(x) und ~(x) die Größen in einem festen Bezugssystem,das sich möglicherweise relativ zu den Ladungen bewegt. Für eine Punktladung mit der Viererge-schwindigkeit uµ lautet der Viererstrom

jµ(x) = ρ0(x)uµ(x),

mit ρ0(x) der Ladungsdichte im Ruhesystem der Ladung.

VII.2.2 Feldstärketensor

Um eine relativistisch kovariante Größe zu erhalten, werden das elektrische und das magnetischeFeld zum elektromagnetischen Feldstärketensor kombiniert. Letzterer wird durch

• F 00(x) = F ii(x) = 0,

• F i0(x) = −F 0i(x) ≡ Ei(x)

c, (VII.15)

• F ij(x) = −F ji(x) ≡ −3∑

k=1

εijkBk(x)

definiert, mit εijk = εijk dem völlig antisymmetrischen Levi-Civita-Tensor dritter Stufe. Fµν(x) istdeutlich antisymmetrisch.

In Matrixdarstellung gilt

Fµν(x) =

0 −E1(x)

c−E2(x)

c−E3(x)

cE1(x)

c0 −B3(x) B2(x)

E2(x)

cB3(x) 0 −B1(x)

E3(x)

c−B2(x) B1(x) 0

. (VII.16)



Mit dem Viererstrom (VII.13) und dem elektromagnetischen Feldstärketensor (VII.15) lautendie Maxwell-Gleichungen

∂µFµν(x) =

1

ε0c2jν(x) ∀ν, (VII.17a)

∂µF νρ(x) + ∂νF ρµ(x) + ∂ρFµν(x) = 0 ∀µ, ν, ρ. (VII.17b)

Die Lorentz-Kraft auf eine Punktladung q mit der Vierergeschwindigkeit uµ(x) = (γc, γ~v(x)) imelektromagnetischen Feld ist gegeben durch

dpµ(x)

dτ= qFµν(x)uν(x), (VII.18)

mit τ = t/γ der Eigenzeit der Ladung.Der völlig antisymmetrische Levi-Civita-Tensor 4. Stufe wird definiert durch29

εαβγδ =

+1 falls (α, β, γ, δ) eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist,−1 falls (α, β, γ, δ) eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist,0 sonst.

(VII.19)

Für diesen Tensor gilt ε0123 = −ε0123.Mithilfe des Levi-Civita-Tensors definiert man den dualen Feldstärketensor für das elektroma-

gnetische Feld, dessen kovariante Komponenten lauten

Fµν(x) =1

2εµνρσF

ρσ(x) =

0 B1(x) B2(x) B3(x)

−B1(x) 0E3(x)

c−E2(x)

c

−B2(x) −E3(x)

c0

E1(x)

c

−B3(x)E2(x)

c−E1(x)

c0

, (VII.20)

entsprechend dem Austausch von Ei/c und −Bi bezüglich Fµν .Unter Verwendung des dualen Feldstärketensors lassen sich die homogenen Maxwell-Gleichungen

(VII.17b) umschreiben als∂µF

µν(x) = 0 ∀ν. (VII.21)

Bemerkungen:∗ Der duale Feldstärketensor ist deutlich antisymmetrisch.

∗:::::::::::Invarianten

:::des

::::::::::::::::::::elektromagnetischen

::::::Felds

Durch Kontraktionen lassen sich zwei Größen finden, die sich unter Lorentz-Transformationen nichtändern:

Fµν(x)Fµν(x) = 2

[~B(x)2 −

~E(x)2

c2

]und Fµν(x)Fµν(x) = −4

~E(x) · ~B(x)

c. (VII.22)

VII.2.3 Viererpotential

Das skalare Potential φ und das Vektorpotential ~A bilden einen Potential-Vierervektor mit denkontravarianten Komponenten

Aµ(x) =

(φ(x)

c, ~A(x)

). (VII.23)

29Die Vorzeichenkonvention ist hier auch nicht universell: manchmal wird ε0123 = +1 genommen.



Der elektromagnetische Feldstärketensor (VII.15) wird dann gegeben durch

Fµν(x) = ∂µAν(x)− ∂νAµ(x). (VII.24)

Dementsprechend stellen

Eic

= F i0 = ∂iA0 − ∂0Ai = −∂iA0 − ∂0Ai

Bi = −1

2

∑j,k

εijkF jk = −εijk∂jAk = εijk∂jAk

jeweils die i-Komponente der Gleichung (VII.6a) und (VII.6b) dar.Setzt man Gl. (VII.24) in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (VII.17a) ein, so findet man

die Bewegungsgleichung für die Potentiale lauten

∂µ∂µAν(x) ≡ Aν(x) =

1

ε0c2jν(x) + ∂ν∂µA

µ(x) ∀ν, (VII.25)

in Übereinstimmung mit den Gleichungen (VII.7).

Bemerkung: Die Beziehung (VII.24) gibt Fµν(x) = 12εµνρσF

ρσ(x) = εµνρσ∂ρAσ(x), woraus die

homogene Gleichung ∂µFµν(x) = εµνρσ∂µ∂ρAσ(x) = 0 sofort folgt.

VII.2.4 Eichtransformation

In kovarianter Schreibweise lautet die Eichtransformation (VII.8)

Aµ(x)→ A′µ(x) = Aµ(x) + ∂µχ(x), (VII.26)

mit χ(x) einer skalaren Funktion. Die Lorenz-Eichung-Bedingung (VII.9) lässt sich dann einfachumschreiben als

∂µAµ(x) = 0, (VII.27)

woraus ihre Lorentz-Kovarianz deutlich ist. In dieser Eichung vereinfachen sich die Bewegungsglei-chungen (VII.25) für das Viererpotential zu

Aν(x) =1

ε0c2jν(x) ∀ν. (VII.28)

Bemerkung: Die Beziehung (VII.24) zeigt sofort, dass der elektromagnetische FeldstärketensorFµν eichinvariant ist.

VII.2.5 Energieimpulstensor

Zusammen bilden die Größen eem, ~S, ~gem und T ijem in Gl. (VII.11) den Energieimpulstensor Tµν

des elektromagnetischen Felds. In Matrixdarstellung wird dieser gegeben durch

Tµν(x) =

eem(x) c~gem(x)

~S(x)

c−T ijem(x)

. (VII.29)

Der Energieimpulstensor lässt sich durch den Feldstärketensor ausdrücken:

Tµν(x) =1

µ0

[Fµρ(x)F

ρν(x) +1

4ηµνFρσ(x)F ρσ(x)

]. (VII.30)

In dieser Form prüft man einfach, dass dieser Tensor symmetrisch ist.



Literatur

• Feynman [3, 4] Kapitel 18, 25, 27 & 31.8

• Fließbach [5] Kapitel 18

• Griffiths [6] Kapitel 12.3

• Jackson [7] Kapitel 6.1-6.3 & 11.9

• Landau–Lifschitz [8] Kapitel III § 16-18 & 23-25

• Nolting [9] Kapitel 1.1, [10] Kapitel 2.3.



VIII. Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik

In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Maxwell–Lorentz-Gleichungen der Elektrodynamik sich auseinem Extremalprinzip herleiten lassen. Dabei wird einem System bestehend aus Punktladungenin einem elektromagnetischen Feld eine Lagrange-Funktion LM + LF + LM+F zugeordnet, wobeidie drei Beiträge jeweils die freien Punktladungen, das freie Feld und deren Wechselwirkungtermbeschreiben.

VIII.1 Freie Punktladung

Die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens der Masse m ist

LM

[~x(t), ~v(t)

]= −mc2

√1− ~v(t)2

c2, (VIII.1)

mit ~x(t) bzw. ~v(t) der Position bzw. der Geschwindigkeit des Teilchens in einem festen Bezugssystem.Integriert man diese Lagrange-Funktion nach der Zeit entlang einer Bahn ~x(t), so ergibt sich dieWirkung

SM =

∫ tb

ta

LM

[~x(t), ~v(t)

]dt = −mc2

∫ τb

τa

dτ, (VIII.2)

wobei τ die Eigenzeit im des Teilchens bezeichnet.Die eigentliche Bahnkurve ergibt sich gemäß dem Hamilton-Prinzip aus der Extremierung der

Wirkung, die zur üblichen Euler–Lagrange-Gleichung führt

d

dt

∂LM

[~x(t), ~v(t)

]∂~v

=∂LM

[~x(t), ~v(t)

]∂~x

, (VIII.3)

die für die Lagrange-Funktion (VIII.1) einfachd~p

dt= ~0 lautet, in Übereinstimmung mit dem zweiten

Newtonschen Gesetz, mit

~p ≡∂LM

[~x(t), ~v(t)

]∂~v

=m~v(t)√

1− ~v(t)2/c2(VIII.4)

dem zu ~x kanonisch konjugierten Impuls.

VIII.2 Punktladung in einem elektromagnetischen Feld

Sei jetzt ein geladenes Punktteilchen mit Masse m und elektrischer Ladung q, das sich in einemäußeren elektromagnetischen Feld bewegt.

Die Lagrange-Funktion für den Wechselwirkungsterm zwischen dem Feld, beschrieben durchPotentiale φ(t, ~r) und ~A(t, ~r), und der Punktladung lautet [11]

LM+F

[~x(t), ~v(t)

]= −qφ

(t, ~x(t)

)+ q~v(t) · ~A

(t, ~x(t)

)= −qdxµ(t)

dtAµ(t, ~x(t)

), (VIII.5)

mit Aµ(t, ~r) den kontravarianten Komponenten des Viererpotentials.Diese Lagrange-Funktion liefert die Wirkung

SM+F =

∫ tb

ta

LM+F

[~x(t), ~v(t)

]dt = −q

∫ b

aAµ(t, ~x(t)

)dxµ = −q

∫ τb

τa

uµ(t)Aµ(t, ~x(t)

)dτ, (VIII.6)

mit uµ(t) den kovarianten Koordinaten der Vierergeschwindigkeit des Teilchens. Diese Wirkung istdeutlich Lorentz-invariant, wie die Wirkung (VIII.2) des freien Teilchens, was aber nicht der Fallder zugehörigen Lagrange-Funktionen ist.

VIII. Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik 72


Der kanonische Impuls der Punktladung im Feld folgt aus der üblichen Definition, angewandtauf die gesamte Lagrange-Funktion L(1) = LM + LM+F:

~Π ≡∂L(1)

[~x(t), ~v(t)

]∂~v

=m~v(t)√

1− ~v(t)2/c2+ q ~A

(t, ~x(t)

). (VIII.7)

Der erste Term im rechten Glied ist der kinetische Impuls ~p der Punktladung.

Kombiniert man die Identitätd ~A(t, ~x(t)

)dt

=∂ ~A(t, ~x(t)

)∂t

+[~v(t) ·~∇

]~A(t, ~x(t)

)mit der Ableitung

∂L(1)[~x(t), ~v(t)

]∂~x

= −q~∇φ(t, ~x) + q~∇[~v(t) · ~A

(t, ~x(t)

)],

so führt die Euler–Lagrange-Gleichungd

dt

∂L(1)[~x(t), ~v(t)

]∂~v

=∂L(1)

[~x(t), ~v(t)

]∂~x

zu

d

dt

[m~v(t)√

1− ~v(t)2/c2

]= q

−∂ ~A(t, ~x(t)

)∂t

−[~v(t) · ~∇

]~A(t, ~x(t)

)− ~∇φ

(t, ~x(t)

)+ ~∇

[~v(t) · ~A

(t, ~x(t)

)].

Aus der Formel für das doppelte Kreuzprodukt folgt ~v × (~∇ × ~A) = ~∇(~v · ~A) − (~v · ~∇) ~A. Mit denBeziehungen (VII.6) ergibt sich dann

d~p

dt= q[~E(t, ~x(t)

)+ ~v(t)× ~B

(t, ~x(t)

)], (VIII.8)

d.h. die Zeitableitung des kinetischen Impulses der Punktladung ist gleich der Lorentz-Kraft: manfindet somit die übliche Bewegungsgleichung.

Bemerkungen:∗ Die Wirkung (VIII.6) ist eichinvariant: unter einer Eichtransformation (VII.8) ändert sich dieLagrange-Funktion (VIII.5) gemäß

LM+F

[~x(t), ~v(t)

]→ L′M+F

[~x(t), ~v(t)

]= LM+F

[~x(t), ~v(t)

]− q∂χ(t, ~x(t)

)∂t

+[~v(t) · ~∇

]χ(t, ~x(t)

)= LM+F

[~x(t), ~v(t)

]− q

dχ(t, ~x(t)

)dt

.

Da LM+F und L′M+F nur um eine totale Zeitableitung abweichen, unterscheiden sich die entspre-chenden Wirkungen nur um eine Konstante, die keine Rolle für die Bewegungsgleichungen spielt.

Im Gegensatz ist die Lagrange-Funktion (VIII.5) deutlich nicht eichinvariant.

∗ Die Wechselwirkung mehrerer Punktladungen mit dem elektromagnetischen Feld lässt sich be-schreiben durch die Wirkung

SM+F = −∫ tb

ta

∑i

qi

[φ(t, ~xi(t)

)− ~vi(t) · ~A

(t, ~xi(t)

)]dt

= −∫ tb

ta

∫R3

∑i

qiδ(3)(~r − ~xi(t)

)[cA0(t, ~r)− ~vi(t) · ~A(t, ~r)

]d3~r dt = −

∫jµ(x)Aµ(x)

d4x

c,

(VIII.9)

mit j(x) dem mit den Ladungen assoziierten Viererstrom. Diese Wirkung ist sowohl Lorentz- alseichinvariant.

::::::::::::::::::Hamilton-FunktionDie Hamilton-Funktion für eine Punktladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld ist

H ≡ ~Π · ~v − L(1) =mc2√

1− ~v(t)2/c2+ qφ(t, ~r). (VIII.10)



Unter Verwendung des Vierervektors mit kontravarianten Komponenten Πµ ≡ (H/c, ~Π), lautet derkinetische Viererimpuls pµ = Πµ − qAµ(x). Quadriert man diese Identität, so kommt

m2c4 = c2pµpµ =

[H − qφ(t, ~r)

]2 − c2[~Π− q ~A(t, ~r)

]2,

d.h.H(~r, ~Π) =

√c2[~Π− q ~A(t, ~r)

]2+m2c4 + qφ(t, ~r).

Damit liefern die Hamilton-Gleichungen∂H

∂Πi= xi,

∂H

∂xi= −Πi die üblichen Bewegungsgleichungen.

VIII.3 Elektromagnetisches Feld mit Quellen

In diesem Abschnitt werden Elemente der klassischen Feldtheorie eingeführt (Lagrange-Dichte,mit den zugehörigen Euler–Lagrange-Gleichungen, Noether-Theorem. . . ) und angewandt auf dasBeispiel des elektromagnetischen Felds.

VIII.3.1 Klassische Feldtheorie. Hamilton’sches Prinzip

Es seien ϕk(x), k = 1, . . . , N die Komponenten in einem gegebenen Bezugssystem von einemFeld auf dem Minkowski-Raum.30

Diesem Feld wird eine Funktional der Komponenten ϕk(x) und deren Ableitungen ∂µϕk(x) zu-geordnet, die Lagrange-Dichte L

[ϕk(x), ∂µϕk(x)

]. Die entsprechende Lagrange-Funktion ist durch

L =

∫L[ϕk(x), ∂µϕk(x)

]d3~r, (VIII.11a)

gegeben, wobei die Integration auf den ganzen dreidimensionalen Raum durchgeführt wird. Dieresultierende Wirkung ist

S =

∫ tb

ta

Ldt =

∫L[ϕk(x), ∂µϕk(x)

]d4x

c. (VIII.11b)

Bemerkungen:∗ Ist die Lagrange-Dichte ein Lorentz-Skalar, so ist die Wirkung automatisch Lorentz-invariant.

∗ Zwei Lagrange-Dichten, die nur um eine 4-Divergenz ∂µΛµ(x) abweichen, entsprechen Wirkungen,die dieselben Bewegungsgleichungen liefern. Solche Lagrange-Dichten sind somit äquivalent.

Die Variation der Wirkung für eine Variation δϕk des Feldes ist

δS =

∫ [∂L

∂ϕkδϕk +

∂L

∂(∂µϕk)δ∂µϕk

]d4x

c,

worin über doppelt auftretende Indizes k und µ summiert wird.Da δ∂µϕk = ∂µδϕk, kann der zweite Term im Integranden durch partielle Integration berechnetwerden. Der resultierende Oberflächenterm kann weggelassen werden31 und es folgt

δS =

∫ [∂L

∂ϕk− ∂µ

∂L

∂(∂µϕk)

]δϕk

d4x

c.

Die Wirkung ist stationär (Hamilton’sches Prinzip) wenn δS = 0 für beliebige Variationen δϕk,d.h. wenn das Feld und dessen Ableitungen genügen den Euler–Lagrange-Gleichungen

∂µ

[∂L

∂(∂µϕk)

]=∂L

∂ϕk. (VIII.12)

30Tatsächlich kann man ein Feld auf einem beliebigen Zeitraum betrachten.31An den „Endpunkten“, entsprechend dem Oberflächenterm, werden die Felder nicht variiert.



VIII.3.2 Standard Lagrange-Dichte des freien elektromagnetischen Felds

Laut Gl. (VIII.9) und (VIII.11b) lässt sich die Lagrange-Funktion für den Wechselwirkungstermzwischen dem elektromagnetischen Feld und einem Strom als das Integral der Lagrange-Dichte

LM+F = −jµ(x)Aµ(x) (VIII.13)

umschreiben.In dieser Lagrange-Dichte tritt das elektromagnetische Feld in der Form des Viererpotentials

eher als des Feldstärketensors auf: die relevanten Freiheitsgrade sind also die Komponenten Aµ(x).Die „Standard“-Lagrange-Dichte für das freie elektromagnetische Feld ist

LF[Aµ, ∂νAµ] = − 1

4µ0Fµν(x)Fµν(x) =

ε02

[~E(t, ~r)2 − c2 ~B(t, ~r)2

], (VIII.14)

mit Fµν(x) den kovarianten Komponenten des Feldstärketensors.Ein dynamisches elektromagnetisches Feld in Anwesenheit von festen Quellen ist dann beschrie-

ben durch die Lagrange-Dichte L (2)[Aµ, ∂νAµ] = LF[Aµ, ∂νAµ] + LM+F[Aµ, ∂νAµ].Die entsprechenden Euler–Lagrange-Gleichungen folgen dann aus

∂LM+F

∂Aν= −jν(x),

∂LM+F

∂(∂µAν)= 0,

∂LF

∂Aν= 0

und∂LF

∂(∂µAν)= − 1

4µ0

∂

∂(∂µAν)

[Fµν(x)Fµν(x)

]= − 1

2µ0

∂

∂(∂µAν)

[∂µAν(x)Fµν(x)

]= − 1

µ0Fµν(x),

und lautenjν(x) =

1

µ0∂µF

µν(x),

d.h. sie liefern die inhomogenen Maxwell-Gleichungen.32

Bemerkungen:∗ Da die Lagrange-Dichte (VIII.14) des freien elektromagnetischen Felds nur vom Feldstärketensorabhängt, ist sie eichinvariant.

Im Gegensatz ist die Lagrange-Dichte (VIII.13) für den Wechselwirkungsterm zwischen Feld undPunktladung nicht eichinvariant. Wie oben schon bermerkt wurde ist die entsprechende Wirkungaber eichinvariant.

∗ In der obigen Herleitung der Bewegungsgleichungen wurde angenommen, dass die KomponentenAν(x), ν = 0,1,2,3 unabhängig voneinander sind. Wegen der Eichinvarianz der Elektrodynamik istdies aber nicht der Fall: das elektromagnetische Feld im Vakuum besitzt nicht vier Freiheitsgrade,sondern nur zwei — entsprechend der zwei möglichen linearen Polarisationen. Die Eichinvarianz derTheorie kann später durchgesetzt werden, wie sich am folgenden Beispiel des Energieimpulstensorsbeobachten lässt.

∗ Wie immer kann man andere Lagrange-Dichten für das freie elektromagnetische Feld postulieren,die zu den gleichen Bewegungsgleichungen führen. Daher wird die Wahl (VIII.14) oft als Standardbezeichnet.

VIII.3.3 Energieimpulstensor

Aus der Invarianz der Elektrodynamik unter einer beliebigen Translation xµ → x′µ = xµ + aµ

in der Raumzeit folgt die Existenz einer Erhaltungsgröße, des Energieimpulstensors.32Mit Fµν(x) = ∂µAν(x)− ∂νAµ(x) [Gl. (VII.24)] sind die homogenen Maxwell-Gleichungen automatisch erfüllt.



::::::::::VIII.3.3 a

::::::::::::::::::Noether-Theorem

Sei wieder die allgemeine Lagrange-Dichte L[ϕk(x), ∂µϕk(x)

]des Abschnitts VIII.3.1.

Es wird angenommen, dass die resultierende Wirkung

S =

∫ΩL[ϕk(x), ∂µϕk(x)

]d4x

c(VIII.15)

invariant ist unter den gleichzeitigen infinitesimalen Transformationen

xµ → x′µ = xµ + δxµ, (VIII.16a)

ϕk(x)→ ϕ′k(x) = ϕk(x) + δϕk(x). (VIII.16b)

Unter diesen Transformationen ändert sich das Integrationsvolumen in Gl. (VIII.15) gemäß Ω→ Ω′.Dann lautet die transformierte Wirkung (VIII.15)

S′ =

∫Ω′

L[ϕ′k(x

′), ∂µϕ′k(x′)]d4x′

c=

∫ΩL[ϕ′k(x), ∂µϕ

′k(x)

]d4x

c+

∮∂Ω

L[ϕ′k(x), ∂µϕ

′k(x)

]δxµ

d3σµc

,

mit ∂Ω der Hyperfläche des Integrationsvolumens Ω und d3σµ einem Hyperflächenelement.Die Taylor-Entwicklung zur ersten Ordnung der rechten Seite dieser Gleichung liefert die Varia-

tion der Wirkung

S′ − S =

∫Ω

[∂L

∂ϕkδϕk +

∂L

∂(∂µϕk)∂µδϕk

]d4x

c+

∮∂Ω

L δxµd3σµc

=

∫Ω

[∂L

∂ϕk− ∂µ

(∂L

∂(∂µϕk)

)]δϕk

d4x

c+

∮∂Ω

[∂L

∂(∂µϕk)δϕk + L δxµ

]d3σµc

,

wobei der Übergang von der ersten zur zweiten Zeile einer partiellen Integration entspricht. In allenTermen ist das nicht-geschriebene Argument der Lagrange-Dichte [ϕk(x), ∂µϕk(x)].

Das Volumenintegral verschwindet dank den Euler–Lagrange-Gleichungen (VIII.12). Somit istdie Wirkung nur dann invariant unter der Transformation (VIII.16), wenn das Oberflächenintegralebenfalls verschwindet. Im Letzteren kann δϕk(x) durch die Variation des Feldes

δϕk ≡ ϕ′k(x′)−ϕk(x) ' δϕk(x) + δxµ∂µϕk(x) (VIII.17)

ausgedrückt werden. Dann gilt∮∂Ω

[∂L

∂(∂µϕk)

(δϕk − δxν∂νϕk

)+ L δxµ

]d3σµc

=∮∂Ω

[∂L

∂(∂µϕk)δϕk −

(∂L

∂(∂µϕk)∂νϕk − ηµνL

)δxν

]d3σµc

= 0.

Man definiert den (kanonischen) Energieimpulstensor durch dessen Komponenten

Tµνkan. =∂L

∂(∂µϕk)∂νϕk − ηµνL (VIII.18a)

sowie den Noether-Strom

Nµ =∂L

∂(∂µϕk)δϕk − Tµνkan.δxν . (VIII.18b)

Dann liefert der Satz von Stokes∮∂Ω

Nµ(x) d3σµ =

∫Ω∂µN

µ(x) d4x = 0. (VIII.18c)

Sei Ω das Volumen zwischen den Hyperflächen t1 = Konstante und t2 = Konstante, entspre-chend dem zeitartigen Hyperflächenelement d3σµ = (d3~r,~0). Wenn die Felder ϕk im räumlichenUnendlichen verschwinden, dann ist

∫N0(x) d3~r eine Konstante der Bewegung.



Dies gilt insbesondere für jede der vier Größen

P ν ≡∫tT 0ν

kan.(x) d3~r

mit ν = 0, 1, 2, 3, die sich aus dem Einsetzen von δϕk = 0 und δxν = aν — d.h. für Translationender Raumzeit — in den Ausdruck des Noether-Stroms ergeben.

Die Erhaltung der P ν stellt einen Sonderfall des Noether-Theorems dar, laut dem zu jeder kon-tinuierlichen Gruppe von Transformationen der Felder und Koordinaten, die die Wirkung invariantlassen, eine Erhaltungsgröße zugeordnet werden kann.

Bemerkungen:∗ Die Invarianz der Wirkung unter Translationen der Raumzeit ist nur Teil der nötigen Invarianzrelativistischer Theorien unter Elemente der Poincaré-Gruppe. Aus der Invarianz unter Lorentz-Transformationen der Koordinaten folgt die Erhaltung des Tensors 3. Stufe M µνρ

= xνTµρkan. −xρTµνkan., mit Tµνkan. dem kanonischen Energieimpulstensor.

∗ In manchen Büchern wird statt der Invarianz der Wirkung unter den Transformationen (VIII.16)die strengere Invarianz der Lagrange-Dichte erfordert. Diese Bedingung ist aber zu beschränkendund gilt für die Lagrange-Dichte einer Punktladung in einem elektromagnetischen Feld nicht! Füreine Diskussion s. Lévy-Leblond [12].

∗ In Analogie zur Mechanik einer endlichen Zahl von Freiheitsgraden kann man dem Feld ϕk mitder Lagrange-Dichte L einen kanonisch konjugierten Impuls πk ≡ (1/c) ∂L /∂(∂0ϕk) assoziieren.Damit ergibt sich die Hamilton-Dichte H[πk,ϕk] = cπk ∂0ϕk −L , dessen Integral über den Raumdie Hamilton-Funktion liefert. Aus Gl. (VIII.18a) folgt die Gleichheit der Hamilton-Dichte mit der00-Komponente des kanonischen Energieimpulstensors, H = T 00

kan..

:::::::::::VIII.3.3 b

::::::::::::::::::::Elektromagnetischer

::::::::::::::::::::Energieimpulstensor

Aus Gl. (VIII.18a) und der Standard Lagrange-Dichte (VIII.14) des freien elektromagnetischenFelds ergibt sich der kanonische Energieimpulstensor

Tµνkan. =∂LF

∂(∂µAρ)∂νAρ − ηµνLF = − 1

µ0Fµρ∂νAρ − ηµνLF. (VIII.19)

Dieser Tensor ist aber nicht eichinvariant! Ersetzt man Aµ durch A′µ = Aµ + ∂µχ, so transformiertsich Tµνkan. in T

′µνkan. = Tµνkan. − (1/µ0)Fµρ∂ν∂ρχ.

Allgemein existieren neben dem kanonischen Tensor (VIII.18a) weitere Energieimpulstensoren,die ebenfalls erhalten sind, und zwar der Art

Tµν = Tµνkan. + ∂σKµσ,ν ,

wobei Kµσ,ν antisymmetrisch in µ und σ ist: Kµσ,ν = −Kσµ,ν . Man überprüft einfach

∂µTµν = ∂µT

µνkan. + ∂µ∂σK

µσ,ν = 0.

Für das elektromagnetische Feld liefert die Wahl Kµσ,ν = (1/µ0)FµσAν einen eichinvariantenEnergieimpulstensor

Tµν = − 1

µ0

[Fµρ∂νAρ − ∂ρ

(FµρAν

)]− ηµνLF = − 1

µ0

(Fµρ∂νAρ − Fµρ∂ρAν

)− ηµνLF,

wobei die Maxwell-Gleichung ∂ρFµρ = 0 benutzt wurde. Mit dem Ausdruck (VIII.14) der Lagrange-Dichte lässt sich dieser Tensor umschreiben als

Tµν = − 1

µ0

(FµρF νρ −

1

4ηµνFρσF

ρσ

). (VIII.20)

Somit findet man Gl. (VII.30) wieder.



Literatur

• Jackson [7], Kapitel 12.1, 12.7, 12.10

• Landau–Lifschitz [8], Kapitel 4 § 27–33

• Scheck [13], Kapitel 3

• Schwinger [14], Kapitel 8 & 9.



IX. Klassische Theorie der Strahlung

In diesem Kapitel werden die Maxwell-Gleichungen in Anwesenheit fester äußerer Quellen mithilfevon retardierten Potentialen gelöst. Dafür wird zunächst die retardierte Green’sche Funktion deselektromagnetischen Felds eingeführt. Dann wird das durch ein bewegtes geladenes Punktteilchenerzeugte elektromagnetische Feld bestimmt. Schließlich wird die durch eine beschleunigte Punktla-dung abgestrahlte Leistung hergeleitet.

IX.1 Green’sche Funktion der vierdimensionalen Poisson-Gleichung

Die Bewegungsgleichung (VII.28) für das Viererpotential in der Lorenz-Eichung ist eine linearepartielle Differentialgleichung

Aµ(x) =1

ε0c2jµ(x) ∀µ, (IX.1)

d.h. eine inhomogene vierdimensionale Poisson-Gleichung.Die Lösung ist gleich der Summe der allgemeinen Lösung der assoziierten homogenen Differenti-

algleichung — entsprechend bekannterweise ebenen Wellen — und einer speziellen Lösung. Hiernachwird eine solche spezielle Lösung berechnet.

Sei G(x) eine Green’sche Funktion der Gleichung (IX.1), d.h. G genügt der Differentialgleichung

G(x) = δ(4)(x) (IX.2a)

mit δ(4)(x) der Delta-Distribution im Minkowski-Raum. Dann ist die Faltung von G und jµ/(ε0c2)eine Lösung von Gl. (IX.1):

Aµ(x) =1

ε0c2

∫d4x′G(x− x′) jµ(x′). (IX.2b)

Wenn x den d’Alembert-Operator bezüglich x bezeichnet, gilt tatsächlich

xAµ(x) =

1

ε0c2x

[ ∫G(x− x′) jµ(x′) d4x′

]=

1

ε0c2

∫xG(x− x′) jµ(x′)

=1

ε0c2

∫δ(4)(x− x′) jµ(x′) d4x′ =

1

ε0c2jµ(x).

Um eine Lösung der Gleichung (IX.2a) zu finden, ist es günstig, die Fourier-Darstellungen

δ(4)(x) =

∫e−ikµxµ d4k

(2π)4

G(x) =

∫e−ikµxµ G(k)

d4k

(2π)4bzw.

der δ(4)-Distribution bzw. der gesuchten Green’schen Funktion einzuführen. Somit gilt

G(x) =

∫ (∂ν∂

νe−ikµxµ)G(k)

d4k

(2π)4=

∫e−ikµxµ(−kνkν)G(k)

d4k

(2π)4,

worausG(k) = − 1

kνkν=

1

~k2 − k20

folgt, sowie

G(x) = −∫

e−ikµxµ

kνkνd4k

(2π)4=

1

(2π)4

∫e−i(k0x0−~k·~r)

~k2 − k20

dk0 d3~k.

Dieser Ausdruck ist mehrdeutig, weil der Nenner verschwindet.

IX. Klassische Theorie der Strahlung 79


Sei g(k0, ~r) ≡∫

ei~k·~r

~k2 − k20

d3~k. Die Berechnung gibt

g(k0, ~r) = 2π

∫ ∞0k2

[ ∫ 1

−1

eikr cos θ

k2 − k20

d(cos θ)

]dk =

2π

ir

∫ ∞0

k

k2 − k20

(eikr − e−ikr

)dk

=2π

ir

(∫ ∞0

k eikr

k2 − k20

dk −∫ ∞

0

k e−ikr

k2 − k20

dk

)=

2π

ir

∫ ∞−∞

k eikr

k2 − k20

dk,

mit r = |~r| und θ dem Winkel zwischen ~k und ~r.Die Funktion g(k0, ~r) ist wohldefiniert für k0 ∈ C mit Im k0 6= 0. Wenn Γ(Λ) die in Abb. IX.1

-Re k

6Im k

−Λ Λ- -

IΓ(Λ)

•k0

•−k0

Abbildung IX.1: Integrationskontour für∫ ∞−∞

k eikr

k2 − k20

dk mit r > 0.

dargestellte Integrationskontour bezeichnet, dann ist für r > 0∫ ∞−∞

k eikr

k2 − k20

dk = limΛ→∞

∫Γ(Λ)

k eikr

k2 − k20

dk

gleich 2πi multipliziert mit dem Residuum von k eikr/(k2 − k20) am Pol in der Halbebene Im k > 0.

Für Im k0 > 0 liegt der Pol in der oberen Halbebene bei k = k0 und das Residuum ist eik0r/2. FürIm k0 < 0 liegt der Pol in der unteren Halbebene bei k = −k0, mit dem Residuum e−ik0r/2. Somitgilt

g(k0, ~r) =

2π2

reik0r wenn Im k0 > 0,

2π2

re−ik0r wenn Im k0 < 0.

Für k0 ∈ R sei g±(k0, ~r) ≡ limε→0+

g(k0 ± iε, ~r) =2π2

re±ik0r definiert. Daraus folgen zwei Green’schen

Funktionen

G±(x) =1

(2π)4

∫ ∞−∞

e−ik0x0g±(k0, ~r) dk0 =

1

8π2r

∫ ∞−∞

eik0(−x0±r) dk0 =1

4πrδ(−x0 ± r),

d.h.

G±(x) =1

4πrδ(r ∓ ct). (IX.3)

• G+(x) ist die retardierte Green’sche Funktion: wenn die Quelle bei x = 0 ist, dann ist derTräger von G+ auf dem Vorwärtslichtkegel r = ct mit t ≥ 0 der Quelle lokalisiert.

• G−(x) ist die avancierte Green’sche Funktion: G− ist lokalisiert auf dem Rückwärtslichtkegelr = −ct mit t ≤ 0 der Quelle bei x = 0.

Bemerkung: Da die Gleichung (IX.2a) dieselbe Form in allen Bezugssystemen annimmt, ist zuerwarten, dass die Green’schen Funktionen skalar bezüglich orthochroner Lorentz-Transformationensind. Tatsächlich gilt

G±(x) =1

2πΘ(±x0) δ(xµx

µ),



wobei die einzige Rolle der Heaviside-Funktion Θ darin besteht, den Rückwärts- bzw. Vorwärtslicht-kegel auszuwählen.

Aus δ(f(r)) =∑i

δ(r − ri)|f ′(ri)|

, wobei auf die Nullstellen ri der Funktion f summiert wird, folgt

1

2πΘ(±x0) δ(~r 2 − c2t2) =

1

2πΘ(±ct)

[δ(r − ct)|2ct|

+δ(r + ct)

|2ct|

]=

1

4πrδ(r ∓ ct),

wobei r ≥ 0 benutzt wurde.

IX.2 Retardierte Potentiale

Man sucht bei gegebenem Viererstrom j(x) eine Lösung Aµ(x) der Gleichung (IX.1) mit derEichung-Bedingung ∂µAµ(x) = 0.Das Einsetzen der retardierten Green’schen Funktion in Gl. (IX.2b) gibt

Aµret.(x) =1

ε0c2

∫G+(x− x′) jµ(x′) d4x′. (IX.4)

Dieses Potential genügt automatisch der Lorenz-Eichung-Bedingung:

∂µAµret.(x) =

1

ε0c2

∫∂G+(x− x′)

∂xµjµ(x′) d4x′ = − 1

ε0c2

∫∂G+(x− x′)

∂x′µjµ(x′) d4x′

=1

ε0c2

∫G+(x− x′)

∂jµ(x′)

∂x′µd4x′ = 0,

wobei eine partielle Integration benutzt wurde, mit der Annahme, dass der Viererstrom im Unend-lichen verschwindet, während die allerletzte Gleichung aus der Kontinuitätsgleichung folgt.

Mit dem Ausdruck (IX.3) der retardierten Green’schen Funktion gilt

Aµret.(x) =1

ε0c2

∫1

4π|~r − ~r ′|δ(|~r − ~r ′| − c(t− t′)

)jµ(x′) d4x′

=1

4πε0c2

∫1

|~r − ~r ′|

[∫δ(ct′ − ct+ |~r − ~r ′|) jµ(t′, ~r ′) d(ct′)

]d3~r ′, (IX.5)

d.h.

Aµret.(t, ~r) =1

4πε0c2

∫1

|~r − ~r ′|jµ(t− |~r − ~r

′|c

, ~r ′)

d3~r ′. (IX.6)

Aµret. heißt retardiertes Viererpotential : das Viererpotential am Ort ~r zur Zeit t hängt vom Vierer-strom jµ am Ort ~r ′ zur früheren, retardierten Zeit t − |~r − ~r ′|/c ab, wobei die Verzögerung derReisezeit des Lichts von ~r ′ bis zu ~r entspricht.

Bemerkung: Man kann auch mithilfe der avancierten Green’schen Funktion G− ein avanciertesPotential bestimmen. Physikalisch werden solche Potentiale üblicherweise im Namen vom Prinzipder Kausalität nicht angenommen: das Effekt — Potential am Punkt (t, ~r) — könne nicht vor derUrsache — Quelle am Punkt (t+ |~r−~r ′|/c, ~r ′) — kommen. Diese Wahl der Lösung mit retardiertemPotential schließt also einen Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft („elektromagnetischerZeitpfeil“) ein, der in den Maxwell-Gleichungen nicht existiert.

Referenz [15] legt eine „Begründung“ dieser Wahl dar, die aber nicht zwangsläufig ist: beispiels-weise haben Wheeler und Feynman [16] lineare Kombinationen von retardierten und avanciertenPotentialen benutzt, um Probleme der klassischen Elektrodynamik von Punktladungen — ins-besondere deren Selbstwechselwirkung — zu lösen.



Stationärer StromFür einen stationären Viererstrom gibt Gl. (IX.6)

φ(~r) =1

4πε0

∫ρ(~r ′)

|~r − ~r ′|d3~r ′, (IX.7a)

~A(~r) =µ0

4π

∫~(~r ′)

|~r − ~r ′|d3~r ′. (IX.7b)

Das Potential (IX.7a) stellt die Lösung der Poisson-Gleichung 4φ(~r) = −ρ(~r)/ε0 der Elektrostatikdar, während das Vektorpotential (IX.7b) Lösung der Poisson-Gleichung 4 ~A(~r) = −µ0~(~r) derMagnetostatik ist. Das Letzere erfüllt die Coulomb-Eichung-Bedingung ~∇ · ~A(~r) = 0.

IX.3 Potentiale und Felder einer bewegten Punktladung

Dieser Abschnitt beginnt mit der Berechnung der Potentiale und Felder, die durch eine bewegtePunktladung mit der Bahnkurve ~x(t) erzeugt werden. Die zugehörige Raumzeitlinie der Ladungwird als xµ(t) =

(ct, ~x(t)

)bezeichnet, und der entsprechende Viererstrom ist [vgl. Gl. (VII.4)]

jµ(t, ~r) = qδ(3)(~r − ~x(t)

)dxµ(t)

dt.

Dann wird die durch die Felder transportierte Leistung bestimmt.

IX.3.1 Liénard–Wiechert-Potentiale

Mit dieser Form des Viererstroms lautet das Viererpotential (IX.5)

Aµ(t, ~r) =1

4πε0c2

∫1

|~r − ~r ′|δ(c(t− t′)− |~r − ~r ′|

)qδ(3)

(~r ′ − ~x(t′)

)dxµ(t′)

dtd(ct′) d3~r ′

=q

4πε0c2

∫ ∞−∞

dxµ(t′)

dt

1

|~r − ~x(t′)|δ

(t− t′ − |~r − ~x(t′)|

c

)dt′. (IX.8)

Das Argument f(t′) = t − t′ − |~r − ~x(t′)|/c der δ-Distribution verschwindet für einen einzigenWert von t′, der als tret. bezeichnet wird und retardierte Zeit heißt. tret. ist die Zeit, zu der dieRaumzeitlinie xµ(t) der Punktladung den Rückwärtslichtkegel des Punkts (ct, ~r) durchschneidet(Abb. IX.2).

-x′1

6x′0

x

′2

• (ct, ~r)@@@@@@@@

•

xµ(t)

Abbildung IX.2: Retardierte Zeit.

Die retardierte Zeit genügt somit der impliziten Gleichung

tret. = t− |~r − ~x(tret.)|c

. (IX.9)

Die Integration nach t′ in Gl. (IX.8) folgt aus δ(f(t′)

)=δ(t′ − tret.)

|f ′(tret.)|, wobei

f ′(t′) = −1 +1

c

~r − ~x(t′)

|~r − ~x(t′)|· d~x(t′)

dt.



Hier giltf ′(tret.) = −1 +~eret. · ~βret.,

mit~eret. ≡

~r − ~x(tret.)

|~r − ~x(tret.)|≡

~Xret.

| ~Xret.|(IX.10a)

dem Einheitsvektor in Richtung von ~Xret. ≡ ~r − ~x(tret.), d.h. von der Quelle des Potentials bis zudessen Beobachtungspunkt, während

~βret. =~vret.

c=

1

c

d~x(tret.)

dt(IX.10b)

die Geschwindigkeit der Punktladung zur retardierten Zeit bezeichnet. Da der Betrag von ~βret.

streng kleiner als 1 ist, bleibt f ′(tret.) immer negativ.

Somit ergeben sich die Liénard–Wiechert-Potentiale

Aµ(t, ~r) =1

4πε0c2

dxµ(tret.)

dt

q

(1−~eret. · ~βret.)|~r − ~x(tret.)|, (IX.10c)

d.h.

φ(t, ~r) =1

4πε0

q

|~r − ~x(tret.)| − [~r − ~x(tret.)] ·~vret.

c

(IX.10d)

~A(t, ~r) =µ0

4π

q~vret.

|~r − ~x(tret.)| − [~r − ~x(tret.)] ·~vret.

c

(IX.10e)

Dabei hängt die Geschwindigkeit ~vret. der Punktladung zur retardierten Zeit von tret. und somitimplizit von t und ~r ab.

Bemerkungen:∗ Der Nenner dieser Potentiale ist immer positiv.

∗ Man kann eine kovariante Form des Viererpotentials (IX.10c) finden, die von der Vierergeschwin-digkeit uµret. im retardierten Punkt xµret. und von Xµ ≡ xµ−xµret. =

(c(t− tret.), ~r−~x(tret.)

)abhängt.

Im mitbewegten Bezugssystem, das sich mit der Punktladung zur retardierten Zeit bewegt, lautetGl. (IX.10c)

A0(t, ~r) =q

4πε0c

1

|~r − ~x(tret.)|, Ai(t, ~r) = 0 für i = 1, 2, 3,

während Xνuνret. = c2(t− tret.) = c|~r − ~x(tret.)| gilt. Dann gilt der deutlich kovariante Ausdruck

Aµ(x) =q

4πε0c

uµret.

Xνuνret.

.

∗ Wenn die Punktladung beschleunigt wird, muss sie einer Kraft unterliegen, d.h. sie muss in einemelektromagnetischen Feld sein: dieses „äußere“ Feld wird hier nicht präzisiert.

IX.3.2 Elektrisches und magnetisches Feld

Das elektrische und das magnetische Feld können aus Gl. (VII.6) hergeleitet werden. Die Liénart–Wiechert-Potentiale (IX.10) hängen aber nicht nur explizit von der Raumzeitvariablen t und ~r ab,sondern auch implizit über die retardierte Zeit (IX.9). Dementsprechend ist die Berechnung derFelder etwa mühsam, und führt letztendlich zu den retardierten Feldern:

~E =q

4πε0(1−~eret. · ~βret.)3

(~eret.− ~βret.

γ2ret.

∣∣ ~Xret.

∣∣2 +~eret.×

[(~eret.− ~βret.

)× ~aret.

]c2∣∣ ~Xret.

∣∣), (IX.11a)

~B =1

c~eret.× ~E, (IX.11b)



mit ~βret. bzw. ~aret. der auf c normierten Geschwindigkeit bzw. der Beschleunigung der Punktladungzur retardierten Zeit und γret. = (1− ~β 2

ret.)−1/2 dem entsprechenden Lorentz-Faktor.

Beweis: Um die retardierten Felder herzuleiten, lohnt es sich, die Potentiale (IX.10d)–(IX.10e)zu umschreiben [vgl. Gl. (IX.8)]

φ(t, ~r) =q

4πε0

∫ ∞−∞

1

|~r − ~x(t′)|δ

(t− t′ − |~r − ~x(t′)|

c

)dt′ (IX.12a)

~A(t, ~r) =µ0q

4π

∫ ∞−∞

~v(t′)

|~r − ~x(t′)|δ

(t− t′ − |~r − ~x(t′)|

c

)dt′ (IX.12b)

Es sei dann ~X(t′) ≡ ~r− ~x(t′) sowie der entsprechende Einheitsvektor ~e(t′) ≡ ~X(t′)/| ~X(t′)|. Ausdiesen Gleichungen folgen

~∇φ(t, ~r) =q

4πε0

∫ ∞−∞

[− 1∣∣ ~X(t′)

∣∣2 δ(t− t′ −

∣∣ ~X(t′)∣∣

c

)− 1

c∣∣ ~X(t′)

∣∣ δ′(t− t′ −

∣∣ ~X(t′)∣∣

c

)]~e(t′) dt′,

∂ ~A

∂t(t, ~r) =

µ0q

4π

∫ ∞−∞

~v(t′)∣∣ ~X(t′)∣∣ δ′(t− t′ −

∣∣ ~X(t′)∣∣

c

)dt′.

Die Substitution s = f(t′) = t− t′ −∣∣ ~X(t′)

∣∣/c gibt ds

dt′= −1 +~e · ~β und dadurch

~E(t, ~r) =q

4πε0

∫ ∞−∞

1

1−~e · ~β

[~e∣∣ ~X∣∣2 δ(s) +

~e− ~β

c∣∣ ~X∣∣ δ′(s)

]ds, (IX.13)

wobei ~e, ~X, ~v und ~β ≡ ~v/c zur Zeit t′ = f−1(s) zu betrachten sind. Der Term mit der Ableitungder δ-Distribution kann mithilfe partieller Integration berechnet werden:∫ ∞

−∞

~e− ~β

c(1−~e · ~β

)∣∣ ~X∣∣ δ′(s) ds = −∫ ∞−∞

δ(s)d

ds

[~e− ~β

c(1−~e · ~β

)∣∣ ~X∣∣]

ds

=

∫ ∞−∞

δ(s)1

1−~e · ~βd

dt′

[~e− ~β

c(1−~e · ~β

)∣∣ ~X∣∣]

ds.

Die Ableitung nach t′ im Integranden folgt aus den Ableitungen

d

dt′1∣∣ ~X∣∣ =

~e · ~v∣∣ ~X∣∣2 , d~e

dt′=

(~e · ~v)~e− ~v∣∣ ~X∣∣ ,d

dt′1

1−~e · ~β=

1(1−~e · ~β

)2 [~e · ~ac +(~e · ~v)2 − ~v2

c∣∣ ~X∣∣

],

mit ~a = d~v/dt′ der Beschleunigung der Punktladung. Dies führt zu

d

dt′

[~e− ~β

c(1−~e · ~β

)∣∣ ~X∣∣]

=1∣∣ ~X∣∣(1−~e · ~β)2

[(~e · ~a

)~e− ~a−

(~e · ~a

)~β +

(~e · ~β

)~a

c2

+2(~e · ~β

)−(~e · ~β

)2 − ~β2∣∣ ~X∣∣ ~e− 1− ~β2∣∣ ~X∣∣ ~β

],

so dass Gl. (IX.13) insgesamt lautet

~E(t, ~r) =q

4πε0

∫ ∞−∞

δ(s)∣∣ ~X∣∣(1−~e · ~β)3((~e · ~a

)(~e− ~β

)−[~e ·(~e− ~β

)]~a

c2+

(1− ~β2

)(~e− ~β

)∣∣ ~X∣∣)

ds.

Dann ist der Integrand gleich dem Produkt eines Terms δ(s) mit einer Funktion von s: das Inte-gral ist einfach der Wert der Letzteren für s = 0, d.h. t′ = tret.. Somit findet man Gl. (IX.11a).

Das magnetische Feld ~B(t, ~r) lässt sich ähnlich berechnen, ausgehend aus

~∇× ~A(t, ~r) =µ0q

4π

∫ ∞−∞

~e(t′)×~v(t′)

[−1∣∣ ~X(t′)∣∣2 δ(t−t′−

∣∣ ~X(t′)∣∣

c

)− 1

c∣∣ ~X(t′)

∣∣ δ′(t−t′−

∣∣ ~X(t′)∣∣

c

)]dt′.



Die retardierten elektromagnetischen Felder (IX.11) bestehen aus einem Beitrag proportionalzu 1/| ~Xret.|2 und einem Term proportional zu 1/| ~Xret.|. In einem Bezugssystem, das sich mit derPunktladung zur retardierten Zeit mitbewegt, d.h. wo ~βret. = ~0, lautet Gl. (IX.11)

~E =q

4πε0

[~eret.∣∣ ~Xret.

∣∣2 +~eret.×

(~eret.× ~aret.

)c2∣∣ ~Xret.

∣∣], ~B =

1

c~eret.× ~E.

Das elektrische Feld ist die Summe des Coulomb-Felds in 1/| ~Xret.|2 einer ruhenden Punktladung

~ECoul. =q

4πε0

~eret.∣∣ ~Xret.

∣∣2 , ~BCoul. = ~0,

und, wenn die retardierte Beschleunigung ~aret. der Punktladung nicht null ist, des Strahlungsfeldesin 1/| ~Xret.|

~EStrahl. =q

4πε0c2∣∣ ~Xret.

∣∣ ~eret.×(~eret.× ~aret.

), ~BStrahl. =

1

c~eret.× ~EStrahl..

Diese Strahlungsfelder sind senkrecht zu ~eret..Ähnlicherweise entspricht der Beitrag in 1/| ~Xret.|2 in Gl. (IX.11) dem Coulomb-Feld, und der

Term in 1/| ~Xret.|, dem Strahlungsfeld.

::::::::::::Punktladung

:::in

::::::::::::::gleichförmiger

::::::::::Bewegung

Wenn ~aret. = ~0 zu jeder retardierten Zeit vereinfacht sich das elektrische Feld (IX.11) zu

~E =q

4πε0(1−~eret. · ~β

)3 ~eret. − ~β

γ2∣∣ ~Xret.

∣∣2 =q

4πε0

~Xret. −∣∣ ~Xret.

∣∣~βγ2(∣∣ ~Xret.

∣∣− ~Xret. · ~β)3 , (IX.14)

mit konstanter Geschwindigkeit ~β.Aus | ~Xret.| = |~r − ~x(tret.)| = c(t− tret.) folgt für die gleichförmige Bewegung der Punktladung

~x(t) = ~x(tret.) + c~β(t− tret.) = ~x(tret.) + | ~Xret.|~β,

d.h. für den Vektor im Zähler der Gl. (IX.14) ~Xret. − | ~Xret.|~β = ~r − ~x(t): das elektrische Feld zurZeit t ist in der momentanen Richtung von der Ladung nach ~r, nicht in der „retardierten“ Richtunggerichtet.

IX.3.3 Abgestrahlte Leistung

Sei ein Flächenelement d2S in einem Punkt ~r im Abstand X einer Punktladung, von der ausd2S unter einem Raumwinkelelement d2Ω gesehen wird, und ~eret. der Einheitsvektor in Richtungvon der Punktladung nach ~r. Die Energie, die pro Einheit der Eigenzeit t des Punkts ~r durch d2Sströmt, ist die empfangene Leistung

d2P = ~S ·~eret.X2 d2Ω,

mit ~S = ~E × ~B/µ0 dem Poynting-Vektor in ~r [Gl. (VII.11b)], entsprechend der Energiestromdichtein diesem Punkt, und ~E und ~B den retardierten Feldern (IX.11). Für große Abstände X → ∞trägt der Coulomb-Teil der retardierten Felder nicht bei, und man darf das Strahlungsfeld alleinebetrachten.

Dann giltd2P

d2Ω=

1

µ0cX2[~EStrahl. ×

(~eret.× ~EStrahl.

)]·~eret..

Das doppelte Kreuzprodukt gibt ~E2Strahl.~eret.− (~eret. · ~EStrahl.) ~EStrahl., wobei der zweite Term wegen

der Orthogonalität von ~EStrahl. und ~eret. null ist. Damit ergibt sichd2P

d2Ω=

µ0q2

(4π)2c(1−~eret. · ~βret.

)6 ∣∣∣~eret.×[(~eret.− ~βret.

)× ~aret.

]∣∣∣2.IX. Klassische Theorie der Strahlung 85


Die Leistung, die durch die Punktladung abgestrahlt wird, ist die Energie, die durch d2S proEinheit der Eigenzeit der Punktladung strömt. Diese Eigenzeit ist gerade die retardierte Zeit tret.,so dass die abgestrahlte Leistung durch

d2P0

d2Ω=

d2P

d2Ω

∂t

∂tret.=

µ0q2

(4π)2c(1−~eret. · ~βret.

)5 ∣∣∣~eret.×[(~eret. − ~βret.

)× ~aret.

]∣∣∣2 (IX.15)

gegeben wird, wobei∂t

∂tret.= 1−~eret. · ~βret. benutzt wurde.

Um die letztere partielle Ableitung zu erhalten, kann man Gl. (IX.9) differenzieren, was zu

dtret. − dt+1

c

~Xret. · d ~Xret.∣∣ ~Xret.

∣∣ = dtret. − dt+1

c~eret. · (d~r − ~vret. dtret.) = 0

führt, d.h.(1−~eret. · ~βret.

)dtret. = dt− 1

c~eret. · d~r. Dann gelten

∂tret.

∂t=

1

1−~eret. · ~βret.

, ~∇tret. = − ~eret.

c(1−~eret. · ~βret.

) .Bemerkung: Eine nicht-beschleunigte Punktladung strahlt keine Energie ab!

::::::::IX.3.3 a

:::::::::::::::::::::Nicht-relativistischer

:::::::::Grenzfall

Wenn |~βret.| |~eret.| = 1 vereinfacht sich Gl. (IX.15) zu

d2P0

d2Ω=

µ0q2

(4π)2c

∣∣~eret.×(~eret.× ~aret.

)∣∣2.Bezeichnet θ den Winkel zwischen der retardierten Beschleunigung ~aret. und der Beobachtungs-

richtung ~eret., so giltd2P0

d2Ω=

µ0q2

(4π)2c|~aret.|2 sin2 θ =

q2|~aret.|2

4πε0c3

sin2 θ

4π.

Die Strahlungsleistung ist maximal senkrecht zur Richtung der Beschleunigung.Die gesamte abgestrahlte Leistung ergibt sich durch Integration über den Raumwinkel: man

erhält die Larmor-Formel

P0 =

∫d2P0

d2Ωd2Ω =

2

3

q2|~aret.|2

4πε0c3. (IX.16)

Diese abgestrahlte Leistung entspricht einem Strahlungsverlust , d.h. der Rate der Energie, diedurch Strahlung wegtransportiert wird.

:::::::::IX.3.3 b

::::::::::::Allgemeiner

::::Fall

Die Larmor-Formel (IX.16) gilt in einem mitbewegten Bezugssystem B0, wo die retardierteGeschwindigkeit der Punktladung verschwindet. In einem Bezugssystem B~v, wo die retardierteGeschwindigkeit der Punktladung den Wert ~v annimmt, gilt

P0 = −2

3

q2

4πε0c3aµret.aret.µ, (IX.17)

mit aµ = duµ/dτ = d2xµ/dτ2 den kontravarianten Komponenten der Viererbeschleunigung derPunktladung, die hier zur retardierten Zeit betrachtet werden soll.Diese Formel lässt sich noch umschreiben als

P0 =2

3

q2

4πε0c3γ6

ret.

[(~aret.

)2 − (~βret. × ~aret.

)2]. (IX.18)



Beweis der relativistischen Formeln (IX.17)–(IX.17):Der erste Schritt besteht in der Beobachtung, dass die abgestrahlte Leistung Lorentz-invariantist. Es seien dE0 bzw. dE das Differential der Energie im Bezugssystem B0 bzw. B~v, und dt0bzw. dt die entsprechenden Differentiale der Zeit. Dann gelten dE = γ dE0 und dt = γ dt0, mitγ = 1/

√1− ~v 2/c2 dem Lorentz-Faktor. Daraus folgt

dE

dt=

dE0

dt0= P0.

Berechnet man dann das Lorentz-Skalar aµaµ der Viererbeschleunigung, so kommt erstens

aµ =duµ

dτ= γ

duµ

dt=(γ4~β · ~a, γ2~a+ γ4(~β · ~a)~β

)mit ~a = d~v/dt der Beschleunigung der Punktladung, und daher

aµaµ = −γ4[~a 2 + γ2

(~β · ~a

)2]. (IX.19)

Die Formeln (IX.16) und (IX.17) stimmen miteinander in einem Bezugssystem überein, undzwar in B0 wo ~β = ~0 bzw. γ = 1. Somit gilt Gl. (IX.17) in allen Bezugssystemen.

Sei ϑ der Winkel zwischen ~β und ~a. Aus

~a 2 −(~β × ~a

)2= ~a 2 − ~β 2~a 2(1− cos2 ϑ) =

(1− ~β 2

)~a 2 +

(~β · ~a

)2=

1

γ2~a 2 +

(~β · ~a

)2und dem Viererquadrat (IX.19) folgt dann die Identität der rechten Gliedern der Gl. (IX.17)und (IX.18).

::::::::IX.3.3 c

::::::::::::::::Beschleunigung

::in

::::die

:::::::::Richtung

::::der

::::::::::::::::Geschwindigkeit

Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit parallel zueinander sind, gelten ~aret.× ~βret. = ~0 und~eret. · ~βret. = |~βret.| cos θ. Dann lautet Gl. (IX.15)

d2P0

d2Ω=µ0q

2|~aret.|2

(4π)2c

sin2 θ(1− |~βret.| cos θ

)5 . (IX.20)

Für |~βret.| → 1 wird alsod2P0

d2Ωgroß in der Vorwärtsrichtung cos θ = 1.33

Die Integration der Leistung (IX.20) über den Raumwinkel führt zu

P0 =2

3

q2|~aret.|2

4πε0c3γ6, (IX.21)

mit γ dem Lorentz-Faktor assoziiert mit der Geschwindigkeit der Punktladung. Dieses Resultat folgtauch aus der relativistischen Formel (IX.18).

Die Leistung (IX.21) wird also unendlich groß, wenn die Geschwindigkeit der Punktladung gegenc strebt. Dieses Resultat zeigt, dass es nicht möglich ist, eine Punktladung bis zur Lichtgeschwindig-keit zu beschleunigen: dies würde eine unendliche Energie erfordern, um die unendliche abgestrahlteLeistung zu kompensieren.

Sei ~F (t) die Kraft, die für die Beschleunigung der Punktladung zur Zeit t verantwortlich ist:

~F (t) = md(γ~v)

dt= γ(t)m

(~a(t) + γ2(t)

[~β(t) · ~a(t)

]~β(t)

). (IX.22)

Für Linearbewegung, d.h. wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit parallel zueinander sind, ist~F (t) = γ(t)3m~a(t), so dass die Leistung (IX.21) sich als

P0 =2

3

q2

4πε0m2c3

∣∣~F (tret.)∣∣2

schreiben lässt.

33Genauer wird für |~βret.| sehr nah an 1 das Maximum vond2P0

d2Ωfür θ ' 1

2γerreicht.



:::::::::IX.3.3 d

:::::::::::::::Beschleunigung

::::::::::senkrecht

:::zur

::::::::::Richtung

:::der

:::::::::::::::::Geschwindigkeit

Wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit orthogonal sind, entsprechend einer Kreisbewegung,lautet die abgestrahlte Leistung (IX.18)

P0 =2

3

q2

4πε0c3γ6

ret.

(1− ~β2

ret.

)|~aret.|2 =

2

3

q2

4πε0c3γ4

ret.|~aret.|2. (IX.23)

Dazu lautet die Kraft auf die Punktladung ~F (t) = γ(t)m~a(t), so dass diese Leistung sich nochschreiben lässt als

P0 =2

3

q2

4πε0m2c3γ2

ret.

∣∣~F (tret.)∣∣2.

Die abgestrahlte Leistung ist also größer um einen Faktor γ2 als im Fall einer Linearbewegung mitder gleichen Kraft. Somit wird mehr Energie als sog. Synchrotronstrahlung in einem kreisförmigenTeilchenbeschleuniger (einem „Speicherring“, wie z.B. das LHC am CERN) verloren, als in einemLinearbeschleuniger.

Bemerkung: Wenn ein geladenes Teilchen auf Materie stoßt und dort von Wechselwirkungen mitden Atomen gebremst wird, strahlt es ab. Die entsprechende Strahlung wird Bremsstrahlung (auchauf Englisch!) genannt.

Literatur

• Feynman [3, 4], Kapitel 21 & [17, 18], Kapitel 34.

• Griffiths [6], Kapitel 10.2–10.3 & 11.2

• Jackson [7], Kapitel 12.11 & 14.1–14.4

• Landau–Lifschitz [8], Kapitel 8 § 62–64 & Kapitel 9 § 73–76

• Nolting [9], Kapitel 4.5

• Schwinger [14], Kapitel 31–32.




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[6] D. J. Griffiths, Elektrodynamik : Eine Einführung , 3. Aufl. (Pearson, München, 2011).

[7] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, 3. Aufl. (John Wiley & Sons, New York, 1999).

[8] L. Landau, E. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik. Band II : Klassische Feldtheorie,12. Aufl. (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1997).

[9] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik. Band 3 : Elektrodynamik , 8. Aufl. (Springer, Berlin& Heidelberg, 2007).

[10] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik. Band 4 : Spezielle Relativitätstheorie. Thermody-namik , 6. Aufl. (Springer, Berlin & Heidelberg, 2005).

[11] K. Schwarzschild, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1903) 126–131.

[12] J.-M. Lévy-Leblond, Am. J. Phys. 39 (1971) 502–506.

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http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN252457811_1903&DMDID=dmdlog29

http://dx.doi.org/10.1119/1.1986202

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-29478-8

http://dx.doi.org/10.1016/0003-4916(76)90247-5

http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.17.157


90

Teil C

Elektrodynamik in Materie


91

N.BORGHINI Elektrodynamik in Materie Theoretische Physik IV

Die Grundgesetze der Elektrodynamik — die Maxwell–Newton-Gleichungen — sind mikrosko-pische Gesetze, d.h. Zusammenhänge zwischen Felder auf einer mikroskopischen Skala `, typischer-weise der atomaren Skala. Solche „lokalen“ Felder werden im Folgenden mit Kleinbuchstaben ge-schrieben: elektrisches Feld ~e, magnetisches Feld ~b, Ladungsdichte ρ, Stromdichte ~, usw. Damitlauten die Maxwell-Gleichungen („im Vakuum“)

~∇ · ~e(t, ~r) =1

ε0ρ(t, ~r) (IX.24a)

~∇ ·~b(t, ~r) = 0 (IX.24b)

~∇× ~e(t, ~r) +∂~b

∂t(t, ~r) = ~0 (IX.24c)

~∇×~b(t, ~r)− 1

c2

∂~e

∂t(t, ~r) = µ0~(t, ~r). (IX.24d)

Die folgenden Kapiteln befassen sich mit der Elektrodynamik in Materie, d.h. auf einer makro-skopischen Skala L≫ `. Über die Größe eines makroskopischen Körpers können die lokalen Felderviel variieren. Andererseits entspricht das Auflösungsvermögen eines Messapparats einer Skala R,die oft erheblich größer als die mikroskopische Skala ist: ` R L. Die gemessenen physikalischenGrößen sind gemittelte Werte der mikroskopischen Felder über diese Skala R.

Die natürlichen Freiheitsgrade der Theorie sind dementsprechend makroskopische Felder, aucheffektive Felder genannt, die hiernach mit Großbuchstaben bezeichnet werden, und die die gemit-telten lokalen Felder darstellen: elektrische Feldstärke ~E, magnetische Induktion ~B, Ladungsdichte%, Stromdichte ~J ... Wenn f (~r) eine auf 1 normierte Funktion mit einem Träger der Größe R um~r = ~0 ist,34 die den Mittelungsprozess der Messung beschreibt,35 gelten

~E(t, ~r) =

∫f (~r − ~r ′)~e(t, ~r ′) d3~r ′ ≡ 〈~e(t, ~r)〉, (IX.25a)

~B(t, ~r) =

∫f (~r − ~r ′)~b(t, ~r ′) d3~r ′ ≡ 〈~b(t, ~r)〉, (IX.25b)

%(t, ~r) =

∫f (~r − ~r ′) ρ(t, ~r ′) d3~r ′ ≡ 〈ρ(t, ~r)〉, (IX.25c)

~J(t, ~r) =

∫f (~r − ~r ′)~(t, ~r ′) d3~r ′ ≡ 〈~(t, ~r)〉. (IX.25d)

Aus den Relationen zwischen den lokalen Felder sollen Zusammenhänge zwischen den effekti-ven Feldern — makroskopische Gesetze — hergeleitet werden. Das Ergebnis der Mittelung (IX.25)hängt aber davon ab, wie die Ladungsträger im Material auf externe Felder reagieren, d.h. von denEigenschaften des Materials. Deshalb sind für elektrische Leiter, Halbleiter, Isolatoren — mit vielenUnterklassen — unterschiedliche makroskopische Gesetze zu erwarten.

Bemerkung: Hier werden makroskopische „effektive“ Modelle aus der mikroskopischen „fundamen-talen“ Theorie hergeleitet, gemäß der theoretischen Vorgehensweise.36 Historisch wurden aber diemakroskopischen Gesetze vor den mikroskopischen experimentell entdeckt!

34... oder eine Funktion, deren Support „im physikalischen Sinn“ der Größe R ist, d.h. die schnell gegen 0 strebt.

Beispielsweise f (~r) =3

4πR3Θ(R−|~r|), mit Θ der Heaviside-Funktion, oder f (~r) =

1

(πR2)3/2e−~r

2/R2

. Eine Diskussion

ist in Ref. [1] zu finden.35Hier wird nur die räumliche Mittelung beschrieben, eine realistische Funktion sollte auch die endliche zeitliche

Auflösung der Messapparate berücksichtigen.36...die ursprünglich auf H.Lorentz zurückgeht [2].

93


X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie

Dieses Kapitel befasst sich mit den elektromagnetischen Feldern in Materie im stationären Regime,d.h. wenn die mikroskopischen und makroskopischen Felder nicht von der Zeit abhängen.

X.1 Elektrostatik von elektrischen Leitern

Als elektrischer Leiter wird eine Substanz bezeichnet, die frei bewegliche Ladungsträger besitzt,d.h. Ladungen, die sich unter der Anwendung irgendeiner Kraft bewegen können. Beispiele sindMetalle, Elektrolytlösungen oder Plasmen.

X.1.1 Konstitutive Gleichung

Entsprechend der Anwesenheit von frei beweglichen Ladungsträgern führt die Anwendung einesbeliebigen elektrischen Feldes ~E(~r) zur Entstehung einer makroskopischen Stromdichte ~J(~r). Inmanchen Fällen ist die Letztere einfach proportional zur Feldstärke, gemäß dem Ohm-Gesetz inlokaler Formulierung

~J(~r) = σel.~E(~r), (X.1)

mit σel. der elektrischen Leitfähigkeit . Die Letztere kann auch ortsabhängig sein, falls der Leiternicht homogen ist — dies kann z.B. passieren, da die elektrische Leitfähigkeit im Allgemeinentemperaturabhängig ist, wenn die Temperatur nicht gleichförmig im Leiter ist.34

Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Leiter anisotrope Eigenschaften aufweist: dann ist dieelektrische Leitfähigkeit ein Tensor 2. Stufe

~J(~r) = ~~σel.(~r) · ~E(~r) (X.2)

bzw. komponentenweise Ji(~r) =∑

j σel.ij(~r)Ej(~r). Ein berühmtes Beispiel ist Graphit, das eine vielhöhere Leitfähigkeit in den Graphen-Ebenen aufweist, als senkrecht dazu.

Im Rest dieses Abschnitts wird nur noch die Elektrostatik von Leitern betrachtet, d.h. die imPrinzip frei beweglichen Ladungen ruhen, so dass ~J(~r) = ~0 gilt. Dazu wird angenommen, dassaußerhalb des Leiters Vakuum herrscht.

X.1.2 Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht

Ein Leiter ist im elektrostatischen Gleichgewicht , wenn die Ladungsträger keine makroskopischeBewegung bezüglich eines am Leiter angeschlossenen Bezugssystems haben, d.h. die Stromdichte ~Jist in jedem Punkt null. Dann ist das makroskopische elektrische Feld im Leiter ebenfalls null:

~E = ~0 im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht. (X.3)

Tatsächlich können verschiedene Ursachen zu einer makroskopischen Bewegung der Ladungs-träger und dabei einem elektrischen Strom führen: nicht-elektromagnetische Kraftfelder (z.B.Gravitations- oder Inertialkräfte), Temperaturgradienten (thermoelektrische Effekte), Konzen-trationsgradienten (elektrochemische Effekte). . . Somit soll man zwischen mechanischem undelektrostatischem Gleichgewicht unterscheiden, wobei das Letztere bedeutet, dass die einzigemögliche Ursache eines Stroms die Anwendung eines elektrisches Feld ist. Im Folgenden werdendiese nicht-elektrostatischen Phänomene ausgeschlossen.

Die Maxwell–Gauß-Gleichung (IX.24a) lässt sich unter Berücksichtigung der Zeitunabhängigkeiteinfach mitteln:

~∇ · ~E(~r) =1

ε0%(~r), (X.4)

34Dabei soll aber die Bewegung der Ladungsträger wirklich durch das elektrische Feld, nicht durch die Tempera-turgradienten verursacht werden. Sonst handelt es sich um einen thermoelektrischen Effekt.

X. Elektrostatik und Magnetostatik in Materie 94


was mit der Bedingung (X.3) zu

%(~r) = 0 im Inneren eines Leiters im elektrostatischen Gleichgewicht (X.5)

führt, d.h. die (freien) Ladungen sitzen auf der Leiteroberfläche.Die Maxwell–Faraday-Gleichung (IX.24c) führt im stationären Fall zur makroskopischen Glei-

chung~∇× ~E(~r) = ~0. (X.6)

Infolgedessen existiert ein Potential Φ(~r), aus dem sich das elektrische Feld herleiten lässt

~E(~r) = −~∇Φ(~r), (X.7)

wobei die Gleichung im ganzen Raum gilt.Aus ~E(~r) = ~0 im Inneren eines Leiters folgt, dass das elektrische Potential Φ(~r) im ganzen

Volumen des Leiters konstant ist. Außerhalb des Leiters führen Gl. (X.4) mit % = 0 und Gl. (X.7)zur Laplace-Gleichung

4Φ(~r) = 0 außerhalb eines Leiters. (X.8)

Um die Lösungen dieser Gleichung völlig zu charakterisieren, müssen die Randbedingungen ander Oberfläche des Leiters mithilfe der Gleichungen (X.4) und (X.6) präzisiert werden:35

• Sei eine Kontour Γ um die Oberfläche ∂V des Leiters, mit Seiten derLänge ` längs ~e1 parallel zu ∂V und δ längs ~e3 normal zu ∂V :36

∂V `

δ-~e1

~e2

BBM~e3

Laut dem Satz von Stokes ist der Fluss von ~∇× ~E durch die durch Γabgeschlossene Fläche S∫

S

[~∇× ~E(~r)

]·~e2 d2S =

∮Γ

~E(~r) · d~r =[E1(x3 =0−)− E1(x3 =0+)

]`+O(δ) = 0,

wobei die letzte Gleichung aus Gl. (X.6) folgt. Daher gilt E1(x3 = 0−) = E1(x3 = 0+) d.h.E1 ist stetig an der Oberfläche. Analog prüft man die Stetigkeit von E2 nach. Insgesamt istdie Tangentialkomponente ~E‖ des elektrischen Feldes stetig an der Leiteroberfläche und somitnull auch für x3 =0+ (d.h. gerade außerhalb des Leiters).

In der Nähe der Leiteroberfläche ist das elektrische Feld also normal, d.h. Φ(x3 = 0+) istkonstant, so dass ∂V eine Äquipotentialfläche darstellt, zu der die Feldlinien senkrecht sind.

• Die Normalkomponente ~E⊥ des Feldes an der Oberfläche ist im Allgemeinen nicht null, unddeshalb nicht stetig.

Sei jetzt ein Volumen v , abgegrenzt durch Elementarflächen dSauf den beiden Seiten der Oberfläche ∂V und durch die Röhre, diediese Flächen miteinander verbindet. Der Gauß-Integralsatz gibt

∂V dS-~e1

~e2

BBM~e3∫v~∇ · ~E(~r) d3~r =

∮∂v~E(~r) · d2~s =

∫dS

[E3(x3 =0+)− E3(x3 =0−)

]dx1 dx2 +O(δ),

wobei ∂v die Oberfläche des Volumens v bezeichnet. Im Integral auf der rechten Seite giltE3(x3 = 0−) = 0. Andererseits kann man die Maxwell–Gauß-Gleichung (X.4) benutzen mitauf der rechten Seite einer Flächenladungsdichte %(~r) = σ(x1, x2)δ(x3). Damit ergibt sich∫

v%(~r)

ε0d3~r =

∫dS

σ(x1, x2)

ε0dx1 dx2 =

∫dSE3(x3 =0+) dx1 dx2 +O(δ),

d.h. E3(x3 =0+) =σ

ε0an der Leiteroberfläche.

35Es wird angenommen, das alle Felder im Unendlichen verschwinden.36Die Richtungen der Koordinatenachsen ändern sich in jedem Punkt ~r der Oberfläche, so dass man ~e1, ~e2, ~e3 mit ~r

kennzeichnen sollte.~e3 (= ~en) ist in jedem Punkt der nach außen gerichtete Normaleinheitsvektor zur Leiteroberfläche,so dass x3 =0+ bzw. x3 =0− einen Punkt im Äußeren bzw. im Inneren des Leiters bezeichnet.



Insgesamt ist das elektrische Feld an der Oberfläche eines elektrischen Leiters gegeben durch

~E(~r) =σ(~r)

ε0~en(~r) in einem Punkt ~r der Leiteroberfläche, (X.9)

wobei ~en(~r) den Normaleinheitsvektor zur Oberfläche im Punkt ~r bezeichnet.σ(~r)

ε0stellt also den

Sprung[[E⊥(~r)

]]der Normalkomponente E⊥(~r) bei der Oberfläche dar.

Die Gesamtladung Q des Leiters folgt aus der Integration dieses Resultats über die ganze Ober-fläche:

Q =

∫∂Vσ(~r) d2S = ε0

∫∂V

~E(~r) · d2 ~S = −ε0∫∂V

~∇Φ(~r) · d2 ~S, (X.10)

mit d2 ~S = d2S~en(~r) in jedem Punkt der Oberfläche.

Bemerkungen:

∗ Gleichung (X.9) bedeutet, dass das Feld ~E von den positiv geladenen Bereichen des Leitersstammt und in den negativ geladenen Bereichen endet.

∗ Eine detaillierte Analyse zeigt, dass die Bedingung ~E = ~0 in der unmittelbaren Nachbarschaftder Oberfläche tatsächlich nicht erfüllt wird. Folglich sind die Ladungsträger nicht auf der „mikro-skopischen“ Oberfläche, sondern über eine Dicke von einigen Atomschichten verteilt. Wiederum istfür feine Auflösungen das Feld ~E nicht unstetig, sondern dessen Betrag variiert von 0 bis σ/ε0 überdiese gleiche Dicke.

∗ Laut der Relation (X.9) hängt das elektrische Feld in einem Punkt ~r der Leiteroberfläche nur vonder „lokalen“ makroskopischen Ladungsverteilung σ(~r) im selben Punkt ab, nicht von der Verteilungder anderen Ladungen.

Außerdem sieht es so aus, als ob Gl. (X.9) in Widerspruch zum Ausdruck ~E1 = σ/(2ε0)~en desFeldes einer unendlich ausgedehnten Ebene stände (s. z.B. Demtröder [3] Kapitel 1.2.1).Sei ein Flächenelement d2S der Leiteroberfläche sowie ein unendlich benachbarter Punkt M : vonM aus wird d2S unter einem Raumwinkel 2π gesehen, d.h. wie eine unendliche Ebene, so dassdas durch d2S erzeugte Feld in M gerade ~E1 = σ/(2ε0)~en ist. Folglich ist das durch die anderenLadungen — des Leiters, zu dem d2S gehört, oder anderer Leiter — erzeugte Feld in M gegebendurch ~E2 = σ/ε0~en − ~E1 = σ/(2ε0)~en, unabhängig von der genauen Verteilung jener anderenLadungen.Sei jetzt der PunktM ′ symmetrisch vonM bezüglich der Leiteroberfläche. Das durch die anderenLadungen erzeugte Feld in M ′ ist dasselbe wie in M , d.h. ~E2, weil M und M ′ für entfernte La-dungen denselben Punkt darstellen. Andererseits erzeugt d2S in M ′ ein Feld ~E′1 = σ/(2ε0)(−~en):insgesamt ist das Feld in M ′ genau ~E′1 + ~E2 = ~0, wie in einem Punkt im Inneren des Leiters zuerwarten ist. Gleichung (X.9) lässt sich also mit dem Feld einer unendlich ausgedehnten Ebenevereinbaren.

X.1.3 Elektrisches Feld außerhalb eines Leiters

Das elektrische Potential im Äußeren eines Leiters bzw. eines Systems von Leitern lässt sichberechnen durch Lösung der Laplace-Gleichung (X.8) mit den Randbedingungen Φ = const. an derOberfläche ∂V a jedes Leiters und mit dem Zusammenhang (X.10) für jeden Leiter. Dann ist daselektrische Feld durch Gl. (X.7) gegeben.

Einige Eigenschaften des elektrischen Felds im Äußeren eines Leiters können mithilfe qualitativerArgumente hergeleitet werden. Ein gutes Beispiel davon ist das



:::::::X.1.3 a

:::::Feld

:::in

:::der

:::::::::::::::Nachbarschaft

:::::einer

:::::::Spitze

Sei ein geladener elektrischer Leiter mit einer Spitze, d.h. mathematisch einem Bereich hoherKrümmung.

B A

An der Leiteroberfläche ist das elektrische Feld ~E normal. Somit wächst der Querschnitt einerFeldröhre — durch die der Fluss von ~E konstant bleibt — viel schneller in der Nachbarschaft derSpitze (Punkt A) als in Bereichen kleinerer Krümmung wie in der Umgebung des Punkts B.Andererseits wird weit vom Leiter dieser als punktförmig gesehen, so dass dessen Feld denselbenWert in davon gleich entfernten Punkten annimmt. Bei solchen Abständen ist der Fluss des elektri-schen Felds durch gleich große Flächen senkrecht zu ~E identisch. Wenn man die Feldlinien von ~Evon großen Abständen aus heraufkommt, folgt aus der Erhaltung des Flusses, dass das Feld höhereWerte in A als in B annimmt.

Bemerkung: Eine Berechnung des elektrischen Felds in der Nachbarschaft einer kegelförmigenSpitze auf einem Leiter befindet sich in Landau–Lifschitz [4] § 3 Aufgabe 4.

::::::::X.1.3 b

::::::::::::::::::::::Spiegelladungsmethode

Quantitative Lösungen für die Feldkonfiguration außerhalb eines Leiters können in einigen Fällenauch analytisch berechnet werden. Eine geeignete Methode beruht auf der Unizität der Lösung derLaplace-Gleichung mit gegebenen Randbedingung.

Sei ein zu lösendes Problem P 1 mit einem Leiter und Ladungen außerhalb davon, entsprechendeiner Ladungsdichte %(~r) =

∑i qiδ

(3)(~r − ~xi), mit ~xi den Positionen der Ladungen. Sei dann einanderes Problem P 2 ohne Leiter aber mit denselben Ladungen an den ~xi sowie zusätzlichen Ladun-gen („Spiegelladungen“) innerhalb des durch den Leiter leer gelassenen Raums. Wenn das (lösbare!)Problem P 2 zu einem Potential Φ führt, wovon eine Äquipotentialfläche mit der Fläche des Leitersvom Problem P 1 übereinstimmt, dann ist das Potential außerhalb dieser Äquipotentialfläche gleichdem Potential von P 1 außerhalb des Leiters.Als Beispiel dieser Methode sei das Problem P 1 eines Leiters, der denHalbraum z > 0 füllt, mit einer Punktladung q außerhalb des Leiters imPunkt ~xq = (0, 0,−a). Im Bereich z < 0 — d.h. im Äußeren des Leiters —ist das Potential Lösung der Poisson-Gleichung 4Φ(~r) = qδ(3)(~r − ~xq)/ε0,mit der Randbedingung Φ = Konstante für z = 0. -z

•q

-a •

q′-

a

@@

@@

@@

@@

@@

Sei dann das Problem P 2 mit zwei Punktladungen in einem sonst leeren Raum: eine Punktladungq sitzt im Punkt ~xq = (0, 0,−a) und eine Punktladung q′ im Punkt −~xq = (0, 0, a). Diese Ladungenerzeugen das Potential

Φ(~r) =q

4πε0|~r − ~xq|+

q′

4πε0|~r + ~xq|,

Lösung von 4Φ(~r) =q

ε0δ(3)(~r − ~xq) +

q′

ε0δ(3)(~r + ~xq) im ganzen Raum.

Dieses Potential stellt eine spezielle Lösung der Gleichung 4Φ(~r) = qδ(3)(~r − ~xq)/ε0 für z ≤ 0 dar,die konstant (und null) für z = 0 ist wenn q′ = −q. Das Potential Φ ist also auch Lösung für z ≤ 0des ursprünglichen Problems P 1.37

X.1.4 Elektrostatische Energie eines Systems von elektrischen Leitern

37Die zweite Randbedingung, betreffend den Betrag des Felds an der Leiteroberfläche bzw. die Gesamtladung desLeiters, wurde hier wegen der unendlichen Ausdehnung des Leiters nicht präzisiert.



Sei ein System von elektrischen Leitern a, b, c... mit jeweils der Ladung bzw. dem Potential Qa,Qb, Qc... bzw. Φa, Φb, Φc... Die nach außen gerichteten Normaleinheitsvektoren zu den Leiterober-flächen ∂V a, ∂V b, ∂V c... werden als ~na, ~nb, ~nc... bezeichnet.

Die elektrostatische Energie des Systems folgt aus der Integration der Energiedichte ε0 ~E(~r)2/2über das ganze Volumen V außerhalb der Leiter:

E =ε02

∫V

[~E(~r)

]2d3~r = −ε0

2

∫V

~E(~r) · ~∇Φ(~r) d3~r = −ε02

∫V

(~∇ ·[Φ(~r) ~E(~r)

]− Φ(~r) ~∇ · ~E(~r)

)d3~r.

Im Term auf der rechten Seite kann man zum einen ~∇ · ~E(~r) = 0 einsetzen, und zum anderen dasVolumenintegral der Divergenz von Φ(~r) ~E(~r) mithilfe des Integralsatzes von Gauß in ein Oberflä-chenintegral transformieren. Ein Teil der Oberfläche des Volumens V sitzt im Unendlichen, wo dieFelder als null angenommen werden, und der Rest entspricht den Oberflächen der Leiter. Dann gilt

E = −ε02

∑j

∫∂Vj

[Φ(~r) ~E(~r)

]· (−d2S ~nj),

d.h. unter Berücksichtigung der Gleichförmigkeit des Potentials an jeder Leiteroberfläche sowie derBeziehung (X.10)

E =∑j

1

2ΦjQj , (X.11)

analog der Energie eines Systems von Punktladungen.

Bemerkung: In der Berechnung der elektrostatischen Energie wurden die Beiträge der Leiter weg-gelassen, indem die Energiedichte nur über das Volumen außerhalb der Leiter integriert wurde. Dieskommt dem Vernachlässigen der inneren Energien der Leiter gleich: innerhalb jedes Leiters ist zwar~E(~r) = ~0,

⟨~e(~r)2

⟩ist aber nicht Null.

Sei jetzt eine Variation δQj der Ladungen. Eine solche Variation führt zu einer Änderung δ ~E desFeldes im Bereich außerhalb der Leiter, und damit zu einer Variation der elektrostatischen Energie38

δE = ε0

∫V

~E(~r) · δ ~E(~r) d3~r =∑j

ΦjδQj ,

wobei die zweite Gleichung aus einer Herleitung analog zur Berechnung der Energie folgt. DiesesResultat kann nur mit Gl. (X.11) in Übereinstimmung gebracht werden, wenn jede Ladung Qj eineLinearkombination der Potentiale ist:

Qj =∑i

CjiΦi, ∀j. (X.12)

Die Cji heißen Kapazitätskoeffizienten. Diese Relationen können invertiert werden

Φj =∑i

C−1ji Qi, ∀j, (X.13)

mit C−1ji den Koeffizienten der inversen Matrix zu der der Cji.

Somit lautet schließlich die elektrostatische Energie (X.11)

E =∑i,j

1

2CijΦiΦj =

∑i,j

1

2C−1ij QiQj , (X.14)

d.h. Cij =∂2E

∂Φi ∂Φjbzw. C−1

ij =∂2E

∂Qi ∂Qj.

38Wenn man statt der Ladungen die Potentiale variieren lässt, lautet die darausfolgende Energievariation

δE =∑j

QjδΦj .



Bemerkung: Aus diesen Relationen folgen nach Austausch der Ordnung der Ableitungen die Sym-metrien Cij = Cji bzw. C−1

ij = C−1ji .

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 5-9–5-10, & 6-6–6-12

• Griffiths [7], Kapitel 2.5 & 3.2

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel I § 1–3 und Kapitel III § 21.

X.2 Elektrostatik von Dielektrika

Ein schwach- oder nichtleitendes Medium — entsprechend der Abwesenheit von frei beweglichenLadungsträgern — wird allgemein als Dielektrikum bezeichnet.

X.2.1 Elektrische Kraft auf einen Körper. Polarisationsvektor

Ein Körper, bestehend aus geladenen Teilchen mit der mikroskopischen Ladungsdichte ρ(~r),sei in einem externen elektrostatischen Feld ~E(~r), das sich nur langsam im Raum ändert. Diemikroskopische elektrische Kraftdichte im Punkt ~r ist ρ(~r) ~E(~r), vgl. (VII.3).

Die Mittelung dieser Kraftdichte über mesoskopische Skalen führt zur gemittelten Kraftdichte

〈ρ ~E(~r)〉 =

∫f (~r−~r ′)ρ(~r ′) ~E(~r ′) d3~r ′,

mit f der schon eingeführten Mittelungsfunktion. Das langsam variierende Feld kann um den Punkt~r Taylor-entwickelt werden:

〈ρ ~E(~r)〉 =

∫f (~r−~r ′) ρ(~r ′)

(~E(~r) +

[(~r ′− ~r) · ~∇

]~E(~r) + · · ·

)d3~r ′

=

[∫f (~r−~r ′)ρ(~r ′) d3~r ′

]~E(~r) +

[∫f (~r−~r ′)ρ(~r ′)(~r ′− ~r) d3~r ′

]· ~∇~E(~r) + · · ·

Man erkennt im ersten Term der zweiten Zeile die gemittelte Ladungsdichte % im Punkt ~r. DasIntegral im zweiten Term definiert ein Vektorfeld ~P (~r), die dielektrische Polarisation. Damit lautetdie gemittelte Kraftdichte

〈ρ ~E(~r)〉 = %(~r) ~E(~r) +[~P (~r) · ~∇

]~E(~r) + · · · (X.15)

Diese gemittelte Kraftdichte kann dann über das Volumen des Körpers integriert werden, umdie gesamte elektrische Kraft zu liefern. Dabei wird der Term (~P · ~∇) ~E durch partielle Integrationbehandelt, d.h. dessen Integral wird durch die Summe des Volumenintegrals von −(~∇ · ~P ) ~E undeines Oberflächenterms ersetzt. Unter Weglassen des Letzteren und der Beiträge höherer Ordnungin der Taylor-Reihe ergibt sich

〈ρ ~E(~r)〉 ' %(~r) ~E(~r)−[~∇ · ~P (~r)

]~E(~r) ≡ %eff(~r) ~E(~r).

Die effektive gemittelte Ladungsdichte lautet also

%eff(~r) = %(~r)− ~∇ · ~P (~r). (X.16)

Zur Ladungsdichte % können einerseits „gebundene“ Ladungsträger — die Atome bzw. Moleküledes Dielektrikums — beitragen, und zum anderen „freie“ (oder „externe“) Ladungen, entsprechendeiner gemittelten Ladungsdichte %frei = 〈ρfrei〉. Üblicherweise wird angenommen, dass die gebunde-nen Ladungsträger zu einer null makroskopischen Ladungsdichte führen — d.h. das Dielektrikumist elektrisch neutral —, so dass % = %frei und %eff = %frei − ~∇ · ~P .

Die dielektrische Polarisation beschreibt die durch das äußere elektrische Feld induzierte Ver-schiebung der elektrischen Ladungen im Dielektrikum. Dieser Verschiebung können unterschiedliche



Effekte beitragen, je nach der Art des Dielektrikums:

• Besteht das Letztere aus polaren Molekülen (mit einem nichtverschwindenden elektrischenDipolmoment), so führt die Anlegung des elektrischen Feldes zur Ausrichtung der molekülarenDipolmomente, und somit zur makroskopischen Polarisation.

• In einem Dielektrikum bestehend aus unpolaren Molekülen verschiebt das äußere elektrischeFeld die negativ geladene Elektronwolke jedes Atoms gegen den jeweiligen positiv geladenenKern: dies induziert ein elektrisches Dipolmoment, das zur dielektrischen Polarisation beiträgt.

Bemerkungen:

∗ Hier wurde die Gültigkeit des Ausdrucks (X.16) als gemittelte Ladungsdichte eines makrosko-pischen Körpers am Beispiel der Kraft in einem externen elektrischen Feld gezeigt. Das Resultatgilt aber allgemein für jede „elektrische Anregungsfunktion“, mit der der Körper sondiert wird.Tatsächlich stellt die Entwicklung (X.15) den Anfang einer Multipolentwicklung dar.

∗ Seiner Definition nach ist die dielektrische Polarisation gleich dem elektrischen Dipolmoment proVolumen. Folglich ist die SI-Einheit für |~P | das C·m−2.

X.2.2 Makroskopische elektrostatische Gleichungen. Elektrische Flussdichte

Dank der Linearität der Mittelung lassen sich die Maxwell–Gauß- und die Maxwell–Faraday-Gleichung einfach mitteln zu

~∇ · ~E(~r) =%eff(~r)

ε0. (X.17a)

und~∇× ~E(~r) = ~0 (X.17b)

Wenn man den Ausdruck (X.16) der effektiven Ladungsdichte in die erstere Gleichung einsetzt unddie elektrische Flussdichte

~D(~r) = ε0 ~E(~r) + ~P (~r) (X.17c)

einführt, wird Gl. (X.17a) zu~∇ · ~D(~r) = %frei(~r). (X.17d)

Bemerkungen:

∗ Aus der Maxwell–Faraday-Gleichung (X.17b) folgt, dass man ein elektrisches Potential Φ(~r)einführen kann, mit ~E(~r) = −~∇Φ(~r). Die makroskopische Maxwell–Gauß-Gleichung liefert aberkeine „einfache“ Gleichung für Φ(~r), im Gegensatz zur Poisson-Gleichung im Vakuum.

∗ Der Vorteil der elektrischen Flussdichte soll sein, dass ρfrei den „von außen“ kontrollierbarenLadungen entspricht. In der Tat kontrolliert ein Experimentator eher das angewandte Potential,und somit die elektrische Feldstärke ~E.

∗ Gemäß ihrer Definition hat die elektrische Flussdichte — die auch dielektrische Verschiebungoder elektrische Erregung genannt wird — die gleiche Einheit wie die Polarisation, d.h. das C·m−2

im SI-System.39

39Im Gauß’schen Einheitensystem wird die elektrische Flussdichte durch ~D = ~E+4π ~P gegeben, während Gl. (X.17d)~∇ · ~D = 4π%frei lautet.



∗ Der lokalen Formulierung (X.17d) entspricht dank dem Gauß’schen Integralsatz die Integralformder makroskopischen Maxwell–Gauß-Gleichung∮

S~D(~r) · d2 ~S = Qfrei,

mit Qfrei der Gesamtladung im durch die Oberfläche S abgegrenzten Volumen.

∗ Die effektive Ladungsdichte (X.16) zieht nur die zwei ersten Terme in der Multipolentwik-klung (X.15) in Betracht und stellt also eine Näherung der kompletten Formel dar. Analog istGl. (X.17c) nur die Trunkierung eines längeren Ausdrucks, s. Jackson [8] Kapitel 6.6.

X.2.3 Felder an der Oberfläche eines Dielektrikums

Wie im Abschn. X.1.2 folgt aus der Gleichung (X.17b) die Stetigkeit der Tangentialkomponente~E‖ der elektrischen Feldstärke an der Oberfläche eines Dielektrikums.

Andererseits liefern Argumente analog zu denen, die zum Ausdruck (X.9) des Sprungs der Nor-malkomponente ~E⊥ bei einer Leiteroberfläche führen, das Verhalten der elektrischen Flussdichte ander Oberfläche eines Dielektrikums:

• Wenn freie Ladungsträger auf der Oberfläche ∂V stehen, entsprechend einer Flächenladungs-dichte σfrei, wird der Sprung der Normalkomponente von ~D gegeben durch[[

~D⊥(~r)]]

= σfrei(~r)~en(~r) für ~r ∈ ∂V , (X.18a)

mit ~en(~r) dem Normaleinheitsvektor zur Oberfläche im Punkt ~r.

Dies gilt insbesondere, im Fall wo die Oberfläche das Dielektrikum von einem geladenen Leitertrennt, der freie Ladungen auf seine Oberfläche trägt.

• Wenn die Flächenladungsdichte null ist, dann ist die Normalkomponente ~D⊥ stetig.

Zusammenfassend lauten die Randbedingungen an der Oberfläche eines Dielektrikums

~en(~r)×[[~E(~r)

]]= 0 und ~en(~r) ·

[[~D(~r)

]]= σfrei(~r) in einem Punkt ~r der Oberfläche, (X.18b)

mit σfrei der Flächenladungsdichte und ~en dem Normaleinheitsvektor.

X.2.4 Modelle für die dielektrische Polarisation

Die Lösung der Gleichungen (X.17) erfordert einen weiteren Zusammenhang, um die dielektrischePolarisation bzw. die elektrische Flussdichte mit der elektrischen Feldstärke zu verknüpfen. Einsolcher Zusammenhang wird konstitutive Gleichung genannt und hängt von einem Modell für diemikroskopische Physik ab, wie sich an den oben diskutierten Quellen der Polarisation ahnen lässt.

Übliche Modelle sind40

• Die dielektrische Polarisation ist proportional zum elektrischen Feld,

~P (~r) = χeε0 ~E(~r), (X.19a)

mit einem ortsunabhängigen Proportionalitätsfaktor. Dieses Modell setzt ein homogenes undisotropes Medium voraus.Der dimensionslose Koeffizient χe heißt elektrische Suszeptibilität .

Damit ergibt sich~D(~r) = (1 + χe)ε0 ~E(~r) ≡ εrε0 ~E(~r), (X.19b)

mit εr der relativen Permittivität und ε ≡ εrε0 der Permittivität des Dielektrikums.40In Ref. [9] wird ein Überblick über unterschiedliche mögliche konstitutive Gleichungen dargestellt.



• ~P (~r) = χe(~r)ε0 ~E(~r), d.h. das Medium ist noch isotrop, aber nicht mehr homogen.

• Pi =∑j

χe,ijε0Ej , d.h. die Polarisation hängt linear von der elektrischen Feldstärke ab.

Die χe,ij bilden die Elementen eines Tensors zweiter Stufe ~~χe, des elektrischen Suszeptibilitäts-tensors.

Dementsprechend gilt Di =∑

j εr,ijε0Ej mit εr,ij = 1 + χe,ij den Elementen des (relativen)dielektrischen Tensors ~~εr.

Man kann zeigen, dass diese Tensoren symmetrisch sind: χe,ij = χe,ji bzw. εr,ij = εr,ji. Außer-dem existiert eine Basis, in der sie diagonal sind.

Eine solche konstitutive Gleichung beschreibt ein Medium, das nicht mehr isotrop ist, sondernzeigt bevorzugte Richtungen, wie z.B. die Achsen des Gitters in einem Kristall. Dann kannpassieren, dass die Polarisation immer parallel zu einer dieser Richtungen ist, auch wenn dasäußere Feld ~E nicht entlang derselben Richtung ist.

• Die obigen Modelle, wie solche für elektrische Leiter im Abschn. X.1.1, beschreiben lineareMedien — oder, genauer gesagt, dielektrische Medien im Regime, wo ihre Response linear ist.Eine weitere Möglichkeit ist

Pi =∑j

χ(1)e,ijε0Ej +

∑j,k

χ(2)e,ijkε0EjEk + · · · ,

d.h. ~P (und folglich ~D) hängt nicht-linear von ~E ab.41

Ein solcher Zusammenhang gilt insbesondere für starke elektrische Felder.

• Einige Substanzen, sog. Ferroelektrika wie z.B. Bariumtitanat BaTiO3, weisen eine spontanePolarisation ~P = ~P0 6= ~0 auch bei verschwindendem elektrischen Feld auf. Auch hier ist derZusammenhang zwischen ~D und ~E nicht linear.

• Bei Piezoelektrika (z.B. Quarz) führt eine mechanische Spannung zu einer Polarisation auchbei ~E = ~0. Somit stellt ein Piezoelektrikum unter mechanischer Spannung ein Beispiel vonFerroelektrikum dar.Umgekehrt verformt sich ein Piezoelektrikum unter Anwendung einer elektrischen Spannung.

Bemerkungen:∗ Die in Gl. (X.19b) eingeführte relative Permittivität εr stellt in der Tat den Wert bei Null-Frequenz der relativen dielektrischen Funktion εr(ω) dar. Somit wird sie manchmal Dielektrizitäts-konstante oder Dielektrizitätszahl genannt.

∗ Mithilfe thermodynamischer Betrachtungen kann man zeigen, dass die elektrische Suszeptibilitäteines Dielektrikums immer positiv ist, χe > 0.

∗ Formell kann ein elektrischer Leiter als ein Dielektrikum mit unendlich großer Permittivitätbetrachtet werden.Sei ein durch zwei parallele Ebenen abgegrenzter makroskopischer Körper,beschrieben durch das Gesetz (X.19b) mit konstanter Permittivität ε, in einergleichförmigen äußeren elektrischen Feldstärke ~Eext. senkrecht zu den Ebenen.Außerhalb des Körpers herrscht Vakuum, mit der elektrischen Flussdichte~Dext.= ε0 ~Eext.. Auf der Körperoberfläche sitzen keine freie Ladungen.

~Eext.

6

~E

Die elektrische Feldstärke ~E im Inneren des Körpers folgt aus der elektrischen Flussdichte ~D. Wegender Stetigkeit der Normalkomponente ~D⊥ [Gl. (X.18a)] gilt ~E = ~D/ε = ~Dext./ε = ~Eext./εr. Für einen

41Manchmal wird diese Nichtlinearität als eine ~E-abhängige elektrische Suszeptibilität geschrieben.



Leiter muss ~E = ~0 im elektrostatischen Gleichgewicht gelten, was sich im Limes εr → ∞ erhaltenlässt.

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 10, 11 & 31-1

• Griffiths [7], Kapitel 4

• Jackson [8], Kapitel 4.3

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel II § 6–7

• Schwinger [10], Kapitel 4.

X.3 Magnetostatik in Materie

Dieser Abschnitt befasst sich mit der makroskopischen Beschreibung der magnetischen Eigen-schaften eines leitenden oder nichtleitenden Körpers im stationären Regime.

X.3.1 Magnetisierung

Man kann zeigen,42 dass die Mittelung der mikroskopischen Stromdichte ~(~r) über mesoskopischeGebiete eines makroskopischen Körpers zur effektiven Stromdichte

~Jeff(~r) = ~J(~r) + ~∇× ~M(~r), (X.20)

führt, wobei ~J(~r) = 〈~(~r)〉 [Gl. (IX.25d)] und die Magnetisierung ~M(~r) definiert ist durch

~M(~r) =1

2

∫f (~r − ~r ′)(~r ′− ~r)× ~(~r ′) d3~r ′. (X.21)

Die Magnetisierung stellt also das magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit dar.

Bemerkungen:∗ Gemäß ihrer Definition ist die Magnetisierung ein Axialvektorfeld.

∗ Die SI-Einheit der Magnetisierung ist das A·m−1.

Trotz dessen Bezeichnung als Magnetisierungsstromdichte trägt der Term ~∇ × ~M(~r) in dereffektiven Ladungsstromdichte (X.20) nicht zur makroskopischen Bewegung von Ladungsträgern bei,d.h. zum elektrischen Strom. Der Letztere wird völlig durch die Leitungsstromdichte ~J(~r) bestimmt.

Sei Γ eine Kontour, die den Querschnitt eines makroskopischen Körper umschließt, und S diedurch Γ abgegrenzte Fläche. Der Fluss der effektiven Stromdichte durch S ist∫

S~Jeff(~r) · d2 ~S =

∫S~J(~r) · d2 ~S +

∫S

[~∇× ~M(~r)

]· d2 ~S.

Der zweite Term lässt sich mithilfe des Integralsatzes von Stokes als das Integral der Magneti-sierung ~M(~r) entlang Γ — d.h. außerhalb des Körpers, wo ~M(~r) = ~0 — umschreiben, und istdaher null. Somit ist der Fluss der effektiven Stromdichte durch den Querschnitt des Körpersgleich dem Fluss der Leitungsstromdichte allein.

Die Leitungsstromdichte ist — im Gegensatz zur Magnetisierung — keine Eigenschaft des Kör-pers, sondern wird durch eine äußere Anregung (elektrisches Feld, Temperatur- bzw. Konzentrati-onsgradient...) erzeugt.

42Dies wird z.B. in Schwinger [10] Kapitel 4 im zeitabhängigen Fall bewiesen: dabei tritt ein zusätzlicher Term∂ ~D/∂t auf, der im stationären Fall verschwindet.



• Im Inneren eines Dielektrikums gilt definitionsgemäß ~J = ~0, d.h. ~Jeff = ~∇× ~M .

An der Oberfläche des Dielektrikums ist die Existenz einer Flächenstromdichte ~J noch mög-lich.

• In einem elektrischen Leiter ist dank der Anwesenheit frei beweglicher Ladungen eine nichtver-schwindende Leitungsstromdichte ~J möglich. Wird diese durch ein angewandtes elektrischesFeld erzeugt, so gilt eine der konstitutiven Gleichungen des Abschn. X.1.1, wie z.B. das (lokale)Ohm-Gesetz (X.1).

X.3.2 Makroskopische magnetostatische Gleichungen. Magnetische Feldstärke

Die Mittelung der mikroskopischen Maxwell–Thomson- und Maxwell–Ampère-Gleichungen imstationären Fall liefert

~∇ · ~B(~r) = 0, (X.22a)

und~∇× ~B(~r) = µ0

~Jeff(~r). (X.22b)

Wenn man die effektive Ladungsstromsdichte durch seinen Ausdruck (X.20) in die letztere Gleichungeinsetzt und die magnetische Feldstärke

~H(~r) =~B(~r)

µ0− ~M(~r) (X.22c)

einführt, wird Gl. (X.22b) zu~∇× ~H(~r) = ~J(~r). (X.22d)

Bemerkungen:∗ Die Maxwell–Thomson-Gleichung (X.22a) führt wie im Vakuum zur Einführung eines Vektor-potentials ~A(~r) mit ~B(~r) = ~∇× ~A(~r).

∗ Wie im Fall der elektrischen Flussdichte (X.17c) stellt Definition (X.22c) eine Trunkierung einerkompletteren Formel dar, s. Jackson [8] Kapitel 6.6.

∗ Die SI-Einheit43 der magnetischen Feldstärke (auch manchmal magnetische Erregung genannt)ist das A·m−1.

Der lokale Zusammenhang (X.22d) lässt sich mithilfe des Integralsatzes von Stokes integrierenund liefert das (integrale) Ampère-Gesetz ∮

Γ

~H · d~= I, (X.23)

mit I dem elektrischen Strom durch die durch Γ abgegrenzte Fläche, der durch einen Amperemetergemessen wird.

X.3.3 Randbedingungen an der Oberfläche eines magnetischen Materials

In Analogie zur Stetigkeit der Normalkomponente der elektrischen Flussdichte in Abwesenheitvon Flächenladungsdichten, also wenn ~∇ · ~D(~r) = 0 gilt, führt die Integration der makroskopi-schen Maxwell–Thomson-Gleichung (X.22a) über ein Volumen abgegrenzt durch Elementarflächenauf den beiden Seiten der Oberfläche zur Stetigkeit der Normalkomponente B⊥ der magnetischenFlussdichte.

43Im Gauß’schen Einheitensystem lautet die makroskopische Stromdichte (X.20) bzw. die magnetische Feldstärke~Jeff = ~J + c~∇× ~M bzw. ~H = ~B − 4π ~M . Damit wird Gl. (X.22d) zu ~∇× ~H = 4π ~J/c.



Sei eine Kontour Γ um die Oberfläche ∂V des makroskopischen Körpers, mit Seiten der Länge` entlang ~e2 parallel zu ∂V und δ entlang ~e3 normal zu ∂V . Der Fluss von ~∇× ~H durch die durchΓ abgeschlossene Fläche S lässt sich mit dem Satz von Stokes berechnen44∫

S

[~∇× ~H(~r)

]·~e1 d2S =

∮Γ

~H(~r) · d~=[H2(x3 =0−)−H2(x3 =0+)

]`+O(δ) ' −

[[H2

]]`.

Dies ist gleich dem Fluss durch S der Leitungsstromdichte, der im Limes δ → 0 nur von derLeitungsstromdichte auf der Oberfläche ∂V abhängt.

• In Abwesenheit von Flächenstromdichten auf ∂V gilt ~∇ × ~H(~r) = ~0, so dass H2 stetig ist.Die Stetigkeit von H1 lässt sich ähnlicherweise mit einer Fläche S in der (~e1,~e3)-Ebene zeigen,d.h. insgesamt ist die Tangentialkomponente ~H‖ stetig an der Oberfläche.

• Wenn es eine Flächenstromdichte gibt, z.B. ~J(~r) = δ(x3)J (x1, x2)~e1, dann ist die Komponentevon ~H‖ senkrecht zu dieser Stromdichte (hier H2) nicht stetig: [[H2]] = −J , während dieKomponente längs der Stromdichte (hier H1) stetig ist.

Diese Randbedingungen können zusammengefasst werden als

~en(~r) ·[[~B(~r)

]]= 0 und ~en(~r)×

[[~H(~r)

]]= ~J (~r) in einem Punkt ~r der Oberfläche, (X.24)

mit ~J der Flächenstromdichte und ~en dem Normaleinheitsvektor zur Oberfläche des Körpers.

X.3.4 Modelle für die Magnetisierung

Die Lösung der Gleichungen (X.22) erfordert die Einführung einer zusätzlichen konstitutivenGleichung , die die magnetische Feldstärke mit der Magnetisierung verknüpft und letztendlich auseinem Modell für die mikroskopische Physik im magnetisierten Körper hergeleitet werden soll.45

• In homogenen und isotropen linearen Medien ist in jedem Punkt die Magnetisierung propor-tional zur magnetischen Feldstärke

~M(~r) = χm~H(~r). (X.25)

χm ist die (dimensionslose) magnetische Suszeptibilität des Mediums.46

Die Mehrheit der Substanzen sind diamagnetische Stoffe, in denen χm < 0 ist, d.h. die dasMagnetfeld aus deren Inneren zu verdrängen versuchen. Insbesondere stellen Supraleiter innicht zu starken magnetischen Feldern „perfekte Diamagnete“ mit χm = −1 dar, entsprechenddem Meißner–Ochsenfeld-Effekt.

Umgekehrt werden Substanzen mit χm > 0 paramagnetisch genannt.

Aus der Relation (X.25) folgt

~B = µ0

(~H + ~M

)= (1 + χm)µ0

~H ≡ µrµ0~H, (X.26)

mit µr der relativen magnetischen Permeabilität . µ ≡ µ0µr ist die magnetische Permeabilitätdes Materials.

In einem isotropen aber inhomogenen Medium wird die magnetische Suszeptibilität bzw. Per-meabilität ortsabhängig.

44Der Sprung [[ · ]] wird hier als Differenz aus dem Wert der physikalischen Größe außerhalb der Oberfläche minusdem Wert im Inneren definiert.

45S. Fußnote 40.46Aus historischen Gründen wird die magnetische Suszeptibilität als der Proportionalitätsfaktor zwischen ~M und

~H definiert, statt als der Koeffizient der Proportionalität zwischen ~M und ~B/µ0, was analog zur definierendenRelation (X.19a) der elektrischen Suszeptibilität ~P = χeε0 ~E wäre.



• In anisotropen linearen Medien ist die Magnetisierung bzw. die magnetische Flussdichte nichtmehr proportional zur magnetischen Feldstärke, sondern wird gegeben durch eine Beziehungwie ~M = ~~χm · ~H bzw. ~B = ~~µ · ~H, mit ~~χm und ~~µ ≡ (~~1 +~~χm)µ0 (symmetrischen) Tensoren 2.Stufe.

• Bei Ferromagneten — wie Eisen, Kobalt oder Nickel unter ihrer Curie-Temperatur — ist die„spontane“ Magnetisierung ~M nicht null auch bei verschwindender magnetischer Feldstärke~H = ~0, entsprechend der Ausrichtung der mikroskopischen magnetischen Dipolen (d.h. in derTat der Elektronenspins, die parallel zu einander ausgerichtet sind).47

Der zugehörige Zusammenhang zwischen ~M und ~H ist nicht-linear und hängt tatsächlichvon der Geschichte des Ferromagnets ab (s. Feynman [5, 6] Kapitel 36-3 für eine qualitativeDiskussion dieser Hysterese).

Als Beispiel sei ein unendlich langer zylindrischer Körper K , beschriebendurch die konstitutive Gleichung (X.26) mit konstanter magnetischer Per-meabilität µ = µ0µr.Außerhalb K ist Vakuum, mit einem magnetischen Feld ~Bext. parallel zurRichtung von K , d.h. einer magnetischen Feldstärke ~Hext.= ~Bext./µ0.Es wird angenommen, dass es auf der Körperoberfläche keine Stromdichtegibt.

~Bext.

6~B

Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke ist stetig, so dass im Inneren von K~H = ~Hext. gilt. Daraus folgt ~B = µ ~H = µr ~Bext., d.h. die magnetische Flussdichte ist unstetig ander Körperoberfläche.Schließlich ist die Magnetisierung in K durch ~M =

~B

µ0− ~H =

µr − 1

µ0

~Bext. gegeben.

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 34 & 36

• Griffiths [7], Kapitel 6

• Jackson [8], Kapitel 5.8–5.11

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel III § 21 & Kapitel IV § 29–30.

X.4 Energie von elektrisierter bzw. magnetisierter Materie

X.4.1 Elektrostatische Energie

Ein makroskopischer Körper sei in einem elektrostatischen Feld, das durch äußere Ladungen bzw.geladene Leiter mit gegebenen Potentialen erzeugt. Diesen Quellen entspricht eine makroskopischeLadungsdichte %ext.(~r).

Eine Variation δ%ext.(~r) der Letzteren führt zu einer Verschiebung der elektrostatischen EnergieEe des Feldes

δEe =

∫Φ(~r)δ%ext.(~r) d3~r.

47Bei ferrimagnetischen Materialen sind die mikroskopischen magnetischen Dipolen abwechselnd antiparallel undparallel zueinander ausgerichtet. Die Existenz eines stärkeren Dipolmoments in einer Richtung als in der anderenführt dann zu einer nicht-verschwindenden Magnetisierung, im Gegensatz zu ~M = ~0 wenn die Dipolmomente in denbeiden Richtungen gleicher Stärke sind (Antiferromagnetismus).



Dies stellt die nötige Arbeit dar, um im jeden Punkt die Ladung δ%ext.(~r) auf das Potential Φ(~r)zu bringen. Unter Verwendung der Maxwell–Gauß-Gleichung (X.17d) lässt sich diese Variation um-schreiben als

δEe =

∫Φ(~r) δ

[~∇ · ~D(~r)

]d3~r =

∫ ~∇ ·[Φ(~r) δ ~D(~r)

]− ~∇Φ(~r) · δ ~D(~r)

]d3~r.

Die Divergenz im zweiten Integral gibt nach Anwendung des Integralsatzes von Gauß einen Ober-flächenterm, der weggelassen wird, so dass

δEe =

∫~E(~r) · δ ~D(~r) d3~r. (X.27)

Damit ergibt sich die Variation der inneren Energie U eines elektrisierten Körpers bei endlicherkonstanter Temperatur T

dU = T dS − P dV + µdN +

∫~E(~r) · δ ~D(~r) d3~r, (X.28a)

mit S der Entropie, V dem Volumen, P dem (konstanten) Druck, µ dem (konstanten) chemischenPotential und N der Teilchenzahl des Körpers. Die Variation der freien Energie F = U − TS ist

dF = −S dT − P dV + µ dN +

∫~E(~r) · δ ~D(~r) d3~r. (X.28b)

Bemerkung: Gleichungen (X.28a) bzw. (X.28b) bedeutet, dass S bzw. T , V , N und ~D die „natür-lichen“ Variablen für die innere bzw. freie Energie darstellen. Es gilt dann

~E =1

V

(∂U

∂ ~D

)S,V ,N

=1

V

(∂F

∂ ~D

)T,V ,N

. (X.28c)

X.4.2 Energie magnetisierter Materie

Jetzt wird der Fall eines makroskopischen Körpers in einem stationären magnetischen Feld ~B(~r)in Anwesenheit einer externen Stromdichte ~Jext.(~r) untersucht.

~B übt keine Arbeit auf die Ladungen, die sich im Feld bewegen, aus. Andererseits induziert eineÄnderung des magnetischen Feldes — genau genommen, des Flusses des magnetischen Feldes —laut dem Faraday-Induktionsgesetz ein elektrisches Feld ~E. Das Letztere übt dann eine Arbeit aufdie externe Stromdichte aus, so dass die Felder insgesamt Energie verlieren.

Die Variation der Energie Eb der Felder wegen der in der Zeit δt durch das Feld ~E geleistetenArbeit ist

δEb = −[∫

~Jext.(~r) · ~E(~r) d3~r

]δt.

Mithilfe der stationären Maxwell–Ampère-Gleichung (X.22d) lässt sich diese Variation schreiben als

δEb = −∫ [

~∇× ~H(~r)]· ~E(~r) d3~r

δt =

(∫ ~∇ ·[~E(~r)× ~H(~r)

]−[~∇× ~E(~r)

]· ~H(~r)

d3~r

)δt.

Für die Divergenz im zweiten Integral kann nochmals der Gauß-Integralsatz benutzt werden; derresultierende Oberflächenterm ist dann vernachlässigbar. Andererseits gilt wegen der Maxwell–Faraday-Gleichung48 ~∇× ~E(~r) δt = −δ ~B(~r), mit δ ~B(~r) der Verschiebung des magnetischen Feldes.Damit ergibt sich

δEb =

∫~H(~r) · δ ~B(~r) d3~r. (X.29)

48Hier wird die gemittelte Version der mikroskopischen Maxwell–Faraday-Gleichung (IX.24c) schon benutzt, obwohlsie nur im nächsten Kapitel diskutiert wird.



Dementsprechend ist die Variation der inneren Energie U eines magnetisierten Körpers (EntropieS, Volumen V , Druck P , Teilchenzahl N) bei endlicher Temperatur

dU = T dS − P dV + µdN +

∫~H(~r) · δ ~B(~r) d3~r, (X.30a)

und die Variation der freien Energie

dF = −S dT − P dV + µdN +

∫~H(~r) · δ ~B(~r) d3~r. (X.30b)

Schließlich kann die magnetische Feldstärke hergeleitet werden aus

~H =1

V

(∂U

∂ ~B

)S,V ,N

=1

V

(∂F

∂ ~B

)T,V ,N

. (X.30c)

Bemerkung: Trotz der formalen Analogie der Formel (X.30a) mit Gl. (X.28a) bzw. (X.30b) mitGl. (X.28b) soll man berücksichtigen, dass die Felder in den Gleichungen nicht gut miteinanderübereinstimmen.

Literatur

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel II § 10–11 & Kapitel IV § 31–32.



XI. Maxwell-Gleichungen in Materie

XI.1 Maxwell-Gleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die makroskopischen Felder ~E(t, ~r), ~D(t, ~r), ~B(t, ~r) und ~H(t, ~r)in Anwesenheit von äußeren Ladungs- und Stromdichte %ext.(t, ~r) und ~Jext.(t, ~r) lassen sich durchMittelung der Maxwell-Gleichungen (IX.24) erhalten.

Für die Maxwell–Gauß- bzw. Maxwell–Thomson-Gleichung liefert diese Mittelung die makrosko-pische Gleichung (X.17d) bzw. (X.22a). Da die Maxwell–Faraday-Gleichung nicht von den externenQuellen abhängt, lässt sie sich mithilfe der Definitionen (IX.25a)–(IX.25b) der makroskopischenFelder einfach mitteln. Schließlich bleibt die Maxwell–Ampère-Gleichung, deren Mittelung im Falleiner stationären Stromdichte zur Gl. (X.22d) führt. Wenn die Stromdichte nicht mehr konstant ist,muss sie der Kontinuitätsgleichung genügen, d.h. deren Divergenz muss gleich minus der Zeitablei-tung der Ladungsdichte sein. Um diese Bedingung zu erfüllen, muss in der gemittelten Gleichung~e(t, ~r) durch ~D(t, ~r) ersetzt werden.

Somit lauten die Maxwell-Gleichungen in Materie49

~∇ · ~D(t, ~r) = %ext.(t, ~r), (XI.1a)~∇ · ~B(t, ~r) = 0, (XI.1b)

~∇× ~E(t, ~r) +∂ ~B

∂t(t, ~r) = ~0, (XI.1c)

~∇× ~H(t, ~r)− ∂ ~D

∂t(t, ~r) = ~Jext.(t, ~r). (XI.1d)

Die Summe der Zeitableitung von Gl. (XI.1a) und der Divergenz von Gl. (XI.1d) ist∂%ext.

∂t(t, ~r) + ~∇ · ~Jext.(t, ~r) =

∂

∂t

[~∇ · ~D(t, ~r)

]+ ~∇ ·

[~∇× ~H(t, ~r)− ∂ ~D

∂t(t, ~r)

]= 0. (XI.2)

Die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke sind gegeben durch

~D(t, ~r) = ε0 ~E(t, ~r) + ~P (t, ~r) + · · · (XI.3a)

~H(t, ~r) =~B(t, ~r)

µ0− ~M(t, ~r) + · · · (XI.3b)

Bemerkungen:∗ Unter Berücksichtigung der zwei ersten Terme in den obigen Relationen lässt sich Gl. (XI.1d)noch schreiben als

~∇× ~B(t, ~r)− 1

c2

∂ ~E

∂t(t, ~r) = µ0

[~Jext.(t, ~r) +

∂ ~P

∂t(t, ~r) + ~∇× ~M(t, ~r)

]. (XI.4)

Der zweite bzw. dritte Term in den eckigen Klammern wird manchmal als „Polarisations-“ bzw.„Magnetisierungsstromdichte“ bezeichnet.

∗ Man prüft einfach, dass die Herleitung des Abschnitts X.2.1, insbesondere die effektive Ladungs-dichte (X.16), im zeitabhängigen Fall gültig bleibt. Daher kann ~P (t, ~r) noch als elektrisches Dipol-moment pro Volumeneinheit betrachtet werden.

49Im Gauß’schen Einheitensystem lauten diese Gleichungen

~∇ · ~D = 4π%ext., ~∇× ~H − 1

c

∂ ~D

∂t=

4π

c~Jext., ~∇ · ~B = 0, ~∇× ~E +

1

c

∂ ~B

∂t= ~0.

XI. Maxwell-Gleichungen in Materie 109


Andererseits wird die effektive Stromdichte (X.20) im zeitabhängigen Fall geändert, wie an derGl. (XI.4) deutlich ist, wegen des Beitrags der zeitlichen Änderung vom elektrischen Dipolmomentzum magnetischen Dipolmoment. Dementsprechend kann ~M(t, ~r) nicht mehr als das magnetischeDipolmoment pro Volumeneinheit interpretiert werden, sofern die Polarisationsstromdichte gegendie Magnetisierungsstromdichte nicht vernachlässigbar ist.

Schließlich müssen die schon in Kapitel X hergeleiteten Randbedingungen an der Grenzoberflächezwischen Medien A und B gelten (~nAB ist der von A nach B gerichtete Normaleinheitsvektor):

DB,⊥ −DA,⊥ = σ, (XI.5a)BB,⊥ −BA,⊥ = 0, (XI.5b)~EB,‖ − ~EA,‖ = ~0, (XI.5c)~HB,‖ − ~HA,‖ = ~J × ~nAB , (XI.5d)

wobei die Komponente mit dem Index ⊥ bzw. ‖ die Normal- bzw. Tangentialkomponente einesFeldes bezeichnet und σ bzw. ~J eine Flächenladungsdichte bzw. -stromdichte ist.

Bemerkung: Die Zeitableitungen von ~B bzw. ~D in Gl. (XI.1c)–(XI.1d) spielen keine Rolle für dieRandbedingungen.

Der entsprechende Fluss durch die Fläche S in der Herleitung der Bedingung ist tatsächlichproportional zur Länge δ und damit null im Limes δ → 0.

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 32-1–32-2

• Griffiths [7], Kapitel 7.3.5 & 7.3.6

• Jackson [8], Kapitel 6.6

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel IX § 75.

XI.2 Poynting-Vektor. Energiebilanz

Die Differenz aus dem Produkt der makroskopischen Maxwell–Faraday-Gleichung (XI.1c) mit~H(t, ~r) minus dem Produkt von ~E(t, ~r) mit der Maxwell–Ampère-Gleichung (XI.1d) gibt (der Kürzehalber wird die (t, ~r)-Abhängigkeit der Felder nicht geschrieben)

~H ·(~∇× ~E

)− ~E ·

(~∇× ~H

)+ ~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t= − ~Jext. · ~E. (XI.6)

Die zwei ersten Terme der linken Seite sind genau gleich ~∇ ·(~E × ~H

)= ~∇ · ~S mit

~S ≡ ~E × ~H, (XI.7)

dem Poynting-Vektor , d.h. der Energiestromdichte.Dann ist der Term auf der rechten Seite gleich minus der Leistung der Lorentz-Kraft auf die

externen Ladungen, entsprechend dem Negativen der Rate ∂eM/∂t der Änderung der kinetischenEnergie dieser Ladungen. Wenn die zwei letzten Terme auf der linken Seite der Gl. (XI.6) sich alseine Zeitableitung ∂eF/∂t schreiben lassen, dann gilt50

∂eF

∂t+∂eM

∂t+ ~∇ · ~S = 0, (XI.8)

entsprechend der Form eines Erhaltungssatzes.50Die Indizes M und F stehen jeweils für Materie — die äußeren Ladungen — und Felder.



Laut Gl. (X.27) und (X.29) stellt deF = ~E · δ ~D+ ~H · δ ~B im stationären Limes die Änderung derEnergiedichte der Felder dar. Damit könnte Gl. (XI.8) als eine Energiebilanz interpretiert werden.

Diese Deutung gilt aber nur für nichtdispersive lineare Medien, d.h. lineare Medien, deren Ei-genschaften unabhängig von der Frequenz der Felder sind:

~D(t, ~r) =~~ε(~r) · ~E(t, ~r), ~B(t, ~r) = ~~µ(~r) · ~H(t, ~r). (XI.9)

Mit solchen konstitutiven Gleichungen ist

~E · ∂~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t=

3∑i,j=1

(Eiεij

∂Ej∂t

+Hiµij∂Hj

∂t

)=

∂

∂t

[ 3∑i,j=1

1

2

(EiεijEj +HiµijHj

)]

=∂

∂t

( ~E · ~D + ~H · ~B2

),

d.h. man kann in diesem Fall eine Energiedichte der Felder

eF(t, ~r) =1

2

[~E(t, ~r) · ~D(t, ~r) + ~H(t, ~r) · ~B(t, ~r)

]identifizieren, mit der die Relation (XI.8) eine Energiebilanz darstellt.

Literatur

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel IX § 75

• Schwinger [10], Kapitel 7.1.



XII. Elektromagnetische Wellen in Materie

Unten den wichtigsten Lösungen der makroskopischen Maxwell-Gleichungen (XI.1) in Materie sinddie (fortschreitenden) Wellen. Um die zugehörigen Wellengleichungen zu erhalten, sind konstitutiveGleichungen zwischen ~E und ~D bzw. ~B und ~H nötig. Hiernach wird angenommen, dass die Felderin homogenen und linearen Materialen propagieren — wobei die konstitutiven Relationen zeitun-abhängig oder -abhängig sein können — und dass keine externen Ladungen vorhanden sind, d.h.%ext = 0, ~Jext = ~0.

Zunächst wird der Fall elektromagnetischer Wellen mit „langsamer“ Frequenz untersucht, diesehr ähnlich Wellen im Vakuum sind (Abschn. XII.1). Dann werden Wellen mit beliebig großerFrequenz studiert (Abschnitt XII.2).

XII.1 Elektromagnetische Wellen im quasistationären Zustand

Sei eine monochromatische Welle, die auf einem makroskopischen Körper stößt. Die Zeitab-hängigkeit des elektromagnetischen Feldes wird durch dessen Kreisfrequenz ω bzw. durch dessenPeriodendauer T = 2π/ω charakterisiert.

Diese Periode soll mit der typische Zeitskala τ~P bzw. τ ~M , auf der die Polarisation bzw. dieMagnetisierung des makroskopischen Körpers sich einstellen kann, verglichen werden. Ist die Peri-ode viel größer ist als jene typischen Zeitskalen, d.h. ω τ−1

~P, τ−1

~M, so können die Eigenschaften

(Permittivität, Permeabilität...) des Materials über eine Periode als konstant betrachtet werden.Für ein isotropes lineares und homogenes Medium gelten also

~D(t, ~r) = ε ~E(t, ~r), ~H(t, ~r) =~B(t, ~r)

µ, (XII.1)

mit ε = ε0εr und µ = µ0µr.

XII.1.1 Wellengleichung

Unter diesen Bedingungen führt die Maxwell–Gauß-Gleichung (XI.1a) zu ~∇ · ~E(t, ~r) = 0. Bildetman die Rotation der Gl. (XI.1c) unter Verwendung der Identität ~∇× (~∇× ~E) = ~∇(~∇ · ~E)−4 ~E,so kommt

−4 ~E(t, ~r) +∂

∂t

[~∇× ~B(t, ~r)

]= ~0.

Dank der konstitutiven Relation (XII.1) kann ~∇ × ~B(t, ~r) durch µ~∇ × ~H(t, ~r) ersetzt werden: dieMaxwell–Ampère-Gleichung (XI.1d) gibt dann die Beziehung

~∇× ~B(t, ~r) = µ∂ ~D(t, ~r)

∂t= εµ

∂ ~E(t, ~r)

∂t.

Somit ergibt sich

εµ∂2 ~E(t, ~r)

∂t2−4 ~E(t, ~r) = ~0. (XII.2a)

Auf die gleiche Weise findet man ausgehend von der Rotation von Gl. (XI.1d)

εµ∂2 ~B

∂t2(t, ~r)−4 ~B(t, ~r) = ~0. (XII.2b)

Diese Bewegungsgleichungen sind homogene Wellengleichungen. In Analogie mit bekannten Er-gebnis lautet die Phasengeschwindigkeit der Wellen

ceff =c

√εrµr

=1√εµ. (XII.2c)

XII. Elektromagnetische Wellen in Materie 112


ceff stellt die „effektive“ Lichtgeschwindigkeit in Materie dar.51

Bemerkung: Die Felder ~D und ~H genügen analogen Bewegungsgleichungen und propagieren mitderselben Phasengeschwindigkeit ceff .

XII.1.2 Ebene elektromagnetische Wellen in Materie

Die Wellengleichungen (XII.2a)–(XII.2b) sind ähnlich der entsprechenden Gleichungen für elek-tromagnetische Wellen im Vakuum, mit c ersetzt durch ceff , Gl. (XII.2c).

Mögliche Lösungen der Wellengleichung (XII.2) sind die ebenen monochromatischen Wellen

~E(t, ~r) = ~E0 ei(~k·~r−ωt), ~B(t, ~r) = ~B0 ei(~k·~r−ωt), (XII.3a)

mit beliebiger Kreisfrequenz ω, einem Wellenvektor ~k(ω), dessen Betrag der Bedingung

k(ω) ≡∣∣~k(ω)

∣∣ =ω

ceff=ω√εrµr

c(XII.3b)

genügt, beliebiger Amplitude ~E0, und

~B0 =~e~k × ~E0

ceff, (XII.3c)

mit ~e~k dem Einheitsvektor in die Propagationsrichtung, d.h. die Richtung von ~k.

XII.1.3 Reflexions- und Brechungsgesetz

Seien zwei homogene dielektrische Medien A , B mit den jeweiligen relativen Permittivitäten undPermeabilitäten εr,A , εr,B und µr,A , µr,B und einer gemeinsamen ebenen Grenzfläche S, auf der eskeine frei bewegliche Ladungsträger bzw. keine Flächenstromdichte gibt.

Eine elektromagnetische Welle mit Kreisfrequenz ω und Wellenvektor ~kA läuft im Medium Aauf die Grenzfläche ein:

~EA(t, ~r) = ~EA,0 ei(~kA ·~r−ωt), ~BA(t, ~r) = ~BA,0 ei(~kA ·~r−ωt).

Dann läuft sie im Medium B weiter, mit der gleichen Frequenz und dem Wellenvektor ~kB :~EB(t, ~r) = ~EB,0 ei(~kB ·~r−ωt), ~BB(t, ~r) = ~BB,0 ei(~kB ·~r−ωt).

( ~EB , ~BB) ist die transmittierte Welle.Es wird angenommen, dass ω klein genug ist, als dass in jedem Medium die konstitutiven Glei-

chungen (XII.1) gelten:

~DA(t, ~r) = εr,Aε0 ~EA(t, ~r), ~HA(t, ~r) =~BA(t, ~r)

µr,Aµ0,

und ähnliche Beziehungen für die Felder im Medium B. Dann gelten auch in jedem Medium dieRelationen (XII.3b)–(XII.3c) mit der jeweiligen effektiven Lichtgeschwindigkeit (XII.2c).

An der Grenzfläche sollen die Bedingungen (XI.5) mit σ = 0, ~J = ~0 erfüllt werden. Das ist mitden Feldern ~EA , ~BA , ~EB , ~BB allein nicht möglich.

Dies lässt am einfachsten für den Fall einer senkrecht einfallenden Welle prüfen. Dann sind ~EA ,~BA an der Grenzfläche tangential. Laut den Bedingungen (XI.5a) und (XI.5b) (Stetigkeit derNormalkomponenten) sollen ~EB und ~BB ebenfalls tangential sein. Die Stetigkeit der Tangential-komponente der magnetischen Feldstärke führt zu | ~BB |/µr,B = | ~BA |/µr,A , d.h. unter Nutzungder Gl. (XII.3c) ∣∣ ~EB

∣∣√ εr,Bµr,B

=∣∣ ~EA

∣∣√ εr,Aµr,A

,

was sich im allgemeinen Fall nicht in Übereinstimmung mit | ~EB | = | ~EA | [Bedingung (XI.5c)]bringen lässt.

51Für die Bedeutung dieser effektiven Lichtgeschwindigkeit in einemMedium, s. Feynmans Diskussion in Ref. [11, 12]Kapitel 31.



medium A

medium BS

6~en

JJJJJJJ

JJJ θA

θ′A

BBBBBBB

BBBN

θB

Abbildung XII.1: Reflexion und Brechung einer Welle auf eine ebene Grenzfläche.

Somit muss es eine dritte Welle geben, die reflektierte Welle, im Medium A :

~E′A(t, ~r) = ~E′A,0 ei(~k′A ·~r−ωt), ~B′A(t, ~r) = ~B′A,0 ei(~k′A ·~r−ωt),

mit |~k′A | = |~kA |.Sei ~en der Normaleinheitsvektor zur Grenzfläche S. Die Grenzbedingung (XI.5b) in einem Punkt

~r von S lautet jetzt ~en · [ ~BA(t, ~r) + ~B′A(t, ~r)] = ~en · ~BB(t, ~r), d.h.

~en ·[~BA,0(t, ~r) + ~B′A,0(t, ~r) ei(~k′A−~kA )·~r

]= ~en · ~BB,0(t, ~r) ei(~kB−~kA )·~r.

Die Phasenfaktoren in dieser Gleichheit dürfen nicht vom Punkt abhängen: (~k′A − ~kA) · ~r = 0 und(~kB −~kA) ·~r = 0 für jeden ~r ∈ S. Das heißt zum einen, dass ~k′A −~kA kollinear zu ~en ist, entsprechenddem Reflexionsgesetz

~kA , ~k′A und ~en sind koplanar;

θ′A = θA ,(XII.4)

mit θA dem Einfallswinkel und θ′A dem Reflexionswinkel (Abb. XII.1).Zum anderen ist ~kB −~kA ebenfalls senkrecht zu S. Unter Berücksichtigung der unterschiedlichen

Phasengeschwindigkeiten des Lichts in den beiden Medien erhält man das Brechungsgesetz

~kA , ~kB und ~en sind koplanar;√εr,Aµr,A sin θA =

√εr,Bµr,B sin θB ,

(XII.5)

mit θB dem Brechungsswinkel (Abb. XII.1).

XII.2 Elektromagnetische Wellen beliebiger Kreisfrequenz

Wenn die Periode des elektromagnetischen Feldes nicht viel größer als die Zeitskala τ~P ist, kanndie dielektrische Polarisation bzw. die elektrische Flussdichte den Änderungen der elektrischen Feld-stärke nicht unverzögert folgen, sondern hängt auch von deren Werten zu vergangenen Zeitpunktenab. Somit führt man eine (tensorielle) Funktion ~~χe(t, t

′) ein, welche die „Antwort“ zur Zeit zu einerelektrischen Anregung zur Zeit t′ ≤ t beschreibt:

~P (t, ~r) =

∫ t

−∞~~χe(t, t

′) · ε0 ~E(t′, ~r) dt′. (XII.6)

[vgl. Gl. (X.19a)].Eine günstige Annahme ist, dass ~~χe nicht von t und t′ getrennt abhängt, sondern nur von der

Verzögerung t− t′. Dies ist äquivalent zur Forderung, dass Gl. (XII.6) gültig bleibt, wenn alle Zeiten



um einen beliebigen τ0 verschoben werden — d.h. dass die Physik invariant unter Zeittranslationist. In diesem Fall lässt sich die Beziehung noch schreiben als

~P (t, ~r) =

∫ ∞0

~~χe(τ) · ε0 ~E(t− τ, ~r) dτ. (XII.7a)

Wiederum ist die elektrische Flussdichte gegeben durch

~D(t, ~r) = ε0 ~E(t, ~r) +

∫ ∞0

~~χe(τ) · ε0 ~E(t− τ, ~r) dτ. (XII.7b)

Der Tensor zweiter Stufe ~~χe(τ) heißt elektrischer Suszeptibilitätstensor.

Bemerkung: In den Relationen (XII.7) wird die Kausalität berücksichtigt, indem die Integrale nurüber positive Werte der Zeitverzögerung τ laufen.

XII.2.1 Dielektrischer Tensor, dielektrische Funktion

Die Beziehungen (XII.7) sind nicht-lokal in der Zeit. Durch zeitliche Fourier-Transformationlassen sich einfachere Gleichungen erhalten. Es seien

~E(ω,~r) =

∫ ∞−∞

~E(t, ~r) eiωt dt, ~P (ω,~r) =

∫ ∞−∞

~P (t, ~r) eiωt dt, ~D(ω,~r) =

∫ ∞−∞

~D(t, ~r) eiωt dt

die jeweiligen Fourier-Transformierten von ~E(t, ~r), ~P (t, ~r) und ~D(t, ~r). Aus Gl. (XII.7) und demFaltungsstheorem folgen die Beziehungen

~P (ω,~r) =

∫ ∞−∞

[∫ ∞0

~~χe(τ) · ε0 ~E(t− τ, ~r) dτ

]eiωt dt =

∫ ∞0

dτ eiωτ ~~χe(τ) ·∫ ∞−∞

ε0 ~E(t− τ, ~r) eiω(t−τ) dt

= ~~χe(ω) · ε0 ~E(ω,~r), (XII.8a)

~D(ω,~r) = ε0 ~E(ω,~r) +~~χe(ω) · ε0 ~E(ω,~r) =~~ε(ω) · ~E(ω,~r), (XII.8b)

mit~~χe(ω) dem Fourier-transformierten Tensor von~~χe(τ) Θ(τ) und~~ε(ω) ≡[~~1+~~χe(ω)

]ε0 ≡~~εr(ω) ε0,

wobei ~~1 den Einheitstensor 2. Stufe bezeichnet und Θ(τ) die Heaviside-Funktion. ~~ε(ω) ist derdielektrische Tensor im Fourier-Raum.

Wenn das Material isotrop ist, dann sind der Suszeptibilitätstensor und der dielektrische Tensordiagonal und können damit durch skalare Funktionen χe(ω) und ε(ω) ersetzt werden. Die Letzterewird dielektrische Funktion genannt.

Bemerkungen:∗ Für kleine Kreisfrequenzen lautet die Fourier-Transformierte der ersten Relation in Gl. (XII.1)

~D(ω,~r) = ε ~E(ω,~r),

mit ε der (frequenzunabhängigen) Permittivität. Der Vergleich mit Gl. (XII.8b) gibt ε = ε(ω= 0).Deshalb wurde die Permittivität früher dielektrische Konstante genannt.

∗ Für große Frequenzen oszilliert das elektrische Feld so schnell, dass die mikroskopischen Prozesse,die zur Entstehung einer Polarisation und dadurch einer elektrischen Flussdichte ~D 6= ε0 ~E führen,nicht mithalten können. Dann muss lim

ω→∞~~ε(ω) = ε0

~~1 gelten.

Genauer gesagt muss die Kreisfrequenz ω viel größer als die charakteristischen Kreisfrequenzenωa der Bewegungen der Ladungsträger im Material sein.Andererseits muss man berücksichtigen, dass im Limes ω →∞ die makroskopische Beschreibungsinnlos wird. In diesem Limes wird die Wellenlänge λ = 2πc/ω des Felds im Vakuum tatsäch-lich sehr klein: wenn λ der Ordnung der atomaren Skala oder gar kleiner ist, wird das Materialdurch das Feld nicht mehr als ein kontinuierliches Medium mit langsam variierenden Eigenschaf-ten „gesehen“: die effektive Theorie ist nicht mehr gültig. Man sollte dann eine mikroskopischeBeschreibung benutzen.



∗ Die Verallgemeinerung der Beziehung ~~ε = (~~1 +~~χe)ε0 [Gl. (X.19b)] zum nicht-stationären Fallist direkt im Frequenz-Raum, nicht im τ -Raum. Für die zeitabhängigen Größen gilt tatsächlich~~ε(τ) = [δ(τ)~~1+~~χe(τ) Θ(τ)] ε0, wie auf Gl. (XII.7b) zu sehen ist.

∗ Manchmal wird der Suszeptibilitätstensor als ~~χe(τ) =~~0 für τ < 0 definiert. Dann kann man −∞als untere Grenze der Integrale in Gl. (XII.7) nehmen, und ~~χe(ω) als Fourier-Transformierte von~~χe(τ) (ohne die Heaviside-Funktion) betrachten.

∗ Für ein nicht-homogenes Medium hängen elektrischer Suszeptibilitätstensor und dielektrischerTensor auch vom Ort ab. Damit soll der nicht-lokale Zusammenhang zwischen Polarisation bzw.elektrische Flussdichte und elektrischer Feldstärke diese Abhängigkeit in Betracht ziehen: beispiels-weise gilt

~P (t, ~r) =

∫ ∞0

dτ

∫d ~X~~χe(τ, ~X) · ε0 ~E(t− τ, ~r − ~X).

Lokale Relationen ergeben sich dann durch zeitliche und räumliche Fourier-Transformationen, wiez.B. ~P (ω,~k) = ~~χe(ω,~k) · ε0 ~E(ω,~k).

XII.2.2 Mathematische Eigenschaften der elektrischen Suszeptibilität

Allgemein ist die (Fourier-transformierte) elektrische Suszeptibilität χe(ω) eine komplexwertigeFunktion χe(ω) = Reχe(ω)+i Imχe(ω).52 Diese Funktion hat wegen der Reellwertigkeit von ~E(t, ~r)und ~P (t, ~r) und der Kausalitätsbedingung in Gl. (XII.7) besondere mathematische Eigenschaften,unabhängig von irgendeinem unterliegenden mikroskopischen Modell. Analoge Eigenschaften geltenfür die komplexwertige dielektrische Funktion ε(ω).53

Die physikalischen Felder ~E(t, ~r) und ~P (t, ~r) nehmen reelle Werte an, so dass

~E(ω,~r)∗ =

∫ ∞−∞

~E(t, ~r)∗ e−iω∗t dt =

∫ ∞−∞

~E(t, ~r) e−iω∗t dt = ~E(−ω∗, ~r),

wobei ω momentan als komplex angenommen wurde, sowie ~P (ω,~r) = ~P (−ω∗, ~r). Daher gilt auch

χe(ω)∗ = χe(−ω∗), (XII.9)

d.h. für ω ∈ R

Reχe(−ω) = Reχe(ω) : Reχe(ω) ist gerade;Imχe(−ω) = −Imχe(ω) : Imχe(ω) ist ungerade.

Die elektrische Suszeptibilität lässt sich also als

χe(ω) =1

2

[χe(ω) + χe(−ω∗)∗

]+

1

2

[χe(ω)− χe(−ω∗)∗

]=

1

2

[χe(ω) + χe(−ω∗)∗

],

schreiben, wobei der zweite Term im zweiten Glied wegen der Eigenschaft (XII.9) null ist.

Definitionsgemäß ist χe(ω) die Fourier-Transformierte von χe(τ) Θ(τ). Die entsprechende inverseFourier-Transformation lautet

χe(τ) Θ(τ) =

∫ ∞−∞

e−iωτ χe(ω)dω

2π.

Das Integral im rechten Glied kann als Teil eines Linienintegrals über eine geschlossene Kontourin der komplexen ω Ebene, bestehend aus der reellen Achse und einem Halbkreis im Unendlichen,betrachtet werden. Da die Funktion auf der linken Seite null für τ < 0 ist, bedeutet das, dass diePolstellen des Integranden nicht in der oberen Halbebene sind, sondern in der unteren Halbebene,d.h. bei ω = ω0 − iγ mit ω0 ∈ R, γ ∈ R+.

52Die Betrachtungen dieses Paragrafs gelten auch für den elektrischen Suszeptibilitätstensor ~~χe(ω).53Für weitere Details zu diesen mathematischen Eigenschaften, s. Kapitel 1 in Ref. [13].



Unter Berücksichtigung der Paritätseigenschaft (XII.9) ist dann ω = −ω0 − iγ auch ein Pol mitdemselben Residuum. Dementsprechend lautet ein guter Ansatz für die elektrische Suszeptibilität

χe(ω) =c0

2

(1

ω0 − ω − iγ+

1

ω0 + ω + iγ

)=

c0ω0

ω20 + γ2 − ω2 − 2iγω

=Ω2a

ω2a − ω2 − iωΓa

,

mit ω0 ∈ R, γ ∈ R+ und c0 einer reellen Konstante sowie Ω2a ≡ c0ω0, ω2

a ≡ ω20 + γ2 und Γa ≡ 2γ.

Laut dem Lorentz–Drude-Modell (vgl. Anhang XII.A.2) ist χe(ω) genau eine Summe von Termendieser Art:

χe(ω) =∑a

Ω2a

ω2a − ω2 − iωΓa

, (XII.10)

mit ωa der Eigenkreisfrequenz der gedämpften harmonischen Bewegung eines gebundenen Ladungs-trägers (vom Typ a) des Materials, mit ω1 < ω2 < · · · , und Γa der entsprechenden Dämpfungs-konstante.

Bemerkungen:∗ Abbildung XII.2 stellt den Imaginärteil der elektrischen Suszeptibilität

Imχe(ω) =∑a

Ω2aΓaω

(ω2a − ω2)2 + ω2Γ2

a

dar. Bei jeder Eigenkreisfrequenz ωa tritt eine „Resonanz“ mit der Breite Γa auf, so dass dieserImaginärteil wie ein optisches Spektrum aussieht: man spricht von der Spektralfunktion.

ωω1 ω2

−ω1−ω2

Imχe(ω)

Abbildung XII.2: Imaginärteil der elektrischen Suszeptibilität (XII.10).

∗ Der Kehrwert ω−1a der Eigenkreisfrequenz stellt die typische Zeitdauer für die Bewegung des

Ladungsträgers dar, d.h. die charakteristische Zeitskala für die Einstellung der mikroskopischenPolarisation. Dann ist Γ−1

a ein Maß der typischen Zeitskala für die Dämpfung dieser Bewegung, d.h.für das Verschwinden der Polarisation. Damit eine endliche Polarisation sich einstellen kann, sollalso Γa ωa gelten.

Ist diese Bedingung für den langsamsten Schwingungsmodus ω1 erfüllt, so lautet die Bedingung fürdie Gültigkeit der in Abschn. XII.1 gemachten quasistationären Näherung ω ω1. Die elektrischeSuszeptibilität (XII.10) bzw. die entsprechende dielektrische Funktion ist tatsächlich näherungsweisekonstant für ω ω1:

χe(ω) ∼ωω1

∑a

Ω2a

ω2a

, ε(ω) ∼ωω1

(1 +

∑a

Ω2a

ω2a

)ε0,

unabhängig von der Kreisfrequenz und größer als ε0.



∗ Für hohe Frequenzen, d.h. ω viel größer als die höchste Eigenkreisfrequenz, liefert das Lorentz–Drude-Modell ε(ω) = ε0

[1 −

(∑a Ω2

a

)/ω2

]: wie erwartet geht die dielektrische Funktion nach ε0

wenn ω →∞.

::::::::::::::::::::::::::::Kramers–Kronig-BeziehungenSchließlich sind Real- und Imaginärteil der elektrischen Suszeptibilität miteinander verknüpft überdie Beziehungen

Reχe(ω) =1

πP

∫ ∞−∞

Imχe(ω′)

ω′ − ωdω′,

Imχe(ω) = − 1

πP

∫ ∞−∞

Reχe(ω′)

ω′ − ωdω′,

(XII.11)

wobei P den Cauchy-Hauptwert bezeichnet.54

Die Funktion χe(ω′) der komplexen Variable ω′ hat keine Polstelle in der oberen Halbebene;dazu strebt sie nach Null wenn |ω′| → ∞. Somit hat die Funktion χe(ω′)/(ω′ − ω) nur einePolstelle in der oberen Halbebene, und zwar bei ω′ = ω. Daher ist das Integral

I =

∮dω′

χe(ω′)

ω′ − ωentlang der in Abb. XII.3 dargestellten Kontour wegen des Residuensatzes null. Der Beitrag des

Re ω′

Im ω′

•ω

C1

C2

Abbildung XII.3: Kontour zum Beweis der Kramers–Kronig-Beziehungen.

Halbkreises C1 verschwindet im Limes eines unendlich großen Radius dank dem Verhalten vonχe(ω′) für |ω′| → ∞. Sei δ der Radius des Halbkreises C2. Der Beitrag der reellen Achse zumIntegral I im Limes δ → 0 ist genau gleich dem Cauchy-Hauptwert

P

∫ ∞−∞

χe(ω′)

ω′ − ωdω′.

Schließlich gibt das Integral entlang des Halbkreises C2 im gleichen Limes

limδ→0

∫C2

χe(ω′)

ω′ − ωdω′ = −iπχe(ω),

wobei der Residuensatz benutzt wurde. Somit gilt

I = P

∫ ∞−∞

dω′χe(ω′)

ω′ − ω− iπχe(ω) = 0,

woraus die Beziehungen (XII.11) sofort folgen.

Ein alternativer „einfacher“ Beweis der Beziehungen wird in Ref. [14] dargelegt.54Für eine Funktion f(x), deren Integral über [a, b] uneigentlich am Punkt c ∈]a, b[ ist, ist

P

∫ b

a

f(x) dx = limε→0+

[∫ c−ε

a

f(x) dx+

∫ b

c+ε

f(x) dx

].



Bemerkung: Die elektrische Suszeptibilität stellt ein Beispiel von linearer Antwortfunktion dar,d.h. von der Abhängigkeit, welche die Reaktion eines Systems zu einer kleinen Anregung beschreibt.Solche Prozesse sind immer kausal — die Reaktion kommt nach der Anregung —, so dass die hierdargelegten analytischen Eigenschaften von χe(ω) (Polstellen, Verhalten für |ω| → ∞) auch fürandere Antwortfunktionen gelten, sowie zugehörige Kramers–Kronig-Beziehungen.

XII.2.3 Beispiel: elektrischer Leiter

In einem elektrischen Leiter sind frei bewegliche Ladungsträger vorhanden. Denen entsprichtin der elektrischen Suszeptibilität (XII.10) eine Eigenkreisfrequenz ω1 = 0, während die weiterenEigenkreisfrequenzen ωa>1 endlich bleiben.55 Für kleine Eigenkreisfrequenzen gilt also

χe(ω) ∼ω→0− Ω2

1

ω(ω + iΓ1)+∑a>1

Ω2a

ω2a

(XII.12a)

d.h. für die relative dielektrische Funktion

εr(ω) = 1 + χe(ω) ∼ω→0

1 +∑a>1

Ω2a

ω2a

− Ω21

ω(ω + iΓ1)≡ εr,0 +

iΩ21

ω(Γ1 − iω). (XII.12b)

Somit divergiert die dielektrische Funktion ε(ω) im Limes ω → 0 für einen elektrischen Leiter, wieam Ende des Abschnitts X.2.4 schon argumentiert wurde.

Bemerkung: Für εr →∞ wird die effektive Lichtgeschwindigkeit (XII.2c) null: elektromagnetischeWellen können in einem elektrischen Leiter im quasistationären Limes nicht propagieren. DieseTatsache liegt den optischen Eigenschaften von Metallen zugrunde, insbesondere dem metallischenAussehen, das durch die Totalreflexion von einfallenden Wellen im optischen Bereich verursachtwird.

In Fourier-Darstellung lautet die Maxwell–Ampère-Gleichung (XI.1d)~∇× ~H(ω,~r) + iω ~D(ω,~r) = ~Jext.(ω,~r).

Durch Einsetzen der elektrischen Flussdichte (XII.8b) mit der dielektrischen Funktion (XII.12b)wird dies zu

~∇× ~H(ω,~r) + iωεr,0 ε0 ~E(ω,~r) 'ω→0

~Jext.(ω,~r) +Ω2

1

Γ1 − iωε0 ~E(ω,~r).

Die Identifizierung des zweiten Terms auf der rechten Seite mit einer „induzierten“ Stromdichte führtzum Ohm-Gesetz

~Jind.(ω,~r) = σ(ω) ~E(ω,~r) mit σ(ω) ≡ Ω21

Γ1 − iωε0

der elektrischen Leitfähigkeit. Eine solche Form der Leitfähigkeit lässt sich im Rahmen des Drude-Modells [vgl. Anhang XII.A.1, Gl. (XII.34)] herleiten.

Bemerkung: Der Unterschied zwischen Leiter und Nichtleiter bezüglich der Ausbreitung von Wel-len ist nur bei kleinen Frequenzen bedeutend, wo das Verhalten der dielektrischen Funktion fürω → 0 noch „spürbar“ ist. Der Unterschied verschwindet bei höheren Frequenzen.

XII.2.4 Dispersion und Absorption

Der Einfachheit halber wird im Weiteren nur der Fall eines homogenen isotropen Mediumsdiskutiert. Dieses wird durch eine dielektrische Funktion ε(ω) charakterisiert, sowie durch eine fre-quenzabhängige Permeabilität µ(ω).56

55Im Lorentz–Drude-Modell unterliegen die freien Ladungsträger keiner harmonischen Bindungskraft(!), d.h. dieEigenkreisfrequenz des zugehörigen Oszillators ist null.

56In den meisten Materialen ist die Abhängigkeit der Permeabilität nach ω tatsächlich vernachlässigbar in denBereichen, wo ε(ω) erheblich variiert, und umgekehrt.



:::::::::XII.2.4 a

::::::::::::::::Wellengleichung

Für die Fourier-transformierten Felder lauten die Maxwell-Gleichungen (XI.1) in Abwesenheitvon externen Ladungsträgern

~∇ · ~E(ω,~r) = 0, (XII.13a)

~∇ · ~H(ω,~r) = 0, (XII.13b)

~∇× ~E(ω,~r)− iωµ(ω) ~H(ω,~r) = ~0, (XII.13c)

~∇× ~H(ω,~r) + iωε(ω) ~E(ω,~r) = ~0, (XII.13d)

wobei die konstitutiven Gleichungen schon benutzt wurden, um die Flussdichten ~D(ω,~r) und ~B(ω,~r)durch die Feldstärken zu ersetzen.

Die Summe von ε(ω) mal der Rotation der Gl. (XII.13c) und dem Produkt der Gl. (XII.13d)mit iωµ(ω) gibt, unter Berücksichtigung der Gl. (XII.13a)

4 ~E(ω,~r) + ω2µ(ω)ε(ω) ~E(ω,~r) = ~0, (XII.14a)

während ~H(ω,~r) einer analogen Gleichung genügt

4 ~H(ω,~r) + ω2µ(ω)ε(ω) ~H(ω,~r) = ~0. (XII.14b)

Eine solche partielle Differentialgleichung wird (homogene) Helmholtz-Gleichung genannt.

Der Brechungsindex (auch als Brechzahl bezeichnet) n(ω) ist definiert durch57

n(ω)2 =[n′(ω) + in′′(ω)

]2= εr(ω)µr(ω), (XII.15)

mit n′(ω), n′′(ω) reellwertigen Funktionen und εr(ω) bzw. µr(ω) der relativen dielektrischen Funk-tion bzw. Permeabilität.n′′(ω) heißt Extinktionskoeffizient und das Verhältnis κ(ω) = n′′(ω)/n′(ω) Absorptionsindex.

Mit dem Brechungsindex lauten die Helmholtz-Gleichungen (XII.14)

4 ~E(ω,~r) +ω2n(ω)2

c2~E(ω,~r) = ~0, 4 ~H(ω,~r) +

ω2n(ω)2

c2~H(ω,~r) = ~0. (XII.16)

Bemerkung: Laut den Kramers–Kronig-Beziehungen (XII.11) darf der Brechungsindex nicht reelloder rein imaginär über den ganzen Frequenzraum sein.

::::::::::XII.2.4 b

:::::::Lösung

::::der

::::::::::::::::Wellengleichung

Um diese linearen Differentialgleichungen zu lösen, wird der Ansatz

~E(ω,~r) = ~E0 ei~k(ω)·~r = ~E0 ei~kr(ω)·~r e−~ki(ω)·~r (XII.17)

und ein analoger Ansatz für ~H(ω,~r) gemacht, mit einem komplexen frequenzabhängigen Wellen-vektor ~k = ~kr + i~ki.Mit diesem Ansatz lässt sich der Laplace-Operator durch −~k2 ersetzen, so dassdie Gleichung (XII.16) eine Lösung nur dann haben kann, wenn die Bedingung

~k(ω)2 =ω2n(ω)2

c2(XII.18)

erfüllt wird.57Manchmal wird nur der Realteil n′(ω) als Brechungsindex bezeichnet.



Bemerkungen:∗ Diese Bedingung macht die Notwendigkeit eines komplexen Wellenvektors deutlich: ω und c sindreelle Größen, so dass ein komplexer Index n(ω) von einem komplexen ~k(ω) begleitet werden muss.

∗ Wegen des Imaginärteils des Wellenvektors ist das Feld nicht periodisch im Raum. Somit stelltder Ansatz (XII.17) keine ebene Welle dar.

Im Allgemeinen sind Real- und Imaginärteil des komplexen Wellenvektors nicht kollinear. Hier-nach werden sie der Einfachheit halber als kollinear angenommen. Dann kann deren gemeinsameRichtung als die Propagationsrichtung der Welle identifiziert werden.

Sei ~k0(ω) ein reeller Vektor mit dem Betrag |~k0(ω)| = ω/c, und ~e~k der zugehörige Einheitsvektor.Der komplexe Vektor

~k(ω) ≡√εr(ω)µr(ω)~k0(ω) (XII.19)

erfüllt dann die Bedingung (XII.18). Somit ist ein durch Gl. (XII.17) gegebenes Vektorfeld ~E(ω,~r)mit beliebiger Amplitude ~E0 und dem Wellenvektor ~k(ω) Lösung der Helmholtz-Gleichung.

Dazu muss ~E(ω,~r) bzw. ~H(ω,~r) noch der Maxwell–Gauß- bzw. Maxwell–Thomson-Gleichunggenügen.58 Dies gibt

i~k(ω) · ~E0 = 0 bzw. i~k(ω) · ~H0 = 0,

d.h.~e~k · ~E0 = 0 bzw. ~e~k · ~H0 = 0. (XII.20)

Das elektrische und das magnetische Feld sind also senkrecht zur Propagationsrichtung: eine solcheWelle wird Transversalwelle genannt.

Schließlich liefert Gl. (XII.13c) die zusätzliche Beziehung

~k(ω)× ~E0 = ωµ(ω) ~H0, d.h. ~H0 =

√ε(ω)

µ(ω)~e~k × ~E0. (XII.21)

Somit sind die elektrische und magnetische Feldstärken orthogonal zueinander, und ~k(ω), ~E0, ~H0

bilden ein rechtshändiges System.

Die physikalischen Felder sind reell. Mit n(ω) =√εr(ω)µr(ω) kommt

~E(t, ~r) = Re(~E0 ei[n′(ω)~k0(ω)·~r−ωt]

)e−n

′′(ω)~k0(ω)·~r,

~H(t, ~r) = Re(~H0 ei[n′(ω)~k0(ω)·~r−ωt]

)e−n

′′(ω)~k0(ω)·~r,

wobei die Realteile der Summe unterschiedlicher Fourier-Komponenten entsprechen. Dann ist derBetrag | ~E × ~H| des Poynting-Vektors (XI.7) proportional zum Faktor

e−2n′′(ω)~k0(ω)·~r = e−α(ω) `, mit α(ω) ≡ 2n′′(ω)ω

c(XII.22)

dem Absorptionskoeffizient und ` = ~e~k · ~r dem Abstand in der Propagationsrichtung.

:::::::::XII.2.4 c

:::::::::::Dispersion

Ist der Extinktionskoeffizient n′′(ω) null, so stellt der Ansatz (XII.17) (mit dem zugehörigenmagnetischen Feld) eine ebene Welle dar. Die Bedingung (XII.18) vereinfacht sich dann zur Relation~k(ω)2 = ω2n′(ω)2/c2, worin jetzt nur reelle Größen auftreten. Die Lösung dieser Bedingung für ωliefert die Dispersionsrelation ω = ω(~k) = ω(k), wobei die letztere Identität aus der angenommenenIsotropie des Mediums kommt.

Bemerkung: Konventionell werden die Kreiswellenzahl59 k(ω) = |~k(ω)| und die Kreisfrequenz ωals positiv angenommen.

58Tatsächlich wird Gl. (XII.13a) bzw. (XII.13b) in der Herleitung der Helmholtz-Gleichung für ~E(ω,~r) bzw. ~H(ω,~r)vorausgesetzt .

59Die Kreiswellenzahl k ist gleich 2π mal der Wellenzahl 1/λ, mit λ der Wellenlänge.



Im Rest dieses Paragraphs wird der Fall eines „normalen“ Materials mit positivem Brechungs-index n′(ω) diskutiert. (Meta)Materiale mit negativer Brechzahl werden in Abschn. XII.2.5 a be-handelt.Im Allgemeinen ist n′(ω) nicht konstant, so dass ω(k) eine nicht-lineare Funktion von k ist: somitist die Phasengeschwindigkeit der Welle gerichtet entlang ~e~k mit dem Betrag

ceff(ω) =ω(k)

k(XII.23)

abhängig von der Frequenz. Infolgedessen ändert sich die Gestalt eines Wellenpakets, d.h. einerÜberlagerung von ebenen Wellen unterschiedlicher Frequenzen, in dessen Ausbreitung: man sprichtvon Dispersionseffekten.Aus der obigen Definition und Gl. (XII.18) folgt

ceff(ω) =c√

εr(ω)µr(ω)=

c

n′(ω). (XII.24)

Diese Phasengeschwindigkeit unterscheidet sich von der Gruppengeschwindigkeit

vg(ω) =dω(k)

dk. (XII.25)

Durch Differentiation der Beziehung k(ω) = ωn′(ω)/c kommt für die Letztere

vg(ω) =c

d[ωn′(ω)]/dω=

c

n′(ω) + ω dn′(ω)/dω. (XII.26)

Wenn die Ableitung dn′(ω)/dω negativ ist, spricht man von anomaler Dispersion. In einem solchenBereich ist die Gruppengeschwindigkeit größer als die Phasengeschwindigkeit, und eventuell auchgrößer als c, oder gar negativ. Dies passiert nur in der Nachbarschaft einer Resonanz, insbesonderefür Kreisfrequenzen ωa < ω . ωa + Γa. Beispiele solcher anomalen Verhalten werden hiernachgegeben.

::::::::::XII.2.4 d

:::::::::::Absorption

Wenn n′′(ω) > 0 nimmt der Betrag des Poynting-Vektors mit der Weglänge im Medium ab, d.h.das elektromagnetische Feld verliert Energie an die Materie.60 In einem solchen Fall ist das Mediumnicht transparent .

Der Imaginärteil der Brechzahl spiegelt den Imaginärteil der dielektrischen Funktion ε(ω) oderder Permeabilität µ(ω) wider. Damit ist n′′(ω) insbesondere bedeutend in der Nachbarschaft einerResonanz: man spricht von Bereichen mit resonanter Absorption.

Bemerkung: Die Möglichkeit solcher Energieübertragung wurde in Abschnitt XI.2 nicht berück-sichtigt, weshalb dort nur nichtdispersive Medien betrachtet wurden.

XII.2.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Die Phasengeschwindigkeit ceff(ω0) [Gl. (XII.23)] stellt die Geschwindigkeit der Propagation vonder Phase einer Welle der Kreisfrequenz ω0 dar.

Die Gruppengeschwindigkeit vg(ω0) [Gl. (XII.25)] gibt an, mit welcher Geschwindigkeit ein Wel-lenpaket bestehend aus einer Überlagerung von ebenen Wellen mit Frequenzen um eine zentraleFrequenz ω0 propagiert. Dabei wird angenommen, dass in der Taylor-Entwicklung

ω(k) = ω0 +dω(k)

dk

∣∣∣∣k0

(k − k0) + · · · = ω0 + vg(ω0)(k − k0) + · · ·

die Terme höherer Ordnung vernachlässigbar sind: dies kann also nur gelten weit von der Nachbar-schaft einer Resonanz, wo n(ω) und dabei [Gl. (XII.18)] k(ω) bzw. ω(k) schnell variiert.

60Umgekehrt wird für n′′(ω) < 0 Energie durch das Medium an die Welle gegeben, wie es z.B. im Verstärker einesLasers der Fall ist.



Die Definition der Gruppengeschwindigkeit beruht implizit auf der Annahme, dass die Gestaltdes Wellenpakets sich nicht zu stark ändert. Deshalb sollen die Frequenzen der Wellen im Paketnicht zu breit verteilt sein, damit sie alle ungefähr mit der gleichen Phasengeschwindigkeitpropagieren.

Man kann zeigen [15], dass in solchen Bereichen, wo das Medium als dispersiv aber verlustfrei(der Absorptionskoeffizient ist verschwindend gering) und linear wirkt, die Gruppengeschwindigkeitgleich der Geschwindigkeit des Energieflusses ist.

Die Idee ist folgende. Sei f(t, x) die Amplitude einer eindimensionalen Welle zur Zeit t; für einefortschreitende Welle ist f der Form f(x−vt), mit v der Geschwindigkeit der Welle. In manchenFällen ist die Energiedichte in der Welle proportional zu f(t, x)2 = f(x−vt)2, entsprechend einerBewegung der Energie mit Geschwindigkeit v. Schreibt man ein Wellenpaket als Überlagerungvon ebenen Wellen

f(t, x) =

∫f(k) ei[kx−ω(k)t] dk

2π

mit Kreiswellenzahlen bzw. -frequenzen k bzw. ω(k), so führt die Taylor-Entwicklung der Letz-teren zur ersten Ordnung zu

f(t, x) = ei[k0 dω(k0)/dk−ω0]t

∫f(k) eik(x−[dω(k0)/dk]t) dk

2π= ei[k0 dω(k0)/dk−ω0]tf

(x− dω(k0)

dkt, 0

),

d.h. f ist (bis auf einer unwesentlichen Phase) Funktion der einzigen Variable x− dω(k0)

dkt, und

propagiert mit der Geschwindigkeit dω(k0)/dk.

Im Gegensatz wird in der Nachbarschaft einer Resonanz Energie dem Medium übertragen —wenn n′′(ω) > 0 — oder durch das Medium gegeben — wenn n′′(ω) < 0 —, so dass der Begriffeines gerichteten Energiestroms mit wohldefinierten Richtung und Geschwindigkeit an Sinn verliert.Dementsprechend kann die Gruppengeschwindigkeit größer als c ohne Widerspruch zur speziellenRelativitätstheorie werden, oder auch negativ.

Durch sorgfältige Betrachtungen haben Sommerfeld [16] und Brillouin [17] tatsächlich gezeigt,dass in der Fortpflanzung in Materie einer elektromagnetischen Welle — genauer, eines stufen-artiges Wellenpulses — die Wellenfront immer mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c propagiert,unabhängig von den Werten der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: man spricht von demoptischen Vorläufer (“optical precursor”). Somit propagiert die Information immer mit einerGeschwindigkeit kleiner gleich c.

Diese Ausbreitung des Vorläufers mit c wurde neulich auf der Ebene eines einzelnen Photonsexperimentell nachgewiesen [18], d.h. die im Rahmen der klassischen Physik hergeleitete Vor-hersage von Sommerfeld und Brillouin gilt noch im Rahmen der Quantenfeldtheorie.

Im Folgenden werden einige unüblichen Verhalten von Medien dargelegt, die durch die Existenzdieser Bereiche anomaler Dispersion bedingt sind.

:::::::::XII.2.5 a

::::::::::::Substanzen

::::mit

:::::::::::gleichzeitig

::::::::::negativen

:::::::Werten

::::der

:::::::::::::Permittivität

:::::und

::::der

:::::::::::::Permeabilität

Laut der Bedingung (XII.18) bzw. der Definition (XII.15) soll das Produkt εr(ω)µr(ω) positivsein, damit eine Welle sich im Medium ausbreiten kann. Das heißt aber nur, dass εr(ω) und µr(ω)dasselbe Vorzeichen haben sollen, entweder positiv — wie in den vorigen Paragraphen angenommenwurde — oder negativ. Die letztere Möglichkeit wird hiernach untersucht [19], für den Fall einesverlustfreien linearen Mediums.

Wiederholt man die Herleitungen des Paragraphs XII.2.4 b, so findet man ausgehend von demAnsatz (XII.17), dass ~k(ω), ~E0, ~H0 ein linkshändiges System bilden [vgl. Gl. (XII.21)].

Bemerkung: Dagegen prüft man einfach nach, dass das System ~k(ω), ~E0, ~B0 = µ(ω) ~H0 immerrechtshändig ist, egal, ob die Permeabilität positiv oder negativ ist.

Ein besonderes Phänomen ergibt sich bei der Brechung (vgl. Abschn. XII.1.3). Fällt eine Welleder Kreisfrequenz ω, die in einem „normalen“ [εr,A(ω) > 0, µr,A(ω) > 0] Dielektrikum propagiert,



auf die Grenzfläche mit einem Medium mit εr,B(ω) < 0, µr,B(ω) < 0 ein, so propagiert die gebro-chene Welle in diesem Medium auf der gleichen Seite der normalen Gerade zur Grenzfläche wie dieeinfallende Welle, statt auf der anderen Seite wie in Abb. XII.1. Um dies zu berücksichtigen, kannman entweder den Brechungswinkel θB im Brechungsgesetz (XII.5) als negativ betrachten, oder dasGesetz als nA sin θA = nB sin θB mit einem negativen Brechungsindex nB schreiben, d.h. in diesemFall

n(ω) = −√εr(ω)µr(ω).

Dementsprechend wird die zweite Identität in Gl. (XII.24) — hier ist n(ω) = n′(ω), denn dasMedium verlustfrei ist — ersetzt durch

ceff(ω) =c√

εr(ω)µr(ω)= − c

n′(ω).

Dies bleibt wie ω und k positiv, d.h. die Phase der Welle propagiert immer noch in die Richtungdes Wellenvektors ~k(ω).

Schließlich kommt für die Phasengeschwindigkeit, anstatt Gl. (XII.26), die Identität

vg(ω) =dω(k)

dk=

c

d[ω√εr(ω)µr(ω)]/dω

=c

−d[ωn′(ω)]/dω

für die Gruppengeschwindigkeit.

Sei eine Substanz, deren frequenzabhängige Permittivität und Permeabilität durch das Lorentz–Drude-Modell gegeben sind, wobei für die Diskussion nur eine Resonanzfrequenz wichtig ist:61

εr(ω) = 1 +Ω2ε,0

ω2ε,0 − ω2 − iωΓε,0

'ω2 − ω2

ε,1

ω2 − ω2ε,0

, µ(ω) = 1 +Ω2µ,0

ω2µ,0 − ω2 − iωΓµ,0

'ω2 − ω2

µ,1

ω2 − ω2µ,0

,

(XII.27)

mit ωε,1 =√ω2ε,0 + Ω2

ε,0 und ωµ,1 =√ω2µ,0 + Ω2

µ,0 . Das Vernachlässigen der Dämpfungstermeentspricht der Annahme eines verlustfreien Mediums. Im Allgemeinen gibt es keinen Zusammenhangzwischen der Kreisfrequenz ωε,j und ωµ,k für j, k = 0, 1. Hier wird aber angenommen, dass ωε,0 = ωµ,0und ωε,1 = ωµ,1. Der Kürze halber werden diese Kreisfrequenzen dann als ω0 bzw. ω1 bezeichnet.

Mit solchen Resonanzfrequenzen ist εr(ω) bzw. µr(ω) negativ für ω0 < ω < ω1, entsprechenddem Bereich, wo die obige Diskussion relevant wird. In diesem Bereich nimmt ω

√εr(ω)µr(ω) mit

ω ab, so dass die Gruppengeschwindigkeit ebenfalls negativ ist, d.h. entgegengesetzt zur Richtungder Phasengeschwindigkeit. Diese Verhalten werden in Abb. XII.4 gezeigt.

1

1

εr(ω) bzw.µr(ω)

ωω0 ω1

ω√εr(ω)µr(ω)

ωω0 ω1

Abbildung XII.4: Relative Permittivität bzw. Permeablität (links) und Produkt ω√εr(ω)µr(ω)

(rechts) für die Abhängigkeiten (XII.27).61Das folgende Beispiel wurde von Kirk T. McDonald geklaut [20].



Metamateriale mit negativen Permittivität und Permeabilität in einem Frequenzintervall wur-den experimentell entwickelt, sowohl im Mikrowellen- [21, 22] als im optischen Bereich [23]. DerenVerhalten gegenüber Brechung kann dann benutzt werden, um „Tarnkappen“ herzustellen. Opti-sche Linsen aus einem solchen Metamaterial können auch theoretisch „perfekt“ sein [24], d.h. derenAuflösung überwindet die Beugungsbedingte Abbe-Grenze [25].

::::::::::XII.2.5 b

:::::::::::Langsames

:::::Licht

Jetzt wird die Fortpflanzung von Wellen in einem Material untersucht,62 dessen dielektrischeFunktion durch das Lorentz–Drude-Modell beschrieben wird, mit zwei eng benachbarten Resonanzenω1 = ω0 −∆ bzw. ω2 = ω0 + ∆, wobei 0 < ∆ ω0, mit jeweiligen Breiten Γ1 bzw. Γ2 und gleichgroßen Amplituden Ω2

1 = Ω22 = Ω2. Die (relative) Permeabilität wird als konstant im Bereich dieser

Resonanzen angenommen: µr(ω) = µr ' 1.In „normalen“ Materialen entspricht Γa der Dämpfung der Schwingungen der Elektronen und

führt (mit positivem Wert) zur Absorption einfallender elektromagnetischer Wellen mit Frequenzenin der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz ωa. Hier wird angenommen, dass dieses Verhalten fürdie niedrigere Resonanz bei ω1 gilt, aber dass bei der höheren Kreisfrequenz ω2 einfallende Wellenverstärkt werden. Dies wird durch eine negative Dämpfungskonstante Γ2 modelliert. Der Einfachheithalber wird Γ2 = −Γ1 ≡ −Γ mit 0 < Γ ω0 angenommen.

Die Schwächung im Medium einer Welle mit der Kreisfrequenz ωa entspricht quantenmechanischder Absorption von Photonen der Energie ~ωa, die gleich der Energiedifferenz zwischen zweiEnergieniveaus des Mediums ist. Im Fall einer Besetzungsinversion zwischen zwei Niveaus kanndann die Intensität einer Welle mit der geeigneten Frequenz durch den Zerfall des angeregtenNiveaus verstärkt werden: dabei handelt es sich um den Laser-Effekt.

Unter Vernachlässigung der anderen Resonanzen lautet die relative dielektrische Funktion

εr(ω) = 1 +Ω2

1

ω21 − ω2 − iωΓ1

+Ω2

2

ω22 − ω2 − iωΓ2

' 1 + Ω2

[ω2

0 − 2∆ω0 − ω2 + iΓω

(ω20 − 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

+ω2

0 + 2∆ω0 − ω2 − iΓω

(ω20 + 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

], (XII.28)

wobei in der zweiten Zeile Terme der Ordnung ∆2 gegen solche der Ordnung ∆ω0 weggelassenwurden.

Die Absorption einer einfallenden elektromagnetischen Welle mit der Kreisfrequenz ω wird durchden Imaginärteil des Brechungsindex beschrieben. Für ω = ω0 ist εr(ω0) = 1 und damit Im εr(ω0)null. Eine Welle dieser Frequenz wird also nicht gedämpft, d.h. das Medium ist für solches „Licht“transparent, was als “electromagnetically induced transparency” des Mediums bezeichnet wird.Dementsprechend ist n(ω0) = 1, d.h. die Phasengeschwindigkeit (XII.24) bei dieser Frequenz istceff(ω0) = c.

Unter Nutzung der Näherung n(ω) '√εr(ω) ' 1 + 1

2 [εr(ω) − 1] sieht man auch, dass Lichtmit einer Kreisfrequenz etwas kleiner bzw. größer als ω0 abgeschwächt bzw. verstärkt wird, wie inAbb. XII.5 dargestellt wird.

Gleichung (XII.26) gibt dann die Gruppengeschwindigkeit bei ω0

vg(ω0) ' c

2Ω2

(4∆2 + Γ2)2

4∆2 − Γ2.

Im Dampf eines Metalls mit der Ladungszahl Z ist Ω2 ' nee2/(ε0meZ), mit ne der Elektronen-

dichte. Für Natrium (Z = 11) mit ne = 5 · 1018 m−3 ergibt sich somit Ω2 ≈ 1, 46 · 1021 s−2. MitΓ = ∆ = 5 · 106 s−1 erhält man vg(ω0) ≈ 21m·s−1. In einem Experiment mit den obigen Wertenvon ne und Γ wurde eine Gruppengeschwindigkeit des Lichts von 17m·s−1 gemessen [27].

62Die Modellierung des Effekts wird wieder von K. T. McDonald genommen [26].



ωω1

ω0

ω2

n′′(ω)

0

ω

n′(ω)

1

Abbildung XII.5: Real- (oben) und Imaginärteil (unten) des Brechungsindex n(ω) ' 1+ 12 [εr(ω)−1]

entsprechend der dielektrischen Funktion (XII.28) für Γ = ∆.

:::::::::XII.2.5 c

:::::::::Negative

::::::::::::::::::::::::Gruppengeschwindigkeit

Sei jetzt ein Material63 mit zwei eng benachbarten Resonanzen ω1 = ω0 −∆ bzw. ω2 = ω0 + ∆wobei ∆ ω0, die beiden in Besetzungsinversionen (mithilfe eines Lasers) „gepumpt“ werden.64

Um diese Situation im Rahmen des klassischen Lorentz–Drude-Modells zu beschreiben, werdenden beiden Oszillatoren negative Amplituden zugeordnet,65 die hiernach gleich groß angenommenwerden: Ω2

1 = Ω22 = −Ω2.

Dann lautet die relative dielektrische Funktion in der Nachbarschaft dieser Resonanzen

εr(ω) ' 1− Ω2

[ω2

0 − 2∆ω0 − ω2 + iΓω

(ω20 − 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

+ω2

0 + 2∆ω0 − ω2 + iΓω

(ω20 + 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

], (XII.29)

d.h. für den Brechungsindex [unter der Annahme µr(ω) ' 1]

n(ω) ' 1− Ω2

2

[ω2

0 − 2∆ω0 − ω2 + iΓω

(ω20 − 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

+ω2

0 + 2∆ω0 − ω2 + iΓω

(ω20 + 2∆ω0 − ω2)2 + Γ2ω2

]. (XII.30)

Der Verlauf dieses Brechungsindex wird in Abb. XII.6 dargestellt.Für ω = ω0 gilt

n(ω0) ' 1− iΩ2

2(4∆2 + Γ2)

Γ

ω0,

d.h. die Phasengeschwindigkeit ist ceff(ω0) = c und der Absorptionskoeffizient α(ω0) =ΓΩ2

(4∆2 + Γ2)c.

Die Gruppengeschwindigkeit (XII.26) für ω = ω0 ist

vg(ω0) ' c/[

1− 2Ω2 4∆2 − Γ2

(4∆2 + Γ2)2

],

d.h. kann für geeignete Werte von Ω2, Γ2 und ∆2 negativ werden. Wenn Γ2 ∆2 wird diesePhasengeschwindigkeit zu vg(ω0) ' c/

(1− Ω2/2∆2

).

63Die folgende Modellierung stammt noch einmal aus einer Arbeit von K. T. McDonald [28].64Der Vorteil solcher Medien zum Nachweis „exotischer“ optischer Eigenschaften wurde in Ref. [29] betont.65Die korrekte quantenmechanische Beschreibung des Systems sollte auf den sog. optischen Bloch-Gleichungen

beruhen, die hier kein gutes klassisches Analogon haben.



ωω1 ω0 ω2

n′′(ω)

0

ω

n′(ω)

1

Abbildung XII.6: Real- (oben) und Imaginärteil (unten) des Brechungsindex (XII.30).

In einem Experiment [30] wurde für die Gruppengeschwindigkeit des Lichts in einem Caesium-Dampf vg(ω0) ' −c/310 gemessen, entsprechend einem Verhältnis Ω/∆ ∼ 24.

Eine solche negative Gruppengeschwindigkeit bedeutet, grob gesagt, dass der Energiestrom imMedium in die entgegengesetzte Richtung zur Propagationsrichtung der einfallenden Welle im Va-kuum ist. Dies ist ja möglich, da das Medium wegen der Besetzungsinversionen in einem „angeregtenZustand“ ist, so dass es Energie emittieren kann.

XII.A Einfache Modelle für konstitutive Gleichungen

In diesem Anhang werden klassische mikroskopische Modelle für die elektrische Leitfähigkeiteines Leiters bzw. für die elektrische Suszeptibilität eines Dielektrikums dargelegt. Diese Beschrei-bungen beruhen auf einer falschen Basis: gültige mikroskopische Modelle sollten quantenmechanischsein. Dennoch liefern sie korrekte funktionale Forme, d.h. das gute qualitative Verhalten, für diejeweiligen Größen, und sollen somit wichtige physikalische Aspekte schon berücksichtigen.

Es seien klassische Ladungsträger mit der elektrischen Ladung q und der Masse m in einemmakroskopischen Körper. Diese Ladungen werden durch ein homogenes äußeres Feld ~E(t) beschleu-nigt und durch Stöße (auf die mikroskopischen Bestandteile des Materials) abgebremst, mit einereffektiven Kraft −mΓ~v(t) proportional zu deren Geschwindigkeit, wobei Γ > 0.

XII.A.1 Drude-Modell für die elektrische Leitfähigkeit

Für die frei beweglichen Ladungsträger in einem elektrischen Leiter lautet die Newton’scheBewegungsgleichung

md~v

dt(t) = −mΓ~v(t) + q ~E(t). (XII.31)

In Abwesenheit des elektrischen Feldes nimmt irgendeine Anfangsgeschwindigkeit mit der charak-teristischen Zeitdauer Γ−1 ab.

Gleichung (XII.31) kann noch als

d

dt

[eΓt~v(t)

]=

q

meΓt ~E(t)



geschrieben werden, mit der nicht-lokalen Lösung

~v(t) =q

m

∫ t

−∞e−Γ(t−t′) ~E(t′) dt′ =

q

m

∫ ∞0

e−Γτ ~E(t− τ) dτ. (XII.32)

Somit hängt die Geschwindigkeit zur Zeit t vom elektrischen Feld zu früheren Zeitpunkten ab.Für eine konstante Dichte n f von freien Ladungsträger wird die Stromdichte durch

~J(t) = n fq~v(t) =n fq

2

m

∫ ∞0

e−Γτ ~E(t− τ) dτ (XII.33)

gegeben. Deren Fourier-Transformierte lautet

~J(ω) =n fq

2

m

∫ ∞−∞

dt eiωt

∫ ∞0

dτ e−Γτ ~E(t− τ) =n fq

2

m

∫ ∞0

dτ e−(Γ−iω)τ

∫ ∞−∞

dt eiω(t−τ) ~E(t− τ)

=n fq

2

m

∫ ∞0

dτ e−(Γ−iω)τ ~E(ω) =n fq

2

m

1

Γ− iω~E(ω),

entsprechend dem (verallgemeinerten) Ohm-Gesetz

~J(ω) = σ(ω) ~E(ω) mit σ(ω) =n fq

2

m

1

Γ− iω(XII.34)

der elektrischen Leitfähigkeit.

XII.A.2 Lorentz–Drude-Modell für die elektrische Suszeptibilität

Jetzt werden gebundene Ladungsträger eines Dielektrikums betrachtet, die um ihre jeweiligeGleichgewichtsstellen schwingen können. Für die zugehörige Bindekraft wird das Modell eines har-monischen Oszillators ~F (t) = −mω2

0~X(t) angenommen, mit ~X(t) der Verschiebung des jeweiligen

Ladungsträgers aus seiner Gleichgewichtsstelle und ω0 einer Kreisfrequenz.Die Bewegungsgleichung für einen Ladungsträger lautet dann

md~v

dt(t) = −mω2

0~X(t)−mΓ~v(t) + q ~E(t),

mit ~v(t) = d ~X(t)/dt. Die Fourier-Transformation dieser Bewegungsgleichung führt zu(ω2

0 − iΓω − ω2)~X(ω) =

q

m~E(ω),

mit ~X(ω) der Fourier-transformierten Verschiebung des Ladungsträgers. Dies gibt für die Polarisa-tion

~P (ω) = ngq ~X(ω) =ngq

2

m

1

ω20 − ω2 − iΓω

~E(ω) = χe(ω) ε0 ~E(ω) (XII.35)

mit ng der Dichte der gebundenen Ladungsträger und

χe(ω) =ngq

2

mε0

1

ω20 − ω2 − iΓω

(XII.36)

der frequenzabhängigen elektrischen Suszeptibilität.

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 32-3–32-7

• Jackson [8], Kapitel 7.1–7.3, 7.5, 7.8–7.10

• Landau–Lifschitz [4], Kapitel IX § 77–79 & 82–83

• Schwinger [10], Kapitel 5 & 7

• Sommerfeld [31], Kapitel III.



XIII. Elektrodynamik eines Plasmas

Als Plasma wird ein Zustand der Materie bezeichnet, bestehend aus frei beweglichen Ladungs-trägern, der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann. Ein Beispiel davon ist einteilweise oder völlig ionisiertes Gas.

Dank der Anwesenheit frei beweglicher Ladungsträger ist ein Plasma ein elektrischer Leiter.Damit sollten die allgemeinen Ergebnisse der Abschnitte X.1 und XII.2.3 gelten. Hiernach wird eineinfaches System betrachtet, mit nur zwei Arten von Ladungen: Elektronen (Ladung −e, Masse me,Dichte ne) und positiv geladenen Ionen (Ladung +Ze mit Z ∈ N, Masse MZ me, Dichte nZ).Die Dichten werden durch Mittelung über Volumina erhalten, die viele Teilchen enthalten, so dassdie Fluktuationen δn der Dichte klein bleiben: δn n .

Dieses Plasma ist im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T . Außerdem wird im„Gleichgewichtszustand“ lokale Neutralität angenommen:

%0(~r) = −ene(~r) + ZenZ(~r) = 0. (XIII.1)

Im Folgenden wird angenommen, dass der Gleichgewichtszustand gleichförmig ist, sowie dass dassalle Bestandteile die gleiche Temperatur haben.

Neben dem thermischen Gleichgewicht gilt auch das „chemische“ Gleichgewicht

IonZ+ + Z e− Ion(Z−1)+ + (Z − 1) e− · · · Atom. (XIII.2)

Somit sind die Verhältnisse der Dichten der unterschiedlichen Ionen (wenn Z > 1) und derzugehörigen neutralen Atome durch die Gleichgewichtsbedingung bestimmt. Hiernach werdenalle nicht völlig ionisierten Spezies vernachlässigt, entsprechend dem Hoch-Temperatur-Limes.Bei sehr hohen Temperaturen werden auch Elektron-Positron-Paare erzeugt — diese Möglichkeitwird hier nicht berücksichtigt.

Bemerkung: In einem ionisierten Gas sind die freien Ladungsträger Elektronen und Ionen, d.h.elektrisch geladene Freiheitsgrade; damit handelt es sich um ein elektromagnetisches Plasma.Weitere Plasmen sind auch (zumindest theoretisch) möglich für Teilchen, die Ladungen bezüglichanderer Wechselwirkungen tragen: beispielsweise können die „farbgeladene“ Quarks und Gluonenein Quark-Gluon-Plasma bilden, das nicht durch die elektromagnetische Wechselwirkung geherrschtwird, sondern durch die Quantenchromodynamik.

XIII.1 Klassifikation von Plasmen

Die Eigenschaften eines Plasmas im thermischen Gleichgewicht hängen nur von der TemperaturT , der Teilchendichte eines der Bestandteile — z.B. ne — und den charakteristischen Größen derLadungsträger ab. Dann folgen die Dichten der anderen Bestandteilen aus der lokalen Neutrali-tät (XIII.1) und gegebenenfalls aus den Gleichungen, die das chemische Gleichgewicht ausdrücken.Je nach den Werten dieser Parameter können verschiedene Regime unterschieden werden.

XIII.1.1 Klassisches gegen Quantenplasma, relativistisch gegen nichtrelativistisch

Quanteneffekte in einem Plasma müssen berücksichtigt werden, wenn die thermische de-Broglie-Wellenlänge66 der Elektronen λth ∼ ~/

√mekBT derselben Größenordnung oder größer als der ty-

pische Abstand zweier Elektronen ∼ n−1/3e ist. Diese Effekte sind also vernachlässigbar wenn die

aus dem Pauli-Prinzip resultierende kinetische Energie („Nullpunktenergie“) ∼(~n1/3

e

)2/2me viel

66Für ein massives bzw. masseloses Teilchen gilt definitionsgemäß λth ≡√

2π~2

mkBTbzw. λth ≡

π2/3~ckBT

.

XIII. Elektrodynamik eines Plasmas 129


kleiner als die thermische Bewegungsenergie ∼ kBT ist. Wenn die Letztere außerdem viel kleiner alsdie Massenenergie ist, dann ist das Plasma nichtrelativistisch. Für ein klassisches Plasma gilt also(

~n1/3e

)22me

kBT mec2. (XIII.3)

Diese Bedingungen werden erfüllt im intergalaktischen bzw. interstellaren Plasma (ne ∼ 1−105 m−3,T ∼ 106−104 K), in der Magneto- bzw. Ionosphäre von Planeten (für die Erde ne ∼ 107−1012 m−3,T ∼ 107 − 103 K), sowie in den dichteren Plasmen erzeugt in Gasentladungen (ne ∼ 1016 m−3,T ∼ 104 K) oder in Fusionsexperimenten (ne ∼ 1020 m−3, T ∼ 108 K in Tokamaks, ne ∼ 1027 m−3,T ∼ 107 K in Trägheitsfusionsexperimenten).

Im Fall des Plasmas im Zentrum der Sonne (ne ∼ 1032 m−3, T ∼ 107 K) oder schwererer Sternedürfen die Quanteneffekte im Gegensatz nicht vernachlässigt werden.

In einem nichtrelativistischen entarteten Plasma gilt

kBT (~n1/3

e

)22me

mec2. (XIII.4)

Dies ist der Fall in weißen Zwergen (ne ∼ 1036 m−3, T . 108 K — der Entartungsdruck der Elek-tronen ist für die Stabilität der weißen Zwerge gegen Gravitationskollaps verantwortlich) sowie fürdas sog. „Elektronengas“ in einem (Halb)Leiter.

In relativistischen Plasmen sind Quanteneffekte nie vernachlässigbar. Wegen der hohen Tempe-ratur werden nämlich Elektron-Positron-Paare ständig erzeugt, insbesondere mit kinetischen Ener-gien kleiner oder derselben Größenordnung als kBT , d.h. für die der Unterschied zwischen klassischerund Quantenstatistik erheblich ist. Ein relativistisches Plasma kann sogar entartet sein, wenn dieNullpunktenergie ∼ ~c/ne−1/3 viel größer als kBT ist.

Ein Beispiel relativistisches Plasmas wird durch die Teilchen im frühen Universum dargestellt.

XIII.1.2 Schwach gegen stark wechselwirkendes Plasma

Die Wechselwirkungen in einem Plasma können als „schwach“ betrachtet werden, wenn die zuge-hörige charakteristische elektrostatische Energie 〈Epot〉 . e2/(4πε0n−1/3

e ) viel kleiner als die typischekinetische Energie ist:

schwach wechselwirkendes Plasma ⇔ 〈Epot〉〈Ekin〉 . (XIII.5)

In solchen Plasmen werden Wechselwirkungen dann in erster Näherung vernachlässigt, und in einemSchritt in Störungsrechnung behandelt.

In einem klassischen Plasma, wo die typische kinetische Energie der Teilchen gleich der thermi-schen Bewegungsenergie kBT ist, lautet diese Bedingung

e2n1/3e

4πε0 kBT, (XIII.6)

so dass die Wechselwirkungen mit sinkender Dichte schwächer werden.In einem entarteten Plasma, wo die kinetische Energie durch die quantenmechanische Nullpunk-

tenergie bestimmt wird, ist das Verhalten unterschiedlich. Wenn das Plasma nichtrelativistisch ist,dann ist 〈Ekin〉 ∼

(~n1/3

e

)2/2me, so dass die Wechselwirkungen vernachlässigbar sind wenn

e2n1/3e

4πε0(~n1/3

e

)22me

, (XIII.7)

d.h. n1/3e e2me

2πε0~2: um so dichter das Plasma, desto schwächer die Wechselwirkungen.

Dies stellt eine gute Näherung in weißen Zwergen dar.Für das Elektronengas in einem Leiter können im Gegensatz die Wechselwirkungen zwischen

den Elektronen nicht vernachlässigt werden.



In einem ultrarelativistischen Plasma, wo die Teilchendichte wegen der Paarerzeugung eineuntere Schranke besitzt, die aus dimensionalen Gründen der Ordnung (kBT/~c)3 sein soll, wirdGl. (XIII.6) zu

e2kBT

4πε0~c kBT, (XIII.8)

d.h. αe.m. 1, mit αe.m. der Feinstrukturkonstante der Elektrodynamik. Damit sind die Wechsel-wirkungen in einem relativistischen elektromagnetischen Plasma immer vernachlässigbar.

XIII.2 Elektrostatik eines Plasmas

Wechselwirkungen zwischen den Teilchen des Plasmas führen bei großen Abständen ` n−1/3e

zu kollektiven Effekten, wie z.B. der Abschirmung der elektrischen Ladung bzw. des Potentials.

In einem Punkt eines Plasmas im Gleichgewicht wird eine punktförmige Testladung q eingeführt:als Antwort verschieben sich die Ladungsträger des Plasmas, entsprechend einer induzierten Polari-sation bzw. Ladungsdichte. In der folgenden Herleitung wird der Einfachheit halber die Verschiebungder Ionen vernachlässigt, d.h. ihre Masse wird als unendlich groß betrachtet.

Die Testladung erzeugt ein makroskopisches elektrisches Potential Φ(~r), mit dem Koordinaten-ursprung bei der Ladung, das der Poisson-Gleichung

−4Φ(~r) =%(~r)

ε0=

q

ε0δ(3)(~r) +

%ind.(~r)

ε0(XIII.9)

genügen soll, wobei %ind. die (makroskopische) induzierte Ladungsdichte bezeichnet. Diese lässt sichim thermodynamischen Gleichgewicht einfach berechnen, indem die Energie E in der mittlerenBesetzungszahl durch E − eΦ(~r) ersetzt wird, d.h. unter Berücksichtigung der elektrostatischenEnergie. Für Elektronen wird die Besetzungszahl durch die Fermi–Dirac-Verteilung

f0(E) =1

exp

(E − µkBT

)+ 1

gegeben, die also in Anwesenheit der Testladung durch

fΦ(E) =1

exp

(E − eΦ(~r)− µe

kBT

)+ 1

ersetzt wird, mit µe dem chemischen Potential der Elektronen. Somit ist die induzierte Ladungsdich-te, entsprechend der Differenz zwischen den Ladungsdichten in Anwesenheit und in Abwesenheitder Testladung,67 durch die Summe über alle Quantenzustände gegeben:

%ind.(~r) = −2e

∫ [fΦ(E~p)− f0(E~p)

] d3~p

(2π~)3,

wobei die Abhängigkeit der Energie vom Impuls mithilfe des tiefgestellten ~p gekennzeichnet wird,während der Faktor 2 dem Entartungsgrad der Spin-1

2 Elektronen entspricht.Wenn die potentielle elektrostatische Energie klein gegen die kinetische Energie ist, entsprechend

dem Fall eines schwach wechselwirkenden Plasmas, kann die Besetzungszahl fΦ(E) Taylor-entwickeltwerden:

fΦ(E) ' f0(E)− eΦ(~r)df0

dE(E) für |eΦ(~r)| E.

Damit ergibt sich %ind.(~r) = 2e2Φ(~r)

∫df0(E~p)

dE

d3~p

(2π~)3= − ε0

r2D

Φ(~r) mit rD der durch

67Die Ladungsdichte der Elektronen in Abwesenheit der Testladung ist durch die lokale Neutralität (XIII.1) mitder Ladungsdichte der Ionen verknüpft, die sich nicht ändert, wenn die Testladung eingeführt wird.



1

r2D

≡ −2e2

ε0

∫df0(E~p)

dE

d3~p

(2π~)3(XIII.10)

definierten Debye-Länge, die nur von T , µe und den charakteristischen Größen der Elektronenabhängt.

Schließlich wird die Poisson-Gleichung für das elektrische Potential zu einer (inhomogenen)Helmholtz-Gleichung (XIII.9)

−4Φ(~r) +1

r2D

Φ(~r) =q

ε0δ(3)(~r). (XIII.11)

Die physikalisch sinnvolle Lösung dieser Gleichung ist das abgeschirmte Potential68

Φ(~r) =q e−|~r|/rD

4πε0|~r|. (XIII.12)

Für Abstände zur Punktladung |~r| rD wird das Potential exponentiell klein. Dementsprechendist das elektrische Feld in einem statischen Plasma im Gleichgewicht annähernd null, wie im Innereneines Leiters im Gleichgewicht zu erwarten ist.

Beweis von Gl. (XIII.12): in Kugelkoordinaten gilt für r 6= 0

4Φ(~r) =1

r

d2

dr2

[rΦ(~r)

]=

(1

r

d

drr

)(1

r

d

drr

)Φ(~r).

Somit wird Gl. (XIII.11) zu(1

r

d

drr

)2Φ(~r) =

1

r2D

Φ(~r) ⇔(

1

r

d

drr

)Φ(~r) = ± 1

rDΦ(~r) für r 6= 0.

Die Lösung mit dem + Vorzeichen ist nicht physikalisch, so dass Φ(~r) =C

re−r/rD , mit C einer

Konstante.

Bei kleinen Abständen sollte die Ladung nicht abgeschirmt werden, entsprechend dem Potential

Φ(~r) ∼r→0

q

4πε0r,

woraus C = q/(4πε0) folgt.

Ein alternativer Beweis wird in Anhang XIII.A dargelegt.

Gleichung (XIII.11) wurde hergeleitet unter Nutzung einer induzierten Ladungsdichte, die einemdurch die statistische Physik gegebenen Mittelwert entspricht. Somit gilt die Herleitung nur dann,wenn viele Teilchen zum kollektiven Effekt beitragen: die Debye-Länge muss also viel größer als dertypische Abstand zwischen den Elektronen sein, rD n−1/3

e . Aus ihrer Definition (XIII.10) kannman die Größenordnung der Debye-Länge abschätzen:

1

r2D

∼ e2

ε0

∫f0(E~p)

〈Ekin〉d3~p

(2π~)3∼ e2

ε0

ne

〈Ekin〉,

mit 〈Ekin〉 der mittleren kinetischen Energie eines Elektrons im Plasma. Somit gilt

1

r2Dn2/3

e

∼ e2n1/3e

ε0

1

〈Ekin〉∼ 〈Epot〉〈Ekin〉

,

mit 〈Epot〉 der mittleren potentiellen Energie eines Elektrons. Die Herleitung der Gl. (XIII.11) giltalso für 〈Epot〉〈Ekin〉, d.h. in einem schwach wechselwirkenden Plasma.

Die charakteristische Längenskala der Abschirmung, rD, ist eine neue „makroskopische“ Skala.In einem Volumen r3

D befinden sich viele Teilchen, deshalb wird die Abschirmung (und anderePolarisationseffekte) als ein kollektives Effekt bezeichnet.

68Die mit dem Abstand |~r| zur Testladung wachsende Lösung kann weggelassen werden.



Bemerkungen:∗ In einem klassischen Plasma im Gleichgewicht69 kann man die Fermi–Dirac-Verteilung durchdie Boltzmann-Verteilung fkl.

0 (E) = e−(E−µ)/kBT ersetzen. Damit ist −dfkl.0 /dE = fkl.

0 (E)/kBT , sodass die Debye-Länge (XIII.10) analytisch berechenbar wird:

rD =

√ε0kBT

nee2. (XIII.13)

∗ Unter Berücksichtigung der Bewegung der Ionen wird die Debye-Länge wenig verschoben, wiesich einfach prüfen lässt.70

∗ Für ~r 6= ~0 ist die Gleichung (XIII.11) analog der Bewegungsgleichung (Klein–Gordon-Gleichung)eines relativistischen Teilchens mit der Masse m > 0

1

c2

∂2Φ

∂t2−4Φ +

m2c2

~2Φ = 0,

wobei die Zeitableitung im statischen Fall verschwindet. Damit ist das Berücksichtigen der Polari-sationseffekte äquivalent zur Zuordnung einer Masse mD ≡ ~/rDc, der Debye-Masse, zum Photon.

∗ Der Vergleich der Gl. (XIII.11) zur Festlegung des Potentials mit der Gl. (XII.14) für elektroma-gnetische Wellen in Materie gibt für das statische Plasma

µ(ω) ε(ω) ∼ω→0− 1

r2Dω

2,

entsprechend [Gl. (XII.12b)] einem Leiter mit einer konstanten Permeabilität µ(ω) = µ(0), Γ1 = 0und Ω2

1 = 1/µ(0)r2D.

∗ Im Gegensatz zum elektrischen Feld wird das magnetische Feld nicht abgeschirmt.

XIII.3 Plasmaschwingungen

Sei ein Plasma im Gleichgewichtszustand, mit der Ladungsdichte %0 = −ene,0 + ZenZ = 0, derLadungsstromdichte ~J0 = ~0 und dem elektrostatischen Feld ~E0 = ~0. Es wird angenommen, dasskein äußeres magnetisches Feld vorhanden ist.

Unter einer externen Störung versetzen die Elektronen in Schwingungen um die mehr massivenIonen. Damit ändert sich die Ladungsdichte:

%(t, ~r) = −e[ne,0 + ne,1(t, ~r)

]+ ZenZ = −ene,1(t, ~r), (XIII.14)

wobei die Verschiebung der Ionen vernachlässigt wurde. Dementsprechend ändert sich das elektrischeFeld: ~E(t, ~r) = ~E0 + ~E1(t, ~r), sowie die Ladungsstromdichte

~J(t, ~r) = ~J0 + ~J1(t, ~r) ' −ene,0~v1(t, ~r), (XIII.15)mit~v1 der (kleinen) mittleren Geschwindigkeit der Elektronen. Hier wurde −ene,1~v1 als eine Größezweiter Ordnung vernachlässigt, entsprechend |ne,1| ne,0 bzw. der Linearisierung der Gleichungen.

Diese Plasmaschwingungen verletzen momentan die lokale Neutralität, die sich nach einer typi-schen Zeitdauer TP ∼ ω−1

P wiederherstellt, mit ωP der Plasmafrequenz.

XIII.3.1 Plasmafrequenz

Mit der Ladungsdichte (XIII.14) und der Ladungsstromdichte (XIII.15) lautet die Kontinuitäts-gleichung

−e∂ne,1(t, ~r)

∂t− ene,0

~∇ · ~v1(t, ~r) = 0.

69Die Abschirmung in klassischen Plasmen außer Gleichgewicht wird in Ref. [32] diskutiert.70Manchmal werden unterschiedliche Temperaturen für die Elektronen und die postiven Ionen angenommen („Zwei-

temperaturplasma“).



Die Ableitung dieser Identität nach der Zeit gibt, unter Berücksichtigung des Grundprinzips derDynamik

∂2ne,1(t, ~r)

∂t2− ene,0

me

~∇ · ~E1(t, ~r) = 0,

wobei der magnetische Teil der Lorentz-Kraft vernachlässigt wurde. Mithilfe der Maxwell–Gauß-Gleichung ergibt sich schließlich

∂2ne,1(t, ~r)

∂t2+ ω2

Pne,1(t, ~r) = 0, (XIII.16a)

d.h. Schwingungen der Elektronen relativ zu den Ionen (sog. Langmuir-Schwingungen) mit einerKreisfrequenz

ωP ≡

√e2ne,0

meε0, (XIII.16b)

der Plasmafrequenz .

Bemerkungen:∗ Mit der klassischen Debye-Länge (XIII.13) und der mittleren Geschwindigkeit |~v1| ∼

√kBT

meeines Elektrons bei der Temperatur T gilt

ω−1P ∼ |

~v1|rD

,

d.h. ω−1P stellt die Zeitdauer dar, die ein Elektron zur Durchquerung der Länge rD benötigt.

∗ In Fourier-Darstellung lautet die Wellengleichung (XIII.16a) (−ω2 + ω2P) ne,1(ω,~r) = 0. Der

Vergleich mit der Gl. (XII.14) für elektromagnetische Wellen in Materie zeigt, dass die Schwingungennicht propagieren (d.h. ~k = ~0), und gibt

εr(ω)µr(ω) = 1−ω2

P

ω2,

wobei die Normierung εr(ω)µr(ω) → 1 für ω → ∞ benutzt wurde, entsprechend dem Verhalteneines Leiters mit µr(ω) = 1, Γ1 = 0 und Ω2

1 = ω2P.

Für Kreisfrequenzen ω < ωP wird εr(ω)µr(ω) negativ, d.h. der Brechungsindex (XII.15) wird reinimaginär. Dementsprechend können elektromagnetische Wellen mit solchen Frequenzen nicht imPlasma propagieren, sondern werden reflektiert. Diese Tatsache wird für Radiowellen benutzt, diean der unteren Ionosphäre reflektiert werden.

XIII.3.2 Longitudinale und tranversale Wellen

Eine detaillierte (aber noch vereinfachte) Analysis zeigt, dass es zwei Arten von Plasmaschwin-gungen71 mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen gibt.

::::::::::XIII.3.2 a

:::::::::::::::::::Zwei-Fluid-Modell.

::::::::::::::::::::::Bewegungsgleichungen

Im Folgenden werden die Teilchen einer gegeben Spezies als ein Fluid betrachtet, mit einerStrömungsgeschwindigkeit ~v(t, ~r), die gleich der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen ist, d.h.gleich der Geschwindigkeit, die im Ausdruck der makroskopischen Ladungsstromdichte auftritt.Für das hier betrachtete Zweikomponenten-Plasma wird also ein Zwei-Fluid-Modell benutzt: dasElektronenfluid ist in Bewegung (~ve =~v1), das Ionenfluid ruht.

Die Konsistenz der Modellierung als ein Fluid erfordert, dass die Wellenlänge des elektroma-gnetischen Feldes in der Materie viel größer als die mittlere freie Weglänge `mfp der Teilchen imPlasma sein soll, d.h. für den Wellenvektor |~k| `−1

mfp.

71Tatsächlich gibt es noch mehr Arten von Schwingungen in einem Plasma, insbesondere in Anwesenheit eines„externen“ magnetischen Feldes, dessen Richtung die Isotropie des Plasmas zerstört.



Die Grundgleichungen des Modells sind auf der einen Seite die makroskopischen Maxwell-Gleichungen, die hiernach bezüglich der makroskopischen Felder ~E und ~B ausgedrückt werden,und die Euler-Gleichung in Anwesenheit der Lorentz-Kraftdichte. Die Letztere lautet

mene(t, ~r)

[∂~v1(t, ~r)

∂t+[~v1(t, ~r) · ~∇

]~v1(t, ~r)

]= −~∇P (t, ~r)− ene(t, ~r)

[~E(t, ~r) +~v1(t, ~r)× ~B(t, ~r)

].

(XIII.17)Die Linearisierung dieser Gleichung führt zum Weglassen des konvektiven Terms in der linken

Seite und des magnetischen Teils in der rechten Seite. Außerdem gilt gemäß der Definition (IV.19)der Schallgeschwindigkeit ~∇P (t, ~r) = c2

s~∇[mene(t, ~r)] = mec

2s~∇ne,1(t, ~r).

Damit lautet die zeitliche und räumliche Fourier-Darstellung der Gl. (XIII.17) und der Maxwell-Gleichungen, unter Berücksichtigung der Gl. (XIII.14) und (XIII.15)

i~k · ~E (ω,~k) = − e

ε0ne,1(ω,~k), (XIII.18a)

i~k · ~B(ω,~k) = 0, (XIII.18b)

i~k × ~E (ω,~k)− iω ~B(ω,~k) = ~0, (XIII.18c)

i~k × ~B(ω,~k) + iω

c2~E (ω,~k) = − e

ε0c2ne,0 ~v#1(ω,~k), (XIII.18d)

sowie− iωmene,0 ~v#1(ω,~k) = −mec

2s i~k ne,1(ω,~k)− ene,0

~E (ω,~k). (XIII.18e)

Hier bezeichnen ~E , ~B, ne,1, ~v#1 die Fourier-Transformierten von ~E, ~B, ne,1, ~v1.

:::::::::::XIII.3.2 b

:::::::::::::::Wellengleichung

~B(ω,~k) lässt sich mithilfe von Gl. (XIII.18c) in Abhängigkeit von ~E (ω,~k) ausdrücken. DieMultiplikation nach links mit i~k gibt dann

i~k × ~B(ω,~k) =i

ω~k ×

[~k × ~E (ω,~k)

]=

i

ω

([~k · ~E (ω,~k)

]~k − ~k2 ~E (ω,~k)

),

was in der linken Seite der Gl. (XIII.18d) eingesetzt werden kann. Die rechte Seite dieser selben Glei-chung kann mithilfe der Gl. (XIII.18e), multipliziert mit e/ε0c2, umgeschrieben werden. Schließlichergibt sich

i

ω

([~k · ~E (ω,~k)

]~k − ~k2 ~E (ω,~k)

)+ i

ω

c2~E (ω,~k) =

1

iωc2

[−e ne,1(ω,~k)

ε0c2s i~k − e2ne,0

ε0me

~E (ω,~k)

].

Im ersten Term in den Klammern auf der rechten Seite erkennt man die rechte Seite der Maxwell–Gauß-Gleichung (XIII.18a), während im zweiten Term die Plasmafrequenz (XIII.16b) auftritt. Somitlässt sich diese Gleichung schreiben als

c2([~k · ~E (ω,~k)

]~k − ~k2 ~E (ω,~k)

)+ ω2 ~E (ω,~k) = c2

s

[~k · ~E (ω,~k)

]~k + ω2

P~E (ω,~k). (XIII.19)

Dies stellt die Wellengleichung für das elektrische Feld dar.

::::::::::XIII.3.2 c

::::::::::::::Longitudinale

::::und

::::::::::::transversale

::::::::::::::::::::Schwingungsmoden

Man definiert die longitudinale bzw. transversale Komponente des elektrischen Feldes (bezüglichder Richtung des Wellenvektors ~k) durch

~E‖(ω,~k) ≡~k · ~E (ω,~k)

~k2~k, (XIII.20a)

~E⊥(ω,~k) ≡ ~E (ω,~k)− ~E‖(ω,~k) =~k2 ~E (ω,~k)−

[~k · ~E (ω,~k)

]~k

~k2. (XIII.20b)



Diese Komponenten sind für beliebigen ~k orthogonal:

~E‖ · ~E⊥ =1

(~k2)2

[(~k · ~E

)2~k2 −(~k · ~E

)2~k2]

= 0 ∀~k.

Durch Einsetzen der Zerlegung ~E = ~E‖ + ~E⊥ in Gl. (XIII.19) ergibt sich die Wellengleichung

ω2[~E‖(ω,~k) + ~E⊥(ω,~k)

]= ω2

P

[~E‖(ω,~k) + ~E⊥(ω,~k)

]+ c2

s~k2 ~E‖(ω,~k) + c2~k2 ~E⊥(ω,~k), (XIII.21)

die mithilfe der Orthogonalitätseigenschaft zu zwei unterschiedlichen Dispersionsrelationen für dieKomponenten ~E‖, ~E⊥ führt:

• für die transversale Komponente ~E⊥(ω,~k), entsprechend zwei Polarisationszuständen, gilt

ω(~k)2 = ω2P + c2~k2. (XIII.22)

Fortschreitende Wellen mit einem reellen Wellenvektor können nur für ω > ωP existieren. Danngilt [Gl. (XIII.18c)] ~B(ω,~k) = (~k/ω) × ~E (ω,~k), d.h. das entsprechende magnetische Feld istauch transversal, wie im Vakuum: somit spricht man von elektromagnetischen Plasmawellen.

Die Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit dieser Wellen ist

ceff(ω) = c

(1−

ω2P

ω2

)−1/2

, vg(ω) = c

(1−

ω2P

ω2

)1/2

,

d.h. größer bzw. kleiner als c, die aber die Größenordnung dieser Geschwindigkeiten darstellt.

• für die longitudinale Komponente ~E‖(ω,~k), entsprechend einem einzigen Polarisationszustand,lautet die Dispersionsrelation (sog. Bohm-Gross Dispersionsrelation)

ω(~k)2 = ω2P + c2

s~k2. (XIII.23)

d.h. diese Langmuir-Wellen propagieren nur für ω > ωP, mit einer Phasen- bzw. Gruppen-geschwindigkeit vergleichbar mit der Schallgeschwindigkeit.72

Bemerkungen:∗ Die Zerlegung in longitudinale und transversale Komponenten kann für ein beliebiges Vektorfeld~V (~r) durchgeführt werden. Sei ~V (~k) die räumliche Fourier-Transformierte des Feldes. Für jeden ~kführt man die Tensoren

~~P‖(~k) ≡~k ⊗ ~k~k2

,~~P⊥(~k) ≡ ~~1−~~P‖(~k) = ~~1−

~k ⊗ ~k~k2

(XIII.24)

ein, mit den jeweiligen Komponenten (P‖)ij =kikj~k2

und (P⊥)ij = δij −kikj~k2

.

~~P‖(~k) bzw. ~~P⊥(~k) projiziert einen Vektor auf die Richtung von ~k bzw. auf die Ebene senkrecht zu~k. Damit ergibt sich73 ~V (~k) = ~V‖(~k) + ~V⊥(~k) mit

~V‖(~k) =~~P‖(~k) · ~V (~k), ~V⊥(~k) =

~~P⊥(~k) · ~V (~k), ~V‖(~k) · ~V⊥(~k) = 0 ∀~k.

∗ In der Näherung eines kalten Plasmas wird die thermische Bewegung der Elektronen (und afortiori der Ionen) vernachlässigt: somit üben die Elektronen keinen Druck aus, entsprechend cs = 0.In diesem Fall vereinfacht sich die Dispersionsrelation (XIII.22) zu ω2 = ω2

P, d.h. die Wellen könnennur mit der Plasmafrequenz ωP propagieren.

Dies ist im Gegensatz zur Propagation einer Schallwelle in einem Gas oder einer Flüssigkeit, wobeidie Frequenz beliebig sein kann.

72Die entsprechenden Wellen der Ionen, wenn diese als beweglich betrachtet werden, werden als Ionen-Schallwellenbezeichnet.

73Dies folgt aus den Eigenschaften ~~P‖(~k) +~~P⊥(~k) = ~~1 und ~~P‖(~k) ·~~P⊥(~k) =

~~P⊥(~k) ·~~P‖(~k) = 0.



XIII.A Alternativer Herleitung des abgeschirmten Potentials

Eine Möglichkeit, um die Helmholtz-Gleichung (XIII.11) zu lösen, besteht in dem Durchführeneiner räumlichen Fourier-Transformation. Dann wird die Gleichung zu(

~k2 − k2D

)Φ(~k) =

q

ε0⇔ Φ(~k) =

q

ε0

1

~k2 − k2D

,

mit kD = r−1D . Die inverse Transformation lautet

Φ(~r) =

∫e−i~k·~r Φ(~k)

d3~k

(2π)3=

q

4π2ε0

∫ ∞0

k2

k2 + k2D

[ ∫ 1

−1e−ikr cos θ d(cos θ)

]dk

=q

4π2ε0

∫ ∞0

k2

k2 + k2D

i

kr

(e−ikr − eikr

)dk =

iq

4π2ε0r

∫ ∞0

k

k2 + k2D

(e−ikr − eikr

)dk,

mit θ dem Winkel zwischen ~k und ~r. Wenn I das Integral im letzten Glied bezeichnet, dann giltdank der Geradheit des Integranden

I =1

2

∫ ∞−∞

k

k2 + k2D

(e−ikr − eikr

)dk =

∫ +∞

−∞

k e−ikr

k2 + k2D

dk,

wobei die zweite Identität aus der Variablenänderung k → k′ = −k folgt. Dieses Integral lässt sichmithilfe des Residuensatzes berechnen. Die Polstellen des Integranden in der komplexen Ebene sindbei k = ±ikD. Der Faktor e−ikr deutet einen Pfad Γ in der unteren Halbebene an, bestehend ausder reellen Achse und einem Halbkreis im Unendlichen: dann spielt nur das Residuum bei k = −ikD

eine Rolle. Da der Pfad im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, taucht ein − Vorzeichen auf. Schließlichergibt sich

I = −iπ e−kDr,

und somitΦ(~r) =

q

4πε0re−kDr,

entsprechend Gl. (XIII.12).

Literatur

• Feynman [5, 6], Kapitel 7.3–7.4

• Lifschitz–Pitajewski [33], Kapitel III.



XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung

In diesem Kapitel werden einige Aspekte der Phänomenologie der Supraleitung vorgestellt, miteinem Akzent auf den „Theorien“ — eigentlich sollten sie Modelle genannt werden —, die vorder Entwicklung der Bardeen–Cooper–Schriefer- (BCS-)Theorie vorgeschlagen wurden, um gewissePhänomene zu reproduzieren.

Für „konventionelle“ Supraleiter — d.h. solche, die durch die BCS-Theorie erklärt werden —sind die hiernach skizzierten Beschreibungen nur geschichtlich interessant, denn man verfügtjetzt über eine bessere Theorie. Für die nach 1986 entdeckten „Hochtemperatursupraleiter“ unddie seit 2008 gefundenen Pniktiden ist die endgültige Theorie noch nicht klar, so dass die phä-nomenologische Beschreibung interessant bleibt.

XIV.1 Phänomene der Supraleitung

XIV.1.1 Einige experimentelle Ergebnisse

Bei einigen Substanzen findet bei einer bestimmten tiefen Temperatur Tc ein Phasenübergangstatt. Im neuen Zustand weist das Material neue Eigenschaften auf:

• Wie es Kamerlingh Onnes (1911) in Quecksilber unter Tc = 4, 2K entdeckt hat,74 verschwindetder (stationäre) spezifische elektrische Widerstand — anders gesagt divergiert die elektrischeLeitfähigkeit σel. —, so dass ein elektrischer Strom auch ohne angewandte Spannung fließenkann.

Da dieser Strom keine Energie durch Ohm’sche Dissipation abgibt, fließt er prinzipiell andau-ernd. Experimentell wurde für die typische Zeitkonstante für das Abklingen solcher Strömeeine untere Schranke von 105 Jahre abgeschätzt [35].

Diesem Phänomen nach wird der Zustand als supraleitend bezeichnet.

• Das magnetische Feld — genauer, die magnetische Flussdichte — innerhalb des Materialsverschwindet ~B = ~0, auch wenn das Material in einem äußeren Feld aufgestellt ist. DieserMeißner–Ochsenfeld-Effekt wird hiernach weiter diskutiert (Paragraph XIV.1.2 a).

• Der magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring wird quantisiert, d.h. kann nur diskreteWerte annehmen (Paragraph XIV.3.3 c).

Bemerkungen:∗ An manchen Orten liest man, dass es in Supraleitern keine thermoelektrische Effekte — wie z.B.die Induktion einer elektromotorischen Kraft bzw. eines elektrischen Stroms durch einen Tempera-turgradienten (Seebeck-Effekt) — gibt. Dies ist aber nicht der Fall, vgl. die Diskussion in Abschn. IVvon V. Ginzburgs Nobel Lecture [36].

∗ Eine wichtige experimentelle Beobachtung, die bei der Entwicklung der BCS-Theorie geholfenhat, ist die Abhängigkeit der Sprungtemperatur Tc nach der isotopischen Zusammensetzung derSubstanz [37, 38]. Somit spielen nicht nur die supraleitenden Ladungsträger eine Rolle, sondernauch die Struktur des kristallinen Gitters, in dem sie sich bewegen.

XIV.1.2 Supraleitung in Anwesenheit eines äußeren magnetischen Feld

Schon 1914 beobachtete Kamerlingh Onnes,74 dass Materiale nicht in ihren supraleitenden Zu-stand gebracht werden können, falls sie in einem zu starken äußeren magnetischen Feld sind. Somit

74Zur Geschichte der ersten Jahre der Supraleitung s. Ref. [34], wo die Artikel von Kammerlingh Onnes zitiert sind.

XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung 138


lässt sich das Phasendiagramm solcher Substanzen günstig in der Magnetfeld-Temperatur-Ebenedarstellen. Dabei ist aber ein wichtiges Phänomen zu berücksichtigen, und zwar der Meißner–Ochsenfeld-Effekt.

::::::::::XIV.1.2 a

::::::::::::::::::::::::::Meißner–Ochsenfeld-Effekt

Meißner und Ochsenfeld haben 1933 entdeckt, dass die magnetische Flussdichte ~B aus demInneren eines in einem Magnetfeld aufgestellten Supraleiters verdrängt wird [39]. Somit sind Su-praleiter „perfekte Diamagnete“ mit der magnetischen Suszeptibilität χm = −1, entsprechend einerMagnetisierung ~M = − ~H und daher ~B = µ0( ~H + ~M) = ~0.

Auf den ersten Blick könnte der Effekt nur als eine „triviale“ Folge der Lenz-Regel aussehen. Da-für kann man ein erstes Experiment betrachten, in dem die Substanz zunächst in den supraleitendenZustand bei Null magnetischem Feld abgekühlt wird. Wird ein äußeres Magnetfeld — charakteri-siert durch dessen magnetische Feldstärke ~H — dann eingeschaltet, so bleibt die Flussdichte imSupraleiter Null. Das Ergebnis dieses Experiments lässt sich „klassisch“ erklären: der Lenz-Regelnach werden Ströme innerhalb des Supraleiters induziert, die wegen der unendlichen Leitfähigkeitnicht gedämpft werden, und somit die magnetische Flussdichte ~B ausgleichen können.

Ein zweites Experiment zeigt aber, dass diese Erklärung des Meißner–Ochsenfeld-Effekts nichtgilt. Sei das Material jetzt bei T > Tc in einem nicht-verschwindenden äußeren Feld ~Hext angelegt.Da die Substanz in ihren „normalen“ Zustand ist, ist sie kein perfektes Diamagnet, d.h. ~B 6= ~0 imMaterial. Kühlt man dann das Material in dessen supraleitenden Zustand bei konstantem ~Hext ab,so wird plötzlich ~B = ~0, was sich nicht mit der Lenz-Regel erklärt lässt, denn das äußere Magnetfeldhat sich nicht geändert.

Somit ist der Meißner–Ochsenfeld-Effekt keine „einfache“ Folge der Supraleitfähigkeit, sonderner spiegelt eine grundlegende Eigenschaft wider. Die gute Idee zur Beschreibung der Supraleitungbesteht eher darin, das supraleitende Verhalten durch die magnetischen Eigenschaften zu erklären.

Genauere Untersuchung zeigen, dass die magnetische Flussdichte ~B etwa 0, 1µm tief in dasMaterial eindringen kann. Diese messbare Längenskala wird als (London-)Eindringtiefe bezeichnet,entsprechend der typischen Länge für die Abschirmung der magnetischen Flussdichte.

Bemerkung: Experimentell wurde gefunden, dass die Eindringtiefe stark von der Konzentrationvon Verunreinigungen im supraleitenden Material abhängt. Dagegen hängt die Sprungtemperaturnicht davon ab.

::::::::::XIV.1.2 b

::::::::::Kritische

::::::::::Feldstärke

Wie bereits erwähnt gibt es für Materiale mit einer supraleitenden Phase eine kritische magne-tische Feldstärke Hc, entsprechend dem maximalen äußeren Feld, das den Übergang zur Supraleit-fähigkeit erlaubt.Genauer existieren zwei Arten von Supraleitern:

Bei Supraleitern vom Typ I gibt es für eine gegebene Temperatur T ≥ Tc eine einzige kritischeFeldstärke Hc(T ): unterhalb dieses Feldes ist das Material supraleitend und perfekt diamagnetisch;oberhalb Hc(T ) hat es eine endliche Resistivität und „normale“ magnetische Eigenschaften:

-

T

6H

normalHc,0

Tc

SupraleiterHc(T ) ' Hc,0

[1−

(T

Tc

)2].



In einem nicht Null magnetischen Feld ist der Phasenübergang erster Ordnung, d.h. latenteWärme wird am Übergang ausgetauscht. Dagegen ist der Übergang kontinuierlich für ~H = ~0 — inder Ehrenfest-Klassifikation ist er zweiter Ordnung, denn die Wärmekapazität ist unstetig.

Supraleiter vom Typ II besitzen zwei kritische Feldstärken Hc,1(T ) < Hc,2(T ) für eine gegebeneTemperatur T < Tc. Unter Hc,1(T ) ist das Material in einer „Meißner-Phase“ mit vollständigemperfektem Diamagnetismus und verschwindender elektrischer Leitfähigkeit. Zwischen Hc,1(T ) undHc,2(T ) ist das Material noch supraleitend, doch der Meißner-Ochsenfeld-Effekt ist unvollständig:das äußere Magnetfeld kann den Supraleiter innerhalb dünner Wirbel durchdringen, wie durchAbrikosow vorhergesagt wurde [40], so dass die Phase nicht mehr homogen ist. Man spricht voneiner gemischten oder Schubnikow-Phase. Oberhalb Hc,2(T ) ist das Material in dessen normalenPhase.

-

T

6H

normal

Hc,1(T )

Tc

Supraleiter~B = ~0

Hc,2(T )

gemischterZustand~B 6= ~0

XIV.2 Erste Beschreibungen: London- & Pippard-Theorien

XIV.2.1 London-Theorie

Um die damals bekannten Phänomene zu beschreiben, haben Fritz & Heinz London 1935 einekonstitutive Gleichung für die Stromdichte in einem Supraleiter vorgeschlagen [41]

~JS(~r) = −e2ne,S

me

~A(~r), (XIV.1)

wobei ne,S die Dichte der Elektronen, die zur Supraleitung beitragen,75 bezeichnet. Diese Dichtewird aber nicht durch das Modell bestimmt.

Im stationären Zustand lautet die Kontinuitätsgleichung ~∇ · ~JS(~r) = 0. Die konstitutive Bezie-hung (XIV.1) liefert dann die Eichbedingung ~∇ · ~A(~r) = 0 für das Vektorpotential, die in diesemKontext als London-Eichung bezeichnet wird.76 Somit ist die Eichung in Gl. (XIV.1) schon fixiert.

Bemerkung: Die Gebrüder London führten auch eine zweite konstitutive Gleichung ein, die nur imnicht-stationären Fall eine Rolle spielt, und das elektrische Feld in Beziehung mit der Stromdichtesetzt. Diese Relation wird hier nicht weiter erwähnt.

Mit der Stromdichte (XIV.1) lautet die stationäre Maxwell–Ampère-Gleichung

~∇× ~B(~r) = µ0~JS(~r) = −

e2ne,S

ε0mec2~A(~r).

Bildet man die Rotation dieser Identität, so ergibt sich

~∇×[~∇× ~B(~r)

]= ~∇

[~∇ · ~B(~r)

]−4 ~B(~r) = −

e2ne,S

ε0mec2~B(~r),

75Diese Elektronen werden hiernach der Kürze halber „supraleitende Elektronen“ genannt.76In Kap. VII hieß sie Coulomb-Eichung.



d.h. unter Berücksichtigung der Maxwell–Thomson-Gleichung

4 ~B(~r)−e2ne,S

ε0mec2~B(~r) = ~0. (XIV.2)

Die physikalisch relevanten Lösungen zu dieser Gleichung sind exponentiell abnehmende Funktionen,die die Abschirmung der magnetischen Flussdichte mit der typischen Längenskala

λL = c

√ε0me

e2ne,S=

c

ωP(XIV.3)

beschreiben. Dies entspricht also genau der Eindringtiefe des magnetischen Feldes.In der zweiten Identität ist ωP die Plasmafrequenz [Gl. (XIII.16b)] assoziiert mit den supraleiten-

den Elektronen. Ist die Letztere im Ultraviolett, so ist λL der Ordnung 0,1 µm, wie in Experimenten.

Die London-Eindringtiefe (XIV.3) hängt nicht von den Verunreinigungen im Supraleiter ab,sondern nur von den Elektronen. Nach der Entdeckung des Einflusses dieser Verunreinigungen wares daher notwendig geworden, eine neue Längenskala und somit neue Modelle einzuführen.

XIV.2.2 Pippard-Theorie

Eine solche zweite Längenskala ist insbesondere in der durch Pippard entwickelten Beschreibungzu finden [42]. Dabei handelt es sich um eine nicht-lokale Theorie für das stationäre Regime, in derdie Stromdichte in einem Punkt ~r nicht nur vom Vektorpotential im gleichen Punkt abhängt, sondernvon dessen Werte in einem Bereich der typischen Größe ξ um den Punkt:

~JS(~r) = −3e2ne,S

4πξ0me

∫ [(~r − ~r ′

)· ~A(~r ′)

](~r − ~r ′

)|~r − ~r ′|4

e−|~r−~r′|/ξ d3~r ′. (XIV.4)

Die neue Längenskala ξ heißt Kohärenzskala.Für die Letztere hat Pippard den Ansatz

1

ξ=

1

ξ0+

1

α`mfp(XIV.5)

vorgeschlagen. Dabei bezeichnet `mfp die mittlere freie Weglänge der Elektronen im Supraleiter,die von der Konzentration an Verunreinigungen anhängt, während α eine phänomenologische Zahlder Ordnung 1 ist — in Messungen an supraleitendem Zinn mit Indium-Verunreinigungen wurdeα = 0.80 gefunden. ξ0 ist die Kohärenzskala im reinen Supraleiter, d.h. formell für `mfp →∞.

Bemerkung: Wenn ~A konstant ist oder langsam variiert, findet man die Stromdichte der London-Theorie wieder, mit einem Faktor ξ/ξ0 in der konstitutiven Gleichung.

Je nach den Werten der zwei Längenskalen λL und ξ ergeben sich unterschiedliche Möglichkei-ten77

• für λL ξ ergibt sich die London-Theorie für einen Supraleiter mit lokalen Eigenschaften;dies entspricht Supraleitern vom Typ II.

• für ξ λL ist der Supraleiter nicht-lokal, was dem Typ I entspricht.

Der Ausdruck (XIV.4) der Stromdichte ~JS(~r) stellt ein Faltungsprodukt dar: Durch räumlicheFourier-Transformation ergibt sich dann eine lokale Beziehung im reziproken Raum, der Art

µ0~JS(~q) = −~~K(~q) · ~A(~q), (XIV.6)

wo der Faktor µ0 konventionell von der tensoriellen Antwortfunktion ~~K(~q) ausfaktorisiert wurde.77Tatsächlich sollte λL in dieser Diskussion durch eine verwandte Skala λ ersetzt werden, die Funktion von λL, ξ0

und ξ ist.



Im nicht-stationären Fall verallgemeinert sich die Beziehung (XIV.6) auf

µ0~JS(ω, ~q) = −~~K(ω, ~q) · ~A(ω, ~q), (XIV.7)

mit einer Frequenz-abhängigen Antwortfunktion.In einem homogenen (~∇ = ~0, entsprechend nach Fourier-Transformation ~q = ~0) Material gilt

~E(t, ~r) = −∂~A(t, ~r)

∂td.h. ~E(ω, ~q=~0) = iω ~A(ω, ~q=~0),

so dass die Gl. (XIV.7) zur Relation

µ0~JS(ω, ~q=~0) =

i

ω~~K(ω, ~q=~0) · ~E(ω, ~q=~0),

führt. Dies gibt für die elektrische Leitfähigkeit — oder genauer, für den Leitfähigkeitstensor

~~σel.(ω) =i~~K(ω, ~q=~0)

µ0ω.

Im einfachsten Fall nimmt ~~K(ω, ~q=~0) einen endlichen Wert im stationären Limes ω → 0 an, so dassdie Leitfähigkeit in diesem Limes divergiert, entsprechend gerade dem Phänomen der Supraleitfä-higkeit.

Bei dem Meißner–Ochsenfeld-Effekt handelt es sich im Gegensatz um einen statischen Effekt —entsprechend dessen Unterschied mit der Lenz-Regel — tief im Inneren des Supraleiters, der sichalso durch das Verhalten der Antwortfunktion für ω = 0 und |~q| → 0 beschreiben lässt. Dies wirdalso durch

lim|~q|→0

~~K(ω=0, ~q) 6= 0

bestimmt. Interessanterweise können die für Supraleitfähigkeit und für den Meißner–Ochsenfeld-Effekt relevanten Grenzwerte der Antwortfunktion unterschiedlich sein, z.B. im Fall eines Gases vonfreien Elektronen.

XIV.3 Ginzburg–Laudau-Theorie

Basierend auf der Landau-Theorie der Phasenübergänge, deren Grundlagen in Abschn. XIV.3.1kurz vorgestellt werden, haben Ginzburg78 und Landau selber eine Theorie der Supraleitung ent-wickelt (Abschn. XIV.3.2).

XIV.3.1 Landau-Theorie der Phasenübergänge

Phasenübergänge sind oft charakterisiert durch die Brechung einer Symmetrie sowie durch dieEntstehung eines nichtverschwindenden Parameters, des Ordnungsparameters. Der Letztere ist nullin der einen, „ungeordneten“ Phase — entsprechend üblicherweise der Phase, die bei höheren Tem-peraturen stabil ist — und nicht-null in der anderen Phase, die „mehr Ordnung“ aufweist.

Ein Beispiel davon die Magnetisierung beim ferromagnetischen Phasenübergang. Unter derSprungtemperatur Tc nimmt diese Magnetisierung einen endlichen Wert, entsprechend der Aus-richtung von mikroskopischen Spins entlang einer bestimmten Achse. Oberhalb Tc wirkt diethermische Bewegung der Neigung der Spins, sich auszurichten, entgegen, so dass die Magneti-sierung null wird.

Um diese Phänomene zu reproduzieren hat Landau (1937) vorgeschlagen, die Taylor-Entwicklungder freien Energie in Potenzen des Ordnungsparameters η zu betrachten:79

F (η, T ) = F0(T ) + α(T )η2 +β(T )

2η4 + · · · (XIV.8)

78Heute wird sein Namen in Deutsch eher als Ginsburg geschrieben, hier wird nichtsdestotrotz die englische Schreib-weise benutzt.

79Eine englische Übersetzung des originalen Artikels ist in Ukr. J. Phys. 53 (2008) 25–35 (special issue) zu finden.


http://ujp.bitp.kiev.ua/files/journals/53/si/53SI08p.pdf


Dabei können ungerade Potenzen oft aus Symmetrie- oder Analytizitätsgrunden ausgeschlossenwerden.

Wie immer ist die freie Energie im stabilen Zustand minimal. Führt man diese Minimierung beifester Temperatur durch, so findet man den Ordnungsparameter. Damit das Minimum von F (T, η)für einen nicht-unendlichen Wert von η erreicht wird, soll β(T ) positiv sein.Ist α(T ) auch positiv, so ist die freie Energie (XIV.8) minimal für η = 0, entsprechend der ungeord-neten Phase. Für α(T ) < 0 wird das Minimum der freien Energie für einen endlichen Wert von ηerreicht — und zwar für η = ±

√−α(T )/β(T ) —, d.h. das System befindet sich in der geordneten

Phase. Die zugehörige freie Energie lautet

F

(T, η=

√−α(T )

β(T )

)≡ Fη(T ) = F0(T )− α(T )2

2β(T ). (XIV.9a)

Natürlich ist diese freie Energie kleiner als F0(T ), die die freie Energie der ungeordneten Phase beider gleichen Temperatur ist.

Daraus folgert man die Differenz der Entropien der geordneten und ungeordneten Phase

Sη(T )− S0(T ) = − ∂

∂T

[Fη(T )− F0(T )

]=

1

2

∂

∂T

[α(T )2

β(T )

], (XIV.9b)

sowie die Differenz der Wärmekapazitäten

Cη(T )− C0(T ) = T∂

∂T

[Sη(T )− S0(T )

]=T

2

∂2

∂T 2

[α(T )2

β(T )

]. (XIV.9c)

Bemerkungen:∗ Damit die Taylor-Entwicklung (XIV.8) Sinn macht, soll der Ordnungsparameter η klein sein, d.h.die Landau-Theorie beschreibt nur die Physik in einer Nachbarschaft des Phasenübergangs. Zumanderen treten bei kontinuierlichen Phasenübergängen Fluktuationen auf, die am kritischen Punktgroß werden, so dass der Ordnungsparameter nicht mehr als klein betrachtet werden kann unddie Landau-Theorie bricht aus. Tatsächlich hat Ginzburg gezeigt, dass im Fall des supraleitendenPhasenübergangs der Bereich um Tc, wo Fluktuationen wichtig sind, durch |T − Tc|/Tc . 10−12

gegeben ist: die Landau-Theorie bleibt also eine gute Beschreibung!

∗ In Gl. (XIV.8) werden nur die 2. und 4. Ordnung in η berücksichtigt, was fast automatisch — undzwar mit den „minimalen Ansätzen“ (XIV.10a) für die Koeffizienten der Entwicklung — zu einemPhasenübergang 2. Ordnung führt. Um Phasenübergänge 1. Ordnung zu beschreiben, betrachtetman auch die Ordnung η6 mit einem positiven Koeffizient, während der Koeffizient des Terms η4

als negativ angenommen wird.

XIV.3.2 Ginzburg–Landau-Gleichungen

Eine fantastische Intuition von Ginzburg und Landau war, einen komplexwertigen Ordnungs-parameter Ψ — der eine „effektive Wellenfunktion der supraleitenden Elektronen“ darstellt — fürdie supraleitende Phase anzunehmen.

Hiernach wird die freie Energie in der supraleitenden bzw. „normalen“ Hoch-Temperatur-Phaseals FS(T ) bzw. FN(T ) bezeichnet.

::::::::::XIV.3.2 a

:::::::::::Supraleiter

::::mit

::::::::::::konstantem

::::::::::::::::::::Ordnungsparameter

::in

:::::::einem

::::Null

::::::::::::::magnetischen

:::::Feld

Um einen Phasenübergang bei der Temperatur Tc zu beschreiben, soll der Koeffizient α(T ) inGl. (XIV.8) sein Zeichen bei Tc ändern, während die einzige Bedingung für β(T ) einfach β(T ) > 0ist. Die einfachsten Funktionen, die diese Forderungen erfüllen, sind

α(T ) = α0 × (T − Tc), mit α0 > 0

β(T ) ≡ β = Konstante.(XIV.10a)



Diese Annahmen führen für die freie Energie zu80

FS(Ψ, T ) = FN(T ) + α0(T − Tc)|Ψ|2 +β

2|Ψ|4 + · · · (XIV.10b)

In der supraleitenden Phase mit T ≤ Tc ergibt sich dann

|Ψ| =(α0

β

)1/2√Tc − T ,

d.h. [vgl. Gl. (XIV.9a)]

FS(Ψ, T )− FN(T ) = −α20

2β(T − Tc)2. (XIV.11a)

Diese Differenz ist negativ, so dass die supraleitende Phase tatsächlich stabiler ist als die normalePhase. Die zugehörige Entropiedifferenz ist [vgl. Gl. (XIV.11c)]

SS(T )− SN(T ) =α2

0

β(T − Tc). (XIV.11b)

Insbesondere verschwindet die latente Wärme L ≡ T [SS(T )− SN(T )] an der Sprungtemperatur, sodass der Phasenübergang nicht erster Ordnung ist.81 Schließlich lautet die Differenz der Wärmeka-pazitäten an der Sprungtemperatur

CS(Tc)− CN(Tc) =α2

0

βTc. (XIV.11c)

Diese Differenz verschwindet nicht, d.h. die Wärmekapazität ist unstetig bei Tc.81

::::::::::XIV.3.2 b

::::::::::::Supraleiter

::::mit

:::::::::räumlich

::::::::::::variierendem

::::::::::::::::::::Ordnungsparameter

:::in

::::::einem

:::::Null

:::::::::::Magnetfeld

Ist der Ordnungsparameter nicht gleichförmig im Supraleiter, sondern ortsabhängig: Ψ(~r), sotreten weitere Terme proportional zu (Potenzen) dessen Gradienten in der freien Energie auf. ImFall, wo Ψ(~r) langsam variiert, ist nur die niedrigste Ordnung in ~∇Ψ(~r) wichtig. Dann lautet diefreie Energie im Supraleiter

FS

(T,Ψ(~r)

)= FN(T ) +

∫ [α(T )|Ψ(~r)|2 +

β

2|Ψ(~r)|4 + γ(T )

∣∣~∇Ψ(~r)∣∣2]d3~r, (XIV.12)

mit einem positiven Koeffizient γ(T ), damit die freie Energie FS minimal für einen gleichförmigenOrdnungsparameter sei.

Dieses Minimum lässt sich durch Variation bezüglich die unabhängigen Variablen T , Ψ(~r) undΨ∗(~r) finden. Mit

∣∣~∇Ψ(~r)∣∣2 =

[~∇Ψ(~r)

][~∇Ψ∗(~r)

]findet man durch partielle Integration,82 dass die

Forderungδ

δΨ∗(~r)

[FS

(T,Ψ(~r)

)− FN(T )

]= 0

zur Bedingungα(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)|2Ψ(~r)− γ(T )4Ψ(~r) = 0 (XIV.13a)

führt. Dies hat die Form einer nicht-linearen Schrödinger-Gleichung, insbesondere wenn man γ(T )als ~2/2m? schreibt: [

− ~2

2m?4+ β|Ψ(~r)|2

]Ψ(~r) = −α(T )Ψ(~r). (XIV.13b)

Genauer handelt es sich um die Eigenwertgleichung für eine stationäre Gross–Pitajewski-Gleichung ,d.h. eine verallgemeinerte Schrödinger-Gleichung für eine selbstwechselwirkende Wellenfunktion.

80Hier sieht man, dass Terme ungerader Ordnung eine nicht-analytische freie Energie geben würden.81In der Ehrenfest-Klassifikation ist der Phasenübergang zweiter Ordnung, denn die erste Unstetigkeit tritt bei

einer zweiten Ableitung der freien Energie auf.82Man schreibt z.B.

[~∇Ψ(~r)

][~∇Ψ∗(~r)

]= ~∇[Ψ∗(~r)~∇Ψ(~r)

]− Ψ∗(~r)4Ψ(~r) und argumentiert, dass Ψ∗(~r)~∇Ψ(~r) an

den Wänden des Supraleiters verschwindet.



Für kleine Ordnungsparameter — entsprechend z.B. der Situation in der Nachbarschaft einesPunkts, wo Ψ(~r) verschwindet — kann man Gl. (XIV.13b) linearisieren. Unter Verwendung vonα(T ) = −|α(T )| wenn T < Tc kommt

~2

2m?|α(T )|4Ψ(~r) + Ψ(~r) = 0.

Somit ist eine typische Längenskala für die Variationen des Ordnungsparameters die Ginzburg–Landau-Kohärenzlänge

ξ(T ) ≡ ~√2m?|α(T )|

, (XIV.14)

oder äquivalent ξ(T )2 = γ(T )/|α(T )|. Diese Kohärenzskala entspricht derjenigen, die in der Pippard-Theorie auftritt. Mit dem Ansatz (XIV.10a) für α(T ) gilt ξ(T ) ∝ (T − Tc)−1/2.

::::::::::XIV.3.2 c

:::::::::::Supraleiter

:::in

::::::einem


::::Feld

Ist der Supraleiter jetzt in einem stationären äußeren magnetischen Feld, charakterisiert durchdie Flussdichte ~B(~r), so müssen dessen Beiträge zur freien Energie berücksichtigen:

• Zum einen gibt es die Energie, die aus der Magnetisierung des Supraleiters entsteht. Dieselautet

Eb =

∫ ~B(~r)2

2µ0d3~r. (XIV.15)

Hiernach werden die magnetischen Felder außerhalb des Materials mit ext. gekennzeich-net, solche innerhalb des Materials ohne Index. In einem homogenen Feld ~Bext. lautet dieVariation der magnetischen Energiedichte im supraleitenden Material

deb = ~H · d ~Bext.= ~H · d(µ0~Hext.

),

wobei die äußere Flussdichte (im Vakuum) durch µ0~Hext. ersetzt wurde. Ist keine Strom-

dichte vorhanden, so ist die Feldstärke stetig an der Oberfläche des Materials d.h. ~H = ~Hext..Die Integration von Null bis zu einem endlichen Wert des Feldes gibt dann für die (lokale)Energiedichte µ0

~H2 = µ0~H2

ext., woraus Gl. (XIV.15) sofort folgt.

• Zum anderen soll der Gradient in Gl. (XIV.12) durch einen eichkovarianten Gradienten83

ersetzt werden:~∇ → ~∇+

iq?

~~A(~r),

wobei ~A(~r) das Vektorpotential bezeichnet. Dabei ist q? die effektive Ladung des Teilchens,dessen Wellenfunktion der Ordnungsparameter darstellt.

In einem magnetischen Feld ist der kanonische Impuls einer Punktladung q nicht gleichderen kinetischen Impuls ~p, sondern durch ~Π = ~p+ q ~A(~r) gegeben, vgl. Gl. (VIII.7). Dazuwird die Korrespondenz zwischen −i~~∇ und dem kanonischen Impuls verwendet.

Insgesamt wird Gl. (XIV.12) also ersetzt durch

FS

(T,Ψ(~r), ~A(~r)

)− FN(T ) =∫ [

α(T )|Ψ(~r)|2 +β

2|Ψ(~r)|4 + γ(T )

∣∣∣∣(−i~∇+q?

~~A(~r)

)Ψ(~r)

∣∣∣∣2 +~B(~r)2

2µ0

]d3~r.

(XIV.16)

Im Gleichgewichtszustand bei gegebener Temperatur ist die freie Energie des Supraleiters oderäquivalent die Differenz (XIV.16) minimal unter Variationen von Ψ(~r), Ψ∗(~r) und ~A(~r).

83In einer Eichtransformation ~A(~r)→ ~A(~r)− ~∇χ(~r) tranformiert sich die Wellenfunktion Ψ(~r) für ein Teilchen derLadung q in Ψ(~r) eiqχ(~r)/~. Dann ist [−i~~∇+ q ~A(~r)]Ψ(~r) eichinvariant.



Zunächst führt die Forderung der Invarianz unter kleine Variationen δΨ∗(~r) zur Bedingung

α(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)|2Ψ(~r) + γ(T )

[−i~∇+

q?

~~A(~r)

]2

Ψ(~r) = 0. (XIV.17a)

Diese Gleichung entspricht natürlich dem Ersetzen des Gradienten durch dessen eichkovarianteVersion in Gl. (XIV.13a). Dann liefert die Minimierung der freien Energie bezüglich ~A(~r) unterVerwendung von ~∇× ~B(~r) = µ0

~Js(~r) die zweite Gleichung

~Js(~r) =2q?γ

i~[Ψ∗(~r)~∇Ψ(~r)−Ψ(~r)~∇Ψ∗(~r)

]− q?2γ

~2

∣∣Ψ(~r)∣∣2 ~A(~r). (XIV.17b)

Die Gleichungen (XIV.17a) und (XIV.17b) werden als Ginzburg–Landau-Gleichungen bezeichnet.

Mit γ(T ) ≡ ~2

2m?lassen sie sich umschreiben als

− ~2

2m?

[~∇+

iq?

~~A(~r)

]2

Ψ(~r) + α(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)|2Ψ(~r) = 0 (XIV.18a)

und~Js(~r) =

q?~2im?

[Ψ∗(~r)~∇Ψ(~r)−Ψ(~r)~∇Ψ∗(~r)

]− q?2

m?

∣∣Ψ(~r)∣∣2 ~A(~r). (XIV.18b)

Diese Gleichungen sind die gleichen, wie für ein Teilchen mit Masse m? und Ladung q?, beschriebendurch die Wellenfunktion Ψ(~r).

XIV.3.3 Folgerungen der Ginzburg–Landau-Gleichungen

::::::::::XIV.3.3 a

:::::::::::Homogene

::::::::::Lösungen

Sucht man nach gleichförmigen Lösungen der Gl. (XIV.18b) mit Null-Stromdichte, so ergibt sichentweder ~A = ~0, entsprechend der supraleitenden Phase, oder |Ψ|2 = 0, entsprechend der normalenPhase.

Für den ersteren Fall führt dann Gl. (XIV.18a) zum schon gefundenen Gleichgewichtswert

|Ψ| =

√−α(T )

β(XIV.19)

des Ordnungsparameters.

::::::::::XIV.3.3 b

::::::::::::::Längenskalen

Neben der schon gefunden Kohärenzlänge ξ(T ), Gl. (XIV.14), besitzen die Ginzburg–Landau-Gleichungen eine zweite charakteristische Längenskala. Wenn man die Annahme eines Ordnungs-parameters mit konstantem Betrag macht,

Ψ(~r) = Ψ0 eiϕ(~r) mit Ψ0 ∈ R, (XIV.20)

so lautet die supraleitende Stromdichte

~JS(~r) =q?~m?

Ψ20

[~∇ϕ(~r)− q?

~~A(~r)

]. (XIV.21)

Bildet man die Rotation, so spielt der erste Term in den eckigen Klammern keine Rolle, und manfindet die London-Theorie wieder, mit der Identifikation

ne,Se2

me=q?2

m?Ψ2

0,

d.h. für die London-Eindringtiefe

λL = c

√ε0m?

q?2Ψ20

. (XIV.22)



Nimmt Ψ0 den Gleichgewichtswert (XIV.19), mit dem Ansatz (XIV.10a), so ergibt sich

λL(T ) = c

√ε0m?

q?2

β

|α(T )|∝ (T − Tc)−1/2. (XIV.23)

Der Ginzburg–Landau-Parameter wird definiert als das Verhältnis von der Kohärenzlänge zurEindringstiefe

κ ≡ λL(T )

ξ(T )=m?c

~q?√

2ε0β. (XIV.24)

Dabei konnte Abrikosow zeigen, dass der Supraleiter sich wesentlich unterschiedlich verhält, ob κkleiner oder größer als einen bestimmten Wert ist. Genauer ist für κ < 1/

√2 der Supraleiter vom

Typ I, für κ > 1/√

2 vom Typ II.

::::::::::XIV.3.3 c

::::::::::::::Quantisierung

::::des


:::::::Flusses

::::::durch

::::::einen

:::::Ring

Im Rahmen der Ginzburg–Landau-Theorie lässt sich ein Phänomen einfach erklären, und zwardie Quantisierung des magnetischen Flusses durch einen supraleitenden Ring — die tatsächlichschon durch F.London (1950) lange vor den ersten Messungen [43, 44] vorhergesagt wurde.

Sei C eine Kontour tief im Inneren eines dicken ringförmigen Supraleiters, in dem kein elek-trischer Strom fließt. Es wird angenommen, dass der Betrag des Ordnungparameters den Gleich-gewichtswert (XIV.19) annimmt, während dessen Phase variieren kann. Dann ist die supraleitendeStromdichte durch Gl. (XIV.21) gegeben, so dass deren Zirkulation entlang der Kontour lautet∮

C

~JS(~r) · d~=q?~m?

Ψ20

[ ∮C

~∇ϕ(~r) · d~− q?

~

∮C

~A(~r) · d~

d.h.0 =

q?~m?

Ψ20

[2nπ~− q?

~Φ ~B

]mit n ∈ N. Somit genügt der magnetische Fluss Φ ~B durch die durch C abgegrenzte Fläche auto-matisch der Quantisierungsbedingung

Φ ~B =2π~q?

n.

Messungen der möglichen Werte dieses Flusses liefern dann die effektive Ladung q? der Ladungs-träger, die für Supraleitfähigkeit verantwortlich sind. In der Tat misst man

Φ ~B = nΦ0 mit Φ0 ≡h

2e= 2, 0678 · 10−15 Wb

dem Flussquant. Dies entspricht |q?| = 2|e|, mit e der Elementarladung, und zeigt, dass Supraleit-fähigkeit durch Elektronpaare vermittelt wird — in Übereinstimmung mit der BCS-Theorie.

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