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josiane-saunier
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THEORIE DU BIPOTENTIEL
un fil conducteurpour la modélisation
des lois de comportement
Plan de l’exposé
Le bipotentiel
Mécanique du contact
Plasticité des sols
L’écrouissage non linéaire
LOI DE COMPORTEMENT
VARIABLES
PRIMALES
déformations, déplacements, vitesses, incréments,...
x
DUALES
contraintes, forces,...
y
PRODUITSCALAIRE .x ytravail, puissance,...
LOI DE COMPORTEMENT
, . .loi x y VRAI
Loi de normalité univoque :POTENTIEL
Loi de normalité multivoque :SURPOTENTIEL
Loi non associée :BIPOTENTIEL
COUPLE EXTREMAL (x, y)
*( ) ( ) .x y x y
*( )x y loi inverse
( )y x
loi de comportement
loi de normalité multivoqueou de sous-normalité
INEGALITE DE FENCHEL
*( , ) ( ) ( ) .x y x y x y
( )x x convexe
SURPOTENTIEL
MATERIAUX STANDARDS
Matériaux admettantun surpotentiel
Bonnes propriétés dela loi de normalité
Calcul des Variations:existence de fonctionnelles
Analyse limite:théorèmes de bornes
Calcul pas-à-pas:la matrice de rigidité tangenteest symétrique et définie-positive
Contraintehydrostatique
contrainte déviatorique
K
p
surface d’écoulement
PLASTICITE NON ASSOCIEE
FORMULATION DU BIPOTENTIEL:
une fonction de deux variables
LA FORMULATION CLASSIQUE:
)(ffonction de charge:
potentiel plastique (Melan): tel que :)(g )(
gp
deux fonctions d’une variable
0)( f
teCg )(
bBIPOTENTIEL
b BI-CONVEXE
( , ) ( , ) .x y b x y x y
INEGALITEFONDAMENTALE
( , ) ( , )x y b x y
COUPLE EXTREMAL (x, y)
b x y x y( , ) .
x b x yy ( , )Loi inverse
LOI DE SOUS-NORMALITE IMPLICITE
y b x yx ( , )
Loi de comportement
MATERIAU STANDARD
Le bipotentielest séparable
*( , ) ( ) ( )b x y x y
MATERIAU STANDARD IMPLICITE
matériau admettantun bipotentiel
Le bipotentiel
Mécanique du contact
CONTACT UNILATERALA FROTTEMENT SEC
DE COULOMB
rn
un
non contact
contact
0 0
0 0
0 0 0
/
n n
n t n
n t n n
t t t
r u
r r r u
r r r u
tel que u r r
si alors
sinon si et alors
sinonsi et alors et
rt
ut
glissement
adhérence
u
nr pression de contact
tr
force de frottement
n’admet pas de surpotentiel ...
... mais admet un bipotentiel
loi de glissementnon associée
LA LOI DE CONTACT UNILATERALAVEC FROTTEMENT SEC
DE COULOMB
BIPOTENTIEL DE CONTACT bc
0( , ) n t n
c
r u si r K et ub u r
autrement
permet de représenter laloi complète de contactde manière compacte
( , )u b u rr c
r b u ru c ( , )
nr pression de contact
tr force de frottement
r réaction de contact
cône de frottementde Coulomb
K
rn
SCHEMA PREDICTEUR/CORRECTEUR PARPROJECTION SUR LE CONE DE COULOMB
r proj r u u n Kt ,technique
du Lagrangienaugmenté
Predicteur
Correcteur
r u u nt
r proj K ,
K*
nr pression de contact
t
force de frottement
r
r
rglissement
adhérence
non contact
K
cône dual
Absorbeur de chocDe Saxcé & Feng (1998)
polyurethane
rigide
rigide
polyurethane
Problèmes quasi-statique
31400 mkg
mmd 4
3.0
Estimateur de l’erreur en loi de comportement
),(
.),(
rub
rurub
c
c
De Saxcé & J. Fortin (2000)
Compaction isotrope (2470 particules)
Vidange d’un silo (1600 particules)
Vidange d’un silo (1580 particules)