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kliirung ffir diese Verschiedenheit dilrfte wohl in der Vorausse~zung verschie- dener Vorbildung bei den Lesern in Geome~rie und Physik zu suchen sein.

G . v . E .

Geod~isie. Von Prof. Dr. A. G all e (Sammlung Schubert XXIII)~ mit 96 Figaren. Leipzig, G. J. G(ischensche Verlagshandlung~ 1907. 284 S.

Das vorliegende Werk unterseheidet sich yon anderen Werken tiber den- selben Gegenstand haupts~chlich dadm'ch, dab den mathematischen En~wiek- lungen ein gr6Berer Raum zugewiesen ist, w~hrend die Beschreibung and Be- sprechung der Instramente ausgesehieden wurde. Das Bach gliedert sich in drei Hauptabschnitte, die der Reihe nach yon F]iichen, Linien nnd Pankten handeln. Der erste and dritte Abschnitt besitzen einen Anhang, der sich auf (lie Berilcksichtigung der Erdkrilmmung bezieht. Im zweiten Abschniite wurde davon abgesehen, well die Theorie der geod~tischen Linie zu viel Raum in Anspruch genommen h~tte. Im dritten Abschnitte ist ein kurzer Abrifl der Grundlagen der Photogrammetrie gegeben.

Besonders mSge noch hervorgehoben werden, daI3 einige geod~tische Notizen aus dem im VIII. Bande yon G auB ' Werken ver6ffentliehten wissen- sehaftlichen Nachlasse, die sich auf das P o t h e n o t s c h e Problem und den L e g e n d r e s c h e n Satz beziehen, hier zum erstenmal zur Verarbeitung ge- langten. A . P .

Astronomie in der Schule. Von Prof. E. G nau ; erster Tell Verlag yon Quelle & Meyer in Leipzig. 1907. 47 S.

Der Verfasser bespricht die Frage, inwiefern es mSglich ist in den Mi~tel- schulunterricht die Grandlagen der Astronomie aufzunehmen. Nach allgemeinen Betrachtungen fiber die Stellung dieser Frage zur Organisation and Methode des Mittelschulunterrichts wird ein vollsti~ndiger Lehrplan ausgearbeitet, .yon dem der erste Teil (Unterstufe) noeh in den Rahmen dieser Pablikation fMl~.

Es dfirfte kaum ein Zweifel bestehen, dab es mSglich ist, dam Schiller einer Mit~elsehule auch schon in den unteren Klassen die Grundbegriffe der Astronomie, speziell der Erscheinungen der s and j~hrliehen Bewegung des Himmels, beizubringen. DaB es dabei nicht ohne Beobachtungen abgehen kann, die der Schiller selbs~ unter Anleitung des Lehrers ausffihrt, oder viel- mehr, dab der Lehrer die Sehiiler unter freiem Himmel sieh yon den Grund- ~a%aehen selbst iiberzeugen l~tBt, ist Mar u n d e s w~re sehr wfinschenswert~ wenn dem Lehrer dazu Gelegenheit geboten wilrde. Gegen den vorgeschlagenen Lehrgang aber m6chte der Referent doch einen Einwand erheben. Es dilrfCe heu te kamn einen Schiller selbst der untersten Mittelschulklasse geben, der niche schon wilBte, dab die Erde eine Kugel ist. Es kann also nicht ein Lehr- gang eingeschlagen werden, bei welchem der Schiller auf Grund eigener, ent- sprechend geleiteter Beobachtung, die Kugelgestalt gewissermafien selbst ent- decken soil; man muB vielmehr die Tas als bekannt voraussetzen and auf deren Vers~tndnis hinarbeiten. A . P .

Th6orie et usage de la r~gle h calculs par P. R o sS, Paris, Gautier-Villars 1907. 118 pag.

Der Rechenschieber (r~gle '~ calculs) beruht auf der Anwendung loga- rithmischer Skalen zur Ausfilhrung einfaeher Rechenoperationen. Es wird daher

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in der Einleitung zun~chst der Begriff des Logarithmus entwickelt. Im weiteren werden zwei versehiedene Systeme besproehen (r~gle des dcoles, rbgle Mann- helm), die sich nicht im Prinzip, abet in der Art und Weise unterseheiden wie die versehiedenen Skalen angebraeht sind, um die auszufiihrenden Hand- griffe mSglichst einfach und bequem zn gestalten. Es ist hervorzuheben, daft diese beiden Sysfeme ganz getrennt und mit mSgliehster Vollst~ndigkeit aus- einandergesetzt werden. Man kann sieh also fiber den Gebrauch des einen Systems unterriehten, ohne sieh durch die fi~r das andere geltenden Vorsehrif- ten verwirren zu lassen. Die Operafionen, welehe ausffihrbar sind (Multipli- kation, Division, Quadrieren, Kubieren, Ausziehen yon Quadrat- und Kubik- wurzeln, Bestimmung yon Logarithmen, Sinus und Tangenten) werden der Reihe nach eingehend vorgenommen.

Der letzte Abschnitt zeigt die Anwendbarbeit des Instrumentes an ver- sehiedenen Beispielen. A . P .

A s t r o n o m i s c h e r K a l e n d e r f i i r 1908. Wien~ Car l Gero lds S o h n , K 2.40.

AuBer dem fiblichen Inhalt des Kalenders enth~lt der vorliegende eine Arbeit vou Dr. 3. H o l e t s e h e k fiber die Siehtbarkeit yon Kometen bei Tage~ eine fiber die rasche Einregu[ierung yon Pr~zisionspendeln von Dr. H. 3 a s c h k e und den Bericht fiber neue Planeten und Kometeu yon Prof. Weift . Wir entnehmen dem ]etzteren, dab im u ]24 neue Planeten entdeekt wurden.

S a t q a e l q u e s p o i n t s du c a l c u l f o n c t i o n n e l . Th6se pr6sen t6e la facult6 des sc iences de Pa r i s p a r M. F r 6 c h e t . Pa r i s 1906. ( E x t r a i t du t o m e X X I I des R e n d i c o n t i del C i reo lo M a t e m a t i c o di P a l e r m o . )

Diese musterhaft korrekte und verdienstvolle Arbeit beseh~ftigt sieh mit dem allgemeinsten Funktionsbegriffe: Es sei irgend eine Klasse yon Ele- menten a gegeben und jedem dieser Elemente sei eine reelle Zahl U(a) zuge- ordnet. U ( a ) heiBt eine Funktion dieser Elemente. Wie die Theorie der Funk- tionen einer reellen Ver~nderlichen auf der Theerie der Punktmengen beruht, so handelt es sieh auch hier zun~chst datum, das Analogon der Punktmengen- theorie ffir die Klasse unserer Elemente a aufzubauen. In der Theorie der Punktmengen ist grundlegend der Begriff des Limes. Was ist hier an seine Stelle zu setzen? 3e naehdem man den Limesbegriff fassen wird, wird man versehiedene Theorien erhalten. Zunfichst l~$t F r 6 c h e f den Limesbegriff ghnzlich undefiniert und setzt nur voraus, dab yon jeder beliebigen Folge: al, as , . . . , a n, �9 �9 yon Elementen a feststehe, ob sie einen Limes hat oder nicht, und dab 1. eine Folge, deren s~mtliche Glieder das Element a o sind, eben dieses Element zum Limes hat, und 2. wenn eine Folge ein Element a o zum Limes hat, aueh jede aus ihr herausgegriffene Teilfolge das Element ao zum Limes hat. Eine Klasse yon Elementen, in der ein soleher Limesbegriff besteht, wird als Klasse L bezeiehnet. Sei nun eine Menge E gegeben, bestehend aus Ele- menten einer Klasse L. Ein Element a o yon L heiBt Grenzelement yon F, wean es in E eine Folge voneinander versehiedener Elemente gibt, die das Element a o zum Limes haben. Die Begl"iffe der abgeleiteten Menge, die Be- griffe ,abgesehlossen a und ,,perfekt ~ kSnnennun eingeffihrt werden wie in der gewShnlichen Theorie der Punktmengen. Ebenso l~l]t sieh sehon der Begriff