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Jérôme Dubois - Prix du Jeune Chercheur 2004. La Théorie Mathématique des Nœuds Mon travail de thèse traite de l’étude et de la classification des nœuds d’un point de vue mathématique. Il y a un peu moins de 150 ans, les nœuds ont commencé à intéresser les scientifiques et en particulier les mathématiciens. Dès lors, ils sont devenus le centre d’une nouvelle théorie mathématique très riches, utilisant des concepts sophistiqués des mathématiques modernes et ayant de nombreuses applications. Je me propose dans ces quelques lignes de décrire sommairement, et en tentant d’utiliser un langage le moins « technique » possible, mon travail de thèse. La Théorie des Nœuds est une branche d’une discipline mathématique appelée Topologie Algébrique. Cette discipline a été inventée par le mathématicien français Henri Poincaré vers la fin du XIXe siècle et s’intéresse aux propriétés des objets géométriques qui sont invariantes par déformations continues sans déchirures. En bref, le spécialiste de théorie des nœuds s’intéresse à la forme du nœud. Qu’est-ce qu’un nœud en mathématiques ? Tout le monde sait bien, au moins intuitivement ce qu’est un nœud. Mais pour étudier un objet en mathématiques ou dans toute autre science l’intuition ne suffit pas et il faut encore en donner une définition rigoureuse. Dans le cas d’un nœud qui nous intéresse cela n’est pas aussi immédiat qu’il y paraît. Formellement un nœud en mathématiques est un plongement du cercle dans l’espace tridimensionnel usuel. Par « plongement », j’entends simplement l’ « image idéalisée » d’une ficelle éventuellement enchevêtrée dont les extrémités ont été recollées. L’exemple le plus simple d’un nœud est le nœud trivial qui est un « nœud non noué » et qui est obtenu en recollant les extrémités d’une ficelle sans nœud. On obtient ainsi la circonférence d’un cercle. Le nœud le plus simple qui est « vraiment noué » est le nœud de trèfle (voir figure ci-contre). Mais il existe des nœuds en apparence plus compliqués , comme par exemple le nœud représenté sur la figure ci-contre. Ces trois exemples fondamentaux vont nous servir dans tout notre texte.

Théorie Mathématique des Nœuds

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  • Jrme Dubois - Prix du Jeune Chercheur 2004.

    La Thorie Mathmatique des Nuds Mon travail de thse traite de ltude et de la classification des nuds dun point de

    vue mathmatique. Il y a un peu moins de 150 ans, les nuds ont commenc intresser les scientifiques

    et en particulier les mathmaticiens. Ds lors, ils sont devenus le centre dune nouvelle thorie mathmatique trs riches, utilisant des concepts sophistiqus des mathmatiques modernes et ayant de nombreuses applications. Je me propose dans ces quelques lignes de dcrire sommairement, et en tentant dutiliser un langage le moins technique possible, mon travail de thse.

    La Thorie des Nuds est une branche dune discipline mathmatique appele Topologie Algbrique. Cette discipline a t invente par le mathmaticien franais Henri Poincar vers la fin du XIXe sicle et sintresse aux proprits des objets gomtriques qui sont invariantes par dformations continues sans dchirures. En bref, le spcialiste de thorie des nuds sintresse la forme du nud. Quest-ce quun nud en mathmatiques ?

    Tout le monde sait bien, au moins intuitivement ce quest un nud. Mais pour tudier un objet en mathmatiques ou dans toute autre science lintuition ne suffit pas et il faut encore en donner une dfinition rigoureuse. Dans le cas dun nud qui nous intresse cela nest pas aussi immdiat quil y parat.

    Formellement un nud en mathmatiques est un plongement du cercle dans lespace tridimensionnel usuel. Par plongement , jentends simplement l image idalise dune ficelle ventuellement enchevtre dont les extrmits ont t recolles.

    Lexemple le plus simple dun nud est le nud trivial qui

    est un nud non nou et qui est obtenu en recollant les extrmits dune ficelle sans nud. On obtient ainsi la circonfrence dun cercle. Le nud le plus simple qui est vraiment nou est le nud de trfle (voir figure ci-contre).

    Mais il existe des nuds en apparence plus compliqus ,

    comme par exemple le nud reprsent sur la figure ci-contre. Ces trois exemples fondamentaux vont nous servir dans tout notre texte.

  • Le problme des nuds ?

    Intuitivement si je tire ou si je tords la ficelle sans jamais la rompre, je vais

    certainement changer laspect du nud quelle reprsente mais je ne vais pas en changer ses caractristiques intrinsques. En clair, je ne vais pas changer le type de nud reprsent par la ficelle. Je dirai que deux nuds sont quivalents lorsque je peux amener la ficelle de lun sur celle de lautre en la tirant ou en la tordant mais sans jamais la rompre.

    Le problme des nuds est certainement le problme de topologie dont lnonc est

    le plus simple comprendre. On peut le formuler des deux faons suivantes : 1. Etant donn un nud, est-il vraiment nou ? En termes plus savants, est-il ou nest-il pas quivalent au nud trivial ? 2. Etant donn deux nuds, sont-ils ou non quivalents ?

    Cest ce genre de questions que le mathmaticien tente de rpondre de faon rigoureuse. Mais une solution complte au problme des nuds est encore loin dtre entirement dcouverte. Une question typique de thorie des nuds est la suivante : La rponse est premire vue surprenante. Le nud montre la suite de figures suivantes sur lesquelles on

    Les origines de la thorie des nuds. Avant daller plus loin, je voudrais faire unsommairement la thorie des nuds. Ceci pour vo

    est-il vraiment nou ?ci-dessus nest en fait pas nou comme le le voit se dnouer :

    e petite digression historique en situant us convaincre quelle est le fruit dune

  • activit humaine et historique de recherche, de dcouverte, de doute et aussi derreurs mais au final de grandes russites. Lorigine de la thorie des nuds remonte au milieu du XIXe sicle et se trouve dans

    s travaux du physicien anglais Kelvin sur la matire. En 1860, Kelvin propose un modle de mati

    s quune seule erreur : une duplication. Mais les mathm

    uest-ce quun invariant des nuds ?

    autre activit humaine, le mathmaticien a besoin outils. En thorie des nuds, loutil le plus efficace est la notion dinvariant.

    bre rel, un olynme, un groupe ou tout autre objet mathmatique qui ne change pas lorsque lon fait

    nt surtout rpondre par la ngative u problme des nuds. Plus prcisment, supposons que lon dispose dun invariant. On peut

    alors a

    lela re dans lequel les atomes sont reprsents par des tourbillons en forme de nuds. Kelvin appelait cela des vortex-atoms . Dans sa thorie, cest prcisment le type de nud qui devait dterminer les proprits physico-chimiques de latome quil reprsentait. Il fallait donc pour comprendre la matire, commencer par comprendre et connatre les diffrents nuds possibles. En rsum comprendre la matire revenait classer les nuds. Ce travail de classification sera entrepris de faon totalement empirique par le physicien cossais Tait. Il y sacrifiera dailleurs sa vie. Mais on lui doit la premire classification des nuds jusqu 10 croisements (voir table ci-dessous).

    Chose surprenante, presque incroyable, Tait na commiaticiens ne sen sont aperus quun sicle plus tard.

    Q Comme dans nimporte quelle d Un invariant est une quantit qui peut-tre un nombre entier, un nompsubir au nud une dformation continue sans dchirure.

    Grosso modo, on peut dire que les invariants servea

    ffirmer que deux nuds ne sont pas quivalents (cest--dire que lon ne peut pas dformer lun pour lui donner laspect de lautre) quand lvaluation de linvariant sur ces deux nuds ne donne pas le mme rsultat. Par contre, si les deux nuds ont le mme

  • invariant, alors on ne peut rien conclure. Il faut soit changer dinvariant, soir russir dmontrer directement quil sagit des mmes nuds. Tous les invariants calculables connus ce jour sont incomplets, cest--dire quil

    Lexemple le plus simple dinvariant et celui qui saute aux yeux en premier est le mbre

    e groupe dun nud.

    Je vais maintenant dcrire une mthode moderne plus complique mais beaucoup plus

    En 1895, Henri Poincar compris que lon pouvait tudier le problme gomtrique

    Sans entrer dans le dtail, on peut dire que le groupe dun nud permet de dcrire

    Illustrons tout ceci par un exemple. Le groupe du nud trivial peut sidentifier

    rms et orients qui partent dun point de base (le point

    existe des nuds effectivement diffrents ayant le mme invariant. Le problme des nuds est loin dtre encore entirement rsolu. no de croisements du nud. Enfin, pas tout fait le nombre de croisements, mais le nombre minimal de croisements de toutes les configurations diffrentes du nud. Cest cet invariant que Tait a utilis pour laborer sa table (voir ci-dessus) mais il est trs difficilement calculable. L efficace qui fournit une description presque complte des nuds et qui permet de fabriquer de nombreux invariants. Cette mthode sappelle la thorie des reprsentations. Cest sur cette mthode que porte mes travaux de recherche et en particulier ma thse. Pour lexpliquer, jai besoin dintroduire la notion de groupe dun nud. pos par les nuds par le biais de lAlgbre en associant un nud un objet algbrique appel le groupe du nud. Cette mthode est un vrai tour de force puisquelle permet de passer de ltude dun objet gomtrique celle de quantits algbriques sur lesquelles le mathmaticiens va sappuyer pour faire des calculs algbriques. Jajoute que beaucoup de problmes en Topologie ne peuvent pas trouver de solution satisfaisante sans lutilisation de cet objet. toutes les manires de se dplacer dans lespace autour du nud sans jamais couper ce dernier. Jusqu prsent je nai parl que de la ficelle, et je dois apporter un petit bmol cela. En fait le spcialiste nest pas rellement intress par la ficelle en elle mme, ce qui lintresse cest ce que lon appelle lextrieur du nud, cest--dire tout lespace autour du nud. Cest ce point qui est le plus dlicat comprendre et qui pourtant est essentiel. Pour vous convaincre, je vais utiliser limage suivante. Supposons que vous soyez assez petit(e) pour tre funambule sur notre ficelle noue. Prenez un point de dpart et puis marchez dans la mme direction sans vous retourner le long de la ficelle noue. Au bout dun certain temps, vous vous retrouverez votre point de dpart et de votre point de vue ce trajet le long de la ficelle noue aura t pour vous le mme que si vous aviez suivi la circonfrence dun cercle. lensemble des entiers relatifs ( -3, -2, -1, 0, 1, 2, ) de la faon suivante.

    Le nud trivial est la circonfrence dun cercle. On examine tous les chemins feen noir su la figure ci-contre) traversent lespace sans couper le nud puis reviennent au point de base. Llment caractristique de ces chemins est le nombre de tours quils font autour du nud (ce

  • nombre de tours est compt avec le sens de rotation de ces chemins, cest--dire sils enlacent le nud en tournant dans le sens des aiguilles dune montre ou dans le sens inverse). Il est bien vident quen gnral, le groupe dun nud est loin dtre aussi simple que celui du nud trivial. On sait dailleurs que le nud trivial est le seul nud dont le groupe est gal lensemble des nombres entiers relatifs. Les reprsentations.

    Ltude directe du groupe dun nud est en gnrale trs dlicate. Les mathmaticiens

    Lespace SU(2) apparat de faon naturelle dans beaucoup dapplications physiques et otamm

    Une reprsentation du groupe dun nud est une correspondance entre le groupe

    Reprenons lexemple du nud de trfle. On connat une description analytique explicit

    notamment A. Casson et W. Thruston dans les annes 1980 ont invent une mthode permettant de contourner cette difficult en examinant ce que je peux appeler des ralisations concrtes du groupe dun nud dans un espace dont la gomtrie est mieux connue comme par exemple le groupe de Lie SU(2). Ceci permet de mieux apprcier la structure globale du groupe dun nud et mme si cest ncessaire de faire des calculs algbriques assists par ordinateur. n ent en thorie des particules lmentaires. Gomtriquement parlant, SU(2) nest rien dautre que la sphre dans un espace quatre dimensions. et lespace SU(2) qui vrifie certaines contraintes mathmatiques naturelles. Pour beaucoup de nuds, on est capable de dterminer explicitement lespace des reprsentations. Une telle description permet de tirer de nombreuses informations sur le nud et peut tre loccasion deffectuer des calculs algbriques (qui peuvent tre assists par ordinateur).

    e de lespace des reprsentations du groupe du nud de trfle. Une schmatisation de cet espace est donne sur la figure suivante :

    L

    a figure ci-dessus nest quune schmatisation de lespace des reprsentations dans SU(2) et

    Espace des reprsentations dans SU(2).

    ne dcrit en aucune manire la gomtrie de cet espace (cest--dire la distance entre deux points etc) mais comme Poincar disait la gomtrie est lart de raisonner juste sur des figures fausses .

  • Une application : ltude topologique de la molcule dADN.

    thorie des nuds sont nombreuses. Je me limiterai seulement

    En mathmatiques. On connat depuis plus d'un si n ( tirements lastiques prs) des

    En biologie molculaire : la structure de lADN. uis la dcouverte de

    Crick e

    a molcule d'ADN possde une surprenante proprit : le

    Dautre part, les biologistes ont observ des molcules d'ADN noues et ont constat

    Les applications de laen dcrire deux, qui me semblent particulirement significatives.

    cle une classificatiosurfaces, c'est--dire des espaces deux dimensions. Par contre une telle classification est inconnue pour les espaces ayant trois dimensions. La thorie des nuds permet de dcrire d'une certaine faon tous les espaces trois dimensions aussi compliqus qu'ils puissent tre (littralement les nuds permettent de dmonter les espaces trois dimensions). On peut ainsi dire que la thorie des nuds est une cl pour comprendre les espaces trois dimensions.

    Il est maintenant bien connu - dep

    surenroulement. De quoi

    t Watson (1953) - que la molcule d'ADN se prsente sous la forme d'une longue double hlice. Mais il est peut tre moins connu qu'outre l'ADN deux brins extrmits libres on rencontre aussi des molcules deux brins ferms et aussi des molcules un seul brin qui peut tre aussi bien ferm qu' extrmits libres. Les molcules brins ferms forment donc des nuds. La figure ci-contre est une molcule dADN noue observe au microscope lctronique. Ls'agit-il ? Le surenroulement de l'ADN est l'analogue de ce qui

    arrive au fil en forme de spirale de l'couteur de votre tlphone. Lorsque l'utilisateur repose l'couteur sur son botier il imprime au fil connecteur une torsion supplmentaire (appele twist). Le fil va ainsi s'emmler de plus en plus pour finir par devenir une pelote informe et compacte. Pour l'ADN le phnomne de surenroulement produit le mme effet et transforme la longue double hlice (qui peut parfois atteindre jusqu plusieurs dizaines de centimtres) en une minuscule pelote compacte. que la nature topologique de la molcule dADN, cest--dire le type de nud form par la molcule, influe sur son fonctionnement dans les cellules en conditionnant certaines de ses proprits chimiques. Les virus attaquent les cellules pour en changer les longues molcules dADN en les nouant de diffrentes faons. En effet, par le biais denzymes appeles les topoisamrases, les virus coupent et recollent diffremment les brins de la molcule dADN de telle sorte quelles prennent la forme dun nud qui peut tre trs complexe. Il savre que le type de nud obtenu est en quelque sorte la carte de visite du virus. Pour lutter efficacement contre les virus, il est impratif de reconnatre leur signature par leur action sur lADN. Par consquent pour identifier les diffrents virus il faut pouvoir reconnatre les diffrents type de nud et cest en cela que la thorie des nuds peut aider le biologiste.

  • En guise de conclusion.

    Il y a encore trente ou quarante ans, la thorie des nuds tait considres comme une branch

    e tout fait marginale des mathmatiques. Mais aujourdhui cette discipline lorigine totalement thorique constitue un carrefour entre plusieurs sciences : les mathmatiques videmment o les nuds ont trouv une place centrale en topologie, mais aussi la physique et plus tonnant la biologie. Et toutes ces disciplines se nourrissent mutuellement de leurs dcouvertes respectives.

    La Thorie Mathmatique des Nuds