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EL MUNDO A TRAVÉS DE LOS NÚMEROSLa reflexión sobre la lengua y la comunicación

en el aprendizaje de lenguas

Colección Educación • Serie Materiales

Director:Joaquim Prats

Coordinador:Fidel molina

LILIANA CARBÓ - VICENT GRÀCIA (coords.)xucurruc, grupo de trabajo de educación infantil

mrp escuela de verano marina-safor

EL MUNDO A TRAVÉS DE LOS NÚMEROS

La reflexión sobre la lengua y la comunicación en el aprendizaje de lenguas

Premio Batec, 2001a la investigación e innovación educativas

L L E I D A, 2 0 0 9

Editorial

MILENIO

© de los textos y fotos: Vicent Gràcia y Liliana Carbó, 2001 Xucurruc, Grup de treball d’educació infantil MRP Escola d’Estiu Maria-Safor xucurruc.eems@fmrppv.org© de esta edición: Editorial Milenio, 2009 Sant Salvador, 8 - 25005 Lleida www.edmilenio.com editorial@edmilenio.comDiseño de la cubierta: Mercè TrepatPrimera edición digital (pdf): noviembre 2009Esta edición corresponde a los contenidos de la tercera edición (reimpresión) en formato papel, de junio de 2009ISBN: 978-84-9743-310-5

Made in Spain

Título de la edición original en catalán:Mirant el món a través dels números© Pagès Editors, S. L., 2003

Decía el profesor:“Vivir es elegir entre verdad

y cultura”.No decidir en la elección

es vivir también.Lo sabes porque lo has visto.

Y reconoces aquello que desconocestanto como aquello que conoces.

raimon. D’aquest viure insistent Trad. cast. de los autores.

Mantén siempre a Ítaca en tu mente.Llegar allí es tu destino.

Pero no tengas la menor prisa en tu viaje.Es mejor que dure muchos años

y que viejo al fin arribes a la isla,rico por todas las ganancias de tu viaje,

sin esperar que Ítaca te va a ofrecer riquezas.

KavaFis. Ítaca. Trad. cast. de Ramón Irigoyen

Yo estoy si también quieres tú estarsólo para hacer el camino juntos,

por el gozo de seguir esas pisadasque de tan lejos nos han traído.

Por el placer de un mañana que entusiasmepara que nos encontremos a gusto

rehaciendo el arte de vivirpoder convivir

el sueño de un mundo más justo.

lluís llach. Germanies 2007. Trad. cast. de Josep Carles Llop

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A nuestros maestros Rosa Sanchis y Carlos Gallego, que nos han enseñado los caminos de la vida y cuán largo es el viaje a Ítaca. Gracias.

Y a nuestro alumnado, con los que aprendemos cada día cómo hacer mejor la escuela pública.

Nosotros estamos, si vosotros queréis estar.

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Índice

Prólogo a la edición en castellano .................................................................... 13Introducción ......................................................................................................... 15

Primera Parte

PARA EMPEZAR A ENTENDERNOS

1. Sensaciones y sentimientos alrededor de las matemáticas ..................... 23 2. El sistema de numeración ......................................................................... 31 2.1. Evolución histórica de la numeración ............................................... 31 2.2. Características de nuestro sistema de numeración ........................... 34 2.3. Los números en el contexto social ................................................... 36 2.4. Los conocimientos infantiles sobre el número y la numeración .... 39 2.5. Conclusiones ........................................................................................ 48 3. El currículo matemático ............................................................................. 49 3.1. El currículo en el marco legislativo español ................................... 49 3.2. Una propuesta matemática curricular tradicionalista en infantil ..... 52 3.3. Una propuesta curricular alternativa ................................................. 60 4. El planteamiento didáctico para el aprendizaje del sistema numérico .. 63 4.1. Los números significativos y funcionales ......................................... 64 4.2. El número en el contexto organizador del aula .............................. 71 4.3. Conclusiones ........................................................................................ 83 5. La evaluación .............................................................................................. 85 5.1. Tipos de evaluaciones ........................................................................ 88 5.2. Pruebas de evaluación concretas ....................................................... 90 5.3. Plantillas de registro ........................................................................... 94

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segunda Parte

PARA EMPEZAR A PRACTICAR

Introducción: las experiencias de aula .............................................................. 99 6. Organización de la clase............................................................................ 103 6.1. Introducción ......................................................................................... 103 6.2. Organicemos el espacio de la clase .................................................. 105 6.3. La llegada del alumnado .................................................................... 108 6.4. Las actividades organizativas ............................................................. 109 6.5. Otras actividades matemáticas ........................................................... 122 6.6. La hora del patio ................................................................................ 130 6.7. Conclusiones ........................................................................................ 132 7. La numeración como un elemento de nuestro entorno .......................... 133 7.1. Características del ambiente y del espacio de aprendizaje ............. 134 7.2. Cómo empezamos a trabajar ............................................................. 135 7.3. Las diferentes experiencias ................................................................ 137 7.4. Conclusiones ........................................................................................ 161 8. Cómo utilizamos los juegos para construir ideas sobre la numeración 163 8.1. La numeración en los juegos de mesa ............................................. 165 8.2. Los juegos de puntería ....................................................................... 172 8.3. Otros juegos que realizamos .............................................................. 176 8.4. Conclusiones ........................................................................................ 181 9. Cómo utilizamos los números para crear significados: la estadística ... 183 9.1. Dinámica metodológica seguida ........................................................ 184 9.2. Experiencias desarrolladas .................................................................. 185 9.3. Niveles evolutivos observados ........................................................... 199 9.4. Conclusiones ........................................................................................ 202 10. A manera de epílogo, o cómo continuar investigando ........................... 205

Bibliografía .......................................................................................................... 207

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Al traducir la obra al castellano nos hemos encontrado con una situación le-gislativa diferente por la aprobación de la LOCE (Ley de la Calidad Educativa, 2002). Este cambio legislativo ha hecho conveniente una revisión de la primera edición de la obra, editada originariamente en catalán (Mirant el món a través dels números. Pagès Editors, 2001).

El capítulo 3, dedicado al análisis del currículum infantil de matemáticas, estaba basado exclusivamente en las legislaciones anteriores, Los Programas Renovados (1981) y la LOGSE (1992). Pensamos que era necesario incluir la nueva legisla-ción y confrontarla con una práctica matemática tradicional y con las normativas anteriores, para poder analizar cuál es el enfoque de la LOCE y establecer qué propuesta pedagógica hace en educación infantil con respecto a las matemáticas.

A partir de la traducción hemos corregido también algunas descripciones que podían ser más exactas o claras y las referencias bibliográficas de la primera edi-ción, que han sido para el caso ampliadas y revisadas; también hemos revisado la distribución del contenido, evitando algunas repeticiones innecesarias. En definitiva, hemos intentado mejorar el producto inicial.

Prólogo a la edición en castellano

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Introducción

El Grupo de Trabajo Xucurruc empezó a funcionar en el curso 1991-1992 como un seminario permanente de l’Escola d’Estiu Marina-Safor (escuela de verano que se realiza en las comarcas centrales del País Valenciano), uniendo su tarea a la de los Movimientos de Renovación Pedagógica. Actualmente está formado por maestros y maestras de escuelas públicas de educación infantil que trabajan en las comarcas de La Safor y La Vall d’Albaida (Valencia).

En nuestra andadura, hemos pasado por diversas etapas con intereses diferentes, pero siempre unidas a la renovación y a la innovación pedagógica, especialmente tras la implantación de los postulados constructivistas en nuestras aulas.

En nuestra evolución profesional, de la copia de modelos pedagógicos que en-contrábamos interesantes hemos llegado a la reflexión de por qué hacemos lo que hacemos, cuestionándonos nuestra práctica diaria para, finalmente, ser productores de nuevas experiencias que compartimos con otros compañeros y compañeras en cursos y en seminarios.

Como profesionales de la enseñanza, en el grupo Xucurruc habíamos ido perfi-lando durante todo este tiempo la idea de qué queríamos que fuera para nosotros la educación infantil. Así pues, hemos descartado de nuestras aulas los trabajos prefabricados de las editoriales, hemos dado un nuevo enfoque a la lectura y a la escritura (en la línea que siguen las investigaciones de Ana Teberosky1 y Emilia Ferreiro2) y hemos definido unos esquemas de organización y de funcionamiento de las clases basados en los aspectos cotidianos y organizativos del aula.

Nos hemos iniciado, conjuntamente con nuestro alumnado, en el trabajo por proyectos (siguiendo las directrices de Fernando Hernández y el Grupo Minerva).3

1. A. teberosKy, Psicopedagogía de la lengua escrita, Barcelona, Institut Municipal d’Educació, 1987.2. E. Ferreiro, El proceso de alfabetización, México, Bibliotecas Universitarias, 1986.3. F. hernández y M. ventura, La organización del currículum por proyectos de trabajo, Barcelona, MIE

(Graó/ICE- UB), 1993.

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Este enfoque lo entendemos como una forma de organizar el ambiente de apren-dizaje implicando siempre al alumnado: todo aquello que se realiza es susceptible de una reflexión y de un intercambio de opiniones entre todas y todos para orga-nizar aquello que deseamos aprender. De este modo, cualquier contenido curricular puede convertirse en un proyecto: confeccionar el horario, organizar un rincón de juego, escribir el nombre, hacer una investigación sobre algún animal, estudiar los números... El requisito imprescindible es partir de sus intereses y favorecer de este modo que aquello que vayamos a hacer esté lleno de significado para los niños y las niñas. A partir de aquí planteamos las situaciones problemáticas que tendremos que resolver. Dependiendo del enfoque que se les dé, estaremos haciendo un tra-bajo por proyectos o un centro de interés. En nuestro grupo nos decantamos por la primera opción por ser la que tanto los estudios como nuestra experiencia, nos han demostrado que es más efectiva para la adquisición de los aprendizajes por parte de nuestro alumnado.

Además, hemos ido compartiendo nuestros miedos e inseguridades, y poco a poco nos hemos hecho conscientes de que equivocarnos también nos ha ayuda-do a progresar. Necesitábamos, del mismo modo que los niños y las niñas que tenemos a nuestro cargo, poder aprender cada día, observando y escuchando a nuestro alumnado, y así ir modificando nuestra forma de entender cómo funciona la enseñanza y el aprendizaje.

A pesar de que la matemática estaba presente en todo aquello que hacíamos en el aula y más concretamente en los hábitos y las rutinas diarias,4 intuíamos que alguna cosa más podíamos hacer. Esto mismo lo habíamos comentado en bastantes ocasiones y no dejábamos de observar que aspectos como la numeración parecían más complicados de comprender por nuestro alumnado que la lectura y la escritura. Finalizaban la etapa de infantil con mayor motivación en lectura y en escritura que en la nume-ración. Teníamos la necesidad de ir más allá de lo que hasta el momento habíamos hecho, pero no sabíamos cómo.

Partiendo de esta situación, contactamos con Carlos Gallego,5 en el mes de junio de 1997, en unas jornadas organizadas por la Escola d’Estiu Marina-Safor. Allí nos dejó entrever una nueva forma de entender las matemáticas, en la que los sentimientos y las emociones de las personas eran el motor del aprendizaje. Nos hacía ilusión abrir un nuevo campo de estudio, no explorado por nosotros hasta ese momento.

4. En el capítulo 6 hacemos una extensa reseña sobre cómo organizamos nuestras clases y qué sentido tienen para nosotros los hábitos y las rutinas. También podéis consultar el trabajo: gruP de treball Xucurruc, Hàbits a l’escola, Oliva, Escola d’Estiu Marina-Safor, 1996.

5. Carlos Gallego Lázaro es miembro del grupo EPISCIS y profesor de la Facultat de Psicologia i Ciències de l’Educació Blanquerna (Universitat Ramon Llull-Barcelona).

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Los objetivos que pretendíamos eran bastante dispares y en aquellos momentos iniciales no los teníamos aún demasiado claros. Las ideas fueron concretándose sobre la marcha:• Queríamos saber cómo se construyen los aprendizajes matemáticos en sus dife-

rentes vertientes: la geometría, la numeración, las clasificaciones, las represen-taciones del espacio...

• Deseábamos abrir nuestra mente: fuimos descubriendo que había matemáticas en lugares donde nunca nos habíamos percatado.

• Necesitábamos entender cómo iban evolucionando los niños y las niñas: observa-mos de qué modo construían diferentes estrategias en su aprendizaje y empezamos a comprender cómo interpretar las producciones infantiles que teníamos delante.En este caso el término de “matemáticas” lo empleamos para referirnos a todas

aquellas situaciones de la vida cotidiana en las que los niños y las niñas tienen necesidad de extraer y dotar de significado a las cantidades, a los números, a la numeración, a la forma y al espacio. En síntesis, cuando hablamos de matemáticas pensamos en todas aquellas actividades lógicas que realizan las personas, en los hechos y espacios sociales donde se utilizan los números, qué visión tienen de ellos, cómo los utilizan los más pequeños, cómo se configura la idea de la geometría y del espacio a partir de la realidad que les rodea.

Y después de tres años de reflexiones y de recopilar experiencias sobre la construcción de los aprendizajes del lenguaje matemático, el grupo de trabajo Xucurruc de educación infantil, ha decidido recopilarlas por escrito con la idea de compartirlas con otros docentes.

El trabajo está estructurado en dos partes. En la primera se hace una reflexión más teórica de la realidad matemática y cómo se debería enfocar para que fuera realmente significativa y funcional, que provocara sentimientos y emociones a nuestro alumnado y a nosotros, y qué propuestas didácticas concretas hacemos para trabajar las matemáticas en el contexto organizador del aula. En la segunda parte hemos recogido diversas experiencias concretas realizadas por nosotros en los tres niveles de educación infantil: partiendo de la realidad del grupo clase, del aula y de su organización, la necesidad social y cultural del número, los juegos como un elemento de construcción numérica y la estadística como una herramienta que sirve para explicar diversos fenómenos de nuestro entorno. En estas experiencias os contaremos qué cosas nos han funcionado y cuáles no.

Nuestro objetivo es mostrar al profesorado con inquietudes como las nuestras, cómo construyen los aprendizajes matemáticos el alumnado de esta etapa educativa, partiendo de diferentes premisas:• Las características psicológicas de las personas de estas edades, cómo entienden

y perciben la realidad.

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• Cuáles pueden ser las necesidades y los intereses de nuestro alumnado.• Cuál es la utilidad de los aprendizajes matemáticos que van elaborando: el

número como un elemento funcional.• Cómo la integración de todos los aspectos anteriores pasa a formar parte de la

vida emocional y personal, de tal forma que el número pueda convertirse en un elemento significativo.

• Cuál es el enfoque didáctico que hemos de tener en nuestra práctica diaria, para conseguir todo este catálogo de intenciones.En la actualidad constatamos como a lo largo de estos años hemos modificado

nuestra idea sobre las matemáticas y los sistemas de comunicación:• La matemática comparte con la lingüística el hecho de utilizar un sistema de

signos y de símbolos con una intención comunicativa.• El entorno en el cual se desarrolla una sociedad constituye un marco concreto

donde los saberes tienen un significado diferente al que han adquirido en otras culturas y en otros momentos históricos. La matemática, del mismo modo que la lengua, es captada como un elemento cultural y antropológico vivo, en constante evolución.

• Los textos lingüísticos implican una ordenación de contenidos conceptuales, como un reflejo de hechos y fenómenos de la realidad. Del mismo modo que hemos trabajado en educación infantil varias tipologías textuales de carácter lingüístico, también nos hemos percatado de la existencia de diferentes tipolo-gías numéricas, en las cuales la numeración es utilizada dentro de textos con significados diversos.Para nosotros no ha sido una tarea sencilla. Es duro partir de una hoja en blan-

co porque nuestro oficio no es el de escribir, pero pensamos que el esfuerzo ha sido fructífero porque nos ha impulsado a reflexionar, a buscar un soporte teórico de lo que hacemos, a ser conscientes del trabajo que realizamos y a abrirnos hacia otras vías de actuación. Si además, partiendo de nuestras experiencias, otros compañeros y compañeras idean nuevas situaciones de aprendizaje adecuadas a su alumnado, nos podremos sentir muy satisfechos de poder hacer una pequeña aportación hacia la renovación pedagógica y a la mejora de la escuela pública.

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Relación de las experiencias de aula y del profesorado que las han llevado a la práctica, a partir de las cuales se ha elaborado este trabajo:

El arenal, un lugar de aprendizaje ................. (1.o, 2.0 y 3.er curso de educación infantil) Marieta Estruch García CP La murtera. Ador-Palma. La Safor Vicenta Puig Frasquet CP La murtera. Ador-Palma. La Safor Pilar Hernández Vidal CP La murtera. Ador-Palma. La Safor

Los juegos de construcción ............................. (1.er curso de educación infantil) Empar Escrivà Peiró CP Migdia. Barx. La Safor Vicent Gràcia Pellicer CP Verge dels Desemparats. Oliva. La Safor

La psicomotricidad en la sala ......................... (1.er curso de educación infantil) Lucía Peiró Gorrita CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor Ana C. García Moreno CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor

El libro de los juegos ...................................... (1.o, 2.0 y 3.er curso de educación infantil) M.ª Isabel Alfaro Balaguer CP Verge de la Font. Vilallonga. La Safor M.ª Emília Barber Martínez CP Sant Jaume. Almoines. La Safor

Los juegos de mesa ......................................... (2.0 y 3.er curso de educación infantil) Roser Egea Martínez CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor M.ª Vicenta Salort Mayans CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor M.ª Isabel Manclús Egea CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor Francisca Borja Pellicer CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor Salvador Faus Signes CP Joanot Martorell. Xeraco. La Safor Consuelo Moscardó Roselló CP Dr. Borrás. Alfarrasí. La Vall d’Albaida

La estadística en la educación infantil .......... (2.0 y 3.er curso de educación infantil) M.ª Isabel Prats Benavent CP Dr. Esplugues. Montaverner. La Vall d’Albaida Liliana Carbó Martí CP Sant Jaume. Almoines. La Safor Mercè Malonda Grau CP Verge dels Desemparats. Oliva. La Safor Rosa M.ª Ortiz Cots CP Verge dels Desemparats. Oliva. La Safor Vicent Gràcia Pellicer CP Verge dels Desemparats. Oliva. La Safor

Un proyecto de números ................................. (2.0 curso de educación infantil) Liliana Carbó Martí CP Sant Jaume. Almoines. La Safor

El libro del número ......................................... (3.er curso de educación infantil) Marieta Estruch Garcia CP La murtera. Ador-Palma. La Safor Pascual Gadea Frasquet CP José Pedrós. Piles. La Safor

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Primera Parte

Para empezar a entendernos

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Todo comenzó el año 1997, cuando vino... no. Comenzó mucho antes. Comenzó cuando decidimos dejar el camino de las certezas y tomamos el camino de las dudas. Esto pasó hace ya muchos años, y de estas dudas entre otras cosas nació el grupo de trabajo Xucurruc (1991). Es que dudar juntos es mucho más entretenido.

Comenzamos a dudar de la forma en que enseñábamos a leer y a escribir a los niños y a las niñas, y cayeron una montaña de fichas, de métodos, de cartillas... Comenzamos a dudar de cómo enseñábamos a descubrir el entorno, y cayeron otro montón de materiales que ya teníamos preparados y dejamos de sumar ranas y de restar caracoles, y nos cayó también la globalización de las asignaturas y el que todo estuviera interrelacionado. En todo caso, es una tarea de los niños y de las niñas relacionar las cosas que se quieran relacionar, nosotros tenemos otros trabajos. Dudamos de nuestras matemáticas, de cómo nos las habían enseñado y volvimos a replantearnos muchas cosas que pensábamos que ya teníamos consolidadas y que no se tenían que tocar más. Y dudamos. Siempre.

El camino de las dudas puede abrirnos a nuevos entresijos. O como dice Loris Malaguzzi, “trabajar con niños es tener que hacer las cuentas con pocas certezas y muchas incertidumbres”.1

El día en que empezamos a dudar, con seriedad, de las matemáticas, lo hicimos bajo la guía de Carlos Gallego, en junio de 1997.2 En este caso, nosotros os propone-mos que hagáis un ejercicio antes de seguir leyendo este libro: pensad un momento, qué son para vosotros y vosotras las matemáticas, qué recuerdos tenéis de vuestra época estudiantil. Para centrar más el tema y no desvirtuar la cuestión, os proponemos la siguiente pregunta: ¿qué significado tiene para vosotros la lógica matemática?

1.Sensaciones y sentimientos alrededor de las matemáticas

1. Referencia aparecida en el curso “Creatividad y lenguaje visual”. Xavier Jiménez. Escola d’Estiu Marina-Safor. Oliva, julio de 2003.

2. Las ideas expuestas a continuación sobre la lógica matemática están entresacadas de las jornadas teóricas impartidas por Carlos Gallego Lázaro, desarrolladas dentro del proyecto de formación en centros titulado: “El coneixement lògic i matemàtic en l’educació infantil i primària” que tuvieron lugar en Almoines los dias 19 y 20 de septiembre de 1997.

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Si ya lo habéis pensado, continuamos.Nosotros, como grupo, cuando tuvimos que reflexionar sobre este mismo tema,

después de conversar, de lanzar ideas, mayoritariamente coincidimos, y suponemos que tú también lo habrás hecho, en pensar que la lógica matemática es una cosa impersonal, muy general, con ideas válidas para todos, unas ideas que surgen por deducción y que implican verdades, razonamientos ajustados... en fin, como la misma palabra, lleva implícita, una cosa objetiva, lógica. Conjuntamente con este bagaje también surgieron amargos recuerdos de quienes aún odiaban las matemáticas desde su época escolar.

Después de haber explicado todo esto, cuando iniciábamos nuestro asesoramiento nos percatamos de que ninguna de estas ideas era así, estábamos muy poco acer-tados y la tarea que iniciamos entonces nos ha llevado a tener unas concepciones totalmente diferentes de las que teníamos cuando empezamos. A continuación, exponemos brevemente las modificaciones que se produjeron en nosotros y que han dado lugar a este trabajo que hoy os mostramos. Estos nuevos planteamientos teóricos son los respon-sables de los trabajos que hemos podido llevar a término en nuestras aulas, donde la matemática es contemplada desde un enfoque mucho más entusiasta y cercano a la realidad de nuestro alumnado:• La lógica matemática no tiene nada de impersonal, contrariamente es muy per-

sonal y en su desarrollo tienen un papel muy destacado las sensaciones y los sentimientos propios de cada uno.

• De cuestiones generales, válidas para todos, nada de nada, más bien entran en juego los valores particulares personales.

• Con respecto a la deducción de las ideas, tampoco, lo que realmente hace falta es partir de los criterios que se utilizan para elegir qué hacer.

• Delante de verdades, los razonamientos, lo que realmente tenemos que hacer es basarnos en las creencias personales de cada niño y de cada niña.

• Finalmente, la idea inicial que creíamos que estaba más clara, la objetividad, la lógica, también cayeron ante la perspectiva de saber elegir un determinado camino.

De dónde partimos Dónde queremos llegar

Impersonal SentimientosGeneral ValoresDeduccióndeideas CriteriosutilizadosparaelegirquéhacerVerdades,razonamientos Creencias,ideaspersonalesSerlógicos,serobjetivos Saberelegiruncamino

Hay razonamiento lógico-matemático cuando podemos elegir cómo hacer, cómo usar las cosas de acuerdo con nuestras creencias. Por eso, necesitamos construirnos

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un sistema de valores propio (nuestras ideas o creencias) en el cual la emoción, los sentimientos, la valoración, el interés tienen un papel fundamental. Es muy importante que el alumnado pueda elegir y que se puedan cumplir sus expectativas. Lo importante es comprender para aprender a utilizar, no el captar los valores impersonales.

Para llegar al cambio que os acabamos de proponer tenemos que desplazarnos conceptualmente desde la idea de “enseñar matemáticas” a la idea de “educación matemática”. El planteamiento que a continuación esbozamos está más ampliamente desarrollado en la obra de Bishop Enculturación matemática.3 Para él, la educación matemática es, esencialmente, “una manera de conocer” (1999, p. 20).

Según este autor “educar matemáticamente a las personas es mucho más que enseñarles simplemente algo las matemáticas (...). Requiere una conciencia funda-mental de los valores subyacentes en las matemáticas y un reconocimiento de la complejidad de enseñar este valor a los niños. No basta con enseñarles matemáticas: también debemos educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas” (p. 20), y como ya hemos señalado antes, sin dejar de lado los sentimientos, las emociones y las ideas, partes fundamentales de este saber.

No podemos saber bien cuál es la idea de cada lector ante el planteamiento que os hemos hecho, pero por nuestra propia experiencia pensamos que es un reto que tenemos que asumir. Acabamos de definir los puntos de partida y nos gusta-ría que con este escrito empezárais a andar, con dudas, con incertezas, pero por caminos muy interesantes y muy enriquecedores. Como un viaje a Ítaca. Lo que sí que tenemos claro es que lo peor que el profesorado puede hacer es quedarse paralizado ante el miedo y la inseguridad de no hacer bien las cosas. Como nos dijo en unas jornadas Fernando Hernández,4 “a los maestros que pierdan el deseo de aprender les pasará como a los dinosaurios: se extinguirán”. Las equivocacio-nes son muy buenas maestras, a partir de ellas y de las reflexiones que suscitan podemos aprender más que de los éxitos.

Actualmente, en la escuela hay grandes carencias de nivel, tanto en el profesorado como en los libros de texto. Hemos hecho un breve análisis desde tres puntos de vista: desde el currículum, des de la forma de enseñar y el valor del libro de texto.

Respecto al currículum, Bishop establece que “El cálculo aritmético es la prin-cipal base del currículum matemático, en el cual las cuatro reglas (+, -, x, :) se van desarrollando gradualmente hasta llegar a números cada vez más complejos,

3. A. J. bishoP (1991), Enculturación matemática. Barcelona, Paidós, 1999.4. F. hernández, ponencia dentro de las II Jornadas Repensar l’educació des dels projectes de treball. Oliva:

XVI Escola d’Estiu Marina-Safor, julio de 2000. Las conclusiones de estas jornadas están publicadas por l’Escola d’Estiu Marina-Safor, Oliva, 2001.

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(...) en el álgebra se desarrollan técnicas para resolver ecuaciones cada vez más difíciles, (...) la geometría se desarrolla como un área donde se pueden aplicar las técnicas aritméticas” (p. 24); y por si alguien no tenía aún suficiente, podemos pasar al análisis matemático con sus ecuaciones diferenciales e integrales. En definitiva, se trata de un currículum con muchas cosas “para hacer. Nunca como materia de reflexión” (p. 24). Siempre alejado de los valores, los sentimientos y las emociones, rechazando las creencias personales.

Se trata, en esencia, de un currículum en el cual al final el usuario habrá de dominar una buena “caja de herramientas”, un conjunto de técnicas cada vez más complejas. Precisamente, estas “técnicas son las que hacen perfectamente y con gran rapidez las calculadoras y los ordenadores”. Por tanto, lo que necesitamos en la actualidad es “una mayor comprensión y una conciencia crítica de cómo utilizar estas técnicas, por qué funcionan y cómo se han desarrollado” (p. 25).

Esto no sólo requiere pensar mucho más, sino también un pensamiento muy diferente, es decir, se hace necesario enfocar el currículum de otra forma. “La idea de persona como un solucionador de problemas”, con una “caja de herramientas” que busca problemas para resolver “es un mito. Pero un mito muy poderoso: domina la enseñanza de las matemáticas en la actualidad, lo ha hecho durante mucho tiempo y probablemente continuará haciéndolo, a pesar de que intentamos desacreditarlo” (p. 25).

“Un currículum orientado al desarrollo de técnicas no puede educar. Sólo instruye y adiestra, siempre que se tenga éxito. Además, si fracasa a la hora de instruir y adiestrar, entonces no hace nada positivo para el niño” (p. 26). Expresándolo de otra forma: no es cierto que como el currículum con el que estoy trabajando tiene muchas matemáticas, el alumnado aprenderá mucho. Es un currículum de “arriba abajo”, el cual se supone que es óptimo para enseñar matemáticas. Pero es un currículum que persigue la finalidad de producir matemáticos, podría perfectamente cubrir las necesidades de un experto en matemáticas, pero no las de las personas que no se han planteado esta meta, lo cual provoca muchas deserciones por el camino. Cuántos de nosotros hemos escuchado o hemos dicho: “yo no entiendo las matemáticas, no me gustan, probablemente soy poco inteligente”. Por lo tanto no es educativo.

Respecto a la forma de enseñar, “la labor del alumnado se concibe como si fuera independiente de su persona, de sus valores. Lo que se considera importante es que el alumnado aprenda matemáticas, no que se esfuerce en obtener significados personales a través de la educación matemática. (...) Las matemáticas son un objeto impersonal que se ha de transmitir mediante una comunicación unidireccional”. (Bishop, p. 26, 27). Los significados y los puntos de vista personales del enseñante, sus valores, creencias y sentimientos, son irrelevantes y sólo molestan, mientras se presupone que todo el alumnado ha de aprender exactamente lo mismo a la misma

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edad; existen no como sujeto, sino como “un alumno generalizado” al que en muy pocas ocasiones se le permite ser persona y expresar sus sentimientos y sus inter-pretaciones propias. Cuántos de nosotros no hemos sufrido (y continuamos viendo sufrir niños y niñas conocidos) cierto profesorado de matemáticas que condiciona un aprobado a resolver las operaciones o los problemas tal y como los han ense-ñado, porque si no, está mal (sólo hay una forma correcta de resolverlos, la suya).

Sin duda, el aprendizaje impersonal es, en esencia, “antieducativo”: mata la creatividad y la confianza de las personas en sus propias posibilidades de pensar, crea inseguridad e incide de forma negativa en la autoestima. Es decir, no es cierto que como los conocimientos matemáticos son un conocimiento deshumanizado, la educación matemática también lo ha de ser. Se hace imprescindible que la educación matemática reconozca la humanidad y los intereses del alumnado, sus intuiciones y sus pensamientos.

Respecto al valor de los libros de texto, en la mayoría de lugares los libros de texto son el centro de la tarea docente. Martínez Bonafé (2002) ha realizado un estudio sobre los textos españoles y su implantación en el contexto educativo, como un potente “dispositivo que pone en relación el poder con el saber” (p. 16), “un dispositivo privilegiado de las políticas de control, una forma unívoca de hablar desde el anonimato, creado específicamente para la escuela” (p. 25). Con respecto a las matemáticas, Bishop establece cómo “muchas clases de matemáticas en todo el mundo son testimonio de la subordinación de la enseñanza y de los docentes en los libros de texto y de hecho, son muy pocos los enseñantes que rechazan los textos. Pero, ¿de quién son estos libros? ¿Quién los escribe? ¿Para quién y para qué? ¿Conocen sus autores a los alumnos que los usarán o a los maestros que se basarán en ellos para enseñar? ¿Aceptarán los autores ser los responsables de los niños que no aprendan?” (p. 28) Los libros controlan todo el proceso: los contenidos, a nosotros mismos, al alumnado, lo que debemos evaluar... Este control nos impide que podamos tener en cuenta las diferencias que hay entre nuestros alumnos y poderlos ayudar de forma eficaz.

Bishop defiende la idea de sistemas que no “estén basados en el libro de texto y formar al profesorado para que no dependa de ellos. Habría que dejar que los enseñantes controlaran los materiales y no al contrario, y demostrar que la res-ponsabilidad de la enseñanza es del profesorado y no del texto (...). Lo que el enseñante necesita no es un texto, sino experiencias y recursos que contribuyan al desarrollo de sus alumnos y sus alumnas. Lo que de verdad necesita el alumnado no es un texto, sino un entorno de aprendizaje apasionante y cálido, comprensivo e intelectualmente estimulante” (p. 29). Ninguna de las partes del proceso necesita de textos. Pero los libros son tan dominantes que, como apunta Martínez Bonafé, “ningún agente social los cuestiona” (p. 37) y sus propuestas se centran en solicitar

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su gratuidad, pero no de valorar su calidad o la conveniencia de hacer de ellos el centro de la tarea docente. Por todo esto, nosotros pensamos que no es cierto que, como los libros de texto están escritos por expertos, tienen que ser buenos. “Los redactores de estos textos suelen presuponer con mucha arrogancia que su nivel de competencia es superior al del profesorado (y por supuesto al del alumnado). Esto coloca necesariamente al docente en una posición subordinada y, en última instancia, desestima sus aptitudes y su profesionalidad” (Bishop, p. 30).

Tampoco pensamos que la tarea del docente sea enseñar matemáticas, sino enseñar a personas, con lo cual los libros de texto tampoco sirven. El libro se orienta a un alumnado “generalizado” que no es real. “Las matemáticas que se enseñan se presentan como si estuviesen libres de valores. Como están deshumani-zadas, despersonalizadas y descontextualizadas (¡por supuesto!) se cree conveniente eliminar todas las referencias a los valores y a otros aspectos relacionados con la cultura, con el fin de que, supuestamente, las matemáticas conserven su pureza” (p. 31). Con los libros, el enseñante pasa a ser un simple “mecanismo de impartir contenidos”.

Y después de todo lo expuesto nos planteamos cómo podemos organizar una educación matemática sin caer en todas las trampas del currículum, de la manera de enseñar o de los libros de texto.

Después de leer a Vigotsky, deberíamos tener claro, deberíamos reconocer que la educación es esencialmente un proceso social y que consecuentemente, una educación matemática debería tener en su núcleo esta idea social. Otros estudios y publicaciones, como los de Lizarzaburu y Zapata Soto5 (2001), también hacen hincapié en el carácter social del aprendizaje matemático y la necesidad de tener en cuenta las diversas culturas locales. Esto parece una afirmación casi sin importancia, pero la naturaleza social, humana y esencialmente interpersonal de la educación acostumbra a ignorarse por la prisa en adquirir las técnicas matemáticas y por el deseo de conseguir una educación matemática eficiente.

Nosotros proponemos dar la vuelta a este planteamiento, tan extendido por las clases, para buscar la dimensión humana de la escuela y, bajo la guía de Piaget, quenos ayudará a ver cómo se construyen los aprendizajes, siguiendo a Vigotsky que nos está interrelacionando y nos ayuda a progresar, orientados por Ausubel, que nos in-dica cuál es el mejor tipo de actividad que podemos proponer a nuestro alumnado; construir una nueva escuela. Pero todo ello teniendo siempre presente los factores emocionales, determinantes en todas las edades, pero especialmente en los niños

5. A. lizarzaburu y G. zaPata (comps.), Pluralidad y aprendizaje de las matemáticas en América Latina. Experiencias y desafíos, Madrid, Morata, 2001. En esta obra se hace un estudio sobre diversas experiencias llevadas a cabo en culturas amerindias y cómo aproximarles desde su realidad plurilingüe a las matemáticas.

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y niñas más pequeños, porque las circunstancias familiares y sociales en las que viven (sus miedos o inseguridades, la sobreprotección, las carencias afectivas, el desarraigo de la emigración...) les llevan a estar tan centrados en ellos mismos que parece anularse su capacidad para percibir lo que les rodea y aprender. Nor-malmente, en estas edades los pequeños dan de sí todo lo que pueden. Con estas problemáticas familiares, por desgracia cada vez más frecuentes en nuestras aulas, sólo cuando una actividad les impacta fuertemente porque se relaciona con ellos y con las cosas que les importan, les hace ser conscientes de qué es aquello que está pasando en la clase e involucrarse. En el grupo de trabajo Xucurruc pensa-mos que se hace necesario llenar la escuela de profesionalidad, de eficacia, pero también de sensibilidad y de humanidad. Estamos en tiempo de cambios, tiempos difíciles para la enseñanza, y ahora es el momento de apostar por la renovación y por contextualizar la pedagogía con la realidad.

Necesitamos encontrar la manera de relacionar a los niños y a las niñas con su cultura matemática, por este motivo retomamos el principio de este capítulo: las sensaciones, los sentimientos, los valores de nuestro alumnado han de estar om-nipresentes en las clases de matemáticas. Con este trabajo intentaremos explicaros cómo lo hemos hecho nosotros. Cómo hemos llenado nuestras clases de sentimiento, de emoción, de deseo, de (con) la cultura de nuestro alumnado.

Y nuestra intención al escribir este libro es que os animéis a dudar. Una vez se empieza a dudar pasan muchas cosas y muy hermosas.

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2.1. Evolución histórica de la numeración

Después de haber llevado a cabo diversos tipos de experimentaciones numéricas en el aula necesitamos realizar una reflexión teórica sobre lo que ha representa-do y representa el sistema de numeración, así como los diferentes modelos que ha construido la humanidad a lo largo de la historia, con la finalidad de poder comprender los modelos en los cuales se basa nuestra cultura y entender los que va construyendo nuestro alumnado. “Las dificultades que los mismos matemáticos han experimentado son exactamente las que encontrarán los estudiantes” (Kline, El fracaso de las matemáticas modernas, 1998, p. 178).1 El objetivo es saber, para poder observar e interpretar las cosas que pasan en nuestras clases.

La numeración representa un sistema simbólico creado por los humanos ante la necesidad de registrar las cantidades de objetos concretos. Cuando hay muchos objetos, las cantidades no son percibidas directamente por el ojo y por este moti-vo se tuvo la necesidad de crear símbolos que las representaran. Cada cultura ha desarrollado un sistema diferente según las características y las necesidades de su entorno, por ello tanto “el acto de contar como las ideas numéricas son construc-ciones universales” (Bishop, p. 46).

Para poder llevar un registro del paso del tiempo o de sus pertinencias, nuestros antepasados prehistóricos idearon sistemas basados en la equivalencia y las relacio-nes biunívocas (por cada día o pieza cazada hacían una marca). Esta es una forma de llevar un control de las cantidades sin haber desarrollado un concepto abstracto del número: uno, dos, cuatro... son ejemplos de patrones de orden numérico que utilizaban con esta finalidad cuantitativa. Sólo cuando las dos alas de un animal se captaron como objetos individuales se empieza a construir una idea abstracta del número (Guedej, 1996, p. 20).2

2. El sistema de numeración

1. Esta acotación es citada por A. lizarzaburu y G. zaPata (comps.), Pluralidad y aprendizaje... p. 27.2. D. guedeJ, El imperio de las cifras y de los números, Barcelona, Ediciones B, 1996. Esta obra divulga-

tiva hace un repaso de los números y las numeraciones desde sus orígenes a la actualidad, incluyendo numerosas imágenes e ilustraciones sobre el tema.

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La gama de sistemas de contar y plasmar la numeración es enorme, atendiendo a las peculiaridades de cada cultura y varían según las características del entorno físico y social. De esta forma nos encontramos con diferentes tipos de regis- tros numéricos, los más antiguos, datados en el paleolítico, a partir de muescas en las maderas o en los huesos (hace unos 30.000 años), los incas lo hacían mediante nudos en las cuerdas (“el quipu”), otros utilizaban marcas quemadas o piedras (cálculos), señales en el barro, piezas, ábacos, signos en el papiro...

Pese a que desde nuestra óptica occidental pueda parecernos que la numeración de los primitivos es muy simple, “los hallazgos de huesos con cortes en el pa-leolítico superior tienen más la forma de textos numéricos que de simples cuentas y sugieren que estas culturas ya habían integrado la cantidad y su registro en actividades simbólicas complejas y significativas, las cuales pretendían capturar el significado profundo de las cosas” (Gallego Lázaro, 2000).3

Los antecesores de nuestra cultura europea fueron los elamitas y los sumerios, los cuales desarrollaron la representación numérica ante la necesidad de adminis-trar sus imperios. Cada número era representado por un objeto físico (una bola de barro, en este caso), pero esto comportaba una enorme acumulación poco práctica. Las tareas con grandes cantidades hicieron necesarios los agrupamientos. Por este motivo se pasó a representar un grupo de objetos por signos, estableciendo una jerarquía entre ellos. De aquí surgió la idea de base, concepto sobre el cual se sustentan todos los sistemas de numeración.4

Tampoco las bases son iguales en todos los lugares. Algunas sociedades han utilizado sistemas en base 20, ya que su medio les condiciona a utilizar poca ropa y pueden utilizar conjuntamente los dedos de las manos y de los pies para contar; otras, siguiendo las falanges de los dedos, han desarrollado sistemas en base 12, del cual quedan aún vestigios en nuestro entorno en aquellos productos que se adquie-ren por docenas (huevos, ostras, platos, vasos o pinzas para tender) o los sistemas sexagesimales utilizados en la medida del tiempo (horas, minutos, segundos).

Por todo ello las matemáticas, y en concreto los números, son un producto cultural. Se trata de una actividad firmemente relacionada con las necesidades del entorno y está sujeta a presiones y a variaciones sociales y, aunque se usen de formas distintas, “donde se conocen las técnicas numéricas, (...) éstas llegan a convertirse en un logro cultural indispensable” (Grump, 1990, p. 20).

3. Citado en la revista Aloma, 5 (revista del grupo EPISCIS): 113, 137.4. G. iFrah, Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid, Alianza Editorial, 1987. Nos hemos basado

en este estudio para establecer las reflexiones teóricas sobre la historia de la numeración. Haremos referencia a él en otros momentos.

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El primer sistema en base 10 fue utilizado por los sumerios y los egipcios, los cuales idearon una colección de trazos para representar los números del 1 hasta el 1.000. Este sistema implicaba que cada cifra tenía un valor absoluto, indiferente-mente del lugar en el cual pusiéramos el símbolo. Se trata de un sistema aditivo y el orden en el cual se coloca cada signo es indiferente: hay que hacer una suma de todos los signos para saber la cantidad total (Guedej, 1996, p. 42). En otras culturas, como la cretense y la azteca, sin ningún tipo de contacto, también se desarrollaron numeraciones aditivas. “Simplemente estaban en unas condiciones iniciales rigurosamente idénticas” (Ifrah, 1987).5

Los romanos continuaron con un sistema aditivo pero lo complicaron añadien-do a las potencias de 10 otros signos intermedios (V como 5, L como el 50, D como el 500). Esta numeración ha perdurado en nuestra cultura para representar determinados números de tipo más especializado (representaciones del mes, siglos, los capítulos de un libro...). G. Ifrah hace la siguiente reflexión sobre la numera-ción romana: “en vez de simplificar el sistema, estas diferentes convenciones lo complicaron considerablemente” (p. 195). Su afirmación se justifica por el hecho de que el sistema ideado por los romanos sólo servía para representar números y no para la realización de operaciones aritméticas, las cuales tenían que realizarse mediante tablas de contar (semejantes a los ábacos).

La numeración tiene diversas funciones entre las cuales está la de representar las cantidades y la de calcular. Actualmente nuestro sistema numérico las recoge simultáneamente las dos, pero durante mucho tiempo perduró en occidente esta dualidad: el cálculo (con los ábacos), por un lado, y la representación de las can-tidades, por otro.

Nosotros hemos heredado un sistema numérico creado en la India hacia el siglo vi. Este sistema es muy potente, como se verá después, gracias a la invención del cero, pieza clave, y al factor posicional de las cifras. Posteriormente, los árabes se encargaron de difundir y transmitir a las otras culturas la numeración hindú. Su expansión fue lenta y no exenta de desconfianza en las sociedades cristianas. También los sistemas económicos gremiales vigentes hasta la Revolución Francesa pusieron impedimentos para su difusión, pues los calculadores no querían perder su posición, pero actualmente ha pasado a ser un sistema de representación numérica que es utilizado en todo el mundo.

5. Para más información se puede consultar la obra de Ifrah, concretamente en la página 170 hay ejemplos de los símbolos utilizados en estas numeraciones aditivas, en las distintas culturas citadas.

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2.2. Características de nuestro sistema de numeración

El hecho de contar es la base sobre la cual hemos construido los sistemas nu-mérico y aritmético. Nuestra numeración en base 10 está determinada por razones biológicas: la naturaleza nos ha dotado de 10 dedos. Contar con los dedos nos ha permitido superar las limitaciones de nuestro sentido natural. Probablemente contar haya sido el motor por el cual nuestra civilización ha desarrollado un con-cepto abstracto del número que ha hecho posible la aritmética. “La mano ha sido la primera herramienta utilizada como calculadora en la historia, persistiendo su utilidad en la actualidad, pese a todos los avances técnicos” (Corbalan, 1995, p. 20). De hecho, incluso en el lenguaje perdura el término de “dígitos” para referirse a las cifras. En el siglo Xiii aún se publicaban en algunas universidades europeas estudios sobre el cálculo digital, en los cuales se describía la forma de utilizar la mano para realizar cálculos complejos. También han quedado vestigios de este tipo en la China: en el siglo Xvi los calculadores crearon un sistema digital con el cual podían llegar hasta los mil millones (Guedej, 1996, p. 19).

Aparte de otras utilidades, el número tiene básicamente dos funciones: numerar, de esta forma establecemos el cardinal de un conjunto, y ordenar las magnitudes, con lo cual comparamos dos conjuntos previamente numerados. Las dos formas pueden realizarse con los dedos, con lo cual es fácil pasar sin complicaciones de una cuenta cardinal a otra ordinal.

Desde una metodología tradicional, con la finalidad de impulsar el cálculo mental, el profesorado ha puesto limitaciones al uso de los dedos para contar; y los niños y las niñas lo hacen a escondidas, con un cierto complejo de culpabilidad por no hacerlo mentalmente. Por el contrario, si dejamos que usen los dedos libremente, en la medida en que van evolucionando y pasan a modelos mentales más complejos, se ha observado que dejan de utilizar espontáneamente estas estrategias cuando ya no las necesitan (Kamii, 1994).6

Nuestro sistema numérico es totalmente posicional: jugamos con diez signos o cifras (del 0 al 9), cuyas combinaciones nos permiten realizar registros de cantidades y operaciones con números grandes, con mucho menores dificultades de las que tenían egipcios y romanos. La invención del cero a cargo de los hindúes y su pos-terior divulgación por los matemáticos árabes, como una cifra más de este sistema de posición, fue la pieza fundamental para hacer viable este potente sistema.

6. En su obra El niño reinventa la aritmética (Madrid, Aprendizaje Visor, 1993) hay numerosos ejemplos, sobre todo en los capítulos en los que coparticipa DeClark. En ellos se observa la necesidad infantil de “picotear” o tocar cada punto de un dado o una carta, incluso después de haber constatado previamente que ya se conoce el resultado.