THESE PRÉSENTÉE A LA

FACULTÉ DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE STRASBOURG

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES PHYSIQUES

PAR

Théophib F. HAMMANN

SUJET. _ Forces réalistes non locales,et leur importance pour la connaissance des propriétés microscopiquesdclamaoére nucléaire et des noyaux.

Soutenue le juillet 1970 devant la commission d'examen.

G MONSONEGO Président

P.CHEVAIXIER Examinateurs H.BEAUMEVIELLE. }

4-

ruxvn des âcmras de I'WOTOSITB a* STRASBOURG

Boyon : Professeur J.H. VllUM

Borons Honoraires : A. m U t t l i l , P. U C M U n , B.J . MAK9Q0KUX, G. MEUAT

Professeurs Honoraires : P. SB BUOCBAMP, L. BOISSHIT, H. CARTA», G. CBBF,

c. CBABAWÎ, A. CBPJTXM, j . n , a», BOOBUM, ». PMCBCT, Mie s. GHHI, A. HBB, H. BOCART, A. K U B M S W , G. UMBt, P. Z'BHBITm, A. U C — W I C Z , H.J. MMOaqinUI, L. MOI., Ch. S A M » , F. TB«ODa, H. TIUAT, R. «KISS, te. wtrr, j . ÏTOM v

Maître de Cyrférançes Honoraire : H. VOL.

Chisde générale Physique du Globe Astronomie Zoologie et Knbryologie expérimentale Physiçochisde du Pétrole Physique générale «t Physique nucléaire Mécanique des Fluides Chimie Physique Chimie nucléaire Minéralogie et Pétrographie Biologie générale Physicochimie macromoléculaire Physique générale et Physique corpusculaire Géologie et Paléontologie Physique du Globe Minéralogie Chisde minérale Botanique Physique générale Physiologie générale Chimie biologique nectrockUde Chisde Physique nucléaire Physique générale Mathématiques Physique Physique Chisde Chisde physique Physique Physique du Globe Microbiologie

Professeurs :

H. ponsrm T. J . KfflB T. P. lACROOTE T. J.H. rifOK r. A. MaTTJAKD T. S. GCMQBBTZKT T. L. SsOMAMB T. J . BIB T. Mie M. PBttT T. S. OOttSZTABB T. p. jour T. B. SUBIT T. P. COR T. G. MULOT T. >. IMXÊAlXt T.T.P. H. SABCIBR T.T.P. B. BOHOBl T. Mie A. GAOX0B9 T.T.P. S. MIUTIMB T. F. S1U11BBU T. B. BOK*Z T.T.P. J . BRBHBT T. G. ttHOSBOM T.T.P. A. COCBC T.T.P. B. CSV T. J . FOMUL T.T.P. P . TAOUBG T. J . P . UMOUMP T.T.P. A. mmmam T.T.P. J .B. nxBBtr T.T.P. B. AwaBBigm T.T.P. A. BOCHE T.T.P. L. HBOB T.

* a • / • • • (2)

A. SIOOT P S.C. Zoologie A. FBCBS 1. Mécanique rat ionnel le A. GAUttUM T.T.P. Physique P. MtAUE T.T.P. Physiologic aniaale j , r . H T. Chiade biologique J . PAHHD T.T.P. Chiade *.mc T.T.P. Chiade M M 9 . MAOttC T.T.P. Physique M. BADMI P.S.C. Physique J .P . AUOtF T.T.P. Chimie nucléaire B. M K D T.T.P. Méthodes mathématiques de l a Physique «. BalOn. T. Physique expérimentale P. OBTAIUn T. Physique

j . ammun T.T.P. Mécanique de* Fluides P. CMT3W T. Mathématiques

c m s T. Topologie

j . wcam P.S.C. Physique Mac MtlKIM. T.T.P. Chimie H. BWAMTOX T.T.P. Botanique K. nass T.T.P. Chimie P. FBDKUUW T.T.P. Ciiiade J . IJB1AI ^ P.S.C. Physique J .P . SGMuMG P.S.C. Chiade M. sisaKns P.S.C. Physique G. MOKSOMGO T. Physique Théorique P. GABRIK. T.T.P. Mathématiques c. uppuot T. Physicochisde des Hauts Polymères iad P.A. MDBt T.T.P. Mathématiques 0. « U , P.S.C. Physique J.M. «LOCH T. Chiaie A. CUOSS P.S.C. Chiade « . FOUJDmH P.S.C. Zoologie J . I0CAS T.T.P. Géologie j . j . wamaut P.S.C. Bio log ie animale C. G L U » T. Mathekatdques J.H. VOL r .S .C. Chiade biologique B. POATA P.S.C. Mathéaatiques H. PANAX P.S.C. Physique X. 1—1QU* P.S.C. Mathématiques

r. wmm P.S.C. Physique

G. i m t P.S.C. Physique électronique T. AYAMSSIAK Aoalyi.^ sapérieure

T. uaaoTX T. Biologie végétale J . F . EBBHAKT F.S.C. Minéralogie M M » . CAGKÏAKT F.S.C. Chimie j . STREtTH F.S.C. Chimie J.M. unm F.S.C. Chiaie c i . BOBEAT F.S.C. Physique A. GHAIDIE F.S.C. Biologie animale F . BICKER F.S.C. Physique mathématique M. KAMDBI F.S.C. Mathématiques Â. MXGNQT F S.C. Mathématiques appliquées

Professeurs associés : A. BAMBERET (E.A.H.P.) - H . HAKEH (Physique)

Maîtres de Conférences et Charcés d'enseianemant :

MM VOTRE Chr Physique M. oamoi Botanique j . DBHAND Chimie minérale J . PRADINES Mathématiques R. GERARD Mathématiques J . BOW Botanique K. TOLTZ Physique théorique A. MXCHARD Géologie T . BOOIARCER Chimie biologique S . BACOMHA-CASneUX Mathématiques j . p . BRETACMUX Mathématiques J . j . HTML Chimie

Mathématiques Chimie Physique J . FAtKE Mathématiques Chimie Physique

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Maîtres Je Conférences associés ;

E. BASE (Mathématiques) - M. D06TAL (Mathématique») - M. HEOU** (Physique cerpmsculair») - J. VALSOH (Mathématique»).

Secrétaire aénéral de la Faculté ; M. M....

l i l l l D E S M A T I E R E S

Introduction . 1

CEAPITII I DEFmiTIOM DU POTENTIEL

1.1. Un potentiel «Sparable non local 11

1.2. Résolution de l'équation de Schrôdinger 16

1.3. Analyse en déphasage 18

1.4. Détermination des paramètres 22

1.5. Discussion des résultats 23

C1APITEE II LA MATIERE kTUCLEAIXE

II. 1. Propriétés générales 25

11.2. Calcul de l'énergie de liaison en théorie per-

turbativs 28

à.)- KppH.oxliMuU.on dt t'tipctct dt pkcut iphlKiqut tt b)~ Mltkodt dt* polynSmti dt Ltgtndxt ........ $0

11.3. Matrice de réaction 31

11.4. Energie de symétrie 33

11.5. Résultats numérises 34

CIAPITRE III LES VOYAUX SPHERIQUES

111.1. Introduction 38

111.2. La méthode Hartree-Fock 39 a . , . ' . ' • .

111.3. Calcul du 2 • ordre 40

111.4. Calcul de la matrice de réaction C dans les

noyaux ......;..... 43

111.5c Késultats et discussions 46

CHAPITRE IT FORCES MOU LOCALES IT TRANSITIONS DIPOLAIKES

DAKS LES NOYAUX LOURDS

IT.l. Giniralitis - Caè des forces conventionnelles .. 49

IT.2. Forces non locales ", 50

XT.3. RCsultats numtriques -Discussion 52

CHAPITRE Y FORCES «01 LOCALES ET SPECTROSCOPIE NUCLEAIRE

T.l. Les noyaux A»4 53

T.2. Lea isotope* de l'oxygène 56

T.3. Les noyaux de la rCgion A»50 58

a)- te icandium 5* b)- le calcium et It titane 6t ci- Conclusion* 6$

CHAPITRE TI OISCUSSIOH DU POTENTIEL

TI.l. Domaine de validitC du potentiel 66

TI.2. Importance des ondes niglig£es i 66

VI.3. Comportement a longue distance 67

TI.4. Importance de la non localitt 67

COKCLUSIOM 69

APPENDICES 72

Appendice A -Set* l'approximation de l 'espace de pfuut *pkHUqut 72

AppemUceB - Calcul de t'tntigit de ifmttuit . . . . . . . 75 TABLEAUX ET FIGURES 77 BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . ^ 118

/

IMTKOBUCTXOH

L'étude et la détermination, tant expérimentale que thé­

orique, de la nature de la force existant entre deux nucléons

isolés ou influencé» par la présence d'autre» nucléon», eat

l'un dea problèmes le» plu» fascinants et les plus fondamen­

taux de la Physique Contemporaine . Jusqu'à très recensent ,1a

connaissance de ce» forces nucléaires se limitait à la mesu­

re des sections efficaces de diffusion élastique et 3 l'énon­

cé' de quelques regies (impies de conservation et de symétrie.

On postulait en outre l'existence d'un potentiel nucléaire at

la prépondérance, dans un système de fermions, dea interac­

tions 3 deux corps . Ces postulats constituent encore là bas*

de la Physique Nucléaire actuelle *: on admet que dans le do­

maine des énergies non-relativistes de 0 3 400 MeV l'ef­

fet moyen de tous les phénomènes complexe» ayant lieu entre

deux nucléons, eat convenableaent traduit par un potentiel et

que lea interactions à trois corps sont négligeables .

Peu après la découverte expérimentale du neutron par Chad-

wick , Heiaenbarg, Wigner st Majorana proposeront le pre­

mier modèle de potentiels nucléaires .Ce type de potentiel

simplifié reste 1» plus utilisé dans les calculs de spectros­

copic nucléaire . Sa forme générale eat :

V<r)-V w(r) +V J J(r)P 0+V M(r)P H +V H(r)P MP a .

Les opérateurs P u et P„ , dits da Major ana «it de Bartlett

respectivement, échangent les coordonnées et les spine des

deux nucléons en interaction . Les paramètres du potentiel

sont choisis de façon phénoménologique en astreignant le po­

tentiel i reproduire certains résultats expérimentaux, choisi*

- 2 -

arbitrairement . Cas potentiels phénoménologiques, servant es­

sentiellement d'interaction effective dans le modèle an couches,

ont l'avantage d'etre slaplea 1 utiliser, de permettre da corri­

ger de manière phénoménologique: lea erreurs dues aux simplifica-

tioaa at aux approximations d.a modèle utilisé, et enfin de per-

aettre de.simuler l'effet moyen des teraes d'ordre supérieur né"

gligés daaa les dSveloppeaents perturbatifs • Ils ont cependant

plusieurs inconvenient» grave» :

d'abord, pour une même foraa de potentiel, les paramètres

changeât suivant qu'ils sont déterminés par des considérations

de saturation de la matière nucléaire, de diffusion nucléon'

nucléon, ou de spectroscopic des noyaux légers .

Ensuite, cas Mélanges des différentes forces d'échanges;

doivent être changés quand on passe d'un noyau 2 un autre, et

marne pour le aime noyau, ils n'expliquent habituellement qu'une

catégorie limitée de propriétés .

Par ailleurs, ces potentiels sont habituellement purement

centraux et doivent être complétés, dans les calculs spectros-

copiques, par de plus ou moins nombreuses valeurs numériques

(Expérimentales, telles que énergies individuelles, espacement

des niveaux . . . .

Enfin, 2 part le fait qu'ils respectent les lois de conserva­

tion, les potentiels phénoménologiques n'ont aucun fondement

théorique ou expérimental valable . Four ces raisons essentiel­

lement, Dirac et Texmi ont élaboré des théories simples de l'in-

; teraction nucléaire, inspirées notamment par les interactions

électt «ngnétiques . Yukawa V ' admit (1935) que, pendant leur

interaction, les nucléons échangeaient "des quanta , qui corres­

pondent sax photons des champs électromagnétiques, les "aésons".

De nombreuses études théoriques et expérimentales ont confirmé

.ce point de vue =:.!:° 7 •- -3 •• . : ' ; • - . . . . - . - • • •<; • . • ' . : .

ttap nucléons interagissant par l'échange de diverses sortes

de mésons scalaires, paeudo-scalaires où vectoriels . A une dis*

tance supérieure a deux fm , deux; nucléons interagissent par .

_ . — l!échange d'un meson H .Le couplage de ce méson avec le nu-

- 3 -

cléoa est bien connu et la contribution da cat «chance d'un

pioa (OPIC) peut donc <tr« calculée correctement . Malbeu-

reusemeatalla n'est valable que pour des momenta orbitaux

relatifs supérieurs >. 4 et les oades correspondantes sont

toujours négligées dans les calculs nucléaires, c'eat-I-di-

re que la présence du terne 0P1C a longue distance n'est

vraiment conséquente que si on utilise les ondes H, I, ...

Il semble cependant que ce tèrsaia favorise un bon comporte-*

aent hors de la.couche d'énergie . Les portées intermédîai-

res, de l'ordre de un fa , soat caractérisées par l'échan­

ge des pesons vectoriels p, M et v ou de deux, trois,

... X-méseae non corrélés . Plusieurs essais ont été faits

réceaaent pour en tenir compte dans la déterainatioa des

forces nucléaires, àais les auteurs, partant d'hypothèses

différentes aboutissent souvent a des résultats contradic­

toires et la situation deaenre confuse . " ' En fait, l'état

da la théorie des misons est tel qu'elle est, pour le aoaent

encore incapable de prédire la forne aêae approchée, des for­

cée nucléaires a moyenne portée . Les distancée relatives in­

férieures'! 0.5 fa sont caractérisées expérimentalement par

une forte répulsiea, maia du point de vue théorique on ignore

coaplitement ce qui s'y passe . " Tous les potentiels nu­

cléaires existants peuvent 2tre classés suivant leurs hypothè­

ses sur cette régies : les potentiels Hi coeur dur" admettent

uae répulsion infinie pour r"W).3 J 0.8 fa , les potentiels

1 "coeur mou" supposent qu*i la répulsion est forte mais finie,

locale en' aoa-locale, enfift, la plupart des potentiels effec­

tifs ignorent complètement le problème.-.

Les aeillaures forces aéseaiques ne- contiennent qu'une di­

zaine de paramétrée ajustables sur l'expérience, mais' elles

reproduiaent presque toujours beaucoup moins bien les courbes

de déphasage expérimentales peur les diverses ondes S, T et

D . ( > ) Le théoricien en Physique Bfecleéire préfère utiliser

«ae forcé contanent trois eu quatre fois plus de paramétres

ajuste* sur l'expérience, pourvu qu'elle reproduise fidèle­

ment les nombreuses données expérimentales du problème ît deux

corps . One telle force est dite réaliste .

Les premiers potentiels réalistes qui aient été détermi­

nés soat locaux , c'est-a-dire purement diagonaux dans l'es-

psee des configurations ou des impulsions

•erJwIr^-ffCrWr-r') .

Ils dependent éventuellement de la vitesse par un terme spin-

orbite . Des potentiels réalistes locaux, sont caractérisé*

par un coeur central fortement répulsif, nécessaire peur ren­

dre compte des donates expérimentales de la diffusion 1 hauts

énergie . Ainsi, par exemple, les potentiels de Hamada-Johas-

ton et Gamael-Tbaler * ont un coeur dur, infiniment ré­

pulsif, de 0.3 a 0.5 fm . Ils conduisent a des éléments

de matrice infinis et leur utilisation dans les calculs-des

propriétés, des systèmes nucléaires, exige le recours aux mé­

thodes de Irueckner-Bethe-Coldstone (BBG) **' .De nombreux

calculs numérique» ont également montré que les potentiels à

rCpulsion forte mais finie (coeur mou) st les potentiels du

type Creen qui sont des fonctions quadratiques de l'impulsion,

conduisent fi une divergence, ou une convergence trop lente, de

la série ùe perturbation habituelle; ' ils do-.vent donc aussi

être traités par la méthode BBG t l , J . Les potentiels 1 coeur

dur reproduisent habituellement mieux les données expérimenta­

les de la diffusion élastique, que les potentiels a coeur mou,

cependant,aime utilisas «*e 1» méthode BBG. ils ne saturent

généralement p>s dans la matlire nucléaire et donnent seulement

50Z de l'énergie de liaison expérimentale par particule "*' .

Four éviter ces méthodes et dans l'espoir de pouvoir utiliser

les techniques de perturbation usuelles, certains auteurs ont

suggéré de remplacer les potentiels a coeur répulsif par dés

potentiels non locaux, c'est-à-dire non diagonaux dans l'espace

des configurations ou des vitesses, ou par des potentiels dépen-

- 5 -

dant explicitement de l'impulsion . Ainsi, le potentiel de

Green, fonction quadratique de l'impulsion, reproduit assez

correctement les déphasages â hautes energies, mais il a été

montré que la convergence de la série de perturbation est

trop lente dans la matière nucléaire..infinie . En 1964,

Tabakin a proposé comme interaction nucléon-nucléon, une som­

me de potentiels séparables décrivant la diffusion libre de

deux nucléons jusqu'au-delà de 300 HeV ; ce potentiel

sature la matière nucléaire, dans un calcul du premier ordre,

à un moment de Fermi de 1.6 fm ' et pour une énergie moyen­

ne par particule de -8 MeV . Des calculs des propriétés de

la MH 1 3 ,, ont montré que les corrections du second or­dre étaient extrêmement importantes, c'est-à-dire que, si le

potentiel de Tabakin n'engendre pas les corrélations â courte

portée caractéristiques des interactions fortement singuliè­

res aux petites distances, il n'assure pas pour autant une

convergence rapide de la série de perturbation; en outre, il

ne peut pas rendre compte â la fois de l'énergie de liaison

par particule et de la densité de saturation de la matière nu­

cléaire :<£—16 HeV a k£-1.38 fm- 1) V

Ce qui est vrai pour la HN demeure habituellement vrai

pour les noyaux finis, 3 ceci près, que les calculs sont beau­

coup plus compliqués . . . • • '

Pendant longtemps, les seules interactions utilisées dans

les calculs des propriétés des noyaux, étaient les interac­

tions effectives . Elles ont permis de comprendre, essentielle­

ment dans le cadre du modèle en couches, un nombre considéra­

ble de propriétés nucléaires .Par exemple elles ont été très

utiles pour connaître la nature des spectres d'énergies (mou­

vements collectifs ou excitations d'un nombre limité de parti­

cules) , dés transitions électromagnétiques et des résonances

et réactions nucléaires . En dépit d'un succès réel, cette mé­

thode demeure très insatisfaisante, non seulement parce que

- 6 -

l'origine dec forces effectives est souvent des plus obs­

cures (il arrive que les paramètres soient déterminés de ma­

nière a donner précisément les résultats numériques qu'on

cherche â expliquer), mais encore parce qu'elles ne sont

plus valables en dehors du domaine précis dans lequel elles

ont été définies . En principe, l'interaction effective en­

tre deux nucléons d'un système nucléaire fini ou infini,peut

être déduite du potentiel d'interaction entre deux nucléons

libres; si ce dernier est réaliste et local la méthode BBG

doit être utilisée, et ceci pose de graves problêmes mathé­

matiques dans la MH et encore bien plus dans les noyaux fi­

ni* . Trois techniques, principalement, ont été proposées

pour le traitement du coeur dur :

le modèle de la condition aux limites a été proposé par

H. Feshbach et E. Lomon (1964) ( l l > . C'est un modèle semi-phénoménologique (une vingtaine de paramètres sont fixés

phCnoménologiquement) dans lequel l'interaction, dans tout

état à deux nucléons, est représentée par une condition à

la limite du coeur dur, de la dérivée logarithmique de la

fonction d'onde . Cette condition aux limites et le coeur

dur, sont indépendants de l'énergie . Joint â la méthode

BBG, ce modelé conduit 3 un pseudo-potentiel en général re­

lativement simple, et totalement indéterminé â l'intérieur

du coeur dur .

La méthode de séparation de Scott-Koszkovski ( t s consis­

te 2 éliminer la partie î courte portée du potentiel,la dis­tance de séparation étant choisie de manière phénoménologi­

que ou de manière a annuler le déphasage d'une diffusion li­

bre .

La transformation unitaire du potentiel réaliste en un

potentiel non-local équivalent permet éventuellement, suivant

le choix de la transformation unitaire U-e , (s hermitien)

d'obtenir un nouveau potentiel suffisamment régulier pour

qu'il soit utilisable en calcul* HF . Ainsi, on peut montrer

" q u e le transformé unitaire du potentiel réaliste de Gam-

ael-Christian-Thaler (1957) dans la transformation par­

ticulière t , , > :

S-IC^r)^ + |-T(r)]t

où F peut être une exponentielleï'éat suffisamment régu­

lier aux courtes distances, pour qu'un traitement BBG ne

soit plus nécessaire, la technique HF usuelle conduisant à

d'excellentes valeurs pour l'énergie de liaison, la densité 4 16 et lé spectre des energies individuelles dans He, 0,

2 8Si, 3 2 S et *°C. '. <»>

Hull et Shakin. ' (1965) obtiennent par une transfor­

mation similaire du même potentiel, des éléments de matrice

tr£s comparables a ceux que donne la matrice de réaction de

BBG . Enfin, récemment, il a Eté établi qu'il existe une

transformation canonique permettant de passer d'un potentiel

réaliste a la combinaison hermitique (G+G )/2 de la matri­

ce de réaction G de Brueckner **•' .

Ces diverses tentatives pour extraire une force effecti­

ve d'une force réaliste ont donné des résultats très inéga­

lement valables . Les approxiaations faites sont souvent su­

jettes a critique . Une analyse comparée des diverses techni­

ques et approxiaations utilisées dans le cadre du modeJe BBG,

a été faite par D.W. Wong l l ' qui arrive a la conclusion que,

ai aucun calcul numérique n'est vraiment satisfaisant pour le

aoaent, nous avons cependant de bonnes raisons de croire que

cela sera possible un jour . Le premier calcul important ef­

fectué dans cet esprit est celui de Dawaon-Talmi-Walecka 18 (1962) qui considèrent 0 comme étant formé, en première

approximation d'un coeur inerte ( 0) et de deux neutrons

dans la couche' (ls,0d) et qui déterminent le spectre 2 deux

particules à partir du potentiel .réaliste, à coeur dur, de

Gammel-Thaler l 7 . Ils retrouvent l'ordre des cinq premiers

niveaux connus . Cependant, plusieurs de leurs hypothèses sim-

- 8

plificatricea «ont injustifiées, en particulier, coaae l'ont

montr.£ Kuo at Brown (1966) den* tin calcul similaire avec

le potentiel réaliste de Raaada-Johnaton \ » le coeur 0

n'eat pa* vraiment inerte mais interagit avec le* neutrons

en dehors de la couche pleine, via les excitations particule-

trou (configuration 3 particules- 1 trou) . Mais même si

on tient compte de la polarisation du coeur, le spectre thé­

orique reste tris loin du spectre expérimental, en particulier,

le premier niveau (0 ) est de 1.5 HeV plus haut rue le ni­

veau expérimental, ce qui est Énorme si on se rappelle que les

cinq {.ramiers niveaux II"+1 sont tous situés entre 0 et

-4 MeV .

La situation actuelle du problème peut être résumée et sché­

matise^ de la façon suivante : pour rendre utilisable un po­

tentiel réaliste, S forte singularité â l'origine, on lui fait

subir une transformation ponctuelle unitaire qui le transforme

en potentiel non singulier, de répulsion variable â courtes

distances, suivant la nature de la transformation . ta matrice

de réaction BBG n'est qu'un cas particulier de transformé uni­

taire 2* . En fait, tous les potentiels réalistes et même

tous les potentiels satisfaisant â l'ensemble des données ex­

périmentales de la diffusion de nucléons libres, peuvent être

considérés comme des transformes unitaires les uns des autres,

au moins en premiere approximation • La question qui se pose

alors est la suivante : est-il possible de trouver, sous forme

analytique simple, un potentiel régulier effectif, qui soit le

transformé unitaire d'un potential réaliste singulier ? Les

approximations longues et compliquées «souhait, que nous avons

brièvement décrites plus haut, et, dont la validité reste a prou­

ver, seraient parfaitement inutiles si on pouvait obtenir di­

rectement un potentiel 1 la fois suffisamment réaliste pour ren­

dre compte des données expérimentales de la diffusion nucléon-

nucléon et suffisamment régulier et effectif pour, Stre utilisé

dans des calculs HF dans les systèmes de plusieurs nucléons .

•• 9 -

loua avons vu plus haut qua les potentiels locaux at eaux

du typa Crean *ont incapable* da satisfaire 1 ces exigences.

Il testa donc les potentiels non locaux W(r,r'> . Seuls, à

ce jour, des. potentiels qui sont de plus «(parable*, c'est-

â-dire de la forme W(r,r*)»v(r)v(r') , ont Été envisages,

le preaier par Taaaguchi l ï I'(I954), le plus Elaboré et so­

phistique et aussi la plus utilise, par ï. Tabakin. > î î .

Mous avons déjà signalé ses insuffisances dans la Mil . D'a­

bondants calculs effectués par A. K. Karaan et M. et S. Ba-

ranger ***-**' o n t aontré que lea aSaes lacunes se aanifes­

tant dans les noyaux finis : énergie* de liaisons insuffi­

santes au preaier ordre et trop grande contribution du se­

cond ordre .Las énergies potentielles de liaison du second

ordre obtenues pour 0 et Ca représentent respecti­

vement 64.2 X et 66 X de l'énergie de liaison totale

calculée ''"') et 54.2 X et 84.3 X de l'énergie de liai-

apn expérimentale . Les énergies des états 2 deux ou plu­

sieurs particules ***•' ne supportent aucune comparaison â-

vec les spectres expérimentaux . D'autres auteurs, et F. Ta­

bakin lui-rîm* **•'', on tenté de nouveaux essais •

Vous proposons, dans ce travail, un nouveau potentiel se­

parable, non local, de forme analytique simple, reproduisant

correctement les courbes de déphasage expérimentales dan*

toutes les onde* S, P et D de 0 â 400 M»V , et. pré­

disant correctement les propriétés de saturation de la MM au

preaier ordre . Les longueurs de diffusion et les portées ef­

fectives sont également correcte* dans les états singulet et

triplet . Le potentiel est ensuite testé dans lea noyaux sphé-

riques oit il prédit correctement les principales propriétés

de saturation et de spectroscopic .

Âpres une définition générale du potentiel utilisé (Chap.I)

nous présentons une application a la MM (Chap. II) et un calcul

HF dans 0 et Ca (Chap. Ill). L'importance de la non lo

10

caliti at son influence sur les transitions dipolàires *-

lectriques est exposédans la Chapitra IV . Plusieurs Ctu-

des spectroscopiquet aontrent la similitude de comportèrent

de notre potentiel avec l'opérateur de réaction G déduit

d'un potentiel 1 coeur dur (Chap. V) . Nous concluons par

une analyse détaillée du potentiel â la luaiëre de ces ré­

sultats (Chap. VI) .

CHAUT*! 1

DEJIMITIOtf DP yOTIMTIIL MODELE

Cn potentiel d'interaction non-relativiste et indépen­dant de charge , entra deu;: nucléons 1 et 2 de posi-tions at d'impulsions r,, p. at r„, P, respectivement, eat soumis aux condition» suivante*

il est invariant par translation, donc une fonction spa­tiale de la coordonnée relative r»r.-r, uniquement .

Il est invariant dans une transformation galiléenne,donc indépendant de l'impulsion totale P,+P, et fonction de

• ' + 1 + : • l'iapulaion relative ""T^Pi",^' * Il est symétrique par rapport 1 l'échange-des deux nu­

cléons et invariant par rotation dana l'espace total, e'cet-â-dire que le moment cinétique total Î-Î+? est conservé pendant l'interaction . Un potentiel nucléon-nucléon est in­variant par rapport au renversement du temps, donc hermiti-q u a • ; ! ' • • • . :

Un potentiel nucléaire reproduit en outre les valeurs nu­mérique* éxpériaentales do la diffusion de nucléons libres . Mous verrons cependant que ces conditions sont insuffisantes pour déterminer de façon unique le potentiel nucléaire .

I.I.- On potential separable et non local.

Un potentiel dépendant dés Vitesses n'est en fait qu'un cas particulier de potentiel non local. '*' . Nous choisis­sons donc un potentiel non local H(r,r') , défini par l'in-Cëgrele •.

- 12 -

Cette équation implique que la fonction d'onde <Kr) en un

point r da l'espacé né.dépend pas seulement du potentiel

en ce point, aais aussi, via le noyau W(r,r') , de tout

autre point de l'espace; et l'énergie E d'une particule

en r ne dCpend pas seulement de la valeur de la fonction

d'onde en r , mais de la valeur que prend cette fonction

d'onde en chaque point de l'espace :

- |̂ - V2*(r)+/«(r,r')*(r')î3r'-E*(r) . (1.2)

Des effets de non localité apparaissent, par exesple, si on

tient compte de la dimension non nulle des nucléons, dans

les calculs d'interaction, si on inclut des corrections re­

lativist** ou si on traite correctement des effets retardés

ou de recul de la source dans les théories mésoniques. L'u­

tilisation d'un potentiel non local est grandement simpli­

fiée si les variables relatives r et r' se séparent

•.•<r.» ,)-» l-<$)» 1(r,> .

On tel potentiel est dit separable .

Il est bien connu par ailleurs que pour un état de diffusion

(l,S,J,M) la partie angulaire :

|i,S;JH>- ï . <tmtSm |JM>|im,>|Sm > (1.3)

V. se factorisa avec la partie radiale <r|v> .

Mous désignons par i,S, et J le moment orbital, le spin

total et le moment cinétique total des deux nucléons dan* le

système de leur centre de massa . Le potentiel d'interaction

le plus générai commute avec J et s et, dans l'bypo-

thtse dé l'indépendance de charge, avec le spin isotopigue

total t :,' .

Tout potentiel peut s'écrire sous la forme tris générale an

représentation {r}-{0 }{i,} : °

- 13 -

<r|w|r»>-S- t V.-g- t I *iii.«»T

< t l v i A S J T > < v i i » S J T l r , > < 0 r l t ' S ; J M > < t , ' 8 s J M l n r , > P T ( 1 ' 4 )

-E W.t,(r,r') it» l %

P T est le projecteur sur l'itat de spin isotopique T .

La principe da Fauli, joint a dee considerations de

conservation de parité, imposa :

La somme de potentiels «(parable* (i-l,2) a ite choisie

pour permettre dans certaines ondes, d'avoir simultanément

una attraction a longue distança.. (B,<0) et une répulsion

a courte distance (B_>0) . •

Las fonctions radiales viisj * o n t d* t i f tias par ;

dans l'espace des configurations, ou d'une façon équivalen­te par : -..

^Usit*" 1^'*USJT<*>i*<W>* 2«r

( k +* iiSJT> •

dans l'espace des impulsions . (1.5b)

Les paramètres « H J J T ^ ^ J . . ' ••" U s inversée das portée»

«Y fotalatial et les paramètres * i % M 3 T sont làa intensi­

té» dm potentiel, dans les,états (tSJT) . Si Iff ils

caractérisent de la mtme manière la force tenseur couplant

les ondes t-J+1 et i'-JT-l .., Kappeloas que les premiers

État» permis a 2 particules sont, avec la notation

, : . ' • *

14 -

fj i-o S-l

\ v\ t-p

% \

h >.,.>«,

.'• V - ;•

T-l 'S; 5 ' 3

Laa iatemsitts at laa portées du potentiel dana cea t-tata paraia, doivent ttra dCterainCee a partir das reaul-

tata expâriaemtaux sur la diffusion do nucléons libraa,'

c'est-a-dire lea dtphssaces 5t(k) at les couplages tj(k>.

Bona aoaa préposons dome, am resolvant 1'equation do gchrS-

diager (1.2) dé calculer cos dernières quant it it s am fonc­

tion des paraaultraa «£»«jT .•* ^Ui'SJT *fc • n»» i t« *• dtteraimer mmaeriqaeaent ces pairaaetres d« façoa 1 repro-

dmire am aiamx las comrbss expCriàentalee'dee déphasages at

iaa comptages .Ceci'mous assura urn coaporteaent correct

das aaplitadaa da diffusion sur la couch* d'Énergie reconsi­

dérons en effet une ondade diffusion, solution de (1.2) ,

quiait ma cemperteaemt aayaptotique correct

"A * • •'•-'it f" * * .--A.:* *(?)-•*"r*HÎ,î')S—— (l.«)

alora l'aaplitmde de dlffusiom satisfait 1'equation de Lip-

paaaa-teawiager

:(«.{•)-»-({,{•)• KS »<M?*!l *<1.*'? 4* k*-qz*ie

(1.7)

- 15 -

os !•.y °' mais t «t î peuvent ïtre arbitraire* .

Bans c« caa t(î,î') «at 1'amplitude de diffusion hors de

la conch* d'énergie . Elle décrit l«s can d* diffusion iné-

laatique o& l'énergie n'est pas conservée at, «ous In nom

de matrice de rfact ion de Brmeckmer, lea (tats stationnai-

raa (*"0) dsas nn milieu aacUiirt où la somme d«» iner­

tia* du dénominateur «at modifiée par In présence d'autres

particule* ou troua . Il est (vident que nous ne pouvons

pas déduire ces amplitudes-de diffusion & partir du dépha­

sage experimental, l'inergie étant toujours conservée dans

un* collision de deux nucléons libres

k 2-k' 2-^ . (1.8)

La fonction t(k,k*) pour laquelle la reaction (1.8) eat

satisfait*, est dit* amplitude de diffusion sur la couche

d'énergie .Tous les potentiels réalistes, ont donc un com­

portement correct et tris similaire sur la couche d'énergie

mais peuvent donner des matrices de diffusion (e>0) ou de

reaction (e-0) tris différentes si elles sont calculées

hors de la couché d'énergie .

En tant que fonction de l'énergie E , l'amplitude hors

d* la couche d'énergie a une coupure sur l'axe E réel £0

(voir équation (1.7)) . la discontinuité sur cette coupure

est donné* par la relation d'unitarité hore de la couche

d'énergie, qui s'écrit, pour les oncles partielles couplées

t et 1' (pour les ondas non couplées, il suffit de poser

1 - 1 » ) • • « • . . • • • .

I. t i i t(k,k').-»^E Bt W H(k,k o)^(k 0.k') .

Dana la région E réel <0 nous pouvons avoir évaatuelle-

meat des pSles, chacun d'eux correspondant 1 un état lié des

d'eux particules; les fonctions ȣggjj(*> ȥ comportent corn-

- 16 -

• —JL—2 •a k at k quand k tand vara 0 et l'infini n i -

pectiveaent, an accord avac laa propriitts analytiques pr<-

dita* par la théorie relativists .

I.2.- Msolutioa da 1'equation da Schrôding*?.

DCcoaaocons la fonction d'onda stationnaira da diffusion,

solution da l'fquation da Schrodinger (1.2) an ondas par­

tielles oft la parti* radiala at la partie angulaire sa fac­

torisent ;

• ulSJT { r > . MT +M n_(*>" Z T <O rl^;JM>X T • (1.9)

H*"ï i,S,J,T r r * .

X_ est la fonction das' variables de l'isospin .

boit 21- ^ 1'énergie cinitique de la particule inciden­

te dans le cystine dn laboratoire . En portant (1.9) dans

l'tqaatioa de Scarodinger (1.2) et en utilisant la forae

générale d'un potentiel separable (1.4) , noua obtenons

pour chaque onde partielle (l,S,J,T) 1'equation radiale

2 (i-y - iii^H •k2)u1(r)-IBiJlr v.Jl(r)-FJl(r) . (1.10)

L'Ctat de spin et d'isospin et le nonsent cinftique total t-tant conservas 'wi une diffusion, les indices correspondants

S,T et J »r des constantes et seront omis par la suite <

•oas avons déliai

'uml*m>hi> ci.ii)

ou les constantes 1,,, sont les intégrales, encora inconnues

*i*'"/ô' v i t ' i t } "t' < r ) r d r (1.12)

et oft la sommation sur t' est liaitie par la condition tri-

- 17 -.

angulaire :

|J-S|$*'$|J+S| . (1.13)

La solution de l'équation radiale (1.10) qui est réguliè­

re à l'origine :

ut(0)-0 (1.14)

est la combinaison linéaire suivante des fonctions sphêri-

ques de Bessel j,(kr) et de von Neumann n,(kr) :

•ut(r)-xt('k)r J'jtCkr)*/" G^(r,r,)FJl(r')dr' (1.15)

où la fonction de Green G,(r,r') est cone d'habitude, dé­

finie par : ;j

Gt(r,r*)-k r r' [0jl(kr)j j(kr')6(r-r')+njj(kr') J4(kr)8(r '-r)]

8 est la fonction saut di'Heaviside,

x,(k) désigne une constante d'intégration qui reste â déter-

ainer . Le déphasage est lié au comportement asymptotique de

la solution (1.15) :

u ! < r ) ? ï £ x t ( k ) r ii(kr)?+k r nt(kr)/"Ft(r')Jt(kr')r'dr*

' ' .'/ - x t ( k ) r j 2 ( icr)+k r n J t ( k r ) S e i J t P i J t ( k ) (1 .16)

;l •ï

oû vi»( k) désigne la transformée de Hankel (1.5b) de la

fonction v.,(r) (1.5a) .

Il est maintenant possible de relier les paramètres x.(k), i •• .

S-, et v£«( k) » u déphasage 5,(k) et au coefficient de

couplage E,(k) . Il est important de noter que les calculs

précédents peuvent être effectués analytiquement en toute gé-

- 18 -

néralité 2 cauae de la aéparabilité du potentiel et du choix

dea fonctiona (1.5)

I.3.- Analyse an déphasage.

Moue calculons dans ce paragraphe, en fonction des inten­

sités >•••• e t des inveraea des portées a., du potentiel

1." le déphasage des ondes non couplées J-A-t'X) et J-0 ,

t«l'»l qui englobent tous les états singulet . Nous trai­

tons dans l'approxiaation "non-couplée" les ondes F et 3 ' " •

D qui sont couplées 2 des ondes de aoaent orbital supé­

rieur 2 2 .

2. Le déphasage et le couplage pour les cndes £«J-1 . Seul 3 • 3 le cas iaportant dea ondes couplées S, + D. , est ê-

tudié nuaériqueaent .

1. Ondaa non couplées —

Dans le cas particulier t»t' dea ondes siaples, le dé­

phasage est lié 2 la-forae asyaptotique de la fonction d'on­

de (1.16) par la relation :

x^tg 5t(k)—fc/" rtir)v j,(kr)dr—kZ *£#,*!#,?£.,(*>• (1.17) i

D'apr&s (1.12) les coefficients X., sont proportionnels

2 * É C O ; il reste donc siapleaent (en posant par exeaple

tg o t(k)—kï B i J t Pi£<k> • (1.18)

2. Ondaa couplées -

La plupart dea étata tripleta da spin, caractérisés par

un aoaent cinétique J et une parité (-1) peuvent Être '

décrits coaae une superposition de daux ondes da aoaents or-

- IS -

bitaux J±l (cf. équ. (1.21)) . Lee proportions dan* les­

quelles ces ondes se mélangent» dépendent de l'énergie de

la particule relative, et peuvent Stre caractérisées par le

paramètre E,(k) dit de couplage . Les proportions de ces

ondes ne sont,en général, pas conservées pendant la diffu­

sion, ce qui signifie par axeaple que la partie tensorielle 3 du potentiel peut faire sauter des particules de l'état S-

3 2 l'état D- et vice versa . Les coefficients des combi­naisons linéaires des amplitudes des ondes JÎ1 peuvent être considérés coaae les éléaents d:une aatrice 2x2 , la aatrice de diffusion S :

-S (1-19)

Las coefficients A. et B. sont les amplitudes des ondes i l

d'entrée et de sortie respectivement . La aatrice S doit satisfaire aux lois de conservation et

da symétrie suivantes

- alla doit Stre unitaire pour assurer la conservation du

flux total dé particules dans les 2 voies;

- elle doit Stre symétrique pour satisfaire a l'invariance

par rapport au renversement du sens du temps .

La matrice S ne peut dépendre que de 3 paramètres indé­

pendants, dont deux sont requis pour les éléments de la dia-

gonale quand S est mise sous forme diagonale e , avec

pour éléments, de la matrice diagonale A , les déphasages

propres dans l'état J

S est diagonaliste par une transformation orthogonale ' U dé­

pendant d'un seul paramètre réel, la coefficient de couplage

USB^-a 2 1 4 (1.20a)

- 20 -

f cot t . ait» e, A

\-ain C j

c o « e j / (1.20b)

A grand* distance du centre diffuseur, chaque fonction d'on­

de radiale u.(r) de la fonction d'onda totale de diffusion s J J

* - ^ 4 — • j - i . i ^ ^ r - ^ i . i . j « • " >

ast una superposition d'une onde divergente et d'une onde

convergente :

-ijkr-^ir] i[ kr-^iir]

u J - l ( r ) " A l * ~ B1 •••'

**.%' t i 1 • (1.22) - i f k r - ^ w ] i f r r - ^ * ] '

° j + l < r > - * 2 * - * 2 ••-:•'

Dana le but d'identifier les équations (1.22) aux equations

(1.16) exprimons cas dernières par l'intermédiaire des fonc­

tions de Hankel d* premier* et second* espice (ondes divergen­

tes respectivement) dont les formas aaymptotiqu'ea sont bien

connues s ^ t + 1

h* 1 }"^ + i«irSfcfe-i t > r - ^ * l

1+1 , •• < 1 > 2 3 >

ht 2 )"-it- l B*r5fekT-

Mous avons

(xi(k)4-ikSeiJt PiJt(k)> . (1.24)

In utilisant dans (1.24) laa formas ssymptotiques (1.23)

puis en identifiant (1.24) et . (1.22) , nous obtenons t

- 21

Al " * XJ-1 "•? Bi J-l pi J-l l

Bl - * *J-1 + ? Vw'i J-l l

A 2 ' l XJ+1 " ? ^i J+l pi J+l i

B2 - i *J+1 + J Bi J+l pi J+l

* - X» ou nous avons pose x«.'v— •• Si nous definitions une ««trice réelle R par

(1.25)

? eii Pit""Ji *»* *ii' (1.26)

on voit que les equations (1.25) s'écrivent

D'après (1.19), il vient

•-at •• *"U

•(i-R)(i+R) -1

(1.27)

(1.28)

R est donc la aatrice de réaction dont on sait qu'elle est

réelle et symétrique :

.D-i T W I ° \ \ ° tg « J + 1y

On en tire immédiatement les risultats fondamentaux suivants

J

- 22 -

*« » "«, -', 2 R j - v ^ J *J-1 J-l -J+l J+l

•>"•* RJ-1 J-l^J+l J+l . RJ-1RJ-1~RJ+1 J+l t g fiJ-l 4 • •-,, + . 2 cos 2 E j

... * RJ-1 J-i^J+l J+l RJ-1 J-1~RJ+1 J+l ,. ,„. t 8 *J+1 ~" ™ — " 2 cos 2 6 j -(1-29)

1.4.- Déteraination nuaérique das paraaëtres.

Pana la caa das ondes siaplas, las constantes Bi«. sont

déterninées de façon unique lorsque les portées a., sont

fixées et que l'on iapose les valeurs nuaSriques du déphasa­

ge 6,(10 pour deux valeurs distinctes de l'énergie . En

faisant —arier ensuite les portées a., , on trouve rapide-

aent le aeilleur accord avec laa résultats expériaentaux

pour une énergie variant de 0 à 400 HeV .

Pour chaque onde, nous avons coaparé les déphasages thé­

oriques 1 vingt-sept valeurs nuaériques du déphasage corres­

pondant a une énergie de 0 * 400 MeV * 7 , en calculant

et en cherchant le aiciaua pour :

2ri«^ p(ï i)-«' h i o r-<E t)i / i-l l ^ x / 1 ; ^,;-.v - ' ' ? ^ ,'•:•'• •

Lea longueurs de diffusion et lcj portées effectives ont é-

galaaent été calculées pour les ondes S .

Les paraaitres des ondes couplées S-+ i), ont d'abord

été approxiaés coaae plus haut an prenant un couplage nul,

(B. 0 2"» î 2 0»0, i»l ,2) .'Ceci peraet en particulier d'obtenir .

les aeilleures portées a,, .En introduisant ensuite,dans

une deuxitne étape, des paraaëtres B.,,, non nuls, on ar­

riva, laborieuseaent il eat vrai, au aeilleur accord possi­

ble avec las résultats expériaentaux . Pour cas damiers,

nous avons pria les courbas ds fcichard A. Arndt at Malcola

23 -

H. Mac Gregor • •.*' (1966) , qui étaient alors les plus récen­

tes et les meilleures et qui tenaient coapte de la quasi to­

talité des sections efficaces expérimentales disponibles .

Les résultats d'analyses en déphasage plus récentes 2* ,

n'en différent pas sensiblement, sauf peut-être pour des ë-

nergies supérieures a 200 MeV . Hais dan* cette région

l'imprécision sur*les déphasages demeure énorme . Une carac­

téristique de ces résultats est que les déphasages corres­

pondant aux ondes qui sont physiquement les plus importan­

tes, sont entachés des plus'grandes incertitudes . A titre

d'indication nous rapportons ici quelques valeurs des dé-• - - 3 3

phasages (en.degrés) des ondes ~ S. et D. et du coeffi­cient de couplage (en degrés) e. , avec leurs incertitu­des respectives :

25 MeV 50 MeV 95 MeV

S 7 6 . 3 1 î 6 . 0 0 6 2 . 1 5 ± 3 . 9 2 4 4 . 4 7 ± 1 . 8 5

€ 1 7 . 0 9 ± 1 . 8 0 1 2 . 7 7 Î 4 . 1 6 Cf. 28 t 1 . 6 7

s - 2 . 6 4 ± 01.30 - 7 . 3 2 î 2 . 3 7 - 1 0 . 9 5 . ± 0 . 7 8

142 MeV 210 MeV 330 MeV

3 * 1 2 9 . 5 8 î 0 . 9 7 1 8 . 2 3 ± 3 . 1 0 - 1 0 . 3 2 ± 9 . 0 3

e l 0 . 9 9 t 0 . 9 3 3 . 1 3 ± 2 . 8 7 2 8 . 1 2 ± 5 . 3 4

\ - 1 5 . 1 4 ± 0 . 7 4 - 2 2 . 9 8 ± 4 . 0 4 -20 . -10 ± 2 . 9 8

I.5.- Discussion des résultats.

Dans les figures 1-8 les courbes de déphasage théori­

ques sont comparées aux résultats déduits des sections ef­

ficaces expérimentales par Arndt et Me Gregor V* .

< • ; * * :

<? ,. » '•',.:

- 24 -

"' 3 3

Sauf dans la eaa daa onde* couplées S.+ D. il n'y a

guire da difference sensible inîr: lti covrbti calculées at

axpiriaantalai .En fait, aSae dans la eaa. de eaa onde» cou-

pUti, not deviation* dea courbe» de Arndt et Me Gr.egor aont

iafirieurc» ans incertitudes lite» 2 ce» dernières .

Plusieurs astres jeux de parsaitres donnant ••nsibleaent

Sae» re*ultata avec les ataes precisions . Certaines

d'autre*

•s precisions .

^1 " 3 p i J

'2* c2' ' Ï P ' a.':*utte." • n £i»» dont le déphasage changé gCneralaaent de signa, aont attrac-

nergie at deviennent forteaent répulsives 1 *S XP 3P 3D Y

Ces résultat» sent probableaent la* Bailleurs obtenus 2 ce

a

ondes sont purcaent repulsive* i\ 1 * 3

pureaeat attractives ( D,, P

tive* S faible t

haute énergie (

jour, sur une aussi vaste Cçhelle (0 400 KeV) . 1 "

- -i I ••': " à r theor. •XV. ThCor. tX9.

l »v. 0

li-23a* • -23.74'* 2.62 2.67

X! \- 4.0 5.39 i .70 1.704

* Ce rCsultat est valable pour le aysteae n-p . Pour une

diffusion p-p ,'indCpendaaaent de Ta correction coulonbien-

ne, on obtient a.«-16 a -17 fa a «^16 c

Les longueurs de collision a ; et les portCes effectives

r_ . calculées, sont coaparCee aux, valeur» expCriaentaléa .

Toutes les valeurs sont expriaCes en fa

CHAPITU II

LA MATIHti «UCLEAIRC

II.1.- Propriétés générales.

On appall* aatiire nucléaire (Mit) un systiae nucléaire i-

déal form* d'unnonbre égal da neutrons at da protons at dans

laquai n'existeraient ni effets couloabiens ni cffats da sur­

face . Pour traduira cette dernière condition on dit habituel-

leaent qu'on considéra un système nucléaire infini .

L'énergie de liaison d'un noyau réel _A eat donn£e par

la formula aeai-eapirique de tfeissacker :

B<«,Z)-EA+ZA2/3+C Z 2 A " l , 3 * S ( 9 - z y 2 à ~ 1 (2.1)

dans laquelle le premier terae, ditvoluaique, expriae le fait

expérimental que les noyaux, incoapressibles ccaae une goutta

liquida, ont un voluae et une énergie de liaison proportionnels

A A , le deuxième torae? proportionnel à la surface est la di-

ainution de 1'énergie de liaison due A la tension de surface,le

troisième est simplement la répulsion couloabienné des Z pro-

tons et la dernier terne, nul pour K-Z , sert 1 favoriser l'é­

nergie de liaison des noyaux i noabre égal de neutrons et de pro­

tons . Les valeurs numériques couraaaent admises sont 1—16 Me?,

E-13.1 MeV, C-0.6 MeT, S-30 MeV .

La MU est donc un enaeable de nucléons pour lesquels l'éner­

gie da liaison est pureàent voluaique . La densité de particules

est sensiblement celle qui existe A l'intérieur des noyaux lourds

coaate tenu de la correction couloabienné •'. Elle est liée au ra-

26

Q étant le voluae occupé par A. nucléons .

Pana l'espace das iapulsions, la densité d'états, soit la noa-ara d'états par volume î k .eat 4 « coapte tenu da la dé-

": " C 2*) 'gCaCreeceace da spin et d'isospiar'••••. at daaa tout la volume

aoit p — £ » k?, . (2.3)

Os admet géafraîemeat qua daaa la MR, r -1.12 fay, «oit p-0;ï.*f* at kj-1.36 fm"1 *

M. Baraager at al oat montré **' qu'une condition foadaaaatale pour qa'ua potaacial aoit utilisable dans daa calcula U1 daaa laa noyaux fiais, est qu'il saturecorrectement la MR. La calcul de l'éaergie de liaison E par particule, fournira donc.un bon taat de la qualité dâ notre potentiel . Parai laa différents jeux de paraattres, reproduisant ïfvee ia ataa précision laa courba* da dépkaeage expériaeatales l > 7 ' , certain*correspondent i de* for-caa extrtmemeat répulsive* et dt court* portée ce qui exclut évi­demment l'aaplai daa méthodes pertûxbativee habituelles . L'aaa-liaa de ce* potentiel* a été faite aillaur» ( l , ) . L'éaergie da liaiaoa at la densité, calculées au premier ordre avec la aatricâ da réaction G da BBC, sont de l'ordre de -20 M*V et ky-l.CSfa' 1

resptctiveaeat . L a * calcule avec le aatrice C dans las noyaux fiai* étaat exorbitants, notre bat, donc, aat da trouver un potan­tial «ai prédiee exactement les donnéesexpériaeatalea dâ problème I daux corpe, et qui aoit suffisamment régulier pour permettra an calcal IF . 7 ' . •-;! k F * 2 2V - "i 2k 2

L'éaergie cinétique aoyenue par nucléon est çfg =Kjp4*k 2dk-| - J Y " « j t~ oft 0^«fc r eat le volume de la sphere de Ferai et k_ le

set de Fermi .,

L'éaergie de liaison par particule aat donnée par la séria de par-turbatiaa !

- 27 -

"-••-"' A , B

'"<«k..Ja>fAB><AB|v|ab>. r F ^ — — * • • . . . <2.«>

La* (tats non perturbde, occupis (*,b,...) ou non occupeVe(a.,B,...)

IMt r*iiiititii par des ondes plates . La tern* du second ordra

ast calculd dans,l'approximation das Mik*>effectives .

11.2.- Calcal da l'daergie de liaison aa théorie da perturbation.

Moyennant la definition habitue 11a das variables relatives et

du centre de «esse

^ 1 ^ 2 ? » 2 f " e l _ { 2

et le'panaage au continu :

S---3-W 3V ..-,:. (2.6) .•;•. a < ; : * ) 3 : • * . . . • • • . ' . ; • •

le recoavraaent de deux surfaces de Ferpi dont lea centrea sont

diataats da 2k est

' * ; î 3 * K r 3 2 , r k f M Ï 7 + T r ï > • ••".'•" • • ' c * . 7 y .

ifitfck, V

lief conditions pour qua les deux particules 1 at 2 se trou­

vent dant 1» Mar da ferai, soit î x<f, it î ^ ? r s écrivent

d'une façon équivalente, aoyeanant la transformation (2.5) :

- 28 -

L'éaergie potantialla du praaiar ordra s'obtient alors par un calcul sans diff iculty at i l vient

T M T „ 5 T

C 2 J + X ) ( 2 T + 1 > ? Bi*MJT '!* k 2 d k

(2.9)

&-ffc + ir^l ' i t S J i<«l 2 • F

La sommatioa sur las spins conduit * i»t* an sorte que las

forças tansorielles n'interviennent pas au praaiar ordra; aus­

si pour jugar da laur importance, faut-il calculer la contri­

bution du second ordra .

Dams son Ctat initial at final, la paire da particules en in­

teraction se trouve dans la Mer de Ferai c'est-l-dire que l'é­

quation (2.8) daaeure valable, aaia elle doit être complétée

par une condition sur lesétats intermédiaires, qui, en vertu

dm principe de Fauli, ne peuveet se trouver qu'en dehors de la

Mer de Ferai

t j * * ; ou llîtî'l^k, . (2.10)

Les équations (2.8) et (2.10) impliquent que la sommation sur

lea états de la Mer de Tarai, sur las états intermédiaires et

sur l'impulsion totale ï , se fasse de telle aanilre qt t k

•«a? trouve 1 1 'intérieur du volume de recouvrement de deux ipM-

res d'à Ferai dont les centres sont distants de K , et que 4**

soit toujours en dehors de cas deux sphSras *'•' .

Ceci conduirait lune sextuple intégrale avec des conditions

compliquées sur les angles d'intégration . Four contourner cet­

te difficulté, nous avons utilisi deux approximations différen­

t e s : •. .

* ) - L'AypKox.iMU.tio*. dt I'tioact. dt ofuut apfccVttme -

I. Ille consiste 1 substituer aux conditions angulaires • / ' • ' • • , . - . • - • • • • • • . • ' • • • •

(2.8 et 2.10) lea conditions de symétrie sphériqne suivantes t

- 29

•«Ik--*'fi

k'»|kF+u f I (2.11)

où les paramètres u at V ont été déterminés ^ l i } (0.40 et

0.65 respectivement) de Manière à égaliser les volumes

4^(k -v £ ) 3 et 4^(k„m 4 ) 3 aux volumes réels dans l'espa-

ce des phases, pour]la valeur la plus probable du mouvement

du centre de masse K-k_

L'énergie potentielle du second ordre par particule, s'écrit

alors : ,'

FE2.M 3 % 2 (2J+1)(2T+1)/ F dK K 2 î A K * Mk; It'SJT ° ij

(2.12a)

k F - V f ,. . 2

F: ̂ 2 " ""

Cette équation se ramené, après intégration par parties, 3 l'in­

tégrale sur K d'une somme de produits de parties principales :

- 30 -

2k.

£|i-M -| l!_ 2 <2J+1)(2T+1)/ F l K2dKC4 q! A M *ZMk~ JTS o i l

< D J T S ( 5

+ » 3 - ) - I W 5 - ) ) 3 ( 2 - 1 2 b )

où q+-kF+u|,q_-kF-v|,q+-kr(l+u) et q_-§(l-\>)

Lea partie» principales P

J T S

e t DJT<; **-n*i que le detail du

calcul «ont donne» an appendice .

6J- la mtthodt. du ooliinômti de LtatndJit - .

C'eat una aéthode générale pour potentiel* non locaux .Utili 1? aant un spectre da reference m te + g et l'approximation de*

aasses effective&,l'énergie a de liaison du 2 a e

ordre par particule s'écrit

*¥-* s — r r r z (2i+i)///d3Kd3kd3k' A M " * kf' B TSMgM'

- r-i- I|<SM s|f i l,(ï,î«)-{-l)S + T£ w, ({,-{') JSMS>1

2 (2.13)

.vac « . . . ( ^ ^ ' " ^ « « ' « ' « W ^ M ' S J I

<B lt,S;JM><t*,S;JM|G ,>. (2.14)

S. JK

On voit que la terae d'échange est figal au terae diract. Soaaant

aur lea noabre* qùantiques aagiêtiques, il vient

*l2" 3 l i t" * (2J+1)(2J+1)(2T+1)(2L+1)-1

* 16**k„ H STJMJ

i t ' T T» <A0lb I L0>(<i ' 0T' 01 L0>W(JJtT; LS ) à *

W(JJJt'I';L5)jf//d % \ k ^ 2

k ' Y L Û > Y L ( k , ) £ j t , ( k , k , ) f f ï * ( k , k ' ) ,

(2 .15)

- 31 -

où f ^ , ( k , k ' ) - ? B m , p l M J T ( k > / u , g J I < k ' > . (2 .16) î

La triple integration dans (2.15) peut Stre effectuée de la Ma­

nière suivante ^ i l } :

soient les vecteurs sans dimension x,y et y :

î-yîp, Ê'-y'icF et S>2xÊ F , et la fonction JT(x,y,s) dCfinie par :

J^(x,y,x)-///dQxdnydQzYL<y)YL (y'> ' < 2' 1 7>

En prenant la direction de x pour axe des z , 1'integration M sur fi et fi t se fait facilement et on peut exprimer J. y y L

comme un produit de deux intégrales d'un polynôme de Legendre

PL(u) :

M 2 b b' j"(x.y.y,)-16ir''«Mj0(2L+l)/o PL(u)du fo PL(u')du' , (2.18)

b et b* sont des bornes supérieures d'intégration . L'équa­

tion (2.18) est nulle si L impair . Après un calcul un

peu long mais sans difficulté , on obtient finalement :

£|2— 2 * l _ k * j (2T+l)(2J+l)(2J+l)«,f ?• A * 2 M *!1'SJT

Iï'j

<10lo|LO><*'OÏ,0|LO>W(jJtï;LS)W(JJl'ï';LS)

x/Zdydy'i-f-y IL(y,y')f^,(kFy,kFy')f^,(kFy.kFy') ,

(2.19)

I.(y.y') est une intégrale calculable numériquement pour

L»0,2,4,...

II.3.- Matrice de réaction.

Un calcul détaillé de la matrice d« réaction a été rappor­

té dans la référence 13 . Voici l'essentiel a quelques varian­

tes dans les approximations pris . La matrice de réaction 6

satisfait l'équation de Bethe-Goldstone *•' »

- 32 -

<ï G±|k'>-<S W|k'>-/d^ • •»..»»- S • (2.20)

* P •(!,?,£')

Dans les Stats intermédiaires, les particules ne pouvant se

trouver qu'au-dessus de la Mer de Ferai, l'opSrateur de Fauli

est défini par : -

(2.21)

(2.22)

Q(Î:,P)-1 si !p+iî| >k F

•0 sinon .

Le dénominateur d'énergie est donné par

e(t,p,î')-c(p+|t)+e(p- |î)-c(î,+ 5*)

-e(î'-^t) .

Les énergies individuelles satisfont

£ . 4 H k.+ U<k.> k.< kF • 2 (2.23)

6 A " I M kA k A > k F

B(k ) • S <ab|G|ab-ba> est déterminé de Manière self-consis-

•*kF tante .

En approxinsnt l'opérateur d< Fauli par la moyenne s

Q(*,P)-1 si p>kF+^C

2 1 2 2 2 1 2 ' 1

-Çv'*$ir-k*)/»k: si (k*-£fz) *p$kF+|*

-o si p < ( k ^ 2 ) 1 / 2 <2-2*>

et en utilisant encore un spectre de référence quadratique ,

dont les constantes-sont déterminées de manière a rendre les

énergies individuelles consistantes avec la définition (2.23),

les équations (2.22) deviennent ( l * :

(2.25)

- 33 -

La matrice de rtaction peut Stre décomposée suivent le type

(1.4) et on obtient après un peu d'algèbre ( l l ) :

x<k|GiJt|k> . (2*26)

Le potentiel par particule est * x l' :

4(kF+k ) ' D(k,)- I (2t+l)(2J+i)2/; ' * Vdk<k|G, t k>q(k,k ),(2.27)

* iSJT ° ** *

k^-^k-k,) 2

ou q(k,ka) vaut i k l [ si (k)p-kji)^2k<kF+ka

et 2 si 2k<kp-k

II.4.- Energie de ara*trie.

Hous nous proposons de calculer dans cette section une ap­

proximation au premier ordre de perturbation (SEl) i l'énergie

de symétrie S de l'équation de tfeissâcker (2.1) . Cet effet

de symétrie corrige l'énergie de volume en favorisant, parmi

les noyaux légers, ceux pour lesquels Z-N . Va calcul élémen­taire '*, montre que l'énergie de symétrie augmente comme

2 (Z-W) , et qu'elle est inversement proportionnelle. 1 A (cf.

-équation (2.1)) . Elle est en partie due au principe d'exclu­

sion de Fauli . Comparons par exemple l'énergie totale des sei­

ze nucléons dans .0 " "

1-0 ls i-2

*-l

t-0 —•0 1 M protons Ineutrons protons | neutrons

16 0 16 B

- 34 -

In Tartu du princip» da Pauli, la dernier neutron da tu ne pent aa trouver qua dana la coucha la-Od at aon énergie ci-

nCtique eat aupCriaura 2 celle du proton Op qui lui corres­

pond dana jO . Par «illeur» la neutron Od interagit moins

avec lea 15 nuclCona restants qua le proton Op aon énergie

potentielle eat donc plu» faible et finalement l'Énergie de

liaison de ^0. eat aupCriaura a celle de 5N .

Soit. H-Z-A.A l'excft» de neutron» dana un systëae de A nu­

clCona .En admettant que neutron* et proton» occupant la aS-

ae voluae, I'énergie cinétique aoyenne par nuclCon a'Ccrit

j-fo-c r[(l*A)S / 3+(l-A) 5 /^I«f e f+| A

2 c F ... (2.28)

où y c_ représente l'énergie cinétique de syaCtrie par nu­

clCon . Moyennant un calcul siaple, esquisse «n appendice, on

obtient l'énergie de aymCtrie totale par particule

¥-f V l A .S,(2^1H2X+X)/^3-^ «4

Tf" tSJT

•**Ï »UtSJTl»itSJT(k>l

(2.29)

II.5.- KCeultate auaCriquaa.

Le» contribution» de chaque onde partialis 1 1'énergie de

liaiaon du preaier ordre, «ont reprCaentCea aur lea courbe»

(8,9) en fonction de l'iapulsion de Ferai k_ . Lea énergie»

daa Ctata relatif» « 1 et ?1 jouent un rSle predominant

quantitativeaent . Lear contribution eat considérable -34.20

MaV et 18.0 MeV respactivenent a là densité de aaturation —1 '3 '

(kF-1.45 fa ) . La première ( Sj,) , fortement attractive

décroît quasi linéairement en fonction du moment de Ferai ,

tandia que la deuxiiae ( Pj,) e»t très rapidement croiaaante

i de ky , se qi convenable

- 23 -

La contribution globale des ondes P ut utturat positi­

va, an accord arec la quaai totalité des récents calcula nuné-

' 3

Tiquas utilisant daa.força* réalistes . L'onde P. est habi­

tua llaaant pureaent attractive; noua obtenons pour cette onde

uaa énergie négative jusqu'à k_»î.37: fa~ puis positive at

rapideaeat croissant», plus en conformité avec la courba de

déphasage qui indiqua una faible attraction jusqu'à 200 H»V

(laboratoire) at una fort» répulsion au-dell . D'autres jeux

de paramétres disponibles pour .P n ne possédant pas catta

propriété u • Les ondes D , sauf7 D - , donnent una

contribution négative mais sansibla saulaaant pour das « -

laurs da k_ supérieure* 1 la valeur d'équilibre, c'est-X-

dira pour das énergies supérieures 2 160 K«V . Ça phénoaéne

aara évideaaent encore plus accusé pour las états da aoaents

orbitaux relatifs supérieurs -.2 2 , en sorte qu'il aat par-

faiteaent légitime da les négliger .

L'onda p. est fortement répulsive mais li aussi, l'ef­

fet n'est important que si les nucKons sont proches l'un de

l'autre . La soaae de toutes les énergies potentielles par­

tielles et de l'énergie cinétique, tend 1entenant vers an mi-

niaua de -15.5 M»V * la densité de kw-1.45 -fat"*1 etaagmen-

ta ensuite rapidement . Le système n'est plus lié au-dell da .

k_-1.92 fa~ . La technique de calcul et las résultats pour

les corrections du second ordre par la méthode da l'espace da

phase sphirique, ont été analysés dans là référence 33 .En

fait, catta approximation, si elle est valable pour las ondes

S , ne l'-est pas pour les ondas P et . B* . Ceci est ancora /'-'' - " K r^ ' 3 • "

illustré par le fait qu'on obtient pour l'onda ?' , qui

est fortement repulsive, una contribution positiva 2 la correc­

tion da second ordre de l'énergie potentielle . Ce fait a aussi

* - Je aai* Ktdtvtbtt S. f. Ttbtkin, J. Lt Touxntut, S. Ztubtn. ltQ.StMnitH.pouA it i*.u£tuttati dlàciuiloiu A et tfijtt .

\ l'idlt qui itttt a.ppK0XÂmi£Lvn ne Âoii peu valable pou* tti on­de* nan ipklKiqut* vient dt FAuutfc Tt.bt.ki*. . •:-

- 36 -

été ait en évidence par J.P. Illiott et B. Rouben V 3*' .£e fait,

l'énergie totale du second ordra est trop faibla .

L'approximation b) aaabla meilleure, dan* ca sanc qu'aux

tarac* L-0 , on ajouta aaintanant las teraes L»2 at k Mais la conclusion qui s'impose d'eablée est qu'un potentiel,

construit pour être utilisé au preaier ordre de perturbation,

comme, la nStré, ni paut pas être utiliué dans la calcul das

ordres supérieurs pour lesquels il ast beaucoup trop lié .

Las corrections du second ordre ainsi obtanuaa sont représen­

tâmes dans la figure 12 en fonction da k_ . La saturation

a liau 1 una trop forte densité . L'énergie da liaison ast

trop grande en sorte que le taux de convergence de la série

pertmrbative est aédiocra. Cas déficiences sont en fait com­

munes a. la plupart des potentiels non locaux, la principale

raison semblant être une force tensorielle trop faible ' .

Cas potentiels doivent être considérés coaae effectifs, dans

la sens d'utilisables au premier ordre de perturbation .

Ces conclusions sont corroborées par l'étude de la matri-

ce de réaction . Vous obtenons en effet -29 MeV par parti­

cule X k_-l.*5 fa"1 et avec M*/M-0.5 et c"—123 .

Rappelons quela Bailleur potentiel 4 coeur dur 1 J don­

nait une énergie de liaison par particule de -18 MeV a une

densité de saturation k_—1.65 fa . La conclusion géné­

rale est que le potentiel actuelleaent étudié, est un potan­

tial effectif utilisable au premier ordre de perturbation .

Lea divers résultets obtenus au l'T ordre dans la Ml sa

coaparint avantageusement a ceux obtenus pour d'autres poten--

tiels . AimaiTabakin obtient, au premier ordre, une énergie

par nucléon de -8 MeV à unaoaant de Ferai de saturation

de 1.61 fa"1 , et au danxjéaa ordre -14.1 KeT » ky-1.8 fa.„

Lea énergies, même au deuxième ordre, demeurent bien en deçà

de la valeur expérimentale (-16 MeV) et les densités corres­

pondantes sont aussi prohibitives (k_ expérimental «l.*8fm~ ).

- 37 -

SE1 L'inertie da ;syaCtrie par naelloi -j— est representee, «n fonction dit aoaent da Tztiài k_ , dan» la figura 10 . Ella aat rapideaent croissante at linfaire an fonction da k_ jua-

— 1 " • • " - 1

qu'l »1.6 fa> i at passe par un aaxiaua a k_»1.92 fa , valaur 1 partir da laquelle la tysteae coaaanca 1 na plu» St re lit . Tabakin obtient una variation linfaire jusqu'au-delà d* 2.* f m " 1 .•'.,,'

Noua obtenons, "1 la saturation (k-*l.45 fa ) aanaiblaaant 1» alae tnarfie (53.2 MeV) que Tabakin (48 HaV a kF«1.8fa~ ca qui aat biensupérieur a lavalaur azpariaantala ("30 MaV) Cette dtfaillance du potential peut ae rCpercuter dan» laa calcula da «tructure nucléaire,aaia aucune etude systiaetique de catta question n'a f t< entreprise 2 ce jour . Houa espfrons la faire par la suite .

ClAPIItl III

LI» 10TABX SFHExIQPtS

III.l. Introduction -

L* W) l'ititt qi'un aodila aathtaatique coasode daa greeds

aoyaax, il faat s'attendre 1 tronTcr dim laa noyaux fiaia las

afaaa caracttrietiquea -coapta tenu daa effets da surface-

que daaa la MX .

Mous aous proposoas daaa ca chapitra d'étudier la coaportaaant

da potential coaaidïrC, dans das calcula da type HF puis da

type lr«eckner-HF (adthode 11C) .

Four das raisoas da eiaplicitC (videates, la bat da ca calcul

6taat aoina da presenter un calcul HF qua dar tester la potaa­

tial par da cala calcula, nous aous liaitons aux noyaux sphd-

riques, doublement aaciqicae, 0 at Ca , lesquels oat

l'a»aata»a,d*a«tra part, d'avoir *t< aouyant dtudiis, taat

da point de vue thdorlque qu'expiriaental .

L* kypatbftae.de départ de tout calcul IF, ast l'axiataaca

d'un cheap da potential aoyea, epkdrique ou difora<, dfi > toa-

taa laa interactioae poaaihles entre tous les aucKone, at

calcalekle en principe ft partir dee forces l deux corps .On

adatat, qu'an koaue approxiaation, les auclaona ae aeuveat daaa

ce çkaap aeyéa, iudependaaeteat lea ama das autres . La adthade

•F conetitue uae approche self-eoasisteate du calcul de ce

chaap aoyca at ua iateraadieire entre lea deecriptioae aicroa-

copiques at macroacopiquea daa priacipalea proprittda d'dqui-

libra dea neyaax .'-;:

Apr*a uaa hrtve deecriptioa de la adthode HF cleaeiqae,a*«aj;

iadiquoas la pracCdura d'un calcul da second ordre at expeas-asu

- 3»

una aétfcode originale pour la calcul exact da la matxica da rC-

actio* . ?inalemertt'nous discutons laa résultat» numériques ob­

tenus at las comparcna 1 citi di divers auteurs .

III.2. Méthode HF -

Ou choisit coutae fonction d'onde nucllairt un déterminant da

Slat*.- |*>»C1 C, ... Cj | > . Laa opérateurs da création da 1 2 A • far» .ona C* , satisfaisant aux relations

d'av:icoaamtatioa habituelles, créant das particules dans laa

ét»;s HI inconnus |X>

Développons laa fonctions d'oada HF |A> sur la basa orthonor-

aée bian connus da modèle an coucbaa ;

n- at A désignant la noabre quantique principal et la aoaant

orbital da la particule a t j_ •"* son aoaant cinétique da

projection n_ at T_ eat l'iaoapin .

te calcul daa fonctions d'onde inconnues |A> revient a la de­

termination da leura composantes <o|A> dans la base (3.1)

|»-Z|a><a|A> . (3.2) • - o

tes deux bases |«> et |A> . se déduisent l'une de l'autre par

transformation, unitaire, soit :

ï<x)o>*a|A'>-«AVf

(*•*> i<a|A><A|»'>-« ,.,

. - ' # ; , ; % [ - : . ' ; i : : : • • - . " • . - • • • • • : ' ' ; • • $ • • : > • - • - . . > . ; , : . : • - ,

lès fonctions d'onde |X> sont telles que l'énergie du niveau

fond&aeatal du noyau :

: T*W-*CM+«c •'• (3.4) \, •

- 40 -

aat aininal* . Ceci détermine entièrement las coefficients du

développement (3.2) . Poor les noyaux sphériquea considérés,

U tonutioi dut (3.2) sa fait uniquement sur le nombre quanti—

que principal .La.sonne de l'énergie cinétique et de l'inertie

potentielle eat :

T+W-Î<X111X>+4l <X|l|w|Xu> , (3.5) * AU

les éléments de matrice étant convenablement antisymétrisés

Lea ternes I-j. et E. représentent l'énergie cinétique du

centre de nasse et l'énergie couloabienne das Z protans«res­

pect ivemeut .

L'inertie dn fondamental (3.4), les fonctions d'onde (3.2) sont

calculées suivant la procédure itérative habituelle . Hous avons

tenu compte de la fovce de Coulomb entre les protons a et 6 :

et retranché 1'inertie.dn centre de masse jfet»

III.3. Calcul dn 2*** ordre -

L'énergie du fondamental, obtenue par le calcul HF précédant!

••t exacte jusqu'au, premier ordre inclus . La correction suivan­

te a l'énergie dn fondamental aat dénuée par les diagrammes do

second ordre (et leurs échangea) dn type

<»b{wl*»>, .-, 1, , <Ai|»|ab> (3.7) V f l ca cl

dont la sommation ne présente aacune difficulté de principe

4E. £ . £

< : b l H l - ê > - > > | w | a h > . «••> agb *(B eA eI ca eb

Cependant des approximations peuvent ttre utilisées pour rendra

la temps de calcul sur ordinateur un peu moins exerbitant^1**'1*'t

- 41 -

on remplace les fonction d'onde HF inconnues des états intermé­

diaires |AB> par des ondes planes • Les conditions d'exclusion

angulaires -ie type (2.8 et 2.1Q) sont approximées par un o-

pérateur de Pauli de symétrie sphérique . Le dénominateur d'é­

nergie est pris simplement e-E-T . Cette approximation est va­

lable si la quasi totalité des nucléons diffusé* hors de la Mer

de Fermi, demeurent au voisinage de la surface de Fermi, ce

qui n'est réalisé pour aucun potentiel réaliste . Four le poten­

tiel étudié, l'amplitude de diffusion décroît lentement lorsque

l'impulsion k augmente (fc>k_) . Far ailleurs, la notion de

surface et de moment de Fermi, qui intervient entre autres dans

la définition de l'opérateur de Fauli, n'a plu* beaucoup de sens

pour des noyaux moyens et légers dont on sait qu'ils sont entiè­

rement "surface" . Four réduire le nombre d'intégrations numé­

riques on meintient constante la somme des énergies des parti­

cules dans la Her de Fermi, a et b l ï :

E *e.mA a D

Le choix de A est justifié diversement, mais pratiquement A

devient un paramètre ajustable •

Il semble donc préférable d'utiliser pour les états intermédiai­

res, des états de l'oscillateur harmonique * . L'opérateur

de Fauli, supposé diagonal en bonne approximation, est approxi-

•é de manière statistique

<ML;n't'SJ|Q|HL;n£SJ>-|^^j- -Q(p,ir) (3.9)

où p-2n+t+2»+L et w-(-l) 1

tip,*) est le nombre total d'états â deux particules ayant la

même valeur de p et * et A(p,w) est le nombre de ces états

qui me violent pac le principe de Fauli,. c'est-à-dire pour les­

quels amcume particule ne se trouve dans un état déjà occupé .

Foar ma aoyau doublement magique, ïe calcul des éléments de ma­

trice (3.9) est élémentaire . Vous donnons, S titre d'exemple,

«e premières valeurs pojr Ca

- 42

P Q(p,+) Q(P , - ) P Q(P,+) Q(P,->

1 0 . 0 . 18 0.822 0.823 2 0 . 0 . 19 0.843 0.843 3 0 . 0 . 20 0.860 0.860 4 0 . 0 . 21 0.875 0.875 5 0 . 0 . 22 0.888 0.888 6 0 . 0 . 23 0.899 0.899 7 0 . 0 . 24 0.909 0.909 8 0.184 0.165 25 0.917 0.917 9 0.315 0.315 26 0.925 0.925

10 0.430 0.422 27 0.931 0 .931 11 0.516 0.516 28 0.937 0.937 12 0.591 0.587 29 0.943 0.943 13 0.648 0.648 30 0.947 0.947 14 0.698 0.696 31 0.951 0 .951 15 0.737 0.737 32 0.955 0.955 16 0.771 0.770 33 0.958 0.958 17 0.799 0.779 34 0.961 0 .961

La variation de* élément» de matrice (3.9) avec la parité

spaciala relative ir est insignifiante . Dans l'ensemble,cet­

te méthode statistique donne les mêmes résultats que la métho­

de globale de Wong (1967) z > . Dans cette approximation ,

l'élément de matrice réduit au second ordre s'écrit

<(nts)JT|w|(n'i's)JT>

. _ <(nls)JT|w|(n'<lws)JT>Q(p',.y»)<(n"£"s)JT|w|(n't's)JT> *n„l. JfcinUn+l.inUl'J-f^"**")^» *

(3.10)

Les états intermédiaires doivent et.* de même parité relative

que les états initiaux et finaux et le dénominateur en énergie

demeure, évidemment, toujours négatif, ce qui conserve l'hermi-

ticité de la matrice W . Probablement que l'inconvénient ma­

jeur de cette approximation réside dans le fait qu'elle ne tient

pas compte des poids inégaux de3 divers éléments de matrice . Le

tableau.VII montre l'influence du terme du second ordre sur des

éléments de matrice réduits calculés pour le calcium avec un ra­

yon de l'oscillateur harmonique de 1.69 fm . Les variations du

terme du second ordre en fonction des nombres quantiquea M et

L du centre de masse, sont relativement importantes, aussi, a-

vons-nous recalculé ce terme pour chaque valeur de H et de L

ri Mi J * N e. y\ CL e t a M o* M l B. O r t B a n r* 0 A •+ n p a r t • B o O a B O H- B U> 1 C • fX B a • • • a 8 B a B a e a a i t « m f r t r t 1 B n a a « r t a t O

e S a- • » l i4 • a • G •a a r t M l a r t B r» • H • ^ — a i 0 . a M- 0 • ! • * a H» a • H» f> rt * n i-» B o n a o B o a r t M- a M w a • «tt 0 P. a •a B O B a n f t

M , • • o B • e O & •a a f t f t r- a 4

» ft • B 0* a O •a H- & r i r » r i a t a M M B n r i n c« a I I f f t t t o o. O <* r- n .•» •o 0 n • •4 r t a a t rt M « B (» t r t B a *-* £ n H . v B a a> a c> o a * • » • a r-" f n

e o* • a o. f t « t S B M a r i H- s-n e • • n « S B. O. « B • a a a

M '**s r" •o n a a f t a « <^ rt a a a •a C • • • M H« K H M- o a r t o* H-M •O • B • B o r t H . a o. B >a o. r- « o t • t r t f t a t B rt a B a Bu B o. B a a H f e rt i M r t a a r t a a a B a

a H a H - * H - w> H - *•• • f a 0 . m r* n M n •a B r t O » H - •a o* a M l a M • - • t v • • • a B r t • t B r o B o a n a B H a • • H » a • < • B a a B. B a o • * • a s ^

«r • rt •d M a a o H > n a B r t 0 M i • * T H o • M - < • * r* H> 4 O. !-• >o r i H B CL S* o a a a r - f r-» B. M l a B a G n S • H o n • <« f a. à e t o a r» O • * • rt a o a e a n r i M - X 6 r" n A r» H a a •c •à B rf a a O. a » B 0 e • « n f a a M B a r i a a • O r» B B « a B f o a a t r n n

e H O • B a a r i a M a H» ^ a e» M o A S • a o a a H > eu a A H »

• • 1 B S • B* 0 M» B* e n B D n

s .M f. *• • B a a B « a B M a e t B

a O M» «3 f t M r t o ,.* a •a o* B f D* • as e •a . a rt a • a f a a B

•a n f B a n o a n o a a i a» n M O. *t 0 o. • • r — i» o a • » • « H> B r t M a a » a o M • C) n a B M H - a c M a H-0» # ^rr o • a a f M •a •O r i a n a B r^ M M H» 0 o a t r" • a c a a a B t" a 5 • •B • T O m 0 r t a a v o •a r t a g o. a *• o" a B •a a a B* S a • • B 4 f f t B m B a B r-» f a O. » a • t - R B a O r i r i B a t a o a r t

< * S* » a M f t a o B •a a o. M

S* e • f f 8 a a r t a n a a M r i a H-

• • n V » r t n • a a 0 a a a t a n • m o H v r t • B r t B a M» •a o r-« •a a

o H» B • a a r i a a M l r-" « t a •a 5. « 2 « »« B a r t M - 1 B s. a M n. r-*

s i t i r-« • r— f t e. r- M- r i n a a O a 2 B C e t r* a O f t a o B B N c t t t * B f t »* Bu r i 6 w B a t i t O M- r i

** a e t r» »^a •a a a a H» «4 a a t

• 4 •> H- B a B M M - a O a a a H •g i i i * a o. a B f r f a a rr 0 6 f t n g H • • • H « a t r - « a r t 0 B M M> r t

i • •a M ** 6 C a r i f t o H <

* r- a a B B B e t H> M l B O i • B

i a r"

1 a o

a . 5 1

a

• B

R

M a a r* M l B flu eu M H - O a M« a a t a H O * B a r t B a • M o 01 a M o a • • a O. o B B M« a • ' a » B •a r t a t" H"

a r t ^ N B a

S B r i B P. o. a S r t H M- s a a r t o f t ot a* * » f a a a B* r-" o 6 • •a B • • • O a f t ? ••Î a t H o B. M> ? a r t B a r i a O M B a eu M

a r t B *«N a r t « H • «< B r i a e t eu M o B. a B a A o *-c B̂ M - a a

e •à B M eu o. n r t S ^ 0 r t M e t a B a a + B a H - B tt n *• n r i a a a B a a r i

O • a r-> a t e. M f M • a Pu a M -

a a. a B> H « a a C ' a

r t

6 M«

a M>

a B ^̂ a a M • ou o < n a M> a r- a

«4 0 o o r t a O a M> B 0 a w f B M a B a H-M H- O. ' a B a a

n O. 6 M 6 K> 1 o a t o •a a M a

B rt M e t a a 0 O a a P. r i a a B a a a" n M " f t B r - B r^ a a a r t t . f» f t a B a a c a o» r i a r* M>

ri a rt r-"

a r t rt a r-

a a « o. M» •a a M a a « t a H " H- o a o B eu n a a a a a r t B M- r i B m a n -* M l 09 3 a a r t

•a H - M - a B 1 a

rt a a

t t

r t r t C

a a p. a •O C M B a < B o rt a *\ a t a a a a c Ut H a •a B -

H « S' r" a t eu

#

a a H» r" a r" a 1 S M T B m r*

U l B l

M l 1

et i

a

- 44 -

M at L aont laa noabrea quantiques du centre de ttut et

a-(»SKT) avec

41 D

c d (3.12) t +î„-î'*î-î' c a

î+î-t'+î-t

Les coefficients de cette combinaison linéaire sont pureaent

f,éoa£triques, indépendants du potentiel ou de la «atrice de

réaction utilisés . Le détail des calculs est donné aux réfé­

rencée 33 et 51

Si noua réécrivons l'équation (1.4) sou» la forae

«<*•*'>-£ ̂ fgT^ S J(k)^** s J(k') (3.13) SJT

on voit que l'éléaent de aatrice réduit de l'opérateur de ré­

action G peut s'écrire sous la forae

^ A « l l c l n , * , a " > • < l « ^ l • + B h > ^ l • + c h S t 8 n • t • + < i h ^ t • •

(3.15)

Les coefficients . *-»B,C et D dépendent uniqueaent des fac­

teurs de forae s «t h des états particule-particule inter-

aédiairas dans lesquels le systtae est excité, des énergies E

de ces états intermédiaires (cf. équations 3.7 et 3.8) et

de l'opérateur de projection de Pauli Q-l-P

* * •

- ¥ O - y / (3.16)

» - ( A-(l*a)(l-b)+cd

•5 -

où l«a soaaaa a,b,c,d «ont, dana una notation «Vidante

pour d«» ondei eiaplea :

î» n"lï— E tîl «T n"' ni n"'1 —» _ . — —. E-E

n nlE-E ni n n' ni n'1 E-E n n'

c~Eh _L- g •£ h g £i£îïliïil fi--, n nlE-E ni n n* ni n'1 Ë-E n n

(3.17)

d-I g_-L-h_ +_i:_ g_ h '<»«'*"•> 6_ _ n nlE-E ni n n' ni n'1 Ï-E n n*

et pour de» ondea couplé»»

a—Eh h +ïh n t(n I n' T'KL)fi

T E-E n T û" T n'T' Î"-E E E'

b - ï g _ _ ^ g + r g g PCS' T n' I'NL)g_ _ n X E-E n i ' n i n'ï' E-E E E*

C - Z n _ J L g _ +Sh_ _g_ _ P<° Y °''T,,L)6__ n ï Î"-E n T n 1 n'IV f-E E E*

d - j ; g _J_ h + ï g h_ P<â T n' I'K1) 6_ _ n" X E-E n T n î n*T' E-E E E'

(3.18)

La facteur da Pauli, t K at S fixfa, aat aiaplcaent donnS

par :

P(n" T n' T'HL)-<-) (2S+DE | j £ £

J

Ï(2X+1)W(LÏJS,XK)Z ( 2 X , + 1 ) M ( L X ' J S , X ' K )

(*a *b X ] f*. *b X ' ] ï (2j + 1 H 1 / 2 1/2 S>(2j .+1) < l / 2 1/2 S /

V . (i . Jb JJ ^ . i b

J j V b

- 46 -

I <nT»LX|n t n.t.Xxn'T'llLX'la.in.i.X^ _ _ ' a a o b ' a a D o n. nb

**U,V.-nb*bV (3.19)

où f(«,b)-fa*fb-fafb , (3.20)

£ et f. désignant les proportions selon lesquelles les ni­

veaux individuels a et b sont remplis (*"(n t j ),...) Les equations 3.12 a 3.20 résolvent entiereaent le problè­

me du calcul de la aatrice de reaction dans les noyaux finis .

III.5. Résultats et discussions

Dans la soaaation sur le nombre quantique principal dans

l'équation 3.2 , nous nous sommes limités à 4 termes pour

l'oxygène, et 1 3 pour le calcium . Pour les deux novaux

considérés nous avons effectué 10 itérations pour une va­

leur de b donnée . Les résultats, rapportés dans les tableaux

IV à VI , se comparent bien 2 ceux obtenus dans des calculs

similaires . Nous obtenons pour l'oxygène une énergie de

liaison de -120. MeV pour N-l (b-1.54 fa) et de -140 MeV

pour N-4 et b-1.6 fa . De fait l'énergie est pratiqueaent

indépendante de b , dans ce dernier cas . Le gain en énergie,

dû au développement des fonction* d'onde RF sur la base de l'os­

cillateur harmonique, est de 20 MeV . Il s'explique par le

fait que les éléments de matrice réduits avec n et n'>4 aont

très grands pour <n 1P 1|w|n'1P 1> , <n 3P 0|w|n'

3P 0> et

<n Sjlwjn' Sj> , surtout aux faibles valeurs de b . Les rayons

quadratique* moyens sont respectivement de 2.31 et 2.28 fm .

Four le calcium les énergies de liaison sont de -307.2 MeV

(b-1.77, KMS-3.1 fm) et de 335. MeV (b-2. fa, RMS-3.01 fa)

pour N-l et N«3 respectivement . Ces résultats se comparant

étonnamment bien aux données expérimentale* »*•' , Le calcul de

la.densité, radiale protonique et de masse (voir figure 13) mon-

-47 -

tira qua las deux noyaux sont presque entièrement "surface", ce

qui correspond bien aux courbas empiriques "X doubles paramé­

trée" de Hofatadtar • "^ . Avec un potentiel complètement dif­

ferent, laramger arriva a la ai» conclusion" .

l?6ur i'oxyfJca, la correction du CM. est presqua entièrement

compensée par la répulsion coùloabianne . Las énergies de sépa­

ration apin-orbita sa comparant bien aux valeurs expérimenta-3

lès . Il semble que l'onde S. soit trop attractive et les on-•3- -1 - •

des ?„ et F- trop répulsives . - — - An

Les fonctions d'onde individuelles du Ca sont données dans

le tableau VI . L'importance des trois premières composantes C

du développement, expliqua la gain an énergie quand on passa d'u­

ne a trois composantes.

Incluant l'énergie du sacond ordre via l'équation 3.10 , nous

obtenons des minimums d'énergies 1 des densités plus fortes

b»1.40 fa pour 0 et b«1.63 fm pour Ca , ce qui corres­

pond évidemment à des rayons quadratiques moyens plus faibles :

R.MS-2.11 fm ( 1 60) et RMS-2.83 fa (*°Ca) Les énergies obte­

nues sont trop fortes :-177.4 et -453.6 MeV respectivement .

Ces résultats sont comparés aux valeurs expérimentales " d a n s

la tableau VIII, et montrent l'importance de la correction du

second ordre . Ces résultats (voir aussi les énergies individuel­

les- au tableau TIV) concordent bien avec ceux obtenue, également

au second ordre, dans la HI,les xapportries termes du second or­

dre â ceux du premier ordre, étant .comparables daAS les deux cas.

Les cortactions du sacond ordre étant importantes, il faut

s'attendre a ce que l'utilisation de la matrice de réaction G ,

conduise également a trop de liaison . Ses calcula, actuellement

en cours , ont montré que du point de vue des énergies de

liaiaon, la matrice G donne des résultats intermédiaires entre

ceux du 1 . et du 2 ordre, mais proches de ceux du 2

ordre .

Le potentiel na doit donc pas être utilisé au 2 ordre ou

avec la matrice de réaction, ayant plutSt été conçu comme un po-

kl -

temtiel "effectif utilisable au premier ordre de perturbation. Il ne semble pas qu'on puisse trouver un potentiel donnant suf­fisamment d'inergie de liaison au premier ordre, dans la MM ou les noyaux, ef pour lequel les corrections d'ordre supérieur soient négligeables- *1*'

CMAPXTII IT

FOKCES MOM LOCAL» IT TEAMSITIOMS DIPOLÀHES

PAM8 LEI.MOTABX LOOM g

I.- Généralités - Cas das forças conventionnelle* -

La fore* d'oscillateur pour una transition dipolaire photo­

électrique entre l'état fondamental |o> d'un noyau et un état

excité |m> , est définie par **** :

f o .^p < ' » - , o ) =i*° i . i ! M > i 2 < 4 - l J

où 0 est l'opérateur dipolaire habitual A

D- £ (s.-Z)(t .+ 4) , (4.2) i-i "V **-^* •

z. et t_._ indiquant la position at l'isospin du nucléon i

et Z >t iif)ri 1 la position du centre de maase des A nu­

cléons, soit "•:•'"•'

1

i x •'" . -.» i

Là section efficace intégrée d'absorption de photon» d'énergie

"a*» pax un noyau dans l'état 10> , se relie naturellement ,

dans l'approximation dipolairc électrique, a la somme des for­

ces d'oscillateurs f des transitions àv fondamental vers

Z-7" Ss. . En introduisant T -tt ".• l'équation (2) s'é-*• s *• - • s . a i •' •

01 tous lès états finaux permis |m> Ut)

- 50 -

°int »/o(ii»)d«-2ir2a§- I * 0 B—ry<0|[j[H,D],D]|0> . (4.4) • n •'

Vous désignons par a at H laconstante da structura fin»

at l'hamiltonien du système .

Si nous ioai limitons 1 das transitions dipolairea dans las

aoyaux lourds (2^40) et i des énergies "kw n» dépassant

pas 40 Me* •"'.,- la M < I 1 » d* |t( da Farad constitua una bona*

approximation , Par ailleurs, sauf aux basses Cnargias, les

affata da corrélation antra nuclions soat relativement peu

importants .

Compta taaa das charges effectivea m— at ~*T pour las

neutrons at protons, la tarsia ciattiq.ua dans H , donna.

"0--2(II/A)2*«<-Z/A>2-|£ . (4.5)

Ainsi, pour W-Z-TT , la soana daa forças d'oscillateurs éat Z

» , la raata'-provoquant das vibrations collectives sans absorp­

tion das photons . La aactioa efficace intégrée d'absorption de

photons est daas ce cas "*'**'

.. -4̂ 'iat lu Î" 1 5 k H * V " » b V <*'6>

Ca risultat demeura encore valabla si le potentiel nucléaire est

dû type local/ statique, habituel, celui-ci commutant avec les

coordoaaées daa nuclfons . Suivant las noyaux, ce ritultit rs-

or'seate seulemeat de 30 1 60 Z de la valeur expérimentale,

la seul moyen de majorer le résultat (4,6) est d'utiliser un po­

tentiel aucKaira ne commutant pas avec l'opérateur D .

II.- Farces aoa locales. - '• ; r • • . "•••• •. -. .•

Si la force nucléon-nucléon ne commuta paa avec 1'opérateur

dipolaira, il «pparaît, dans l'expression de la sectioa effica­

ce, un t arma supplémentaire h , mesurant l'importance du ca­

ractère d'échange de la forer t

: ? t : : t s : ï i s t : a ^ * : E > E t i & i i : * ** a M * : E > E t i & i i : * i» a rk * : E > E t i & i i : * • o 0 » a a » * o a a o a . r t O 0 * • a • a a a a a « n » * r » a it a — HI + a* - a o o * a r- n

m f + at r - a a a a 4 » a n H» «•• - + e y a r - - a a a a a a _ p

a a o n + a a a a it n a -a a r» H- t *

la a M n ar a a a a n la •a n ' t a. M » • M i t r * a *% u v . f f . p s " . : : »-, r» M U|K* u v . f f . p s " . : : r- a «M "Si

Ï : H l f f H Ê • • + e n Ï : H l f f H Ê «<• M •a Ï : H l f f H Ê s-» a) s ^ »r Ï : H l f f H Ê i * H a. •» M 0 r» a rt a A i t «• r" *• . H» H* a n - a n

"»• * • * a S S a S a S Ê a t " -1» M a S S a S a S Ê a t " -

a M M)U»

r k , «« «t 1 - O 0 n t i M)U» " f t S r . ^ ï î S - f r & S l S H , " f t S r . ^ ï î S - f r & S l S r* •> l a . Jf • - H i a a» a ** * a

•> l a . Jf a -s a ai • n n a * a r* * a

•> l a . Jf a M i t « H • a a a a t •> l a .

**ff • . a a t a r a a -a o r» i * •»™» w r- a * rr rr 0. r- r- a a 2 ^ •a w| w a. >- • i t a a r 1 a r * 0 a i t » r" •a w| w K. H. v. » a o a H-a «•

•a w| w « « • a o r t a a • a -a o

i t M m -a a H> e a. a o a •* Ci H * a > e o n a •- r, e a 0 H o •• r- - N p a a a r i a .r^ • H » M * • H 4 o a a* • - * H - • ~ • a * • i - o

s ^ r » . o - j r o « a a s o . o » B ^^ at a s- . a a

4 M e a» -a a a a. H» a •*• o a a • w e - a o a r» o a w o /-v n » g • 2 • r» • f i - o a a o a w o a r a a a a i M i o n a i t a s ^ ïntzii'iiïî 5 a M H- a a a - « wa H M o 0 a a - a a a e a e - n

. » rt a. a r* o a a a a a - a i t ^-S t S 'V& S " a. 'g " 'Sr . . r - l t 0 O 0 B . . P . - O

•• £ , n a . i > 0 0 a a o a o •• H> ' * S ar r- a o a 0 s

tr .*• o - r * • * » n a. a * . » • « " H a t - a - a H. M a a a a

f . «1 a a a rt 0 . 0 M rt • S»*

• •,?£"« I ( |

•ilWWI^'^WMi'|l«l-kM-lii.'JWWWBWWWW!g*WWIH#WBilW

H - a a a a a a i - a a a a a o n rr rt c a t o n a a> -a rt n S a; HI q H x i « t a f a ^ a c o r* a a 5 a. a a a. M a a •->• a H a a -m a - • a m • n c a r » rt

•a it a H . a a o -a n a • •* a n a a rt » H o a HI a> a H at H rr a a a o M O - - ' n i a * a n a ai . a a O ' O o o i t r t o M a i

•a ar s * * J . ** a »•• » a « I N a - a a . * a t n f . o i - > i-> A> a ^ o a r i r t a a a -a a a a a a M a . o s ^ a a * a + a "'• J> a a at a*

8 « ru a a <-* o o H»

a ft a a. a a - a- •* n a • r> < K « • o M o n ai <a

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vrfïfriiiH-f: n a -a a rt a a n "

t & .s ? s u? & 3 - y g fa

B, bi. rt > . ai a o a* n *

a r- r " tr . * 7 5 '~ï & 2

o a 0 n p. a o a a a a 0 H» B I t n PC r rr 0 e a a rt a i - s*. B a «-< a o rt n >»

n rt a o a a H-e i i r* »

- 52 -

Compta tann da (4.4) at (4.7) on' obtlant

h-«MJT-^ J ?<2 j^>^US^ 2 /o^ 2^-t7>l'it SJT<

k'| 2 •

-, -- ' <*V°>

XXI.- Meuitata auaariqaes - Diaeaaaion -

Nona avons calculé laa effete d'(change at da non localitf,

aeaare* par laa acalaira* njjfjT , pour lea ondes relatives

S_. *_ at D_ pour différentes valeurs du rayon nucléaire

(peraaetre r ) . La a ondaa da aoaeat oibital reletix' supé­

rieur 1 2 ont itS ntgliseee . Laa résultats (II) aont reau-

a*a dans la tableau X at coaparts X ceux obtenus pour la

potentiel rtaliate a coaur dur de la riftrence 13 , at notfs

Tour les deux potentiels considCrCs, laa qnantitCa aana dinen-aion n- g J T obtanuaa aont supérieures a la plupart déa rCsnl-

tate obtenus dana des calcula siailairea, aaia cependant en

bon accord avec 1'experience . Les daux potantial* donnant daa

résultats coaparableaaauf dan* l'état S. ou la potantial

le plue répaleif (I) donna daa Taleura da h( S.) aoins gran­

dee qua la potentitf aana singularité (it) étudié dana ça tra­

vail . Laa ondaa S, sont cependant prCdoainantee pour "«•

daax potentiels . L'pude F^ (pot. II) a una contribution

d'abord négative puia poaitive at rapidement eraisjanta avec

ky , ca qui esV.a coaparer 1 ua coaporteaent a&ailaire dana

las calculs d'énergie de liaison par nucléon dang la MR i

Cas réauitats aontrant qua la non localitC joue un rSla im­

portant dana lèa rtaction* photonuciéairea at paraat d'obtaniv

dee aectioaa efficaces d'absorption da photon* comparables 1

l'expérience, contr«ireaeat aux potentiel* conventionnel* qui

donnent de* sections efficaces trop faibles .

s

A « O a M B O 1 a a a a. B Ml f

- # B a- «t F - O f « a a a a H ' a W r t a A • a a i B a a n M W a a O" • a r t C r t n H> M K

a i « r t a. 1 a a a a F * m M a 0 a r t 4 r t •« a B H •a a r t a B

m a i » F - a t t n F > B F" M 6 <• a i a lr" F» 0 •»• a 0 B F* B. r t

M 0 . a B B A • a M a Ml a 4 a a a i a i a r t F- B a •a a F- B f 4 r t «t i a a M a F> B a a B. a H . e a B. a B F - a B 0 M •» F« • 0 a.. H a F" r t r t A a 6 6 a a a a • a <a F ' M« B F » *• a F» a a a

H. « « o •a a F- B. m a a r t B. B o ce B B w a a a F> a t t o * a i B c a F > a a o M a «r

B a a •*< n a a a a r»^ «4 B B r t B 0 « 0 «4 a o r t a n # a û . » H a a • a . 0 0 B r t m a a M a a « H o «•* a i t t • n S •B B •B *0 < a 11 r t •a r t a M a a a i o a O 6 • • f o f F- B a o o rt a •o w B F» a a O a r t •a «t H* m o (A n a H» M a a B. M e « a. a B 1 a \ a w '* F - F - B a B a a a > o. O r t H> r t rt

0 B B a a a a i M F- •a. F-a IT f f» a r» o r t d a a i 0 a F» B a M B e t «4 B • a n r t a • F * B Ml a • 8 F» a a a F- 0 a a • a 0 e a « »t M M a 4 • ¥t F» ^ a i a u B « B* m r t F- •4

a l a r t B 4 B. a r» •a a i a «o F- B. M

» d a a H- • a a a a • M B a 6 «r H- r t •B r t e* O • r t a 2 a •••• a F" a B o « r t 4 a r t • n r t » M a 5" a O. B a H . F ' a i F » « a r t B M a r t a D. d n « B. a

O F- f» « a a F" C • • a r t

» 6 4 F- M F> a a a • a a r t

• » • r t a n Ml a a a - * > B F»

s. » a i a - r) Ml r t o- ^ H O a o" a g H a a a B ' B a a r t 0 F« B N F > a i •0 M r t a- o F- M 8 r> a i H ' a f a F- M •a « o 8 a

o. 5* a> n B n a F» a M B a 6 a F» H* a a r t a r t •a F« B 0 a a 4 n 0* a B F ' a i s* «t M a- a • a H ' F -a i a "2 » 0 . Ml n a i a i F > o* M M B a B » a B a F> M w m B F> • F* a H M- a H . ^\ a i B a a H» a i a f •a «"B» a i •0 i 04 a a r t B

a. 2 B a F> B M a a. •a a a B

*5 a a i a a •a a 00 n • H- a f

s e> t a w • a a H M r t 0 B M • r t w a « w M •a • a f | 1 O o H n B 0 . a a p . 0 . M

E* a + a r- 0 B w n rt a H* 4fe

g K » •o H a B a H a r t 0 Ml I I

S • a w 1 a 1 •0 a i H- d a I a < i "Î a a

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M B. n F» F ' r t a F<

"l a a a F'

I t M s- ï. a

o a i n 0 s s t» f r t »• m o N a a i -a a M a a a n a 0 tt n 4 *b a a/

H ' F ' a F . pr a. r t » a a r t F 1 a e B 0 M B a r» M F"

«4 •a a F« r» o. o a a a M B fK a a B a a B. a i C r>| M B a a 0 * ft Pi B a i

M" a a M o 0 r t m F » F» (M f t >4 B

>• n o a a ft W a B. 1 a a • H* H B a *• a F» a a r>J n M a » n •a a d

n B a r t n Cw a a o F" n M « •a o £ a r t 0 , a i a- F ' n n a H» o m f t a* a 0 M B- f i a a a a a F- B< a 0 a i H B A a

i o r t K i * B a. a •a a n a a et B •a F ' M f f a •4

•a a • A a. •a H o F- B a a o M a B B o a. r t B a a •a B a i a O M 0 o" ta M a F* 4 r t F" N» a r t m F" a a a

a •• a B • a H F ' F ' f t r t a a a a M a a F- a o

a a Ml A r t F ' o •a F» B. M f t 0 a /• B o • B n a • a a B. O t t « a a B M a pr F ' O o F- F-

• , » , ,4- B a a • * r t a a a a O B «4

• o. «4 a •a o a » a a. a a a !-• e N a a V

a r t •a F» a a O a a o. a H a « I a A • a M F- 0 a F" a . i O

rfl F» B 0 a r* B « a a « M a

» B B a i B. tt a. F» B a F» a

» a a a a

O n a i

F< n l f S

s - 5* -

meilleure compréhension du potentiel réaliste présenté dane ce

travail .

Fi la force nucléaire eat purement du type Wigner et Majora-

maa la fonction d'onde du système ae factoriae en un terme d'es-

pace et un terme epin-isospin . Lea symétries de ce dernier ter­

me peuvent aervir a la claaaification dea étata **•' . ta fonc­

tion dependant dea spins ae traaaforme comme la baae d'eae re­

présentation du groupe SU(4) ; ce» représentations «ont d'or­

dre [l] (fondamental), [0• •** * Dana la creation dea états

a une particule - tin trou, la fonction d'onde ae transforme aui-

vant la representation :

lea indicea p et t ae référant aux fonctions de spin-isoapin

de la particule et du trou, respectivement . La representation

irréductible [l] correspond 2 l'fitat fondamental, et la repré­

sentation £15} décrit lea premiers étata excitée (Os) (Op) et

forme le supermultiplet de Wigner

[(2T+1) 0 (2S+l)]-[3 Qf 1] ® f l ® 3} © [ 3 ® 3j

L'utilisation d'une force réaliste comme la nStre, prëaentant 2

côté des termes de Wiener, dea termes apin-orbite et tenaoriels,

permet de déterminer dans quelle meaure la théorie du supermul­

tiplet est valable .

Voua effectuons le calcul dans l'approximation de Tamm-Dan-

cof f :

(: -s)-- <$ oil : (5.2)

»JT D A a , I b " < c A ~ e a ) 4 A * 6 a b + < A * ; J * . ™ « T I W I B D îJM.THj* .

(5.3)

Les e. et e sont lea énergies individuelles dea particulea

A ou daa troua a .

- 55 -

Les CICaents de matrice particule-trou de (5.3) s'expriment en fonction des Cléments de matrice particule-particule: per la re­lation de conjugaison :

<ab~ 1;JT|w|cd" l;JT>—/(l+S a d)(l+o 1 ) C)

{j- J b J* /l/2 1/2 ï Y * ° } 4 V<ad;J,T' W cb;J'T'>

J c j a J'J (l/2 1/2 T'J • .' i. (5.4)

In fait, dans le cas qui nouainteresse nous ne pourons. crier des trous que dans l'orbite "(Os) et, nous nous limitons a des excitations d'ordre IBe) , donc ignorons la couche Os-ld . L'équation (S.2) peut se rCsoadra analytiquamant n o diffi­cult* •

Parmi les états ï-0 , des excitations:spurious n'appa- -raissent que dans l'état P. qui n'appartient d'ailleurs pas a la representation [l5] . Les trois autres Ctats T-0 , soit 3 3 3 . • • ' . — •

P_, P. et P, a ont un couplage L-S pur « Les,Ctats 0,T«1 et 2 ,T»1 ont simultanément un couplage L-S. pur et un coupla­ge j-j pur, leurs fonctions d'onde respectives étant les aimes dans les deux aodes de coupla:*;* l*e-»TJ . j, c s cinq Ctats cités sont donc dCterainCs d'une façon unique par les nombres quanti-quef T et J . Il existe cependant deux Ctats indépendants J-T-l , qui ne sont pas Ctats propres de l'namiltonien total,et qne noua diagonalisons dens la base

ls Pi/2» J" 1 * •' !•" p3/2' J" 1~* , n prenant :

e -e.«4iM-21. A MeV . P •

L'Cnergia de separation spin-orbit* dépend uniquement des Ctats "triolet-impair"

pl/2 p3/2 8 ° X 2

- 56 -

oil noua notons lea * Usent» de ««trice réduits

<2S*1£*]J»-<(n-0*S)JT|w|(n«OiS)JT>

Cette inertie de séparation dépend fortement du paramètre b

de l'oscillateur harmonique **7' (voir figure 14) , dépendance

qui s'explique si on sait: que lea éléments de matrice (5.6) dé­

pendent eux-mêmes forteaent de b . Il est probable que le

choix des fonctions d'onde individuelles (oscillateur harmoni­

que) soit critiquable pour un noyau aussi léger . Cependant la

situation s'améliore nettement pour les grandes valeurs de b ,

la position théorique du centre de gravité des énergies, corres­

pond i la position'expérimentale pour b»1.65 fa (en négligeant

le second ordre) .Le "splitting" spin-orbite est alors de 5.5MeV„

un peu supérieur 2 la valeur expériaentale (4 MeV) et les.niveaux

calculés correspondent 2 un MeV pris aux niveaux expérimentaux * .

Tous ces résultats sont encore sensiblement améliorés pour une on-3 3

de S. moins attractive et une onde P. aoins répulsive .

II.- Les isotopes de l'oxygène.

Mous nous proposons dans ce paragraphe d'effectuer un calcul

dans la couche Od-ls et de calculer 2 la fois avec le potentiel

étudié V et la aatrice de réaction G " " de Kuo-Brown déduite

du potentiel HJ ( , ) , les preaiers niveaux de l 8 0 , 1 8 ï , 1 9 0 et

0 . Roua utilisons, pour le calcul des éléments de aatrice ré­

duits, un paramètre de l'oscillateur harmonique tel que TitJ-14 HeV.

Nous considérons pour ce test, 0 comme un noyau inerte, ce

qui n'est vrai qu'en première approximation . Noua obtenons les 18 18 états de parité plus de 0 et t par diagonalisation da

l'interaction neutron-neutron, et proton-neutron, dans l'espace

< 0 d5/2* X'l/2« 0d3/2> !

- 57 -,

Od 3 / 2 — • — ~ C d 3 / 2 - 5.08

•i'«j>2 —';.''. - •— — c, • 0.87

^S/i ; E d 5 / 2 " ° '

La figura 22 montre qua l'ordre at l'espacement des niveau*

T-l , obtanua pour la potantial W ***' at l'opérateur G "*

aont id«atiquaa . Un examen daa éléments de miti-ice» calculé! a-

vec daa fonctions d'onde coupler* à J et T .montra qu'ils

aont tria voisina pour Coûta la .couche, (Od-ls) . . Le premier ni­

veau 0 sa trouva aaaas loin au-deaaua du niveau expérimental

parce que noua avona tenu pour negligible la polarisation du

coaur ' 0 . Remarquons que le deuxième niveau 0 , la deuxiè­

me niveau 2 , et le deuxième niveau 4 peu affectés par cet­

te correction, se trouvent en étonnant .accord avec l'expérience,

tant pour W que pour G

18 L'accord est moins bon pour le apectre du F . L'ordre des

premiers niveaux eat encore celui de l'expérience avec W alora

que ce n'est plus le cas avec G ; le premier 1 (fondamental)

aat trop bas avec V et trop haut avec G . Il semble que lea

corrections 4 particules - 2 trous soient vraiment importantea .

Dans le calcul des spectres de 0 et 0 noua avona à

considérer respectivement troit et quatre neutrons en dehors du

coaur 0 y et devons donc utiliser les coefficients de paren­

té fractionnelle (c p f) - * pour le calcul des éléments de

matrice . Dana le but de simplifier les calcula noua noua sommes

limités a l'espace (*i/2»d5/2^ ' •PPCoximation qui nous semble

raisonnable et qui read poacible la construction analytique expli­

cite des matrices de l'heailtonian pour lea premiers états t trois

et quatre nucléons . Les résultats sont rapportés dans les figu­

rée'1 24 '.et "25 .

- 58

19 Four 1* 0 , le* deux premier* niveaux sont interverti*

par rapport a l'expérience, tant avec H qu'avec G , et *e

trouvent trop haut .11 aernble impossible d'obtenir correc­

tement le niveau 1/2 dans le cadre du modèle en couche* u-

tiliaé . De fait, de* calcula tant microscopique» (HF) que ma­

croscopiques (modèle de Xilston) actuellement en. cour*, mon­

trent que ce noyau est fortement déformé .

"* 20

Lee mêmes constatations t'imposent pour 0 . Il est pos­

sible d'obtenir avec G et H , un spectre en excellent ac­

cord avec l'expérience en tenait compte des déformations du

noyau *••''' .

III.- Les noyaux de la region A-50.

Mous étudions dans ce paragraphe les noyaux de la region

A-50 ***' tt plu* spécialement le Se pour lequel aucun

£tude détaillée n'a été 'faite avec des forces réalistes .

«)- Lt ic.an.ditm . . , . A part le calcul de Kuo-Brown (KB) l**'uti-

lisant le potentiel de Hamada-Johnston (HJ), toutes le* étude*

qui ont été faites *ur le Se sont purement phénoménologiques.

Vervier ***' détermine les élément* de matrice diagonaux de

l'interaction proton-neutron dans la configuration réduite £ 7 / 2 ^ ' p 3 / 2 ^ ' ' l " c t " " ' niveaux expérimentaux ;

( f7/2 H/2y d u 27 C o29 " d t t 27 C o31 '

San* un calcul ultérieur * , il étend '.'«space de configu­

ration aux orbite* Pi/2^n^ m t fS/2^ n^ * T « C une interac­

tion de type; 6 ... Ohnuma et Sasaki '* fixent le* para­

mètre* d'une force phénoménologique 2 partir des données ex­

périmentales sur le Co it la Se . Borie, Oda et/Oga-

va '*•''déterminent les éléments non diagonaux 2 partir d'un

grand nombre de données expérimentales par un procédé du

59

•oindra carré . Hugues at Soga * , f' utiliaant dei mélanges de

Soper at Kosenfeld complétés par daa interaction» particule-

trou tirées da l'expérience . KB "*' ont utilisé récemment

le spectra du Se comme teat de leura éléments de matrice

de reaction diduits du potentiel de HJ * . lia ne tiennent

cependant compte de* configuration* particule-trou que par la to

renormalisation due 2 la polarisation du coeur Ca . L'ef­

fet global de* G, •-. est plutôt faible . Tous nos résultats

expérimentaux sont pris dans les references 5 7/ et K**' .

5 0 S 2 1 2 9 48

des orbite* pleine* du 20C*28 ' *** prettier* niveaux de pa­

rité plu* «ont bien décrits par la modelé en couches et les

rifCrences citëcs donnent successivement pour les premiers ni­

veaux, 5 , 2 , 3 et 4 , en bon accord avec l'expérience.

Ces niveaux sont détermine» essentiellement par le couplage £7/2^ p^~ p3/2^ n^ * c*Pendànt des modèles ou da* força* aussi

•impies expliquent difficilement le 1 trouvé expérimentale­

ment 2 1.84310.001 HeV du fondamental, ou le niveau obtenu 2 + +

3.1 HeV et qui eat soit le premier 0 , soit le deuxième 1 .

KB par exemple obtiennent ce* deux niveaux aux environ* de

4.5 MeV au-dessus du fondamental . Dans le but de clarifier cet­

te situation, nous avons effectué un calcul sana paramètres

adaptables, avec des forces réalistes, et où le* saule* quanti­

té* tirées de l'expérience sont lea énergie* individuelles daa 48 • '

neutrona et proton* en dehor* du Ca . Le* énergie* de sepa­ration, évaluées % partir daa mas*** nucléaire* empirique* sont 9.623 MeV pour le proton 0f 7 /, du *9Sc et 5.144 MeV pour le neutron l.p . '<'du Ca . Les énergie* d'excitation des proton* varient considérablement d'un auteur %. l'autre (voir le tableau XIV) ce qui affacta évidemment certain* niveaux du spec­tre théorique . tes états propres du scandium ont T«4 ou 5 avec T "-4

1 • " •

(t.'-y) , pour un neutron) et comprennent le* composantes suivan­

te» s .

- 60

L-

Lea état* T-* sont preponderant* par lac etat* :

Jl>-|f7/2,i2;JM>- S <JMlJ •1j2«2>cj(|ai1)c*<j2»2)j48Ca>.(5.8)

"l m2

|n>-|j1J2;JM>-

rmn^r^ l <JM|j

1"1J2"2'

{^^Jl«l ) Cn (J2»2 )* Cp^2-2> Cn (il ,»l>>| 4 8 c« >

oft C_ at C aont reapectiveaant laa opérateur* da ctCation p n d'un proton at d'un neutron . La» opiratauri d'annihilation cor"

reapondant* «ont C at C «La fonction d'onda II> dtcrit P nf »

laa calcula daa references ***'**' *t |ll> décrit laa coupla­

ge* neutron-proton T-0 . En accord avec le* r{suitat s de KB

** aoua obtenons des coaposantea particule-trou relativeaent

faiblea . La tableau XVI indiqua lea coapoeantea dee fonction*;

d'onde aur les (tat* :

im>-Vf _ , (5.9)

I iv>-

j-a

qui conduisent a des ileaent* da aatrice du type

•l H I ' 0

II IT

(5.10)

f*jj <JÏ1(P>J(«*)J|«'I«7/2(P)£7/2C*)J>

•HMWi*., , ) • « , , (-1) l 2 <J 2

1 <p) j<n) j |wf f"J 2 (p ) f 7 / 2 U)J>] .

>* .-S * • $

- 61 -

La correction Ae. 2 l'énergie individuelle expérimentale

e . du neutron j , et qui apparaît aur la diagonale de la

sous-matrice H__ I V peut ître tirée de 1'expérience . La

difference d'énergie entra lea Stats où l'analogue d'un neu-48

troa j est couplé 1 Ca et où un neutron j eat couplé 48 2 l'analogue du Ca est égale 1 la aoitiC du rapport antre

l'énergie de symétrie de l'état j et l'isospin du Ca .

Cette difference vaut aussi -Ac • • Mou» avons préféré la

calculer en fonction de la force réaliste étudiée W :

A cj"ï73FT7 s

t <2 J , + 1 >C < f 7/2< B ) i< B > J , |w|f 7 / 2 <p>J<»>J'>

•J

•<f~J2(n)j(n)J'|w|f~J2(n)j(n)J'>3 . (5.11)

Pour les orbites fe/» *' f'i/2 n û u * obtenons sensiblement

la «laie correction avec notre potentiel qu'avec celui de HJ

•"** . Ae(p, / 2) est par contre plus important pour notre

potentiel que pour la matrice de réaction . (Voir tableau XT).

La figure 17 montre lei> spectre» obtenu» avec trois choix dif-

f"Srents d'énergies individuelle» expérimentale» : EMS *•** ,

Kl '' et ES (**> . L'effet est surtout sensible pour les

deux praaiers niveaux 1 et le premier 0 .

Il est possible (EKS) d'avoir un niveau 0 aux environs de

-13 Me? , où sa situe aussi un niveau expérimental 0 ou

1 , mais alors le premier V <tst trop baa d'environ 0.6

KeV .11 semble difficile d'obtenir simultanément le 1 et

le 0 .En effectuant le même calcul avec lea éléments de

matrice de réaction de KX • *' (potentiel de HJ) nous ob-,

tenons «a résultat similaire; le premier niveau 1 et le

demxiftme ,4 «ont cependant plu» proches de l'expérience

peur W que pour G . Lea spectre» de W et G sont de

plus tris proches da celui obteau par KB avec G + C3,i|, » S»*

l'inclusion des corrections particule-trou ne sa fait que via

1* ranormalisatioa 3 particulas- 1 trou : las 16 praaiers

niveaux se trouvent dàne-1» mima ordre et pratiquement aax ut-

62

•ea énergies, ca qui noua fait conclura qua l'effet des coafi*

gurations particulaMrous étudiées eat équivalent es moyenne

X la renormalisation S, ,. da KB . Tous ces calculs prédi-+ 3pin

aant un niveau 6 vara -16 MeV at qui n'a pu être pauplé

par la réaction Ca( He.p) Se .

+ 2 La premier 0 ait essentiellement (P*/?) tandis que le»

niveaux 1 ont un tria grand mélange de configuittiont. La

fondamental aat du typa (£7/2»p3/2^ preaque pur . Un te»t de

ce» fonctions d'onde aat par exemple la valeur leg ft pour

la transition p. 5 0Cà<0 +)+ 5 0Sc(l +) . L'Élément de matrice

de Camov-Teller M„_ s'exprime aisément, via des coefficients

géométriques de couplage de moments cinétiques, «n fonction

des éléments de matrice <jfi jo"| | j,> et on obtient finalement

pour Î

log10ft*log106132-log10(1.39 M*T>

la valeur de 3.2 , ce qui se compare assez favorablement a

la valeur de 3-5 obtenue par KB ( <"' et a l'évaluation semi-

empirique de *.* < * , ) .

bi- C*lC4MM tt tltMMt -

Le spectre des neutrons de valence du Ca , calculé ave?

les énergies d'excitations KB du tableau XIV, est représenté

dans la figure 18 pour le potentiel V et la matrice da réac­

tion G . Las fonctions d'onde obtenues par diagonalisati'oa

dans l'espèce IP3/2» ^5/2' 1 ?3/2 ** t r o u Y , n t dans le tableau

XVII. Pour les premiers uiveaux, l'accord avec l'expérience est

bon, pour les autres, mime l'inclusion de G. J t , n'améliora

guère la situation .

Pour le Xi (2 protons) le potentiel W et la matrice

G donnent des résultats identiques . L'inclusion de* correc­

tions 3 particules- 1 trou permet d'obtenir un bon tecord avec

0 ( j ' , T ) « 2 S T X s i

s i i j

- 1 s i j s i j

63

1'experience pour les premiers niveaux . Les fonctions d'onde ob­

tenues sont reproduites dans le tableau XVIIt

49 Les niveaux 2 un nevtron du Ca ont été calculés à partir

des niveaux expérimentaux '•'•' du Ca , ceux 2 un proton du

Se 2 partir des niveaux expérimentaux **•' du Se par la

relation :

(5.12)

contient uniquement des neutrons et

est un neutron ou un trou de neutron .

contient uniquement des neutrons et

est un proton ou un trou de proton .

Par ailleurs, bien «fir, on a :

6(j',T}-2T*l si l'orbite j* contient des protons et des

neutrons .

On a J'=Of 7 / 2

49 et j={lp 3 / 2, Of 5 / 2, lP 1 / 2* pour le Ca

j={0£ 7 / 2, lp 3 / 2, M 5 / 2 »

l pl/2* p o u t l e S c *

Les spectres obtenus avec le potentiel étudie W , sont plu»

proches des spectres expérimentaux que ceux obtenus avec lea

éléments de matrice de KB , ce qui semble du au fait que soi

éléments de aatrice T-l soient légèrement; plus répulsifs que

ceux de KB .

c)- Comcttuloiu -

•ous venons de montrer qu'il est possible de trouver un po­

tentiel nucléaire réaliste sans coeur dur, de comportement si­

milaire 2 la matrice de réaction G déduite d'un potentiel 2

ipe

- 64 -

coeur dur, dans des calculs de spectroscopic et de structure nu­

cléaires . Dn tel potentiel régulier peut être considéré cou*

le txansforaf unitaire d'un potentiel rëaliste à forte singula­

rité a l'origine **») .

Les noyaux de la région A»50 présentent des composantes par­

ticule-trou non négligeables . L'inclusion des configurations 2

un trou de neutron permet d'obtenir pour le Se un spectre en

bon accord avec l'expérience .

CHAPITKI VI

DISCUSSIOM DU POTEMTIEL

La tendance actuelle de la Physique Nucléaire, consiste 2 cher­

cher a expliquer les propriétés aicroscopiques et macroscopiques

de la MN et des noyaux, a partir des potentiels d'interaction nu-

cléou-n<jcî.<îs>u qui rendent correctement coapte -les données expéri­

mentales de la diffusion de nucléons libres . Ces potentiels nu-

clëon-nucléda sont généralement tris fortement répulsifs (coeur

mou) ou infiniaent répulsifs (coeur dur), pour des distances in­

ternucléaires inférieures 2 0.5 fm et doivent être remplacés

par des interactions effectives, telles la aatrice de réaction

de BBG, le pseudopotentiel de Feshbach Loaon , le potentiel

effectif transformé unitaire *" *•' du potentiel réaliste .

Toutes ces transformations sont sujettes 2 critique , et

surtout suffisamment compliquées en elles-mêmes pour ne plus

permettre ie giii'i calculs de structure ou de spectroscopic

nucléaires . La méthode la plus simple nous a semblé être celle

qui consiste X trouver directement, sous forme analytique, un

potentiel régulier, £-partir des données du problême 2 deux

corps, potentiel qui peut être considéré comme le transformé

unitaire d'un potentiel réaliste ayant des corrélations 2 cour­

te portée . Les calculs de MH et de structure nucléaire sont

alors grandement nimplifiés, et les résultats sont sensiblement

plus proches des données expérimentales que pour les autres mé­

thodes .

Examinons, pour finir, les différentes approximations et hy­

pothèses faites sur le nouveau potentiel présenté dans c* tra­

vail :

- 66 -

VI.1. Domaine de validitC du potentiel -

Le potentiel a «té construit de Manière a reproduire les dé­

phasages des ondes relatives S,F et D jusqu'à 400 MeV

Il est donc clair qu'il ne peut être utilisé pour des interac­

tions faisant intervenir des énergies supérieures â 400 MeV

D'ailleurs nous somme* 12 en doaaine relativiste où la notion

de potentiel traduisant l'effet moyen des nuages •ésonique» en

interaction et impliquant une transmission instantanée du champ

nucléaire, n'a plus de sens . Dans les noyaux cependant, la qua­

si totalité des interactions implique des énergies comprises

dans le domaine de validité de notre potentiel .

VI.2. Importance des ondes négligées -

Dans les calculs qui précèdent nous avons négligé les ondes

de moment orbital relatif .supérieur a deux . Il nous semble que

cette approximation ne prête pas X conséquence . D'abord les dé­

phasages entre 0 et 400 MeV des ondes f et G sont négli­

geables * . De récentes expériences de diffusion de nucléons

X haute énergie ** .confirment que les onde* F ne sont impor­

tantes qu'à partir de 600 MeV . Il semble donc que les moments

orbitaux relatifs supérieurs a 2 n'interviennent pas dans les

interactions i\ l'intérieur de la MM ou des noyaux . Far ailleurs

les incertitudes dans la détermination des déphasages de ces on­

de*, sont tellement énormes x 7 , 1 >'' que les paramètres du poten­

tiel que l'os pourrait en tirer, n'auraient plu* de signification.

De plus, le fait d'avoir obtenu de bonnes énergies de liaison de

0 et Ca par exemple, semble confirmer que les ondes t>3

étaient vraiment négligeables .Quoiqu'il en soit, du fait que

la quasi totalité des auteurs se limitent, dans leurs calcul*

aux ondes relatives S, F et D,. il ne semblait pas nécessaire

d'en inclure 4*'autres dans no* calcul* .

* ... et que les ondes H na sont huiles qu'à partir de 900 MeV.

- 67 -

VI.3. Comportement 1 longue distance -

Noua n'avons paa ajoute explicitement un terme O.P.E.P. prédo­

minant a longue distança, X notre potentiel, pour la simple rai­

son que 1'(change d'un seul v-aCson ne se fait qu'à partir d'u­

ne distance de 2 fm , ce qui correspond X un nouent orbital

l>4 , et les ondes correspondantes ont précisément été né­

gligées . Cependant les ondes S ont un comportement correct de

type Yukawa '*' .

VI.4. Importance de la non localité -

Quoique à ce jour nous n'ayiona encore aucune information ex­

périmentale quantitative sérieuse sur la non localité des inte­

ractions nucléaires, il était intéressant de savoir si pour le

potentiel en question, elle est importante ou non . On bon test

de l'importance de la non localité nous est fourni par la règle

de somme dipolaire électrique .

Un calcul de la section efficace intégrée d'absorption de pho­

tons pour tes noyaux lourds permet de conclure 2 une non locali­

té relativement importante mais en excellent accord avec les ré­

sultats d'expériences de transitions dipolaire» .

Une forte non localité signifie que dans le développement du po­

tentiel non local par rapport ï l'impulsion, les termes quadra­

tiques {de type Creen) sont importants, ce qui explique probable­

ment l'étalement <J'i spectre I une particule (2ëm« ordre) .

Vous avons, bien s6r, sous-entendu d'autres hypotheses sur la

nature des forces nucléaires .D'abord nous avons déterminé une

força ï deux corps, mais les rorces i trois corps peuvent jouer

un rSle non négligeable .A en juger d'après les conclusions

contradictoires publiées récemment * la question reste ouverte .

Ensuite nous avons admis une parfaite indépendance de charge,quoi­

que des mesures récente» '*•*/ indiquent une dépendance de 3 * 5Z

(indépendamment de la force de Coulomb) .Si nécessaire, ces pe-

- 68

tites correction* peuvent facilement être apportée* au potentiel

présenté ici . Si le potentiel a un comportement suffisamment

"effectif" au 1 ordre, cela e«t dû essentiellement â l'onde

S, qui est très ou trop attractive . Au 2 *' ordre l'onde P n, 1 et h un degré moindre P. , jouent également un role important,

généralement défavorable,(trop de répulsion) .Ces caractéristiques

ae répercutent dans tout calcul nucléaire . Si on modifie le po­

tentiel dans le sens de ce* remarque*, il a un comportement plu*

satisfaisant, surtout en.spectroscopic "'' . Cependant:, mSme tel

quel, les éléments de matrice de la couche Of-lp sont très voi­

sins des éléments de matrice de réaction obtenus par Kua-Brown

pour le potentiel de Bamada-Johnston . Une conséquence en est que

les spectres des noyaux de la région A»50 aont identiques pour

le potentiel W et la matrice G

Il nous semble que le potentiel présenta dans ce travail, sa­

tisfait X toutes les conditions importantes requises par la plu­

part des auteurs : il décrit correctement la diffusion libre nu­

cléon-nucléon jusqu'à 400 MeV , il sature 2 la bonne densité

dans la MK , au l f t f ordre, conduit par des techniques HF a de

bonnes énergies de liaison dans les noyaux et explique correcte­

ment dans l'ensemble divers types de spectres nucléaires .

CONCLUSION

Noua avons determine un potentiel réaliste, «Sparable et non

local qui rend correctement compte du déphasage dan» les ondes

S, P et D jusqu'à 400 MeV . Les écarts entre les courbes

de déphasage calculées et expérimentale» sont de l'ordre des

incertitudes expérimentale» . Ce potentiel est sans singulari­

té 1 courte portée et suffisamment régulier pour assurer une

convergence adéquate 2 la série de perturbation .

Appliqué 1 la Matière Nucléaire, ce potentiel donne une ë-

nergie de liaison par particule au 1 e r ordre de -15.5 M«v 1 la densité de saturation k_-1.45 f» , soit les valeurs

expérimentales . Ce trop bon accord est cependant spolié au

second ordre où nous obtenons une énergie de liaison considéra­

blement plus grande, et du même ordre de grandeur que celle ob­

tenue par la matrice de réaction G .

La séparàbilité du potentiel et le choix particulier des fonc­tions v.,(r) (équation 1.5) .permet d'utiliser les méthodes

• XX'

de trueckner-Bethe-Goldstone sans trop de difficulté .

La méthode de Hartree-Fock donne pour 0 et Ce des

énergies de liaison et des densités en bon accord arec les ré­

sultats expérimentaux et en harmonie, d'autre part, avec ceux

obtenus aa premier ordre de perturbation dans la Matière Nuclé­

aire . Nous calculons l'énergie du secoad ordre en prenant pour

fonctions d'onde des états intermédiaires, les fonctions d'onde

de l'oscillateur harmonique et ea «pproximaat l'opérateur de ?au-

li d'une manière statistique .. Les énergies ainsi obtenues sont

légèrement supérieures aux valeurs expérimentales, compte ténu

de l'excitation du centre de masse et de la répulsion de Coulomb.

- 70 -

Le* rayons calculi* sont trop faible* pour let deux noyaux .

Le* densité* radiais* d« neutron* et de proton*, calculée* avec

le* fonctions d'onde individuelles HF, «ont en excellent accord

arec la* résultats des expériences de Hofstadter . Hou* avons

calculi analytiquement la matrice de rSaction 6 dans le* noy­

aux . Le* foraules finales sont indiquées a" la fin du Chapitre

III . L'opérateur d» Pauli est, dans ce cas, calculi exacteaent.

L'importance de la non localité «t du caractère d'échange du po­

tentiel est évaluée par le calcul de la section efficace inté­

grée de transitions dipolaire* du fondamental d'un noyau ver*

le* état* finaux permis . Le choix d'un détsrainant de Slater

de fonction* d'ondes planes, pour la fonction d'onde du fonda­

mental , rend ce calcul surtout valable pour les noyaux lourd* .

I! s'avère que le caractère d'{change du potentiel est extrê-

aeaent iaportant et permet d'obtenir des sections efficaces de

r{actions photonucléairas de l'ordre des valeurs «xpiriaentales. 3 3

Quoique l'onde S, soit trop attractive et l'onde F. trop

répulsive, le potentiel étudié permet d'expliquer le spectre de

pariti aoins de He . Les niveaux de 0, 0 et °0 cal­

culi* dans le cadre du modèle en couche* classique avec le po­

tentiel considéré K et la matrice de réaction déduite du po­

tentiel de HJ , se comparent assex bien è l'expérience, sauf

pour 0 , pour lequel 1* aodèle utilisé est aoins valable .

Vous avons enfin calculi les.spectres des noyaux de la ré­

gion A-50 et montré; dans 1*: cas du Se que l'inclusion

des configurations è une particule-1 trou, les plus probables,

est équivalente è la correction perturbativ* "3 particules -

1 trou". (C, ,.) . Le* fonctions d'onde ont été testées par 3pin - ço * *n +

le calcul d« log ft de la transition S Ca(0 )+/°Sc(l ) .

Dam* tous ces calculs spectroscopiques, le potentiel; conaidi­

ri a lia coaportémnt vraiment similaire à celui de la matrice

de riactio» de M .

De fait cet accord est d'autant meilleur que b eat plus grand.

Par exemple dams la couche Of-lp , (Ttu'10.5 MeV) les résul-

- 71 -

tats «ont meilleur* que dans la couche Od-ls (%u«14 HeV) et dans l'Étude de He l'accord avec le spectre exp&rimental n'est obtenu que pour les grandes valeurs de b . Ceci se comprend aisément sachant que les disants de aetrice rCduits, surtout ceux correspondant aux ondes les plus critiquables 3 3 ( S-, P.), diminuent rapidement en valeurs absolues quand b

augmente . Utilisé comme potentiel effectif, (calcul au l*r

ordre) le potentiel itudii, ou éventuellement corrige dans le sens indique, est un excellent instrument de travail en ph-si-que nucKairc .

AFYMBXCKI

Afin da"ne pas. alourdir inutileaeat l'exposé de ce travail

aoàe donaona ici «a appendice quelque* interatdiaires at ré­

sultats da calculs utiles •

A?PI1IDIC1 A

Sur l'approximation do l'espace da phase sphérique

La contribution du second ordre t l'énergie de liaison par

particala dans'-'la MX a été faite dans 1'approxiaatibh da l'espace

de phase sphérique, dans laquelle on raaplaca la condition poor

K da se trouver dans le volune coaaun 1 deux spheres de Ferai,

distantes de K , et la condition pour k' de se trouver hors

daa deux sphtree (cf. 2.8 et 2.10) par" las deux conditions

(2.11) aatreigaant k 1 deaearer a l'intérieur d'une sphere

da rayon kp~Vy , et k' 1 deaeurer a l'extérieur d'une sphe­

re da rayon k»+VT

Si noua définissons les fonctions

(A.l)

DJTI - , k dk"k"'vi.t(k"ïv,.,(k")

( k ' k , ) " u ' {/««••if»* *U« f c ,>'j*» ,>»'. "â_~,S ] t

(A. 2)

ou F / désigne la partie principale au sans de Caucav, la correc­

tion da second ordre aat

FI2M -fjj- jr ï(2T +l)(2J +l)/ o

2 k' Jc 2-K[vf,fD J T J(, + .,_)

- 73 -

•uf^>(«l.,q+)-v|q?PJTS\(q.)+k|(l-v)3(î>JTS(q+.;.)-PJls(;.»] ,

a.3) où : q -k.+Uy q+-k_<l+u)

s_-5:r-v| q_»f(i-v)

Las parties principals» da (A.l) s'obtiennent an utilisant le thé­

orise des résidus dans una integration la long d'un demi-cercle

dont le diamètre «»t sur l'axé rial et dont on fait tendre le rayon

T«ri 1' infini . Las parties principales des intégrales (A.2) se

déduisent des précédentes si k*>k+S ou k'<k-6 par integration

numérique de 0 a k eu de k l » , respectivement .

3i |k-k'j<o, alors j<« , c'esE-adire que l'intégrale sur K

tend ver*, 0 . Des teats numériques out montré que tous les ré-

sultats numériques demeurent inchangés quand 5 varie de 10

a 10"* .

L»;.s intégrales 's

^ j t ' S j ' P j i i ' s r ^ i ' S J ^ X - r T - vii'SJ ( k ) < A* 5> k'-k'+ie o

ont été utilisées . L*infiniment petit s définit une onde de

diffusion . fi e«0 on a une onde stationnaire et p.. inter­

vient dans le calcul de la matrice G de BIG

°i "j 1 pj.CL-O)-—a—•• x—a x—* • -* x ik— -* x x x

1 3 (a*-ap<az+k*) (oJ-«r)(af+k*) -«J»***.) (•*•*;>

P^a-D-L-Ca.,*».)^ (a.5a.)-*ik* - • - 1 x x "L. (*,6> 1 O J Or

4 J 2 i 3 2 j i o { a Z + v 2 ) ^ * k ^3

ifï

- 74 -

£>V«C : 2 a i r*°i 2 ° i i <Bi V ( a i * V Wi °j V k o -

»a. T 60a 2 20<x? ^ ( « i . g j ) - * S « ; V 15- - j — y - - y—j

( a £ - o . ) {a£+ko> J. a . -a . a ^ ^

4«o£ 24af 8a* "I

* (a"j-a?) * <a 2-a 2><k 2+a 2> * <k 2*a?) 2J

Si a.-a.«a , cas equations deviennent k 2 - « 2 i k o

2 o ( « Z + k „ ) ( « * k „ ) o , o

1 1 3 1 a 2 + 3 k o * i k o P < W > ^ ? T & % + fS® "2° ;*w ' ^ky

© . . o o o

* a 3 (a^*kp 2 ?

3 (a 2 +k*) z " <a z+k z> 3

- f M _ _ 2 _ * 160 a 3 64 a 5 _ . . i k o O. '•' . - . .O' O O

A7PEVDICE B

Calcul de l'énergie de symétrie ~ -

A—. est l'excès relatif de neutrons dans le système de Z A fermions . Les densités de protons p "sr et de neutrons

H p A 3A p »jr sont reliées a la densité totale p« n—' -•• par :

p -U+A>f « 2 (B.l)

p p-(l-A)| .

2 1 Les moments de Ferai pour neutrons et protons, soit k -(3ir p )?

2 1/3 n n

et k«(3» pp) sont reliés au moment de Fermi total kF-(|ir

2p)1/3 p a r

.V k.-a*-) 1' 3*. ou e n - ^ - e F ( l + A )

2 / 3

Aj2k2 (B.2)

k p-(l-A)1 / 3k F ou «p'TB* " e F « - A )

2 / 3 -

L'énergie cinétique totale T-̂ -£ke + Z E J prend alors la forme

(2.28) .

La contribution à l'énergie potentielle du 1 e r ordre, due aux

ondes T»l , s'obtient aisément, par des calculs similaires â

ceux conduisant au résultat (2.9), soit

n ^ (B.3)

- 76 -

La contribution due aux interactions n-p est : k +k

^ 7 ^ iLr*"* 1"» k 2 d k pi««Tl'it S JT< k>| 2^ „ *'* " (2*) ASJT x \tt**t[*lLn

(B.«) * est l'impulsion totale de la paire n-p , et k leur iapulsion relative . Le roluae c.oaaun a 2 spheres de rayons k et k ,

p n dont les centres sont distants de 2k , s'écrit, en supposant V L

P

:

3|îkJ ,i a$k*(«vV / z

K

p si Ckn-kp)/2$kS<ka+kp)/2

(B.5) En soaasnt tous les teraes on obtient une Énergie par particule (au preaier ordre) :

« • « ! * * • . . . (,.6)

Le preaier terae a déjà été calculé (cf. 2.9) «t 1* 2 est don* ne par (2.29> .

1.00

0.50

a , • I.5F"'

B, »-12.65 F*1

Oc --23.74 F

a t - 3.5 F"1

B t-119.9 F - '

ftff . 2.62 F

o

- 0 . 5 0 -ter -ter ToT 400

FI0 1

-0.20

I S

or

-0.40

-o.eo

•o.sol

a , • t.S6 K s, « «N.M F"1

HO 2

0.20

0.10 -

a,» 1.33 F - l a t • 3.43 F -I

B, >-0i25. F*7 B , »-»36.7 F*7

200 F I 0 3

300 400

*«Hte»

0.20

-0.20

-0.40 nte

a ( -2.0F-' a t - 3 . o r ' B| —aS2 F'» B, —166.20 F*

. a, « 1.75 F-' a , » 4.60 r ' \ \ B | i - à » f ' B, «33400 F"*

no 4

Ikutai-^itfirtV*-."^^ *ifc'.-i.'-.;a.U

-0.20 -

û~ « -0.40

-O.eo (00

:XMjm^

490

:^i x--ï--^<~ . : .^asI:•ai '^-^î^>l" l*. ," .-

.«I--1.90 F"1 04 -228 F"1

B, —0.06 F ' r B , —».2 F"' t

100 SOO

FI6«

300 400

% 'l

1.00 *

0.30>

0 -

-0 .50 400

JÉO. 1.00 LÉO 1.40 : I.ÏO 140 2 0 0

FI610

< * H K 2 )

MN ( 2 e ordre) . Domaine d'intégration

Fig 11

1. 1.2 1.4 1.6 1.8 k F ( f« -1 ) i I l l

- 4 0

- 8 0

•120 - V

• \

SH MN ( 2 e ordre)

i r • 1 Fig 12

, e o Dantitai radlaUi d* man* a» da chart*

( b a t e i m ,10 Mirations)

FK»U»a

40, Ça

Daatilai radialas 4a matta ai a*a charga

(aa2. fm , 10 llarallam)

FIG 13»

20 4 H e

\ \ — 16 . \ > \ . \ 1 12 " ^ v v ^ • • - ^ ^ t ^ V

•+• 8 ^ ^ s >

^ ^ * * * * * ^ , » ^̂ *""̂ o o

13 15 U

Fit 14

19 24

1«r ordre

. 2 * «réV»

Fit 15

\ , ,

E (M«V)

40 K

36

32

28

24

20

. — . 1 "

$

40

36

132

28

24

-120

1 * r «r«1r«

- i l i !«{. 1.3 1.6 17 « 4 »™

2«*r4r«

- , —L I I I j . I I I I

1.9 23 v 1.3 1.5. 1.7 1.9 § T

b(lm>

Flf16

liiitei'' y-rojitiffVmW- 'irii

MeV

Fig 17

I

"Se KUV

-1 — - P l / 2 _

Pl/2

——fs/2

—Pt/2

- 3 §5/2 =

P3/2

- 5

-—07/2

- 7 §7/2

_ f 7 / 2 -91

Exp W G

Fi* 21

M*V

MeV

18 f

' - 1 . 3 * ' 3*

3 2 *

• 1 2*

o -

- 1 -

1*

Exp W

fia 2 3

. 1 *

-4*

D -J ' — - 1 *

— 3* _ _ 1 * ?*T-1 - 2 . . 2*T=1 f _ 2 *

•̂ — 2 # ' j 1

0*T=1

- 3

- 4

— 2- ! 2 * . .

1* ' • P* J ' -: —/,o- i

- = = 0* T = 1 : 3*.

3*

5*

- 5

j ' • 5 *

- 6 • ! - 1 -

leV

, 9 0 1/2* 5/2*

9/2*

3/2* 1/2*

5/2*

- 1 -

512* 3/2*

• 1/2* - 5/2* 5/2*

- 2

1/2*

3/2* 5/2*

- 3

3/2* 5/2*

3/2*

- 4 l Exp W

i i« 24

MeV

TABLEAU I

0*de a l «2 •l

B2

V 1.5 3.5 -12.65 119.90

V 1.5* 2.55 -8.89 601.87

\ : 1.33 3.45 -0.247 -1035.7

\ 1.75 4.60 -29.35 33400.

V 1.50 3.50 4.72 1816.5

\ 2.00 3.00 -8.523 -166.20

-»2 1.22 2.48 -0.45 -169.0

V 1.30 2.28 -0.06 -15.20

\ 1.5 3«5 -19.2 124.0

\ 1.32 2.65 t.O 448.0

S+D -0.40 -70.

Paramètres do potential utilisé', pour les ondes

S,P at 0 . Les inyerses des portées a. sont expri-—1 —f2t+3ï

mie» an fm at las intensités » i t en fm v ' .

W.

TÀILIÀD II

Contribution, an M«V, daa divers étati 3 deux particules, an l"r ordra dana la MH . La «osant de Tarsi 2 la densitC de aatutation .

k_ correspond

V s S S \ \ Tabakin 1.60 -20. 6. -4. -25. 8. Ce travail 1.45 -17.«9 5.88 -3.38 -34.20 2.39

k * S \ \ s S Tabakin 1.60 -11 22. -13 -6. -2.5 Ce travail 1.45 0.46 17.95 -8.49 -4.70 -0.80

i ' . • • • • •

1

i TA1LIAB I I I

•' . • . • i i ' . - • • • i

1 . . . • : . . ' • • ' , . ' ' . " ' ' j Contributions J PE2/A (an MaV) calculi par la I

! • . . - î i

afthoda daa polynômes da Lagandra (k_"l.*5 £• ) . J

S f, *' ,T ' ' j • •~T V 1 ^ - . .

0 0 0 ir 0T 0 •ot- 0 0 —1.161

0 0 0 i 0 2 2 2 -0 .023 0 1 l 0 1 1 I 1 o -7 .046

o 1 î 0 l 1. 1 1 2 -0 .306

0 2 2 1 ' 2 0 , ' O •- ' 0 2 -0 .023 0 2 2 1 • ' 2 ' : ' r 2 2 0 -0 .191 0 2 2 1 2 2 2 2 2 -0 .6S3 0 ,2 2 1 2 2 2 2 -, -0 .001

1 0 0 0 1 0 0 1 0 -4 .799 1 0 , t« ' 0 1 2 » 2 1 2 0.069 1 0 0 b 1 2 2 2 2 -0 .085 i 0 0 0 1 -J2- 2 3 2 -0 .017 i 0 2 o 1 0 2 1 0 -0 .529 i 0 2 " o 1 2- 0 1 2 -0.007v 1 0 2 6 1 Q i 2 - , • • ' - . 2 . " 2 2 - 0 . 0 1 4 1 '•i\. l=v . l 0 ' • • • I t ' - : 1 -0 0 -20 .087 . l î 1 i . 0 1 i 2 2 0.044 l î 1 1 1 1 ï ' ; 1 0 -10:648 l i 1 . 1 1 î 1 2 -0 .111

TABLEAU IV

16-

Energie* individuelles HF.

Present travail '.*"•'" Ejco|ri«nc« •

protons neutrons protons neutrons

€ . -64.51 -70.59 -34

£_ V3/2 - * _ . •'•''

pl/2

-27.73 -32.30 -18 -21.81 £_ V3/2 - * _ . •'•''

pl/2 -15.72 -1?9.35 -13 -15.65

d5/2 -4.44 -8.20 -5.02

b-1.6 fi 10 iterations N-4

TABLEAU V

40. Ce

Energies individuelle* HF.

Present tr^ i v * i l .•'•'. Exs£rience

protons neutrons protons neutrons

£ o . -8pî 31 , •••-92--.%i\:<

S/2 -51;36 -60.98 -45 ?

e „ "••-pl/2

-41.51 - 4-50.04 -33 Î

^ 5 / 2 -24.43 -31.67 -14.5 -22.8

cls -13.91 -20.55 -1D.6 -18.4

*3/2 -12.45 -18.38 -8.3 -15.8

b-2. fm - 10 iteration» - H-3

TABLEAU VI Zrt

Fonctions d'ondes individuelle» pour Cm (protons)

Itat Dimension ,c .. • • : - : • ? o "

Cl C2 °» "-.'•'•'• 4 ' ' : ^ ' -

6 8 10

-76.11 -79.05 -80.00 -80,31

0.9823 '. 0.9794 0.9784 0.9780

0.1860 0.2007 0.2054 0.2068

0.0198 0.0234 0.0246 0.0249

°»3/2 4 6 8 10

-48.89 -50,62 -51.18 -51.36

0.9591 0.9521 0.9496 0.9489

0.2741 0.2944 0.3009 0.3030

0*0703 0,0828 0.0871 0.0885

0 l ,l/2 4 6 8, 10

-39.78 -40.99 -41.39 -41.51

0.9921 +0.9902 0.9895 0.9893

0.0873 0.1103 0.1179 0.1203

-0.0902 -0.0850 -0.0830 -0.0823

0 d5/2 4 6 8 10

-23.64 -24.21 -24.38 -24.43

0.9539 0.9463 p.9437 0.9429

0.2821 0.3C15 0.3075 0.3094

0.1021 0.1166 0.1215 0.1231

la 4 6 8 10

-14.46 -14.11 -13.96 -13.91

-0.1858 -0.2006 -0.2054 -0.2069

0.9584 0.9524 0.9506 0.9501

0.2168 0.2294 0.2326 0.2336

0 d3/2 4 6 8 10

-12.57 -12.50 -12.46 -12.45

0.9970 0.9958 0.9954 0.9953

0.0655 0.0831 0.0886 0.0904

-0.0417 -0.0369 -0.0351 -0.0345

La fonction d'onde «at notCe |X>- S CA(Jtj) |nij»t> .

TABLEAU VII

-.

* . - • r i 1 1' • f s I l«r ordra l«r + 2tm« ordre 0 0 0 0 0 0 0 9 - 6 . 6 6 0 - 0 . 0 2 0 - 6 . 6 8 0 0 0 1 0 0 0 0 [ 0 -0 .029 -6 .689 0 0 2 0 0 0 0 0 - 0 . 0 6 0 - 6 . 7 2 0 « 0 0 0 1 0 0 - 0 . 0 6 6 - 6 . 7 2 0 0 2 0 0 I 0 0 - 0 . 1 6 0 - 6 . 8 2 0 o * 0 0 '.'- 0 . 0 0 - 0 . 1 6 0 - 6 , 8 2 0 0 1 0 0 2 0 0 - 0 . 2 1 3 -6 .875 0 0 3 0 0 I 0 0 - 0 . 2 1 5 -6 .875 0 o 5 0 0 0 o 0 -0 .215 -6 .875 0 0 i 0 0 : 1 0

. ' • ' > : ' -0 .082 -6 .742

0 0 0 0 o 2 0 0 - 0 . 1 6 - 6 . 8 2 0 0 0 0 0 0 -12 .340 -0 .195 -12 .736 0 0 i 0 0 0 - 0 . 2 7 6 -12 .816 0 0 2 0 0

' • • • • ' -0 .491 -13 .031

0 o 3 0 0 , 0 -0 .646 -13 .186 0 0 2 0 o ; 1 X ' -1 .076 -13 .617

0 3 0 0- :•'.. 1 -1 .387 -13 .927 0 0 1 o 0 2 -1 .387 -13 .927 0 0 5 o 0 0 -1 .387 -13 .927

0 0 0: 0 , -r * • ' * * * -

- 0 . 1 5 3 3.281 1 0 0 0 -0 .231 3.203 0 0 0 0 P 0 3*344 -0 .337 3.007 X 0 0 0 0 1 -0 .302 2.8J12

1 I 0 o o \&\ o • • - ' . •

- 0 . 5 0 2 2.842

E16a«mC« 4« matric* («a •oaxtfonnias relatives) d* Ca. b-1.69fa .

TABLEAU VIII

•>V.; " " ' / - . • -

j d L - * . SMS •• . E

1 6 0 j2" B *ordre (Exp.

* u C a « " * o r * r e fexp.

1.54 1.40

1.77 1.63

17.42 20.98

13.23 15.58

2.314 2.109 2.64 3.07 2.83 3.52

-120 .03 -177.37 -127 .6 -307 .15 -453 .6 - 3 4 2 .

+ i " ordre s • - ] s eu l taent . • Toutes les valenrs de b correspondent au miniaua de

l'Caergie de liaison .

TABLEAU VIT

Energies individuelles (en MeV) obtenues par un calcul au 2>ae ordre

"l ? **c - • ; . . : .

•rotons neutrons protons' neutrons' Os -74 .87 -79 .36 -92 .65 -102 .42 0 p 3 / 2 -36 .68 -40 .84 -61 .66 -69 .92 0 p l / 2 - i e . 4 7 -22 .62 -47 .94 -56 .20 M 5 / 2 l s

- 4 . 4 4 7 . 5 »

-8 .18 3.15

-33 .61 -21 .41

-40 .65 -29 .26

° é 3 / 2 16.81 , 13.07 -14 .85 -21 .89

Le rayon ie 1' O.H. correspond au ainiaua de l'Caergie de liaisen, soit b-1.40 ( 1 60) et b-1.63 (*°Ca)

TABLEAU X

kF 0.95 1.05 1.15 1.25 1.35 1.45 1.55 1.65 1.75

r o 1.60 1.45 1.32 1.22 1.13 1.05 .983 .923 .870

\ I II

.110

.110 .13» .134

.162 ' .158

.188

.182 .213 .204

.238

.225 .260 .244

.281

.262 .299 .277

\ I,II .142 .187 .234 .281 .325 .363 .394 .416 .428

X I, II -.026 -.031 -.034 -.036 -.039 -.041 -043 -.046 -.049

\ I II

.275

.517 ,34» .631

.428

.747 .512 .860

.598

.970 .685

1.074 .770

1.170 .854

1.258 .933

1.336

\ 1,11 .0S2 .097 .110 .120 .128 .134 .137 .138 .137

\ I.II .012 .025 .042 o064 .089 .118 .149 .182 .216

\ I II

.107

.110 .124 .125

.138

.139 .151 .151

.162

.160 .171 .168

.178

.173 .182 .176

.185

.177

\ I.II -.057 -.067 -.077 -.085 -.091 -.096 -.098 -.097 -.095

X 1,11 -.108 -.121 -.130 -.135 -.136 -.135 -.131 -.124 -.115

X I,II -.020 -.024^ -.029 -.032 -.035 -.037 -.038 -.038 -.037

a Z II

.518

.7*1 1

.674

.956 .846

1.161 1.027 1.370

1.213 1.575

1.398 1.773

1.578 1.957

1.746 2.126

1.902 2.275

°iat'* I II

22.77 26.41

25.11 29.34

27.69 32.41

30.40 35.55

33.19 38.62

35.97 41.59

38.67 44.35

41.19 46.89

43.53 49.12

Contribatioa * h daa différant» <tata 00j « 1 , u r 'oaaa poar difftraataa valaara da aoaaat da Farai k_ at du rayon nucliaira

1/3 . r -(9») /(2k.) . Laa aaetioaa afficacaa intCgrfca d'absorption da pho-• o r /s [̂ teaa par aacKoa aaat donaiaa aa MaV-ab

ÏABESAV XI (Iv i t* . . . )

•V ':" • ï l l . t t Takaki» i . f • -2.54 2^522 -3.604

<o 3 Ï 0 | W | O \ > 1.5 -2.57 1.300 -3.167 1.6 -2.46 0.584 -2.74

1.6 3,97 7. 012 5.49 <o ^Jwlo 3 Ï X > 1.5 3.14 5.432 4.254

1.6 2.54 4.257 3.33

1.4 -2.33 -2.053 -1.93

<O \\v\o *r2> 1.5 -1.85 -1.574 -1.471 1.6 v, -1.48 -1.21 S, -1.13

1.4 3.83 . 6.556 9.52 <o 3 » 1 | H | O 3 D 1 > 1.5 3.04 S.058 7.70

1.6 2.37 3.935 6,235

1.4 -5.29 -5 .0 -4.68 <0 3D 2 |W|0 3l>2> 1.5 -4.36 -3.940 -3.56

1.6 -3.46 -3.130 -2.72

1.4 -0.48 -0.699 -1.623 <0 3 D 3 | » | 0 3D 3> 1.5 -0.35 -0.534 -1.23

1.6 -0.26 -0.410 -0.938

1.4 0.41 -2.584 -4.109 <Q HX\V\\ 3 $j> 1.5

1.6 -0.56 -1.28

-2.072 -1.674

-3.625 -3.163

TABLEAU XII

Propriétés du fondamental de la particule a : énergie

de liaison, paramètre de l'oscillateur harmonique, rayon qua­

dratique moyen, et section efficace intégrée d'absorption de

photons •

Energie b JLMStL

KMS JLÊSL

a

Calculé

Ezp.

-43.75

-28.3

1.10

1.31

1.35

1.63

2.32

2.4

TABLEAU XIII

Xapport des probabilités de transition El des états 4

, T-l de Be vers le fondamental .

b 1er ordre 2èae ordre

P« _ — . '<*_llpi> '

1.40 1.48 2.73 P« _ — . '<*_llpi> ' 1.65 1.89 5.07

AE. 3 1.40 3.27 5.39 AE. 3

1.6S 2.93 8.07

Le niveau 1

férieur -

supérieur est noté , le niveau in

TABLEAU XIV

Energies individuelles des neutrons et protons

(Coeur * 8Ca)

3 £7/2 P3/2 f5/2 *l-/2 Réf.

»* 7 8 9 10

protons

neutrons

-9.623

0.

-6.083

-5.144

-4.933

-1.18"

-3.583

-3.116

EMS

protons

«entrons

-9.623

0.

-5.223

-5.144

-3.723

^1.188

-2.723

-3.116

KB

protons

neutrons

-9.623

0.

-5.703

-5.144

-3.841

-1.185

-4.589

-3.116

HS

EMS Kéférence (si)

KB Energies EMS avec correction d'isospin . Utilisée» par

Kuo-Brovn, réf£rence

HS Kéférence (s*)

,49, Lex énergies de separation sont 9.623 MeV (Of / 2<p)/"Sc) et

5.144 MeV (lp i / 2<n)/*9Ca) .

TABLEAU XV

Corrections en MeV aux energies des neutrons dans

la fonction d'onde de type IV .

j P3i/2 f5/2 pl/2 U f Crences

a 9 10

Aen(j) -Oil 501

-0^343

-0.735

-0.S70

-0.443

-0.378 HJ(KB)

Les élénents de statrice du potentiel W étudié, ainai que

les iltsients de aatrice de réaction, calculés par KB (pot. HJ)

ont un paraaStrc de l'oscillateur harsionique tel que TSn"10.5MeV.

.11!

TABLEAU XVI

50, Val«urt *t fonction* propre* du Se .

Jïï 0 + V 2 +

3 +

E -11.980 -14.234 -11.544 -15.817 -12.261 -11.047 -13.687 -13.464 -12.437

£7/2 p3/2 7 8 0.932 -0.266 -0.100 0.930 0.352 -0.051

I £7/2 £5/2

,£7/2 pl/2

7 9

7 10

0.655 0.673 0.204 0.858 0.115 -0.055

-0.299

0.154

0.848

-0.313

0.428

P3/2 p3/2 8 8 -0.540 0.583 0.179 -0.356 0.834

P3/2 £5/2 8 9 0.077 0.301 0.182 0.178 -0.058 -0.039 0.063 0.006

P3/2 pl/2 8 10 0.505 -0.265 0.109 0.380 -0.134

II £5/2 f5/2 9 9 0.039 0.007 -0.030 -0.009 0.054

f5/2 pl/2

•pl/2 pl/2

9 10

10 10 0.055 -0.168

-0.133 -0.056 0.023 -0.042 -0.047 -0.008

p3/2 p3/2 8 8 0.951 0.065 -C.045 0.908

P3/2 £5/2 8 9 0.014 0.016 0.061 0.019 0.030 -0.001 -0.001 -0.008

P3/2 Pl/2 8 10 -0.016 -0.014 0.044 -0.011 0.277

III £5/2 £5/2 9 9 0.095 0.049 0.033 0.028

£S/2 pl/2

.Pl/2 pI/2

9 10

10 10 0.224

0.084 0.010 0.026 0.006 0.007 0.001

fP3/2 P3/2 8 8 -0.184 0.090 -0.109 -0.092 0.095 -0.225 -0.080 0.005 -0.12? .

IV f5/2 £5/2 pl/2 pl/2

9 9

10 10

-0.021

-0.041

0.060

0.031

0.061

-0.034

-0.017 -0.022 -0.017 -0.005 0.004 -0.015

TABLEAU XVI ( S u i t s . . . )

J* 4 + 5 + . 6 +

B -15 .083 1 -13 .764 -11 .650 -16 .032 -11 .238 -12.919

' 7 / 2 ' 7 / 2

' 3 / 2 ' 5 / 7

7 8 0.952 -0.2&O 0.077 0.999 . 0 .040 I

' 7 / 2 ' 7 / 2

' 3 / 2 ' 5 / 7 7 9 0.131 0.249 0.941 -0 .043 0.984 1.000

. ' 7 / 2

' 3 / 2

' 1 / 2

' 3 / 2

7 10

8 8

0 .220 0.901 - 0 . 3 1 0 . - • '

' 3 / 2 ' 3 / 2

' 5 / 2 ' 1 / 2

8 9 8 10

0.131 0.202 0.089

I I ' 5 / 2 ' 5 / 2 , P l / 2

' 3 / 2

' 5 / 2 ' 1 / 2 ' l / 2

' 3 / 2

9 9 9 10

10 10

8 8

-0 .011 -0 .173

*

' 3 / 2 ' 5 / 2 8 9 0.098 0.079 0.048 I I I ' 3 / 2 ' l / 2 8 10

f 5 / 2 £ 5 / 2 i ' l / 2

' 3 / 2

' 5 / 2 ' l / 2 ' 1 / 2

' 3 / 2

9 9 9 10

10 10

3 8

0.026 0.033 0.030

IV f 5 / 2 , ' l / 2

' 5 / 2 ' 1 / 2

9 9 10 10

-0 .008 - 0 . 0 1 3 -0 .038 -0 .Q00, 0.018

TABLEAU XVII 50, Valeurs et fonctions propres du Ca (2 neutrons)

8 8 8 9 8 10 9 9 9 10 10 10 J * E p3/2 p3/2 P3/2 f5/2 p3/2 pl/2 £5/2 f5/2 £5/2 pl/2 pl/2 pl/2 0* -11.466 0.965 0.063 0.254

-5.594 -0.253 -0.024 0.967 1 + -7.887

-5.921 0.083 0.997

0.997 -0.083

2 + -10.871 0.948 0.013 0.316 0.018 0.029 -8.898 -0.317 0.077 0.943 0.016 0.059 -6.253 0.012 0.994 -0.082 -0.008 0.077

3 + -6.43 0.999 -0.050 4 + -6.684 1.000 -0.007

TAIL'XAB XVI11

Valturs «t fonctions propres du Ti (2 p otons)

7. 7 7 8 7 9 7 10 8 8

J * E '?/* £7/2p3/2 £7/2f5/2 f7/2pl/2 p3/2

0 + -20.111 -11.542

0.976 -0.085

0.060 0.97O

1 + -12.562 -8.569 -7.527

0.999 -0.036 0.038

2 + -'.9.775 -15.581 -13.315

0.993 -0.099 -0.Ô41

0.090 0.980 -0.001

0.032 -0.016 0.991

0.019 0.073 0.037

3 + -14.973 -13.421

0.992 -0.111

0.118 0.978

0.032 -0.176

4 + -19.447 -15.190

0.994 -0.068

0.049 0.969

0.070 0.111

0.050 0.155

5 + -14.783 -13.479

0.997 -0.074

0.074 0.997

6 + -19.391 -14.562

0.992 -0.125

0.125 0.992

1 8 9 8 10 9 9 9 10 10 10

J* E p3/2f5/2 p3/2pl/2 f2 f5/2

1 F5/2pl/2

pl/2

0 + -20.111 -11.542

0.202 C.081

0.044 0.213

I* -12.562 -8.569 -7.527

0.042 0.986 -0.163

-0.031 0.164 0.986

2 + -19.775 -15.581 -13.313

0.020 0.078 0.071

0.022 0.047 0.030

0.057 0.058 0.076

0.034 0.109 0.060

3 + -14.973 -13.421

-0.001 0.030

0.011 -0.001

4 + -19.477 -15.190

0.025 0.133

0.030 0.034

5 + -14.785 -13.479

6 + -19.391 -14.562

REFERENCES

BRMX,D.M. , laclear forças (I965), Pergaaon Press (Oxford,

Eagland) .

CHADWICC.J., Battre 129 (1932) 312 .

YUKAWA,!.. Prae. Math. foe. Japaa \]_ (1935) 48 .

Cllli;i.l.t., fAWADA.T., Rev. of Mod. Phys. 39 (1967) 594,

at WOMC,David fi 622 .

TAMACAKI.R., Rev. of Mod.Pays. 39. (1967) 629 .

HAMAD A, T., JOMSTON, I.D., Hucl. Phys. 34 (1962) 382 .

CAMMIL.J.L., THALER,E., Pays. Rav. 107 (1957) 291, 1337 .

BKUECKRKE.K.A., LEVINSOM.C.A., Phys. Rev. £7 (1955) 1344,

BETHE.H.A., Phys. EaV. 103 (1956) 1353,

COLDSTONE.J., Proc. Roy. Soc. A239 (1957) 267 .

SPROMC.D.W.L., Mil Report n*2098-201 (1965),non publU;

GREEM,A,M.,>ucl. Phys. 33_ (1962) 218; Da PEOVIDEHCIA.J.,

ibid. 40 (1963) 321 ,

LETIVCEK.J.S., RAZAvY,M., R0J0.0., WEBRE.N.,Fhys. Ray. 119

(I960) 230, « i (1961) 1863 .

BHADDRI.R.K., PRESTOX.M.A., Can. Journ. Phyr. 42 (1964) 69 .

BROWI.G.E., SCHAPPERT.a.T., WOHG.CW., Hucl. Phys. 56 (1964)191.

TABARmfP., Ann. of Phys. 30 (1964) 51 .

HAMMAVM.T.F., OBERLSCHHER,G., TRAPP.G., Ï0CC07..J., La Journal da

Physique 28,(1967) 755 .

FESHBACH.H., LOMOK.I.L.. Ann. Phys. ,29, (1964) 19, Rev. of Mod.

Phys. 39 (1967) 611 .

15. MOSZKOWSKI.S.A., SCOTT.B.L., Ann. Phya. U_ (I960) 65 . I

16. KSHL.WVH.. STOCKKlt.W.. 2*it. Phya. 212 (1968) 477 . |

17. RISTIC.M.. Zeit. Phya. 199 (1967) 325 . . j

18. BELL.I.S., Lecturee note on the «any-body problen, Bergen 1961,

p. 214, Maw York, Benjaain . j

19. HOLL.M.H. Jr., SHAKIMVC., Phya. Letter» 19_ (1965) 506 . j.

20. GRUMBERG.H. von, Zait> Phya. 215 (1968) 359 . j

21. VOMC.C.W., M«cl. Phya. ASH (1967) 399; A10* (1967) 417; U08

(1968) 481 .

22. YAMAGUCHI, Phya. Bay. 95 (1954) 1628 . j

23. L_E,C.W., BARAMGER.E., Mucl. Phya. 79 (1966) 3*v ,

' KDO.T.T.S., BABABCER.E..BARABCER.K., Duel. Phya. 81. (1965) 241 .

24. B_SSICHIS,W.H.t ICEEMAM.A.K., SVEKME.J.P., Phya. Ray. 160 (1967)

• 7 * 6 » •''" ' '1 "

KEEMAB.A.K., PAL.M.K., Thya. «ay. 162 (1967) 970 .

25. TABAKIH.F., DAVIES.K.T.E., Phya. Bay. 150 (1966) 793 .

26. MOIATCSZK.M.J., Bay. Mod. Phya. 39. 11967) 670 .

27. ABBDT.Bichard A., Mac CBICOt,Malcolm H., Phya. Rev. 141. (1966)

»':3 . ' V \ • V •"• ' " , • . - " • ' • : . " ' • • ' : ' i

28. ARMDT.Ricbari A., Ray. of Mod. Phya. 39 (1967) 710 ,

DUCROS.T., »iy. of Mod. Phyai^J. (1967) 531 :

29. DAV1ES.K.T.B., KBIEGBE.S.J.,BARABGER.M., Hucl. Phya. 8_4 (1966)545.

30. BABABCER.M., Varenna Lecture* 19*7, Acadeaic Preai, Maw York I968.

31. DAVIES.K.T.R., BARAVCER.M., Nucl. Phya'. A120 (1968) 254 .

32. B^ATT.J.M., «EISSKOPPpV.P..Theoretical Huclear Phya. (John Wiley0

• '-' and aona, Inc. Mew Tork, 1952) .

33. (AMMAVM.T.P., The a a de Doctorat,' tfniveraité Laval,Québec, Canada,

BAMMAMMrT.P., HO-KIM Q., Muovo Cimento 64B (1969) 367 .

34. ELLIOTT,J.P., Rapport oral, ft la Conférence Internationale aur Ian

propriété» dea étata nucléaire», Montréal (I969),

B00BE£,B, Communication privée ._̂ __ _ _; ' ""•-"__ '>'• " T V ' ~ . • i.." ~ V ,•'•• " • V s'.,'.'iii'Ki^»? \

CLEMENT,D.M., SERDUKE,F.J.D., AFNA»,1.R., Muel. Phys. A139 (1969)

407 .

Da TAKACST.N., Can. Journ. Phys. 46_ (1968) 2091 .

ABCRALL.T., M0NS0NEG0,G., Nucl. Phys. 7±. (1966) 632 , . KESHAN,A.K., SVENNE.J.P., VILLARS,F.M.H., Phys. Rev. 147 (1966)

710,

MEDJADI.D.E., These da 3eae cycle, Université1 d'Alger (I970) .

HOFSÏADTER,R., Ann. Rev. Nucl. Sci. 7. (1957) 231 ,

HOFSTADTER,R., Nuclear and Nucléon Structure, H.A. Benjaain.M.T.

(1963) ,''.'•.

COHEN,B.L., Phys. Rev. 130(1963) 227 ,

JACOB,C, Th.-A.J. Maris, Rev. Mod. Phys. 38(1966) 121 .

DAVIES.K.T.R., KRIEGER.S.J., BARANGER.M., Nucl. Phys. 84 (1966)

545,. '. ";,',/" . -. . .'.

DÏÏTHUKRISHNAN.R., BARAHGER.M., Phys. Lett. 1£ (1965) 160 .

HAMMAM*,T.F., ALLARD,J.F., MONSONEGO.G., 2 paraître .

KEKKAN.A.K., Communication orale a la Conférence Internationale

sur les propriétés des états nucléaires, Montréal (I969) ,

LETOURMEUX.J., SAU»1ER,C., PEARSON,J.M., Coaaunications privées.

LEVIRGER.J.S., Nuclear Photodisintegration (Oxford University

Press, 1960) .

LEVINGER.J.S., BETHE.H.A., Phys. Rev. 78 (1950) 115 .

DOHMERT.L.. R0J0.0.. Phys. Rev. 113» (1964) 396 .

KETEKHOF,V.E., TOMSSILLO,T.A., Nucl. Phys. A10» (1968) 1 ,

TOMBRELtO.t.A., Phys. Rev. 138 (1965) B40 et 143 (1966) 772 .

De SHALIT.A.,WALECKA,J.D., Phys. Rev. 147 (1966) 763.

BARRETT,B.R., Phys. Rev. 154 (1967) 955 .

HAaKAMI,T.F., BO-KIM,Q., MONSOMEGOiG., a paraître .

KUO.T.T.S., BRÔWM.G.E., Kiicl. Phys. A114 (1968) 241 .

De BHALIT.A., TALMI,I., Nuclear Shell Theory, Acadeaic Press,

(1963) .

50. ABCRALL.Y., 1AR0M,C., CAURIER,E., H0NS0HEG0.G., Unci. Phya. A131 (1969) 609 , 1 ALLARD,J.F., FELLAH,M., Communication privCa . i

51. HAMKAHII.T.F., MOMSOHECO.G., a paraîtra . § 52. YERTIER.J., Phy». Latt. 7 (1963) 200 . I 53. TIRVIU.J., Hucl. Phya. 78 (1966) 497 . I

"" I 54. OHXUMA.H., SASAKI,K., Phya. Latt. 17, (1965) 126 . | 55. HORIE,H., ODA,T., OGAWA,K., Proc. Int. Conf. on Mucl. Structura,

Tokyo, 196? . 56. HUGUES,!.A., SOGA,M., Proc. int. Conf. on Nucltar Structura,

Tokyo, 1967, at Hucl. Phya. A116 (1968) 33 . :

57. LACET,J.M., VIRTUE, J., BRUCE,G., LOISEAUX,J.M., VALENTIN,L., Hue J,. Phya. A125 (1969) 481 . MOAZED.Cyrua, «AGATANI K., BERWSTSIS.A.M.> Nucl. Phya. A139 , (1969) 1 .

58. ERSKIHE.J.R., MARINoV.A., SCHIFFER,J.P., Phya. Rav. 142 (1966) 633 .

59. SHIDA.T., at al., Phya. Latt. 13. (1964) 59 . 60. COHEH.B.L,, FULMER.R.H., Mc CARTHT,A.L., MUKHERJEE,P., Rayi Mod.

Phya. 3i (1963) 332 . 61. SLATTS.IYO, RaV. of Mod. Phya. 39, (1967) 575 ,

SLOBODKIAM.R., Coaauaication privCa .

f

^ - ',.1