Théories homotopiques des 2-catégories

Jonathan Chiche

avec un appendice de Dimitri Ara

Résumé

Ce texte développe les premiers éléments d'une théorie de l'homotopie des 2-catégoriesanalogue à la théorie de l'homotopie des catégories développée par Grothendieck dans Pur-

suing Stacks. On y dé�nit la notion de localisateur fondamental de 2-Cat , généralisation2-catégorique de la notion de localisateur fondamental au sens de Grothendieck, et l'on

montre que les théories homotopiques de Cat et 2-Cat sont équivalentes en un sens remar-

quablement fort : il existe un isomorphisme compatible à l'opération de localisation entre

les classes ordonnées par inclusion des localisateurs fondamentaux de Cat et de 2-Cat . Celapermet notamment d'en déduire une caractérisation purement 2-catégorique de la notion

d'équivalence faible homotopique dans 2-Cat , sans faire appel aux espaces topologiques ou

aux ensembles simpliciaux. Dans un appendice, Dimitri Ara déduit, de nos résultats et de

résultats qu'il a obtenus avec Maltsiniotis, l'existence, pour essentiellement tout localisa-

teur fondamental W de 2-Cat , d'une structure de catégorie de modèles � à la Thomason �

sur 2-Cat dont les équivalences faibles sont les éléments de W. Il montre que les structures

de catégorie de modèles ainsi obtenues modélisent exactement les localisations de Bous�eld

à gauche combinatoires de la théorie de l'homotopie classique des ensembles simpliciaux.

Abstract

This text develops a homotopy theory of 2-categories analogous to Grothendieck's ho-

motopy theory of categories developed in Pursuing Stacks. We de�ne the notion of basic

localizer of 2-Cat , 2-categorical generalization of Grothendieck's notion of basic localizer, and

we show that the homotopy theories of Cat and 2-Cat are equivalent in a remarkably strong

sense: there is an isomorphism, compatible with localization, between the ordered classes

of basic localizers of Cat and 2-Cat . It follows that weak homotopy equivalences in 2-Catcan be characterised in an internal way, without mentioning topological spaces or simplicial

sets. In an appendix, Dimitri Ara obtains, from our results and results he has obtained

with Maltsiniotis, the existence, for almost every basic localizer W of 2-Cat , of an associated

� Thomason model structure � on 2-Cat whose weak equivalences are the elements of W.

He shows that these model category structures model exactly combinatorial left Bous�eld

localizations of the classical homotopy theory of simplicial sets.

1 Introduction

Ce travail s'inscrit dans une entreprise de généralisation de la théorie de l'homotopie � deGrothendieck � aux catégories supérieures.

Les objets de base de la théorie de l'homotopie sont, classiquement, les espaces topologiquesou les CW-complexes. Les ensembles simpliciaux permettent une approche plus combinatoire.L'équivalence des deux points de vue se précise au moyen de la théorie des catégories de modèlesde Quillen : il existe une équivalence de Quillen entre la catégorie des espaces topologiques Top

1

et celle des ensembles simpliciaux ∆, ces deux catégories se trouvant munies des structures decatégories de modèles dégagées par Quillen dans [21].

Dans Pursuing Stacks [15], Grothendieck développe une théorie de l'homotopie fondée nonpas sur la catégorie des espaces topologiques, non plus que sur celle des ensembles simpliciaux,mais sur la catégorie Cat des petites catégories, � vue avec un ÷il de géomètre par l'ensembled'intuitions, étonnamment riche, provenant des topos � [14]. Son travail l'amène à dégager la no-tion de catégorie test, petite catégorie dont le topos des préfaisceaux modélise canoniquement lestypes d'homotopie, notion dont la catégorie des simplexes ∆ constitue le paradigme historique.S'apercevant qu'il n'a, pour étudier la théorie des catégories test, utilisé qu'un petit nombre depropriétés formelles des équivalences faibles homotopiques classiques de Cat � dé�nies commeétant les foncteurs dont le nerf est une équivalence faible simpliciale �, il dé�nit la notion delocalisateur fondamental comme étant une classe de morphismes de Cat véri�ant ces propriétés,dont la plus importante est le Théorème A de Quillen. À tout localisateur fondamental sont asso-ciées diverses notions, non seulement celle de catégorie test et ses variantes, mais également, parexemple, celles de foncteur propre et de foncteur lisse, dé�nies par des propriétés de changementde base analogues à celles des théorèmes de changement de base propre ou lisse en géométriealgébrique. La théorie de l'homotopie de Grothendieck généralise une part fondamentale de lathéorie � classique � de l'homotopie simpliciale, dont elle propose une approche conceptuelle re-marquablement fructueuse. Elle est dégagée et développée par Grothendieck dans [15], présentéede façon plus � bourbachique � par Maltsiniotis dans [20] et développée plus avant par Cisinskidans sa thèse [8] puis dans [11]. C'est à Cisinski que l'on doit notamment la démonstration dedeux conjectures fondamentales de Grothendieck en ce domaine : la minimalité du localisateurfondamental � classique � de Cat , c'est-à-dire de la classe des morphismes de Cat dont le nerf estune équivalence faible simpliciale, et l'existence, pour essentiellement tout localisateur fondamen-tal 1, d'une structure de catégorie de modèles sur Cat dont le localisateur fondamental considéréconstitue précisément la classe des équivalences faibles, généralisant le résultat de Thomason [24].Ces structures sont obtenues par � transfert � à partir de structures de catégories de modèlessur la catégorie des ensembles simpliciaux.

De nombreuses structures catégoriques supérieures et simpliciales sont désormais utilisées tanten théorie de l'homotopie proprement dite qu'en géométrie. Nous introduisons dans cet article lanotion de localisateur fondamental de 2-Cat , classe de 2-foncteurs véri�ant des propriétés formellesanalogues à celles de l'axiomatique des localisateurs fondamentaux de Grothendieck, que nousappellerons désormais localisateurs fondamentaux de Cat . À tout localisateur fondamental de2-Cat devraient se trouver attachées, entre autres, des notions de 2-catégorie test, 2-foncteurpropre et 2-foncteur lisse, qui n'ont pas encore été su�samment étudiées pour que nous lesprésentions ici. Plus généralement, bien sûr, on peut espérer développer à terme une théorie del'homotopie � à la Grothendieck � des n-catégories pour n quelconque. Signalons qu'en dépitdes obstacles conceptuels, une avancée dans cette direction a été réalisée récemment par Ara etMaltsiniotis, qui dégagent dans [2] un petit nombre de conditions à véri�er pour établir l'existenced'une structure de catégorie de modèles � à la Thomason � sur la catégorie des n-catégories etn-foncteurs stricts. Ils démontrent ces conditions dans le cas n = 2, et donc l'existence d'unestructure de catégorie de modèles sur 2-Cat dont les équivalences faibles sont les 2-foncteursstricts dont le nerf est une équivalence faible simpliciale. Dans le cas n = 1, ils retrouvent lerésultat de Thomason qu'avait généralisé Cisinski.

À partir de la forme absolue de la généralisation du Théorème A de Quillen aux 2-foncteursstricts démontrée par Bullejos et Cegarra [3], on en obtient facilement une version relative, cequi permet de dégager une notion de localisateur fondamental de 2-Cat , point de départ d'une

1. La seule hypothèse, anodine, est de nature ensembliste.

2

théorie de l'homotopie des 2-catégories 2 généralisant les notions et résultats de Grothendiecket Cisinski. Nous consacrons la plus grande partie du présent article à l'étude des relationsentre localisateurs fondamentaux de Cat et de 2-Cat . On explicite notamment un isomorphismeremarquable entre la classe ordonnée par inclusion des localisateurs fondamentaux de Cat et laclasse ordonnée par inclusion des localisateurs fondamentaux de 2-Cat , cet isomorphisme ayantde plus la propriété d'induire des équivalences de catégories entre les catégories localisées de Catet de 2-Cat . Pour établir ce résultat, on dé�nit également la notion de localisateur fondamentalde 2-Cat lax (la catégorie dont les objets sont les petites 2-catégories et dont les morphismes sontles 2-foncteurs lax), les propriétés homotopiques d'un adjoint à gauche de l'inclusion canonique2-Cat ↪→ 2-Cat lax construit par Bénabou permettant de passer de Cat à 2-Cat et réciproquementpar l'intermédiaire de 2-Cat lax. Cela con�rme l'importance des morphismes non stricts en théoriede l'homotopie des catégories supérieures, importance visible également dans [2] et que l'on peutdéjà percevoir dans [3], [5] ou [25] (bien que la démonstration du résultat principal de ce dernierarticle soit fausse).

Dans [9], Cisinski démontre notamment la conjecture de Grothendieck a�rmant que l'in-tersection de tous les localisateurs fondamentaux de Cat , le localisateur fondamental minimalde Cat , n'est autre que la classe des foncteurs entre petites catégories dont le nerf est une équi-valence faible simpliciale. Nos résultats permettent d'en déduire un analogue 2-dimensionnel :l'intersection de tous les localisateurs fondamentaux de 2-Cat , le localisateur fondamental mini-mal de 2-Cat n'est autre que la classe des 2-foncteurs stricts dont le nerf est une équivalencefaible simpliciale. En particulier, de même que le résultat de Cisinski fournit une caractérisationpurement catégorique des équivalences faibles de Cat , sans faire appel aux espaces topologiquesou aux ensembles simpliciaux, les nôtres fournissent une caractérisation purement 2-catégoriquedes 2-foncteurs stricts dont le nerf est une équivalence faible simpliciale. Pour un aperçu de laprofondeur de cette propriété de minimalité, on pourra se reporter à [10].

Le présent texte fait suite à l'article [7], dont les résultats permettent notamment d'a�rmerque les 2-foncteurs stricts dont le nerf est une équivalence faible simpliciale forment un localisa-teur fondamental de 2-Cat . Même si l'objectif principal de [7] consistait à démontrer la version2-catégorique la plus générale possible du Théorème A de Quillen, et que la notion de locali-sateur fondamental n'y est mentionnée que dans l'introduction, nous conseillons au lecteur deparcourir [7], dont nous reprenons ici certains éléments. Indépendamment de cela, le présent texteadopte un point de vue qu'il sera probablement plus facile d'appréhender après avoir parcouru,sinon lu, non seulement [7], mais aussi [9] et [20], en attendant la publication de [15]. De plus, leprésent article généralise les résultats de [7] au cas de localisateurs fondamentaux arbitraires de2-Cat .

Après cette introduction, nous rappelons dans la deuxième section des résultats de Quillen,Grothendieck et Cisinski, concernant tous la dimension 1.

Dans la troisième section, nous rappelons certaines des notions 2-catégoriques introduitesdans [7]. On les complète par deux constructions duales d'intégration de 2-foncteurs et l'on ensouligne une propriété homotopique. Nous concluons la section par un exposé de divers fonc-teurs nerfs, déjà considérés dans [4], les auteurs de ce dernier article montrant qu'ils sont toushomotopiquement équivalents.

Dans la quatrième section, nous étudions les premières propriétés des classes de 2-foncteursstricts obtenues à partir d'un localisateur fondamental de Cat par image réciproque du foncteur� catégorie des éléments du nerf �. On montrera plus loin que tous les localisateurs fondamentauxde 2-Cat s'obtiennent ainsi.

La cinquième section pose la dé�nition de la notion de localisateur fondamental de 2-Cat . C'estune classe de 2-foncteurs stricts véri�ant un petit nombre de propriétés dont la plus importante est

2. Signalons une fois pour toutes que, par � 2-catégorie �, nous entendons � 2-catégorie stricte �.

3

une version 2-catégorique du Théorème A de Quillen. Nous dégageons les premières conséquencesde la dé�nition, notamment l'invariance par dualité.

Dans la sixième section, nous explicitons l'isomorphisme annoncé entre la classe ordonnéepar inclusion des localisateurs fondamentaux de Cat et la classe ordonnée par inclusion deslocalisateurs fondamentaux de 2-Cat . Il est compatible à l'opération de localisation. Nous endéduisons une caractérisation purement interne à 2-Cat de la classe des 2-foncteurs stricts dont lenerf est une équivalence faible simpliciale : c'est le plus petit localisateur fondamental de 2-Cat .

Nous utilisons les résultats obtenus pour en déduire, dans la septième section, un analogue2-catégorique d'une caractérisation, due à Cisinski, des équivalences faibles classiques de Cat àl'aide du Théorème B de Quillen.

Dans un appendice, Dimitri Ara explique comment nos résultats permettent de déduire deceux obtenus par lui-même et Maltsiniotis dans [2] et de la théorie développée par Cisinskidans [11] qu'à tout localisateur fondamental (satisfaisant une condition ensembliste anodine) Wde 2-Cat est associée une structure de catégorie de modèles de Quillen sur 2-Cat dont la classedes équivalences faibles est exactement W. Il montre que les structures de catégorie de modèles� à la Thomason � ainsi obtenues modélisent exactement les localisations de Bous�eld à gauchecombinatoires de la structure de catégorie de modèles classique sur les ensembles simpliciaux.Nous renvoyons à l'introduction de cet appendice pour plus de détails.

Remerciements. L'idée de généraliser la théorie de l'homotopie de Grothendieck aux dimen-sions supérieures revient à Georges Maltsiniotis, directeur de la thèse dans le cadre de laquellenous avons obtenu les résultats présentés ici. Ses idées et suggestions en ont considérablementamélioré la présentation. Qu'il en soit remercié. De nombreuses discussions avec Dimitri Ara nousont été très précieuses. Qu'il nous soit permis de lui en exprimer ici notre gratitude.

Notations. Nous notons Cat la catégorie des petites catégories et CAT la catégorie des catégories(pas forcément petites). Pour toute petite catégorie A, A désigne la catégorie des préfaisceauxd'ensembles sur A. On notera ∆ la catégorie des simplexes, et donc ∆ la catégorie des ensemblessimpliciaux. On note [m] la catégorie associée à l'ensemble ordonné naturellement {0, . . . ,m}pour un entier m ≥ 0 et ∆m l'image de cette catégorie, objet de ∆, par le plongement de Yoneda∆ ↪→ ∆. On notera N : Cat → ∆ le foncteur nerf � classique �. Pour toute petite catégorie A,Ob(A) (resp. Fl1(A)) désigne les objets (resp. les morphismes) de A. On notera e la catégorieponctuelle, n'ayant qu'un seul objet et qu'un seul morphisme (l'identité de l'unique objet). Onla confondra, dans les notations, avec la 2-catégorie ponctuelle, n'ayant qu'un seul objet, qu'uneseule 1-cellule et qu'une seule 2-cellule.

2 Localisateurs fondamentaux de CatDé�nition 2.1. Une application continue f : X → Y entre espaces topologiques est une équi-valence faible topologique, ou plus simplement une équivalence faible, si elle induit une bijectionau niveau des π0 et des isomorphismes entre les groupes d'homotopie pour tout choix de pointbase. Plus précisément, f est une équivalence faible si

π0(f) : π0(X)→ π0(Y )

est une bijection et, pour tout point x de X et tout entier n ≥ 1,

πn(f, x) : πn(X,x)→ πn(Y, f(x))

est un isomorphisme de groupes.

4

Dé�nition 2.2. Un morphisme d'ensembles simpliciaux est une équivalence faible simpliciale,ou plus simplement une équivalence faible, si son image par le foncteur de réalisation géométrique| • | : ∆→ Top est une équivalence faible topologique. On notera W∆

∞ la classe des équivalencesfaibles simpliciales.

Dé�nition 2.3. Un foncteur entre petites catégories est une équivalence faible catégorique, ouplus simplement une équivalence faible, si son image par le foncteur nerf N : Cat → ∆ est uneéquivalence faible simpliciale. On note W 1

∞ la classe des équivalences faibles de Cat .

2.4. Pour toute petite catégorie A, le foncteur diagonal

δA : A→ A×Aa 7→ (a, a)

induit un foncteurδ∗A : A×A→ A

X 7→ (a 7→ Xa,a)

2.5. Pour tout préfaisceau d'ensembles X sur une petite catégorie A, on note A/X la catégoriedont les objets sont les couples (a, x), avec a un objet de A et x un objet de X(a) (en vertu dulemme de Yoneda, l'on peut donc considérer x comme un morphisme a→ X de préfaisceaux surA), et dont les morphismes de (a, x) vers (a′, x′) sont les morphismes f : a → a′ de A tels quex′f = x. Cela permet de dé�nir un foncteur

iA : A→ CatX 7→ A/X

pour toute petite catégorie A.

Le théorème 2.6 est attribués à Quillen par Illusie dans [17]. On pourra consulter [17, volume2, chapitre 6, section 3], et plus précisément [17, volume 2, chapitre 6, section 3, corollaire 3.3.1].

Théorème 2.6 (Quillen). On a l'égalité

W∆∞ = i−1

∆ W 1∞.

De plus, les foncteurs nerf N : Cat → ∆ et catégorie des éléments i∆ : ∆ → Cat induisent deséquivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre

N : W 1∞−1Cat →W∆

∞−1

∆

eti∆ : W∆

∞−1

∆→W 1∞−1Cat .

Dé�nition 2.7. Soit C une petite catégorie. Une classe S ⊂ Fl1(C) est dite faiblement saturéesi elle véri�e les conditions suivantes.

FS1 Les identités des objets de C sont dans S.FS2 Si deux des trois �èches d'un triangle commutatif sont dans S, alors la troisième l'estaussi.

FS3 Si i : X → Y et r : Y → X sont des morphismes de C véri�ant ri = 1X et si ir est dansS, alors il en est de même de r (et donc aussi de i en vertu de ce qui précède).

Remarque 2.8. On appellera souvent la condition FS2 propriété de � 2 sur 3 �.

5

Pour tout morphisme u : A→ B de Cat et tout objet b de B, nous noterons A/b la catégoriedont les objets sont les couples (a, p : u(a) → b), avec a un objet de A et p un morphisme deB, et dont les morphismes de (a, p) vers (a′, p′) sont les morphismes f : a → a′ de A tels quep′u(f) = p.

Pour tout diagramme commutatif

Au //

w��

@@@@@@@ B

v��~~~~~~~

C

dans Cat et tout objet c de C, on notera u/c le foncteur dé�ni par

A/c→ B/c

(a, p) 7→ (u(a), p)

f 7→ u(f).

Dé�nition 2.9 (Grothendieck). Un localisateur fondamental de Cat est une classe W de mor-phismes de Cat véri�ant les conditions suivantes.

LA La partie W de Fl1(Cat) est faiblement saturée.LB Si A est une petite catégorie admettant un objet �nal, alors le morphisme canoniqueA→ e est dans W .

LC SiA

u //

w��

@@@@@@@ B

v��~~~~~~~

C

désigne un triangle commutatif dans Cat et si, pour tout objet c de C, le foncteur u/c estdans W , alors u est dans W .

Exemple 2.10. La classe des équivalences faibles topologiques est faiblement saturée. Par fonc-torialité, W 1

∞ est donc faiblement saturée. En vertu de [22, p. 84, corollaire 2], elle véri�e lacondition LB. La condition LC n'est rien d'autre, dans ce cas, que la forme relative du ThéorèmeA de Quillen [22, p. 93, Théorème A]. La classe W 1

∞ est donc un localisateur fondamental deCat . C'en est même le paradigme justi�ant historiquement l'introduction de cette notion. Pourplus de détails, on pourra se reporter à [15] ou à l'introduction de [20].

2.11. La notion de localisateur fondamental de Cat est stable par intersection. On dé�nit le loca-lisateur fondamental minimal de Cat comme l'intersection de tous les localisateurs fondamentauxde Cat . Le théorème 2.12 a été conjecturé par Grothendieck. C'est [9, théorème 2.2.11].

Théorème 2.12 (Cisinski). Le localisateur fondamental minimal de Cat est W 1∞.

2.13. Pour toute petite catégorie A, pour tout foncteur u : A → Cat , on note∫Au la catégorie

(op�brée sur A) dont les objets sont les couples (a, x), avec a un objet de A et x un objet de u(a),et dont les morphismes de (a, x) vers (a′, x′) sont les couples (f : a→ a′, r : F (f)(x)→ x′), avec fun morphisme de A et r un morphisme de F (a′), les unités et compositions étant dé�nies de façonévidente. On peut étendre de façon naturelle cette construction aux morphismes de foncteurs :pour tous foncteurs u et v de A dans Cat , pour tout morphisme de foncteurs σ : u ⇒ v, onconstruit un foncteur

∫Aσ :

∫Au →

∫Av. On notera que le foncteur iA : A → Cat n'est rien

d'autre qu'une forme duale de cette construction, en considérant la catégorie des ensemblescomme une sous-catégorie de Cat .

6

2.14. Soient I et J deux petites catégories et F (•, •) : I × J → Cat un foncteur. On peutconsidérer les foncteurs

J → Cat

j 7→∫I

F (•, j)

etI → Cat

i 7→∫J

F (i, •).

Le lemme 2.15 est immédiat.

Lemme 2.15. Soient I et J deux petites catégories et F : I × J → Cat un foncteur. On a desisomorphismes canoniques∫

I×JF (•, •) '

∫I

(i 7→

∫J

F (i, •))'∫J

(j 7→

∫I

F (•, j)).

Jusqu'à la �n de cette section, on suppose �xé un localisateur fondamental W de Cat . Onappellera W -équivalences faibles, ou plus simplement équivalences faibles, les éléments de W .

Proposition 2.16. Soient A une petite catégorie, u et v deux foncteurs de A vers Cat et σ : u⇒ vun morphisme de foncteurs. Supposons que, pour tout objet a de A, σa : u(a) → v(a) soit uneéquivalence faible. Alors

∫Aσ :∫Au→

∫Av est une équivalence faible.

Démonstration. C'est, par exemple, [20, proposition 2.3.1].

Dé�nition 2.17. On dit qu'un morphisme de préfaisceaux sur une petite catégorie A est uneéquivalence faible (de préfaisceaux) si son image par le foncteur iA est une équivalence faible (deCat). On notera WA la classe des équivalences faibles de préfaisceaux sur A.

Lemme 2.18. Soient A et B deux petites catégories et f(•, •) : X(•, •)→ Y (•, •) un morphisme

de A×B. Supposons que, pour tout objet a de A, le morphisme f(a, •) : X(a, •)→ Y (a, •) soitdans WB. Alors, f(•, •) est dans W

A×B.

Démonstration. Supposons que, pour tout objet a de A, le morphisme f(a, •) : X(a, •)→ Y (a, •)soit dansWB , c'est-à-dire que le foncteur iB(f(a, •)) soit dansW . Il s'agit de montrer que f(•, •)est dansW

A×B , c'est-à-dire que la �èche iA×B(f(•, •)) est dansW . Pour cela, il su�t d'invoquerle lemme 2.15 (ou plutôt l'énoncé dual) qui permet d'identi�er iA×B(f(•, •)) à iA(iB(f(a, •))) etde constater que le dernier terme est bien dans W en vertu des hypothèses et de la proposition2.16, l'assignation a 7→ iB(f(a, •)) dé�nissant un morphisme de foncteurs de A → Cat , a 7→iBX(a, •) vers A→ Cat , a 7→ iBY (a, •).

Dé�nition 2.19. On dit qu'une petite catégorie A estW -asphérique, ou plus simplement asphé-rique, si le foncteur canonique A→ e est une équivalence faible.

Pour tout morphisme u : A→ B de Cat , on notera u∗ : B → A le foncteur induit par u.

Proposition 2.20. Soient A et B deux petites catégories asphériques et u : A → B un mor-phisme de Cat . Les deux conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Le foncteur u est asphérique.

(ii) Si ϕ est une équivalence faible de B, alors u∗(ϕ) est une équivalence faible de A.

7

Démonstration. C'est une partie de l'énoncé de [20, proposition 1.2.9].

Dé�nition 2.21. On dit qu'une petite catégorie A est totalement W -asphérique, ou plus sim-plement totalement asphérique, si elle est asphérique et si le foncteur diagonal δA : A → A × Aest asphérique.

Proposition 2.22. Soient A une petite catégorie totalement asphérique et f un morphisme de

A×A. Si, pour tout objet a de A, le morphisme f(a, •) est dans WA, alors δ∗A(f) est dans WA.

Démonstration. En vertu des hypothèses et du lemme 2.18, f est dans WA×A. Le foncteur

diagonal δA : A→ A×A étant asphérique par hypothèse, la proposition résulte de la proposition2.20.

Proposition 2.23. La catégorie des simplexes ∆ est totalement asphérique.

Démonstration. Voir la démonstration de [20, proposition 1.6.13].

Dé�nition 2.24. Un morphisme u : A → B de Cat est W-asphérique, ou plus simplementasphérique si, pour tout objet b de B, la catégorie A/b est asphérique.

Remarque 2.25. Un foncteur asphérique est donc une équivalence faible.

Proposition 2.26. Pour toute petite catégorie A, le foncteur

supA : ∆/NA→ A

([m], x) 7→ xm

est asphérique (donc en particulier une équivalence faible).

Démonstration. C'est [9, proposition 2.2.3], attribuée à Grothendieck. On véri�e facilement que,pour tout objet a de A, la catégorie (∆/NA)/a s'identi�e canoniquement à ∆/N(A/a). Or, lacatégorie A/a admet un objet �nal et, pour toute petite catégorie C admettant un objet �nal, lacatégorie ∆/NC est contractile, comme on peut le montrer en en construisant un endomorphismeconstant homotope à l'identité.

Proposition 2.27. On a l'égalité

W = N−1(i∆−1(W ))

Démonstration. C'est une conséquence immédiate de la proposition 2.26, par un argument de �2 sur 3 �.

3 Formalisme 2-catégorique

3.1. On suppose connues les notions de 2-catégorie, 2-foncteur strict, 2-foncteur lax et 2-foncteurcolax 3. Pour tout cela, notre vocabulaire et nos notations (parfois idiosyncrasiques) seront simi-laires à ceux de [7]. Nous noterons 2-Cat la catégorie dont les objets sont les petites 2-catégorieset dont les morphismes sont les 2-foncteurs stricts. Nous noterons 2-Cat lax la catégorie dont lesobjets sont les petites 2-catégories et dont les morphismes sont les 2-foncteurs lax. Étant donnéun 2-foncteur lax u : A → B et f et f ′ deux 1-cellules de A telles que la composée f ′f fassesens, nous noterons uf ′,f la 2-cellule structurale (� de composition �) u(f ′)u(f) ⇒ u(f ′f) et,

3. Parfois appelés � oplax � dans la littérature.

8

pour tout objet a de A, nous noterons ua la 2-cellule structurale (� d'unité �) 1u(a) ⇒ u(1a). Le2-foncteur lax u : A → B est dit normalisé si, pour tout objet a de A, la 2-cellule structuraled'unité ua est une identité (en particulier, u(1a) = 1u(a)) et si, pour toute 1-cellule f : a→ a′ deA, les 2-cellules structurales de composition u1a′ ,f et uf,1a

sont des identités. On notera par unexposant � op � (resp. � co �, resp. � coop �) le � changement de sens des 1-cellules � (resp. des2-cellules, resp. des 1-cellules et des 2-cellules). Pour tout couple d'objets x et y d'une 2-catégorie(pas forcément petite) A, on notera HomA(x, y) la catégorie dont les objets sont les 1-cellules deA et dont les morphismes sont les 2-cellules de A.

Dé�nition 3.2. Soient u : A → B un 2-foncteur lax et b un objet de B. La 2-catégorie tranchelax de A au-dessus de b relativement à u est la 2-catégorie A//ul b dé�nie comme suit :

� Les objets de A//ul b sont les couples (a, p : u(a) → b), avec a un objet de A et p une1-cellule de B.

� Si (a, p : u(a)→ b) et (a′, p′ : u(a′)→ b) sont deux objets de A//ul b, les 1-cellules de (a, p)vers (a′, p′) dans A//ul b sont les couples (f : a → a′, α : p ⇒ p′u(f)), avec f une 1-cellulede A et α une 2-cellule de B. Le diagramme à conserver en tête est le suivant :

u(a)u(f)

//

p AAAAAAAA

u(a′)

p′

}}||||||||

b

____ +3α

.

� Si (f, α) et (f ′, α′) sont deux 1-cellules de (a, p) vers (a′, p′) dans A//ul b, les 2-cellules de(f, α) vers (f ′, α′) dans A//ul b sont les 2-cellules β : f ⇒ f ′ dans A telles que (p′ ◦u(β))α =α′.

� Les diverses composées et identités sont � évidentes �.

Dé�nition 3.3. Soient u : A → B un 2-foncteur lax et b un objet de B. La 2-catégorie optranchelax de A au-dessous de b relativement à u est la 2-catégorie b\\ulA dé�nie par la formule

b\\ulA = ((Aop)//uop

l b)op.

Dé�nition 3.4. Soient u : A → B un 2-foncteur colax et b un objet de B. La 2-catégorie tranchecolax de A au-dessus de b relativement à u est la 2-catégorie A//uc b dé�nie par la formule

A//uc b = ((Aco)//uco

l b)co.

Dé�nition 3.5. Soient u : A → B un 2-foncteur colax et b un objet de B. La 2-catégorieoptranche colax de A au-dessous de b relativement à u est la 2-catégorie b\\ucA dé�nie par laformule

b\\ucA = ((Aop)//uop

c b)op.

Si a est un objet de la 2-catégorie A, on notera A//la (resp. a\\lA, resp. A//ca, resp. a\\cA)la 2-catégorie A//1A

l a (resp. a\\1Al A, resp. A//1Ac a, resp. a\\1Ac A).

On rappelle maintenant la dé�nition, introduite dans [7], de la notion d'objet �nal (resp.initial) d'un objet d'une 2-catégorie.

Dé�nition 3.6. On dira qu'un objet z d'une 2-catégorie A admet un objet �nal si, pour toutobjet a de A, la catégorie HomA(a, z) admet un objet �nal. On dira qu'il admet un objet initial s'iladmet un objet �nal dans Aco, autrement dit si, pour tout objet a de A, la catégorie HomA(a, z)admet un objet initial.

9

3.7. Pour des raisons de commodité, l'on dira qu'une 2-catégorie A op-admet (resp. co-admet,resp. coop-admet) une certaine propriété si Aop (resp. Aco, resp. Acoop) véri�e cette propriété.

Exemple 3.8. Pour toute petite 2-catégorie A et tout objet a de A, la 2-catégorie A//ca admetun objet admettant un objet �nal. Plus précisément, l'objet (a, 1a) est tel que, pour tout objet(a′, p : a′ → a), le couple (p, 1p) dé�nit un objet �nal de la catégorie HomA//ca((a′, p), (a, 1a)).Dualement, la 2-catégorie A//la admet un objet admettant un objet initial, la 2-catégorie a\\cAop-admet un objet admettant un objet �nal et la 2-catégorie a\\lA op-admet un objet admettantun objet initial.

3.9. Nous avons rappelé dans [7] la construction explicite d'un adjoint à gauche de l'inclusion2-Cat ↪→ 2-Cat lax, cas particulier d'une construction bicatégorique de Bénabou. On notera A(resp. u) l'image par ce foncteur d'une 2-catégorie A (resp. d'un 2-foncteur lax u). En notant ηet ε respectivement l'unité et la coünité de cette adjonction, on a donc en particulier, pour toutepetite 2-catégorie A, un 2-foncteur lax

ηA : A → A

et un 2-foncteur strictεA : A → A.

On renvoie à [6] ou [7] pour une description de cette adjonction. Muni des formules, on véri�esans di�culté le lemme 3.10. C'est [7, lemme 5.9].

Lemme 3.10. Pour toute petite 2-catégorie A, pour tout objet a de A, la 2-catégorie A//εAc aadmet un objet admettant un objet �nal.

3.11. Étant donné deux 2-foncteurs lax (ou deux 2-foncteurs colax) u et v de A vers B, unetransformation σ de u vers v correspond à la donnée d'une 1-cellule σa : u(a) → v(a) dans Bpour tout objet a de A et d'une 2-cellule σf : σa′u(f) ⇒ v(f)σa dans B pour toute 1-cellulef : a → a′ dans A, ces données véri�ant les conditions de cohérence bien connues. On dira quela transformation σ est relative aux objets si σa = 1u(a)(= 1v(a)) pour tout objet a de A. Avecles mêmes données, une optransformation de u vers v est une transformation de vop vers uop.De façon plus explicite, cela revient à se donner une 1-cellule σa : u(a)→ v(a) dans B pour toutobjet a de A et une 2-cellule σf : v(f)σa ⇒ σa′u(f) dans B pour toute 1-cellule f : a → a′

dans A, ces données véri�ant les conditions de cohérence aussi bien connues que les précédentes.Si u et v sont stricts, nous appellerons transformation stricte de u vers v une transformation(ou, ce qui revient au même dans ce cas précis, une optransformation) σ de u vers v telle quela 2-cellule σf soit une identité pour toute 1-cellule f de A. On notera 2-Cat la 2-catégorie dontla catégorie sous-jacente est 2-Cat et dont les 2-cellules sont les transformations strictes (c'est enfait la 2-catégorie sous-jacente à une 3-catégorie dont les 3-cellules sont les modi�cations).

Les dé�nitions 3.12 et 3.17 se trouvent déjà dans [7].

Dé�nition 3.12. On dira qu'un 2-foncteur colax u : A → B est un préadjoint à gauche colax si,pour tout objet b de B, la 2-catégorie A//uc b admet un objet admettant un objet �nal.

On dira qu'un 2-foncteur lax u : A → B est un préadjoint à gauche lax si uco est un préadjointà gauche colax. Cette condition équivaut à la suivante : pour tout objet b de B, la 2-catégorieA//ul b admet un objet admettant un objet initial.

On dira qu'un 2-foncteur colax u : A → B est un préadjoint à droite colax si uop est unpréadjoint à gauche colax. Cette condition équivaut à la suivante : pour tout objet b de B, la2-catégorie b\\ucA op-admet un objet admettant un objet �nal.

10

On dira qu'un 2-foncteur lax u : A → B est un préadjoint à droite lax si ucoop est un préadjointà gauche colax. Cette condition équivaut à la suivante : pour tout objet b de B, la 2-catégorieb\\ulA op-admet un objet admettant un objet initial.

Exemple 3.13. Toute équivalence de 2-catégories est un préadjoint à gauche lax, un préadjointà gauche colax, un préadjoint à droite lax et un préadjoint à droite colax. Pour un rappel de ladé�nition ainsi qu'une démonstration, on pourra se reporter à [6].

Remarque 3.14. À tout morphisme lax (resp. colax) A → B véri�ant l'une des conditions de ladé�nition 3.12 est associé de façon canonique un morphisme colax (resp. lax) B → A. Pour untraitement plus systématique de ces questions, nous renvoyons le lecteur à [6].

Dé�nition 3.15. Soient u : A → B un 2-foncteur strict et b un objet de B. On appelle �bre deu au-dessus de b la 2-catégorie, que l'on notera u−1(b), dont les objets sont les objets a de A telsque u(a) = b, dont les 1-cellules de a vers a′ sont les 1-cellules f de a vers a′ dans A telles queu(f) = 1b et dont les 2-cellules de f vers f ′ sont les 2-cellules α de f vers f ′ dans A telles queu(α) = 11b

, les diverses compositions et unités provenant de celles de A de façon � évidente �.

Remarque 3.16. La 2-catégorie (uop)−1

(b) (resp. (uco)−1

(b), resp. (ucoop)−1

(b)) s'identi�e cano-niquement à (u−1(b))

op(resp. (u−1(b))

co, resp. (u−1(b))

coop).

Dé�nition 3.17. On dira qu'un morphisme u : A → B de 2-Cat est une pré�bration si, pourtout objet b de B, le 2-foncteur strict canonique

Jb : u−1(b)→ b\\ucAa 7→ (a, 1b)

f 7→ (f, 11b)

α 7→ α

est un préadjoint à gauche lax.On dira qu'un 2-foncteur strict u : A → B est une préop�bration si uop est une pré�bra-

tion, autrement dit si, pour tout objet b de B, le morphisme canonique u−1(b) → A//uc b est unpréadjoint à droite lax.

On dira qu'un 2-foncteur strict u : A → B est une préco�bration si uco est une pré�bration,autrement dit si, pour tout objet b de B, le morphisme canonique u−1(b)→ b\\ulA est un préadjointà gauche colax.

On dira qu'un 2-foncteur strict u : A → B est une précoop�bration si ucoop est une pré�bra-tion, autrement dit si, pour tout objet b de B, le morphisme canonique u−1(b) → A//ul b est unpréadjoint à droite colax.

3.18. On rappelle avoir dé�ni dans [7], pour tout 2-foncteur strict F : A → 2-Cat , une 2-catégorie∫A F comme suit.Les objets de

∫A F sont les couples (a, x), avec a un objet de A et x un objet de la 2-catégorie

F (a).Les 1-cellules de (a, x) vers (a′, x′) dans

∫A F sont les couples

(f : a→ a′, r : F (f)(x)→ x′)

dans lesquels f est une 1-cellule de a vers a′ dans A et r une 1-cellule de F (f)(x) vers x′ dansF (a′).

Les 2-cellules de (f : a→ a′, r : F (f)(x)→ x′) vers (g : a→ a′, s : F (g)(x)→ x′) dans∫A F

sont les couples(γ : f ⇒ g, ϕ : r ⇒ s(F (γ))x)

11

dans lesquels γ est une 2-cellule de f vers g dans A et ϕ une 2-cellule de r vers s(F (γ))x dansF (a′).

Les diverses unités et compositions sont dé�nies de façon � évidente �.

3.19. De façon duale, pour tout 2-foncteur strict F : Aop → 2-Cat , on dé�nit une 2-catégorie∫ opA F par la formule ∫ op

AF =

(∫Acoop

(?coop ◦ F )co

)coop

.

En particulier, les objets sont les couples (a, x), avec a un objet de A et x un objet de F (a).Les 1-cellules de (a, x) vers (a′, x′) sont les couples (f : a → a′, r : x → F (f)(x′)), avec fune 1-cellule de A et r une 1-cellule de F (a). Les 2-cellules de (f, r) vers (g, s) sont les couples(γ : f ⇒ g, ϕ : (F (γ))x′r ⇒ s), avec γ une 2-cellule de A et ϕ une 2-cellule de F (a).

Remarque 3.20. En considérant la catégorie des ensembles comme une sous-catégorie de Cat , onpeut considérer la restriction de

∫ opA à la catégorie A. Ce n'est rien d'autre que le foncteur iA.

3.21. De façon duale, pour tout 2-foncteur strict F : Aco → 2-Cat , on dé�nit une 2-catégorie∫ coA F par la formule ∫ co

AF =

(∫Aco

(?co ◦ F )

)co

.

En particulier, les objets sont les couples (a, x), avec a un objet de A et x un objet de F (a).Les 1-cellules de (a, x) vers (a′, x′) sont les couples (f : a → a′, r : F (f)(x) → x′), f et r étantdes 1-cellules de A et F (a′) respectivement. Les 2-cellules de (f, r) vers (g, s) sont les couples(γ : f ⇒ g, ϕ : r(F (γ))x ⇒ s), γ et ϕ étant des 2-cellules dans A et F (a′) respectivement.

3.22. Soient F : A → 2-Cat un 2-foncteur strict et a un objet de A. La projection canonique

PF :

∫AF → A

(a, x) 7→ a

(f, r) 7→ f

(γ, ϕ) 7→ γ

est un 2-foncteur strict. Des calculs ne présentant guère de di�culté (voir [6] ou [7, proposition3.2]) permettent de véri�er que le 2-foncteur strict canonique Ja : PF

−1(a) →(∫A F

)//PF

l aest un préadjoint à droite colax. Autrement dit, PF est une précoop�bration. On véri�e que le2-foncteur strict

Ka :

(∫AF

)//PF

l a −→ PF−1(a)

((a′, x′), p : a′ → a) 7−→ (a, F (p)(x′))

((f : a′ → a′′, r : F (f)(x′)→ x′′), σ : p⇒ p′f) 7−→ (1a, F (p′)(r)(F (σ))x′)

(γ, ϕ) 7−→ (11a, F (p′)(ϕ) ◦ (F (σ))x′)

est une rétraction de Ja. De plus, des calculs supplémentaires et tout aussi passionnants montrentqu'il s'agit d'un préadjoint à gauche lax 4. Des résultats analogues sont bien entendu valablespour les constructions duales introduites dans les paragraphes 3.19 et 3.21.

4. Comme on l'a déjà signalé, l'existence d'un morphisme lax allant dans le sens opposé à celui de Ja résulte de

propriétés générales des préadjoints. En revanche, le caractère strict de ce morphisme comme sa propriété d'être

lui-même un préadjoint ne sont pas véri�és en général.

12

Dé�nition 3.23. Soient A une petite 2-catégorie et m ≥ 0 un entier.(i) On note

FonLax([m],A)

l'ensemble des 2-foncteurs lax de [m] vers A et NlA l'ensemble simplicial

NlA : ∆op → Ens[m] 7→ FonLax([m],A)

dont les faces et dégénérescences sont dé�nies de la façon � évidente �.Cela permet de dé�nir un foncteur nerf lax

Nl : 2-Cat lax → ∆

A 7→ NlAu 7→ Nl(u).

(ii) On noteFonLaxNor([m],A)

l'ensemble des 2-foncteurs lax normalisés de [m] vers A et Nl,nA l'ensemble simplicial

Nl,nA : ∆op → Ens[m] 7→ FonLaxNor([m],A)

dont les faces et dégénérescences sont dé�nies de la façon � évidente �.Cela permet de dé�nir un foncteur nerf lax normalisé

Nl,n : 2-Cat → ∆

A 7→ Nl,nAu 7→ Nl,n(u).

(iii) On noteFonLaxNor([m],A)

la catégorie dont les objets sont les 2-foncteurs lax normalisés de [m] vers A et dont les mor-phismes sont les transformations relatives aux objets entre tels 2-foncteurs lax normaliséset N l,nA l'objet simplicial de Cat

N l,nA : ∆op → Cat[m] 7→ FonLaxNor([m],A)

dont les faces et dégénérescences sont dé�nies de la façon � évidente �.Cela permet de dé�nir un foncteur nerf lax normalisé catégorique

N l,n : 2-Cat → HomCAT (∆op, Cat)A 7→ N l,nAu 7→ N l,n(u).

(iv) On noteFon([m],A)

13

la catégorie dont les objets sont les 2-foncteurs stricts de [m] vers A et dont les morphismessont les transformations relatives aux objets entre tels morphismes de 2-Cat . Autrementdit, Fon([m],A) est la catégorie∐

(a0,...,am)∈(Ob(A))m+1

HomA(a0, a1)× · · · × HomA(am−1, am).

On note N2A l'objet simplicial de Cat

N2A : ∆op → Cat[m] 7→ Fon([m],A)

dont les faces et dégénérescences sont dé�nies de la façon � évidente �.Cela permet de dé�nir un foncteur nerf strict

N2 : 2-Cat → HomCAT (∆op, Cat)A 7→ N2Au 7→ N2(u).

Remarque 3.24. Insistons sur le fait que nous avons considéré le domaine de dé�nition du nerf laxNl et du nerf lax normaliséNl,n comme étant 2-Cat lax et 2-Cat respectivement. En particulier, bienque le nerf lax normalisé soit fonctoriel sur les 2-foncteurs lax normalisés, nous ne le considéronspas, sauf mention contraire, comme un foncteur de domaine la catégorie dont les objets sontles petites 2-catégories et dont les morphismes sont les 2-foncteurs lax normalisés, ce qui seraitpossible.

3.25. Pour tout entier m ≥ 0, toute petite 2-catégorie A et tout 2-foncteur lax x : [m]→ A, onnotera xi l'image de 0 ≤ i ≤ m par x, xj,i l'image du morphisme i → j de [m] par x et xk,j,ila 2-cellule structurale xj→k,i→j : xk,jxj,i ⇒ xk,i pour 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ m. A�n d'éviter touteconfusion avec l'objet xi, on notera (x)i la 2-cellule structurale d'unité de x associée à l'objet ide [m]. On a donc (x)i : 1xi

⇒ xi,i.

3.26. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit un 2-foncteur lax

suplA : ∆/NlA → A

comme suit. Pour tout objet ([m], x) de ∆/NlA,

suplA([m], x) = xm.

Pour tout morphisme simplicial ϕ : [m] → [n] dé�nissant un morphisme de ([m], x) vers([n], y) dans ∆/NlA,

suplA(ϕ : ([m], x)→ ([n], y)) = yn,ϕ(m).

Pour tout objet ([m], x) de ∆/NlA,

suplA([m],x) = (x)m : 1xm ⇒ x(1m).

Pour tout couple de morphismes composables ϕ : ([m], x) → ([n], y) et ψ : ([n], y) → ([p], z)de ∆/NlA,

suplAψ,ϕ = zp,ψ(n),ψ(ϕ(m)).

14

3.27. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit un 2-foncteur lax normalisé

supl,nA : ∆/Nl,nA → A

par la condition de commutativité du diagramme

∫ op∆NlA

suplA ##GGGGGGGGG

∫ op∆Nl,nA

ill,nAoo

supl,nAzzvvvvvvvvv

A ,

dans lequel ill,nA désigne l'inclusion canonique.

3.28. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit un 2-foncteur lax normalisé

supl,nA :

∫ op

∆

N l,nA → A

comme suit.Pour tout objet ([m], x) de

∫ op∆N l,nA,

supl,nA ([m], x) = xm.

Pour tout morphisme (ϕ, α) : ([m], x)→ ([n], y) de∫ op

∆N l,nA,

supl,nA (ϕ, α) = yn,ϕ(m).

Pour tout objet ([m], x) de∫ op

∆N l,nA

supl,nA ([m],x)

= (x)m = 11xm.

Pour tout couple de morphismes composables (ϕ, α) : ([m], x)→ ([n], y) et (ψ, β) : ([n], y)→([p], z) de

∫ op∆N l,nA,

supl,nA (ψ,β),(ϕ,α)

= zp,ψ(n),ψ(ϕ(m))(zp,ψ(n) ◦ βn,ϕ(m)).

3.29. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit un 2-foncteur lax normalisé

supA :

∫ op

∆

N2A → A

par la condition de commutativité du diagramme

∫ op∆N l,nA

supl,nA $$HHHHHHHHH

∫ op∆N2A

il,n

homAoo

supA

{{wwwwwwwww

A ,

dans lequel il,n

homA désigne l'inclusion canonique.

15

Lemme 3.30. Pour toute petite 2-catégorie A, le diagramme

∫ op∆NlA

suplA..

∫ op∆Nl,nA

ill,nAoo

supl,nA

""

il,n

l,nA//∫ op

∆N l,nA

supl,nA

||

∫ op∆N2A

il,n

homAoo

supA

ppA

est commutatif, les �èches horizontales désignant les inclusions canoniques.

Démonstration. En vertu des dé�nitions, il su�t de véri�er l'égalité supl,nA = supl,n

A il,n

l,nA, ce quine pose aucune di�culté.

4 De Cat à 2-CatÀ toute classe S de morphismes de Cat , on peut associer une classe N−1

l,n (i−1∆ (S)) de mor-

phismes de 2-Cat . On étudie maintenant les premières propriétés des classes de 2-foncteurs strictsobtenues par un tel procédé à partir d'un localisateur fondamental de Cat , avant d'en entreprendreune étude plus axiomatique dans la section suivante.

Proposition 4.1 (Carrasco-Cegarra-Garzón). Pour toute petite 2-catégorie A et tout entierm ≥ 0, les inclusions naturelles de catégories

ill,nA :

∫ op

∆

Nl,nA ↪→∫ op

∆

NlA

il,n

l,nA :

∫ op

∆

Nl,nA ↪→∫ op

∆

N l,nA

et

il,n

homA :

∫ op

∆

N2A ↪→∫ op

∆

N l,nA

sont dans W 1∞ (et donc des équivalences faibles pour tout localisateur fondamental de Cat).

Démonstration. C'est une reformulation d'une partie des résultats de [4].

Remarque 4.2. En particulier, pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat , il existe un diagrammecommutatif dans Cat

∆/Nl,nA∆/Nl,n(u)

//

��

∆/Nl,nB

��

∆/NlA∆/Nl(u)

// ∆/NlB

dont les �èches verticales sont des W 1∞-équivalences faibles, donc des équivalences faibles pour

tout localisateur fondamental de Cat . En particulier, pour tout localisateur fondamental de Cat ,pour tout morphisme u de 2-Cat , le foncteur ∆/Nl(u) est une équivalence faible si et seulementsi le foncteur ∆/Nl,n(u) en est une.

16

Soit W un localisateur fondamental de Cat �xé.

Dé�nition 4.3. On notera W la classe des morphismes de 2-Cat dont l'image par le foncteur∆/Nl(•) (ou, de façon équivalente en vertu de la remarque 4.2, l'image par le foncteur ∆/Nl,n(•))est une équivalence faible.

On appellera les éléments de W des W-équivalences faibles, ou plus simplement des équiva-lences faibles.

Remarque 4.4. Par fonctorialité, la classe W est faiblement saturée.

Dé�nition 4.5. On dira qu'une petite 2-catégorie A est W-asphérique, ou plus simplementasphérique, si le morphisme canonique A → e est une équivalence faible.

Lemme 4.6. Une petite 2-catégorie A est W-asphérique si et seulement si la catégorie ∆/Nl,nAest W -asphérique.

Démonstration. C'est immédiat, la catégorie ∆ étant W -asphérique (elle admet un objet �nal)et la classe W véri�ant la propriété de 2 sur 3.

Lemme 4.7. Soit A une catégorie admettant un objet �nal ∗. Pour tout objet a de A, on noterapa l'unique morphisme de a vers ∗ dans A. Soit S ⊂ Fl1(A) véri�ant les propriétés suivantes.

(i) Si u ∈ S et vu ∈ S, alors v ∈ S.(ii) Si vu = 1∗ et uv ∈ S, alors v ∈ S (et donc u ∈ S en vertu de la propriété précédente).

Alors, pour tout diagramme commutatif

apa //

s��

@@@@@@@ ∗

q���������

a′

dans A tel que s ∈ S, q et pa′ sont aussi dans S. Si, de plus, S est stable par composition, alorspa est aussi dans S.

Démonstration. De s ∈ S et qpa′s = qpa = s ∈ S, l'on déduit qpa′ ∈ S. Comme de plus pa′q = 1∗,on a bien le résultat.

Remarque 4.8. Rappelons qu'un endofoncteur u : A→ A est dit constant s'il existe un foncteura : e → A tel que u = apA. Autrement dit, u se factorise par la catégorie ponctuelle. En vertudu lemme 4.7, une petite catégorie admettant un endofoncteur constant qui est une équivalencefaible est asphérique.

Lemme 4.9. Une petite 2-catégorie admettant un objet admettant un objet �nal est asphérique.

Démonstration. Soit A une petite 2-catégorie admettant un objet z tel que, pour tout objet ade A, la catégorie HomA(a, z) admette un objet �nal. Pour montrer le résultat désiré, il su�t,en vertu du lemme 4.6, de véri�er que la catégorie ∆/Nl,nA est asphérique.

Pour tout objet a de A, on notera pa : a → z l'objet �nal de HomA(a, z) et, pour toute1-cellule f : a → z, on notera ϕf : f ⇒ pa l'unique 2-cellule de f vers pa dans A. Pour tout2-foncteur lax normalisé x : [m]→ A, on dé�nit un 2-foncteur lax normalisé D(x) : [m+ 1]→ Acomme suit. Pour tout objet i de [m], D(x)i = xi ; de plus, D(x)m+1 = z. Pour tout coupled'entiers 0 ≤ i ≤ j ≤ m, D(x)j,i = xj,i ; de plus, D(x)m+1,i = pxi

pour tout objet i de [m]. Pourtout triplet d'entiers 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ m, D(x)k,j,i = xk,j,i ; de plus, D(x)m+1,j,i = ϕpxj

◦D(x)j,i

pour tout couple d'entiers 0 ≤ i ≤ j ≤ m. Pour tout morphisme simplicial ϕ : [m] → [n],

17

on dé�nit un morphisme simplicial D(ϕ) : [m + 1] → [n + 1] par D(ϕ)(i) = ϕ(i) si i ≤ m etD(ϕ)(m+ 1) = n+ 1. Cela permet de dé�nir un endofoncteur

D : ∆/Nl,nA → ∆/Nl,nA([m], x : [m]→ A) 7→ ([m+ 1], D(x) : [m+ 1]→ A)

ϕ 7→ D(ϕ).

Considérons en outre l'endofoncteur constant

Z : ∆/Nl,nA → ∆/Nl,nA([m], x : [m]→ A) 7→ ([0], z)

ϕ 7→ 1[0].

Pour tout objet ([m], x) de ∆/Nl,nA, posons

ι([m],x) : [m]→ [m+ 1]

i 7→ i

etω([m],x) : [0]→ [m+ 1]

0 7→ m+ 1.

Cela dé�nit des transformations naturelles ι : 1∆/Nl,nA ⇒ D et ω : Z ⇒ D. Il en résulte que Zest une équivalence faible. Comme c'est un endofoncteur constant de ∆/Nl,nA, cette catégorieest asphérique (voir la remarque 4.8).

Théorème 4.10. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun triangle commutatif dans 2-Cat . Supposons que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur strictinduit par ces données

u//cc : A//wc c→ B//vc c

soit une équivalence faible. Alors, u est une équivalence faible.

Démonstration. En utilisant les propositions 2.22 et 2.23, le résultat se démontre de façon toutà fait analogue à [7, théorème 2.32].

Remarque 4.11. Il est bien entendu possible de remplacer le 2-foncteur strict u//cc par u//lc, c\\cuou c\\lu dans l'énoncé du théorème 4.10. On démontrera plus loin ces variantes, ainsi que desgénéralisations d'icelles, dans un cadre plus conceptuel.

5 Localisateurs fondamentaux de 2-CatDé�nition 5.1. Un localisateur fondamental de 2-Cat est une classe W de morphismes de 2-Catvéri�ant les propriétés suivantes.

LF1 La classe W est faiblement saturée.LF2 Si une petite 2-catégorie A admet un objet admettant un objet �nal, alors le morphismecanonique A → e est dans W.

18

LF3 SiA u //

w��

??????? B

v���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat et si, pour tout objet c de C, le 2-foncteur strictinduit par ces données

u//cc : A//wc c→ B//vc c

est dans W, alors u est dans W.

Remarque 5.2. SiW est un localisateur fondamental de Cat , alors la classeW = N−1l,n (i−1

∆ (W )) estun localisateur fondamental de 2-Cat en vertu de la remarque 4.4, du lemme 4.9 et du théorème4.10. En particulier, W2

∞ = N−1l,n (i−1

∆ (W 1∞)) = N−1

l,n (W∆∞) est un localisateur fondamental de

2-Cat .Dans la suite, on commettra souvent l'abus de considérer Cat comme une sous-catégorie

(pleine) de 2-Cat .Remarque 5.3. Si W est un localisateur fondamental de 2-Cat , alors W ∩ Fl1(Cat) est un locali-sateur fondamental de Cat .

L'objectif principal de cet article consiste à montrer que tous les localisateurs fondamentauxde Cat et tous les localisateurs fondamentaux de 2-Cat s'obtiennent les premiers à partir desseconds et les seconds à partir des premiers par les opérations �gurant dans les énoncés desremarques 5.2 et 5.3 respectivement, que ces deux opérations sont inverses l'une de l'autre etqu'elles induisent des équivalences de catégories entre les catégories homotopiques associées deCat et de 2-Cat .

On suppose �xé un localisateur fondamental W de 2-Cat .

On appellera les éléments de W des W-équivalences ou, plus simplement, si cela n'introduitaucune ambiguïté, des équivalences faibles.

On dira qu'une petite 2-catégorie A est W-asphérique, ou plus simplement asphérique, si lemorphisme canonique A → e est dans W.

On dira qu'un 2-foncteur strict u : A → B est W-colax-asphérique, ou plus simplementcolax-asphérique si, pour tout objet b de B, la 2-catégorie A//uc b est asphérique.Exemple 5.4. Pour toute petite 2-catégorie A et tout objet a de A, la 2-catégorie A//ca estasphérique, en vertu de l'exemple 3.8 et de l'axiome LF2. La condition LF3 et un argument de �2 sur 3 � permettent donc d'a�rmer qu'un 2-foncteur strict colax-asphérique est une équivalencefaible.

Lemme 5.5. Une W 1∞-équivalence faible est une W-équivalence faible. Une petite catégorie

W 1∞-asphérique est W-asphérique.

Démonstration. La seconde assertion est conséquence de la première, qui résulte du théorème2.12 et de la remarque 5.3.

Le lemme 5.6 est immédiat.

Lemme 5.6. Soient A une petite 2-catégorie, z un objet de A et q : e → A le morphisme de2-Cat dé�ni par l'objet z. Alors, pour tout objet x de A, e//qc x est la 2-catégorie associée à lacatégorie (HomA(z, x))

op.

19

Lemme 5.7. Une petite 2-catégorie op-admettant un objet admettant un objet initial est asphé-rique.

Démonstration. Soient A une petite 2-catégorie op-admettant un objet admettant un objet ini-tial, et z un objet de A tel que, pour tout objet x de A, la catégorie HomA(z, x) admette unobjet initial. Considérons les 2-foncteurs pA : A → e et qA : e → A, le second étant dé�ni parqA(∗) = z. En vertu du lemme 5.6, pour tout objet x de A, la 2-catégorie e//qAc x admet unobjet admettant un objet �nal (elle admet également un objet admettant un objet initial). Onen déduit que e//qAc x est asphérique pour tout objet x de A. Par conséquent, qA une équivalencefaible. Comme pAqA = 1e, il résulte de la saturation faible de W que pA est une équivalencefaible. Par dé�nition, A est donc asphérique.

Lemme 5.8. Une petite 2-catégorie op-admettant un objet admettant un objet �nal est asphé-rique.

Démonstration. Soit A une petite 2-catégorie op-admettant un objet admettant un objet �nalet soit z un objet de A tel que, pour tout objet x de A, la catégorie HomA(z, x) admette unobjet �nal. Considérons les 2-foncteurs pA : A → e et qA : e → A, le second étant dé�ni parqA(∗) = z. En vertu du lemme 5.6, pour tout objet x de A, la 2-catégorie e//qAc x op-admet unobjet admettant un objet initial (elle op-admet également un objet admettant un objet �nal).On en déduit que e//qAc x est asphérique pour tout objet x de A, en vertu du lemme 5.7. Parconséquent, qA est une équivalence faible. La saturation faible de W permet d'en conclure queA est asphérique.

Corollaire 5.9. Pour toute petite 2-catégorie A et tout objet a de A, les 2-catégories a\\lA eta\\cA sont asphériques.

Démonstration. En vertu de l'exemple 3.8, cela résulte des lemmes 5.7 et 5.8.

Lemme 5.10. Un préadjoint à gauche colax est une équivalence faible.

Démonstration. En vertu des dé�nitions, cela résulte des conditions LF2 et LF3.

Remarque 5.11. L'énoncé du lemme 5.10 constitue une généralisation, à tout localisateur fonda-mental de 2-Cat , d'un quart de l'énoncé de [7, lemme 2.35]. On retrouvera les trois autres quartsplus loin.

Proposition 5.12. Soient A une petite 2-catégorie et F : Aco → 2-Cat un 2-foncteur strict telque, pour tout objet a de A, la 2-catégorie F (a) soit asphérique. Alors, la projection canonique

PF :

∫ co

AF → A

est colax-asphérique (donc en particulier une équivalence faible).

Démonstration. La �bre PF−1(a) de PF au-dessus de a s'identi�ant à F (a), elle est asphérique

en vertu des hypothèses. On sait de plus (voir le paragraphe 3.22) qu'il existe un 2-foncteur strict

Ka :

(∫ co

AF

)//PF

c a→ PF−1(a)

qui est un préadjoint à gauche colax, donc une équivalence faible en vertu du lemme 5.10. Parconséquent, la 2-catégorie (

∫ coA F )//PF

c a est asphérique, ce qui permet de conclure (voir l'exemple5.4).

20

5.13. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit une 2-catégorie S1(A) comme suit :

Ob(S1(A)) = Fl1(A).

Si k : b → a et k′ : b′ → a′ sont deux 1-cellules de A, une 1-cellule de k vers k′ dans S1(A) estun triplet

(f : b′ → b, g : a→ a′, α : k′ ⇒ gkf),

ce que représente le diagramme

bk // a

g

��

b′

f

OO

k′//

~wαa′ .

Si (f, g, α) et (f ′, g′, α′) sont deux 1-cellules parallèles de k vers k′ dans S1(A), les 2-cellules de(f, g, α) vers (f ′, g′, α′) dans S1(A) sont les couples

(ϕ : f ⇒ f ′, γ : g ⇒ g′)

tels que(γ ◦ k ◦ ϕ)α = α′.

Les diverses compositions et identités de S1(A) se dé�nissent de façon � évidente � à partirde celles de A.

On véri�e l'existence d'isomorphismes canoniques

S1(A) '∫ co

Aop

(a\\lA) '∫ co

A(A//la)

op.

Il existe un diagramme de projections canoniques

Aop S1(A)sA1oo

tA1 // A.

La �bre de la �èche de gauche au-dessus de a ∈ Ob(A) s'identi�e à a\\lA, donc est asphériqueen vertu du corollaire 5.9 ; la �bre de la �èche de droite au-dessus de a ∈ Ob(A) s'identi�e à(A//la)

op, donc est asphérique en vertu du lemme 5.7, puisqu'elle op-admet un objet admettant unobjet initial. En particulier, en vertu de la proposition 5.12, ces deux �èches sont des équivalencesfaibles.

5.14. Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat , on en dé�nit un autre par

S1(u) : S1(A)→ S1(B)

k 7→ u(k)

(f, g, α) 7→ (u(f), u(g), u(α))

(ϕ, γ) 7→ (u(ϕ), u(γ)).

Cette dé�nition rend le diagramme suivant commutatif :

Aop

uop

��

S1(A)sA1oo

S1(u)

��

tA1 // A

u

��

Bop S1(B)sB1

oo

tB1

// B .

21

Comme les �èches horizontales de ce diagramme sont toutes des équivalences faibles, en vertude ce qui précède, on déduit la proposition 5.15 de deux applications consécutives d'un argumentde � 2 sur 3 �.

Proposition 5.15. Un morphisme u de 2-Cat est une équivalence faible si et seulement si uop

est une équivalence faible.

Corollaire 5.16. Une petite 2-catégorie A est asphérique si et seulement si Aop l'est.

Corollaire 5.17. Une petite 2-catégorie admettant un objet admettant un objet initial est asphé-rique.

Proposition 5.18. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun diagramme commutatif dans 2-Cat . Supposons que, pour tout objet c de C, le morphisme de2-Cat induit

c\\cu : c\\wcA → c\\vcB

soit une équivalence faible. Alors u est une équivalence faible.

Démonstration. En vertu des hypothèses et par dé�nition, le 2-foncteur strict (uop//cc)op est

une équivalence faible pour tout objet c de C. Par conséquent, en vertu de la proposition 5.15,le 2-foncteur strict uop//cc est une équivalence faible pour tout objet c de C. En vertu de lacondition LF3, le 2-foncteur strict uop est donc une équivalence faible. Une nouvelle invocationde la proposition 5.15 permet de conclure.

Corollaire 5.19. Soit u : A → B un morphisme de 2-Cat . Supposons que, pour tout objet b deB, la 2-catégorie b\\ucA soit asphérique. Alors u est une équivalence faible.

5.20. Soit A une petite 2-catégorie. On dé�nit une 2-catégorie S2(A) comme suit :

Ob(S2(A)) = Fl1(A).

Si k : b → a et k′ : b′ → a′ sont deux 1-cellules de A, une 1-cellule de k vers k′ dans S2(A) estun triplet

(f : b→ b′, g : a→ a′, α : k′f ⇒ gk),

ce que représente le diagramme

bk //

f

��

a

g

��

b′k′//

~wαa′ .

Si (f, g, α) et (f ′, g′, α′) sont deux 1-cellules parallèles de k vers k′ dans S2(A), les 2-cellules de(f, g, α) vers (f ′, g′, α′) dans S2(A) sont les couples

(ϕ : f ′ ⇒ f, γ : g ⇒ g′)

tels que(γ ◦ k)α(k′ ◦ ϕ) = α′.

22

Les diverses compositions et identités de S2(A) se dé�nissent de façon � évidente � à partirde celles de A.

On véri�e l'existence d'isomorphismes canoniques

S2(A) '(∫ co

Acoop

(a\\lA)op

)op

'∫ co

A(A//ca)

co.

Il existe un diagramme de projections canoniques

Aco S2(A)sA2oo

tA2 // A.

La �bre de la �èche de droite au-dessus de a ∈ Ob(A) s'identi�e à (A//ca)co, donc est asphérique

(elle admet un objet admettant un objet initial). En vertu de la proposition 5.12, tA2 est doncune équivalence faible. La �bre de la �èche de gauche au-dessus de a ∈ Ob(A) s'identi�e à a\\lA,donc est asphérique. En vertu de la proposition 5.12, la projection canonique∫ co

Acoop

(a\\lA)op → Acoop

est une équivalence faible. Comme elle s'identi�e à(sA2)op

, sA2 est une équivalence faible en vertudu corollaire 5.15.

5.21. Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat , on en dé�nit un autre par :

S2(u) : S2(A)→ S2(B)

k 7→ u(k)

(f, g, α) 7→ (u(f), u(g), u(α))

(ϕ, γ) 7→ (u(ϕ), u(γ)).

Cette dé�nition rend le diagramme suivant commutatif :

Aco

uco

��

S2(A)sA2oo

S2(u)

��

tA2 // A

u

��

Bco S2(B)sB2

oo

tB2

// B .

Comme les �èches horizontales de ce diagramme sont toutes des équivalences faibles, en vertude ce qui précède, on en déduit la proposition 5.22 par deux applications consécutives d'unargument de � 2 sur 3 �.

Proposition 5.22. Un morphisme u de 2-Cat est une équivalence faible si et seulement si uco

en est une.

Corollaire 5.23. Une petite 2-catégorie A est asphérique si et seulement si Aco est asphérique.

Proposition 5.24. Un morphisme u de 2-Cat est une équivalence faible si et seulement si ucoop

en est une.

Démonstration. Cela résulte des propositions 5.15 et 5.22.

Corollaire 5.25. Une petite 2-catégorie A est asphérique si et seulement si Acoop est asphérique.

23

Proposition 5.26. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun diagramme commutatif dans 2-Cat . Supposons que, pour tout objet c de C, le morphisme

u//lc : A//wl c→ B//vl c

soit une équivalence faible. Alors u est une équivalence faible.

Démonstration. En vertu des hypothèses et par dé�nition, le 2-foncteur strict (uco//cc)co est

une équivalence faible pour tout objet c de C. Par conséquent, en vertu de la proposition 5.22,le 2-foncteur strict uco//cc est une équivalence faible pour tout objet c de C. En vertu de lacondition LF3, le 2-foncteur strict uco est donc une équivalence faible. Une nouvelle invocationde la proposition 5.22 permet de conclure.

Proposition 5.27. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun diagramme commutatif dans 2-Cat . Supposons que, pour tout objet c de C, le morphisme

c\\lu : c\\wlA → c\\vlB

soit une équivalence faible. Alors u est une équivalence faible.

Démonstration. En vertu des hypothèses et par dé�nition, le 2-foncteur strict (uop//lc)op est

une équivalence faible pour tout objet c de C. Par conséquent, en vertu de la proposition 5.15,le 2-foncteur strict uop//lc est une équivalence faible pour tout objet c de C. En vertu de laproposition 5.26, le 2-foncteur strict uop est donc une équivalence faible. Une nouvelle invocationde la proposition 5.15 permet de conclure.

Proposition 5.28. Un préadjoint à gauche lax (resp. un préadjoint à droite lax, resp. un pré-adjoint à droite colax) est une équivalence faible.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate de l'exemple 3.8, du corollaire 5.17 et de laproposition 5.26 (resp. de l'exemple 3.8, du lemme 5.7 et de la proposition 5.27, resp. de l'exemple3.8, du lemme 5.8 et de la proposition 5.18).

Remarque 5.29. Le lemme 5.10 et la proposition 5.28 constituent la généralisation, à tout loca-lisateur fondamental de 2-Cat , de [7, lemme 2.35].

Proposition 5.30. Une pré�bration (resp. une préop�bration, resp. une préco�bration, resp. uneprécoop�bration) à �bres asphériques est une équivalence faible.

Démonstration. Soit u : A → B une pré�bration à �bres asphériques. Par dé�nition, pour toutobjet b de B, le 2-foncteur strict canonique Jb : u−1(b) → b\\ucA est un préadjoint à gauche lax.En vertu de la proposition 5.28, c'est donc une équivalence faible. Par conséquent, b\\ucA estasphérique pour tout objet b de B. On conclut par une invocation de la proposition 5.18. Lestrois autres assertions s'en déduisent en invoquant respectivement les propositions 5.15, 5.22 et5.24 et leur corollaire respectif 5.16, 5.23 et 5.25.

24

Remarque 5.31. La proposition 5.30 constitue la généralisation, à tout localisateur fondamentalde 2-Cat , de [7, lemme 2.40].

Dé�nition 5.32. Étant donné un diagramme commutatif

A u //

w��

??????? B

v���������

C

dans 2-Cat , on dira que u est lax-asphérique au-dessus de C (resp. lax-opasphérique au-dessus deC, resp. colax-asphérique au-dessus de C, resp. colax-opasphérique au-dessus de C) si, pour toutobjet c de C, le 2-foncteur strict u//lc (resp. c\\lu, resp. u//cc, resp. c\\cu) est une équivalencefaible. Si v = 1B, on dira simplement 5 que u est lax-asphérique (resp. lax-opasphérique, resp.colax-asphérique, resp. colax-opasphérique).

Remarque 5.33. En vertu des résultats ci-dessus, sous les données de la dé�nition 5.32, le2-foncteur strict u est une équivalence faible pour peu qu'il soit lax-asphérique, lax-opasphérique,colax-asphérique ou colax-opasphérique au-dessus de C. En faisant v = 1B, on obtient le cas par-ticulier suivant : pour tout 2-foncteur strict u : A → B, si, pour tout objet b de B, la 2-catégorieA//ul b (resp. b\\

ulA, resp. A//uc b, resp. b\\

ucA) est asphérique, alors u est une équivalence faible.

Proposition 5.34. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun diagramme commutatif dans 2-Cat . On suppose que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur strictinduit entre les �bres uc : w−1(c)→ v−1(c) est une équivalence faible.

(a) Si v et w sont des pré�brations, alors u est colax-opasphérique au-dessus de C.(b) Si v et w sont des préop�brations, alors u est colax-asphérique au-dessus de C.(c) Si v et w sont des préco�brations, alors u est lax-opasphérique au-dessus de C.(d) Si v et w sont des précoop�brations, alors u est lax-asphérique au-dessus de C.

En particulier, dans n'importe lequel de ces quatre cas, u est une équivalence faible.

Démonstration. Plaçons-nous dans le premier cas, les trois autres s'en déduisant par dualité.Pour tout objet c de C, on a un carré commutatif

w−1(c)uc //

Jc

��

v−1(c)

Jc

��

c\\wcA c\\cu// c\\vcB

dont les �èches verticales sont des préadjoints à gauche lax, donc des équivalences faibles (propo-sition 5.28). Comme, par hypothèse, uc est une équivalence faible, il en est de même de c\\cu.

On ne suppose plus �xé de localisateur fondamental de 2-Cat .

Théorème 5.35. Soit W une partie de Fl1(2-Cat). Les conditions suivantes sont équivalentes.

5. En accord avec l'emploi du terme � colax-asphérique �, déjà introduit.

25

(i) W est un localisateur fondamental de 2-Cat .(ii) Les conditions suivantes sont véri�ées.LF1′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LF2′ Si une petite 2-catégorie A admet un objet admettant un objet initial, alors A → eest dans W.

LF3′ Si

A u //

w��

??????? B

v���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat et si, pour tout objet c de C, le 2-foncteurstrict

u//lc : A//wl c→ B//vl c

est dans W, alors u est dans W.(iii) Les conditions suivantes sont véri�ées.LF1′′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LF2′′ Si une petite 2-catégorie A op-admet un objet admettant un objet �nal, alors A → eest dans W.

LF3′′ Si

A u //

w��

??????? B

v���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat et si, pour tout objet c de C, le 2-foncteurstrict

c\\cu : c\\wcA → c\\vcB

est dans W, alors u est dans W.(iv) Les conditions suivantes sont véri�ées.LF1′′′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LF2′′′ Si une petite 2-catégorie A op-admet un objet admettant un objet initial, alors A → eest dans W.

LF3′′′ Si

A u //

w��

??????? B

v���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat et si, pour tout objet c de C, le 2-foncteurstrict

c\\lu : c\\wlA → c\\vlB

est dans W, alors u est dans W.(v) Les conditions suivantes sont véri�ées.LFα La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LFβ Le morphisme canonique [1]→ e est dans W.

26

LFγ Si

A u //

p��

??????? B

q���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat , si p et q sont des précoop�brations et si, pourtout objet c de C, le 2-foncteur strict induit entre les �bres

p−1(c)→ q−1(c)

est dans W, alors u est dans W.(vi) Les conditions suivantes sont véri�ées.LFα′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LFβ′ Le morphisme canonique [1]→ e est dans W.LFγ′ Si

A u //

p��

??????? B

q���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat , si p et q sont des préco�brations et si, pourtout objet c de C, le 2-foncteur strict induit entre les �bres

p−1(c)→ q−1(c)

est dans W, alors u est dans W.(vii) Les conditions suivantes sont véri�ées.LFα′′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LFβ′′ Le morphisme canonique [1]→ e est dans W.LFγ′′ Si

A u //

p��

??????? B

q���������

Cdésigne un triangle commutatif dans 2-Cat , si p et q sont des préop�brations et si, pourtout objet c de C, le 2-foncteur strict induit entre les �bres

p−1(c)→ q−1(c)

est dans W, alors u est dans W.(viii) Les conditions suivantes sont véri�ées.LFα′′′ La partie W de Fl1(2-Cat) est faiblement saturée.LFβ′′′ Le morphisme canonique [1]→ e est dans W.LFγ′′′ Si

A u //

p��

??????? B

q���������

C

27

désigne un triangle commutatif dans 2-Cat , si p et q sont des pré�brations et si, pourtout objet c de C, le 2-foncteur strict induit entre les �bres

p−1(c)→ q−1(c)

est dans W, alors u est dans W.

Démonstration. L'implication (i)⇒ (v) résulte de la proposition 5.34.Montrons l'implication (v)⇒ (iii).Soit A une petite 2-catégorie. Les �èches du triangle commutatif

[1]×Apr2 //

pr2##FFFFFFFFF A

1A����������

A

sont des précoop�brations et, pour tout objet a de A, le 2-foncteur strict induit entre les �bresau-dessus de a s'identi�e au morphisme canonique [1]→ e, qui est dans W par hypothèse. Ainsi,pour toute petite 2-catégorie A, la projection canonique [1]×A → A est dans W.

Soit A une petite 2-catégorie op-admettant un objet admettant un objet �nal. On construitfacilement (voir la démonstration de [7, lemme 2.27]) un endomorphisme constant de A homotopeà 1A. La 2-catégorie A est donc contractile. En vertu de ce qui précède et de [20, lemme 1.4.8],le morphisme canonique A → e est dans W. La condition LF2′′ est donc véri�ée.

Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat , on peut considérer les 2-foncteurs stricts

Bop → 2-Catb 7→ b\\ucA

etA → 2-Cata 7→ (B//cu(a))

op.

Considérons la 2-catégorie S(u) dé�nie comme suit. Ses objets sont les triplets (b, a, k : b→ u(a))avec b un objet de B, a un objet de A et k une 1-cellule de B. Les 1-cellules de (b, a, k) vers(b′, a′, k′) sont les triplets (f : b′ → b, g : a → a′, α : u(g)kf ⇒ k′), f étant une 1-cellule de B,g une 1-cellule de A et α une 2-cellule de B. Les 2-cellules de (f, g, α) vers (f ′, g′, α′) sont lescouples (ϕ : f ⇒ f ′, γ : g ⇒ g′) avec ϕ une 2-cellule de B et γ une 2-cellule de A telles queα′(u(γ) ◦ k ◦ ϕ) = α. On véri�e l'existence d'isomorphismes canoniques

S(u) '∫Bop

b\\ucA '∫A

(B//cu(a))op.

Les projections canoniquessu : S(u)→ Bop

(b, a, k) 7→ b

(f, g, α) 7→ f

(ϕ, γ) 7→ ϕ

ettu : S(u)→ A

(b, a, k) 7→ a

(f, g, α) 7→ g

(ϕ, γ) 7→ γ

28

sont donc des précoop�brations. De plus, pour tout objet a de A, la 2-catégorie (B//cu(a))op op-

admet un objet admettant un objet �nal. En vertu de ce qui précède, le morphisme canonique(B//cu(a))

op → e est donc dans W. Or, c'est à ce morphisme que s'identi�e le 2-foncteur strictinduit entre les �bres au-dessus de a par le diagramme

S(u)tu //

tu!!CCCCCCCC A

1A����������

A .

Comme tu et 1A sont des précoop�brations, tu est dans W.Soit

A u //

v

��

Bw

��

A′u′// B′

un carré commutatif dans 2-Cat . On dé�nit un 2-foncteur strict

S(v, w) : S(u)→ S(u′)

(b, a, k) 7→ (w(b), v(a), w(k))

(f, g, α) 7→ (w(f), v(g), w(α))

(ϕ, γ) 7→ (w(ϕ), v(γ)).

Cela fournit un diagramme commutatif

Bop

wop

��

S(u)suoo

tu //

S(v,w)

��

A

v

��

B′op S(u′)su′oo

tu′// A′

dans lequel tu et tu′ sont dans W.Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

C

un diagramme commutatif dans 2-Cat tel que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur strict u//cc :A//wc c→ B//vc c soit dans W. En vertu de ce qui précède, cela fournit un diagramme commutatif

Cop

1Cop

��

S(w)swoo

tw //

S(u,1C)

��

A

u

��

Cop S(v)svoo

tv// B .

29

En particulier, on a un diagramme commutatif

S(w)S(u,1C)

//

sw""FFFFFFFF

S(v)

sv||yyyyyyyy

Cop

dans lequel sw et sv sont des précoop�brations. Pour tout objet c de C, le 2-foncteur strict induitpar ce diagramme entre les �bres au-dessus de c s'identi�e à c\\cu, qui est dansW par hypothèse.Par conséquent, S(u, 1C) est dans W en vertu de la condition LFγ. Comme tw et tv sont dansW, qui est faiblement saturée, u est dans W, ce qui termine la démonstration de la conditionLF3′′, et donc de l'implication (v)⇒ (iii).

Montrons l'implication (iii)⇒ (i). Notons Wop la partie de Fl1(2-Cat) dé�nie par

Wop = {u ∈ Fl1(2-Cat)|uop ∈ W}.

Véri�ons que la classe Wop constitue un localisateur fondamental de 2-Cat . La saturation faiblede Wop est immédiate. Soit A une petite 2-catégorie admettant un objet admettant un objet�nal. Alors, Aop op-admet un objet admettant un objet �nal, donc le morphisme Aop → e estdans W, c'est-à-dire que le morphisme A → e est dans Wop. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

C

un diagramme commutatif dans 2-Cat tel que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur strict u//ccsoit dansWop, c'est-à-dire tel que le 2-foncteur strict (u//cc)

op soit dansW, c'est-à-dire tel que le2-foncteur strict ((uop)

op//cc)

op soit dans W. Pour tout objet c de C, le 2-foncteur strict c\\cuopest donc dans W. La condition LF3′ implique que uop est dans W, c'est-à-dire que u est dansWop, qui est donc bien un localisateur fondamental de 2-Cat . On en déduit W = Wop en vertude la proposition 5.15. L'implication considérée en résulte.

Les autres se démontrent de façon analogue ou se déduisent de ce qui précède par un argumentde dualité.

6 Correspondances fondamentales

On suppose �xé un localisateur fondamental W de 2-Cat .

Proposition 6.1. Pour toute petite 2-catégorie A, le 2-foncteur strict εA : A → A est uneéquivalence faible.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme 3.10 et de la condition LF2.

Remarque 6.2. La proposition 6.1 constitue la généralisation, à tout localisateur fondamental de2-Cat , de [7, proposition 5.10].

Lemme 6.3. Soit u : A → B un 2-foncteur strict. Les propositions suivantes sont équivalentes.(i) u est une équivalence faible.(ii) u est une équivalence faible.

30

Démonstration. Cela résulte de l'égalité εBu = uεA, de la proposition 6.1 et d'un argument de �2 sur 3 �.

Dé�nition 6.4. On dira qu'un morphisme u de 2-Cat lax est uneW-équivalence faible lax ou, plussimplement, une équivalence faible lax, voire, en l'absence d'ambiguïté, une équivalence faible, siu est dans W. On notera Wlax la classe des W-équivalences faibles lax.

Dans la suite, on commettra l'abus sans conséquence de considérer 2-Cat comme une sous-catégorie (non pleine) de 2-Cat lax.Remarque 6.5. En vertu du lemme 6.3, un 2-foncteur strict est une équivalence faible si etseulement si c'est une équivalence faible lax.

Remarque 6.6. Par fonctorialité, la classe des équivalences faibles lax est faiblement saturée.

Lemme 6.7. Pour toute petite 2-catégorie A, le 2-foncteur lax ηA : A → A est une équivalencefaible.

Démonstration. Cela résulte de l'égalité εAηA = 1A, du fait que εA est une équivalence faible etde la saturation faible de la classe des équivalences faibles lax.

Remarque 6.8. La proposition 6.1 constitue la généralisation, à tout localisateur fondamental de2-Cat , de [7, proposition 5.11].

Théorème 6.9. L'inclusion 2-Cat ↪→ 2-Cat lax induit une équivalence de catégories entre lescatégories localisées W−12-Cat et Wlax

−12-Cat lax.

Démonstration. C'est une conséquence du fait que les composantes des transformations naturellesη et ε sont dans Wlax et W respectivement.

Remarque 6.10. Le théorème 6.9 constitue la généralisation, à tout localisateur fondamental de2-Cat , de [7, théorème 5.15].

Théorème 6.11. Soit

A u //

w��

??????? B

v���������

Cun diagramme commutatif dans 2-Cat lax. Supposons que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur laxu//lc : A//wl c→ B//vl c soit une équivalence faible. Alors u est une équivalence faible.

Démonstration. On esquisse la démonstration. Le lecteur pourra se reporter à [7, théorème 6.6]pour les détails d'une démonstration d'un énoncé plus fort dans le cas particulier des équivalencesfaibles dé�nies par le nerf (voir la remarque 6.12). Supposant donné un diagramme commutatif de2-foncteurs lax tel que celui de l'énoncé, on peut lui associer, pour tout objet c de C, un 2-foncteurstrict u//lc : A//wl c→ B//vl c induit par le diagramme commutatif de 2-foncteurs stricts

Au //

w��

>>>>>>> B

v���������

C

dans lequel on a posé v = εC v et w = εCw.

31

On peut alors véri�er la commutativité du diagramme

A//wl cu//lc

// B//vl c

A//wl c

ηA//lc

OO

u//lc// B//vl c

ηB//lc

OO

.

Les 2-foncteurs lax ηA//lc et ηB//lc admettent comme rétraction les 2-foncteurs stricts εA//lcet εB//lc respectivement ; ces 2-foncteurs stricts sont des préadjoints à gauche colax, donc deséquivalences faibles. Les 2-foncteurs lax ηA//lc et ηB//lc sont donc des équivalences faibles envertu des remarques 6.5 et 6.6. Par conséquent, u//lc est une équivalence faible si et seulement siu//lc en est une, en vertu de ces mêmes remarques. La proposition 5.26 permet de conclure.

Remarque 6.12. Le résultat plus général [7, théorème 6.6], que nous avons déjà mentionné, restevalable pour un localisateur fondamental arbitraire de 2-Cat . Plus précisément, soit

A u //

w��

??????? B____ksσ v���������

C

un diagramme dans lequel u, v et w sont des 2-foncteurs lax et σ est une optransformation.Supposons que, pour tout objet c de C, le 2-foncteur lax

u//σl c : A//wl c→ B//vl c

induit par ces données soit une équivalence faible. Alors u est une équivalence faible. La preuveest l'exact analogue de celle de [7, théorème 6.6]. On peut bien entendu énoncer trois versionsduales de ce résultat.

On ne suppose plus �xé de localisateur fondamental de 2-Cat .

Dé�nition 6.13. On dira qu'une classe W de 2-foncteurs lax est un localisateur fondamentalde 2-Cat lax si les conditions suivantes sont véri�ées.

LF1lax La classe W est faiblement saturée.LF2lax Si une petite 2-catégorie A admet un objet admettant un objet initial, alors le mor-phisme canonique A → e est dans W.

LF3lax Si

A u //

w��

@@@@@@@ B

v���������

C

désigne un triangle commutatif dans 2-Cat lax et si, pour tout objet c de C, le 2-foncteur laxu//lc : A//wl c→ B//vl c est dans W, alors u est dans W.

Remarque 6.14. Si W est un localisateur fondamental de 2-Cat lax, alors W ∩ Fl1(2-Cat) est unlocalisateur fondamental de 2-Cat et W ∩ Fl1(Cat) est un localisateur fondamental de Cat .

Proposition 6.15. SiW est un localisateur fondamental de 2-Cat , alorsWlax est un localisateurfondamental de 2-Cat lax.

32

Démonstration. En vertu de la remarque 6.6, la classe Wlax véri�e la condition LF1lax.Montrons queWlax véri�e LF2lax. SoitA une petite 2-catégorie admettant un objet admettant

un objet initial. Il s'agit de montrer que le morphisme canonique A → e est dans Wlax. Commec'est un 2-foncteur strict, il est dansW si et seulement s'il est dansWlax en vertu de la remarque6.5. Comme il est dans W en vertu du corollaire 5.17, il est dans Wlax.

La propriété LF3lax résulte du théorème 6.11.

Lemme 6.16. Si W est un localisateur fondamental de 2-Cat lax, alors, pour toute petite 2-caté-gorie A, εA et ηA sont dans W.

Démonstration. Comme la classe W ∩ Fl1(2-Cat) est un localisateur fondamental de 2-Cat , on aεA ∈ W ∩ Fl1(2-Cat) en vertu de la proposition 6.1, donc en particulier εA ∈ W. On en déduitηA ∈ W en vertu de l'égalité εAηA = 1A et de la condition LF1lax.

Lemme 6.17. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat lax. Un morphisme u de 2-Cat lax estdans W si et seulement si u l'est.

Démonstration. Cela résulte de l'égalité ηBu = uηA, du lemme 6.16 et de la condition LF1lax.

Dé�nition 6.18. Pour toute classe W de morphismes de 2-Cat , on notera

Wlax = {u ∈ Fl1(2-Cat lax)|u ∈ W}.

Théorème 6.19. Les applications

P(Fl1(2-Cat))→ P(Fl1(2-Cat lax))W 7→ Wlax

etP(Fl1(2-Cat lax))→ P(Fl1(2-Cat))

W 7→ W ∩ Fl1(2-Cat)induisent des isomorphismes inverses l'un de l'autre entre la classe des localisateurs fondamen-taux de 2-Cat ordonnée par inclusion et la classe des localisateurs fondamentaux de 2-Cat laxordonnée par inclusion. De plus, pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat , les catégorieslocalisées W−12-Cat et Wlax

−12-Cat lax sont équivalentes et, pour tout localisateur fondamental Wde 2-Cat lax, les catégories localisées W−12-Cat lax et (W ∩ Fl1(2-Cat))−1

2-Cat sont équivalentes,ces équivalences de catégories localisées étant induites par l'inclusion 2-Cat ↪→ 2-Cat lax.

Démonstration. Ces applications respectent manifestement la relation d'inclusion. Il s'agit devéri�er que, pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat ,

Wlax ∩ Fl1(2-Cat) =W

et que, pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat lax,

W = (W ∩ Fl1(2-Cat))lax.

Soit donc W un localisateur fondamental de 2-Cat . Un 2-foncteur strict est dans Wlax ∩Fl1(2-Cat) si et seulement s'il est dans Wlax, donc si et seulement s'il est dans W (remarque 6.5),ce qui montre l'égalité Wlax ∩ Fl1(2-Cat) =W.

SoitW un localisateur fondamental de 2-Cat lax. Un 2-foncteur lax u est dans (W∩Fl1(2-Cat))laxsi et seulement si u est dans W ∩ Fl1(2-Cat), donc si et seulement si u est dans W, donc si etseulement si u est dans W (lemme 6.17). Cela montre l'égalité W = (W ∩ Fl1(2-Cat))lax.

La dernière assertion de l'énoncé se déduit du théorème 6.9.

33

Le lemme 6.20 se véri�e sans di�culté.

Lemme 6.20. Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat lax, le diagramme

∆/NlAsuplA //

∆/Nl(u)

��

A

u

��

∆/NlBsuplB

// B

est commutatif.

Proposition 6.21 (Del Hoyo). Pour toute petite 2-catégorie A, pour tout objet a de A, la

catégorie (∫ op

∆N2A)//

supA

l a est W 1∞-asphérique.

Démonstration. Voir la démonstration de [12, théorème 9.2.4] ou [13, théorème 7.3].

Proposition 6.22. Pour tout localisateur fondamental de 2-Cat , pour toute petite 2-catégorieA, le 2-foncteur lax normalisé

supA :

∫ op

∆

N2A → A

est lax-asphérique (donc en particulier une équivalence faible).

Démonstration. C'est une conséquence immédiate de la proposition 6.21 et du lemme 5.5.

Remarque 6.23. La proposition 6.22 constitue la généralisation, à tout localisateur fondamentalde 2-Cat , de [7, proposition 7.7].

Proposition 6.24. Pour tout localisateur fondamental de 2-Cat lax, pour toute petite 2-catégorieA, le 2-foncteur lax supl

A : ∆/NlA → A est une équivalence faible.

Démonstration. C'est une conséquence du lemme 3.30, de la proposition 4.1, de la remarque 6.6et de la proposition 6.22.

Théorème 6.25. Pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat lax, l'inclusion Cat ↪→ 2-Cat laxinduit une équivalence de catégories localisées

W−12-Cat lax ' (W ∩ Fl1(Cat))−1Cat .

Démonstration. Cela résulte directement de la proposition 6.24, de la remarque 5.3 et de laproposition 2.26.

Lemme 6.26. Pour tout localisateur fondamental W de Cat , pour tout morphisme u de 2-Cat lax,∆/Nl(u) est dans W si et seulement si ∆/Nl(u) l'est.

Démonstration. Soient W un localisateur fondamental de Cat et u : A → B un morphismede 2-Cat lax. Les 2-foncteurs stricts εA et εB sont des équivalences faibles pour tout localisateurfondamental de 2-Cat (proposition 6.1). Comme N−1

l,n (i−1∆ (W )) est un localisateur fondamental de

2-Cat , ∆/Nl,n(εA) et ∆/Nl,n(εB) sont dans W . Il en est donc de même de ∆/Nl(εA) et ∆/Nl(εB)(remarque 4.2). La saturation faible de W permet d'en déduire que les sections ∆/Nl(ηA) et

34

∆/Nl(ηB) sont dans W . On conclut par un argument de 2 sur 3 après avoir appliqué le foncteuri∆Nl au diagramme commutatif

Au // B

A

ηA

OO

u// B

ηB

OO

.

Lemme 6.27. Pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat lax, un morphisme u de 2-Cat laxest une équivalence faible si et seulement si ∆/Nl(u) en est une.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme 6.20 et de la proposition 6.24.

Lemme 6.28. Pour tout localisateur fondamental W de Cat ,

Nl−1(i−1

∆ (W )) = (Nl,n−1(i−1

∆ (W )))lax.

Démonstration. Cela résulte de la suite d'équivalences suivante, pour tout morphisme u de2-Cat lax.

u ∈ Nl−1(i−1

∆ (W ))⇐⇒ ∆/Nl(u) ∈W⇐⇒ ∆/Nl(u) ∈W (lemme 6.26)

⇐⇒ ∆/Nl,n(u) ∈W (remarque 4.2)

⇐⇒ u ∈ Nl,n−1(i−1

∆ (W ))

⇐⇒ u ∈ (Nl,n−1(i−1

∆ (W )))lax

Lemme 6.29. Pour tout localisateur fondamental W de Cat , la classe Nl−1(i−1

∆ (W )) est unlocalisateur fondamental de 2-Cat lax.

Démonstration. Cela résulte du lemme 6.28, de la remarque 5.2 et de la proposition 6.15.

Lemme 6.30. Pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat lax,

W = Nl−1(i−1

∆ (W ∩ Fl1(Cat))).

Démonstration. Un 2-foncteur lax u est dans W si et seulement si le foncteur ∆/Nl(u) l'est(lemme 6.27), donc si et seulement si ∆/Nl(u) est dans W ∩ Fl1(Cat), donc si et seulement si uest dans Nl

−1i−1∆ (W ∩ Fl1(Cat)).

Lemme 6.31. Pour tout localisateur fondamental W de Cat ,

Nl−1(i−1

∆ (W )) ∩ Fl1(Cat) = W.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate de la proposition 2.27 et du fait que la res-triction du nerf lax Nl à Cat coïncide avec le nerf N . En formule :

Nl−1(i−1

∆ (W )) ∩ Fl1(Cat) = N−1(i−1∆ (W )) ∩ Fl1(Cat) = W ∩ Fl1(Cat) = W.

35

Théorème 6.32. Les applications

P(Fl1(Cat))→ P(Fl1(2-Cat lax))W 7→ Nl

−1i−1∆ W

etP(Fl1(2-Cat lax))→ P(Fl1(Cat))

W 7→ W ∩ Fl1(Cat)

induisent des isomorphismes inverses l'un de l'autre entre la classe ordonnée par inclusion deslocalisateurs fondamentaux de Cat et la classe ordonnée par inclusion des localisateurs fonda-mentaux de 2-Cat lax. De plus, pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat lax, les catégorieslocalisées W−12-Cat lax et (W ∩ Fl1(Cat))−1Cat sont équivalentes et, pour tout localisateur fonda-mental W de Cat , les catégories localisées W−1Cat et (Nl

−1i−1∆ W )

−12-Cat lax sont équivalentes,

ces équivalences de catégories localisées étant induites par l'inclusion Cat ↪→ 2-Cat lax.

Démonstration. Ces applications respectant manifestement la relation d'inclusion, il résulte deslemmes 6.29, 6.30 et 6.31 qu'il s'agit bien d'isomorphismes. La dernière assertion de l'énoncé sedéduit du théorème 6.25.

Lemme 6.33. Pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat ,

Wlax ∩ Fl1(Cat) =W ∩ Fl1(Cat).

Démonstration. En vertu du théorème 6.19, Wlax ∩ Fl1(2-Cat) =W. Ainsi,

Wlax ∩ Fl1(Cat) = (Wlax ∩ Fl1(2-Cat)) ∩ Fl1(Cat) =W ∩ Fl1(Cat).

Théorème 6.34. Les applications

P(Fl1(Cat))→ P(Fl1(2-Cat))W 7→ Nl,n

−1i−1∆ W

(= Nl−1i−1

∆ W ∩ Fl1(2-Cat))

etP(Fl1(2-Cat))→ P(Fl1(Cat))

W 7→ W ∩ Fl1(Cat)

induisent des isomorphismes inverses l'un de l'autre entre la classe ordonnée par inclusion deslocalisateurs fondamentaux de Cat et la classe ordonnée par inclusion des localisateurs fondamen-taux de 2-Cat . De plus, pour tout localisateur fondamental W de 2-Cat , les catégories localiséesW−12-Cat et (W ∩ Fl1(Cat))−1Cat sont équivalentes et, pour tout localisateur fondamental W de

Cat , les catégories localisées W−1Cat et (Nl,n−1i−1

∆ W )−1

2-Cat sont équivalentes, ces équivalencesde catégories localisées étant induites par l'inclusion Cat ↪→ 2-Cat .

Démonstration. C'est une conséquence des théorèmes 6.19 et 6.32, de la remarque 4.2 et dulemme 6.33.

La notion de localisateur fondamental de 2-Cat lax est stable par intersection. On dé�nit lelocalisateur fondamental minimal de 2-Cat lax comme l'intersection de tous les localisateurs fon-damentaux de 2-Cat lax.

36

Théorème 6.35. Le localisateur fondamental minimal de 2-Cat lax est la classe

W2∞,lax = Nl

−1W∆∞.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du théorème 6.32 et du théorème 2.12.

La notion de localisateur fondamental de 2-Cat est stable par intersection. On dé�nit le locali-sateur fondamental minimal de 2-Cat comme l'intersection de tous les localisateurs fondamentauxde 2-Cat .

Théorème 6.36. Le localisateur fondamental minimal de 2-Cat est la classe

W2∞ = Nl

−1W∆∞ ∩ Fl1(2-Cat) = Nl,n

−1W∆∞.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du théorème 6.34 et du théorème 2.12.

Remarque 6.37. Les isomorphismes que nous avons dégagés entre les classes des localisateursfondamentaux de Cat , de 2-Cat et de 2-Cat lax permettent de parler de localisateur fondamental,sans préciser de catégorie � de base �. Pour tout localisateur fondamental, on a vu que lesinclusions Cat ↪→ 2-Cat , 2-Cat ↪→ 2-Cat lax et Cat ↪→ 2-Cat lax induisaient une équivalence decatégories entre les catégories homotopiques. Des inverses respectifs sont donnés par les foncteursinduits à ce niveau par les foncteurs i∆Nl,n : 2-Cat → Cat , B : 2-Cat lax → 2-Cat (le � foncteur destricti�cation de Bénabou �) et i∆Nl : 2-Cat lax → Cat .

On termine cette section par quelques énoncés permettant notamment d'assurer que les iso-morphismes entre localisateurs fondamentaux de Cat , 2-Cat et 2-Cat lax �gurant dans l'énoncé desthéorèmes 6.19, 6.32 et 6.34 préservent la propriété d'être engendré par un ensemble de mor-phismes, détail d'importance lorsqu'il s'agit de montrer l'existence de structures de catégories demodèles sur Cat et 2-Cat dont la classe des équivalences faibles est donnée par un localisateurfondamental.

Dé�nition 6.38. On dira qu'un localisateur fondamental de Cat (resp. un localisateur fonda-mental de 2-Cat , resp. un localisateur fondamental de 2-Cat lax) est engendré par une classe S demorphismes de Cat (resp. de 2-Cat , resp. de 2-Cat lax) si c'est le plus petit localisateur fondamen-tal de Cat (resp. localisateur fondamental de 2-Cat , resp. localisateur fondamental de 2-Cat lax)contenant S ou, autrement dit, l'intersection de tous les localisateurs fondamentaux de Cat (resp.localisateurs fondamentaux de 2-Cat , resp. localisateurs fondamentaux de 2-Cat lax) contenant S.

Proposition 6.39. Si un localisateur fondamental W de 2-Cat est engendré par une classeS ⊂ Fl1(2-Cat), alors le localisateur fondamental Wlax de 2-Cat lax est également engendré par S.

Démonstration. On a évidemment S ⊂ Wlax. Soit W ′ un localisateur fondamental de 2-Cat laxcontenant S. En vertu du théorème 6.19, l'inclusion Wlax ⊂ W ′ équivaut à Wlax ∩ Fl1(2-Cat) ⊂W ′∩Fl1(2-Cat), c'est-à-dire, en vertu de ce même théorème,W ⊂W ′∩Fl1(2-Cat). Cette inclusionrésulte de l'hypothèse faite sur W et du fait que W ′ ∩ Fl1(2-Cat) est un localisateur fondamentalde 2-Cat contenant S.

Dé�nition 6.40. Pour toute classe S ⊂ Fl1(2-Cat lax), on pose

S = {u, u ∈ S}.

Lemme 6.41. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat lax. S'il est engendré par S ⊂Fl1(2-Cat lax), alors il est engendré par S.

37

Démonstration. Pour tout u : A → B dans S, on a le diagramme commutatif

Au // B

A

ηA

OO

u// B

ηB

OO

dont les �èches verticales sont dans W. Comme u l'est aussi, c'est également le cas de u, cequi montre l'inclusion S ⊂ W. Soit maintenant W ′ un localisateur fondamental de 2-Cat laxcontenant S. La considération du même diagramme, dont les �èches verticales sont dans W ′,permet d'a�rmer S ⊂ W ′, donc W ⊂W ′.

Proposition 6.42. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat lax. S'il est engendré par S ⊂Fl1(2-Cat lax), alors le localisateur fondamental W ∩ Fl1(2-Cat) de 2-Cat est engendré par S.

Démonstration. En vertu du lemme 6.41, W est engendré par S. On a bien sûr S ⊂ W ∩Fl1(2-Cat). Soit W ′ un localisateur fondamental de 2-Cat contenant S. Comme W ′ ⊂ W ′lax,l'hypothèse implique S ⊂ W ′lax, donc W ⊂W ′lax, c'est-à-dire (W∩Fl1(2-Cat))lax ⊂ W ′lax, doncW ∩ Fl1(2-Cat) ⊂ W ′, ce qui permet de conclure.

Remarque 6.43. On se gardera de croire que, si un localisateur fondamental W de 2-Cat lax estengendré par une classe de 2-foncteurs lax S, alors le localisateur fondamental W ∩ Fl1(2-Cat)de 2-Cat est engendré par S ∩ Fl1(2-Cat). Pour un contre-exemple, on peut considérer S =Fl1(2-Cat lax)\Fl1(2-Cat), c'est-à-dire la classe des morphismes de 2-Cat lax qui ne sont pas dans2-Cat .

Proposition 6.44. Soit W un localisateur fondamental de Cat . S'il est engendré par S ⊂Fl1(Cat), alors le localisateur fondamental N−1

l (i−1∆ (W )) de 2-Cat lax est également engendré par

S.

Démonstration. On a bien sûr S ⊂ N−1l (i−1

∆ (W )). Soit de plus W un localisateur fondamentalde 2-Cat lax contenant S. L'inclusion N−1

l (i−1∆ (W )) ⊂ W équivaut à N−1

l (i−1∆ (W )) ∩ Fl1(Cat) ⊂

W ∩ Fl1(Cat), c'est-à-dire à W ⊂ W ∩ Fl1(Cat), ce qui résulte du fait que W ∩ Fl1(Cat) est unlocalisateur fondamental de Cat contenant S et de l'hypothèse faite sur W .

Lemme 6.45. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat lax. S'il est engendré par S ⊂Fl1(2-Cat lax), alors il est également engendré par i∆(Nl(S)).

Démonstration. Pour tout u : A → B dans S, on a le diagramme commutatif

∆/NlA∆/Nl(u)

//

suplA��

∆/NlB

suplB��

A u// B

dont les �èches verticales sont dans W. C'est donc également le cas de ∆/Nl(u), ce qui montrei∆(Nl(S)) ⊂ W. Étant donné un localisateur fondamental W ′ de 2-Cat lax contenant i∆(Nl(S)),la considération du même diagramme permet de conclure S ⊂ W ′, donc W ⊂W ′.

Proposition 6.46. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat lax. S'il est engendré par S ⊂Fl1(2-Cat lax), alors le localisateur fondamental W ∩ Fl1(Cat) de Cat est engendré par i∆(Nl(S)).

38

Démonstration. En vertu du lemme 6.45, W est engendré par i∆(Nl(S)), donc en particulieri∆(Nl(S)) ⊂ W ∩ Fl1(Cat). Soit W un localisateur fondamental de Cat contenant i∆(Nl(S)).On a donc l'inclusion S ⊂ N−1

l (i−1∆ (W )), donc W ⊂ N−1

l (i−1∆ (W )) puisque N−1

l (i−1∆ (W )) est un

localisateur fondamental de 2-Cat lax et queW est le plus petit localisateur fondamental de 2-Cat laxcontenant S. En vertu du lemme 6.30, cela se récrit N−1

l (i−1∆ (W ∩ Fl1(Cat))) ⊂ N−1

l (i−1∆ (W )),

d'où, en vertu du théorème 6.32, W ∩ Fl1(Cat) ⊂W .

Proposition 6.47. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat . S'il est engendré par S ⊂Fl1(2-Cat), alors le localisateur fondamental W ∩ Fl1(Cat) de Cat est engendré par i∆(Nl,n(S)).

Démonstration. C'est une conséquence des propositions 6.39 et 6.46 et de la remarque 4.2.

Proposition 6.48. Soit W un localisateur fondamental de Cat . S'il est engendré par S ⊂Fl1(Cat), alors le localisateur fondamental N−1

l,n (i−1∆ (W )) de 2-Cat est également engendré par

S.

Démonstration. C'est une conséquence des propositions 6.42 et 6.44 et du lemme 6.3.

7 Critère local

Dé�nition 7.1. Soit W un localisateur fondamental de Cat . Un morphisme u : A → B de Catest W -localement constant, ou plus simplement localement constant, si, pour tout morphismeb→ b′ de B, le morphisme A/b→ A/b′ de Cat est une W -équivalence faible.

Théorème 7.2 (Cisinski). Le localisateur fondamental minimal W 1∞ de Cat est le seul localisa-

teur fondamental de Cat véri�ant les propriétés suivantes :(i) Pour tout morphisme u : A → B de Cat , si u est une équivalence faible, alors π0(u) :π0A→ π0B est une bijection.

(ii) Pour tout morphisme u : A→ B de Cat localement constant, u est une équivalence faiblesi et seulement s'il est asphérique.

Démonstration. C'est le théorème 2.3.6. de [9].

Dé�nition 7.3. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat . Un morphisme u : A → B de2-Cat est W-lax-localement constant ou, plus simplement, lax-localement constant si, pour toutmorphisme b→ b′ de B, le morphisme A//ul b→ A//ul b′ de 2-Cat est une W-équivalence faible.

7.4. On rappelle qu'il existe une structure de catégorie de modèles sur ∆ dont les équivalencesfaibles sont les équivalences faibles simpliciales et dont les co�brations sont les monomorphismes.Cela permet (même si ce n'est en principe pas indispensable) de donner sens à la notion de carréhomotopiquement cartésien dans ∆.

Théorème 7.5 (Cegarra). Soit u : A → B un 2-foncteur strict lax-localement constant. Alors,pour tout objet b de B, le carré canonique

Nl,n(A//ul b) //

��

Nl,n(A)

��

Nl,n(B//lb) // Nl,n(B)

est homotopiquement cartésien.

39

Démonstration. C'est un énoncé dual de celui de [5, théorème 3.2].

Pour toute petite 2-catégorie A, on note π0A le quotient de l'ensemble Ob(A) par la relationd'équivalence engendrée par la relation élémentaire � a ∼ a′ s'il existe une 1-cellule de a vers a′

dans A �. Cela permet de dé�nir un foncteur π0 : 2-Cat → Ens.

Théorème 7.6. Le localisateur fondamental minimal W2∞ de 2-Cat est le seul localisateur fon-

damental de 2-Cat véri�ant les propriétés suivantes.(i) Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat , si u est une équivalence faible, alors π0(u) :π0A → π0B est une bijection.

(ii) Pour tout morphisme u : A → B de 2-Cat lax-localement constant, u est une équivalencefaible si et seulement s'il est lax-asphérique.

Démonstration. Le localisateur fondamental W2∞ de 2-Cat véri�e par dé�nition la condition (i)

de l'énoncé du théorème 7.6. On sait déjà qu'un morphisme lax-asphérique de 2-Cat est uneéquivalence faible. Réciproquement, si un morphisme u de 2-Cat estW2

∞-lax-localement constantet que c'est uneW2

∞-équivalence faible, alors, en vertu du théorème 7.5, il estW2∞-lax-asphérique.

Le localisateur fondamental W2∞ de 2-Cat véri�e donc la condition (ii).

Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat . S'il véri�e les conditions (i) et (ii) de l'énoncédu théorème 7.6, le localisateur fondamental W ∩ Fl1(Cat) de Cat véri�e les conditions (i) et (ii)de l'énoncé du théorème 7.2. En vertu de ce même théorème 7.2, W ∩ Fl1(Cat) n'est autre queW 1∞. On en déduit W =W2

∞ en vertu du théorème 6.34.

Appendice A

Structures de catégorie de modèles à la Thomason

sur la catégorie des 2-catégories strictes

par Dimitri Ara

A.0 Introduction

Le but de cet appendice est de présenter quelques conséquences des résultats du texte auquelil fait suite et de l'article [2]. Dans ce dernier article, l'auteur de cet appendice et Maltsiniotis dé-montrent l'existence d'une structure de catégorie de modèles à la Thomason sur la catégorie 2-Catdes petites 2-catégories strictes, c'est-à-dire l'existence d'une structure de catégorie de modèlessur 2-Cat dont les équivalences faibles sont les 2-foncteurs stricts s'envoyant sur des équivalencesd'homotopie faibles d'ensembles simpliciaux via n'importe quel foncteur nerf raisonnable. Nousdémontrons de plus, en utilisant un résultat de Chiche sur la catégorie homotopique de 2-Cat ,que cette structure de catégorie de modèles à la Thomason sur 2-Cat est équivalente au sens deQuillen avec, d'une part, la structure de catégorie de modèles classique sur les ensembles simpli-ciaux et, d'autre part, la structure de catégorie de modèles de Thomason sur Cat , introduite parThomason dans [24].

Les équivalences faibles 2-catégoriques mentionnées ci-dessus forment un localisateur fonda-mental de 2-Cat au sens de Chiche, qu'on notera W∞. Un localisateur fondamental de 2-Cat estune classe de 2-foncteurs stricts satisfaisant certains axiomes dont le but est d'assurer que ces2-foncteurs peuvent être considérés comme les équivalences faibles d'une théorie de l'homoto-pie des petites 2-catégories strictes similaire à celle dé�nie par W∞. Dans cet appendice, nousillustrons ce principe en généralisant les trois résultats de [2] cités ci-dessus à un localisateur

40

fondamental de 2-Cat quelconque (satisfaisant une hypothèse ensembliste anodine). On obtientainsi une famille de structures de catégorie de modèles � à la Thomason � sur 2-Cat modélisantexactement les localisations de Bous�eld à gauche combinatoires de la structure de catégorie demodèles classique sur les ensembles simpliciaux. Nous donnons par ailleurs des conditions sur unlocalisateur fondamental de 2-Cat pour que la structure à la Thomason associée, qui est toujourspropre à gauche, soit propre à droite.

Les ingrédients utilisés dans cet appendice sont de trois types. En plus des résultats déjàcités de [2], les résultats présentés ici dépendent de manière cruciale de la minimalité du localisa-teur fondamentalW∞ de 2-Cat , obtenue dans le texte qui précède cet appendice (théorème 6.36).Cette minimalité résulte du résultat analogue pour les localisateurs fondamentaux de Cat (notionintroduite par Grothendieck dans [15]), démontré par Cisinski dans [9], et d'une bijection entreles localisateurs fondamentaux de 2-Cat et les localisateurs fondamentaux de Cat (théorème 6.34),bijection qui joue également un rôle important dans ce texte. En�n, nos preuves dépendent demanière essentielle de plusieurs résultats obtenus par Cisinski dans son livre [11], et en parti-culier de la bijection entre les localisateurs fondamentaux de Cat et les � ∆-localisateurs test �(théorème 4.2.15 de op. cit .).

Nous avons tenté de rendre cet appendice indépendant du texte qu'il suit. En particulier,une fois que le lecteur aura en tête les dé�nitions des localisateurs fondamentaux de Cat etde 2-Cat (dé�nitions 2.9 et 5.1 respectivement), il pourra lire notre texte en se référant à l'articlele précédant uniquement quand nous l'indiquerons.

Notations et terminologie. Nous nous écarterons peu des notations et du vocabulaire dutexte qui précède cet appendice. On notera Cat la catégorie des petites catégories et 2-Cat lacatégorie des petites 2-catégories strictes et des 2-foncteurs stricts. On supprimera systématique-ment l'adjectif � strict �, les bicatégories ne jouant aucun rôle dans ce texte, et les 2-foncteurslax ou oplax ne jouant qu'un rôle caché. SiW est un localisateur fondamental de Cat ou 2-Cat , onappellera W-équivalences ses éléments. La catégorie des préfaisceaux sur une petite catégorie Asera notée A. On notera ∆ la catégorie des simplexes et en particulier ∆ la catégorie des en-sembles simpliciaux. On notera N le foncteur nerf Cat → ∆ et i∆ : ∆→ Cat le foncteur associantà un ensemble simplicial sa catégorie des éléments. La catégorie des foncteurs d'une catégorie Cvers une catégorie D sera notée Hom(C,D). On notera ∆1 la catégorie possédant deux objets 0et 1, et une unique �èche qui n'est pas une identité de 0 vers 1. On s'écartera légèrement desnotations de la dé�nition 3.23 en notant N2 : 2-Cat → ∆ le foncteur nerf qui y est noté Nl,n.En�n, si I est une classe de �èches d'une catégorie C, on notera l(I) (resp. r(I)) la classe des�èches de C ayant la propriété de relèvement à gauche (resp. à droite) par rapport à I.

A.1 Localisateurs et accessibilité

On rappelle (voir l'introduction) qu'on suppose que le lecteur a lu les dé�nitions des locali-sateurs fondamentaux de Cat et de 2-Cat (dé�nitions 2.9 et 5.1 respectivement).

Dé�nition A.1.1. On dira qu'un localisateur fondamental de Cat (resp. de 2-Cat) est accessibleau sens de Cisinski s'il est engendré (au sens de la dé�nition 6.38) par un ensemble.

Le but de cet appendice est d'associer à tout localisateur fondamental W de 2-Cat accessibleau sens de Cisinski une structure de catégorie de modèles sur 2-Cat dont les équivalences faiblessont les éléments de W. Pour ce faire, nous utiliserons la notion intermédiaire de A-localisateur(dans le cas A = ∆).

41

Dé�nition A.1.2 (Cisinski). Soit A une petite catégorie. Notons Mono la classe des monomor-phismes de la catégorie A des préfaisceaux sur A. Un A-localisateur est une classe W de �èchesde A satisfaisant aux conditions suivantes :

(LC1) la classe W satisfait à la propriété du deux sur trois ;(LC2) on a l'inclusion r(Mono) ⊂ W ;(LC3) la classe Mono ∩W est stable par image directe et composition trans�nie.

Si W est un A-localisateur, on appellera W-équivalences les éléments de W.

Dé�nition A.1.3. Si S est une classe de �èches de A, on appellera A-localisateur engendré par Sl'intersection de tous les localisateurs contenant S. (On véri�e immédiatement qu'on obtient bienainsi un A-localisateur.) On dira qu'un A-localisateur est accessible au sens de Cisinski s'il estengendré par un ensemble.

Théorème A.1.4 (Cisinski). Soient A une petite catégorie et W un A-localisateur. Les condi-tions suivantes sont équivalentes :

a) il existe une structure de catégorie de modèles combinatoire sur A dont les équivalencesfaibles sont les éléments de W et dont les co�brations sont les monomorphismes ;

b) le localisateur W est accessible au sens de Cisinski.

Démonstration. C'est une partie du théorème 1.4.3 de [11].

Si W est un A-localisateur, on appellera la structure de catégorie de modèles sur A donnéepar le théorème précédent la structure de catégorie de modèles sur A associée à W.

Théorème A.1.5 (Cisinski). Le couple de foncteurs

i∆ : ∆→ Cat , N : Cat → ∆

induit une bijectionW 7→ N−1(W), W 7→ i−1

∆ (W)

entre la classe des ∆-localisateurs contenant les équivalences d'homotopie faibles simpliciales etla classe des localisateurs fondamentaux de Cat . De plus, cette bijection préserve l'accessibilitéau sens de Cisinski.

Démonstration. En vertu du théorème 4.2.15 de [11], l'application W 7→ i−1∆ (W) dé�nit une bi-

jection préservant l'accessibilité au sens de Cisinski entre la classe des localisateurs fondamentauxde Cat dits modelables par ∆ et la classe des ∆-localisateurs dits test (voir pour ces deux notionsla dé�nition 4.2.21 de op. cit .). Il résulte de la proposition 1.5.13 de [20] que tout localisateurfondamental de Cat est modelable par ∆, et du corollaire 2.1.21 et de la proposition 3.4.25 de [11]que les ∆-localisateurs test sont exactement les ∆-localisateurs contenant les équivalences d'ho-motopie faibles simpliciales. En�n, le fait que le foncteur N induit un inverse de cette bijectionest conséquence de la remarque 4.2.16 de [11] et de l'exemple 1.7.18 de [20].

Théorème A.1.6 (Chiche). Le couple de foncteurs

ι : Cat → 2-Cat , i∆N2 : 2-Cat → Cat

où ι désigne l'inclusion canonique, induit une bijection

W 7→ N−12 i−1

∆ (W), W 7→ ι−1(W) =W ∩ Cat

entre la classe des localisateurs fondamentaux de Cat et la classe des localisateurs fondamentauxde 2-Cat . De plus, cette bijection préserve l'accessibilité au sens de Cisinski.

42

Démonstration. Voir le théorème 6.34 et les propositions 6.47 et 6.48. (On rappelle qu'on notedans cet appendice N2 le foncteur Nl,n de la dé�nition 3.23.)

Corollaire A.1.7. Le couple de foncteurs

ι i∆ : ∆→ 2-Cat , N2 : 2-Cat → ∆

induit une bijectionW 7→ N−1

2 (W), W 7→ i−1∆ ι−1(W)

entre la classe des ∆-localisateurs contenant les équivalences d'homotopie faibles simpliciales etla classe des localisateurs fondamentaux de 2-Cat . De plus, cette bijection préserve l'accessibilitéau sens de Cisinski.

Démonstration. Cela résulte immédiatement des deux théorèmes précédents une fois qu'on aremarqué que le premier d'entre eux entraîne l'égalité N−1

2 i−1∆ N−1(W) = N−1

2 (W) pour tout∆-localisateur W contenant les équivalences d'homotopie faibles simpliciales.

A.1.8. Les deux théorèmes et le corollaire précédents fournissent une � trijection �, qu'on appel-lera trijection de Chiche-Cisinski, entre les localisateurs fondamentaux de Cat , les localisateursfondamentaux de 2-Cat et les ∆-localisateurs contenant les équivalences d'homotopie faibles sim-pliciales. De plus, cette trijection préserve l'accessibilité au sens de Cisinski.

Bien que ce ne soit pas strictement nécessaire pour obtenir les résultats principaux de cetappendice, nous allons consacrer la �n de cette section à comparer la notion d'accessibilité ausens de Cisinski à une notion plus classique d'accessibilité.

Dé�nition A.1.9. Une classe d'objets d'une catégorie accessible C est dite accessible si le fonc-teur d'inclusion de la sous-catégorie pleine correspondante dans C est accessible, c'est-à-dire s'ilexiste un cardinal régulier κ pour lequel ces deux catégories sont κ-accessibles et le foncteurd'inclusion commute aux limites inductives κ-�ltrantes. Une classe de �èches d'une catégorie ac-cessible C est dite accessible si elle est accessible considérée comme classe d'objets de la catégoriedes �èches Hom(∆1, C) de C.

Théorème A.1.10 (Smith). Soient C une catégorie localement présentable, W une classe de�èches de C et I un ensemble de �èches de C. On note Cof la classe lr(I). Alors les conditionssuivantes sont équivalentes :

a) il existe une structure de catégorie de modèles combinatoire sur C dont les équivalencesfaibles sont les éléments de W et dont les co�brations sont les éléments de Cof ;

b) les conditions suivantes sont satisfaites :(S1) la classe W satisfait à la propriété du deux sur trois ;(S2) on a l'inclusion r(I) ⊂ W ;(S3) la classe Cof ∩W est stable par image directe et composition trans�nie ;(S4) la classe de �èches W est accessible.

Démonstration. Voir par exemple le corollaire A.2.6.6 et la proposition A.2.6.8 de [19] (en te-nant compte du fait qu'une classe de �èches accessible est stable par rétractes). Pour l'implica-tion b)⇒ a), voir également [23].

Corollaire A.1.11. Un A-localisateur est accessible au sens de Cisinski si et seulement s'il estaccessible en tant que classe de �èches de A.

43

Démonstration. SoitW un A-localisateur. Fixons I un modèle cellulaire de A au sens de Cisinski,c'est-à-dire un ensemble I tel que lr(I) soit la classe des monomorphismes de A. Un tel ensembleexiste toujours en vertu par exemple de la proposition 1.2.27 de [11]. Il résulte alors du théorèmede Smith appliqué àW et I et du théorème A.1.4 de Cisinski appliqué àW que les trois conditionssuivantes sont équivalentes :

a) la classe de �èches W est accessible ;b) il existe une structure de catégorie de modèles sur A dont les équivalences faibles sont lesW-équivalences et dont les co�brations sont les monomorphismes ;

c) le localisateur W est accessible au sens de Cisinski,ce qui achève la démonstration.

Proposition A.1.12. La trijection de Chiche-Cisinski préserve l'accessibilité au sens des classesde �èches (dé�nition A.1.9).

Démonstration. Les catégories ∆, Cat et 2-Cat étant accessibles, tout adjoint à gauche ou àdroite entre ces catégories est accessible (voir la proposition 2.23 de [1]). On en déduit que lesfoncteurs N , i∆, ι et N2 sont accessibles. Le résultat est alors conséquence du fait que l'imageréciproque d'une classe de �èches accessible par un foncteur accessible est accessible (voir laremarque 2.50 de op. cit .).

Corollaire A.1.13. Un localisateur fondamental de Cat (resp. de 2-Cat) est accessible au sensde Cisinski si et seulement s'il est accessible en tant que classe de �èches de Cat (resp. de 2-Cat).

Démonstration. La trijection de Chiche-Cisinski préservant l'accessibilité au sens de Cisinski etl'accessibilité en tant que classe de �èches, le résultat est conséquence immédiate du fait que cesdeux notions coïncident pour les ∆-localisateurs (corollaire A.1.11).

A.1.14. Les deux notions d'accessibilité coïncidant, nous parlerons maintenant simplement deA-localisateurs (resp. de localisateurs fondamentaux de Cat , resp. de localisateurs fondamentauxde 2-Cat) accessibles.

Remarque A.1.15. Il résulte de la proposition 1.4.28 de [11] (resp. de la proposition 2.4.12 de [20],resp. de notre future proposition A.3.5) que tout A-localisateur (resp. tout localisateur fondamen-tal de Cat , resp. tout localisateur fondamental de 2-Cat) est stable par limite inductive su�sam-ment �ltrante. En vertu du théorème 6.17 de [1], l'axiome de grands cardinaux appelé � principede Vop�enka � implique donc que tout A-localisateur (resp. tout localisateur fondamental de Cat ,resp. tout localisateur fondamental de 2-Cat) est accessible.

A.2 La structure à la Thomason � classique � sur 2-CatA.2.1. On notera W∞ la classe des 2-foncteurs (stricts) qui sont envoyés sur des équivalencesd'homotopie faibles simpliciales par le foncteur N2 : 2-Cat → ∆. On appellera W∞-équivalencesses éléments, conformément à la terminologie expliquée dans notre introduction.

A.2.2. On appellera structure de catégorie de modèles de Kan-Quillen la structure de catégo-rie de modèles sur ∆, introduite par Quillen dans [21], dont les équivalences faibles sont leséquivalences d'homotopie faibles et dont les co�brations sont les monomorphismes. On rappelleque cette structure de catégorie de modèles est combinatoire et propre (voir par exemple lethéorème 2.1.42 de [11]), et qu'un ensemble de générateurs pour les co�brations est donné par

I = {in : ∂∆n ↪→ ∆n | n ≥ 0},

où ∂∆n désigne le bord du n-simplexe ∆n dans ∆ et in : ∂∆n ↪→ ∆n l'inclusion canonique.

44

A.2.3. On rappelle (voir [18]) qu'on a une adjonction

Sd : ∆ � ∆ : Ex,

où Sd est le foncteur de subdivision barycentrique et Ex est le foncteur de Kan, et des transfor-mations naturelles

α : Sd → 1∆, β : 1

∆→ Ex,

transposées l'une de l'autre, qui sont des équivalences d'homotopie faibles argument par argu-ment.

A.2.4. En�n, on rappelle que le foncteur N2 : 2-Cat → ∆ admet un adjoint à gauche, qu'onnotera c2 : ∆→ 2-Cat (voir par exemple le paragraphe 5.10 de [2]).

Dé�nition A.2.5. Une co�bration de Thomason de 2-Cat est un 2-foncteur élément de laclasse lr(c2Sd2(I)).

Théorème A.2.6 (Ara-Maltsiniotis). La catégorie 2-Cat admet une structure de catégorie demodèles combinatoire propre dont les équivalences faibles sont les W∞-équivalences et dont lesco�brations sont les co�brations de Thomason.

Démonstration. C'est une partie du théorème 6.27 de [2].

On appellera structure de catégorie de modèles à la Thomason sur 2-Cat la structure donnéepar le théorème précédent.

Théorème A.2.7 (Ara-Chiche-Maltsiniotis). Le couple de foncteurs adjoints

c2Sd2 : ∆ � 2-Cat : Ex2N2

est une équivalence de Quillen, où 2-Cat est munie de la structure de catégorie de modèles à laThomason et ∆ de la structure de catégorie de modèles de Kan-Quillen.

Démonstration. C'est le corollaire 6.32 de [2].

Remarque A.2.8. Le résultat précédent est partiellement attribué à Chiche car il dépend demanière essentielle du théorème 7.9 de [7].

Corollaire A.2.9. On a les inclusions

c2Sd2(W∞) ⊂ W∞ et Ex2N2(W∞) ⊂W∞,

où W∞ désigne la classe des équivalences d'homotopie faibles simpliciales. De plus, les mor-phismes d'adjonction

c2Sd2Ex2N2 → 12-Cat et 1

∆→ Ex2N2c2Sd

2

sont respectivement une W∞-équivalence naturelle et une équivalence d'homotopie faible simpli-ciale naturelle.

Démonstration. Puisque tous les objets de la structure de Kan-Quillen sont co�brants, le foncteurde Quillen à gauche c2Sd2 respecte les équivalences faibles (pour les structures de catégorie demodèles du théorème précédent). Le foncteur N2 respectant les équivalences faibles par dé�nition,il en est de même du foncteur Ex2N2 en vertu de l'existence de l'équivalence faible naturelleβ : 1

∆→ Ex du paragraphe A.2.3. Puisque (c2Sd

2, Ex2N2) est une équivalence de Quillendonnée par des foncteurs qui respectent les équivalences faibles, l'unité et la coünité de cetteadjonction sont des équivalences faibles naturelles, ce qu'il fallait démontrer.

45

A.3 Structures à la Thomason et localisateurs fondamentaux de 2-CatA.3.1. Si W est un localisateur fondamental de 2-Cat , on notera W∆ le ∆-localisateur associédans la trijection de Chiche-Cisinski (voir le paragraphe A.1.8). Ce ∆-localisateur est caractérisépar le fait qu'il contient les équivalences d'homotopie faibles simpliciales et par l'égalité

W = N−12 (W∆).

Il résulte de l'existence de l'équivalence faible naturelle β : 1∆→ Ex du paragraphe A.2.3 qu'on

a égalementW = N−1

2 (Ex2)−1(W∆).

Par ailleurs, le théorème 6.36 donne l'inclusion W∞ ⊂ W qui jouera un rôle important dans cequi suit.

Nous utiliserons dans cette section le lemme de transfert classique suivant :

Lemme A.3.2. Soient M une catégorie de modèles à engendrement co�brant (au sens de ladé�nition 11.1.1 de [16]) engendrée par I et J , N une catégorie complète et cocomplète, et

F :M� N : G

un couple de foncteurs adjoints. Notons W et Fib les classes des équivalences faibles et des�brations deM respectivement. On suppose les conditions suivantes satisfaites :

a) F (I) et F (J) permettent l'argument du petit objet (au sens de la dé�nition 10.5.15 de [16]) ;b) on a l'inclusion G(lr(F (I))) ⊂ W.

Alors F (I) et F (J) engendrent une structure de catégorie de modèles sur M dont les classesdes équivalences faibles et des �brations sont données par G−1(W) et G−1(Fib) respectivement.En particulier, pour cette structure de catégorie de modèles sur N , l'adjonction (F,G) est uneadjonction de Quillen.

Démonstration. Voir par exemple le théorème 11.3.2 de [16], la description des �brations résultantdes égalités r(lr(F (J)) = r(F (J)) = G−1(r(J)) = G−1(Fib).

Nous aurons par ailleurs besoin du fait sans doute bien connu suivant, pour lequel nousn'avons par réussi à trouver de référence :

Proposition A.3.3. Soit F une équivalence de Quillen (à gauche ou à droite) entre deux caté-gories de modèles. On suppose que F préserve les équivalences faibles. Alors F préserve et re�èteles carrés homotopiquement cocartésiens.

Démonstration. Notons � la catégorie ∆1×∆1 (de sorte que si C est une catégorie, Hom(�, C) estla catégorie des carrés commutatifs dans C), la sous-catégorie pleine de � contenant tous les ob-jets de � excepté (1, 1), et i : → � le foncteur d'inclusion canonique. On rappelle que siM estune catégorie de modèles, un carré commutatif deM vu comme un objet X de Hom(�,M) esthomotopiquement cocartésien si et seulement si, pour tout objet Y de Hom(�,M), l'applicationcanonique

HomHom(�,M)(X,Y )→ HomHom( ,M)(i∗X, i∗Y )

induit une bijection

HomHo(Hom(�,M))(X,Y )→ HomHo(Hom( ,M))(i∗X, i∗Y ),

où Ho désigne le passage à la catégorie homotopique pour les équivalences faibles argument parargument.

46

Soit maintenant F :M→ N une équivalence de Quillen préservant les équivalences faibles.Puisque le foncteur F préserve les équivalences faibles, il induit un carré commutatif

Ho(Hom(�,M))i∗ //

F∗

��

Ho(Hom( ,M))

F∗

��

Ho(Hom(�,N ))i∗// Ho(Hom( ,N )) .

Puisque les catégories et � sont des catégories de Reedy, il résulte du fait que F est uneéquivalence de Quillen et de la théorie des structures de catégorie de modèles de Reedy (voir parexemple la proposition 15.4.1 de [16]) que les foncteurs verticaux du carré commutatif ci-dessussont des équivalences de catégories. Le résultat suit immédiatement.

Revenons à nos localisateurs.

Lemme A.3.4. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat . On a les inclusions

c2Sd2(W∆) ⊂ W et Ex2N2(W) ⊂ W∆.

Démonstration. La seconde inclusion résulte du paragraphe A.3.1. Montrons la première. PuisqueW∆ contient les équivalences d'homotopie faibles simpliciales, le corollaire A.2.9 entraîne que f estune W∆-équivalence si et seulement si Ex2N2c2Sd

2(f) en est une, c'est-à-dire si et seulement sic2Sd

2(f) est une W-équivalence, ce qui achève la démonstration.

Proposition A.3.5. Tout localisateur fondamental de 2-Cat est stable par limite inductive �l-trante.

Démonstration. La proposition résulte de l'énoncé analogue pour les localisateurs fondamentauxde Cat (voir la proposition 2.4.12 de [20]), de la correspondance donnée par le théorème A.1.6entre les localisateurs fondamentaux de Cat et ceux de 2-Cat , et du fait que les foncteurs N2

et i∆ commutent aux limites inductives �ltrantes (le premier en vertu par exemple de la propo-sition 5.13 de [2] et le second car il admet un adjoint à droite).

Théorème A.3.6. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat accessible. La catégorie 2-Catadmet une structure de catégorie de modèles combinatoire propre à gauche dont les équivalencesfaibles sont les W-équivalences, dont les co�brations sont les co�brations de Thomason de 2-Catet dont les �brations sont les 2-foncteurs u tels que Ex2N2(u) est une �bration de la structure

de catégorie de modèles sur ∆ associée au ∆-localisateur W∆.

Démonstration. Nous allons appliquer le lemme A.3.2 à l'adjonction

c2Sd2 : ∆ � 2-Cat : Ex2N2,

où ∆ est munie de la structure de catégorie de modèles associée au ∆-localisateur W∆. Soit Jun ensemble engendrant les co�brations triviales de cette structure. Puisque la catégorie 2-Catest localement présentable, il su�t de véri�er qu'on a l'inclusion

N2Ex2(lr(c2Sd

2(J))) ⊂ W∆,

ou encore, en vertu du paragraphe A.3.1, qu'on a l'inclusion

lr(c2Sd2(J)) ⊂ W.

47

Le lemme A.3.4 entraîne que la classe c2Sd2(J) est incluse dans W et le théorème A.2.7 quecette même classe est incluse dans la classe Cof des co�brations de Thomason de 2-Cat . Pourconclure, en vertu de l'argument du petit objet, il su�t donc de montrer que Cof ∩W est stablepar rétractes, composition trans�nie et image directe. La stabilité par rétractes est immédiate etcelle par composition trans�nie résulte de la proposition A.3.5. Montrons la stabilité par imagedirecte.

Considérons un carré cocartésienA

i

��

u // C

i′

��

B v// D

de 2-Cat où i est une co�bration de Thomason de 2-Cat . Par propreté à gauche de la structure àla Thomason sur 2-Cat (voir le théorème A.2.6), ce carré est homotopiquement cocartésien pourcette même structure. En vertu du théorème A.2.7 et de son corollaire A.2.9, le foncteur Ex2N2

est une équivalence de Quillen à droite respectant les équivalences faibles (pour les structures decatégorie de modèles du théorème invoqué). La proposition A.3.3 entraîne donc que le carré

Ex2N2(A)

Ex2N2(i)

��

Ex2N2(u)// Ex2N2(C)

Ex2N2(i′)

��

Ex2N2(B)Ex2N2(v)

// Ex2N2(D)

est homotopiquement cocartésien pour la structure de Kan-Quillen. (On pourrait se débarrasserdes Ex2 en utilisant l'équivalence faible naturelle β du paragraphe A.2.3.) Il résulte du faitque W∆ contient les équivalences d'homotopie faibles (et que les deux structures de catégoriede modèles sur ∆ en jeu ont mêmes co�brations) que ce carré est également homotopiquementcocartésien pour la structure de catégorie de modèles associée à W∆.

Si maintenant i est de plus une W-équivalence, alors Ex2N2(i) est une W∆-équivalence etil en est donc de même de Ex2N2(i′), ce qui prouve que i′ est une W-équivalence et achève devéri�er la stabilité de Cof ∩W par image directe.

La propreté à gauche s'obtient en remplaçant i par u et i′ par v dans l'argument du paragrapheprécédent.

Remarque A.3.7. Il résulte de la preuve du théorème précédent que la structure de catégoriede modèles obtenue est à engendrement co�brant engendrée par c2Sd2(I) et c2Sd2(J), où I estl'ensemble du paragraphe A.2.2 et J est un ensemble engendrant les co�brations triviales de lastructure de catégorie de modèles sur ∆ associée au ∆-localisateur W∆.

On appellera la structure de catégorie de modèles sur 2-Cat donnée par le théorème précédentla structure de catégorie de modèles à la Thomason associée à W.

Théorème A.3.8. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat accessible. Le couple de fonc-teurs adjoints

c2Sd2 : ∆ � 2-Cat : Ex2N2

est une équivalence de Quillen, où 2-Cat est munie de la structure de catégorie de modèles àla Thomason associée à W et ∆ de la structure de catégorie de modèles associée au ∆-locali-sateur W∆.

48

Démonstration. Le foncteur c2Sd2 préserve les co�brations par dé�nition et les équivalencesfaibles par le lemme A.3.4. Le couple de foncteurs (c2Sd

2, Ex2N2) est donc une adjonction deQuillen (cela résulte également de la preuve du théorème A.3.6). Puisque le foncteur Ex2N2

préserve également les équivalences faibles, pour montrer que cette adjonction de Quillen estune équivalence de Quillen, il su�t de véri�er que l'unité et la coünité de l'adjonction sont deséquivalences faibles naturelles. Cela résulte immédiatement du corollaire A.2.9 et de la minimalitéde W∞.

A.4 Équivalences de Quillen avec CatA.4.1. Si W est un localisateur fondamental de Cat , on notera W∆ le ∆-localisateur associédans la bijection donnée par le théorème A.1.5. Ce ∆-localisateur est caractérisé par le fait qu'ilcontient les équivalences d'homotopie faibles simpliciales et par l'égalité

W = N−1(W∆).

Comme dans le cas 2-catégorique, on a également

W = N−1(Ex2)−1(W∆).

Notons que si W est un localisateur fondamental de 2-Cat , la trijection de Chiche-Cisinski donnel'égalité (W ∩ Cat)∆ =W∆.

Dé�nition A.4.2. Une co�bration de Thomason de Cat est un élément de la classe lr(c Sd2(I)),où c : ∆→ Cat désigne l'adjoint à gauche du foncteur nerf N .

Théorème A.4.3 (Cisinski). Soit W un localisateur fondamental de Cat accessible. La caté-gorie Cat admet une structure de catégorie de modèles combinatoire propre à gauche dont leséquivalences faibles sont les W-équivalences, dont les co�brations sont les co�brations de Tho-mason de Cat et dont les �brations sont les foncteurs u tels que Ex2N(u) est une �bration de la

structure de catégorie de modèles sur ∆ associée au ∆-localisateur W∆.

Démonstration. Cela résulte de la preuve du théorème 5.2.15 de [11], la structure de catégoriede modèles sur Cat en jeu y étant obtenue en appliquant le lemme de transfert à l'adjonctionc Sd2 : ∆ � Cat : Ex2N , où ∆ est munie de la structure de catégorie de modèles associée au∆-localisateur W∆.

Remarque A.4.4. Il résulte également de la preuve du théorème 5.2.15 de [11] que l'adjonctionc Sd2 : ∆ � Cat : Ex2N est une équivalence de Quillen, où ∆ est munie de la structure decatégorie de modèles associée à W∆.

On appellera la structure de catégorie de modèles sur Cat donnée par le théorème précédentla structure de catégorie de modèles à la Thomason associée à W.

Théorème A.4.5. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat accessible. Alors l'adjonction

τ : 2-Cat � Cat : ι,

où τ désigne l'adjoint à gauche du foncteur ι, est une équivalence de Quillen, où 2-Cat (resp. Cat)est munie de la structure de catégorie de modèles à la Thomason associée à W (resp. à W∩Cat).

49

Démonstration. Les équivalences faibles et les �brations de ces deux structures sont précisémentles morphismes s'envoyant, via les foncteurs Ex2N2 et Ex2N respectivement, sur des équivalencesfaibles et des �brations de la structure de catégorie de modèles associée au ∆-localisateur W∆

(voir les théorèmes A.3.6 et A.4.3 pour les �brations). Il résulte ainsi immédiatement de l'iso-morphisme N2ι ' N que le foncteur ι préserve les équivalences faibles et les �brations, et doncque le couple (τ, ι) forme une adjonction de Quillen.

Puisque le foncteur ι préserve les équivalences faibles, pour conclure, il su�t de voir queι induit une équivalence sur les catégories homotopiques. Cela résulte du théorème 6.34.

A.5 Propreté à droite

Dé�nition A.5.1. Soit C une classe de petites catégories (resp. de petites 2-catégories). On ap-pellera localisateur fondamental de Cat (resp. de 2-Cat) engendré par C le localisateur fondamentalengendré par la classe de �èches {C → e | C ∈ C}, où e désigne la catégorie terminale.

Théorème A.5.2 (Cisinski). Soit W un localisateur fondamental de Cat accessible. Les condi-tions suivantes sont équivalentes :

a) la structure de catégorie de modèles à la Thomason sur Cat associée à W est propre ;

b) la structure de catégorie de modèles sur ∆ associée à W∆ est propre ;c) W est engendré par un ensemble de catégories.

Démonstration. Dans [11], Cisinski dé�nit une notion de localisateur fondamental de Cat propre(dé�nition 4.3.21). Il résulte du théorème 4.3.24 de op. cit . et de la proposition 1.5.13 de [20]qu'un localisateur fondamental W de Cat est propre si et seulement s'il satisfait la condition b)ci-dessus. Les équivalences avec les deux autres conditions résultent alors des théorèmes 5.2.15et 6.1.11 de [11].

Lemme A.5.3. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat . Les conditions suivantes sontéquivalentes :

a) W est engendré par une classe (resp. un ensemble) de petites 2-catégories ;b) W est engendré par une classe (resp. un ensemble) de petites catégories ;c) le localisateur fondamental W∩Cat de Cat est engendré par une classe (resp. un ensemble)

de petites catégories.

Démonstration. Si W est engendré par une classe C de petites 2-catégories, alors, en vertu dela proposition 6.47, le localisateur fondamental W ∩ Cat de Cat est engendré par la classe defoncteurs {i∆N2(C) → i∆N2(e) | C ∈ C}. Puisque i∆N2(e) = ∆ admet un objet �nal, pardé�nition des localisateurs fondamentaux de Cat , le foncteur ∆→ e est dans W ∩Cat . Par deuxsur trois, le localisateur fondamentalW∩Cat est donc engendré par la classe de petites catégories

{i∆N2(C) | C ∈ C}.

Par ailleurs, il résulte de la proposition 6.48 que si le localisateur fondamentalW∩Cat est engendrépar une classe de petites catégories, le localisateur fondamental W est également engendré parcette classe de petites catégories, ce qui achève la démonstration.

Théorème A.5.4. Soit W un localisateur fondamental de 2-Cat accessible. Les conditions sui-vantes sont équivalentes :

a) la structure de catégorie de modèles à la Thomason sur 2-Cat associée à W est propre ;b) la structure de catégorie de modèles à la Thomason sur Cat associée au localisateur fonda-

mental W ∩ Cat de Cat est propre ;

50

c) la structure de catégorie de modèles sur ∆ associée au ∆-localisateur W∆ est propre ;d) W est engendré par un ensemble de petites 2-catégories ;e) W est engendré par un ensemble de petites catégories.

Démonstration. L'équivalence entre les quatre dernières conditions résulte du théorème A.5.2 etdu lemme précédent. Les implications c)⇒ a)⇒ b) résultent du fait que les foncteurs

Cat ι−−−−→ 2-Cat Ex2N2−−−−→ ∆

sont des foncteurs de Quillen à droite (voir les théorèmes A.4.5 et A.3.8) qui préservent et re�ètentles équivalences faibles.

Références

[1] Adámek (Ji°í) & Rosický (Ji°í), Locally Presentable and Accessible Categories, London Ma-thematical Society Lecture Note Series, volume 189, Cambridge University Press, 1994.

[2] Ara (Dimitri) & Maltsiniotis (Georges), � Vers une structure de catégorie de modèles à laThomason sur la catégorie des n-catégories strictes �, Advances in Mathematics, volume259, p. 557�654, 2014.

[3] Bullejos (Manuel) & Cegarra (Antonio), � On the geometry of 2-categories and their clas-sifying spaces �, K-Theory, volume 29, p. 211�229, 2003.

[4] Carrasco (Pilar), Cegarra (Antonio) & Garzón (Antonio), � Nerves and classifying spacesfor bicategories �, Algebraic and Geometric Topology, volume 10, p. 219�274, 2010.

[5] Cegarra (Antonio), � Homotopy �bre sequences induced by 2-functors �, Journal of Pureand Applied Algebra, volume 215, p. 310�334, 2011.

[6] Chiche (Jonathan), La théorie de l'homotopie des 2-catégories, thèse de doctorat, en prépa-ration.

[7] Chiche (Jonathan), � Un Théorème A de Quillen pour les 2-foncteurs lax �, à paraîtredans Theory and Applications of Categories. Disponible à l'adresse http://arxiv.org/

abs/1211.2319.

[8] Cisinski (Denis-Charles), Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. Thèse,Université Paris 7, 2002.

[9] Cisinski (Denis-Charles), � Le localisateur fondamental minimal �, Cahiers de topologie etgéométrie di�érentielle catégoriques, volume 45, numéro 2, p. 109�140, 2004.

[10] Cisinski (Denis-Charles), � Propriétés universelles et extensions de Kan dérivées �, Theoryand Applications of Categories, volume 20, numéro 17, p. 605�649, 2008.

[11] Cisinski (Denis-Charles), � Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie �, As-térisque, volume 308, Société mathématique de France, 2006.

[12] Del Hoyo (Matias L.), Espacios clasi�cantes de categorías �bradas, Thèse, Université deBuenos Aires, 2009. Disponible à l'adresse http://www.staff.science.uu.nl/~hoyo0001/tesis.pdf.

[13] Del Hoyo (Matias L.), � On the loop space of a 2-category �, Journal of Pure and AppliedAlgebra, volume 216, p. 28�40, 2012.

[14] Grothendieck (Alexandre), lettre à Robert Thomason, 2 avril 1991. Disponible à l'adressehttp://www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/ps/lettreder.pdf.

51

[15] Grothendieck (Alexandre), Pursuing Stacks, tapuscrit, 1983, à paraître à la SMF dans lacollection Documents mathématiques.

[16] Hirschhorn (Philip S.), Model Categories and Their Localizations, Mathematical Surveysand Monographs, volume 99, American Mathematical Society, 2003.

[17] Illusie (Luc), Complexe cotangent et déformations I, II, Lecture Notes in Mathematics,volumes 239 et 283, Springer-Verlag, 1971-1972.

[18] Kan (Daniel M.), � On c.s.s. complexes �, American Journal of Mathematics, volume 79,p. 449�476, 1957.

[19] Lurie (Jacob), Higher Topos Theory, Annals of Mathematics Studies, volume 170, PrincetonUniversity Press, 2009.

[20] Maltsiniotis (Georges), La théorie de l'homotopie de Grothendieck, Astérisque, volume 301,Société mathématique de France, 2005.

[21] Quillen (Daniel G.), Homotopical Algebra, Lecture Notes in Mathematics, volume 43,Springer-Verlag, 1967.

[22] Quillen (Daniel G.), Higher Algebraic K-theory I, Lecture Notes in Mathematics, volume 341,p. 85�147, Springer, 1973.

[23] Rosický (Ji°í), � On combinatorial model categories �, Applied Categorical Structures, vo-lume 17, p. 303�316, 2009.

[24] Thomason (Robert W.), � Cat as a closed model category �, Cahiers de topologie et géométriedi�érentielle catégoriques, volume 21, p. 305�324, 1980.

[25] Worytkiewicz (Krzysztof), Hess (Kathryn), Parent (Paul-Eugène) & Tonks (Andrew), � Amodel structure à la Thomason on 2-Cat �, Journal of Pure and Applied Algebra, volume 208,p. 205�236, 2007.

Jonathan Chiche, Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris Diderot � Paris 7,

Case Postale 7012, Bâtiment Sophie Germain, 75205 Paris Cedex 13, France

Adresse électronique : chiche@math.jussieu.fr

URL : http://www.math.jussieu.fr/~chiche/

Dimitri Ara, Radboud Universiteit Nijmegen, Institute for Mathematics, Astrophysics and Par-

ticle Physics, Heyendaalseweg 135, 6525 AJ Nijmegen, The Netherlands

Adresse électronique : d.ara@math.ru.nl

URL : http://www.math.ru.nl/~dara/

52