Ths. Lê V n Đoa n Chuyên đê 6 - Chuyên Đề Ôn Thi · PDF fileChuyên đê 6 HoHHooHo vavvaava ... z i= −3 4 (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao) ĐS: z i= +26 7

Chuyên đêChuyên đê �� 66

HoHoHoHo� vavavava� tên hotên hotên hotên ho�c sinhc sinhc sinhc sinh : -------------------------------------------

L�L�L�L��pppp : .......................

Ths. Lê V�n Đoa�n

15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn

“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 1 -

M

y

x O

Chuyên đề

��

1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức

Số phức z a b.i= + có phần thực là a và phần ảo là b với a b, ∈ � và i2 1=− .

Do i2 1=− nên ta có i� = �1nê un = 4kinê un = 4k + 1−1nê un = 4k + 2−inê un = 4k + 3 (vơik ∈ � ) Nếu

a ca b.i c d.i

b d

=+ = + ⇔ =

(hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo)

Số phức z a b.i= + được biểu diễn bởi điểm ( )M a b; trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

Mô đun của số phức z OM a b2 2= = +��

.

Số phức liên hợp của z a b.i= + là z a b.i= − .

2/ Các phép toán trên số phức

Cho hai số phức z a b.i1= + và z c d.i

2= +

Phép cộng : ( ) ( ) ( ) ( )z z a b.i c d.i a c b d .i1 2± = + ± + = ± + ±

Phép nhân : ( ) ( ) ( ) ( )z z a b.i c d.i a.c b.d a.d b.c .i1 2. .= + + = − + +

Phép chia : ( )( )

( )( )( )( )

( )( )a b.i a b.i c d.i a b.i c d.iz z z

z c d.i c d.i c d.i c dz z1 1 2

2 22 2 2

.

.

+ + − + −= = = =

+ + − +

3/ Giải phương trình bậc hai

Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) vô nghiệm, nghĩa là 0∆< . Khi đó,

phương trình có nghiệm phức là b i.

xa1,2 2.

− ± ∆= .

4/ Căn bậc n của số phức

Cho số phức z a b.i= + . Hãy tìm căn bậc n của số phức z ? ( )n nz a b.i ?= + =

SỐ PHỨC

6

Đặt ( ) ( )nn nnz a b.i ω x y.i ω z x y.i a b.i = + = = + ⇒ = = + = + ∗

Khai triển( )n

x y.i+ . So sánh với( )∗ dựa vào 2 số phức bằng nhau nx y z,⇒ ⇒

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a

b ( )a b,

Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c

Page - 2 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º

5 – Dạng lượng giác của số phức z = a + b.i

Ta có z OM a b r2 2 0= = + = >��

. Đặt a r cosφ b

φ φb r sinφ a

.tan ?

.

= ⇒ = ⇒ = =

Khi đó z a b.i= + được biểu diễn dưới dạng lượng giác là:

( )z a bi r φ i. φcos sin= + = + và được biểu diễn dưới dạng mũ là φiz a b.i r.e= + =

( φ π hay π φ π0 2≤ < − ≤ ≤ ; φsin cùng dấu với b và φ gọi là một acgumen của z )

Lúc đó:

+ Tích: ( ) ( )z .z r r φ φ i φ φ1 2 1 2 1 2 1 2

. . cos .sin = + + +

+ Thương: ( ) ( )z r

φ φ i φ φz r1 1

1 2 1 2

2 2

cos .sin = − + −

6 – Công thức Moivre và ứng dụng

Công thức Moivre: ( ) ( )n nz r φ i φ z r nφ i nφ. cos .sin . cos .sin= + ⇒ = + .

Công thức này dùng để nâng lũy thừa.

Công thức khai căn:

+ Cho dạng lượng giác của số phức ( )z r φ i. φcos sin= + (hoặc ta biến đổi).

+ Khi đó: ( )n nnφ k π φ k π

z r. φ i. φ r i.n n

2 2cos sin cos sin

+ + = + = + ;

k n0,1,2,..., 1= −

7 – Tính chất của số phức

Cho số phức z a b.i

z a b.iz a b2 2

= −= + ⇒ = +

. Khi đó:

� z z= � z.z a b2 2= + � z z z z' '+ = +

� z z z z. ' . '= � zz

z z' '= � z z z z

1 2 1 2+ ≤ +

Lưu ý: Cho số phức z a bi= + với a b, ∈ � . Khi đó:

� Để z là một số thực, điều kiện là: b 0=

� Để z là một số thực âm, điều kiện là: a

b

0

0

< =

� Để z là một số thực dương, điều kiện là: a

b

0

0

> =

� Để z là một số thuần ảo, điều kiện là: a 0= , lúc đó: z bi=



► Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần 1, 2, 4

Thí dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức

a/ ( ) ( )2 4 2 1 3z i i i= + + − (TN.THPT – 2011 Hệ bổ túc) ĐS: 8 6 , 10z i z= − = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( ) ( )2 3

3 2 2z i i= − + + ĐS: 7 5 2z i z= − ⇒ = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ ω1 22z z= − với

11 2z i= + và

12 3z i= − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban cơ bản)

ĐS: 3 8z i=− + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ ω1 2.z z= với

12 5z i= + và

23 4z i= − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao)

ĐS: 26 7z i= +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ ( )( )4 5

2 4 5 22

iz i i

i

−= − + +

+ ĐS:

93 94

5 5z i= − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ 2 1

1 2 3

i iz

i i

− += −

− ĐS:

7 14

15 15z i= + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1. CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức ¼¼¼¼ Sự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phức



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/

2

1 3 2

1 3

i iz

ii

− − = + + ĐS:

( )3 2 23.

2 2z i

−=− +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ ( ) ( ) ( )6 5 100

2 3 3 1z i i i= − + + + − ĐS: ( )503771 2 3844.z i= − +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ 2011 2012 2013z i i i= + + ĐS: 1z = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ ( ) ( ) ( )2 20

1 1 1 ... 1z i i i= + + + + + + + ĐS: ( )10 102 2 1z i=− + + .

Cách 1. Sử dụng hằng đẳng thức: ( )( )n 2 3 ni i i i i i n N1 *1 1 1 ... ;−− = − + + + + + ∀ ∈

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Cách 2. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân: ( )n

n

qS u q

q1

1. , 1

1

−= ≠

−.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ ( )2012

1z i= + ĐS: 1006 10062 2z z=− ⇒ =− .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ ( ) ( )2

2 1 2z i i= + − (Đại học khối A – 2010 ban cơ bản) ĐS: phần ảo là 2−

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ ( )1n

z i= + với N*n ∈ thỏa ( ) ( ) ( ) 4 4

log 3 log 9 3 1n n− + + = ĐS: 8 8z i= − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

n/

3

1 3

1

iz

i

+ = + ĐS: 2 2z i= +

(Trích đề thi Đại học khối B – 2011 theo chương trình nâng cao)

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 2. Tìm các số thực x, y thỏa:

a/ ( ) ( )1 2 1 2 1i x y i i− + + = + . ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( ) ( )3

1 4 1 2 2 9i x i y i− + + + = + . ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ 3 21

x yii

i

+= +

−. ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 3 3

3 3

x yi

i i

− −+ =

+ −. ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ ( ) ( ) ( )2 2 2 214 3 3 2 4 3 2

2i x i xy y x xy y i− + + = − + − . ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )2

1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + + . Hãy tìm phần thực

và phần ảo của số phức z

(Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2009 ban cơ bản) ĐS: 2 3z i= − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )2

2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + . Hãy tìm phần thực và

phân ảo của số phức z (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2010 ban cơ bản) ĐS: 2 5z i=− +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 5. Tìm số phức z biết: 2 0z z+ = ĐS: 0; ;z z i z i= = =−

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 6. Tìm số phức z biết: 22z z z= + ĐS:

1 1 1 10, ,

2 2 2 2z z i z i= =− − =− +

(Trích đề thi Đại học khối A – 2011, theo chương trình chuẩn)

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 7. Tìm môđun của số phức z biết: ( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2z i z i i− + + + − = − .

ĐS: 2

3z = (Đại học khối A – 2011, theo chương trình nâng cao)

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 8. Tìm số phức z biết: 5 3

1 0i

zz

+− − =

ĐS: 1 3z =− − hoặc 2 3z = − (Đại học khối B – 2011, ban cơ bản)

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 9. Tìm số nguyên ,x y sao cho số phức z x yi= + thỏa mãn: 3 18 26z i= +

ĐS: 3; 1 3x y z i= = ⇒ = +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 10. Tìm môđun của số phức ω 2 4z i= − − với z x yi= + , ( ),x y ∈ � .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 11. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 2z i− + = và phần ảo nhỏ hơn phần

thực 3 đơn vị. ĐS: ( )2 2 1 2z i= − − + hoặc ( )2 2 1 2z i= + − −

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 12. Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 1 2 2z i z i+ − = − − và 1 5z − =

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

ĐS: Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán: 1 3z i= + hoặc 2 6

5 5z i=− −



Thí dụ 13. Tìm z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 2z i z z i− = − + và ( )2

2 4z z− =

ĐS: 3

3

14 .

4z i= ± +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 14. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 12 5

8 3

z

z i

−=

− và

41

8

z

z

−=

−

ĐS: 1z i= +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: ( )2 10z i− + = và . 25z z =

(Đại học khối B – 2009, theo chương trình chuẩn)

ĐS: 3 4z i= + hoặc 5z =

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 16. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 2z = và 2z là số thuần ảo.

(Đại học khối D – 2010) ĐS: 1 , 1 , 1 , 1z i z i z i z i= + = − =− − = − +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 17. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: ( )( )1 2z z i− + là số thực và 1 5z − =

ĐS: 2 , 2 2z i z i= = −

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí du 18. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 5z = và 7

1

z i

z

+

+ là số thực.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 19. Tìm số phức z sao cho 1 2 3z i z i+ − = + + và 2z i

z i

−

+ là một số thuần ảo.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z

a/ ( )( )3

1 2 1

iz

i i

+=

− + b/

1 2 3

2 4 5

i iz

i i

+ −= +

− +

c/ ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 2 1

3 2 2

i iz

i i

+ − −=

+ − + d/ ( )( )( )2 3 2 5 4z i i i= − − + −

e/ ( )3

2z i= − f/ ( ) ( )3 3

2 3z i i= + − −

i/ ( ) ( )2 9

1 1z i i= + − − j/ 3 2

1 4

i iz

i i

− += −

+

k/ 7

7

1 1

2z i

i i

= − l/ ( ) ( )

3 20131 2z i i= − + −

m/ ( ) ( )( )2

101 11 2 3 2 3

1

iz i i i

i i

+ = + − + + − + − n/

( )2010

1

1

iz

i

+=

−

o/ ( )( )1 2

1 2

i iz

i

+ −=

+ p/

21

5 3 3

1 2 3

iz

i

+ = −

q/ ( ) ( )( )( )

2

2

1 2

2 1

i iz

i i

+ −=

+ − r/

( )( )( )2 1 2 2 4

2 3

i i iz

i

− + −=

+

s/ 1 2

1 2

iz

i

+ −=

+ + t/ 2 3 20091 ...z i i i i= + + + + +

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức

a/ Tính: ( ) 3

2 2; ; ; 1z z z z z+ + . Biết rằng: 3 1

2 2z i= −

b/ Tính: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 20

1 1 1 1 ... 1A i i i i= + + + + + + + + +

c/ Tính: 2 3 4 20131 ...B i i i i i= + + + + + +

d/ Tính: 1

2

zC

z= . Biết rằng:

13z i= − và

21 3z i= +

e/ Tính: 1 2

D z z= − . Biết rằng: 1 2

1z z= = và 1 2

3z z+ =

f/ Tính: 5 7 9 2013

4 6 8 2012

....

...

i i i iE

i i i i

+ + + +=

+ + + +

g/ Tính: ( ) ( ) ( )2 4 2012

1 1 1 ... 1F i i i= + + + + + + +

h/ Tính: ( ) ( )2012 2013

1 1G i i= − + +

i/ Tính: 2010F z= . Biết rằng: 1

1

iz

i

−=

+



j/ Tính: ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 8 10

16 8

1 1 1 1

1 1

1 1

i i i iG

i i

i i

− + + + + + −=

+ − + − +

k/ Tính: ( )

2

2

1

, 011

zzH z

zz

+= ≠

+ −

l/ Tính: 2

2

1

1

m miIm i m

+ +=

− + với m là tham số thực

m/ Tính: ( )

( )1 2

1 22 2 21 2 1 2

1 2

1 1 2 1 1, ; 0J z z

z z z zz z z z

= + + ≠ + + +

n/ Tính: ( ) ( )2012 20122 4K z z= − + − , biết ( ), ;z x yi x y= + ∈ � thỏa: 3 18 26z i= +

Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa:

a/ ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 1 1 5x y i x y i− + + = + − −

b/ ( ) ( )1 2 3 5 1 3x i y i− − = + −

c/ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 1x y y x i x y y x i+ + − = − + + + +

d/ ( )3 2 1 2x yi y x i+ = + + −

e/ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 2 4 3x y y x i x y x y i+ + − = − + + − −

f/ ( ) ( )2 1 1 2 2 3 2x y i x y i+ + − = − + −

g/ ( ) ( )4 3 3 2 1 3x y i y x i+ + − = + + −

h/ ( ) ( )2 2 2 2x y x y i x y x y i+ + − = + + +

i/ 3 2 5 7 5x iy ix y i+ − + = +

j/ ( ) ( )2 3 4 2 5 10 2 3x iy ix y i x y i y x− + − − − = + + − − +

Bài 4. Tìm số phức z thỏa điều kiện cho trước:

a/ Tìm môđun của số phức 2 2 1 2

1 2 2 2

i iz

i i

+ += +

− −

b/ Cho số phức z x yi= + với ,x y ∈ � . Tìm 2z i− + ?

c/ Tìm số phức z thỏa: 20

1 3z iz

− = − .

d/ Tìm số phức z thỏa: 2 1 8z z i− =− − .

e/ Tìm số phức z thỏa:

4

1z i

z i

+ = − .

ĐS: 0, 1z z= = ±



f/ Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 22. . 8z z z z+ + = và 2z z+ =

ĐS: 1z i= ±

g/ Cho số phức z thỏa: ( )

3

1 3.

1

iz

i

−=

−. Tìm môđun của số phức z iz+

ĐS: 8 2z iz+ = (Trích đề thi ĐH khối A – 2010 hệ nâng cao)

h/ Tìm các số phức z thỏa mãn: ( ). 3 4 3z z z z i+ − = − .

ĐS: 15 1

.2 2

z i= ± −

i/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 20

1 3z iz

− = − .

j/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )4 2 21 2 1 4 1 0z z z+ + + + + + = .

k/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 1z = và 1z z

z z+ = .

l/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 1z i z− = − và 2z i z− = .

m/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 11

z

z i

−=

− và

31

z i

z i

−=

+.

n/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: ( ) ( )1 2 1 2 6i z i z− + + = và ( )2

2 3 0z i z z+ − + = .

o/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 5z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo.

p/ Tìm số phức z , biết 2 5z = và phần ảo bằng hai lần phần thực của nó.

q/ Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.

r/ Tìm số phức z , biết 4z = và z là số thuần ảo.

s/ Tìm các số nguyên n để số phức:

n

1 3

1 3

iz

i

+ = − là một số thực.

t/ Cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn:

1 2 1 23; 3; 37z z z z= = − = . Tìm 1

2

zzz

= .

u/ Với giá trị nào của ,x y thì các số phức: 2 5

19 4 10z y xi= − − và 2 11

28 20z y i= + là liên

hợp của nhau.

v/ Tìm môđun của số phức ω z iz= + , biết rằng:

11 81 2

.1 1

i ii z

i i

+ = + − + .

w/ Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 1 2 2z i z i+ − = − − và 1 5z − = .

x/ Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2z i− + và 20

1 3z iz

− = − .

y/ Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2z = và 1 3 2z i i− + = − .



��

Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2. T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức ¼¼¼¼ T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max ¼¼¼¼ minminminmin

► Phương pháp:

1/ Tìm tập hợp biểu diễn số phức

Tìm tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức z x y.i= + là tìm hệ thức giữa mối liên hệ x và

y dựa vào kiến thức về , ,z z z và hai số phức bằng nhau.

Các mối liên hệ giữa x và y thường gặp:

� Ax By C 0+ + = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một đường thẳng.

� ( ) ( )x a y b R2 2 2− + − = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một đường tròn

có tâm là ( )I a b, và bán kính R.

� ( ) ( )x a y b R2 2 2− + − ≤ ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một hình tròn

có tâm là ( )I a b, và bán kính R.

� ( ) ( )R x a y b R2 22 2

1 2≤ − + − ≤ ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là những

điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm ( )I a b, và bán kính

lần lượt là R1 và R2.

� x y

a b

2 2

1+ = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Elíp có trục lớn là 2a,

trục nhỏ là 2b và tiêu cự là 2c a b2 22= − (với a b 0> > ).

� x y

a b

2 2

1− = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Hypebol có trục thực là

2a, trục ảo là 2b và tiêu cự là c a b2 22 2= + (với , 0a b > ).

y ax bx c2= + + ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Parabol (P).

2/ Tìm tất cả các số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bước 1. Tìm tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức z x y.i= + để được mối liên hệ x, y.

Bước 2. Dựa vào mối liên hệ giữa x và y ở bước 1 để tìm zmax

và zmin

.

Lưu ý: Từ điều kiện ở bước 1, ta có thể tìm z

max và z

minbằng các cách:

� Lượng giác hóa, sử dụng BĐT Bunhiacopxki: ( ) ( )( )a b c d a c b d2 2 2 2 2. .+ ≤ + + .

� Sử dụng bất đẳng thức tam giác: a b a b− ≤ − .

� Phương pháp đại số: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki và giải hệ bất phương trình để

tìm ra: A z x y B2 2≤ = + ≤ ⇒ zmax

và zmin

.



Thí dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a/ 2 3z z i= − + ĐS: Đường thẳng: 4 6 13x y+ = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( )1z i i z− = + (Trích đề thi Đại học khối B – 2010)

ĐS: Đường tròn ( ) ( )22: 1 2C x y+ + = có tâm I(0;–1) và bán kính R 2= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ ( )3 4 2z i− − = (Trích đề thi Đại học khối D – 2009)

ĐS: Đường tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 3 4 4C x y− + + = có tâm I(3;–4) và bán kính R 2= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 3z

z i=

− ĐS: ( )

2

2 9 9:

8 64C x y

+ − = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ 4z i z i− + + = ĐS: Elíp ( )E2 2

: 13 4

x y+ = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ 1z i

z i

−=

+ ĐS: Đường thẳng 0y = ⇒ Trục thực Ox.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ 2z ≤ ĐS: Hình tròn 2 2 4x y+ ≤ tâm O(0;0), bán kính R = 2.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



h/ ( )ω 1 3 2i z= + + với 1 2z − ≤ .

ĐS: Hình tròn ( ) ( )22

3 3 16x y− + − ≤ có tâm ( )I 3; 3 và bán kính R 4= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ 1 1 2z i≤ + − ≤ ĐS: Hình vành khăn có tâm I(–1;1) bán kín R1 = 1; R2 = 2.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ 2 1 2z z z− = − + ĐS: Hai đường thẳng x = 0 và x = 2.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



k/ 1 2 3z z i− + − = ĐS: Hai đường thẳng song song với trục hoành 1 2y = ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ 2 2z i z z i− = − + ĐS: Parabol ( )P2

:4

xy = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ 2z là số thuần ảo ĐS: Hai đường phân giác ;y x y x= = − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

n/ z i

z i

+

− là một số thuần ảo ĐS:

2 2 1

0

x y

x

+ = ≠



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

o/ z i

z i

+

+ là số thực ĐS: Những điểm nằm trên hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

p/ 3

3

z i

z i

−

+ là một số thực dương ĐS: Hai đường 0y = và 3x > .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

q/ ( )2

2 . 4z z z− = ĐS: Hypelbol ( )H 1 1

: ,y yx x

= =−

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức có môđun nhỏ

nhất ?

ĐS: 2 2z i= + với min 2 2z = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 5z i− − = . Tìm số phức có môđun lớn nhất,

môđun nhỏ nhất ?

ĐS:

min

max

5 1 2

3 5 3 6

z z i

z z i

= ⇔ = + = ⇔ = +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 3 4 4z i− + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z ?

ĐS: min 1z = và max 9z = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 3

2 32

z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .

ĐS: 26 3 13 78 9 13

13 26z

− −= + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 6. Xét số phức thỏa mãn: ( )

( ) ,1 2

i mz m

m m i

−= ∈

− −� .

a/ Tìm m để 1

.2

z z = . ĐS: 1m = ± .

b/ Tìm m để 1

4z i− ≤ . ĐS:

1 1

15 15m− ≤ ≤ .

c/ Tìm số phức z có môđun lớn nhất ? ĐS: khi max

1 0z m= = .

d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để k1z − ≤ . ĐS: k5 1

2

−= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

z



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện ( )2 10z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất, lớn nhất (nếu có) ? ……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………




Bài 1. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

1/ 2z < . 2/ 1 1z − ≤ .

3/ 1 1z i− − < . 4/ 1 1 2z i≤ + − ≤ .

5/ 3 1z + = . 6/ 2 2z i z z i− = − + .

7/ 2 1 3z z i z− + − = + . 8/ 2z i z+ = − .

9/ 4 4 0z i z i− + + = . 10/ 3 4z z i= − + .

11/ 4z i

z i

−=

+. 12/

5 54 2

3z z i z

+ = + .

13/ 2 1 3z z i+ = + − . 14/ . 9z z = .

15/ 2 3z i z i+ = − − . 16/ 2 2 10z z− + + = .

17/ 1 1z + < . 18/ 1 2z i< − < .

19/ 2 2 2 1i z z− = − . 20/ 2 1 2 3iz z− = + .

21/ 3 4z z+ + = . 22/ 1 2z z i− + − = .

23/ ( )k k,z

z i

+= ∈−

� . 24/ 1 2 3z z i− + − = .

25/ ( )2

2 4z z− = . 26/ 1100z

z+ = .

27/ 4 4 10z i z i− + + = . 28/ 2z i+ là số thực.

29/ 2z i− + là số thuần ảo. 30/ ( )( )2 z i z− + là số ảo tùy ý.

Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

1/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 1 2 2z i− − = , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

2/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 2 2 1z i− + = , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất,

lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z.

3/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: ( )k k1

,zz

+ = ∈ � , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất, lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z.

4/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 1 5

23

z i

z i

+ −=

+ −, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

5/ Trong số các số phức z thỏa điều kiện: 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất.

6/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 2 3 5z i− + = . Hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.



Bài 3. Cho số phức ( ) ( ) 3 ,z m m i m= + − ∈ � .

a/ Tìm tham số m để biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác thứ hai y x=− .

b/ Tìm tham số m để biểu diễn số phức nằm trên đường hypebol ( )2

:H yx

=− .

c/ Tìm tham số m để khoảng của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.

Bài 4. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức:1

4

1

iz

i=

−,

( )( )21 1 2z i i= − + và

3

2 6

3

iz

i

+=

−.

a/ Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông. b/ Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 5.



��

Thí dụ 1. Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức �

a/ ( ) ( )1 2 4 5i z i i− + − = − ĐS: 3z i= − (TN.THPT – 2011 Ban cơ bản).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( )4 5 2i z i− = + ĐS: 3 14

41 41z i= + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ ( ) ( )3 4 1 3 2 5i z i i+ + − = + ĐS: 7 4

5 5

iz = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ ( ) ( )2

3 2 3i z i i− + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ 1 1

3 32 2

z i i − = +

ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ 2 1 3

1 2

i izi i

+ − +=

− + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Dạng toŸn Dạng toŸn Dạng toŸn Dạng toŸn 3333. . . . Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức ¼¼¼¼ Giải phương trñh Giải phương trñh Giải phương trñh Giải phương trñh ¼¼¼¼ hệ phương trñh số phứchệ phương trñh số phứchệ phương trñh số phứchệ phương trñh số phức

Giải phương trình bậc nhất trên � thực chất là thực hiện các phép tính cộng – trừ – nhân – chia số

phức z a bi= + kết hợp với kiến thức về z a bi= − ; z a b2 2= + và hai số phức bằng nhau.



g/ 3 5

2 4i

iz

+= − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ 2 2 4z z i+ = − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ 2 1 8z z i− =− − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ 2 3 1 12z z i− = − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ ( )1

2 3 02

i z i izi

− + + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ ( )( )5 3 0z i z+ − = ĐS: 5z i= − , 3z = .

……………………………………………………………………………………………………………

m/ ( ) ( ) ( )2

2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + ĐS: 2 5z i=− + (CĐ khối A,B,D – 2010)

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 2. Tìm căn bậc 2 (căn bậc n của số phức z a bi= + với a b, ∈ � ).

a/ 17z =− ĐS: có một căn bậc hai là 17z i= .

……………………………………………………………………………………………………………

b/ 5 12z i=− + ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 2 3i+ và 2 3i− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Đặt ( ) ( )nn nnz a b.i ω x y.i ω z x y.i a b.i = + = = + ⇒ = = + = + ∗ .

Khai triển( )n

x y.i+ . So sánh với( )∗ dựa vào hai số phức bằng nhau nx y z,⇒ ⇒ .

Nếu n 2= , từ ( )∗ ta được hệ x y a

x y x yixy b

2 2

,2

z − = ⇒ ⇒ = + =



c/ 8 6z i= + ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 3 i+ và 3 i− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 3 4z i= − ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 2 i− + và2 i− .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

e/ 33 56z i= − ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 7 4i− và 7 4i− + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ 4 6 5.z i= + ĐS: Có 2 căn bậc hai của z là 3 5.z i= ± ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ 1 2 6.z i=− − ĐS: Có hai căn bậc hai của z là 2 3.z i= ± ∓ .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 3. Tìm căn bậc ba của các số phức sau

a/ z i= − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

b/ 27z =− ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ 2 2z i= + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 18 6z i= + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 4. Tìm căn bậc bốn của các số phức sau

a/ 2z i= − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ 2 12z i= − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ 3z i= + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 7 24z i=− + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ 3 2 14.z i= − ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 5. Giải các phương trình bậc hai – bậc bốn trùng phương với hệ số thực

a/ 22 5 4 0x x− + = ĐS: 1,2

5 7.

4 4x i= ± (TN.THPT – 2006).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ 2 4 7 0x x− + = ĐS: 1,2

2 3x i= ± (TN.THPT – 2007 lần 1).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ 2 6 25 0x x− + = ĐS: 1,2

3 4x i= ± (TN.THPT – 2007 lần 2).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 2 2 2 0x x− + = ĐS: 1,2

1x i= ± (TN.THPT – 2008 lần 2).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ 28 4 1 0z z− + = ĐS: 1,2

1 1

4 4x i= ± (TN.THPT – 2009 – Cơ bản).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ 22 6 5 0z z+ + = ĐS: 1,2

3 1

2 2x i=− ± (TN.THPT – 2010 – GDTX).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ 23 2 1 0x x− + − = ĐS: 1,2

1 2

3

ix

±= .

Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) dạng ( )ax bx c a b c a2 0, , , , 0+ + = ∈ ≠�

vô nghiệm, nghĩa là 0∆< . Khi đó, phương trình có nghiệm phức là b i.

xa1,2 2.

− ± ∆= .



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ 27 3 2 0x x+ + = ĐS: 1,2

3 47

14

ix

− ±= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ 25 7 11 0x x− + = ĐS: 1,2

7 171

10

ix

±= .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ 4 2 6 0z z+ − = ĐS: 1,2

2x = ± và 3,4

3x i= ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ 4 27 10 0z z+ + = ĐS: 1,2

2x i= ± và 3,4

5x i= ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ 2 2 0z z+ + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ 2 2z z= + ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

n/ 3 125 0z − = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

o/ 4 16 0z + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 6. Giải các phương trình bậc hai với hệ số phức.

a/ 22 1 0z iz− + = ĐS: 1 2

1,

2z i x i= =− (TN.THPT – 2009 Nâng cao).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( )24 0z i− + = ĐS:

1 23 ;z i z i= =− (TN.THPT – 2011 Nâng cao).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ 4 3 7

2z i

z iz i

− += −

− ĐS:

1 23 ; 1 2z i z i= + = + (CĐ khối A,B,D – 2009 Nâng cao).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ ( )2 1 6 3 0z i z i− + + + = ĐS: 1 21 2 ; 3z i z i= − = (CĐ khối A,B,D – 2010 Nâng cao).

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



e/ ( )2 3 4 5 1 0x i x i− + + − = ĐS: 1 22 3 ; 1x i x i= + = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ ( )2 1 2 0x i x i+ + − − = ĐS: 1 21 ; 2x x i= =− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ ( )2 8 1 63 16 0z i z i− − + − = ĐS: 1 25 12 ; 3 4z i z i= − = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ 2 4 4 0ix x i+ + − = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ 2. 2 . 4 0i x i x+ − = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ ( ) ( )22 3 4 3 1 0i z i z i− + − + − = ĐS: 1 2

1 51 ;

13

iz z

+= =− .



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ ( ) ( )22 1 4 2 4 5 3 0i x i x i+ − − − − = ĐS: 1

3 5

2 2x i= − và

2

1 1

2 2x i=− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ ( )4 28 1 63 16 0z i z i− − + − = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ ( )4 224 1 308 144 0z i z i− − + − = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

n/ ( )4 26 1 5 6 0z i z i+ + + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 7. Giải các phương trình bậc cao trên tập số phức � .

a/ 3 23 3 63 0z z z+ + − = ĐS: 3 ; 3 2 3. ; 3 2 3.z z i z i= =− + =− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i+ + + + + = ĐS: 1 11

;2

iz i z

− ±=− =

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ ( ) ( )2

2 24 12 0z z z z+ + + − = ĐS: 1 23.

, 1 , 22

iz z z

− ±= = =− .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/

3 2

1 0z i z i z i

z i z i z i

− − − + + + = + + + ĐS: 1 , 0 , 1z z z=− = = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



e/ ( )2

2011 4 8036 4 0z i z i+ − − − + = ĐS: 2009 3 , 2009z i z i=− + =− − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ ( )2

2 3 23 6 2 3 12 0z z z z z+ + + + + = ĐS: 1 5 , 3 3z i z=− ± =− ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + = ĐS: 1 3 3 5

;2 2

iz z

− ± ±= = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ ( ) ( )4 3 21 2 2 2 1 0z z z z− + + + − + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



i/ 2

4 3 1 02

zz z z− + + + = ĐS:

1 11 ;

2 2z i z i= ± =− ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ 4 3 24 7 16 12 0z z z z− + − + = ĐS: 1 , 3 , 2z z z i= = = ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ 4 3 26 8 16 0z z z z− + − − = ĐS: 1 , 2 , 2 2z z z i=− = = ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ 4 3 22 6 8 8 0z z z z− + − + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ ( )( )( )2 3 2 10z z z z− + + = ĐS: 1 ; 1 6z i z=− ± =− ± .



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

n/ ( )( )( )( )1 3 5 7 28z z z z− − + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

o/ ( )( )( )( )2 1 1 3 2 3 18z z z z− − − + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

p/ ( ) ( )4 46 4 82z z+ + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

q/ 5 4 3 2 1 0z z z z z+ + + + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

r/ 6 5 4 313 14 1 0z z z z z+ − − + + = ĐS: 1 3

2 3, 2 3,2

iz z z

±=− ± = ± = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

s/ ( ) ( )2

2 2 21 3 1 2 0z z z z+ + + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

t/ ( ) ( )4 2

2 2 2 21 10 1 9 0z z z z z z− + − − + + = ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 8. Giải các phương trình sau trên tập số phức � .

a/ ( ) ( )3 22 2 5 4 10 0z i z i z i+ − + − − = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

ĐS: 2 , 1 2z i z i= =− ± .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ ( ) ( )3 22 1 4 1 8 0z i z i z i− + + + − = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

ĐS: 2 , 1 3 , 1 3z i z i z i= = + = − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ ( )3 22 5 3 3 2 1 0z z z z i− + + + + = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thực.

ĐS: 1, 2 , 12

z z i z i=− = − = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



Thí dụ 9. Các bài toán liên quan đến tham số và định lí Viét

a/ Tìm m để phương trình: 2 3 0z mz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/ Trên tập số phức, hãy tìm m để phương trình bậc hai: 2 0z mz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i− .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/ Cho 1 2;z z là hai nghiệm của phương trình: ( ) ( )21 2 3 2 1 0i z i z i+ − + + − = . Không giải

phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: 2 2 2 2 1 2

1 2 1 2 2 1

2 1

, ,z z

A z z B z z z z Cz z

= + = + = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c+ + = nhận số phức 1z i= + làm một nghiệm của phương trình.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ Cho các số phức ω ω1 21 2 , 3 4i i= + = − . Hãy xác định các số phức ( ), 0z z ≠ , đồng thời thỏa

mãn các điều kiện: ω1z là số thực và

ω2 1z= . Từ đó, lập phương trình bậc hai là các số phức đã

tìm được.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

f/ Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: 2 1 0z z+ + = . Hãy rút gọn biểu thức: 2 2 2 2

2 3 4

2 2 4

1 1 1 1P z z z z

z z z z

= + + + + + + + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/ Cho 1 2,z z là các nghiệm của phương trình: 22 4 11 0z z− + = . Tính giá trị của biểu thức:

( )

2 2

1 2

2

1 2

z zA

z z

+=

+.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ Gọi 1 2,z z là nghiệm phức của phương trình: 2 2 4 0z z+ + = . Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 3

1 2 1 23A z z z z= + − + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

i/ Tìm tham số m để phương trình phức: 2 1 0z mz m+ + + = có hai nghiệm 1 2,z z thỏa mãn điều

kiện: 2 2

1 2 1 21z z z z+ = + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

j/ Tìm tham số m để phương trình phức: 2 3 5 0z mz i− + = có hai nghiệm 1 2,z z thỏa mãn điều

kiện: 3 3

1 218z z+ = .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

k/ Cho phương trình: 3 25 16 30 0z z z− + − = . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

1 2 3A z z z= + + với

1 2 3, ,z z z là ba nghiệm của phương trình.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

l/ Cho phương trình: ( )( )2 22 2 0z i z mz m m+ − + − = . Hãy xác định điều kiện của tham số m sao

cho phương trình: Chỉ có đúng một nghiệm phức. Chỉ có đúng một nghiệm thực. Có ba nghiệm phức.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

m/ Giải phương trình:

2

12

7

zz

z

+ = − − . Biết rằng: 3 4z i= + là một nghiệm của phương trình.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

Thí dụ 10. Giải hệ phương trình trên tập số phức � .

a/

2 1 2

3

x y i

x y i

+ = − + = −

ĐS: 5, 2x y i= =− −

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b/

1 2

2 2

1 2

4

5 2

z z i

z z i

+ = − + = +

ĐS: 1

2

1 2

3

z i

z i

= − = +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

c/

1 2

2 2

1 2

5 5

5 2

z z i

z z i

= − − + = − +

ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2; 2 ; 1 3 , 1 3 ; 2 , 2 ; 1 3 , 1 3 ; 2z z i i i i i i i i= − − − − − − − + + + − +



……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

d/ 1 2 1 2

2 2

1 2

8

1

z z z z

z z

− − = + = −

ĐS: ( )1 2

5 3 3 5 3 3 3 14 3 14; ; , ;

2 2 2 2

i iz z

± + + ± =

∓ ∓.

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

e/ ( )

2 2

2 2

33

;3

0

x yxx y

x yx y

yx y

− + = + ∈ + − = +

� ĐS: ( ) ( ) ( ){ }; 2;1 , 1; 1x y = − .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………



f/ ( )( )

1 2

3 3

1 2

3 1

9 1

z z i

z z i

+ = + + = −

ĐS: ( ) ( ) ( ){ }; 2 ;1 2 , 1 2 ;2x y i i i i= + + + + .

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

g/

( )

2 10

2 20

3 1 30

x yi z

x y iz

ix iy i z

+ − = − + = + − + =

ĐS:

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

h/ 1 2

1 2

1.

22 3

z z

z z

= + =

ĐS: ( )3 3 3 3

; ; , ;4 2 4 2

i i i ix y

− + + − =

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………




Bài 1. Giải các phương trình bậc nhất trên tập số phức

a/ ( )4 5 2i z i− = + b/ 2 3 7 8z i i+ = +

c/ ( ) ( )( )1 2 1 3 2 3i z i i i+ + − + = + d/ ( ) ( )3 2 4 7 2 5i z i z+ − + = −

e/ ( ) ( )2

3 2 3i z i i− + = f/ ( ) ( )1 3 4 3 7 5i z i i− + + = −

g/ ( ) ( ) ( )7 3 2 3 5 4i z i i z− + + = − h/ ( )1 3 2 4i z i z+ + = −

i/ ( )2 3 2 3 2 2i x i i− + = + j/ ( )1 2 5 62 3

zi i

i− + = −

+

k/ ( ) ( )( )3 4 4 1 2i x i i+ = + + l/ 1 1

3 32 2

z i i − = +

m/ 2 1 3

1 2

i izi i

+ − +=

− + n/ 2 2 4z z i+ = −

n/ 2 0z z− = o/ 2 0z z+ =

p/ 2

2 0z z+ = q/ 1 2z z i− = +

r/ 2z z i+ = + s/ 3z z i+ − =

t/ ( )1

2 3 02

i z i izi

− + + + = u/ ( ) ( )4 7 5 2 6i z i iz+ − − =

Bài 2. Tìm căn bậc hai của các số phức

a/ 5 12i− + b/ 40 42i− + c/ 98 18i− d/ 33 56i−

e/ 34 5i+ f/ 4 6 5i+

g/ 1 2 6i− − h/ 17 20 2i+

i/ 1 2

4 2i+ j/ 7 24i− +

Bài 3. Giải các phương trình bậc hai

a/ 23 2 0x x+ + = b/ 2 1 0x x+ + =

c/ 2 7 0x + = d/ 3 1 0x − =

e/ 2 3 1 0x x− + = f/ 23 2 0x x− + =

g/ 23 2 2 3 2 0x x− + = h/ ( )2 3 4 5 1 0x i x i− + + − =

i/ ( )2 1 2 0x i x i+ + − − = j/ ( )2 3 4 3 0x i x i− − + − =

k/ ( )2 2 2 6 8 0z i z i− − + − = l/ 2 2(1 ) 4 2 0x i x i+ + + + =

m/ 2 2(2 ) 18 4 0x i x i− − + + = n/ ( )2 8 1 63 16 0z i z i− − + − =

o/ 2 2 1 6 0z z i+ + − = p/ ( )2 5 8 0x i x i− − + − =

q/ 23 2 4 0ix x i− − + = r/ ( ) ( )22 3 4 3 1 0i z i z i− + − + − =



Bài 4. Giải các phương trình bậc cao

a/ 4 27 10 0z z+ + = b/ 4 2 6 0z z+ − =

c/ 4 22 3 5 0x x+ − = d/ 3 27 0z − =

e/ 42 16 0x + = f/ 5( 2) 1 0x + + =

g/ 3 64 0z i+ = h/ 3 27 0z i− =

i/ 6 37 8 0x x− − = j/

2

4 45 6 0

z i z i

z i z i

+ + − + = − −

k/ ( )( )( )25 3 3 0z i z z z+ − + + = l/ ( ) ( ) 2 22 6 2 16 0z z z z+ − + − =

m/ 2( 3 ) 6( 3 ) 13 0z i z i+ − − + − + = n/ 4 28(1 ) 63 16 0z i z i− − + − =

o/ 4 224(1 ) 308 144 0z i z i− − + − = p/ 4 26(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + =

q/ ( ) ( )2

2 24 12 0z z z z+ + + − = r/ 3 23 3 63 0z z z+ + − =

s/ 4 3 24 7 16 12 0z z z z− + − + = t/ ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i+ + + + + =

u/ 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + = v/ 4 3 22 2 4 8 0z z z z− + + − =

x/ 4 3 26 8 16 0z z z z− + − − = y/ 3 26 30 25 0z z z+ + + =

Bài 5. Giải hệ phương trình trên tập số phức.

1.

1 2

2 2

1 2

4

5 2

z z i

z z i

+ = + + = −

2.

1 2

2 2

1 2

5 5

5 2

z z i

z z i

= − − + =− +

3.

2 1 2

3

x y i

x y i

+ = − + = −

4. 2 2

1 1 1 1

2 21 2

ix y

x y i

+ = − + = −

5.

2 2 8 8

5

x y i

x y i

+ = − + = −

6. 4

7 4

x y

xy i

+ = = +

7.

2 2

5

1 2

x y i

x y i

+ = − + = +

8.

3 3

1

2 3

x y

x y i

+ = + = − −

9.

2 2 6

1 1 2

5

x y

x y

+ =− + =

10.

3 2

1 1 17 1

26 26

x y i

ix y

+ = + + = +

11.

12 5

8 3

41

8

z

z i

z

z

− = − − = −

12.

11

31

z

z i

z i

z i

− = − − = +

13.

1 2

2 2

1 2

4

5 2

z z i

z z i

+ = + + = −

14.

1 2

2 2

1 2

. 5 5

5 2

z z i

z z i

= − − + = − +



15.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

. . 1

z z z

z z z

z z z

+ + = + + = =

16. ( )

3 5

1 2

42

1 2

0

. 1

z z

z z

+ = =

17.

2 2 4 0

2

a b ab

a b i

+ + = + =

18. 2

1

z i z

z i z

− = − = −

19.

1

3 1 2

17 1 4 2

xx y

yx y

+ = + − = +

20.

1 2

1 2

1

22 3

z z

z z

= + =

21.

( )

2 10

2 20

3 1 30

x yi z

x y iz

ix iy i z

+ − = − + = + − + =

22. 3 2

2010 2011

2 2 1 0

1 0

z z z

z z

+ + + = + + =

23. 22

2 2

4

z i z z i

z z

− = − + − =

24. 1 2

1 2

3

1 1 3

5

z z i

i

z z

+ = − + + =

Bài 6. Cho các số phức z1, z2, z3. Chứng minh rằng:

1. 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z z z z+ + + + + = + + + + +

2. ( )( )2 2 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + − = + +

3. ( )( )2 2 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z− − − = − −

4. Nếu 1 1z z c= = thì

2 22

1 2 1 24z z z z c+ + − = .

5. 2 2 2 2

2x y x y x y + + − = +

6. Chứng minh rằng: ( ) ( )

( )

510

10

1 3

1 3

i iz

i

− +=

− −

là một số thực.

7. Cho hai số phức 1z và

2z thỏa mãn: 2 2

1 2 1 2z z z z+ = . Chứng minh rằng:

1 2 1 2z z z z= = −

.

8. Cho 1 3

2 2z i=− + . Chứng minh rằng: ( )

3

1z = .

9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )2010 2008 2006

3 1 4 1 4 1i i i i+ = + − + .

10. Chứng minh rằng: mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng x i

x i

+

−, với x là số

thực mà ta phải xác định. 11. Cho , 'z z là hai số phức bất kỳ. Chứng minh rằng:

a) ( )' 'z z z z+ = + b) ( )' 'z z z z− = −



c) ( ). ' . 'z z z z= d) ( ), ' 0' '

z zz

z z

= ≠

e) . ' . 'z z z z= f) ( ), ' 0' '

zzz

z z= ≠

12. Cho các điểm: , ,A B C và ', ', 'A B C trong mặt phẳng biểu diễn các số phức: 1 , 2 3 , 3i i i− + + và 3 , 3 2 , 3 2i i i− + . Chứng minh rằng: hai ABC∆ và ' ' 'A B C∆ có

cùng trọng tâm. 13. Xét các điểm , ,A B C trong mặt phẳng phức, theo thứ tự biểu diễn các số phức

( )( ) 4 2 6; 1 1 2 ;1 3

i ii i

i i

+− +

− −. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân. Từ

đó, tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

14. Chứng minh rằng: nếu phương trình: ( ) 2 0, , ,az bz c a b c+ + = ∈ � có nghiệm phức

α ∉ � thì α cũng là nghiệm của phương trình đó. 15. Chứng minh rằng: nếu x iy+ là căn bậc hai của số phức a bi+ thì x yi− là căn bậc hai của

số phức a bi− .

Documents

Ths. Lê V n Đoa n Chuyên đê 6 - Chuyên Đề Ôn Thi · PDF fileChuyên đê 6 HoHHooHo vavvaava ... z i= −3 4 (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao) ĐS: z i= +26 7