Thèse - École centrale de Lyonmi)i,j matrice du gradient du champ de vecteurs m: Rn → Rp A(ξ,ξ) produit scalaire euclidien ξ.Aξ pour ξ vecteur et A matrice symétrique k.k∞

Ecole Centrale de Lyon

Institut Camille Jordan

Thèseprésentée en première version en vue d’obtenir le grade de Docteur, spécialité

« Mathématiques Appliquées et Applications des Mathématiques »

par

Pierre Cornilleau

Inégalités de Rellich et de Carleman ;applications à la stabilisation et au contrôle

d’équations aux dérivées partielles

Thèse soutenue publiquement le 6 juillet 2009 devant le jury composé de :

Mme Fatiha Alabau-Boussouira Université de Metz (Rapporteur)M. Sergio Guerrero Université Paris 6 (Examinateur)M. Jean-Pierre Lohéac Ecole Centrale de Lyon (Directeur)M. Mohand Moussaoui Ecole Centrale de Lyon (Directeur)M. Serge Nicaise Université de Valenciennes (Examinateur)Mme Michelle Schatzman Université Lyon 1 (Présidente du Jury)

au vu des rapports de:

Mme Fatiha Alabau-Boussouira Université de MetzM. Enrique Zuazua Basque Center for Applied Mathematics

A mon père, pour sa volonté ;à ma mère, pour sa passion.

Remerciements

Ce travail n’aurait pas été possible sans l’encadrement de Jean-Pierre Lohéac et Mohand Mous-saoui à l’Ecole Centrale de Lyon et l’initiation qu’ils m’ont offerte aux problèmes de contrôle

et de stabilisation d’EDP. Je tiens à remercier également l’Université Lyon 1 de m’avoir proposé unbureau au sein du laboratoire Camille Jordan. Ceci m’a fourni le cadre stimulant nécessaire au bondéroulement de ce travail de recherche en m’intégrant à une équipe doctorale dynamique : mercien particulier à mes collègues de bureau Mickaël, Alina et Gaëlle pour leur enthousiasme et leurdisponibilité.

Cette recherche n’aurait sans doute pas été aussi fructueuse sans Sergio Guerrero, que je remer-cie beaucoup pour sa disponiblité exemplaire, sa capacité de travail et d’avoir accepé de faire partiede ce jury. Je tiens également à remercier chaleureusement Luc Robbiano de s’être intéressé à montravail et d’avoir accepté de m’accompagner dans ma découverte de l’analyse microlocale.

Je remercie Serge Nicaise, à la fois pour son accueil lors de mon séjour à l’université de Va-lenciennes mais aussi pour avoir accepté de faire partie de mon jury. Je suis très flatté que FatihaAlabau-Boussouira et Enrique Zuazua aient accepté de rapporter sur ma thèse et je leur exprimeici toute ma reconnaissance. Merci enfin à Michelle Schatzman de me faire l’honneur de participerà ce jury.

Je voudrais également remercier les personnes sans lesquelles je n’aurais jamais eu le courage nila volonté d’approfondir les mathématiques jusqu’ici.En premier lieu, je tiens à rendre hommage à mon père. Bien avant les autres et grâce à sa

curiosité toujours en éveil, il fut la première personne avec qui je discutais de mathématiques.Merci à toi papa d’avoir toujours cru en moi ; tu as su m’inculquer la volonté nécessaire à dépassertant d’obstacles rencontrés dans ma vie. Je remercie également mon frère et ma soeur pour m’avoirsoutenu depuis ma tendre enfance ainsi que ma mère pour son énergie créatrice.

Je voudrais ensuite remercier mes professeurs de lycée, MM. Leborgne et Pelissier, qui m’ontpermis d’acquérir la rigueur et l’ouverture d’esprit nécessaires au plaisir des mathématiques. Ilsont assuré un relais à un moment crucial pour moi et j’aimerais leur dire ici toute mon estime.

Ces personnes m’ont permis de me lancer dans la poursuite d’études approfondies nécessaireà ma « croissance mathématique ». Les échanges avec mes camarades ont ensuite joué un rôleimportant dans cet apprentissage et je voudrais en particulier remercier Romain Bachelard pour lesdiscussions que nous avions en classes préparatoires ainsi que Vincent Clapiès, Clément Pellegriniet Colin Thiodet pour celles que nous avons régulièrement depuis notre rencontre à l’Ens de Lyon.

Merci enfin à toi Ayeli pour m’avoir soutenu durant cette longue et parfois douloureuse périodede gestation. Je t’aime.

Lyon, le 30 juin 2009.

v

Titre Inégalités de Rellich et de Carleman ; applications à la stabilisation et au contrôle d’équationsaux dérivées partielles

Résumé Dans cette thèse, nous présentons quelques méthodes dans le but d’étudier la stabilisa-tion et le contrôle d’équations aux dérivées partielles. Nous nous concentrons tout d’abord sur lesinégalités de Rellich propres à l’étude de l’équation des ondes avec singularités. Nous obtenonsainsi des résultats de décroissance exponentielle ou polynomiale dans le cas où le bord présenteune interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann avec éventuellement présence de termemémoire sur la partie Neumann. Nous nous intéressons ensuite aux inégalités de Carleman afind’étudier la contrôlabilité d’un problème parabolique dégénerescent d’une part et dans le but d’ob-tenir des estimations spectrales sur le système des ondes avec interface Dirichlet Neumann d’autrepart. Ceci nous permet d’obtenir un résultat intuitif sur le comportement du contrôle du problèmeparabolique et d’espérer pouvoir obtenir une condition suffisante faible de décroissance logarith-mique des solutions régulières à l’équation des ondes avec interface.

Mots-clés contrôle, stabilisation, singularités, problème de Zaremba, inégalités de Rellich, inéga-lités de Carleman, estimations spectrales

Title Rellich and Carleman inequalities ; applications to stabilization and control of partial diffe-rential equations

Abstract In this thesis, we present some methods in order to study the stabilization and controlof partial differential equations. We focus first on the Rellich inequality to study the wave equationwith singularities. We obtain some results of polynomial or exponential decay in the case wherethe boundary presents an interface between an homogeneous Dirichlet part and a Neumann partwhere the feedback is concentrated. We also deal with the presence of an extra term of memorytype on the Neumann part. We then focus on Carleman inequalities to study the controllability ofa parabolic problem with vanising viscosity on the one hand and in order to obtain some spectralestimates for wave equation with Dirichlet Neumann interface on the other hand. This allows us toobtain an intuitive result on the behavior of our parabolic control problem and to conjecture a weaksufficient condition of logarithmic decay for regular solutions to the wave equation with interface.

Keywords control, stabilisation, singularities, Zaremba problem, Rellich inequalities, Carlemaninequalities, spectral estimates

Table des matières

Table des matières viii

Notations 1

Introduction générale 3

I Inégalités de Rellich et méthode des multiplicateurs 9

1 Introduction 13

1.1 Méthode des multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Méthode des multiplicateurs et contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Méthode des multiplicateurs et stabilisation frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Singularités dans les problèmes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Problèmes de Laplace dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 Problèmes elliptiques en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Stabilisation des ondes et multiplicateurs 33

2.1 Article 1 : Nonlinear Neumann boundary stabilization of the wave equation

using rotated multipliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.1 Notations and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2 Rellich relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3 Proof of linear and non-linear stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.4 Examples and numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Article 2 : Boundary stabilization and control of the wave equation by means

of a general multiplier method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.1 Notations and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.2 Rellich relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.3 Linear and quasi-linear stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.4 Observability and controllability results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Multiplicateurs et stabilisation d’ondes avec délai 65

3.1 Equations avec délai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Article 3 : Energy decay for solutions of the wave equation with general

memory boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1 First results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.2 Well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.3 Linear stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

viii

II Inégalités de Carleman 83

4 Introduction 87

4.1 Inégalités de Carleman globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Fonctions poids et principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.2 Mise en oeuvre complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1.3 Inégalité d’observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.4 Inégalités de Carleman et problèmes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Inégalités de Carleman locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Analyse semi-classique et hypothèse d’hypoellipticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.2 Inégalités de Carleman dans certains cas elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Inégalité de Carleman et contrôlabilité 97

5.1 Généralités sur le contrôle d’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1 Observabilité et contrôle abstraits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.2 Observabilité en domaine non-borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Article 4 : Controlability and observability of an artificial advection-diffusion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.1 Well-posedness and basic properties of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.2 Carleman inequality in dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.3 Observability and control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Inégalité de Carleman et stabilisation 123

6.1 Stabilisation de systèmes dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.1 Présentation de quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.2 Preuve du résultat de décroissance faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Inégalités de Carleman et stabilisation faible des ondes . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.1 Inégalités de Carleman et d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.2 Décroissance logarithmique de solutions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.3 Projet d’article 5 : Décroissance logarithmique des solutions régulières de

l’équation des ondes avec conditions au bord mêlées. . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3.1 Inégalités de Carleman obtenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.2 Preuve de la Proposition 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.3 Une méthode de preuve des conjectures : l’inégalité d’interpolation . . . . . . . . . . 145

Conclusion générale 153

A Annexes 155

A.1 Code Matlab : calcul du taux de décroissance de l’article 1 . . . . . . . . . . . 157

A.2 Preuve de la Proposition 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Bibliographie 161

Notations

1X fonction caractéristique de l’ensemble XA ⊔ B réunion disjointe des ensembles A et BInt(X) intérieur d’une partie X d’un ensemble topologiqueω ⋐ Ω ω est inclus dans l’ouvert Ω

I application identité

X′ dual de l’espace vectoriel topologique XB(X,Y) applications linéaires continues de X dans YD(Ω) fonctions de classe C∞ de support inclus dans l’ouvert Ω

D(K) fonctions de classe C∞ de support inclus dans le compact KS(Rn) espace de Schwartz sur Rn

H10(Ω) espace de Sobolev des fonctions de trace nulle sur le bord ∂Ω

ν normale sortante au bord∇m = (∂xjmi)i,j matrice du gradient du champ de vecteurs m : Rn → Rp

A(ξ, ξ) produit scalaire euclidien ξ.Aξ pour ξ vecteur et A matrice symétrique‖.‖∞ norme du supremum

u(ξ) =∫

Rn e−ix.ξu(x)dx transformée de Fourier de u sur Rn

v(λ) =∫ ∞

0 e−λtv(t)dt transformée de Laplace de v sur (0,+∞)

A . B A ≤ CB avec C constante universelle

1

Introduction générale

L’équation des ondes décrit bien des phénomènes physiques (propagation des ondes lumineuses,sonores) et peut également être considérée comme une version simplifiée du système élasto-

dynamique. Dans ce cadre plus général, un problème courant (on peut penser par exemple à unepoutre encastrée dans un mur) consiste à savoir comment les solutions du système élastodyna-mique se comportent si une partie du matériau possède une partie de sa frontière mise au repos etune autre sur laquelle un force extérieure peut agir. D’un point de vue mathématique, le cas ”sim-plifié” des ondes s’écrit sous la forme d’un problème pour le déplacement u du matériau confinédans Ω

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −Fu(., 0) = u0u′(., 0) = u1

dans Ω × R+

sur ∂ΩD × R+

sur ∂ΩN × R+

dans Ω

dans Ω

avec F la force extérieure s’appliquant sur le système, ∂ΩD la partie Dirichlet du bord mise aurepos, ∂ΩN la partie Neumann du bord sur laquelle la force s’applique et (u0, u1) les conditionsinitiales.

Revenons à notre exemple de la situation précédente et considérons le problème de savoir sil’on peut atténuer les vibrations d’une poutre encastrée dans le but de la ramener dans un état derepos. Savoir si l’on peut parvenir à ramener l’état à l’équilibre en un temps fini à partir d’un étatinitial donné est un problème de contrôle tandis que savoir si l’on peut atténuer les vibrations encontrôlant la vitesse à laquelle on le fait est un problème de stabilisation.Un peu d’observation nous montre que ces questions de stabilisation et de contrôle ne sont paslimitées à ce cadre. On peut en effet penser à la température d’une pièce modélisable par l’équa-tion de la chaleur et aux problèmes de thermostats relatifs à la gestion de cette température. Cesquestions ont stimulé l’étude des problèmes mathématiques associés. L’étude du contrôle et de lastabilisation d’équations aux dérivées partielles a connu un développement très important depuisles travaux de Jacques-Louis Lions et de David Russell à la fin des années 70. Une méthode pourobtenir le contrôle et la stabilisation des ondes fut la méthode des multiplicateurs développée dans[43]. La résolution des questions de contrôle pour les équations paraboliques vint plus tard et remitau goût du jour des inégalités initialement dues à Carleman et développées par Hörmander. Pardeux méthodes différentes, Fursikov et Imanuvilov d’une part, Lebeau et Robbiano d’autre partont ainsi résolu la question de la contrôlabilité pour l’équation de la chaleur avec condition de Diri-chlet homogène dans les années 90. Parallèlement à ces techniques s’était développé une approched’analyse microlocale pour la compréhension des problèmes de stabilisation et de contrôle. Le tra-vail [6] a permis de mettre en valeur une condition nécessaire et presque suffisante de contrôlepour l’équation des ondes appelée Condition de Contrôle Géométrique .

Malgré toutes ces contributions et celles ayant eu lieu depuis lors, l’étude mathématique de cesproblèmes pose toujours de nombreuses questions.

D’abord, les problèmes de contrôlabilité sont le plus souvent traités par l’obtention d’une in-égalité d’observabilité pour le système adjoint et par deux approches générales. D’une part, lestechniques d’inégalités de Carleman globales, qui furent initialement développées pour répondreaux questions d’observabilité pour les équations paraboliques avec conditions au bord de type Diri-chlet homogène, ne sont pas facilement adaptables à d’autres conditions au bord (de type mêlées ou

3

faisant intervenir des dérivées tangentielles sur le bord par exemple). D’autre part, les techniquesd’analyse microlocale, qui elles sont subordonnées a priori à des solutions suffisamment régulières,ne permettent donc pas non plus de comprendre les problèmes ayant des conditions au bord destypes précédents.

Du point de vue de la stabilisation, on peut traiter ces problèmes par des techniques directes(comme la méthode des multiplicateurs) mais le caractère trop élémentaire de celles-ci font qu’ellesne fournissent généralement qu’une réponse très partielle aux questions de stabilisation. A l’op-posé, les méthodes d’analyse microlocales sont très générales mais la dynamiques des rayons del’optique géométrique est mal comprise dans les cas de conditions au bord mêlées. Une solutionintermédiaire peut être constituée par l’étude de la résolvante associée au problème et les inégalitésde Carleman locales peuvent nous fournir des résultats intéressants (voir [41]) mais celles ci sonttoujours a priori conditionnées par une grande régularité des solutions au problème stationnaire.

Méthode des multiplicateurs et relations de Rellich

Dans cette partie, notre but sera de nous intéresser à des problèmes de stabilisation pour l’équationdes ondes, éventuellement avec terme mémoire.

Nous commencerons notre présentation par rappeler pourquoi la méthode des multiplicateursest une méthode élémentaire mais robuste afin de traiter ces problèmes. Après un détour par laprésentation du problème de contrôle ayant donné lieu à l’introduction de la méthode des multi-plicateurs, nous tâcherons de présenter la méthode de stabilisation par les multiplicateurs et nousrappellerons brièvement en quoi les problèmes de stabilisation et de contrôle sont liés. En parti-culier, nous insisterons sur les points délicats dans le cas où les solutions ont une régularité plusfaible.

D’autre part, la compréhension de la dynamique de l’équation des ondes avec conditions aubord mêlées passe par celle de l’équation stationnaire associée. On est alors ramené au problèmede Laplace avec conditions au bord mêlées Dirichlet-Neumann (ou problème de Zaremba) quis’écrit, sous sa forme la plus générale,

∆u = fu = g∂νu = h

dans Ω ,sur ∂ΩD ,sur ∂ΩN .

Nous étudierons dans le second chapitre de cette partie une description des solutions de ces pro-blèmes et nous préciserons le rôle joué par l’interface entre les parties Dirichlet et Neumann.Poursuivant les travaux [36] et [10], nous tenterons ensuite d’obtenir des résultats de stabilisationmême dans le cas d’une interface non vide entre les parties Dirichlet et Neumann. Partant del’objectif ambitieux de pouvoir traiter les problèmes généraux

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ a(x)∂tu = 0u(., 0) = u0u′(., 0) = u1

dans Ω × R∗+ ,

sur ∂ΩD × R∗+ ,

sur ∂ΩN × R∗+ ,

dans Ω ,dans Ω ,

et guidés par la technique des multiplicateurs, notre première approche face à ce problème aconsisté à généraliser les multiplicateurs permettant d’obtenir des résultats de stabilisation. Noussommes ainsi parvenus à étendre les résultats de [10] en proposant d’autres formes de fonctions asous la condition, issue de [10], sur l’orientation de la frontière par rapport à l’interface Dirichlet-Neumann. Dressons ici un tableau des résultats obtenus dans cette direction.

Dans l’article 1 (accepté pour publication dans Journal of Dynamical Systems and Control), nousprésentons une application des multiplicateurs tournés (introduits par Osses en 2001 dans [59]) à la

4

stabilisation frontière de l’équation des ondes avec conditions au bord mêlées Dirichlet-Neumann :

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν u′

u(0) = u0u

′(0) = u1

dans Ω × R∗+,

sur ∂ΩD × R∗+,

sur ∂ΩN × R∗+,

dans Ω,dans Ω,

(1)

où m est un multiplicateur tourné et

∂ΩN ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≥ 0, ∂ΩD ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≤ 0.

Nous montrons que la méthode des multiplicateurs tournés permet d’obtenir de nouveaux casgéométriques pour la partie de la frontière sur laquelle s’exerce le feedback. Nous obtenons desrésultats de stabilisation pour des feedbacks linéaires ou quasi-linéaires sous la condition géomé-trique élémentaire suivante

m.τ ≤ 0 sur Γ := ∂ΩD ∩ ∂ΩN , (2)

où τ(x) est la normale sortante de ∂ΩN en un point x ∈ Γ en considérant ∂ΩN comme une sous-variété de ∂Ω.Notre résultat repose sur l’étude du problème stationnaire associé et en particulier sur l’obtentiond’une identité de Rellich propre aux conditions aux bords mêlées. On fait également une courteétude numérique dans un exemple et nous montrons ainsi la pertinence de ces multiplicateurs,puisqu’ils permettent, à zone de stabilisation identique, d’obtenir de meilleurs taux de décroissancepour les solutions des ondes.On généralise ainsi la condition d’orientation du bord de [10] avec un feedback de type polynomialen zéro (désormais classique) introduit dans [31]. On étend également la relation de type Rellichpour le Laplacien utilisée par Grisvard dans [26] dans un cadre de contrôlabilité puis, dans le cadrede la stabilisation, dans [36] en dimension inférieure ou égale à 2 et dans [52, 10] en dimensionquelconque.

Dans l’article 2 (soumis à Portugaliae Mathematica), nous montrons que l’on peut étendre le tra-vail précédent en commun avec A. Osses au cas de multiplicateurs généraux. Nous obtenons ainside nouveaux cas géométriques concernant la localisation du feedback permettant la stabilisationexponentielle du système (1) avec


et m vérifieinfΩ

div(m) > supΩ

(div(m)− 2λm) (3)

où λm(x) est la plus petite valeur propre de la partie symétrique du gradient matriciel ∇m(x)s.Nous obtenons nos résultats de stabilisation sous la même hypothèse géométrique (2) que précé-demment.Notre méthode nous permet également d’obtenir de nouveaux cas de contrôle par la méthodedes multiplicateurs sans condition d’orientation sur la frontière. Ceci nous permet de construired’autres configurations géométriques pour la stabilisation mais également pour le contrôle parla frontière pour les ondes (on obtient ici des constantes d’observabilité explicites). On détailleégalement un exemple simple où apparaissent de nouvelles géométries.On généralise ainsi la méthode des multiplicateurs à des champs de vecteurs dans une classe pluslarge que celle des multiplicateurs tournés introduite par Osses dans [58, 59]. On étend égalementla relation de type Rellich de [26] et [36] adaptée à ces multiplicateurs. On montre que la conditiond’orientation du bord de [10, 17] pour la stabilisation par feedback sur le bord reste formellementidentique.

5

Dans l’article 3 (accepté pour publication dans Differential and Integral Equations), nous appli-quons la méthode de stabilisation frontière par la méthode des multiplicateurs à l’étude du pro-blème des ondes avec retard suivant

u′′ − ∆u = 0u = 0

∂νu+m.ν(

µ0u′(t) +∫ t0 u

′(t− s)dµ(s))= 0

u(0) = u0u′(0) = u1

dans R∗+ × Ω ,

sur R∗+ × ∂ΩD ,

sur R∗+ × ∂ΩN ,

dans Ω ,dans Ω ,

où µ0 est une constante positive et µ une mesure borelienne sur R+ vérifiant, pour une certaineconstante α > 0, ∫ ∞

0eαsd|µ|(s) < µ0.

Nous construisons une mesure grâce à laquelle on peut définir une énergie adaptée aux solutions àdonnées initiales régulières et ainsi, sous la même hypothèse (3) pour m, nous montrons l’existenceet la décroissance exponentielle de solutions pour des données initiales suffisamment régulières.Via la méthode des multiplicateurs pour la stabilisation de [36], on généralise ainsi la forme desretards de [54, 55, 56] sous lesquels la stabilisation des ondes par le bord est conservée. On obtientune condition de petitesse de la perturbation sans l’hypothèse de décroissance exponentielle àl’infini de [3] ni hypothèse de compacité du support de [54, 55, 56].

Inégalités de Carleman

Dans cette partie, nous nous intéresserons aux applications des inégalités de Carleman pour desproblèmes de stabilisation et de contrôle.

Pour ce faire, nous aurons d’abord besoin d’inégalités de Carleman globales et locales. D’unepart, les inégalités de Carleman globales proviennent de techniques de calcul élémentaires : nousétudierons dans un premier temps leur mise en place dans le cas d’un exemple d’équation para-bolique simple afin de voir quelles estimations elles permettent d’obtenir. Nous tenterons ensuitede faire une présentation d’autres types d’équations pour lesquelles des inégalités de Carlemanglobales peuvent être obtenues. D’autre part, les inégalités de Carleman locales s’appuient sur ducalcul pseudodifférentiel. Nous présenterons donc quelques concepts essentiels de cette théorie etnous montrerons comment ce calcul nous permet d’obtenir des inégalités de Carleman pour desopérateurs elliptiques classiques ou semi-classiques.

Nous commencerons ensuite notre deuxième chapitre en rappelant quelques éléments de théo-rie sur la contrôlabilité des EDP. En particulier, nous définirons les concepts de contrôlabilité, ob-servabilité et les liens existant entre ces notions. Nous ferons ainsi le lien avec les inégalités deCarleman globales vues précédemment. Nous terminerons notre analyse fonctionelle pour rappe-ler comment l’on peut obtenir des inégalités d’observabilité sur des domaines non-bornés ainsi quela contrôlabilité associée.

Nous présentons ensuite un exemple dans lequel des inégalités de Carleman globales nous ontpermis d’obtenir un résultat de contrôlabilité nouveau.Dans l’article 4 (soumis à Mathematics of Control, Signals and Systems), nous étudions le problème decontrôle suivant - apparaissant lorsque l’on considère des conditions au bord artificielles -

ut + ∂xnu− ε∆u = 0ut + ∂νu = vε(ut + ∂νu) + u = 0u(0, .) = u0

dans (0, T)× Ω,sur (0, T)× Γ0,sur (0, T)× Γ1,dans Ω,

où Ω = Rn−1 × (−L, 0), Γ0 := Rn−1 × 0 and Γ1 := Rn−1 × −L.

6

En utilisant des inégalités de Carleman globales adaptées, nous montrons la contrôlabilité en untemps arbitrairement petit en dimension un d’espace. De plus, par une méthode de suivi de ladépendance par rapport à la viscosité similaire à celle utilisée dans [19], nous obtenons que le coûtde contrôle tend vers zéro avec ε.Nous obtenons également l’unicité rétrograde en toute dimension. Du fait du choix des conditionsartificielles à la frontière, le système pourtant essentiellement parabolique ne possède qu’un effetrégularisant réduit et on ne peut absorber les termes parasites dans l’estimation de Carleman endimension plus grande que 1.On introduit ainsi un problème de contrôle au bord avec condition artificielle, ce qui donne lieu àde nouveaux problèmes pour l’observabilité et les inégalités de Carleman paraboliques introduitespar [23]. Ceci permet également de donner un exemple de problème “bande” où, contrairement à[50], la contrôlabilité en dimension 1 n’implique pas celle en dimension quelconque.

Notre dernier chapitre sera consacré aux applications des inégalités de Carleman locales auxproblèmes de stabilisation. Nous commençons par rappeler quelques résultats permettant de fairele lien entre l’étude des problèmes stationnaires et celle du comportement asymptotique des solu-tions d’un système dissipatif. Nous poursuivons avec une présentation, dans le cas d’un exempledéjà traité, de l’obtention d’une inégalité d’interpolation par des inégalités de Carleman. Enfin,nous montrons comment, dans le cas des ondes avec feedback sur toute la frontière, les inégalitésde Carleman au bord obtenues dans [41] permettent d’obtenir la décroissance faible des solutionsà données initiales régulières.

Nous finirons par présenter notre travail avec Luc Robbiano. Nous étudions le problème destabilisation

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ a(x)∂tu = 0u(., 0) = u0u′(., 0) = u1

dans Ω × R∗+ ,

sur ∂ΩD × R∗+ ,

sur ∂ΩN × R∗+ ,

dans Ω ,dans Ω ,

(4)

par une méthode d’inégalités de Carleman locales. Notre but est ici, de trouver une conditionsuffisante simple sur a afin d’obtenir, comme dans [41], une décroissance logarithmique pour lessolutions régulières. En notant A le générateur infinitésimal de (4), nous émettons la conjecturesuivante.

Conjecture 0.1. Supposons que Supp(a) ⋐ ∂ΩN et a 6= 0. Pour tout k > 0, il existe C > 0 tel que, pourtout (u0,u1) ∈ D(Ak) la solution u de (4) satisfait

∀t > 0, E(u, t)1/2 6C

log(2+ t)k‖(u0, u1)‖D(Ak) .

Nous présentons le résultat obtenu jusqu’ici : nous montrons comment obtenir une inégalité deCarleman localement autour des points de l’interface Dirichlet-Neumann (sous la condition que as’annule à cette interface) et pour des fréquences grandes. Nous tentons également de mettre enlumière les principales difficultés rencontrées.L’objectif de ce travail est donc de généraliser, dans une version plus faible, les formes de feedbackobtenus par la méthode des multiplicateurs (depuis [36] jusqu’à [17]). Sous cette forme faible, ongénéraliserait également les configurations de [39, 6] obtenues sans interface Dirichlet-Neumann(sous la condition d’optique géométrique). D’autre part, on prolongerait les travaux de Lebeau etRobbiano [40, 41] en montrant des inégalités de Carleman pour l’opérateur de Laplace avec desconditions au bord mixtes.

7

Première partie

Inégalités de Rellich et méthode desmultiplicateurs

9

Nous étudions ici les technique de multiplicateurs dans le but d’óbtenir un résultat de stabilisa-tion de l’équation des ondes (retardée ou non).

Nous faisons d’abord un chapitre d’introduction consacré à l’exposition de la méthode desmultiplicateurs adaptée au cadre des conditions au bord mêlées. Nous rappellerons la méthodedes multiplicateurs de Lions puis nous décrirons les solutions d’un problème de Laplace avecconditions au bord mêlées Dirichlet-Neumann général.

Nous présenterons ensuite les deux articles sur la stabilisation de l’équation des ondes par laméthode des multiplicateurs. Nous ferons quelques remarques sur les résultats obtenus dans cesarticles ainsi qu’une courte réflexion sur le cas du système élastodynamique.

Enfin notre dernier chapitre sera consacré à l’étude de la stabilisation pour une équation desondes avec terme mémoire. Nous ferons d’abord une présentation succinte de quelques techniquesd’étude des équations avec terme de retard et nous présenterons ensuite l’article 3 sur la stabilisa-tion des solutions des ondes avec terme mémoire.

11

Introduction

1.1 Méthode des multiplicateurs

1.1.1 Méthode des multiplicateurs et contrôlabilité

La méthode des multiplicateurs fut introduite par L.F. Ho en 1986 afin d’obtenir l’observabilitéfrontière pour l’équation des ondes dans le cadre de la méthode d’unicité Hilbertienne (dite mé-thode HUM) due à Jacques-Louis Lions. Rappelons précisément de quoi il s’agit.

Soit Ω un ouvert borné de Rn.

Définition 1.1. On dit que Ω est C2 au sens de Necas si tout point x ∈ ∂Ω possède un voisinage V tel qu’ilexiste un système de coordonées (y1, · · · , yn) de Rn et une fonction C2

φ : V ∩ yn = 0 → R

qui vérifie(y1, · · · , yn) ∈ ∂Ω ∩V ⇔ yn = φ(y1, · · · , yn−1, 0)

et(y1, · · · , yn) ∈ Ω ∩V ⇔ yn > φ(y1, · · · , yn−1, 0).

Sauf indication contraire, on supposera dans la suite que Ω possède cette régularité.Pour x0 ∈ Rn fixé, on définit le multiplicateur

m(x) = x− x0

ainsi qu’une partition du bord ∂Ω :

∂ΩD = x ∈ ∂Ω;m(x).ν(x) < 0,

∂ΩN = x ∈ ∂Ω;m(x).ν(x) > 0.On suppose que ∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅ et que ∂ΩD 6= ∅.

Afin de présenter notre problème de contrôlabilité, nous aurons besoin d’abord d’étudier leproblème homogène associé. Étant donné la structure de l’équation des ondes, ce problème seraégalement le problème adjoint.

On considère donc le problème auxiliaire, d’inconnue u,

u′′ − ∆u = fu = 0u(0) = u0u′(0) = u1

dans Ω × (0, T),sur ∂Ω × (0, T),dans Ω,dans Ω,

(1.1)

avec (u0, u1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω).

13

Proposition 1.1. – Si (u0, u1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω) et f ∈ L1(0, T; L2(Ω)), le système (1.1) possède une

unique solution u ∈ C([0, T],H10 (Ω)) ∩ C1([0, T], L2(Ω)). On a de plus, pour C > 0 indépendant

des données,

‖u‖L∞(0,T;H10(Ω)) + ‖u′‖L∞(0,T;L2(Ω)) 6 C

(‖u0‖H1

0 (Ω) + ‖u1‖L2(Ω) + ‖ f‖L1(0,T;L2(Ω))

).

– Si (u0, u1) ∈ (H2(Ω) ∩ H10(Ω))× H1

0(Ω) et f ∈ L1(0, T;H10(Ω)), alors la solution vérifie

u ∈ W1,∞((0, T),H10(Ω)) ∩ C([0, T],H2(Ω))

et il existe C > 0 indépendant des données telle que

‖u‖L∞(0,T;H2(Ω) + ‖u′‖L∞(0,T;H10(Ω)) 6 C

(‖u0‖H2(Ω) + ‖u1‖H1

0 (Ω) + ‖ f‖L1(0,T;H10(Ω))

).

Démonstration. Traitons d’abord le cas homogène, i.e. f = 0.Sur l’espace de Hilbert H1

0(Ω)× L2(Ω), on considère l’opérateur

W0 =

(0∆

Id0

)

de domaine (H2(Ω) ∩ H10(Ω))× H1

0(Ω). Cet opérateur est maximal monotone de domaine densedans H1

0(Ω) × L2(Ω). Le théorème de Hille-Yoshida donne l’existence d’un semi-groupe unitaire(S(t))t>0 généré par W0, ce qui conduit à l’existence et l’unicité de solution à (1.1) si (u0, u1) ∈H1

0(Ω)× L2(Ω) et la régularité voulue dans les deux cas.Pour le cas non homogène, la solution du problème est donnée par la formule de Duhamel

(uu′

)(t) = S(t)

(u0u1

)+∫ t

0S(t− s)

(0f (s)

)ds,

et on obtient facilement la première partie du résultat en utilisant le fait que (S(t))t>0 est unitaire.Le cas de plus grande régularité est plus difficile et on renvoit à [22], Theorème 5 p. 389 pour unepreuve (voir également [44]).

On note

E0 =12

∫

Ω

(|∇u0|2 + |u1|2dx

).

Nous allons maintenant montrer le résultat de régularité cachée suivant.

Proposition 1.2. Il existe C > 0 telle que, pour tout T > 0, pour tout (u0, u1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω) et tout

f ∈ L1(0, T; L2(Ω)), alors la solution u de (1.1) vérifie∫

∂Ω×(0,T)|∂νu|2dσdt 6 C(T+ 1)

(E0 + ‖ f‖2L1(0,T;L2(Ω))

)

Démonstration. En utilisant une partition de l’unité, on montre (voir par exemple le Lemme 3.1 de[43]) l’existence d’un champ de vecteur h C1 sur Ω tel que

h = ν sur ∂Ω.

On considère ensuite une solution forte de (1.1), c’est à dire telle que (u0, u1) ∈ (H2(Ω)∩H10(Ω))×

H10(Ω).

On multiplie l’équation satisfaite par u par 2h.∇u et on intègre sur (0, T)× Ω, ce qui donne aprèsintégration par parties∫

Ω×(0,T)2h.∇u f dxdt =

∫

Ω×(0,T)∇(2h.∇u).∇udxdt −

∫

∂Ω×(0,T)2|∂νu|2dσdt −

∫

Ω×(0,T)h.∇(u′2)dxdt

+

[∫

Ω2h.∇uu′dx

]T

0.

14

On utilise maintenant l’identité

∇(2h.∇u) = 2∇h(∇u,∇u) + h.∇(|∇u|2)

pour obtenir, après une autre intégration par parties et en utilisant les conditions à la frontière,∫

∂Ω×(0,T)|∂νu|2dσdt = −

∫

Ω×(0,T)2h.∇u f dxdt+

∫

Ω×(0,T)2∇h(∇u,∇u)− div(h)|∇u|2dxdt+

∫

Ω×(0,T)div(h)|u′|2

+

[∫

Ω2h.∇uu′dx

]T

0.

On peut maintenant obtenir, en utilisant l’inégalité de Young,∣∣∣∣∫

Ω2h.∇uu′dx

∣∣∣∣ 6 ‖h‖∞

(∫

Ω|∇u|2 + |u′|2dx

),

∣∣∣∣−∫

Ω×(0,T)2h.∇u f dxdt

∣∣∣∣ ≤ ‖h‖∞

(‖u‖2L∞(0,T;H1

0(Ω))+ ‖ f‖2L1(0,T;L2(Ω))

)

En utlisant le fait que ‖Dh‖∞ < ∞ et le fait que∫

Ω×(0,T)

(|∇u|2 + |u′|2) dxdt = 2TE0,

on obtient bien l’inégalité voulue.

Remarque 1.1. Ce résultat de régularité reste valable dans le cas d’un domaine non régulier a priori maisnéanmoins convexe. Il suffit en effet de recopier la démonstration précédente en choisissant un champ devecteur C1 h vérifiant

h.ν > δ > 0 sur ∂Ω.

Pour l’existence d’un tel champ de vecteurs, on renvoit au Lemme 3.2 de [43] ou au Lemma 1.5.1.9 de [25].D’autre part, dans le cas d’un ouvert à bord Lipschitz, les solutions fortes ne sont pas suffisamment régulièresa priori et on ne peut pas intégrer par parties le terme

∫

Ω×(0,T)(2h.∇u)∆udxdt.

On verra dans la suite de notre travail comment obtenir une condition géométrique nous permettant d’estimerce terme.

On considère maintenant le problème de contrôle suivant : étant donné des conditions initiales(y0, y1) ∈ L2(Ω)× H−1(Ω), des conditions finales (yT0 , y

T1 ) ∈ L2(Ω)× H−1(Ω), trouver un contrôle

v dans L2(0, T; L2(∂ΩN)) tel que la solution y du problème

y′′ − ∆y = 0y = 1∂ΩN

vy(0) = y0y′(0) = y1


(1.2)

satisfasse(y(T), y′(T)) = (yT0 , y

T1 ).

On remarque d’abord que l’on peut en effet définir les solutions de (1.2) par transposition de lamanière suivante.

15

Définition 1.2. On dit que (y, y′) est solution de (1.2) si (y, y′) ∈ C(R; L2(Ω)× H−1(Ω) et si pour toutf ∈ L2(0, T; L2(Ω)) et tout (uT

0 , uT1 ) ∈ H1

0(Ω)× L2(Ω)

∫

Ω×(0,T)y f = −

∫

∂ΩN×(0,T)(∂νu)v+ < (−y1, y0), (u(0), u′(0)) > − < (−y′(T), y(T)), (uT

0 , uT1 ) >,

où 〈., .〉 représente le crochet de dualité entre H−1(Ω)× L2(Ω) et H10(Ω)× L2(Ω) et u est la solution du

problème rétrograde

u′′ − ∆u = fu = 0u(T) = uT

0u′(T) = uT

1

dans Ω × (0, T),sur ∂Ω × (0, T),dans Ω,dans Ω.

On notera que le théorème de Riesz et les estimations de la Proposition 1.1 nous donne l’exis-tence et l’unicité de solution à (1.2). On peut maintenant introduire la notion d’exacte contrôlabilitépour ce problème.

Définition 1.3. On dit que le système (1.2) est exactement contrôlable si quelque soit (y0, y1), (yT0 , yT1 ) ∈

L2(Ω)× H−1(Ω), il existe v ∈ L2(0, T; L2(Ω)) tel que la solution du problème satisfasse

y(T) = yT0 et y′(T) = yT1 .

Nous établissons maintenant le résultat d’observabilité pour le problème adjoint. Ce résultat estdû d’abord à Ho puis à Lions.

Théorème 1.1. Il existe T(x0) > 0 tel que pour tout T > T(x0) et pour tout (u0, u1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω)

la solution de (1.1) vérifie l’inégalité suivante

2(T − T(x0))E0 6 ‖m‖∞

∫

∂ΩN×(0,T)|∂νu|2dσdt.

Démonstration. Comme plus haut, on considère d’abord des solutions fortes et on multiplie l’équa-tion vérifiée par u par 2m.∇u. Une intégration sur Ω × (0, T) donne alors, après deux intégrationspar parties∫

∂Ω×(0,T)(m.ν)|∂νu|2dσdt =

∫

Ω×(0,T)

(2∇m(∇u,∇u)− div(m)|∇u|2

)dxdt+

∫

Ω×(0,T)div(m)|u′|2dxdt

+

[∫

Ω2m.∇uu′dx

]T

0.

On peut maintenant simplifier ∇m = I, div(m) = n et, en remarquant que,

∫

Ω×(0,T)

(|u′|2 − |∇u|2) dxdt =∫

Ω×(0,T)

(|u′|2 + ∆uu)dxdt =

[∫

Ωuu′dx

]T

0,

on obtient finalement∫

∂Ω×(0,T)(m.ν)|∂νu|2dσdt =

∫

Ω×(0,T)

|∇u|2 + |u′|2dxdt+[∫

Ω((n− 1)u+ 2m.∇u)u′dx

]T

0. (1.3)

Puisque 2TE0 =∫

Ω×(0,T)

(|∇u|2 + |u′|2) dxdt, il nous reste maintenant à estimer le terme∫

Ω((n −

1)u+ 2m.∇u)u′dx pour conclure.On utilise d’abord l’inégalité de Young pour écrire

∣∣∣∣∫

Ω((n− 1)u+ 2m.∇u)u′dx

∣∣∣∣ 61

4‖m‖∞

((n− 1)2

∫

Ω|u|2dx+ 4‖m‖2∞

∫

Ω|∇u|2dx+ 2(n− 1)

∫

Ωm.∇(u2)dx

)

+ ‖m‖∞

∫

Ω(u′)2dx

16

Le dernier terme peut maintenant être modifié par intégration par parties en utilisant la condi-tion de Dirichlet homogène. On obtient donc, puisque div(m) = n :

|∫

Ω((n− 1)u+ 2m.∇u)u′dx| 6 ‖m‖∞

(∫

Ω|u′|2dx+

∫

Ω|∇u|2dx

)+

1− n2

4‖m‖∞

∫

Ω|u|2

6 2‖m‖∞E0.

L’égalité (1.3) nous permet finalement d’obtenir le résultat souhaité :∫

∂Ω×(0,T)(m.ν)|∂νu|2dσdt > 2(T − 2‖m‖∞)E0.

On peut maintenant appliquer la méthode HUM pour en déduire le résultat de contrôlabilité.

Théorème 1.2. Soit T > T(x0) et soit (y0, y1), (yT0 , yT1 ) ∈ L2(Ω) × H−1(Ω). Alors il existe v ∈

L2(0, T; L2(Ω)) tel que la solution du problème (1.2) satisfasse

y(T) = yT0 et y′(T) = yT1 .

Démonstration. Remarquons tout d’abord qu’il suffit de traiter le cas où la cible (yT0 , yT1 ) est nulle.

En effet, si y1 est la solution du problème rétrograde

y′′1 − ∆y1 = 0y1 = 0y1(T) = yT0y′1(T) = yT1

dans Ω × (0, T),sur ∂Ω × (0, T),dans Ω,dans Ω

et s’il existe v ∈ L2(0, T; L2(Ω)) tel que la solution y2 du problème

y′′2 − ∆y2 = 0y2 = vy2(0) = y0 − y1(0)y′2(0) = y1 − y′1(0)

dans Ω × (0, T),sur ∂Ω × (0, T),dans Ω,dans Ω

satisfasse y2(T) = y′2(T) = 0, alors y = y1 + y2 est la solution du problème et vérifie

y(T) = y1(T) = yT0 ; y′(T) = y′1(T) = yT1 .

Passons maintenant à la démonstration de l’existence du contrôle à zéro.Si (u0, u1) ∈ H1

0(Ω)× L2(Ω), on considère la solution du problème homogène

u′′ − ∆u = 0u = 0u(0) = u0u′(0) = u1


Le problème rétrograde

y′′ − ∆y = 0y = 1∂ΩN∂νuy(T) = 0y′(T) = 0


possède une unique solution d’après ce qui précéde. D’autre part, l’application

(u0, u1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω) 7→ (y(0), y′(0)) ∈ L2(Ω)× H−1(Ω)

17

est continue par composition d’applications continues.Il nous reste à montrer que cette application est surjective. On considère plutôt

Λ : (u0, u1) ∈ F 7→ (y′(0),−y(0)) ∈ F′

avec F = H10(Ω)× L2(Ω) et on considère la forme bilinéaire définie sur F de la manière suivante

B : ((u0, u1), (u0, u1)) ∈ F2 7→< Λ(u0, u1), (u0, u1) >F′,F .

B est clairement continue et nous allons montrer la coercivité, ce qui suffira à montrer la surjectivitéde Λ par le théorème de Lax-Milgram.Soit (u0, u1) ∈ F. On utilise la définition de y solution pour obtenir

0 =∫

∂ΩN×(0,T)|∂νu|2dσdt+ < (−y′(0), y(0)), (u0, u1) >F′,F,

c’est à dire, par définition de B et par application du Théorème 1.1,

B((u0, u1), (u0, u1)) =∫

∂ΩN×(0,T)|∂νu|2dσdt > C(T − T(x0))E0.

Ceci termine la preuve.

1.1.2 Méthode des multiplicateurs et stabilisation frontière

Nous allons ici mentionner quelques points de cette approche. Nous renvoyons aux chapitres « Sta-bilisation frontière de l’équation des ondes »et « Stabilisation frontière des ondes retardées »pourplus de détails sur cette technique.On s’intéresse au système

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ (m.ν)u′ = 0u(0) = u0u′(0) = u1

dans Ω × R+,sur ∂ΩD × R+,sur ∂ΩN × R+,dans Ω,dans Ω,

(1.4)

et plus particulièrement à sa stabilisation, c’est-à-dire que l’on désire obtenir un résultat de la forme

limt→∞

E(t) = 0

uniformément par rapport aux données intiales (u0, u1) ∈ H1D(Ω)× L2(Ω), avec

H1D(Ω) = u ∈ H1(Ω); u = 0 sur ∂ΩD

et

E(t) =12

∫

Ω

(|u′(t)|2 + |∇u(t)|2

)dx.

L’opérateur non-bornéW(u, v) = (v,∆u)

D(W) = (u, v) ∈ H1D(Ω)× L2(Ω);∆u ∈ L2(Ω), v ∈ H1

D(Ω) et ∂νu+ (m.ν)v = 0 sur ∂ΩN × R+

est maximal monotone. Le théorème de Hille-Yoshida nous fournit l’existence et l’unicité de solu-tion au problème de Cauchy

(u, v)′ = W(u, v)(u, v)(0) = (u0, u1)

et le système (1.4) possède donc une unique solution u ∈ C(R+,H1D(Ω)) ∩ C(R+, L2(Ω)).

On définit maintenant le multiplicateur

Mu = 2m.∇u+ (n− 1)u

pour en déduire la formule d’intégration par parties suivante

18

Proposition 1.3. Soit (u0, u1) ∈ D(W) et 0 6 S 6 T. Alors, si u est la solution de (1.4), on a l’identitésuivante

2∫ T

SE(t)dt = −

[∫

Ωu′Mudx

]T

S+∫ T

S

∫

∂ΩD

(m.ν)((u′)2 − |∇u|2 − u′Mu)dσdt.

Elle découle de l’identité de Rellich suivante (dont la démonstration consiste en deux intégra-tions par parties)

Proposition 1.4. Soit u ∈ H2(Ω) avec Ω un ouvert C2 au sens de Necas. On a alors l’identité suivante

2∫

Ω∆u(m.∇u)dx = (n− 2)

∫

Ω|∇u|2 +

∫

∂Ω(2∂νu(m.∇u)− (m.ν)|∇u|2)dx.

Remarque 1.2. Une partie importante de notre travail consiste à étendre ce type de relation pour des donnéesmoins régulières. En effet, dans de nombreux cas traités dans les chapitres suivants (interface Dirichlet-Neumann, présence de termes mémoires), on ne peut obtenir de solution aussi régulière qu’ici. On montrera,sous certaines hypothèses géométriques, comment l’on peut obtenir non pas une égalité, mais une inégalité detype Rellich.

On utilise d’autre part la décroissance de la fonction E.

Lemme 1.1. Soit (u0, u1) ∈ D(W) et 0 6 S 6 T. Alors la solution u de satisfait l’égalité d’énergie suivante

E(S)− E(T) =∫ T

S

∫

∂ΩN

(m.ν)(u′)2dσdt

Démonstration. On multiplie l’équation vérifiée par u sur Ω par u′ et on intègre sur Ω× (S, T). Deuxintégrations par parties nous donnent successivement

0 =∫ T

S

∫

Ωu′(u′′ − ∆u)dxdt

0 =

[12

∫

Ω(u′)2 + |∇u|2dx

]T

S−∫ T

S

∫

∂Ωu′∂νudσdt

soit finalement, après utilisation de la condition au bord,

0 = E(T)− E(S) +∫ T

S

∫

∂ΩN

(m.ν)(u′)2dσdt.

On conclut grâce au résultat élémentaire suivant dû à Komornik ([35]).

Proposition 1.5. Soit E : R+ → R+ une fonction décroissante telle qu’il existe T > 0 satifaisant

∀t > 0,∫ ∞

tE(s)ds 6 TE(t). (1.5)

Alors∀t > T, E(t) 6 E(0)e1−t/T .

Démonstration. On définit la fonction f localement absolument continue suivante :

f (x) = ex/T∫ ∞

xE(s)ds.

En dérivant, on obtient, pour presque tout x > 0,

f ′(x) = T−1ex/T(∫ ∞

xE(s)ds− TE(x)

)6 0.

19

En utilisant de nouveau notre hypothèse, on obtient donc :

ex/T∫ ∞

xE(s)ds = f (x) 6 f (0) =

∫ ∞

0E(s)ds 6 TE(0).

Puisque E est décroissante et positive, on a d’autre part

TE(x+ T) 6∫ x+T

xE(s)ds 6

∫ ∞

xE(s)ds.

Tout ceci nous montre donc que, pour tout x > 0,

E(x+ T) 6 E(0)e−x/T,

ce qui donne le résultat voulu en posant t = x+ T.

Remarque 1.3. La condition de décroissance est nécessaire. En effet, si l’on pose

e(t) =2− cos(t)

t2,

un calcul élémentaire montre que, si t > 3(2+√2) := t0, alors

−e(t) 6 e′(t)

ce qui montre par intégration que E : t 7→ e(t+ t0) vérifie l’estimation avec T = 1.

Remarque 1.4. Komornik a obtenu un résultat similaire dans [35] pour des décroissances polynomiales.Plus précisément, si E : R+ → R+ est une fonction positive, décroissante et telle qu’il existe α > 0 et T > 0satisfaisant

∀t > 0,∫ ∞

tEα+1(s)ds 6 TE(0)αE(t);

alors

∀t > T, E(t) 6 E(0)(

T + αtT + αT

)−1/α

.

Ce résultat sera utilisé dans la suite de la thèse afin d’obtenir des résultats de décroissance polynomiale del’énergie.

Pour terminer notre preuve de décroissance exponentielle de l’énergie, on estime maintenant lestermes de droite dans l’égalité de la Proposition 1.3 grâce aux inégalités de Young et de Poincaré ;ce qui nous permet de montrer que l’énergie satisfait les hypothèses de la Proposition 1.5.Sur cette méthode, nous devons également faire les remarques suivantes.

Remarque 1.5. L’introduction de fonctionnelles de Lyapunov adaptées permet, dans les nombreuses situa-tions décrites dans les travaux [36, 31, 70, 71], de montrer des résultats de décroissance identiques à ceuxque l’on peut obtenir par la méthode des multiplicateurs.

C’est d’ailleurs dans ce cadre que sont apparues pour la première fois des décroissances polynomialesde l’énergie pour des feedback (internes ou au bord) ayant un comportement non-linéaire prescrit (voir lestravaux [31, 70, 71]). Nous retrouverons, dans les articles 1 et 2, ce type de résultat comme une applicationde la Proposition 1.5 ou de la Remarque 1.4.

Notons également qu’une étude poussée de la relation existant entre le comportement en 0 du feedback etle taux de décroissance de l’énergie existe. Par l’usage d’une fonctionelle de Lyapunov adaptée, le travail [47]a d’abord permis de montré des résultats plus généraux et la méthode des multiplicateurs combinée avec desinégalités de convexité ont ensuite permis à F. Alabau-Boussouira d’obtenir une compréhension approfondiede ces phénomèmes (voir [1, 2]).

Concluons maintenant sur un fait bien connu.

20

Remarque 1.6. Le lecteur aura noté une certaine similarité entre les preuves de contrôle et de stabilisation.Ceci est exprimé mathématiquement par le principe de Russell : la stabilisation exponentielle de

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ (m.ν)u′ = 0u(0) = u0u′(0) = u1


implique la contrôlabilité pour T assez grand de

y′′ − ∆y = 0y = 1∂ΩNvy(T) = 0y′(T) = 0


En effet, soit (z0, z1) ∈ H10(Ω)× L2(Ω) = F et z la solution du problème

z′′ − ∆z = 0z = 0∂νz+ (m.ν)z′ = 0z(0) = z0z′(0) = z1


et w la solution de

w′′ − ∆w = 0w = 0∂νw+ (m.ν)w′ = 0w(0) = z(T)w′(0) = −z′(T)

dans Ω × R+,sur ∂ΩD × R+,sur ∂ΩN × R+,dans Ω,dans Ω.

Considérons maintenant l’application

L : (z0, z1) ∈ F 7→ (w(T),−w′(T)) ∈ F.

D’après le résultat de stabilisation exponentielle, il existe C et ω strictement positifs tels que

‖L(z0, z1)‖2F 6 Ce−ωT‖(z(T),−z′(T))‖2F 6 C2e−2ωT‖(z0, z1)‖2F.

L est donc une contraction pourvu que T > ω−1ln(C) et I − L est inversible dans ce cas.On définit maintenant y(t) = z(t)− w(T − t). On a alors aisément

(y(0), y′(0)) = (z0 − w(T), z1 + w′(T)) = (I − L)(z0, z1)

et(y(T), y′(T)) = (z(T)−w(0), z′(T) +w′(0)) = 0.

Un choix convenable de (z0, z1) termine donc la preuve puisque y vérifie par ailleurs

y′′ − ∆y = 0y = 0

dans Ω × (0, T),sur ∂ΩD × (0, T).

21

1.2 Singularités dans les problèmes elliptiques

1.2.1 Problèmes de Laplace dans le plan

Nous suivrons tout au long de cette présentation l’ouvrage de Grisvard [25].Commençons par quelques exemples afin de saisir les difficultées qui peuvent apparaître pour cesproblèmes.

Exemple 1.1. Le premier exemple de problème elliptique possède une singularité due à la géometrie dudomaine.On considère en effet ω ∈ (π, 2π) et le domaine Lipschitzien Ω = (r, θ); r ∈ (0, 1) et θ ∈ (0,ω) donnéen coordonnées polaires.On va montrer qu’il existe f ∈ L2(Ω) telle que la solution du problème

−∆u = fu = 0

dansΩ

sur ∂Ω

n’appartient pas à l’espace H2(Ω).Il est d’une part classique que ce problème possède une unique solution par le théorème de Lax-Milgram.D’autre part, si ϕ est une fonction C2 plateau à valeurs dans [0, 1], qui vérifie

ϕ(r) =

10

si 0 < r < 1/2si 3/4 < r

alors la fonction u donnée en coordonnées polaires par

u(r, θ) = rπ/ω sin(π

ωθ)

ϕ(r) = u0(r, θ)ϕ(r)

satisfait, puisque la fonction u0 est harmonique (comme partie imaginaire de la fonction holomorphe z ∈Ω 7→ zπ/ω),

∆u = 2∇u0.∇ϕ + u0∆ϕ = − f

Un calcul en coordonnées polaires nous montre maintenant facilement que f ∈ L2(Ω). D’autre part, on aimmédiatement pour r ∈ (0, 1/2)

∂2ru(r, θ) =π

ω

(π

ω− 1)rπ/ω−2 sin

(π

ωθ)

et, puisque π/ω < 1,

∫ r=1/2

r=0

∫ θ=ω

θ=0|∂2ru|2rdrdθ =

ω

2

(π

ω

(π

ω− 1))2 ∫ 1/2

0r2π/ω−3dr = +∞

ce qui montre que u /∈ H2(Ω). On peut en fait montrer que u ∈ Hs(Ω) si et seulement si s < 1+ π/ω.

Exemple 1.2. Voyons maintenant un autre exemple où le comportement singulier est lié à des conditions aubord mêlées et fut introduit par Shamir dans [65].Soit le demi-disque (toujours donné en coordonnées polaires) Ω = (r, θ); r ∈ (0, 1) et θ ∈ (0,π). Onpartitionne le bord ∂Ω = ∂ΩN ⊔ ∂ΩD avec

∂ΩN = (r,π), r ∈ [0, 1],∂ΩD = (r, 0), r ∈ (0, 1] ∪ (1, θ), θ ∈ (0,π).

Nous allons montrer qu’il existe f ∈ L2(Ω) telle que la solution du problème

−∆u = fu = 0∂νu = 0

dansΩ

sur ∂ΩD

sur ∂ΩN

22

n’appartient pas à l’espace H2(Ω).Comme précédemment, on considère ϕ une fonction C2 plateau à valeurs dans [0, 1] telle que

ϕ(r) =

01

si 0 < r < 1/2si 3/4 < r

et la fonction u donnée en coordonnées polaires par

u(r, θ) = r1/2 sin(θ/2)ϕ(r).

On a toujours ∆u ∈ L2(Ω). Il est d’autre part immédiat que u = 0 sur ∂ΩD et on peut calculer sur ∂ΩN

∂νu = −(∂ru sin(θ) + ∂θu cos(θ)/r)|θ=π = 0.

On a enfin u /∈ H2(Ω) et même u ∈ Hs(Ω) si et seulement si s < 3/2.

Nous allons maintenant décrire la situation générale pour un domaine polygonal pour desconditions au bord Dirichlet ou Neumann.Décrivons tout d’abord le domaine Ω. On suppose que sa frontière vérifie :

∂Ω =N⋃

j=1

Γj

avec, pour tout j, Γj =]Sj−1, Sj[ est un segment (on pose SN = S0). On décompose également lafrontière en deux parties (Dirichlet et Neumann)

∂Ω = ∂ΩD ⊔ ∂ΩN .

On suppose que 1, . . . ,N = D ∪N et D 6= ∅ avec

N = j; Γj ⊂ ∂ΩN,D = j; Γj ⊂ ∂ΩD.

On notera ωj une mesure dans [0, 2π) de l’angle Sj−1SjSj+1 . On supposera que ωj > 0 pour tout jet que ωj /∈ π/2, 3π/2 si j− 1 ∈ D et j ∈ N ou j− 1 ∈ N et j ∈ D.On introduit également

φj =

0π/2

si j ∈ N ,si j ∈ D.

L’objectif ici est d’étudier les solutions du problème elliptique suivant

−∆u = fu = 0∂νu = 0

dans Ω,sur ∂ΩD,sur ∂ΩN .

(1.6)

Il est tout d’abord aisé de voir que ce problème possède une unique solution par le théorème deLax-Milgram. Pour q ∈ (1,∞) et p son exposant conjugué, on introduit les espaces de fonctions

D(∆, Lq(Ω)) = v ∈ Lq(Ω);∆v ∈ Lq(Ω),

Ep = u ∈ W2p(Ω); u = 0 sur ∂ΩD et ∂νu = 0 sur ∂ΩN

etNq = v ∈ Lq(Ω);< ∆u, v >L2(Ω)= 0 ∀u ∈ Ep.

Soient les opérateurs de traces

γ0 : D(∆, Lq(Ω)) → (W1/pp (∂Ω))′

γ1 : D(∆, Lq(Ω)) → (W1+1/pp (∂Ω))′

23

définis de telle sorte que, quel que soit u ∈ W2p(Ω) vérifiant les conditions au bord

∀j, u(Sj) = 0∀j, u(Sj) = 0, ∇u(Sj) = 0∀j, u = 0 sur un voisinage de Sj

si q > 2,si q < 2,si q = 2,

on ait pour v ∈ D(∆, Lq(Ω)), la formule de Green suivante (voir Theorem 1.5.3.6 de [25])∫

Ωv∆u−

∫

Ωu∆v =< γ0(v), ∂νu >1/p,∂ − < γ1(v), u >1+1/p,∂

où <,>1/p,∂ (resp. <,>1+1/p,∂) représente le crochet de dualité entre (W1/pp (∂Ω))′ et W1/p

p (∂Ω)

(resp. entre (W1+1/pp (∂Ω))′ et W1+1/p

p (∂Ω)).

Remarque 1.7. L’application

u ∈ W2p(Ω) 7→ (u|∂Ω, ∂νu|∂Ω) ∈ W1+1/p

p (∂Ω)×W1/pp (∂Ω)

est surjective et possède une section continue (voir Theorem 1.5.2.1 de [25] par exemple). Ceci permet de dé-

finir les traces (γ0,γ1) des éléments de D(∆, Lq(Ω)) dans((W1/p

p (∂Ω))′, (W1+1/pp (∂Ω))′

)(voir Theorem

1.5.3.4 de [25]).

Pour f ∈ Lp(Ω), on peut maintenant reformuler le problème sous la forme du problème

−∆u = fγ0(u) = 0γ1(u) = 0

dans Ω,sur ∂ΩD,sur ∂ΩN .

(1.7)

On peut aisément montrer que si ce problème possède une solution dans W2p(Ω) alors elle est

unique (voir Theorem 4.4.1.2 de [25] par exemple) et il est d’autre part clair que le théorème de Lax-Milgram nous donne l’existence et l’unicité d’une solution u ∈ H1(Ω) dans le cas où f ∈ L2(Ω).Introduisant Mq l’espace des solutions Lq(Ω) au problème “adjoint”

∆v = 0γ0(v) = 0γ1(v) = 0

dans Ω,sur ∂ΩD,sur ∂ΩN ,

on peut montrer le résultat suivant.

Proposition 1.6. Nq ⊂ Mq.

Démonstration. Soit v ∈ Nq. On a d’abord immédiatement ∆v = 0 au sens des distributions.D’autre part, soit g ∈ D(∂Ω) tel que Supp(g) ⊂ Γj. En utilisant la surjectivité des traces, il existeu ∈ Ep tel que u = 0 sur ∂Ω et ∂νu = 1Γjg sur ∂Ω.Supposons p > 2, un argument de trace nous donne alors

∀j, u(Sj) = 0, ∇u(Sj) = 0

et la formule de Green , nous donne alors, en faisant varier g, γ0(v) = 0 sur Γj. On obtient ainsi queγ0(v) = 0 sur ∂ΩD au sens des distributions. Un raisonnement identique sur les parties Neumannnous montre que γ1(v) = 0 sur ∂ΩN . Le cas p < 2 se traite de la même manière.Si p = 2, on obtient maintenant le résultat voulu puisque N2 = ∩q>2Nq et M2 = ∩q>2Mq.

24

Avant d’énoncer notre résultat de décomposition pour les solutions du problème, nous auronsbesoin de résultats intermédiares.Introduisons tout d’abord les fonctions singulières au point Sj données en coordonnées polairescentrées en Sj par

Sj,m(rj, θj) =r−λj,m

√ωjλj,m

cos(λj,mθj + φj+1)ϕj(rj)

où ϕj est une fonction plateau à support suffisamment petit et λj,m < 0 sont tels que λ2j,m sont les

valeurs propres de l’opérateur autoadjoint positif Λj défini sur L2(0,ωj) par

Λjψ = −ψ′′

avec le domaine

D(Λj) =

ψ ∈ H2(0,ωj);ψ(0) = ψ(ωj) = 0ψ ∈ H2(0,ωj);ψ′(0) = ψ′(ωj) = 0ψ ∈ H2(0,ωj);ψ(0) = ψ′(ωj) = 0ψ ∈ H2(0,ωj);ψ′(0) = ψ(ωj) = 0

si j, j+ 1 ∈ D,si j, j+ 1 ∈ N ,si j ∈ D, j+ 1 ∈ N ,si j ∈ N , j+ 1 ∈ D.

On peut en fait décrire précisément les λj,m en utilisant des séries de Fourier. On a pour toutm ∈ N∗,

−λj,m =

mπ+φj−φj+1ωj

(m−1)π+φj−φj+1ωj

si j+ 1 ∈ D,

si j+ 1 ∈ N .

L’intérêt de l’espace Mq est que l’on peut en exhiber une base (v∗j,m) (voir la preuve du Theorem4.4.3.3 de [25]). Puisque Nq ⊂ Mq, on peut ainsi majorer la dimension de Nq (voir Corollary 4.4.3.4de [25] pour une preuve).

Proposition 1.7. dimNq 6N

∑j=1

cardm ∈ Z;−2ωj/q < φj − φj+1 +mπ < 0.

On a d’autre part le résultat topologique spécifique au cas p = q = 2.

Lemme 1.2. ∆(E2) est fermé dans L2(Ω). Par conséquent, N2 = (∆(E2))⊥.

Démonstration. Commençons par faire quelques estimations a priori. Si u ∈ E2 et −∆u = f ∈ L2(Ω)alors ∫

Ωf 2dx =

∫

Ω(∂2xu+ ∂2yu)

2dx =∫

Ω(∂2xu)

2dx+∫

Ω(∂2yu)

2dx+ 2∫

Ω∂2xu∂2yudx.

On peut maintenant intégrer par parties le dernier terme pour obtenir, pour u ∈ E2 ∩ H3(Ω),

∫

Ω∂2xu∂2yudx =

∫

Ω(∂2xyu)

2dx+N

∑j=1

Ij

avec, en notant νj = (νxj , ν

yj ) le vecteur normal sortant à Γj,

Ij =∫

Γj

νxj ∂xu∂2yu− ν

yj ∂xu∂2xyudσ =

∫

Γj

∂xu∂τj(∂yu)dσ

en notant τj = (−νyj , ν

xj ) un vecteur tangent à Γj.

On observe maintenant que, puisque ∂τju = 0 sur Γj ou ∂νju = 0 sur Γj, il existe (αj, β j) 6= (0, 0) telsque

αj∂xu+ β j∂yu = 0 sur Γj.

25

Si αj 6= 0, on obtient donc par une intégration par parties

2Ij =β j

αj

(−(∂yu)2(Sj) + (∂yu)2(Sj−1)

),

alors que si αj = 0, Ij = 0.Remarquons que l’on peut maintenant écrire

2N

∑j=1

Ij = ∑αjαj+1 6=0

(β j+1

αj+1− β j

αj

)(∂yu)2(Sj) + ∑

αj=0;αj+1 6=0

β j+1

αj+1(∂yu)2(Sj)− ∑

αj 6=0;αj+1=0

β j

αj(∂yu)2(Sj).

Puisque les relations suivantes sont satisfaites

αj∂xu(Sj) + β j∂yu(Sj) = 0,αj+1∂xu(Sj) + β j+1∂yu(Sj) = 0,

on a, quelque soit j, (αjβ j+1 − αj+1β j)(∂yu)2(Sj) = 0. Ceci donne directement ∑Nj=1 Ij = 0.

En utilisant la densité de E2 ∩ H3(Ω) dans E2, on a finalement montré pour u ∈ E2∫

Ωf 2dx =

∫

Ω(∂2xu)

2dx+∫

Ω(∂2yu)

2dx+ 2∫

Ω(∂2xyu)

2dx.

Il est d’autre part immédiat de constater que∫

Ωu f dx =

∫

Ω|∇u|2dx

et l’inégalité de Poincaré nous permet finalement d’obtenir l’existence de c > 0 indépendant de utelle que

‖u‖H2(Ω) 6 c‖ f‖L2(Ω).

On en déduit aisément le résultat voulu.

Nous aurons également besoin de quelques propriétés des fonctions singulières.

Lemme 1.3. Si λj,m ∈ [−2/q, 0), ∆Sj,m /∈ ∆(Ep).

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe w ∈ Ep tel que

∆Sj,m = ∆w.

On a donc dans ce cas que u = Sj,m − w est solution H1(Ω) du problème homogène

−∆u = 0γ0(u) = 0γ1(u) = 0

dans Ω,sur ∂ΩD,sur ∂ΩN ,

et donc u = 0 et, en particulier, Sj,m ∈ W2p(Ω).

D’autre part, on a comme précédemment que ∂2r jSj,m /∈ Lp(Ω), ce qui conclut notre preuve.

On peut maintenant énoncer le résultat principal pour le cas p = q = 2.

Théorème 1.3. Soit f ∈ L2(Ω). Il existe des coefficients (cj,m) uniques tels que la solution H1(Ω) u duproblème

−∆u = fγ0(u) = 0γ1(u) = 0

dans Ω

sur ∂ΩD

sur ∂ΩN

vérifieu− ∑

λj,m∈(−1,0)

cj,mSj,m ∈ H2(Ω).

26

Démonstration. Un calcul élémentaire nous permet d’obtenir facilement que la famille des (∆Sj,m)pour λj,m ∈ (−1, 0) est libre. Puisque ∆Sj,m /∈ ∆(E2), on peut considérer l’espace

F = Vect(∆Sj,m)λj,m∈(−1,0) ⊕ ∆(E2).

Il vérifie, d’après la Proposition 1.7 (dans le cas particulier p = q = 2) et puisque N2 est l’orthogonalde ∆(E2) dans L2(Ω),

codimF(∆(E2)) ≥ dim(N2) = codimL2(Ω)(∆(E2)).

On a donc F = L2(Ω) et le résultat s’ensuit.

Remarque 1.8. – On peut voir que les points Sj avec ωj /∈ π/2, 3π/2 si j− 1 ∈ D et j ∈ N ouj− 1 ∈ N et j ∈ D ne génèrent en fait pas de singularités par un argument de symétrie (ce cas seramène en fait au cas où j− 1, j ∈ D et ωj = π).

– On a également un résultat de décomposition similaire pour les solutions avec f ∈ Lp(Ω) (voir [25]Theorem 4.4.3.7).

– Les résultats obtenus pour le problème de Laplace se transposent au cas d’un problème uniformémentelliptique (voir [25] Section 5.2).

– On peut d’autre part étendre cette description au cas d’un ouvert à bord C2 par morceaux (voir [5]).Les fonctions singulières ne dépendent en fait que des angles aux points où le bord de ∂Ω n’est pasrégulier.

On peut d’autre part calculer les coefficients dans un cas particulier.

Proposition 1.8. Si j est tel m ∈ Z;λj,m ∈ (−1, 0) = m0, alors on a

cj,m0 = −λj,m0

∫

Ωf v∗j,m0

dx.

Démonstration. On introduit le domaine

Ωε = x ∈ Ω; d(x, Sj) > ε.

D’après le résultat de décomposition, il existe ur ∈ H2(Ω) et uj à support dans Ωε0 pour ε0 assezpetit tels que

u = ur + uj + cj,m0Sj,m0 .

On supposera d’abord ur ∈ C1(Ω) ∩ H1(Ω) et nous utiliserons le fait que pour toute fonction detroncature ηj centrée en Sj

σj,m0 = v∗j,m0− rλj,m0

√ωjλj,m0

cos(λj,m0θj + φj+1)ηj(rj) ∈ H1(Ω)

(voir Lemma 4.4.3.2 de [25] pour une preuve).On peut maintenant écrire, puisque ∆uj et v∗j,m0

− σj,m0 ont des supports disjoints,∫

Ωε

f v∗j,m0dx = −

∫

Ωε

∆urv∗j,m0dx−

∫

Ωε

∆ujσj,m0 − cj,m0dx∫

Ωε

∆Sj,m0v∗j,m0

dx.

Puisque par définition v∗j,m0est harmonique, on a

−∫

Ωε

∆urv∗j,m0dx =< γ1(v∗j,m0

), ur >3/2,∂ − < γ0(v∗j,m0), ∂νur >1/2,∂

et, puisque ∆(v∗j,m0− σj,m0) et uj ont des supports disjoints, on peut également écrire

−∫

Ωε

∆ujσj,m0dx =< γ1(σj,m0), uj >1/2,∂ − < γ1(uj), σj,m0 >1/2,∂ .

27

Afin de traiter les termes frontière, on pose ∂ΩN,ε = ∂ΩN ∩ ∂Ωε et ∂ΩD,ε = ∂ΩD ∩ ∂Ωε de telle sorteque l’on a

∂Ωε = ∂ΩN,ε ∪ ∂ΩD,ε ∪ Cε

avec Cε un arc de cercle de centre Sj et de rayon ε.Pour ε assez petit, γ1(uj + ur) est nulle sur ∂ΩN,ε et γ1(uj) est nulle sur Cε. Puisque la trace de v∗j,m0

est nulle sur ∂ΩD,ε, on obtient donc

< γ1(uj), σj,m0 >1/2,∂ + < γ0(v∗j,m0), ∂νur >1/2,∂=< γ1(ur + uj), v∗j,m0

>1/2,∂=∫

Cε

∂νurv∗j,m0dσ.

On montre de même que

< γ1(v∗j,m0), ur >3/2,∂ + < γ1(σj,m0), uj >1/2,∂=< γ1(v∗j,m0

), (ur + uj) >1/2,∂=∫

Cε

ur∂νv∗j,m0dσ.

Un calcul direct nous donne que∫

Cε

v∗j,m0dσ =

∫

Cε

σj,m0dσ +O(ε1+λj,m0 ).

Un changement de variable et une estimation classique de trace, nous donne, en utilisantσj,m0 ∈ H1(Ω), ∫

Cε

σj,m0dσ = O(ε),

de telle sorte que l’on obtient avec ur ∈ C1(Ω)

limε→0

∫

Cε

∂νurv∗j,m0dσ = 0.

Un raisonnement très similaire montre que

limε→0

∫

Cε

ur∂νv∗j,m0dσ = 0.

Puisque ∆Sj,m0 , v∗j,m0

∈ L2(Ω), on a immédiatement

limε→0

∫

Ωε

∆Sj,m0v∗j,m0

dx =∫

Ω∆Sj,m0v

∗j,m0

dx.

On conclut finalement en utilisant l’égalité (voir Lemma 4.4.4.10 de [25] pour une preuve)

λj,m0

∫

Ω∆Sj,m0v

∗j,m0

dx = 1

et la densité de C1(Ω) ∩ H1(Ω) dans H2(Ω).

1.2.2 Problèmes elliptiques en dimension quelconque

Un cas modèle Nous suivrons ici [52]. On considère le domaine Ω = Ω0 × Rn−2 avec

Ω0 = (r, θ); r ∈ (0, 1) et θ ∈ (0,π).

On veut décrire les solutions H1(Ω) du problème de Laplace

∆u = 0u = 0∂νu = 0

dans Ω

sur ∂ΩD

sur ∂ΩN

(1.8)

28

avec

∂ΩD = (r, θ, z); r = 1 et θ ∈ (0,π) ∪ (r, θ, z); r ∈ (0, 1] et θ = 0 := ∂Ω0D × R

n−2,

∂ΩN = (r, θ, z); r ∈ [0, 1] et θ = π := ∂Ω0N × R

n−2.

On notera x = x1, y = x2, z = (x3, . . . , xn) et on introduit la fonction us(x, y) = π1/2

2 S(x, y) donnéeen coordonnées polaires par

r1/2 sin(θ/2)η(r)

avec η une fonction plateau comme précédemment.Nous allons démontrer le résultat suivant.

Théorème 1.4. Soit u solution de (1.8). On a pour tout 3 6 i 6 n, ∂xiu ∈ H1(Ω) et

‖∂xiu‖H1(Ω) 6 C‖ f‖L2(Ω).

De plus, il existe ur ∈ L2z(Rn−2,H2

(x,y)(Ω0)) et c ∈ H1/2(Rn−2) tels que

u(x, y, z) = ur(x, y, z) + c(z)us(x, y)

et‖ur‖L2(Rn−2,H2(Ω0)) + ‖c‖H1/2(Rn−2) 6 C‖ f‖L2(Ω).

Démonstration. Le premier résultat est classique et peut être obtenu par la méthode des quotientsdifférentiels (voir Théorème IX.23 de [12] ou Lemma 2.2.2.1 de [25] pour une présentation de cettetechnique).Pour obtenir le second, on commence par observer que la transformée de Fourier u(x, y, ζ) parrapport à la variable z de u(x, y, z) est, pour presque tout ζ ∈ Rn−2, solution H1(Ω0) du problème

−∆2u = f − |ζ|2 uγ0(u) = 0γ1(u) = 0

dans Ω0

sur ∂Ω0D

sur ∂Ω0N

avec ∆2 le Laplacien en les variables (x, y). D’après le paragraphe précédent, il existe donc c(ζ) ∈ C

et ur(., ., ζ) ∈ H2(Ω0) tels que

u(x, y, ζ) = ur(x, y, ζ) + c(ζ)us(x, y).

Nous allons maintenant montrer que c ∈ H1/2(Rn−2).On introduit pour cela la fonction duale singulière σ associée à us. Elle est donnée en coordonnéespolaires par

2π−1/2(r−1/2 − r1/2) sin(θ/2).

Si les ϕk forment une base de L2(Ω0) de vecteurs propres de l’opérateur −∆2 de domaine

D(−∆2) = u ∈ H1(Ω0);∆2u ∈ L2(Ω0),γ0(u) = 0 sur ∂Ω0D etγ1(u) = 0 sur ∂Ω0

N,

les valeurs propres pour lesquelles ϕk /∈ H2(Ω0) sont les µk = k2π2 et l’on peut décomposer σ surla famille correspondante des ψk de la manière suivante

σ =1π ∑

k>1k−1π−1ψk.

On définit alors Σ(ζ) par

Σ(ζ) =1π ∑

k>1

kπ

k2π2 + |ζ|2 ψk

29

et montrons que Σ(ζ) permet de retrouver le coefficient c(ζ) à partir de f (ζ).En écrivant la projection de −∆2u(ζ) sur la famille des ψk sous la forme ∑k>1 uζ(k)ψk, on peutmaintenant calculer, puisque ψk est une famille orthonormée,

∫

Ω0Σ(x, y, ζ) f (x, y, ζ)dxdy =

c(ζ)π ∑

k>1

kπ

k2π2 + |ζ|2 k−2π−2(k2π2 + |ζ|2)uζ(k) =

c(ζ)π ∑

k>1k−1π−1uζ(k).

La Proposition 1.8 nous donne en particulier ∑k>1 k−1π−1uζ(k) =

∫Ω0 −∆2u(ζ)σdx = 2π1/2 c(ζ), on

a doncc(ζ) =

12

π1/2∫

Ω0Σ(x, y, ζ) f (x, y, ζ)dxdy.

On en déduit l’estimation

|c(ζ)| 6 12

π1/2‖Σ(ζ)‖L2(Ω0)‖ f (., ., ζ)‖L2(Ω0).

et

|ζ|‖Σ(ζ)‖2L2 (Ω0) = 4π−1 ∑k>1

k2π2|ζ|(k2π2 + |ζ|2)2 6

4π|ζ|(π2 + |ζ|2)2 + 16π−1

∫ ∞

0

x2π2|ζ|(x2π2 + |ζ|2)2 dx

≤ O(1) + 16π−2∫ ∞

0

y2

(1+ y2)2dy

ce qui montre finalement que (1+ |ζ|2)1/4 c(ζ) ∈ L2(Rn−2) et l’existence de C > 0 tel que

‖c‖H1/2(Rn−2) 6 C‖ f‖L2(Ω).

D’autre part, on peut déduire de ce qui précède l’existence de g ∈ L2(Ω) telle que la fonction ur estsolution du problème

−∆2ur + |ζ|2 ur = g(ζ)ur = 0∂νur = 0

dans Ω0,sur ∂Ω0

D,sur ∂Ω0

N .

Il est immédiat de constater l’existence de C tel que pour tout ζ ∈ Rn−2,

‖∇2ur‖L2(Ω0) + ‖∆2ur‖L2(Ω0) 6 C‖g(ζ)‖L2(Ω0)

(avec ∇2 = (∂x, ∂y)) et la preuve du Lemme 1.2 nous montre, pour tout ζ,

‖ur(ζ)‖H2(Ω0) 6 C′‖g(ζ)‖L2(Ω0) 6 C′′‖ f (ζ)‖L2(Ω0).

Il en résulte donc que ur ∈ L2(Rn−2,H2(Ω0)).

On peut déduire de ceci le résultat suivant

Corollaire 1.1. Si u est solution de (1.8), alors∫

∂Ω(x2 + y2)1/2|∇u|2dσ 6 C‖ f‖2L2(Ω).

Démonstration. On commence par écrire ∇u = (∂x1u, . . . , ∂xn−2u,∇2u).D’après le Théorème 1.4 et un résultat classique de trace, on a d’abord

∫

∂Ω(x2 + y2)1/2|∂xiu|2dσ 6

∫

∂Ω|∂xiu|2dσ 6 C‖ f‖L2(Ω)

pour tout 1 6 i 6 n− 2.

30

D’autre part, d’après le Théorème 1.4, on peut écrire

∇2u(x, y, z) = ∇2ur(x, y, z) + c(z)∇2us(x, y).

En réutilisant la continuité de la trace, on a déjà∫

∂Ω(x2 + y2)1/2|∇2ur|2dσ 6

∫

∂Ω|∇2ur|2dσ =

∫

Rn−2

∫

∂Ω0|∇2ur|2dσ0dz 6 C‖ur‖L2(Rn−2,H2(Ω0))

et il nous reste donc à étudier c(z)∇2us(x, y) pour conclure. Il est immédiat de constater que

|∇2us(x, y)|2 6 Cr−1

(avec r2 = x2 + y2) ce qui donne∫

∂Ω(x2 + y2)1/2|c(z)∇2us(x, y)|2dσ 6 C

∫

Rn−2|c(z)|2dz

et la conclusion demandée.

Description d’un cas général De la description du paragraphe précédent, on peut déduire l’étudedes solutions dans un cadre un peu plus général. Nous suivrons ici [10].On considère sur Ω ⊂ Rn (n > 3) C2 au sens de Necas le problème

−div(A(x)∇u) + b(x).∇u+ cu = fu = 0∂νAu = 0

dansΩ

sur ∂ΩD

sur ∂ΩN

(1.9)

avec A(x) est une matrice C2 sur Ω symétrique uniformément définie positive - au sens où il existeC > 0 telle que

∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ Rn, A(x)(ξ, ξ) > C|ξ|2,

b ∈ L∞(Ω)n, c ∈ L∞(Ω) positive, f ∈ L2(Ω) et

∂νAu = (A(x)∇u).ν.

Concernant la frontière, on suppose que ∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅ bien que l’interface Γ = ∂ΩD ∩ ∂ΩN nesoit pas nécessairement vide. On suppose que la mesure superficielle de ∂ΩD est non nulle, ce quel’on notera avec la mesure de Hausdorff

Hn−1(∂ΩD) > 0.

Concernant l’interface, on suppose que Γ est une variété de classe C3 de dimension n− 2. On feraégalement l’hypothèse technique qu’il existe un voisinage ω de Γ tel que ∂Ω ∩ ω est une variété declasse C3 de dimension n− 1.Dans ce cadre, on peut montrer le résultat suivant (voir [10], Theorem 4).

Théorème 1.5. Soit Ω un ouvert borné connexe de Rn satisfaisant de plus les hypothèses ci-dessus. Alors,pour tout point x0 ∈ Γ, il existe ρ > 0 et un C2 difféomorphisme Θ d’un voisinage W de x0 sur C(ρ) :=Bn−2(0, ρ)× B2(0, ρ) tel que

Θ(x0) = 0,

Θ(W ∩ Ω) = C+(ρ) := x ∈ C(ρ); xn > 0,Θ(W ∩ ∂ΩN) = x ∈ ∂C+(ρ); xn−1 < 0 et xn = 0,Θ(W ∩ ∂ΩN) = x ∈ ∂C+(ρ); xn−1 > 0 et xn = 0,

Θ(W ∩ Γ) = x ∈ ∂C+(ρ); xn−1 = xn = 0.

De plus, toute solution H1(Ω) du problème (4) vérifie :

31

– pour tout 1 6 i 6 n− 2,

∂xi(u Θ−1) ∈ H1(C+(ρ)) et ‖∂xi (u Θ−1)‖H1(C+(ρ)) 6 C‖ f‖L2(Ω),

– u = (ur+ η ⊗ us) Θ surW ∩Ω (⊗ désigne le produit tensoriel usuel de deux fonctions de Bn−2(0, ρ)et de B2(0, ρ)) avec

ur ∈ L2(Bn−2(0, ρ),H2(B2(0, ρ))) et ‖ur‖L2(Bn−2(0,ρ),H2(B2(0,ρ))) 6 C‖ f‖L2(Ω),

η ∈ H1/2(Bn−2(0, ρ)) et ‖η‖H1/2(Bn−2(0,ρ)) 6 C‖ f‖L2(Ω).

La preuve de ce résultat est assez technique mais l’idée générale est assez simple : une foisconvenablement construit le changement de variable on applique simplement le cas modèle étudiéci dessus.Comme dans le cas modèle, on peut en déduire le corollaire suivant

Corollaire 1.2. Soit u une solution H1(Ω) de (1.9). Alors on a l’estimation suivante∫

∂Ωd(x, Γ)|∇u(x)|2dσ(x) 6 C‖ f‖2L2(Ω).

Remarque 1.9. Cette description des singularités pour les problèmes elliptiques n’est pas la seule à exister.Une description précise des comportements des solutions au voisinage des points singuliers est possible dansdes cadres plus généraux (voir par exemple [37], Section 5).

32

Stabilisation des ondes etmultiplicateurs

2.1 Article 1 : Nonlinear Neumann boundary stabilization of the waveequation using rotated multipliers.

Nous présentons maintenant l’article accepté pour publication dans Journal of Dynamical and Control Sys-tem. Ce travail est en collaboration avec Axel Osses et Jean-Pierre Lohéac. Nous présentons ici une applicationdes multiplicateurs tournés (introduits par Osses en 2001 dans [59]) à la stabilisation frontière de l’équationdes ondes avec conditions au bord mêlées Dirichlet-Neumann :

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν u′

u(0) = u0u

′(0) = u1

dans Ω × R∗+,



dans Ω,dans Ω,

où m est un multiplicateur tourné et


Nous montrons que la méthode des multiplicateurs tournés permet d’obtenir de nouveaux cas géométriquespour la partie de la frontière sur laquelle s’exerce le feedback. Nous obtenons des résultats de stabilisationpour des feedbacks linéaires ou quasi-linéaires sous la condition géométrique élémentaire suivante

m.τ ≤ 0 sur Γ := ∂ΩD ∩ ∂ΩN ,

où τ(x) est la normale sortante de ∂ΩN en un point x ∈ Γ en considérant ∂ΩN comme une sous-variété de∂Ω.

Abstract

We study the boundary stabilization of the wave equation by means of a linear or non-linear Neu-mann feedback. The rotated multiplier method leads to new geometrical cases concerning the ac-tive part of the boundary where the feedback is applied. Due to mixed boundary conditions, thesecases generate singularities. Under a simple geometrical condition concerning the orientation of theboundary, we obtain stabilization results in both cases.

Introduction

In this paper we are concerned with the stabilization of the wave equation in a multi-dimensionalbody Ω ⊂ Rn by using a feedback law applied on some part of its boundary. The problem can be

33

written as follows

u′′ − ∆u = 0 in Ω × R∗+ ,

u = 0 on ∂ΩD × R∗+ ,

∂νu = F on ∂ΩN × R∗+ ,

u(0) = u0 in Ω ,u′(0) = u1 in Ω ,

where we denote by u′, u′′, ∆u and ∂νu the first time-derivative of u, the second time-derivative ofthe scalar function u, the standard Laplacian of u and the normal outward derivative of u on ∂Ω,respectively ; (∂ΩD, ∂ΩN) is a partition of ∂Ω and F is the feedback function which may depend onthe state (u, u′), the position x and time t.Our purpose here is to choose the feedback function F and the active part of the boundary, ∂ΩN ,so that for every initial data, the energy function

E(u, t) =12

∫

Ω(|u′(t)|2 + |∇u(t)|2) dx ,

is decreasing with respect to time t, and vanishes as t −→ ∞.Formally, we can write the time derivative of E as follows

E′(u, t) =∫

∂ΩN

Fu′ dσ ,

and a sufficient condition so that E is non-increasing is Fu′ ≤ 0 on ∂ΩN .In the two-dimensional case and in the framework of Hilbert Uniqueness Method [43], it can beshown that the energy function is uniformly decreasing as t tends to ∞, by choosing m : x 7→x− x0, where x0 is some given point in Rn and

∂ΩN = x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) > 0 , F = −m.ν u′ ,

where ν is the normal unit vector pointing outward of Ω. This method has been performed bymany authors, see for instance [36] and references therein. Here we extend the above result forrotated multipliers [58, 59] by following [10], i.e. we take in account singularities which can appearwhen changing boundary conditions along the interface Γ = ∂ΩN ∩ ∂ΩD.

2.1.1 Notations and main results

Let Ω be a bounded open connected set of Rn(n ≥ 2) such that

∂Ω is of class C2 in the sense of Necas [53]. (2.1)

Let x0 be a fixed point in Rn. We denote by I the n × n identity matrix, by A a real n × n skew-symmetric matrix and by d a positive real number such that d2 + ‖A‖2 = 1,where ‖ · ‖ stands forthe usual 2-norm of matrices. We now define the following vector function,

∀x ∈ Rn, m(x) = (dI + A)(x− x0) .

We consider a partition (∂ΩN , ∂ΩD) of ∂Ω such that∣∣∣∣∣∣∣∣

Γ = ∂ΩD ∩ ∂ΩN is a C3-manifold of dimension n− 2,m.ν = 0 on Γ,∂Ω ∩ ω is a C3-manifold of dimension n− 1,Hn−1(∂ΩD) > 0,

(2.2)

where ω is a suitable neighborhood of Γ andHn−1 denotes the usual (n− 1)-dimensional Hausdorffmeasure.

34

Let g : R → R be a measurable function such that

g is non-decreasing and ∃K > 0 : |g(s)| ≤ K|s| a.e.. (2.3)

Let us now consider the following wave problem

(S)

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν g(u′)u(0) = u0u

′(0) = u1

in Ω × R∗+,

on ∂ΩD × R∗+,

on ∂ΩN × R∗+,

in Ω,in Ω,

for some initial data(u0, u1) ∈ H1

D(Ω)× L2(Ω) := H

with H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) / v = 0 on ∂ΩD.

This problem is well-posed in H. Indeed, following Komornik [35], we define the non-linear opera-tor W by

W(u, v) = (−v,−∆u),D(W) = (u, v) ∈ H1

D(Ω)×H1D(Ω) /∆u ∈ L2(Ω) and ∂νu = −m.ν g(v) on ∂ΩN,

so that (S) can be written in the form

(u, v)′ +W(u, v) = 0 ,(u, v)(0) = (u0, u1) .

It is a classical fact that W is a maximal-monotone operator on H and that D(W) is dense in H forthe usual norm (see for instance [11]). Hence, for any initial data (u0, v0) ∈ D(W) there is a uniquestrong solution (u, v) such that u ∈ W1,∞(R; H1

D(Ω)) and ∆u ∈ L∞(R+; L2(Ω)). Moreover, for twoinitial data, the corresponding solutions satisfy

∀t ≥ 0 , ‖(u1(t), v1(t))− (u2(t), v2(t))‖H ≤ C‖(u10, v10)− (u20, v20)‖H .

Using the density of D(W), one can extend the map

D(W) −→ H

(uo, v0) 7−→ (u(t), v(t))

to a strongly continuous semi-group of contractions (S(t))t≥0 and define for (u0, v0) ∈ H the weaksolution (u(t), u′(t)) = S(t)(u0, u1) with the regularity u ∈ C(R+; H1

D(Ω)) ∩ C1(R+; L2(Ω)). Wehence define the energy function of solutions by

E(u, 0) =12

∫

Ω(|u1|2 + |∇u0|2) dx, E(u, t) =

12

∫

Ω(|u′(t)|2 + |∇u(t)|2) dx if t > 0 .

In order to get stabilization results, we need further assumptions concerning the feedback functiong

∃p ≥ 1 , ∃k > 0 , |g(s)| ≥ kmin|s|, |s|p , a.e. . (2.4)

Concerning the boundary we assume

∂ΩN ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≥ 0 , ∂ΩD ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≤ 0, (2.5)

and the additional geometric assumption

m.τ ≤ 0 on Γ , (2.6)

where τ(x) is the normal unit vector pointing outward of ∂ΩN at a point x ∈ Γ when considering∂ΩN as a sub-manifold of ∂Ω.

35

Remarque 2.1. It is worth observing that it is not necessary to assume that

Hn−1(x ∈ ∂ΩN /m(x).ν(x) > 0) > 0.

to get stabilization. In fact, our choice of m implies such properties (see examples in Section 4) whether theenergy tends to zero.

Since the pioneering work [32], it is now a well-known fact that Rellich type relations [62] are veryuseful for the study of control and stabilization of the wave problem. As we said before, Komornikand Zuazua [36] have shown how these relations can also help us to stabilize the wave problem.In order to generalize it in higher dimension than 3, the key-problem is to show the existenceof a decomposition of the solution in regular and singular parts [25, 37] which can be appliedto stabilization problems or control problems. The first results towards this direction are due toMoussaoui [52], and Bey-Lohéac-Moussaoui [10] who also have established a Rellich type relationin any dimension.In this new case of Neumann feedback deduced from [58, 59], our goal is to generalize those Rellichrelations to get stabilization results about (S) under assumptions (2.5), (2.6).As well as in [35], we shall prove here two results of uniform boundary stabilization.

Exponential boundary stabilization We here consider the case when p = 1 in (2.4). This is satis-fied when g is linear,

∃α > 0 : ∀s ∈ R , g(s) = αs .

In these cases, the energy function is exponentially decreasing.

Theorem 2.1. Assume that geometrical conditions (2.2), (2.5) hold and that the feedback function g satisfies(2.3) and (2.4) with p = 1.Then under the further geometrical assumption (2.6), there exist C > 0 and T > 0 (independent of d) suchthat for all initial data in H, the energy of the solution u of satisfies

∀t > Td, E(u, t) ≤ E(u, 0) exp

(1− d

Ct).

The above constants C and T depend only on the geometry.

Rational boundary stabilization We here consider the general case and we get rational boundarystabilization.

Theorem 2.2. Assume that geometrical conditions (2.2), (2.5) hold and that the feedback function g satisfies(2.3) and (2.4) with p > 1.Then under the further geometrical assumption (2.6), there exist C > 0 and T > 0 (independent of d) suchthat for all initial data in H, the energy of the solution u of satisfies

∀t > Td, E(u, t) ≤ C t2/(1−p) .

where C depends on the initial energy E(u, 0).

Remark 2.1. Taking advantage of the works of Banasiak-Roach [5] who generalized Grisvard’s results [25]in the piecewise regular case, we will see that Theorems 2.1 and 2.2 remain true in the bi-dimensional casewhen assumption (2.1) is replaced by following one

∂Ω is a curvilinear polygon of class C2 ,each component of ∂Ω \ Γ is a C2-manifold of dimension 1 ,

(2.7)

and when condition (2.6) is replaced by

∀x ∈ Γ , 0 ≤ x ≤ π and if x = π , m(x).τ(x) ≤ 0 . (2.8)

where x is the angle at the boundary in the point x.

36

These two results are obtained by estimating some integral of the energy function as well as in [35].This specific estimates are obtained thanks to an adapted Rellich relation.Hence, this paper is composed of two sections. In the first one we build convenient Rellich relationsand in the second one we use it to prove Theorems 2.1 and 2.2.

2.1.2 Rellich relations

A regular case

We can easily build a Rellich relation corresponding to the above vector field m when consideredfunctions are smooth enough.

Proposition 2.1. Assume that Ω is an open set of Rn with boundary of class C2 in the sense of Necas. If ubelongs to H2(Ω) then

2∫

Ω∆u (m.∇u) dx = d (n− 2)

∫

Ω|∇u|2 dx+

∫

∂Ω

(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ .

Proof. Using Green-Riemann identity we get

2∫

Ω∆u (m.∇u) dx =

∫

∂Ω2∂νu (m.∇u) dσ − 2

∫

Ω∇u.∇(m.∇u) dx .

So, observing that

∇u.∇(m.∇u) =12m.∇(|∇u|2) + d|∇u|2 + (A∇u).∇u ,

and since A is skew-symmetric, we get

2∫

Ω∆u (m.∇u) dx =

∫

∂Ω2∂νu (m.∇u) dσ − 2d

∫

Ω|∇u|2 dx−

∫

Ωm.∇(|∇u|2) dx .

With another use of Green-Riemann formula, we obtain the required result for div(m) = nd.We will now try to extend this result to the case of an element u belonging less regular when Ω issmooth enough.

Bi-dimensional case

We begin by the plane case. It is the simplest case from the point of view of singularity theory andits understanding dates from Shamir [65].

Theorem 2.3. Assume n = 2. Under geometrical conditions (2.2) and (2.7), let u ∈ H1(Ω) such that

∆u ∈ L2(Ω) , u/∂ΩD ∈ H3/2(∂ΩD) , ∂νu/∂ΩN ∈ H1/2(∂ΩN) . (2.9)

Then 2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2 belongs to L1(∂Ω) and there exist some coefficients (cx)x∈Γ such that

2∫

Ω∆u(m.∇u) dx =

∫

∂Ω(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ +

π

4 ∑x∈Γ/x=π

c2x (m.τ)(x) .

Proof. We first begin by some considerations which will be used in the general case too. It isa classical result that u ∈ H2(ω) for every open domain ω such that ω ⋐ Ω \ Γ. For sake ofcompleteness, let us recall the prooof.A trace result shows that there exists uR ∈ H2(ω) such that uR = u on ∂ΩD and ∂νuR = ∂νu on∂ΩN . Hence, setting f = ∆uR − ∆u ∈ L2(Ω), uS = u− uR satisfies

−∆uS = fuS = 0∂νuS = 0

in Ω ,on ∂ΩD ,on ∂ΩN .

(2.10)

37

• Now, if ω ⋐ Ω \ Γ ∪ ∂ΩD and ξ is a cut-off function such that ξ = 1 on ω and supp(ξ) ⊂ Ω, thenfor a suitable g ∈ L2(Ω), uω = uSξ satisfies the Dirichlet problem

∆uω = guω = 0

on Ω ,on ∂Ω ,

and using classical method of difference quotients ([25]), one can now conclude that uω ∈ H2(Ω),hence uS ∈ H2(ω).• Else, if ω ⋐ Ω \ Γ ∪ ∂ΩN , and ξ is a cut-off function such that ξ = 1 on ω and supp(ξ) ⊂ Ω, thenfor a suitable g ∈ L2(Ω), uω = uSξ satisfies the Neumann problem

−∆uω + uω = g∂νuω = 0

on Ω ,on ∂Ω ,

and, using similar argument, one gets uS ∈ H2(ω).

Let Ωε = x ∈ Ω / d(x, Γ) > ε.By compactness of Ωε, we get u ∈ H2(Ωε). An application of Proposition 2.1 to our particularsituation gives us the following relation

2∫

Ωε

∆u (m.∇u) dx =∫

∂Ωε

(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ ,

and we will try to let ε → 0. Using derivatives with respect to ν and τ, we get

2∫

Ωε

∆u (m.∇u) dx =∫

∂Ωε

m.ν((∂νu)2 − (∂τu)2

)dσ + 2

∫

∂Ωε

m.τ (∂νu)(∂τu) dσ .

First, since ∆u ∈ L2(Ω) and u ∈ H1(Ω), Lebesgue dominated convergence theorem immediatelygives

limε→0

∫

Ωε

∆u (m.∇u) dx =∫

Ω∆u (m.∇u) dx .

Now, we work on boundary terms. Let us introduce the following partition of ∂Ωε : ∂Ωε =∂Ωε ∩ ∂Ω, ∂Ω∗

ε = ∂Ωε ∩Ω and use a decomposition result due to Banasiak and Roach [5] : every va-riational solution of (2.10) can be split as a sum of singular functions. There exist some coefficients(cx)x∈Γ and uR ∈ H2(Ω) such that

u = uR + ∑x∈Γ

cxUxS =: uR + uS (2.11)

where UxS are singular functions which, in some neighborhood of x ∈ Γ, are defined in local polar

coordinates (see Fig. 2.1) by

UxS(r, θ) = ρ(r) r

π2x sin

( π

2xθ).

with ρ some cut-off function.Using the density of C1(Ω) in H2(Ω), we will be able to assume that uR ∈ C1(Ω).Let us look at boundary terms on ∂Ωε first. We first claim that for some constant C > 0,

|m.ν| ≤ Cd(., Γ) .

In fact, if x ∈ Ω and x1 ∈ Γ which satisfies |x− x1| = d(x, Γ), one gets

m.ν(x) = m(x).(ν(x)− ν(x1)) + (m(x)−m(x1)).ν(x1) (observing that m.ν(x1) = 0) .

Hence, using the fact that ν is a piecewise C1 function (see Fig. 2.2), we get

|m.ν(x)| ≤ (‖m‖∞‖ν′‖∞ + 1) d(x, Γ) .

38

Now, working in local coordinates, one gets

d(x, Γ) |∇u|2 ∈ L∞(∂Ω) .

Hence Lebesgue theorem implies

limε→0

∫

∂Ωε

m.ν((∂νu)2 − (∂τu)2

)dσ =

∫

∂Ωm.ν

((∂νu)2 − (∂τu)2

)dσ .

On the other hand, assumptions (2.9) give

∂νu/∂ΩN ∈ H1/2(∂ΩN) , ∂τu/∂ΩN ∈ H−1/2(∂ΩN) , ∂νu/∂ΩD ∈ H−1/2(∂ΩD) , ∂τu/∂ΩD ∈ H1/2(∂ΩD) .

Hence we get∫

∂Ωε

m.τ (∂νu)(∂τu) dσ −→∫

∂Ωm.τ (∂νu)(∂τu) dσ , as ε → 0 .

Now, we have to consider the boundary term on ∂Ω∗ε , Iε(∇u).

It is a quadratic form with respect to ∇u and using (2.11), one can decompose it as follows,

Iε(∇uR) + 2Jε(∇uR,∇uS) + Iε(∇uS) ,

where Jε is the corresponding bilinear form.Concerning Iε(∇uR), regularity of m gives the estimate

|Iε(∇uR)| ≤ C∫

∂Ω∗ε

|∇uR|2 dσ

This term is O(ε) since ∇uR is bounded on Ω.For the term Iε(∇uS), we first observe that, adjusting the cut-off functions, the supports of ux

S anduyS are disjoint, provided that x 6= y. Hence, using decomposition (2.11), we can write

Iε(∇uS) = ∑x∈Γ

c2x

∫

Cε(x)(2∂νux

S(m.∇uxS)−m.ν |∇ux

S|2) dσ .

If x < π, one gets

2∂νuxS(m.∇ux

S)−m.ν |∇uxS|2 = O(ε

πx

−2) , on Cε(x) .

Hence, after integrating on Cε(x), we get limε→0

Ix1 (ε) = 0.

x

∂ΩD

ωx

∂ΩN

Figure 2.1 – Shape of the boundary near an angular point x.

If x = π, we will need the following identity

2∂νuxS (m.∇ux

S)−m.ν |∇uxS|2 =

14ε(m.τ)(x) , on Cε(x) .

39

ν(x)

τ(x)

∂ΩD∂ΩN

θ

Cε(x)

τ(y)

ν(y)x

y

Figure 2.2 – Unit vectors ν(x), τ(x), ν(y) and τ(y) when ∂Ω is regular at x.

One can observe that Cε(x) behaves as a half-circle when ε → 0. An integration gives

limε→0

∫

Cε(x)

(2(ν.∇ux

S)(m.∇uxS)−m.ν |∇ux

S|2)dσ =

π

4(m.τ)(x).

Finally, the bilinear term Jε(∇uR,∇uS) can be written entirely∫

∂Ω∗ε

∂νuR (m.∇uS) dσ +∫

∂Ω∗ε

∂νuS (m.∇uR) dσ −∫

∂Ω∗ε

(m.ν) (∇uR.∇uS) dσ .

Using the regularity of m and Cauchy-Schwarz inequality, we get an estimate of the form

|Jε(∇uR,∇uS)| ≤ C(∫

∂Ω∗ε

|∇uR|2 dσ)1/2(∫

∂Ω∗ε

|∇uS|2 dσ)1/2

.

We have seen that the first term in this inequality vanishes when ε → 0. For the second one, wenow observe that, if ε is small enough

∂Ω∗ε =

⊔

x∈Γ

Cε(x) ,

where Cε(x) is an arc of circle of radius ε centered at x. Then, we may write∫

∂Ω∗ε

|∇uS|2 dσ ≤ 2 ∑x,y∈Γ

c2y

∫

Cε(x)|∇Uy

S |2 dσ .

A similar computation shows that, for x ∈ Γ,∫

Cε(x)|∇Ux

S|2 dσ = O(1). Moreover, if x 6= y, UyS is

bounded near x, we get∫

Cε(x)|∇Uy

S |2 dσ = O(ε). This completes the prooof.

Remark 2.2. The assumption H1(∂ΩD) > 0 is not necessary in the above prooof. We will now see why weneed this assumption on the Dirichlet part in higher dimension.

General case

We now state the result in general dimension.

Theorem 2.4. Assume n ≥ 3. Under geometrical conditions (2.1) and (2.2), let u ∈ H1(Ω) such that

∆u ∈ L2(Ω) , u/∂ΩD ∈ H3/2(∂ΩD) , ∂νu/∂ΩN ∈ H1/2(∂ΩN) . (2.12)

Then, 2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2 belongs to L1(∂Ω) and there exists ζ ∈ H1/2(Γ) such that

2∫

Ω∆u (m.∇u) dx = d(n− 2)

∫

Ω|∇u|2 dx+

∫

∂Ω(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ +

∫

Γm.τ |ζ|2 dγ .

40

Proof. We will essentially follow [10]. As in the plane case, we set Ωε = x ∈ Ω; d(x, Γ) > ε. Forany given ε > 0, we may apply the identity of Proposition 2.1

2∫

Ωε

∆u (m.∇u) dx = d(n− 2)∫

Ωε

|∇u|2 dx+∫

∂Ωε

(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ ,

and we will again analyze the behavior of each term as ε → 0.• First, since ∆u ∈ L2(Ω) and u ∈ H1(Ω), Lebesgue dominated convergence theorem immediatelygives

limε→0

∫

Ωε

∆u (m.∇u) dx =∫

Ω∆u (m.∇u) dx , lim

ε→0

∫

Ωε

|∇u|2 dx =∫

Ω|∇u|2 dx .

Below we shall consider boundary terms. We define ∂Ωε = ∂Ωε ∩ ∂Ω and ∂Ω∗ε = ∂Ωε ∩ Ω (see Fig.

2.3).

∂Ω∗ε

Γ

x∗

Cε(x∗)

∂Ωε ∩ ∂ΩN

∂Ωε ∩ ∂ΩD

Figure 2.3 – Picture of ∂Ω∗ε and ∂Ωε

• Let us consider boundary integral terms on ∂Ωε.As well as in the plane case, there exists some constant C > 0 such that |m.ν| ≤ C d(., Γ). Thus,using the fact that

d(., Γ)|∇u|2 ∈ L1(∂Ω)

(see [10], Proposition 3), we can use again Lebesgue theorem to conclude that, as ε → 0,∫

∂Ωε

m.ν |∇u|2 dσ →∫

∂Ωm.ν |∇u|2 dσ .

For the second integral, denoting by ∇∂Ω the tangential gradient along ∂Ω, we write that

∂νu (m.∇u) = m.ν |∂νu|2 + ∂νu (m.∇∂Ωu) .

The first term is integrable. The second one is, on ∂ΩN , the product of a H1/2 term by a H−1/2 oneand, on ∂ΩD, the product of a H−1/2 term by a H1/2 one. Hence, Lebesgue theorem gives again, asε → 0, ∫

∂Ωε

∂νu (m.∇u) dσ →∫

∂Ω∂νu (m.∇u) dσ .

• Let us now consider boundary integral terms on ∂Ω∗ε .

We assume that ε 6 ε0 and we define ωε0 := Ω\Ωε0 . As well as in the plane case, we can write

u = uR + uS (2.13)

where uS is the variational solution of some homogeneous mixed boundary problem and uR be-longs to H2(ωε0). Working by approximation if necessary, we can suppose that uR ∈ C1(ωε0).Considering the same quadratic form as in the bi-dimensional case, this leads to the followingsplitting

∫

∂Ω∗ε

(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ = Iε(∇uR) + Iε(∇uS) + 2Jε(∇uR,∇uS) .

41

Since ∇uR ∈ L∞(!”0) and Hn−1(∂Ω∗ε ) → 0 as ε → 0, the first term Iε(∇uR) clearly vanishes.

As above, the bilinear term Jε(∇uR,∇uS) is∫

∂Ω∗ε

∂νuR (m.∇uS) dσ +∫

∂Ω∗ε

∂νuS (m.∇uR) dσ −∫

∂Ω∗ε

(m.ν) (∇uR.∇uS) dσ .

Using the regularity of m and Cauchy-Schwarz inequality, we get an estimate of the form

|Jε(∇uR,∇uS)| 6 C(∫

∂Ω∗ε

|∇uR|2 dσ)1/2(∫

∂Ω∗ε

|∇uS|2 dσ)1/2

. (2.14)

As above, it is clear that the first term vanishes as ε → 0.In order to analyze Iε(∇uS) we will need further results.To begin with, we introduce some notations.Every x ∈ ∂Ω∗

ε belongs to a unique plane x∗ + 〈τ∗, ν∗〉 (setting : τ∗ = τ(x∗), ν

∗ = ν(x∗)) and moreprecisely to an arc-circle Cε(x∗) of center x∗ ∈ Γ and of radius ε (the figure is similar to Fig. 2.2 inthe plane x∗ + 〈τ∗, ν∗〉 ). We define

Dε(x∗) := ωε ∩ (x∗ + 〈τ∗, ν∗〉) .

For any x ∈ Dε0(x∗), we separate the derivatives of u along the sub-manifold x− x∗ + Γ with the

co-normal derivatives

∇u(x) = ∇Γu(x) +∇2u(x) , ∇Γu(x) ∈ Tx∗Γ, ∇2u(x) ∈ 〈τ∗, ν∗〉 . (2.15)

Using methods of difference quotients (see for instance [10], Theorem 4), one gets ∇Γu ∈ H1(ωε0)i.e. ∇ΓuS ∈ H1(ωε0). We shall also need the following result concerning the behavior of boundaryintegrals.

Lemma 2.1. Let ε0 > 0. Assume that u is such that u = 0 on ∂ωε0 ∩ ∂ΩD,

∀x∗ ∈ Γ , u(x∗, .) ∈ H1(Dε0(x∗)) ,

and (x∗ 7−→ ‖u(x∗, .)‖H1(Dε0(x

∗))

) ∈ L2(Γ) .

Then there exists C > 0 depending only on Ω such that, for any ε sufficiently small,∫

Γ‖u(x∗, .)‖2L2(C”(x∗))

dγ(x∗) ≤ Cε∫

Γ‖u(x∗, .)‖2H1(D”(x∗))

dγ(x∗) .

Proof of Lemma 2.1. We begin by changing coordinates as well as in [10]. For every x∗0 ∈ Γ,there exists ρ0 > 0, a C2- diffeomorphism Θ from an open neighborhood W of x∗0 to B(ρ0) :=Bn−2(ρ0)× B2(ρ0) (see Fig. 2.4) such that

Θ(x∗0) = 0 ,

Θ(W ∩ Ω) = y ∈ B(ρ0) / yn > 0 ,Θ(W ∩ ∂ΩD) = y ∈ B(ρ0) / yn−1 > 0 , yn = 0 ,Θ(W ∩ ∂ΩN) = y ∈ B(ρ0) / yn−1 < 0 , yn = 0 ,

Θ(W ∩ Γ) = y ∈ B(ρ0) / yn−1 = 0 , yn = 0 := γ(ρ0) .

Reducing ε0 if necessary, we may assume that Dε0(x∗0) ⊂ W.

We then get, writing for x ∈ W, Θ(x) = (Y, y) ∈ Rn−2 × R2 and v := u Θ−1,∫

W∩Γ

∫

Cε(x∗)u2 dℓ dγ(x∗) =

∫

γ(ρ0)

∫

Θ(Cε(x∗))v2 dℓ(y) dY .

42

W

∂WD∂WN

Figure 2.4 – The set W.

Setting

B+2 (ρ) := y = (yn−1, yn) ∈ B2(ρ) / yn > 0 , C+

2 (ρ) := y = (yn−1, yn) ∈ ∂B2(ρ) / yn > 0 ,

we first observe that we can choose ρx∗ such that Y × B+2 (ρ) ⊂ Θ(Dε(x∗)). Hence denoting by π2

the projection on 0Rn−2 × R2, the change of variables

π2(Θ(Cε(x∗))) −→ C+2 (ρ)

y 7−→ z = ρy|y|

gives the estimate ∫

Θ(Cε(x∗))v(Y, y)2 dℓ(y) ≤ C

∫

C+2 (ρ)

v(Y, z)2 dℓ(z) (2.16)

for a constant C depending only on x∗0 .We will now estimate this latter integral in terms of ‖∇2v‖L2(y′×B+

2 (ρ)). Setting vρ(y) := v(Y, y),

one gets ∇vρ ∈ L2(B+2 (1)) and

‖∇vρ‖L2(B+2 (1))

= ‖∇2v‖L2(y′×B+2 (ρ))

, ‖vρ‖L2(C+2 (1))

= ρ−12 ‖v‖L2(y′×C+

2 (ρ)).

Observing that vρ = 0 on B++2 (1) := (yn−1, yn) ∈ B+

2 (1) / yn > 0, trace theorem and Poincaréinequality give, for some universal constant C > 0, the estimate

∫

C+2 (ρ)

v2(y′, y) dℓ(y) ≤ Cρ‖∇2v‖2L2(Y×B+2 (ρ))

.

Hence, thanks to (2.16), one gets∫

Θ(Cε(x∗))v2(Y, y) dℓ(y) ≤ Cρx∗‖∇2v‖2L2(Y×B+

2 (ρx∗)).

Observing that ρx∗ is uniformly O(ε) on W ∩ Γ and the diffeomorphism Θ(x∗, .) (see Fig. 2.5), wecan conclude that, for some constant Cx∗0 depending only on x∗0

∫

Θ(Cε(x∗))v2(Y, y) dℓ(y) ≤ Cx∗0 ε‖u(x∗, .)‖2H1(Θ−1(Y×B+

2 (ρ)))≤ Cx∗0 ε‖u(x∗, .)‖2H1(Dε(x∗))

.

Hence, after an integration on W ∩ Γ

∫

W∩Γ

∫

Cε(x∗)u2 dℓ dγ(x∗) ≤ Cx∗0 ε

∫

W∩Γ‖u(x∗, .)‖2H1(Dε(x∗))

dγ(x∗) .

43

x∗∂ΩD

O

Ω

Θ(x∗, .)

∂ΩN

ν(x∗)

Figure 2.5 – The C2-diffeomorphism Θ(x∗, .) in the plane x∗ + 〈τ∗, ν∗〉.

We finally complete the prooof by using a partition of unity on the open sets (Wx∗0 )x∗0∈Γ.End of prooof of Lemma 2.1. Let us come back to our problem. Using (2.15) for uS, Pythagore theorem gives

∫

∂Ω∗ε

|∇uS|2 dσ =∫

∂Ω∗ε

|∇ΓuS|2 dσ +∫

∂Ω∗ε

|∇2uS|2 dσ .

Applying Lemma 2.1 to ∇ΓuS, we get that the first term vanishes as ε → 0. As well as in the bi-dimensional case, we will see that the second term above is bounded, using more information onuS.Thanks to [10] (Theorem 4) and Borel-Lebesgue theorem, we may write

uS(x) = η(x∗)US(x− x∗) := η(x∗)Ux∗S (x) , on ωε0 , (2.17)

with US locally diffeomorphic to Shamir function, and η ∈ H1/2(Γ). We then get, thanks to Fubinitheorem ∫

∂Ω∗ε

|∇2uS|2 dσ =∫

Γη(x∗)2

∫

Cε(x∗)|∇2Ux∗

S |2 dℓ dγ(x∗) ,

and, as well as in the bi-dimensional case, we show that this term is bounded by O(1) ‖η‖2L2(Γ). Wehave now proven that the second term in (2.14) is bounded, that is

Jε(∇uR) → 0 , as ε → 0 .

To treat the last term Iε(∇uS), we will use similar tools. The splitting (2.13) for uS gives us

Iε(∇uS) = Iε(∇2uS) + Iε(∇ΓuS) + 2Jε(∇2uS,∇ΓuS) .

As above, the term Iε(∇ΓuS) is estimated by∫

∂Ω∗ε

|∇ΓuS|2 dσ. It then vanishes for ε → 0.

The bilinear term is estimated by

(∫

∂Ω∗ε

|∇2uS|2 dσ)1/2(∫

∂Ω∗ε

|∇ΓuS|2 dσ)1/2

,

it then tends to zero since the first term is bounded and the second one vanishes for ε → 0.For the last term Iε(∇2uS), we use (2.17) and Fubini theorem to write it

∫

Γη(x∗)2

∫

Cε

((x∗)

2(ν.∇2Ux∗S )(m.∇2Ux∗

S )−m.ν |∇2Ux∗S |2)dℓ dγ(x∗) .

We first work in the plane x∗ + 〈τ∗,−ν∗〉 and, as above, we get

limε→0

∫

Cε(x∗)(2(ν.∇2Ux∗

S )(m.∇2Ux∗S )−m.ν |∇2Ux∗

S |2) dℓ = π

4m(x∗).τ(x∗).

44

Moreover, for any ε > 0, this integral term on Cε(x∗) is dominated byπ

2‖m‖∞ ∈ L1(Γ). So domina-

ted convergence theorem applies and finally

limε→0

Iε(∇2uS) =π

4

∫

Γη2m.τ dγ .

The prooof is now complete with ζ =

√π

2η.

We will now apply Rellich relation to the stabilization of solutions of (S).

2.1.3 Proof of linear and non-linear stabilization

We begin by writing the following consequence of Section 2.

Corollary 2.1. Assume that t 7→ (u(t), u′(t)) is a strong solution of (S) and that the geometrical additionalassumption (2.6) if n ≥ 3 or (2.8) if n = 2 holds. Then for every time t, u(t) satisfies

2∫

Ω∆u(m.∇u) dx ≤ d(n− 2)

∫

Ω|∇u|2 dx+

∫

∂Ω(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ .

Proof. Indeed, under theses hypotheses, for each time t, (u(t), u′(t)) ∈ D(W) so that u(t) satisfies(2.9) or (2.12). The corollary is then an application of Theorem 2.3 or 2.4.

We will be able to prove Theorems 2.1 and 2.2 showing that, for α =p− 12

, one can apply the

following result [35].

Proposition 2.2. Let E : R+ → R+ a non-increasing function such that there exists α ≥ 0 and C > 0which fulfills

∀t ≥ 0,∫ ∞

tEα+1(s) ds ≤ CE(t).

If E(0) > 0, then, setting T = CE−α(0), one gets

if α = 0, ∀t ≥ T, E(t) ≤ E(0) exp(1− t

T

),

if α > 0, ∀t ≥ T, E(t) ≤ E(0)(T + αTT + αt

)1/α.

We come back to our proof now.Proof. Following [35] and [16], we will prove the estimates for (u0, u1) ∈ D(W) which, usingdensity of the domain, will be sufficient to get the result for all solutions.Setting Mu = 2m.∇u+ d(n− 1)u, we prove the following result.

Lemma 2.2. For any 0 ≤ S < T < ∞, one gets

2d∫ T

SE

p+12 dt ≤ −

[E

p−12

∫

Ωu′Mu dx

]TS+

p− 12

∫ T

SE

p−32 E′

∫

Ωu′Mu dx dt

+∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

m.ν((u′)2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσ dt .

Proof of Lemma 2.2. Using the fact that u satisfies (S) and observing that u′′Mu = (u′Mu)′− u′Mu′,an integration by parts gives

0 =∫ T

SE

p−12

∫

Ω(u′′ − ∆u)Mu dx dt

=[E

p−12

∫

Ωu′Mu dx

]TS− p− 1

2

∫ T

SE

p−32 E′

∫

Ωu′Mu dx dt−

∫ T

SE

p−12

∫

Ω(u′Mu′ + ∆uMu) dx dt .

45

Corollary 2.1 now gives∫

Ω∆u Mu dx ≤ d(n− 1)

∫

Ω∆u u dx+ d(n− 2)

∫

Ω|∇u|2 dx+

∫

∂Ω(2∂νu (m.∇u)−m.ν |∇u|2) dσ .

hence, Green-Riemann formula leads to∫

Ω∆u Mu dx ≤ −d

∫

Ω|∇u|2 dx+

∫

∂Ω(∂νu Mu−m.ν |∇u|2) dσ .

Using boundary conditions and the fact that ∇u = ∂νu ν on ∂ΩD, we get∫

Ω∆u Mu dx ≤ −d

∫

Ω|∇u|2 dx−

∫

∂ΩN

m.ν(g(u′)Mu+ |∇u|2) dσ .

On the other hand, using div(m) = nd, another use of Green formula gives us∫

Ωu′ Mu′ dx = −d

∫

Ω|u′|2 dx+

∫

∂ΩN

m.ν |u′|2 dσ .

End of prooof of Lemma 2.2. Coming back to our problem, Young inequality gives

∣∣∣∫

Ωu′ Mu dx

∣∣∣ ≤ CE(t) .

Lemma 2.2 shows that

2d∫ T

SE

p+12 dt ≤ C

(E

p+12 (T) + E

p+12 (S)

)+ C

∫ T

SE

p−12 (−E′) dt

+∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

m.ν(|u′|2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσ dt .

For simplicity, let dσm = m.ν dσ. Observing that E′(t) = −∫

∂ΩN

g(u′)u′ dσm ≤ 0, we get, for a

constant C > 0 independent of E(0) if p = 1,

2d∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) +

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

(|u′|2 − |∇u|2 − g(u′)Mu)dσm dt .

Using the definition of Mu and Young inequality, we get, for any ε > 0,

2d∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) +

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

([u′|2 +

(‖m‖2∞ +

d2(n− 1)2

4ε

)g(u′)2 + εu2

)dσm dt .

Now, using Poincaré inequality, we can choose ε > 0 such that

ε∫

∂ΩN

m.ν u2 dσ ≤ d2

∫

Ω|∇u|2 dx ≤ dE .

So we conclude

d∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) + C

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

((u′)2 + g(u′)2

)dσm dt .

We split ∂ΩN to bound the last term of the above estimate

∂Ω1N = x ∈ ∂ΩN ; |u′(x)| > 1, ∂Ω2

N = x ∈ ∂ΩN ; |u′(x)| ≤ 1 .

46

Using (2.3) and (2.4), we get

∫ T

SE

p−12

∫

∂Ω1N

(|u′|2 + g(u′)2

)dσm dt ≤ C

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

u′g(u′) dσm dt ≤ CE(S) ,

where C neither depend on E(0) if p = 1.On the other hand, using (2.3), (2.4) ; Jensen inequality and boundedness of m, one successivelyobtains∫

∂Ω2N

((u′)2 + g(u′)2

)dσm ≤ C

∫

∂Ω2N

(u′g(u′))2/(p+1) dσm ≤ C(∫

∂Ω2N

u′g(u′) dσm

) 2p+1 ≤ C(−E′)

2p+1 .

Hence, using Young inequality again, we get for every ε > 0

∫ T

SE

p−12

∫

∂Ω2N

((u′)2 + g(u′)2

)dσm dt ≤

∫ T

S(εE

p+12 − C(ε)E′) dt ≤ ε

∫ T

SE

p+12 dt+ C(ε)E(S) .

Finally, we get, for some C(ε) and C independent of E(0) if p = 1

d∫ T

SE

p+12 dt ≤ C(ε)E(S) + εC

∫ T

SE

p+12 dt .

Choosing now εC ≤ d2, Theorems 2.1 and 2.2 result from Proposition 2.2.

2.1.4 Examples and numerical results

Examples

We here consider the case when Ω is a plane convex polygonal domain. The normal unit vectorpointing outward of Ω is piecewise constant and the nature of boundary conditions involved bythe multiplier method can be determined on each edge, independently of other edges.Along each edge, vector ν is constant and the boundary conditions are defined by the sign of

m(x).ν(x) = (Rθ(x− x0)).ν(x) = (x− x0).R−θ(ν(x)) .

Hence we build ν, R−θ(ν) and we we can determine the sign of above coefficient with respect tothe position of x0. To this end, we construct two straight lines, orthogonal with respect to R−θ(ν)so that each of them contains one vertex of the considered edge.This determines a belt and if x0 belongs to this belt, we obtained mixed boundary conditions alongthis edge, if x0 does not belong to this belt, then we get Dirichlet or Neumann boundary conditionsalong whole the edge (see Figure 2.6).

ν

θR−θ(ν)

NN DD

Figure 2.6 – Boundary conditions along some edge depending on the position of x0.

Performing this method for a square, Ω = (0, 1)2, we show in Figure 2.77 the different cases ofboundary conditions depending on the position of x0. Three main cases are considered

1. 0 < θ <π

4: above belts controlling opposite edges have a non-empty intersection, which is a

belt of positive thickness,

47

2. θ =π

4: this intersection is a straight line,

3.π

4< θ <

π

2: the intersection is empty.

The case when θ is negative can be easily deduced by symmetry.In the three above cases, there are four angular sectors (shaded areas in Figure 2.7) such that if x0belongs to one of them, then geometrical condition (2.6) is satisfied.

Figure 2.7 – Shape of boundary data with respect to x0 (from left to right, cases 1,2,3).

Numerical results

We perform numerical experiments by considering the following case

Ω = (0, 1)2 , ∂ΩD =(0 ×

[0,

12

])∪([0, 1]× 0

), ∂ΩN = ∂Ω \ ∂ΩD ,

and using above vector fieldm(x) = Rθ(x− x0) .

We only consider the case of a linear feedback. Let us write down the problem.

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν u′

u(0) = u0u

′(0) = u1

in Ω × R∗+ ,

on ∂ΩD × R∗+ ,

on ∂ΩN × R∗+ ,

in Ω ,in Ω .

We will investigate cases when θ varies in [0, arctan(2)]. A particular case is given in Figure 2.8.

Ω

∂ΩNθ

Dθ∂ΩD b

c

a

d

α

Figure 2.8 – When x0 belongs to Dθ, geometrical condition (2.6) is satisfied at α.

Our aim here is to study numerically the variations of the speed of stabilization with respect to theposition of x0 and the value of θ.To this end, we have built a finite differences scheme (in space). This leads to a linear second orderdifferential equation

U′′ + BU′ + KU = 0 , (2.18)

48

where B is the feedback matrix and −K is the discretized Laplace operator.Let us define V = K1/2U. Above differential equation can be rewritten as follows

(VU′

)′=

(0

−K1/2K1/2

−B

)(VU′

)

and the energy function can be approximated by12(〈U,KU〉+ ‖U′‖2) = 1

2(‖V‖2 + ‖U′‖2).

The decreasing rate is given by the highest real part of the eigenvalues of the above matrix. Resultsof our computations are shown in Figure 2.9 where we built the decreasing rate as a functiondepending on θ and the position of x0 represented by the abscissa λ along Dθ.

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.50.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

lambdatheta

decr

easi

ng r

ate

Figure 2.9 – Dependance of the decreasing rate with respect to θ, λ.

It can be observed that in this case, the decreasing rate is increasing with θ and the best positionfor x0 is the origin of half-line Dθ .

Acknowledgments. This work is partly supported by FONDECYT 1061263 and ECOS-CONICYT CO4E08.

49

2.2 Article 2 : Boundary stabilization and control of the wave equationby means of a general multiplier method

Nous présentons maintenant l’article soumis pour publication dans Portugaliae Mathematica. Ce travail esten collaboration avec Jean-Pierre Lohéac. Nous montrons que l’on peut étendre le travail précédent en com-mun avec A. Osses au cas de multiplicateurs généraux. Nous obtenons ainsi de nouveaux cas géométriquesconcernant la localisation du feedback permettant la stabilisation exponentielle du système

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν u′

u(0) = u0u

′(0) = u1

dans Ω × R∗+,



dans Ω,dans Ω,

où∂ΩN ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≥ 0, ∂ΩD ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≤ 0.

et m vérifieinfΩ

div(m) > supΩ

(div(m) − 2λm)

avec λm(x) est la plus petite valeur propre de la partie symétrique du gradient matriciel ∇m(x)s. Nousobtenons nos résultats de stabilisation sous la même hypothèse géométrique que précédemment

m.τ ≤ 0 sur Γ := ∂ΩD ∩ ∂ΩN

(où τ(x) est la normale sortante de ∂ΩN en un point x ∈ Γ en considérant ∂ΩN comme une sous-variétéde ∂Ω). Notre méthode nous permet également d’obtenir de nouveaux cas de contrôle par la méthode desmultiplicateurs sans condition d’orientation sur la frontière.

Abstract

We describe a general multiplier method to obtain boundary stabilization of the wave equationby means of a (linear or quasi-linear) Neumann feedback. This also enables us to get Dirichletboundary control of the wave equation. This method leads to new geometrical cases concerning the"active" part of the boundary where the feedback (or control) is applied.Due to mixed boundary conditions, the Neumann feedback case generate singularities. Under asimple geometrical condition concerning the orientation of the boundary, we obtain a stabilizationresult in linear or quasi-linear cases.

Introduction

In this paper we are concerned with control and stabilization of the wave equation in a multi-dimensional body Ω ⊂ Rn.

Stabilization is obtained using a feedback law given by some part of the boundary of the spacialdomain and some function defined on this part. The problem can be written as follows

u′′ − ∆u = 0 in Ω × R∗+ ,

u = 0 on ∂ΩD × R∗+ ,

∂νu = F on ∂ΩN × R∗+ ,

u(0) = u0 in Ω ,u′(0) = u1 in Ω ,

where we denote by u′, u′′, ∆u and ∂νu the first time-derivative of u, the second time-derivative ofthe scalar function u, the standard Laplacian of u and the normal outward derivative of u on ∂Ω,

50

respectively ; (∂ΩD, ∂ΩN) is a partition of ∂Ω and F is the feedback function which may depend onstate (u, u′), position x and time t.Our purpose here is to choose the feedback law, that is to say the feedback function F and the“active” part of the boundary, ∂ΩN , so that for every initial data, the energy function

E(t) =12

∫

Ω(|u′(t)|2 + |∇u(t)|2) dx ,

is decreasing with respect to time t, and vanishes as t −→ ∞.Formally, we can write the time-derivative of E as follows

E′(t) =∫

∂ΩN

Fu′ dσ ,

and a sufficient condition for E to be non-increasing would be : Fu′ ≤ 0 on ∂ΩN .Thanks to the multiplier method introduced by L.F. Ho [32] in the framework of Hilbert UniquenessMethod [43], it can be shown that the energy function is uniformly decreasing as time t tends to ∞

by choosing x 7→ m(x) = x− x0, where x0 is some given point in Rn and

∂ΩN = x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) > 0 , F = −m.ν u′ ,

where ν is the normal unit vector pointing outward of Ω.This method has been performed by many authors, see for instance Komornik and Zuazua [36],Komornik [35] and the references therein. Here we extend the above result for rotated multipliersdefined in [59] and we follow the analysis of singularities initiated by Grisvard [25, 26] and extendedby Bey, Lohéac and Moussaoui [10]. This last work leads to results in case of higher dimensionaldomains with a non-empty boundary interface Γ = ∂ΩN ∩ ∂ΩD under an additional geometricalassumption concerning the orientation of the boundary.

Concerning the control problem, our goal is to find v such that the solution of

u′′ − ∆u = 0u = 0u = vu(0) = u0u

′(0) = u1

in Ω × (0, T),on ∂ΩD × (0, T),on ∂ΩN × (0, T),in Ω,in Ω,

reaches an equilibrium at t = T.We here follow [32] : in this work, Ho used the multiplier technique. His main purpose was to provean inverse inequality for the linear wave equation implying its exact controllability. He introducedthe so-called exit condition : the control region must contain a subset of the boundary where thescalar product between the outward normal and the vector pointing from some origin towards thenormal is positive. By varying the origin, a family of boundary controls satisfying the condition isobtained.In the last decades, micro-local techniques and geometric optics analysis allowed to find geometri-cal characterization of control and minimal control time in the exact controllability of waves. Thiscondition has been introduced in [6] under the name of Geometric Control Condition (GCC). It gene-ralized the previous exit condition.There is a certain balance : with GCC, control time is optimal but the observability constant is notexplicit. With exit condition, time is not optimal but observability constants can be explicit, which isvery useful in theoretical and numerical estimations.In this paper we extend the family of multipliers recently introduced by Osses [59].

2.2.1 Notations and main results

Let Ω be a bounded open connected set of Rn(n ≥ 2) such that

∂Ω is C2 in the sense of Necas [53]. (2.19)

51

In the sequel, we denote by I the n× n identity matrix and by As the symmetric part of a matrix A.Let m be a W1,∞(Ω) vector-field such that

ess infΩ

(div(m)

)> ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

)(2.20)

where div is the usual divergence operator and λm(x) is the smallest eigenvalue of the real sym-metric matrix ∇m(x)s. Using Sobolev embedding, one may also assume that m ∈ C(Ω).

Remark 2.3. The set of all W1,∞(Ω) vector-fields such that (2.20) holds is an open cone. If m belongs to thisset, we denote

c(m) =12

(ess inf

Ω

(div(m)

)− ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

)).

Examples

– An affine example is given by

m(x) = (A1 +A2)(x− x0) ,

where A1 is a definite positive matrix, A2 a skew-symmetric matrix and x0 any point in Rn.– A non linear example is

m(x) = (dI+A)(x− x0) + F(x) ,

where d > 0, A is a skew-symmetric matrix, x0 any point in Rn and F is a W1,∞(Ω) vectorfield such that

ess supΩ

‖∇Fs‖ <dn,

where ‖ · ‖ stands for the usual 2-norm of matrices.We consider a partition (∂ΩN , ∂ΩD) of ∂Ω such that

∣∣∣∣∣∣

Γ = ∂ΩD ∩ ∂ΩN is a C3-manifold of dimension n− 2 such that m.ν = 0 on Γ,∃ ω neighborhood of Γ such that ∂Ω ∩ ω is a C3-manifold of dimension n− 1,

Hn−1(∂ΩD) > 0 (Hn−1 is the (n− 1)-dimensional Hausdorff measure).(2.21)

Furthermore, we assume

∂ΩN ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≥ 0 , ∂ΩD ⊂ x ∈ ∂Ω /m(x).ν(x) ≤ 0 . (2.22)

This assumption clearly implies : m.ν = 0 on Γ.

Boundary stabilization Let g : R → R be a measurable function such that

g is non-decreasing and ∃k+ > 0 : |g(s)| ≤ k+|s| a.e. . (2.23)

Let us now consider the following wave problem,

(S)

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu = −m.ν g(u′)u(0) = u0u

′(0) = u1

in Ω × R∗+ ,

on ∂ΩD × R∗+ ,

on ∂ΩN × R∗+ ,

in Ω ,in Ω ,

where initial data satisfy(u0, u1) ∈ H1

D(Ω)× L2(Ω)

with H1D(Ω) = v ∈ H1(Ω) : v = 0 on ∂ΩD.

52

Problem (S) is well-posed in this space. Indeed, following Komornik [35], we define the non-linearoperator W on H1

D(Ω)× L2(Ω) by

W(u, v) = (−v,−∆u) ,D(W) = (u, v) ∈ H1

D(Ω)×H1D(Ω) /∆u ∈ L2(Ω) and ∂νu = −m.ν g(v) on ∂ΩN ,

so that (S) can be written as follows,

(u, v)′ +W(u, v) = 0 ,(u, v)(0) = (u0, u1) .

It is classical that W is a maximal-monotone operator on H1D(Ω)× L2(Ω) and that D(W) is dense

in H1D(Ω) × L2(Ω) for the usual norm. Following Brézis [11], we can deduce that for any initial

data (u0, v0) in D(W) there is a unique strong solution (u, v) such that u ∈ W1,∞(R; H1D(Ω)) and

∆u ∈ L∞(R+; L2(Ω)). Moreover, for two initial data, the corresponding solutions satisfy

∀t ≥ 0 , ‖(u1(t), v1(t))− (u2(t), v2(t))‖H1D(Ω)×L2(Ω) ≤ ‖(u10, v10)− (u20, v

20)‖H1

D(Ω)×L2(Ω) .

Using the density of D(W), one can extend the map

D(W) −→ H1D(Ω)× L2(Ω)

(u0, v0) 7−→ (u(t), v(t))

to a strongly continuous semi-group of contractions (S(t))t≥0 and define for (u0, u1) ∈ H1D(Ω)×

L2(Ω) the weak solution (u(t), u′(t)) = S(t)(u0, u1) with the regularity u ∈ C(R+; H1D(Ω)) ∩

C1(R+; L2(Ω)). We hence define the energy function of solutions by

E(0) =12

∫

Ω(|u1|2 + |∇u0|2) dx and E(t) =

12

∫

Ω(|u′(t)|2 + |∇u(t)|2) dx , for t > 0 .

In order to get stabilization results, we need further assumptions concerning the feedback functiong

∃p ≥ 1 , ∃k− > 0 : |g(s)| ≥ k− min|s|, |s|p , a.e. , (2.24)

and the additional geometric assumption

m.τ ≤ 0 on Γ , (2.25)

where τ(x) is the normal unit vector pointing outward of ∂ΩN at a point x ∈ Γ when considering∂ΩN as a sub-manifold of ∂Ω.

Remark 2.4. It is not necessary to assume that

Hn−1(x ∈ ∂ΩN /m(x).ν(x) > 0) > 0

to get stabilization. In fact, our choices of m imply such properties (see examples in Section 5) whether theenergy tends to zero.

A main tool in this work is Rellich type relations [62]. They lead to results of controllability andstabilization for the wave problem (see [36] and [32]). When the interface Γ is not empty, the key-problem is to show the existence of a decomposition of the solution in a regular and a singularparts (see [25, 37]) in any dimension. The first results towards this direction are due to Moussaoui[52], and Bey-Lohéac-Moussaoui [10].In this new case, our goal is to generalize those Rellich relations. This will lead us to get a stabi-lization result about (S) under (2.22), (2.25). As well as in [35], we shall prove here two results ofuniform boundary stabilization.

53

Exponential boundary stabilization We here consider the case when p = 1 in (2.24). This issatisfied when g is linear,

∃α > 0 : ∀s ∈ R , g(s) = αs .

In this case, the energy function is exponentially decreasing.

Theorem 2.5. Assume that conditions (2.19), (2.20), (2.21) and (2.22) hold and that the feedback functiong satisfies (2.23) and (2.24) with p = 1.Then under the further geometrical assumption (2.25), there exist C > 0 and T > 0 such that for everyinitial data in H1

D(Ω)× L2(Ω), the energy of the solution u of (S) satisfies

∀t > T , E(t) ≤ E(0) exp(1− t

C

).

The above constants C and T do not depend on initial data.

Rational boundary stabilization We here consider the case p > 1 and we get rational boun-dary stabilization.

Theorem 2.6. Assume that conditions (2.19), (2.20), (2.21) and (2.22) hold and that the feedback functiong satisfies (2.23) and (2.24) with p > 1.Then under the further geometrical assumption (2.25), there exist C > 0 and T > 0 such that for everyinitial data in H1

D(Ω)× L2(Ω), the energy of the solution u of (S) satisfies

∀t > T , E(t) ≤ C t2/(1−p) .

where C depends on the initial energy E(0).

Remark 2.5. Taking advantage of the work by Banasiak and Roach [5] who generalized Grisvard’s results[25] in the piecewise regular case, we will see that Theorems 2.5 and 2.6 remain true in the bi-dimensionalcase when assumption (2.19) is replaced by following one,

∂Ω is a curvilinear polygon of class C2 ,each component of ∂Ω \ Γ is a C2-manifold of dimension 1 ,

(2.26)

and when condition (2.25) is replaced by

∀x ∈ Γ , 0 ≤ x ≤ π and if x = π , m(x).τ(x) ≤ 0 . (2.27)

where x is the angle of the boundary at point x.

Boundary control problem Our problem consists in finding T0 such that for each T > T0 and forevery (u0, u1) ∈ L2(Ω)×H−1(Ω), there exists v ∈ L2(∂ΩN × (0, T)) in such a way that the solutionof the wave equation

(Σ)

u′′ − ∆u = 0u = 0u = vu(0) = u0u

′(0) = u1

in Ω × (0, T) ,on ∂ΩD × (0, T) ,on ∂ΩN × (0, T) ,in Ω ,in Ω .

satisfiesu(T) = u′(T) = 0 in Ω. (2.28)

Theorem 2.7. Assume that (2.19), (2.20), (2.21) and (2.22) hold.

Then if T > 2‖m‖∞

c(m), for every initial data (u0, u1) ∈ L2(Ω) ×H−1(Ω), there exists a control function

v ∈ L2(∂ΩN × (0, T)) such that the corresponding solution of (Σ) satisfies final condition (10).

54

Our paper is organized as follows.In Section 2, we extend Rellich relations (Theorems 2.8 and 2.9) for elliptic problems with mixedboundary conditions.In Section 3, we apply these relations to prove some stabilization results with linear or quasi-linearNeumann feedback (Theorems 2.5 and 2.6).In Section 4, we extend some observability and controllability results for the wave equation (Pro-position 2.6 and Theorem 2.7).In Section 5, we detail affine examples in the case of a square domain.

2.2.2 Rellich relation

Here, we briefly extend Rellich relation obtained in [10], [17] to our framework.

A regular case

We can easily build a Rellich relation corresponding to the above vector-field m when consideredfunctions are smooth enough.

Proposition 2.3. Assume that Ω is a open set of Rn with boundary of class C2 in the sense of Necas. If ubelongs to H2(Ω) then

2∫

Ω∆um.∇u dx =

∫

Ω(div(m)I− 2(∇m)s)(∇u,∇u) dx+

∫

∂Ω(2∂νum.∇u−m.ν |∇u|2) dσ .

Proof. Using Green-Riemann identity we get∫

Ω∆um.∇u dx =

∫

∂Ω∂νum.∇u dσ −

∫

Ω∇u.∇(m.∇u) dx .

So, observing that

∇u.∇(m.∇u) =12m.∇(|∇u|2) +∇u.(∇m)∇u =

12m.∇(|∇u|2) + (∇m)s(∇u,∇u),

for smooth functions u, we get

2∫

Ω∆um.∇u dx =

∫

∂Ω2∂νum.∇u dσ − 2

∫

Ω(∇m)s(∇u,∇u) dx−

∫

Ωm.∇(|∇u|2) dx .

With another use of Green-Riemann formula, we obtain the required formula thanks to a classicalapproximation.

We will now try to extend this result to the case of a less regular element u when Ω is smoothenough.

Bi-dimensional case

We begin by the plane case : it is the simplest case from the point of view of singularity theory, andits understanding dates from Shamir [65].

Theorem 2.8. Assume n = 2. Under the geometrical conditions (2.26) and (2.21), let u ∈ H1(Ω) such that

∆u ∈ L2(Ω) , u/∂ΩD ∈ H3/2(∂ΩD) , ∂νu/∂ΩN ∈ H1/2(∂ΩN) .

Then 2∂νu(m.∇u)− (m.ν)|∇u|2 ∈ L1(∂Ω) and there exist some coefficients (cx)x∈Γ such that

2∫

Ω∆um.∇u dx =

∫

Ω(div(m)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u) dx+

∫

∂Ω(2∂νum.∇u−m.ν |∇u|2) dσ

+π

4 ∑x/x=π

c2x(m.τ)(x) .

Proof. We follow the proof of Theorem 4 in [17] to get this result.

Remark 2.6. As in Theorem 4 of [17], the assumption H1(∂ΩD) > 0 is not necessary in the above proof.

55

General case

We now state the result in higher dimension.

Theorem 2.9. Assume n ≥ 3. Under geometrical conditions (2.19) and (2.21), let u ∈ H1(Ω) such that

∆u ∈ L2(Ω) , u/∂ΩD ∈ H3/2(∂ΩD) , ∂νu/∂ΩN ∈ H1/2(∂ΩN) .

Then 2∂νu(m.∇u)− (m.ν)|∇u|2 ∈ L1(∂Ω) and there exists ζ ∈ H1/2(Γ) such that

2∫

Ω∆um.∇u dx =

∫


∫

∂Ω(2∂νum.∇u−m.ν |∇u|2) dσ

+∫

Γm.τ |ζ|2 dγ .

Proof. We exactly follow the proof of Theorem 5 in [17] to get this result.

2.2.3 Linear and quasi-linear stabilization

We begin by writing the following consequence of results of Section 2.

Corollary 2.2. Assume that t 7→ (u(t), u′(t)) is a strong solution of (S) and that geometrical additionalassumption (2.25) if n ≥ 3 (or (2.27) if n = 2) holds, then, for every time t, u(t) satisfies

2∫

Ω∆um.∇u dx ≤

∫


∫

∂Ω(2∂νum.∇u−m.ν |∇u|2) dσ .

Proof. Indeed, under theses hypotheses, for each time t, (u(t), u′(t)) ∈ D(W) so that u(t) satisfieshypotheses of Theorems 2.8 or 2.9. The result follows immediately from (2.25) or (2.27).

The main tool in the proof of Theorems 2.5, 2.6 is the following result (see proof in [35]) which

will be applied with α =p− 12

.

Proposition 2.4. Let E : R+ → R+ be a non-increasing function such that there exist α ≥ 0 and C > 0which fulfill

∀t ≥ 0,∫ ∞

tEα+1(s)ds ≤ CE(t).

If E(0) > 0, then, setting T = CEα(0), one gets

if α = 0 , ∀t ≥ T, E(t) ≤ E(0) exp(1− t

T

),

if α > 0 , ∀t ≥ T, E(t) ≤ E(0)(T + αTT + αt

)1/α

.

As usual in this context, we will perform the multiplier method to a suitable m.Putting Mu = 2m.∇u+ au with a a constant to be defined later, we prove the following result.

Lemma 2.3. For any 0 ≤ S < T < ∞, the following inequality holds

∫ T

SE

p−12

∫

Ω

((div(m)− a)(u′)2 +

((a− div(m))I + 2(∇m)s

)(∇u,∇u)

)dx dt

≤ −[E

p−12

∫

Ωu′Mu dx

]TS+

p− 12

∫ T

SE

p−32 E′

∫

Ωu′Mu dx dt

+∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

m.ν((u′)2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσ dt .

56

Proof. We here follow [16].We Use the fact that u is solution of (S) and we observe that u′′Mu = (u′Mu)′ − u′Mu′. Then anintegration by parts gives

0 =∫ T

SE

p−12

∫

Ω(u′′ − ∆u)Mu dx dt

=[E

p−12

∫

Ωu′Mu dx

]TS− p− 1

2

∫ T

SE

p−32 E′

∫

Ωu′Mu dx dt−

∫ T

SE

p−12

∫

Ω(u′Mu′ + ∆u Mu) dx dt .

Corollary 2.2 now gives∫

Ω∆u Mu dx ≤ a

∫

Ω∆u u dx+

∫


∫

∂Ω(2∂νum.∇u−m.ν |∇u|2) dσ .

Consequently, Green-Riemann formula leads to∫

Ω∆u Mu dx ≤

∫

Ω((div(m)− a)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u) dx+

∫

∂Ω(∂νu Mu−m.ν |∇u|2) dσ .

Using boundary conditions and the fact that ∇u = ∂νu ν on ∂ΩD, we then get∫

Ω∆uMu dx ≤

∫

Ω((div(m)− a)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u) dx−

∫

∂ΩN

m.ν (g(u′)Mu+ |∇u|2) dσ .

On the other hand, another use of Green formula gives us∫

Ωu′Mu′ dx =

∫

Ω(a− div(m))(u′)2 dx+

∫

∂ΩN

m.ν |u′|2 dσ .

We complete the proof by summing up above estimates.Let us now prove Theorems 2.5 and 2.6.Proof. Following [35] and [16], we will prove the estimates for (u0, u1) ∈ D(W) which will besufficient thanks to a density argument.Using Lemma 2.3, we have to find a such that div(m) − a and (a − div(m))I + 2(∇m)s are uni-formly minorized on Ω, that is, almost everywhere on Ω

div(m)− a ≥ c ,2λm + (a− div(m)) ≥ c ,

(2.29)

for some positive constant c. The latter condition is then equivalent to find a which fulfills

ess infΩ

(div(m)

)> a > ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

),

and its existence is now garanted by (2.20). Moreover, it is straightforward to see that the greatestvalue of c such that (2.29) holds is

12

(ess inf

Ω

(div(m)

)− ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

))= c(m) ,

and obtained for a = a0 :=12

(ess inf

Ω

(div(m)

)+ ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

)).

With this value a0, we apply Lemma 2.3 and get

2c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ −

[E

p−12

∫

Ωu′Mu dx

]TS+

p− 12

∫ T

SE

p−32 E′

∫

Ωu′Mu dx dt

+∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

m.ν((u′)2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσ dt .

57

Young and Poincaré inequality gives∣∣∣∫

Ωu′Mu dx

∣∣∣ ≤ CE(t) .

It follows then

2c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ C(E

p+12 (T) + E

p+12 (S)) + C

∫ T

SE

p−12 (−E′) dt

+∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

m.ν((u′)2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσ dt .

Let dσm = m.ν dσ. If we observe that E′(t) = −∫

∂ΩN

g(u′)u′ dσm ≤ 0, we get, for a constant C > 0

independent of E(0) if p = 1,

2c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) +

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

((u′)2 − |∇u|2 − g(u′)Mu

)dσm dt.

Using the definition of Mu and Young inequality, we get for any ε0 > 0

2c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) +

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

((u′)2(1+ ‖m‖2∞) +

α2

4ε0g(u′)2 + ε0u2

)dσm dt .

Now, using Poincaré inequality, we can choose ε0 > 0 such that

ε0

∫

∂ΩN

u2 dσm ≤ c(m)

2

∫

Ω|∇u|2 dx ≤ c(m)E .

So we conclude

c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) + C

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

((u′)2 + g(u′)2

)dσm dt .

We split ∂ΩN to bound the last term of this estimate

∂Ω1N = x ∈ ∂ΩN / |u′(x)| > 1 , ∂Ω2

N = x ∈ ∂ΩN / |u′(x)| ≤ 1 .Using (2.23) and (2.24), we get

∫ T

SE

p−12

∫

∂Ω1N

((u′)2 + g(u′)2

)dσm dt ≤ C

∫ T

SE

p−12

∫

∂ΩN

u′g(u′) dσm dt ≤ CE(S) ,

where C depends on E(0) if p = 1.On the other hand, using (2.23), (2.24), Jensen inequality and boundedness of m, one successivelyobtains∫

∂Ω2N

((u′)2 + g(u′)2

)dσm ≤ C

∫

∂Ω2N

(u′g(u′))2/(p+1) dσm ≤ C(∫

∂Ω2N

u′g(u′) dσm

) 2p+1 ≤ C(−E′)

2p+1 .

Hence, using Young inequality again, we get for every ε > 0∫ T

SE

p−12

∫

∂Ω2N

((u′)2 + g(u′)2

)dσm dt ≤

∫ T

S(εE

p+12 − C(ε)E′) dt ≤ ε

∫ T

SE

p+12 dt+ C(ε)E(S) .

Finally we get, for some C(ε) and C independent of E(0) if p = 1

c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ C(ε)E(S) + εC

∫ T

SE

p+12 dt .

Choosing now εC ≤ c(m)

2, one obtains

c(m)∫ T

SE

p+12 dt ≤ CE(S) ,

and Theorems 2.5 and 2.6 can be deduced from Proposition 2.4.

58

Remark 2.7. As stated before, we can replace m by λm for any positive λ. One can wonder what happensto the speed of stabilization θ = c(m)

C found in Theorem 2.5. In fact, a careful estimation of all terms showsthat one can obtain

C = k− + k+λ2 + k+a204(1+ CP)CTrλ

3 ,

where CP denotes the Poincaré constant and CTr the norm of the trace application Tr : H1(Ω) → L2(∂Ω).The speed found in our proof is consequently

θ = c(m)

(k−λ

+ k+λ + k+a204(1+ CP)CTrλ

2)−1

.

It can be shown that θ reaches a maximum at some point

λ0 ∈[min

(( k−k+a20(1+ CP)CTr

)1/3,

2a20(1+ CP)CTr

),

√k−k+

].

Besides, θ tends to 0 when λ → 0 or ∞.

Remark 2.8. In fact, one can replace the feedback law m.ν g(u′) by a more general one g(x, u′) providedthat, for some constant c > 1,

c−1(m.ν)1p |s| 12+ 1

p ≤ |g(x, s)| ≤ c(m.ν)1p |s| 12+ 1

p for a.e. x ∈ ∂ΩN and |s| 6 1 ,

c−1(m.ν)|s| ≤ |g(x, s)| ≤ c(m.ν)|s| for a.e. x ∈ ∂ΩN and |s| > 1 .

The details are left to the reader but the previous proof works also in this case.

2.2.4 Observability and controllability results

It is well-known that micro-local techniques [6] characterize all partitions of the boundary such thatthis result holds, but constants are not explicit. Thus, using this new choice of multiplier, we willenlarge the set of geometric examples with explicit knowledge of constants. We here follow [59].

Preliminary settings

Following HUM method [43], controlabillity of problem (Σ) is equivalent to observability of itsadjoint problem. the solution of the control problem is equivalent to studying the observabilityproperties of the adjoint problem. For each pair of initial conditions (ϕ0, ϕ1) ∈ H1

0(Ω)× L2(Ω), letus consider the solution ϕ of the following wave problem,

(Σ′)

ϕ′′ −ϕ = 0ϕ = 0ϕ(0) = ϕ0

ϕ′(0) = ϕ1

in Ω × (0, T) ,on ∂Ω × (0, T) ,in Ω ,in Ω .

Observability of (Σ′) is equivalent to the existence of a constant C < ∞ independent of (ϕ0, ϕ1)such that

E0 =12

∫

Ω

(|ϕ1|2 + |∇ϕ0|2)dx 6 C

∫

∂ΩN×(0,T)|∂ν ϕ|2dσ dt .

Let us define the operator W0 on H10(Ω)× L2(Ω) by

W0(ϕ,ψ) = (−ψ,−∆ϕ) ,D(W0) = (ϕ,ψ) ∈ H1

0(Ω)×H10(Ω) /∆ϕ ∈ L2(Ω) ,

so that (Σ′) can be written as follows,

(ϕ,ψ)′ +W0(ϕ,ψ) = 0 ,(ϕ,ψ)(0) = (ϕ0, ϕ1) .

59

Remark 2.9. If (ϕ,ψ) ∈ D(W0), ϕ is the solution of some Dirichlet Laplace problem and hence regular(that is ϕ ∈ H2(Ω)).

W0 is a maximal-monotone operator on H10(Ω)× L2(Ω) and D(W0) is dense in H1

0(Ω)× L2(Ω) forthe usual norm. Using Hille-Yosida Theorem, it generates a unitary semi-group on H1

0(Ω)×L2(Ω),we denote its value applied at (ϕ0, ϕ1) at time t by (ϕ(t), ϕ′(t)).As a consequence, we get conservation of energy.

Proposition 2.5. If t > 0 and ϕ is a weak solution of (Σ′), then

E(t) =12

∫

Ω(|ϕ′(t)|2 + |∇ϕ(t)|2) dx = E0 .

A weak solution of (Σ′) hence belongs to C(R+; H1D(Ω)) ∩ C1(R+; L2(Ω)).

A solution with (ϕ0, ϕ1) ∈ D(W0) is called a strong solution and satisfies (ϕ, ϕ′) ∈ C(R+;D(W0)).

Inverse inequality and exact controllability

We keep similar notations as in Section 2 : a0 =12

(ess inf

Ω

(div(m)

)+ ess sup

Ω

(div(m)− 2λm

)).

Proposition 2.6. If T > 2‖m‖∞

c(m), for each weak solution ϕ of (Σ′), the following inequality holds

E0 6

ess sup∂ΩN

|m.ν|

2(c(m)T − 2‖m‖∞

)∫

∂ΩN×(0,T)|∂ν ϕ|2 dσ dt .

Remark 2.10. In the case m(x) = (dI+A)(x− x0) with A skew-symmetric matrix, we recover classicalresults (see [36],[59]).

Proof. Let (ϕ0, ϕ1) ∈ D(W0). We use again Mϕ = 2m.∇ϕ + a0ϕ. Using the fact that ϕ is solution of(Σ′) and observing that ϕ′′Mϕ = (ϕ′Mϕ)′ − ϕ′Mϕ′, we get

0 =∫ T

0

∫

Ω(−ϕ′′ + ∆ϕ)Mϕ dx dt = −

[∫

Ωϕ′Mϕ dx

]T0+∫ T

0

∫

Ω(ϕ′Mϕ′ + ∆ϕMϕ) dx dt .

As well as in the proof of Theorems 2.5 and 2.6, one uses Green-Riemann formula and Proposition2.3 to get

∫

Ω∆ϕMϕ dx =

∫

Ω((div(m)− a0)I − 2(∇m)s)(∇ϕ,∇ϕ) dx+

∫

∂Ω(∂ν ϕMϕ −m.ν |∇ϕ|2) dσ .

Dirichlet boundary conditions lead to∫

Ω∆ϕMϕ dx =

∫

Ω((div(m)− a0)I − 2(∇m)s)(∇ϕ,∇ϕ) dx+

∫

∂ΩN

m.ν |∂ν ϕ|2 dσ .

On the other hand, another use of Green formula gives us∫

Ωϕ′Mϕ′ dx =

∫

Ω(a0 − div(m))|ϕ′|2 dx ,

so, we finally get, using the same minoration as in proof of Theorems 2.5 and 2.6

c(m)∫ T

0

∫

Ω|ϕ′|2 + |∇ϕ|2 dx dt 6 −

[∫

Ωϕ′Mϕ dx

]T0+∫

∂ΩN

m.ν |∂ν ϕ|2 dσ . (2.30)

60

Using the conservation of the energy, the left hand side in (2.30) is 2cTE0. It only remains to estimate

the term[−∫

Ωϕ′Mϕ dx

]T0to end the proof.

Let us fix a time t ∈ 0, T. Cauchy-Schwarz inequality leads to

−∫

Ωϕ′Mϕ dx 6

(∫

Ω|ϕ′|2

)1/2(∫

Ω|Mϕ|2

)1/2

Denoting by ‖.‖ the L2(Ω)-norm, we get the following splitting

‖Mϕ‖2 = ‖2m.∇ϕ‖2 + a20‖ϕ‖2 + 4a0∫

Ωϕ m.∇ϕ dx .

Green-Riemann formula and Dirichlet boundary conditions give∫

Ωϕ m.∇ϕ dx = −1

2

∫

Ωdiv(m)|ϕ|2 dx ,

and since a0 − 2div(m) 6 a0 − div(m) 6 −c(m) a.e., we finally get that ‖Mϕ‖ 6 2‖m‖∞‖∇ϕ‖.Consequently, with Young inequality, we get the following estimate

−∫

Ωϕ′Mϕ dx 6 2‖m‖∞

(∫

Ω|ϕ′|2

)1/2(∫

Ω|∇ϕ|2

)1/26 2‖m‖∞E0 .

So (2.30) becomes

2(c(m)T − 2‖m‖∞

)E0 6

∫

∂ΩN

m.ν |∂ν ϕ|2 dσ ,

which ends the proof of Proposition 2.6, using the density of the domain.Now we can deduce our exact controllability result (Theorem 2.7) from Proposition 2.6 followingHUM method (see [43], Chapter IV).

2.2.5 Example

Let us consider here the case of a square domain Ω = (0, 1)2 with the following affine multiplier,

m(x) =(

cot θ11

−1cot θ2

)(x− x0) (2.31)

where θ1 and θ2 belong to(0,

π

2

).

We will discuss the dependence of ∂ΩN and ∂ΩD on x0.First let us consider one edge [ab] of Ω with its normal unit vector ν. One can easily see that

m(x).ν(x) =1

sin θ(x− x0).νθ ,

where θ = θ1 (resp. θ2) if [ab] ⊂ [0, 1] × 0, 1 (resp. 0, 1 × [0, 1]) and νθ is deduced from ν byrotation of angle −θ. Without any restriction, we suppose a.νθ < b.νθ .Then there exists an interface point along [ab] if and only if x0 belongs to the belt

Bθ = x ∈ R2 / a.νθ < x.νθ < b.νθ .

In this case, at this interface point x1, we get with similar notations,

m(x1).τ(x1) =1

sin θ(x1 − x0).τθ .

Then additional geometric assumption (2.25) is not satisfied if x0 belongs to half-belt B+θ (see Fig.

2.10).We now can describe every situation by considering only three following cases (see Fig. 2.11),

(C1) : 0 < θ1 ≤ θ2 <π

4, (C2) : 0 < θ1 <

π

4≤ θ2 <

π

2, (C3) :

π

4≤ θ1 ≤ θ2 <

π

2.

We also show a fully detailled partition in some particular case coresponding to (C2) (see Fig. 2.12).

61

ba

νθν

τθ

B+θ

B−θ

θ

Figure 2.10 – If x0 belongs to B−θ , we get mixed boundary conditions along [ab] and condition (2.25) is satisfied.

Figure 2.11 – Cases (C1), (C2), (C3). Condition (2.25) is not satisfied in colored regions.

θ1

θ2∂ΩN

∂ΩD

x0

Figure 2.12 – Example of Dirichlet and Neumann parts of the boundary in a case of (C2)-type.

62

2.3 Commentaires

Limites

Il semble d’un point de vue numérique que la condition géométrique

m.τ 6 0 sur Γ

n’est pas nécessaire afin d’obtenir de la stabilisation pour l’équation des ondes décrite dans lesdeux articles précédents. On considère en effet le même exemple que celui décrit dans l’article 1

β

α

θ

∂ΩN

∂ΩD

x0

Figure 2.13 – Partition du bord de Ω pour θ ∈ (arctan(2),π/2)

ci dessus (voir Fig.2.8) mais avec θ ∈ (arctan(2),π/2). La figure fait alors apparaitre un deuxièmepoint d’interface Dirichlet-Neumann β (voir Fig. 2.13) et il est aisé de constater que

m.τ(β) > 0.

On peut calculer numériquement le taux de décroissance de l’énergie discrétisée par la mêmeméthode que celle décrite dans le premier article. On trouve ainsi un taux de 0.074807 dans le casparticulier θ = arctan(3) et x0 choisi comme sur la figure.

Elasticité

A la lecture des résultats précédents sur l’équation des ondes, on peut se demander si on peut ap-pliquer une stratégie analogue pour le système de l’élasticité. Malheureusement, le cadre vectorielcomplique en fait beaucoup les choix des multiplicateurs.On rappelle l’équation de l’élastodynamique

u′′ − div(σ(u)) = 0u = 0σ(u)ν = 0(u(0), u′(0)) = (u0, u1)

dans Ω × R+

sur ∂ΩD × R+

sur ∂ΩN × R+

dans Ω

avec u = (u1, . . . , un) un champ de vecteur,

ε(u)i,j =12(∂xiuj + ∂xjui) et σ(u) = 2µε(u) + λTr(ε(u))In

(avec λ et µ les coefficients de Lamé du système) et

div(σ(u))j =n

∑i=1

∂xi(σ(u)i,j).

Comme dans le cas des ondes, on peut étudier la stabilisation par la méthode des multiplicateurs.Nous renvoyons à ce sujet aux travaux [4] et [13]. L’analogue de l’identité de Rellich standard pourles ondes (c’est-à-dire dans le cas m0(x) = x− x0) est la relation (voir [13] Theorem 1.1)

63

Proposition 2.7. Soit u ∈ H2(Ω)n. On a alors l’identité

2∫

Ωdiv(σ(u)).(m0.∇)udx = (n− 2)

∫

Ωσ(u) : ε(u)dx+

∫

∂ΩΘ(u, u)dσ

où : dénote le produit scalaire euclidien entre deux matrices et, pour deux champs de vecteurs u1, u2,

Θ(u1, u2) = 2(σ(u1)ν).((m0.∇)u2)− (m0.ν)σ(u1) : ε(u2).

Cette relation est obtenue par deux intégrations par parties et grâce à l’identité

σ(u) : ∇((m0.∇)u) = σ(u) : ε(u) +12∇(σ(u) : ε(u)).m0

(avec la convention (∇v)i,j = ∂xjvi) qui s’écrit également

∑i,j,k

σi,j(u)∂xj(m0k∂xkui) = ∑

i,j

σi,j(u)2

(∂xiuj + ∂xjui) +14 ∑

i,j,k

m0k∂xk(σi,j(u)(∂xiuj + ∂xjui))

ou encoreσ(u) : (∇u∇m0) = ∑

i,j,kσi,j(u)∂xjm

0k∂xkui = ∑

i,jσi,j(u)∂xiuj = σ(u) : ε(u).

Un problème dû au caractère vectoriel de l’inconnue est donc que, contrairement au cas des ondes,le terme de droite de cette identité ne dépend pas seulement de la partie symétrique (∇m)s maisde la matrice entière ∇m.Les multiplicateurs convenables pour obtenir une inégalité de Rellich doivent en fait vérifier (voir[9]), pour α > 0,

∀u ∈ C1(Ω), σ(u) : (∇u∇m0) > ασ(u) : ε(u).

Il est donc malheureusement aisé de construire des multplicateurs tournés ne satisfaisant pas cetteestimation.

Exemple 2.1. On se place en dimension deux d’espace. On considère m(x) = Rθ(x− x0) avec sin(θ) > 0et u(x) = x+ ax⊥ (avec x⊥ = (−x2, x1)). Alors, pour a assez grand, on a

σ(u) : (∇u∇m) < 0

tandis queε(u) : σ(u) > 0.

64

Multiplicateurs et stabilisationd’ondes avec délai

3.1 Equations avec délai

Du fait de l’introduction d’un terme de retard, les équations différentielles ordinaires ou aux dé-rivées partielles sont plus délicates à traiter. Pour un cadre général, on pourra se référer au livrede Pruss ([61]) et nous présenterons ici uniquement ce qui nous intéresse plus particulièrement, àsavoir le cas des ondes avec délai. Cette présentation suivra de très près celle de [60].On s’intéresse au système, pour Hn−1(∂ΩD) 6= 0,

u′′ − ∆u = gu = 0∂νu+

∫ t0 u

′(t− s, x)dk(s, x) = h(u(0), u′(0)) = (u0, u1)

dans Ω × R+

sur ∂ΩD × R+

sur ∂ΩN × R+

dans Ω

(3.1)

avec u0, u1 et g, h des fonctions définies sur Ω et Ω × R+, ∂ΩN × R+ dans des espaces à préciser,k ∈ BVloc,t(R

+, L∞x (∂ΩN)) telle que k(0, .) = 0 et où l’intégrale est à comprendre au sens de Stieltjes.

Notons H = L2(Ω) et V = u ∈ H1(Ω); u = 0 sur ∂ΩD les espaces de Hilbert muni de leursproduits scalaires et normes usuels (., .), |.| et < ., . >, ‖.‖.En supposant tout d’abord que g ∈ C(R+,H) et h ∈ C(R+, L2(∂ΩN)) et que la solution vérifieu ∈ C2(R+,H) ∩ C1(R+,V) et ∆u ∈ C(R+,H), on calcule pour v ∈ V

∫

Ωg(t)vdx =

∫

Ω(u′′(t)− ∆u(t))vdx

= < u′′(t), v >V′,V +α(u(t), v) +∫

∂ΩN

∫ t

0u′(t− s, x)v(x)dk(s, x)dσ(x)

−∫

∂ΩN

h(t)vdσ

où la forme sesquilinéaire α est définie par

∀u, v ∈ V, α(u, v) =∫

Ω∇u.∇vdx.

En définissant f (t) ∈ V ′ par la formule

∀v ∈ V,< f (t), v >V′ ,V=∫

Ωg(t)vdx +

∫

∂ΩN

h(t)vdσ

et la forme sesquilinéaire β(t) définie sur V par, si t > 0,

∀u, v ∈ V, β(t, u, v) =∫

∂ΩN

k(t, x)u(x)v(x)dσ(x),

65

on obtient par double intégration par rapport au temps t l’équation

< u(t), v >V′,V +∫ t

0sα(u(t− s), v)ds+

∫ t

0β(s, u(t− s), v)ds =

< u0 + tu1 +∫ t

0(t− s) f (s)ds, v >V′,V +

∫ t

0β(s, u0, v)ds. (3.2)

Il suffit en effet pour cela de remarquer que par propriété du produit de convolution

ddt

(∫ t

0β(s, u(t− s), v)ds

)=

∫

∂ΩN

∫ t

0k(s, x)u′(t− s, x)v(x)dσ(x)ds+

∫

∂ΩN

k(t, x)u(0, x)v(x)dσ(x)

=∫

∂ΩN

∫ t

0k(s, x)u′(t− s, x)v(x)dσ(x)ds+

ddt

(∫ t

0β(s, u0(s), v)ds

)

et que, par intégration par parties et application de Fubini à x ∈ ∂ΩN fixé∫ t

0

(∫ s

0u′(s− r, x)dk(r, x)

)ds =

∫ t

0

[k(r, x)u′(s− r, x)

]s0 ds+

∫ t

0

∫ s

0k(r, x)u′′(s− r, x)drds

=∫ t

0k(s, x)u1(x)ds+

∫ t

0k(r, x)

(∫ t

ru′′(s− r, x)ds

)dr

=∫ t

0k(s, x)u′(t− s, x)ds.

On invoque maintenant le théorème de représentation de Riesz pour définir B(t) et A dans B(V,V ′)tels que

∀u, v ∈ V, β(t, u, v) =< B(t)u, v >V′ ,V et α(u, v) =< Au, v >V′,V

de telle sorte que l’équation (3.2) se récrit finalement sous la forme de l’équation intégrale

u(t) +∫ t

0A0(s)u(t− s)ds = f0(t) (3.3)

avecA0(t) = B(t) + tA,

f0(t) = u0 +(∫ t

0B(s)

)u0 + tu1 +

∫ t

0(t− s) f (s)ds.

On peut maintenant appliquer les techniques de résolution d’équation intégrales comme cellesprésentées dans [61] Section 6.

Définition 3.1. Soit f0 ∈ C(R+,V). On dit que u ∈ C(R+,V) est une solution forte de (3.1) si u vérifie(3.3) pour tout t ∈ R+. On dit que u ∈ C(R+,V ′) est une solution faible de (3.1) s’il existe fn ∈ C(R+,V)et un ∈ C(R+,V) telles que fn → f0 dans V, un → u dans V ′ uniformément sur tous les intervallescompacts de R+ et

∀t ∈ R+, un(t) +

∫ t

0A0(s)un(t− s)ds = fn(t).

On peut en particulier montrer (voir [60] Section 3) que si la transformée de Laplacedk(x,λ) =

∫ ∞

0 e−λtdk(x, t) satisfait

∀x ∈ ∂ΩN , ∀λ tel que Re(λ) > 0, dk(x,λ) > 0 (3.4)

alors la forme α0(t, u, v) = β(t, u, v) + tα(u, v) est coercive sur l’espace C(R+,V) au sens suivant

∀u ∈ C(R+,V), ∀T > 0, 2Re∫ T

0α0(s, u(t− s), u(t))dt >

∥∥∥∥∫ T

0u(t)dt

∥∥∥∥2

et en déduire alors les inégalités d’énergies

66

Proposition 3.1. Soit u ∈ C(R+,V ′) une solution faible de (3.1) pour k vérifiant (3.4). On a les propriétéssuivantes :

– si f0 ∈ W1,1loc (R

+,H), alors u ∈ C(R+,H) et on a l’inégalité (avec v(t) =∫ t0 u(s)ds)

|u(t)|2 + ‖v(t)‖2 6 | f0(0)|2 + 2Re∫ t

0( f ′0(s), u(s))ds,

– si f0(0) ∈ H et f0 ∈ W2,1loc (R

+,V ′), alors u ∈ C(R+,H), v(t) =∫ t0 u(s)ds ∈ C(R+,V) et on a

l’inégalité

|u(t)|2 + ‖v(t)‖2 6 | f0(0)|2 + 2Re < f ′0(t), u(s) >V′,V −2Re∫ t

0< f ′′0 (s), u(s) >V′,V ds.

On peut également montrer (voir Theorem 4.1 de [60]) le résultat d’opérateurs suivant

Proposition 3.2. Soit k vérifiant (3.4). Il existe des familles d’opérateurs uniques C(t), C∗(t) et R(t) tellesque

– C : R+ → B(V) est fortement continu, vérifie |C(t)|B(V) 6 1 et sa transformée de Laplace satisfait

∀λ tel que Re(λ) > 0, C(λ) = (λ2 I + λdB(λ) + A)−1(λI + dB(λ)),

– C : R+ → B(V,H) est fortement continûment différentiable et vérifie |C′(t)|B(V,H) 6 1,– C∗ : R+ → B(V ′) est fortement continu, vérifie |C∗(t)|B(V′) 6 1 et sa transformée de Laplace satisfait

∀λ tel que Re(λ) > 0, C∗(λ) = (λI + dB(λ))(λ2 I + λdB(λ) + A)−1,

– C∗ : R+ → B(H,V ′) est fortement continûment différentiable et vérifie |C∗ ′(t)|B(H,V′) 6 1,– R : R+ → B(H,V) ∩ B(V ′,H) est fortement continu, vérifie |R(t)|B(H,V) 6 1, |R(t)|B(V′ ,H) 6 1 et

sa transformée de Laplace satisfait

∀λ tel que Re(λ) > 0, R(λ) = (λ2 I + λdB(λ) + A)−1.

De ce résultat et de l’expression formelle de la transformée de Laplace des solutions u de (3.3)sous la forme

∀λ tel que Re(λ) > 0, u(λ) = (λ2 I + λdB(λ) + A)−1(λu0 + u1 + dB(λ)u0 + f (λ)),

on peut finalement déduire (voir Theorem 4.3 et Theorem 4.4 de [60])

Théorème 3.1. – Soit u0 ∈ V, u1 ∈ H, g ∈ L1loc(R+,H) et h ∈ W1,1

loc (R+, L2(∂ΩN)). Alors le système

(3.1) possède une unique solution faible u ∈ C(R+,V) ∩ C1(R+,H) donnée par

∀t > 0, u(t) = C(t)u0 + R(t)u1 +∫ t

0R(t− s) f (s)ds.

– Si de plus u0 ∈ H2(Ω) ∩ V, u1 ∈ H10(Ω), g ∈ W1,1

loc (R+,H) et h ∈ W2,1

loc (R+, L2(∂ΩN)) et

∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅, alors u ∈ C2(R+,H2(Ω)) ∩ C1(R+,V) ∩ C2(R+,H) et u vérifie (3.1) pour toutt > 0 et pp en x.

67

3.2 Article 3 : Energy decay for solutions of the wave equation withgeneral memory boundary conditions

Nous présentons maintenant l’article accepté pour publication dans Differential and Integral Equations.Dans ce travail en collaboration avec Serge Nicaise, nous appliquons la méthode de stabilisation frontière parla technique des multiplicateurs à l’étude du problème des ondes avec retard suivant

u′′ − ∆u = 0u = 0

∂νu+m.ν(

µ0u′(t) +∫ t0 u

′(t− s)dµ(s))= 0

u(0) = u0u′(0) = u1

dans R∗+ × Ω ,

sur R∗+ × ∂ΩD ,

sur R∗+ × ∂ΩN ,

dans Ω ,dans Ω ,

où µ0 est une constante positive et µ une mesure borelienne sur R+ vérifiant, pour une certaine constanteα > 0, ∫ ∞

0eαsd|µ|(s) < µ0.

Sous les mêmes hypothèses sur m que dans l’article 2, nous montrons l’existence et la décroissance exponen-tielle de solutions dans cette configuration pour des données initiales suffisamment régulières. Ces résultatsnous permettent ainsi de retrouver la plupart des résultats précédemment obtenus dans cette direction.

Abstract

We consider the wave equation in a smooth domain subject to Dirichlet boundary conditions on onepart of the boundary and dissipative boundary conditions of memory-delay type on the remainderpart of the boundary, where a general borelian measure is involved. Under quite weak assumptionson this measure, using the multiplier method and a standard integral inequality we show theexponential stability of the system. Some examples of measures satisfying our hypotheses are given,recovering and extending some of the results from the literature.

Introduction

We consider the wave equation subject to Dirichlet boundary conditions on one part of the boun-dary and dissipative boundary conditions of memory-delay type on the remainder part of theboundary. More precisely, let Ω be a bounded open connected set of Rn(n ≥ 2) such that, in thesense of Necas ([53]), its boundary ∂Ω is of class C2. Throughout the paper, I denotes the n× nidentity matrix, while As denotes the symmetric part of a matrix A. Let m be a C1 vector field on Ω

such thatinfΩ

div(m) > supΩ

(div(m)− 2λm) (3.5)

where λm(x) is the smallest eigenvalue function of the real symmetric matrix ∇m(x)s.

Remark 3.1. The set of all C1 vector fields on Ω such that (3.5) holds is an open cone. If m is in this set, wedenote

c(m) =12

(infΩ

div(m)− supΩ

(div(m)− 2λm)

).

Example 3.1. – An affine example is given by

m(x) = (A1 + A2)(x− x0),

where A1 is a definite positive matrix, A2 a skew-symmetric matrix and x0 any point in Rn.

68

– A non linear example ism(x) = (dI + A)(x− x0) + F(x)

where d > 0, A is a skew-symmetric matrix, x0 any point in Rn and F is a C1 vector field on Ω suchthat

supx∈Ω

‖(∇F(x))s‖ <dn

( ‖ · ‖ stands for the usual 2-norm of matrices).

We define a partition of ∂Ω in the following way. Denoting by ν(x) the normal unit vectorpointing outward of Ω at a point x ∈ ∂Ω , we consider a partition (∂ΩN , ∂ΩD) of the boundarysuch that the measure of ∂ΩD is positive and that

∂ΩN ⊂ x ∈ ∂Ω,m(x) · ν(x) > 0, ∂ΩD ⊂ x ∈ ∂Ω,m(x) · ν(x) 6 0. (3.6)

Furthermore, we assume

∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅ or m · n ≤ 0 on ∂ΩD ∩ ∂ΩN (3.7)

where n stands for the normal unit vector pointing outward of ∂ΩN when considering ∂ΩN as asub-manifold of ∂Ω.

On this domain, we consider the following delayed wave problem :

(S)

u′′ − ∆u = 0u = 0

∂νu+m · ν(

µ0u′(t) +∫ t0 u

′(t− s)dµ(s))= 0

u(0) = u0u′(0) = u1

in R∗+ × Ω ,

on R∗+ × ∂ΩD ,

on R∗+ × ∂ΩN ,

in Ω ,in Ω ,

where u′ (resp. u′′) is the first (resp. second) time-derivative of u, ∂νu = ∇u · ν is the normal outward

derivative of u on ∂Ω. Moreover µ0 is some positive constant and µ is a borelian measure on R+.The above problem covers the case of a problem with memory type as studied for instance in

[3, 15, 28, 54], when the measure µ is given by

dµ(s) = k(s)ds, (3.8)

where ds stands for the Lebesgue measure and k is non negative kernel. But it also covers the caseof a problem with a delay as studied for instance in [55, 56, 57], when the measure µ is given by

µ = µ1δτ, (3.9)

where µ1 is a non negative constant and τ > 0 represents the delay. An intermediate case treatedin [56] is the case when

dµ(s) = k(s)χ[τ1 ,τ2](s)ds, (3.10)

where 0 ≤ τ1 < τ2, χ[τ1,τ2] is the characteristic equation of the interval [τ1, τ2] and k is a non negativefunction in L∞([τ1, τ2]).

A closer look at the decay results obtained in these references shows that there are different waysto quantify the energy of (S). More precisely for the measure of the form (3.8), the exponential orpolynomial decay of an appropriated energy is proved in [3, 15, 28, 54], by combining the multipliermethod (or differential geometry arguments) with the use of suitable Lyapounov functionals (orintegral inequalities) under the assumptions that the kernel k is sufficiently smooth and has acertain decay at infinity. On the other hand for a measure of delay type like (3.9) or (3.10), theexponential stability of the system was proved in [55, 56, 57] by proving an observability estimateobtained by assuming that the term

∫ t0 u

′(t − s)dµ(s) is sufficiently small with respect to µ0u′(t).

69

Consequently, our goal is here to obtain some uniform decay results in the general context describedabove with a similar assumptions than in [55, 56, 57]. More precisely, we will show in this paperthat if there exists α > 0 such that

µtot :=∫ +∞

0eαsd|µ|(s) < µ0 (3.11)

where |µ| is the absolute value of the measure µ, then the above problem (S) is exponentially stable.The paper is organized as follows : in the first two sections, we explain how to define an energy

using some basic measure theory. Using well-known results, we obtain the existence of energysolutions. In this setting we present and prove our stabilization result in the third section. Examplesof measures µ satisfying our hypotheses are given in the end of the paper, where we show that werecover and extend some of the results from the references cited above.

Finally in the whole paper we use the notation A . B for the estimate A ≤ CB with someconstant C that only depends on Ω, m or µ.

3.2.1 First results

In this section we show that the assumption (3.11) implies the existence of some borelian finitemeasure λ such that

λ(R+) < µ0, |µ| ≤ λ (3.12)

(in the sense that, for every measurable set B, |µ|(B) ≤ λ(B)) and

for all measurable set B,∫

Bλ([s,+∞))ds ≤ α−1λ(B) (3.13)

Indeed we show the following equivalence :

Proposition 3.3. Let µ be a borelian positive measure on R+ and µ0 some positive constant. The followingproperties are equivalent :

– ∃α > 0 such that ∫ +∞

0eαsdµ(s) < µ0.

– There exists a borelian measure λ on R+ such that

λ(R+) < µ0, µ ≤ λ

and, for some constant β > 0,

for all measurable set B,∫

Bλ([s,+∞))ds ≤ β−1λ(B).

Proof. We introduce the application T from the set of positive borelian measures into itself asfollows : if µ is some positive borelian measure, we define a positive borelian measure T(µ) by

T(µ)(B) =∫

Bµ([s,+∞))ds,

if B is any measurable set.(⇐) If λ fulfills the second property, then it immediately follows that

∀n ∈ N, βnTn(µ) ≤ λ,

where as usual Tn is the composition T T · · · T n-times. A summation consequently gives, forany r ∈ (0, 1),

∞

∑n=0

(rβ)nTn(µ) ≤∞

∑n=0

rnλ = (1− r)−1λ.

70

Using Fubini theorem, we can now compute

Tn(µ)(R+) =∫ +∞

0

(∫ +∞

sn+1

· · ·∫ +∞

s3

(∫ +∞

s2dµ(s1)

)ds2 · · · dsn

)dsn+1

=∫ +∞

0

(∫ s1

0· · ·(∫ sn

0dsn+1

)· · · ds2

)dµ(s1)

=∫ +∞

0

sn1n!

dµ(s1)

so that, using monotone convergence theorem, one can obtain∫ +∞

0erβsdµ(s) ≤ (1− r)−1λ(R+)

and our proof ends using that (1− r)−1λ(R+) < µ0 for sufficiently small r.(⇒) For any measurable set B, we define

λ(B) =∞

∑n=0

αnTn(µ)(B).

It is clear that λ is a borelian measure such that µ ≤ λ. Moreover, if B is a measurable set, one has,thanks to monotone convergence theorem

T(λ)(B) =∫

Bλ([s,+∞))ds

=∞

∑n=0

αn∫

BTn(µ)([s,+∞))ds

≤ α−1∞

∑n=0

αn+1Tn+1(µ)(B),

that is, T(λ) ≤ α−1λ.Finally, another use of monotone convergence theorem gives

λ(R+) =∫ +∞

0eαsdµ(s) < µ0.

Remark 3.2. – If µ satisfies our first property, one can choose β = α in our second property.– If µ is supported in (0, τ], it is straightforward to see that, for some small enough constant c,

dλ(s) = dµ(s) + c χ[0,τ](s)ds

fulfills (3.11). This observation allows us to recover the choices of energy in [55, 56].

In the sequel, we can thus consider the measure λ obtained by the application of Proposition 3.3 to|µ|.

3.2.2 Well-posedness

General results

Defining

H1D(Ω) := u ∈ H1(Ω); u = 0 on ∂ΩD and H1

0(Ω) := u ∈ H1(Ω); u = 0 on ∂Ω,

we here present an application of Theorem 4.4 of Propst and Prüss paper (see [60]) in the frameworkof hypothesis (3.7).

71

Theorem 3.1. Suppose u0 ∈ H1D(Ω), u1 ∈ L2(Ω). Then (S) admits a unique solution u ∈

C(R+,H1(Ω)) ∩ C1(R+, L2(Ω)) in the weak sense of Propst and Prüss. Moreover, if u0 ∈ H2(Ω) ∩H1

D(Ω), u1 ∈ H10(Ω), then u ∈ C1(R+,H1(Ω)) ∩ C2(R+, L2(Ω)) and the additional results hold

∀t ≥ 0, ∆u(t) ∈ L2(Ω) ∂νu(t)|∂ΩN∈ H1/2(∂ΩN).

Proof. The proof is the one proposed in [60], Theorem 4.4 except that, for smoother data, we cannot use elliptic result in the general context of (3.7) to get more regularity.Inspired by [55, 56], we now define the energy of the solution of (S) at any positive time t by thefollowing formula :

E(t) =12

∫

Ω(u′(t, x))2 + |∇u(t, x)|2dx+ 1

2

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0

(∫ s

0(u′(t− r, x))2dr

)dλ(s)dσ

+12

∫

∂ΩN

m · ν∫ ∞

t

(∫ s

0(u′(s− r, x))2dr

)dλ(s)dσ.

Remark 3.3. – In the definition of energy, the measure λ can be replaced by any positive borelian mea-sure ν such that

ν ≤ λ

such as, for instance, |µ|. In fact, we will see later that conditions (3.12) and (3.13) are only hereto ensure that the corresponding energy Eλ is non increasing, but the decay of another energy Eν isimplied by the decay of Eλ.

– If µ is compactly supported in [0, τ], for times greater than τ, one can recover the energies from [55, 56]by choosing the measure λ supported in [0, τ] given by Remark 3.2. Indeed, the last term in the energyis null for t > τ, and the second term is reduced to

12

∫

∂ΩN

m · ν∫ τ

0

(∫ s

0(u′(t− r, x))2dr

)dλ(s)dσ.

We now identify our energy space.

Proposition 3.4. If u0 ∈ H2(Ω) ∩ H1D(Ω), u1 ∈ H1

0(Ω), then u′ ∈ L∞(R+,H1(Ω)). Consequently, forsuch initial conditions, the energy E(t) is well defined for any t > 0 and it uniformly depends continuouslyon the initial data.

Proof. Let us first pick some solution of (S) with u0 ∈ H2(Ω)∩ H1D(Ω), u1 ∈ H1

D(Ω). We define thestandard energy as

E0(t) =12

∫

Ω(u′(t, x))2 + |∇u(t, x)|2dx.

As in [35], it is classical that

E0(0)− E0(T) = −∫ T

0

∫

∂ΩN

∂νuu′dσdt.

Using the form of our boundary condition and Young inequality, one gets, for any ǫ > 0,

E0(0)− E0(T) =∫ T

0

∫

∂ΩN

(m · ν)

(µ0u′(t)2 + u′(t)

∫ t

0u′(t− s)dµ(s)

)dσdt

≥∫ T

0

∫

∂ΩN

(m · ν)

((µ0 −

ǫ

2

)u′(t)2 − 1

2ǫ

(∫ t

0u′(t− s)dµ(s)

)2)dσ

Using that µ ≤ |µ| and Cauchy-Schwarz inequality consequently give us

E0(0)− E0(T) ≥∫

∂ΩN

(m · ν)

((µ0 −

ǫ

2

) ∫ T

0u′(t)2dt− µtot

2ǫ

∫ T

0

∫ t

0(u′(t− s))2d|µ|(s)

)dσ.

72

Using now Fubini theorem two times, one can obtain the following identities∫ T

0

∫ t

0(u′(t− s))2d|µ|(s)dt =

∫ T

0

(∫ T

su′(t− s)2dt

)d|µ|(s)

=∫ T

0

(∫ T−s

0u′(t)2dt

)d|µ|(s)

=∫ T

0

(∫ T−t

0d|µ|(s)

)u′(t)2dt

so that, using |µ|([0, T − t]) ≤ µ0,

E0(0)− E0(T) ≥∫

∂ΩN

(m · ν)

((µ0 −

ǫ

2− µ2

tot

2ǫ

) ∫ T

0u′(t)2dt

)dσ.

The choice of ǫ = µtot finally gives us that E0(T) is bounded. Using the density of H2(Ω)∩H1D(Ω)×

H1D(Ω) in H1

D(Ω) × L2(Ω), we get the boundedness of E0 for solutions with initial data u0 ∈H1

D(Ω), u1 ∈ L2(Ω). In particular, if u0 ∈ H1D(Ω), u1 ∈ L2(Ω), we obtain that u ∈ L∞(R+,H1(Ω)).

Let now u be a solution of (S) with u0 ∈ H2(Ω) ∩ H1D(Ω), u1 ∈ H1

0(Ω). Using Theorem 3.1, onecan define the limit in L2(Ω) u2 of u′′(t) as t → 0 and in this situation, as in [60], it is easy to seethat u′ is solution of (S) with initial data u1 ∈ H1

D(Ω) and u2 ∈ L2(Ω).Indeed, one can see that Fubini’s theorem gives

∫ t

0u′(t− s)dµ(s) =

∫ t

0

(∫ s

0u′′(s− r)dµ(r)

)ds,

provided u1 = 0 on ∂ΩN , so that

ddt

(∫ t

0u′(t− s)dµ(s)

)=∫ t

0u′′(t− s)dµ(s).

Using the proof above, one concludes that u′ ∈ L∞(R+,H1(Ω)) which, thanks to a classical traceresult, give that u′ ∈ L∞(R+, L2(∂Ω)).

The first three terms of the energy E(t) are consequently defined for any time t > 0. We onlyneed to take a look at the last one to achieve our result. Using Fubini theorem again, one has

∫ +∞

t

(∫ s

0(u′(t− r))2dr

)dλ(s) =

∫ +∞

0u′(r)2

(∫ +∞

max(r,t)dλ(s)

)dr

so that, using (3.13),∫

∂ΩN

m · ν∫ ∞

t

(∫ s

0(u′(s− r, x))2dr

)dλ(s)dσ ≤ ‖m‖∞‖u′‖L∞(L2(∂Ω))

∫ +∞

0λ([r,+∞))dr

≤ α−1‖m‖∞λ(R+)‖u′‖L∞(L2(∂Ω)).

Compactly supported measure and semigroup approach

In this second approach, we assume that µ is supported in [0, τ] and that ∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅. We heresimply follow the result obtained by Nicaise-Pignotti ([56]).First, observe that, for t > τ, (S) is reduced to

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+m · ν

(µ0u′(t) +

∫ τ0 u′(t− s)dµ(s)

)= 0

u(0) = u0u′(0) = u1

in (τ,+∞)× Ω,on (τ,+∞)× ∂ΩD,on (τ,+∞)× ∂ΩN ,in Ω,in Ω.

73

We define Xτ = L2(∂ΩN × (0, 1)× (0, τ), dσdρsdµ(s))) and Yτ = L2(∂ΩN × (0, τ);H1(0, 1), dσsdµ(s)).One can use the same strategy as in the proof of Theorem 2.1 in [56] to get

Theorem 3.2. – If u(τ) ∈ H1D(Ω), u′(τ) ∈ L2(Ω) and u′(τ − ρs, x) ∈ Xτ , (S) has a unique solution

u ∈ C([τ,+∞),H1D(Ω)) ∩ C1([τ,+∞), L2(Ω)). Moreover, if u(τ) ∈ H2(Ω) ∩ H1

D(Ω), u′(τ) ∈H1(Ω) and u′(τ − ρs, x) ∈ Yτ, then

u ∈ C1([τ,+∞),H1

D(Ω)) ∩ C([τ,+∞),H2(Ω));t 7→ su′′(t− ρs, x) ∈ C([τ,+∞),Xτ).

– If (unτ(x), v

nτ(x), g

n(s, ρ, x)) → (u(τ, x), u′(τ, x), u′(τ − ρs, x)) in H1D(Ω)× L2(Ω)× Xτ , then the

solution un of

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+m · ν

(µ0u′(t) +

∫ τ0 u′(t− s)dµ(s)

)= 0

u(τ) = unτ

u′(τ) = unτ

u′(x, τ − ρs) = gn(x, s, ρ)

in (τ,+∞)× Ω ,on (τ,+∞)× ∂ΩD ,on (τ,+∞)× ∂ΩN ,in Ω ,in Ω ,in ΩN × (0, τ)× (0, 1)

is such that E(un) converges uniformly with respect to time towards E(u).

Proof. We define z(x, ρ, s, t) = u′(t− ρs, x) for x ∈ ∂ΩN , t > τ, s ∈ (0, τ), ρ ∈ (0, 1).Problem (S) is then equivalent to

u′′ − ∆u = 0

szt(x, ρ, s, t) + zρ(x, ρ, s, t) = 0

u = 0

∂νu+m · ν(µ0u′(t) +∫ τ0 u′(t− s)dµ(s)) = 0

u(τ) = u(τ)

u′(τ) = u(τ)

z(x, 0, t, s) = u′(t, x)

z(x, ρ, τ, s) = f0(x, ρ, s)

in (τ,+∞)× Ω ,

in∂ΩN × (0, 1)× (0, τ)× (τ,+∞),

on (τ,+∞)× ∂ΩD ,

on (τ,+∞)× ∂ΩN ,

in Ω ,

in Ω ,

on∂ΩN × (τ,+∞)× (0, τ),

on∂ΩN × (0, 1)× (0, τ),

where f0(x, ρ, s) = u′(τ − ρs, x).Consequently, (S) can be rewritten as

U′ = AUU(τ) = (u(τ), u′(τ), f0)T

where the operator is defined by

A

uvz

=

v∆u

−s−1zρ

74

with domain

D(A) = (u, v, z)T ∈ H1D(Ω)× L2(Ω)× Yτ;∆u ∈ L2(Ω),

∂νu(x) = −(m · ν)

(µ0v(t) +

∫ τ

0z(x, 1, s)dµ(s)

)on ∂ΩN ,

v(x) = z(x, 0, s) on ∂ΩN × (0, τ) .

The proof of Theorem 2.1 in [56] shows us that A is a maximal monotone operator on the Hilbertspace H := H1

D(Ω)× L2(Ω)× Xτ endowed with the product topology. It consequently generates acontraction semigroup on H. Moreover, if (u(τ, x), u′(τ, x), u′(τ − ρs, x)) ∈ D(A), one gets that

u ∈ C1([τ,+∞),H1

D(Ω)) ∩ C([τ,+∞),H2(Ω));t 7→ su′′(t− ρs, x) ∈ C([τ,+∞),Xτ).

This ends the proof.We can consequently deduce another way to obtain solutions :

Corollary 3.1. Suppose that u0 ∈ H2(Ω) ∩ H1D(Ω), u1 ∈ H1

0(Ω), then (S) has a unique solution u ∈C([τ,+∞),H1

D(Ω)) ∩ C1([τ,+∞), L2(Ω)).

Proof. Thanks to Theorem 3.1, one only needs to check that if u ∈ C1([0, τ],H1D(Ω)) then u′(x, τ −

ρs) ∈ Xτ ; and this is straightforward using Fubini theorem.

3.2.3 Linear stabilization

We begin with a classical elementary result due to Komornik [35] :

Lemma 3.1. Let E : [0,+∞[→ R+ be a non-decreasing function that fulfils :

∀t ≥ 0,∫ ∞

tE(s)ds ≤ TE(t),

for some T > 0. Then, one has :

∀t > T, E(t) ≤ E(0) exp(1− t

T

).

We will now show the following stabilization result :

Theorem 3.3. Assume (3.5)-(3.11). Then, if u0 ∈ H2(Ω) ∩ H1D(Ω), u1 ∈ H1

0(Ω), there exists T > 0 suchthat the energy E(t) of the solution u of (S) satisfies :

∀t > T, E(t) ≤ E(0) exp(1− t

T

).

Proof. Our goal is to perform the multiplier method and to deal with the delay terms to show thatone can apply Lemma 3.1 to the energy.

Lemma 3.2. There exists C > 0, such that, for any solution u of (S) and any S ≤ T,

E(S)− E(T) > C∫ T

S

∫

∂ΩN

(m · ν)

((u′(t))2 +

∫ t

0(u′(t− s))2dλ(s)

)dσdt.

In particular, the energy is a non-increasing function of time.

75

Proof. We start from the classical result that

E0(S)− E0(T) = −∫ T

S

∫

∂Ω∂νuu′dσdt.

As above, one gets, for any ǫ > 0,

E0(S)− E0(T) ≥∫ T

S

∫

∂ΩN

(m · ν)

((µ0 −

ǫ

2

)u′(t)2 − µtot

2ǫ

∫ T

0

∫ t

0(u′(t− s))2d|µ|(s)

)dσdt

We will now split E− E0 in two terms :

[E− E0]TS = −1

2

(∫

∂ΩN

(m · ν)[ f (t, x) − g(t, x)]TSdσ

),

where

f (t, x) =∫ t

0

(∫ s

0(u′(t− r))2dr

)dλ(s),

g(t, x) =∫ t

0

(∫ s

0u′(r)2dr

)dλ(s).

A change of variable allows us to get

f (t, x) =∫ t

0

∫ t

0u′(r)2drdλ(s) −

∫ t

0

∫ t−s

0u′(r)2drdλ(s).

An application of Fubini theorem consequently gives us

f (t, x)− g(t, x) =∫ t

0u′(r)2λ([0, r])dr −

∫ t

0

∫ t−s

0u′(r)2drdλ(s)

and, as above, one can use Fubini theorem to deduce that

∫ T

S

∫ t

0(u′(t− s))2dλ(s)dt =

[∫ t

0

∫ t−s

0u′(r)2drdλ(s)

]T

S.

One now uses λ([0, r]) 6 λ(R+) to conclude that

[E− E0]TS ≥ 1

2

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν

(∫ t

0(u′(t− s))2dλ(s)− λ(R+)u′(t)2

)dσdt.

Summing up and using that |µ| ≤ λ, we have obtained that

E(S)− E(T) >∫ T

S

∫

∂ΩN

(m · ν)

((µ0 −

λ(R+) + ǫ

2

)u′(t)2 +

12

(1− µtot

ǫ

) ∫ t

0(u′(t− s))2dλ(s)

)dσdt.

We finally chose ǫ = µ0 which gives us our result since λ(R+) < µ0.In the multiplier method, one may use Rellich’s relation, especially in the context of singularities.

In our framework (3.7), the following Rellich inequality (see the proof of Theorem 4 in [17] orProposition 4 in [10]) is useful

Proposition 3.5. For any u ∈ H1(Ω) such that

∆u ∈ L2(Ω), u|∂ΩD∈ H

32 (∂ΩD) and ∂νu|∂ΩN

∈ H12 (∂ΩN).

Then it satisfies 2∂νu(m.∇u)− (m · ν)|∇u|2 ∈ L1(∂Ω) and we have the following inequality

2∫

Ωu(m.∇u)dx ≤

∫Ω(div(m)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u)dx +

∫

∂Ω(2∂νu(m.∇u)− (m · ν)|∇u|2)dσ.

76

With this result, we can prove the following multiplier estimate :

Lemma 3.3. Let Mu = 2m.∇u+ a0u, where a0 := 12 (infΩ div(m)) + supΩ (div(m)− 2λm)

). Then un-

der the assumptions of Theorem 3.3, the following inequality holds true :

c(m)∫ T

S

∫

Ω(u′)2 + |∇u|2dxdt ≤ −[

∫

Ωu′Mu]TS

+∫ T

S

∫

∂ΩN

Mu∂νu+ (m · ν)((u′)2 − |∇u|2)dσdt.

Proof. Firstly, we consider M = 2m · ∇u+ au where a will be fixed later. Using the fact that u is aregular solution of (S) and noting that u′′Mu = (u′Mu)′ − u′Mu′, an integration by parts gives :

0 =∫ T

S

∫

Ω(u′′ −u)Mudxdt

=

[∫

Ωu′Mudx

]T

S−∫ T

S

∫

Ω(u′Mu′ +uMu)dxdt.

Now, thanks to Proposition 3.5, we have :∫

ΩuMudx ≤ a

∫

Ωuudx+

∫

Ω(div(m)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u)dx

+∫

∂Ω(2∂νu(m.∇u)− (m.ν)|∇u|2)dσ.

Consequently, Green-Riemann formula leads to :∫

ΩuMudx =

∫

Ω((div(m)− a)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u)dx+

∫

∂Ω(∂νuMu− (m · ν)|∇u|2)dσ.

Using the fact that ∇u = ∂νuν on ∂ΩD and m · ν 6 0 on ∂ΩD, we have then :∫

ΩuMudx ≤

∫

Ω((div(m)− a)I − 2(∇m)s)(∇u,∇u)dx+

∫

∂ΩN

(∂νuMu− (m · ν)|∇u|2)dσ.

On the other hand, another use of Green formula gives us :∫

Ωu′Mu′dx =

∫

Ω(a− div(m))(u′)2dx+

∫

∂ΩN

(m · ν)|u′|2dσ.

Consequently

∫ T

S

∫

Ω(div(m)− a)(u′)2 + ((a− div(m))I + 2(∇m)s)(∇u,∇u)dxdt

≤ −[∫

Ωu′Mudx

]T

S+∫ T

S

∫

∂ΩN

∂νuMu+ (m · ν)((u′)2 − |∇u|2)dσdt.

Our goal is now to find a such that div(m)− a and (a−div(m))I+ 2(∇m)s are uniformly minorizedon Ω. One has to find a such that, uniformly on Ω,

div(m)− a ≥ c2λm + (a− div(m)) ≥ c

(3.14)

for some positive constant c. The latter condition is then equivalent to find a which fulfills

infΩ

div(m) > a > supΩ

(div(m)− 2λm) ,

77

and its existence is now guaranteed by (3.5). Moreover, it is straightforward to see that the greatestvalue of c such that (3.14) holds is

c(m) =12

(infΩ

div(m)− supΩ

(div(m)− 2λm)

)

and is obtained for a = a0. This ends the proof.Consequently, the following result holds

Lemma 3.4. For every τ ≤ S < T < ∞, the following inequality holds true :

∫ T

S

∫

Ω(u′)2 + |∇u|2dxdt . E(S).

Proof. We start from Lemma 3.3.First of all, Young and Poincaré inequalities give

|∫

Ωu′Mudx| . E(t),

so that

−[∫

Ωu′Mudx

]T

S. E(S) + E(T) 6 CE(S).

Now, from the boundary condition, one has

Mu∂νu+ (m · ν)((u′)2 − |∇u|2) = (m · ν)

((µ0u′ +

∫ t

0u′(t− s)dµ(s)

)Mu+ (u′)2 − |∇u|2

).

Using the definition of Mu and Young inequality, we get for any ǫ > 0

Mu∂νu+ (m · ν)((u′)2 − |∇u|2) 6 (m · ν)

((1+ ‖m‖2∞ + µ2

0a202ǫ

)(u′)2 +

a202ǫ

(∫ t

0u′(t− s)dµ(s)

)2

+ ǫu2).

Another use of Poincaré inequality consequently allow us to choose ǫ > 0 such that

ǫ∫

∂ΩN

(m · ν)u2dσ 6c(m)

2

∫

Ω|∇u|2dx.

Cauchy-Schwarz inequality consequently leads to

c(m)

2

∫ T

S

∫

Ω(u′)2 + |∇u|2dxdt . E(S) +

∫ T

S

∫

∂ΩN

(m · ν)

(u′(t)2 +

∫ t

0(u′(t− s))2d|µ|(s)

)dσdt

and, since |µ| ≤ λ, Lemma 3.2 gives us the desired result :

c(m)∫ T

S

∫

Ω(u′)2 + |∇u|2dxdt . E(S).

To conclude we need to absorb the two last integral terms for which we use the following result.

Lemma 3.5. – For any solution u and any S < T,

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0

(∫ s

0(u′(t− r, x))2dr

)dλ(s)dσdt .

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0(u′(t− s, x))2dλ(s)dσdt.

78

– For any solution u and any S < T,

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ +∞

t

(∫ s

0(u′(s− r, x))2dr

)dλ(s)dσdt .

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0(u′(t− s, x))2dλ(s)dσdt +

∫ +∞

S

∫

∂ΩN

m · ν u′2dσdt.

Proof.– We start from the left hand side term. We fix x ∈ ∂ΩN , t ∈ [S, T] and we use Fubini theorem

to estimate integrals with respect to time :

∫ t

0

(∫ s

0(u′(t− r, x))2dr

)dλ(s) =

∫ t

0(u′(t− r, x))2λ([r, t])dr

≤∫ t

0(u′(t− r, x))2λ([r,+∞))dr

≤ α−1∫ t

0(u′(t− r, x))2dλ(r)

which gives the required result after an integration with respect to t and x.– As above, fixing x ∈ ∂ΩN , we obtain

∫ T

S

∫ +∞

t

(∫ s

0(u′(s− r, x)2dr

)dλ(s)dt =

∫ T

S

∫ +∞

0(u′(r, x))2λ([max(r, t),+∞])drdt

=∫ T

S

∫ t

0(u′(t− r, x))2drλ([t,+∞))dt +

∫ T

S

(∫ +∞

t(u′(r, x))2λ([r,+∞))dr

)dt.

Since for all r ≤ t, λ([t,+∞) ≤ λ([r,+∞)), we first have

∫ T

S

∫ t

0(u′(t− r, x))2drλ([t,+∞))dt ≤

∫ T

S

∫ t

0(u′(t− r, x))2λ([r,+∞))drdt

≤ α−1∫ T

S

∫ t

0(u′(t− r, x))2dλ(r)dt.

On the other hand, Fubini theorem gives us

∫ T

S

(∫ +∞

t(u′(r, x))2λ([r,+∞))dr

)dt =

∫ +∞

Su′(r)2λ([r,+∞))(min(T, r)− S)dr.

We now note that

rλ([r,+∞)) ≤∫ +∞

rsdλ(s) ≤

∫ +∞

0sdλ(s)

and ∫ +∞

0sdλ(s) =

∫ +∞

0λ([t,+∞))dt ≤ α−1λ(R+).

We consequently obtain

∫ T

S

(∫ +∞

t(u′(r, x))2λ([r,+∞))dr

)dt .

∫ +∞

Su′2,

which give the required result after an integration over ∂ΩN .

Up to now, we have proven that

∫ T

SE(t)dt . E(S) +

∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0(u′(t− s, x))2dλ(s)dσdt +

∫ +∞

S

∫

∂ΩN

m · ν u′2dσdt.

79

Lemma 3.2 allows us to conclude since it gives

∫ +∞

S

∫

∂ΩN

m · ν u′2dσdt . E(S)

and ∫ T

S

∫

∂ΩN

m · ν∫ t

0(u′(t− s, x))2dλ(s)dσdt . E(S).

Remark 3.4. In the case of some compactly supported measure µ, one can also obtain exponential decayresult for the following problem

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ µ0u′(t) +

∫ t0 u

′(t− s)dµ(s) = 0u(0) = u0u′(0) = u1

in R∗+ × R∗

+ ,on R∗

+ × ∂ΩD ,on R∗

+ × ∂ΩN ,in Ω ,in Ω ,

as it was done in [56] using the work of Lasiecka-Triggiani-Yao [38] and since the system is time invariantfor t ≫ 1.

Moreover, a careful attention shows that our proof allows us to obtain decay for this system withoutassumption on the support of µ provided that

inf∂ΩN

m · ν > 0.

3.2.4 Examples

We start with two general results and then particularize them to recover results from the literature.

Example 3.2. If µ is some borelian measure such that

|µ|(R+) < µ0 and∫ +∞

0eβsd|µ|(s) < +∞

for some β > 0, then µ fulfils the assumption (3.11) for an appropriate α. Indeed for any 0 ≤ α ≤ β, theexpression ∫ +∞

0eαsd|µ|(s)

is finite and by the dominated convergence Theorem of Lebesgue we have

∫ +∞

0eαsd|µ|(s) → |µ|(R+) as α → 0.

Consequently by the assumption |µ|(R+) < µ0, we get (3.11) for α small enough.

Example 3.3. One can choose

µ =∞

∑i=1

µiδτi ,

where (τi)∞i=1, (µi)

∞i=1 are some families such that τi > 0 and are two by two disjoint, and

∞

∑i=1

|µi|eατi < µ0

for some α > 0.

80

Example 3.4. If we choose dµ(s) = k(s)ds where k is a kernel satisfying

∫ +∞

0|k(s)|ds < µ0 and

∫ +∞

0|k(s)|eβsds < ∞

for some β > 0. Then as a consequence of Example 3.2, we get an exponential decay rate for the system (S)under the (very weak) condition above, in particular we do not need any differentiability assumptions on k,nor uniform exponential decay of k at infinity as in [3, 15, 28, 54].

Example 3.5. Choosedµ(s) = k(s)χ[τ1 ,τ2](s)ds,

where k is an integrable function in [τ1, τ2] such that∫ τ2

τ1|k(s)|ds < µ0,

then we get an exponential decay for the system (S) as a consequence of Example 3.2 because the secondassumption trivially holds. In that case we extend the results of [56] to a larger class of kernels k, for instancein the class of bounded variations functions.

Example 3.6. Takeµ(s) = µ1δτ(s),

where µ1 is a constant and τ > 0 represents the delay satisfying

|µ1| < µ0,

then we recover the decay results from [55, 57].

81

Deuxième partie

Inégalités de Carleman

83

Nous étudions dans cette deuxième partie l’obtention d’inégalités de Carleman globales ou lo-cales dans le but d’obtenir des résultats de contrôle et de stabilisation.

Dans un premier chapitre, nous décrirons tout d’abord ces deux types d’inégalités de Carleman.Nous tenterons de voir sous quelles hypothèses on peut les obtenir ; nous insisterons en particuliersur les problèmes d’existence de fonctions de phases. Nous présenterons quelques exemples oùles calculs sont effectués complètement. D’autre part, afin de décrire l’obtention des inégalités deCarleman locales, nous rappelerons quelques notions d’analyse microlocale semi-classique.Nous présenterons dans nos deux derniers chapitres deux applications correspondant à ces deuxtypes d’inégalités. Dans une première partie, nous décrirons de manière détaillée la relation entreles inégalités de Carleman globales et les problèmes de contrôle ; d’abord d’un point de vue abs-trait et ensuite sa mise en place dans le cadre de l’exemple de l’article 4. Notre dernier chapitresera finalement consacré à la description d’une application des inégalités de Carleman locales à lastabilisation faible de l’équation des ondes. Nous commencerons par rappeler les lien existants avecles estimations spectrales ainsi qu’un résultat antérieur et nous terminerons par une présentationdu projet d’article avec L. Robbiano.

85

Introduction

4.1 Inégalités de Carleman globales

Nous suivons [23] Chapter 1 et [18] Proposition 2.67 pour une présentation des inégalités de Carle-man dans le cas d’une équation parabolique linéaire avec condition de Dirichlet homogène. Nousferons à la fin de ce paragraphe quelques commentaires sur d’autres types d’équations.

4.1.1 Fonctions poids et principe

On considère donc Ω ⊂ Rn un ouvert borné connexe de classe C2 et le problème

yt − ∆y = 0y = 0y(0, x) = y0(x)

dans(0, T)× Ω,sur(0, T)× ∂Ω,dansΩ,

(4.1)

avec y0 ∈ L2(Ω).L’objectif essentiel (mais pas unique, voir la suite de l’exposé) des inégalités de Carleman est d’ob-tenir une relation d’observabilité. Dans cet exposé, on cherchera à obtenir l’observabilité pour lessolutions de (4.1) par une partie non vide ω ⊂ Ω, c’est à dire à montrer l’existence de M > 0 telque, pour toute solution de (4.1),

‖y(T, .)‖2L2(Ω) 6 M2∫

ω×(0,T)y2dtdx. (4.2)

Pour ω0 ⋐ ω, on considère tout d’abord une fonction ψ ∈ C2(Ω) telle que

ψ > 0dansΩ,ψ = 0 sur ∂Ω,|∇ψ(x)| > 0, ∀x ∈ Ω\ω0.

L’existence d’une telle fonction est non triviale et provient de la théorie des fonctions de Morse(voir [23] Lemma 1.1 page 4 ou [18] Lemma 2.68).On définit maintenant α, φ : (0, T)× Ω → (0,+∞) par

∀(t, x) ∈ (0, T)× Ω, α(t, x) =e2λ‖ψ‖∞ − eλψ(x)

t(T − t),

∀(t, x) ∈ (0, T)× Ω, φ(t, x) =eλψ(x)

t(T − t),

avec λ ∈ [1,+∞) un paramètre à fixer ultérieurement. On définit la nouvelle inconnue z : [0, T]×Ω → R par

∀(t, x) ∈ (0, T)× Ω, z(t, x) = e−sα(t,x)y(t, x),

∀x ∈ Ω, z(0, x) = z(T, x) = 0,

87

avec s ∈ [1,+∞) à fixer ultérieurement. De cette manière l’équation à l’intérieur de (4.1) se récritsous la forme

P1z+ P2z = P3z (4.3)

avecP1z = −∆z− s2λ2φ2|∇ψ|2z+ sαtz,

P2z = zt + 2sλφ∇ψ.∇z+ 2sλ2φ|∇ψ|2z,P3z = −sλφ(∆ψ)z+ sλ2φ|∇ψ|2z.

Posant Q = (0, T)× Ω et Σ = (0, T)× ∂Ω, on va maintenant chercher à exploiter l’inégalité

2∫

QP1zP2zdtdx 6

∫

Q(P3z)2dtdx. (4.4)

Remarque 4.1. La récriture de l’équation à l’intérieur de (4.1) sous la forme (4.3) est guidée par le principesuivant : P1 contient les opérateurs différentiels autodajoints, P2 contient les opérateurs anti-autoadjoints etP3 les opérateurs différentiels d’ordres 0 et d’ordres en φ inférieurs à ceux présents dans P2.On doit quelquefois (et c’est le cas ici !) rajouter un terme à P2 afin de pouvoir effectivement estimer les termesde (P3z)2 par ceux du produit P1zP2z.

4.1.2 Mise en oeuvre complète

On va donc développer le terme 2∫Q P1zP2zdxdt. Pour ce faire, on va effectuer des intégrations par

parties en tenant compte des conditions aux bords vérifiées par z qui s’écrivent

z = 0 sur ∂Q = 0, T × Ω ∪ (0, T)× ∂Ω.

Si y0 ∈ H2(Ω) ∩ H10(Ω), le théorème de Hille-Yoshida nous montre que z = e−sαy ∈

C([0, T],H2(Ω)) ∩ C1([0, T], L2(Ω)). Par densité de H2(Ω) ∩ H10(Ω) dans L2(Ω), on peut donc sup-

poser cette régularité pour démontrer l’inégalité d’observabilité (2).On peut dans ce cas effectuer les intégrations par parties nécessaires pour obtenir

2∫

QP1zP2zdtdx = I1 + I2

avecI1 =

∫

Q(2s3λ4φ3|∇ψ|4z2 + 4sλ2φ|∇ψ|2|∇z|2)dtdx−

∫

Σ2sλφ∂νψ|∇z|2dtdσ,

I2 =∫

Q

(4sλ ∑

i,j∂xj(φ∂xiψ)∂xiz∂zjz− 2sλ ∑

i∂xi(φ∂xiψ)|∇z|2

)dtdx

+∫

Q

(s3λ3φ3 ∑

i∂xi(|∇ψ|2∂xiψ)− 2sλ2∆(φ|∇ψ|2)− sαtt

)z2dxdt

+∫

Q

(−2s2λ ∑

i∂xi(φ∂xiψαt) + 4s2λ2φαt|∇ψ|2 + s2λ2(φ2)t|∇ψ|2

)z2dtdx.

Puisque |∇ψ| > 0 dans Ω\ω0 , on peut choisir λ de telle sorte que, dans (0, T)× Ω\ω0,

λ4φ3|∇ψ|4 + λ3φ3 ∑i

∂xi(|∇ψ|2∂xiψ) > 0.

88

Soit d’autre part a = (a1, . . . , an) ∈ Rn. On a les égalités suivantes

4λ2φ|∇ψ|2|a|2 + 4λ ∑i,j

∂xj(φ∂xiψ)aiaj − 2λ ∑i

∂xi(φ∂xiψ)|a|2

= (t(T − t))−1

(4λ2eλψ|∇ψ|2|a|2 + 4λ ∑

i,j∂xj(e

λψ∂xiψ)aiaj − 2λ ∑i

∂xi(eλψ∂xiψ)|a|2

)

= (t(T − t))−1eλψ

(2λ2|∇ψ|2 − 2λ∆ψ)|a|2 + 4λ2

(∑iai∂xiψ

)2

+ 4λ ∑i,j

∂xj∂xiψaiaj

.

Quitte à choisir λ plus grand, on peut donc imposer, grâce à |∇ψ| > 0 dans Ω\ω0 et dans (0, T)×Ω\ω0,

∀a = (a1, . . . , an) ∈ Rn, 4λ2φ|∇ψ|2|a|2 + 4λ ∑

i,j∂xj(φ∂xiψ)aiaj − 2λ ∑

i∂xi(φ∂xiψ)|a|2 > 0.

Des calculs immédiats nous montrent que l’on a par ailleurs les estimations dans (0, T)× Ω

|αtt|+ |∑i

∂xi(φ∂xiψαt)|+ |φαt|∇ψ|2|+ |(φ2)t|∇ψ|2|+ |φ3|∇ψ|4|+ |∑i

∂xi(|∇ψ|2∂xiψ)| 6C

t3(T − t)3,

|φ∆ψ|+ |φ|∇ψ|2|+ |∑i

∂xi(φ∂xiψ)|+ |∆(φ|∇ψ|2)| 6 Ct(T − t)

,

|∑i,j

∂xj∂xiψ| 6C

t(T − t).

On a enfin, par définition de φ et puisque |∇ψ| > 0 dans Ω\ω0,

∀(t, x) ∈ (0, T)× Ω\ω0,1

t3(T − t)36 Cφ3|∇ψ|4(t, x).

Tout ceci nous permet maintenant de minorer I1 + I2 (en tenant compte de ∂νψ 6 0 sur ∂Ω) de lamanière suivante

I1 + I2 > C(s3 − s2 − s)∫

(0,T)×Ω\ω0

z2

t3(T− t)3dtdx − Cs

∫

(0,T)×Ω\ω0

z2

t(T − t)dtdx

− Cs3∫

(0,T)×ω0

z2 + |∇z|2t3(T − t)3

dtdx,

c’est à dire, en choisissant s > s0(T),

I1 + I2 > Cs3∫

(0,T)×Ω\ω0

z2

t3(T− t)3dtdx − Cs3

∫

(0,T)×ω0

z2 + |∇z|2t3(T − t)3

dtdx. (4.5)

On a de même, pour s assez grand

∫

Q(P3z)2dtdx 6 Cs2

∫

Q

z2

t3(T − t)3dtdx. (4.6)

En combinant (4.4), (4.5) et (4.6), on a donc obtenu, pour s suffisamment grand l’inégalité de Carle-man

s3∫

Q

z2

t3(T− t)3dtdx 6 Cs3

∫

(0,T)×ω0

z2 + |∇z|2t3(T − t)3

dtdx. (4.7)

89

4.1.3 Inégalité d’observabilité

On va maintenant exploiter cette inégalité (4.7) pour en déduire une relation d’observabilité. Reve-nons d’abord à la variable y. Grâce au terme e−sα dans z, on obtient d’abord l’existence de C telleque ∫ 2T/3

T/3

∫

Ωy2 6 C

∫

(0,T)×ω0

t(T − t)(y2 + |∇y|2)dtdx. (4.8)

Nous allons maintenant pouvoir estimer le terme correspondant au gradient. Soit ρ une fonctionpositive C∞(Ω) telle que

ρ(x) =

10

si x ∈ ω0

si x ∈ Ω\ω.

On multiplie l’équation de (4.1) dans Ω vérifiée par y par t(T − t)ρy et on intègre par parties pourobtenir, grâce aux conditions aux bords,

0 =∫

Qt(T − t)ρ|∇y|2dtdx + 1

2

∫

Qt(T − t)∇ρ.∇(y2)dtdx − 1

2

∫

Qρ(T − 2t)y2dtdx

puis, puisque ρ = ∆ρ = 0 en dehors de ω,

0 >

∫

(0,T)×ω0

t(T − t)|∇y|2dtdx− 12

∫

(0,T)×ωt(T − t)∆ρy2dtdx − 1

2

∫

(0,T)×ωρ(T − 2t)y2dtdx,

de telle sorte que l’on a finalement obtenu∫

(0,T)×ω0

t(T − t)(y2 + |∇y|2)dtdx 6 C∫

(0,T)×ωy2dtdx. (4.9)

On remarque finalement qu’une multiplication par y de l’équation de (4.1) dans Ω vérifiée par ynous donne

ddt

(∫

Ωy2(t, x)dx

)6 0 (4.10)

et, grâce aux inégalités (4.8) et (4.9) combinées, on obtient finalement l’inégalité d’observabilitévoulue : ∫

Ωy2(T, x)dx 6 C

∫

(0,T)×ωy2dtdx. (4.11)

Remarque 4.2. Les inégalités de Carleman globales impliquent la continuation unique. Dans notre cas, ona en effet :

si y = 0 dans (0, T)× ω et y solution de (4.1) alors y = 0 dans (0, T)× Ω.

D’une certaine manière, les inégalités de Carleman globales quantifient la continuation unique.

Remarque 4.3. On peut également construire des inégalités de Carleman globales pour des équations para-boliques linéaires plus générales.

On peut par exemple consulter [27] Section 1.3.1 pour l’obtention d’inégalités de Carleman et de relationsd’observabilité pour le problème

yt − ∆y− B(t, x).∇y+ a(t, x)y = 0y = 0y(0, x) = y0(x)

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω

dansΩ

ou [27] Section 2 pour le problème (plus délicat à traiter) mis sous forme divergence

yt − ∆y− div(B(t, x)y) + a(t, x)y = 0y = 0y(0, x) = y0(x)

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω

dansΩ

,

avec a et B bornés sur Q.Pour une présentation générale des inégalités de Carleman pour des équations paraboliques non régulières,

on pourra consulter [72].

90

4.1.4 Inégalités de Carleman et problèmes hyperboliques

Les inégalités de Carleman globales ne sont pas le privilège des problèmes paraboliques linéaires.Dans [34], Imanuvilov a considéré le cas d’équation hyperboliques avec condition au bord de typeDirichlet homogène ou Neumann homogène.On peut ainsi montrer qu’il existe, sous certaines conditions géométriques sur Ω, une fonctionψ ∈ C2(Q) telle que φ = eλψ nous permette d’obtenir l’inégalité

∀λ > λ0, ∃s0 tel que∀s > s0∫

Qy2e2sφdtdx 6 C

∫

(0,T)×ωy2e2sφdtdx,

pour toute solution y du problème

ytt − ∆y+ div(B(t, x)y) + a(t, x)y = 0y = 0y(0, x) = y0(x)

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω

dansΩ

.

On peut également obtenir des estimations dans le cas où l’équation possède un second membrepeu régulier. Le cas d’un opérateur elliptique div(A∇.) à la place de ∆ (avec A une matrice unifor-mément définie positive) est également traité dans [34].

Les techniques pour obtenir des inégalités de Carleman pour les solutions de problèmes hyper-boliques sans condition au bord sont assez différentes. On est en fait contraint de faire appel à desidentités de type multiplicateurs (voir [38] et plus particulièrement les preuves des Proposition 4.2.1et Proposition 4.2.3). En particulier, on ne peut appliquer ces inégalités aux solutions de problèmesavec interface Dirichlet-Neumann suivants

u′′ − ∆u = 0u = 0∂νu+ a(x)ut = 0u(0) = u0u

′(0) = u1

in (0, T)× Ω,on (0, T)× ∂ΩD,on (0, T)× ∂ΩN ,in Ω,in Ω,

si ∂ΩD ∩ ∂ΩN 6= ∅. On peut néanmoins utiliser les inégalités de Carleman pour la stabilisation dece problème si ∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅ (voir [38] Remark 3.5 ou [55, 56] pour des applications dans le casdes ondes avec termes mémoire). Malgré certains travaux récents (voir [67]), un cadre général pources inégalités adaptées au cadre de ces problèmes reste à écrire.

4.2 Inégalités de Carleman locales

4.2.1 Analyse semi-classique et hypothèse d’hypoellipticité

Nous rappelons ici les notions d’analyse semi-classiques utiles pour l’obtention d’inégalités deCarleman locales. Nous suivons ici pas à pas [42] ainsi que [49] pour certains points.On note, pour ξ ∈ Rn, < ξ >= (1+ |ξ|2)1/2. D’autre part pour α = (α1, . . . ., αn) ∈ Nn, on définit

∂αx = ∂α1

x1 . . . ∂αnxn , ∂

αξ = ∂α1

ξ1. . . ∂αn

ξn.

On notera également |α| = α1 + . . .+ αn ; α! = α1! . . . αn!.

Définition 4.1. Soit m ∈ R et a(x, ξ; h) ∈ C∞(Rn ×Rn,R) pour h ∈ (0, h0). On dit que a est un symbolepseudo-différentiel semi-classique d’ordre m si pour tout multi-indices α, β ∈ Nn, il existe Cα,β > 0 tellesque

∀x ∈ Rn, ∀ξ ∈ R

n, ∀h ∈ (0, h0); |∂αx∂

βξ a(x, ξ; h)| 6 Cα,β < ξ >

m−|β| .

On note Sm l’ensemble des ces fonctions. On appelle symbole principal de a la classe d’équivalence de amodulo hSm−1.

91

On a alors le Théorème de Borel (voir Proposition 2.3.2 de [49]).

Proposition 4.1. – Soient m ∈ R et aj ∈ Sm−j avec j ∈ N. Il existe a ∈ Sm tel que

∀N ∈ N, a−N

∑j=0

hjaj ∈ hN+1Sm−N−1. (4.12)

On écrit alors a ∽ ∑j hjaj.

– Si a et b satisfont (1) alors a− b ∈ O(hN)S−M pour tout N,M ∈ N.

Introduisons la sous-classe de Sm des symboles usuels.

Définition 4.2. On dit que a ∈ Sm est un symbole pseudo-différentiel semi-classique usuel s’il existe (aj)ne dépendant pas de h ∈ (0, h0) tels que a ∽ ∑j h

jaj. On note Smcl l’ensemble de ces symboles.

Remarque 4.4. Si a ∈ Smcl , on peut identifier le symbole principal de a avec a0.

On peut ensuite introduire les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques. On notera D = hi ∂x.

Définition 4.3. Si a ∈ Sm(resp. Smcl ), on pose pour u ∈ S(Rn)

(a(x,D; h)u)(x) = (Op(a)u)(x) := (2πh)−n∫

Rneih

−1x.ξa(x, ξ; h)u(ξ/h)dξ.

On note Ψm ( resp. Ψmcl ) l’ensemble de ces opérateurs. Pour A ∈ Ψm, on dit que a est le symbole de A et

on confondra symbole principal de A et symbole principal de a. Il sera noté σ(A) et on observera qu’il estindépendant de h si A ∈ Ψm

cl .

Exemple 4.1. – On notera que la classe Ψm contient les opérateurs différentiels usuels. En effet, si onconsidère

P = ∑|α|6m

aα(x)∂αx

alors, puisque l’on a, pour u ∈ S(Rn), ∂αxu(x) = (2π)−n

∫Rn eix.ξ(iξ)α u(ξ)dξ,

(Pu)(x) = (2πh)−n∫

Rneih

−1x.ξ ∑|α|6m

aα(x)(iξ/h)α u(ξ/h)dξ = h−m(p(x,D; h)u)(x)

avec

p(x, ξ; h) =m

∑j=0

hj

∑

|α|=m−j

aα(x)(iξ)α

.

On peut donc identifier P à un élément de Ψmcl ayant pour symbole principal ∑|α|=m aα(x)(iξ)α .

– Les opérateurs différentiels naturellement associés à ces définitions sont en fait les opérateurs différen-tiels semi-classiques de la forme

∑|α|6m

aα(x)Dα

et ont pour symbole (principaux)∑

|α|6m

aα(x)ξα .

– L’opérateur A = −h2∆ +V(x) + h2b(x).∇ a pour symbole a(x, ξ; h) = |ξ|2 +V(x) + ihb(x).ξ etpour symbole principal σ(A)(x, ξ) = |ξ|2 +V(x).

92

On définit maintenant les normes semi-classiques des espaces de Sobolev Hs d’indice s ∈ R par

‖u‖s := ‖Λsu‖L2(Rn)

avec Λs = Op(< ξ >s). Si s ∈ N, cette norme est uniformément (par rapport à h ∈ (0, h0))équivalente à

∑|α|6s

h2|α|‖∂αxu‖2L2(Rn).

Les opérations sur les opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques est un point important decette théorie ; rappelons deux résultats importants (voir [33] Theorems 18.1.7, 18.1.8 pour le cas nonsemi-classique).

Proposition 4.2. – Si a ∈ Sm, alors l’opérateur adjoint Op(a)∗ = Op(b) avec b ∈ Sm vérifiant

b(x, ξ; h) ∽ ∑α

h|α|

i|α|α!∂αx∂α

ξ a(x, ξ; h).

– Si a ∈ Sm et b ∈ Sm′. Alors Op(a) Op(b) = Op(c) avec c ∈ Sm+m′

vérifiant

c(x, ξ; h) ∽ ∑α

h|α|

i|α|α!∂α

ξ a(x, ξ; h)∂αxb(x, ξ; h).

Rappelons maintenant comment les opérateurs pseudo-différentiels agissent (voir [49] Theorem2.8.1 pour le cas s = m = 0 ou [33] Theorem 18.1.3 pour le cas des opérateurs non semi-classiques).

Proposition 4.3. – Si a ∈ Sm, Op(a) opère continûment de S(Rn) dans S(Rn). On peut donc pro-longer Op(a) en tant qu’opérateur continu de S ′(Rn) dans S ′(Rn).

– Si a ∈ Sm et s ∈ R, alors Op(a) : Hs → Hs−m continûment, uniformément par rapport à h ∈ (0, h0).

Définissons maintenant la notion d’opérateur elliptique.

Définition 4.4. Un opérateur P ∈ Ψmcl est dit elliptique d’ordre m s’il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ Rn, ξ ∈ R

n tel que |ξ| > c−1; |σ(P)(x, ξ)| > c < ξ >m .

Exemple 4.2. Les opérateurs −h2∆ + 1, −h2∆, −h2∆ +V(x) + h2b(x).∇ sont elliptiques d’ordre 2.

Nous passons maintenant à la définition de fonctions très utiles pour les inégalités de Carleman.

Définition 4.5. Soit V un ouvert borné de Rn et ϕ ∈ C∞(Rn,R). On dit que la fonction ϕ satisfaitl’hypothèse d’hypoellipticité pour P ∈ Ψm

cl sur V si ∇ϕ 6= 0 sur V et s’il existe c > 0 telle que

∀(x, ξ) ∈ V × Rn, pϕ(x, ξ) = 0 ⇒ Re(pϕ), Im(pϕ)(x, ξ) > c (4.13)

avec pϕ(x, ξ) = σ(P)(x, ξ + i∇ϕ(x)) et si p, q ∈ C∞(Rn × Rn;R)

p; q(x, ξ) = (∂ξ p.∂xq− ∂xp.∂ξq)(x, ξ)

est le crochet de Poisson de p et de q.

L’existence de fonctions convenables n’est pas a priori vraie de manière générale (pour uneprésentation plus générale, on consultera [33] Proposition 28.3.3), mais néanmoins aisée dans lescas elliptiques d’ordre 2 usuels. On suit ici [42] et [14] Proposition 3.1.

Proposition 4.4. Soient P ∈ Ψ2cl tel que σ(P)(x, ξ) = |ξ|2 + b(x).ξ + a(x) (avec a, b C∞), V un ouvert

borné de Rn et ψ ∈ C∞(Rn,R) telle que ∇ψ 6= 0 sur V. Alors, pour λ > 0 suffisamment grand, ϕ = eλψ

satisfait l’hypothèse

∀(x, ξ) ∈ V × Rn, Re(pϕ)(x, ξ) = 0 ⇒ Re(pϕ), Im(pϕ)(x, ξ) > c

avec c > 0. En particulier, ϕ satisfait l’hypothèse d’hypoellipticité pour P sur V.

93

Démonstration. Dans ce cas particulier, un calcul direct donne

Re(pϕ)(x, ξ) = |ξ|2 − |∇ϕ(x)|2 + b(x).ξ + a(x),

Im(pϕ)(x, ξ) = 2ξ.∇ϕ(x) + b(x).∇ϕ(x).

On peut donc calculer (en omettant la variable x pour plus de lisibilité)

Re(pϕ), Im(pϕ)(x, ξ) = (2ξ + b).(D2ϕξ) + b′(2ξ + b).∇ϕ + b.D2ϕ(2ξ + b)

− (−2D2ϕ∇ϕ + b′(ξ) +∇a).(2∇ϕ)

= 4(D2ϕ)(ξ, ξ) + 4(D2ϕ)(b, ξ) + b′(b).∇ϕ + D2ϕ(b, b)

+ 4(D2ϕ)(∇ϕ,∇ϕ) + 2a.∇ϕ.

Utilisant ∇ϕ = λϕ∇ψ et D2ϕ = λϕD2ψ + λ2ϕ∇ψt∇ψ, on obtient donc

Re(pϕ), Im(pϕ)(x, ξ) = 4λ4ϕ3(|∇ψ|4 + (∇ψ.(λϕ)−1ξ)2 + λ−1D2ψ(∇ψ,∇ψ)

+ λ−1D2ψ((λϕ)−1ξ, (λϕ)−1ξ) + (λϕ)−1(∇ψ.b)(∇ψ.(λϕ)−1ξ)

+ (λϕ)−1D2ψ(∇ψ, (λϕ)−1ξ) + (λϕ)−2(∇ψ.b)2 + 4−1λ−3ϕ−2b′(b).∇ψ

+ λ−3ϕ−2D2ψ(b, b) + 2−1λ−3ϕ−2∇a.∇ψ.

Remarquons maintenant que, si Re(pϕ)(x, ξ) = 0, alors on a pour C > 0 convenable |ξ| 6

Cλϕ(x)|∇ψ(x)|. Puisque V est borné, on en déduit donc l’existence de C > 0 telle que

Re(pϕ), Im(pϕ)(x, ξ) > 4λ4ϕ3(x)(|∇ψ(x)|4 − Cλ−1)

et la conclusion désirée provient maintenant de infV |∇ψ| > 0.

4.2.2 Inégalités de Carleman dans certains cas elliptiques

Afin d’obtenir des inégalités de Carleman à l’intérieur, nous aurons besoin essentiellement de l’in-égalité de Gårding, dont nous rappelons l’énoncé et une démonstration.

Théorème 4.1. Soit K un compact de Rn. Soit a ∈ Sm de partie principale am tel qu’il existe C > 0 telleque

∀x ∈ K, ∀ξ ∈ Rn, ∀h ∈ (0, h0); Re am(x, ξ; h) > C < ξ >

m .

Alors, pour tout C′ < C il existe h1 > 0 tel que

∀u ∈ D(K), ∀h ∈ (0, h1); Re(Op(a)u, u)0 > C′‖u‖2m/2.

Démonstration. Par définition du symbole principal, on peut écrire le symbole a(x, ξ; h) =am(x, ξ; h) + ham−1(x, ξ; h) avec am−1(x, ξ; h) ∈ Sm−1. Par compacité de K, il existe donc h1 > 0et C0 ∈ (C′,C) tels que

∀x ∈ K, ∀ξ ∈ Rn, ∀h ∈ (0, h1); Re a(x, ξ; h) > C0 < ξ >

m .

Soit maintenant U un voisinage de K. Quitte à choisir U plus petit, on peut supposer qu’il existeC1 ∈ (C′,C0) telle que

∀x ∈ U, ∀ξ ∈ Rn, ∀h ∈ (0, h1); Re a(x, ξ; h) > C1 < ξ >

m .

On choisit maintenant une fonction χ ∈ D(U) telle que 0 6 χ 6 1 et χ = 1 sur un voisinage de Ket l’on pose a(x, ξ; h) = χ(x)a(x, ξ; h) + (1− χ(x))C1 < ξ >m de telle sorte que

a ∈ Sm et∀x ∈ Rn, ∀ξ ∈ R

n, ∀h ∈ (0, h1); Re a(x, ξ; h) > C1 < ξ >m .

94

Pour C2 ∈ (C′,C1), on pose

∀x ∈ Rn, ∀ξ ∈ R

n, ∀h ∈ (0, h1); b(x, ξ; h) := (Re a(x, ξ; h) − C2 < ξ >m)1/2

et B = Op(b). D’après la Proposition 4.2 et la définition du symbole principal, on a, pour R ∈ Ψm−1

convenable,

B∗ B =Op(a) +Op(a)∗

2− C2Λm + hR.

On en déduit maintenant, pour u ∈ D(K),

Re(Op(a)u, u)0 = Re(Op(a)u, u)0 =(Op(a) +Op(a)∗

2u, u

)

0= ‖Bu‖20 + C2(Λ

mu, u)0 − h(Ru, u)0.

L’égalité de Parseval nous donne alors

(Ru, u)0 = (Λ−(m−1)/2Ru,Λ(m−1)/2u)0

et puisque Λ−(m−1)/2R ∈ Ψ(m−1)/2, on déduit de la Proposition 4.3 l’existence de C3 > 0 telle que

(Ru, u) 6 C3‖u‖2(m−1)/2.

En réutilisant l’égalité de Parseval, on obtient finalement

Re(Op(a)u, u)0 > (C2 − C3h1)‖u‖2m/2

et la conclusion voulue en choisissant h1 assez petit.

Lemme 4.1. Soit P ∈ Ψ2cl tel que σ(P)(x, ξ) = |ξ|2 + b(x).ξ + a(x) (avec a, b C∞). Si V est un ouvert borné

de Rn, alors, pour toute fonction ϕ vérifiant l’hypothèse d’hypoellipticité pour P sur V, il existe µ, c > 0telles que

∀x ∈ V, ∀ξ ∈ Rn; µ(Re(pϕ)

2 + Im(pϕ)2) + Re(pϕ), Im(pϕ) > c < ξ >

4

avec, comme précédemment, pϕ(x, ξ) = σ(P)(x, ξ + i∇ϕ(x)).

Démonstration. Dans ce cas particulier, on a donc

Re(pϕ)(x, ξ) = |ξ|2 − |∇ϕ(x)|2 + b(x).ξ + a(x), Im(pϕ)(x, ξ) = (2ξ + b(x)).∇ϕ(x).

Il est donc clair que, quelque soit µ > 0, il existe c > 0 telle que

∀x ∈ V, ∀|ξ| > c; µ(Re(pϕ)2 + Im(pϕ)

2) + Re(pϕ), Im(pϕ) > c < ξ >4 .

Il suffit maintenant de démontrer la propriété suivante : si K est un compact, f , g deux fonctionscontinues sur K telles que f > 0 et f (y) = 0 ⇒ g(y) > L > 0 alors il existe µ > 0 telle quehµ = µ f + g > 0 sur K. Une application de cette propriété à K = V× B(0, c), f = Re(pϕ)2+ Im(pϕ)2

et g = Re(pϕ), Im(pϕ) nous donne en effet la conclusion voulue.Soit y ∈ K. Si f (y) = 0, alors hµ(y) > µL > 0 et il n’y a rien à démontrer. Sinon, il existe µy > 0telle que hµy(y) > 0. Il existe maintenant un voisinage ouvert Uy de y tel que hµy > Cy > 0 sur Uy.D’après la propriété de Borel-Lebesgue, il existe y1, . . . , yp tels que K ⊂ Uy1 ∪ . . . ∪Uyn ; on obtientdonc la conclusion voulue : si µ = maxi µyi , alors

hµ > mini

Cyi > 0.

Nous sommes maintenant en mesure de déduire une inégalité de Carleman à l’intérieur.

95

Théorème 4.2. Soit P ∈ Ψ2cl tel que σ(P)(x, ξ) = |ξ|2 + b(x).ξ + a(x) (avec a, b C∞). Si V est un

ouvert borné de Rn, alors, pour toute fonction ϕ vérifiant l’hypothèse d’hypoellipticité pour P sur V il existeh1,C > 0 tels que

∀u ∈ D(V), ∀h ∈ (0, h1); h‖eϕ/hu‖2L2(Rn) + h3‖eϕ/h∇u‖2L2(Rn) 6 C‖eϕ/hPu‖2L2(Rn).

Démonstration. On pose v = eϕ/hu. Pu = f équivaut à eϕ/hPe−ϕ/hv = f eϕ/h.Si on note p0 le symbole principal de P et pϕ le symbole principal de Pϕ = eϕ/hPe−ϕ/h, on obtientpar application de la Proposition 4.2

pϕ(x, ξ) = p0(x, ξ) + i∇ξ p0(x, ξ).∇ϕ(x) +i2

2!D2

ξ p0(x, ξ)(∇ϕ(x),∇ϕ(x)) + . . . .

soit, par application de la formule de Taylor au polynôme p0(x, .),

pϕ(x, ξ) = p0(x, ξ + i∇ϕ(x)).

On écrit maintenant Q2 =Pϕ+P∗

ϕ

2 , Q1 =Pϕ−P∗

ϕ

2i de telle sorte que l’on a, puisque v ∈ D(V),

‖g‖20 = ‖Q1v‖20 + ‖Q2v‖20 + 2Re(Q2v, iQ1v)0 =((Q2

1 +Q22 + i[Q2,Q1])v, v

)0 (4.14)

si [A, B] = AB− BA désigne le commutateur de deux opérateurs A et B. La Proposition 4.2 nousdonne alors les valeurs des symboles principaux suivants

σ(Q21) = (Im pϕ)

2,

σ(Q22) = (Re pϕ)

2,

σ([Q2,Q1]) =hiRe pϕ, Im pϕ.

D’après le Lemme 4.1, il existe µ > 0 vérifiant σ(µ(Q21 +Q2

2) + ih−1[Q2,Q1]) > c < ξ >4, l’inégalitéde Gårding nous donne donc, pour tout h 6 µ−1,

h−1 ((Q21 + Q2

2 + i[Q2,Q1])v, v)0 >

(µ(Q2

1 + Q22 + ih−1[Q2,Q1])v, v

)0> c‖v‖22. (4.15)

On conclut maintenant avec (4.14) et (4.15) puisque, d’après l’équivalence des normes annoncéeplus haut,

‖v‖22 > c(‖eϕ/hu‖2L2(Rn) − h‖∇ϕ‖2∞‖eϕ/hu‖2L2(Rn) + h2‖eϕ/h∇u‖2L2(Rn)

).

Reformulons maintenant ceci dans le cas d’un célèbre opérateur différentiel.

Corollaire 4.1. Si V est un ouvert borné de Rn, alors, pour toute fonction ϕ vérifiant l’hypothèse d’hypoel-lipticité pour −h2∆ sur V il existe h1,C > 0 tels que

∀u ∈ D(V), ∀h ∈ (0, h1); h‖eϕ/hu‖2L2(Rn) + h3‖eϕ/h∇u‖2L2(Rn) 6 Ch4‖eϕ/h∆u‖2L2(Rn).

Remarque 4.5. – Le cas elliptique plus général où σ(P)(x, ξ) = A(x)(ξ, ξ) + b(x).ξ + a(x) (A(x)matrice C∞ uniformément définie positive) se traite exactement de la même manière que précédemment.On peut également traiter le cas d’opérateurs différentiels paraboliques de la la forme ∂t − ∆, mais parune méthode un peu différente (voir [42] Section 7).

– Pour un exposé général des inégalités de Carleman locales dans un cadre non semi-classique, on renvoità [33] Paragraphs 28.2, 28.3.

96

Inégalité de Carleman etcontrôlabilité

5.1 Généralités sur le contrôle d’EDP

5.1.1 Observabilité et contrôle abstraits

On va se placer dans un cadre abstrait afin d’étudier les relations entre la contrôlabilité et l’obser-vabilité. On suivra ici [18] pour cette présentation.Soit (H, (., .)H) et (U, (., .)U) deux espaces de Hilbert séparables équipés de leurs produits sca-laires respectifs. On considère un semigroupe (S(t))t>0 fortement continu sur H et on note A legénérateur de ce semigroupe. Puisque A est de domaine dense, on peut définir l’adjoint A∗ par

∀x ∈ D(A), (A∗y, x)H = (y, Ax)H

pour y élément du domaine

D(A∗) = y ∈ H; ∃C > 0 tel que |(Ax, y)H | 6 C‖x‖H∀x ∈ D(A).

De plus, A∗ est le générateur du semigroupe (S(t)∗)t>0, son domaine est donc dense dans H.On considère un opérateur de contrôle B ∈ B(U,D(A∗)′) c’est-à-dire linéaire continu à valeursdans le dual du domaine de A∗ (équipé de la norme du graphe de A∗). On définit de manièreanalogue à ce qui précède l’adjoint B∗ ∈ B(D(A∗),U).On suppose de plus que la condition de régularité (ou d’admissibilité) suivante est satisfaite

∀T > 0, ∃CT > 0 tel que∀z ∈ D(A∗),∫ T

0‖B∗S(t)∗z‖2Udt 6 CT‖z‖2H , (5.1)

de telle sorte que l’on peut définir (par densité de D(A∗) dans H) pour z ∈ H l’élément t 7→B∗S(t)∗z dans l’espace L2loc(R

+,U).On considère maintenant le système

yt = Ay+ Bu(t) si t ∈ (0, T)y(0) = y0

, (5.2)

avec y0 ∈ H, u ∈ L2(0, T;U). On peut montrer (voir [18] Theorem 2.37) que ce problème possèdeune unique solution au sens faible suivant :

Définition 5.1. Soit T > 0, y0 ∈ H et u ∈ L2(0, T;U). On dit que y ∈ C([0, T],H) est solution de (5.2)si, quelque soit t ∈ [0, T], z ∈ H, l’identité suivante est satisfaite

(z, y(t))H − (S(t)∗z, y0)H =∫ t

0(B∗S(t− s)∗z, u(s))Uds.

97

On peut maintenant définir les notions de contrôlabilité suivantes.

Définition 5.2. Soit T > 0. On dit que le système (5.2) est exactement contrôlable au temps T si, quelquesoit y0 ∈ H et y1 ∈ H, il existe u ∈ L2(0, T;U) telle que la solution y de (5.2) vérifie y(T) = y1.

Définition 5.3. Soit T > 0. On dit que le système (5.2) est nul-contrôlable au temps T si, quelque soity0 ∈ H et y0 ∈ H, il existe u ∈ L2(0, T;U) telle que la solution y de (5.2) vérifie y(T) = S(T)y0.

Remarque 5.1. Par linéarité de l’équation (5.2), il suffit de prendre y0 = 0 dans la définition pour avoir lanulle-contrôlabilité.

Définition 5.4. Soit T > 0. On dit que le système (5.2) est approximativement contrôlable au temps T si,quelque soit y0 ∈ H, y1 ∈ H et ε > 0, il existe u ∈ L2(0, T;U) telle que la solution y de (5.2) vérifie‖y(T)− y1‖H 6 ε.

Nous allons maintenant pouvoir établir les résultats suivants.

Théorème 5.1. Soit T > 0.– Le système (5.2) est exactement contrôlable au temps T si et seulement s’il existe c > 0 tel que

∀z ∈ H,∫ T

0‖B∗S(t)∗z‖2Udt > c‖z‖2H .

– Le système (5.2) est approximativement contrôlable au temps T si et seulement si, pour tout z ∈ H,

(B∗S(.)∗z = 0dans L2(0, T;U)) ⇒ (z = 0).

Démonstration. Pour u ∈ L2(0, T;U) et si y est la solution de (5.2) avec y0 = 0, on définit

FT(u) = y(T) ∈ H.

Par linéarité de (5.2), il est clair que FT est surjective si et seulement si (5.2) est exactement contrô-lable au temps T et que FT est d’image dense si et seulement si (5.2) est approximativement contrô-lable au temps T.Supposons que FT est surjective. L’ensemble E = z ∈ D(F ∗

T) ⊂ H; ‖F ∗T(z)‖L2(0,T;U) 6 1 considéré

comme sous-ensemble de H′ est borné dans H′ par le théorème de Banach-Steinhaus puisque

∀u ∈ L2(0, T;U), ∀z ∈ E, |(z,FT(u))H| = |(F ∗T(z), u)L2(0,T;U)| 6 ‖u‖L2(0,T;U).

On a donc montré

(FT surjective) ⇒ (∃C > 0 telle que∀z ∈ D(F ∗T), ‖z‖H 6 C‖F ∗

T(z)‖L2(0,T;U)).

Réciproquement, supposons

∃C > 0 telle que∀y ∈ D(F ∗T), ‖z‖H 6 C‖F ∗

T(z)‖L2(0,T;U).

On voit alors que F ∗T est d’image fermée et si l’on suppose pour l’instant que F ∗

T a un domainedense, on peut appliquer le Théorème II.18 de [12] nous donnant

Im(FT) = Ker(F ∗T)

⊥

pour conclure que FT est surjective.D’autre part, puisque Ker(F ∗

T) = Im(FT)⊥, FT est d’image dense si et seulement si F ∗

T est injective.Utilisant la densité de D(A∗), nous aurons donc terminé notre démonstration si nous montrons

∀z ∈ D(A∗),F ∗T(z) : t 7→ B∗S(T − t)∗z ∈ L2(0, T;U)

puisque l’opérateur F ∗T possèdera alors un domaine dense d’après l’hypothèse d’admissibilité.

Soit v ∈ L2(0, T;U). Si y est la solution de (5.2) avec y0 = 0, on a par la Définition 5.1

(F ∗T(z), v)L2(0,T;U) = (z,FT(v))H = (z, y(T))H =

∫ T

0(B∗S(T− t)∗z, u(t))Udt,

ce qui termine la preuve.

98

Afin de caractériser la nulle-contrôlabilité, nous aurons besoin du résultat auxiliaire suivant(voir [20] ou [18] Lemma 2.48 pour une preuve).

Lemme 5.1. Soit H1, H2, H3 trois espaces de Hilbert. On considère un opérateur C2 ∈ B(H2,H1) et C3 unopérateur à domaine dense de H3 dans H1. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

– il existe M > 0 tel que∀h1 ∈ D(C∗

3), ‖C∗2h1‖H2 6 M‖C∗

3h1‖H3 , (5.3)

– C2(H2) ⊂ C3(D(C3)).De plus, si M > 0 vérifie (5.3), il existe C1 ∈ B(H2,H3) tel que ‖C1‖B(H2,H3) 6 M et

C1(H2) ⊂ D(C3),C2 = C3C1.

Nous pouvons maintenant énoncer notre résultat principal concernant le nul-contrôle.

Théorème 5.2. Soit T > 0. Le système (5.2) est nul-contrôlable au temps T si et seulement s’il existe c > 0tel que

∀z ∈ H,∫ T

0‖B∗S(t)∗z‖2Udt > c‖S(T)∗z‖2H . (5.4)

De plus, si cT est la plus grande constante vérifiant l’inégalité (5.4), alors il existe u ∈ L2(0, T;U) telle quela solution y du système (5.2) vérifie y(T) = 0 et

‖u‖L2(0,T;U) 6 c−1/2T ‖y0‖H ,

c−1/2T étant la plus petite constante vérifiant cette inégalité pour tout y0 ∈ H.

Démonstration. Appliquons le Lemme 5.1 dans la situation suivante : H1 = H2 = H, C2 = S(T) etH3 = L2(0, T;U), C3 = FT précédemment défini.Il est donc clair que la nulle-contrôlabilité du système au temps T est équivalente à l’existence deM > 0 telle que

∀z ∈ D(F ∗T), ‖S(T)∗z‖H 6 M‖F ∗

T(z)‖L2(0,T;U)

et la première partie du théorème découle donc de l’expression de F ∗T obtenue dans la preuve du

Théorème 5.1.Concernant la deuxième partie du résultat, définissons U = −C1 où C1 est obtenue par la deuxièmepartie du Lemme 5.1. On a donc S(T) = −FTU c’est-à-dire

∀y0 ∈ H, S(T)y0 + y1(T) = 0

avec y1 la solution au système

yt = Ay+ B(Uy0)(t)dans(0, T)y(0) = 0

.

Par linéarité, on a donc obtenu que la solution du système

yt = Ay+ B(Uy0)(t)dans(0, T)y(0) = y0

vérifie y(T) = 0. Il suffit alors de poser u(t) = (Uy0)(t) pour conclure, grâce au Lemme 5.1,

‖u‖L2(0,T;U) 6 c−1/2T ‖y0‖H .

L’optimalité de cette constante résulte alors de S(T) = −FTU, qui nous donne

‖S(T)∗‖B(H,H) 6 ‖U‖B(L2(0,T;U,H)‖F ∗T‖B(H,L2(0,T;U).

99

Définition 5.5. La constante c−1/2T est appelée coût de contrôle de (5.2) au temps T.

Revenons maintenant au cas de la chaleur pour lequel nous avons établi des inégalités de Car-leman au chapitre précédent.

Exemple 5.1. Considérons le semi-groupe (S(t))t>0 de la chaleur usuelle, correspondant donc aux solutionsde l’équation avec condition au bord de type Dirichlet

yt = ∆yy = 0

dansΩ

sur ∂Ω.

Il agit sur l’espace de Hilbert H = L2(Ω). Son générateur est A = ∆ muni du domaine D(∆) = H2(Ω) ∩H1

0(Ω). Il est aisé de voir que le semi-groupe adjoint est également (S(t))t>0.Pour ω ⊂ Ω, on veut étudier la nulle-contrôlabilité de la chaleur par ω, c’est-à-dire trouver u raisonnabledéfini sur (0, T)× ω tel que la solution de

yt − ∆y = 1ωuy = 0y(0, .) = y0

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω

dansΩ

satisfasse y(T) = 0. On considère donc l’espace U = L2(ω) et on définit l’opérateur B sur U par Bu = 1ωusi u ∈ L2(ω). Puisque D(A∗) = H2(Ω) ∩ H1

0(Ω) → L2(Ω), on a bien B ∈ B(U,D(A∗)′). On a d’autrepart, pour u ∈ L2(ω) et v ∈ D(A∗),

(Bu, v)H =∫

Ω1ωuvdx =

∫

ωuv|ωdx = (u, v|ω)U

ce qui montre que B∗(v) = v|ω pour v ∈ D(A∗).La condition d’admissibilité s’écrit donc

∫

(0,T)×ωz(t, x)2dxdt 6 C‖z(0, .)‖2L2(Ω)

pour toute solution du problème zt = ∆zz = 0

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω. (5.5)

Cette condition est donc évidemment vérifiée puisque, d’après (4.10),

∫

(0,T)×ωz(t, x)2dxdt 6

∫ T

0‖z(t, .)‖2L2(Ω)dt 6 T‖z(0, .)‖2L2(Ω).

On peut donc invoquer le Théorème 5.2 pour en déduire l’existence d’un contrôle u ∈ L2(0, T; L2(ω)) si etseulement s’il existe C > 0 telle que, pour toute solution de (5.5),

‖z(T)‖L2(Ω) 6 C∫

(0,T)×ωz(t, x)2dtdx

et l’existence d’un nul-contrôle résulte alors de l’inégalité (4.11).

Remarque 5.2. On peut cependant obtenir la contrôlabilité d’équations sans nécessairement passer parl’observabilité.

En effet, Lebeau et Robbiano ont étudié la nulle contrôlabilité de la chaleur en montrant la contrôlabilitédes solutions par une méthode spectrale résultant d’inégalités de Carleman locales adaptées (voir [40]). Cetteméthode a ensuite été reprise afin de montrer comment obtenir la nulle contrôlabilité de l’équation de lachaleur à partir d’une équation des ondes dégénerescente (voir [48]).

Pour exposé général des méthodes permettant d’obtenir la contrôabilité, on renvoit à [72].

100

5.1.2 Observabilité en domaine non-borné

Le cadre abstrait précédemment défini va nous permettre de montrer des résultats de contrôlabilitésur des domaines non-bornés sans passer par une démonstration directe d’une inégalité d’observa-bilité pour le système dual. Nous suivons ici [50].

On introduit d’abord H, X et U trois espaces de Hilbert séparables. On considère deux semi-groupes fortement continus (SA(t))t>0 et (SD(t))t>0 définis sur H et X, de générateurs A et Drespectivement. On considère un opérateur de contrôle B ∈ B(U,D(A∗)′) telle que la conditiond’admissibilité (5.1) soit satisfaite pour (SA(t)∗)t>0.

On note H ou H⊗X le complété du produit tensoriel algébrique H ⊗ X pour sa norme natu-relle et U le complété de U ⊗ X. On considère le générateur A du semi-groupe fortement continu(SA(t) = SA(t)⊗ SD(t))t>0 sur H.Remarquons que l’on a

D(A)⊗D(D) ⊂ D(A) etA|D(A)⊗D(D) = A⊗ I + I ⊗ D (5.6)

puisque, pour (y, x) ∈ D(A)×D(D) et lorsque t → 0+,

(SA(t)⊗ SD(t))(y⊗ x)− y⊗ xt

=SA(t)− I

ty⊗ SD(t)x+ y⊗ SD(t)− I

tx

→ Ay⊗ x+ y⊗ Dx.

On considère enfin l’opérateur B = B ⊗ I ∈ B(U ,D(A∗)′⊗X) → B(U ,D(A∗)′) et les systèmessuivants

yt = Ay+ Bu(t)dans(0, T)y(0) = y0 ∈ H

, (5.7)

Yt = AY + Bv(t)dans(0, T)Y(0) = Y0 ∈ H , (5.8)

avec u ∈ L2(0, T;U) et v ∈ L2(0, T;U).Remarque 5.3. L’opérateur B satisfait la condition d’admissibilité (5.1) pour (SA(t)∗)t>0. En effet, on a,pour (z, x) ∈ D(A∗)×D(D∗),

∫ T

0‖(B⊗ I)∗(SA(T − t)⊗ SD(T − t))∗(z⊗ x)‖2U dt =

∫ T

0‖(B∗SA(T− t)∗z‖2U‖SD(T − t)∗x‖2X ,

de telle sorte que, si C > 0 est telle que (5.1) est vérifiée,∫ T

0‖B∗SA(T− t)∗(z⊗ x)‖2Udt 6 C sup

t∈[0,T]‖SD(t)∗‖2B(X,X)‖z‖2H‖x‖2X = C sup

t∈[0,T]‖SD(t)∗‖B(X,X)‖z⊗ x‖2H.

On conclut alors par densité de D(A∗)⊗D(D∗) dans D(A∗).

On peut maintenant énoncer le résultat principal de cette section.

Théorème 5.3. On suppose que D est un opérateur auto-adjoint négatif sur X. Alors, si le système (5.7) estnul-contrôlable au temps T, le système (5.8) est également nul-contrôlable au temps T.De plus, le coût de contrôle de (5.8) est inférieur au coût de contrôle de (5.7).

Démonstration. D’après le Théorème 5.2, il suffit de démontrer que l’inégalité d’observabilité pour(5.7)

∀z ∈ H,∫ T

0‖B∗SA(t)∗z‖2Udt > c‖SA(T)∗z‖2H (5.9)

entraine l’inégalité d’observabilité pour (5.8)

∀Z ∈ H,∫ T

0‖B∗SA(t)∗Z‖2Udt > c‖SA(T)∗Z‖2H

101

avec la même constante c.Puisque D est autoadjoint et d’après le théorème de décomposition spectral (voir [64] TheoremVIII.4), il existe un espace de mesure finie (M, µ), un isomorphisme unitaire O : X → L2(M, dµ) etune fonction réelle d finie presque partout telle que

x ∈ D(D) ⇔ d(m)(Ox)(m) ∈ L2(M, dµ)∀x ∈ D(D), (ODx)(m) = d(m)(Ox)(m)µpp .

Puisque O est unitaire, on a d’abord d(m) 6 0µpp d’après l’égalité

∀x ∈ D(D), (Dx, x)X =∫

Md(m)|(Ox)(m)|2dµ(m)

et, puisque ddt(OSD(t)x)(m) = (ODSD(t)x)(m) = d(m)(OSD(t)x)(m), pour tout t > 0 et µpp enm,

on a ensuite∀x ∈ X, ∀t > 0, ‖SD(t)x‖2X =

∫

Me2td(m)|(Ox)(m)|2dµ(m). (5.10)

D’après [64] Theorem II.10, on peut maintenant considérer i l’unique isomorphisme deH⊗L2(M, dµ) dans L2(M, dµ;H) tel que

i : (m 7→ z⊗ f (m)) 7→ (m 7→ f (m)z).

De même, soit j : U⊗L2(M, dµ) → L2(M, dµ;U) l’isomorphisme tel que

j : (m 7→ u⊗ f (m)) 7→ (m 7→ f (m)u).

On pose O = i (I ⊗O) : H = H⊗X → L2(M, dµ;H) et O′ = j (I ⊗O) : U → L2(M, dµ;U). Ona, pour z ∈ H et x ∈ X,

SA(T)∗O(z⊗ x) = (m 7→ (Ox)(m)SA(T)∗z) = O(SA(T)∗ ⊗ I)(z⊗ x)

de telle sorte queSA(T)∗O = O(SA(T)∗ ⊗ I). (5.11)

On obtient de mêmeB∗SA(T)∗O = O′(B∗SA(T)∗ ⊗ I). (5.12)

Remarquons finalement que la même stratégie que ci-dessus nous permet d’obtenir grâce à (5.10)

∀Z ∈ H, ‖(I ⊗ SD(T))Z‖2H =∫

Me2td(m)‖OZ(m)‖2Hdµ(m) (5.13)

et∀v ∈ U , ‖(I ⊗ SD(T))v‖2U =

∫

Me2td(m)‖O′v(m)‖2Udµ(m). (5.14)

Revenons maintenant à notre preuve et considérons Z ∈ H. On a d’abord, puisque SA(T)∗ =SA(T)∗ ⊗ SD(T) = (I ⊗ SD(T))(SA(T)∗ ⊗ I) et d’après (5.13)

c‖SA(T)∗Z‖2H = c∫

Me2Td(m)‖O(SA(T)∗ ⊗ I)Z)(m)‖2Hdµ(m).

L’identité (5.11), l’hypothèse d’observabilité (5.9) appliquée à OZ(m) et d(m) 6 0 µppenm nousdonnent ensuite

c‖SA(T)∗Z‖2H = c∫

Me2Td(m)‖SA(T)∗O(Z)(m)‖2Hdµ(m)

6∫

Me2Td(m)

∫ T

0‖B∗SA(t)∗O(Z)(m)‖2Udtdµ(m)

6

∫ T

0

∫

Me2td(m)‖B∗SA(t)∗O(Z)(m)‖2Udµ(m)dt.

102

Les identités (5.12) et (5.14) nous permettent alors d’écrire

∫ T

0

∫

Me2td(m)‖B∗SA(t)

∗O(Z)(m)‖2Udµ(m)dt =∫ T

0

∫

Me2td(m)‖O′(B∗SA(t)

∗ ⊗ I)(Z)(m)‖2Udµ(m)dt

=∫ T

0‖(I ⊗ SD(t))(B

∗SA(t)∗ ⊗ I)Z‖2Udt.

L’identité (I ⊗ SD(t))(B∗SA(t)∗ ⊗ I) = B∗SA(t)∗ ⊗ SD(t) = (B∗ ⊗ I)(SA(t)∗ ⊗ SD(t)) = B∗SA(t)∗

nous donne finalement l’inégalité souhaitée.

Voyons maintenant ce que cela nous permet d’obtenir dans le cadre de l’équation de la chaleuravec condition au bord Dirichlet homogène.

Exemple 5.2. Pour Ω0 un ouvert borné connexe et C2 de Rn, nous avons obtenu dans l’exemple précédentle contrôle interne de l’équation de la chaleur

yt = ∆0y+ 1ω0uy = 0y(0) = y0

dans(0, T)× Ω0

sur(0, T)× ∂Ω0

dansΩ0

par ω0 ⊂ Ω0 quelconque. On reprend les notations précédentes H = L2(Ω0), U = L2(ω0), A = ∆0 équipédu domaine D(A) = H2(Ω0) ∩ H1(Ω0), B : u ∈ U 7→ 1ω0u ∈ H → D(A∗)′.On considère maintenant un ouvert non vide Ω1 de Rm (ou de manière plus générale une variété rie-mannienne de dimension m). Posons X = L2(Ω1) et D l’opérateur auto-adjoint négatif ∆1 de domaineH2(Ω1)∩H1

0(Ω1). On a d’abord, si Ω = Ω0×Ω1,H = H⊗X = L2(Ω) (par densité de L2(Ω0)⊗ L2(Ω1)dans L2(Ω)) et, si ω = ω0 × Ω1, U = U⊗X = L2(ω).Pour (z, x) ∈ H×X, (B⊗ I)(z⊗ x) = (1ω0z)⊗ x = 1ω(z⊗ x) ; on a donc (B⊗ I) : v ∈ U 7→ 1ωv ∈ H.Enfin, d’après l’identité (5.6), A prolonge ∆0 + ∆1 défini sur H2(Ω0) ∩ H1(Ω0))⊗ (H2(Ω0) ∩ H1(Ω0)).On en déduit donc, par densité de H2(Ω0) ∩ H1(Ω0))⊗ (H2(Ω1) ∩ H1(Ω1)) dans H, A = ∆0 + ∆1 dedomaine H2(Ω) ∩ H1

0(Ω).Le Théorème 5.3 s’applique et nous donne le contrôle interne de l’équation de la chaleur

Yt = (∆0 + ∆1)Y + 1ωvY = 0Y(0) = Y0

dans(0, T)× Ω

sur(0, T)× ∂Ω

dansΩ

sur le domaine (non nécessairement borné) Ω = Ω0 × Ω1.

5.2 Article 4 : Controlability and observability of an artificial advection-diffusion problem

Nous présentons maintenant l’article soumis pour publication dans Mathematics of Control, Signals andSystems. Dans ce travail en collaboration avec Sergio Guerrero, nous étudions le problème de contrôle suivant- apparaissant lorsque l’on considère des conditions aux bords artificielles

ut + ∂xnu− ε∆u = 0ut + ∂νu = v

ε(ut + ∂νu) + u = 0u(0, .) = u0

dans (0, T)× Ω,sur (0, T)× Γ0,sur (0, T)× Γ1,

dans Ω,

où Ω = Rn−1 × (−L, 0), Γ0 := Rn−1 × 0 and Γ1 := Rn−1 × −L. En utilisant des inégalités deCarleman globales adaptées, nous montrons la contrôlabilité en un temps arbitrairement petit en dimensionun d’espace. De plus, on obtient dans ce cas que le coût de contrôle tend vers zéro avec ε. Nous obtenonségalement la continuation unique en toute dimension.

103

AbstractIn this paper we study the controllability of an artificial advection-diffusion system through the

boundary. Suitable Carleman estimates give us the observability on the adjoint system in the onedimensional case. We also study some basic properties of our problem such as backward uniquenessand we get an intuitive result on the control cost for vanishing viscosity.

Introduction

Artificial advection-diffusion problem In the present paper we deal with some advection-diffusion problem with small viscosity truncated in one space direction. Our interest for the linearadvection diffusion equation comes from the Navier-Stokes equations, but it arises also in otherfields as, for example, meteorology. For a given viscosity ε > 0, the incompressible Navier-Stokesequations can be written as

ft + ( f .∇) f − ε∆ f +∇p = 0div( f ) = 0

where f is the velocity vector field, p the pressure, ∇ the gradient and ∆ the usual Laplacian.Considering the flow around a body, we have that f is almost constant far away from the body andequal to a. Then, our system can be approximated by the Oseen equation

ft + (a.∇) f − ε∆ f +∇p = 0

div( f ) = 0

(see, for instance, [30, page 309, (1.2)]). Consequently, we get the following equation for the vorticity

ut + a.∇u− ε∆u = 0.

In the sequel, we assume for simplicity that a is the nth unit vector of the canonical basis of Rn.When one computes the solution of this problem, one can only solve numerically this problem

on a bounded domain. A good way to approximate the solution on the whole space may be givenby the use of artificial boundary conditions (see [29, 30]). For any T > 0, we hence consider the fol-lowing control problem on Ω = Rn−1× (−L, 0) (L some positive constant) for real-valued functionsu, v

(Sv)n

ut + ∂xnu− ε∆u = 0ε(ut + ∂νu) = v

ε(ut + ∂νu) + u = 0u(0, .) = u0

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

in Ω,

where Γ0 := Rn−1 × 0 and Γ1 := Rn−1 × −L forms a partition of the boundary ∂Ω. Here wehave denoted ∂xn the partial derivative with respect to xn and ∂ν the normal derivative.In the sequel, we shall focus on the one-dimensional problem

(Sv)

ut + ux − εuxx = 0ε(ut + ∂νu) = v

ε(ut + ∂νu) + u = 0u(0, .) = u0

in (0, T)× (−L, 0),on (0, T)× 0,on (0, T)× −L,

in (−L, 0).

We are interested in the so-called null controllability of this system

for given u0, find v such that the solutionof(Sv) satisfies u(T) ≡ 0.

Using classical duality arguments, we will be interested in the observability of the adjoint systemat x = 0.

104

Let us first introduce the adjoint system

(S′)

ϕt + ϕx + εϕxx = 0ε(ϕt − ∂ν ϕ)− ϕ = 0

ϕt − ∂ν ϕ = 0ϕ(T, .) = ϕT

in (0, T)× (−L, 0),on (0, T)× 0,on (0, T)× −L.

in (−L, 0).

The observability inequality corresponding to the previous controllability property is :

there exists C > 0 such that ‖ϕ(0, .)‖X ≤ C‖ϕ(., 0)‖L2(0,T) ∀ϕT ∈ X, (5.15)

where the space X will be defined below. We refer the reader unfamiliar with the links betweenobservability and controllability to the seminal book [?].

One can notice that, when the viscosity ε vanishes, our heat system (Sv) tends to a transportsystem with Dirichlet boundary condition on Γ1. This phenomenon of degeneration of a parabolicproblem to a hyperbolic one has been studied in several papers : see, for instance, [15] (one dimen-sional heat equation) and [24] (Burgers equation). Similar results of interest can also be found in[18].

Main results In dimension n, we define X as the closure of D(Ω) for the norm

‖u‖X :=(‖u‖2L2(Ω) + ε‖u‖2L2(∂Ω)

) 12.

One notes that X may be identified to L2(Ω)⊕ L2(∂Ω) (that is L2(Ω)⊕ R2 if n = 1).

We will denote by Cobs(ε) the cost of the null-control, which is the smallest constant C whichfulfills the observability estimate (5.15). Our main result is the following :

Theorem 5.1. Assume T, L > 0.– There exists C > 0 such that the solution of problem (S′) satisfies (5.15). Consequently, for every

u0 ∈ X, there exists a control v ∈ L2(0, T) with

‖v‖L2(0,T) ≤ C‖u0‖X

such that the solution of the problem (Sv) satisfies u(T) ≡ 0.– Furthermore, if T/L is large enough, the cost of the null-control Cobs(ε) tends to zero exponentially as

ε → 0 :∃C, k > 0 such that Cobs(ε) ≤ Ce−k/ε.

Remark 5.1. One can in fact obtain an observability result for the adjoint system at x = −L, that is

‖ϕ(0, .)‖X ≤ C‖ϕ(.,−L)‖L2(0,T),

for any ϕ solution of (S′). This provides some controllability result for the direct system on Γ1 : one can finda function v depending continuously on u0 so that the solution of

ut + ux − εuxx = 0ut + ∂νu = 0

ε(ut + ∂νu) + u = vu(0, .) = u0

in (0, T)× (−L, 0),on (0, T)× 0,on (0, T)× −L,

in (−L, 0),

satisfies u(T, .) ≡ 0. Despite the fact that it is more physical to control our system at Γ1, we have chosen topresent here the result for the system (Sv) since its proof, less obvious, requires more computations.

105

Remark 5.2. The fact that the control cost vanishes tells intuitively that the state is almost null for T/L bigenough. This is to be connected with the fact that, for ε = 0, the system is purely advective and then that, forT > L, its state is null.

In some context of inverse problems (be able to know the origin of a polluted river for instance),it can be interesting to know if the observation of the solution of the direct problem on the boundarypart Γ1 or Γ0 can allow us to recover the initial data. The corresponding result is presented nowand will be proved at the end of the first section.

Proposition 5.1. Let T > 0 and ε > 0. If the solution of (S0) with initial data u0 ∈ X satisfies u = 0 on(0, T)× Γ1, then u0 ≡ 0. However, there is no constant C > 0 such that the following estimate holds

‖u0‖X ≤ C‖u(.,−L)‖L2(0,T) ∀u0 ∈ X. (5.16)

Remark 5.3. Using Remark 1, one can also obtain a similar result at x = 0.

The rest of the article is organized as follows : in the first section, we show the well-posednessof the direct and the adjoint problems using some semi-groups approach. In the second section,we adapt Carleman inequality to the case of our one-dimensional problem. The third section isintended to explain how to get observability in the one-dimensional case and the equivalencebetween observability and controllability.

Notations :A . B means that, for some universal constant c > 0, A ≤ cB.A ∼ B means that, for some universal constant c > 1, c−1B ≤ A ≤ cB.

5.2.1 Well-posedness and basic properties of systems

In this section, we work in dimension n.

Homogeneous problems

We will use some semi-group results to show existence and uniqueness of the homogeneous directproblem (that is (S0)n). This will enable to define solutions of the system (S0)n as a semigroupvalue. We define H = (X, ‖.‖X),V = H1(Ω) endowed with the usual norm ‖.‖ and we consider thebilinear form on V defined by

a(u1, u2) = ε∫

Ω∇u1.∇u2 +

∫

Ω∂xnu1u2 +

∫

Γ1

u1u2. (5.17)

Using the Riesz representation theorem, one can define an operator A such that

∀u1, u2 ∈ X, a(u1, u2) =< −Au1, u2 >X

and D(A) = u ∈ X;−ε∆u+ ∂xnu ∈ L2(Ω), ∂νu ∈ L2(∂Ω) equipped with the graph norm

‖u‖D(A) = ‖u‖X + supv∈V\0

|a(u, v)|‖v‖X

.

(S0)n might now be written in the following abstract way

ut = Auu(0, .) = u0

in X,in X.

Proposition 5.2. Let ε > 0. Then A generates a continuous semi-group (etA)t≥0 on X.

106

Proof. Using the Hille-Yoshida theorem, we will show that A is a maximal monotone operator.– First, Green-Riemann formula gives

< Au, u >X= −ε∫

Ω|∇u|2 − 1

2

∫

∂Ω|u|2,

so the monotonicity is proved.– Given v ∈ X, we have to solve (I −A)u = v, that is to find u ∈ D(A) such that

∀u′ ∈ X,< (I −A)u, u′ >X=< v, u′ >X .

The left-hand side term of this equation is a continuous bilinear form B on the space V whilethe right-hand side term is a continuous linear form L on V. Moreover, using (5.17), one caneasily compute

B(u, u) = ‖u‖2X + ε∫

Ω|∇u|2 + 1

2

∫

∂Ω|u|2 ≥ min1, ε‖u‖2,

which show that B is coercive on V. Consequently, Lax-Milgram theorem shows that thereexists u ∈ V such that B(u, u′) = L(u′), ∀u′ ∈ V. Using test functions u′ ∈ D(Ω) additionnalygives u ∈ D(A) and our proof ends.

In particular, for every initial data u0 ∈ X, we have existence and uniqueness of a solution u ∈C(R+,X) to (S0)n. We will call these solutions weak solutions opposed to strong solutions i.e. suchthat u0 ∈ D(A) and which fulfill u ∈ C(R+,D(A)) ∩ C1(R+,X). One can notice that, using thedensity of D(A) in X, a weak solution can always be approximated by a strong solution.

Let us introduce the adjoint system in dimension n

(S′)n

ϕt + ∂xn ϕ + ε∆ϕ = 0ε(ϕt − ∂ν ϕ)− ϕ = 0

ϕt − ∂ν ϕ = 0ϕ(T, .) = ϕT

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1.

in Ω.

One can show that it may be written in the following abstract way

ϕt +A∗ϕ = 0ϕ(T, .) = ϕT

in X,in X.

In the same way as above, the adjoint operator A∗ is shown to be maximal monotone with domainD(A∗). Thus, for every initial data ϕT ∈ X, we have existence and uniqueness of a solution ϕ ∈C(R+,X) to (S′)n given by means of the backward semigroup (e(T−t)A∗

)t≥0. We will also speak ofweak solutions or strong solutions in this situation.

Nonhomogeneous direct problems

We consider a slightly more general system

(S f ,g0,g1)n

ut + ∂xnu− ε∆u = fε(ut + ∂νu) = g0

ε(ut + ∂νu) + u = g1u(0, .) = u0

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

in Ω,

with f ∈ L2((0, T)× Ω), g0 ∈ L2((0, T)× Γ0) and g1 ∈ L2((0, T)× Γ1). We consider a function g on∂Ω such that g = gi on Γi (i = 0, 1).

107

Definition 5.1. We say that u ∈ C([0, T] ,X) is a solution of (S f ,g0,g1)n if, for every function

ϕ ∈ C([0, T] ,H2(Ω)) ∩ C1([0, T],X), the following identity holds

∫ T

0

∫

Ωu(ϕt + ∂xn ϕ + ε∆ϕ) +

∫ T

0

∫

∂Ωu(ε(ϕt − ∂ν ϕ)− 1Γ0 ϕ) +

∫ T

0

∫

Ωf ϕ +

∫ T

0

∫

∂Ωgϕ

=∫

Ωu(T)ϕ(T)−

∫

Ωu0ϕ(0) + ε

∫

∂Ωu(T)ϕ(T)− ε

∫

∂Ωu0ϕ(0).

Proposition 5.3. Let T > 0, u0 ∈ X, f ∈ L2((0, T)×Ω), g0 ∈ L2((0, T)× Γ0) and g1 ∈ L2((0, T)× Γ1).Then (S f ,g0,g1)

n possesses a unique solution u. Moreover, one has the following estimate

‖u‖L∞((0,T),X) 6 C(T, ε)(‖u0‖X + ‖ f‖L2((0,T)×Ω)+ ‖g‖L2((0,T)×∂Ω)

),

with C(T, ε) only depending on T and ε.

Proof. Using the Riesz representation theorem, we first define F(t) ∈ X such that

< F(t), u >X=∫

Ωf (t)u+

∫

∂Ωg(t)u, ∀u ∈ X.

It is now easy to check that u is solution to (S f ,g0,g1) if and only if

u(t) = etAu0 +∫ t

0e(t−s)AF(s)ds, ∀t ∈ [0, T].

Finally, using classical estimates of the norm of etA, this expression is well-defined and we obtainthe required estimate.

We now focus on some regularization effect for our general system and for some technicalreasons we want to have some explicit dependence of the bounds on ε. The result is given below.

Lemma 5.1. Let ε ∈ (0, 1), f ∈ L2((0, T)× Ω), g0 ∈ L2((0, T)× Γ0) and g1 ∈ L2((0, T)× Γ1).– Let u0 ∈ X. Then if u is the solution of (S f ,g0,g1)

n, u belongs to L2((0, T),H1(Ω)) ∩ C([0, T],X) and

ε1/2‖u‖L2((0,T),H1(Ω)) + ‖u‖L∞((0,T),X) ≤ C(‖u0‖X + ‖ f‖L2((0,T)×Ω)+ ‖g‖L2((0,T)×∂Ω)) (5.18)

for some C > 0 only depending on T.– Let now u0 ∈ H1(Ω). Then u ∈ L2((0, T),D(A)) ∩ C([0, T],H1(Ω)), ut ∈ L2((0, T),X) and

ε1/2‖u‖L∞([0,T],H1(Ω)) + ε(‖∆u‖L2((0,T)×Ω)+ ‖∂νu‖L2((0,T)×∂Ω)) + ‖ut‖L2([0,T],X)

≤ Cε1/2

(‖u0‖H1(Ω) + ‖ f‖L2((0,T)×Ω)+ ‖g‖L2((0,T)×∂Ω)),(5.19)

where C > 0 only depends on T.

Proof.– First, we multiply our main equation by u and we integrate on Ω. An application of Green-

Riemann formula with use of the boundary conditions gives the identity

12ddt‖u‖2X +

12

∫

∂Ω|u|2 + ε

∫

Ω|∇u|2 =

∫

Ωf u+

∫

∂Ωgu,

which immediately yields

ddt‖u‖2X +

∫

∂Ω|u|2 + 2ε

∫

Ω|∇u|2 ≤ ‖u‖2X + ‖ f‖2L2(Ω) + ‖g‖2L2(∂Ω).

Finally, Gronwall’s lemma yields (5.18).

108

– Now, we multiply the main equation by ut and we integrate on Ω, which, using Green-Riemann formula and the boundary conditions provide the identity

‖ut‖2X +∫

Ω∂xnuut +

ε

2ddt

(∫

Ω|∇u|2

)+

12ddt

(∫

Γ1

|u|2)

=∫

Ωf ut +

∫

∂Ωgut,

Now−∫

Ωut∂xnu 6

12

∫

Ω|∇u|2 + 1

2‖ut‖2X

and, using again Young’s inequality, we have

∫

Ωf ut +

∫

∂Ωgut 6

14‖ut‖2X + C(‖ f‖2L2(Ω) + ‖g‖2L2(∂Ω)).

We have thus proven the following inequality

‖ut‖2X + 2εddt

(∫

Ω|∇u|2

)+ 2

ddt

∫

Γ1

|u|2 ≤ 2∫

Ω|∇u|2 + C

(‖g‖2L2(∂Ω) + ‖ f‖2L2(Ω)

). (5.20)

Gronwall’s lemma and (5.18) provide

∫

Ω|∇u|2 6 C

ε2

(∫ T

0(‖ f (t)‖2L2(Ω) + ‖g(t)‖2L2(∂Ω))dt+ ‖u0‖2H1(Ω)

), (5.21)

for t ∈ (0, T). We now inject this into (5.20) to get the second part of the required result

‖ut‖2L2((0,T);X) 6Cε

(∫ T

0(‖ f (t)‖2L2(Ω) + ‖g(t)‖2L2 (∂Ω))dt+ ‖u0‖2H1(Ω)

).

Writing the problem as

−∆u = 1ε ( f − ut − ∂xnu)

∂νu = g0ε − ut

∂νu = g1ε − ut − 1

εu

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

we get that u ∈ L2((0, T),D(A)) and the existence of some constant C > 0 such that

‖∆u‖L2((0,T)×Ω)+ ‖∂νu‖L2((0,T)×∂Ω)

≤ Cε(‖ f‖L2((0,T)×Ω)+ ‖g‖L2((0,T)×∂Ω)+ ‖u‖L2((0,T),H1(Ω)) + ‖ut‖L2((0,T),X))

which gives the last part of the required result (5.19).

Remark 5.4. Working on the non-homogeneous adjoint problem and using the backward semigroup e(T−t)A∗,

one is able to show that the estimates of Lemma 5.1 hold for the system

(S′f ,g0,g1)n

ϕt + ∂xn ϕ + ε∆ϕ = fε(ϕt − ∂ν ϕ)− ϕ = g0

ε(ϕt − ∂ν ϕ) = g1ϕ(T, .) = ϕT

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

in Ω.

109

Backward uniqueness

We will show here the backward uniqueness of systems (S0)n and (S′)n, thanks to the well-knownresult of Lions-Malgrange ([45]) and the regularization effect.

Lemma 5.2. Let u0 ∈ X and δ ∈ (0, T). Then, the solution u of (S0)n satisfies u ∈ C([δ, T],D(A)).

Proof. Our strategy is to show that u ∈ L2((δ, T);H2(Ω)) and ut ∈ L2((δ, T);H2(Ω)). This easilyimplies that u ∈ C([δ, T];H2(Ω)).

We first select some regular cut-off function θ1 such that θ1 = 1 on (δ/2, T) and θ1 = 0 on(0, δ/4). If u1 = θ1u, we have that

u1,t + ∂xnu1 − ε∆u1 = θ′1uε(u1,t + ∂νu1) = εθ′1uε(u1,t + ∂νu1) + u1 = εθ′1uu1(0, .) = 0

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

in Ω,

that is u1 satisfies (Sθ′1u,εθ′1u,εθ′1u)n. An application of Lemma 5.1 gives that u1 ∈ L2((0, T),D(A)) and

u1,t ∈ L2((0, T),X). This implies in particular that u ∈ L2((δ, T),D(A)).We now focus on ut and we select another cut-off function θ2 such that θ2 = 1 on (δ, T) and

θ2 = 0 on (0, δ/2). We write the system satisfied by θ2u and we differentiate it with respect to time.One deduces that u2 = (θ2u)t is the solution of

(Sθ′2ut+θ′′2 u,ε(θ′2ut+θ′′2 u),ε(θ

′2ut+θ′′2 u)

)n.

Using that |θ′2| . |θ1|, Lemma 5.1 gives that u2 ∈ L2((0, T),D(A)) that is ut ∈ L2((δ, T),D(A)).

Proposition 5.4. Assume that u is a weak solution of (S0)n such that u(T) = 0. Then u0 ≡ 0.

Proof. If 0 < δ < T, then Lemma 5.2 shows that u(δ) ∈ D(A). We will now apply Théorème 1.1 of[45] to u as a solution of (S0)n in the time interval (δ, T) to show that u(δ, .) = 0. The bilinear forma defined in (5.17) can be split into two bilinear forms on V defined by

a(u1, u2) = a0(t, u1, u2) + a1(t, u1, u2)

witha0(t, u1, u2) = ε

∫

Ω∇u1.∇u2, a1(t, u1, u2) =

∫

Ω∂xnu1u2 +

∫

Γ1

u1u2.

The four first hypotheses in [45] (see (1.1)-(1.4) in that reference) are satisfied since u ∈ L2(δ, T;V)∩H1(δ, T;H) (from Lemma 5.1 above), u(t) ∈ D(A) for almost every t ∈ (δ, T), ut = Au andu(T, .) ≡ 0. On the other hand, it is clear that a0 and a1 are continuous bilinear forms on V and thatthey do not depend on time t. It is also straightforward to see that

∀u ∈ V, a0(t, u, u) + ‖u‖2X > min1, ε‖u‖2

and, for some constant C > 0,

∀u, v ∈ V, |a1(t, u1, u2)| 6 C‖u1‖‖u2‖X .

This means that Hypothesis I in that reference is fulfilled. We have shown that u(δ, .) = 0, whichfinishes the proof since

u0 = limδ→0

u(δ) = 0.

Remark 5.5. The result also holds for the adjoint system : if ϕ is a weak solution of (S′)n such that ϕ(0) ≡ 0then ϕT = 0. The proof is very similar to the one above and is left to the reader.

110

Proof of Proposition 5.1

The fact that u = 0 on (0, T)× Γ1 implies u0 ≡ 0 is a straightforward consequence of the backwarduniqueness of system (S0)n. Indeed, similarly as (5.15), one can prove the observability inequality

‖u(T, .)‖X . ‖u‖L2((0,T)×Γ1),

(see Remark 5.6 below), which combined with Proposition 5.4 gives u0 ≡ 0.To show that (5.16) is false, we first need to prove some well-posedness result of (S0)n with u0 in aless regular space. For s ∈ (0, 1/2), we define Xs as the closure of D(Ω) for the norm

‖u‖Xs :=(‖u‖2Hs(Ω) + ε‖u‖2Hs(∂Ω)

) 12,

where Hs(Ω) (resp. Hs(∂Ω)) stands for the usual Sobolev space on Ω (resp. ∂Ω). One easily showsthat Xs is a Hilbert space. We now denote X−s the set of functions u2 such that the linear form

u1 ∈ D(Ω) 7−→< u1, u2 >X

can be extended in a continuous way on Xs. If u1 ∈ X−s, u2 ∈ Xs we denote this extension by< u1, u2 >−s,s.

If u0 ∈ X−s, we say that u is a solution by transposition of (S0)n if, for every f ∈ L2((0, T)× Ω)

∫ T

0

∫

Ωu f+ < u0, ϕ(0, .) >−s,s= 0,

where ϕ is the weak solution (see Remark 4) of

(S′f ,0,0)n

ϕt + ∂xn ϕ + ε∆ϕ = fε(ϕt − ∂ν ϕ)− ϕ = 0

ϕt − ∂ν ϕ = 0ϕ(T, .) = 0

in (0, T)× Ω,on (0, T)× Γ0,on (0, T)× Γ1,

in Ω.

Using the Riesz representation theorem and continuity (see Remark 4) of

f ∈ L2((0, T)× Ω) 7−→ ϕ(0, .) ∈ H1(Ω),

it is obvious that, for any u0 ∈ X−s, there exists a solution by transposition of (S0)n, u ∈ L2((0, T)×Ω), such that

‖u‖L2((0,T)×Ω) . ‖u0‖X−s .

Moreover, if u0 ∈ X = X0, Lemma 5.1 shows that the solution u satisfies

‖u‖L2((0,T),H1(Ω)) . ‖u0‖X0 .

If one uses classical interpolation results (see [44]), one can deduce that for every θ ∈ (0, 1/2), forany u0 ∈ X−sθ = [X,X−s]1−θ, there exists a solution u ∈ L2((0, T),H1−θ(Ω)) such that

‖u‖L2((0,T),H1−θ(Ω)) . ‖u0‖X−sθ .

Using classical trace result, we have that

‖u‖L2((0,T)×∂Ω) . ‖u0‖X−sθ . (5.22)

On the other hand, estimate (5.16) imply in particular that

‖u0‖X . ‖u‖L2((0,T)×Γ1) ∀u0 ∈ D(Ω). (5.23)

Finally, (5.22) and (5.23) yields the contradictory inclusion X−sθ → X.

111

5.2.2 Carleman inequality in dimension 1

In this paragraph, we will establish a Carleman-type inequality keeping track of the explicit depen-dence of all the constants with respect to T and ε. As in [23], we introduce the following weightfunctions :

η(x) := 2L+ x, α(t, x) :=λ − eη(x)

ε2t(T − t), φ(t, x) :=

eη(x)

ε2t(T − t),

where λ > e2L.The rest of this paragraph will be dedicated to the proof of the following inequality :

Theorem 5.2. There exists C > 0 and s0 > 0 such that for every ε ∈ (0, 1) and every s > s0(εT + ε2T2)the following inequality is satisfied for every ϕT ∈ X :

s3∫

(0,T)×(−L,0)φ3e−2sα|ϕ|2 + s

∫

(0,T)×(−L,0)φe−2sα|ϕx|2 + s3

∫

(0,T)×0,−Lφ3e−2sα|ϕ|2

6 Cs7∫

(0,T)×0e−4sα+2sα(.,−L)φ7|ϕ|2.

(5.24)

Here, ϕ stands for the solution of (S′) associated to ϕT.

Remark 5.6. One can in fact obtain the following Carleman estimate with control term in Γ1

s3∫

(0,T)×(−L,0)φ3e−2sα|ϕ|2 + s

∫

(0,T)×(−L,0)φe−2sα|ϕx|2 + s3

∫

(0,T)×0,−Lφ3e−2sα|ϕ|2

6 Cs7∫

(0,T)×−Le−4sα+2sα(.,0)φ7|ϕ|2.

simply by choosing the weight function η(x) equal to x 7→ −x+ L. The proof is very similar and the sequelwill show how to deal with this case too.

In order to perform a Carleman inequality for system (S′), we first do a scaling in time. Intro-ducing T := εT, ϕ(t, x) := ϕ(t/ε, x) and the weights α(t, x) := α(t/ε, x), φ(t, x) := φ(t/ε, x) ; wehave the following system

ϕt + ε−1 ϕx + ϕxx = 0ε2(ϕt − ε−1∂ν ϕ)− ϕ = 0ϕt − ε−1∂ν ϕ = 0ϕ|t=T = ϕT

in q,on σ0,on σ1,in (−L, 0).

(5.25)

if q := (0, T)× (−L, 0) , σ := (0, T)× −L, 0, σ0 := (0, T)× 0 and σ1 := (0, T)× −L. We willnow explain how to get the following result.

Proposition 5.5. There exists C > 0, such that for every ε ∈ (0, 1) and every s > C(T+ ε−1T2+ ε1/3T2/3),the following inequality is satisfied for every solution of (5.25) associated to ϕT ∈ X :

s3∫

qφ3e−2sα|ϕ|2 + s

∫

qφe−2sα|ϕx|2 + s3

∫

σφ3e−2sα|ϕ|2 6 Cs7

∫

σ0e−4sα+2sα(.,−L)φ7|ϕ|2. (5.26)

Observe that Proposition 5.5 directly implies Theorem 5.2.All along the proof we will need several properties of the weight functions :

Lemma 5.3.– |αt| . Tφ2, |αxt| . Tφ2, |αtt| . T2φ3,– αx = −φ, αxx = −φ.

112

There are essentially two steps in this proof : the first one consists in doing a Carleman estimatevery similar to that of [23] ; in the second one, we will study the boundary terms appearing in theright hand side due to the boundary conditions. We will perform the proof of this theorem forsmooth solutions, so that the general proof follows from a density argument.

We will first estimate the left hand side terms of (5.26) like in the classical Carleman estimate(see [23]). We obtain :

Proposition 5.6. There exists C > 0, such that for every ε ∈ (0, 1) and every s > C(T+ ε−1T2+ ε1/3T2/3),the following inequality is satisfied for every solution of (5.25) associated to ϕT ∈ X :

s3∫

qφ3e−2sα|ϕ|2 + s2

∫

qφe−2sα|ϕx|2 + s−1

∫

qφ−1e−2sα(|ϕxx|2 + |ϕt|2)

+s3∫

σ1

φ3e−2sα|ϕ|2 . s5∫

σ0φ5e−2sα|ϕ|2 + ε2s

∫

σ0φe−2sα|ϕt|2.

(5.27)

Proof.Let us introduce ψ := ϕe−sα. We state the equations satisfied by ψ. In (0, T)× (−L, 0), we have

the identityP1ψ + P2ψ = P3ψ,

whereP1ψ = ψt + 2sαxψx + ε−1ψx, (5.28)

P2ψ = ψxx + s2α2xψ + sαtψ + ε−1sαxψ, (5.29)

andP3ψ = −sαxxψ.

On the other hand, the boundary conditions are :

ε2(ψt + sαtψ − ε−1(ψx + sαxψ))− ψ = 0 on x = 0, (5.30)

ε(ψt + sαtψ) + ψx + sαxψ = 0 on x = −L. (5.31)

We take the L2 norm in both sides of the identity in q :

‖P1ψ‖2L2(q) + ‖P2ψ‖2L2(q) + 2(P1ψ, P2ψ)L2(q) = ‖P3ψ‖2L2(q). (5.32)

Using Lemma 5.3, we directly obtain

‖ P3ψ‖2L2(q) . s2∫

qφ2|ψ|2.

We focus on the expression of the double product (P1ψ, P2ψ)L2(q). This product contains 12 termswhich will be denoted by Tij(ψ) for 1 6 i 6 3, 1 6 j 6 4. We study them successively.

– An integration by parts in space and then in time shows that, since ψ(0, .) = ψ(T, .) = 0, wehave

T11(ψ) =∫

qψtψxx = −1

2

∫

q(|ψx|2)t +

∫

σ0ψxψt −

∫

σ1ψxψt

=∫

σ0ψxψt −

∫

σ1ψxψt.

Now, we use the boundary condition (5.30). We have∫

σ0ψxψt & ε

∫

σ0|ψt|2 − εT2s

∫

σ0φ3|ψ|2 − Ts

∫

σ0φ2|ψ|2.

Thanks to the fact that ψ(0, .) = ψ(T, .) = 0, the same computations can be done on x = −Lusing (5.31) so we obtain the following for this term :

T11(ψ) & −εT2s∫

σφ3|ψ|2 − Ts

∫

σφ2|ψ|2.

113

– Integrating by parts in time, we find

T12(ψ) =s2

2

∫

qα2x(|ψ|2)t = −s2

∫

qαxαxt|ψ|2,

T13(ψ) =s2

∫

qαt(|ψ|2)t = − s

2

∫

qαtt|ψ|2,

T14(ψ) = ε−1 s2

∫

qαx(|ψ|2)t = −ε−1 s

2

∫

qαtx|ψ|2,

and using Lemma 5.3, we get

T12(ψ) & −Ts2∫

qφ3|ψ|2,

T13(ψ) & −T2s∫

qφ3|ψ|2,

T14(ψ) & −ε−1Ts∫

qφ2|ψ|2.

– Now, integrating by parts in space, we have

T21(ψ) = s∫

qαx(|ψx|2)x = −s

∫

qαxx|ψx|2 + s

∫

σ0αx|ψx|2 − s

∫

σ1αx|ψx|2.

Thanks to Lemma 5.3 (the choice of η is important here), the last term is positive. Using theboundary condition (5.30) and Lemma 5.3, we finally get

T21(ψ) & s∫

qφ|ψx|2 − s3

∫

σ0φ3|ψ|2 − ε2s3T2

∫

σ0φ5|ψ|2 + s

∫

σ1

φ|ψx|2 − ε2s∫

σ0φ|ψt|2.

– An integration by parts in space provides

T22(ψ) = s3∫

qα3x(|ψ|2)x = −3s3

∫

qα2x αxx|ψ|2 + s3

∫

σ0α3x|ψ|2 − s3

∫

σ1α3x|ψ|2.

This readily yields

T22(ψ) & s3∫

qφ3|ψ|2 + s3

∫

σ1φ3|ψ|2 − s3

∫

σ0φ3|ψ|2.

– Again an integration by parts in space gives

T23(ψ) = s2∫

qαtαx(|ψ|2)x = −s2

∫

q(αtαx)x|ψ|2 + s2

∫

σ0αtαx|ψ|2 − s2

∫

σ1

αtαx|ψ|2.

Using Lemma 5.3, we obtain

T23(ψ) & −s2T∫

qφ3|ψ|2 − s2T

∫

σ0φ3|ψ|2 − s2T

∫

σ1φ3|ψ|2.

– The last integral concerning the second term in the expression of P1ψ is

T24(ψ) = ε−1s2∫

qα2x(|ψ|2)x.

After an integration by parts in space, we get

T24(ψ) ≥ −2ε−1s2∫

qφ2|ψ|2 − ε−1s2

∫

σ1

φ2|ψ|2.

114

– We consider now the third term in the expression of P1ψ. We have

T31(ψ) =ε−1

2

∫

q(|ψx|2)x ≥ − ε−1

2

∫

σ1|ψx|2.

– Now, we integrate by parts with respect to x and we have

T32(ψ) =ε−1

2s2∫

qα2x(|ψ|2)x ≥ −ε−1s2

∫

qαxαxx|ψ|2 −

ε−1

2s2∫

σ1

α2x|ψ|2

≥ −ε−1s2∫

qφ2|ψ|2 − ε−1

2s2∫

σ1

φ2|ψ|2.

– Then, using another integration by parts in x we obtain

T33(ψ) =ε−1

2s∫

qαt(|ψ|2)x & −ε−1sT

∫

qφ2|ψ|2 − ε−1Ts

∫

σ1φ2|ψ|2 − ε−1Ts

∫

σ0φ2|ψ|2.

– Finally, arguing as before, we find

T34(ψ) =ε−2

2s∫

qαx(|ψ|2)x ≥

ε−2

2s2∫

qφ|ψ|2 − Cε−2s

∫

σ0φ|ψ|2 & −ε−2s

∫

σ0φ|ψ|2.

Putting together all the terms and combining the resulting inequality with (5.32), we obtain

‖P1ψ‖2L2(q) + ‖P2ψ‖2L2(q) + I1(ψ) + I2(ψx) . J1(ψ) + J2(ψt) + J3(ψx) + L(ψ) (5.33)

where the main terms are

I1(ψ) = s3∫

qφ3|ψ|2 + s3

∫

σ1

φ3|ψ|2, I2(ψx) = s∫

qφ|ψx|2 + s

∫

σ1

φ|ψx|2,

the right hand side terms are

J1(ψ) = (ε−1Ts+ ε−1s2)∫

qφ2|ψ|2 + (s2T + sT2)

∫

qφ3|ψ|2

+(sT + s2ε−1 + ε−1Ts)∫

σ1

φ2|ψ|2 + (s2T + εsT2)∫

σ1

φ3|ψ|2,

andJ2(ψt) = ε2s

∫

σ0φ|ψt|2, J3(ψx) = ε−1

∫

σ1

|ψx|2

and the control terms are

L(ψ) = ε−2s∫

σ0φ|ψ|2 + (sT + ε−1Ts)

∫

σ0φ2|ψ|2 + (s3 + s2T + εT2s)

∫

σ0φ3|ψ|2 + ε2s3T2

∫

σ0φ5|ψ|2.

Let us now see that we can absorb some right hand side terms with the help of the parameter s.

• First, we see that the distributed terms in J1(ψ) can be absorbed by the first term in thedefinition of I1(ψ) for a choice of s & ε−1/2T3/2 + ε−1T2.

• Second, we use the second term of I1(ψ) in order to absorb the integrals in the second line ofthe definition of J1(ψ). We find that this can be done as long as s & ε−1T2 + ε−1/2T3/2 since ε < 1.

• Next, we observe that, provided s & ε−1T2, the second term in J2(ψx) absorbs J3(ψx).

115

Moreover, we observe that all the control terms can be bounded in the following way :

|L(ψ)| . s5∫

σ0φ5|ψ|2

as long as s & T(1+ ε−1T), using that ε < 1.

Next, we use the expression of P1ψ and P2ψ (see (5.28)-(5.29)) in order to obtain some estimatesfor the terms ψt and ψxx respectively :

s−1∫

qφ−1|ψt|2 . s2

∫

qφ|ψx|2 + s−1ε−2

∫

qφ−1|ψx|2 + s−1

∫

qφ−1|P1ψ|2 . s2

∫

qφ|ψx|2 +

∫

q|P1ψ|2

for any s & ε−1T2 and

s−1∫

qφ−1|ψxx|2 . s3

∫ T

0

∫ 0

−Lφ3|ψ|2 + sT2

∫

qφ3|ψx|2 + ε−2s2

∫

qφ|ψ|2

+s−1∫

qφ−1|P2ψ|2 . s3

∫

qφ3|ψ|2 + s2

∫

qφ|ψx|2 +

∫

q|P2ψ|2,

for s & T + ε−1T2.Combining all this with (5.33), we obtain

s∫

qφ(s2φ2|ψ|2 + |ψx|2) + s−1

∫

qφ−1(|ψxx|2 + |ψt|2) + s3

∫

σ1φ3|ψ|2

. s5∫

σ0φ5|ψ|2 + ε2s

∫

σ0φ|ψt|2,

(5.34)

for s & T(1+ ε−1T).

Finally, we come back to our variable ϕ. We first remark that ψx = e−sα(ϕx + sφ ϕ) and so

s∫

qφe−2sα|ϕx|2 . s

∫

qφ|ψx|2 + s3

∫

qφ3|ψ|2.

Then, we have that ψt = e−sα(ϕt − sαt ϕ), hence

s−1∫

qφ−1e−2sα|ϕt|2 . s−1

∫

qφ−1|ψt|2 + sT2

∫

qφ3|ψ|2 . s−1

∫

qφ−1|ψt|2 + s3

∫

qφ3|ψ|2

for s & T. Analogously, one can prove that

s−1∫ T

0

∫

qφ−1e−2sα|ϕxx|2 . s−1

∫

qφ−1|ψxx|2 + s3

∫

qφ3|ψ|2 + s2

∫

qφ|ψx|2,

for s & T2.We combine this with (5.34) and we obtain the required result

s3∫

qφ3e−2sα|ϕ|2 + s

∫

qφe−2sα|ϕx|2 + s−1

∫

qφ−1e−2sα(|ϕxx|2 + |ϕt|2) + s3

∫

σ1φ3e−2sα|ϕ|2

. s5∫


∫

σ0φe−2sα|ϕt|2,

(5.35)

for s & T(1+ ε−1T) + ε1/3T2/3 and using that

ε2s3T2∫

σ0φ5e−2sα|ϕ|2 . s5

∫

σ0φ5e−2sα|ϕ|2

which is true for s & T (recall that ε < 1).With this result, we will now finish the proof of Proposition 5.5.

116

Estimate of the boundary term In this paragraph we will estimate the boundary term

ε2s∫

σ0φe−2sα|ϕt|2.

After an integration by parts in time, we get

ε2s∫

σ0φe−2sα|ϕt|2 =

ε2

2s∫

σ0(φe−2sα)tt|ϕ|2 − ε2s

∫

σ0φe−2sα ϕ ϕtt

. T2ε2s3∫


∫

σ0φe−2sα|ϕ| |ϕtt|,

(5.36)

for s & T+ T2. In order to estimate the second time derivative at x = 0, we will apply some a prioriestimates for the adjoint system. Indeed, let us consider the following function

ζ(t, x) := θ(t)ϕt := e−sα(t,−L)φ−5/2(t,−L)ϕt(t, x).

Then, this function fulfills the following system

ζt + ε−1ζx + ζxx = θt ϕt

ε2(ζt − ε−1∂νζ)− ζ = ε2θt ϕt

ζt − ε−1∂νζ = θt ϕt

ζ|t=T = 0

in (0, T)× (−L, 0),on (0, T)× 0,on (0, T)× −L,in (−L, 0).

Using Remark 5.4 for (t, x) 7−→ ζ(εt, x) we find in particular

ε∫

σ|ζt|2 .

∫

q|θt|2|ϕt|2 + ε2

∫

σ(θt)

2|ϕt|2.

This directly implies that

ε∫

σθ2|ϕtt|2 .

∫

q|θt|2|ϕt|2 + ε2

∫

σ(θt)

2|ϕt|2.

Integrating by parts in time in the last integral, we have

ε∫

σθ2|ϕtt|2 .

(∫

q|θt|2|ϕt|2 + ε2

∫

σ((θt)

2)tt|ϕ|2 + ε3∫

σ(θt)

4θ−2|ϕ|2)+

ε

2

∫

σθ2|ϕtt|2.

From the definition of θ(t) and multiplying the previous inequality by s−3, we find that (since ε < 1)

εs−3∫

σ(e−2sαφ−5)(.,−L)|ϕtt|2 . T2

(s−1

∫

qφ−1e−2sα|ϕt|2 + ε2T2s

∫

σ(φ3e−2sα)(.,−L)|ϕ|2

)

. T2(s−1

∫

qφ−1e−2sα|ϕt|2 + s3

∫

σ(φ3e−2sα)(.,−L)|ϕ|2

)(5.37)

for s & εT. Using Cauchy-Schwarz inequality in the last term of the right hand side of (5.36), weobtain

ε2s∫

σ0φe−2sα|ϕ| |ϕtt| . εT−2s−3

∫

σ(e−2sαφ−5)(.,−L)|ϕtt|2 + ε3T2s5

∫

σ0e−4sα+2sα(.,−L)φ7|ϕ|2

Combining this with (5.37) and (5.35) yields the desired inequality (5.26).

5.2.3 Observability and control

In this section, we prove Theorem 5.1.

117

Dissipation and observability result

Our first goal will be to get some dissipation result. Even if we will only use this result in dimensionone, we present it in dimension n for the sake of completeness.

Proposition 5.7. For every ε ∈ (0, 1), for every time t1, t2 > 0 such that t2 − t1 > L and for every weaksolution ϕ of (S′)n, the following estimate holds

‖ϕ(t1)‖X 6 exp− (t2 − t1 − L)2

4ε(t2 − t1)

‖ϕ(t2)‖X .

Proof. We first consider a weight function ρ(t, x) = exp( rε xn) for some constant r ∈ (0, 1) whichwill be fixed later. We will first treat the strong solutions case and, using a density argument, wewill get the weak solutions case.

We multiply the equation satisfied by ϕ by ρϕ and we integrate on Ω. We get the followingidentity :

12ddt

(∫

Ωρ|ϕ|2

)= −1

2

∫

Ωρ∂xn (|ϕ|2)− ε

∫

Ωρϕ∆ϕ.

We then integrate by parts in space, which due to ∇ρ = rε ρen, provides

−12

∫

Ωρ∂xn (|ϕ|2) =

r2ε

∫

Ωρ|ϕ|2 − 1

2

(∫

Γ0

ρ|ϕ|2 −∫

Γ1

ρ|ϕ|2),

and

−ε∫

Ωρϕ∆ϕ = ε

∫

Ωρ|∇ϕ|2 + r

2

∫

Ωρ∂xn (|ϕ|2)− ε

(∫

Γ0

ρϕ∂xn ϕ −∫

Γ1

ρϕ∂xn ϕ

)

= ε∫

Ωρ|∇ϕ|2 − r2

2ε

∫

Ωρ|ϕ|2 + r

2

(∫

Γ0

ρ|ϕ|2 −∫

Γ1

ρ|ϕ|2)− ε

(∫

Γ0

ρϕ∂xn ϕ −∫

Γ1

ρϕ∂xn ϕ

).

Using now the boundary conditions for ϕ and summing up these identities, we finally get

ddt

(∫

Ωρ|ϕ|2

)≥ r(1− r)

ε

∫

Ωρ|ϕ|2 + (1− r)

∫

Γρ|ϕ|2 − 2ε

∫

Γρϕtϕ.

On the other hand, it is straightforward that

ddt

(ε∫

Γρ|ϕ|2

)= 2ε

∫

Γρϕtϕ,

and, consequently, using that r ∈ (0, 1), we have obtained

ddt

(‖√

ρ(.)ϕ(t)‖2X)

≥ r(1− r)ε

‖√

ρ(.)ϕ(t)‖2X .

Gronwall’s lemma combined with exp(− rεL) 6 ρ(·) 6 1 successively gives

‖√

ρ(·)ϕ(·)‖2X 6 exp(− r(1− r)

ε(t2 − t1)

)‖√

ρ(·)ϕ(t2)‖2X

and

‖ϕ(t1)‖2X 6 exp(−1

ε(r(1− r)(t2 − t1)− rL)

)‖ϕ(t2)‖2X

We finally choose

r :=t2 − t1 − L2(t2 − t1)

∈ (0, 1),

which gives the result.We will now use this dissipation estimate with our Carleman inequality to get the desired result.

118

Proposition 5.8. If n = 1, TL is sufficiently large and ε sufficiently small, then the observability constant

Cobs(ε) is bounded by

C exp(− k

ε

)

where C, k are some positive constants.

Proof.– We begin with estimating both sides of the Carleman inequality obtained above. We use the

same notations as above and we define m = λ − e2L and M = λ − eL. We first get

s9∫ T

0e−4sα(.,0)+2sα(.,−L)(φ9|ϕ|2)(., 0) . s7(εT)−14 exp

(s(2M− 4m)

(εT)2

) ∫ T

0|ϕ|2(., 0).

On the other hand, using that φ &1

(εT)2on [ T4 ,

3T4

], we have the following estimate from

below for the left hand-side of the Carleman inequality (5.26)

s3

(εT)6exp

(− 2sM(εT)2

)(∫ 3T4

T4

∫ 0

−L|ϕ|2 +

∫ 3T4

T4

∫

−L,0|ϕ|2

).

Consequently we get that

‖ϕ‖2L2((T/4,3T/4);X) . s4(εT)−8 exp(4s(M−m)

(εT)2

) ∫ T

0|ϕ|2(., 0) := C

∫ T

0|ϕ|2(., 0).

We now choose s ∽ (εT)2 + (εT). The above constant C is consequently estimated by

ε−4ec/ε . ec′/ε

for c′ > c and c well-chosen.– We now deduce the result using dissipation estimates. We have just proven

‖ϕ‖2L2((T/4,3T/4);X) . ec′ε

∫ T

0

∫

Γ0

|ϕ|2.

We now use the dissipation property with t1 = 0 and t2 = t ∈ ] T4 , 3T4[. We easily get, provided

T > 4L,T2exp

((T − 4L)2

8εT

)‖ϕ(0)‖2X 6 ‖ϕ‖2L2((T/4,3T/4);X),

which gives the result with k =18

(1− 4L

T

)(T− 4L)− c′ > 0 provided that

TL> 8+ 32c′.

Proof of Theorem 1

To show the controllability result for (Sv), we will adopt some minimization strategy inspired bythe classical heat equation.

Proposition 5.9. A necessary and sufficient condition for the solution of problem (Sv) to satisfy u(T) = 0is given by :

∀ϕT ∈ X,< ϕ(0, .), u0 >X=∫ T

0ϕ(., 0)v.

where ϕ is the solution of problem (S′) with final value ϕT.

119

Proof. We apply the definition of solution to u against ϕ strong solutions of (S′), which gives

∫ T

0ϕ(., 0)v =< ϕ(0, .), u0 >X − < ϕT, u(T, .) >X

and we get the desired equivalence by approximation of weak solutions by strong solutions.

Proposition 5.10. The following properties are equivalent• ∃C1 > 0, ∀ϕT ∈ X ; ‖ϕ(0, .)‖X ≤ C1‖ϕ(., 0)‖L2(0,T) where ϕ is the solution of problem (S′),• ∃C2 > 0, ∀u0 ∈ X, ∃v ∈ L2(0, T) such that ‖v‖L2(0,T) 6 C2‖u0‖X and the solution u of problem(Sv)satisfies u(T) = 0.

Moreover, C1 = C2.

Proof. (⇒) Let u0 ∈ X. We define H as the closure of X for the norm defined by

‖ϕT‖H = ‖ϕ(., 0)‖L2(0,T),

where ϕ is the corresponding solution of (S′). Using the observability assumption and backwarduniqueness (Proposition 5.4), one sees that it is indeed a norm on X.

We define a functional J in the following way

J(ϕT) =12

∫ T

0ϕ2(., 0)− < ϕ(0, .), u0 >X .

J is clearly convex and our assumption imply that J is continuous on H. Moreover, thanks to ourobservability assumption, J is coercive. Indeed, one has :

J(ϕT) >12‖ϕT‖2H − C‖ϕT‖H

for ϕT ∈ H.Thus J possesses a global minimum ϕT ∈ H, which gives, writing Euler-Lagrange equations,

∀ϕT ∈ H,∫ T

0ϕ(., 0)ϕ(., 0) =< ϕ(0, .), u0 >X . (5.38)

According to Proposition 5.9, we have shown the existence of an admissible control defined byv = ϕ(., 0). Moreover, choosing ϕT = ϕT in (5.38), we obtain the following estimate

‖v‖L2(0,T) 6 ‖u0‖X‖ϕ(0, .)‖X .

Using our hypothesis, we are done.(⇐) If v is an admissible control with continuous dependence on u0, Proposition 5.9 gives us,

for every ϕT ∈ X,

< ϕ(0, .), u0 >X=∫ T

0ϕ(., 0)v.

Choosing now u0 = ϕ(0) gives us the estimate

‖ϕ(0, .)‖2X 6 C2‖ϕT‖H‖u0‖X

that is‖ϕ(0, .)‖X 6 C2‖ϕT‖H .

120

Conclusion and open problems

The question of controllability in higher dimension is open and seems to be hard to obtain usingCarleman estimates. Another approach to obtain the observability estimate in the n-dimensionalcase could be similar to the one of Miller (see [50, Theorem 1.5]) but it seems that our problem isnot adapted to that framework (one can check that the link between the one-dimensional problemand the general one is not as simple as it may seem, see Appendix A below).

If n = 1, one can wonder what is the minimal time to get a vanishing control cost when theviscosity goes to zero. The intuitive result would be L, but it seems that Carleman estimates cannotgive such a result.

Appendix A : On Miller’s trick

In this paragraph, we detail why we cannot apply Miller’s method to obtain observability in di-mension n. We refer the reader to the abstract setting of [50, Section 2] (see more specifically Lemma2.2 in that reference).We denote by Ω1 or Ωn the domains (resp. X1 or Xn the function spaces, A1 or An the evolutionoperators) in dimension 1 or n. The observability operator in dimension one is defined by

O1 :ϕ 7−→ ϕ1x=0X1 → L2(∂Ω1)

.

where 1x=0 is the characteristic function of x = 0.With similar notations, it is obvious that the observability operator on the part of the boundaryΓ0 = Rn−1 × 0 is given by

On :ϕ 7−→ ϕ1Γ0

Xn → L2(∂Ωn)

and coincides with the tensorial product I ⊗O1 between the identity of L2(Rn−1) and O1.We have now the following result.

Proposition 5.11. We define the natural “difference” between An and A1 by

B : w ∈ L2(Rn−1) 7→ ε∆′w ∈ L2(Rn−1)

(∆′ denotes the standard Laplacian on Rn−1) with domain

D(B) = H2(Rn−1).

Then An does not extend A1 ⊗ I + I ⊗B.

Proof. We compute for u1 ∈ D(A1), w ∈ D(B) and ϕ1 ∈ X1, φ ∈ L2(Rn−1) the scalar product< (A1 ⊗ I + I ⊗B)(u1 ⊗w), ϕ1 ⊗ φ >Xn . This value is successively

< A1u1, ϕ1 >X1< w, φ >L2(Rn−1) + < u1, ϕ1 >X1< Bw, φ >L2(Rn−1)

=(∫

Ω1((ε∂2xn − ∂xn)u1)ϕ1 −

∫∂Ω1

((∂ν + 1x=−L)u1)ϕ1

) ∫Rn−1 wφ

+(∫

Ω1u1ϕ1 + ε

∫∂Ω1

u1ϕ1

)ε∫

Rn−1(∆′φ)w

=< An(u1 ⊗w), ϕ1 ⊗ φ >Xn +ε2∫

∂Ωn(∆′(u1 ⊗ w))ϕ1 ⊗ φ

and our claim is proved.

121

Inégalité de Carleman et stabilisation

6.1 Stabilisation de systèmes dissipatifs

6.1.1 Présentation de quelques résultats

Soit (A,D(A)) un opérateur non borné sur un espace de Hilbert H. On suppose que A est maximalmonotone au sens suivant

∀u ∈ D(A), Re(Au, u)H ≤ 0 et A− I : D(A) → H est surjectif . (6.1)

Le domaine D(A) est alors dense et si Re(λ) > 0, A− λI est alors surjectif (voir [12] PropositionVII.1). On a en fait A− λI bijectif et

∀λ tel queRe(λ) > 0, ‖(A− λI)−1‖B(H,H) 6 Re(λ)−1. (6.2)

De plus, il est immédiat de constater que, si ρ(A) = λ ∈ C; A− λI : D(A) → H est bijective,l’application résolvente R : λ ∈ ρ(A) 7→ (A− λI)−1 ∈ B(H,H) est holomorphe.

On rappelle maintenant combien l’étude du comportement de la résolvente est utile pour lacompréhension de la dynamique des solutions de

u′(t) = Au(t)u(0) = u0 ∈ H

.

Le théorème de Hille-Yoshida nous montre que le semi-groupe associé (SA(t))t>0 est de contraction(au sens où ∀t > 0, ‖SA(t)‖B(H,H) 6 1). Il est alors redevable du résultat suivant (voir [46] Theorem1.3.2), qui illustre l’importance du comportement de la résolvente sur l’axe imaginaire.

Théorème 6.1. Soit (SA(t))t>0 un semi-groupe fortement continu de contractions sur un espace de HilbertH, de générateur A. Alors il existe C,ω > 0 tels que ‖SA(t)‖B(H,H) 6 Ce−ωt si et seulement si

iR ⊂ ρ(A)

etlim sup|ξ|→+∞

‖(A− iξ I)−1‖ < +∞.

Ce résultat étant connu, il ne résoud néanmoins pas tous les problèmes. Il est en effet délicatd’obtenir des estimations aussi précises que celles imposées ici.

On présente maintenant un résultat relatifs aux solutions possédants des données initiales plusrégulières. Une récurrence immédiate sur k ∈ N nous montre que la norme usuelle de D(Ak) estéquivalente à

‖(A− I)ku‖Het nous munirons dans la suite D(Ak) de cette norme. En nous référant à [14], nous présentonsmaintenant le résultat correspondant ainsi qu’une preuve.

123

Théorème 6.2. Soit (A,D(A)) un opérateur non borné maximal dissipatif sur un espace de Hilbert H. Onsuppose que la résolvente associée R est définie sur O = λ ∈ C; Re(λ) > −gε(Imλ) avec

gε(t) =

εe−a|t| si |t| > D|t|D εe−aD sinon

(ε, a,D > 0). On suppose de plus qu’il existe C, A > 0 telles que

∀λ ∈ O, ‖R(λ)‖B(H,H) 6 CeA| Im(λ)|. (6.3)

Alors, pour tout k ∈ N\0, 1, il existe Ck > 0 telle que le semi-groupe associé à A vérifie

∀t > 1, ‖SA(t)‖B(D(Ak),H) 6 Ck(ln(t))−k.

Remarque 6.1. D’après le théorème d’interpolation de Calderon et Lions (voir [64] Theorem IX.20), on a enfait sous les hypothèses du Théorème 6.2,

∀k > 0, ∃Ck > 0 telle que ‖SA(t)‖B(H,H) 6 Ck(ln(t))−k.

6.1.2 Preuve du résultat de décroissance faible

Suivant [14], on pose A = iB. On remarque que l’on a, d’après (6.2),(6.3)

∀ξ tel que Im(ξ) < 0, ‖(ξ I − B)−1‖B(H,H) 6 | Im(ξ)|−1 (6.4)

et∀ξ tel que Im(ξ) < gε(Re(ξ)), ‖(ξ I − B)−1‖B(H,H) 6 CeA|Re(ξ)|. (6.5)

Préliminaires On part du calcul fonctionnel de Dunford pour écrire

SA(t)(I − A)−k =1

2iπ

∫ ξ=+∞−i/2

ξ=−∞−i/2eitξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1dξ. (6.6)

En effet, si Ik(t) est le membre de droite, (6.4) nous montre d’abord que cette intégrale est absolu-ment convergente. On peut également calculer

(∂t − A)Ik(t) =(

12iπ

∫ ξ=+∞−i/2

ξ=−∞−i/2eitξ(1− iξ)−kdξ

)iI

et par holomorphie de eitξ(iξ − 1)−k sur Im(ξ) > −1/2, on peut transformer cette intégrale en(

12iπ

∫ ξ=+∞+Ci

ξ=−∞+Cieitξ(1− iξ)−kdξ

)iI,

qui tend vers 0 lorsque C → +∞ d’après le théorème de convergence dominée. On a ainsi obtenu

(∂t − A)Ik = 0.

D’autre part, par holomorphie de (ξ I − B)−1, on a

Ik(0) =1

2iπ

∫ ξ=+∞−Ci

ξ=−∞−Ci(1− iξ)−k(ξ I − B)−1dξ +

12iπ

∫

C(1− iξ)−k(ξ I − B)−1dξ

avec C le cercle de centre −i et de rayon 1/2 orienté dans le sens trigonométrique. Comme précé-demment, le théorème de convergence dominée et (6.4) nous montre

limC→+∞

12iπ

∫ ξ=+∞−Ci

ξ=−∞−Ci(1− iξ)−k(ξ I − B)−1dξ = 0.

124

Enfin, un calcul fonctionnel classique (voir par exemple [69] VIII.7) nous donne

12iπ

∫

C(ξ + i)−1(ξ I − B)−1dξ = (iI + B)−1

et1

2iπ

∫

C(ξ + i)−k(ξ I − B)−1dξ =

(1

2iπ

∫

C(ξ + i)−1(ξ I − B)−1dξ

)k

de sorte que l’on obtient Ik(0) = (I − iB)−k = (I − A)−k et (6.6) est démontrée.On considère maintenant u0 ∈ H et on considère u(t) = χ(t)(I − A)−kv(t) avec v(t) = SA(t)u0 etχ une fonction C∞ sur R telle que

χ(t) =

0 si t < 1/31 si t > 2/3

.

Puisque (∂t − A)u(t) = χ′(t)(I− A)−kv(t), la formule de Duhamel et (6.6) nous permettent d’écrire

u(t) =∫ t

0SA(t− s)(I − A)−kχ′(s)v(s)ds

=1

2iπ

∫ t

0

∫

Im(ξ)=−1/2ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)dξds.

Afin d’utiliser cette formule, on convole par une gaussienne (afin de pouvoir déformer conve-nablement les contours d’intégration) et on divise l’intégration en deux parties. Sur la première,correspondant aux hautes fréquences |ξ| & ln(t), on obtiendra directement une majoration enO((ln(t))−k). Sur la seconde, nous ferons les majorations nécessaires pour montrer que l’on obtientune majoration en O(t−ε) (ε > 0). On écrit donc, pour deux constantes c0, c1 > 0 et t > 1

2iπu(t) =∫

s∈(0,1)

∫

Im(ξ)=−1/2

∫

λei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)

√c0πe−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ

=

√c0π

∫ 1

0

∫ (∫

|λ|<c1 ln(t)+∫

|λ|>c1 ln(t)

)ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ

:=√

c0π(I1 + I2)(t).

Nous allons maintenant estimer successivement I1 et I2.

Estimation de I1 On aimerait déformer le contour d’intégration en ξ afin de pouvoir utiliserl’hypothèse (6.5). La fonction f : ξ 7→ ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2 est holomorphesur U = ξ ∈ C; Im(ξ) < gε(Re(ξ)). D’après l’estimation (6.5) et l’identité

(ξ I − B)−1 − (ξ′ I − B)−1 = (ξ′ − ξ)(ξ I − B)−1(ξ′ I − B)−1

on peut prolonger f en une fonction continue sur ξ ∈ C; Im(ξ) 6 gε(Re(ξ)).On considère maintenant ε0 ∈ (0, ε), et on partitionne Γ = ξ ∈ C; Im(ξ) = gε0(Re(ξ)) en

Γ1 = [0,D+ iε0e−aD], Γ2 = [0,−D+ iε0e−aD],

Γ3 = ξ ∈ C; Im(ξ) = gε0(Re(ξ)) et |Re(ξ)| > D.

Puisque f est continue sur Γ et holomorphe sur U on obtient, par un raisonnement identique auxprécédentes et grâce à l’estimation (6.5), l’identité

I1(t) =∫ 1

0

∫

Γ

∫

|λ|<c1 ln(t)ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ.

125

On écrit maintenant, pour ξ = z(D+ iε0e−aD) ∈ Γ1 et s ∈ (0, 1), d’après (6.5)

‖ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1‖B(H,H) 6 CD−keA|Re(ξ)|e−(t−s) Im(ξ)

6 Ce−z(t−1)ε0e−aD.

On peut faire la même estimation sur Γ2. Puisque ∀s ∈ (0, 1), ‖ v(s)‖ 6 ‖u0‖H on a, pour t > 1,∥∥∥∥∫ 1

0

∫

Γ1∪Γ2

∫

|λ|<c1 ln(t)ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ

∥∥∥∥H6 C

‖u0‖Ht− 1

.

(6.7)On s’intéresse maintenant au comportement de l’intégrale sur Γ3. On écrit d’abord Re(ξ) = η et onmajore brutalement l’intégrale en s comme précédemment, ce qui nous donne, d’après (6.5),

∥∥∥∥∫ 1

0

∫

Γ3

∫

|λ|<c1 ln(t)ei(t−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1χ′(s)v(s)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ

∥∥∥∥H

6 C∫ η=+∞

η=−∞

∫

|λ|<c1 ln(t)e−(t−1)ε0e−a|η|+A|η|−c0

(λ−η/

√ln(t)

)2dηdλ‖u0‖H .

On note ϕ = −(t− 1)ε0e−a|η| + A|η| − c0(

λ − η/√

ln(t))2

. Si |η| 6 c2 ln(t) avec c2 > 0, on a

ϕ 6 c2A ln(t)− (t− 1)ε0t−c2a

ce qui montre que, pour ac2 < 1,

∫

|η|6c2 ln(t)

∫

|λ|<c1 ln(t)e−(t−1)ε0e−a|η|+A|η|−c0

(λ−η/

√ln(t)

)2dλdη 6 C(ln(t))2tAc2e−ε0t1−c2a . (6.8)

De plus, si c1 < c2, il existe δ > 0 tel que pour |λ| < c1√

ln(t) et |η| > c2 ln(t)

(λ − η/

√ln(t)

)2

> δ

(η/√

ln(t))2

c’est à dire

ϕ 6 A|η| − c0δ

(η/√

ln(t))2

.

On choisit maintenant c0 > Aδc2

+ 1, ce qui nous donne

∫

|η|>c2 ln(t)eA|η|

2−c0δ(

η/√

ln(t))2dη 6

∫

|η|>c2 ln(t)e−

Aδln(t)η2

dη

=

(ln(t)Aδ

)1/2 ∫

|x|>c2(Aδ ln(t))1/2e−x2dx

∼t→+∞

1c2Aδ

e−c22Aδ ln(t). (6.9)

D’après (6.7), (6.8), (6.9) il existe donc α,C > 0 tels que

‖I1(t)‖H 6 Ct−α.

126

Estimation de I2 On introduit

Jt(u) =∫ 1

0

∫ ∫

|λ|>c1 ln(t)χ′(s)ei(u−s)ξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)dξdsdλ,

de telle sorte que pour t > 1, I2(t) = Jt(t).Une différentiation sous le signe intégrale identique à celle effectuée dans les préliminaires nousmontre

(∂u − iB)J = K

avec

Kt(u) =∫ 1

0

∫

Im(ξ)=−1/2

∫

|λ|>c1√

ln(t)χ′(s)iei(u−s)ξ(1− iξ)−ke−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)dξdsdλ.

On peut donc écrire la formule de Duhamel suivante

Jt(r) = SiB(r)Jt(0) +∫ r

0SiB(r− u)Kt(u)du. (6.10)

Pour obtenir la majoration voulue, on va estimer séparément l’intégrale pour u ∈ [0, 1] et u ∈ [1, r]et nous concluerons en faisant une estimation de Jt(0).

Par holomorphie de ξ 7→ ei(u−s)ξ(1− iξ)−ke−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2 sur Im(ξ) > −3/4, on a déjà, pouru ∈ [1, r],

Kt(u) =∫ 2/3

0

∫

Im(ξ)=√

ln(t)

∫

|λ|>c1√

ln(t)χ′(s)iei(u−s)ξ(1− iξ)−kv(s)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dξdsdλ

et une majoration brutale de l’intégration par rapport à s et à λ nous donne, si η = Re(ξ),

‖Kt(u)‖H 6 C∫

R

e−(u−2/3)√

ln(t) 1(1+ |η|)k dη‖u0‖H 6 Ce−

√ln(t)/3‖u0‖H (6.11)

puisque k > 1 et u > 1.D’autre part, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

(∫ 1

0‖Kt(u)‖Hdu

)2

6

∫

R

‖Kt(u)‖2Hdu.

Par holomorphie de ξ 7→ ei(u−s)ξ(1− iξ)−ke−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2 sur Im(ξ) > −3/4, on peut écrire

Kt(u) =∫

Im(ξ)=0eiuξ

((1− iξ)−k

∫

R

e−isξχ′(s)v(s)ds∫

|λ|>c1√

ln(t)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dλ

)dξ,

la formule de Parseval-Plancherel nous permet donc d’obtenir

∫

R

‖Kt(u)‖2Hdu = (2π)−1∫

R

< ξ >−2k

∥∥∥∥χ′v(ξ)∫

|λ|>c1√


∥∥∥∥2

H

dξ.

On découpe maintenant cette intégrale suivant les hautes fréquences |ξ| > c12 ln(t) et les basses

fréquences |ξ| < c12 ln(t). On a d’abord, par majoration brutale de l’intégrale en λ,

∫

|ξ|> c12 ln(t)

< ξ >−2k

∥∥∥∥χ′v(ξ)∫

|λ|>c1√


∥∥∥∥2

H

dξ 6 C(ln(t))−k∫

R

∥∥∥χ′v(ξ)∥∥∥2

Hdξ.

D’autre part, puisque

|ξ| < c12ln(t) ⇒ ∀λ tel que |λ| > c1

√ln(t), c0(λ − (ln(t))−1/2ξ)2 > δλ2

127

(avec δ > 0), on a∫

|λ|>c1√

ln(t)e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2dλ 6

∫

|λ|>c1√

ln(t)e−δλ2

dλ ∼t→+∞

e−c21δ ln(t)

c1δ(ln(t))1/2

et donc, il existe α > 0 tel que∫

|ξ|< c12 ln(t)

< ξ >−2k

∥∥∥∥χ′v(ξ)∫

|λ|>c1√


∥∥∥∥2

H

dξ 6 Ce−α ln(t)∫

R

∥∥∥χ′v(ξ)∥∥∥2

Hdξ.

On conclut maintenant que∫ 1

0‖Kt(u)‖Hdu 6 C(ln(t))−k‖u0‖H (6.12)

puisque, d’après Parseval-Plancherel∫

R

‖χ′v(ξ)‖2Hdξ =∫ 1

0‖χ′(s)v(s)‖2Hds 6 C‖u0‖2H.

Etudions finalement le terme Jt(0). On traite seulement la contribution pour λ > c1 ln(t), celle pourλ < −c1 ln(t) se faisant de la même manière. On s’intéresse donc à

∫ 1

0

∫

Im(ξ)=−1/2

∫

λ>c1 ln(t)χ′(s)e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)dξdsdλ.

Par holomorphie de ξ 7→ e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2 sur ξ ∈ C\−i; Im(ξ) < 0,on peut intégrer sur Γ+ ∪ Γ− au lieu de Im(ξ) = −1/2 avec

Γ+ = η − i√

ln(t); η > 1,

Γ− = η − i/2; η 6 1 ∪[1− i/2, 1− i

√ln(t)

].

Si ξ ∈ Γ−, on a pour s ∈ [0, 1], t > 2 et d’après (6.4)

‖χ′(s)e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)‖H 6 C(1+ |η|)−ke−c0(λ−(ln(t))−1/2η)2‖u0‖Havec η = Re(ξ). De plus, si l’on suppose t > −2/3 ln(c1/2), on a η 6 1 ⇒ |λ − (ln(t))−1/2η| > λ/2.Dans ce cas, on a donc, puisque k > 1,

∥∥∥∥∫ 1

0

∫

Γ−

∫

λ>c1 ln(t)χ′(s)e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)dξdsdλ

∥∥∥∥H

6 C∫

λ>c1 ln(t)e−4−1c0λ2

dλ‖u0‖H = O(e−α ln(t))‖u0‖H

avec α > 0.D’autre part, si ξ ∈ Γ+ et s ∈ [1/3, 2/3],

‖χ′(s)e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)‖H 6 C(1+ |η|)−ke−√

ln(t)/3e−c0(λ−(ln(t))−1/2η)2‖u0‖Havec η = Re(ξ). En majorant brutalement l’intégrale en λ, on obtient donc∥∥∥∥∫ 1

0

∫

Γ+

∫

λ>c1 ln(t)χ′(s)e−isξ(1− iξ)−k(ξ I − B)−1e−c0(λ−(ln(t))−1/2ξ)2v(s)dξdsdλ

∥∥∥∥H6 Ce−

√ln(t)/3‖u0‖H .

On obtient ainsi l’existence de α > 0 tel que

‖Jt(0)‖H 6 Ct−α (6.13)

et la combinaison de (6.11), (6.12), (6.13) termine la preuve.

Remarque 6.2. Notons également qu’une preuve simplifiée de ce résultat existe (voir [7]).

128

6.2 Inégalités de Carleman et stabilisation faible des ondes

Nous présentons ici la méthode suivie par Lebeau et Robbiano dans [41].Soit Ω un ouvert borné de bord de classe C∞. On note ∆ le Laplacien usuel sur Ω et on s’intéresseà la décroissance de l’énergie du problème suivant

(∂2t − ∆)u = 0∂νu+ a(x)∂tu = 0(u(0), u′(0)) = (u0, u1)

dansR+ × Ω

surR+ × Ω

dansΩ

(6.14)

avec a ∈ C∞(∂Ω,R+) non identiquement nulle. Si H = H1(Ω) × L2(Ω), on définit l’opérateurnon-borné A par

A =

(0∆

I0

)

etD(A) = u = (u0, u1) ∈ H; Au ∈ H et ∂νu0 + au1 = 0.

Nous verrons plus tard que ce système possède une unique solution dans H. On définit l’énergienaturellement associée aux solutions par

∀t > 0, E(u, t) =12

∫

Ω|∂tu(t, x)|2 + |∇u(t, x)|2dx.

Nous allons tenter d’appliquer le résultat de décroissance faible de Burq vu précédemment (Théo-rème 6.2). Nous devons donc nous attacher à l’étude du problème stationnaire, pour λ proche del’axe imaginaire,

(A− λI)(

u0u1

)=

(f0f1

).

Le problème stationnaire se ramène alors à un problème de Helmoltz

∆u0 − λ2u0 = λ f0 + f1∂νu0 + aλu0 = −a f0u1 = f0 + λu0

dansΩ

sur ∂Ω

dansΩ

,

ou, en posant v(x0, x) = eiλx0u0(x), à la résolution du problème suivant

∆v+ ∂2x0v = (λ f0 + f1)eiλx0

∂νv− ia∂x0v = −a f0eiλx0dans(−1, 1)× Ω

sur(−1, 1)× ∂Ω.

En considèrant maintenant (−1, 1) comme variété sans bord (en utilisant par exemple une bijectionentre (−1, 1) et R), on s’est donc ramené à la résolution du problème

∆Xv = v0(∂ν − ia∂x0 )v = v1

dansXsur ∂X

(6.15)

avec X = (−1, 1)× Ω, v0 = (λ f0 + f1)eiλx0 et v1 = −a f0eiλx0 .

6.2.1 Inégalités de Carleman et d’interpolation

Lien entre inégalités de Carleman et d’interpolation Nous présenterons ici simplement le lienentre les inégalités de Carleman et les inégalités d’interpolation en nous appuyant sur l’exemple dede l’inégalité de Carleman du Théorème 4.2.On introduit, pour ϕ une fonction poids à préciser, les ensembles suivants :

V = x ∈ X; r1 < ϕ(x) < r′3, Vj = x ∈ X; rj < ϕ(x) < r′j (j = 1, 2, 3),

129

avec r1 < r′1 < r2 < r′2 < r3 < r′3. On suppose que ϕ satisfait l’hypothèse d’hypoellipticité (4.13)pour ∆ sur V.Grâce à l’inégalité de Carleman établie à l’intérieur, on peut obtenir le résultat suivant (voir [42]Proposition 5.1).

Proposition 6.1. Il existe C > 0 et µ0 ∈ (0, 1) tels que, pour tout v ∈ H2(V), on ait

‖u‖H1(V2) 6 C(‖∆u‖L2(V) + ‖u‖H1(V3)

)µ (‖v‖H1(V)

)1−µ.

Démonstration. On choisit χ ∈ D(V) telle que χ(x) = 1 près de x ∈ X; r′1 6 ϕ(x) 6 r3. On posew = χu. L’inégalité de Carleman du Théorème 4.2 nous donne l’existence de h1 ∈ (0, 1) tel que,pour h ∈ (0, h1),

‖eϕ/hw‖L2(V) + ‖eϕ/h∇w‖L2(V) 6 C‖eϕ/h∆w‖L2(V).

Puisque ∆w = χ∆u+ [∆,χ]u et que l’opérateur [∆,χ] est d’ordre un et à support dans V1 ∪ V3, onobtient donc, en utilisant χ = 1 sur V2,

er2/h‖u‖H1(V2) 6 Cer′1/h‖u‖H1(V1) + Cer

′3/h(‖∆u‖L2(V) + ‖u‖H1(V3)

)

6 Cer′1/h‖u‖H1(V) + Cer

′3/h(‖∆u‖L2(V) + ‖u‖H1(V3)

)

ou encore, pour tout γ > eh−11 ,

‖u‖H1(V2) 6 Cγ(r′1−r2)‖u‖H1(V) + Cγ(r′3−r2)(‖∆u‖L2(V) + ‖u‖H1(V3)

).

On optimise maintenant par rapport à γ. Le minimum du membre de droite est atteint pour γ0 =(C1(r2−r′1)C2(r′3−r2)

)1/(r3−r′1)avec C1 = ‖u‖H1(V) et C2 = ‖∆u‖L2(V) + ‖u‖H1(V3).

Si γ0 > eh−11 , le résultat est démontré avec µ0 =

r2−r′1r3−r′1

∈ (0, 1). Sinon,(C1(r2−r′1)C2(r′3−r2)

)1/(r3−r′1)6 eh

−11 nous

donne C1 6 CC2 et le résultat reste vrai pour µ0 =r2−r′1r3−r′1

∈ (0, 1) puisque ‖u‖H1(V2) 6 C1.

L’intérêt de ces inégalités est de pouvoir propager, en choisissant des fonctions poids conve-nables, des estimations locales. Voyons le maintenant dans notre cas particulier. Soit x0 ∈ X et r > 0tel que B(x0, 6r) ⋐ X. On pose ψ(x) = −|x − x0| et on choisit λ > 0 de telle sorte que ϕ = eλψ

satisfasse l’hypothèse d’hypoellipticité (4.13) pour ∆ dans B(x0, 6r)\B(x0, r/8). On choisit alors

r1 = e−5rλ, r′1 = e−4rλ, r2 = e−3rλ, r′2 = e−rλ, r3 = e−r/2λ, r′3 = e−r/4λ.

La Proposition 6.1 nous donne alors immédiatement, pour u ∈ H2(X) et µ 6 µ0,

‖u‖H1(B(x0,3r)) 6 C(‖∆u‖L2(X) + ‖u‖H1(B(x0,r))

)µ‖u‖1−µ

H1(X).

Inégalités d’interpolation adaptées Dans le but d’obtenir une inégalité d’interpolation pour lessolutions de (6.14), nous avons besoin d’obtenir des inégalités de Carleman jusqu’au bord ∂X. Nousavons déjà vu comment obtenir une inégalité de Carleman à l’intérieur pour l’opérateur de Laplaceau Théorème 4.2. Pour obtenir des inégalités de Carleman près du bord, on doit se ramener à unproblème sur l’espace euclidien afin de pouvoir utiliser les techniques d’analyse microlocale.Nous aurons donc besoin du résultat suivant, que l’on admet provisoirement (voir Annexe 2 pourune démonstration).

Proposition 6.2. Soit y ∈ ∂Ω. Il existe un voisinage V de y0 et un changement de variable C∞ θ(y) = ztel que

– θ(y) = 0,

130

– θ(Ω ∩ V) = z ∈ θ(V); zn > 0 et θ(∂Ω ∩V) = z ∈ θ(V); zn = 0,– dans le système de coordonnées z, ∆ s’écrit ∂2zn + ∑i,j<n aij(z)∂zi∂zj + ∑16i6n ai(z)∂zi + a0(z),– si q(z, ξ) = ξ2n + ∑i,j<n aij(z)ξiξ j, alors la forme quadratique q(0, ξ) est définie positive.

Pour x ∈ X, on note x = (x0, y). Si x = (x0, y) ∈ ∂X, on a donc l’existence d’un voisinage dey ∈ ∂Ω et un système de coordonnées y = (x′′, xn) près du bord ∂Ω tel que le Laplacien s’écrivelocalement sous la forme

∆ = ∂2xn + R0

(x′′, xn,

1i∇′′)+ l(x′′, xn)∂xn .

Il existe donc une fonction e(x′′, xn) normalisée par e(x′′, 0) = 1 telle que P = −e (∂2x0 + ∆) e−1

soit, localement au voisinage de x, de la forme

P = −∂2xn + R(x,

1i∇′)

avec, si r(x, ξ′) est le symbole principal de l’opérateur pseudo-différentiel associé à R(x, 1i∇′),

r(x, ξ′) ∈ R et∃c > 0 tel que∀(x, ξ′), r(x, ξ′) > c|ξ′ |2r(x, ξ′) = ξ20 + r0(x, ξ′′)

.

Si v est à support suffisamment près d’un point x ∈ ∂Ω, on observe maintenant que v = ev vérifie,dans les nouvelles coordonnées,

Pv = −v0(−∂xn − ia+ b)v = v1

dansxn > 0surxn ≖ 0

avec v0 = ev0, b(x′) = ∂xn(e−1)(x′, 0).

Afin d’obtenir des inégalités de Carleman, Lebeau et Robbiano ont utilisé la technique des projec-teurs de Calderon dans les zones microlocales elliptiques et l’inégalité de Gårding dans les autreszones. En notant K = x ∈ R

n+1+ ; |x| 6 r0, on peut écrire leurs résultats sous la forme suivante

(voir [41] Proposition 1 et 2).

Proposition 6.3. Soit ϕ une fonction C∞ réelle, définie au voisinage de K. On suppose que ∀x ∈K, ∂xn ϕ(x) 6= 0 et que ϕ satisfait l’hypothèse d’hypoellipticité (4.13) pour P sur K. Alors il existe C, h1 > 0telles que, pour tout h ∈ (0, h1) et pour tout g ∈ D(K)

h4‖eϕ/hPg‖2L2(Rn+1

+ )+ h

∫

Rne2ϕ/h(|g|2 + |h∂xn g|2)(x′, 0)dx′

> Ch(‖eϕ/hg‖2

L2(Rn+1+ )

+ ‖eϕ/hh∇g‖2L2(Rn+1

+ )

).

Proposition 6.4. Soit ϕ une fonction C∞ réelle, définie au voisinage de K. On suppose que ϕ satisfaitl’hypothèse d’hypoellipticité (4.13) pour P sur K et que de plus les conditions suivantes sont satisfaites :

– ∀(x′, 0) ∈ K, ∂xn ϕ(x′, 0) > 0,– ∀(x′, 0) ∈ K,

a2(x′, 0) < 1, (6.16)

– ∀(x′, 0) ∈ K,(1− a2)(∂xn ϕ)2(x′, 0) > a2

(r(x,∇′ϕ)− a2(∂x0 ϕ)2

)(x′, 0). (6.17)

Alors il existe C, h1 > 0 telles que, pour tout h ∈ (0, h1) et pour tout g ∈ D(K) vérifiant

−∂xng− ia∂x0 g+ bg = g0 sur xn = 0

alors

h4‖eϕ/hPg‖2L2(Rn+1

+ )+ h3‖eϕ/hg0‖2L2(Rn)

> C(h‖eϕ/hg‖2

L2(Rn+1+ )

+ h‖eϕ/hh∇g‖2L2 (Rn+1

+ )+∫

Rne2ϕ/h(|g|2 + |h∂xng|2)(x′, 0)dx′

).

131

Nous pouvons maintenant présenter le résultat d’interpolation que Lebeau et Robbiano ontdéduit de ces inégalités de Carleman.On pose Y = (−1/2, 1/2) × X, et pour δ > 0, ∂Xδ = (x0, x) ∈ ∂X; a(x) > δ = (−1, 1)× ∂Ωδ quel’on peut supposer non vide.

Theorem 6.1. Pour δ > 0 assez petit, il existe C > 0, µ ∈ (0, 1) telles que, pour toute solution v de (6.15),on ait

‖v‖H1(Y) 6 C(‖v0‖L2(X) + ‖v1‖L2(∂X) + ‖v‖L2(∂Xδ)

+ ‖∂x0v‖L2(∂Xδ)

)µ (‖v‖H1(X)

)1−µ

Nous ne ferons pas la preuve complète de ce résultat. Donnons en néanmoins les grandes lignes.On choisit d’abord une fonction ϕ satisfaisant l’hypothèse d’hypoellipticité (4.13) pour ∆ sur K etde plus ∂xn ϕ(x′, 0) > 0 si (x′, 0) ∈ K. Si maintenant ε > 0 est assez petit, les conditions (6.16)et (6.17) sont vérifiées pour x ∈ ∂X; a(x) < ε. On fait donc une partition de l’unité finie (χj)de ∂Ω telle que soit Supp(χj) × (−1, 1) ⊂ x = (x0, y) ∈ ∂X; a(y) < ε soit Supp(χj) ⊂ x =(x0, y) ∈ ∂X; a(y) > ε/2 et l’on applique la Proposition 6.4 ou la Proposition 6.3, respectivement.En recollant les inégalités obtenues, on obtient finalement une inégalité de Carleman pour lesfonctions à support compact dans un voisinage W de ∂X ayant la forme

C(h4‖eϕ/h∆Xv‖2L2(X) + h3‖eϕ/h(∂ν − ia∂x0 )v‖2L2(∂X) + h

∫∂Xε/2

e2ϕ/h(|v|2 + |h∂xnv|2)(x′, 0)dx′)

> h‖eϕ/hv‖2L2(X) + h‖eϕ/hh∇v‖2L2(X) + h∫

∂X e2ϕ/h(|v|2 + |h∂xnv|2)(x′, 0)dx′ .(6.18)

La technique employée par Lebeau et Robbiano (comme celle utilisée dans [40], paragraphe 3.Bdans le cadre de conditions au bord de type Dirichlet homogène) consiste alors en deux points.D’une part, en utilisant la Proposition 6.3 et une récurrence, la même procédure que celle décritedans le paragraphe précédent nous permet de propager des estimations sur une partie du bordaux points de Y situés loin du bord. D’autre part, l’inégalité de Carleman près du bord 6.18 nouspermet de propager les estimations loin du bord aux points de Y situés près du bord. En recollantles deux inégalités obtenues, on obtient l’inégalité voulue.Nous renvoyons le lecteur à [40, 41] pour plus de détails relativement à la preuve du Théorème 6.1.

6.2.2 Décroissance logarithmique de solutions régulières

Nous pouvons maintenant en déduire le résultat principal de [41].

Théorème 6.3. Pour tout k > 0, il existe C > 0 telle que pour tout (u0, u1) ∈ D(Ak), la solution de (6.14)vérifie

∀t > 1, E(u, t)1/2 6 C(ln(t))−k‖(u0, u1)‖D(Ak).

Démonstration. On va se ramener à un espace sur le lequel l’énergie correspond à une norme hil-bertiennne. On définit

H =

u = (u0, u1) ∈ H;

∫

Ωu1 +

∫

∂Ωau0 = 0

et on pose, pour u ∈ H,

‖u‖2E =∫

Ω|u1|2 + |∇u0|2dx.

Puisque a n’est pas identiquement nulle, ‖.‖E est une norme sur H et si u ∈ D(A), Au ∈ H puisque∫

Ω∆u0 +

∫

∂Ωau1 =

∫

∂Ω∂νu0 + au1 = 0.

132

On note alors A l’opérateur non borné induit par A, de domaine D(A) ∩ H. A est immédiatementmonotone. De plus, une application du lemme de Lax-Migram nous montre I − A est bijectif deD(A) sur H. On a en effet

(I − A)(

u0u1

)=

(fg

)⇔

u0 − ∆u0 = f + gu1 = u0 − f

et cette résolution se ramène donc à la coercivité de la forme bilinéaire

(u, v) ∈ H1(Ω) 7→∫

Ω∇u.∇v+ uv+

∫

∂Ωauv.

Le théorème de Hille-Yoshida nous montre donc que le système (6.14) possède une unique solutionpour tout (u0, u1) ∈ H donnée par l’intermédiaire du semi-groupe SA(t) associé à A. Si maintenant(u0, u1) ∈ H, on peut l’écrire de manière unique

(u0, u1) = u+ λ(1, 0)

avec u ∈ H et λ ∈ C. Puisque A(

10

)= 0, la solution du système (6.14) est alors donnée par

u(t) = SA(t)u+ λ(1, 0).

Montrons maintenant, grâce à l’inégalité d’interpolation, les estimations voulues sur la résolventeR de A.Puisque D(A) → H est compacte et A est injective, l’alternative de Fredholm (voir par exemple[12], Théorème VI.6) nous montre que A est surjective (car Au = f se ramène à (I+ R(1))u = R(1) favec R(1) compacte) et donc 0 ∈ ρ(A). Puisque ρ(A) est ouvert, il existe donc r > 0 et C > 0 tellesque

B(0, r) ⊂ ρ(A) et∀λ ∈ B(0, r)‖R(λ)‖B(H,H) 6 C. (6.19)

Intéressons nous maintenant à la résolution de

(A− λI)(

u0u1

)=

(f0f1

)

avec, suivant [41], λ ∈ z ∈ C; |Re(z)| 6 C−10 e−C0| Im(z)| et |z| > r (C0 > 0 à fixer). Comme expliqué

dans l’introduction, on se ramène à un problème de résolution pour v(x0, x) = u0(x)eiλx0

∆Xv = v0(∂ν − ia∂x0 )v = v1

dansXsur ∂X

avec X = (−1, 1) × Ω, v0 = (λ f0 + f1)eiλx0 et v1 = −a f0eiλx0 ; u1 étant alors donné par f0 + λu0.Remarquons que l’on a déjà les estimations suivantes

‖u0‖H1(Ω) 6 Ce| Im(λ)|‖v‖H1(Y),

‖v‖H1(X) 6 C(|λ|+ 1)e| Im(λ)|‖u0‖H1(Ω),

‖v0‖L2(X) 6 C(|λ|‖ f0‖L2(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

)e| Im(λ)|,

‖v1‖L2(∂X) 6 Ce| Im(λ)|‖ f0‖H1(Ω),

‖v‖L2(∂Xδ)6 Ce| Im(λ)|‖u0‖L2(∂Ωδ)

,

‖∂x0v‖L2(∂Xδ)6 C|λ|e| Im(λ)|‖u0‖L2(∂Ωδ)

,

puisque l’application trace H1(Ω) → L2(∂Ω) est continue. Le Théorème 6.1 et des calculs élémen-taires nous donne donc l’existence de C > 0 telle que

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + ‖u0‖L2(∂Ωδ)

).

133

Si ‖u0‖L2(∂Ωδ) 6 ‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω), on a donc obtenu

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

)

et, puisque u1 = f0 + λu0, on a de plus

‖u1‖L2(Ω) 6 ‖ f0‖H1(Ω) + |λ|‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

).

Sinon, on a donc‖u0‖2H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|‖u0‖2L2(∂Ωδ)

. (6.20)

Or ∫

Ωu0(−∆ + λ2)u0dx = λ2‖u0‖L2(Ω) +

∫

Ω|∇u0|2dx+

∫

∂Ωu0 − ∂νu0dσ

et, puisque (∆ − λ2)u0 = λ f0 + f1 et ∂νu0 + aλu0 = f0, on obtient, en prenant la partie imaginairede cette expression,

| Im(λ)|∫

∂Ωa|u0|2 6 (|λ|‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω))‖u0‖L2(Ω) + 2| Im(λ)‖Re(λ)|‖u0‖2L2(Ω)

+ C‖ f0‖L2(∂Ω)‖√au0‖L2(∂Ω).

Si l’on prend en compte ‖ f0‖L2(∂Ω) 6 C‖ f0‖H1(Ω), ‖√au0‖L2(∂Ω) 6 C‖u0‖H1(Ω) et l’inégalité de

Young , (6.20) nous permet maintenant d’écrire

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + | Im(λ)‖Re(λ)|‖u0‖H1(Ω)

).

On observe maintenant que pour C0 assez grand et |Re(λ)| 6 C−10 e−C0| Im(λ)|, on a

CeC| Im(λ)|| Im(λ)‖Re(λ)| 6 1/2. On a donc obtenu

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

)

et on s’est ainsi ramené au premier cas. On a donc montré que A − λI est injective et puisqueD(A) → H est compacte, l’alternative de Fredholm nous donne A − λI surjective. On a ainsiobtenu

λ ∈ z ∈ C; |Re(z)| 6 C−10 e−C0| Im(z)| et |z| > r ⇒ ‖R(λ)‖B(H,H) 6 CeC| Im(λ)|.

Puisque pour Re(λ) > 0, ‖R(λ)‖B(H,H) 6 |Re(λ)|−1, on a en fait obtenu

λ ∈ z ∈ C; Re(z) > −C−10 e−C0| Im(z)| et |z| > r ⇒ ‖R(λ)‖B(H,H) 6 CeC| Im(λ)|. (6.21)

Le Théorème 6.2, (6.19) et (6.21) nous donnent alors le résultat voulu.

6.3 Projet d’article 5 : Décroissance logarithmique des solutions régu-lières de l’équation des ondes avec conditions au bord mêlées.

Introduction et présentation des conjectures

Contexte général

On s’intéresse ici à la stabilisation de l’équation des ondes sur un ouvert borné régulier et connexe.La stabilisation sera obtenue grâce à un feedback sur une partie de la frontière ; l’autre partie de lafrontière de l’ouvert étant quant à elle soumise à une condition de Dirichlet homogène.

134

Depuis les travaux de Bardos, Lebeau, Rauch (voir [6], [39]), l’étude de la stabilisation de l’équationdes ondes est bien comprise (grâce à la Condition de Contrôle Géométrique) dans le cas où la partiedu bord soumise à la condition de Dirichlet homogène ne rencontre pas la région où le feedbackest appliqué. D’autre part, Lebeau et Robbiano (conférer [41]) ont montré que, dans le cas où iln’y a pas de partie du bord avec condition de Dirichlet homogène, l’existence d’une condition surle feedback plus faible permettant d’obtenir des résultats de décroissance logarithmique pour lessolutions régulières. Enfin, les techniques de multiplicateurs (conférer [36, 17]) nous permettentd’obtenir des résultats de stabilisation exponentielle dans le contexte d’une interface Dirichlet-Neumann, mais sous des hypothèses très fortes sur les conditions au bord.Un but intéressant serait donc d’obtenir des résultats de stabilisation de type logarithmique sousdes hypothèses sur les conditions au bord faibles. Plus précisément, nous espérons pouvoir obtenirque, étant donné un feedback de la forme

∂νu = −a(x)∂tu

avec a une fonction positive non-triviale à support loin de l’interface, l’énergie des solutions àdonnées initiales dans le domaine de Ak (avec A le générateur de l’équation d’évolution associée)décroit comme ln(t)−k pour t tendant vers l’infini.

Conjectures

Précisons maintenant les conjectures mathématiques que nous espérons démontrer. Soit Ω un ou-vert connexe borné de Rn de bord C∞ ∂Ω = ∂ΩD ⊔ ∂ΩN ⊔ Γ où ∂ΩD, ∂ΩN sont des ouverts disjointsde ∂Ω et Γ = ∂ΩD ∩ ∂ΩN est l’interface Dirichlet-Neumann. En notant ∆ l’opérateur classique deLaplace, nous étudions la décroissance des solutions au problème suivant :

(∂2t − ∆)u = 0u = 0∂νu+ a(x)∂tu = 0(u, ∂tu)|t=0 = (u0, u1)

surΩ × R+,dans ∂ΩD × R+,dans ∂ΩN × R+,surΩ,

(6.22)

où (u0, u1) ∈ H1(Ω) × L2(Ω) est tel que u0 = 0 dans ∂ΩD et a est une fonction positive C∞ sur∂ΩN .On note H = u0 ∈ H1(Ω); u0 = 0dans ∂ΩD × L2(Ω) et on définit

A =

(0∆

I0

)

avec

D(A) = (u0, u1);∆u0 ∈ L2(Ω), u1 ∈ H1(Ω), u0 = 0dans ∂ΩD et ∂νu0 + a(x)u1 = 0dans ∂ΩN.

Pour une solution u de (6.22), on définit son énergie par

E(u, t) =12

∫

M|∂tu(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2dx.

Une première conjecture concerne le comportement du spectre de A, qui, en utilisant un résultatde Burq (voir Théorème 3 de [14]) nous donnerait notre résultat de décroissance logarithmique :

Conjecture 6.1. Supposons que Supp(a) ⋐ ∂ΩN et a 6= 0. Il existe C > 0 tel que, si Re(λ) ∈[−e−C| Im(λ)|/C, 0] alors λ ∈ ρ(A) (l’ensemble résolvent de A) et

‖(A− λI)−1‖H→H 6 CeC| Im(λ)|.

135

Conjecture 6.2. Supposons que Supp(a) ⋐ ∂ΩN et a 6= 0. Pour tout k > 0, il existe C > 0 tel que, pourtout (u0,u1) ∈ D(Ak) la solution u de (6.22) correspondante satisfait

∀t > 0, E(u, t)1/2 6C

log(2+ t)k‖(u0, u1)‖D(Ak) .

En remarquant qu’il suffit de traiter le cas λ = iµ, µ ∈ R et étant donné ( f0, f1) ∈ H, nous nousintéresserons au problème spectral

(∆ + µ2)u = (iµ f0 + f1)(∂ν + iµa(x))u = −a(x) f0u = 0

surΩ

dans ∂ΩN

dans ∂ΩD

. (6.23)

Dans la suite, v0 désignera iµ f0 + f1 et v1, −a(x) f0. Si l’on définit ∂ΩεN = x ∈ ∂ΩN ; a(x) > ε,

nous espérons pouvoir démontrer l’estimation a priori suivante pour ce système.

Conjecture 6.3. Il existe ε > 0 et C > 0 tels que, pour toute solution u de (6.23),

‖u‖H1(Ω) 6 CeC|µ|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + ‖u‖L2(∂Ωε

N)+ ‖∂νu‖L2(∂Ωε

N)

).

Ce travail est organisé de la manière suivante : dans la Section 1, nous présentons les inégalitésde Carleman obtenues jusque là. Nous prouvons notre inégalité de Carleman principale dans laSection 2. Dans la Section 3, on montrera les liens entre les différentes conjectures et on présenteraune méthode susceptible de démontrer ces conjectures.

6.3.1 Inégalités de Carleman obtenues

Afin d’étudier le problème spectral (6.23), on introduit comme dans [41] un problème en dimensionplus grande sur lequel nous allons faire des estimations de type Carleman.Si u vérifie le système (6.23), on introduit v(x0, x) = e−

√2|µ|x0u(x), X = (−1, 1) × Ω, ∂XN =

(−1, 1)× ∂ΩN et ∂XD = (−1, 1)× ∂ΩD et on considère le système

(∆X − µ2)v = e−√2|µ|x0v0 := v0

(∂ν + iµa(x))v = e−√2|µ|x0v1 := v1

v = 0

surXdans ∂XN

dans ∂XD

ou, si l’on pose h = 1/|µ| et a(x) = sgn(µ)a(x)/√2, le système

(∆ − 1

h2)v = v0

(∂ν − ia(x)∂x0) v = v1v = 0

surXdans ∂XN

dans ∂XD

. (6.24)

Loin de la frontière, les inégalités de Carleman sont classiques et proviennent des travaux de Hör-mander. Près d’un point du bord, nous devons prendre en compte différentes situations suivantque le point appartient à ∂XD, à ∂XN ou à l’interface Υ = ∂XD ∩ ∂XN . Les deux premières situa-tions sont également assez classiques : elles sont en effet contenues dans celles étudiées dans [40]ou [41]. La troisième est assez différente et nécessite d’autres techniques de calcul.

Pour obtenir nos inégalités de Carleman, nous ferons appel à l’analyse semiclassique et nousaurons donc besoin de nous ramener à un cadre standard. Pour ce faire, nous aurons besoin durésultat technique suivant.

Proposition 6.5. – Soit y∗ ∈ ∂Ω. Il existe un voisinage V de y∗ et un système de coordonnées y tellesque y∗ = 0 et– V ∩ X = y ∈ V; yn > 0,

136

– V ∩ ∂X = y ∈ V; yn = 0,– ∆ est donné localement par

∂2yn + s(y)∂yn − R0

(y,

1i

∂y′

)(6.25)

avec s une fonction C∞ et le symbole principal r0 de R0 réel et tel que, pour un certain c > 0,

∀(y, ξ′) ∈ Rn × R

n−1, r0(y, ξ′) > c|ξ′ |2.

– De plus, dans le cas où y∗ ∈ Γ, le voisinage V et le système de coordonnées peuvent être choisis de tellesorte que– V ∩ Γ = y ∈ V; yn = yn−1 = 0,– V ∩ ∂XD = y ∈ V; yn = 0 et yn−1 > 0, V ∩ ∂XN = y ∈ V; yn = 0 et yn−1 < 0– ∆ est donné localement sur le bord ∂Ω par

∂2yn + ∂2yn−1+ s(y′)∂yn + t(y′)∂yn−1 − R1

(y′,

1i

∂y′′

)(6.26)

avec s, t des fonctions C∞ et le symbole principal r1 de R1 réel et tel que, pour un certain c > 0,

∀(y′, ξ′′) ∈ Rn−1 × R

n−2, r1(y′, ξ′′) > c|ξ′′ |2.

Nous renvoyons la preuve de ce résultat en Appendice.On se place près de x∗ = (x0, y∗) ∈ ∂X. En travaillant dans les nouvelles coordonnées, il existe doncune fonction e(y′, yn) normalisée par e(y′, 0) = 1 telle que l’opérateur P = −e (∂2x0 + ∆ − 1

h2 ) 1/eprend, dans un voisinage de 0 et dans les coordonnées x = (x0, y), la forme

P = −∂2x0 − ∂2xn + R(y,

1i∇′

0

)+

1h2

(6.27)

avec ∇′0 = (∂x1 , . . . , ∂xn−1) et x = (x0, y), la partie principale du symbole de R réelle et telle que,

uniformément en y,

∀ξ′0 ∈ Rn−1, r(y, ξ′0) > c|ξ′0|2,

où ξ′0 = (ξ1, . . . , ξn−1). Dans la suite, on notera simplement r(x, ξ′0) mais on se souviendra que celane dépend pas de x0.De plus, si x∗ = (x0, y∗) ∈ Υ, P = −e (∂2x0 + ∆ − 1

h2 ) 1/e prend sur le bord xn = 0 la forme

P = −∂2x0 − ∂2xn − ∂2xn−1− t′(x′)∂xn−1 + R

(y′,

1i∇′′

0

)+

1h2

,

où l’on a noté ∇′′0 = (∂x1 , . . . , ∂xn−2) et le symbole principal de R est réel et tel que, uniformément

en y′,

∀ξ′′ ∈ Rn−1, r(y′, ξ′′0 ) > c|ξ′′0 |2

où ξ′′0 = (ξ1, . . . , ξn−2). Dans la suite, on notera simplement r(x, ξ′0) mais on se souviendra que celane dépend pas de x0.On définit maintenant Pϕ = −h2eϕ/h P e−ϕ/h pour ϕ une fonction C∞. Le symbole principalcorrespondant est donné par

pϕ(x, ξ) = (ξ0 + i∂ϕ/∂x0(x))2 + (ξn + i∂ϕ/∂xn(x))2 + r(x, ξ′0 + i∇′0ϕ(x)) + 1

On fixe un compact K = x ∈ Rn+1+ ; |x| 6 r0. On suppose que ϕ est telle que

∀x ∈ K,∂ϕ

∂xn(x) 6= 0 (6.28)

137

et on dit que la condition d’hypoellipticité de Hörmander (voir [33] paragraphe 28.3) est vérifiéepour P si

∀(x, ξ) ∈ K× Rn, pϕ(x, ξ) = 0 ⇒ Re pϕ, Im pϕ(x, ξ) > 0. (6.29)

On s’aperçoit que cette condition est vérifiée dans de nombreuses situations. On a en effet le résultatsuivant.

Proposition 6.6. Soit ψ une fonction de xn telle que |∂xnψ| 6= 0 dans K et ϕ(x) = eβψ(xn) + c0x0. Alors, ilexiste β indépendant de c0 tel que l’hypothèse d’hypoellipticité de Hörmander (6.29) est vérifiée pour ϕ. Deplus, il existe ǫ > 0 tel que, pour toute fonction ϕ0 de x0 telle que ‖(ϕ0)′‖∞ + ‖(ϕ0)′′‖∞ 6 ǫ, la conditiond’hypoellipticité de Hörmander (6.29) reste vérifiée pour ϕ + ϕ0.

Démonstration. On considère la seconde forme pour ϕ et on écrit ϕ(x) = eβψ(xn) + ϕ0(x0).Le symbole pϕ vaut donc

(ξ0 + iϕ′0(x0))

2 + (ξn + iβψ′(xn)eβψ(xn))2 + r(x, ξ′0) + 1.

On calcule alors

Re(pϕ)(x, ξ) = ξ20 + ξ2n + r(x, ξ′0) + 1− ϕ′0(x0)

2 − β2ψ′(xn)2e2βψ(xn),

Im(pϕ)(x, ξ) = 2ϕ′0(x0)ξ0 + 2βψ′(xn)eβψ(xn)ξn.

Ainsi, on obtient (si e0 = (1, 0, . . . , 0) et en = (0, . . . , 0, 1)) que Re pϕ, Im pϕ(x, ξ) vaut(2ξ0e0 + 2ξnen +∇ξ ′

0r(x, ξ ′0)).(2ϕ′′

0 (x0)e0 + 2βeβψ(xn)(βψ′(xn)2 + ψ′′(xn))en)

−(2ϕ′0(x0)e0 + 2βψ′(xn)eβψ(xn)en).(∇xr(x, ξ ′0)− 2ϕ′′

0 (x0)ϕ′0(x0)e0 − 2β2e2βψ(xn)(ψ′′(xn)ψ′(xn) + βψ′(xn)3)

ou, puisque r est indépendant de x0,

4(

ξ0ϕ′′0 (x0) + ξneβψ(xn)(βψ′(xn)2 + ψ′′(xn)) + ϕ′′

0 (x0)ϕ′0(x0)

2

+β3e3βψ(xn)(ψ′′(xn)ψ′(xn)2 + βψ′(xn)4) + β/2ψ′(xn)eβψ(xn)∂xnr(x, ξ′0)).

Traitons d’abord le cas ϕ0 = 0, c’est-à-dire ϕ0(x0) = c0x0.

On remarque que pϕ(x, ξ) = 0 implique |ξ| ≤ C(1+ βeβψ(xn)

)(avec C indépendant de c0) et on

obtient ainsi que, si pϕ(x, ξ) = 0 alors

Re pϕ, Im pϕ(x, ξ) > 4β4e3βψ(xn)ψ′(xn)4 − Cβ3,

pour une certaine constante C ne dépendant que de ψ et r. Puisque ψ′(xn)4 > 0, il est maintenantimmédiat de constater qu’il existe β indépendant de c0 tel que Re pϕ, Im pϕ(x, ξ) > 1.

On doit maintenant montrer que cette propriété est stable sous de petites perturbations C2. Onremarque d’abord qu’il existe des constantes c, µ > 0 telles que, dans K× Rn+1,

µ(Re(pϕ)

2 + Im(pϕ)2)+ Re(pϕ), Im(pϕ) ≥ c < ξ >

4 . (6.30)

En effet, cette propriété est évidente pour |ξ| assez grand (puisque Re(pϕ) est polynômiale de dégré2 et que les autres termes sont d’ordres inférieurs). Si maintenant z = (x, ξ) appartient à un certaincompact L, f = Re(pϕ)2 + Im(pϕ)2 et g = Re(pϕ), Im(pϕ), on doit vérifier qu’il existe µ > 0 telque hµ = µ f + g est strictement positif dans L. Pour ce faire, il est suffisant d’obtenir ce résultatlorsque f (z) > 0 (sinon hµ(z) = g(z) ≥ 1) et, dans ce cas, il existe µz > 0 tel que hµz(z) > 0. Ainsi,il existe un voisinage ouvert Vz sur lequel hµz > 0 et on conclut en utilisant un recouvrement finidu compact L de cette forme.On peut désormais conclure. La membre gauche de l’expression (6.30) est continu par rapport à lafonction C2 ϕ0. Si ϕ0 est une petite perturbation C2 de x0 7→ c0x0, l’estimation (6.30) reste donc vraiepour ϕ et une autre constante c > 0, puisqu’il suffit de vérifier que cela reste vrai pour ξ dans uncertain ensemble compact. Ceci termine la preuve.

138

Remarque 6.3. Un cadre plus général peut être décrit pour vérifier la condition d’hypoellipticité de Hör-mander. En effet, si ψ est tel que ∇ψ 6= 0 dans K, ϕ = eβψ satisfait (6.29) pour P à condition que β soitsuffisamment grand.

On présente maintenant les inégalités de Carleman dont nous avons besoin : une sans conditionau bord et trois autres pour prendre en compte les différentes situations au bord. Les trois premièressont très similaires à celles obtenues par Lebeau et Robbiano (conférer Proposition 2 de [40] etProposition 1, Proposition 2 de [41]).

Proposition 6.7. On suppose que (6.29) est vérifiée pour P avec ϕ et que

∂ϕ

∂xn(x′, 0) 6= 0 si(x′, 0) ∈ K.

Alors, il existe C, h0 > 0 tels que, pour tout h ∈ (0, h0) et pour tout g ∈ C∞0 (K), l’inégalité suivante soit

vérifiée∫

Rn+1+

|h2Pg|2e2ϕ/h + h∫

Rn(|g|2 + |h∂xn g|2)e2ϕ/h > Ch

∫

Rn+1+

(|g|2 + |h∇g|2)e2ϕ/h.

Proposition 6.8. On suppose que (6.29) est vérifiée pour P avec ϕ et que

∂ϕ

∂xn(x′, 0) > 0 si(x′, 0) ∈ K.

Alors, il existe c, h0 > 0 tels que, pour tout h ∈ (0, h0) et pour tout g ∈ C∞0 (K) vérifiant

g = 0 surRn,

l’inégalité suivante soit vérifiée∫

Rn+1+

|h2Pg|2e2ϕ/h > ch∫

Rn+1+

(|g|2 + |h∇g|2)e2ϕ/h

Proposition 6.9. On suppose que (6.29) est vérifiée pour P avec ϕ et que les hypothèses suivantes sontvérifiées

∂ϕ

∂xn(x′, 0) > 0 si(x′, 0) ∈ K,

1 > a2 si(x′, 0) ∈ K,

(1− a2)(

∂ϕ

∂xn

)2

> a2[r(x,

∂ϕ

∂x′

)− a2

(∂ϕ

∂x0

)2]si(x′, 0) ∈ K.

Alors, il existe c, h0 > 0 tels que,pour tout h ∈ (0, h0) et pour tout g ∈ C∞0 (K) tel que

∂xng+ ia∂x0g− bg = g0 surRn,

l’inégalité suivante soit vérifiée∫

Rn+1+

|h2Pg|2e2ϕ/h + h∫

Rn |hg0|2e2ϕ/h >

c(h∫

Rn+1+

(|g|2 + |h∇g|2)e2ϕ/h + h∫

Rn(|g|2 + |h∇′g|2)e2ϕ/h)

.

En fait, une lecture attentive des preuves de Lebeau et Robbiano nous montrent qu’elles fonc-tionnent également dans ce cadre. En effet, il suffit de noter que la seule différence est que lesymbole principal est modifié de 1, et qu’ainsi la preuve est inchangée (voir également [14]).

139

Concernant la dernière situation, nous allons énoncer puis démontrer une inégalité de Carleman.Pour l’instant, nous ne sommes parvenu à obtenir un résultat satisfaisant (nous n’avons pu traiterque les grandes fréquences) et il s’agit ici d’exposer une première tentative de résultat.Comme d’habitude dans le contexte des inégalités de Carleman, on définit f = eϕ/hg pour g unefonction à support dans K. Des calculs élémentaires nous montrent que f satisfait

Pϕ f = f1f = 0Dn f −Op(k) f = f0

dansRn+1+ ,

surRn+,

surRn−,

(6.31)

avec Pϕ = −h2eϕ/h P e−ϕ/h, f1 = −h2eϕ/hPg, f0 = (−iheϕ/hg0)|xn=0,xn−1<0 et

k(x) = −ia(x)ξ0 + a(x)∂x0 ϕ(x)− i∂xn ϕ(x)− ihb(x′).

Pour simplifier, nous supposerons en outre que a(x) = 0 sur le support de g, c’est-à-dire que l’on al’expression simplifiée

k(x) = −i∂xn ϕ(x)− ihb(x′).

Enonçons maintenant le résultat que nous avons obtenu.

Proposition 6.10. Soit ϕ(x) = ϕ0(x0) + ϕn(xn) tel que

ϕ0 est affine et∣∣∣∣∂ϕ0

∂x0(x)∣∣∣∣ < 1 si x ∈ K,

∂ϕn

∂xn(x′, 0) ≥ 0 si(x′, 0) ∈ K,

a(x′) = 0 dansunvoisinage de x ∈ K; xn = 0,et χ ∈ S0(Rn) à support compact en x tel que, sur le support de χ et pour c0 > 0,

|pϕ(x, ξ)| ≥ c0 < ξ >2;

alors il existe c, h0 > 0, tels que, pour tout h ∈ (0, h0) et tout f ∈ C∞0 (K) telle que

f = f0Dn f −Op(k) f = f0

surRn+,

surRn−,

l’inégalité suivante soit vérifiée :∫

Rn+1+

|Pϕ f |2 + h∫

Rn−| f0|2 + +h

∫Rn

−| f0|2

> c(‖Op(χ) f‖21 + h|Op(χ) f|xn=0|21 + h3|Op(χ)∂xn f|xn=0|20

).

Remarque 6.4. Notons que ce résultat est très similaire à un résultat intermédiaire obtenu par Lebeau etRobbiano (voir Lemme 4 de [41]). On ne sait néanmoins pas traiter de cas plus généraux que celui-ci (leproblème venant du fait que l’on ne sait pas déterminer les traces hors du cas où le symbole principal pϕ estelliptique).

6.3.2 Preuve de la Proposition 6.10

On note u = Op(χ) f , f1 = Pϕ f , f0 un prolongement H1 deOp(χ) f|xn=0,xn−1>0 et¯f0 un prolongement

L2 de (Dn f −Op(k) f )|xn=0,xn−1<0 de sorte que l’on a

Pϕu = u1u = u0Dnu−Op(k)u = u0

dansRn+1+ ,

surRn+,

surRn−,

(6.32)

avec u1 = Op(χ) f1 + [Pϕ,χ] f , u0 = Op(χ) f0 et u0 = Op(χ) ¯f0 + [Dn −Op(k),Op(χ)] f|xn=0,Nous noterons dans la suite γ0(u) = u|xn=0, γ1(u) = Dnu|xn=0 et δ = 1− supK |∂x0 ϕ| > 0.

140

Étape 1 : Estimation d’un terme de trace pour u

On s’intéresse au symbole principal pϕ de Pϕ et on note

z±(x, ξ′) = −i∂xn ϕ(x)± i√

r(x, ξ′′0 ) + ξ20 + 2iξ0∂x0 ϕ(x) + ξ2n−1 + 1− (∂x0 ϕ(x))2

les racines complexes polynôme pϕ en ξn. Ici et dans la suite de ce paragraphe, nous noterons pourz /∈ R− √

z = exp(12ln(z)

)

avec ln la détermination principale du logarithme définie comme une fonction holomorphe surC\R−.On observe d’abord, puisque 1− (∂x0 ϕ(x))2 > δ, qu’il existe c > 0 tel que

∀x ∈ K, ξ′ ∈ Rn−1, Im(z−(x, ξ′)) < −c < ξ′ > .

On réduit maintenant l’ordre de l’équation en introduisant les inconnues

u+ = (Dn − z−(x,D′))u,u− = (Dn − z+(x,D′))u.

En utilisant la formule de composition des opérateurs pseudodifférentiels, on peut donc écrirePϕ = (Dn − z−(x,D′))(Dn − z+(x,D′)) + hR0, avec R0 un opérateur semiclassique d’ordre 1.Ceci nous permet maintenant de récrire l’équation à l’intérieur de (6.32) sous la forme

Dn

(u+u−

)=

(z+(x,D′)0

0z−(x,D′)

)(u+u−

)+

(u1u1

)+

(r+r−

)(6.33)

avec les termes de restes

r+ = −[Dn, z−(x,D′)]u+ [Dn, z+(x,D′)]u+ [z+(x,D′), z−(x,D′)]u− hR0u,

r− = −hR0u.

En utilisant les estimations de continuité usuelles, on peut donc déduire l’inégalité suivante

∀h ∈ (0, h0); ‖r−‖0 6 Ch‖u‖1. (6.34)

D’autre part, (6.33) nous permet de calculer,

h∂xn

(∫

Rn|u−(x′, xn)|2dx′

)= 2Re

∫

RniDnu−(x′, xn)u−(x′, xn)dx′

= 2 Im < z−(x′, xn,D′)u−(xn), u−(xn) >0 −2 Im < u1(xn), u−(xn) >0 −2 Im < r−(xn), u−(xn) >0

En utilisant une version uniforme en xn de l’inégalité semiclassique de Gårding et des calculsélémentaires, on obtient donc, pour des constantes C, c > 0,

∀xn > 0; h∂xn(|u−(xn)|20

)6 −c|u−(xn)|20 + C|u1(xn)|20 + C|r−(xn)|20

et, après une intégration par rapport à xn ∈ (0,∞), grâce à (6.34) :

h|u−(0)|20 6 C(‖u1‖20 + h2‖u‖21),

et donc, en définissant l’opérateur sur Rn Z+ = Op (z+(x′, 0, ξ′)), nous avons

|Z+γ0(u)− γ1(u)|0 = |u−(0)|0 6 C(‖u‖1 + h−1/2‖u1‖0). (6.35)

141

Étape 2 : Estimations de γ0(u) et de γ1(u)

On tente maintenant d’obtenir des estimations pour γ0(u) et γ1(u). Ce point délicat va être réaliséen introduisant les fonctions auxiliaires w0 = γ0(u)− u0, w1 = γ1(u) −Op(k)γ0(u)− u0. Remar-quons que (6.32) nous donne que w0 est supporté dans Rn

− et w1 dans Rn+.

De plus, grâce à (6.32), nous avons l’identité suivante

(Z+ −Op(k))w0 −w1 = f−(0)− (Z+ −Op(k))u0 + u0.

On définit iE = Z+ −Op(k) et on considère le symbole principal e associé

e(x′, ξ′) =√

r(x′, 0, ξ′′0 ) + ξ20 + 2iξ0∂x0 ϕ(x′, 0) + ξ2n−1 + 1− (∂x0 ϕ(x′, 0))2.

D’autre part, d’après la formule de composition des opérateurs pseudodifférentiels et l’estimation(6.35), on obtient

|Op(e)w0 + iw1|0 6 C(| f0|1 + | ¯f0|0 + h−1/2‖u1‖0 + h1/2‖u‖1) (6.36)

puisque |γ0(u)|0 6 ch−1/2‖u‖1.Dans ce contexte, nous allons décrire une technique décrite dans [21] pour pouvoir obtenir desestimations sur les deux termes w0 et w1. En effet, on définit d’abord les racines carrées

e±(x′, ξ′′, ξn−1) =

√ξn−1 ± i

√r(x′, 0, ξ′′0 ) + ξ20 + 2iξ0∂x0 ϕ(x′, 0) + 1− (∂x0 ϕ(x′, 0))2

en utilisant le fait que 1− (∂x0 ϕ(x′, 0))2 > δ. Remarquons que e+(x′, ξ′′, ξn−1) est une fonction holo-morphe de ξn−1 sur C+ := z ∈ C; Im(z) > 0 et, avec des notations analogues, que e−(x′, ξ′′, ξn−1)est une fonction holomorphe de ξn−1 sur C−.Soit E+ = Op(e+(x′, ξ′)) et F− = Op((e−(x′, ξ′))−1). On a ainsi défini des opérateurs pseudodiffé-rentiels d’ordres 1/2, −1/2 respectivement.On peut ainsi écrire, en utilisant à nouveau la formule de composition,

F− Op(e) = E+ + hR1

avec R1 un opérateur semiclassique d’ ordre−1/2. En définissant

E+w0 + iF−w1 = w,

on a, d’après (6.36),|w|1/2 6 C(| f0|1 + | ¯f0|0 + h−1/2‖ f1‖0 + h1/2‖ f‖1). (6.37)

Nous observons maintenant que, puisque e+(x′, ξ′′, ξn−1) possède un prolongement analytique surC+, E+w0 reste supportée dans Rn

−. Ce fait est bien connu (voir par exemple [21] Theorem 4.4),mais nous rappelons brièvement la preuve afin d’être complets.On part de l’identité

(E+w0)(x′′, xn−1) =1

(2π)n

∫

Rn−1eix

′′.ξ ′′(∫

R

eixn−1ξn−1e+(x′, hξ′′ , hξn−1)w0(ξ′′, ξn−1)dξn−1

)dξ′′.

On rappelle maintenant que, puisque w0(x′) ∈ C∞0 (Rn−1) est supportée dans R

n−1− , il existe une

constante C > 0 telle que (voir par exemple [33] Theorem 7.3.1)

∀ξ′ ∈ Rn−1, ∀τ > 0, |w0(ξ

′′, ξn−1 + iτ)| 6 C(1+ |ξ′′ |+ |ξn−1|+ τ)−(n+2)

et que, pour tout ξ′′, ξn−1 ∈ C+ 7→ w0(ξ′′, ξn−1) est holomorphe. De plus, ξn−1 ∈ C+ 7→e+(x′, ξ′′, ξn−1) est holomorphe pour tout x′, ξ′′ et, par définition, il existe une constante C > 0telle que

∀x′, ξ′ ∈ Rn−1, ∀τ > 0, |e+(x′, hξ′′ , h(ξn−1 + iτ))| 6 C(1+ |ξ′′|+ |ξn−1|+ τ)1/2.

142

On utilise maintenant ceci pour transformer

I(x′, ξ′′) =∫

R

eixn−1ξn−1e+(x′, hξ′′ , hξn−1)w0(ξ′′, ξn−1)dξn−1

en une intégrale sur la courbe R + iτ∫

R+iτeixn−1ξn−1e+(x′, hξ′′ , hξn−1)w0(ξ

′′, ξn−1)dξn−1

ce qui nous donne donc l’estimation, pour tout τ > 0,

∀x′ ∈ Rn−1, ξ′′ ∈ R

n−2, |I(x′, ξ′′)| 6 Ce−xn−1τ(1+ |ξ′′ |)−n−1/2.

Ceci nous permet donc d’obtenir, pour tout τ > 0,

∀x′ ∈ Rn−1, |(E+w0)(x′′, xn−1)| 6 Ce−xn−1τ

et notre assertion est démontrée pour τ → +∞.De manière analogue, F−w1 reste supportée dans Rn

+.

D’autre part, des calculs élémentaires nous montrent qu’il existe c > 0 telle que

|e+(x′, ξ′)| > c < ξ′ >1/2

et|e−(x′, ξ′)−1| > c < ξ′ >−1/2,

de telle sorte que E+ et F− sont des opérateurs elliptiques d’ordres 1/2, −1/2 respectivement.L’estimation (6.37) nous donne donc

|w0|1 + |w1|0 6 C(| f0|1 + | ¯f0|0 + h−1/2‖ f1‖0 + h1/2‖ f‖1)

et donc, en revenant aux traces, on obtient l’estimation, pour une constante C,

|γ0(u)|1 + |γ1(u)|0 6 C(| f0|1 + | ¯f0|0 + h−1/2‖ f1‖0 + h1/2‖ f‖1). (6.38)

Étape 3 : Estimations de u

Finalement, on considère u le prolongement de f par zéro dans xn < 0. En notant δ(j) =(d/dxn)jδ|xn=0, on a comme dans [41] Preuve du lemme 4,

Pϕu = u1 − h2γ0(u)δ′ − ih(γ1(u) + 2i∂xn ϕ(x′, 0)γ0(u))δ

puisque (z+ + z−)(x′, 0, ξ′) = −2i∂xn ϕ(x′, 0).On construit alors une paramétrix pour Pϕ.Soit χ(x, ξ) ∈ S0(Rn+1) tel que χ = 1 pour ξ grand et au voisinage de Supp(χ) tel que Supp(χ) ⊂R2n+2\p−1

ϕ (0). On définit

m(x, ξ; h) =χ(x, ξ)pϕ(x, ξ)

∈ E−2

de telle sorte que M = Op(m) satisfait, pour un certain R2 ∈ E−1,

M Pϕ = Op(χ) + hR2.

En suivant [41] Preuve du lemme 4, on obtient donc

f = M( f1) + T0w′0 + T1w′

1 + r1

143

où l’on a défini les nouvelles quantités

w′1 = γ0(u),w′

0 = γ1(u) + 2i∂xn ϕ(x′, 0)γ0(u), (6.39)

r1 = (I −Op(χ))u+ hR2u

et, si j = 0, 1 et xn > 0, les opérateurs tangentiels Tj de symboles

tj(x, ξ′ ; h) =1

2iπ

∫

Γeixn(ξn/h)m(x′, xn, ξ′, ξn; h)ξ

jndξn,

avec Γ = [−C0 < ξ′ >,C0 < ξ′ >] ∪ ξn ∈ C+, ξn| = C0 < ξ′ > orienté dans le sens trigonomé-trique (où C0 est choisi de telle sorte que ∀x, ξ′, |z+(x, ξ′)| < C0 < ξ′ >).En restreignant cette égalité à xn > 0, on obtient (voir (46) du paragraphe 5 de [41])

u = M(u1) + T′0w

′0 + T′

1w′1 + r1 + r2

avecr2 = Op((1− χ1)t0)w′

0 +Op((1− χ1)t1)w′1

et, pour j = 0, 1, T′j = Op(t′j) où

t′j(x, ξ′; h) =

12iπ

∫

Γ′eixn(ξn/h)χ1(x′, xn, ξ′, ξn)m(x′, xn, ξ′, ξn; h)ξ

jndξn

avec χ1 ∈ S0(Rn+1) tel que χ1 = 1 sur Supp(χ), χ = 1 sur Supp(χ1) et Γ′ une courbe orientée dansle sens trigonométrique incluse dans ξn ∈ C; Im(ξn) > C0 < ξ′ >.On utilise maintenant l’estimation |pϕ(x, ξ)| > c < ξ >2 sur Supp(χ). On obtient ainsi

‖M(u1)‖1 6 C‖u1‖−1 6 C‖u1‖0 = C‖u1‖0. (6.40)

D’autre part, on peut écrire, pour θ(x) une fonction C∞ à support compact telle que θ = 1 sur unvoisinage de K et de Supp(χ),

r1 = Op((1− χ)θ)u+ hR′2 f = hR′

2u

(avec R′2 un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 0). On obtient ainsi

‖r1‖1 6 Ch‖u‖0 = Ch‖u‖0. (6.41)

De plus, en suivant [41] Preuve du lemme 4 (voir les estimations (43) et (45) du paragraphe 5 decette référence), on peut obtenir

‖T′0w

′0‖1 + ‖T′

1w′1‖1 6 Ch1/2(|w′

0|0 + |w′1|1), (6.42)

‖θr2‖1 6 Ch2(‖u‖1 + |γ1(u)|−1) 6 Ch(‖u‖1 + |γ1(u)|−1), (6.43)

à condition de choisir h assez petit.En rassemblant les estimations (6.40) à (6.43), on a donc obtenu

‖u‖1 6 C(‖u1‖0 + h‖u‖1 + h1/2(|w′0|0 + |w′

1|1) + h|γ1(u)|−1).

En utilisant l’estimation (6.38) et les définitions (6.39), on en déduit aisément

|w′0|0 + |w′

1|1 + h1/2|γ1(u)|−1 6 C(| f0|1 + | ¯f0|0 + h−1/2‖u1‖0 + h1/2‖u‖1).

ce qui nous donne‖u‖1 6 C(h1/2| f0|1 + h1/2| ¯f0|0 + ‖u1‖0 + h‖u‖1). (6.44)

En combinant (6.38) et (6.44), on obtient finalement la conclusion souhaitée

∀h ∈ (0, h1); ‖u‖1 + h1/2|γ0(u)|1 + h1/2|γ1(u)|0 6 C(h1/2| f0|1 + h1/2| ¯f0|0 + ‖u1‖0).

144

6.3.3 Une méthode de preuve des conjectures : l’inégalité d’interpolation

Inégalités d’interpolations

Inégalité d’interpolation loin du bord Si l’on veut obtenir une inégalité d’interpolation, la mé-thode de [41] consiste à introduire un autre système sans dépendance par rapport au paramètre h.Comme dans [41], on peut considérer le système pour v(x0, x) = e−µx0u(x) (avec u la solution duproblème spectral (6.23)

∆Xv = v0(∂ν − ia(x)∂x0 )v = v1v = 0

surXdans ∂XN

dans ∂XD

(6.45)

avec X = (−1, 1)× M, ∂XN = (−1, 1)× ∂ΩN , ∂XD = (−1, 1)× ∂ΩD ; v0 = e−µx0u0 et v1 = e−µx0u1.Si l’on pose Xd = (−3/4, 3/4) × Ωd où Ωd = x ∈ Ω; d(x, ∂Ω) > d, nous rappelons d’abord uneinégalité d’interpolation pour le système (6.45) loin du bord.

Proposition 6.11. Soit θ ∈ C∞0 (∂X) une fonction non triviale. Alors, il existe C > 0 et τ0 ∈ (0, 1) tel que

pour tout τ ∈ (0, τ0) et, pour toute fonction v solution de (6.45), l’inégalité suivante soit vérifiée

‖v‖H1(Xd)6 C

(‖∆Xv‖L2(X) + ‖θv‖L2(∂X) + ‖θ∂νv‖L2(∂X)

)τ‖v‖1−τ

H1(X)

Ce résultat est contenu dans [40] au paragraphe 3.B pour des fonctions qui sont nulles sur∂X. La preuve de ce résultat un peu plus générale est identique et nous ne la détailletons pas ici.D’autre part, ce résultat a déjà été utilisé par Lebeau et Robbiano dans la preuve de l’inégalitéd’interpolation du Théorème 3 de [41].

Corollaire 6.1. Il existe C > 0 et τ0 ∈ (0, 1) tels que, pour tout τ ∈ (0, τ0) et pour toute solution u duproblème spectral (6.23), l’inégalité suivante soit vérifiée

‖u‖H1(Ωd)6 CeC|µ|

(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + ‖u‖L2(∂Ωε


N)

)τ‖u‖1−τ

H1(Ω)

Démonstration. On approche la fonction v(x0, x) = e−x0µu(x) solution de (6.45) par une suite defonctions régulières pour obtenir

‖v‖H1(Xd)6 C

(‖∆X v‖L2(X) + ‖θv‖L2(∂X) + ‖θ∂ν v‖L2(∂X)

)τ‖v‖1−τ

H1(X).

On choisit maintenant θ supportée dans ∂XεN de telle sorte que

‖v‖H1(Xd)6 C

(‖∆X v‖L2(X) + ‖v‖L2(∂Xε

N)+ ‖∂νv‖L2(∂Xε

N)

)τ‖v‖1−τ

H1(X),

et l’on remarque que

‖v‖H1(Xd)> C−1e−|µ|‖u‖H1(Ωd)

, ‖v‖H1(X) 6 Ce|µ|‖u‖H1(Ω)

ainsi que

‖∆X v‖L2(X) + ‖v‖L2(∂XεN)

+ ‖∂ν v‖L2(∂XεN)

6 Ce|µ|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + ‖u‖L2(∂Ωε


N)

).

Ceci nous donne le résultat voulu avec C > 2.

145

Méthode d’interpolation près du bord Près du bord, on aimerait pouvoir procéder de la mêmemanière, c’est-à-dire comme dans la preuve du Théorème 3 de [41]. Remarquons d’abord quel’on ne peut pas faire exactement le même raisonnement puisque les inégalités de Carleman (laProposition 6.10 en particulier) ne sont valables que pour un opérateur dépendant du paramètresemiclassique h.D’autre part, en supposant même que l’estimation de la Proposition 6.10 soit valable sans tronca-ture en fréquence, celle-ci ne suffirait pas à pouvoir obtenir des estimations sur les solutions duproblème spectral (6.23). En effet, les lignes de niveau importantes pour obtenir une inégalité detype interpolation ne sont pas celles de la fonction de phase ϕ mais (à cause du changement devariable v(x0, x) = e−

√2x0/hu(x)) celles de ϕ(x) = ϕ(x)−

√2x0. La dépendance de ϕ par rapport à

x0 étant trop faible, on ne peut obtenir des lignes de niveau ayant une forme “convenable”, au sensoù l’on peut estimer une fonction près du bord ∂X par les données au bord et ses valeurs loin dubord.

Estimations de la résolvente

Semi-groupe Rappelons tout d’abord que le système (6.22) possède une unique solution. Ondéfinit l’espace de Hilbert H = H1

D(Ω)× L2(Ω) (où H1D(Ω) = u ∈ H1(Ω); u = 0 sur ∂ΩD) équipé

de la norme‖(u0, u1)‖2H =

∫

Ω|∇u0|2 + |u1|2dx.

On définit également un opérateur non borné A sur H par

A =

(0∆

I0

)

etD(A) = u = (u0, u1) ∈ H; Au ∈ H et ∂νu0 + au1 = 0.

Il est maintenant clair que le système (6.22) peut se récrire sous la forme abstraite suivante, avec

U =

(u∂tu

)

∂tU(t) = AU(t)

U(0) =(

u0u1

).

De plus, A est un opérateur monotone. En effet, une intégration par parties nous donne, pour

u =

(u0u1

)∈ D(A)

Re(Au, u)H =∫

∂ΩN

∂νu0u1 = −∫

∂ΩN

a|u1|2 6 0.

D’autre part, A− I est un isomorphisme. En effet, on obtient aisément, pour(

fg

)∈ H,

(A− I)(

u0u1

)=

(fg

)⇔ −u0 + ∆u0 = f + g

u1 = u0 + f

et le caractère bijectif nous est donné par le lemme de Lax-Milgram en utilisant que la formebilinéaire

(u, v) ∈ H1D(Ω) 7→

∫

Ω∇u.∇v+ uv+

∫

∂ΩN

auv

est coercive. Ainsi, le théorème de Hille-Yoshida s’applique et nous montre que A engendre unsemi-groupe fortement continu sur H ainsi que l’existence et l’unicité des solutions au problème(6.22).

146

Liens entre les conjectures On présente maintenant une preuve du fait que si la Conjecture 6.3est vérifiée alors les Conjectures 6.1 et 6.2 le sont également. On suppose donc que la la Conjecture6.3 est vérifiée et on s’intéresse à l’équation

(A− λI)(

u0u1

)=

(f0f1

).

On étudie d’abord le cas λ ∈ iR et on écrit λ = iµ avec µ suffisamment grand. On écrira R(λ) =(A− λI)−1 quand ce terme est définit.La Conjecture 6.3 et les conditions au bord nous donnent l’estimation, pour |µ| > µ1

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC|µ|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω) + ‖u0‖L2(∂Ωε

N)

).

Si ‖u0‖L2(∂ΩεN)

6 ‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω), on a donc

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC|µ|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

)(6.46)

et, puisque u1 = f0 + λu0, nous avons également

‖u1‖L2(Ω) 6 ‖ f0‖H1(Ω) + |λ|‖v0‖H1(Ω) 6 CeC|µ|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

). (6.47)

Sinon, on a donc l’estimation suivante

‖u0‖2H1(Ω) 6 CeC|µ|‖u0‖2L2(∂ΩεN). (6.48)

En utilisant la relation∫

Ωu0(−∆ − µ2)u0dx = −µ2‖u0‖L2(Ω) +

∫

Ω|∇u0|2dx−

∫

∂ΩN

u0∂νu0dσ

et, puisque (∆ + µ2)u0 = iµ f0 + f1 et ∂νu0 + aiµu0 = f0, on obtient, en prenant la partie imaginairede cette identité,

|µ|∫

∂ΩN

a|u0|2 6 (|µ|‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω))‖u0‖L2(Ω).

Nous obtenons ainsi d’après(6.48) et l’inégalité de Young

‖u0‖H1(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω))

c’est-à-dire le même résultat que dans le premier cas.Nous avons donc obtenu, pour tout λ = iµ avec µ assez grand,

‖u0‖H1(Ω) + ‖u1‖L2(Ω) 6 CeC| Im(λ)|(‖ f0‖H1(Ω) + ‖ f1‖L2(Ω)

)

Pour λ = iµ et µ ∈ R, |µ| > µ1 ; on a donc montré que A− λI est injective. Puisque D(A) → H estcompact, l’alternative de Fredholm (conférer par exemple. [12] Théorème VI.6) nous montre queA− λI est surjectif (puisque (A− λI)u = f ⇔ (I + (λ − 1)R(1))u = R(1) f où R(1) = (A− I)−1

est un opérateur compact) et finalement que A− λI est un isomorphisme. De plus,

µ ∈ R et |µ| > µ1 ⇒ ‖R(iµ)‖H→H 6 CeC|µ|.

D’autre part, on peut noter que, si µ2 n’appartient pas au spectre discret de l’opérateur de Laplaceavec conditions mêlées Dirichlet-Neumann, A− iµ est injectif. En utilisant de nouveau queD(A) →H est compacte et l’alternative de Fredholm, on obtient, pour µ n’appartenant pas à un certainensemble discret, iµ ∈ ρ(A).

147

Puisque ρ(A) est un ouvert, nous avons donc montré iR ⊂ ρ(A). En utilisant la continuité deλ ∈ ρ(A) 7→ R(λ), il existe donc une constante C > 0 telle que

µ ∈ R et |µ| 6 µ1 ⇒ ‖R(iµ)‖H→H 6 CeC|µ|.

On note finalement que, si ν ∈ [0, e−C|µ|/(2C)], alors

(A− iµI + νI)−1 = R(iµ) ∑n∈N

νnR(iµ)n,

et donc −ν + iµ ∈ ρ(A) ainsi que

‖R(−ν + iµ)‖H→H 6 ‖R(iµ)‖H→H 6 CeC|µ|.

Ceci termine la preuve de la Conjecture 6.1. La Conjecture 6.2 est alors une conséquence immédiatedu Théorème 3 de [14]. 2

148

Appendice : Preuve de la Proposition 6.5

Le premier point est assez classique (conférer [40, 41]). On peut en fait obtenir ce résultat pour unopérateur P plus général que le Laplacien, à condition que celui-ci reste uniformément elliptique.En effet, si l’on considère les coordonnées géodésiques normales (y′, yn) près du bord ∂Ω paryn = d(y, ∂Ω) avec y′ ∈ ∂Ω, l’opérateur de Laplace ∆ prend la forme

∂2yn + ∑i,j<n

ai,j(y)∂yi∂yj + ∑iai(y)∂yi + a0(y),

qui a bien la forme voulue puisque la matrice de la forme quadratique ξ2n + ∑i,j<n ai,j(y)ξiξ j estcongruente à I (à la matrice jacobienne d’un changement de variables près).Concernant le second point, on peut supposer que le voisinage V obtenu à la première étape estde la forme W × (−r, r) avec W un ouvert de Rn−1 contenant 0Rn−1 . Ainsi, la partie Dirichlet dubord W × 0 est de la forme WD × 0 avec WD un ouvert de W de frontière ∂WD correspondantà l’interface Γ.D’après la première étape de notre preuve, il existe des coordonnées (z′′, zn−1) et un voisinage W0

de 0Rn−1 tel que

W0 ∩WD = (z′′, zn−1) ∈ W0; zn−1 > 0,W0 ∩ ∂WD = (z′′, zn−1) ∈ W0; zn−1 = 0

et l’opérateur uniformément elliptique −R0(y′, 0, 1i ∂y′

)prend la forme

∂2zn−1+ t(z′)∂zn−1 − R1

(z′, 0,

1i

∂z′′

).

Ainsi, si l’on définit l’ouvert de Ω

V0 = W0 × (0, r)

il est clair que V0 ∩ (WD × 0) = (z′′, zn−1, yn) ∈ V0; yn = 0 et zn−1 > 0 et V0 ∩ (∂WD × 0) =(z′′, zn−1, yn) ∈ V0; yn = zn−1 = 0.On a donc obtenu le résultat voulu puisque

y′ 7→ z′

est un difféomorphisme local. 2

149

150

151

Conclusion générale

Dressons tout d’abord un court bilan de cette initiation à la recherche.Tout d’abord, d’un point de vue personnel, je pense que cette expérience m’a apporté énormé-

ment en me permettant à la fois d’approfondir des domaines mathématiques qui m’ont intéressédepuis longtemps mais également de prendre une confiance plus grande dans le rôle de la re-cherche dans nos sociétés. Je suis persuadé que tout ceci m’a donné une plus grande confiance enmon potentiel personnel et je dirais même que ce travail de recherche m’a permis d’arriver à unecertaine maturité intellectuelle et morale.

D’un point de vue plus technique, il me semble que le problème des ondes (même s’il s’agitd’un problème linéaire) reste un problème extraordinairement fécond. En effet, si l’on regardedepuis l’apparition de la fameuse Condition de Contrôle Géométrique, il me semble que de nombreusesquestions concernant la dynamique de ces équations restent ouvertes et m’ont en tout cas permisde me plonger dans bien des univers mathématiques : d’abord, celui de l’analyse des singularitésdes solutions d’EDP (et de la méthode des multiplicateurs ainsi que des équations retardées) ;ensuite celui des inégalités de Carleman globales et du contrôle d’EDP (avec les outils d’analysefonctionelle associés) et enfin celui de l’analyse microlocale que j’ai abordé de manière très partielledans le cadre des inégalités de Carleman locales.

Limites

Cependant, il serait présomptueux de dire que ce travail ne souffre pas de certaines lacunes.Tout d’abord, la méthode des multiplicateurs ne permet pas d’obtenir de résultats généraux

puisque la forme du feedback et celle de la frontière sont prescrites par le multiplicateur. Puisquecelui ci reste conditionné à des formes particulières (tournés ou un peu plus généraux mais néan-moins proches de ces premiers) et que, d’autre part, ces formes (comme nous l’avons déjà men-tionné auparavant) ne permettent pas de traiter le cas du système élastodynamique ; nous sommesloin d’être en mesure de pouvoir traiter tous les problèmes auxquels nous aimerions pouvoir ré-pondre. Mentionnons également le problème de manque d’optimalité des résultats obtenus (commemis en évidence numériquement au cours de ce travail).

Ensuite, la mise en oeuvre dans le cas d’un exemple renforce la conviction que la techniquedes inégalités de Carleman globales semble ne pas pouvoir traiter le cas de conditions aux limitesgénérales (avec des dérivées tangentielles au bord par exemple) et, en tout cas, nous ne sommespas parvenus à traiter le cas de notre problème de contrôle hors du cadre mono-dimensionnel pourle système artificiel d’advection diffusion introduit plus haut.

Enfin, la méthode des inégalités de Carleman locales ne nous permet pas encore de comprendrecomplètement la stabilisation des ondes avec interface Dirichlet-Neumann. D’une part, nous ob-tiendrions des résultats beaucoup plus faibles que ceux sans interface sous la Condition de ContrôleGéométrique et d’autre part il n’est pas encore clair que notre méthode fonctionne effectivement.

Perspectives

Il reste donc bien des problèmes à traiter.Premièrement, concernant le problème de stabilisation pour l’équation des ondes, est-il possible

de choisir des multiplicateurs de telle sorte que l’on puisse obtenir des vitesses différentes de

153

celles obtenues ? En particulier, peut-on espérer obtenir des résultats plus faibles mais sous deshypothèses moins contraignantes ? S’il semble déjà qu’une étude détaillée de la dépendance de lavitesse en fonction de la loi de feedback ait été faite, il ne semble pas encore clair de savoir si l’onpeut obtenir des multiplicateurs nous donnant d’autres décroissances (par exemple polynomialeou logarithmique). Toujours en lien avec cette méthode des multiplicateurs, une question plusproche des équations retardées consiste à se demander si la présence d’un terme feedback non-retardé est nécessaire pour obtenir une décroissance exponentielle pour les ondes retardées. Desconsidérations d’ordre formel nous laissent penser que la réponse à cette question est négative,mais la réponse mathématique à cette question n’est pas claire. Elle pourrait néanmoins pouvoirprovenir de l’étude des semi-groupes retardés (obtenus par usage de la transformée de Laplace)associés à notre équation.

D’autre part, peut-on décrire des inégalités de Carleman globales adaptées au cas de la présencede dérivées tangentielles dans les conditions aux bord ? En particulier, comment traiter la résolutiondu problème de contrôlabilité de notre problème d’advection-diffusion en dimension supérieure à1 ? Il faudrait peut-être reprendre les preuves des résultats de continuation uniques obtenus par lepassé via des inégalités de Carleman adaptées, mais la présence des conditions au bord exotiquesne nous permet pas d’apporter une réponse claire à cette question. On pourrait également penserà un usage des inégalités de Carleman locales puisque, provenant de l’inégalité de Garding, ellespourraient peut-être donner des estimations plus fortes près du bord.

Finalement, l’approche microlocale de la stabilisation des ondes peut-elle se poursuivre dans lecas d’une interface Dirichlet-Neumann ? Cette question est certainement la plus intéressante maissans doute la plus difficile. On peut peut-être espérer obtenir, via des inégalités d’interpolationadaptées, des résultats de décroissance polynomiales dans certains cas (comme cela a déjà étéfait dans le cas d’un cylindre pour une partition du bord bien particulière). Cependant, pour leproblème de la décroissance exponentielle, il semble difficile de pouvoir faire l’économie de l’étudede la dynamique du flot géodésique associé. Celle-ci apparait délicate puisque, même d’un pointde vue physique, le comportement d’un rayon envoyé sur l’interface Dirichlet Neumann n’est passimple et est sans doute à rapprocher du phénomène de diffusion ayant lieu lorsqu’une onderencontre un coin.

154

Annexes

155

A.1. Code Matlab : calcul du taux de décroissance de l’article 1 157

A.1 Code Matlab : calcul du taux de décroissance de l’article 1

function rho=taux(theta,lambda)lambda=lambda+0.5*cos(theta) ;n=10 ;h=1/(n-1) ;p=floor(n/2)+1 ;m=n*n ;Définition des coefficients de feedbackx1=-lambda*sin(theta) ;x2=0.5-lambda*cos(theta) ;for i=1 :nCondition tournée au bord droita(i)=cos(theta)*(1-x1)-sin(theta)*((i-1)*h-x2) ;Condition tournée au bord hautb(i)=sin(theta)*((i-1)*h-x1)+cos(theta)*(1-x2) ;Condition tournée au bord gauchec(i)=-cos(theta)*(0-x1)+sin(theta)*((i-1)*h-x2) ;endDéfinition des matrices de masse(M), d’amortissement(B) et de rigidité(K)M=eye(m) ;B matrice d’amortissementB=zeros(m) ;for i=2 :n-1B(i*n,i*n)=2*a(i)/h ;B(n*(n-1)+i,n*(n-1)+i)=2*b(i)/h ;endfor i=p :n-1B(i*n+1,i*n+1)=2*c(i)/h ;endB(m,m)=2*(a(n)+b(n))/h ;B(m-n+1,m-n+1)=2*(b(1)+c(n))/h ;B=sparse(B) ;K matrice de rigiditéK=4*eye(m)-diag(ones(1,m-1),1)-diag(ones(1,m-1),-1)-diag(ones(1,m-n),n)-diag(ones(1,m-n),-n) ;Bords Neumannfor i=2 :n-1N=n*i ;K(N,N-1)=-2 ;K(N,N+1)=0 ;endfor i=2 :n-1N=n*(n-1)+i ;K(N,N-n)=-2 ;endfor i=p+1 :n-1N=i*n+1 ;K(N,N+1)=-2 ;K(N,N-1)=0 ;endK(m,m-n)=-2 ;

158 A. Annexes

K(m,m-1)=-2 ;K(m-n+1,m-n+2)=-2 ;K(m-n+1,m-n)=0 ;K(m-n+1,m-2*n+1)=-2 ;Bords DirichletK(1,1)=0 ;K(1,2)=0 ;K(1,1+n)=0 ;for i=2 :nK(i,i)=0 ;K(i,i-1)=0 ;K(i,i+1)=0 ;K(i,i+n)=0 ;endfor i=1 :pN=i*n+1 ;K(N,N)=0 ;K(N,N+1)=0 ;K(N,N-n)=0 ;K(N,N+n)=0 ;K(N,N-1)=0 ;endMatrice sans le bord DirichletL=1/h*sqrtm(K) ;L=sparse(L) ;Définition de la matrice d’iteration de l’énergieA=[zeros(m),L ;-L,-B] ;Définition du taux de décroissanceD=real(eig(full(A))) ;rho=max(D(1 :2*(m-(n+p)))) ;

A.2. Preuve de la Proposition 6.2 159

A.2 Preuve de la Proposition 6.2

Proposition A.1. Soit y ∈ ∂Ω. Il existe un voisinage V de y0 et un changement de variable C∞ θ(y) = ztel que

– θ(y) = 0,– θ(Ω ∩ V) = z ∈ θ(V); zn > 0 et θ(∂Ω ∩V) = z ∈ θ(V); zn = 0,– dans le système de coordonnées z, ∆ s’écrit ∂2zn + ∑i,j<n aij(z)∂zi∂zj + ∑16i6n ai(z)∂zi + a0(z),– si q(z, ξ) = ξ2n + ∑i,j<n aij(z)ξiξ j, alors la forme quadratique q(0, ξ) est définie positive.

Démonstration. On note p(y, ξ) = ∑i,j δi,jξiξ j le symbole principal de l’opérateur de Laplace P. Nousn’utiliserons que le fait que cette forme quadratique est définie positive et notre raisonnement restevalable pour un opérateur C∞ uniformément elliptique sur un voisinage de y.Puisque Ω est un ouvert de classe C∞, il existe un voisinage V0 de y et une fonction ϕ C∞ tels que

∂Ω ∩V0 = y ∈ V0; ϕ(y) = 0 et ϕ′(y) 6= 0,

Ω ∩V0 = y ∈ V0; ϕ(y) > 0.

Nous raisonnerons dans la suite sur ce voisinage V0. La preuve va se faire par une succession dechangements de variables. Pour ne pas alourdir les notations, les variables originales seront notéesy, les variables d’arrivées z et les changements de variable χ. Rappelons que si l’on a χj(y) = zjpour tout j, on a ∂yi = ∑16j6n(∂yiχj)∂zj . Ainsi, quelque soit le changement de variable χ vérifiantχ(y) = 0, on a q(z, η) = p(χ−1(z),t (χ′)(χ−1(z)η) et la forme quadratique q(0, .) est définie positive.

Première étape On peut supposer que ∂yn ϕ(y) 6= 0 (quitte à échanger les coordonnées). On faitalors le changement de variables zj = yj − yj pour j ∈ 1, . . . , n − 1 et zn = ϕ(y). Si χ est l’ap-plication correspondante, il est clair que χ est un difféomorphisme local sur un certain voisinageV ⊂ V0 de y (puisque χ′(y) est inversible), que χ(y) = 0 ainsi que

χ(∂Ω ∩V) = z ∈ χ(V); zn = 0,χ(Ω ∩V) = z ∈ χ(V); zn > 0.

On a d’autre part transformé P. Il est aisé de constater que

P = ∑i,j

ai,j(z)∂zi∂zj + termes d’ordre 1 ou 0

avec (aij(z))i,j matrice symétrique uniformément définie positive sur un voisinage de 0.

Deuxième étape Nous allons maintenant écrire P dans les nouvelles variables sous la forme

∂2zn + ∑ibin(z)∂zi∂zn + ∑

i,j<nbij(z)∂zi∂zj + termes d’ordre 1 ou 0.

Nous voulons donc, pour en = (0, . . . , 0, 1), q(y, en) = 1 c’est à dire p(y,t (χ′)(y)en) = 1 ou encore∑i,j ai,j(y)(∂ynχi)(∂ynχj) = 1. On choisit donc par exemple χj(y) = yj pour tout j ∈ 1, . . . , n− 1 etχn(y) =

∫ yn0 ann(y)−1/2dyn (licite pour |yn| assez petit car on a ann(y) > 0 sur un voisinage de 0).

Il est clair que, puisque χ′(0) est inversible, χ est un difféomorphisme local sur un certain ouvertV. On a de plus zn = 0 ⇔ yn = 0 et zn > 0 ⇔ yn > 0 ; on s’est donc ramené à la situation del’hypothèse de départ avec

∂Ω ∩V = z ∈ χ(V); zn = 0,Ω ∩V = z ∈ χ(V); zn > 0

et P de la forme

∂2yn + ∑iain(z)∂yi∂yn + ∑

i,j<naij(z)∂yi∂zj + termes d’ordre 1 ou 0.

160 A. Annexes

Troisième étape Nous commencons par remarquer que l’on peut écrire P sous la forme

(∂yn + ∑

i<n2−1ain(y)∂yi

)2

+ ∑i,j<n

bij(y)∂yi∂yj + termes d’ordre 1 ou 0,

pour certains coefficients bij(y).Notre but va maintenant être de redresser le champ de vecteurs ∂yn + ∑i<n bi(y)∂yi , où l’on a notébi(y) = 2−1ain(y). Pour ce faire, on introduit le flot y(z1, . . . , zn−1; s) solution de l’équation différen-tielle dy

ds = (b1(y), . . . , bn−1(y), 1)y(0) = (z1, . . . , zn−1, 0)

.

Si l’on note z′ = (z1, . . . , zn−1), on définit alors χ−1(z) = y(z′; zn). Il est d’abord clair que χ−1 est undifféomorphisme local (puisque (χ−1)′(0) est inversible) et qu’ensuite ∂zn se transforme via χ−1 en∂yn + ∑i<n bi(y)∂yi (puisque ∂zn(χ

−1)(z) = ∂zn(z′; zn) = (b1(y), . . . , bn−1(y), 1)).

Ensuite, si i < n, ∂zi se transforme en ∑j6n ∂ziyj(z′; zn)∂yj . On observe maintenant que ∂ziyn(z

′; zn) =0 puisque ∂ziyn(z

′; 0) = 0 et que ∂zn(∂ziyn(z′; zn)) = ∂zi(1) = 0. Puisque la matrice

(∂ziyj(z′; zn))16i,j6n−1 est inversible en zn = 0 (il s’agit de l’identité !), elle est localement inver-

sible et il existe donc, pour z proche de zéro, des coefficients cij(z) tels que ∂yi se transforme via χen ∑j<n ci,j(y)∂zj . On obtient donc la forme voulue pour P dans les coordonnées z.Finalement, il est clair que yn = 0 ⇔ zn = 0 et yn > 0 ⇔ zn > 0 au moins localement d’après∂znyn(z

′, 0) = 1.

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